Ma trận chuyển vị

Trong đại số tuyến tính, ma trận chuyển vị (tiếng Anh: transpose) là một ma trận mà ở đó các hàng được thay thế bằng các cột, và ngược lại. Để có được ma trận chuyển vị, chúng ta có thể sử dụng toán tử lật ma trận theo đường chéo chính của nó. Ma trận chuyển vị của ma trận A được ký hiệu là AT.

Ma trận chuyển vị được giới thiệu vào năm 1858 bởi nhà toán học người Anh Arthur Cayley.

Chuyển vị của ma trận

Định nghĩa 

Chuyển vị của ma trận , ký hiệu , , , , , ,  hoặc , có thể được xây dựng bằng các phương pháp sau đây:
Phản xạ  trên đường chéo chính của nó (chạy từ trên cùng bên trái sang dưới cùng bên phải) để có ;
Viết các hàng của  thành cột của ;
Viết các cột của  thành hàng của .

Về mặt hình thức, phần tử của hàng thứ i, cột thứ j của ma trận  là phần tử của hàng thứ j, cột thứ i của ma trận :

Nếu  là ma trận  thì  là ma trận .

Trong trường hợp là ma trận vuông,  biểu thị lũy thừa thứ  của ma trận . Để tránh sự nhầm lẫn có thể xảy ra, nhiều tác giả sử dụng ký hiệu lũy thừa  bên trái, khi đó ký hiệu của chuyển vị là . Một lợi thế của ký hiệu này là không cần dấu ngoặc đơn khi liên quan đến số mũ: khi , ký hiệu  không gây nhầm lẫn.

Trong bài viết này, tránh nhầm lẫn này bằng cách không bao giờ sử dụng ký hiệu  dưới dạng tên biến.

Định nghĩa ma trận liên quan đến chuyển vị 

Ma trận vuông có chuyển vị bằng chính nó được gọi là ma trận đối xứng; nghĩa là,  đối xứng nếu

Ma trận vuông có chuyển vị bằng phần trừ của nó được gọi là ma trận phản đối xứng; nghĩa là,  phản đối xứng nếu

Ma trận vuông phức có chuyển vị bằng ma trận với mỗi phần tử được thay thế bằng liên hợp phức của nó (được biểu thị ở đây bằng dấu gạch ngang) được gọi là ma trận Hermitian (tương đương với ma trận bằng chuyển vị liên hợp); nghĩa là,  là một Hermitian nếu

Ma trận vuông phức có chuyển vị bằng phủ định của liên hợp phức của nó được gọi là ma trận phản Hermitian; nghĩa là,  là phản Hermitian nếu

Ma trận vuông có chuyển vị bằng nghịch đảo của nó được gọi là ma trận trực giao; nghĩa là,  trực giao nếu

Một ma trận phức vuông có chuyển vị bằng nghịch đảo liên hợp của nó được gọi là ma trận unita; nghĩa là,  đơn nhất (unita) nếu

Ví dụ

Tính chất 

Cho  và  là 2 ma trận và  là một đại lượng vô hướng.

 \mathbf{b},</math>
được viết thành  trong Quy ước tổng kết Einstein.
|7= Nếu  chỉ có các phần tử thực thì  là ma trận bán xác định dương (positive-semidefinite matrix).
|8= 
 Phép chuyển vị của một ma trận khả nghịch cũng là khả nghịch và phép nghịch đảo của nó là phép chuyển vị nghịch đảo của ma trận ban đầu. Ký hiệu  đôi khi được sử dụng để biểu diễn một trong hai biểu thức tương đương này.
|9= Nếu  là một ma trận vuông, khi đó giá trị riêng của nó bằng các giá trị riêng chuyển vị của nó, vì ma trận có cùng đa thức đặc trưng.
}}

Tích 

Nếu  là một ma trận  và  là chuyển vị của nó thì kết quả của phép nhân ma trận với hai ma trận này cho ra hai ma trận vuông:  là ma trận  và  là ma trận . Hơn nữa, các tích này đều là ma trận đối xứng. Thật vậy, tích ma trận  có phần tử là tích trong của một hàng  với một cột . Nhưng các cột của  là các hàng của , vì vậy phần tử tương ứng với tích trong của hai hàng của . Nếu  là phần tử của tích, nó được lấy từ các hàng  và  của . Phần tử  cũng được lấy từ các hàng này, do đó , và tích của ma trận () đối xứng. Tương tự, tích  là một ma trận đối xứng.

Một chứng minh nhanh về tính đối xứng của  cho kết quả từ thực tế rằng nó là chuyển vị của chính nó:

Thực hiện chuyển vị ma trận trên máy tính 

Trên máy tính, người ta thường có thể tránh chuyển vị một ma trận trong bộ nhớ bằng cách chỉ cần truy cập cùng một dữ liệu theo một thứ tự khác nhau. Ví dụ: thư viện phần mềm cho đại số tuyến tính, chẳng hạn như BLAS, thường cung cấp các tùy chọn để chỉ định rằng một số ma trận nhất định sẽ được diễn giải theo thứ tự hoán vị để tránh sự cấp thiết của việc di chuyển dữ liệu.

Tuy nhiên, vẫn có một số trường hợp cần thiết hoặc mong muốn sắp xếp lại một cách vật lý một ma trận trong bộ nhớ theo thứ tự đã hoán vị của nó. Ví dụ, với một ma trận được lưu trữ trong hàng-thứ tự chính, các hàng của ma trận liền nhau trong bộ nhớ và các cột không liền nhau. Nếu các thao tác lặp lại cần được thực hiện trên các cột, ví dụ như trong thuật toán biến đổi Fourier nhanh thì việc chuyển ma trận trong bộ nhớ (để làm cho các cột liền nhau) có thể cải thiện hiệu suất bằng cách tăng vị trí tham chiếu.

Lý tưởng nhất, ta có thể hy vọng chuyển đổi một ma trận với bộ nhớ bổ sung tối thiểu. Điều này dẫn đến vấn đề chuyển đổi một ma trận tại chỗ n × m, với bộ nhớ bổ sung O(1) hoặc tối đa bộ nhớ ít hơn nhiều mn. Cho n ≠ m, điều này liên quan đến một hoán vị phức tạp của các phần tử dữ liệu mà không phải là tầm thường để triển khai tại chỗ. Do đó, chuyển vị ma trận tại chỗ hiệu quả đã là chủ đề của nhiều ấn phẩm nghiên cứu trong khoa học máy tính, bắt đầu từ cuối những năm 1950 và một số thuật toán đã được phát triển.

Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính và dạng song tuyến tính

Nhớ lại rằng các ma trận có thể được đặt tương ứng 1-1 với toán tử tuyến tính.
Chuyển vị của một toán tử tuyến tính có thể được xác định mà không cần xem xét phải biểu diễn ma trận.
Điều này dẫn đến một định nghĩa tổng quát hơn về phép chuyển vị có thể được áp dụng cho các toán tử tuyến tính không thể được biểu diễn bằng ma trận (ví dụ liên quan đến nhiều không gian vectơ chiều vô hạn).

Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính 

Đặt  biểu thị không gian đối ngẫu đại số (algebraic dual space) của một mô-đun-- . 
Đặt  và  là các mô-đun-.
Nếu  là ánh xạ tuyến tính thì phần phụ đại số (algebraic adjoint) hoặc đối ngẫu (dual) của nó, là ánh xạ  được xác định bởi . 
Các hàm kết quả  được gọi là pullback của  qua . 
Quan hệ sau đây đặc trưng cho phần phụ đại số của  
 cho mọi  và 
trong đó  là một hệ đối ngẫu (dual system) (tức là được xác định bởi ). 
Định nghĩa này cũng áp dụng không thay đổi đối với mô-đun bên trái và không gian vectơ.

Định nghĩa của phép chuyển vị có thể được coi là độc lập với bất kỳ dạng song tuyến nào trên các mô-đun, không giống như phần phụ (bên dưới).

Không gian đối ngẫu liên tục của không gian vectơ tôpô (topological vector space) (TVS)  được ký hiệu bởi . 
Nếu  và  là các không gian vectơ tôpô thì là ánh xạ tuyến tính  là một liên tục yếu khi và chỉ khi , trong trường hợp đó ta đặt  biểu thị hạn chế của  tới . 
Ánh xạ  được gọi là chuyển vị của .

Nếu ma trận  biểu thị một ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở của  và  thì ma trận  biểu thị sự chuyển vị của ánh xạ tuyến tính đó đối với cơ sở đối ngẫu (dual base).

Chuyển vị của một dạng song tuyến tính

Mọi ánh xạ tuyến tính tới không gian đối ngẫu  định nghĩa một dạng song tuyến , với mối quan hệ . 
Bằng cách xác định sự chuyển vị của dạng song tuyến này là dạng song tuyến  được xác định bởi chuyển vị  tức là , ta thấy rằng . 
Tại đây,  là phép đồng cấu tự nhiên  vào đôi liên hiệp.

Phận phụ 

Nếu không gian vectơ  và  có lần lượt là dạng song tuyến tính không suy biến  và , một khái niệm được gọi là phần phụ, có liên quan chặt chẽ với chuyển vị, có thể được định nghĩa:

Nếu  là một ánh xạ tuyến tính giữa không gian vectơ  và , ta xác định  là một phận phụ của  nếu  thỏa mãn
 cho mọi  và .

Các dạng song tuyến này xác định đẳng cấu giữa  và , và giữa  và , dẫn đến sự đẳng cấu giữa chuyển vị và phần phụ của . 
Ma trận của phần phụ của một ánh xạ là ma trận chuyển vị chỉ khi cơ sở là trực chuẩn đối với dạng song tuyến.
Trong bối cảnh này, nhiều tác giả sử dụng thuật ngữ chuyển vị để chỉ phần phụ như được định nghĩa ở đây.

Phần phụ cho phép ta xem xét liệu  bằng . 
Đặc biệt, điều này cho phép nhóm trực chuẩn trên không gian vectơ  có dạng bậc hai được xác định mà không cần tham chiếu đến ma trận (cũng như các thành phần của nó) dưới dạng tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính  mà phần phụ bằng nghịch đảo.

Trên một không gian vectơ phức tạp, người ta thường làm việc với dạng bán song tuyến tính (tuyến tính liên hợp trong một đối số) thay vì các dạng song tuyến tính.
Phần phụ Hermitian của ánh xạ giữa các không gian như vậy được xác định tương tự và ma trận của phần phụ Hermitian được cho bởi ma trận chuyển vị liên hiệp nếu các cơ sở là trực chuẩn.

Xem thêm 

 Ma trận phụ hợp, chuyển vị của định thức con
 Chuyển vị liên hiệp
 Giả nghịch đảo Moore–Penrose
 Phép chiếu (đại số tuyến tính)

Tham khảo

Đọc thêm 
 
 .

Liên kết ngoài 
 Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra from MIT Open Courseware

Ma trận
Đại số trừu tượng
Đại số tuyến tính