Định lý Viète

Trong toán học, định lý Viète hay hệ thức Viète (tiếng Pháp: Relations de Viète) do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó.

Phát biểu tổng quát 
Xét đa thức có bậc n bất kì
 
(với các hệ số có thể thực hoặc phức, ). Bằng định lý cơ bản của đại số, ta luôn biết rằng phương trình này có đủ n nghiệm (không nhất thiết phân biệt) . Định lý Vìete cho ta mối liên hệ giữa các nghiệm đó như sau: 
{a_n} \\[1ex]
(r_1 r_2 + r_1 r_3 + \cdots + r_1 r_n) + (r_2r_3 + r_2r_4+\cdots + r_2r_n)+\cdots + r_{n-1}r_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \\[1ex]
{} \quad \vdots \\[1ex]
r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}.
\end{cases}</math>|}}
Một cách tổng quát hơn, định lý Vìete có thể được biểu diễn dưới dạng 

với .

Các số hạng ở vế phải định lý này là các đa thức đối xứng cơ bản của các nghiệm.

Hệ phương trình Vìete  có thể được giải bằng phương pháp Newton và phương pháp Durand-Kerner.

Tổng quát trên vành 
Định lý Vìete thường được áp dụng cho các đa thức có hệ số trên một miền nguyên , bởi khi đó thương  nằm trong trường các thương của chính  (thậm chí là ở trong  nếu như  khả nghịch trong ), khi này các nghiệm  nằm trong trường đóng đại số mở rộng của nó.

Đối với các đa thức trên vành giao hoán mà không phải miền nguyên, định lý Vìete chỉ đúng khi  không phải là ước của không và đa thức ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng . Một phản ví dụ cho tình huống định lý Vìete không đúng là ở vành thặng dư modulo 8, phương trình bậc hai  có tới bốn nghiệm là 1, 3, 5 và 7.

Ví dụ 
Hai ví dụ nổi tiếng nhất của định lý Vìete chính là mối quan hệ của các nghiệm phương trình bậc hai và bậc ba như sau: 

Hai nghiệm  của phương trình bậc hai  luôn thỏa mãn 

hay phương trình bậc ba  có ba nghiệm  thỏa mãn

Chứng minh

Chứng minh trực tiếp 
Nhờ định lý Bézout, khi phương trình đa thức bậc n có đủ n nghiệm  trên một miền nguyên, khi này đa thức đó có thể được biểu diễn dưới dạng 

Từ đây, một cách chứng minh rất trực tiếp và tự nhiên của định lý Vìete là nhân khai triển toàn bộ vế phải, sau đó đồng nhất thức để có được điều cần chứng minh.

Chứng minh bằng quy nạp 
Một cách chứng minh khác của định lý Vìete là sử dụng quy nạp như được trình bày dưới đây.

Giả thuyết quy nạp 
Cách chứng minh trực tiếp cho ta giả thuyết quy nạp như sau: Cho  là đa thức bậc n với n nghiệm phức  và các hệ số phức  với . Giả thuyết quy nạp là

Bước cơ sở  
Giả sử phương trình bậc hai có các hệ số bậc thấp dần lần lượt là  và hai nghiệm . Bằng định lý Bézout ta có ngay 

Tiến hành nhân biểu thức ở vế phải cho ta ngay điều cần chứng minh:

Bước quy nạp 
Khi này, giả sử giả thuyết quy nạp vẫn đúng với , ta cần chứng minh nó đúng với  , tức là đúng với đa thức 
Ta biến đổi tương đương đa thức trở thành 
, hay

Thực hiện phép chia và để đơn giản, ta sẽ viết lại đa thức dưới một bộ hệ số  là 

Sử dụng giả thuyết quy nạp, ta có ngay 

Nhân khai triển vế phải cho ta điều cần chứng minh.

Lịch sử 
Định lý này được tìm ra bởi nhà toán học người Pháp François Viète vào thế kỷ thứ 16 trong trường hợp các nghiệm đều dương. 
Theo quan điểm của nhà toán học người Anh Charles Hutton, trường hợp tổng quát như ngày nay lần đầu tiên được biết đến bởi nhà toán học người Pháp Albert Girard vào thế kỷ thứ 17: 
...(Girad là) người đầu tiên tìm được mối quan hệ tổng quát giữa các hệ số của đa thức với tổng và tích của các nghiệm. Anh ta là người đầu tiên phát hiện ra quy luật của tổng các nghiệm của một phương trình bất kì.

Xem thêm
Phương trình bậc hai và phương trình bậc ba

Tham khảo

 
 

Đại số sơ cấp
Đa thức
Toán học
Toán học sơ cấp