Không gian mêtric

Trong toán học, không gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa.

Không gian mêtric gần gũi nhất với cách hiểu trực quan của con người là không gian Không gian Euclide 3 chiều. Khái niệm "mêtric" trong thực tế là sự tổng quát hóa của mêtric Euclide phát sinh từ 4 thuộc tính được biết đến lâu đời của khoảng cách Euclide. Không gian metric Euclide định nghĩa khoảng cách giữa 2 điểm bằng chiều dài theo đoạn thẳng nối chúng với nhau. Một không gian mêtric khác trong hình học Elíp và hình học hyperbolic, có khoảng cách trên quả cầu được đo bằng góc của một mêtric, và mô hình hyperboloid của hình học hyperbolic được dùng bởi thuyết tương đối hẹp với một không gian mêtric vận tốc.

Sơ lược về không gian metric

Định nghĩa không gian metric
Cho E là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ  thỏa mãn:
d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y  E (tính phân biệt dương)
d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y
d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y  E (tính đối xứng)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z  E (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó d được gọi là khoảng cách hay một metric trên E và cặp (E,d) được gọi là một không gian mêtric. Không gian metric (E,d) thường được viết là E với d được hiểu ngầm khi không bị nhầm lẫn.

Một số metric thông dụng trong không gian Rn
Cho ,  

  p   1/p , khi p=2, metric này gọi là metric Euclide.  

  gọi là metric rời rạc.
 Với mọi .

Metric trên không gian hàm từ tập A bất kỳ vào không gian metric (X,d)
Xác định bởi .

Trong đó .

Metric trên không gian các hàm liên tục từ [a,b] vào R
Xác định bởi .

Trong đó  liên tục.

Quả cầu mở, quả cầu đóng
Cho là không gian metric và  và r>0, theo định nghĩa:

  là quả cầu mở tâm a, bán kính r trong không gian metric (X,d).
  là quả cầu đóng tâm a, bán kính r trong không gian metric (X,d).

Xét các bổ đề sau:

Bổ đề
Cho (X,d) là không gian metric, nếu  thì  sẽ có tồn tại  sao cho:
.

Chứng minh:
Đặt , cần chứng minh 
Hay lấy   bất kỳ, thì 
Do đó

Ví dụ về tập mở theo các metric trong R2
Cho  và các metric sau:

221/2

Khi đó các quả cầu mở tương ứng với các metric trên trong  lần lượt là:  như hình vẽ:

Topo sinh bởi metric

Định lý 
Cho (X,d) là không gian metric, họ các quả cầu mở  là cơ sở của topo trên X.

Chứng minh:
Điều cần chứng minh  là cơ sở
Với mỗi  được chứa trong một tập của . Dễ thấy 
Xét điều kiện thứ 2 cho một cơ sở được thỏa, cần chỉ ra rằng nếu  và  thì có tồn tại  sao cho .
Lấy  là hai tập trong , và giả sử . Khi đó theo bổ đề 1.2.1, tồn tại  sao cho  và . Đặt . Khi đó  như yêu cầu.

Định nghĩa 
Lấy (X,d) là không gian metric, topo sinh bởi cơ sở các quả cầu mở  được gọi là topo sinh bởi metric (còn gọi là topo metric).

Định lý 
Cho (X,d) là không gian metric, một tập  là mở trong topo sinh bởi metric d nếu và chỉ nếu với mỗi  tồn tại  sao cho .

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 tập
Cho X,Y là hai không gian metric và , A là tập con trong X.
 được gọi là khoảng cách từ điểm x đến tập A theo đó  khi và chỉ khi  có thể kiểm chứng  là metric và nó liên tục.

Khoảng cách Hausdorff

Cho X,Y là hai không gian metric và , A và B lần lượt là các tập con trong X,Y.
 được gọi là khoảng cách từ tập A đến tập B
Hay còn có thể viết rút gọn là:

Khoảng cách này cũng là một metric và được gọi là metric Hausdorff.
 khi và chỉ khi

Không gian metric tích
Không gian metric tích là không gian tích của tất cả các không gian metric, cụ thể: 
 Cho  là các không gian metric, định nghĩa  là không gian metric tích.
Cho .
Đặt  và  thì
 
Ví dụ
Cho  là các không gian metric, định nghĩa metric tích trên  như sau:
.
Kiểm tra được  là metric trên

Dãy Cauchy - không gian metric đầy

Một số ứng dụng của metric

Trong lý thuyết thông tin: sự sai lệch các đoạn mã và ký tự

Với lượng thông tin khổng lồ được truyền qua điện thoại, Internet hay từ vệ tinh ngoài không gian đến Trái Đất,... Điều này cực kỳ quan trọng nếu đảm bảo sự nguyên vẹn của thông tin khi nhận được.

Khoảng cách Hamming
Khoảng cách Hamming là cái tên được đặt theo tên của Richard Hamming, người giới thiệu lý thuyết này trong tài liệu có tính cơ sở của ông về mã phát hiện lỗi và sửa lỗi (error-detecting and error-correcting codes). Nó được sử dụng trong kỹ thuật viễn thông để tính số lượng các bit trong một từ nhị phân (binary word) bị đổi ngược, như một hình thức để ước tính số lỗi xảy ra trong quá trình truyền thông, và vì thế, đôi khi, nó còn được gọi là khoảng cách tín hiệu (signal distance). Việc phân tích trọng lượng Hamming của các bit còn được sử dụng trong một số ngành, bao gồm lý thuyết tin học, lý thuyết mã hóa, và mật mã học. Tuy vậy, khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng không chỉ bị thay thế đi, mà còn bị ảnh hưởng bởi dữ liệu bị chèn thêm vào, hoặc bị xóa đi, phương pháp đo đạc phức tạp hơn.

Trong lý thuyết thông tin, khi một thông tin được chuyển đi, ví dụ như khi gửi 1 tin nhắn, giả sử nó được mã hóa dưới dạng nhị phân gồm hữu hạn các dãy ký tự 0,1. n phần tử như vậy được gọi là 1 từ có chiều dài n.  
Mỗi từ có chiều dài n như vậy có thể xem như một vector có chiều dài n gồm toàn bộ các ký tự chỉ chứa những số  0 và 1. Tập tất cả các ký tự như vậy được viết là . Do đó   là tích của n cặp .

Định nghĩa một metric giữa 2 từ trên tập này là số các vị trí mà tại đó chúng khác nhau.

Metric này được gọi là khoảng cách Hamming.

Ký hiệu là 

Ví dụ: Cho 2 đoạn mã nhị phân

 và

.

Theo trên   khác nhau ở các vị trí thứ 2,4 và 9 nên

Đối với trình tự DNA (DNA Sequence) và trong khoa học máy tính 
Như đã trình bày ở mục trên: "khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng thay thế, mất, chèn,... phức tạp hơn, như khoảng cách Levenshtein (Levenshtein distance) là một phương pháp có tác dụng và thích hợp hơn."

Ngoài ra, trong các thuật toán của bộ môn khoa học máy tính, khái niệm khoảng cách Levenshtein thể hiện khoảng cách khác biệt giữa 2 chuỗi ký tự. Khoảng cách này được đặt theo tên Vladimir Levenshtein, người đã đề ra khái niệm này vào năm 1965. Nó được sử dụng trong việc tính toán sự giống và khác nhau giữa 2 chuỗi, như chương trình kiểm tra lỗi chính tả của winword spellchecker.

Khoảng cách Levenshtein 
Khoảng cách Levenshtein giữa dãy x và y xác định bởi:

Trong đó:
 (insertions in sequence) đại diện cho số các phần tử chèn vào trong dãy.
 (deletions in sequence) đại diện cho số phần tử bị xóa đi.
 (replacements in sequence) chỉ số những vị trí bị thay thế.

Ví dụ

Tính khoảng cách Levenshtein giữa 2 dãy DNA sau:

X= AGTTCGAATCC, Y=AGCTCAGGAATC 

Với X= AGTTCGAATCC
 Thay thế T:  AGCTCGAATCC
 Thêm vào A: AGCTCAGAATCC
 Thêm vào G: AGCTCAGGAATCC
 Xóa đi C:  AGCTCAGGAATC

Do đó, số tối thiểu các phép chèn, xoá đi và thay thế để biến đổi X thành Y hay khoảng cách Levenshtein giữa X và Y là:

Một số tính chất, định nghĩa khác của không gian metric

Một số định nghĩa liên quan

Định nghĩa 
Cho  là 2 metric trên X. 2 metric này gọi là tương đương nếu tồn tại  sao cho 
.
Ví dụ
3 metric  và  là tương đương với nhau trên :
2 metric  và  không tương đương với nhau trên X nhưng sinh ra cùng topo trên X

Định nghĩa 
Cho  là không gian metric, một tập con  gọi là chặn theo d nếu tồn tại  sao cho ; .

Nếu bản thân X bị chặn theo d thì nói d là metric bị chặn.

Định nghĩa 
Cho  là không gian metric, một song ánh  được gọi là đẳng cấu đẳng cự (isometry) nếu ,  

Nếu  là một isometry thì có thể nói các không gian metric X,Y là đẳng cự (isometric).

Định nghĩa 
Cho  là không gian topo, X là không gian mêtric hóa được (metrizable) nếu tồn tại một metric d trên X mà nó sinh ra topo trên X.

Ví dụ: 
Xét topo Euclid trên đường tròn  như một không gian con thừa hưởng topo Euclid trên mặt phẳng .

Topo này metric hóa được do:

Một cơ sở trên  có được bằng cách giao các quả cầu mở trong  với .

Xét metric trên  được xác định bằng cách đặt  (tính theo radian) là góc không âm nhỏ nhất sao cho đường tròn điểm p và q trùng nhau.

Với metric này, các quả cầu mở sẽ là những khoảng mở trên đường tròn nên cơ sở của các quả cầu mở cho topo trên  sinh ra bởi  có cùng cơ sở như topo Euclid trên .

Các định lý

Định lý 
Mọi không gian metric đều tách được theo (T.4).

Định lý 
Cho  và  là các không gian metric. 
 là liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi  có  sao cho
nếu  và  thì .

Ngoài ra, định nghĩa sự liên tục của hàm  theo định nghĩa tập mở:
Nếu  liên tục thì với mọi  mở trong  thì  mở trong .

Định lý

Cho d,d'  là metric trên không gian X, với  lần lượt là các topo sinh bởi 2 metric trên. Khi đó,  mịn hơn  nếu và chỉ nếu với mỗi  và , thì có  sao cho 
Chứng minh:
Xét chiều . Giả sử  mịn hơn .
Khi đó mỗi tập mở trong  là mở trong , hay  , , mở trong  do đó mở trong  
Do  mở trong  và chứa 'x'.
Theo Định lý 1.3.1 thì có  sao cho 
Xét chiều  với mỗi ,, tồn tại  sao cho .
Cần chứng minh  mịn hơn .  
Lấy 'U' mở trong , điều cần chứng minh nó mở trong .
Lấy  bất kỳ, do  mở trong  nên theo Định lý 1.3.1 thì có  sao cho 
Giả sử có  sao cho , hay .
Điều này dẫn đến với mỗi , có một  sao cho .
Theo Định lý 1.3.1,  mở trong  (điều phải chứng minh)

Định lý 3.2.4
Nếu  là không gian topo metric hóa và Y đồng phôi với X thì Y cũng metric hóa được.

Định lý 3.2.5

Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ. Hay:

Cho  là không gian metric, ta nói  compact nếu và chỉ nếu mọi dãy  đều có dãy con  của  hội tụ trong .

Hơn nữa, nếu  là tập con compact trong  với  là không gian metric Euclide với topo Euclide thì  đóng và bị chặn.

Chú thích

Tham khảo
 Huỳnh Quang Vũ (2012). Lecture notes on Topology. Ho Chi Minh city University of Science.
 Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied.
 Victor Bryant, Metric Spaces: Iteration and Application, Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31897-1.
 Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2129-6.
 Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, ISBN 978-3-03719-010-4.
 Mícheál Ó Searcóid, Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2006, ISBN 1-84628-369-8.
 Lawvere, F. William, "Metric spaces, generalized logic, and closed categories", Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135—166 (1974); (Italian summary)

Liên kết ngoài

 
 
 Far and near — several examples of distance functions tại cut-the-knot

Hình học vi phân
Toán học tô pô
Giải tích toán học
Hình học mêtric
Không gian tô pô