Tập hợp liên thông

Tập hợp liên thông là tập hợp không thể biểu diễn dưới dạng hợp của hai tập hợp mở không rỗng rời nhau.

Một không gian tôpô gọi là liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở không rỗng rời nhau, nói cách khác nó  không chứa một tập con thực sự vừa đóng vừa mở.

Một không gian tôpô E gọi là liên thông đường (hay liên thông cung) nếu với mọi cặp hai điểm x, y trên E đều có thể xác lập một ánh xạ liên tục f từ đoạn thẳng đơn vị [0, 1] vào E sao cho f(0)=x, f(1)=y

Liên thông

Định nghĩa không gian tô pô liên thông
Không gian tôpô X được gọi là không liên thông nếu nó là hội của hai Tập mở rời nhau khác rỗng. Ngược lại là liên thông.

Nói cách khác một không gian tôpô gọi là không gian tô pô liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở khác rỗng rời nhau, hoặc không chứa một tập con thực sự vừa là Tập đóng vừa là Tập mở.

 Định lý: không gian X là liên thông nếu và chỉ nếu nó không có tập con nào vừa đóng vừa mở trong X ngoại trừ tập rỗng và chính nó.
 Hệ quả: Trong mọi không gian topo X, tập X và tập rỗng là 2 tập duy nhất vừa đóng vừa mở trong X.

Ví dụ: 
 Trong  với topo giới hạn dưới, khoảng  là vừa đóng vừa mở. Do đó  không liên thông trong topo này.
 Hội của [0, 1) và (1, 2] là không liên thông vì 1 không thuộc hội của hai tập này; cả hai khoảng đó là mở trong không gian topo chuẩn [0, 1) ∪ (1, 2].
 (0, 1) ∪ {x} là không liên thông nếu x không thuộc (0, 1).
 Tập lồi là liên thông.
  là tập liên thông.

 Định lý:  là hai không gian topo,  là Ánh xạ liên tục, thì  là liên thông trong .
 Bổ đề:  là hai tập con của không gian topo . Giả sử  là liên thông và . Hơn nữa giả sử rằng  là tách của  trong . Thì có  hoặc 
 Định lý: Nếu  là họ tập con khác rỗng liên thông của không gian topo  sao cho  là khác rỗng, thì  cũng liên thông.
 Định lý: Bao đóng của tập con liên thông là liên thông:
 Định lý: Cho  là họ các không gian liên thông. Thì không gian tích  là liên thông.
Mệnh đề: Một tập con của không gian topo được gọi là liên thông nếu nó liên thông dưới một không gian topo con của nó.

Thành phần liên thông
Những tập con liên thông lớn nhất của không gian topo khác rỗng được gọi là thành phần liên thông của không gian đó.

Hai điểm x, y trong không gian topo X gọi là thông nhau nếu nó cùng nằm trong 1 tập liên thông. Khi đó quan hệ "thông nhau" là 1 quan hệ tương đương trên X. Quan hệ này chia X thành các lớp rời nhau, mỗi lớp đó gọi là một thành phần liên thông trong X. Ký hiệu một thành phần liên thông chứa x là C(x).

Định lý: Thành phần liên thông thì liên thông.
Định lý: Mỗi thành phần liên thông của X là tập con đóng của X.
Định lý: Nếu hai không gian là đồng phôi thì có một song ánh giữa các tập hợp các thành phần liên thông của hai không gian đó.
Định lý: Cho  là Phép đồng phôi. Nếu C là thành phần liên thông của X thì f(C) là thành phần liên thông của Y.

Ví dụ: 
R^k chỉ có 1 thành phần liên thông là chính nó. Tập Q có vô hạn các thành phần liên thông.
 có hai thành phần liên thông. 
Đường thẳng thực bỏ đi một điểm có hai thành phần liên thông.

Liên thông đường

Khái quát 
Không gian topo X được gọi là liên thông đường nếu với mọi điểm x, y trong X có đường đi trong X từ x tới y. Tập con A của không gian topo X là liên thông đường trong X nếu A là liên thông đường trong không gian topo con, hay còn nói rằng A thừa kế từ X.
Không gian X gọi là liên thông đường nếu với 2 điểm x, y bất kì nếu tồn tại một ánh xạ liên tục f: [0,1]->X sao cho f(0)=x và f(1)=y. (Nói nôm na là giữa 2 điểm bất kì đều có 1 đường đi nối chúng)

 Ví dụ: 
 Các tập lồi là các không gian liên thông đường. 
  liên thông đường.

 Định lý: Tích của các không gian liên thông đường là liên thông đường. Định lý: Nếu X là không gian liên thông đường, thì nó là liên thông. Định lý: Giả sử  là ánh xạ liên tục và X là liên thông đường. Thì  là không gian con liên thông đường của Y.Thành phần liên thông đường 
 Lớp tương đương dưới quan hệ tương đương  được gọi là thành phần liên thông đương của X. Trong đó quan hệ tương đương  trên không gian topo X được định nghĩa bởi  nếu tồn tại một đường đi trong X từ x đến y.

 Định lý: X là không gian topo, mỗi thành phần liên thông đường của X là liên thông đường. Định lý:  X là không gian topo, mỗi tập con liên thông đường của X là tập con của những thành phần liên thông đường của X. Định lý: Nếu  là họ tập con khác rỗng liên thông đường của không gian topo  sao cho  là khác rỗng, thì  cũng liên thông đường. Định lý:  là đồng phôi và C là thành phần liên thông đường của X, thì  là thành phần liên thông đường của Y.Quan hệ giữa liên thông và liên thông đường 

 Một tập liên thông đường thì liên thông, ngược lại không đúng.

Ví Dụ:

 Xét S không gian con của  (hay còn gọi là Topologist's sine curve): .

 S liên thông nhưng S không liên thông đường.

Liên thông địa phương 

Định nghĩa:  là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu với mọi  trong  và mọi Lân cận   của  thì có một lân cận liên thông  của  sao .

Ví dụ

Mỗi khoảng và tia trong đường thẳng thực thì liên thông địa phương. 
Không gian con  của  thì không liên thông nhưng nó liên thông địa phương.
 Với  là số nguyên dương,Không gian Euclide  là liên thông và liên thông địa phương.
 Topologist's sine curve là không gian con của mặt phẳng Eclide thì liên thông nhưng không liên thông địa phương.
 Tập hợp các Số hữu tỉ  với topo Eclide thì không liên thông địa phương.
Định lý:    là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu với mọi tập  mở trong ,mà mỗi thành phần liên thông của  là mở trong .

Hệ quả: Nếu  là liên thông địa phương thì mỗi thành phần liên thông của  là mở.

Định lý: Mọi tập con mở của không gian liên thông địa phương thì liên thông địa phương.

Định nghĩa: (Liên thông địa phương yếu) Không gian  là liên thông địa phương yếu nếu mọi lân cận  của  có một không gian con liên thông của  chứa trong   và chứa .

Liên thông đường địa phương
Định nghĩa Tập X là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu với mọi  trong  và mọi lân cận  của  thì có một lân cận liên thông đường  của  sao cho .
Ví dụ
 là liên thông đường địa phương.
 Tất cả các Tập mở trong Không gian định chuẩn là liên thông đường địa phương.
Định lý: Không gian topo  là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu với mọi tập mở  trong , mà mỗi thành phần liên thông đường trong  là mở trong .
Hệ quả Nếu  là liên thông đường địa phương thì mỗi thành phân liên thông của  là mở.
Định lý:  Mọi tập con mở của không gian liên thông đường địa phương thì liên thông đường địa phương.
Định nghĩa(Liên thông địa phương yếu) Không gian  là liên thông đường địa phương yếu tại  nếu với mọi lân cận  của  có một không gian con liên thông đường của  chứa trong  và chứa .
Quan hệ giữa liên thông địa phương và liên thông đường địa phương
Mệnh đề: Liên thông đường địa phương thì liên thông địa phương, ngược lại không đúng.
Mệnh đề: Liên thông và liên thông đường địa phương thì liên thông đường.

 Chú thích 

 Tham khảo 
 Đoàn Quỳnh, 2000, Hình học vi phân Colin Adams, Robert Franzosa, Introduction to toplogy Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology''

Liên kết ngoài 

Thuộc tính của không gian tô pô
Tô pô chung