Elip

Trong toán học, một hình elip là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Hình tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau. Độ dẹt của hình elip được biểu diễn bằng tâm sai  của nó, chạy từ  (trường hợp của đường tròn) đến  (độ dẹt vô hạn, không còn là elip mà là một parabol).

Phương trình chính tắc của một elip với tâm là gốc tọa độ và chiều dài  và chiều rộng  là:
 

Giả sử , các tiêu điểm có tọa độ  với . Phương trình tham số của elip là:
 

Elip là một loại đường conic đóng: một đường cong phẳng bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng (xem hình bên). Elip có nhiều điểm tương đồng với hai đường conic khác là parabol và hyperbol, cả hai đều hở và không có giới hạn. Một mặt cắt nghiêng của một hình trụ tròn cũng có hình elip.

Một hình elip cũng có thể được định nghĩa chỉ với một tiêu điểm và một đường thẳng nằm ngoại elip gọi là đường chuẩn: elip là quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm và đường chuẩn là hằng số. Hằng số tỉ lệ này chính là tâm sai của elip được tạo thành:
 .

Hình elip rất thông dụng trong vật lý, thiên văn và kỹ thuật. Ví dụ, quỹ đạo của mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời gần giống một hình elip với Mặt Trời là một tiêu điểm (chính xác, tiêu điểm là tâm tỉ cự của cặp Mặt Trờihành tinh). Quỹ đạo của mặt trăng xoay quanh hành tinh và tất cả cả hệ hai thiên thể khác đều như thế. Hình dạng của các hành tinh và sao thường được mô tả bằng hình ellipsoid. Một hình tròn nhìn từ một góc nghiêng trông giống một hình elíp, tức hình elip là ảnh của hình tròn qua một phép chiếu song song hay vuông góc. Hình elip cũng là dạng đường cong Lissajous đơn giản nhất, với chuyển động theo chiều ngang và dọc là các đường hình sin với cùng tần số. Hiện tượng tương tự dẫn đến phân cực elip của ánh sáng trong quang học.

Từ nguyên 
Tên gọi "elíp" (tiếng Anh: ellipse), xuất phát từ tiếng Hy Lạp cổ đại:  (, "thiếu"), được đưa ra bởi Apollonius xứ Perga trong quyển Conics của ông.

Định nghĩa quỹ tích 

Một đường elíp có thể được xác định là tập hợp hay quỹ tích các điểm trên mặt phẳng Euclid:
 Với hai điểm cố định  gọi là tiêu điểm và một khoảng cách  lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm, đường elíp là quỹ tích các điểm  sao cho tổng các khoảng cách  bằng . Tức là

Trung điểm  của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm gọi là tâm của elíp. Đường thẳng nối hai tiêu điểm là trục lớn, và đường vuông góc với nó đi qua tâm là trục bé. Các trục của hình elíp cắt elíp tại bốn điểm, gọi là các đỉnh của elíp. Độ dài đoạn thẳng  được gọi là tiêu cự, và  là bán tiêu cự. Tỉ số  được gọi là độ lệch tâm hay tâm sai.

Trường hợp  cho ta một đường tròn, trường hợp đặc biệt của elíp.

Phương trình  có thể được xem theo cách khác:
 Nếu  là đường tròn với tâm là  và bán kính  thì quỹ tích các điểm  có khoảng cách đến đường tròn  bằng khoảng cách đến tiêu điểm  tạo thành một đường elíp:

Đường tròn  gọi là đường tròn chuẩn (với tâm là tiêu điểm ) của elíp. Ngoài ra, còn một định nghĩa thường dùng của elíp sử dụng đường chuẩn được nêu ở dưới.

Sử dụng mặt cầu Dandelin, ta có thể chứng minh bất kì mặt cắt nghiêng của một hình nón là một hình elíp, với điều kiện mặt phẳng cắt không đi qua đỉnh và có độ dốc bé hơn độ dốc đường sinh của mặt nón.

Hệ tọa độ Descartes

Phương trình chính tắc 
Trong suốt phần còn lại của bài,  là elip trong hệ tọa độ Descartes với tâm tại gốc tọa độ, trục lớn là trục  và
 tiêu điểm là ,
 các đỉnh là ,
trong đó .

Với một điểm có tọa độ  nằm trên elíp , bán kính qua tiêu điểm  là  và bán kính qua tiêu điểm còn lại là . Do điểm  nằm trên elip nên

Biến đổi thích hợp và đặt ẩn phụ  cho ta phương trình chính tắc của elip :

Giải tìm , ta được

Chiều rộng và chiều cao  được gọi là bán trục lớn và bán trục bé của elip. Bán kính qua tiêu điểm trái và phải của  lần lượt là  và .

Từ phương trình này dễ thấy hình elip đối xứng qua các trục tọa độ và qua gốc tọa độ.

Chứng minh phương trình chính tắc
Từ phương trình tổng khoảng cách

Chuyển vế một dấu căn rồi bình phương hai vế, ta được

Rút gọn phương trình trên cho ta

Rút gọn phương trình trên và sắp xếp lại các hạng tử, ta được:

Đặt  rồi chia cả hai vế của phương trình trên cho ta , ta được phương trình chính tắc của elip.

Bán trục lớn và bé 
Trong suốt bài viết này,  sẽ là bán trục lớn còn  là bán trục bé, tức . Trong dạng chính tắc của elip , nếu  thì elip sẽ dài chứ không dẹt.

Bán tiêu cự 
Bán tiêu cự  là khoảng cách từ một tiêu điểm đến tâm elíp: .

Độ lệch tâm 
Độ lệch tâm hay tâm sai  là
 ,

với điều kiện . Một elip với hai trục bằng nhau () có tâm sai bằng 0, và là một đường tròn. Một elíp với trục bé bằng 0 có tâm sai bằng 1, và là một parabol.

Bán trục bên 
Độ dài của dây cung qua một tiêu điểm và vuông góc với trục lớn được gọi là trục bên (tiếng Anh: latus rectum). Một nửa độ dài đó là bán trục bên, thường được ký hiệu là  và bằng
 

Bán trục bên  bằng bán kính cong của đường tròn mật tiếp elíp tại các đỉnh trên trục lớn.

Tiếp tuyến 
Một đường thẳng  tùy ý cắt elíp tại 2 điểm gọi là cát tuyến, tại 1 điểm là tiếp tuyến. Tiếp tuyến của elíp  tại điểm  có phương trình tọa độ là:

Phương trình tham số của tiếp tuyến này là:
 

Hoặc viết theo dạng vectơ thì:

Nếu hai điểm trên elíp  và  thỏa , thì chúng nằm trên hai đường kính liên hợp (xem ở dưới). Nếu , elip là hình tròn và "liên hợp" ở đây là "vuông góc".

Chứng minh
Xét điểm  nằm trên elíp  và  là phương trình đường thẳng  bất kỳ đi qua . Như vậy một điểm  nằm trên đường thẳng  có tọa độ .
Giả sử điểm  cũng nằm trên elíp . Thay tọa độ của  vào phương trình chính tắc của elíp , ta được
 
Đến đây ta có hai trường hợp:
  Tức , hay  chính là . Nói cách khác, đường thẳng  chỉ cắt elíp tại một điểm duy nhất là , tức  là tiếp tuyến tại đó. Vectơ pháp tuyến của  là , do đó phương trình tiếp tuyến là  với một số  nào đó. Vì  nằm trên tiếp tuyến đó, thế vào ta được .
  Khi ấy đường thẳng  cắt elíp tại hai điểm, tương ứng với  và  Tức  là cát tuyến qua elíp .

Tâm khác gốc tọa độ 
Nếu elíp chuẩn trên có tâm tại  thì phương trình chính tắc của nó là:
 

Các trục của elíp vẫn song song với trục  và .

Elíp tổng quát 

Trong hình học giải tích, hình elíp là một mặt bậc hai: tập hợp các điểm  trên mặt phẳng Descartes thỏa mãn phương trình ẩn

với điều kiện 

Để phân biệt với trường hợp suy biến, đặt  là định thức

Khi ấy hình elíp là một elíp thực (tức  có nghiệm thực) không suy biến khi và chỉ khi . Nếu , phương trình không có nghiệm thực, và nếu , elíp suy biến thành một điểm.

Nếu một elíp có bán trục lớn , bán trục bé , tọa độ của tâm là , và góc quay  (góc giữa trục  dương đến bán trục lớn của elíp) thì hệ số của phương trình  là:

Những biểu thức này có thể suy ra từ phương trình chính tắc  bằng phép biến đổi afin của tọa độ:

Ngược lại, từ phương trình tổng quát  ta có thể suy ra phương trình chính tắc như sau:

Biểu diễn tham số

Biểu diễn tham số chính tắc 
Sử dụng các hàm lượng giác, biểu diễn tham số của elíp chuẩn  là:
 

Tham số  (gọi là dị thường lệch tâm trong thiên văn học) không phải là góc giữa điểm  với trục hoành, mà có ý nghĩa hình do Philippe de La Hire đưa ra (xem Vẽ elíp ở dưới).

Biểu diễn hữu tỉ
Bằng phép đổi biến , ta được các biểu thức hữu tỉ cho các hàm lượng giác:

và phương trình tham số hữu tỉ của hình elíp
 

Phương trình trên cho ta tất cả các điểm trên elíp chính tắc  ngoại trừ đỉnh trái 

Với , công thức này biểu diễn góc phần tư thứ nhất (phần trên bên phải) của hình elíp, đi ngược chiều kim đồng hồ khi  tăng dần. Đỉnh bên trái  là giới hạn 

Dạng hữu tỉ của các đường conic thường được dùng trong các phần mềm CAD (xem đường cong Bézier).

Độ dốc tiếp tuyến làm tham số
Một biểu diễn tham số khác sử dụng độ dốc  của tiếp tuyến tại điểm . Độ dốc này có thể được tính từ đạo hàm của phương trình tham số ở trên. Cụ thể là:

Sử dụng các đẳng thức lượng giác ta tính được:

Thay các biểu thức trên cho  và  trong dạng tham số chuẩn ở trên, ta được:
 

Ở đây  là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên elíp. Khi dấu trước căn thức ở dưới mẫu là dương, điểm  thuộc nửa trên của elíp, ngược lại nếu dấu âm thì điểm đó thuộc nửa dưới của elíp. Hai đỉnh trái phải  không được biểu diễn do có tiếp tuyến thẳng đứng (độ dốc là vô cùng).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm  có dạng . Hệ số tự do  có thể được xác định bằng cách thay tọa độ của điểm trên elíp tương ứng, cho ta:
 

Phương trình tiếp tuyến này có thể được dùng để xác định phương khuy của hình elíp.

Elíp tổng quát

Một định nghĩa khác cho elíp sử dụng biến đổi afin là:
 Một elíp bất kỳ là ảnh của một phép biến đổi afin của đường tròn đơn vị với phương trình .

Biểu diễn tham số
Một phép biến đổi afin của mặt phẳng Euclid có dạng , trong đó  là một ma trận (với định thức khác không) và  là một vectơ bất kỳ. Nếu  là các vectơ cột của ma trận , đường tròn đơn vị , trong đó , biến thành hình elíp:

Ở đây  là tâm và  là hướng của của hai đường kính liên hợp, không nhất thiết phải vuông góc.

Đỉnh 
Bốn đỉnh của elíp là , trong đó tham số  là nghiệm của:
 

(Nếu , thì .) Phương trình trên được suy ra như sau. Vectơ tiếp tuyến tại điểm  is:
 

Tại đỉnh của với tham số , tiếp tuyến với elíp vuông góc với bán trục lớn/bé, do đó:
 

Khai triển và sử dụng các đẳng thức lượng giác   cho ta phương trình trên.

Phương trình ẩn
Giải phương trình tham số cho  sử dụng quy tắc Cramer và để ý rằng , ta được phương trình ẩn
.

Elíp trong không gian
Định nghĩa của elíp tổng quát trong phần này cho ta biểu diễn tham số của một elíp bất kỳ, thậm chí trong không gian ba chiều, nếu ta cho  là các vectơ trong không gian.

Dạng cực

Dạng cực đối với tâm 

Trong hệ tọa độ cực, với gốc tọa độ là tâm của elíp và với tọa độ góc  tính từ bán trục lớn, phương trình elíp là

Dạng cực đối với tiêu điểm 

Nếu ta dùng tọa độ cực với gốc đặt tại một trong hai tiêu điểm, và tọa độ góc  tính từ bán trục lớn, phương trình của elíp khi ấy là
 

trong đó dấu ở mẫu là âm nếu chiều của  chỉ về tâm elíp, và dương nếu chiều đó chỉ ra xa tâm elíp.

Trong trường hợp tổng quát hơn, với elíp có một tiêu điểm ở gốc tọa độ và tiêu điểm còn lại ở tọa độ góc là , phương trình dạng cực là:

Góc  trong những công thức này được gọi là dị thường thực của điểm đang xét. Tử số  là bán trục bên.

Tâm sai và đường chuẩn 

Hai đường thẳng song song và cách bán trục bé một đoạn bằng , được gọi là đường chuẩn của elíp.
 Với điểm  bất kỳ trên elíp, tỉ số khoảng cách đến một tiêu điểm và khoảng cách đến đường chuẩn tương ứng bằng tâm sai của elíp:
 

Ta có thể chứng minh cho trường hợp cặp . Để ý rằng  và  thỏa mãn phương trình

Điều ngược lại cũng đúng và thường được dùng để định nghĩa elíp sử dụng đường chuẩn (giống với định nghĩa của một parabol:
 Với tiêu điểm  và đường chuẩn  không đi qua  bất kỳ, và số thực  sao cho  một elíp là quỹ tích các điểm sao cho tỉ số khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm và đến đường chuẩn là  Tức là 

Trong trường hợp , là tâm sai của đường tròn, ta có thể coi đường chuẩn của đường tròn nằm ở vô hạn. Nếu , quỹ tích tạo thành một hình parabol, và nếu , một hình hyperbol.)

Chứng minh

Giả sử  và đường chuẩn  có phương trình . Khi ấy gốc tọa độ  nằm trên đường cong tạo thành. Giả sử điểm  thỏa mãn . Biến đổi, ta được phương trình:

Đây là phương trình của một elíp nếu , một parabol nếu , hoặc một hyperbol nếu . Cả ba conic không suy biến này đều có một đỉnh là gốc tọa độ.

Trong trường hợp , lấy hai số  sao cho  và  Phương trình ở trên trở thành

Đây chính là phương trình của elíp với tâm , trục chính là trục hoành và bán trục lớn và bé lần lượt là

Elíp tổng quát 

Nếu tiêu điểm  và đường chuẩn có phương trình , ta có phương trình của elíp là:

Tính chất phản chiếu 

Một elíp có tính chất sau:
 Với điểm  thuộc elíp, pháp tuyến với elíp tại điểm  chia đôi góc  (Pháp tuyến trong trường hợp này là đường vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó)

Chứng minh
Ta sẽ chứng minh điều tương đương là tiếp tuyến là đường phân giác ngoài của tam giác 

Lấy điểm  trên tia  sao cho  với  là bán trục lớn của elíp. Gọi đường thẳng  là phân giác ngoài đỉnh  của tam giác  Để chứng minh  là tiếp tuyến tại điểm , lấy điểm  khác  nằm trên , ta sẽ chứng minh  không thuộc elíp. Khi ấy đường thẳng  chỉ cắt elíp tại một điểm là , nên nó là tiếp tuyến với elíp tại 

Từ hình vẽ bên, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta thấy , do đó:  Nhưng nếu  nằm trên elíp thì tổng đó phải bằng  Như vậy  không thuộc elíp, ta có điều phải chứng minh.

 Ứng dụng
Các tia từ một tiêu điểm bị phản chiếu bởi elíp đến tiêu điểm thứ hai, dẫn đến ứng dụng quang và âm thanh tương tự với tính chất phản chiếu của một parabol (xem phòng thì thầm).

Đường kính liên hợp 

Một đường tròn có tính chất sau:
 Trung điểm của các dây cung song song thì nằm trên một đường kính.

Đường kính đó vuông góc với các dây cung song song. Qua một phép biến đổi afin, tính song song và trung điểm của các đoạn thẳng được giữ nguyên, nên tính chất này vẫn đúng với hình elíp. Tuy nhiên khi ấy đường kính và các dây cung song song không vuông góc với nhau. Đường kính liên hợp của elíp tổng quát hóa đường kính vuông góc trong đường tròn.

 Định nghĩa
Hai đường kính  của một elíp gọi là liên hợp nếu trung điểm các dây cung song song với  nằm trên 

Từ hình vẽ ta thấy:
 Hai đường kính  của một elíp là liên hợp với nhau khi và chỉ khi tiếp tuyến tại  (hoặc  song song với 

Trong phương trình tham số cho elíp tổng quát  ở trên:
 

bất kỳ hai điểm  tạo thành một đường kính, và cặp  tạo thành đường kính liên hợp với nó.

Định lý Apollonius về đường kính liên hợp 

Cho elíp với hai bán trục . Giả sử  là hai bán kính liên hợp của elíp, tức một nửa của dường kính liên hợp. Khi ấy ta có:

 ,
 hình bình hành tạo bởi các tiếp tuyến với các đường kính liên hợp đã cho có diện tích 

Đẳng thức đầu tiên được gọi là định lý thứ nhất của Apollonius về đường kính liên hợp, còn công thức diện tích là định lý Apollonius thứ hai.

 Chứng minh
Giả sử elíp ở dạng chuẩn (tâm ở gốc tọa độ, hai bán trục là hai trục hoành và tung), với phương trình tham số:
 .

Hai điểm  là hai đường kính liên hợp (xem phần trên). Từ công thức lượng giác ta có . Biến đổi đại số ta dễ chứng minh:
 

Diện tích của tam giác tạo bởi  và dây cung nối hai điểm là:
 

Từ hình vẽ ta thấy diện tích hình bình hành ngoại tiếp elíp bằng 8 lần diện tích tam giác đó, suy ra diện tích hình bình hành là

Tính chất đo lường 
Tất cả tính chất sau áp dụng cho elíp với phương trình

Diện tích 
Diện tích  của elíp là:
 

Trong đó  và  là độ dài các bán trục lớn và bé của elíp. Công thức này khá tự nhiên: bắt đầu từ đường tròn có bán kính  và diện tích  và kéo dài nó với tỉ số  để tạo thành elíp. Việc kéo dài này làm tăng diện tích lên tỉ số bằng nhau:  Ta cũng có thể chứng minh chặt chẽ tính chất này bằng tích phân như sau.

Phương trình  có thể được viết lại thành  với  đường cong này lànửa trên của elíp. Vậy diện tích elíp bằng hai lần tích phân của  trên đoạn :
 

Tích phân thứ hai là diện tích của đường tròn với bán kính  bằng  Do đó
 

Một elíp với phương trình  có diện tích

Chu vi 

Chu vi  của một elíp là:
 

trong đó  là độ dài của bán trục lớn,  là tâm sai của elíp, và hàm số  là tích phân elliptic đầy đủ loại II,
 

Chuỗi vô hạn của công thức này là:
 

trong đó  là giai thừa đôi. Chuỗi này hội tụ, nhưng bằng cách đặt  James Ivory và Bessel cho một công thức khác hội tụ nhanh hơn nhiều:

Srinivasa Ramanujan đưa ra hai xấp xỉ cho chu vi trong phần §16 của "Modular Equations and Approximations to ":
 

và
 

Sai số của những xấp xỉ này lần lượt cỡ bậc của  và 

Một số bất đẳng thức về chu vi của elíp chuẩn  với  là
 

Ở đây chặn trên  là chu vi của đường tròn ngoại tiếp đi qua hai đỉnh của trục lớn elíp, và chặn dưới  là chu vi của một hình thoi nối bốn đỉnh của elíp.

Độ cong 
Độ cong của elíp là

Bán kính cong tại điểm :
 

Bán kính cong tại hai đỉnh  và tâm cong là:
 

Bán kính cong tại hai đỉnh  và tâm cong là:

Xem thêm 

 Hình bầu dục
 Hình bầu dục Descartes, một dạng tổng quát elíp
 Các định luật Kepler về chuyển động thiên thể
 Conic ngoại tiếp và nội tiếp
 Hệ tọa độ elíp, một hệ tọa độ vuông góc dựa trên hình elíp và hyperbol
 Phương trình vi phân riêng phần elíp
 Phỏng cầu, hình ellipsoid nhận được bằng cách xoay một elíp quanh trục lớn hoặc bé
 Siêu elíp, một dạng tổng quát khác của elíp
 Dị thường đúng, dị thường tâm sai, và dị thường trung bình

Chú thích

Tham khảo

Liên kết ngoài 
 
 

Apollonius' Derivation of the Ellipse at Convergence
The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. by Clark Kimberling
Ellipse circumference calculator
Collection of animated ellipse demonstrations

Đường conic
Hình cơ bản
Đường cong đại số