Đồ thị hai phía

Trong Lý thuyết đồ thị, đồ thị hai phía (đồ thị lưỡng phân hay đồ thị hai phần) (tiếng Anh: bipartite graph) là một đồ thị đặc biệt, trong đó tập các đỉnh có thể được chia thành hai tập không giao nhau thỏa mãn điều kiện không có cạnh nối hai đỉnh bất kỳ thuộc cùng một tập.

Những tính chất của đồ thị hai phía được đề cập đến đầu tiên bởi Dénes Kőnig(1916). Dénes Kőnig cũng là người viết cuốn sách đầu tiên Theorie der endlichen und unendlichen Graphen 1936  về Lý thuyết đồ thị.

Đồ thị hai phía xuất hiện trong các bài toán dùng đồ thị biểu diễn quan hệ hai ngôi giữa hai tập A và tập B không giao nhau. Một ví dụ cho quan hệ này là quan hệ hôn nhân giữa hai tập hợp người nam và nữ.

Định nghĩa
Một đồ thị đơn vô hướng  được gọi là hai phía mà tập đỉnh của nó có thể chia thành hai tập con  và  rời nhau sao cho bất kì cạnh nào của đồ thị cũng nối một đỉnh của  với một đỉnh thuộc . Khi đó người ta còn ký hiệu là: 
và gọi một tập (chẳng hạn ) là tập các đỉnh trái và tập còn lại (chẳng hạn ) là tập các đỉnh phải của đồ thị hai phía ..

Nếu  thì  được gọi là đồ thị hai phía cân bằng.

Ví dụ

 không phải là đồ thị lưỡng phân vì nếu ta chia các đỉnh của nó thành 2 phần rời nhau thì một trong 2 phần này phải chứa 2 đỉnh. Nếu đồ thị là lưỡng phân thì các đỉnh này không thể nối với nhau bằng một cạnh. Nhưng trong K3 mỗi đỉnh được nối với đỉnh khác bằng một cạnh.

Một vài ví dụ trừu tượng:

 Mỗi cây là đồ thị hai phía.

 Biểu đồ chu kỳ với một số chẵn các đỉnh là đồ thị hai phía.
 Biểu đồ Hypercube, các hình khối từng phần, và đồ thị trung bình là đồ thị hai phía.

Thuật toán kiểm tra một đồ thị liên thông là đồ thị hai phía
Để kiểm tra một đồ thị liên thông có phải là đồ thị hai phía hay không, ta có thể áp dụng thuật toán sau:

Với một đỉnh  bất kì:

 X:= {v}; Y:=;
 repeat
 Y:= Y  Kề(X);
 X:= X  Kề(Y);
 until (X  Y ) or (X và Y là tối đại - không bổ sung được nữa);
 if X  Y  then
 (Không phải đồ thị hai phía)
 else
 (Đây là đồ thị hai phía
  X là tập các đỉnh trái: các đỉnh đến được từ v qua một số chẵn cạnh
  Y là tập các đỉnh cạnh phải: các đỉnh đến được từ v qua một số lẻ cạnh);

Định lý
Một đồ thị A là hai phần khi và chỉ khi G không có chu trình lẻ.
 Chứng minh
Chứng minh theo chiều thuận

G là hai phần và có 1 chu trình đi qua u ∈ U khi đó số lần đi vào u bằng số lần đi
ra khỏi u và tổng số cạnh của chu trình là số cạnh kề với tập đỉnh thuộc một trong
hai tập U hoặc V thuộc chu trình đó,nên ta có 1 chu trình độ dài chẵn.

Ta có hình vẽ minh hoạ như sau:

Chứng minh theo chiều nghịch

Không mất tính tổng quát ta giả sử G liên thông,chọn một đỉnh u bất kì,với mỗi
đỉnh v ∈ V(G) do tính liên thông của G sẽ tồn tại một đường đi từ u đến v nếu độ
dài đường đi này là chẵn thì cho v vào tập U,ngược lại thì cho v vào V.

Ta sẽ chứng minh:

1. Cách xây dựng này là không mâu thuẫn.

2. Không có cạnh nào trong U.

3. Không có cạnh nào trong V.

Từ ba điều trên thì đồ thị đã cho là đồ thị hai phần.

Ta đi chứng minh 3 ý trên.

1. Giả sử phản chứng tồn tại hai đường đi chẵn,lẻ từ u đến v thì sẽ tồn tại một chu trình lẻ suy ra mâu thuẫn với giả thiết.

2. Giả sử tồn tại cạnh (x,y) ∈ U khi đó tồn tại đường đi độ dài chẵn từ u đến x và từ v đến y nên sẽ có 1 chu trình lẻ.

3. Tương tự như trường hợp 2.

 Định lý được chứng minh

Tính chất
 Kích thước của phủ đỉnh nhỏ nhất bằng kích thước của cặp ghép lớn nhất
 Kích thước của tập độc lập lớn nhất cộng kích thước của cặp ghép lớn nhất bằng số đỉnh.
 Trong đồ thị hai phía liên thông, kích thước của phủ cạnh nhỏ nhất bằng kích thước tập độc lập lớn nhất
 Trong đồ thị hai phía liên thông, kích thước của phủ cạnh nhỏ nhất cộng kích thước của phủ đỉnh nhỏ nhất bằng số đỉnh.
 Một đồ thị là hai phía khi và chỉ khi có thể tô màu nó bằng hai màu.
 Quang phổ của một đồ thị là đối xứng khi và chỉ khi nó là một đồ thị hai phía.

Ứng dụng
 Đồ thị hai phía thường được dùng để mô hình các bài toán ghép cặp (matching problem), quan hệ hôn nhân giữa tập những người đàn ông và tập những người đàn bà, sinh viên chọn trường, thầy giáo chon tiết dạy trong thời khóa biểu v.v...
 Một ví dụ bài toán phân công công việc. Giả sử ta có một nhóm người P và một tập công việc J, trong đó không phải ai cũng hợp với mọi công việc. Ta có thể mô hình bài toán bằng một đồ thị với tập đỉnh là P + J. Nếu người  có thể làm công việc , đồ thị sẽ có một cạnh nối giữa  và . Định lý hôn nhân cung cấp một đặc điểm của đồ thị hai phía: tồn tại cặp ghép hoàn hảo (perfect matching).
 Đồ thị hai phía được sử dụng trong lý thuyết mã hóa (coding theory) hiện đại, đặc biệt khi giải mã các codeword nhận được từ kênh. Đồ thị nhân tử (factor graph) và đồ thị Tanner là các ví dụ.

 Đồ thị Levi là một dạng của đồ thị hai phía sử dụng để mô hình tỷ lệ mắc giữa điểm và đường trong một cấu hình.

Xem thêm
 Đồ thị hai phía đầy đủ
 Dulmage-Mendelsohn Decomposition

Liên kết ngoài

Tham khảo

Thư mục 
 The Art of Computer Programming, 3rd edition, Author: Donald E.Knuth. Publisher: Addison-Wesley, 1998
 Introduction to Algorithms, 2nd edition, ISBN: 0262032937, Author: Thomas H.Cormen, Charles E.Leiserson, Ronald,L.Rivest. Publisher: The MIT Press,2001
 Lý thuyết đồ thị (Trần Đan Thư - Dương Anh Đức), Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh - 2008
 Giải thuật và lập trình (Lê Minh Hoàng), Đại Học Sư Phạm Hà Nội, 1999-2002

Lý thuyết đồ thị
Họ đồ thị
Đồ thị hoàn hảo