Hàm liên tục

Trong toán học, một hàm liên tục hay hàm số liên tục là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính xác hơn, thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch của đầu ra cũng nhỏ tùy ý. Một hàm số không liên tục còn gọi là hàm gián đoạn. Đến trước thế kỷ 19, các nhà toán học phần lớn sử dụng những khái niệm liên tục mang tính cảm tính, dẫn đến những nỗ lực chặt chẽ hóa nó như là định nghĩa epsilon–delta.

Khái niệm liên tục là một trong những khái niệm trung tâm của vi tích phân và giải tích toán học, từ các hàm số thực và phức cho tới các hàm trong không gian metric và không gian topo. Định nghĩa liên tục của không gian topo mang tính tổng quát nhất, đồng thời là cơ sở của tô pô học.

Lịch sử
Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của  như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập  luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của . Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Định nghĩa chính thức của sự liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Giống với Bolzano, Karl Weierstrass không công nhận sự liên tục của hàm số tại một điểm nếu giới hạn ở hai phía không tồn tại, nhưng Édouard Goursat đưa ra định nghĩa liên tục khi chỉ tồn tại giới hạn một bên, và Camille Jordan đưa ra định nghĩa khi hàm chỉ xác định tại duy nhất điểm đó, và cả ba định nghĩa này vẫn được sử dụng cho tới ngày nay, dù không tương đương nhau. Eduard Heine đưa ra khái niệm về sự liên tục đều lần đầu tiên vào năm 1872, dựa trên các bài giảng của Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet vào năm 1854.

Hàm số thực

Định nghĩa

Một hàm số thực, ở đây nghĩa là hàm số từ tập số thực đến tập số thực, có thể được biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ; một hàm số như thế là liên tục nếu, nói đại khái, đồ thị của nó là một đường duy nhất không bị đứt gãy chạy trên toàn tập số thực. Một định nghĩa chính xác hơn được đưa ở dưới.

Định nghĩa chặt chẽ cho tính liên tục của hàm số thực thường sử dụng khái niệm giới hạn. Hàm số   theo biến  được gọi là liên tục tại điểm  trên trục số thực nếu giới hạn của  khi  tiến tới , bằng giá trị ; và hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm. Một hàm số được gọi là gián đoạn tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó. Những điểm này gọi là các điểm gián đoạn.

Có một số cách hiểu khác nhau cho tính liên tục của hàm số. Do đó, khi sử dụng khái niệm liên tục, cần phải cẩn thận coi ý nghĩa liên tục nào được dùng. Khi nói một hàm số là liên tục, người ta có thể mang một trong các ý nghĩa sau:
 Hàm số liên tục tại mọi điểm trong tập xác định của nó. Theo nghĩa này, hàm số  liên tục trên tập xác định là tất cả số thực ,  số nguyên bất kỳ.
 Tại giá trị biên của tập xác định, chỉ xét giới hạn một bên. Ví dụ, hàm số , với tập xác định là các số thực không âm, chỉ có giới hạn bên phải tại . Trong trường hợp này chỉ cần giới hạn một bên của hàm số bằng giá trị của hàm số, tức  có thể coi là liên tục trên toàn bộ tập số thực không âm.
 Hàm số liên tục tại mọi số thực. Theo nghĩa này, hai hàm số nêu trên không liên tục, còn các hàm đa thức, hàm sin, cosin, và hàm mũ đều liên tục.

Sử dụng ký hiệu toán học, có vài cách để định nghĩa hàm liên tục theo một trong ba cách hiểu nói trên.

Đặt  là hàm số định nghĩa trên một tập con  của tập số thực . Tập con  này là tập xác định của . Một số khả năng cho  bao gồm:
 ( là toàn bộ tập số thực), hoặc với các số thực , ,
 ( là một khoảng đóng), hay
 ( là một khoảng mở).

Trong trường hợp  là một khoảng mở,  và  không phải là giá trị biên của tập xác định, và các giá trị  và  không ảnh hưởng đến tính liên tục của  trên .

Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm
Hàm  gọi là liên tục tại điểm  trên miền xác định nếu giới hạn của  khi  tiến dần về  tồn tại và bằng giá trị của . Ta viết:

hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là  xác định tại , 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng .

Hàm  là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.

Định nghĩa theo giới hạn của dãy
Cho dãy  bất kì trên miền xác định hội tụ về , thì tương ứng dãy  hội tụ về

Định nghĩa liên tục theo epsilon–delta
Cho số thực bất kỳ , tồn tại số thực  sao cho với mọi  trong miền xác định của  với , giá trị của  thỏa

Liên tục của  tại  là với mọi , tồn tại  sao cho với mọi

Ví dụ

Hàm 

liên tục trên miền xác định

Phản ví dụ

Ví dụ về hàm không liên tục với , lấy với mọi , khi đó không tồn tại  sao cho  vì

Tính chất

Định lý giá trị trung gian
Cho  là liên tục, giả sử  nằm giũa  và . Khi đó tồn tại ít nhất một  sao cho .

Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m

Định lý giá trị cực biên
Cho khoảng  (khoảng đóng và bị chặn) và  là liên tục, khi đó  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , hay tồn tại  sao cho  với mọi .

Định lý điểm cố định
Cho ,  liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một  sao cho .

Quan hệ với tính khả tích và khả vi
Mọi hàm  khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.

Ví dụ hàm trị tuyệt đối

là liên tục trên  nhưng không khả vi tại 0.

Đạo hàm  của hàm khả vi  không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm .

Xét tập các hàm

Trong đó  là tập con mở trong  sao cho hàm  khả vi liên tục đến bậc .

Tập các hàm này là không gian .

Mọi hàm

đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm

Liên tục đều
Giả sử  là tập con của  khi đó

liên tục đều trên  nếu với mọi  cho trước tồn tại  chỉ phụ thuộc vào  sao cho ,  thì

Ví dụ như hàm  và

Hội tụ của dãy hàm liên tục
Cho dãy 

các hàm liên tục sao cho

tồn tại với mọi , khi đó hàm  là giới hạn từng điểm của hãy , hàm  không nhất thiết liên tục cho dù  là liên tục.

Tuy nhiên nếu  liên tục, khi đó dãy  hội tụ đều

Hàm không liên tục mọi nơi
Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định.
Hàm Dirichlet

Cho  và  là hai số thực(thường lấy  và ), định nghĩa bởi

là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành

Nếu  là tập con bất kì của không gian tô pô  sao cho cả  và phần bù của  trù mật trong  sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Liên tục trên không gian mêtric

Định nghĩa
Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:

Cho  và  là 2 không gian mê tric.

Ánh xạ  liên tục tại  nếu

hay với mọi  tâm tại  khi đó  tâm tại  sao cho

.

Tính chất
 Cho  là không gian mêtric,  là tập con của  thì  với  là liên tục.

Liên tục Lipchitz
Cho hai không gian mêtric  và  với  là mêtric trên  và  là mêtric trên .

 là liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số  sao cho với mọi

Ví dụ
Hàm  liên tục Lipchitz với .

Liên tục Holder
Cho hai không gian mêtric  và  với  là mêtric trên  và  là mêtric trên , với  là số thực.

 là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số  sao cho với mọi

Ví dụ

 là liên tục Holder với , nhưng không liên tục Lipchitz.

Liên tục Cauchy
Cho  và  là hai không gian mêtric,  là hàm từ  vào .

Hàm  là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì  trong , dãy  là dãy Cauchy trong .

Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục.
Nếu  là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên  là liên tục Cauchy.

ví dụ
Trên đường thẳng thực  liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.

Hàm  khi  và  khi  với mọi số hữu tỉ . Hàm này liên tục trên  nhưng không liên tục Cauchy

Liên tục trong không gian tô pô

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.

Định nghĩa 

 Cho  và  là hai không gian tô pô. Ánh xạ  là liên tục tại điểm  trong  nếu mọi tập mở  trong  chứa  thì có tập mở  của  chứa  sao cho  chứa trong . Ta nói  liên tục trên  nếu nó liên tục tại mọi điểm trên .
 Lân cận của điểm  là tập con của  chứa tập mở chứa . Lân cận không cần phải mở.
  liên tục tại  nếu mọi tập mở  chứa  thì tập  là lân cận của .

Định lý
 Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập mở là tập mở. Hay  liên tục khi và chỉ khi với mọi  mở trong  thì  mở trong .

Chứng minh

() Giả sử rằng  là liên tục. Cho  là tập mở trong . Cho . Vì  liên tục tại  và  là lân cận mở của  thì có mở  chứa  sao cho  chứa trong . Do đó  là mở.

() Giả sử rằng ảnh ngược của mọi tập mở là tập mở. Cho ,  là lân cận mở của . Khi đó  là tập mở chứa , và  chứa trong . Vì thế  liên tục tại .

Một số tính chất và mệnh đề
 Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
 Cho  và  là hai không gian tô pô và  là cơ sở của tô pô trên . Khi đó  liên tục nếu và chỉ nếu  là mở trong  với mọi .
 Cho  với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức  với  là liên tục.
 Giả sử  là liên tục. Nếu dãy  trong  hội tụ về  khi đó dãy  trong  hội tụ về .
 Cho  và  liên tục. Khi đó hàm hợp  là liên tục.
 Cho  là hai không gian tô pô,  là không gian con của . Cho  liên tục. Khi đó  liên tục.

Liên tục trong không gian tô pô liên thông

 Cho  liên tục, nếu  liên thông thì  liên thông.
 Cho  liên tục, nếu  liên thông đường thì  liên thông đường.
 Cho  là không gian tô pô liên thông, và  liên tục. Nếu  và , khi đó . (Định lý giá trị trung bình mở rộng)
 Cho  liên tục, khi đó tồn tại  sao cho .

Liên tục trong không gian tô pô compact

 Cho  liên tục, nếu  compact thì  compact.
 Cho  compact và  là liên tục, khi đó  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , hay tồn tại  sao cho  với mọi .
 Cho  là khoảng đóng và bị chặn trong . Giả sử  là liên tục. Khi đó ảnh của  là khoảng đóng và bị chặn trong .

Ví Dụ
Ví dụ 1: Cho  và  là 2 không gian tô pô được miêu tả ở hình bên, với  xác định:

Có  liên tục và  không liên tục.

Ví dụ 2: Xét  với  và , có  và  là hai cơ sở. Ánh xạ

 với biến mỗi phần tử trong  thành một phần tử trong  là ánh xạ ngược của ánh xạ

 với 

Ánh xạ  liên tục.

Xem thêm

Bổ đề dán (The Pasting Lemma)

Cho  là không gian tô pô,  là hai tập con đóng của  sao cho . Giả sử rẳng  và  là liên tục và . Khi đó  xác định bởi:

thì  liên tục trên .

Liên tục thông qua lưới

Cho  là 2 không gian tô pô. Khi đó  là liên tục tại  nếu và chỉ nếu khi nào có lưới  trong  hội tụ về , thì lưới  hội tụ về .

Viết theo ký hiệu quen thuộc:  liên tục tại  nếu và chỉ nếu với mọi lưới .

Liên tục trên không gian tích
 Cho ,  là tập chỉ số. Khi đó

 là liên tục khi và chỉ khi  liên tục với mọi  thuộc 

 Ánh xạ chiếu  liên tục.
 Ánh xạ  liên tục khi và chỉ khi mỗi ánh xạ thành phần  liên tục.

Ví dụ
Cho hàm , cho bởi:

Mở rộng

Tô pô sinh bởi ánh xạ

 Cho  là không gian tô pô,  là một tập, và  là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tô pô trên  sao cho  liên tục.

Yêu cầu của  là nếu  thì 

Tôpô hiển nhiên (the trivial toplogy) trên  thỏa mãn yêu cầu này. Đây là tôpô thô nhất thỏa mãn yêu cầu làm  liên tục.

Mặt khác, họ  là tô pô thực sự trên . Đây là tôpô mịn nhất thỏa yêu cầu.

 Cho  là một tập,  là không gian tô pô, và  là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tôpô trên  sao cho  liên tục.

Yêu cầu của  là nếu  thì .

Tôpô rời rạc trên  là tôpô mịn nhất thỏa mãn yêu cầu.

Ta có thể thấy xa hơn rằng nếu họ  sinh ra  thì  được sinh bởi họ .

Đồng phôi

 Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục.
 Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là , nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia.

Đồng luân

 Định nghĩa: Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục  và  từ không gian tô pô  vào không gian tô pô  được định nghĩa là ánh xạ  từ tích của không gian  với đoạn đơn vị  vào  sao cho với mỗi  thuộc  ta có  và .
 Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của  như là "thời gian", khi đó  mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ  thành ánh xạ : tại thời điểm  ta có ánh xạ  và tại thời điểm  ta có ánh xạ .
 Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ  vào . Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của 2 ánh xạ theo nghĩa nếu  là đồng luân và  là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng  và : là đồng luân

Ví dụ
Ví dụ 1: Cho  là ánh xạ biến

Ta thấy  là tô pô mịn nhất sao cho  liên tục.

Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn

Ví dụ 3: Một biến đổi đồng luân

Tham khảo

Liên kết ngoài 

Continuity
Colin Adam và Robert Franzosa Introduction to topology pure and applied
 
Gregory L. Naber Topology, Geometry and Gauge fields: Foundations
Topics in a Topology Coursel

Toán học tô pô
Không gian tô pô
Giải tích toán học
Loại hàm số
Vi tích phân
Lý thuyết hàm liên tục