数学において、数 a の倍数(ばいすう、英:multiple)とは、a を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、

を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。

a を整数に限ると、a の倍数とは「a で割り切れる整数」のことであり、a の約数(「a を割り切る整数」)と対比されることも多いが、倍数は a が整数でなくても定義できる。

倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、

と表すこともある。とくに a が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は(正の)倍数として

だけを考えることも多い。

整数全体からなる集合 $\mathbb {Z}$ を用いると、a の倍数は $a\mathbb {Z}$ である。

## 例

- 2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, ...
  - 偶数に等しい。
- 3 の倍数は 0, ±3, ±6, ±9, ±12, ...
- 12 は 1, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもある。
  - 12 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 であることによる。

## 数学的性質

### 整数に関する性質

- 0 だけ倍数の個数が有限(0 のみ)である。(したがって 0 の倍数を考えることはあまり意味がない)
- 0 は全ての数の倍数である。
- 全ての数は自分自身の倍数である。
- 全ての整数は 1 と −1 の倍数である。
- 偶数とは 2 の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数の和で表せる数」とも定義できるが、この定義は 2 の倍数であることと同値である。
- a が整数のとき、N が a の倍数であることは、a が N の約数であることと同じ意味である。
- 整数 a, b に対して、b が a で割り切れることと、b の倍数が a の倍数に含まれることは同値である。すなわち、

$$a\mid b\Leftrightarrow b\mathbb {Z} \subset a\mathbb {Z}$$

- 2 以上の整数はある素数の倍数である。
- 素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しい。

- a の倍数かつ b の倍数であるものを a と b の公倍数という(3個以上の場合でも同様)。ab は a と b の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
  - a と b の公倍数は a と b の最小公倍数の倍数である。
- a の倍数の倍数は a の倍数である。
- P, Q が 共に a の倍数ならば、kP + lQ(k, l は整数)は共に a の倍数である。
  - 特に、P ± Q は a の倍数である
- 有理整数環 $\mathbb {Z}$ で二項関係を $x-y\in a\mathbb {Z}$ で定義すると、これは同値関係になる。
  - その商集合 $\mathbb {Z} /a\mathbb {Z}$ は加法に関するアーベル群である。(→同値関係#商集合の例)

### 整除性の判定法

整除性の判定法(せいじょせいのはんていほう, 英: divisibility rule, 仏: critère de divisibilité, 露: признаки делимости, 中: 整除规则)は、ある整数を別の整数で割った商が整数となるか(余りがゼロであるか)を、割り算を直接実行することなく判別する裏技である。倍数の判定法ともいう。

様々なN進法における倍数判定の方法として、以下の方法が挙げられる。

素因数が複数になる場合には、上記の倍数判定方法を組み合わせることになる。

とりわけ、六進数と十進数では、素因数に2, 3, 5が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 3+1 となり、"10"の素因数と"10-1"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである(その上に10の素因数も複数ある)。例えば、2×3×5 = 1400(6) = 360(10)の倍数も、六進数だと「下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数」で計3種類(1400, 3200, 5000, 10400...)、十進数だと「一の位が0、整数第二位~第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数」で計2510種類(360, 720, 1080, 1440,1800,2160,2520...)となる。

#### 十進数での例

十進数での倍数判定法がいくつか存在する。

1 - 9

| 割る数 M | 整除性の判定法(倍数の判定法) | 具体例・備考 | Mの倍数 一覧 000(OEIS)000 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 任意の整数は1で割り切れる |  |
| 2 | 最後の桁が偶数(0、2、4、6、8)ならば2で割り切れる | 1294:最後の桁4は偶数である。割り算を実行してみれば分かるが、1294は2で割り切れる | The nonnegative  even numbers:  a(n) = 2n. (A005843) |
| 3 | 各桁の数を合計したものが3で割り切れれば、3で割り切れる | 405の場合、4+0+5=9、これは3で割り切れるから405は3で割り切れる | a(n) = 3\*n. (A008585) |
| 各桁に現れる1, 4, 7の数を数える。次に各桁に現れる2, 5, 8の数を数える。両者の差が0ならば3で割り切れる | 16,499,205,854,376:1, 4, 7は合計4回現れる。2, 5, 8は合計4回現れる。4-4= 0、∴3で割り切れる |
| 4 | 最後の2桁が4で割り切れれば4の倍数である | 40,832:最後の2桁である32が4で割り切れる | Multiples of 4. (A008586) |
| 10の位が偶数の場合、1の位が0, 4, 8 10の位が奇数の場合、1の位が2, 6ならば4の倍数である | 40,832:10の位の3は奇数で、1の位が2である |
| 10の位に2を掛け、それに1の位を加える。それが4で割り切れればもとの数は4の倍数である | 40832:2×3 + 2 = 8、これは4で割り切れるから40832は4の倍数 |
| 5 | 1の位が0または5 |  | Multiples of 5:  a(n) = 5 \* n. (A008587) |
| 6 | 2と3で同時に割り切れる | 1458:1 + 4 + 5 + 8 = 18、∴3で割り切れる。最後の桁2は偶数であるから2で割り切れ、よって6で割り切れる | Nonnegative  multiples of 6. (A008588) |
| 10の位より上の数に4を掛け、1の位の数を加える。この操作を1桁になるまで続け、それが6で割り切れればもとの数は6の倍数である | 354: 35 × 4 + 4 = 144,14 × 4 + 4 = 60,6 × 4 + 0 = 24,2 × 4 + 4 = 12,1 × 4 + 2 = 6,よって354は6の倍数 |
| 7 | 下から3桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、下から偶数番目の区分は-1倍して合計する。これが7で割り切れれば7の倍数 | 1,369,851:851 − 369 + 1 = 483、これは7で割り切れる。よって1,369,851は7の倍数 | Multiples of 7. (A008589) |
| 下から6桁ごとに区分する。各区分を合計する。これが7で割り切れれば7の倍数 | 16,498,888:16 + 498888 = 498904、これは7で割り切れる。以下略 |
| 1の位に2を掛ける。10以上の位からそれを引く。結果が7で割り切れれば7の倍数 | 483:48 −(3×2)= 42、7で割り切れる。 |
| 1の位に5を掛け、10以上の位に加える。結果が7で割り切れれば7の倍数 | 483:48 + (3 × 5) = 63,7で割り切れる。 |
| 最上位の桁の数に3を掛ける。それに上から2桁目の数を加える。こうして得られた数を上位2桁と置き換える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数 | 483:4×3 + 8 = '20'、20を48に置き換える。203:2×3 + 0 = '6'、6を20に置き換えます。63:6×3 + 3 = 21、7で割り切れる |
| 下から数えて3桁以上の数に2を掛ける。これに下2桁を加える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数 | 483,595:95 +(2×4835)= 9765、65 +(2×97)= 259、59 +(2×2)= 63、7で割り切れる。 |
| (6, 12, 18...桁の数に有効)下の桁から順に1, 3, 2, -1, -3, -2を掛け(周期性あり)、合計する。得られた結果が7で割り切れれば、7の倍数 | 483,595:(4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7,7で割り切れる |
| 8 | 100の位が偶数の場合、下2桁が8で割り切れれば8の倍数 |  | Multiples of 8. (A008590) |
| 100の位が奇数の場合、下2桁に4を加えて8の倍数になればもとの数は8の倍数 | 352:100の位3は奇数で、下2桁の52に4を加えれば56、これは8で割り切れる |
| 下から数えて2桁以上の数に2を掛ける。これに下1桁を加えて8で割り切れれば8の倍数 | 56:(5×2)+ 6 = 16、8で割り切れる。 |
| 下3桁が8で割り切れれば8の倍数 | 34,152:152は8で割り切れる |
| 100の位を4倍する。10の位を2倍する。これらの合計に1の位を加える。結果が8で割り切れれば8の倍数 | 34,152:1×4 + 5×2 + 2 = 16、8で割り切れる。 |
| 9 | 各桁の数を合計したものが9で割り切れれば9の倍数 | 2880:2 + 8 + 8 + 0 = 18:1 + 8 = 9、9で割り切れる | Multiples of 9:  a(n) = 9\*n. (A008591) |
|

10 - 19

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 10 | 1の位が0ならば10の倍数 |  | Multiples of 10:  a(n) = 10 \* n. (A008592) |
| 11 | 下から数えて奇数桁目は-1倍、偶数桁目は+1倍して合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数 | 918,082:9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22、11で割り切れる | Multiples of 11. (A008593) |
| 下から2桁ごとに区分する。各区分の数を合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数 | 627:6 + 27 = 33、11で割り切れる  50,215:5 + 02 + 15 = 22、11で割り切れる |
| 下から数えて2桁以上の数から下1桁を引く。結果が11で割り切れれば11の倍数 | 627:62 − 7 = 55、11で割り切れる。 |
| 1の桁を10倍して10以上の桁の数に加える。2桁になるまで続ける。11の倍数に行きついたらもとの数は11の倍数 | 627:62 + 70 = 132:13 + 20 = 33、11で割り切れる。 |
| 全体で偶数桁の場合、最初の桁から最後の桁を引く。それを残りの(中間の)桁に加える。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数 | 918,082(6桁)→1808 +(9 − 2)= 1815、81 + 1 − 5 = 77、これは11で割り切れる。 |
| 全体で奇数桁の場合、最初の桁と最後の桁を足す。それを残りの(中間の)桁から引く。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数 | 14,179(5桁)→417 −(1 + 9)= 407、0-(4 + 7)= -11、11で割り切れる。 |
| 12 | 同時に3と4で割り切れれば12の倍数 |  | Multiples of 12. (A008594) |
| 下から数えて2桁以上の数を2倍する。そこから下1桁を引く。それが12で割り切れれば12の倍数 | 288:28×2 − 8 = 48、12で割り切れる。 |
| 13 | 下から3桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が13で割り切れれば13の倍数 | 2,911,272:2-911 + 272 = -637、13で割り切れる | Multiples of 13. (A008595) |
| 下から6桁ごとに区分する。各区分の数を合計する。結果が13で割り切れれば13の倍数 | 161,480,059:161 + 480059 = 480220、これは13で割り切れる |
| 下1桁を4倍する。それを残りの桁に加え、13の倍数になればもとの数は13の倍数 | 637:63 + 7×4 = 91、9 + 1×4 = 13、13で割り切れる。 |
| 100の位以上の数を4倍する、そこから下2桁を引く。結果が13で割り切れれば13の倍数 | 923:9×4-23 = 13、13で割り切れる。 |
| 下1桁を9倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が13で割り切れれば13の倍数 | 637:63-7×9 = 0、13で割り切れる。 |
| 14 | 2と7で同時に割り切れる |  | Multiples of 14. (A008596) |
| 下から数えて3桁以上の数を2倍する。それに下2桁を加える。結果が14で割り切れれば14の倍数 | 364:3×2 + 64 = 70   1764:17×2 + 64 = 98、どちらも14で割り切れる |
| 下から数えて2桁以上の数を4倍する。そこから下1桁を引く。結果が14で割り切れれば14の倍数 | 1358:135×4 − 8 = 532、14で割り切れる。 |
| 15 | 同時に3と5で割り切れる |  | Multiples of 15. (A008597) |
| 16 | 1000の位が偶数の場合、下3桁が16で割り切れれば16の倍数 | 254,176:1000の位の4は偶数。下3桁は176で、16で割り切れる | Multiples of 16. (A008598) |
| 1000の位が奇数の場合、下3桁に8を加えたものが16で割り切れれば16の倍数 | 3408:1000の位の3は奇数。下3桁は408。408 + 8 = 416で、16で割り切れる |
| 下から数えて3桁以上の数を4倍する。それの下2桁を加える。結果が16で割り切れれば16の倍数 | 1168:11×4 + 68 = 112、16で割り切れる |
| 下4桁が16で割り切れる | 157,648:下4桁の7648は16で割り切れる |
| 17 | 下1桁を5倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が17で割り切れれば17の倍数 | 221:22 −1×5 = 17、17で割り切れる。 | Multiples of 17. (A008599) |
| 下から数えて3桁以上の数を2倍する。そこから下2桁を引く。結果が17で割り切れれば17の倍数 | 4,675:46×2-75 = 17、これは17で割り切れます。 |
| 下から8桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が17で割り切れれば17の倍数 | 117,250,581:17250581-1 = 17250580、これは17で割り切れる |
| 18 | 2と9で同時に割り切れる。 |  | Multiples of 18. (A008600) |
| 19 | 下1桁を2倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が19で割り切れれば19の倍数 | 437:43 + 7×2 = 57、19で割り切れる。 | Multiples of 19. (A008601) |
| 下2桁に4を掛ける。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が19で割り切れれば19の倍数 | 6935:69 + 35×4 = 209、これは19で割り切れる |
| 下から9桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が19で割り切れれば19の倍数 | 1,232,228,318:232228318-1 = 232228317、これは19で割り切れる |
|

20 - 29

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 20 | 1の位が0、10の位が偶数 |  | Multiples of 20. (A008602) |
| 21 | 同時に3と7で割り切れる。 |  | Multiples of 21. (A008603) |
| 下1桁を2倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が21で割り切れれば21の倍数 | 168:16 −8×2 = 0、21で割り切れる。 |
| 22 | 2と11で同時に割り切れる。 |  | Multiples of 22. (A008604) |
| 23 | 下1桁を7倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。繰り返して23の倍数に行きつけばもとの数は23で割り切れる | 3128:312 + 8×7 = 368、36 + 8×7 = 92、これは23で割り切れる | Multiples of 23. (A008605) |
| 下2桁を3倍する。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が23で割り切れれば23の倍数 | 1725:17 + 25×3 = 92、これは23で割り切れる |
| 1の位の数を16倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が23で割り切れれば23の倍数 | 391: 39 - 16 = 23、よって391は23の倍数 |
| 下から数えて2桁以上の数を下1桁の数で割る。結果が16ならば23の倍数 | 1449: 144/9 = 16、23の倍数 |
| 下から11桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が23で割り切れれば23の倍数 | 167,788,290,564:67788290564-1 = 67788290563、これは23で割り切れる |
| 24 | 同時に3と8で割り切れる。 |  | Multiples of 24. (A008606) |
| 下から数えて3桁以上の数を4倍する。それに下2桁を加える。結果が24で割り切れれば24の倍数 | 1632:16×4 + 32 = 96、24で割り切れる |
| 25 | 下2桁が25の倍数(00、25、50、75) |  | Multiples of 25. (A008607) |
| 26 | 2と13で同時に割り切れる。 |  | Multiples of 26. (A252994) |
| 27 | 下から3桁ごとに区分する。それらの区分を合計して27で割り切れれば27の倍数 | 2,644,272:2 + 644 + 272 = 918、これは27で割り切れます。 | a(n) = 27\*n. (A305548) |
| 下1桁を-1倍して下から2桁以上の位の数に加える。結果が27で割り切れれば27の倍数 | 621:62 −1×8 = 54、27で割り切れる。 |
| 下2桁の-2倍を下から3桁以上の位の数に加える。結果が27で割り切れれば27の倍数 | 6507:65×8-7 = 513、27で割り切れる |
| 28 | 同時に4と7で割り切れる。 |  | Multiples of 28. (A135628) |
| 29 | 下1桁に3を掛ける。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が29で割り切れれば29の倍数 | 493:49 + 3×3 = 58、29で割り切れる | Multiples of 29. (A195819) |
| 下2桁を9倍する。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が29で割り切れれば29の倍数 | 5510:55 + 10×9 = 145、これは29で割り切れる |
|

30 - 39

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 30 | 下1桁が0、その他の桁の数の合計が3で割り切れる | 270:2 + 7 = 9, 3で割り切れる∴270は30の倍数 | a(n) = 30\*n. (A249674) |
| 31 | 下1桁を最後3倍する。これを下から2桁以上の位の数字から引く。結果が31で割り切れれば31の倍数 | 341:34 −1×3 = 31、31で割り切れる。 | Multiples of 31. (A135631) |
| 下から4桁以上の位の数を8倍する。これに下3桁を加える。結果が31で割り切れれば31の倍数 | 18042:18×8 + 42 = 186、これは31で割り切れる |
| 32 | 10000の位が偶数の場合、下4桁が32で割り切れる |  | 32\*n. (A174312) |
| 10000の位が奇数の場合、下4桁に16を加えたものが32で割り切れる | 340,179,488:10000の位の7は奇数。9488 + 16 = 9504,これは32で割り切れる |
| 下から3桁以上の位の数に、下2桁の4倍を加える。これが32で割り切れれば32の倍数 | 1376:13 × 4 + 76 = 128,これは32で割り切れる |
| 下から4桁以上の位の数を8倍して下3桁を加える。結果が32で割り切れれば32の倍数 | 19584:19×8 + 584 = 736、これは32で割り切れます。 |
| 下5桁が32の倍数 |  |
| 33 | 下から2桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計したものが33で割り切れる | 169,257:16 + 92 + 57 = 165、これは33で割り切れる | (登録なし) |
| 同時に3と11で割り切れる。 |
| 下1桁を10倍する。これを下から2桁以上の位の数に加える。結果が33で割り切れれば33の倍数 | 16104:1610 + 4×10 = 1650, 165 + 0×10 = 165, これは33で割り切れる |
| 34 | 下から3桁以上の位の数を2倍する。そこから下2桁を引く。結果が34で割り切れれば34の倍数 | 2516:25×2 − 16 = 34、34で割り切れる。 | (登録なし) |
| 同時に2と17で割り切れる。 |
| 35 | 下から3桁以上の位の数を5倍する。そこから下2桁を引く。結果が35で割り切れれば35の倍数 | 7455:74×5 − 55 = 315、35で割り切れる。 | (登録なし) |
| 36 | 下から3桁以上の位の数を8倍する。そこから下2桁を引く。結果が36で割り切れれば36の倍数 | 1512:15×8 − 12 = 108。36で割り切れる。 | Multiples of 36. (A044102) |
| 4と9で同時に割り切れる。 |
| 37 | 下から3桁以上の位の数を11倍する。そこから下2桁を引く。結果が37で割り切れれば37の倍数 | 68265:682×11 − 65 = 7437、37で割り切れる。 | Multiples of 37. (A085959) |
| 下から3桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計する。それが37で割り切れれば37の倍数 | 728,395,061:728 + 395 + 61 = 1184、これは37で割り切れる |
| 下から2桁以上の位の数から下1桁の11倍を引く。結果が37で割り切れれば37の倍数 | 2294:229 −4×11 = 185、37で割り切れる。 |
| 38 | 2と19で同時に割り切れる。 |  | (登録なし) |
| 39 | 3と13で同時に割り切れる。 |  | (登録なし) |
| 下から6桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計する。これが39で割り切れれば39の倍数 | 458,535,168:458 + 535168 = 535626、これは39で割り切れます。 |
| 下1桁を4倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が39で割り切れれば39の倍数 | 2262:226 + 2×4 = 234、これは39で割り切れます。 |
|

40 - 50

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 40 | 下1桁が0。下3桁と下2桁を2桁の数とみなし、それが4の倍数。 | 15960:最後の桁は0。96は4の倍数 | a(n) = 40\*n. (A317095) |
| 下3桁が40の倍数 |  |
| 下から3桁以上の位の数を20倍する。これに下2桁を加える。結果が40で割り切れれば40の倍数 | 322840:3228×20 + 40 = 64600、これは40で割り切れる |
| 100の位が偶数の場合、下2桁が00, 40, 80 100の位が奇数の倍、下2桁が20, 60 | 467520、100の位の5は奇数で、下2桁は20。これは40の倍数 |
| 41 | 下1桁を4倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が41で割り切れれば41の倍数 | 492:49 −2×4 = 41、41で割り切れる。 | (登録なし) |
| 下から5桁ごとに区分する。各区分を合計し、41で割り切れる | 147,559:1 + 47559 = 47560、これは41で割り切れる |
| 42 | 2と3と7で同時に割り切れる。 |  | (登録なし) |
| 下から数えて2桁以上の数を4倍する。そこから下1桁を引く。結果が14で割り切れ、かつ数字和が3の倍数ならば42の倍数。 | 210: 21\*4 = 84, 84 - 0 = 84。84は14で割り切れ、数字和2+1+0が3の倍数。 |
| 43 | 下1桁を13倍し、下から2桁以上の位の数に加える。これが43で割り切れれば43の倍数 | 50998:5099 + 8×13 = 5203、520 + 3×13 = 559、これは43で割り切れます。 | (登録なし) |
| 下2桁を3倍する。ここから下から3桁以上の位の数を引く。これが43で割り切れれば43の倍数 | 2021:21×3-20 = 43、43で割り切れる |
| 44 | 4と11で同時に割り切れる。 |  | (登録なし) |
| 45 | 5と9で同時に割り切れる。 |  | (登録なし) |
| 46 | 2と23で同時に割り切れる。 |  | (登録なし) |
| 下から3桁以上の位の数に8を掛ける。それに下2桁を加える。結果が46で割り切れれば46の倍数 | 162,288:88 +(8×1622)= 13064、64 +(8×130)= 1104、4 +(8×11)= 92、46で割り切れる。 |
| 47 | 下から3桁以上の位の数に6を掛ける。それに下2桁を加える。結果が47で割り切れれば47の倍数 | 30691:91+6×306 = 1927、47で割り切れる。 | (登録なし) |
| 下1桁を33倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が47で割り切れれば47の倍数 | 48128:4812 + 8×33 = 5076、および507 + 6×33 = 705、47で割り切れる |
| 下1桁に14を掛ける。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が47で割り切れれば47の倍数 | 3948:394 −8×14 = 282、47で割り切れる。 |
| 48 | 下から3桁以上の位の数に4を掛ける。それに下2桁を加える。結果が48で割り切れれば48の倍数 | 5712:12 + 4×57 = 240、48で割り切れる。 | (登録なし) |
| 3と16で同時に割り切れる。 |  |
| 49 | 下2桁を2倍する。それを下から3桁以上の位の数に加える。結果が49で割り切れれば49の倍数 | 12457956:56 + 2×124579 = 249214、14 + 2×2492 = 4998、98+ 2×49 = 196、49で割り切れる。 | (登録なし) |
| 下1桁を5倍する。これを下から2桁以上の位の数に加える。結果が49で割り切れれば49の倍数 | 3871:387 + 1×5 = 392、これは49で割り切れる |
| 50 | 下2桁が50の倍数(00, 50) |  | (登録なし) |
|

割る数Mが51以上の倍数判定法の例を以下に示す。

- 一の位を5倍して、整数第二位以上と一の位の5倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 51 で割って余りが 0 であれば、その数は 51 の倍数である。
- 一の位を8倍して、整数第二位以上と一の位の8倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 81 で割って余りが 0 であれば、その数は 81 の倍数である。
- 下から2桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 99 で割り切れれば、その数は 99 の倍数である。
- 下から4桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 101 で割り切れれば、その数は 101 の倍数である。
- 下三桁が 125 の倍数(つまり 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000)ならば、その数は 125 の倍数である。

これら以外にも、先述の倍数判定法を組み合わせることにより、これ以外の整数の倍数であるか判定することができる。一般に、整数Nが N = a\*b\*c\*...\*n と表せるとき、a, b, c,・・・, n の倍数判定法をパスした整数はNの倍数である。

- 4の倍数判定法と27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は108の倍数である。
- 5の倍数判定法と37の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は185の倍数である。
- 3の倍数判定法、5の倍数判定法、16の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は240の倍数である。
- 2の倍数判定法、7の倍数判定法、27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は378の倍数である。
- 8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は792の倍数である。