六進法(ろくしんほう、英: senary、独: Sechsersystem)とは、6 を底とし、底およびその冪を基準に数を表す方法である。英語名の"senary"は、ラテン語で「六個一組」を意味する"senarius"にちなむ。

## 記数法

### 整数

#### 整数の表記

六進記数法とは、六を底とする位取り記数法である。慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数で表記し、六進記数法の表記は括弧および下付の 6 で表す。六進記数法で表された数を六進数と呼ぶ。通常は、0, 1, 2, 3, 4, 5 の計 6 個の数字を用い、六を 10、七を 11、八を 12 ...と表記する。

### 倍数判定と素数

十進法と六進法は、「6と10はともに2と素数の積」2の冪数の扱いは同じになる。しかし、六進法では「5+1 = 10」「2×3 = 10」となるので、十進法と比べた時に、3と5の立場が逆転するだけではなく、9(=13(6)=3)と5の立場も逆転する。更に、2と3の冪指数が同じなので、2の冪数と3の冪数が同等の地位になる。

- 六進法では、3の倍数は一の位が3か0のどれかになる。一の位が3ならば3の倍数であり、素数にはならない。
- 六進法では、11(七)以後の素数は、一の位が1か5のどれかである。
- 十進法では1/5が0.2(つまり十分の二)だが、六進法では1/3が0.2(つまり六分の二)になる。同じく、六進法では、2の冪数の逆数は3の冪数になり、3の冪数の逆数は2の冪数になる。
- 「3×5」の数は、十進法では「15」「十五」となり5の倍数の仲間だが、六進法では「23」「二六三」となり3の倍数の仲間になる。
  - 3×5/100の小数は、十進法では0.15、六進法では0.23となるが、既約分数が十進法では「二十分の三」「素因数分解すると3/2×5」になるが、六進法では「二六分の五」「素因数分解すると5/2×3」になる。仲間になる冪数も、十進数0.15は25 (=5)だけに対して、六進数0.23は13 (=3)と43 (=3)の計二つになる。
- 小数に変えると37(10) = 101(6)の倍数が循環する無限小数になる単位分数は、十進法が1/3、1/3 (= 1/9)、1/3 (= 1/27(10)) に対して、六進法では 1/5 や 1/11(6) (= 1/7) になる。
  - 例:2/5 = 0.2222...(2222 = 518(10))、4/11 = 0.3232...(3232 = 740(10))
- 六進数では、5 ÷ 3(pは同じ冪指数)の小数点を消した値は、十の冪数になる。
  - 例:5÷3 = 41÷13 = 2.44(244(6)=100(10))
  - 例:5÷3 = 325÷43 = 4.344(4344(6)=1000(10))

- 六進数では、5の倍数は各位の数の和も5の倍数になる。
- 3の冪数は一の位も3になる。「100のm/4」となる整数は全て9の倍数で、「100のm/9」となる整数は全て4の倍数である。
- 十進法では乗算表が81(10)(3=81)種類になるが、六進法では16(10)(2=24)の倍数が81(10)(3=213)種類になる。同じく、81(10)(213)の倍数も16(10)(24)種類になる。
  - 81(10)(213)の倍数のうち奇数は、下四桁が 0213, 1043, 1513, 2343, 3213, 4043, 4513, 5343 のどれかになる。

#### 倍数判定法

六進法では2と3の倍数が一目で判る上に、割り切れない5の倍数の判定も可能になる。十進法では 5×3 と 5×3 が判定可能なのに対して、六進法では 3 や 3×5 が判定可能になる。また、2 と 2×5 の倍数は、十進法では 5 種類になるが、六進法では 3 種類になる。

一の位で判定

|  |  |
| --- | --- |
| 一の位が0 | 2と3で割り切れる(10(=6)の倍数) |
| 一の位が1か5 | 2でも3でも割り切れない |
| 一の位が2か4 | 2で割り切れるが、3で割り切れない |
| 一の位が3 | 2で割り切れないが、3で割り切れる |

下二桁で判定

|  |  |
| --- | --- |
| 下二桁が00 | 4でも13(=9)でも割り切れる(100(=36(10))の倍数) |
| 下二桁が 04,12,20,24,32,40,44,52,00 のどれか | 4の倍数(複偶数) |
| 下二桁が 02,10,14,22,30,34,42,50,54 のどれか | 2で割り切れるが、4では割り切れない(単偶数) |
| 下二桁が 13,30,43,00 のどれか | 13(=9)の倍数 |
| 一の位が 03,10,20,23,33,40,50,53 のどれか | 3で割り切れるが、13(=9)では割り切れない |

個別の倍数判定も、以下のようになる。素因数分解を左に【】で示す。

- 【2】2:一の位が2か4か0
- 【3】3:一の位が3か0
- 【2】4:下二桁が{04,12,20,24,32,40,44,52,00}のどれか。計9 (= 3) 種類。
- 【5】5:各位の数字和が5の倍数
- 【2×3】10(=6(10)):一の位が0
- 【3】13(=9(10)):下二桁が{13,30,43,00}のどれか。計4 (= 2) 種類。
- 【2×5】14(=10(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が 2か4か0。
- 【3×5】23(=15(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が 3か0 。
- 【2×3】100(=36(10)):下二桁が00 。

- 【11】11(=7(10)):二桁のゾロ目、あるいは二桁ゾロ目に0がいくつも付く。{例:220(=84(10))、3311(=763(10))}
- 【2】12(=8(10)):下三桁が12の倍数{012,024,040 ... 532,544,000}。{計43(=27(10)) 種類。例:1224(=304(10))}
- 【2×3】20(=12(10)):下二桁が{20,40,00}のどれか。{例:3440=580(12)=816(10)}
- 【2】24(=16(10)):下四桁が24の倍数。{計213(=81(10)) 種類。例:12544=1936(10)}
- 【2×3】30(=18(10)):下二桁が 30 か00 。
- 【2×5】32(=20(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ下二桁が{04,12,20,24,32,40,44,52,00}のどれか。{例:13204=510(20)=2020(10)}
- 【2×3】40(=24(10)):一の位が0、かつ整数第三位〜第二位が{04,12,20,24,32,40,44,52,00}のどれか。{例:1520=408(10)}
- 【5】41(=25(10)):「一の位以外」から「一の位を4倍」を引き、その差が0か、その差を41で割って余りが0。{例:13051 = 1975(10)}
- 【3】43(=27(10)):下三桁が{043,130,213,300,343,430,513,000}のどれか。{例:1213 = 297(10)}
- 【2×3×5】50(=30(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が0。
- 【2×5】104(=40(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ下三桁が12の倍数。{計43(=27(10)) 種類。例:2012(=440(10))}
- 【2×3×5】140(=60(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ下二桁が{20,40,00}のどれか。{例:13100=1980(10)}
- 【3】213(=81(10)):下四桁が213の倍数。{計24(=16(10)) 種類。例:14043=2187(10)}
- 【2×5】244(=100(10)):「一の位以外」から「一の位を4倍」を引き、その差が0か、その差を41で割って余りが0になり、その上で下二桁が4の倍数。{例:3412 = 800(10)}

### 小数と除算

#### 小数の位取り

六進法では「5 + 1 = 10」「2×3 = 10」になるので、2と3という基本的な数による演算が非常に容易である。
小数の位取りは、0.1が「六分の一」に続いて、0.01は「三十六分の一」、0.001は「二百十六分の一」となる。

#### 整数の除算

六進法の整数の除算では、100や1000など桁上がりの冪数も三分割が可能になり、10(六)の冪指数と同じ2の冪数と3の冪数で割り切れることになる。例えば、1000ならば2と3の両方で割り切れ、かつ2と3の冪指数が同じになる。

十進法の整数の除算では、「四分割(2)は百(100)まで待たねばならない」上に、100は三分割も九分割(3)もできない。しかし、六進法の整数の除算では、「四分割は三十六(100)まで待たねばならない」が、「九分割も三十六(100)まで待てばいい」。「100個の饅頭」が、六進法では以下のように分けることができる。

- 二分割:100個 ÷ 2人 = 30個 → 十進換算値は「36個 ÷ 2人 = 18個」
- 三分割:100個 ÷ 3人 = 20個 → 十進換算値は「36個 ÷ 3人 = 12個」
- 四分割:100個 ÷ 4人 = 13個 → 十進換算値は「36個 ÷ 4人 = 9個」「6個 ÷ 2人 = 3個」
- 六分割:100個 ÷ 10人 = 10個 → 十進換算値は「36個 ÷ 6人 = 6個」
- 九分割:100個 ÷ 13人 = 4個 → 十進換算値は「36個 ÷ 9人 = 4個」「6個 ÷ 3人 = 2個」

六進法の「1000人」は十進法で「216人」、同じく「200人」は十進法で「72人」になる。

- 二分割:1000人 ÷ 2 = 300人 → 十進換算値は「216人 ÷ 2 = 108人」
- 三分割:1000人 ÷ 3 = 200人 → 十進換算値は「216人 ÷ 3 = 72人」
- 四分割:1000人 ÷ 4 = 130人 → 十進換算値は「216人 ÷ 4 = 54人」
- 六分割:1000人 ÷ 10 = 100人 → 十進換算値は「216人 ÷ 6 = 36人」
- 八分割:1000人 ÷ 12 = 43人 → 十進換算値は「216人 ÷ 8 = 27人」「6人 ÷ 2 = 3人」
- 九分割:1000人 ÷ 13 = 40人 → 十進換算値は「216人 ÷ 9 = 24人」
- 二十七分割:1000人 ÷ 43 = 12人 → 十進換算値は「216人 ÷ 27 = 8人」「6人 ÷ 3 = 2人」
- 八分の五:1000人 × (5/12) = 343人 → 十進換算値は「216人 × (5/8) = 135人」
- 二十七分の十:1000人 × (14/43) = 212人 → 十進換算値は「216人 × (10/27) = 80人」

- 二分割:10000 ÷ 2 = 3000 → 十進換算値は「1296 ÷ 2 = 648」
- 三分割:10000 ÷ 3 = 2000 → 十進換算値は「1296 ÷ 3 = 432」
- 四分割:10000 ÷ 4 = 1300 → 十進換算値は「1296 ÷ 4 = 324」
- 六分割:10000 ÷ 10 = 1000 → 十進換算値は「1296 ÷ 6 = 216」
- 八分割:10000 ÷ 12 = 430 → 十進換算値は「1296 ÷ 8 = 162」
- 九分割:10000 ÷ 13 = 400 → 十進換算値は「1296 ÷ 9 = 144」
- 十六分割:10000 ÷ 24 = 213 → 十進換算値は「1296 ÷ 16 = 81」「6 ÷ 2 = 3」
- 二十七分割:10000 ÷ 43 = 120 → 十進換算値は「1296 ÷ 27 = 48」
- 八十一分割:10000 ÷ 213 = 24 → 十進換算値は「1296 ÷ 81 = 16」「6 ÷ 3 = 2」

#### 小数を含めた除算

十進法は1/3が割り切れないのに対して、六進法では十の冪数も2の冪数も三分割することができる。

- 五十一の二分割
  - 十進法:51 ÷ 2 = 25.5
  - 六進法:123 ÷ 2 = 41.3
- 百の三分割
  - 十進法:100 ÷ 3 = 33.3333...
  - 六進法:244 ÷ 3 = 53.2
  - 十進法:100 × (2/3) = 66.6666...
  - 六進法:244 × (2/3) = 150.4
- 千の三分割
  - 十進法:1000 ÷ 3 = 333.3333...
  - 六進法:4344 ÷ 3 = 1313.2
- 2の三分割
  - 八進法:100 ÷ 3 = 25.2525...
  - 十進法:64 ÷ 3 = 21.3333...
  - 六進法:144 ÷ 3 = 33.2
- 2の三分割
  - 十進法:256 ÷ 3 = 85.3333...
  - 六進法:1104 ÷ 3 = 221.2
- 2の五分割
  - 十進法:256 ÷ 5 = 51.2
  - 六進法:1104 ÷ 5 = 123.1111...

十進法で「100分率」を作ると「百分率」だが、六進法で「100分率」を作ると「三十六分率」になる。「三十六分率」になると、十進法の1/3の数量で、「m/4」と「m/9」を同じ桁数で実行することができる。

- 十進法:75 ÷ 100 = 0.75 → 75 %
- 六進法:203 ÷ 244 = 0.43 → 43 (三十六分率)
- 十進法:2 ÷ 3 = 0.6666... → 66.6666... %
- 六進法:2 ÷ 3 = 0.4 → 40 (三十六分率)
- 十進法:8 ÷ 9 = 0.8888... → 88.8888... %
- 六進法:12 ÷ 13 = 0.52 → 52 (三十六分率)
- 十進法:90 ÷ 100 = 0.9 → 90 %
- 六進法:230 ÷ 244 = 0.5222... → 52.2222... (三十六分率)

その他、「2の冪数」や「十の冪数」の九分割の例は以下の通りになる。

- 六進法:144 ÷ 13 = 11.04
- 六進法:1104 ÷ 13 = 44.24
- 十進法:100 ÷ 9 = 11.1111...
- 六進法:244 ÷ 13 = 15.04

十進数では m/3 (= m/27(10)) は割り切れず、37(10) (= 101(6)) の倍数三桁が循環するが、六進数では m/3 (= m/43(6))は割り切れて2=12(6)=8(10)の倍数になる。m/2 の小数も、十進数では 5 (= 125(10) = 325(6))の倍数だが、六進数では 3 (= 43(6) = 27(10))の倍数になる。
従って、六進数では、2 (=12(6)=8(10))で割ると被除数の3 (=43(6)=27(10))倍の数が現れ、3 (=43(6)=27(10))で割ると被除数の2 (=12(6)=8(10))倍の数が現れる。

- 十進法:3 ÷ 10 = 0.3
- 六進法:3 ÷ 14 = 0.14444...
- 十進法:8 ÷ 27 = 0.296296...
- 六進法:12 ÷ 43 = 0.144

2/3 の小数は、十進法では割り切れずに 37×8 = 296 が循環するのに対して、六進法では割り切れて 12×12 = 144 が現れ、これを十進法で換算すると 8×8 = 64 になる。「十分の三」が割り切れない一方で、その概数である「二十七分の八」は「四六三分の六二」として計数され、割り切れる小数になる。
このように、六進法は六分割で一桁下がるので、三分割、九分割、二十七分割など、3の冪数で分ける方法がかなり便利になる。

- 十進法:3 ÷ 8 = 0.375
- 六進法:3 ÷ 12 = 0.213

3/8の小数は、小数点を消すと十進法が 375(10) = 3×5 に対して、六進法は 213(6) = 3×3 = 81(10) が現れる。これらを分数化すると、十進法が (375/1000)10 に対して、六進法は (81/216)10 = (213/1000)6 になる。

その他、2、3、列びに5を伴う除算の例は、以下のようになる。

- 2 ÷ 3
  - 十進法:256 ÷ 27 = 9.481...
  - 六進法:1104 ÷ 43 = 13.252
- 2 ÷ 5
  - 十進法:256 ÷ 25 = 10.24
  - 六進法:1104 ÷ 41 = 14.12350...

六進法は2と3の冪指数が同じなので、十六分割(2)と同じく八十一分割(3)も容易である。その他、2と3の冪指数が4以上の計算例は、以下のようになる。

- 3 ÷ 2
  - 十進法:6561 ÷ 16 = 410.0625(十進帯分数:410と625/10000=410と3/16)
  - 六進法:50213 ÷ 24 = 1522.0213(十進帯分数:410と81/1296=410と3/16)
- (2)10 ÷ 3 { (2)6 ÷ 3}
  - 十進法:4096 ÷ 81 = 50.567901234...
  - 六進法:30544 ÷ 213 = 122.3224(十進帯分数:50と736/1296=50と46/81)
- 十進分数 11/64(11÷2)
  - 十進法 11 ÷ 64 = 0.171875
  - 六進法:15 ÷ 144 = 0.101043(十進数に換算して 8019/46656)
- 十進分数 31/729(31÷3)
  - 十進法:31 ÷ 729 = 0.04252400548...
  - 六進法:51 ÷ 3213 = 0.013104(十進数に換算して 1984/46656)
- 十進分数 135/256{(3×5) ÷ 2}
  - 十進法:135 ÷ 256 = 0.52734375
  - 六進法:343 ÷ 1104 = 0.30552343(十進数に換算して 885735/1679616)
- 十進分数 2000/6561{(2×5) ÷ 3}
  - 十進法:2000 ÷ 6561 = 0.30483158055...
  - 六進法:13132 ÷ 50213 = 0.14545104(十進数に換算して 512000/1679616)

#### 小数表

分数を六進法の小数に変換すると、「二分の一」と「三分の一」が小数第一位、「四分の一」と「九分の一」が小数第二位、「八分の一」と「二十七分の一」が小数第三位となる。つまり、2と3がそのまま「小数第n位」になる。しかし、五分の一だけが割り切れず、循環節が一桁になる。

- 1/2 = 0.3
- 1/3 = 0.2
- 2/3 = 0.4

- 基本的な分数
  - 1/4 = 0.13(十進換算で 9/36 = 1/4)
  - 3/4 = 0.43(十進換算で 27/36 = 3/4)
  - (1/9)10 = 1/13 = 0.04(十進換算で 4/36 = 1/9)
  - (2/9)10 = 2/13 = 0.12(十進換算で 8/36 = 2/9)
  - (4/9)10 = 4/13 = 0.24(十進換算で 16/36 = 4/9)
  - (5/9)10 = 5/13 = 0.32(十進換算で 20/36 = 5/9)
  - (7/9)10 = 11/13 = 0.44(十進換算で 28/36 = 7/9)
  - (8/9)10 = 12/13 = 0.52(十進換算で 32/36 = 8/9)

従って、1/2にするには0.3を掛ける、1/3にするには0.2を掛ける、2/3にするには0.4を掛ける、3/4にするには0.43を掛ける、(4/9)10にするには0.24を掛ける、(5/8)10にするには0.343を掛ける、(8/27)10にするには0.144を掛ける、という方法でも算出できる。

#### 単位分数と無理数

割り切れない小数の循環節は下線で示す。六は三では割り切れるが五では割り切れないので、五で割った際に循環小数になる例が多数現れる。六進法の除算の特筆すべき点として、一桁の整数のうち、単位分数にすると割り切れない数は五だけである。六は二と三で割り切れる最小の数なので、三の累乗数である九(六進法では13)や二十七(六進法では43)でも循環小数にならずに割り切れ、小数化すると割り切れない分数はかなり少なくなる。

又、十進法と六進法に共通する特徴として、割り切れない小数に37(10)=101(6)の倍数が現れる。これは、十の三乗と六の四乗が、37(10)=101(6)の倍数の次に来るためである。実際に、十進法999 (= 1000-1) は六進法4343(十進換算で3×37=999)、六進法5555 (= 10000-1) は十進法1295(六進換算で5×11×101=5555、十進換算で5×7×37=1295)である。6までの逆数を見ても、全体的に六進法と十進法は循環節が短い傾向が見られ、十進法で3の循環節が3桁に対して、六進法の5も循環節が5桁である。

六進法の小数と除算(十分割まで)

| 除数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 (六) | 11 (七) | 12 (八) | 13 (九) | 14 (十) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 被除数が1 | 0.3 | 0.2 | 0.13 | 0.1111... | 0.1 | 0.0505... | 0.043 | 0.04 | 0.0333... |
| 被除数が4 | 2 | 1.2 | 1 | 0.4444... | 0.4 | 0.3232... | 0.3 | 0.24 | 0.2222... |
| 被除数が10 (十進法の6) | 3 | 2 | 1.3 | 1.1111... | 1 | 0.5050... | 0.43 | 0.4 | 0.3333... |
| 被除数が14 (十進法の10) | 5 | 3.2 | 2.3 | 2 | 1.4 | 1.2323... | 1.13 | 1.04 | 1 |
| 被除数が35 (十進法の23) | 15.3 | 11.4 | 5.43 | 4.3333... | 3.5 | 3.1414... | 2.513 | 2.32 | 2.1444... |
| 被除数が50 (十進法の30) | 23 | 14 | 11.3 | 10 | 5 | 4.1414... | 3.43 | 3.2 | 3 |
| 被除数が100 (十進法の36) | 30 | 20 | 13 | 11.1111... | 10 | 5.0505... | 4.3 | 4 | 3.3333... |
| 被除数が140 (十進法の60) | 50 | 32 | 23 | 20 | 14 | 12.3232... | 11.3 | 10.4 | 10 |
| 被除数が244 (十進法の100) | 122 | 53.2 | 41 | 32 | 24.4 | 22.1414... | 20.3 | 15.04 | 14 |
| 被除数が325 (十進法の125) | 142.3 | 105.4 | 51.13 | 41 | 32.5 | 25.5050... | 23.343 | 21.52 | 20.3 |
| 被除数が1000 (十進法の216) | 300 | 200 | 130 | 111.1111... | 100 | 50.5050... | 43 | 40 | 33.3333... |
| 被除数が1104 (十進法の256) | 332 | 221.2 | 144 | 123.1111... | 110.4 | 100.3232... | 52 | 44.24 | 41.3333... |
| 被除数が4344 (十進法の1000) | 2152 | 1313.2 | 1054 | 532 | 434.4 | 354.5050... | 325 | 303.04 | 244 |

単位分数の小数換算値(六分割以降の主要分数)

| 素因数分解 | 六進分数 | 六進小数 | 十進小数 | 十進分数 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2×3 | 1/10 | 0.1 | 0.1666... | 1/6 |
| 11 | 1/11 | 0.0505... | 0.142857... | 1/7 |
| 2 | 1/12 | 0.043 | 0.125 | 1/8 |
| 3 | 1/13 | 0.04 | 0.1111... | 1/9 |
| 2×5 | 1/14 | 0.0333... | 0.1 | 1/10 |
| 15 | 1/15 | 0.0313452421... | 0.0909... | 1/11 |
| 2×3 | 1/20 | 0.03 | 0.08333... | 1/12 |
| 3×5 | 1/23 | 0.0222... | 0.0666... | 1/15 |
| 2 | 1/24 | 0.0213 | 0.0625 | 1/16 |
| 2×3 | 1/30 | 0.02 | 0.0555... | 1/18 |
| 2×5 | 1/32 | 0.01444... | 0.05 | 1/20 |
| 2×3 | 1/40 | 0.013 | 0.041666... | 1/24 |
| 5 | 1/41 | 0.01235... | 0.04 | 1/25 |
| 3 | 1/43 | 0.012 | 0.037... | 1/27 |
| 2 | 1/52 | 0.01043 | 0.03125 | 1/32 |
| 2×3 | 1/100 | 0.01 | 0.02777... | 1/36 |
| 2×5 | 1/104 | 0.005222... | 0.025 | 1/40 |
| 2×3 | 1/120 | 0.0043 | 0.0208333... | 1/48 |
| 2×5 | 1/122 | 0.004153... | 0.02 | 1/50 |
| 2×3 | 1/130 | 0.004 | 0.0185... | 1/54 |
| 2 | 1/144 | 0.003213 | 0.015625 | 1/64 |
| 2×3 | 1/200 | 0.003 | 0.013888... | 1/72 |
| 2×5 | 1/212 | 0.0024111... | 0.0125 | 1/80 |
| 3 | 1/213 | 0.0024 | 0.012345679... | 1/81 |
| 2×3 | 1/240 | 0.00213 | 0.01041666... | 1/96 |
| 2×5 | 1/244 | 0.0020543... | 0.01 | 1/100 |
| 2×3 | 1/300 | 0.002 | 0.00925... | 1/108 |
| 5 | 1/325 | 0.001421125322404 3351545031... | 0.008 | 1/125 |
| 2 | 1/332 | 0.0014043 | 0.0078125 | 1/128 |
| 2×3 | 1/400 | 0.0013 | 0.0069444... | 1/144 |
| 2×5 | 1/424 | 0.00120333... | 0.00625 | 1/160 |
| 2×3 | 1/430 | 0.0012 | 0.0061728395... | 1/162 |
| 2×3 | 1/520 | 0.001043 | 0.005208333... | 1/192 |
| 2×5 | 1/532 | 0.00102514... | 0.005 | 1/200 |
| 2×3 | 1/1000 | 0.001 | 0.004629... | 1/216 |

※ 素因数分解は六進表記。

分数の小数換算値(冪指数は-10 (-6)まで)

| 指数 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | 0.3 (1/2) | 0.13 (1/4) | 0.043 (1/12 = 1/810) | 0.0213 (1/24 = 1/1610) | 0.01043 (1/52 = 1/3210) | 0.003213 (1/144 = 1/6410) |
| 3 | 0.2 (1/3) | 0.04 (1/13 = 1/910) | 0.012 (1/43 = 1/2710) | 0.0024 (1/213 = 1/8110) | 0.00052 (1/1043 = 1/24310) | 0.000144 (1/3213 = 1/72910) |

## 命数法

六進命数法とは、6 を底とする命数法である。

### 命数法の基本構造

六進命数法は、0(零)から「10」となる六までを一つの名詞として命名し、七から十一までを「6+1」「6+2」...「6+5」という形式で命名し、六の倍数は「2×6」「3×6」「4×6」「5×6」という形式で命名する。その次は、100となる三十六や、1000となる二百十六など六の冪数(6)で新しい数詞が付けられる。「m×6」となる数も、200となる七十二は「六の二乗の二倍」「二倍の三十六」、300となる百八は「六の二乗の三倍」、4000となる八百六十四は「六の三乗の四倍」「四倍の二百十六」、5000となる千八十は「六の三乗の五倍」として命名される。

### 数詞

自然言語で六進命数法の数詞を持つものは少ない。ニューギニア島近くのフレデリク・ヘンドリク島のンドム語 (Ndom) が六進法の数詞を持つと報告されている。ンドム語では、 mer が 6、 mer an thef が 12(10) (二六:6 × 2) 、tondor が 18(10)、nif が 36(10) (6)、nif thef が 72(10) (6 × 2) を意味しており、六の倍数では18(10)(三六:3 × 6)だけが独立系の数詞になっている。

| 六進数 | 十進数 | ンドム語 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 1 | sas |
| 2 | 2 | thef |
| 3 | 3 | ithin |
| 4 | 4 | thonith |
| 5 | 5 | meregh |
| 10 | 6 | mer |
| 11 | 7 | mer abo sas |
| 12 | 8 | mer abo thef |
| 13 | 9 | mer abo ithin |
| 14 | 10 | mer abo thonith |
| 15 | 11 | mer abo meregh |
| 20 | 12 | mer an thef |
| 21 | 13 | mer an thef abo sas |
| 30 | 18 | tondor |
| 33 | 21 | tondor abo ithin |
| 43 | 27 | tondor abo mer abo ithin |
| 52 | 32 | tondor abo mer an thef abo thef |
| 100 | 36 | nif |
| 120 | 48 | nif abo mer an thef |
| 200 | 72 | nif thef |
| 213 | 81 | nif thef abo mer abo ithin |

この他には、南ニューギニアのングコルンプ語(Ngkolmpu)、パプアニューギニアのヤム語(en:Yam languages)やコムンゾ語が(en:Kómnzo language)が六進法を使用しており、六の倍数や六の冪数にも個別の数詞が付けられている。これらの言語で六が底になった由来として、「もう片手は桁上がりで六の位」とする指数えが挙げられている。

| 六進数 | 十進数 | ングコルンプ語 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 1 | naempr |
| 2 | 2 | yempoka |
| 3 | 3 | yuow |
| 4 | 4 | eser |
| 5 | 5 | tampui |
| 10 | 6 | traowo |
| 11 | 7 | naempr traowo naempr |
| 12 | 8 | naempr traowo yempoka |
| 13 | 9 | naempr traowo yuow |
| 14 | 10 | naempr traowo eser |
| 15 | 11 | naempr traowo tampui |
| 20 | 12 | yempoka traowo |
| 21 | 13 | yempoka traowo naempr |
| 30 | 18 | yuow traowo |
| 43 | 27 | eser traowo yuow |
| 100 | 36 | ptae |

### 語彙

六が底になった由来は二つある。一つは、前述の「もう片手は六の位」とする指数えである。もう一つは、空間の基本的な方角が六つである事(2 面 × 3 次元 = 6。上下・左右・前後)も挙げられる。

日本語には、「十→百」という十進法が主流とされる中で、「六→三十六」という六進法に基づく語彙や名数が存在している。例として、全ての方角を指して「六合」「六方」(= 6) と呼んだり、全ての景色を指して「三十六景」「三十六峰」、全ての方策を指して「三十六策」(= 6) というように、空間や方角に関する語彙に六進法が用いられている。歌仙も「六歌仙」(= 6) や「三十六歌仙」(= 6) というように、六の累乗で数えられている。これらの数え方は、十進法が「十指の二乗で百」に対して、六進法は「六面の二乗で三十六」という発想に基づいている。

また、「二十四時間」ではなく「四六時中」(40(6)=24(10)) といった六進命数法の語彙も用いられている。
これは江戸時代の1日を12分割する時法で「二六時中」と表現されたものを、明治以降の二十四時間制にあわせて言い直したものである。

### 単位系

六進法は、まれに単位系で使われることがある。尺貫法では、1 間は 6 尺である。

## 指数え

拳を0とすれば、0から5までの六種類の数字を片手で表現できる。六進法の指数えでは、片手(主に右手)を一の位、もう片手(主に左手)を六の位として、「五六五」すなわち、三十五(55(6)=35(10))まで数える。この方法では、右手で0から5まで数えて、「左手が1」すなわち六になったら桁上がりで右手を拳に戻す。

例えば、左手が「1」と右手が「5」なら「六五」すなわち十一(15(6)=11(10))、左手が「3」で右手が「2」なら「三六二」すなわち二十(32(6)=20(10))、左手が「4」で右手が「3」なら「四六三」すなわち二十七(43(6)=27(10))を表す。

二桁で数えるので、(1)「一の位」と「六の位」、(2)「一の位」と「六分の一の位」、(3)「六分の一の位」と「三十六分の一の位」、の三種類が計算可能になり、1.1以降の小数や仮分数も表現できる。小数は0.01(十進分数1/36)から5.5(5と5/6)までをカウントできる。
前述の左手が「3」で右手が「2」なら、32(6)で「20(10)」の他に、3.2(6)で「3と1/3」、それに0.32(6)で「5/9」(=十進分数20/36)を表現できる。
「75(10)パーセント」すなわち3/4も、3/4=(27/36)10=(43/100)6から、左手が「4」と右手が「3」で0.43(6) として表現できる。

両手で十進法の指数えは、「六五」すなわち十一以降の整数を表現できず、1.1以降の小数も仮分数も表現できず、十分率しか示せないので
二分割と五分割しかできず、三分割も四分割も九分割もできない。しかし、両手で六進法の指数えは、「五六五」すなわち三十五までをカウントできる上に、1.1以降の小数も仮分数も表現できて、二分割も三分割も可能になり、両手に拡大すれば四分割と九分割も可能になる。

乗算や除算では、2のp乗、3のp乗、6×mというように段階に分ける。

- 1.2×3 = 4(十進換算:1と2/6 × 3 = 4) 、12×3 = 40(十進換算:8×3 = 24)

  :   左手で「1×3 = 3」を行い、右手から2ずつ加えて左手に1つ加わったら右手を0(拳)に戻す。
- 100÷13 = 4(十進換算:36÷9 = 4)、1÷13 = 0.04(十進換算:1÷9 = 4/36)

  :   「10(6) ÷ 3 = 2」の動作を左手で一回、更に右手でもう一回行なって完了する。
- 32÷2 = 14(十進換算:20÷2 = 10)

  :   初めに左手で「2÷2 = 1」の動作を行い、次いで「12(6)÷2 = 4」の動作を行なって完了する。