ゾーン多面体(ゾーンためんたい、英: Zonohedron)とは、三次元の凸多面体において、向かいあった辺同士が全て平行になっている偶数多角形のみで構成されている立体である。平行な辺を共有する隣り合う面を辿っていくと立体を一周する帯(ゾーン)が見て取れることが、この名前の由来である。コクセターはゾーン多面体の理論はロシアの偉大な結晶学者フェドロフによる、と述べている。

主なものでは、

正多面体(プラトンの立体)からは、

- 立方体

半正多面体(アルキメデスの立体)からは、

- 切頂八面体

- 斜方切頂立方八面体
- 斜方切頂二十・十二面体
- 正2n角柱(底面が偶数多角形のもの)

があげられる。そのほか、

- 切稜立方体

や各種菱形多面体もゾーン多面体である。渡辺泰成と別宮利昭は、正多面体や半正多面体、あるいはそれらの複合多面体をもとに、重心から頂点への基本ベクトルを用いて16次元立方体の三次元投影図形までの各種ゾーン多面体を構成した。

## 平行多面体

平行多面体 (Parallelohedra) とは、ゾーン多面体のうち単独で平行移動のみによる空間充填が可能な立体のことであり、以下の5種類しかないことをロシアの結晶学者E.S.フェドロフが1885年に証明した。

1933年にロシアの数学者ドロネーはより簡単なアプローチでこれを証明した。コクセターはH.S.ホワイトの投影図法に基づいて、1つの交点に交わる直線は3本以下で、1本の直線上の交点の数は3以下という条件を導き、フェドロフの5種類に証明を与えた。

- 平行六面体
- 平行六角柱
- 菱形十二面体
- 長菱形十二面体
- 切頂八面体

## 黄金ゾーン多面体

表面に対角線比が黄金比の菱形のみをもつ等面菱形多面体は次の5種類であり、コクセターはこれを黄金等稜ゾーン多面体と呼んだ。

- 尖った菱形六面体
- 平たい菱形六面体

- 菱形十二面体第2種
- 菱形二十面体
- 菱形三十面体

以上の5種類の菱形多面体のみで空間を非周期的に充填することができる。その二次元投影図はペンローズ・タイルと呼ばれ、3種類がある。

## 第二黄金ゾーン多面体

対角線比が第二黄金比1:2.618の菱形と白銀比1:1.414の菱形の2種類をもつ菱形多面体には、

面の数が6,12,20,30,42,56,72,90のものがあり、それぞれは三次元から十次元までの立方体の三次元投影図形の外殻となってる。

## ポーラーゾーン多面体

コクセターは、任意の偶数正角柱あるいは奇数正反角柱の重心と天面の各頂点、重心と底面の各頂点を結ぶベクトルの組を両極として、菱形面のみから構成されるゾーン多面体をポーラーゾーン多面体と呼んだ。角柱の天地面を正n角形とすると、一つの極の周りをn枚の等しい菱形のセットが取り巻き、つぎに別のn枚の菱形のセットが取り巻くというようにして、合計n-1セットの菱形の側面が反対の極に至るまで埋めることになる。この族のホワイト・コクセターダイヤグラムは、n角形の各辺を両方に延長した直線による星形を示す。

このポーラーゾーン多面体の場合の極を2n角形面に置き換えると、角柱の側面を2枚の2m(m≦n)角形と複数の菱形で取り囲んだプリズムゾーン多面体とでも呼ぶべき一連のゾーン多面体の族となる。菱形面の枚数は、側面の2m角形が天地面の2n角形と頂点を共有する場合は2mn枚、側面の2m角形が天地面の2n角形と辺を共有する場合は2(m-1)(n-1)枚である。 ホワイト・コクセターダイヤグラムは、前者はm本の扇とn本の扇による交差を、後者はm本の扇とn本の扇が1本の直線を共有する交差を示す。

## ゾーン多面体と高次元立方体

三次元空間のゾーン多面体は、高次元の立方体を三次元空間に投影して得られる図形のうちの特定のものの外殻と一致する。このことを最初に論じたのは、コクセターの『正多胞体』である。その中で彼は、1934年に敷物商・ドンチャン(Paul S. Donchan) が発表した四次元多胞体の三次元投影模型から着想を得たことを模型の写真とともに紹介している。 またコクセターは、ゾーン多面体のゾーンの数を数えるための実用的な方法は、任意の頂点から反対側の頂点(対蹠点)へ移動するために必要な最小の辺数を数えることであることを示した(1962年)。

ホワイトとコクセターのダイヤグラムでは、ゾーンを直線であらわし、p本の直線が交わる交点は2p角形面を示す。q本の線分及び半直線で仕切られる領域はq価の頂点を表す。そのさい同一直線上にある2つの半直線は1つの線分と同価とみなす。以下の表には、6次までのすべてのゾーン多面体の類型を示し、7次以降は代表的なもののみを示した。

| ゾーン多面体 | 投影図 | 辺数 | 平行な辺の グループ数 | 対応 する 高次元 立方体 の次数 | ホワイト・コクセター ダイヤグラム | 面数 | 頂点数 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 平行六面体 |  | 12 | 4本組×3 | 3 |  | 四角形6枚 | 3価8 |
| 六角柱 |  | 18 | 4本組×3 6本組×1 | 4 |  | 六角形2枚 四角形6枚 | 3価12 |
| 菱形十二面体 |  | 24 | 6本組×4 | 4 |  | 四角形12枚 | 3価8 4価6 |
| 八角柱 |  | 24 | 4本組×4 8本組×1 | 5 |  | 八角形2枚 四角形8枚 | 3価16 |
| 長菱形十二面体 |  | 28 | 4本組×1 6本組×4 | 5 |  | 六角形4枚 四角形8枚 | 3価16 4価2 |
| 菱形二十面体 |  | 40 | 8本組×5 | 5 |  | 四角形20枚 | 3価10 4価10  5価2 |
| 菱形十二面四・六角柱 |  | 34 | 6本組×3 8本組×2 | 5 |  | 六角形2枚 四角形14枚 | 3価12 4価8 |
| 十角柱 |  | 30 | 4本組×5 10本組×1 | 6 |  | 十角形2枚 四角形10枚 | 3価20 |
| 菱形十二面八・六角柱 |  | 38 | 4本組×1 6本組×3  8本組×2 | 6 |  | 八角形2枚 六角形2枚  四角形12枚 | 3価20 4価4 |
| 菱形十六面八・四角柱 |  | 44 | 6本組×4 10本組×2 | 6 |  | 八角形2枚 四角形18枚 | 3価16 4価10 |
| 菱形十八面六・六角柱 |  | 48 | 8本組×6 | 6 |  | 六角形4枚 四角形18枚 | 3価16 4価12 |
| 菱形二十四面六角柱 |  | 54 | 8本組×3 10本組×3 | 6 |  | 六角形2枚 四角形24枚 | 3価18 4価6  5価6 |
| 切頂八面体 |  | 36 | 6本組×6 | 6 |  | 六角形8枚 四角形6枚 | 3価24 |
| 極菱形三十面体 |  | 60 | 10本組×6 | 6 |  | 四角形30枚 | 3価12 4価18  6価2 |
| ホワイト菱形三十面体B |  | 60 | 10本組×6 | 6 |  | 四角形30枚 | 3価12 4価16  5価4 |
| ホワイト菱形三十面体C |  | 60 | 10本組×6 | 6 |  | 四角形30枚 | 3価14 4価12  5価6 |
| 菱形三十面体 |  | 60 | 10本組×6 | 6 |  | 四角形30枚 | 3価20 5価12 |
| 長菱形三十面体 |  | 72 | 8本組×1 10本組×4  12本組×2 | 7 |  | 六角形4枚 四角形30枚 | 3価24 4価8  5価8 |
| 切稜立方体 |  | 48 | 6本組×4 8本組×3 | 7 |  | 六角形12枚 四角形6枚 | 3価32 |
| 長切稜立方体 |  | 60 | 6本組×2 8本組×6 | 8 |  | 八角形2枚 六角形12枚  四角形8枚 | 3価40 |
| 長々菱形三十面体 |  | 84 | 8本組×2 10本組×2  12本組×4 | 8 |  | 八角形2枚 六角形4枚  四角形32枚 | 3価28 4価16  5価4 |
| 大菱形立方八面体 |  | 72 | 8本組×9 | 9 |  | 八角形6枚 六角形8枚  四角形12枚 | 3価48 |
| 大菱形四十二面体 |  | 96 | 8本組×3 12本組×6 | 9 |  | 八角形6枚 四角形36枚 | 3価32 4価24 |
| 小菱形切頂八面体 |  | 120 | 12本組×10 | 10 |  | 六角形20枚 四角形30枚 | 3価48 4価24 |
| 菱形九十面体 |  | 180 | 18本組×10 | 10 |  | 四角形90枚 | 3価60 5価12  6価20 |
| 菱形五十面十二・十二角柱 |  | 124 | 4本組×1 12本組×10 | 11 |  | 十二角形4枚 四角形50枚 | 3価40 4価32 |
| 菱形百二面体 |  | 216 | 18本組×12 | 12 |  | 八角形6枚 四角形96枚 | 3価72 4価24  6価20 |
| 菱形百三十二面体 |  | 264 | 22本組×12 | 12 |  | 四角形132枚 | 3価56 4価48  5価24  8価6        3価48  4価54  5価24  6価8 |
| 大菱形切頂八面体 |  | 144 | 8本組×3 12本組x10 | 13 |  | 八角形18枚 六角形8枚  四角形24枚 | 3価96 |
| 極菱形百八十二面体 |  | 364 | 26本組×13 | 14 |  | 四角形182枚 | 3価28 4価154  14価2 |
| 大菱形二十・十二面体 |  | 180 | 12本組×15 | 15 |  | 十角形12枚 六角形20枚  四角形30枚 | 3価120 |
| 大菱形九十面体 |  | 240 | 10本組×6 18本組×10 | 16 |  | 八角形30枚 四角形60枚 | 3価140 5価12 |