群論における冪零群(べきれいぐん、英: nilpotent group)は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数が互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらに超可解でさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者セルゲイ・チェルニコフの業績に帰せられる。

冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。

冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、(導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて)リー環の理論においても用いられる(冪零リー環の項を参照)。

## 定義

考えている群が冪零であるとは、以下の同値な条件の何れかを満足するときに言う:

- 有限の長さの中心列を持つ。それはすなわち、正規部分群からなる有限の系列$$\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$$ であって、Gi+1/Gi ≤ Z(G/Gi) あるいは同じことだが [G, Gi+1] ≤ Gi となるものである。
- 降中心列が有限の長さで自明群に到達する。すなわち、G0 ≔ G および Gi+1 ≔ [Gi, G] によって定まる正規部分群の系列で$$G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$$とできる。
- 昇中心列が有限の長さでもとの群に到達する。すなわち、Z0 ≔ {1} および Zi+1 は Zi+1/Zi = Z(G/Zi) なる G の部分群と定めるとき、得られる正規部分群の系列で$$\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$$とできる。

冪零群 G に対して、G が長さ n の中心列を持つとき(定義により、長さ n を持つとは中心列に自明群と G 自身を含めて n + 1 個の部分群が並ぶときに言う)、そのような n の最小値を G の冪零度 (nilpotency class; 冪零性の等級) と呼び、また G は冪零度 n の冪零群であるという。G の冪零度は、降中心列または昇中心列を用いても同じ値が定められる。

冪零度を上記のどの仕方で定義したとしても、直ちにわかることに「自明群が冪零度零の唯一の群である」ことおよび「冪零度 1 の群は非自明なアーベル群である」ことが挙げられる

## 例

- 既に述べたように、任意のアーベル群は冪零である。
- 小位数の非アーベルな例として、最小の非アーベル p-群である四元数群 Q8 を挙げることができる。その中心は位数 2 の {1, −1} であり、昇中心列 {1}, {1, −1}, Q8 が得られるから、これは冪零度 2 の例ということになる。
- 実は任意の有限 p-群が冪零である。位数 p の p-群に対し、最大の冪零度は n - 1 である。冪零度最大の 2-群は、四元数群、二面体群あるいは半二面体群の一般化と考えられる。
- 二つの冪零群の直積はまた冪零である。
- 逆に、任意の有限冪零群は p-群の直積になる。
- ハイゼンベルク群は非アーベル無限冪零群の例である。
- 任意の体 F 上の n-次冪単行列(単上三角行列)全体の成す乗法群は、冪零度 n − 1 の冪零(代数)群である。
- F 上の n-次正則上三角行列全体の成す乗法群は一般には冪零群でない(が、可解群ではある)。

## 用語の説明

冪零群の名称は、それが任意の元による「随伴作用」が冪零となることによる。つまり、冪零度 n の冪零群に対して、その元 g の定める作用 $$\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G;\;x\mapsto \operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]$$ が g, x に依らずn 回反復合成で自明となる(ここで、[g, x] ≔ gxgx は g, x の交換子である)。

これは冪零群を定義可能な特徴づけとはなっていない。実際、(既にみたように冪零度 n の)随伴作用素 adg 全体の成す群は n-次エンゲル群と呼ばれ、一般には冪零群でない。位数有限ならば冪零であることが示され、有限生成ならば冪零であろうと予想されている。

アーベル群はちょうど、そのような群で随伴作用が冪零でも自明でもないもの(1-次エンゲル群)になっている。

## 性質

昇中心列の連続する部分群による各剰余群 Zi+1/Zi はアーベル群であり、かつ列は有限であるから、任意の冪零群は比較的単純な構造を持つ可解群である。

冪零度 n の冪零群の任意の部分群は、冪零度高々 n である。加えて、f が冪零度 n の冪零群上の準同型ならば、f の像は冪零度高々 n の冪零群になる。

有限群に対して以下は同値であり、冪零性の有効性が顕わになる:

- (a) G は冪零群である。
- (b) 正規化性質: H が G の真の部分群ならば、H は(H の G における)正規化群 NG の真の正規部分群になる。
- (c) G の任意のシロー部分群は正規部分群である。
- (d) G はそのシロー部分群の直積である。

G がアーベル群ならば、任意の H に対して NG(H) = G であるからよい。そうでないとき、中心 Z(G) が H を含まないならば、hZ⋅H −1
Z h = hHh = H であるから、H·Z(G) は H を正規化する。

以下、それ以外のときについて G の位数 |G| に関する帰納法で示す。Z(G) が H を含むならば H/Z(G) は G/Z(G) に含まれる。G/Z(G) が冪零であることに注意せよ。したがって、帰納法の仮定により、G/Z(G) の部分群で H/Z(G) の正規化群であるものが存在し、H/Z(G) はその真の部分群となる。それにより、その部分群を G の部分群に引き戻せば、それは H を正規化する。

G の任意のシロー部分群を P とし、N = NG(P) と置く。P は N の正規部分群であるから、P は N の特性部分群 char N である。P = char N かつ N は NG(N) の正規部分群であるから、P は NG(N) の正規部分群となる。これは NG(N) が N の部分群であることを意味するから、NG(N) = N であり、(b) により N = G でなければならず、それは (c) ということである。

G の位数を割り切る相異なる素数を p1, p2, ..., ps とし、部分群 Pi はそれぞれシロー pi-部分群に含まれるとする。任意の t に対し、帰納的に P1⋅P2 ⋯ Pt が P1 × P2 × ⋯ × Pt に同型であることが示せる。実際、まず各 Pi が G の正規部分群であるという仮定に注意すれば、積集合 P1⋅P2 ⋯ Pt は G の部分群である。H ≔ P1⋅P2 ⋯ Pt−1 および K ≔ Pt とすれば、帰納法の仮定により H は直積群 P1 × P2 × ⋯ × Pt−1 に同型で、特に |H| = |P1|⋅|P2| ⋯ |Pt−1| が成り立つ。|K| = |Pt| であったから、H, K の位数は互いに素であり、ラグランジュの定理によって H, K の交わりは自明群 {1}、したがって HK ≅ H × K だが、これは作り方から P1⋅P2 ⋯ Pt = HK ≅ H × K = P1 × P2 × ⋯ × Pt であり、帰納法は完成する。t = s と取って (d) を得る。

Z(P1 × P2 × ⋯ × Ps) が Z(P1) × ⋯ × Z(Ps) に同型、したがって G/Z(G) = (P1/Z(P1)) × ⋯ × (Ps/Z(Ps)) となることを見るのは易しい。ゆえに (d) の仮定は G/Z(G) についても成り立つ。Pi ≠ 1 ならば Z(Pi) ≠ 1 であるから、G ≠ 1 ならば |G/Z(G)| は |G| より小さく、帰納法の仮定により G/Z(G) は冪零、したがって G は冪零となる。

最後の性質 (d) は無限群の場合にも拡張することができる:

冪零群の性質の多くは超中心群と共通している。

## 関連文献

- : review