La seconde équation de Friedmann, vue au chapitre précédent, nous donne l'accélération de l'expansion de l'univers. Elle nous dit si l'expansion accélère ou ralentit, en fonction de la densité de la pression de l'univers.
Quant à la première équation de Friedmann, elle donne la vitesse de l'expansion.
Mais un terme manque dans ces équations. Et pour comprendre pourquoi, il nous faire un peu d'histoire.
L'univers statique d'Einstein.
Les deux équations nous disent une chose assez importante : l'univers est en expansion. Le seul moyen pour avoir un univers sans expansion avec ces équations est que la pression et la densité soient nulles, que la matière n'existe pas. Rien de surprenant en soi, mais à l'époque où ces équations ont été déduites à partir de la relativité générale, c'était une surprise. L'expansion de l'univers n'était pas encore connue et la loi de Hubble n'avait pas encore été découverte. Le consensus commun de l'époque était que l'univers était statique et un univers en expansion paraissait contre-intuitif. Il fallait réconcilier un univers statique avec ces équations, ce qu'a fait Einstein.
L'univers statique sans constante cosmologique.
Pour avoir un univers statique, il faut que le facteur d'échelle soit constant, ce qui implique que formula_3, formula_4 et formula_5 à tout instant t. En injectant ces conditions dans la première équation de Friedmann, on trouve :
Ce qui se simplifie en :
Cette condition dit qu'un univers statique est possible, à condition que la courbure compense l'effet de la matière et du rayonnement. Ce qui est assez intuitif : la présence de matière/rayonnement fait s'effondrer l'univers sur lui-même sous l'effet de la gravité. Pour compenser cela, on doit avoir une courbure qui crée une expansion exactement opposée.
En mettant les conditions formula_3, formula_4 et formula_5 dans la seconde équation de Friedmann, on trouve :
Ce qui est équivalent à :
L'équation nous dit que si matière il y a, sa densité doit être compensée par sa pression. La matière doit donc avoir une pression négative, ce qui n'a pas de sens physique.
On peut raisonnablement penser que la densité doit aussi rester constante, la matière n'étant pas diluée par l'expansion. On a alors formula_13, ce qui simplifie l'équation du fluide en :
Cette équation est incompatible avec la précédente, sauf dans le cas où formula_15 et P sont toutes deux nulles.
L'impossibilité d'un univers statique avec ces équations n'est pas surprenante. En effet, les équations de Friedmann nous disent que l'expansion dépend de la courbure et de la gravité. La gravité est censée lutter contre l'expansion, en attirant toute la matière de l'univers vers un même point central, dans un cadre newtonien. La première équation de Friedmann nous dit qu'un univers statique n'est possible que si la courbure compense exactement la gravité. Mais les deux autres équations nous disent que c'est impossible, sauf à placer des contraintes non-physiques sur la matière.
L’invention de la constante cosmologique.
Quand Einstein vit que les équations de Friedmann impliquaient un univers en expansion, il leur ajouta un terme censé corriger ce "problème", rendre statique l'univers des équations de Friedmann. Pour obtenir un univers stationnaire (stable, sans expansion), il pris les équations de la relativité générale et ajouta un terme au bon endroit (dans le tenseur énergie-impulsion, pour les connaisseurs). Les équations de Friedmann étaient alors modifiées, et sont devenues ceci :
Le terme formula_18, ajouté aux équations de Friedmann, a reçu le nom de constante cosmologique.
L'ajout de la constante cosmologique modifie la dynamique des équations.
Dans la première équation de Friedmann, la constante sert à compenser l'effet de la gravité.
L'idée est que la somme courbure + constante cosmologique compense exactement la densité, ce qui annule l'expansion.
En soi, on pouvait faire la même chose avec la courbure, mais avec un défaut : la courbure n'est pas présente dans la seconde équation de Friedmann, ce qui ne réglait qu'une partie du problème.
Mais la constante cosmologique n'a pas ce problème.
Elle est bien présente dans la seconde équation de Friedmann et peut compenser l'effet de la densité avec la valeur appropriée.
On a alors :
Le calcul de la valeur de la constante cosmologique pour un univers statique.
La seconde équation se reformule alors comme suit :
On multiplie par formula_22 :
Le calcul de la courbure pour un univers statique.
Partons de la seconde équation de Friedmann avec constante cosmologique :
En injectant dans la première équation de Friedmann, on trouve :
On développe :
On regroupe les termes et on simplifie :
On factorise et on réorganise les termes :
Ce qui donne :
Le lien entre constante cosmologique et courbure dans le modèle d'Einstein.
Les deux sections précédentes nous ont démontré les deux équations suivantes :
Si on suppose que la pression est négligeable, on peut combiner les deux équations précédentes pour trouver :
En clair, la constante cosmologique implique que l'univers soit courbe. L'obligation d'avoir un univers courbe est un des défauts des univers statiques avec constante cosmologique, mais il est loin d'être le seul. Mais dans les grandes lignes, tous ces défauts pointent vers un même problème : pour obtenir un univers statique, la valeur de la constante cosmologique et de la courbure doivent être minutieusement calibrées pour obtenir un univers statique. L'ensemble de ces défauts font que la constante cosmologique est une réponse imparfaite pour ceux qui veulent un univers statique avec les équations de Friedmann. Aussi, Einstein a abandonné son idée de constante cosmologique pour obtenir un univers statique.
L'accélération de l'expansion.
Si la constante cosmologique a été mise de côté suite à la découverte de l'expansion de l'univers, les physiciens la réutilisèrent pour expliquer un autre phénomène : l'accélération de l'expansion. Il a longtemps été cru que l'expansion de l'univers devait décélérer avec le temps. Pour comprendre pourquoi, rappelons que l'accélération de l'expansion est donnée par la dérivée seconde du facteur d'échelle. Or, la seconde équation de Friedmann sans constante cosmologique nous donne justement cette dérivée seconde, qui vaut :
La densité et la pression sont forcément positives pour la matière et le rayonnement, le terme entre parenthèses est donc positif, ce qui fait que la dérivée seconde est négative en raison du signe moins. Et un formula_34 négatif signifie que l'expansion décélère.
Mais quelques observations ont remis cette affirmation en cause. Deux expériences ont fait voler en éclat ce consensus, en faisant état d'une accélération de l'expansion : le "Supernova Cosmology Project" et le "High-Z supernovae search team". Ces observations ont été confirmées par des observations faites avec le télescope Hubble, à l'heure où j'écris ces lignes (fin 2016). Autant dire que la découverte de l'accélération de l'univers remettait en question les équations de Friedmann telles qu'elles sont formulées dans les chapitres précédents.
Pour résoudre le problème, les physiciens ont envisagé des formes de matière de densité ou de pression négatives. Si l'hypothèse d'une densité/masse négative n'a pas été retenue, ce n'est pas le cas de l'autre possibilité. Puis, les physiciens se sont rendus compte que l'introduction d'une constante cosmologique permet de rendre compte de l'accélération de l'expansion, sous certaines conditions. En effet, dans la seconde équation de Friedmann, la constante cosmologique apparaît comme un terme positif, qui permet de faire passer la dérivée seconde au-dessus de zéro.
La dérivée seconde est positive sous la condition suivante :
L'énergie noire.
La constante cosmologique est encore un mystère. On ne sait pas à quel phénomène physique elle correspond, quelle est son origine. Pour l'expliquer, les cosmologistes supposent qu'il existe, dans l'univers, quelque chose qui a une énergie positive, mais dont la pression est négative. Ce quelque chose, ils l'ont appelé l'énergie noire. Cette énergie noire assez mal connue serait quelque chose de physique, qui contient une certaine densité d'énergie, sous la forme de masse et de pression. Mais les caractéristiques de cette énergie noire font qu'elle ne se comporte pas comme de la matière ordinaire ou du rayonnement. Les observations semblent indiquer que 30% de l'univers est composé de matière, tandis que le reste de la densité d'énergie est intégralement composé d'énergie noire.
Les propriétés de l'énergie noire.
L'énergie noire a une masse positive, mais a aussi une pression négative. Or, la relativité générale nous dit que la pression est une forme d'énergie, qui a donc un effet gravitationnel. Dans cette théorie, toute énergie a un poids, une sorte de masse fictive, et la pression ne fait pas exception. Mais pour la matière ordinaire, la pression est positive, c'est à dire qu'elle a un effet gravitationnel normal, similaire à une masse positive. Elle a donc tendance à ralentir l'expansion, dans une certaine mesure. Mais l'énergie noire a une pression négative, ce qui est particulièrement original (même si on observe des phénomènes similaires dans certains cristaux ou lors de changements de phases). Du point de vue de la relativité générale, une pression négative implique un effet anti-gravitationnel, une attraction gravitaire dirigée vers l'extérieur. En clair, elle agit comme une force répulsive qui contrecarre la gravité et augmente l'expansion au lieu de la ralentir. 
L'énergie noire se caractériserait par une densité constante au cours du temps, même en tenant compte de l'expansion de l'univers. La constance de la densité d'énergie noire a une conséquence assez intéressante : la densité étant constante, le facteur de Hubble est constant lui aussi. On peut remarquer que cela implique que l'énergie de l'univers ne se conserve pas, vu que cette densité constante est couplée à une augmentation du volume de l'univers par l'expansion.
Les scientifiques ont tenté d'expliquer cette énergie noire de plusieurs manières. La tentative la plus connue se base sur une prédiction assez singulière de la théorie quantique des champs., à savoir que le vide est censé être rempli d'une énergie appelé énergie du vide. C'était le candidat idéal pour expliquer l'énergie noire, jusqu'à ce que les calculs montrent que l'expansion mesurée implique une énergie du vide près de formula_37 fois plus grande qu'observée. Ce résultat est aujourd'hui considéré comme la "pire prédiction théorique de l'histoire de la physique".
Énergie noire et équations de Friedmann.
La constante de la densité d'énergie noire permet de simplifier la première équation de Friedmann, en utilisant la densité d'énergie noire formula_38.
Rappelons que la densité de matière, de rayonnement et de courbure suivent les relations suivantes : formula_40, formula_41 et formula_42. En substituant dans l'équation de Friedmann, on trouve :
Par définition, formula_44. En faisant le remplacement dans l'équation précédente et en faisant quelques manipulations algébriques, on trouve :
On multiplie par formula_46 :
À l'heure actuelle, la constante cosmologique n'est qu'un paramètre ad-hoc qui permet de faire coller prédictions théoriques et observations. On ne connaît pas encore son origine, même si les physiciens ont quelques pistes. L'interprétation de ce terme varie suivant les physiciens.
Il est possible de reformuler la première équation de Friedmann avec le paramètre de densité, à savoir le rapport entre la densité réelle et la densité critique obtenue quand on considère un univers de courbure nulle.