Nous noterons ici quelques exercices (classiques ?) , de niveau très variable. Ils se ramènent presque tous à des équations différentielles que l'on doit (?) connaître.
Exercices de cinématique.
Lièvre et Tortue.
Cet exercice fait très vite comprendre la différence entre diagramme horaire et diagramme de phase :
Le lièvre L ne fait d'abord que 100 m en une heure. Il s'aperçoit alors de son retard sur dame Tortue T qui trotte à 200 m/h.
Deux cas : il double sa vitesse toutes les heures ; ou il double sa vitesse tous les hectomètres ultérieurs.
Où et quand croise-t-il dame Tortue ? 
Réponse :
1er cas : en gros sa vitesse est exponentielle du temps ; donc x(t) aussi.
2e cas : sa vitesse est exp kx ! il arrive à l'infini en un temps fini!
plus précisément :
x(t) = 200 t = 300 + 400 (t - 2) solution : t = 2,5 h et x = 500 m.
L'âne et la rivière.
la rivière (R) est droite : y = kx (disons k = 1/2). L'âne Aliboron à t = 0 en x = a (disons 2 km) doit porter son bât au douar D (x = b ; disons 10 km), mais doit se désaltérer une fois à la rivière (t compté négligeable). Date d'arrivée ? (vitesse V : disons 4 km/h)
Réponse :
Prendre le symétrique de D par rapport à (R), soit D' : date d'arrivée = AD'/V (A.N. : sqrt[ (6-2)² + (8-0)²)/4 ] = sqrt(5) = 2.23 h ) (référence : cours d'optique X , ou tout cours sur Fermat et chemin minimal).
Vent et avion.
3 villes A, B, C forment un triangle équilatéral de côté a. Un vent de vitesse V souffle. Un avion volant ordinairement à la vitesse u met le temps T pour joindre AB , mais 3/2.T pour joindre BC et 3/2.T pour regagner A : déterminer V en fonction de a/T = v
Plus dur ? AB en T1 , BC en T2 et CA en T3 : déterminer V
Réponse : 
Soit A(0;0) B(a;0) : la symétrie du problème indique que V = + V.i . Composer alors les vitesses et trouver V(A->B) par Al-Kashi : u + V = v . De même V(B->C) = V(C->B) = sqrt[u²+ V² - uV sqrt(3)] = 2/3.v , soit uV = v.5/9.(2-sqrt(3)) : somme et produit donnent u et V (u>V).
Plus dur ? Oui, c'est vrai . D'un point O quelconque tracer a/T1. AB/a = OH1 ; de même OH2 et OH3 . Tracer I centre du cercle circonscrit au triangle H1H2H3 : la vitesse du vent est OI. On pourra recalculer la vitesse précédente pour contrôle. (référence : Metcherskii et ESG)
Un Problème de Laplace.
L'énoncé est très simple ; la solution est dure ; la réponse très difficile.
Dans le plan , tois vecteurs tournants V1 = A1.expi(w1t) , V2 et V3 . Et A1, A2 et A3 peuvent former un triangle, et les 3 pulsations sont incommensurables (w1.k1 +w2.k2 +w3.k3 = 0 , K : = (k1,k2,k3) sur Z^3 donne K = 0).
Soit S le vecteur somme d'argument theta(t) : trouver lim [theta(t)/t ] pour t grand.
Réponse :
classique.Bohl , Weyl , Arnold, ...
Solution : moyenne des wi pondérées par les angles du triangle (évidemment divisés par Pi). Pour s'en convaincre, prendre suffisamment de cas particuliers , et les traiter avec un logiciel (Scilab par exemple).
la réponse est vraiment plus difficile à cause du mot incommensurable !
Hooke et ses elliptoïdes.
"je ne sais si cela est vrai ; il faut que je vérifie encore" ; voici : 
Hooke est réputé avoir trouvé la solution de l'ellipse de Hooke pour le mouvement de rappel selon la force-de-Hooke. On sait par ailleurs la célèbre querelle qui l'opposa à Newton pour essayer de savoir si le mouvement des planètes correspondait à une attraction en 1/d^2. Il est sûr que cette loi en 1/d^2 avait déjà été proposée. Ce qui est en cause est : Hooke l'avait-il "démontré" ? Il est probable qu'il a utilisé la même méthode graphique que celle qu'il avait utilisée antérieurement. Il a parlé d'elliptoïdes ! On sait que Newton a rageusement détruit pas mal de papiers de Hooke, dès qu'il le remplaça à la "Royal Society". On "doit" à Hooke de le réhabiliter, face au grand-Newton. C'est l'objet de ce petit exercice ( à développer).
Soit un phare O et un mouvement autour de ce phare O, tel que la vitesse V du point M soit constante Vo et perpendiculaire à la direction du vecteur formula_1.
On montre aisément que le mouvement est circulaire uniforme autour de O.
Maintenant voici "l'astuce" : 
imaginer qu'un courant descendant ( selon -Oy) croisse doucement de 0 pour se stabiliser à la valeur V1 ( inférieure à Vo, disons égale à e.Vo): montrer que la trajectoire se décale progressivement vers la droite , et qu'elle reste ELLIPTIQUE. Cela est très joli à voir en animation sous Maple. Qui plus est, montrer que ce mouvement correspond à une accélération en 1/d² où d = OM.
Peut-on trouver qualitativement les symétries de ce mouvement :
formula_2,
avec vec{Vo} = k . Vo perpendiculaire au plan.
Exercices de dynamique , très classiques.
Résonance cyclotron.
Dans le plan xOy , une charge q de masse m est soumise au champ magnétique Bo. k et au champ électrique Eo(i . cos (wt) + j . son(wt) ) et à une résistance fluide -m/tau .V . On appellera Wo = -q/m Bo la pulsation cyclotron . Trouver le régime stationnaire .Discuter la puissance absorbée.
Réponse :
classique
Larmor.
Dans le plan xOy une charge q de masse m est soumise au champ magnétique Bo k. Ayant la vitesse Vo.i (à t=0, x=0;y=0), trouver son mouvement.
On examine maintenant ce mouvement dans le référentiel R' qui tourne aotour de l'axe (O, k) à la vitesse angulaire de Larmor = -1/2 . q/m. Bo. k . Dans ce référentiel montrer que le mouvement est perçu comme rectiligne en appliquant les formules du PFD dans R'. Retrouver alors la question 1 , géométriquement.
Réponse :
classique.
monopôle magnétique et Stormer.
Trouver le mouvement de (q, m) régit par m a = q V/\B , avec B = OM/ OM^3 .Bo.ro².
Il s'agit du problème des aurores polaires; historiquement Stormer a trouvé l'intégrale première qui " débloque la solution" (penser au vecteur excentricité pour Kepler qui avait eu le même effet. La réponse "moderne" est liée à une "symétrie cachée"; cf par exemple CORDANI).
Réponse : 
classique
Conclusion.
Évidemment le problème est : où s'arrêter ? dans ce répertoire quasiment sans fin.

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