On entend par théorie des mécanismes un ensemble de méthodes qui permettent d'étudier les mécanismes et les structures, en vue de les comprendre, de les améliorer ou de les concevoir. Ces méthodes reposent essentiellement sur deux branches de la mécanique qui sont la statique et la cinématique.
Nous verrons d'ailleurs au passage quelques méthodes permettant d'examiner les problèmes de mécanique sous un jour parfois inhabituel, et tant pis s'il faut aller à l'encontre de certaines idées reçues !
Le but de la théorie des mécanismes n'est pas d'établir une construction intellectuelle de plus, mais de donner aux techniciens et ingénieurs un outil de travail efficace. On ne s'étonnera donc pas de voir associées, aussi souvent que possible, des considérations pratiques avec des notions beaucoup plus abstraites.
Liaisons simples.
Pour des raisons pratiques, les surfaces utilisées pour réaliser des liaisons sont le plus souvent des cylindres, des plans ou des sphères. 
Les cylindres peuvent être réalisés très facilement et avec une bonne précision sur une large gamme de machines-outils, ce sont les surfaces les plus économiques et il faut bien sûr les utiliser aussi largement que possible. Les plans sont nettement moins faciles à réaliser, surtout s'ils ont une surface importante, mais ils restent d'un coût raisonnable. Les sphères sont les surfaces les plus onéreuses, surtout si l'on veut imposer à la fois un diamètre précis et des tolérances de forme et de rugosité très faibles. On les évite donc autant que possible en tant que telles, mais leur usage est indispensable pour obtenir certaines fonctions particulières ; dans ce cas, on essaie de trouver des solutions de substitution, ce qui est très souvent possible.
En associant deux à deux ces surfaces, on obtient six combinaisons qui correspondent aux six liaisons simples bien connues :
On ne s'attardera pas sur la liaison nulle, ni sur la liaison complète. 
Chacune des liaisons simples possède des particularités qu'il convient de connaître par cœur si l'on veut utiliser efficacement la théorie des mécanismes. D'autres liaisons seront ajoutées par la suite et considérées comme des liaisons simples, moyennant certaines précautions.
Liaisons unilatérales et bilatérales.
Une liaison unilatérale transmet certains efforts ou interdit certains mouvements dans un seul sens. Une liaison bilatérale qui transmet un effort transmet aussi l'effort opposé et de même, si elle interdit un mouvement, elle interdit également le mouvement opposé.
Les trois liaisons qui comportent un plan, c'est-à-dire l'appui ponctuel, l'appui linéaire rectiligne et l'appui plan, sont des liaisons unilatérales. Au contraire, l'appui linéaire annulaire, le pivot glissant et la rotule sont des liaisons bilatérales.
Une liaison unilatérale transmet les efforts dans un seul sens, et elle le fait alors sans jeu. Si les efforts changent de sens, elle n'existe plus. Une liaison bilatérale subsiste lorsque les efforts transmis changent de sens, mais le jeu se rattrape alors d'un côté ou de l'autre et les positions relatives des pièces ne sont plus déterminées avec une grande précision.
On raisonne souvent comme si les liaisons unilatérales étaient en fait bilatérales. Après tout, loger une sphère, un cylindre ou un « bloc » entre deux plans parallèles n'est pas vraiment plus difficile que d'ajuster deux sphères l'une à l'autre pour former une rotule.
Actions directes, efforts de liaison.
Lorsque l'on étudie l'équilibre d'une pièce, il faut commencer par l'« isoler » et faire l'inventaire de tous les efforts extérieurs qu'elle subit. On s'aperçoit alors que ces efforts sont de deux sortes :
Références centrées, degrés de liaison, degrés de liberté.
Le mouvement d'une pièce P totalement libre dans l'espace par rapport au bâti peut être défini en un point par une vitesse linéaire et un taux de rotation. De même, une pièce totalement liée au bâti peut lui transmettre une action mécanique définie en un point par une force et un moment. Dans un cas comme dans l'autre, le mouvement et l'action mécanique peuvent prendre toutes les valeurs imaginables et pour les exprimer analytiquement, il faut six nombres algébriques dont chacun peut ne pas être nul. Dans le premier cas, tous les mouvements sont possibles, ce qui ne veut pas dire qu'ils aient effectivement lieu, c'est pourquoi on parlera de mouvements relatifs autorisés de P par rapport au bâti. Dans le second, tous les efforts peuvent être transmis, mais ils n'existent pas forcément, on parlera donc d'efforts transmissibles de P sur le bâti.
Références centrées.
On prend maintenant pour exemple un mécanisme constitué d'une tige cylindrique montée dans un alésage du socle, donc liée à celui-ci par un pivot glissant.
On comprend facilement, compte tenu des hypothèses posées précédemment, que les particularités des mouvements autorisés et des efforts transmissibles par cette liaison ne dépendent ni de la longueur du cylindre selon lequel se fait le contact, ni de son diamètre, ni de sa position longitudinale, ni du fait que ce cylindre puisse être morcelé en plusieurs parties. On parle bien ici des particularités, pas des valeurs numériques. Pour les exprimer, il faut se référer à l'axe commun aux deux cylindres, qui constitue la référence centrée du pivot glissant. 
Les références centrées sont en quelque sorte les « squelettes » des liaisons :
On doit toujours garder cette liste présente à l'esprit !
Un système d'axes, un ensemble de notations, ne sont que des outils, qu'il faut choisir avec discernement, et seulement si l'on en a vraiment besoin. En les choisissant mal, on complique les problèmes d'une manière redoutable et l'on finit par échouer avec panache ! S'il faut utiliser un système d'axes, on ne le placera pas n'importe comment, on l'appuiera au contraire sur les références centrées des liaisons pour que les efforts ou les mouvements puissent être exprimés de la façon la plus simple possible.
Degrés de liaison, degrés de liberté.
On prend ici le pivot glissant comme exemple ; il peut être étudié en statique ou en cinématique, peu importe, mais souvent il faut faire les deux études car on a besoin des ensemble de valeurs numériques qui définissent les efforts et les vitesses.
Il faut toujours garder à l'esprit les valeurs caractéristiques des diverses liaisons simples !
Nouvelles définitions, familles de mécanismes.
schéma d'une liaison simple et d'une liaison composée
schéma d'une chaîne continue ouverte et d'une chaîne continue fermée
Notion d'isostaticité ou de « non surabondance ».
Pour immobiliser une pièce A par rapport à un bâti B, ou pour transmettre tout type d'effort de A à B, ce qui revient au même, on peut penser qu'il faut créer entre A et B une liaison composée telle que la somme Ns des degrés de liaison introduits par les liaisons simples qui la composent soit égale à 6
Il existe beaucoup de solutions, comme :
La condition Ns = 6, comme on le verra, est nécessaire mais pas suffisante !
La liaison bien connue « point trait plan » de Lord Kelvin, qui introduit les six degrés de liaison à l'aide de six appuis ponctuels, répond à cette condition.
La sphère 3 repose dans un trièdre creux, ce qui impose la position de son centre par rapport au bâti mais autorise encore les trois rotations de A par rapport au bâti. En appuyant la sphère 2 dans un « vé », on fixe un second point, de sorte que A ne peut plus tourner qu'autour de l'axe passant par les centres des deux sphères. L'appui de la sphère 1 sur un plan achève l'immobilisation.
Il existe donc suffisamment d'appuis, mais pas trop. En rajouter un ne permettrait pas d'avoir une meilleure immobilisation, ou de mieux transmettre les actions directes au bâti, tandis qu'en supprimer un rendrait la pièce A mobile par rapport à B, ou empêcherait de transmettre certains efforts au bâti.
On peut bien sûr vérifier tout cela par le calcul.
On pourrait évidemment trouver des situations où les choses ne seraient pas aussi simples, par exemple si les normales de deux ou plusieurs appuis étaient parallèles, ou si toutes les normales étaient concourantes.
La liaison de Lord Kelvin est intéressante pour positionner des pièces de façon fidèle. Quelle que soit la précision avec laquelle les diverses surfaces ont été réalisées, un instrument de mesure porté par la pièce A reviendra toujours dans la même position, si celle-ci est retirée du socle puis remise en place.
Comme on n'utilise que des liaisons unilatérales, la liaison ne présente aucun jeu, mais certains efforts appliqués sur la pièce A peuvent la déboîter. Il suffit pour éviter cet inconvénient d'ajouter une bride ou un ressort pour la maintenir en place.
Les trois sphères peuvent aussi être appuyées dans trois rainures en forme de V, ce qui donne la liaison de Boys, moins connue et moins utilisée que celle de Lord Kelvin. On peut la réaliser de façon qu'elle présente une symétrie d'ordre 3, ce qui peut être aussi bien un avantage qu'un inconvénient, selon les circonstances.
L'ablocage des pièces en vue de leur premier usinage se fait par six appuis portant sur des surfaces brutes et permettant une immobilisation isostatique. Lors des usinages ultérieurs, on s'appuie sur les surfaces déjà usinées et jamais uniquement sur de nouvelles surfaces brutes. Dans une gamme d'usinage, une « reprise sur brut » conduit toutes les pièces en file indienne droit dans la poubelle ! 
Notion de mobilité, notion d'hyperstaticité ou de surabondance.
Au lieu d'utiliser des appuis ponctuels, on envisage maintenant de réaliser la liaison complète d'une pièce A par rapport à un bâti B en associant deux rotules. Chacune d'elles apportant 3 degrés de liaison, cela en fait 6 en tout, donc juste ce qu'il faut ... Il va donc falloir usiner deux sphères sur chaque pièce, puis procéder à l'assemblage.
Ici deux solutions apparaissent, selon que ces sphères seront concentriques ou non. Pour éviter de se trouver tout de suite dans un cas particulier, on peut choisir la solution la plus générale et faire en sorte que les centres ne soient pas confondus :
En statique, l'équilibre de la pièce A fournit 6 équations, tandis que les deux rotules apportent autant d'inconnues qu'il y de degrés de liaison en tout, c'est-à-dire 6.
En cinématique, les deux rotules imposent 6 conditions au mouvement, autant qu'il y a de degrés de liaison en tout, on pourra donc écrire 6 équations qui contiendront 6 inconnues qui correspondent au mouvement général de la pièce A par rapport au bâti B.
On peut bien sûr étudier ce problème de façon entièrement mathématique mais ce n'est sans doute pas nécessaire pour que l'on comprenne très vite qu'il y a un gros ennui. La pièce A n'est pas complètement liée au bâti, elle peut tourner autour d'un axe qui passe par les centres des deux rotules, si on lui applique des actions extérieures comportant un moment parallèle à cet axe. Par ailleurs, on se rend compte aussi que l'assemblage va dépendre de la distance des centres des sphères, qui doit être la même sur les deux pièces (on rappelle que les liaisons sont parfaites, mais ici cela ne suffit pas à permettre l'assemblage, il faut encore voir la cotation de position). Que s'est-il passé ?
Cette liaison peut correspondre, par exemple, au montage d'un arbre sur deux roulements à rouleaux coniques. Certaines pièces de ces roulements sont en effet légèrement bombées, généralement la cuvette (bague extérieure) de façon à permettre un léger « rotulage » permettant un fonctionnement correct malgré les défauts d'usinage, d'alignement, de montage et les déformations des pièces sous charge. Ce rotulage varie, selon les types de roulement, de 2' à 10' d'angle. Tant que cette limite n'est pas atteinte, et si le roulement est maintenu emboîté, il se comporte comme une rotule. Si elle est dépassée, alors les contacts ne se font plus dans les conditions prévues et la détérioration rapide est inévitable.
Si l'on assemblait sans précautions spéciale un arbre monté sur deux roulements à rouleaux coniques, en mettant tous les éléments en butée contre des épaulements, on verrait apparaître un jeu ou un serrage. Dans le premier cas, les roulements deviendraient bruyants, la précision du guidage ne serait plus assurée et les roulements déboîtés ne dureraient pas longtemps. Dans le second, le serrage pourrait être insuffisant, les roulements se déboîteraient alors sous charge, ou trop important, ce qui engendrerait des pressions de contact trop élevées, un échauffement excessif et une détérioration rapide. À moins d'utiliser, dans des conditions précises, des roulements appairés, la meilleure solution consiste à installer des éléments de réglage qui permettront de soumettre les roulements à une précharge bien contrôlée. Cette précharge doit au moins éviter que les roulements se déboîtent sous l'effet des efforts liés au fonctionnement et elle permet, pour les applications de précision, d'augmenter la raideur des paliers qui se comportent toujours plus ou moins, en pratique, comme des liaisons élastiques.
Définitions, remarques et observations.
Degrés de mobilité.
Dans l'exemple ci-dessous, sous réserve évidemment que les liaisons n'arrivent pas en butée, il existe 3 degrés de mobilité : la rotation de la pièce « rouge » autour de l'axe A qui passe par les centres des rotules 1 et 2, la rotation de la pièce « bleue » autour de l'axe B qui passe par les centres des rotules 2 et 3, mais aussi la rotation simultanée des pièces « rouge » et « bleue » autour de l'axe C qui passe par les centres des rotules 1 et 3. Cette dernière rotation subsiste, par exemple, si l'on remplace la rotule 2 par une soudure.
Les trois vitesses de rotations sont absolument indépendantes les unes des autres, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur et se produire séparément ou simultanément. 
Expression des résultats d'une étude.
Attention ! On comprend facilement que la température d'un objet ne doit pas dépendre du thermomètre qui a servi à la mesurer. De même, les propriétés d'un mécanisme dépendent de ce mécanisme lui-même et absolument pas de la façon dont on l'a étudié ni des outils que l'on a utilisés pour l'étude. 
On ne doit jamais tirer des conclusions du style « la pièce A tourne autour de l'axe Ox », mais par exemple « la pièce A tourne par rapport au bâti B autour de l'axe qui passe par les centres des rotules 1 et 2 », « la pièce A coulisse par rapport à la pièce C dans la direction parallèle au plan de l'appui linéaire rectiligne 1 et à l'axe de la liaison linéaire annulaire 2 », etc.
Il peut en résulter un intéressant exercice de langue française qui, lorsqu'il est réussi, prouve que son auteur a parfaitement compris son sujet.
Hypostatisme.
Et pourquoi pas « hypercinétisme », tant qu'à faire ?
Pas besoin de faire un long discours, cette « notion » n'a aucun intérêt et l'utiliser ne peut que semer le trouble dans les esprits. Il faut l'éradiquer d'urgence.
Généralisation aux mécanismes complexes, formule fondamentale.
D'une manière générale, un mécanisme comporte p pièces liées par a liaisons simples ou assimilées introduisant un nombre total Ns de degrés de liaison (ou Nc = 6a - Ns degrés de liberté, mais ce nombre-là n'a guère d'importance). 
Mobilité utile, mobilité interne, problèmes de précision.
Premier exemple.
L'appui ponctuel d'une pièce A sur un bâti B engendre toujours des pressions de contact très élevées et on ne peut donc pas l'utiliser pour transmettre des efforts importants, surtout dans le cas où un glissement peut avoir lieu. L'idée de le remplacer par un mécanisme un peu plus complexe, remplissant exactement la même fonction, mais ne mettant en jeu que des liaisons surfaciques, aboutit à diverses solutions que l'on peut trouver en utilisant à bon escient la formule générale h = Ns - 6p + d. Parmi les solutions possibles, on peut ajouter une pièce intermédiaire I pour obtenir une liaison en chaîne continue ouverte selon le schéma ci-dessous :
On a donc 0 = 6 - 12 + d, ce qui donne bien évidemment d = 6 degrés de mobilité.
Si la pièce A était liée au bâti par un appui ponctuel « ordinaire », on aurait 0 = 1 - 6 + d, ce qui lui donnerait d = 5 degrés de mobilité. Avec la pièce intermédiaire, elle n'a pas davantage de mobilités, sinon elle serait complètement libre dans l'espace, il est facile de voir que ses mouvements sont exactement ceux que permettrait un appui ponctuel. Naturellement, le 6e degré de mobilité se retrouve quelque part et cela ne peut être qu'au niveau de la pièce intermédiaire I ; celle-ci peut en effet tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan d'appui et passant par le centre de la rotule.
La pièce intermédiaire I peut aussi se déplacer en translation dans deux directions de l'espace, mais ces mouvements sont liés aux deux translations possibles de la pièce A et ils ne sont donc pas indépendants. D'ailleurs, si l'on soudait la pièce A au bâti B, ces translations seraient supprimées tandis que la rotation subsisterait. 
On convient donc de distinguer deux sortes de mobilités, en fonction de l'usage prévu pour les éléments du mécanisme :
Faut-il supprimer les mobilités internes, ou bien peut-on s'en accommoder ? La réponse est avant tout d'ordre technologique et dépend donc des besoins et du contexte. Ici, la rotation de la pièce I n'a strictement aucune influence sur le mouvement et la précision du positionnement de la pièce A, a priori on n'a pas besoin de s'en préoccuper outre mesure.
Deuxième exemple.
Comme précédemment, on peut chercher à remplacer une liaison linéaire annulaire par une liaison en chaîne continue ouverte n'utilisant que des liaisons surfaciques. L'une des solutions possibles utilise un pivot glissant et une rotule :
La pièce A doit posséder les 4 degrés de mobilité utiles qu'elle aurait dans le cas d'une liaison linéaire annulaire directe, ce que l'on vérifiera facilement ici. La formule magique donne cependant :
h = 0 = (4 + 3) - 12 + d, d'où d = 5
Il existe là aussi une mobilité interne évidente, la pièce intermédiaire peut tourner autour de l'axe des cylindres. Cependant, la situation est loin d'être la même que dans le cas précédent, car cette mobilité interne peut nuire à la précision du mécanisme.
Dans le premier exemple, en associant sur la pièce intermédiaire un plan et une sphère, il n'existe qu'un seul cas de figure : la distance du centre de la sphère au plan est fixée une fois pour toutes et impose la distance du centre de la sphère réalisée sur la pièce A au plan d'appui usiné sur le bâti B.
Cette fois, les choses sont très différentes puisque nous avons une alternative : en effet, le centre de la sphère réalisée sur la pièce intermédiaire peut se trouver sur l'axe du cylindre, mais aussi en-dehors :
Dans cette situation, la mobilité interne de la pièce I est supprimée tandis que la pièce A voit sa mobilité passer de 4 à 5 degrés. La chaîne continue ouverte est donc équivalente à un appui ponctuel, en effet, tout se passe comme si la sphère réalisée sur la pièce A était en contact extérieur avec un cylindre réalisé sur le bâti ; la pièce intermédiaire ne tourne autour de l'axe du pivot glissant que si elle est mise en mouvement par la pièce A et il est clair que si celle-ci est « soudée » au bâti, plus rien ne bouge.
Idéalement, le remplacement d'une liaison linéaire annulaire par la chaîne continue ouverte proposée nécessite une position précise pour les deux surfaces réalisées sur la pièce intermédiaire : le centre de la sphère doit se trouver très exactement sur l'axe du cylindre. En pratique, même en prenant toutes les précautions voulues, cette coïncidence sera toujours soumise à tolérance et donc seulement approchée. 
La question qui se pose donc ici est la suivante : que se passe-t-il lorsque le centre de la sphère est à peu près sur l'axe du cylindre ? Tout d'abord, il n'est pas possible en pratique de faire tourner la pièce intermédiaire en se servant de la pièce A comme d'une manivelle. Si on la saisit directement pour la faire tourner sans provoquer sa translation, le centre de la sphère usinée sur la pièce A décrit un très petit cercle. La position exacte de ce point dépend donc de l'angle de rotation de la pièce intermédiaire et de ce fait, la mobilité interne a une influence directe sur le positionnement de la pièce A et donc sur la précision du mécanisme. Si l'on veut améliorer cette précision, il faut donc ajouter un degré de liaison quelque part afin de supprimer non pas un mouvement indésirable, mais une "possibilité" de mouvement indésirable. La solution qui vient naturellement à l'esprit est de transformer le pivot glissant en glissière, mais ce n'est pas la seule possible.
Problèmes de contacts et « machines à coincer ».
Une sphère tangente à deux plans parallèles permet d'obtenir deux points de contact dont les normales sont confondues. On obtient ainsi l'équivalent d'un appui ponctuel bilatéral.
Il ne faut pas oublier qu'il s'agit en fait d'une liaison composée de deux appuis ponctuels et qu'il existe un degré d'hyperstaticité : h = (1 + 1 ) - 6 + 5 = 1.
La condition géométrique à respecter pour que le montage soit possible est évidemment très simple, la distance des plans doit être égale au diamètre de la sphère.
Lorsque les deux surfaces bombées n'appartiennent pas à la même sphère, l'hyperstaticité se manifeste immédiatement. Si le dispositif a l'allure schématisée ci-dessous, la distance des plans est supérieure au diamètre des sphères et la fonction est remplie tant que les éléments restent dans une position telle que les deux contacts ont la même normale. En revanche, si la pièce A bascule, le contact ne peut plus être maintenu des deux côtés du bâti en même temps. Le contact se produit d'un côté ou de l'autre et la liaison prend du jeu.
 ... devient ... 
Si maintenant la distance des plans est plus petite que le diamètre des sphères, le comportement est très différent. Lorsque les deux contacts ont la même normale, aucun effort ne peut s'opposer au basculement, mais dès que celui-ci a commencé, il ne peut pas se poursuivre.
En pratique, les pièces n'étant pas rigoureusement indéformables, les deux normales peuvent se décaler, le basculement se produit mais il est très vite freiné par des efforts de contact d'autant plus importants que les pièces sont plus rigides. La pièce A de peut plus se déplacer entre les plans à cause du frottement, elle est alors littéralement coincée. Le mécanisme lui-même est en danger de déformation permanente ou de rupture. 
La conclusion est la même si on inverse le sens des contacts, sauf que cette fois le coincement est plus facile à imaginer et qu'il se produit quels que soient les rayons des sphères.
Problèmes de représentation mentale et de schématisation.
Nature du problème.
Il est relativement facile de comprendre et d'étudier un mécanisme existant, à partir d'un plan ou d'une réalisation concrète. En revanche, il est souvent beaucoup plus délicat de se représenter mentalement un mécanisme, lorsque l'on recherche la solution d'un problème et que celle-ci n'a pas été dessinée ni a fortiori réalisée. 
La formule magique h = ns - 6 p + d suggère, lorsqu'on la sollicite, des combinaisons de liaisons susceptibles de remplir une fonction définie à l'avance, mais ce petit jeu nécessite une certaine gymnastique intellectuelle. En effet, cette formule amène à compter des degrés de liaison mais ce décompte ignore la nature de ces degrés ; or, celle-ci doit impérativement être prise en compte lors de l'étude critique de telle ou telle solution éventuelle.
Les concepteurs dotés de grandes facilités de représentation mentale passeront en revue les diverses possibilités et seront capables de faire très vite un tri exhaustif entre ce qui ne peut pas fonctionner, ce que l'on peut retenir à la rigueur et ce qui a toutes les chances de donner un mécanisme satisfaisant à la fois sur le plan technique et sur celui du coût de revient.
Les autres devront raisonner de façon plus laborieuse et il leur faudra sans doute faire un grand nombre de schémas, en tenant compte non seulement des propriétés individuelles des liaisons, mais aussi des différentes manières de les disposer dans l'espace les unes par rapport aux autres. L'expérience montre qu'il existe, à ce niveau, une vraie difficulté, en particulier pour un très grand nombre d'étudiants en technologie mécanique et même pour certains de leurs professeurs. C'est pourquoi le lecteur est invité à suivre ce paragraphe, volontairement non illustré, en essayant de ne rien dessiner.
Un petit exemple.
On veut lier complètement deux pièces, de façon isostatique, à l'aide d'une liaison composée de deux liaisons simples.
Parmi toutes les solutions permettant d'obtenir le total de 6 degrés de liaison, qui doit être nécessaire et suffisant, la combinaison 3 + 3 est a priori séduisante ; elle conduit à utiliser deux rotules, ou deux appuis plans, ou une rotule et un appui plan. Or, on comprend vite qu'aucune de ces solutions ne convient : quelle que soit la disposition des éléments, il reste toujours au moins un degré de mobilité ET un degré d'hyperstaticité ; dans deux des trois cas (lesquels ?), on peut trouver des dispositions particulières faisant apparaître trois degrés de mobilité ET trois degrés d'hyperstaticité. 
Une autre combinaison est 4 + 2, a priori intéressante car elle fait intervenir un pivot glissant, la liaison la moins coûteuse, associé à un appui linéaire rectiligne ou annulaire. Nous laissons au lecteur le soin d'examiner le cas « pivot glissant + linéaire rectiligne », qui ne manque pas d'intérêt, nous réservant d'examiner ci-dessous ce que peut donner une liaison composée d'un pivot glissant et d'une liaison linéaire annulaire. 
L'une des pièces comporte une partie sphérique et un cylindre plein ou creux, l'autre un cylindre creux recevant la sphère et un deuxième cylindre creux ou plein ; il devrait être relativement facile de comprendre que les deux possibilités qui sont offertes sont rigoureusement équivalentes et il n'est pas mauvais à ce stade de revenir à la notion de références centrées : 
On trouvera donc,
Sans faire appel à de lourdes démonstrations mathématiques, le lecteur vérifiera :
Reste le cas fort intéressant où b = a.
Que ces deux distances soient nulles ou non, le centre de la sphère est obligatoirement sur la perpendiculaire commune aux deux axes et la force transmise dans la direction de cette perpendiculaire commune ne peut plus être déterminée, il y a donc au moins un degré d'hyperstaticité.
Il est impossible de trouver une disposition permettant d'obtenir trois degrés de mobilité, puisque la simple présence du pivot glissant n'en autorise que deux ; les choses en restent donc là. Tout ceci, bien entendu, se démontre mathématiquement, mais tel n'est pas ici notre propos.
Particularités des schémas de mécanismes.
La représentation schématique d'un mécanisme est fondamentalement différente de celle d'un circuit hydraulique ou électrique. Sur le papier, peu importe où l'on placera le graphisme conventionnel représentant une pompe, un distributeur, une pile, une résistance, etc. Dans la réalité, d'ailleurs, les éléments hydrauliques peuvent être reliés par des tuyaux souples et pour les éléments électriques, en général, la forme des fils qui les relient importe peu. Il n'en est évidemment pas de même en mécanique, où l'on ne peut représenter valablement les choses qu'en tenant compte de façon rigoureuse de la disposition spatiale des divers éléments.
Il faut parfois même exécuter plusieurs schémas : il arrive en effet que certains mécanismes fonctionnent en général « convenablement », sauf lorsque leurs éléments se trouvent dans des positions particulières pour lesquelles on voit apparaître, en même temps, un même nombre de degrés de mobilité ET d'hyperstaticité. Dans la réalité, cela peut avoir pour conséquence l'apparition de « points durs » ou une défaillance complète.
Il existe une norme indiquant la façon dont les liaisons doivent être représentées schématiquement. L'auteur de ces lignes a eu l'occasion, peu après sa publication, de s'entretenir longuement avec les créateurs de cette norme et d'en souligner certaines insuffisances.
La fonction d'un schéma n'est pas d'être conforme à une norme, mais de permettre ou de faciliter la compréhension d'un mécanisme, d'un processus, du fonctionnement d'un logiciel, d'un cycle biologique ou météorologique, de l'organigramme d'une entreprise, etc. 
Bien souvent, le mécanicien inexpérimenté a tendance à fausser une représentation pour pouvoir dessiner les liaisons de façon « conforme ». C'est notamment le cas lorsque des liaisons sont matériellement contenues à l'intérieur d'autres liaisons ; la représentation normalisée se révèle alors tout-à-fait inadaptée et il faut faire appel à d'autres méthodes qui se rapprochent davantage du dessin technique. Plutôt que de schémas, il vaut alors mieux parler de « dessins simplifiés » ; on les exécute sans jamais perdre de vue le but de son travail, et après une analyse méthodique des paramètres géométriques qui caractérisent le mécanisme à représenter (parallélismes, perpendicularités, angles, distances, intersections, éventuellement proportions et formes, etc.). Une disposition des éléments aussi générale que possible doit être a priori privilégiée ; les situations particulières, s'il en existe, font l'objet de schémas ou de dessins simplifiés complémentaires.
Si tout ce travail peut se faire en entière conformité avec la norme, tant mieux. Sinon, il ne faut pas hésiter à s'affranchir de cette contrainte et à proposer de meilleures solutions, ce qui n'est pas toujours facile ...