Cet article illustre, à partir d'un cas courant d'assemblage de deux tubes épais ("dans le jargon des tuyauteurs, un piquage et un collecteur") d'axes orthogonaux non concourants (voir fig. 1), une méthode analytique basée sur l'utilisation des propriétés métriques des droites, plans et des coniques. Le but est de déterminer l'intersection de ces deux corps creux et épais en vue de les assembler par soudage.
Pour effectuer un assemblage convenable il est nécessaire d'obtenir des caractéristiques géométriques précises de la préparation afin de permettre, quelle que soit la position de soudage :
L'angle d'ouverture formula_1 de la préparation soudage est fonction de l'expérience de chacun. Dans l'étude qui suit, les limites sont :
De même, l'angle de chanfreinage formula_2 du piquage étant évolutif tout le long de la courbe d'intersection des deux tubes, nous avons fixé un angle minimum de chanfreinage égal à 50°.
Nature des sections.
La méthode utilisée pour déterminer les caractéristiques géométriques de la préparation soudage est une application analytique de la méthode dite des plans sécants de la géométrie descriptive (ou du traçage des métaux en feuille). Un plan contenant l'axe du piquage, coupe les deux corps de manière à déterminer (voir fig. 2) :
La méthode.
Utilisation des plans sécants.
Le plan sécant formula_3 contient l'axe du piquage formula_4, sa trace horizontale fait un angle formula_5 avec formula_6 (voir fig. 3). 
Les points de la courbe d'intersections des deux tubes sont déterminés dans le plan sécant formula_3 c'est à dire sous la forme de l'intersection des sections ainsi obtenues (voir fig. 4) :
Nota : Comme le piquage ne traverse pas le collecteur de part en part, les points d'intersections qui nous intéressent correspondent aux racines positives des équations.
Paramétrage.
La préparation doit évoluer dans des limites fixées par l'expérience propre et/ou le savoir faire des professionnels. Toutes variations brusques peut être source de défauts internes, d'aspect ou de profil de soudure voire de cosmétique générale. Une relation est paramétrée entre la position du plan formula_3 et l'angle d'ouverture formula_1 acceptable comme suit :
Entre ces valeurs fixées par l'expérience, la loi de variation de l'angle d'ouverture est choisie, pour une transition douce, comme suit :
Calcul des points d'intersection.
Les points naturels de l'intersection sont représentés en fig. 5 avec les conventions suivantes ;
Pour le piquage :
Pour le collecteur :
Les points d'intersection :
Détermination de l'équation paramétrique de la courbe d'intersection.
L'abscisse formula_39 du point d'intersection, voir fig. 4, est :
La section de collecteur contenue dans le plan formula_3 est une ellipse dont les axes sont :
Préparation du piquage.
Mesure et contrôle de l'angle de chanfreinage du piquage.
L'équation paramétrique de la courbe d'intersection formula_50 et formula_51 permet de définir les coordonnées des points "I", "E" et "N" de la fig. 5 qui l'on désigne comme suit :
L'angle de chanfreinage formula_2 est donné, tout le long de la courbe d'intersection, par formula_56, avec :
L'angle entre ces deux vecteurs est donné par :
Lorsque l'angle de chanfreinage est trouvé hors tolérance, il existe un point formula_61 par lequel passe une génératrice dite de contact comprise entre formula_62 et formula_63 (voir Fig. 6) qui coupe formula_64 tel que formula_65 soit acceptable. Problème que l'on résoud en déterminant, dans une boucle de calcul, un point d'abscisse intermédiaire formula_66 compris entre formula_67 et formula_68.
Coupage et chanfreinage du piquage.
L'extrémité du piquage est entièrement définie par les trois courbes, formula_69, formula_70 et formula_71. 
Le tracé de la courbe de coupage correspond à la courbe formula_70 que l'on reproduit sur la peau extérieure du tube. Le coupage doit être effectué perpendiculairement au tracé.
Le tracé de la courbe formula_69 doit être reproduit sur la peau intérieure du piquage, et celui de la courbe formula_71 sur la peau extérieure.
La projection de la courbe formula_70 dans l'épaisseur se fait en portant la mesure formula_76 à même le champ découpé. On procédera au chanfreinage en délardant le piquage suivant les pentes formula_77 pour l'intérieur du piquage et formula_78 ou, selon le cas formula_79 pour l'extérieur.
Préparation du collecteur.
La pénétration piquage / collecteur.
La fig. 7 montre une section de la préparation soudage en formula_5 quelconque, et fait apparaître le point formula_81 du collecteur. formula_82 représente la direction de chanfreinage de la pénétration dans le collecteur.
L'angle de chanfreinage formula_83 du collecteur est donné par :
avec ;
Le point "P" est un point d'intersection entre :
et
L’équation d'une telle droite est donnée, sous la forme d'un déterminant, par :
de la forme formula_88, avec :
et 
Les coordonnées du point "P" s'obtiennent en égalisant l'équation de cette droite avec l'équation de l'ellipse (voir chap. "Détermination de l'équation paramétrique de la courbe d'intersection" ci dessus), en prenant "R" égal au rayon extérieur du collecteur,
En posant :
avec :
et
Coupage de la pénétration.
Le découpe doit s'effectuer perpendiculairement à la peau extérieure du collecteur mais, à la différence du piquage, en suivant le tracé intérieur aux courbes "E" et "P". En effet, dans le cas d'un assemblage piquage droit, le tracé de "E" ne croise jamais le tracè de "P" cependant, dans le cas ou le piquage n'est pas droit et en fonction de l'angle d'inclinaison du piquage, les deux tracés peuvent se croiser.
Reproduction du développement du piquage sur table traçante.
Le développement du piquage est une courbe d'équation paramétrique fonction de formula_5 dans laquelle "r" est égale au rayon extérieur du piquage. Dans le cas de la confection d'un modèle papier qui servira à reproduire le développement sur la pièce réelle, on ajoute 0,5mm au rayon extérieur :
nota : Ce développement correspond à la partie chutée.
Les trois courbes à tracer sont :
En tout point de "E", la tangente est donnée par la dérivée. L'angle formula_104 que fait cette tangente avec l'axe formula_105 est :
soit ;
Avec formula_108 pour tenir compte du fait que "xe" n'est pas toujours situé sur la peau extérieure.
La courbe d'équation paramétrique de "N" est donnée par :
Avec :
Optimisation du nombre de génératrices pour développer le piquage.
Hypothèse : Le concepteur décide d'assimiler l'arc de courbe compris entre formula_113 par un segment de droite formula_114 si les tangentes en ces deux points forment un angles au plus égal à 1°.
Le développement sera constitué (voir fig. 9) d'une succession de segments de droites de longueurs optimisées.
Cas du collecteur.
La pénétration est composée de deux courbes (voirt fig. 10) :
L'équation paramétrique de formula_70 est :
Avec "R" égal au rayon extérieur du collecteur.
Comme pour le piquage, nous calculons la dérivée de cette fonction pour obtenir la courbe de chanfreinage :
Soit :
Avec :
L'équation paramétrique de la courbe de chanfreinage formula_116 est :
avec :
Suppression des points de rebroussement.
Les points de rebroussement produisent des changements brusques de direction dans la préparation soudage, ce qui n'est pas compatible avec un soudage correct des deux éléments à assembler aussi, ces points peuvent être adouci en traçant un cercle tangent de rayon égal à la plus forte épaisseur des deux corps comme illustré aux figures 10 et 11.