Ensembles.
Définitions : ensemble et élément.
Les objets mathématiques sont nommés éléments. Un ensemble est une "collection" ou un "groupement" d'éléments. Soit formula_1 un ensemble, quand formula_2 est un élément de formula_1, nous disons que formula_2 est dans formula_1 ou que formula_2 appartient à formula_1 et nous écrivons formula_8, ce qui se lit « formula_2 appartient à formula_1 ». Quant au contraire formula_2 n'est pas élément de formula_1, nous disons que formula_2 n'appartient pas à formula_1 et nous écrivons formula_15, ce qui se lit « formula_2 n'appartient pas à formula_1 ».
Définition/Notation : ensemble vide.
Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide formula_18. 
Définition d'un ensemble en extension et en compréhension.
Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.
La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l'ensemble dont les éléments sont 1 et 2. 
Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l'ensemble des entiers naturels se définit par : formula_20={0, 1, 2, 3, ...}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l'ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5..., 21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers pairs} désigne l'ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2.
Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique "P" qui dépend de "x". L'ensemble est alors constitué de tous les objets "x" pour lesquels la condition "P" est vraie. Cet ensemble se note {"x" / "P"("x")}. Par exemple, {"x"/x est un nombre réel} désigne l'ensemble des nombre réels formula_28.
Cette notation est appelée « notation de définition d'un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d'un ensemble en compréhension sont :
Définition : Égalité de deux ensembles.
Deux ensembles formula_1 et formula_33 sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments et nous écrivons formula_34. Nous avons
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Sous-ensemble, partie d'un ensemble.
Inclusion.
Définition
Soient formula_1 et formula_33 deux ensembles quelconques. Nous disons que formula_1 est inclus dans formula_33 ou que formula_1 est un sous-ensemble de formula_33 ou encore que formula_1 est une partie de formula_33 si tout élément de formula_1 est un élément de formula_33. Nous écrivons formula_46.Soit : formula_47
Notation
Nous notons formula_49, l'ensemble des parties de l'ensemble formula_1.
Propositions
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Opérations sur les ensembles.
Intersection.
Définition :
Nous appelons intersection de deux ensembles quelconques "E" et "F", l'ensemble des "x" qui appartiennent à la fois à "E" et "F". Cet ensemble se note formula_72, et nous avons
formula_72 se lit « "E" inter "F" ».
Exemple :
Si "A"={2,3,5,9} et "B"={0,2,3}, alors leur intersection, est l'ensemble {2,3}.
Définition :
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. "E" et "F" sont dits disjoints, lorsque leur intersection est vide, c'est-à-dire
"Remarque :"
Il ne faut surtout pas confondre "distincts" avec "disjoints". Deux ensembles disjoints n'ont pas d'élément en commun, alors que deux ensembles distincts peuvent en avoir. Pour que deux ensembles soient distincts il faut et il suffit qu'il existe un élément appartenant à l'un mais pas à l'autre.
Réunion.
Définition :
Nous appelons réunion de deux ensembles "E" et "F" l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" ou à "F" (éventuellement les deux). Cet ensemble se note formula_76 et nous avons
formula_76 se lit « "E" union "F" ».
Exemple :
Si "A"={2,3,5,7} et "B"={0,2,3}, alors leur réunion est l'ensemble {0,2,3,5,7}.
Différence.
Définition :
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. Nous appelons différence de "E" et "F", l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" mais pas à "F". Cet ensemble se note formula_79 et nous avons 
formula_81 se lit « "E" différence "F" ».
Différence symétrique.
Définition :
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. Nous appelons différence symétrique de "E" et "F", l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" ou à "F" mais pas au deux à la fois. Cet ensemble se note formula_82 et nous avons
formula_84 se lit « "E" delta "F" ».
Complémentaire.
Définition :
Soient "E" un ensemble quelconque et "A" une partie quelconque de "E". Nous appelons complémentaire de "A" par rapport à "E" (ou de "A" dans "E") ou encore différence de "E" et de "A", l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" mais pas à "A". Cet ensemble se note formula_85 ou formula_86 ou formula_87.
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Propriétés des opérations élémentaires.
Propositions :
Demonstrations :
Propositions :
Soit "E" un ensemble quelconque.
Propriétés de la différence symétrique.
Propositions :
Soit "E" un ensemble quelconque.
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Produit d'ensembles.
Définitions :
Formellement, le couple formula_118 peut être défini ainsi : si formula_70 et formula_120 sont deux objets, alors formula_121.
Cette définition assure en particulier que formula_122.
"Remarque :"
Attention formula_123 en général. Il ne faut surtout pas confondre un couple avec une paire formula_124 pour laquelle nous avons formula_125.
Définitions :
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