Les sommes télescopiques sont les sommes partielles de la forme :
Le calcul d'une somme partielle télescopique.
On peut facilement démontrer la formule suivante :
De manière informelle, le raisonnement est le suivant. On part de la définition d'une somme télescopique :
Développons l'expression :
On peut changer l'ordre des termes, ce qui donne :
Une démonstration plus formelle, équivalent à ce qui vient d'être dit, serait la suivante :
Le produit d'un suite telescopique par une autre suite.
On a vu plus haut que le calcul de la somme partielle est beaucoup plus compliqué et il n'existe pas vraiment de formule générale qui fonctionne. On peut cependant déduire un résultat pour le cas particulier suivant :
On voit que le cas particulier en question est le produit d'une suite par une somme télescopique formula_7. Dans ce cas particulier, on peut alors utiliser la sommation par partie, que voici :
On peut appliquer cette formule dans le cas général, en transformant une suite en suite télescopique. Pour montrer comment, partons du cas général :
On peut alors définir la suite suivante :
Par définition, on a formula_11, ce qui permet de réécrire le produit P comme ceci :
En faisant une sommation par partie, on trouve alors :
Un exemple d'utilisation.
Un exemple d'utilisation des théorèmes sur les suites télescopiques est le suivant. On peut retrouver la somme partielle de la suite de l'inverse des nombres oblongs, soit la somme partielle suivante, sans recourir à une démonstration par récurrence :
Pour cela, il suffit de réécrire la suite initiale sous la forme d’une suite télescopique. Pour cela, partons de la suite initiale :
On applique alors la formule formula_16
La formule précédente s'identifie à la limite de la suite télescopique formula_18. En appliquant la formule des suites télescopiques, on trouve que :

Le mouvement Wikimédia/Bibliographie
Mathc matrices/e02a
Propriétés
Propriétés des matrices commutatives :

Mathc matrices/c33 1a
Application
Installer et compiler ce fichier dans votre répertoire de travail.
/* Save as : c01a.c */
void AplsB(int r)
double **A = i_mR(r,r);
double **B = i_mR(r,r);
double **T = i_mR(r,r);
double **AB = i_mR(r,r);
double **BA = i_mR(r,r);
 r_commute2_mR(A,B,9);
 clrscrn();
 printf(" A : ");
 p_mR(A,S5,P3,C6); 
 printf(" B : ");
 p_mR(B,S5,P3,C6); 
 stop();
 clrscrn();
 printf(" AB : ");
 p_mR(mul_mR(A,B,AB),S5,P9,C6);
 printf(" BA : ");
 p_mR(mul_mR(B,A,BA),S5,P9,C6);
 f_mR(A);
 f_mR(B);
 f_mR(T);
 f_mR(AB);
 f_mR(BA);
/* ------------------------------------ */
void hello(void)

printf("\n ");
 printf("\n Two commutative matrices ");
 printf("\n **************** \n");
 printf("\n ");
 printf("\n ");
 printf("\n \n");
 stop();
/* ------------------------------------ */
int main(void)
time_t t;
 srand(time(&t));
 hello();
do
 AplsB(RC3);
} while(stop_w());
 return 0;
/*------------------------------------ */
 Tester la bibliothèque.
Exemple de sortie écran :
 A : 
+0.214 +1.574 +1.903 
-0.096 +1.652 +1.078 
-0.093 -1.446 -1.725 
 B : 
-1.257 +0.164 -1.039 
-0.247 -0.109 -0.231 
+0.247 -0.036 +0.085 
 Press return to continue. 
 AB : 
-0.188074279 -0.205877798 -0.423527180 
-0.020851677 -0.235269711 -0.189394508 
+0.048468302 +0.205236632 +0.283636241 
 BA : 
-0.188074279 -0.205877798 -0.423527180 
-0.020851677 -0.235269711 -0.189394508 
+0.048468302 +0.205236632 +0.283636241 
 Press return to continue
 Press X to stop

Mathc matrices/c33 1b
Application
Installer et compiler ce fichier dans votre répertoire de travail.
/* Save as : c01b.c */
void AplsB(int r)
double **A = i_mR(r,r);
double **B = i_mR(r,r);
double **C = i_mR(r,r);
double **T = i_mR(r,r);
double **AB = i_mR(r,r);
double **BA = i_mR(r,r);
 r_commute3_mR(A,B,C,9);
 clrscrn();
 printf(" A : ");
 p_mR(A,S5,P3,C6); 
 printf(" B : ");
 p_mR(B,S5,P3,C6);
 printf(" C : ");
 p_mR(C,S5,P3,C6); 
 stop();
 clrscrn();
 printf(" AB : ");
 p_mR(mul_mR(A,B,AB),S5,P9,C6);
 printf(" BA : ");
 p_mR(mul_mR(B,A,BA),S5,P9,C6);
 stop();
 clrscrn();
 printf(" AC : ");
 p_mR(mul_mR(A,C,AB),S5,P9,C6);
 printf(" CA : ");
 p_mR(mul_mR(C,A,BA),S5,P9,C6);
 stop();
 clrscrn();
 printf(" BC : ");
 p_mR(mul_mR(B,C,AB),S5,P9,C6);
 printf(" CB : ");
 p_mR(mul_mR(C,B,BA),S5,P9,C6);

f_mR(A);
 f_mR(B);
 f_mR(C);
 f_mR(AB);
 f_mR(BA);
 f_mR(T);
/* ------------------------------------ */
void hello(void)

printf("\n ");
 printf("\n Three Commutative matrices ");
 printf("\n **************** \n");
 printf("\n ");
 printf("\n ");
 printf("\n \n");
 stop();
/* ------------------------------------ */
int main(void)
time_t t;
 srand(time(&t));
 hello();
do
 AplsB(RC3);
} while(stop_w());
 return 0;
/* ------------------------------------ */
 Tester la bibliothèque.
Exemple de sortie écran :
 AB : 
+0.450715570 +0.083759959 +0.061396170 
+0.169973885 +0.258134797 -0.295567475 
+0.313486289 -0.029858858 -0.321378408 
 BA : 
+0.450715570 +0.083759959 +0.061396170 
+0.169973885 +0.258134797 -0.295567475 
+0.313486289 -0.029858858 -0.321378408 
 Press return to continue. 
 AC : 
-0.259535308 -0.089131965 +0.011996920 
-0.064293277 -0.035416992 +0.010180431 
-0.097791671 -0.032009368 +0.004797914 
 CA : 
-0.259535308 -0.089131965 +0.011996920 
-0.064293277 -0.035416992 +0.010180431 
-0.097791671 -0.032009368 +0.004797914 
 Press return to continue. 
 BC : 
-0.224994728 -0.065318703 +0.004816116 
-0.053109656 -0.061740160 +0.023106949 
-0.083787386 -0.020178350 -0.002633096 
 CB : 
-0.224994728 -0.065318703 +0.004816116 
-0.053109656 -0.061740160 +0.023106949 
-0.083787386 -0.020178350 -0.002633096

Mathc matrices/c33 1c
Application
Installer et compiler ce fichier dans votre répertoire de travail.
/* Save as : c01c.c */
void AplsB(int r)
double **A = i_mR(r,r);
double **B = i_mR(r,r);
double **C = i_mR(r,r);
double **D = i_mR(r,r);
double **T = i_mR(r,r);
double **AB = i_mR(r,r);
double **BA = i_mR(r,r);
 r_commute4_mR(A,B,C,D,9);
 clrscrn();
 printf(" A : ");
 p_mR(A,S5,P3,C6); 
 printf(" B : ");
 p_mR(B,S5,P3,C6);
 printf(" C : ");
 p_mR(C,S5,P3,C6); 
 printf(" D : ");
 p_mR(D,S5,P3,C6); 
 stop();
 clrscrn();
 printf(" AB : ");
 p_mR(mul_mR(A,B,AB),S5,P9,C6);
 printf(" BA : ");
 p_mR(mul_mR(B,A,BA),S5,P9,C6);
 stop();
 clrscrn();
 printf(" AC : ");
 p_mR(mul_mR(A,C,AB),S5,P9,C6);
 printf(" CA : ");
 p_mR(mul_mR(C,A,BA),S5,P9,C6);
 stop();
 clrscrn();
 printf(" BC : ");
 p_mR(mul_mR(B,C,AB),S5,P9,C6);
 printf(" CB : ");
 p_mR(mul_mR(C,B,BA),S5,P9,C6); 
 stop();
 clrscrn();
 printf(" AD : ");
 p_mR(mul_mR(A,D,AB),S5,P9,C6);
 printf(" DA : ");
 p_mR(mul_mR(D,A,BA),S5,P9,C6);
 stop();
 clrscrn();
 printf(" BD : ");
 p_mR(mul_mR(B,D,AB),S5,P9,C6);
 printf(" DB : ");
 p_mR(mul_mR(D,B,BA),S5,P9,C6); 
 stop();
 clrscrn();
 printf(" CD : ");
 p_mR(mul_mR(C,D,AB),S5,P9,C6);
 printf(" DC : ");
 p_mR(mul_mR(D,C,BA),S5,P9,C6); 
 f_mR(A);
 f_mR(B);
 f_mR(C);
 f_mR(D);
 f_mR(T);
 f_mR(AB);
 f_mR(BA);
/* ------------------------------------ */
void hello(void)

printf("\n ");
 printf("\n Four Commutative matrices ");
 printf("\n **************** \n");
 printf("\n ");
 printf("\n ");
 printf("\n \n");
 stop();
/* ------------------------------------ */
int main(void)
time_t t;
 srand(time(&t));
 hello();
do
 AplsB(RC3);
} while(stop_w());
 return 0;
/* ------------------------------------ */
Exemple de sortie écran :
 A : 
+0.166 -0.675 +0.311 
-0.768 -0.313 -0.140 
+0.451 -0.144 +0.405 
 B : 
+0.154 +0.327 +0.363 
+0.352 +0.234 -0.387 
+0.481 -0.500 -0.554 
 C : 
-2.964 -3.961 -0.000 
-4.434 -5.228 +0.796 
+0.161 +1.179 +0.546 
 D : 
+2.578 +2.716 -0.503 
+3.061 +4.280 -0.100 
-0.795 -0.250 +0.751 
 Press return to continue.

AB : 
-0.062339004 -0.258872567 +0.149440583 
-0.295901450 -0.254772246 -0.080371979 
+0.213947104 -0.088617352 -0.005234657 
 BA : 
-0.062339004 -0.258872567 +0.149440583 
-0.295901450 -0.254772246 -0.080371979 
+0.213947104 -0.088617352 -0.005234657 
 Press return to continue.