Construction navale/Calcul des espars
Introduction - Définition de l'« "espar" ».
ikipedia :  « Sur un bateau, un espar (mot étymologiquement apparenté à l'allemand "Spiere" et à l'anglais "spar", qui ont la même signification) est un élément de gréement long et rigide, originellement en bois, et ayant un rôle technique à jouer dans la propulsion (à voile) et les manœuvres.Entrent dans la catégorie des espars les mâts, bômes, vergues, bouts-dehors, queues de malet, livardes, wishbones. On peut aussi y associer les éléments mobiles tels que avirons, barres, tangons, etc. » 
1 daN ≅ 1 kgf
Calcul du gréement de la goélette Cardabela.
Unités de mesure.
 Remarques concernant l'expression des unités de mesures dans ce chapitre 
 Nous utilisons le système d'unités CGS plus proche de notre perception qu'avec les unités du "Système international" SI.
Nous utilisons cependant l'expression kgf du Kilogramme-force qui est une ancienne expression de la force, indépendante du "Système de mesures CGS" et du "Système international d'unités". Le codice_1 est à la fois une unité de force et de poids : le codice_2 ou encore le codice_3 que tout le monde connaît en faisant ses courses.On devrait utiliser le codice_4 comme unité de force, mais qui ? a une notion réaliste de cette mesure ?
Les formules mathématiques sont en LaTeX, le rendu des expressions à l'écran est différent du rendu imprimé. Nous avons essayé de minimiser cet effet.
Les mâts.
Généralités sur les mâts.
"Lien intéressant :" Méthodes de fabrication des mâts en aluminium et carbone sur le site nauticaltrek.com.
Calcul de résistance des mâts à la compression.
Pour un même matériau, la résistance à la compression ne dépend que du poids linéaire du mât. En effet le poids linéaire est le produit d'une section par une longueur et une densité. Le poids linéaire ne dépend que de la section.
Exemple de calcul pour des mâts ronds pleins en mélèze.
Caractéristiques du mélèze :
 Poids sec : 600 kg le mètre cube ou 0,6 kg le dm3
 Résistance à la compression : 53 MPa (Méga-Pascal), ou 530 kgf/cm²
Calcul pour un mât en mélèze de 10 cm de diamètre.
La résistance de travail à la compression pour le bois devrait être égale au cinquième de la résistance à la rupture; on adopte ici 100 kgf par cm² pour tenir compte des défauts, de la fatigue des matériaux, et du coefficient de sécurité.
 Surface de compression : (3,14 x 10 x 10) / 4 = 78,5 cm²
 Résistance au travail : 78,5 x 100 = 7 850 kgf
 Poids : (78,5 / 1 000) x 0,6 = 4,71 kg par mètre
Pourquoi prendre pour exemple un diamètre de 10 cm ? Il suffit d'élever au carré le rapport des diamètres pour évaluer un autre mât !
Exemple : Pour un mât de 20 cm de diamètre, il suffit d'élever au carré le rapport 20/10, soit quatre fois la valeur des résultats précédents.
Corollaire pour un mât en mélèze de 20 cm de diamètre.
 Résistance au travail : 7 850 x 4 = 31 400 kgf
 Poids : 4,71 x 4 = 18,84 kg par mètre
On imagine le poids des premiers mâts du voilier Joshua de Bernard Moitessier : avec des poteaux télégraphiques comme mâts et des câbles EDF en gréement dormant
Avec un tel mât planté au travers du pont, à "vue de nez" il ne sera pas nécessaire de l'étayer avec des barres de flèche et des câbles lourds en acier galvanisé.
Exemple pour un mât creux en aluminium.
Caractéristiques de l'aluminium :
 Résistance de rupture à la compression de l'aluminium : 60 kg/mm² ou 6 000 kg/cm²
 ⇒ Résistance au travail avec un coefficient de sécurité de 3 : 2 000 kg/cm²
 Poids de l'aluminium pour 1 décimètre-cube (densité) : 2,7 kg/dm3
Calcul pour un mât de 5,4 kg par mètre.
 Poids du mât pour 1 dm : 0,54 kg
 Surface à la compression d'une section transversale du mât : 0,54/2,7 = 0,2 dm² ou 20 cm²
 Résistance au travail à la compression : 20 x 2 000 = 40 000 kgf
Pour un mât cylindrique de 20 cm de diamètre moyen ou un mât ovale de 22 x 18 cm :
 Circonférence du tube : 3,14 x 20 = 62,8 cm
 Épaisseur du tube : 20 / 62,8 = 0,32 cm
Conclusion.
Les longs mâts en bois pleins sont très lourds, ils sont à proscrire car ils rendent le voilier instable.
Les mâts en bois creux seront défavorisés par rapport aux mâts en aluminium car la résistance au travail à la compression, qui est déterminant dans les calculs des mats, est de 100 kgf par cm² contre 2 000 kgf par cm² pour l'aluminium. Le poids linéaire du bois est environ trois fois plus léger que l'aluminium. Pour un mât en bois creux : Afin d'obtenir la même résistance à la compression que pour un mât en aluminium il faudrait concevoir un mâts d'un poids linéaire d'environ /300 = 6,6 fois plus important. Pour l'équivalent d'un mât en aluminium de 5,4 kg par mètre il faudrait un mât en bois de 5,4 * 6,66 = 35 kg par mètre.
L'aluminium a bien l'avantage sur le bois !
Calcul de la résistance des mâts au flambage.
Ce sont les formes qui offrent une résistance au flambage. Un mât en bois plein est résistant mais il est très lourd. Pour alléger le poids du mât tout en garantissant sa résistance à la compression on utilise des matériaux légers, en général l'aluminium d'un prix acceptable, avec une section elliptique avec un côté large, là où l'on ne peut pas facilement disposer de raidisseur et un côté moins large où l'on peut fixer des raidisseurs (Barres de flèche et haubans)
Plus le matériau est dur plus il résistera au flambage.
Formule générale à la rupture.
Selon l'article Flambage sur Wikipédia :
formula_1
où, dans le système international d'unités,
formula_2 est le module d'Young du matériau ; 70 GPa (Giga Pascal) pour l'aluminium, entre 10 et 13 GPa pour le bois.
formula_3 est le moment quadratique de la poutre, en m4
formula_4 est la longueur de flambement de la poutre, en mètre.
Cette charge critique est évidemment limitée par la résistance en section de la poutre (en dessous d'un certain élancement, la rupture par compression est atteinte avant l'apparition du flambage). Dans le cas réel, la rupture par flambage est atteinte encore plus précocement en raison notamment des imperfections de production et de mise en œuvre (voir ci-dessous).
Charge critique au flambage.
Selon le Müller, bible des ingénieurs d'autrefois :
  avec : l en cm, E en kg/cm², I en cm4 et Pr en Kgf
"Avec cette formule transposée dans le système CGS, comme on les trouvait avant les dernières directives sur les unités de mesure."
  k = 1 pour les extrémités guidées. (Cas des mâts posés sur le pont)
  k = 0,25 pour une extrémité encastrée et l'autre extrémité mobile.
  k = 2 pour une extrémité encastrée et l'autre extrémité guidée. (Cas de Joshua première version)
  k = 4 pour les deux extrémités encastrées.
Charge critique pour les espars guidés aux extrémités (Exemples pour le bois et l'aluminium).
Rappels :
  k = 1, 
  Pour le bois E = 11 GPa ou 110 000 Kg/cm²
Charge critique au flambage pour les espars en bois (formule bâtarde) :
 Pr = 110 I / L² avec I en cm4, , E = 11·104 kg/cm².
Charge critique au flambage pour les espars en aluminium (formule bâtarde) :
 Pr = 700 I / L² avec I en cm4, , E = 70·104 Kg/cm².
Charge pratique de résistance au flambage.
Éléments de calcul des moments quadratiques de la section S pour un espar rond creux :
 avec D et d en cm
Pour évaluer la résistance au flambage d'un mât elliptique on prend formula_5 ou formula_6
Dans cette même page : #Exemple_de_calcul_pour_un_m%C3%A2t_elliptique_creux_en_aluminium
Charge pratique au flambage :
 Pp = Pr / n
 " n est un coefficient de sécurité."
  n = 5 pour les métaux homogènes.
  n = 8 pour la fonte.
  n = 7 pour le bois.
Résumé, pour les espars en aluminium :
Charge pratique pour les espars en aluminium, mâts, barres de flèches, tangons. (Formule bâtarde)
 Pp = 140 I / L²
 Coefficient de sécurité = 5; Pp en kgf, I en cm4, .
Exemple de calcul pour un mât plein en mélèze.
Diamètre : 20 cm, longueur : 15 mètres; encastré dans la coque sur 2 mètres.
Rappels :
  k = 2 pour une extrémité encastrée et l'autre extrémité guidée. (Cas de Joshua première version)
   avec D et d en cm
  I = (3,14 / 32) * 20 * 20 * 20 * 20 => 15 708 cm4
Charge critique :
 pr = 110 * 15 708 / (13 * 13) = 10 224 Kgf
Charge pratique pour un mât rond plein en mélèze de diamètre 20 cm et d'une longueur de 13 mètres
"hors encastrement, au dessus du pont, sans barre de flèche"
 Pp = 10 224 / 7 = 1 460 Kgf
Exemple de calcul pour un mât rond creux en aluminium.
On reprend l' exemple pour un mât de 13 mètres en aluminium, posé sur le pont; 5,4 kg par mètre; diamètre 20 cm; épaisseur 3,2 mm.
Rappels :
 " k = 1 pour les extrémités guidées."
  I = π/32 (D4 - d4)avec D, diamètre extérieur; et d = D - 2e
  I = 3,14 / 32 * (204 - 19,364) = 1 916 cm⁴
  Pr = 700 I / L² avec I0 en cm4; L = 13 m; E = 7 000 kg/m².
  Pr = 700 * 1 916 / 169 = 7 936 kgf
Charge pratique pour un mât en aluminium de diamètre 20 cm; d'une épaisseur de 3,2 mm; de longueur 13 mètres; guidé aux extrémités.
  Pp = 7 936 / 5 = 1 587 Kgf
"Avec un étayage à mi-hauteur on aurait une charge pratique quatre fois plus importante, de l'ordre de 6 349 Kgf"
"Avec deux barres de flèches : 14 286 Kgf"
Exemple de calcul pour un mât elliptique creux en aluminium.
L'inertie quadratique moyenne par rapport à un point extérieur aura la même valeur pour le mât elliptique creux et le mât rond creux. Du fait de son écrasement les valeurs de l'inertie quadratique selon les axes x et y sera différent.
Rappel de la définition sur wikipedia :
w:Moment_quadratique#Définition_générale :
 " Moment quadratique de la section formula_7 par rapport à l’axe formula_8 : formula_9"
 " Moment quadratique de la section formula_7 par rapport à l’axe formula_11 : formula_12"
 " Moment quadratique (polaire) de formula_7 par rapport au point formula_14 : formula_15"
Remarques :
On a formula_16 puisque formula_17 (Théorème de Pythagore).
"Il découle de ces définitions que plus les éléments de la section sont situés loin de l'axe, plus le moment quadratique sera important."
Définitions :
Avec les mêmes caractéristiques que le mât rond creux mais ovalisé à 22 cm x 18 cm
  Grand diamètre gd = 22; 
  Petit diamètre pd = 18;
  Diamètre moyen est égal au diamètre moyen du mât rond creux
Inertie quadratique :
  Inertie quadratique selon l'axe de grand diamètre :
  formula_18
  Inertie quadratique selon l'axe de petit diamètre :
  formula_19
La partie la plus sensible au flambage est le petit diamètre :
 Pour l'évaluation du flambage à la compression on prend I = 2·Ipd
Charge limite pour le flambage :
Inertie quadratique avec D = (gd + pd) / 2, gd = 22 cm, pd = 18 cm, e = 0,32 cm, d = D - 2·e en cm
   IG = 3,14 / 32 * (204 - 19,364) = 1 916
   I = 2·Ipd = 2·IG * pd / 2·D
   I = 2 * 1 916 * 18 / (2 * 20) = 1 916 * 18 / 20 = 1 724 cm⁴
Charge limite avec trois étages guidés à 4 m, 8 m et 13 m  
   Pr = 700·I / L²
   Pour la plus grande longueur guidée de 4 mètres : L² = 16
   Pr = 700 * 1 724 / 16 = 83 825 Kgf
Charge pratique pour un mât elliptique en aluminium de 22x18 cm, d'une épaisseur de 3,2 mm, de longueur 13 mètres, guidé par deux barres de flèches à 4 et 8 mètres.
 Pp = 83 825 / 5 = 16 765 Kgf
Conclusion.
Dans la conclusion du chapitre précédent sur la résistance des mâts à la compression :
Pour le flambage : Si le mât creux en bois n'est pas conditionné par une évaluation de sa résistance à la compression comme ci-dessus, on détermine sa section en fonction de la charge estimée, sa section peut être rectangulaire ou ronde. On agit sur les dimensions de la section puis on évalue les risques de flambage selon les longueurs libres guidées ou non par des barres de flèches et les étais. On corrige les dimensions de la section sans changer sa surface de compression jusqu'à obtenir satisfaction. Il faudra sûrement trouver des compromis !
Le mât en bois n'est pas à proscrire. Sur un "Voilier ancien", un "Vieux Gréement", un mât en aluminium n'est pas de mise.
Les épontilles.
Calcul des épontilles de sections rectangulaires.
Les épontilles sont des poutres ou des tubes disposés verticalement pour supporter les mâts des bateaux, elles évitent un écrasement du pont.
Section S = b * h b et h en cm S en cm²
Charge pratique à la compression : 
  formula_20 pour un coefficient de sécurité de 5
formula_21 
formula_22 
formula_23
Pour le calcul des épontilles on utilise généralement formula_24 en cm⁴
k = 4 pour deux extrémités pseudo encastrées (maintien par le plancher ou par les aménagements)
formula_25 avec I0 en cm4; , et E = 110000 kg/cm² (11GPa)
Charge pratique pour le bois Pp = Pr / 7 "Rappel : Pr / 5 pour l'aluminium"
 Pr = 4 x 110 x 2 x 20 x 4³ / 12 x 2² = 23 466 kg
 Pp = 23 466/7 = 3 352 kg
Les beauprés.
Calcul de beauprés de sections rectangulaires.
Le mât de beaupré ou beaupré se trouve à la proue d'un navire, fortement incliné vers l'avant.
Il est destiné à avancer le centre de voilure, il supporte les étais avant du mât le plus à l'avant (généralement le mât de misaine), Il est souvent prolongé par un bout-dehors. 
La compression du beaupré dépend de l'effort supporté par l'étai de foc. L'effort est repris par la sous-barbe.
Comment effectuer ce calcul de compression du beaupré ?
On peut l'évaluer en connaissant la résistance du câble de sous-barbe, de l'angle α qu'il fait avec le beaupré, et de l'ange β que fait l'étai de foc avec ce même beaupré.Par exemple avec une sous-barbe en câble d'acier inoxydable de 12 mm et un angle α de 30°, de charge maximale d'utilisation  kgf et une rupture à  kgf
Pour effectuer ce calcul on peut utiliser des vecteurs sur une feuille de papier millimétré ou calculer le couple qui s’exerce sur l'extrémité du beaupré de longueur L :
La force du couple qui tire le beaupré vers le haut est égal au produit de la projection de la force de traction du hauban formula_26 perpendiculairement au beaupré par la longueur du beaupré : formula_27
La force du couple qui tire le beaupré vers le bas est égal au produit de la projection de la force de traction de la sous barbe formula_28 perpendiculairement au beaupré par la longueur du beaupré : formula_29 où formula_28 est la résistance du câble de sous-barbe.
 On connaît cette force formula_28 maximale d'utilisation du câble :  kgf
La force du couple qui tire vers le haut doit être égale à la force du couple qui tire vers le bas.
La force qui s'exerce sur le beaupré est la somme des projections vectorielles des deux forces formula_32 sur le beaupré : 
 formula_33
 formula_34 (pour formula_35 ≠ 0)
Compression sur le beaupré :
 formula_36
 formula_37 ⇔ formula_38
formula_39 n'est autre que le rapport de la distance qui sépare le pied du mât au point d'amure par la hauteur du mât, qui sont les points d'attaches du hauban.
Exemple pratique.
Calculer l'effort de compression et la résistance au flambage du beaupré avec un mât de 13,5 m, une distance du point d'amure au pied du mât de 6 m, un angle formula_40 de 30°, une sous-babe "inox" de diamètre 12 : 
 Compression pratique = * (6/13,5 * 0,5 + 0,866) = kgf
Quelle doit être la section du beaupré en bois ?
La charge à adopter est de 100 kg par cm² pour un bois de bonne qualité tel que le Kotibé droit de fil avec un coefficient de sécurité de 5.
Résistance au travail de compression.
 Résistance au travail de compression : Pp = 100 *S = kg
 Section minimale : / 100 = 18 cm²
Le beaupré est une pièce importante sur un petit voilier, il y a des risques de chocs et de poussées latérales. On préfère utiliser un bois plus adapté à ces risques. En multipliant la section par 10 on doit pouvoir supporter une collision kg. La section adoptée pour la goélette Cardabela a été de 10 x 12 cm pour kgf (60 tonnes à la rupture).
Charge limite au flambage.
 Comme pour l'épontille au chapitre précédent, on prend I = 2 Iy
 I = 2 * 12 * 10³ / 12 = cm⁴
k = 1 pour les espars en bois guidés aux extrémités.
 Pr = k * 110 I / L² (L= 2,52 m)
 Pp = Pr /7
 Pr = 110 * / 2,52² = kgf
 Pp = Pr/7 = / 7 = kgf
Conclusion.
Un beaupré de section 10 x 12 cm est très largement suffisant pour assurer sa fonction, et est capable de supporter certains inconvénients comme les collisions et les chocs latéraux.