Algèbre linéaire/Application linéaire
Définitions.
Soit formula_1 un corps. Soient alors formula_2 et formula_3 deux formula_1-espaces vectoriels.
Application linéaire.
L'application formula_5 est dite linéaire si et seulement si 
formula_6
et
formula_7
On note formula_8 l'ensemble des applications linéaires de formula_2 vers formula_3.
Endomorphisme.
Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ. 
L'ensemble des endomorphismes de formula_2 se note formula_12.
Isomorphisme.
Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Cela se traduit par : 
formula_13
Autrement dit, tout élément formula_14 de formula_3 admet un antécédent et un seul dans formula_2 par formula_17. 
Automorphisme.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. 
Forme linéaire.
Une forme linéaire est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est le corps formula_1 (généralement, formula_19 ou formula_20). Une forme linéaire est donc une application linéaire de formula_21.
Noyau et Image d'une application linéaire.
Noyau.
Soit formula_17 une application linéaire de formula_2 dans formula_3. Le noyau de formula_17, noté formula_26, est l'ensemble des éléments de formula_2 dont l'image par formula_17 est l'élément nul de formula_3. On écrit : 
formula_30
Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ : formula_26 est un sev de formula_2.
Image.
L'image d'une application linéaire formula_17 de formula_2 dans formula_3, noté formula_36, est l'ensemble des éléments de formula_3 ayant un antécédent par formula_17 dans formula_2. On écrit : 
formula_40
L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée : formula_36 est un sev de formula_3.
Théorème du rang.
Le théorème du rang lie la dimension de l'espace de "départ" d'une application linéaire aux dimensions du noyau et de l'image de cette application. On écrit : 
formula_43