Après avoir vu le cas d'un univers vide, sans matière, nous allons maintenant étudier le cas d'un univers remplit de matière et/ou de rayonnement. Cependant, nous allons supposer que l'univers n'a pas de courbure, afin de simplifier les calculs. De plus, nous allons supposer que la constante cosmologique est nulle. En clair, nous allons étudier le cas d'un univers plat (c.a.d sans courbure et sans constante cosmologique. Avec un tel univers, la première équation de Friedmann se simplifie et devient :
Les deux autres équations de Friedmann ne sont pas touchées, mais il reste à les résoudre. Une solution pour simplifier les calculs consiste à réduire le nombre d'inconnues à un seule. Au lieu de travailler avec la pression et la densité, il est possible de ne travailler qu'avec la densité. Cela demande de postuler une relation entre la densité d'énergie et la pression, à savoir une équation d'état. Généralement, on postule que la pression est proportionnelle à la densité d'énergie. La relation entre pression et densité est donc de la forme :
La valeur de formula_8 dépend selon que l'on considère la matière, le rayonnement ou l'énergie noire.
Le cas général, avec "w" indéterminé.
Pour commencer, nous allons étudier le cas général, dans lequel la valeur de formula_8 n'est pas précisée. Nous allons étudier comment les équations de Friedmann se reformulent quand on injecte l'équation formula_7 à l'intérieur. Les trois équations obtenues sont donc :
Remarquons que la première équation de Friedmann ne change pas, vu qu'elle n'a pas de terme de pression.
Pour obtenir cette version de la seconde équation de Friedmann, partons de la seconde équation de Friedmann originelle :
Injectons la formule formula_21 :
On simplifie par formula_23 et on factorise formula_10 :
La détermination de l'équation de la densité en fonction du facteur d'échelle.
Pour la troisième équation de Friedmann, on part de l'équation relativiste :
On fait le remplacement :
On simplifie par formula_23, et on factorise formula_10 :
On divise par formula_10 et on réorganise les termes :
On utilise alors la relation formula_33, qui relie facteur de Hubble et facteur d'échelle :
On utilise alors la formule formula_35 :
On réorganise les termes, ce qui donne :
On prend l'exponentielle :
On utilise alors la formule formula_42 :
Pour conserver la cohérence des unités, formula_44 correspond à une densité. Et plus précisément, l'équation n'a de sens que s'il s'agit de la densité quand formula_45. Il s'agit d'une densité de base que l'on notera formula_46. On a donc :
De plus, cette équation est valable quelle que soit la courbure, ce qui est important à remarquer.
La détermination de l'équation du facteur d'échelle.
Maintenant, essayons de trouver une équation pour le facteur d'échelle en fonction du temps. Pour cela, partons de l'équation précédente, reformulée comme suit :
Maintenant, prenons la première équation de Friedmann écrite comme suit :
En combinant les deux, on a :
On prend alors la racine carrée, ce qui est équivalent à élever à la puissance 1/2. Cela donne l'équation suivante :
On utilise alors la formule formula_52 :
On multiplie par a(t), ce qui revient à ajouter 1 à l'exposant pour le terme de droite :
On simplifie l'exposant :
Résoudre cette équation différentielle dans le cas général est quelque peu complexe. Toujours est-il que le résultat est le suivant :
Les équations générales du modèle.
L'équation précédente nous dit que le facteur d'échelle suit une loi de puissance, ce qui fait qu'on peut utiliser les formules du chapitre "Une introduction aux modèles cosmologiques". On trouve donc les résultats suivants :
La relation entre densité et âge de l'univers.
On peut aussi déterminer une relation entre l'âge de l'univers et la densité. Pour cela, partons de l'équation suivante :
En élevant l'équation au carré, on a :
On peut alors combiner cette équation avec l'équation suivante :
En égalisant les deux équations, on trouve :
En divisant par formula_66, on trouve :
Pour simplifier, on a :
On voit que la densité diminue avec le carré du temps, mais que la constante de proportionnalité dépend du paramètre de l'équation d'état.
Le facteur de décélération et les équations de Friedmann.
Maintenant, étudions le comportement de l'accélération de l'univers, à partir du facteur de décélération. Nous avons vu plus haut quelle était la valeur du facteur de décélération dans le cas général, mais sachez qu'il est possible de démontrer la valeur du facteur de décélération autrement.
Pour rappel, ce dernier nous dit sous quelles condition l'expansion ralentit, accélère ou reste stable. Pour cela, calculons la valeur de formula_8 pour laquelle formula_70. On a donc :
On trouve alors que :
En étudiant un petit peu la relation formula_73, on en déduit le tableau suivant.
L'accélération de l'univers ne peut donc s'expliquer que si l'énergie noire a une équation d'état de la forme :
Faisons maintenant le rapprochement avec les valeurs de formula_8 obtenues pour le rayonnement, la matière et l'énergie noire. Pour un univers composé uniquement d'énergie noire, on déduit que l'expansion accélère sans cesse, vu que l'on a formula_76. Mais pour la matière et le rayonnement, on a formula_77, ce qui fait qu'un univers composé intégralement de matière et de rayonnement doit voir son expansion décélérer. Pour un univers qui contient un mélange d'énergie noire et de matière/rayonnement, tout dépend des parts respectives de chaque composant.
Le modèle cosmologique dominé par la matière.
Le cas de l'univers qui ne contient que de la matière, sans rayonnement, ni constante cosmologique est le second cas que nous allons aborder. Dans ce modèle, la matière est un gaz parfait dont les particules sont des galaxies ou des amas de galaxies. Cette hypothèse est crédible dans le sens où les amas de galaxies sont relativement éloignés et interagissent peu. Comme autre simplification, nous allons prendre le cas d'une matière froide, au zéro absolu. Cette autre hypothèse n'est pas si abusive vu l'état actuel de l'univers : seul 10% de la matière sert à fabriquer des étoiles, le reste étant localisé dans des nébuleuses et des nuages moléculaires dont la température ne dépasse pas la dizaine de degrés au-dessus du zéro absolu. L'univers est donc vraiment très froid ! En appliquant la loi des gaz parfaits avec une température au zéro absolu, on trouve que la pression est nulle quelle que soit la densité. Dit autrement, formula_11.
Avec cette hypothèse, les équation de Friedmann deviennent les suivantes :
On remarque qu'on retrouve les équations de Friedmann newtoniennes dans le cas où la courbure est nulle. Et nous avions vu que ce modèle permettait de démontrer les formules suivantes :
Le modèle cosmologique dominé par le rayonnement.
Dans le cas où on considère un univers entièrement rempli de rayonnement, on, postule que le rayonnement est formé d'un gaz parfait de photons. Dans ces conditions, le comportement des photons fait que :
Avec cette valeur, les équations du cas général se simplifient comme suit :
Les équations précédentes disent que l'univers a une expansion plus rapide qu'avec l'univers dominé par la matière. La raison est que le rayonnement se dilue plus vite que la matière, comme le dit l'équation formula_83, en raison de la dilution par l'expansion de l'univers, mais aussi de l'expansion des longueurs d'onde. La dilution étant plus grande, la gravité perd plus rapidement en importance et l'expansion est donc plus rapide.
On peut noter que le rayon de Hubble et le rayon de l'univers observable sont égaux dans l'univers dominé par le rayonnement.
Le paramètre de décélération étant positif, on en déduit que l'expansion de l'univers ralentit progressivement avec le temps.

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Simoulin était un éditeur de cartes postales français.

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