Rappels d'algèbre linéaire
Espace quotient.
Relations, relations d'équivalence.
Définitions . 
Soit formula_1 un ensemble. Une relation sur formula_1 est une partie formula_3 de formula_4. Si formula_5, on écrit formula_6, et on dit que formula_7 et formula_8 sont en relation par formula_3. 
Une relation peut être :
Une relation d'équivalence est une relation réflexive, transitive et symétrique.
Une relation d'ordre est une relation réflexive, transitive et antisymétrique.
Remarques
Une relation d'équivalence généralise l'égalité qui est la relation d'équivalence la plus fine (pour toute relation d'équivalence formula_3 on a formula_15 par réflexivité).
Exemples
Définition Soit formula_1 un ensemble muni d'une relation d'équivalence formula_3. Soit formula_7 dans formula_1, on appelle "classe d'équivalence "de formula_7 selon formula_3 et on note formula_37 (ou bien formula_38 ou formula_39 si il n'y a pas ambiguité sur la relation) l'ensemble de tous les éléments de formula_1 formula_3-équivalent à formula_7,i.e. formula_43.
On dit classe selon formula_3, ou classe sous formula_3 ou classe modulo formula_3.
Partitions.
Définition.
Soit formula_1 un ensemble. On appelle "partition" de formula_1 une famille formula_49 de sous-ensembles non-vides de formula_1
telle que :
Exemples
Propriétés
Un premier résultat (facile à vérifier) est le suivant :
Pour toute relation d'équivalence formula_3, l'ensemble formula_64 de toutes les classes d'équivalences forme une partition de formula_1. Réciproquement tout partition formula_49 de formula_1 permet de définir une relation d'équivalence par formula_68.
Remarque
Il en découle qu'une classe est totalement définie par n'importe lequel de ses éléments. On parle alors de "représentant" de la classe. L'ensemble formula_64 de toutes les classes d'équivalences est appelé "quotient" de formula_1 par formula_3. Pour plus de commodité chaque élément de formula_64 est représenté par un de ses représentants.
Exemple
Si formula_17 est un groupe et formula_16 en est un sous-groupe, les classes pour la relation formula_75 sont les formula_76.
Quotients.
Définition
Soit formula_1 un ensemble et formula_3 une relation sur formula_1. On définit le "quotient de formula_1 par formula_3", que l'on note formula_82, comme l'ensemble des classes modulo formula_3.

S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 7

Leçon 7 - La division
En toute théorie, diviser un nombre par n consiste à ôter à ce nombre autant de fois n qu'il est possible. Le nombre de soustractions donne le quotient et le reste nous donne ... le reste.
Par exemple, diviser 17 par 5 peut s'opérer de la manière suivante :
Dans la division de 17 par 5, le quotient est 3 et le reste est 2.
Sur un boulier, on peut effectivement utiliser cette méthode quand le quotient reste petit (inférieur à 5). Mais celle-ci se révèle inefficace si le quotient est trop grand. Il faut alors utiliser des méthodes ressemblant à la pose d'une division.
Tableau des quotients et restes.
On aura besoin du tableau suivant fournissant pour un dividende (dd) donné et un diviseur (dv) donné, le quotient et le reste sous forme d'un couple (q ; r).
Les valeurs qui figurent en rouge sont celles qui nécessitent de descendre d'une unité.
Les valeurs en noir se retrouvent facilement, il ne reste alors qu'à mémoriser un triangle de 36 couples.
Division par un nombre à un chiffre.
Avec le tableau.
La division, comme la multiplication, commence par le poids le plus fort.
Si on cherche à diviser 9573 par 4, on commence par écrire à droite du boulier (ou sur une feuille de papier) le diviseur 4.
On laisse une rangée vide puis on inscrit le dividende 9573. Le quotient s'écrira dans la partie gauche du boulier.
Dans la division de 9573 par 4, le quotient est 2393 et le reste est 1.
Pour aller plus vite.
Si on connaît bien la technique de division vue dans notre enfance, on peut réduire un peu les étapes :
Le quotient est toujours 2393 et le reste est toujours 1.
Division par un nombre à plusieurs chiffres.
C'est la technique la plus compliquée. Il s'agit d'ôter le maximum de fois le diviseur du dividende. On peut s'y reprendre à plusieurs fois pour déterminer le quotient tant que le quotient est déterminé par défaut. Il faut donc arrondir par excès le diviseur. Dans ce cas, le tableau établi précédemment n'est plus vraiment d'utilité.
Voir l'exemple : Comment diviser 57 683 par 157.
Pour les nombres à virgule.
On peut rencontrer des virgules dans 3 types de situations :
Quotient à virgule.
Pour prolonger une division entière au delà de la virgule, il faut réserver, à droite du dividende, autant de colonnes que de chiffres après la virgule que l'on souhaite. On identifie alors la colonne des unités par un marqueur. Et on opère la division comme dans les entiers. À l'instant où l'on passe au delà de la colonne unité, il faut identifier la colonne unité dans le quotient par un marqueur.
Voir l'exemple : division de 358 par 7 avec 3 chiffres après la virgule.
Dividende à virgule.
Si le dividende est à virgule, la technique est la même que précédemment. La difficulté consiste comme dans le cas précédent à bien identifier les colonnes unités dans le dividende et dans le quotient.
On peut pour s'entraîner reprendre l'exemple de la division de 57 683 par 157 et effectuer la division de 576,83 par 157 pour repérer la colonne unité (le quotient doit être de 3,67).
Diviseur à virgule.
On ne sait pas faire au boulier une division par un nombre non entier. Il faut effectuer la division par le nombre entier puis multiplier le nombre final par la puissance de 10 adéquate.
"Exemple" : Pour diviser 576,83 par 15,7, il faut diviser 576,83 par 157, puis multiplier le résultat par 10 car on a divisé par un nombre 10 fois trop grand (le résultat est 36,7).