<Approfondissements de lycée
Notation de sommation.
Nous utilisons normalement le signe "+" pour représenter une somme, mais si l'expression de la somme impliquée est compliquée et longue, cela peut être confus.
Par exemple :
Écrire ce qu'il y a dessus serait une tache fastidieuse et confuse !
Pour représenter une expression de cette sorte de façon plus compacte et agréable, on peut utiliser la notation de sommation, une lettre grecque capitale "Sigma". Sur la droite du signe sigma, on écrit l'expression de chaque terme de la somme. Au dessus et en dessous du signe sigma, on écrit la limite supérieure et inférieure de la variable.
Exemple 1 : formula_2
formula_3
formula_4
Méprise : À partir de ce qu'il y a dessus, il existe une méprise commune que le nombre au dessus du signe Sigma est le nombre de termes. Ceci est faux. Le nombre au dessus est le nombre à substituer dans le dernier terme.
Exemple 2 : formula_5
formula_6
formula_7
Astuce : Si les termes alternent entre plus et moins, nous pouvons utiliser la suite formula_8
Exercice.
Changer ce qui suit en sommation :
Changer la notation somme en une représentation ordinaire :
(Besoin de plus d'exercice, spécialement la "lecture" de la notation sigma et le retour dans la forme ordinaire).
Opérations de la notation somme.
Bien que la plupart des règles reliées à la somme ont un sens dans le système ordinaire, dans ce nouveau système de notation somme, les choses peuvent ne pas être aussi claires que précédemment. Par conséquent, on peut résumer certaines règles reliées à la notation somme (voir si vous pouver identifier ce à quoi elles correspondent !)
Au-delà.
"L'itération est humaine; la récursion, divine."
Lorsque les humains répètent la sommation, ils utilisent un concept plus avancé, le concept de produit. Et, bien sur, chacun sait que l'on utilise formula_22. Et, lorsque l'on répète le produit, nous utilisons l'exponentiation. En revenant à ce chapitre, nous avons maintenant une notation pour les sommes compliquées. Qu'est-ce qu'un produit compliqué ? En fait, il existe aussi une notation pour le produit. Nous utilisons la lettre capitale grecque "pi" pour noter le produit, le fonctionnement est essentiellement le même que pour le signe sigma excepté que les termes ne sont pas sommés mais multipliés.
Exemple : formula_23
Exercice.
1.Il est connu que la factorielle est définie inductivement par :
formula_24
formula_25
Maintenant, essayer de le définir par la notation produit.

Approfondissements de lycée/Dénombrement de base

Approfondissements de lycée
Dénombrement.
Le dénombrement est aussi connu sous le nom d"'analyse combinatoire"; c'est une branche des mathématiques qui vise à compter les éléments dans des ensembles finis. Elle est popularisée au 17 siècle en Occident par Pascal (1623-1662) et Fermat (1601-1665). Elle avait alors pour objet la résolution des problèmes de dénombrement, provenant de l'étude des jeux de hasard. Elle était déjà utilisée avant dans le monde Arabe et en Chine.
Cette discipline permet d'aborder le genre de problème suivant. Nous savons comment compter de manière séquentielle: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... Mais combien y-a-t-il de solutions différentes à l'équation 
où xn est un nombre entier positif (zéro y compris). La réponse naturelle serait d'écrire chaque solution unique et compter combien il en existe. Cette méthode marchera éventuellement mais elle est lente et fastidieuse. Existe-t'il une meilleure méthode plus efficiente ? La réponse est naturellement oui. Avant d'aller plus avant, revenons aux bases d'abord.
Ces dernières envisagent quelques situations courantes; le but du jeu étant de s'y ramener. Le dénombrement devient une discipline assez abordable du moment qu'on se dote de la bonne grille de lecture. Il suffit en effet de se poser deux questions:
Liste ordonnée avec répétition.
Le code confidentiel de carte bleu est un nombre à quatre chiffres. Les chiffres peuvent être répétés. Combien y-a-t-il de codes différents ?
Pour avoir la solution, il suffit d'appliquer le principe multplicatif:
Il y a donc en tout formula_1 possibilités.
Du point de vue mathématique, construire une liste ordonnée de "p" éléments (on parle alors de "n-"uplet) choisis dans un ensemble de "n" éléments conduit à formula_2 possibilités.
Sélection ordonnée ou liste ordonnée sans répétition.
Supposons qu'il y a 20 chansons dans votre collection de Mp3. Vous demandez à votre micro de sélectionner aléatoirement 10 chansons et de les jouer dans l'ordre où elles sont sélectionnées, combien de manières y-a-t'il de sélectionner les 10 chansons ? Ce type de problèmes est appelé dénombrement de sélection ordonnée, puisque l'ordre dans lequel les choses sont sélectionnées est important. C.a.d. si une sélection est
alors
est considérée comme un sélection différente.
Il y a 20 manières de choisir la première chanson puisqu'il y a 20 chansons, puis il y a 19 manières de choisir la deuxième chanson et 18 manières de choisir la troisième... et ainsi de suite. Par conséquent, le nombre total de manière peut être calculé en considérant le produit suivant :
ou noté de manière plus compacte :
Ici, nous utilisons la fonction "factorielle", définie par formula_5 et formula_6. (En d'autres mots, formula_7)
En général, le nombre de sélections ordonnées et sans répétition de "m" articles sur "n" articles est :
L'idée est que nous les annulons tous, sauf les "m" premiers facteurs du produit "n" !.
On considère ici une liste ordonnée sans répétition; on préfère parler d'arrangements. Un cas particulier est de sélectionner une liste ordonnée de "n" éléments parmi "n" éléments. Il y a "n" façons de choisir le premier élément, "n-1" pour le second, ..., 2 pour l'avant-dernier et puis 1 seul pour le dernier. Cela fait en tout "n!", ce qui est confirmer par la formule précédente, où on a pris "m=n". On parle alors de "permutations".
Sélection non-ordonnée sans répétition.
Sur 15 personnes de votre classe de mathématiques, 5 ont été choisies pour représenter la classe dans une compétition de mathématiques. Il ne peut bien-sûr pas y avoir de répétitions. Combien y a-t'il de manières de choisir les cinq étudiants ? Ce problème est appelé un problème de sélection non-ordonnée sans répétition, i.e. l'ordre dans lequel vous sélectionnez les étudiants n'est "pas" important. C.a.d. si une sélection est
une autre sélection équivalente est
Il existe
manières de choisir les 5 candidats dans une "sélection ordonnée", mais il existe 5! "permutations" des mêmes cinq candidats. (C'est à dire, 5! permutations différentes sont les mêmes combinaisons). Par conséquent, il y a
manières de choisir 5 étudiants pour représenter votre classe.
En général, pour "choisir" (sélection non-ordonnée) "m" candidats à partir de "n", il existe
manières. Nous avons donné la formule pour les sélections ordonnées de "m" candidats à partir de "n", puis, nous avons divisé par "m"! parceque chaque sélection non-ordonnée était comptée comme "m"! sélections ordonnées.
Exemples.
 Exemple 1
De combien de manières différentes les lettres du mot BOOK peuvent-elles être arrangées ?
 Solution 1
4! manières si les lettres sont toutes distinctes. Puisque O est répétée deux fois, il existe 2! permutations. Par conséquent, il existe 4!/2! = 12 manières.
 Exemple 2
Combien existe-t'il de manières de choisir 5 carreaux d'un jeu de 32 cartes ?
 Solution 2
Il existe 8 carreaux dans un jeu de 32 cartes. Donc, il existe formula_12 manières.
Tableau récapitulatif.
Le tableau suivant fait le point sur les différents cas. On remarquera que nous n'avons pas traité le cas "avec remise et non ordonné".

Approfondissements de lycée/Démonstrations