Développement du cylindre oblique.
Démarche.
Le cylindre n'est pas une forme de révolution, il ne peut donc pas s'obtenir par roulage. Il s'obtient par pliage, donc il faut réaliser deux demi-cylindre (pour éviter la collision tôle-contre-vè lors du pliage) puis les souder. On fabrique deux demi-cylindres identiques, ce qui permet de ne faire qu'un seul développement.
On définit une famille de génératrices [1.A] à [12.L] en coupant le cercle de base en 12 parties égales et en traçant les génératrices.
Puis, on trace une section droite ; il s'agit d'une ellipse dont le petit axe est perpendiculaire aux génératrices, et dont le grand axe est le diamètre du cercle de base. Pour simplifier, on choisit la section droite qui passe au centre du cylindre. Les génératrices coupent une demie ellipse aux points numérotés de 13 à 19.
Propriété.
On peut approcher le périmètre p d'une ellipse par la formule
formula_1
où a est le grand rayon et b le petit rayon.
Cela permet d'avoir la longueur développée de la tôle. Ici :
formula_2
On commence donc le tracé par une droite de longueur p = 145 mm. Le point de gauche est le point 13, puis on place les points suivants en reportant les distances mesurées sur la section rabattue (qui est en vraie grandeur) : 13'.14" permet de placer le point 14 sur le développement, …
Ce faisant, on remplace l'ellipse par un polygone, puisque l'on remplace des arcs par des cordes. Pour limiter la propagation d'erreur, on peut se recadrer sur les points particulier (point 16 milieu, point 19 à l'extrémité droite). On peut également diviser les arcs d'ellipse plus petit, et reporter ainsi des cordes plus petites (l'écart entre arc et corde étant ainsi moins grand) ; par exemple, on place quatre points intermédiaires entre les points 13 et 14.
On trace le développement de la section droite horizontalement, les génératrices sont donc verticales. Les génératrices sont en vraie grandeur sur la vue frontale ; on reporte donc la longueur 14'.h' pour avoir 14.H sur le développement, … On remarque que, par symétrie, 14.H = 18.12, 14.8 = 18.L, …
Pyramide tronquée
Pour fabriquer la pyramide tronquée, on commence par faire deux demies pyramides (pour éviter la collision tôle-contre-vè lors du pliage) puis on les soude. Il faut donc développer deux demies pyramides.
Lorsque l'on prolonge les plis, ils se rencontrent à l'apex (sommet haut de la pyramide). Par ailleurs, si la base de la pyramide est un polygone régulier (les côtés ont tous la même longueur) et que la troncature est droite, on obtient des trapèzes tous identiques.
Application.
Une pyramide raccorde deux sections carrées placées sur des plans parallèles. Si l'axe reliant les centres des carrés est perpendiculaire aux plans, il s'agit d'une pyramide droite. Ce raccordement peut être par exemple une trémie (entonnoir) ou une hotte d'aspiration.
Pyramide droite à base carrée tronquée
Travail demandé.
On considère une pyramide à base carrée droite. Développer la demie-pyramide.
Démarche
Développement d'un demi tronc de pyramide à base carrée
Les grande et petite bases du trapèze sont vues en vraie grandeur sur les plans frontal et horizontal. On détermine la vraie grandeur des côtés non-parallèles, ainsi que la vraie grandeur de la hauteur d'un trapèze, par la méthode de la droite carrée. Rappelons que l'on trace sur les faces intérieures pour le pliage. Comme les moitiés sont symétriques, cela n'a aucune importance ici, mais c'est une bonne habitude à prendre.
Pour tracer le premier trapèze :
Troncature inclinée.
Pyramide à base carrée tronquée : représentation partielle
Travail demandé
On considère une pyramide à base carrée droite, tronquée par un plan incliné.
Compléter la vue horizontale, et développer la demie-pyramide.
Construction de la développée
Démarche
Si le plan de troncature est incliné, on développe le tronc de pyramide droit, puis on retire les longueurs manquantes, en partant de l'apex — on pourrait reporter les longueurs d'arêtes, mais habituellement on reporte ce que l'on enlève, ce qui permet de travailler avec les pyramides inclinées.
On choisit les lignes de soudure, [E.5] et [F.6], de manière à avoir deux moitiés symétriques : on fabrique ainsi deux fois la même pièce, en utilisant un seul gabarit.
Apex inaccessible
Pyramide à base carrée tronquée, l'apex étant inaccessible : représentation partielle
Si la différence entre la grande base et la petite base est faible, l'apex se retrouve très loin, et l'on ne peut l'utiliser pour tracer la développée.
Travail demandé
On considère une pyramide à base carrée droite, tronquée.
Compléter la vue horizontale, et développer la demie-pyramide.
Construction de la développée
Démarche
Le premier trapèze 2.3.C.B est construit de manière classique.
Pour construire les trapèzes adjacents, on utilise le fait que les diagonales ont toutes les mêmes longueur, celle-ci étant déterminée sur le premier trapèze tracé. Ainsi, le point A se trouve :
donc à l'intersection des deux cercles. De même, le point 1 est construit en considérant que A.1 = B.2 et longueur du segment 1.2 = longueur du segment 2.3.
Tronc de cône.
Sur un cône, toutes les génératrices passent par le sommet S.
Un tronc de cône est l'intersection d'un cône avec un plan.
Applications
Un tronc de cône droit peut servir de trémie (entonnoir), de réducteur (raccordement de deux tuyaux coaxiaux de diamètre différent, de hotte d'aspiration, …
Développement d'un tronc de cône droit
On considère dans un premier temps un tronc de cône droit, c'est-à-dire que le plan d'intersection est perpendiculaire à l'axe du cône.
Applications
Le tronc de cône droit raccorde deux sections circulaires sur des plans parallèles, et coaxiales : l'axe passant par le centre des cercles est perpendiculaire aux plans. Il peut s'agir de raccorder deux tuyaux coaxiaux mais de diamètre différent.
Travail demandé
Développer un tronc de cône droit.
Développement d'un tronc de cône droit.
Démarche
Soit un tronc de cône ; R est le rayon de la base, r est le rayon du cercle supérieur, a est l'apothème, c'est-à-dire la longueur d'une génératrice prolongée jusqu'au sommet S. On appelle a' l'apothème du cône complémentaire (partie qui a été tronquée).
Le développement du tronc de cône est une portion d'anneau. L'arc extérieur se situe sur un cercle dont le centre est le sommet S, et dont le rayon est l'apothème a ; sa longueur L est le périmètre de la base du tronc de cône, 2πR. Pour le tracer, on trace un grand arc de cercle de rayon a, puis on délimite un arc de longueur L en utilisant un réglet que l'on courbe à la manière d'une cerce (curvigraphe). Si cela n'est pas possible, ou si l'on veut être plus précis, on peut déterminer l'angle α que représente la portion d'anneau :
formula_3
L'arc intérieur est sur un cercle de centre S et de rayon a'.
Mise en œuvre concrète
Roulage d'un tronc de cône.
Pour rouler le tronc de cône, il faut engager la tôle en s'assurant que la génératrice est parallèle à l'axe des rouleaux. On place une cornière en butée pour guider la tôle.
Section d'un cône droit par un plan incliné
Section d'un cône par un plan incliné: représentation partielle.
Considérons un cône de révolution coupé par un plan incliné Π perpendiculaire au plan (x, z), dont la trace sur le plan vertical est (π'). Il s'agit d'un raccordement entre une section circulaire et une section elliptique sur des plans concourants, mais ces sections ne sont pas quelconques.
travail demandé
Terminer la vue de dessus et faire le développement du tronc de cône.
Section d'un cône par un plan incliné : solution et développement de la tôle.
Démarche
On commence par diviser le cercle de base en 12 arcs égaux, et l'on trace les génératrices que l'on repère (numérote). On remarque que les génératrices [a'.1'] et [g'.7'] (en bleu sur la figure) sont en vraie grandeur (VG) dans le plan frontal.
Sur le plan vertical, l'intersection des génératrices avec la trace du plan incliné (π') donne l'abscisse x du point d'intersection, abscisse que l'on reporte sur le plan horizontal : la projection dudit point sur le plan horizontal est sur la projection de la génératrice, et sur la même verticale (ligne de rappel, on « descend » le point).
Cela ne marche pas avec les génératrices [D.4] et [J.10], puisque la projection des génératrice est parallèle à la verticale. Pour obtenir ces points, il faut faire une projection sur le plan (\mathrm{O}, \vec y, \vec z), ce qui revient à faire tourner le cône d'un quart de tour autour de son axe. Or, comme l'axe est vertical, les point restent à la même hauteur, et la génératrice prend la place des génératrices (a'.1') et (g'.7') qui sont en vraie grandeur.
Il suffit donc de :
Pour développer la tôle, on utilise la même propriété : si l'on fait tourner le cône pour mettre la génératrice n à la place de [a'.1'] ou [g'.7'], le point garde la même hauteur sur le plan vertical. On projette donc tous les points sur la génératrice [g'.7'] ou [a'.1']. On obtient ainsi la VG sans utiliser de droite carrée.
On développe la tôle comme s'il s'agissait d'un cône droit, et l'on trace les génératrices (en reportant la longueur de l'arc de base divisé par 12, ou bien l'angle total divisé par 12). La longueur des génératrices est la longueur projetée sur 7' ou 1' obtenue précédemment. Mais plutôt que reporter la longueur des génératrices depuis le cercle de base, on préfère reporter la distance enlevée depuis le sommet (SA, SB, …, SL) ; en effet, cela sera indispensable avec un cône oblique, on travailler alors toujours avec la même méthode.
Développement du tronc de cône en n'utilisant que la vue frontale.
Notons que le tracé de la section sur la vue horizontale n'est pas indispensable pour le développement ; et, la forme étant symétrique, il n'est pas non plus nécessaire de repérer complètement les génératrices. On peut donc se contenter de travailler uniquement avec la vue frontale ; on construit un système régulier de génératrices à partir d'une demie section rabattue.
Tronc de cône oblique
Cône oblique et sa section droite.
Considérons maintenant le raccordement entre deux sections circulaires sur des plans parallèles, mais qui ne sont pas coaxiales. C'est un tronc de cône oblique à base circulaire. L'axe du cône passe par le centre de la base ; ce n'est pas la bissectrice du secteur angulaire. Les sections droites (perpendiculaires à l'axe) sont des ellipses, ce n'est pas un cône de révolution, on ne peut pas le réaliser par roulage. Par ailleurs, l'axe passe par les centre des sections circulaires, il ne passe pas par le centre des sections droites.
Application
Raccordement de tuyaux d'axes parallèles par un tronc de cône incliné.
Cela permet de raccorder deux sections circulaires sur des plans parallèles, qui n'ont pas le même diamètre et ne sont pas coaxiales. C'est le cas par exemple de deux tuyaux de diamètres différents et d'axes parallèles non confondus.
Tronc de cône oblique
Travail demandé
Faire le développement du tronc de cône.
Développement du tronc de cône oblique.
Démarche
Comme précédemment, comme on ne veut que le développement de la tôle, on peut se contenter de travailler sur la vue frontale. Mais nous travaillerons aussi sur la vue horizontale pour nous habituer à bien repérer les génératrices, ce qui servira si l'on a une section inclinée.
On commence par déterminer la position s' en prolongeant les génératrices connues. Puis, on divise la section du bas en 12 parties égales ; les points sont repérés de 1 à 12 (sur la vue frontale, on ne voit que la moitié des points, 1', 7' à 12'). Sur la vue horizontale, on trace les génératrices s.1 à s.12, elles coupent la section supérieure aux points repérés a à l. Sur la vue frontale, on trace les génératrices s'.1 et s'.7 à s'.12.
Comme précédemment, on remarque que sur la vue frontale, les droites (s'.1) et (s'.7) sont en vraie grandeur (VG).
Le cône incliné ne peut se faire que par pliage, il faut donc développer en deux parties. On coupe la pièce afin d'avoir deux parties identiques. On choisit de démarrer par une génératrice en VG sur la vue frontale, par exemple [G.7], que l'on peut donc directement tracer, et l'on place le sommet S.
On sait que l'arcs [6.7] a pour longueur 1/12 du périmètre, soit πD/12 = π×50/12 = 13 mm. Sur le développement, on trace donc un cercle dont le centre est le point 7, et de rayon 13 mm ; on sait que le point 6 est sur ce cercle.
On détermine la VG de la distance S.6, par la méthode de la droite carrée ; on trouve 95 mm. Sur le développement, on trace un cercle de centre S et de rayon 95 mm ; l'intersection avec le cercle précédent donne le point 6.
On trace ensuite la génératrice (S.6). Le point F se trouve sur cette droite. La VG de la distance SF est déterminée par la droite carrée, ce qui permet de placer F sur le développement.
On construit les points suivants de la même manière.
Un tronc de cône incliné permet de raccorder deux tuyaux d'axes parallèles et de diamètres différents.
Cas d'un sommet inaccessible
Si l'apothème est très importante, et en particulier si le diamètre du cercle du haut est peu différent de celui du bas, il n'est pas possible de faire figurer le sommet sur la feuille. Si l'on veut travailler graphiquement, il faut donc trouver une alternative.
Nous prenons ci-dessous le cas de cônes droits, mais la méthode peut se généraliser aux cônes obliques.
Approximation des trapèzes
Développement d'un tronc de cône par approximation des trapèzes
Améliorations du tracé
La première méthode consiste à considérer une tôle pliée en 3 inscrite dans le cône. Chaque portion est un trapèze dont la grande base a pour longueur le diamètre D du grand cercle, et la petite base celui du petit cercle, d. La longueur des côtés est celle d'une génératrice. Un tel trapèze est simplement la vue frontale du tronc de cône.
Si l'on place ces trois trapèzes l'un à côté de l'autre, alors on voit que l'on a une approximation du développé réel :
Pour améliorer le tracé, il faut :
Approximation des diagonales
Développement d'un tronc de cône par approximation des diagonales.
La deuxième méthode consiste à construire les génératrices l'une après l'autre, de proche en proche, en considérant que les diagonales qui joignent les génératrices sont rectiligne (alors qu'elles suivent en réalité la courbe du cône). Cela revient à remplacer le cône par une pyramide à base n-gonale (dodécagonale si l'on prend 12 génératrices).
Sur le vue horizontale, on sépare le grand cercle en 12 parts égales, on trace les génératrices, puis on les reporte sur la vue frontale. Les points sont numérotés de 1 à 12 sur le grand cercle et de a à g sur le petit cercle.
La génératrice [10'.j' ] est en vraie grandeur ; si le plan de coupe était incliné, on pourrait projeter toutes les génératrices sur celle-ci, ou bien utiliser une droite carrée.
On trace une diagonale, par exemple [12.a] et [12'.a' ]. On détermine la vraie grandeur de cette diagonale, à l'aide d'une droite carrée. Là encore, si le plan de coupe était oblique, on déterminerait la VG de toutes les diagonales séparément.
Pour développer le tronc de cône :
On continue ainsi de proche en proche. Dans l'idéal, on utilise trois compas qui gardent la même ouverture.
Cette méthode permet de tracer directement la développée d'un cône tronqué par un plan oblique. Pour une telle situation, on peut aussi développer un cône droit par la méthode des trapèzes, puis reporter les génératrices.
Raccordements plus complexes
Raccordement d'une section carrée à une section circulaire
Raccordement d'un carré à un cercle
Prenons un exemple courant : une trémie a une extrémité carrée, l'autre est circulaire (ce qui permet de s'adapter à un tuyau). On parle de « raccordement de deux sections parallèles, l'une circulaire, l'autre polygonale. »
La pièce finale peut se décomposer en quatre triangles plans, et quatre quarts de cône obliques. Les quarts de cône sont en fait réalisées par pliage ; ce sont des pyramides qui approchent des cônes. De fait, la trémie est réalisée en deux parties qui sont ensuite soudées.
Travail demandé
Développer un trémie a base rectangle.
Développement d'une demie trémie
Démarche
On divise le cercle en parties égales. On détermine les lignes de soudure, F.1 et C.7.
On trace le triangle (partie plane) : le côté [AB] est en VG sur les deux vues, en déterminant sa hauteur, qui est aussi la VG de [F.1] et de [C.7].
Puis, on développe les quarts de cône obliques, de sommet respectifs A et B, de la manière habituelle. La longueur AF est en VG sur la vue horizontale, la distance F.1 a déjà été déterminée, ce qui permet de tracer F à partir des points A et 1.
Pour réaliser les portions de cônes, on utilise en général 12 plis de 7,5 ° chacun, on divise donc chaque quart de cercle en 12 parties (et non en 3 comme ici).
Les techniques de traçage vues permettent de résoudre tous les cas : raccordement de deux sections polygonales, raccordement de sections non parallèles, …
Raccordement de sections sur des plans concourants
Nous avons vu le développement d'un cylindre et d'un cône biseautés. Ce sont des formes simples à développer et à fabriquer (roulage), donc si possible, on essaie de se ramener à un de ces cas. Mais ce n'est pas toujours possible.
Coude en plusieurs parties
Méthode des sphères sécantes
Sections circulaires d'un cylindre et d'un cône avec une sphère.
Considérons deux tuyauteries d'axes tangents que l'on veut raccorder par un coude. On utilise la propriété suivante :
Théorème des sphères auxiliaires.
Soit un cylindre, et une sphère \mathcal{S} coupant ce cylindre. S'ils ont un cercle commun \mathcal{C}_1, alors ils se coupent suivant un second cercle \mathcal{C}_2.
Soit un cône, et une sphère \mathcal{S} coupant ce cône. S'ils ont un cercle commun \mathcal{C}_1, alors ils se coupent suivant un second cercle \mathcal{C}_2.
Si les cercles sont parallèles, alors il s'agit d'un cylindre ou d'un cône de révolution. Si les cercles ne sont pas parallèles, alors il s'agit d'un cylindre ou d'un cône oblique.
Ces théorèmes sont à la base de la méthode des sphères auxiliaires.
Exemple : Tuyaux à raccorder.
Considérons deux tuyaux de diamètre différent à raccorder. Ils ont des axes concourants ; la longueur d'un des tuyaux est indéfinie.
Démarche
Traçage des sphères auxiliaires
Nous utilisons la méthode dite des « sphères sécantes ».
Dessin du coude
Grâce aux sphères, nous pouvons tracer trois parties de coudes qui seront faciles à développer puisque, en vertue du théorème vu précédemment, nous savons que ce sont des troncs de cône obliques.
Bien évidemment, si les deux tuyaux sont de même diamètre, la méthode nous donne trois cylindres obliques tronqués. Mais pour les coudes cylindriques, on utilise une autre méthode.
Méthode des sphères tangentes
Surface développable tangente à deux sphères.
Mentionnons quelques propriétés :
Propriété
Un cylindre tangent à une sphère est un cylindre de révolution.
Une surface développable tangente à deux sphères de centre différent et de même rayon est un cylindre de révolution.
Propriété
Un cône tangent à une sphère est un cône de révolution.
Une surface développable tangente à deux sphères de rayons différents, la petite sphère n'étant pas incluse dans la grande, est un cône de révolution.
Raccordement de sections circulaires quelconques
Si l'on doit raccorder deux sections circulaires quelconques, rien ne garantit que l'on a un cylindre ou un cône. Il faut alors préciser la notion de génératrice, sachant que d'un point de vue pratique, les pièces seront réalisées par pliage et qu'une génératrice correspond à un pli.
Définition
Une génératrice d'une surface développable est une droite de contact entre la surface et un plan tangent à cette surface.
On ne peut pas définir de génératrice pour toutes les surfaces gauches ; mais nous pouvons toujours définir des génératrices pour les surfaces développables, voir pour cela l'article de Wikipédia Surface réglée > Plan tangent.
Raccordement d'une section circulaire et d'une section elliptique
Pour pourvoir tracer le raccordement d'un cercle à une ellipse, il faut s'intéresser à quelques propriétés géométriques.
propriété 1
Soit un plan tangent au raccordement. La ligne de contact est une génératrice du raccordement.
Ceci vient du fait que l'on utilise une surface développable pour le raccordement.
Corollaire
le plan tangent à la surface est tangent au cercle et à l'ellipse.
propriété 2
La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
C'est une propriété bien connue du cercle.
Grand rayon a et petit rayon b
propriété 3 (rappel)
On peut approcher le périmètre p d'une ellipse par la formule
formula_1
où a est le grand rayon et b le petit rayon.
Cela va servir à diviser l'ellipse en parties égales.
Méthode des cercles inscrit (haut) ou circonscrit (bas)
propriété 4
La tangente à une ellipse peut s'obtenir à l'aide du cercle inscrit ou du cercle circonscrit ; soit un point A de l'ellipse,
 avec le cercle inscrit :
 on trace la parallèle au grand axe en A et on cherche son intersection avec le cercle inscrit ; cela définit le point A1,
 on trace la tangente au cercle en A1, cette tangente coupe le petit axe en A2,
 la droite (AA2) est la tangente à l'ellipse en A ;
 avec le cercle circonscrit :
 on trace la parallèle au petit axe en A et on cherche son intersection avec le cercle circonscrit ; cela définit le point A1,
 on trace la tangente au cercle en A1, cette tangente coupe le grand axe en A2,
 la droite (AA2) est la tangente à l'ellipse en A.
propriété 5
Par deux droites parallèles non confondues passe un seul et unique plan.
Ainsi, si l'on a une tangente au cercle qui est parallèle à une tangent à l'ellipse, elles définissent un plan tangent au raccordement.
Travail demandé
Tuyaux d'axes non coplanaires et de diamètres différents à raccorder.
Dessiner le raccordement de deux tuyaux d'axes non coplanaires et de diamètres différents, et développer la tôle.
Détermination d'un système de génératrices.
Démarche
La première étape consiste à déterminer un système de génératrices. Pour cela, on détermine un système de plans tangents au cercle et à l'ellipse. Il est facile de tracer la tangente à un cercle ayant une orientation donnée ; on commence donc par tracer les tangentes à l'ellipse.
On divise l'ellipse en 12 arcs égaux, donc de longueur
formula_5
que l'on reporte au compas. On numérote les points de 1 à 12.
Les tangentes aux points 1, 4, 7 et 10 sont horizontales ou verticales ; les points correspondant sur le cercle se trouvent donc sur les axes horizontaux et verticaux. Cela définit les points a, d, g et j, et donc les génératrices [a.1], [d.4], [g.7] et [j.10].
Considérons un autre point de l'ellipse, par exemple le point 2. On trace sa tangente avec la méthode du cercle inscrit. Puis, on trace la perpendiculaire à cette tangente qui passe par le centre du cercle. Cela définit le point b.
Traçage de la tôle développée
La pièce n'est ni un cylindre, ni un cône, elle va donc s'obtenir par pliage, et doit être en deux parties. La pièce ne présente pas de symétrie. Pour éviter de souder le long des génératrices les plus longues, [G.7] et [H.8], on choisit comme lignes de soudure les génératrices [D.4] et [J.10]. On commence le développement par [G.7] (choix arbitraire).
On utilise la méthode des diagonales.