Approfondissements de lycée
Introduction.
Lorsque les enfants apprennent les nombres, ils sont intéressés par les plus gros, un million, un milliard, un billion. Ils peuvent même inventer leurs propres termes etc. Une des premières questions mathématiques qu'un enfant demande est "quel est le plus grand nombre ?" Ceci conduira souvent à une courte explication qu'il existe une infinité de nombres.
Mais il existe plusieurs "types" différents d'infinis - en fait, il existe une infinité de types d'infini ! Ce chapitre essaiera d'expliquer ce que ces sortes d'infinis représentent ainsi que leurs différences entre eux.
Ensembles infinis.
Quelle grosseur a l'infini ?
L'infini est différent d'un nombre normal parce que, par définition, il n'est pas fini. En divisant l'infini par n'importe quel nombre positif (excepté l'infini), nous obtiendrons l'infini. Vous pouvez aussi le multiplier par n'importe quoi excepté zéro (ou l'infini) et il ne sera pas plus grand. Donc, regardons de plus près les différentes sortes d'infinis.
Un mathématicien nommé Georg Cantor créa une nouvelle branche des mathématiques appelée théorie des ensembles vers la fin du 19ème siècle. La théorie des ensembles implique des collections de nombres ou d'objets. Voici un ensemble :
Est-il de même taille que celui-ci ?
La notion de Cantor sur "la même taille" d'ensembles ne prend pas en considération si les nombres sont plus gros, mais s'il existe la même quantité d'objet à l'intérieur. Vous pouvez voir facilement ici qu'ils sont de même taille, parce que vous pouvez simplement compter le nombre d'éléments dans chaque ensemble. Mais avec un nombre infini d'éléments, vous ne pouvez pas, dans un temps fini, compter tous les éléments d'un ensemble pour voir s'il a le même nombre qu'un autre.
Pour décider si deux ensembles infinis ont le même nombre d'éléments, nous devons réfléchir avec précaution sur ce que nous faisons lorsque nous comptons. Pensons à deux enfants qui se partagent un sac de billes.
"Une pour toi, et une pour moi, deux pour toi et deux pour moi"
et ainsi de suite. Ils savent qu'ils auront tous les deux le même nombre de billes parce que la manière de partager l'effectuera. Même s'ils ne savent plus les nombres (s'il ne connaissent pas plus que trente, par exemple), ils pourrons encore se partager les billes avec le même procédé de "une autre pour toi et une autre pour moi".
Nous pouvons utiliser la même idée pour comparer les ensembles infinis. Si nous pouvons trouver une manière d'apparier un élément d'un ensemble A avec un élément d'un ensemble B, et s'il n'existe pas d'élément de A sans partenaire de B et vice versa, alors nous pouvons dire que les ensembles A et B ont le même nombre d'éléments.
Exemple.
Soit formula_3 l'ensemble des nombres courants. formula_3 est appelé l'ensemble des nombres naturels. 1,2,3,4,5,6, ... "jusqu'à" l'infini.
Soit B, l'ensemble des nombres négatifs -1,-2,-3, ... ainsi de suite "jusqu'à" - l'infini.
Les éléments de formula_3 et B peuvent-ils être appariés ? La manières formelle de dire cela est "Peut-on mettre A et B en bijection ?"
Évidemment, la réponse est oui. 1 de l'ensemble formula_3 correspond à -1 de B. Comme suit :
et ainsi de suite.
L'ensemble des nombres naturels est si utile que tout ensemble qui peut être mis en bijection avec lui est dit "infini dénombrable".
Regardons quelques exemples supplémentaires. L'ensemble des entiers est-il infini dénombrable ?
Les entiers sont l'ensemble N, l'ensemble B et 0.
... -3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, ...
Historiquement, cet ensemble est généralement appelé formula_7. Noter que formula_3, l'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble de formula_7. Tous les éléments de formula_3 sont dans formula_7, mais tous les éléments de formula_7 ne sont pas dans formula_3.
Ce que nous avons besoin de savoir est si formula_7 peut être mis en bijection avec formula_3. Notre première réponse, donnée par le fait que formula_3 est un sous-ensemble de formula_7, serait non mais elle serait fausse ! En théorie des ensembles, l' "ordre" des éléments n'est pas important. Il n'y a pas de raisons pourquoi nous ne pourrions pas réarranger les éléments dans n'importe quel ordre tant que nous n'en omettons pas. formula_7 présenté comme ci-dessus n'est pas très dénombrable, mais si nous le réécrivons comme 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, 4 ... et ainsi de suite, nous pouvons voir qu'il est dénombrable.
et ainsi de suite. Vraiment étrange ! Un sous-ensemble de formula_7 (nommément les nombres naturels) possède le même nombre d'éléments que formula_7 lui-même ? Les ensembles infinis ne sont pas comme les ensembles ordinaires. En fait, ceci est quelquefois utilisé comme une définition d'un ensemble infini. Un ensemble infini est tout ensemble qui peut être mis en bijection avec au moins un de ses sous-ensembles stricts. Plutôt que de dire "Le nombre d'éléments" d'un ensemble, on emploie quelquefois le mot cardinal ou valeur cardinale. formula_7 et formula_3 sont dits avoir le même cardinal.
L'ensemble des nombres rationnels est plus grand que N ?
Dans ce chapitre, nous regarderons si nous pouvons trouver un ensemble qui est plus grand que l'infini dénombrable que nous venons d'examiner. Pour illustrer cette idée, nous pouvons imaginer une histoire.
Il était une fois un criminel qui alla en prison. Ce n'était pas un bel endroit, le pauvre criminel rencontra donc le directeur de la prison et lui demanda sa liberté. Il répondit :
"Oh d'accord - Je pense à un nombre, chaque jour tu peux essayer de le deviner. Si c'est correct, tu peux partir."
Maintenant, la question est - le criminel peut-il sortir de lui même de la prison ? (réfléchir un peu avant de lire la suite)
Évidemment, cela dépend du nombre. Si le directeur de prison choisit un nombre naturel, alors le criminel suppose 1, le premier jour, 2, le deuxième jour et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il trouve le nombre correct. De même pour les entiers, 0 le premier jour, -1 le deuxième jour. 1 le troisième jour et ainsi de suite. Si le nombre est très grand, alors cela peut prendre un long moment pour sortir de prison mais il pourra le faire.
Ce dont à besoin le directeur de prison, c'est de choisir un ensemble qui n'est pas dénombrable de cette manière. Pensez à un axe gradué. Les entiers sont largement espacés. Il existe une quantité de nombres compris entre les entiers 0 et 5 par exemple. Donc, nous devons nous occuper d'ensemble "plus denses". Le premier exemple qui vient en tête à la plupart des gens est celui des fractions. Il existe un nombre infini de fractions entre 0 et 1 donc assurément, il existe plus de fractions que d'entiers ? Est-il possible de dénombrer les fractions ? Imaginons cette possibilité un instant. Si nous essayons de dénombrer toutes les fractions entre 0 et 1 puis entre 1 et 2 et ainsi de suite, nous allons être bloqués parce que nous n'aurons jamais fini de compter celles qui précèdent 1 (il en existe une infinité). Mais cela veut-il dire qu'elles sont non-dénombrables ? Pensez à la situation avec les entiers. Les ordonner ...-2, -1, 0, 1, 2, ... les rendaient impossibles à dénombrer, mais les "réordonner" 0, -1, 1, -2, 2, ... permettait de les compter.
En fait, il existe une manière d'ordonner les fractions pour permettre de les dénombrer. Avant d'aller plus avant, revenons à un langage mathématique normal. Les mathématiciens utilisent le terme "nombre rationnel" pour définir ce que nous avons appelé fractions. Un nombre rationnel est n'importe quel nombre qui peut être écrit sous la forme p/q où p et q sont des nombres entiers. Ainsi, 3/4 est rationnel comme l'est -1/2, l'ensemble des nombres rationnels est généralement noté formula_26 . Noter que formula_7 est un sous-ensemble de formula_26 parce que tout entier peut être divisé par 1, pour le rendre rationnel. C.a.d. le nombre 3 peut être écrit sous la forme p/q comme 3/1.
Maintenant, comme tous les nombre dans formula_26 sont définis par deux nombres p et q, il est commode d'écrire formula_26 sous la forme d'une table.
formula_31
Noter que cette table n'est pas une représentation exacte de formula_26. Elle possède seulement les éléments positifs de formula_26 et un nombres d'entrées multiples.(c.a.d. 1/1 et 2/2 sont le même nombre). Nous appelerons cet ensemble formula_34. Il est suffisamment simple de voir que si formula_34 est dénombrable, alors formula_26 l'est aussi.
Comment allons-nous faire pour dénombrer formula_34 ? Si nous essayons de dénombrer la première ligne puis la deuxième et ainsi de suite, nous échouerons parce que les lignes sont de longueurs infinies. De même, si nous essayons de compter les colonnes. Mais regardons les diagonales. Dans une direction, elles sont infinies (c.a.d. 1/1, 2/2, 3/3, ...) mais dans l'autre direction, elles sont finies. Donc, cet ensemble est dénombrable. Nous les comptons le long des diagonales finies, 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1...
Pouvons-nous trouver des ensembles plus grands que N ?
Jusque là, nous avons examiné formula_3, formula_7, et formula_26 et nous avons trouvé qu'ils avaient tous la même taille, bien que formula_3 est un sous-ensemble de formula_7 qui est un sous-ensemble de formula_26. Vous commencez à vous dire "C'est ainsi ? Tous les infinis sont de même taille ?" Dans ce chapitre, nous verrons qu'un ensemble est "plus grand" que formula_3. Un ensemble qui "ne peut pas" être mis en bijection avec formula_3, quelle que soit la manière dont il est disposé.
L'ensemble en question est l'ensemble des nombres réels formula_49. Un nombre réel est n'importe quel nombre d'un axe gradué qui n'est pas dans formula_26. Rappelez-vous que l'ensemble formula_26 contient tous les nombres qui peuvent être écrits sous la forme p/q avec p et q rationnels. La plupart des nombres ne peuvent jamais être mis sous cette forme. Voici des exemples de nombres irrationnels formula_52 et formula_53.
L'ensemble formula_49 est énorme ! Beaucoup plus grand que formula_26. Pour ressentir les tailles différentes de ces deux ensembles infinis, considérons les développements décimaux d'un nombre réel et d'un nombre rationnel. Les nombres rationnels finissent toujours soit par :
ou avec une répétition de séquence :
Imaginez que vous mesuriez un livre. Si vous utilisez une règle, vous obtenez 10 cm. Si vous faites plus attention et lisez les mm, vous obtenez 10,2 cm. Vous pourriez aussi être plus précis et utiliser un pied à coulisse et obtenir 10,235 cm. Avec un microscope électronique, vous obtiendriez 10,235823 cm et ainsi de suite. En général, le développement décimal de toute mesure "réelle" sera une liste de chiffres qui apparaîtra complètement aléatoire.
Maintenant, imaginez que vous mesuriez un livre et que vous trouvez 10,101010101010 cm. Vous seriez surpris, non ? Mais, ceci est exactement la sorte de résultat que vous auriez si la longueur du livre était rationnelle. Les nombres rationnels sont denses (vous les trouvez sur tout un segment), infinis, mais encore beaucoup, beaucoup plus rares que les nombres réels.
Comment pouvons-nous démontrer que R est plus grand que Q.
C'est bien d'avoir de ressentir les différences de tailles des infinis de la section précédente. Mais pour être réellement sûrs, nous devons avoir une démonstration. Pour démontrer que formula_49 est plus grand que formula_26, nous utilisons une méthode classique. Nous supposons que formula_49 est de même taille que formula_26 et nous arrivons à une contradiction. Pour l'exigence de la clarté, nous restreindrons notre démonstration aux nombres réels entre 0 et 1. Nous appellerons cet ensemble formula_60. De façon claire, si nous pouvons démontrer que formula_60 est plus grand que formula_26 alors formula_49 doit être plus grand que formula_26 également.
Si formula_60 était de la même taille que formula_26, cela signifierait qu'il est dénombrable. Ceci veut dire que nous serions capable d'écrire sous une certaine liste, tous les éléments de formula_49 (c'est ce que dénombrable veut dire, comme nous avons fait avec tous nos ensembles infinis précédents). Considérons cette liste.
Où formula_68 est le premier nombre de notre liste, formula_69 est le deuxième, et ainsi de suite. Noter que nous n'avons pas indiqué l'ordre d'écriture de la liste. Pour cette démonstration, nous n'avons pas besoin de l'indiquer, seulement que les éléments de formula_49 peuvent être mis en liste (et donc, dénombrables).
Maintenant, écrivons le développement décimal de chaque élément de la liste.
Où formula_79 signifie le premier chiffre après la virgule du premier nombre de la liste. Donc, si notre premier nombre est 0,36921... formula_79 serait 3, formula_81 serait 6 et ainsi de suite. Rappelez-vous que cette liste est sensée être complète. Par ceci, cela veut dire qu'elle contient "chaque" élément de formula_60. Ce que nous devons faire pour démontrer que formula_49 n'est pas dénombrable, c'est de construire un nombre qui n'est pas déjà dans la liste. Puisque la liste est supposée contenir "chaque" élément de formula_60, ceci causera une contradiction et par conséquent montrera que l'on ne peut pas lister formula_60.
Pour construire ce nombre non compris dans la liste, nous choisissons une représentation décimale :
Où formula_87 est le premier chiffre après la virgule etc.
Nous supposons que formula_87 prend n'importe quelle valeur de 0 à 9 inclus "excepté" le chiffre formula_79. Donc, si formula_90 alors formula_87 peut être 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, ou 9. Puis, nous supposons que formula_92 soit n'importe quel chiffre excepté formula_93 (le deuxième chiffre du deuxième nombre de la liste). Puis formula_94, le troisième chiffre excepté formula_95 et ainsi de suite.
Maintenant, si ce nombre, que nous venons de construire "était" quelque part dans la liste alors il serait égal à formula_96 (où formula_97 est n'importe quel nombre). Regardons ce à quoi formula_96 peut être égal. Il ne peut pas être égal à formula_68 parce qu'il possède un premier chiffre différent (formula_79 et formula_87). Il ne peut pas non plus être égal à formula_69 parce qu'il possède un deuxième chiffre différent, et ainsi de suite. En fait, il ne peut pas être égal à "n'importe" quel nombre de la liste car il diffère par au moins un chiffre de "tous" ceux-là.
Nous avons fait ce que nous voulions. Nous avons construit un nombre qui est dans formula_49 mais qui n'est pas dans la "liste de tous les éléments de formula_49". Ceci veut dire que formula_49 est plus grand que n'importe quelle liste. Il ne peut pas être listé. Il n'est pas dénombrable. Il est infini plus grand que formula_26.
Existe-t-il des infinis plus grands ?
Ils existent mais ils sont difficiles à décrire. L'ensemble de toutes les combinaisons possibles de n'importe quel nombre de nombres réels est un infini "plus grand" que formula_49. Néanmoins, imaginer un tel ensemble embrouille l'esprit. Regardons à la place un ensemble qui semblerait plus grand que formula_49 mais qui ne l'est pas.
Rappelez-vous formula_60, que nous avons défini plus tôt comme l'ensemble des nombres sur un segment compris entre 0 et 1. Considérons l'ensemble de tous les nombres dans le carré entre les points du plan [0,0] et [1,1]. Au premier abord, il semblerait évident qu'il doit y avoir beaucoup plus de points sur le carré qu'il en existe sur une ligne. Mais, en mathématiques transfinies, l'"évident" n'est pas toujours vrai et la démonstration est la seule manière de le voir. Cantor dépensa trois années à essayer de démontrer que c'était vrai mais il échoua. Sa raison pour l'échec était la meilleure possible. C'est faux.
Chaque point dans ce carré est défini par deux nombres, l'abscisse et l'ordonnée; x et y tous deux le long de formula_49. Considérons un point du segment. formula_86. Pouvez-vous penser à une manière d'utiliser ce seul nombre pour définir un point dans le carré ? De même, pouvez-vous penser à une manière de combiner les deux nombres formula_112 et formula_113 pour définir un point sur le segment ? (penser à cela avant de lire la suite)
Une manière de le faire est de prendre
Ceci définit une bijection entre les points du carré et les points du segment.
L'hypothèse du continu.
Nous finirons le chapitre sur les ensembles infinis en jetant un coup d’œil à l'hypothèse du continu. Cette hypothèse établit qu'il n'existe pas d'infini entre les nombres naturels et les nombres réels. Cantor inventa un système de nombres pour les nombres transfinis. Il appela le plus petit infini formula_118, puis le plus grand suivant formula_119 et ainsi de suite. Il est facile de démontrer que le cardinal de formula_3 est formula_118 mais est-ce que le cardinal des réels est formula_119?
D'une autre manière, l'hypothèse établit que :
L'hypothèse est intéressante parce qu'il a été démontré que "Il n'est pas possible de démontrer que l'hypothèse est vraie ou fausse, en utilisant les axiomes normaux de la théorie des ensembles".
Lectures plus poussées.
Si vous voulez en apprendre plus sur la théorie des ensembles ou sur les ensembles infinis, lisez une des pages intéressantes de Wikipédia.
Limites : "comment éviter l'infini".
La théorie des ensembles infinis nous semble étrange au 21ème siècle, mais au temps de Cantor, elle était détestable pour la plupart des mathématiciens. Dans cette période, l'idée d'infini était trop troublante, ils ont essayé de l'éviter autant que possible.
Malheureusement, la branche mathématique appelée analyse était destinée a être très utile en mathématiques, physique, ingénierie. C'était un domaine trop utile pour l'ignorer simplement parce qu'il était relié à l'infini ou aux processus infinis. Pour contourner ce problème, l'idée de "limite" fut inventée.
Considérons la suite
Cette suite est appelée la suite harmonique.
Noter que les termes de la suite deviennent de plus en plus petits lorsque leur nombre augmente. Que se passe-t-il si nous rendons n infini ? Le terme deviendrait formula_124
Mais ceci n'a pas de sens. (Les mathématiciens considèrent comme mauvais de diviser par l'infini. L'infini n'est pas un nombre usuel, vous ne pouvez pas diviser par lui). Une meilleure manière d'y penser (La manière que vous avez probablement déjà pensé, si vous avez envisagé le problème) est de prendre cette approche :
L'infini est très grand, plus grand que n'importe quel nombre auquel vous pourriez penser. Donc, rendons "n" de plus en plus grand et regardons si 1/"n" approche un certain nombre fixé. Dans ce cas, comme "n" devient de plus en plus grand, 1/"n" devient de plus en plus petit. Donc, il est raisonnable de dire que la "limite" est 0.
En mathématiques, nous écrivons ceci sous la forme
et est lue :
Noter que nous n'avons pas divisé 1 par l'infini et donné la réponse 0. Nous avons fais en sorte que le nombre "n" soit de plus en plus grand et que son inverse tende de plus en plus vers zéro. Les mathématiciens du 18ème siècle ont adoré cette idée parce qu'elle évitait l'abomination de "division par l'infini". "n" reste fini tout le temps. Bien sur, on ne se préoccupe pas de l'énormité de "n", 1/"n" ne sera pas "exactement" égal à zéro, il existe toujours une petite différence. Cette différence (ou erreur) est généralement représentée par formula_126 (epsilon).
Info -- infiniment petit.
Lorsque nous parlons d'infini, nous y pensons comme quelque chose d'énorme. Mais il existe aussi l'infiniment petit, représenté par formula_127 (epsilon). Cet animal est plus proche de zéro que tout autre nombre. Les mathématiciens utilisent aussi le caractère formula_127 pour représenter n'importe quoi de petit. Par exemple, le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdős utilisait ce mot pour faire référence aux enfants.
Exemples.
Regardons la fonction
Quelle est la limite lorsque x tend vers l'infini ?
L'idée de limite a ici toute sa valeur. En remplaçant simplement "x" avec l'infini, cela nous donne :
Mais en utilisant les limites, nous pouvons résoudre
Pour notre deuxième exemple, considérons la limite lorsque x tend vers l'infini de formula_132
De nouveau, regardons la "mauvaise" manière de le faire. En substituant formula_133 dans l'expression, cela donne formula_134. Noter que vous ne pouvez pas dire que ces deux infinis s'annulent pour donner la réponse zéro.
Maintenant, effectuons la manière "correcte", en utilisant les limites
La dernière expression représente les deux fonctions multipliées ensembles. Les deux tendent vers l'infini lorsque "x" tend vers l'infini, donc le produit est l'infini aussi. Ceci veut dire que la "limite" n'existe pas, i.e. il n'existe pas de nombre fini que la fonction approche lorsque "x" devient de plus en plus grand.
Encore une fois, simplement pour que vous soyez familier avec la manière dont cela fonctionne. Calculer :
Pour rendre les choses très claires, nous réécrirons ceci sous la forme
Maintenant, pour calculer ceci, nous avons besoin de regarder les propriétés de sin(x). Sin(x) est une fonction dont vous devriez être déjà familier (ou vous allez l'être bientôt) avec sa valeur qui oscille entre 1 et -1 dépendant de x. Ceci veut dire que la valeur absolue de sin(x) (la valeur en ignorant le signe plus ou moins) est toujours inférieure ou égale à 1 :
Donc, nous avons 1/x dont nous savons déjà qu'il tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini multiplié par sin(x) qui reste toujours fini quelle que soit la valeur de x. Ceci nous donne
Exercices.
Evaluer les limites suivantes;
Séries infinies.
Considérons la somme infinie :
Pensez-vous que cette somme sera égale à l'infini une fois que tous les termes seront additionnés ? Sommons les premiers termes.
formula_145
Pouvez-vous deviner ce qu'est formula_146 ?
Voici une autre manière de le voir. Imaginez un point sur un segment se déplaçant le long de la progression de la somme. Dans le premier terme, le point saute à la position 1. Le demi-chemin entre 0 et 2. À la deuxième étape, le point saute à la position 1,5 - le demi-chemin entre 1 et 2. À chaque étape de la progression (montré d'une couleur différente sur le schéma) la distance à 2 est diminuée de moitié. Le point peut être approché du point 2 autant que vous voulez. Vous avez besoin simplement du nombre approprié de sauts, mais le point ne sera jamais atteint avec un nombre fini de sauts. Nous disons qu'à la limite, lorsque n tend vers l'infini, Sn tend vers 2.
Paradoxe de Zenon.
Les Grecs anciens avaient un gros problème avec la sommation des séries infinies. Un paradoxe célèbre dû au philosophe Zenon est le suivant :
Dans le paradoxe d'Achille et la tortue, nous imaginons le héros grec Achille dans une course à pied avec une tortue. Parce qu'il est un coureur très rapide, Achille permet gracieusement à la tortue de commencer la course en tête d'une centaine de mètres. Si nous supposons que chaque coureur commence à courir à une certaine vitesse constante (une très rapide et une très lente), alors après un certain temps fini, Achille aura couru une centaine de mètres, rattrapant le point de départ de la tortue.
Pendant ce temps, la tortue a "couru" une distance (plus courte), disons un mètre. Cela prendra à Achille un temps supplémentaire de courir cette distance, pendant lequel la tortue avancera un peu plus; puis un autre temps supplémentaire pour atteindre ce troisième point, tandis que la tortue avancera. Ainsi, lorsque Achille atteindra un endroit quelque part où la tortue a été, il lui restera encore une distance à parcourir. Par conséquent, comme le dit Zenon, Achille ne pourra jamais rattraper la tortue.