Approfondissements de lycée
Introduction.
Bien que les nombres réels peuvent, dans un certain sens, représenter toute quantité naturelle concevable, ils sont dans un autre sens "incomplets". Nous pouvons écrire certains types d'équations à coefficients réels que nous désirons résoudre, mais qui n'ont pas de solutions à nombres réels. L'exemple le plus simple de ceci est l'équation :
Votre professeur de mathématiques a dû vous dire qu'il n'y avait pas de solution "réelle" pour cette équation. Mais nous pouvons, en fait, étendre l'ensemble des nombres pour inclure les nombres "complexes" en déclarant que la solution de cette équation existe, et en lui donnant un nom : l"'unité imaginaire", formula_2.
"Imaginons", pour ce chapitre, que formula_3 existe. Donc, formula_4 est une solution à l'équation précédente, et formula_5.
Une bonne question que l'on pourrait poser est "Pourquoi ?". Pourquoi est-ce important que nous soyons capable de résoudre ces équations quadratique avec cette construction qui semble artificielle ? Il est intéressant de creuser un peu plus sur la raison de l'introduction des nombres "imaginaires" - il est apparu que non seulement cela était valide, mais qu'en plus ils permettaient une résolution plus aisée et plus élégante. Cette construction était très utile, et pouvait être approfondie.
La réponse à la question n'est pas liée à la résolution des équations quadratiques, mais plutôt à la résolution de l'intersection d'une équation cubique et d'une droite. Le mathématicien Cardan effectua la résolution des équations cubiques avec une méthode ingénieuse - comme les formules quadratiques, il existe aussi une formule qui nous donne les racines des équations cubiques, bien qu'elles soient de loin plus compliquées. Essentiellement, nous pouvons exprimer la solution d'une équation cubique formula_6 sous la forme
formula_7
Une expression plutot barbare !
Vous devriez être capable de voir vous-même que la droite formula_8 doit toujours couper la courbe cubique formula_9. Mais essayez de résoudre l'équation où formula_10, et vous aurez un problème - c'est à dire que vous serez obligés de traiter avec la racine carrée d'un nombre négatif. Mais, nous savons qu'en fait, il existe une solution pour x ; par exemple, formula_11 possède la solution x = 4.
Il devint apparent au mathématicien Bombelli qu'il y avait certaines pièces manquantes au puzzle - quelque chose qui exprimait comment cette opération d'extraction de racine carrée de nombre négatif, contraire au bon sens, se simplifiait simplement à une réponse comme 4. Ceci fut en fait la motivation pour considérer les nombre imaginaires, et cela ouvrit un domaine fascinant des mathématiques.
Le domaine des nombres complexes est dominé par ce nombre "i". Puisque ce nombre n'existe pas dans le monde réel, et vit seulement dans notre imagination, nous l'appelons l"'unité imaginaire". (Noter que formula_2 n'est pas choisi comme nom de variable pour cette raison).
L'unité imaginaire.
Comme mentionné ci-dessus
Calculons quelques puissances de "i" :
De façon générale : formula_15 et formula_16 avec formula_17
Comme vous pouvez le voir, il existe un motif.
Les nombres complexes comme solutions des équations quadratiques.
Considérons l'équation quadratique :
Le "x" que nous obtenons comme solution est ce que nous appelons un nombre complexe. (pour être précis, l'ensemble de solution de cette équation possède deux nombres complexes, toutes deux valides pour x.) Elle consiste en "deux" parties : une partie "réelle" : 3 et une partie "imaginaire": formula_41. Appelons la partie réelle "a" et la partie imaginaire "b"; alors la somme formula_42 est un nombre complexe.
Noter qu'en définissant simplement la racine carrée de moins un, nous nous sommes déjà donné la capacité d'assigner une valeur à une équation quadratique plus compliquée et que l'on avait prévue insolvable. Il apparaît que 'toute' équation polynômiale de degré formula_23 possède exactement formula_23 zéros si nous admettons les nombres complexes; ceci est appelé le Théorème fondamental de l'algèbre.
Nous notons la partie "réelle" par "Re". C.a.d. :
et la partie "imaginaire" par "Im". C.a.d. :
Vérifions pour voir si formula_47 est réellement la solution de l'équation :
Exercices :.
Substituez "z" et "w" dans l'équation quadratique ci-dessus en utilisant les valeurs que vous avez calculées dans les exercices 3 et 4. Qu'observez-vous ? Quelle conclusion pouvez-vous en tirer ?
Arithmétique des nombres complexes.
Addition et multiplication.
Cela est assez intuitif, illustrons cela avec quelques exemples :
Résumons les résultats :
Mais comment calculons-nous :
Exercices :.
Calculer :
Division.
Une manière de calculer :
est de rendre rationnel le dénominateur :
En utilisant une idée similaire, calculer
nous rendons réel le dénominateur.
Le dénominateur est la somme de deux carrés. Nous obtenons :
Si nous pouvons toujours trouver un nombre complexe dont le produit avec le dénominateur est un nombre réel, alors, il est facile d'effectuer les divisions.
Si
et
Alors "zw" est un nombre réel. Cela est vrai pour tout 'a' et 'b' (tant qu'ils sont des nombres réels).
Exercices.
Vérifiez vous-même que le produit "zw" est toujours un nombre réel.
Conjugué complexe.
Ceci conduit à l'idée de conjugués. Par exemple, le conjugué de "2 + 3i" est "2 - 3i". Le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est toujours un nombre réel. Si "z" est un nombre complexe, alors son conjugué est noté formula_67. Symboliquement si
alors,
Le conjugué de
"3 - 9i"
est
"3 + 9i".
Le conjugué de
"100"
est
"100".
Le conjugué de
"9i - 20"
est
"-20 - 9i".
Lois de conjuguaison.
Considérons cet exemple :
Ceci confirme la loi d'addition des conjugués.
La racine complexe.
Maintenant que vous êtes équipé avec toutes les bases des nombres complexes, vous pouvez aborder un chapitre un peu plus difficile, la recherche des racines.
Considérons la question :
Exprimer "w" sous la forme "a + ib".
Ceci est assez facile.
Résolvez (1) et (2) simultanément pour extraire "a" et "b".
info -- Rechercher les racines carrées.
Rechercher la racine d'un nombre réel est un problème très difficile. La plupart des gens ne peuvent pas trouver une estimation de formula_73 sans l'aide d'un calculateur. Beaucoup de programmeurs, après des années de travail sur ordinateur, n'ont encore aucune idée de la manière dont le calculateur le fait. La méthode moderne d'approximation de racines implique la compréhension d'une partie des mathématiques appelée le développement des séries de Taylor. Le chapitre est généralement couvert la première année d'enseignement supérieur car il requiert une compréhension élémentaire d'une branche importante des mathématiques appelée l'analyse.
La méthode Newton-Raphson de recherche de racines est aussi utilisée de manière extensive pour cet usage.
Maintenant, considérons le problème
Exprimer "w" sous la forme ""a" + "ib"".
En utilisant la méthode développée ci-dessus, nous effectuons,
Il apparaît que le système d'équations (1) & (2) est difficile à résoudre. Il existe une manière facile de calculer les racines de nombres complexes appelée le théorème de De Moivre. Avant de le voir, essayez ces exercices.
Le plan complexe.
Les nombres complexes comme paires ordonnées.
On peut noter, à ce niveau, que chaque nombre complexe "a+bi", peut être précisé complètement avec exactement deux nombres réels : la "partie réelle" "a", et la "partie imaginaire" "b". Ceci est vrai pour "chaque" nombre complexe ; par exemple, le nombre 5 possède la partie réelle 5 et la partie imaginaire 0, tandis que le nombre 7"i" possède la partie réelle 0 et la partie imaginaire 7. Nous pouvons nous servir de cet avantage pour adopter un schéma alternatif d'écriture des nombres complexes : nous pouvons les écrire comme des paires ordonnées, sous la forme "(a, b)" à la place de "a+bi".
Cela paraît plus familier : elles sont exactement les paires ordonnées que nous utilisons pour représenter les points dans le plan. En fait, nous pouvons les utiliser pour cet usage; le plan qui en résulte est appelé le "plan complexe". Nous appellerons l'axe des abscisses l' "axe réel", et l'axe des ordonnées l' "axe imaginaire".
Le plan complexe.
Nous pouvons voir à partir de ce qui précède qu'un nombre complexe unique est un point dans le plan complexe. Nous pouvons aussi représenter des "ensembles" de nombres complexes; ceux-ci forment des "régions" du plan. Par exemple, l'ensemble
est un carré de côté 2 centré sur l'origine.
Fonctions à valeurs complexes.
De la même manière que nous pouvons utiliser des fonctions qui à partir de valeurs "réelles" ont des valeurs "réelles", nous pouvons créer des fonctions à partir de nombres complexes vers les nombres réels, ou à partir de nombres complexes vers les nombres complexes. Ces dernières fonctions sont souvent appelées fonctions "à valeurs complexes", parce que leur valeur de sortie est un nombre complexe; il est implicite que leur argument est complexe.
Puisque les fonctions à valeurs complexes appliquent des nombres complexes vers d'autres nombres complexes, et nous déjà vu que les nombres complexes correspondent aux points du plan complexe, nous pouvons voir que les fonctions à valeurs complexes peuvent convertir des régions du plan complexe en d'autres régions. Un exemple simple : la fonction
prend un point dans le plan complexe et l'augmente de 1. Si nous l'appliquons à l'ensemble de points du carré ci-dessus, elle le déplacera de un verticalement, c'est à dire qu'il "reste" sur l'axe réel.
Théorème de De Moivre.
Si
formula_82
alors
formula_83
Racines complexes de l'unité.
Les racines complexes de l'unité de degré n est l'ensemble de solutions de l'équation formula_84. Elles sont toutes de module 1. Elles forment un groupe cyclique multiplicatif. Pour tout n donné, il existe exactement n racines, et elles forment un polygone à n côtés régulier dans le plan complexe muni du cercle unité.
Une forme réduite de ces solutions peut être donnée en utilisant la formule d'Euler :
La somme des racines n-èmes de l'unité est égale à 0, excepté pour n=1, où elle est égale à 1.
Le produit des racines n-èmes de l'unité alterne entre -1 et 1.
Ensemble de problèmes.
"...à écrire"
Règles de calcul formalisées.
Si   formula_86   et   formula_87,   il est ainsi possible de généraliser l'addition et la multiplication des nombres réels par :
et
formula_90 muni de l'addition et de la multiplication définis ci-dessus forme un corps commutatif, le corps des nombres complexes.
En présentation vectorielle cartésienne formula_91.
Il est possible d'identifier le couple ("x", "y") des coordonnées cartésiennes d'un point "M" du plan ou du vecteur formula_92   au nombre complexe "x" + i "y" appelé alors affixe du point "M" ou du vecteur formula_93, et noté « ("x", "y") » (notation vectorielle cartésienne).
L'affixe de la somme de deux vecteurs est alors la somme des affixes de ces deux vecteurs.
l'affixe de la multiplication d'un vecteur par un scalaire (réel) est alors le produit de l'affixe de ce vecteur par le scalaire. 
En fait, il existe un isomorphisme canonique entre formula_90 muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire réel et le plan vectoriel réel.
(formula_90, +, .) est donc un espace vectoriel de dimension deux sur formula_96. Cela permet de représenter formula_90 par un plan muni de deux axes : l'axe  formula_96 des nombres réels et l'axe  iformula_96 des nombres imaginaires purs.
Il est possible d'étendre la multiplication par un scalaire au produit de deux affixes. Nous verrons plus loin quel sens concret donner à ce produit.
Bref, si   formula_91   et   formula_101,   nous avons :
et :   formula_103
Nous pouvons remarquer que (0, 1).(0, 1) = (-1, 0) = -1.   En fait, (0, 1) = i.
En présentation vectorielle polaire formula_104.
Pour trouver le lien entre coordonnées cartésiennes et polaires, il suffit de tracer le triangle rectangle dont "OM" est l'hypothènuse et les deux autres côtés sont parallèles aux axes du repère. Ces deux côtés ont justement pour longueur les coordonnées cartésiennes de "M", d'où (théorème de Pythagore) :
D'autre part, comme "θ" est justement l'angle entre "OM" et le côté horizontal (définition trigonométrique des fonctions sinus et cosinus) :
Donc, si   formula_112   et   formula_113,   nous avons :
Au vu de la complexité de la formule d'addition ci-dessus, on comprend pourquoi les additions se font exclusivement en coordonnées cartésiennes ! Par contre, les multiplications sont plus simples en coordonnées polaires. Il faut donc savoir passer facilement d'une forme à l'autre suivant les circonstances, d'où l'importance des formules de passage précédentes.
En présentation trigonométrique formula_118.
Si nous appliquons la formule de passage à la forme algébrique, nous obtenons la présentation trigonométrique :
Il est possible de montrer par récurrence sur "n" et en utilisant les formules d'addition des sinus et des cosinus :
que :
En présentation géométrique formula_123.
Introduction.
Les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de même période 2"π". Par conséquent, si on définit la fonction "F" de "θ" par :
"F" est une fonction périodique de "θ", de période 2"π".
La formule de de Moivre - Laplace exprimée en fonction de "F" donne :
"F" est donc une puissance en "θ", c'est-à-dire de forme "K"θ, où "K" reste à déterminer.
Calculons la dérivée de "F". D'une part :
et d'autre part :
D'où, en rapprochant les deux expressions obtenues pour la dérivée de "F" :
Si on veut être rigoureux, le logarithme n'est défini que pour des nombres réels. On peut étendre cette définition aux nombres complexes, mais des précautions (trop compliquées pour être détaillées ici) doivent être prises. C'est pourquoi ce qui suit n'est pas une démonstration, mais seulement une justification de l'égalité à laquelle on va aboutir.
La fonction e "x" , où "e" désigne la base des logarithmes népériens et vaut environ 2,71828..., est la fonction réciproque du logarithme népérien "Ln"("x"), d'où, formellement :
et :
On en déduit que :
Dans ces conditions : formula_123 (notation géométrique), où "ρ" est le module de "z" et "θ" son argument.
Règles de calcul.
Donc, si   formula_123   et   formula_135,   nous avons :
Là encore, on constate qu'il vaut mieux utiliser la notation algébrique pour les additions et la notation géométrique pour les multiplications.
En présentation matricielle formula_140.
Nous avons vu que le produit de deux nombres complexes pouvait se mettre par exemple sous la forme
Mais quel sens concret, par exemple géométrique, peut-on donner à cette formule ?
Considérons  "z' "  comme un vecteur. Le multiplier par un nombre réel "ρ" revient à lui appliquer une homothétie vectorielle de rapport "ρ". La matrice d'une telle homothétie est de la forme :
codice_1 est la matrice de l'application Identité (ou matrice d'une rotation d'angle nul).
Multiplier "z' " par un nombre complexe de module unité et d'argument "θ" a pour effet de changer son argument sans changer son module. Cela revient à lui appliquer une rotation vectorielle d'angle "θ". La matrice d'une telle rotation est de la forme :
codice_2 est la matrice de la rotation d'un quart de tour.
L'addition des matrices carrées d'ordre deux correspond à celle des applications linéaires planes, et la multiplication des mêmes matrices à la composition des mêmes applications. 
Par conséquent, multiplier un nombre complexe  "z' "  par un autre nombre complexe  "z"  de module  "ρ"  et d'argument  "θ"  revient à lui appliquer la composée d'une homothétie vectorielle de rapport "ρ" et d'une rotation vectorielle d'angle "θ", c'est-à-dire d'une similitude vectorielle d'angle "θ" et de rapport "ρ". La matrice d'une telle similitude est de la forme :
Dans le plan, une rotation d'un demi-tour équivaut à une symétrie centrale, qui change les coordonnées en leur opposées. La matrice associée est donc  - "codice_1".   On vérifie que :
On peut ainsi identifier  codice_1  à 1 et  codice_2  à  i. En sens inverse, nous pouvons considérer :
Les réels positifs sont alors les homothéties dont ils sont le rapport. Plus généralement, le nombre complexe "ρ".ei"θ" représente la similitude d'angle "θ" et de rapport "ρ", c'est-à-dire la composée de la rotation d'angle "θ" et de l'homothétie de rapport "ρ".
Si on applique la similitude correspondant à "Z" à un vecteur d'affixe "z", l'affixe du vecteur résultant est tout simplement le produit   "Z" . "z" ..
= Résolution d'équations polynomiales dans formula_90.
Dans tout ce qui suit, on suppose que le coefficient du terme de plus haut degré est toujours non nul.
Équation monômiales.
Équations de la forme :
0 racine évidente de multiplicité "n", sauf si "n" = 0. Dans ce cas, l'équation n'a pas de solution.
Équations binomiales.
Équations de la forme :
Si "b" = 0, l'équation est monômiale. Sinon, se met sous la forme dite réduite :
résolution en mettant les nombres sous forme géométrique et en séparant modules et arguments.
Équations à trois monômes ou plus.
Il n'existe pas de méthode algébrique générale de résolution de ces équations (On peut s'amuser à faire le parallèle avec le problème des trois corps...).
Néanmoins, il existe des méthodes quand le degré de l'équation est assez faible (inférieur à 5) ou que celle-ci présente certaines régularités (c'est Évariste Galois qui a déterminé la méthode générale indiquant si une équation donnée est soluble algébriquement (« par radicaux ») ou non).
Équations du second degré.
Équations de la forme :
avec formula_151
Équations du troisième degré.
Équations de la forme :
Équations du quatrième degré.
Équations de la forme :
Équations polyalgébriques.
C'est la généralisation des équations bicarrées. Ce sont des équations polynômiales dont les monômes sont d'ordre kp + m, avec p et m donnés et k < 5. On résout ces équations en divisant les deux membres par z m (0 racine évidente de multiplicité m), puis en opérant le changement de variable Z = z p . On obtient une équation en Z de degré inférieur ou égal à 4, que l'on sait résoudre.
Les racines n-ièmes.
Exemple :
formula_160
formula_161
Donc formula_162 avec formula_163