L'origine des galaxies et autres super-structures de plusieurs milliards d'étoiles est encore assez mal connue. Cependant, on sait que divers processus sont à leur origine. La gravité a naturellement joué un rôle prédominant, en forçant les étoiles à se rapprocher en amas de plusieurs millions/milliards d'étoiles. Mais la nature exacte et le déroulement de ce processus sont encore assez mal connus : les étoiles se sont-elles formées en premier avant de se regrouper en galaxies ou bien les galaxies se sont-elles formées avant de se fragmenter en amas puis en étoiles ? Personne ne le sait à l'heure actuelle. La seule chose qui est certaine est que ces structures se sont formées à partir de zones de surdensités, qui ont grossit de plus en plus sous l'effet de la gravité au point de donner des structures comme des galaxies. Il existe une théorie qui explique les grandes lignes de cette évolution des surdensités : c'est la théorie des perturbations cosmologiques. Nous allons l'aborder dans ce chapitre.
Les précurseurs des galaxies, amas de galaxies et autres "structures cosmologiques" sont des zones où la densité est plus grande qu'aux alentours. La densité n'était en effet pas uniforme et on observait des zones où la densité était plus faible ou plus grande que la moyenne. Ces petites variations de densité ont reçu le nom d'inhomogénéités. La densité dans une surdensité est modélisée comme une petite perturbation formula_1 par rapport à la densité moyenne formula_2, ce qui donne :
Les inhomogénéités sont supposées provenir d'agitations aléatoires de la matière et du rayonnement dans l'univers primordial. Les scientifiques ont de bonnes raisons de penser que ces fluctuations aléatoires étaient des fluctuations dites gaussiennes : la probabilité d'observer la perturbation formula_6 en un endroit est définie par une fonction gaussienne, la fameuse courbe en cloche. Mais peu importe la manière dont elles sont générées, cela ne change rien à leur évolution future. Ces fluctuations de densité vont ensuite évoluer : certaines vont grossir, d'autres vont diminuer, etc. L'évolution des perturbations est gouvernée par divers processus que nous aborderons dans les chapitres suivants. Quoiqu'il en soit, la distribution initiale sera modifiée au cours du temps. On peut résumer cela en disant qu'on peut obtenir la distribution à un instant formula_7 à partir de la distribution à un instant t en multipliant cette dernière par une fonction de transfert. Celle-ci va atténuer ou accentuer certaines perturbations initiales, donnant une nouvelle distribution statistique des perturbations.
Les équations du "fluide primordial" avec les inhomogénéités.
Pour rendre compte de l'évolution des inhomogénéités, on réutilise les équations en coordonnées comobiles du chapitre précédent. Celles-ci sont, pour rappel :
On doit injecter formula_10 dans ces équations.
L'équation de conservation de la masse perturbée.
Prenons l'équation :
Injectons l’équation formula_10 :
Le terme formula_14 étant constant, on peut le sortir de la dérivée du terme de gauche.
Divisons par formula_16 :
Simplifions la dérivée :
Les équations linéarisées.
Les équations obtenues sont les suivantes :
Ces équations ne peuvent cependant pas être résolues à l'heure actuelle, car ce ne sont pas des équations linéaires. On peut cependant supposer que la perturbation est petite : formula_21. Si l'on prend cette approximation, on a immédiatement : formula_22. Les équations deviennent alors :
De plus, cette approximation fait que les termes non-linéaires peuvent être négligés et supprimés des équations. Dit autrement, on ne conserve que les termes linéaires, en supprimant tout carré ou terme de puissance > 1. La conséquence est que le terme formula_25 dans l'équation d'Euler disparaît. Les équations après linéarisation sont les suivantes :
La divergence de l'équation d'Euler.
Dans la suite des calculs, nous aurons à faire de nombreuses linéarisations, ce qui fait que les calculs se simplifieront progressivement. La première simplification, consiste à prendre la divergence de l'équation d'Euler. L'utilité de cette reformulation deviendra évidente sous peu. Prenons donc l'équation d'Euler et prenons sa divergence des deux côtés de l'équation :
La divergence d'une somme est la somme des divergences, ce qui simplifie le terme de gauche :
On utilise ensuite la formule formula_30, ce qui simplifie le terme de droite, ainsi que le terme : formula_31.
La divergence d'un gradient est identique au laplacien, ce qui donne :
On applique alors l'identité suivante : formula_34
Les relations entre densité et autres paramètres de l'équation d'Euler.
Les inhomogénéités vont naturellement influencer la pression et le potentiel gravitationnel, ainsi que la vitesse du fluide. Les zones plus denses que leur voisinage auront naturellement une gravité plus grande que leur entourage. De même, leur pression sera supérieure vu que la gravité va compresser la matière dans la surdensité, augmentant donc sa pression. Enfin, il en est de même pour la vitesse du fluide. Sous l'effet de la pression, la matière va tendre à fuir la surdensité où elle est comprimée : la matière va donc avoir une vitesse sortante supérieure à l'environnement. Mais cette vitesse est contrariée par la gravité, qui tend à faire rentrer la matière et donc à lui imposer une vitesse entrante non-nulle. Mais les équations précédentes ne permettent pas de rendre compte de ce phénomène : les termes de pression et de potentiel gravitationnel ne sont pas exprimés en fonction de la densité. On doit donc trouver des relations entre densité, pression et potentiel gravitationnel. Avec ces relations, on pourra reformuler les équations du fluide avec seulement la densité.
La relation entre densité et vitesse locale.
Le premier paramètre de l'équation d'Euler est la divergence de la vitesse locale formula_36. Celle-ci est en effet le seul constituant de son premier terme, avec le facteur de Hubble et le facteur d'échelle. On peut relier cette divergence à la densité en utilisant l'équation de conservation de la masse. Celle-ci donne en effet une relation entre la divergence de la vitesse et la densité. Ce n'est pas une relation directe avec la vitesse locale, mais c'est déjà un bon début.
On réorganise :
On multiplie par formula_39 :
On injecte alors cette équation dans les équations linéarisées :
Le calcul des dérivées donne :
On divise alors par formula_39 pour simplifier :
On simplifie :
L'équation de Poisson.
Maintenant, nous allons traiter le terme lié à la gravité, à savoir le gradient du potentiel gravitationnel. Il est relié à la densité par la fameuse équation de Poisson, une forme alternative de la loi de la gravité de Newton que vous avez peut-être déjà étudié dans vos cours de physique. La voici :
En injectant la relation formula_47, on a:
Si on linéarise l'équation, seul le terme proportionnel à formula_6 est conservé, ce qui donne :
On peut alors injecter cette équation dans l'équation finale de la section précédente, ce qui donne :
La relation entre pression et densité.
Il ne nous reste plus qu'à calculer le terme formula_52. Il se trouve que, par définition du laplacien formula_53, celle-ci est simplement la dérivée seconde de la pression. Avant de calculer cette dérivée seconde, nous allons calculer la dérivée première, avant d'en déduire la dérivée seconde. De manière générale, la pression dépend de la densité et uniquement de celle-ci dans un gaz parfait et on a donc :
Fait intéressant, le terme formula_55 est, par définition, proportionnel au carré de la vitesse du son formula_56 dans le fluide considéré. En effet, les formules nous disent que pour un gaz parfait, on a la relation suivante :
Dans ce qui suit, on négligera le coefficient d'expansion adiabatique formula_58, en supposant qu'il vaut 1. En notant formula_60 le terme formula_61 et formula_56 la vitesse du son, on a :
En dérivant une seconde fois, on trouve la dérivée seconde, qui n'est autre que le terme formula_52 :
En injectant l'équation précédente dans l'équation d'Euler, on a :
L'équation finale.
En simplifiant l'équation précédente, on obtient l'équation finale :
On peut voir que cette équation fait intervenir un terme formula_68qui décrit à quelle vitesse l'inhomogénéité grandit. Les autres termes décrivent la manière dont la croissance de la perturbation va ensuite retentir sur sa pression et son champ de gravité.
Si les termes de pression et l’entraînement de Hubble étaient nuls, toute perturbation ne ferait que grossir de plus en plus vite. La moindre surdensité aurait une gravité supérieure à son entourage, ce qui attire de la matière et fait grossir la perturbation progressivement. Ce faisant, elle aurait une masse encore plus grande, ce qui augmenterait sa gravité, et ainsi de suite. La croissance d'une telle inhomogénéité serait exponentielle. Mais la pression et l’entraînement de Hubble limitent ce phénomène, dans une certaine mesure. Pour décrire plus en détail l'évolution des inhomogénéités, il faut étudier les solutions de l'équation précédente, qui disent ce qu'il advient des inhomogénéités. On pourra ainsi savoir si celle-ci vont se contracter (formula_6 va augmenter), ou osciller. Tout le challenge tient dans le fait que nous avons étudié des perturbations ponctuelles, là où les grumeaux de matière cosmologiques ont une certaine taille, une extension spatiale. Il nous faut donc étudier ce qui se passe quand les grumeaux de matière/rayonnement ont une taille non-nulle.