multiplier par vecteur(k).wedge et diviser par Vo ; on obtient :
Démonstration :.
 prendre comme échelle de temps theta(t) ; le Principe Fondamental de la Dynamique de Translation (PFDT) donne : 
formula_2. 
donc, par intégration sur la variable theta : 
formula_3.
soit :
formula_4.
Il y a évidemment beaucoup de manière de retrouver le vecteur constant "cste = V1" , en prenant deux valeurs de u opposées ; par exemple, l'apogée et le périgée donnent: V(A) = Vo + V1 et V(A') = Vo - V1 , d'où Vo et V1.
nota bene :"Et Voilà ! C'est fini" ! L'hodographe est bien un cercle ( de rayon Vo = Co/p) ! La trajectoire sera donc FERMEE ! On obtient donc cette caractéristique FONDAMENTALE du mouvement dès le début du raisonnement. Cette simple remarque a été faite en 1713, mais est passée relativement inaperçue. Il en est résulté des dizaines de re-découvertes ! Jusqu'en 2000, on peut voir des articles ( cf par exemple Butikov, etc.)signalant cette "trouvaille". On peut s'amuser à exploiter cet hodographe, sans doute comme l'a fait Hooke ( tentative dite des elliptoïdes ; rappelons que Hooke n'avait pas grande culture mathématique, mais il avait compris le principe de l'hodographe, puisque c'est cette méthode de l'hodographe qu'il utilise pour l'ellipse dite de Hooke).
Vecteur excentricité, formula_5, constant.
C'est l'extra-ordinaire intégrale première de Hermann(1713)- retrouvée par Laplace-Runge-Lenz,etc.! Il en sera question plus tard.
La démonstration est immédiate : multiplier l'équation de l'hodographe par vec(r)/Vo.wedge, et la réécrire . 
donc la trajectoire est une ellipse :.
Car en multipliant scalairement le vecteur-excentricité formula_6 par le rayon-vecteur, on obtient : 
formula_7 , soit :
Ce qui est l'équation polaire d'une ellipse d'excentricité e , et de paramètre p , le vecteur-excentricité pointant vers l'apogée.La valeur de p ( demi-latus rectum := b^2/a := a(1-e^2)) est :
Évidemment, on peut prendre la convention, origine au périgée ; soit formula_8,
La conservation de l'énergie.
si l'on introduit l'énergie potentielle -GMm/r , elle conduit à :
1/2 V² - (GM)/r = Eo/m = cste , d'où 
Eo négative == - GMm/2a.
Exercice : montrer que 2a est le grand-axe de l'ellipse.
Donc dans le plan de la trajectoire, les deux quantités physiques Lo et Eo déterminent la forme de l'ellipse. Bien sûr OMo et Vo aussi.
moyens mnémotechniques par @d.
il importe, dans les exercices, de ne pas toujours tout redémontrer, et de savoir retenir les formules encadrées : la méthode d'A.D., dite des d@hus, sert en ce genre de situation :
les seuls paramètres sont cinématiques : GM (constante de Gauss) , Eo/m (énergie massique), et Co (constante des aires).
Donc, un de trop ! 
MAIS il suffit de retenir 
remarque de Hooke-Hamilton.
Signalons à titre de curiosité ce raisonnement de Hooke, qui a peut-être des résurgences dans la pensée de Allais (Nobel économie quand même !) :
Si l'on considère que le mouvement est plan central, de centre O , pourquoi ne pas dire que la force est centrale et proportionnelle à l'angle balayé par unité de temps, soit formula_9 , alors on retrouve tous les résultats antérieurs. Il est fort possible que ce soit par cette méthode que Hooke ait essayé de retrouver "la fameuse loi en 1/r²" , en appliquant sa méthode du second ordre : se donner la position initiale, puis la position voisine. Alors appliquer la loi et trouver la position ultérieure. Itérer. Il trouva par cette méthode des "elliptoides", ce que méprisa Newton. Plus fin, mais quel mérite en 1820? , Hamilton tirera de cette loi le fait que l'hodographe est un cercle, et tout le reste s'ensuit comme on l'a vu.
Ainsi les lois de Newton seraient simplement liées à un formula_9. Cette méthode serait plus "économique". Par contre, elle induirait peut-être un malaise, si on l'interprète à la manière Allais, car alors l'interposition de la Lune entre Soleil et Terre pourrait modifier l'angle sous lequel le Soleil serait vu de la Terre, et ainsi modifier "G" : une telle manière de faire serait alors en contradiction avec l'astronomie des trois corps. Il faudrait aussi retrouver la gravimétrie et les "théorèmes remarquables de newton-gauss". Dans cette problématique, on serait alors entraînés fort loin...Cela est bien curieux et ne vaut que pour l'anecdote : il est sain d'avoir toujours des visions différentes ( mais si elles débouchent...sur quelque chose de tangible).
Mouvement sur la trajectoire.
formula_11
formula_12;
On calcule géométriquement l'aire balayée depuis le passage au péricentre :
par affinité , S(t) = (b/a)[a²E/2 -ac. sinE /2] = ba(E-e.sinE)/2
Il s'ensuit :
La fonction réciproque donne E(t), et de là OM(t).
Fin du Cours.
Il est évident que l'on a cherché ici la compaction maximum du cours.Des dizaines d'ouvrages reprennent ce problème.
Pour nous, 2 ressortent du lot : Chandrasekhar si on aime la géométrie . Tisserand ou Winter si on veut plus exhaustif.Quelques exercices classiques suivent, pour "se faire la main".
Exercices.
Il y a des dizaines d'exercices sur ce sujet, évidemment très important; soit de satellites artificiels, soit d'astronomie. Nous "essaierons" de les classer.
satellites de la Terre.
exMersenne-Descartes-Laplace :
Mersenne posa à Descartes la question suivante : si on tire un boulet verticalement, est-il possible que le boulet ne redescende pas? 
Soit h = Vo²/2g . Montrer que l'altitude H atteinte est :
1/H = 1/h-1/R . que se passe-t-il pour h > R .
Que penser du cas Vo<c et c²< 2gR (Laplace vers 1800).