La suite des carrés des entiers naturels, celle des cubes, et bien d'autres se dérivent aussi à partir de la suite des entiers. Dans cette section, nous allons étudier les suites de puissances, à savoir les suites de la forme :
Nous avons déjà vu le cas où k=1, qui n'est autre que la suite des entiers naturels. Et nous savons déjà que la somme associée vaut :
Dans ce chapitre, nous allons voir les autres cas. Nous allons commencer par la suite des carrés, puis voir la suite des cubes, puis le cas général.
La suite des carrés (nombres pyramidaux carrés).
Après avoir vu la somme des n premiers entiers, nous allons poursuivre en voyant la somme de leurs carrés. Encore une fois, il s'agit d'une suite de Riemann, dont la forme est la suivante :
La somme des n premiers carrés, qui n'est autre que le énième nombre pyramidal carré, vaut :
La suite des cubes (nombres triangulaires carrés).
Maintenant, passons à la suite de l'inverse des cubes, définie par :
On peut prouver que :
Ce qui peut s’écrire comme suit, sachant que formula_7 :
Cette identité est connue sous le nom d'identité de Nicomaque, en l'honneur du découvreur de cette formule, Nicomaque de Gérase. Il existe plusieurs démonstrations de cette formule, mais la plus simple est clairement la démonstration par induction.
Le cas général : la méthode récursive.
Dans cette section, nous allons voir une méthode générale pour calculer la somme :
La méthode en question demande cependant de connaitre les sommes pour la puissance immédiatement inférieure k-1. En clair, pour calculer la somme pour k=5, il faut connaitre la formule pour k=4. La formule en question est la suivante :
Le cas de la somme des carrés.
La formule se comprend assez bien sous forme géométrique. Pour l'étudier, commençons par le cas le plus simple, où l'on cherche à avoir la somme des carrés. Pour cela, étudions un rectangle tel que sa hauteur soit égale à formula_11 et sa longueur soit égale à la somme formula_12 des premiers entiers. Le tout est illustré ci-dessous, dans le cas où n = 8. Sa surface est donc de :
Sur sa longueur, on a découpé les distances égales à 1, 2, 3, 4, etc. En jaune, on représente les carrés de côté 1, 2, 3, 4, etc. L'aire en jaune est donc égale à :
Il ne reste qu'à calculer la différence entre rectangle et somme des carrés. Sur la première ligne, on voit qu'il manque (1+2+3+4+..+n). Sur la seconde ligne, il manque (1+2+3+4+5+ ... + (n-1). Et ainsi de suite. En clair, la surface totale manquante est égale à :
En combinant le tout, on obtient la formule vue plus haut, mais dans le cas où k=2:
On peut alors combiner la formule précédente avec la formule formula_17. On a alors :
On sort le 1/2 du dernier terme :
On développe la dernière somme :
On soustrait la somme formula_21 des deux côtés :
Le terme de droit se factorise en :
On multiplie par formula_24 des deux côtés :
En faisant le remplacement, on trouve :
Soit le même résultat que nous avions trouvé plus haut.
Le cas de la somme des cubes.
Le raisonnement précédent marche aussi pour la somme des cubes, sous réserve que l'on change la longueur du rectangle. On garde une hauteur de (n+1), sauf que cette fois-ci la longueur du rectangle est changée pour la somme des carrés formula_27. Sa surface totale est donc de :
On peut ensuite découper la longueur en segments de longueur formula_29. On peut alors créer des rectangles avec chaque segment, dont la hauteur est de k. Leur surface est donc égale à formula_30. La somme totale de ces rectangles a une surface de :
La différence entre les deux sommes précédentes est composé d'une somme de lignes. Chaque ligne a pour surface la somme des carrés jusqu’à un certain rang, tous les rangs étant représentés. La surface totale occupée par ces lignes est donc de :
En combinant tout cela, on a la formule générale :
En faisant le remplacement avec les équations précédentes, on trouve :
Le cas général.
le raisonnement peut se généraliser pour un k quelconque. Il suffit de prendre un rectangle de hauteur formula_11 et de longueur égale à formula_36 (donc une puissance en-dessous de celle voulue). Sa surface totale est donc de :
On peut ensuite découper la longueur en segments de longueur formula_38. On peut alors créer des rectangles avec chaque segment, dont la hauteur est de k. Leur surface est donc égale à formula_39. La somme totale de ces rectangles a une surface de :
La différence entre les deux sommes précédentes est composé d'une somme de ligne qui ont pour surface formula_38. La surface totale occupée par ces lignes est donc de :
En combinant tout cela, on a la formule générale :
En faisant le remplacement avec les équations précédentes, on trouve :
Le cas général : la formule de Faulhaber.
Maintenant, étudions le cas général, mais sans recourir à une récursion.
Et pour cela, commençons par étudier quelques exemples.
Les exemples montrent que la formule finale est toujours un polynôme de degré égal à formula_53 et on peut démontrer que cela se généralise à toute somme de puissance. De plus, le premier terme est toujours de la forme formula_54. On peut donc établir l'approximation suivante :
On peut même aller plus loin en regardant le second terme, qui est toujours de la forme formula_56. On a donc :
Par contre, il ne semble pas y avoir de règle évidente pour les autres termes. 
Maintenant, cherchons une formule non pas approchée, mais exacte.
Une approche intuitive de la formule de Faulhaber.
Il existe une formule qui permet de calculer le cas général, appelée la formule de Faulhaber, du nom de son découvreur. Pour comprendre comment elle a été découverte, étudions les premiers exemples. Nous allons supposer que les formules sont des polynômes de degré formula_58 et allons tenir compte des termes nuls.
Le premier terme est égal à formula_54. En factorisant formula_58, on obtient :
Reste à trouver un moyen de calculer les coefficients, dont on voit qu'ils sont le produit de deux termes : un terme entier et une fraction. Maintenant, comparons les termes entiers avec ceux du triangle de Pascal, un triangle de nombres très connu en mathématiques et souvent utilisé dans des domaines divers. On voit que les termes entiers correspondent exactement à ceux du triangle de Pascal. Un triangle de pascal est donné ci-contre pour que vous puissiez comparer avec les termes des polynômes précédents. Par définition, le nombre situé à la ligne numéro formula_75 et la colonne formula_76 est égal à ce qu'on appelle le coefficient binomial formula_77. Pour rappel, le coefficient binomial formula_77 donne le nombre de configurations de formula_75 éléments parmi un ensemble de formula_76 éléments. On les calcule avec la formule suivante :
Les polynomes précédents se reformulent donc :
Les coefficients fractionnaires placés juste avant les coefficients binomiaux sont appelés les nombres de Bernoulli , en référence à leur découvreur. En soi, les nombres de Bernoulli sont conçus de manière à ce que la méthode présentée au-dessus marche. On peut les fabriquer par des séries génératrices ou d'autres méthodes assez complexes, mais ils n'ont rien de particulier à eux seuls. Du moins, c'est ce qui apparaît au premier abord, mais ils sont utilisés dans divers développements mathématiques, comme en analyse, en théorie des nombres et dans d'autres domaines. Le énième nombre de la suite de Bernoulli sera notés formula_89 dans ce qui suit. Les premiers nombres de Bernoulli sont : formula_90 Tous les termes impairs au-delà de formula_91 sont égaux à zéro, ce qui élimine beaucoup de termes. Ils sont définis par la formule récursive suivante :
La formule de Faulhaber : formalisation.
Formalisons les observations précédentes. Pour commencer, les premières observations nous disent que la formule est un polynôme de degré formula_58 :
On factorise alors formula_58, ce qui donne des polynômes obtenus de la forme :
On sait que les coefficients formula_99 sont le produit d'un coefficient binomial formula_100 par le nombre de Bernoulli formula_101.
Une formule équivalente, mais plus lisible, est la suivante :