Ce livre présente les éléments du calcul différentiel et intégral pour le grand débutant, c'est à dire au niveau d'un lycéen qui aurait peut-être un peu oublié, ou pas toujours compris, les mathématiques du collège.
On peut dire du calcul différentiel qu'il étudie les variations des grandeurs, alors que le calcul intégral étudie des accumulations de grandeurs. Mais ces définitions ne sont pas vraiment éclairantes tant qu'on ne connaît pas la théorie. 
L'analyse est la science des systèmes de nombres réels. Analyser veut dire identifier les parties d'un tout et la façon dont elles s'assemblent. L'analyse ultime doit identifier les constituants ultimes. Or tout ce qui est réel peut être représenté par un système de nombres réels. Les nombres réels peuvent donc être considérés comme les constituants ultimes de tout ce qui est réel. C'est pourquoi la science des systèmes de nombres réels peut être appelée l'analyse.
Pour étudier les systèmes de nombres réels, on se sert toujours, ou presque toujours, du calcul des fonctions dérivées et des intégrales. Le calcul différentiel et intégral est le principal outil de l'analyse, à tel point qu'on peut dire qu'il est l'analyse.
Résumé :
Le premier chapitre présente les principaux concepts nécessaires pour aborder l'analyse : la droite formula_1 des nombres réels, les fonctions de formula_1 dans formula_1 et la pente d'une droite.
Le second chapitre entre dans le vif du sujet en définissant la fonction dérivée d'une fonction de formula_1 dans formula_1. Un nombre dérivé est défini géométriquement comme la pente de la tangente à la courbe qui représente la fonction que l'on dérive. Il est défini analytiquement comme la limite du taux de variation de la fonction lorsque l'intervalle de variation tend vers zéro. Le calcul différentiel est le calcul des nombres dérivés.
Le troisième chapitre montre comment définir rigoureusement la limite d'une fonction, ce qui est nécessaire pour définir rigoureusement les nombres dérivés.
Le quatrième chapitre présente les règles les plus élémentaires du calcul différentiel. Elles suffisent pour calculer toutes les fonctions dérivées utilisées dans ce petit livre.
Le cinquième chapitre montre que la vitesse est la fonction dérivée de la position.
Le sixième chapitre définit les intégrales des fonctions de formula_1 dans formula_1 et explique le théorème fondamental de l'analyse, qui montre comment le calcul des dérivées permet de calculer des intégrales.
Le dernier chapitre montre comment le calcul différentiel et intégral permet de prouver la loi de Galilée, que la distance parcourue en chute libre est proportionnelle au carré du temps écoulé depuis un lâcher sans vitesse initiale, et la forme parabolique des trajectoires des projectiles et des jets d'eau.
Préliminaires.
La droite formula_1 des nombres réels, le plan formula_9 et l'espace formula_10.
formula_1 est l'ensemble des nombres réels. Ce sont tous les nombres positifs qui peuvent servir à mesurer des longueurs, plus les nombres négatifs correspondants, plus le zéro. On peut toujours les écrire comme des nombres à décimales, mais la suite des décimales peut être infinie. Par exemple, formula_12 
Si on se donne une ligne droite, un point O sur cette droite, que l'on choisit comme origine, un sens (de la gauche vers la droite, ou l'inverse) et une unité de longueur, chaque point de la droite est représenté par un unique nombre réel :
C'est pourquoi formula_1 est parfois appelé la droite des nombres réels. On peut penser à chaque nombre réel comme à un point sur une droite.
Si on se donne un plan, un point O dans ce plan, que l'on choisit comme origine, deux lignes droites perpendiculaires qui se coupent en O, un sens sur chacune de ces droites et une unité de longueur, chaque point du plan est représenté par un unique couple de nombres réels :
Les deux droites orientées sont appelés des axes, et elles forment un repère cartésien du plan.
L'ensemble de tous les couples de nombres réels est appelé formula_9. Comme on peut penser à chaque couple formula_15 de nombres réels comme à un point dans un plan, on dit parfois de formula_9 qu'il est un plan. formula_17 est parfois appelé l'abscisse et formula_18 l'ordonnée du point formula_15.
Si on se donne trois droites mutuellement perpendiculaires, on définit de même un repère cartésien de l'espace à trois dimensions :
On identifie parfois l'espace à l'ensemble formula_10 des triplets de nombres réels, parce qu'on peut penser à chaque triplet formula_21 de nombres réels comme à un point de l'espace.
Tous les points, qu'ils soient les points d'une droite, d'un plan ou de l'espace peuvent être identifiés par des nombres réels, ou par des couples, ou des triplets de ces nombres. Les figures géométriques, et donc la forme de tous les corps matériels, peuvent toujours être définies comme des ensembles de points, donc comme des ensembles de nombres réels, ou de couples, ou de triplets de nombres réels (et même les quadruplets, et les n-uplets de nombres réels, pour n'importe quel entier positif n, mais c'est plus difficile à comprendre). René Descartes (mathématicien, physicien, biologiste, psychologue, théologien, philosophe... 1596-1650) est le premier à avoir bien compris que la science des figures géométriques est une partie de la science des systèmes de nombres, et à l'avoir clairement expliqué. Cartésien nomme ce qui a été donné par Descartes, ou ce qui est digne de lui. 
Plus de deux millénaires avant Descartes, Pythagore (600 avant J-C, environ) a eu la même intuition quand il a affirmé que « tout est nombre ».
Un vecteur est, par définition, quelque chose qui détermine une direction, un sens et une longueur.
Les couples formula_15 (ou les triplets formula_21) de nombres réels sont appelés des vecteurs, parce qu'ils déterminent une direction, un sens et une longueur, c'est à dire la direction, le sens et la longueur qui vont de formula_24 à formula_15 (ou de formula_26 à formula_21) . Même les nombres réels formula_17 peuvent être appelés des vecteurs, parce qu'ils déterminent un sens et une longueur sur la droite formula_1 des nombres réels, c'est à dire le sens et la longueur qui vont de formula_30 à formula_17.
Les fonctions de formula_1 dans formula_1 et leurs représentations graphiques.
Les modèles mathématiques de la réalité sont en général définis avec des nombres, ce sont des systèmes de nombres. Parmi les systèmes de nombres, les fonctions de formula_1 dans formula_1 sont parmi les plus élémentaires et les plus importants.
On dit d'une grandeur formula_18 qu'elle est fonction d'une grandeur formula_17 lorsque la détermination de formula_17 suffit pour déterminer formula_18. Par exemple, formula_17 peut être l'âge d'un enfant et formula_18 sa taille (sa hauteur). On écrit alors formula_42 (qu'il faut lire "h de x") et on dit que la hauteur formula_43 est une fonction de l'âge formula_17. On dit de formula_17 qu'elle est la variable et de formula_46 qu'elle est la valeur de la fonction formula_43.
Lorsqu'une fonction est définie avec une formule de calcul, il suffit de calculer pour trouver ses valeurs. Si par exemple la fonction formula_48 est définie par formula_49, on peut calculer un tableau des valeurs de la fonction formula_48 :
La valeur formula_49 de la fonction formula_48 est définie pour tout nombre réel formula_17. On dit alors que le domaine de définition de formula_48 est égal à formula_1 tout entier. Mais ce n'est pas toujours le cas. Par exemple, la fonction formula_56 définie par formula_57 n'est pas définie pour formula_58, parce qu'on ne peut pas diviser par zéro. Le domaine de définition de formula_56 est formula_1 privé de zéro, que l'on note formula_61.
La représentation graphique, ou le graphe, d'une fonction formula_48 de formula_1 dans formula_1 est l'ensemble de tous les points formula_15 tels que formula_66. On peut dire aussi que c'est l'ensemble de tous les points formula_67 pour tous les formula_17 dans le domaine de définition de formula_48.
Un tableau des valeurs peut aider à tracer la représentation graphique de formula_48 :
Mais il faut pour cela calculer formula_71 pour de nombreuses valeurs de formula_17. Nous verrons que l'étude des variations de formula_48 à partir de sa fonction dérivée aide considérablement à tracer sa représentation graphique.
La pente d'une droite.
Une fonction formula_48 de formula_1 dans formula_1 définie par formula_77 où formula_78 et formula_79 sont des nombres réels, des constantes, est appelée une fonction affine. Son graphe est une droite, plus ou moins inclinée par rapport à l'horizontale, mais jamais verticale. formula_78 mesure cette inclinaison. Nous allons montrer qu'elle est la pente, ou le coefficient directeur, de cette droite.
La pente d'une droite non verticale, tracée dans un repère cartésien, est le rapport formula_81 où formula_82 mesure le déplacement dans la direction horizontale, et formula_83 le déplacement dans la direction verticale, d'un point mobile qui reste sur la droite. 
Si par exemple une côte oblige à s'élever verticalement de 10 m lorsqu'on avance horizontalement de 100 m, sa pente est de 10%=10/100=0.1. Une côte à 45° par rapport à l'horizontale a une pente de 100 %. On peut dire d'une ligne verticale qu'elle a une pente infinie.
Soient formula_84 et formula_85 deux nombres réels différents. formula_86 et formula_87 sont deux points du graphe de formula_48. La droite qui les joint a pour pente formula_89. Si formula_48 est définie par formula_77 alors cette pente est égale à :
formula_92
Si formula_78 est positif, alors formula_48 est croissante : il faut s'élever quand on se déplace sur la droite dans la direction des formula_17 positifs. 
Si formula_78 est négatif, alors formula_48 est décroissante : il faut descendre quand on se déplace sur la droite dans la direction des formula_17 positifs.
La fonction dérivée d'une fonction de formula_1 dans formula_1.
Définition géométrique.
Soit formula_48 une fonction de formula_1 dans formula_1. On dit que formula_48 est dérivable en formula_112 lorsque le graphe de formula_48 admet une tangente au point formula_114. Une tangente est une ligne droite "qui s'ajuste exactement, qui colle" à la courbe au point considéré :
Soit formula_17 un nombre différent de formula_112. Lorsque formula_17 s'approche de formula_112, la droite qui joint les points formula_114 et formula_67 s'approche de plus en plus de la tangente du graphe de formula_48 en formula_112 :
Une fonction n'est pas toujours dérivable. Par exemple, soit formula_48 la fonction valeur absolue, formula_124, c'est à dire que formula_125 si formula_126, et formula_127 si formula_128. Son graphe a un point anguleux :
formula_48 n'est pas dérivable en formula_30 parce que son graphe n'a pas une unique tangente au point formula_24. Il en a deux, une à gauche et l'autre à droite. Dans ce cas on dit de formula_48 qu'elle n'est pas dérivable en formula_30, mais qu'elle y est quand même dérivable à gauche, et dérivable à droite.
Lorsque formula_48 est dérivable en formula_112, le nombre dérivé de formula_48 en formula_112, noté formula_138 (formula_139 se lit f prime), est par définition la pente de la tangente du graphe de formula_48 au point formula_114.
formula_139 est la fonction dérivée de formula_48. Le domaine de définition de formula_139 est l'ensemble de tous les formula_17 où formula_48 est dérivable. formula_147 est la pente de la tangente au graphe de formula_48 en formula_17, lorsqu'elle existe :
Définition analytique.
Une définition analytique est une définition avec une formule de calcul.
Pour définir formula_138 avec une formule, on commence par définir le taux de variation formula_151 de formula_48 entre formula_112 et formula_154 :
formula_155
formula_138 est la limite de formula_157 quand formula_158 tend vers formula_30. On peut aussi dire que c'est la limite de formula_151 quand formula_17 tend vers formula_112.
Mais pour bien comprendre cette définition, il faut savoir définir la limite d'une fonction en formula_112, ou en zéro. Cette définition est présentée un peu plus loin.
Pour calculer un nombre dérivé, on calcule la limite du quotient entre deux différences, celle entre formula_71 et formula_165 d'une part, celle entre formula_17 et formula_112 d'autre part. C'est pourquoi on dit du calcul des dérivées qu'il est un calcul des différences, ou qu'il est un calcul différentiel. Il faut entendre par là qu'on calcule des taux de variation. 
Les variations d'une fonction dépendent du signe de sa dérivée.
Comme formula_147 est la pente de la tangente du graphe de formula_48 en formula_17, il est positif (strictement, c'est à dire formula_171) si et seulement si formula_48 est croissante au voisinage de formula_17. Il est négatif (formula_174) si et seulement si formula_48 est décroissante au voisinage de formula_17.
Si on connaît la fonction dérivée formula_139 d'une fonction formula_48, il suffit d'étudier le signe, positif ou négatif, de formula_139 pour connaître le sens de variation de formula_48. Cette règle est souvent très utile. Elle permet en particulier de trouver les sommets (les maximums) et les creux (les minimums) de la représentation graphique d'une fonction, parce qu'au voisinage d'un sommet, la fonction est d'abord croissante puis décroissante, tandis qu'au voisinage d'un creux, elle est d'abord décroissante puis croissante. Les extremums sont donc des points où formula_147 change de signe. 
La continuité et la limite d'une fonction en un point.
Ce chapitre est le plus difficile de ce petit livre. Pourtant au commencement il n'en a pas l'air, parce qu'on comprend ce qu'est la limite d'une fonction simplement en comprenant ce qu'est l'extrémité d'une ligne. Cela semble plutôt trivial. Mais la définition logiquement rigoureuse de la limite d'une fonction, la définition en formula_215, est d'une importance fondamentale. Elle va au cœur du sujet. C'est à partir d'elle que les mathématiciens ont pu développer avec des preuves exactes et rigoureuses tout le calcul différentiel et intégral.
Discontinuité et continuité.
Soit formula_216 la fonction définie par :
Son graphe est :
formula_216 admet deux limites en zéro, une à droite et l'autre à gauche. Quand formula_17 tend vers formula_30 par valeurs supérieures, formula_225 tend vers formula_226. Quand formula_17 tend vers formula_30 par valeurs inférieures, formula_225 tend vers formula_30. On écrit :
formula_231
formula_232
Ces deux limites sont différentes entre elles, et différentes de formula_233 parce que formula_216 est discontinue en formula_30. formula_225 fait un saut, de zéro à un, lorsque formula_17 passe des valeurs inférieures aux valeurs supérieures à zéro.
Une fonction est continue au point formula_112, par définition, lorsqu'elle admet une unique limite en formula_112 égale à formula_165. 
Il faut bien sûr définir la limite d'une fonction pour que sa continuité soit ainsi définie. C'est le rôle de la définition en formula_215 présentée ci-dessous. 
Soit formula_48 la fonction définie par formula_243. formula_48 est définie pour tout nombre réel formula_17 et est égal à formula_226, sauf pour formula_58, parce qu'on ne peut pas diviser par zéro. Mais formula_48 admet quand même une limite en zéro, égale à un. Si on la représente graphiquement, on obtient une fonction constante :
où il faut supprimer le point formula_249, parce que formula_71 n'est pas défini pour formula_58. 
formula_48 n'est pas continue en formula_30, parce qu'elle n'y est pas définie, mais il est facile de la prolonger par continuité, en posant, formula_254. Elle est alors partout continue.
La définition en formula_215 de la limite d'une fonction.
Voici enfin la définition formelle de la limite d'une fonction de formula_1 dans formula_1 :
Une fonction formula_48 de formula_1 dans formula_1 admet la limite formula_261 quand formula_17 tend vers formula_112 si et seulement si :
Pour tout formula_264, il existe formula_265 tel que formula_266 entraîne formula_267.
Et on écrit alors :
formula_268
Il faut penser à formula_158 comme à un petit nombre positif, proche de zéro. C'est d'ailleurs pour cela qu'on l'appelle formula_158. Exiger que formula_267 revient alors à exiger que formula_71 soit très proche de formula_261. On demande que formula_71 s'approche d'aussi près qu'on le veut de formula_261 dès que formula_17 s'approche suffisamment de formula_112.
Vérifions que cette définition est en accord avec nos intuitions sur la continuité :
Règles élémentaires pour le calcul des dérivées.
La définition en formula_215 permet de définir rigoureusement les nombres dérivés et donc les fonction dérivées, mais elle est difficile à utiliser. En pratique, on calcule les fonctions dérivées en se servant de règles de dérivation. Historiquement, ces règles ont précédé de plus d'un siècle la définition en formula_215. Elles ont été trouvées en tâtonnant et avec des arguments peu rigoureux, parce qu'il fallait raisonner sur des divisions par des nombres qui s'approchent de zéro. On appelait ces nombres des quantités infiniment petites et on parlait de calcul infinitésimal. Dans cette section on présente ces règles sans les démontrer ou en donnant seulement quelques indications sur les preuves. Mais toutes ces règles peuvent être rigoureusement prouvées à partir de la définition en formula_215.
La dérivée d'une fonction constante.
Soit formula_48 la fonction définie par formula_336 où formula_337 est une constante. 
formula_338 pour tout formula_339. Donc :
formula_340 pour tout formula_341
On pouvait s'y attendre puisqu'une fonction constante est représentée par une droite horizontale.
La dérivée d'une fonction affine.
Soit formula_48 la fonction définie par formula_77 où formula_78 et formula_79 sont des constantes.
formula_346 pour tout formula_339. Donc :
formula_348 pour tout formula_341
On pouvait s'y attendre puisque formula_78 est la pente de la droite qui représente formula_48.
La dérivée d'une somme.
Si formula_48 et formula_56 sont deux fonctions dérivables en formula_112 alors leur somme est aussi dérivable en formula_112 et son nombre dérivé est formula_356.
On dit aussi que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées et on écrit plus simplement :
formula_357
La dérivée d'un produit par une constante.
Si formula_48 est une fonction dérivable en formula_112 alors son produit par une constante formula_337 est aussi dérivable en formula_112 et le nombre dérivé du produit est formula_362.
On écrit plus simplement :
formula_363
La dérivée d'un produit.
Si formula_48 et formula_56 sont deux fonctions dérivables en formula_112 alors leur produit est aussi dérivable en formula_112 et son nombre dérivé est formula_368.
On écrit plus simplement :
formula_369
Attention, la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. 
Ces règles suffiront pour les calculs du présent livre, qui reste volontairement à un niveau élémentaire. Elles doivent être complétées par deux autres règles (dérivées d'un quotient et d'une fonction composée) pour pouvoir calculer les dérivées de la plupart des fonctions habituellement définies.
Exercices.
formula_370
formula_371
La vitesse est la dérivée de la position.
Les mouvements et les fonctions de formula_1 dans formula_1.
Lorsqu'un mobile est contraint de se déplacer sur une droite, comme un train sur des rails, sa position peut être déterminée par un seul nombre. Il suffit de se donner un repère (une origine, un sens, et une unité de longueur) sur la droite.
Le mouvement du mobile est déterminé par la succession de toutes ses positions formula_392 à tous les instants formula_393 du temps. Comme la position dépend du temps, formula_17 est une fonction de formula_393. formula_17 est la fonction de formula_1 dans formula_1 qui à tout formula_393 associe la position formula_392.
Inversement n'importe quelle fonction formula_48 de formula_1 dans formula_1, dès qu'elle est continue, peut être interprétée comme la représentation d'un mouvement. Il suffit d'interpréter formula_404 comme la position d'un certain mobile à l'instant formula_393.
Le graphe d'une fonction de formula_1 dans formula_1 qui représente un mouvement peut être considéré comme une sorte de partition tandis que le mouvement lui-même est la musique.
Si le point mobile se déplace dans un plan, ou sur une surface, il faut deux nombres réels formula_392 et formula_409 pour déterminer sa position à chaque instant formula_393, il faut donc deux fonctions de formula_1 dans formula_1, formula_17 et formula_18, pour déterminer complètement le mouvement. formula_415 est la position du point mobile à l'instant formula_393.
Si le point mobile se déplace dans l'espace, il faut trois nombres réels formula_392, formula_409 et formula_419 pour déterminer sa position à chaque instant formula_393, il faut donc trois fonctions de formula_1 dans formula_1, formula_17, formula_18 et formula_425 pour déterminer complètement le mouvement.
S'il s'agit d'un corps mobile dans l'espace, la description de son mouvement est plus compliquée. Il faut six fonctions de formula_1 dans formula_1 pour décrire le mouvement d'un corps parfaitement rigide, trois pour décrire le mouvement de son centre de masse, et trois autres pour décrire la rotation autour de ce centre.
Vitesse moyenne et vitesse instantanée.
Soit formula_17 une fonction de formula_1 dans formula_1 qui décrit le mouvement d'un mobile contraint de se déplacer sur une droite. Le taux de variation de formula_17 entre les instants formula_432 et formula_433 est défini par :
formula_434
C'est la vitesse moyenne du mobile entre formula_432 et formula_433
Si formula_433 tend vers formula_432, ce taux de variation tend vers le nombre dérivé de formula_17 en formula_432 :
formula_441
C'est la vitesse instantanée du mobile à l'instant formula_432
formula_443, la fonction dérivée de la fonction position formula_17 est donc la vitesse instantanée du mobile.
Si le point mobile se déplace dans un plan, formula_445 est le vecteur vitesse à l'instant formula_393. Si le point mobile se déplace dans l'espace, son vecteur vitesse instantanée est formula_447 
Le vecteur vitesse instantanée est donc toujours la dérivée du vecteur position.
Calcul intégral.
Les intégrales d'une fonction de formula_1 dans formula_1.
Si formula_48 est une fonction de formula_1 dans formula_1 définie sur l'intervalle formula_457, et si elle est suffisamment régulière, c'est à dire continue, ou pas trop discontinue, alors elle permet de délimiter une aire, l'aire comprise entre la courbe qui la représente et l'axe horizontal :
Cette aire est par définition l'intégrale de formula_48 entre formula_285 et formula_286. Elle est notée comme suit, pour des raisons qui vont apparaître bientôt :
formula_461
ce qui se lit, intégrale, ou somme, de f de x dé x entre a et b.
Il faut compter positivement une aire au dessus de l'axe horizontal et négativement une aire en dessous :
Pour calculer cette aire on procède par approximations successives, en mesurant les aires de rectangles qui touchent la courbe :
Cette méthode de calcul explique la notation formula_461. formula_463 représente la largeur des rectangles que l'on additionne. Il faut le concevoir comme un petit nombre que l'on fait tendre vers zéro. Plus formula_463 est proche de zéro, plus les rectangles sont nombreux, plus ils s'ajustent finement à la courbe et meilleure est l'approximation. Si un rectangle touche la courbe au point d'abscisse formula_17, formula_71 est sa hauteur, son aire est donc formula_467. formula_468 est une sorte de S étiré qui veut dire somme. Intégrer veut dire sommer, additionner, accumuler.
La méthode par approximations successives permet de définir rigoureusement les intégrales, par passage à la limite, c'est à dire en faisant tendre formula_463 vers zéro et en étudiant la limite, si elle existe, de la somme des formula_467. Mais elle est souvent d'une utilisation difficile. On s'en sert surtout pour prouver les théorèmes qui nous servent à justifier nos calculs. En pratique on calcule presque toujours les intégrales en se servant du théorème fondamental de l'analyse. Il montre que savoir calculer des dérivées suffit pour calculer des intégrales.
Le théorème fondamental de l'analyse.
Pour comprendre intuitivement ce théorème il suffit de comprendre que formula_471 est une grande différence qui résulte d'une accumulation de petites différences, les formula_472 :
formula_473 est à peu près égal à formula_474 lorsque formula_463 est très petit, formula_472 est donc à peu près égal à formula_477. 
Or formula_478<br>
où l'on a choisi formula_480 et formula_481 est un entier que l'on peut choisir aussi grand que l'on veut, pour que formula_463 puisse être aussi petit qu'on le veut. 
Donc, dès que formula_481 est assez grand, formula_471 est à peu près égal à la somme des formula_472 pour toutes les valeurs de formula_17 égales à formula_487 où n est un entier tel que formula_488.
Si on fait tendre formula_481 vers l'infini alors formula_463 tend vers formula_30 et la somme des formula_472 tend vers l'intégrale formula_493.
Les fonctions primitives d'une fonction de formula_1 dans formula_1.
formula_496 est une fonction primitive de formula_48 si et seulement si formula_48 est la fonction dérivée de formula_496, formula_500.
Une primitive pourrait être appelée une antidérivée (en anglais on l'appelle "antiderivative").
Par exemple formula_496 définie par formula_502 est une primitive de formula_48 définie par formula_125.
Une fonction formula_48 qui admet une primitive formula_496 en admet toujours une infinité, parce que formula_507 est aussi une primitive de formula_48 pour n'importe quelle constante formula_337 (il faut se souvenir que la dérivée d'une constante est nulle, et que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées).
Le théorème fondamental de l'analyse montre que la connaissance d'une primitive de formula_48 suffit pour calculer les intégrales de formula_48.
La chute des corps et la loi de Galilée.
Ce chapitre explique pourquoi les corps en chute libre ont des trajectoires paraboliques, ou presque paraboliques.
Comment trouver la position si on connaît la vitesse ?
Soit un mobile contraint de se déplacer sur une droite. On suppose qu'on connaît sa vitesse formula_518 à tous les instants formula_393 et sa position initiale formula_520 à l'instant formula_30. Cela suffit pour calculer sa position formula_392 à tous les instants :
À partir de formula_520 et formula_524 on calcule formula_525
À partir de formula_526 et formula_527 on calcule formula_528
Plus généralement, à partir de formula_529 et formula_530 on calcule formula_531
Plus formula_532 est petit, meilleure est l'approximation.
Le théorème fondamental de l'analyse montre que formula_533 puisque formula_534
Le calcul précédent conduit à trouver une valeur approchée de formula_535
Si on connaît formula_518 par une formule analytique et si on connaît une de ses primitives, le théorème fondamental de l'analyse suffit pour trouver formula_392 à tous les instants formula_393
L'accélération est la dérivée de la vitesse.
L'accélération est la vitesse de variation de la vitesse. Elle est positive quand la vitesse augmente et négative (décélération) quand la vitesse diminue.
Comme la vitesse de variation d'une fonction qui dépend du temps est sa dérivée, l'accélération est la fonction dérivée de la fonction vitesse :
formula_539
Si formula_139 est dérivable, sa dérivée formula_541 (lire f seconde) est la dérivée seconde de formula_48. L'accélération est donc la dérivée seconde de la position :
formula_543
La chute libre à la surface de la Terre.
En première approximation on peut considérer que l'accélération de tous les corps en chute libre à la surface de la Terre est partout égale à 10 m/s/s (qui se lit mètre par seconde par seconde) et dirigée vers le centre de la Terre. C'est une conséquence de la loi de la gravitation universelle de Newton. L'accélération d'un corps attiré par la Terre est inversement proportionnelle au carré de la distance au centre de la Terre. Comme à la surface la distance au centre varie peu, l'accélération est approximativement constante.
Chute libre veut dire que le mobile est seulement soumis à la force d'attraction de la Terre. On néglige les frottements contre l'air.
Soit une pierre, lâchée sans vitesse initiale du sommet d'une tour. On appelle formula_409 la distance en mètres parcourue au bout de formula_393 secondes. On a donc formula_546, formula_547 et formula_548 quel que soit formula_393
Comme on connaît la vitesse initiale formula_550 et l'accélération formula_551 à tous les instants formula_393, on peut en déduire la vitesse à tous les instants :
formula_553
Comme on connaît maintenant la position initiale formula_546 et la vitesse formula_555 à tous les instants formula_393, on peut en déduire la position à tous les instants :
formula_557
On prouve ainsi la loi de Galilée : "la distance parcourue en chute libre est proportionnelle au carré du temps écoulé depuis un lâcher initial au repos."
Exercice.
formula_566
Les trajectoires paraboliques.
Un corps lâché sans vitesse initiale tombe en ligne droite vers le centre de la Terre. Si on lui donne initialement une vitesse qui s'écarte de la verticale, sa trajectoire de chute libre est une parabole. 
Une parabole est la représentation graphique d'une fonction définie par formula_567, où formula_285 est une constante différente de zéro.
Par exemple, si formula_569 :
Pour décrire la trajectoire du mobile, on a besoin de deux coordonnées, formula_392 et formula_409. formula_392 mesure la position dans la direction horizontale, formula_409 dans la direction verticale.
Si on néglige les frottements, il n'y a pas de force dans la direction horizontale. L'accélération formula_574 dans cette direction est donc toujours nulle. La vitesse formula_575 reste donc constante et égale à la vitesse formula_576 donnée initialement au mobile. On en déduit que :
formula_577
Si la vitesse initiale du mobile est horizontale, formula_550, formula_579 et
formula_580
on en déduit que
formula_581
et on peut conclure que la trajectoire du mobile est une parabole. Elle est orientée vers le bas, parce que l'axe des formula_18 choisi pour ce calcul est orienté vers le bas. Le mobile passe par le sommet de la parabole à l'instant formula_583, lorsque sa vitesse est horizontale.