Approfondissements de lycée/Matrices
Approfondissements de lycée
Introduction.
En mathématiques, une matrice n'est pas une simulation informatique géante - à la place (et plus utilement) c'est un tableau de nombres. La théorie des matrices nous aide à résoudre des systèmes d'équations d'une manière relativement facile. Par exemple, le système d'équations :
possède la solution "x" = 7 et "y" = 3. C'est très facile à résoudre. Mais avez-vous essayé de résoudre un système d'équations à quatre variables ? C.a.d.
Ce simple problème prendra, à une personne douée en arithmétique, un long moment pour le résoudre en utilisant les substitutions et les éliminations. La théorie des matrices nous fournit, avec des algorithmes pour résoudre ces systèmes d'équations, une manière de déterminer rapidement si une solution "unique" existe.
Les matrices sont très compactes et commodes pour la représentation sur papier; l'équation matricielle correspondante au problème ci-dessus donne :
Les ordinateurs sont très doués avec les tableaux de nombres. En représentant les systèmes d'équations comme des matrices, cela les rend réellement plus facile à calculer.
Exemples de matrices.
Les exemples qui suivent sont toutes des matrices :
Maintenant, nous voyons ce que signifie "une matrice est simplement un tableau de nombres". La première matrice possède 4 lignes et 4 colonnes, donc nous l'appelons une matrice 4 x 4 (4 par 4); la deuxième et la troisième possèdent chacune 4 lignes et 1 colonne, dont nous les appelons des matrices 4 x 1 (4 par 1). Comme montré ici, les matrices peuvent être de différentes tailles. Ces tailles prennent le nom de "dimensions". La "forme" d'une matrice est le nom pour les dimensions de celle-ci ("m" par "n", où "m" est le nombre de lignes et "n" le nombre de colonnes). Voici quelques exemples supplémentaires de matrices :
Eléments.
Un élément d'une matrice est un nombre particulier à l'intérieur de la matrice, et est localisé avec une paire de nombres. C.a.d. soit la matrice suivante notée par A, où symboliquement :
l'entrée (2,2) de A est 5; l'entrée (1,1) de A est 1, l'entrée (3,3) de A est 9 et l'entrée (3,2) de A est 8. L'entrée (i,j) de A est généralement notée formula_9 et l'entrée (i,j) d'une matrice B est généralement notée formula_10 et ainsi de suite.
Addition matricielle & Multiplication par un scalaire.
Les matrices peuvent être ajoutées ensemble. Mais seulement celles qui ont la même "forme" peuvent être ajoutées. Ceci est très naturel. C.a.d.
puis
De manière similaire, les matrices peuvent être multipliées par un "scalaire", un nombre ou une grandeur qui peut être décrit sans direction (c.a.d. ouest, nord), à la différence d'un vecteur (qui est aussi un type spécial de matrices). Vous n'avez pas à vous soucier des définitions ici, simplement se souvenir qu'un "scalaire" est un nombre.
dans ce cas, la valeur scalaire est 5. En général, "s" x A, où "s" est un scalaire et A un matrice, nous multiplions chaque entrée de A par "s". C'est aussi simple que ça.
Multiplication matricielle.
Les matrices peuvent être multipliées ensemble, et la multiplication des matrices est réellement ce dont nous voulons nous occuper dans ce chapitre. Par souci de simplicité, nous nous occuperons de matrices à deux colonnes et deux lignes. Commençons avec un exemple :
alors
De manière similaire, si :
alors
Une matrice d'une seule ligne est appelée un "vecteur ligne", de manière similaire, une matrice d'une seule colonne est appelée un "vecteur colonne". Losque nous multiplions un vecteur ligne A, avec un vecteur colonne B, nous multiplions l'élément de la première colonne de A par l'élément de la première ligne de B et ajoutons le produit à la deuxième colonne de A et la deuxième ligne de B et ainsi de suite. Plus généralement, nous multiplions formula_20 par formula_21 (où "i" parcours de 1 à n, le nombre de lignes/colonnes) et ajoutons tous les produits. Symboliquement :
Note : Le produit de matrices est aussi une matrice. Le produit d'un vecteur ligne et d'un vecteur colonne est une matrice 1 x 1, et non un scalaire.
Exercices.
Multiplier :
Multiplication de matrices non-vectorielles.
Supposons formula_29 où "A", "B" et "C" sont des matrices.
Nous multiplions la "i"ème ligne de "A" avec la "j"ème colonne de "B" comme si elles étaient des matrices vectorielles. Le nombre résultant est l'élément ("i","j")ème de "C". Symboliquement :
Exemple 1.
Evaluer AB = C et BA = D, où
et
 Solution 
i.e.
i.e.
Exemple 2.
Evaluer AB et BA où
 Solution 
Exemple 3.
Evaluer AB et BA où
 Solution 
Exemple 4.
Evaluer la multiplication suivante :
 Solution 
Noter que :
est une matrice 2 x 1 et
est une matrice 1 x 2. Donc, la multiplication a un sens et le produit devrait être une matrice 2 x 2.
Exemple 5.
Evaluer la multiplication suivante :
 Solution 
Exemple 6.
Evaluer la multiplication suivante :
 Solution 
formula_58
Note : La multiplication de matrices n'est généralement pas commutative, i.e. généralement formula_59.
Matrices diagonales.
Une matrice diagonale est une matrice avec des entrées égales à zéro partout excepté sur la diagonale. Multiplier les matrices diagonales est réellement très pratique, puisque vous n'avez seulement qu'à multiplier les entrées diagonales entre-elles.
Exemples
Les matrices qui suivent sont toutes diagonales
formula_60
 Exemple 1 
formula_61
 Exemple 2 
formula_62
Les exemples ci-dessus montrent que si D est une matrice diagonale alors formula_63 est très facile à calculer, tout ce que nous avons à faire est d'élever à la puissance k les entrées diagonales de la matrice. Ceci sera un fait très utile plus tard, lorsque nous apprendrons comment calculer le "n"ème nombre de Fibonacci en utilisant les matrices.
Exercices.
1. Etablir les dimensions de C
2. Evaluer. Noter svp que dans la multiplication matricielle (AB)C = A(BC) i.e. l'ordre dans lequel vous faites les multiplications ne pose pas de problème (démontré plus tard).
3. Exécuter les multiplications suivantes :
Que remarquez-vous ?
L'identité et les lois de multiplication.
Si vous avez fait les exercices ci-dessus, vous avez remarqué que :
est une matrice très spéciale. Elle est appelée la matrice identité 2 x 2. Une matrice identité est une matrice "carrée", dont les entrées diagonales sont toutes égales à 1 et les autres entrées égales à zéro. La matrice identité "I", possède les propriétés suivantes très spéciales
Nous ne préciseront pas généralement la "forme" de l'identité parceque cela est évident dans le contexte, et dans ce chapitre, nous ne traiterons que des matrices identité 2 x 2. Dans l'ensemble des nombres réels, le nombre 1 satisfait : r x 1 = r = 1 x r, donc, il est clair que la matrice identité est analogue à "1".
Associativité et distributivité
Soit A, B, et C des matrices.
L'associativité signifie
c'est à dire que l'ordre dans lequel sont multipliées les matrices n'est pas important, parce que le résultat final que vous obtenez est le même, indépendamment de l'ordre dans lequel les multiplications ont été faites.
La distributivité signifie
et
Note : La propriété de commutativité des nombres réels (i.e. ab = ba), ne peut pas être portée dans le monde des matrices.
Persuadez-vous vous-même.
Pour toutes les matrices 2 x 2 A, B et C. Et "I" la matrice identité.
1. Persuadez-vous vous-même que dans le cas 2 x 2 :
et
formula_74
2. Persuadez-vous vous-même que dans le cas 2 x 2 :
3. Persuadez-vous vous-même que :
en général. Quand y a t'il AB = BA ? Nommez au moins un cas.
Noter que tout ce qu'il y a ci-dessus est vrai pour toutes les matrices (pour toute dimension/forme).
Déterminant et inverses.
Nous considérerons le système d'équations :
où a, b, c, d, formula_79 et formula_80 sont des constantes. Nous voulons déterminer les conditions nécessaires pour que (1) et (2) aient une solution "unique" pour "x" et "y". Nous effectuons :
i.e.
Maintenant
Maintenant, "y" peut être uniquement déterminé si et seulement si formula_84. Donc, la condition nécessaire pour que (1) et (2) aient une unique solution dépend des quatre coefficients de "x" et "y". Nous appelons ce nombre (ad - bc) le "déterminant", parce qu'il nous indique s'il existe une unique solution pour un système d'équations à deux inconnues.
En résumé
Note : "Unique" : si le déterminant est zéro, il ne signifie pas nécessairement qu'il n'y a pas de solutions pour ce système d'équations ! Considérons :
le système d'équation ci-dessus possède un déterminant égal à zéro, mais il existe évidemment une solution, x = y = 1. En fait il existe une infinité de solutions ! Considérons aussi :
le système d'équations ci-dessus possède un déterminant égal à zéro, et il n'existe pas de solutions.
 Déterminant d'une matrice 
Nous définissons le déterminant d'une matrice 2 x 2
est
 Inverses 
Il n'est peut-être pas très clair, à ce niveau, quel est l'usage de det(A). Mais il est intimement connecté avec l'idée d'un inverse. Considérons dans l'ensemble des nombres réels un nombre "b", il possède un inverse formula_93, i.e. formula_94. Nous savons que formula_93 n'existe pas lorsque "b" = 0.
Dans le monde des matrices, une matrice "A" peut ou ne peut pas avoir un inverse, cela dépend de la valeur du déterminant det(A) ! Comment cela se passe ? Supposons que "A" (connue) possède un inverse "B" (i.e. AB = I = BA). Donc, nous voulons trouver B. Supposons de plus que
et
nous devons résoudre un système de quatre équations pour obtenir les valeurs de w, x, y et z en termes de a, b, c, d et det(A).
"il est crucial que vous essayez de résoudre les équations vous-même". La réponse requise est
Ici, nous supposions que "A" possède un inverse, mais ceci n'a pas de sens si det(A) = 0, comme nous ne pouvons pas diviser par zéro. Donc formula_99 (l'inverse de "A") existe si et seulement si formula_100.
Résumé
Si AB = BA = I, alors nous disons que B est l'inverse de A. Nous notons l'inverse de "A" par formula_99. L'inverse d'une matrice 2 x 2 (si elle existe)
est
où det(A) est le déterminant de A.
Résolution de systèmes d'équations.
Supposons que nous avons à résoudre :
Soit
Nous pouvons traduire cela en forme matricielle
i.e
Si le déterminant de A n'est pas zéro, alors nous pouvons pré-multiplier les deux côtés par formula_99, l'inverse de A
i.e.
ce qui implique que "x" et "y" sont uniques.
Exemples.
Trouver l'inverse de A, s'il existe
 Solutions
Exercices.
1. Trouver le déterminant de
2. Supposons que
montrer que
pour le cas 2 x 2. Note : c'est vrai pour tous les cas
3. Montrer que si vous permutez les lignes de A pour obtenir A', alors det(A) = -det(A')
4. En utilisant le résultat de 2)
a) Démontrer que si :
alors det(A) = det(B)
b) Démontrer que si :
pour un certain entier positif "k", alors det(A) = 0.
c) Supposons que
et
démontrer que vous pouvez toujours ou non trouver un entier positif "m" tel que
5. a) Calculer formula_128, c'est à dire multiplier A par elle-même 5 fois, où
b) Trouver l'inverse de P où
c) Vérifier que
d) Calculer formula_128 en utilisant en partie (b) et (c).
f) Calculer formula_133
*Relations de récurrence linéaire revisitées*.
Nous avons déjà discuté des relations de récurrence linéaire dans le chapitre Dénombrement et séries de puissances. Nous les étudierons de nouveau en utilisant les matrices. Considérons les nombres de Fibonacci
où chaque nombre est la somme des deux nombres précédents. Soit formula_134 le (n + 1)ème nombre de Fibonacci, nous pouvons écrire :
En fait, beaucoup de relations de récurrence linéaire peuvent être exprimées sous forme matricielle, c.a.d.
peut être exprimée comme
et par conséquent
Donc si nous savions comment calculer les puissances de matrices rapidement, alors nous pourrions extraire instantanément le (n + 1)ème nombre de Fibonacci.
Calculer les puissances rapidement.
Considérons
Quelque chose d'intéressant se passe lorsque vous multipliez A par soit formula_144 ou formula_145 ("Essayez-le"). En fait,
et
Généralement pour une matrice B, si un vecteur formula_148 (la matrice avec toutes les entrées égales à zéro) telles que
pour un certain scalaire formula_150, alors formula_151 est appelé un vecteur propre de B et formula_150 la valeur propre de B (correspondante à "w").
Ceci est une particularité des matrices qui peut être exploitée pour calculer les puissances facilement. Ici, en utilisant A, "x" et "y" comme précédemment, nous écrivons les deux parties de l'information ensemble sous forme matricielle :
ou écrite complètement sous forme numérique
vous êtes encouragés à vérifier si cela est correct. Ce que nous avons fait, c'est la fusion de formula_144 et formula_145 en une matrice en utilisant chaque vecteur comme une colonne, puis nous l'avons multiplié par une matrice diagonale dont les entrées sont les "valeurs propres" de chaque "vecteur propre" correspondant.
Comment exploiter cette forme matricielle pour calculer les puissances de A rapidement ? Nous requérons une simple mais ingénieuse étape -- post-multiplier (i.e. multiplier à partir de la droite) les deux côtés par l'inverse de
Nous avons
Maintenant, pour calculer formula_159, nous devons seulement faire
mais multiplier par l'inverse pour donner "I", donc, nous somme avec
qui est très facile à calculer puisque les puissances d'une matrice diagonale sont faciles à calculer (simplement élever à la puissance chaque entrée).
Exemple 1.
Calculer formula_128 où A est donnée ci-dessus.
Solution
Nous faisons
Exemple 2.
Soit
et ses vecteurs propres sont
Calculer formula_170 directement (facultatif), et de nouveau en utilisant la méthode ci-dessus.
 Solution 
Nous devons d'abord déterminer ses valeurs propres. Nous effectuons
donc la valeur propre correspondante à
est 1.
De manière similaire,
donc, l'autre valeur propre est 3.
Maintenant, nous les écrivons sous la forme :
maintenant, revenons à B
Maintenant
formula_177
Résumé -- calculer les puissances de matrices rapidement.
Les vecteurs propres d'une matrice A sont donnés
Exercices.
1. Les vecteurs propres de
sont
calculer formula_170
2. Les vecteurs propres de
sont
calculer formula_170
3. Les vecteurs propres de
sont
calculer formula_170
Vecteur propre et valeur propre.
Nous savons à partir de la section précédente que si les vecteurs propres d'une matrice sont donnés, nous pouvons trouver les valeurs propres correspondantes, et ainsi, nous pouvons calculer ses puissances rapidement. Le dernier obstacle réside dans la recherche des vecteurs propres sans savoir ce qu'ils sont.
Un vecteur propre formula_144 d'une matrice A et sa valeur propre correspondante formula_150 sont reliés par l'expression correspondante :
où formula_195 où "0" est la matrice zéro (toutes les entrées sont égales à zéro). Nous pouvons assurément supposer que A est donné, donc il existe deux inconnues -- formula_196 et formula_150. Comme nous avons qu'une seule équation, nous avons besoin d'éliminer une inconnue :
La matrice (A - formula_150I) NE DOIT PAS ETRE un inverse, parceque sinon formula_144 = 0. Par conséquent formula_203.
Supposons
alors
Maintenant, nous voyons que formula_203 est un polynôme en formula_150 et formula_203. Nous sommes déjà bien entraînés à la résolution de polynômes quadratiques, donc il est facile d'extraire les valeurs de formula_150. Une fois que nous avons extrait les valeurs de formula_150, nous pouvons extraire formula_144 (voir les exemples). Si
pour un certain formula_214 et un certain formula_215, alors formula_215 est appelé la "valeur propre" de A et formula_214 le "vecteur propre" de A et correspondant à formula_215.
Exemple 1.
Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de
puis trouver D et P tel que formula_220.
Solution
Nous voulons trouver formula_196 et formula_150 tel que
nous effectuons
Maintenant, pour chaque valeur propre, nous obtiendrons un vecteur propre correspondant différent. Donc, nous considérons le cas formula_232 et formula_233 séparément.
Considérons d'abord formula_232, à partir de (**) nous obtenons
i.e.
où formula_237
puisque formula_203, nous savons qu'il n'y a pas une solution "unique" à la question ci-dessus. Mais nous notons que :
pour tout nombre réel "t" est une solution, et nous choisissons t = 1 pour notre solution parceque c'est le plus simple. Par conséquent
est le vecteur propre correspondant à formula_232. (***)
De manière similaire, si formula_233, à partir de (**) nous obtenons
i.e.
où formula_237
nous notons que :
tout nombre réel "t" est une solution, comme précédemment, nous choisissons t = 1 pour notre solution. Par conséquent
Nous résummons le résultat de (***) et (****), nous avons
nous combinons les résultats dans
et donc
Exemple 2.
 Solution 
a) Nous résolvons formula_255, où formula_150 est une constante et x un vecteur colonne.
D'abord
puisque formula_195, nous avons
i.e.
</br>
</br>
Pour formula_264,
Clairement :
est une solution. Notez que nous n'acceptons pas x = 0 comme une solution, parceque nous supposons formula_195. Notons également que
pour une certaine constante "t" est aussi une solution. Vraiment, nous pouvions utiliser x = y = 2, 3 ou 4 comme une solution, mais d'un côté pratique, nous choisissons le plus simple i.e. x = y = 1.
Pour formula_233,
Clairement
est une solution.
Par conséquent
est une solution et
est aussi une solution.
Exemple 3.
Résoudre la relation de récurrence linéaire
 Solution 
Nous devons diagonaliser
nous effectuons :
nous obtenons
Pour formula_233
Pour formula_264
Par conséquent
Maintenant
Par conséquent
i.e
Exercices.
1. Calculer formula_128 où
2. Calculer formula_128 où
3. Résoudre les relations de récurrence suivantes
Projet -- Matrices élémentaires.
Dans toute cette section,
formula_305
1. Les matrices ci-dessous sont appelées "matrices élémentaires". Comment ces matrices ci-dessous diffèrent-elles de la matrice identité "I", décrivons chacune d'elles.
2. Dans chacun des cas, calculons B puis décrivons comment B est différente de A
3. La matrice formula_316 possède un déterminant différent de zéro. Nous pouvons "décomposer" la matrice en produits de matrices élémentaires en pré-multipliant l'identité :
Maintenant, supposons formula_100, A peut-elle être exprimée comme le produit de matrices élémentaires et de l'identité ?
4.
a) Montrer que chaque matrice élémentaire possède un inverse. Astuce : utiliser le déterminant.
b) Démontrer que chaque matrice inversible (une matrice qui a un inverse) est le produit de certaines matrices élémentaires pré-multipliant l'identité.
5.
La "transposée" d'une matrice C est la matrice formula_319 où la "i"ème ligne de C est la "i"ème colonne de formula_319.
Démontrer en utilisant les matrices élémentaires que
pour des matrices arbitraires D et E.
6. Montrer que chaque matrice inversible est aussi le produit de certaines matrices élémentaires post-multipliant l'identité.
7. Qu'en est'il des matrices non-inversibles ? Que pouvez-vous dire à propos d'elles ?
Ensemble de problèmes.
1. Zhuo a décidé d'écrire un message à Julie en utilisant un cryptage matriciel. Il a substitué chaque lettre de l'alphabet par un nombre :
puis, il a écrit son message dans une matrice 2 x 4 comme cela :
maintenant, il pré-multiplie son message secret X avec une matrice pour obtenir le résultat
Quel était le message de Zhuo pour Julie ?
2. Une matrice 2 x 2 A possède la propriété suivante
et
formula_325.
Quel est l'inverse de A ?
3. Soit
et soit K = I + J. Montrer que formula_327.
4. Trouver A tel que :
formula_328
"...plus à venir. Contribuez, s'il vous plait avec de bons problèmes".