et symétrie évidente ; d'où le courant I = 10 +10 + 4 = 24 et U = 20 , donc R = 20/24 = 2// (10/7)
et parlons de ce 10/7 : le raisonnement est bien 2 * ( 1//(2+1/2) = 2* (1//5/2) = 2*5/7 =10/7 . Une erreur malencontreuse consiste à "ouvrir la croix en O" et dire [2//2 +1]*2 = 4 FAUX : cela correspond à un mauvais dessin de symétrie des courants arrivant sur le point B2.
Le lecteur aura compris que I = 6 + 6 + 12 = 24 et U = (14-2)*2 = 24 et R = 24/24 (évident 2//4//4 !)
Le lecteur verra de lui-même : I = 12 + 12 et U =(21-3)*2 = 36 soit R = 36/24 = 1+(1//1)]*2 ]/2 = 3/2 , intuitivement la plus grande!
Le rectangle de 6 carrés identiques.
Cette fois, on a :
A1 == A2 == A3 == A4
B1 == B2 == B3 == B4
C1 == C2 == C3 == C4
On demande de trouver que la résistance R(A1C4) vaut r * 121/(37+32) , en précisant, pour aider, que U(A1A2)= 37 V et que U(A1B1)= 32 V 
solution :
la solution existe et est unique : nous donnons la carte des potentiels en rouge:
121 -- 84 -- 60 -- 46
.89 -- 71 -- 50 -- 32
.75 -- 61-- 37-- 00
On remarquera immédiatement la symétrie centrale de potentiel (71+50)/2 = 60.5
 37 24 14
32 15 10 14 
 18 21 18
14 10 15 32
 14 24 37
On remarquera que tout nœud donne la loi des nœuds-Millman ( au fond, la loi du Laplacien-discret, qui est nul ici ).
On remarquera que tout cut-set sur la carte des courants redonne bien : courant sortant identiquement nul.
On pourra enfin vérifier la loi de puissance de Tellegen.
Correction : 
évidemment, tout élève demande : mais comment faire pour trouver ?
La solution était "aidée" : 
En effet la symétrie permet d'avoir, en choisissant V(C4) = 0, V(B4) = 32 et V(C3) = 37 ; 
donc le courant de sortie I = 37/r + 32/r = 69 / r . Si on trouve V(A1), c'est gagné ! 
Voici une correction ( parmi d'autres... ) : prendre les trois inconnues V(A3) = x et V(C2) = y et V(B3) = z ; on aura alors V(A1) = x+y ! Et il reste à trouver x+y ! 
On propose d'écrire les 3 équations de nœuds-Millman en C3 : y + z = 3*37 = 111 ; en B4 : 2x + 4z = 320 ; en B3 ( tenir compte de V(B2)= x+y-z ! ) : (x+y-z)+ x + 32 + 37 = 4z soit 2x + y - 5z = -69 .
Ce qui donne en éliminant x, puis y : -y + 9z = 389 donc 10z = 389 +111 = 500 , 
soit z = 50 , puis y = 61 et x= 60 donc V(A1)= x+y = 121 .
Sans aide, pas d'autre solution qu'avec 4 eq lin à 4 inconnues, qu'un logiciel genre Scilab résout vite.(Y.Rocard suggère de prendre simplement 4 trajets différents de A1 à C4 , évidemment en tenant compte de la symétrie).
Une solution astucieuse permet de n'avoir que 3 eq-lin_à_3-inc ; elle consiste à injecter symétriquement le courant en A1 et A4 et le faire sortir symétriquement en C1 et C4 ce qui donne le diagramme D1 , puis construire le diagramme D2 avec entrée en A1 et C1 , sortie en A4 et C4 : ceci donne :
2 1 1 2
0 0 0 0
-2 -1 -1 -2
de résistance 2/3*r ; puis : 
25 8 -8 -25
19 7 -7 -19
25 8 -8 -25 ( assez facile à trouver, 3 eq lin à 3 inc )
et l'on retrouve bien R1 + R2 = 2/3 + 25/23 = 121/69, en superposant 23 D1 union 3 D2 .cqfd. 
¤=¤ Remarque :
Y.Rocard fait remarquer que la résistance 121/69 (=~1.7536 r ) est proche de 119/70 = 17/10 : en effet, si l'on shunte A2 et B1 , et puis A3 B2 C1 , etc , on obtient une résistance légèrement inférieure de 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/4 + 1/2 = 17/10 r.
Suivant le même type de remarque, en shuntant le segment A3 C2, on ne devrait abaisser la résistance que de peu : de fait, le calcul donne R = 128/73 (= 1.7534 r ).

L'idée est de deviner les équi-V : si vous repérez que V(C2) > V(A3) , vous aurez gagné par "continuité". Or cela est assez raisonnable : si les sondes étaient placées en B1 et B4, la symétrie donne la médiane comme ligne neutre. Si on déplace les deux sondes symétriquement vers A1 et C4 , il paraît assez raisonnable de dire que la ligne neutre va se déplacer en sens des aiguilles de montre, "un peu" seulement; "donc" V(C2)> V(A3). Il est instructif sur le diagramme des tensions de dessiner les équipotentielles. Cela éduque l'intuition.
Problème des 9 carrés.
Cette fois on demande la résistance entre A1 et D4 pour 9 petits carrés ; on prendra bien garde à la réponse fausse : (1 + 1//3 + 1 )*2/2 = 11/4 (dire pourquoi c'est faux !).
Et avec 16 carrés ?
solution :
Il vaut mieux trouver les courants C1D1= C1C2 = 2 ; B1B2 = B2C2 = 3 ; B1C1 = 4 ; A1B1 = 7 
d'où la carte des potentiels :
13===6===2===0
.6====3===0
2===0
0
et la résistance R = 13/7
97===41===26===22
41===.0===15===18
26===15===16===17
22===18===17===17
145===89===58===46
.89===64===39===34
.58===39===.O===17
.46===34===17===17 
47===25===12===4===0
25===16===.7===0
12===.7===0
.4===.0
.0
de résistance 47/22 r ( ~ 2.136), de minorant 1 +1/2 + 1/3 + 1/4 = 2.08 , de majorant : 1 + 3//(1 + 2// 1 + 1// (1+1)) = 73/34 (~2.147)
La Carte électrique entre A1 et E1 se trouve aisément à partir du diagramme précédent D1 : fabriquons D == D1 + droite(90) D1 ; puis D' = deux courants arrivant par une diagonale et sortant par l'autre de diagramme aisé, ci-contre : 
5===2===0===-2===-5
2===1===O
0 +symétries
On en déduit D + D' : 
251===131===72===43===31
107===.70===42===26===19
000000000000000000000000
+symétrie
de résistance (47/44 + 5/6)/2 *2 = 251/132 ( ~1.9015)
1673==1013==822==478==418
1013==.724==435==374==358
.822==.435==.0.==225==282
.478==.374==225==244==263
.418==.358==282==263==263
1171==676==380==186==.62==.0.

+symétrie R5 = 1171/495
6385==3891==2392==1384==.684==228==.0.