Système d'unités : pour la Terre , nous éviterons GM remplacé par gR² avec profit. Du fait de La loi de Galilée, la masse du satellite m n'intervient jamais. On se retrouve donc avec un système d'unités adapté ( un d@hu) tronqué à la cinématique.
En pratique, les satellites d'observation , type Spot orbitent à ~ 800 km d'altitude.
Reprendre le système d'unités de ces satellites. 
Légère erreur de trajectoire :
Au lieu de la bonne vitesse Vo de Spot, on donne une vitesse de bonne direction (i.e perpendiculaire au rayon) mais trop forte : V1 = Vo(1+eps). Trouver la trajectoire et la période.
Fenêtre de tir :
m ex que le précédent mais la bonne vitesse Vo est mal orientée dans le plan d'un angle A , petit. Trouver le périgée.
Erreur radiale :
m ex que le précédent, mais il y a en sus de Vo , une erreur de vitesse radiale Vo.eps.
Lâcher-Chute libre : 
On n' a pas attendu Newton (le 24 Nov 1679) pour réfléchir à la déviation vers l'Est (ou l'ouest!) d'une pierre lâchée de l'équateur; c'était la dispute favorite des Coperniciens et anti-Coperniciens. La vitesse due au pivotement est à l'équateur de 40 000 km/86164 s soit 464 m/s . Selon les anti-Coperniciens, une chute de 5m (environ 1s) eût placé le mobile vers l'Ouest de 464 m ! Galilée (mais il avait tort) disait que le corps tomberait toujours à la verticale. Koyré catalogue les différents types de solutions (chute des graves et mouvement de la Terre): l'imagination au pouvoir ! mais c'est Newton qui donna la solution.
Soit h « R , retrouver le résultat de Newton.
Si h est assez grand, la déviation vers l'est sera si grande que la pierre sera satellite.
Si h = altitude géostationnaire = H , la pierre ne tombe plus !
Si h est encore plus grand , la pierre est à son périgée : elle remonte, périodiquement.
Si h > (R+H) .2^(1/3) - R , qu'arrive-t-il ? 
Balistique : voir la WP ( ellipse de sûreté )
revoir la leçon sur la chute libre avec violence (avec vitesse initiale dit-on aujourd'hui).
Dès que l'on veut une certaine précision (théorique) , il faut tenir compte de ce que la Terre est sphérique et donc prendre comme trajectoire de l'obus une ellipse lancé d'une base B avec une vitesse Vo faisant l'angle A avec la verticale. Soit u = Vo/sqrt(gR).
1/. Relation u et A pour que l'obus tombe à l'antipode.
2/. Déterminer la portée 2R.Beta , via tan B = f(u, tan A).
3/. Pour B donné, combien y a-t-il de trajectoires possibles ? et quelle est la portée maximale.
(Indication : soit H le point d'altitude maximale (pour A=0 !). La trajectoire a pour deuxième foyer un point situé sur le cercle [centre B ; rayon BH]).
Corrigé des exercices.
Mersenne-Descartes :
Appliquer le théorème de l’Énergie cinétique :
-gR²/r +1/2 V² = constante , ce qui conduit au résultat.
Descartes évidemment ne savait rien de tout cela ; mais il se doutait "intuitivement" que si g(z) décroissait alors il y aurait possiblement une "vitesse de libération".
De même , Laplace , très heuristiquement , remarqua que si aucun corps ne pouvait dépasser la vitesse-limite c , alors si c² < 2gR , l'astre serait un trou noir !
Enfin, l'expérience a été tentée ( plus pour tester la relativité galiléenne et/ou la déviation vers l'Est(cf exo plus loin)): bien sûr on n'a jamais retrouvé le boulet! )
Système d'unités Spot :
Ro = 40 000/2Pi +800 = 7166 km.
To via Kepler est : 84.4 (7166/6366)^3/2 = 100 min.
Tout le reste s'en déduit (attention , c'est la pulsation qui a été choisie unitaire).
Légère erreur de trajectoire : 
Si eps = sqrt(2) -1 , la trajectoire est parabolique et le satellite part à l'infini.
Sinon , Mo est le périgée: a-c = Ro. D'autre part, E1/m = 1/2 V1² - gR²/Ro ; donc on obtient le grand axe , puis l'apogée en A1 : OA1 = Ro.(V1²/2Vo²-V1²) (On retrouve le cas V1 = Vo.sqrt(2)).
Si eps est petit : l'énergie massique a peu varié : dE/m = mVo².eps . Puis dE/Eo = - da/Ro = -2/3 . dT/To . Donc OA1 = 4Ro.eps et l'excentricité est e = 2eps ; enfin dT = To.3eps
Fenêtre de tir :
Cette fois, l’Énergie massique n'a pas changé, donc le grand axe vaut 2Ro . Comme OMo = Ro , c'est l'extrémité du petit axe. donc k/\OMo donne la direction du grand axe. La projection de Mo sur celui-ci donne le centre de l'ellipse : l'excentricité vaut donc e = sin A ; d'où le périgée OP1 = Ro(1-sinA) : on ne peut se tromper que de 100 km :cela donne une fenêtre sin A = 100/7166 rad = 0.8°. Assez large , car les pointeurs donnent la seconde d'arc.
Erreur radiale :
Si eps = 1 , la trajectoire est parabolique !
Cette fois, le moment cinétique Lo est le bon ; donc le paramètre p est le bon . Donc OMo est perpendiculaire au grand axe , dont la direction est connue. Il est facile de calculer le vecteur excentricité qui donne en module eps.
On en déduit a = Ro/(1-eps²) (on retrouve eps = 1 comme limite).
Lâcher-Chute libre :
le Cours donne D = déviation vers l' Est de 2/3.wt.h .
Démontrons-le , façon Newton : la trajectoire est une ellipse , mais où r varie sensiblement comme R+h-1/2gt². La conservation du moment cinétique donne :
dformula_1/dt = [(R+h)/R+h-z)]² .w = w (1+ 2z/R),
soit une déviation w.R. int(2z/R) = 1/3 w.gt².t = 2/3 wt.h
Si h= H , c'est l'exercice classique du géostationnaire : 
R+H = R .17^(2/3) = 6.6 R = 42 000 km
Si h < H , il existe des trajectoires elliptiques dont Mo est l'apogée : la plus petite aura pour périgée OP = R , donc un grand axe 2a = 2R+H , d'où l'énergie massique . En posant r = Rx , on trouve x^4 + x^3 = 1/2 (289) , soit x = 4.67 et donc h = 3.67 R.
Si h > H , la pierre remonte ! résultat curieux qui aurait sans doute amusé Mersenne, et elle part à l'Ouest (si l'on ose dire).
enfin si h > H. 2^(1/3)= 8.36 R, alors E > 0 , donc trajectoire hyperbolique (limite : parabolique).
Balistique :
V= 8.2km/s := sqrt(gR) a signé le début de la Guerre Froide.
mais déjà les canons longue portée obligeaient à prendre une trajectoire elliptique et non parabolique : 111.111 km c'est déjà 1° à l'équateur!
1/. Si l'obus arrive à l'antipode B' , OB = OB' = paramètre p = Lo²/m²gR² = R soit u.sinA = 1 . (évidemment trajectoire avec A< 45° : il faut une apogée!)
2/. La portée s'évalue en calculant la direction du vecteur-excentricité 1 + i.Lo.Vo.exp(iA)/mgR² = [1-u²sin²A] +i[u²sinAcosA]=> tanB = 1/2 u².sin2A / (1-u²sin²A).
Pertinence : on retrouve Torricelli pour u «1 ; et le §1.
3/. Pour B donné , équation en tan A : 
tan²A (1-u²) - tan A (u²/tanB) + 1 = 0 d'où deux angles B1 et B2 tels que tan(B1+B2) = (tanB1+tanB2)/(1-tanB1.tanB2) = S/(1-P) = -1/tanB, donc A1+A2 = Pi/2+ B : il existe une trajectoire tendue et une plongeante. Portée maximale : tan B = u²/2(1-u²) [pertinent avec u=1 ]
Géométriquement, tout ceci est relatif à la courbe de sûreté qui est l'ellipse de foyers T et B et d'apogée BH (rappel 1/H = 1/h -1/R , exercice sur l’énergie potentielle). En effet , toutes les trajectoires Tr(A) ont m énergie , donc m grand axe , soit TH+HB . Le lieu du deuxième foyer est donc le cercle [centre B, rayon BH]: pour une portée donnée (donc angle B donné , il y a deux solutions : à l'intersection de la droite d'apogée avec ce cercle ; soient F1 et F2 : alors la vitesse initiale étant bissectrice de TBF , les deux vitesses sont telles que A1+A2 = Pi/2+ B. La racine double est lorsque sinB = H/R ( = u²/(2-u²)).
L'ellipse de sûreté est donc telle que MT+MB = HO+HB, et dans ce cas, BM est corde focale [les raisonnements sont calqués sur ceux de Torricelli].
Exercices d'astronomie.
Étoiles doubles.
Montrer que dans le cas d'une étoile double, la troisième loi de Kepler s'écrit assez naturellement :
w² . a³ = G (m1+m2)
Que penser des planètes du soleil ?
Réponse :
Le problème à deux corps donne la réponse : (masse-réduite).w² a = G.m1.m2/a². Ainsi , on obtient une formule symétrique en m1 et m2 , ce qui est pertinent.
Dans le cas des planètes du Soleil , la plus grosse, Jupiter, n'apporte qu'une petite correction m2« M(Soleil) , ce qui justifie la loi de Kepler. Pour les calculs précis, on fait les corrections, étant entendu que le barycentre du système solaire est quasiment en mouvement uniforme (pour plus de corrections, par exemple pour la ceinture de Kuiper ou le nuage de Oort, il faut envisager la "marée galactique").
Conjonction Mars -Terre.
La distance T-Soleil = 1UA ,période 1an, excentricité e(T); mars-Soleil = d UA,période k ans, excentricité e(M). Montrer que TM: = OD ne peut varier que dans une couronne >d1 et <d2. Le point D est-il dense dans la couronne? Si k était rationnel := p/q quel serait le mouvement de D.
Réponse : 
Consulter exercices de l'IMCCE.
équant de Ptolémée.
Soit une planète, disons Mars, de trajectoire elliptique d'excentricité e ( = 0.093).
On prend comme échelle de temps l'angle polaire compté à partir du deuxième Foyer F', où "il n'y a rien!".
Est-ce mieux ou moins bien que de compter theta(t) comme temps "uniforme" ?
Réponse :
Historiquement, cet exercice a beaucoup d'importance : on ne distingue pas un cercle d'une ellipse dès que e<0.1.
Donc Ptolémée croyait que la trajectoire était circulaire. MAIS il avait bien vu que theta(t) n'était pas uniforme ; par contre theta ' (t) l'était à la précision des mesures de l'époque. C'est ce que l'on demande de prouver.
Rapatriement provisoire de la WP:historique de démonstrations.
Ici est placé tout le travail de recherche historique qui n'intéresse pas forcément tout le monde : il y eût moult "démonstrations" du cours précédent.
Hermann (1710).
Laplace la reprendra dans son traité de « Mécanique Céleste ».
Que cela est vite dit dans notre langage moderne ! En réalité, la démonstration géométrique est la remarque classique sur le rôle des podaires dans le cas de champs centraux. Danjon remarque (avec Hamilton) que l'anti-podaire de l'inverse d'un cercle est une conique : cela était enseigné encore au baccalauréat des années 60 (Cf. LEBOSSÉ & EMERY, cours de mathématiques élémentaires).
Quant à Hermann, c'est un tour de force : 
Il possède trois intégrales premières en coordonnées cartésiennes tirées de formula_17 et idem en y.
Éliminer la vitesse : on trouve formula_21 : c'est une ellipse (Cf.discussion conique, Kepler).
Mais comment a-t-il trouvé les deux intégrales premières du vecteur excentricité ? par un raisonnement analytico-géométrique horriblement compliqué ! On sait aujourd'hui le faire par la théorie de la représentation linéaire des groupes (Moser et SO(4) :1968)
Keill (1708).
"Classique", elle est bien "chencitournée".
Le problème est plan, si la force est centrale. Le plan de phase est donc (formula_22). Les deux équations du PFD (principe fondamental de la dynamique) sont :
formula_23
et la même en y.[Évidemment formula_24 dépend de r!].
Cette notation est évidemment très réminiscente de celle de Hooke. Mais elle n'a rien à voir, sinon que la symétrie est centrale.
Choisir trois fonctions invariantes par rotation : 
Remarquer cette particularité : r² est choisie comme variable, et non r. Et comme J est non-nulle, I va jouer le rôle d'une échelle de temps au moins sur une demi-période, du périgée à l'apogée. 
Démontrer que le problème se réduit au système différentiel (S) : 
Keill utilise alors l'échelle de temps I ; le système se réduit à : 
En éliminant Omega² (et quelle que soit sa valeur ! donc c'est vrai pour toute force centrale!)
formula_34.
C'est un vrai "tour de force" : au début du XVIII , on vient de réécrire : 
formula_35 
Emmy Noether connaissait-elle cette démonstration due à l'invariance par rotation ?
Puis, l'invariance temporelle donne la conservation de l'énergie :
formula_36, où V(I) est l'énergie potentielle relative à la force centrale (= formula_37
Ces deux ensembles de surfaces feuillettent l'espace (I,J,K) et leur intersection donne l'orbite du mouvement dans cet espace.
Éliminer K conduit à travailler dans le demi-plan (formula_38), c'est à dire dans un plan de phase presque usuel (on joue avec r² plutôt qu'avec r) :
formula_39, 
ce qui est l'équation de Leibniz(1689), mais en notation I = r². (Remarquer que tout résulte de cette circonstance (non évidente du temps où les vecteurs n'existaient pas) : 
formula_40)
et pour finir, comme d'habitude, dt = dI/2J donne le mouvement sur cette orbite de phase et la primitive de 2J(I) donne l'action S(I) du problème.
Évidemment, actuellement, nous repasserions immédiatement en coordonnées (r et r'). 
Il n'empêche que voilà décrite la solution incroyable de Keill qui témoigne d'une virtuosité tombée dans l'oubli de l'Histoire.
cette équation ayant été écrite par Lagrange sous cette forme, le H ne saurait signifier « valeur de l'Hamiltonien » ! Peut-être faut-il y voir un hommage à Huygens (?), premier à utiliser la généralisation du théorème de l'énergie cinétique de Torricelli ? peut-être est-ce une simple notation fortuite...
La suite est très classique et correspond à différents paramétrages dans le cas de Kepler : 
L'équation de Leibniz se réécrit dans ce cas : 
formula_41 
qui est une conique en J et r, ellipse si H est négatif de grand axe formula_42 :
Il est usuel alors de paramétrer via l' »anomalie excentrique » : 
formula_43,
et « miraculeusement » : 
formula_44 ,
qui s'intègre en donnant la fameuse équation de Kepler.
En contrepartie l'équation en theta est légèrement plus compliquée à intégrer (primitive de formula_45) d'où :
formula_46.
Note de détail: certains préfèrent la notation i = I/2 , et/ou j = J/2.
Clairaut (1741).
formula_47
et cette fois le paramétrage adéquat est :
formula_48 et formula_49
ce qui conduit au « miraculeux » formula_50 ! la trajectoire est donc une ellipse.
Mais la deuxième intégration conduit à formula_51 plus difficile à intégrer (mais tout à fait faisable !)
Lagrange (1778).
Partant de l'équation radiale de Leibniz(1689) : 
formula_52
il pose comme nouvelle variable z = C²-r et trouve :
formula_53, 
identique aux deux équations de départ en x & y !! 
donc il obtient : z (:= C²-r) & x & y linéairement liés, ce qui est la définition d'une ellipse (Cf. conique, discussion). CQFD
Laplace (1798).
formula_54 
Laplace en tire cette fois quatre équations linéaires identiques : 
d/dt(r^3.Z") = - Z', avec Z = r, x, y, constante. 
D'où r = a x + by + c.constante : c'est une conique !
Il reste à trouver une interprétation physique à ce calcul!
Goursat et régularisation dite de Levi-Civita.
formula_55, avec E négatif.
Donc U décrit une ellipse de Hooke et z =sqrt(U) l'ellipse de Kepler. 
On aura reconnu en T(t), l'anomalie excentrique. Ce n'est donc qu'une des méthodes précédentes : mais cette méthode a des prolongements plus importants (Cf. théorème de Bertrand). Voir aussi plus bas.
régularisation.
cette transformation du problème de Kepler en problème de Hooke est assez stupéfiante. Saari(p141) s'y attarde un peu plus qu'Arnold (Barrow,H,H,Newton) ; peut-être est-ce justifié ; voici :
Le problème de régularisation se pose s'il y a collision , c'est à dire , C très voisin de zéro. Saari dit : la collision entraîne un changement brutal de 2Pi . Afin de garder la particule sur la droite sans singularité , il "suffit de penser" à garder l'arc -moitié ; soit
de changer de jauge (de fonction inconnue): formula_56 et de variable (transmutation d'échelle de temps) dT = dt/r(t)(ATTENTION au facteur 4!)
La conservation de l'énergie s'écrit 2|U'|²-1 = Eo.r
et l'équation du mouvement : formula_57 devient :
formula_58 , 
équation LINÉAIRE sans le r^3 ! Elle conduit à :
U" -U/r [2|U'|²-1] =0 
soit formula_59 (équation de Hooke).
Le gros avantage de cette solution est qu'elle est stable-numérique : les solutions restent sur la même iso-énergie.
Kustaanheimo(1924-1997) et Stiefel(1909-1978).
en 1964, ils utilisèrent les quaternions pour transformer le problème de Kepler dans R^3 en celui de Hooke dans R^3, via R^4! (congrès d'Oberwolfach): ils leur a suffi de prendre la quatrième coordonnées x4 = cste : alors le quaternion U se déplaçait sur la sphère; ceci mit en exergue la symétrie SO(4) et mieux SO(4,2) qui correspondait à la version spinorielle du problème de Kepler (liée à la solution en coordonnées paraboliques) et mettait en avant le vecteur excentricité. Immédiatement, le traitement des perturbations fût amélioré (Stiefel et Scheifel,1971), mais aussi la quantification (methode dite de Pauli (SO(4)), et surtout la quantification lagrangienne SO(4,2),avec ses orbitales "paraboliques" de Kleinert (1967-1998)(cf Kleinert 2006).
Voilà donc 12 démonstrations assez mal connues. En existe-t’il d'autres, de cette époque ?
Bien sûr, ont été exclues ici toutes les méthodes de mécanique lagrangienne et hamiltonienne, en particulier celle de Max Born (cf plus bas).
Équation du temps, de Kepler : résolution.
Dans le mouvement keplerien, l'équation du temps, de Kepler relie l'anomalie moyenne M = nt à l'anomalie excentrique E par l'équation 
où e est l'excentricité de la planète.
Résoudre cette équation, c'est trouver E(e,M) :
Série de Fourier.
C'est Lagrange qui trouve l'expression, bien que le nom Jn(x) soit associé au nom de Bessel.