Moment octupolaire d'un cube.
Soit un cube de Na+ etCl- de côté 2a : montrer que loin du cube le potentiel (à 1/ 4Pi epsilon près) s'écrit :
V(x,y,z) = 120 xyz a^3/ r^7 .
Solution 1 : choisir dans les orbitales f celles qui ont la symétrie du cube : cela donne tout de suite le résultat xyz/ r^7 : il reste à trouver le facteur 120 a^3 . On peut alors développer les 8 termes +(ou-) q/AiM selon la formule usuelle de Legendre : il ne restera que les huit termes : 
formula_1
soit f(z) = +(x+y+z)^3 - (-x +y+z)^3 + (-x-y +z)^3 - (x-y+z)^3 et -f(-z)
donc un polynôme du 3eme degré impair en z , mais aussi en x et en y , donc 48 xyz (fois 5/2) =120xyz
Solution 2 : considérer la formule générale de la distribution dipolaire V(D') = E(D).translation.
On part du dipôle 2a formula_2 , on translate selon J de 2a , puis selon K de 2a .
On n'aura donc besoin que de la composante J du champ du dipole soit :E_y = 2a 3xy/r^5 d'où le potentiel du quadrupôle : V =2a.E_y = 2a .2a 3xy/r^5 ; on n'a besoin que de la composante K du champ correspondant, soit 2a.2a 3.5 xyz/r^7 d'où le potentiel final : (2a)^3 . 3.5 . xyz/r^7.(solution très élégante de Melba Philips).
Constante de Madelung.
Il existe un superbe article de Tissier dans la RMS. D'autre part, la lecture du Crandall et des nombres-period de Kontsevich-Zagier a RADICALEMENT fait évoluer la donne (2010). Ici, on se contente des méthodes classiques.
Calculer la constante de Madelung de la chaîne linéaire d'une mole de NaCl : 
Solution : L'énergie est donc du type (en négligeant les effets de bords) 1/2 sigma (qiVi) =
1/2 2N (qo Vo) = - Ne^2/a. 2 .(1-1/2 +1/3 -1/4 +) = -Ne^2/(2a) . 4 Ln2 (Attention : certains prennent la période du cristal , soit 2a , et d'autres la distance Na---Cl = a).
Calculer la constante de Madelung du cristal cubique de NaCl : -Ne^2/a .(1.7476)
Solution : cette fois le décompte est moins simple : le potentiel Vo au centre sera :
on compte les carrés des distances de plus en plus grandes et les ions 
Vo = -e^2/a [ 6/1 -12/sqrt(2) +8/sqrt(3) -6/2 +24/sqrt(5) -24/sqrt(6)-12/2sqrt(2) + ...]: désespéré.
d'où 
la méthode d'Evjen.
(comptage par cellule "neutre"): -1.212 ; puis -1.751 ; c'est plus encourageant.
les trois résultats importants sont : 
la méthode d'Ewald.
Beaucoup plus sophistiquée :l'idée fondamentale est de remplacer chaque charge ponctuelle par une gaussienne, et de considérer que le potentiel d'une gaussienne est q/r .erf(r/sqrt(2formula_3)qui a le bon comportement à longue distance et donc prendra bien en compte la sommation (si on sait la faire) aux grandes distances (donc la lenteur de la sommation aura disparu). Et bien sûr comme erf(x) + erfc(x) = 1 , on prendra soin du comportement à courte distance par le calcul avec les erfc(x).
Tout ceci exige une bonne connaissance des transformées de Fourier et de la relation de fermeture des ondes planes. Moyennant quoi (cf exo d'électrostatique correspondant), le calcul (reférence par exemple Grosso & Parravicini)donne une sommation sur les cations et sur les anions avec erfc :
V1(0) = formula_4 + formula_5formula_6.
Un bon exercice est de vérifier le premier exercice (celui de la ligne : 2 Ln2): bien du plaisir !
Électrostatique de la charge d'Ewald.
Pour mieux comprendre l'exercice précédent, une petite mise en jambe est nécessaire :
Se rappeler au moins la formule fondamentale du cours sur les gaussiennes :
formula_7
) a pour potentiel formula_9, puis vérifier le théorème de Gauss et les théorèmes sur l'énergie.
comparer attentivement avec l'atome 1s . Pourquoi la méthode des orbitales gaussiennes a-t-elle eu un succès aussi immense?

Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Mécanique quantique, rudiments

qq remarques préliminaires.
il pleut de la QM tous les jours. Mais quand et comment l'enseigner ?
Bien sûr la méca hamiltonnienne et les crochets de Poisson , puis les déformations : faut le savoir !
la mécanique lagrangienne et exp(iS/formula_1), il faut savoir , surtout en diffusion , ou théorie du champ , et sa relation avec l'eikonale en optique
mais je me refuse à appeler une équation de cheminement eq de propagation ou eq de diffusion : ce n'est ni l'une ni l'autre !! Les discours récurrents ondes_ou_particules sont passéistes. 
Cf Leech , Lichné et Sternheimer, Flato, Souriau-Kostant, Wiegel , Hurt et des centaines d'autres. 
Je pense en fait qu'il faut accumuler les exemples, déconnectés de la QM , par exemple tout ce qui concerne Sturm-Liouville : ce sont des math pures et simples, à enseigner comme telles.
Ce discours date de Cohen-T 1963-1964 ! et Feynman lui-m enseigne via Hamilton ! peut-être parce que Kleinert(celui de l'atome d'hydrogène) est trop dur ?
La liaison avec la chimie , très vite , genre Heslot est séduisante aussi. D'autant que la physique nucléaire est abordée simplement.

Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Broglie-Heisenberg

Sa célèbre formule est : 
Son fameux théorème d'inégalité est :
quel que soit le ket formula_1, 
l'inégalité est dite saturée pour l'égalité, auquel cas il y a proportionnalité .

Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Système à deux états

Soit un système à deux états ( donc un espace vectoriel dont une base orthonormée est {|1> , |2>}.
Un état quelconque est donc représenté par |psi(t)> = A1(t)|1> +A2(t)|2> .
On demande de trouver l'évolution de |psi(t)> sous l'action d'un hamiltonien H de trace nulle (ce qu'il est toujours possible de choisir, sans troubler la généralité , par choix d'origine des énergies).
Réponse.
Niveau 1 : position du problème :
L'évolution est régie par le principe fondamental de la dynamique quantique : 
 formula_1 
soit deux équations différentielles, linéaires à coefficients constants, couplées en A1(t) et A2(t), qu'il s'agit d'écrire et de résoudre connaissant (A1(0), A2(0)).On appellera le [determinant de H], réel négatif = formula_2.
Niveau 2 : résolution mathématique :
il est assez facile formellement d'écrire que : 
 formula_3 ,
où U(t) est le traditionnel opérateur d'évolution.
et donc,{ puisque par le théorème de Cayley-Hamilton , formula_4},
le calcul de cet opérateur d'évoultion est simple : 
 formula_5 
Niveau 3 : pertinence :
1/.Si H est diagonal dans la base choisie , on trouve bien un état stationnaire : 
 formula_6 
 formula_7 
2/. Si H n'est pas diagonal , il n'y a évidemment pas stationnarité : les deux équations sont couplées. Prenons le système initialement dans l'état |1> (A1(0) = 1), il va périodiquement se retrouver partiellement dans l'état |2> :
 formula_8 
3/. Si l'état initial est vecteur propre de H , évidemment l'état est stationnaire : on le vérifiera en partant de chacun des deux vecteurs propres de H , soit |I> et |II>.

Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Système à deux niveaux

On peut imaginer que le système précédent soit excité par une force sinusoïdale, se manifestant par le fait de rajouter, dans l'évolution de deux équations différentielles couplées, un terme formula_1 dans la première , et un terme adéquat "similaire" dans la deuxième : 
On doit nécessairement aboutir à de la résonance forcée à la pulsation omega (outre le mouvement sans force ajoutée, puisque le système est linéaire !): expliciter ce mouvement de résonance forcée.

Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Modèle de Kronnig-Penney