Approfondissements de lycée
Avant de commencer : Ce chapitre suppose des connaissances en
Séries de puissances.
Les séries de puissances formelles sont très utiles pour résoudre des problèmes comme :
où
Combien de solutions uniques existe-t'il si formula_3 ?
Avant d'attaquer ce problème, considérons le polynôme infini :
Nous voulons obtenir une "forme fermée" de ce polynôme infini. La "forme fermée" est simplement une manière d'exprimer le polynôme pour qu'il implique seulement un nombre fini d'opérations.
Donc, la forme fermée de
est
Nous pouvons les égaliser (en fait, nous ne pouvons pas. Cf. info).
info - Somme infinies.
Les deux expressions ne sont pas "égales". C'est simplement le cas pour certaines valeurs de "x" (-1 < x < -1), nous pouvons faire une approximation du côté droit "aussi près que possible" en ajoutant un grand nombre de termes du côté gauche. Par exemple, supposons "x" = 1/2, le côté droit = 2; l'approximation du côté gauche en utilisant seulement 5 termes 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 1,9375, qui est proche de 2, comme vous pouvez l'imaginer, en additionnant de plus en plus de termes, nous approcherons de 2.
Pour une discussion plus détaillée de ceci, voir Infini et processus infinis.
De toute manière, nous ne ferons attention qu'aux belles propriétés algébriques et non aux valeurs numériques. À partir de maintenant, nous omettrons la condition pour que l'égalité soit vraie lorsque nous écrivons les séries de puissances.
Considérons un cas plus général :
où "A" et "B" sont des constantes.
Nous pouvons déduire la "forme fermée" comme suit :
L'identité suivante que l'on a déduit ci-dessus prend du temps et un effort de mémorisation.
Exercices.
1. Trouver la forme fermée :
2. Pour une forme fermée donnée, trouver une fonction f(n) pour les coefficients de xn:
Méthode de substitution.
Soit la forme suivante donnée :
Nous pouvons obtenir beaucoup d'autres fonctions génératrices par substitution.
Par exemple : si formula_22, nous avons :
De manière similaire
est obtenue en substituant z = Bx puis en multipliant l'expression entière par A.
Exercices.
1. Quels sont les coefficients des puissances de x :
2. Quels sont les coefficients des puissances de x (Astuce : extraire un facteur d'1/2) :
3. En regardant une expression appropriée de deux manières différentes, conclure que
Sont-elles réellement égales ?
Relations de récurrences linéaires.
La suite de Fibonacci
où chaque nombre, excepté les 2 premiers (1 et 1), est la somme des deux nombres précédents. Nous disons que les nombres sont "reliés" si la valeur qu'un nombre prend dépend des valeurs précédentes dans la suite. La suite de Fibonacci est un exemple de relation de récurrence, elle est exprimée par :
où formula_29 est le ("n"+ 1)ème nombre de la suite. Noter que le premier nombre dans la suite est noté formula_30. Cette relation de récurrence donnée, la question que nous voulons poser est "pouvons-nous trouver une formule pour le ("n"+1)ème nombre dans la suite ?". La réponse est oui, mais avant cela, regardons quelques exemples.
Exemple 1.
Les expressions
définit une relation de récurrence. La suite est : 1, 1, 5, 13, 41, 121, 365... Trouver une formule pour le ("n"+1)ème nombre dans la suite.
Solution
Soit G(z) la série de puissances de la suite, ce qui signifie que le coefficient de chaque puissance (en ordre croissant) est le nombre correspondant dans la suite. Donc, la série de puissances ressemble à
Maintenant, par une série de manipulations algébriques, nous pouvons trouver la forme fermée de la série de puissances et à partir de là, la formule pour chaque coefficient
par définition formula_35
par la méthode des fractions partielles, nous obtenons :
chaque partie de la somme est une forme fermée reconnaissable. Nous pouvons conclure que :
le lecteur peut facilement vérifier la précision de la formule.
Exemple 2.
Trouver une formule non-récurrente pour formula_29.
Solution
Soit G(z), la série de puissances de la suite décrite ci-dessus.
</br>
</br>
Par conséquent formula_44, quel que soit n.
Exemple 3.
Une relation de récurrence linéaire est définie par :
Trouver la formule générale pour formula_29.
Solution
Soit G(z) la série de puissances de la relation de récurrence.
</br>
Par conséquent
Exercices.
1. Déduire la formule pour le ("n+1")ème nombre dans la suite définie par les relations de récurrence :
2. Déduire la formule pour le ("n+1")ème nombre dans la suite définie par les relations de récurrence :
3. (Facultatif) Déduire la formule pour le ("n+1")ème nombre de Fibonacci.
Dénombrement avancé.
Considérons l'équation
Pour un nombre entier positif fixé n, combien de solutions existe-t'il ? Nous pouvons compter le nombre de solutions :
Comme vous pouvez le voir, il existe (n + 1) solutions. Une autre manière de résoudre le problème est de considérer la série de puissance
Soit formula_59, i.e.
Le coefficient de formula_61 dans H(z) est le nombre de solutions de formula_62.
Considérons
Soit
il s'ensuit
Maintenant, nous pouvons voir que le coefficient de zn (pour n ≥ 0) est clairement le nombre de solutions de a + b = n (a, b > 0).
Nous sommes prêts maintenant à déduire un résultat très important : soit formula_67, le nombre de solutions de formula_68. Alors, la série de puissance pour la suite formula_67 est
i.e.
Dénombrer les solutions de a1 + a2 + ... + am = n.
Considérons le nombre de solutions de l'équation suivante :
où formula_74; i = 1, 2, ... m. En appliquant la méthode discutée précédemment, si formula_67 est le nombre de solutions de l'équation ci-dessus lorsque n = k. La série de puissance pour formula_67 est
mais qu'est-ce que formula_67 ? Tant que vous n'avez pas appris l'analyse, il est difficile de déduire une formule simplement en regardant l'équation de T(z). Sans supposer de connaissance en analyse, nous considérons le problème de dénombrement suivant.
"Vous avez trois sœurs, et n (n ≥ 3) poupées. Vous décidez de donner à chacune de vos sœurs au moins une poupée. De combien de manières pouvez-vous le faire ?"
Une manière de résoudre le problème est d'aligner toutes les poupées sur la table. Puisqu'il y a "n" poupées, il y a ("n" - 1) espaces entre elles (comme vous avez 5 doigts sur chaque mains et 4 espaces entre eux). Maintenant, à partir des ("n" - 1) espaces disponibles, "choisir" 2 et mettre un diviseur dans chaque espace que vous avez choisi ! Alors, vous avez divisé les "n" poupées en trois parts, une pour chaque sœur. Il y a formula_79 manière de le faire ! Si vous avez 4 sœurs, alors il y a formula_80 manières de le faire. Si vous avez m sœurs, il y a formula_81 manières de le faire.
Maintenant, considérons ; "Vous avez trois sœurs, et vous avez n poupées. Vous décidez de donner à chacune d'elles une certaine quantité de poupées (sans restriction sur la quantité donnée à chaque sœur). De combien de manières peut-on le faire ?"
Notons que nous venons de résoudre :
où ai ≥ 0; i = 1, 2, 3.
Vous pouvez résoudre le problème en alignant n + 3 poupées sur la table. Prenons deux diviseurs et "choisissons" 2 espaces à partir des n + 2 espaces disponibles. Maintenant que vous avez divisé n + 3 poupées en 3 parts, dont chaque part a 1 ou plus de poupées. Maintenant, reprenons 1 poupée de chaque part, et vous avez résolu le problème ! Donc, le nombre de solutions est formula_83. Plus généralement, si vous avez m sœurs et n poupées, le nombre de manières pour partager les poupées est
Un petit conseil, si vous avez des sœurs, donnez-leur une quantité égale de poupées, parce qu'elles sont toutes adorables.
Maintenant, comme discuté ci-dessus, le nombre de solutions de
où formula_86
est
i.e.
Exemple 1.
La forme réduite d'une série de puissance T(z) est
et tk est le coefficient de zk est T(z). Trouver une formule explicite pour tk.
Solution
Par conséquent, tk = k
Exemple 2.
Trouver le nombre de solutions de :
pour tous les entiers positifs n (incluant zéro) avec la restriction formula_91.
Solution
Par la formule
donc
Plus de dénombrement.
Nous tournons un problème légèrement plus difficile de la même manière. Supposons que nous comptions le nombre de solutions de :
pour un certain entier formula_95, avec a, b, et c aussi plus grand ou égal à zéro. Nous pouvons écrite la forme réduite, nous notons le coefficient de xn de :
est la solution requise. Ceci est dû au fait, de nouveau, que lorsque les puissances sont multipliées, les indices s'ajoutent.
Pour obtenir le nombre de solutions, nous scindons l'expression en formes réduites reconnaissables par la méthode des fractions partielles.
Exemple 1.
Soit formula_97 le nombre de solutions de l'équation suivante :
Trouver la série de puissances pour formula_97, puis trouver une formule explicite pour formula_100 en termes de "n".
Solution
Soit T(z) la série de puissances de formula_67
Il n'est pas difficile de voir que
Exemple 2.
Soit formula_67 le nombre de solutions de l'équation suivante :
Trouver la série de puissances pour formula_67, puis trouver une formule explicite pour formula_109 en termes de "n".
Solution
Soit T(z) la série de puissances de formula_67
Exercices.
1. Soit
la série de puissances de formula_67 (k = 0, 1, 2 ...). Trouver une formule explicite pour formula_67 en termes de "k".
2. Combien de solutions ont les équations suivantes si "m" est une constante donnée
où a, b et c ≥ 0
Dérivation.
Cette section et la section sur la *technique de dérivation* peuvent être passées si vous êtes déjà familier avec l'analyse/dérivation.
En analyse, la dérivation est une des opérations les plus importantes appliquées aux fonctions de nombres réels. Pour dériver une fonction f(x), nous évaluons simplement la limite
où formula_122 signifie que nous faisons tendre "h" vers 0. Néanmoins, pour l'instant, nous pouvons simplement penser cela comme égalant "h" à 0, i.e., "h" = 0 à un temps approprié. Il existe plusieurs notations diverses pour le résultat de la dérivation (appelée la dérivée), par exemple
et
veulent dire la même chose. Nous posons, f'(x) est la dérivée de f(x). La dérivation est très utile pour beaucoup d'usages, mais nous n'allons pas exposer les raisons de l'invention de l'analyse, mais plutôt comment nous pouvons appliquer l'analyse à l'étude des séries de puissances.
Il devrait être clair que si
alors
La loi ci-dessus est importante. Si g(x) une forme réduite de f(x), alors la dérivation des deux côtés est valide pour obtenir une nouvelle série de puissances.
Aussi, si
alors
Ceci peut être vérifié en examinant les propriétés des limites.
Exemple 1.
Dérivons f(x) où
Premièrement, nous formons le "quotient différentiel"
Nous ne pouvons pas fixer "h" à 0 pour évaluer la limite à ce point. Pouvez-vous voir pourquoi ? Nous devons développer le facteur quadratique d'abord.
Nous pouvons maintenant extraire "h" pour obtenir maintenant
à partir duquel nous pouvons faire tendre "h" vers zéro de manière sure pour obtenir la dérivée, 2"x". Donc
ou de manière équivalente :
Exemple 2.
Dériver formula_131.
Nous démarrons à partir du quotient différentiel :
Par le théorème du binôme, nous avons :
Le premier "x""n" s'annule avec le dernier, pour obtenir
Maintenant, nous mettons la constante 1/"h" entre parenthèses
et le résultat devient :
Résultat important
Si
alors
Comme vous pouvez le voir, la dérivation implique d'extraire la dérivée d'une fonction à travers une manipulation algébrique, et pour cette raison, cette section est algébriquement très difficile.
Exemple 3.
Supposons que si
alors
Dérivons formula_139
 Solution 
Soit formula_140
Exemple 4.
Montrer que si formula_142 alors
 Solution 
Exemple 5.
Dériver
 Solution 
Exercices.
1. Dériver
2. Dériver
3. Dériver
4. Dériver
5. Prouver le résultat supposé dans l'exemple 3 ci-dessus, ie., que si formula_151 .
"Conseil : utiliser les limites".
Dérivation de f(z) = (1 - z)^n.
Nous voulons dériver un résultat vital dans cette section, nommément, dériver la dérivée de
où formula_153 et "n" un entier. Nous montrerons un certain nombre de manières pour arriver au résultat.
Dérivation 1.
Commençons par :
Développons le côté droit en utilisant le développement du binôme
dérivons les deux côtés
maintenant nous utilisons formula_157
il existe certaines annulations
prenons un facteur commun de -n, et rappelons que 1! = 0! = 1 nous obtenons
soit j = i - 1, nous obtenons
mais ceci est justement le développement de (1 - z)n-1
Dérivation 2.
De manière similaire à la dérivation 1, nous utilisons à la place de la définition d'une dérivée :
développons en utilisant le théorème du binôme
factorisons
prenons la limite à l'intérieur (rappelons-nous que [Af(x)]' = Af'(x) )
l'intérieur est justement la dérivée de zi
exactement comme pour la dérivation 1, nous obtenons
 Exemple 
Dérivons formula_169
 Solution 1
 Solution 2
Par le résultat déduit de ce qui précède, nous avons
Exercices.
En imitant la méthode utilisée ci-dessus ou autrement, dériver :
1. formula_174
2. formula_175
3. formula_176
4. (plus difficile) formula_177 (conseil : Utiliser la définition de la dérivée)
Technique de dérivation.
Nous apprendrons comment dériver des fonctions de la forme :
i.e. des fonctions dont les inverses sont aussi des fonctions. Nous commençons, par la définition de la dérivation :
Exemple 1.
par
où "g" est une fonction de "z", nous obtenons
qui confirme le résultat déduit en utilisant un argument de dénombrement.
Exercices.
Dériver
1. formula_184
2. formula_185
3. formula_186
4. Montrer que formula_187
La dérivation appliquée aux séries de puissances.
Maintenant que nous sommes familiers avec la dérivation, nous devrions considérer :
Nous savons que
dérivons les deux côtés
par conséquent, nous pouvons conclure que
Noter que nous pouvons obtenir le résultat ci-dessus par la méthode de substitution,
en remplaçant z = x2, cela nous donne le résultat requis.
L'exemple précédent a montré que nous ne sommes pas concernés par les dérivations difficiles. Plutôt, pour obtenir les résultats d'une manière facile, nous devons seulement dériver les formes de base et appliquer la méthode de substitution. Par formes basiques, nous voulons dire les séries de puissances de la forme :
pour formula_153.
Considérons le nombre de solutions de
pour formula_74 pour formula_198.
Nous savons que pour tout "m", le nombre de solutions est le coefficient de :
comme discuté précédemment.
Nous démarrons à partir de :
et dérivons les deux côtés (noter que 1 = 1!)
nous dérivons de nouveau
et ainsi de suite pour (n-1) fois
nous divisons les deux côtés par (n-1)!
ceci confirme le résultat déduit en utilisant un argument de dénombrement.
Ensemble de problèmes.
1. Une Nouvelle Compagnie a emprunté 250 000 € pour le capital initial de démarrage, et la banque prend un intérêt mensuel de 3 %. Avant la fin de chaque mois, ils envisagent de rendre x € et l'intérêt est compté le dernier jour de ce mois.
Soit formula_205 la dette qui reste après n mois.
a)Définir formula_205 récursivement.
b)Trouver les valeurs minimales de x.
c)Extraire la formule générale pour formula_205.
d)Ainsi, déterminer combien de mois sont nécessaires pour tout rembourser s'ils rendent 12 000 € chaque mois.
2. Un arbre binaire est un arbre où à partir de chaque nœud, on peut avoir deux nœuds. Montrer que la figure suivante est un exemple d'arbre binaire.
a)Soit formula_208 le nombre d'arrangements uniques d'un arbre binaire avec n nœuds au total. Soit C(z), une série de puissances de formula_208.
(i)Définir C(z) en utilisant la récursion.
(ii)Puis, trouver la forme réduite de C(z).
b)Soit formula_210 une série de puissances.
(i)En considérant la dérivée n-ième de P(x), trouver une formule pour formula_211.
(ii)En utilisant les résultats à partir de a) et b)(i) , ou autrement, déduire une formule pour for formula_208.
Conseil : Au lieu de faire une récursion pour rechercher le changement dans formula_208 lorsqu'on ajoute des nœuds à la base, essayer de penser à la manière opposée, et à la direction. (Et non, sans supprime de nœuds)