Les probabilités en économie.
Pour donner une signification objective à une probabilité, il faut et il suffit qu'elle soit mesurable. Pour cela il faut et il suffit qu'une expérience soit reproductible. En reproduisant de nombreuses fois une même expérience, on mesure les probabilités de ses résultats à partir de leurs fréquences d'apparition. Mais en économie aucune expérience n'est reproductible. Chaque événement économique est unique. Tous les agents sont toujours différents, et les conditions dans lesquelles ils sont placés ne se reproduisent jamais exactement. Il ne peut donc pas y avoir de signification objective pour les probabilités en économie. Mais les modèles probabilistes sont d'une importance fondamentale pour la science économique. Où est l'erreur ? Les modèles probabilistes en économie sont-ils toujours faux parce que les probabilités en économie n'ont pas de signification objective ?
L'incertitude des jeux de hasard peut être considérée comme purement probabiliste, pourvu qu'ils ne soient pas truqués, parce qu'ils sont en général des expériences reproductibles. L'incertitude économique n'est pas rigoureusement probabiliste, mais la prise de décision économique vis à vis du risque est très semblable à la prise de décision des parieurs. Quand on est confronté au risque, on raisonne comme si on faisait un pari avec la réalité. Lorsqu'on attribue des probabilités aux événements économiques attendus, celles-ci ne peuvent jamais êtres vraies et exactes, mais elles peuvent quand même être des estimations vraisemblables, qui permettent de prendre de meilleures décisions. Une compagnie d'assurance par exemple doit estimer des probabilités de décès. Elle le fait à partir des statistiques de décès constatés. Si elle ne procédait pas ainsi, elle ne pourrait pas anticiper ses obligations de paiement et elle s'exposerait à la faillite.
Les modèles probabilistes en économie ne peuvent jamais être rigoureusement vrais mais ils peuvent être suffisamment semblables à la réalité pour mériter la comparaison. Il suffit d'une analogie pertinente pour justifier un modèle. Et les modèles peuvent être utiles même lorsqu'ils sont très faux, parce que l'écart entre le modèle et la réalité peut être très significatif.
La mesure du risque.
On parle couramment du risque comme d'une grandeur mesurable : le risque est nul en situation de certitude et il augmente quand l'incertitude augmente. Le rapport de l'écart-type sur la moyenne du profit d'un projet est souvent une bonne mesure de son risque parce qu'il augmente avec l'incertitude et parce qu'il permet de comparer des projets de profits moyens différents. Mais une seule grandeur ne peut jamais suffire pour rendre compte de la diversité des risques. L'écart-type mesure l'étalement d'une distribution de probabilités, mais la forme de cette distribution a également son importance pour évaluer son risque. Elle détermine la répartition des probabilités entre des gains très élevés et modérés et des pertes modérées et très élevées. L'écart-type mesure l'étalement mais il ne dit rien sur la diversité des formes. Il est donc utile surtout pour comparer des distributions de même forme. Si par exemple deux distributions sont des lois normales, la plus risquée est clairement celle qui a le plus grand écart-type. Mais si des distributions ont des formes différentes, la comparaison de leurs écart-types n'est pas forcément une bonne façon de comparer leurs risques. En outre l'écart-type n'est pas la seule grandeur qui mesure l'étalement d'une distribution. La moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne est parfois une estimation plus naturelle de l'étalement que la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, qui accorde beaucoup d'importance aux grands écarts au détriment des petits.
Quand on mesure l'étalement d'une distribution, on fait une moyenne à la fois sur les chances de gain, lorsque le rendement est supérieur à sa moyenne, et sur les chances de perte, lorsqu'il est inférieur. Les risques de perte sont tout particulièrement importants lorsqu'on s'interroge sur la viabilité d'une entreprise ou d'un projet. On est alors particulièrement attentif à la partie gauche de la distribution de probabilités, tandis que l'étalement de la partie droite, les chances de gain, ne nous informe pas. 
La valeur exposée au risque, ou value at risk, est un indicateur de risque de perte très utilisé pour étudier la viabilité des entreprises.
La valeur d'une variable aléatoire formula_1 exposée au risque formula_2, ou p value at risk, est par définition le nombre formula_3 tel que formula_4. Les valeurs positives de formula_1 sont des gains, les négatives des pertes.
formula_6 est la probabilité que formula_7. formula_8 est la fonction de répartition de la variable aléatoire formula_1. formula_10 où formula_11 est la densité de probabilité de formula_1. 
formula_13
La valeur exposée au risque permet d'estimer la perte qu'on risque de subir. On sait qu'avec une probabilité formula_14, la perte ne sera pas supérieure à formula_3. formula_2 est en général un nombre petit, formula_17 ou inférieur. Des pertes qui ont une probabilité inférieure à formula_2 peuvent être considérées comme des pertes extraordinaires. La valeur exposée au risque permet d'estimer le montant maximal des pertes ordinaires, mais elle ne dit rien sur les pertes extraordinaires. Si des pertes ont une probabilité inférieure à formula_2, elles n'ont aucune influence sur formula_3. Deux entreprises dont l'une est exposée à des pertes gigantesques mais rares, et pas l'autre, peuvent avoir la même valeur exposée au risque.
Les indicateurs de risque comme l'écart-type, ou la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne, ou la valeur exposée au risque, ne peuvent jamais fournir une information complète sur les risques à courir. Il faut connaître la densité de probabilité des profits espérés et des pertes craintes, ou de façon équivalente leur fonction de répartition, pour être complètement informé sur le risque.
Le prix du risque.
En général on estime que le risque diminue la valeur d'un projet. Les risques d'un faible profit et surtout d'une perte sont en général dissuasifs, même si les chances d'un profit élevé font que le profit moyen est conséquent. De deux projets qui ont le même profit moyen, le plus risqué a en général le moins de valeur. Cette diminution de valeur est une prime de risque. Pour qu'un projet risqué soit intéressant, il faut donc en général qu'il rapporte plus que le taux d'intérêt sans risque, il faut qu'il ait un profit moyen suffisant pour compenser la prise de risque. On peut calculer la prime de risque à partir du taux de surprofit exigé pour compenser le risque, c'est à dire la différence entre le taux de profit exigé et le taux d'intérêt sans risque.
L'aversion au risque n'est pas universelle. Il y a de nombreuses exceptions. Le risque peut ne pas diminuer la valeur d’un projet mais être au contraire recherché pour lui-même. Dans la plupart des jeux de hasard par exemple, on perd toujours en moyenne, les profits moyens sont négatifs, mais des chances même très faibles d'un gain important suffisent pour convaincre les joueurs de participer. La valeur qu'ils attribuent au risque recherché compense leur perte moyenne.
Comme les agents économiques ne sont pas égaux face aux risques, ils les évaluent très différemment. Cela favorise le commerce du risque. Un même risque très dissuasif pour un agent peut l'être très peu pour un autre. Le second a alors intérêt à vendre au premier une garantie contre le risque.
L'actualisation des projets incertains.
On définit parfois un taux d'actualisation ajusté au risque en ajoutant au taux d'actualisation sans risque le taux de surprofit qui mesure la prime de risque. Mais pour calculer la valeur actuelle nette d'un projet incertain, cette définition a du sens seulement s’il y a un seul coût initial et une seule recette finale. S'il y a des pertes incertaines, il est évidemment insensé de les déprécier avec un taux d'actualisation plus élevé que le taux sans risque. Et lorsque des versements incertains sont échelonnés dans le temps il n'y a en général pas de raison de les actualiser avec un même taux d’actualisation ajusté au risque parce qu'ils peuvent avoir des incertitudes très différentes.
Le taux d'actualisation est le taux d'intérêt sans risque. Il est estimé à partir des taux des placements considérés comme sans risque mais cela ne l'empêche pas d'être appliqué à l'évaluation des projets incertains. Il est un taux de change entre l'argent versé aujourd'hui et l'argent versé plus tard, un taux de change temporel. Qu'un projet soit certain et sans risque ou très incertain et très risqué ne doit donc rien changer à la façon d'actualiser les versements. Pour évaluer les projets risqués, il faut actualiser toutes les recettes et tous les coûts au taux des placements sans risque, parce que c'est la meilleure façon d'additionner des versements échelonnés dans le temps. Que ces versements aient été prévus avec certitude ou non ne change rien à l'affaire. Le taux d'actualisation dépend de la réalité économique à un moment donné, pas des projets auxquels il est appliqué. Il est le même pour tous les projets confrontés à la même réalité, qu’ils soient risqués ou non.
Si un projet est risqué, et si on connaît les probabilités des recettes et des coûts, on peut calculer, avec le vrai taux d’actualisation, pas un taux ajusté au risque, une valeur actualisée moyenne des recettes, des avances de fonds et des autres coûts, et donc un profit moyen, un taux de profit moyen et une valeur actuelle nette moyenne, mais celle-ci n'est pas la valeur actuelle nette du projet, parce qu'elle ne prend pas en compte le prix du risque. 
La valeur actuelle nette d'un projet incertain est sa valeur actuelle nette moyenne diminuée de la prime de risque. La prime de risque est la valeur actuelle du surprofit moyen qu'on exige pour compenser le risque. Elle est la valeur actuelle de la différence entre le profit moyen exigé et le profit qu'on obtiendrait si on plaçait son capital au taux d'intérêt sans risque. Comme la valeur actuelle nette moyenne est la valeur actuelle du surprofit moyen, la valeur actuelle nette d'un projet incertain est la valeur actuelle de la différence entre le surprofit moyen et le surprofit exigé pour compenser le risque, donc la valeur actuelle de la différence entre le profit moyen et le profit exigé pour compenser le risque.
Indépendance statistique, anticorrélations et réduction des risques.
Deux techniques permettent de réduire les risques. L'une exploite l'indépendance statistique des événements économiques, l'autre leurs anticorrélations.
L'économie-casino.
Un projet est en général affecté par de nombreux événements incertains qui peuvent augmenter ou diminuer son profit. Il faut distinguer deux types d'événements, ceux qui affectent seulement le profit courant du projet, des coûts ou des recettes imprévus qui affectent momentanément le profit d'un projet mais qui n'ont pas d'influence sur ses profits futurs, et ceux qui affectent durablement la capacité du projet à rapporter du profit. Les effets des événements du premier type doivent être additionnés pour obtenir leur effet cumulé, tandis que ceux du second type doivent être multipliés.
Supposons qu'un projet est affecté seulement par des événements du second type : de nombreux événements aléatoires formula_29 peuvent influencer sa valeur formula_30 pendant un intervalle de temps formula_31. Chaque événement formula_29 s'il se produit multiplie formula_30 par un facteur formula_34 s'il favorise la réussite du projet et formula_35 s'il est défavorable. On suppose que les événement formula_29 ont des probabilités formula_37 et qu'ils sont indépendants. La variation de formula_38 est alors une somme de variations aléatoires formula_39. D'après le théorème de la limite gaussienne, si ces variations sont très nombreuses, petites devant leur somme et indépendantes, la distribution de probabilités de cette somme est une loi normale. Soit formula_40 sa moyenne et formula_41 sa variance. Si l'environnement du projet est constant, formula_42 et formula_23 ne dépendent pas de formula_44. Sur une durée formula_45, la variation de formula_38 suit alors une loi normale de moyenne formula_47 et de variance formula_48. 
Soit formula_49 la valeur initiale du projet. Comme formula_38 suit une loi normale de moyenne formula_51 et de variance formula_48, formula_30 suit une loi log-normale dont la densité de probabilité est :
formula_54
La valeur moyenne de formula_30 est formula_56 et son écart type est formula_57. Si on mesure le risque par le rapport de l'écart-type sur la moyenne, on obtient formula_58 qui augmente très vite avec formula_45. 
Supposons maintenant qu'un projet est affecté seulement par des événements du premier type. De nombreux événements aléatoires formula_29 peuvent influencer le profit courant formula_61 pendant un intervalle de temps formula_31. Chaque événement formula_29 s'il se produit augmente formula_61 d'une quantité formula_65 s'il est une recette et formula_66 s'il est un coût. On suppose que les événement formula_29 ont des probabilités formula_37 et qu'ils sont indépendants. Le profit courant formula_61 pendant formula_31 est alors une somme de variations aléatoires formula_71. D'après le théorème de la limite centrale, si ces variations sont très nombreuses, petites devant leur somme et indépendantes, la distribution de probabilités de cette somme formula_72 est une loi normale. Soit formula_40 sa moyenne et formula_41 sa variance. Si l'environnement du projet est constant, formula_42 et formula_23 ne dépendent pas de formula_44. Sur une durée formula_45, le profit formula_79 suit alors une loi normale de moyenne formula_47 et de variance formula_48. Le rapport de l'écart-type sur la moyenne est donc formula_82 et s'approche de zéro quand formula_45 est grand. 
Sur de longues durées le risque causé par les événements du second type tend donc à dominer celui des événements du premier type. Pour évaluer les risques on peut donc souvent ignorer les événements du premier type, ce qui conduit à retenir une distribution log-normale. Mais cette règle n'est pas universelle. Si les risques associés aux événements du premier type sont importants, il ne faut pas les ignorer, surtout si la durée considérée est courte.
Toutes les hypothèses qui justifient les distributions normale de formula_79 ou log-normale de formula_30 sont a priori très douteuses. Les formula_71 et les formula_39 ne sont pas nécessairement petits devant leur somme parce qu'un seul événement peut avoir une grand influence sur la réussite ou l'échec d'un projet. Ils ne sont pas non plus nécessairement indépendants, parce qu'un échec peut entraîner davantage d'échecs ou une réussite davantage de réussites, ou un échec peut précéder une réussite par effet de résilience, ou une réussite peut entraîner un échec, parce que la grandeur précède parfois la chute. En outre il n'y a en général pas de raison de supposer que les probabilités formula_88 sont constantes au cours du temps, parce que les événements économiques dépendent de circonstances qui varient. De fait, il n'y a en général pas de raison que ces probabilités puissent être correctement définies, parce que les événements économiques ne sont jamais exactement reproductibles. L'économie réelle peut donc être très différente de l'économie-casino. Celle-ci n'est qu'un modèle mathématique qui peut nous aider à comprendre la réalité mais qui peut aussi nous induire en erreur.
Pour une distribution log-normale, le rapport formula_58 de l'écart-type sur la moyenne n'est pas forcément un bon indicateur du risque, surtout lorsque la distribution est très aplatie, pour des valeurs de formula_90. On lui préfère en général formula_91, qui est aussi un indicateur de la dispersion des valeurs attendues autour de la moyenne. formula_91 est l'écart-type du rendement logarithmique. On l'appelle la volatilité. Si le temps est mesuré en années, formula_23 est la volatilité annuelle.
Dans cette section on a raisonné sur la valeur d'un projet mais on aurait pu tenir le même raisonnement sur les prix des actions côtées en bourse. Dans ce cas la distribution log-normale est une assez bonne approximation, mais elle sous-estime un peu les probabilités des forts écarts à la moyenne (Luenberger 1997). 
Pour raisonner plus facilement, on fera dans la suite plusieurs hypothèses simplificatrices :
Ces hypothèses simplificatrices permettent de concentrer les raisonnements sur quelques points parmi les plus importants, mais si on veut appliquer les conclusions au monde réel, il faut bien sûr avoir conscience des complications que la théorie ignore.
Rendements arithmétique, logarithmique et moyen.
Le rendement arithmétique, ou rendement tout court, est le taux de profit d'un actif. Si formula_96 est sa valeur initiale et formula_97 sa valeur finale, le profit est formula_98 et le taux de profit est formula_99 donc formula_100
Le rendement logarithmique est formula_101 donc formula_102
Lorsque formula_103 , formula_104
Le rendement logarithmique est plus commode que le rendement arithmétique lorsque qu'on doit composer des rendements pour des périodes successives :
formula_105
tandis que 
formula_106
Le rendement arithmétique est plus commode que le rendement logarithmique lorsqu'on doit calculer le rendement d'un portefeuille : 
formula_107
où les formula_108 sont les valeurs initiales des formula_109 actifs qui constituent le portefeuille et formula_110 leurs rendements respectifs. formula_111 est le poids de l'actif formula_21 dans le portefeuille.
formula_113
Lorsque formula_114 est une variable aléatoire, la moyenne du rendement logarithmique n'est pas le rendement logarithmique calculé à partir du profit moyen, c'est pourquoi on définit le rendement logarithmique moyen formula_115 non par la moyenne du rendement logarithmique mais par le logarithme du rapport entre la valeur finale moyenne et la valeur initiale :
formula_116
Si formula_117 a une distribution log-normale de paramètres formula_42 et formula_23, le rendement logarithmique moyen est formula_120 parce que formula_121 mais la moyenne du rendement logarithmique est formula_42, parce que formula_123 a une distribution normale de moyenne formula_42. L'écart-type du rendement logarithmique est formula_23. Il mesure la dispersion du taux logarithmique autour de sa moyenne formula_42 pas autour du rendement logarithmique moyen formula_120 mais la différence est souvent assez petite. Pour un actif risqué formula_128 et formula_129 sont des valeurs typiques pour le taux logarithmique annuel, et formula_130
L'évolution de l'espérance de la valeur d'un actif.
On suppose que les variations du prix d'un actif sont aléatoires et qu'elles sont décrites par la distribution log-normale présentée plus haut. 
Si formula_49 est la valeur présente de l'actif, sa valeur future formula_132 à la date formula_45 a une distribution log-normale de densité de probabilité :
formula_134
La moyenne, ou l'espérance, des valeurs futures est
formula_135
Le modèle d'évaluation des actifs financiers.
Le modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF ou CAPM : Capital Asset Pricing Model) est un modèle simplifié qui montre comment des marchés financiers idéalisés pourraient évaluer les primes de risque. Le principal enseignement de ce modèle est qu'une prime de risque ne dépend pas de l'écart-type de la valeur d'un actif mais de sa covariance avec les conditions économiques générales. Celle-ci mesure un risque non-éliminable tandis que l'écart-type inclut un risque éliminable par diversification.
Si tous les projets économiques étaient statistiquement indépendants, on pourrait toujours éliminer leurs risques par diversification. Un fonds commun de placement pourrait constituer un portefeuille presque sans risque à partir de très nombreux actifs risqués. Comme le risque est presque éliminé, son coût serait négligeable et les primes de risque seraient presque nulles. Tous les projets risqués seraient alors intéressants dès que leur rendement serait au moins le taux d'intérêt sans risque. Mais les projets économiques ne sont pas en général indépendants. Au contraire ils sont en général dépendants des mêmes conditions économiques, parce que tous les agents sont sensibles à la prospérité générale ou à son absence, ils sont donc en général corrélés les uns aux autres. Il n'est alors pas toujours possible d'éliminer les risques par diversification. Les projets risqués dont le risque ne peut pas être éliminé doivent avoir un rendement moyen plus élevé. Le modèle d'évaluation des actifs permet de mesurer les risques non-éliminables et les primes de risque qu'ils engendrent. Il repose sur quelques hypothèses simplificatrices :
La demi-droite des portefeuilles optimaux.
Soit formula_136 un rendement (arithmétique, pas logarithmique) supérieur au taux d'intérêt sans risque formula_137 (risk-free). Soit formula_138 l'ensemble de tous les portefeuilles risqués qui ont le même rendement moyen. Soit formula_139 l'écart-type du rendement d'une portefeuille optimal de formula_138 : pour tout portefeuille dans formula_138 l'écart-type de son rendement est supérieur ou égal à formula_139. Alors la demi-droite des portefeuilles optimaux dans le demi-plan formula_143 est donnée par l'équation :
formula_144 
Tous les formula_145 des portefeuilles possibles sont en dessous de cette demi-droite. Tous les points de cette demi-droite sont des formula_145 de portefeuilles optimaux. Ils sont les moins risqués pour un rendement espéré donné, et les plus rentables pour un risque donné.
Preuve : Montrons d'abord que tous les points de la demi-droite sont des portefeuilles possibles. Soit un portefeuille constitué de formula_147 au taux sans risque et formula_148 du portefeuille optimal au taux formula_136. Son rendement moyen est formula_150, l'écart-type de son rendement est formula_151, il est donc sur la demi-droite des portefeuilles optimaux. Si formula_152, formula_153 est entre formula_137 et formula_136. Si formula_156, formula_157. Dans ce cas, on emprunte des fonds au taux sans risque formula_137 pour les placer au taux risqué formula_136, on augmente alors le rendement moyen par effet de levier.
Soit formula_145 un point au dessus de la demi-droite des portefeuilles optimaux et supposons qu'il représente un portefeuille possible. Par le même argument que ci-dessus, la demi-droite qui part de formula_161 et passe par formula_145 représenterait aussi des portefeuilles possibles. En particulier formula_163 représenterait un portefeuille possible. Comme formula_145 est au dessus de la demi-droite des portefeuilles efficaces :
formula_165
donc
formula_166
Mais c'est contraire à la définition de formula_139 qui est le plus petit des écarts-type des portefeuilles possibles de même rendement formula_136. Donc formula_145 ne peut pas représenter un portefeuille possible s'il est au dessus de la demi-droite des portefeuilles efficaces.
On en conclut que :
formula_170
pour tout formula_136 et formula_172plus grands que formula_137, puisque formula_174 et formula_175 sont tous les deux sur la demi-droite des portefeuilles optimaux.
L'hypothèse des marchés optimaux.
Le portefeuille de marché regroupe en principe tous les actifs, risqués ou non, échangeables dans une économie. Il inclut toutes les richesses qui peuvent rapporter un profit, mobilières ou immobilières, dès qu'elles ont un prix de marché. Son rendement moyen dépend de la prospérité de l'économie. Son écart-type représente le risque général auquel sont confrontés tous les agents, parce qu'il représente le risque d'un manque de prospérité générale. Comme le portefeuille de marché est le plus diversifié qui soit, il élimine tous les risques qu'on peut éliminer par diversification. Des portefeuilles très diversifiés, comme le SP500, éliminent eux aussi les risques qu'on peut éliminer par diversification.
L'hypothèse des marchés optimaux postule que le portefeuille de marché est sur la demi-droite des portefeuilles optimaux.
Cette hypothèse est évidemment fausse, puisque les agents ne sont pas toujours rationnels quand ils investissent leur argent. Mais en première approximation on peut supposer que des portefeuilles très diversifiés comme le SP500 ne sont pas très différents d'un portefeuille optimal. On situe alors la demi-droite des portefeuilles optimaux en estimant le rendement moyen du SP500, ou d'un autre portefeuille très diversifié et bien choisi, et son écart-type.
La covariance avec les conditions économiques générales.
Si on suppose que le portefeuille de marché est optimal et si formula_172 est son rendement moyen, formula_177 est l'écart-type formula_178 de son rendement. 
Le formula_179 d'un actif formula_29 est par définition :
formula_181
où formula_182 et formula_183 sont les rendements aléatoires de l'actif formula_29 et du portefeuille de marché respectivement.
formula_179 est proportionnel à la covariance avec le rendement du portefeuille de marché, donc avec les conditions économiques générales.
Montrons que 
formula_186 
où formula_187 est le rendement moyen de l'actif formula_29. 
Considérons un portefeuille qui contient une valeur formula_147 de l'actif formula_29 et formula_148 d'un portefeuille optimal de même rendement moyen formula_187. C'est un portefeuille de rendement formula_187. Notons formula_194 la variance de son rendement. Comme formula_194 est minimal en formula_196, formula_197. 
Soit formula_182 le rendement aléatoire de l'actif formula_29 et formula_200 le rendement aléatoire du portefeuille optimal de même rendement moyen.
formula_201 
formula_202 
formula_203
formula_204
donc 
formula_205
Le portefeuille de rendement formula_200 peut être constitué de formula_207 du portefeuille de marché et de formula_208 d'un actif sans risque. Donc
formula_209
Or
formula_210
Donc 
formula_211
formula_212 mesure le risque qui ne peut pas être éliminé par diversification.
Définissons la variable aléatoire formula_213 par
formula_214
Alors
formula_215
formula_216
formula_217
La variance de formula_182 est la somme de deux termes. formula_219 représente un risque qui ne peut pas être éliminé par diversification. formula_220 représente le risque qui peut être éliminé par diversification, parce qu'il est la variance d'une variable aléatoire qui n'est pas corrélée avec le portefeuille de marché.
La prime de risque dépend seulement de la covariance avec les conditions économiques générales.
La prime de risque d'un actif formula_29 est la valeur actuelle du surprofit exigé pour compenser son risque. Elle est obtenue à partir du taux de surprofit formula_222 exigé. Comme formula_223, la prime de risque d'un actif formula_29 dépend seulement de formula_179 donc seulement de la covariance avec les conditions économiques générales.
Si formula_226, la prime de risque de l'actif formula_29 est nulle. Il se peut que cet actif soit par ailleurs très risqué, avec un formula_228 très élevé, mais ce risque peut être éliminé par diversification avec d'autres actifs dont le formula_212 est nul. C'est pourquoi la prime de risque est nulle.
Quand formula_212 est négatif.
Si formula_179 est négatif, formula_232. Pourquoi accepter de détenir l'actif risqué formula_29 alors qu'il nous expose en moyenne à des profits inférieurs au profit sans risque ou à des pertes ?
Le formula_212 d'un portefeuille est la moyenne pondérée des formula_235 des actifs formula_236 dont il est composé, parce que la covariance d'une somme de variables aléatoires avec une même variable est la somme de leurs covariances avec cette variable. Un actif formula_29 dont le formula_179 est négatif fait diminuer le formula_212 d'un portefeuille dans lequel il est inclus donc le risque non-éliminable par diversification. La perte de rendement est compensée par la diminution du risque.
Une option put est un exemple d'actif à formula_212 négatif dès que le formula_212 du sous-jacent est positif, parce qu'une option put est corrélée négativement avec l'action sous-jacente. Le formula_212 peut même être suffisamment négatif pour que le rendement moyen soit négatif. Une telle option coûte plus cher à l'achat que ce qu'elle rapporte en moyenne. Pourquoi alors acheter des options put ? Parce qu'elles permettent de réduire le risque d'un portefeuille qui serait très risqué sans elles.
L'optimisation d'un portefeuille.
On peut se servir du MEDAF même si on renonce à l'hypothèse des marchés optimaux, parce qu'il fournit une méthode pour optimiser un portefeuille :
Ayant choisi initialement un portefeuille sensé, le SP500 par exemple, on commence par estimer son rendement moyen formula_251 et sa variance formula_252. Pour chaque actif formula_29 qu'il ne contient pas, on estime alors son rendement moyen formula_187 et sa covariance formula_255 avec le portefeuille initial. On calcule alors le formula_179 de cet actif relativement au portefeuille initial :
formula_257
Si formula_258 alors on a intérêt à incorporer l'actif formula_29 dans le portefeuille initial. Si les nouveaux actifs ainsi choisis sont bien diversifiés, on obtient par cette méthode un portefeuille meilleur que le portefeuille initial. Il peut avoir à la fois un meilleur rendement et un risque moindre. En itérant le procédé, on peut espérer trouver un portefeuille optimal et battre le marché.
Le modèle d'évaluation des actifs financiers a été introduit par Jack Treynor (1961, 1962), William Sharpe (1964), John Lintner (1965) et Jan Mossin (1966) indépendamment, en poursuivant les travaux initiaux de Harry Markowitz sur la diversification et la théorie moderne du portefeuille. (Wikipedia)
Les espérances des rendements ne sont en général pas mesurables.
Pour mesurer l'espérance formula_42 d'une variable aléatoire formula_1 d'écart-type formula_23, il faut au moins formula_263 mesures indépendantes.
Preuve : La moyenne formula_264 mesurée avec formula_21 mesures indépendantes est elle-même une variable aléatoire :
formula_266 où les formula_267 sont des variables aléatoires indépendantes de même loi que formula_1. 
L'espérance de formula_264 est évidemment formula_42 et son écart-type est
formula_271
Pour que la mesure soit significative, il faut que formula_272 soit petit devant formula_264. Avec formula_274, on peut espérer avoir une estimation correcte de formula_42 mais cela reste une mesure très imprécise, parce qu'il y a une probabilité non-négligeable, 0.04 environ, que formula_264 s'écarte de formula_42 de plus de 20%.
formula_278 impose formula_279
Les rendements annuels des actions sont en général entre 6% et 30% et parfois inférieurs. 12% est une valeur typique. Les écart-types de ces rendements sont en général entre 10% et 60%. 15% est une valeur typique. Donc formula_280 ou supérieur. Il faudrait donc plus d'un siècle de mesures du rendement annuel pour avoir une estimation grossière de son espérance. Mais on n'a pas un siècle, seulement quelques années, parce qu'il n'y a pas de raison que l'espérance d'un rendement reste constante plus de quelques années. Si on mesure le rendement mensuel, on augmente le nombre de mesures d'un facteur 12 mais formula_281 augmente aussi d'un facteur 12. Donc la conclusion n'est pas modifiée. En général les espérances des rendements ne sont pas mesurables (Luenberger 1998). 
Les rendements moyens mesurés ne sont pas des estimations des rendements moyens théoriques, sauf si les placements sont peu risqués, parce qu'alors formula_282 est petit devant 1. Il faut en conclure qu'un modèle probabiliste d'une variation de rendement ne peut pas être confronté directement à la réalité, puisqu'on ne peut pas mesurer son paramètre le plus important, l'espérance du rendement. Ce n'est pas très étonnant puisqu'en général les probabilités théoriques n'ont pas de signification objective en économie, les événements économiques n'étant pas reproductibles.
Comme les modèles probabilistes des variations de rendement ne peuvent pas être confrontés directement à la réalité, on est tenté de conclure qu'ils n'ont aucune valeur scientifique, mais c'est une conclusion exagérée, parce que ces modèles peuvent quand même conduire à des prédictions observables. Ils sont parfois très utiles pour expliquer nos observations même si on ne peut pas mesurer tous leurs paramètres.
Le MEDAF suppose que les agents font leurs choix d'investissements en connaissant les rendements moyens. Comme ceux-ci ne sont en général pas mesurables, les agents ne peuvent pas les connaître. De fait, ces rendements moyens sont purement théoriques et n'ont pas d'existence réelle. Mais il ne faut pas en conclure que le MEDAF est complètement irréaliste. Les agents estiment des rendements espérés et prennent leurs décisions en fonction de leurs estimations. Si les agents sont convenablement informés, les rendements espérés peuvent être des estimations pas trop mauvaises des rendements finalement réalisés.
La réduction des risques par diversification temporelle.
Soit un placement très risqué qui permet de multiplier sa mise par un facteur formula_283 sur une courte période avec une probabilité formula_284 ou de tout perdre. Son rendement moyen est formula_285. Mais si on place tout son capital pour formula_21 périodes successives, on a une probabilité formula_287 d'être ruiné. Si formula_21 est grand, la ruine est quasi-certaine et on n'aura donc pas profité du rendement moyen. N'est-il pas possible de profiter de ce rendement moyen sans prendre de risques ?
Au lieu de risquer tout son capital, on peut décider de le gérer dynamiquement et de ne parier à chaque période qu'une fraction formula_147 sur ce placement très risqué. À chaque période, le rendement moyen n'est plus que formula_290. On a une chance sur deux de multiplier son capital par formula_291 et une chance sur deux de le multiplier par formula_292. Soit formula_293 la valeur initiale du capital et formula_294 sa valeur au bout de n périodes. Le rendement logarithmique au bout de n périodes formula_295 est une somme de variables aléatoires indépendantes de moyenne formula_296 et de variance formula_297. Quand n est grand la distribution de formula_298 tend vers une distribution normale de moyenne formula_299 et de variance formula_300.
Le rapport formula_301 de l'écart-type sur la moyenne du rendement logarithmique tend vers zéro lorsque n est très grand. Si la moyenne du rendement logarithmique par période est positive, formula_302 alors on peut faire un profit sans risque lorsque n est très grand. Si formula_303 cette stratégie de gestion dynamique délivre un profit certain dès que le nombre de périodes est suffisamment grand. 
Cette stratégie de réduction du risque repose sur la diversification temporelle. Elle suppose que les profits sur une période donnée sont indépendants des périodes précédentes. Cela permet de réduire le risque en cumulant des profits risqués mais statistiquement indépendants.
Les formules de Black et Scholes.
Les formules de Black et Scholes permettent de calculer la valeur présente d'une option européenne call ou put, à partir de la valeur présente formula_304 de l'action sous-jacente, de sa volatilité formula_23, du délai formula_45 jusqu'à l'échéance, du prix d'exercice formula_307 de l'option et du taux d'intérêt sans risque formula_153.
La façon la plus facile de les démontrer est de raisonner sur une économie indifférente au risque, c'est à dire que les primes de risque sont toujours nulles. Cette hypothèse est évidemment complètement fausse mais de façon très surprenante elle conduit à des formules justes. L'équation de Black et Scholes présentée plus loin ne requiert pas l'hypothèse d'indifférence au risque et permet de justifier les formules du même nom. Plus généralement l'hypothèse d'indifférence au risque permet souvent d'évaluer correctement les produits dérivés qui sont pourtant très risqués, parce qu'on évalue ces produits à partir des prix présents de leurs sous-jacents. Ces prix de marché prennent en compte les primes de risque exigées. Si les primes de risque changent, parce que les agents ont davantage peur du risque par exemple, les prix de marché changent également, mais leur relation avec les prix des produits dérivés ne change pas (Hull 2011). C'est pourquoi on peut souvent ignorer les primes de risque quand on évalue les prix des dérivés à partir des prix des sous-jacents. Le modèle des arbres binomiaux présenté plus loin permet de le justifier plus clairement.
Indifférence au risque et valeur d'un actif.
On suppose que les agents sont indifférents au risque. La valeur présente d'un actif est alors égale à la moyenne des valeurs présentes de ses valeurs anticipées :
formula_309
où formula_153 est le taux d'intérêt sans risque. On en déduit pour une action dont les variations de prix sont déterminées par une distribution log-normale de paramètres formula_42 et formula_23 :
formula_313
Donc
formula_314
La valeur présente d'une option call européenne.
Si formula_315 est la valeur anticipée de l'actif sous-jacent, formula_316 est la valeur anticipée formula_317 d'une option call dont le prix d'exercice est formula_307. L'indifférence au risque impose que sa valeur présente formula_319 est la moyenne des valeurs présentes de ses valeurs anticipées :
formula_320
formula_321
formula_322
Avec formula_323, formula_324, formula_325
formula_326
Or formula_327
Donc
formula_328
parce que formula_329
Avec formula_330, formula_331
formula_332
Soit formula_333 la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : 
formula_334
Comme formula_335
formula_336
formula_337
Avec formula_338, formula_339
formula_340
formula_341
Finalement
formula_342
C'est la formule de Black et Scholes pour les options call européennes.
La valeur présente d'une option put européenne.
Si formula_315 est la valeur anticipée du sous-jacent, formula_344 est la valeur anticipée formula_345 d'une option put dont le prix d'exercice est formula_307. L'indifférence au risque impose que sa valeur présente formula_347 est la moyenne des valeurs présentes de ses valeurs anticipées :
formula_348
formula_349
formula_350
formula_351
formula_352
formula_353
formula_354 
Finalement
formula_355
C'est la formule de Black et Scholes pour les options put européennes.
L'équation de Black et Scholes.
Des stratégies de couverture des risques permettent en principe de se constituer des portefeuilles sans risque avec des options et des actions ou d'autres actifs. La technique consiste simplement à compenser les hausses et les baisses. Toute hausse supérieure au taux sans risque pour un ou plusieurs items du portefeuille est compensée par une baisse d'autres items, ou par une hausse inférieure au taux sans risque. Un tel portefeuille est donc rémunéré au taux sans risque. Les hausses et les baisses se compensent mécaniquement. Or les portefeuilles sans risque sont les mêmes dans un économie qui paie des primes de risque que dans une économie qui n'en paie pas et les formules de Black et Scholes déterminent leur composition. Des formules différentes conduiraient nécessairement à des portefeuilles sans risque de compositions différentes. Comme les portefeuilles sans risque sont les mêmes que l'économie soit ou non indifférente au risque, la validité des formules de Black et Scholes ne dépend pas de l'existence des primes de risque.
Plus précisément, on va montrer à partir de l'existence de portefeuilles sans risque que la fonction qui détermine la valeur d'une option doit satisfaire à une équation aux dérivées partielles, l'équation de Black et Scholes. Les formules du même nom sont les seules solutions de cette équation qui satisfont aux conditions aux limites.
Soit formula_356 la valeur d'une option en fonction du prix courant formula_357 du sous-jacent à la date formula_44. formula_356 peut être connue empiriquement si elle est un prix de marché. À priori elle pourrait dépendre des primes de risque, parce que les achats et les ventes d'options sont des opérations risquées. Le raisonnement de Black et Scholes sur un portefeuille sans risque montre que formula_356 est en fait indépendant des primes de risque. 
On constitue un portefeuille sans risque à la date formula_44 en détenant une option et formula_362 unités du sous-jacent. Si formula_363 il faut avoir vendu le sous-jacent à découvert.
On suppose comme auparavant que les variations aléatoires du sous-jacent sont décrites par une distribution log-normale. 
La variation formula_364 de formula_357 pendant un intervalle de temps formula_31 est la somme de deux termes :
formula_367
où formula_368 est une variable aléatoire normale centrée réduite.
Pour calculer formula_369, la formule formula_370 ne convient pas, parce que formula_371 diverge quand formula_44 tend vers zéro.
Le raisonnement suivant sur les ordres de grandeur n'est pas rigoureux mais il conduit à une formule exacte, qui peut être prouvée avec le lemme d'Ito.
formula_373
formula_374
Les deux premiers termes sont négligeables devant le troisième quand formula_31 tend vers zéro.
En supposant qu'on peut remplacer formula_376 par sa valeur moyenne formula_377 on obtient :
formula_378
La variation de valeur du portefeuille sans risque est
formula_379 
Le terme aléatoire formula_380 a disparu. Cela confirme que le portefeuille est sans risque. 
formula_79 doit varier au taux sans risque formula_153 :
formula_383
On obtient
formula_384
C'est l'équation de Black et Scholes :
formula_385
On peut vérifier que les formules de Black et Scholes sont des solutions de l'équation du même nom. Or cette équation ne requiert pas l'hypothèse d'un environnement indifférent au risque. Les formules de Black et Scholes sont donc vraies dans un environnement qui n'est pas indifférent au risque. La méthode des arbres binomiaux fournit une explication plus simple de ce résultat.
Les arbres binomiaux et l'indifférence au risque.
Les exemples suivants sont très simples et très irréalistes mais il suffisent pour comprendre pourquoi la relation entre les prix des options et des actions ne dépend pas des primes de risque :
On suppose qu'une action qui vaut 100 aujourd'hui peut valoir 110 ou 90 au bout d'une période avec les probabilités p et 1-p respectivement. On s'interroge sur le prix présent P d'une option put dont le prix d'exercice est 110. On suppose pour simplifier que le taux d'intérêt sans risque est nul. Le prix présent d'un portefeuille qui contient une action et une option est 100+P. Sa valeur future est 110 dans tous les cas. Il est donc sans risque. On en déduit que P=10. On n'a pas besoin de connaître la probabilité p d'une hausse pour connaître le prix de l'option. On n'a donc pas besoin de connaître les risques pris par les investisseurs et leurs primes de risque.
Plus généralement un arbre binomial à une période est défini par les paramètres suivants : p, u, d et r. p est la probabilité que le prix de l'action soit multiplié par u ("up") au bout d'une période, 1-p la probabilité qu'il soit multiplié par d ("down"). r est le taux d'intérêt sans risque sur une période. 
On suppose que le prix présent de l'action est 100, que u>1 et d<1. Pour évaluer le prix présent P d'une option put dont le prix d'exercice est K, on raisonne sur un portefeuille qui contient formula_386 actions et une option. On suppose que formula_387. Le prix présent du portefeuille est formula_388. Sa valeur future est ou bien formula_389 ou bien formula_390. Ce portefeuille est sans risque lorsque 
formula_391
c'est à dire 
formula_392
Comme il est sans risque, on doit avoir
formula_393
donc
formula_394
Pour connaître le prix présent C d'une option "call" dont le prix d'exercice est K, on raisonne sur un portefeuille qui consiste à avoir vendu formula_386 actions à découvert et à avoir acheté une option. Vendre à découvert consiste à vendre des actions qu'on a empruntées en s'engageant à les racheter plus tard pour les restituer. Le prix présent du portefeuille est formula_396. Sa valeur future est ou bien formula_397 ou bien formula_398. Ce portefeuille est sans risque lorsque 
formula_399
c'est à dire 
formula_400
Comme il est sans risque, on doit avoir
formula_401
donc
formula_402
Comme avec le premier exemple, on n'a pas besoin de connaître la probabilité p d'une hausse pour connaître le prix des options. On n'a donc pas besoin de connaître les primes de risque pour évaluer les options put et "call".
Il est bien sûr parfaitement irréaliste de supposer qu'une action ne peut avoir que deux valeurs au bout d'une période. Mais il suffit de raisonner sur des arbres binomiaux multipériodes pour rendre le modèle très réaliste, dès que le nombre de périodes est assez grand. Avec deux périodes, on obtient trois valeurs futures possibles : 100uu, 100ud, et 100dd. Avec N périodes, on obtient N+1 valeurs futures possibles. Si N est très grand, les variations du cours de l'action suivent une loi log-normale. On peut ainsi prouver les formules de Black et Scholes en raisonnant sur des arbres binomiaux. L'indépendance du prix des options vis à vis des primes de risque établie avec les arbres binomiaux est donc beaucoup plus réaliste que ce que la simplicité du modèle suggère au départ.
L'article de Cox, Ross et Rubinstein, "Option pricing, a simplified approach" (1979) est l'article pionnier qui a montré la valeur de ce modèle.
Le rendement moyen d'une option put peut être négatif.
Une option put a un formula_212 négatif dès que le formula_212 de l'action sous-jacente est positif. Montrons sur un exemple que le formula_212 peut être suffisamment négatif pour que le rendement moyen soit négatif :
Soit une action dont le rendement moyen (arithmétique annuel) est de 10% et de volatilité 20% :
formula_406
formula_407
formula_408
Soit une option put à six mois dont le prix d'exercice est égal au prix présent de l'action plus son rendement moyen.
Soit formula_409 le prix présent de l'action. Le prix d'exercice de l'option est
formula_410
La prix présent de l'option est obtenu avec la formule de Black et Scholes :
formula_355
Avec formula_412, formula_413,
L'option rapportera formula_414 en moyenne le jour de son exercice : 
formula_415
formula_416
Le rendement moyen logarithmique annuel de l'option est donc 
formula_417
Compléments mathématiques.
La loi normale.
Densité de probabilité.
formula_419
formula_420 est un facteur de normalisation pour que la somme des probabilités soit égale à un :
formula_421
On le prouve par le raisonnement suivant :
formula_422
formula_423
donc formula_424
Avec formula_425, formula_426, on obtient formula_427 
donc
formula_428
formula_430
Avec formula_431, formula_432, on vérifie que formula_433
formula_435
Avec formula_436, formula_437, on vérifie que formula_438
La courbe rouge représente la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.
Moyenne.
Une variable aléatoire formula_1 est centrée lorsque sa moyenne, ou son espérance formula_440, est nulle. On vérifie facilement que les lois normales centrées ont une moyenne nulle puisque leurs densités de probabilité sont paires. formula_441 est l'intégrale d'une fonction impaire et est donc nulle.
Avec formula_436, on obtient pour l'espérance de la loi normale :
formula_443
Variance et écart-type.
formula_445
formula_448
formula_449
formula_23 est donc l'écart-type formula_451 de formula_1.
Pour la loi normale, formula_23 est aussi une bonne estimation de la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne :
formula_454
formula_455
donc
formula_456
La loi log-normale.
Densité de probabilité.
Soit formula_1 une variable aléatoire telle que formula_458 suive une loi normale de moyenne formula_42 et d'écart-type formula_23.
La fonction de répartition de formula_1 est
formula_462
La densité de probabilité de formula_1 est donc
formula_464
Quelques fonctions de densité log-normales avec le même paramètre formula_42 mais différents paramètres formula_23
Moyenne.
formula_467
Avec formula_468, formula_469, formula_470, formula_471
formula_472
Or formula_473
Donc
formula_474
formula_475
Variance et écart-type.
formula_476
Avec formula_468, formula_478, formula_471
formula_480
Or formula_481
Donc
formula_482
formula_483
formula_484
formula_485
L'écart-type de formula_1 est donc
formula_487