Nous avons établi les trois équations newtoniennes de Friedmann dans le chapitre précédent. Pour rappel, les voici :
Maintenant que nous avons ces trois équations, nous allons tenter de les résoudre. La première étape pour cela passe par l'équation du fluide de Friedmann. Avec cette équation, on peut trouver une équation qui relie la densité avec le facteur d'échelle. On peut ensuite injecter cette équation dans la première et la seconde équation de Friedmann, pour mieux les résoudre. Et cela est plus difficile à dire qu'à faire. Une solution générale existe, mais nous allons aussi étudier le cas simple où le terme de courbure est considéré comme nul.
La résolution de l'équation du fluide.
Commençons donc par la première étape, en partant de l'équation du fluide, écrite comme suit :
Divisons par formula_5 :
Il faut alors se rappeler que le facteur de Hubble dépend du facteur d'échelle, qui lui-même dépend du temps, d'après l'équation suivante, vue dans les chapitres précédents :
On utilise alors la formule formula_8 :
On réorganise les termes, ce qui donne :
On prend l'exponentielle :
On utilise alors la formule formula_15 :
Pour conserver la cohérence des unités, formula_17 correspond à une densité. Et plus précisément, l'équation n'a de sens que s'il s'agit de la densité quand formula_18. Notons-la formula_19. On a donc :
Cette équation peut se reformuler comme ceci :
Cette équation n'est autre que l'équation de conservation de la masse de l'univers.
De plus, cette équation est valable quelle que soit la courbure, ce qui est important à remarquer.
La reformulation de la première équation de Friedmann.
Maintenant que l'on a obtenu l'équation précédente, on peut l'injecter dans la première équation de Friedmann et dans la seconde. Commençons par la première. On a alors :
Ce qui s'écrit aussi comme suit :
Maintenant, remplaçons H par son expression dépendant du facteur d'échelle, vue plus haut :
Simplifions le terme de gauche :
On multiplie par formula_26 :
On prend la racine carrée :
L’univers dominé par la matière.
L'équation précédente est difficile à résoudre en raison du terme de courbure, qui pose quelques problèmes. Mais en postulant une courbure nulle, on peut aller plus loin. Le modèle cosmologique obtenu sous ces hypothèses est appelé l'univers dominé par la matière, ce qui trahit le fait que l'univers en question ne contient que de la matière, sans courbure.
La détermination de la loi d'évolution du facteur d'échelle.
Avec l'hypothèse d'une courbure nulle, l'équation précédente devient la suivante en réorganisant les termes :
On utilise alors la formule formula_30 :
Prendre la racine carrée est équivalent à élever à la puissance 1/2, ce qui fait qu'on peut faire le remplacement :
Le tout se reformule comme suit :
On réorganise les termes :
On intègre :
On utilise la formule formula_37 :
La réorganisation des termes donne :
On peut simplifier le tout en :
L'équation précédente est une loi de puissance. Or, nous avons vu les modèles cosmologiques basés sur des lois de puissance dans le chapitre "Une introduction aux modèles cosmologiques", ce qui fait que l'on pourrait réutiliser les résultats de ce chapitre directement. On a en effet établi des formules pour le facteur de Hubble, le décalage vers le rouge, le rayon de l'univers observable et bien d'autres pour de tels modèles. En appliquant ces formules, on trouve les résultats du tableau suivant :
Ce qu'on peut tirer de ces formules, est surtout que l'expansion de l'univers ralentit avec le temps. En effet, le facteur de décélération est positif.
La relation entre densité et âge de l'univers.
On peut aussi déterminer une relation entre l'âge de l'univers et la densité dans ce modèle. Pour cela, partons de l'équation suivante :
En élevant l'équation au carré, on a :
On peut alors combiner cette équation avec l'équation suivante :
En égalisant les deux équations, on trouve :
En divisant par formula_45, on trouve :
Pour simplifier, on a :
On voit que la densité diminue avec le carré du temps et que la constante de proportionnalité est assez simple.
L'univers avec matière et courbure.
Après avoir vu le cas d'un univers de courbure nulle, il est temps de voir le cas général, celui où la courbure n'est pas nulle. Le cas général n'a pas de solution analytique (sous forme de formule simple), sauf dans les cas où la courbure est respectivement égale à -1, 0 et 1. Cependant, on peut comparer un univers à courbure non-nulle avec l'univers de courbure nulle et en tirer quelques conséquences. Pour faire cette comparaison, nous allons devoir parler du concept de densité critique, qui n'est autre que la densité compatible avec le facteur de Hubble pour un univers à courbure nulle.
Pour rappel, dans un univers à courbure nulle, la première équation de Friedmann est la suivante :
On peut alors isoler la densité, ce qui donne :
La densité d'un tel univers de courbure nulle s'appelle la densité critique. Vous remarquerez qu'il existe une valeur de densité différente pour chaque valeur de la constante de Hubble et qu'elle évolue donc avec le temps.
Les cosmologistes utilisent souvent le rapport entre la densité mesurée expérimentalement et la densité critique, ce rapport étant appelé le paramètre de densité. Celui-ci vaut, par définition :
À partir de cette équation, on peut montrer que formula_51 est la déviation par rapport la densité critique, exprimée en proportion de la densité critique.
Rappelons que la densité varie avec le temps comme formula_53, et que cela vaut aussi pour la densité critique. En clair, le terme formula_54 fait pareil. On a donc :
La reformulation de la première équation de Friedmann avec la densité critique.
Armé de ce concept de densité critique, on peut reformuler la première équation de Friedmann avec celle-ci, même dans le cas d'un univers avec courbure. Pour cela, on part de la première équation de Friedmann sous cette forme :
Par définition, on a : formula_57, ce qui donne :
Divisons par formula_59 :
On utilise alors l'équation formula_55 :
Le tout peut se reformuler comme suit :
Le destin de l'univers et le scénario du Big-Crunch.
Fort de l'équation précédente, trouvons les conditions pour lesquelles le facteur de Hubble s'annule à un moment bien précis. Pour cela, on pose simplement formula_64. On a alors :
On a alors :
On multiplie par formula_67 :
Maintenant, étudions pour quelles valeurs de formula_69 cela peut se produire. On voit que cette équation n'a de sens que si formula_70, sans quoi le facteur d'échelle est soit nul, soit négatif.
On voit donc que trois scénarios sont possibles, suivant la courbure de l'univers :
À l'heure actuelle, il semblerait que la courbure soit nulle, ou tout du moins tellement faible qu'on peut la considérer comme nulle. Toutes les mesures, réalisées par les satellites WMAP et Planck donnent bien une valeur quasiment nulle, aux imprécisions expérimentales près. Les mesures les plus récentes, provenant du satellite Planck, nous disent qu'il y a 95% de chances pour que le paramètre de densité soit compris entre 1.0008 et −1.0029.

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