Il est intéressant de regarder quelle est la limite d'une somme de deux suites, ou de leur produit. Dans une telle condition, on peut dire si la limite de la somme converge ou diverge selon le comportement des deux suites. Pour les suites qui convergent, le résultat est plutôt simple : la limite de la somme est la somme des limites, idem pour le produit ou le quotient.. Pour deux suites formula_1 et formula_2 qui convergent respectivement vers formula_3 et formula_4, leur somme converge vers formula_5, leur différence vers formula_6, leur produit vers formula_7 et leur quotient vers formula_8. Le résultat pour les suites divergentes est assez compliqué, mais le résultat diverge dans la plupart des cas, sauf dans quelques cas où le résultat n'est pas connu qui portent le nom de formes indéterminées. Dans les tableaux qui suivent, ces formes indéterminées seront notées "F.I".
Les comparaisons entre suites.
Le résultat d'une comparaison entre deux suites n'est pas forcément conservée lors du passage à la limite. Tout dépend de la comparaison considérée. Précisément, il faut faire la différence entre les inégalités strictes, à savoir formula_9 et formula_10, et les inégalités non-strictes, à savoir formula_11, formula_12 et formula_13.
Le passage à la limite des inégalités strictes entre suites.
Le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes entre suites. Il suffit de considérer les deux suites suivantes pour ce convaincre du fait que le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes : 
Leur limite est 1 pourtant pour formula_15.
Comme autre exemple, on peut citer les deux suites formula_16 et formula_17. On a bien formula_18, mais ces deux suites ont la même limite (ici, 0).
Pour les inégalités strictes, on peut prouver les relations suivantes :
En clair, une inégalité stricte entre deux suites se transforme en une inégalité non-stricte lors du passage à la limite. Par contre, le sens de l'inégalité ne s'inverse pas. Si une suite est inférieure à une autre, impossible que sa limite soit supérieure (et réciproquement).
On peut démontrer les deux relations suivantes de la même manière. Dans ce qui suit, nous allons faire la démonstration pour formula_23.
Le passage à la limite des inégalités non-strictes entre suites.
Les inégalités larges (non-strictes) sont conservées lors du passage à la limite. On a alors :
Ces relations sont connues sous le nom de théorème de prolongement des inégalités larges (sous entendu, entre deux suites et lors d'un passage à la limite).
Ces trois relations peuvent se démontrer par un raisonnement par l'absurde assez simple.
Les résultats d'opérations sur les suites.
Voyons maintenant comment se comporte la limite lorsque l'on effectue une opération sur deux suites. Les résultats sont donnés pour des suites divergentes et convergentes notées formula_30 et formula_31.
Multiplication d'une suite par un réel.
Le résultat du produit d'une suite avec un réel est assez trivial à établir. Tout dépend si la suite diverge ou converge :
Par contre, il faut faire attention quand le réel formula_37 est négatif : le signe de la limite peut changer.
L'inverse d'une suite.
Prenons une suite formula_30 dont on connait la limite formula_39. On peut calculer la limite de l'inverse de cette suite formula_40, si elle existe. On peut se retrouver face à trois situations, selon que la limite tend vers zéro, tend vers un nombre fini non-nul, ou tend vers l'infini.
Somme et différence de deux suites.
Additionner deux suites donne des résultats assez différents selon les suites formula_1 et formula_2. En effet, l'addition de deux suites convergentes ne donnera pas le même résultat que l'addition de deux suites divergentes, ou qu'une suite divergente avec une convergente.
Le cas le plus simple est de loin l'addition de deux suites convergentes formula_1 et formula_2 qui convergent respectivement vers formula_3 et formula_4. Leur somme formula_47 converge vers formula_5 : la limite d'une somme est égale à la somme des limites
Ce principe est cependant remis en question quand une des deux suites formula_1 et formula_2 diverge : la somme des suites va elle aussi diverger. Dans le cas où une des suites formula_1 et formula_2 n'a pas de limite, alors la somme formula_47 ne peut pas avoir de limite. Le cas le plus simple à étudier est celui où la suite divergente tend vers formula_54 ou formula_55. Dans ce cas, la suite diverge aussi vers formula_36, à une exception près : celui où une des suite tend vers formula_54 et l'autre vers formula_55. Dans ce dernier cas, on ne sait pas si les deux infinis se compensent (donnant un zéro), ou si l'un des deux infini l'emporte sur l'autre. Le résultat de la somme ne peut donc pas être connu avec certitude, tout du moins sans techniques particulières : c'est une forme indéterminée.
Produit de deux suites.
Maintenant, étudions la limite du produit de deux suites.
Si les deux suites convergent, alors leur produit converge lui aussi.
Si une des deux suites diverge, on a droit soit à un résultat indéterminé, soit à une suite divergente. Quand on multiplie deux suites qui divergent, la suite résultat diverge elle aussi. Même chose quand une suite divergente est multipliée avec une suite convergente dont la limite est non-nulle. Mais les problèmes surviennent quand une des deux suites converge vers zéro. Dans ce cas, on ne sait pas si c'est le zéro ou l'infini qui l'emporte. Le résultat est alors ce qu'on appelle une forme indéterminée. Nous reparlerons de ces formes indéterminée plus bas, mais pour résumer : la suite peut converger ou diverger suivant le cas étudié. Le résultat exact peut se calculer, mais cela demande de reformuler le quotient d'une manière ou d'une autre.
N'oublions pas que les limites/infinis peuvent avoir un signe, ce qui se transmet par la multiplication et le passage à la limite. En tenant compte des signes des limites et des infinis, le tableau précédent devient :
Quotient de deux suites.
Le quotient de deux suites est un peu plus compliqué que le produit de deux suites. Pour le calculer, on prend en compte le fait que formula_63. On peut donc appliquer les formules sur la limite d'un produit de suite, ce qui donne :
Il y a trois possibilités pour le calcul de l'inverse, suivant que la suite inversée tend vers zéro, une limite finie non-nulle ou l'infini (vers formula_65, vers 0 ou vers formula_36. 
Pour résumer, on fait donc face à neuf cas différents, du moins si on ne tient pas compte des signes.
En tant compte des signes, le tableau précédent devient :
Les formes indéterminées.
Les formes indéterminées surviennent quand on se retrouve devant un calcul impossible en tentant de calculer le produit ou la somme de deux limites. Par exemple, vous pouvez essayer de diviser deux suites qui divergent : vous vous retrouvez à diviser l'infini par lui-même. Le résultat est alors indéterminé et la suite quotient peut aussi bien diverger que converger ! Voici les sept formes indéterminées possibles :
Lever l'indétermination.
Le seul moyen de trouver la vraie valeur d'une forme indéterminée est de reformuler le calcul, en utilisant des techniques spéciales comme le changement de variable. Pour donner un exemple simple, nous allons prendre l'exemple de la suite définie par :
Les deux suites : formula_71 et : formula_72 divergent toutes les deux, ce qui fait que la limite est la suivante :
Une solution pour lever l'indétermination est de simplifier la fraction initiale :
On voit alors immédiatement que la suite converge vers :

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Photographie/Personnalités/T/William James Topley