Une vis d'assemblage sert à effectuer un serrage, également appelé « flux bouclé » ; du fait de cet effort de serrage, plusieurs sollicitations apparaissent dans le système vis-écrou. La forme de la vis et le filetage apportent de plus des concentrations de contraintes. Ainsi on doit prendre en compte le risque de ruine de la vis, qui peut soit casser ou simplement se déformer.
Notons que les vis sont utilisées dans d'autres cas que pour l'assemblage. Ces situations ne sont pas étudiées dans le présent chapitre, mais le tableau ci-dessous présente quelques aspects à prendre en compte.
Voir aussi le dossier "Déformation élastique".
Caractéristiques géométriques des vis.
Vis métal, profil ISO
Vocabulaire :
Prétension et couple de serrage.
Lors de la mise en place d'une vis d'assemblage, il est primordial d'appliquer une prétension adaptée. Cette prétension permet de tenir les éléments en contact, et de compenser les efforts additionnels éventuels dus à des chocs, des vibrations, la pression, les sources de dilatation ou contraction — variations thermiques ou hygrométriques —, …
Pour les utilisations courantes, cela a peu d'importance. Mais lorsqu'il s'agit d'un assemblage étanche ou de sécurité, il faut maîtriser l'effort appliqué :
La manière la plus simple d'avoir une prétension adaptée est de maîtriser le couple exercé sur la vis ou l'écrou : le couple de serrage. L'utilisation d'une est alors recommandée pour garantir la qualité du serrage.
Cependant, si cette méthode est simple à mettre en œuvre, on constate dans la pratique une grande dispersion dans la prétension réellement appliquée. Lorsque l'on désire maîtriser de manière plus précise la prétension, par exemple dans l'industrie nucléaire, on peut utiliser les méthodes suivantes :
Dans les trois cas, on élimine l'indétermination due à la dispersion des facteurs de frottement. Cependant, pour les deux premiers cas, cela nécessite d'estimer la partie de l'effort qui sert à déformer élastiquement les pièces à lier. 
En pratique, pour des vis « métal » à filetage ISO, les règles de bonne pratique généralement admises sont :
Les fabricants donnent des tables d'application pour les vis et raccords les plus courants. Il s'agit cependant de la valeur limite à adopter avant endommagement de la vis. Il faut s'assurer que cela est supportable pour les éléments assemblés. Ce moyen est rapide et suffit dans la plupart des cas. Il faut bien prendre en compte l'état de surface et de lubrification du couple vis-écrou.
Pour certaines applications, comme par exemple le serrage d'une culasse de , il faut établir le serrage par paliers, souvent deux : un préserrage puis une mise définitive au couple.
Notons que pour des goujons, les longueurs d'engagement sont de 1,5 × "d" pour un matériau dur et 2 × "d" pour un matériau tendre.
Méthodes conventionnelles de détermination du couple de serrage.
Formule de Kellermann et Klein.
Kellermann et Klein ont établi des formules semi-empirique qui relient le couple de serrage C à la précontrainte Ft dans une vis, et qui ont servi de base à différentes normes :
avec 
Notons que ces formes sont "grosso modo" équivalentes :
Dans leur publication, Kellermann et Klein proposent de compenser l'élimination du membre 1,154·µt·P/"d"2 par une augmentation de 1 % des coefficients 1,154 et 0,578, ce qui donne les coefficients 1,161 et 0,583.
Du développement de la publication de Kellermann et Klein, on peut extraire une forme plus fondamentale :
où K est défini par :
avec
On obtient ainsi la forme de Motosh :
Cette formule plus fondamentale permet par exemple d'évaluer l'intérêt d'utiliser un filet trapézoïdal standard (θ = ) ou même un filet carré (θ = 0) : une application numérique montre que diminuer l'angle θ permet, par exemple, de diminuer le couple nécessaire pour créer un effort axial souhaité.
Notons que l'on peut aussi exprimer la formule dans l'autre sens :
Détermination simplifiée.
Aux États-Unis, les ingénieurs utilisent souvent une relation simplifiée entre le couple de serrage et la prétension :
ou K est le « facteur d'écrou » "(nut factor)" et D le diamètre de l'écrou. Le facteur K est établi par des essais. Cette approximation considère que le facteur K est indépendant du diamètre, et que l'on peut assimiler tous les diamètres (diamètre sur flanc, diamètre intérieur de l'écrou, …) au diamètre nominal. Une valeur donnée de K n'est valable que pour une gamme restreinte de vis ; K varie de l'ordre de 300 % si l'on considère toute la gamme de vis.
Dans des cas simples, on peut appliquer la méthode suivante.
Lors de la mise en tension de la vis, trois éléments constituent le couple de serrage :
Nous ne tiendrons pas compte de la torsion de la partie filetée non en prise, de l'étirement différentiel le long du filetage en prise, …
Formules : 
avec :
Méthode VDI 2230.
Choix de la vis.
La recommandation VDI 2230 de l'Association des ingénieurs allemands "(Verein Deutscher Ingenieure)" utilise un tableau. La détermination se fait en quatre étapes :
Par exemple, un serrage doit empêcher deux plaques de glisser tangentiellement, sous un effort constant de :
On remarque que, dans ce tableau, les charges suivent une suite géométrique de raison 1,6. Lorsque l'on descend d'une ligne, on ajoute donc 60 % à la valeur. La méthode VDI 2230 revient à estimer que :
Coefficient de serrage.
D'après la formule de Kellermann et Klein, on voit que, pour un montage donné — triplet {diamètre, matériaux, lubrification} —, le couple de serrage et la précontrainte sont proportionnels ; graphiquement, la courbe représentative de Ft = ƒ(C) est une droite passant par 0. Le coefficient de proportionnalité — la pente de la droite — est appelé facteur de conversion X,
et ce facteur dépend du pas P, des diamètres de la vis (diamètre sur flanc "d"2, diamètre moyen sous tête "d"h) et des coefficients de frottement μh et μt.
Les plus grandes sources d'erreur sont la valeur des coefficients de frottement et l'erreur de l'estimation du couple (erreur de mesure). Il faut donc majorer le couple visé, afin d'être sûr d'avoir le couple minimal requis, et donc la prétention minimale requise. On multiplie pour cela la valeur minimale par un coefficient de serrage αA, qui varie typiquement entre
Pour un serrage au couple avec une clef dynamométrique, on a typiquement un coefficient entre 1,6 et 2,5.
On peut diminuer ce coefficient en effectuant des essais pour déterminer avec précision le rapport entre la valeur mesurée du couple de serrage et la valeur réelle de la précontrainte.
Détermination du couple de serrage admissible.
La recommandation VDI 2230 donne des valeurs maximales admissibles pour les couple de serrage et prétension, sous forme de tableaux semblables aux tableaux précédents (voir les tableaux "Couples de serrage maximum admissibles (Nm)" et "Efforts presseurs maximum admissibles (N)"). On se place à 90 % de la limite élastique (0,9×Rp 0,2) : le fait d'utiliser un coefficient de serrage permet de prendre une marge de sécurité plus réduite sur la valeur de la limite élastique.
Par ailleurs, le tableau distingue différents coefficients d'adhérence, pour des états de surface, traitements de surface et lubrification différents, mais estime que μh = μt. Il fournit également les facteurs de conversion X, ce qui permet de calculer facilement les couples de serrage minimum en fonction de la prétension.
Étude mécanique.
L'assemblage vissé est un problème complexe, mais les éléments de base pour l'aborder sont relativement simples :
Fonction de la vis.
Le calcul doit se faire en fonction d'un cahier des charges ; il s'agit de faire un choix ou de valider une solution — une vis — en fonction de son utilisation.
La vis d'assemblage sert à effectuer un serrage, c'est-à-dire à maintenir deux pièces en position par adhérence. Nous excluons le cas des vis épaulées, qui assurent aussi une mise en position, voire servent d'axe de rotation, et l'utilisation des vis en aménagement d'intérieur (suspension d'objets).
Du point de vue de l'utilisateur, l'important est la force normale entre les pièces à lier, force exercée par l'ensemble vis/trou taraudé ou vis/écrou (boulon), notée Ft. Du point de vue du monteur, l'important est la force à laquelle il doit serrer : le couple de serrage, noté C. Tout ceci doit être déterminé par le concepteur, qui choisit une vis en fonction de sa résistance mécanique.
Maintien en position par adhérence.
Le maintien en position (MaP) par adhérence consiste à presser deux pièces l'une contre l'autre. Cet effort presseur est ici créé par une vis (et en général relayé par une rondelle).
Considérons une pièce liée à un support (pièce du bas dans le schéma ci-contre). La pièce est soumise à une action extérieure représentée par la force formula_11. La vis exerce un effort presseur formula_12. Le support exerce une action formula_13 sur la pièce. La condition d'adhérence — de non-glissement de la pièce sur le support — peut s'exprimer de deux manières :
avec la relation
Les coefficients μa et φa dépendent essentiellement de la nature des matériaux en contact et de l'état de lubrification.
L'action extérieure F1 est le « cahier des charges » : la liaison doit supporter un effort donné. Il faut donc choisir l'effort presseur F2 adapté. Dans le cas présent, la détermination est simple :
Mais cet effort presseur est la plupart du temps assuré par plusieurs vis ; il faut donc savoir comment se répartit cet effort.
Si le système est symétrique, on peut faire dans un premier temps l'hypothèse que l'effort est uniformément réparti : si l'on prévoit d'implanter "n" vis, alors chaque vis doit exercer un effort
Si la pièce subit un moment de basculement (par exemple est en porte-à-faux), on peut supposer que l'effort varie de manière linéaire, et l'on dimensionne donc pour la vis la plus sollicitée. Dans les cas plus complexes, il faut avoir recours à un calcul par éléments finis ; on peut par exemple modéliser les vis par de simples poutres (éléments linéïques) pour connaître la sollicitation de chacune.
Géométrie de la vis.
Le filetage et le taraudage ont des formes hélicoïdales. Si l'on considère une hélice d'axe vertical de diamètre "d"2 et de pas "p", l'angle que fait la tangente avec l'horizontale vaut :
Si l'angle est faible, ce qui est le cas pour les vis, alors on a en radians
Le diamètre "d"2 à prendre en compte est le « diamètre sur flanc », c'est-à-dire celui de la « fibre neutre ». Dans le cas du profil métrique ISO, le profil du filet est "grosso modo" un triangle équilatéral, le rapport entre le pas "p" et la hauteur H du profil est donc de √3/2, soit H ≈ ×"p". On laisse H de jeu entre la pointe extérieure du profil et l'extrémité réelle du filet de la vis, soit
où "d" est le diamètre nominal de la vis (diamètre extérieur du filet de la vis).
Dans le cas d'un filetage ISO à pas gros (pas par défaut), on a donc un angle d'hélice compris entre 2,28 et , et un rapport "p"/"d" compris entre 12,5 et 17,5 % du diamètre nominal, soit un rapport H/"d" compris entre 10,8 et 15,2 %.
Résistance de l'assemblage vissé.
L'assemblage vissé présente quatre modes de ruine (voir figure ci-contre) :
Résistance à l'arrachement des filets.
Dans un premier temps, on peut évaluer le risque d'arrachement des filets.
Lorsque la charge augmente, les filets se déforment plastiquement, et la rupture est constatée sur tous les filets simultanément. On prend donc en compte la totalité de la longueur engagée de la vis dans le taraudage :
En considérant que la surface cisaillée est un cylindre « ajouré » :
Si la vis est en prise sur une longueur "l"e (longueur engagée), alors les surfaces résistantes des filets ont pour aire :
On peut donner une expression plus générale :
"l"e/"p" est donc le nombre de tours d'engagement. Pour un filetage ISO, θ = .
On voit que
La résistance au cisaillement de la matière est appelée Reg. La force ultime que l'on peut appliquer vaut alors
avec
le coefficient "k" est un coefficient de sécurité, pris habituellement égal à 0,9 ou à 0,75.
De manière générale :
Dans la pratique, on détermine plutôt la longueur d'implantation "l"e minimale, le nombre de filet minimum qu'il faut engager, pour une force de traction Ft. Plus la vis est implantée, plus la surface cisaillée augmente. On a à la limite :
soit
Résistance à la traction de la vis.
Une vis présente une section variant de manière brusque. On ne peut donc pas la modéliser par une poutre au sens strict. On définit cependant de manière conventionnelle un cylindre lisse ayant la même résistance. Son diamètre est appelé "d"0, et il est défini, pour le profil ISO, par
avec
soit
Cela permet de définir une section équivalente de résistance en traction :
La force ultime à laquelle la vis peut résister en traction est donnée par
où Re est la limite d'élasticité et "k" est un coefficient de sécurité.
Dans le cas de vis en acier non-inoxydable, la résistance de l'acier est donnée par une « classe », typiquement « 4.6 », « 8.8 » ou « 10.9 ». Le premier nombre indique la résistance à la traction Rm en centaine de mégapascals et le second nombre indique la proportion que représente la limite d'élasticité Re en dizaine de pourcent ; ainsi, un acier de « classe 4.6 » a un Rm = et un Re valant 60 % du Rm, soit Re = 0,6 × 400 = .
Longueur d'implantation minimale.
Comme indiqué précédemment, plus la longueur d'implantation est importante, plus la résistance au cisaillement du filet est importante. À partir d'une certaine longueur, les filets sont plus résistants que le noyau de la vis, c'est systématiquement la vis qui casse en traction.
On peut estimer cette longueur en introduisant la force ultime en traction dans la formule de la longueur résistant au cisaillement :
soit
En faisant les approximations "d"0 ≈ "d" et Re v/Reg "i" ≈ 2 (vis et taraudage en acier doux, par exemple boulon de classe 4), on a
En supposant une vis de classe 8.8 (Re v/Reg v = 1,25) et un taraudage dans un alliage d'aluminium 2017 (Re v/Reg e = 5,333) :
Ceci justifie les règles empiriques "l"e ≥ "d" ou 1,5"d".
Matage sous tête.
Si l'on serre directement avec la vis ou l'écrou sur le plat de la pièce, la surface de contact a la forme d'un anneau. Le diamètre intérieur "d"i de cet anneau est le diamètre de perçage "d"1, et le diamètre extérieur "d"e est donné par la forme de la tête de vis. L'aire de cette surface sous tête vaut :
La pression de contact vaut donc :
La pression admissible dépend du matériau, mais il est difficile d'avoir des données. Pour les aciers de construction, on retient en général Padm = . Guillot propose lui des valeurs bien plus élevées (« avec une bonne sécurité ») :
avec
pour les matériaux isotropes (la plupart des métaux non frittés, excepté les fontes), on prend Rec ≈ Rp0,2 et Rmc ≈ Rm.
Outre la détérioration de la pièce, le matage diminue la précontrainte, le serrage. Pour éviter ce phénomène, on réduit la pression de matage en utilisant des rondelles. Ceci est particulièrement important lorsque l'on utilise des qualités de vis élevées — donc pour des couples de serrage important — avec des matériaux de construction standard (aciers S235, S355, inox, alliages d'aluminium, …).
Relation entre la force de traction et le couple de serrage.
Adhérence sur le filet.
Localement, la situation de la vis qui tourne dans le taraudage est semblable à un solide glissant sur un plan incliné. On appelle formula_30 la force d'action locale du taraudage sur la vis.
On se place à un endroit du filet et on définit un repère cylindrique local, l'hélice étant inscrite dans le cylindre : l'axe "x" est radial, l'axe "y" est tangentiel et l'axe "z" est l'axe du cylindre. Si l'on développe l'hélice, le plan développé est le plan ("y", "z" ). 
Il n'y a pas de glissement « radial » (dans le plan ("z", "x" )), donc la force est dans un plan incliné de l'angle θ = , l'angle du profil du filet, par rapport à "z". À la limite du glissement, l'action de contact du taraudage sur la vis se situe sur le cône d'adhérence, donc fait un angle φ avec la normale au plan de glissement ; on a :
où μ est le coefficient d'adhérence.
Pour un contact acier-acier, on a typiquement μ = 0,18 (non lubrifié) ou 0,12 (lubrifié), donc φ = (non lubrifié) ou (lubrifié). Mais les coefficients présentent une grande variabilité : selon le traitement de surface (en général traitement anti-corrosion), la lubrification, mais aussi une grande dispersion pour des conditions données.
La force peut ensuite se décomposer en :
On se place au milieu du filet, donc au diamètre sur flanc "d"2. On a donc :
Le moment de la force par rapport à l'axe vaut
Ce moment M1 est une composante du couple de serrage. On peut éliminer F pour mettre en relation Ft et M1 (en scalaire) :
soit, en prenant α = , θ = et φ = (filetage ISO, pas gros, acier sur acier), en valeur absolue :
ou
On a la relation trigonométrique suivante :
avec tan α = "p"/(π"d"2) et tan φ = μ. Par ailleurs, comme φ < 10° et α ≤ 2,28°, on a tan(α)tan(φ) < 0,008 qui est négligeable devant 1, soit
et donc :
Le signe est positif au vissage et négatif au dévissage. Pour le vissage avec un filetage ISO, on a donc :
Exemple
Considérons une vis M10 à pas gros p = 1,5 mm = 0,0015 m, avec un contact acier sur acier lubrifié μ = 0,12. On a "d"2 ≈ "d" = = , soit au serrage :
(Ft en N, M1 en Nm).
Adhérence de la tête de vis ou de l'écrou sur le plat ou le fraisage.
Lors du serrage ou du desserrage, la partie que l'on manipule — tête de vis dans le cas d'un système vis/trou taraudé, tête de vis ou écrou dans le cas d'un boulon — frotte sur la partie plate de la pièce (ou sur la rondelle ou le joint), ou bien sur le fraisage (vis à tête fraisée). Nous prenons ici le cas d'un écrou.
Isolons l'écrou. La vis exerce une action dont la résultante est la force Ft. Il se crée donc une résistance au pivotement. Cette résistance se traduit par un couple résistant de moment M2 :
où
Si la surface est un disque évidé de rayon intérieur "r"int et de rayon extérieur "r"ext — par exemple vis à tête cylindrique, vis à tête hexagonale (il y a une collerette, portée circulaire située sous la tête), écrou hexagonal (il a des « bords relevés » donc une surface de contact circulaire), écrou à embase tronconique, écrou serré à la main (papillon, moleté, à croisillon) —, on a :
On voit apparaître un facteur de forme (qui prend en compte l'aire et le moment d'ordre 1) "r"t, sorte de « rayon moyen sous tête » :
On a
Pour calculer le moment d'ordre 1, on commence par intégrer sur un anneau compris entre les rayons "r" et "r" + d"r", son aire vaut :
et donc
Donc :
formula_40.
Pour les diamètres extérieurs des têtes de vis et des écrous, voir la section "Matage sous tête".
Dans le cas d'une vis ou d'un boulon, la largeur de la surface d'appui est faible devant son rayon, on a "r"ext/"r"int ≈ 1, on peut donc faire l'approximation
=\ & \frac{2(r_\mathrm{ext} + r_\mathrm{int})}{3} \frac{r_\mathrm{ext}^2 + 2r_\mathrm{ext}r_\mathrm{int} + r_\mathrm{int}^2 - r_\mathrm{ext}r_\mathrm{int}}{(r_\mathrm{ext} + r_\mathrm{int})^2} \\
=\ & \frac{2(r_\mathrm{ext} + r_\mathrm{int})}{3} \left ( 1 - \frac{r_\mathrm{ext}r_\mathrm{int}}{r_\mathrm{ext}^2 + 2r_\mathrm{ext}r_\mathrm{int} + r_\mathrm{int}^2} \right ) \\
=\ & \frac{2(r_\mathrm{ext} + r_\mathrm{int})}{3} \left ( 1 - \frac{1}{\frac{r_\mathrm{ext}}{r_\mathrm{int}} + 2 + \frac{r_\mathrm{int}}{r_\mathrm{ext}}} \right ) \\
\end{align}
Comme "r"ext ≈ "r"int, on a
Pour une tête hexagonale et un passage de vis de "d" + , on a "r"t ≈ 0,64×"d". Cette formule n'est valable que pour une forme de tête et un jeu de passage.
Si la surface est un tronc de cône de demi-angle au sommet α' — vis à tête fraisée (tête normalisée à α' = ) —
et donc
Exemple
Considérons un écrou M10, avec un contact acier sur acier lubrifié, soit μ = 0,12. Le diamètre de la collerette sous tête vaut , c'est aussi le diamètre du cercle inscrit dans l'hexagone ; donc "r"ext = 14,6/2 = . Admettons que la rondelle d'appui ait un diamètre intérieur de : on a "r"int = 12/2 = .
Nous avons donc :
(Ft en N, M2 en Nm).
Relation complète.
Le couple de serrage est la somme des moment calculés ci-dessus :
soit dans le cas d'une vis à filetage ISO à pas gros :
et à l'inverse
Dans le cas de notre vis M10 :
(Ft en N, C en Nm). On voit que l'adhérence du filet représente 99 % du couple de serrage, et l'adhérence sous la tête représente 1 % de ce couple.
Résistance mécanique.
Contrainte dans le filet.
Le contact se faisant au niveau des dents celles-ci doivent supporter une contrainte qui peut être calculée.
Cisaillement.
Il faut tenir compte des forces intérieures de cisaillement à la base de la tête de vis. Il est de bon ton de considérer les forces correspondant à la répartition des contraintes dans un cylindre de diamètre égal au diamètre à flanc de filet.
Bien que la vis ne doit pas avoir de contrainte de cisaillement, dans un assemblage la valeur de celle-ci est de 0,6 de la valeur de la rupture.
(Dans un assemblage, des goupilles doivent être installées en cas de contrainte de cisaillement).
Cas du bois.
Les vis à bois n'ayant pas un filetage suffisant pour travailler en traction, elles sont donc conçues pour travailler en cisaillement. 
Pour un assemblage en bois vissé travaillant en traction, il faut utiliser :