Théorie quantique de l'observation/Théorie générale de la mesure quantique

La théorie des mesures idéales, initialement proposée par von Neumann, n'est pas pleinement satisfaisante, pour plusieurs raisons :
a) Elle suppose qu'il existe une base d'états propres du système observé. Ces états produisent des résultats certains et ne sont pas perturbés par la mesure. Mais en général des états qui produisent des résultats certains n'existent pas. Les détecteurs ne sont pas parfaits. Leurs taux de détection ne sont presque jamais égaux à 100%. Même lorsque des états propres existent, rien n'interdit qu'ils soient perturbés par la mesure. La porte SWAP en fournit un exemple. Il est aussi possible que le système observé soit détruit lors de la mesure. Par exemple, la plupart des photodétecteurs absorbent les photons qu'ils détectent.
b) Pour qu'il y ait une mesure idéale, il faut que le détecteur soit toujours initialement dans le même état formula_1. Mais en général l'état initial du détecteur n'est pas connu avec exactitude. Il faut également que l'état final formula_2 soit exactement déterminé. Mais en général un tel état final n'est pas, lui non plus, connu exactement.
Les opérateurs de mesure répondent aux objections a. Les super-opérateurs de mesure répondent aux objections b.
Les opérateurs de mesure.
Les formula_2 sont la base orthonormée des états pointeurs de l'appareil de mesure.
Les formula_4 sont une base orthonormée quelconque des états du système observé.
formula_5 est l'opérateur d'évolution qui décrit le processus de mesure.
Si formula_6 est l'état initial du système observé, l'état final est :
formula_7
Les opérateurs de mesure formula_8 sont définis par :
formula_9
Ces opérateurs sont déterminés à partir de formula_5. Ils sont linéaires parce que formula_5 est linéaire. 
La probabilité que le résultat formula_12 soit obtenu est 
formula_13. C'est une généralisation de la règle de Born.
L'état du système observé après la mesure de formula_12 est 
formula_15 avec des probabilités formula_16 pour toutes les valeurs de formula_17 et formula_18. Il est donc représenté par l'opérateur densité :
formula_19
L'opérateur densité formula_20 du système observé est donc :
formula_21
La sélection des états pointeurs et la pression de l'environnement.
La physique quantique n'impose a priori aucune base d'états particulière à l'espace de Hilbert d'un système matériel. N'importe quelle base peut faire l'affaire. Il n'y a pas d'états fondamentaux à partir desquels les autres seraient obtenus par superposition. En particulier formula_22 et formula_23 sont tout autant des états de superposition que formula_24 et formula_25, puisque formula_26 et formula_27.
Le formalisme des opérateurs et des superopérateurs de mesure n'impose a priori aucune base d'états pointeurs. Pour n'importe quelle base formula_2 des états de l'appareil de mesure, et n'importe quel état initial formula_1, on peut définir les opérateurs de mesure formula_8. Pour n'importe quelle décomposition de formula_31 en sous-espaces formula_32 mutuellement orthogonaux et n'importe quel opérateur densité qui représenter un état initial, on peut définir les super-opérateurs de mesure formula_8.
Mais une superposition de résultats de mesure n'est pas un résultat de mesure. Qu'est-ce qui nous oblige à choisir une base d'états pointeurs plutôt qu'une autre, obtenue avec des superpositions des précédents ? (Zurek 1981) 
Si les appareils de mesure sont macroscopiques, le choix des états pointeurs, ou des sous-espaces pointeurs, s'impose naturellement, parce que les états macroscopiques non-localisés sont très fragiles (cf. 4.20), et en général inobservables. Pour qu'une mesure fournisse un résultat défini, il faut que ce résultat ait une durée minimale, au moins le temps nécessaire pour l'enregistrer, sur un disque dur, une feuille de papier, ou simplement notre mémoire. Si le résultat de mesure est détruit dès qu'il est obtenu, sans avoir été enregistré, il n'est pas un résultat. C'est pourquoi les états pointeurs des appareils macroscopiques sont toujours ou presque des états localisés, et que les sous-espaces pointeurs ne contiennent que des états localisés. On n'a pas d'autre choix, sauf si la décohérence par l'environnement est suffisamment faible pour que l'observation d'états macroscopiques non-localisés soit possible.
Les états pointeurs des sondes microscopiques.
Un photon, et plus généralement n'importe quelle particule ou molécule, peut-être considérée comme un appareil de mesure, une sonde microscopique. Dans ce cas la décohérence par l'environnement n'agit pas, ou peu. Quelle est alors la base d'états pointeurs ? Elle peut être a priori quelconque. Il suffit que ces états pointeurs soient observables, qu'ils soient eux-mêmes des états pointés par un autre appareil de mesure, pour qu'une sonde microscopique fonctionne comme un instrument d'observation. Il y a cependant un critère qui suffit parfois pour sélectionner la bonne base d'états pointeurs : on veut que l'état du système observateur nous apporte un maximum d'information sur le système observé.
Par exemple, dans une porte CNOT, si on veut que le qubit cible nous renseigne au mieux sur le qubit de contrôle, la base {formula_34} s'impose. Il faut aussi choisir formula_22 ou formula_23 comme état initial du qubit cible. Tout autre choix de base d'états pointeurs ou d'état de préparation de la sonde empêcherait le qubit cible de réaliser une mesure idéale. En particulier, si on choisit comme base d'états pointeurs {formula_37} alors le qubit cible ne peut apporter aucune information sur le qubit de contrôle.
De façon générale lorsqu'une interaction rend possible une mesure idéale, il y a une seule base d'états pointeurs pour laquelle la mesure est idéale. Tout autre choix de base d'états pointeurs nuirait à l'observation en l'empêchant d'être idéale.
L'interaction entre le système observé et l'appareil de mesure suffit donc parfois pour sélectionner une base préférée d'états pointeurs. Mais ce n'est pas toujours le cas. Pour une interaction SWAP, n'importe quel choix de base d'états pointeurs est a priori aussi bon que n'importe quel autre. 
Une double-contrainte pour la conception des instruments d'observation.
Comme tous les êtres matériels interagissent avec d'autres êtres matériels, ils peuvent tous être considérés comme des instruments d'observation, et utilisés à cette fin. Mais lorsque nous concevons des instruments de mesure, nous voulons optimiser leur fonctionnement. Deux contraintes nous guident alors : il faut bien sûr que l'instrument d'observation recueille au mieux l'information souhaitée sur le système observé, mais il faut aussi que l'information recueillie nous soit accessible, et que nous puissions l'enregistrer avant qu'elle soit effacée. L'interaction entre le système observé et l'instrument d'observation permet au second d'obtenir des informations sur le premier. L'accessibilité de l'information ainsi obtenue dépend de l'interaction entre l'instrument d'observation et son environnement. Ces deux contraintes ensemble déterminent le choix de la base des états pointeurs. Si elles ne peuvent pas être satisfaites simultanément alors on n'a pas de bon instrument d'observation.

Théorie quantique de l'observation/La forêt des destinées