Algèbre/Fonctions et applications
Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.
Applications.
Définition intuitive d'une application.
Définitions :
Une application, d'un ensemble "E" dans un ensemble "F" (ou de "E" vers "F") est une correspondance, qui à tout élément "x" de "E" associe un et un seul élément "y" de l'ensemble "F". "y" est appelé l'image de "x" par "f" et se note "f"("x"). "x" est un antécédent de "y" par "f".</br>"E" s'appelle l'ensemble de départ ou l'ensemble de définition de "f", et "F" l'ensemble d'arrivée.L'application "f" de "E" dans "F" se note
La partie "G" formée des couples de "E" × "F" de la forme ("x", f("x")) où "x" parcourt l'ensemble "E" s'appelle le graphe de "f". Nous avons donc formula_4
Une représentation graphique de "f" est une représentation du graphe de "f".
L'ensemble des applications de "E" dans "F" se note habituellement formula_5 ou formula_6 ou formula_7.Si "E"="F", l'ensemble des applications de "E" dans "E" se note plus simplement formula_8 ou formula_9 ou formula_10.
"Remarques :"
Définition (égalité des applications):
Deux applications formula_2 et formula_13 sont dites égales si les trois propriétés suivantes sont vérifiées
Application et relation.
Définitions :
Un graphe fonctionnel dans formula_14 est une partie formula_15 de formula_14 telle que pour tout formula_17, il existe au plus un élément formula_18 tel que formula_19.
Une fonction est un triplet formula_20, où formula_15 est un graphe fonctionnel dans formula_14.
Si formula_20 est une fonction, si formula_19, on note formula_25 pour formula_26. On dit alors que formula_27 est "un" antécédent de formula_26 par formula_29, et que formula_26 est l'image de formula_27 par formula_29. 
Une application est une fonction telle que tout formula_17 admet une image formula_34.
Exemples d'applications.
Définition :
Soit "E" un ensemble quelconque. L'application identité de "E" (ou application identique de "E") est l'application de "E" dans "E", notée formula_35, définie par
Définition :
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. Une application "f" de "E" dans "F" est dite constante s'il existe un élément "a" de "F", tel que pour tout "x" de "E", on ait "f"("x")="a", c'est-à-dire si 
Exemples :
Définition :
Soit "A" une partie d'un ensemble quelconque "E". Nous appelons application caractéristique de "A" (ou fonction indicatrice de "A"), l'application de "E" dans {0, 1} notée formula_40 ou définie par
Prolongements et restrictions.
À partir d'une application donnée, nous pouvons créer d'autres applications en remplaçant simplement l'ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.
Restriction d'une application.
Définition :
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques et "f" une application de "E" dans "F". Soit "E"' une partie de "E". Nous appelons la restriction de "f" à "E"', l'application "g" de "E"' dans "F" qui à tout "x" de "E"' associe "f"("x") i.e. telle que
Cette application "g" est habituellement notée formula_43 (|"n"| désigne la valeur absolue de "n")
Proposition :
Soit "E" un ensemble quelconque, "f" et "g" deux applications de formula_44 et "n" un entier relatif. Les applications "f"+"g", "f"."g" et "n"."f" définies par
appartiennent à formula_44.
Théorème :
Soit "E" un ensemble quelconque. L'application formula_49 qui à une partie "A" de "E" associe l'application caractéristique de "A" est bijective de formula_50 dans formula_51.
Corollaire :
Deux parties "A" et "B" de "E" sont égales si et seulement si leurs applications caractéristiques sont égales.
Propriétés :
Soient "A" et "B" deux parties d'une ensemble quelconque "E". Nous avons les égalités suivantes :

Analyse
Ces pages ont pour but de présenter à des étudiants du niveau du baccalauréat l'analyse, une branche des mathématiques.
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Table des matières.
Introduction.
L'analyse c'est l'étude des fonctions des équations des applications et de leur proprietes. Mais c'est principalement l’étude des fonctions.

Analyse/Introduction
Qu'est-que l'analyse?
L'analyse est une branche des mathématiques étudiant principalement les fonctions.
Prenons l'exemple d'une voiture équipée d'un chronotachygraphe.
Enregistrant sur un disque, à intervalles réguliers, les positions et la vitesse de déplacement de la voiture, ce compteur est utilisé aux fins de gestion d'une entreprise de transport.
Nous étudions l'enregistrement obtenu au bureau, mais cette fois l'appareil n'a pas bien fonctionné, et il manque le relevé des positions.
Dans ce cas, l'analyse de la vitesse du véhicule nous sera utile.
Si la voiture roulait à une vitesse constante, alors déterminer la position de la voiture à partir de la vitesse serait un simple problème algébrique.
Cependant, tous les automobilistes ne roulent pas à vitesse constante, et la vitesse peut changer instantanément.
L'algèbre ordinaire ne permet pas de répondre à la question, tandis que l'analyse le permet.
En effet, nous pouvons utiliser une fonction qui indique la position de la voiture au cours du temps, et une fonction qui renseigne sur la vitesse de la voiture à chaque instant. Posons nous la question suivante :
Il y a deux ramifications importantes de l'analyse, le calcul différentiel et le calcul intégral. 
Le calcul différentiel se propose de trouver des pentes de courbes représentatives des fonctions.
Il s'agit de caractériser ces pentes en calculant une fonction dite "dérivée".
Notamment étudiées par Newton et Leibnitz au 18ème siècle, les fonctions dérivées ont été utilisées bien plus tôt en Asie.
Dans le cas où l'enregistrement de la vitesse ait été défectueux, nous aurions pu découvrir la vitesse "instantanée" du véhicule (enregistrée à l'instant t) en étudiant l'évolution de ses positions.
En revanche, schématiquement, le calcul intégral procède dans l'autre direction : de la vitesse à la position de la voiture de notre exemple.
Il permet, en étudiant les variations de vitesse, de connaître l'évolution de la distance parcourue - c'est à dire de connaître les différentes positions de la voiture au cours du temps.
C'est ainsi que le calcul intégral permet, et c'est un rôle fondamental, de mesurer des grandeurs indirectement (la distance parcourue, dans notre exemple).