Le déterminant du système en language C : 
 |1 1 1 1|
 |x1 y1 z1 1| = 0
 |x2 y2 z2 1| 
 |x3 y3 z3 1|
 Pour calculer les coéficients de l'équation 
 du plan on utilise le développement sur la 
 première ligne en calculant les cofacteurs.
 cof(R1,C1) x + cof(R1,C2) y + cof(R1,C3) Z + cof(R1,C4) = 0
 Cette équation nous donnes l'équation du 
 plan qui passe par les trois points P Q et R.
Deux exemples :

Mathc matrices/h25b
Application
Installer ce fichier dans votre répertoire de travail.
/* Save as : d.h */
void verify_eq_plan_mR(
double **A,
double x,
double y,
double z
double p = cofactor_R(A,R1,C1)*(x)
 + cofactor_R(A,R1,C2)*(y)
 + cofactor_R(A,R1,C3)*(z)
 + cofactor_R(A,R1,C4);
 printf(" With x=%+.0f y=%+.0f z=%+.0f eq=%+.5f\n",
 x,y,z,p); 
/* ------------------------------------ */
double ** m_plan_A_mR(
double **At,
double **A
int ra;
int r;
int c;
 for(c=C1;c<A[C_SIZE][C0];c++)A[R1][c]=1.; /* First line */
 for(r=R2,ra=R1; r<A[R_SIZE][C0]; r++,ra++)
 c=C1; A[r][c]= At[ra][C1]; /* x^1 */
 c++; A[r][c]= At[ra][C2]; /* y^1 */
 c++; A[r][c]= At[ra][C3]; /* z^1 */
 c++; A[r][c]= 1.; /* x^0*y^0*z^0 */

return(A);
/* ------------------------------------ */ 
void p_Det_mR(
double **A,
int e,
int d
 int r;
 int c;
 for(r=R2;r<A[R_SIZE][C0];r++)
 printf("\n");
 for (c=C1;c<A[C_SIZE][C0];c++)
 printf("%+*.*f",e,d,A[r][c]);
 printf("\n\n");
/* ------------------------------------ */
 Déclaration des fichiers h.

Mathc matrices/c25b1
Application
Installer et compiler ces fichiers dans votre répertoire de travail.
/* ------------------------------------ */
/* Save as : c01.c */
int main(void)
double p[R3*C3] ={ 1, 1, 0, 
 2, 0, -1, 
 2, 9, 2};
double **Ap = ca_A_mR(p, i_mR(R3,C3));
double **A = m_plan_A_mR(Ap, i_mR(R4,C4));
int r;
 clrscrn();
 printf(" Theorem.\n\n");
 printf(" A homogeneous linear system with as many equations\n");
 printf(" as unknowns has a nontrivial solution if and only\n");
 printf(" if the determinant of the coefficient matrix is\n");
 printf(" zero.\n\n");
 printf(" Equation of a plane: \n\n");
 printf(" c1 x + c2 y + c3 z + c4 = 0\n\n"); 
 printf(" The same equation with the values of the three points:\n\n");
 for(r=R1;r<Ap[R_SIZE][C0];r++)
 printf(" c1 x%d + c2 y%d + c3 z%d + c4 = 0\n",r,r,r); 
 printf("\n The four equation:\n\n");
 printf(" c1 x + c2 y + c3 z + c4 = 0\n"); 
 for(r=R1;r<Ap[R_SIZE][C0];r++)
 printf(" c1 x%d + c2 y%d + c3 z%d + c4 = 0\n",r,r,r); 
 stop();
 clrscrn();
 printf(" The three points:\n\n");
 for(r=R1;r<Ap[R_SIZE][C0];r++)
 printf(" P%d(%+.0f,%+.0f,%+.0f)",
 r,Ap[r][C1],Ap[r][C2],Ap[r][C3]);
 printf("\n\n The determinant :\n "
 "(cofactor expansion along the first row)\n\n");
 printf(" x y z 1");
 p_Det_mR(A,6,0);
 printf(" The equation of the plane : \n\n");
 printf(" %+.0f x %+.0f y %+.0f z %+.0f = 0\n\n",
 cofactor_R(A,R1,C1),
 cofactor_R(A,R1,C2),
 cofactor_R(A,R1,C3),
 cofactor_R(A,R1,C4));
 printf(" Verify the result : \n\n"); 
 for(r=R1;r<Ap[R_SIZE][C0];r++)
 verify_eq_plan_mR(A, Ap[r][C1],
 Ap[r][C2],
 Ap[r][C3]);
 stop();
 f_mR(A);
 f_mR(Ap);
 return 0;
/* ------------------------------------ */

Exemple de sortie écran :
 Theorem.
 A homogeneous linear system with as many equations
 as unknowns has a nontrivial solution if and only
 if the determinant of the coefficient matrix is
 zero.
 Equation of a plane: 
 c1 x + c2 y + c3 z + c4 = 0
 The same equation with the values of the three points:
 c1 x1 + c2 y1 + c3 z1 + c4 = 0
 c1 x2 + c2 y2 + c3 z2 + c4 = 0
 c1 x3 + c2 y3 + c3 z3 + c4 = 0
 The four equation:
 c1 x + c2 y + c3 z + c4 = 0
 c1 x1 + c2 y1 + c3 z1 + c4 = 0
 c1 x2 + c2 y2 + c3 z2 + c4 = 0
 c1 x3 + c2 y3 + c3 z3 + c4 = 0
 Press return to continue. 
 The three points:
 P1(+1,+1,+0) P2(+2,+0,-1) P3(+2,+9,+2)
 The determinant :
 (cofactor expansion along the first row)
 x y z 1
 +1 +1 +0 +1
 +2 +0 -1 +1
 +2 +9 +2 +1
 The equation of the plane : 
 +6 x -3 y +9 z -3 = 0
 Verify the result : 
 With x=+1 y=+1 z=+0 eq=-0.00000
 With x=+2 y=+0 z=-1 eq=+0.00000
 With x=+2 y=+9 z=+2 eq=-0.00000
 Press return to continue.

Mathc matrices/c25b2
Application
Installer et compiler ces fichiers dans votre répertoire de travail.
/* ------------------------------------ */
/* Save as : c02.c */
int main(void)
double p[R3*C3] ={ 1, 0, 0, 
 0, 1, 0, 
 0, 0, 1};
double **Ap = ca_A_mR(p, i_mR(R3,C3));
double **A = m_plan_A_mR(Ap, i_mR(R4,C4));
int r;
 clrscrn();
 printf(" Theorem.\n\n");
 printf(" A homogeneous linear system with as many equations\n");
 printf(" as unknowns has a nontrivial solution if and only\n");
 printf(" if the determinant of the coefficient matrix is\n");
 printf(" zero.\n\n");
 printf(" Equation of a plane: \n\n");
 printf(" c1 x + c2 y + c3 z + c4 = 0\n\n"); 
 printf(" The same equation with the values of the three points:\n\n");
 for(r=R1;r<Ap[R_SIZE][C0];r++)
 printf(" c1 x%d + c2 y%d + c3 z%d + c4 = 0\n",r,r,r); 
 printf("\n The four equation:\n\n");
 printf(" c1 x + c2 y + c3 z + c4 = 0\n"); 
 for(r=R1;r<Ap[R_SIZE][C0];r++)
 printf(" c1 x%d + c2 y%d + c3 z%d + c4 = 0\n",r,r,r); 
 stop();
 clrscrn();
 printf(" The three points:\n\n");
 for(r=R1;r<Ap[R_SIZE][C0];r++)
 printf(" P%d(%+.0f,%+.0f,%+.0f)",
 r,Ap[r][C1],Ap[r][C2],Ap[r][C3]);
 printf("\n\n The determinant :\n "
 "(cofactor expansion along the first row)\n\n");
 printf(" x y z 1");
 p_Det_mR(A,6,0);
 printf(" The equation of the plane : \n\n");
 printf(" %+.0f x %+.0f y %+.0f z %+.0f = 0\n\n",
 cofactor_R(A,R1,C1),
 cofactor_R(A,R1,C2),
 cofactor_R(A,R1,C3),
 cofactor_R(A,R1,C4));
 printf(" Verify the result : \n\n"); 
 for(r=R1;r<Ap[R_SIZE][C0];r++)
 verify_eq_plan_mR(A, Ap[r][C1],
 Ap[r][C2],
 Ap[r][C3]);
 stop();
 f_mR(A);
 f_mR(Ap);
 return 0;
/* ------------------------------------ */

Exemple de sortie écran :
 Theorem.
 A homogeneous linear system with as many equations
 as unknowns has a nontrivial solution if and only
 if the determinant of the coefficient matrix is
 zero.
 Equation of a plane: 
 c1 x + c2 y + c3 z + c4 = 0
 The same equation with the values of the three points:
 c1 x1 + c2 y1 + c3 z1 + c4 = 0
 c1 x2 + c2 y2 + c3 z2 + c4 = 0
 c1 x3 + c2 y3 + c3 z3 + c4 = 0
 The four equation:
 c1 x + c2 y + c3 z + c4 = 0
 c1 x1 + c2 y1 + c3 z1 + c4 = 0
 c1 x2 + c2 y2 + c3 z2 + c4 = 0
 c1 x3 + c2 y3 + c3 z3 + c4 = 0
 Press return to continue. 
 The three points:
 P1(+1,+0,+0) P2(+0,+1,+0) P3(+0,+0,+1)
 The determinant :
 (cofactor expansion along the first row)
 x y z 1
 +1 +0 +0 +1
 +0 +1 +0 +1
 +0 +0 +1 +1
 The equation of the plane : 
 +1 x +1 y +1 z -1 = 0
 Verify the result : 
 With x=+1 y=+0 z=+0 eq=+0.00000
 With x=+0 y=+1 z=+0 eq=+0.00000
 With x=+0 y=+0 z=+1 eq=+0.00000
 Press return to continue.

Mathc matrices/25c
Application
Copier la bibliothèque dans votre répertoire de travail avec les fichiers des parties précédentes :
Ne pas conserver le fichier d.h avec la librairie après avoir testé les exemples. 
 Présentation :
 Un système linéaire homogène avec autant d'équation
 que d'inconnus a une solution non trivial si et 
 seulement le déterminant de cette matrice est nul.
 Calculons l'équation de la parabole passant par les points P Q r: 
 c1 y + c2 x^2 + c3 x + c4 = 0
 Cette même équation avec les points P(x1,y1) Q(x2,y2) et R(x3,y3):
 c1 y1 + c2x1^2 + c3x1 + c4 = 0
 c1 y2 + c2x2^2 + c3x2 + c4 = 0
 c1 y3 + c2x3^2 + c3x3 + c4 = 0
 Le système de quatre équations :
 c1 y + c2 x^2 + c3 x + c4 = 0
 c1 y1 + c2x1^2 + c3x1 + c4 = 0
 c1 y2 + c2x2^2 + c3x2 + c4 = 0
 c1 y3 + c2x3^2 + c3x3 + c4 = 0
 Le déterminant du système :
 |y x^2 x 1|
 |y1 x1^2 x1 1| = 0
 |y2 x2^2 x2 1| 
 |y3 x3^2 x3 1|
 Le déterminant du système en language C : 
 |1 1 1 1|
 |y1 x1^2 x1 1| = 0
 |y2 x2^2 x2 1| 
 |y3 x3^2 x3 1|
 Pour calculer les coéficients de l'équation de la 
 parablole on utilise le développement sur la première 
 ligne en calculant les cofacteurs.
 cof(R1,C1) y + cof(R1,C2) x^2 + cof(R1,C3) x + cof(R1,C4) = 0
 Cette équation nous donnes l'équation de 
 la parabole qui passe par les trois points P Q et R.
Deux exemples :