ISN représentation de l'information
=La représentation de l'information=
ISN Représentation binaire
La représention binaire.
Systèmes de numération.
Quand des sociétés humaines ont commencé à compter, des systèmes de numération ont été mis au point, pour permettre de communiquer des nombres avec moins de mots.
La numération la plus évidente à inventer consiste à montrer des collections de symboles. Des comptables de Mésopotamie ont utilisé des cylindres pour imprimer sur de l'argile des données commerciales. Les « imprimés » étaient complétés par des marques faites à l'aide d'un stylo en roseau, le "calame".
Exercice
Les comptages simples, tels que des encoches sur un morceau de bois ou d'os, les collections de "calculi" dans une bourse en terre, deviennent plus pratiques quand on regroupe les unités par paquets. En Mésopotamie, la méthode utilisée consistait à faire des paquets de 60 : ça a mené à l'invention d'un système numérique à base 60.
Autres civilisations, autre mœurs, autres bases de numération, voici quelques exemples :
Questions sur les bases de numération.
La base décimale que nous utilisons aujourd'hui vient de nos chiffres « arabes », qui ont été inventés en Inde.
Exemple en base 5.
Comme la majorité d'entre nous a cinq doigts aux membres, l'utilisation d'une base 5 paraît judicieuse. 
Cette base est souvent utilisée, par exemple pour compter des points dans une rencontre sportive, ou pour compter des voix dans un bureau de vote.
Exercice résolu.
Comment pourrions-nous noter le nombre de jours d'une année non bissextile, en base 5 ? Les symboles utilisés pour les chiffres seront 0, 1, 2, 3 et 4.
Solution
Les calculs seront menés en base 10, qui nous est plus familière.
On divise 365 par 5 : formula_1, reste formula_2.
On divise 73 par 5 : formula_3, reste formula_4.
On divise 14 par 5 : formula_5, reste formula_6.
On divise 2 par 5 : formula_7, reste formula_8.
On s'arrête là, et on écrit la suite des restes à l'envers : formula_9. C'est la représentation en base 5 du nombre de jours d'une année non bissextile.
On peut vérifier que :
formula_10
Convention de notation.
On utilise souvent les premiers symboles de la suite 0123456789ABCDEF... (autant qu'il en faut, pas plus); comme symboles numériques pour une base donnée. Par exemple, pour la base 12, les symboles sont 0123456789AB.
Chaque fois qu'une ambiguïté est possible, on place un symbole de la base en indice du nombre écrit. Par exemple, le résultat de l'exercice résolu peut s'écrire formula_11, ou encore formula_12, ce qui signifie que 365 en base 10 (décimale) vaut 2430 en base 5 (quinaire).
La base 2 pour les ordinateurs.
La base 5, ou base quinaire, semble adaptée pour les humains, à cause de leurs cinq doigts. Il existe des méthode de comptage avec les mains pour les bases 10, 12, 20 et 60.
Cependant les ordinateurs sont faits d'automatismes électroniques, où il est plus facile de distinguer deux états seulement : arrêt/marche, ou éteint/allumé, qu'on représente aussi souvent comme faux/vrai, ou 0/1.
Exemple : les composants électroniques de la famille TTL ("transistor-transistor logic") obéissent à la norme suivante :
Exercice résolu.
Trouver la représentation en binaire de 365 en décimal.
Solution
On effectue la suite d'opérations suivantes :
formula_15
Donc la solution est : formula_16
Vérifiez que... formula_17
Dans l'exemple précédent, on voit que pour représenter formula_18 en binaire, 9 chiffres sont nécessaires. On peut retenir que pour un même nombre, l'écriture binaire est toujours environ trois fois plus longue que l'écriture décimale. Ce désavantage, pour les ordinateurs, est largement compensé par la grande simplicité des opérations que permet le système binaire.
La simplicité des opérations en binaire.
Comparez les tables de multiplications en systèmes décimal et binaire !
Combien vous a-t-il fallu de temps pour mémoriser les tables de multiplication au cours de votre scolarité ? Les connaissez-vous bien ?
La table de multiplication en binaire est beaucoup plus simple ! (On a retiré la multiplication par zéro des tables de l'illustration, et on a un peu triché en supprimant les lignes et colonnes de 10 dans le cas de la table en base deux).
Exercices 
Conversions d'un nombre d'une base à l'autre.
En vous inspirant des exercices ci-dessus, on peut décrire en toute généralité "l'algorithme" qui permet de convertir un nombre
écrit en base X vers sa représentation en base Y. Il faut pour cela :
Algorithme pour passer de la représentation d'un nombre en base X à sa valeur.
Exemple de fonctionnement
On lance le programme, et on répond "101" puis "2". 
À ce stade, (ligne 10)
Au premier passage dans la boucle tantQue, 
Au deuxième passage dans la boucle tantQue, 
Au troisième passage dans la boucle tantQue, 
Il n'y a pas de quatrième passage dans la boucle tantQue, puisque la longueur de nombreEnBaseX vaut 0. On passe donc à la suite, ce qui établit le résultat à 5.
Exercice
Algorithme pour passer d'une valeur entière à sa représentation base Y.
Exemple de fonctionnement
On lance l'algorithme et on répond "5" et "2". À ce moment-là (à la ligne 11), 
Au premier passage dans la boucle, 
Au deuxième passage dans la boucle, 
Au troisième passage dans la boucle, 
Il n'y a pas de quatrième passage dansla boucle, puisque val vaut 0. On passe donc à la suite et le résultat vaut "101".
Exercice
D'autres bases pour les octets.
La valeur formula_21 est égale à formula_22.
Il est assez facile de repérer une faute de frappe quand on écrit 176, quand on se relit. Cependant, une faut de frappe telle que 10101110 au lieu de 10101010 peut passer plus facilement inaperçue. Et le risque augmente avec la longueur des nombres.
Remarquons que formula_23, cependant que formula_24. L'erreur est plus évidente à repérer en codage décimal.
Base hexadécimale (16).
On utilise très souvent la base hexadécimale pour représenter les octets, c'est à dire les nombres binaires à 8 chiffres, de 00000000 à 11111111. En effet, seize est égal à deux puissance quatre : autrement dit, chaque chiffre hexadécimal correspond directement à quatre chiffre binaires, sans erreur possible.
formula_25, cependant que formula_26. L'erreur est plus évidente à repérer en codage hexadécimal, et en plus, elle montre tout de suite que l'erreur se situe dans les quatre chiffre binaires de poids faible (à droite du nombre).
N.B. : en base hexadécimale, les chiffres sont 0123456789ABCDEF.
base octale (8).
De même que la base hexadécimale est très pratique pour exprimer des nombres binaires de quatre ou huit chiffres, la base octale va bien pour exprimer des nombres binaires de 3, 6, 9 ou 12 chiffres : en effet, huit est égal à deux à la puissance 3.
N.B. : en base octale, les chiffres sont 01234567.