Il y a 1 orbitale zonale P360 qui a 360 zéros non équirépartis en parallèles. Ce qui quadrille déjà fort bien la sphère.
Si de plus on trace les 721-3=718 harmoniques tesserales , on voit que la Terre sera découpée en petits carrés positifs et négatifs , d'environ 100km de côté :
La décomposition d'une valeur scalaire sur la sphère , par exemple l'altitude = f(latitude, longitude) pourra donc se faire sur ce "maillage" à l'aide de 721 coefficients, ainsi que les 719 précédents , etc. soit au total 360^2 =19600 coefficients.C'est ce que peut facilement engranger un ordinateur aujourd'hui. Plus on voudra de précision et plus il faudra prendre d'harmoniques. Mais , attention, cette décomposition sur une base présente les mêmes phénomènes de Gibbs que dans l'analyse de Fourier. La parade est connue : si l'on veut se focaliser sur un endroit de la planète , il convient de généraliser les analyses temps-fréquence, c'est à dire les "ondelettes". Bien sûr ces outils sont fondamentaux en géographie, géodésie , gravimétrie, géophysique , etc. Bien sûr s'il s'agit de champs vectoriels, on a inventé les Harmoniques sphériques vectorielles.
Exercice très souvent demandé.
Soit f(r)= r^l ; alors formula_9 ; trouver K
Solution : f" +2/r f' = K f/r² donne K = l(l+1): l=-1 est le cas newtonien ; l=0 devait aussi être solution !
Inversion.
Soit une fonction harmonique f(x,y,z) .
Montrer que 1/r f(x/r,y/r,z/r) est harmonique.
Rem : comme r^l.Ylm est harmonique , on peut aisément démontrer que 1/r^(l+1).Ylm est harmonique.
Comme toute fonction harmonique "raisonnable" se décompose sur la base des polynômes harmoniques, on pressent que le théorème est vrai. La démonstration "à la main" est un peu longue, mais est un excellent exercice sur les dérivées partielles.
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la marée élémentaire de Proctor.
La Lune est à d = 60 R , rayons terrestres et sa masse ~1/80 de celle de la Terre. Elle attire un point M de la mer avec l'accélération : (GM/80). [formula_10], soit grosso-modo :
(g/80) .R^2.[formula_10]= (g/80).R^2/ML^3.MK
Proctor a remarqué que si on portait tous ces vecteurs MK à partir de chaque point M d'un cercle, l'ensemble des points K se trouve sur la droite TL . Le démontrer.
Pour les petits (classe de 5ème), on fait faire la construction simple de Proctor (L est supposée très loin).
Pour les plus grands (classe de 4ème), on fait faire la construction vraie.
En seconde , on demande de démontrer la construction de 4ème .
Soit TL l'axe "horizontal" Tz , d'origine T.
Soit le cercle C(T, TM = R).
Tracer Mz, TM , puis la cote H de M (TH = z(M)). Tracer la parallèle en H au vecteur TM. Elle recoupe Mz en M1.
Itérer cette construction , ce qui conduit au point M2 qui se projette en H2 : le vecteur MH2 est le vecteur MK cherché.
c'est la construction facile avec la Lune à "l'infini".
Sinon, on doit tracer les arcs de cercle MH, M1H1, M2H2 de centre L. La construction est rigoureuse.
[Note : Ce problème est assez classique en électrostatique].
dans le cas simple (suffisant pour expliquer qualitativement), on constate aisément les faits suivants : le diagramme présente la symétrie de révolution et la symétrie équatoriale. Sous la lune , MK vaut 2R ; à 90° MK est intérieur et vaut R . Au point Mc, d'angle (109°27')/2, la force de marée est tangente.
Cela suffit pour montrer que la marée est zonale type P2(cosformula_12); "haute" dans les deux calottes sous la Lune et anti-Lune , "basse" dans le "tonneau intermédiaire" ; évidemment la somme de l'eau dessus et dessous est nulle sur la sphère, et au total on a une "olive" , très , très peu prononcée. En réalité tout cela est à placer sur une terre aplatie(a-b = 21km » 40cm de marée) et en réalité , tout tourne (la Terre pivote et la Lune révolutionne, et pas dans la même direction ; et les océans ne se laissent pas ballotter simplement par ce forçage. De plus il faut compter aussi avec le forçage du Soleil. Autant dire que même Doodson , le Grand Maître des marées n'a jamais réussi à finir les calculs, et que ce sont de gros ordinateurs qui ont réussi récemment à calculer la marée globale des océans.[références : Lefèvre (2000, thèse ToulouseII); Woppelmann(1997, thèse Paris); Poincaré (Vol III).
Les coefficients de Doodson sont là :, et pour plus ici : 
potentiel de marée statique.
Pour ceux qui connaissent la notion de potentiel, il est évident qu'au champ de gravité différentielle précédent correspond un potentiel : - (GM/80)[1/LM - LT.TM/d^3](harmonique de révolution et donc on applique la formule de Whittaker), ce qui donne immédiatement,
 -(GM/80)(R²/d^3).P2(cosformula_12), 
ce qui correspond à une élévation de l'eau de z(theta) = R.P2(cos(theta)).(R/d)^3 /80 =~40cm.P2(cos(theta)).
Il convient d'y rajouter l'influence du Soleil dont le forçage est environ deux fois moindre, et le mouvement dans le ciel si différent ! 
Calculer le potentiel dépendant du temps ! (bonne galère!) 
Solution :

Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/D.U., dimensional units

convention d'écriture.
d.u[ formula_1 ]:= d.u[|Planck-dahus|], ou bien d.u|[c, m d]| ou bien d.u {[d, h, G]} ou encore d.u[¤]a,b,c[¤]

Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Géodésie spatiale