Le ludion
Expérience.
Comment faire descendre le stylo dans le fond de la bouteille sans la retourner ni la vider ?
Il suffit d’appuyer sur le côté de la bouteille.
Explication.
Bien souvent en physique, il est utile de faire un schéma regroupant toutes les informations connues afin de déterminer l’ensemble des paramètres expérimentaux. La première étape consiste ensuite à faire le bilan des forces qui s’appliquent sur le corps étudié (ici le « sous-marin »).
Bilan des forces qui s’appliquent sur le système crayon-trombone-air :
Il est soumis à deux forces :
 formula_1
Avec : 
formula_2
formula_3
Notations : 
 g = Accélération de la pesanteur
 formula_4 = Masse volumique
 V = Volume
 m = Masse
On obtient : formula_5
 formula_6
On obtient : 
formula_7
Remarque : on néglige la poussée d’Archimède sur le leste étant donné le faible volume occupé par celui-ci.
Pour commencer, on considère le système à l’équilibre et on applique la première loi de Newton. Les forces sont toutes parallèles à l'axe z donc : formula_8
On obtient : formula_9 
Soit : formula_10 (1)
On pose : formula_11
À présent, on se place dans le cas réel où le système ne se trouve pas forcément à l’équilibre
Ces forces ce compensent alors plus ou moins. C’est ce qui provoque les mouvements du système dans la bouteille :
Le système monte lorsque : formula_12 
Le système descend lorsque : formula_13 
La constante formula_14 représente donc la hauteur limite de la colonne d’air à l’intérieur du stylo en deçà de laquelle le système descend au fond de la bouteille. On peut donc prévoir, en observant le niveau d'eau dans le crayon et augmentant progressivement la pression de la main sur la bouteille, le moment où le "sous-marin va plonger".
On sait donc maintenant que c’est le volume d’air à l’intérieur du stylo qui conditionne le mouvement du système. Car seule la poussée d’Archimède, qui dépend de ce volume, peut contrer les effets de l’attraction gravitationnelle.
C’est bien le phénomène que l’on observe lors de l’expérience : lorsque l’on appuie sur les parois de la bouteille, l’eau monte à l’intérieur du crayon et le système descend.
Il se pose alors une nouvelle question : pourquoi le fait d’appuyer fait-il varier le niveau d’eau dans le crayon ?
Pour y répondre, nous allons maintenant nous intéresser aux forces qui s’exercent sur la surface d’eau en contact avec l’air à l’intérieur du crayon. Ces forces résultent de la pression de l’air et de l’eau à cet endroit.
Pour simplifier le problème, nous considérons l’air comme un gaz parfait. Nous pouvons donc déterminer la pression formula_15 à partir de la relation des gaz parfaits : 
 formula_16
Où : P est la pression du gaz (Pa)
 V est le volume occupé par le gaz (m3)
 n est la quantité de gaz contenu dans ce volume (mole)
 R est la constante des gaz parfaits : R = 8,314 Pa.m3.mole-1.K-1
 T est la température du gaz (K)
 Au départ, avant de plonger le stylo dans l’eau, le crayon contient moles de gaz à la pression atmosphérique formula_17 , d’où :
formula_18
avec V : le volume intérieur (« vide ») du crayon
formula_19
Et lorsque l’on plonge le stylo dans l’eau, la même quantité d’air est contenue à l’intérieur de celui-ci. En revanche, on remarque qu’à présent il y a un peu d’eau dans le crayon. Toujours d’après la loi des gaz parfaits, étant donné que seul le volume occupé par l’air a diminué c’est la pression qui a augmenté : 
 formula_20
D’où : formula_21
Intéressons nous maintenant à la pression exercée par la surface d’eau sur la surface d’air. Celle-ci se décompose en deux parties : la pression hydrostatique (celle subit par les plongeurs) et la pression exercée par le manipulateur.
Si on considère l’eau comme un fluide incompressible alors la totalité de la force exercée sur les parois de la bouteille est transmise sur la surface air-eau.
La pression hydrostatique est donnée par : formula_22
La pression exercée par le manipulateur sur le fluide est donnée par : formula_23
D’où : formula_24
Prenons le système à l’équilibre : formula_25
C’est deux forces s’exercent sur une même surface. On en déduit que : formula_26
D’où : formula_27 (2)
On vient donc de relier la hauteur de la colonne d’air dans le stylo avec la pression exercée par le manipulateur sur la bouteille.
En combinant les équations (1) et (2), on peut alors définir la valeur minimum formula_28 de formula_29 nécessaire pour faire couler le stylo :
formula_30
Pour résumer :