paquet d'onde et temps complexe.
présentation.
Le comportement d'un paquet d'onde en présence d'une barrière de potentiel révèle des caractéristiques temporelle et spatiale (lors de l'étude dynamique du sommet du paquet par exemple). La forme du paquet est modifiée par sa diffusion par la barrière (du fait de dispersion des modes), et chacun des modes subit un déphasage qui peut être mis en évidence "via" la méthode de la phase stationnaire.
Récrivons la partie transmise du paquet de façon à faire apparaître des termes dévoilés plus haut lors de l'analyse des temps complexes :
Un extension de la méthode de la phase stationnaire au plan complexe va fournir alors :
où le vecteur d'onde formula_3 permet de satisfaire à l'équation ci-dessus. Cette valeur est justement celle qui annule la partie imaginaire pure de l'équation, l'autre révélant la cinématique du sommet du paquet.
Ceci fournit l'instant "complexe" correspondant à la sortie du sommet au point "b" :
La partie réelle va permettre de mettre en évidence le délai de phase usuel, tandis que la partie imaginaire est la contribution du rôle filtrant de la barrière, précisant le vecteur d'onde formula_3 d'amplitude maximale dans la partie transmise :
Afin de nous limiter aux aspects temporels de la barrière seule (rappel : le paquet d'onde défini plus haut a été écrit comme ayant son sommet en position 0 à l'instant 0) il est nécessaire de déterminer l'instant d'arrivée du sommet du paquet incident sur la barrière (comme si l'interférence avec le paquet réfléchi n'existait pas). La méthode de la phase stationnaire fournit directement :
où le vecteur d'onde formula_8 est le vecteur d'onde d'amplitude maximale du paquet incident. Cette valeur du vecteur d'onde est bien sûr obtenue en rendant identiquement nulle la partie imaginaire de l'instant d'arrivée en "a" du paquet incident.
La durée de la traversée, définie par les instants respectifs d'arrivée et de sortie des sommets des paquets incidents et transmis, est donc obtenue par simple soustraction (les valeurs des parties imaginaires sont identiquement nulles pour chacun de ces instants). Ceci mène au délai de phase par transmission. Dans le cas où la transmittivité ne change pas beaucoup sur l'intervalle spectral les deux vecteurs formula_8 et formula_3 sont identiques et ce délai, formula_11, peut alors s'écrire sous la forme usuelle :
dérivée prise pour l'énergie d'amplitude maximale du spectre.
En ce qui concerne la partie réfléchie il est nécessaire de ne retenir que le comportement "asymptotique" aux temps longs, pour lesquels le phénomène d'interférence entre le paquet réfléchi et le paquet incident est devenu négligeable ("le paquet a terminé de franchir la barrière"). Cependant il est toujours possible de ne décrire que la partie réfléchie et s'interroger sur l'instant de sortie du sommet de ce paquet "réfléchi" hors de la barrière, au point "a". Les lignes précédentes (cf. l'analyse du paquet transmis) mène ainsi à la cinématique du sommet du paquet réfléchi :
On obtient ainsi le vecteur d'onde d'amplitude maximale du vecteur du paquet d'onde réfléchi et l'instant de sortie du sommet du paquet réfléchi (au sens asymptotique). Dans les conditions identiques à celles retenues plus haut cela fournit le délai de phase en réflexion :
Bien sûr les définitions retenues dans ce paragraphe ne sont valides strictement que sur l'exemple de paquets simples, révélant des sommets bien définis. L'on peut songer à étendre ces définitions en élargissant la notion de durée de traversée à celle qui tiendrait compte non des sommets mais des centres de "gravité" des densités de probabilité de présence. Cela ne change rien au niveau fondamental, mais complique les expressions.
Les parties imaginaires du temps de traversée (ou de réflexion) obtenues ici sont identiquement nulles, mais comprennent une composante qui se trouve dans l'analyse des dérivées par rapport à l'énergie des coefficients de réflexion et transmission de chaque mode. Cette composante apparaît inhérente à la déformation spectrale du paquet lors de la diffusion. En tant que telle elle est parfaitement réelle.
exemple.
Sur la figure ci-contre, les courbes rouge et bleu indiquent respectivement les délais de phase et de déformation en fonction de l'épaisseur d'une barrière rectangulaire symétrique (hauteur 230 MeV), dans le cas d'un état stationnaire d'énergie 133,5 MeV. Lorsque l'on augmente l'épaisseur de la barrière la durée de phase en transmission tend vers une valeur limite : c'est la source de l'effet Hartman qui semble permettre l'apparition de vitesses supraluminiques. Le temps de déformation est lui linéairement croissant (pour des épaisseurs assez grandes, menant un filtrage des basses fréquences : la barrière tunnel laisse passer plus efficacement les hautes fréquences ; le paquet transmis sera plus rapide que le paquet incident.
On peut noter que dans le cas de la barrière rectangulaire le délai de phase est plus particulièrement déterminé par les sauts de phase aux interface d'entrée et de sortie (pour cette barrière symétrique on remarquera que les délais de phase en réflexion et transmission sont identiques). Le temps de déformation est, sauf pour les barrières de faible épaisseur, à peu près indépendant des interfaces d'entrée... c'est l'expression du filtrage par la barrière, dû à son épaisseur croissante.
Ces temps de phase, en réflexion et en transmission, ont fait l'objet d'études particulièrement probantes dans le cas des paquets-photons, traversant par effet tunnel, manifestant un délai de phase et une déformation révélée par une modification de l'angle d'émergence du paquet transmis par rapport à la direction d'entrée.
délai de phase et temps de séjour.
Considérons la conservation de la probabilité de présence intégrée sur la largeur d'une barrière sans perte :
Puisque la particule était originellement à gauche de la barrière l'équation précédente se récrit :
On reconnaît dans la première intégrale le temps de séjour, qui peut s'exprimer à partir du spectre du paquet :
Cette équation peut être transformée, donnant :
On reconnaît dans cette expression la présence des durées de phase de transmission et réflexion, d'où le lien formel entre le temps de séjour et ces deux durées de phase :
Cette équation montre que les durées de phase, liées au paquet, ne peuvent répondre strictement à la condition classique d"'exclusivité". Toutefois comme l'on bien montré Hauge "et al." le terme supplémentaire, définissant le temps d'interférence entre le paquet incident et le paquet réfléchi peut être pratiquement nul si l'on considère la barrière comme formée, non seulement de la partie où le potentiel est différent des potentiels des demi-espaces gauche ou droit mais contient aussi une partie du demi-espace incident tel qu'il puisse comprendre le paquet incident avant son interaction avec le potentiel, de telle sorte que le paquet réfléchi sortant de cette barrière étendue puisse être considéré comme sorti de la zone d'interférences. Bien sûr une telle extension n'est pas possible pour l'état stationnaire, pour lequel la zone d'interférence va jusque l'infini.
"horloges" des temps des paquets.
Comme nous nous intéressons à la définition de temps de traversée (lus exactement au temps de présence dans la barrière) de particules qui sont ultimement transmises ou réfléchies, il est naturel de s'intéresser aux paquets d'ondes (les états stationnaires ne sont jamais en phase d'entrée ou de sortie...). Les horloges sont constituées de récepteurs recevant les paquets en des points situés à droite de la barrière (partie transmission) ou à gauche (patrie réflexion). 
Il s'agit donc essentiellement de mesures de "temps de vol" qui sont réalisées élégamment en ce qui concerne les photons.
Il faut noter que les deux aspects, délai de phase et temps de déformation, ne sont pas strictement séparable, sauf en limite asymptotique des temps longs où l'aspect filtrage des hautes fréquences permettra une mise en évidence nette. 
Les figures suivantes rassemblent les renseignements nécessaires à l'interprétation des aiguilles des deux horloges.
La courbe ci-contre à droite (barrière rectangulaire symétrique, épaisseur 20 nm, hauteur de 230 MeV) révèle les fortes variations de transmittivité qui peuvent apparaître sur l'intervalle spectral qui soutient le paquet. Cela interviendra dans la déformation du fait du filtrage ; cela participe donc du temps de déformation. Les oscillations dévoilant des résonances correspondent à l'effet Ramsauer.
La courbe à gauche montre le délai de phase en transmission. Pour les petites valeurs de l'énergie (la transmittivité est alors très faible) le délai de phase est si court que l'on peut interpréter le passage du sommet du paquet comme un passage supraluminique.
Ces renseignements sont intégrés dans une description de paquets d'ondes initialement gaussien, dont les évolutions vont être montrées sur les figures suivantes, afin de montrer l'action des deux effets analysés ci-dessus. La barrière est la même que précédemment.
Ci-contre à gauche la courbe pleine rouge montre un instantané du passage d'un paquet d'onde assez fin dans l'espace réciproque (vecteur moyen formula_20 mformula_21, formula_22 mformula_21). Dans le cas de cette barrière opaque le paquet fin souffre d'un effet de filtrage restreint sur son étendue spectrale. Il en est de même pour la transmittance. Ceci permet de mettre en évidence le délai de phase. La figure montre les système d'interférences apparaissant en amont de la barrière, le sommet du paquet transmis étant déjà sorti de la barrière. La courbe en pointillée indique la position d'un paquet créé dans les conditions initiales identiques mais dans un milieu libre sans barrière. 
La différence entre les positions des sommets des deux paquets (mesurée à partir d'une étude plus fine que celle révélée sur la figure) est 16,8 nm. De la donnée de l'épaisseur de la barrière, de celle du vecteur d'onde central on déduit un temps de traversée (transmission) de formula_24 s parfaitement comparable à celui issu de l'étude du délai de phase : formula_25 s.
Le temps de déformation se manifeste dès que le paquet possède une extension spectrale suffisamment importante pour mener à une variation suffisante de la transmittivité sur tout l'intervalle spectral du paquet (en même temps, les délais de phase des paquet correspondant aux différents stationnaires constitutifs varient). Dans cette approche numérique où l'on utilise l'équation de Schrödinger d'une particule à masse non nulle ce paquet, large dans l'espace réciproque, provoquera deux phénomènes. Tout d'abord, l'étalement du paquet d'ondes, effectif même en cas d'absence de barrière ; puis le déplacement du sommet du paquet dans l'espace des "k", dû aux variations de la transmittivité sur l'intervalle spectral. 
C'est cet effet qui est mis en évidence dans la figure ci-contre.
Un paquet gaussien, de spectre large en "k" (formula_26 mformula_21, formula_28 mformula_21) traverse la barrière révélant une faible transmittivité, variable e façon importante sur tout l'intervalle spectral, cf. la coure verte. Les courbes rouge et bleue indiquent les distributions normalisées des spectres incidents et transmis. Le déplacement du sommet du spectre est ici le trait le plus important du changement de forme dû au filtrage par la barrière.
Ce filtrage se manifestera dans l'évolution future du paquet transmis : 4 instants séparés de formula_30 s sont choisis pour montrer la densité de probabilité de présence de la particule transmise à travers la barrière, située en position 0,75 <mah>\mu. La courbe bleue représente le paquet transmis, la rouge un paquet initialement identique, évoluant dans un espace sans barrière (il a été renormalisé pour être comparé au paquet transmis [celui-ci est en effet d'une amplitude négligeable]). On remarque sur les deux paquets :
Cette avance est le résultat du filtrage. La mise en évidence du délai de phase peut s'effectuer en comparant le paquet transmis à un paquet "libre" issu du même point à l'instant 0, mais dont le spectre serait celui du paquet transmis. Ce paquet décrit par la courbe pointillée reste un peu en retard par rapport au paquet transmis, ... dans le cas de cette barrière tunnel simple.
Bien sûr on peut obtenir sans difficulté des schémas analogues pour l'évaluation des durées de phase en réflexion. Il est connu que dans le cas de barrière asymétrique (potentiels droit et gauche différents, barrière de forme asymétrique...) les délais de phase en transmission et réflexion sont différents. À noter que l'on peut voir apparaître des cas de délais de réflexion négatifs : le sommet du paquet "réfléchi" peut s'éloigner de la barrière avant que le sommet du paquet "incident" ne l'atteigne.
horloge bidimensionnelle.
On doit souligner que les deux horloges précédentes se présentent d'une façon légèrement différente dans le cas des photons du fait de l'absence de dispersion des photons dans le vide. Le filtrage se manifeste alors par un léger changement de la couleur des photons transmis. La mise en évidence des durées de phase ont été effectuées vers le milieu de la décennie 1990-2000. On notera que le délai de "déformation" est aussi clairement obtenu dans les expériences par la mise en évidence d'une déviation du faisceau transmis par rapport à la direction des photons incidents sur la barrière tunnel qu'ils vont traverser dans l'expérience de réflexion totale atténuée.
Dans le cadre du formalisme des paquets d'onde associés aux particules à masse non-nulle qui est utilisé dans toute cette présentation le même phénomène peut être imagé en utilisant une modélisation 2D permettant le suivi d'un paquet d'onde 2D traversant une barrière tunnel. La figure ci-contre représente le suivi du sommet du paquet. Pour une mise en évidence claire le paquet doit être très large quant à son spectre, avec un vecteur d'onde moyen faible ; la barrière est peu élevée, mais très large. L'affichage apparaissant sur la figure est obtenu en plusieurs étapes, puisqu'est retenue la position du sommet du paquet (position de plus forte probabilité de présence, croix rouges) : les croix représentant le sommet du paquet transmis ont une amplitude beaucoup plus faible que celles du paquet réfléchi. Ce qui importe ici est la déviation de la direction du paquet transmis par rapport à celle du paquet "libre" correspondant (croix bleues) : ceci est dû au fait que le filtrage de la barrière agit sur la composante normale à la surface pour chacun des vecteurs d'onde des états qui forment le paquet, la composante parallèle à la surface restant, elle, inchangée. (formula_31 mformula_21, formula_33 mformula_21, angle d'incidence 50°. Intervalle de temps entre deux croix successives : formula_35 s. barrière de 30 nm, de hauteur 11,5 MeV).
Il faut noter qu'ici la description du paquet dans la zone de la barrière est assez limitée, l'accent ayant été porté sur le comportement au temps long, permettant la mise en évidence de la rotation due au filtrage. Une étude fine, en espace et temps, de la traversée de la barrière peut mettre en évidence le délai de phase, lié formellement au décalage de Goos-Hanschen observable en optique.
traversée tunnel : l'approche par le courant de probabilité de présence.
Comme il a été noté plus haut le temps de séjour est introduit de la façon la plus générale par l'utilisation du courant de densité de probabilité de présence "J"("x","t"). Il apparaît de plus possible de lier les délais de phase aux courants associés aux composantes progressives des états stationnaires (partie incidente dans l'espace gauche, partie transmise dans l'espace droit). Par exemple le délai de phase de transmission s'exprime sous la forme :
où les courants sont évalués juste avant l'interface d'entrée de la barrière et juste après l'interface de sortie.
Une des caractéristiques intéressantes du courant de probabilité (calculé en chaque point à partir de la fonction d'onde locale) est que le résultat renormalise automatiquement les parties correspondant aux divers portions de l'espace, gauche, droit ou intérieur de la barrière. Par exemple, un mode stationnaire quelconque, profondément tunnel, fournit, quant à la densité de probabilité de présence, un système d'interférences dans la partie gauche, d'amplitude 1 million (c'est un exemple) de fois plus importante que ce qui observé dans le milieu droit ; alors que le courant de probabilité associé est identique dans tout l'espace. Lorsque l'on forme un paquet d'onde, les déphasages des différents états stationnaires les uns par rapport aux autres laissent apparaître un paquet d'onde, même dans la représentation du courant. À l'instant initial (constitution du paquet incident à gauche de la barrière) les deux paquets - densité de probabilité et courant de densité - sont superposables quant à leurs formes, après renormalisation adéquates.
Durant la phase centrale de la diffusion les parties droites et gauches ont alors des amplitudes très proches (cf. la courbe de gauche ci-dessous). 
Une barrière rectangulaire de 230 MeV, large de 3 nm est abordée par un paquet gaussien de caractéristique formula_37 mformula_21, formula_39 mformula_21. Il est décrit par l'intermédiaire d'une base de 101 états stationnaires et son passage à travers la barrière est suivi par pas de formula_41 s qui est utilisé pour évaluer l'intégrale ci-dessus. Le délai de phase en transmission calculé par cette méthode (portant, c'est à remarquer, sur la totalité du paquet et non sur son seul somme) fournit le résultat formula_42 s, à 4 millième de la valeur obtenue par la valeur théorique du délai de phase évalué sur le vecteur d'onde central du spectre.
Les images qui suivent montrent les valeurs du courant de densité de probabilité à différents instants. La première révèle le courant décrit de façon à faire apparaître l'intérieur de la barrière (les pas d'espace à l'extérieur sont de 200 nm, à l'intérieur de 0,06 nm [50 pas entre les positions 25 et 75]. À l'instant de cette première vue le paquet d'onde est presque au milieu de la phase de diffusion : on remarque que 
La figure centrale révèle le déplacement de ce "sommet" sur l'espace intérieur à la barrière (50 pas), et ce sur 11 pas de temps formula_43 s. Un suivi fin du phénomène sur l'ensemble de la traversée de toute la barrière fournit une durée de l'ordre de formula_44 s.
La figure de droite montre la forme que prend le courant de densité de probabilité dans l'espace des positions à un instant correspondant à la phase finale. Dans le demi-espace gauche le courant est négatif... la partie réfléchie l'emportant sur la partie incidente.
Délai de phase, durée de vie et barrière tunnel résonnante.
En ce qui concerne l'effet tunnel, le cas de l'effet tunnel résonnant constitue un cas particulier de grande importance théorique (constitutions des bandes dans les cristaux) et pratique (électronique moderne). 
On aborde ici différents aspects des durées qu'il est possible de rencontrer dans ce cas. On s'intéresse dans un premier temps à l'évaluation des délais de phase et aux comparaisons que l'on peut effectuer avec l'autre temps caractéristique de l'effet tunnel résonnant : la durée de vie des états quasi-discrets.
Comme le montrent les figures qui vont suivre ces deux temps vont apparaître comme expressions limites de la forme des paquets qui vont intervenir.
Les exemples qui vont suivre correspondent à une barrière tunnel résonnante obtenue par l'association en série de deux barrière tunnel. L'on a porté le choix sur des barrières rectangulaires identiques de hauteur 230 MeV et d'épaisseur 5 nm, séparée par une zone de potentiel nul, d'épaisseur 5nm. 
La barrière tunnel résonnante se manifeste par la présence d'un ou plusieurs niveaux quasi-discrets correspondant aux niveaux discrets des puits infinis correspondants, déplacés vers le bas et élargis du fait de la possibilité de dépeuplement vers l'extérieur par effet tunnel. Si l'on injecte des paquets d'onde depuis l'extérieur la résonance sur ces niveaux quasi-discrets se manifeste par la présence de lorentziennes obtenues lors de l'étude de la transmittivité. La figure montre cette courbe pour un intervalle d'énergie couvrant le régime tunnel et le début du régime "classique". C'est la première des résonances (à peu près à 80 meV) qui sera présentée. Le cartouche dans la figure montre la position du niveau discret et donne une idée de sa largeur (à évaluer à mi-hauteur).
L'étude des coefficients de réflexion et transmission permet d'accéder aux déphasages que vont subir les parties réfléchie et transmise autour de la résonance (la courbe de gauche s'intéresse juste aux alentours de la résonance). On peut en déduire les délais de phase... qui montrent de fortes variations sur le grand intervalle spectral.
On note en particulier le saut de phase du coefficient de réflexion (il a bien sûr lieu pour une énergie où l'amplitude est nulle. Ainsi les contributions des modes situés de part et d'autre de la résonance sont en opposition de phase, donnant ainsi une forme particulière à certains paquets réfléchis autour de la résonance.
En premier lieu, l'on décrit un paquet d'onde très fin en "k", centré sur la résonance : la transmittivité est proche de 1 pour l'ensemble du spectre du paquet d'ondes. La figure (a) ci-dessous montre le paquet d'onde après la diffusion. La partie réfléchie est pratiquement nulle, le trait vertical au centre de l'image révèle la densité de probabilité de présence dans le puits central (état résonnant) en train de se vider. La courbe en pointillé indique la position du paquet de référence (potentiel nul). Le décalage entre les positions des deux sommets est parfaitement cohérent avec l'approche du délai de phase, soit formula_45 s.
Les trois autres images présentent le cas d'un paquet résonnant possédant un spectre incident si large qu'il encadre totalement la lorentzienne de la résonance (figure(b)). Le suivi du paquet au cours du temps, depuis l'instant de départ, montre une phase durant laquelle le paquet disparaît pratiquement totalement dans la barrière sauf une part due aux parties du spectre "extérieures" à la lorentzienne qui se réfléchit tout d'abord. La plus grande partie ayant peuplé le niveau quasi-discret est ensuite relâchée dans les espaces droit et gauche, mettant en évidence la durée de vie de ce niveau (cette durée de vie est le double du délai de phase correspondant au pic et est mise en évidence sur la figure(d)). Pour une telle barrière, et un tel paquet, la déformation est telle que le paquet transmis ne ressemble plus du tout au paquet d'origine (gaussien ici).
On remarque de plus l'apparition d'un creux dans la partie réfléchie, dû au déphasage de formula_46 du coefficient de réflexion à la résonance (les modes encadrant la résonance ont leurs parties réfléchies presque en opposition de phase) ; la position ce de minimum est en pratique symétrique du sommet du paquet transmis par rapport à la position de la barrière.
Rappelons pour terminer ce paragraphe que les délais de phase en réflexion et transmission sont différents pour les barrières asymétriques... le délai de phase en réflexion pouvant même être négatif.