Dans toute étude théorique, il convient de prendre des précautions, faute de quoi tout résultat devient critiquable. Nous allons donc commencer par poser avec soin les hypothèses sur lesquelles reposent les calculs.
Hypothèses, définitions, calculs et démonstrations.
Hypothèses générales pour les calculs.
Nous utiliserons par ailleurs les formules des lentilles simples convergentes "sous leur forme arithmétique et non sous leur forme algébrique". D'une part, le fait que les objectifs donnent des images inversées n'influe aucunement sur la netteté, d'autre part certains appareils sont munis d'objectifs de type « périscopique » et dans ce cas le signe du grandissement perd toute signification. Nous n'aurons en fait besoin que de deux formules :
Gros « coup de gueule » en passant.
Hélas, cette sottise continue de se répandre à la manière d'un virus, à cause de la paresse intellectuelle des gratte-papier successifs qui, au lieu de revenir aux sources, se contentent de reproduire à la façon des perroquets ce qu'ils ont lu ici ou là et que d'autres avaient déjà mille fois recopié de la même manière imbécile.
Disons-le tout net : l'usage du « cercle de confusion » complique tous les calculs et tous les raisonnements, en semant partout... la confusion, pour la simple raison que l'acuité visuelle correspond à un angle, pas à une longueur. Il ne s'agit donc pas seulement d'un intermédiaire de calcul inutile mais bien plutôt d'un concept fondamentalement nuisible. 
Sans regret,
expédions le cercle de confusion à la poubelle et refermons bien le couvercle !
Tolérance de mise au point, profondeur de foyer, profondeur de champ.
Dans tous les schémas ci-dessous, la lumière va de la gauche vers la droite, du sujet vers la surface sensible.
Avant d'aborder l'étude détaillée de ces diverses notions, il est nécessaire de bien poser le problème !
Calcul de la profondeur de foyer.
Les rayons lumineux issus de P convergent en P' en formant un faisceau d'autant plus ouvert que le diamètre d du diaphragme est plus important. Si le plan de la pellicule ou du capteur n'est pas placé exactement en P', l'image enregistrée ne sera pas un point mais une petite tache circulaire. Celle-ci sera néanmoins perçue comme nette si elle est vue depuis O sous un angle au plus égal à ε.
Le plan du film peut être avancé d'une distance formula_7 ou reculé d'une distance formula_8 sans que l'image soit altérée de façon visible.
Les valeurs de formula_7 et formula_8 sont telles que :
formula_11 est l'ouverture relative du diaphragme.
Ces formules complètes ne sont en fait intéressantes que dans certains cas particuliers car le produit formula_12 est presque toujours très petit devant 1. Si par exemple le rapport de grandissement est 2, l'ouverture relative 16 et la limite de netteté angulaire 1/1 500, on trouve :
formula_13
La limite de netteté n'est évidemment pas définie à 3 % près, on utilisera donc le plus souvent une forme simplifiée : 
Pour une netteté donnée, l'intervalle dans lequel doit se trouver le plan de la pellicule ou du capteur est toujours d'autant plus petit que la focale est plus courte, le grandissement plus faible et le diaphragme plus ouvert.
Si la mise au point est faite très loin ou a fortiori à l'infini, alors le grandissement est très faible ou nul et la formule se simplifie encore :
Exemple : on veut photographier un objet situé à l'infini ou très loin (g = 0) avec un objectif de focale 50 mm ouvert à f/2 et une limite de flou tolérée de 1/1 500 radian :
formula_14
Toutes choses égales par ailleurs, un réglage du diaphragme à f/22 donnerait x = 0,7 mm, une valeur bien moins contraignante.
On comprend mieux dès lors pourquoi les appareils doivent être construits avec une grande précision, en particulier s'ils comportent une visée reflex ou un capteur de petit format derrière un objectif de courte focale. Le maintien de la planéité des pellicules photographiques est également, depuis toujours, un souci pour les constructeurs. Pour beaucoup d'usages scientifiques, la limite de netteté de 1/1 500 peut être considérée comme très insuffisante. Les exigences de précision se trouvent évidemment renforcées et il va de soi qu'il faut alors utiliser un matériel de très haute qualité.
Calcul de la profondeur de champ.
Nous disposons désormais de tous les éléments qui vont nous permettre d'entrer dans le vif du sujet. Les diverses distances des objets et des images au centre optique de la lentille seront notées OA = a, OA' = a', OP = p, etc. La mise au point est faite sur le point P et la surface sensible est calée très exactement au niveau du point P' où convergent les rayons issus de P.
Avec les appareils compacts numériques, qui utilisent des capteurs minuscules associés à des objectifs de courte focale, ce diamètre est très faible ; les performances des objectifs et des capteurs doivent être du meilleur niveau ... Si p' vaut par exemple 12 mm, avec une limite de netteté de 1/1 500, on obtient :
formula_17
La portion de l'espace comprise entre les deux plans perpendiculaires à l'axe optique qui passent par A et R sera susceptible de fournir une image nette compte tenu des critères adoptés pour le calcul. L'espace qui sépare ces deux plans correspond à la profondeur de champ. Cette profondeur varie énormément avec le diaphragme, elle peut être quasi nulle si l'objectif est lumineux et grand ouvert et considérable s'il est fermé au maximum. 
Évaluation de la profondeur de champ.
On considère un objectif de focale formula_4 mis au point à la distance formula_2, avec une ouverture relative du diaphragme formula_11. Les deux distances extrêmes qui limitent la zone de netteté s'écrivent :
Ce calcul permet de vérifier que l'appareil est correctement réglé. Notons que le dénominateur de formula_21 peut s'annuler ou devenir négatif, ce qui n'a plus de sens. Si tel est le cas, pas de panique, cela signifie simplement que la zone de netteté s'étend jusqu'à l'infini. Nous y reviendrons un peu plus loin.
Calcul de la distance de mise au point et de l'ouverture du diaphragme.
Question : comment dois-je régler mon appareil pour que la netteté s'étende de la distance formula_22 à la distance formula_21 ?
Réponse : en calculant la bonne distance de mise au point et la bonne ouverture du diaphragme !
Remarques : 
Exemple de calcul.
On veut photographier un sujet dont les divers éléments intéressants sont compris entre 1,5 m et 3 m, avec un objectif de focale 50 mm (0,05 m) et une limite angulaire de netteté de 1/1 500.
formula_24
Une ouverture plus grande ne permettra pas d'obtenir la netteté optimale de tous les éléments du sujet. En fermant davantage, d'autres éléments présents dans le cadre, particulièrement ceux de l'arrière-plan, risquent de sembler nets et de perturber la vision ; de plus, on augmentera la diffraction. Le diaphragme apparaît donc bien comme un instrument de mise au point !
Faut-il un ordinateur pour faire ce calcul ? Non, si l'objectif est muni d'une échelle de profondeur de champ, ce qui n'est évidemment pas le cas avec les équipements de bas de gamme et l'immense majorité des appareils compacts numériques !
De part et d'autre du losange qui sert de repère pour les échelles de distance et de diaphragme, on voit des traits symétriques portant des valeurs de diaphragme, 4, 8 et 16. En tournant la bague de mise au point de façon que les repères 1,5 m et 3 m soient symétriques par rapport au losange, comme par miracle, on fait la mise au point sur ... 2 m. De plus, nos deux repères se trouvent ... quelque part entre les graduations d'ouverture 11 (nombre non gravé) et 16. Avec 12,5, notre calcul n'est apparemment pas si mauvais. Nous expliquerons plus loin ce petit « miracle ».
Distance hyperfocale.
La profondeur de champ s'étend normalement entre une limite proche et une limite lointaine. Que se passe-t-il lorsque la seconde se trouve rejetée à l'infini ?
Reprenons les formules.
formula_25
formula_26 tend vers l'infini lorsque : 
formula_27
soit :
formula_28
Le report de formula_29 dans la première équation donne de suite :
formula_30
Finalement :
On peut aussi écrire les formules qui donnent formula_31 et formula_26 sous la forme suivante :
formula_33
Par convention, on appelle distance hyperfocale la quantité :
Contrairement à la focale, cette distance ne caractérise pas un objectif donné, mais un ensemble de trois paramètres qui sont la focale, l'ouverture du diaphragme et le degré de netteté choisi arbitrairement (ce qui ne veut pas dire au hasard !).
La valeur de l'hyperfocale est facile à estimer avec les objectifs qui possèdent des graduations de profondeur de champ. Il suffit de tourner la bague de mise au point sur l'infini pour en lire la valeur en face de l'ouverture relative. Par exemple, sur ce Summicron de 50 mm, on trouve environ 5 m à f/16, 10 m à f/8, etc. Ces valeurs peuvent être retrouvées facilement à partir de la limite de netteté angulaire généralement admise par les fabricants, c'est-à-dire 1/1 500.
Les formules qui donnent la profondeur de champ peuvent s'écrire en fonction de l'hyperfocale :
On peut aussi les écrire sous une forme qui n'est pas sans rappeler la formule de Snell-Descartes, mais cette analogie est purement formelle :
Il en résulte que si la netteté doit s'étendre d'une distance a jusqu'à l'infini, 
Avec un objectif de 50 mm de focale (0,05 m), une profondeur de champ s'étendant de 5 m à l'infini et une limite de netteté de 1/1 500, nous ferons la mise au point sur 10 m et nous adopterons pour le diaphragme :
formula_34
C'est bien ce que nous lisons sur notre échelle de profondeur de champ :
En passant au diaphragme 16, nous pouvons diviser les distances par 2 et donc obtenir, avec une mise au point sur 5 m, une netteté qui s'étendra de 2,5 m jusqu'à l'infini.
Lorsque nous mettons au point sur l'infini, la netteté commence à l'hyperfocale. Sur l'échelle de profondeur de champ de notre objectif, h se lit directement en face des graduations du diaphragme.
On lit 5 m à 16, 10 m à 8 et, en prolongeant la série, on déduit 20 m à 4 ou 40 m à 2, ouverture maximale de cet objectif.
Au diaphragme 16, mise au point faite sur l'infini, la netteté commence à 5 m. En mettant au point sur 5 m, elle s'étend de 2,5 m à l'infini. Le fait de mettre au point sur l'infini est presque toujours une erreur et constitue, d'une certaine manière, un « gaspillage » des possibilités de l'objectif . Pour un paysage, par exemple, l'œil est très exigeant pour la netteté des objets situés à quelques mètres ou dizaines de mètres mais beaucoup plus tolérant pour celle des lointains, ce qui rend encore plus logique une mise au point au voisinage de l'hyperfocale.
Un préréglage de la mise au point sur l'hyperfocale a permis à beaucoup de grands photographes, par le passé, de gagner un temps précieux lorsqu'ils prenaient des photos sur le vif, notamment pour les photographies de rue : ils n'avaient ainsi plus besoin de se préoccuper de la mise au point. Aujourd'hui, cette notion est toujours utile aux photographes qui ont l'habitude d'opérer avec un appareil non automatique ou avec un automatisme à priorité diaphragme : même si l'appareil se charge de la mise au point, le fait de fixer le diaphragme pour disposer dans tous les cas d'une profondeur de champ suffisante améliore les chances de réussite.
Les appareils à mise au point fixe sont réglés une fois pour toute sur l'hyperfocale qui correspond à la plus grande ouverture de leur diaphragme. Il faut donc s'attendre à ce qu'ils donnent leurs moins mauvais résultats à des distances de l'ordre de 3 à 5 m.
Profondeur de champ et distance focale.
Un peu partout, dans beaucoup de livres et dans la plupart des revues, dans les pages des sites internet, on affirme que la profondeur de champ dépend de la distance de mise au point, du diaphragme et de la distance focale, en oubliant presque toujours au passage cet autre facteur essentiel qu'est le format de la surface sensible.
Les formules mathématiques qui permettent de calculer la profondeur de champ montrent que celle-ci varie avec la distance focale puisque, toutes choses égales par ailleurs, les distances formula_31 et formula_26 en dépendent. En pratique, pourtant, c'est presque toujours faux ! Cet aspect des choses est examiné en détail dans le chapitre suivant, consacré aux considérations pratiques sur ce thème.
Profondeur de champ et format de la surface sensible.
Lorsque l'on a choisi un point de vue et un cadrage, le format de la surface sensible impose la distance focale de l'objectif. En « prenant la décision qui s'impose », un responsable politique ne fait que subir les événements et ne décide, en réalité, rien du tout. Ici c'est pareil, on prend la focale qui s'impose !
Le choix du point de vue et du cadrage relève de critères pratiques (accessibilité par exemple) et esthétiques, de la volonté de montrer certaines choses et d'en cacher d'autres, etc. ; en revanche, il faut remonter au choix du format de la surface sensible si l'on veut comprendre pourquoi « la profondeur de champ dépend de la focale sans en dépendre ». 
La distance focale est déterminée par le format de la surface sensible et le point de vue.
Depuis un point de vue donné O, nous pouvons prendre des photographies composées de la même façon sur des surfaces sensibles de dimensions très différentes, par exemple, sur un capteur électronique de 6 x 8 mm ou sur un plan-film de 24 x 30 cm.
formula_37 est une dimension de référence de l'objet (choisie perpendiculaire à l'axe optique) et formula_38 la dimension correspondante d'une des images prise comme exemple. La distance de mise au point formula_39 et l'angle formula_40 sous lequel on voit l'objet sont tous deux fixés par le choix du point de vue. La distance formula_41 de l'objectif à la surface sensible est directement proportionnelle aux dimensions de cette dernière. Le grandissement est déterminé par la composition de l'image et il est lui aussi directement proportionnel aux dimensions de la surface sensible :
formula_42
La focale de l'objectif est alors imposée par les relations de conjugaison habituelles :
formula_43
Cette formule peut être simplifiée lorsque l'on est loin du sujet car le grandissement est alors très petit et on le néglige devant 1.
formula_44
Exemple 1.
Lors de la photographie d'une nature morte en studio, le centre optique de l'objectif se trouve à 60 cm d'un objet de 250 mm de hauteur. L'image de cet objet doit mesurer 40 mm sur un négatif 6x6 cm. Quelle focale faut-il théoriquement utiliser ?
Exemple 2.
On photographie depuis une distance p = 50 m un arbre de hauteur H = 10 m, de telle façon que celui-ci donne une image de 20 mm sur la surface sensible. Attention aux unités !
La profondeur de champ varie avec le format de la surface sensible.
La distance focale étant imposée par les conditions de prise de vue, ce sont désormais ces dernières qui vont entrer en ligne de compte dans les formules donnant la profondeur de champ. Ainsi, en remplaçant formula_29 par sa valeur en fonction de formula_48,
formula_49
et 
formula_50
ou encore :
Lorsque le grandissement est très faible on peut le négliger devant 1 :
Les distances formula_31 et formula_26 qui définissent l'étendue de la profondeur de champ dépendent directement du grandissement et donc des dimensions de l'image qui se forme sur la surface sensible, mais pas de la focale. On remarque aussi que lorsque le grandissement augmente, les dénominateurs des fractions se rapprochent 1 et donc que formula_31 et formula_26 se rapprochent de formula_39, la profondeur de champ diminue.
Il faut bien reconnaître que la variation de profondeur de champ avec le format ne saute pas aux yeux à l'examen des formules. Celles-ci ne sont pas toujours faciles à utiliser, surtout lorsque le sujet est éloigné. C'est probablement pour cette raison que les rédacteurs d'articles de vulgarisation ne s'aventurent guère sur ce terrain.
Dans le cas de formula_26 la zone de netteté s'étend jusqu'à l'infini lorsque le dénominateur devient nul, ce qui se produit par exemple lorsque le diaphragme est suffisamment fermé :
formula_57
Attention ! Il ne faut jamais oublier que le grandissement se calcule à partir du plan de mise au point, même si le sujet principal est situé à une distance différente.
Exemple 3.
Nous photographions un arbre de hauteur H = 10 m depuis une distance p = 50 m de telle façon qu'il donne une image de 20 mm sur une pellicule de 24 x 36 mm. Le diaphragme est fixé à 5,6 et la limite de netteté à 1/1 500 ; quelle est l'étendue de la profondeur de champ ?
Nous pouvons utiliser ici pour a la formule approchée puisque le grandissement qui vaut 20/10 000 = 0,002 est très petit par rapport à 1 :
formula_58
Le diaphragme minimum pour que la netteté s'étende jusqu'à l'infini est formula_59
Il est donc inutile de calculer r puisque nous avons une ouverture relative de 5,6 ; la netteté s'étendra donc de 17,5 m à l'infini.
Échangeons maintenant notre appareil contre un moyen format 6 x 9 cm. En respectant les mêmes proportions, l'image de l'arbre mesurera cette fois 50 mm et le grandissement sera 0,005. Avec la même ouverture relative de diaphragme, nous aurons :
formula_60
et formula_61
La profondeur de champ sera très nettement réduite et s'étendra donc d'environ 30 m à 200 m.
Exemple 4.
Nous photographions un personnage assis de hauteur 1,2 m ; l'appareil au format 24 x 36 est situé à 3 m du modèle, le diaphragme est réglé sur 8 et nous voulons que l'image mesure 24 mm, soit un grandissement de 0,02 que nous continuerons de négliger devant 1.
formula_62
formula_63
La profondeur de champ va de 2,4 à 4,1 m et s'étend donc sur 1,7 m, il ne devrait pas y avoir de problème.
Passons au format 6x9 cm. L'image a cette fois une hauteur de 60 mm et le grandissement passe à 0,05
formula_64
formula_65
La profondeur de champ s'étend maintenant de 2,7 à 3,35 m, soit 0,65 m seulement, elle devient beaucoup moins confortable.
Ces deux exemples expliquent pourquoi les habitués du 24x36 qui décident un beau matin de passer au moyen format ou à la chambre éprouvent souvent les pires difficultés avec la profondeur de champ, avant de changer leurs habitudes de travail. Ce n'est pas par hasard que les chambres de grand format sont munies d'objectifs dont les diaphragmes affichent des valeurs aussi élevées que f/32, f/45, f/64, voire f/90, couramment utilisées en paysage par des photographes tels qu'Ansel Adams.
Nous suggérons au lecteur de déterminer la valeur de l'ouverture du diaphragme qui permet d'obtenir une netteté convenable entre 2 m et l'infini, avec une chambre de 24 x 30 cm et un objectif de 400 mm de focale...
Exemple 5.
Un insecte de longueur 12 mm, situé à 100 mm du centre optique de l'objectif, est photographié sur du film 24 x 36 de façon que son image mesure 24 mm, soit les deux tiers de la longueur du format. Le diaphragme a été réglé à 16 et la netteté est toujours fixée à 1/1 500. Quelle est la profondeur de champ disponible ?
Nous voici dans le domaine de la macrophotographie, puisque l'image obtenue à la prise de vue est plus grande que l'objet. Le grandissement vaut 2 et il faut donc appliquer les formules complètes :
formula_66
formula_67
formula_68
la profondeur de champ n'atteint que 3,2 mm, ce qui risque fort de ne pas suffire pour avoir une photographie parfaitement nette de la bestiole.
Supposons maintenant que sans changer de point de vue, nous utilisions un appareil compact numérique équipé d'un « gros » capteur de 12 x 9 mm. Avec les mêmes proportions que précédemment l'image de l'insecte mesure cette fois 8 mm seulement, le grandissement n'est plus que de 2/3 et nous ne sommes plus dans le domaine de la macrophotographie...
formula_69
formula_70
formula_71
La profondeur de champ atteint cette fois 5,3 mm, ce n'est pas le grand luxe mais nous avons gagné 67 % par rapport au cas précédent et nos chances de réussite sont bien meilleures !
Avec un capteur encore plus petit de 6 x 8 mm, toujours en conservant le même point de vue et donc le même cadrage, la profondeur de champ passe à 7 mm, soit plus du double de la valeur obtenue en 24 x 36.
Beaucoup de photographes amateurs de diapositives et de photographie rapprochée ont eu comme une sorte de révélation en troquant leur reflex argentique contre un appareil compact numérique tel que le Coolpix 4500 de Nikon, attribuant à tort l'augmentation quasi miraculeuse de leur taux de réussite aux vertus du « numérique » et oubliant l'effet du changement de format. Après avoir une nouvelle fois cassé leur tirelire pour s'offrir un reflex numérique muni d'un grand capteur, beaucoup ont alors été très étonnés de retrouver soudain les problèmes qu'ils connaissaient quelques temps auparavant en 24x36...