Dans ce chapitre, nous allons voir les suites logistiques, des suites très utilisées dans divers domaines (en biologie dans le modèle proie-prédateur, en dynamique des populations, dans la théorie des systèmes dynamiques, et ainsi de suite). Elles sont définies par la fonction relation de récurrence suivante :
Le paramètre µ détermine le comportement asymptotique de la suite. Suivant sa valeur, la suite va soit converger, soit être périodique, soit être une suite dite chaotique. C'est surtout ce dernier comportement qui intéresse les mathématiciens, surtout ceux qui travaillent sur la théorie du chaos ou la théorie des systèmes dynamiques. Dans les grandes lignes, on peut distinguer les trois situations (convergence, périodicité, chaos) selon la valeur du paramètre µ :
Le domaine de convergence des suites logistiques.
Commençons par étudier la convergence potentielle de ces suites. Pour cela, nous devons calculer les points fixes de la fonction associés, qui respectent donc :
On voit immédiatement que 0 est un point fixe. On peut aussi, après quelques manipulations algébriques, trouver que l'autre point fixe vaut :
La fonction associée est la fonction formula_5.
Une autre manière de déterminer les deux points fixes est de tracer le graphe de la fonction f. Par simplicité, nous allons illustrer celui-ci ci-contre, mais seulement pour formula_6, par souci de simplicité. On voit que le graphe de la fonction f est une parabole, dont la hauteur dépend du paramètre µ : plus µ est grand, plus la parabole sera haute.
Pour trouver les points fixes, on regarde où le graphe précédent coupe la droite identité formula_7. On voit qu'il existe entre zéro et deux points d'intersection. En-dehors de l'intervalle [0,1], la fonction donne des résultats négatifs, dont aucun ne passe par la droite identité : il n'y a donc pas de points fixes en-dehors de cet intervalle. Le nombre de points d'intersection dépend de la valeur de µ. Si formula_8, alors la parabole reste sous la droite formula_7 et il n'existe qu'un seul point d'intersection : l'origine. Par contre, si formula_10, alors le second point d'intersection apparait à formula_11.
Maintenant, regardez le tracé des valeurs successives, la ligne en forme de serpentin : on voit qu'il y a un comportement différent entre les deux schémas du milieu (pour lesquels µ > 1). Le premier montre une convergence assez souple, les valeurs de la suite augmentant progressivement pour atteindre la limite formula_2. Ce comportement est celui obtenu quand formula_13. Le second schéma montre que les valeurs de la suite convergent vers la même limite, mais le font d'une manière différente : ils vont fluctuer autour de cette valeur, en faisant une sorte d'oscillation amortie.
On peut résumer le tout comme suit :
Cas où 0 < µ < 1.
Commençons par étudier le cas où formula_17. Si on étudie la parabole de la fonction avec formula_17, on trouve que la valeur maximale atteinte par la parabole est de formula_19, et elle est atteinte pour formula_20. On peut le démontrer en dérivant la fonction formula_21 et en regardant quelle valeur l'annule, ce que nous ne ferons pas ici. L'intuition nous dit que le comportement de la suite est donc différent selon que formula_22 ou que formula_23 (on omet les cas où formula_24 vaut 0 ou 1, qui donnent une suite constante).
Cas où 1 < µ < 2.
On peut se ramener au cas formula_17 avec un changement de variable.
Le domaine périodique des suites logistiques.
Pour formula_29, la suite logistique devient périodique. Il est alors possible d'étudier deux choses : la période de la suite, mais aussi les valeurs prises dans un cycle. Il se trouve que les deux dépendent fortement de la valeur de µ choisie. Il existe des relations assez intéressantes entre µ et les valeurs choisies, ainsi qu'avec la période. On peut déduire tout cela de l'étude des points périodiques de la fonction formula_30. Il se trouve que plus µ augmente, plus la période de la suite augmente : elle double régulièrement, quand µ passe des paliers précis. Le premier palier est égal à formula_31, le second de formula_32, etc.

La politique monétaire/Les canaux de transmission monétaires