la géodésie-gravimétrie terrestre n'est pas moribonde du tout : car à des échelles locales (20km), elle complète utilement les renseignements donnés par la géodésie spatiale.
Développement multipolaire du potentiel de gravité terrestre.
SUPPOSONS concentrée l'atmosphère sur une couche de 76cm de mercure ou 10.33m d'eau.
Alors à l'extérieur, le potentiel est harmonique et décroît hormis le terme -GM/r comme 1/r^3 ( on place usuellement l'origine au barycentre des masses.
SUPPOSONS la symétrie de révolution ; alors en vertu du théorème de Whittaker (cf plus haut), le potentiel terrestre est simplement tel que : 
formula_1
où a est, en général choisi comme le rayon équatorial.
Exercice : montrer que si de plus la symétrie équatoriale existe, alors seuls les termes pairs existent, et donc J2, J4 , J6 ,etc. suffisent.
potentiel EXACT du GRS 1980.
Le système "Geodetic reference System 1980" a été choisi, CONVENTIONNELLEMENT, parce que tous les calculs peuvent être faits à la précision infinie.
Il s'agit du potentiel de gravité d'un ellipsoïde de révolution:
 *de demi-grand axe équatorial : 6 378 137 m
 *de J2 = 1.08263 10^(-3)
 *de GM = 3 986 005 10^8 m^3/s^2 (WGS84 : 3 986 004 .418)
 *la Terre tournant en 86164.1 secondes sidérales
On peut immédiatement en déduire avec autant de ChS que l'on désire TOUTE DONNÉE gravimétrique-géodésique concernant cet ellipsoïde.
Voici quelques valeurs, que l'on peut calculer en exercice :
J4 = -0.0024 10^(-3); J6 = +6 10^(-10), etc.
m : = w^2a^2 b /GM = 3.449 786 003 08 10^(-3) (en gros w^2 a/g) 
GM = 3 98 6 00(3) ... on a donc gagné en chS, pour le WGS 3 98 6 00 ,4 418 km^3/s²
Puis p414 : J2 = 1082,66(2) au lieu de 1082.63
J4 = -1.52 alors que GRS donne -2.4 etc.
p.417 : Gaposchkin est au degré 23 en 1973 comparé à Cazenave : 1082.637(4) , -1.619(10)
p.428 : résonances
p434 : incorporation des gravity data
p442 : gradiometry
p450 : Low-Low tracking, twin satellite
p464 : altimetry
La formule de Somigliana(1929).
g(polaire) = 9.832 186 368 5 m/s².
formula_2
Exercice : montrer qu' en fonction de l'angle formula_3 de la normale en P à l'ellipsoïde, la formule de Somigliana se mémorise mieux : 
formula_4.
formula_6, avec 
formula_7 , et puis 
formula_8.
fonctions de Legendre de deuxième espèce ("higher level").
[Ainsi z = u cos theta et rho = sqrt(u²+E²).sin theta ; u = cste est une ellipse et theta = cste est une hyperbole orthogonale : cfp 35 du Moritz)
en dérivant m fois et en multipliant par (1-x^2)^(m/2).
les Qn(x) s'expriment à l'aide des Pn(x). D'autre part la loi de récurrence est la même. Donc en pratique , il suffit de connaître les 3 premières :
expression du potentiel GRS1980 à l'aide de Qo et de Q2.
Posons, as usual, c = sqrt(a^2-b^2), et e= c/a
V(u, formula_10).
Il est remarquable que le potentiel V s'exprime de façon aussi simple, et ne fasse intervenir , AVEC CE JEU DE COORDONNÉES très particulières, que Po et P2. (cf Moritz, p 76). Il n'y a aucune approximation et la formule est simple !
le WGS84.
La définition du WGS84 est importante car le GPS est calé sur cet ellipsoïde , qui convient mieux aux USA. En fait la définition du WGS n'a jamais changé, mais sa réalisation pratique en termes de "frame" , de base de coordonnées évolue avec la précision accrue des données : on est à la version G873!
De même, la RÉALISATION pratique de l'IERS est l'IRTF qui est changé environ tous les deux ans. Il est évident que lorsque les 3 constellations GPS, Glanost et Galileo seront opérationnelles , il faudra encore améliorer la réalisation pratique.
Pourquoi ? parce que certaines mesures géodésiques requièrent le 1/10 mm. Comme une ns = vaut 30cm , on voit qu'il faut que les signaux d'horloges soient précis à 0.3ps : on en est loin , GLOBALEMENT (en 2007, environ 10-100 ps).
Exercices de géodésie-gravimétrie.
élémentaire mais bluffant: R volumique.
quel est le rayon de la sphère ayant même volume que l'ellipsoïde ? en déduire la valeur de m = w^2R^3/GM
solution :a^2.b = R^3 d'où R = 6 371,000 79 km 
Comme on a une excellente précision sur w et sur GM , on obtient une excellente précision sur m
m = 4pi^2 R^3/T^2GM =0.003 449 786 003(5)
Huygens et Newton.
L'un comme l'autre avaient compris l'aplatissement de la Terre comme dû à la force centrifuge et essayèrent d'évaluer l'aplatissement f .
Huygens prît une masse ponctuelle.
Newton une masse volumique uniforme.
Trouver 1/f dans les deux cas.
Solution :
Pour Huygens, la surface de la Terre étant équipotentielle, il écrivit (traduit en termes modernes !) :
V(pôle) = V(équateur) = -GM/b = - GM/a -w^2a^2/2 ; soit en multipliant par ab :
(a-b)/a = m/2 soit f = m/2 = 
! en-tête 0
Pour Newton le calcul fût plus subtil :
Par un argument géométrique, il avait compris que la gravité au pôle go(pôle) = go(équateur)(1+ f/5)
La pression au centre était pour lui via -grad P +rho.g = 0
-grad P + rho (-grad V) = 0 , soit P +rho V = cste
Il retrouvait donc V(pôle) = V(équateur)
soit go(pole).b = go(équateur)(1-m)
D'où 1-f = (1-m)/(1+f/5)
soit f = 5/4 m = 1/232
la vraie valeur était donc comprise entre 1/232 et 1/579 :
on sait aujourd'hui qu'elle vaut : 1/298. 257 222 101.
Sauriez-vous retrouver l'argument géométrique de Newton ?
la belle formule de Clairaut.
on appelle f* = [g(pôle)-g(équateur)]/g(équateur).
Montrer qu'au plus bas ordre f + f* = 5/2 m pour tout ellipsoïde de définition (càd équipotentiel)[on partira donc de la formule de Mac Cullagh]
[on avait vu que Newton avait trouvé f = 5/4 m ET 1+f* = (1+f/5)(1-m) : donc il avait f= f* =5/4 m ; évidemment le raisonnement de Clairaut ne s'appuyait que sur l'hydrostatique quelle que soit la densité]
Solution :
V(M) = - GM/r + J2. GM a^2.P2/r^3 -1/2 .w^2 r^2 sin^2formula_5 = cste
Écrire V(z) , puis g(z) ; donc V(b) et g(pôle)
Écrire dans le plan équatorial V(x), puis g(x) ; donc V(a) et g(équateur). 
Ce qui donne 2f = 3 J2 + m et f* = 2f -9/2 .J2 + m
d'où le résultat en éliminant J2.
Il est étonnant que Newton n'ait pas fait ce calcul simple. Il devait quand même se douter que la masse volumique irait en augmentant avec la profondeur (?).
les valeurs numériques donnent :
f = 1/ 298.6
Évidemment ce calcul n'est valable qu'au premier ordre : inutile donc de pousser au-delà du 4ème ChS.
exercice de passage terminales-prépa (posé au concours général) :.
Les satellites de Géodésie spatiale sont de simples boules miroir qui renvoient le rayon lumineux vers l'émetteur (lageos , starlette , etc.): le temps d'aller -retour permet de déterminer leur distance. Par triangulation , on observe leur trajectoire au cm près. 
La Terre n'étant pas ronde mais renflée à l'équateur (21 km), le premier problème de géodésie spatiale est de trouver le mouvement d'un satellite dans le potentiel:
 formula_12 , 
avec J2 = 1E-3, terme correctif.
Réciproquement, le problème-inverse sera de déduire de l'orbitographie la valeur précise de J2.
Montrer que le grand axe 2a ne change pas en moyenne, ni e , ni l'inclinaison i . Par contre la ligne des nœuds récesse:
 formula_13 
trouver f(e).
Le périgée dans le plan tournant défini précédemment n'est pas quiescent : il précesse à la vitesse :
 formula_14 . 
Le prouver.
Si i = 0 , la trajectoire est dans l'équateur du bourrelet et les deux effets se conjuguent. Vérifier par la théorie banale de perturbation qu'il en est bien ainsi.
Trouver i pour le satellite Spot, héliosynchrone, avec une altitude de 800km.
Réponse : formula_15
 hint : on utilisera le théorème de Larmor (cf mouvement d'une particule chargée).
Solution : le théorème de Larmor permet aisément de comprendre le phénomène, puisque c'est une manière d'interpréter en Terminale-S le couple-gyroscopique (non au programme).
La figure se voit mieux quand le terme J2 est négatif (Terre en forme de cigare): on peut se la représenter comme 2 points attracteurs de masse M/2 , distants de 2d , tel que ce système ait le même J2(négatif). Le premier point sera appelé F1 (OF1 = d) le deuxième OF2 (OF2 = -d). Alors, il suffit de tracer la figure F1SF2 , pour s'apercevoir que le satellite S reçoit une force centrale + une perturbation dirigée vers le nord : comme un cerceau d'inclinaison i , que l'on pousserait de manière à le redresser : les enfants savent cela : le cerceau ne se redresse pas ! il tourne (il précesse) à droite. sans se redresser.