Physique atomique/Loi de Planck
Le rayonnement thermique.
Les corps solides chauffés à des températures suffisamment élevées commencent à émettre de la lumière visible. Mais aux températures plus basses ils rayonnent également de l’énergie sous forme d’ondes (infrarouges) dites thermiques. On entendra par rayonnement thermique le rayonnement émis par les corps chauds à n’importe quelle température.
Rayonnement en équilibre dans une enceinte close.
Considérons une enceinte fermée à parois athermanes portée à une température T. Les parois de l’enceinte émettront des ondes électromagnétiques et absorbent les ondes provenant de l’intérieur de l’enceinte. En cas d’équilibre il s’établit dans l’enceinte un champ électromagnétique de densité volumique d’énergie constante u 
 formula_1 (système MKSA)
On définit la luminance surfacique (ou intensité spécifique de rayonnement) comme étant la puissance dP émise dans la direction formula_2 par l’élément de surface ds et pénétrant l’angle solide :
 formula_3 formula_4 formula_5
formula_6 formula_4 formula_8
la puissance dP émise dans le demi espace est donnée par : 
formula_9 
Si le rayonnement est isotrope,
 formula_10 formula_11 formula_12 
La puissance émise par unité de surface PE (appelé aussi émittance ou pouvoir émissif) est donné par :
formula_13
La luminance surfacique I est reliée à la densité volumique d’énergie u pour un rayonnement polarisé linéairement par :
Pour l’étude de la répartition spectrale de la densité d’énergie u à l’intérieur de l’enceinte, il faut d’abord définir la densité d’énergie différentielle formula_14 telle que le produit formula_15 représente la densité d’énergie pour l’ensemble des ondes dont les fréquences sont comprises entre formula_16formula_17.
Par analogie avec formula_14 on peut définir la luminance spectrale surfacique de rayonnement formula_19
formula_20
il faut tenir compte du fait que le rayonnement de fréquence déterminée et de direction donnée est caractérisé aussi par son état de polarisation. Le rayonnement à l’intérieur de l’enceinte est non polarisé. Mais un rayon non polarisé transporte la même énergie que deux rayons polarisés dans des plans mutuellement perpendiculaires et possédant une intensité moyenne identique.
Pour un rayonnement non polarisé on a : formula_21 
Et pour un rayonnement isotrope :formula_22
Loi de Kirchhoff.
 Les premières études théoriques des propriétés du rayonnement en équilibre thermique ont été réalisées par Kirchhoff.
Il a trouvé deux résultats intéressants :
 formula_27 
formula_25 : étant la portion d’énergie incidente dans la bande de fréquence formula_29 et formula_30 qui reste dans le corps et se transforme en chaleur.
formula_24 : L’énergie émise par unité de surface formula_32 par unité de temps (1 s). 
On déduit donc que le rapport est indépendant de la nature du corps, constituant ainsi une fonction universelle dépendant uniquement de la température et de la fréquence.
Corps noir.
Un corps ayant un pouvoir absorbant formula_33 , possède la valeur maximale du pouvoir émissif formula_24. Kirchhoff appela ce corps : corps noir.
Donc pour un corps noir :formula_35 , cela signifie que formula_24 est également une fonction universelle de température et de fréquence.
C’est pourquoi, si on arrive à trouver théoriquement l’expression de formula_37, et si elle est confirmée expérimentalement rien que pour le corps noir, on peut calculer formula_37 pour n’importe quel corps, puisqu’on peut mesurer son pouvoir absorbant à l’aide de son spectre d’absorption.
D’où l’intérêt de la recherche de la fonction formula_37 pour un corps noir.
On sait construire artificiellement un corps noir. Il suffit de prendre une sphère creuse à parois uniformément chauffés. Le rayonnement d’équilibre établi à l’intérieur de l’enceinte aura une distribution énergétique spectrale formula_37 identique à celle d’un corps noir théorique. En perçant alors un petit orifice dans la paroi de l’enceinte on verra sortir un rayonnement identique à celui d’un corps noir théorique.
Lois de rayonnement d’un corps noir théorique.
La loi de Kirchhoff peut être écrite sous la forme : formula_41, où F(formula_29, T) est une certaine fonction universelle. Le problème consiste à trouver la forme de cette fonction. 
Wien établit une relation intéressante : formula_43,
Cette relation réduit la recherche d’une fonction à deux variables formula_29 et T à la fonction d’une seule variable (formula_29/T).
Supposons qu’on dispose de la courbe pour la température T et qu’on veut construire la courbe correspondant à T1. Pour la fréquence formula_46 telle que formula_47,
La formule de Wien donne : formula_48
Loi de Stefan-Boltzmann.
formula_49 
Introduisons une autre variable formula_50 il vient :
formula_51
formula_52 étant la valeur de l’intégrale. 
on obtient la Loi connue de Stefan-Boltzmann : formula_53
Loi de déplacement de Wien.
Pour passer de la distribution en fréquence formula_14 à la distribution en longueurs d’onde formula_55 on utilise la relation : formula_56 , avec formula_57 
formula_58 
utilisons la condition du maximum : formula_59 
on obtient : formula_60 
en posant : formula_61
on obtient l’équation : formula_62 
En résolvant cette équation on obtient une certaine valeur : formula_63 , avec formula_64la longueur d’onde correspondante à formula_65 ( maximum de formula_55. Comme c est une constante il vient :
 formula_67 
 La longueur d’onde correspondant à l’énergie maximale est inversement proportionnelle à la température. C’est la loi bien connue du déplacement de Wien.
Étude expérimentale du rayonnement thermique.
On a étudié expérimentalement la distribution spectrale d’énergie du rayonnement en équilibre d’un corps noir. Une série de mesures expérimentales de distribution d’énergie dans le spectre du corps noir pour des températures différentes est donné sur la figure.
Les courbes présentent un maximum bien marqué et montrent un déplacement de ce maximum vers les courtes longueurs d’onde lorsque la température augmente comme l’exige la loi de Wien.
La formule de Rayleigh Jeans.
Rayleigh calcula la densité d’énergie électromagnétique au sein d’une enceinte fermée en utilisant le théorème d’équipartition de l’énergie. 
Il a considéré une enceinte cubique (d’arête a) vide, de parois parfaitement réfléchissantes qu’on a chauffées à la température T.
Comme les parois chauffées émettent des ondes électromagnétiques sous forme de lumière, il va s’établir un champ électromagnétique à l’intérieur de l’enceinte. Ce champ électromagnétique peut être divisé en des systèmes d’ondes stationnaires de fréquence et de direction différentes.
Pour simplifier on va considérer que les ondes incidentes et réfléchies suivent des directions parallèles aux axes Ox, Oy et Oz. 
La condition d’apparition d’ondes stationnaires est que la longueur a contienne un nombre entier de demi-ondes. On admet que pour un conducteur parfait le champ doit être nul sur les parois et donc ces dernières doivent correspondre à un nœud.
La condition s’écrit donc : formula_68 avec formula_69,formula_70 et formula_71 sont des entiers.
Elevant au carré et sommant les trois égalités on obtient :
formula_72
c la vitesse de la lumière dans le vide.
Chaque groupe de trois nombres entiers formula_69,formula_70 et formula_71 correspond une fréquence :formula_29. 
 Il évident que tout les nombres entiers formula_69,formula_70 et formula_71 dont la somme des carrés est constante correspondent à des fréquences égales. Mais elles représentent des vibrations ayant des directions différentes.
 Le vecteur d’onde de composantes : , et caractérisera l’onde progressive donnant naissance à une onde stationnair.
 ++ On se rapporte à un trièdre positif : O, kx, ky, kz et on considère un réseau spatial dont les mailles ont des arêtes égales à : formula_80/a, formula_80/a, formula_80/a. L’extrémité du vecteur sera situé dans l’octant positif au nœud k,l ,m du réseau.
La partie du volume de l’octant positif de la sphère de rayon formula_83 est :
formula_84
La partie du volume comprise entre deux sphères de rayon formula_83 et formula_86 et situé dans l’octant positif vaut : 
formula_87
elle contient un nombre de mailles égal à :
formula_88 
Étant donné qu’à chaque fréquence formula_29 on peut correspondre deux modes associés à chacune des deux polarisations possibles de l’onde, le nombre total de modes dans l’intervalle formula_16 est : 
formula_91
Le nombre de modes de vibrations par unité de volume et compris entre formula_16 vaut donc :
formula_93
C’est aussi le nombre d’oscillateurs harmoniques formant le rayonnement à l’intérieur de la cavité.
La densité d’énergie sera donnée par :
formula_94
formula_95 , étant l’énergie moyenne de ces oscillateurs.
la probabilité pour que l’énergie de l’oscillateur soit comprise entre formula_96 et formula_97 est obtenue en intégrant sur :
formula_98 
L’énergie moyenne sera donnée par :
formula_99
Le calcul donne: formula_100
Ce résultat peut être tiré directement du théorème d’équipartition, (l’énergie potentielle moyenne d’un oscillateur harmonique est égale à son énergie cinétique moyenne qui est égale 1/2 kT, à chaque degré de liberté correspondra une énergie totale égale à : 1/2 kT+1/2 kT=kT)
On doit attribuer à chacun de ces modes de vibration une énergie kT, par suite la densité d’énergie :
formula_101 , Formule de Rayleigh Jeans
si on passe à la distribution en longueur d’ondes on obtient : formula_102
Catastrophe ultraviolette.
La formule de Rayleigh Jeans : formula_101 
Satisfait à la loi thermodynamique de Wien :
formula_104 
car elle peut être écrite sous la forme :
formula_105
Mais si on calcule la densité intégrale de rayonnement :
formula_106
on obtient une absurdité.
pour comprendre pourquoi on a nommé ainsi cette absurdité, regarder ce lien : Catastrophe ultraviolette.
Comparaison avec l’expérience.
La formule de Rayleigh jeans est conforme à l’expérience pour des fréquences courtes et des températures élevées. 
figure: experience contre theorie
En 1896 Wien proposa une autre formule se conformant à l’expérience dans le domaine où la formule de Rayleigh Jeans est inapplicable :
formula_107 
c1 et c2 sont des constantes.
Formule de Planck.
Vers 1900 Planck est arrivé à trouver au début de façon purement empirique une formule conforme à l’expérience dans les deux cas limites (ondes courtes et ondes longues) pour formula_19,
formula_109 
Cette formule est en réalité l’interpolation des formules de Rayleigh Jeans et de Wien. En effet : 
Pour: formula_110 , (Ondes longues et températures élevées), on peut développer en série le terme exponentiel dans le dénominateur :
 formula_111
Dans ce cas la formule de Planck donne :
formula_112
formule qui coïncide avec la formule de Rayleigh Jeans.
Au contraire dans le cas où :formula_113 , ( ondes courtes températures basses ) , on peut donc négliger 1 devant l’exponentiel. Dans ce cas la formule de Planck se réduit à : 
formula_114 
On retrouve donc la formule de wien.
Hypothèse de Planck.
La formule de Planck, comme on l’a vu dans le paragraphe précédent, a résolu le problème de l’expression mathématique de la loi de distribution d’énergie dans le spectre du corps noir. Mais il reste à l’expliquer physiquement. Planck assimile les centres atomiques à des oscillateurs linéaires harmoniques porteurs de charges électriques leur permettant d’effectuer des échanges d’énergie avec le champ électromagnétique environnant. De tels échanges se font de manières discontinues. L’hypothèse introduite par Planck s’énonce de la façon suivante :
L’énergie moyenne d’un oscillateur harmonique s’écrit dans ce cas :
formula_115
 avec formula_116
le calcul de l’énergie moyenne d’un oscillateur harmonique donne : formula_117
avec x = formula_118 
La densité spectrale volumique d’énergie de rayonnement s’écrira donc:
 formula_119
Cette relation doit satisfaire à la loi thermodynamique de Wien formula_120.
On s’aperçoit facilement que formula_121 doit être proportionnelle à formula_29 du fait qu’il apparaît dans l’exponentiel la température à la puissance un et que formula_123 doit être proportionnelle à formula_124.
Il suffit donc de poser formula_125, pour avoir la formule de Planck, h étant la constante de Planck :
formula_126
Comportement asymptotique de la formule de Planck.
le quanta d’énergie formula_127 est faible par rapport à kT,
formula_128 formula_129 formula_130
formula_131
On retrouve donc la formule de Rayleigh Jeans.
formula_132 Et formula_133 formula_129 formula_135
donc: formula_136
On retrouve alors la loi de Wien.