Ébauche en cours
Ici , quelques exercices d'astronomie , niveau licence. Certains exigent déjà des modifications !
Ils sont tous basés sur la connaissance minimale de l'analyse dimensionnelle [ cf OdGL (Ordres de Grandeur Littéraux) et SUN (Système d'unités naturel) et autre dahus de la WP ].
L'article séminal est celui de Weisskopf dans Am.J.Phys. : why the sun shines ? 
La notion fondamentale à retenir est :
ce qui ramène tout à une échelle raisonnable est la "constante d'Avogadro stellaire":
C'est bien là l'utilité principale des dahus (dimensionnal analysis of HEURISTIC unit systems): éviter au maximum l'attitude copernicienne de tout ramener à l'Homme (par exemple le nombre d'Avogadro ordinaire n'est ni grand , ni petit : c'est la taille de ce qui tient dans la main , exprimé en atomes) ou à NOTRE Soleil (étoile TRÈS ordinaire), ou Notre Galaxie, etc. , mais bien au contraire essayer de tout expliquer ("au maximum"), via les constantes fondamentales, caractéristiques du processus.
quelques constantes fondamentales et leurs combinaisons utiles.
cette rubrique est là juste pour apprendre à calculer en OdG numérique, et s'étoffera au fur et à mesure de l'enrichissement de cet article.
On peut donc la passer en première lecture.
Exercice Anthropos :.
calculer formula_1 , avec N_H = nombre de nucléons dans 70kg et comparer à sqrt(N_p).
Exercice Luminosité d'Eddington :.
Calculer une luminosité formula_2 avec Fo la force gravitationnelle entre deux protons distants de ro = d.u[e²,m, c].(Cette luminosité a à voir avec un calcul de luminosité d'Eddington)
Exercice section de Thomson :.
la section efficace de Thomson est formula_3 . Montrer que le temps mis par un photon pour sortir d'un disque de rayon R contenant N électrons et N protons est indépendant de R. ! 
Souvent en astrophysique , on préfère utiliser l'opacité (s/m) en m²/kg.
En fait celle de Thomson ne joue que pour les étoiles très lumineuses, et en fait , c'est plus une opacité de Rosseland-Gaunt-Kramers (p 274Carroll) qu'il convient d'utiliser dans la majorité des cas. On en verra plus tard la répercussion.
Exercice pic de Gamow(1928):.
un paramètre fondamental de la théorie stellaire est la température d'un réacteur de fusion :
nous verrons que la théorie de Gamow conduit à l'optimiser (pour la fusion de l'hydrogène) à : 
kT tel que : f(E) = sqrt(Eo/E) + E/ kT minimum.
Montrer que le théorème de Didon conduit immédiatement à une énergie optimale : [ Eo^2.kT/2]^(2/3). Cela conduit ensuite à des calculs de physique nucléaire à environ kT* = 10keV qui sera prise comme référence par la suite [ en fait ces calculs font intervenir à la fois l'interaction faible et l'interaction forte, et il faudrait donc introduire leurs paramètres ici] 
Exercice Four isentropique :.
montrer que si un four a pour taille R telle que kT.R = cste = formula_4, le nombre de photons qu'il contient est indépendant de sa température.
Exercice Pression :.
Évaluer la pression P* = d.u[kT*, hbar,c]; puis évaluer la pression d.u.[G, M , R ] ; prendre ensuite M = mNo. N/No , puis R = Ro M/Mo ; comment varie cette pression centrale avec N ?
P* = kT*^4/hbar^3c^3 = d.u [corps noir]. Il peut sembler étonnant que les étoiles les plus grosses aient une pression au centre plus petite , mais on réfléchira au fait que la densité baisse avec les grosses étoiles (R ~ M !). On peut aussi appliquer brutalement 
PV = 2N.kT* avec V = Vo (N/No)^3.
A.N. : environ 1 Gbar. Ce qui est très curieux est que la masse volumique reste dans des zones proches de la matière ordinaire : typiquement pour le soleil 2kg/L , et certes 160 kg/L au centre.
Exercice chimie :.
cet exercice est du niveau seconde :
Si l'Hydrogène est ionisé , trouver la masse molaire.
Si on désigne par X la proportion d'hydrogène et Y celle d'hélium , trouver la masse molaire.
S on désigne par Z la métallicité (proportion des atomes tels que A = 2Z) , trouver la masse molaire.
Échelle des masses stellaires.
La masse du Soleil est M = 2 10^30 kg 
Calculer le rapport M/m où m est la masse d'un proton. Comparer à No
par exemple dans le diagramme de Hertzprung-Russell (Luminosité = f(T de surface) ), la Tde surface varie comme k=1/4 et la Luminosité comme k=3; donc L =~ T^12.
Échelles de temps.
Exercice Petit Prince.
Le petit Prince est en survol basse altitude de son petit astéroïde ( de rayon R , de masse volumique formula_5.
Montrer que le temps de révolution est indépendant de R , donc c'est le même que sur Terre , si formula_5 est le même.
Solution : 
formula_7, par la deuxième loi de Kepler. Appliquée à a = R , cette loi donne : formula_8 avec g = GM/R² donc 
Exercice temps free fall.
Par rapport à l'exercice précédent, montrer que le temps d'effondrement , dit de chute libre, d'une boule de gaz de rayon R, de masse volumique formula_5, est 1/sqrt(32) du temps précédent.
Solution : 
Utiliser le Théorème-remarquable-de-Newton (repris par Gauss) : mr" = GM(ro)/r² , avec r = ro et v= 0 comme C.I. (conditions initiales) , pour tour ro < R . 
Via la deuxième loi de Kepler c'est donc un mouvement identique pour toutes les couches (mvt isochrone, auto-similaire), dont la période 2 formula_10 est celle d'une ellipse de demi-grand axe a= R/2 donc période 1/sqrt(8) formula_11 ; soit :
formula_12
Exercice échelle de temps : Kelvin-Helmholtz.
On prend une étoile standard , le Soleil, de rayon R = 700 000 km , de masse M = 2e30kg ,de température de surface Te = 5800K; à supposer formula_5 = cste , quel temps a mis l'étoile à acquérir toute son énergie gravitationnelle (depuis la dispersion où R était très grand) en dissipant sa Luminosité actuelle. Ce temps est appelé formula_14.
Solution : 
L'énergie gravitationnelle est Eg = -GM²/R (3/5) , donc si R diminue, l'étoile libère de l'énergie , émise par luminosité de corps noir : formula_15
d'où le résultat :
l'habitude est de travailler en année (yr) = 3.e7 s soit t(K-H) = 2e7 yr [soit 20 M yr (dixit K-H vers ~1854)]
cela fût fait progressivement :via E= mc² (1905), Aston (défaut de masse:1919), réacteur nucléaire d'Eddington(1920), effet tunnel de Gamow (1928), cycle nucléaire de Bethe (1938) : donc un certain temps avant de lever cette contradiction. Actuellement , on ne comprend pas encore tout, mais l'essentiel, oui (théorème d'unicité de Russell-Vogt, 1928).
Exercice échelle de temps: t nucléaire.
On sait aujourd'hui que la puissance du Soleil vient de la fusion nucléaire (disons pour simplifier : 4p -> He + 2 positons + 2 neutrinos) .
Trouver la durée de vie du Soleil , puis d'une étoile plus massive. 
Solution :
t nucléaire = E(disponible)/Luminosité = k. (M/m)/ L = 3.2 e17 s =~ 10 Gyr (on a appelé k l' apport d'énergie de fusion par proton,soit 0.007.mc² ; et M/m ~ 1e57 est l'OdG du nb de protons dans le soleil ; la luminosité du soleil est 4. 10^(36) W).
Or L = Lo (M/Mo)^3 et E(disponible) = Eo .(M/Mo) donc 
56H -> Fe, on devrait prendre 0.008 , ce qui n'est guère différent : on se doute qu'après avoir brûlé son hydrogène en hélium, tout se déroulera plus vite : stades stables de combustion entrecoupés d'effondrement-sursauts de Kelvin-Helmholtz.
Exercice échelle de temps: t de sortie d'un photon (Thomson).
On suppose que le Soleil est une boule de gaz ionisé où les photons sont sans arrêt absorbés puis réémis par les électrons avec une section efficace de Thomson (formula_16avec e²/mc² = ro et e² = q²/formula_17).
Ils subissent donc une marche au hasard : quel est le temps de sortie ?
Solution : 
la loi de la diffusion est t /formula_18 = (R/l)² avec l = cformula_19 = 1/ sqrt(2) nformula_20 
D'où t = ~ R/c .R/l = R/c . R.nformula_21 = R/c. (ro/R)². N .[(8Pi/3)/(4Pi/3)]sqrt(2) 
A.N : =10 000 yr (et ~ 1/R , ce qui est pseudo-paradoxal: réfléchir à ce pseudo paradoxe en 2D par exemple)
[ si l'on admet qu' en gros R ~ M et non en M^(1/3)]
Le problème est que dans la réalité, l'opacité (liée à la section efficace !) n'est pas donnée par la formule de Thomson, mais par la formule de Kramers , plus compliquée.
Échelle de temps de Kramers.
C'est plus proche de la réalité : la section de diffusion de Thomson ne convient qu'aux très hautes énergie et densité . Si l'on trace un diagramme la section efficace fonction de kT et pour différentes valeurs de densité, on trouve que pour la Séquence Principale , les deux processus les plus influents sont le brems-strahlung (inverse) et dans les régions externes la photoionisation. La section efficace est nettement plus grande. L'opacité aussi , donc la luminosité sera réduite. Donc la durée de vie augmentée.
Échelle de longueur ; l'uniformité, possible ?
Le Soleil a pour rayon R = 700 000 km ; ce qui est très petit par rapport à la taille du Système Solaire = ~ distance de Oort , et à la distance entre étoiles (~ qq A.L.). Ne pas oublier néanmoins que beaucoup d'étoiles binaires existent , et même des binaires serrées !
On compte 0< r < R , à partir du centre.
Il est évident que si l'on pense que le système est en équilibre hydrostatique dans un champ de pesanteur, le dahus donne P(0) = (GM²/R) /R^3 = GM²/R^4 donc en gros 10 000 fois celle au centre de la Terre, et bien sur P(R) ~ 0 (ne veut rien dire ! mettons qq bars!). DONC , ne pas considérer la profondeur est illusoire. Il faudra écrire les équations radiales.
De même, pour la température , on sait qu'au centre du Soleil se produisent des réactions de fusion nucléaire, et on établira qu'elles se situent aux environ de 10 keV ; alors que la température de surface nous est connue (le soleil est jaune : T(R) = 5600 K = ~1/2 eV : il faudra aussi reconstruire T(r).
Pour ce qui est de la densité et donc de la distance a(r) entre protons, les effets se compensent et les variations ne sont pas aussi extrêmes :au centre une densité de 100 , à l'extérieur une densité de 0.01 : à la limite considérer densité constante ne serait pas trop ridicule.
Afin de mieux se rendre compte de cette notion de profondeur on regardera attentivement la figure de coupe suivante : fig p 42.
La luminosité est 1 pour M(r) = 0.6 , r = 0.3 , T = 1keV-10 keV , rho = 10 (tonne/m^3) et P = 10^15 Pa .
Si il fallait faire une théorie "sans profondeur", ce serait en gros les paramètres à prendre. Il conviendra donc de prendre en compte ce qu'on appelle des "facteurs de forme".
Nous allons donner un exemple simple de gravimétrie terrestre juste pour tester ce que cela veut dire : 
la discontinuité de Bullard.
L'intérieur de la Terre est "assez bien" connu grâce à la sismologie. Pour mettre en évidence ce qu'est un facteur de forme on va juste tester deux modèles : 
modèle à une couche : densité constante = 5.5 
et modèle simple : g(r) linéaire jusqu'à R/2 , puis constant = go de R/2 à R . 
Trouver la pression au centre ? 
Ensuite comme g(r) = cste = go ; rho varie en 1/r comme rho(R).R/r , et on en déduit :
P(R/2) -P(R) == P(R/2) = rho(R).R.go. Ln2 .
D'autre part la masse totale M = M(R/2) + 4pi/3 . rho(R).R^3. 9/8 .
En combinant ces deux équations, on voit apparaître la discontinuité noyau-manteau et malgré tout :
P(0) = GM²/R^4 .coef.num2 .
On voit donc que dans ce cas , les modèles "uniformes" (à une zone) donnent bien des choses "raisonnables".
le modèle archi-simpliste.
"À la louche" , en déclarant que l'énergie nucléaire dégagée varie très vite avec T, comme T^n , avec n très élevé , voici ce que le raisonnement d'analyse dimensionnelle "dahus" donnerait : 
Les équations (1) et (2) donnent : 
l'équation très importante, qui va "conditionner" la physique du problème.
où l'on a pris R^3 = a^3 . N
 *[d'où la pression en 1/N²].
L'ESSENTIEL du diagramme Hertzprung-Russell est trouvé :
mais on n'attachera pas plus de valeur qu'il ne faut à ce modèle dit "ordre zéro" , car on l'a vu les facteurs de forme sont importants : il importe d'étudier l'étoile dans sa profondeur.
SUN du corps noir.
Ce système d'unités naturelles est fondamental ; il est basé sur le dahus d.u.[kT , c et formula_23] , on en déduit beaucoup de choses.
On demande donc de rétablir d'adord ce dahus : 
distance moyenne entre photons d : kT = formula_23c/d , donc n ~ 1/d³
temps caractéristique = d/c
masse caractéristique : kT/c² (ce qui est bizarre pour des corps de masse nulle ! Évidemment, il faut plutôt penser impulsion !)
On en déduit : 
car l'entropie S est telle que G := U +PV - TS = 0 car potentiel chimique nul : 
Il en résulte donc S/k = n.V = Nb de photons.
L'exemple classique est celui de l'extension adiabatique d'un corps noir : Nb de photons reste constant soit 
V.(kT)³ = cste.
Or dans une étoile, le théorème du viriel conduit à kT. R = cste : on en déduit que le nombre de photons dans une étoile est un nombre universel : cela est évidemment trop simpliste , mais donne l'OdG.
Nb de Photons constant !
Montrer que si kT.a = cste = formula_25, alors le nb de photons dans l'étoile est constant: