Groupe des translations.
Définition, propriétés.
Considérons l'ensemble infini des translations "t" d'un réseau de dimension "n". Soit une loi interne de composition • telle que la composition des translations "t" et "t", de vecteurs τ et τ, produit une translation "t" de vecteur τ=τ+τ : "t"•"t"="t". L'ensemble des translations du réseau muni de la loi interne • forme un groupe, noté T, dont les éléments sont les translations du réseau. En effet :
D'autre part, le groupe des translations T est un groupe abélien : pour tout couple de translations "t" et "t", "t"•"t"="t"•"t", c'est-à-dire que l'ordre dans lequel sont effectuées les translations ne change pas le résultat. Par simplicité de notation, on écrira par la suite "t""t" au lieu de "t"•"t".
L'« ordre » d'un groupe est le nombre d'éléments qui le forment. Le groupe des translations T contient une infinité d'opérations de translations, son ordre est donc formula_1.
Éléments générateurs.
Les translations de vecteurs de base e du réseau (avec la translation de vecteur nul qui est l'élément neutre) permettent par l'application de la loi de composition de reconstruire l'ensemble des éléments du groupe T. Les translations de vecteur e forment un « jeu de générateurs » du groupe T. Ce jeu de générateurs contient un nombre fini d'éléments, plus précisément, le nombre d'éléments générateurs de T est égal à la dimension "n" de l'espace dans lequel ont lieu les translations. Dans l'espace bidimensionnel, les éléments générateurs de T sont les translations des vecteurs a et b, "t" et "t". Dans l'espace tridimensionnel, les éléments générateurs de T sont les translations des vecteurs a, b et c, "t", "t" et "t".
Sous-groupes.
Le groupe des translations T contient une infinité de sous-groupes. Les « sous-groupes triviaux » de T sont T lui-même et le groupe ne contenant que l'élément neutre, E (ceci est valable pour tous les groupes). Les autres sous-groupes de T sont les « sous-groupes propres » de T et sont formés par l'application de la loi de composition sur un jeu de générateurs contenant un nombre de translations de vecteurs de base inférieur à "n", ou sur un jeu de générateurs contenant des translations de vecteurs multiples des vecteurs de base, etc. La notation U<T signifie que le groupe U est un sous-groupe de T.
Par exemple, le groupe T formé par les translations "t" de vecteurs combinaisons linéaires de τ=a est un sous-groupe de T :
Les vecteurs des translations de T sont tous parallèles à la direction "a".
De même, le groupe T formé par les translations "t" et "t" de vecteurs combinaisons linéaires de τ=a et τ=b+c est un sous-groupe de T. Les vecteurs des translations de T sont tous parallèles au plan (a,b+c).
De manière générale, le groupe T d'un réseau de dimension "m" est un sous-groupe de T si "m" est inférieur ou égal à "n".
Isomorphisme.
Deux groupes T et U d'éléments "t" et "u" sont isomorphes si il existe une application bijective "f" telle que pour tout élément "t" de T, "f"("t")="u", et qui préserve la structure de groupe, et dont l'application réciproque "f", telle que pour tout élément "u" de U, "f"("u")="t", préserve aussi la structure de groupe. D'autre part, "f" doit vérifier les relations suivantes :
Les relations d'isomorphisme entre groupes permet de les classer en « classes d'isomorphisme » ou « groupes abstraits », qui contiennent des groupes de mêmes propriétés. En particulier, deux groupes isomorphes ont le même ordre.
Par exemple, dans l'espace unidimensionnel, soit T le groupe contenant l'ensemble des translations de réseau dont l'élément générateur est la translation "t" de vecteur a. Soit U le groupe dont l'élément générateur est la translation "u"="t" de vecteur 2a. U est un sous-groupe non trivial de T : il est inclus dans T mais il ne contient pas toutes les translations de vecteurs combinaisons linéaires impaires de a, (2"n"+1)a où "n" est un nombre entier. Soit "f" l'application qui associe à une translation "t" de T la translation de vecteur double : "t" est un élément de U (et de T). La condition "f"("t't")="f"("t")"f"("t") est vérifiée : le vecteur double de la translation "t't" est égal à la somme des doubles des vecteurs des translations "t" et "t". L'application réciproque de "f" est "f" qui associe à une translation "u" de U la translation de vecteur moitié : "t" est un élément de T (mais pas forcément de U si "n" est impair). La condition "f"("u'u")="f"("u")"f"("u") est aussi vérifiée. Les deux groupes U et T sont donc isomorphes.
Par contre, dans le premier exemple tridimensionnel de la section précédente, le sous-groupe T de T n'est pas isomorphe à T : il n'existe pas d'application permettant d'associer de manière unique à tout élément de T un élément de T.

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