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Mouvement linéaire
Introduction.
La cinématique est la science de la description du mouvement. L'origine du mot, grec "κινημα" (kinêma), le mouvement, est la même que celle du mot cinéma. 
Il s'agit de rendre compte des différentes manières de décrire le mouvement d'un corps dans l'espace. Cette description n'implique pas la détermination des causes du mouvement. 
La détermination des causes du mouvement, les "forces", fait partie de ce qui constitue la dynamique.
Position.
Dimensions.
Une dimension.
On dira du mouvement d'un système qu'il est unidimensionnel ou à une dimension quand il se fait selon une ligne, en particulier pour nous et par facilité, selon une droite.
Il suffit dans ce cas d'une seule information concernant la position par rapport à un point de repère pour pouvoir dire précisément où se trouve l'objet. Cette seule w:coordonnée sera souvent appelée x et dépendra du temps dans la mesure où le mobile se déplace. On pourra donc écrire x = x(t)
Ce sont les cas que nous traiterons dans un premier temps car ils sont à la base des autres descriptions.
Quelques exemples sont :
Deux dimensions.
On dira du mouvement d'un système qu'il est bidimensionnel ou à deux dimensions quand il se fait dans un plan.
Trois dimensions.
On dira du mouvement d'un système qu'il est tridimensionnel ou à trois dimensions quand il se fait dans l'espace.
Système de référence ou d'axes.
La description de tout mouvement doit être faite par rapport à des références bien connues et explicitées. Par exemple, on s'éloigne de chez soi, ce qui définit le point de repère initial. Le ou les axes qui constituent une référence adéquate pour préciser convenablement et complètement le mouvement d'un objet représentent un système de référence. 
Il sera souvent, par facilité, constitué d'un ou plusieurs axes gradués et perpendiculaires (synonyme: orthogonaux). Les axes doivent simplement ne pas être parallèles et se croiser mais en pratique, il est plus simple qu'ils soient orthogonaux.
Nous allons ici, pour la facilité encore, nous limiter aux mouvements unidimensionnels. La généralisation à deux dimensions est assez simple et naturelle pour des systèmes d'axes et de coordonnées cartésiens. Cette généralisation est technique et complique les calculs mais ne change pas les principes. 
Nous ne verrons pas d'autres types de système d'axes. En revanche vous trouverez en annexe B deux autres systèmes de coordonnées : circulaires (bidimensionnel) et sphérique (tridimensionnel). Ils sont assez simples pour être compris sans difficultés.
Un système d'axes est donc, à une dimension, une ligne orientée (munie d'un sens), c'est-à-dire une flèche, munie d'une origine notée O, d'une unité de longueur notée 1 et de graduations multiples de cette unité. On la représente comme indiqué à la figure 2.1 et on la nomme généralement x.
Position.
La position d'un objet est tout simplement le point coïncidant sur l'axe avec le lieu où se trouve l'objet. À une dimension, elle est souvent notée formula_1 et prend pour valeur celle donnée par le choix de l'origine et de l'unité. Exemple à la figure 2.2.
On écrira alors dans ce cas particulier : formula_2.
Bien entendu, si l'objet se déplace dans un plan, la position devient le vecteur position formula_3, repéré par deux coordonnées. Par exemple, on pourrait avoir :
formula_4 cm
Déplacement.
Le déplacement, noté D ou formula_5x est la différence entre les positions initiales et finales de l'objet. On peut donc écrire : formula_6. En deux dimensions, x est simplement un vecteur
Distance parcourue.
Il ne faut pas confondre déplacement et distance parcourue. Si un objet part d'un point parcourt une certaine distance et y revient, son déplacement est nul. Par contre sa distance parcourue, notée d, ne l'est pas.
Vitesse.
Vitesse moyenne.
La vitesse moyenne d'un objet est donnée par :
formula_7
En d'autres termes :
formula_8
Les unités de la vitesse sont : formula_9
En deux dimensions, la définition de la vitesse est identique sauf que la notation vectorielle apparaît.
Exemples.
Exemple 1.
Un objet se déplace de x = 3 m à x = 7 m en 10s. Quelle est sa vitesse moyenne ?
=0,4\, m/s
Exemple 2.
Un objet se déplace de x = 30 km à x = 10 km en une demi-heure. Calculez sa vitesse moyenne en km/h et en m/s.
Vitesse instantanée.
La vitesse instantanée d'un objet est la vitesse qu'il a à un instant précis et non au cours d'un intervalle de temps donné. Cette vitesse est obtenue en raccourcissant l'intervalle de temps entre les deux mesures de position finale et initiale, jusqu'à ce que cet intervalle soit infiniment court, c'est-à-dire nul. On a alors la vitesse instantanée à ce moment précis. Ainsi on peut écrire formellement :
formula_10
et on verra que cette opération mathématique de limite correspond à la notion de dérivée.
Accélération.
Accélération moyenne.
L'accélération moyenne d'un objet est donnée par :
formula_11
Les unités de l'accélération sont [a]=m/s².
En deux dimensions, la définition de l'accélération est identique sauf
que la notation vectorielle apparaît.
Exemples.
Exemple 1.
Un objet accélère de formula_12 à formula_13 en formula_14. Quelle est son accélération ?
Exemple 2.
Un objet passe de 20 m/s à 36 km/h en 10s. Quelle est son accélération ?
Réponse : 36 km/h = 36/3,6 = 10 m/s. Ainsi a = (10 - 20)/10 = - 1 m/s². L'accélération est négative. Cela signifie ici que l'objet freine. On parle alors d'un cas particulier d'accélération : la décélération.
Remarque.
Dans le calcul de l'accélération, il faut toujours tenir compte des vitesses avec leur signe. Ainsi, il est possible de concevoir un objet qui ne décélère pas et dont l'accélération est négative (voir exercices).
L'accélération instantanée.
De la même manière que pour la vitesse instantanée, on peut définir l'accélération instantanée par :
formula_15
Mouvements simples.
Le mouvement rectiligne uniforme MRU.
Définition.
Un objet est dit en mouvement rectiligne uniforme (MRU), s'il se déplace
en ligne droite et à vitesse constante.
Propriétés.
De la définition de la vitesse on tire :
formula_16
car la vitesse v au cours du temps ne change pas. Elle est donc la même à un instant t quelconque et à l'instant t=0 s, moment où on la note formula_17.
Ainsi, on peut écrire
formula_18
Cette équation donne la position x(t) d'un objet au cours du temps en fonction de sa vitesse formula_17 (constante), de l'instant t qu'on considère et de sa position initiale formula_20. C'est une droite affine de pente formula_17 et d'ordonnée initiale formula_20.
Un exemple : Apollo en route vers la lune.
Il s'agit ici d'un exemple - contre-exemple, comme nous allons le voir par la suite. D'une manière très grossière, on peut décrire le mouvement d'une capsule Apollo en route vers la Lune en trois phases :
Pendant la phase de transfert entre les deux orbites\index{orbite} terrestre et lunaire, on peut faire l'hypothèse d'un MRU. Nous verrons par la suite la validité de cette hypothèse. En utilisant les différentes grandeurs données ci-dessous, calculez la vitesse moyenne de la capsule Apollo 12 lors de son transfert vers la Lune.
On a besoin des données suivantes :
Trouvez vous même les données manquantes et la solution.
Remarques importantes.
En réalité le mouvement de la capsule est loin d'être un MRU. En effet, la Terre et la Lune exercent leurs attractions respectives. Ainsi, si la vitesse initiale de rotation de la capsule autour de la terre était de 28000 km/h, celle-ci était augmentée par la propulsion pour se dégager de la terre jusqu'à une valeur de 38000 km/h. 
Ensuite, l'attraction de la terre freinait constamment le vaisseau jusqu'au point d'équigravité (à 300 000 km de la terre) où elle valait environ 5000 km/h. Puis il réaccélérait sous l'effet de l'attraction lunaire pour parvenir à une vitesse de 8000 km/h. Cette vitesse étant trop grande pour le satelliser autour de la Lune, il fallait enfin le freiner à l'aide de propulseurs auxiliaires.
On voit ainsi que le mouvement des engins spatiaux est loin d'être un mouvement aussi simple qu'on pourrait le penser étant donné le vide dans lequel ils se trouvent.
Bien entendu, ce mouvement devait être parfaitement connu pour pouvoir amener des hommes sur la Lune. Nous verrons dans le chapitre suivant qu'en réalité ce mouvement peut être assez facilement déterminé grâce à la loi de la gravitation universelle de Newton.
Autre exemple : le déplacement d'Andromède.
Contrairement à la plupart des galaxies, qui s'éloignent de nous en raison de l'expansion de l'univers, celle d'Andromède (ainsi que celles du groupe local) se rapproche de nous.
À l'aide des données ci-dessous, calculez dans combien d'années elle rencontrera notre galaxie, la Voie Lactée.
Le calcul est le suivant :
Mouvement rectiligne uniformément accéléré MRUA.
Définition.
Un objet est dit en mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA), s'il se déplace en ligne droite et une vitesse qui change linéairement avec le temps, c'est-à-dire avec une accélération constante.
Propriétés.
On montre (voir annexe G.1) que pour un MRUA, on a :
formula_28
où x(t) est la position de l'objet au cours du temps, formula_29 son accélération initiale (et donc son accélération tout court), formula_30 sa vitesse initiale, formula_31 sa position initiale et t l'instant qu'on considère.
Par définition de l'accélération, on a aussi :
formula_32
formula_33
Ainsi, on peut écrire :
formula_34
Comme on le voit, la vitesse au cours du temps est une droite affine de pente formula_29 et d'ordonnée initiale formula_30. D'autre part, la position au cours du temps est une parabole (en formula_37).
Finalement, on peut constater que le MRU n'est qu'un cas particulier de MRUA. En effet, il suffit de poser formula_38 dans les équations du MRUA pour retrouver celle du MRU.
Exemple : la chute libre.
Historiquement, le problème de la chute libre fut résolu dans le cadre de la remise en question des théories d'Aristote (voir plus loin). Disons, en substance, que ce problème fut la première pierre de l'édifice théorique qui permit de réunifier deux mondes dont la séparation par Platon fut reprise par Aristote : le monde sublunaire (en dessous de la Lune) et le monde supra-lunaire (en dessus de la Lune). Pour Aristote, la physique dans ces deux mondes n'obéissait pas aux même lois. Or, on va voir que les propriétés de la chute libre à la surface de la Terre sont les mêmes que celles de la chute de la Lune sur la Terre. Cette découverte mena à la réfutation totale de la théorie d'Aristote et permit aux physiciens la prétention extraordinaire de pouvoir décrire tout l'univers avec les mêmes lois. La résolution du problème de la chute libre fut donc un évènement très important, pour ne pas dire essentiel, dans l'histoire de la physique, même s'il paraît aujourd'hui d'une moindre importance. Comme par ailleurs, il est un exemple idéal de par sa simplicité et ses facilités expérimentales pour la présentation de la notion d'accélération, il mérite d'être étudié attentivement.
Définition.
La chute d'un objet est dite libre quand elle se fait en l'absence totale de tout frottement. Un bon exemple est donné par la chute d'un objet à la surface de la Lune (qui n'a pas d'atmosphère). On peut aussi considérer la chute d'un objet dans un tube à vide ou encore tout simplement la chute d'un objet à la surface de la Terre, pour autant qu'elle ne dépasse pas quelques mètres. Dans ces conditions, en effet, le frottement est assez faible pour être négligé.
Propriétés.
On montre alors que la chute libre d'un objet ne dépend pas de sa masse. Cela signifie que deux objets en chute libre comme un marteau et une plume tomberont exactement de la même manière (voir vidéo et tube à vide). D'autre part, dans les conditions d'une chute de faible hauteur, l'accélération a une autre propriété importante. Mais pour la déterminer, il faut réaliser l'expérience suivante :
Expérience.
on lâche une petite bille d'une hauteur connue et on mesure son temps de chute.
Le tableau 2.2 donne les résultats obtenus.
Calculs.
À partir des mesures brutes du tableau 2.2, on calcule les vitesses moyennes de chaque intervalle de temps ainsi que les temps moyens correspondants :
formula_39
Les résultats se trouvent dans le tableau 2.3.
À partir des résultats des tableau 2.2 et 2.3, on construit ensuite les graphes horaires (le temps est toujours placé sur l'axe des x) suivants : hauteur en fonction du temps (h vs t : figure 2.3) et vitesse en fonction du temps moyen (v vs t : figure 2.4) (vs signifie "versus" c'est-à-dire "en fonction de" en latin).
Analyse des résultats.
Commençons par analyser le graphe de la figure 2.4, plus particulièrement celui de la vitesse en fonction du temps. Il correspond à une fonction linéaire. Cela signifie que la vitesse augmente toujours de la même manière, que pour un intervalle de temps donné l'augmentation de vitesse est toujours la même ou en fin de compte que l'accélération est constante. Bien évidemment cette dernière n'est autre que la pente du graphe puisqu'elle s'exprime comme le rapport d'une différence de vitesse par une différence de temps. Comme précisé sur le graphe, la pente vaut 9,81 m/s². Le mouvement est donc rectiligne uniformément accéléré. Son accélération est appelée accélération terrestre et notée g.
En ce qui concerne l'autre graphe de la figure 2.3, plus particulièrement celui de la position en fonction du temps, on observe clairement la parabole correspondant à un MRUA. L'expression générale permet donc aussi de calculer la valeur de l'accélération terrestre en multipliant le coefficient devant le t² par deux. On retrouve bien la valeur de 9,81 m/s².
Conclusion.
La chute libre est un mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA). Son accélération est dite accélération terrestre et vaut g = 9,81 m/s².
Un autre exemple : la balistique.
Jusqu'à présent, pour la chute libre, le mouvement se déroulait en une dimension. Dans le cas de mouvements dits « balistiques », le mouvement se fait en première approximation dans un plan. Les exemples typiques de ce type de mouvement sont ceux d'un obus de canon, d'une balle de fusil, d'une balle de football, ... . 
Définition.
En réalité les mouvements donnés en exemple ci-dessus sont plus complexes que le mouvement simple dit « balistique ». En effet, pour qu'un mouvement d'un objet soit dit « balistique », il faut non seulement que ce dernier se déplace dans un plan, mais encore qu'il le fasse sous l'effet de son poids et en l'absence de frottement.
Propriétés.
On montre (voir vidéo) qu'un mouvement balistique est en fait composé de deux mouvements simples : horizontalement, on a un MRU et verticalement, un MRUA d'accélération a = 9,81 m/s².
Remarquons que cela implique qu'un objet lancé horizontalement (sans aucune vitesse verticale) depuis le haut du pont du Gard, par exemple, tombera dans le même temps qu'un autre simplement lâché du même endroit. Pratiquement cela signifie qu'ils arriveront exactement au même moment au sol.
Numériquement.
On lance un caillou du haut du pont du Gard avec une vitesse horizontale de 1 m/s. Il arrive au sol à une distance de 3,16 m du pied de l'endroit d'où il a été lancé. Quelle est la hauteur du pont du Gard ?
Réponse :
formula_40
Dernier exemple : La chute libre ... de la Lune.
La question est ici de savoir pourquoi la Lune "tient" au-dessus de notre tête.
La réponse d'Aristote était qu'il est naturel pour un objet du monde supra-lunaire (dont la Lune fait partie) de suivre le type de mouvement propre à ces objets divins : un mouvement circulaire. Un tel objet n'est en effet pas soumis à la même physique que les objets du monde sublunaire, ceux qui se déplacent à la surface de la Terre. La Lune ne tombe donc pas sur la Terre.
Pour les physiciens actuels, la même physique doit être valable dans tout l'univers. Ainsi, la Lune, comme un autre objet à la surface de la Terre, est soumise à son poids, c'est-à-dire à l'attraction de la Terre. Elle devrait donc tomber sur celle-ci. Or, manifestement, elle ne le fait pas. Cela signifie-t-il alors que son poids est nul ? Si on considère que la Lune est un objet comme un autre, cela ne peut être le cas. Comment donc expliquer qu'elle ne tombe pas ?
On pourrait répondre à cette question en admettant, même si cela paraît paradoxal, qu'en réalité elle tombe. L'idée est la suivante : supposons qu'on lance un objet horizontalement un peu en-dessus de la surface de la Terre. Appelons v la vitesse horizontale initiale. Si v est nulle, l'objet tombe en chute libre. Si v est non nulle, mais petite, l'objet est en mouvement balistique
et il tombe sur la terre quelques mètres plus loin. Plus v est grande, plus la distance qu'il parcourt à la surface de la Terre est grande. Si la vitesse est assez grande, l'objet semble suivre la courbure de la Terre, tout en tombant petit à petit jusqu'à sa surface. À la limite, pour une vitesse donnée, l'objet tombe « en même temps » que la courbure de la terre fait « descendre » sa surface (cf. figure 2.5). C'est comme s'il la ratait alors en permanence. Ainsi, il peut tomber sur la Terre tout en tournant autour d'elle.
De façon plus détaillée, mais partiellement inexacte comme nous le verrons plus tard, on pourrait dire que la Lune tombe sur la Terre d'une hauteur égale à la distance Terre-Lune en un quart de la période de rotation de la Lune autour de la Terre (cf. figure 2.6).
De cette manière, on peut calculer la valeur de l'accélération que devrait avoir la Lune dans sa chute sur la Terre pour « tomber » d'un quart de tour. Très grossièrement, en confondant la chute de la Lune avec un simple mouvement balistique dont la composante verticale est un MRUA, on pourrait en effet écrire :
formula_41
où T est la période de rotation de la Lune autour de la Terre. Ainsi :
formula_42
Cette valeur est d'un bon ordre de grandeur puisqu'en réalité l'accélération (vers la Terre) de la Lune vaut :
formula_43
Bien entendu, ces deux valeurs sont néanmoins assez différentes. Cependant, étant donné les hypothèses très grossières qui ont été faites, obtenir un bon ordre de grandeur est un résultat remarquable. En effet, on a considéré que le mouvement était balistique, c'est-à-dire qu'à tout instant la direction dans laquelle la Lune tombe est la même. Or, étant donné la courbure de la Terre, sur un quart de période, cette direction varie de 90°. En réalité, le mouvement n'est donc pas balistique, mais central, c'est-à-dire que la chute de la Lune se fait toujours vers un même point. Ainsi, le mouvement réel de la Lune ne se fait pas sur une parabole, comme dans le cas d'un mouvement balistique, mais sur une ellipse (très proche d'un cercle).
Quoi qu'il en soit, l'idée que la Lune tombe en permanence sur la Terre peut parfaitement expliquer qu'elle tienne apparemment en apesanteur au-dessus de notre tête, pour autant qu'elle soit animée d'une vitesse non nulle parallèle à la surface de la Terre, que celle-ci ait une valeur bien précise et, bien entendu, qu'elle ne soit soumise à aucun frottement.
Nous verrons au prochain chapitre (préciser la référence) avec la dynamique de Newton (sa théorie du mouvement) et sa loi de la gravitation universelle (préciser la référence), que le mouvement des objets en rotation autour de la Terre comme la Lune, mais aussi comme les satellites artificiels, est parfaitement expliqué par l'idée de la chute d'objets à vitesse initiale tangentielle non nulle.
Remarquons enfin que cette idée a été remise en question par Einstein dans sa théorie de la relativité générale. Celui-ci revient en effet à l'idée d'un mouvement "naturel" sans contrainte, sans attraction par la Terre, dans un espace courbe.