Topologie/Bases d'ouverts
Topologie engendrée par une collection de parties.
Soient formula_1 un espace topologique et formula_2 une collection de parties de formula_1.
Théorème — L'intersection d'une famille de topologies sur formula_1 est encore une topologie sur cet ensemble.
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On appelle "topologie engendrée" par formula_2 la topologie formula_6 obtenue en intersectant toutes les topologies sur formula_1 contenant formula_2. C'est ainsi la moins fine de toutes les topologies sur formula_1 contenant formula_2.
Base d'un espace topologique.
Une collection formula_11 d'ouverts de formula_1 est une "base d'ouverts" si tout ouvert est réunion d'éléments de formula_11.
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Théorème — Si une collection formula_11 de parties de formula_1 vérifie les deux conditions suivantes :
alors il existe une topologie sur formula_1, et une seule telle que formula_11 en est une base — c'est la topologie engendrée par cette collection.

Topologie/Espace métrique
Définition.
On appelle "distance" sur un ensemble formula_1 toute application formula_2 qui vérifie pour tous formula_3
Muni d'une distance, l'ensemble formula_1 devient un "espace métrique". Pour préciser la distance considérée, on dira s'il y a ambiguïté que formula_5 est un espace métrique. 
Remarque Une distance est toujours positive, en effet la séparation donne formula_6, avec l'inégalité triangulaire on a formula_7 puis avec la symétrie formula_8, d'où formula_9.
Topologie d'espace métrique.
On appelle "boule ouverte" centrée en formula_10 et de rayon formula_11 l'ensemble formula_12 des points qui sont situés à une distance inférieure à formula_13 du centre, c'est-à-dire l'ensemble formula_14.
Il est facile de vérifier que l'ensemble des boules ouvertes forme une base de la topologie engendrée par celle-ci (cf. le théorème vu dans la section précédente). On dit que les boules forment une base d'ouverts de la "topologie d'espace métrique" sur formula_5.<br>
Ainsi, une partie formula_16 de formula_1 est ouverte si, et seulement si pour tout formula_18, il existe formula_11 tel que formula_20. En d'autre termes, en chaque point d'un ouvert on peut trouver une boule ouverte centrée en ce point et contenue dans l'ouvert.

Goélette Cardabela/Calcul des espars/Couverture

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 1 Introduction - Définition de l'« espar »
 2 Unités de mesure
 3 Les mâts
 3.1 Généralités sur les mâts
 3.2 Calcul de résistance des mâts à la compression
 3.2.1 Exemple de calcul pour des mât ronds pleins en mélèze
 3.2.1.1 Calcul pour un mât en mélèze de 10 cm de diamètre
 3.2.1.2 Corollaire pour un mât en mélèze de 20 cm de diamètre
 3.2.2 Exemple pour un mât creux en aluminium
 3.2.2.1 Calcul pour un mât de 5,4 kg par mètre
 3.2.3 Conclusion
 3.3 Calcul de la résistance des mâts au flambage
 3.3.1 Formule générale à la rupture
 3.3.1.1 Charge critique au flambage
 3.3.1.1.1 Charge critique pour les espars guidés aux extrémités
 (Exemples pour le bois et l'aluminium)
 3.3.1.2 Charge pratique de résistance au flambage
 3.3.2 Exemple de calcul pour un mât plein en mélèze
 3.3.3 Exemple de calcul pour un mât rond creux en aluminium
 3.3.4 Exemple de calcul pour un mât elliptique creux en aluminium
 3.3.5 Conclusion
 3.4 Notes et références
 4 Les épontilles
 4.1 Calcul des épontilles de sections rectangulaires
 5 Les beauprés
 5.1 Calcul de beauprés de sections rectangulaires
 5.2 Comment effectuer ce calcul de compression du beaupré ?
 5.3 Exemple pratique
 5.3.1 Quelle doit être la section du beaupré en bois ?
 5.3.2 Résistance au travail de compression
 5.3.3 Charge limite au flambage
 5.3.4 Conclusion
 5.4 Notes et références
 6 Liens
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Topologie/Adhérence, intérieur...
On se place dans tout ce qui suit sur un espace topologique formula_1 quelconque.
Notion de voisinage.
Une partie formula_2 de formula_1 est un "voisinage" d'un point formula_4 s'il existe un ouvert formula_5 tel que formula_6. Autrement dit, un voisinage d'un point est une partie de l'espace topologie qui contient un ouvert contenant ce point.
Une caractérisation intéressante des ouverts est la suivante : pour qu'une partie soit ouverte il faut, et il suffit que ce soit un voisinage de chacun de ses points.
En pratique, cette caractérisation des ouverts sert très souvent pour montrer qu'une partie est ouverte (notamment en présence d'une base d'ouverts), voire même rendre des propriétés topologiques beaucoup plus évidentes...
Les voisinages vérifient des propriétés plutôt remarquables, les voici (leurs démonstrations sont assez directes et ne sont pas très difficiles) :
En fait, l'ensemble des voisinages d'un point forme ce qu'on appelle un filtre (notion que nous n'aborderons pas) sur formula_1...
Intérieur.
Un point formula_9 de formula_1 est dit "intérieur" à une partie formula_26 quand cette partie est un voisinage de ce point. On appelle "intérieur" de formula_26 l'ensemble des points qui lui sont intérieur, on le note formula_28 ou formula_29.
Propriété caractéristique — L'intérieur d'une partie est le plus grand ouvert contenu dans cette partie.
Voici quelques propriétés des intérieurs faciles à établir :
Adhérence.
Un point formula_9 de formula_1 est dit "adhérent" à une partie formula_26 quand tout voisinage de ce point rencontre formula_26, c-à-d pour tout voisinage formula_2 de formula_9, on a formula_39. On appelle "adhérence" de formula_26 l'ensemble des points qui lui sont adhérent, elle est notée formula_41 ou formula_42.
Propriété caractéristique — L'adhérence d'une partie est le plus petit fermé contenant dans cette partie.
Propriétés des adhérences :
On peut lier les concepts d'adhérence et d'intérieur à travers la propriété suivante :
Point d'accumulation et point isolé.
On appelle "point d'accumulation" d'une partie formula_26 tout point formula_9 de formula_1 qui est adhérent à formula_49. On appelle "ensemble dérivé" de formula_26 l'ensemble noté formula_51, des points d'accumulation de formula_26. On peut montrer que formula_53...<br>
Un point sera dit "isolé" dans formula_26 s'il appartient à cette partie sans y être un point d'accumulation.
Bord d'une partie.
On appelle "bord" (ou "frontière") d'une partie formula_26 l'ensemble formula_56 (l'adhérence privée de l'intérieur). Avec les propriétés de l'adhérence, on peut aussi écrire formula_57.
Propriétés du bord :

Topologie/Continuité et homéomorphismes
Dans ce qui suit formula_1 et formula_2 sont des espaces topologiques quelconques.
Continuité.
Une fonction formula_3 est dite "continue" en un point formula_4 lorsque l'image réciproque de tout voisinage de formula_5 est voisinage de formula_6.<br>
La fonction formula_7 est dite "continue sur" formula_1 (ou simplement "continue") si elle est continue en tout point de formula_1. Elle est dite continue sur une partie formula_10 de formula_1 si sa restriction à formula_10 l'est (bien entendu, en munissant cette partie la topologie induite).
Théorème — Soit formula_3 une fonction, les propositions suivantes sont toutes équivalentes entre elles :

Goélette Cardabela/Fichiers rattachés à tout pour la re-construire

La goélette Cardabela (De 1979 à 1999)Tout pour la reconstruire
Conseils pour accompagner le livre
Annexes.
Les liens ci après permettent de lire ou d'imprimer des images grands formats insérables à la fin du livre.
Plans de la goélette pour impression séparée de chaque image.
En format A4 à l'italienne (paysage) et A4 à la française (portrait) mélangés :
Pour assembler les feuilles selon le mode d'impression :
Conseils.
Le livre La goélette Cardabela (De 1979 à 1999) - Tout pour la reconstruire peut être mis en coffret avec les livrets complémentaires :

Précis d'épistémologie/La pédagogie de l'autonomie