(3)  
(2)  
La relation (4) montre que l’énergie de l’électron pour la charge considérée dépend uniquement du demi grand axe de l’orbite et indépendant de l’excentricité : toutes les orbites ayant même grand axe a possèdent la même énergie.
Si la vitesse aréolaire de l’électron est égale à c, , alors au cours de la révolution complète T le rayon vecteur balayera une aire S=cT.
Par ailleurs la vitesse aréolaire peut être exprimée en fonction du moment cinétique c=L/2m. Or : L=P donc
D’autre part, l’aire S de l’ellipse de demi axes a et b se définit par 
Car . Ce qui donne : (5).
La relation (2) permet de donner : (6)
D’après l’électrodynamique classique chaque électron possédant une accélération doit rayonner de l’énergie de façon continue, la fréquence de la radiation émise étant égale à la fréquence mécanique du mouvement de la particule. Cette fréquence est donc telle que :
Si l’électron émet un rayonnement lors de son mouvement son énergie doit diminuer de façon continue, le mouvement de l’orbite doit décroître continuellement et par conséquent la fréquence de la radiation émise doit croître de façon continue donnant naissance à un spectre continu et à l’impossibilité d’états stationnaires et donc à un système instable.
E diminue  -E augmente 1/a augmente  a diminue  l’électron s’approche du noyau
L’électron finira donc par tomber sur le noyau, on a donc un système instable.
3- Le modèle de Bohr 
 L’expérience de Rutherford a démoli le modèle de Thomson en donnant la preuve de l’existence du noyau et elle a préparé le terrain pour Bohr pour élaborer son modèle. Bohr avait compris que le modèle planétaire partant d’une hypothèse confirmée expérimentalement conduit à un système instable, et le modèle doit donc être complété sans rejeter ses propos. Bohr il avait déjà interprété les raies spectrales en termes de niveaux d’énergie des atomes, à l’aide de la loi : . Et il connaissait aussi l’expression de la longueur d’onde émise du spectre de l’hydrogène relié par la relation expérimentale de Balmer-Rydberg :
De cela Bohr il a eu l’intuition d’introduire l’idée de quantification du moment cinétique, l’hypothèse essentielle dans son modèle conduisant aux orbites stationnaires.
 I- Les postulats de Bohr
 L’atome d’hydrogène est constitué dans le modèle de Bohr par un électron décrivant un cercle ayant pour centre le noyau supposé fixe.
Bohr postule que :
 a- L’électron à un mouvement circulaire uniforme.
 b- Les seuls orbites permises pour l’électron sont celles pour lesquels le moment cinétique satisfait à : .
 c- L’atome rayonne seulement lorsqu’il saute d’une orbite à une énergie supérieure Ei vers une orbite à une énergie inférieure Ef telle que : Ei- Ef = hif, if étant la fréquence de la radiation émise.
 I - Développement du calcul
 A- Noyau fixe
1°) soient me la masse de l’électron,-e sa charge et sa vitesse.
La force d’attraction coulombienne : , ( : vecteur unitaire) est la principale force agissante sur l’électron.
Le principe fondamental de la dynamique (P.F.D) donne :
 par projection sur on obtient : 
ce qui donne : 
 ce qui conduit à : 
donc l’énergie cinétique 
 dérive du potentiel électrostatique 
( en effet : 
L’énergie totale sera donc : 
L’énergie totale est négative, elle correspond à des états liés de l’électron.
Une énergie totale nulle correspond à r=+ l’électron est très loin du noyau et donc de l’attraction du noyau, l’électron devient libre et l’atome se trouve donc ionisé. 
2°) D’après l’électrodynamique classique chaque électron possédant une accélération doit rayonner de l’énergie de façon continue, la fréquence de la radiation émise étant égale à la fréquence mécanique du mouvement de la particule. Cette fréquence est donc telle que :

si l’électron émet un rayonnement lors de son mouvement son énergie doit diminuer de façon continue, le mouvement de l’orbite doit décroître continuellement et par conséquent la fréquence de la radiation émise doit croître de façon continue donnant naissance à un spectre continu ( corps noir, spectres de + et ) et à l’impossibilité d’états stationnaires et donc à un système instable.
E diminue  -E augmente 1/r augmente  r diminue  l’électron s’approche du noyau
3°) On tient compte des deux hypothèses de Bohr :
 -Les seuls orbites permises pour l’électron sont seuls pour lesquels le moment cinétique satisfait : .
 -L’électron rayonne de l’énergie seulement lorsqu’il saute d’une orbite relative à une énergie supérieur Ei à une autre relative à une énergie inférieur Ef telle que :

a0 c’est le rayon de la petite orbite (n=1) et on l’appelle rayon de Bohr et il est égale à 0.53 Ǻ.
L’énergie En de l’atome correspondant à l’orbite caractérisée par le nombre quantique n est :
L’énergie est bien quantifiée et on peut voir lorsque n est grand la variation on retrouve que les niveaux sont continus autrement dit le cas classique n’est qu’un cas particulier du cas quantique.
Lorsque l’électron saute du niveau d’énergie Em au niveau En, la fréquence du rayonnement émise est telle que le nombre d’onde associé :
Les séries spectrales de l’atome d’hydrogène correspondant aux premières valeurs de n sont :
n=1 m2 série de Lyman(1906) Ultraviolet
n=2 m3 Balmer (1885) Visible
n=3 m4 Paschen (1908) Infrarouge
n=4 m5 Bracket (1922) Infrarouge
n=5 m6 Pfund (1924) Infrarouge
Tous les raies de la série de Lyman sont des raies de résonance, elles retombent tous sur l’état fondamental n=1. L’énergie mise en jeu dans cette transition est égale à l’énergie minimum qu’il faut fournir à l’atome pour le ioniser ; c'est-à-dire à l’énergie d’ionisation :
 . On obtient donc :
Les valeurs numériques des grandeurs necessaires permettent bien de retrouver le potentiel d’ionisation Vi =13.6 volts de l’hydrogène atomique.
Lorsque m et n ont des valeurs élevées telles que:
m-n « n et m, m+n ≈2n

Pour m=n+1, 
Pour n grand En varie lentement et la différence d’énergie entre les états successives devient très petit et donc les états discrets deviennent pratiquement continus et donc le cas quantique tend vers le cas classique.
Le cas classique est en général retrouvé à partir du cas quantique quand on prend =0, donc pas d’incertitude d’Heisenberg donc notion de trajectoire.
B- Noyau en mouvement
 Jusqu’à présent on a considéré que le noyau est fixe et l’électron tourne autour. Soit G le centre de masse du système, si la masse Mp du noyau est finie le système tournera autour du centre de masse G. L’électron décrira une orbite circulaire de rayon r2 et le noyau décrira une orbite circulaire de rayon r1 (ils ont même vitesse angulaire).
On en déduit 
Alors voyons ce qui va se passer pour le mouvement de l’électron dans le cas où M est finie
La force agissant sur l’électron est donné par :

Le problème à deux corps se réduit donc au problème plus simple du mouvement d’une seule particule de masse  soumise à une force centrale dépendant de la distance r entre le centre de force et la particule.
moment cinétique calculé au centre de masse en effet :
Le calcul est donc le même à condition de substituer me par :

Le Deutérium et le Tritium sont deux isotopes de L’Hydrogène (diffèrent par le nombre de neutrons mais ils ont même numéro atomique)
Deutérium : 1 neutron + 1 proton M=2Mp
Tritium : 2 neutrons + 1 proton M=3Mp
Les niveaux d’énergie de l’atome du Deutérium(2D) et du Tritium (3T) sont obtenus à partir de ceux de l’atome d’hydrogène déjà établi à condition de remplacer la masse réduite  par D et T .
2D :