1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, la série des entiers strictement positifs pris dans l'ordre croissant, est en analyse une série divergente.
La "n"-ième somme partielle de cette série est le nombre triangulaire :
La suite de ces sommes partielles est croissante et non majorée donc tend vers l'infini.
Bien que cette série ne possède donc "a priori" pas de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants, dont certains ont des applications dans d'autres domaines, comme l'analyse complexe, la théorie quantique des champs, la théorie des cordes ou encore l'effet Casimir.
Définition.
La série a pour terme général . Sa "n"-ième somme partielle est donc le nombre triangulaire , égal à. La suite tend vers l'infini : la série n'est donc pas convergente. Elle ne possède donc pas de somme au sens usuel du terme. Elle n'est pas non plus sommable au sens de Cesàro.
À la différence de son homologue la série alternée des entiers , la série n'est pas sommable au sens d'Abel et des méthodes plus avancées sont nécessaires pour lui attribuer la valeur .
Sommabilité.
Heuristique.
Cahier de Ramanujan.
Srinivasa Ramanujan présente deux démonstrations de « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 » au chapitre 8 de son premier cahier. La démonstration la plus simple n'est pas rigoureuse, mais permet néanmoins d'obtenir une idée de la sommation à obtenir.
Quelle que soit la « somme » de la série, appelons-la . En faisant abstraction des contraintes sur les opérations de séries infinies, multiplions-la par 4 et soustrayons le résultat :
La tâche est alors de sommer la série alternée des entiers, ce qui est plus simple car bien qu'elle soit divergente, elle ressemble néanmoins au développement en série entière de la fonction 1/(1 + "x")2 pour "x" = 1, soit :
En divisant les deux côtés par −3, on obtient formula_4.
La sommation de Ramanujan de donne également −1/12.
Autre approche.
Une autre approche, là encore non-rigoureuse, permet de se faire simplement une idée d'une valeur possible pour la série. Elle consiste entre autres à abandonner les contraintes de stabilité des méthodes de sommation, ainsi que celles sur les opérations terme à terme entre deux séries.
Soient "A", "B", "S" trois sommes distinctes, avec "S" la somme des entiers naturels (celle qui est recherchée), telles que :
Par définition : 
On remarque qu'en réorganisant les termes de la somme 
Donc formula_10 i.e. formula_11 ainsi formula_12.
Par définition : 
On remarque qu'en faisant la différence terme à terme, on a :
Donc formula_15 ainsi formula_16.
Par définition : 
On remarque qu'en faisant la différence terme à terme :
Donc formula_19 i.e. formula_20 d’où formula_21
Ainsi, on retrouve le résultat attendu :
Régularisation zêta.
La série peut être sommée par régularisation zêta. Lorsque la partie réelle de "s" est supérieure à 1, la fonction zêta de Riemann "ζ"("s") est égale à la somme formula_23. Cette somme diverge lorsque la partie réelle de "s" est inférieure ou égale à 1 ; en particulier, la série qui résulte de "s" = –1 ne converge pas au sens ordinaire. En revanche, en étendant "ζ" par prolongement analytique, on trouve formula_24.
Une façon de calculer "ζ"(−1) est d'utiliser la relation entre la fonction zêta de Riemann et la fonction êta de Dirichlet. Lorsque les deux séries de Dirichlet convergent, on a les identités :
L'identité formula_26 reste valable lorsque les deux fonctions sont étendues par prolongement analytique pour inclure les valeurs de "s" où les séries divergent. En substituant formula_27, on obtient formula_28 et donc formula_29.
Limites des méthodes de sommation linéaires stables.
De nombreuses méthodes de sommations présentées dans l'article Série divergente se basent sur les trois propriétés de stabilité, linéarité et régularité|.
Or, il ne peut pas exister de méthode à la fois régulière, stable et linéaire qui soit définie pour la somme des entiers naturels. Par conséquent, aucune des méthodes utilisées ci-avant dans l'article pour sommer la série ne peut respecter simultanément ces trois propriétés.
Physique.
En théorie des cordes bosoniques, on tente de calculer les niveaux d'énergie possible d'une corde, tout particulièrement le niveau d'énergie minimal. De manière informelle, chaque harmonique d'une corde peut être perçue comme une collection de oscillateurs harmoniques quantiques indépendants, un pour chaque direction transverse, où est le nombre de dimensions de l'espace-temps. Si la fréquence fondamentale d'oscillation est formula_30, alors l'énergie d'un oscillateur contribuant à la "n"-ième harmonique est formula_31. En utilisant la série divergente, la somme de toutes les harmoniques est formula_32. Au bout du compte, c'est ce fait, combiné au , qui conduit la théorie des cordes bosoniques à n'être cohérente qu'en dimension 26.
Un calcul similaire, faisant usage de la au lieu de la fonction zêta de Riemann, est impliqué dans le calcul de la force Casimir.

Gambas 3/Gambas3LeLangage/L'orienté objet avec Gambas/Les classes abstraites

Les classes abstraites.
Définition.
Les classes contrètes sont des classes instanciables. C'est le cas de la majorité des classes. Nous avons un moule pour créer des voitures et nous créons des objets typés voiture. 
Vous pouvez empêcher cela en créant une classe abstraite. Les programmeurs qui utiliseront vos classes seront ainsi forcés de créer une classe fille qui héritera de votre classe. 
En Gambas.
Pour créer une classe abstraite, utilisez l'assistant : 
Cela créera une classe avec le texte Create Private tout au début en haut du code de la classe : 
 ' Gambas class file
 Create Private
</syntaxhighlight>
Si vous commencez votre apprentissage, pas besoin d'en savoir plus ! Continuez !

Précis d'épistémologie/Qu'est-ce que la métaphysique ?

Programmation C++/Expressions rationnelles

Les expressions régulières sont supportées par différentes bibliothèques, et ont été ajoutées à la bibliothèque standard dans les versions récentes.
En C++, la validation d'une chaîne de caractères peut se faire en utilisant la classe codice_1 la fonction codice_2 définis dans le fichier codice_1 de l'espace de nom codice_4 :
using namespace std;
int main()
 string texte = "12345";
 // Expression régulière :
 regex rxnombre("^[0-9]+$");
 // Fonction regex_match(regex, string) pour vérifier la correspondance :
 if ( regex_match(message, Expression ) )
 cout « "Le texte est un entier positif.\n";
 else
 cout « "Le texte n'est pas un entier positif.\n";
 return 0;

Précis d'épistémologie/Qu'est-ce que le savoir ?