Les suites et séries/Les opérations sur les suites

Les mathématiques sont le royaume des généralisations. On ne compte les fois où une opération ou un type d'objet mathématique a été étendu pour en donner une version plus générale. Les nombres fractionnaires ont été complémentés par les réels, eux-mêmes complétés par les nombres complexes. Même chose pour les opérations comme l'addition ou la multiplication : initialement inventées pour les nombres, elles ont été étendues aux matrices, aux vecteurs et à bien d'autres objets mathématiques beaucoup plus complexes. Les suites ne font pas exception : il est possible de les additionner, de les soustraire, de les multiplier, les diviser, etc.
Les comparaisons entre suites et limites.
Il est possible de comparer deux suites, ce qui permet de dire si une suite est "supérieure" ou "inférieure" à une autre. Si on compare deux suites formula_1 et formula_2 :
Les opérations "arithmétiques" sur les suites et limites.
Comme dit plus haut, il est possible de faire les quatre opérations arithmétiques sur deux suites. Précisément, soit deux suites notées formula_1 et formula_2 :
Annexe : l'espace vectoriel des suites réelles.
Avec les opérations définies ci-dessus, on peut montrer que l'ensemble des suites réelles est un espace vectoriel.
On a vu dans la section précédente que l'on peut additionner deux suites réelles ou en multiplier une par un réel. De plus, ces opérations donnent pour résultat une suite réelle. On dispose donc des opérations idoines. On vérifie assez facilement que les autres conditions sont vérifiées, les seules difficultés étant l’élément neutre de l'addition et la détermination de l'opposé. L’élément neutre n'est autre que la suite nulle, une suite constante dont tous les termes sont nuls. La suite opposée d'une suite formula_25 est simplement la suite formula_26 définie par formula_27.
Annexe : Les sous-espaces vectoriels de suites.
Certains sous-ensembles de suites réelles sont eux aussi des espaces vectoriels, et plus précisément, des sous-espaces vectoriels.
En guise d'exercice, essayez de trouver quels ensembles suivants sont des espaces vectoriels :
Solution :

Systèmes dynamiques et équations différentielles