Introduction.
Étant donné un espace de dimension "N", le
symbole de Levi-Civita d'ordre N
formula_1,
aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par
formula_2 lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.
Définition du tenseur dualiseur.
Tenseur dualiseur en coordonnées contravariantes.
La formule
où formula_4 est le déterminant du
tenseur métrique,
définit bien un tenseur à partir du
symbole de Levi-Civita d'ordre N.
Ce tenseur, aussi appelé tenseur de Levi-Civita et noté formula_5 est ici appelé tenseur dualiseur.
Il est intéressant de noter que pour qu'un scalaire
soit un tenseur (d'ordre 0), il faut qu'il soit indépendant du choix du système de coordonnées.
Le déterminant du tenseur métrique n'est donc pas un tenseur mais son produit avec le symbole
formula_6 est bien un tenseur, indépendant du système de coordonnées.
Tenseur dualiseur en coordonnées covariantes.
On passe aux coordonnées covariantes en mettant en jeu "N" fois le tenseur métrique.
Le produit de ces "N" termes avec le
symbole de Levi-Civita d'ordre N est égal au déterminant du tenseur métrique
et l'on obtient
Détermination du signe.
Le tenseur dualiseur garde néanmoins un caractère particulier. C'est le choix de la détermination de la racine carrée qui
définit l'orientation du système de coordonnées. Retourner une coordonnée doit s'accompagner du changement de signe
des composantes du tenseur.
Dans le cas de l'espace-temps quadridimensionnel, le déterminant du tenseur métrique est négatif.
Deux possibilités s'offrent alors,
considérer que le tenseur dualiseur est imaginaire pur,
ou remplacer "g" par "-g".
Cette seconde possibilité facilite les calculs mais n'est pas satisfaisante d'un point de vue théorique [connecter avec la mesure de la distance spatiale ou temporelle comme racine carrée de l'intervalle d'espace-temps, dont le signe donne la nature, temps ou espace]
Propriétés du tenseur dualiseur.
Produit de tenseurs dualiseurs.
La formule suivante découle directement de la formule obtenue avec le
symbole de Levi-Civita d'ordre N.
Le symbole formula_8 est le
symbole de Kronecker, représentant la matrice unité.
Définition du tenseur dual.
Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre "M" dans un espace de dimension "N"
définit un tenseur d'ordre "N-M", son dual.
formula_12
Le choix de faire la contraction sur les "M" derniers indices du tenseur dualiseur est tout à fait arbitraire.
La contraction sur une autre famille d'indices fournit la même expression de formula_13,
avec un signe éventuellement opposé. Il est aussi à noter que si l'on change l'orientation
de l'espace en échangeant deux coordonnées, le tenseur dual change de signe.
Tenseurs duaux complètement antisymétriques.
Si dans un espace à formula_14 dimensions, formula_15 est un tenseur à formula_16
indices, avec formula_17, alors le dual formula_18 est un tenseur à formula_19
indices, lui-aussi complètement antisymétrique, et l'on a
On va le démontrer en dimension 3. La généralisation est facile.
dimension 3.
Le dual d'un vecteur formula_21 est un tenseur antisymétrique à deux indices
formula_22.
Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique
formula_23 est un vecteur
formula_24.
Tous deux ont 3 composantes indépendantes.
Le dual d'un scalaire formula_25 est un tenseur complètement antisymétrique à trois indices
formula_26.
Réciproquement, le dual d'un tenseur complètement antisymétrique à trois indices formula_27
est un scalaire formula_28.
Le tenseur complètement antisymétrique à trois indices dans un espace de dimension 3 n'a qu'une
composante indépendante. On l'appelle aussi pseudo-scalaire.
Le dual du dual d'un tenseur complètement antisymétrique à 0, 1, 2 ou 3 indices
est le tenseur lui-même.
Autrement dit, le dual du dual est l'opérateur identité pour les scalaires, les vecteurs formula_29,
les tenseurs antisymétriques à deux indices formula_30
et les tenseurs complètements antisymétriques à trois indices formula_31.
En effet,
pour un scalaire on aformula_32 ;
pour un vecteur on a
formula_33 ;
pour un tenseur antisymétrique à deux indices on a
formula_34 ;
pour un tenseur complètement antisymétrique à trois indices on a
formula_35
dimension 4.
Le dual d'un scalaire formula_36 est le tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire formula_37
Le dual d'un vecteur formula_38 est le tenseur complètement antisymétrique formula_39. Tous deux ont 4 composantes indépendantes.
Le dual d'un tenseur antisymétrique formula_40 est le tenseur antisymétrique formula_41. Tous deux ont 6 composantes indépendantes.
Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique formula_42 est le vecteur formula_43
Le dual d'un tenseur complètement antisymétrique pseudo-scalaire formula_44 est le scalaire formula_45
De la même manière qu'en dimension 3, il est facile de démontrer que l'opérateur dual du dual
est l'opérateur unité pour les scalaires, les vecteurs, les tenseurs antisymétriques à deux indices
et les tenseurs complètement antisymétriques à trois ou quatre indices.

Calcul tensoriel/Appendices/Symbole de Levi-Civita d'ordre N

Définition.
Le symbole de Levi-Civita d'ordre "N", formula_1, aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre "N",
est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.
Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi "N". Ce symbole principalement vaut 0,
sauf si la liste des index est formée de "N" valeurs distinctes.
Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.
Supposons par exemple que la liste des index soit "t, x, y, z" pour définir un symbole d'ordre 4.
Il y a apriori formula_2 valeurs possibles du symbole.
Le symbole formula_3 vaut 0 parce que l'index "t" figure deux fois.
Si arbitrairement on choisit le signe + pour formula_4, alors on aura
formula_5,
formula_6,
formula_7,
etc.
4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.
Tenseur dualiseur.
Le symbole de Levi-Civita d'ordre "N" n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi,
et par convention formula_8.
En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir
le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.
Formules de contraction.
formula_9

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de la dérivée partielle

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte
les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme :
formula_1.
Démonstration.