Module 4 : Modélisation des transports
Comment un changement de la limite de vitesse d'une route modifie-t-il le comportement des automobilistes? Est-ce que cela augmente la congestion? Mais en fait, comment définit-on la congestion? Savez-vous par ailleurs qu'une route dite à capacité est en fait, quand on en prend une photo, plutôt vide?
Ce quatrième module sur la modélisation des transports vous permettra justement de répondre à ces questions. Nous allons explorer plusieurs modèles de transport qui vont faire usage de données collectées pour s’assurer qu’ils reproduisent bien les phénomènes observés et les appliquer à la planification et la conception des aménagements de transport. Nous allons présenter et discuter différents modèles de transport, parmi les plus accessibles et les plus importants. 
À la fin de ce module, vous serez en mesure d'interpréter et utiliser les modèles présentés pour caractériser la demande de transport et les différents modes.
Caractéristiques des modèles.
La "modélisation" est un moyen de représenter la réalité de façon simplifiée et abstraite. Le choix d'un modèle dépend du contexte et des objectifs. Les modèles de transports représentent de façon simple les déplacements et comportements des personnes pour aider à la planification et la prise de décision. Les modèles de transport relèvent de différentes disciplines comme le génie civil, l'urbanisme, l'informatique, la psychologie, l'ergonomie, l'économie, la médecine, etc. 
Les différents "modèles" utilisés en transport ont plusieurs caractéristiques importantes qui définissent une typologie. 
Prenons l'exemple de la vitesse de marche des piétons, lors de la traversée d'une rue. Il y a une variabilité naturelle dans la population (et pour un même individu selon sa fatigue ou le motif de son déplacement par exemple). Un modèle déterministe considérera une valeur moyenne pour tous les piétons, alors qu'un modèle stochastique prendra en compte la variabilité en utilisant un échantillon tiré de la distribution des vitesses observées dans la population. Dans ce cas, il faut effectuer plusieurs simulations (réplications) du modèle avec des tirages indépendants d'échantillons. 
Il y a nécessairement un compromis entre d'une part les objectifs, et d'autre part le contexte du modèle et les ressources nécessaires (temps, argent, données, puissance de calcul informatique) pour le créer et l'utiliser. 
Les modèles de demande, permettant par exemple de prédire la demande de transport pour une région donnée, sont abordés dans un module sur la planification des transports (à venir). La figure ci-contre récapitule de nombreux modèles de circulation selon les caractéristiques présentées.
Les facteurs humains.
Caractéristiques des usagères et usagers.
Il est impossible d'entreprendre une étude approfondie des transports sans se préoccuper des "facteurs humains", c'est-à-dire des caractéristiques des usagères et usagers des transports, en tant que conductrice, conducteur, passagère ou passager de véhicules, piétonne et piéton. En particulier, conduire un véhicule est une tâche compliquée qui demande des aptitudes particulières, des connaissances diverses et implique l'exécution de manœuvres dont certaines deviennent machinales ou même instinctives avec la pratique. 
Les autres composantes des systèmes de transport (infrastructure et véhicules) doivent être conçues de façon sécuritaire pour toutes les personnes, quel que soit l'âge (des enfants aux personnes âgées), la santé et les capacités comme la vitesse de déplacement (marche, avec un véhicule, etc.). Les personnes ont différentes caractéristiques physiques, psychiques et intellectuelles qui jouent un rôle dans leurs déplacements :
Les caractéristiques des personnes sont distribuées dans la population, par exemple les personnes marchent plus ou moins vite, et varient pour une même personne selon son état (état émotionnel et niveau de fatigue) et la complexité de la tâche. 
Les limitations des êtres humains sont ainsi la cause principale des inefficacités des transports et des problèmes de sécurité routière, ou comme le professeur Hani Mahmassani le souligne :
Modèle de hiérarchie des tâches.
Conduire implique un nombre d'activités ou tâches discrètes et interdépendantes, qui peuvent se répartir en trois niveaux de compétences et de contrôle selon le modèle de hiérarchie des tâches (dans l'ordre croissant de complexité et décroissant de priorité):
On retrouve la hiérarchie des tâches dans tous les modes de déplacement, comme la conduite d'un véhicule et la marche.
Modèle de compensation du risque.
Ce modèle suggère que les personnes ajustent leur comportement en réponse au niveau de risque perçu : elles sont plus précautionneuses si le risque perçu augmente, et vice versa. Il s'agit d'un phénomène particulier d'adaptation du comportement. Un modèle plus spécifique est le modèle d'homéostasie du risque proposé par Wilde en 1982, qui pose l'hypothèse que les personnes ont un niveau cible de risque et que leur comportement s'adapte de façon à maintenir un niveau de risque proche de cette cible. 
Le modèle de compensation du risque explique pourquoi les modifications aux infrastructures et véhicules destinées à améliorer la sécurité routière n'ont pas toujours l'effet escompté : les usagers adaptent leur comportement à leur nouvel environnement. On peut citer plusieurs exemples en sécurité routière qui sont en accord avec le modèle (tirés de l'article Wikipedia en anglais) :
Modèles macroscopiques.
Il existe de nombreux modèles macroscopiques en transport, par exemple la procédure séquentielle classique ou modèle à quatre étapes pour prédire la demande de déplacements dans une région. À la suite à la définition des variables macroscopiques de la circulation dans le module sur la représentation de la circulation, cette section présente le modèle du diagramme fondamental de la circulation des relations entre ces variables. Ce modèle s'applique à la circulation continue sur les routes avec carrefours dénivelés comme les autoroutes ou des portions de routes suffisamment longues entre carrefours (définie dans le module suivant (en développement)).
Le diagramme fondamental s'étudie au travers des trois relations entre chaque paire de variables. Une façon de l'aborder est ainsi d'explorer des données réelles collectées à des stations de collecte de données sur autoroute comme on peut le voir dans les trois graphiques ci-contre. 
La première paire de variables considérée est traditionnellement la vitesse moyenne (spatiale) en fonction de la densité, « remplacée » par le taux d'occupation qui est plus facile à mesurer et a une relation à peu près linéaire avec la densité. On s'intéresse en premier aux valeurs extrêmes, c'est-à-dire lorsque le taux d'occupation est proche de zéro (pas exactement zéro, car la vitesse n'est pas définie en absence de trafic) et lorsque la vitesse est nulle. Lorsque le taux d'occupation est très faible, on voit que les vitesses sont maximales autour de 70 mi/h (environ 110 km/h). À l'autre extrémité, la vitesse est nulle lorsque la densité est élevée, ce qui correspond à une file d'attente. Cette situation n'est pas observée dans le graphique, mais s'observe par exemple sur une autoroute bloquée par un accident ou à un carrefour à feux lorsque le feu est rouge. On définit ainsi deux valeurs caractéristiques de ce diagramme :
Finalement, on observe une relation décroissante, c'est-à-dire que la vitesse moyenne diminue lorsque le taux d'occupation (la densité) augmente : la gêne entre les véhicules augmente lorsque la densité augmente, les conductrices et conducteurs sont moins libres de choisir la vitesse qu'ils veulent et la vitesse moyenne baisse par conséquent. On pose en fait l'hypothèse du diagramme fondamental de la route que la vitesse moyenne est une fonction de la densité seule formula_6 et que cette fonction est monotone décroissante. 
Observons maintenant le graphique du débit en fonction du taux d'occupation, avec les axes des abscisses pour le taux d'occupation alignés pour les deux premiers graphiques. Dans la première partie gauche du graphique pour des valeurs faibles de taux d'occupation, le débit augmente avec le taux d'occuption, de façon quasi-linéaire. On observer ensuite des points beaucoup plus dispersés et une tendance à la baisse des débits au-delà d'une certaine valeur de taux d'occupation. 
On a vu que la vitesse moyenne et la densité (taux d'occupation) évoluent en sens inverses : la vitesse diminue lorsque la densité augmente. Cette relation peut être combinée à celle du débit en fonction de la densité. Ainsi, le graphique prend une forme similaire à celui du débit en fonction du taux d'occupation (densité). Le débit est faible pour la vitesse maximale formula_1, augmente alors que la vitesse reste élevée, proche de formula_1. Il atteint un maximum, puis diminue alors que la vitesse diminue aussi (correspondant à des densités élevées) jusqu'à s'annuler. Lorsque la densité atteint la densité de congestion, la vitesse est nulle et donc le débit aussi. 
Tracer des relations idéalisées entre les variables, en particulier du débit en fonction de la densité ou de la vitesse moyenne, permet en particulier de définir les états de circulation. On a observé que le débit augmente lorsque la densité augmente pour atteindre une valeur maximale, avant de diminuer au-delà. Ce débit maximal formula_9 est atteint pour la densité critique formula_10 ou la vitesse critique formula_11. Il est ensuite possible de définir les états de circulation selon ces valeurs seuils équivalentes de densité ou vitesse critiques :
C'est une façon de définir la congestion, qui se produit lorque la demande est supérieure à la capacité d'une route et que la demande excédentaire est stockée en amont, formant une file d'attente à densité élevée et basse vitesse. On note aussi qu'à toute valeur de débit correspond deux états de circulation de part et d'autre de la valeur critique de la densité ou vitesse (par exemple formula_16 et formula_17 dans la figure ci-dessous). Enfin, pour tout état de circulation caractérisé par sa densité, on retrouve la vitesse moyenne formula_18 comme la pente du segment reliant l'origine du graphique au point de coordonnées formula_19 sur la courbe du diagramme fondamental du débit en fonction de la densité. 
Différentes fonctions ont été proposées pour ces relations, la plus connue étant l'hypothèse que la vitesse moyenne est une fonction linéaire de la densité, proposée par Greenshields en 1934. En identifiant la densité de congestion et la vitesse maximale dans la relation linéaire, l'équation s'écrit formula_20. Cette relation est cependant trop simple, la vitesse ne baissant pas autant en état fluide, et on lui préférera le diagramment fondamental triangulaire pour la relation du débit en fonction de la densité. Toute relation devrait être calibrée, c'est-à-dire ses paramètres calculés, à l'aide de données réelles de circulation, comme celles utilisées pour illustrer ce cours ou le jeu de données UTD19.
Des travaux plus récents montrent des relations similaires pour les modes de transport actifs, soit les cyclistes et les piétons. Les observations sont souvent faites dans des expérimentations contrôlées avec des participants volontaires, comme on peut le voir dans l'archive de données de recherche du centre de recherche Jülich en Allemagne. Pour les piétons, il faut généraliser les variables impliquant l'espace au mouvement bidirectionnel des piétons, soit la densité en piétons par surface et le débit par unité de temps et de distance (mesurant le nombre de piétons franchissant une unité de distance d'une ligne virtuelle). Des images combinant les diagrammes fondamentaux pour les voitures, vélos et la marche sont visible sur Google. 
L'étude de la congestion et des goulots d'étranglement se poursuit grâce à la théorie des ondes de choc et la théorie des files d'attente (qui ne sont pas couvertes par ce cours).
Modèles microscopiques.
Intéressons-nous maintenant à des modèles microscopiques, c'est-à-dire qui représentent les déplacements et comportements de chaque personne dans les transports routiers. Cette section présente les bases de plusieurs modèles microscopiques. 
Modèle général avec les facteurs humains.
Le premier modèle est très général et peut se présenter sous la forme de l'équation conceptuelle formula_21 pour chaque instant formula_22 et personne avec un temps de perception et réaction formula_23 défini précédemment. En fonction d'un stimulus à un instant formula_22, par exemple le son d'un véhicule, l'apparition d'une personne ou d'un animal sur la route, une information (un panneau) devenant visible, ou un ballon qui roule sur la chaussée, une personne réagit à un instant ultérieur formula_25, c'est-à-dire après le temps nécessaire pour l'information d'être perçue et de se propager jusqu'au cerveau, puis pour prendre une décision. L'action est aussi fonction de la sensibilité de la personne à formula_22 qui représente son état d'esprit et de vigilance. Il faut noter que cette équation est plus générale que les phénomènes de transport qui nous occupent. 
Modèles pour la circulation véhiculaire.
Il n'est en fait pas si compliqué de reproduire la circulation véhiculaire sur des routes. Il suffit d'avoir trois modèles microscopiques :
Disposer des deux premiers modèles permet de reproduire la circulation continue, et le troisième permet de reproduire la circulation aux carrefours à niveau, ce qui permet de couvrir l'ensemble de la circulation sur les réseaux routiers. Plusieurs de ces modèles sont disponibles sur le site traffic-simulation.de développé par Martin Treiber.
Modèle de poursuite.
Un véhicule dans une voie de circulation est soit isolé, soit à proximité d'un véhicule qui le devance. Un modèle très simple pour un véhicule isolé est que son conducteur cherche à atteindre une vitesse cible, appelée vitesse désirée et notée formula_2 puisqu'il s'agit d'une vitesse libre personnelle. Cette vitesse est normalement autour de la limite de vitesse, selon le niveau de risque de la personne, et serait la vitesse choisie si on utilise un régulateur de vitesse. 
Lorsque la personne rattrape un véhicule plus lent, elle doit, si elle ne peut doubler tout de suite, freiner pour éviter la collision et se retrouve ainsi en situation de poursuite : le véhicule rattrapé, plus lent, est le véhicule meneur et le suivant, le suiveur. De nombreux modèles ont été proposés, et une grande famille de ces modèles décrit la réaction du suiveur en terme de son accélération : on parle de comportement en accélération. Parmi tous les modèles de poursuite existants, un ensemble de modèles a été développé à partir des années 1950 dans la compagnie General Motors. Expliquons un peu en détail le premier des cinq modèles proposés (modèle GM1) : formula_28 où
Le modèle a deux paramètres, formula_23 et formula_37 qui représente la sensibilité d'un conducteur. Le modèle fonctionne comme on s'attend puisque si le suiveur rattrape le meneur, sa vitesse est plus grande et la différence des vitesses est négative, ce qui prédit qu'il va adopter une accélération négative, c'est-à-dire qu'il va freiner. Dans le cas contraire, si la vitesse du suiveur est plus faible que celle du meneur, la différence est positive, ce qui indique que le suiveur va avoir une accélération positive pour rattraper le meneur. Si les vitesses sont égales, la situation est stable avec une accélération nulle pour le suiveur. En pratique, le modèle dépend aussi du TPR : le suiveur réagit avec un certain décalage à la situation à un instant donné, ce qui peut entraîner des réactions inappropriées, des oscillations par exemple dans la distance intervéhiculaire. Un fichier d'exemple est disponible (fichiers ods ou xlsx) et permet de modifier le paramètre formula_37 et d'en voir l'impact (la stabilité du modèle dépend du produit formula_41).
Un autre modèle très populaire dit modèle du conducteur intelligent est disponible sur sur le site traffic-simulation.de.
Modèle de changement de voie.
Le second modèle permettant de reproduire la circulation sur une route est un modèle de changement de voie. Poursuivant la description d'un véhicule en rattrapant un autre, le suiveur essaiera vraisemblablement de dépasser le meneur, plus lent, en changeant de voie. Un modèle très simple considère deux situations : 
Un changement peut se faire aussi vers la voie de droite, par exemple pour prendre une sortie. Un tel modèle nécessite au moins un créneau critique qui sera suffisant pour le conducteur suiveur pour changer de voie. C'est donc un paramètre qui peut être spécifique à chaque personne. Le modèle pourrait aussi prendre en compte la vitesse du véhicule suivant arrivant dans la voie de destination du changement. Ces paramètres peuvent aussi dépendre de l'urgence du changement de voie : changer de voie pour sortir de la route à la prochaine sortie est urgent et pourra donc pousser la conductrice ou le conducteur à accepter un créneau plus petit que lors d'un changement de voie pour atteindre sa vitesse désirée. 
Modèle d'acceptation des créneaux.
Le troisième modèle concerne le comportement d'une personne à un carrefour lorsqu'elle doit traverser un flux de circulation prioritaire, par exemple s'il y a un panneau d'arrêt ou de cédez-le-passage sur son approche. Le modèle est similaire au modèle de changement de voie. S'il n'y a pas de véhicules dans le flux prioritaire, la personne traverse. Sinon, elle attendra un créneau suffisant pour traverser le carrefour. Ici encore, la décision peut dépendre de plusieurs facteurs, en particulier la complexité de la tâche, le nombre de voies de circulation à traverser ou la nécessité ou non d'une manœuvre consistant en un virage avec insertion dans un des flux prioritaires. 
C'est une situation analogue pour un piéton qui souhaite traverser une route, surtout en l'absence de traverse marquée.
Un exemple de modèle piéton.
Un des modèles de déplacement des piétons les plus connus et utilisés est le modèle de forces sociales. Le principe est que le déplacement d'une personne est le résultat d'un ensemble de forces, comme si chaque piéton était une particule attirée et repoussée par différents éléments autour de lui :
On voit qu'il s'agit d'un modèle au niveau opérationnel (selon le modèle de hiérarchie des tâches) où la destination peut être atteinte à peu près en se déplaçant en ligne droite (en tenant compte d'obstacles). Pour des déplacements plus complexes, il faudrait décomposer l'itinéraire en une série de destinations intermédiaires (ce qui revient à la planification au niveau stratégique dans le modèle de hiérarchie des tâches). La forme mathématique du modèle est une équation continue qui est généralement calculée à chaque pas de temps si on calcule une solution numérique du modèle dans un cas particulier. 
C'est un modèle simple qui peut ainsi être mis en œuvre en quelques lignes de programmation, avec un exemple très simple ici utilisant p5.js. Le modèle a de nombreux paramètres à ajuster comme la plupart des modèles microscopiques.
Calibration et validation des modèles.
Les modèles présentés dans ce module, bien que simples en comparaison à d'autres modèles, ont plusieurs paramètres à ajuster pour bien correspondre à la réalité et être utilisés dans des cas d'étude spécifiques. C'est encore plus le cas pour les modèles microscopiques où les valeurs des paramètres dépendent de chaque véhicule ou personne, généralement tirés dans une distribution dont les paramètres doivent être identifiés. Ces modèles sont utilisés pour anticiper les impacts de changements aux systèmes de transport à toutes les échelles, comme la géométrie d'une rue, d'un carrefour jusqu'à l'ajout d'infrastructures ou technologies entièrement nouvelles. C'est pourquoi il est crucial d'avoir des paramètres de manière à ce que les modèles reproduisent au mieux les comportements réels qui seront observés une fois le changement mis en œuvre. C'est particulièrement difficile pour des changements qui n'existent pas encore, par exemple un premier carrefour giratoire dans une région ou des technologies d'automatisation de la conduite. 
Ce sujet est très important, mais aussi très technique puisqu'il repose sur des notions d'optimisation et probabilités. Cette section aborde les enjeux de qualité des modèles et décrit la méthode générale de calibration et validation de modèles. 
Il n'existe pas de solution exacte pour dériver les paramètres à partir d'observations réelles pour la plupart des modèles microscopiques utilisés en transport, hormis pour un nombre limité de paramètres qui ont un sens physique. Même dans ce cas, la distribution de ces paramètres dans la population concernée, par exemple celles du TPR ou de la vitesse désirée, n'est pas toujours connue. La façon d'utiliser ces modèles est de les simuler, généralement à pas de temps régulier en utilisant les équations du modèle. Un exemple est fourni pour le modèle de poursuite présenté plus haut. La simulation de ces modèles est nécessaire, car ce sont des modèles complexes lorsqu'ils sont appliqués à un ensemble de personnes dont le résultat ne peut être prédit à partir des équations du modèle. 
Un exemple plus avancé de modèles microscopiques simulés est disponible sur le site traffic-simulation.de développé par Martin Treiber dont l'interface montre la quantité de paramètres pour des cas d'application avec de petits réseaux routiers.
La "calibration" des modèles est le processus visant à trouver les valeurs d'un ensemble de paramètres d'un modèle, ce qui nécessite des données réelles pour la calibration et la "validation". Par données réelles, on veut dire des données collectées par observation du phénomène qu'on cherche à reproduire. La phase de validation se distingue de la phase de calibration : un sous-ensemble des données doit être mis de côté et ne sera utilisé que pour mesurer la qualité du modèle une fois que les paramètres ont été identifiés sur les données de calibration. Dans le cas contraire, le risque est de choisir des paramètres qui reproduisent très bien les données (on parle de surapprentissage), mais donnent de moins bons résultats dans d'autres situations. Enfin, les modèles et leur simulation dépendent de plusieurs variables aléatoires, que ce soit des paramètres des modèles comme le TPR que des variables comme les instants d'apparition des véhicules dans le modèle, pour lesquels il est nécessaire de répéter les simulations. 
Les étapes, simplifiées, de la préparation d'un modèle sont :
Cette procédure est similaire à la méthode d'entraînement des modèles de l'apprentissage automatique("machine learning") avec les jeux de données d'entraînement et de test. Cela implique que les intervenants dans les projets de transport doivent avoir de nombreuses compétences regroupées dans la dernière décennie sous le terme de science ou génie des données : bases de données, programmation, transformation et visualisation des données, probabilités, etc.