Une digression importante est la notion d'information.
"A priori", dans un système dynamique sans bifurcation, la neg-information ou entropie (notée $ )est nulle.
Mais il est des cas où une sensibilité aux conditions initiales donne une flopée d'orbites largement différentes dans l'espace des phases. Tout en restant déterministe, le système devient imprédictible. Le raisonnement "à la Gibbs" redonne cohérence à une approche thermodynamique, à priori très éloignée de la mécanique.
Sans vouloir prétendre à autre chose qu'une introduction à la notion d'information, cette digression sera bien utile lors de la présentation des systèmes dynamiques.
Ignorance et manque d'information $.
Le manque d'information est la "mesure" de notre ignorance.
Soit N questions oui/non (on dit choix binaire) posées pour découvrir le schmilblick, alors c'est, grosso-modo, qu'il y avait W = 2^N choix possibles (penser dichotomie).
Appeler N, le manque d'information ou encore Entropie (notée $)et W, le Possible ( raccourci pour dire le nombre de cas possibles), alors la liaison entre $ et W est celle gravée sur la tombe de Boltzmann(1844 -1906), précurseur génial :
S = lg W bits , avec lg (x):= logarithme à base 2
Il ne reste plus alors qu'a débobiner ce fil conducteur. SHANNON(1916-2001 ) est le principal auteur de cette théorie de l'Information, complétée par Kolmogorov, Jaynes, etc.
Vers 1995, le qubit entre en scène : suite à une compréhension du paradoxe EPR ( Einstein, Podolsky, Rosen), du point de vue théorique (inégalité de Bell(1928-1990 ))puis expérimentale (Alain.Aspect(1947- )), Shor(1957- ) introduit l'algorithmique-quantique ; c'est le début de l'ère de la Quantum-Information. Au-delà du mythique ordinateur quantique, les retombées sont déjà nombreuses [la Q-cryptographie est déjà commercialisée]. Nous n'en dirons que qq mots.
Probabilités et $.
Introduction.
Soit une loterie à 8 numéros [ de 1 à 8], combien de questions binaires(oui/non) faut-il poser pour trouver le numéro sorti? Considérant que 8 = 2^3, en procédant par dichotomie, il faut poser trois questions. Et s'il y a W = 256 numéros , huit questions.
Plus généralement, pour une loterie à W numéros, W étant très grand, l'ensemble des numéros s'écrira en notation binaire à l'aide de lg W chiffres 0 ou 1. Le nombre de questions binaires à poser pour localiser un numéro quelconque sera donc $ = lg W mesuré en bits ( binary_digits)
Généralisation.
La loterie consiste maintenant à choisir au hasard une lettre d'un livre de Emile Zola. On pourrait penser que $ = log2 26 , puisqu'il y a 26 lettres dans l'alphabet. Or, un peu de réflexion fait songer que ce nombre est plus petit, car les lettres w et z sont très peu courantes. En les éliminant a priori, on serait conduit à $= log2 24.
En fait nous voici confronté au vrai problème : étant donné M lettres , de probabilités p1, p2,pi, .., pM , avec somme pi = 1, quelle est la valeur moyenne du nombre de questions binaires à poser, appelée $, pour trouver une lettre parmi les M possibles.
La réponse est : 
La démonstration de ce théorème est due à SHANNON.
En voici une démonstration dans le cas simple M = 2 de deux lettres, disons A et B de probabilité p et q= 1-p.
Il doit être précisé ce que "valeur moyenne" veut dire :
La convention sera la suivante : on considère des mots de N lettres ( ici il y a donc 2^N mots ).
Soit $(N) le nombres de questions binaires pour trouver un mot.
On dira que l'$ par lettre est $ = $(N)/N quand N devient très grand ( à la limite, N-> infty).
Il y a bien 2^N choix , mais $ diffère de log2 2^N = N , CAR , "si N est assez grand", la plupart des mots contiendront pN fois la lettre A et qN fois la lettre B.
 Ne retenir que ces cas et éliminer les autres, considérés comme très peu probables.
Cette hypothèse étant admise, La pièce est jouée : 
il ne reste plus que C(N, pN) cas et formula_1 .
L'approximation de Stirling donne la réponse : $ = (-p.Ln p -q.Ln q) /Ln2 bits (faire ce petit calcul : la réponse est donnée plus bas (calcul des C(n,p)).
Dans le cas de M lettres, le même type de raisonnement donnerait au dénominateur formula_2
, et cela donne bien la formule de Shannon.
Unités.
Paragraphe inessentiel : Surtout ne jamais se bagarrer pour des questions d'unités ! ce n'est pas de la physique ; juste une histoire de convention pour s'entendre sur les valeurs numériques calculées ( ...accompagnées de leur unité par conséquent! ).
Soit z-> Lnz , le logarithme complexe ; il donne lieu à des problèmes d'unités : les angles doivent être comptés avec l'unité sans dimension , le RADIAN . Les autres unités degrés ou grades ou tours s'en déduisent.
De même pour les logarithmes usuels : 
soit x un nombre réel positif : y tel que x = 10^y s'appelle l'OdG Exact (Ordre de Grandeur Exact), et la partie entière de y , l'OdG : 
y := log10 (x) bels . 
Souvent on préfère une autre base : x = 2^y' , soit y' = log2 (x) = y .[1/log 2] bits ~ 3.3 y bits
Le bit ( ou l'octave) est une unité plus petite que le bel, y' est donc évidemment plus grand que y.
Enfin certains préfèrent s'exprimer en népers ( ou := nats): y" = Ln x ~ log x /log e ~ 2.3 y népers
D'autre part, usuellement on se réfère à la mesure en octets (ou bytes) d'un code informatique : 1 octet = 2^8 =256 bits.
Les chimistes, pour une raison historique, continuent à s'exprimer en Joule/Kelvin = J/K : soit!
Retenir que une mole de bits = R.Ln2 = ~ 8.32*0.69 = 5.74 J/K [nous y reviendrons !].
Entropie statistique $ et entropie thermodynamique S(U,V).
Description d'un Système à l'équilibre.
N systèmes à 2 états d'énergie 0 et e : si E = pe , alors g(E)= C(N,p).
N oscillateurs harmoniques d'énergie (n+1/2)formula_3 : si E =N/2 +q , alors g(E)= C(N+q-1,q).
Soit Volume(E,V) le volume d'espace des phases délimité par l'hypersurface d'énergie E ; alors :
N(E,V) = formula_6. Volume(E,V) , ceci si E » h^2/(m (V/N)^(2/3)).
L'exemple le plus connu est celui du Gaz Parfait monoatomique : N(E) = V^N . E^(3N/2).C(N) où C(N) est une constante très petite aisément calculable.
Mise en contact thermique.
p(E1) ~ formula_7.
soit une fonction extrêmement pointue, dont le sommet se situe à une abscisse E1* telle que : 
formula_8
Aux fluctuations près ( que l'on néglige, rappelons-le, en thermostatique), on DÉCLARE que l'état le plus probable est celui réalisé macroscopiquement.
en effet , on a vu pour ce gaz, formula_10 donc 1/kT* = 3N/2E : en choisissant, pour valeur de k, la constante de Boltzmann, alors E = 3/2 N.kT* = 3/2 N.kT , ce qui identifie T* à T , donc à la température absolue (puisque cela a déjà été fait pour les Gaz Parfaits).
S(E,V,N) = k Ln formula_4 + f(V,N) , f étant quelconque.
S(E,V,N) = k Ln formula_4 + g(E,N) , donc g(E,N) = s(N) seulement.
Ce dernier terme n'intervient que si la "particule" révèle par analyse plus fine des degrés de liberté internes observables, dont la prise en compte doit alors s'intégrer à N(E) donc formula_4.
Interprétation du second principe.
Dans le cadre de cette interprétation de l'entropie, le principe d'évolution n'a plus qu'un caractère probabiliste.
Reprenons l'exemple-type de l’expérience de Joule&Gay-Lussac : 2 compartiments égaux, contenant p particules dans C1 et N-p dans C2 aurait une réalisation C(N,p) , correspondant à une entropie S0 + k Ln C(n,p) : cet état sera "extrêmement beaucoup moins" probable que le cas C(N, N/2); la loi de probabilité est semblable à une gaussienne de largeur très grande en sqrt(N) , mais de largeur relative en 1/sqrt(N): très petite.
Le deuxième principe s'énonce maintenant : 
Illustrations.
q/N = E/Ne = 1/[exp(e/kT)-1], et donc C(T) = dE/dT
Si les N oscillateurs se répartissent en Ni oscillateurs d'énergie ei , on retrouve la formule de Debye-Einstein :
E =formula_18 Ni ei . 1/[exp(ei/kT)-1 ]: la capacité dE/dT va changer si les ei forment un pseudo-continuum : changement très intéressant à analyser mathématiquement.
exp(e/kT) = C(N, p+1)/ C(n, p) = (N-p)/p = N/p -1, soit E = Ne /[exp(e/kT) +1 ] : l'essence du refroidissement adiabatique tant étudié par Giauque ( Nobel chimie 1949) réside dans cette formule.
la boule B(n).
Plaçons ici cet encart : calculer le volume de la boule B(n) : nous verrons pourquoi cela a de l'importance, plus tard. Enoncé : 
La réponse est : 
Pourquoi ? parce que b(2p+2) = (Pi/p) .b(2p) .end. [il resterait à démontrer simplement cette formule ...donc à compléter].
Et voilà : à partir de n= 3,4 le nombre b(n) qui croissait décroît : Pi/p est supérieur à 1 si p=3, mais inférieur à 1 si p=4 ! 
et la somme des b(2p) = exp(Pi) !
La somme des b(2p)(Iz)^p vaut : exp (I Pi z) = (-1)^z ; bizarre...à vérifier.
réflexions issues du Marcel.Berger.
L'idée est maintenant celle-ci (due à Manin ?) :
Quand n devient très très grand, il faut compter le nombre de solutions de l'inéquation sur les entiers naturels : a^2 + b^2 +c^2 + ... n fois < E^2 : ce nombre est W(2,E) quand E est TRÈS grand et n est TRÈS grand aussi ( évidemment E^2 »> n ) : ce problème est relié aux nombres de Waring.
les C(n,p).
Plaçons ici cet encart : étude des C(n,p) quand p est très très grand p=x.n avec x fixé (inférieur à 1 , certes ! ) , càd C(n,x.n) : 
alors C(n,xn) = n!/p!q! ~ n!/ (p/e)^p sqrt(p)sqrt(2Pi)q! = n!/q! . exp(x)^n /sqrt(2Pi) . 1/sqrt(x).1/sqrt(n) . 1/ (x^x)^n . 1/n^(xn) donc ~ exp x .exp y .exp 1. [1/(x^x .y^y)]. 1/sqrt(2Pi.x.y) et l'on constate que C(n,xn) = très grand = 1/sqrt(2Pixy) . 1/(x^x.y^y)^n
Souvent on considère : C(2n, x.2n) = catalan(n) si x =1/2 ;
Cet exercice est TRÈS important ; car il fonde la thermodynamique [[ cf exercice : trouver la position du centre de gravité d'un gaz dans une boîte ( il serait amusant de le poser sur le disque , ou sur la sphère , etc. bigre : sur la surface du cube ... ? ) .
réflexions issues du Combinatorial_issues.
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[[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences ]]
[[Catégorie:Mécanique,_enseignée_via_l'Histoire_des_Sciences_(livre)]]