Partant de l'équation d'Einstein
sous la forme
formula_1
on obtient en contractant, puisque la contraction de formula_2 vaut 4 :
formula_3
Réinjectant cette formule dans l'Équation d'Einstein, on
trouve
formula_4
d'où le résultat.

Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Équations de Maxwell

Le tenseur de champ électromagnétique peut s'écrire à partir du rotationnel quadrimensionnel d'un quadrivecteur potentiel formula_1 :
formula_2.
Parce que la double
dérivation covariante
d’un champ scalaire ne dépend pas
de l’ordre des indices, l’expression du tenseur du champ électromagnétique
ne change pas si l’on rajoute au potentiel vecteur un terme
formula_3, 4-divergence
d’un scalaire quelconque.
Ce terme est appelé jauge.
La jauge de Lorentz existe. Partant d’un potentiel vecteur A quelconque, il
suffit de trouver la fonction "f" dont le
4-laplacien
soit égal à la 4-divergence de "A".
Dans un espace-temps plan, c’est une équation harmonique évidemment soluble.
Dans un espace temps courbe, ...
Équation premier groupe.
Si l’espace-temps est plan, l’expression formula_2
entraine directement l’équation premier groupe de Maxwell 
formula_7
Dans un espace-temps courbe, cette équation s’écrit
formula_8
Équation second groupe.
L'équation second groupe de Maxwell s'écrit
formula_9
Partant de
formula_10
on obtient
formula_11
Le choix de la jauge de Lorentz permet d'éliminer le second terme. L'équation
second groupe de Maxwell s'écrit finalement à partir du 
4-laplacien
et du
tenseur de Ricci :
formula_12

Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Gravité (symétrie sphérique)

Schwarzschild 1916 Reissner 1916 Nordström 1918 (compris comme champ d’une charge électrique en 1960).

Calcul tensoriel/Système de coordonnées
notions élémentaires
Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Transformations entre systèmes de coordonnées

On s'intéresse maintenant aux changements de coordonnées entre deux systèmes de coordonnées différents.
Soient deux systèmes de coordonnées "a" et "b" (on va donc noter la ième composante d'un point respectivement formula_1 et formula_2 dans l'un ou l'autre des système). Considérons les fonctions de transformation :
Le jacobien de la transformation relie les variations infinitésimales des coordonnées :
Ainsi on a:
Le jacobien de la transformation inverse est l'inverse du jacobien. Introduisant
formula_7
le symbole de Kronecker,
on a
Et le symbole de Kronecker est défini comme suit:

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Base naturelle

Nous allons maintenant introduire la notion de "base naturelle".
Par définition, la base naturelle au point formula_1 est la base formée par les vecteurs:
formula_2
où formula_3 représente évidemment l'origine.
formula_4 est donc la base naturelle de vecteurs locaux associés à un système de coordonnées quelconque formula_5. Un élément infinitésimal s'écrit dans cette base:
formula_6
On a par définition:
formula_7

Calcul tensoriel/Coordonnées curvilignes/Tenseurs

Les vecteurs de la base naturelle locale obéissent à des transformations inverses l'une de l'autre. Les indices ont été écrits respectivement en bas et en haut. On parlera d'indices
de coordonnées covariantes et contravariantes. Pour l'instant, un tenseur est un machin
qui a des indices successifs qui peuvent se trouver en haut ou en bas, et qui se transforme de façon covariante pour les indices du bas et contravariante pour les indices du haut.
Par exemple, la transformation de coordonnées d'un tenseur co-contra-co est la suivante :
Dès que le tenseur métrique sera défini, on pourra définir une correspondance biunivoque
entre un tenseurs de composantes co et contra-variantes. L'objet correspondant est le tenseur proprement dit.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique

Le tenseur métrique, noté formula_1,
est le tenseur produit scalaire des vecteurs de la
base naturelle.
Il est symétrique :
Le carré d'un élément de longueur est la forme quadratique
À RÉDIGER

Anatomie/Anatomies topographique et de surface du membre thoracique

Retour à Anatomie.
Fosse axillaire.
Forme générale : il s'agit d'une pyramide dont la forme varie avec la position du bras mais qui présente :

Calcul tensoriel
Enseignement du berbère
Le berbère est noté, depuis le milieu du premier millénaire avant l'ère chrétienne, au moyen d'un alphabet, le tifinagh ou libyco-berbère. Il comporte des voyelles et des consonnes, dont il existe plusieurs variantes. Cet alphabet est utilisé uniquement par le peuple Touareg.
Depuis le début du XXe siècle, le berbère a surtout été écrit au moyen de l'alphabet latin ou de l'alphabet arabe.
Cependant, des propositions de tifinagh standard ont vu le jour à partir de la fin du XXe siècle. L'Académie berbère, travailla sur une version, révisée ensuite par le professeur Salem Chaker de l'INALCO. L'IRCAM officialisa un alphabet tifinagh en 2003.
Les caractères de l'alphabet Tifinagh sont présents dans Unicode (caractères U+2D30 à U+2D7F).

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Systèmes de coordonnées

Calcul tensoriel/Notions élémentaires
Tenseur de courbure.
Identité de Bianchi.
En contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire, on obtient le tenseur de Ricci, clé des
équations d'Einstein.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Notations pour les dérivées partielles

Pour les dérivées partielles par rapport aux coordonnées, on utilise indifféremment les notations

Enseignement de l'anglais/Will, shall
Will est le plus souvent la marque du futur.
Shall est une forme plus soutenue de will qui ne s'utilise plus beaucoup ('Shall' est utilisé plus souvent en Grande-Bretagne qu'aux l'États Unis). Lorsqu'on l'utilise, toutefois, c'est de manière emphatique.
Exemple : Shall we dance ? (Vous dansez ?) Forme de politesse.
Exemple tiré de la Bible : Thou shalt not kill. (forme ancienne de shall)

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs
formula_1
et
formula_2
est la
contraction
de leur
produit tensoriel.
Il s'exprime donc au moyen du
tenseur métrique
formula_3 :
C'est un tenseur d'ordre 0, indépendant du choix du système de coordonnées.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur dualiseur/Nullité de la dérivée covariante

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle : 
formula_1.
Démonstration.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Produit vectoriel

Soient formula_1 et formula_2 deux vecteurs dans un espace de dimension N.
Le produit vectoriel de ces vecteurs est le tenseur défini par
formula_3

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de la dérivée partielle/Démonstration

La matrice formula_1 est l'inverse de la matrice du tenseur métrique formula_2 :
formula_3. Profitant de la symétrie du tenseur métrique, on a formula_4. Or la contraction formula_5 donne un entier, la dimension de l'espace. C'est donc une constante. Ainsi formula_6. D'où l'expression cherchée.