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Électricité/Les générateurs
Un générateur sert de source d'énergie et permet à un courant de circuler dans un circuit bien conçu. Pour donner des exemples de générateurs, on pourrait citer les piles, batteries ou autres générateurs de tension/courant. Un générateur peut soit créer une tension, soit un courant. On distingue alors deux types de générateurs : les générateurs de tension et les générateurs de courant. Les premiers génèrent une tension à leurs bornes, alors que les seconds génèrent un courant. Dans les schémas du cours, nous représenterons les générateurs de courant et de tension par les symboles donnés ci-dessous. Vous remarquerez que les batteries ont leurs propres symboles.
Force et champ électromoteurs.
Tous les générateurs fonctionnent sur le même principe : ils possèdent une borne sur laquelle on trouve un excès de charges positives (ou un déficit en charges négatives), et un autre bout où les charges positives sont en déficit (les charges négatives sont en excès). En conséquence, elles ont soit une charge positive (celle avec un déficit de charges négative), soit une charge négative (l'autre). Ce qui fait qu'elles sont appelées respectivement borne négative et positive. Cette différence de charges permet de créer une tension ou un courant dans les conducteurs connectés sur les broches.
Il va de soit que les charges ne se séparent pas spontanément avec d'un côté les charges positives sur la borne + et les négatives sur la borne -. Pour cela, il faut qu'une force pousse les charges à se déplacer vers leur borne attitrée, à se ségréger dans les bornes adéquates. Cette force, qui est du fait du générateur, est appelée la force électromotrice. Cette force est causée par un champ électromoteur formula_1 tel que :
Lorsque le générateur est en charge, cette force va forcer les charges à se séparer dans leurs bornes respectives. Mais cette accumulation de charges va rapidement finir par cesser, sans quoi les bornes se chargeraient indéfiniment. La raison à cela est que les charges de la borne + sont attirées par la borne - et réciproquement. En conséquence, les charges sont censées se rapprocher et les bornes devraient se vider progressivement de leur charge. Cette attraction est à l'origine d'un champ et d'une force électrique :
Il arrivera à un moment où la force électromotrice et la force d'attraction entre les bornes vont se compenser. On a donc :
La tension aux bornes du générateur (et précisément sa tension à vide) se calcule à partir du champ, comme on l'a vu dans le premier chapitre.
Par abus de langage, cette tension a vide est souvent appelée la force électromotrice, mais nous ne ferons pas cette erreur dans ce cours. Nous parlerons de tension électromotrice ou de tension à vide, pour éviter tout problème.
La caractéristique courant-tension d'un générateur.
Il existe une relation entre tension aux bornes du générateur et courant qu'il est capable de fournir. En théorie, un générateur de tension doit fournir exactement la tension demandée, quel que soit le courant à fournir. Par exemple, si on branche une résistance aux bornes d'un générateur, le courant que doit fournir le générateur est égal à formula_6. Un générateur parfait fournira toujours la même tension, quelle que soit la valeur de la résistance. Même chose pour un générateur de courant, qui doit fournir toute tension à ses bornes pour maintenir le courant demandé. Mais dans la réalité, aucun générateur ne peut se permettre cela. Cela demanderait des générateurs qui fournissent une puissance non-bornée, alors que les générateurs réels sont limités par une puissance maximale, au-delà de laquelle ils ne peuvent pas aller.
Les générateurs linéaires.
Pour un générateur linéaire, la relation entre tension et courant à ses bornes est une droite. Une telle relation est illustrée par le graphique à votre droite. Que nous dit ce graphique ?
Cette courbe peut se traduire en équation, ce qui donne :
Une autre forme de cette équation est la suivante :
Nous verrons que ces deux équations sont équivalentes dans la section suivante, quand nous parlerons des générateurs de Thévenin et de Norton. On peut cependant préciser, quitte à l'admettre pour le moment, que l’équivalence de ces deux équations implique la relation suivante :
La puissance dissipée par un générateur linéaire.
On peut calculer la puissance dissipée par un générateur à partir de cette équation.
On voit que cette formule contient trois puissances différentes:
La puissance utile maximale.
Il est possible de calculer la puissance maximale que l'on peut extraire d'un générateur linéaire. Vu que la tension à vide est une constante, au même titre que la résistance à vide, il nous faut chercher quelle valeur du courant permet d'obtenir la puissance maximale. Pour cela, nous allons chercher quelle valeur du courant annule la dérivée de la puissance, ce qui donnera la valeur maximale de la puissance. Commençons par calculer la dérivé de l'expression précédente :
On applique alors la formule formula_16 :
Le calcul des dérivées donne :
Pour simplifier les calculs, nous allons diviser le tout par r :
Par définition, formula_20, ce qui donne :
Si la dérivée de la puissance vaut zéro, on a alors :
Quelques manipulations algébriques triviales nous disent que la puissance utile atteint un maximum pour un courant I tel que :
et une tension :
La puissance utile maximale est alors de :
Le rendement d'un générateur linéaire.
Ces trois puissances permettent de calculer le rendement du générateur, à savoir son efficacité, sa capacité à limiter les pertes. Le rendement est quantifié par le pourcentage de puissance réellement utile par rapport à la puissance totale, à savoir le rapport suivant :
On peut alors injecter l'équation formula_8 dans l'équation formula_28.
Cette équation montre que le rendement diminue avec l'intensité fournie par le générateur. Ce qui se comprend facilement : plus l'intensité est grande, plus les pertes par effet Joule dans la résistance interne seront importantes.
On peut calculer le rendement maximal d'un générateur à partir des équations précédentes. On a vu plus haut que la puissance maximale est obtenue pour un courant égal à formula_23. En injectant dans l'équation formula_31, on trouve :
Les générateurs de Thévenin et Norton.
Le graphique précédent est compatible avec deux modèles de générateurs. Un générateur réel peut être vu comme un générateur de tension/courant associé à une résistance interne, qui est placée soit en parallèle, soit en série du générateur. Deux possibilités sont compatibles avec l'équation précédente :
Ces deux modélisations sont équivalentes, comme on le verra plus loin : tout générateur peut être modélisé par un générateur de Thévenin ou par un générateur de Norton sans que cela change la physique.
Voici les notations utilisées dans ce qui suit :
Les générateurs de Thévenin.
Le générateur de Thévenin nous permet de calculer simplement le courant de court-circuit. Pour cela, il suffit de relier les deux bornes avec un court-circuit. Le circuit obtenu est alors un circuit série avec un générateur en série avec une résistance. On peut calculer le courant qui traverse la résistance avec la formule formula_39, qui donne immédiatement le courant de court-circuit. On voit que le courant de court-circuit n'est autre que le rapport entre tension à vide et résistance interne. Ce qui est assez évident : en court-circuit, le courant ne traverse que la résistance interne, alimentée par la tension à vide..
Maintenant, ajoutons un récepteur linéaire, une résistance de préférence. D'après la loi des mailles, la tension aux bornes du récepteur n'est autre que la tension fournie par le générateur. Le calcul de la tension aux bornes du récepteur donne :
Ce qui se reformule comme suit :
On voit bien que dans le cas où formula_43, on retrouve la tension à vide. De même, le courant de court-circuit est celui qui annule la tension aux bornes (formula_44).
Les générateurs de Norton.
Le générateur de Norton est composé d'un générateur de courant parfait placé en parallèle avec une résistance. Le courant débité par le générateur de courant est égal au courant de court-circuit et la résistance est égale à la résistance interne. On voit que ce circuit permet de calculer la tension de court-circuit assez simplement. Pour cela, prenons le circuit de Norton, sans y toucher. Le courant produit par le générateur parfait va circuler dans la résistance. La tension aux bornes de cette résistance est égale à formula_39. L'analyse du schéma nous dit que cette tension est présente aux bornes de la résistance, et donc aux bornes du générateur, quand elles ne sont pas connectées. Il s'agit donc de la tension à vide. On a alors la formule suivante, avec :
Maintenant, ajoutons une résistance externe entre les bornes du générateur. La loi des nœuds donne :
D'après la loi d'oHm, l'intensité dans la résistance externe est de : formula_48, ce qui donne :
L'équivalence des deux modèles.
Les deux modèles de générateurs sont équivalents. La preuve est qu'il est possible de passer de l'équation du générateur de Thévenin à celle d'un générateur de Norton, et réciproquement. Voici la démonstration complète :
On divise par r :
Le terme formula_53 est, par définition, le courant de court-circuit formula_7. Le remplacement donne ceci :
On isole I :
Passer de l'un à l'autre est assez simple, vu que la résistance interne est la même dans les deux modèles. Le courant de court-circuit peut se calculer avec la résistance interne et la tension à vide et réciproquement. Il suffit d'appliquer la formule vue plus haut :
Associations de générateurs.
Supposons que vous souhaitiez obtenir un générateur de 15 Volts, alors que vous n'en avez pas sous la main. Tout ce que vous avez est un paquet de piles de 1.5 Volts. Intuitivement, on se doute que l'on pourra utiliser une dizaine de piles de 1.5 Volts pour obtenir les 15 Volts demandés. Mais comment faire ? Faut-il placer les piles en série ou en parallèle ? Ou alors faut-il procéder autrement ? La solution à ce problème va nous demander d'étudier ce qui se passe quand on place plusieurs générateurs en série ou en parallèle. Nous allons étudier la tension générée par ces associations de générateurs.
Générateurs en série.
Si l'on place plusieurs générateurs en série, les tensions vont s'additionner. Dit autrement, la tension finale sera égale à la somme des tensions des générateurs. Ainsi, on peut obtenir une tension de 15 Volts en plaçant en série une dizaine de piles de 1.5 Volts. Un bon moyen de démontrer cette relation est de prendre plusieurs générateurs et de les mettre en série, avec une résistance. La loi des mailles nous dit que la somme de la tension aux bornes de la charge (la résistance) et des tensions des générateurs est nulle. Avec une petite manipulation algébrique simple, on retrouve le résultat précédent.
Générateurs en parallèle.
Si placer plusieurs générateur en série fait que les tensions s'additionnent, on peut se demander ce qui se passe quand on met plusieurs générateurs en parallèle. Dans ce cas, la loi des mailles nous dit que la tension produite est égale à la tension d'un seul générateur (en supposant qu'ils sont identiques). Pas de changement par rapport à un seul générateur pour la tension. Cependant, on peut appliquer la loi des nœuds sur le circuit, en étudiant le courant qui passe à travers une charge/résistance. Dans ce cas, on trouve que le courant total est la somme du courant produit par chaque générateur.