Nous avons vu précédemment quand et comment le hasard intervient dans une partie de jeu de rôle (lire "Le hasard dans les jeux de rôle").
Le hasard étant dans l'idéal utilisé à des moments critiques de la partie, son usage doit être abondamment testé. Mais une bonne compréhension de la notion de probabilité et l'utilisation de quelques outils permet d'orienter les choix au moment de la conception. Je me permet de remettre deux citations :
Bon, qu'est-ce qu'on veut ?
Vous être en train d'écrire des règles ou bien vous envisagez de modifier des règles existantes. Vous savez déjà :
Vous vous posez la question : de quelle manière vais-je générer le hasard ? Jets de dés ? Sous une caractéristique, pour dépasser un seuil, "roll & keep"..? Tirage de cartes ? De jetons ?
Vous voulez évaluer plusieurs solutions pour guider votre choix.
L'objectif de ce chapitre est de vous aider à mettre en correspondance un adjectif et des résultats de tirage, par l'intermédiaire de nombres appelés « probabilités ».
Pour cela, nous utiliserons du simple comptage, quelques représentations (tableau, graphiques) et l'utilisation que quelques logiciels : tableur ("Libreoffice Calc" mais ça marche aussi avec "Microsoft Office Excel") et simulateur "AnyDice" de Jasper Flick. On pourra aussi regarder le site "Dice.run" et "Troll".
Quelques "fumbles".
Pour mettre en évidence l'importance du sujet, citons quelques erreurs de conception, quelques « maladresses » "()" :
Quelques notions de base.
Qu'est-ce qu'une probabilité ?
Un événement aléatoire est un événement dont on ne peut pas prédire exactement le résultat. L'exemple le plus simple est le pile ou face : je sais que le résultat ne peut être que pile ou que face, mais si la pièce est équilibrée, je ne peux pas prédire avec certitude le résultat d'un tirage.
Si j'effectue une tirage, j'ai un résultat (pile ou face). Si j'effectue deux tirages, j'ai deux résultats qui peuvent être identiques (pile-pile ou bien face-face) ou qui peuvent être différents (pile puis face, ou bien face puis pile).
Si j'effectue dix tirages, je m'attend à avoir un assortiment de pile et de face mais pas dix pile ni dix face — une telle situation est possible mais est peu probable.
Si j'effectue cent tirages, alors j'aurai à peu près autant de pile que de face. Pas "exactement" autant mais "à peu près".
C'est une proportion donc en mathématique, elle peut s'exprimer sous la forme d'une fraction. Pour pile ou face, on a « une chance sur deux » d'avoir pile et « une chance sur deux » d'avoir face. La probabilité d'avoir pile est donc "p" = ½, que l'on peut aussi écrire "p" = 0,5 (puisque 1 ÷ 2 = 0,5). De même pour face. Comme les probabilités de pile et de face sont identiques, on dit que les événements sont équiprobables.
La probabilité s'exprime souvent pour cent tirages : « pour cent », « pourcent », %. Le pourcentage consiste simplement à multiplier la probabilité par 100 :
Donc si je fais un seul tirage, je ne sais pas ce que je vais obtenir, je sais juste que j'ai autant de chances d'obtenir un pile qu'un face. Mais si je fais 100 ou tirages, je sais que je vais avoir à peu près respectivement 50 et 500 pile. C'est la fameuse loi des grands nombres : les proportions de résultats observés s'approchent des proportions idéales (des probabilités) lorsque l'on a un grand nombre d'événements (de tirages).
Dans le contexte présent, le terme « fréquence » est un synonyme de « probabilité ».
Probabilités et statistiques.
En mathématiques, les probabilités sont la partie théorique de l'étude du hasard ; les statistiques sont l'étude pratique des événements. Par exemple, je veux savoir si ma pièce est équilibrée ou faussée :
Les statistiques sont également utilisée pour les sondages d'opinion et pour déterminer l'erreur faite sur une mesure en général.
Donc, cela ne nous concerne pas. Nous considérerons toujours que nos dés sont idéaux et pas pipés. Mais c'était l'occasion de faire un point de vocabulaire, ce qui est toujours utile si vous désirez faire des recherche sur Internet.
Dénombrement.
Pour déterminer les proportions idéales, les probabilités, il suffit, dans notre cas, de compter les situations possibles. Si les pièces et les dés sont équilibrés, si les jetons et les cartes sont indiscernables et bien mélangés, chaque situation a les mêmes chances de survenir que les autres.
Donc, pour nous, les probabilités se résument à du comptage, à du dénombrement.
Moyenne, écart type, médiane et quartiles.
Dans le cas de valeurs aléatoires, on indique fréquemment la moyenne et l'écart type. Tenez-vous le pour dit : ce n'est pas pertinent ici.
En effet, la moyenne est très populaire en France car on s'en sert pour les bulletins de notes à l'école mais c'est un médiocre outil en statistiques. Concrètement, elle correspond à deux types de situation :
L'écart type indique si les valeurs sont très dispersées ou bien si au contraire elles sont « ramassées » autour d'une valeur « centrale ». Cette indication est utile mais le calcul de l'écart type est relativement compliqué pour ce que l'on a à faire (et il n'est vraiment pertinent que pour un type de loi dite « loi normale » ou « gaussienne »).
Nous nous référerons quant à nous à la notion de quartile. Il s'agit simplement de couper la liste des événements possibles en quatre part égales. La frontière centrale est appelée la médiane et sa valeur est souvent égale à la moyenne. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer les quartiles mais cela importe peu, les différences ne sont pas significatives pour ce que nous avons à faire.
Considérons le jet de 2d6. Les différents jets possibles sont :
La liste des résultats possibles est donc : 
Si nous classons la liste par ordre croissant, nous avons :
Nous avons 36 résultats que nous découpons en 4 groupes de 9, les séparations sont marquées par une barre verticale épaisse « ❙ » :
Les quartiles sont donc :
Mais n'oublions pas un indicateur simple et utile : la plage de valeurs, c'est-à-dire la valeur la plus basse et la valeur la plus haute. C'était d'ailleurs de cette manière qu'étaient notés les dés dans "AD&D 1" : « 1–8 » indiquait 1d8 et « 2–8 » indiquait 2d4 (mais cette notation est trompeuse car on pourrait croire que la seule différence est la suppression de la valeur 1).
Considérations de conception "()" et de mise en œuvre "()".
Maintenant que nous avons effleuré la notion de probabilité, vous, meneur de jeu et créateur, devez considérer la place du hasard dans votre manière de jouer — ce qui était donc l'objet du chapitre précédent "Le hasard dans les jeux de rôle" — et bien considérer les éléments suivants : à partir du moment où l'on décide de s'en remettre au dés, alors
Donc à la question préalablement posée :
répond la question :
Cela fait écho à une autre question :
Nous proposons de prendre quelques exemple réel pour appréhender le sujet :
Notez que les termes « réussite » et « échec » ne désignent pas un événement positif ou négatif mais les probabilités de survenue ou non de l'événement.
La fréquence de survenue des événements dépend aussi de la fréquence des jets. Par exemple, si une partie comprend quatre combats, que chaque combat nécessite environ 10 jets par personne et qu'il y a quatre PJ, il y aura donc 160 jets de combat par partie. S'il y a 1 % de risque de faire une maladresse "()", cela signifie qu'il y aura environ 1 à 2 maladresse en combat par partie. Si l'unique magicien jette 10 sorts par partie, il y aura une maladresse magique toutes les 10 parties environ.
Si maintenant la maladresse survient avec un 1 sur 1d20 (5 %), cela signifie environ 8 maladresses en combat par partie et une maladresse magique toutes les 2 parties.
Vous pouvez formaliser vos réflexions en remplissant le tableau suivant : « si j'estime qu'un événement rare intervient une fois toutes les trois parties ("m" = 1/3 = 0,33) et que l'on fait dix jets de dés par parties ("n" = 10), alors la probabilité de l'événement est "m"/"n" = 0,33/10 = 0,033 = 3,3 % ». « Si j'estime qu'un événement occasionnel arrive une fois par parties ("m" = 1) et que l'on fait 5 jets par partie ("n" = 5), alors la probabilité de l'événement est "m"/"n" = 1/5 = 0,2 = 20 % ».
Le « nombre de jets "n" » dépend du type de test : jet d'attaque, jet de perception, jet de diplomatie… Il faut ensuite regarder comment on obtient les pourcentage déterminés avec la procédure de résolution choisie (type de dés, combien j'en jette, comment je lis les résultats).
Ce qui suit va vous permettre ensuite de voir si les méthodes de génération de hasard choisies correspondent aux valeurs de ce tableau.
Courbe plate ou courbe en cloche ?
Si l'on ne jette qu'un seul dé, chaque valeur a autant de chances que les autres d'apparaître. Si l'on trace la fréquence de sorties de chaque valeur (la « fonction de masse »), on a une courbe plate. C'est le cas du dé à vingt faces (d20), courbe bleue dans la figure du haut ci-contre, chaque valeur a 100/20 = 5 % de chances de sortir.
Si l'on jette 3d6 (pour obtenir des valeurs entre 3 et 18), courbe rouge dans la figure du haut, on voit que les valeurs centrales 10 et 11 ont plus de chances de sortir que les valeurs extrêmes 3 et 18. Les valeurs 3 et 18 ne sont obtenues qu'avec une seule combinaison de dés, respectivement (1, 1, 1) et (6, 6, 6), sur 63 = 216 combinaisons soit une fréquence de 100 × 1/216 = 0,5 % ; la valeur 10 peut s'obtenir par 27 combinaisons : (1, 3, 6), (1, 6, 3), (2, 2, 6), (2, 3, 5), … soit 100 × 27 / 216 = 12,5 %. La fréquence de sortie des valeurs a une forme « en cloche ». Nous avons déjà évoqué ceci dans le chapitre précédent "Le hasard dans les jeux de rôle > Linéarité des chances".
Cette considération a une certaine importance dans l'histoire du jeu de rôle. En effet, jusque dans les années 1960, on ne connaissait que les dés à six faces. Un dé ne permet de générer que six valeurs. Ainsi, une table d'événements aléatoires ne peut contenir que six entrées et une échelle de chances de réussite ne peut avoir que sept échelons espacés d'environ 17 % (100/6) :
Les joueurs de jeux de guerre "()" voulaient pouvoir générer plus d'événements et avoir plus de niveaux de puissance pour comparer les unités de leurs armées. En ajoutant plusieurs dés, on obtient surtout des valeurs moyennes et le résultat est donc plus prédictible ; les résultats extrêmes sont peu probables, la procédure génère donc peu de surprise, de chaos. C'est ainsi que les joueurs commencèrent à introduire les dés à 20 faces, et en particulier un des co-créateurs du premier jeu de rôle, "Donjons & Dragons", Gary Gygax, en 1974. Gary Gygax fait d'ailleurs figurer cette histoire de formes de courbes dans le "Guide du maître de Donjons & Dragons" en 1979.
Cependant, si l'on regarde bien la manière dont les dés sont utilisés réellement en jeux de rôle, la différence entre les deux manières de faire, 1d20 ou 3d6, ne réside pas à proprement parler dans le fait que les valeurs extrêmes sortent avec autant de chances ou bien plus rarement que les valeurs médianes. En effet, la plupart du temps, on considère un jet sous une valeur (faire une valeur ou moins) ou bien un jet au dessus d'un seuil (faire une valeur ou plus). Il ne faut donc pas considérer les fréquences d'apparition des valeurs, les courbes du haut, mais les fréquences cumulées, les courbes du bas dans la figure ci-dessus. La courbe pour 1d20 est une droite et la courbe pour 3d6 forme un « S » (courbe sigmoïde) mais la différence entre les deux courbes n'est pas si grande que cela. Les courbes se rejoignent au début (0 % de réussite) et à la fin (100 % de réussite) ainsi qu'au milieu (50 % de réussite).
La différence entre les deux situations tient plus dans le fait que :
Avec une courbe en S (3d6), il est donc plus difficile de prédire ses chances de réussite, de savoir s'il est intéressant de gagner un bonus de + 1 ou si un malus de –1 est vraiment pénalisant. En revanche, avec une courbe en S, il est facile de réserver des résultats rares ; par exemple si l'on dit que « 3 est une réussite critique », alors cette réussite critique n'arrivera qu'une fois tous les 216 jets en moyenne. Avec une courbe droite, 1d20, les valeurs extrêmes ont 5 % de chances de survenir, si l'on dit que « 1 est une réussite critique » alors la réussite critique arrivera assez fréquemment, une fois tous les 20 jets en moyenne ; il faut donc prévoir une règle complémentaire si l'on veut que l'événement soit plus rare, par exemple « obtenir un avec 1d20 et réussir un jet de confirmation » (donc faire deux jets).
Pour le reste, si l'on veut qu'un événement ait une probabilité de 30 % environ, on considérera un résultat de 1 à 6 sur 1d20 (que l'on note couramment « 1-6 » ou bien « 6– » pour « 6 ou moins ») et un résultat de 3 à 8 (3-8, 8–) avec 3d6. Si l'on veut une probabilité de 50 %, on aura dans les deux cas 10– (1-10 sur 1d20 et 3-10 sur 3d6) et pour une probabilité de 70 %, on prendra 1-14 (14–) sur 1d20 et 3-12 (12–) sur 3d6. Ces trois situations (les 30e, 50e et 70e centiles) sont représentés par les lignes pontillées sur la figure ci-dessus.
À bien y regarder, la courbe de répartition en S pour 3d6 peut être décomposée en trois parties :
la courbe en S est donc très proche d'une courbe en Z. Nous voyons que la partie centrale, qui correspond à 8 jets sur 10, est très proche de la courbe de 1d10 + 5. Donc dans 8 jets sur 10 (plage de valeurs 6-14), on pourrait remplacer le jet de 3d6 par un jet de 1d10 + 5, donc une probabilité linéaire. La courbe en cloche est donc la plupart du temps identique à une courbe plate, avec une progression d'environ 10 % de chances pour chaque incrément de 1. Dans les parties extrêmes, moins de 6 et plus de 14 (plages 3-6 et 14-18), la progression est d'environ 2,5 % pour chaque +1.
Cette vision simplifiée permet de mieux appréhender ses chances de réussite. Cependant, il faudrait faire cette analyse pour chaque situation où l'on ajoute plusieurs dés : 2d6, 2d10…
Donc outre ces deux différences mentionnées ci-dessus, à savoir :
les deux autres différences importantes sont :
Les différences sont donc notables mais ne résident pas là où se l'imaginent la plupart des joueurs et joueuses.
Les jets de dés.
Jet d'un dé unique.
Histogramme vertical.
Chaque événement est l'obtention d'une face. On peut donc représenter la valeur « une occurrence » par la face du dé.
Lorsque l'on s'intéresse à l'obtention d'une valeur, il suffit de représenter le dé au dessus du nombre correspondant.
Lorsque l'on veut obtenir « une valeur ou moins », on empile les dés correspondant à ce critère. Par exemple, pour le critère « 3 ou moins », on empile les dés montrant les faces « 1 », « 2 » et « 3 ».
On peut directement transformer ce dessin en diagramme barres, encore appelé « histogramme ».
Nous constatons que les tests « faire moins que » (règle du type « jet sous une caractéristique », par exemple "Basic Role-Playing", "RuneQuest", "L'Appel de Cthulhu"…) et les tests « faire plus que » (règle du type « dépasser une seuil », par exemple "d20 System", "D&D 3.X", "Pathfinder"…) sont symétriques : on obtient l'une en retournant l'autre. Pour simplifier, nous n'étudierons par la suite que la première situation, « faire moins que ».
Donc, l'histogramme du haut (« 1d4 = "i" ») se lit de la manière suivante (lecture des barres de gauche à droite) : « j'ai 25 % d'obtenir un “1” avec 1d4 », « j'ai 25 % d'obtenir un “2” avec 1d4 », « j'ai 25 % d'obtenir un “3” avec 1d4 » et « j'ai 25 % d'obtenir un “4” avec 1d4 ». La probabilité est uniforme, « plate ».
Le second histogramme (« 1d4 ≤ "i" ») se lit (de gauche à droite) : « j'ai 25 % d'obtenir un “1” ou moins avec 1d4 », « j'ai 50 % d'obtenir un “2” ou moins avec 1d4 », « j'ai 75 % d'obtenir un “3” ou moins avec 1d4 », « j'ai 100 % d'obtenir un “4” ou moins avec 1d4 ».
Une inégalité stricte — « 1d4 < "i" » — équivaut à tout décaler d'une barre : « obtenir strictement moins que “2” avec 1d4 » équivaut à « obtenir un “1” ou moins avec 1d4 ».
Valeurs caractéristiques de la distribution.
Les extrema sont évidemment « 1 » et « 4 ».
Si on coupe la liste des événements possibles en deux parts égales :
on voit que la médiane, représentée par le trait vertical « ❙ », est située entre « 2 » et « 3 ». On prend par convention la valeur « 2,5 ».
Si l'on sépare la liste en quatre parts égales, on a :
Les quartiles, représentés par « ❙ », valent donc « 1,5 », « 2,5 » (médiane) et « 3,5 ».
On peut représenter ceci par une « boîte à moustaches ».
Tableau.
La colonne « Événements » désigne la face sur laquelle tombe le dé, la colonne « Résultat » indique ce qui est attendu. Dans le cas d'un dé unique, le résultat 2 s'obtient avec l'événement « 2 » (la face « 2 » du dé) ; mais si l'on veut avoir pour résultat 2 ou moins, cela s'obtient pour deux événements : « 1 » ou « 2 ».
Histogramme horizontal.
La colonne « Événements » prend une forme qui peut directement se transposer histogramme — en graphique à barres :
Arbre.
La dernière manière de représenter un jet consiste à faire un graphe de type « arbre ». Chaque événement possible (chaque face) est une branche partant de la « racine » (le point situé en haut du graphe).
La ligne « résultat : “1d4 = "i"” » se lit de la manière suivante : « si l'événement est “1”, alors le résultat est “1” » — c'est-à-dire « on lit la face du dé ».
La ligne « résultat : “1d4 ≤ "i"” » se lit de la manière suivante : « si l'événement est “1”, alors le résultat est positif pour les limites “1”, “2”, “3” et “4” » — c'est-à-dire « si on obtient un “1” avec le dé, on réussit le jet pour les caractéristiques valant “1”, “2”, “3” et “4” ».
Ce type de représentation prend son intérêt lorsque l'on fait plusieurs tests l'un après l'autre.
Somme de deux dés identiques.
Nous considérons maintenant 2d4.
Histogrammes.
La probabilité d'obtenir une valeur ont une forme triangulaire. Il est donc plus probable d'avoir une valeur moyenne — « 5 » — que d'avoir des valeurs extrêmes — « 2 », « 8 ».
La probabilité de faire une valeur ou moins a une forme de S, appelée « sigmoïde ». Ainsi, lorsque l'on passe de « 2 » à « 3 », la probabilité change peu (+6 % environ) ; en revanche, lorsque l'on passe de « 4 » à « 5 », la probabilité varie de manière importante (+ 25 %).
Arbre de probabilités.
Notre arbre a maintenant deux « étages » : le premier étage est le résultat du premier dé, le second étage est le résultat du second dé. Nous avons 4 × 4 = 16 événements possible, un événement étant la somme de deux dés.
Valeurs caractéristiques de la distribution.
Classons les valeurs obtenues par ordre croissant et séparons la liste en quatre parties égales :
Nous avons donc :
Par rapport à 1d4, nous voyons que la partie centrale de la boîte à moustache, qui contient la moitié des événements, est plus ramassée par rapport à l'étendue totale.
Nous profitons de cette situation pour mettre en évidence le rapport entre la courbe des probabilités cumulées et la boîte à moustaches. En effet, puisque les quartiles correspondent à des probabilités cumulées de 25 %/50 %/75 %, on peut les obtenir en regardant les valeurs des dés qui donnent les probabilités cumulées mentionnées. Notons toutefois que les valeurs trouvées par cette méthode sont approximatives (3,5/4,5/5,5 alors que les vraies valeurs sont 4/5/6). Cette différence s'atténue lorsque le nombre de dés augmente.
Tableau.
Nous construisons d'abord un tableau des événements.
Nous pouvons aussi construire ce tableau comme une matrice : le contenu de la cellule est la somme du titre de la ligne et du titre de la colonne.
Puis nous construisons un tableau des occurrences :
Pour la table des probabilités cumulées, nous n'indiquons pas le détail de chaque événement mais directement la somme afin d'économiser de la place : nous n'indiquons par « “1 + 2” “2 + 1”  » mais directement « “3” “3” ».
Somme de trois dés identiques.
La démarche est la même que ci-dessus. Les choses deviennent juste de plus en plus longues à faire à la main. Voici le début du tableau des événements :
Il y a au total 4 × 4 × 4 = 64 événements (combinaisons de dés) possibles.
L'histogramme des probabilités (3d4 = "i") forme une courbe en cloche et l'histogramme des probabilités cumulées (3d4 ≤ "i") forme une sigmoïde un peu plus aplaties aux extrémités et un peu plus pentue au milieu. Les quartiles valent :
Somme de dés identiques en général.
Probabilités.
Quel que soit le type de dé, à partir du moment où il est numéroté de manière « classique », on a :
Vous trouverez ci-dessous les courbes pour des dés classiques (dés cubiques à six faces).
Pour des raisons de lisibilité, nous n'avons pas représenté les barres mais nous avons relié le sommet des barres par des traits. Cette manière de faire n'est pas recommandée mais facilite la lecture. Pour les boîtes à moustache, nous avons découpé les domaines de valeurs en quatre parties égales par des traits bleus afin de mettre en évidence le phénomène de concentration des tirages.
Cela est aussi vrai pour certains dés « spéciaux » comme les dF (pour "Fudge" et "FATE").
Quelle influence cela a-t-il sur le jeu ?
Plusieurs manière d'avoir un jet dans une plage de valeurs.
Comme nous l'avons relevé dans le chapitre précédent "(Le hasard dans les jeux de rôle)", les deux choses importantes sont :
Pour une échelle de valeurs donnée, mettons entre 1 et 20, il y a plusieurs manière de générer du hasard : 1d20, 2d10, 3d6…
Avec 1d20, on a autant de chances d'avoir un résultat faible, moyen ou fort. Avec 2d10 ou 3d6, on a plus de chances d'avoir un résultat moyen — « 10 » ou « 11 » — et peu de chances d'avoir un résultat extrême. De fait, si l'on utilise la somme de plusieurs dés, on peut être plus confiant dans le fait d'avoir un résultat moyen, mais les joueuses le savent-elles ? Et d'un point du vue du jeu, est-il vraiment intéressant d'avoir une grande dispersion des valeurs, d'avoir régulièrement des valeurs très élevées ou très basses ?
Un choix de conception "()" intéressant…
Table d'événements aléatoire.
Si l'on crée une table d'événements aléatoire, il faut être conscient que si l'on jette plusieurs dés, alors les valeurs centrales sont plus probables. Ainsi, on mettra les événements les plus fréquente et les plus intéressants pour la narration. On peut par exemple classer dans un tableau à deux entrées : une entrée « fréquence » et une entrée « intérêt narratif ». Ce tableau permet d'évaluer la pertinence de l'événement.
Chaque événement est placé dans cette table d'évaluation et se voit donc associer un nombre. Puis, les événements sont classés par ordre décroissant de pertinence et placés comparés à la liste des valeurs classées par ordre de probabilité décroissante. Par exemple, avec 2d6 :
Cette table est ensuite retriée par ordre de valeur de dé croissante pour en faciliter la lecture.
Progression des chances.
Imaginons que l'on résolve une situation par un jet sous une caractéristique. Avec un seul dé, chaque fois que le PJ progresse de 1 dans sa caractéristique, ses chances de réussite progressent de la même quantité, par exemple +5 % avec 1d20.
En revanche, si l'on additionne plusieurs dés, la courbe sigmoïde fait que :
D'un point de vue stratégique, il faut donc rapidement sortir de la zone basse et dépasser la partie médiane. En revanche, il devient moins intéressant d'investir dans une caractéristique déjà élevée. Bien sûr, cela change avec la présence de bonus-malus ; ainsi, dans une situation assortie d'un malus, une caractéristique élevée « devient » une caractéristique moyenne…
Exemple
Une caractéristique est cotée sur 20 environ. L'action est réussie si un jet de dés est inférieur ou égal à la caractéristique.
Lorsque nous sommes du « côté droite » de la sigmoïde (au-dessus de la médiane), donc pour des caractéristiques de 13 ou 15, la situation à 3d6 est plus favorable que celle à 2d10 qui l'est encore plus que celle à 1d20.
Avec "AnyDice", nous avons utilisé l'affichage de données « Data: At most » et les expressions codice_1, codice_2 et codice_3. Plutôt que de chercher les lignes « 10 » (ainsi que « 8 » et « 12 » pour les modificateurs ±2), « 13 » (et « 11 ») et « 15 » (et « 17 ») sur les histogramme (ou le texte de la section « Export »), on peut aussi taper des expressions du type codice_4, les chances de réussite apparaissent sur la ligne « 1 ».
Exemple 
Considérons le "d20 system". Une caractéristique génère un modificateur allant de –5 à +5 ; s'y ajoute normalement les points de compétence et divers bonus. L'action est réussie si un jet de dés modifié est supérieur à un degré de difficulté (DD).
Les caractéristique sont cotées sur 20 pour des humains et voici un extrait de la table des modificateurs de caractéristique et la table des degrés de difficulté, tirées du DRS :
Nous sélectionnons quelques cas pour l'étude.
Pour une caractéristique ayant un modificateur nul (0) et un DD 10, les chances de réussite sont plus élevées avec 2d10 et 3d6. Lorsque le DD varie de ±5, les chances de réussite varient de +35/–25 % avec 1d20, de +30/–43 avec 2d10 et de +36/–53 % avec 3d6. Les DD élevés sont donc défavorables avec 2d10 et "a fortiori" avec 3d6.
Lorsque le modificateur augmente, la situation est d'autant plus favorable que le nombre de dés augmente pour les DD faibles (5 ou 10) ; elle est d'autant plus défavorable que le nombre de dés augmente pour les DD forts.
Avec "AnyDice", nous avons utilisé l'affichage de données « Data: At least » et les expressions codice_1, codice_6 et codice_7 ; codice_2, codice_9 et codice_10 ; codice_3, codice_12 et codice_13. Plutôt que de chercher les lignes « 5 », « 10 » et « 15 » sur les histogramme (ou le texte de la section « Export »), on peut aussi taper codice_14, codice_15 etc. qui donne directement la probabilité de réussite sur la ligne « 1 ».
Notez que dans les deux situations considérées, nous reconstruisons une « table des difficultés » telle que présentée dans la section "Estimer ses chances" du chapitre précédent.
Maladresses et coups de maître.
Les situations générant des maladresses "()" et des coups de maître (réussites critiques) sont souvent les valeurs extrêmes « naturelles » des jets — « naturel » signifiant la valeur indiquée par la face du dés sans appliquer de modificateur. Dans le cas d'un dé unique ou d'une somme de dés, les deux valeurs extrêmes — le minimum et le maximum — ont les mêmes probabilités de survenue. Il s'agit donc :
Donc avec 1d20, il y aura probablement plusieurs maladresses et coups de maître par partie. Avec 3d6, cela sera plus rare.
Pour raréfier les situations extrêmes avec 1d20, on peut rajouter une deuxième condition, par exemple pour une maladresse : « faire la valeur extrême et confirmer en échouant à un second jet » et pour un coup de maître : « faire la valeur extrême et confirmer en réussissant à un second jet ».
Pour rendre plus fréquent les situations extrêmes avec 3d6, on peut augmenter la plage, par exemple respectivement « 3-4 » et « 17-18 » soit environ 2% (1/50).
Variantes d'une somme de dés identiques.
Soustraction de dés.
Certains système soustraient des dés. L'opération est en fait identique à ajouter des dés. En effet, on peut remarquer que {–1d4} a les mêmes probabilités que {1d4 – 5}, que {–2d4} a les mêmes probabilités que {2d4 – 10} et de manière générale, {–"n"dX} a les mêmes probabilités que {"n"dX – "n"⋅(X + 1)}.
Ainsi, la probabilité de {1d4 – 1d4} est identique à la probabilité de {2d4 – 5}. Soustraire un dé revient simplement à enlever une valeur constante à la somme des dés.
Si les dés sont identiques, la distribution est centrée sur zéro.
Le jeu "Qin" (7 Cercle, 2009) utilise un « dé yin-yang » : on jette deux d10 et le résultat le plus élevé est soustrait du résultat le plus faible, et le résultat « 0 » est la valeur zéro (et non dix comme habituellement). Le jet est ainsi toujours positif ou nul. D'un point de vue mathématiques, cela revient à prendre la valeur absolue de la différence.
Puisque nous avons ici pour la première fois une distribution dissymétrique, nous pouvons illustrer la différence entre moyenne et médiane. D'un point de vue calcul, la moyenne s'obtient par :
Pour simplifier, nous ne considérons pas des d10 mais des d4. Nous avons donc :
En effet :
Représentons chaque événement par une brique, les briques ayant toutes la même masse et formant des piles régulièrement espacées sur un plateau. Chaque pile correspond à la valeur d'un événement, donc une valeur entre 0 et 3 ; elles sont classées par ordre croissant. Pour chaque position, on empile autant de brique qu'il y a d'événement ayant la valeur correspondante ; on obtient de fait l'histogramme. Le point d'équilibre du plateau est situé entre le centre de la pile « 1 » et le centre de la pile « 2 », plus proche du 1. Si l'on repère les positions par rapport au centre de la pile « 0 », le point d'équilibre est à l'abscisse « 1,25 ».
La médiane, quant à elle, vaut 1 :
Dans "AnyDice", la moyenne est la première valeur entre parenthèses indiquée après le titre de l'affichage.
Dans le tableur "LibreOffice Calc", la moyenne s'obtient avec l'expression codice_16.
Pour en revenir au dé yin-yang, la règle indique qu'un double « 0 » est une maladresse tandis qu'un autre double est un coup de maître. Le code pour gérer ceci est indiqué en annexe. Dans le graphique ci-contre, la maladresse est représentée par la valeur –1 et le coup de maître par la valeur 10.
Somme de dés différents.
Si l'on somme deux dés différents, on obtient une répartition en trapèze. La probabilité cumulée reste une sigmoïde dont la partie centrale est droite. La situation est donc intermédiaire entre le dés seul et la somme de deux dés identiques :
Si l'on somme plus de dés, nous approchons une courbe en cloche. C'est donc une alternative si le but est d'avoir ce type de courbe.
Les histogrammes et valeurs ci-dessus peuvent s'obtenir avec "AnyDice" en utilisant les syntaxes :
output 1d4 + 1d6
output 2d4 + 1d6
output 1d4 + 2d6
output 1d4 + 1d6 + 1d8
Comparaison de deux dés.
Dans certains jeux, on compare deux jets de dés. C'est typiquement le cas des jeux où les dés représentent la capacité du personnage, soit que la caractéristique s'exprime sous la forme de dés "(d6 System", "Savage World", "Earthdawn"…")", soit que la caractéristique donne un bonus aux dés "(d20 System)". Dans ces jeux là, lorsque deux personnages s'opposent, le test consiste souvent à comparer les deux jets :
Ces conditions peuvent s'écrire respectivement :
Nous voyons que cette situation est similaire à la soustraction de deux jets.
Par exemple, deux personnages font un bras de fer ; la force de l'un est de 1d6 et la force de l'autre de 1d8, le résultat le plus élevé l'emporte. On compare donc 1d6 à 1d8, ce qui revient à comparer {1d8 – 1d6} à zéro, soit, d'après la section précédente, à comparer {1d8 + 1d6 – 7} à zéro.
Dans le les livres-jeux et le jeu de rôle "Défis fantastiques", lors d'un combat, on calcul la force d'attaque (FA) en additionnant 2d6 à la caractéristique "habileté". Le personnage ayant la FA la plus élevée remporte l'assaut et inflige des dégâts à l'autre. On compare donc 2d6 + Hab1 à 2d6 + Hab2. Cela revient à comparer {2d6 – 2d6} à {Hab2 – Hab1} donc, au final, à comparer {4d6 – 14} à {Hab2 – Hab1}.
Dans le cas des livres-jeux, si l'on n'utilise pas la règle de "chance", un coup porté fait perdre 2 points d"endurance" à l'adversaire. On peut donc calculer le nombre de points d'endurance perdus en moyenne pour 10 assauts :
Nous voyons qu'avec une différence de deux points d"habileté", le personnage le plus faible est touché deux fis plus souvent, il perd son "endurance" deux fois plus rapidement que le personnage le plus fort.
Dans "AnyDice", pour avoir les courbes, on peut utiliser l'une des deux solutions :
output 2d6-2d6 named "2d6 – 2d6"
output 4d6-14 named "2d6 – 2d6"
Pour avoir directement les probabilités de toucher, on peut utiliser :
output (2d6-2d6) > 2 named "1 touche pour Hab2 – Hab1 = 2"
output (4d6-14) > 2 named "1 touche pour Hab2 – Hab1 = 2"
On peut calculer toutes les valeurs d'un seul coup en utilisant une boucle "()" :
loop N over {0..3}{
 output (4d6-14)>N named "1 touche pour Hab2 – Hab1 = [N]"
 output (4d6-14)<N named "2 touche pour Hab2 – Hab1 = [N]"
La commande codice_17 répète les instructions contenues entre accolades pour N prenant successivement les valeurs 0, 1, 2 et 3. Dans le nom de l'affichage codice_18, il faut mettre le nom de la variable N entre crochet pour qu"AnyDice" sache qu'il s'agit bien de la variable et pas d'une lettre à afficher.
Jet sans limite.
Le jet sans limite (JSL) (anglais : "", littéralement jet à fin ouverte), ou « jet explosif », est un mécanisme de jeu de rôle permettant d'étendre la plage de valeurs données par un jet de dé(s). Lorsque l'on obtient un des extrêmes de la plage, on relance les dés ; le résultat est alors ajouté au résultat précédent si le premier jet était maximal, retranché si le jet était minimal. Ce mécanisme est récursif, ce qui explique le terme de « sans limite ». 
Exemple avec 1d10 :
Les principaux jeux utilisant ce système sont "Rolemaster" et les jeux dérivés avec un d100 (jet ouvert sur les résultats 1-5 et 95-00) : "Jeu de rôle des Terres du Milieu", "Spacemaster" et "HARP". C'est une manière de gérer les maladresses et coups de maître. D'autre jeux n'appliquent le système que « vers le haut ». Par exemple le "D6 System", et "Star Wars" qui en est à l'origine, applique ce système à un seul des dés à six faces lancés, le « dé libre » "(wild die)". "Savage World" a le système « d'as ». "Anima Beyond Fantasy" permet les jets ouverts sur des dés à cent faces : il est donc possible d'obtenir des résultats allant dans les 300, 400… Ce qui permet des actions "a priori" physiquement impossibles.
"AnyDice" propose la fonction "explode" pour faire des jets ouverts « vers le haut » :
output [explode d6] named "d6 explosif"
donne un d6 qui explose sur les « 6 ». Comme le processus ne s’arrête virtuellement jamais, AnyDice s'arrête à trois lancers supplémentaires appelé « profondeur » "()" ; on peut modifier ce nombre de lancer supplémentaires. Par exemple pour avoir 5 relancés avec 1d4
set "explode depth" to 5
output [explode d4] named "d4 explosif"
Notez la différence entre codice_19 — qui « explose » sur un « 12 » — et codice_20 — qui jette deux d6 explosifs et en fait la somme.
Si on veut avoir un jet sans limite à la manière de "Rolemaster", il faut créer sa propre fonction. Par exemple, pour 1d10 :
function: jsl N:n {
 result: N
set "maximum function depth" to 3
output [jsl d10]
Nous voyons ici qu'il est possible de créer des fonctions avec "AnyDice". La syntaxe générale est :
 function: "NomDeLaFonction" "VariableEntrée" {
 "instructions"
 result: "expression"
et elle s'utilise ensuite comme toutes les fonctions
 ["NomDeLaFonction" "Valeur"]
dans la fonction, la commande codice_21 provoque la sortie de la fonction avec pour valeur l'expression qui suit les deux points.
Dans le cas présent, on définit la fonction : "jsl". On demande à "AnyDice" de tracer la fonction "jsl"(d10) par la syntaxe :
output [jsl d10]
Pour cette fonction, on a :
La fonction a donc pour paramètre d'entrée N = d10. Si ("" en anglais) cette valeur N est égale à 10, alors on lui ajoute le résultat de la fonction "explode"(d10). Si cette valeur N est égale à 1, alors on lui enlève le résultat de la fonction "explode"(d10). Les instructions correspondantes sont
Si aucune des conditions n'est réalisée, c'est-à-dire si le résultat est entre 2 et 9, alors l'exécution n'a pas rencontré de commande de sortie codice_21 donc on applique la dernière ligne qui renvoie la valeur de N :
result: N
Choix de dés parmi plusieurs.
Nous étudions ici le cas où l'on jette plusieurs dés et où l'on n'en retient que certains, en général le plus élevé ou le plus faible, parfois le dé médian (c'est-à-dire ni le plus élevé, ni le plus faible parmi trois dés). Par exemple :
Avec un tableur, la colonne "événement" utilise la fonction codice_26 si l'on veut le dé le plus élevé, codice_27 si l'on veut le dé le plus faible et codice_28 si l'on veut le dé médian. Par exemple, pour avoir le dé le plus élevé parmi deux : codice_29. On crée ensuite le second tableau "résultats"/"nb. d'occ"/"cumul" habituel.
Avec "AnyDice", on utilise les fonctions codice_30 (le plus grand), codice_31 (le plus petit) et codice_32 (le médian). Par exemple, pour avoir le d20 le plus petit parmi deux ou pour avoir la somme des trois d6 les plus élevés parmi 4 :
output [lowest 1 of 2d20]
output [highest 3 of 4d6]
Si les dés sont différents, on utilise codice_33 et consort. Par exemple, pour avoir le plus petit entre 1d4 et d16, ou le plus grand entre 1d4, 1d6 et 1d8 :
output [lowest of 1d4 and 1d6]
output [highest of 1d4 and [highest of 1d6 and 1d8]]
Dans le cas du meilleur ou du pire dé parmi 2d20 (avantage ou désavantage à "D&D5"), nous avons les quartiles suivants.
Nous remarquons que par rapport à 1d20 seul, le choix du meilleur ou du pire parmi deux décale les quartiles d'une valeur allant de –4,25 à +5,25, la médiane étant décalée de –4/+5. Cela justifie la remarque préliminaire dans la section "Quelques" fumbles.
Le tableau ci-dessous indique les quartiles pour le choix de 2d6 parmi 2 à 4, méthode utilisée par "P'tites Sorcières".
La table des difficultés pour "P'tites Sorcières" est la suivante :
Avoir deux dés identiques.
Le système de "Reign" (2007) consiste à jeter un nombre de d10 dépendant de la puissance du personnage ; l'action réussit si l'on a au moins une paire (deux dés identiques). La réussite est d'autant meilleure que l'on a de dés ayant la même valeur et que cette valeur est élevée.
La réussite simple (avoir au moins une paire) est similaire au problème dit du paradoxes de l'anniversaires. La manière la plus simple consiste à considérer les risques d'échec c'est-à-dire de n'avoir aucune paire.
Avec 2d10, le premier dé à 10 possibilités ; pour qu'il n'y ait pas de paire, le second dé n'a que 9 possibilités. Donc sur 10 × 10 = 100 combinaisons possibles
il y a 10 × 9 = 90 combinaisons perdantes
et logiquement 100 – 90 = 10 combinaisons gagnantes
Nous avons donc 90 % d'échec et 10 % de réussite. Avec 3d10, il y a 10 × 10 × 10 = combinaisons possibles
et 10 × 9 × 8 = 720 combinaisons perdantes
donc 72 % d'échec et 28 % de réussite. Avec "n" dés, il y a 10"n" combinaisons possibles et 10 × 9 × … × (10 – "n" + 1) situations d'échec ; cette dernière valeur s'appelle un « arrangement » en mathématiques et se note A"n"10. On voit qu'à partir de 11 dés, il y a nécessairement au moins une réussite (puisqu'on ne peut pas avoir 11 valeurs différentes avec des d10).
Pioche de jetons ou de cartes.
Lorsque l'on pioche des objets identiques au toucher en aveugle (pions, pierres, jetons) ou bien des cartes dont le dos est identique, les probabilités de piocher un jeton ou une carte sont tout simplement obtenues en comptant les objets identiques.
Par exemple, si un sac contient 20 jetons blancs et 10 jetons noirs, soit 30 jetons au total, alors :
Si l'on fait plusieurs tirages successifs sans remettre les jetons, par exemple tirer trois jetons d'un sac, les proportions changent à chaque tirage. Ce point est traité plus loin dans la section "Épreuves successives".
Si l'on considère un jeu de 32 cartes classique, alors :
Épreuves successives.
Le terme « épreuves successives » désigne le fait de recourir plusieurs fois au hasard dans un but unique. Il peut s'agir :
Le terme « jet » peut bien sûr être remplacé par n'importe quel mode de génération de hasard.
La manière la plus simple de représente cette situation est d'utiliser un arbre de probabilités.
Dans la situation la plus simple, chaque jet a deux issues : réussite ou échec. En probabilités, on parle de « processus de Bernoulli » ; l'arbre de probabilités est un arbre binaire (il n'y a que deux branches à chaque nœud).
Lorsque l'on est à une extrémité (une feuille de l'arbre), la probabilité d'obtenir cette situation est le produit des probabilités en parcourant l'arbre depuis la racine. Si par exemple on effectue trois jets successifs avec 40 % de réussite (et donc 60 % d'échec) :
De manière générale, si la probabilité de réussite est "p", alors la probabilité qu'il réussisse au "n"-ième essai (après "n" – 1 échecs) vaut :
En terme de probabilités, c'est une loi binomiale avec "k" = "n" – 1.
La probabilité cumulée tend vers 1 (100 %), on peut donner le nombre d'essai médian
on sait que dans la moitié des cas, il faut faire moins d'essais que N pour réussir une épreuve. Le nombre moyen d'essais pour que la réussite soit supérieure à 99 % (par exemple)
Le nombre moyen d'essais pour qu'il réussisse vaut
La moyenne est ici intéressante en tant que « lissage » : c'est une « fréquence équivalente » c'est-à-dire que sur un très grand nombre de processus, on a à peu près autant de réussite que si l'on réussissait une fois tous les Nmoy. Par exemple, si on a 5 % de réussir une épreuve, alors il faut en moyenne 20 essais pour réussir, cela signifie que sur un grand nombre de processus, c'est comme si on réussissait un jet tous les 20 jets.
Les outils informatiques.
Nous avons présenté précédemment des méthodes « manuelles » pour aborder les probabilités afin de vous aider à comprendre les principes. Mais la mise en œuvre de ces méthodes est fastidieuse lorsque le nombre de dés augmente : pour 3d6, on a déjà 63 = 6 × 6 × 6 = 216 possibilités : {1 ; 1 ; 1}, {1 ; 1; 2}, {1 ; 1; 3}, … {1 ; 2 ; 1}, … {6 ; 6 ; 5}, {6 ; 6 ; 6}. Le tableau commence à être fastidieux à construire ! Et si l'on enchaîne cinq jets consécutifs, ou que l'on jette cinq dés avec pour chaque dé une échec ou une réussite, la dernière ligne de l'arbre contient 32 éléments pour 52 éléments au total dans l'arbre, il faut une grande feuille et pas mal de temps…
Nous présentons donc ici des outils informatiques pour nous aider dans cette tâche.
Avec "AnyDice".
Jet d'un dé unique.
Avec un navigateur Internet, ouvrir la page http://www.anydice.com/ puis :
Vous retrouvez les différentes représentations présentées ci-dessus.
Notez que ma commande codice_43 est optionnelle.
Somme de deux dés identiques.
Pour deux dés à quatre faces, la syntaxe est évidemment
output 2d4 named "2d4"
Somme de trois dés identiques.
Pour trois dés à quatre faces, la commande est évidemment :
output 3d4 named "3d4"
Somme de dés identiques en général.
Pour simuler un pile ou face, on peut indiquer un dé dont les faces valent « 0 » ou « 1 » : 
output 1d{0, 1} named "pile ou face"
output 1d{0..1} named "pile ou face"
Un dF (dé Fudge ou FATE) est un dé dont deux faces sont marquées « – », deux sont vierges et deux sont marquées « + ». De la manière dont ils s'utilisent, on peut considérer que les faces valent respectivement « –1 », « 0 » et « +1 » ; comme les faces vont par paire, c'est comme s'il n'y avait que trois faces soit :
output 1d{-1, 0, 1} named "dF"
output 1d{-1..1} named "dF"
Soustraction de dés.
On peut simplement écrire :
output -2d4 named "–2d4"
output 1d6-1d6 named "1d6 – 1d6"
Dé yin-yang.
Le dé « yn-yang » est utilisé dans le jeu "Qin". On jette deux d10 (un noir et un blanc), le résultat est la valeur absolue de la différence ce qui dans "AnyDice" se note :
output [absolute d{0..9}-d{0..9}] named "dé yin-yang"
Nous utilisons donc ici une fonction de "AnyDice" appelée "absolute". Notez la syntaxe utilisée pour appeler une fonction : en mathématiques, on note ƒ("x") pour appliquer la fonction ƒ à la valeur "x" ; dans "AnyDice", cela se note codice_44 ou, pour utiliser du pseudo-code :
 ["NomDeLaFonction" "Valeur"]
avec ici :
Divers.
Somme du dé le plus élevé et du dé le moins élevé
On jette plusieurs dés à dix faces et on additionne le plus élevé et le plus faible :
loop N over {2..9} {
 TOTO:Nd10
 output [highest 1 of TOTO] + [lowest 1 of TOTO] named "[N]d10"
Nous utilisons des variables : N qui est le nombre de dés jetés et TOTO qui est le résultat du jet de N dés. Les noms des variables sont nécessairement en lettres capitales.
La commande codice_47 crée une boucle, la variable N prenant les valeurs entières de "n"1 à "n"2, la "liste d'instructions" est exécutée pour chaque valeur successive de N.
L'affectation d'une valeur à une variable se fait avec la syntaxe codice_48. Ici, la commande codice_49 indique que la variable TOTO contient le résultat du jet de N dés à dix faces.
La commande codice_50 prend les "m" plus grandes valeurs de la série NOM ; la commande codice_51 prend les "m" plus petites valeurs de la série NOM. Donc le code codice_52 fait la somme de la plus grande valeur et de la plus petite valeur de la série TOTO.
Avec un tableur.
Jet d'un dé unique.
Avec un tableur, nous commençons par créer une la liste des événements, en colonne. Il est bien sûr possible de taper les valeurs successivement dans les cases mais cela devient laborieux lorsque le nombre de faces augmente. Pour se simplifier la tâche :
Pour plus de lisibilité, on peut mettre le titre « événements » en gras.
On crée ensuite en dessous une seconde liste identique mais intitulée « résultats » — a différence entre la liste « événements » et la liste « résultats » sera plus claire lorsque l'on passera à deux dés. La liste « résultats » indique les résultats qu'il est possible d'obtenir aux dés.
On crée ensuite une liste « nb d'occ. » à droite de la liste « résultats ». Une fois le titre créé, on sélectionne les cellules B8 à B11 et l'on tape :
=frequence(
puis on clique sur le bouton « Assistant fonction » codice_53.
Cela ouvre la boîte de dialogue « Assistant fonction ». Pour remplir les champs « données » et « classes », on peut simplement sélectionner les liste en cliquant sur la première cellule et en faisant bouger le pointeur de la souris jusqu'à la dernière cellule en maintenant le bouton enfoncé puis de relâcher le bouton. Sinon, la syntaxe est simplement « première cellule — deux-points — dernière cellule » soit respectivement codice_54 et codice_55.
Il faut ensuite s'assurer que le case « Matrice » en bas à gauche est cochée. Puis, on clique sur le bouton codice_56 ; la liste se remplit du nombre d'occurrences, soit ici des « 1 » partout.
Nous créons ensuite une liste nommée « cumul » dans laquelle nous allons indiquer les nombres d'occurrence cumulés, c'est-à-dire les probabilités d'avoir une valeur ou moins. Pour cela, il suffit d'écrire dans la première cellule, codice_57 :
=frequence(A$2:A$5 ; A8)
et d'appuyer sur la touche codice_58 du clavier. Cette expression signifie : « calcule le nombre de valeurs inférieures à la valeur de la cellule codice_59 qui apparaissent dans la liste codice_60 ».
Les signes dollar « codice_61 » dans l'expression « codice_60 » indiquent que les valeurs qui suivent (les numéros de ligne « 2 » et « 5 ») ne doivent pas varier.
Puis, on clique dans la cellule A8, on place le pointeur de la souris sur le petit carré noir en bas à droite — le pointeur se transforme en croix « + » — et on double-clique. Cela étire la liste.
Pour tracer le premier histogramme, on sélectionne les deux listes « résultats » et « nb d'occ. », c'est-à-dire la zone codice_63, puis on clique sur le bouton codice_64. Cela ouvre la boîte de dialogue « Assistant de diagramme ».
Pour la première étape « 1. Type de diagramme », on s'assure que l'on a bien sélectionné « Colonne » pour un histogramme vertical, « Barre » pour un histogramme horizontal.
À la deuxième étape « 2. Plage de données », il faut cocher les deux cases « Première lige comme étiquette » et « Première colonne comme étiquette ». On peut ensuite cliquer sur le bouton codice_65.
Pour créer l'histogramme des occurrences cumulées (« faire un valeur ou moins »), on fait de même mais en sélectionnant deux colonnes disjointes. Pour se faire, il faut sélectionner la seconde colonne en maintenant la touche codice_66 (« contrôle ») du clavier enfoncée. La plage de données se note alors : codice_67.
Pour avoir les quartiles, il suffit de taper :
=quartile(A2:A4 ; 1)
=quartile(A2:A4 ; 2)
=quartile(A2:A4 ; 3)
On retrouve bien la médiane (deuxième quartile) à 2,5.
Comme mentionné plus haut, les valeurs des autres quartiles sont légèrement différentes de celle que l'on trouve « à la main » (1,75 pour 1,5 et 3,25 pour 3,5) car la méthode utilisée par "LibreOffice Calc" est différente mais cela a peu d'importance.
Tableur avec les données d"AnyDice".
Vous pouvez utiliser "AnyDice" pour générer les données et ensuite utiliser le tableur pour d'autres calculs et tracés. Pour cela :
La fenêtre de résultats contient alors le texte :
"dé à quatre faces",2.5,1.118033988749895,1,4
1,25
2,25
3,25
4,25
Vous pouvez copier ce texte et le coller dans votre tableur :
Refaites l'opération avec le mode « Data : At most » d"AnyDice".
Somme de deux dés identiques.
On commence par créer le tableau des événements. Pour cela :
On crée ensuite la table des occurrences :
Vous avez toutes les données, il vous reste à tracer les histogrammes et à déterminer les quartiles.
"Sections de l'ancien article, à intégrer."
Un peu de probabilité….
Choix de certains dés parmi plusieurs "(roll & keep)".
Dans certains systèmes, lors de la création des personnages, on jette quatre dés à six faces et on retient les trois meilleurs scores. De fait, les résultats obtenus sont meilleurs que si l'on jetait 3d6. Les courbes de probabilité sont représentées ci-contre.
Dans certains jeux ("Shadowrun", jeux du "Monde des ténèbres", comme "Vampire : la Mascarade"), la capacité à réussir l'action est également exprimée par un nombre de dés, mais on ne fait pas la somme des dés : on fixe un seuil dans la gamme de valeurs d'un dé (par exemple entre 1 et 6 pour des d6), et l'action est réussie si au moins un dé atteint ou dépasse cette valeur. Bien évidemment, plus le joueur jette de dés, plus il a de chance de réussir au moins un jet.
Dans d'autres jeux, comme par exemple "Usagi Yojimbo" 2 édition, on jette deux ou plusieurs dés pouvant être différents (par exemple 1d4 et 1d6), et on ne retient que la plus haute valeur. Si les deux dés sont identiques (même nombre de faces "n"), il y a "n"² combinaisons possibles :
Si les dés n'ont pas le même nombre de faces, "n"1 et "n"2 ("n"1 < "n"2) :
Dans le jeu de rôle "P'tites sorcières", on somme deux dés à six faces, mais selon la puissance du personnage, il s'agit
On voit que les médianes sont différentes des moyennes, ce qui est caractéristique des distributions asymétriques.
Voir également ci-dessous "Dépasser un seuil avec au moins un dé parmi "n"".
Probabilité de réussite d'un test.
Probabilité de réussite et équilibre du jeu.
Dans une partie de jeu de rôle, la résolution d'une situation hasardeuse est un « jeu dans le jeu ». La manière dont on résout la situation, le test — combien de dés et quels dés on jette par exemple — participe à la construction de l'ambiance, en particulier si le joueur doit faire des choix (notion de stratégie) ; par exemple, le joueur dispose d'une réserve de dés de bonus, doit-il en utiliser un dans la situation présente ou doit-il le garder pour plus tard ?
Mais d'un point de vue du résultat pur, seule importe la probabilité de réussite. Ce point est important pour "l'équilibre" du jeu : si les jets sont trop difficiles, les joueurs risquent l'écœurement, s'ils sont trop faciles, il n'y aura plus d'enjeu. En particulier, si une situation de vie ou de mort se joue sur un jet, alors une probabilité de 50 % signifie que le personnage a une chance sur deux de mourir, ou bien que statistiquement la moitié de l'équipe va y passer.
Si par contre le personnage a droit à plusieurs essais, alors la probabilité de réussite détermine le nombre d'essais que devra tenter le personnage pour réussir. Par exemple, si un personnage à 50 % de chances de réussite, alors :
De manière générale, si la probabilité de réussite est "p", alors la probabilité qu'il réussisse au "n"-ième essai (après "n" – 1 échecs) vaut :
C'est une loi binomiale avec "k" = "n" – 1.
La probabilité cumulée tend vers 1 (100 %), on peut donner le nombre moyen d'essais pour qu'il réussisse,
ainsi que le nombre d'essai pour que la réussite soit supérieure à 99 % (par exemple)
Cela permet d'interpréter les notions de « personnage moyen », « caractéristique moyenne », « difficulté moyenne ». On prend par exemple une référence haute : si l'on considère qu'un expert à 90 % de chances de réussir du premier coup une opération de difficulté moyenne, alors il mettra en moyenne 1,1 essai pour réussir, et réussira « à coup sûr » (à 99 % de chances) en deux coups.
Un « personnage moyen » (ayant un score de 50 %) mettra deux fois plus de temps en moyenne pour réussir ; et il réussira à coup sûr en 7 coups. Par exemple, dans une classe de mathématique, les « élèves moyens » mettent en moyenne deux fois plus de temps que leur professeur pour réussir un exercice « moyen », et le dernier met sept fois plus de temps. Et si un mécanicien (ayant un score de 90 % en mécanique) met une heure à effectuer une réparation de difficulté moyenne, par exemple changer les plaquettes de frein, alors amateur éclairé (ayant 50 %) mettra deux heures en moyenne, sept heures au pire des cas.
Expression de la probabilité.
Le cas le plus simple est celui des systèmes donnant directement le pourcentage de réussite ("Basic System", "Megaversal system", "Rêve de dragon", "Mega 2"…). Mais dans tous les cas, on peut déterminer la probabilité et l'exprimer en pourcentage.
Dans un certain nombre de jeux, un jet est réussi si la valeur des dés est inférieure à la valeur de la caractéristique ou de la compétence. On a donc des probabilités cumulées : si la caractéristique vaut 5, alors la probabilité de réussite est la somme des probabilités d'avoir1, 2, 3, 4 et 5. La courbe, également appelée fonction de densité F, a une forme de S caractéristique (sigmoïde). Dans le cas des "Défis fantastiques, le jeu de rôle" ou de "SimulacreS", le jet se fait avec deux dés à six faces, on a donc le cumul suivant.
Cette table donne donc les pourcentages de réussite du test
Reperenons l'exemple de la comparaison sntre 1d20, 2d10 et 3d6. Si l'on considère un seuil de 5, on réussit si l'on fait 1, 2, 3, 4 ou 5 ; il faut donc sommer, cumuler les probabilités. Avec 1d20, on a 5 × 5 % = 25 % de chances de réussite ; avec 2d10, on a 1 + 2 + 3 + 4 = 10 % de chance de réussite. Ceci est synthétisé sur la figure ci-contre.
Si l'on considère un jet sous une "capacité" (ou au-dessus d'une "capacité"), on voit qu'en utilisant 2d10 au lieu de 1d20, pour un référentiel de niveaux de difficulté donné, on défavorise les personnages faibles (un personnage ayant une "capacité" en dessous de 11 a moins de chances de réussir l'action avec 2d10 qu'avec 1d20) ; par contre, cela favorise les personnages forts ; ceci s'accentue encore plus en utilisant 3d6. Il est cependant possible d'adapter le référentiel des niveaux de difficulté de manière à retrouver les mêmes probabilités quel que soit le système choisi.
Dans certains jeux, le résultat des dés doit contraire dépasser une valeur seuil, qui est d'autant plus élevée que l'action est difficile. La probabilité de réussite est donc le complémentaire de la fonction de densité, 1 – F (ou 100 – F en %), on a toujours une courbe en S, mais cette fois-ci décroissante.
Dans le cas du "d20 system", les capacités du personnage sont évaluées par un malus/bonus déterminé essentiellement par une caractéristique et le degré de maitrise d'une compétence. La difficulté intrinsèque de l'action est donnée par un degré de difficulté (DD). La table suivante traduit l'ensemble en termes de pourcentage de réussite.
Dans le cas des "Contes ensorcelés/P'tites sorcières", on a la table suivante ; les valeurs ont été arrondis à l'unité, sauf pour les valeurs inférieures à 1 % ou supérieures à 99 %.
Jet sans limite
Si l'on considère la probabilité de dépasser un seuil (il s'agit de l'intégrale de la courbe précédente), on constate donc que :
La moyenne du jet sans limite est de 10,4 contre 10,5 pour un jet de d20 normal.
Avec un dé à cent faces, en rejouant les score 1–5 et 96–00, on obtient un profil similaire. Les valeurs interdites sont : …, –95, 5, 96, 196, …
Les valeurs entre 6 et 95 ont 1 % de chances de sortir. Pour avoir une valeur entre 101 et 191, il faut obtenir un 1–5 au premier jet ; il existe 5 combinaisons possible par valeur (par exemple pour 110 : 96 + 14, 97 + 13, 98 + 12, 99 + 11, 00 + 10), soit 0,05 % de chances d'obtenir ce score (chaque combinaison ayant 0,01 soit 0,01 % de chances de sortir).
Entre 96 et 101, les probabilité croissent de manière linéaire de 0 à 0,05 % de chances : 
De la même manière, les probabilités entre 191 et 196, les chances passent linéairement de 0,05 % à 0.
Pour les échecs critiques, le calcul est similaire :
Nombre de dés variable
Dans certains jeux ("Star Wars 1 éd.", "D6 System", "Le Livre des cinq anneaux"), la capacité du personnage à résoudre une action est donnée par un nombre de dés, le seuil à franchir étant un nombre fixe représentant la difficulté de l'action ; par exemple un personnage peu doué aura 1d6 et un personnage très doué aura 5d6, et un seuil de difficulté moyen est 9. Ou alors ("RuneQuest", "Avant Charlemagne", "Empire galactique", "Trauma"), la difficulté est représentée par un nombre de dés, et la capacité d'un personnage est un nombre fixe ; par exemple, un personnage moyen a une capacité de 9, une action simple se joue à 1d6 et une action complexe à 5d6. On peut faire les mêmes calculs que précédemment, les résultats sont présentés sur la figure ci-contre.
Comme précédemment, nous remarquons que plus on somme de dés, plus on se rapproche d'une courbe en cloche (théorème central limite).
Nous avons représenté sur la figure du bas la probabilité de faire "moins" qu'une valeur :
Nous représentons ci-dessous les résultats d'une manière différente : on regarde l'évolution de la probabilité de dépasser un seuil donné en fonction du nombre de dés ; le seuil est le nombre indiqué à côté de la courbe. Chaque courbe représente les chances de réussite d'une action de difficulté donnée (le seuil est fixé) en fonction de la puissance du personnage (nombre de dés).
Par exemple, le score « 1 » ne peut s'obtenir qu'avec 1d6, et l'on fait obligatoirement 1 ou plus ; « 1 » est donc représenté par un point unique (1d6, 100 %) de couleur bleu marine.
La probabilité de faire 6 ou plus passe de 16,67 % avec 1d6 à 99,99 % avec 5d6 (courbe marron).
Un seuil de 18 ne peut pas être atteint avec 1 ou 2d6 ; les probabilités de réussite passent de 0,46 % avec 3d6 à 50 % avec 5d6 (courbe bleu ciel).
Un dé parmi "n" 
Dans certains jeux ("Shadowrun", jeux du "Monde des ténèbres", comme "Vampire : la Mascarade"), la capacité à réussir l'action est également exprimée par un nombre de dés, mais on ne fait pas la somme des dés : on fixe un seuil dans la gamme de valeurs d'un dé (par exemple entre 1 et 6 pour des d6), et l'action est réussie si au moins un dé atteint ou dépasse cette valeur. Bien évidemment, plus le joueur jette de dés, plus il a de chance de réussir au moins un jet.
Dans certains cas, le nombre de dés dépassant le seuil donne la qualité de la réussite.
On voit qu'avec ce système, les personnages puissants (ayant un grand nombre de dés) sont surtout favorisés pour les hauts seuils : ils n'ont pas tellement plus de chance de réussir les actions faciles que les personnages faibles, mais réussissent bien mieux les actions difficiles.
Dans certains jeux (par exemple "Usagi Yojimbo"), on jette deux ou plusieurs dés pouvant être différents (par exemple 1d4 et 1d6), et on ne retient que la plus haute valeur. Si les deux dés sont identiques (même nombre de faces "n"), il y a "n"² combinaisons possibles :
Si les dés n'ont pas le même nombre de faces, "n"1 et "n"2 ("n"1 < "n"2) :
La probabilité d'atteindre ou de dépasser un score est la somme des probabilités pour les valeurs supérieures ou égalees à ce score. On a donc logiquement (intégrales classiques en mathématiques) :
La figure ci-contre montre les probabilités lorsque l'on a trois dés, pouvant être différents.
On peut classer les combinaisons de dé par ordre de moyenne croissante.
Jeux n'utilisant pas de dés.
Il existe quelques rares jeux de rôle n'utilisant pas de dés. On peut citer "Prince Valiant", qui utilise des pièces de monnaies (pile ou face), ou encore "Ambre", qui se joue sans aucun recours au hasard chiffré (ni dés, ni cartes, ni pièces). Dans ce dernier cas, on se contente de comparer les traits : « le plus fort gagne », ou bien, en cas d'égalité trop sensible, c'est le plus rusé qui l'emporte.
Il y a aussi des jeux qui n'utilisent pas de dés, mais qui les remplacent par des cartes à jouer ; si les probabilités en sont changées, le mécanisme n'est pas fondamentalement différent. La plus grosse différence est que, souvent, le joueur peut décider de la carte qu'il joue selon ce qu'il a en main, ce qui lui donne plus de maîtrise sur la destinée de son personnage. Les jeux les plus renommés dans cette catégorie sont "Château Falkenstein" et "Miles Christi". "Deadlands" et les jeux qui en sont issus (la gamme "Savage Worlds") mêlent dés et cartes.
Certains jeux utilisent des cartes de tarot, notamment "Ambre" et "Chimères" ; servant avant tout d'aides à la créativité, elles peuvent aussi partiellement remplacer les dés.
Annexes.
Compléments sur AnyDice.
Fonction "explode"().
Il est possible de recréer la fonction "explode"() ; c'est parfaitement inutile mais nous le faisons à titre d'exercice, pour mieux comprendre "AnyDice". C'est une fonction s'appelant elle-même (fonction récursive) :
La fonction a donc pour paramètre d'entrée N = d10. Si cette valeur N est égale à 10, alors on lui ajoute le résultat de la fonction "jslexplode"(d10), on parle « d'appel récursif » (la fonction s'appelle elle-même) :
Si cette condition n'est réalisée, c'est-à-dire si le résultat est entre 1 et 9, alors l'exécution n'a pas rencontré la commande de sortie codice_21 donc on applique la dernière ligne qui renvoie la valeur de N :
result: N
La fonction complète est donc :
function: jslexplode N:n {
 result: N
set "maximum function depth" to 3
output [jslexplode d10]
Fonction de plusieurs variables.
Puisque l'on en est aux fonctions, notez que l'expression peut comporter plusieurs variables d'entrée ; "AnyDice" reconnaît automatiquement les variables utilisée dans la fonction. Par exemple :
function: A et B {
 result: A+B
output [2 et 5]
va bien calculer 2 + 5. On peut même écrire :
function: ajouter A et B {
 result: A+B
output [ajouter 2 et 5]
Dé yin-yang "(Qin)".
Le dé yin-yang utilisé dans le jeu "Qin" est décrit dans la section "Soustraction de dés". Le résultat de la soustraction est compris entre 0 et 9; nous utilisons donc a valeur –1 pour indique une maladresse et la valeur 10 pour indiquer un coup de maître.
L'opérateur « & » (esperluette) correspond à l'opérateur booléen « et » "()".
function: deyinyang X:n Y:n {
output [deyinyang A B] named "dé yin-yang"
Voir aussi.
Liens externes.
"../Le hasard dans les jeux de rôle/" < ↑ > "../Créer des éléments du monde /"