Physique atomique/Modèle quantique de l'atome d'hydrogène

Introduction.
 Les chapitres précédents ont montré que la mécanique classique permet d’expliquer beaucoup d’aspects de la physique atomique à l’aide de modèles simples, mais dès qu’on désire faire une étude plus détaillé ou plus générale il devient très difficile d’assurer une cohérence entre les développements théoriques classiques et les travaux expérimentaux. Les méthodes de la mécanique quantique se sont révélées par contre remarquablement adaptées à la physique atomique.
Champ coulombien.
L’équation de Schrödinger.
 Le problème traité ici, est celui d’un électron de charge –e gravitant dans le champ coulombien du noyau.
L’énergie potentielle de l’électron dans le champ coulombien du noyau vaut :
En introduisant la masse réduite m de l’électron, l’hamiltonien du système est :
L’équation de Schrödinger s’écrit :
Le laplacien en coordonnées sphériques s’écrit :
L’équation de Schrödinger devient :
 car H ne dépend que de L2 et de r, L2 étant indépendant de r.
 car puisque L est un moment cinétique, et car Li est indépendant de r.
Les fonctions propres communs à H, L2 et LZ sont de la forme :
 , étant les harmoniques sphériques, les fonctions d’onde propres à L2 et LZ
ils sont définies par :
Introduisons cette fonction dans l’équation de Schrödinger :
Ce qui donne :
Résolution de la partie radiale.
On pose 
L’équation devient : 
On s’intéresse seulement à la résolution de l’équation radiale pour Ek,l négative (états liés de l’électron).
On multiplie par : 
On pose : 
La dernière équation devient :
Quand r tend vers l’infini l’équation se réduit à : qui a pour solution : , la solution positive ( donne un comportement infini de la fonction d’onde, or dans notre cas la particule est liée, la fonction d’onde doit être bornée de carré sommable.
Compte tenu du comportement asymptotique Uk,l(r) sera recherché de la forme :

La solution de cette équation différentielle sera obtenue sous forme d’une série suivant les puissances croissantes de sous la forme : 
 , on impose : s>0 et C00.

Pour q=0,  s=l+1 ou s=-l , comme s doit être positif donc : s=l+1.
La somme des coefficients du même ordre de puissance doit s’annuler :
C0 0, 
Tous les coefficients Cq s’expriment en terme de C0.
 qui tend vers zéro lorsque q tend vers l’infini c’est donc une série convergente.
Or , tel que 
Quand q est grand Yk,l() est donc équivalente à , ce qui veut dire que Uk,l () ≈ 
Qui est une fonction divergente.
Pour résoudre la divergence pour q», on doit supposer que Yk,l() se réduit à un polynôme. La relation de récurrence donnant l’expression des coefficients des différents termes de la série devra donc casser à partir d’un certain ordre k, de façon à ce que tous les coefficients des termes en  de puissance supérieurs à k soient nuls.
Cq=k=0  soit  , avec k  1 et l  0.
On pose k+l=n  , n=1, 2, ….
n=1 k=1, l=0
n=2 k=2, l=0 et k=1, l=0
n=3 k=3, l=0 ; k=2, l=1 ; k=1, l=2
C0 sera déterminée par la condition de normalisation,

, puisque C1=0.
La condition de normalisation de la fonction d’onde s’écrit :

Donc : , ( ) 
Sachant que : , on ne va donner que les harmoniques sphériques pour m>=0.
 ; 
 ; ; 
Les fonctions d’onde totales pour les niveaux :
1s : = 
2s : 
2p :

Probabilité de présence de l’électron dans un atome d’hydrogène.
 Les renseignements sur la localisation de l’électron décrit par la fonction d’onde, seront obtenus à l’aide des probabilités de présence. 
La quantité : , représente la probabilité de présence de l’électron dans l’élément de volume élémentaire dV= .
Normaliser la fonction d’onde reviendra à écrire que l’intégrale étendue à tout l’espace de cette probabilité est égale à 1 :
 s’exprimant sous forme du produit , la condition de normalisation peut s’écrire sous la forme de trois conditions indépendantes relatives aux variables r, et .
Probabilité radiale.
L’expression : ,
représente la probabilité de trouver l’électron entre les sphères de rayon r et r+dr. dP/dr=D(r) étant la densité de probabilité radiale.
Représentation de D(r)
Dans le cas 1s, 2p, 3d, 4f (l=n-1), l’unique maximum de D(r) se trouve aux distances respectives 1, 4, 9 16 égales aux rayons des orbites circulaires correspondantes dans le modèle de Bohr.
Probabilités angulaires.
 L’expression : , représente la probabilité de trouver l’électron dans la région de l’espace limitée par les deux plans passant par l’axe z et faisant les angles avec l’axe des x. Cette probabilité est toujours égale à : , ( ). Cela signifie que la répartition d’électrons a une symétrie de révolution autour de l’axe z (c'est-à-dire que la probabilité dP/d est indépendante de , autrement dit les points ayant même r, et  ne différent que par  ont même probabilité de présence).
La quantité : , représente la probabilité pour que le rayon vecteur noyau électron fasse avec l’axe Oz un angle compris entre . Comme l’angle solide alors : et donc : ,
Compte tenu de la symétrie de révolution autour de l’axe des Z la probabilité de trouver l’électron dans un angle solide de valeur fixe, sera donc proportionnelle à *. C’est pourquoi on utilise D()= * comme densité de probabilité.
Les résultats les plus significatifs sont donnés sur la figure, qui représente D()=* en coordonnées polaires. La longueur OM étant proportionnelle à D().
En définitive la notion d’orbite de l’électron au sens de la mécanique classique a disparu. Elle est remplacée par une description en terme de probabilité de présence de l’électron. Pour simplifier le langage, on parle toujours d’orbite ou orbitale, telle que ‘orbite 2s’ ou ‘orbitale 2s’. 
Représentation de D()