Formules de mécanique des fluides
Cet article présente les principales équations de la mécanique des fluides, une branche de la physique qui s'intéresse à l’étude du comportement des fluides (liquides et gaz) et des forces internes associées.
Statique des fluides.
Loi fondamentale de la statique des fluides.
Pour un fluide au repos soumis à un champ de forces volumique formula_1, où formula_2 désigne la masse volumique, le champ de pression formula_3 vérifie la relation
formula_4
Exemple: Lorsque le fluide est soumis uniquement aux forces de gravité formula_5, on a la relation
formula_6
soit, sachant que le champ de gravité est dirigé dans la direction verticale, (supposant le fluide incompressible ⇒ la masse volumique est constante)
formula_7
Poussée d'Archimède.
"Tout corps plongé dans un fluide est soumis à une poussée de bas en haut égale au poids du volume du fluide déplacé".
Soit un corps de masse volumique formula_8 et de volume formula_9 plongé dans un fluide de
masse volumique formula_10. La poussée d'Archimède que le fluide exerce sur ce corps est la force
formula_11
Le poids apparent de ce corps dans le fluide est la somme de son poids et de la poussée d'Archimède, soit
formula_12
Remarque: Lorsque la masse volumique du corps est inférieure à celle du fluide, le poids apparent est négatif. Voilà pourquoi une planche de bois (masse volumique < 1) remonte à la surface de l'eau.
Dynamique des fluides parfaits incompressibles.
Équations d'Euler pour un écoulement incompressible.
Soit l'écoulement incompressible d'un fluide parfait, c'est-à-dire sans viscosité, dans un champ de force massique formula_13. En première approximation, sa masse volumique formula_8 est constante. En un point quelconque du fluide 
formula_15 et à un instant quelconque formula_16, les champs de pression 
formula_3 et de vitesse formula_18 vérifient les relations:
formula_19
formula_20
En coordonnées cartésiennes formula_21, ces relations s'écrivent
formula_22
formula_23
Écoulement potentiel - Potentiel des vitesses.
Un écoulement de fluide selon les normes de température et de pression est dit potentiel lorsque
formula_24
Dans ce cas, il existe une fonction "potentiel des vitesses" formula_25 qui vérifie
formula_26
Relations de Bernoulli.
Écoulement stationnaire et potentiel.
formula_27 en tout point de l'écoulement.
Exemple: Dans une conduite forcée, il n'y a aucun échange avec l'extérieur après la prise d'eau, on peut donc utiliser la relation de Bernoulli entre l'entrée et la sortie (avant les turbines). À la prise d'eau, l'eau est en hauteur (énergie potentielle), à la pression atmosphérique et a une vitesse proche de 0. Dans la conduite, la hauteur diminue et la pression p augmente, il y a un peu de vitesse (l'écoulement est piloté par l'injection dans les turbines). En bas de la conduite, avant les turbines, si la vitesse peut toujours être considérée faible, la pression a augmenté de formula_28.
Le théorème nous explique ici le phénomène de conversion d'énergie potentielle (hauteur) en une énergie de pression dans un milieu isolé.
En l'absence de régulation à l'injection sur la turbine, la vitesse devient non négligeable et si la sortie de fait à l'air libre, la pression est la pression atmosphérique (comme en haut de la conduite). L'énergie potentielle est donc alors convertie en énergie cinétique.
En multipliant l'expression précédente par un volume V, on obtient une formulation exprimant la conservation de la somme de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle et de l'énergie de pression. 
Énergie potentielle (de hauteur) 
formula_29
Énergie de pression
formula_30
Énergie cinétique 
formula_31
Écoulement stationnaire et non-potentiel.
formula_27 le long d'une ligne de courant.
Écoulement instationnaire et potentiel.
formula_33 en tout point de l'écoulement.
Dynamique des fluides visqueux incompressibles.
Équations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible.
Soit un écoulement incompressible de fluide visqueux dans un champ de force massique formula_13. La viscosité cinématique du fluide est notée formula_35 (unité SI: formula_36). En un point quelconque du fluide 
formula_15 et à un instant quelconque formula_16, les champs de pression 
formula_3 et de vitesse formula_18 vérifient les relations:
formula_19
formula_42
En coordonnées cartésiennes formula_21, ces relations s'écrivent
formula_22
formula_45

Formulaire de physique ondulatoire
Formules.
formula_1 -- définition du nombre d'onde
formula_2 -- définition de la vitesse angulaire
formula_3 -- équation des ondes, aussi appelée équation de d'Alembert

Formulaire d'optique
Loi de Snell-Descartes.
Si la lumière vient d'en haut:
formula_1
entraine
En sens inverse, si la lumière vient d'en bas:
tant que i2 ne dépasse pas l'angle formula_3
on a de la réfraction et on peut écrire :formula_4 ;
si i2>i"2max", alors on a de la réflexion totale.
Formules du dioptre sphérique.
On montre que la relation sur les angles peut aux petits angles, c'est-à-dire dans des conditions de stigmatisme approché, s'écrire:
ce que l'on peut écrire après un peu d'algèbre :
et en prenant comme origine le point S : ce qui revient à prendre s=0
et en utilisant comme notation xo = a1, xi=a2, fo=n1 c/(n1-n2)et fi= - n2 c /(n1-n2):
Lentille.
et au deuxième dioptre
En additionnant ces deux formules :
on obtient la formule des lentilles.
Si les milieux 1 et 3 sont de l'air, d'indice 1 (approxmativement), la formule se simplifie :
où
On trouve aussi comme notation dans les pays anglo-saxons :
Si "xo" et "xi" sont les abscisses de l'objet et de l'image, alors
c'est la formule dite de Descartes, qui avec deux lignes d'algèbre s'écrit :
formule dite de Newton
On a
et donc
formula_18 et de même: formula_19

Formulaire de physique quantique
Expression de quelques observables.
Les relations de commutation entre les observables se déduisent du principe de correspondance entre la mécanique hamiltonienne et la mécanique quantique. Leurs expressions peuvent alors être trouvées à partir d'une analyse mathématique.
Évolution dans le temps.
Équation de Schrödinger.
formula_2 à l'instant initial t=0, l'évolution aux instants ultérieurs (t>0) sera : formula_3
Propagateur de l'équation de Schrödinger.
À partir de la notion d'exponentielle de matrice, on peut trouver la solution formelle de l'équation de Schrödinger. Cette solution s'écrit :
Représentation de Heisenberg.
Si le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, dans la représentation traditionnelle appelée représentation de Schrödinger, les observables ne dépendent pas du temps et l'état dépend du temps. Par une transformation unitaire, on peut passer à la représentation de Heisenberg, où l'état est indépendant du temps et les observables dépendent du temps suivant l'équation ci-dessous :
Loi du corps noir.
D'après la loi de Stefan-Boltzmann, le flux d'énergie Φ émis par le corps noir varie en fonction de la température absolue "T" (en kelvin) selon
où σ est la constante de Stefan-Boltzmann
La densité de flux d'énergie "d"Φ pour une longueur d'onde λ donnée est définie par la loi de Planck :
où "c" est la vitesse de la lumière dans le vide, "h" est la constante de Planck et "k" est la constante de Boltzmann.
Le maximum de ce spectre est donné par la loi de Wien :