Un petit jeu édifiant.
Nous vous proposons pour commencer de trouver les âges de trois frères (on suppose que ce sont des nom­bres entiers), sachant que :
LA solution est un unique en­sem­ble de trois nombres qui ne sau­rait échapper bien longtemps à votre sagacité.
Votre proposition :
Pas évident ? Il n'y a pourtant aucun piège et nous n'allons évidemment pas vous donner la solution tout de suite. Entre deux séquences de réflexion, notez bien qua­tre « détails » :
Encore un effort ! Avez-vous trouvé les valeurs de A, B, et C ? Non ? Essayez encore ! Comme dirait le contrepéteur fou : les chiffres vous bassinent ? Raison de plus pour renouer avec ce jeu !
Bon, nous n'allons pas vous laisser sécher indéfiniment : écrivez donc tous les produits de 3 nombres dont le résultat est 36, et faites toutes les sommes correspondantes. Si maintenant vous ne voyez pas, alors votre cas est grave, mais peut-être pas entièrement désespéré.
Des erreurs classiques.
Chers lecteurs ! Si, à l'occasion d'un problème de statique, vous obtenez un système tel que le nombre des incon­nues n'est pas égal à celui des équa­tions, vous êtes peut-être dans le vrai (nous ver­rons cela plus loin). Mais comme tous vos professeurs ne sont pas de dangereux sadiques, vérifiez tout de même que vous n'avez commis aucune de ces trois erreurs classiques :
Vous avez autant d'inconnues que d'équa­tions ? Vous avez tout vérifié ? Pour autant, vous n'êtes hélas pas à l'abri d'autres erreurs ou de dif­ficultés imprévues !
Trop souvent, oubli­ant les métho­des simples et parfois le bon sens le plus élémentaire, vous pataugez dans des cal­culs aussi complexes qu'inutiles. Ou bien, vous obtenez les bonnes équations mais vous ne savez pas les uti­li­ser. Ou encore, vous entre­pre­nez la résolu­tion d'un système avant de l'avoir com­plè­tement écrit. Ne riez pas, aucune ressemblance avec des personnages vivants ou ayant vécu n'est imaginaire.
Beaucoup de problè­mes de sta­tique ou de cinématique ont pour épilogue la résolution d'un sys­tème d'équations li­néai­res. Ce très important chapitre des ma­thé­matiques vous sera vraisembla­blement ensei­gné ... trop tard ! Remettons donc, pour une fois, les bœufs devant la charrue.
ATTENTION ! ce qui suit risque de vous inquiéter car vous n'en verrez pas tout de suite l'intérêt ...
Quelques révisions.
En fait, vous n'êtes probablement pas tota­lement ignares en matière d'équations linéaires. Le saviez-vous ? Vous possédez même un bon nom­­bre de "prérequis" ! C'est ainsi que cer­tains pédants nomment ce qui devrait être, et qui est par bonheur assez souvent, votre bagage intellectuel. Dans la Grèce antique, les prére­quis n'étaient pas encore à la mode mais on déplorait déjà la baisse du niveau des jeunes. Les "pédagogues" étaient les escla­ves chargés de conduire les enfants à l'école.
Venez donc avec nous ! Vous allez bientôt poser un regard neuf sur bien des choses. Exercez à fond votre curiosité, car elle est une des qua­lités de base de tout techni­cien digne de ce nom, en particulier dans le domaine de la mécanique.
C'est parti ? Pour commencer, re­trou­vez donc pour quel­ques minu­tes l'heu­reux temps de vos culot­tes courtes ! Vous séchiez alors sur la plus simple des équa­tions liné­aires : 
formula_1
À gauche du signe « égale » le pre­mier mem­bre contient l'in­­connue formula_2 et son coefficient formula_3, à droite, le second mem­bre con­tient une constante . 
Comment trouver formula_2 ? Bien sûr, cela dépend de la valeur du coefficient formula_3.
L'équation détermine la va­leur de l'inconnue si le coef­ficient formula_3 n'est pas nul.
Nous dirons donc à juste titre que ce coefficient est le DÉTERMINANT de l'équa­tion. Retenez bien cette notion car elle est fondamentale.
Matrices, séquence « vocabulaire ».
Une matrice n'est jamais qu'un tableau rectan­gulaire conte­nant, entre des crochets ou des paren­thèses, des éléments rangés en lignes et en colonnes. 
La matrice la plus simple ne pos­sède qu'un élément : 
On peut, dans certaines conditions, la confondre avec le scalaire a.
Une (p,n) matrice com­por­te p lignes et n colonnes :
Ses dimensions sont p et n, elle contient en tout p × n éléments. 
Pour alléger l'écriture, on utilise souvent une notation indicielle :
Gare à l'ordre des indi­ces ! Sou­venez-vous de LICOL ! D'abord ligne, puis colonne. Nous vous en reparlerons plus tard.
Si p et n sont différents, la matrice est rectangulaire. S'ils sont égaux, elle est bien sûr carrée, et on la dira d'ordre n. 
Voici deux cas particu­liers, une matri­ce-colonne :
et une matrice-ligne :
En supprimant un certain nom­bre de lignes et/ou de colon­nes on obtient un tableau plus petit ou sous-matrice.
Matrices, cas particuliers.
Tant que nous sommes sur ce sujet voici, à titre de simple information pour l'instant, quelques autres définitions :
Deux matrices A et B sont dites transposées si formula_21
On écrit alors que B = Ã (à lire A tildé) :
La transposée d'une (p,n) matrice est bien sûr une (n,p) matrice.
La transposée d'une matrice carrée d'ordre n est également une matrice carrée d'ordre n. La diagonale principale qui va du coin supérieur gauche vers le coin infé­rieur droit reste inchangée :
Une matrice symétrique est égale à sa transposée, les éléments étant symétri­ques par rapport à la diagonale principale :
Déterminants, notion de rang.
Un déterminant s'écrit sous la for­me d'un tableau carré mis entre des barres. Contrairement à une matrice, il se réduit toujours à un nombre algébrique. Nous ver­rons plus loin les méthodes de calcul ad hoc.
Le déterminant le plus simple ne contient qu'un seul nombre. Attention ! Il ne s'agit pas ici d'une valeur absolue !
Reprenons maintenant l'exemple de notre équa­tion formula_27. À titre indicatif (on n'a nul besoin ici d'un tel arsenal), les matrices du coefficient de l'in­connue dans l'équation et du second membre s'écrivent :
formula_28
Vous ne vous y retrouvez pas bien pour l'instant ? C'est nor­mal. Laissez faire le temps, et surtout faites des exercices !!! 
La notion de rang d'un système d'équations est très géné­rale et très importante. Elle carac­térise en quel­que sorte la « ca­pa­cité de trans­fert » d'un « système d'information ». Un rang égal à trois (par exemple) signifie qu'on se sert de trois informations indépendantes pour ob­tenir trois réponses indé­pen­dantes. Rap­pe­lez-vous notre petit problème.
Notre équation à une incon­nue est de rang un si le déterminant |a| tiré de la matrice [a] n'est pas nul : une infor­mation exprimée par une équation fournit alors une réponse. Si ce déterminant est nul le rang l'est aussi, l'équa­tion n'est plus prin­cipale, l'incon­nue non plus, le « système » ne fournit plus aucune information perti­nente.
Généralisation.
Cette notion est-elle géné­ralisable ? That is the question ! La réponse est OUI. Les mathé­maticiens vous le démontreront peut-être plus tard, pour l'instant vous pou­vez l'admettre.
Étudions maintenant, avec cet outil provisoirement mal adapté, l'équation :
Les matrices associées au premier et au second membre sont :sont :
C'est la première qui nous intéresse pour l'instant.
L'un ou l'autre peut être choisi comme déterminant principal et l'équa­tion est bien sûr toujours principale. Si nous retenons par exemple la « candida­ture » de |a|, alors l'in­connue principale x devient une fonction de l'inconnue non principale y, que nous pouvons alors considérer comme un simple paramètre à transférer dans le second membre :
Il en résulte évidemment une équation à une inconnue ; nous ne pouvons pas obtenir le beurre et l'argent du beurre, autrement dit trouver les valeurs de deux inconnues pour le prix d'une seule ! Si par exemple x et y représentent deux forces dont l'une peut être mesu­rée, l'autre s'en déduira. Il n'y a qu'une seule inconnue indé­terminée.
Le déterminant principal n'est autre que |a| et l'équation devient :
formula_34
Le rang est toujours 1, x est l'incon­nue principale et y l'inconnue non principale, aussi peu déterminée par l'équa­tion que la hauteur des talonnettes présidentielles ou la couleur de vos jolis yeux... 
Le rang du système est nul, il n'y a plus ni déterminant principal, ni équation principale, ni inconnue principale et la situa­tion est bien connue :
On passe aux systèmes.
Et si j'ai maintenant deux équa­tions à une inconnue ?
Le texte ci-dessous est récupéré sous forme brute depuis un polycopié de l'auteur, il est inutilisable tel quel.
A ce système j'associe les matrices-colonnes des deux membres :
µ §
Le système est de rang 1 si l'un au moins des déterminants d'ordre 1 que je peux "extraire" de la matrice n'est pas nul : 
l Si aucun de ces déter­minants n'est nul je peux consi­dérer l'une ou l'autre des équa­tions comme principale :
- ou bien le système "radote", les deux équations donnent la même valeur de x, il y a simple redon­dance,
- ou bien j'ai deux valeurs distinctes de x et le sys­tème, noyé dans ses contra­dictions, est impossible.
Existerait-il par hasard une valeur qui pourrait servir de test ? Si le système radote, il doit me donner deux fois la même valeur de x :
(1) à x = b / a
(2) à x = b' / a' 
Ce sera le cas si µ §
ou encore a b' - a' b = 0
Je reconnais ici la tech­nique de calcul appelée "pro­duit en croixEX "produit en croix"§". Bon sang mais c'est bien sûr ! Si ça n'est pas un déter­minant d'ordre 2, alors c'est bien imité :
µ §
& ?
Cette quantité DOIT être nulle pour que le système ait une solution. C'est un déterminant caractéristiqueEX "déterminant caractéristique"§.
Pour l'équation à une inconnue, ce déterminant n'était autre que | b | = b. Sa devait en effet être nulle pour que l'équation soit possible. 
Comment cons­truire le déterminant caractéristique de notre système de deux équations à une inconnue ? Je pars du déterminant principal : 
µ §
Je le "borde" en-dessous par la ligne des coefficients des inconnues princi­pales (il n'y en a qu'une ici) dans l'équation non principale dont je dois vérifier la com­pa­tibilité : 
µ §
Je "borde" le résultat , à droite, par la colonne des seconds membres : 
µ §
Au passage, je viens de vous rappe­ler comment on calcule les déterminants d'ordre 2. Pour chaque équation du même type que je pourrais avoir en plus je devrais naturellement écrire un autre déter­minant carac­té­risti­que. En effet, à partir du moment où j'ai utilisé une équa­tion pour obtenir une valeur de x, toute donnée supplémentaire peut se révé­ler incompatible avec les autres et je dois vérifier indivi­duellement que ce n'est pas le cas.
l Si un seul des deux déterminants est différent de zéro, par exemple | a |, la matrice associée au premier membre prend la forme :
µ §
Comme précédemment, le détermi­nant caractéris­ti­que doit être nul :
µ §
b' doit être nul puisque a ne l'est pas. Sinon, le sys­tème serait impossible.
l Si les deux déterminants sont simultanément nuls, le rang est nul. On n'a pas besoin de tout écrire pour affirmer que : 
- si b ET b' ne sont pas tous deux nuls, le sys­tème est impossible. 
- si b ET b' sont tous deux nuls, x ne figure même pas dans le système dont les deux équations sont identiquement nulles. L'in­con­nue peut prendre n'im­porte quelle valeur, elle est indéterminée.
Mais quel rapport tout cela peut-il avoir avec la mé­canique ? 
Patience ! Conso­lez-vous en vous disant que pour l'étude d'un système méca­nique composé de cinq pièces en équilibre dans l'espace vous devrez écrire au moins TRENTE EQUATIONS et bien sûr un nombre d'inconnues en rapport ...