Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Polynômes harmoniques sphériques

décompte.
Dénombrer le nombre de polynômes sphériques de degré l : réponse : 2l+1 .
Énoncé plus précis : soit l'espace vectoriel des polynômes P(x,y,z) de 3 variables réelles. On se limite au sous-ev des polynômes homogènes de degré l : quel est sa dimension ?
réponse : 1/2 (l+1)(l+2).
On se restreint au sous-ev des polynômes harmoniques (càd ceux dont le Laplacien est nul): montrer qu'il n'y en a que 2l+1.
réponse : en dérivant deux fois on obtient tous les polynômes de degré l-2 , et on veut qu'ils soient tous nuls . On vous laisse conclure.
Là cela devient très facile : quel que soit l , il n'y en a que 2 ! En effet ce polynôme doit s'écrire à partir de (x+ iy)^l : et il y a la partie réelle et la partie imaginaire !
Dit en coordonnées polaires r^l .cos(l theta) et r^l . sin (l theta). Appliquer ensuite la formule de Moivre. En fait cos (n theta) = Tn[cos(theta)]et sin (n theta)/ sin (theta) = Un (cos(theta) ; les polynômes Tn(x) et Un(x) s'appellent les polynômes de Tchebychev. On doit connaître par cœur T3(x) , U3(x) et son carré , et leur tracé (cours de terminale S sur les fentes d'Young).
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En chimie, 
Et , pour décrire le tableau périodique, on n'a pas besoin de plus. 
Écrire tous les polynômes sphériques qui interviennent en chimie (ou physique atomique!):
Expression explicite.
Remarque : bien sûr, dans les étoiles, on peut trouver de l'hydrogène à des niveaux d'excitation extrêmes (il n'y a que peu de collisions , densité faible, et les nuages sont très froids): on parle alors d'états de Rydberg. L'état de Rydberg le plus étudié est celui dit "circulaire", avec l = n-1 .
Si n = 300 , cela donne quand même un ev de 599 orbitales ! Souvent on ne s'intéresse qu'à celle de nombre magnétique m nul . Ouf!
Remarque : bien sûr, souvent les coordonnées choisies ne sont pas cartésiennes, mais sphériques { formula_1} : on pourra alors réécrire ces polynômes en termes des formula_2 : l s'appelle l'ordre et m le degré en géodésie spatiale, mais il s'agit bien du même espace vectoriel. Simplement les Ylm sont orthonormées sur la sphère unité , ce qui permet de trouver les "composantes de Fourier " dans cette base de n'importe quelle "fonction vertueuse" : par exemple l'écart de la terre à la "rotondité".
Théorème de Whittaker(1908).
Dans le plan , toute fonction f(x,y) peut se réécrire g(z , z*) avec z := x + i y et z* = x - i y.
Si g ne dépend pas de z* , alors on dit que f est harmonique. Cauchy est un des tous premiers à avoir étudier la théorie de z -> g(z) , théorie dite de la variable complexe , OUTIL EXTRÊMEMENT PUISSANT.
[z + i x cos(u) +i y sin(u)]^l est une somme harmonique , il en a déduit que toute fonction harmonique f(x,y,z) pouvait s'écrire sous la forme:
formula_3
Cette formule généralise en 3D l'étude des fonctions harmoniques en 2D. Elle est donc très importante, et sert moult fois (en particulier, si on connaît F[ z, u], pour x et y nuls , on a fini à une intégrale près !).
Polynômes de Legendre.
Soit Oxyz un trièdre orthonormé.
Sur l'axe Oz un point M très loin (z) et un point P (OP =a).
Écrire le potentiel de P en M et le développer en série .
Solution : 1/(z-a) = 1/z +a/z^2 + a^2/z^3 +...
Toute fonction analytique à symétrie de révolution de type :
formula_4 
sur l'axe, s'écrit en coordonnées sphériques :
formula_5.
Montrer que 1/PM (fonction harmonique, sauf si M est en P !), avec OM (x,y,z) (||OM|| >a) développée en série de a/r redonne automatiquement tous les polynômes de Legendre , dont c'est une des définitions.
On pourra vérifier la formule de Rodrigues : 
formula_6
[Pour obtenir les fonctions de Legendre associées, formula_7, on dérive simplement m fois Pn(x) et on multiplie par (1-x^2)^(m/2)].
quelques propriétés des polynômes de Legendre.
Pn(1) = Pn(-1) = 1 , mais évidemment P2k(0) n'est pas simple.
Les Pn(x) sont orthogonaux sur le segment [-1,1] de mesure dx . Ils ne sont pas orthonormés.
Les premiers sont : 1, x, (3x^2-1)/2 et (5x^3-3x)/2.
Au-delà la formule de récurrence de Rodrigues est utile :
formula_8
Expression explicite des Ylm en coordonnées sphériques.
Les harmoniques sphériques sont orthonormées sur la sphère unité. On n'indiquera pas la constante de normalisation .