Mathématiques niveau seconde/Calculs
Effectuer des calculs.
Comprendre la notion d'ensemble.
Les ensembles sont des regroupements de nombres qui ont une caractéristique commune. Pour différencier les différents types de nombres (et donc pouvoir les classer dans des ensembles), on a recours à des définitions. 
Un ensemble est défini par une "règle" qui permet de dire, lorsque l'on a un nombre en tête, si ce nombre "appartient" ou n"'appartient pas" à cet ensemble. De même, dans l'autre sens, cette règle permet de décrire "tous" les nombres qui le composent. 
Enfin, les mathématiciens, pour gagner du temps lorsqu'ils écrivent leurs équations, ont inventé un système d'écriture spécifique à la désignation des ensembles. 
Exemple : l'ensemble des "entiers naturels" formula_1. Qu'est ce qu'un "entier naturel" ? Et qu'est que formula_1? 
À propos des règles : il est important de comprendre, comme dans cet exemple, que les définitions ont souvent des implications cachées : le terme de "nombres entiers" exclut donc les nombres à virgule. L'expression "positifs obtenus en comptant à partir de 0" exclut donc les nombre négatifs. Une règle des règles est la suivante : tout nombre qui n'a pas été "explicitement" inclus dans l'ensemble "est donc exclu" de cet ensemble.
Quelques ensembles à connaître.
Les entiers naturels.
Les nombres entiers positifs obtenus en comptant à partir de 0 forment un ensemble appelé ensemble des entiers naturels. Il est noté formula_1.
Les entiers relatifs.
Lorsqu'on rajoute à formula_1 les entiers négatifs, on obtient l'ensemble de tous les entiers, positifs, nul et négatifs. Ce nouvel ensemble est appelé ensemble des entiers relatifs et est noté formula_7.
Les décimaux.
L'ensemble des décimaux est l'ensemble des nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule. Il est noté formula_9.
Par exemple 1.567, -6.78 et 789.654 sont des éléments de l'ensemble formula_9.
Tous les décimaux peuvent s'écrire sous la forme formula_11, les entiers n et p étant des entiers relatifs.
Les rationnels.
L'ensemble de toutes les fractions du type formula_12 où formula_13 et formula_14 sont des entiers relatifs,formula_15 étant non nul s'appelle l'ensemble des nombres rationnels. Il est noté formula_16.
Par exemple formula_17 sont des éléments de formula_16.
Remarque: Les nombres rationnels sont parfois des décimaux comme formula_19 mais parfois les décimales ne s'arrêtent jamais comme formula_20
Les réels.
Un nombre peut très bien avoir un nombre infini de chiffres après la virgule. Par exemple le célèbre nombre pi qui vaut 3.1415926... ne s'arrête jamais. L'ensemble de tous les nombres, postifs ou négatifs avec un nombre quelconque de chiffres après la virgule s'appelle l'ensemble des réels. Il est noté formula_21.
Le symbole "appartient à".
Lorsqu'une valeur x appartient à un ensemble quelconque A, on écrit formula_22 qui se lit "x appartient à A".
Au contraire si x n'appartient pas à A, on écrira formula_23
Exemple : l'entier 17 appartient à l'ensemble formula_1 donc on peut écrire formula_25.
Remarque sur l'imbrication des ensembles entre eux.
On voit que l'ensemble formula_7 est composé de l'ensemble formula_1, auquel on a rajouté l'ensemble des nombres entiers négatifs. Si on voulait écrire une équation mathématique de cette fabrication, on pourrait écrire : 
Donc on voit bien que l'ensemble des nombres entiers positifs, formula_1, est inclu dans formula_7. On peut donc écrire : formula_32.
En revanche, l'ensemble des nombres entiers relatifs comprend bien les nombres entiers positifs, mais aussi d'autres nombres qui "ne sont pas" inclus dans formula_1. On peut donc écrire : formula_34.
Cette remarque est valable pour tous les ensembles : 
Et dans l'autre sens : 
Enfin, deux dernières remarques : un ensemble peut être inclus dans lui même : ils sont strictement identiques, donc inclu l'un dans l'autre : 
Pour montrer que deux ensembles "différents" sont égaux, il faut qu'ils puissent s'inclurent mutuellement : 
formula_52.
Pour aller plus loin.
L'ensemble des réels n'est pas "le plus grand ensemble qui puisse exister". Les mathématiciens ont inventé de nouveaux types de nombres qui ne "peuvent plus" être représenté physiquement. Ce sont par exemple les "nombres imaginaires", avec leur notation d'ensemble formula_53. 
Ces types de nombres sont uniquement utilisés dans des calculs (très) complexes ou la représentation mathématique des nombres est plus simple avec des nombres imaginaires qu'avec des nombres réels (c'est à dire que les écritures mathématiques sont plus simples en utilisant des nombres provenant de "l'ensemble des nombres imaginaires" qu'en utilisant des nombres provenant de l'"ensemble des nombres réels").
D'autre part, en Mathématique, la notion d'ensemble n'est pas d'habitude restreinte à celle d'ensemble de nombres. Les "ensembles" manipulés par les mathématiciens peuvent être des collections d'objets quelconques : ensembles de nombres, mais aussi ensembles de fonctions, ensembles d'ensembles, etc.
Exercices.
Pour les valeurs suivantes, indiquez si elles appartiennent ou non à formula_1 , à formula_7, à formula_9, à formula_16 et à formula_21.
Les nombres premiers.
Définition.
Un nombre premier est un entier naturel n'admettant que deux diviseurs distincts : 1 et lui même.
0 et 1 ne sont pas premiers.
Exemple.
13 n'est divisible que par 1 et par lui même (13/1 = 13, 13/13 = 1). On dit que 13 est un nombre premier.
À l'inverse, 12 est divisible par 1, 2, 4, 6 et lui même (12/1 = 12, 12/2 = 2, 12/4 = 3, 12/6 = 2 12/12 = 1). 12 n'est donc pas un nombre premier.
2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - 29 - 31 - 37 - 41 sont des nombres premiers.
Théorème.
Pour savoir si un entier N est premier, il suffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers dont le carré est inférieur à N (notez que tous ces nombres sont inférieurs à N). Si aucun de ces nombres premiers ne divise N, alors N est premier, sinon N n'est pas premier.
Calculs sur les fractions.
Soustraction de fraction.
La fraction a / b est composée d'un numérateur (a) et d'un dénominateur (b).
La règle d'addition et de soustraction des fractions n'est applicable que si les deux fractions possèdent le même dénominateur. Or, ceci ne sera généralement pas le cas. Il faudra alors réécrire les fractions en fractions équivalentes ayant un dénominateur commun. 
Pour soustraire des fractions : on les réduit au même dénominateur (1) , puis on retranche le numérateur de la plus petite (2) du numérateur de la plus grande (3) , et on donne au reste (4) pour dénominateur, le dénominateur commun (5).
Règle de base : On ne peut ajouter ou soustraire que des fractions qui ont LE MÊME 
DÉNOMINATEUR.
Pour réduire deux fractions au même dénominateur, il faut multiplier les numérateurs et dénominateurs de chaque fraction par le dénominateur de l'autre fraction.
Exemple: Calculer formula_59
La notation scientifique.
On utilise le plus souvent la notation scientifique en Sciences Physiques et Chimie, pour exprimer de grands nombres.
RAPPEL:
"Un nombre écrit en notation scientifique est écrit sous la forme" : formula_65 où :
formula_13: nombre décimal compris entre -10 exclu et 10 exclu
formula_67: entier relatif
Dans formula_68, p est appelé "l'exposant" de 10, et formula_68 se lit "10 puissance p"
ATTENTION !! :
Nous allons voir, à partir d'exemples, comment mettre un nombre en notation scientifique. Il n'y a rien de difficile,
mais il faut savoir comment marchent les puissances de 10 pour comprendre cette méthode. 
Le cas le plus simple est celui où le nombre à mettre en notation scientifique est compris entre -10 exclu et 10 exclu, par exemple formula_70. On cherche donc un nombre décimal formula_13 compris entre -10 exclu et 10 exclu, et un entier relatif formula_67, tels que formula_73. Le formula_13 cherché n'est rien d'autre que le nombre lui-même, avec formula_75. On a bien :
formula_76
Le nombre formula_70 s'écrit donc en notation scientifique formula_78, le nombre formula_79 s'écrit formula_80, etc. 
Prenons le cas où le nombre de départ est un entier relatif à au moins deux chiffres, par exemple formula_81. On cherche formula_13 et formula_67 comme ci-dessus, tels que formula_84
Le formula_13 doit être compris entre formula_86 exclu et formula_87 exclu : ce sera le nombre obtenu en insérant dans le nombre initial une virgule immédiatement après son premier chiffre. On obtient formula_88. L'écriture de formula_13 peut bien sûr être simplifiée en éliminant tous les zéros qui terminent sa partie décimale : on a formula_90. Reste à trouver formula_67 : sa valeur est le nombre de chiffres du nombre initial, moins un. Dans notre exemple, formula_81 contient formula_93 chiffres, donc formula_94. 
Le nombre formula_81 s'écrit donc, en notation scientifique, formula_96. 
On peut vérifier que cette méthode est correcte, c'est-à-dire qu'on a bien formula_97, par le calcul suivant :
formula_98
formula_99
formula_100
formula_101
Dans le cas où le nombre de départ est un entier négatif, il n'y a rien de plus à faire : le signe moins est simplement reporté dans formula_13 : formula_103. 
Prenons à présent le cas où le nombre est un nombre décimal plus grand que 10 ou plus petit que -10, par exemple formula_104. Là encore, on cherche formula_13 et formula_67 tels que formula_107
Le formula_13 sera cette fois le nombre obtenu en déplaçant la virgule du nombre vers la gauche, en la plaçant immédiatement après son premier chiffre. On obtient formula_109. La valeur de formula_67 est alors le nombre de chiffres entre la nouvelle position de la virgule et l'ancienne. Dans notre exemple, on passe de formula_104 à formula_112 en déplaçant la virgule de deux chiffres vers la gauche, donc formula_113. 
En notation scientifique, formula_104 s'écrit donc formula_115. 
La encore, on peut vérifier que cette méthode est correcte, c'est-à-dire qu'on a bien formula_116, par le calcul suivant :
formula_117
formula_118
Dans le cas où le nombre à traiter est négatif, le signe moins est à nouveau reporté dans formula_13 : formula_120. Noter que cette méthode peut être adaptée au cas d'un nombre entier : pour écrire par exemple formula_81 en notation scientifique, il suffit de l'appliquer à formula_122. On obtient formula_123, formula_94, et l'écriture de formula_13 se simplifie en formula_126 
Le dernier cas possible est celui où le nombre de départ est un nombre décimal compris entre -1 et 1 exclus, par exemple formula_127. On cherche à nouveau formula_13 et formula_67 tels que formula_130
Le formula_13 sera le nombre obtenu en déplaçant la virgule du nombre de départ vers la "droite", en la plaçant immédiatement après le premier chiffre différent de zéro, et en oubliant tous les zéros qui précèdent ce chiffre. On obtient formula_132. La valeur de formula_67 est alors "l'opposé" du nombre de chiffres entre la nouvelle position de la virgule et l'ancienne (le même nombre, mais précédé d'un signe moins). Dans notre exemple, on passe de formula_127 à formula_135 en déplaçant la virgule de trois chiffres vers la droite, donc formula_136. 
En notation scientifique, formula_127 s'écrit donc formula_138. On a bien formula_139, comme le montre le calcul suivant :
formula_140
formula_141
formula_142
Si le nombre à traiter est négatif, son signe moins est reporté dans formula_13. 
Usage de calculatrices.
Les calculatrices sont des outils puissants mais il faut prêter une attention particulière au nombre de chiffres significatifs. 
Notion de Chiffres Significatifs.
La notion de chiffres significatifs est liée à la précision concernant des mesures physiques. En effet, lorsque par exemple on mesure expérimentalement une distance à l'aide d'une règle graduée on est capable de donner la distance au millimètre près mais rarement mieux. On ne peut donc rien affirmer concernant les µm (formula_144 m) et encore moins les nm (formula_145 m). Il existe donc une incertitude concernant notre mesure. 
La notion de chiffres significatifs permet de mieux coller à la réalité physique de notre monde, c'est pourquoi on l'utilise en physique-chimie. 
Le nombre de chiffres que comporte un nombre (excepté les "0" au tout début du nombre) correspond aux nombres de chiffres significatifs de ce nombre.
Exemples:
Application à la physique de la Notion de Chiffres Significatifs.
Partons d'un simple cube dont on souhaite mesurer la taille.
En mathématique, on peut définir un cube "idéal" ayant exactement 10 cm de côté. Ce cube est un concept, c'est à dire qu'il n'a pas d'existence physique en tant que tel. Un cube défini comme ayant 10 cm de côté a bien 10 cm de côté, avec une précision infinie, puisque virtuelle.
En physique, c'est autre chose : le cube existe réellement, et il faut le mesurer. Dire que le cube fait 10 cm de côté n'a (presque) pas de sens si on ne définit pas "l'échelle de mesure", de laquelle on déduit "les chiffres significatifs". 
Imaginons que l'on mesure ce cube avec un microscope électronique (précis au minimum au µm (formula_144 m)). Si l'on dit, après cette mesure, que le cube fait 10cm de côté, en réalité, on déclare implicitement : "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 0,000001m et 10cm + 0,000001m, c'est à dire entre 9.9999cm et 10.0001cm". 
Si l'on mesure ce même cube avec une règle d'écolier, et que l'on déclare "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement à l'unité de mesure de notre règle... Donc beaucoup moins précis qu'avec un microscope électronique. On déclare en fait implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1mm et 10cm + 1mm, c'est à dire entre 9.9cm et 10.1cm". C'"est déjà nettement moins précis, mais suffisant cependant dans la plupart des cas. 
Si l'on mesure maintenant ce même cube (décidément !) avec une vieille règle usée, dont on n'arrive plus à lire les petites graduations, mais uniquement les cm. Si l'on déclare une fois encore "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement au cm près ! On déclare donc cette fois implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1cm et 10cm + 1cm, c'est à dire entre 9 cm et 11 cm". Dans ce cas, la précision est à priori insuffisante.
On voit à travers ces exemples que la notion de longueur est en réalité intrinsèquement liée au mode de mesure. On peut parler de longueur théorique (mathématique), de longueur 'aussi précise que possible' (avec le microscope électronique), de longueur 'en pratique' (avec la règle d'écolier).
Application de cet exemple de Notion de Chiffres Significatifs aux calculatrices.
Imaginons que pour calculer la taille du côté du cube, vous ayez utilisé votre calculatrice. Elle vous affiche le résultat : codice_1. Quelle est la bonne valeur ? "10 cm" ? "10.001 cm" ? "10.00192 cm" ?
Aucune de ces trois valeurs n'est "la bonne valeur" ! Cela dépend entièrement du contexte dans lequel vous avez fait ce calcul. Mais avec un peu de bon sens, vous pourrez deviner que la longueur d'un cube qui sert de cale pour un meuble dans votre salon pourra être écrite sous la forme "10 cm" (une précision supplémentaire est totalement inutile), alors qu'une pièce cubique qui est le composant essentiel d'un avion pour transmettre correctement les efforts devra être fabriqué avec une tolérance très faible, donc dans ce cas la "bonne" valeur sera "10.00192 cm".