Goélette Cardabela/Références/sclti
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Goélette Cardabela/Références
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Les suites et séries/Les séries alternées

Une suite est dite alternée si des termes consécutifs n'ont pas le même signe. Dit autrement, le signe change quand on passe d'un terme au suivant. La moitié des termes de la suite sont positifs, les autres étant négatifs. Les suites alternées sont donc des suites de la forme :
Les séries alternées sont des séries obtenues en additionnant les termes d'une suite alternée. Ce sont des séries de la forme :
Une particularité de ces suites est qu'elles ont des termes négatifs (ce ne sont pas les seules, évidemment), ce qui fait que leur convergence absolue n'est pas garantie. Rappelez-vous la différence entre convergence absolue et conditionnelle : la suite converge toujours dans le premier cas, seulement si on additionne les termes dans le bon ordre dans le second. Les suites à convergence conditionnelle peuvent diverger ou converger vers une limite arbitraire, suivant comment on additionne les termes. Et nous avons vu une condition pour qu'une suite converge absolument : la suite composée des valeurs absolues de chaque terme doit converger. Si ce n'est pas le cas, la convergence de la suite est conditionnelle. Là où une suite de termes positifs converge absolument ou diverge, une suite avec des termes négatifs peut avoir une convergence conditionnelle. Les suites alternées sont dans ce cas, ce qui rend l'étude de leur convergence plus compliquée que pour les suites vues dans les chapitres précédents.
Les critères de convergence pour les suites alternées.
Il est parfaitement possible d'appliquer les critères de convergence généraux sur les suites alternées. Mais certains critères de convergence sont spécifiques à de telles suites et ne peuvent pas s'appliquer aux suites non-alternées. Et dans de nombreux cas, ces critères spécifiques sont plus faciles à manier que les critères généraux. Voyons rapidement quels sont ces critères spécifiques aux suites alternées.
La règle de Leibniz.
Le premier critère porte le nom de règle de Leibniz. Il nous dit que pour une suite alternée qui tend vers zéro et dont la valeur absolue des termes forme une suite décroissante, la série alternée associée converge. Dit autrement, on doit avoir formula_5, ainsi que formula_6.
Le reste d'une suite alternée.
Sous ces hypothèses, on peut aussi prouver quelques propriétés liées à la quantité formula_7. Celle-ci n'est autre que la différence entre la série et une somme partielle de la suite et est appelée le reste. On peut alors prouver que :
Les séries harmoniques alternées.
Après avoir vu les critères de convergence usuel, pour les suites alternées, nous allons analyser quelques suites alternées assez simples. Dans cette section, nous allons voir les différentes suites harmoniques alternées.
La série harmonique alternée.
Prenons un exemple très simple de suite qui peut s'analyser avec respecte la règle de Liebniz : la série harmonique alternée. Pour rappel, la suite harmonique alternée est définie par :
Rappelons que la série harmonique ne converge pas. En conséquence, on sait que si la suite harmonique alternée converge, sa convergence ne peut être que conditionnelle et non absolue. Il n’empêche que l'on peut quand même lui appliquer le critère de Liebniz. Déjà, si on prend les valeurs absolues, la suite devient la suite harmonique qu'on sait décroissante. La première condition, à savoir formula_5 pour tout rang n, est donc remplie. Ensuite, la suite tend bien vers zéro, comme la suite harmonique (le changement de signes à chaque terme n'y change pas grand-chose). La série harmonique converge donc, même si sa convergence est conditionnelle.
La série de Leibniz.
La série de Leibniz est assez similaire à la série harmonique alternée, une variante de la série harmonique où des termes consécutifs sont de signes opposés. La différence est que les inverses des entiers sont remplacés par les inverses des entiers impairs. Comme pour la série harmonique alternée, les signes des termes s'inversent d'un terme à l'autre. Cette série vaut :
Simplifions :
Simplifions encore :
Factorisons formula_15 :
Sachant que formula_17, on a :
Multiplions maintenant par formula_19 :

La goélette Cardabela/Contenu
La goélette Cardabela de 1979 à 1999 La construction (≈120 pages)
La goélette Cardabela de 1999 à 2007 Les essais en mer (≈120 pages)
La goélette Cardabela de 2000 à 2016 Les leçons de la navigation (≈48 pages)
La goélette Cardabela de 1976 à 2008 La collection des livrets techniques (≈182 pages)

La Goélette Cardabela
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Collection des livres et des livrets
La goélette Cardabela a été conçue sur le plateau du Larzac à Saint Pierre de la Fage de 1976 à 1979 puis construite de 1979 à 1999 près de la "Ferme de la plaine" au village de La Boissière, pas très loin de la route de Lodève, entre Saint Paul et Valmalle et la commune de Gignac qui sont des villages plus connus des montpelliérains.
La goélette a connu son premier bain au mois de juin 1985 alors que le pont et le cockpit n'étaient pas encore terminés.
Le premier équipage a embarqué au mois de juillet 1986 avec Alizée, bébé à bord vieux de 1 mois et Barbara alors âgée de 3 ans. Les aménagements tenaient plus du camping que d'un aménagement digne de navigateurs. L'équipage est resté à bord une bonne dizaine d'années.
En 1999 La goélette a eu l'autorisation de naviguer en première catégorie de navigation, c'est à dire en haute mer, sur toutes les mers.
Ce livre est une compilation de plusieurs livres et de livrets techniques, ils racontent l'aventure d'une construction de voilier en amateur.

Goélette Cardabela/Références/Canevas sclti

---- 2019.10.11 ----
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La goélette Cardabela/Préface
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