La balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un point matériel soumis à la pesanteur uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v).
Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de Torricelli est l'apparition d'une asymptote, ce que savaient bien les artilleurs : Tartaglia, Ufano, etc.
Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de l'hodographe : 
formula_1
Ici formula_2 est la composante horizontale du vecteur vitesse, et formula_3 l'angle complémentaire de l'angle de hauteur formula_4 (on dit parfois la déclinaison) : comme formula_3 ne cesse d'augmenter, formula_2 diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini.
Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine.
Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ?
Mouvement ; asymptote.
Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article . Il a fait apparaître la notion très importante de "vitesse-limite". De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.
La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.
Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc formula_7.
L'analyse des forces est : poids mg et résistance fluide de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.
L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t) diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-> - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme échelle de temps:
échelle des temps.
d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA
On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;
équation dite hodographe de la balistique.
En éliminant dt :
formula_8
équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).
D'où v = V(A), ce qui est l'hodographe en coordonnées polaires.
Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, v tend vers une limite V1 telle que : 
f(V1) = 1
On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article chute avec résistance de l'air.
La trajectoire.
Pour obtenir la trajectoire, il "suffit" donc d'intégrer l'équation précédente, puis :
formula_9
Tout s'exprime donc "à une quadrature près" si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695). 
Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) > v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. vitesse aréolaire).
asymptote de la trajectoire.
L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
Cas intégrables.
L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.
Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la (cf la ).
Le cas irréaliste linéaire.
Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!
Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.
L'équation différentielle est : 
formula_10
L'hodographe est donc la droite:
formula_11
la trajectoire du projectile P est :
formula_12
La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.
formula_13
courbe de sûreté.
Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable.
Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est formula_14 est (unités réduites) : 
formula_15
formula_19
formula_20
On pose : g=1 \tau = 1 ; cos(A) = c ; sin(A) = s ; on a pris le cas Vo = 1 .
On élimine le temps et on obtient la trajectoire : 
On dérive par rapport à A pour avoir l'équation de la caractéristique de Clairaut : 
0 = x (s+1)/c² - x s/c² .1/ ( 1-x/c) qui se simplifie et donne x = c/(1+s)
On remplace dans l'équation de la trajectoire : y = 1 + log s - log (1+s)
On obtient donc l'enveloppe en paramétrique, en f de A , mais ici, elle se simplifie : éliminons A en passant à l'arc moitié ; tout se simplifie : y = 1-log 2 + log (1-x²) . L'asymptote est OkP.
x = u.c(1-exp) et z = (u+1) (1-exp) -t 
On élimine t pour avoir la trajectoire, et on y adjoint l'équation de Clairaut : 
z = x t + x/ uc + log ( 1-x/uc) ET la dérivée prise par rapport à A : 
Elle se simplifie par x , et donne x= u².c/(u+s) , et on reporte dans z : on obtient donc la courbe de sûreté en paramétrique : 
formula_21
Il faudrait vérifier si cela se simplifie par élimination de A , ou bien s'il y a une explication simple à la manière de Torricelli. Bien sûr, on retrouve l'asymptote avec le Log (sin A ) et cette asymptote est bien en x = u ; si u »1 , on retrouve l'intuition de Tartaglia : x ~u cos A et z ~ u sin A (et - Log u)
Conseil : dessiner en coordonnées cartésiennes , on dessine mal ce demi-cercle si l'on n'y voit qu'une "arche".
Cas des balles en rotation.
Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à Vo, alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous "slazsenger" ont même été brevetés, car ils modifient la portance.
Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc "platini" au football le démontre.
Histoire des sciences.
Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, balistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.
L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote. 
histoire.
Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler, Cranz, Adhémar, Ainsi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des génies en balistique
résistance de l'air en V² , dite quadratique.
ébauche
L'équation est :
formula_23
les équations.
introduire la déclinaison B = Pi/2-A.
On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s² /s^3 +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : elle n'est PAS compliquée , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2.
L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B) : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en "tortue-logo".
Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations "cartésiennes" de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus "naturelle", décrire le mouvement s(t), a été oubliée ...
une simplification fortuite : l'abscisse curviligne.
le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier : 
u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN. 
formula_24
d'où :
formula_25
formula_26
sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le "1" est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite "en général", R augmente beaucoup et "on" atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent (et penser bien sûr à la développer d'une parabole au voisinage de son apex) à une petite translation près. 
Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le "cercle" puis l'asymptote : il reste juste à contrôler "visuellement" la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale).
Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}.
formula_27 
Ce qui permet les deux tracés essentiels : 
largage d'une bombe.
Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe.
formula_28
Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté.
Si tout ceci est faux, je ne m'en étonnerai pas : pas eu le temps de regarder suffisamment...
Typiquement avec du plomb, V-limite est de 100 m/s, voire 300m/s donc H ~10 -100km : on ne pourra jamais avoir de canon de grande portée : 50 km, voir 100 km mais pas plus !!! Sauf à changer la masse des obus ( cela varie comme M^(1/3)) d'un facteur mille pour changer la constante de longueur d'un facteur 10 , mais peu importe vraiment Vo, il suffit de garder ~50m/s ( encore faut-il le faire ! ) : c'est la très grande leçon de ce calcul : tout réside dans la longueur H et la portée ne dépend que très peu de Vo , ce qui est contre-intuitif. 
Car, quand on dit V-limite de l'ordre de 300m/s on pense 330 m/s et vitesse du son V_son , et compressibilité : et pourquoi Ha ? par compressibilité de l'air ... en effet Ha = ~ (V_son)^2 /g ( j'ai laissé tomber gamma ) : quand les bombardieri ont atteint des OdG de 100m/s , non seulement, ils se sont rapprochés du mur du son, mais encore : ils ont atteint des altitudes de l'ordre de 10km , donc le vide ( pas vraiment, mais on le touche...(sourire)) : mais alors...il faut reprendre TOUS les calculs, puisque on est en train d'écrire que la densité de l'air varie : et varie exponentiellement avec la même constante de longueur. Il urge de re-considérer le problème de l'altitude et des degrés de "finesse de l'air" : les artilleurs avaient remarqué sans doute que les canons tiraient plus loin en air "ténu" (?). Et là ça se gâte : au fond, on demande de reprendre le problème avec une constante de longueur H qui varie avec l'altitude comme H(z=0).exp(z/Ha), avec H(z=0) ~ Ha : brr...négligeons g , on aurait qqch comme : dv/dt = - v²/Ho . exp(-z/Ho). Mais cela change tout : d(v²)/dz = -2 v² exp-z => v² ~ exp ( exp(-z)) et donc ne s'annule pas à l'infini ...l'obus peut arriver dans le vide ...
FIN de délire 
une trajectoire particulière en détail pour se familiariser.
prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule bien 
courbe de sûreté.
certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; "en gros", on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne "gonfle pas quand Vo augmente" ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air.
notes.
ébauche 
je vais fourguer ici les notes ...bien utiles pour ne pas oublier ...des calculs parfois laborieux , en tout cas, il faut se familiariser.
Creusons autour : formula_30 donne formula_31 soit formula_32 donc pour z » H , il subsiste un reliquat d'énergie qui a passé la barrière : E(infty) = Eo .exp-2H/a : qualitativement les paramètres sont dans le sens correct : pour a donné, généralement une particule pénètre de qq a et s'arrête ; mais ici a dépend en qq sorte de z , via a(z) = a exp +z/H , donc c'est "comme si" on pouvait aller de plus en plus loin ; ce qui reste est cette compétition ; je le vois aussi comme un processus de trempe : E "devrait" relaxer à zéro , mais le temps de relaxation s'étire indéfiniment ; le processus se gèle et au temps infty, E n'est toujours pas relaxée à zéro : E s'est gelée à la valeur E. exp -2H/a : m'ouais , au fond j'opte pour cette interprétation, provisoirement, elle me va .