Module 2 : Représentations des transports
La circulation sur les routes est généralement organisée en voies de circulation : mais est-ce le cas pour tous les modes? Quelle est la représentation la plus simple des déplacements des usagers, de leurs positions par exemple?
Dans ce module, nous allons voir comment les experts du transport représentent et modélisent les usagers et leurs véhicules dans les déplacements et la circulation. Des outils graphiques nous permettent de représenter les différents véhicules et les déplacements des usagers, et plusieurs variables permettent de caractériser la circulation dans le temps et l'espace. 
À la fin de ce module, vous serez en mesure de :
Ces variables et outils sont utilisés par les ingénieurs et gestionnaires des routes pour comprendre l'état de la circulation et gérer les états de la circulation, comme on le voit plus tard dans un chapitre ultérieur. 
Une excellente ressource en français sur le sujet est le livre suivant (spécifiquement le premier chapitre pour ce module) : Comprendre le trafic routier de Christine Buisson et Jean-Baptiste Lesort qui est disponible gratuitement en ligne.
Représentation des déplacements: dimensions espace et temps.
La notion fondamentale des transports est le "déplacement", c'est-à-dire le changement de position d'une personne ou d'une chose dans le temps. Pour décrire les transports, il faut utiliser un système de coordonnées pour ces positions qui peut avoir différentes dimensions comme la figure ci-contre l'illustre: à une dimension lorsque le déplacement se fait le long d'une route (divisée en voie de circulation) ou d'un corridor par exemple, deux dimensions à la surface de la terre pour un piéton sur un trottoir par exemple, voire trois dimensions dans un bâtiment à plusieurs étages. 
Représentation origine-destination.
La définition la plus simple d'un déplacement est par son "origine" et sa "destination", par exemple pour une personne de sa résidence à son lieu de travail ou d'étude. Un déplacement est caractérisé par le ou les "modes" utilisés et le "motif". Le "motif" est la raison du déplacement et les "modes" sont le ou les moyens de transport utilisés pour arriver à la destination finale. La "chaîne de déplacement" comprend l'ensemble des déplacements successifs entre le départ et le retour au domicile, à moins que la chaîne reste ouverte en l'absence d'un retour au domicile dans la même journée. Ces données sont typiquement collectées lors d'enquêtes sur les déplacements qui seront couvertes dans le chapitre suivant sur les méthodes de collecte de données.
Représentation spatiale linéaire.
La question suivante concerne la représentation des positions dans l'espace. La représentation minimale, c'est-à-dire avec la plus petite quantité d'information, dépend en fait du mode de transport et de l'infrastructure de ce mode. Certains modes sont contraints par leur infrastructure et la place qui leur est réservée. Les véhicules routiers, comme les automobiles, les bus et les vélos, se déplacent généralement, comme leur nom l'indique, sur des routes qui sont découpées en voies de circulation. La représentation la plus simple de leur position est une seule coordonnée mesurant la position ou distance parcourue le long de la route à partir d'un point de référence arbitraire. Cette coordonnée est souvent notée formula_1 et s'appelle la "coordonnée longitudinale". On peut qualifier le déplacement de "linéaire", c'est-à-dire le long de la ligne centrale de la voie de circulation. Évidemment, il est aussi possible de mesurer la position latérale de ces véhicules avec une "coordonnée latérale" souvent notée formula_2. Cette seconde coordonnée est utilisée parfois pour des études spécifiques, par exemple pour la sécurité routière et les risques de sortie de route, mais bien moins que la coordonnée longitudinale. Une version simplifiée de la coordonnée latérale est de noter la voie dans laquelle le véhicule circule par une variable catégorielle (ou même ordonnée). La coordonnée latérale devient alors catégorielle, c'est-à-dire qu'elle prend des valeurs dans un ensemble fini, et ordonnée, par exemple comme les nombres entiers. 
Représentation spatiale à deux dimensions (et plus).
D'autres modes de transport comme la marche sont fondamentalement différents des véhicules routiers. La plupart du temps, les piétons sont beaucoup plus libres, et leurs positions sont naturellement représentées par des coordonnées à deux dimensions souvent notées formula_3. Il est aussi possible de noter une troisième dimension des positions des piétons par exemple dans un bâtiment au-dessus ou dessous du sol soit par une altitude (variable continue) ou un étage (variable catégorielle ordonnée). Les coordonnées pour une position en trois dimensions sont souvent notées formula_4.
Représentation temporelle et trajectoires.
Portons maintenant notre attention sur la dimension du temps. Il est possible de décrire un déplacement de façon plus précise que par son origine et sa destination avec ses positions intermédiaires : cela constitue une "trajectoire", c'est-à-dire la série des positions dans le temps, chaque position représentée par des coordonnées à une, deux ou trois dimensions. Par exemple, à deux dimensions, la position d'un piéton à un instant formula_5 peut être notée formula_6 (ou sous la forme du triplet formula_7). De telles données sont de plus en plus disponibles grâce aux capteurs spatiaux de géolocalisation comme les capteurs GNSS (discutés dans le prochain module).
Diagramme espace-temps.
La représentation graphique de la position en fonction du temps des usagers est aussi appelée le "diagramme espace-temps". Dans le cas des transports, on s'intéresse généralement à la distance parcourue, souvent sous la forme de la coordonnée longitudinale pour les déplacements linéaires. La position est généralement mesurée à intervalle de temps régulier, chaque seconde par exemple, et on peut connecter les points formula_8 pour faire une courbe d'apparence lisse. Ce diagramme permet de visualiser plusieurs éléments intéressants comme les variables microscopiques de la circulation. En regardant un point formula_1 de la route, on peut s'imaginer être un observateur en ce point qui voit passer les véhicules devant lui, numérotés dans leur ordre de passage comme dans l'image ci-contre. La courbe de chaque véhicule représente sa trajectoire. Il est aussi possible d'étudier les distances parcourues entre chaque instant, dont le ratio est la "vitesse" moyenne entre ces deux instants. Si ces deux instants sont très rapprochés ou si on fait tendre sur le graphique lissé l'écart entre les deux instants vers zéro, on obtient la tangente à la courbe qui est la vitesse instantanée. Ainsi, une portion horizontale de courbe du diagramme espace-temps correspond à une période d'arrêt pour le véhicule (à vitesse nulle). 
Des exemples de diagramme espace-temps montrant des données réelles provenant du projet NGSIM sont disponibles sur le site du professeur Jorge Laval de Georgia Tech, par exemple pour l'autoroute US101.
Variables de la circulation.
Nous allons maintenant définir les variables permettant de décrire la circulation dans le temps et l'espace. Elles s'appliquent aux déplacements linéaires, donc aux véhicules routiers, mais peuvent s'adapter aux modes qui se déplacent naturellement dans un espace à deux dimensions comme la marche. Ces variables, en particulier macroscopiques, permettent de caractériser les états des routes et donc de réagir lorsqu'une route est congestionnée, voire d'anticiper les futurs états de la circulation à l'aide de modèles microscopique ou macroscopiques pour éviter la congestion. 
Il y a deux niveaux principaux de description de la circulation:
Variables microscopiques de la circulation.
Le temps intervéhiculaire.
Le "temps intervéhiculaire" (TIV) est la durée séparant le passage de l'avant (ou de l'arrière) de deux véhicules successifs en un point donné sur une même voie de circulation. Il est noté formula_10 (pour "headway" en anglais) et se mesure en unités de temps, typiquement en secondes (s). 
Dans la figure ci-contre, soient 
Le TIV entre les véhicules 1 et 2 est formula_17. Le TIV est différent du créneau entre deux véhicules ("gap" en anglais) qui se calcule pour les véhicules 1 et 2 par formula_18.
La distance intervéhiculaire.
La "distance intervéhiculaire" (DIV) est l'espace séparant l'avant (ou l'arrière) de deux véhicules successifs à un instant donné sur une même voie​ de circulation. Elle est notée formula_19 (pour "spacing" en anglais) et se mesure en unités de distance, typiquement en mètres (m). Dans la figure ci-contre, soient formula_20 et formula_21 les positions respectives de l'avant des véhicules 1 et 2 à formula_22 : la DIV entre les véhicules 1 et 2 est formula_23.
La vitesse.
La "vitesse" est la distance parcourue par unité de temps​ et est notée formula_24. Elle se mesure en unités de distance par unité de temps, typiquement mètres par seconde (m/s) ou kilomètres par heure (km/h). Dans la figure ci-contre, soient formula_20 et formula_21 les positions respectives de l'avant du véhicule 1 à formula_11 et formula_15 : la vitesse moyenne du véhicule entre formula_11 et formula_15 est formula_31. Lorsque formula_15 tend vers formula_11, la vitesse formula_24 tend vers la vitesse instantanée à formula_11.
Le diagramme espace-temps.
Dans le cas où on y représente les trajectoires des avants des véhicules, on peut visualiser dans le diagramme espace-temps présenté dans la figure ci-dessous :
Variables macroscopiques de la circulation.
Diagramme du nombre cumulé de véhicules.
Passons maintenant à des considérations "macroscopiques", c'est-à-dire d'un ensemble d'usagers ou de véhicules. En repartant du diagramme espace-temps, on peut dériver un autre outil graphique, le "diagramme du nombre cumulé de véhicules" (ou d'usagers) passés en un point de la route en fonction du temps comme illustré dans la figure ci-dessus. La courbe qui en résulte est une courbe en escalier, dont les « marches » correspondent aux instants de passage des véhicules et qui prend des valeurs entières. Ici, dans tout intervalle de temps comprenant les instants de passage formula_11 à formula_39, trois véhicules sont passés.
Le débit.
Si on considère une période plus longue, les marches de la courbe du nombre cumulé de véhicules passés en un point de la route « disparaissent » comme la figure ci-contre l'illustre. Le taux moyen d'accroissement du nombre de véhicules correspond au débit. Le "débit" en un point de la route formula_12 est le nombre de véhicules ou d'usagers passant par ce point pendant une période de temps donnée. Il est noté formula_51 et se mesure en nombre de véhicules ou d'usagers par unité de temps, par exemple en véhicules ou piétons par heure (véh/h ou piétons/h). Dans la figure ci-contre, soient formula_52 et formula_53 les nombres respectifs de véhicules passés en un point de la route formula_12 respectivement à formula_11 et formula_15 : le débit en ce point entre les instants formula_11 et formula_15 est formula_59.
La densité et le taux d'occupation.
Si on considère une section de route à un instant donné, on peut aussi compter le nombre de véhicules présent sur cette section. La "densité" (ou concentration) à un instant donné formula_22 sur une section de route est le nombre de véhicules ou d'usagers présents sur la section. Elle est noté formula_61 (pour concentration en allemand) et se mesure en nombre de véhicules ou usagers par unité de distance, par exemple véhicules ou piétons par kilomètre (véh/km ou piétons/km). Dans la figure ci-contre, soit formula_62 le nombre de véhicules présents sur une section entre formula_20 et formula_21 à un instant donné formula_22 : la densité sur cette section à cet instant est formula_66. Pour les piétons, la densité se définit en deux dimensions comme le nombre de piétons par unité de surface (piétons/m2) dans un espace donné. 
En pratique, la densité est difficile à mesurer. Il est par contre possible de mesurer le "taux d'occupation" qui a une relation directe approximativement linéaire à la densité. Le taux d'occupation est la proportion de temps durant laquelle un point de la chaussée est occupé par un véhicule. Il est noté formula_67, n'a pas de dimension et est souvent présenté comme un pourcentage.
La vitesse moyenne.
Enfin, il est aussi possible de considérer la vitesse d'un ensemble de véhicules ou d'usagers. Ce sujet est complexe et nous allons considérer seulement les vitesses instantanées d'un ensemble de véhicules passant en un point donné de la route. Une statistique naturelle à extraire est la vitesse moyenne, mais elle peut être calculée de plusieurs façons. La plus simple est la "vitesse moyenne temporelle", notée formula_68, qui est la moyenne arithmétique des vitesses instantanées formula_69 de N véhicules passant en un point donné de la route pendant un intervalle de temps donné. À partir des mêmes observations, il est aussi possible de calculer la "vitesse moyenne spatiale", notée formula_70, qui est la moyenne harmonique de ces vitesses instantanées en un point donné de la route pendant un intervalle de temps donné, soit formula_71. L'exemple de la page Wikipedia est pertinent et illustre comment la vitesse moyenne spatiale est la vitesse moyenne de parcours d'un véhicule, c'est-à-dire la somme des distances parcourues par un ensemble de véhicules divisée par la somme des temps de parcours sur ces distances. Les deux vitesses moyennes ont généralement des valeurs différentes, hormis si les vitesses instantanées sont identiques. Dans le cas général, la vitesse moyenne temporelle est toujours supérieure ou égale à la vitesse moyenne spatiale (c'est la relation de Wardrop).
Relations entre variables microscopiques et macroscopiques de la circulation.
Considérons un intervalle de temps de durée formula_72 tel que les instants de début et fin de cet intervalle correspondent aux instants de passage de (l'avant de) deux véhicules, qui ne se suivent pas forcément, en un point de la route. Cette durée se décompose en la somme des TIV entre chaque véhicule successif, soit le nombre formula_62 de véhicules passés en ce point multiplié par le TIV moyen formula_74 selon la définition de la moyenne arithmétique (le véhicule formula_75 n'est pas considéré puisque il est en dehors de l'intervalle de temps, son avant est exactement au point de la route à la fin de l'intervalle). Le débit étant le nombre moyen de véhicules passés dans l'intervalle de temps considéré, soit formula_76, on trouve formula_77. Les unités correspondent bien, le débit étant en véhicules (usagers) par unités de temps et le temps intervéhiculaire moyen en unité de temps par véhicule (usager).
Dans la figure ci-dessous, si on considère l'intervalle entre les instants formula_11 et formula_39 à la position formula_12, on a formula_81. Considérant formula_82, on trouve bien formula_77. Si les instants de début et de fin de l'intervalle considéré ne correspondent pas à des instants de passage, la relation sera approximée. 
Le raisonnement est analogue dans l'espace pour la relation entre la DIV et la densité. On considère une section de route de longueur formula_84 tel que le début et la fin de la section correspondent aux positions de (l'avant de) deux véhicules, qui ne se suivent pas forcément, à un instant donné. Cette section se décompose en la somme des DIV entre chaque véhicule successif, soit le nombre formula_62 de véhicules à cet instant multiplié par la DIV moyenne formula_86 selon la définition de la moyenne arithmétique (le véhicule formula_75 n'est pas considéré puisque il est en dehors de la section de route, son avant est au point délimitant le début de la section de route). La densité étant le nombre moyen de véhicules par unité de distance sur la section considérée, soit formula_88, on trouve formula_89. Les unités correspondent bien, la densité étant en véhicules (usagers) par unité de distance et la distance intervéhiculaire moyenne en unités de distance par véhicule (usager).
Dans la figure ci-dessus, si on considère la section entre les positions formula_20 et formula_45 à l'instant formula_22, on a formula_93. Considérant formula_94, on trouve bien formula_89. De même qu'avec la relation précédente, si les positions de début et de fin de la section considérée ne correspondent pas à des positions de véhicules, la relation sera approximée. 
Il faut noter qu'il ne s'agit pas vraiment de relation entre variables macroscopiques et microscopiques, puisque la moyenne des TIV ou des DIV est en fait une grandeur macroscopique (se rapportant à un ensemble de véhicules ou usagers), mais tout de même liée à ces mesures microscopiques.
Ces relations nous donnent un sens de la façon dont ces grandeurs varient les unes en fonction des autres et de leurs ordres de grandeur. Le TIV et le débit (respectivement la DIV et la densité) évoluent en sens opposé : un grand TIV (respectivement une grande DIV) correspond à un débit (resp. une densité) faible. Un ordre de grandeur de débit élevé pour la circulation véhiculaire est autour de 2000 véh/h par voie, ce qui se traduit en 1,8 s de TIV entre véhicules en moyenne, un temps assez faible qui laisse peu de temps pour un conducteur de réagir aux actions du conducteur qui le précède. Pour la relation DIV et densité véhiculaire, la longueur d'un véhicule est autour de 5 m : sans que les véhicules soient collés, on peut par exemple doubler la DIV moyenne à 10 m et on obtient une densité de 100 véh/km. Une situation avec des véhicules collés avec une DIV moyenne de 5 m correspond à une densité de 200 véh/km, soit une valeur très difficile à atteindre en dehors de véhicules serrés à l'arrêt. Ces ordres de grandeur liés à des observations ou des mesures physiques faciles à obtenir permettent de valider des résultats de calculs.
Relation fondamentale entre les variables macroscopiques de la circulation.
Par analogie hydrodynamique, la vitesse moyenne formula_24 d'un flot de véhicules est définie par formula_97. Cette relation entre variables macroscopiques s'appelle la "relation fondamentale" de la circulation. Le rapport du débit, en véhicules par unité de temps, sur la densité, en véhicules par unité de distance, donne bien une grandeur en unités de distance par unité de temps homogène à une vitesse. 
C'est une relation d'équilibre, valide dans un courant de circulation stationnaire, c'est-à-dire lorsque les TIV (ou DIV) et vitesses sont constants pour tous les véhicules comme dans le cas illustré dans la figure ci-contre. Elle n'est pas forcément valide lors des transitions entre différentes densités par exemple. Si on regarde le cas particulier d'une circulation à vitesse constante et égale dans le temps, avec temps et distances intervéhiculaires égaux. La pente d'une de ces trajectoires est égale à la distance parcourue par unité de temps, par exemple la DIV avec le véhicule précédent pendant le TIV avec ce même véhicule. On a donc formula_98 (la dernière égalité étant obtenue grâce aux relations entre les variables microscopiques et macroscopiques vue précédemment). Cette relation se vérifie aussi dans le cas plus général où la circulation se décompose en sous-ensembles de véhicules de vitesse constante. 
À l'aide des ordres de grandeurs pour la densité et la vitesse sur des routes, il est alors possible de déterminer l'espace occupé par des véhicules à débit élevé et de discuter les gains possibles de véhicules automatisés. L'exercice est laissé au lecteur.