Dans ce chapitre, nous allons voir les séries de Riemann et leurs liens avec les nombres premiers. Ces séries peuvent sembler assez peu intéressantes, mais il n'en est rien. Par exemple, les séries de Riemann sont impliquées dans diverses conjectures encore non-résolues sur les nombres premiers. Précisément, de telles suites ont un lien très fort avec la répartition des nombres premiers quand la raison est un nombre complexe. Nous aurons l'occasion de reparler de la fameuse fonction zéta de Riemann, qui n'est autre qu'une série associée à une suite de Riemann. Quelques suites de Riemann particulières donnent aussi des résultats assez intéressants quand on prend leur série (nous verrons cela dans quelques chapitres). Bref, laissons tout cela à plus tard. Nous étudierons ces suites dans les chapitres sur les sommes partielles et les séries.
La série harmonique et ses dérivées.
Nous allons commencer par voir la série harmonique et ses dérivées. Nous allons voir la série harmonique, puis les séries harmoniques généralisées. Dans cette section, nous ne parlerons pas des séries harmoniques alternées. La raison est qu'un futur chapitre est complètement dédié à l'analyse des séries alternées, et que nous avons décider de parler des séries harmoniques alternées dans ce dernier. Mais il y a une autre raison : vu que la série harmonique et ses dérivées divergent, leurs versions alternées convergent conditionnellement. On peut donc les faire diverger ou converger vers n'importe quelle valeur avec les manipulations adaptées.
La série harmonique.
La série de Riemann la plus connue est incontestablement la série harmonique. Pour rappel, la suite harmonique est la suite de l'inverse des entiers naturels :
Cette série a une limite qui tend vers zéro avec le rang, ce qui fait qu'on pourrait croire qu'elle converge. Mais rappelez-vous : si les suites convergentes ont une limite qui tend vers zéro, la réciproque n'est pas vraie. Et la série harmonique est justement un contre-exemple parfait : elle diverge alors que sa limite est nulle !
Les séries harmoniques généralisées.
Les séries harmoniques généralisées sont des séries de la forme :
Par exemple, on pourrait citer la série de l'inverse des entiers impairs.
Toutes divergent, sans exceptions. Le démontrer demande d'étudier deux cas : celui où formula_4 et celui où formula_5
Le coefficient r est appelé la raison de la suite, par analogie avec les suites géométriques. Elle peut être un nombre réel ou complexe et elle est souvent notée r pour un nombre réel et s pour un nombre complexe.
Les séries de Riemann sont notées formula_6 et sont de la forme suivante :
Plus la raison est grande, plus la limite obtenue est petite, ce qui fait que la fonction formula_6 est décroissante, comme indiquée ci-dessous. Les théorèmes que nous verrons dans le prochain chapitre nous disent que cette série converge ou diverge selon la valeur de sa raison : une raison inférieure ou égale à 1 fait diverger la série, alors qu'une raison supérieure à 1 la fait converger. On peut aussi prouver que :
La série de l'inverse des carrés.
Une autre série intéressante est la série de l’inverse des carrés.
Un des mathématiciens les plus connu du 18ème siècle, Euler, a démontré que cette série valait :
La série de l'inverse des cubes.
Une autre série intéressante, bien qu'un peu moins que la précédente est la série de l’inverse des cubes.
Le résultat de cette série est une constante, appelée constante d'Apéry. On sait qu'il s'agit d'un nombre irrationnel, ce résultat ayant été démontré par Apéry lui-même, mais on ne sait pas encore s'il est transcendant ou non.
Les séries de Riemann à exposants pairs.
Prenons les séries de Riemann dont l'exposant est un nombre pair. En clair, les suites de la forme : formula_14.
Il se trouve que toutes ces séries ont un résultat de la forme suivante avec formula_15 un nombre rationnel (fractionnaire) :
Par exemple, on a :
Une formule plus détaillée est la suivante :
Cette expression nous permet de trouver une approximation du énième nombre de Bernoulli, pour un n assez grand. En effet, prenons la limite de l'équation précédente quand 2n tend vers l'infini :
Oublions le terme : formula_20 pour simplifier les calculs :
Or, on sait que formula_9. En faisant le remplacement, on trouve :
On réorganise les termes :
Si n est assez grand, on peut remplacer la limite par une approximation.
Les séries liées aux nombres premiers.
Certaines séries sont fabriquées à partir de nombres premiers, comme la suite de l'inverse des nombres premiers. Celles-ci sont très utiles pour étudier les nombres premiers, sans compter que la plupart ont des propriétés assez intéressantes.
La série de l'inverse des nombres premiers.
La série de l'inverse des nombres premiers est de loin la plus simple à étudier. Cette série n'est autre qu'une variante de la suite harmonique, dans laquelle on n'aurait conservé que les termes au dénominateur premier. Et il se trouve que cette série diverge !
Un bon moyen de le prouver est de comparer cette série à une autre série, dont tous les termes sont inférieurs à la série des nombres premiers, qui est de plus connue pour diverger. Cette seconde série est la suivante :
On sait que chaque terme de la suite de l'inverse des nombres premiers est supérieur au terme de même rang de l'autre suite :
Vu que la seconde suite a une série qui diverge, celle des nombres premiers aussi.
La constante de Meissel–Mertens.
Il est intéressant de comparer la somme partielle de l'inverse des premiers à d'autres fonctions/suites. Le fait que la suite de l'inverse des entiers soit une sorte de variante de la suite harmonique nous est utile pour choisir à quelle suite la comparer. On a vu plus haut que la différence entre la série harmonique et la série de la suite formula_29 est une constante, appelée constante d'Euler-Mascheroni. Et bien on peut comparer la suite de l'inverse des premiers avec la suite formula_29, mais dont on n'aurait conservé que les termes premiers. Et le résultat est plus ou moins le même avec seulement les premiers qu'avec tous les entiers : la différence converge vers une constante. Mais dans le cas avec seulement les termes premiers, la constante est différente de la constante d'Euler-Mascheroni. Pour résumer, la série de l'inverse des premiers et la série du double logarithme ne différent que d'une constante, appelée constante de Meissel–Mertens. Cette constante a pour définition la formule suivante, avec formula_31 la constante d'Euler-Mascheroni :
Sa valeur approchée est la suivante :
La série de l'inverse des nombres premiers jumeaux.
Si la série des nombres premiers diverge, ce n'est pas le cas pour la série des nombres premiers jumeaux. Pour rappel, les nombres premiers jumeaux sont des nombres premiers tels que leur différence est égale à 2 (en clair, ce sont des couples de la forme formula_34). Cette série se construit en prenant deux nombres premiers jumeaux et en additionnant leurs inverses. Cette série converge vers une constante appelée la constante de Brun.