La projection stéréographique consiste à projeter une sphère sur un plan à partir d'un point de la sphère. Il s'agit d'une transformation qui conserve les angles.
En cristallographie, la projection stéréographique est utilisée pour représenter des droites ou des plans :
On ne représente pas directement ces droites et plans mais on détermine d'abord leurs intersections avec une sphère imaginaire centrée sur le cristal. Ce sont ces intersections qui sont ensuite utilisées dans la projection stéréographique sur le plan équatorial de la sphère imaginaire. En pratique, la projection stéréographique en cristallographie est bien plus simple à manipuler qu'il n'y paraît en lisant ces quelques lignes d'introduction, ce que le reste de ce chapitre va s'attacher à montrer.
Principe et propriétés.
La projection stéréographique est la projection d'une sphère sur un plan. En mathématiques, la projection stéréographique peut s'effectuer sur un plan quelconque. Par convention en cristallographie, ce plan passe par le centre O de la sphère : il s'agit d'un plan équatorial.
La projection stéréographique est une projection centrale. On choisit un point S de la sphère comme centre de projection, tel que la droite OS est perpendiculaire au plan équatorial. Le point S est appelé « pôle sud » de la sphère et le point N qui lui est diamétralement opposé « pôle nord ». Un autre point P de la sphère est projeté vers son image P' sur le plan, définie comme le point d'intersection de la droite SP avec le plan. Dans la figure ci-dessous, le point H est projeté vers son image H' et le point H vers son image H'.
La projection stéréographique ainsi définie est quasiment une bijection : à tout point de la sphère privée du point S correspond un unique point du plan et inversement. D'après la méthode de construction donnée, on remarque que :
Une propriété importante de la projection stéréographique est qu'elle conserve les angles : l'angle HOH entre deux points H et H de la sphère est le même que l'angle H'OH' entre leurs images, où O est le centre de la sphère. D'autre part, l'image d'un cercle quelconque sur la sphère est un cercle dans le plan équatorial ; un grand cercle passant par les deux pôles, et donc perpendiculaire au plan de projection, a pour image une droite (infinie) dans le plan équatorial.
En cristallographie, la projection stéréographique n'a pas lieu sur tout le plan équatorial de la sphère mais seulement sur le disque équatorial, représenté en rouge dans la figure ci-contre. Les points de l'hémisphère nord sont projetés par l'intermédiaire du point S et sont représentés par une croix, de même que ceux appartenant au grand cercle équatorial. Les points de l'hémisphère sud sont projetés par l'intermédiaire du point N et sont représentés par un rond.
La projection stéréographique définie de cette manière n'est donc pas bijective : à l'exception du grand cercle équatorial, à tout point du disque équatorial correspondent deux points de la sphère, qui se distinguent graphiquement par leurs représentations. Ces deux points de la sphère sont opposés par réflexion par rapport au plan équatorial. Cette définition de la projection stéréographique est celle que nous utiliserons par la suite.
Comme dans le cas général, la projection stéréographique en cristallographie conserve les angles. Le rayon de la sphère imaginaire utilisée pour la projection est quelconque : une variation du rayon induit une variation du disque équatorial mais ne change pas les angles entre les points projetés.
Abaque de Wulff.
L'abaque de Wulff est utilisé pour la projection stéréographique en cristallographie. Il permet de marquer la position angulaire d'un point de façon précise ou de lire les angles entre deux points. L'abaque de Wulff représente la projection stéréographique de la sphère sur son disque équatorial ainsi que celle de ses méridiennes et parallèles. L'axe nord-sud de la sphère est perpendiculaire au plan du dessin, avec le pôle nord au-dessus de l'abaque et le pôle sud en dessous. L'origine des angles est choisie sur le centre O de la sphère, soit au centre du disque équatorial.
L'abaque de Wulff peut être gradué par pas de 10°, comme dans la figure ci-contre, ou par pas plus petits, par exemple 5° ou 2°. La graduation choisie est la même entre méridiens et entre parallèles. Elle limite la précision des angles lus ou reportés sur l'abaque. Les méridiens et parallèles de la sphère de projection sont très similaires à ceux utilisés en géographie mais pas tout à fait identiques. En particulier, les pôles nord et sud de la sphère de projection ont pour coordonnées 0°E 0°N et 0°E 0°S (ou 0°E 0°N et 0°E 180°N) alors que les pôles Nord et Sud terrestres ont pour coordonnées 0°E 90°N et 0°E 90°S : l'origine des latitudes pour la projection stéréographique en cristallographie est différente de celle des latitudes terrestres. Pour cette raison, les points de coordonnées 0°E 90°N et 0°E 90°S de la sphère de projection sont notés N' et S'. Dans le langage cristallographique, les méridiens sont appelés « grands cercles » et les parallèles « petits cercles ». Les petits cercles sont perpendiculaires aux grands cercles sur la sphère de projection.
Lecture des coordonnées angulaires d'un point.
Le rayon de la sphère de projection étant quelconque, les coordonnées d'un point dans la projection stéréographique ne sont données que par deux angles Φ et ρ. Les angles sont lus sur l'abaque à l'aide des grands cercles uniquement. L'angle Φ d'un point représente sa latitude et est lu en premier : c'est l'angle de la rotation autour de l'axe nord-sud qu'il faut appliquer au point dans le sens trigonométrique pour l'amener sur le segment de droite du grand cercle horizontal des longitudes. Cette rotation est nécessaire pour pouvoir lire ensuite plus facilement la longitude ρ du point le long du grand cercle des longitudes. La latitude Φ est comprise entre -180° et 180° et la longitude ρ entre 0 et 180°. Les points S' et N' ont donc pour coordonnées (Φ,ρ) respectives (90°,90°) et (-90°,90°).
Manuellement, cela se fait en utilisant un abaque de Wulff et du papier calque, comme illustré ci-dessus. L'abaque de Wulff est imprimé sur une feuille de format A4 et collé sur un support en carton souple. Une punaise est insérée au dos du carton et centrée sur l'origine de l'abaque. Une feuille de papier calque est posée sur l'abaque et transpercée par la punaise, afin de pouvoir faire tourner le calque autour de l'origine. Il est conseillé de renforcer le trou créé par la punaise en collant un bout de ruban adhésif au dos du calque. Les points N' et S' sont d'abord reportés sur le calque, ce qui permet de retrouver la position d'origine du calque. Le point est ensuite positionné sur le calque, puis le calque est tourné de façon à pouvoir lire les coordonnées angulaires.
Si le point est représenté par un rond, cela signifie qu'il s'agit de la projection stéréographique d'un point situé sur l'hémisphère sud de la sphère de projection : sa longitude ρ n'est alors pas la longitude lue ρ mais 180°-ρ. Tous les points sur l'équateur ont pour longitude ρ=90°. Si le point est situé dans la moitié inférieure de l'abaque, comme dans l'exemple ci-dessus, sa latitude est positive ; si il est situé dans la moitié supérieure de l'abaque, sa latitude est négative.
Représentation d'un point.
Les points de longitude entre 0° et 90° sont représentés dans la projection stéréographique par une croix, les autres par un rond. Connaissant les angles Φ et ρ d'un point, celui-ci est représenté en reportant d'abord sa latitude Φ sur l'abaque de Wulff et ensuite sa longitude ρ. Pour représenter un point manuellement, on fait tourner le papier calque de l'angle Φ. L'angle ρ est ensuite reporté à partir du centre le long du grand cercle horizontal et le point est marqué à cet endroit. Le processus peut être découpé en quatre étapes :
Angle entre deux points.
Points sur le même hémisphère.
Pour lire l'angle central POP entre deux angles P et P quelconques, où O est le centre de la sphère de projection, il suffit dans la construction précédente de marquer leurs positions sur le papier calque et de faire tourner le calque jusqu'à ce que les deux points soient sur le même grand cercle. L'angle est alors lu à l'aide de la graduation sur l'abaque de Wulff.
Dans l'exemple ci-dessous, les deux points P et P sont tous les deux situés sur l'hémisphère nord de la sphère de projection et ont leurs projections sur le même petit cercle, ou parallèle. Il n'est donc pas possible de lire l'angle POP directement puisque les angles ne peuvent être lus que sur les grands cercles de l'abaque. Le calque a été tourné jusqu'à ce que les deux points soient sur le même grand cercle, ou méridien. L'angle POP est lu directement sur l'arc de cercle du méridien passant par N', P, P et S'. En utilisant la graduation par pas de 2° de l'abaque de Wulff, on obtient 92° pour la valeur absolue de POP. L'incertitude sur l'angle lu dépend de la graduation de l'abaque. Avec des pas de 2°, on peut raisonnablement utiliser une incertitude de 1° : POP=92°±1°.
Points d'hémisphères différents.
Dans le cas où les deux points n'appartiennent pas au même hémisphère, le calque doit être tourné de façon à avoir P et P sur le même grand cercle de part et d'autre de la direction N'S' : les méridiens sur lesquels P et P se retrouvent après rotation doivent être symétriques par rapport à la direction N'S' (ces deux méridiens sont la projection d'un même grand cercle, parallèle à N'S', de la sphère de projection).
L'exemple suivant montre deux points P et P dont les projections sont sur le même méridien dans la position initiale du calque. Cependant, P est un point de l'hémisphère nord et P un point de l'hémisphère sud. La position initiale du calque ne permet donc pas de lire directement l'angle POP. Après la rotation correcte du calque, on obtient un angle de 114°±1°, alors qu'une lecture dans la position initiale du calque, sans tenir compte des différents hémisphères sur lesquels sont situés les points, aurait donné un angle erroné de 90°±1°.
La nécessité d'utiliser une construction de lecture différente dans les deux cas où les points sont sur le même hémisphère ou sur des hémisphères opposés se comprend avec la figure ci-contre. Les points N, P, P et S sont alignés sur le même demi-cercle de la sphère de projection. P est situé sur l'hémisphère nord et P sur l'hémisphère sud.
Les points P et P sont symétriques par rapport au plan équatorial en rouge : leurs projections stéréographiques sont superposées dans le disque équatorial. La figure montre que les angles NOP et NOP sont différents. Dans ce cas précis, on a NOP=ρ(P) et NOP=ρ(P), d'où NOP=180°−NOP, mais il n'est pas possible dans le cas général d'utiliser la même méthode pour lire ces deux types d'angles.
Projection d'éléments de symétrie.
Les éléments de symétrie que l'on peut rencontrer pour la projection stéréographique sont des points, des droites et des plans (voir le chapitre suivant), qui ont tous au moins un point en commun que l'on choisit comme origine de la sphère de projection. Pour représenter ces éléments, on effectue la projection de leurs intersections avec la sphère. On parle de projection stéréographique de droites et de plans pour simplifier, mais il s'agit d'un abus de langage.
Projection d'une droite.
Une droite passant par le centre de la sphère de projection intersecte celle-ci en deux points diamétralement opposés. La projection stéréographique d'une telle droite est donc représentée par deux points opposés dans le disque équatorial. Si la droite est parallèle au plan équatorial, les deux points d'intersection sont représentés par une croix sur le grand cercle équatorial, sinon, ils sont représentés par une croix et par un rond à l'intérieur du disque équatorial, car un des points d'intersection appartient à l'hémisphère nord et l'autre à l'hémisphère sud. Les deux points projetés sont symétriques par rapport au centre du disque équatorial.
En réalité, lorsqu'on effectue une projection stéréographique d'un axe de symétrie, on ne représente pas celui-ci par une croix et un rond mais par le symbole de la symétrie correspondante aux positions des deux points projetés. Ces symboles seront revus dans le chapitre suivant.
Projection d'un plan.
Un plan passant par le centre de la sphère de projection intersecte celle-ci en un cercle de même diamètre que la sphère. La projection stéréographique d'un tel plan est donc un grand cercle. Selon l'orientation du plan, sa projection ne coïncide pas forcément avec un méridien de l'abaque de Wulff. La projection d'un plan perpendiculaire au plan équatorial est un segment de longueur égale au diamètre de la sphère.
Dans l'exemple de droite ci-dessous, la moitié du grand cercle provenant de la projection des points de l'hémisphère sud de la sphère est représentée en pointillés.
Projection d'un polyèdre.
Pour représenter un polyèdre, on pourrait imaginer de projeter sur l'abaque de Wulff l'intersection des plans correspondant à ses faces avec la sphère de projection. Cette méthode donnerait cependant rapidement une projection illisible si le nombre de faces est grand. D'autre part, pour deux cristaux de même morphologie, les faces n'ont pas toujours les mêmes rapports de distance depuis le centre du cristal : la comparaison des projections stéréographiques ne permettrait pas de reconnaître les similitudes entre morphologies. On préfère donc projeter la normale aux faces du polyèdre plutôt que les plans. Cette méthode a l'avantage de donner les angles entre les faces d'un cristal, qui sont invariants pour plusieurs cristaux de même structure.
Le centre du polyèdre est choisi comme centre de la sphère de projection. Comme toutes les droites, les normales aux faces coupent la sphère de projection en deux points diamétralement opposés. Pour représenter un polyèdre, on ne projette que l'intersection qui est la plus proche de la face. Cette intersection est le « pôle » de la face, elle donne la position relative de la face ("hkl") d'un cristal par rapport à son centre (on utilise ici les indices de Laue).
L'exemple ci-dessus montre la projection stéréographique d'un prisme hexagonal reposant sur une arête et dont l'axe principal de symétrie est choisi perpendiculaire à la direction nord-sud de la sphère de projection, donc parallèle à la direction N'S' de l'abaque de Wulff. Les normales à deux faces adjacentes parallèles à l'axe de symétrie forment un angle diédral de 60° entre elles. Par conséquent, les pôles de ces faces sont projetés aux points de coordonnées (Φ=0°,ρ=30°), (0°,90°), (0°,150°), (180°,30°), (180°,90°) et (180°,150°). Les deux faces qui forment les bases du prime ont leurs pôles projetés aux points (90°,90°) et (-90°,90°), soit aux points S' et N'. On remarque d'autre part que les six faces parallèles à l'axe de symétrie du prisme sont tautozonales : leurs droites d'intersection sont toutes parallèles entre elles. Leurs pôles sont projetés sur le même grand cercle, appelé « cercle zonal ».
Si deux pôles d'un ensemble de faces tautozonales d'angles diédraux connus ont été reportés sur un abaque de Wulff, il est alors facile de reporter les autres pôles sur le même cercle zonal. Le « pôle zonal » des faces tautozonales, noté Z, est l'intersection de l'axe de zone avec la sphère de projection. Il est obtenu en reportant l'angle de 90° sur le grand cercle horizontal à partir du cercle zonal, comme illustré ci-dessous. Pour cela, le calque doit être tourné de façon à avoir le cercle zonal perpendiculaire au grand cercle horizontal. Comme toute droite, l'axe de zone intersecte la sphère de projection en deux points. On ne représente généralement que le pôle zonal correspondant à l'hémisphère nord. Dans l'exemple du prisme hexagonal ci-dessus, les points N' et S' sont les deux pôles zonaux des faces parallèles à l'axe de symétrie principal du prisme. L'angle entre deux axes de zone est lu de la même façon que l'angle entre deux pôles.
Si le polyèdre à représenter est muni d'un système de coordonnées lié au système réticulaire du cristal, il est d'usage de noter les indices de Laue ("hkl") des faces à côté de leurs pôles dans la projection stéréographique. Les axes de la maille du cristal doivent alors être indiqués sur l'abaque de Wulff. Dans l'exemple du prisme hexagonal, le système réticulaire adapté est le système hexagonal, avec l'axe de symétrie principal du prisme parallèle à la direction "c". Le vecteur c est donc perpendiculaire aux deux faces dont les pôles sont projetés sur N' et S'. En utilisant la notation de Miller-Bravais, bien adaptée pour le système hexagonal, ces faces sont formula_1 et formula_2. On choisit les deux autres vecteurs de base a et b formant un angle γ entre eux de 120°, perpendiculaires à c et formant un trièdre direct, de façon à avoir a et b pointant vers le centre de deux des faces tautozonales, qui ont alors pour indices formula_3 formula_4 formula_5 formula_6 formula_7 et formula_8. Lorsque deux pôles des deux hémisphères sont superposés dans la projection stéréographique, on note les indices de Laue du pôle de l'hémisphère nord au-dessus de sa projection et ceux du pôle de l'hémisphère sud en dessous.
Les figures ci-dessus montrent des projections stéréographiques du prisme hexagonal muni d'un système de coordonnées. La différence entre les deux projections vient de l'orientation différente du prisme :
Le changement de la projection stéréographique d'un polyèdre en fonction de son orientation par rapport à la sphère de projection est détaillé dans la section suivante.
Rotation d'une projection stéréographique.
Lors de la rotation d'une projection, c'est en réalité l'objet que l'on projette qui est tourné par rapport à la sphère de projection qui reste fixe. Dans le reste de cette section, nous utiliserons comme polyèdre le cuboctaèdre pour montrer le principe de la rotation d'une projection. Il s'agit d'un polyèdre important en cristallographie, qui sera utilisé dans les chapitres sur la morphologie des cristaux et sur la cristallochimie.
Un cuboctaèdre est un cube tronqué sur chacun de ses sommets jusqu'au milieu des arêtes, de façon à avoir six faces carrées et huit faces triangulaires équilatérales. La projection stéréographique du cuboctaèdre conduit donc à quatorze pôles sur l'abaque de Wulff. Nous verrons dans le chapitre suivant que le cuboctaèdre possède la même symétrie ponctuelle que le cube. Il est alors judicieux d'utiliser le système réticulaire cubique pour décrire les faces du cuboctaèdre. Les faces carrées ont pour indices de Laue {100} et les faces triangulaires {111}. Chaque face carrée possède quatre faces triangulaires qui lui sont adjacentes et chaque face triangulaire possède trois faces carrées qui lui sont adjacentes. L'angle diédral entre deux faces adjacentes est connu : il s'agit de l'angle entre les directions [100] et [111], qui vaut 54,74° dans le système cubique (voir la section « angle entre deux plans » deux chapitres plus tôt).
Une rotation s'effectue autour d'un axe, que nous choisissons comme l'axe N'S' du disque équatorial de la sphère de projection. Il faut donc choisir pour la projection stéréographique initiale une orientation de l'objet pour laquelle l'axe de la rotation est parallèle à N'S'. Nous allons nous intéresser à la rotation qui fait passer le cuboctaèdre reposé sur une face carrée vers l'orientation où il est reposé sur une face triangulaire adjacente. Il s'agit d'une rotation d'angle 54,74° autour d'une direction <110>.
L'orientation initiale du cuboctaèdre, posé sur une face carrée, est donnée dans la figure ci-dessous. Les vecteurs de base a, b et c sont indiqués sur l'abaque de Wulff. Les vecteurs a et b forment un angle de 45° de part et d'autre de l'axe N'S' et c est perpendiculaire au plan de projection. La direction [110] est parallèle à l'axe N'S'.
Lorsqu'on effectue une rotation autour de l'axe N'S' sur le cuboctaèdre pour l'amener sur une face triangulaire, les pôles de ses faces se déplacent le long des parallèles sur la sphère de projection. Si la rotation se fait de la droite vers la gauche, les pôles de l'hémisphère nord se déplacent le long des parallèles vers la gauche et ceux de l'hémisphère sud vers la droite. Il suffit donc de déplacer les projection des pôles le long des petits cercles de l'angle de rotation pour trouver la projection stéréographique du cuboctaèdre dans sa nouvelle orientation. Il peut arriver qu'un pôle d'un hémisphère se retrouve sur l'autre hémisphère après la rotation. Dans ce cas, on compte les degrés jusqu'à ce que le pôle arrive sur l'équateur et on continue ensuite en sens inverse pour déterminer sa position finale, sans oublier de changer le symbole du pôle (croix ou rond).
La figure ci-dessus illustre le déplacement des pôles lors de la rotation du cuboctaèdre de 54,74° vers la gauche autour de la direction [110]. Les pôles de la projection dans l'orientation initiale sont marqués en gris clair, ceux correspondant à l'orientation finale en noir. Le déplacement des pôles sur l'hémishère nord avant rotation est indiqué en rouge, celui des pôles de l'hémisphère sud en bleu. Le pôle de la face formula_9, qui était situé sur l'hémisphère nord dans l'orientation initiale, se retrouve sur l'hémisphère sud après rotation : son déplacement est de 35,26° vers la gauche pour atteindre l'équateur, puis de 19,48° vers la droite.