Puissances à exposant entier positif.
La notion de puissance provient d'un cas particulier de produit : par exemple le produit a × b × c est obtenu en multipliant les nombres a, b et c.
Si ces trois nombres sont égaux, ce produit devient alors a × a × a, la puissance cubique, ou cube, du nombre a, notée a3, qui se lit « a puissance 3 » ou encore « a au cube ».
Considérons un nombre quelconque a et multiplions n copies de lui-même :
formula_1
Nous dirons que ce nombre a est élevé à la puissance n et nous écrirons :
formula_2
Dans cette écriture le nombre n est appelé exposant.
Quand a est égal à 10, nous aurons des valeurs telles que :
101 = 10
102 = 10 × 10 = 100
103 = 10 × 10 × 10 = 1 000
etc.
L'intérêt de cette écriture est évident pour les grands nombres que l'on peut toujours écrire sous la forme d'un facteur allant de 1 à 9, 9999… multiplié par une puissance de 10, par exemple :
1 000 000 000 000 = 1 × 1012= 1012
61 327 000 000 000 000 = 6, 132 7 × 1016
Dans la plupart des cas, il est toutefois préférable d'utiliser des exposants multiples de 3 qui correspondent mieux aux habitudes de la numération : mille, un million, un milliard, etc.
61 327 000 000 000 000 = 61, 327 × 1015
Racines n-ièmes.
Prenons maintenant le problème à l'envers. Au lieu de chercher ce qui se passe lorsque nous élevons un nombre à la puissance n, essayons de trouver quel est le nombre inconnu x qui, élevé à la puissance n, donnera un autre nombre N fixé à l'avance :
formula_3
Par définition, x sera appelé racine n-ième de N. Si n = 2, nous aurons affaire à une racine carrée, si n = 3, à une racine cubique, si n = 4, à une racine quatrième, etc.
La notation habituelle d'une racine est la suivante :
si formula_3 alors formula_5
Bien entendu, la définition que nous venons de donner nous permet d'écrire :
formula_6
Pour les racines carrées, il est d'usage de ne pas préciser la valeur de n.
Voici quelques exemples numériques :
formula_7
formula_8
formula_9 (c'est une valeur usuelle !)
formula_10 (celle-là aussi !)
formula_11
formula_12
formula_13
etc.
Produits de puissances.
Cherchons à calculer le produit de puissances différentes d'un même nombre :
formula_14
Par exemple :
102 × 103 = 100 × 1 000 = 100 000 = 105 = 102+3
Quotient de puissances.
Calculons maintenant le quotient de puissances différentes d'un même nombre:
formula_15
Si m > n, l'exposant est positif,
si m = n, l'exposant est nul et le rapport vaut 1
si m < n, l'exposant est négatif.
Par exemple :
formula_16
formula_17
Nous pouvons désormais écrire toutes les puissances d'un nombre, par exemple 10, sous une forme unique :
103 = 1 000 
102 = 100
101 = 10
100 = 1
10-1 = 1 / 10 = 0,1
10-2 = 1 / 100 = 0,01
10-3 = 1 / 1 000 = 0,001
Remarques :
formula_18
formula_19
Puissances d'une puissance.
Cherchons enfin à calculer la puissance d'une puissance :
formula_20
Par exemple :
formula_21
Cette dernière formule nous permet de noter autrement les racines d'un nombre, car si les exposants sont tels que m = 1/n, il en résulte que mn = 1 et l'on peut alors écrire :
formula_22
formula_23 n'est autre que la racine n-ième de a.
Par exemple :
formula_24

Japonais/Vocabulaire/Nombres
Chiffres japonais.
Contrairement aux nombres d'origine chinoise utilisés habituellement, le japonais possède ses propres chiffres qui ne sont utilisés que dans certains cas particuliers (avec le classificateur つ par exemple).
Les classificateurs.
En japonais, quand on compte, on doit impérativement utiliser un classificateur indiquant le type d'objet compté.
Par exemple : 「二車」 (« ni kuruma ») est faux ; il faut dire 「二台車」 (« nidai kuruma ») (« deux voitures »)
Voici un tableau contenant quelques classificateurs :
Note : Le classificateur つ utilise les chiffres japonais (et non les chiffres sino-japonais) et ne peut être utilisé que pour compter de 一 (ichi) à　十 (jū). On l'utilise surtout pour les éléments n'ayant pas de classificateur spécifique.

Photographie/Mathématiques/Progressions arithmétiques et géométriques

En photographie, beaucoup de choses varient de façon continue ou discontinue : le passage du blanc au noir sur une photo monochrome, du bleu au jaune sur une photo en couleurs, la mise au point de l'objectif, le flux de lumière qui le traverse, le temps de pose, la sensibilité des films, l'éclairement du sujet, ...
Certaines de ces grandeurs peuvent être mesurées car elles sont liées à des phénomènes physiques ou chimiques bien définis. D'autres dépendent étroitement des sens humains, leur évaluation est plus difficile et fait même parfois appel à des notions très subjectives.
Pour obtenir une image conforme à ses espérances, un bon photographe doit connaître ces phénomènes et leurs variations. Même quand il ne maîtrise pas tout et qu'il doit compter un peu sur la chance, il est censé ne jamais photographier au hasard ... Un peu de précision ne nuit donc jamais.
On appelle progression arithmétique une suite de nombres telle que chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent une quantité constante ou raison. Par exemple, la suite 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, ... est une progression arithmétique de premier terme 5 et de raison 8.
Si chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une quantité constante, on parle alors de progression géométrique. Ainsi, la suite 3, 30, 300, 3 000, 30 000, ... constitue une progression géométrique de premier terme 3 et de raison 10.
Comment débute une progression géométrique de premier terme 1 et de raison racine de 2, autrement dit 1,414 ? 
Voilà qui ressemble assez fortement aux graduations de votre diaphragme, non ?
Deux progressions peuvent être liées l'une à l'autre : par exemple, si les côtés d'une série de carrés forment une progression géométrique de raison 2, alors leurs surfaces en forment une autre de raison 4 :
On peut aussi bien trouver une raison inférieure à 1 :
De même, on peut faire correspondre une progression arithmétique et une progression géométrique, comme on le voit avec la suite des puissances de 10 :
Les sens humains ne réagissent pas bien aux progressions arithmétiques ! Si l'on prend d'une main une masse de 100 g et de l'autre une masse de 200 g, la différence est nette. Avec deux masses de 500 g et de 600 g on ne ressent plus grand chose et avec deux masses de 10 kg et de 10,1 kg, plus rien. En revanche, si chaque masse est le double de la précédente, on a le sentiment d'une progression continue. 
Bien sûr, pour nos sens comme d'ailleurs pour les appareils de mesure, il existe un seuil en-dessous duquel aucune perception n'est possible et un autre au-dessus duquel il y a "saturation". Une tonne dans une main, deux dans l'autre, c'est pareil !
Toutes les valeurs intermédiaires peuvent bien sûr se loger entre les nombres de la progression arith­métique ou de la progression géométrique. On peut alors se demander, par exemple, quel nombre A compris entre 10 et 100 correspond au nombre 1,3 inséré dans la première progression, ou quel nombre b compris entre 2 et 3 correspond au nombre 845 inséré dans la seconde...