Algèbre linéaire/Matrices
Dans ce chapitre formula_1 désigne un corps commutatif.
Définitions.
Soient "n" et "p" deux entiers naturels non nuls.
Nous appelons matrice à éléments dans formula_1 de type ("n", "p") toute application de formula_3 dans formula_1 (famille d'éléments de formula_1 indexée par formula_3), c'est à dire un tableau rectangulaire à "n" lignes et "p" colonnes de la forme : 
où formula_8 de formula_1 s'appellent les éléments ou les coefficients de la matrice.
Une telle matrice se note aussi formula_10 ou plus simplement formula_11.
L'ensemble des matrices de type ("n","p") à éléments dans formula_1, se note formula_13.
Quand "n" = "p", la matrice est dite carrée de dimension "n".
Quand "p" = 1, la matrice ne comporte qu'une seule colonne de n éléments : formula_14 . On parle de vecteur.
L'ensemble des matrices carrées de type ("n","n") ou d'ordre "n", se note formula_15.
Lorsque formula_16 la matrice est dite réelle.
Lorsque formula_17 la matrice est dite complexe.
Les éléments formula_18 forment la diagonale principale de la matrice.
Matrices particulières.
Matrice inverse.
Soit formula_19 une matrice. L'inverse de formula_19, si elle existe, est définie comme l'unique matrice formula_21 telle que :
formula_22
Matrice transposée.
Avant tout, on parle de la transposée d'une matrice.
La transposée d'une matrice formula_19 est notée formula_24.
Elle est la matrice obtenue à partir de formula_19 en inversant les ligne et les colonnes. C'est-à-dire que pour obtenir formula_26, on a formula_27 (avec formula_28 et formula_29)
Autre notation : formula_30 notation sans renommer la transposée de formula_19
Propriété : Lorsque la matrice formula_19 est dite symétrique on a alors formula_33, ce qui donne formula_34
Matrice diagonale.
Une matrice carrée formula_11 est dite diagonale si tous les éléments hors de la diagonale sont nuls, c'est à dire si 
Une telle matrice se note formula_37.
L'ensemble des matrices diagonales se note formula_38.
Matrice triangulaire.
Matrice triangulaire inférieure.
Une matrice carrée formula_11 est dite triangulaire inférieure (ou trigonale inférieure) si tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si 
Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire inférieure (ou strictement trigonale inférieure).
formula_41 Une matrice triangulaire inférieure
formula_42 Une matrice strictement triangulaire inférieure
L'ensemble des matrices triangulaires inférieures se note formula_43.
Matrice triangulaire supérieure.
De manière analogue, une matrice carrée formula_11 est dite triangulaire supérieure (ou trigonale supérieure) si tous les éléments situés au-dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si 
Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire supérieure (ou strictement trigonale supérieure).
formula_46 Une matrice triangulaire supérieure
formula_47 Une matrice strictement triangulaire supérieure
L'ensemble des matrices triangulaires supérieures se note formula_48.
Le déterminant d'une matrice triangulaire a pour valeur le produits des termes de la diagonale principale.
Pour le premier exemple : det = 1 x 4 x 6 = 24
Matrice diagonale.
Une matrice carrée est dite "matrice diagonale" lorsque formula_49, pour tout formula_50, ce qui signifie que tous les éléments situés hors de la diagonale principale sont nuls. Si tous les éléments non nuls de la matrice diagonale sont égaux, la matrice est dite "matrice scalaire". 
formula_51 Une matrice diagonale
formula_52 Une matrice scalaire
Matrice identité.
Une matrice identité est une matrice scalaire où formula_53.
formula_54 Une matrice identité (3x3)
Lorsqu'on multiplie une matrice par la matrice identité on revient à la matrice de départ. formula_55
Matrice symétrique et anti-symétrique.
formula_57
formula_59
Matrices orthogonales.
M est une matrice orthogonale si
formula_60
Le déterminant d'une matrice orthogonale est toujours 1 ou -1.
Matrices idempotentes.
Ces matrices ont la propriété suivante: 
formula_61
Matrices nilpotentes.
Une matrice formula_19 est dite nilpotente si: 
formula_63
Le déterminant d'une matrice nilpotente vaut 0.
Addition de matrices.
A + B = C où A, B et C sont des matrices carrées (3,3).
formula_64 + 
formula_65 = 
formula_66
On additionne les éléments de même position dans chaque matrice.
On ne peut additionner que des matrices de même dimension.
Pour deux matrices ("n","p"), l'addition matricielle se définit ainsi:
formula_67
Multiplication de matrices.
Propriétés de la multiplication des matrices.
formula_68
On ne peut multiplier deux matrices entre elles que si le nombre de colonnes de celle de gauche est égale au nombre de lignes de celle de droite. D'autre part, le produit de deux matrices n'est pas commutatif :
formula_69
Pour des matrices formula_70 , la multiplication matricielle se définit ainsi:
formula_71
Elément neutre.
Si formula_72, alors formula_73 est élément neutre à droite
Si formula_74, alors formula_75 est élément neutre à gauche

Translinguisme/Par expression/Merci
Tableau présentant au travers du vocabulaire de la salutation un échantillon des langues et des écritures du monde.
Voir aussi : Dire bonjour dans le monde, w:Nombres dans le monde, Dire miaou dans le monde

Enseignement de l'anglais
Comment progresser ?
Une fois que vous avez acquis les bases de la grammaire anglaise et un peu de vocabulaire, certaines pratiques (auxquelles on ne pense pas toujours) peuvent vous aider à progresser rapidement.
La lecture de textes simples ou simplifiés est un bon moyen d'acquérir de l'aisance tout en se faisant plaisir. La collection Penguin Readers propose par exemple des textes classiques ou modernes réécrits et classés selon le niveau de difficulté et la richesse du vocabulaire. D'autres éditeurs proposent ce type de livres. Vous trouverez aussi de nombreux sites web avec des cours et fiches de vocabulaire gratuits, comme anglaisfacile.com ou anglaiscours.fr
On peut également lire des œuvres réputées pour la jeunesse, ou des nouvelles d'auteurs dont le style est relativement abordable, comme Somerset Maugham ou Roald Dahl. Cela demande cependant déjà un bon vocabulaire. Vous pouvez également vous concentrer sur un type de textes plus spécifiques, comme des articles de revues, de journaux, mais aussi des disciplines intellectuelles dont le vocabulaire est restreint à l'objet d'étude et pour lesquelles le style est secondaire (il est donc plus simple). Par exemple, de nombreux textes de philosophie contemporaine en anglais sont assez faciles à lire.
Une méthode efficace pour acquérir le vocabulaire essentiel une bonne fois pour toute est tout simplement d'apprendre par cœur les 2000 mots les plus fréquents en anglais. Ces 2000 mots permettent de comprendre près de 80 pour cent d'un texte de difficulté moyenne. 5000 mots permettent d'atteindre près de 90 pour cent de compréhension. Cette méthode vous permet de cibler vos effort et donc de progresser plus vite. Vous trouverez des listes de ce genre sur le Wikitionary anglophone.
Les logiciels de Répétition espacée comme Anki (logiciel libre) permettent une mémorisation rapide et durable de ces listes de vocabulaire. Des listes de vocabulaire sont disponibles à la page de listes en Anglais
Pour une liste plus complète de mots, il existe un projet Wikimédia de dictionnaire :

S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 7bis

Division de 57 683 par 157
Pour diviser 57 683 par 157, on écrit d'abord les deux nombres :
En rouge figurent les colonnes actives pour le calcul suivant.
La division de 57 683 par 157 a pour quotient 367 et pour reste 64

S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 7(cas 1)

Division de 358 par 7 avec 3 chiffres après la virgule
Le chiffre écrit en gras est celui des unités.
Le quotient par défaut est donc 51,142

S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 8