Mathématiques du traitement du signal
Mathematics for Signal Processing / les mathématiques du traitement du signal.
Les mathématiques du traitement du signal.
"This wiki book is written in french ; it is dedicated to mathematics for signal processing issues"
Les mathématiques du traitement du signal plusieurs aspects :
Les chapitres de ce livre touchent à tout ces points.
Le support informatique du traitement mathématiques des signaux.
Divers logiciels disponibles permettent de manipuler des signaux et de leur appliquer des algorithmes de l'état de l'art, ou de prototyper et développer de nouveaux algorithmes. Dans le désordre, les plus connus d'entre eux :
D'autres langages sont plus tournés vers la formalisation mathématique :
Très peu d'entre eux prennent en compte deux spécificités du traitement mathématiques des signaux (pour un historique, voir par exemple Elements of Statistical Computing, by Ronald A Thisted):
Un système permettant de gérer ces deux nécessités est communément appelé grapheur.
L'approche par graphes de traitement est aussi appelée flow-based programming (cf J.P. Morrison, Flow-Based Programming: A New Approach to Application Development ou bien le chapitre 5 du mémoire d'habilitation à diriger des recherches de Jérôme Lacaille).
Fondements théoriques.
Les mathématiques pour le traitement du signal dont il est question ici ont beaucoup recours aux statistiques et aux probabilités. Par exemple, en utilisant la transformée de Fourier pour comprendre la nature des évolutions temporelles d'une variable formula_1 sur des données réelles (comme celles qui sont issues d'un capteur mesurant des grandeurs du monde réel), on ne mesure pas directement les coefficients formula_2 du développement en série de Fourier de formula_1 ; on n'en mesure qu'un estimateur formula_4. Il est alors nécessaire de connaître avec quelle précision (en fait quels sont le biais et la variance de cet estimateur) formula_4 nous renseigne sur formula_1.
La partie intitulée Fondements théoriques aborde ces différents points.
De façon plus générale, il est toujours possible de consulter les pages probabilités de Wikipédia.

Approfondissements de lycée/Fractions partielles

<Approfondissements de lycée
Méthode des fractions partielles.
Introduction.
Avant de commencer, considérons ce qui suit :
formula_1
Comment pouvons-nous calculer cette somme ? Au premier coup d’œil, cela semble difficile, mais si vous y réfléchissez, vous trouverez :
formula_2
Ainsi, le problème original peut être réécrit comme suit,
formula_3
Donc, tous les termes excepté le premier et le dernier peuvent être annulés, et par conséquent
formula_4
En fait, vous avez effectué des fractions partielles ! Les fractions partielles est une méthode pour réduire les fractions compliquées qui impliquent des produits en sommes de fractions plus simples.
Méthode.
Comment faisons-nous des fractions partielles ? Regardons l'exemple ci-dessous :
formula_5
Factorisons le dénominateur.
formula_6
Puis, nous supposons que nous pouvons le scinder en fractions comportant au dénominateur (z-1) et (z-2) respectivement. Notons leurs numérateurs a et b.
formula_7
formula_8
formula_9
formula_10
formula_11
Par conséquent, en faisant coïncider les coefficients des puissances de z, nous avons :
formula_12
(2)-(1):a=1
Substituons a=1 en (1):b=3
Par conséquent
formula_13
Plus sur les fractions partielles.
Facteurs répétés.
Lors de la dernière sections, nous avons parlé de la factorisation du dénominateur, et obtenu chaque facteur comme dénominateur de chaque terme. Mais que se passe-t'il lorsqu’il y a une répétition de facteurs ? Pouvons-nous appliquer la même méthode ? Regardons l'exemple ci-dessous :
formula_14
formula_15
formula_16
formula_17
formula_18
formula_19
Un facteur est manquant ! Pouvons-nous multiplier et le dénominateur et le numérateur par ce facteur ? Non ! Parce que le numérateur est de degré 1, en multipliant avec un facteur linéaire le rendra de degré 2 ! (Vous pouvez penser : ne pouvons-nous pas établir A+B+C=0 ? Oui, mais en substituant A+B=-C, vous trouverez que ceci est impossible).
À partir de l'échec de l'exemple précédent, nous voyons que l'ancienne méthode des fractions partielles ne marche pas. Vous pouvez vous demander si nous pouvons actuellement les scinder ? Oui, mais avant d'attaquer ce problème, regardons d'un peu plus près les dénominateurs.
Considérons l'exemple suivant :
formula_20
formula_21
formula_22
Nous pouvons voir que la puissance du facteur premier dans le produit du dénominateur est la puissance maximale de ce facteur premier dans tous les termes du dénominateur.
De manière similaire, soient les facteurs formula_23, alors, nous avons le cas général :
formula_24
Si nous les convertissons en une grande fraction, le dénominateur sera :
formula_25
Revenons à notre exemple, puisque le facteur (x+2) est de puissance 2, au moins un des termes a formula_26 comme le facteur du dénominateur. Vous pouvez alors essayer comme suit :
formula_14
formula_28
formula_29
formula_30
formula_31
formula_32
Mais, de nouveau, nous ne pouvons pas fixer B=0, puisque cela voudrait dire que le dernier terme est 0 ! Qu'est-ce qui manque ? Pour le manipuler proprement, utilisons une table pour montrer toutes les combinaisons du dénominateur :
Donc, nous savons maintenant quel X/(x+2) est manquant, nous pouvons finalement obtenir la réponse :
formula_14
formula_34
formula_35
formula_36
formula_37
Par conséquent, en coïncidant le coefficient de la puissance de x, nous avons
Pour conclure, pour un facteur répété d'une puissance n, nous aurons n termes avec leur dénominateur étant X^n, X^(n-1), ...,X^2, X
Les travaux continuent, ne pas déranger :)
Méthode différente pour les facteurs répétés.
À la différence de la méthode suggérée ci-dessus, nous pourrions utiliser une autre approche du problème. Nous pouvons d'abord exclure certains facteurs pour qu'il soit de la forme non répétée, puis effectuer les fractions partielles, et multiplier le facteur en retour, puis appliquer les fractions partielles sur les 2 fractions.
formula_14
formula_39
Puis, nous appliquons les fractions partielles sur la dernière partie :
formula_40
formula_41
formula_42
formula_43
formula_44
En coïndidant les coefficients des puissances de x, nous avons
formula_45
En substituant A=4-B dans (2),
formula_46
Ainsi B = 1 et A = 3.
Nous plaçons :
formula_47
formula_48
Maintenant, nous effectuons les fractions partielle une fois de plus :
formula_49
formula_50
formula_51
formula_52
formula_53
En coïncidant les coefficients des puissances de x, nous avons :
formula_54
Substituons A=-B dans (2), nous avons :
2B-(-B) = 1
Ainsi B=1/3 et A=-1/3
Donc finalement,
formula_55

Approfondissements de lycée/Signe de sommation