Physique atomique/Quantification de l'énergie

Physique atomique/Structure de l'atome
Chapitre II : Les Modèles Classiques de l'atome.
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Les modèles classiques, Spectre des rayons X
 Le premier chapitre a été consacré à l’étude des échanges d’énergie entre le rayonnement électromagnétique et la matière. Ce nouveau chapitre concernera l’architecture interne de l’édifice atomique.
1- Modèle statique de J. J. Thomson
 Des travaux antérieurs ont fourni la preuve que l’atome représente un système neutre et complexe constitué d’électricité positive et de Z électrons. Mais la distribution de cette charge au sein de l’atome restait encore inconnue. Aux premiers stades du développement de la théorie de la structure atomique on prétendait que tout système se trouvait à l’état statique. Pour représenter les électrons comme des particules en équilibre il a fallu supposer que l’électricité positive était répartie de façon uniforme dans une sphère (représentant l’atome) de rayon de l’ordre de 10-8cm. Alors que les électrons évoluaient dans ce nuage d’électricité positive. Ce modèle développé par J. J. Thomson a permis l’explication de l’émission de lumière par l’atome, comme étant le résultat des faibles oscillations des électrons autour de leur position d’équilibre.
Le détail des hypothèses et résultats de ce modèle seront traités dans les séances de travaux dirigées.
2- Modèle planétaire
 L’expérience réalisée en 1911 par Rutherford a été une des étapes les plus importantes dans l’histoire de la physique atomique. L’expérience était destinée à tester la répartition des charges électriques à l’intérieur des atomes. Dans les premières années du siècle dernier, on avait une idée du numéro atomique Z, c'est-à-dire du nombre d’électrons contenus à l’intérieur de chaque atome. Pour assurer la neutralité électrique de l’atome dans son ensemble, il fallait bien supposer qu’il contenait aussi la charge positive Ze. Mais on pouvait imaginer différents modèles pour la répartition à l’intérieur de l’atome de cette charge positive. C’est pour trancher entre ces différents modèles, que Rutherford proposa l’expérience de diffusion de particules . 
a- Expérience de Rutherford :
 L’expérience consiste à bombarder une mince feuille métallique avec les particules  émises par un corps radioactif : les particules traversent la feuille métallique, mais ils sont diffusés. 
Les particules  ne pouvant pas passer entre atomes ont passés à l’intérieur même de l’atome. L’atome est en partie vide. La charge positive responsable de la diffusion est concentrée dans un noyau au centre de l’atome.
La comparaison entre les mesures de sections efficaces expérimentales, et celles calculés en tenant compte de l’hypothèse du noyau atomique (dont le calcul sera vu en cours de physique nucléaire) ont confirmé l’hypothèse de la concentration de la charge positive dans un noyau de l’ordre de 10-12 à 10-13 cm . Ceci a permis d’abandonner le modèle statique.
 b- Problème de Kepler
 Rutherford ayant apporté la preuve de l’existence du noyau atomique, on va étudier le mouvement de l’électron gravitant autour du noyau de charge Ze (système hydrogénoïde), supposé de masse si grande par rapport à celle de l’électron que ce noyau peut être pris pour un centre immobile.
L’électron est soumit à la force d’attraction coulombienne : , ( : vecteur unitaire) est la principale force agissante sur l’électron.
Le principe fondamental de la dynamique (P.F.D) donne : 
 dérrive du potentiel électrostatique 
(en effet : 
L’énergie potentielle est donnée par : 
Dans ces conditions le problème devient identique à celui du mouvement des planètes autour du Soleil et c’est pourquoi on l’appelle problème de Kepler.
La force de coulomb étant une force centrale, le moment cinétique est constant et le mouvement de l’électron est plan. Considérons r et  les coordonnées polaires de l’électron dans ce plan de mouvement.
L’énergie totale de l’électron est donné par :
 , (Conservation de l’énergie totale)

On pose 
 (II)
Pour intégrer cette équation il est commode de la différencier encore une fois :

Étant donné que est en général différent de zéro, le terme entre parenthèses doit s’annuler.
On obtient ainsi pour l’équation différentielle inhomogène linéaire du second ordre :
Une solution particulière de l’équation inhomogène est : 
Quant à l’intégrale générale de l’équation homogène :
Où A et B sont des constantes arbitraires définies par les conditions initiales. Ainsi,
S’il on convient de compter l’angle à partir de la position du rayon vecteur pour laquelle r possède une valeur minimale r=rmin et par suite :
Donc 
Mettons cette expression de dans (II) : (en posant )
Après développement on obtient :
 s’écrira donc 
Ce qui donne 
Cette expression est à comparer avec l’équation d’une section conique en coordonnées polaires par rapport au foyer ( ).
On déduit 
 et 
Pour établir la condition à laquelle cette section conique sera une ellipse, cherchons la condition du maximum et du minimum de . La condition de l’extremum de  est :
Posant dans (II) d/d, on obtient une équation du second degré :
Suivant les propriétés des racines de l’équation du second degré, on a :
 et 
Si l’énergie E est négative (E<0), alors >0 et par suite, il existe deux valeurs positives de (et par conséquent de r) pour lesquelles d/ds’annule. De ces deux valeurs l’une correspond au maximum de  et l’autre au minimum de . Ainsi donc pour E<0 l’orbite est une ellipse.
Au contraire, pour E>0 on a <0. Cela signifie qu’on n’a plus deux valeurs positives de r correspondant au maximum et au minimum de r, mais que l’une d’elles est positive et l’autre négative. Les valeurs positives et négatives du rayon vecteur correspondant aux deux branches de l’hyperbole. L’orbite est donc une hyperbole pour E>0.
Cherchons une relation utile liant l’énergie au demi grand axe a :