Le laplacien est la
divergence
du
gradient,
la divergence étant prise sur l'indice tensoriel créé par le gradient.
Cette définition est valable pour un scalaire ou un tenseur quelconque
formula_1. La laplacien
formula_2
a le même nombre d'indices que formula_1.
formula_4
...À RÉDIGER...
Ces formules permettent, une fois établi le
tenseur métrique,
de calculer facilement le laplacien dans un
système de coordonnées
quelconque. Voir par exemple le
laplacien en coordonnées cylindriques
et le
laplacien en coordonnées sphériques.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Divergence

La divergence d'un tenseur est le tenseur obtenu en contractant un des indices de la
dérivée covariante avec l'indice de la dérivation.
Divergence d'un vecteur.
Pour un champ vectoriel formula_1, on a
formula_2
Mettant a profit la
formule de contraction
formula_3, on a
formula_4
Cette formule permet, une fois établi le
tenseur métrique,
de calculer facilement la divergence dans un
système de coordonnées
quelconque.
Voir par exemple la
divergence en coordonnées cylindriques et la
divergence en coordonnées sphériques.
Divergence d'un tenseur d'ordre 2.
Suivant le même chemin que pour la divergence d'un champ de vecteurs, on écrit
formula_5
Divergence d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2.
Dans le cas d'un tenseur "antisymétrique", on a
formula_6
En effet, le terme formula_7 est nul puisque
formula_8.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction

La contraction du
symbole de Christoffel
s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du
tenseur métrique.
formula_1
Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Contraction/Démonstration
divergence.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Matrice inverse

Étant donné un
système de coordonnées,
la matrice du
tenseur métrique
en
composantes contravariantes
formula_1 est la matrice inverse de la matrice du
tenseur métrique
en
composantes covariantes :
formula_2. Autrement dit le tenseur métrique est son propre inverse.
Démonstration

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Gradient

Si "f" est un
champ scalaire
indépendant du
système de coordonnées,
c'est un tenseur d'ordre 0, et sa
dérivée partielle
est égale à sa
dérivée covariante :
formula_1,
aussi appelée gradient de "f".
Ce vecteur est habituellement exprimé en composantes contravariantes
formula_2
Cette formule permet, une fois établi le
tenseur métrique,
de calculer facilement le gradient dans un
système de coordonnées
quelconque. Voir par exemple le
gradient en coordonnées cylindriques
et le
gradient en coordonnées sphériques.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel

Le symbole de Christoffel est défini à partir de la dérivée partielle des vecteurs de la
base naturelle :
formula_1
Étant donné la définition de la
base naturelle,
on peut écrire
formula_2
pour mettre en évidence la symétrie du symbole de Christoffel par échange des indices bas :
formula_3

Programmation SQL/BD
Les bases de données relationnelles.
Insuffisance des fichiers.
En entreprise, les applications informatiques gèrent des volumes de données très importants : des informations sur les clients, sur les produits, sur les employés, sur la paye, sur la comptabilité, sur les stocks, etc. À l'origine, ces informations étaient stockées sous forme de fichiers. Un fichier dans ce contexte désigne une structure de données qui permet un accès séquentiel ou aléatoire à une suite d'octets. En d'autres termes les opérations que permet un fichier sont la lecture et l'écriture d'octets. Ce que représentent ces octets, le fichier ne l'impose pas; un fichier peut représenter aussi bien une image qu'un extrait sonore.
Rapidement, cette structuration montre ses limites : l'utilisation du fichier nécessite que l'on se préoccupe en permanence de la manière de stocker les données dans celui-ci. Supposons que l'on veuille stocker une liste de clients, chacun avec un numéro unique. Faut-il utiliser une ligne par client ? Comment délimiter le numéro du client et le nom du client de sorte que l'on puisse les extraire du fichier ? Quelle est la taille maximale du nom du client ? Que faire si le nom du client comporte un saut de ligne ?
Le but de la base de données relationnelle est de fournir à l'utilisateur une interface qui fasse abstraction de la manière dont sont stockées ces données. La structure de base est la relation (également appelée table). 
Une relation est, pour schématiser, un ensemble de n-uplets de même nature. Le fait de pouvoir structurer les données dans un ensemble offre à l'utilisateur des outils de très haut niveau pour manipuler ces données : l'intersection, l'union, la projection, la sélection. La base de données relationnelle, même si elle va utiliser des fichiers pour le stockage. Plus besoin donc de se souvenir que l'octet 23 du fichier "clients.txt" est le numéro du client. Il suffit de parcourir la table clients et de ne retenir que l'attribut client. Comme les détails du stockage et de la persistance des informations sont pris en charge par la base de données, l'utilisateur peut se concentrer sur des problèmes bien plus fondamentaux, à savoir que faire des informations.
Le langage SQL est le langage qui permet d'interroger une base de données relationnelle pour en extraire et en modifier des informations.
Importance stratégique des bases de données.
Notre société moderne est une société où l'information a une valeur marchande considérable : si une entreprise perd la liste de ses clients ou sa comptabilité, les conséquences financières peuvent être catastrophiques. La possibilité de gérer rapidement et automatiquement des commandes, le suivi de celles-ci, les stocks, la comptabilité... permet à beaucoup d'entreprises d'augmenter considérablement leur compétitivité.
Introduction au modèle clients/serveur.
Le modèle de base est le modèle clients/serveur : on installe le Système de Gestion de Base de Données (SGBD) sur un serveur et on installe un programme client sur chacune des machines de l'entreprise. Toutes les applications travaillent simultanément sur les données qui sont centralisées sur le serveur. Les applications clientes envoient des requêtes au SGBD (en général dans le langage SQL) et ensuite mettent en forme à l'écran la réponse à ces requêtes. Les applications clientes gèrent l'interaction avec l'utilisateur et le SGBD la manipulation des données.
Des besoins sans limites.
Dans beaucoup d'entreprises, les bases de données apparaissent pour gérer une fonctionnalité très spécifique : par exemple, on veut gérer la liste des commandes et on installe une base de données et une première application interrogeant la base de données. Très rapidement, il apparaît nécessaire d'utiliser une autre application gérant une nouvelle fonctionnalité : par exemple la liste des stocks. Les deux applications ne sont pas indépendantes et vont manipuler les mêmes données. Elles vont accéder à la même base de données. Au fur et à mesure de l'évolution de l'entreprise, le nombre de fonctionnalités informatisées va augmenter jusqu'à parfois englober la totalité du fonctionnement de l'entreprise. Pour permettre une telle évolution, il faut à tout prix que la base de données initiale soit correctement structurée : les tables doivent avoir une organisation très précise. Mieux la base est organisée, plus facile sera l'évolution de celle-ci lors de l'apparition de nouvelles applications. L'analyse est la science étudiant la structuration de la base de données. Une étude minutieuse de la base est absolument nécessaire avant le développement de toute application.
L'algèbre relationnelle.
Les bases de données relationnelles tiennent leur utilité des caractéristiques suivantes :
Ces deux caractéristiques permettent en outre aux auteurs de SGBD d'offrir des produits fiables.