Somme de vecteurs.
Somme de vecteurs bout à bout.
Les vecteurs peuvent s'additionner naturellement à partir de leur définition par les translations. Ce théorème s'appelle la relation de Chasles.
Somme de vecteurs de même origine.
De la caractérisation vectorielle d'un parallélogramme et de la relation de Chasles, on déduit une autre manière d'additionner les vecteurs.
Opposé d'un vecteur.
Observons les deux vecteurs formula_1 et formula_2 sur le dessin suivant.
Le quadrilatère ABCD étant un parallélogramme, on peut constater que les vecteurs formula_1 et formula_2 ont deux caractéristiques sur trois en commun :
Par contre les vecteurs formula_1 et formula_2 diffèrent par leur sens.
On dit que les vecteurs formula_1 et formula_2 sont opposés.
L'opposé du nombre 2 est le nombre -2. De la même manière, on note formula_13 l'opposé du vecteur formula_14.
Différence de deux vecteurs.
On a vu précédemment le sens de la somme de deux vecteurs. Quel sens donner à la différence formula_15 de deux vecteurs formula_16 et formula_17 ?
Le calcul sur les nombres peut nous aider à entrevoir la réponse. On sait depuis quelques années que par exemple 5-3 peut s'écrire 5+(-3) : la différence de 5 et de 3 est égale à la somme de 5 et de l'opposé de 3.
Appliquons le même principe aux vecteurs formula_16 et formula_17, ce qui est bien pratique puisqu'on vient de voir la somme de deux vecteurs.
À partir d'un point A:
Le vecteur formula_24 ainsi construit est égal à formula_25.
En effet d'après la relation de Chasles :
Et d'après la construction effectuée :
Puis en appliquant aux vecteurs les règles de calculs sur les nombres algébriques :

Manuel de géométrie vectorielle/Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Le vecteur comme déplacement d'un point à un autre.
Quel lien existe-t-il entre tous ces points ?
Pour aller de A à B :
Ce trajet peut-être représenté par une flèche comme sur le dessin suivant.
Pour aller de C vers D :
On peut répéter l'opération pour aller de E vers F ou de G vers H.
Écrivons :
On dit que formula_1, formula_2, formula_3 et formula_4 sont des vecteurs.
Plusieurs notations pour désigner le même objet.
Tous ces déplacements sont identiques. À chaque fois, on peut décrire le déplacement comme avancer de 4 cm en direction du nord-est. Seul le point de départ change.
En mathématiques, quand deux objets sont égaux on utilise le signe =.
Dans le cas de nos vecteurs, on peut donc écrire
Ces quatre vecteurs étant égaux, on va les désigner par une lettre unique, surmontée d'une flèche pour indiquer qu'il s'agit d'un déplacement : formula_10.
Ainsi on peut écrire :
Ce vecteur formula_10 se représente sur le dessin indépendamment de tous points, comme le déplacement qui permet d'aller de A vers B, de C vers D…
Définition d'un vecteur.
En langage courant, le vecteur formula_10 peut se décrire comme avancer de 4 cm en direction du nord-est.
Dans cette phrase on peut distinguer trois éléments qui permettent de reproduire à coup sûr le déplacement :
C'est la définition d'un vecteur :
Égalité de vecteurs.
Un vecteur étant défini par sa direction, son sens et sa longueur, on a :
Vecteur nul.
Il est un vecteur particulier, le vecteur nul. C'est le seul vecteur dont la longueur est nulle. Il est alors inutile de parler de sa direction et de son sens : si on avance ou recule de rien du tout, peu importe la direction choisie, on restera sur place.

Manuel de géométrie vectorielle/Translations

On a vu, dans le chapitre précédent, qu'un vecteur correspond à un déplacement.
En mathématiques cela correspond à une transformation du plan : la translation.
Définition.
D'après le chapitre précédent, on peut énoncer la propriété suivante :
Image d'un point par une translation.
On cherche l'image D du point C par la translation de vecteur formula_1, c'est-à-dire qu'il faut construire le point D tel que formula_2.
Égalité de vecteurs et parallélogrammes.
On va maintenant chercher de manière géométrique ce que signifie l'égalité formula_3 :
On reconnaît là les propriétés d'un parallélogramme.
On en déduit la propriété qui permet de résumer par une égalité vectorielle le fait qu'un quadrilatère soit un parallélogramme.
Construction de l'image d'un point par une translation.
Pour placer l'image D du point C par la translation de vecteur formula_1, il faut que formula_2.
Mais, en utilisant la propriété précédente, si formula_2, alors formula_14 est un parallélogramme.
On peut effectuer la construction du parallélogramme à l'aide d'un compas, comme sur la figure ci-dessous.

Manuel de géométrie vectorielle
Manuel de géométrie vectorielle
progressif à l'usage des apprenants de tous niveaux.
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Photographie/Fabricants/Miranda/Miranda Auto-Miranda 28 mm f/2,8

Photographie/Fabricants/Miranda/Miranda Auto-Miranda 35 mm f/2,8

Photographie/Fabricants/Miranda/Miranda Auto-Miranda 50 mm f/1,9

Photographie/Fabricants/Miranda/Miranda Auto-Miranda 105 mm f/2,8

Photographie/Fabricants/Miranda/Miranda Auto-Miranda 135 mm f/2,8

Photographie/Fabricants/Miranda/Miranda Auto-Miranda 135 mm f/3,5

Photographie/Personnalités/H/Edward Hartwig

Edward Hartwig était un photographe polonais (Moscou, 1909 - Varsovie, 2003).
Biographie.
Hartwig a grandi à Lublin, il a étudié la photographie à l'Institut des Arts graphiques de Vienne et a travailé à Varsovie. Il a été l'ami d'autres artistes comme le metteur en scène Tadeusz Kantor ou le peintre Henryk Berlewi. Il fut membre fondateur de l'Union des Artistes polonais (ZPAF), dont il présida la Commission artistique pendant de nombreuses années.
L'album Fotographika, publié dans de nombreuses langues, lui conféra une renommée internationale.
Expositions.
Hartwig a exposé dans de nombreux pays d'Europe, Paris, Athènes, Turin, Milan, Prague, Amsterdam, Dresde, Sofia, Varsovie, Londres, Linz, et aussi à Hambourg, Chicago, Bogota, New-York et San Francisco.
Il a participé, entre autres, à l'Exposition internationale de Richmond, au Canada, en 1955 et à la photokina de Cologne en 1969.

Photographie/Traitements argentiques monochromes/Développement des films monochromes