La théorie des systèmes dynamiques est comme une boule de cristal. C'est la science qui nous montre l'avenir et le passé à partir du présent.
Les lois du mouvement.
Les systèmes dynamiques à temps discret.
La définition d'un système dynamique à temps discret est très simple. Il suffit d'avoir un ensemble formula_1 des états du système et une fonction formula_2 de formula_1 dans formula_1, définie sur formula_1 tout entier. Le couple formula_6 définit un système dynamique formula_7 à temps discret. formula_1 est aussi appelé l'espace des états de formula_7 et formula_2 détermine sa loi du mouvement : si formula_7 est dans l'état formula_12 à l'instant formula_13 alors il sera dans l'état formula_14 à l'instant formula_15
La connaissance de formula_2 et de l'état présent formula_17 de formula_7 suffit pour déterminer complètement tous ses états ultérieurs, donc tout son avenir : formula_19 et plus généralement formula_20 pour tout entier formula_21.
Pour connaître le passé à partir du présent il faut que la fonction formula_2 soit inversible, c'est à dire qu'elle admette une fonction inverse formula_23 telle que formula_24 si et seulement si formula_25
On a alors :
formula_26 et plus généralement formula_27 pour tout formula_21
Posons par définition formula_29 et formula_30
Lorsque formula_2 est inversible, on a donc pour tout entier formula_13 positif, négatif ou nul formula_33
La connaissance de formula_2 et de l'état présent formula_17 du système suffit donc pour déterminer complètement son mouvement, depuis l'infini dans le passé jusqu'à l'infini dans l'avenir.
La trajectoire du système est l'ensemble des états par lesquels il passe, c'est l'ensemble des formula_12 pour tous les formula_13 éléments de formula_38 égal à formula_39 où formula_40 est l'ensemble de tous les entiers. 
La suite doublement infinie des états formula_12 pour tout entier formula_13 détermine le mouvement complet du système. Elle est comme une partition écrite d'avance et le mouvement du système est sa musique. On l'appelle la trajectoire paramétrée par le temps du système. C'est une fonction formula_43 de formula_44 (le temps discret) dans l'espace formula_1 des états du système.
La connaissance de formula_2 et de l'état présent formula_17 du système suffit pour déterminer sa trajectoire paramétrée par le temps : formula_33 pour tout formula_49
Pour les systèmes dynamiques à temps discret, le temps, c'est à dire l'ensemble des instants, est représenté par l'ensemble formula_44 de tous les entiers. C'est bien sûr une représentation du temps très artificielle, mais elle s'impose assez naturellement pour certains systèmes dont les états sont repérés tous les ans, ou tous les mois, ou tous les jours. Si par exemple on étudie les variations d'une population animale qui a une période annuelle de reproduction au printemps, il peut suffire de la compter chaque année juste avant la période de reproduction.
La suite montrera que les systèmes dynamiques à temps continu peuvent toujours être étudiés à partir de systèmes à temps discret qui les représentent. C'est pourquoi les systèmes à temps discret, malgré le caractère artificiel de leur représentation du temps, sont fondamentaux pour toute la théorie des systèmes dynamiques.
Les équations différentielles ordinaires.
Les équations différentielles ordinaires permettent de définir les systèmes dynamiques à temps continu les plus élémentaires, c'est à dire ceux dont les états peuvent être déterminés par un nombre fini de nombres réels.
Pour les systèmes dynamiques à temps continu, le temps est représenté naturellement par l'ensemble formula_51 de tous les nombres réels. Il suffit de choisir un instant initial, daté par le nombre formula_52, et une unité de temps, la seconde ou l'année par exemple, pour que tous les instants du temps soient chacun datés par un unique nombre réel.
Si formula_21 est un entier, un n-uplet de nombres réels est une suite finie formula_54 de formula_55 nombres réels.
Un 1-uplet de nombres réels est simplement un nombre réel formula_43
Un 2-uplet est un couple formula_57 
Un 3-uplet est un triplet formula_58
L'ensemble de tous les n-uplets de nombres réels est appelé formula_59
Les équations différentielles ordinaires sont les lois du mouvement des systèmes dynamiques à temps continu dont les états sont représentés par des éléments de formula_59
Elles déterminent pour chaque état d'un système les vitesses de variation des grandeurs qui le définissent :
Les solutions des systèmes d'équations différentielles ordinaires.
Les inconnues d'une équation sont en général des nombres. Les solutions de l'équation sont alors tous les nombres pour lesquels elle est vraie. Les inconnues d'un système de formula_55 équations différentielles ordinaires sont des fonctions de formula_51 dans formula_59. Les solutions d'un système de formula_55 équations différentielles ordinaires sont toutes les fonction de formula_51 dans formula_59 pour lesquelles les équations différentielles sont vraies. 
Les solutions d'un système d'équations différentielles ordinaires sont les trajectoires paramétrées par le temps d'un système dynamique dont il est la loi du mouvement. Ce sont des fonctions formula_143 de formula_51 (le temps) dans l'espace formula_59 des états.
La recherche de solutions par intégration.
Si on connaît l'état initial formula_146 d'un système formula_7 et sa loi du mouvement 
formula_133 
on peut calculer approximativement son mouvement en procédant par étapes successives. 
On choisit un intervalle de temps formula_149 petit. Petit veut dire ici que la vitesse formula_150 ne doit pas varier de façon appréciable pendant une si courte durée.
On calcule d'abord formula_151 à partir de formula_146
formula_153
De façon générale on calcule formula_154 à partir de formula_155
formula_156
Si on choisit formula_149 suffisamment petit, la trajectoire peut être ainsi calculée avec une grande précision. 
Soit formula_158 et posons formula_159 où formula_160 est un entier assez grand. 
Si quand formula_160 tend vers l'infini, donc quand formula_149 tend vers zéro, la somme des formula_163 pour tous les formula_164 où formula_55 est un entier et formula_166 telle qu'elle est calculée approximativement ci-dessus, tend vers une limite, on s'attend à ce que cette limite soit l'intégrale entre formula_52 et formula_168 de formula_169 où formula_143 est une fonction de formula_51 dans formula_59 telle que formula_133
Quand on a trouvé une solution formula_143 d'un système d'équations différentielles, on dit qu'on a intégré le système. On a alors :
formula_175
Pour trouver les solutions des équations différentielles ordinaires, il n'est en général pas suffisant de connaître des primitives, parce que la fonction formula_150 n'est pas connue d'avance, on sait seulement qu'elle est telle que formula_133 mais formula_143 est inconnue.
Les systèmes de points matériels.
La position d'un point matériel dans un espace à d dimensions est repérée par d nombres réels, donc par un élément de formula_179 (en général d=1, 2 ou 3). Mais la position ne suffit pas pour déterminer l'état instantané du point. Il faut aussi prendre en compte sa vitesse, donc d nombres réels supplémentaires. Faut-il aussi prendre en compte son accélération pour déterminer son état instantané ? Non, parce que l'accélération n'est pas indépendante de la position et de la vitesse. Dès qu'on connaît les positions et les vitesses de tous les points matériels d'un système, on connaît les forces qu'ils exercent les uns sur les autres et donc leurs accélérations. On en conclut que 2d coordonnées suffisent pour déterminer l'état instantané d'un point matériel dans un espace à d dimensions et que 2nd coordonnées suffisent pour déterminer l'état instantané d'un système de n points matériels dans un espace à d dimensions :
L'espace des états d'un système de n points matériels dans un espace à d dimensions est formula_180
Soit formula_181 le vecteur position du formula_182-ème point d'un système de formula_55 points matériels et formula_184 son vecteur vitesse. L'état du système est déterminé par les formula_185 vecteurs :
formula_186
Sa loi du mouvement est déterminée par les équations différentielles :
formula_187
formula_188
pour tous les formula_182 de formula_190 à formula_55 
où formula_192 est une fonction de formula_180 dans formula_179 qui détermine l'accélération du formula_182-ème point matériel.
Et si la loi du mouvement varie ?
Pour que la loi du mouvement ne varie pas, il faut que le système soit isolé, ou qu'il soit placé dans des conditions extérieures constantes, ou qu'il ne soit pas affecté par les variations extérieures. Si l'environnement varie et s'il influence le système étudié, il n'y a pas de raison que la loi du mouvement soit constante.
Si le système et son environnement interagissent, il faut les considérer comme deux parties d'un système plus complet et étudier leur dynamique commune. Mais si l'environnement agit sur le système étudié sans être affecté par lui en retour, ses variations peuvent être connues d'avance. On est alors conduit à étudier une dynamique dépendante du temps, c'est à dire dépendante des variations prévues de l'environnement. Dans ce cas, la loi du mouvement est définie avec une fonction formula_70 de formula_197 dans formula_59
formula_199
où formula_13 représente le temps.
Une dynamique dépendante du temps peut toujours être redéfinie comme une dynamique indépendante du temps. Il suffit d'agrandir l'espace des états formula_59 en ajoutant une nouvelle variable formula_202 pour laquelle on impose formula_203 quel que soit formula_13
La fonction formula_205 de formula_197 dans formula_197 définie par
formula_208
représente la même dynamique que formula_70 mais elle est indépendante du temps. La nouvelle variable formula_202 mesure le passage du temps. Elle sert à incorporer la mesure du temps à l'intérieur du système.
Déterminisme et lois de causalité.
Une loi de causalité, ou loi de cause à effet, est de la forme : si les causes C sont réunies alors les effets D se produiront.
Une loi du mouvement, ou loi dynamique, peut avoir une forme à temps discret : si le système est dans l'état formula_211 à l'instant formula_13 alors il sera dans l'état formula_213 à l'instant formula_15, 
ou une forme à temps continu : si le système est dans l'état formula_211 à l'instant formula_13 alors sa vitesse formula_217 à cet instant est formula_218 
Les lois du mouvement sont un cas particulier des lois de causalité. La cause C est l'état initial formula_211 du système et l'effet D son état ultérieur formula_220 ou sa vitesse formula_217
Les lois de causalité sont des lois déterministes au sens où les effets sont déterminés par les causes, mais la théorie des système dynamiques définit le déterminisme en un sens plus fort : tous les états ultérieurs du système doivent être déterminés par son état présent, et même ses états antérieurs, lorsque sa dynamique est inversible.
Un système dynamique est déterministe au sens fort où sa trajectoire paramétrée par le temps est déterminée par son état présent.
Le déterminisme des systèmes dynamiques permet de justifier le déterminisme des lois de causalité. Pour justifier la loi qui enchaîne les effets D aux causes C, il suffit de prouver que pour toutes les trajectoires paramétrées par le temps pour lesquelles les causes C se produisent, les effets D se produisent également.
Prédiction dynamique et prédiction causale.
Pour faire une prédiction dynamique, il faut connaître avec précision l'état présent du système et sa loi du mouvement. Il suffit alors d'itérer les équations du mouvement, lorsque le temps est discret, ou de les intégrer, lorsque le temps est continu, pour prédire les états ultérieurs du système. Mais en général les systèmes sont trop complexes pour que leurs états présents et leurs lois du mouvement soient connus avec précision.
Pour faire une prédiction causale, il suffit de connaître des causes présentes et des lois de causalité qui permettent d'enchaîner des effets à ces causes. Il n'est pas nécessaire de calculer avec précision tous les états de système, il suffit de raisonner logiquement sur les causes et les effets qui nous intéressent.
La prédiction causale est beaucoup mieux adaptée à notre ignorance des réalités complexes. Elle est d'un usage beaucoup plus souple que la prédiction dynamique. On ne cherche pas à connaître la réalité avec précision ou dans tous ses détails. On se concentre sur un petit nombre de causes et d'effets qui semblent importants.
La prédiction causale est d'usage général, tandis que les applications de la prédiction dynamique sont beaucoup plus limitées. Mais la prédiction dynamique est quand même plus fondamentale, parce qu'elle sert, au moins en principe, à justifier la prédiction causale. 
Compléments mathématiques.
Les flots.
Un flot formula_70 dans formula_59 est une fonction de formula_59 dans formula_59 suffisamment régulière (continue, dérivable...).
On peut le considérer comme un champ de vecteurs : à chaque point formula_143 de formula_59 est attaché le vecteur formula_228
Tous ces vecteurs peuvent être considérés comme les vitesses d'un fluide. Le champ de vecteurs représente ainsi l'écoulement d'un fluide dans formula_59 (pour que ce soit un vrai fluide, il faut bien sûr n=3). C'est pourquoi on peut l'appeler un flot.
Un flot formula_70 dans formula_59 détermine un système dynamique : son espace des états est formula_59 et sa loi du mouvement est formula_133
Les lignes de courant d'un écoulement sont des lignes partout tangentes à la vitesse du fluide à un instant donné. Elles sont aussi les trajectoires des particules de fluide lorsque l'écoulement est stationnaire, c'est à dire lorsque le champ des vitesses ne varie pas :
Une trajectoire d'un système dynamique dans son espace d'états est partout tangente à son vecteur vitesse. Elle est donc une ligne de courant du flot qui représente la dynamique du système.
Une trajectoire paramétrée par le temps d'une particule de fluide entraînée par le flot est également une trajectoire paramétrée par le temps du système dans son espace d'états. On peut la représenter en dessinant une suite de petites flèches sur une ligne de courant, séparées par des intervalles de temps réguliers, comme si le Petit Poucet les avaient tracées derrière lui :
Mais l'une des représentations les plus riches d'enseignements est tout simplement de montrer le mouvement de ce fluide mathématique :
Les applications linéaires de formula_59 dans formula_235.
Les applications linéaires sont étudiées dans le cours d'algèbre linéaire. Elles ont été introduites ici parce que les différentielles d'une fonction de formula_59 dans formula_235 présentées un peu plus loin, sont des applications linéaires de formula_59 dans formula_235
Les dérivées partielles d'une fonction de formula_59 dans formula_51.
Pour une fonction formula_2 de formula_51 dans formula_51 il y a une seule direction de variation pour la variable qui permet de mesurer la différence entre formula_282 et formula_283. En chaque point formula_284 il y a donc un seul nombre dérivé formula_285
Pour une fonction formula_2 de formula_84 dans formula_51, il y a deux directions de variations, une pour chaque variable. On peut calculer :
formula_289
et
formula_290
On peut donc calculer deux nombres dérivés, que l'on note formula_291 (lire "dé rond f sur dé rond x en x y") et formula_292 
formula_293
formula_294
On les appelle les dérivées partielles de formula_2 au point formula_296 
Pour une fonction formula_2 de formula_59 dans formula_51 on peut calculer formula_55 nombres dérivés, donc autant de dérivées partielles :
formula_301
pour formula_182 de formula_190 à formula_55
Les mouvements au voisinage d'un équilibre.
Un flot est presque linéaire au voisinage d'un équilibre.
Soit formula_70 le flot dans formula_59 d'un système dynamique formula_7
Les points d'équilibre de formula_7 sont les points de formula_59 où il est immobile formula_382
Comme formula_133 les points d'équilibre de formula_7 sont les points formula_143 où son flot s'annule :
formula_386
Au voisinage d'un point d'équilibre formula_387, le flot formula_70 est peu différent de sa différentielle formula_389 en ce point :
formula_390
si formula_391 est assez petit.
La différentielle de formula_70 en formula_387 est une fonction de formula_59 dans formula_59, elle est donc aussi un flot. Mais c'est un flot en général plus facile à étudier que formula_70 parce qu'il est défini par une application linéaire de formula_59 dans formula_59 
Pour étudier les mouvements au voisinage d'un point d'équilibre on a intérêt à étudier le flot linéaire défini par la différentielle du flot initial en ce point, parce que cette différentielle est une bonne approximation du flot que l'on veut étudier.
Les équilibres dans un espace d'états à une dimension.
Soit un système formula_7 dont l'espace des états est formula_51 et formula_70 son flot, c'est à dire une fonction de formula_51 dans formula_51
Les points d'équilibre de formula_7 sont les points formula_43 tels que formula_406
Soit formula_389 la différentielle de formula_70 en un point d'équilibre formula_323
formula_410
Soit formula_43 une fonction de formula_51 dans formula_51 qui représente une trajectoire paramétrée par le temps, donc formula_75 quel que soit formula_13 
Si on pose formula_416 on a 
formula_417
quand formula_418 n'est pas trop grand. 
On est donc conduit à l'équation différentielle formula_419
Sa solution générale est formula_420
C'est une croissance exponentielle quand formula_421 et une décroissance exponentielle quand formula_422
Si formula_421 un écart formula_424 à l'équilibre varie en grandissant, le point formula_323 est donc un équilibre instable.
Si formula_422 un écart formula_424 à l'équilibre varie en diminuant, le point formula_323 est donc un équilibre stable.
Si formula_429 on ne peut pas conclure. Il faut étudier formula_70 plus précisément. La différentielle formula_431 ne suffit pas pour caractériser le point d'équilibre.
Voici deux trajectoires paramétrées autour d'un point d'équilibre stable :
Et deux trajectoires paramétrées autour d'un point d'équilibre instable :
Les oscillations harmoniques.
Soit formula_70 le flot dans formula_84 défini par formula_434 où formula_110 est une constante positive.
formula_70 définit le système d'équations différentielles formula_437
formula_438
formula_439
formula_70 est un flot linéaire et son unique point d'équilibre est formula_441
Ce flot peut être représenté par un champ de vecteurs :
La solution générale du système d'équations différentielles défini par formula_70 est
formula_443
formula_444
On peut représenter ces solutions par des trajectoires paramétrées :
ou par un fluide en mouvement :