Les principes de la physique quantique.
Quatre principes (Dirac 1930, von Neumann 1932, Cohen-Tannoudji, Diu & Laloë 1973, Weinberg 2012) suffisent :
Le postulat d'évolution a été formulé sous sa forme intégrale. Sous sa forme différentielle, c'est l'équation de Schrödinger formula_1. Elle ne sera pas utilisée dans ce livre parce que la forme intégrale convient mieux à la théorie de l'observation.
Le troisième principe peut être considéré comme une conséquence du premier. Ce n'est pas une conséquence strictement logique, mais dès qu'on accepte le premier principe, et qu'on conçoit qu'un système peut être composé de parties, qui peuvent être dans divers états, on est obligé d'accepter le troisième principe.
Le premier principe a été énoncé sous sa forme courante et légèrement incorrecte. L'état d'un système physique doit être identifié non à un vecteur mais à un rayon - un sous-espace de vecteurs colinéaires - de l'espace de Hilbert, ou, si des probabilités sont calculées, l'ensemble des vecteurs unitaires de ce rayon. Le vecteur nul, qui est de longueur nulle, n'est donc pas un vecteur d'état. Dans la pratique la différence entre vecteur et rayon ne pose pas de difficultés pour identifier les états quantiques.
Dans le premier principe, la clause de complétude est nécessaire pour raisonner sur les espaces d'états de dimension infinie. On lui ajoute en général une clause de dénombrabilité des états de base. Ces clauses ne sont pas nécessaires quand on raisonne, comme dans ce livre, sur les espaces vectoriels complexes de dimension finie, parce qu'ils sont toujours complets.
On ajoute souvent à ces principes que les grandeurs physiques doivent être représentées par des observables, c'est à dire des opérateurs hermitiens sur l'espace des états du système observé (cf. 5.2). Cette addition n'est pas nécessaire (Zeh, in Joos, Zeh &... 2003).
Un autre principe, le postulat de la réduction du vecteur d'état (ou de la fonction d'onde), est souvent considéré comme un principe quantique. Il contredit le principe d'évolution unitaire et l'équation de Schrödinger. Il ne peut donc pas faire partie de la physique quantique, sinon la théorie serait contradictoire. Ce postulat est pourtant souvent considéré comme nécessaire pour donner une signification physique aux mathématiques quantiques, mais Everett (1957) a montré qu'il ne l'est pas (cf. 4.4 et 4.5).
Les mesures idéales.
Une mesure est déterminée par une base d'états de l'appareil de mesure : les formula_2 sont les états pointeurs. formula_3 indexe les résultats possibles de la mesure. Lorsqu'une mesure est idéale (von Neumann 1932), il existe une base orthonormée d'états du système observé formula_4 telle que l'interaction entre le détecteur et le détecté est décrite par :
formula_5
quels que soient formula_3 et formula_7, où formula_8 est l'opérateur d'évolution entre l'instant initial, avant la mesure, et l'instant final, quand la mesure est terminée, formula_9 est l'état initial du détecteur, les
formula_4 sont les états propres associés au résultat formula_3. formula_7 indexe les états propres associés au même résultat. 
Les états propres d'un résultat de mesure sont ceux pour lesquels l'observation conduit certainement à ce résultat. Lorsqu'une mesure est idéale, et seulement dans ce cas, si le système observé est dans un état propre alors il reste dans le même état, il n'est pas perturbé par le processus de mesure.
Lorsqu'un seul état propre est associé à un résultat de mesure, on peut dire qu'il est détecté, ou pointé, par la mesure.
formula_13 est une écriture abrégée de formula_14 où formula_15 représente le produit tensoriel de deux vecteurs (cf.1.7).
Le théorème d'existence des destinées multiples.
D'après le principe d'évolution unitaire, si l'état initial du système observé est 
formula_16, l'état final après la mesure doit être :
formula_17
Les formula_2 correspondent à des résultats de mesure différents. 
formula_19 est donc une superposition 
de résultats de mesure. 
On obtient ainsi, directement à partir des principes de la physique quantique, le théorème fondamental de la mesure quantique : si le système observé est initialement dans une superposition d'états propres de la mesure, l'état final du système complet (système observé plus appareil de mesure) est dans une superposition de résultats de mesure.
Ce théorème est très surprenant. À l'issue d'une mesure, on observe un unique résultat formula_2. Une superposition de résultats de mesure n'est pas un résultat de mesure. Comment alors comprendre que la physique quantique prédit l'existence de formula_19 ?
Hugh Everett III (1957) a proposé la réponse suivante :
formula_19 décrit une superposition de destinées de l'observateur. Un observateur obtient un seul résultat de mesure parce qu'il ne connaît de lui-même qu'une seule de ses destinées. Les autres résultats de mesure sont eux aussi obtenus, mais dans les autres destinées de l'observateur. La physique quantique 
décrit un univers dans lequel les êtres ont de très nombreuse destinées. Le monde tel qu'il est connu par un observateur n'est qu'une infime partie de la réalité quantique, une destinée parmi des myriades d'autres. Le théorème fondamental de la mesure quantique peut donc aussi être appelé le théorème d'existence des destinées multiples. Il est une conséquence directe des principes de la physique quantique. Il a été énoncé dans le cas particulier des mesures idéales mais il reste valable pour toutes les formes de mesure quantique. Pour le nier il faut nier que la physique quantique décrit correctement la réalité. Il est possible qu'une nouvelle physique dépasse la physique quantique et prouve que ces autres destinées n'existent pas, mais jusqu'à présent la physique quantique a toujours fait ses preuves. Aucun résultat expérimental ne l'a jamais réfutée.
Le théorème d'existence des destinées multiples est empiriquement vérifiable, mais d'une façon sévèrement limitée. Nous montrerons plus loin, dans le chapitre sur l'intrication quantique, qu'un observateur ne peut pas observer ses autres destinées, mais qu'un second observateur peut en principe les observer. Il est en principe possible d'observer qu'à l'issue d'une observation, un système observateur a plusieurs destinées, avec des expériences du type "chat de Schrödinger". Mais cette conclusion est limitée aux processus d'observation réversibles, parce que l'information est détruite par l'observation. Comme les processus de la vie sont irréversibles, l'existence simultanée des destinées multiples d'un être vivant ne peut pas être observée.
La destruction de l'information par l'observation.
L’observation d’une superposition quantique d’états détruit nécessairement l’information portée par chacun des états superposés.
Soit une base formula_23 d'états pointeurs, formula_24 l'état initial de l'appareil de mesure, formula_25 une base d'états du système observé et formula_8 l'opérateur d'évolution pour la mesure. Pour que la superposition formula_27 soit observée, il faut un état pointeur formula_28 tel que
formula_29
où formula_30 est un état du système observé.
Si l'observation ne détruit pas l'information portée par chacun des formula_25 on doit pouvoir connaître l'état du système observé avant la mesure à partir de son état après la mesure, on doit donc avoir avoir des états formula_32 tous orthogonaux entre eux tels que
formula_33 pour chaque formula_7, où les formula_35 sont des états de l'appareil de mesure.
Ces deux conditions impliquent que tous les formula_35 doivent être égaux à formula_28. Cela signifie que l'appareil de mesure ne mesure rien puisqu'il ne fait que passer de formula_38 à formula_28 pour tout état du système observé. Donc un appareil de mesure qui observe une superposition d'états détruit nécessairement l'information portée par chacun de ces états.
Ce théorème simple peut être étendu à un modèle plus réaliste d'un appareil de mesure où l’état initial et les états pointeurs sont dans des ensembles statistiques.
Ce théorème montre à quelle condition le théorème d'existence des destinées multiples est empiriquement vérifiable. Si l'observation est irréversible, si l'information recueillie ne peut pas être effacée, alors les destinées multiples du système observateur ne peuvent pas être observées. Comme les destinées conscientes sont des successions d'acquisitions irréversibles d'informations (ce qui est fait ne peut pas être défait, le passé ne peut pas être effacé, l'information acquise ne peut pas être détruite) leurs superpositions ne peuvent pas être observées. Mais cela n'interdit pas de vérifier le théorème d'existence des destinées multiples avec des mesures réversibles. Nous pouvons le vérifier et nous le faisons avec des systèmes de mesure microscopiques: atomes, photons ou ions piégés ... Un ordinateur quantique est une façon de vérifier l'existence des destinées multiples des qubits qui le constituent.
La règle de Born.
Les nombres complexes formula_40 dans la superposition formula_19 sont conçus comme des amplitudes de probabilité. La probabilité d'observer le résultat formula_3 est formula_43. On peut l'admettre à titre de principe :
Si l'état initial du système observé est 
formula_44, 
où les formula_4 sont une base orthonormée d'états propres de la mesure, alors la probabilité du résultat formula_3 est formula_43. 
Pour appliquer cette règle il faut que formula_48 soit normé à l'unité : 
formula_49.
On peut essayer de prouver ce quatrième principe à partir des trois premiers (Everett 1957, Zurek 2003 ...). Ces preuves sont controversées et ne seront pas exposées ici.
La règle de Born a été énoncée seulement pour les mesures idéales. Nous montrerons qu'elle peut être généralisée à toutes les formes de mesure (cf. 5.1 et 5.3).
Peut-on observer les états quantiques ?
Pour qu'il y ait observation, il faut que l'état du système observateur (le détecteur, l'appareil de mesure) après la mesure apporte une information sur l'état du système observé avant la mesure. Une observation est parfaite si on peut déduire exactement l'état du système observé à partir du résultat de la mesure. Les mesures quantiques ne sont jamais parfaites. Si l'état initial du sondé n'est pas connu par avance, l'état final du sondeur ne suffit jamais pour connaître l'état du sondé, parce que de nombreux états différents du sondé peuvent conduire au même résultat. Il suffit qu'ils aient une probabilité non-nulle de produire ce résultat. La seule information que nous donne l'observation est que l'état du système observé n'avait pas une probabilité nulle de produire ce résultat. Si le résultat formula_3 a été obtenu, tout ce qu'on sait sur l'état initial formula_16 du système observé est que formula_52
Comment alors peut-on connaître le vecteur d'état d'un système quantique ?
On ne peut pas détecter l'état quantique d'un système initialement inconnu, produit spontanément par la Nature. En revanche on peut préparer des systèmes matériels de telle façon qu'ils se retrouvent dans un unique état quantique. S'il existe un résultat de mesure dont il est l'unique état propre, on peut alors vérifier que cet état quantique existe réellement. Il suffit de répéter la préparation un grand nombre de fois et de vérifier qu'on obtient toujours le même résultat de mesure. 
L'observation à elle seule ne suffit pas pour connaître les états quantiques. Il faut agir sur la matière pour la préparer dans les états que l'on souhaite observer.
Une mesure idéale est une façon de préparer un état, lorsque les résultats de mesure ont chacun un seul état propre. Si le résultat de la mesure est formula_3 alors on sait avec certitude que l'état du système observé est formula_54 juste après la mesure. On peut le vérifier en répétant la mesure sur le système qu'on vient de préparer. 
Afin d'échapper au théorème d'existence des destinées multiples, de nombreux physiciens affirment que les vecteurs d'état sont seulement des outils théoriques pour calculer des probabilités, et qu'ils ne représentent pas vraiment la réalité (Peres 1995). Mais lorsque le système observé a été convenablement préparé, on peut connaître avec certitude son vecteur d'état, on peut le vérifier sans que le moindre doute soit permis. Désormais les physiciens savent préparer, manipuler et observer les vecteurs d'états qu'ils imaginent (par exemple, Haroche & Raimond 2006), n'est-ce pas suffisant pour affirmer qu'un vecteur d'état représente vraiment un état physique, réel, du système observé ? 
Orthogonalité et discernabilité incomplète des états quantiques.
On dit parfois, improprement, que lorsqu'un être matériel est dans une superposition d'états telle que formula_55 il est en même temps dans les états formula_56 et formula_57. Par exemple, lorsqu'on commente l'expérience de Young, on dit que le photon passe par les deux fentes en même temps. Cela semble absurde. Si le photon est dans une fente, il ne peut pas être dans l'autre. Dire qu'il est dans les deux simultanément est donc une contradiction. On dit qu'il passe par les deux fentes seulement pour dire que si on cherchait à détecter son passage, on le trouverait dans une fente ou dans l'autre. Mais on ne le trouvera jamais dans les deux en même temps.
Si un être est dans l'état formula_56 il n'est pas dans l'état formula_57 et inversement. Lorsqu'il est dans l'état formula_55, il n'est ni dans l'état formula_56 ni dans l'état formula_57, mais dans un troisième état, différent des deux précédents (Griffiths 2004).
Si un être est préparé dans l'état formula_56 il ne peut pas être détecté, immédiatement après la préparation, dans l'état formula_57, parce que formula_56 et formula_57 sont orthogonaux, c'est à dire que leur produit scalaire formula_67 est nul. En revanche si un être est préparé dans l'état formula_55, il y a une chance sur deux de le détecter dans l'état formula_56 et de même une chance sur deux de le détecter dans l'état formula_57, parce que formula_71. Lorsque deux états sont orthogonaux, ils sont très nettement différents. Ils sont complètement discernables, parce qu'ils peuvent être tous les deux des états propres du même instrument de mesure. Lorsqu'ils ne sont pas orthogonaux, leur différence s'est partiellement estompée, d'autant plus que leur produit scalaire est proche de 1. Ils ne sont pas complètement discernables, au sens où il n'est pas possible de faire une mesure qui permettrait de les distinguer, parce qu'ils ne peuvent pas être des états propres du même instrument de mesure associés à des valeurs différentes. 
On dit parfois que formula_72 est la probabilité qu'un être dans l'état formula_48 soit dans l'état formula_74. Cela sonne comme une absurdité, puisque si formula_48 et formula_74 sont différents, un être ne peut pas être dans les deux états en même temps. Mais si on l'entend charitablement, on comprend que cela veut seulement dire qu'un être préparé dans l'état formula_48 a une probabilité formula_72 d'être détecté dans l'état formula_74. C'est pourquoi on est tenté de dire que si formula_74 n'est pas orthogonal à formula_48, un être dans l'état formula_48 est partiellement dans l'état formula_74. 
L'incompatibilité des mesures quantiques.
Si formula_56 et formula_57 sont des états propres d'une mesure, on peut dire qu'ils sont des états observés, ou pointés par la mesure. En revanche les superpositions de formula_56 et formula_57 ne sont pas des états qui peuvent être observés par une telle mesure. 
Soient formula_88 et formula_89 deux nouveaux vecteurs de base (les noms formula_90 et formula_91 viennent de la théorie du spin 1/2).
formula_92 et formula_93 peuvent eux aussi être des états propres d'une mesure, et donc des états observés par cette mesure. Les mesures de {formula_94} d'une part, et de {formula_95} d'autre part, sont incompatibles. Il n'y a pas d'état du système observé tel que formula_96 parce qu'aucun état quantique n'est un état propre commun aux deux mesures. Si on fait une mesure juste après l'autre, on trouvera toujours des résultats aléatoires. Il n'est pas possible de préparer le système observé dans un état qui fournisse un résultat certain pour les deux mesures successives. Si le résultat de la première mesure est certain, le second ne peut pas l'être.
Lorsque deux mesures ont une base d'états propres communs, on dit qu'elles sont compatibles. S'il s'agit de mesures idéales, elles ne se perturbent pas mutuellement. L'une peut être faite juste avant l'autre sans affecter son résultat.
L'existence de mesures incompatibles est une conséquence immédiate du principe de superposition quantique. C'est un effet typiquement quantique qui n'a pas d'équivalent en physique classique.
Que peut-on dire de la réalité de formula_90 et formula_91 lorsque le système observé est dans l'état formula_56 ?
Comme formula_100 le système est dans une superposition de formula_90 et formula_91. Ni l'un, ni l'autre n'est réel. Il n'y a que leur superposition qui est réelle.
Heisenberg a montré que les mesures de position et d'impulsion d'une particule quantique sont incompatibles (Heisenberg 1930). Elles ne peuvent que se perturber mutuellement. C'est pourquoi on ne peut jamais attribuer simultanément une position et une impulsion exactement définies à une même particule. Cette incompatibilité se traduit mathématiquement par la relation formula_103 où formula_104 est l'indétermination de la mesure de position, formula_105 l'indétermination de la mesure d'impulsion et formula_106 la constante de Planck formula_107 divisée par formula_108. Si cette relation n'est pas respectée, aucun état quantique ne peut être état propre commun aux deux mesures. 
Il faut l'appeler la relation d'indétermination de Heisenberg, plutôt que relation d'incertitude, parce que cette dernière expression suggère que nous ne connaissons pas simultanément la position et l'impulsion d'une particule, mais qu'elles pourraient être connues. Pour qu'il y ait incertitude, il faut qu'il y ait quelque chose à connaître que nous ne connaissons pas. Mais l'incompatibilité des mesures quantiques ne dit pas qu'il y a plus à connaître que ce que nous observons. Elle dit au contraire qu'il n'y a pas d'état réel pour lequel la position et l'impulsion sont exactement définies. De tels états ne peuvent pas être observés parce qu'ils n'existent pas. La relation de Heisenberg ne vient donc pas de notre ignorance, ou de notre incertitude, mais de l'indétermination du réel. Les états quantiques ne peuvent pas être simultanément des états propres de toutes les mesures possibles, à cause de leur incompatibilité.
L'incertitude et les opérateurs densité.
Un opérateur densité formula_109 sert à décrire des situations où l'état quantique d'un système n'est pas connu avec exactitude. Il est défini à partir d'un ensemble d'états formula_110, supposés normés à l'unité, mais pas nécessairement orthogonaux, chacun affecté d'une probabilité formula_111. Par définition formula_112 où formula_113 est la projection orthogonale sur l'état formula_110. 
Si les formula_115 sont orthogonaux alors formula_116 est le poids de formula_115 dans formula_118. Avec un léger abus langage, on peut dire de formula_111 qu'elle est la densité de présence dans l'état formula_110. 
On dit de formula_109 qu'il décrit un mélange d'états, ou un état mixte. Un même opérateur densité peut être défini à partir de différents mélanges, mais nous montrerons plus loin (4.3) que de tels mélanges ne peuvent pas être distingués par l'observation. Un opérateur densité contient toute l'information disponible sur l'état du système observé. 
Si tous les formula_111 sont égaux à zéro sauf formula_123, le vecteur d'état 
formula_56 est connu avec exactitude. On dit alors que le système est dans un état pur. Dans ce 
cas formula_125. Le formalisme des opérateurs densité 
peut donc être appliqué à la fois aux états mixtes et aux états purs.
La trace d'un opérateur densité est toujours égale à un :
formula_126
Si un système est préparé dans l'état mixte formula_109 la probabilité qu'il soit détecté dans un état pur formula_48 est formula_129
Preuve : formula_130
Comme un opérateur densité détermine les probabilités de détection de tous les états quantiques, il détermine les probabilités de tous les résultats de toutes les mesures possibles. En ce sens, il détermine complètement l'état physique du système.