Rêve Lucide
Enseignement de l'anglais/Les contractions

auxiliaire "HAVE".
forme affirmative (+).
Attention: 
He is = He's - Correct
He has eaten all the cookies = He's eaten all the cookies - Correct
He has a big pack of cookies = He's a big pack of cookies - Incorrect
Vous pouvez contracter HAVE/HAS seulement quand c'est un auxiliaire.
Pas quand c'est verbe pour la possession.

Guide du vélo en ville
L'objectif de ce guide, se voulant le plus concis possible, est de permettre de rouler en toute confiance dans la circulation urbaine, que l'on soit débutant ou déjà usager régulier.
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Langue normande/Les temps qui passe
Enseignement de l'anglais/Les verbes composés

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Équations de Maxwell (écriture duale)

équations de Maxwell, formules topologiques.
Les équations de Maxwell peuvent être écrites dans tout système de coordonnées
sous la forme
où formula_3 et formula_4
sont des tenseurs antisymétriques décrivant le champ électromagnétique.
La première équation correspond au premier groupe des équations de Maxwell
et la seconde équation correspond au second groupe.
Le tenseur formula_3
est le tenseur dual du tenseur formula_6 de composantes
formula_7 :
Le tenseur formula_4 contient à la fois le tenseur antisymétrique de composantes
formula_10, les charges et les courants.
Ces équations ne sont rien de plus que des équations topologiques
affirmant que le flux du champ électromagnétique à travers une hypersurface fermée
de l'espace temps quadridimensionnel est nul.
Il manque les équations constitutives reliant les deux tenseurs.
quadrivecteur charge-courant.
Les expériences physiques montrent que le champ électromagnétique
est linéaire, à condition d'éliminer ou de figer les charges.
Cela nous conduit à écrire formula_11 comme somme d'un terme
linéaire formula_12 et d'un terme non linéaire formula_13 :
En définissant le quadrivecteur charge-courant comme la quadri-divergence de la partie
non linéaire du tenseur formula_15 :
et l'équation correspondant au second groupe des équations de Maxwell devient
Comme la double dérivée covariante d'un tenseur antisymétrique est nulle, 
on a formula_18 et donc
Cette équation correspond à la loi de conservation de la charge.
équation constitutive du vide.
L'équation constitutive reliant la partie linéaire de formula_20
et formula_21 est simplement
avec formula_23 (SI).
écriture traditionnelle des équations de Maxwell.
Le second groupe d'équations de Maxwell peut finalement s'écrire sous la forme traditionnelle
Avec le même tenseur formula_25, le premier groupe s'écrit
expression des tenseurs électromagnétiques.
Pour un tenseur métrique diagonal formula_27, les tenseurs électromagnétiques s'écrivent

Invariants intégraux/Cartan1922/001
Pour un point matériel de masse formula_1 dans un potentiel formula_2,
l'action élémentaire sur un intervalle de temps formula_3 est définie par
différence de l'énergie cinétique formula_5 et de l'énergie potentielle formula_2 fois l'intervalle de temps.
Soient formula_7 les coordonnées orthonormales du point,
formula_8 les composantes de sa vitesse. L'action
entre les instants formula_9 et formula_10 est l'intégrale
L'action peut être calculée sur la trajectoire réellement suivie par le point matériel
entre les instants formula_9 et formula_10, mais aussi sur une trajectoire
infiniment voisine formula_14.
On suppose dans cette section que les points de départ et les points d'arrivée restent inchanchés :
La variation de l'action entre ces deux trajectoires vaut
Au mème instant, et pendant un intervalle de temps formula_3, on a une coordonnée qui passe de formula_18 à formula_19 sur une trajectoire
et de formula_20 à formula_21 sur l'autre. On a donc formula_22,
ce qui nous permet d'intégrer
Comme formula_24 est supposé nul en formula_9 et formula_10, il ne reste que le second terme, que l'on peut introduire dans le calcul de la variation de l'action :
Il est équivalent d'écrire que l'action est extrémale pour une variation quelconque de la trajectoire 
sauf aux extrémités (principe de la "moindre" action de Hamilton), que formula_28 est nul, et que l'on a les équations de la dynamique

Invariants intégraux/Cartan1922/002
Par rapport à la section précédente, on permet que la trajectoire diffère aux extrémités, en position aussi bien spatiale que temporelle.
À la variation formula_1 déjà calculée, il faut rajouter le terme
ainsi que le terme
Pour calculer ce terme, on remarque que la variation de l'extrémité formula_4 est la somme de la variation de la trajectoire formula_5 et de formula_6, et par suite
On peut finalement écrire
avec formula_9
ou
La variation de l'action entre trajectoires réelles se réduit donc à
En considérant une famille de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, la somme formula_12 est nulle
et les intégrales sur les deux courbes fermées de l'espace-temps à chaque extrémité du tube sont égales.
On a

Invariants intégraux
Invariants intégraux/Cartan1922/003
Étant donné un ensemble de trajectoires formant un tube de l'espace-temps,
l'intégrale
étendue à une courbe fermée formée de points du tube est indépendante du choix de cette courbe, elle ne dépend que du tube. Le terme intégré est quadrivecteur énergie-impulsion
formula_2.

Invariants intégraux/Cartan1922/004
Henri Poincaré a donné le nom d'invariant intégral à une forme restreinte de la formule
précédente, ne considérant l'intégrale que sur des courbes à formula_1 constant,
donc sans que l'énergie intervienne :
L'intégration du vecteur énergie-impulsion sur une des trajectoires formant le tube conduit à remplacer
formula_3 par formula_4, etc. et donc l'intégrale sur cette courbe
(en principe ouverte) donne
c'est à dire tout simplement l'action de Hamilton.

Invariants intégraux/Cartan1922/005
Le fait que formula_1 soit un invariant intégral est une condition nécessaire des équations du mouvement. On va montrer que c'est aussi une condition suffisante, qui remplace le
principe de Hamilton.
Partant d'équations différentielles quelconques
où les dénominateurs sont des fonctions de formula_3
Soit formula_4 l'intégrale sur une courbe
formula_5 donnée et formula_6 l'intégrale sur une
courbe voisine portée par le même tube de trajectoires. On a
On calcule formula_8
et idem pour les trois autres termes, donc
ou
Ce terme doit être nul pour tout déplacement du contour formula_11
On en tire les équations du mouvement
idem formula_16 et formula_17

Invariants intégraux/Cartan1922/028
Considérons un système de "N" équations différentielles ordinaires du premier ordre, en notant
formula_1 le vecteur des "N" variables dépendantes et "t" la variable indépendante :
Une solution formula_3
est appelée trajectoire du système.
Une fonction quelconque formula_4 a pour différentielle
Prise sur une trajectoire, cette différentielle devient
On appelle intégrales premières du système d'équations différentielles les fonctions formula_7 qui restent constantes le long d'une trajectoire quelconque. Ces fonctions sont donc les solutions de l'équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre
Réécrivons la différentielle de "f" sous la forme
Pour une intégrale première, on a
Donc la différentielle d'une intégrale première quelconque est une combinaison linéaire des "N" formes
différentielles linéaires
Réciproquement, si la différentielle de formula_12 est une combinaison linéaire
des "N" formes, écrivant
on en déduit formula_15 et
formula_16,
donc que formula_12 est une intégrale première.
Si l'on se donne "N" intégrales premières indépendantes, le système linéaire
peut être inversé, c'est à dire que chaque forme formula_19 est une combinaison linéaire des formula_20

Analyse/Formules De Taylor Lagrange
Soit formula_1 une fonction définie et formula_2 fois dérivable sur un segment formula_3, formula_4 fois dérivable sur l'intervalle ouvert formula_5, alors il existe un réel formula_6 de formula_5 tel que : 
formula_8