Comme on l'a dit il y a quelques chapitres, certaines séries convergent alors que d'autres non. Nous avons notamment prouvé que la série harmonique diverge en utilisant une méthode asse idiosyncratique. Mais heureusement, il existe des méthodes plus générales pour déterminer si une série converge ou non. Ces méthodes sont souvent appelées des critères de convergence. Il en existe beaucoup, aussi ce chapitre ne vous présentera que les principaux, ceux les plus facilement utilisables. Nous verrons les critères de Cauchy, d'Abel, le test du ratio et de la racine carrée, et quelques autres.
Le test de la limite de la suite.
Une condition nécessaire pour qu'une série converge est que son terme générale tende vers 0 avec le rang : si formula_1 converge, alors formula_2.
La contraposée de ce résultat donne un critère simple de divergence : une série dont le terme général ne tend pas vers 0 diverge.
Attention toutefois : le fait que le terme général d'une série tende vers 0 ne signifie pas que celle-ci est forcément convergente. Par exemple, la série harmonique, de terme général formula_3 qui tend vers 0 lorsque formula_4 tend vers l'infini, diverge :
(ceci sera démontré dans la chapitres suivants).
Un premier exemple : la suite formula_6.
Comme premier exemple, nous allons prouver que la série suivante diverge :
Calculons la limite de la suite formula_6 :
Vu que la limite de la suite n'est pas nulle, la série ne peut pas converger.
Un second exemple : la convergence des suites entières.
Dans cette section, nous allons voir le cas des séries naturelles. Les séries naturelles sont formées à partir de suites naturelles, des suites dont tous les termes sont des nombres entiers naturels (positifs ou nuls), sans exception. Le critère précédent nous dit que, pour que sa série converge, la suite naturelle doit tendre vers zéro. Ce critère peut se reformuler en disant que toute suite naturelle qui converge doit n'avoir que des termes nuls au-delà d'un certain rang : les seuls termes non-nuls se situent avant ce rang, mais en aucun cas après. On peut reformuler encore une fois en disant que la suite naturelle doit avoir un nombre fini de termes non-nuls. Si ce n'est pas le cas, la série diverge complètement.
Pour vous donner un exemple, prenons la suite définie par :
La série qui correspond diverge. Il y a beau avoir une quantité infinie de termes nuls, il y a aussi une infinité de termes non-nuls : le critère nous dit que la suite ne peut pas converger.
Le critère de condensation de Cauchy.
Le critère de condensation de Cauchy s'applique à un nombre limité de suites, qui doivent avoir certaines caractéristiques. Dans le détail, ce critère s'applique aux suites décroissantes, qui tendent vers zéro. Un bon exemple serait la suite harmonique, qui est strictement décroissante (nous l'avons démontré dans le premier chapitre) et qui tend vers zéro (nous l'avons aussi démontré dans le second chapitre). Cette suite est donc parfaitement applicable au critère que nous allons aborder. Comme autre exemple, nous pourrions citer la suite de l'inverse des carrés ou des cubes, ou les autres suites harmoniques. Mais la suite harmonique alternée ne serait pas éligible pour ce critère : elle a beau avoir une limite nulle, elle n'est pas décroissante : c'est une suite alternée.
Le critère de condensation de Cauchy s'applique donc à une suite formula_11 décroissante et de limite nulle. Celui-ci permet de dire si la série suivante converge :
Elle converge si et seulement si la série dérivée suivante converge :
Exemple d'application : la série harmonique.
Ce critère peut sembler assez abscons, aussi nous allons l'illustrer par un exemple. Nous allons démontrer que la série harmonique diverge, encore une fois. Comme dit plus haut, la suite harmonique respecte les critères d'éligibilité. Nous voulons calculer la série
Le critère nous dit qu'elle converge si et seulement si la série dérivée suivante converge :
Quelques simplifications algébriques triviales donnent :
La série dérivée diverge, ce qui fait que la série harmonique initiale aussi. CQFD !
Démonstration.
Une démonstration de ce théorème est accessible via le lien suivant :
Les critères pour les séries réelles à termes positifs.
Les critères que nous allons voir dans cette section ne sont valables uniquement pour certaines suites de nombres réels, celles dont les termes sont tous positifs et/ou nuls. Ils ne sont pas applicables aux séries dont certains termes sont négatifs.
L'application du théorème des suites croissantes.
Le premier critère se base sur le fait que, pour les suites à termes positifs ou nuls, toute somme partielle est croissante. Ce lemme se démontre assez facilement : la différence entre deux sommes partielles consécutives vaut : formula_17. Vu que, par définition, formula_18, on a : formula_19. Ce qui, traduit en langage humain, dit que la suite des sommes partielles est croissante.
On peut alors appliquer le théorème des suites monotones : la suite des sommes partielles étant croissante, elle converge seulement si elle est majorée. La série diverge si ce n'est pas le cas, et converge si ce l'est.
Le test de comparaison.
Le test de comparaison permet de comparer deux suites entre elles : si l'on sait que l'une converge ou diverge, on peut alors savoir ce qu'il en est pour l'autre. Cette comparaison compare une série cible avec une série test. La comparaison s'effectue terme à terme : on cherche à savoir, pour deux suites formula_20 et formula_21, si :
Si l'une des trois conditions est représentée, on peut parfois déterminer si formula_20 converge ou diverge selon la convergence/divergence de formula_21. Le cas le plus simple à étudier est clairement le cas où formula_26 pour tout rang formula_4. Soit les deux suites divergent, soit elles convergent. Les deux autres cas sont plus intéressants à étudier.
Si formula_32 pour tout rang formula_4 et que formula_21 converge, alors formula_20 converge elle aussi. Dans le cas où formula_21 diverge, on ne peut cependant pas conclure : la série formula_37 peut aussi bien converger que diverger.
Si formula_38 pour tout rang formula_4 et que formula_21 diverge, alors formula_20 diverge elle aussi. Dans le cas où formula_21 converge, on ne peut cependant pas conclure : la série formula_37 peut aussi bien converger que diverger.
Une généralisation du résultat.
Le résultat peut se généraliser aux cas où :
La raison en est simple : multiplier une série par une constante ne fait que multiplier son résultat par cette même constante. Si une série converge, son résultat sera simplement multiplié par la constante en question : le résultat convergera aussi.
Le critère de comparaison des limites.
Le critère de comparaison des limites est utile si l'on sait que l'une des deux converge/diverge et que l'on veut savoir ce qu'il en est de la seconde.
Prenons deux suites formula_50 et formula_51, dont les termes sont positifs ou nuls. De plus, leur quotient tend vers une limite finie, non-nulle. En clair, on a :
Dans ce cas, le théorème que nous allons voir nous dit que soit les deux convergent, soit les deux divergent. Précisément, trois cas permettent de conclure :
On peut remarquer que ce critère n'est qu'un corolaire du critère précédent.
Exemple d'application.
Pour illustrer ce théorème, nous allons prendre le cas de la suite de l'inverse des entiers pairs. Nous allons la comparer à la suite harmonique, ce qui nous dit que les deux sont multiples d'une de l'autre. En effet :
formula_61
On a donc :
Or, l'on sait que la série formula_63 (ici, la série harmonique) diverge : l'autre série (ici la série de l'inverse des entiers pairs) diverge aussi.
La règle d'Alembert.
Le critère qui va suivre permet de savoir si une série converge, sans avoir à la comparer à une suite déjà connue. Ce critère se contente d'analyser la suite formula_64. Précisément, il demande de calculer le rapport :
Donc :
On en déduit l'inégalité suivante :
Le terme de droite est une suite géométrique de raison formula_72, qui converge si formula_73 et diverge si formula_74. Donc, par comparaison, le terme de gauche fait de même.
Exemple d'application : la suite du rapport puissance/factorielle.
Le critère précédent permet de démontrer que la série suivante converge :
Pour cela, calculons le rapport : formula_76 :
formula_77
Or, formula_78 est une constante, ce qui fait que ce rapport tend vers 0.
formula_79
En conséquence, la série converge !
La règle de Cauchy.
Le critère de Cauchy (différent du critère de Cauchy pour les suites) permet de savoir si une série converge, sans avoir à la comparer à une suite déjà connue. Ce critère se contente d'analyser, pour une suite formula_64, la limite suivante :