En géométrie élémentaire ou géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit vecteur normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui séparent deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.
Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type "ux + vy + h = 0" où ("u" , "v") est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme "ux + vy + wz + h = 0" où ("u, v, w") est différent de (0, 0, 0)
La droite dans le plan euclidien.
Vecteur normal à une droite.
Soit formula_1 un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par : 
formula_2
et formula_3 un point spécifique de (D), On a :
formula_4
En retranchant (2) à (1) on obtient : 
formula_5
En notant formula_6, le vecteur de coordonnées ("u, v"), on exprime (1) comme suit :
formula_7
La droite d'équation formula_8 est donc orthogonale au vecteur formula_6. Le vecteur formula_6 est appelé un vecteur normal à la droite (D).
Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné.
Soit un point formula_1 et un vecteur formula_12 non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par formula_3 et orthogonale à formula_6, si et seulement si :
 formula_7
La droite (D), passant par formula_3 et orthogonale à formula_6, a donc pour équation :
formula_5
Distance algébrique d'un point M("x", "y") à une droite d'équation "ux" + "vy" + "h" = 0.
Soit H le projeté de formula_1 sur (D) avec formula_20 orthogonal à (D).
La droite perpendiculaire à (D) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur formula_21, on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :
En valeur absolue: 
Droite et pente.
Pour "v" non nul, la droite (D) d'équation formula_8 possède une équation sous la forme formula_25 avec
et 
La pente d'une droite est le réel 
L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite (D).
Équation normale d'une droite.
Dans le repère formula_29,notons formula_30 un vecteur unitaire normal à la droite (D), orienté de O vers (D), la valeur φ représente alors l'angle formula_31. On note d'autre part formula_32 la distance entre l'origine O du repère et la droite (D).
L'équation (1) s'écrit :
formula_33
Angles de deux droites.
Soit (D) et (D') deux droites d'équations 
formula_34
formula_35
L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :
formula_36
La droite dans l'espace euclidien.
Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace.
Cas où la droite est définie par un point M0 et un vecteur formula_37 non nul.
La distance MH est donnée par 
formula_38
Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans.
Le plan Q perpendiculaire à P1 appartient au faisceau de plans P1 + λP2 = 0.
Le plan Q sera perpendiculaire à P1 pour formula_41.
Soit H1, HQ et H les projections orthogonales du point M respectivement sur P1, Q et (D). On en déduit formula_42 .
On calculera formula_43 et formula_44 comme détaillé au chapitre « Distance algébrique d'un point à un plan » ci dessous.
Droites orthogonales à un plan.
Le plan étant défini par l'équation formula_45, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites de vecteur directeur formula_46.
Une droite (D) passant par le point formula_47 et perpendiculaire à formula_48 a pour équations :
formula_49
dans le cas où aucun des réels, "u", "v", "w", n'est nul.
Si un seul des des réels est nul, par exemple "u"= 0, le système devient : 
formula_50
Si deux réels sont nuls, par exemple "u"="v"=0, le système devient :
formula_51
Distance entre deux droites quelconque de l'espace.
Soient la droite (D0) passant par formula_47 et de direction le vecteur formula_53 et (D1) la droite passant par formula_54 et de direction formula_55.
Si les vecteurs formula_56 et formula_57 sont indépendants, le volume du solide construit sur formula_58 est égal à formula_59. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :
L'aire de la base du solide est donnée par 
La distance entre les deux droites est alors égale à formula_63.
Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M1 de la droite (D0).
Le plan dans l'espace euclidien.
Vecteur orthogonal à un plan.
Soit M("x", "y", "z") un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par : 
formula_64
Pour formula_47 un point spécifique de P on obtient : 
formula_66
En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient : 
formula_67
En notant formula_6, le vecteur de composantes formula_69, on exprime (1bis) comme suit :
formula_7
Le plan P d'équation formula_71 est donc orthogonal au vecteur formula_72 et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.
Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné.
Soit un point formula_73 et un vecteur formula_74 non nul. Le point M appartient au plan P, passant par formula_75 et orthogonal à formula_76, si et seulement si :
Le plan P, passant par formula_47 et orthogonal à formula_76, a donc pour équation : :
Angles de deux plans.
Soient P et P' deux plans d'équations
formula_81
formula_82
L'angle géométrique formula_83 est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux formula_84 
formula_85
Plans perpendiculaires.
Les plan P et P' sont perpendiculaires si les vecteurs normaux formula_6 et formula_87 sont orthogonaux. Ce qui implique formula_88
Distance algébrique d'un point M("x", "y", "z") à un plan P d'équation "ux" + "vy" + "wz" + "h" = 0.
Soit H la projeté de formula_73 sur P avec formula_20 orthogonal à P.
La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur formula_74, on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :
En valeur absolue: 
formula_93.
Équation de plan et déterminant.
Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires.
Soient un point formula_47 et deux vecteurs formula_57 et formula_96 non colinéaires. Un point M("x", "y", "z") appartient au plan P passant par formula_47 et de directions formula_57 et formula_96 si et seulement s'il existe deux réels λ et μ tels que formula_100. Cette égalité exprime que formula_101, formula_57 et \vec \mathrm{V}_2 sont coplanaires. 
Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :
Son équation est :
que l'on peut écrire sous la forme formula_71
Plan défini par deux points et un vecteur.
Soient deux points formula_54 et formula_107 et un vecteur formula_108 non colinéaire à formula_109.
Le point M appartient au plan passant par formula_54, formula_111 et de direction formula_112 si et seulement si les trois vecteurs : formula_113sont coplanaires, donc :
Son équation est :
Plan défini par trois points non alignés.
Soient formula_116, trois points non alignés.
Par analogie avec ce qui précède, L'équation du plan passant par ces trois point est

Photographie/Personnalités/S/Erich Salomon