Théorie quantique de l'observation/Exemples de mesures

L'observation des superpositions quantiques avec l'interféromètre de Mach-Zehnder.
Cette expérience classique est l'une des plus simples qui permette d'observer réellement des superpositions quantiques.
Un faisceau de lumière rencontre une première lame séparatrice équilibrée qui le sépare en un faisceau transmis et un faisceau réfléchi. Sur les trajectoires de ces deux faisceaux on place des miroirs afin de les faire se rencontrer sur une deuxième lame séparatrice. Sur les trajectoires des faisceaux transmis et réfléchis par cette deuxième lame, on place des détecteurs de photons. 
Un modèle très simplifié d'une lame séparatrice consiste à attribuer au photon incident deux état quantiques formula_1 et formula_2 qui correspondent aux deux directions perpendiculaires selon lesquelles il peut rencontrer la lame. S'il est transmis, il conserve sa direction et reste dans le même état. S'il est est réfléchi il bascule dans l'autre état. C'est très simplifié évidemment, mais cela suffit pour rendre compte de l'expérience.
Avec cette simplification, une lame séparatrice équilibrée peut être décrite par une porte d'Hadamard. C'est une porte à un qubit définie par :
formula_3 
formula_4
Entre les deux lames l'évolution du photon est décrite par un simple décalage de phase, qui dépend de la longueur du chemin suivi :
formula_5 
formula_6
La propagation du photon dans l'interféromètre est donc décrite par l'opérateur :
formula_7
Si formula_1 est l'état initial du photon son état à la sortie de la deuxième lame est :
formula_9
Si formula_10 et formula_11 ne différent que d'un multiple de formula_12 le chemin de sortie d'un photon est toujours le même. On peut donc prédire avec certitude quel détecteur il rencontrera. Cette conclusion est surprenante parce qu'elle nous oblige à supposer qu'un photon emprunte en même temps les deux chemins intermédiaires entre les deux lames. S'il n'empruntait qu'un seul de ces chemins on ne pourrait pas prédire son chemin de sortie.
Un détecteur précédé d'une lame séparatrice est donc capable de détecter une superposition quantique. Dans l'expérience de Mach-Zehnder, l'un des détecteurs détecte les photons dont l'état intermédiaire est formula_13, l'autre détecte les photons dont l'état intermédiaire est formula_14. Une telle détection n'est pas une mesure idéale parce que le photon est détruit lorsqu'il est détecté.
Dans l'interféromètre de Mach-Zehnder, la première lame séparatrice prépare un photon dans une superposition quantique non-localisée, la seconde lame suivie d'un détecteur nous permet d'observer cette superposition.
Lorsque les chemins optiques optiques sont égaux, on peut ignorer l'effet de formula_15 :
formula_16
Que la porte d'Hadamard est son propre inverse résume le principe de l'interférométrie Mach-Zehnder.
Une mesure idéale : la porte CNOT.
La porte CNOT est une porte quantique (Nielsen & Chuang 2010) à deux qubits déterminée par l'opérateur d'évolution suivant :
formula_17 
formula_18 
formula_19 
formula_20
Le changement d'état du second qubit est contrôlé par l'état du premier. C'est pourquoi 
on les appelle qubit cible et qubit de contrôle.
formula_21 est une écriture abrégée de formula_22. 
Si l'état initial du qubit cible est formula_1 ou formula_2
(mais pas une superposition des deux) alors la porte CNOT réalise une mesure idéale du 
qubit de contrôle par le qubit cible. Le qubit cible d'une porte CNOT est l'exemple le 
plus simple de détecteur quantique. Les états-pointeurs sont les états formula_1 
et formula_2 du qubit cible. Les résultats de mesure sont 
formula_27 et formula_28. Si l'état initial du détecteur est formula_29 alors l'état propre du qubit détecté associé au résultat 
formula_30 est formula_31. 
Une mesure non-idéale : la porte SWAP.
La porte SWAP est une porte quantique à deux qubits déterminée par l'opérateur d'évolution suivant :
formula_32
formula_33
formula_34
formula_35
Chaque qubit passe dans l'état de l'autre. Chacun est donc sensible à l'autre. C'est 
pourquoi on peut interpréter la porte SWAP comme une mesure quantique d'un qubit par 
l'autre. Par exemple le second qubit peut être interprété comme un détecteur pour lequel 
on a choisi l'état initial formula_36 et les états pointeurs formula_37 et formula_38. Les résultats de mesure sont formula_27 et formula_28 qui ont respectivement pour états propres les états 
formula_1 et formula_2 du premier qubit. Si l'état initial de ce qubit est formula_43, l'état final après la mesure est :
formula_44
La porte SWAP n'est pas une mesure idéale, parce que l'un des états propres du système 
observé est perturbé par la mesure.
Une réalisation expérimentale des portes quantiques.
L'interaction d'un atome avec une cavité nous permet de construire des portes quantiques.
On peut faire un qubit avec un atome. L'état formula_45 est par exemple un état formula_46, fondamental ou excité, l'état formula_47 un autre état excité formula_48. De même une cavité peut servir de qubit. L'état formula_49 est son état vide de photons, l'état formula_50 celui où elle contient un seul photon. Si l'atome passe par la cavité d'une façon telle qu'ils échangent leur énergie, on peut obtenir l'interaction suivante (Haroche & Raimond, 2006, p.282) :
formula_51
formula_52
formula_53
formula_54
Ce n'est pas la porte SWAP mais elle lui ressemble. On obtient par exemple :
formula_55
formula_56
L'échange d'énergie peut aussi conduire à un changement d'état :
formula_57
formula_58
En modifiant les paramètres de l'expérience, et avec un autre état excité formula_59 de l'atome, on peut aussi s'arranger pour que le passage de l'atome par la cavité soit décrit par (pp.320-322):
formula_60
formula_61
formula_62
formula_63
Si on redéfinit les états formula_45 et formula_47 par :
formula_66 
formula_67
alors l'opérateur formula_68 ci-dessus détermine une porte CNOT, où la cavité est le qubit de contrôle et l'atome le qubit cible. De cette façon on est capable de détecter un photon sans le détruire.

Théorie quantique de l'observation/L'intrication