Analyse/Séries
Introduction.
Exemple.
formula_6
formula_7
Pour n pair, formula_12 vaut 1, pour n impair, formula_12 vaut 0.
La série n'a pas de limite.
La série formula_14 est donc divergente.
Convergence.
Condition nécessaire.
Si une série de terme général formula_1 converge, alors formula_1 a pour limite 0 quand n tend vers l'infini.
C'est une condition nécessaire mais non suffisante. Un exemple classique de série divergente de terme général vérifiant cette condition est la série harmonique : formula_17.
En effet formula_18
D'où formula_20
Supposons que la série converge, alors formula_12 et formula_23 admettent une même limite S et formula_24 lorsque n tend vers l'infini.
Ce qui est en contradiction avec formula_21, donc la série diverge.