Calcul tensoriel/Espace euclidien
Calcul tensoriel/Géodésiques
À RÉDIGER
Espéranto/Treizième Leçon
Corrélatifs.
Comme certaines langues, l'espéranto utilise des mots de liaisons nommés "corrélatifs".Ces mots de liaison se forment à l'aide de cinq pré-syllabes et de neuf post-syllabes.
Le radical ou pré-syllabe indique la nature du mot (indéfinis, interrogatifs etc...) et la terminaison ou post-syllabe indique la valeur (identité, qualité etc...).
Ces éléments que l'on peut décomposer pour la compréhension de leur formation sont des mots indissociables dans la réalité de la langue.
Les 5 présyllabes sont :
pour les interrogatifs : ki-, présent en français (qui) et italien (chi prononcer ki).
pour les indéfinis : i-, première lettre aussi de irgend = quelconque en allemand.
pour les démontratifs : ti-, à rapprocher du fr. (tel) , de l'anglais (that).
pour les collectifs : "ĉi" , à rapprocher du fr. (chacun) et de l'anglais (each) ou du mot ciel ("ĉielo)"
pour les négatifs :neni- répète le n, qui est présent dans la négation de la majorité des langues européennes, et ce pour éviter la confusion avec le -n de l'accusatif.
Les 9 post-syllabes correspondent à des pronoms-adjectifs ou à des adverbes de relation:
-o est indiqué pour les pronoms neutres destinés à représenter les choses (io = quelque chose).
-u rappelle le suffixe -ul caractérisant l'individu (iu = quelqu'un)
-a convient pour les pronoms adjectifs de qualité (tia = tel)
-e est indiqué pour les adverbes de lieu (kie = where en anglais). On peut y ajouter le -n de l'accusatif pour exprimer le mouvement vers quelque chose.
-es est indiqué pour les pronoms de possession ( anglais: 's de possession,kies = whose ; fr: rapprochement phonétique à qui est-ce kies? ).
- om pour les adverbes de quantité (kiom rappelle la prononciation provençale de combien, celle du latin quantum (-om'), ou en partie de l'anglais HOw Much)
-am pour le temps, car le n de quand, when, wann etc. était déjà utilisé pour l'accusatif ; -n est alors remplacé par la lettre qui lui est la plus proche -m (lat. nunquam = neniam jamais)
-el pour la manière (maniero) et -al pour la cause (kauzo) rappellent la voyelle caractéristique de ces deux mots.
La régularité de la formation de ces mots réduit l'apprentissage de ces 45 mots (5 * 9) à 14 éléments.déjà présents dans de grandes langues de communication. 
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Ils peuvent aussi être utilisés pour tourner des phrases. Ex :

Calcul tensoriel/Espace-temps courbe
Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Matrice inverse/Démonstration

On a défini (Cf.
transformation contraco)
le tenseur métrique inverse
formula_1
comme étant l'inverse de
formula_2. En faisant intervenir deux fois le tenseur métrique, on obtient son expression covariante
formula_3
Le tenseur métrique est donc son propre inverse, c.q.f.d.

Calcul tensoriel/Espace courbe
Plongement dans un espace euclidien (Nash)

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Expression I

formula_1 
Démonstration

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Expression I/Démonstration

Partant de
formula_1,
on dérive une seconde fois :
formula_2
Les termes 1, 6 et 7 sont symétriques en "kl" et disparaissent donc dans le calcul de
formula_3.
Les termes 3 et 4 s'échangent et disparaissent également dans la différence. Restent les termes 2 et 5 :
formula_4

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Expression II

formula_1
avec
formula_2

Calcul tensoriel/Espace-temps plan
Calcul tensoriel/Électromagnétisme
Calcul tensoriel/Appendices
Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Expression au moyen du symbole de Christoffel

La forme classique de l'équation géodésique en paramétrage canonique est la suivante :
où formula_2 est le
symbole de Christoffel.
Démonstration.

Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Paramétrisation canonique/Démonstration

Explicitant formula_1 dans
l'équation géodésique
formula_2,
on a
Paramétrisons la trajectoire par sa longueur "s", c'est à dire posons formula_4.
Avec ce choix, on a formula_5
et l'équation géodésique devient
Comme le tenseur métrique dépend de formula_7 mais pas explicitement de formula_8,
on a formula_9 et l'équation géodésique prend la forme
Multipliant par formula_11, on obtient
et donc