Dans ce chapitre, nous poursuivons dans la lignée du chapitre précédent, où nous avons vu des circuits construits avec deux composants parmi les résistances, condensateurs et bobines. Mais dans ce chapitre, nous allons voir des circuits construits avec deux composants différents, là où le chapitre précédent étudiait des circuits avec deux composants identiques. Ces circuits sont connus sous les noms de circuits RC, RL, LC et RLC (avec trois composants, pour ce dernier). Le nom de ces circuits donne les composants du circuit : R symbolise une résistance, L une bobine et C un condensateur.
L'étude de ces circuits en régime continu n'a pas grand intérêt, vu que le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et les bobines comme des fils électriques (interrupteurs fermés). L'intérêt de ces circuits est d'étudier comment ils se comportent quand on les soumet à un échelon de tension, autrement dit lorsqu'on fait brusquement passer la tension à leur borne de 0 à une valeur U. Même chose pour les échelons de courant. Le circuit va alors mettre un certain temps avant d'atteindre un nouvel équilibre : on dit qu'il est en régime transitoire. Durant ce régime transitoire, les condensateurs et bobines ne se comportent plus comme des interrupteurs. Ce n'est qu’après un certain temps que le circuit atteint un nouvel équilibre et qu'on peut l'analyser comme s'il était en régime permanent, dans un état d'équilibre stable. Dans ce qui va suivre, nous allons analyser certains circuits assez connus, dont le régime transitoire est assez intéressant.
Les circuits RC.
Le circuit RC est composé d'une résistance, d'un condensateur et d'un générateur. Le générateur est le plus souvent à un courant continu, mais on peut aussi étudier le cas où il est à courant alternatif. Il existe deux versions du circuit RC : celui où la résistance et le condensateur sont placés en série, et celui où ils sont placés en parallèle. Les deux cas sont illustrés ci-dessous et nous allons les étudier en commençant par le circuit série.
Le circuit RC parallèle n'est pas intéressant à étudier avec des tensions ou courants continus. D'après la loi des mailles, la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension de la source/générateur. La variation de cette tension étant nulle, celui-ci se charge très rapidement et aucun courant ne passe plus dans le condensateur. Tout le courant passe dans la résistance, ce qui rend ce circuit inutile. Le seul circuit RC à avoir le moindre intérêt est de loin le circuit RC série.
La charge d'un condensateur.
Dans cette section, nous allons étudier ce circuit et regarder ce qui se passe quand on soumet le montage à une tension continue. Le condensateur peut alors se remplir de charges ou se vider. Nous allons d'abord étudier le cas de la charge d'un condensateur, avant de passer à sa décharge. Nous laissons le cas d'une tension ou d'un courant de charge alternatif pour les chapitres ultérieurs, ceux-ci demandant des outils mathématiques assez complexes.
Dans ce qui va suivre, le circuit RC est soudainement connecté à une tension constante formula_1. On commence l'étude du circuit au moment où la tension apparaît, en supposant que le condensateur est initialement vide.
Les équations.
Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :
On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit RC, ce qui rend son analyse assez simple. La loi des mailles nous donne l'équation suivante :
On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm :
Le courant dans la résistance est égal à celui dans le condensateur (voir supra), donc :
On applique alors la loi formula_6 pour calculer le courant formula_7.
Quelques manipulations algébriques nous donnent alors l'équation différentielle du premier ordre suivante :
Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est obligatoirement de la forme suivante :
Trouver les constantes formula_11 et formula_12 demande peu de réflexion.
L'équation devient donc :
Quelques développements supplémentaires nous disent que formula_21, ce qui donne :
L'évolution dans le temps.
Si on dessine le graphe de l'équation précédente, on obtient la figure située à votre droite. On voit que la tension augmente progressivement. On voit aussi que la croissance n'est pas linéaire et que la tension tend vers la tension formula_1, sans pour autant l'atteindre (sauf après un temps infini).
Une chose importante est que le produit formula_24 est une valeur qui gouverne la croissance de la tension. Dans le détail, il s'agit d'une valeur appelée la constante de temps du circuit RC. En effet, le produit RC a la dimension d'un temps. Les équations à base d'unités le montrent assez bien :
La figure de droite montre que le condensateur est rempli :
Les valeurs de 63, 95 et 99% sont de loin les plus importantes à retenir.
La décharge d'un condensateur.
Après avoir vu la charge d'un condensateur, voyons sa décharge. Celle-ci est similaire à la charge, à quelques différences près. Déjà, on peut décharger un condensateur sans avoir besoin d'un générateur dans le circuit : il suffit de connecter les deux bornes du condensateur entre elles, à travers une résistance. En faisant cela, les charges négatives sur l'armature paire vont rejoindre les charges positives sur l'autre armature. Elles vont alors s'annuler, donnant un condensateur totalement déchargé à la fin du processus. Dans ce qui va suivre, les deux bornes du condensateur sont soudainement connectées entre elles, avec une résistance intercalée entre les deux.
Les équations.
Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :
On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit RC, ce qui rend son analyse assez simple. La loi des mailles nous donne l'équation suivante :
On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm :
Le courant dans la résistance est égal à celui dans le condensateur (voir supra), donc :
On applique alors la loi formula_6 pour calculer le courant formula_7.
Quelques manipulations algébriques nous donnent alors l'équation différentielle du premier ordre suivante :
Sa solution est de la forme :
En se rappelant de la condition initiale formula_40, on trouve : formula_41. On a alors :
L'évolution dans le temps.
Si on dessine le graphe de l'équation précédente, on obtient la figure située à votre droite. On voit que la tension diminue progressivement. On voit aussi que la décroissance n'est pas linéaire et que la tension tend vers zéro, sans pour autant l'atteindre (sauf après un temps infini). La figure de droite montre que le condensateur est déchargé :
Les valeurs de 37, 5 et 1% sont de loin les plus importantes à retenir.
Circuit RL.
Les circuits RL sont similaires aux circuits RC, si ce n'est que le condensateur est remplacé par une bobine. Ils sont composés d'une résistance placée en série ou en parallèle d'une bobine. Le circuit avec la bobine en parallèle de la résistance n'est pas intéressant en courant continu. La bobine n'étant pas autre chose qu'un fil électrique en courant continu, la résistance est simplement court-circuitée. Même chose pour le circuit série, une fois que le courant est stabilisé : il est équivalent avec une résistance connectée directement au générateur. Mais le circuit RL est intéressant à étudier quand le régime permanent (stable) n'est pas encore atteint.
Circuit RL série.
Étudions maintenant le circuit RL série
Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :
On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit, ce qui fait que la loi des mailles donne :
On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm et celle aux bornes de la bobine par la loi formula_50. On obtient l'équation différentielle suivante :
Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est la suivante, avec formula_52 :
On voit que cette équation est identique à celle de la charge d'un condensateur, si ce n'est que la valeur de la constante de temps change et que c'est l'intensité du courant dans la bobine qui est donnée par l'équation (et non la tension). On peut donc reprendre les figures et graphiques obtenus dans la section sur le circuit RC et les appliquer au circuit RL sans problème.
Circuit RL parallèle.
Dans le circuit RL parallèle, on a deux mailles : une qui passe par la résistance et une autre par la bobine. On a donc :
En utilisant les lois formula_55 et formula_56, on obtient :
Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est la suivante, avec formula_52 :
Cette équation est identique à celle de la décharge d'un condensateur, si ce n'est que la valeur de la constante de temps change et que c'est l'intensité du courant dans la bobine qui est donnée par l'équation (et non la tension). On peut donc reprendre les figures et graphiques obtenus dans la section sur le circuit RC et les appliquer au circuit RL sans problème.
Circuit LC.
Les circuits LC combinent un condensateur et une bobine, qui sont placés soit en série soit en parallèle.
Circuit LC série.
Le circuit série est illustré dans la figure de gauche. D'après la loi des mailles, on a :
En utilisant la formule formula_61, on a :
D'après la loi des nœuds, le courant est le même dans tous les récepteurs, et est donc égal au courant qui circule dans le condensateur. On peut alors utiliser la formule formula_63 pour calculer le courant et sa dérivée, ce qui donne :
Les connaisseurs, qui ont eu une formation en physique, auront remarqué que l'équation est celle d'un oscillateur harmonique et savent ce qui va venir dans la suite. La solution de cette équation différentielle est, d'après les mathématiques, une fonction sinusoïdale :
On voit que la tension aux bornes du condensateur est une tension alternative sinusoïdale. Il en est de même aux bornes de la bobine, à cause de la loi des mailles. La tension et le courant sont illustrés dans la figure de droite. La tension sinusoïdale a une fréquence et une période égales à :
Circuit RLC.
Les circuits RLC combinent une résistance, un condensateur et une bobine, qui sont placées soit en série soit en parallèle. Il existe différentes possibilités pour le circuit RLC :
Circuit RLC série.
Le circuit série est illustré dans la figure de gauche. D'après la loi des mailles, on a :
En utilisant les formules formula_69 et formula_61, on a :
D'après la loi des nœuds, le courant est le même dans le tous les récepteurs, et est donc égal au courant qui circule dans le condensateur. On peut alors utiliser la formule formula_6 pour calculer le courant et sa dérivée, ce qui donne :
Si R = 0, le circuit se simplifie en un vulgaire circuit LC comme celui étudié précédemment. Par contre, si R n'est pas nulle, le terme formula_74 agit comme une force de frottement qui amortit les oscillations. Les connaisseurs qui ont eu une formation en physique, auront remarqué que l'équation est celle d'un oscillateur harmonique amorti. De tels systèmes physiques ont une évolution similaire à celle donnée dans la figure ci-dessous. On voit que les oscillations sont progressivement atténuées et voient leur amplitude réduite progressivement.