"Cet article présente les parties I à XVIII. Pour la suite de l'ouvrage, voir les liens à la fin de l'article."
Au début de son ouvrage, Carnot donne la principale raison pour laquelle il écrit ses réflexions. Avec la Révolution, les unités de mesure étant établies et standardisées une fois pour toutes, la science et les techniques prenaient un nouveau départ et, de ce fait, de nouveaux champs dans les mathématiques commençaient à voir le jour.
Pour Carnot, il était clair que le calcul différentiel et intégral serait à la base du progrès et, par conséquent, il décida d'écrire un mémoire qui expliquerait, en toute honnêteté, ce qu'est le calcul infinitésimal et comment il faut le comprendre.
"« (...) mais comme tout annonce que la culture des mathématiques va reprendre un nouvel essor, on a pensé qu'il pourrait être utile de faire connaître un mémoire où la métaphysique du calcul différentiel est discutée avec étendue et précision, et où sont rapprochés les divers points de vue sous lesquels on a présenté cette méthode. »" page 4
Partie I.
L'importance du calcul infinitésimal ne réside pas seulement dans la méthode de calcul très commode, car il peut aussi se transformer en une méthode d'analyse des phénomènes naturels et virtuels. L'étonnement vient en fait de la grandeur insignifiante qui entre dans le calcul et dont on n'est jamais sûr si elle a disparu ou pas. Par conséquent, pour Carnot, la question peut être posée ainsi : est-ce sa propriété que d'être les deux à la fois ? 
Ce qui expliquerait sa métaphysique qui lui permet d'échapper aux sens et à l'imagination.
"« Il n'est aucune découverte qui ait produit dans les sciences mathématiques une révolution aussi heureuse et aussi prompte que celle de l'analyse infinitésimale ; aucune n’a fourni des moyens plus simples ni plus efficaces pour pénétrer dans la connaissance des lois de la nature. En décomposant, pour ainsi dire, les corps jusque dans leurs éléments, elle semble en avoir indiqué la structure intérieure et l’organisation ; mais comme ce qui est extrême échappe aux sens et à l'imagination, on n'a jamais pu se former qu’une idée imparfaite de ces éléments, espèces d’êtres singuliers, qui, tantôt jouent le rôle de véritables quantités, tantôt doivent être traités comme absolument nuls, et semble par leurs propriétés équivoques, tenir le milieu entre la grandeur et le zéro, entre l'existence et le néant.»" page 5-6
Ensuite Carnot explique ce qu'il entend par le terme « infiniment petit » et il ajoute que l'idée d'une quantité infinitésimale est beaucoup plus appropriée pour la théorie que celle de la limite.
"(*)Je parle ici conformément aux idées vagues qu'on se fait communément des quantités infinitésimales, lorsqu’on n'a pas pris la peine d'en examiner la nature ; mais, dans le vrai, rien n'est plus simple que la notion de ces quantités. En effet dire d’une quantité qu'elle est infiniment petite, c'est précisément dire qu'elle est la différence de deux grandeurs qui ont pour limite une même troisième grandeur et rien de plus. L'idée d’une quantité infinitésimale n'est donc pas plus difficile à saisir que celle d'une limite ; mais elle a de plus, comme tout le monde en convient, l’avantage de conduire à une théorie beaucoup plus simple."page 6
Mais il a toujours le souci d'une explication correcte et compréhensible sans entrer dans les débats inutiles et sans oublier son objectif qui est de présenter, à son lecteur, le calcul infinitésimal.
"« Mon but dans cet écrit est de rapprocher les différents points de vue, d'en montrer les rapports, et d’en proposer de nouveaux ; je me croirai bien récompensé de mon travail si j'ai pu réussir à jeter quelques lumières sur un sujet si intéressant.»"Page 7
Partie II.
Par exemple le calcul intégral ressemble assez à la méthode de calcul de la surface d’un cercle. Peut-être que l’idée venait de là ?
L'inconvénient à l'application d'un calcul se basant sur ce genre de méthode venait de l'incohérence entre le but recherché et la méthode à adopter. C'est-à-dire, comment faire sortir une solution juste et précise avec un calcul se basant sur l'approximation qui induit nécessairement qu'il y a une quantité négligée ?
Le calcul de la surface d'un cercle est très représentatif de la méthode à adopter mais ce n'est pas encore l’analyse infinitésimale. Cela étant, peut-on le généraliser à toutes les courbes ? 
"« La difficulté qu'on rencontre souvent à exprimer exactement par des équations les différentes conditions, a pu faire naître les premières idées du calcul infinitésimal. Lorsqu'il est trop difficile, en effet, de trouver la solution exacte d'une question, il est naturel de chercher au moins à en approcher le plus qu'il est possible, en négligeant les quantités qui embarrassent les combinaisons, si l'on prévoit que ces quantités négligées ne peuvent, à cause de leur peu de valeur, produire qu'une erreur légère dans le résultat du calcul. C'est ainsi, par exemple, que ne pouvant découvrir qu'avec peine les propriétés des courbes, on aura imaginé de les regarder comme des polygones d'un grand nombre de côtés (…)»" page 8
Justement, cette quantité négligée n'est-elle pas proportionnelle au nombre de côtés ? Donc, si nous augmentons le nombre de côtés, la quantité tendra vers l’infiniment petit.
"« En outre, chacun des côtés de ce polygone diminue évidemment de grandeur à mesure que le nombre de ces côtés augmente ; et par conséquent, si l’on suppose que le polygone soit réellement composé d’un très grand nombre de côtés, on pourra dire aussi que chacun d’eux est réellement très petit.»" Page 8-9
En mathématiques, les théorèmes sont rigoureux et ne changent pas alors qu'en sciences physiques les théories peuvent être améliorées car, à la fin, le dernier mot appartient à l'expérience. Pour cette raison, la science doit dire modestement « tout se passe comme si ».
C’est aussi ce que pense Carnot : "«(...) il est visible que ces deux figures, quoique toujours différentes et ne pouvant jamais devenir identiques, se ressemble cependant de plus en plus (…)»"
Naturellement, si l'erreur est minime, pourquoi ne pas le négliger une ou deux fois ? En science, la précision pouvant être améliorée à l'infini, on a bien le droit de s'arrêter à un moment donné. L'utilité de ce genre de calcul n'apparaît que si ce même calcul répond aux besoins courants de l'homme. Voyons ce que dit Carnot :
"« Cela posé, s’il se trouvait par hasard dans le cours d'un calcul une circonstance particulière où l'on pût simplifier beaucoup les opérations en négligeant, par exemple, un de ces petits côtés par comparaison à une ligne donnée, c'est-à-dire, en employant dans le calcul cette ligne donnée au lieu d'une quantité qui serait égale à la somme faite de cette ligne et du petit côté en question, il est clair qu’on pourrait le faire sans inconvénient, car l'erreur qui en résulterait ne pourrait être qu'extrêmement petite, et ne mériterait pas qu'on se mit en peine pour en connaître la valeur. »"page 9
Partie III.
"Par exemple, soit proposé de mener une tangente au point donné M de la circonférence MBD. Soit C le centre du cercle, DCB l'axe ; supposons l'abscisse DP= x, l'ordonné correspondante MP = y, et soit TP la sous-tangente cherchée. Pour la trouver, considérons le cercle comme un polygone d’un très grand nombre de côtés, soit MN un des côtés, prolongeons le jusqu’à l’axe ; ce sera évidemment la tangente en question, puisque cette ligne pénétrera pas dans l’intérieur du polygone ; abaissons de plus en plus la perpendiculaire MO sur NQ, parallèle à MP, et nommons a le rayon du cercle : cela posé, nous aurons évidemment MO/NO = TP/y."
"D’une autre part, l’équation de la courbe étant pour le point M, y2=2ax-x2 elle le sera pour le point N :(y + NO)2 = 2a(x + MO) - (x + MO)2, ôtant de cette équation la première, trouvée pour le point M, et réduisant, on a MO/NO = (2y + NO) / (2a - 2x – MO2) égalant donc cette valeur de MO/NO à celle qui a été trouvée ci-dessus, et multipliant par y, il vient TP = y(2y + NO) / (2a - 2x – MO2)."
"Si donc MO et NO étaient connues, on aurait la cherchée de TP ; or ces quantités MO, NO sont très petites, puisqu’elles sont moindres chacune que le côté MN, qui, par hypothèse, est lui-même très petit. Donc (II) on peut négliger sans erreur sensible ces quantités par comparaison aux quantités 2y et 2x – 2a auxquelles elles sont ajoutées. Donc l’équation se réduit à TP = y2 / (a – x), ce qu’il fallait trouver."
Partie IV.
"Si ce résultat n’est pas absolument exact, il est au moins évident que dans la pratique il peut passer pour tel, (…) mais quelqu’un qui n’aurait aucune idée de la doctrine des infinis serait peut-être fort étonné si on lui disait que l’équation TP = y² / (a – x), non seulement approche beaucoup du vrai, mais est réellement de la plus parfaite exactitude ; (…) ; car il est visible que les triangles semblables CPM, MPT donnent CP/MP = MP/TP d’où l’on tire TP = MP²/CP = y² / (a – x), comme ci-dessus."
Partie V.
"Le calcul de la surface d’un cercle n’est pas moins exact que le résultat trouvé ci-dessus."
Partie VI.
"Ces quantités élémentaires peuvent fournir au calcul des ressources inimaginables : quelques vagues et peu précises que puissent paraître ces deux expressions de très grand et très petit, (...), on voit …que ce n’est pas sans utilité qu’on les emploie dans les combinaisons mathématiques, et que leur usage peut-être d‘un grand secours pour faciliter la solution des diverses questions qui peuvent être proposées;"
Partie VII.
"Mais l’avantage qu’elles procurent est bien plus considérable encore qu’on avait d’abord lieu d’espérer ; car il suit des exemples rapportés que ce qui n’avait été regardé en premier lieu comme une simple méthode d’approximation, conduit au moins dans certains cas, à des résultats parfaitement exacts. Il serait intéressant de savoir distinguer ceux où cela arrive, d’y ramener les autres autant qu’il est possible, et de changer ainsi cette méthode d’approximation en un calcul parfaitement exact et rigoureux. Or, tel est l’objet de l’analyse infinitésimale."
Partie VIII.
"Or, on peut rendre fort simplement raison de ce qui est arrivé dans la solution du problème traité ci-dessus, en remarquant que l’hypothèse d’où l’on est parti étant fausse, puisqu’il est absolument impossible qu’un cercle puisse être jamais considéré comme un vrai polygone, quel que puisse être le nombre de ses côtés, il a dû résulter de cette hypothèse une erreur quelconque dans l’équation TP = y(2y + NO) / (2a - 2x – MO²) et que le résultat TP = y² / (a - x) étant néanmoins certainement exact, comme on le prouve par la comparaison des deux triangles CPM, MPT, on a pu négliger MO et NO dans la première équation, et même on a dû le faire pour rectifier le calcul et détruire l’erreur à laquelle avait donné lieu la fausse hypothèse d’où l’on est parti. Négliger les quantités de cette nature est donc non seulement permis en pareil cas mais il le faut et c’est la seule manière d’exprimer exactement les conditions du problème."
Partie IX.
"Le résultat exact TP = y²/(a – x) n’a donc été obtenu que par compensation d’erreurs ; et cette compensation peut-être rendue plus sensible encore en traitant l’exemple rapporté ci-dessus d’une manière un peu différente, c’est-à-dire, en considérant le cercle comme une véritable courbe et non comme un polygone." 
"Pour cela, par un point R, pris arbitrairement à une distance quelconque du point M, soit menée la ligne RS parallèle à MP et par les points R et M soit tirée la sécante RT’ ; nous aurons évidemment T’P/ MP = MZ/RZ, et partant T’P, ou TP + TT = MP (MZ/RZ). Cela posé, si nous imaginions que RS se meuve parallèlement à elle-même en s’approchant continuellement de MP, il est visible que le point T’ s’approchera en même temps de plus en plus du point T, et qu’on pourra par conséquent rendre la ligne T’T aussi petite qu’on voudra sans que la proportion établi ci-dessus cesse d’avoir lieu."
"Si donc je néglige cette quantité T’T dans l’équation que je viens de trouver, il en résultera à la vérité une erreur dans l’équation TP = MP (MZ/RZ) à laquelle la première sera alors réduite ; mais cette erreur pourra être atténuée autant qu’on le voudra en faisant approcher autant qu’il sera nécessaire RS de MP : c’est-à-dire que le rapport des deux membres de cette équation différera aussi peu qu’on voudra du rapport d’égalité."
"Pareillement nous avons MZ/RZ = (2y + RZ) / (2a – 2x – MZ) (III) et cette équation est parfaitement exacte, quelle que soit la position du point R, c’est-à-dire, quelles que soient les valeurs de MZ et de RZ. Mais plus RS rapprochera de MP, plus ces lignes MZ et RZ seront petites ; et partant, si on les néglige dans le second membre de cette équation, l’erreur qui en résultera dans l’équation MZ/RZ = y/(a- x) à laquelle elle sera réduite alors, pourra comme la première, être rendue aussi petite qu’on le jugera à propos."
"Cela étant, sans avoir égard à des erreurs que je serai toujours maître d’atténuer autant que je le voudrai, je traite les deux équations TP = MP (MZ/RZ) et MZ/RZ = y/ (a - x) que je viens de trouver, comme si elles étaient parfaitement exactes l’une de l’autre ; substituant donc la dernière valeur de MZ/RZ tirée de l’autre, j’ai pour résultat TP = y²/ (a - x) comme ci-dessus."
"Ce résultat est parfaitement juste, puisqu’il est conforme à celui qu’on a obtenu par la comparaison des triangles CPM, MPT ; et cependant les équations TP = MZ/RZ et MZ/RZ = y/ (a - x), d’où il a été tiré, sont certainement fausses toutes les deux, puisque la distance de RS à MP n’a point été supposée nulle, ni même très petite, mais bien égale à une ligne quelconque arbitraire. Il faut par conséquent de toute nécessité que les erreurs se soient compensées mutuellement par la comparaison des équations erronées."
Partie X.
"Voilà donc des erreurs compensées bien acquis et bien prouvé ; il s’agit maintenant de l’expliquer, de rechercher le signe auquel on reconnaît que la compensation a lieu dans les calculs semblables au précédant, et les moyens de la produire dans chaque cas particulier. Or il suffit pour cela de remarquer que les erreurs commises dans les équations TP = y (MZ/RZ) et MZ/RZ = y / (a – x) pouvant être rendues aussi petites qu’on le veut, celle qui aurait lieu, s’il s’en trouvait une dans l’équation résultante TP = y²/ (a - x), pourrait également être rendue aussi petite qu’on le voudrait, et qu’elle dépendrait de la distance arbitraire des lignes MP, RS. Or, cela n’est pas, puisque le point M par où doit passer la tangente étant donné, il ne se trouve aucune des quantités a, x, y, TP de cette équation qui soit arbitraire ; donc il ne peut y avoir en effet aucune erreur dans cette équation."
"Il suit de-là que la compensation des erreurs qui se trouvaient dans les équations TP = y (MZ/RZ) et MZ/RZ = y / (a – x), se manifeste dans le résultat par l’absence des quantités MZ, RZ qui causaient ces erreurs ; et que par conséquent, après avoir introduit ces quantités dans le calcul pour faciliter l’expression des conditions du problème, et les avoir traitées dans les équations qui exprimaient ces conditions comme nulles par comparaison aux quantités proposés, afin de simplifier ces équations, il n’y a qu’à éliminer ces mêmes quantités des équations où elles peuvent se trouver encore, pour faire disparaître les erreurs qu’elles avaient occasionnées, et obtenir un résultat qui soit parfaitement exact."
Partie XI.
"L’inventeur a donc pu être conduit à sa découverte par un raisonnement bien simple : si à la place d’une quantité proposée, a-t-il pu dire, j’emploie dans le calcul une autre quantité qui ne lui soit point égale, il en résultera une erreur quelconque ; mais si la différence des quantités est arbitraire, et que je sois maître de la rendre aussi petite que je voudrai, cette erreur ne sera point dangereuse ; je pourrais même commettre à la fois plusieurs erreurs semblables sans qu’ils s’ensuivit aucun inconvénient, puisque je demeurerai toujours maître du degré de précision que je voudrai donner à mes résultats."
Partie XII.
"Pour fixer davantage ces idées, et donner aux principes qui en dérivent le degré de précision et de généralité qui leur convient, je remarquerai que les quantités (…) peuvent se distinguer en deux classes ; la première, composée des quantités qui, comme MC, MP, PT, MT, sont ou données ou déterminées par les conditions du problème ; et la seconde, composée des quantités qui, comme RS, RT’, ST’, dépendent de la position arbitraire du point R, et telles en même temps, qu’à mesure que ce point R se rapproche du point M, chacune d’entre elles s’approche de sa correspondante dans la première classe, en sorte que MP, par exemple, est la limite de RS, c’est-à-dire, le terme fixe dont elle approche continuellement, ou, si l’on veut, sa dernière valeur ; de même MT est la limite ou dernière valeur de RT’, et PT celle de ST’ ; par la même raison, il est clair que les limites ou dernières valeurs de MZ, RZ, MR, T’T, sont toutes 0 (…)"
Partie XIII.
"Imaginons donc maintenant, pour étendre ces remarques aux problèmes du même genre, un système quelconque de quantités proposées, et qu’il soit question de trouver les rapports qui existent entre elles."
Partie XIV.
"« D’abord je comprendrai sous le nom de quantités désignées, non seulement toutes les quantités qui sont proposés par l’énoncé même de la question, (…) »"
Partie XV.
"J’appellerai, au contraire, quantités non-désignées ou auxiliaires toutes celles qui ne font point partie du système des quantités désignées, (…), mais y sont introduites seulement pour faciliter la comparaison des quantités proposées."
"Ainsi, dans l’exemple précédent, MP, MC, MT, DP, etc sont des quantités désignées, parce qu’elles dépendent uniquement de la position du point M (…) ; mais RS, et toutes celles qui en dépendent, comme MZ, RZ, T’T, T’P, etc. sont des quantités auxiliaires, parce qu’on a imaginé de les mener que pour aider à la solution de la question, qui était de trouver le rapport de MP à TP."
Partie XVI.
"« Lorsqu’en mathématique, deux lignes, deux surfaces, (…) sont supposés s’approcher (…), on dit que ces deux quantités ont pour dernière raison une raison d’égalité. »"
Partie XVII.
"« Si l’une de ces grandeurs est une quantité désignée et l’autre est une quantité auxiliaire, la première sera dite limite ou dernière valeur de la seconde ; c’est-à-dire, qu’une limite n’est autre chose qu’une quantité désignée de laquelle une quantité auxiliaire est supposée s’approcher perpétuellement, de manière qu’elle puisse en différer aussi peu qu’on voudra, et que leur dernière soit une raison d’égalité. »"
"« Ainsi, il n’y a que les quantités auxiliaires qui, à proprement parler, aient ce que j’appelle une limite; car les quantités désignées étant supposées ne point changer, (…), elles ne peuvent strictement parlant avoir de limites, (…) »"
Partie XVIII.
"Ainsi, en général nous nommons dernières valeurs et dernières raisons des quantités les valeurs ou les raisons des quantités les valeurs ou les raisons qui sont en effet les dernières de celles qu’assigne à ces grandeurs et à leurs rapports, la loi de continuité, lorsque chacune d’elles est supposée s’approcher perpétuellement et par degrés insensibles de la quantité désignée qui lui répond."
Anecdote: la création du calcul infinitésimal.
La découverte du calcul infinitésimal a été l’un des événements majeurs pour l’humanité. Cette découverte ne s’est pas faite soudainement et on peut dire qu’il n’était pas évident pour Leibniz de découvrir ce calcul et de l’améliorer. Cette découverte ne s’est pas faite aussi en cachette ou dans un milieu secret. Quand Leibniz a commencé ses travaux sur les mathématiques vers 1672, il travaillait avec Huygens (chargé par Colbert de la science) et son ami Denis Papin (l’inventeur de la machine à vapeur). Huygens a plusieurs fois testé le savoir mathématique de Leibniz.
À Paris, où se trouvaient les plus grands mathématiciens de l’époque, on connaissait Leibniz, et tout ce passait comme si ses recherches allaient déboucher sur « "quelque chose" ».
Au commencement de cette aventure sont les suites de nombres. Pour être plus précis, ce sont les différences des suites qui allaient attirer l’attention de Leibniz. En effet si on regarde bien une suite de nombre, on s’aperçoit que les différences de la suite croissante de nombres ont quelques propriétés. Par exemple, les différences d’une suite de nombre croissante peuvent être linéaires ou la somme des différences d’une suite correspond au dernier nombre à laquelle on a arrêté la suite. 
 0 1 4 9 16 
 1 3 5 7 
 +2 +2 +2 
La somme des différences 1+3+5+7 est égale à 16.
La pente de l'équation correspondant aux différences de la suite X² est égale à 2x.
C’est la genèse du calcul intégral et différentiel. 
D’où lui est venue l’idée d’utiliser les propriétés des différences de suite de nombres ? Évidemment, en ayant toujours en tête de la citation de Leibniz, « "les mathématiques n’ont pas la propriété d’innover mais de préciser" », nous pouvons affirmer un autre postulat du grand savant :
"« (…) dans les vérités contingentes, bien que, le prédicat soit inhérent au sujet, on ne pourra jamais le démontrer (…) »"
Donc la suite d’équation X² a pour la suite de ses différences, l’équation 2x. De plus cette pente d’équation (2x) a la propriété de faciliter le calcul de la somme de l’équation (X²).
La seule question que s’est posé Leibniz était de savoir si on pouvait généraliser cette méthode de calcul ? 
Si x² ==> 2x alors 3x² ==> 6x.
 0 1 2 3 4 5
 3x² 0 3 12 27 48 75
 6x +3 +9 +15 +21 +27 
Essayons avec X³ :
 0 1 2 3 4 5
 X³...0 1 8 27 64 125
 3x²...1 7 19 37 61
 6x...+6 +12 +18 +24 
La suite 1, 7, 19, 37, 61 se trouve bien sur la courbe 3x².
Donc l’équation (X³) a, pour ses différences, la pente d’équation (3x²).
Liens.
Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal