+symétries de R6 = 6385/2494 
Le treillis de 4 triangles.
Cette fois on demande R(AF)= r* 15/11 :
 A B C
 D E F
solution : noter l'antisymétrie, puis :
loi des nœuds_Millman en D donne : Vd*3 = Va*1 + Vb*1 +Ve*1 or Ve=-Vb donc Vd= Va/3. 
On démontre de même que Vb = Va/5 D'où I = Va ( 1-1/3) + Va(1-1/5) = 2Va ( 11/15), cqfd.
Maintenant, on remplace la conductance entre B et E par une conductance G. Montrer que la conductance entre A et F devient : Y = f(G) = 5/6 - 1/(6+4G).
¤ Note ,de niveau plus élevé : Remarquer que f(G) est bien une homographie concave et les valeurs particulières f(0)=2/3 ; f(infty)=5/6 ; f(-6/5)=0 et f(-3/2)=infty s'interprètent directement.[ les deux derniers cas font intervenir une conductance G négative ! ce qui est théoriquement réalisable en électronique ; on parle d'antirésonance du circuit, et de résonance ]
Problème de 2n(2n+1)carrés (***difficile).
un rectangle ABCD séparé en 2n-1 barres verticales et 2n-2 horizontales, formant donc 2n(2n+1) petits carreaux 
On shunte AD par une électrode , de même BC : la résistance R entre les deux électrodes est évidemment : R = (2n+1)r /(2n+1) = r .
On supprime la résistance horizontale centrale , appelée EF : la résistance augmente évidemment ; de combien ?
[Commencer modestement par n=1 : ; Puis par n très grand (méthode de perturbation):r(1 + 2/n²) ; indication dans le chapitre "dualité" : on remarquera cette dualité pour évaluer Z(entrée) quand R(EF) est quelconque, disons R ]
solution (qui n'est pas le corrigé !) : formula_50
Problème des n petits carrés en ligne(** assez difficile).
A1 A2 A3 A4 ...
B1 B2 B3 B4 ...
on demande R(A1Bn)
Problème du "pont de Wheatstone".
6 résistances forment un tétraèdre ABCD ; on place un générateur E dans la branche AB , on demande le courant dans la branche CD : la réponse est très simple à retenir, du fait de la symétrie tétraédrique :
formula_51, où S16 == somme des 16 triplets des six résistances que forment les 20 triplets sauf les 4 triplets_cutsets de chacun des 4 sommets_nœuds du tétraèdre.
Une page spéciale a été consacrée au pont de Wheatstone en raison de son importance pédagogique (historique):
=Causalité des filtres linéaires permanents=
La causalité dans ce cas implique les relations de dispersion dites de Bayard-Bode , identiques à celles de Kramers-Kronig en électromagnétisme .
Une page spéciale y est consacrée ( elle est plus complète que celle intitulée : Relation de Dispersion): cette page considérée comme page-volante est "rapatriée" ici, ci-dessous :
Électrocinétique/Relation de causalité de Bayard-Bode : 
Définition d'un filtre linéaire permanent.
Un système de transmission électrique transforme un signal d'entrée réel e(t) en un signal de sortie réel s(t).
Il est appelé filtre linéaire si la relation s(t) = L e(t) est linéaire :
Les physiciens appellent souvent cette définition : "principe de superposition" ( d' Helmholtz).Et L est appelé opérateur linéaire de l'espace des e(t) vers l'espace des s(t).
Le système est dit permanent si il est invariant par choix de la date de départ : 
si à e(t) correspond s(t) , alors à e(t-to) correspond s(t-to).
Appelons l'opération de translation temporelle T(to)== T , on a donc :
L[T(e(t))]= L(e(t-to)) = s(t-to) = T(s(t)) = T[L(e(t))] pour tout e(t) :soit L.T = T.L 
on dit que l'opérateur L et le groupe des opérateurs T(to) commutent.
Rôle des entrées sinusoïdales.
Un signal réel sinusoïdal d'amplitude A , de pulsation formula_52, formula_57 est dit d'amplitude complexe E = A exp i formula_58.
Ces signaux jouent un rôle très important à cause du théorème de Fourier : tout signal périodique peut se décomposer en une SOMME de signaux sinusoïdaux des harmoniques de la pulsation.
On raisonne désormais avec les amplitudes complexes de signaux de pulsation formula_52
Fonction de Transfert G(formula_52).
Considérons donc les fonctions formula_61, dites de pulsation formula_52
La propriété capitale de l'exponentielle est que : 
E(t-t2) = T(t2)E(t) = exp(-i formula_63). E(t) = [E(-t2)].E(t) !
Autrement dit, les fonctions E(t) sont fonctions propres des opérateurs T(to)avec pour valeur propre E(-to).
Comme L et le groupe T(to) commute , on se doute que E(t) sera fonction propre de L . En effet,
S(t + t2) = L ( E(t+t2)) = E(t) . L(E(t2) : gardant t2 fixe , on voit que S(t) est donc fonction sinusoïdale proportionnelle à E(t) au coefficient L(E(t2)) pris en t2=0 , appelé G(formula_52)
Soit encore : S(t) == L ( E(t) ) = G(formula_52). E(t)
G(formula_66 s'appelle la fonction de transfert complexe. 
Pour des raisons de causalité , elle va jouir de propriétés particulières, ce qui est l'objet de l'article.
Un exemple simple, le filtre passe-bas RC.
l'équation s(t) = L e(t) est celle du "potentiomètre R et 1/Cp " soit : 
RC s'(t) + s(t) = e(t).
Soit avec les fonctions E(t) et S(t) : 
[RC iformula_52 + 1 ]S(t) = E(t) 
soit formula_68 en notant p == iformula_52 
Dans le cas précis , on voit qu'aux hautes fréquences |G| est tout petit (et phi = -Pi/2) ; aux basses fréquences , G est voisin de 1 : le circuit est dit passe-bas . On peut même aux basses fréquences introduire une petite remarque supplémentaire : 1/(1+ RCp) =~ 1- RCp , c'à d que à e(t) correspond une sortie s(t) voisine de e(t-RC) : le circuit se comporte comme un fidèle transducteur du signal d'entrée, MAIS avec un léger retard RC.
Elle implique "raisonnablement" que le signal de sortie s(t) ne puisse pas "précéder" l'entrée e(t). Pour être plus précis, appelons Y(t) la fonction de Heaviside : nulle pour t négatif, égale à 1 pour t positif ( en réalité exp-t/formula_71, mais avec formula_72 immensément grand devant les échelles de temps t à considérer ).
Vérification des relations de Bayard-Bode.
Afin de nous préparer aux calculs ultérieurs, vérifions ici les deux relations de Bayard-Bode :
Appelons R(formula_52) + i X(formula_52 = G(formula_52), les parties réelle et imaginaire
Les relations lient de manière non locale en fréquence , les variations de R et de X : 
Nous démontrerons ces formules un peu plus loin ; remarquons simplement ici l'HOMOGENEITE et le fait que R est paire et X est impaire.
Vérifions la seconde dans le cas présent : R = 1/D avec D(formula_52) = 1 + (RCformula_52)^2 et X = -RCformula_52/D
Donc l'intégrandum vaut après simplification : - 1/D(w) . 1/D(formula_52) et l'intégrale de 1/D(w) donne bien : RC. formula_82/2.
On laisse au lecteur la vérification de la première égalité de Bayard-Bode.
Autre écriture des relations de Bayard-Bode.
Souvent en électrocinétique, on préfère travailler avec l'amplitude et la phase . On raisonne alors sur Ln G = Ln A +i formula_58.
On obtient alors, par exemple, formula_84 en fonction de (Ln A) via la formule : 
formula_85
Bibliographie.
=Faire-part=
"juste pour potache (il faut bien sourire un peu !)" :