Multiplication par un nombre positif.
Observons la figure suivante.
On a donc d'après la relation de Chasles
Et par conséquent
En algèbre on écrit couramment formula_6. Faisons de même pour le vecteur formula_1 :
On obtient ainsi un vecteur noté formula_9 dont
On définit ainsi la multiplication d'un vecteur par un réel positif :
formula_13 et formula_14
Multiplication par un nombre négatif.
On vient de voir quel sens donner au vecteur formula_9. Quel sens donner au vecteur formula_16 ?
En appliquant les règles habituelles du calcul algébrique formula_16 doit désigner l'opposé du vecteur formula_9.
On peut alors effectuer la construction suivante avec :
Ainsi le vecteur formula_16 a
On peut alors définir la multiplication d'un vecteur par un réel négatif :
 formula_26 et formula_27
Une définition pour en remplacer deux.
Remarque : Si formula_28 alors par définition formula_29
NB : Cette définition est cohérente avec la définition de l'addition et de l'opposé,
Règles de calcul sur les vecteurs.
Les opérations sur les vecteurs ont été définies en s'inspirant des règles de calcul algébriques. Il est donc naturel d'avoir les règles suivantes de calcul sur les vecteurs :
Par exemple pour construire le vecteur formula_32 on peut
Dans les deux cas, on a construit le même vecteur en vert.

Translinguisme/Nombres
Manuel de géométrie vectorielle/Préface
Introduction, objectifs.
Dans la description du monde qui nous entoure, le vecteur est un outil mathématique fondamental. Au-delà de ses propriétés en mathématiques, il est utile à d'innombrables domaines de la physique, des sciences de l'ingénieur, de la biologie, de l'informatique…
Ce manuel permet de brosser un tableau général du monde des vecteurs du point de vue mathématique. Repartant des considérations les plus élémentaires, il s'adresse aussi bien à des personnes novices dans ce domaine qu'à celles qui souhaitent revoir les bases ou approfondir leurs connaissances grâce à une structure progressive.
Son contenu recouvre ainsi plusieurs niveaux scolaires conventionnels, mais sa progressivité devrait permettre à chacun de s'y retrouver. À la fin de la lecture de ce manuel, le lecteur aura les connaissances nécessaires pour :
"Note : Ce manuel n'aborde pas la théorie des espaces vectoriels. La notion de vecteur sera approchée intuitivement à partir d'un espace affine, et restera une entité géométrique au sens où l'on ne considère que les vecteurs du plan ou de l'espace euclidien."
Prérequis.
Il suffira au lecteur d'avoir quelques notions de géométrie élémentaire du plan et de l'espace :
Comment utiliser ce manuel ?
Ce wikibook est un manuel, c'est-à-dire qu'il constitue un document de cours de référence pour l'apprenant. Il regroupe et illustre d'exemples les points importants.
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Kanji
Débutez dans XMPP
XMPP (Extensible Messaging and Presence Protocol, anciennement connu sous le nom de Jabber) est un protocole de messagerie instantanée sur Internet. Il sert à la communication instantanée principalement entre deux utilisateurs mais permet également les MUC ("Multi User Chat") à savoir les discussions en groupes par l'intermédiaire de salons thématiques de discussion, à la manière d'IRC.
Ce livre, de la collection « "" », a pour objectif de vous expliquer comment se connecter à XMPP, comment discuter avec d'autres utilisateurs, en utilisant un "client" — nous verrons plus tard de quoi il s'agit — nommé "Gajim". Ce logiciel est dit "libre", c'est à dire que son utilisation, son étude, la modification, la duplication et la diffusion sont autorisées sans contrepartie ; une très nombreuse communauté, composée d'informaticiens confirmés ou d'utilisateurs, l'améliore constamment. D'autres logiciels, comme les célèbres navigateur web Firefox et suite bureautique OpenOffice.org, sont dans le même cas ; le système d'exploitation "Linux" est lui-même libre.

Implémentation d'algorithmes classiques/Algorithmes de tri/Tri par tas

C#.
class Tri
 private static void Echange(ref int a, ref int b)
 int swap = a;
 a = b;
 b = swap;
 private static void Tamiser(int[] arbre, int noeud, int n)
 int k = noeud;
 int j = 2 * k;
 while (j <= n)
 if ((j < n) && (arbre[j] < arbre[j + 1]))
 j++;
 if (arbre[k] < arbre[j])
 Tri.Echange(ref arbre[k], ref arbre[j]);
 k = j;
 j = 2 * k;
 else
 break;
 public static void TriParTas(int[] arbre)
 for (int i = arbre.Length » 1; i >= 0; i--)
 Tri.Tamiser(arbre, i, arbre.Length - 1);
 for (int i = arbre.Length - 1; i >= 1; i--)
 Tri.Echange(ref arbre[i], ref arbre[0]);
 Tri.Tamiser(arbre, 0, i - 1);
JavaScript.
Voici un exemple complet. Un tableau d'entiers de composition aléatoire est créé et trié grâce à un tri par tas. Il suffit de copier tout ce code dans un fichier d'extension HTM puis de l'ouvrir dans un navigateur connecté à Internet. Le code du tri par tas est entièrement contenu dans le deuxième bloc SCRIPT.
<html>
<head>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.3.2/jquery.min.js"></script>
<script type="text/javascript">
 function echanger (arbre, a, b) {
 var temp = arbre[a];
 arbre[a] = arbre[b];
 arbre[b] = temp;