Ceci est la suite de la leçon : la chute ralentie sur plan incliné (Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/la chute ralentie sur plan incliné).
Exercices deuxième série.
Auge de Torricelli:.
Il y a beaucoup de manière d'approcher un arc de cercle; voici celle de Torricelli:avancer horizontalement en A(a/2 ; 0) ; puis monter au point B(a ; h = a²/2R). Dessiner symétriquement l'autre demi-cuvette. Et calculer la période des oscillations.
Solution-Auge :.
Soit V la vitesse atteinte après chute de B en A : le parcours AO dure t= a/2V = 1/2 .sqrt(R/g). Le parcours AB dure AB/[(V+0)/2] soit un peu plus que sqrt(R/g). Donc T = ~ 4.(3/2)sqrt(R/g) ; soit la valeur Pi = ~ 3 ! Ce n'est pas si mal pour une auge aussi rudimentaire.
Galilée disait,lui, que le trajet de B en O durait 2 sqrt(R/g), soit Pi ~ 4 , car il prenait simplement la durée selon la corde BO, durée qui ne dépend pas de la corde et donc est valable pour la verticale! il est en contradiction manifeste avec l'expérience; car si B est très voisin de O sur le cercle, et qu'on lâche simultanément le mobile en B et le mobile en O' à la verticale de O - OO'= 2R, on imagine mal les voir arriver simultanément en O : 1> Pi/4 se voit aisément expérimentalement. Il est fréquent qu'un très grand physicien se trompe aussi, surtout quand une science est en train de naître. Mersenne fût un des premiers à signaler cette faute et à demander la valeur (2Pi), réponse qui ne sera fournie que par Huygens, plus tard.
Cercle osculateur de Huygens :.
30 ans après, les mathématiques des courbes ont beaucoup progressé grâce à Descartes, Fermat surtout. Huygens connaît le résultat : le cercle surosculateur au point O d'une courbe symétrique y = f(x) est R = x²/2f(x), x petit. Il connaît la période de SA cycloïde. Montrer qu'il peut en déduire la période des petites oscillations du pendule simple.
Solution : soit O le point le plus bas de la cycloïde de Huygens: l'équation s'écrit x=~2a. u et y = a u²/2 . Donc R = 4a . Or SA période est 2Pi.sqrt(4a/g). Il l'identifie à la période du pendule circulaire de rayon R =4a. On a enfin le fameux facteur 2Pi.
Remarque : à l'époque, on ne s'exprimait pas ainsi. On comparait un temps à un temps : celui par exemple de la chute libre selon une distance verticale 2R , t0 = 2.sqrt(R/g) et Mersenne avait posé la question de trouver par la théorie le rapport, qu'on savait proche de 2 + sqrt(2). De plus Mersenne avait soigneusement observé que la période des oscillations du pendule circulaire N'ÉTAIT PAS CONSTANTE : elle augmentait légèrement avec l'amplitude; Borda(1733-1799)donna bien plus tard la formule approchée :
 formula_1,
l'élongation maximale exprimée en radian. La leçon sur le pendule explicitera tout cela.
Pourquoi formula_2 =~g?
Soit la question : pourquoi 9.8696 est-il proche de g = 9.81 m/s² ? La question peut paraître saugrenue, puisque g dépend des unités! Bonne pioche! c'est de ce côté-là qu'est la réponse.
Réponse : du temps de la Révolution française furent jetées les bases d'un système de Poids et Mesures "pour tous les Temps, pour tous les Hommes", selon la formule de Talleyrand(grand diplomate français,1754-1838). Il fallait pour une unité les qualités suivantes : 
la longueur d'un pendule simple qui battrait la seconde fût envisagée.[Certainement un des premiers à l'énoncer est Isaac Beeckman (1588-1637)]. Et l'on savait grâce à la formule de Clairaut comment corriger de la variation de g avec la latitude. Mais on savait que cette formule n'était pas exacte : il y avait quelque écart (après corrections) entre Londres, Paris et Potsdam. On pensait la Terre de révolution : aussi par souci d'universalité, choisît-on le quart du méridien égal à 10 000 km par définition, ce qui était très proche de la longueur du pendule, d'où la réponse : si le mètre avait été la longueur du pendule on aurait eu g = Pi² par définition!
Il s'en est donc fallu d'un décret. Cette définition via le méridien n'était malheureusement pas facilement accessible. On revînt à la longueur entre deux traits tracés sur une règle non dilatable (en platine iridié, à une température de 15°C). La règle fût placée au Pavillon du BIPM et servît pour fabriquer les étalons secondaires de toutes les nations jusqu'en 1959 (cf l'article S.I. dans la WP). Par rapport à cette règle, le méridien fait 40 007 km, car les physiciens n'avaient pas mieux comme précision sur ce méridien, à l'époque ![[un exercice difficile est la mesure d'un arc de méridien, car il s'agit d'un arc d'ellipse ! cela peut se trouver grâce à l'introduction de fonctions de mathématiques supérieures, introduites et calculées pour cela , appelées les fonctions elliptiques.
Jeu de Pistes.
(de réflexion!). 
Soit une piste de ski verte rectiligne de pente alpha. Une débutante Tortor effectue la descente DA = L, schuss, en un temps T, puis parcourt sur le plat la longueur AB = 2L dans le même temps T, soit au total 2T. Jeannot pense plus astucieux de partir d= 10m plus haut.Il raisonne ainsi : certes, je partirai de D, après Tortor, avec un retard sqrt(2d/g'), mais ensuite en chaque point j'aurai une vitesse plus grande qu'elle , et je la dépasserai, peut-être pas en A , mais je suis sur de la dépasser dans le plat. 
Oui! mais à quelle distance Jeannot doit-il placer le poteau d'arrivée P ? Réponse QCM: AP = L/2 ; L ou 2L ? 
_ _ _ 
Réponse : AP = ... .
Solution : L = 1/2.g'.T². Évidemment Jeannot se trouve exactement d = 10m derrière Tortor avec la même vitesse, soit 2L/T , d'où son retard tau = d/(2L/T), mais avec une vitesse légèrement supérieure de 2L/T .(d/2L) = d/T : il ne comblera son retard qu'au bout du temps T, soit au bout de 2L de terrain plat !Donc AP= 2L! Ce qui est très surprenant, c'est que si d«L , le résultat ne dépende pas de d [en réalité Jeannot double Tortor sur le fil en faisant le calcul complet]: en général, on évalue mal la performance de Jeannot (il faut dire qu'on skie rarement dans le vide !).
2/ Sur un plan incliné d'angle alpha, un skieur au point A doit regagner dans le temps minimum une ligne située plus bas. Il peut descendre schuss selon la ligne de plus grande pente et atteindre le point B. Mais il peut aussi choisir le chemin le plus court qui mène en H tel que AH soit perpendiculaire à la ligne d'arrivée. D'après le théorème des cordes, les deux temps sont identiques. Soit alors M milieu de BH : Le skieur a-t-il intérêt à viser un point entre M et B ou un point entre M et H ? 
Réponse : 
Le temps minimum sera obtenu en suivant la bissectrice de l'angle BAH {le prouver!}: donc le point choisi sera le point I situé entre M et H.
Jeu de pistes de Mersenne, suite à ceux de Galilée.
Mersenne a publié très vite après la célèbre publication en Hollande par ELZEVIR des "discorso" sur les deux nouvelles sciences de Galilée( 1638), un traité, les Mechaniques, qui ne sont pas une traduction fidèle de Galilée, mais qui sont intéressantes. En voici qq exercices : voir Lenoble , Clavelin , Drake , etc.
Mouvement de glissement sur la parabole.
Le problème du toboggan est traité par Cabannes ( p196); revoir l'exercice classique ( Julia) : les courbes telles que le vecteur réaction N soit constamment nul au cours du mouvement dans le champ de pesanteur sont évidemment les paraboles de chute ! Revoir aussi le pb de la liaison unilatérale : soit une courbe concave de courbure 1/R au point M , et soit F la force appliquée vers la concavité et faisant l'angle aigu béta avec la normale n : le rayon de courbure de la trajectoire non liée est tel que mv²/r = F.cos (béta). La particule s'échappe si r > R , ce qui se réécrit F cos(béta) - mv²/R < 0 , ce qui n'est autre que la réaction N, et N < 0 est impossible : d'où décollement hors de la courbe-toboggan.