Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques

Une fois déterminé le tenseur métrique,
il est facile de calculer le gradient,
la divergence,
le laplacien,
le rotationnel,
le symbole de Christoffel.
ATTENTION, par rapport à l'article , on utilise échange ici les symboles
formula_1 et formula_2, et on utilise la colatitude formula_2 à la place de la latitude formula_1. Voir une page sur les conflits de notations.

Calcul tensoriel/Appendices/Équations de Lagrange

Étant donné un système de coordonnées
quelconque formula_1, une variable formula_2
permettant de paramétrer les trajectoires,
on considère une fonction "L" qui ne dépend que des variables
formula_1 et leur dérivée totale par rapport à formula_2
formula_5.
On veut trouver une trajectoire formula_6
d'extrémités données formula_7 et formula_8,
qui minimise l'intégrale
Considérons une trajectoire infiniment voisine
formula_10
avec formula_11 un infiniment petit et
formula_12.
Supposant que les solutions sont trouvées et formula_13 donné,
la fonction
est minimale pour formula_15 :
Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale
et profitant du fait que formula_17
a été supposée nulle aux bornes, on a
Comme la fonction formula_17 est quelconque, on doit avoir

Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Paramétrisation canonique

Un
système de coordonnées
étant donné,
si l'on choisit de paramètrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique),
l'équation géodésique devient
Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique.
Démonstration.

Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Expression au moyen du symbole de Christoffel/Démonstration

Dans l'équation
On remarque que les indices "i" et "j" jouent un rôle symétrique, ce qui permet d'écrire
On reconnait l'expression du symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique et donc
c.q.f.d.

Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique

On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.
Un système de coordonnées
formula_1 étant donné, le
tenseur métrique
donne la longueur d'une courbe infinitésimale
formula_2.
Le signe optionnel formula_3 est choisi en fonction du signe de l'intervalle et
de la
signature du tenseur métrique.
Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable formula_4, on écrit
formula_5,
où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à formula_4.
La longueur de la trajectoire est donc la somme
En utilisant la
méthode de Lagrange
pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient
l'équation géodésique
avec

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Divergence

En
coordonnées sphériques,
la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut formula_1 et la
divergence d'un champ de vecteurs s'écrit
formula_2.
Dans la
base naturelle,
on a
formula_3
et donc dans la base orthonormée formula_4 :
formula_5

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Divergence

En
coordonnées cylindriques,
la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut "r" et la
divergence d'un champ de vecteurs s'écrit
formula_1.
Dans la base naturelle, on a
formula_2
et donc dans la base orthonormée formula_3:
formula_4

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Symbole de Christoffel

Le seul terme non constant du
tenseur métrique en coordonnées cylindriques
est formula_1,
et l'on a formula_2.
Les éléments non nuls du
symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux
formula_3

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Symbole de Christoffel

Les seuls termes non constants du
tenseur métrique en coordonnées sphériques
sont
formula_1, 
formula_2, 
et l'on a
formula_3,
formula_4,
formula_5.
Les éléments non nuls du
symbole de Christoffel fonction du tenseur métrique sont donc peu nombreux
formula_6

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Fonction du tenseur métrique

Le
symbole de Christoffel
s'écrit en
fonction de la dérivée partielle
formula_1 du
tenseur métrique:
formula_2
Démonstration

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Symbole de Christoffel/Fonction du tenseur métrique/Démonstration

Partant de l'expression de la
dérivée partielle du tenseur métrique,
on calcule,
en profitant de la symétrie du
symbole de Christoffel
formula_1
Le
tenseur métrique étant son
propre inverse
(formula_2),
on obtient le
résultat cherché
formula_3
en multipliant par formula_4.

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Gradient

Compte tenu de l'expression du
tenseur métrique en coordonnées cylindriques, le
gradient
formula_1
d'un champ scalaire formula_2 s'écrit
formula_3
Soit, dans la base orthonormée,
formula_4

Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées sphériques/Gradient

Compte tenu de l'expression du
tenseur métrique en coordonnées sphériques,
le gradient
formula_1
d'un champ scalaire formula_2 s'écrit
formula_3
Soit, dans la base orthonormée
formula_4

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de sa dérivée partielle

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte
les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme :
formula_1
Démonstration

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de sa dérivée partielle/Démonstration

La matrice formula_1 est
l'inverse de la matrice du tenseur métrique
formula_2 :
formula_3. Profitant de la
symétrie du tenseur métrique,
on a formula_4. Or la contraction formula_5 du tenseur unité donne un entier, la dimension de l'espace. C'est donc une constante. Ainsi formula_6. D'où l'expression cherchée
formula_7.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur dualiseur/Nullité de la dérivée covariante/Démonstration

La dérivée covariante
du tenseur dualiseur est nulle.
Démonstration.
L'expression de la
dérivée covariante à partir de la dérivée simple et du symbole de Christoffel donne
formula_1
Réécrivons premier terme sous la forme
formula_2.
Le symbole de Levi-Civita d'ordre N
étant constant, ce terme devient
formula_3.
Dans la liste des termes suivants, le premier se réduit à sa valeur pour laquelle formula_4,
le deuxième à sa valeur pour laquelle formula_5, etc. La somme des "N" termes
vaut donc formula_6. Étant donné
l'expression de la
contraction du symbole de Christoffel formula_7, on trouve formula_8, c.q.f.d.

Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Rotationnel

Tenseur rotationnel.
Étant donné un champ de vecteurs covariants formula_1 dans un espace de dimension quelconque, la
dérivée covariante
formula_2
est un tenseur. Le tenseur rotationnel, défini comme formula_3 est par construction un tenseur antisymétrique.
Expression à partir de la dérivée simple.
La symétrie formula_4
du
symbole de Christoffel
permet d'écrire le tenseur rotationnel à partir de la dérivée simple : formula_5.
Rotationnel en dimension 3.
En dimension 3,
le tenseur dualiseur
permet de construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2.
Le rotationnel d'un champ de vecteurs formula_6tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel :
formula_7.
Partant d'un champ de vecteurs en coordonnées contravariantes formula_8,
mettant à profit l'antisymétrie du tenseur dualiseur, la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique formula_9
ainsi que sa symétrie, on trouve 
formula_10.

Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Équations d'Einstein

Les équations d'Einstein identifient le tenseur d'énergie-impulsion
formula_1
et l'expression de divergence nulle construite à partir
du tenseur de Ricci :
formula_2
Il existe une relation symétrique :
formula_3
Démonstration.

Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Équations d'Einstein/Relation symétrique/Démonstration