ನೈಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಮಾಣ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 'ನೈಜ್ಯ' ಎಂಬ ವಿಶೇಷಣವನ್ನು 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವರು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೂಲಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -5 ಮತ್ತು ಭಿನ್ನ 4/3, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ  (1.41421356..., 2 ರ ವರ್ಗಮೂಲ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆ).
ಅಭಾಗಲಬ್ಧಗಳೊಳಗೆ π (3.14159265...) ನಂತಹ ನೈಜ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಮಯ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಶಕ್ತಿ, ವೇಗ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು R ಅಥವಾ  ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ  ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ವಾಸ್ತವಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ನೈಜ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅನಂತ ಉದ್ದದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳು ಸಮಾನ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 8.632 ರಂತಹ ಪ್ರಾಯಶಃ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸತತ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತನೇ ಒಂದು ಭಾಗದಷ್ಟು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಒಂದು ಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಈ ವಿವರಣೆಗಳು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದ ಆಧುನಿಕ ಮಾನದಂಡಗಳಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಠಿಣವಾಗಿಲ್ಲ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೂಕ್ತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆವಿಷ್ಕಾರ-ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಉತ್ತಮವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅರಿವು-19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್-ಸಂಪೂರ್ಣ ಆದೇಶ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ( ; + ; · ; <)ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯ ವರೆಗೆ, ಆದರೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜನಪ್ರಿಯ ರಚನಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳ (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ), ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಕಟ್‌ಗಳು ಅಥವಾ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಘೋಷಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಎಣಿಸಲಾಗದು, ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಎರಡೂ ಅನಂತ ಗಣಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳವರೆಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ,  ಇಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (, 'aleph-nought' ಇಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ನೈಜತೆಯ ಉಪವಿಭಾಗವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ  ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ  ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಿರಂತರ ಕಲ್ಪನೆ (CH) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಡಿಪಾಯವಾದ ಝೆರ್ಮೆಲೊ-ಫ್ರೇಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತತ್ವ (ZFC) ಸೇರಿದಂತೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ZFC ಯ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳು CH ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇತರರು ಅದನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಇತಿಹಾಸ 

ಸುಮಾರು 1000 BC ಯಲ್ಲಿ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು; ವೈದಿಕ "ಶುಲ್ಬ ಸೂತ್ರಗಳು"("ಸ್ವರಗಳ ನಿಯಮಗಳು") ಸಿ. 600 BC ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊದಲ "ಬಳಕೆ" ಏನಾಗಿರಬಹುದು. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮಾನವ (c. 750-690 BC) ನಂತಹ ಆರಂಭಿಕ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರು, ಅವರು 2 ಮತ್ತು 61 ನಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರು.[4] ಸುಮಾರು 500 BC ಯಲ್ಲಿ, ಪೈಥಾಗರಸ್ ನೇತೃತ್ವದ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಂಡರು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ 2 ರ ವರ್ಗಮೂಲದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ.

ಮಧ್ಯಯುಗವು ಶೂನ್ಯ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ವೀಕಾರವನ್ನು ತಂದಿತು, ಮೊದಲು ಭಾರತೀಯ ಮತ್ತು ಚೈನೀಸ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅರೇಬಿಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮೊದಲಿಗರು (ಎರಡನೆಯದು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಿಂದ).[5] ಅರೇಬಿಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು "ಸಂಖ್ಯೆ" ಮತ್ತು "ಗಾತ್ರ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿ ವಿಲೀನಗೊಳಿಸಿದರು.[6] ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಗಣಿತಜ್ಞ ಅಬು ಕಾಮಿಲ್ ಶುಜಾ ಇಬ್ನ್ ಅಸ್ಲಾಮ್ (c. 850-930) ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು, ಘನಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ) ಸ್ವೀಕರಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. [7]

16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಸೈಮನ್ ಸ್ಟೀವಿನ್ ಆಧುನಿಕ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒತ್ತಾಯಿಸಿದರು.

17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು "ನೈಜ" ಪದವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವುಗಳನ್ನು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ" ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದರು.

18 ಮತ್ತು 19 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸಗಳು ನಡೆದವು. ಜೋಹಾನ್ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ (1761) π ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ದೋಷಪೂರಿತ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು; ಆಡ್ರಿಯನ್-ಮೇರಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ (1794) ಆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು,[8] ಮತ್ತು π ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು.[9] ಪಾವೊಲೊ ರುಫಿನಿ (1799) ಮತ್ತು ನೀಲ್ಸ್ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಅಬೆಲ್ (1842) ಇಬ್ಬರೂ ಅಬೆಲ್-ರುಫಿನಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಿಂಟಿಕ್ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಎವಾರಿಸ್ಟ್ ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ (1832) ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಾಡಿಕಲ್‌ಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಜೋಸೆಫ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ (1840) e ಅಥವಾ e2 ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು; ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ (1873) ಈ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರು.[10] ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಹರ್ಮೈಟ್ (1873) ಮೊದಲು e ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಫರ್ಡಿನಾಂಡ್ ವಾನ್ ಲಿಂಡೆಮನ್ (1882), π ಅತೀಂದ್ರಿಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಲಿಂಡೆಮನ್‌ನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ವೈರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ (1885), ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ (1893) ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಡಾಲ್ಫ್ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್[11] ಮತ್ತು ಪಾಲ್ ಗೋರ್ಡಾನ್‌ರಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.[12]

18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಣವನ್ನು ಕಠಿಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೆ ಬಳಸಿತು. ಮೊದಲ ಕಠಿಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು 1871 ರಲ್ಲಿ ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. 1874 ರಲ್ಲಿ, ಅವರು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದಷ್ಟು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ  ಲೆಕ್ಕಿಸಬಹುದಷ್ಟು ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಪಕವಾದ ನಂಬಿಕೆಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅವರ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಅವರ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕರ್ಣೀಯ ವಾದವಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಅವರು 1891 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಮೊದಲ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೋಡಿ.