ಕ್ರಮಗುಣಿತ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗುಣಿತ(factorial) ಎಂಬುದು ಸಾಧಾರಣ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. n ಎಂಬ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಅಥವಾ n! ಹೀಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. 

ಅಂದರೆ, n ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾ ಕೊನೆಗೆ ಅಂಕಿ ಒಂದರವರೆಗೆ ಬರುವುದು. ಹೀಗೆ ಲಭ್ಯವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5! ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕ ನೋಡಿ. 
 
ಶೂನ್ಯದ ಕ್ರಮಗುಣಿತವನ್ನು 1 ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬ ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಚಯ (combinatorics), ಬೀಜಗಣಿತ (algebra) ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (mathematical analysis). n ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ n! ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಇದಕ್ಕೆ ಹಿನ್ನೆಲೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಡ್ಲಿ, ದೋಸೆ, ವಡೆ ಎಂಬ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ 6 ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). 6 = 3! ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬಹುದು. ಅನಂತರ ಉಳಿಯುವುದು 2 ವಸ್ತುಗಳು. ಕೊನೆಗೆ ಉಳಿಯುವುದು ಒಂದೇ ಒಂದು. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲೂ ನಮಗೆ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು 3, 2, 1. ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು :. ಇದನ್ನು ಕುರಿತು ಹನ್ನೆರಡನೇ ಶತಮಾನದ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು.. n! ಎಂಬ ಗಣಿತ ಸಂಜ್ಞೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದವನು ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಕ್ರಾಂಪ್ ಎಂಬ ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮೂಲದ ಗಣಿತಜ್ಞ. (1808)
 
ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ -ವಡೆ 

ಇಡ್ಲಿ - ವಡೆ - ದೋಸೆ 

ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ -ವಡೆ 

ದೋಸೆ - ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ 

ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ 

ವಡೆ - ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ
'n! ಅಥವಾ n ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ  ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ರಿಕರೆನ್ಸ್ ರಿಲೇಶನ್ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. 

.

ಉದಾ:

0!

ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಪುನರಾವರ್ಥಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು 0 ಕ್ರಮಗುಣಿತ = 0! = 1 ಎಂಬ 'ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಅಗತ್ಯ. 

ಹೀಗಾಗಿ 

ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಕೇವಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ. 

ಹಾಗೆ, ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. 
 
.

n ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕೂಡಾ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ. 

.

0! = 1 ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಅನೇಕ ಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಗುಣಿತ 

ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

ಉಪಯೋಗಗಳು

 n ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು n! ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಇವನ್ನು ಜೋಡಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮುಟೇಶನ್ ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  

 ಕೆಲವು ಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬುದು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು. ಇದಕ್ಕೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. n ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ಜೊತೆ) ಇದ್ದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ k ವಸ್ತುಗಳ ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ವಸ್ತುವನ್ನು n ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯ ವಸ್ತುವನ್ನು n-1 ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಗೆ k ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n-k+1 ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ/ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಟ್ಟು ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ   ಮತ್ತು  ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರಣ ಹೀಗೆ ನಾಮಕರಣ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

 ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಿಭಾಗದಲ್ಲೂ ಕ್ರಮಗುಣಿತ  ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರ,.
 ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು  ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂಬ ಗಣಿತಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ.
 ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ   ಎಂಬುದು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂಬ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೇತ.</math>

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅದರ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಹೇಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ?

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಂತೆ ಅದರ ಕ್ರಮಗುಣಿತ  ಕ್ಷಿಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಈ ವೇಗವು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ  ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮತ್ತು ಘಾತಿಕಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. 
n! ಎಂಬುದನ್ನು  ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಹಲವು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಮೊದಲು n! ಎಂಬುದರ ನೈಜ  ಲಘುಗಣಕ  ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗುವುದು,
  

ln n! ಎಂಬುದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಂತೆ ತೋರಿದರೂ ಅದು ವಾಸ್ತವವಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ln n! ಎಂಬುದರ ಅಂದಾಜು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಇದಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾದ ಅಂದಾಜು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ 
  ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆಯೇ n ≥ 6 ಆದಾಗ  ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ  ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು ಎಂಬುದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: 

ಇದನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ಲಘುಗಣಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪರಿಮಿತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 
ಮತ್ತೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ:

ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕೂಡಾ n! ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ 

ಅಥವಾ 

ಅಥವಾ

ಉಲ್ಲೇಖ