ಆಲ್ಗಾರಿತಂ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಕರ್ಮ. ಅರಬ್ಬೀ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಆಲ್‍ಖ್ವಾರಿಜ್ಮೀ ಬರೆದ ಗಣಿತ ಗ್ರಂಥ ಲಿಬರ್ ಆಲ್‍ಗೊರಿಜ್ಮೀ ಎಂದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿತವಾಯಿತು; ಜೊತೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಈತನ ಹೆಸರು ಆಲ್ಗಾರಿಸಂ ಎಂದು ಪರಿವರ್ತಿತವಾಯಿತು ಮತ್ತು ಈ ಪದಕ್ಕೆ ಗಣನೆಯ ವಿಧಾನವೆಂಬ ಅರ್ಥ ಬಂತು. ಅದುವರೆಗೆ ತಿಳಿಯದಿದ್ದ ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಪ್ರಾಧಾನ್ಯ ನೀಡಿದ್ದು ಈ ಗಣಿತದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ. ಓ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು α ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಭಾಗಲಬ್ದ ಕಿ ಮತ್ತು ಶೇಷ β ಆಗಿದ್ದರೆ ಓ= αಕಿ+ β ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಬರೆಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಲ್ಗಾರಿತಂ (ಆಲ್ಗಾರಿಸಂ ಪರ್ಯಾಯಪದ) ಕ್ರಮ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.  ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಎರಡು ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಹತ್ತಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು (ಜೆ.ಸಿ.ಎಂ.) ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಎಂದು ಹೆಸರು. 			
(ಆರ್.ಎಂ.)

ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ
ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ವಿವರವಿಷ್ಟು. 0,1,2,3……..ಡಿ……………ಟಿ…….ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ತಲೆದೋರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಆರು : ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ(ಟಿ/ಡಿ)ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (ಡಿ/ಟಿ)ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರಿಂದಲೇ(ಟಿ/ಟಿ)ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ (0/0)ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ (0/ಟಿ) ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು. ಒಂದನೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನುಳಿದು ಮಿಕ್ಕವು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಭಾಗಾಹಾರದ ಭಾವನೆ ಅನ್ವಹಿಸುವುದು ಇಂಥ (ಟಿ/ಡಿ)ಸಂಖ್ಯಾಯುಗ್ಮಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಕೆಗೆ ಎರಡು ಪ್ರಭೇದಗಳಿವೆ; 

ಇತ್ಯಾದಿ ಒಂದು  ಇತ್ಯಾದಿ ಇನ್ನೊಂದು. ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆ; ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲ. ಇವೆರಡನ್ನು ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ ಆಲ್ಲಾರಿತಂ (ಘಿ=ಚಿಕಿ+  ) ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
			16=4ಘಿ4+0
			54=18ಘಿ3+0
			24=8ಘಿ3+0
			17=5ಘಿ3+2
			21=4ಘಿ5+1
			36=8ಘಿ4+4

ಇಂಥ ಅಂಕಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತನಾದ ಗಣಿತಜ್ಞ ಇವುಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಕೊಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ.  ಚಿ ಅಂಶ,b ಛೇದ ಆದರೆ ಚಿ≥b>o ನಿಯಮವನ್ನು ಅವು ಪಾಲಿಸಬೇಕು. ಚಿ ಯನ್ನು b ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ q1 ಭಾಗಲಬ್ದವೂ ಡಿ1 ಶೇಷವೂ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ  ಚಿ=bq1+ಡಿ1 o≤ಡಿ1<b. ಡಿ1≠0 ಆದಾಗ b ಯನ್ನು ಡಿ1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ q2 ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಡಿ2 ಶೇಷವನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ b=ಡಿ1q2+ಡಿ2.  0≤ಡಿ2<ಡಿ1ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿಸಿ ದೊರೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಬಹುದು.
		ಚಿ= bq1 + ಡಿ1,			0≤ಡಿ1<b 
		b=ಡಿ1q2+ಡಿ2,			0≤ಡಿ2<ಡಿ1
		ಡಿ1=ಡಿ2q3+ಡಿ3,			0≤ಡಿ3<ಡಿ2
		ಡಿ2=ಡಿ2q4+ಡಿ4,			0≤ಡಿ4<ಡಿ3
			  				
			ಡಿಟಿ-2=ಡಿಟಿ-1qಟಿ+ಡಿಟಿ,			0≤ಡಿಟಿ<ಡಿಟಿ-1
ಇಲ್ಲಿ ಡಿ1.ಡಿ2.ಡಿ3…………… ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅವರೋಹೀ ಅನುಕ್ರಮಿ. (ಡಿಕ್ರೀಸಿಂಗ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಆಫ್ ಇಂಟಿಜರ್ಸ್). ಆದ್ದರಿಂದ ಟಿನ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ ಡಿಟಿ=+1=0 ಆಗಲೇಬೇಕು. ಚಿ,b  ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಟಿನ ಈ ಬೆಲೆ ಇದೆ.  ಉದಾಹರಣೆ  ಚಿ=39, b=4  ಆಗಿದ್ದರೆ.
		39=4ಘಿ9+3,	0<3<4,		ಡಿ1=3
		 4=3ಘಿ1+1,	0<1<3,		ಡಿ2=1
		 3=1ಘಿ3+0,   ಇಲ್ಲಿಗೆ ಮುಗಿಯಿತು	ಡಿ3=0
ಮೇಲೆ ಬರೆದಿರುವ ಡಿ1.ಡಿ2.ಡಿ3………………. ಇವನ್ನು(ಡಿಟಿ+1=0ಆಗುವವರೆಗೂ) ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ ಆಲ್ಲಾರಿತಂ. ಈ ಗಣಿತ ಪರಿಕರ್ಮವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ಡನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಗ್ರಂಥಗಳ ಮೂರನೆಯ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ (ಪ್ರಮೇಯಗಳು 1-3) ವಿವರಿಸಿದೆ. ಅಲ್ಲಿ ಇದರ ನಿರೂಪಣೆ ಹೀಗಿದೆ : ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕುರಿತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 12 ಮತ್ತು 21 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 5ನ್ನು ಕುರಿತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. (ಅಂದರೆ 12, 5 ಮತ್ತು 21, 5 ಸಂಖ್ಯಾಯುಗ್ನಗಳ ನಡುವೆ 1ನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಬೇರೆ ಯಾವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವೂ ಇಲ್ಲ). ಆಗ 12ಘಿ21=252 ಸಹ 5ನ್ನು ಕುರಿತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ತೋರಿಕೆಗೆ ಬಲು ಸ್ಪಷ್ಟ, ಅತಿ ಸುಲಭವೆಂದು ತೋರುವ ಈ ಪರಿಕರ್ಮ ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಲು ಪ್ರಾಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು.

ಇತಿಹಾಸ
ಇಪ್ಪತ್ತನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಬಹುಮುಖವಾಗಿ ಬೆಳೆದುದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಪದಕ್ಕೆ ವಿಶಾಲವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ನೀಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಯಿತು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಶಿಕ್ಷಣ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವೆನಿಸುವ ರಾಶಿಯೊಂದನ್ನು (ಕ್ವಾಂಟಿಟಿ) ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ ಅಥವಾ ಮಾಮೂಲು ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಾಗ ಅನೇಕ ವೇಳೆ ನಾವು ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ನಿಶ್ಚಯಿಸಲಾಗಿರುವ ಒಂದಷ್ಟು ಕ್ಲಾಪ್ತವಿಧಿಗಳನು ಮೂಲದತ್ತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಜ್ಚೆ ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿ ಪ್ರಯೋಗಿಸುತ್ತ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ವಿಧಿಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಗಾರಿತಂಗಳೆಂದು ಹೆಸರು.  ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ನಾವು ಯಾವ ಕಲ್ಪನಾಚಾತುರ್ಯವನ್ನೂ ಪ್ರದರ್ಶಿಸದೆ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ವಿಧಿಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಪಾಲಿಸಿ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಆಪೇಕ್ಷಿತ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಪದದ ಈ ಅರ್ಥವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಗಣಕಯಂತ್ರಯುಗವಾದ (ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಎಚ್) ಇಪ್ಪತ್ತನೆಯ ಶತಮಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದು.  ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಬಗ್ಗೆ ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವರ್ಣನೆಕ್ಲಾಪ್ತ,ಯಾಂತ್ರಿಕ ಮುಂತಾದ ಸ್ಥೂಲ ವಿಶೇಷಣಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದರೆ ದತ್ತ ವಿಧಿಯೊಂದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಕ್ಲಾಪ್ತವೋ ಅಲ್ಲವೋ ಅದರ ಪ್ರಯೋಗ ಯಾಂತ್ರಿಕವೋ ಬುದ್ದಿಪೂರ್ವಕವೋ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಮನೋಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡಿರಬಹುದಾದ ಕಾರಣ ಈ ವರ್ಣನೆ ಒಂದು ನಿಖರ ಗಣಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಎನಿಸದು.  ಸ್ಥೂಲ ವಿಶೇಷಣಗಳ ಅರ್ಥವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿಖರಗೊಳಿಸಿ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ಸೈದ್ದಾಂತಿಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಅಳವಡಿಸಲು ಸಹಾಯಕವಾಗುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು 1932ರಲ್ಲಿ ಆಲೋನ್ ಸೊ ಚರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಸಿ. ಕ್ಲೀನ್; 1934ರಲ್ಲಿ ಕುರ್ಟ್ ಗೋಯಲ್; 1936-37 ರಲ್ಲಿ ಅಲ್ಯಾನ್ ಎಂ. ಟ್ಯೊರಿಂಗ್ ಮತ್ತು (ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ) ಎಮಿಲ್ ಎಲ್. ಪೋಸ್ಟ್; 1951 ರಲ್ಲಿ (ಕಿರಿಯ) ಎ.ಎ. ಮಾರ್ಕಫ್ ಇವರೆಲ್ಲರೂ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದಾರೆ.  ಅಂತಿಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಎಲ್ಲ ಸಂಶೋಧಕರ ನಿರೊಪಣೆಗಳೂ ವಸ್ತುತಃ ಸಮಾನವೆಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ 1932-37ರಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಶೋಧನೆಗಳು ಪ್ರಥಮತಃ ಸಂಖ್ಯಾಸಂಬಂಧಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನೇ ಕುರಿತವು.  ಮಾರ್ಕಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾದರೋ ಪ್ರಾರಂಭದಿಂದಲೇ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.  ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗುವುದು. ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ  ಅಕ್ಷರಮಾಲೆ, ಅಕ್ಷರ ಮತ್ತು ವಾಕ್ಯ ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೇ (ಕಾನ್‍ಸೆಪ್ಟ್ಸ್) ಪ್ರಧಾನ ಹಿನ್ನೆಲೆ.  ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಂಥ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಶಿಕ್ಷಣ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಪಿಸುವಾಗ ಬಳಕೆಯಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಬಿಡಿ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನೂ ಕಲೆ ಹಾಕಿದಾಗ ನಮಗೆ ಆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಕ್ಷರಮಾಲೆ (ಅಲ್ಫಬೆಟ್) ದೊರಕುವುದು. ಅಕ್ಷರಮಾಲೆಯಲ್ಲಿನ ಬಿಡಿ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಅಕ್ಷರಗಳೆಂದು (ಲೆಟರ್ಸ್ ಅಥವಾ ಕ್ಯಾರೆಕ್ಞರ್ಸ್) ಹೆಸರು.  ಈ ದೃಷ್ಟಿಯ ಮೇರೆಗೆ ಅಕ್ಷರಮಾಲೆಯೊಂದು ರೂಢಿಯ ಅ, ಆ,  'ಚಿ','b',    , ಮುಂತಾದುವುಗಳನ್ನಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ '+', ಘಿ', '='. '2', '7', ',', '/', '

ಇತರೇ ಮಾಹಿತಿಗಳು
ಇತ್ಯಾದಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನೂ ಒಳಗೊಳ್ಳಬಹುದು.  ಆಗ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಅಕ್ಷರಗಳೆನಿಸುತ್ತವೆ.  ಕೆಲವಾರು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲೊಂದರಂತೆ ಬರೆದಾಗ ಜನಿಸುವ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ವಾಕ್ಯಗಳೆಂದು (ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಸ್ ಅಥವಾ ವಡ್ರ್ಸ್) ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ವಾಕ್ಯವೊಂದರ ಹಲವಾರು ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರ ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು (ಇನ್‍ಫಿನಿಟ್ ನಂಬರ್) ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಅಕ್ಷರಮಾಲೆ ಗಳಿಗಾಗಲೀ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ವಾಕ್ಯ ಗಳಿಗಾಗಲೀ ಮಾರ್ಕಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎಡೆಯಿಲ್ಲ.  ವಾಸ್ತವಿಕ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನೇಕ ವೇಳೆ ವಾಕ್ಯಗಳ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲೊಂದರಂತೆ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ; ಬಣ್ಣದ ಚಿಟ್ಟೆ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ವಿನಾ ಬಣಣದ ಚಿಬೆಟ ಎಂದಲ್ಲ, 43=82' ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೇ ವಿನಾ '43=82' ಎಂದಲ್ಲ. ಆದರೆ ಈ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ವರ್ಣಮಾಲೆಗೆ ಸೇರಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಇಂಥ ಅಡ್ಡಾದಿಡ್ಡಿವಾಕ್ಯಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ನೇರ ಸರಪಳಿಗಳಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೊಸದಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದ ಅಕ್ಷರಗಳು * ಮತ್ತು  ψ  ಅಗಿರಲಿ.  ಆಗ  '43=82 ಅನ್ನು  4*3=8*2 ಎಂದೂ ಬಣ್ಣದ ಚಿಟ್ಟೆಯನ್ನು ಬಣψಣದ ಚಿಟೆψಟ ಎಂದೂ ಬರೆಯಲು ಅಡ್ಡಿಯಿಲ್ಲವಷ್ಟೆ.  ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾರ್ಕಫ್ ನಿರೂಪಣೆಯಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಅಡ್ಡಾದಿಡ್ಡಿ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ವೀಕ್ಷಕರ ಭಾಷೆ
ವೀಕ್ಷಕರ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಾಕ್ಯಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥವನ್ನುಳ್ಳ ಮಾಹಿತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.  ಆದರೆ ಈ ರೀತಿಯ ಅರ್ಥವಿರಲಿ ಬಿಡಲಿ, ಅಕ್ಷರಗಳ ಸಾಂತ ಸರಪಳಿಗಳೆಲ್ಲವೂ (ಫೈನೈಟ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಸ್) ನಮ್ಮ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ವಾಕ್ಯಗಳೇ ಆಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ವಾಕ್ಯಗಳ ಅರ್ಥಕ್ಕೂ ಮಾರ್ಕಫ್ó ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೂ ನೇರವಾದ ಯಾವ ಸಂಬಂಧವೂ ಇಲ್ಲ.  ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಾಕ್ಯವೊಂದರ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಮತ್ತೆ ವಾಕ್ಯಗಳೆಂದೇ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಇಡೀ ವಾಕ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರವಿರಬಹುದು. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲೆ ಏಕರೂಪ ನಿರೂಪಣೆಯ ಸೌಲಭ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮಾರ್ಕಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದೆ ಹೋಗಿ ಒಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳದ ಶೂನ್ಯವಾಕ್ಯದ (ನಲ್‍ವರ್ಡ್) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೂಡ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ : ಶೂನ್ಯವಾಕ್ಯವೆಂದರೆ ಖಾಲಿ ಜಾಗವೆಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಸದ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಈಗ ಒಂದು ಸರಳ ನಿದರ್ಶನದ ಮುಖಾಂತರ ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಸಿದ್ದವಾಗಿದ್ದೇವೆ. ನಮ್ಮ ಅಕ್ಷರಮಾಲೆಯಲ್ಲಿ P, 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ಮತ್ತು 9                                ಎಂಬ ಹನ್ನೊಂದು ಅಕ್ಷರಗಳಿರಲಿ.  ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ  Pಯ ವಿನಾ ಉಳಿದೆಲ್ಲವೂ ಮೂಲ ದತ್ತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಲ್ಲುವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
(1)  9P→P0   (ಅಂದರೆ   ಯನ್ನು   ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ)
(2) ಪರಿಸಮಾಪಕ ವಿಧಿ (ಕನ್‍ಕ್ಲೊಡಿಂಗ್ ಫಾಮ್ರ್ಯುಲಾ) 8P→9, (ಅಂದರೆ 8P'  ಯನ್ನು 9' ಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟಕ್ಕೇ ಕೊನೆಗಾಣಿಸಿ)
(3) ಪರಿಸಮಾಪಕ ವಿಧಿ 7P→8
(4) ಪರಿಸಮಾಪಕ ವಿಧಿ 6P→7
      ಇತ್ಯಾದಿ …………
(9) ಪರಿಸಮಾಪಕ ವಿಧಿ 1P→2
(10) ಪರಿಸಮಾಪಕ ವಿಧಿ 0P→1
(11)   ಪರಿಸಮಾಪಕ ವಿಧಿ P→1 
(11) (ಖಾಲಿಜಾಗ) →P, (ಅಂದರೆ ದತ್ತವಾಕ್ಯದ ತುದಿಗೆ  ಯನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿ). ಈ ವಿಧಿಗಳೊಂದೊಂದೊ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಾಕ್ಯದ (ಅಥವಾ ವಾಕ್ಯವಿಭಾಗದ) ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಆದೇಶಿಸುವಂತೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಯಪಡಿಸುತ್ತದೆ.  ಇಂಥ ಆದೇಶಸೂತ್ರಗಳ (ಸಬ್‍ಸ್ಟಿಟ್ಯೊಷನ್ ಫಾಮ್ರ್ಯುಲೇ) ಸಮುದಾಯವನ್ನು ನಾವು ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಆದೇಶಸೂತ್ರಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಸಾಂತವಾಗಿರಬೇಕಲ್ಲದೆ ಒಂದೊಂದು ಆದೇಶ ಸೂತ್ರದ ಉದ್ದವೂ ಸಾಂತವೇ ಆಗಿರಬೇಕು.

ಮಾರ್ಕಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ
ಮೇಲೆ ನಮೂದಿಸಿರುವ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಿಯಾವಿಧಾನವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಅದನ್ನು 79199 ಎಂಬ ಒಂದು ವಾಕ್ಯದ (ದತ್ತವಾಕ್ಯ) ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ನೋಡೋಣ. ಮಾರ್ಕಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿಧಿಪ್ರಯೋಗಗಳು ನಾಲ್ಕು ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕಾಗುವುದು : (ಚಿ) ಆಲ್ಗಾರಿತಂನಲ್ಲಿ ವಿಧಿಗಳನ್ನು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಯೋ ಅದೇ ಆದ್ಯತೆಗನುಸಾರವಾಗಿ ಅವನ್ನು ವಾಕ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಯತ್ನಿಸತಕ್ಕದ್ದು. (b) ವಿಧಿಯೊಂದನ್ನು ಒಂದೇ ವಾಕ್ಯದ ಹಲವಾರು ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಆ ವಿಭಾಗಗಳ ಪೈಕಿ ಅತ್ಯಂತ ಬಲ (ಅಥವಾ ಎಡ) ಕಡೆಯಲ್ಲಿರುವುದರ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಿಸತಕ್ಕದ್ದು. (ಛಿ) ಪರಿಸಮಾಪಕಾಜ್ಞೆಯೊಂದನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದ ಕೂಡಲೇ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ ಕ್ರಿಯಾಸರಣಿಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸತಕ್ಕದ್ದು ಮತ್ತು (ಜ) ಆಲ್ಗಾರಿತಂನಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂಥ ವಿಧಿಗಳೇ ಇಲ್ಲದೆ ಹೋದಾಗ ಸಹ ಕ್ರಿಯಾಸರಣಿಯನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯ ಮಾಡತಕ್ಕದ್ದು. 79199 ರಲ್ಲಿ P ಅಕ್ಷರವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಅದರಮೇಲೆ ಮೇಲೆ ನಮೂದಿಸಿರುವ ಮೊದಲನೆಯ ಹನ್ನೊಂದು ವಿಧಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. (xii) ನೆಯ ವಿಧಿ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ನಮ್ಮ 79199  ವಾಕ್ಯ 79199 ಎಂಬುದಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆ ಹೊಂದುವುದು. ಈಗ 79199 ವಾಕ್ಯದ ಮೇಲೆ (i) ನೆಯ ವಿಧಿಯನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಬಹುದು. ಆ ಬಳಿಕ ಅದು7919Pಔ' ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೆ (i) ನೆಯ ವಿಧಿಯನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ 791Pಔಔ  ಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 791Pಔಔ ಯನ್ನು (ix)ನೆಯ ವಿಧಿಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಗುರಿಮಾಡಿದಾಗ [ಅದರ ಮೇಲೆ (i) ರಿಂದ  (viii) ರವರೆಗೆ ಯಾವ ವಿಧಿಗಳನ್ನೂ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ ವಾಗುವುದಿಲ್ಲವಷ್ಟೆ] ಅದು 79200  ಎಂಬ ವಾಕ್ಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡುತ್ತದೆ. (ix) ನೆಯ ವಿಧಿ ಪರಿಸಮಾಪಕವಾದ್ದರಿಂದ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆ ಇಲ್ಲಿಗೆ ಮುಕ್ತಾಯವಾಗುವುದು. ಅಂದರೆ ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿತಂ 79199 ನ್ನು 79200ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆಂದಾಯಿತು. ಈಗ 79199ನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿದಾಗ79200 ಅದರ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದು ನಮಗೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥನಿರೂಪಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಅದರ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದು. ಆದರೆ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ ಶುದ್ದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಇಂಥ ಅರ್ಥನಿರೂಪಣೆಗಳ ಆಸರೆ ಅನಗತ್ಯ. 79199ರ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆ ಕೆಲವಷ್ಟು (ಅಂದರೆ ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು) ಹೆಜ್ಚೆಗಳ ತರುವಾಯ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಈ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ 79199ಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದೆಂದು (ಅಪ್ಲಿಕೆಬಲ್) ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ 9→9 ಎಂಬ ಏಕೈಕ (ಅಪರಿಸಮಾಪಕ) ವಿಧಿಯನ್ನೊಳಗೊಳ್ಳುವ ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ 79199 ಅನ್ವಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಎಕೆಂದರೆ 79199 ರ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಪ್ರಯೋಗ ಅನಂತವಾಗಿ ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ 79199 ಎಂಬ ವಾಕ್ಯಕ್ಕೆ ಪುನರ್ಜನ್ಮ ನೀಡುತ್ತ ಹೋಗುವುದು. (ದತ್ತವಾಕ್ಯವಾಗಿ 79199ರ ಬದಲು 78188 ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಲ್ಲಿ ಈ 9(9 ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕೂಡ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 78188ರ ಮೇಲೆ 9(9 ವಿಧಿಯನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ 78188 ನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಉಳಿಸಿಡುತ್ತದೆ).
ಮಾರ್ಕಫó ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮಾರ್ಕಫ್ó ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳಾಗಿಯೇ ಪುನಾರಚಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಐ ಎಂಬ ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ ಖ   ಘ óóಙ  ಎಂಬ ದತ್ತವಾಕ್ಯವನ್ನು ಚ ಛ . ..   ಝ ಞ ಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಿ.  ಆ ಬಳಿಕ ಚ ಛ . . .  ಝ ಞ ಮೇಲೆ ಒ ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ó ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಟ ಠ  ಢ ಣ ಆಗಿ ಮಾರ್ಪಡಬಹುದು. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಕ ಖ. . . ಘ ಙ ವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಟ ಠ. . . ಢ ಣ ಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಕೊಡುವಂತೆ ಓ ಎಂಬ ಒಂದೇ ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಕಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆದಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಇಂಥ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿಯೇ ಬರಬರುತ್ತ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗತೊಡಗುವುವು. ಈ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪೈಕಿ ಅತಿ ಮುಖ್ಯವಾದುವೆಂದರೆ ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರ್ವತ್ರಿಕ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನಲ್ಲೂ ಹಲವಾರು ವಿಧಿಗಳಿರುತ್ತವಷ್ಟೆ.  ಈಗ ಒಂದು ಕಡೆ ಈ ವಿಧಿಗಳ ಇಡೀ ಸಮುದಾಯವನ್ನೂ ಇನ್ನೊಂದು ಕಡೆ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿರುವ ದತ್ತವಾಕ್ಯವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ವಿಸ್ತøತ ಅಕ್ಷರಮಾಲೆಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂಯುಕ್ತ ವಾಕ್ಯವನ್ನಾಗಿ ಬರೆದಿಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, '79199'ನ್ನು ಅದರ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ ವಿಧಿಗಳನ್ನೂ  '79199' ಎಂಬ ದತ್ತವಾಕ್ಯವನ್ನೂ ಕೆಳಗಿನ ನಮೂನೆಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು :
ಂ9P→P0ಃSP→9ಃ7P→8ಃ6P→7ಃ. . .ಃIP
     →2ಃ0P→IಃP→1ಂ (ಖಾಲಿಜಾಗ)
     →Pಅ 79199

ಅಪರಿಸಮಾಪಕ ವಿಧಿಗಳು
ಈ ನಮೂನೆಯಲ್ಲಿ ಅಪರಿಸಮಾಪಕ ವಿಧಿಗಳ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ಂ ಅಕ್ಷರವೂ ಪರಿಸಮಾಪಕ ವಿಧಿಗಳ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು  ಃ  ಅಕ್ಷರವೂ ದತ್ತವಾಕ್ಯದ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ಅ ಅಕ್ಷರವೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ (ಯೂನಿವರ್ಸಲ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ) ಎಂಬ ಒಂದು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ (ಅದರ ಇರವನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಪ್ರಮೇಯ ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ) ಇಂಥ ಸಂಯುಕ್ತವಾಕ್ಯದ ಮೇಲೆ ವರ್ತಿಸಿ ಇತರ ಆಲ್ಗರಿತಂಗಳು ಬಿಡಿಬಿಡಿಯಾಗಿ ಯಾವ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೋ ವಸ್ತುತಃ ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ತಾನೊಂದೇ ನಿರ್ವಹಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆಲ್ಗಾರತಂ ಮೇಲೆ ಬರೆದಿರುವ  ಂ9P→… …→Pಅ79199 ಎಂಬ ಉದ್ದನೆಯ ವಾಕ್ಯದ ಮೇಲೆ ವರ್ತಿಸಿ (ಬರಿಯ 79199 ರ ಮೇಲಲ್ಲ) ಅದನ್ನು 79200 ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದು.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸ
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಸಹಸ್ರಾರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣನ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ನಿಯೋಜಿತವಾಗಿದ್ದು ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳೆಂದೇ ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ.  ಇಂಥ ಗಣನ ವಿಧಾನಗಳೆಲ್ಲವೂ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿರುವ ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ನಿಜ. ಆದರೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ಒಂದು ಅಪವಾದ (ಎಕ್ಸೆಪ್ಷನ್) ಕೊಡ ಇಲ್ಲದಂತೆ ಈ ವೈವಿಧ್ಯಪೂರ್ಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳಾಗಿ ಪುನಾರಚಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವುಂಟೆಂಬುದು. ಇದರಿಂದ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಸಂಬಂಧವಾಗಿ ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲಿದ್ದ ಅವ್ಯಕ್ತ ಮನೋಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಮಾರ್ಕಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ತಪ್ಪಿಲ್ಲದೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಿದೆಯೆಂದು ನಂಬಬಹುದು.ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಅದರ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗೊತ್ತು ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಮೂಲಕ ಬಿಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತಷ್ಟೆ.  ಹೀಗೆಯೇ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಮೂಲಕವೇ ಬಿಡಿಸಬಹುದು.  ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗಣಕಯಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ (ಕಂಪ್ಯೊಟರ್ ಸೈನ್ಸ್) ಯಂತ್ರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಒಂದು ಭಾಷೆಯ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಭಾಷೆಗೆ ತರ್ಜುಮೆಮಾಡುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಅನುವಾದಕ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳನ್ನು (ಮೆಶೀನ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‍ಲೇಷನ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಸ್) ಅವಲಂಬಿಸಬಹುದು.

ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಉತ್ತರ
ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಉತ್ತರವಿದ್ದಲ್ಲಿ ಆ ಉತ್ತರದ ತಾರ್ಕಿಕ ಭದ್ರತೆ ಸಂದೇಹಾತೀತವೆನಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ '79199'ರ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬಂಥ ಅಕ್ಷರವೃಂದಗಳು ಯಾವ ಆಭಾಸಗಳಿಗೂ ಜನ್ಮ ನೀಡಿಲ್ಲ. ಆದರೆ  '37'ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಕನಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ಅಕ್ಷರವೃಂದವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ನಿಜಕ್ಕೂ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವುದಾದರೆ ಅದನ್ನು ಇದೇ ಅಕ್ಷರವೃಂದವೇ ಕೇವಲ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಣಿಸಿರುವುದರಿಂದ (ಒತ್ತಕ್ಷರಾದಿಗಳೂ ಸೇರಿದಂತೆ ಎಣಿಸಿ ನೋಡಿ) ಬೌದ್ಧಿಕ ಗೊಂದಲಕ್ಕೆ ಎಡೆಯುಂಟಾಗುವುದು (ಜಿ.ಜಿ. ಬೆರಿ ಅವರ ಅಭಾಸ). ಅಂದಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಆಧಾರಿತ ಮಾರ್ಗವೊಂದನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಮುನ್ನವೇ ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಸ್ತಾಪ ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದೆಂದಾಯಿತು.ಬಹುಶಃ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಡೆದಿರುವ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಗಮನಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಮೂಲಕವೇ ಬಿಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೆಂಬುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಂದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್‍ಕ್ಯುಲಸ್ ಎಂಬ ಗಣಿತತರ್ಕ ಪದ್ಧತಿಯ ಅನಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವೊಂದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವುಂಟೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಇತ್ಯರ್ಥ ಮಾಡಲು ಯಾವ ಆಲ್ಗಾರಿತಮ್ಮೂ ಇಲ್ಲವೆಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ.  
(ನೋಡಿ— ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ-1) 
(ನೋಡಿ- ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ-2)

ಅಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಪ್ರಯೋಗ
ಆಗಲೇ ತಿಳಿಸಿರುವಂತೆ ಅಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಪ್ರಯೋಗ ಒಂದು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕ್ರಿಯೆ ಮಾತ್ರ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸನ್ನಿವೇಷಗಳಲ್ಲಿ ತಲೆದೋರುವ ಅಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಅಭಾವ ಅಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಕಲ್ಪನಾಚಾತುರ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೆಂಬ ಸತ್ಯಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಚದುರಂಗ ಆಟವೇ ಮುಂತಾದ ಇನ್ನು ಕೆಲವು ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ತತ್ತ್ವಶಃ ಖಾತರಿಯಾಗಿ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ದೊರಕಿಸಿ ಕೊಡುವ ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳಿರಬಹುದಾದರೂ ಅವುಗಳ ನೇರ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಮನುಷ್ಯರ ಜೀವಮಾನಕ್ಕಿಂತಲೂ ದೀರ್ಘತರ ಕಾಲಾವಧಿಗಳು ಅವಶ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಥ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಯಾಂತ್ರಿಕ ನಡೆವಳಿಕೆಗಿಂತ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಶಷ್ತ್ಯವುಂಟು. ಆದರೆ ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವುದೆಂಬ ಭರವಸೆಯಿಲ್ಲದಿರುವುದೇ ಬುದ್ದಿವಂತಿಕೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಬಲಹೀನತೆ.ಗಣಕಯಂತ್ರಗಳು ಕೇವಲ ಯಂತ್ರಗಳಾದ್ದರಿಂದ ಅವು ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಅಧಾರಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬಲ್ಲುವೇ ವಿನಾ ನಿಜವಾದ ಬುದ್ಧಿಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾರವೆಂದು ಮೊದಮೊದಲು ಕೆಲವು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ನಂಬಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿನ ಕಲ್ಪನಾಚಾತುರ್ಯವನ್ನು ಕೂಡ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಗಣಕಯಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ.  ಖಾತರಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಭರವಸೆಯಿಲ್ಲದ ಇಂಥ ಸ್ವಯಂಶಿಕ್ಷಕ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು (ಹ್ಯೊರಿಸ್ಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮ್ಸ್) ಆಲೋಚನಾ ಸಾಮಥ್ರ್ಯದಲ್ಲಿ ಮಾನವನಿಗೂ ಯಂತ್ರಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ತುಸು ತಗ್ಗಿಸಿವೆಯೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು