ಯುಕ್ಲಿಡ್ 'ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ 'ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು,ಯುಕ್ಲಿಡ್ ಒಬ್ಬ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯನ್ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ .  ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅವರು  'ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್'''  ಎಂಬ  ತಮ್ಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ವಿಧಾನವು ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳನ್ನು ( ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು )  ಒಳಗೊಂಡಿದೆ . ಹಿಂದಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೇಳಿದ್ದರೂ,  ಈ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು ಸಮಗ್ರ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹೇಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್.  ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್  ಪಠ್ಯ ಪುಸ್ತಕವು ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ( ಪ್ರೌಢ ಶಾಲೆ) ಮೊದಲ ಅಕ್ಷೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಘನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳ  ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. 

ಎರಡು ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ, "ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್" ಎಂಬ ವಿಶೇಷಣವು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು ಏಕೆಂದರೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಮೂಲತತ್ವಗಳು  ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತಿದ್ದವು , ಅವುಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತಾದ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಧ್ಯಾತ್ಮಿಕ, ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿಜವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ..ಇಂದು,ಹೇಗಾದರು  ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದೆ ಅನೇಕ ಇತರ ಸ್ವ-ಸ್ಥಿರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೂ, ಮೊದಲನೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿತ್ತು.  

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳಂತಹ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಆ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. 

 ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಜ್ಞಾನದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ನಲ್ಲಿ 13 ಪುಸ್ತಕಗಳಿವೆ: 

೧-೪ ಮತ್ತು ೬ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮತಲ ಅಂಕಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ "ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ." (ಪುಸ್ತಕ ೧ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ೧೭) ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ "ಬಲ ಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಚೌಕವು ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ." (ಪುಸ್ತಕ ೧, ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ೪೭) 

ಪುಸ್ತಕ ೫ ಮತ್ತು ೭-೧೦  ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತವೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತವಾಗಿ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದ ಅಥವಾ  ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. 

ಪುಸ್ತಕಗಳು ೧೧-೧೩ ಘನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ . ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಒಂದೇ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಪಾದ ಹೊಂದಿರುವ ಶಂಕು ಮತ್ತು ಸ್ಥಂಭಾಕೃತಿ ಪರಿಮಾಣದ ನಡುವಿನ ೧: ೩ ಅನುಪಾತ. ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. 

 ಮೂಲತತ್ವಗಳು 

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಒಂದು ಅಕ್ಷಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಳ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಬಂದಿವೆ . ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಆಗಮನದವರೆಗೂ, ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಭೌತಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಜವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿತ್ತು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ . ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಾರಂಭದ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ, ಯುಕ್ಲಿಡ್ ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಐದು ಸಿದ್ದಾಂತಗಳನ್ನು(ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು) ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ಮಾಣಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. 

 ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಿ: 

 ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲು. 
 ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು. 
 ವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಅಂತರ (ತ್ರಿಜ್ಯ) ಜೊತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು . 
 ಎಲ್ಲಾ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 

ಯುಕ್ಲಿಡ್ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅವನ ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಅನನ್ಯವೆಂದು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಕಾರಣಿಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಐದು "ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು" ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: 

 ಒಂದೇ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಷಯಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ . 
 ಸಮಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ . 
 ಸಮಾನವನ್ನು ಸಮಾನದಿಂದ ಕಳೆಯುವುದಾದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ . 
 ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ವಿಷಯಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ . 
 ಪೂರ್ಣವು  ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. 

ಆಧುನಿಕ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅವರ ಸಿದ್ದಾಂತವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅವರ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ.  ಆಧುನಿಕ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. 

 ಸಮಾನಾಂತರ ಸಿದ್ದಾಂತ 
ಪ್ರಾಚೀನರಿಗೆ, ಸಮಾನಾಂತರ ನಿಲುವು ಇತರರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕೆಲವು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಆಶಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಯು ಸರಳವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಂದ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪುರಾವೆ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಈಗ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಬ್ಬರು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸ್ಥಿರವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು  ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ನಿಲುವು ನಿಜ, ಮತ್ತು ಇತರರಿಗೆ  ಅದು ಸುಳ್ಳು. ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್'' ಸಂಘಟನೆಯಿಂದ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿರುವಂತೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಸ್ವತಃ ಇದನ್ನು ಇತರರಿಗಿಂತ ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಭಿನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ: ಅವನ ಮೊದಲ ೨೮ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಗಣಿತ