ಅಳತೆಯ ದೋಷಗಳು

ವಸ್ತುಗಳ (ಅಥವಾ ಬಲಗಳ) ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು-ಅಂದರೆ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ, ಉದ್ದ, ಘನಗಾತ್ರ, ತೂಕ, ಅಶ್ವಸಾಮಥ್ರ್ಯ, ವೇಗ, ವೇಗವರ್ಧನೆ, ಇತ್ಯಾದಿ-ಒಂದು ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಅಳೆಯುವ ಕ್ರಿಯೆ ಅಳತೆ (ಮೆಷರ್‍ಮೆಂಟ್). ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತು, ಅಳೆಯುವ ಉಪಕರಣ, ಪ್ರಯೋಗಕಾರ ಎಂಬ ಮೂರು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಂಶಗಳಿವೆ. ಪ್ರಯೋಗಕಾರ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ವಸ್ತುಗಳ ವಿವರಗಳನ್ನು ಓದುವುದೇ ಅಳತೆ. ಉಪಕರಣದ ಬಳಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಆಗದಿದ್ದರೆ, ಓದುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷವಿದ್ದರೆ, ಉಪಕರಣವೇ ನ್ಯೂನತಾಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷ (ಎರ್ರರ್ ಆಫ್ ಮೆಷರ್‍ಮೆಂಟ್) ಉಂಟಾಗುವುದು. ವಾಸ್ತವಿಕತೆಗೂ ಅಳತೆಯಿಂದ ದೊರೆತ ಬೆಲೆಗೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಳತೆಯ ಲೋಪ. ಯಾವ ಪರಿಮಾಣದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಹೇಳುವುದು ಸಾಹಸದ ಮಾತಾದೀತು. ಸಾಮನ್ಯ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಒಂದು ಕಡ್ಡಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆದಾಗ ನಮ್ಮ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಪಕ್ಷ 0.1 ಸೆಂಮೀ.ನಷ್ಟಾದರೂ ದೋಷವಿದ್ದೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಕಾರಣವೇನೆಂದರೆ ನಾವು ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕನಿಷ್ಠದೂರ 0.1 ಸೆಂ.ಮೀ ಮಾತ್ರ. ಉದ್ದದ ಅಳತೆಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುಮಾಡಲು (ಅಂದರೆ ಅಳತೆಯ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು) ವರ್ನಿಯರ್ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಾರೆ; ಇದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಉದ್ದದ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ 0.001 ಸೆಂಮೀ.ನಷ್ಟು ನಿಖರತೆ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸ್ಕ್ರೂಗೇಜ್ ಮತ್ತು ಗೋಳಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಹೀಗೆಯೇ ಉದ್ದದ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಅಲ್ಲದೆ ಮಿಕ್ಕ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲೂ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾಲ, ಜಡತ್ವ, ಉಷ್ಣತೆ, ವಿದ್ಯುದ್ಬಲ, ವಿದ್ಯುತ್ವ್ರವಾಹ ಮುಂತಾದವು) ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ನಡೆದಿವೆ ಮತ್ತು ನಡೆಯುತ್ತಲೂ ಇವೆ.

ಅಳತೆ ನಿಖರತೆಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ
ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಪಡೆಯಬೇಕು? ಇದರ ಕಾರಣ ಯಾವುದನ್ನು ಏತಕ್ಕಾಗಿ ಅಳೆಯುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎನ್ನುವುದರಲ್ಲಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಮನೆಯ ಉದ್ದಳತೆಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ 1 ಸೆಂಮೀ. ನಷ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಬಂದರೂ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ; ಅದರೆ ಒಂದು ಕೂದಲಿನ ದಪ್ಪವನ್ನಳೆಯಬೇಕಾದರೆ ನಮ್ಮ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಪಕ್ಷ 0.0005 ಸೆಂಮೀ ನಷ್ಟು ನಿಖರತೆಯಾದರೂ ಬೇಕೇ ಬೇಕು. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಗೆ-ಒಂದು ಕಾರಿನ ವೇಗವನ್ನು ಅಳೆಯುವಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು ಗಂಟೆಗೆ 1 ಮೈಲಿಯಷ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಬಂದರೂ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಕ್ಷಿಪಣಿಯ ವೇಗವನ್ನಳೆಯುವಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 1/100 ಮೈಲಿಯಷ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದ್ದರೂ ಕ್ಷಿಪಣಿ ತನ್ನ ಗುರಿಯನ್ನು ಹತ್ತಾರು ಮೈಲಿಗಳಷ್ಟು ತಪ್ಪುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಯಾವುದಾದರೂ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ / ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆಯೋ ಆ ಮೊತ್ತವೇ ದೋಷ.

ದೋಶಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು
ಅಳತೆಯಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು :

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ (ರ್ಯಾಂಡಮ್) ದೋಷಗಳು
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ (ರ್ಯಾಂಡಮ್) ದೋಷಗಳು: ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹತ್ತಾರು ಸಾರಿ ಮಾಡಿದಾಗ, ಪ್ರತಿಸಾರಿಯೂ ಒಂದೊಂದು ಬೆಲೆಯುಳ್ಳದ್ದಾದರೆ ಅದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷವೆನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದೋಷಗಳಿಂದಾಗಿ ಅಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಬೆಲೆ ಸರಿಯಾದ ಬೆಲೆಗಿಂತ ಕೆಲವು ಸಾರಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿಯೂ ಕೆಲವು ಸಾರಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿಯೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹಲವರು ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಲೋಪವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷಗಳು (ಸಿಸ್ಟಮೆಟಿಕ್ ಎರ್ರರ್ಸ್)
ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷಗಳು (ಸಿಸ್ಟಮೆಟಿಕ್ ಎರ್ರರ್ಸ್) : ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯವುದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಪ್ರತಿಸಾರಿ ಅಳೆದಾಗಲೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತಿರುವ ಅಥವಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುತ್ತಿರುವ ದೋಷಕ್ಕೆ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ದೋಷ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಗಾಜಿನ ಕೊಳವೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ದ್ರವದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕೊಳವೆಗೆ ಅಂಟಿಸಿರುವ ಮಾಪನದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬೇಕೆನ್ನಿ. ಈಗ ಕೊಳವೆ ನೆಟ್ಟಗಿಲ್ಲದೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವಾಲಿದ್ದರೆ, ಮಟ್ಟ ಹೆಚ್ಚಿದಷ್ಟೂ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರತಿ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿಯೂ ದೋಷ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲೇ ಆಗಲಿ ನಾವು ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಉಪಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ದೋಷವಿದ್ದಲ್ಲಿ ಆ ದೋಷ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರತಿ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಅದೂ ಅಲ್ಲದೆ ಒಬ್ಬ ಪ್ರಯೋಗಕಾರ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಇಂಥ ದೋಷವನ್ನು ವೈಯಕ್ತಿಕ ದೋಷ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಒಂದು ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮ ತುಲಾಯಂತ್ರವನ್ನು(ತಕ್ಕಡಿ) ಒಂದು ಗಾಜಿನ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆಂದುಕೊಳ್ಳಿ. ಈಗ ಇದರ ಸುತ್ತುಮುತ್ತಲಿನ ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಣುಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸಂಚರಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಇವುಗಳು ತುಲಾಯಂತ್ರವನ್ನು ಘರ್ಷಿಸಿ ಅದರಲ್ಲಿ ಅತಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಅತಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದರೂ ಇವು ನಮ್ಮ ಅಳತೆಗೆ ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದಂತಾಯಿತು. ಇಂಥ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗದ್ದಲ (ನಾಯ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಅಳತೆಯ ದೋಷದ ಗಣನೆ: ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಸರಿಯಾದ ಬೆಲೆ x0 ಮತ್ತು ಅದರ ಅಳೆದ ಬೆಲೆ x ಆಗಿದ್ದರೆ ನಮ್ಮ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿನ ದೋಷ eಯನ್ನು e=x- x0 ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

x0 ಗಿಂತ x ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಿರಬಹುದು. ಅಂದರೆ e ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಬಹುದು.

ಭಿನ್ನಾಂಶ ದೋಷ (ಫ್ರೇಕ್‍ಷನಲ್ ಎರ್ರರ್), ಜಿ ಅನ್ನು ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. x ಮತ್ತು x0 ಗಳು ಹತ್ತಿರ ಹತ್ತಿರವೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಎಂದೇ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಶೇಕಡ ದೋಷವನ್ನು ಎದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಕಡ್ಡಿಯ ಉದ್ದದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹತ್ತು ಸಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವು x1, x2 ....... x10 ಆಗಿರಲಿ ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಆಗಿದ್ದರೆ

ಆದ್ದರಿಂದ ಆಗಿರಲಿ.

ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ ಕೆಲವು ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ e0 ಎಲ್ಲ ದೋಷಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಅಳತೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಷ್ಟೂ e0 ಕಡಿಮೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ದೋಷವೂ ನಮಗೆ ತಿಳಿದುದಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿನ ಅಧಿಕತಮ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠತಮ ಬೆಲೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅರ್ಧ e ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ e, e0 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು e ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೋಲಕದ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ 20 ಆಂದೋಳನಗಳಿಗೆ ಆಗುವ ಕಾಲವನ್ನು ಹತ್ತು ಸಾರಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಅವು ಈ ರೀತಿಯಿವೆ: 19, 19, 18 20, 18, 19, 20, 20, 19, 18 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು. ಸರಿಯಾದ ಸಮಯ 18 ಮತ್ತು 20 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಮಧ್ಯೆ ಇದೆಯೆಂದು ಮೇಲೆನ ಅಳತೆಯ ಬೆಲೆಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳ ಅಧಿಕತಮ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠತಮ ಬೆಲೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 2 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ 19 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸರಿಯದ ಸಮಯ ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

x0 = (19 ( 1) ಸೆಕೆಂಡುಗಳು. ಈ ಬೆಲೆಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ.

ಚಿತ್ರ-1

ಮೇಲೆ ನಾವು ಅಧಿಕತಮ ಲೋಪವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅನೇಕ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಅಧಿಕತಮ ಲೋಪವನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಅಳತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಶೇಕಡಾ ಎಷ್ಟು ಲೋಪದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ಬರುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ತಿಳಿಯುವುದು ಅನುಕೂಲ.

ಒಂದು ಕಡ್ಡಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು 100 ಸಾರಿ ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆನ್ನೋಣ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಅಳತೆಗಳೂ ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯುಳ್ಳವುಗಳಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಅಳತೆಗಳು 100' ಆಗಿದ್ದರೆ ಇನ್ನು ಕೆಲವು 99.5' ಆಗಿರಬಹುದು. ಇವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿದೆ. ಅಳತೆ x (ಸೆಂ.ಮೀ.) ಎಷ್ಟು ಸಾರಿ ಈ ಅಳತೆ ಬಂದಿತು (ಆವೃತ್ತಿ ಸಂಖ್ಯೆ) ಜಿ ವ್ಯತ್ಯಸ್ಥ (ಡೀವಿಯೇಷನ್) ಜ = x - ‾x ಜ2 ಜಿಜ2 ಈx

98.0 3 -2.0 4.00 12.00 294.00

98.5 9 -1.5 2.25 20.25 886.5

99.00 8 -1.0 1.00 8.00 792.00

99.5 10 -0.5 0.25 2.5 995.0

100.0 32 0.0 0.00 0.00 3200.0

100.5 18 +0.5 0.25 4.50 1809.0

101.0 11 +1.0 1.00 11.00 1111.0

101.5 4 +1.5 2.25 9.00 406.0

102.0 5 +2.0 4.00 20.00 510.0

ಒಟ್ಟೂ 900.0 100 - - 87.25 10003.5

ಸರಾಸರಿ ಆದ್ದರಿಂದ ~ 100

x ಗಳ ಸರಾಸರಿ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ~ 100. ಪ್ರತಿ x ಮತ್ತು ನ ನಡುವೆ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಸ್ತ (ಡೀವಿಯೇಷನ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರತಿ ಅಳೆತೆಯೂ ಎಷ್ಟೆಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬರುತ್ತದೆಯೆಂಬುದನ್ನು ಆವೃತ್ತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈಗ ಜಿ ಮತ್ತು (x-) ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತು ಮಾಡಿದರೆ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಅಳತೆಯನ್ನು 100 ಸಾರಿಯಲ್ಲದೆ ಸಾವಿರಾರು ಸಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಗ್ರಾಫಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿದರೆ ಅದು ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿಯ ಮುರಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತ ವಿದ್ವಾಂಸ ಕೆ.ಎಫ್. ಗೌಸ್ ತೋರಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಇ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಗೌಸನ ದೋಷರೇಖೆ (ಗೌಸಿಯನ್ ಎರ್ರರ್ ಕರ್ವ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಇದರ ಸಮೀಕರಣ ಈ ರೀತಿಯಿದೆ.

ಇದರಲ್ಲಿ ಂಯನ್ನು ನ ಆವೃತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ( ವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣ ವ್ಯತ್ಯಸ್ತ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಡೀವಿಯೇಷನ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಚಿತ್ರ-2

ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿನ 68.3% ರಷ್ಟು ಅಳತೆಗಳು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ  - ( ಮತ್ತು  + ( ಇವುಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಳತೆಯ ನಿಖರತೆ - ( ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ; ಗ್ರಾಫ್ ಎಳೆಯದೆಯೇ ( ನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಂದರೆಆದ್ದರಿಂದ ಸರಿಯಾದ ಉದ್ದ s ಸೆಂ.ಮೀ. (ಕೆ.ಜಿ.)

ಅಳತೆಯ ಏಕಮಾನಗಳು