Análisis estadístico para la determinación de las constantes fenomenológicas en el modelo de Farous Civan para el daño de formaciones petrolíferas
Autor: Ruiz Serna, Marco Antonio
Asesor: Vásquez Rojas, Rafael Antonio (Thesis advisor)
Fecha: 2003
Programa: Bogotá - Medicina -Fisioterapia
Facultad: Facultad de Medicina

Resumen: Se presenta, en este trabajo tanto los avances logrados como la relatoría de las dificultades encontradas cuando se quiere aplicar los métodos de estimación por mínimos cuadrados en los modelos de regresión no lineal para evaluar los parámetros del modelo de Civan – Knapp, el cual se utiliza para simular resultados obtenidos en mediciones de laboratorio con pruebas de desplazamiento sobre medios porosos.  Si bien, no se logran resultados definitivos se incluyen análisis de las distintas alternativas diseñadas para superar las restricciones computacionales que el procedimiento NLin del programa SAS impone para los casos específicos en que el modelo de regresión propuesto no cuenta con una función de respuesta media de forma explícita conocida y/ó sus derivadas con respeto a los parámetros no se pueden expresar con una expresión analítica.

ANALISIS ESTADfsTICO PARA LA DETERMINACION DE 'LAS
CONSTANTES FENOMENOLOGICAS EN EL MODELO DE FAROUK
CIVAN PARA DANO DE FORMACIONES PETROLIFERAS.
Par.
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~f~K,%)~~r.-~(!~.~,
Marco Antonio Ruiz Serna.
Director.
Sergio Yanez Canal, M.S
Tr abajo presentado como requisito parcial para optar par el titulo de Especialista en
Estadistica.
UNIVERSIDAD NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIAS
MEDELLIN
2003
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TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCION. Pagina
l. MODELAlv\IENTO DEL DANO DE FORMACION. 1
1.1 ECUACIONES QUE CONFORMAN EL MODELO DE CIVAN
1.2 APLICACION DEL MODELO DE ClVAN. 4
1.3 PROPUESTA DE ALGORITMO PARA APLICAR EL MODELO DE CIVAN. 5
1.3.1 Datos del Modelo. 5
1.3.2 Ecuadones Utilizadas 5
1.3.3 Procedimiento Secuendal. 7
1.3.4 Algunos'Resultados Utilizados en el Modelo de Civan. 7
2. MODELOS DE REGRESION NO LINEAL. 10
2.1 ESTlMATIYOS MINIMOS CUADRADOS EN REGRESION NO LINEAL 10
(r) .
2.2 METODOS DE OPTIMIZACION DE LA FUNCION OBJETIVO S 10
2.3 MODULO DE SA<:; PARA REGRESION NO LINEAL. 12
2.4 ,EJEMPLO TIPICO DEL usa DEL PROCEDIMIENTO NUN. 13
3.0 LOS METODOS DE REGRESION NO LINEAL YSU APLICACION PARA
MODELAR EL DANO DE FORMACION DE ACUERDO AL MODELO
DECIVAN. 17
3.1- LOS MODELOS DE REGRESION NO LINEAL Y EL MODELO DE CIVAN 17
4. CONCLUSIONES. 23
5. RECOMENDACION ES. 24
6. BIBLlOGRAFIA. 25
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I
j
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LlSTADO DE ANEXOS.
PAGINA
ANEXO 1. Anteproyecto. 26
ANEXO 2. Modelo de Civan enLenguaje de Programacion IML 30
ANEX03. Resultados del Modelo de Civan en lenguaje de progromacon IML.
Datos de 10 Prueba 1 cuyos resultados con 10 version en Fortran del modelo
37
se notan en la Figura 1 .
ANEXO 4. listado de Codificacion del Metodo de Optimizacion para la Estimacion de
Parametros No lineales Marquardt - Levenberg. ... 39
ANEXO 5. Resultados de 10 Estimaci6n de Parametros No lineales Mediante el
~ I I Metodo de Optimizaci6n Marquardt - Levenberg, version en Fortran.
Ejemplo Toorico cuyos Resultados con SAS se encuentran en la Seccion 2.4. 421
I
1
I
RESUMEN.
Se presenta, en este trabajo, tanto los avances logrados como la relatoda de las
dificultades encontradas cuando se quiere aplicar los metodos de estimaci6n por
minimos cuadrados en los modelos de regresi6n no lineal para evaluar los parametros
del modelo de Civan - Knapp, el cual se utiliza para simular resultados obtenidos en
mediciones de laboratorio con pruebas de desplazamiento sobre medios porosos.
I: .
Si bien, no se logran resultados definitivos se incluyen analisis de las distintas
alternativas disenadas para superar las restricciones computacionales que el
procedimiento NUn del programa SAS impone para los casos espedficos en que el
modelo de regresi6n propuesto no cuenta con una funci6n de respuesta media de
forma explicita conocida y/c sus derlvadas con respecto a los parametros no se
pueden expresar con una expresi6n analftica.
PALABRAS CLAVES.
Regresi6n No Lineal.
Minimos Cuadrados.
Procedimiento Nlin.
Modelo de (ivan.
Progromaci6n IML.INTRODUCCION.
En ingenierfa son numerosas las situaciones en las cuales se requieren postular y estimar modelos de
regresion en las cuales la variable respuesta y la regresora no tienen una relacion lineal. En estos casos
s~ puede aplicar los modelos de regresion no lineal en los cuales se liene una funcion de forma
conocida que depende de para metros y de la variable independiente. En el programa SAS se cuenta con
Un procedimiento denominado NUN para la estimacion por mlnimos cuadradosdelos parametros de la
regresion el cual ofrece la posibilidad de seleccionar distintos metodos para minimizar la funcion objetivo
y seleccionar los mejores estimaciones, entre ellos Marquardt - Levenverg.
EI modelo de Civan es un modelo deterministico conformado por un grupo de ecuaciones diferenciales
las cuales resuelve en forma simultanea y se utiliza para obtener pronosticos de la varia cion
permeabilidad de una roca 0 muestra de raca cuando fluye a traves de ella una solucion con un
contenido dado de material particulado . EI modelo de Civan contiene un grupo de parametros que
dependen de la raca y de los flufdos a las condiciones de prueba en el laboratorio pero cuya magnitud
no se conoce. EI modelo se puede utilizar junto con valores arbitrarios asumidos para los parametros.
r i ' Con este trabajo se muestran las dificultades y las posibles soluciones que surgen cuando se quiere
i,
acudir a las tecnicas de regresion no lineal y al uso de procedimiento NUN para ajustar un modelo no
lineal como el de Civan a un grupo de datos medidos en el laboratorio. En este caso, cuando se estiman
fi II los para metros de la regresion por mfnimos cuadrados equivale a estimar los parametros desconocidos
!ii
i del modelo de Civan. Esta informacion tiene alto valor e importancia para estudios que se realizan en
ing.enieria de petroleos y que configuran el area de estudio denominada Dano de Formacion.
! '
En la primera parte de este informe se muestran las caracteristicas matematicas del modelo de Civan y
su aplicaci6n para reproducir los resultados 0 mediciones de laboratorio. EI modelo de Civan se puede
utilizar siempre que se conozea el valor de unos parametros involucrados en sus ecuaciones. Para una
muestra de raca, en consideraci6n, estos datos no se conocen, no se pueden medir. Por 10 tanto se
pretende estimar estas valores a partir del uso de los metodos de estimacion por minimos cuadrados de
modelos de regresi6n no lineales postulados.
En la Segunda parte de este informe se desarrollan los consideraciones te6ricas fundamentales de los
modelos de regresi6n no lineal utilizados para una funcion de forma conocida a un grupa de
datos obtenidos, en este caso, por mediciones de laboratorio. En la parte tercera y final se detallan las
distintas dificultades detectadas y alternativas de soluci6n planteadas cuando se quiere estimar un
Ii
modelo de regresion no lineal postulado para ajustar datos observados con un modelo numerico tal
como el modelo de Civan.1. MODELAMIENTO DEL DANO DE FORMACION
EI petroleo crudo que se produce en los campos productores de petroleo est6 contenido dentro de
las rocas que 10 almacenan a varias miles de metros de profundidad a partir de la superficie de la
tierra. Estas rocas tienen dos propiedades fundamentales. La primera se conoce como porosidad y
representa el espacio vacio, dentro de la roca, que se utiliza para contener el fluido conocido como
crudo. La segunda representa la capacidad de la roca para dejar fluir ese contenido liquido hasta el
pozo que se perfora desde superficie y se denomina permeabilidad.
La permeabilidad representa la capacidad de flujo de la roca y de ella depende la habilidad para
que el fluido almacenado pueda producirse, es decir, la capacidad de produccion del pozo. Una
roca puede tener un volumen vaci6 alto disponible para almacenar fluidos pero tiene poco valor sf la
permeabilidad es baja porque esto representa que su capacidad producci6n sea baja.
Cuando los fluidos fluyen a troves de una roca no viajan solos, sino que alcanzan a arrastrar, de la
superficie rocosa, partfculas s61idas muy pequefias - del tamafio de micras - , que bajo determinadas
condiciones se depositan en los poros de la roca y dafian la permeabilidad 6 capacidad de flujo de
la misma. EI dano de formaci6n es un area de ingenieria de petroleos dirigida a estudiar los
fen6menos 6 mecanismos fisicoquimicos que.,explican el comportamiento de las soluciones - fluidos
con contenido s6lido - cuando viajan a traves de un medio poroso.
,i
III
I, , EI mode/o de Civan es un modelo diferencial utilizado en los laboratorios de la Universidad - carrera
ingenieria de petr61eos - para simular en funci6n del tiempo pruebas de desplazamiento de fluidos a
traves de un tap6n 0 muestra de roca y del cual se conoce el modelo fisico, el modelo matem6tico,
un modelo numerico y un modelo sistematizado. EI modelo de Civan resuelve en forma numerica un
H," l grupo de ecuaciones diferenciales conocidas la cuales se muestran a continuacion.
)i"\
'.,
1.1 ECUACIONES QUE CONFORMAN EL MODELO DE CIVAN.
);> Ecuaci6n de Flujo. A traves de un balance de masa para un elemento diferencial de un modelo
de flujo lineal y con el uso de la ecuaci6n de flujo en un medio poroso se lIega a:
iJ
JP) _1 .E.(:
~(k ~[ap C5~
*J
!i = + + + (1 )
Ox Ox at Pp at p PI
P
La ecuaci6n (1) regula el comportamiento de flujo en un medio poroso para una soluci6n de un
fluido con contenido de material particulado. En ella se nota:
i!1 P = presi6n del fluido al interior del medio poroso
ii'
X = Distancia en la direccion de flujo.
K = Permeabilidad 6 capacidad de flujo del medio
cp = porosidad del medio.
t = tiempo de flujo.
~ = Viscosidad del fluido .
Pp = Densidad de la partfcula.2
La expresion (1) representa una ecuacion en diferencias parciales de segundo orden con 10 cual se
puede obtener, entre otras resultados, la varia cion de la permeabilidad del medio en funcion de la
distancia y del tiempo. La solucion a esta ecuacion se logra solo por vias de soludon numerica
mediante 10 aproximacion en diferencias finitas.
En 10 ecuacion (1) aparecen, ademas, los siguientes tenninos 0 variables de fluio con las cuales se
logra mostrar no solo 10 difieultad de una solucion analftiea sino ademas describir en detalle los
fenomenos,involucrados en 10 misma.
J
» S
T050 de Absorci6n Liquido. (
Debido 01 contacto con el fluido, el material rocoso puede absorber Ilquido 10 cual genera cambios
en las propiedades del medio debido a que este se puede expandir - hinchar - por el efecto
saturante del fluido. La tasa - caudal - de absorcion Ifquido esta dada por:
. II
S = Bt-/2
(2)
10 ecuacion (2) permite notar 10 aparidon de 10 primera constante 0 parametro desconocido del
modelo, la constante B. Esta constante depende de las propiedades del medio poroso y del fluido,
pero que para una prueba de desplazamiento en el laboratorio con un medio y un fluido dodos, su
magnitud se desconoce.
Debido 01 efecto de absorcion liquida por parte del medio poroso, su capacidad de fluio disminuye,
por 10 tanto se propone la siguiente expresion para detenninar su valor en funcion de tiempo, como
una fraccion de su valor inidal.
[:.t
=[~J+ (~J}xp(-2ABel2)
(3)
En la expresion (3) aparecen los siguientes parametros desconocidos modelo, 10 variable
denotada como AB y el parametro K .
t
'"
);;> Ta sa de Depositacion de Material Fino ((jp) .
Parte del material solido contenido en los fluidos que atraviesan el medio poroso se desprenden de 10
solucion y caen 01 material rocoso de 10 roca y reducen el espacio poroso disponible y, por supuesto,
disminuyen su capaddad de f1uio 0 permeabilidad. EI expresion utilizada para determiner 10
velocidad de depositacion de material particulado fino se denota como:
at :)Ju
(~p) ;k (UPp,f)(Pp¢)-k p[-:-(-
P
1
(4)3
En la expresion (4) estan contenidas las siguientes variables adicionales:
'"
(ap) = tasa de depositacion de material particulado fino desde el fluido hasta el medio poroso.
u = velocidad de
Pp Densidad de la partfcula.
Ppf = Concentracion de las partfculas en el fluido.
<t> = porosidad.
oP
(-)cr = gradiente de fluido crftico.
Ox
(ap) = depositos iniciales en el medio.
La ecuaci6n (4) denota la dependencia de la tasa depositaci6n de las condiciones de fluio tates
como concentracion, densidad de la partfcula y gradiente de fluio. Sin embargo, tambiem refleja la
dependencia de la depositacion de tres variables desconocidas 6 parametr~s del modelo tales como:
oP
KII K2 y gradiente de fluio cntico (ox \r' La variable U representa una funci6n de paso que
puede asumir el valor de cero 6 uno de acuerdo a la magnitud de (OJ? )cr' Es decir, si este gradiente
&
crftico excede el valor del gradiente de fluio (OJ?) entonces la U asume el valor de uno y cero en
! II,;
&7
caso contrario.
);> Obtenci6n de la Porosidad.
La porosidad se obtiene con la siguiente expresi6n general:
¢ ¢o-¢p- (5)
La ecuacion (5) expresa la porosidad del medio como una funci6n de la porosidad inicial y de los
cambios de porosidad por efectos de expansi6n por absorci6n del Ifquido 0"sw y por efectos de
depositacion de pamculas finas ¢p.
Cambios de Porosidad Debido a la Depositaci6n. Los cambios de porosidad por efectos de
depositaci6n de material particulado se obtiene como:
O"pj
¢p jpp (6)
Relaci6n General entre Porosidad y Permeabilidad. La porosidad y la permeabilidad mantienen
la siguiente relaci6n general:
k ko(<t>I<t>o)3 (7)
Cambios de porosidad debido al hinchamiento. Los efectos de cambios de volumen poroso
debido a la expansi6n del material rocoso por la absorci6n del fluido se encuentran con la
siguiente relaci6n:4
(~J 1/3 = 1 - ¢.nv (8)
Ksw ¢o
!":".
).; Rata de Generacion de Partfculas Finas.' EI medio poroso considerado tiene /a propiedad de
Iiberar partkulas solidas y entregarlas al fluido que circula a traves de el. La rata de generacion
o
liberacion de finos se obtiene con la siguiente ley:
:I]u
ii
=-k,cr;[l-exp( -(-
~; -k4tY,)]~1'(-k'crp{-:
(9)
la rata de entrega de partkulas proveniente del medio poroso depende de constantes 0 parametros
K K4 K
desconocidos , Y , de la cantidad de material particulado que la roca esta potenciado
3 5
(a~)
" " para entregar ; p y de la magnitud del gradiente de fluio crffico ax >!<. La variable U representa
cr
una funci6n de paso que asume el valor de uno 6 cero de acuerdo a la presencia 6 no del exceso de
gradiente del fluido sobre el gradiente crftico.
1.2 APLICACI6N DEL MODELO DE CIVAN.
EI modelo de Civan resuelve en forma numerica la ecuacion de fluio (1) para calcular, entre otras
variables, la permeabilidad del medio en funci6n della distancia y del tiempo. Para resolver (1) se
tiene que evaluar en cada incremento de tiempo el termino de la derecha el cual incluye los cambios
>!<
en porosidad <p de acuerdo al efecto de la cantidad de /a absorcion S, de /a cantidad de
'" 0... "/.
finos depositados O"p y de la cantidad de finos liberados 6 entregados por elmedi6 Estos
ultimos efectos se incluyen mediante un procedimiento de solucion simultanea de las ecuaciones (2)
hasta la ecuacion (9).
EI modelo de Ovan se convierte, entonces, en una herramienta del laboratorio que permite simular
las variaciones en las propiedades del fluio de una muestra de roca cuando se fluye una soluci6n
con contenido s61ido al interior de ella. Sin embargo, la aplicaci6n del modelo de Ovan involucra
conocer el valor de las constantes del modelo incluidas en las ecuaciones (2) a (9) y que de nuevo se
mencionan:
Constantes desconocidas. Ecuacion que la contiene
8 Ecuacion (2).
AS, K Ecuacion (3)
t
oP
Kl' K 2, ( O- X) cr Ecuacion (4)
(:t
;'p,
K" K., K" Ecuacion (9)5
las anteriores inc6gnitas no se pueden medir en el laboratorio pero representan informaci6n que
depende del medio poroso. EI modelo de Civan requiere, como datos, una estimaci6n previa del
valor de estos parametr~s. 5e configura entonces la necesidad de producir datos en el laboratorio
para utilizar estos, al modelo de Civan, y alguna hknica de ajuste estadistico que permitan
encontrar los parametros desconocidos para poder caraderizan el medio, caraderizar el tipo de
dano que se presenta para una prueba de fluio dada y, por supuesto, obtener pronosticos sobre los
cambios en las propiedades del medio para tiempos mayores en laboratorio
1.3 PROPUESTA DE ALGORITMO PARA APLICAR EL MODELO DE CIVAN.
5e presenta una propuesta algorftmica que permite bosquejar los pasos secuenciales necesarios
para encontrar una solucion numerica de los valores de permeabilidad para distintos tiempos
considerados y para un grupo de valores previos asignados a las distintas constantes, es decir, para
cada caso, un dato.
1.3.1 Datos del m6delo. Delta de tiempo, tiempo totat concentracion de 10 soludon 01 tiempo cero,
concentracion de la solud6n a la entrada, porosidad inidal, permeabilidad inicial, longitud del
medio poroso, viscosidad de la solucion, densidad de las partfculas finas, densidad de 10 solucion
a
liquido, presion inicial (supuesta), presiones en extremos presion en ultimo bloque y tasa de
inyeccion, parametro kl' parametro k2' parametro k3' par6metro k4' par6metro k5' par6metro k6'
(OP) ,
par6metro B, par6metro AB, gradiente critico para depositacion gradiente crltico de
Ox cr
~) cr *
liberacion - , cantidad de material finos para liberar de parte del medio p
Ox
Cr2
1.3.2 Ecuaciones Utilizadas. Una version discretiz.ada de las ecuaciones presentadas, con
antelacion, se listan a continuacion.
Gradiente de Presion
_(BP)
= _ (P
i+1 - Pi-I)
ax (10)
i 2~x
Velocidad de f1uio.
ii'
i
I k.(P. -p )
II u. = _ I 1+1 i-I
1 (11 )
2~XIl
Canfidad de Finos Generados
-8P ~)
n+ "" .. 1'1 . n n+! ( -ur
O"pi 1 =O"p," -6tk,O"p" [1-exp(k 4 t""]exp(-k,O"p,) [( Ox. ) , - Ox. (12)
Rata de Generacion de Finos
1
2
fu ~ '. '" n+l >I< 4 )] [ -8P n+1 -8Pt2
= - k,O": [1- exp(-k tl/ exp(-k,O"p,") ( Ox. ), - ( Ox. (13)
( )~ ,
1
6
-:r -(-:)
Canfidad de Finos Depositados
l[(
J\
n +At{klu(CPf)i4>~PP
O"pi +1 =O"pjn -k 20"Pin J (14)
I crt
Rata de Depositad6n.
[(-8P) (-8P'j
'J Jl
Ocr J
( ';' n+1 ={ktu(Cpf),<p?P k,O"p."j Ox,n +1 Ox ) (15)
P Cd
Dano de Porosidad debido a Hinchamiento.
<Psw = <Pa[1-(k/ka)sw 113] (16)
Dano de Porosidad debido a Depositadon Superfidal.
cr
pi
(17)
<Ppi Pp
Calculo de la Porosidad
4>i =4>0 - 4>Pi <Psw (18)
Calculo de Permeabilidad
(<PiJ3
k. = k (19)
1 0­
4>0
Ecuacion de Presion y Momento.
kn+I pn+I (k + pn+l + kn+I p,n+l =-(A )2 f(t)n+1
(20)
i-1/2 i-I - i-I/2 1 1+1/2 HI X
+(~J(Ocrp ~P
*J
f(t)=P'[ap + +1]
at Pp at dt PI
Ecuacion de Concentraci6n.
( Cpfi n+l C n) ~ ap, n+l (Cpfi+n+! Cpfi- n)
- pfi C n+l + +
+ pfi _va"!t-' _i _a1t 1 l
A.,n+! At
'1'1 2Ax
(21 )
n+! n+l)
n+l (U H' l U i-1
pfi
C 2Ax7
1.3.3 Procedimiento Secuencial. La secuencia propuesta para 10 aplicacio:l del modelos se puede
listar como:
Iniciar, presentacion del programa.
Leer datos iniciales y las condiciones de borde del modelo.
Definir 10 malla del modelo.
Leer el valor de las constantes.
Leer las presiones iniciales para coda bloque, los depositos de fin~s iniciales, porosidad inicial,
permeabilidad inicial.
Hollar los gradientes de presion para los bloques, ecuaci6n (10), y 10 velocidad en coda bloque,
ecuaci6n (11).
Incrementar el tiempo.
Hallar la tasa de depositacion para coda bloque, ecuacion (15).
Hollar los depositos de finos en coda bloque, Ecuacion (1
Hollar 10 tasa de generacion de finos, ecuaci6n (13).
Hollar 10 cantidad de finos generados, ecuacion (12).
Hollar el dono de porosidad por hinchamiento, ecuaci6n (16).
Hollar el dono de porosidad por depositaci6n, ecuaci6n (17).
Hollar porosidad para cada bloque ecuaci6n (18).
t
Hollar permeabilidad para coda bloque, ecuaci6n (19).
Generar 10 matriz de distribucion de presiones para coda bloque de acuerdo a la ecuaci6n (20)
y resolver 10 matriz tridiagonal resultante para resolver las nuevas presiones resultantes en coda
bloque.
Encontrar el nuevo sistema de distribuci6n de concentraciones de acuerdo a 10 expresi6n (21),
resolver 10 matriz tridiagonal resultante y obtener el nuevo perfil de distribuci6n de
concentraciones.
Obtener 10 permeabilidad promedio del medio discretizado para los distintos tiempos.
1 .3.4 Algunos Resultados Obtenidos con el Modelo de Civan.
EI modelo de Civan se utiliza para simular resultados mediciones de laboratorio obtenidos para
distintas condiciones de prueba se acuerdo a los intereses del usuario. En los siguientes gr6ficos se
presenta una muestra.
En 10 Figura 1 se observa el comportamiento de 10 perdido de 10 permeabilidad de 10 roca a medida
que se fluye una soluci6n can material fino en suspension. La prueba se disena de forma tal que s610
interviene 10 depositacion como mecanismo de dono, es decir, no existe generaci6n de finos ni
expansi6n 6 hinchamiento del medio. Por 10 tanto solo intervienen las tres parametros senalados en
10 ecuaci6n (4) del modelo. La Figura 1 superpone las mediciones de laboratorio , las observaciones,
y los pron6sticos obtenidos con el modelo de Civan pero para valores de las constantes
seleccionados en forma arbitraria 6 a troves de un proceso de iteraci6n manual. Es decir, suponer
valores y realizar corridas del programa hasta aproximar los resultados de laboratorio. En la Figura 2
se muestran los mismos resultados pero con valores distintos de las constantes.
Para fines demostrativos se incluyen los resultados de otra prueba de desplazamiento con un medio
poroso con propiedades petrofisicas distintas a 10 anterior y se denomina prueba 2. En este coso
tambien se disena 10 prueba para simular s610 fen6menos de depositacion y reducir de esta forma el
grupo de 11 constantes a solo tres.8
PERMEABILIDAD PROMEDIO CONTRA TIEMPO
18
16
14 -+-LABOR.
12
2 10
0
a::
a..
~ 8 K1==O.2132568,
K2==0.8234558,
6 DPC=O.08050537
4
2
0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
I;:
TIEMPO
Figura 1. Permeabilidad promedio del medio poroso en funci6n del tiempo. Prueba 1 de
depositaci6n.
PERMEABILIDAD PROMEDIO CONTRA TIEMPO
18
16
14
12 r'---'-LABOR. -
S'
§. 10
:2:
0
a:: 8
a.
~
6 k1 =0. 1882782,
k2= 1 .400482,
4 dpc=0.0881195
2
0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
TIEMPO (seg)
Figura 2. Permeabilidad promedio del medio poroso en funci6n del tiempo. Prueba 1 de
depositaci6n.9
PERMEABILIDAD PROMEDIO CONTRA TIEMPO
20
18
-+-LABORATORIO
16
14
E 12
.0..
10
Q. -m--K1 =0.4668579,
~ 8
K2=0.576293,
6 DPC=0.06283569
4
2
0
a 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Tiempo
Figura 3. Medici6n de la permeabilidad promedio del medio y su comparaci6n con los resultados de
Civan para tres valores arbitrarios de las constantes de depositacion. Prueba 2.
I:
En la Figura 4 se muestran los mismos resultados de laboratorio de la prueba 2 pero se incluyen
pron6sticos distintos del modelo de Civan debido al cambio en las constantes de depositacion.
PERMEABIUDAD PROMEDIO CONlRA TlEMPO
""............................................ ........................ ........................ ··························1
HI
16 ~
!
!
14 ~, !
!
.. 12 J
j
~ ! -+-LAOORATORIO
e.
10 l
~ .-....-.-"......... I
~ t
.... -3-Kl=O,9889832•
~ K2=O,8242188,
DPC=Q,0619201
7
!
l
,
O+----------+----------~--------~----------~----------r----------i
2000 4000 6000 8000 10000 12000
TiI!fTllO (seg.)
Figura 4. Medici6n de la permeabilidad promedio del medio y su comparaci6n con los resultados de
Civan para tres valores arbitrarios de las constantes de depositacion. Prueba 2.1
10
2. MODELOS DE REGRESION NO LINEAL.
Los modelos de regresion no lineal se caracterizan porque se pueden representar de la siguiente
forma:
y. = r (X. '\I) + £. (22)
I I' I 1
y r , i'
donde Y representa la variable dependiente , Xi la variable regresora denota la funcion de
j /'
!
esperanza que depende tanto de los datos como del vector de parametres desconocidos y y tiene
forma variable pero conocida. EI componte aleatorio, se asume, en general, can una distribucion
N(O,cr 2 ).
EI termino no lineal significa que la derivada de la funci6n esperanza can respedo a los parametros \
depende de alguno 0 algunos de los otres, es decir, no se cumple la norma del caso lineal que 0.~
establece que:
of (X ,.y)
i
o{yJ = Xij (23)
2.1 ESTIMATIVOS MINIMOS CUADRADOS EN REGRESION NO LINEAL.
Los metodos de estimacion mlnlmos cuadrados para el caso no lineal requieren minimizar una
S(y)
funci6n objetivo 0 criteria de minimizaci6n establecido par:
S(y) = i[Y j - r(Xi'y)]2 (24)
j.=!
y (y)
los valores de los componentes del vector que mlnlmlZan la funci6n S son los estimadores
mfnimos cuadrados - emc - del modelo de regresion no lineal utilizado. Para la obtenci6n de los
ernc se pueden utilizar varias estrategias:
Suponer valores para los componentes del vector y y evaluar la funcion (24) hasta garantizar un
valor mInima.
Se puede obtener la derivada de la funcion f can respedo a cada uno de los componentes del
vector y , se igualan a cera y se aplican metodos numericos de soluci6n de estas ecuaciones
r
normales para obtener k .
rk
Sin embargo, se prefieren aplicar metodos estadfsticos directos de busqueda para que
garanticen que el valor de la funci6n (24) sea minima. Algunos de estos metodos de
optimizaci6n de la funcion (24) se conocen como; Metoda de Gauss Newton, Metodo de
steepest descent, Metodo de Marquardt levenberg.
S (r).
2.2 METODOS DE OPTIMIZACION DE LA FUNCION OBJETIVO
Para efectos de una breve presentaci6n de los metodos directos de busqueda de los componentes del
r (r)
S
vector que minimizan la funci6n se describe el metoda de Gauss Newton. .1 1
EI metodo de Gauss Newton tambien se conoce como el metodo de la linealizacion debido a que
utilizo [os primeros terminos de la expansi6n en series de Taylor para aproximar el modelo de
regresion no lineal y luego utilizo los estimadores minimos lineales ordinarios para estimar los
para metros.
EI metoda de Gauss Newton Imcla can unos volores iniciales dados para los parametros de
, rll go (0) gl (0) .. , g 1'_1 (0)
regresion denotados como donde los superfndices
1
indican el numero de iteracion.
f (./¥ ,r)
La funcion de respuesta media se aproxima, para las n observaciones, de acuerdo a los
primeros componentes de la expansion en serie de Taylor alrededor del vector de valores iniciales
g (0) .
,es declr:
f(X ,r) ~ .r(./¥,.go) + ~Ia f C,¥,. r )1 (rk - gOk)
, (25)
k ark ()
=0
r=g
ahara, para simplificar notaci6n se utilizon los siguientes reemplazos:
r(X
rIo) = (OJ)
.I, . I,g (26)
Bk (0) = r (0) (27)
k gk
[a
D'k (0 = f (X, ,r)]
)
a(Yk)
r =
(28)
La funcion de respuesta media (25) se puede rescribir como:
j'(X r) + "I' --I
I' ~ .1 ',( 0) D(O) B(O)
~ Ik k
k =0
EI modelo de regresi6n no (22) asuma la forma siguiente:
II,-I
y , = + Di~) B~()) + &i (29)
k =0
Si se utilizo. de nuevo, el siguiente cambia en la notaci6n:
=y - fro)
, ., (30)
se puede planteor un model a de regresi6n lineal:12
I
1
Lp-l
y(O) ~ Dj~) B~O) + 8; i = 1, ... 11 (31 )
I
k =0
En forma matricial el modelo de regresi6n (31) se rescribe comR~O
,~ \11\
y(O) ~ D(O) B(O) + £ ,OA, :1:f ~ ·{t. ' ~­ '"
, ' (32)
r.; 1'\ ~ ~J,
:tx.
EI modelo de regrnsion (32) tiene 10 misma forma motricial de un modelo de regresi6n lineal cuyos
estimadores minimos cuadrados para el vector B eston dodos por 10 forma tlpiea conocida:
b(O) (D(O). D (0) yl D(o), y(o) (33)
don de b(O) representa el vector de los estimadores mmlmos cuadrados de los coeficientes de
regresi6n. Estos estimadores mfnimos cuadrados se utilizan para obtener unos coeficientes de
regresion revisados de acuerdo a 10 relaci6n (27), es decir:
g~l) = g~O) + b~O) (34)
donde g~t) representa el estimativo corregido de Y 01 final de 10 primera iteracion. Se puede
k
evaluar, en este paso, 10 funci6n objetivo dada por (24) con los estimativos gil) para Y k'
Los coeficientes estimados g~l) no son los estimadores mfnimos cuadrados. EI procedimiento se
repite con los valores de g~l) como valores iniciales para encontrar los estimativos g~2) .
EI procedimiento iterativo continuo hasta que la diferencia entre dos evaluaciones sucesivas de la
funcion de minimizaci6n (24) se despreciable.
EI metodo de busqueda 0 de optimizacion Marquardt - Levenberg utiliza el mismo procedimiento de
linealizacion utilizado por Gauss Newton, pero incorpora un valor .It que optimiza la soluci6n de 10
ecuacion :
(D(O). D + JJ)
b(o) D(O), y(O)l (35)
2.3 MODULO DE SA) PARA REGRESION NO LINEAL.
EI SAS contiene un modulo para 10 soluci6n de modelos de regresi6n no lineal por estimaci6n de
mfnimos cuadrados denominado PROC NUN. En el PROC NUN se debe declarar en forma explfcita
f
Ja forma de la funcion de respuesta media (X:l y) , el nombre de los parametros y sus valores
iniciales y , de acuerdo al metodo de optimizacion de los parametros utilizado, se establece 10· \ i
13
f
(X , r)
necesidad 6 no de especificar la derivada de la funci6n con respecto a cada uno de los
para metros.
EI procedimiento NUN posee caracterlsticas adicionales de permiten establecer un rango definido
para la busqueda de los mejores valores para los para metros buscados, permite ajustar los criterios
de convergencia, permite establecer grupos de resultados segun el interes del usuario y permite
definir una funci6n objetivo espedfica para ser minimizada como criterio de convergencia.
}o Especificaciones del Procedimiento NUN. las declaraciones fundamentales para el uso del
se pueden listar como:
o PROC NUN. Consiste en la declaraci6n del procedimiento. A continuaci6n se pueden listar las
opciones permitidas en las cuales se quiere destacar las siguientes:
;
rf"
DATA=nombre. Nombre del grupo de datos de interes. !
Best = n. Nlin muestra la suma residual de cuadrados s610 para las n mejores combinaciones
de para metros.
Plot. Se muestra un grafico de la suma de residuales cuadrados de acuerdo a los val ores
iniciales de los parametros.
I\lIathnrl = Nombre. Especifica el nombre del metodo utilizado para la estimaci6n de los parametros.
i
I
o PARMS parameter = valor.. ; . Esta especificaci6n debe continuar la especificaci6n anterior. En
elias se definen el nombre de los parametros y sus valores iniciales 6 el rango de variad6n
definido por sus Ifmites inferior y superior.
o BOUNS expresiones ... ; . Esta especificaci6n opcional permite definir restricciones que deben
cumplir los valores seleccionados de los parametros en la busqueda de la soluci6n.
o MODEL Y = expresi6n. Con esta especificaci6n obligatoria se declara la ecuaci6n 6 10 forma de
f
(X., r)
Ja funcion conocida.
=
o DER.parameter expre·si6n. Este contenido obligatorio para casi todos los mModos de solud6n
utilizados permite establecer la forma de la expresi6n algebraica que se utiliza para evaluar la
derivada de la funci6n con respedo a cada uno de los para metros. Debe haber una declarad6n
por cada para metro evaluado.
o OUTPUT contenido. Con esta especificaci6n se declara las caraderisticas espedficas que el
SAS permite para los resultados producidos.
usa
2.4 EJEMPLO TIPICO DEL DEL PROCEDIMIENTO NUN.
En el modulo de ayuda del SAS se encuentran diversidad de ejemplos que permiten resolver
inquietudes puntuales sobre el uso del procedimiento NUN. A continuaci6n y para efectos
demostrativos de este informe~ se incluye uno de ellos.
I
Se tiene unos datos a los cuales se les desea ajustar una funci6n de crecimiento exponencial
conocida dada por: \
\\
Y = Bo (1 - .e- Bt x)
A continuaci6n se describe la informaci6n ingresada al procedimiento NUN y un listado de los
resultados obtenidos.\'
14
dm "log;c1ear";
dm "output;clear";
options ps=80 ls=80 nodate nonumber;
Data A;
Input X Y @@;
cards;
020 0.57 030 0.72 040 0.81 050 0.87 060 0.91 070 0.94
080 0.95 090 0.97 100 0.98 110 0.99 120 1.0 130 0.99
140 0.99 150 1.0 160 1.0 170 0.99 180 1.00 190 1.0
200 0.99 210 1.0
Proc Print:
1D Y:
Title "FUNCION DE CRECIMIENTO EXPONENCIAL NEGATIVO.";
Run;
Proc plot;
plot y*X "*";
Run;
quit;
Proc Nlin Data=A Best=lO Plot Method=Marquardt;
PARMS 80=0 TO 2 BY 0.5 81=0.01 To 0.09 by 0.01;
Model Y=BO*(l-Exp(-Bl*X));
Der.BO=1-Exp(-B1*X);
Der.B1=BO*X*Exp(-B1*X);
Output Out=B P=Yhat R=Yresid;
Run;
Quit;
Proc Plot Data =8;
Plot Y*X="*";
Plot Yhat*X="P";
Plot Y*X="*" Yhat*X="P" /Overlay vpos=25;
Plot Yresid*X / Vref=O Vpos=25;
Run;
quit;
Listado de datos iniciales.
Valores .iniciales de X Valores Iniciales de Y
20 0.57
30 0.72
40 0.81
50 0.87
60 0.91
70 0.94
'.
80 0.95
90 0.97
100 0.98
110 0.99
120 1
130 0.99
140 0.99
150
160
170 0.99
180
190
200 0.99
210\
1
15
Plot of Y"'X. Symbol used is '.',
Y,
1.0' ********
O.B·
,
0.6
A
,
0.4
A
~ffAffffffff'ffffffff'ffffffff'ffffffff'ffffffff'ffffffff'ffffffffAff
o
30 60 90 120 150 180 210
Output 3. Continuacion.
Estimation Summary
Method Marquardt
Iterations 4
R 2.552E-7
PPC(B1) 1.028E-8
RPC(Bl) 6.394E-7
Obiect 2.56E-l0
Objective 0.000577
Observations Read 20
Observations Used 20
Observations Missing o
NOTE: An intercept was not specified for this model.
Output 3
The NLiN Procedure
Iterative Phase
Dependent Variable
Method: Marquardt
Sum of
Iter 80 81 Squares
o
1 0.04 0.0014
1 0.9961 0.04<19 0.00058
2 0.9962 0.042 0.000577
3 0.9962 0.042 0.000577
4 0.9962 0.042 0.000577
Sum of Mean Approx
Source OF Squares Square FValue Pr> F
Regressioh 2 17.6717 8.8359 275733 <.0001
Residual 1B 0.000577 0.000032
Uncarrecteoro taJ 20 17.6723
Corrected Total 19 0.2439
Approx Approximate 95% Confidence
Parameter Estimate Std Error limits
80 0.9962 0.00161 0.9928 0.9996
B1 0.0420 0.000398 0.0411 0.0428
Approximate Correlation Matrix\
16
I
BO B1
BO 1.0000000 -0.5558957
B1 ·0.5558957 1.0000000
~ ­
Plot of YHAT*X. Symbol used is 'P'.
YHAT,
1.0 P P P P P P P P P P P P
A
P P P
P
, P
0.8 P
A
P
0.6
A
P
,
0.4
A
~ffAffffffffAffffffffAffffffffAffffffffAffffffff"ffffffffAffffffffAff
o
30 60 90 120 150 180 210
x
Plot of YRESID*X. Legend: A lobs, B 2 obs, etc.
YRESID,
0.01 A
A
A
A A A A A A
A
I
0.00 "ffffffffffffffAfffffffffffffffffAfffffffffffffffffffffffffff!fffffff
A A A A
A A A A
,
-0.01
A
A
\
.0.02
A )
, /
SfflffffffffAffffffff"ffffffff"ffffffff"ffffffff"ffffffff"ffffffff"ff
o
30 60 90 120 150 180 210
x· \
17
i
1
3. LOS METODOS DE REGRESION NO LINEAL Y SU APLICACION PARA CARACTERIZAR EL DANO
DE FORMACION DE ACUERDO AL MODELO DE CIVAN.
En el capitulo 1 se muestra una descripci6n general del modelo de Civan con la cual se intenta
mostrar su aplicaci6n para modelar las perdidas de permeabilidad con el tiempo debido al efecto
aislado 6 simultaneo de los fen6menos relacionados con el paso de una soluci6n con contenido de
partfculas a traves del medio poroso. Se pretende confeccionar una idea simple de las caracterfsticas
ffsicas , matematicas y numericas que rodean la aplicaci6n del modelo de Civan para reproducir los
resultados 6 mediciones de laboratorio. AI final se muestra que 5610 se puede simular los datos de
laboratorio siempre que se conozca el valor de un grupo de constantes 6 parametros involucradas
en las ecuaciones, que no se conocen , no se pueden medir, pero se sabe que dependen del medio
poroso y del fluido en contacto con el.
En el capitulo 2 se quiere presentar unas nociones basicas del contenido de las tecnicas de
estimaci6n de mfnimos cuadrados no lineales para ajustar un modelo de regresi6n no lineal a un
grupo de datos. AI final se presenta el modulo Nlin de SAS como la herramienta computacional
requerida para realizar la estimaci6n de los parametros del modelo de regresi6n planteado.
En su trabajo original I Civan propone el uso del metodo de ajuste no lineal Marquardt - Levenberg
como estrategia recomendada para encontrar los estimativos de los parametros de su Modelo de
Dano. Civan propone, entonces:
o Tomar las mediciones de permeabilidad en el laboratorio a distintos tiempos. Es decir, asegurar
datos de observaciones Vi para disfintos valores de la variable regresora Xi'
"~o Aplicar su modelo para Jos m;smos va/ores de tiempo con valores iniciales asumidos, en forma
"'-"oreitrdria, para las constantes 6 para metros desconocidos de su modelo.
o Utilizar el metodo de ajuste no lineal Marquardt - Levenberg para ajustar los resultados del
modelo de Ovan con las mediciones de laboratorio. EI mejor ajuste{ correspondiente a los
estimadores mfnimos cuadrados del modelo de regresi6n y representan los mejores valores para
los parametros desconocidos.
o Estimados los parametros, se pueden realizar pron6sticos, con el modelo de Civan, para tiempos
posteriores no incluidos en la prueba de laboratorio y que sean de interes para el usuario.
Ademas se puede caracterizar el tipo de mecanismo de dano que prevalece en una prueba de
desplazamiento en e! laboratorio de acuerdo a la magnitud del parametro 6 al peso de este
sobre los resultados, es decir, postular el tipo de dario y su efecto sobre la capacidad de fluio de
la roca 6 de la muestra de roca. En fin, resulta de importancia mayor, para ingenierfa de
Petr61eos tener una buena esfimaci6n de los para metros senalados.
Con estos elementos anteriores, como derrotero, se plantea el anteproyecto de trabajo dirigido -
Anexo 1-, que dio origen al presente trabajo.
3.1 LOS MODELOS DE REGRESION NO LINEAL Y EL MODELO DE CIVAN.
AI tratar de estimar un modelo de regresi6n no lineal para ajustar los resultados de laboratorio con
los resultados de Civan a traves del uso de! Procedimiento Nlin del SAS se detectan dos problemas
fundamentales:
o EI procedimiento Nlin requiere una declaraci6n explJcita de la funci6n de respuesta media
f
(X,r) .
En este caso, esta funci6n no se tiene. Se cuenta con toda una metodologfa,
18
.1
algorftmica con notable dificultad para resolver. Se cuenta con una propuesta sistematizada, en
lenguaje fortran que permite obtener valores de la funci6n , es decir, del modelo de Ovan para
distintos valores de tiempo de medici6n.
o EI ep Xro cedimiento Nlin exige tener la forma explicita de las derivadas de la funci6n
f ,r)
con respecto a cada una de las constantes 6 parametros del modelo. Sin embargo,
si no se tiene 'a fundon se deduce que no se puede tener la forma de Ja derivada de la funcion
respecto a los parametros.
Diversas estrategias se postulan para superar las dificultades denotadas:
o Altemativa 1. Buscar mediante un estudio analftico fuerte una posible simplificaci6n del modelo
analftico que permita una forma resultante simplificada de la ecuad6n de f1ujo (1) y que
contenga en forma explicita los distintos para metros.
Los esfuerzos en busca de resolver esta alternativa resultaron improductivos. No fue posible sintetizar
las ecuadones (1) hasta la (9) en una Linica , que revele en forma explicita los parametros a estimar.
o Altemativa 2. Unir la especificaci6n del procedimiento Nlin dada por MODEL Y = expresi6n, con
un lIamado al programa Ovan en fortran, de forma tal que el procedimiento NUN 10 pueda
invocar cuantas veces sea necesario para evaluar la funci6n, es decir, el modelo de Civan.
""
EI modelo sistematizado de Civan se tiene tanto en su codificaci6n fuente, en Jenguaje Fortran, como
\
en ejecutable. PEiro, con el procedimiento Nlin no fue posible implementar lIamados al ejecutable de
Civan en leng\JOje Fortran. EI procedimienlo Nlin no permiti6 invocar a Ovan como un
subprograma.
/~-'"
SAS/~~ra
o Altemativa 3. Programar el modelo de Ovan, su solud6n numerica, en lenguaje unirla
con la especificaci6n del procedimiento NUN dada por MODEL Y = expresi6n. En esle caso la
expresi6n debe soportar un macro un Ilamado, que permita ejecutar Civan cuantas veces 10
l
requiera el procedimiento NUN.
Bajo la asesorfa continua del profesor Mario Cesar Jaramillo se logra, despues de un periodo de
constantes intentos, correcciones y modificaciones, obtener el modelo de dano de formaci6n de
Civan en programaci6n IML. En el anexo 2 se puede encontrar la versi6n de Ovan en programaci6n
EI programa ejecula bien, calcula la permeabilidad del medio para una condiciones de prueba
dadas en el laboratorio. EI programa en IML no s610 recoge las ecuaciones y los pasos secuenciales
senaladas en el literal 1.3.2 y 1.3.3, sino que resuelve los sistemas de ecuaciones generados en los
ciclos para determinar la permeabilidad del medio poroso a dislintos tiempos. En anexo 3, se listan
los resultados, sin editar, que produce el modelo en IML para la prueba que se grafica en la Figura 1
y que se denomina prueba 1. En esta Figura 1 se muestran los resultados de Ovan con el modelo en
Fortran.
Sin embargo, cuando se infenta lIamar desde la especificaci6n MODEL Y = expreslon del
f
procedimiento Nlin al modelo de Ovan en IMLse obtiene, de nuevo, una falla. EI procedimiento Nlin
no permiti6 involucrar en su sintaxis este tipo de lIamados que parecen mas "afines". Es decir, se
tiene e,1 programa de Ovan en lenguaje de programad6n IIML para pronosticar resultados de
permeabilidad en funci6n del tiempo pero para vaJores de las constantes conocidas. Pero, el
procedimiento NUN no permili6 reconocer e invocar este ultimo programa para rea liza r la
estimaci6n Ilautomatica" de los parametros. Esta ultima salida fallida pareciera determinar el fracaso
total del estudio planteado en el anteproyecto.It
1 'I 19
, I
Alternativa 4. Programar en Fortran el metodo de estimacion de los parametros no lineales
o
Marquardt -- Levenverg y acoplarle el modelo de Civan, cuya version en lenguaje Fortran se
conoce. En Fortran se pueden superar las dificultades de invocar subprogramas en distintos
modulos.
En esta alternativa se trabaio 01 final e involucra conocer los detalles matematicos de 10 solucion de
10 ecuacion resultante, en forma matricial, de acuerdo a 10 expresion (35). Esta dificultad se queria
obviar con procedimientos de solucion ya establecido5 como el Nlin.
Ahora, 5e tiene el programa en lenguaje Fortran que resuelve el metodo de optimizacion Marquardt
_ Levenberg. En anexo 4 se lista la codificacion fuente del metodo. En anexo 5 se listan algunos
resultados para la misma prueba que se realiza con el problema modelo tipico mostrado en 10
seccion (2.4) y cuyos resultados en SAS se conocen y se incluyen en esa seccion.
Para una aplicacion integrada, en Fortran, del modelo el Civan con el procedimiento de estimacion
Marquardt - Leverberg, este ultimo se utiliza para resolver el modelo de regresior1. expresado en 10
ecuacion (31) a traves del algoritmo de estimacion planteado en la ecuacion (35). EI modelo de
Civan se integra en 10 aplicacion para calcular en forma numerica las derivadas respecto a las
constantes expresadas en la ecuacion (28) y para evaluar el valor de 10 funcion fi(O) en 10 ecuacion
(30) 10 cual equivale a ipvocar 01 programa Civan para obtener la permeabilidad para los distintos
tiempos y con los valores asumidos para las constantes del modelo involucradas. En este coso, se
espera conseguir una aplicacion en Fortran que permita obtener los resultados buscados para
estimar las parametros del modelo de Civan a traves del metodo de optimizacion Marquardt
Levenberg y poder superar las dificultades de software senaladas en las alternativas ensayadas
anteriores.
o Alternativa 5. Observar 10 forma de la curva de permeabilidad medida en el laboratorio, Figura
1 hasta 10 Figura 4. Buscar en literatura una fundon de forma y ecuacion conocida de acuerdo
al comportamiento observado de los graficos y proponerla como 10 funcion esperanza para los
datos obtenidos en labaratorio. Estimar par mfnimos cuadrados no lineales el modelo de
regresion propuesto, con la ayuda del procedimiento Nlin, y realizar los analisis correspondientes
de acuerdo a 10 resultados obtenidos.
Este procedimiento resulta simple, permite realizar estimaciones mediante los mediante los metodos
de regresion no lineal, permite hacer uso del procedimiento Nlin del SAS, pero, por supuesto, esto no
tiene que ver nada con el Modelo de Civan. Como ejemplo se muestra, a continuacion, el uso del
procedimiento NUN para realizar las estimaciones de dos parametros de una funci6n exponencial
negativa, propuesta, para los resultados de permeabilidad obtenidos en el laboratorio y graficados
en 10 Figura 2 y en referenda a la prueba de laboratorio denominada Prueba 1. EI procedimiento
Nlin puede tener la siguiente forma.
elm "
dm HLpu ; '.:: .. " ;
options ps=80 1::;=80 nodate nonuT1~ber;
Data Ai
Input Y X;
cardsi
16.67 0
15.70 600
14.78 1200
13.91 1800
13.09 2400
12.32 3000
11.58 3600
10.89 4200
10.24 4800
9.64 5400f
i
i 20
1
i
. j
9.09 6000
8.61 6600
8.19 7200
7.8S 7800
7.59 8100
, . I
7.42 9000
7.34 9600
7.33 10200
Proe Print;
Y;
.
T t " ,
Run;
Proe plot;
y" .'. n •
Run;
quit;
Proe Nlin ta=A Bos 10 Plot Mcthad=Marquardt;
PARMS BO=16.67 B:=0.05;
Model Y=BO* (-Bl*X);
Der. ( -B 1*"X) ;
Der.B1~BOk-X"" (-BlkX) i
Out 011(:=8 ;::,=Yhat r:~=Yresid;
Run;
Quit;
Proe Plot DatJ =B;
Plot y,,-x=" ,\ II
P},(, t Yhat -,I- "If / vr» c:; = 15 ;
Flc)t Y*X""~II.,, Yhat*;,z=" " /Ovt~rlay Vpc):"o=15;
Plu YresidkX / VI f=O 5;
Run;
quit;
Los resultados producidos por el procedimiento se listan a continuacion,
The NUN Procedure
Iterative Phase
Dependent Variable Y
Method: Marquardt
Sum of
Iter BO B1
o
6.6700 0.0500 1937.8
1 6.6700 0.0318 1937.8
2 6.6700 0.0172 1937.7
3 6.6700 0.0172 1937.7
4 6.6700 0.0170 1937.7
5 16.6700 0.0150 1937.7
6 16.6700 0.00896 1935.3
7 16.6703 0.00734 1931.3
8 16.6786 0.00143 1629.5
9 17.8289 0.000282 461.8
10 17.1608 0.000050 158.4
1 1 16.0831 0.000081 5.2493
12 16.3328 0.000091 1.9846
13 16.3622 0.000092 1.9759
14 16.3632 0.000092 1.9759
'15 16.3632 0.000092 1.9759l' :;
i
21
!
NOTE: Convergence criterion met.
Estimation Summary
Method Marquardt
Iterations 15
Subiterations 29
Average Subiterations 1. 933333
R 1.076E-6
PPC(B1) 1.222E-7
RPC(B1) 4.874E-6
Object 1.888E-9
Objective 1.9 7591
Observations Read 18
Observations Used 18
Observations MisSing 0
Sum of Mean Approx
Source DF Squares Square F Value Pr> F
Regression 2 2213.7 1106.8 8962.65 <.0001
Residual 16 1.9759 0.1235
Uncorrected Total 18 2215.6
Corrected Total 17 162.5
Approx Approximate 95% Confidence
Parameter Estimate Std Error Limits
BO 16.3632 0.1917 15.9567 16.7697
B1 0.000092 2.634E-6 0.000086 0.000097
Approximate Correlation Matrix
BO B1
BO 1.0000000 0.7705371
B1 0.7705371 1.0000000
Plot of Y*X. Symbol used is '*'.
Plot of YHAT*X. Symbol used is 'P'.
Y,
20
~
15 P *
A
* P
*
,
lOA
P
*
p P
5
A
SfAfffffff~fffffffAfffffffAfffffffAfffffffAfffffffAfffffff"fffffff"fffffff"
ff
o
1200 2400 3600 4800 6000 7200 8400 9600 10800
X22
NOTE: 13 obs hidden.
Los resultados muestran unos valores estimados para los parametros de la funcion propuesta de:
Bo
= 16.3632
BI
0.000092
La Tabla Anova informa que el modelo es significativo con un valor p de 0.0001. Ademas se muestra
la estimad6n con intervalos de un 95% de confianza de:
Bo
Para el primer parametro: 15.9567 < < 16.7697
Para el segundo parametro: 0.000086 < B < 0.000097
J
Los siguiente figura permite comparar, de nuevo, como en 10 Figura 2, los resultados de laboratorio y
los predichos con 10 ecuaci6n exponencial postulado y con los valores estimados de los parametros.
18
+Ajuste
16
>.
~ 14 ~Medida
ra
0_ 12
16 10
;g
:E 8
as
(U 6
E
Qj 4
a.
2
0
a 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Tiempos de Flujo, Segundos
Figura 5. Comparacion entre los valores de permeabilidad medidos en laboratorio y los pronosticos
obtenidos con la funci6n exponencial postulada y cuyos parametros se estiman con el
procedimiento NUN del SAS.\'
I 23
4. CONCLUSIONES.
1. Los procedimientos incorporados al modulo Nlin del programa SAS disenados para realizar las
estimaciones por mfnimos cuadrados en modelos de regresi6n no lineal requieren la definicion
eX
f
explicitade la funcion de respuesta media ,y) y sus derivadas con respecto a cada una
de las constantes. Para el problema descrito, en este trabajo, se intenta pero no se logro
desarrollar dentro del modulo NUN lIamados a subprogramas ejecutables disenados en
lenguajes de programaci6n tales como el Fortran 6 ellML del mismo SAS.
2. La dificultad anterior Iimita la aplicaci6n del modulo Nlin del SAS para abordar problemas de
estimacion de modelos de regresi6n no lineal donde la forma explicita de la funcion
f
(X , r) no se tiene porque los resultados que se quieren ajustar dependen de un sistema de
ecuaciones diferenciales que se resuelven simultaneamente.
3. En este trabajo se muestran distintos alternativas disenadas para superar la restriccion anterior.
4. En el desarrollo de este trabajo no se obtienen los resultados esperados ni los an61isis estadfsticos
buscados, pero se logran aproximaciones importantes y se logra evidenciar la necesidad de
avanzar en la busqueda de herramientas computaciones alternas a la iniciativa inicial del uso del
SAS.
5. La estimacion de parametros por minimos cuadrados no lineales parece una estrategia adecuada
para aproximarse a la evaluacion de los parametros del modelo de Civan propuesto para simular
resultados de dano de formaci6n en pruebas de laboratorio. En este caso, dificultades
encontradas en el desarrollo de la herramienta computacional 6 software impidieron obtener
conclusiones estadfsticas definitivas. Sin embargo, se desarroll6 el Modelo de Civan en
programaci6n IML, el cual puede ser el sustento para nuevos estudios estadisticos de los
resultados producidos con el modelo de Civan a traves del Programa SAS.
2324
, I
5.0 RECOMENDACIONES.
Para la evaluaci6n de las constantes contenidas en el modelo de Civan por los metodos de
estimaci6n minimos cuadrados no lineales se recomienda continuar con el desarrollo de la alternativa
4 del capitulo 3. Este procedimiento sugerido involucra.
Programar el metodo de estimaci6n no lineal Marquardt - Levenverg en lenguaje Fortran.
Continuar con la aplicaci6n del modelo de Civan en lenguaje Fortran.
Acoplar en el mismo lenguaie los dos modelos anteriores en una aplicaci6n final la cual
contenga tanto el modelo de Civan como el metodo de optimizaci6n no lineal Marquardt -
Levenberg. En la descripci6n de la alternativa 4 del capitulo 3, pagina 19, se detalla la
configuraci6n de esta aplicaci6n.
Utilizar la informaci6n de laboratorio disponible de variaci6n de permeabilidad en funci6n del
tiempo junto con la aplicaci6n final desarrollada para estimar las constantes fenomenol6gicas del
Modelo de Civan para dano de formaci6n.
Realizar estudios estadfsticos que permitan evaluar la bondad y adecuacidad del modelo de
regresi6n no lineal postulado para valorar los parametros del modelo de Civan.
24I.
25
\
1
I
. i
6. BIBLIOGRAFIA
1. Civan Faruk, Knaap Roy. "Alteration Of Permeability By Fine Particle Processes". J. Pet. Sci. Eng.
3. 1989.
2. Seber G, Wild C. Nonlinear Regression. 1989. Ed. John Wiley & Sons.
3. The NUN Procedure. SAS On Line. Chapter 25.
4. Montgomery Douglas, Peck Elizabeth. Introduction to Linear Regression Analysis. EI John Wiley &
Sons. Second Edition. 1992.
5. Marquardt, Donald W. (1963). Un for Least Squares Estimation Of Nonlinear
Parameters, Journal for the Society of and Applied Mathematics, 11, 431-441 .26
I
ANEXO 1
TITULO : ANAuSIS ESTADISTICO PARA LA DETERMINACI6N DE LAS CONSTANTES
FENOMENOLOGICAS EN EL MODELO DE FAROUK CIVAN PARA DANO DE FORMACIONES
PETROLIFERAS.
11
, "
INTRODUCCI6N -ANTECEDENTES.
Una area fundamental en Ingenieria de Petroleos, conocida como Dano de Formacion,
esta onentada a estudiar los mecanismos nSicos y/a qufmicos que explican el
comportamiento del flujo de soluciones - fluidos con contenido solido en partfculas- a
traves de las rocas que almacenan y dejan f1uir los hidrocarburos producidos. Estos
partfculas contenidas en los fluidos bajo determinadas condiciones se depasitan en los
l l
poros de las roca y dafian la capacidad de producir de las mismas y par 10 tanto se
hace priontario controlar, evitar, reparar y cuantificar el tamafio de estos depOsitos no
deseados.
En ingenieria de Yacimientos se manejan tecnicas para inhibir, controlar y reducir la
intensidad del dano provocado por los depositos de particulas. Sin embargo/ el
modelamiento y/0 prediccion que permita cuantificar los depositos, para unas
condiciones dadas, constituye un area de estudio abierta y en la cual se tienen, cada
vez, propuestas mejoradas pero ninguna definitiva.
QuizaS la propuesta mas elaborada en la modelacion del flujo de partfculas 10
constituye el \\Modelo de Farouk Civan del cual se tiene el modelo fisico, el modelo
1"
matematico, el modelo numerico y e\ modelo sistematizado.
EI Modelo de Faruk Civan es una herramienta utilizada en los laboratorios de la
Universidad - carrera Ingenierfa de PetrOleos - para simular en funci6n del tiempo
pruebas de desplazarhiento de fluidos a traves de un tapon 0 muestra de roca. Este
programa calcula en funcion del tiempo vanables tales como presion, caudales,
concentracion, permeabilidad etc variables estas que tambien se pueden medir en
funcion del tiempa en el laboratorio.
EI modelo de Faruk Civan resuelve en forma numerica un grupo de ecuaciones
diferenciales conocidas. Pero, la gran dificultad radica en que estas involucran unas
constantes ai, a2, a3/ ..all consideradas, segun la teona, como propiedades del tipo
26T
fI
27
de roea . Estas constantes no se pueden medir en el laboratorio. EI programa de Faruk
Civan funciona siempre que se conozean las constantes. EI procedimiento practico
propuesto par Faruk Civan para utilizar su modelo consiste en los siguientes pasos:
• Suponga las variables al, a2, a3, ...an, donde n puede variar de 3 all, segun los
fenomenos que se requiera simular..Esta supasicion iniciaI se considera en forma
aleatoria.
• Utilizar el Programa b Modelo de Farouk Civan para ealcular en funcion del tiempa
variables diversas tales como: Permeabilidad de la Roca, concentracion de los
fluidos/ presion de los fluidos, velocidad.
• Para los distintos tiempas del paso anterior medir en el laboratorio las mismas
variables mencionadas: permeabilidad, concentracion, presion, velocidad, etc.
• Para los distintos tiempas considerados, confrontar los resultados numericos y los
del laboratorio, de las variables mencionadas, y aplicar tecnicas estadisticas que
permitan mediante un ajuste obtener los mejores valores estimados de las
r r
constantes.
• Obtenidas las constantes se apliea el modelo de Faruk Civan para tiempos muchos
mas largos y para otras condiciones del laboratorial que par sus costas no se
pueden implementar en laboratorio.
Se pretende, entonces, expJorar tecnieas estadfsticas propias del area de Regresion no
Lineal no solo para estimar los constantes mencionadas sino para elaborar un
tratamiento 0 Analisis Estadfstico completo que la misma exploracion nos sugiera. Esta
propuesta representa una aproximacion distinta y novedosa para el ingeniero de
Petr6leos cuyo ejercicio profesional, en general, esta alejado del usa recurrente de las
tecnicas estadfstieas como herramienta de inferencia.
ANTECEDENTES. Ademas de la motivacion para encontrar una respuesta al problema
expuesto, se requiere mencionar algunas otros elementos previos.
• Varios anos anteriores se consolida un proyecto interinstitucional entre la
Universidad Nacional y eJ Instituto Colombiano del Petroleo cuyo esencia representa
el estudio de flujo de finos - partfculas en Medias Porosos. Este convenio
representa tangibles adelantos experimentales para las partes pero se obtienen
avances parciales en el modelamiento matematico debido a que no se logra un
27I,
I ,
28
'!, ' tratamiento aceptable al calculo de las constantes fenomenologicas involucradas en
t
el modelo de Faruk Civan. En gran parter se piensar debido a la dificultad de
explorar tecnicas de regresion no lineal sugeridas par Faruk - Civan en su
modelo1
•
• EI hecho de cursar las aSignaturas de Ja Especializacion en Estadfstica y en especial
Modelos Uneales I, Modelos Uneales II y Analisis Multivartado permiten optar por
una busqueda de una tratamiento estadlstico adecuado para estimar las constantes
fenomenol6gicas en el modelo mencionado.
• EI conocer herramientas poderosas como ellenguaje R y en especial el Programa
SAS con su procedimiento NUN permiten pensar en una posible solucion para el
problema planteado.
• EI haber participado durante varios anos en el grupo de modelamiento de fin~s
de medios porosos animan a encontrar una propuesta estadfstica a este
problema inconcluso.
• La experiencia docente como ingeniero de Petroleos y los estudios en la
Especializacion en Estadfstica fortalecen la aspiracion no solo de encontrar
e
aplicaciones estad(sticas nuevas importantes en la Ingenieria de Petroleos sino
en profundizar en temas de regresion no cubiertos en los cursos regulares de la
Especializacion en Estadfstica.
OBlETlVO GENERAL Y ESPECIFICOS.
• Explorar y desarrollar un analisis estadlstico para estimar el valor de las
constantes fenomenologicas en el modelo de Faruk Civan para dano de
formaciones petroliferas.
• Explorar y profundizar en las tecnicas de regresion no lineal para presentar una
propuesta estadfstica para analizar un problema practico en Ingenier{a de
Petroleos.
• Aplicar ayudas computacionales como el SAS 0 el lenguaje R para desarrollar
herramientas de analisis estadlstico en la solucion de un problema real en el area
de Regresion no Uneal.
2829
RESULTADOS ESPERADOS. Se aspira presentar una monografia en la cual se
detalla.
• Una fundamentacion estadfstica de los procedimientos estadfsticos
· I
! necesarios para encontrar una soluci6n al problema planteado.
• Una descripci6n de las herramientas - software - desarrollado 6
encontrado para el estudio.
• Un analisis de la soluci6n desarrollada con sus ventajas, limitaciones y
casos estudiados.
• Conclusiones y Recomendaciones.
PLAN DE TEMAS.
• Descripci6n matematica del problema.
• Tecnicas de Regresi6n no lineal propuestas.
• Analisis de Resultados.
• Conclusiones y Recomendaciones.
RECURSOS.
• Profesor Director. Un profesor del Postgrado de Estadfstica. Se solicita y se
sugiere al Profesor Sergio Yanez.
• Se tiene el programa en lenguaje fortran del Modelo de Fa rUk-Civan. Ademas se
canace su desarrollo matematico y numerico.
• Se tienen numerosos datos de laboratorio para confrontar el modelo de Faruk -
Civan y explorar los posibles ajustes.
• Se requiere literatura especializada sabre Tecnicas de Regresion no lineal.
• Se requiere el acceso a una version del programa SAS can licencia actualizada.
CRONOGRAMA
ACTIVIDAD
1~.~~.l~~~.J.~~rJ,-,~r.L~.~J Jue
Revision literatura
Rea li""7~"';,,(t"'I
2930
Anexo 2.
Modelo de Civan en Lenguaie de Programaci6n
*Modelo de Civan;
dm "log;dea~li
dm "output;dear";
Proc iml;
Start Civan(BO,BLB2,Tpo);
Daton={Nx,Bc,Dt,Tfinal,SigmaO,Co,C1,PhiO,KO,L,Mu,
Denpart,Denliq,PO,Pl ,U1 ,Pn};
Dato={2l,2,1.O,l 0200.0,0.0,0.0,0.0004836,0.37,16.667,7.38,1.0,
2.48,1.0,1.5,1.0,0.5917,l.0};
*' print,"CONDICIONES INICIALES"IIDatolrowname= Datonl;
Ctesn= {K1, K2,DPC,K3,K4,KS,DPC l,Sigma 10, K6,AB2, B};
Ctes={O.O,O.O,O.O,O.O,O.O,O.O,O.O,O.O,O.O,O.O,O.O}i
*print/,CONSTANTES, VALORES INICIALES"IICtes[rowname=Ctesn];
Ctes\11=BO;
Ctes[2]=Bl i
Ctes[3]=B2;
*Se toman los Valores Iniciales;*;
********************************,.
T=O.O;
Itermax=200i
Iter=O.O;
Error=O.OOOl;
Nx=Dato[l];
,Dato[11,Dato[14]);
"'Se incializan a\gunas variab\es;
U=i(l,Dato[lj,O}i
,Dato[l ],0);
Pnew=j(l ,Doto[1 J,O};
Dsigma=j(l,Dato[l ],0);
Dsigma 1 =j(l,Dato[l ],0);
Phip=j{l,DatollLO}i
A1 =j(l ,Dato[l ],0);
A2=j(l,Dato[l ],0);
A3=j(1, Doto[l ],0);
D=j(l,Dato[l],O);
Beta=i(l,Dato[l ],0);
Gamma=i(1,DatoPLO};
Dphi=j(1,Dato[l ],0);
*Fin de inidalizacion de variables;
*Datos iniciales para resolver el modelo.;
PHI=j(l ,Doto[l ],Dato[8]);1
31
K=i(l,Dato[l ),Dato[9J);
Sigma=j(l,Dato[lJ,Dato[S]);
Sigma 1=j(l ,Dato[l J,Ctes[8]);
Co=j(l,Dato[11,Dato[6J);
C=j(l,Dato[l ],Dato[6]);
~_: :_:-"~ 'i
P[Dato[l ]]=Dato[17J;
C[lI=Datof7J;
Co[1]=Dato[7J; "'..'"
DX=Dato[l O]lDato[l]i
*Print, "matriz CI, c;
*Print, "Matriz CO",CO;
*Print,"TIEMPOS CONSIDERADOS",Tp o;
Do While(T<Tpo);
T=T+Dato[3];
S=Ctes[ll]#(T##(-O.S));
RELPERN\=CtesI9]+(1-Ctes[9])#EXP(-Ctesll O]#T##(0.5));
Phisw=Dato[8J#(RElPERN\)##(l./3.);
*Print, liSe OSTIENE DANO",Phisw;
*Se define un cicio para convergencia de Presiones;
**************************************************.
EM =100.0; I
DO WHILE(EM>Error};
*print/se ingresa 01 cicio del Errorli,;
*print,'Valor del Error", Em;
IF Dato[2J= 1 Then
Do;
P[l] = Dato[1S];
DPr 1] =-(4. *PI2]-P[3]-3. *Pll ])/(2 .*DX);
U[11=K[11*DP[l]lDato[11];
U[Nx1=K[Nx}*DP[NxJ/Dato[11 ];
Pnew[ 1J= Dato[ lS];
Pnew[NxJ=Dato[l7];
End;
ELSE
Do;
U[l J=Dato[161;
*Print/Valor de 10 Velocidad en extremos",U;
P[l J=(4.0*P[2]-P[3J +2*DX*U[1 }*Dato[ll ]lK[ 1])/3.0;
DP[lJ=Dato[16J*Dato[ll]1K[11;
End;
DP[NxJ=-(3.*P[NxJ-4.*P[Nx-l J+P[Nx-2J)/(2.*DX);
*Print/'Derivada de Presionli,DP,;
* SE CAlCULA El GRADIENTE DE PRESION EN EL MODELO.
**********************************************.,
DO 1=2 To Nx-l;
DPll1=-(P[I+ 1]-PlI-l])/(2.*DX);
End;
* Se Calcu/a la Velocidad en el Mode/o.;32
**************************************.,
=
IF Dato[2] 1 Then
Do 1=2 To Nx-1;
UtIl = K[ll* DP[I]!Dato[11 };
End;
Else
Do 1=1 To Nx;
U[I]=Dato[16];
End;
*Print/'Gradiente.",DP;
*Print/'Velocidad",U;
*Print/,Concentracion inicial",Co;
********************************.,
*Tasa de Depositacion y Depositacion de Finos.;
**********************************************.
I
Do 1=1 To
IF DP[I]>Ctes[3] Then
Do;
DSIGMA[I] =Ctes[l]* U(II*Co[I]* PHI(I]* Datol 12] ­
Ctes[2]*SIGMA[I]*(DP[I]-Ctes[31};
"Por Aca no paso";
End;
Else
Do;
DSIGMA[I]=Ctes[11*Dato[12]*U[I]*Co[I]*PHI[I];
*Print/paso por aca";
End;
SIGMA[I]=SIGMA[I]+ Dato[3]* DSIGMA[I];
End;
*Print/Djferencial de Sigma",DSIGMA;
*Pri nt,liS igmali,SIGMA;
****************************************.,
*Se calcula 10 tasa de liberacion y 10 Liberacion de Finos;
********************************************.
I
DO 1=1 To Nx;
IF DPII]>Ctes[7] Then
DSIGMA111]=-CtesI4]*SIGMA111]*ll.-Expl-CtesI5]#T##(O.5)))
*Exp(-Ctes[6]*SIGMA[I])*(DP[/]-Ctes[7]);
Else DSIGMAl [1]=0.0;
SIGMA1[I]=SIGMA 1[ I] + Dato[3]*OSIGMAl [I];
End;
*Print,nDiferencial de Sigma l",DSIGMA 1;
•Print/Sigma l 11,SIGMA1;
,.,,....33
* Se calcula la Porosidad, Permeabilidad y cambio de Porosidad;
***************************************************************.
DO 1== 1 To Nx; J
*Print,IIPor Aca Pasa";
PH IP[I] == SI GMA[I]lOa to[12];
PHI[I]==Phisw-PHIP[I];
KllJ = Dato[9J*(PHIlIJIDatol8])**3.0;
OPHI[I]=-Oato[8]13./(RElPERM**(2./3.))*(1_Ctes[9])
*Exp(-Ctes[l O]#T##(0.5))*Ctes[1 011(2.#T##(0.5))-OSIGMA[I]/Oato[12];
*Print,"Entiendoll
;
End;
*Print,1I0afio Oepositacionll,Phip;
*Pri nt,uPermeabiliadll, K;
* Se Genera los Vectores de la Matriz Diagonal;
***************************************************************.
I
DO 1=2 To NX-l;
A1 [1]=2.*K[J]*K[I-l]l(K[I]+K[I_lj);
A3[1]=2.*K[I]*K[I+ l]l(K[I]+K[I+ 1
A211]= -A1[1}-A3[1];
0[1]=(OX**2.)*Oato[11]*(OPHI[I]+(OSIGMA[I]+ OSIGMA1[1])/Oato[12]
+S/Oato[13]);
End;
IF Dato(2] = 1 Then
Do;
0[2]= 0[2]-A 1[2]*P[l];
A1[2J=0.0;
End;
ELSE
Do;
0[2J=0[2]-2 .0*OX*Oato[16J*Oato[11 ]*A 1[ 2]1(3* K[l]);
A2[2] =A1[2]/3.0-A3[2J;
A3[2} =A3[2J-A1{2]13.0;
Al [2]=0.0;
End;
O[Nx-1] = 0[Nx-1 ]-A3[Nx-1]*P[NxJ;
A3[Nx-l]=0.0;
* Thomas Algoritmo para Resolver Matriz Tridiagonal;
***************************************************************.,
BETA[2]=A2[2];
o
GAMMA[2J= [2JIA2 [2];
DO 1=3 To NX-l ;
BETA[I] =A2[IJ-A 1[ IJ*A3[1-1]lBETA[I-1];
'"''"'34
GAMMA[ll=D[I]!BETA[I]-A 1[ 11*GAMMA[l-1 lIBETA[l];
End;
PNEW[NX-1J=GAMMAINX-1l;
DO I=NX-2 To 2 by -1;
PNEW\I] = GAMMAU1-A3[1}* P[I + 1l IBETAlII;
End;
IF DotoI2]=2 Then
Do;
PNEW[l J= (4.* PNEW[2]-PNEW[3] + 2.*DX*U[1]*Dato[11 ]!K[1])/3.0;
PNEW[NX}=P(NX}i
End;
* Se verifico Convergencia de Presiones;
***************************************************************.,
DO 1=2 To NX-1;
EM=ABS(P[I}-PNEW[ll);
P[I] = PNEW[lli
End;
* Se verifica Numero de Iteraciones;
***************************************************************.
ITER=ITER+ 1i
IF ITER> Itermax THEN
Do;
Print,"SE SUPERA EL LIMITE DE ITERACIONES"/;
Return;
End;
* Se Calcula el valor de las Concentraciones;
***************************************************************.
/
* Se Genera 10 Matriz Tridiagonal.;
***************************************************************.
I
DO 1=2 To NX-l;
A1[JJ=-U{ll*Dato[3)/(2. *DX);
A2[I]= PHI[I]+ Dato[3]*DPHI[IJ+ (U[I+ 1]-UII-1 ])* Dato[3)/(2'* DX);
A3[1] = U[ I] * Dato[3)/ (2.*DX);
D{11 = PHllll*CoV1-Dato[3]*(DSIGMA[I}+ DSIGMA1(11);
End;
D[2] = DI2]-A 1[ 2]*C[1]i
Al[2] =0;
A 1[ NX]=-U[NX]*Dato[3]1DX;
A2[NX]=PHI[NX]+Doto[3]*DPHI[NXJ+(2.*UINX]-U[NX-1])*Doto[3)/DX;
A3[NX] =0;
D[NX]=PHI[NX]*CO[NX]-Dato[3]*(DSIGMA[NX]+DSIGMA 1[ NX])i
* Thomas Algoritmo;
.... A35
***************************************************************.
BETA[2)::::A2[2);
o
GAN\Iv\A[2] = [2]!A2 [2];
Do 1=3 To NX;
BETA[I]=A2[I]-A1[1]* A3[1-'1 ]IBETAII-1]i
GAN\Iv\AII]=D[I]/BETA[I]-A1[1]*GAMMA[I-1 ]IBETA[IJ;
End;
C[NX] =GAN\MA[NX];
ColNX) =GAMMAINX);
Co[l] =Dato[7];
Do I==NX-l To 2 by -1;
CII) =GAMMA[I]-A3[1]*CII+ 1] IBETAII);
Co[I]=C[I];
End;
*Se termina el cicio por Error;
End;
Iter=O.O;
*Se calcula 10 Permeobilidod Promedio;
*******************************************.,
SK1 =0;
DO 1=1 To NX;
SK1 =SK1 +K[I);
End;
End;
kprom=(sk l-k[l ]I2.-K[NX)I2.)/(NX-1);
"Tiempo y Pemeobilidad Buscodall,Tpo Kprom;
Print,Tpo Kprom;
*Print/'Se termina el primer tiempo",t;
*Print s;
*Print Phisw;
return (Kprom);
Finish Civon;
*reset print;
Tiempos::::{600, 1200, 1800,2400,3000,3600,4200,4800,5400,6000,6600,7200,
7800,8400,9000,9600,10200};
print,'TIEMPOS CONSIDERADOS",Tiempos;
BO=0.2133;
81 =0.82345;
B2=0.0805;
""I,37
ANEXO 3.
Resultados del Modelo de Civan en lenguaje de programacon IML. Datos de la Prueba
1 cuyos resultados con la version en Fortran del modelo se notan en la Figura 1.
The SAS System
TIEMPOS CONSIDERADOS
TIEMPOS
600
1200
1800
2400
3000
3600
4200
4800
5400
6000
6600
7200
7800
8400
9000
9600
10200
CONDICIONES INrCIALES
DATO
NX 21
BC 2
DT 1
TFINAL 10200
S/GMAO 0
CO 0
C1 0.0004836
PHIO 0.37
KO 16.667
L 7.38
MU 1
DENPART 2.48
DENLlQ 1
PO 1.5
P1 1
U1 0.5917
PN 138
TIEMPO KPROM
600 15.703623
1200 14.786907
180013.919556
2400 13.09895
3000 12.322628
3600 11.588274
4200 10.893706
4800 10.2471 07
54009.6449263
6000 9.0975893
W
9.097589339
ANEXO 4.
Listado de Codificaci6n del Metoda de Optimizaci6n para la Estimaci6n de Para metros
No Lineales Marquardt - Levenberg.
subroutine Sub mrqmin(x,y,sig,ndata,a,ia,ma,covar,alpha,chisq,funcs,alamda)
integer::ma,ndata,ia(ma),MMAX
real::
alamda,chisq,funcs,a(ma),alpha(ma,ma),covar(ma,ma),sig(ndata},x(ndata),y(ndat
a)
parameter (MMAX=20)
integer:: irk,1 ,mfit
rea I:: ochisq,atry(MMAX),beta (MMAX) ,da(MMAX)
save: :ochisq,atry,beta ,da,mfit
if (alamda.lt.O.O) then
mfit=O
do i= 1,ma
if (iaW.ne.O) mfit=mfit+ 1
end do
alamda=.OOl
call Sub _ mrqcof(x,y,sig,ndata ,a,ia,ma,a Ipha,beta,chisq,funcs)
ochisq =chisq
do j=l,ma
atry(j) = a(j)
end do
end if
do l,mfit
do k= l,mfit
covar(j,k) =alpha(j,k)
end do
0,
cavar(i,j) = aIpha j) *( 1.0 + a la md a)
d a (j) = beta (j)
end do
call Sub _gaussj(covar,mfit,ma,da, 1, 1)
if (alamda.eq.O.O) then
call Sub _ covsrt(covar,ma,ia ,mfit)
return
end if40
j=O
do I=l/ma
if (ia(l).ne.O) then
j=;+ 1
atry(/) = a (I) +da(j)
end if
end do
call Su b_mrqcof(x,y,sig,ndata ,atry,ia ,ma ,cova r/da ,chisq ,funcs)
if (chisq.lt.ochisq) then
alamda =0.1 *aJamda
ochisq=chisq
do i= l,mfit
do k= l,mfit
alpha (i,k) = covar(j,k)
end do
beta(i) = da (j)
end do
do 1= lima
a(I) =atry(l)
end do
else
alamda= 1O.O*alamda
chisq=ochisq
end if
return
end subroutine
subroutine Sub _ mrqcof(x,y,sig,ndata ,a,ia,ma,alpha,beta,chisq,funcs)
integer: :ma,ndata ,ia(ma) ,MMAX
real: :chisq,a(ma) ,alpha(ma,ma) ,beta(ma) ,sig(ndata) ,x(ndata),y(ndata)
external funcs
parameter (MMAX=20)
integer: :mfit,i,i,k,l/m
real: :dy,sig2i,wt ymod ,dyda(MMAX)
I
mfit=O41
do j= lima
if (ia(i).ne.O) mfit=mfit+ 1
end do
do j= l,mfit
do k= 1,;
alpha(i,k) =0
end do
beta(j)=O
end do
chisq=O
do i= l,ndata
call funcs(x(i),ymod,a,dyda,ma,sig/i)
sig2i= 1.0/(sig(i))**2
dy=y(i)-ymod
;=0
do 1= lima
if (ia(I).ne.O) then
j=j+l
wt=dyda(l)*sig2i
k=O
do m= 1,1
if (ia(m) .ne.O) then
k=k+l
alphaO,k) =alpha (j/k) +wt*dyda(m)
end if
end do
beta(;) = beta(j) + dy*wt
end if
end do
chisq =chisq + (dY**2) *sig2i
end do
do i=2,mfit
do k= l/j-l
alpha(k,D =alpha(j,k)
end do
end do
return
end subroutine42
ANEXO 5.
Resultados de la Estimaci6n de Parametros No lineales Mediante el Metodo de
Optimizaci6n Marquardt - Levenberg, versi6n en Fortran. Ejemplo To orico cuyos
Resultados con SAS se encuentran en 10 Secci6n 2.4.
Iteration # 1. Chi-sqrt: = 1092.61. ALAMDA: 0.1 OE-03,
A(l) A(2)
0.99387 0.04158
Iteration # 2 Chi-sqrt: 662.01 ALAMDA: 0.1 OE-04
A(l) A(2)
0.99565 0.04220
Iteration # 3 Chi-sqrt: = 661.94 ALAMDA: 0.1 OE-05
A(l) A(2)
0.99564 0.04221
Iteration # 4 Chi-sqrt: = 661.94. ALAMDA: 0.1 OE-06
A(l) A(2)
0.99564 0.04221
Iteration # 5 Chi-sqrt: = 661.94. ALAMDA: 0.1 OE-05
A(l) A(2)
0.99564 0.04221. Nota. Valores obtenidos con el programa.
Uncertainties:
0.0003 0:0001
Expected Results. Nota. Valores obtenidos con SAS.
0.9962 0.0420
Resumen
a(i)
1 0.9956
2 0.0422
Matriz Covarianza
0.0003 0.0001