La teoría del valor extremo en el mercado de las aseguradoras.
Autor: Duarte Velasco, Néstor
Asesor: Nohra, León Rodríguez (Thesis advisor)
Fecha: 2010-11
Programa: Bogotá - Medicina - Especialidad en Anestesiología y Reanimación
Facultad: Facultad de Medicina

Resumen: La Superintendencia Financiera de Colombia estudia el mercado asegurador fragmentándolo en cinco partes: Seguros Generales, Seguros De Vida, Sociedades De Capitalización, Cooperativas De Seguros y Corredores De Seguros Y Reaseguradoras. Dada la extensión del mercado en su totalidad y en aras de poder realizar un análisis más detallado y preciso, este trabajo se enfocará en el mercado de Seguros Generales. Además, este sector de la industria  aseguradora fue uno de los más afectados en el año 20081, por lo cual me parece importante enfocar el estudio sobre el mismo.  En algunos casos los eventos que producen valores extremos se pueden tomar en cuenta como si fueran de baja  probabilidad pero de alto impacto, es aquí donde la  Teoría del Valor Extremo juega un papel importante en el análisis de datos ya que precisamente toma en cuenta la cola de la distribución de los valores extremos. En  primera instancia se hará una introducción a la forma en cómo la Superintendencia Financiera de Colombia regula y controla bajo la normatividad correspondiente el  mercado asegurador colombiano, a continuación se hace una breve explicación de la Teoría del Valor Extremo (EVT); posteriormente se hará una aproximación a la aplicación teórica de la EVT en el mercado de las aseguradoras (Seguros  Generales) y por último se aplicará la EVT al sector  mencionado.

LA TEORÍA DEL VALOR EXTREMO
EN EL MERCADO DE LAS ASEGURADORAS
NÉSTOR DUARTE VELASCO
Monografía para optar al título de
Economista
Director
GUSTAVO ADOLFO DÍAZ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÍMICAS
DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA
BOGOTÁ, D.C.
2009Tabla de Contenido
RESUMEN………………………………………………………………………………i
INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………...ii
1. LA TEORÍA DEL VALOR EXTREMO………………………………………….....1
1.1 Distribución Generalizada del Valor Extremo……………………………...1
1.2 La Distribución Generalizada de Pareto…………………………………....4
1.3 Estimador de Hill……………………………………………………………....6
2. APLICACIÓN AL MERCADO ASEGURADOR……………………………….....7
3. ANÁLISIS DE DATOS………………………………………………………….......8
4. CONCLUSIONES……………………………………………………………….....12
BIBLIOGRAFÍA
ANEXOSRESUMEN
La Superintendencia Financiera de Colombia estudia el mercado asegurador
fragmentándolo en cinco partes: Seguros Generales, Seguros De Vida,
Sociedades De Capitalización, Cooperativas De Seguros y Corredores De
Seguros Y Reaseguradoras. Dada la extensión del mercado en su totalidad y en
aras de poder realizar un análisis más detallado y preciso, este trabajo se enfocará
en el mercado de Seguros Generales. Además, este sector de la industria
aseguradora fue uno de los más afectados en el año 20081, por lo cual me parece
importante enfocar el estudio sobre el mismo.
En algunos casos los eventos que producen valores extremos se pueden tomar en
cuenta como si fueran de baja probabilidad pero de alto impacto, es aquí donde la
Teoría del Valor Extremo juega un papel importante en el análisis de datos ya que
precisamente toma en cuenta la cola de la distribución de los valores extremos. En
primera instancia se hará una introducción a la forma en cómo la Superintendencia
Financiera de Colombia regula y controla bajo la normatividad correspondiente el
mercado asegurador colombiano, a continuación se hace una breve explicación de
la Teoría del Valor Extremo (EVT); posteriormente se hará una aproximación a la
aplicación teórica de la EVT en el mercado de las aseguradoras (Seguros
Generales) y por último se aplicará la EVT al sector mencionado.
Palabras claves: Teoría del Valor Extremo, Distribución Generalizada de Pareto,
(GPD), Estimador de Hill
1 SUPERINTENDENCIA FINANCIERA DE COLOMBIA, INFORME SOBRE SECTOR ASEGURADOR (Sociedades Corredoras
de Seguros y Reaseguradoras) Diciembre de 2008
iINTRODUCCIÓN
A junio de 2004, la Superintendencia Financiera de Colombia decretó bajo el
artículo 1782 la autorización de los planes para ejercer la actividad capitalizadora
en el país, la cual entre otras cosas menciona que cualquier entidad que ejerza
dicha función puede implementar tarifas, fórmulas para el cálculo de las cuotas,
reservas matemáticas, valores de rescate y demás previa autorización de la
entidad reguladora(Superintendencia Financiera de Colombia) sin esta
autorización no se podrían poner en vigencia los mismos. Esto implica que el
cálculo de las primas de seguros de estas entidades defiere entre las mismas
entidades, por lo tanto para efectos de este trabajo los datos obtenidos estarán
sujetos a su disponibilidad ya que provienen de datos en general y no de una sola
entidad, es decir los datos son provenientes de siniestros reportados por parte de
todas las aseguradoras de la ciudad de Cali y no propiamente de una sola entidad.
En últimas, cuando se habla del cálculo de una prima de seguros se está hablando
del cálculo del Riesgo Crediticio (RC), ya que como lo plantea la Superintendencia
Financiera de Colombia, el RC es la posibilidad de que una entidad incurra en
pérdidas y se disminuya el valor de sus activos, consecuencia de que un deudor o
contraparte incumpla sus obligaciones3. Por ende, las entidades aseguradoras,
sociedades de capitalización e intermediarios de seguros y reaseguros deben
mantener una adecuada administración del RC mediante la adopción de un
Sistema de Administración del Riesgo Crediticio (SARC).
Por otro lado, las entidades vigiladas están en la obligación de evaluar
permanentemente el riesgo incorporado en sus activos crediticios, tanto en el
momento de otorgar créditos como a lo largo de la vida de los mismos, incluidos
los casos de reestructuraciones. Los elementos básicos que deben estar
incorporados en el SARC son los siguientes:
 Políticas de administración del Riesgo de Crédito.
 Procesos de administración del Riesgo de Crédito.
 Modelos internos o de referencia para la estimación o cuantificación de
pérdidas esperadas.
 Sistema de provisiones para cubrir el Riesgo de Crédito.
 Procesos de control interno.
2 SUPERINTENDENCIA FINANCIERA DE COLOMBIA, Normas y Reglamentaciones, Estatuto Orgánico del Sistema Financiero
(EOSF) parte sexta, pág. 479 y siguientes. Junio de 2004
3 SUPERINTENDENCIA FINANCIERA DE COLOMBIA, Reglas Relativas a la Gestión de Riesgo Crediticio, Circular Externa 100
de 1995, capítulo II.
iiDe estos elementos, el que más nos compete por el momento es el de los
modelos internos o de referencia para la estimación o cuantificación de pérdidas
esperadas. Las entidades pueden diseñar y adoptar dentro de su SARC respecto
de la cartera comercial, de consumo, de vivienda y de microcrédito ya sea para
uno, algunos o la totalidad de sus portafolios ó para alguno o la totalidad de los
componentes de la medición de la pérdida esperada, sus propios modelos internos
de estimación; o si se quiere, se puede aplicar alguno de los modelos de
referencia que la Superintendencia Financiera de Colombia ha diseñado. Antes de
poder implementar los modelos que hayan sido diseñados y adoptados
internamente, estos deben ser presentados a la Superintendencia Financiera de
Colombia para su evaluación previa, quien en todo caso emitirá un
pronunciamiento independiente de su aprobación u objeción para poder
implementar dicho modelo.
Para poder diseñar y adoptar un modelo interno propio, las entidades deben tener
en cuenta que las bases de datos necesarias para su desarrollo incorporen
información histórica de los últimos años anteriores a la presentación del modelo
conforme a como lo solicita la Superintendencia Financiera de Colombia4.
Para el caso de las entidades aseguradoras, sociedades de capitalización e
intermediarios de seguros y reaseguros el SARC se debe desarrollar únicamente
sobre operaciones que generen Riesgo de Crédito, las cuales a su vez generen
partidas contables correspondientes a cartera de créditos, cuentes por cobrar
correspondientes a remuneración de intermediación y créditos a empleados y
agentes. Además, no es necesaria la adopción de la metodología para el cálculo
de las pérdidas esperadas; sin embargo, para que las aseguradoras puedan
prever con cierta certeza que tanto pueden perder en cierto tiempo, es
aconsejable manejar un modelo que incorpore la estimación de la pérdida
esperada dentro del marco del SARC, esta resulta de la aplicación de la siguiente
fórmula:
PERDIDA ESPERADA= [Probabilidad de incumplimiento] x [Exposición del activo]
x [Pérdida esperada del valor del activo dado el incumplimiento]
Las pérdidas esperadas aumentarán en función del monto del crédito y de la
probabilidad de deterioro de cada activo, dependiendo de la metodología que se
adopte lo que implica que las pérdidas serán menores entre más alta sea la tasa
de recuperación esperada.
4 Ver anexo 1.
iiiAhora bien, independiente de la forma en cómo se calculen las primas de los
seguros, se da por hecho que estas deben cumplir con las condiciones otorgadas
por el acuerdo de Basilea II, las cuales así no sean una regla impositiva para el
funcionamiento de las instituciones financieras, han servido de base para que este
tipo de mercado sea un poco más confiable entre las mismas empresas a nivel
mundial. En sí, el acuerdo de Basilea II buscaba proporcionar medidas de
reducción del riesgo pidiendo a las instituciones financieras que calculen el Value
at Risk para percentiles altos y mantener suficiente capital económico para
afrontar eventos de baja probabilidad, por lo tanto deben cumplir por ejemplo con
un requerimiento de capital mínimo el cual debe suplir las necesidades en caso de
presentarse alguno o varios siniestros a la vez. Principalmente por esta
preocupación y además con lo ocurrido en los últimos años con la crisis financiera
vivida a lo largo del mundo, me pareció inquietante saber bajo la metodología de la
Teoría del Valor Extremo como se comportarían estos datos.
En el campo que compete a este trabajo, la información que se obtiene tanto en el
ámbito financiero como en el asegurador, se puede investigar desde un punto de
vista de análisis de riesgo, es por esto que la visión que se le dé a las series de
datos del mercado asegurador también puede ser útil para el entendimiento del
riesgo financiero. Es más, existe evidencia empírica que las distribuciones de los
retornos pueden poseer colas pesadas por lo que un análisis cuidadosos debe ser
tenido en cuenta. En este sentido, se trata con la cola superior de distribuciones
de pérdida o de ganancia, especialmente con parámetros que resumen el
potencial riesgo existente.
iv1. LA TEORÍA DEL VALOR EXTREMO
1.1 Distribución Generalizada del Valor Extremo
Cuando se analiza clásicamente cualquier tipo de datos, la tendencia es ignorar
los valores extremos, lo cual estaría correcto si se busca hacerlos uniformes para
ajustar un modelo a su tendencia. Pero en algunos casos los eventos que
producen estos valores extremos se pueden tomar en cuenta como si fueran de
baja probabilidad pero de alto impacto; para estos casos no es conveniente hacer
una aproximación clásica de análisis de datos ya que lo que se está buscando es
describir precisamente los eventos que no son muy usuales y no ignorarlos.
Ahora bien, la Teoría de los Valores Extremos es la llamada a realizar el análisis
pertinente sobre la cola de la distribución de los eventos extremos que se
presenten en los datos obtenidos, ya que hasta ahora por medio de esta teoría es
como mejor se ha podido interpretar el comportamiento de estos datos atípicos5.
Formalmente, la Teoría del Valor Extremo es una rama de la estadística que
estudia las desviaciones de la media de las distribuciones de probabilidad. Para
poder entender la Teoría del Valor Extremo (EVT)6 comenzaremos haciendo una
aproximación mediante la Distribución Generalizada del Valor Extremo7, la cual se
basa en el siguiente teorema:
Teorema Fisher and Tippet (1928), Gnedenko (1943)8: la clase de distribuciones
de valor extremo es G (ax + b) con a > 0, b real, donde
γ
G (x) = exp (-(1 + γx)-1/γ), 1 + γx > 0,
γ
Con el parámetro γ real definido como el índice del valor extremo y cuando γ= 0 el
lado derecho es interpretado como exp (-e-x).
Una vez analizado el parámetro γ, la familia de distribuciones de valor extremo de
G se puede interpretar como lo muestra la siguiente gráfica:
γ
5 Hablando desde un punto de vista clásico.
6 Siglas en ingles para Extreme Value Theory
7 Se asume que la serie es independiente e idénticamente distribuida
8 Tomado de Extreme Value Theory an Introduction
1Gráfica 1
Fuente: Extreme Value Theory an Introduction
La parametrización del anterior teorema se le alude a von Mises (1936) y
Jenkinson (1955) este teorema es importante en varios aspectos, por un lado
muestra que el límite de las funciones de distribución forman una familia explicita y
simple de un parámetro sin importar los parámetros de escala y locación, así como
se muestra en la figura anterior donde se ilustra dicha familia para algunos valores
de γ. Es más, muestra que la clase contiene distribuciones con ciertas
características diferentes las cuales se pueden simplificar en tres grupos a
entender:
1. Para γ > 0 claramente G (x) < 1 para todo x, además el punto final de la
γ
distribución es infinito y la distribución tiene una cola derecha pesada.
2. Para γ = 0 el punto final derecho es igualmente infinito, sin embargo la
distribución tiene una cola más ligera o no tan pesada.
3. Para γ < 0 el punto final derecho de la distribución es -1/γ por ende tiene
una cola corta.
Dicho de otra forma,
1. Cuando γ > 0 se usa G ((x - 1)/ γ) con α = 1/ γ > 0, es decir,
γ
0, 𝑥 ≤ 0
𝛷 𝑥 =
𝛼 𝑒𝑥𝑝 −𝑥−𝛼 , 𝑥 > 0
también llamada ecuación de Fréchet
22. La función de distribución con γ = 0,
G (x) = exp (-e-x)
0
Para todos los reales x, es llamada distribución doble exponencial o
distribución de Gumbel
3. Para γ < 0 usar G (-(1 + x)/ γ) con α = -1/ γ > 0,
γ
𝑒𝑥𝑝(−(−𝑥)𝛼, 𝑥 < 0
𝜓 𝑥 =
𝛼 1, 𝑥 ≥ 0
Esta clase es llamada también clase de distribución Weibull-Inversa.
Además del teorema mencionado anteriormente, hay que tener en cuenta la
siguiente condición de segundo orden9:
La función U (o la distribución de probabilidad conectada con ella) se dice
satisfacer la condición de segundo orden si para alguna función positiva a y alguna
función positiva o negativa A con lim A(t) = 0,
t→∞
U(tx) – U(t) _ xγ - 1
lim ____a(t)________γ____ = H(x), x > 0
t→∞
A(t)
Donde H es alguna función que no es un múltiplo de la función (xγ - 1) / γ, y no
debe ser idénticamente cero.
Las anteriores distribuciones (Fréchet, Weibull y Gumbel) son las que se tienen en
cuenta para lo que se denomina Valor Extremo Generalizado el cual en principio
utiliza el criterio de Block-Máxima en donde los datos se seleccionan por bloques y
el valor máximo de cada uno de estos bloques es tomado como un valor extremo.
Ahora bien, bajo este criterio una de las grandes limitaciones es que precisamente
solamente se obtiene un valor extremo y esto no puede ser enteramente preciso
y/o adecuado.
9 La explicación completa de esta definición se puede encontrar en Extreme Value Theory de Laurens de Haan, Ana Ferreira
31.2 La distribución de Pareto Generalizada
Además de este punto de vista dentro de la EVT, también se ha trabajado mucho
en lo que se denomina Distribución de Pareto Generalizada (GPD) la cual surge a
partir del método conocido como P.O.T(Peaks Over Threshold method). Para este
estudio, este tipo de distribución fue el escogido ya que una de las grandes
ventajas que tiene es que la selección de los datos extremos esta dado por la
selección de un umbral, el cual por lo general es escogido por experiencia, lo que
permite agregarle un valor real a los casos que se estén analizando y no que se
trabaje con una especie de caja negra donde simplemente se introducen datos y
se esperan por resultados, sin importar la naturaleza de los mismos y como estos
se comportan en la realidad.
Sin embargo, al momento de escoger el umbral es prudente tener sumo cuidado
ya que si se escoge un umbral demasiado alto, se pueden perder datos
importantes al momento de analizarlos y si por el contrario se escoge un umbral
muy bajo, la media y la varianza necesarias para el análisis de los datos puede no
ser el adecuado, y el problema radicaría principalmente con la varianza ya que
esta puede ser muy grande y los resultados pueden ser igualmente los no
adecuados y por ende no son confiables para su análisis. Formalmente, para
poder definir la función de distribución que nos lleve a la familia de funciones de
tipo GPD, comenzamos desde otro teorema.
Teorema 210 para γ ∈ℝ los siguientes argumentos son equivalentes:
1. Existen constantes reales a > 0 y b tal que
n n
lim F 𝑎 x + 𝑏 =Gγ x =exp −(1+𝛾𝑥)−1/𝛾 , ∀x con 1 + γx > 0
n→∞ 𝑛 𝑛
2. Existe una función positiva a tal que para x > 0,
𝑈 𝑡𝑥 − 𝑈(𝑡) 𝑥𝛾− 1
lim = Dγ(x) =
𝑡→∞
𝑎(𝑡) 𝛾
Donde para γ = 0 el lado derecho es interpretado como log x
3. Existe una función positiva a tal que
lim 𝑡 1−𝐹 𝑎 𝑡 𝑥+𝑈 𝑡 = 1+𝛾𝑥 −1/𝛾,
𝑡→∞
∀ x con 1 + γx > 0.
10 Tomado de Extreme Value Theory an Introduction
44. Existe una función positiva f tal que
1−𝐹(𝑡 + 𝑥𝑓(𝑡))
lim = (1+ 𝛾𝑥)−1/𝛾
𝑡 ↑ 𝑥∗ 1−𝐹(𝑡)
∀ x con 1 + γx > 0, donde x* = sup{x : F(x) < 1}
A partir de este último argumento y con X como una variable aleatoria con función
de distribución F que 𝒟(𝐺𝛾) para algún real γ, la anterior ecuación nos dice que
para x > 0, x < (0 v (-γ))-1,
𝑋−𝑡 −1/𝛾
lim( > 𝑥 ⃒ 𝑋 > 𝑡) = (1+ 𝛾𝑥)
𝑡 ↑ 𝑥∗ 𝑓(𝑡)
Esto es, la distribución condicional de (X - t)/f(t) dado X > t tiene la distribución
límite como 𝑡 ↑ 𝑥∗,
H (x) = 1- (1 + γx)-1/γ, 0 < x < (0 v (-γ))-1
γ
Donde para γ=0 el lado derecho es interpretado como 1-exp-x. Esta clase de
funciones de distribución son llamadas la clase de distribuciones de Pareto
generalizadas. En principio, el cuarto argumento significa que para algún umbral t
de ahí en adelante la función de distribución puede ser escrita de la siguiente
manera:
𝑥−𝑡
1−𝐹 𝑥 ≈ 1−𝐹 𝑡 1−𝐻𝛾 , x > t
𝑓(𝑡)
La cual es una familia paramétrica de distribución de colas con un comportamiento
aproximado al que presenta la gráfica 2
Gráfica 2
Fuente: Extreme Value Theory an Introduction
5Después de realizar algunos cambios en la última ecuación, la aproximación más
aplicable resulta en la siguiente:
𝑘 𝑥− 𝑋
𝑛−𝑘,𝑛
1−𝐹 𝑥 ≈ 1−𝐻𝛾
𝑛
𝑛
𝑓
𝑘
Donde es necesario estimar γ y la función f en el punto n/k, la cual es válida para
cualquier x más grande que X y puede ser usado para x > X por fuera del
n-k,n n,n
rango de observaciones, lo que de hecho es lo que buscan las aplicaciones de los
valores extremos.
Después de realizar ciertos cambios en la función F, la GPD termina siendo una
función de distribución con dos parámetros de distribución expresada de la
siguiente manera:
1
𝜀𝑥 −
𝜀
1− 1 + 𝜀 ≠ 0
𝛽
𝐺 𝑥 =
𝜀,𝛽
𝑥
1−exp − 𝜀 = 0
𝛽
donde β > 0, x >= 0 cuando ξ >= 0 y 0 =< x =< -β/ ξ cuando ξ < 0.
Los parámetros utilizados en esta función de distribución se interpretan de la
siguiente manera: ξ es el parámetro de forma de la distribución y β es un
parámetro adicional de escala. Cuando ξ > 0 la función es una versión
reparametrizada de la distribución ordinaria de Pareto; ξ = 0 corresponde a la
distribución exponencial y cuando ξ < 0 la función es conocida como la distribución
de Pareto tipo II.
1.3 Estimador de Hill11
En el mercado asegurador, lo más común de encontrar son series de datos que
suelen presentar mayores probabilidades de ocurrencia de eventos riesgosos, o lo
que también se puede denominar como colas de distribución pesadas, lo que nos
indica que un estudio de estos datos desde un punto de vista de normalidad no es
el adecuado, es sobre todo por esta razón que estamos tomando un punto de vista
desde la EVT. Siguiendo con esto, el siguiente paso a seguir es definir tanto el uso
como la forma de aplicar el estimador necesario para poder analizar los datos
mediante esta teoría.
11 Véase Hill, Bruce M., “A simple general approach to inference about the tail of a distribution”, 1975.
6El estimador apropiado para poder trabajar con colas de distribución pesadas es el
estimador de Hill. En esencia, este estimador de valores extremos se obtiene
ordenando las observaciones de la siguiente manera:
𝑋 1 ≥ ⋯ ≥ 𝑋(𝑛)
Con lo que el estimador de Hill del orden K + 1 queda de la siguiente manera:
𝐻 = 1 𝑘 𝑙𝑜𝑔 𝑋 𝑖 para k = 1……………………. N-1
𝑘,𝑛 𝑖=1
𝑘 𝑋
(𝑘+1)
La elección del umbral es de vital importancia puesto que influye directamente en
el estimador de Hill, por lo tanto se recomienda construir una serie de puntos así:
𝑘,𝐻 ,1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛−1
𝑘,𝑛
O serie de Hill en donde el valor de γ es inferido en la base de la región estable del
gráfico que se construye para este propósito12, lo que es realmente difícil de
encontrar cuando la serie es muy volátil para lo cual se aconsejable utilizar la serie
de Hill alternativa13 en la que se usa una escala logarítmica para el eje k14. De
todas maneras, es mejor calcular las dos series para poder comparar
posteriormente.
2. APLICACIÓN AL MERCADO ASEGURADOR
Para entender el porqué de la importancia de la aplicación de EVT en el mercado
asegurador, empezaré explicando un poco porqué el VaR tradicional no funciona
correctamente en este tipo de mercados.
El uso del VaR en la gestión de riesgo ha sido bastante discutido ya que sus
modelos convencionales no representan realmente lo que ocurre en la realidad,
por ejemplo, las caídas bursátiles no presentan una distribución normal en la vida
real. Entre otras cosas, significa que no son tan efectivos donde debería ser más
importante: en los valores extremos. Algunos de los problemas que presenta el
VaR son:
12 Para poder aplicar el gráfico de Hill, se ordenan las variables muestrales en forma ascendente, luego se calcula el estimador de de Hill
para cada elemento con la fórmula planteada y por último se realiza un gráfico con los pares (k; (H )-1). El gráfico comenzará a
k
estabilizarse a partir de cierto rango de valores, de donde se seleccionará el umbral buscado, sin embargo el valor seleccionado por lo
general queda a criterio de quien esté utilizando el modelo.
13 Esta variación de la serie tradicional de Hill produce el efecto de encoger la mitad izquierda de la serie dando más lugar para visualizar
valores menores de k.
14 Este valor k corresponde a cada iteración que se realiza para encontrar el estimador de Hill
7 Desde la gestión de riesgo, se tiene más en cuenta el importe de las
pérdidas que la periodicidad con la que puede ocurrir.
 Presenta el peor caso posible donde el daño es un concepto a menudo
asociado al análisis de los sucesos raros. Normalmente se hace mención a
la naturaleza de un evento que por definición está en los límites de
ocurrencia.
 El VaR incluye una alta probabilidad de ruina financiera por lo que es
necesario tomar medidas adicionales, como pueden ser mayores
dotaciones de recursos, de capital.
Aunque el VaR es muy utilizado en la actualidad, esta no es una medida muy
coherente en las finanzas debido principalmente a los siguientes factores:
 En el sector de las finanzas y de las aseguradoras realmente importan los
valores extremos que puedan generar grandes pérdidas en dado caso de
ocurrir.
 A la gestión de riesgo le interesa estimar probabilidades en los extremos y
en las distribuciones de pérdidas y ganancias asociadas.
 Algunas veces se presentan datos extremos mayores a los estimados
cuando se trabaja bajo el supuesto de normalidad.
Sin embargo como muchos autores mencionan, la idea no es que la EVT sea la
“salvación” para el mercado asegurador o el financiero (o para cualquier otro
sector en el que se utilice ya sea en ingeniería, hidrología u otros), es simplemente
otra herramienta que sirve para poder estimar con mejor aproximación los
siniestros que en dado caso puedan tener ocurrencia en un portafolio específico.
Al igual que el VaR sirven para mirar pérdidas en casos extremos, la diferencia
básicamente radica en que en el VaR se puede calcular el capital suficiente para
cubrir en la mayoría de los casos, las pérdidas de un portafolio sobre un periodo
determinado, en el VaR condicionado se puede analizar la pérdida esperada
superado el VaR dado y en la EVT se miran los datos extremos directamente
desde otro punto de vista (no se basa en el supuesto de normalidad).
3. ANÁLISIS DE DATOS
Ahora bien, los datos para poder aplicar EVT fueron obtenidos a partir de una
base de datos15 consistente en los siniestros reportados desde el año 1998 hasta
el año 2007 en una de las ciudades más importantes de Colombia16. La base de
datos está dividida de la siguiente manera: en la primera columna se encuentra el
15 Ver anexo II
16 Debido a ciertas circunstancias, se prefiere dejar la fuente de dichos datos en el anonimato
8año al cual pertenece el siniestro, en la segunda columna se encuentra la cantidad
de personas que están reportadas como involucradas y afectadas en el mismo, la
tercera columna se refiere al valor de la liquidación de la incapacidad17, la cuarta
columna se refiere al salario percibido por la persona titular del siniestro, la quinta
columna se refiere a los días de incapacidad recibidos por el perjuicio en cuestión,
por último la sexta columna hace referencia al daño emergente consistente en la
disminución específica, real y cierta del patrimonio a consecuencia de los gastos
que el afectado o los damnificados han tenido que realizar con ocasión del evento
dañino, en otras palabras lo que han tenido que pagar por el siniestro perpetuado.
Para efectos del presente trabajo la última columna de la base de datos es la que
se evaluara bajo EVT.
En primera instancia se analizó la base de datos con el objetivo de conocer si los
datos presentaban una tendencia hacia una distribución normal o si por el
contrario se podían analizar bajo el principio de la EVT, para esto se utilizó el
software SPSS v. 16 el cual nos muestra el comportamiento de los datos de
manera sencilla.
Para poder concluir si la serie de datos tiene una distribución normal se observó
su kurtosis, la cual debe estar aproximada a 3; también se realizaron los
histogramas respectivos y por último, por medio de la gráfica Q-Q Plot Normal se
puede observar que tan pesadas son las colas de la serie (si esta no presenta
una distribución normal, asumida según los resultados de los test mencionados
anteriormente)
Como se puede observar en el cuadro 1, las condiciones de normalidad no se
cumplen, lo cual para nuestro propósito es lo aconsejable, por ejemplo para que
exista distribución normal, su kurtosis debe estar aproximada a 3 lo que para este
caso no se cumple ya que los resultados de las pruebas dieron una kurtosis
superior (kurtosis= 5.0133).
Cuadro 1 (Estadística Descriptiva)
Media Desv. Std Varianza Kurtosis
daño 19937586.76 5.953E7 3.543E15 5.0133
Valid N (list) 380
17 El cual se calcula como el salario por los días de incapacidad dividido por 30
9Lo anterior se puede corroborar con Gráfica 3
el histograma de dicha serie (Grafica
3), donde se puede observar que la
serie tiene tendencia a presentar
colas pesadas (sobre todo la cola
derecha o la positiva)
Fuente: elaboración propia
Por último, los resultados de los dos test anteriores se pueden ratificar mediante el
gráfico Q-Q Plot Normal (Gráfica 4) el cual nos indica para el caso de normalidad
como deberían estar dispuestos los datos, esto se muestra comparando
gráficamente como debería ser teóricamente si los datos presentan normalidad y
como son en realidad.
Como se puede observar, la serie de Gráfica 4
datos presenta quiebres en ambos
extremos, lo que nos indica que
posee colas pesadas y por ende su
distribución no es normal, ya que
para que esto se cumpliera el
comportamiento de la serie debería
ser aproximado al comportamiento de
la línea recta que se presenta en la
Fuente: elaboración propia
misma gráfica.
Para estar más seguros de la no normalidad de la serie, se realizó el test de Q-Q
Plot Normal Detrended (Gráfica 5) el cual nos muestra la diferencia entre los
valores observados y los valores esperados de una distribución normal, si la
distribución es normal los puntos deberían estar alrededor de una línea horizontal
equivalente a cero.
Como se puede observar, la gráfica Gráfica 5
comienza desplazándose hacia abajo
de forma abrupta con tendencia a la
línea horizontal, la atraviesa y
después tiene un comportamiento
positivo cortando de nuevo la línea
horizontal y alejándose de ella cada
vez más.
Fuente: elaboración propia
10En conclusión podemos decir que bajo los resultados obtenidos en los anteriores
test, la serie no posee distribución normal con lo cual ya sabemos que un análisis
bajo EVT con la Distribución Generalizada de Pareto (GPD) sería propicio para
esta serie.
Teniendo en cuenta que en Colombia los ingresos mensuales promedio de una
persona empleada no superan los $3’000.000 de pesos colombianos y que un
gasto extra por siniestro pagado se puede considerar extremo desde $50´000.000
de pesos colombianos, este último valor será el corte en el cual de ahí en adelante
se encontrarán valores extremos. Bajo este supuesto, la base de datos encuentra
un total de 39 siniestros con un daño emergente superior a los $50´000.000 lo cual
significa que es aproximadamente un 10.15% del total de la serie daños
emergentes.
Utilizando el software Extremes se analizó la serie daños emergentes obteniendo
los resultados que se muestran a continuación.
Gráfica 6
Fuente: elaboración propia
El primero de estos (Función de densidad de probabilidad) muestra la forma en
que se distribuyen las probabilidades del suceso estudiado en relación a su
resultado, el cual es sostenible si se observa también la gráfica contigua que
indica la confiabilidad que ofrece la función bajo el modelo estudiado (Función de
probabilidad de supervivencia).
Utilizando el estimador de Hill, la cantidad de datos que se quieren como extremos
y con un cuantil p de orden 1-p de 0.01 se obtienen los resultados que se pueden
encontrar en la gráfica 7.
Estos nos quieren decir primero que pérdida máxima esperada de la serie
todo que el test es aprobado por el en el peor de los escenarios de
software bajo los parámetros que se $87.988´810.020,703 con un p valor
le impusieron, segundo que el cuantil de 0.95312. En otras palabras, existe
estimado bajo GPD es el un 95.312% que el daño emergente
correspondiente a 10.53% lo que es sea de un valor hasta de $50’000.000
muy aproximado a lo esperado bajo (por cada siniestro presentado) y que
el supuesto del 10.15% con una
11la probabilidad que supere ese Gráfica 7
margen es de 4.688%.
Fuente: elaboración propia
Para obtener estos resultados se trabajó con el estimador de Hill con parámetros18
para GPD correspondientes a un gamma: 1.00398 y un sigma: 2.55570. Para
poder concluir con certeza que dichos valores son aceptados se realizó un test de
aceptación del modelo que se está trabajando (región de color rojo de la gráfica 8).
Trabajando este modelo con el supuesto de contar con un mínimo de diez valores
extremos y un máximo de 39 se puede decir que para esos datos es no solamente
posible sino también aconsejable medirlos bajo el modelo de Pareto.
Grafica 8
Fuente: elaboración propia
4. CONCLUSIONES
A través del análisis realizado a la serie de datos obtenida, se observo que el
comportamiento de los datos no presentaba una distribución normal ya que la
kurtosis que mostraron era significativamente mayor a tres, además el análisis
efectuado bajo las gráficas Q-Q PLOT NORMAL y Q-Q PLOT NORMAL
DETRENDED corroboraron la no normalidad de la distribución de los datos,
presentando quiebres en los extremos de la curva.
Lo anterior nos dio bases suficientes para poder analizar los datos bajo la
metodología EVT más precisamente bajo GPD. Con esto, se seleccionó un umbral
teniendo en cuenta ciertos criterios empíricos tanto sobre el sector como sobre la
misma base de datos, esto es, un umbral de $50’000.000 dejándonos para
18 Para efectos del software que se utilizó, el parámetro gamma se refiere a la forma de la función equivalente al parámetro ξ propuesto
en la parte teórica, el parámetro sigma se refiere a la escala de la función equivalente al parámetro β también propuesto en la parte
teórica.
12analizar aproximadamente un 10.15% de la serie daños emergentes, equivalente a
39 casos que se consideraron en un principio como valores extremos.
Utilizando el software Extremes bajo un nivel de significancia del 1% se pudo
comprobar primero que todo que la estimación hecha de la cantidad de datos que
se consideraron como valores extremos, en realidad es muy aproximada al cuantil
encontrado de 10.53%, es decir, este cuantil es el que presenta mayor riesgo con
menor probabilidad de ocurrencia dentro de la serie daños emergentes.
Por último podemos decir que con el p valor encontrado, existe una probabilidad
de 95.312% que los daños emergentes se encuentren en un valor de hasta
$50’000.000 y que el restante 4.688% puedan exceder este valor y es en este
porcentaje donde pueden ocurrir problemas en las aseguradoras cuando de
liquidez y cobertura se habla. Por lo general, las aseguradoras estiman una
pérdida esperada dependiendo en el riesgo que genere cada cliente o cada
portafolio, pero algunas veces no piensan en cuanto tocaría cubrir si más de un
siniestro ocurre al mismo tiempo; es una idea parecida a cuando a cierto banco
llegan la mayoría de sus clientes a retirar y cancelar sus cuentas al mismo tiempo,
es sabido que los bancos no tienen el dinero de los clientes guardado todo en un
solo lugar ya que lo tienen que invertir para generar ganancias para sus socios y
demás, esto implica que mantienen el dinero en circulación o en otros lugares, por
eso cuando muchos clientes quieren retirar al mismo tiempo la cantidad de dinero
que les corresponde no lo pueden hacer porque el banco no tiene tanta liquidez
inmediata como se piensa.
Para las aseguradoras uno de los mayores riesgos que corren es que muchos
siniestros se den al mismo tiempo, el otro es que ocurran al mismo tiempo los
siniestros por los cuales tienen que pagar más en dinero sin necesidad de estar
hablando de cantidad, es una probabilidad remota pero que puede suceder; con el
análisis que se realizó, lo que se encuentra es que las colas son densas por la
cantidad que tocaría pagar por los siniestros causados, acordémonos que la idea
de la EVT es encontrar y analizar eventos poco probables pero con un alto
impacto y a eso es a lo que llega mostrando un 4.688% de probabilidad de
exceder el umbral escogido, es decir, de todos los siniestros ocurridos existe un
4.688% que estos sean mayores a $50’000.000 y que sean de muy alto impacto
(por ejemplo que sean mayores a $100’000.000)
Al analizar este tipo de datos, se puede decir que las aseguradoras podrían
escoger políticas administrativas y de riesgo lo suficientemente competentes como
para poder asumir uno o varios eventos extremos a la vez. Cabe tener en cuenta
que estos datos fueron obtenidos de toda una ciudad y no de una sola entidad
aseguradora, además como cada entidad tiene la libertad de escoger e
implementar su propio sistema de valoración de riesgo bajo el método SARC,
dichas políticas cambian entre las mismas entidades. El próximo paso interesante
sería evaluar bajo esta misma metodología de la EVT una o varias entidades
aseguradoras por separado para así saber que tan efectivas son sus políticas y s i
cabrían cambios regulatorios al interior de las mismas.
13BIBLIOGRAFIA
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SUPERINTENDENCIA FINANCIERA DE COLOMBIA, INFORME SOBRE
SECTOR ASEGURADOR (Sociedades Corredoras de Seguros y
Reaseguradoras) Diciembre de 2008
SUPERINTENDENCIA FINANCIERA DE COLOMBIA, Normas y
Reglamentaciones, Estatuto Orgánico del Sistema Financiero (EOSF) parte sexta,
pág. 479 y siguientes. Junio de 2004
SUPERINTENDENCIA FINANCIERA DE COLOMBIA, Reglas Relativas a la
Gestión de Riesgo Crediticio, Circular Externa 100 de 1995, capítulo II.ANEXOS
Anexo I
Información histórica mínima requerida por la Superintendencia Financiera de
Colombia
Año de presentación del modelo interno.
CARTERA 2006 2007 2008 2009 2010 en adelante
Comercial 5 6 7 7 7
Consumo 3 4 5 6 7
Vivienda 7 7 7 7 7
Microcrédito 3 4 5 6 7
Anexo II
Base de datos
año personas valor salario días daño
1998 1 173.400 260.100 20 18.140.020
1998 1 173.400 260.100 20 28.502.290
1998 1 173.400 260.100 20 125.670
1998 1 242.760 260.100 28 47.846.220
1999 1 616.000 462.000 40 167.995.190
1999 1 0 31.247.340
1999 2 1.213.800 260.100 140 58.504.470
2000 1 1.820.000 780.000 70 100.973.700
2000 1 720.000 480.000 45 7.991.510
2000 1 303.450 260.100 35 2.999.850
2000 1 520.200 260.100 60 42.704.160
2000 1 390.150 260.100 45 50.054.890
2000 1 2.133.330 800.000 80 45.468.670
2000 3 650.250 260.100 75 303.500
2000 1 485.520 260.100 56 553.520
2000 1 780.300 260.100 90 489.350
2000 1 216.750 260.100 25 101.170
2000 1 3.200.000 1.600.000 60 588.816.500
2000 1 346.800 260.100 40 1.300.720
2000 1 2.400.000 800.000 90 11.000.570
2000 1 303.450 260.100 35 202.530
2000 1 390.150 260.100 45 260.400
2000 1 520.200 260.100 60 335.626.640
2000 1 1.050.000 700.000 45 75.181.4302000 1 303.450 260.100 35 10.159.090
2000 1 1.152.870 384.290 90 30.422.570
2001 1 190.670 286.000 20 81.330
2001 1 2.426.670 1.300.000 56 2.848.500
2001 1 266.930 286.000 28 89.140
2001 1 686.400 286.000 72 229.200
2001 4 1.239.330 286.000 130 1.147.990
2001 1 238.330 286.000 25 79.590
2001 1 333.670 286.000 35 284.490
2001 1 266.930 286.000 28 89.140
2001 1 190.670 286.000 20 63.660
2001 1 114.400 286.000 12 169.020
2001 1 0 575.830
2001 1 0 8.730.440
2001 1 1.250.000 1.500.000 25 30.116.750
2001 1 858.000 286.000 90 5.193.950
2001 1 572.000 286.000 60 5.109.520
2001 1 143.000 286.000 15 3.692.560
2001 1 2.840.000 1.065.000 80 750.670
2001 1 4.260.000 1.065.000 120 6.113.440
2001 1 667.330 286.000 70 10.757.740
2001 1 667.330 286.000 70 14.547.260
2001 1 504.000 540.000 28 23.385.360
2001 1 1.332.570 1.998.860 20 3.738.710
2001 1 5.416.290 1.805.430 90 250.980.030
2001 1 504.000 540.000 28 23.385.360
2001 1 667.330 286.000 70 20.420.550
2001 1 1.048.670 286.000 110 14.587.290
2001 1 28.600 286.000 3 8.852.870
2001 1 114.400 286.000 12 59.080
2001 1 143.000 286.000 15 47.750
2002 3 875.500 309.000 85 280.500
2002 2 278.100 309.000 27 3.921.420
2002 7 1.905.500 309.000 185 5.993.450
2002 1 721.000 309.000 70 22.660.830
2002 1 772.500 309.000 75 2.047.950
2002 1 576.800 309.000 56 184.800
2002 1 1.650.000 1.100.000 45 3.499.170
2002 1 1.650.000 1.100.000 45 2.379.140
2002 1 1.236.000 309.000 120 42.317.820
2002 1 3.912.500 1.565.000 75 97.050.3702002 2 824.000 309.000 80 13.183.940
2002 1 103.000 309.000 10 3.179.330
2002 1 257.500 309.000 25 82.500
2002 1 463.500 309.000 45 148.500
2002 1 123.600 309.000 12 39.600
2002 1 927.000 309.000 90 36.207.720
2002 4 741.600 309.000 72 5.473.410
2002 1 1.664.170 1.997.000 25 600.842.810
2002 2 0 3.495.760
2002 1 1.236.000 309.000 120 290.000
2002 1 0 19.857.120
2002 1 360.500 309.000 35 3.990.370
2002 1 360.500 309.000 35 984.940
2002 1 206.000 309.000 20 48.330
2002 1 257.500 309.000 25 60.420
2002 1 463.500 309.000 45 108.750
2002 1 1.236.000 309.000 120 140.380.840
2002 1 515.000 309.000 50 120.830
2002 2 185.400 309.000 18 43.500
2002 2 1.184.500 309.000 115 10.989.330
2002 1 1.236.000 309.000 120 290.000
2002 1 1.030.000 309.000 100 241.670
2002 1 257.500 309.000 25 530.150
2002 1 5.000.000 2.500.000 60 6.067.440
2002 1 618.000 309.000 60 530.150
2002 1 288.400 309.000 28 67.670
2002 1 41.200 309.000 4 9.670
2002 2 309.000 309.000 30 72.500
2002 1 5.000.000 2.500.000 60 121.455.120
2002 1 618.000 309.000 60 3.281.430
2002 1 618.000 309.000 60 145.000
2002 4 607.700 309.000 59 245.240
2002 4 1.081.500 309.000 105 657.650
2002 1 1.052.000 526.000 60 67.577.420
2002 1 412.000 309.000 40 453.250
2002 1 240.000 600.000 12 12.542.640
2002 1 154.500 309.000 15 76.250
2002 1 0 54.367.500
2002 1 0 36.281.300
2002 2 1.050.600 309.000 102 16.091.110
2002 1 1.236.000 309.000 120 55.536.9902002 1 5.333.330 1.600.000 100 51.600.460
2002 0 742.630
2002 1 72.100 309.000 7 35.580
2002 1 1.030.000 309.000 100 1.061.840
2002 1 11.400.000 2.850.000 120 125.312.300
2002 1 700.000 350.000 60 3.248.270
2002 1 123.600 309.000 12 49.880
2002 0 5.571.850
2002 2 309.000 309.000 30 381.500
2003 1 221.330 332.000 20 50.670
2003 1 221.330 332.000 20 106.440
2003 1 664.000 332.000 60 152.000
2003 1 4.800.000 1.200.000 120 334.592.620
2003 1 1.425.000 950.000 45 13.376.980
2003 1 498.000 332.000 45 10.598.990
2003 1 132.800 332.000 12 30.400
2003 3 918.530 332.000 83 14.958.570
2003 1 276.670 332.000 25 63.330
2003 1 334.130 358.000 28 46.670
2003 1 619.730 332.000 56 141.870
2003 1 276.670 332.000 25 12.347.420
2003 1 110.670 332.000 10 16.500
2003 1 276.670 332.000 25 361.510
2003 1 553.330 332.000 50 82.500
2003 1 1.328.000 332.000 120 14.275.440
2003 1 1.106.670 332.000 100 165.000
2003 1 132.800 332.000 12 19.800
2003 1 1.328.000 332.000 120 608.620
2003 1 940.670 332.000 85 140.250
2003 1 664.000 332.000 60 4.357.300
2003 1 166.000 332.000 15 24.750
2003 1 110.670 332.000 10 16.500
2003 1 498.000 332.000 45 74.250
2003 1 387.330 332.000 35 169.510
2003 1 166.000 332.000 15 24.750
2003 1 7.600.000 3.800.000 60 11.127.590
2003 1 996.000 332.000 90 148.500
2003 2 387.330 332.000 35 57.750
2003 2 774.670 332.000 70 55.829.050
2003 1 221.330 332.000 20 33.000
2003 1 387.330 332.000 35 57.7502003 1 77.470 332.000 7 11.540
2003 1 1.500.000 500.000 90 836.850
2003 1 133.330 400.000 10 62.530
2003 0 1.620.690
2003 1 387.330 332.000 35 57.750
2003 3 586.530 332.000 53 87.450
2003 2 608.670 332.000 55 90.750
2003 1 232.400 332.000 21 34.650
2003 1 664.000 332.000 60 99.000
2003 1 9.000.000 3.000.000 90 5.011.390
2003 1 110.670 332.000 10 237.840
2003 1 664.000 332.000 60 259.430
2003 1 498.000 332.000 45 74.250
2003 1 276.670 332.000 25 21.554.200
2003 2 276.670 332.000 25 21.554.200
2003 1 265.600 332.000 24 81.360
2003 1 143.050 429.164 10 487.820
2003 2 774.670 332.000 70 4.729.150
2003 1 387.330 332.000 35 346.210
2003 1 387.330 332.000 35 118.650
2003 1 498.000 332.000 45 17.644.060
2003 1 498.000 332.000 45 17.644.060
2003 1 675.000 450.000 45 662.340
2003 1 2.495.330 748.600 100 24.989.010
2003 1 619.730 332.000 56 189.840
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2003 1 132.800 332.000 12 51.800
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2004 1 179.000 358.000 15 37.850
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2004 1 334.130 358.000 28 70.660
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