El grupo de un nudo
Autor: Salazar Díaz, Olga Patricia
Asesor: Toro Villegas, Margarita María (Thesis advisor)
Fecha: 1996
Programa: Bogotá - Medicina -Fisioterapia
Facultad: Facultad de Medicina

Resumen: En este trabajo se estudia el grupo de un nudo, es decir, el grupo fundamental del complemento de un nudo en S3, herramienta que se ha utilizado frecuentemente para dar solución a los problemas que plantea la teoría de Nudos. En el trabajo presentamos inicialmente, los conceptos fundamentales de la teoría de Nudos y el concepto de presentación de grupos por medio de generadores y relaciones. Se estudia la presentación de Wirtinger para el grupo de un nudo y se hacen algunas aplicaciones. / Abstract: In this paper we study the group of a knot, ie the fundamental group of the complement of a knot in S3, a tool that has been widely used to solve the problems of the theory of knots. In the present work initially, the basic concepts of knot theory and the concept of presentation of groups by generators and relations. We study the Wirtinger presentation to the group of a knot and make some applications.

El Grupo de un Nudo
por
OIga Patricia Salazar Díaz
Trabajo presentado como requisito parcial
para optar al Título de
Matemática
Directora: Margarita María Toro Villegas
Universidad Nacional
Sede Medellín
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
1996! ,
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EL GRUPO DE UN NUDO
OIga Patricia Salazar Díaz
APROBADO:
Director
?
Jurado
, I :;, ,
,Este trabajo ha sido apoyado parcialmente por COLCIENCIAS,
contrato No. 086-95, código 1118-05-112-94.
IIResumen
En este trabajo se estudia el grupo de un nudo, es decir, el grupo fundamental del complemento
de un nudo en S3, herramienta que se ha utilizado frecuentemente para dar solución a los
problemas que plantea la teoría de Nudos. En el trabajo presentamos inicialmente, los conceptos
fundamentales de la teoría de Nudos y el concepto de presentación de grupos por medio de
generadores y relaciones. Se estudia la presentación de Wirtinger para el grupo de un nudo y
se hacen algunas aplicaciones.
iiiContenido
Introducción
VI
1 Conceptos básicos 1
1.1 Preliminares. . 1
1.2 Ejemplos de Nudos 4
1.3 El grupo de un nudo 7
1.4 Un poco de historia 9
2 Presentación de grupos 11
3 El grupo de un nudo 16
3.1 Presentación de Wirtinger para el grupo de un nudo 16
3.2 Algunos ejemplos ......... . 22
3.3 Propiedades del grupo de un nudo 27
Conclusiones 34
ivAgradecimientos
Expreso mis sinceros agradecimientos:
A Margarita María Toro Villegas, profesora de la Universidad Nacional por su especial
colaboración como directora de esta monografía.
A los profesores Débora María Tejada y Juan Diego Vélez por sus correcciones yobserva­
ciones como jurados del trabajo.
vIntroducción
Imaginemos que formamos un nudo con un lazo y después pegamos los extremos del lazo para
que el nudo no pueda deshacerse; ésta es una idea intuitiva de lo que es un nudo en Matemáticas.
La teoría de nudos ha sido desarrollada básicamente tratando de responder problemas como:
¿está realmente anudado un nudo? Si se hace otro nudo en la misma cuerda con la que ya se ha
realizado uno, ¿se puede desanudar el primero? Y el problema fundamental: ¿son equivalentes
dos nudos dados? Es decir, dados dos nudos aparentemente distintos, ¿es posible transformar
uno en el otro sin cortar la cuerda?
Una de las herramientas que se utiliza desde finaleti del siglo pasado, introducida por
Poincaré para resolver problemas en Topología, es el grupo fundamental del complemento del
nudo en S3 , el grupo del nudo, el cual aunque no logra clasificar totalmente los nudos, nos
da respuesta para los dos primeros interrogantes enunciados anteriormente, y en cuanto al
problema fundamental permite determinar la no equivalencia de nudos para muchos casos.
El objetivo de este trabajo es entender el grupo de un nudo y su relación con el problema
de la clasificación. Para ello se desarrollarán los elementos básicos, tanto de la teoría de nudos
vicomo de la teoría de grupos.
El trabajo está escrito en tres capítulos. El primero de ellos contiene algunos elementos y
definiciones de la teoría de nudos, lo que es el grupo fundamental de 8 3 N para un cierto
nudo N y una breve reseña histórica acerca del desarrollo de la teoría.
Dado que el grupo de un nudo se define en términos de generadores y relaciones, y que con
base en tal definición se estudian algunas propiedades del grupo, es fundamental entender los
conceptos de presentación de un grupo por generadores y relaciones. En el segundo capítulo se
hace una síntesis sobre lo que significa presentar un grupo de esta manera, la forma de lograr tal
presentación y cómo ésto conlleva siempre a tres problemas, a saber: el problema de la palabra,
el problema de la conjugación y el problema del isomorfismo.
En el tercer capítulo, se describe una presentación del grupo de un nudo, dada por Wirtinger.
y se calcula el grupo para varios nudos. Propiedades del grupo de un nudo y del nudo mismo
tales como el grupo del nudo trivial, el grupo de la suma conexa, el defecto del grupo y el
teorema de la no cancelación son también parte de este capítulo.
viiCapítulo 1
Conceptos básicos
1.1 Preliminares
Como se expresa en la introducción, en este capítulo damos a conocer conceptos y definiciones
básicas sobre la teoría de nudos, indispensables para nuestro estudio.
Nuestro primer problema es el siguiente: A partir del modelo físico de un nudo como una
cuerda anudada y atada en los extremos, ¿Cómo darle un significado preciso a este concepto
en forma matemática? El segundo problema se deriva del hecho de que podemos manipular la
cuerda, sin romperla, y transformar un nudo en otro de apariencia totalmente distinta. Por lo
tanto es necesario definir en forma precisa el concepto de "igualdad" de nudos. La definición
que usaremos es la siguiente:
Definición 1 i) Diremos que un conjunto N de S3 = 1R3U 00 es un nudo si existe un homeo­
morfismo de SI en N.
ii) Dados dos nudos N y K se dice que son del mismo tipo si existe un homeomorfismo
f : S3 S3 tal que f (N) K.
---7
Con esta relación se determinan clases de equivalencia, a las que llamaremos tipos de
nudos. Así, para cada clase se elige un representante sobre el cual se estudian las características
y propiedades de dicha clase.
Nótese que la definición ii) no dice sólo que los nudos N y K sean homeomorfos (hecho
que siempre es cierto puesto que ambos son homeomorfos a SI), sino que exige que f sea un
homeomorfismo definido en todo S3.
Sin pérdida de generalidad, escogiendo a f de manera conveniente, podemos garantizar que
N sea un subconjunto de 1R3 . Además, el representante de la clase de N se puede elegir de
tal manera que la proyección en el plano z = O es una curva cerrada cuyos puntos múltiples
1son sólo puntos dobles. Bajo esta proyección la imagen de N se llama proyección regular o
diagrama del nudo. Al dibujar esta proyección tenemos el cuidado de dejar algunos espacios en
blanco alrededor de los puntos dobles, que llamaremos CTuces, indicando así cuál de los pUIltos
va por encima y así poder recobrar el nudo a partir de la proyección. Por ejemplo el siguiente
diagrama (Fig.l-l), es la proyección del nudo dibujado en la introducción.
Figura 1-1
Todo diagrama en el plano z = O, como el descrito anteriormente, representa un nudo eH
Todo nudo N puede dotarse de una orientación en S3. Un ejemplo de un diagrama de un
nudo orientado puede verse en la Figura 1-2.
Figura 1-2
Con base en la proyección de Xun n udo y para cualquier cruce se deXfine .un signo de cruce el cual
es positivo si tiene la forma y negativo si es de la forma
En nuestra definición de tipo de nudos no se tuvo en cuenta la orientación en S3 ni la
orientación del nudo. El tratamiento riguroso de orientación en S3 se puede hacer mediante la
teoría de homología, sin embargo, podemos apoyarnos en la siguiente idea intuitiva: dado un
2homeomorfismo h : S3 -> S3 decimos que h "preserva orientación" si la imagen de cada tripleta
de vectores orientada según el sentido de la mano derecha, es de nuevo una tripleta orientada
en este sentido, y que h "reversa orientación" si la imagen de cada tripleta orientada según el
sentido de la mano derecha es una tripleta orientada en el sentido de la mano izquierda. Se
sabe que cada homeomorfismo de S3 en S3 es de uno de estos dos tipos: preserva orientación ()
reversa orientación. Con el concepto de orientación tenemos la siguiente definición:
Definición 2 Dos nudos orientados N y K son equivalentes si existe un homeomorfismo
f: S3 -> S3, que preserva orientación, tal que f (N) K. Se denota N ~ K.
La noción de equivalencia de nudos es más fuerte que la de tipo de nudo, por ejemplo, es
posible demostrar que el nudo K =8 17 (el décimo séptimo nudo de ocho cruces descubierto) y
el nudo L (ver Fig. 1~3) son del mismo tipo pero no son equivalentes.
K=8 L
17
Figura1-3
Siempre que hablemos de equivalencia será teniendo en cuenta la orientación.
Dado que gran parte de nuestro estudio se hace con ba..se en los diagramas de los nudos y
no sobre los nudos mismos, es necesario buscar una definición de equivalencia de diagramas que
corresponda a la equivalencia de nudos. Para definir la equivalencia de diagramas introduzcamos
entonces los movimientos de Reidemeister. Estos son de tres tipos los cuales ilustramos a
continuación:
3\
( )
/
Tipo 1 Tipo II Tipo III
Figura 1-4
La aplicación de estos movimientos se hace de manera local dejando el resto del nudo igual.
Estos movimientos nos permiten hacer la siguiente definición:
Definición 3 Dos diagramas son equivalentes si es posible transformar el 'U,no en el otro
mediante un número finito de movimientos de Re'ideme'ister.
Estos movimientos de Reidemeister, los cuales permiten mostrar la equivalencia de dos
diagramas, son realizados por homeomorfismos que preservan orientación. Así, diagramas equi­
valentes representan nudos equivalentes. Es posible ver que el recíproco también es cierto (ver
[1, prop. 1.14]), y por lo tanto tenemos que:
Teorema 4 Dos nudos son equivalentes si y sólo si sus diagramas son equivalentes.
1.2 Ejemplos de Nudos
En esta sección presentamos algunos ejemplos de nudos y definimos algllnos conceptos que
juegan un papel importante en el estudio de la teoría.
Un nudo equivalente a uno cuya proyección no tiene cruces es llamado nudo triv'ial o s'uelto.
A un nudo que sea equivalente a uno cuya proyección posea sólo un número finito de cruces
lo llamamos nudo manso. Cuando todas las proyecciones de un nudo tienen infinitos cruces se
le llama nudo salvaje. En este trabajo sólo consideramos nudos mansos.
Si al recorrer la proyección de un nudo, cruces por encima y cruces por debajo se alternan,
4entonces decimos que la proyección es alternante y que el nudo es altenlante (Fig. 1-5).
a.) Nudo alternante. b.) Nudo no alternante.
Figura 1-5
A partir de un nudo N podemos obtener otros dos nudos: La imagen espejo de N, que
se denota Ñ, y es el nudo original con los cruces intercambiados. Si reversamos la orientación
del nudo N, obtenemos un nudo que se llama el inverso de N y s(~ denota N'. Sí N y Ñ
son equivalentes decimos que N es anfiqueiral. En el caso en que N y N' sean equivalentes,
N se llama invertible. En 1914 Dehn probó que el trébol (Fig. 1-0 b)) no es anfiqueiral,
pero la existencia de nudos no invertibles fue una pregunta abierta hasta 1969, año en que fue
respondida de manera afirmativa por Trotter (ver [10]).
Por ejemplo, el nudo de la Figura 1-6 a) es anfiqueiral y el de la Figura 1-0 b) es invertible.
a) Nudo 8 b) Nudo Trébol
Figura 1-6
Dados dos nudos es posible definir una operación entre ellos así:
5Definición 5 Decimos que N es el producto o la suma conexa de los nudos NI y N2, lo cual
denotaremos como N = NI#N 2, si es posible cortar a N por un plano en dos puntos P y Q de
tal manera que al unir los extremos sueltos a cada lado del plano se obt'ienen NI y N 2. Si un
nudo es el producto de dos nudos no triviales es llamado compuesto. Un nudo no trivial que
no es compuesto es llamado nudo primo.
Por ejemplo el nudo de la Figura 1-7 es la suma conexa de los nudos de la Figura 1-6.
N,
Figura 1-7
Se tiene el importante resultado de que todo nudo compuesto puede expresarse de manera única
como la suma conexa de un número finito de nudos primos (ver [1, Cap.7]).
Dos ejemplos importantes de nudos compuestos son los nudos N#N y N#N donde N
es el trébol. A estos nudos los llamamos nudo granny (abuelita) y nudo reef (o cuadrado)
respectivamente (Fig. 1-8).
Granny Reef
Figura 1-8
61.3 El grupo de un nudo
El problema fundamental de la teoría de nudos es el siguiente:
Dados dos nudos N y L, ¿Existe un homeomorfismo f : S3 -+ S3, que preserve orientación,
y tal que f (N) L? Sabemos que si f existe entonces N y L son equivalentes. Al hacernos
esta pregunta lo que queremos es conocer la descripción de las clases de nudos equivalentes.
Este problema es difícil de resolver directamente, lo que hace necesarÍo recurrir al concepto de
invariante.
Definición 6 Una correspondencia X que asocia a todo nudo N una expresión matemática.
X (N), es llamada invariante si dados N K se t'iene q'Uí; X (N) = X (K) .
Son ejemplos de invariantes el mínimo número de cruces (es decir, la cantidad de cruces
que posee una proyección con el mínimo número de puntos dobles posible), el grupo del nudo y
algunos polinomios tales como el de Alexander, el de Conway y el de Jones (ver [5]). En muchos
casos no son suficientes los dos primeros invariantes para diferenciar nudos no equivalentes, por
ejemplo para los nudos granny y reef se tiene que el mínimo número de cruces es seis para
ambos, y como veremos más adelante, los grupos de estos nudos son isomorfos, pero los nudos
no son equivalentes.
Si N y L son equivalentes sus espacios complementarios S3 N y S3 - L son homeomorfos,
así las propiedades invariantes de S3 N son todas invariantes para la clase de N. Es muy
natural entonces considerar el grupo de homotopía del complemento de N en S3, Este es uno
de los invariantes algebraicos que se ha considerado para resolver el problema general de la
teoría de nudos. Fue ideado a finales del siglo pasado y se basa en la descripción del espacio
que rodea un nudo inmerso en S3 y las trayectorias o caminos que lo surcan.
Veamos cómo se construye este grupo.
Fijemos un punto base Xo arbitrario en el complemento de un nudo y tracemos los caminos
cerrados basados en Xo que cruzan el espacio. Recordemos que un camino es una función
continua definida de 1 = [0,1] en un espacio topológico X . Si Q,¡3 : [0,1] -+ X, son caminos,
diremos que son equivalentes si existe una homotopía F entre y 13, relativa a los extremos, es
Q
7decir, existe una función continua F : 1 x 1 -; X tal que F (t, O) = a (t), F (t, 1) = f3 (t) para
1
todo t E 1 Y F (0,8) = F (1, s) = Xo para todo S El. Si a y f3 son equivalentes lo denotamos
corno a ~ f3.
(5
Figura 1-9
Esta equivalencia convierte el conjunto de caminos cerrados basados en Xo que surcan el com­
plemento de un nudo en una colección de clases de caminos homotópicos. Por ejemplo, en la
Figura 1-9, los caminos a y f3 son equivalentes, mientras que f3 y '1 no lo son.
Si a este conjunto lo dotamos de la operación. , composición de cla,ses de caminos, es decir,
dadas dos clases de caminos [a] y [f3] la operación [a] • [f3] consiste en partir de Xo, recorrer O:
y luego f3, entonces se puede probar que:
(i) La operación [a] • [P] no depende del representante de la clase, es decir, si a ~ a' y
f3 ~ f3' entonces [a] - [f3] == [a'J • [f3']. Por lo tanto. está bien definida.
(ii) La composición de dos clases de caminos basados en Xo es otra clase de caminos basados
en Xo, es decir, el conjunto es cerrado bajo la composición.
(iii) Dadas 3 clases [a],[f3] , bl se cumple que ([a]- ) • bl == [a]. ([f3] • bD· Esto es, la
composición es asociativa.
(iv) Dado e: 1 -; X tal que e (t) xo, para todo tE 1, al operar el camino e con cualquier
otro obtenemos un camino equivalente a este último, es decir, la clase es el elemento neutro
del conjunto.
(v) Para toda clase [a] podemos definir en el conjunto una clase [a]-1
un camino que hace el mismo recorrido de a, en sentido contrario y es tal que [a] • [a¡-I
[ar1 [a] == [e]
-
Es posible ver que con estas propiedades, nuestro conjunto adquiere una estructura de
8grupo, (para pruebas detalladas ver [7]) llamado primer grupo de homotopía del complemento
del nudo, o grupo del nudo, y se denota III (S3 N).
El grupo de un nudo es un invariante de gran potencia. Por ejemplo, no existen dos nudos
primos distintos con grupos isomorfos pero sí con el mismo número mínimo de cruces. Si los
nudos no son primos no puede hacerse tal afirmación pues el nudo granny y el reef tienen
grupos isomorfos (lo veremos en el Capítulo 3), siendo nudos no equivalentes. Para probar
la no equivalencia, es necesario contar con otros invariantes como el polinomio de Jones (que
no se estudia en este trabajo) y que es distinto para estos dos nudos, probando así que no
son equivalentes. El grupo no distingue entre el nudo y su imagen espejo o su inverso. Esta
dificultad se disminuye al considerar algunos elementos adicionales.
Una característica importante es la facilidad del cálculo del grupo de un nudo mediante
presentaciones por generadores y relaciones. el Capítulo 3 estudiaremos una de estas pre­
sentaciones, la presentación de Wirtinger, la cual es fácil de obtener a partir del diagrama del
nudo.
1.4 Un poco de historia
Inicialmente fue Gauss (1833) quien mostró interés en el tema de los nudos e inventó una no­
tación para proyecciones regulares. Listing (1847), alumno de Gauss, reveló buen conocimiento
de la anfiqueiralidad del nudo 8 e intentó una notación para diagramas alternantes que fue
corregida posteriormente por el físico escocés Peter Guthrie Tait (1898). Este autor realizó
una tabulación de nudos alternantes hasta de 10 cruces, que exceptuando la repetición de uno
de ellos, era totalmente correcta. Además de esta lista dedicó también atención a los nudos
anfiq ueirales.
Además de ellos trabajó también el Reverendo Thomas Kirkman (1885), quien dio su
definición muy particular de nudo, también creó un método para llevar diagrama.s a IIna forma
irreducible lo que le permitió construir diagramas hasta de 11 cruces que después les fueron de
gran ayuda a Tait y Little para tabular nudos. El profesor C. N. Little (1889) compitió con
Kírkman por construir grandes tablas de nudos no alternalltes. Logró una lista de 43 nudos de
10 cruces en la cual sólo había una duplicación, que sólo fue descubierta por K. A. Perko en
91974. Para ayudarse en sus cálculos, Little inventó el twist, o valor ab¡,;oluto de la suma de los
signos de cruce en cualquier diagrama con número minimal de cruces, que por algún tiempo se
consideró como invariante, hasta que el trabajo de Perko mostró que no lo es (ver [9]).
La presentación del grupo de un nudo por generadores y relaciones fue desarrollada inicial­
mente por W. Dick (1882) siguiendo algunas sugerencias de A. Cayley (1878). Sin emhargo la
mejor presentación conocida fue la dada por W. Wirtinger (1905). También M. Dehn (1910)
dio una presentación para el grupo del nudo y con algunos elementos adicionales prohó que los
dos tréboles no son equivalentes.
Hasta inicios de este siglo los métodos empleados en el estudio de nudos fueron en general
de carácter combinatorio y relativamente empíricos. Los trabajos de M. Dehn, J. Alexander
(1925), K. Reidemeister (1928) y H. Seifert (1934) fueron precursores en considerar la teoría de
nudos como un subcampo de la Topología.
Autores como G. Torres y R. Fax (1954) quienes han estudiado presentaciones duales para el
grupo de un nudo; Papakiriakopoulos (1955) con su cstudio del complemento de un Iludo; L,P.
Neuwirth (1965) con su dedicación a estudiar problemas del grupo de un nudo han permitido
probar nuevas propiedades del grupo de un nudo.
Whitten (1987) probó que nudos primos con grupos isomorfos tienen complementos homeo­
morfas. C. Gordon y J. Luecke (1988) enunciaron que dos nudos con complementos horneo mor­
fas son equivalentes, lo cual con lo ya probado por Whitten prueba el interesantc resultado de
que dos nudos primos con grupos isomorfos son equivalentes.
Estudios recientes sobre el grupo de un nudo han sido realizados con base en los trabajos
de R. Riley y W. Thurston quienes han descubierto la posibilidad de dotar al complemento de
muchos nudos con una estructura hiperbólica, creando con ello un gran interés en el ei'itudio de
esta teoría.
10Capítulo 2
Presentación de grupos
En muchas aplicaciones de la teoría de grupos, especialmente en este trabajo, en el cual se hace
un análisis del grupo fundamental del complemento de un nudo en S3, los grupos son descritos
por una técnica que consiste en expresar a G como un cociente de la forma F / R, donde F es un
grupo "libre" y R es un conjunto que define "relaciones" entre los elementos de F. El estudio
de esta técnica, que se conoce como presentación de un grupo por generadores y relaciones, es
el tema de este capítulo y la 'usaremos para calcular el grupo de un nudo en el Capítulo :3. El
estudio de la presentación de un grupo está relacionado con problemas tales como el problema
de la palabra, el problema de la conjugación y el problema del isomorfismo, los cuales serán
enunciados al final del capítulo.
Puesto que lo que queremos hacer es expresar a G como el cociente de un grupo libre,
empezaremos definiendo este concepto.
Definición 7 Un grupo F es libre en un subconjunto X sz para todo grupo G y toda función
¡ :
J : X -> G hay un único homomorfismo de grupos F -> G que extiende a J, es decir, tal
que pam todo x E X, j (x) J(x). El conjunto X es llamado una base de F.
En este trabajo X es numerable aunque los'resultados que se enuncian, se conservan en el
caso en que no lo sea.
Consideremos un conjunto de símbolos A = {al, Cl2, ..., I , a2~1, ... } al cual llamamos alfa o
beto. Decimos que vV es una palabra en A, representada como vV (al) a2, ... ) , si W = :r¡:J:2· ..:1:",
es decir, una concatenación de símbolos Xi, donde cada x~ E A. Al entero n lo llamamos longdud
de la palabra W.
Con respecto a las palabras introduzcamos las siguientes llotaciones:
xi
(i) denota la palabra Xi ... Xi .
"-v--"
n veces
(Z' Z' ) Xi- n d enot a 1 a pa1 a b ra Xi- 1 ... Xi- 1 .
'---v---"
n veces
11(iii) La palabra de longitud cero se denomina la palabra vada y la identificamos con e.
l
(iv) Si W = XI ••• X n entonces definimos W-I = x;;-l ... xl .
(v) La yuxtaposición de dos palabras W = Xl ... Xn Y U = YI.·· Ym definida como Xl··· XnYI·· 'Ym
se denotará por WU.
Diremos además que una palabra W en X es reducida si satisface las siguientes condiciones:
vv.
1. Xi, XiI no aparecen como símbolos consecutivos en
2. Si Xm = 1 para algún m entonces Xk = 1 para todo k > m
El siguiente teorema garantiza la existencia de grupos libres.
Teorema 8 Si X = {Xl, ...,Xn , ..•} entonces existe un grupo F que es libre en X.
Prueba. Construiremos a F como un subgrupo del grupo de permutaciones en P, donde
P es el conjunto de todas las palabras reducidas en X. Cada elemento Xi E X se identificará
IXil. IXil IXil1
con la función Las funciones y su inversa se definen de la siguiente manera:
P
X'1l X'22 ... x' nn E = ±1.
Se tiene que, para cualquier palabra X~l X~2 .. .x~n
Ixl { XX~lX~2 .. .x;;' si X =1- XI'l
(X~lX~2 ...x~n) =
X;2 ...x~;, si X = xl'l
luego
si X = Xlfl
X' 1l XE 22 x' nn
...
{ -1 E2 En
X , X2 ."Xn
Ix-111xl Ixllx-11
es decir, es la identidad en P. De manera similar se prueba que es también
12Ixl
identidad en P, entonces cada es una permutación de P. Sea Sp el grupo de todas lac;
permutaciones de P, y sea Fo el subgrupo de Sp generado por Xo = {Ixl : x E X}. Cualquier
elemento de Fo se puede factorizar como IX~l I... Ix~;, I con ti I nunca están
adyacentes. Esta factorización es única.
1:
Supongamos ahora que G es un grupo y f : Ko -> G es una función. Definamos Fo -> G
por 1 (lx~ll·.. lx~nl) = f (lxtl)E1 .. .f (Ixnl)n€ .
1
está bien definido puesto que la factorización en Fa es única. Ahora si U y V están en Fo,
entonces U IX~ll ... Ix~n I y V IY711 ... ly~Tn I y así UV = IX~11 ... lx~·IIY7t 1.··ly~Tn I s < n, t.
Puede verse que 1 (UV) = 1 (U) 1 (V). Así 1 es un homomorfismo y extiende a f. Luego
Fa es libre en X.O
El siguiente corolario será de gran importancia en nuestro estudio.
Corolario 9 Todo grupo G es isomorfo al cociente de un grupo libre.
Prueba. Consideremos a G como un conjunto, y sea F un grupo libre en G. Si f : G -> G
es la identidad entonces hay un homomorfismo 1 . F -> G que extiende a f. Además, como f
es sobre, así es 1. Por el teorema del cociente, 1 iuduce un isomorfismo J : FIK er (1) ~
Con base en este corolario, si X = {ai :í E I} Y {'I'j : j E J} es un conjunto de palabras en
X, podemos hacer la siguiente definición:
Definición 10 Un grupo G es definido por genemdo'res X = {ai: i E I} Y 'relaciones ~
{rj e : j E J} si G e:' F / R, donde F es el grupo libre en X y R es el imbgmpo nor-mal de F
generado por {rj : j E J}. El par (X,~) es llamado una presentación de G.
En caso que tanto el conjunto de generadores como de relaciones sean finitos decimos que
la presentación es finita.
I
Una consecuencia importante de poder expresar a G corno el cociente de F R, Y que usamos
en el Capítulo 3, está dada por el siguiente lema:
Lema 11 Sean G un grupo con pr-esentación G (X,~) Y H un gr-upo cualquiera. Si cj) : F->
H es un homomorfismo del grupo libr-e F en X) en el grupo H, tal que R e K ercj), entonces cj)
se puede extender a un homomorfismo I]! : G -> H.
13Prueba. Como Re Kerif!, el teorema fundamental de cocientes nos permite extender a <P
a un homomorfismo q¡ : FI R - H, definido como 111 (z) = <P (z) , para todo z E F.O
Algunos ejemplos de presentaciones son:
e 1 = ( X1,X2 I X2X1- 1 X2- 1 X1X2 =X1X2X1- 1 X2- } Xl ) .
e 2 = (X1,X2IXIX2XIX2XIX2XIX2Xl X2XIX2XIX2XIX2XIX2)
Las presentaciones e2 y e3, aunque parecen tan diferentes, son realmente presentaciones
de un mismo grupo, pues al hacer a = XIX2 Y b a4 x2 vemos que e2 y e3 son isomorfos.
El tener una presentación para un grupo dado permite saber cuál es el grupo, pero surgen
e
preguntas acerca de cómo es el grupo. Por ejemplo, sea un grupo finitamente generado: cómo
1 1
saber si dadas las relaciones del grupo, las palabras aba-1iJ-l, aca-1c- , bciJ-1c- , ... pueden ser
reducidas a la palabra vacía?, es decir, es G abeliano'? Es esta una de la.<; razones para considerar
importante el problema de la existencia de un proceso que permita decidir en un número finito
de pasos si dada una palabra, es posible transformarla con las relaciones del grupo en la palabra
e
vacía. Este problema y otros dos fueron enunciados en 1911 por Max Dehn, para grupos con
una presentación determinada. Estos problemas son:
e,
• Problema de la palabra: Dada una palabra ~V en decidir en un número finito de pasos
si se puede reducir o no a la identidad.
• Problema de la conjugación.' Dadas W y W2 en e, decidir si W-1Wl W puede ser reducida
1
e.
en W2 para alguna W en
e'
• Problema del isomorfismo.' Dado un grupo definido por una presentación diferente a
la de e decidir en un número finito de pa.'lOS si G es isomorfo a e'.
Se ha encontrado solución para el problema de la palabra en grupos con presentaciones
finitamente generadas en las cuales aparecen la.'l relaciones ab = ba para todos los generadores
a, b, o sea grupos abelianosj para grupos libres 0 para grupos cuya presentación tiene a lo más
14una relación (ver [6, Cap. 6]). En estos grupos también pueden ser resueltos el problema de la
conjugación y el problema del isomorfismo.
El problema de la palabra ha sido dividido naturalmente en tres épocas: La primera de
ellas (1880-1930), en la cual la teoría combinatorial de grupos interactúa con la topología y da
origen al problema de la palabra. En la segunda época (1930-1957), tiene un gran desarrollo
la teoría de la computabilidad, pues aparece el concepto de las máquinas de Thring, concepto
que permite transformar el problema algebraico en un problema de computabilidad y gracia"
a esta transformación Novikov e, independientemente, Boone mostraron la existencia de un
grupo finitamente presentado para el cual se sabe que el problema de la palabra no puede ser
resuelto, es decir, no existe un conjunto de instrucciones que permitan decidir en un número
finito de pasos si una palabra dada es o no la identidad (ver [8]). La tercera época (1957-1980),
caracterizada por la interacción de la teoría de grupos con la lógica trae UIla simplificación de
la prueba de la no solubilidad.
Para el grupo de un nudo N el problema de la palabra tiene una interpretación topológica
muy importante: decidir si un camino cerrado en 83 - N es o no homotópico al camino triv'ial.
Afortunadamente, se sabe que para este grupo el problema de la palabra está resucito en forma
afirmativa, es decir, existe un proceso que permite decidir si una palabra dada puede o no
transformarse en la palabra vacía, aunque dicho proceso no se muestra en este trabajo. En
1914, Dehn resolvió el problema de la palabra para el grupo del trébol, pero la solución general
sólo fue dada en 1968 cuando Waldhausen resolvió el problema para todos los grupos de nudos
(ver [11]).
15Capítulo 3
El grupo de un nudo
En este capítulo probamos que el grupo de un nudo N, nI (S3 - N) , puede ser presentado en
términos de generadores y relaciones, calculamos el grupo para algunos nudos y deducimos al­
gunas propidedades de la estructura general de este grupo, tales como ser producto semidirecto
de su conmutador y de Z y probamos que el defecto del grupo de un nudo es 1. Además, calcu­
lamos el grupo de una suma conexa de nudos a partir de los grupos de los nudos componentes.
Enunciamos, sin demostración, la caracterización del nudo trivial y con base en ésta, probamos
que en efecto existen nudos no triviales, y además el Teorema de la "no cancelación".
3.1 Presentación de Wirtinger para el grupo de un nudo
En esta sección vemos inicialmente, como ejemplo ilustrativo, cómo calcular el grupo del nudo
trébol. Tracemos los caminos x, y, z como se muestran en la Figura 3-1 a.). U n camino por
cada uno de los segmentos en los que los cruces dividen al nudo. Intuitivamente, se tiene que
cualquier otro camino puede definirse como una composición de .1:, y, Z y sus inversos.
a.) b.)
Figura 3-1
16Veamos qué relaciones se presentan entre estos caminos. Observemos en la Figura 3-1 b.) que
si deslizamos el camino y y lo pasamos por debajo del cruce (*), podemos expresar el camino y
como: y = x-l zx. Si repetimos el proceso en cada cruce para los otros dos caminos, vamos a
encontrar otras dos relaciones que son de la forma z = y--I:x:y y x z-IyZ. De manera intuitiva
tenemos que el grupo tiene tres generadores y tres relaciones, necesitamos mostrar de forma rigu­
rosa que la presentación de este grupo es realmente (x,y,z/x-1zx = y,y-1xy = z,z"'lyz = x),
es decir, no hay más generadores ni más relaciones en la presentación del grupo. Tenemos
entonces que encontrar un método que permita, dado un diagrama de un nudo, identificar com­
pletamente sus generadores y sus relaciones; además de que el cálculo realizado pueda hacerse de
manera simple. Para eso describamos ahora la presentación del grupo fundamental de un nudo
debida a Wirtinger. Usamos el Teorema de Van Kampen, que enunciamos sin demostración
(ver [2]).
Teorema 12 (Van Kampen) Sean X un espacio topológ'ico y Xl, X2 subespacios abiertos de
X tales que X = Xl U X2. Supongamos que Xl, X2 y Xl n X2 son no vacíos y conexos por
caminos. Supongamos además que
nI (Xl) (Xl, .,., xn/rl, ... , r m )
ndX 2 ) = (YI, ..·,Yk/Sl, ... ,Sl)
nI (Xl n X2) (Zl, ..., z.,./t¡, ... , te) .
Entonces el grupo fundamental de X tiene la presentación
donde ih e i2* son los homomorfismos inducidos por' las inclusiones ij : Xl nX2 '-+ X j, j 1,2.
En el caso especial en el que nI (Xl n X2) ~ {e} , n¡ eX) = (:x; 1 , ... , x n , YI, ... , Yk!rl, ... , T m , 81, ... , 8¡).
Aunque los espacios Xl y X2 deben ser abiertos pueden ser escogidos cerrados, pues en
general, vamos a encontrar una vecindad abierta de cada uno de los espacios cuyo grupo fun­
damental sea el mismo y así usar el teorema sin dificultad.
El grupo del nudo se considera como el grupo fundamental del complemento del nudo en
S3. Mostremos que puede hacerse el análisis con el complemento en ]R3 , gracias a la siguiente
17proposición.
Proposición 13 Sea N un nudo en ]R3, entonces la inclusión ]R3 - N '-> S3 N induce un
isomorfismo 'ljJ : ni (lR3 - N) .::::-. nI (S3 N).
Prueba. Escojamos una vecindad U de 00 en S3 tal que nN (J) y es homeomorfa a lR3 .
= 3 3
Entonces S3-N (U U (S3 - U))-N ~ UU(lR -N), siendo y (lR -N) conexos por caminos.
Tenemos que U es simplemente conexa, es decir, nI (U) = {e}. Como (]R3 - N) n U es un
retracto de SI entonces nI ((]R3-N) n U) ~ TI 1 (SI) ~ Z y nI (lR3 -N) = (Yl, ... , Yn/rl, ... ,r,,).
Renombrando, U = Xl, (]R3 - N) = X2 y dado que TI I(Xl n X2) = (t) ~ Z, los homomorfismos
inducidos son
e
t e t e,
al aplicar Teorema de Van Kampen tenemos que
Antes de calcular la presentación para el grupo de un nudo N consideremos una proyección
=
sobre el plano z O Y supongamos que N está totalmente contenido en lRt.
1
4
/
Punto
Inicial
Figura 3-2
Elijamos un punto inicial para recorrer el nudo, situado después de un cruce por debajo. Conti­
18nuemos nuestro recorrido hasta un punto anterior al próximo cruce por debajo y marquemos tal
punto. El segmento de curva comprendido entre los dos puut();,¡ es llamado un arco, o sobrepase.
Si seguimos recorriendo el nudo trazando puntos de esta forma vamos a tener marcados todos los
arcos; numeremos dichos arcos i = 1, ... , n (Fig. 3-2), considerándolos en lRt= {(x, y, z) / z 2:: O}.
A partir de los extremos de estos sobrepases extendamos líneas perpendiculares a z = O y una­
mos los puntos finales de estas líneas de manera que el Iludo resultante sea equivalente a IV y
llamémoslo IV (Fig. 3-3). Esto nos permitirá encontrar el grupo de IV a partir del grupo de IV
puesto que IV y IV son nudos equivalentes.
Figura 3-3
Vamos entonces a encontrar una forma de calcular el grupo de un nudo, para ello requerire­
mos de un lema, el cual probaremos después de las siguientes observaciones: consideremos a b
como el punto base de lR~ - IV y consideremos los lazos que rodean cada uno de los arcos y
que dan una vuelta en sentido de un tornillo de mano derecha con relación a la orientación del
nudo IV, ; llamémoslos Xl,X2, ... ,Xn. Veamos ahora el lema:
Lema 14 III (lRt - IV, b) es el grupo libre generado por Xl, ... , Xn·
Prueba. Para cada arco i construyamos una pared v(:rtical desde z O hasta el arco,
engrosémosla un poco y llamémosla Bi (Fig. 3-4).
19Figura 3-4
Obtenemos así un conjunto {Bl, ... , Bn} de espacios que claramente son homeomorfos a
bolas disjuntas. Después de ésto quitemos cada Bi y obtenemos así un espacio X, el cual es
simplemente conexo, pues cualquier lazo basado en b puede ser deformado en el trivial.
Tenemos además que ~!-IV ~ X U (Bl - lV) U ... U (Bn IV) . Si deformamos un poco
cada Bi podemos verlo como un cilindro, así Bi - IV es homeomorfo a un cilindro sólido sin su
línea central. (Fig. 3-5)
-
Figura 3-5
Si retraemos este cilindro obtenemos un círculo sin su punto central, el cual tiene como grupo
fundamental a Z. Así TI (Bi -IV) = (Xi) ~ Z. Ademá.s la intersección de Bi - IV con X es
I
homeomorfa a un disco, luego su grupo fundamental es el trivial.
Tenemos entonces: TII (X) = {e}, TI I (Bi - IV) = (Xi) ~ Z, TI I (X n (Bi - IV)) ~ {e}.
El resultado del lema lo probamos por inducción:
IV))
Sí Bi = B I , aplicando Teorema de Van Kampen, se tiene que TI I (X U (Bl - = (Xl) .
20Supongamos que dados i = 1, k, el grupo fundamental de X U(Bl -1V) U U(Bk -IV)
000) oo.
es el grupo libre generado por Xl, Xk.
'0"
Así, para calcular el grupo de X U(Bl - 1V) U U(Bk 1V) U(Bk+l - 1V) estarnos en la
o.'
situación:
TIl (X U(Bl -1V) U U(Bk 1V)) = (Xl, .. o,Xk),
'0'
TI (Bk+1 1V) = (Xk+l)
I
TIl ((XU(Bl-1V)U ... U(Bk-1V))n(Bk+l-1V)) = rI1(Xn(Bk+-l Ñ)) {e}.
Luego, por el Terorema de Van Kampen lo único que debemos hacer es agregar el gene­
rador Xk+1, pues no hay ninguna relación. Así, TIl (X U ( Bl IV) U... U(Bk+1 -1V)) =
(Xl, ... ,Xk,Xk+l)
Si b no estuviera en (X U ( Bl 1V) entonces para cada i
lo que haríamos sería unir b con algún punto sobre Bi por medio de una línea y agregar ésta a
Bio Con ésto y la inducción inmediatamente anterior tenemos el resultado que buscábamos. O
-1V,
Hasta aquí sólo hemos analizado lo que ocurre en lR¡ nos falta entonces ver lo que
sucede en lR~ - Ñ y en la intersección de lR¡ -1V con lR~ - Ñ.
b
a) b)
Figura 3-6
-1V
Claramente, lR~ es simplemente conexo.
-1V) n -1V) I a} - a
Ahora, (lR¡ (lR~ = {(x, y, z) z = Ñ, PS decir, el plano z con n arcos
21disjuntos removidos. Por cada uno de estos arcos habrá un lazo Yi (ver Fig. 3-6) que lo rodea; al
considerar cada uno de .estos lazos en lR~ - IV obtenemos Yi = e y si lo consideramos en IRt -lV
puede verse en Figura 3-6. a) que Yi XiXkX¡]l xJ;1 (si la dirección de Xk se invierte, la relación
es Yi = XkXiXk-1 xi- +1 1 ) o en 3 -6 . b) que Yi = xicxi-+1Ie.
Por el Teorema de Van Kampen: III (lR;~ - N) = (Xl, ... ,:I;n/Y¡ = e,i = 1, ...,71)
Si consideramos un lazo y que rodee todos los arcos que se removieron en el plano z O.
podemos ver que y = Y1YZ".Yn Yque al inyectarse en lR~ - IV o en lRt IV es homotópico al lazo
trivial, luego una de las relaciones puede expresarse en términos de las otras n - 1 y así se tiene
una presentación con 71 generadores y 71-1 relaciones. Además podemos eliminar los generadores
redundantes que provienen de las relaciones XiX;:;l
tenemos el siguiente teorema que describe la present.ación de Wirtillger:
Teorema 15 Si N es un nudo entonces II (83 N)
1
XixkXi+lXJ;\ Y f E {l, -1}.
En 1910, Max Dehn demostró que dado un nudo cualquiera, los generadores y las rela­
ciones obtenidas por este procedimiento dan una descripción completa del grupo de un nudo.
No importa cuál sea el nudo siempre es posible calcular su grupo y sus relaciones se pueden
interpretar como ecuaciones algebraicas con varias incógnitas.
3.2 Algunos ejemplos
En esta sección usaremos la presentación de Wirtinger descrita anteriormente para calcular el
grupo de algunos nudos. En el Ejemplo 1 calculamos el grupo fundamental para dos diagramas
del nudo trivial y comprobamos que, aunque se obtiene el mismo grupo por la invarianza del
grupo fundamental, las presentaciones obtenidas pueden ser muy diferentes.
221. El nudo trivial
b) N'}.
Es claro que los dos diagramas representan el nudo trivial, calculemos en cada caso su grupo:
Para el diagrama en la parte a) se tiene un solo arco, por lo tanto un solo generador Xl­
3
Claramente III (8 - Nl) = (Xl) 9:! Z.
Para el nudo en la parte b) tenemos la..s siguientes relaciones entre generadores:
CittS
TI : XIX2Xl1 X3,
-1 =
T2 : XIX4XI X3,
-1 =
T3 : X4X2X4 Xl,
-1 =
T4 : X2X5X2 X4,
--1 =
T5 : X2X5X2 Xl-
Como se dijo en la prueba de la presentación de Wirtinger, una de las relaciones obtenidas
es redundante, luego puede ser eliminada. En este caso eliminemos la primera relación. De las
dos últimas relaciones tenemos que X4 = Xl, Y con ésto en las otras dos relaciones se tiene que
Aunque en este ejemplo pudimos mostrar que los grupos con presentaciones tan distintas son
realmente isomorfos, en general ésto no es tan fácil. Es importante notar que existen diferentes
métodos para hallar presentaciones del grupo de un nudo y las presentaciones obtenidas tienen
apariencias muy diferentes, por lo que se pone de manifiesto las dificultades que conlleva el
problema del isomorfismo, es decir, no se conoce ningún algoritmo que permita determinar si
23dadas dos presentaciones en términos de generadores y relaciones, ellas corresponden a grupos
isomorfos.
2. El nudo trébol
Trébol derecho
Trazamos los arcos y leemos la relación correspondiente en cada cruce, de lo cual obtenemot':
X3XIX3-1 X2,
=
XIX2Xl1 X3,
~l
X2X3X2 Xl·
Eliminando la primera relación y remplazando la segunda ('ll la tercera obtenemos
Luego, G = III (S3 N) = (XI,X2/X2XIX2 XIX2 X I)'
Si hiciéramos el cálculo con el trébol izquierdo obtendríamos un grupo isomorfo a G.
3. El nudo 52
24Sus relaciones
X1X5X ¡1 = X<j,
-1 =
X2X4X2 X3,
-1
X3X1X3 X5,
=
X<jX2X ¡1 Xl,
-1
X5X3X5 X2·
Eliminemos la última ecuación, remplacemos la primera en la segunda y en la cuarta
-1 -1
X2X1X5X1 X2 :r:a,
-1 -1 -1
X1X5Xl X2X1X5 Xl Xl·
Ahora remplacemos la tercera ecuación original en las dos anteriores
-1 -1 -1 =
X2X1X3X1X3 Xl X2 X3,
-1 -1 --1 -1 -1
X3XlX3 Xl X2X1X3X1 X3 Xl e.
De la última de estas ecuaciones, despejemos a X2
y la remplazamos en la otra ecuación
r
De aquí,
254. El nudo 91
Sus relaciones
-1
XlX5:1: 1 .tU)
-1 =
X2 X6X 2 X7,
-1 =
X3 X7X3 Xil,
4l
:C4X 8X ;J:9 )
X5X9X ;:;1 :1; 1 )
61 =
X6X I X X2,
-1
X7X2X7 X3,
-1
X8X3X8 X4,
91 =
X9 X 4X X5·
Haciendo transformaciones algebraicas sobre estill:i relaciones puede verse que llegamos a la
Por tanto G = II (S3 9¡)
1
263.3 Propiedades del grupo de un nudo
En esta sección estudiaremos algunas propiedades del grupo de un nudo, corno la estructura
de producto semidirecto, el defecto del grupo de un nudo, el grupo de la suma conexa de dos
nudos, garantizar la existencia de nudos no triviales y el lema de la "no-cancelación".
e
Recordemos inicialmente que un grupo eS producto semidirecto de K por Q, denotado
e e
K >4 Q si contiene subgrupos K y Q tales que:
(i)K<Je.
(ií) KQ = e.
(iii) KnQ {l}.
Para mostrar que un grupo es producto semidirecto de otros dos podernos ayudarnos de la
siguiente proposición (para la prueba ver [8, p.137-141]).
Proposición 16 Si K <J e y Q es un subgrupo de e, entonces los sig'uíentes enunciados 80'11,
equivalentes:
e
(i) es un producto semidirecto de K por Q.
(ii) Hay una sucesión exacta corta escindida 11 ~ K e~Q~l.
(iii) Q es un complemento de K.
e
(iv) Q es un retracto de con kernel K.
Esta proposición nos permite probar el siguiente teorema, que es un resultado fundamental
para el estudio del grupo de un nudo.
Teorema 17 Sea e el grupo de un nudo N, entonces e e' >4 Z, donde e' es el conmutado'!'
e.
de
Prueba. Sea e el grupo de un nudo N, y sea e' ::>u conmutador. Sabernos que e tiene una
presentación dada por (Xl, ... , Xn/TI, •.. , Tn-l) donde Ti
e/e' e,
es un cociente del grupo tiene presentación
1 Es decir, una sucesi6n exacta corta 1 -+ K --> G Q -+ 1 tal que hay un homomorfismo q¡ : Q -> G con
rrq¡ = lQ.
27(X¡'ooo,Xn/rl,ooo,rn_l,XiXj = XjXí,'Vi,j = 1,oo.,n), por lo tanto cada una de las relaciones
se convierte en Xi = Xi+! Y así G/G' ~ Z .
Sea t el generador de Z, O sea Z = (t) Y definamos el homomorfismo para el grupo libre
F (Xl> o •• , x n ) determinado por
TI: F-+Z
para todo i = 1· ·n.
o
Puesto que TI(XiXkXi+lX¡;E) = t . tE. t . t-E = 1, para todo i = 1· .. n - 1, entonces TI induce un
homorfismo de G en Z, que denotamos también por TI, y además es sobreyectivo. O sea que
G/Ker TI ~ Z, y por tanto G' e KerTI. Ahora, por teoremas de homomorfismos sabemos que
G/G/
KerIr/G' ~ G/Ker TI ~ Z, luego KerTI/G' ~ {1}, es decir, KerTI = G' y tenemos entonces la
sucesión exacta corta
/ n
l-+G '->G-+Z-+l.
Además, si definimos el homomorfismo
11': Z-+G
t~Xl
entonces (TI 011') (t) = TI (11' (t)) = TI (Xl) = t Y por tanto la sucesión corta es escindida y G es
producto semidirecto de G/ por Z. O
Con este teorema podemos encontrar una expresión para el cociente G/G'.
Corolario 18 Si G es el grupo de un nudo, G/G/ ~ Z.
Este corolario y la presentación de Wirtinger son los elementos que nos van a permitir
calcular el defecto del grupo de un nudo. Recordemos el concepto del defecto de un grupo.
Definición 19 El defecto de una presentación es la diferencia entre el número de genera­
dores y el número de relaciones. El defecto de un grupo es el máximo de los defectos de las
presentaciones de un grupo, si tal máximo existe.
A continuación veremos cuál es el defecto del grupo de un nudo.
28Teorema 20 El defecto del grupo de un nudo es 1.
Prueba. Ya sabemos que la presentación de Wirtinger para el grupo de un nudo N está
dada por: IIl(R3_N) = (xI, ... ,xnIT¡, ... ,Tn-l) donde Ti:= XiXÍeXi+lX;\ con E {1,-1},
E
luego la diferencia entre el número de generadores y relaciones para tal presentación es 1.
Veamos que no puede darse una presentación en la cual la diferencia entre generadores y rela­
ciones sea mayor que 1.
Supongamos que tenemos una presentación (Xl, ... ,xnlrl, ... , T m) entonces vamos a conside­
rar el grupo cociente G IG', el cual sabemos ya que es isomorfo a Z. Como G IGI es un cociente
del grupo G, tiene como presentación (Xl, ..., xnlrl, ...,Tm,XiXj XjXi, Vi,j = 1, ... , n). Enu­
meremos los generadores de tal forma que las variables libres, si las hay, son las primeras, y
como GIGI ~ Z, sólo podría existir una variable libre Xl. Si n = 1 entonces no existe ninguna
relación no trivial.
Supongamos ahora que n > 1, dado que G/G' es un grupo abeliano, podemos despejar
a X n de una de las m relaciones como x~" = X~l .. .x~"::t, y tal que in es 1 ó divisor de las
potencias de en las otras relaciones. (Debe haber por lo menos una relación en la que se
X n
pueda hacer ésto, pues de otra manera tendríamos relaciones de la forma xt;< = Xii ,,,X~~ll ,
que no podrían ser eliminadas de la presentación, haciendo que el grupo no sea libre, lo cual
contradice que G /G' ~ Z). Remplacemos a X n en todas las relaciones que aparezca y así
eliminamos una relación y un generador. Supongamos que m > n - 1 y repitamos el proceso
para Xn-l, eliminamos entonces otro generador y otra relación, continuemos así hasta obtener
una expresión para X2, hasta aquí hemos eliminado n - 2 generadores y relaciones. Es claro que
las relaciones en las que pueda despejarse X2 son de la forma X2 = xT. Si Xl es libre entonces
para asegurar el isomorfismo con Z debe darse que k = O, si Xl no es libre entonces k ±1; así
las otras m n + 1 relaciones serían redundantes, por lo tanto en la presentación de G no se
requieren más de n - 1 relaciones. Si m < n - 1 entonces los otros n-m generadores restantes
son libres, lo cual no es posible por la descripción de GIG' . Luego, el defecto es 1.D
En el Ejemplo 1 vimos que el grupo del nudo trivial es Z. En efecto se tiene también el
recíproco, es decir, si el grupo de un nudo es Z entonces el nudo es el trivial. Este resultado,
muy importante en la teoría de nudos, fue asumido inicialmente como intuitivamente claro, pero
29para una prueba rigurosa se requirió más de medio siglo de trabajo y resultados profundos de
la Topología Algebraica y de la teoría de 3-variedades. Nosotros enunciamos dicho resultado,
para una prueba ver [1, Prop. 3.17J.
Teorema 21 Un nudo N es trivial si y sólo si TII (83 N) ~ Z.
Con este teorema podemos asegurar la existencia de nudos no triviales, pues cualquier nudo
con grupo no trivial está realmente "anudado". Veamos por ejemplo que el trébol es "anudado" .
Corolario 22 El nudo trébol no es trivial.
Prueba. En el Ejemplo 2 obtuvimos una presentación para el grupo del trébol dada por
Definamos el homomorfismo del grupo libre generado por (Xl, X2) en el grupo de permutaciones
8 3 , dado por:
<jJ:P -t 83
(1 2)
Xl 1-4
(23)
X2 1-4
Este homomorfismo es sobre, ya que los ciclos (1 2) y (23) generan al grupo de permutaciones
83, además, haciendo unos cómputos elementales, se puede ver que XIX2XIX2lxllx21 E Ker<jJ.
Luego, por el Lema 11, <jJ se puede extender a un homomorfismo sobre
Por tanto
luego, como 83 no es abeliano, entonces TII (83 N) no puede ser abeliano, es decir, TII (83 - N) ~
Z, y por tanto el trébol no es un nudo trivial.O
Para los otros ejemplos calculados es posible también definir un homomorfismo de manera
conveniente que muestre que TI (83 N) no puede ser isomorfo a Z.
I
30Veamos ahora cómo se relaciona el grupo de una suma conexa con el grupo de sus compo­
nentes.
entonces
Prueba. Como N = NI #N2 es una suma conexa, existe un plano que lo corta en dos
puntos. Tracemos este plano y consideremos las dos regiones de S3 N limitadas por él.
Llamemos Xl a la región de S3 - N correspondiente a NI y X2 a la región de S3 N correspon­
diente a N2. Podemos ver, siguiendo un procedimiento similar al que se realizó para calcular
la presentación de Wirtinger, que el grupo fundamental de Xl, es el mismo grupo de S3 - NI,
sólo que se agrega el generador Xn+l que aparece probablemente en una relación de la forma
1} , relación en la cual para el grupo de S3 NI aparecía
Xn . De la figura puede verse que Xn+l puede ser deformado de manera continua en Xn impli­
cando que la presentación de 111 (S3 - NI) Y111 (Xl) es la misma. Algo similar sucede con X2,
para la cual se tiene que 11 1 (S3 - N 2) YIII (X 2) tienen la misma presentación. La intersección
entre Xl y X2, es un plano sin dos puntos, por tanto su grupo fundamental es el grupo libre
31con dos generadores t y v, es decir, Ih (Xl n X2) = Z*Z. Los homomorfismos inducidos son
t e t Ym
v v Ym
Al aplicar el Teorema de Van Kampen se tiene que
Con ésto y sabiendo que el grupo del trébol es (XI,X2,X3/X2X3X21 = XI,X3XIX;¡I = X2)
podemos calcular los grupos para los nudos granny y reef.
Es claro que para ambos nudos,
lo que se reduce a G = (x,y,z/zxz = xzx,yzyz-Iy-l = xzxz-1x-I ).
Hay una propiedad de los nudos que de manera intuitiva indica que para un nudo no es
posible, haciendo otro nudo, lograr desanudarlo, esta propiedad es llamada Teorema de la "no
cancelación", y está probada en la siguiente proposición:
Proposición 24 Una suma conexa NI #N2 es trivial si y sólo si NI y N2 son triviales.
Prueba. Supongamos que NI#N2 es trivial y que NI o N2 son no triviales. Sin pérdida
de generalidad supongamos que NI es trivial y N2 no lo es. Por la propiedad anterior y por ser
NI trivial,
(x, YI, ... , Ym/SI. "') Sm-l, x Ym}
= (YI, ... , Ym/Sl, ... , Sm-l)
Luego TI (S3 - N2) ~ Z. Absurdo!.
I
32Si tanto NI como N2 son no triviales entonces
con n > 1 Y m > 1, luego TI (S3 - (NI#N2)) ~ íl. Absurdo!. Luego, NI y N2 son nudos
I
triviales.
Si N¡ Y N2 son triviales entonces TII (S3 - NI) == (t) Y TII (S3 - N2) (w) por lo tanto
TI I (S3 - (N¡#N2)) = (t,wjt = w) (t) ~ íl Y así N I #N2 es trivial. O
33Conclusiones
El grupo de un nudo es un invariante bueno para la clasificación de los nudos, superior a
otros invariantes y de fácil cálculo. Es además elemento importante en el estudio de algunas
propiedades dentro de la teoría. Sin embargo, las herramientas necesarias para probar muchos
de los resultados conocidos sobre la teoría de nudos, relacionados con este invariante, no se
encuentran al alcance del presente trabajo, herramientas como la teoría de grupos de homología
y cohomología, la teoría de cubiertas, etc.
El grupo de un nudo además, no logra clasificar totalmente todos los nudos pues aunque
si dos nudos tienen grupos distintos se puede determinar la no equivalencia de ellos, sólo para
nudos primos puede concluirse que son homeomorfos al saber que sus grupos son isomorfos;
lo que ha hecho necesario buscar otros invariantes para una clasificación más completa. Estos
invariantes son los polinomios y junto con las teorías antes enunciadas crean un interés más
para continuar estudiando la teoría de nudos.
34Bibliografía
[1] Burde, G.; Zieschang, H. Knots. Walter de Gruyter, New York, 1985.
[2] Crowell, R; Fox, R Introductíon to knot theory. Springer, New York, 1963.
[3] Fox, RI:Í. A quick trip through knot theory, Topology of 3-Manifolds and related topies.
Prentice-Hall, 1962, 120-167.
[4] Fraleigh, J. Algebra abstracta. Adisson-Wesley, Massachusetts, 1987.
[5] Gómez, P. Polinomios invariantes de nudos y enlaces. Tesis de Magister. Universidad
Nacional, Medellín, 1995.
[6] Magnus, W.; Karras, A.; Solitar, D. Combinatorial group theory. Dover publications,New
York, 1976.
[7] Munkres, J.R Topology, A first course. Prentice-Hall, 1975.
[8] Rotman, J. An introduction to the theory of gro'ups. AlIyn and Bacon, Massachusetts, 1973.
[9] Thistlethwaite, M. Knot tabulations and related topics. Aspects of topology in memory of
Hugh Dowker 1912-1982. (James, eds.), London Math Soco Lecture Note Ser., vo1.93.
[10J Trotter, H.F. Noninvertíble knots exist, Topology 2 (1964), 275-280.
[11] Waldhausen, F. The word problem in fundamental groups of sufficiently large irreducible
3-manifolds, Ann. of Math. (2) 88, (1988),272-280.
35