Aplicación de las Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia, al análisis electromagnético de un medio rocoso
Autor: Duran Neme, Javier Alejandro
Asesor: Zapata Jaramillo, Carlos Mario (Thesis advisor)
Fecha: 2012-01-03
Programa: Bogotá - Medicina -Fisioterapia
Facultad: Facultad de Medicina

Resumen: Se realiza un análisis de los fundamentos físicos de los métodos electromagnéticos en Geofísica, a partir del comportamiento del campo electromagnético en medios materiales.  Se presenta el desarrollo matemático dado en la solución de un modelo que aproxima el comportamiento electromagnético de la subsuperficie, conformando un  sistema de capas paralelas, homogéneas e isotrópicas.     Se plantea y resuelve el problema directo en geoeléctrica, implementando un algoritmo para tal fin y comparando sus resultados con los de un software de interpretación especializado: IP2win.  Como parte del “Proyecto Borde Norte de Bogotá”,  se participa en  el levantamiento, proceso, e interpretación  geofísica, estableciendo resultados que aportan al sustento de la declaratoria de la reserva forestal regional del norte (RFRN. / Abstract. This work presents an analysis of the physical principles of the electromagnetic methods in Geophysics, based on the behaviour of the electromagnetic field in matter.  The mathematical computation is done for the solution of a model which approximates the electromagnetic behaviour of the subsurface, making a system of parallel, homogeneous and isotropic layers.  The direct problem in geoelectrics is solved, creating an algorithm for this purpose and comparing its results with those of specialized interpretation software: IP2win.   As part of the project ‘Proyecto Borde Norte de Bogotá’, it is participated in the field work, process, and geophysical interpretation, providing results that contribute to support the declaration of the Northern Regional Forest Reserve (RFRN in Spanish).

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
´
PROGRAMA DE FISICA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
APLICACION DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL
EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
´ ´
AL ANALISIS ELECTROMAGNETICO DE UN MEDIO
ROCOSO
TRABAJO DE GRADO
´
PARA OPTAR POR EL TITULO DE:
´
FISICO
P R E S E N T A:
JAVIER ALEJANDRO
DURAN NEME
DIRECTORA:
M.Sc. LUZ AMALIA ORDON˜EZ
Ciudad Universitaria Bogot´a, Enero 2012A Dios y a mi familia.
1´
Indice general
1. Introducci´on 3
2. Contexto Te´orico 6
2.1. Acerca del concepto de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Las Ecuaciones de Maxwell a partir
del concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Prospecci´on Geoel´ectrica 13
3.1. Consideraciones del M´etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Consideraciones del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Resistividad Aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Problema Directo e Inverso 30
4.1. Soluci´on del Problema Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5. Modelo de capas para el an´alisis de mediciones geoel´ectricas
realizadas en el borde norte de Bogot´a 39
5.1. La zona de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. Procesamiento y toma de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3. Resultados del Levantamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6. Conclusiones 47
A. Teoremas sobre funciones 48
A.1. Funciones Arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.2. Funciones bien comportadas en el infinito . . . . . . . . . . . . . 48
A.3. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
B. Las funciones de Jonqui`ere 50
C. El M´etodo Num´erico 52
C.1. El m´etodo de integraci´on:
Cuadraturas Adaptativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C.2. Cuadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
C.3. Cuadratura de Gauss-Kronrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2Cap´ıtulo 1
Introduccio´n
El presente trabajo est´a enmarcado en un proyecto mayor llamado“Proyecto
Borde Norte de Bogot´a”, que concierne al Instituto de Estudios Urbanos de la
Universidad Nacional de Colombia, el Instituto Geogr´afico Agust´ın Codazzi y
la Corporaci´on Aut´onoma Regional CAR, entre otros. En ´el se pretende:
“adelantar un estudio integral de las caracter´ısticas actuales de la franja cor-
respondiente al pol´ıgono que delimita la RFRN (Reserva Forestal Regional del
Norte), con el objetivo fundamental de aportar informaci´on de campo para la
construccio´n de un Plan de Manejo adecuado tanto a las condiciones de los
ecosistemas como a las determinaciones vigentes que buscan su recuperaci´on y
mantenimiento”. 1
El estudio se encuentra en la fase dos del proyecto y pretende ser una gu´ıa para
elmanejoambientaldeunaampliazonadelnortedelacapital(RFRN),queya
fuedeclaradacomoreservaforestalperoquerequiereinformac´onb´asicasobreel
estado actual de su ecosistema, las propiedades y uso de los suelos, entre otros.
El departamento de Geociencias de mano de la profesora M. Sc. Luz Amalia
Ordon˜ez, se involucr´o en el proyecto en el ´area concerniente a la geof´ısica y se
me dio la oportunidad de participar en la toma de mediciones en una hacienda
de rosas de nombre“Las Pilas”, ubicada en el borde nororiental de la capital.
El trabajo de grado pretende tomar los fundamentos f´ısicos de la prospecci´on
geoel´ectrica desde primeros principios y desarrollar a partir de ellos la teor´ıa de
prospecci´on.
Se explica y resuelve el problema directo en geoel´ectrica, implementando un
algoritmo para tal fin y compar´andolo con los resultados de un software de
interpretaci´on especializado. E´ste u´ltimo es utilizado tambi´en para resolver el
problema inverso, generando un modelo de capas horizontales para el an´alisis
de las mediciones geoel´ectricas tomadas en el borde norte de Bogot´a.
Los m´etodos utilizados en la adqusici´on de informaci´on as´ı como en la inter-
pretaci´on de las mismas, se enmarcan bajo el conjunto de m´etodos electromag-
n´eticos en geof´ısica.
1∗ ProyectoBordeNortedeBogota´FaseII,InformeFinal,p´ag.23.Diciembre2011.
3La geof´ısica es una disciplina que se encarga del estudio de la Tierra a partir de
los conceptos y leyes de la f´ısica. Fen´omenos electromagn´eticos, gravitacionales,
t´ermicos o de transporte, asociados la din´amica terrestre, son de inter´es para la
geof´ısica.Agrandesrasgosesposibledividirsuestudioendospartes:lageof´ısica
pura y la geof´ısica aplicada. La primera se encarga de desarrollar modelos glob-
ales, es decir, modelos f´ısicos y matem´aticos que expliquen el comportamiento
de la Tierra a una escala global.
Por su parte la geof´ısica aplicada se encarga de la prospecci´on, esto es, realizar
medicionesconelfindecaracterizarunaregi´ondeinter´esyestablecerunmodelo
localsobredicha´area.Noobstante,paraqueunaregi´onseacaracterizadaensu
totalidadesnecesarioeltrabajointerdisciplinardedistintas´areasdelasCiencias
de la Tierra.
Laescogenciadedeterminadom´etododeprospecci´ongeof´ısicadependedelobje-
tivo,esnecesarioreconocerprimeroquepropiedadesf´ısicasamedirsonlasper-
tinentes.Entrelosm´etodosexistentessedestacanlagravimetr´ıa(medicionesde
gravedadenciertopunto),magnetometr´ıa(medicionesdelcampogeomagn´etico
terrestre, ya sea como un fen´omeno espont´aneo o como respuesta a una sen˜al
inducida), la s´ısmica (detecci´on de ondas mec´anicas generadas de manera arti-
ficial, que viajan por la corteza terrestre y dan informaci´on de sus propiedades
y contenido) y los m´etodos electromagn´eticos. Estos u´ltimos pueden ser de dos
tipos, m´etodos inductivos (se trabaja con una fuente alterna de corriente de
forma que se puede variar su frecuencia y con ello, la sen˜al penetra el terreno
a mayor o menor profundidad) y m´etodos galv´anicos (tambi´en conocidos como
m´etodos resistivos).
Los m´etodos resistivos utilizan una fuente de corriente directa que se inyecta
sobre el terreno, generalmente por medio de electrodos met´alicos enterrados.
Aplicadaunadiferenciadepotencialconocida,lacorrientepasadeunelectrodo
aotroyrecibecomoresultadounarespuestaconjuntadelatierra;estarespuesta
se trabaja bajo el concepto de resistividad aparente que es un concepto propio
de la geof´ısica como se ver´a m´as adelante.
Alobtenermedicionesderesistividadaparenteparadistintasregionesdeprospec-
ci´on y a distintas profundidades, se encuentran contrastes laterales y verticales
deresistividadconlosqueesposibleelaborarmodelosdeconductividadel´ectrica
de la subsuperficie.
La base te´orica que sustenta la teor´ıa de prospecci´on geoel´ectrica son por un
ladolasecuacionesdeMaxwell,lascualesdescribenelcomportamientodelcam-
po electromagn´etico en el vac´ıo, y las ecuaciones constitutivas que permiten
relacionar las componentes del campo entre s´ı y el medio de transporte. Estas
relaciones conforman la base te´orica de el electromagnetismo cl´asico en medios
materiales.
Cuando se trabaja las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia
se obtiene la ventaja de considerar el campo como una propagaci´on de ondas
electromagn´eticas;estemodeloesu´tilparalageof´ısicaporquelepermiteconocer
el nivel de penetraci´on y resoluci´on del m´etodo en virtud de la frecuencia de la
onda.
4En particular, para el caso de los m´etodos resistivos como los utilizados en este
trabajo, se utiliza una fuente de corriente directa. Las ecuaciones de Maxwell
se desacoplan porque la frecuencia es nula y de esta manera es posible trabajar
con el campo el´ectrico y magn´etico de manera independiente.
5Cap´ıtulo 2
Contexto Teo´rico
Los M´etodos Electromagn´eticos utilizados en la prospecci´on geof´ısica, tienen
como objetivo la detecci´on de campos electromagn´eticos (EM) de los cuales
se pueda extraer informaci´on acerca del suelo y las rocas de la tierra. Dichos
campos EM pueden tener como origen una fuente natural (en ese caso se les
llama campos telu´ricos) o una fuente artificial generada por el hombre (fuente
controlada). En ambos casos, son las ecuaciones de Maxwell el compendio de
leyes f´ısicas que describen el comportamiento de dichos campos vectoriales.
2.1. Acerca del concepto de campo
Las leyes de Newton describen la interacci´on entre los cuerpos por medio de
fuerzas entre part´ıculas puntuales. Al extender estos principios sobre objetos
de m´as dimensiones se construye la mec´anica cl´asica conocida. Sin embargo,
inmerso en ´este universo mec´anico un problema subyace en la interpretaci´on
de las interacciones cuando se pretende explicarlas por medio de fuerzas: el
problema de la acci´on a distancia.
ElmodelogravitacionaldeNewtonasumequedoscuerposdistantesinteractu´an
por medio de una fuerza entre ellos; si la distancia entre los cuerpos aumenta
entonces la magnitud de la fuerza se reduce, sin embargo la acci´on misma de
´esta permanece en todo momento independiente de la distancia y del tiempo;
es decir, la fuerza se transmite en el vac´ıo y adem´as de forma instant´anea.
Esta interpretaci´on permaneci´o inalterada hasta el siglo XIX cuando Michael
Faradaypropusounmodelodiferente,´estavez paraexplicar fen´omenoselectro-
magn´eticos. En ´este modelo se propone que un cuerpo, por el simple hecho de
estar all´ı, genera una perturbaci´on en el espacio que es perceptible al colocar
otro cuerpo (de prueba) en el radio de acci´on del campo. La fuerza que experi-
menta ´este segundo cuerpo es debida entonces a la acci´on del campo generado,
queperturbaelespacio,m´asnoporlaacci´onexpl´ıcitadeunafuerzaadistancia.
Cada cuerpo posse una propiedad que le es innata y que genera el campo. Un
objeto masivo genera un campo gravitacional, a su vez una carga y un im´an
generan un campo el´ectrico y magn´etico respectivamente.
6Desdeelpuntodevistaconceptuallaconcepci´ondelmodelodecampocontituye
ungranlogroparalaf´ısicaporquesolucion´oelproblemadelaacci´onadistancia
y permiti´o el desarrollo posterior de otras teor´ıas cient´ıficas.
2.2. Las Ecuaciones de Maxwell a partir
del concepto de campo
Cuandoen1873Maxwellpublic´osumanuscrito“TreatiseonElectromagnetism”,
dej´o como legado un modelo matem´atico que conten´ıa todas las leyes del elec-
tromagnetismo conocidas. No obstante, la deducci´on usual de las ecuaciones
de Maxwell se realiza utilizando el formalismo vectorial en donde se construye
primero cada componente del campo electromagn´etico a partir de una descrip-
ci´onparticulardelfen´omeno.Porejemplo,elcampoel´ectricoseintroducecomo
ana´logo a la fuerza el´ectrica a partir de la ley de Coulomb siguiendo el modelo
de la carga de prueba. A su vez, el campo magn´etico se construye a partir de la
fuerzamagn´eticaintroduciendoelconceptodecorrienteocargaenmovimiento.
Si bien es cierto que este procedimiento puede ser u´til para un primer curso de
electromagnetismoporqueexplicacadacontenidoporseparadoydesdeunpun-
to de vista fenomenol´ogico, tambi´en es perjudicial en el sentido que desvirtu´a
el verdadero logro de Maxwell cuya idea era precisamente sintetizar y enlazar
bajo un solo marco los fen´omeno el´ectricos y magn´eticos.
Por lo tanto, es preferible describir el concepto de campo desde un punto de
vistaformalconelfindeobtenerlasecuacionesdeMaxwelldeunamaneram´as
natural. E´ste procedimiento es posible a partir del teorema de Helmholtz, pero
requiere una descripci´on previa de las funciones matem´aticas que representan
los campos f´ısicos.
En el ap´endice [ A ] se enuncian algunas propiedades matem´aticas necesarias
para tal fin. En particular se describen los conceptos de funci´on arm´onica y
funci´on bien comportada en el infinito, las cuales junto al teorema de Louville,
permiten introducir el teorema de Helmholtz, de suma importancia para la f´ısi-
ca porque sustenta todo el desarrollo te´orico de los campos descritos en las
ecuaciones de Maxwell.
2.2.1. El Teorema de Helmholtz
Unodelosfundamentosmatem´aticosm´asimportantesenelestudiodeloscam-
poselectromagn´eticoseselteoremadeHelmholtzporquepermitedescribircom-
pletamente un campo vectorial en t´erminos de su divergencia y rotacional.
Debido a que todas las leyes del electromagnetismo estan definidas en funci´on
de las relaciones entre campos vectoriales, este teorema cobra una gran im-
portancia. A continuaci´on se enuncia el teorema en dos partes y se realiza su
demostraci´on.
Teorema1. Todocampovectorialest´aespecificadoun´ıvocamenteencier-
taregi´onD siseconocesudivergenciayrotacionalenD ysucomponente
7normal sobre la frontera de dicha regi´on.
Demostraci´on: Sea V(r) un campo vectorial cuya divergencia y rotacional son
conocidas en la regi´on D:
V(r)=ρ y V(r)=J~
∇· ∇×
Y adem´as se conoce la componente normal del campo (Vn) en la frontera δD.
Sup´ongase que existe otro campo vectorial F(r) tal que
F(r)=ρ y F(r)=J~
∇· ∇×
Donde Vn =Fn.
Se define un nuevo campo G=V F, el cual cumple:
−
G= G=0 y Gn =0
∇· ∇×
Sielrotacionaldeestenuevocampoescero,esposiblederivarGdeunafunci´on
escalar:G= ν.Asuvez,comoladivergenciaescero,seobservaqueelcampo
∇
vectorial cumple la ecuaci´on de Laplace:
G 2ν =0.
∇· ≡∇
Utilizando una de las identidades de Green:
(ψ φ) nˆdS = (ψ φ)dV = ( ψ φ+ψ 2φ)dV (2.1)
∇ · ∇ ∇ ∇ ∇ ∇
IS ZV ZV
Y haciendo la sustituci´on φ=ψ =ν se tiene
(ν ν) nˆdS = ( ν ν+ν 2ν)dV (2.2)
∇ · ∇ ∇ ∇
IδD ZV
Pero previamente se ten´ıa que G = ν =0, y como 2ν =0 entonces el
δD δD
| ∇ | ∇
primer y u´ltimo t´ermino de la ecuaci´on 2.2 son nulos y se obtiene:
ν νdV =0= G GdV
∇ ∇ ·
ZV ZV
Por lo tanto G=0, o equivalentemente V=F.
Teorema 2. Sea V(r) un campo vectorial cuya divergencia y rotacional
son conocidas:
V(r)=ρ(r) y V(r)=J~(r)
∇· ∇×
Y que adem´as cumple
l´ım ρ(r)=0=l´ım J~(r)
r r
→∞ →∞
8Entonces, el campo V(r) puede ser escrito como la suma de dos t´erminos: uno
irrotacional y el otro solenoidal.
Demostraci´on: El teorema indica que V(r) puede ser escrito como
V(r)= φ+ A
−∇· ∇×
V(r)=ρ V(r)=J~
∇· ∇×
Por lo tanto, al tomar las primeras dos ecuaciones se obtiene.
V(r)= 2φ+ A
∇· −∇ ∇·∇×
2φ=ρ (2.3)
−∇
La ecuaci´on 2.3 es la ecuaci´on de Poisson, cuya soluci´on es:
1 ρ(~r)
φ(r~)= d3r (2.4)
′ −4π ZV |~r −r~ ′|
Ahora bien, si se desarrolla el rotacional sobre el campo V se obtiene
V(r)= φ+ A=J~
∇× −∇×∇ ∇×∇×
Usando identidades vectoriales:
A= ( A) 2A
∇×∇× ∇ ∇· −∇
Si se considera que J~ es irrotacional, la primera parte de la ecuaci´on de la
derecha es cero. La segunda parte representa una ecuaci´on de Poisson, en este
caso vectorial, cuya soluci´on para el potencial vectorial A es la siguiente
1 J~(~r)
A(r~)= d3r (2.5)
′ 4π ZV |~r −r~ ′|
Teniendo en cuenta que 2A=J~.
∇
Porlotanto,siconsideranlasexpresionesquesegeneranalaplicarladivergencia
y el rotacional del campo vectorial bajo las condiciones que indica el teorema,
se observa que V siempre puede ser expresado como
V= φ+ A
−∇· ∇×
92.2.2. Las Ecuaciones de Maxwell
LasecuacionesdeMaxwellsonunsistemadeecuacionesvectorialesdiferenciales
parciales,quedescribenelcomportamientodelcampoelectromagn´etico.Dichas
ecuaciones est´an compuestas por las cuatro componentes vectoriales del campo
(E,D,B y H), las cuales a su vez constituyen cada una un campo vectorial en
s´ı y pueden ser reducidas a dos si se utilizan las relaciones constitutivas como
se ver´a m´as adelante.
El sistema de ecuaciones es en el caso m´as general un sistema acoplado, por lo
tanto la soluci´on para cada campo no es sencilla a menos que se tomen casos
particulares.
A continuaci´on se muestran las ecuaciones de Maxwell.
D→=ρ (2.6)
∇·
∂B→
E→= (2.7)
∇× − ∂t
B→=0 (2.8)
∇·
∂D→
H→= →J + (2.9)
∇× ∂t
∂→ρ
→J = (2.10)
∇· − ∂t
La ecuaci´on 2.10 no hace parte propiamente de las ecuaciones de Maxwell,
sin embargo es una ecuaci´on de continuidad que representa una importante
propiedad en f´ısica: la conservaci´on de la carga. La ecuaci´on muestra que la
fuente de corriente ( →J) tiene su origen en una variaci´on de la carga en el
∇·
tiempo, por lo tanto si existe un reservorio de carga notado como ρ (densidad
de carga)´este disminuye para poder generar corriente, la cual no es m´as que el
fen´omeno de cargas en movimiento. Siendo J~ el vector densidad de corriente.
ParaintroducirlasecuacionesdeMaxwelldesdeelconceptodecampoesposible
partir del Teorema de Helmhontz presentado anteriormente. La primera parte
del teorema indica que todo campo vectorial est´a especificado un´ıvocamente
si se conoce su divergencia y rotacional. En ´este caso las ecuaciones 2.6 y 2.7
corresponden a la divergencia y rotacional del campo el´ectrico, as´ı mismo las
ecuaciones2.8y2.9sonladivergenciayrotacionalparaelcasodelcampomag-
n´etico. Si ´estas ecuaciones son conocidas en cierta regi´on del espacio entonces
el teorema de Helmhontz indica que los campos quedan totalmente definidos en
dicha regi´on.
Paraobservarmejorestehecho,esnecesarioconocerlasrelacionesconstitutivas
entre los campos.
Siendo E el campo el´ectrico, se relaciona con el campo de desplazamiento de
MaxwellDpormediodelaconstantediel´ectricaǫ;enrealidadesta“constante”
constituyeuntensorys´oloesunescalarcuandoelmedioenqueseencuentranlos
camposesel´ectricamentehomog´eneoeisotr´opico.Asuvezelcampomagn´etico
10H se relaciona con el campo de inducci´on B por medio de la permeabilidad
magn´etica µ, la cual tambi´en es un tensor en el caso general.
D=ǫE (2.11)
B=µH (2.12)
J=σE (2.13)
TomandolasegundapartedelteoremadeHelmholtz(algunosautoresconsider-
anqueestansoloestapartelaqueconstituyeelverdaderoteorema),seten´ıaun
campo vectorial V(r) cuya divergencia y rotacional eran conocidas y cumpl´ıan
lascondicionesdel´ımite(verteorema2secci´on 2.2.1),porlotantodichocampo
pod´ıa escribirse como
V(r)= φ+ A
−∇· ∇×
Paraelcasoelectromagn´eticosedebeasociarV(r)conunpotencialm´asgeneral,
que contiene al potencial escalar (φ) y vectorial (A~). De esta manera
E= φ (2.14)
−∇·
B= A (2.15)
∇×
As´ımismoladivergenciayrotacionaldeV(r)correspondenaρ(ladensidadde
carga el´ectrica) y a J~ (la densidad de corriente) respectivamente, siendo ´estas
las fuentes generadores de los campos.
E=ρ (2.16)
∇·
B=J (2.17)
∇×
2.2.3. Ecuaciones de Maxwell
en el dominio de la frecuencia
Las ecuaciones 2.6 a la 2.9 son las ecuaciones de Maxwell usuales, que corre-
sponden a las relaciones entre los campos electromagn´eticos en el dominio del
tiempo. Una variaci´on temporal del campo magn´etico influye en el campo el´ec-
tricoyviceversa.Noobstanteparaelusodelageoel´ectricayengeneral,cuando
se trabajan los campos como una propagaci´on de ondas electromagn´eticas, es
u´til expresar las ecuaciones de Maxwell desde el dominio de la frecuencia.
Unaformadehacerloessuponerqueloscampossonarm´onicosyvariablesenel
tiempo,de´estamaneraseobtieneunaparterealeimaginariaparacadacampo,
y al tomar la parte real y sustituirla en las ecuaciones de Maxwell usuales se
pasa al dominio de la frecuencia.
Una forma alternativa, y quiz´as mas elegante, es utilizar la transformada de
Fourier de cada componente y as´ı pasar del dominio del tiempo al dominio de
la frecuencia; ´este u´ltimo m´etodo ser´a desarrollado a continuaci´on.
11Sup´ongase una funci´on F(~r,t) que es una componente del campo electromag-
n´etico. F se encuentra en el dominio del tiempo porque es una funci´on que
depende de las tres coordenadas espaciales y del tiempo.
Si se toma la transformada de Fourier de dicha componente se obtiene:
f(~r,ω)= ∞ F(~r,t)e iωtdt (2.18)
−
Z−∞
Donde f(~r,ω) es una nueva funci´on que depende de las coordenadas espaciales
y de la frecuencia.
Esposibletambi´enexpresarlafunci´onoriginalF comolatransformadainversa
de f.
F(~r,t)= ∞ f(~r,ω)eiωtdω (2.19)
Z−∞
Por lo tanto al derivar respecto al tiempo se obtiene:
∂F(~r,t) =iω ∞ f(~r,ω)eiωtdω (2.20)
∂t
Z−∞
∂F(~r,t)
=iω F(~r,t) (2.21)
⇒ ∂t
Posteriormente se realiza la transformada de Fourier a la ecuaci´on 2.21:
∞ ∂F(~r,t) e iωtdt=iω ∞ F(~r,t)e iωtdω
− −
∂t
Z−∞ Z−∞
∂F(~r,t)
TF[ ]=iω f(~r,ω) (2.22)
∂t
Como se puede observar, la transformada de Fourier es u´til para pasar las com-
ponentes del campo electromagn´etico del dominio del tiempo al dominio de la
frecuencia. Si se realiza el procedimiento anterior a todas las componentes de
los campos, utilizando las ecuaciones 2.18 y 2.22, las ecuaciones de Maxwell se
transforman se la siguiente manera:
D~(~r,ω)=ρ(~r,ω) (2.23)
∇·
E→(~r,ω)= iωB~(~r,ω) (2.24)
∇× −
B→(~r,ω)=0 (2.25)
∇·
H→(~r,ω)= →J(~r,ω)+iωD~(~r,ω) (2.26)
∇×
Siendo ´estas las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia.
12Cap´ıtulo 3
Prospeccio´n Geoel´ectrica
El fundamento te´orico de la prospecci´on geoel´ectrica, y en general de todos los
m´etodos electromagn´eticos utilizados en la prospecci´on geof´ısica, son las ecua-
cionesdeMaxwell.Dichasecuacionesmodelanelcomportamientodeloscampos
y permiten establecer las relaciones entre el campo, el medio y la fuente que los
genera.
Enparticular,lasecuacionesdeMaxwelleneldominiodelafrecuenciasonam-
pliamenteutilizadasengeof´ısicaporquepermitenelan´alisisdeloscamposcomo
funciones arm´onicas en el tiempo, que se propagan como ondas electromagn´eti-
cas en medios materiales (la Tierra) y permiten establecer informaci´on sobre
dicho medio. Esta informacio´n es b´asicamente las propiedades electromagn´eti-
cas de cierta regi´on de la subsuperficie en donde se realiza el estudio.
En ´esta secci´on se realizar´a un estudio de los principios f´ısicos que sustentan
losm´etodosdeprospecci´ongeoel´ectricayenparticulardelossondeosel´ectricos
verticales (SEV).
3.1. Consideraciones del M´etodo
El m´etodo SEV (sondeos el´ectricos verticales) consiste en inyectar corriente en
elterrenopor mediode dos pares de electrodos.Elprimerparest´an conectados
aunafuentedecorrienteDCqueenv´ıaunpulsoalinteriordelatierradesdeun
electrodoaotro.Elsegundoparsecolocanaladoyladodelpuntodeobservaci´on
con el fin de medir la diferencia de potencial entre ellos. Ver figura 3.1.
La disposici´on de los electrodos y su distancia respecto al punto de observaci´on
puede variar segu´n el criterio de exploraci´on, no obstante siempre ser´a posible
conocer los valores de corriente y de voltaje (de ´esta u´ltima se obtiene el val-
or de resistividad aparente como se explicara m´as adelante), siendo ´estas las
magnitudes que se consideran al utilizar ´este m´etodo.
Como se mencion´o anteriormente, el m´etodo SEV utiliza corriente directa para
buscar informaci´on acerca de la resistividad de la tierra. El hecho de emplear
corrienteDCimplicaqueloscampossonconstanteseneltiempoyenconsecuen-
cianodependendeunafrecuenciadeoscilaci´on,´estopermitequelasecuaciones
deMaxwellsedesacoplenylasoluci´ondelasmismasseresuelvadeunamanera
ma´s sencilla.
13Figura3.1:Representaci´ondeunSEV.Elpuntodeobservaci´onseencuentraen
el punto medio entre los electrodos de potencia P P
1 2
D~(~r)=ρ(~r) (3.1)
∇·
E→(~r)=0 (3.2)
∇×
B→(~r)=0 (3.3)
∇·
H→(~r)= →J(~r) (3.4)
∇×
Lasecuaciones3.1ala3.4sonlasecuacionesdeMaxwellparacamposindepen-
dientes del tiempo.
3.2. Consideraciones del Modelo
Las variables medidas en los m´etodos de prospecci´on geoel´ectrica pretenden in-
ferirladistribuci´onderesistividadel´ectricabajolasuperficie.Paraelloseasume
la tierra como un conjunto de capas superpuestas, cada una con cierto grosor y
determinado valor de resistividad que puede ser asociado al hallazgo de algu´n
mineral o algu´n tipo de roca espec´ıfica segu´n la regi´on de estudio.
Sin embargo el estudio de la tierra representa un sistema complejo debido a la
granvariedaddefactoresinvolucrados;solamentealhablardelacaracterizaci´on
el´ectricadelarocaexistenunsinmu´merodeelementosquecontribuyen(porosi-
dad, temperatura, humedad, geometr´ıa, conectividad entre poros, etc.), por lo
cual no siempre es posible asociar un valor de resistividad con un tipo de roca
o fen´omeno geol´ogico espec´ıfico sino a lo sumo con un conjunto de ´estos.
Todas estas razones justifican la adopci´on de algunas suposiciones que faciliten
la aproximaci´on desde la f´ısica al estudio de la Tierra y, como es comu´n en
toda labor cient´ıfica, permitan aumentar gradualmente su complejidad hasta
establecer un modelo cada vez m´as cercano a la estructura real de la Tierra
bajo superficie.
Algunas de las consideraciones del modelo ser´an las siguientes:
La subsuperficie consiste en un nu´mero finito de capas separadas entre s´ı
por planos horizontales.
14La capa m´as profunda se extiende en profundidad hacia el infinito.
Cada una de las capas es el´ectricamente homog´enea e isotr´opica.
El campo el´ectrico al interior es generado por una fuente de corriente
puntual ubicada en la superficie.
La corriente emitida por esta fuente es corriente directa.
3.2.1. Soluci´on de la Ecuaci´on de Laplace para el Potencial
El´ectrico
Bajo las consideraciones descritas en la secci´on 3.2, se deduce que la tierra bajo
superficie no posee reservorios de carga neta y por lo tanto:
E~ =ρ/ǫ=0 siendo E~ = V
∇ −∇
E~ = ( V)=0
⇒∇ ∇ −∇
El potencial el´ectrico cumple la ecuaci´on de Laplace.
2V =0 (3.5)
∇
La ecuaci´on de Laplace se tomar´a en coordenadas cil´ındricas debido a que ex-
iste simetr´ıa respecto al eje perpendicular a la superficie. Esto significa que el
potencial no depende de la variable θ y en consecuencia el u´ltimo t´ermino de la
ecuaci´on 3.6 es cero.
∂2V 1∂V ∂2V 1 ∂2V
2V = + + + =0 (3.6)
∇ ∂r2 r ∂r ∂z2 r2 ∂θ2
Para resolver esta ecuaci´on se utiliza el m´etodo de separaci´on de variables en
donde se adopta una soluci´on de la forma
V(r,z)=U(r)W(z)
Al reemplazar est´a soluci´on en la ecuaci´on 3.6 y dividiendo todo por UW se
tiene:
1 ∂2U 1 ∂U 1 ∂2W
+ + =0
U ∂r2 Ur ∂r W ∂z2
Los primeros dos t´erminos de la ecuaci´on solo dependen de r mientras que el
u´ltimo t´ermino depende de z. Esto implica que se puede tomar cada t´ermino
por aparte e igualar a una constante; al realizar este procedimiento para el caso
de W(z) se obtiene:
1 d2W
=λ2 W =Ce λz y W =Ce+λz (3.7)
−
W dz2 ⇒
Para el caso de U(r) se tiene:
1 d2U 1 dU
+ = λ2 (3.8)
U dr2 Ur dr −
Laecuaci´on 3.8correspondeaunaecuaci´ondeBesselcuyasoluci´onsedaent´er-
minosdelasfuncionesdeBesseldeordencero.Laecuaci´on 3.9esprecisamente
15Figura 3.2: Funciones de Bessel de orden cero (J ) y orden uno (J )
0 1
la soluci´on, donde λ es la constante de la ecuaci´on diferencial 3.8 y J (λr) es la
0
funci´ondeBesseldeordencero,cuyocomportamientoseobservaenlafigura3.2
U =C J (λr) (3.9)
0
·
Tomando las dos soluciones para W(z) (ecuaci´on 3.7) y la soluci´on de U(r)
(ecuacio´n 3.9) se tiene
V =Ce λz J (λr) V =Ceλz J (λr) (3.10)
1 − 0 2 0
· ·
Donde C y λ son contantes arbitrarias. No obstante, una combinaci´on lineal de
las soluciones tambi´en es soluci´on:
V =C e λzJ (λr)+C eλzJ (λr) (3.11)
1 − 0 2 0
Es posible establecer una soluci´on au´n m´as general tomando todos los posibles
valores de la constante λ desde cero hasta infinito y permitiendo que las dos
constantes C varien en funci´on de λ. En ese caso, la soluci´on m´as general a la
i
ecuaci´on de Laplace 3.6 es:
∞
V (r,z)= φ(λ)e λz +ψ(λ)eλz J (λr) dλ (3.12)
− 0
·
Z
0 (cid:2) (cid:3)
Esta soluci´on contiene todas las posibles valores de potencial para cada caso
espec´ıfico.Lasexpresionesψ(λ)yφ(λ)dependendelascondicionesdefrontera.
3.2.2. El potencial en la superficie debido a una fuente
puntual de corriente
Si se considera la subsuperficie como un medio el´ectricamente homog´eneo es
posible encontrar una expresio´n sencilla para el potencial en la superficie.
Primero sup´ongase que la fuente es simplemente un pulso de corriente que es
generadoenalgu´npuntodelasuperficie,talycomosemuestraenlafigura3.3.
La corriente es por definici´on
16Figura 3.3: Potencial en la superficie generado por una fuente puntual de corri-
ente
I = J~(cid:5)dA~ (3.13)
Z
Si se asume que el aire es un medio sumamente resistivo entonces la corriente
solamente circular´a bajo la superficie, por lo tanto la densidad de corriente
atraviesa el ´area correspondiente a media esfera A=4πr2/2 y un diferencial de
´area es en consecuencia dA = 4πrdr. Al reemplazar este diferencial de ´area en
la ecuaci´on de corriente se tiene.
r′
2
I =4πJ r dr =2πJr (3.14)
′ ′
Z
0
En ´este caso la integral va desde el punto en donde se genera el pulso (r = 0)
hasta un punto arbitrario r .
′
Despejando J de la ecuaci´on anterior y teniendo en cuenta la ley de Ohm
(ecuacio´n 2.13) se tiene:
I
J = =σE (3.15)
2πr 2
′
El campo el´ectrico va en la direcci´on de la corriente (J~), y ´este a su vez es
normal a las l´ıneas equipotenciales (ver Fig. 3.3), al igual que el vector ~r . Por
′
lotantoalhacerlaintegralconelfindeencontrarelvoltaje(ecuaci´on 3.16)los
vectores E~ y d~l van en la misma direcci´on. En dicha ecuaci´on se ha colocado el
valor del campo el´ectrico en funci´on de la corriente, segu´n las relaciones dadas
en la ecuaci´on 3.15.
b rb
I
V = E~ (cid:5)d~l= eˆ(cid:5)d~r (3.16)
− − 2πr 2σ· ′
Z Z ′
a ra
rb
ra
Iρ 1 Iρ 1
V = dr = (3.17)
−2π ·r 2 ′ 2π r
rZ ′ (cid:20) ′(cid:21)rb
a
Si se desea calcular el potencial en la superficie lo usual ser´ıa suponer que los
l´ımites de la integraci´on corresponden a r = 0 (el punto donde se produce el
a
pulso de corriente) y r = r, un punto sobre la superficie en donde se realiza
b
la medici´on. No obstante el objetivo es realmente calcular el potencial para
17un punto fijo r en superficie, por lo tanto en el origen no es necesario hallar
el valor del potencial, adem´as esto causar´ıa una singularidad. Una opci´on ser´ıa
escogerdichopuntocomounaregi´ondepotencialcero(siempresepuedeescoger
de forma arbitraria) de tal forma que, al calcular la integral entre r y r y
a b
asumiendo que V(r ) = 0 realmente se est´a calculando el potencial de un solo
a
punto (r =r).
b
Iρ
V = (3.18)
2πr
La ecuaci´on 3.18 corresponde entonces a la expresi´on del potencial medido en
un punto sobre la superficie y debido a una fuente puntual de corriente.
Unaformam´asgeneraldeestaexpresi´onsepuededaralobservarlageometr´ıaen
la figura 3.3. Siendo r =√r2+z2 la expresi´on para el potencial se transforma
′
en:
Iρ Iρ
V = = (3.19)
2πr 2π√r2+z2
′
Si se desea conocer el valor de V(r,z) en superficie s´olo basta con hacer z = 0
y se vuelve a la expresi´on 3.18.
El objetivo a continuaci´on va ser el de incorporar la expresi´on anterior a la
soluci´on de la ecuaci´on de Laplace para el potencial que fue calculada en la
secci´on 3.2.1. Para tal fin se utiliza la integral de Lipschitz, conocida de la
teor´ıa de las ecuaciones de Bessel.
Integral de Lipschitz:
∞ 1
e λzJ (λr) dλ= (3.20)
− 0
· √r2+z2
Z
0
Utilizando esta integral se reescribe la ecuaci´on 3.19:
ρ I ∞
V = 1 e λzJ (λr) dλ (3.21)
− 0
2π ·
Z
0
Dondeρ correspondealaresistividaddelaprimeracapa.Hastaelmomentose
1
haasumidounatierraperfectamentehomog´eneainclusoverticalmente,entonces
ρ ρ que ser´ıa la resistividad de todo el bloque de tierra bajo superficie; sin
1
≡
embargo es importante usar esta nueva notaci´on para usos futuros.
La ecuaci´on 3.21 representa el potencial en la superficie debido a una fuente
puntualdecorrientemientrasquelaexpresi´on3.12eslasoluci´ondelaecuaci´on
de Laplace en coordenadas cil´ındricas. La primera es un caso particular de la
soluci´on dada en la Ec. 3.12, por lo tanto debe estar contenida en ´esta.
Una forma simple de ligar ambas soluciones es sumarlas, pues una suma de dos
solucionestambi´enessoluci´ondeunaecuaci´ondiferencial.Enesecasoalsumar
las ecuaciones 3.21 y 3.12 se obtiene:
18ρ I ∞ ∞
V = 1 e λzJ (λr) dλ+ φ(λ)e λz +ψ(λ)eλz J (λr) dλ
− 0 − 0
2π · ·
Z Z
0 0 (cid:2) (cid:3)
ρ I ∞ 2π 2π
= 1 e λz + φ(λ)e λz + ψ(λ)eλz J (λr) dλ
− − 0
2π ρ I ρ I ·
Z (cid:20) 1 1 (cid:21)
0
Haciendo Θ(λ)= 2π φ(λ) y X(λ)= 2π ψ(λ) se tiene.
ρ1I ρ1I
ρ I ∞
V = 1 e λz +Θ(λ)e λz +X(λ)eλz J (λr) dλ (3.22)
− − 0
2π ·
Z
0 (cid:2) (cid:3)
La ecuaci´on 3.22 es la soluci´on de la ecuaci´on de Laplace para el potencial gen-
erado por una fuente puntual de corriente en la superficie. Esta soluci´on ha
supuesto una tierra el´ectricamente homog´enea por lo tanto la resistividad ρ
1
corresponde a la resistividad de todo ese bloque de tierra bajo superficie.
Si se considera una tierra estratificada por capas horizontales (ver considera-
ciones del modelo en la secci´on 3.2), cada una homog´enea pero con grosor y
resistividad diferente, la soluci´on dada en la ecuaci´on 3.22 es v´alida siempre y
cuando se aplique capa por capa. Es decir, las funciones Θ(λ) y X(λ) que son
funcionesarbitrariasdeλ(yportantoquedependendelascondicionesdefron-
tera espec´ıficas) son funciones distintas segu´n la capa que se considere.
Porlotantoexisteunasoluci´ondiferenteparacadacapa,siendolaecuaci´on3.23
la correspondiente a la capa i-´esima.
ρ I ∞
V = 1 e λz +Θ (λ)e λz +X (λ)eλz J (λr) dλ (3.23)
i − i − i 0
2π ·
Z
0 (cid:2) (cid:3)
Donde ρ es la resistividad de la primera capa (la m´as cercana a la superficie).
1
3.2.3. Condiciones de Frontera
Las funciones Θ(λ) y X(λ) son funciones que dependen del modelo espec´ıfico y
pueden cambiar de una capa a otra. En general se cumple que Θ (λ)=Θ (λ)
i i+1
6
y de igual forma para X(λ).
Existen otras condiciones que se deben satisfacer, las cuales se mencionan a
continuaci´on. Estas son v´alidas para el problema de estudio, es decir para el
potencial generado por una fuente puntual de corriente en superficie de una
tierra estratificada con capas horizontales homog´eneas.
Condiciones de Frontera:
1. El potencial el´ectrico V es continuo en cada una de las fronteras entre las
capas.
2. En las fronteras la coponente perpendicular de la densidad de corriente
J es continua.
⊥
3. J en la superficie, y en consecuencia E en la superficie, deben ser cero
⊥ ⊥
entodoelespacioexceptoenunavecindadinfinitecimalcercadelafuente.
194. Cerca de la fuente de corriente el potencial tiende a infinito, como una
funci´on de la forma V = Iρ = Iρ
2πr′ 2π√r2+z2
5. Si z el potencial debe tender a 0.
→∞
A continuaci´on se condicionar´a la soluci´on del potencial a cada una de estas
condiciones de frontera
Condicio´n 1.
ComoelpotencialdebesercontinuosedebecumplirV =V ,luegoutilizando
i i+1
la expresi´on 3.23 se tiene
V = ρ1I ∞ e λz +Θ (λ)e λz +X (λ)eλz J (λr) dλ=
i 2π − i − i 0 ·
0
R (cid:2) (cid:3)
ρ1I ∞ e λz +Θ (λ)e λz +X (λ)eλz J (λr) dλ=V
2π − i+1 − i+1 0 · i+1
0
R (cid:2) (cid:3)
Para que sean iguales los integrandos deben ser iguales, por lo tanto la primera
condici´on de frontera produce el siguiente criterio:
Θ (λ)e λhi +X eλhi =Θ (λ)e λhi +X eλhi (3.24)
i − i i+1 − i+1
Dondez =h eslaprofundidadalaqueseencuentralafronteraentrelascapas
i
i e i+1.
Condicio´n 2.
La componente perpendicular de la densidad de corriente es continua en las
fronteras: J =J
i i+1
⊥ ⊥
Si se toma la densidad de corriente de la ley de Ohm se tiene.
1 1
J~= E~ = V
ρ −ρ∇
Por tanto, la componente perpendicular es
1∂V
J =
⊥ −ρ ∂z
Al reemplazar el potencial de la ecuaci´on 3.23 en la expresi´on anterior se tiene.
1 ∂V 1 ∞
J = i = (1+Θ (λ))e λhi( λ)+X (λ)eλhiλ J (λr)dλ
i i − i 0
⊥ −ρ i ∂z z=hi −ρ i −
Z
0 (cid:2) (cid:3)
(3.25)
Perolacondici´ondefronteradosexigequeJ =J ,yparaqueseaniguales
i i+1
⊥ ⊥
los integrados deben ser iguales.
1 1
(1+Θ (λ))e λhi X (λ)eλhi = (1+Θ (λ))e λhi X (λ)eλhi
i − i i+1 − i+1
ρ − ρ −
i i+1
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (3.26) (cid:3)
20Condicio´n 3.
Lacondici´ondefronteranu´merodos(CF2)mostrabalacontinuidaddeJ entre
⊥
las capas, sin embargo la interfaz que existe en la frontera tierra-aire debe ser
considerada con m´as detalle.
Engeoel´ectricaseasumequeelaireesunaislanteperfecto,estosignificaqueen
elaireladensidaddecorrientedebesernula(J =0);sinembargolaCF2implica
que en la primera capa de la tierra la componente perpendicular (J ) tambi´en
⊥
deber´ıa ser cero, pero no puede serlo en la fuente. Se hace necesario entonces
una vecindad infinitecimal, que contenga a la fuente, en donde se cumpla que
J =0.
⊥ 6
Si se deriva la ecuaci´on 3.23 para el caso de la primera capa se tiene:
1 ∂V 1 ∞
1
J = = [ 1 Θ (λ)+X (λ)]J (λr)dλ=0 (3.27)
1 1 1 0
⊥ −ρ 1 ∂z (cid:12)z=0 ρ 1 Z − −
(cid:12) 0
(cid:12)
La expresi´on anteri(cid:12)or indica que J es nulo en todo punto de la superficie
1
⊥
exceptuando la fuente. Esta ecuaci´on puede ser definida tambi´en como la suma
de dos campos de la siguiente forma:
1
J = [CampoPrimario+CampoPerturbado] (3.28)
1
⊥ ρ 1
Donde los campos corresponden a las expresiones siguientes:
∞
CampoPrimario J (λr)dλ (3.29)
0
≡
Z
0
∞
CampoPerturbado [ Θ (λ)+X (λ)]J (λr)dλ (3.30)
1 1 0
≡ −
Z
0
Elcampoprimarioeslaexpresi´onparaelpotencialensuperficiegeneradocuan-
do la tierra es completamente homog´enea, es el mismo que fue hallado en la
ecuaci´on 3.21 si se hace z =0. Por su parte el campo perturbado tiene en cuen-
talaestratificaci´onhorizontaldelascapas,describelafronteraentrelasmismas
desde la interface entre capas 1-2 (es decir, para z = h > 0) en adelante; su
1
componente perpendicular debe entonces ser cero en todo punto, incluyendo la
regi´on en donde se encuentra la fuente.
[CampoPerturbado] =0, r (3.31)
⊥ ∀
Observando la ecuaci´on 3.30 para el campo perturbado se ve que, para que la
condici´onanteriorsecumplaparacualquiervalorder,esnecesarioquelasuma
de las funciones Θ y X sea nula. Por lo tanto:
Θ (λ)=X (λ) (3.32)
1 1
Esta u´ltima condici´on define el potencial en la superficie, pues si se aplica sobre
la ecuaci´on 3.23 y haciendo z =0 se obtiene:
21ρ I ∞
1
V = [1+2Θ (λ)]J (λr) dλ (3.33)
1 0
2π ·
Z
0
Como el potencial en la superficie es una magnitud que se puede medir direc-
tamente a partir de los sondeos, la ecuaci´on 3.33 cobra una gran importancia
para la teor´ıa en geoel´ectrica.
Condicio´n 4.
Esta condici´on de frontera se satisface autom´aticamene si se tiene en cuenta la
expresi´onparaelpotencialensuperficie.Laecuaci´on3.21define´estaexpresi´on.
Otra forma de verlo es tomar el campo primario de la CF3, al integrarlo, se
obtiene la expresi´on deseada.
Condicio´n 5.
Cuando la profundidad tienda a infinito, el potencial debe tender a cero.
Para cumplir esta condici´on es necesario que en la capa m´as profunda (en la
n-´esima capa) la funci´on X sea nula o de lo contrario el factor eλz har´a que el
potencial diverga a infinito.
X (λ)=0 (3.34)
n
3.2.4. El sistema de Ecuaciones
Las ecuaciones 3.24, 3.26, 3.32 y 3.34 constituyen un sistema de 2n ecuaciones
cuyas 2n inc´ognitas son las funciones Θ(λ) y X(λ).
Sisesustituyenlasecuaciones3.32y3.34en3.24seobtieneelsiguientesistema
llamado α:
Θ 1e −λh1 +Θ 1eλh1 =Θ 2e −λh1 +X 2eλh1
Θ 2e −λh2 +X 2eλh2 =Θ 3e −λh2 +X 3eλh2
α ≡. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
las sΘ ign ie1 ne t− eλ sh sn u− s1 t+ ituX cin n1 ee sλhn−1 =Θ ne −λhn−1 +X neλhn−1
u− o−
Realizando
ρ
u =e λhi v =eλhi p = i (3.35)
i − i i
ρ
i+1
El sistema α se transforma en
(u +v )Θ u Θ v X =0
1 1 1 1 2 1 2
− −
u Θ +v X u Θ v X =0
2 2 2 2 2 3 2 3
α ′ ≡  . . . . . . . . . − . . . − . . . . . .
u Θ +v X u Θ v X =0
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 n
− − − − − − − −

22Un procedimiento similar es utilizado para determinar un nuevo sistema de
ecuaciones de nombre β. Para hacerlo se toman las ecuaciones 3.32 y 3.34 y se
sustituyenenlaecuaci´on3.26.Adicionalmenteseutilizanlasdefinicionesdadas
en 3.35.
ρ
1
(1+Θ )u Θ v = [(1+Θ )u X v ]
1 1 1 1 2 1 2 1
− ρ −
2
 ρ
2
≡. .( .1 .+ .Θ .2 .) .u .2 .X .2 .v .2 .= .[ .( .1+Θ 3)u 2 −X 3v 2]
.− .ρ
β .3
. .. . .. . .. .. .. . .. .. . . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ρ
Agrupando(1 lo+ pΘ an ´am1) eu trn s1 uX ,vn ,p1v )n de1 = cadaρn − v1 ar[ i( a1 b+ leΘ (Θn) ,u Xn )1 seX con nv sn gu1]
r− o− (− − − n − ,− i−
s e un
i i i i i
nuevo sistema de ecuaciones (sistema β ).
′
(v u )Θ +p u Θ p v X =(1 p )u
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1
− − −
u Θ +v X +p u Θ p v X =(1 p )u
2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2
β ′ ≡   . . . − . . . . . . . . . − . . . − . . .
u Θ +v X +p u Θ p v X =(1 p )u
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n n 1 n 1
− − − − − − − − − − − − −

La uni´on de los dos sistemas anteriores (γ α β ) consiste en un sistema
′ ′
≡ ∪
de 2n ecuaciones con 2n inc´ognitas. El sistema puede ser resuelto para Θ (λ)
1
usando la regla de Cramer; la cual indica que Θ (λ) es el cociente entre dos
1
determinantes.
Sea D˜: Determinante que va en el denominador al usar la Regla de Cramer.
Esta formado por los coeficientes de Θ y de X del sistema de ecuaciones (γ).
(u +v ) u v
1 1 1 1
− −
(v u ) p u p v
1 1 1 1 1 1
(cid:12) − − (cid:12)
(cid:12) u 2 v 2 u 2 v 2 (cid:12)
(cid:12) − − (cid:12)
(cid:12) u 2 v 2 p 2u 2 p 2v 2 (cid:12)
D˜ =(cid:12) (cid:12) − . . . . − (cid:12) (cid:12) (3.36)
(cid:12) . . (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) . . . . . . (cid:12)
(cid:12) . . . (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) u v u v (cid:12)
(cid:12) n −1 n −1 − n −1 − n −1 (cid:12)
(cid:12) u v p u p v (cid:12)
(cid:12) − n −1 n −1 n −1 n −1 − n −1 n −1(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
P˜ : Determinante que va en el numerador al usar la Regla de Cramer. Esta
formado por los coeficientes de Θ y de X del del sistema γ exceptuando la
primeracolumna,enlacualsehandereemplazarloscoeficientesdelladoderecho
del sistema de ecuaciones (γ).
230 u v
1 1
− −
(1 p )u p u p v
1 1 1 1 1 1
(cid:12) − − (cid:12)
(cid:12) 0 u 2 v 2 u 2 v 2 (cid:12)
(cid:12) − − (cid:12)
(cid:12) (1 p 2)u 2 u 2 v 2 p 2u 2 p 2v 2 (cid:12)
P˜ =(cid:12) (cid:12) − − . . . . − (cid:12) (cid:12)
(cid:12) . . (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) . . . . . . (cid:12)
(cid:12) . . . (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 0 ... u v u (cid:12)
(cid:12) n −1 n −1 − n −1 (cid:12)
(cid:12)(1 p )u ... u v +p u (cid:12)
(cid:12) − n −1 n −1 − n −1 n −1 n −1 n −1(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Sumando todas las columnas pares con la primera columna (esto no cambia el
valor del determinante) P˜ se transforma en:
u u v
1 1 1
− − −
u p u p v
1 1 1 1 1
(cid:12) − (cid:12)
(cid:12) 0 u 2 v 2 u 2 v 2 (cid:12)
(cid:12) − − (cid:12)
(cid:12) 0 u 2 v 2 p 2u 2 p 2v 2 (cid:12)
P˜ =(cid:12) (cid:12) − . . . . − (cid:12) (cid:12)
(cid:12) . . (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) . . . . . . (cid:12)
(cid:12) . . . (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 0 ... u v u (cid:12)
(cid:12) n −1 n −1 − n −1 (cid:12)
(cid:12) 0 ... u v +p u (cid:12)
(cid:12) − n −1 n −1 n −1 n −1(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Por lo tanto, la soluci´on para Θ (λ) bajo la condici´on 3.32 es simplemente:
1
Θ (λ)=P˜/D˜ (3.37)
1
Esta soluci´on define el potencial de la primera capa, y si se hace z =0 tambi´en
lo define en la superficie, tal y como se muestra a continuaci´on:
ρ I ∞
1
V = [1+2Θ (λ)]J (λr) dλ (3.38)
1 0
2π ·
Z
0
Enprincipioelproblemadirecto(vercap´ıtulo4)paraelpotencialest´asoluciona-
do, pues si se conoce el modelo de capas (No. capas n) y los par´ametros (altura
delascapash ,resistividadρ )sedeterminalafunci´onΘ yenconsecuenciase
i i 1
determina el potencial en la superficie segu´n la ecuaci´on 3.38.
3.2.5. Relaciones de Recurrencia
La ecuaci´on 3.38 muestra como, una vez hallado Θ a partir de la regla de
1
Cramer,esposibleconocerelpotencialenlasuperficie.Noobstantelaexpresi´on
para Θ depende de el modelo que se utilice, es decir, el nu´mero de capas y sus
1
valores de profundidad y resistividad. En principio ser´ıa necesario calcular los
determinantes(D˜ yP˜)paracadamodeloconelfindeusarlosenlaecuaci´on3.37.
Si se realiza este proceso de forma general y rigurosa es posible encontrar unas
relaciones de recurrencia que permitan conocer el valor de los determinantes de
cierto modelo a partir de los determinantes de un modelo anterior.
24Figura 3.4: Relaciones de recurrencia de Flathe y de Pekeris
Antes de encarar ´este objetvo es u´til realizar las siguientes definiciones.
Sea K(λ) una funci´on conocida como el Kernel de Slichter
K(λ)=1+2Θ (λ) (3.39)
1
Se define una nueva variable en funci´on de los determinantes antes conocidos
N˜ =D˜ +2P˜ (3.40)
De esta forma
K =N˜/D˜ (3.41)
Y el potencial en la superficie se reescribe como.
ρ I ∞
1
V = K(λ)J (λr) dλ (3.42)
0
2π ·
Z
0
Existen dos relaciones de recurrencia. La primera es conocida como“la relaci´on
dePekeris”enlacual,alaestructuraoriginal,selean˜adennuevascapascomen-
zando desde la cu´spide y superponiendo una por una. En la relaci´on de Flathe
por el contrario, las nuevas capas se an˜aden desde la base y se van colocando
una debajo de la otra.
La figura 3.4 es un esquema que muestra la diferencia entre estas relaciones.
La relaci´on utilizada en el presente trabajo es la relaci´on de recurrencia de
Flathe,adicionalmenteeslaquepresentalaestructuramatem´aticam´assencilla.
Sea D˜ el determinante (denominador) para un modelo de n capas y N˜ el de-
n n
terminantequecorrespondealnumerador(verEc.3.41).Usandolasdefiniciones
dadas en la expresi´on 3.35, las relaciones de recurrencia de Flathe son:
1
D˜ (u)=D˜ (u) k u2D˜
n+1 n − n n n u
 (cid:18) (cid:19) (3.43)
N˜ n+1(u)=N˜ n(u)+k nu2 nN˜ u1
n
(cid:18) (cid:19)

Donde
1 p ρ ρ
n n+1 n
k = − = − (3.44)
n
1+p ρ +ρ
n n+1 n
253.2.6. El sistema de Dos Capas
A modo de ejemplo y con el fin de profundizar en la tema´tica de las secciones
anteriores, se mostrar´a la soluci´on de Θ (λ) para un sistema de dos capas.
1
Teniendoencuentalasconsideracionesdelmodelo(secci´on3.2)sepuededefinir
este sistema como aquel que esta constituido por una tierra estratificada ho-
mog´enea y que consta de dos interfaces. La primera es la interfaz aire-tierra en
dondeaplicanlascondicionesdefronterayaestudiadas,lacapadelterrenobajo
superficieest´acaracterizadaporlospar´ametrosh (profundidad:distanciaentre
1
la superficie y la frontera entre las capas 1-2) y ρ (resistividad de la primera
1
capa).
La segunda interfaz es la frontera entre las capas uno y dos; ´esta u´ltima est´a
caracterizada solamente por el par´ametro ρ (resistividad de la segunda capa)
2
debido a que se asume de grosor infinito (en ese caso la condici´on de frontera
cinco es fundamental).
Tomando el denominador de la regla de Cramer (ecuaci´on 3.36) para el caso
de dos capas se tiene:
u +v u
D˜ 2 = (cid:12)v 11 −u 11 p− 1u1 1(cid:12)=1+p 1 −u2 1+p 1u2 1
(cid:12) (cid:12)
Haciendo un poco de ´a(cid:12) (cid:12)lgebra se dedu(cid:12) (cid:12)ce que D˜ 2 = 1 (1 − 1+p1 p) 1u2 1. Finalmente,
−
utilizando la ecuaci´on 3.44 cuando n=1 se tiene:
D˜ =1 k u2 (3.45)
2 − 1 1
Si se realiza un procedimiento similar para P˜ se tiene:
2
u u
P˜ 2 = (cid:12)− u 11 p− 1u1 1(cid:12)=u2 1(1 −p 1)
(cid:12) (cid:12)
Al hacer N˜ =D˜ +2P˜ y lue(cid:12)go de un po(cid:12)co de ´algebra se obtiene:
2 2 2 (cid:12) (cid:12)
N˜ =1+k u2 (3.46)
2 1 1
Utilizando del Kernel de Slichter (K =N˜/D˜):
1+k u2
K = 1 1 (3.47)
1 k u2
− 1 1
Despejando Θ de la ecuaci´on 3.39:
1
1+k1u2
Θ = 1[K 1]= 1 1 1
1 2 − 2 1 −k1u2 1 −
Θ = k1hu2 1 i
⇒ 1 1 −k1u2 1
Pero u e −λh1, al reemplazarlo en la ecuaci´on anterior se tiene.
1
≡
k 1e −2λh1
Θ (λ)= (3.48)
1 1 −k 1e −2λh1
La anterior es la expresi´on para la funci´on Θ (λ) correspondiente al modelo
1
de dos capas. Es importante recordar que debido a la CF3, en la primera ca-
pa se cumple la ecuaci´on 3.32; esto es Θ = X . Luego es suficiente conocer
1 1
la expresi´on de Θ (λ) para realizar la integral del potencial en la superficie
1
(ecuacio´n 3.33).
26Figura3.5:Representaci´ondeunSEV.Elpuntodeobservaci´onseencuentraen
el punto medio entre V y V
1 2
.
3.3. Resistividad Aparente
GeneralmentealestudiarlaTierranoesposiblecontarconelvolumentotaldel
objeto de estudio sino que es necesario tomar una muestra representativa del
mismo a la cual se le puedan realizar mediciones; por esta raz´on las variables
intensivas (las cuales, a diferencia de las extensivas, no dependen de la canti-
dad de materia total que se estudia) son las que presentan un inter´es real en
la geof´ısica. Se trabaja entonces con la resistividad de la Tierra, m´as no con su
resistencia. Sin embargo cuando se realiza la medici´on en superficie se obtiene
un valor u´nico de resistividad, luego no es posible determinar de antemano el
aporte que realiza esta o aquella porci´on de tierra bajo superficie.
Para lidiar con este hecho la geof´ısica establece el concepto de resistividad
aparente.Estamagnitudesaquelvalorderesistividadqueotorgalatierracuan-
do responde“como un todo”(como un solo sistema) ante el paso de corriente.
La resistividad aparente es el valor medido en el sondeo y es igual a la resis-
tividad real solamente en el caso en que la tierra fuese un medio perfectamente
homog´eneo e isotr´opico.
Para realizar un an´alisis matem´atico de ´este concepto, sup´ongase una tierra
homog´enea a la cual se le aplica una fuente puntual de corriente. En ese caso la
ecuaci´on del potencial (ecuaci´on 3.18) es:
V = Iρ
2πr
Si se observa la figura 3.5 se ve que la expresi´on anterior puede ser usada para
determinar los potenciales individuales V y V . Por lo tanto una diferencia de
1 2
potencial entre ellos ser´ıa:
Iρ 1 1
∆V =V V = (3.49)
2 1
− 2π s b − s+b
(cid:20) − (cid:21)
La letra s representa la distancia entre el punto de observaci´on y el electrodo
de corriente, a su vez b representa la distancia entre dicho punto y el electrodo
de potencial.
Si se despeja la resistividad en la ecuaci´on 3.49 se obtiene:
∆V2πs s2 b2
ρ = 2 − (3.50)
a
I · 4bs
La figura 3.5 supone una disposici´on espec´ıfica de los electrodos de potencial y
corriente, no obstante esta configuraci´on no es u´nica y depende del prop´osito
27s2 b2
de exploraci´on. Si dicha configuraci´on cambiara el factor (llamado factor
4−bs
geom´etrico) de la ecuaci´on 3.50 podr´ıa ser diferente.
Tomando la ecuaci´on 3.42, el potencial de una tierra estratificada:
ρ I ∞
1
V = K(λ)J (λr) dλ
0
2π ·
Z
0
Y usando la diferencia de potencial V V :
2 1
−
∆V =V V =V (s b) V (s+b)
2 1
− − −
Entonces, al tomar est´a diferencia bajo la expresi´on del potencial 3.42 y reem-
plazando en la ecuaci´on 3.50 se obtiene:
s2 b2 ∞
ρ =2ρ s − K(λ)[J (λs λb) J (λs+λb)] dλ (3.51)
a 1 0 0
· 4bs − − ·
Z
0
3.3.1. Caso Schlumberger
Como se mencion´o anteriormente, el factor geom´etrico depende de la distribu-
ci´on de los electrodos respecto al punto en donde se realiza la medici´on (punto
deobservaci´on).Paraelpresentetrabajo,lasmedicionesobservadasenelborde
norte de Bogot´a se realizaron usando un tipo de arreglo entre electrodos cono-
cido como arreglo tipo Schlumberger. Este arreglo es el que se muestra en las
figuras3.1y3.5,endondeexistendoselectrodosdepotencial,cercanosalpunto
deobservaci´onycuyadistanciabpermanececonstantedurantelasmedidas.Los
electrodos de corriente se disponen a una distancia mayor s y se van abriendo
en cada sondeo con el fin de que la corriente penetre cada vez m´as profundo y
se pueda obtener informaci´on acerca de dicha regi´on de la subsuperficie.
El hecho de hacer que los electrodos de corriente se alejen cada vez m´as del
punto de observaci´on mientras que la distancia b de los electrodos de potencial
permanececonstante,permitehacerunaaproximaci´onsobreelfactorgeom´etri-
co. Se asume que la distancia b es infinitesimal, luego s >> b y por lo tanto el
factor geom´etrico:
s2 b2 s
−
4bs → 4b
Aplicando ´esta aproximaci´on sobre la ecuaci´on de la resistividad aparente 3.51
se obtiene:
2πs s 2πs2 ∆V 2πs2 ∂V
ρ ∆V = ρ = − (3.52)
aSch. aSch.
≈ I · 4b 2I · 2b ⇒ I ∂r
(cid:12)r=s
(cid:12)
En esta u´ltima expresi´on se ha hecho la sustituci´on ∆V 2(cid:12)∂V . La ex-
2b → − (cid:12)∂r r=s
presi´on del potencial para derivar corresponde a la ecuaci´on 3.38, la cual al
(cid:12)
expandirla queda: (cid:12)
ρ I ∞ ∞
1
V = J (λr) dλ+2 Θ (λ) J (λr) dλ (3.53)
0 1 0
2π  · · · 
Z Z
0 0
 
28Usando de nuevo la integral de Lipschitz
∞ 1
e λzJ (λr) dλ=
− 0
· √r2+z2
Z
0
, entonces el primer t´ermino del potencial queda como
∞ 1 1
J (λr) e λz dλ = =
0 · − · (cid:12) √r2+z2 r
Z (cid:12) (cid:12)z=0
0 (cid:12)z=0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Y por lo tanto el potencial de la ecua(cid:12)ci´on 3.53 se reescribe.
ρ I ρ I ∞
1 1
V = + Θ (λ) J (λr) dλ
1 0
2πr π · ·
Z
0
Alreemplazarestau´ltimaexpresi´onenlaecuaci´ondelaresistividadaparente3.52
y usando la propiedad de las funciones de Bessel:
∂J (λr)
0
= J (λr)
1
∂r −
Se obtiene la expresi´on de resistividad aparente asociada a un arreglo del tipo
Schlumberger.
∞
ρ (s)=ρ +2ρ s2 Θ (λ)J (λs)λdλ (3.54)
aSch. 1 1 1 1
Z
0
29Cap´ıtulo 4
Problema Directo e Inverso
Unodelosprincipalesaxiomasdelageof´ısicaessuponerquelosfen´omenosque
se observan en la superficie son consecuencia de procesos internos que se llevan
a cabo en la subsuperficie. En consecuecia, uno de los objetivos de la geof´ısica
deexploraci´onesrealizarmedicionesquepermitandescribirestosprocesosbajo
laluzdelasleyescient´ıficasconocidas.Engeneraltodosestosfeno´menossurgen
a profundidades lejanas en donde no es posible llegar a tomar muestras y por
tanto las conclusiones se establecen a partir de medidas indirectas.
Los m´etodos electromagn´eticos son m´etodos no invasivos estrictamente hablan-
do, porque no realizan ninguna perforaci´on para describir la composic´on o es-
tructura del terreno subyacente. Sin embargo existen dos maneras distintas de
aproximarse al problema.
Lo primero que hay que tener en cuenta es que existe una ley o teor´ıa f´ısica
previamente establecida que describe el comportamiento del sistema. Para el
casoactualdichadescripci´oncorrespondealasleyesdelelectromagnetismosin-
tetizadasenlasecuacionesdeMaxwell.Lageof´ısicanopretendeincorporaruna
nuevaley,encambiosevaledeellaparaaplicarlaalestudiodelaTierraysacar
conclusiones.
Una manera de abordar el problema ser´ıa, conocida previamente la descripci´on
f´ısica(geoel´ectricam´asprecisamente),hallarelcampoelectromagn´eticogenera-
doporelsistema(Problemadirecto).Enesecasolafuentequegeneraelcampo
es conocida.
Laotramaneradeabordarelproblemaesdeterminarlafuentequeest´ageneran-
do el campo a partir de las mediciones del mismo, en ´este caso se trata de un
problema inverso.
Elproblemainversoesm´asdif´ıcilderesolverporquebuscaencontrarlospar´amet-
rosdeladescripci´onmientrasqueelproblemadirectopresuponeestosconocidos
y usa las variables ya establecidas por las relaciones de la f´ısica.
Paraentendermejoresteconceptosup´ongaseunmodelof´ısicoendondelatem-
peratura de la tierra (T) depende de la profundidad (z):
T(z)=αz+β (4.1)
Donde α y β son par´ametros.
30Figura 4.1: Magnitudes (arriba de la superficie) y par´ametros (debajo) para un
modelo de tres capas.
En el problema directo las constantes α y β son conocidas, por lo tanto la
ecuaci´on 4.1 es una ecuaci´on de la f´ısica que permite obtener la temperatura
para cualquier valor de profundidad z.
En el problema inverso por el contrario el objetivo es precisamente encontrar el
valor de los par´ametros α y β. Para hacerlo es necesario realizar varias medi-
cionesdelatemperaturaendistintasprofundidades,considerandoqueelmodelo
de la ecuaci´on 4.1 es v´alido.
Estas diferencias fundamentales definen la forma de abarcar un problema en
geof´ısica y sobretodo el procesamiento que se les da a los datos obtenidos en
campo. Puede suceder por ejemplo, que al solucionar un problema inverso se
propongan diferentes modelos (modelos de capas para el caso actual, ver con-
sideraciones del modelo secci´on 3.2) que den cuenta del mismo comportamiento
del campo electromagn´etico; en ese caso el estudio de la geolog´ıa o el uso de
otros m´etodos geof´ısicos es fundamental.
4.1. Soluci´on del Problema Directo
En primer lugar se estudiar´a la soluci´on del problema directo, que como se vi´o,
eslam´assencilla.Paraestecasoladescripci´onf´ısicadelsistemaest´acontenida
en las ecuaciones 3.38 y 3.54, ambas son relaciones encontradas a partir de
la aplicaci´on de las ecuaciones de Maxwell al estudio de la tierra bajo ciertas
consideraciones.
Los par´ametros en este caso son el nu´mero total de capas (n), la resistividad
de las mismas (ρ ) y la profundidad de cada una de ellas (h ). Las magnitudes
i i
observablessonlaresistividadaparenteyelvoltajecuyasexpresionessonconoci-
das(ecuaciones3.38y3.54).Lafigura4.1muestradeformasencillaladiferencia
entre magnitudes y par´ametros.
Para solucionar el problema directo se requiere conocer todos los para´met-
ros. Inicialmente se resolver´a el problema para un modelo de dos capas, cuyos
par´ametros se muestran en el cuadro 4.1.
Enlasecci´on3.2.6seencontr´ounaexpresi´onparalafunci´onΘ (λ)(ecuaci´on3.48)
1
31Resistividades (Ωm) Profundidades (m)
·
ρ 130 h 17.2
1 1
ρ 1006
2
Cuadro 4.1: Par´ametros del modelo de dos capas.
tal y como sigue:
k1e−2λh1
Θ (λ)=
1 1 −k1e−2λh1
Donde k n = 1 1−+pp nn = ρ ρn n+ +1 1− +ρρ nn
Los par´ametros definen la expresi´on de la funci´on Θ (λ), la cual a su vez de-
1
termina la integral del potencial y de la resistividad aparente (ecuaciones 3.38
y 3.54 respectivamente). E´sta u´ltima por ejemplo, se determina al resolver la
operaci´on siguiente:
ρ =ρ +2ρ s2 ∞Θ (λ)J (λs)λdλ
aSch. 1 1 1 1
0
R
Sin embargo,´esta es una integral al infinito que contiene una funcio´n de Bessel
deprimerordenynotienesoluci´onexacta.Unamaneraposiblederesolverlaes
expandir la funci´on de Bessel como sigue:
∞ ( 1)j λs 2j+1 λs 1 λs 3 1 λs 5
J (λs)= − = + ... (4.2)
1
j!Γ(j+2) 2 2 − 2 2 12 2 −
j=0 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
X
Donde Γ corresponde a la funci´on gamma usual.
Tomando la ecuaci´on 4.2, la integral sobre la resistividad queda entonces como:
∞ k 1e −2λh1 λs 1 λs 3 1 λs 5
ρ =ρ +2ρ s2 + ... λdλ
aSch. 1 1 Z 1 −k 1e −2λh1 " 2 − 2 (cid:18) 2 (cid:19) 12 (cid:18) 2 (cid:19) − #
0
(4.3)
Se puede tratar de resolver la integral indefinida para el primer t´ermino de la
expansi´on:
e −2λh1 λs 1 e2λh1
λdλ= s 2h2λ2 3ln 1 2λh
1 −k 1e −2λh1 2 24h3 1k 1 − k (cid:19)− 1
Z (cid:20) (cid:21) 1 (cid:20) (cid:18) (cid:18) 1 (cid:19)
e2λh1 e2λh1
+6λh L 3L
1 i2 i3
k − k
(cid:18) 1 (cid:19) (cid:18) 1 (cid:19)(cid:21)
Sin embargo aparecen unas funciones especiales llamadas funciones polilogar-
itmo L y L (tambi´en conocidas como funciones de Jonqui`ere). E´stas son
i2 i3
funciones complejas definidas sobre un disco unitario en el plano complejo que
tampoco tienen una soluci´on exacta. Aun m´as, las funciones est´an definidas
kzk
como L iν = ∞k=1 ν para |z < 1, pero esta condici´on no se cumple para el
|
P
32AB/2 (m) ρ (Ω m)
a
·
5 130.7
6 131.1
7.3 132.0
9 133.7
11 136.5
13 140.2
16 147.5
19 156.7
23 171.3
28 192.2
35 223.6
42 255.2
50 290.1
60 330.9
Cuadro4.2:Datos(AB/2)utilizadosyresultados(ρ )obtenidosparaelmodelo
a
de dos capas desarrollado en Matlab.
e2λh1
caso actual donde z y λ toma todos los posibles valores en el intervalo
≡ k1
[0, ).Noobstanteesposibleextenderladefinici´onparatodoelplanocomplejo
∞
realizando un proceso de continuaci´on anal´ıtica.
Una descripci´on m´as detallada acerca de estas funciones se mostrar´a en el
ap´endice [ B ].
Laanteriordiscusi´onmuestralaconvenienciadeencontrarunasoluci´onnum´eri-
ca de la integral 3.54 y as´ı resolver el problema directo para la resistividad
aparente. En busca de este objetivo se implement´o un c´odigo en el lenguaje de
Matlab,endondeseresuelvelaintegralimpropiausandoelm´etododecuadratu-
ra adaptativa de Gauss-Kronrod.
Este m´etodo es u´til para resolver integrales al infinito y cuyos integrandos son
funciones que oscilan. Tal es el caso de la integral 3.54 en donde la funci´on
de Bessel J oscila (ver figura 3.2) y la funci´on Θ (λ) posee exponenciales que
1 1
permiten que la integral converga en el infinito.
El m´etodo se estudiar´a´ıntegramente en la secci´on [ C ] del ap´endice.
La integral de la resistividad aparente produce una funci´on que depende de la
distanciadeloselectrodosdecorriente(ρ =ρ (s));dichadistanciasenotacon
a a
la letra“s”o tambi´en se conoce comu´nmente como la distancia AB/2, donde A
y B son los electrodos de corriente. Por lo tanto, existe un valor de resistividad
por cada distancia AB/2.
Para solucionar el problema directo se utilizaron valores que fuesen coherentes
con una medici´on real de un trabajo de campo. Dichos valores abarcan tanto
los par´ametros del modelo te´orico (cuadro 4.1) como las distancias AB/2 de
los electrodos, que son propias de la toma de mediciones reales en campo. La
tabla 4.2 muestra los valores AB/2 escogidos y los resultados de la resistividad
obtenidos mediante la implementaci´on del programa; a su vez la figura 4.2 de-
spliega la gr´afica de la resistividad aparente en funci´on de la distancia AB/2 en
33Figura 4.2: Resistividad Aparente para un modelo de dos capas.
escala logar´ıtmica.
EnellasepuedeapreciarcomoamedidaqueladistanciaAB/2aumenta,elvalor
delaresistividadsehacemayor.Ahorabien,comolaaperturadeloselectrodos
(AB/2)est´arelacionadaconlaprofundidadalaquellegalacorriente,esposible
afirmar que las zonas m´as conductivas se encuentran cercanas en la superficie.
Para explicar ´esto es necesario recurrir al estudio de la Tierra.
Engeolog´ıasetrabajaconelconceptodenivelfre´atico,elcualindicaladistancia
respecto a la superficie en donde se encuentra la primera capa de agua para un
terreno dado. As´ı por ejemplo en zonas muy f´ertiles de la sab´ana de Bogot´a, el
agua est´a saturada a tal modo que el nivel fre´atico puede estar muy cercano e
incluso al mismo nivel de la superficie.
La primera capa de la Tierra es a su vez la capa m´as heterog´enea porque recibe
influencia de todos los fen´omenos en superficie. Los sedimentos generados por
procesosdemeteorizaci´onyprocesosfluvialesprovenientesdediferenteslugares,
se acumulan sobre la superficie formando una capa sobre otra; as´ı mismo todos
loscambiosgeneradosporlaactividadhumanainfluyendirectamentesobre´esta
primera capa.
Al utilizar m´etodos geoel´ectricos las corrientes generadas al interior de la Tier-
ra son en su gran mayor´ıa de tipo i´onico. E´sto quiere decir que son los fluidos
(y no la roca s´olida, que de trasmitir corriente lo har´ıa con corrientes de tipo
electr´onico, lo cual implica utilizar una potencia mucho mayor en la medici´on)
que permean las rocas los que caracterizan el´ectricamente una regi´on de la sub-
superficie. Por lo tanto, una regi´on saturada de aguas ricas en minerales es una
regi´on conductora. Tal podr´ıa ser el caso de la primera capa de la tierra como
se ve en la figura 4.2.
Elhechodequeamayorprofundidadelterrenosevuelvam´asresistivoseexpli-
ca por la menor heterogeneidad de la zona y su alta compactaci´on, que impide
34Resistividades (Ωm) Profundidades (m)
·
ρ 642 h 2.2
1 1
ρ 17.3 h 4.28
2 2
ρ 1020
3
Cuadro 4.3: Par´ametros del modelo de tres capas.
un transito libre de los fluidos quienes son en u´ltimas los que determinan en la
medici´on si la regi´on es o no resistiva.
Este hecho ser´a analizado a partir de mediciones reales de resistividad en el
cap´ıtulo 5.
4.1.1. Modelo de Tres Capas
A continuaci´on se soluciona el problema directo para un modelo de tres capas,
cuyos par´ametros se muestran en el cuadro 4.3.
Para tres capas, el determinante que sirve de denominador D˜ en la regla de
3
Cramer es:
u +v u v
1 1 1 1
D˜ = v u p− u − p v
3 (cid:12) 1 − 1 1 1 − 1 1(cid:12)
(cid:12) 0 u v (cid:12)
(cid:12) 2 2 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Realizando un proceso an´alogo(cid:12) al de la secci´on 3.2.6 s(cid:12)e encuentra la expresi´on
(cid:12) (cid:12)
Θ (λ) para un modelo de tres capas.
1
k 1e −2λh1 +k 2e −2λh2
Θ (λ)= (4.4)
1 1+k 1k 2e −2λ(h2−h1) −k 1e −2λh1 −k 2e −2λh2
Laintegral(ecuaci´on3.54)fueresueltanum´ericamenteusandoelprogramaMat-
lab con el mismo m´etodo de integraci´on que en el caso anterior. Los valores de
resistividadqueseobtuvieronfuerongraficadosenescalalogar´ıtmicatalycomo
se muestra en la figura 4.3.
4.1.2. Comparacio´n de Resultados
En el an´alisis de mediciones geof´ısicas se han desarrollado varios tipos de soft-
ware que permiten realizar los procesos de inversi´on pertinentes y obtener re-
sultatos fiables bajo el criterio del geof´ısico que los trabaja.
En particular para el ´area de geoel´ectrica y sondeos el´ectricos verticales, existe
el programa IPI2win, que fue desarrollado en el departamento de geof´ısica de
laUniversidadEstataldeMoscu´ yesdeusolibre:http://geophys.geol.msu.
ru/ipi2win.htm.
Al programa se le ingresan valores de resistividad aparente tomados en campo
(similar a los del cuadro 4.2) y´este elabora una curva te´orica de resistividad en
funci´on de la distancia AB/2 obteniendo los par´ametros de inversi´on (nu´mero
de capas n, valores de resistividad por capa ρ y alturas de las mismas h ). El
i i
programa realiza el proceso de inversi´on generando los par´ametros a partir de
35Figura 4.3: Resistividad Aparente para un modelo de tres capas.
las medidas y ajust´andose al modelo que genere el menor error al comparar los
resultadoste´oricosconlasmedicionesreales.Losmodelos,asuvez,sesustentan
en toda la teor´ıa de prospecci´on geoel´ectrica vista en el cap´ıtulo 3.
Apesardequeelprogramaesutilizadoparalosprocesosdeinversi´on,esposible
cambiar directamente los par´ametros y con ello saber cual debe ser el resultado
delaresistividadaparentesegu´nelmodelote´orico(esdecir,resolverelproblema
directo).E´stefueelprocedimientoseguidoeneltrabajo,conelfindecomparar
los resultados obtenidos en el programa de Matlab respecto a ´este programa
IPI2win, de gran trayectoria en el an´alisis de sondeos geoel´ectricos.
El primer problema a resolver fue el nu´mero de datos de cada programa. Mien-
tras en Matlab se obtiene un dato de resistividad aparente por cada distancia
de los electrodos (ver cuadro 4.2), al exportar los datos de la curva te´orica en
IPI2winsoloseobtienenuntotaldenuevedatos,quesonpocosencomparaci´on
con los catorce de Matlab. El programa IPI2win es un software libre, pero no
permite modificar el nu´mero de datos que exporta.
Fue necesario entonces, graficar cada conjunto de datos y realizar un ajuste so-
bre la curva. La ecuaciones obtenidas para el caso de dos capas en IPI2win y
Matlab fueron respectivamente:
y =10 5x4 0,0031x3+0,2196x2 2,0643x+136,02 (4.5)
−
− −
y =10 5x4 0,003x3+0,2175x2 2,0545x+136,31 (4.6)
−
− −
A pesar del error que se pueda incurrir en trabajar con el ajuste y no con los
datos directos, las ecuaciones anteriores muestran una gran similitud. A contin-
uaci´on se procedi´o a graficar ´estas curvas con los datos (AB/2) deseados y se
hizo una diferencia porcentual entre los resultados, tomando como valor te´orico
36AB/2 (m) IPI2win ρ (Ω m) Matlab ρ (Ω m) Dif. Porcentual (%)
a a
· ·
5 130.8 131.1 0.2
6 130.8 131.1 0.2
7.3 131.5 131.8 0.2
9 133.0 133.3 0.2
11 135.9 136.2 0.2
13 139.8 140.0 0.2
16 147.2 147.5 0.2
19 156.1 156.5 0.3
23 169.8 170.4 0.4
28 188.5 189.6 0.6
35 214.9 217.2 1.1
42 238.1 242.5 1.8
50 256.8 264.8 3.1
60 262.7 277.6 5.7
Cuadro 4.4: Comparaci´on del ajuste de los datos de resistividad aparente del
programaIPI2winrespectoalprogramahechoenMatlabparaelmodelodedos
capas.
losdatosdelajustehechoalacurvadelIPI2winylosdatosexperimentalescomo
los valores obtenidos en Matlab. Los resultados se muestran en el cuadro 4.4
Al sacar el promedio de la diferencia porcentual sobre el total de los datos
se encuentra que ´esta es del 1.03%. E´sto es un indicio de que, si se asume
que el modelo te´orico que otorga el programa IPI2win es correcto, entonces los
resultados obtenidos con el programa en Matlab constituyen una muy buena
soluci´on del problema directo. Pues dados unos determinados par´ametros para
elmodelo,elvalorobtenidoderesistividadaparente(unavezresueltalaintegral
por el m´etodo num´erico) concuerda con la teor´ıa y es af´ın al resultado de un
programa de gran trayectoria en geoel´ectrica como lo es el IPI2win.
Para el caso del modelo de tres capas, los resultados de la resistividad aparente
hallados en Matlab son de igual manera muy similares a los del programa
IPI2win. Sin embargo, la tarea de encontrar una ecuaci´on que se ajuste a la
curva no otorga tan buenos resultados.
Unamaneradecompararlosesobservarlatendenciadelacurva.Enlafigura4.4
se graficaron en la misma gr´afica los resultados para cada programa, en donde
se observa un gran ajuste.
La anterior es entonces la soluci´on del problema directo para la resistividad
aparente. La soluci´on del problema inverso, usando las mediciones tomadas en
el borde norte de Bogot´a, se mostrar´an en el cap´ıtulo siguiente en donde se
propondr´a un modelo de capas que de cuenta de las mediciones tomadas en
campo.
37Figura4.4:Comparaci´ondelosresultadosdelprogramaenMatlabyenIPI2win
38Cap´ıtulo 5
Modelo de capas para el
an´alisis de mediciones
geoel´ectricas realizadas en
el borde norte de Bogot´a
En el presente cap´ıtulo se mostrar´a una aplicaci´on del m´etodo de prospecci´on
geoel´ectrica en una zona de inter´es ubicada al norte de Bogot´a. El objetivo es
caracterizar el´ectricamente la zona, establecer un mapa de pseudoresistividad
e implementar un modelo de capas acorde con las mediciones de resistividad
aparente tomadas en campo.
5.1. La zona de estudio
LasmedidasserealizaronduranteelmesdeJuliodelan˜o2011enunahacienda
de rosas llamada“Las Pilas”ubicada entre las calles 224 y 235 entre la carrera
s´eptima y la autopista norte de la capital; la ubicaci´on precisa corresponde a
4 48’ 10”de latitud Norte, 74 01’ 55”W de longitud. La figura 5.1 muestra
◦ ◦
la ubicaci´on de la hacienda.
El trabajo est´a enmarcado en un proyecto que realiza la CAR (Corporaci´on
Aut´onoma Regional de Cundinamarca) el Instituto de Estudios Urbanos de la
Universidad Nacional, entre otras organizaciones, con el fin de establecer una
regulaci´on ambiental frente al uso de aguas y suelos en la zona. Para tal fin, es
importante tambi´en conocer el nivel de la capa fre´atica (es la primera capa de
agua que se encuentra al realizar una perforaci´on).
Serealizaronvariossondeosel´ectricossucesivos(calicatas)conelfindeencontrar
contrastes tanto verticales como horizontales de resistividad y as´ı establecer la
distribuci´on de esta magnitud en la zona. Las trayectorias recorridas durante
las mediciones se observan en la figura 5.2. Las l´ıneas azules representan las
tres calicatas verticales tomadas en el sentido oriente occidente; las l´ıneas rojas
correspondenalascalicatashorizontales(sentidonortesur,paralelasalacarrera
s´eptima).
39Figura 5.1: Ubicaci´on de la hacienda.
Figura 5.2: A´rea de estudio.
405.1.1. El equipo
El equipo utilizado en los sondeos fue el Terrameter SAS 4000, un equipo con-
struido por la compan˜´ıa ABEM, perteneciente al departamento de Geociencias
de la Universidad Nacional.
Figura 5.3: Equipo de prospecci´on el´ectrica utilizado.
Elequipopidealusuarioinformaci´onacercadelageometr´ıadelarreglo(eneste
caso el arreglo fue tipo Schlumberger) y le da un nombre a cada sondeo con el
findediferenciarcadapuntodeobservaci´onenlacalicata.Alrealizarlamedida
el equipo otorga los valores de corriente, voltaje y resistividad aparente en cada
medici´on y los guarda en una memoria interna que ´este posee.
En ´esta p´agina se encuentra el manual: www.abem.se/files/upload/Manual_
Terrameter.pdf
5.2. Procesamiento y toma de Datos
Los datos obtenidos fueron el resultado de realizar diferentes sondeos el´ectricos
verticales (SEV) utilizando el arreglo tipo Schlumberger. El m´etodo consiste en
inyectar corriente en el suelo y esperar una respuesta de la Tierra, la cual, al
comportarse como una sola entidad, permite obtener un u´nico valor de resis-
tividad aparente por cada distancia AB/2 de separaci´on entre los electrodos de
corriente y el punto de observaci´on (ver secci´on 3.1: Consideraciones del M´eto-
do).
Unarepresentaci´onunpocom´asrealistadeunSEVsemuestraenlafigura5.4.
Cada sondeo otorga informaci´on de la resistividad aparente para distintas pro-
fundidades respecto de un u´nico punto en superficie (punto de observaci´on).
Cada vez que los electrodos se alejan del punto de observaci´on la corriente pen-
etra m´as profundo en la tierra; los valores obtenidos de resistividad aparente
se trabajan bajo el marco de un problema inverso, de donde se obtienen los
p´arametros de inversi´on: el nu´mero de capas n, la resistividad ρ y la altura
i
h de cada una de ellas. Con esta informaci´on se construye el modelo de capas
i
horizontales.
Una calicata (o perfil geoel´ectrico) est´a constituida por varios sondeos en una
misma direcci´on. Para el caso actual de tienen dos direcciones, una horizontal
(en el sentido Norte-Sur, paralela a la carrera s´eptima) y una vertical (en el
sentido oriente-occidente).
Cada calicata est´a constituida por siete sondeos.
41Figura 5.4: Representaci´on de un SEV.
Figura 5.5: SEV para el u´ltimo punto de la Calicata C. Vert. 3
Figura 5.6: Par´ametros de inversi´on para el u´ltimo sondeo de la Calicata C.
Vert. 3
42Figura 5.7: Modelo de capas horizontales para el u´ltimo sondeo de la Calicata
C. Vert. 3
El procesamiento de los datos se lleva a cabo con ayuda del software de in-
terpretaci´on IPI2win, el cual realiza el proceso de inversi´on. La figura 5.5 por
ejemplo, muestra el u´ltimo sondeo correspondiente del perfil vertical nu´mero
tres (C. Vert. 3).
Lacurvarojarepresentalaresistividadaparentequeprovienedelmodelote´orico
ya visto. La l´ınea azul indica las capas del modelo propuesto luego del proceso
de inversi´on cuyos par´ametros se muestran en la figura 5.6. Por u´ltimo la curva
de color negro corresponde a la curva de campo, es decir, a las mediciones; sin
embargo para este caso el ajuste entre el modelo te´orico y la medici´on es bas-
tantebueno,atalpuntoquelasl´ıneassesolapancasiensutotalidadgenerando
un error de tan solo el 0.92%.
El modelo de capas se muestra en la figura 5.7. Se observa una primera capa
resistiva del orden de los 290 (Ω m). La segunda capa (de color azul), que
·
se encuentra a unos 2.2 m. de la superficie, es una zona conductora que puede
asociarseconelnivelfre´atico,yalencontrarsedebajodeunacaparesistivahace
pensarqueenesazonalossuelossonporososypermitenlacirculaci´ondeaguas
en el sentido vertical.
Al elaborar una secci´on geoel´ectrica m´as grande con los dem´as sondeos (ver
figura 5.9), se puede apreciar que es ´este u´ltimo el que presenta los menores
´ındices de resistividad para la u´ltima capa. Si se tiene encuenta la regi´on del
sondeo (en la figura 5.2, ´esta corresponde al extremo occidental del perfil C.
Vert. 3) se observa que existe una pendiente que desciende desde los cerros
orientales hasta las regiones m´as bajas; las aguas recorren este trayecto y se
acumulan en el valle, adem´as se ha destinado en esta regi´on un reservorio de
agua que constituye un pozo para la hacienda y es perceptible a simple vista.
Esta es la raz´on por la cual el u´ltimo sondeo (tomado sobre una regi´on plana)
presenta zonas m´as conductoras en la u´ltima capa que los dem´as sondeos de la
misma calicata.
5.3. Resultados del Levantamiento
En t´erminos generales, el levantamiento llevado a cabo sobre la hacienda per-
miti´o interpretaciones coherentes con las condiciones geomorfol´ogicas e h´ıdricas
43Figura5.8:Secci´ondepseudoresistividad(arriba)ymodelodecapashorizontales
(abajo) para la Calicata vertical 1. C. Vert. 1
de la zona de estudio.
Lafigura5.8muestralasecci´ondepseudoresistividadyelmodelodecapascorre-
spondientealaprimeracalicataverticalC.Vert.1.E´stacalicataest´acompuesta
porsietesondeos(1A,1B,...,1G)yfuerealizadaenelsentidooriente-occidente,
por lo tanto el primer sondeo (1A) que corresponde a la regi´on oriental de la
hacienda se encuentra en la parte izquierda de la figura 5.8.
La secci´on de pseudoresistividad paralos primeros tres sondeos muestra valores
altos de resistividad en las regiones m´as someras. Estos valores pueden estar
asociados a fenom´enos de compactaci´on y actividad humana dada la cercan´ıa
de los sondeos a la carrera s´eptima. A partir del sondeo 1C por ejemplo, la
tendencia resistiva es menos marcada y las regiones m´as profundas muestras
tendencias conductoras debidas a la acumulaci´on de aguas que contribuyen a la
capa fre´atica en estas regiones m´as planas.
Enloquerespectaalmodelodecapas,lasregionesazulescercanasalasuperficie
se asocian con el nivel fre´atico que presenta ligeras variaciones de un sondeo a
otro. En promedio para´esta calicata, el nivel fre´atico se encuentra a 3 m. de la
superficie con un espesor de 13.5 m. aproximadamente.
El sondeo 1F muestra una clara regi´on conductora para la u´ltima capa (de
color negro), la cual est´a asociada con el reservorio de agua ubicada en la zona
occidental hacienda.
La figura 5.9 muestra la misma informaci´on, para el caso de la tercera calicata
vertical(C. Vert. 3).Enlosprimerossondeosseobservaunpatr´onsimilarenla
secci´on de pseudoresistividad, con valores altos de resistividad para las regiones
ma´s someras.
Un punto interesante se encuentra en el u´ltimo sondeo (3G), donde la u´ltima
capa del modelo presenta una tendencia mucho m´as conductora. Este contraste
horizontal de resistividad respecto a los otros sondeos, se explica nuevamente
porlapresenciadeungranreservoriodeagua.Estereservorioconformaunpozo
alargado en la hacienda como se observa en la parte occidental de la calicata en
la figura 5.2.
Para el an´alisis de los par´ametros de inversi´on es necesario considerar primero
la profundidad y resoluci´on m´axima del m´etodo, ambas vienen dadas por la
distancia de separaci´on AB/2. Se calcula que para una distancia (s) dada, la
44Figura 5.9: Secci´on de pseudoresistividad y modelo de capas horizontales para
la Calicata vertical 3. C. Vert. 3
profundidad a la que puede llegar un SEV es del orden de z = s/3. Por
max
lo tanto si la distancia m´axima de separaci´on de los electrodos fue de s = 125
m. para el caso los sondeos 1D,2D,3D de las calicatas verticales, entonces su
alcancem´aximoenprofundidadfue de z =41.6m.As´ımismo, si ladistancia
max
m´ınimadeseparaci´onfuedes=1m.entonceslaresoluci´onm´aximaqueotorga
el m´etodo es de z =0.33 m. Esto implica que no pueden realizarse modelos
max
de capas con un espesor inferior a 0.33 m. ya que el m´etodo no puede disernir
distancias menores que ´esta.
Los anteriores son datos globales que son v´alidos para todas las calicatas, sin
embargo la profundidad y resoluci´on depende tambi´en de las condiciones de
terreno,quepermitendiferenciasdeloscontactosgalv´anicosylaconductividad
de los materiales m´as superficiales. La m´axima profundidad de penetraci´on se
fija entonces a un valor de 50 m.
Tomando los par´ametros de inversi´on asociados a la primera capa de agua bajo
la superficie para cada uno de los sondeos y considerando la geometr´ıa de las
calicatas (sentido norte-sur y oriente-occidente), es posible hacer un estimado
del nivel fre´atico promedio para la regi´on oriental y occidental de la hacienda.
En la primera, dada la pendiente m´as pronunciada y su cercan´ıa a la carrera
s´eptima,lamayorpartedesuterrenoenprofundidadesresistivo.Elnivelfre´ati-
coseencuentraenpromedioaunadistanciade3.5m.delasuperficie,losdatos
acerca del espesor de´esta capa son variables pero se puede hacer un estimativo
de alrededor de 3 m.
Elaguaderecargasobreelterreno,inlcuyendoalacarreras´eptima,debefiltrarse
bajo la superficie. Sin embargo como en´esta regi´on el terreno est´a compactado,
la circulaci´on vertical es muy poca y el agua se acumula en las capas superfi-
ciales.Ahorabien,lainclinaci´onoriente-occidentequeprovienedesdeloscerros
orientales provoca un flujo de agua en esa direcci´on, de lo contrario el agua se
acumular´ıa en mayor proporci´on, pero la inclinaci´on permite el flujo y explica
porque el grosor de la capa fre´atica es menor en ´esta regi´on oriental.
Por otra parte, en la regi´on occidental de la hacienda la capa fre´atica presenta
en promedio un espesor de 14 m.
Estaregi´onrecibeaguatantodelasregionessomerascomoprofundasdeloriente.
En cuanto a las aguas someras, ´estas se acumulan y pr´acticamente saturan la
superficie; por lo tanto el nivel fre´atico se encuentra probablemente m´as cerca
a la superficie y su grosor es mucho mayor que en la regi´on oriental.
45A continuaci´on, a modo de s´ıntesis, se listan los resultados obtenidos:
La zona presenta patrones de comportamiento asociados a la presencia de
reservorios de agua y variaciones del nivel fre´atico.
Los contrastes verticales de resistividad para la regi´on occidental, indican
condiciones de suelo poroso con una buena circulaci´on de agua en sentido
vertical.
Los constrastes horizontales muestran posibles interrupciones en la circu-
laci´on de fluidos en algunas zonas y se correlacionan con el reservorio de
agua en la parte occidental de la hacienda.
El valor del grosor de la capa fre´atica es aproximadamente de 3 m. para
la regi´on oriental y de 14 m. para la occidental.
La profundidad m´axima de penetraci´on determinada por la extensi´on del
tendido es de 50 m. aproximadamente. A su vez la mayor resoluci´on ver-
tical determinada por la distancia m´ınima de separaci´on de los electrodos
de corriente es de 0.33 m.
46Cap´ıtulo 6
Conclusiones
Se realiza un an´alisis desde primeros principios de los m´etodos electro-
magn´eticos en geof´ısica, en particular de los m´etodos resistivos: sondeos
el´ectricos verticales.
Se realiza el desarrollo matem´atico utilizado para la implementaci´on del
modelo te´orico y la interpretaci´on de los sondeos, encontrando las rela-
ciones de recurrencia que se utilizan para proponer un modelo de capas
paralelas horizontales.
Se plantea y resuelve el problema directo en geoel´ectrica, implementando
unc´odigoenMatlabquesolucionalaintegralderesistividadaparentepor
medio del m´etodo de cuadratura de Gauss-Kronrod.
Se compara la soluci´on obtenida del problema directo con la soluci´on de
un programa especializado en geoel´ectrica: IPI2win.
Con datos en campo tomados en el borde norte de Bogot´a se realiza el
procesodeinversi´onutilizandoelsoftwareIPI2win.Seproponeunmodelo
decapashorizontalescondistintosvaloresdegrosoryresistividadqueson
coherentes con las mediciones en campo.
Con base en los par´ametros de inversi´on se realiza la interpretacio´n de
lasmediciones,encontrandouna´areacompactadaeinclinadaenlaregi´on
oriental de la hacienda con un espesor estimado para la capa fre´atica de 3
m. bajo la superficie. La regi´on occidental es una zona m´as plana a donde
fluye el agua en el sentido oriente-occidente, cuyo valor estimado para el
grosor de la capa fre´atica es de 14 m.
47Ap´endice A
Teoremas sobre funciones
A.1. Funciones Arm´onicas
Lasfuncionesarm´onicashansidoampliamenteestudiadasenf´ısicaymatem´ati-
ca debido a su aplicabilidad a un sinu´mero de fen´omenos. En particular, el
ana´lisis de Fourier y el desarrollo de la teor´ıa ondulatoria han acrecentado su
importancia al expandir su uso en diversas ´areas de la ciencia y la ingenier´ıa.
En aras de introducir el concepto, al estudio de la geof´ısica, se establece una
definici´on muy concreta.
Una funci´on f(~r) es arm´onica si cumple lo siguiente:
EsdetipoC2(dosvecesdiferenciableyconsegundasderivadascontinuas).
Satisface la ecuaci´on de Laplace
2f(~r)=0
∇
A.2. Funciones bien comportadas en el infinito
Se dice que una funci´on f(~r) es bien comportada en el infinito si existe una
esfera de radio R tal que, para cualquier ~r =r >R se cumple:
0 0
| |
f(~r) c1 y f(~r) c2
| |≤ r |∇ |≤ r2
Donde c y c son constantes.
1 2
48A.3. Teorema de Liouville
Siunafunci´onf(~r)esarm´onicaentodoelespacioyadem´as,esunafunci´onbien
comportada en el infinito (segu´n la definici´on dada en la secci´on A.2); entonces
esa funci´on es id´enticamente igual a cero.
f(~r) 0
≡
La importancia del Teorema de Liouville para los campos radica en que ´estos,
deserarm´onicos,debenserconsideradosenunaregi´oncerradadelespacioode
lo contrario no ser´an acotados (atenuados) en el infinito.
Esta es una concecuencia directa del teorema, porque indica que aparte de la
funci´onnulanoexisteotrafunci´onarm´onicaqueentodoelespacioqueseabien
comportada en el infinito.
49Ap´endice B
Las funciones de Jonqui`ere
Las funciones de Jonqui`ere ofunciones polilogar´ıtmicas,sonfunciones definidas
en el plano complejo para un disco unitario. Su definici´on es la siguiente:
zk
∞
L = (B.1)
iν kν
k=1
X
Donde L es la funci´on polologar´ıtmica de orden ν evaluada en z, un complejo
iν
quecumple z <1.LafiguraB.1muestraelcomportamientodelafunci´onpara
| |
diversos ´ordenes.
En el presente trabajo esta funci´on aparece al tratar de encontrar una soluci´on
anal´ıtica a la integraci´on en las ecuaciones del potencial y resistividad aparente
(ecuaciones 3.38 y 3.54 respectivamente).
En la secci´on 4.1 se procur´o encontrar soluci´on a esta u´ltima; a continuaci´on se
enprender´a el mismo trabajo para el caso del potencial.
Expandiendo la funci´on de Bessel de orden cero.
∞ ( 1)j λs 2j (λs)2 (λs)4 (λs)6
J (λs)= − =1 + +... (B.2)
0 j!Γ(j+1) 2 − 22 2242 − 224262
j=0 (cid:18) (cid:19)
X
Yreemplaz´andolaenlaecuaci´onparaelpotencial3.38hastaelsegundot´ermino
de la expansi´on se tiene:
Figura B.1: Funciones de Jonqui`ere de distintos ´ordenes.
50ρ 1I ∞ ∞ k 1e −2λh1
V = J (λs) dλ+2 J (λs) dλ (B.3)
2π  0 · 1 −k 1e −2λh1 · 0 · 
Z Z
0 0
 
ρ 1I ρ 1I2k ∞ e −2λh1 λ2s2
1
V + 1 dλ (B.4)
≈ 2πs 2π 1 −k 1e −2λh1 · − 4 (cid:21)·
Z (cid:20)
0
El primer t´ermino de la integral en la ecuaci´on B.4 puede resolverse anal´ıtica-
mente como:
∞ e −2λh1 1 −ln(1 −k)
dλ= ln e2λh1 k 2λh ∞ = (B.5)
1 −k 1e −2λh1 · 2h 1k − 1 − 1 0 2k 1h
Z 1 1
0 (cid:2) (cid:0) (cid:1) (cid:3)(cid:12)
(cid:12)
Sin embargo el segundo t´ermino tiene una soluci´on en t´erminos de los poliloga-
ritmos:
e−2λh1 λ2s2 dλ= 1 s2 2h2λ2 3ln 1 e2λh1 2λh
R+61 − λk h1 1e L− i2 2λh1 e2· λh14 4 38 Lh3 1 i3k1 e2λhh1/1 − k1 (cid:17)− 1
/k 1 k 1 (cid:16) (cid:16) (cid:17)
−
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)(cid:3)
La integral anterior s´olo tiene en cuenta hasta el segundo t´ermino de la expan-
si´on de J ; por lo tanto si la distancia entre los electrodos s se hace mayor (con
0
el fin de alcanzar una mayor profundidad de exploraci´on) la aproximaci´on se
vuelve demasiado burda. Sin embargo, al tomar los dem´as t´erminos de la ex-
pansi´on la soluci´on an´alitica de las integrales siguientes se hace cada vez m´as
compleja apareciendo funciones polilogaritmo de ´ordenes cada vez m´as altos.
Este mismo efecto sucede para el caso de la resistividad aparente en donde la
expansi´on se realiz´o para la funci´on de Bessel de primer orden.
Otroinconvenienteeselhechodequelasfuncionespolilogaritmoest´andefinidas
para un complejo z <1. En el caso actual esta condici´on no se cumple porque
e2λh1 tom| a|
z y λ todos los posibles valores en el intervalo [0, ). Este incon-
≡ k1 ∞
veniente se puede superar realizando un proceso de continuaci´on anal´ıtica.
Todas estas complicaciones sugieren que, a pesar de las ventajas que pueda
tener una soluci´on anal´ıtica, la mejor forma de resolver el problema es buscar
una soluci´on num´erica que adem´as ha de ser m´as exacta. Este fue el camino
realizado en el trabajo; adicionalmente la comparaci´on de los resultados con
un software geof´ısico reconocido permite establecer la exactitud del programa
desarrollado.
51Ap´endice C
El M´etodo Num´erico
En esta secci´on se explica brevemente el m´etodo nu´merico utilizado en la inte-
graci´on de la resistividad aparente (ecuaci´on 3.54).
Elprocedimientoutilizadoenelprogramacorrespondealm´etododecuadratura
adaptativa de Gauss-Kronrod. Sin embargo para poder explicarlo es necesario
conocer algunas nociones previas acerca del m´etodo de cuadratura de Gauss y
el m´etodo adaptativo en general. Todos´estos ser´an presentados a continuaci´on.
C.1. El m´etodo de integraci´on:
Cuadraturas Adaptativas
El t´ermino de cuadratura suele usarse simplemente como un sin´onimo para los
m´etodos de integraci´on num´erica. En ellos se divide el intervalo y se multiplica
porelvalordelafunci´onenalgu´npuntodelmismo;deestamaneralaintegralse
obtienecomounasumade´areasconsecutivasquedependendelcomportamiento
de la funci´on.
Ejemplosdecuadraturassonelconocidom´etododeltrapecioydeSimpson,que
brindanunabuenaaproximaci´ondelaintegralparafuncionesbiencomportadas
y en intervalos finitos.
E´stos m´etodos de integraci´on usuales, toman valores de la funci´on a integrar
para intervalos fijos. El caso m´as comu´n, por ejemplo, es dividir las abscisas en
intervalos igualmente espaciados.
Laventajademantenerdivisionesfijasparalosintervalosradicaenlaeficiencia
computacional del m´etodo, ya que´estos pueden ser reutilizados durante todo el
proceso.Sinembargocuandolasfuncionesaintegrarpresentansingularidadeso
sonfuncionesqueoscilan,esposiblequelaexactituddelaintegraci´onnum´erica
nosealaadecuada.Enesecasolacuadraturaadaptativapuedeayudararesolver
el problema.
El m´etodo consiste en variar la longitud de los intervalos segu´n la exactitud de
la integraci´on. A continuaci´on se muestra un esquema que resume el m´etodo:
52Procedimiento de integraci´on en el c´odigo: integrate(f,a,b,tau)
a
Q f(x)dx
≈ b
ǫ QR a f(x)dx
≈| − b |
if ǫ>τ R
m=(a+b)/2
Q=integrate(f,a,m,tau/2) + integrate(f,m,b,tau/2)
end if
return Q
En el primer punto integrate(f,a,b,tau) indica una sentencia general para
cualquierlenguajedeprogramaci´onarbitrarioqueresuelvelaintegraldef(x)en
elintervalo[a,b]porunm´etodonum´ericotipocuadratura.Lasoluci´onnum´erica
dedichaintegralsenotaconlavariableQ,porlotanto,Qesunvaloraproximado
de la integral real.
El error “epsilon” (ǫ) es un par´ametro que, en teor´ıa, se halla como el valor
absoluto de la diferencia entre el valor num´erico (dado por la cuadratura) y el
valorrealdelaintegral.Sinembargolousualesqueelvalorrealseadesconocido,
por lo tanto la forma de determinar el nu´mero epsilon depende en parte del
criterio del programador.
El par´ametro “Tau” (τ) fija la cuota m´axima admisible de error. Por encima
de esta cuota se redefine el intervalo de integraci´on. Siendo [a,b] el intervalo
original, ´este se divide como [a,m] y [m,b], donde m=(a+b)/2.
A continuaci´on el valor de la cuadratura Q corresponde a la suma de las inte-
grales sobre estos nuevos intervalos.
C.2. Cuadratura de Gauss
LacuadraturadeGausssedebeaunhallazgogenialdeestefamosomatem´atico.
E´l encontr´o que para un polinomio de grado menor o igual a 2n 1 existen n
−
valoresespeciales(x ),llamadosnodos,paraloscualeselpolinomiopuedetener
i
una integral exacta.
Si la integral se realiza sobre el intervalo [ 1,1], los nodos corresponden a las
−
ra´ıces del polinomio de Legendre de grado n.
Para entender como funciona el m´etodo, sup´ongase una funci´on f(x) que se va
a integrar num´ericamente (cuadratura). Por lo tanto su integraci´on es aproxi-
madamente una suma de productos de la forma:
b
n
f(x)dx A f(x ) (C.1)
i i
≈
Z a Xi=1
53Si el intervalo de integraci´on es [a,b]=[ 1,1] entonces la cuadratura de Gauss
−
se puede entender por medio del siguiente teorema.
Teorema:
Sean x ,x ,...,x las ra´ıces de un polinomio de Legendre de orden n, y sean:
1 2 n
1 n
x x
j
A = − dx (C.2)
i
x x
i j
Z 1 j Y=1 −
−
Entonces, si f(x) es un polinomio de grado menor o igual a 2n 1 se satisface
−
que:
1 n
f(x)dx= w f(x ) (C.3)
i i
Z Xi=1
1
−
No´tese que la ecuaci´on anterior est´a mostrando una igualdad y no una aprox-
imaci´on, por lo tanto, si la funci´on a integrar f(x) es un polinomio (de grado
menor o igual a 2n 1) la soluci´on de la integral es exacta.
−
E´ste es realmente el poder de la cuadratura de Gauss. Ahora bien, si la integral
se realiza sobre una funci´on que no es polinomial entonces el resultado no es
exacto, pero la aproximaci´on es bastante buena.
Esimportantenotartambi´enqueelteoremaanterioraplicasobreunintervalode
integraci´on[a,b]=[ 1,1],sinembargoestonoimpideextenderestacuadratura
−
sobre otros intervalos m´as grandes y sobre otros tipos de funciones.
Sup´ongase unaintegralsobre un intervaloarbitrariocomoen laecuacio´nC.1, y
sea f(x) una funci´on diferente a un polinomio, pero que se puede escribir de la
forma:
f(x)=W(x)p(x) (C.4)
DondeW(x)esunafunci´on(nopolinomial)conocidayp(x)s´ıesunpolinomio.
Entonces es posible encontrar las ra´ıces (x ) de un polinomio tal que la integral
i
sobre f(x) es:
b b
n
f(x)dx= W (x)p(x)dx w p(x ) (C.5)
i i
≈
Z a Z a Xi=1
Los pesos w (tambi´en conocidos como nu´meros de Christoffel) son coeficientes
i
que est´an asociados a la funci´on peso W(x). E´sta a su vez depende del tipo
de polinomios ortogonales sobre los cuales se encuentran las ra´ıces (x ) de la
i
funci´on, que a su vez depende del intervalo de integraci´on [a,b].
As´ıporejemplo,pararesolverlaintegraldelaresistividadaparente(ecuaci´on3.54)
setieneunintervalo[a,b]=[0, ].Lospuntosx ser´ıanlasra´ıcesdelpolinomio
i
∞
de Laguerre de grado n y los coeficientes de peso se calcular´ıan como:
54Intervalo W(x) x es ra´ız de
i
[-1,1] 1 Pol. Legendre P (x)
n
(0, ) e x Pol. Laguerre L (x)
− n
∞
x2
( , ) e Pol. Hermite H (x)
− n
−∞ ∞
(-1,1) 1 Pol. Chebyshev T (x)
√1 x2 n
−
CuadroC.1: Intervalosdeintegraci´on,funcionesdepesoypolinomiosasociados;
para el m´etodo de cuadratura de Gauss
x
i
w = (C.6)
i (n+1)2[L (x )]2
n+1 i
En la tabla C.1 se muestra la funci´on de peso W(x) asociada al intervalo de
integraci´on, y el polinomio sobre el cual se encuentran los nodos x .
i
C.3. Cuadratura de Gauss-Kronrod
Elm´etododeGauss-Kronrodesunaextensi´ondelacuadraturadeGaussanteri-
orperoconunaprecisi´onm´asaltayunaformaeficientedetrabajodec´omputo.
Suponga que el intervalo original [a,b] de la cuadratura de Gauss se subdivide.
Entonces la mayor parte de los n nodos x donde se evaluaba la funci´on ya no
i
coinciden con los nuevos puntos del nuevo intervalo, por lo tanto para integrar
′
la funci´on f(x) ´esta debe ser evaluada en todos los nuevos puntos x .
i
Elm´etododeGauss-Kronrodconsisteenan˜adirn+1nuevosnodosdetalforma
quecontenganalosnnodosoriginalesdelacuadraturadeGaussydeestaforma
seaposiblereutilizarlosvaloresdelafunci´onevaluadaenellos(f(x )),haciendo
i
´optimo el tiempo de c´omputo.
b
n n+1
W (x)f(x)dx QGK = α f(x )+ β f(ξ ) (C.7)
≈ 2n+1 i i i i
Z a Xi=1 Xi=1
En la ecuaci´on C.7, se nota la cuadratura de Gauss-Kronrod como QGK . El
2n+1
orden de la cuadratura es 2n+1 ya que los n+1 nuevos puntos se suman sobre
el orden (n) de la cuadratura original de Gauss: QG.
n
Lospuntosx delaprimerasumatoriasonlosnodosusualesdelacuadraturade
i
Gauss y son ra´ıcez de un polinomio ortogonal segu´n el intervalo de integraci´on
(ver secci´on C.2). Ahora bien, los nuevos puntos ξ son los nodos que aporta
i
la cuadratura de Gauss-Kronrod y corresponden a las ra´ıces del polinomio de
Stieltjes. Los coeficientes α y β son los valores de peso para cada caso.
i i
LosvaloresdecuadraturadeGaussyGauss-Kronrodseusanjuntosparacalcu-
lar un error estimado de la integral. De esta manera, si se trabaja con cuadrat-
uras adaptativas, la subdivisi´on del intervalo se realiza solamente para valores
mayores a su diferencia:
55ǫ QG QGK
≈| n − 2n+1|
if ǫ>τ
m=(a+b)/2
E´ste fue el m´etodo de integraci´on utilizado en el trabajo, con el fin de resolver
nu´mericamente la integral 3.54. De donde se obtuvo un valor de resistividad
para cada distancia de separaci´on entre electrodos: ρ(s).
56Bibliograf´ıa
[1] KoefoedO.“GeosoundingPrinciples1,ResistivitySoundingMeasurements”.
Elsevier Science Publishing Company. The Netherlands, 1979. P´ag 19-92.
[2] Zhdanov M.,“Geophysical Electromagnetic Theory and Methods”. Elsevier.
The Netherlands, 2009. Chapter 2.
[3] Hernandez H., Nun˜es.“Notas de Clase. Tema 1: Algebra Vectorial”. Univer-
sidad de los Andes, M´erida. P´ag. 3-6.
[4] Steven D. Sheriff. “Spreadsheet Modelling of Electrical Sounding Experi-
ments ”. Ground Water-Computer notes.
[5] D. P. Ghosh. “The application of linear filter theory to the direct inter-
pretation of geoelectrical resistivity sounding measurements ”. Geophysical
Prospecting 19,192.217. 1971.
[6] Libreria de Matlab en internet. http://www.mathworks.com/help/index.
html
[7] Weisstein, Eric W.“Polylogarithm.”. From MathWorld-A Wolfram Web Re-
source. http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html.
[8] Wikipedia, Polylogarithm. http://en.wikipedia.org/wiki/
Polylogarithm
[9] R. E. Crandall. “Note on fast polylogarithm computation”. Enero, 2006.
http://people.reed.edu/~crandall/papers/Polylog.pdf
[10] Manuel Alonso. Notas“El concepto de Campo (Evoluci´on del concepto de
interacci´on)”. http://intercentres.edu.gva.es/iesleonardodavinci/
Fisica/Campo/campo.htm)
[11] Bessel functions. P.I. Lizorkin (originator), Encyclopedia of Mathemat-
ics. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bessel_
functions&oldid=14104
[12] Manual Terrameter www.abem.se/files/upload/Manual_Terrameter.
pdf
[13] Tutotial y Programa IPI2win. http://geophys.geol.msu.ru/ipi2win.
htm.
[14] Proyecto Borde Norte de Bogot´a Fase 2, Informe final. Diciembre 2011.
P´ag. 22-26, 272-276.
57[15] William H. Press, Saul A. Teukolsky.“Numerical Recipes, The Art of Sci-
entific Computing”. Cambridge University Press, 3rd Edition. USA, 2007.
P´ag 179-193.
[16] Weisstein, Eric W.“Gaussian Quadrature”. From MathWorld-A Wolfram
Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.
[17] Gauss quadrature formula. N.S. BakhvalovV.P. Motornyi (originator), En-
cyclopediaofMathematics.http://www.encyclopediaofmath.org/index.
php?title=Gauss_quadrature_formula&oldid=11718
[18] Gauss Kronrod quadrature formula. Sven Ehrich (originator), Encyclo-
pediaofMathematics.http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?
title=Gauss
58