Consideración de la transferencia de masa y cantidad de movimiento en el modelamiento de un reactor tubular
Autor: Salazar Vélez, Oscar Fabio
Asesor: Betancourt Grajales, Ramiro (Thesis advisor)
Fecha: 2004
Programa: Bogotá - Medicina -Fisioterapia
Facultad: Facultad de Medicina

Resumen: En este trabajo se exponen los fundamentos teóricos y el modelo matemático, que describe la variación en las concentraciones para una mezcla reaccionante que fluye en el interior de un tubo, limitándose al caso de un fluido incompresible que no experimenta cambios en la temperatura. El conjunto de ecuaciones diferenciales se escriben en coordenadas cilíndricas sobre un espacio bidimensional. También se muestra el algoritmo para la solución numérica del modelo utilizando el método de diferencias finitas, que se desarrolla para el caso de una mezcla multicomponente aplicando la ecuación de Stefan-Maxwell y también para el caso de una mezcla binaria. / Abstract: In this work the theoretical foundations and the mathematical model are exposed, that describes the variation in the concentrations for a reactive mixture that flows inside a tube, limited to the case of an incompressible fluid that doesn't experience changes in the temperature. The group of differential equations is written in coordinated cylindrical on a two-dimensional space. The algorithm is also shown for the numeric solution of the model using finite differences method, that is developed for the case of a multicomponent mixture applying the equation of Stefan-Maxwell and also for the case of a binary mixture.

CONSIDERACIÓN DE LA TRANSFERENCIA DE MASA Y CANTIDAD DE
MOVIMIENTO EN EL MODELAMIENTO DE UN REACTOR TUBULAR
OSCAR FABIO SALAZAR VÉLEZ
GERMÁN GONZÁLEZ SILVA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MANIZALES
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
2004CONSIDERACIÓN DE LA TRANSFERENCIA DE MASA Y CANTIDAD DE
MOVIMIENTO EN EL MODELAMIENTO DE UN REACTOR TUBULAR
OSCAR FABIO SALAZAR VÉLEZ
GERMÁN GONZÁLEZ SILVA
Trabajo Final para optar al título de
Ingeniero Químico
Director
RAMIRO BETANCOURT GRAJALES
Ingeniero Químico
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MANIZALES
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
2004RESUMEN
En este trabajo se exponen los fundamentos teóricos y el modelo matemático, que describe
la variación en las concentraciones para una mezcla reaccionante que fluye en el interior de
un tubo, limitándose al caso de un fluido incompresible que no experimenta cambios en la
temperatura. El conjunto de ecuaciones diferenciales se escriben en coordenadas cilíndricas
sobre un espacio bidimensional. También se muestra el algoritmo para la solución numérica
del modelo utilizando el método de diferencias finitas, que se desarrolla para el caso de una
mezcla multicomponente aplicando la ecuación de Stefan-Maxwell y también para el caso
de una mezcla binaria.ABSTRACT
In this work the theoretical foundations and the mathematical model are exposed, that
describes the variation in the concentrations for a reactive mixture that flows inside a tube,
limited to the case of an incompressible fluid that doesn't experience changes in the
temperature. The group of differential equations is written in coordinated cylindrical on a
two-dimensional space. The algorithm is also shown for the numeric solution of the model
using finite differences method, that is developed for the case of a multicomponent mixture
applying the equation of Stefan-Maxwell and also for the case of a binary mixture.AGRADECIMIENTOS
Los autores expresan sus agradecimientos a:
Al Profesor Jorge Eduardo Hurtado Gómez, por su apoyo y gran interés en este trabajo.
Al Profesor Ramiro Betancourt Grajales, por ser el director de este trabajo.
Al Profesor Javier Fontalvo Alzate, por sus valiosas orientaciones y estímulo, que nos
proporcionó a pesar de la distancia.
Al Profesor Miguel Ángel Gómez, por su interés y colaboración en la ejecución de este
trabajo.
A la Profesora Adela Londoño Carvajal, por su diligente atención y esmero por que
nosotros llevásemos este trabajo a feliz termino.
Al Profesor Carlos Ariel Cardona, quien estuvo atento y dispuesto a escuchar siempre
nuestras inquietudes.
Un agradecimiento muy especial a Martha Helena Pineda, quien siendo Directora de la
biblioteca de La UN, facilitó y agilizó la consecución de mucha de la información necesaria
para la elaboración de este trabajo, además por su desinteresada e incondicional amistad.
A Marleny Correa por sus nobles gestos y su firmeza desinteresada para facilitar el tiempo
y espacio en horas laborales y así pudiéramos cumplir con los objetivos de este trabajo de
grado.
Al Ingeniero y amigo Cesar Augusto Sánchez Correa, por su ayuda desinteresada en los
momentos más difíciles de este trabajo.
A nuestros amigos Mónica Cruz Sánchez, Andrés Restrepo y Wilmar Osorio Viana, porque
siempre estuvieron atentos a escucharnos.
A nuestras familias, por su paciencia y apoyo durante nuestras vidas y en especial durante
la realización de este trabajo.
A todos los demás personas, ingenieros, profesores e investigadores que de una u otra
manera colaboraron con nosotros en el estudio realizado.CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
1. CONCEPTOS BÁSICOS EN EL DISEÑO DE REACTORES
1.1 Conceptos Generales...................................................................................... 1
1.1.1 Definición de Reacción Química........................................................... 2
1.1.2 Tipos de Transformaciones Químicas................................................... 2
1.1.3 Clases de Reacciones Químicas............................................................. 2
1.1.4 Definición de Velocidad de Reacción................................................... 2
1.1.5 Velocidades Relativas de Reacción....................................................... 3
1.1.6 Ecuación de Rendimiento...................................................................... 4
1.1.7 Definición de Reactor Químico............................................................. 5
1.2 Tipos De Reactores Químicos........................................................................ 5
1.2.1 Ecuación General de Balance................................................................ 6
1.2.2 Conversión............................................................................................. 6
2. MECANISMOS DE TRANSPORTE. TURBULENCIA Y MEZCLADO
EN SISTEMAS REACCIONANTES
2.1 Difusión Molecular........................................................................................ 8
2.1.1 Difusión Ordinaria o de Concentraciones............................................ 9
2.1.2 Difusión Originada por Gradientes de Presión..................................... 9
2.1.3 Difusión Forzada................................................................................... 10
2.1.4 Difusión Térmica.................................................................................. 10
2.2 Diferentes Modelos de Velocidades de Difusión.......................................... 10
2.2.1 Modelo Hirschfelder - Curtiss o de Orden Cero.................................. 10
2.2.2 Primera Ley de Fick............................................................................ 11
2.2.3 Aproximación del Número de Lewis................................................... 12
2.2.4 Modelo de Difusión Número de Lewis Igual a la Unidad................... 13
2.3 Mecanismo de Transporte por Convección................................................... 13
Mecanismo de Convección Natural o Libre
Mecanismo de Convección Forzada.
2.4 Transferencia de Masa con Reacción – Difusión........................................... 14
2.5 Criterio Para la Consideración de la difusión
en el Diseño de un Reactor Tubular ............................................................. 15
2.6 Turbulencia Y Mezclado En Sistemas Reaccionantes ................................. 16
2.6.1 Micromezclado.................................................................................... 172.6.1.1 Limites del Micromezclado..................................................... 17
Segregación Total
Máximo Mezclado o Mezclado Total
2.7 Turbulencia.................................................................................................... 19
2.7.1 Teoría de Kolmogorov.......................................................................... 20
Primer Postulado de Kolmogorov
Segundo Postulado de Kolmogorov
2.7.2 Modelos de Turbulencia....................................................................... 21
2.7.2.1 Modelo de turbulencia k-e....................................................... 22
2.7.2.2 Sistema general de ecuaciones para el modelo k-e................. 23
Viscosidad Cinemática Turbulenta........................................... 23
Energía Cinética Turbulenta..................................................... 24
Energía Cinética de Disipación Turbulenta.............................. 24
Condiciones de Frontera........................................................... 24
2.7.2.3 Efecto de Números de Reynolds Bajos.................................... 25
3. MODELAMIENTO MATEMÁTICO BIDIMENSIONAL DE REACTOR
TUBULAR
3.1 Descripción del Sistema Físico................................................................. 29
3.2 Balance para la Cantidad de Movimiento................................................. 30
3.2.1 Modelo para Flujo no Desarrollado................................................. 30
3.2.2 Modelo para Flujo Desarrollado...................................................... 31
3.3 Balance para la Transferencia de Masa.................................................... 31
3.3.1 Balance Global de Masa............................................................ 32
3.3.2 Balance Diferencial para las Especies Químicas....................... 32
3.3.3 Modelo de Transferencia de Masa sin Dispersión Axial........... 33
3.4 Descripción del Flujo Difusivo................................................................. 34
3.4.1 Ecuación de Stefan-Maxwell para la Difusión Multicomponente... 34
3.4.2 La Ley de Fick................................................................................. 35
4. ESTRATEGIA DE SOLUCION NUMÉRICA DEL MODELO MATEMÁTICO
4.1 Solución del Balance para la Cantidad de Movimiento............................ 38
4.1.1 Solución del modelo para flujo no desarrollado............................. 38
4.2 Solución del Balance para la Transferencia de Masa................................ 39
4.2.1 Solución del modelo para una mezcla Multicomponente................ 39
4.2.1.1 Discretización..................................................................... 40
4.2.1.2 Algoritmo............................................................................ 40
4.2.1.3 Ejemplo............................................................................... 40
4.2.2 Solución del modelo para una mezcla binaria................................. 42
4.2.2.1 Discretización...................................................................... 43
4.2.2.2 Algoritmo............................................................................. 43
4.2.2.3 Ejemplo................................................................................ 43
4.2.2.4 Estudio del orden de la cinética de reacción........................ 45
4.2.2.5 Influencia de la difusividad en la conversión química......... 465. EFECTO DE LOS PARÁMETROS EN LA SOLUCIÓN DEL MODELO
5.1 Reacción de isomerización de n-butano................................................... 50
5.2 Efecto de la temperatura y el radio........................................................... 52
CONCLUSIONES.................................................................................................... 55
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 56
ANEXO A.................................................................................................................. 64
ANEXO B.................................................................................................................. 67LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1.1 Nomenclatura ..................................................................................... 7
Tabla 2.1 Expresiones de conservación derivadas de la ecuación 2.28.............. 22
Tabla 2.2 Valores numéricos para las constantes del modelo k-e...................... 24
Tabla 2.3 Nomenclatura ...................................................................................... 26
Tabla 3.1 Nomenclatura ...................................................................................... 36
Tabla 4.1 ............................................................................................................. 41
Tabla 4.2 ............................................................................................................. 44
Tabla 4.3 ............................................................................................................. 45
Tabla 4.4 ............................................................................................................. 47
Tabla 4.5 ............................................................................................................. 48
Tabla 5.1 ............................................................................................................. 50
Tabla B1 Números Adimensionales.................................................................... 69LISTA DE FIGURAS
Pág.
Figura 2.1 Reactor Pistón Completamente Segregado......................................... 17
Figura 2.2 Aproximación de la Función Respuesta de un Tanque Agitado...... ... 18
Figura 4.1 Concentración media de las sustancias a lo largo del reactor.............. 42
Figura 4.2 Concentración del reactivo en el volumen del reactor........................ 44
Figura 4.3 Concentración de mezcla del reactivo a la salida del reactor contra
la constante de velocidad para el ejemplo dado en la tabla 4.1........... 46
Figura 44 Concentración de salida del reactor contra la difusividad para el
ejemplo dado en la tabla 4.4................................................................ 47
Figura 4.5 Comparación de la concentración de salida para los tres tipos de
Reactores............................................................................................. 48
Figura 5.1 Concentración de n-butano en el volumen del reactor........................ 51
Figura 5.2 Concentración media de n-butano a lo largo del reactor..................... 51
Figura 5.3 Concentración media de n-butano a la salida del reactor, T = 330 K.. 52
Figura 5.4 Concentración media de n-butano a la salida del reactor, T = 345 K.. 53
Figura 5.5 Concentración media de n-butano a la salida del reactor, T = 360 K.. 53
Figura A1 Notación de Tensor en Coordenadas Cartesianas................................ 65INTRODUCCIÓN
Este trabajo tiene por objetivo aclarar algunos aspectos relacionados con el modelamiento y
simulación de un reactor tubular para un fluido incompresible y de fase homogénea, en el
que se tomen en cuenta los fenómenos que pueden influenciar notablemente su
rendimiento. El estudio se encamina en la tarea de mejorar la compresión de la teoría
fundamental y la de los modelos matemáticos que la describen, facilitando así la generación
de herramientas que sean útiles en el desarrollo de simuladores para este tipo de reactores y
para otros de mayor complejidad.
Como parte de la labor necesaria para alcanzar este objetivo, en el presente trabajo se
plantea un esquema de solución numérica para un modelo con un mediano nivel de
rigurosidad teórica, logrando de esta manera dar un paso más en el sentido de mejorar las
predicciones y reducir las pruebas experimentales.
No sobra aclarar, que en la actualidad, ya existen varios paquetes comerciales de
simulación que incorporan modelos como los que aquí se tratan, y hasta de mayor realismo,
denominados como simuladores CFD ( Computational Fluid Dynamics ), con la desventaja
de que son regularmente costosos, aparte de que esconden los algoritmos que usan en la
solución de las ecuaciones, y es por eso que vale este esfuerzo de desarrollar, desde
instancias elementales, estrategias numéricas que permitan a su vez afianzar los conceptos
y sus criterios de aplicación.
En el Capitulo 1 es presenta un enfoque global de la fundamentación de los conceptos en
cinética de reacción y diseño de reactores. El Capitulo 2 se presentan los modelos y
conceptos generales del Micromezclado, del macromezclado y de la turbulencia. En el
capitulo 3 se resumen los pasos para llegar a la deducción del modelo matemático a partir
de los balances generales, para continuar en el capitulo 4 con los esquemas de
discretización y el planteamiento del algoritmo para su solución numérica. Dejando los
análisis de los parámetros de diseño en el capitulo 5.CAPITULO 1
CONCEPTOS BÁSICOS EN EL
DISEÑO DE REACTORES
_________________________________________________________________________
El diseño de un reactor implica no sólo saber que tan grande o de que tipo debe ser, es
importante aclarar que en el diseño se deben tener en cuenta los siguientes aspectos:
• Las condiciones óptimas de operación: temperatura, presión, velocidad de flujo,
cantidad y calidad de las materias primas, además un estudio fisicoquímico y
cinético de las especies reaccionantes.
• Los requerimientos ambientales y de seguridad industrial, los dispositivos
apropiados para el funcionamiento y control instrumental.
• El costo mínimo de inversión maximizando las ganancias.
• Se requiere un estudio fuerte de mercados que garantice que la producción sea
adecuada para los índices de oferta y demanda del producto.
El diseño de reactores es la actividad fundamental y representativa de los ingenieros
químicos.
1.1 CONCEPTOS GENERALES
1.1.1 Definición de Reacción Química
Se conoce como reacción química a aquel proceso unitario que tiene por objeto distribuir
de forma distinta los átomos de ciertas moléculas (compuestos reaccionantes o reactantes)
para formar otras nuevas (productos). Los factores que hay que tener en cuenta a la hora de
llevar a cabo o desarrollar una reacción química son:
• Condiciones de presión, temperatura, y composiciones necesarias para que los
materiales entren en estado de reacción.
• Las características termodinámicas y cinéticas de la reacción.
• Las fases (sólido, líquido, gaseoso) que se encuentran presentes en la reacción
11.1.2 Tipos de Transformaciones Químicas
Según Fogler (1999), un compuesto químico pierde su identidad química (propiedades) en
una reacción; existen tres formas por las cuales esto se lleva a cabo:
• Descomposición, consiste en la división de una molécula en moléculas más
simples, átomos o radicales.
• Combinación, ésta tiene lugar cuando una molécula o átomo se une con otra
especie para formar un compuesto nuevo.
• Isomerización, en éste caso la molécula no efectúa ninguna descomposición externa
o adición a otra, es simplemente un cambio de configuración estructural interna.
1.1.3 Clases de Reacciones Químicas
Smith (1991), Hill (1977), y Levenspiel (1981), explican las diferentes reacciones
químicas; así:
Reacciones Homogéneas: Cuando se efectúa solamente en una fase, ya sea gaseosa, sólida
o líquida.
Reacciones Heterogéneas: Cuando se requiere la presencia de al menos dos fases para que
tenga lugar la reacción a una velocidad deseada.
Reacciones Catalíticas: Son aquellas reacciones que requieren de una sustancia adicional
(que no aparece en el balance global) para modificar la velocidad de reacción, llamado
catalizador.
Reacciones Enzimáticas: Utilizan catalizadores biológicos (enzimas con alto peso
molecular, con centros activos y con una elevada selectividad).
Reacciones No Catalíticas: Los materiales reactantes no necesitan ninguna sustancia
adicional (catalizador) para aumentar su velocidad de reacción.
Reacciones Autocatalíticas: En esta reacción, uno de los productos formados actúa como
catalizador, participando en otra etapa del proceso.
Reacciones Endotérmicas: Son aquellas que absorben calor del exterior.
Reacciones Exotérmicas: Son aquellas que liberan calor hacia el medio.
1.1.4 Definición de Velocidad de Reacción
En una reacción química cuando aparece una especie química, necesariamente desaparece
otra; la expresión matemática de la velocidad de reacción puede ser expresada como la
velocidad de desaparición de reactivos o como la velocidad de aparición de los productos.
La velocidad de reacción se define como el número de moles que reaccionan de una
especie por unidad de volumen y por unidad de tiempo, si simboliza como -r .
A
2La definición de velocidad de reacción cambia cuando se aplica a una reacción gas-sólido,
donde -r es el número de moles que reaccionan de A por unidad de masa de catalizador y
A
por unidad de tiempo. La velocidad de reacción es función de las propiedades de las
especies químicas mas no del tipo de flujo (pistón, continuo); si las propiedades varían a lo
largo del reactor la ley de velocidad o velocidad de reacción varía también. Según Fogler
(1999); la ley de velocidad es una expresión algebraica intensiva y no es una ecuación
diferencial, dependiente de la temperatura y la concentración.
De forma esquemática se toma la siguiente reacción:
aA+bB(cid:1)cC+dD 1.1
De manera simple, la expresión matemática de la ley de velocidad de esta reacción se
puede escribir como:
-r =kCaCb 1.2
A A B
Donde,
k: es la constante cinética de la reacción.
C : es la concentración del componente A.
A
C : es la concentración del componente B.
B
a y b: representan el orden de la reacción.
1.1.5 Velocidades Relativas de Reacción.
En la expresión algebraica:
-r =kCaCb
A A B
El orden de la reacción es relativo al exponente de cada una de las especies, por ejemplo en
esta expresión la reacción es de orden 'a' respecto del componente A y de orden 'b' respecto
del componente B.
El coeficiente cinético k para las reacciones de orden 'n' (n = a + b +…), según Levenspiel
(1981), tiene dimensiones de (tiempo)-1*(concentración) 1-n.
La reacción:
aA+bB(cid:1)cC+dD
También se puede escribir como:
b c d
A+ B(cid:1) C+ D 1.3
a a a
3y la expresión de las velocidades específicas de reacción es:
a a a
-r = -r = r = r 1.4
A b B c C d D
1.1.6 Ecuación de Rendimiento
Es aquella expresión matemática que relaciona las condiciones de salida con las de entrada
en un reactor químico, para diversas cinéticas y diferentes modelos de contacto (ver
Denbigh et al, 1990; Fogler, 1999).
• Modelo de Contacto: Está referido a la forma como los materiales circulan a través
del reactor y se contactan unos con otros en su interior, además del tiempo que
necesitan para mezclarse, y las condiciones y características de la incorporación de
material.
• Cinética: Está referido a la rapidez con la que ocurren las reacciones, el equilibrio
en el interior del reactor, y la velocidad de la reacción química; éstos factores están
condicionados por la transferencia (balance) de materia y energía.
El rendimiento que se basa en los flujos molares se pude definir como la relación de las
moles de producto formado y el número de moles del reactante clave.; así:
r
Y= D 1.5
-r
A
Para un reactor batch:
N
Y= D 1.6
N - N
AO A
N: número de moles de A en el reactor.
Para un reactor de flujo continuo:
F
Y= D 1.7
F -F
AO A
F: flujo molar de A a través del reactor. y el subíndice D representa al compuesto deseado
41.1.7 Definición de Reactor Químico
Un reactor químico es una unidad procesadora diseñada para que en su interior se lleven a
cabo una o varias reacciones químicas. Dicha unidad procesadora está constituida por un
recipiente, el cual cuenta con líneas de entrada y salida para sustancias químicas, y está
vigilado por un algoritmo de control.
Los reactores químicos tienen como funciones principales:
• Asegurar el tipo de contacto o modo de fluir de los reactantes en el interior del
recipiente, para garantizar la mezcla deseada de los materiales reactantes.
• Proporcionar el tiempo suficiente de contacto entre las sustancias y/o catalizador,
para alcanzar la conversión deseada.
• Permitir condiciones de presión, temperatura y composición de modo que la
reacción tenga lugar en el grado y a la velocidad deseada, atendiendo a los aspectos
termodinámicos y cinéticos de la reacción.
1.2 TIPOS DE REACTORES QUÍMICOS
Existen infinidad de tipos de reactores químicos (ver Nauman, 1987; Nauman, 2001 y
Fogler, 1999) y cada uno responde a las necesidades de una situación en particular; entre
los tipos más importantes, más conocidos, y mayormente utilizados en la industria se
puede mencionar los siguientes:
• Reactor discontinuo
• Reactor continuo
• Reactor semicontinuo
• Reactor en flujo pistón.
• Tanque con agitación continua.
• Reactor de lecho fluidizado
• Reactor de lecho fijo
• Reactor de lecho con escurrimiento.
• Reactor de lecho de carga móvil.
• Reactor de burbujas
• Reactor con combustible en suspensión.
• Columna de destilación reactiva.
• Reactores de recirculación.
• Reactores de membrana.
• Fermentadores.
• Reactor trickle bed.
Adicionalmente se pueden mencionar que los reactores isotérmicos son aquellos que
trabajan u operan a una misma temperatura; y los reactores isobáricos, son aquellos que
trabajan u operan a una misma presión.
51.2.1 Ecuación General de Balance
Para realizar el balance ya sea de materia, energía o cantidad de movimiento es importante
definir primero el volumen de control a analizar.
La ecuación general de materia se escribe como:
Entra - Sale + Genera = Acumulación.
Aplicando esta ecuación para un balance molar de la especie j en un instante t queda:
dN
F -F -G = j 1.8
jo j j dt
Donde:
N: número de moles de j en el sistema en el tiempo t.
j
F: Flujo molar de la especie j.
j
Si las propiedades fisicoquímicas son espacialmente uniformes dentro del volumen de
control, la velocidad de generación se puede considerar como el producto del volumen por
la velocidad de formación de la especie j, dando origen a la expresión:
G =-rV 1.9
j j
A partir de la ecuación del balance molar de especie j se puede llegar a la siguiente
expresión:
V dN
F -F +(cid:2)r dV = j 1.10
jo j j dt
Ésta expresión es conocida como la ecuación básica de ingeniería de las reacciones
químicas, siendo la base de la cual se parte para obtener las ecuaciones de diseño de los
reactores más comunes.
1.2.2 Conversión
Se define como la fracción de reactivo que se ha convertido a producto o también como el
número de moles del reactivo A que han reaccionado por mol de A alimentado al reactor y
se simboliza con la letra X. Así su expresión matemática es:
6Para un reactor batch:
N -N
X = AO A 1.11
N
AO
N: número de moles de A en el reactor.
Para un reactor de flujo continuo:
F -F
X = AO A 1.11(b)
F
AO
F: flujo molar de A a través del reactor.
Para ambos casos el subíndice A , significa al inicio o a la entrada del reactor y el
O
subíndice A significa al final o a la salida del reactor.
Tabla 1.1 NOMENCLATURA
a y b: representan el orden de la reacción .
C : es la concentración del componente A.
A
C : es la concentración del componente B.
B
F: flujo molar de A a través del reactor.
F: Flujo molar de la especie j.
j
G:Velocidad de generación de la especie j .
j
N: número de moles de A en el reactor.
N: número de moles de j en el sistema en el tiempo t.
j
k: es la constante cinética de la reacción.
r:Velocidad de reacción de la especie i.
i
V:Volumen del reactor.
7CAPÍTULO 2
MECANISMOS DE TRANSPORTE,
TURBULENCIA Y MEZCLADO EN
SISTEMAS REACCIONANTES
______________________________________________________________________
Un componente en una mezcla fluida homogénea sólo se transfiere en el seno de la misma a
causa del gradiente de concentraciones; en el caso de un fluido en reposo o fluyendo
laminadamente en dirección perpendicular al gradiente de concentración, la transferencia se
desarrolla como consecuencia del movimiento caótico de las moléculas de la mezcla,
constituyendo el mecanismo de Difusión Molecular.
En un fluido turbulento se producen diferencias de densidad por cambios de temperatura o
composición; desarrollándose transferencia de masa; éste fenómeno se denomina
Mecanismo por Convección.
Estos mecanismos necesitan un medio material para su desarrollo, pero existe el
Mecanismo de Radiación, por medio del cual existe transporte de energía en el vacío por
ser un fenómeno electromagnético.
2.1 DIFUSIÓN MOLECULAR
La difusión molecular es un mecanismo causado por el movimiento de las partículas
individuales a través de una sustancia debido a su energía térmica. Se ha desarrollado una
Teoría Cinética para los gases, la cual describe adecuadamente los fenómenos difusionales
involucrados; cosa contraria pasa con los líquidos, los cuales aún siguen siendo estudiados
en una forma empírica (Bird et al.1960).
Para dar una idea sobre la difusión; por ejemplo, cuando agregamos unas gotas de colorante
en un vaso con agua; después de cierto tiempo, el color se distribuye por todo el vaso
8uniformemente, sin cambios subsecuentes; siendo este mecanismo una operación muy
lenta. La solución alcanzará espontáneamente el equilibrio, ya que las sustancias se
moverán de puntos con mayor concentración a unos de menor concentración y la rapidez
con la que el soluto se mueve de un punto a otro y en una dirección cualquiera dependerá
del gradiente de concentración en ese punto.
Existen diversos modelos para simular las velocidades de difusión en un sistema
multicomponente, pero la tarea no es sencilla, pues su complejidad matemática, el costo en
la capacidad del equipo de computo y el tiempo de simulación son grandes.
Para un sistema multicomponente, se deben considerar las contribuciones relacionadas con
las fuerzas mecánicas impulsoras y una contribución adicional debida a la fuerza térmica
impulsora:
j = jx + jp + jg + jT 2.1
i i i i i
2.1.1 Difusión Ordinaria o de Concentraciones jx
i
Según Bird et al (1960) depende de forma complicada de los gradientes de todas las
sustancias implicadas:
(cid:9) (cid:6)
(cid:7) (cid:4)
c2 (cid:3)n (cid:3)n (cid:13)(cid:13)(cid:15)¶G (cid:10)(cid:10)(cid:12)
jx = M M D (cid:7) x i (cid:209)x (cid:4) 2.2
i i j ij(cid:7) i k(cid:4)
rRT (cid:14)¶x (cid:11)
j=1 K=j k
(cid:7) (cid:8) k„j T xs,P „, kx ,s j (cid:4) (cid:5)
2.1.2 Difusión Originada por Gradientes de Presión jp
i
Al existir un gradiente de presión impuesto sobre el sistema, puede existir un movimiento
neto de la especie i en la mezcla, éste término es despreciable en comparación con la
Difusión Ordinaria; (ver Bird et al, 1960; Taylor et al, 1993) sólo en casos de
centrifugación se obtienen valores considerables de Difusión de Presión.
c2 (cid:3)n (cid:7)(cid:9) (cid:13)(cid:15) V 1 (cid:10)(cid:12) (cid:209)P(cid:4)(cid:6)
jp = M M D xM - 2.3
i rRT i j ij (cid:7)(cid:8) i j(cid:13) (cid:14)M r(cid:10) (cid:11) (cid:4)(cid:5)
j=1 j
92.1.3 Difusión Forzada jg
i
Este fenómeno es muy característico en sistemas iónicos, donde la fuerza externa (una
fuerza eléctrica causada por la imposición de un campo eléctrico) es diferente en cada uno
de los iones.(ver Taylor et al, 1993 y Novella 1984).
c2 (cid:3)n (cid:7)(cid:9) (cid:13)(cid:13)(cid:15) -(cid:3)n r (cid:10)(cid:10)(cid:12) (cid:4)(cid:6)
jg =- M M D xM g g k 2.4
i rRT i j ij (cid:8) i j (cid:14) i k r(cid:11)(cid:5)
j=1 K=1
Si la fuerza externa es la gravedad, todas las g son iguales; por ende, los jp se anulan.
i i
2.1.4 Difusión Térmica jT
i
Describe la tendencia de difusión de componentes químicos bajo la influencia de un
gradiente de temperaturas. Este término es casi despreciable; sin embargo, en la literatura
recomiendan formas para calcularla y obtener valores numéricos, es conveniente
combinarlo con la convección libre de un sistema análogo.
jT =-DT(cid:209)lnT 2.5
i i
2.2 DIFERENTES MODELOS DE VELOCIDADES DE DIFUSIÓN
A continuación se exponen brevemente algunos modelos para describir las velocidades de
difusión en orden decreciente de complejidad y elaboración matemática ( Hilbert, R 2004):
2.2.1 Modelo Hirschfelder - Curtiss o de Orden Cero
Este modelo desarrolla una aproximación del coeficiente de difusión para una especie i en
una mezcla,
(cid:9) (cid:6)-1
(cid:7) n w (cid:4)
D =(1-w ) (cid:7)x (cid:3) k (cid:4) 2.6
i i
x D
(cid:7) k=1 k ij (cid:4)
(cid:8) k„i (cid:5)
Donde:
D : Coeficiente de difusión para una especie i en la mezcla.
i
w: Fracción masa de la especie i.
i
w : Fracción masa de la especie k.
k
x : Fracción molar promedio de la mezcla.
x : Fracción molar de la especie k.
k
D : Coeficiente de difusión binario, es función de la presión y de la temperatura.
ij
10Esta aproximación es comprobada y equivalente de acuerdo sólo al primer término D[0] de
la serie de expansión de la matriz de difusión D según Hilbert, R (2004) y por ésta razón se
conoce con el nombre de Aproximación de Orden Cero.
El modelo de velocidad de difusión de orden cero, considera los términos de difusión
simple y difusión térmica; la conservación de la masa global generalmente no se cumple,
por tal motivo el autor adiciona un término, forzando al modelo a cumplir con la
conservación de la masa global.
El término adicional consta de una parte predictiva y una parte correctiva
n
jC =-(cid:3) w D (cid:209)X 2.7
i k k k
k=1
La expresión general para la velocidad de difusión con aproximación de orden cero es:
j = jX + jT + jC 2.8
i i i i
2.2.2 Primera Ley de Fick
El término de difusión está basado en gradientes de concentración, considerando densidad
constante y considerando un coeficiente de difusión para cada especie.
Un problema al usar esta aproximación, es emplear y calcular los coeficientes de difusión.
Una solución simple a este problema es, considerar el sistema altamente diluido. Este
modelo de aproximación no garantiza que se cumpla la ley de conservación de masa, según
publicación de Hilbert R.(2004) y se debe hacer una corrección generalmente, al valor de la
velocidad.
Para el caso de soluciones binarias diluidas y con densidad constante, la difusión molecular
es proporcional al gradiente de concentraciones y ocurre en el sentido en el cual decrece
éste.
¶C
j = -D A 2.9
i AB ¶z
Un análisis riguroso basado en la termodinámica de los procesos irreversibles, muestra que
el potencial correcto no es el gradiente de concentración, sino el gradiente de potencial
químico y para mezclas multicomponentes deben incluirse en la ecuación los gradientes de
las otras especies.
Si el gradiente de concentraciones se presenta en diferentes direcciones; Bird et al (1960)
recomienda escribir la ley de Fick como:
11J* = -(cid:209).C 2.10
A A
La J* representa un flux‡ de un componente con relación a la velocidad molar promedio
A
de todos los componentes, en un lugar fijo en el espacio.
2.2.3 Aproximación del Número de Lewis
Este modelo es muy simple y puede comparar diferentes efectos de las especies, mientras
se logra una manipulación matemática sencilla de las ecuaciones de conservación.
Si todos los números de Lewis no son iguales, se debe hacer una corrección en la velocidad
garantizando la Ley de conservación de la masa.
Esta aproximación es posible gracias al análisis dimensional, estudiado en mecánica de
fluidos y en fenómenos de transporte; el procedimiento de p - Buckingham es el más
empleado cuando no existe ninguna ecuación diferencial que pueda aplicarse en el modelo
y es una aplicación del requerimiento de homogeneidad dimensional de una situación física
dada.
El número de Lewis compara la difusión térmica de la mezcla y la difusividad másica de
las especies. El número de Lewis es la relación entre el número de Schmidt (Sc) y el
i
número de Prandtl (Pr).
Sc
Le = i 2.11
i
Pr
(cid:2)
Le = 2.12
i (cid:1)C D
p i
llll: Conductividad térmica.
rrrr: Densidad.
C : Capacidad especifica de calor.
p
De la ecuación anterior se puede obtener la expresión del coeficiente de difusión:
l
D = 2.13
i
rC Le
p i
‡ Flux indica el flujo por unidad de área.
122.2.4 Modelo de Difusión Número de Lewis Igual a la Unidad
Esta aproximación asume que todos los números de Lewis a una temperatura determinada,
son constantes e iguales a uno; por consiguiente, para cada especie los coeficientes de
difusión y de calor son iguales.
De la ecuación 2.12, reemplazamos el valor del Número de Lewis:
l
D = 2.14
i
rC
p
Es simple su implementación y simulación y existen modelos de turbulencia basados en
éste concepto, cabe decir que es un modelo ideal.
2.3 MECANISMO DE TRANSPORTE POR CONVECCIÓN
Según Welty et al 1994, en los fluidos el movimiento se desarrolla debido a que existen
puntos del fluido con diferente temperatura, composición y diferencias de densidad. La
transferencia de masa debida a la convección consiste en el movimiento de un fluido con
una superficie o entre dos fluidos y es función de las propiedades de transferencia y de las
características dinámicas del fluido que está fluyendo (ver Novella 1984 y Bird et al 1960).
Existen dos tipos de mecanismos de convección:
Mecanismo de Convección Natural o Libre
El movimiento se debe a una diferencia de densidad a causa de una concentración o
diferencia de temperatura. La expresión de rapidez de transferenc ia de masa convectiva se
expresa como:
N =K DC
A c A
Donde:
N : Rapidez de transferencia de masa molar de la especie A.
A
K : Coeficiente de transferencia convectiva de masa.
c
DC : Diferencia entre la concentración de superficie límite y la concentración media de la
A
corriente de fluido de A en difusión.
El flujo es natural o libre, cuando es causado por fuerzas de empuje debido a una diferencia
de densidad y el campo gravitacional terrestre.
13Siempre que un fluido se caliente o se enfrié en un campo gravitatorio existe la posibilidad
de que se produzca convección natural.
Cuando el fluido es puro, los gradientes de densidad se relacionan con los gradientes de
temperatura por medio de un coeficiente de dilatación volumétricab.
Mecanismo de Convección Forzada.
Este tipo de mecanismo ocurre cuando el fluido se hace pasar por una superficie sólida,
usando mecanismos externos, como bombas, ventiladores, agitadores, compresores y hasta
la misma gravedad. Las características de flujo son una función fuerte del efecto de
flotación del fluido con mayor temperatura. El número de Nusselt en este caso, depende del
número de Grashorf y Prandtl.
2.4 TRANSFERENCIA DE MASA CON REACCIÓN - DIFUSIÓN
Según Bird et al (1960) en un proceso simultaneo de Transferencia de Masa - Reacción, el
factor de control puede ser cualquiera de los dos fenómenos, pero generalmente no existe
un dominio absoluto de ninguno de los efectos.
Para que exista una reacción química, debe ocurrir un contacto intimo en las zonas de
actividad de las especies involucradas y ese contacto es fruto del movimiento molecular (el
cual suele ser caótico) y se cumple también para el Mecanismo de Difusión, por lo tanto, la
difusión es efecto inherentemente importante cuando ocurre una reacción química; la
rapidez de transporte total de masa debe expresare en función de las dos.
La difusión puede ser lenta y el mecanismo de reacción puede estar limitado por la
difusión.
En el diseño de un reactor químico, la difusión - reacción es un factor crítico y es
representativo de los reactores de corriente de alimentación no mezclada. Los reactores
tubulares presentan gradientes de concentración axial a lo largo del reactor, causados por
cambios en la concentración promedio en el flujo, al considerar los efectos reactivos,
difusionales y fluidodinámicos del sistema, la simulación del modelo del reactor real se
hace un algoritmo complejo. Por razones lógicas, se deben hacer algunas consideraciones
para lograr un poco más de flexibilidad en la simulación del modelo.
Un modelo simple en coordenadas cilíndricas para un reactor tubular en estado estable,
difusividad constante, velocidad sólo en dirección axial como función del radio y difusión
axial despreciable, es:
¶c (cid:9)1¶c ¶2c(cid:6)
V (r) =D (cid:7) - (cid:4)+r 2.15
z ¶z A (cid:8)r ¶r ¶r2 (cid:5) A
142.5 CRITERIO PARA LA CONSIDERACIÓN DE LA DIFUSIÓN EN EL DISEÑO
DE UN REACTOR TUBULAR
Este canon está fundamentado en parámetros adimensionales así,
D t D L
A = A 2.16
R2 uR2
Donde D :Coeficiente de difusión de la especie A.
A
La descripción de un sistema comienza por la identificación de los fenómenos que tienen
lugar, al igual que la selección del evento objeto de estudio y sus variables representativas.
Los principios básicos, en donde se fundan los modelos teóricos, corresponden a las leyes
de conservación, que a continuación se dan en forma general:
Ecuación de Continuidad
¶r
=-[v.(cid:209)r] -r((cid:209).v) 2.17
¶t
Esta ecuación se deduce de un balance de materia en un elemento estacionario de volumen
definido:
Velocidad de acumulación Velocidad de entrada Velocidad de salida
= -
de materia de materia de materia
Conservación de la masa para la especie i:
¶w
r i =-r[v.(cid:209)w ]-((cid:209).j )+r 2.18
¶t i i i
Balance de Cantidad de Movimiento
¶u
r =-r[v.(cid:209)v]-((cid:209)p)-[(cid:209).t]+rg 2.19
¶t
Esta ecuación se deduce de un balance de cantidad de movimiento para un elemento
estacionario de volumen definido:
15Velocidad de acumulación Velocidad de entrada de Velocidad de salida de Suma de las fuerzas que
= - +
de cantidad de movimiento cantidad de movimiento cantidad de movimiento actuan sobre el sistema
¶u
r =Velocidad de aumento de cantidad de movimiento.
¶t
[ ]
-r v.(cid:209)v =Velocidad de ganacia de cantidad de movimiento por convección,por unidad de volumen.
-((cid:209)p)=Fuerza de presión que actúa en el elemento, por unidad de volumen
[ ]
- (cid:209).t =Velocidad de ganacia de cantidad de movimiento por transporte viscoso,
por unidad de volumen.
+rg =Fuerza gravitacional que actúa sobre el elemento, por unidad de volumen
2.6 TURBULENCIA Y MEZCLADO EN SISTEMAS REACCIONANTES
Para conocer la conversión en un reactor real, en el caso particular de cinéticas de primer
orden, sólo es necesaria la función de Distribución de Tiempos de Residencia (DTR), y no
es importante saber que tan mezcladas están las moléculas circundantes para calcularla. Sin
embargo para reacciones de orden mayor es necesario conocer que tan mezcladas se
encuentran las moléculas reaccionantes además de la DTR.
El mezclado y su calidad van asociados por la turbulencia, entre mayor turbulencia mayor
contacto entre las especies reaccionantes y mayor será la probabilidad de reacción. A escala
molecular, el mezclado es un factor directo en el transcurso de una reacción química;
además del éxito en la homogenización a escala molecular.
La turbulencia incrementa las ratas de transferencia de calor, masa y cantidad de
movimiento, también favorece el mezclado de las especies y es un factor muy importante
en el desempeño de las reacciones químicas.
La eficacia de los modelos de turbulencia radica en la optimización de las predicciones
teóricas, ya que permite obtener valores de velocidad, concentración y temperatura a
diferentes números de Reynolds, que al ser comparados con los valores reales muestran que
la aproximación es muy acertada. El estudio y el análisis de la turbulencia son considerados
como uno de los más complejos en el campo de la física y la ingeniería.
En este informe se exponen algunos postulados y modelos de la turbulencia y del mezclado,
no se resuelve ninguno de ellos pero se incluyen en el trabajo como complemento, abriendo
la puerta para la continuación en el diseño computacional de la dinámica de los fluidos,
para algún osado estudiante de Ingeniería Química.
162.6.1 Micromezclado
Consiste en la deformación viscoso-convectiva de los elementos del fluido (Baldyga, J.et al
1995), seguido por la difusión molecular. Este fenómeno se desarrolla a escala molecular,
donde su efecto se ve principalmente en reacciones rápidas e instantáneas, cambiando la
conversión y la selectividad tanto en la mezcla reactiva en régimen laminar como en la de
flujo turbulento.
En reactores químicos, el micromezclado puede cambiar las propiedades y cualidades de
los productos, como en el caso particular de reacciones de polimerización; donde la
distribución de los pesos moleculares puede ser controlada con el micromezclado. Las
reacciones biológicas, las reacciones con flujo muy viscoso, reacción de formación de
oxido nítrico, son ejemplos de reacciones que dependen del mezclado.
2.6.1.1 Limites del Micromezclado
Danckwerts (1995) define los dos límites del micromezclado así:
Segregación Total
Es un flujo donde se forman pequeños grupos de moléculas de igual edad que atraviesan el
reactor sin mezclarse; este tipo de fluido es conocido con el nombre de Macrofluido. La
edad de una partícula es el tiempo que permanece en el reactor.
En un reactor, el tiempo que tarda en efectuarse la mezcla, afecta el tipo de flujo y el grado
de segregación afecta esencialmente las características de distribución de producto y por
ende el diseño del reactor.
Figura 2.1 Reactor Pistón Completamente Segregado
Máximo Mezclado o Mezclado Total
En este flujo las moléculas se mezclan entre sí desde el ingreso al reactor, sin importar a
que grupo de edades correspondan; se mueven libremente, intermezclándose, chocando
unas con otras. Este tipo de comportamiento del fluido se conoce con el nombre de
microfluido.
17Se considera un reactor PFR, alimentado en muchos lugares a lo largo de su costado,
mezclándose completamente en dirección radial pero no en dirección axial. A diferencia de
los modelos de segregación, el mezclado aquí es más temprano, lográndose una condición
de mezclado máximo en todos los puntos del reactor.
En la figura 2.2, l corresponde al tiempo o edad que tarda la partícula del fluido en
atravesar el reactor.
Figura 2.2 Reactor Pistón Mezclado Totalmente
La concentración a la salida para una cinética dada, es representada por la ecuación
diferencial de Zwietering según Nauman (2001):
dc f(l)
+ [c -c(l)] +r =0 2.20
dl w(l) ent A
Para garantizar la existencia de un valor finito; la condición de frontera más usual asociada
con la ecuación diferencial de Zwietering es:
dc
lim =0 2.21
lfi¥dl
Una condición inicial reportada por diferentes autores, para valores muy grandes de l es:
(cid:2) = 0 entonces c = c 2.22
sal ent
Baldyga et al.(1995) consideran el caso de una cinética de reacción de orden n, descrita por
r :
A
r =k cn 2.23
A n
Si n < 1, el mezclado acelera la reacción.
Si n = 1, la reacción no es sensible a diferencias en el nivel de mezclado molecular.
Si n > 1, la segregación completa forma el limite superior y el mezclado total forma el
limite inferior de la conversión
182.7 TURBULENCIA
Es complicado definir la turbulencia en términos sencillos y por esta razón se plantean
algunas definiciones existentes en la bibliografía revisada.
Von Kármán (1937) en Wilcox (2002) definió la turbulencia como:
“ ...Es un movimiento irregular que generalmente da la apariencia a los fluidos gaseosos y
líquidos, cuando fluyen sobre superficies sólidas e incluso cuando corrientes vecinas del
mismo fluido pasan unas sobre otras.”
En la década de los 70’s Hinze, en su libro Turbulence, definió el movimiento turbulento
como:
“...es la condición irregular del flujo, en el cual las magnitudes muestran una variación
aleatoria, con el tiempo y las coordenadas espaciales, así que los valores medios
estadísticos pueden ser discernidos.”
Según Castilla (2001), Lesieur (1997) definen la turbulencia con características concretas
del flujo:
1. “Es impredecible en el sentido de que, dadas unas ciertas condiciones iniciales, es
imposible predecir la configuración del flujo en un instante arbitrario posterior.
2. Las magnitudes físicas transportadas por el fluido son mezcladas con mucha o más
efectividad que en un flujo laminar, donde esta función quedaría manifestada tan
sólo por coeficientes de difusión molecular.
3. En el flujo intervienen un gran rango de escalas espaciales.”
Castilla (2001) plantea la existencia de dos consideraciones que se deben tomar como
referencia, en el estudio de la turbulencia bidimensional:
1. La turbulencia bidimensional no es un caso concreto o simplificado de la
turbulencia tridimensional. Al no considerar las tres dimensiones, desaparece el
termino de la vorticidad, esto implica un estudio de fenómenos que no tienen
analogía con la turbulencia tridimensional.
2. En el laboratorio no es posible la turbulencia en dos dimensiones, esto sólo se
considera en el contexto de simulación matemática, en el diseño o en
investigaciones.
Castilla (2001) define la longitud de mezclado, como una estimación de la distancia que ha
de recorrer una partícula de fluido en una dirección para que las componentes en esa
dirección de su posición y su velocidad pierdan su correlación.
19La turbulencia esta dominada por la energía del movimiento caótico; los grandes remolinos
son responsables de la difusividad y la tensión (esfuerzo) observada en los flujos
turbulentos y no necesariamente dependen de las propiedades locales del fluido.
2.6.1 Teoría de Kolmogorov
Primer Postulado de Kolmogorov
Kolmogorov en investigaciones realizadas en la década de los 40’s, consideró como
hipótesis fundamental que todo el movimiento a pequeña escala está únicamente y
(cid:1) (cid:1)
universalmente determinada por la longitud de mezclado ( )y por la energía de disipación.
A este rango de escalas se le denomina Rango de Equilibrio Universal. Quiere decir que el
movimiento es independiente de la dinámica lenta de los grandes remolinos, del flujo
medio, y no depende del mecanismo que genera la turbulencia.
Para escalas pequeñas, en comparación con el mecanismo generador de la turbulencia y
lejos de los contornos, la turbulencia es homogénea e isótropa. Lo que indica desde un
(cid:1)
punto de vista estadístico, es que la variación de la velocidad a una distancia no depende
(cid:1)
del punto de origen, ni de la orientación de .
El movimiento a pequeña escala, depende de la energía que suplen los grandes remolinos
(e) y la viscosidad cinemática (n).
dk
e=- 2.24
dt
Segundo Postulado de Kolmogorov
El segundo postulado de Kolmogorov afirma que para un número de Reynolds lo
suficientemente grande, existe un subrango del rango de equilibri o universal, denominado
Subrango Inercial, donde la única variable significativa es la energía (e).
El subrango inercial está limitado por el tamaño mínimo que pueden tener los remolinos,
denominado Escala de Kolmogorov.
Por medio de un sencillo análisis dimensional se obtiene:
3
n 4
h= 2.25
1
e 4
1
(cid:15)n(cid:12)
2
t=(cid:13) (cid:10) 2.26
(cid:14)e(cid:11)
1
=(ne)4
u 2.27
20Donde h, t y u son la longitud, tiempo y velocidad de escala de Kolmogorov.
En la literatura (Wilcox ) se reporta la Ley –3/5 de Kolmogorov), la cual es la base teórica
en los modelos numéricos de simulación de flujos turbulentos; los más conocidos de ellos
son:
• Simulación Numérica Directa: resuelven directamente las ecuaciones de Navier
Stokes en todas sus escalas presentes en el dominio computacional y es conocida
con la sigla inglesa DNS (Direct Numerical Simulation).
• Simulación de Grandes Remolinos: Este modelo modifica las ecuaciones de la
dinámica de forma que las variables representan el comportamiento del flujo para
escalas mayores que la determinada por la discretización del dominio; este
procedimiento es generalmente conocido como Large-Eddy Simulation o LES.
• Generación Estocástica: esta simulación busca generar flujos turbulentos
“artificiales” que posean propiedades estadísticas convenientes, sin resolver las
ecuaciones de la dinámica de los fluidos.
2.7.2 Modelos de Turbulencia
Las ecuaciones de Navier Stokes y de Continuidad, son aplicables a flujos turbulentos; es
más, si se lograran resolver analíticamente éstas ecuaciones, se obtendrían valores
instantáneos de la velocidad y la presión y en el caso de flujo turbulento, las fluctuaciones
que se presentan alrededor de sus valores medios serian irrelevantes.
Pero como hasta el momento la Ciencia de las Matemáticas apenas está recorriendo el
sendero tortuoso de las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), la turbulencia será por
ahora el misterio más grande de la Física Clásica, aún sin resolver.
Es conveniente desarrollar alternativas para describir el caos reinante en los flujos
turbulentos, el análisis estadístico – matemático ha sido la herramienta más importante para
aproximar el comportamiento del flujo de fluidos. Uno de los propósitos de los modelos de
turbulencia es proveer valores numéricos del esfuerzo de Reynolds en cada punto del flujo.
La jerarquía de los modelos de turbulencia suele clasificarlos con relación al costo o
esfuerzo computacional. La siguiente clasificación va desde el más simple hasta el más
complejo:
1. Modelos de longitud de mezclado: Leyes de potencia y aproximaciones del esfuerzo
de Reynolds.
2. Modelos de viscosidad de remolino.
2.1 Modelos de una sola ecuación : Viscosidad de remolino especificada
(cid:1)
2.2 Modelos de una sola ecuación: k o
2.3 Modelos con dos ecuaciones: Modelo k-e y sus modificaciones.
3. Modelos de transporte del esfuerzo de Reynolds: modelo algebraico de esfuerzo
4. Modelo de Altos ordenes cerrados ( Higher-Orden Closure).
5. Simulación de grandes Remolinos (Large eddy Simulation).
6. Simulación Numérica Directa (Direct Numerical Simulation).
7. Modelos de Generación estocástica.
212.7.2.1 Modelo de Turbulencia kkkk----eeee
Uno de los propósitos de los modelos de turbulencia es proveer valores numéricos del
esfuerzo de Reynolds en cada punto del flujo. Los modelos de la turbulencia pueden ser
resueltos con técnicas numéricas computacionales, como el CFD (Computational Fluid
Dynamics), que permite analizar los resultados finales del comportamiento del flujo, de
concentraciones y distribución de la temperatura a lo largo del reactor.
La ecuación general de conservación para una cantidad jjjj expresada por Hjertager et
al (2002) es:
¶(rf) ¶(rvf) ¶ (cid:9) ¶f (cid:6)
+ i = (cid:7)G (cid:4)+S 2.28
¶t ¶x ¶x (cid:7)(cid:8) f ¶x (cid:4)(cid:5)
j j j
donde j depende de las coordenadas espaciales y del tiempo. Esta ecuación genera
diferentes expresiones de conservación, lo que se debe hacer es remplazar f y G por las
f
variables apropiadas, tal como aparece resumido en la tabla 2.1.
Tabla 2.1. Expresiones de conservación derivadas de la ecuación 2.28
PARA OBTENER REMPLAZAR
Difusión
Ecuación de Variable Termino De Fuente Generalizado
Turbulenta
Conservación ffff S
GGGG
ffff
Ecuación de
1 0 0
Continuidad
Velocidad en ¶P ¶ (cid:15) ¶v (cid:12) 1 ¶ (cid:15) ¶v (cid:12)
v m - + (cid:13)m z (cid:10)+ (cid:13)rm r (cid:10)
Dirección axial z eff ¶z ¶z(cid:14) t ¶z (cid:11) r ¶r(cid:14) t ¶z (cid:11)
Velocidad en ¶P ¶ (cid:15) ¶v (cid:12) 1 ¶ (cid:15) ¶v (cid:12) 2mv
v m - + (cid:13)m z (cid:10)+ (cid:13)rm r (cid:10)- r
Dirección Radial r eff ¶r ¶z(cid:14) t ¶r (cid:11) r ¶r(cid:14) t ¶r (cid:11) r2
Energía Cinética m
kkkk t G-re
Turbulenta s
k
Disipación de
m (cid:15)e(cid:12)
Energía Cinética eeee t (C G-C re)(cid:13) (cid:10)
s 1 2 (cid:14)k(cid:11)
turbulenta e
Disipación de
m (cid:15)e(cid:12)
Energía cinética eeee t (C G-C re)(cid:13) (cid:10)
s 1 2 (cid:14)k(cid:11)
turbulenta e
22Barkelev et al. (1986) presentan la ecuación 2.28 de la forma siguiente:
¶(rf)
+(cid:209)(cid:215)(rvf)=(cid:209)(cid:215)[ G(cid:209)f]
+S 2.29
¶t i f
Las ecuaciones de conservación de momento, balance de masa, energía cinética turbulenta,
energía cinética de disipación turbulenta; se obtienen al remplazar f por v, w (fracción
i i
masa de la especie i), k y e respectivamente como lo indica la Tabla 2.1, donde:
(cid:16)(cid:22) (cid:9)(cid:15)¶v(cid:12)2 (cid:15)v (cid:12)2 (cid:15)¶v (cid:12)2(cid:6) (cid:15)¶v ¶v (cid:12)2 (cid:15)¶v v (cid:12) (cid:15)¶v (cid:12)(cid:16)(cid:19) 2.30
G=m (cid:21)2(cid:7)(cid:13) (cid:10) +(cid:13) r (cid:10) +(cid:13) z(cid:10) (cid:4)+(cid:13) r + r (cid:10) +(cid:13) q - q(cid:10)+(cid:13) q(cid:10)(cid:18)
t(cid:16)(cid:20) (cid:7)(cid:8)(cid:14)¶r(cid:11) (cid:14) r (cid:11) (cid:14) ¶r (cid:11) (cid:4)(cid:5) (cid:14) ¶r ¶z (cid:11) (cid:14) ¶r r (cid:11) (cid:14) ¶z (cid:11)(cid:16)(cid:17)
m =m +m 2.31
eff l t
rk2
m =C 2.32
t m e
k2
n =C 2.33
t m e
Donde:
m :viscosidad efectiva
eff
m : viscosidad turbulenta
t
n: viscosidad Cinemática turbulenta
t
Codina R., et al (1996) proveen una expresión de la longitud característica para el modelo
k-e, remplazando la viscosidad cinemática turbulenta por kL en la ecuación anterior:
3
k2
L=C 2.34
m e
2.7.2.2 Sistema general de ecuaciones para el modelo kkkk----eeee
Viscosidad Cinemática Turbulenta
k2
n =C 2.35
t m e
23Energía Cinética Turbulenta
¶k ¶k ¶v ¶ (cid:9)(cid:15) n (cid:12) ¶k (cid:6)
+v =t i + (cid:7)(cid:13)(cid:13)n+ T (cid:10)(cid:10) (cid:4)-e 2.36
¶t j¶x ij ¶x ¶x (cid:7)(cid:8)(cid:14) s (cid:11)¶x (cid:4)(cid:5)
j j j k j
Energía Cinética de Disipación Turbulenta
¶e ¶e e ¶v ¶ (cid:9)(cid:15) n (cid:12) ¶e (cid:6) e2
+v =C t i + (cid:7)(cid:13)(cid:13)n+ T (cid:10)(cid:10) (cid:4)-C 2.37
¶t j¶x 1 k ij ¶x ¶x (cid:7)(cid:8)(cid:14) s (cid:11)¶x (cid:4)(cid:5) 2 k
j j j e j
Los valores de los parámetros empíricos son reportados por diferentes investigadores
[Smith,1997; Hjertager, 2002; Bertrand, 1996; Wilcox, 2002]; pero todos aceptan los
valores reportados por Lader y Spalding (1974).
Tabla 2.2. Valores numéricos para las constantes del modelo kkkk----eeee
C C C s s
m 1 2 k e
0.09 1.44 1.92 1.0 1.3
Condiciones de Frontera
Ekambara y Joshi (2003) presentan unas sencillas condiciones de contorno para el modelo
k-e:
Condiciones en el centro
¶v ¶k ¶e
z =0 =0 =0 2.38
¶r ¶r ¶r
Condiciones en la pared
(cid:15) (cid:12)
¶ k
2n(cid:13) (cid:10)
k =0 e = v =0 2.39
(cid:13) (cid:10) z
(cid:14) ¶r (cid:11)
Condiciones a lo largo del flujo
v=v k = k e =e 2.40
entrada entrada entrada
242.7.2.3 Efecto de Números de Reynolds Bajos
Es casi inevitable considerar que los modelos de turbulencia fueron desarrollados para
números muy grandes de Reynolds. El problema de los modelos anteriores radica en que no
son efectivos cerca de la pared, donde se forma una capa limite de flujo; en particular e
presenta grandes gradientes en la frontera de la capa siguiente a la pared. Otro punto que se
debe tener en cuenta cerca a la pared, es que se requiere alta resolución en la discretización
(mallas) de la geometría, lo que indica que los tamaños de paso deben ser muy pequeños.
Por estas razones se ha hecho necesario desarrollar métodos que satisfagan estas
necesidades. El modelo de dos capas actualmente ha sido estudiado; usa el modelo k-e
lejos de la pared, mientras la capa viscosa es descrita por el modelo de una ecuación donde
la longitud de mezclado es dada explícitamente.
El éxito de los modelos de turbulencia k-e para números de Re bajos, basados en técnicas
computacionales de CFD§; puede ser atribuido a :
• La precisión para predecir los perfiles radiales de velocidad media, de la energía
cinética turbulenta y la viscosidad de remolino justamente cerca a la pared.
• El modelo k-e para predecir la difusión turbulenta, puede asumir que la difusión
axial y radial son diferentes. El modelo predice satisfactoriamente la difusividad
turbulenta radial y los perfiles de velocidad.
El texto recomendado para el estudio detallado de los modelos de turbulencia en este
trabajo es el libro de Wilcox. (2002). El autor recopila una gama de modelos teórico-
empíricos; analiza y compara cada modelo con técnicas de CFD.
§ Computational Fluid Dynamics
25TABLA 2.3. NOMENCLATURA
C: Concentración molar de la especie i
i
C : Capacidad especifica de calor
p
DC : Diferencia entre la concentración de superficie límite y la concentración
A
media de la corriente de fluido de A en difusión.
D : Coeficiente de difusión de A en B
AB
F: Flujo molar de la especie i
F : Flujo molar de entrada de la especie i
io
g: Vector gravitacional
G: Energía libre de Gibbs
jx: Densidad de flujo de materia de la especie i.
i
jx :Difusión de concentrac ión
i
jp :Difusión de presión
i
jg :Difusión forzada
i
jT :Difusión térmica
i
L: Longitud
M: Peso molecular del elemento i
i
N : Rapidez de transferencia de masa molar de la especie A.
A
p: presión
Q: Flujo volumétrico
r Velocidad de aparición de A
A:
r: Posición radial
r : Término de rapidez de producción de masa i dentro del volumen de control
i:
R: radio del cilindro
(cid:1)
: Constante universal de los gases
S: Selectividad
t: Tiempo.
DT: Diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido
26Continuación
U: Energía interna
v: Vector de velocidad
v : Componente de la velocidad en la coordenada z
z
U : Velocidad promedio
z
V: Volumen del reactor
X: conversión
Z: Posición axial
j: Rendimiento fraccional
(cid:209): Gradiente. u operador
(cid:209)2 :Laplaciano
l: Conductividad térmica.
l: Edad de una partícula en flujo
r: Densidad.
r : Concentración de masa para la especie i
y: Concentración adimensional
t: Tensor de esfuerzo cortante
w: Fracción másica de la especie i.
a: Difusividad térmica
27CAPÍTULO 3
MODELO MATEMÁTICO
BIDIMENSIONAL DEL REACTOR
TUBULAR
_________________________________________________________________________
En este capitulo se tratará en detalle el modelo matemático para representar un reactor
tubular isotérmico donde una o varias reacciones homogéneas toman lugar. El desarrollo se
hará para fluidos incompresibles; se iniciará con las ecuaciones generales de balance
(materia y cantidad de movimiento) puestas en forma diferencial; se procederá después a
simplificarlas para obtener el caso que nos compete: el reactor bidimensional con
dispersión radial. Para alcanzar tal punto del análisis iniciaremos con una introducción que
tiene por objeto poner en contexto los conocimientos que se tratarán.
Los reactores tubulares, para el caso de reacciones en fase líquida, son muy adecuados en
casos donde se requieran sistemas eficientes para la remoción o adición de calor, lo cual es
posible debido a la gran superficie disponible para el intercambio de este. Tal es el caso de
las reacciones de polimerización donde se ha demostrado que un sistema tubular es más
eficiente para la remoción del calor generado. También resultan adecuados para procesos
donde las velocidades de reacción son altas, lo cual implica cortos tiempos de residencia.
Generalmente, a nivel industrial, los reactores tubulares son ampliamente empleados para
reacciones en fase gaseosa, homogéneas o heterogéneas catalíticas (empacados). Desde el
punto de vista del modelamiento riguroso y la solución del modelo matemático, un sistema
de flujo gaseosos resulta ser más complejo que su homologo incompresible. La razón para
esto es que las ecuaciones de balance deben acoplarse con una ecuación de estado para
describir la variación de la densidad en términos de la presión y la composición de la
mezcla. Por el contrario si el fluido es incompresible el balance de cantidad de movimiento
se reduce a la clásica ecuación de Navier – Stokes, donde se parte de un conocimiento de la
densidad y del supuesto de su homogeneidad en el sistema; adicionalmente, la condición de
incompresibilidad permite desacoplar (resolver secuencialmente) el balance de cantidad de
movimiento y las ecuaciones de conservación para las especies. La importancia del estudio
del modelo para un fluido incompresible y su solución radica en ser el primer paso hacia la
28consideración de sistemas más complejos. Además no es de descartar la posibilidad de la
importancia practica de estos conocimientos básicos en sistemas reales. A nivel académico
resultan de gran interés las conclusiones que se puedan obtener del estudio de este tipo de
sistemas porque establecen las bases de la construcción teórica del conocimiento sobre los
reactores reales.
Uno de los primeros artículos con una descripción no ideal del flujo en tubos el de
Levenspiel y Smith (1957), en el cual se propone un modelo simple para la dispersión axial
y se desarrolla un método experimental para la determinación del coeficiente de dispersión.
McLaughlin et al (1986) estudiaron el efecto de la velocidad radial sobre la conversión de
la reacción y demostraron que al despreciar la componente radial de la velocidad se puede
introducir un error significativo en los balances de masa y calor para las reacciones de
polimerización. Liu y Barkelew (1986) estudiaron un reactor de chorro no isotérmico con
densidad constante y emplearon el modelo k-e (ver capítulo 2) de turbulencia. Hjertager et
al (2002) estudiaron un reactor bidimensional en fase líquida donde ocurre una reacción de
neutralización ácido base, con un esquema similar al de Liu y Barkelew (1986), pero con un
modelo más sofisticado para describir la turbulencia y la reacción química. Jakobsen et al
(2002) estudiaron una reacción en fase gaseosa en un reactor empacado y compararon las
simulaciones entre los casos unidimensional y bidimensional, mostrando que para la
producción de gas de síntesis las variaciones radiales de la composición y la temperatura
son despreciables.
3.1 DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA FISICO
El reactor tubular, se compone de un cilindro recto de base circular colocado
horizontalmente, en el que las dimensiones se encuentran definidas por la longitud y el
radio. La mezcla de reactivos ingresa de dirección axial por una de las bases, mientras que
por la otra base se obtiene una mezcla de reactivos y productos.
Con el propósito de obtener un sistema de ecuaciones con un nivel de complejidad media,
se imponen las siguientes restricciones:
• El sistema se encuentra en estado estable ( No hay variaciones con el tiempo )
• No existen cambios en la dirección angular ( Modelo bidimensional )
• No se toman en cuenta los efectos caloríficos ( Sistema isotérmico )
29• El esquema es de una sola reacción
• No hay dispersión o difusión en el sentido axial
• Se considera flujo incompresible
• El régimen de flujo es laminar
Estas consideraciones permiten que se pueda desacoplar el balance de cantidad de
movimiento con el de materia y realizar así una solución secuencial del modelo.
3.2 BALANCE PARA LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
3.2.1 Modelo Para Flujo No Desarrollado
El balance para la cantidad de movimiento para un fluido newtoniano cuando la densidad y
la viscosidad permanecen constantes, se conocen como las ecuaciones de Navier-Stokes:
(cid:15)¶v (cid:12)
r(cid:13) +v(cid:215)(cid:209)v(cid:10)=-(cid:209)p+m(cid:209)2v+rg 3.1
(cid:14) ¶t (cid:11)
Junto con la ecuación de continuidad:
(cid:209)(cid:215)v=0 3.2
Efectuando el desarrollo para cada las coordenadas radiales en el esquema bidimensional
resulta:
¶v ¶v ¶v 1 ¶p m (cid:9) 1 ¶v ¶2v ¶2v (cid:6)
z =-v z -v z - + (cid:7) z + z + z (cid:4) 3.3
¶t r ¶r z ¶z r ¶z r (cid:8)r ¶r ¶r2 ¶z2 (cid:5)
¶v ¶v ¶v 1 ¶p m (cid:9) v 1 ¶v ¶2v ¶2v (cid:6)
r =-v r -v r - + (cid:7)- r r + r + r (cid:4) 3.4
¶t r ¶r z ¶z r ¶r r (cid:8) r2 r ¶r ¶r2 ¶z2 (cid:5)
v ¶v ¶v
r + r + z =0 3.5
r ¶r ¶z
Las condiciones de frontera se pueden plantear en términos de la velocidad, presión o una
combinación de ambas:
Las condiciones para la velocidad:
30Entrada: v =f(r) 3.6
z
¶v
Salida: z =0
¶z
Centro: v =0 ,v =0
z r
¶v
Pared: z =0 , v =0
¶r r
Condiciones para la presión:
Entrada: p=fe(r) 3.7
Salida: p=fs(r)
¶p
Centro: =0
¶r
¶p
Pared: =0
¶r
3.2.2 Modelo Para Flujo Desarrollado
La condición de que el fluido no experimenta cambios en la dirección z, lleva a una
solución analítica para la velocidad, conocida como el perfil parabólico de velocidades:
(cid:15) r2 (cid:12)
v (r)=2u(cid:13)(cid:13)1- (cid:10)(cid:10) 3.8
z (cid:14) R2 (cid:11)
En donde u es la velocidad media de flujo.
3.3 BALANCE PARA LA TRANSFERENCIA DE MASA
El planteamiento de las ecuaciones que describen la conservación de la materia, tanto para
la masa global como para las sustancias, se puede realizar de dos maneras, en términos de
concentraciones molares o de concentraciones másicas, pero por razones de
interdependencia con la velocidad del balance de cantidad de movimiento es preferible su
expresión en unidades másicas.
313.3.1 Balance Global De Masa
El balance para la densidad total sobre un punto se escribe:
¶r
t +(cid:209)(cid:215)(vr )=0 3.9
¶t t
3.3.2 Balance Diferencial Para Las Especies Químicas
Es necesario realizar el planteamiento de la conservación para cada una de las s de
sustancias presentes en el esquema de reacción.
El balance diferencial de masa para la especie i se expresa como:
¶r
i +(cid:209)(cid:215)n = r 3.10
¶t i i
Siendo v la velocidad de la especie i en una dirección dada, se define flujo másico para la
i
especie con respecto de lo ejes estacionarios como:
n = rv 3.11
i i i
Introduciendo la definición del flujo difusivo másico para la especie i con respecto de la
velocidad media másica
j =r (v -v) 3.12
i i i
En donde la velocidad media másica es el promedio ponderado con las fracciones másicas,
que corresponde a la velocidad planteada en el balance para la cantidad de movimiento:
s
(cid:3)
v= w v 3.13
i i
i=1
pudiéndose notar que la suma de los flujos difusivos para las especies en cualquier posición
es:
s
(cid:3)
j =0 3.14
i
i=1
Utilizando la definición del flujo difusivo en el balance para la especie i resulta:
¶r
i +(cid:209)(cid:215)(r v)+(cid:209)(cid:215)(j )= r 3.15
¶t i i i
32En esta ecuación se conoce (cid:209)(cid:215)(rv) como el término convectivo, y (cid:209)(cid:215)(j) como el término
i i
difusivo. Desarrollando el término difusivo nos queda:
¶r
i +r ((cid:209)(cid:215)v)+v(cid:215)((cid:209)r )+(cid:209)(cid:215)(j )=r 3.16
¶t i i i i
En el caso de que el fluido es incompresible ((cid:209)(cid:215)v) = 0, y despejando la derivada respecto
del tiempo se llega a:
¶r
i =-v(cid:215)((cid:209)r )-(cid:209)(cid:215)(j )+r 3.17
¶t i i i
En correspondencia con el principio de conservación de la materia, debe cumplirse que
s
(cid:3)
r =0 3.18
i
i=1
s
(cid:3)
r =r 3.19
i t
i=1
Al desarrollar el balance para la especie i en las coordenadas cilíndricas en el espacio
bidimensional:
¶r ¶r ¶r (cid:15) jr ¶jr ¶jz (cid:12)
i =-v i -v i -(cid:13)(cid:13) i + i + i (cid:10)(cid:10) +r 3.20
¶t r ¶r z ¶z (cid:14) r ¶r ¶z (cid:11) i
3.3.3 Modelo de Transferencia de Masa sin Dispersión Axial
Para un modelo donde no se tome en cuenta la dispersión axial (o el flujo másico difusivo
axial se considere despreciable) y que se encuentre en estado estable, se puede despejar la
derivada de la concentración másica respecto de z:
¶r 1 (cid:15) ¶r (cid:15) jr ¶jr (cid:12) (cid:12)
¶zi = (cid:13)(cid:13) (cid:14)-v ¶ri -(cid:13)(cid:13) ri + ¶ri (cid:10)(cid:10) (cid:11)+r i(cid:10)(cid:10) 3.21
v r (cid:14) (cid:11)
z
Las condiciones de frontera necesarias para la solución de este modelo, se formulan
expresando que en el centro del tubo existe simetría para las variables y que no hay flujo de
materia a través de la pared, además de conocer el perfil de concentraciones en la entrada:
33Entrada: r =fc(r) 3.22
i
¶r
Centro: jr =0 , i =0
i ¶r
¶r
Pared: jr =0 , i =0
i ¶r
3.4 DESCRIPCIÓN DEL FLUJO DIFUSIVO
La correcta descripción del término difusivo, es uno de los temas más estudiados en el
campo de los fenómenos de transferencia. Entre las formulaciones más utilizadas se
encuentran la ecuación de Stefan-Maxwell y la ley de Fick.
3.4.1 Ecuación de Stefan-Maxwell para la Difusión Multicomponente
Las relaciones desarrolladas por Josef Stefan y James Clerk Maxwell (Taylor y Krishna
1993), acoplan de forma implícita las velocidades para las especies con la fuerza guía para
la difusión:
( )
s x x v -v
d =-(cid:3) i j i j 3.23
i D
j=1 ij
En donde D es la difusividad de Stefan-Maxwell para el par de sustancias i j, que posee la
ij
propiedad de simetría D = D . Mientras que d es la fuerza guía para el componente i en la
ij ji i
misma dirección para J.
i
Bajo la consideración de que la difusión solo se debe a la existencia del gradiente de la
fracción molar, la ecuación se reduce a:
( )
s x x v -v
(cid:3) i j i j
(cid:209)x =- 3.24
i D
j=1 ij
Esta consideración pone de manifiesto el hecho de que esta ecuación solo es aplicable a s-1
sustancias, pues debido a que las fracciones molares suman uno, se cumple que:
s
(cid:3)
(cid:209)x =0 3.25
i
i=1
Un inconveniente de esta teoría es que fue inicialmente planteada en términos de flujos y
fracciones molares, por tanto es necesario realizar su transformación a unidades másicas
34para fácil implementación en el balance para las especies. Partiendo del cálculo de las
fracciones másicas a partir de las fracciones molares:
x M x M
w = i i = i i 3.26
i (cid:3)s Mt
x M
i i
i=1
Se obtiene la relación entre los gradientes másico y molar para el componente i:
M w s
(cid:209)w = i (cid:209)x - i (cid:3) M (cid:209)x 3.27
i Mt i Mt k k
k=1
realizando la conversión de las velocidades para las especies a flujos difusivos másicos
ecuación 3.12 , la ecuación de Stefan-Maxwell 3.24 queda escrita como:
Mt2 (cid:3)s (cid:13)(cid:15) w ij w jj (cid:10)(cid:12)
(cid:209)x = i - i 3.28
i r (cid:13) (cid:14)M M D M M D (cid:10) (cid:11)
t i=1 i j ij j i ij
3.4.2 La Ley de Fick
En el caso particular de que se tenga una mezcla constituida solo por dos sustancias, las
ecuaciones de Stefan-Maxwell se reducen a la clásica ley de Fick:
j =-r D (cid:209)w 3.29
i t ij i
que al contrario de Stefan-Maxwell, tiene la ventaja de ser un planteamiento explícito para
los flujos difusivos y que no depende del gradiente de la otra sustan cia.
35TABLA 3.1 NOMENCLATURA
C: Concentración molar de la especie i
i
C : Capacidad especifica de calor
p
D : Coeficiente de difusión de A en B
AB
F: Flujo molar de la especie i
F : Flujo molar de entrada de la especie i
io
g: Vector gravitacional
G: Energía libre de Gibbs
L: Longitud
M: Peso molecular del elemento i
i
N : Rapidez de transferencia de masa molar de la especie A.
A
p: presión
Q: Flujo volumétrico
r Velocidad de aparición de A
A:
r: Posición radial
r : Término de rapidez de producción de masa i dentro del volumen de control
i:
R: radio del cilindro
S: Selectividad
t: Tiempo.
v: Vector de velocidad
v : Componente de la velocidad en la coordenada z
z
U : Velocidad promedio
z
V: Volumen del reactor
X: conversión
Z: Posición axial
(cid:209): Gradiente. u operador
(cid:209)2 :Laplaciano
l: Conductividad térmica.
l: Edad de una partícula en flujo
r: Densidad.
r : Concentración de masa para la especie i
y: Concentración adimensional
t: Tensor de esfuerzo cortante
w: Fracción másica de la especie i.
a: Difusividad térmica
36CAPITULO 4
ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN
NUMÉRICA DEL MODELO
MATEMÁTICO
_________________________________________________________________________
En el presente capítulo se describen brevemente los algoritmos utilizados en la solución
numérica de los modelos deducidos en el capitulo anterior. En cada uno de los modelos se
resumen las ecuaciones que lo componen, se explican los procedimientos para su
discretización y se numeran los pasos que componen el algoritmo. Se comienza por la
exposición de la estrategia en el modelo para el balance de cantidad de movimiento,
seguido de la descripción de las estrategias para la transferencia de masa, en los casos de
mezcla multicomponente y mezcla binaria, mostrando los resultados obtenidos para valores
definidos en las constantes de las ecuaciones.
Las ecuaciones de Navier-Stokes, gracias a su mediano nivel de complejidad, son muy
utilizadas en gran cantidad de modelamientos, sobre todo en situaciones de flujo sobre
superficies libres y en el campo de la aerodinámica. Pero los problemas en los que el fluido
se encuentra limitado por paredes, no son claramente comentados en la literatura. En
general, muchos investigadores han tratado de plantear método s genéricos que puedan
resultar aplicables en varios casos. Entre estos se encuentran los métodos de proyección,
descritos por Peyret (1983) en detalle por Brown et al (2001), en el que la discretización
utilizada logra que no sea necesaria una solución simultánea para la velocidad y la presión,
sino que se hace secuencialmente, el inconveniente que surge es que es necesario conocer
la velocidad en las fronteras del sistema, lo que lo hace poco atractivo para el caso de flujo
en el interior de tubos. Mercado et al (2001), resuelve el flujo en un tubo en el que existe
transferencia de calor a través de la pared, asumiendo que el fluido se encuentra
desarrollado y acoplando la ecuación con el balance de energía, pero en la situación en que
la temperatura fuera constante a lo largo del tubo, la solución para la velocidad se reduce al
perfil parabólico de velocidad.
37En cuanto a los modelos para la transferencia de masa, Oran (2001) propone una estrategia
de solución basada en la dinámica del sistema, pero no hace comentarios respecto de las
condiciones de frontera, ni son claros los procedimientos para garantizar la conservación de
la masa en el sistema, al igual que tampoco hace comentarios sobre las ecuaciones
utilizadas para la difusión multicomponente. Amundson et al (1998) describe un método
para resolver un sistema de reacción con difusión aplicando la ecuación de Stefan-Maxwell,
el inconveniente es que se aplica en una situación donde no existe flujo, aparte de que hay
claridad sobre el procedimiento para efectuar la discretización.
4.1 SOLUCIÓN DEL BALANCE PARA LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
4.1.1 Solución del modelo para flujo no desarrollado
Bajo el supuesto de que la caída de presión en la longitud tiene una tendencia lineal, y que
su variación radial se considera despreciable, se puede reducir notablemente el nivel de
complejidad en el planteamiento:
¶v ¶v ¶v 1 Dp m (cid:9) 1 ¶v ¶2v ¶2v (cid:6)
z =-v z -v z - + (cid:7) z + z + z (cid:4) 4.1
¶t r ¶r z ¶z r L r (cid:8)r ¶r ¶r2 ¶z2 (cid:5)
¶v ¶v ¶v m (cid:9) v 1 ¶v ¶2v ¶2v (cid:6)
r =-v r -v r + (cid:7)- r + r + r + r (cid:4) 4.2
¶t r ¶r z ¶z r (cid:8) r2 r ¶r ¶r2 ¶z2 (cid:5)
La discretización de las derivadas respecto al tiempo de manera explícita, permite obtener
los valores de las velocidades en su progresión a través del tiempo hasta que se llegue al
estado estable.
Los perfiles de velocidad obtenidos que se obtienen no distan mucho del perfil parabólico
de velocidad correspondiente al caso para flujo de flujo desarrollado. Lo que nos hace
concluir que para una geometría de flujo tan sencilla no se justifica una solución rigurosa
del balance de cantidad de movimiento.
384.2 SOLUCIÓN DEL BALANCE PARA LA TRANSFERENCIA DE MASA
4.2.1 Solución del modelo para una mezcla multicomponente
El modelo matemático para un esquema de reacción donde intervengan más de dos
sustancias, exige la solución simultánea del balance para las especies químicas en conjunto
con la relación de Stefan-Maxwell, para cada una de las s especies:
¶r 1 (cid:15) ¶r (cid:15) jr ¶jr (cid:12) (cid:12)
¶zi = (cid:13)(cid:13) (cid:14)-v ¶ri -(cid:13)(cid:13) ri + ¶ri (cid:10)(cid:10) (cid:11)+r i(cid:10)(cid:10) 4.3
v r (cid:14) (cid:11)
z
¶w M ¶x w s ¶x
(cid:3)
i = i i - i M i 4.4
¶z Mt ¶z Mt k ¶z
k=1
¶w M ¶x w s ¶x
(cid:3)
i = i i - i M i 4.5
¶r Mt ¶r Mt k ¶r
k=1
¶x Mt2 (cid:3)s (cid:13)(cid:15) w ijz w jj iz (cid:10)(cid:12)
i = j - 4.6
(cid:13) (cid:10)
¶z r i=1(cid:14)M iM jD M jM iD (cid:11)
t ij ij
¶x Mt2 (cid:3)s (cid:13)(cid:15) w ijr w jj ir (cid:10)(cid:12)
i = j - 4.7
(cid:13) (cid:10)
¶r r i=1(cid:14)M iM jD M jM iD (cid:11)
t ij ij
s
(cid:3)
r =r 4.8
i t
i=1
sujetas a las condiciones:
Entrada: r =fc(r) 4.9
i
¶r
Centro: jr =0 , i =0
i ¶r
¶r
Pared: jr =0 , i =0
i ¶r
394.2.1.1 Discretización
El planteamiento explicito de la derivada en z en el balance de las especies 4.3 , hace que
pueda calcular los valores de las concentraciones en la siguiente posición de z a partir de
los valores de las variables en el punto anterior.
Para las condiciones de frontera en el centro y la pared, se utiliza una discretización de
primer orden para las derivadas las derivadas. Todas las demás derivadas se discretizan
utilizando diferencias finitas hacia atrás de primer orden.
El tamaño de paso para z debe ser lo suficientemente pequeño para garantizar la estabilidad
en la solución.
4.2.1.2 Algoritmo
1. Teniendo el perfil de concentraciones en la entrada del reactor, se calcula j
i
2. Se calculan las concentraciones en el siguiente paso de z, aplicando el balance para
las especies 4.3
3. Se obtienen los j correspondientes a las concentraciones calculadas para el siguiente
i
paso, resolviendo el conjunto
4. Se regresa al paso numero dos hasta que se llegue a la longitud especificada del
reactor
4.2.1.3 Ejemplo:
Se propone un esquema de reacción con dos reactivos y dos productos:
A + B (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) C + D
Con una cinética de reacción definida por:
(cid:15) r r r r (cid:12)
r =E M (cid:13)(cid:13)Kd A B -Kr C D (cid:10)(cid:10) 4.10
i i i (cid:14) M M M M (cid:11)
A B C D
Especificando los siguientes valores para las difusividades binarias:
D = 1e-7 , D = 2e-7 , D = 5e-7 , D = 2e-7 , D = 4e-7 , D = 3e-7 ,
AB AC AD BC BD CD
40Fijando los siguientes valores:
A B C D
Coeficiente estequiométrico E -1 -1 1 1
i
Peso molecular M (kg/kgmol) 2 3 3 2
i
Concentración de entrada (kg/m3) 2 3 3 2
Tabla 4.1
Parámetro Valor
Longitud (m) 1
Radio (m) 0.1
Velocidad media (m/s) 10
Constante cinética Kd (m3/kgmol s) 10
Constante cinética Kd (m3/kgmol s) 1e-5
Asumiendo que el fluido obedece a un perfil parabólico de velocidad, el resultado de la
integración arroja la distribución de concentraciones para las cuatro especies en el espacio
del reactor r = f(r,z). Para facilitar el análisis de los resultados, se calcula la concentración
i
media (o de mezcla) en cada posición de z, que corresponde a la concentración que resulta
de mezclar el todo fluido que pasa por esa posición de z:
R
(cid:2)
2prv r dr
z i
r = 0 4.11
i R
(cid:2)
2prv dr
z
0
41Los resultados de concentración media se muestran en la figura:
Figura 4.1 Concentración media de las sustancias a lo largo del reactor
La solución del modelo para una mezcla multicomponente resulta problemático para
valores grandes de las difusividades, pues la estequimetría de la reacción deja de
conservarse para las concentraciones medias de las sustancias, arrojando así valores sin
sentido físico, o que no se pueden explicar a través del hecho de que unas sustancias se
transforman en otras. Esto da la impresión de que fuera necesario implementar algún
esquema de corrección para las concentraciones a medida que se realiza la integración.
4.2.2 Solución del modelo para una mezcla binaria
El balance para la especie i, utilizando la ley de Fick, queda expresado
¶r 1 (cid:15) ¶r (cid:15) 1 ¶r ¶2r (cid:12) (cid:12)
¶zi = (cid:13)(cid:13) (cid:14)-v ¶ri -D ij(cid:13)(cid:13) ¶ri + ¶r2i (cid:10)(cid:10) (cid:11)+r i(cid:10)(cid:10) 4.12
v r (cid:14)r (cid:11)
z
42sujeta a las condiciones:
Entrada: r =fc(r) 4.13
i
¶r
Centro: i =0
¶r
¶r
Pared: i =0
¶r
Gracias a que el balance para la especie i no depende las concentraciones de la otra especie,
solo es necesario resolver la ecuación para el reactivo.
4.2.2.1 Discretización
Al igual que en el modelo para la mezcla multicomponente, se realiza un planteamiento
explicito de la derivada en z en el balance de las especies 4.12 .
Las condiciones de frontera en el centro y la pared, se utiliza una discretización de primer
orden para las derivadas las derivadas. Mientras que las otras derivadas se discretizan
utilizando diferencias finitas centradas de primer orden.
El tamaño de paso para z debe ser lo suficientemente pequeño para garantizar la estabilidad
en la solución.
El algoritmo resultante es mucho más simple que el que resulta para el caso
multicomponente.
4.2.2.2 Algoritmo
1. Se tiene el perfil de concentraciones en la entrada del reactor
2. Se calculan las concentraciones en el siguiente paso de z, aplicando el balance para
las especies 4.12
3. Se regresa al paso numero dos hasta que se llegue a la longitud especificada del
reactor
4.2.2.3 Ejemplo:
Para una esquema de una reacción monomolecular:
A (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) B
43Expresando la cinética de la reacción de primer orden:
r =E Kr 4.14
i i i
Se dan los siguientes valores a los parámetros del modelo:
Tabla 4.2
Parámetro Valor
Concentración inicial (kg/m3) 5
Longitud (m) 2
Radio (m) 0.1
Velocidad media (m/s) 10
Difusividad (m2/s) 3e-5
Constante cinética K (1/s) 10
La distribución de la concentración del reactivo a lo largo de longitud y el radio, se muestra
en la siguiente gráfica
Figura 4.2 Concentración del reactivo en el volumen del reactor
Aquí se puede notar que existe una variación radial apreciable para el reactivo,
disminuyendo su concentración en cercanías de la pared, lo cual se debe a que las bajas
velocidades en este sector proporcionan un tiempo de residencia en el reactor mayor que el
que posee el fluido que se desplaza por el centro del tubo.
444.2.2.4 Estudio del orden de la cinética de reacción
Como es sabido, la reacción A (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) B, no implica una cinética de primer orden y resulta
entonces interesante observar la influencia del orden de la reacción en la conversión
alcanzada. La figura 4.3 es una cuantificación de esta idea; en ella se han superpuesto las
graficas de la concentración de salida contra la constante de velocidad para las cinéticas de
orden cero, uno y dos.
Tabla 4.3
Parámetro Valor
Concentración inicial (kg/m3) 5
Longitud (m) 2
Radio (m) 0.1
Velocidad media (m/s) 10
Difusividad (m2/s) 3e-5
La tabla 4.3 da la información de entrada para la solución del problema. Se pueden
observar varios aspectos: para bajas constantes de velocidad la concentración de salida es
más baja (por lo tanto la conversión es más alta) para la reacción de orden dos y es posible
afirmar para tales casos que, el incremento del orden de reacción aumenta la conversión.
Las cinéticas de orden dos y uno, dan la misma solución para una constante de velocidad de
aproximadamente 20, lo cual resulta muy interesante, porque indica que la conversión de
salida es independiente del orden en ese punto. Lo mismo ocurre cuando la curva es la
correspondiente a la cinética de orden cero; corta las otras dos a una constante de velocidad
de aproximadamente 25.
Para altas constantes de velocidad el sentido de la conversión se invierte, y la conversión
más alta se obtiene para cinéticas de orden cero, siguiendo en orden decreciente la de orden
uno y la de orden dos.
Finalmente, como la constante de velocidad depende principalmente de la temperatura, la
figura 4.3 ilustra en forma indirecta la influencia de esta sobre la conversión y podría en
principio, emplearse para establecer la influencia de la temperatura.
45Figura 4.3. Concentración de mezcla del reactivo a la salida del reactor
contra la constante de velocidad
4.2.2.5 Influencia de la difusividad en la conversión química
Las dos contribuciones fundamentales al transporte de materia son la convección y la
difusión. La inclusión de esta última (la dispersión) en el modelo de un reactor es la
primera consideración de no idealidad. Desde el punto de vista de la difusión, los dos
extremos de los modelos de un reactor (ambos ideales) son el de Difusividad cero y el de
Difusividad infinita (flujo pistón). La solución de los modelos de los reactores reales deben
encontrarse en el interior de la región delimitada por estos dos extremos (Nauman, 2001).
Las soluciones de los modelos rigurosos son generalmente comparadas con el reactor de
flujo pistón y como este no presenta variaciones radiales de concentración siempre
encuentran grandes diferencias entre uno y el otro. Sin embargo, una comparación más
adecuada debe incluir el reactor de difusividad cero.
Una gráfica de la concentración de salida de un reactivo (o de un producto) contra la
Difusividad, establece todas las posibilidades de distribución de productos en un reactor de
dimensiones dadas. La figura 4.4 es un ejemplo de ello para las condiciones especificadas
en la tabla 4.4.
46Tabla 4.4.
Parámetro Valor
Concentración inicial (kg/m3) 5
Longitud (m) 2
Radio (m) 0.1
Velocidad media (m/s) 10
Constante cinética (1/s) 10
Figura 4.4. Concentración de salida del reactor contra la difusividad
En todos los casos las ordenadas corresponden a las concentraciones de mezcla a la salida
del reactor. Como era de esperarse, la figura 4.4 muestra un aumento de la conversión con
el aumento de la Difusividad, lo cual significa una progresión desde el reactor de
Difusividad cero hacia el reactor de flujo pistón, o lo que es lo mismo, un aumento del
mezclado radial.
La tabla 4.5 especifica un ejemplo, cuyo propósito es indicar la forma de comparación
apropiada entre los modelos ideales extremos y el modelo no ideal.
47Tabla 4.5.
Parámetro Valor
Concentración inicial (kg/m3) 5
Longitud (m) 2
Flujo volumétrico (m3/s) 0.1
Difusividad (m2/s) 0.1
Constante cinética (1/s) 10
Figura 4.5. Comparación de la concentración de salida para los tres tipos de reactores
48CAPITULO 5
EFECTO DE LOS PARÁMETROS
EN LA SOLUCIÓN DEL MODELO
_________________________________________________________________________
Uno de los conceptos más importantes durante el diseño de un proceso o en el
dimensionamiento de un equipo de proceso es el “estudio paramétrico”; entendiendo por
esto la cuantificación de los cambios que experimenta la solución de un modelo matemático
con la varianza de sus especificaciones. La utilidad de este tipo de cálculos radica en el
establecimiento de las condiciones y variables optimas a las cuales debe llevarse a cabo el
proceso.
La tarea de optimizar un reactor es harto compleja, requiriendo el uso de todas las
ecuaciones de conservación (materia, energía y cantidad de movimiento) en conjunción con
una función de costos, si lo que se quiere es una optimización de carácter practico
(industrial). Un nivel más básico de la optimización es el de el desempeño; por ejemplo,
sólo optimizar la conversión, la selectividad, la razón de reciclo, la taza de remoción de
calor, etc. La aparición de óptimos generalmente está relacionada con las no linealidades
del modelo y en la mayoría de los casos requiere el acople de las ecuaciones; por ejemplo
Gómez y Fontalvo (2004), estudiando el caso de un reactor tubular ideal, muestran la
existencia de un radio optimo sólo en el caso de acoplar los balances de materia y cantidad
de movimiento.
Con el fin de mejorar la comprensión sobre ciertos detalles en la solución del modelo para
una mezcla binaria, se ha optado por seleccionar un sistema reaccionante con aplicación en
la vida real, y establecer la variación respecto de los parámetros más relevantes.
495.1 REACCIÓN DE ISOMERIZACIÓN DE N-BUTANO
EL isobutano es una sustancia utilizada en la fabricación de aditivos para gasolinas. Este
puede ser producido por la isomerización en fase líquida de n-butano empleando pequeñas
cantidades de un catalizador líquido Fogler (1999). Esta es una reacción que además de ser
exotérmica es reversible.
(cid:1)(cid:2)
n-butano i-butano
teniendo una cinética reacción expresada por:
(cid:15) C (cid:12)
r =k(cid:13)(cid:13)C - B (cid:10)(cid:10) < kmol / m3 h > 5.1
A (cid:14) A K (cid:11)
C
(cid:15) (cid:15)T-360(cid:12)(cid:12)
k =31.1exp(cid:13)(cid:13)7906(cid:13) (cid:10) (cid:10)(cid:10) < h-1 > 5.2
(cid:14) (cid:14) 360T (cid:11)(cid:11)
(cid:15) (cid:15)T-333(cid:12)(cid:12)
K =3.03exp(cid:13)(cid:13)-830.3(cid:13) (cid:10) (cid:10)(cid:10) 5.3
C (cid:14) (cid:14) 333T (cid:11)(cid:11)
Con el objetivo de examinar la distribución de concentración que el reactivo logra en el
volumen del reactor, se definen valores para los parámetros diciendo que el reactivo ingresa
puro.
Tabla 5.1
Parámetro Valor
Concentración inicial (kg/m3) 579
Longitud (m) 15
Radio (m) 0.08
Velocidad media (m/s) 0.011
Temperatura (K) 330
Empleando el método de Wilke-Chang para el cálculo de la difusividad, y con los
parámetros de la tabla 5.1, se obtiene la figura 5.1 que pone en evidencia el gran cambio
que experimenta la concentración de n-butano en dirección radial, alcanzándose valores
pequeños en cercanías de la pared y aproximados a su valor de equilibrio químico, esto
gracias a las grandes velocidades de reacción que se manejan en este sector.
50Figura 5.1 Concentración de n-butano en el volumen del reactor
La figura anterior sugiere que al comparar este resultado con el reactor de flujo pistón la
diferencia puede llegar a ser apreciable, lo cual se comprueba en la figura 5.2.
Figura 5.2 Concentración media de n-butano a lo largo del reactor
515.2 EFECTO DE LA TEMPERATURA Y EL RADIO
Teniendo en cuenta que la temperatura afecta directamente las magnitudes de la difusividad
y la velocidad de reacción, y que las dimensiones del tubo definen el volumen para llevar a
cabo la reacción, se constituyen estas como variables que se desean seleccionar
adecuadamente para mejorar el rendimiento del reactor. A priori, debido a que las
ecuaciones se encuentran desacopladas, es de suponer que no se encuentren óptimos. Esto,
empero, no resulta desalentador porque el estudio sirve también para interpretar desde el
punto de vista físico lo que ocurre en el reactor.
Manteniendo un flujo volumétrico de 2.2308e-4 m3/s se realizan modificaciones sobre la
temperatura, longitud y diámetro del reactor. Se definieron tres valores de temperatura, y
tres niveles de longitud para observar su influencia sobre la concentración media de salida
para diferentes valores del radio, resultados mostrados en las figuras 5.3 , 5.4 y 5.5
Figura 5.3 Concentración media de n-butano a la salida del reactor, T = 330 K
52Figura 5.4 Concentración media de n-butano a la salida del reactor, T = 345 K
Figura 5.5 Concentración media de n-butano a la salida del reactor, T = 360 K
53En las gráficas anteriores se concluye principalmente que la conversión del reactivo se
incrementa a medida que también lo hacen la temperatura, el radio y la longitud. Pero algo
interesante que se puede notar es que para una longitud definida existe una magnitud del
radio a partir del cual desaparece su influencia sobre la concentración de salida ya que se
alcanza el valor del equilibrio químico, lo mismo que también habrá un momento en que no
se justifique aumentar la longitud del reactor para mejorar la conversión.
54CONCLUSIONES
Al solucionar las ecuaciones de Navier-Stokes asumiendo caída de presión constante, se
obtiene un perfil parabólico de velocidad idéntico al que se obtiene para un flujo
desarrollado, llegándose a la conclusión de que no es justificable efectuar esta solución si
está desacoplada del balance de materia y en el caso de una geometría sencilla de flujo.
Se planteó un algoritmo de solución numérica para el balance de materia en un esquema de
reacción multicomponente, utilizando la relación de Stefan-Maxwell para la descripción del
término difusivo, resultando ser un método aplicable para valores bajos de difusividad, ya
que estable y cumple con la conservación global de la estequiometría.
Para difusividades bajas, la acción conjunta de los fenómenos de difusión y convección
logra tener un efecto apreciable sobre la distribución de concentraciones en el volumen del
reactor, pudiéndose de esta manera notar la significativa variación radial de la
concentración en el caso de la isomerización de n-butano en fase líquida.
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May 2002 (VKI notes will be on http//:cfd.me.umist.ac.uk .. people).
White, Frank M. (1983). Mecánica de Fluidos. Editorial McGraw Hill
Zheng,Yihao; Garcia, Alejandro L.y Alder Berni J. Comparison of Kinetic Theory and
Hydrodynamics for Poiseuille Flow. Journal of Statistical Physics, Vol. 109, Nos. 314,
63ANEXO A
NOTACIÓN MATEMÁTICA
_________________________________________________________________________
La mayoría de los textos y artículos científicos utilizan una nomenclatura que compacta las
expresiones de conservación, conocida con el nombre de Nomenclatura Indicial.
La ecuación de continuidad para flujo incompresible con densidad constante, está dada en
la nomenclatura tradicional como:
(cid:209)(cid:215)u =0 A1
En la nomenclatura de los libros de CFD (indicial) aparece como:
du
i =0 A2
dx
j
En coordenadas cilíndricas
du 1¶(ru ) 1¶u ¶u
(cid:209)(cid:215)u = i = x + q + z =0 A3
dx r ¶r r ¶q ¶z
i
Otra operación con el operador (cid:209) es:
¶P 1¶P ¶P
(cid:209)P= + + A4
¶r r ¶q ¶z
la nomenclatura de los libros de CFD es:
¶P
(cid:209)P= A5
¶x
i
Es notable la diferencia en las ecuaciones A3 y A4, la ecuación A4 no tiene punto.
64De igual forma cuando aparezca en las ecuaciones de conservación el siguiente término:
¶u (cid:3)3 ¶u (cid:3)3
u i = u i = u (cid:209)(cid:215)u A6
j ¶x j ¶x j i
j j=1 j j=1
Donde 1, 2, 3; son las componentes r, q, z respectivamente.
Una cantidad con dos subíndices (t )es un tensor que posee nueve componentes:
ij
(cid:9)t t t (cid:6)
11 12 13
(cid:7) (cid:4)
t = t t t A7
ij (cid:7) 21 22 23(cid:4)
(cid:7) (cid:8)t t t (cid:4) (cid:5)
31 32 33
Donde t es conocido como el tensor de Reynolds o tensor de esfuerzo turbulento. Se
ij
considera un tensor en coordenadas cartesianas como se ve en el Figura A1
Figura A1 Notación de Tensor en Coordenadas Cartesianas
El primer subíndice (y) indica la normal a la superficie en la cual el tensor actúa, el segundo
subíndice (x) indica la dirección del tensor
Todos los esfuerzos con subíndices iguales (t , t t ) son conocidos como Esfuerzos
11 22, 33
Normales o Presiones y los que posean diferentes subíndices se les ha asignado el nombre
de Esfuerzos de Corte y se considera un tensor simétrico, cuando los esfuerzos con
subíndices invertidos son iguales (t =t ).
23 32
Para un tensor simétrico, solo es necesario el conocimiento del seis de sus nueve
componentes; de los cuales tres son esfuerzos normales y tres son esfuerzos de corte.
Un tensor muy utilizado en la dinámica de los fluidos es el Tensor Delta de Kronecker d ,
ij
representado por una matriz idéntica
65(cid:9)1 0 0(cid:6)
(cid:7) (cid:4)
d = 0 1 0 A8
ij (cid:7) (cid:4)
(cid:7) (cid:8)0 0 1(cid:4) (cid:5)
66ANEXO B
NÚMEROS ADIMENSIONALES
_________________________________________________________________________
El análisis dimensional es el método más empleado para correlacionar cierto número de
variables en una sola ecuación, expresando un efecto.
Los números adimensionales son relaciones entre variables físicas y se les ha asignado los
nombres de los primeros investigadores en el campo de la mecánica de fluidos,
transferencia de masa y de calor.
Adimensionalización de las Ecuaciones Básicas
Las ecuaciones de conservación contienen las tres dimensiones básicas (L, M, T), además
todas las variables p, u, r, z, y t pueden adimensionalizarse utilizando la densidad y dos
constantes de referencia características del flujo que se está tratando:
• La velocidad de referencia u : puede ser la velocidad máxima o la velocidad a la
entrada del reactor.
• La longitud característica R: Radio del cilindro
Como ejemplo, al tratar las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento que se
presentan en el capítulo 2:
Continuidad (cid:209)(cid:215)u =0 2.4
Du (cid:209).p
Cantidad de movimiento =n(cid:215)(cid:209)2u- +g 2.5
Dt r
67Las variables adimensionales* pueden ser las siguientes:
u p tv r (cid:209)
u* = p* = t* = r* = (cid:209)= 2.6
u rv2 R R R
Remplazando estas variables en las ecuaciones de conservación y reorganizando resulta:
Continuidad (cid:209)*(cid:215)u* =0 2.7
Du* 1 (cid:209).p 1
(cid:209)*2
Cantidad de Movimiento = u- + 2.8
Dt* Re r Fr
Donde Re y Fr son los números de Reynolds y Froude respectivamente
Las condiciones de frontera y las condiciones iniciales de estas ecuaciones de conservación,
igualmente deben se adimensiondas.
Según Oran (2001) se recomienda no utilizar en la programación ecuaciones de
conservación adimensionales; por las siguientes razones:
• Es muy complicado depurar o encontrar un error en el programa, cuando todas las
variables son de orden uno.
• El método es cuestionable cuando se debe realizar un proceso iterativo complejo o
cuando el problema no esta en un espacio homogéneo.
• Es muy relevante trabajar en unidades reales, sirve para focalizar el problema y
desarrollar la intuición sobre el tema a tratar y facilita la comunicación con
ingenieros y laboratoristas.
La tercera afirmación es la más importante y en este trabajo se comprobó la realidad y
lo acertado de la afirmación del autor.
A continuación se listan los números adimensionales mas empleados en la dinámica de los
Fluidos.
* Éste símbolo se utiliza para representar Variables Adimensionales
68Tabla B1 Números Adimensionales
Nombre Símbolo Definición Significado Físico
Dr Diferencia de densidades
Atwood A
r +r Suma de densidades
1 2
hV Resistencia conductora a la transferencia de calor
Biot Bi A
k Resistencia convectiva a la transferencia de calor
mu2 Calor debido a la disipación térmica
Brinkman Br
kT Calor debido a la conducción térmica
mu Fuerza viscosa
Capilaridad Cp
s Tensións uperficial
Damköhler Da rl2 Rata de reacción química
i
Convectivo u Rata de transporte convectivo
Damköhler rl2 Rata de reacción química
Da i
Difusional Rata de transporte Difusional
D
Damköhler Ql Calor debido a la reacción
Da
Convección rhu Calor debido a la convección
Damköhler Ql Calor debido a la reacción
Da
Conducción kT Calor debido a la conducción
Damköhler Ql Calor debido a la reacción
Da
Difusión rDu Calor debido a la Difusión
Coeficiente r¢-r Fuerza de descarga
C
de Descarga D gr¢lu2 Fuerza inercial
u2 Energía cinética
Eckert Ec
c T Entalpia
p
P Presión
Euler Eu
ru2 Fuerza inercial
Euler P-Pv Presión
Ca
Cavitación ru2 Fuerza inercial
u2 Energía cinética
Froude Fr
lg Energía gravitacional
l3r2bgDT Fuerza boyante
Grashof Gr
m2 Fuerza inercial
l du Factor de dilatación : criterio para incrementar el área
Karlovitz K
u dy de flamas
d Tiempo de convección
Knudsen Kn
l Tiempo de colisión
69k Difusividda térmica
Lewis Le
rc D Difusividda de masa
p ij
Magnitud de efectos de compresibilidad
u
Mach Ma Velocidad del flujo
u
sonido Velocidad del sonido
F Fuerza impuesta
Newton Nt
rl2u2 Fuerza inercial
Nusselt hl Resistencia térmica de convección del fluido
Nu
k Resistencia térmica de conducción
Pecler ulrc Transporte de calor convectivo
Pe p
Calor k Transporte de calor por conducción
Pecler ul Transporte convectivo de masa
Pe
Masa D Transporte molecular de masa
ij
lDP Fuerza de presión
Poisseuille Po
mu Fuerza viscosa
c m Difusividad de momento
Prandtl Pr p
k Difusividad térmica
gl3bDTr2 Fuerza boyante
Rayleigh Ra
c mk Fuerza difusional
p
lur Fuerza inercial
Reynolds Re
m Fuerza viscosa
gl Efectos boyantes
Richardson Ri
Du2 Efectos de corte vertical
u Fuerza inercial
Rossby Ro
2sen(L)wl
Fuerza Coriolis
m Difusividad de momento
Schmidt Sc
rD Difusividad de masa
ij
h Pérdida de conducción térmica
Stanton St
ruc Capacidad Calorífica
p
m Proporcion de humedad viscosa
Stokes S
rl2w Rata Vibracional
lw Rata vibracional
Strouhal Sr
u Rata de flujo convectivo
rlu2 Fuerza inercial
Weber W
s Tensiónsuperficial
70