ලක්ෂණ

ලක්ෂණ


ඕනෑම වර්ග පදයක් ශූන්‍ය හෝ ධන සංඛ්‍යාවක් වන නිසා විචලතාව ඍණ අගයක් නොගනී. සසම්භාවී විචල්‍යයක විචලතාව ශූන්‍ය වනුයේ විචල්‍යයේ යම් දෝශ සහගත තත්වයන් පැවතුනහොත් පමණක් එනම් එය සම්භාවිතාව 1වන නියත අගයක් ගනී. තවද විචල්‍ය දත්ත සමූහයක විචලතාව o වෙන්නේ සියලුම විචල්‍යවලට එකම අගය පැවතුණහොත් පමණි.

ස්ථානීය පරාමිතිය අනුව විචලතාව විචලනය නොවේ. එනම් යම් නියත අගයක් සියලුම විචල්‍යයන්ට එකතු කළ විට විචලතාව වෙනස් නොවේ. සියලුම විචල්‍යයන් නියත අගයකට අනුව පරිමාණ ගත කළ විට විචලතාව එම නියත අගයේ වර්ගයට අනුව පරිමාණ ගතවේ. මෙම ගති ලක්ෂණ දෙක පහත සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ කළ හැක.



සහසම්බන්ධයක් රහිත සසම්භාවී විචල්‍යවල පරිමිත ඓක්‍යයක විචලතාව ඒවායේ විචලතාවල ඓක්‍යයට සමාන වේ.

1. කිසියම් නිරීක්ෂණයක් තවත් දෙවන විචල්‍යයක් ඇසුරෙන් වෙනත් උප සමූහවලට බෙදිය හැකි යයි උපකල්පනය කරමු. එවිට සමස්ත ඒකකයේ විචලතාව උප සමූහවල විචලතාවයන්ගේ මධ්‍ය නිසා සහ උප සමූහවල මධ්‍යන්‍යයයේ විචලතාවය යන දෙකේ එකතුවට සමාන වේ. මෙම ලක්ෂණය විචලතා විහේදනය නැත්නම් , සමස්ත විචලතාව පිළිබද නීතිය ලෙස හැදින්වෙන අතර එය විචල්‍ය විෂ්ලේෂණයේ දී වැදගත් ක්‍රියාදාමයක් ඉටු කරයි. උදාහරණයක් ලෙස කිසියම් කණ්ඩායමක් සමාන පිරිමින් හා ගැහැණුන් ප්‍රමාණයකින් සමන්විත උප සමූහ දෙකකින් සෑදී ඇතැයි උපකල්පනය කරමු. තවද පිරිමින්ගේ උසෙහි මධ්‍යන්‍යය 180 යැයි ද විචලතාව 100 යැයිද ගැහැණුන්ගේ උසෙහි මධ්‍යන්‍යය 160 යැයි ද විචලතාව 50 යැයි ද සිතමු.මෙවිට විචලතාවයන්ගේ මධ්‍යන්‍ය (100 + 50) / 2 = 75 වේ. මධ්‍යන්‍යවල විචලතාව 180 හා 160 විචලතාව වන 100 වේ. එවිට සමස්ත ඒකකයේම උසෙහි විචලතාව 175 වේ.

වඩාත් සාධාරණ අවස්ථාවක දී උප සමූහයන් ප්‍රමාණයෙන් අසමාන වන විට මධ්‍යන්‍ය සහ විචලතාව නිර්ණය කිරීමේ දී ඒවායේ ප්‍රමාණයන්ට සමානුපාතික වන පරිදි බර තැබිය යුතුය. ඉහත සූත්‍රය උප සමූහ දෙකකට වඩා පවතින අවස්ථාවලදී ද උප සමූහ බෙදී යාම දිගින් දිගටම සිදුවන අවස්ථාවලට ද අනුකූලවේ.

සමස්ත කණ්ඩායමේ විචලතාව උප සමූහයන්ගේ විචලතාවයන්හි මධ්‍යන්‍යයට වඩා කුඩා විය නොහැකි බව මෙම සූත්‍රයෙන් ගම්‍ය වේ. එහෙත් සමස්ත විචලතාව එක් එක් උප සමූහයේ විචලතාවයට වඩා අනිවාර්යෙන්ම විශාල විය යුතු නැත. ඉහත දක්වන ලද උදාහරණයෙහි උප සමූහයන් වෙන් වෙන් වශයෙන් විශ්ලේෂණය කළ විට විචලතාවට බලපාන්නේ පිරිමි - පිරිමි අතර සහ ගැහැණු - ගැහැණු අතර පවතින වෙනස්කම් පමණි. නමුත් කණ්ඩායම් දෙක එකතු කළ විට ගැහැණු - පිරිමි අතර පවතින වෙනස්කම් ද විචලතාවට බලපායි.

2. විචලතාව පිළිබද බොහෝ ආගණන සූත්‍ර “විචලතාව , වර්ගවල මධ්‍යන්‍යයෙන් මධ්‍යන්‍යයේ වර්ගය අඩු කළ විට ලැබෙන අගයට සමාන වේ” යන ගුණය මත රදා පවතී. උදාහරණයක් ලෙස අපි 1,2, 3, 4 යන ඉලක්කම් සලකමු. මෙවිට වර්ගවල මධ්‍යන්‍යය (1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4) / 4 = 7.5 වේ. මෙම සංඛ්‍යාවල මධ්‍යන්‍යය 2.5 වේ. එමනිසා මධ්‍යන්‍යයේ වර්ගය 6.25 වේ. එමගින් විචලතාව 7.5 – 6.25 = 1.25 වේ. මෙම අගය අර්ථ දැක්වීම් මගින් ගොඩනගන ලද සූත්‍ර මගින් ගණනය කරන අගයට සමාන වේ. ඇල්ගෝරිතමවලදී මෙම ක්‍රමය භාවිතා‍වේ. එමගින් ඔවුන්ට ආගණනයන් සිදු කිරීමේ දී සියලුම දත්ත මත‍කයේ නොතබා ගෙන දත්ත ඇතුල් කරන අතරතුරේදීම විචලතාව ලබා ගැනීමට ඉඩ සැලසේ. ඇල්ගෝරිතමවලදී තව දත්තයක් ඇතුල් කිරීමේ දී වෙනස් කළ යුතු වන්නේ විචල්‍ය තුනකි. ඇතුළත් කරන ලද දත්ත ප්‍රමාණය (n) ඇතුළත් කළ සියලු දත්තයන්ගේ ඓක්‍යය (s) ඇතුල් කළ සියලු දත්තයන්ගේ වර්ග පදවල ඓක්‍යය (ss) උදාහරණයක් ලෙස දත්තයන් 1,2,3,4 ලෙස සලකමු. ප්‍රථම දත්තය ඇතුල් කළ පසු n = 1 , s = 1 සහ ss = 1 වේ. දැන් දෙවන දත්තය වන (2) ඇතුල් කළ විට n = 2 , s = 3 සහ ss = 50 සියලුම දත්ත ඇතුල් කළ පසු n = 4 , s = 10 සහ ss = 30 වේ. මධ්‍යන්‍යය M = s/n ලෙස ගණනය වේ. මෙම උදාහරණයේ දී අවසාන ප්‍රතිඵලය 30/4 – 2.5 x 2.5 = 7.5 – 6.25 = 1.25 වේ. නොනැඹුරු දත්තයන් සමූහයක් ආගණනය කිරීමේ දී අවසාන ප්‍රතිඵලය n/(n-1) න් ගුණ කළ යුතුය. මෙම උදාහරණයේ දී 1.667 වේ.
References

http://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Properties