Komplekse getal

duimnael|regs|250px|'n Komplekse getal kan visueel voorgestel word as 'n getallepaar wat 'n vektor vorm op 'n diagram wat 'n Arganddiagram genoem word.

In wiskunde is 'n komplekse getal z 'n getal wat formeel gedefinieer kan word as 'n geordende paar (a,b) van reële getalle wat gewoonlik as volg geskryf word:
: z= a + bi \,
Per definisie is:
i = \sqrt{-1} is die imaginêre eenheid. Hieruit volg i^2 = -1. (In sommige toepassings, soos die beskrywing van kapasitors word liewer j = \sqrt{-1} gebruik om verwarring met die elektriese stroom i te voorkom.)

Die komplekse getal bestaan dus uit twee dele:
#die reële deel Re(z) = a
#die imaginêre deel Im(z) = b

Die versameling komplekse getalle ℂ vorm 'n tweedimensionele vlak en 'n komplekse getal kan altyd as 'n punt in hierdie komplekse vlak weergegee word in wat 'n Arganddiagram genoem word.

Bewerkings vir optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling is op hierdie komplekse getalle gedefinieer, met gedrag wat 'n streng superversameling van reële getalle is en wat verder ander elegante en nuttige eienskappe het. Die kwaternione is 'n superversameling van de komplekse getalle.
Agtergrond

Komplekse getalle is uitgevind toe daar ontdek is dat die oplos van sommige kubiese vergelykings intermediêre berekeninge benodig het wat die vierkantswortel van negatiewe getalle bevat het, selfs as die finale oplossings reële getalle was. Verder, uit die fundamentele stelling van algebra, beteken die gebruik van komplekse getalle as die getalveld vir polinomiese algebraïese vergelykings dat oplossings altyd bestaan, met ewe veel oplosinsg as die graad van die polinoom.

'n Goeie voorbeeld is die vergelyking van graad 4:
:x^4 = 1
In reële getalle kan slegs twee oplossings gevind word deur die vierkantswortel te neem:
:\sqrt{x^4} = x^2 = +1, -1
Die oplossing x^2 = +1 lewer twee oplossings as opnuut 'n vierkantswortel geneem word: \sqrt{x^2} = x= = +1, -1
Maar die oplossing x^2 = -1 moet verwerp word.

In ℂ daar is egter vier oplossings:
: 1, i, -1, -i

Die versameling komplekse getalle ℂ vorm 'n algebraïes geslote veld, in kontras met die versameling reële getalle of die versameling imaginêre getalle wat nie algebraïes geslote is nie.
Gebruik

Komplekse getalle word in 'n eindelose aantal verskillende velde gebruik, insluitend ingenieurswese, elektromagnetisme, kwantumfisika, toegepaste wiskunde, en chaosteorie. Veral in wiskunde beteken die byvoeglike naamwoord "kompleks" dat die onderliggende getalveld komplekse getalle is, byvoorbeeld komplekse analise, komplekse matriks, komplekse polinoom en komplekse Lie-algebra.
Eienskappe

Toegevoegde paar

Die toegevoegde paar van die komplekse getal z= a + bi \, is:
: z^*= a - bi \,
Optelling en aftrekking

By optelling of aftrekking van twee komplekse getalle word die reële en de imaginêre dele apart opgetel of afgetrek:
:z_1 + z_2 = a_1+b_1i+ a_2+b_12 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i
:z_1 - z_2 = a_1+b_1i- a_2+b_12 = (a_1-a_2) + (b_1-b_2)i
Vermenigvuldiging

:z_1 * z_2 = (a_1+b_1i)* ( a_2+b_12) = (a_1*a_2) + (b_1i*b_2i) + (a_1*b_2i) + (a_2*b_1i)= (a_1*a_2 - b_1*b_2) + (a_1*b_2 + a_2*b_1)i

Die produk zz* is altyd reëel:

: zz^* = (a+bi)*(a-bi)= a^2-(bi)^2= a^2 + b^2
Deling

'n Deling kan vereenvoudig word deur die toegevoegde paar te gebruik:
: {{z_1} \over {z_2}} = {{z_1} \over {z_2}}

: {{z_1} \over {z_2}}= {{(a_1+b_1i)} \over {( a_2+b_2i)}}= {{(a_1+b_1i)*( a_2-b_2i)} \over {( a_2+b_2i)*( a_2-b_2i)}}= {{(a_1+b_1i)*( a_2-b_2i)} \over {( a_2^2+b_2^2)}}={{(a_1a_2+b_1b_2)+ (a_2b_1-a_1b_2)i} \over {( a_2^2+b_2^2)}}
Poolvorm

duimnael|Die poolvorm van die Arganddiagram
Die komplekse vlak kan ook met poolkoordinate beskryf word en 'n komplekse getal z=a+bi kan so ook in die poolvorm geskryf word as:
: z= r( cos \theta +i.sin \theta )
Waarby:
: r = |z|= \sqrt{zz^*} = \sqrt{(a^2 + b^2)}
: \theta= arctan (b/a)
Die waarde van r word ook die (komplekse) modulus van die komplekse getal genoem en \theta die fasehoek of die (komplekse) argument.
Eksponensiële notasie

Euler het bewys dat die poolvorm ook eksponensieel geskryf kan word as:
: z= r.e^{i\theta} = r( cos \theta +i.sin \theta )

In poolvorm word vermenigvuldiging en deling baie eenvoudiger:
duimnael|Die getal i is gedraai oor 90″ (π/2)

:z_1*z_2= r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}
Die modulus word vermenigvuldig en die fasehoeke opgetel.

Ander bewerkings soos die vierkantswortel word ook eenvoudiger:
:\sqrt{z}= \sqrt{r}e^{{i\theta }\over {2}}
Die imaginêre eenheid i self kan ook in eksponensiële vorm geskryf word as 'n getal met modulus r=1 en 'n fasehoek van {\pi} \over {2}:
: i = e^{{\pi i} \over {2}}
Dit vereenvoudig die oplossing van baie probleme soos:

: {i^i} = {{(e^{{\pi i} \over {2}})}^i} ={e^{-{\pi} \over {2}}}= \sqrt{{1} \over {e^{\pi}}} ={0.20787957635}
Eksterne skakels

*
Verwysings

Kategorie:Elementêre wiskunde
Kategorie:Komplekse analise
Kategorie:Komplekse getalle