Archimedesspiraal

regs|duimnael|300px|Drie 360° draaie van een arm van 'n Archimedesspiraal

'n Archimedeanspiraal (ook rekenkundige spiraal), is 'n spiraal wat vernoem is na die 3de eeu v.C. Griekse wiskundige Archimedes; dit is die lokus van punte wat ooreenkom met die ligging oor tyd van 'n punt wat weg van 'n vaste punt beweeg teen 'n konstante spoed langs 'n lyn wat teen konstante hoeksnelheid roteer.
Geskiedenis

In poolkoördinate (r, θ) kan die Archimedesspiraal beskryf word deur die vergelyking

:\, r=a+b\theta

met reële getalle a en b. Verandering van die parameter a sal die spiraal draai, terwyl b die afstand tussen opeenvolgende draaie bepaal. Archimedes beskryf so 'n spiraal in sy boek Oor Spirale.

Hierdie Archimedesspiraal word onderskei van die logaritmiese spiraal deurdat opeenvolgende draaie van die spiraal 'n konstante afstand van mekaar is (gelyk aan 2πb as θ in radiale gemeet word), terwyl hierdie afstande in 'n logaritmiese spiraal meetkundige vermeerder.

Let daarop dat die Archimedese spiraal twee arms het, een vir θ > 0 en een vir θ r=a+b\theta^{1\!/\!x}.

Die normale Archimedesspiraal kom voor wanneer x = 1. Ander spirale wat in die groep val sluit die hiperboliese spiraal, Fermat se spiraal, en die lituus in. So te sê alle statiese spirale wat in die natuur voorkom is logaritmiese spirale, nie Archimedesspirale nie. baie dinamiese spirale (soos die Parkerspiraal van die solar wind, of die patroon wat deur 'n Catherine's wheel gemaak word is Archimedesspriraal.


Image:Hyperspiral.svg|Hiperboliese spiraal
Image:Fermat's spiral.svg|Fermat se spiraal
Image:Lituus.svg|lituus

Eienskappe
Polêre hellingshoek

Die hoek \alpha tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellingshoek genoem en \tan \alpha die poolhelling. Die verwysing vir die polêre hellingshoek van die Archimedesspriaal word uitgedruk as:
: \; \tan\alpha=\tfrac{1}{\theta}\
Oppervlak van 'n sektor

Die oppervlak van 'n sektor van 'n spiraal (sien diagram) van met vergelyking r=r(\theta) is
:A=\frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} r(\theta)^2\; d\theta\ .

In die geval van die Archimedesspriaal met die beskywing r = a\theta is die vergelyking
:A=\frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} a^2\theta^2\; d\theta
=\frac{a^2}{6}\big(\theta_2^{3}- \theta_1^{3}\big)\
Booglengte

Die lengte van 'n boog van 'n kurwe met poolvergelyking r=r(\theta) is
:L=\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{\left(r^\prime(\theta)\right)^2+r^2(\theta)}\,\mathrm{d}\theta \ .

Vir die Archimedesspriaal r=a\theta\; is die lengte

:L=\int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{\frac{r^2}{\theta^2} +r^2}\; d\theta
= a\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{1+\theta^2}d\theta

Toepassings

frame|Meganisme van 'n krulpomp
Die Archimedesspiraal het 'n oorvloed van gebruike. 'n Rolkompressor (Engels: Scroll compressor) of pomp, gemaak uit twee tussengelaagde Archimedesspirale van dieselfde grootte, word gebruik vir die samepersing van vloeistowwe en gasse.

Die groewe van die eerste grammofoonplate het 'n Archimedesspiraal gevorm. Die hoeveelheid musiek wat op die plaat kon inpas is gemaksimeer deur die groewe daarvan eweredig te spasiëer (dit is later terwille van musiekkwaliteit verander).

Archimedesspirale word ook gebruik in die Digitale Ligprosessering van projeksiestelsels. Die "Reënboogeffek" hiervan word verminder deur dit te laat lyk of al die kleure gelyk vertoon word, al word rooi, groen en blou in werklikheid geweldig vinnig gewissel.
Verwysings
Eksterne skakels

*

* Page with Java application to interactively explore the Archimedean spiral and its related curves


Kategorie:Meetkunde