JayJayThrowThrow/commonwealth-wiki-mix huggingface dataset:
ඉස්කුරුප්පු ඇණ

thumb|right|260px|ඉස්කුරුප්පු සමූහයක්
thumb|260px| බදැණයක් හෙවත් බෝල්ට් ඇණයක් ( මුරිච්චිය|මුරිච්චියක් හා සමගින්) සහ ඉස්කුරුප්පුවක්
ඉස්කුරුප්පුවක් හෝ ඉස්කුරුප්පු ඇණයක් හෝ යනු, පිටතපොටක් ලෙසින් හැඳින්වෙන හෙලික්සීය මුදුනක් සහිත වීමෙන් ලක්ෂණනය වන, යම් ආකාරයකට අනුව බෝල්ට් ඇණයක් වැනි වන (බදැණය සහ ඉස්කුරුප්පුව අතර වෙනස පහත බලන්න), සාමාන්‍යයෙන් ලෝහ භාවිතයෙන් තැනෙන, ඇමුණුම් වර්ගයකි. යම් ද්‍රව්‍යයක් තුලට සිදුරු විදීමෙන් පසුව ඉස්කුරුප්පුවක් කරකවමින් එය තුලට එබ්බවීමෙහිදී, ඇමුණුමට ලක් වන ද්‍රව්‍යයන් තුල කට්ට කැපෙන බැවින්, එම ද්‍රව්‍යයන් එකිනෙකින් වෙන් වීම වලක්වමින් අමුණා තැබීමට ඉස්කුරුප්පු භාවිතා වෙයි. විවිධ ද්‍රව්‍ය ඇමිණීම සඳහා බොහෝ ඉස්කුරුප්පු වර්ග තිබේ; ඉස්කුරුප්පු ඇසුරෙන් අමුණා තැබෙන දේ අතර ලී, ලෝහ තහඩු සහ ප්ලාස්ටික් වෙති.
ඉස්කුරුප්පු ඇණ හා මුරිච්චි ඇණ

ඉස්කුරුප්පු ඇණ සිලිණ්ඩරාකාර මිටකින් යුක්තව පොට සහිත සම්බන්ධක ලෙස භාවිතා කරනු ලැබේ. බොහෝමයක් අවස්ථාවලදී එහි එක් කෙළවරක් ක්‍රමයෙන් සිහින් වන පරිදි ඇති අතර එය මත හෙලික්සීය කට්ටයක් හෝ හොටක් තනා ඇත. එහි අනෙක් කෙළවර වූ හිස කිසියම් හෝ ආකාරයකින් භ්‍රමණය කළ හැකිය. පොට වස්තුවෙහි අනුරූප හෙලික්සය සමඟ එකතු වේ. වස්තුව කරාමයක් ආධාරයෙන් ගැලපෙන හෙලික්සයකින් යුක්තව නිර්මාණය කර හෝ ඉස්කුරුප්පු ඇණය එයට ඇතුළු වන මුල් අවස්ථාවේ දී හෙලික්සය නිර්මාණය වන පරිදි හෝ තනා ඇත. හිස ඉස්කුරුප්පු නියනකට හෝ රෙන්ච් යතුරකට ඉස්කුරුප්පුව කරකැවිය හැකි සේ හැඩ ගස්වා ඇත. එමඟින් ඇණය තද කිරීම හෝ බුරුල් කිරීම කළ හැක. හිස ඉස්කුරුප්පු ඇණයේ කඳට වඩා වැඩි විෂ්කම්භයකින් යුක්ත වන අතර එහි පොටක් නොපවතී. එමනිසා ඉස්කුරුප්පු ඇණය කඳෙහි දිගට වඩා වැඩි දිගක් සහිත ද්‍රව්‍යයක් තුළට කිඳා බැස්විය නොහැක. තවද එමඟින් සම්පීඩනයක් ද සැපයිය හැක.

ඉස්කුරුප්පු ඇණ ඒවායේ කාර්යක්ෂමතාවය අඩු නොවන පරිදි ඉවත් කිරීම සහ නැවත ඇතුල් කිරීම සිදු කළ හැක. ඒවාට ඇණවලට වඩා වැඩි සම්බන්ධක බලයක් තිබෙන අතර නැවත භාවිතයට ඉඩ ප්‍රස්ථාව ඇත.

ඉස්කුරුප්පු ඇණ බොහොමයක් තද වීම සිදු වනුයේ ඔරලෝසු කටු කැරකෙන දිශාවට භ්‍රමණය කිරීමෙනි. ඒවා දකුණත් පොටවල් නම් වේ. වමත් පොටවල්වලින් යුත් ඉස්කුරුප්පු ඇණ විශේෂිත අවස්ථාවලදී යොදා ගනී.
ආශ්‍රිත ලිපි

* ඇණ

ප්‍රවර්ගය:ඇණ
දුරකතනය

දුරකතනය යනු ශබ්දය (බහුලව මිනිස් කටහඬ) සම්ප්‍රේෂණයට හා ලබා ගැනීමට භාවිතා වන විදුලි සංදේශ උපකරණයකි. සාමාන්‍යයෙන් මෙය භාවිතා කරන්නේ පුද්ගලයන් දෙදෙනෙකු අතර සාකච්ඡාවකට වුවත් සමහරක් විට එය තිදෙනෙකු හෝ ඊට වඩා වැඩි ගණනක් විය හැක.
වර්තමානයේ ලෝකයේ වඩාත් බහුලම ගෘහස්ත උපකරණවලින් එකක් බවට එය පත්ව ඇත. බොහෝමයක් දුරකතන ක්‍රියාත්මක වන්නේ සංකීර්ණ දුරකතන ජාලයක් හරහා විද්‍යුත් සංඥා සම්ප්‍රේෂණය කිරීමෙනි. මෙමඟින් ඕනෑම දුරකතන පරිශීලකයෙකුට ඕනෑම කෙනෙකු සමඟ පාහේ සන්නිවේදනය කිරීමට ඉඩ ප්‍රස්ථාව ලැබේ.
මූලික සිද්ධාන්ත

දුරකතන වර්ග දෙකක තොරතුරු හසුරවයි. ඒවා නම් සංඥා හා කටහඬයි. මෙය විවිධ අවස්ථාවලදී එකම ඇඹරුණු රැහැන් යුගලයක් මත සිදු වේ. සංඥා ලබා දීමේ උපකරණය ලැබෙන ඇමතුම් පිළිබඳ පරිශීලකයා දැනුවත් කිරීමට සීනුවකින් ද ගන්නා ඇමතුම්වල දුරකතන අංක ඇතුල් කිරීම සඳහා වූ ඩයලයකින් ද යුක්ත වේ. වෙනත් දුරකතනයකට කතා කිරීමට බලාපොරොත්තු වන පරිශීලකයෙක් රිසීවරය ඔසවයි. එමනිසා ස්විචයක් ක්‍රියාත්මක වේ. එමඟින් දුරකතනය ක්‍රියාකාරී තත්වයට පත් කරන අතර රැහැන් හරහා ප්‍රතිරෝධී ලුහුවත් වීමක් ද ඇති වේ. එමනිසා රැහැන් හරහා ධාරාවක් ගලා යයි. දුරකතන හුවමාරුව මෙම DC ධාරාව අනාවරණය කර ගෙන සංඛ්‍යාංක ආදායකයක් අමුණා සූදානම් බව ඇඟවීම සඳහා අක්වට තානය (dial tone) යවයි. පරිශීලකයා ඉලක්කම් බොත්තම් ඔබන අතර ඒවා ඩයලය තුළ වූ නාද උත්පාදකයකට සම්බන්ධය. එමඟින් DTMF නාද නිපදවේ. ඉන්පසු හුවමාරුව අදාල දුරකතනය සම්බන්ධ කරන අතර එයට දැනුම් දීමක් සිදු කරයි.

දුරකතනය ක්‍රියා විරහිතව ඇති විට (රිසීවරය තබා) එහි සීනුව, බීපරය හෝ අනෙක් දැනුම් දීමේ උපකරණ ධාරිත්‍රක හරහා දුරකතන මාර්ගයට සම්බන්ධ කර ඇත. අක්‍රීය දුරකතනය දුරකතන මාර්ගය ලුහුවත් නොකරන අතර එමනිසා හුවමාරුව එහි රිසීවරය තබා තිබෙන බව හා සීනුව පමණක් විද්‍යුත් වශයෙන් සම්බන්ධ බව දැන ගනී. එම දුරකතනයට කිසිවෙකු ඇමතූ විට දුරකතන හුවමාරුව දුරකතන මාර්ගයට අධි වෝල්ටීයතා ස්පන්ද සංඥාවක් යොදයි. මෙමඟින් ඇමතුම් ලබන පාර්ශවයට සීනුව නාද වීම බීපරය ක්‍රියාත්මක වීම හෝ වෙනත් දැනුම් දීමේ උපකරණයක් ක්‍රියාත්මක වීම සිදු වේ. පරිශීලකයා රිසීවරය එසවූ විට එසවුම් ස්විචය සීනුව අක්‍රිය කර දුරකතනයේ හඬ කොටස ක්‍රියාත්මක කරයි. ඉන්පසු දුරකතන මාර්ගයට ප්‍රතිරෝධී ලුහුවත් කිරීමක් ලබා දෙන අතර එමඟින් දුරකතනය පිළිතුරු ලබා දුන් බව හා ක්‍රියාත්මක බව දැනුම් දේ. සම්බන්ධ වූ පාර්ශවයන් දුරකතනයේ හඬ කොටස භාවිතයෙන් සාකච්ඡා කරයි.

දුරකතනයේ හඬ කොටස රිසීවරයේ ඇති අතර එය සම්ප්‍රේෂකයකින් (බහුලව මයික්‍රොෆෝනය ලෙස හඳුන්වන) හා ආදායකයකින් සමන්විත වේ. සම්ප්‍රේෂකය දුරකතන මාර්ගයේ ජවය ලබා ගන්නා අතර කටහඬ මඟින් ඇති කරන ධ්වනි පීඩන තරංගවලට අනුරූපව විද්‍යුත් ධාරාවක් නිකුත් කරයි. මෙම විද්‍යුත් ධාරා විචලනය දුරකතන මාර්ගය ඔස්සේ අනෙක් දුරකතනය වෙත සම්ප්‍රේෂණය වී එහි වූ ආදායකයේ කුඩා ශබ්ද විකාශකයක් කම්බි දඟරය තුළට ඇතුල් වේ. විද්‍යුත් ධාරාවේ විචලනය දඟරය ඉදිරියට සහ පසු පසට චලනය වීමට හේතු වන අතර එමඟින් සම්ප්‍රේශකයෙහි වූ ධ්වනි පීඩන තරංග ප්‍රතිනිර්මාණය වේ. එක් පාර්ශවයක් රිසීවරය තැබූ විට මාර්ගයේ DC ධාරා ගලනය නවතින අතර එමඟින් හුවමාරු වන දුරකතන ඇමතුම විසන්ධි කරන ලෙස සංඥා කෙරේ.

ලින් මෑන්ගේ රිසීවරය දුරකතන ජාල පරීක්ෂා කිරීම සඳහා නිර්මාණය කරන ලද දුරකතනයකි.
References

http://en.wikipedia.org/wiki/Telephone
රෙදිපිළි ඉංජිනේරු විද්‍යාව

රෙදිපිළි ඉංජිනේරු විද්‍යාව (TE) හෝ තාක්ෂණය කටයුතු කරනු ලබන්නේ තන්තු රෙදිපිළි හා ඇගලුම් ක්‍රියාවලි, නිෂ්පාදන හා යන්ත්‍ර සුත්‍රවල සියලුම අංග සැලසුම් කිරීමට හා පාලනයට යොදා ගන්නා විද්‍යාත්මක හා ඉංජිනේරුමය න්‍යායන්ගේ යෙදීම් සමගය. මෙයට ස්වාභාවික හා කෘත්‍රීම අමුද්‍රව්‍ය, අමුද්‍රව්‍ය හා යන්ත්‍ර සුත්‍ර අතර අන්තර් ක්‍රියාකාරීත්වය, ආරක්ෂාව හා සෞඛ්‍ය, ශක්ති සංරක්ෂණය හා අපද්‍රව්‍ය හා දුෂණ පාලන ඇතුළත් වෙයි. මීට අමතරව රෙදිපිළි ඉංජිනේරු වරුන්ට කර්මාන්ත ශාලා සැලසුම් කිරීම, යන්ත්‍ර සුත්‍ර හා තෙත් ක්‍රියාවලි සැලසුම් කිරීමේ හා වැඩි දියුණු කිරීමේ හා රෙදිපිළි නිෂ්පාදන සැලසුම් කිරීමේ හා නිර්මාණය කිරීමේ පුහුණුව හා අත්දැකීම් ලබාදෙනු ලැබේ.

සාමාන්‍ය TE වැඩසටහනක ඇති පාඨමාලාවලට රෙදි පිළි ඉංජිනේරු පද්ධති, රෙදිපිළි ඉංජිනේරු සැලසුම්, තන්තුමය ව්‍යුහවල යාන්ත්‍ර විද්‍යාව රෙදිපිළි ඉංජිනේරුමය තත්ත්ව වැඩිදියුණු කිරීම, රෙදි පිළි තොරතුරු පද්ධති සැලසුම් කිරීම, බහුඅවයවික ඉංජිනේරු විද්‍යාව, බහු අවයවික ජෛව අමුද්‍රව්‍ය ඉංජිනේරු විද්‍යාව, පටක හා රෝපණ අවශ්‍යතා යාන්ත්‍රණ විද්‍යාව, තන්තු ගොඩනැංවීමේ යාන්ත්‍රණ, රෙදිපිළි ඉංජිනේරු විද්‍යාවේ විශේෂ මාතෘකා, තන්ත්‍ර නිෂ්පාදන පද්ධති වල ගතිකය , රෙදිපිළි සංයෝග, කර්මාන්තමය රෙදිපිළි, වෛද්‍ය විද්‍යාවේ රෙදි පිළිවල යෙදීම්, ඉංජිනේරුමය ආර්ථික විද්‍යාව, රෙදිපිළි නිපදවීමේ හා තත්ත්ව පරීක්ෂා කිරීමේ යන්ත්‍රෝපකරණවල මූලික ඉලෙක්ට්‍රෝනික් විද්‍යාව, සායම් තැබීම මුද්‍රණය හා අනෙකුත් රෙදිපිළි වර්ණ ගැන්වීමේ ක්‍රම හා කර්මාන්තමය සැලසුම් කිරීම් හා සංවිධානය කිරීම් ඇතුළත් වෙයි. (මොයි විශ්ව විද්‍යාලය, 1991)

රෙදිපිලි ඉංජිනේරු විද්‍යාව විෂය මාලාව පුරාවටම ශිෂ්‍යයන් විසින් අනෙකුත් ඉංජිනේරුමය හා විෂය පන්තිවලින් පාඩම් ලබා ගැනීම් සිදු කරයි. ඒවාට යාන්ත්‍රික, රසායනික, ද්‍රව්‍යමය හා කර්මාන්තමය ඉංජිනේරු විෂය පථ ඇතුළත් වෙයි. TE විෂය මාලාව මගින් ශිෂ්‍යයන්ට රෙදිපිලි ඉංජිනේරු විද්‍යාවේ අඩිතාලමක් ලෙස මූලික ඉංජිනේරුමය පාඨමාලාවල පුළුල් පාදමක් සපයා දෙයි. ශිෂ්‍යයන් විසින් තාපගති විද්‍යාව, ද්‍රව්‍යමය විද්‍යාව, කර්මාන්තමය කළමනාකරණය, ව්‍යවහාරමය යන්ත්‍ර විද්‍යාව හා ඉංජිනේරුමය ඇදීම් හා සැලසුම්කරණය වැනි මූලික පාඨමාලාද ඉගෙන ගනියි.
රැකියා තත්ත්වය

රෙදිපිලි ඉංජිනේරු වරයෙක්, රෙදිපිළි අමුද්‍රව්‍ය (තන්තු , නූල්, රෙදි හා නිමැවුම්) සමග කටයුතු කරයි. බොහොමයක් රෙදිපිළි ඉංජිනේරුවරුන් නිෂ්පාදන පර්යේෂණ හා දියුණු කිරීම පිළිබඳව කටයුතු කිරීම සිදු කරනු ලබයි. එය ඔවුන් සිදු කරන්නේ දැනට පවතින රෙදිපිළි නිෂ්පාදන වැඩි දියුණු කිරීමෙන් හෝ නව නිෂ්පාදන නිර්මාණය කිරීමෙන් විය හැකිය. තවද ඔවුන් නව තන්තු, නූල්, රෙදි හෝ රෙදිපිළි නිමවුම් සදහා භාවිත සොයා ගැනීම සමග ද සම්බන්ධ විය හැකිය .
ජාතිය සහ දේශය

සමහර හේතූන් නිසා, විශේෂයෙන් ජාතික මායිම් ඉක්මවූ සංක්රවමණ සම්බන්ධව හෝ යටත් විජිත ව්‍යාප්තිය වැනි කරුණු මත ජාතිකත්වය, ජාතියට සම්බන්ධ කෙරේ. බොහෝ මානව විද්‍යාඥයින් හා ඉතිහාසඥයන්, Ernest Gellner හා Benedict Anderson ගේ කෘතීන් අනුගමනය කරමින් ජාතිය හා ජාතිකත්වය දකිනුයේ 17 වන සියවසේ, නූතන ජනපද පද්ධතිවල නැගී සිටීමත් සමග ඇතිවන සංවර්ධනයක් ලෙසත්, ජනපද මායිම් සමග වර්තිත සම්පාතයෙහි (පරිපූර්ණ සම්පාතය) අනුමානයන්ට ඉඩ සලසන මායිම් හි “ජාතික ජනපදය” නැග සිටීමේ අවසානයකට එළඹීමක් ලෙසත්ය. මෙලෙස බටහිරෙහි, ජාතිය, ගෝත්‍රය (race) වැනි කරුණූ පිළිබඳ ජනවාර්ගික මතය, මුදල් පමණක් ධනය ලෙස සලකන ආදි ආර්ථික න්‍යාය (Mercantilism) සහ ධනපති ක්‍රමය (Capitalism) වර්ධනය වෙමින් තිබූ කාලයේදී, ජනගහනය ගෝලීය සංචලනය හා එම කාලයේදීම එම ජනපද (State) මායිම් වඩාත් පැහැදිලිව හා දැඩිලෙස අර්ථකථනය කරනු ලැබූ අවධියේදී යුරෝපීය යටත් විජිත ව්‍යාප්ති සන්දර්භය තුළ සංවර්ධනය වුණා. 19 වන සියවසෙහි සාමාන්යියෙන් නූතන ජනපද “ජාතිය” (Nation) නියෝජනය කිරීමට ඔවුන්ගේ හිමිකම තුළින් නීත්යාසනුකූල බව සොයන්නට උත්සාහ කළාය. කොහොම වුනත් විවිධ හේතූන් නිසා ජාතික විනය ඉවත් කළා වූ අවිචල්යරව ඇතුළු කළා වූ ජනගහනය ජාතික ජනපදයි. (Nation State) ඉවත් කළා වූ කණ්ඩායම්වල සාමාජිකයන්, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සාධාරණත්වයේ පදනම ඇතුළත් කිරීමට ඉල්ලා සිටීවි හෝ ස්වාධීනත්වය සොයාවි. සමහර විට ඔවුන්ගේම ජාතික ජනපදයන්හි නිමකළ දේශපාලනික බෙදීම් විහිද වීමට පවා ඔවුන් ක්‍රියා කරනු ඇත. මෙම තත්වයන් යටතේ - මිනිසුන් එක් ජනපදයක සිට තවත් ජනපදයකට මාරුවීමේදී හෝ එක් ජනපදයක් යුධ බලයෙන් දිනා ගත් පසු හෝ යටත් විජිත මිනිසුන් එහි ජාතික මායිම්වලින් එහා ක්‍රියාකළ පසු - එක් ජාතියකින් හඳුනාගත් නමුත් වෙනත් ජනපදයක ජීවත්වන මිනිසුන් විසින් ජනවාර්ගික කණ්ඩායම් සකස් කරනු ලැබීය.
References

http://en.wikipedia.org/wiki/Ethnicity#Ethnicity_and_nation
පර්සියානු භාෂාව පිළිබඳ යුරෝපීය අධ්‍යයනය

නවීකරණය වීම , 20 ශත වර්ෂය

ඛජර් රජ පෙළපත රාජ්‍ය කරන සමයේ, බටහිර ජාතීන්ගේ නැගී සිටීම සමග බටහිර ජාතීන් හා ඉරානය අතර පළමුවරට සම්බන්ධතා ඇති විය. 1798 දී නැපෝලියන් ඊජිප්තුවට පැමිණීම මුස්ලිම් ජනතාව විසූ මැද පෙරදිග කලාපයට කෙරුනු පළමු යුරෝපීය ඇතුලු වීමයි. එසේම එය එම කලාපයට ඉදිරියේදී එල්ල විය හැකි අවුල් තත්වයන් පිළිබඳ පෙර නිමිත්තක්ද විය. බ්‍රිතාන්‍යය සහ රුසියාව සමග පැවති යුද්ධ වලදී ඉරානයට ඔවුන්ගේ බිම් පෙදෙස් අහිමි විය. යුරෝපීය මුහුදු මාර්ග විසින් සාම්ප්‍රදායික සේද මාවත මග හැර යාම කෙරුනු බැවින් එය ඉරාන ආර්ථිකයට තදින් බල පෑවේය. නව කර්මාන්ත නිෂ්පාදන හේතුවෙන් ඉරානයේ සාම්ප්‍රදායික ජීවන ක්‍රම වලට පහර වැදුනේය. මෙම කාලයේ ජපානය, චීනය සහ තුර්කිය වැනි වෙනත් රටවල් මෙන්ම ඉරානයද ජාතික වශයෙන් ප්‍රතික්‍රියා දැක්වීය. බටහිර ජාතීන්ගේ අනවශ්‍ය මැදිහත් වීම් වලට ප්‍රතිචාර දැක්වීමක් වශයෙන් තමන්ද, ඉතා ඉක්මණින් නවීකරණය විය යුතු යයි ඉරානය කල්පනා කළේය. බටහිර ආර අනුගමනය කරමින් පළමු නවීන අධ්‍යාපන ආයතන ඉරානය තුළ ආරම්භ වූයේ මෙම කාල සීමාවේදීය. ඉරානය සැමදා එක සේ නොවීය. භාෂා අධ්‍යයනය යුරෝපීය සම්ප්‍රදායයන් සමග මිශ්‍ර විය.
References

http://en.wikipedia.org/wiki/Persian_Studies#Modernization.2C_20th_century
මව් රට

එක් ජන වර්ගයක් විසින් දිගු ඉතිහාසයක් සහ ගැඹුරු සංස්කෘතික සම්බන්ධතා පවත්වා ගෙන යන භූමි ප්‍රදේශයක් මව් රට යන්නෙන් අදහස් වේ. පොදුවේ කෙනෙකුගේ උපන් රට ඒ නමින් හැඳින්වේ. සංඥා නාමයක් ලෙස භාවිතා කරන විට එම වචනය අනෙකුත් භාෂා වල දක්වා තිබෙන සමානකම් ද (ජර්මන් භාෂාවෙන්: Heimalland) සමග පීතෘ බූමිය, මාතෘ භූමිය, මව් රට යනාදී වශයෙන්ද හැඳින්වේ. මේ හැම වචනයක්ම කිසියම් විශේෂිත අර්ථ නිරූපනයක් ඔවුන්ගේ ඓතිහාසික නැතහොත් ජාතිකත්වය අනුව දක්වා තිබේ.
References

http://en.wikipedia.org/wiki/Ethnic_autonomous_regions
නිව්ටන්ගේ ක්‍රමය

සංඛ්‍යාමය විශ්ලේෂණයේ දී, නිව්ටන්ගේ ක්‍රමය (නිව්ටන් -රැප්සන් ක්‍රමය හෝ නිව්ටන් - ෆවුරියර් ක්‍රමය ලෙස ද හඳුන්වන) යනු සමහරක් විට, තාත්විකව ඇගයු ශ්‍රිතයක් ශුන්‍යයට (හෝ මුල) ආසන්න කිරීමට ඇති, දන්නා ක්‍රමවලින් හොඳම ක්‍රමයයි. විශේෂයෙන්, පුනඃකරණය අදාළ මූලයට අවශ්‍ය තරම් ආසන්නයෙන් ආරම්භ වේ නම් නිවුටන්ගේ ක්‍රමය සැලකිය යුතු තරම් ඉක්මනින් අභිසාරී වේ. අවශ්‍ය තරම් ආසන්න වීමට කෙතරම් ආසන්න විය යුතු ද යන්න සහ සැලකිය යුතු තරම් ඉක්මනින් යන්න කෙතරම් ඉක්මන් ද යන්න ප්‍රශ්නය මත රඳා පවතින අතර එය පහත විස්තර කර ඇත. අවාසනාවන්ත ලෙස අදාළ මූලයෙන් ඈතට යන විට නිව්ටන් ක්‍රමය කුඩා අනතුරු ඇඟවීමක් සමඟ පරිශීලකයා පහසුවෙන් නොමඟ යැවිය හැකිය. එසේ නමුත් මේ ක්‍රමයේ මනා ක්‍රියාත්මක කිරීමක්, අභිසරණ බිඳ වැටීම් අනාවරණය කරගැනීමක් හා සමහරක් විට මැඩ පවත්වන ක්‍රියා පටිපාටියක් අනුගමනය කළ හැකිය.

නිව්ටන්ගේ ක්‍රමය මඟින් එවැනි ශ්‍රිතයක් උපරිමව හා අවමව ද සෙවිය හැකිය. මෙය සිදු කරන්නේ ශ්‍රිතයේ ප්‍රථම ව්‍යුත්පන්නයේ ශුන්‍යයක් සෙවීමෙනි. (ඉහළ ඵලය ලබා ගැනීමේ ඇල්ගොරිතමයක් ලෙස නිව්ටන්ගේ ක්‍රමය බලන්න)
හවුස් හෝල්ඩර් ක්‍රම පන්තියේ ප්‍රථමයා ඇල්ගොරිතමය.
අන්තර්ගතය.
සටහන්

{|
References

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method

ප්‍රවර්ගය:ගණිතය
ශුන්‍යයට හිමි ස්ථානය සහ ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවල ඉතිහාසය

එකෙන් පටන් විට ද්‍රව්‍ය ගණන් කිරීමට යොදා ගත් වචන මූලය එක යන්නෙන් ආරම්භ විය. අමූර්තනයෙහි මුල්ම ප්‍රධාන ප්‍රගමනය සංඛ්‍යා නිරූපණය සඳහා සංඛ්‍යාක භාවිතයත් සමඟ ආරම්භ විය. ඒ සමඟම විශාල සංඛ්‍යා සටහන් කිරීම සඳහා ක්‍රමවේද බිහි විය. උදාහරණයක් ලෙස බැබිලෝනියානුවන් ප්‍රධාන වශයෙන් 1 සහ 10 වැනි සංඛ්‍යා ඇසුරින් බලවත් ස්ථානීය - අගය පද්ධතියක් නිර්මාණය කරන ලදී. 1,10 සහ මිලියනය දක්වා වූ 10 බලය සඳහා එකිනෙකට වෙනස් ද්වි අක්ෂර සහිත සංඛ්‍යාංක පද්ධතියක් ආදී ඊජිප්තු ජාතිකයන් සතු විය. ක්‍රි.පූ.15000 පමණ අයත් දැනට පැරීසි ලොවියර් හි තබා ඇති කාර්නක්වලින් සොයාගත් ගල් කැටයමක 276 නිරූපණය කර ඇත්තේ සියයේ ඒවා යුගලක්, දහයේ ඒවා 7 ක් සහ එකේ ඒවා 6 ක් ලෙසය. එහි 4622 ද එලෙසම නිරූපණය කර ඇත. වෙනමම සංඛ්‍යාංකයක් සහිත සංඛ්‍යාවක් ලෙස ශුන්‍යය පිළිබඳ සංකල්පයේ වර්ධනය අමූර්තනයේ පසුකාලීන ප්‍රගමනයක් විය. ක්‍රි.පූ.700 තරම් අතීතයේ පවා බැබිලෝනියානුවන් සිය ස්ථානීය අගය අංකනයන්හි දී ශුන්‍ය සංඛ්‍යාකයක් භාවිතා කළහ. නමුත් එය නිරූපිත සංඛ්‍යාවේ අවසාන සංකේතය වන කල්හි සටහන් නොකර අත් හරින ලදී. ක්‍රි.පූ. 1 වැනි සියවස තරම් ඈත අතීතයේ දී ඔල්මෙක් සහ මායා ශිෂ්ටාචාරවල ශුන්‍යය වෙනමම සංඛ්‍යාවක් ලෙස භාවිතා විය. මෙය ඉහත ශිෂ්ටාචාර තුළ බාහිර බලපෑමකින් තොරව දියුණු වූ ක්‍රමවේදයක් ලෙස සැලකේ. නමුත් මෙම ක්‍රමයේ භාවිතය මධ්‍යම ඇමරිකාව ඉක්මවා පැතිර නොගියේය. මෙම සංකල්පයේ නූතන ආකාරය ක්‍රි.ව. 628 දී ඉන්දියානු ගණිතඥ බ්‍රහ්මගුප්ත විසින් හඳුන්වාදෙන ලදී. කෙසේ නමුත් මධ්‍යතන යුගයේ සිට ආගණකකරුවන් (ඊස්ටර් සමය ගණනය කරන්නවුන්) ක්‍රි.පූ. 25 ඩයෝනිතියස් එක්සිගස් ගේ පටන් ශුන්‍ය සංඛ්‍යාවක් ලෙස භාවිතා කිරීමට පුරුදු වුහ. එය ලිවීම සදහා රෝමානු සංඛ්‍යාංකයක් භාවිතා කරනු වෙනුවට ඔවුහු ලතින් බසින් “කිසිවක් නැත” යන අරුත දෙන “nullus” යන වදන භාවිතා කළහ. අමූර්තනයන් (එනම් අමූර්ත භූතාර්ථ ලෙස) ලෙස මුල්වරට ක්‍රමානුකූලව සංඛ්‍යා පිළිබඳ අධ්‍යයනය කිරීමේ ගෞරවය ග්‍රීක දාර්ශනිකයන් වන පයිතගරස් සහ ආකිමිඩීස්ට හිමි වේ. නමුත් සමකාලීනව හා ඔවුන්ගෙන් ස්වායත්තව චීන ඉන්දියානු සහ මධ්‍යම ඇමරිකානු ප්‍රදේශවල ද මේ හා සමාන අධ්‍යයනයන් සිදු විය. 19 වැනි සියවසේ දී ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා සඳහා කුලකමය සෛද්ධාන්තික අර්ථ කථනයක් නිර්මාණය විය. මෙම අර්ථ කථනයත් සමඟ ශුන්‍යය (අභිශුන්‍ය කුලකයට අනුරූප) ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා අතරට එක් කිරීම වඩාත් පහසු විය. ශුන්‍ය ප්‍රකෘති සංඛ්‍යාවලට අයත් ලෙස සැලකීම කුලකවාදීන්, තර්ක ශාස්ත්‍රඥයන් සහ පරිගණක විද්‍යාඥයන් අතර පොදු සම්මුතියක් බවට පත්ව ඇත. නමුත් සංඛ්‍යාවාදීන් වැනි අනෙකුත් ගණිතඥයින් 1 පළමු ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා ලෙස සැලකීමේ පැරණි සම්ප්‍රදාය පිළිපදිති.
සටහන්

{|
References

http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number#History_of_natural_numbers_and_the_status_of_zero

ප්‍රවර්ගය:ගණිතය
සෞන්දර්ය විද්‍යාව, ශුද්ධ ගණිතය සහ ව්‍යවහාරික ගණිතය සදහා ඇති වු ප්‍රබෝධය

ප්‍රමාණ, ව්‍යුහ, අවකාශය සහ විචල්‍යයන්ට අදාළව ගැටලු මතුවන ඕනෑම අවස්ථාවකදී ගණිතය භාවිත වීම සිදුවේ. ආරම්භයේදී වානිජ කටයුතු සහ භූමි මිනුම් හිදි ගණිතය භාවිතා වු අතර පසුකාලීනව එය තාරකා විද්‍යාව සඳහාද භාවිත විය. වර්තමානයේදී සියලු විද්‍යාවන් ආශ්‍රිතව ගණිතඥයන් විසින් අධ්‍යයනය කළ යුතු ආකාරයේ ගැටලු ඇති වන අතර ගණිතය වැනි විෂයයන්ගෙන් පවා එවන් ආකාර ගැටලු මතු වීම සිදුවේ. නිව්ටන් අත්‍යනුක කලනයේ එක් නිර්මාතෘ වරයෙක් වන අතර එහිදී භාවිතා කරන සියලුම අංකනයන් පාහේ (කාලය විශයෙහි අවකලනය දැක්වීම සදහා විචල්‍යයකට ඉහලින් තබන තිත හැරුණු විට) ලිබ්නීස් විසින් නිර්මාණය කරන ලද ඒවාය. ෆේමන් විසින් හේතු දැක්වීම් සහ භෞතික දැනුම සංකලනයෙන් ෆේමන් පථ අනුකලය නිර්මාණය කල අතර වර්තමාන තන්තුවාදය නව ගණිතමය සොයා ගැනීම් සදහා ඒවායින් පෙළඹවීමක් සපයයි. සමහර ගණිතමය කොටස් ඒවා නිර්මාණයට හේතු වු ක්ෂේත්‍රයට පමණක් අදාළ වන අතර තවදුරටත් එම ක්ෂේත්‍රයෙහි ඇති වන ගැටලු විසදීම සදහා භාවිතා කෙරේ. නමුත් බොහෝ විට එක් ක්ෂේත්‍රයක් ආශ්‍රිතව නිර්මාණය වු ගණිතමය සංකල්ප වෙනත් බොහෝ ක්ෂේත්‍ර වලදීද ප්‍රයෝජනවත් වන අතර සාමාන්‍ය ගණිතමය සංකල්ප සමුදායේ කොටසක් බවට පත්වේ. සංශුද්ධමය ගණිතමය සංකල්ප සදහා වුවද ඇතැම් විට ප්‍රායෝගික යෙදීම් පැවතීම පුදුම සහගත වුවත් ඉයුජීන් විග්නර් මෙය “ගණිතයේ අහේතුක සඵලත්වය” ලෙස හැදින්වීය.

අනෙක් බොහෝ අධ්‍යයන ක්ෂේත්‍ර වලදී මෙන්ම විද්‍යාත්මක යුගයේ දැනුමෙහි සිදු වු වේගවත් වර්ධනය හේතුවෙන් ගණිතයද විශේෂිකරණය වී ඇත. මෙවැනි එක් ප්‍රධාන බෙදීමක් වන්නේ ශුද්ධ ගණිතය සහ ව්‍යවහාරික ගණිතය එකිනෙකින් වෙන්කර හදුනාගැනීමයි. සමහරක් ව්‍යවහරික ගණිත කොටස් ඒවා හා සම්බන්ධ ගණිතයෙන් පරිබාහිර සම්ප්‍රදායයන් සමග සංයෝජනය වී වෙනම විෂය ක්ෂේත්‍රයන් බවට පත්ව තිබේ. සංඛ්‍යානය, සංකාර්ය පර්යේෂණ සහ පරිගණක විද්‍යාව මෙවන් ක්ෂේත්‍ර වලට අයත් වේ.


ගණිතයට නැඹුරු වු බොහෝ දෙනා එහි සෞන්දර්යාත්මක පැතිකඩක් දැකීමට සමත් වෙති. බොහෝ ගණිතඥයන් ගණිතයෙහි සෝබනත්වය, එහි සහජ සෞන්දර්යය සහ අභ්‍යන්තර අලංකාරත්වය පිළිබඳ අදහස් දක්වති. එහි සරලත්වය සහ පොදු බව ඉතා වැදගත් වේ. ප්‍රථමක සංඛ්‍යා අපිරිමිත සංඛ්‍යාවක් ඇති බවට යුක්ලිඩ්ගේ සාධනය වැනි සරල සහ අලංකාර සාධනයන්හි මෙන්ම වේගවත් ෆුරියර් පරිණාමනය වැනි ගණනය කිරීම් වේගවත් කරන අලංකෘත අංක ගණිතමය ක්‍රමයන්හීද සුන්දරත්වයක් පවතී. G.H හාඩි සිය “A Mathematician’s Apology” (ගණිතඥයෙකුගේ සමාව ඉල්ලීම) නම් ග්‍රන්ථයේ දී ගණිතයේ සෞන්දර්යාත්මක ලක්ෂණ ශුද්ධ ගණිතයෙහි අධ්‍යනයෙන් සාධාරණීකරණය කිරීම සඳහා ප්‍රමාණවත් වන බවට ඔහු තුළ තිබු විශ්වාසය ප්‍රකාශයට පත්කර ඇත. බොහෝවිට ගණිතඥයින් ප්‍රමේයයන් සඳහා අලංකෘත වු සාධනයන් සෙවීමට වෙහෙසෙති. ඔවුන්ගේ මෙම උත්සාහයන් පොල් අඩොස් විසින් දෙවියන් විසින් සිය ප්‍රියතම සාධනයන් ලියා ඇති පොතේ අඩංගු සාධනයන් සේවීම ලෙස නම් කළේය. විනෝදාත්මක ගණිතමය ක්‍රියාකාරකම්වල ප්‍රචලිත බව ගණිතමය ගැටලු විසදීමෙන් පුද්ගලයින් හට ලබාගත හැකි සතුට සදහා සාක්ෂියකි.
GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg
සටහන්

{|
නිඛිල

thumb|100px|නිඛිල කුලකය දැක්වීම සඳහා භාවිතා කරන සංකේතය
right|thumb|300px|Integers can be thought of as discrete, equally spaced points on an infinitely long සංඛ්‍යා රේඛාව. ධන නිඛිල (purple) and Negative Integers (red).
වීජීය ගුණ

ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා මෙන් නිඛිල (z) ද ආකලනය ගුණිතය යන කර්මයන් සඳහා සංචරණය වේ. එනම්, ඕනෑම නිඛිල දෙකක එකතුව හෝ ගුණිතය ද නිඛිලයකි. කෙසේ නමුත් සෘණ එකතුව හෝ ගුණිතය ද නිඛිලයකි. කෙසේ නමුත් සෘණ සංඛ්‍යා හා ශුන්‍යය අන්තර්ගත වන හෙයින් නිඛිල (ප්‍රකෘති සංඛ්‍යා මෙන් නොව) ව්‍යාකලනයට ද සංචරණීය වේ. නිඛිල දෙකක ලබ්ධිය (උදා - 1 , දෙකෙන් බෙදූ විට) නිඛිලයක්ම විය යුතු නොවන බැවින් z බෙදීමේ කර්මය සඳහා සංචරණීය නොවේ.

පහත දක්වා ඇත්තේ ඕනෑම a,b, හා c යන නිඛිල තුනක් සඳහා වූ ආකලනය හා ගුණිතයේ මූලික ගුණාංග වේ.



අමූර්ත වීජ ගණිතයේ දී ආකලනය සඳහා ඉහත ලැයිස්තුගත කොට ඇති මුල් ගුණාංග පහ මඟින් ආකලනය යටතේ z ආබෙල් සමූහයක් බව කියැවේ. සෑම ශුන්‍ය නොවන නිඛිලයක්ම 1+1+..........1 හෝ (-1) + (-1) + ........ (-1) වැනි පරිමිත එකතුවක් ලෙස ලිවිය හැකි බැවින් ආකලනය යටතේ z යනු චක්‍රීය සමූහයකි. තවද ඕනෑම අනන්ත චක්‍රීය සමූහයක් z ට සමරූප වන බැවින් z යනු ආකලනය යටතේ පවතින එකම අපරිමිත චක්‍රීය සමූහය ද වේ.

ගුණනය සඳහා ඉහත ලැයිස්තුගත කොට ඇති මුල් ගුණාංග හතර මඟින් , ගුණනය යටතේ z න්‍යායදේශ ඒකාභයක් බව කියැවේ. කෙසේ නමුත්, සෑම නිඛිල සංඛ්‍යාවකටම ගුණන ප්‍රතිලෝමයක් නොමැත. උදා -2x =1 ආකාරයේ නිඛිලයක් නොපවතී. මන්දයත් දකුණු පස ඔත්තේ වන අතරතුර වම්පස ඉරට්ටේ වන බැවිනි. මින් අදහස් වන්නේ ගුණනය යටතේ z සමූහයක් නොවන බවයි.

ඉහත වගුගත කොට ඇති ගුණවලින් අවසාන ගුණය හැර අනෙක් සියල්ල එකට ගත් කළ ඉන් කියනු ලබන්නේ ආකලනය හා ගුණනය එක්ව ගත් විට ඒවා සඳහා z යනු ඒකීයත්වය සහිත න්‍යායදේශවලියක් වන බවයි. අවසන් ගුණාංගයක් සමඟ ගත් විට, එමඟින් z නිඛිල වසමක් බව කියැවේ. ඉහත ආකාර ගුණ සහිත ව්‍යුහයක් අර්ථ කථනය සඳහා අවශ්‍ය කරන පෙළඹවීම z මඟින් සැපයේ.


z සඳහා ගුණන ප්‍රතිලෝමයක් නොමැති වීම, එය බෙදීමේ කර්මය සහ සංචරණ නොවේ යන්නට තුල්‍ය වන අතර ඒ හෙයින් z ක්ෂේත්‍රයක් නොවේ. නිඛිල අඩංගු වන කුඩාම ක්ෂේත්‍රය වන්නේ පරිමේය සංඛ්‍යා ක්ෂේත්‍රයයි. මෙම ක්‍රියාවලිය අනුකරණයෙන් සියලු නිඛිල සහ ඒවායේ භාග අයත් වසමක් නිර්මාණය කරගත හැකි අතර එය ක්ෂේත්‍රයක් ද වේ. සාමාන්‍ය බෙදීම z මඟින් අර්ථ කථනය කර නොමැති නමුත් ඇල්ගොරිතමය නම් වැදගත් ගුණයක් එය සතු වේ. එනම්, a හා b ,( b ≠ 0 ) ආකාර නිඛිල යුගලක් සඳහා a = q × b + r සහ 0 ≤ r < |b| වන ආකාරයට q හා r නම් අනන්‍ය නිඛිල යුගලක් පවතී. මෙහි |b| මඟින් b හි නිරපේක්ෂ අගය දැක්වේ. මෙහි a හා b ගෙන් බෙදූ විට ලැබෙන ප්‍රතිඵලයෙහි ඇති q නිඛිලය ලබ්ධිය ලෙස ද r ශේෂය ලෙස ද හැඳින්වේ. මෙය මහා පොදු භාජකය ගණනය කිරීම සඳහා වූ යුක්ලීඩ් ඇල්ගොරිතමෙහි පදනම වේ.

තවද අමූර්ත වීජ ගණිතයට අනුව ඉහත ගුණාංග නිසා z යනු යුක්ලීඩ් වසමක් ද වේ. මින් අදහස් කරනුයේ z යනු ප්‍රධාන පරමාදර්ශීය වසමක් බවත් ඕනෑම ධන නිඛිලයක් අත්‍යන්ත ආකාරයට පරමාදර්ශීය ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවල ගුණිතයක් ලෙස ලිවිය හැකි බවත්ය. මෙය අංක ගණිතයෙහි මූලික ප්‍රමේයය වේ.

ප්‍රවර්ගය:ගණිතය
ප්‍රවර්ගය:නිඛිල
අංකනය භාෂාව සහ අශිථිල බව

thumb|
16 වැනි සියවස තෙක්ම වර්තමානයේ භාවිත වන බොහෝ ගණිතමය අංකනයන් සොයා ගෙන නොතිබුණි. එකල ගණිතයේදී අංකනයන් වෙනුවට වචන භාවිත වු අතර එය ඉතා අපහසු ක්‍රියාවලියක් වු බැවින් ගණිතමය සොයා ගැනීම් සීමා විය. 18 වැනි ශතවර්ෂයේ විසු ඉයුලර් වර්තමානයේ භාවිතා වන බොහෝ අංකන ක්‍රම හදුන්වා දෙන ලදී. වර්තමාන අංකන ක්‍රම හේතුවෙන් වෘත්තීය වශයෙන් ගණිතය අධ්‍යයනය කරන්නන් හට එය ඇතිමුත් ආධුනිකයින් සදහා එය පසු බට කරවන සුළුය. වර්තමාන ගණිතමය අංකනයන් ඉතා සංක්ෂිප්ත වන අතර සංකේත කිහිපයකින් තොරතුරු විශාල ප්‍රමාණයක් දැක්විය හැකිය. සංගීතමය අංකනයන් සේම වර්තමාන ගණිතමය අංකනයන්ටද නිශ්චිත කාරක රීති පවතින අතර වෙනත් ක්‍රමයක් මගින් ලිවීමට අපහසු තොරතුරු කේත කොට දක්වයි.

ආධුනිකයන් හට ගණිතමය භාෂාවද අපහසු වේ. “හෝ” සහ “පමණි” වැනි වදන්වලට එදිනෙදා භාවිතයේදී මෙන් නොව වඩාත් නිශ්චිත අරුත් පවතී. තවද “විවෘත” සහ “ක්ෂේත්‍රය” වැනි වදන් සදහා විශේෂිත ගණිතමය අරුත් පැවතීමද ආධුනිකයින් සදහා පැටලිලි සහගත වේ. “ස්ථලක පරිණාමණය” සහ “අණුකල්‍ය” වැනි ශිල්පීය යෙදුම් ද ගණිතමය ප්‍රභාෂාවෙහි අඩංගු වේ. නමුත් විශේෂ අංකනයන් සහ ශිල්පීය භාෂාව සදහා විශේෂිත හේතුවක් පවතී. එනම් ගණිතයේදී එදිනෙදා ජීවිතයේදී මෙන් නොව වඩාත් නිශ්චය බවක් අවශ්‍ය වීමයි. මෙසේ භාෂාවේ සහ තර්කනයේ ඇති නිශ්චය බව අශිථිල බව ලෙස ගණිතඥයන් හදුන්වති.


අශිථිල බව මුලික වශයෙන් ගණිතමය සාධනයන්ට අදාළ වේ. ප්‍රමාණුරූප හේතු දැක්වීමක් මගින් ප්‍රත්‍යක්ෂව සිය ප්‍රමේයයන් නිර්මාණය කිරීමට ගණිතඥයන් කැමැත්තක් දක්වති. ඒ ඔස්සේ ඔවුහු වැරදි ප්‍රතිභානයන් මත පදනම් වු වැරදි ප්‍රමේයයන් නිර්මාණය වැළක්වීමට උත්සාහ කරති. ගණිත ඉතිහාසයේ මේ ආකාර වැරදි ප්‍රමේයයන් ඉදිරිපත් වු අවස්ථා බොහෝය. ගණිතයෙහි දී අපේක්ෂා කෙරෙන අශීථීල බවෙහි මට්ටම කාලයත් සමග වෙනස්කම්වලට භාජනය වී ඇත. ග්‍රීකයින් සවිස්තරාත්මක තර්කනයක් බලාපොරොත්තු වු අතර නිවුටන්ගේ කාලයේ දී භාවිත වු ක්‍රමවේදයන් එතරම් අශිථිල ඒවා නොවීය. නිවුටන් විසින් භාවිතකළ අර්ථ දැක්වීම්වල සහජයෙන්ම අන්තර්ගත වු ගැටලු හේතුවෙන් පසුකාලීනව 19 වැනි සියවසේදී ඒවා සුක්ෂමව විශ්ලේෂණයකර විධිමත්ව සාධනය කරන ලදී. වර්තමානයේදී ගණිතඥයන් අතර පරිගණක ආධාරයෙන් සිදුකරන සාධනයන් පිළිබද විවිධ මත වාදයන් පවතී. පරිගණක ආශ්‍රිත විශාල ගණනය කිරීම් සත්‍යායනය අපහසු බැවින් එවන් සාධනයන් ප්‍රමාණවත් තරම් අශිථිල නොවිය හැකිය. සාම්ප්‍රදායික චින්තනයේදී ස්වයං ප්‍රත්‍යක්ෂක, සත්‍ය ප්‍රත්‍යක්ෂක ලෙස සැලකුණ නමුත් මෙම සංකල්පය ගැටලු සහගත වේ. විධිමත් මට්ටමේදී ප්‍රත්‍යක්ෂකයක් යනු ප්‍රත්‍යක්ෂක පද්ධතියක සියළු ව්‍යුත්පන්නක සමීකරණ ඇසුරෙන් සැලකූ විට පමණක් අභ්‍යන්තර අර්ථයක් පවතින සංකේත සමුහයකි. හිල්බට් ප්‍රකමණයේ අරමුණ වුයේ ශක්තිමත් සම්පුර්ණ ගණිතමය ප්‍රත්‍යක්ෂක පද්ධතියක් මත පිහිටු වීමයි. නමුත් ගොඩල්ගේ අසම්පුර්ණක ප්‍රමේයයට අනුව සියලු(ප්‍රමාණවත් තරම් ප්‍රබල) ප්‍රත්‍යක්ෂක පද්ධති සඳහා ඒවා මගින් නිර්ණය කල නොහැකි සමීකරණ පවතියි. එබැවින් ගණිතය පුර්ණව ප්‍රත්‍යක්ෂකරණය කළ නොහැකිය. කෙසේ නමුත් බොහෝ විට කිසියම් ප්‍රත්‍යක්ෂ කරණයක් යටතේ පවතින කුලක වාදයේ කොටසක් ලෙස ගණිතය (එහි විධිමත් අන්තර්ගතයක්) සැලකේ. සියලු ගණිතමය ප්‍රකාශ හා සාධන කුලක වාදය තුළ පවතින සමීකරණවලට ඇතුළත් කළ හැකි වීමෙන් මෙය වඩාත් පැහැදිලි වේ.
සටහන්

{|

ප්‍රවර්ගය:ගණිතය
සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ

ගණිතයේ දී එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක සහ ඊට සාපේක්ෂව එහි ව්‍යුත්පන්නයක සම්බන්ධය ඇතුළත් ශ්‍රිත සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණයකට අයත් වේ. සරල උදාහරණයක් ලෙස m ස්කන්ධයක් ඇති අංශුවක චලිතය සඳහා නිව්ටන්ගේ චලිතය පිළිබඳ දෙවැනි නියමයෙන් ලැබෙන අවකල සමීකරණය සලකන්න.


:m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x(t)),\,

පොදුවේ F බලය t මොහොතේ අංශුවේ පිහිටීම x(t) මත රඳා පවතින අතර එබැවින් F(x(t)) අංකනය මඟින් පැහැදිලි වන පරිදි x(t) නොදන්නා ශ්‍රිතය අවකල සමීකරණයේ දෙපසම දැකිය හැකිය. සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ, ආංශික ව්‍යුත්පන්න ඇතුළත් ස්වායත්ත විචල්‍ය කිහිපයක් සහිත ආංශික අවකල සමීකරණවලින් වෙන් කර හඳුනාගත යුතුය. ජ්‍යාමිතිය, යාන්ත්‍ර විද්‍යාව, තාරකා විද්‍යාව සහ පහත ආදර්ශනය ආදී විවිධ ක්ෂේත්‍ර ආශ්‍රිතව සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ ලැබීම සිදුවේ. නිව්ටන්, ලිබ්නිස්, බර්නූලි පවුල, රිකාටි ක්ලෙයරට්, ඩී. ඇලම්බර්ට් සහ ඉයුලර් ආදී බොහොමයක් සුප්‍රසිද්ධ ගණිතඥයන් අවකල සමීකරණ අධ්‍යයනය කර ඇති අතර අවකලන ක්ෂේත්‍රය සඳහා දායකත්වය ද සපයා ඇත. සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණවල විසඳුම් පිළිබඳ දැඩි පර්යේෂණ සිදු කර ඇත. සමීකරණය ඒකජ වේ නම් එය විෂ්ලේෂණ ක්‍රම මඟින් විසඳිය හැක. නමුත් අවාසනාවක් ලෙස බොහෝ පොළඹවන සුළු අවකල සමීකරණ ඒකජ නොවන අතර කිහිපයක් හැරුණු විට අනෙක්වා සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳිය නොහැකිය. පරිගණක සන්නිකර්ෂණ ඇසුරින් මේවා සඳහා සන්නිකර්ෂිත විසඳුම් ලබා ගැනේ. (“අනෙක සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ” බලන්න)
සටහන්

{|
පරිමේය සංඛ්‍යා

thumb|

ගණිතයේදී පරිමේය සංඛ්‍යාවක් පුර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක අනුපාතයක් ලෙස හැදින්විය හැක. පරිපුර්ණ නොවන පරිමේය සංඛ්‍යා (සාමාන්‍යයෙන් හදුන්‍වන්නේ භාග වශයෙනි) සාමාන්‍ය භාග වශයෙන් ලියනු ලැබේ. එය a/b ආකරණය වන අතර එහි b ශුන්‍ය නොවේ. මෙහි a ලවය ලෙස හදුන්වන අතර b හරය ලෙස හදුන්වයි.
එක් පරිමේය සංඛ්‍යාවක් අපරිමිත ආකාර ගණනකට ලිවිය හැක. ඒ 3/6 = 2/4 = 1/2, නමුත් a හා b සංඛ්‍යා දෙකටම පොදු ගුණාකාරයක් පවතින විට සරළම ආකාරයෙන් තිබිය යුතු වේ. සෑම ශුන්‍ය නොවන පරිමේය සංඛ්‍යාවකටම මේ ආකාරයේ ධන හරයක් පවතී. භාග සංඛ්‍යාවක් තම සරළම ආකාරයෙන් පවතින විට එය සංක්ෂිප්ත කළ නොහැකි (irreducible) භාගයක් ලෙස හැදින්වේ.

පරිමේය සංඛ්‍යාවක දශමය ප්‍රකාශ කිරීම සාමාන්‍යයෙන් ආවර්තික වේ. (පරිමිත ප්‍රසාරණයේදී ව්‍යංගව එය අනුගමනය කරන ආවර්තික කොටස ඇති කරයි.) තවද එය එකට වඩා විශාල අවකල්‍ය පදයකටද සත්‍යවේ. තවද එහිදී පරිමේය සංඛ්‍යා, තාත්වික සංඛ්‍යාවලට වඩා පී - ඇඩික් සංඛ්‍යා (p-adic numbers) ලෙස සැලකීම සත්‍ය වේ. තවද තාත්වික සංඛ්‍යා පරිමේය සංඛ්‍යා නොවන අතර එය අපරිමේය සංඛ්‍යා ගනයට අයත් වේ.
හතරෙන් පංගුව (quarters)

ක්ෂේත්‍රයක් අඩංගු වන සියලු පරිමේය සංඛ්‍යාවල කුලකය \mathbb{Q} මඟින් අංකනය වේ. කුලක ගොඩනැංවීමේ නාමකරණය (set-builder notation) භාවිතයෙන් Q පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත.



ප්‍රවර්ගය:ගණිතය
ප්‍රවර්ගය:පරිමේය සංඛ්‍යා