තාත්වික රේඛාව

සරලවම කිවහොත් ගණිතයේ දී තාත්වික රේඛාවක් යනුවෙන් හැඳින්වෙන්නේ R නම් තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකයකි. නමුත් මෙය බොහෝ විට යෙදෙන්නේ R ස්ථල විද්‍යාත්මක අවකාශයක් හෝ දෛශික අවකාශයක් වැනි යම් ආකාරයක අවකාශයක් සේ සලකන විටයි. අවම වශයෙන් ආදි ග්‍රීකවරුන්ගේ කාලයේ පටන් පමණ අධ්‍යයනයන්ට භාජනය වුවද තාත්වික රේඛාව පිළිබඳ 1872 වසර තෙක් ගැඹුරු අර්ථ දැක්වීමක් නොවීය. එදාට පෙර සහ පසුද එය ගණිතයේ විවිධ ක්ෂේත්‍රයන්ට සැලකිය යුතු දායකත්වයක් දැක්වූ වැදගත් උදාහරණයක් වේ.
එකිනෙකට වෙනස් එහෙත් තුල්‍ය වූ ක්‍රම දෙකකට පැහැදිලි කළ හැකි සම්මත ස්ථලක ව්‍යුහයක් තාත්වික රේඛාවට පවතී. පළමුවැන්න යටතේ තාත්වික සංඛ්‍යා පූර්ණ ලෙස පටිපටිගත බැවින් ඒවා පටිපාටිගත ස්ථලක ව්‍යුහයක් ගනී යැයි කිව හැක. දෙවැන්න යටතේ නිරපේක්ෂ අගයට අදාල ප්‍රමිතික මත පදනම්ව තාත්වික සංඛ්‍යා ප්‍රමිතික අවකාශයක් බවට පත් කළ හැක. d(x,y): = | y − x | මෙම ප්‍රමිතිකය මඟින් R ට පටිපාටිගත ස්ථලක ව්‍යුහය හා තුල්‍ය වූ ස්ථලක ව්‍යුහයක් ලබා දේ.
ස්ථල විද්‍යාත්මක අවකාශයක් ලෙස ගත් කළ තාත්වික රේඛාව පළමු මානයට අයත් ස්ථලමය සමූදායක් වේ. එය පරාසුසංහිත, ද්විත්ව ගණ්‍ය මෙන්ම සංකෝචනය කළ හැකි සහ ස්ථාන සුසංහිත වේ. එයට සම්මත අවකල්‍ය ව්‍යුහයක් ද පවතින අතර එනිසා එය අවකල්‍ය සමූදායක් ද වේ. (diffeomorphism දක්වාම ස්ථල විද්‍යාත්මක අවකාශයට දැරිය හැකි අවකල්‍ය ව්‍යුහ ඇත්තේ එකක් පමණි) ඓතිහාසිකව ගත් කළ මෙම එක් එක් ගණිතමය ව්‍යුහයන් සඳහා මුලින්ම අධ්‍යයනය කරන ලද උදාහරණය වන අතර එබැවින් එය මෙම නූතන ගණිතමය ක්ෂේත්‍රයන්ගේ පෙර ගමන් කරු සේ ක්‍රියා කරයි. (සත්‍ය වශයෙන් කිවහොත් ඉහත යෙදුම් බොහොමයක් අර්ථ දැක්වීම සඳහා පළමුව R හි පැවැත්ම අත්‍යාවශ්‍ය වේ.)
දෛශික අවකාශයක් සේ ගත් කළ තාත්වික රේඛාව පළමු මාතයට අයත් R තාත්වික සංඛ්‍යා ක්ෂේත්‍රය පිරිවසා දෛශික අවකාශයක් (එනම් එය මතම පිරිවසන දෛශික අවකාශයක්) වේ. එයට සම්මත අන්තඃ ගුණිතයක් පවතින අතර එබැවින් එය යුක්ලීඩියානු අවකාශයක් ද වේ. (අන්තඃගුණිතය තාත්වික සංඛ්‍යාවල සාමාන්‍ය ගුණිතය වේ.) දෛශික අවකාශයක් ලෙස මෙය එතරම් උනන්දුවක් ජනිත කරන්නක් නොවූ අතර එබැවින් මුල්වරට දෛශික අවකාශයක් ලෙසට අධ්‍යයනය කරන ලද්දේ ද්විමාන යුක්ලීඩියානු අවකාශයයි. කෙසේ නමුත් R ඒකජ වීජීය ගණිතයේ ආරම්භයට හේතු වූ බව අපට කිව හැකි වන්නේ ප්‍රථමවරට දෛශික අවකාශ අධ්‍යයනය කරන ලද්දේ R පිරිවස‍ා බැවිනි. R වලයක් සහ එමෙන්ම ක්ෂේත්‍රයක් සඳහා ද මූලික උදාහරණයක් වේ. සත්‍යවශයෙන්ම එය තාත්වික පූර්ණ ක්ෂේත්‍රයක් වන අතර එබඳු ක්ෂේත්‍ර අතරින් මුල්වරට අධ්‍යයනයට ලක් වූ ක්ෂේත්‍රය ද විය. ඒ අනුව එමඟින් අමූර්ත වීජයේ ඊට අදාල කොටසට මූලාරම්භය සැපයු බව ද සැලකිය හැක. කෙසේ නමුත් ඒ ආකාරයේ ශුද්ධ වීජ ගණිත සන්දර්භයක දී R රේඛාවක් ලෙස හඳුනාගන්නේ කලාතුරකිනි.
R හි එහි සියළු ආකාර පිළිබඳ වැඩිදුර තොරතුරු සඳහා ‘තාත්වික සංඛ්‍යාව” නම් ලිපිය බලන්න.

සරලවම කිවහොත් ගණිතයේ දී තාත්වික රේඛාවක් යනුවෙන් හැඳින්වෙන්නේ R නම් තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකයකි. නමුත් මෙය බොහෝ විට යෙදෙන්නේ R ස්ථල විද්‍යාත්මක අවකාශයක් හෝ දෛශික අවකාශයක් වැනි යම් ආකාරයක අවකාශයක් සේ සලකන විටයි. අවම වශයෙන් ආදි ග්‍රීකවරුන්ගේ කාලයේ පටන් පමණ අධ්‍යයනයන්ට භාජනය වුවද තාත්වික රේඛාව පිළිබඳ 1872 වසර තෙක් ගැඹුරු අර්ථ දැක්වීමක් නොවීය. එදාට පෙර සහ පසුද එය ගණිතයේ විවිධ ක්ෂේත්‍රයන්ට සැලකිය යුතු දායකත්වයක් දැක්වූ වැදගත් උදාහරණයක් වේ.
එකිනෙකට වෙනස් එහෙත් තුල්‍ය වූ ක්‍රම දෙකකට පැහැදිලි කළ හැකි සම්මත ස්ථලක ව්‍යුහයක් තාත්වික රේඛාවට පවතී. පළමුවැන්න යටතේ තාත්වික සංඛ්‍යා පූර්ණ ලෙස පටිපටිගත බැවින් ඒවා පටිපාටිගත ස්ථලක ව්‍යුහයක් ගනී යැයි කිව හැක. දෙවැන්න යටතේ නිරපේක්ෂ අගයට අදාල ප්‍රමිතික මත පදනම්ව තාත්වික සංඛ්‍යා ප්‍රමිතික අවකාශයක් බවට පත් කළ හැක. d(x,y): = | y − x | මෙම ප්‍රමිතිකය මඟින් R ට පටිපාටිගත ස්ථලක ව්‍යුහය හා තුල්‍ය වූ ස්ථලක ව්‍යුහයක් ලබා දේ.
ස්ථල විද්‍යාත්මක අවකාශයක් ලෙස ගත් කළ තාත්වික රේඛාව පළමු මානයට අයත් ස්ථලමය සමූදායක් වේ. එය පරාසුසංහිත, ද්විත්ව ගණ්‍ය මෙන්ම සංකෝචනය කළ හැකි සහ ස්ථාන සුසංහිත වේ. එයට සම්මත අවකල්‍ය ව්‍යුහයක් ද පවතින අතර එනිසා එය අවකල්‍ය සමූදායක් ද වේ. (diffeomorphism දක්වාම ස්ථල විද්‍යාත්මක අවකාශයට දැරිය හැකි අවකල්‍ය ව්‍යුහ ඇත්තේ එකක් පමණි) ඓතිහාසිකව ගත් කළ මෙම එක් එක් ගණිතමය ව්‍යුහයන් සඳහා මුලින්ම අධ්‍යයනය කරන ලද උදාහරණය වන අතර එබැවින් එය මෙම නූතන ගණිතමය ක්ෂේත්‍රයන්ගේ පෙර ගමන් කරු සේ ක්‍රියා කරයි. (සත්‍ය වශයෙන් කිවහොත් ඉහත යෙදුම් බොහොමයක් අර්ථ දැක්වීම සඳහා පළමුව R හි පැවැත්ම අත්‍යාවශ්‍ය වේ.)
දෛශික අවකාශයක් සේ ගත් කළ තාත්වික රේඛාව පළමු මාතයට අයත් R තාත්වික සංඛ්‍යා ක්ෂේත්‍රය පිරිවසා දෛශික අවකාශයක් (එනම් එය මතම පිරිවසන දෛශික අවකාශයක්) වේ. එයට සම්මත අන්තඃ ගුණිතයක් පවතින අතර එබැවින් එය යුක්ලීඩියානු අවකාශයක් ද වේ. (අන්තඃගුණිතය තාත්වික සංඛ්‍යාවල සාමාන්‍ය ගුණිතය වේ.) දෛශික අවකාශයක් ලෙස මෙය එතරම් උනන්දුවක් ජනිත කරන්නක් නොවූ අතර එබැවින් මුල්වරට දෛශික අවකාශයක් ලෙසට අධ්‍යයනය කරන ලද්දේ ද්විමාන යුක්ලීඩියානු අවකාශයයි. කෙසේ නමුත් R ඒකජ වීජීය ගණිතයේ ආරම්භයට හේතු වූ බව අපට කිව හැකි වන්නේ ප්‍රථමවරට දෛශික අවකාශ අධ්‍යයනය කරන ලද්දේ R පිරිවස‍ා බැවිනි. R වලයක් සහ එමෙන්ම ක්ෂේත්‍රයක් සඳහා ද මූලික උදාහරණයක් වේ. සත්‍යවශයෙන්ම එය තාත්වික පූර්ණ ක්ෂේත්‍රයක් වන අතර එබඳු ක්ෂේත්‍ර අතරින් මුල්වරට අධ්‍යයනයට ලක් වූ ක්ෂේත්‍රය ද විය. ඒ අනුව එමඟින් අමූර්ත වීජයේ ඊට අදාල කොටසට මූලාරම්භය සැපයු බව ද සැලකිය හැක. කෙසේ නමුත් ඒ ආකාරයේ ශුද්ධ වීජ ගණිත සන්දර්භයක දී R රේඛාවක් ලෙස හඳුනාගන්නේ කලාතුරකිනි.
R හි එහි සියළු ආකාර පිළිබඳ වැඩිදුර තොරතුරු සඳහා ‘තාත්වික සංඛ්‍යාව” නම් ලිපිය බලන්න.

ප්‍රවර්ගය:ගණිතය