పంచభుజి

పంచభుజి ( గ్రీకు πέντε (పెంటే) ' ఐదు ' , γωνία ( గోనియా) ' కోణం ' నుండి ) జ్యామితిలో ఏదైనా ఐదు భుజాలు లేదా ఐదు కోణాలు కలిగిన బహుభుజి . ఒక సాధారణ పెంటగాన్‌లో అంతర కోణాల మొత్తం 540°.

ఒక పంచభుజి సరళంగా లేదా స్వీయ-ఖండనగా ఉండవచ్చు . స్వీయ-ఖండనగా ఉండే సాధారణ పంచభుజిని (లేదా నక్షత్ర పంచభుజి ) పెంటాగ్రామ్ అంటారు.
క్రమ పంచభుజి

ఒక క్రమ పంచభుజి ఐదు సమాన భుజాలను కలిగి ఉంటుంది. అవి పరావర్తన సౌష్టవం, భ్రమణ సౌష్టవాన్ని క్రమం 5 ( 72°, 144°, 216° and 288° ద్వారా) ను కలిగి ఉంటుంది. ఒక కుంభాకార క్రమ పంచభుజి కర్ణాలు, వాటి భుజాలకు స్వర్ణ నిష్పత్తి కలిగి ఉంటుంది. ఒక క్రమ పంచభుజిలో ఒక భుజం పొడవు t, దాని ఎత్తు H (ఒక భుజం నుండి దాని ఎదురుగా ఉన్న శీర్షం వరకు దూరం), వెడల్పు W (దూరంగా ఉన్న రెండు శీర్షాల మధ్య దూరం, ఇది కర్ణం పొడవుకు సమానంగా ఉంటుంది), పరి వృత్త వ్యాసార్థం R అయితే,

: \begin{align}
H &= \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}~t \approx 1.539~t, \\
W=
D &= \frac{1 + \sqrt5}{2}~t\approx 1.618~t, \\
W &= \sqrt{2-\frac{2}{\sqrt{5}}} \cdot H\approx 1.051~H, \\
R &= \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} t\approx 0.8507~t, \\
D &= R\ {\sqrt { \frac {5 + \sqrt{5}}{2}} } = 2R\cos 18^\circ = 2R\cos\frac{\pi}{10} \approx 1.902~R.
\end{align}
ఒక భుజం పొడవు t గా ఉన్న ఒక క్రమ పంచభుజి వైశాల్యం:

: \begin{align}
A &= \frac{{t^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5} }}{4} = \frac{5t^2 \tan 54^\circ}{4} \\
&= \frac{\sqrt{5(5 + 2\sqrt{5})} \;t^2}{4} = \frac{t^2 \sqrt{4 \varphi^5 + 3}}{4}
\approx 1.720~t^2
\end{align}

ఒక భుజం పొడవు t గా ఉన్న ఒక క్రమ పంచభుజి పరి వృత్త వ్యాసార్థం R అయితే,

: t = R\ {\sqrt { \frac {5 - \sqrt{5}}{2}} } = 2R\sin 36^\circ = 2R\sin\frac{\pi}{5} \approx 1.176~R,

దాని వైశాల్యం,

: A = \frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}};

పరివృత్త వైశాల్యం \pi R^2, అయినందున, క్రమ పంచభుజి వైశాల్యం సుమారు దాని పరివృత్తంలో 0.7568 ప్రాంతం మాత్రమే నిండుతుంది.
(R), inscribed circle radius (r), height , width/diagonal ]]
వైశాల్యం కనుగొనుటకు సూత్రం

క్రమ బహుభుజి యొక్క వైశాల్యం, :

: A = \frac{1}{2}Pr

ఇందులో బహుభుజి యొక్క చుట్టుకొలత P, దాని అంతర వృత్త వ్యాసార్థం r. పై సూత్రంలో క్రమ పంచభుజి యొక్క P మరియు r విలువలను ప్రతిక్షేపిస్తే, సూత్రం ఉత్పత్తి అవుతుంది.

: A = \frac{1}{2} \cdot 5t \cdot \frac{t\tan\mathord\left(\frac{3 \pi}{10}\right)}{2} = \frac{5t^2\tan\mathord\left(\frac{3 \pi}{10}\right)}{4}

దాని భుజం t.
అంతర వృత్త వ్యాసార్థం

ప్రతీ కుంభాకార బహుభుజి వలెనే, క్రమ పంచభుజి కి అంతర వృత్తం ఉంటుంది దాని వ్యాసార్థం r మరియు దాని భుజం t అయితే అంతర వ్యాసార్థం:

: r = \frac{t}{2\tan\mathord\left(\frac{\pi}{5}\right)} = \frac{t}{2\sqrt{5 - \sqrt{20}}} \approx 0.6882 \cdot t.
పరివృత్తం నుండి శీర్షాల వరకు గల జ్యాలు

ప్రతి సాధారణ కుంభాకార బహుభుజి వలె, సాధారణ కుంభాకార పంచభుజి ఒక పరివృత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది. A, B, C, D, E శీర్షాలు వరుసగా ఉన్న ఒక సాధారణ పంచభుజికి, B మరియు C బిందువుల మధ్య ఉన్న వృత్తం మీద P ఏదైనా బిందువు అయితే, PA + PD = PB + PC + PE.
తలంలో బిందువు

For an arbitrary point in the plane of a regular pentagon with circumradius R, whose distances to the centroid of the regular pentagon and its five vertices are L and d_i respectively, we have

: \begin{align}
\textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^2 &= 5\left(R^2 + L^2\right), \\
\textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^4 &= 5\left(\left(R^2 + L^2\right)^2 + 2R^2 L^2\right), \\
\textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^6 &= 5\left(\left(R^2 + L^2\right)^3 + 6R^2 L^2 \left(R^2 + L^2\right)\right), \\
\textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^8 &= 5\left(\left(R^2 + L^2\right)^4 + 12R^2 L^2 \left(R^2 + L^2\right)^2 + 6R^4 L^4\right).
\end{align}

If d_i are the distances from the vertices of a regular pentagon to any point on its circumcircle, then

: 3\left(\textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^2\right)^2 = 10 \textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^4 .
ప్రకృతిలో పంచభుజులు
మొక్కలు


File:BhindiCutUp.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:BhindiCutUp.jpg|Pentagonal cross-section of okra.
File:Morning_Glory_Flower.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Morning_Glory_Flower.jpg|Morning glories, like many other flowers, have a pentagonal shape.
File:Rafflesia_arnoldi_-_panoramio.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rafflesia_arnoldi_-_panoramio.jpg|Perigone tube of Rafflesia flower.
File:Sterappel_dwarsdrsn.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Sterappel_dwarsdrsn.jpg|The gynoecium of an apple contains five carpels, arranged in a five-pointed star
File:Carambola_Starfruit.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Carambola_Starfruit.jpg|Starfruit is another fruit with fivefold symmetry.

జంతువులు


File:Oreaster_reticulatus201905mx.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Oreaster_reticulatus201905mx.jpg|A sea star. Many echinoderms have fivefold radial symmetry.
File:Sea_Urchin_Endoskeleton.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Sea_Urchin_Endoskeleton.jpg|Another example of echinoderm, a sea urchin endoskeleton.
File:Haeckel_Ophiodea.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Haeckel_Ophiodea.jpg|An illustration of brittle stars, also echinoderms with a pentagonal shape.

ఖనిజాలు


File:Ho-Mg-ZnQuasicrystal.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Ho-Mg-ZnQuasicrystal.jpg|A Ho-Mg-Zn icosahedral quasicrystal formed as a pentagonal dodecahedron. The faces are true regular pentagons.
File:Pyrite_elbe.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Pyrite_elbe.jpg|A pyritohedral crystal of pyrite. A pyritohedron has 12 identical pentagonal faces that are not constrained to be regular.
File:Au-Gold-2-1-16_Miass_2018-03-01_11-05-41_V3.gif|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Au-Gold-2-1-16_Miass_2018-03-01_11-05-41_V3.gif|A Fiveling of gold, half a centimeter tall.

ఇతర ఉదాహరణలు


File:The_Pentagon_January_2008.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:The_Pentagon_January_2008.jpg|The Pentagon, headquarters of the United States Department of Defense.
File:Home_base_of_baseball_field_in_Třebíč,_Třebíč_District.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Home_base_of_baseball_field_in_T%C5%99eb%C3%AD%C4%8D,_T%C5%99eb%C3%AD%C4%8D_District.jpg|Home plate of a baseball field

మూలాలు
బాహ్య లంకెలు

*
* Animated demonstration constructing an inscribed pentagon with compass and straightedge.
* How to construct a regular pentagon with only a compass and straightedge.
* How to fold a regular pentagon using only a strip of paper
* Definition and properties of the pentagon, with interactive animation
* Renaissance artists' approximate constructions of regular pentagons
* Pentagon. How to calculate various dimensions of regular pentagons.

వర్గం:జ్యామితీయ ఆకృతులు