تموینی نقشہ

ریاضٰی میں رَجعت تعلق، جس کی بطور مساوات صورت یہ ہے
:\ x_{n+1} = a x_n ( 1 - x_n)
یہ مساوات کے لیے شواشی طرز کا مظاہرہ کرتی ہے۔
تاریخ

چوکھٹا|تصویر 9 (آبادی کا فروغ)
"لاجسٹک" فرانسیسی لفظ logis بمعنی lodging یا "گھر" سے نکلا ہے۔ تاریخی طور پر لاجسٹک میپ، کسی ایسی آبادی x_n کو لکھنے کے لیے استعمال ہوئی، جہاں وسائل محدود ہونے کی وجہ سے آبادی ایک حد سے آگے نہیں بڑھ سکتی۔ فرض کرو کہ یہ حد 1 ہے، یعنی سو فیصد۔ مثلاً x_n=0.1 کا مطلب ہے کہ وقت n پر آبادی دس فیصد ہے۔ تو آبادی بڑھنے کی شرح \frac{x_{n+1}-x_n}{x_n} بمطابق ہو گی اس پر کہ کتنی گنجائش \ (1-x_n) باقی رہ گئی ہے، یعنی
:\frac{x_{n+1}-x_n}{x_n} \propto (1-x_n)
یا
:\frac{x_{n+1}-x_n}{x_n} = b (1-x_n)
جہاں b ایک دائم عدد چنا جا سکتا ہے۔ تصویر 9 میں شرح دائم b کی مختلف قدروں 0.1, 0.2, 0.3، کے لیے آبادی کا فروغ دکھایا گیا ہے۔

ہم باقی بحث میں لاجسٹک میپ کی سادہ قسم
:\ x_{n+1} = a x_n ( 1 - x_n)
استعمال کریں گے۔
طرز

چوکھٹا|تصویر 1


چوکھٹا|تصویر2

رجعت تعلق مساوات کو تصویر 1 میں ارتجاع نظام کے طور پر دکھایا گیا ہے۔ وقت n پر اس نظام کا اخراج x_n، اگلے وقت n+1 کے لیے اس کا ادخال بن جاتا ہے۔
مساوات کے تکرار کے عمل کو گراف کے ذریعہ تصویر 2 میں دکھایا گیا ہے۔ اس تصویر میں سرخ رنگ سے فنکشن (map)
:\ y = g(x) = a x (1-x)
دکھائی گئی ہے، جبکہ کالے رنگ میں خط تنصیف
:\ y=x
ہے (ناصف)۔ ان گراف (کالے ناصف اور سرخ فنکشن) کا سنگم اس رجعت تعلق کا مستقل نکتہ ہے۔ تکرار کے عمل کو ہم یوں سمجھ سکتے ہیں۔ X_0 کو رجعت مساوات سے گزارنے کے عمل کو X_0 سے سرخ گراف تک جاتی ہوئی عمودی نیلی لکیر سے دکھایا گیا ہے، جہاں سے افقی نیلی لکیر اسے خط تنصیف سے منعکس ہو کر X_1 بنتا دکھاتی ہے۔ اس طرح ایک تکرار مکمل ہوتی ہے۔

چوکھٹا|تصویر 3


تصویر 2 میں a=2۔ دیکھو کہ a کی اس قیمت کے لیے کسی بھی نکتہ سے تکرار شروع کریں تو بڑی تیزی سے مستقل نکتہ کی طرف سفر شروع ہو جاتا ہے۔ تصویر میں تیسری تکرار پر ہم مستقل نکتہ کے کافی قریب پہنچ چکے ہیں۔

چوکھٹا|تصویر 4

اسی رجعت تعلق کی تکرار a=3 کے لیے تصویر 3 میں دکھاتے ہیں۔ یہاں بھی ہم مستقل نکتہ کی طرف جاتے ہیں مگر نسبتاً بہت کم رفتار سے (زیادہ تکرار کی ضرورت پڑتی ہے)۔ بہرکیف کسی بھی آغازی قیمت سے شروع ہو کر تمام راستے اسی مستقل نکتہ کی طرف مرکوز ہوں گے۔
a=4

تصویر 4 میں اسی رجعت تعلق مساوات کی a=4 کے لیے تکرار دکھائی گئی ہے۔ تصویر میں 500 تکرار دکھائ گئی ہیں۔ دیکھو کہ تکرار اپنے مستقل نکتہ کی طرف نہیں جاتی بلکہ بے ترتیبی سے ہر طرف ناچتی رہتی ہے۔ نیچے جدول میں ہم اس مساوات کے تکرار کے دو سلسلہ لکھتے ہیں، جو معمولی دوری سے شروع ہوتے ہیں، ایک جدول میں X_0=0.800000 اور دوسرے میں X_0=0.800001 ہے۔ نویں تکرار تک یہ سلسلہ ایک دوسرے کی قریب ہیں، مگر انسویں تکرار کے بعد دونوں سلسلے بالکل جدا ہو جاتے ہیں۔ یقین ہی نہیں آتا کہ دونوں اتنی قربت پر شروع ہوئے تھے۔ رجعت تعلق (a=4) کی اس کفیت کو "آغازی حالت پر حساسی" کہا جاتا ہے۔ اس کے برعکس تصویر 2 (a=2) میں اگر دو قریبی نکتوں سے تکرار کے دو سلسلے چلائے جائیں تو دونوں سلسلوں کا ایک دوسرے سے فاصلہ، وقت گزرنے کے ساتھ کم ہوتا جائے گا (یعنی a=2 کے لیے رجعت تعلق آغازی حالت پر حساس نہیں)۔


جدول 1 اور 2













چوکھٹا|تصویر 5

وضحات کے لیے تصویر 5 میں اسی قیمت a=4 کے لیے ہم نے 10000 تکراروں کے بعد کی 400 تکرار دکھائی ہیں۔ دیکھو کہ یہ اپنے مستقل نکتہ کی طرف نہیں جا رہی۔ "آغازی حالت پر حساسی" شواشی پن کی پہلی نشانی ہے۔

"آغازی حالت پر حساسی" سے ایک اور اہم نکتہ نکلتا ہے۔ جیسا کہ ہم جانتے ہیں کہ کمپیوٹر میں اعداد کو محدود درستی سے شمار کیا جا سکتا ہے۔ فرض کرو کہ ایک کمپیوٹر کی اندونی درستی تین (3) رقمی ہے۔ اب اگر نیچے دی ضرب کو دیکھیں
: 2.31 \times 3.33 = 7.6923
مگر چونکہ ہمارا یہ کمپیوٹر صرف تین رقمی درستی عدد سے کام کرتا ہے، اس لیے یہ جواب 7.69 نکالے گا۔ اب اگلی تکرار کے لیے 7.6923 کی بجائے 7.69 استعمال ہو گا۔ مگر ہم نے دیکھا کہ ہماری رجعت تعلق بہت حساس ہے، جس کا مطلب ہے کہ جلد ہی کمپیوٹر پر تکرار کے جواب اصل سے دور ہٹتے جائیں گے اور بہت سی تکرار کے بعد بالکل غلط جواب نکلیں گے۔ اس لیے کوئی بھی عام کمپیوٹر زیادہ تکرار کے بعد صحیح جواب نہیں نکال پائے گا۔ اس نکتہ پر ہم نیچے دوبارہ بات کریں گے۔

شواشی پن کی دوسری نشانی "آمیزش" ہے۔ تصویر چار میں ہم نے دیکھا کہ ایک نکتہ سے شروع ہو کر محور پورے وقفہ (0,1) میں پھیل گیا۔ اس طرح یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ اگر وقفہ (0,1) کے دو ذیلی وقفہ I اور J ہوں، چاہے لمبائی میں جتنے ہی چھوٹے ہوں (مگر لمبائی صفر نہ ہو)، تو وقفہ I میں ایسے نکتے موجود ہوں گے کہ جن سے تکرار شروع کر کے وقفہ J تک پہنچا جا سکتا ہے۔ اس کو آمیزش کہا جاتا ہے۔

شواشی پن کی تیسری نشانی "میعادی محور" ہیں۔ اگر ہم X_0=0 سے شروع کریں تو صفر پر ہی رہیں گے۔ اس محور کی میعاد 1 ہے۔ اس طرح یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ یہ
: \left\{ \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right), \sin^2\left(\frac{2\pi}{7}\right), \sin^2\left(\frac{4 \pi}{7}\right) \right\}
میعاد 3 کا ایک میعادی محور ہے۔ اگر ہم کمپیوٹر پر ان نکتوں میں سے کسی سے شروع کر کے تکرار شروع کریں تو، جیسا کہ اوپر بحث ہوئی کہ شمارندی درستی محدود ہوتی ہے، کمپیوٹر کے مطابق بہت سی تکراروں کے بعد محور میعادی نہیں لگے گا، مگر یہ شمارندی کی محدود درستی کی وجہ سے ہے۔ اس طرح یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ اگر وقفہ (0,1) کے کسی بھی ذیلی وقفہ، چاہے لمبائی میں جتنا ہی چھوٹا ہو (مگر لمبائی صفر نہ ہو)، تو اس وقفہ میں ایسے نکتے موجود ہوں گے کہ جن سے تکرار شروع ہو کر ایک میعادی محور جنم لے گا۔

تصغیر|200px|تصویر7

اوپر بیان ہوا کہ آغازی حساسی کی بنا پر کوئی بھی کمپیوٹر بہت سی تکراروں کے بعد غلط جواب دینا شروع کر دیتا ہے حتٰی کہ شمارندی محور بالکل مختلف ہو جاتا ہے حقیقی محور سے۔ سوال پیدا ہوتا ہے کہ کیا کمپیوٹر پر محور کی شمارندی کا کوئی فائدہ بھی ہے جب اس نے غلط محور ہی دکھانا ہے؟ اس کا جواب یہ ہے کہ جو بھی محور شمارندی ہو گا، اس محور کے قریب ایک حقیقی محور موجود ہو گا اور ان محوروں کے درمیان فاصلہ ε سے کم ہو گا، جہاں ε شمارندی خصوصیات پر منحصر ہو گا۔ تصویر 7 میں کالے رنگ سے شمارندی محور دکھایا گیا ہے اور سرخ رنگ میں ایک حقیقی محور ہے جو ہر قدم پر کالے محور سے ε سے کم فاصلے پر ہے۔ اسے یوں بیان کیا جاتا ہے کہ شمارندی محور کے ε۔ سایہ میں ایک حقیقی محور موجود ہوتا ہے۔ اس لیے کمپیوٹر پر محور کی شماریات کرنے کا فائدہ ہے۔
دو شاخہ

تصغیر|وسط|512px|تصویر 6: دو شاخہ


رجعت تعلق
:\ x_{n+1} = r x_n ( 1 - x_n)
کو r کی کسی قدر \ 0 کے لیے تکرار کیا جائے، تو کسی بھی آغازی نکتہ سے شروع ہو کر ہم ایک مستقل نکتہ پر پہنچ جاتے ہیں۔ یہ تصویر 6 میں دکھایا گیا ہے۔ یعنی اس کا مستقل نکتہ باکشش ہے، جو ہر آغازی حالت کو اپنی طرف کھینچ لیتا ہے۔ اگر r کو 3 سے کچھ زیادہ بڑھایا جائے، تو محور دو نکتوں کے درمیان چھلانگیں لگاتا رہتا ہے، میعاد 2 کے ساتھ۔ تصویر 6 میں یہاں دو شاخہ شروع ہوتا ہے۔ اب مستقل نکتہ اپنے سے دور دھکیل دیتا ہے۔ اس طرح اگر r کو مزید بڑھائیں تو میعاد 4، پھر 8، پھر 16، کی نوبت پہنچ جاتی ہے۔ اس کو میعاد کا دوہرا ہونا کہتے ہیں۔ تصویر میں ہر شاخ دو میں تقسیم ہوتی رہتی ہے۔ جب r=3.5699456 سے آگے چلیں تو میعاد کا دوہرا ہونا ختم ہو کر شواشی طرز عمل شروع ہو جاتا ہے۔ حتٰی کہ r=4 پر مکمل شواشی ہے۔ تصویر 6 فریکٹل ہے۔
چوکھٹا|تصویر 8: دو شاخہ
تصویر 8 میں ہر شاخ کا دو میں تقسیم ہونے کی عکاسی کی گئی ہے۔ پہلی شاخ کی لمبائی d_1 دکھائ ہے، اگلے دو شاخہ کی لمبائی d_2 ہے۔ ان دونوں کا تناسب ایک دائم کی طرف جاتا ہے:
:\frac{d_k}{d_{k+1}} \to 4.6692
جسے فیگنبام دائم کہا جاتا ہے۔ اس دائم کی اہمیت یہ ہے کہ یہ صرف لاجسٹک میپ تک محدود نہیں، بلکہ قدرتی شواشی مظاہر پر تجربات میں بھی اس کی یہی قدر دیکھنے میں آئی ہے۔ یعنی ان تجربات میں بھی شواشی حالت کی طرف سفر میں میعادی دوہرا پن کے دو شاخہ کی لمبائیوں میں یہی تناسب دیکھا گیا ہے۔
مزید دیکھیے

* فرق مساوات
* ایک نئ قسم کی سائنس


زمرہ:نظریہ شواش
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مطابقت رکھنے والی مختصر تفصیل