مشروط احتمال

کسی واقعہ کا احتمال (Probability)، تجربہ کے بارے مزید معلومات سے بدل سکتا ہے۔ واقعہ A کے احتمال کو \ \Pr(A) لکھا جاتا ہے۔ اب اگر معلوم ہو کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، تو اس صورت میں واقعہ A کا احتمال تبدیل ہو سکتا ہے۔ اس تبدیل شدہ احتمال کو ہم "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" کہتے ہیں اور اسے \ \Pr(A|B) لکھتے ہیں۔

انگریزی میں \ \Pr(A|B) کو یوں پڑھتے ہیں
probability of A given B
یا اردو میں بولیں گے
احتمال A کا جبکہ B

تصغیر|بائیں|تصویر 1
تعریف: "واقعہ A کا مشروط احتمال (Conditional Probability) جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا"، \ \Pr(A|B)، یوں تعریف ہوتا ہے
:\Pr(A|B) = \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)}

تصویر 1 سے ظاہر ہے کہ اگر واقعہ B رونما ہو چکا ہو، تو نمونہ فضا (Sample Space) اب S نہیں، بلکہ وہ نتائج ہیں جو B میں شامل ہیں، اس لیے مشروط احتمال \ \Pr(A|B) متناسب ہو گا \ \Pr(A \cap B) کے۔ اسے \ \Pr(B) سے تقسیم اس لیے کیا تاکہ نئی نمونہ فضا کا احتمال \ \Pr(B|B) ایک (1) ہو۔

اب ظاہر ہے کہ ہم لکھ سکتے ہیں، ضربی قاعدہ،
:\ \Pr(A \cap B) = \Pr(A|B) \Pr(B)
جو کافی مفید ثابت ہوتا ہے، کیونکہ بہت سے مسئلوں میں ہمیں \ \Pr(A \cap B) درکار ہوتا ہے، جبکہ \ \Pr(A|B) اور \ \Pr(B) دیے گئے ہوتے ہیں۔

عملی مسائل میں مشروط احتمال، واقعات کا احتمال نکالنے میں مفید ثابت ہوتا ہے، جو ہم ایک مثال سے واضح کرتے ہیں۔
مثال 1

300px|تصغیر|بائیں|تصویر 2
ماہرِ حیاتیات کے مطابق کوئی خاصہ (مثلاً بالوں کا رنگ) والدین سے اولاد میں وراثہ کے ذریعے منتقل ہوتا ہے۔ کچھ وراثہ غالب (dominanat) ہوتے ہیں جنھیں ہم A لکھتے ہیں اور کچھ وراثہ recessive ہوتے ہیں جنھیں ہم a لکھتے ہیں۔ ہر شخص میں کسی خاصہ کا "وراثہ جوڑا" (genotype "طرز وراثی") ہوتا ہے، طرز AA, Aa, aa۔ اگر کسی شخص کو والدین سے غالب وراثہ منتقل ہو (یعنی AA یا Aa)، تو یہ شخص اس خاصہ (بالوں کا رنگ سیاہ) کا مظہر ہو گا۔ اگر دونوں والدین سے اسےrecessive وراثہ منتقل ہو (یعنی aa ) تو پھر وہ مختلف خاصہ (بالوں کا رنگ سنہرا) کا مظہر ہو گا۔ بچے کو طرزِ وراثی (وراثہ جوڑے) میں سے ایک وراثہ والد سے ملتا ہے اور دوسرا والدہ سے۔

ہم خیال کرتے ہیں کہ بچے کو ہر والدین سے دونوں میں سے کوئی (A یا a ) وراثہ ملنے کا احتمال برابر امکانی ہے۔ اب آسانی سے مختلف امکانات کا مشروط احتمال نکالا جا سکتا ہے، مثلاً اگر معلوم ہو کہ والدین میں سے ایک AA ہے اور دوسرا Aa، تو بچے کے مختلف امکانات کا احتمال بآسانی نکل سکتا ہے:


:\Pr(\hbox{child is}\, AA|\hbox{one parent is} AA, \hbox{other parent is} Aa)=\frac{1}{2}
:\Pr(\hbox{child is}\, Aa|\hbox{one parent is} AA, \hbox{other parent is} Aa)= \frac{1}{2}
:\Pr(\hbox{child is}\, aa|\hbox{one parent is} AA, \hbox{other parent is} Aa)=0
اب فرض کرو کہ کسی آبادی میں AA طرزِ ورثہ والے شخص کا احتمال u ہے، Aa کا احتمال v ہے اور aa کا احتمال w ہے۔ یعنی
:\ \Pr(AA)=u, \Pr(Aa)=v, \Pr(aa)=w
ہم یہ دیکھنا چاہتے ہیں کہ اس آبادی میں پیدا ہونے والے بچے کا طرزِوراثی AA, Aa, aa, ہونے کا احتمال کیا ہے؟ اس کام میں مدد کے لیے ہم تصویر 2 میں شجر بناتے ہیں، جس میں ماں باپ کے طرزِ وراثی پر مشروط کر کے بچے کا طرزَ وراثی دکھایا گیا ہے۔ سوال: اس کا کیا احتمال ہے کہ اس آبادی میں پیدا ہونے والے بچے کا طرزِ وراثی aa (سنہری بال) ہو گا؟ چونکہ تصویر 2 میں "اولاد کا طرزِ وراثی"کچھ ہونے کے واقعات باہمی ناشمول ہیں، اس لیے ہم کسی بچہ کا طرز وراثی کے احتمال کو نکالنے کے لیے اس کے تمام ممکنہ صورتوں کے احتمال کو جمع کر سکتے ہیں۔ تصویر 2 میں چار شاخیں "بچہ aa" ہونے کی ہیں، یہ شاخیں 9، 11، 12 اور 13 ویں ہیں۔ نویں شاخ کا مطلب ہے کہ بچہ کا طرزِ وراثی aa ہو، اور باپ کا طرزِ وراثیAa ہو، اور ماں کا طرزِ وراثی Aa ہو، یعنی واقعہ
:\ \{\hbox{child } aa \cap \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa\}

ان شاخوں کے باہمی ناشمول واقعات (Mutually Exclusive Events) کے احتمال کو جمع کر بچہ کا طرزِ وراثی aa ہونے کا احتمال یوں لکھا جا سکتا ہے:
: \begin{matrix} &\Pr(\hbox{child } aa) =
\Pr(\hbox{child } aa \cap \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa) \\
&+ \Pr(\hbox{child } aa \cap \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } aa) \\
&+ \Pr(\hbox{child } aa \cap \hbox{father }aa \cap \hbox{mother } Aa) \\
&+ \Pr(\hbox{child } aa \cap \hbox{father }aa \cap \hbox{mother } aa)
\end{matrix}

اب مشروط احتمال کی تعریف استعمال کرتے ہوئے، نوین شاخ کے تقاطع واقعات کا احتمال یوں لکھا جا سکتا ہے:
:\begin{matrix}
\Pr(\hbox{child } aa \cap \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa) \\
= \Pr\left(\hbox{child } aa | \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa\right)
\Pr(\hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa)
\end{matrix}

اور اسی طرح دوسری شاخوں کے لیے بھی۔

والدین کی طرزِوراثی معلوم ہوتے ہوئے، بچہ کا طرزِ وراثی aa ہونے کا مشروط احتمال، اس جدول کی مدد سے دیکھا جا سکتا ہے (تصویر 2 میں بھی دکھایا ہے)


اس جدول میں چونکہ چار امکانات میں سے ایک مطلوبہ امکان aa ہے، اس لیے
:
\Pr\left(\hbox{child } aa | \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa\right) = \frac{1}{4}


والدین کا طرزِ وراثی آزاد واقعات ہیں، کیونکہ باپ اور ماں کو آبادی میں سے آزادانہ چنا گیا ہے، اس لیے درجِ ذیل احتمال کو ضربی لکھا جا سکتا ہے
:
\Pr(\hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa) =
\Pr(\hbox{father }Aa ) \Pr(\hbox{mother } Aa) = uv


ان حقائق کو استعمال کرتے ہوئے، بچہ کا طرزِ وراثی aa ہونے کا احتمال یوں نکالا جا سکتا ہے:
: \begin{matrix} &\Pr(\hbox{child } aa) =
\Pr(\hbox{child } aa \cap \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa) \\
&+ \Pr(\hbox{child } aa \cap \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } aa) \\
&+ \Pr(\hbox{child } aa \cap \hbox{father }aa \cap \hbox{mother } Aa) \\
&+ \Pr(\hbox{child } aa \cap \hbox{father }aa \cap \hbox{mother } aa) \\
& = \Pr(\hbox{child } aa| \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa) \Pr(\hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa)\\
&+ \Pr(\hbox{child } aa| \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } aa) \Pr( \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } aa) \\
&+ \Pr(\hbox{child } aa| \hbox{father }aa \cap \hbox{mother } Aa) \Pr( \hbox{father }aa \cap \hbox{mother } Aa) \\
&+ \Pr(\hbox{child } aa| \hbox{father }aa \cap \hbox{mother } aa) \Pr(\hbox{father }aa \cap \hbox{mother } aa) \\
& = \Pr(\hbox{child } aa| \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } Aa) \Pr(\hbox{father }Aa) \Pr(\hbox{mother } Aa)\\
&+ \Pr(\hbox{child } aa| \hbox{father }Aa \cap \hbox{mother } aa) \Pr( \hbox{father }Aa) \Pr( \hbox{mother } aa) \\
&+ \Pr(\hbox{child } aa| \hbox{father }aa \cap \hbox{mother } Aa) \Pr( \hbox{father }aa) \Pr(\hbox{mother } Aa) \\
&+ \Pr(\hbox{child } aa| \hbox{father }aa \cap \hbox{mother } aa) \Pr(\hbox{father }aa) \Pr(\hbox{mother } aa) \\
&= \frac{1}{4} v v \\
& + \frac{1}{2} v w \\
& + \frac{1}{2} w v \\
& + \frac{1}{1} w w \\
&= \frac{v^2}{4} + \frac{vw}{2} + \frac{wv}{2} + w^2 \\
&= \left(\frac{v}{2}+w\right)^2
\end{matrix}


زمرہ:احتمال نظریہ
زمرہ:منطقی مغالطے