திசையன் வெளியின் அடுக்களம்

கணிதத்தில் ஒரு திசையன் வெளி V இல், ஒரு உட்கணம் B நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருந்து, அதனுடைய அளாவல் முழுவெளியாகவும் இருக்குமானால், அவ்வுட்கணம் V இன் அடுக்களம் (Basis) எனப்படும். இவ்வடுக்களம் B இன் எண் அளவை என்னவோ அதே எண் அளவை தான் மற்ற எல்லா அடுக்களத்திலும் இருக்கும். இந்த பொது எண்ணளவைக்கு திசையன் வெளி V இன் பரிமாணம் (Dimension) என்று பெயர். இதை dimV என்ற குறியீட்டால் குறிப்பது கணித மரபு.

இவ்வுட்கணம் B முடிவுள்ளதானால் V முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ளது என்றும், B முடிவற்றதாக இருந்தால், V முடிவிலிப்பரிமாணமுள்ளது என்றும் சொல்லப்படும்.

நாம் இக்கட்டுரையில் முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகளைப்பற்றியே பேசுவோம்.
எடுத்துக்காட்டுகள்

1. V = V_3. B = {i, j, k} என்று கொள்வோம். இங்கு i = (1,0,0), j = (0,1,0) மற்றும் k = (0,0,1)

அடுக்களத்திற்குள்ள இரண்டு இலக்கணங்களையும் B நிறைவேற்றுவதால், B ஒரு அடுக்களமாகும். V_3 க்கு இந்த அடுக்களத்தை இயற்கை அடுக்களம் என்று சொல்வர்.

2. V = \mathcal{P}_n: மெய்யெண் மதிப்புள்ள, படித்தரம் n க்குமேல்போகாத, எல்லா பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடங்கிய திசையன் வெளி.இதனில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் B = \{1, x, x^2, ... x^n\} இலுள்ள உறுப்புகளின் முடிவுள்ள நேரியல் சேர்வு. மற்றும் B ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். ஃ B ஒரு அடுக்களமாகிறது.

dim \mathcal{P}_n = n + 1.
அடிப்படை உண்மைகள்

V ஒரு திசையன் வெளி எனக்கொள்வோம்.

:* சூனியத்திசையனை ஒர் உறுப்பாகக்கொண்ட எந்தக்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதுதான்.

:* ஒரு அளாவும் உட்கணத்தில் உள்ளதைவிட அதிகமான எண்ணிக்கையில் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருக்கமுடியாது. அ-து,
: [\{v_1, v_2, ..., v_n\}] = V ஆகவும், \{w_1, w_2, ... , w_m\} நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருக்குமானால், m \leq n.

:* Vஇல் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு அடுக்களம் இருக்குமானால், n ஐவிட அதிக உறுப்புகள் கொண்ட எந்த உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளது.அதனால் எல்லா உட்கணங்களும் n உறுப்புகள் கொண்டதே.

:* n-பரிமாணமுள்ள ஒவ்வொரு Vஇலும்,
:(1):n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருந்தாகவேண்டும்;
:(2): n+1 உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதே.
:(3): n உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணமும் ஒரு அடுக்களம்.

:* B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}, மற்றும் [B] = V ஆக இருக்குமானால், கீழேயுள்ள இரண்டும் சமானம்:
: (a): B நேரியல் சார்பற்றது.
: (b): V இலுள்ள ஒவ்வொரு v க்கும், v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n என்ற கோவை தனிப்பட்டது (= இரண்டற்றது, unique).
ஆயத்திசையன்

இதனால் B ஒரு அடுக்களம் என்ற கருத்துக்கு ஒரு மாற்று வரையறை இப்படிக்கொடுக்கலாம்:

B \subset V; [B] = V; மற்றும், V இலுள்ள ஒவ்வொரு v க்கும் B இனுடைய உறுப்புகளின் மூலம் கோவைப்படுத்தும் v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n என்ற கோவை தனிப்பட்டது .

ஒரு அடுக்களம் B இலுள்ள உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தினால், அ-து, B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}, என்று உறுதிப்படுத்திய பிறகு, V இலுள்ள ஒவ்வொரு v க்கும், B இன் உறுப்புகளின் மூலம் v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n என்ற கோவையும் உறுதிப்படுத்தப்படுவதால், ஆயவரிசை (\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n) ம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆயவரிசைக்கு v இன் ஆயத்திசையன் (co-ordinate vector) எனப்பெயர். வேறு ஒரு அடுக்களத்தைக்கொண்டும் v க்கு இன்னொரு ஆயத்திசையன் உண்டுபண்ணலாம். அதனால் அவசியமுள்ளபோது, 'B யைப்பொருத்த ஆயத்திசையன்' என்று விவரமாகச்சொல்லவேண்டி வரும். ஆய்த்திசையன்களை நிரல்திசையனாகச்சொல்வதில் ஒரு வசதி இருக்கிறது.

: எ.கா.: முப்பரிமாண வெளி V_3 ஐ எடுத்துக்கொள்வோம்.
: B = \{(1,1,0), (1,0,1) (0,1,1),\} எனக்கொள்க. B ஒரு வரிசைப்படுத்திய அடுக்களம்.
: v = (2,3,-1) எனக்கொண்டால், v = 3(1,1,0) -1(1,0,1) +0(0,1,1)
: அதனால், (2,3,-1) இன் B-ஐப்பொருத்த ஆயத்திசையன் \begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix}

: v = (2,3,-1) என்பதே ஒரு ஆயத்திசையன்தான். இயற்கை அடுக்களத்தைப்பொருத்து அதனுடைய ஆயத்திசையன் \begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
-1
\end{pmatrix}. ஏனென்றால்
: (2,3,-1) = 2(1,0,0) + 3(0,1,0) -1(0,0,1).
அடுக்கள ஆக்கச்செயல்முறை

: கொடுக்கப்பட்ட ஒரு n-பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளி V இல், A = \{v_1, v_2, ... , v_k\} ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணமானால், k\leqslant n ஆகத்தான் இருக்கவேண்டும்.
: k = n என்ற பட்சத்தில், A யே ஒரு அடுக்களமாகிவிடுகிறது.
: k என்ற பட்சத்தில், [A] \neq V. அதனால், V இல் [A]க்கு வெளியில் ஏதாவதொரு உறுப்பு இருக்கவேண்டும். அதை v_{k+1} என்று அழைப்போம். இப்பொழுது \{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}\} ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். k+1 = n என்ற பட்சத்தில், நாம் வேண்டிய அடுக்களம் இதுதான். k+1 \neq n என்ற பட்சத்தில், இதே செயல்முறையை திரும்பவும் செய்.
நேரியல் கோப்பு ஆக்கச்செயல்முறை

U, V ஒரே அளவெண்களங்களையுடைய இரு திசையன்வெளிகள் எனக்கொள்வோம். U வின் ஒரு அடுக்களமாக B = \{u_1, u_2, ... , u_n\} ஐக்கொள்க. இப்பொழுது T(u_i) ஐ ( i= 1,2, ..., n) V இல் எந்தத் திசையன்களாகவும் கொண்டு T யை ஒரு நேரியல் கோப்பாக்க முடியும். நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் ஒரேஒரு வரையறைதான். அ-து,

:: T(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... +\alpha_n u_n) = \alpha_1 T(u_1) +\alpha_2 T(u_2) + .... + \alpha_n T(u_n)

::எ.கா.: V_2 \rightarrow V_4
: B = \{(1,1), (1,-1)\}. இது V_2 வில் ஒரு அடுக்களம்.

: T(1,1) = ? \in V_4
: T(1,-1) = ? \in V_4.

: (*) T(1,1) = (1,1,0,0) என்றும்
: (**) T(1,-1) = (0,0,0,0) என்றும் கொள்வோமாக.
: V இல் (x,y) ஏதாவதொரு உறுப்பானால், முதலில் நாம் தீர்மானிக்கவேண்டியது (x,y) = ?(1,1) + ?(1,-1).
: எளிதில் இதை கண்டுபிடித்துவிடலாம்.
: (x,y) = \frac {x+y}{2} (1,1) + \frac{x-y}{2} (1,-1)

: ஃ T(x,y)) = \frac{x+y}{2} T(1,1) + \frac{x-y}{2} T(1,-1)

::: = \frac{x+y}{2} (1,1,0,0) + \frac{x-y}{2} (0,0,0,0)

::: = \left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0, 0\right).

: ஆக,நாம் வேண்டிய நேரியல் கோப்பு T : (x,y) \mapsto \left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0, 0\right).

: (*), (**) இரண்டையும் நம் விருப்பப்படி மாற்ற, மாற்ற, வெவ்வேறு நேரியல் கோப்புகள் கிடைக்கும்.
இவற்றையும் பார்க்கவும்

*திசையன் வெளியின் பரிமாணம்
துணை நூல்கள்

* Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. .
* V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi.

பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்
பகுப்பு:சார்புப் பகுவியல்
பகுப்பு:திசையன் நுண்கணிதம்