میٹرکس (ریاضی)

مصفوفہ (Matrix) اور بحر (Metrics)

ریاضی میں میں قالب یا میٹرکس ، اعداد کے مجموعہ کو کہتے ہیں، جو قطاروں اور ستونوں میں سجائے جاتے ہیں۔ اعداد کی قطاریں بائیں سے دائیں جاتی ہیں، جبکہ ستون اوپر سے نیچے۔ مثال کہ طور پر نیچے لکھی میٹرکس کی چار قطاریں اور تین ستون ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ اس میٹرکس کی جسامت \ 4\times 3 ہے،اور میٹرکس کے 12 اجزا ہیں۔

\left[\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\
4 & 5 & 8 \\
12 & 6 &9 \\
11 & 10 & 7
\end{matrix}\right]


ایک \ m \times n میٹرکس A کو اس طرح لکھا جاتا ہے، یعنی m قطاریں اور n ستون،

A = \left[
\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,n-1} \\
a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m-1,0} & a_{m-1,1} & \cdots & a_{m-1,n-1}
\end{matrix}
\right]

میٹرکس جمع اور تفریق

اگر دو میٹرکس کو جمع کرنا ہو، تو دونوں کی جسامت برابر ہونا چاہیے۔ اسی طرح تفریق کے لیے بھی۔ نیچے جمع اور تفریق کی مثال دی ہے۔ ہر جز اپنے ہم منصب جز کے ساتھ جمع یا تفریق ہوتا ہے۔

\left[\begin{matrix}
8 & -3 & -2 & 1\\
-1 & 1 & 4 & 5\\
7 & 0 & 9 & 3
\end{matrix}\right]
+
\left[\begin{matrix}
2 & 3 & 4 & 1\\
9 & 1 & -4 & 3\\
-8 & 1 & 6 & 7
\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
10 & 0 & 2 & 2\\
8 & 2 & 0 & 8\\
-1 & 1 &15 & 10
\end{matrix}\right]


\left[\begin{matrix}
8 & -3 & -2 & 1\\
-1 & 1 & 4 & 5\\
7 & 0 & 9 & 3
\end{matrix}\right]
-
\left[\begin{matrix}
2 & 3 & 4 & 1\\
9 & 1 & -4 & 3\\
-8 & 1 & 6 & 7
\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
6 & -6 & -6 & 0\\
-10 & 0 & 8 & 2\\
15 & -1 &3 & -4
\end{matrix}\right]

میٹرکس ضرب

دو میٹرکسوں کو ضرب دینے کے لیے پہلی میٹرکس کے ستونوں کی تعداد دوسری میٹرکس کی قطاروں کے برابر ہونی چاہیے۔ نیچے ہم میٹرکس A کو میٹرکس X سے ضرب دے کر میٹرکس Y حاصل کرتے ہیں۔

A=\left[
\begin{matrix}
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\
a_{10} & a_{11} & a_{12} \\
a_{20} & a_{21} & a_{22}
\end{matrix}
\right],
X=\left[
\begin{matrix}
x_{00} & x_{01} & x_{02} \\
x_{10} & x_{11} & x_{12} \\
x_{20} & x_{21} & x_{22}
\end{matrix}
\right],

یہاں دونوں میٹرکس A اور X مربع میٹرکس ہیں۔ دونوں کی جسامت \ 3 \times 3 ہے۔ اس لیے میٹرکس Y کی جسامت بھی \ 3 \times 3 ہو گا۔


Y= AX = \left[
\begin{matrix}
y_{00} &y_{01} & y_{02} \\
y_{10} & y_{11} & y_{12} \\
y_{20} & y_{21} & y_{22}
\end{matrix}
\right]


Y=
\left[
\begin{matrix}
a_{00}x_{00} + a_{01}x_{10} + a_{02} x_{20} &
a_{00}x_{01} + a_{01}x_{11} + a_{02} x_{21} &
a_{00}x_{02} + a_{01}x_{12} + a_{02} x_{22} \\
a_{10}x_{00} + a_{11}x_{10} + a_{12} x_{20} &
a_{10}x_{01} + a_{11}x_{11} + a_{12} x_{21} &
a_{10}x_{02} + a_{11}x_{12} + a_{12} x_{22} \\
a_{20}x_{00} + a_{21}x_{10} + a_{22} x_{20} &
a_{20}x_{01} + a_{21}x_{11} + a_{22} x_{21} &
a_{20}x_{02} + a_{21}x_{12} + a_{22} x_{22}
\end{matrix}
\right]

غور کرنے پر معلوم ہو گا کہ میٹرکس Y کا ہر جز، میٹرکس A کی ایک قطار اور میٹرکس X کے ایک ستون سے ٹکرا کر بنا ہے۔ مثال کے طور پر میٹرکس Y کا جز \ y_{00} میٹرکس A کی قطار 0 اور میٹرکس X کے ستون 0 کے ملاپ سے بنا ہے۔ اسی طرح جز \ y_{12} میٹرکس A کی قطار 1 اور میٹرکس X کے ستون 2 کے ساتھ اس طرح بنا ہے:

y_{12} =
\left[\begin{matrix}
a_{10} & a_{11} & a_{12}
\end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix}
x_{02} \\ x_{12} \\ x_{22}
\end{matrix} \right]
= a_{10}x_{02} + a_{11}x_{12} + a_{12} x_{22}

یک قطاری یا یک ستونی میٹرکس کو سمتیہ بھی کہا جاتا ہے۔ ایک \ m\times n جسامت کی میٹرکس کو ایک \ n\times r جسامت کی میٹرکس سے ضرب دینے سے \ m\times r جسامت کی میٹرکس نکلے گی۔ یاد رکھو کہ میٹرکس ضرب میں عموماً \ A B \ne B A
شناخت میٹرکس

:تفصیلی مضمون: تطابق قالب
شناخت میترکس کو ریاضی میں خاص مقام حاصل ہے۔ یہ ایسی میٹرکس ہے جس کے بائیں سے دائیں آر پار جز 1 ہوں اور اس کے علاوہ باقی جز 0 ہوں۔ ایک \ n\times n شناخت میٹرکس کو یوں لکھیں گے:

I_n = \left[ \begin{matrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{matrix}\right]

شناخت میٹرکس ہمیشہ مربع میٹرکس ہوتی ہے۔ عام ریاضی میں یہ نمبر 1 سے مماثلت رکھتی ہے۔
میٹرکس کی طاقت

مربع میٹرکس کی طاقت بھی میٹرکس ضرب کے ذریعہ تعریف ہوتی ہے، مثلاً n \times n مربع میٹرکس A کے لیے
:A^2 = A A
اس طرح کسی مثبت صحیح عدد k>0 کے لیے
:A^k = A \cdots \hbox{k times} \cdots A
اور k=0 کے لیے یہ شناخت میٹرکس کے برابر ہو گا
:A^0 = I_n
میٹرکس کا اُلٹ

:تفصیلی مضمون: مقلوب میٹرکس
آپ سوچ رہے ہو گے کہ کیا میٹرکس تقسیم بھی ممکن ہے؟ اسے سمجھنے کے لیے عام اعداد کی تقسیم پر غور کرو:

\ \frac{a}{a} = a \frac{1}{a} = a a^{-1} = 1

یعنی عدد \ a کا الٹ عدد \ a^{-1} ہے، ان دونوں اعداد کو ضرب دینے سے عدد 1 حاصل ہوتا ہے۔ اسی طرح \ n\times n جسامت کی میٹرکس \ A کا الٹ میٹرکس \ A^{-1} ہو گی، جس کی جسامت بھی \ n\times n ہو گا، جب ان دونوں میٹرکسوں کو ضرب دینے سے شناخت میٹرکس حاصل ہو۔ یعنی \ A A^{-1} = I_n
صرف مربع میٹرکس کا الٹ ممکن ہے، مگر ہر مربع میٹرکس کا الٹ ممکن نہیں۔ جس مربع میٹرکس کی قطاریں باہمی آزاد ہوں (اور ستون آپس میں باہمی آزاد ہوں)، صرف ایسی میٹرکس کو الٹایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر میٹرکس

\left[\begin{matrix}
1 & -1 & 3 \\
-2 & 3 & 7 \\
-1 & 2 & 10
\end{matrix} \right]

کی تیسری قطار، پہلی دو قطاروں کو جمع کر کے بنی ہے، اس وجہ سے تیسری قطار پہلی دو قطاروں سے آزاد نہیں۔ اس لیے اس میٹرکس کو الٹانا ممکن نہیں۔
میٹرکس الجبرا

مٰیٹرکس A، B، C، جن کی جسامت \ n \times m ہو اور r، s، عام عدد ہوں (\mathbb{R} یا \mathbb{C} میں) اور O ایک جسامت \ n \times m کی میٹرکس ہو جس کے تمام جُز صفر ہوں، تو مندرجہ ذیل سچ ہوں گے
# A + B = B + A
# (A + B) + C = A + (B + C)
# A + O = A
# A + (-A) = O
# (rs) A = r (sA)
# (r + s) A = rA + sA
# r (A + B) = rA + rB
# 1 A = A

اس سے یہ نتیجہ نکالا جا سکتا ہے کہ میٹرکس جن کی جسامت\ n \times m ہو اور ان کے جُز \mathbb{R} یا \mathbb{C} میدان میں سے ہوں، کا مجموعہ سمتیہ مکاں ہونے کی تمام شرائط پوری کرتا ہے۔

اس کے علاوہ جب میٹرکس کے جسامت ایسے ہوں کہ میٹرکس ضرب ممکن ہو تو یہ سچ ہو گا (یاد رہے کہ ایک \ m \times r میٹرکس اور ایک \ r \times n میٹرکس کی ضرب سے نکلنے والی میٹرکس کی جسامت \ m \times n ہوتا ہے)
# (AB)C = A(BC)
# A(B+C) = AB + AC
# (A+B)C = AC + BC
# r (AB) = (rA)B = A(rB)
میٹرکس کا رتبہ

:تفصیلی مضمون: رتبہ میٹرکس
میٹرکس کا رتبہ اس میں باہمی لکیری آزاد قطاروں کی تعداد یا اس میں باہمی لکیری آزاد ستونوں کی تعداد کو کہتے ہیں۔ ایک میٹرکس کا زیادہ سے زیادہ رُتبہ اس کی قطاروں کی تعداد یا ستونوں کی تعداد، (جو تعداد کم ہو) کے برابر ہو سکتا ہے۔ مزید تفصیل۔
مسلئہ اثباتی

ایک \ n \times n مربع میٹرکس A کے لیے نیچے دی گئے بیان ایک دوسرے کے ہم معٰنی ہیں:
* اس میٹرکس کو اُلٹانا ممکن ہے۔
* اس میٹرکس کا رتبہ (پورا) n ہے۔
* اس میٹرکس کے تمام ستون باہمی لکیری آزاد ہیں اور تمام قطاریں باہمی لکیری آزاد ہیں۔
* ایک متغیر \ n \times 1 میٹرکس X ہو، تو \ AX=0 اگر بشرط اگر \ X=0
* اس میٹرکس کا دترمینان صفر نہیں: \ \det(A) \ne 0
:* یہاں یہ بیان کرنا ضروری ہے کہ اگر اس میٹرکس کا دترمینان بہت چھوٹا عدد ہو، تو میٹرکس کو الٹانا مشکل ہوتا ہے۔ یہ جاننے کے لیے میٹرکس کا حالتی عدد (condition number) نکالنا مفید رہتا ہے۔

:* یاد رہے کہ عام طور پر مساوات \ AX=0 سے یہ نتیجہ اخذ نہیں کیا جا سکتا کہ \ X=0 ۔ (اس کے لیے مسلئہ اثباتی کی رو سے مربع میٹرکس A کا رتبہ پورا n ہونا ضروری ہے۔)
میٹرکس ضرب بطور تفاعل

میٹرکس ضرب لکیری دالہ بنانے میں کام آتی ہے۔ n رُخی فضا میں کسی بھی نکتہ کو n اصلی اعداد (میدان \mathbb{R}) پر مشتمل سمتیہ سے لکھا جاتا ہے۔ یعنی ہر نکتہ ایک \ n \times 1 میٹرکس کے بطور لکھا جا سکتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ نکات \mathbb{R}^n فضا میں ہیں۔ اس فضا کے ایک نکتہ X کو ہم یوں لکھ سکتے ہیں:
:
X = \left[
\begin{matrix}
x_0 \\
x_1 \\
\vdots \\
x_{n-1}
\end{matrix}
\right] \,\, , \, x_k \in \mathbb{R}

اب اس نکتہ X کو ایک میٹرکس A سے ضرب دے کر نکتہ Y حاصل ہوتا ہے۔ نکتہ Y، m رُخی فضا میں ہے۔ میٹرکس ضرب تفاعل کا کام کرتی ہے۔ تفاعل کو عموماً \ f(.) سے ظاہر کرتے ہیں:

\ Y = f(X) = A X
یا تفصیلاً
:
\left[
\begin{matrix}
y_0 \\
y_1 \\
\vdots \\
y_{m-1}
\end{matrix}
\right] =
\left[
\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0, n-1}\\
a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1, n-1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m-1,0} & a_{m-1,1} & \cdots & a_{m-1, n-1}\\
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x_0 \\
x_1 \\
\vdots \\
x_{n-1}
\end{matrix}
\right]

اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ میٹرکس ضرب ایک لکیری فنکشن کا کام کرتی ہے:
:\begin{matrix}
f(\alpha U + \beta V) &=& A(\alpha U + \beta V) \\
&=& \alpha A U + \beta A V \\
&=& \alpha f(U) + \beta f(V)
\,,\,\,\,\,\, \alpha, \beta \in \mathbb{R}
\end{matrix}


زیادہ دلچسپ صورت اس وقت ہوتی ہے جب میٹرکس مربع ہو، یعنی نکات \mathbb{R}^n سے \mathbb{R}^n میں جا رہے ہوں۔ اب ہم \mathbb{R}^2 سے \mathbb{R}^2 کی مثال لیتے ہیں، یعنی میٹرکس کی جسامت \ 2 \times 2 ہے اور یہ دو رُخی فضا، مثال کے
طور پر سکرین کی سطح کو ظاہر کرتی ہے۔
مثال

میٹرکس

A = \left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{matrix}
\right]

سکرین پر عمودی (vertical) لکیروں کو ترچھا کرتی ہے اور ان کے درمیان فاصلے بڑھاتی ہے، جبکہ میٹرکس

A = \left[\begin{matrix}
1 & 0 \\
1 & 2
\end{matrix}
\right]

سکرین پر افقی (horizontal) لکیروں کو ترچھا کرتی ہے اور ان کے درمیان فاصلے بڑھاتی ہے۔ جبکہ میٹرکس

A = \left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{matrix}
\right]

دونوں اطراف کی لکیروں کو ترچھا کرتی ہے۔

\left[\begin{matrix}y_0 \\ y_1 \end{matrix}\right]
f\left(\left[\begin{matrix}x_0 \\ x_1 \end{matrix}\right]\right)

\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{matrix}
\right]
\left[\begin{matrix}x_0 \\ x_1 \end{matrix}\right]


ملاحظہ ہو۔ پہلی تصویر (نیلا رنگ) میں مربع تانا بانا دکھایا گیا ہے۔ ان نکات کو میٹرکس سے ضرب دے کر دوسری تصویر (سرخ رنگ) میں ترچھے تانا بانا حاصل ہوتا ہے۔ دیکھو کہ ایک مربع بدل جاتا ہے پیرللوگرام (parallelogram) میں ( تصاویر میں کالے ڈبے)۔


میٹرکس ضرب بطور لکیری تفاعل


280px
\begin{matrix}
f(.) \\
\longrightarrow
\end{matrix}
280px



اگر پہلی تصویر میں تفاعل کے ساحہ (domain) کے کالے ڈبے کے نکات S کو کہا جائے، تو دوسری تصویر میں تفاعل کے حیطہ (range) میں کالے ڈبے کے نکات f(S) ہوں گے۔ ان دونوں کالے ڈبوں کا رقبہ میٹرکس A کے دترمینان کی تناسب سے ہوتا ہے:

\frac{\mathrm{Area \ of \ } f(S)}{\mathrm{Area \ of \ } S} = |\det(A)| = |2\times 2 - 1 \times 1| = 3
مثال: گھماؤ

گھماؤ میٹرکس

A = \left[\begin{matrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{matrix}
\right]

\ \mathbb{R}^2
میں نکات کو مبدا (origin) کے گرد زاویہ \ \theta سے اُلٹی گھڑی کی سمت گھما دیتی ہے۔ ملاحظہ ہو \ \theta=\pi/2 کے لیے 90 درجے کے زاویہ سے مبداء کے گِرد گھمانا (مبداء سے مراد نکتہ (0,0) ہے)۔ تصویر میں نیلے رنگ کے نکات کو میٹرکس سے ضرب دے کر سرخ رنگ کے نکات حاصل ہوتے ہیں۔


فائل:matrix rotation.png

نوٹ: تصاویر کا سائیلیب سکرپٹ دیکھنے کے لیے تصاویر پر کلک کرو۔
مزید دیکھیے

* یکلخت لکیری مساوات کا نظام
* دترمینان
* لکیری آزادی
* ویژہ قیمت
* پلٹ (میٹرکس)
* متناظر میٹرکس
* وتر میٹرکس
* قائم الزاویہ (میٹرکس)
* لکیری استحالہ
* نسبی استحالہ
* سائیلیب
* امسکم ? matrix
بیرونی ربط

میٹرکس حساب کے لیے
سائیلیب
جیسے طاقتور کمپوٹر پیکج موجود ہیں، جو آزاد مصدر ہونے کے ناطے سے مفت دستیاب ہیں۔ سائیلیب میں میٹرکس ریاضی کے اردو میں کچھ
اسباق موجود ہیں۔


زمرہ:خطی الجبرا
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مختلف مختصر وضاحت
زمرہ:تجریدی الجبرا
زمرہ:1850ء میں سائنس
زمرہ:مملکت متحدہ میں 1850ء