தொடரும் பின்னம்

கணிதத்தில் தொடரும் பின்னம் அல்லது தொடர் பின்னம் என்பது

(*):x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}

இங்கு எல்லா

:a_0, a_1, a_2, a_3 .... க்களும் முழு நேர்ம எண்கள்.
வரலாறு

தொடர்பின்னங்கள் பல நூற்றாண்டுகளாக கணித உலகத்தில் தட்டுப்பட்டுக் கொண்டிருந்தாலும், 17, 18 வது நூற்றாண்டில் தான் ஒரு சீரடைந்த கோட்பாடாகப் புழங்கத்தொடங்கியது. யூக்லீடின் அல்காரிதம் என்று பெயர் பெற்ற செயல் முறை தொடர் பின்னத்தின் மறு அவதாரம் தான். ஆனால் அந்தக் காலத்தில் யூக்லீடோ அல்லது வேறு எவரோ அதை அந்த நோக்கில் பார்த்ததாகத் தெரியவில்லை. 6வது நூற்றாண்டில் இருந்த இந்தியக் கணித வல்லுனர் ஆரியபட்டர், தேரவியலா சமன்பாடுகளை (Indeterminate Equations)விடுவிக்க தொடர் பின்னங்களை வெகுவாக பயன்படுத்தினார். 1695 இல் தொடர் பின்னங்களை ஒரு கோட்பாடாக எழுதின ஜான் வல்லிஸ் என்பவர் தான் தொடர் பின்னம் என்ற பெயரையும் அதையொட்டி ஒருங்குகள் என்ற கருத்தையும் அறிமுகப்படுத்தினார். பிற்பாடு ஆய்லர் (1707-1783), லாம்பர்ட் (1728 -1777), மற்றும் லக்ராஞ்சி (1736-1813) முதலியோர் தொடர் பின்னங்களை ஆழமாக ஆய்வுசெய்தனர். இதையெல்லாம் பார்க்காமலேயே இருபதாவது நூற்றாண்டில் இந்தியக் கணித மேதை ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன்(1887 - 1920) எண் கோட்பாட்டில் தொடர் பின்னங்களை மூட்டை மூட்டையாகப் பயன்படுத்திய விந்தையை இன்னும் உலகக் கணித வல்லுனர்கள் அலசிக் கொண்டிருக்கிறார்கள்.
அறிமுகம்

எடுத்துக்காட்டாக பின்வரும் தொடர் பின்னத்தை எடுத்துக்கொள்வோம்.

(**):x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}

ஒவ்வொரு படியிலும் இதை உடைக்கலாம். முதல் படியுடன் உடைத்தால் அதன் மதிப்பு 1, அல்லது 1/1.

இரண்டாவது படியில் உடைத்தால், அதன் மதிப்பு 1 + 1/2. இதை சுருக்கினால் 3/2 வரும்.

மூன்றாவது படியில் உடைத்தால், நமக்கு கிடைப்பது

x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3}}

அதாவது, x = 1 + \cfrac{1}{7/3} = 1 + 3/7 = 10/7

நான்காவது படியில் உடைத்தால், கிடைப்பது

x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4}}}

= 1 + \cfrac{1}{2 + 4/13}

= 1 + 13/30 = 43/30

இப்படி ஒவ்வொரு படியிலும் உடைத்து நமக்குக்கிடைப்பதை, படிப்படியாக வரும் ஒருங்குகள் என்பர். மேற்படி தொடரும் பின்னத்திற்கு, முதல் ஒருங்கு 1/1, இரண்டாவது ஒருங்கு 3/2, மூன்றாவது ஒருங்கு 10/7, நான்காவது ஒருங்கு 43/30. இன்னும் ஒவ்வொரு ஒருங்காக கணித்துக்கொண்டே போகலாம். இவ்வொருங்குகளெல்லாம் எந்த மதிப்பை நோக்கி ஒருங்குகின்றனவோ, அந்த மதிப்பு தான் இத்தொடர்பின்னத்தின் முடிவான மதிப்பு.

தொடர் பின்னங்களைப்பற்றிய ஒரு அரிச்சுவடியை வலையில் பார்க்கலாம். தொடர் பின்னங்கள் முடிவுற்றதாகவும் இருக்கலாம், முடிவற்றதாகவும் இருக்கலாம்.
சில முக்கிய தொடர்பின்னங்கள்

தொடர் பின்னங்களை எழுதும் முறையில் சுறுக்கு வழிகள் உள்ளன. மேலே காட்டப்பட்ட (*) குறியிட்ட தொடர்பின்னத்தை

[a_0 ; a_1, a_2, a_3, a_4, ...] என்றும்

(**) குறியிட்ட தொடர் பின்னத்தை

[1; 2,3,4,5, ...] என்றும் எழுதுவர்.

சில முக்கியமான விகிதமுறா எண்களுடைய தொடர்பின்னங்கள் பின்வருமாறு:

\surd{2} = [1;2,2,2,2,2,2, ...]

\surd{3} = [1;1,2,1,2,1,2, ...]

e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,...]. இது ரோஜர் கோட்ஸ் 1714 இல் கண்டுபிடித்தது.

\pi = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,...]. இது ஜான் வல்லிஸ் 1685 இல் கண்டுபிடித்தது.

இம்மாதிரி விகிதமுறா எண்களின் தொடர்பின்னங்களின் சிறப்பு என்னவென்றால் அவைகளின் ஒருங்குகள் அவ்வெண்ணின் மதிப்புக்கு ஒரு தோராயமாகும். தொடரும் பின்னத்தில் எவ்வளவு உறுப்புகள் எடுத்தால் தோராயத்தின் துல்லியம் எவ்வளவு இருக்கும் என்பதை கணக்கிடுவது ஒரு அவசியமான ஆய்வு. மேலே இருக்கும் நான்கு தொடர்பின்னங்களைப் பார்க்கும்போது சாதாரணமாக எல்லா எண்களும் சிறியதாகத்தான் இருக்கின்றன. இங்குமங்கும் சில பெரிய எண்கள் தட்டுப்படுகின்றன. ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜனுக்கு தொடர்பின்னங்கள் விளையாட்டுப் பொருள்கள் போலவே இருந்தன.அவர் தான் இதற்கு ஒரு தந்திரம் சொன்னார். தொடர் பின்னத்தின் எண்களில், எங்கு ஒரு பெரிய எண் திடீரென்று தட்டுப்படுகிறதோ அந்த உறுப்புக்கு முன் உறுப்பு வரையில் ஒருங்கு கணித்தால் தோராயத்தின் துல்லியம் உண்மை மதிப்புக்கு வெகு அருகாமையிலேயே இருக்கும் என்பது அவருடைய உள்ளுணர்வு.
ராமானுஜனுடைய தொடர்பின்னங்களில் ஒன்று

இதன்படி பார்த்துதான் அவர் \pi க்கு

(2143/22)^{1/4} என்ற தோராயத்தை சொல்லியிருக்கவேண்டும்.

\pi இனுடைய தொடர்பின்னத்தின் ஒருங்குகள்:

முதல் ஒருங்கு: 3

இரண்டாவது ஒருங்கு: 3 + 1/7 = 22/7

மூன்றாவது ஒருங்கு:

3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15}}

= 333/106

நான்காவது ஒருங்கு:

3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1}}}

= 355/113

இந்தத்தோராயம் ஐந்தாவது நூற்றாண்டிலேயே ஒரு சீனக்கணித வல்லுனர் Tsu Chung Chih க்கு தெரிந்திருக்கிறது. இதை தசமமுறையில் எழுதினால் 3.14159292...என்று வரும். ஆனால் ராமானுஜனின் தோராயம் இப்படி \pi இனுடைய தொடர் பின்னத்திலிருந்து வரவில்லை. அவருக்கு \pi^4 க்கு ஒரு தொடர்பின்னம் தெரியும்.

\pi^4 = [97; 2,2,3,1,16539,1,....].

இங்கு வரும் பிரம்மாண்ட எண் தான் அவருக்கு \Pi^4 க்கு அந்த தோராயத்தைக்கொடுத்தது.

[97; 2,2,3,1] = 2143/22.

இதனல் \pi க்கு கிடைத்த தோராயம் 99.997 % துல்லியமாக இருக்கிறது என்று கணக்கிடப்பட்டிருக்கிறது.
இவற்றையும் பார்க்கவும்

* பிபனாச்சி எண்கள்
வெளி இணைப்புகள்

தொடர் பின்னங்கள் (ஆங்கிலத்தில்)
மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:எண் கோட்பாடு