கணித மரபு

கணிதவியலுக்கென்று தனித்துவம் வாய்ந்த சில கணித மரபுகள் உண்டு.
கணிதம் என்றால் என்ன?

எண்களை வைத்துக்கொண்டு உண்டாக்கப்பட்ட கணிப்பியலோ (arithmetic) வடிவங்களை வைத்துக்கொண்டு உண்டாக்கப்பட்ட வடிவியலோ இவைதான் கணிதவியல் என்று நினைப்போர் பலர். இன்னும் சிலர் எண்களுக்குப் பதிலாக குறிப்பீடுகளை வழங்கி அவைகளையும் எண்கள்போல் கணிப்புகள் செய்யும் இயற்கணிதம் தான் கணிதத்தின் முக்கிய பாகம் என்பர். மற்றும் சிலர் வடிவங்களை அலசி ஆராயும் வடிவியல் வளர்ச்சி தான் கணிதத்தின் இயல்பு என்று கூறுவர். ஆனால் கணிதம் இதையெல்லாம் தாண்டிய ஒன்று.
தற்கால கணிதத்தின் விசுவரூபம்

கணிதவியலின் இன்றைய வெளிப்பாடுகளில் இவையெல்லாம் ஒரு கடுகத்தனை பாகம் தான். கணிதம் எண்களில் தொடங்கியதும், எண்களிலும் வடிவங்களிலும் சிறந்த மேதாவிகள் புகுந்து விளையாடின ஈடுபாடுகளினால் பெரிய மரமாக வளர்ந்ததும் உண்மைதான். ஆனால் அத்துடன் அது நிற்கவே இல்லை. இன்று ஒரு அரிய தத்துவ இயலாக, வானளாவிய மரங்கள் கொண்ட பரந்த, செழித்த காடாகவே விசுவரூபம் எடுத்து இன்னும் வேகமாக வளர்ந்துகொண்டே இருக்கிறது. கணிதமில்லாமல் இன்று வேறு எந்தத் துறையுமே முன்னேற முடியாது என்று சொல்லும் அளவிற்கு, கணிதம் எல்லாத் துறைகளிலும் உள்ளார்ந்து படர்ந்திருக்கிறது.
கணிதத்தின் ஆறு முகங்கள்

கணிதத்தின் ஒரு முக்கியமான அங்கம் ‘கணித்தல்’. இது யாவரும் அறிந்ததே. ஆனால் கணிதத்திலோ கணிதத்தைக் கற்பிக்கும் துறையிலோ ஆழமான நோக்குடையவர்கள் கணிதத்திற்கு இதைத்தவிர இன்னும் ஐந்து அங்கங்கள் இருப்பதை அறிவார்கள். இந்த ஆறு அங்கங்களையும் கணித விசுவரூபத்தின் ஆறு ‘முகங்கள்’ என்றே சொல்லலாம். அவைகளை ஒவ்வொன்றாகப் பார்ப்போம்.
துல்லியம் (Precision)

துல்லியம் என்ற கருத்து கணிதத்தின் மூச்சேயாகும். கணித உலகில் ஒரு சொல்லிற்கோ, வாக்கியத்திற்கோ வாக்கு மூலத்திற்கோ, சந்தேகத்திற்கு இடம் கொடுக்காத தனிப்பட்ட பொருள் தான் உண்டு. இரு பொருட்கள் தரக் கூடியதாகவோ அல்லது ‘வழ வழா, கொழ கொழா’ போன்ற பேச்சுக்கோ இடமிருக்கவே கூடாது. ஆரம்பப் பள்ளியின் அடிமட்ட நிலையிலிருந்து ஆராய்ச்சி நிலை வரையில் கணிதத்தில் எந்தப் படியிலும், எந்த வாசகத்திற்கும் உள்ள பொருள் தனித்தன்மை வாய்ந்ததாக இருக்கும். ‘இப்படியும் இருக்கலாம், அப்படியும் இருக்கலாம்’ போன்ற வாசகங்கள் கணிதத்தின் கலாச்சாரத்திற்கு எதிர்மறையானவை. இவ்விதமான பயிற்சியில் ஊறிப்போவதால் தான், கணிதத்தைக் கற்றறிந்தவர்கள், அவர்களுடைய சொந்த வாழ்க்கையிலும், பேச்சிலும், செய்கையிலும் துல்லியத்தைக் காட்டுகின்றனர்
தர்க்க நியாயம் (Logic)

கணிதத்தின் ஒரே வழிமுறை தர்க்க நியாயம். தர்க்க ரீதியாக ஒப்புக்கொள்ள முடியாத எதையும் கணிதம் ஒப்புக்கொள்ளாது. அவை கணிதமே இல்லை என்று ஒதுக்கப்படும். இதுவே கணிதத்தின் முக்கிய மரபு. மற்ற அறிவுத் துறைகளில் எவ்வளவுக் கெவ்வளவு இம்மரபு ஒரு துறையினுள் ஊடுருவிச் செல்லுமோ அவ்வளவுக் கவ்வளவு அத்துறையில் கணிதமே ஊடுருவி விடும். கணிதம் மற்ற துறைகளில் படர்வதற்கு இது முக்கியக் காரணமாகும்.
அடிக்கூறு பிரித்தல் (Essentialisation)

இதை சற்று விளக்கியாக வேண்டும். வாழ்க்கையில் ஒரு பிரச்சினையாகட்டும், கணித உலகில் ஒரு கணக்காகட்டும், அதை அணுகும்போது, அடிப்படைப் பிரச்சினை என்ன என்பதே மறந்துபோய், வேறு உருப்படிகள் வந்து அலை மோதி, உண்மைப் பிரச்சினை குழம்பிவிடும் வாய்ப்பு உண்டு. கணிதப் பாடங்களில் எல்லா நிலைகளிலும் முக்கியமாகக் கற்றுக் கொடுப்பது, கொடுக்கப்பட வேண்டியது, பிரச்சினையின் கிளைகளையும் பிரச்சினை சம்பந்தப்படாத காளான்களையும் ஒதுக்கிவிட்டு, பிரச்சினையின் ஆணிவேர் என்ன என்று பார்க்கும் திறன் தான். இவ்விதம் அடிப்படைக் கூறுகளை, அதாவது முக்கிய நாடிகளை, கண்டுபிடித்து அவை வாயிலாக பிரச்சினையை எதிர்நோக்குவது கணிதத்தின் இன்னொரு முகம்.
கருத்தியல் வழிகாணல் (Abstraction)

தத்துவப்படுத்தல், அல்லது பண்பியல் என்று கூறக்கூடிய இக்கருத்தைப் புரிந்துகொள்ள நாம் அன்றாடம் கையாளும் 1, 2, 3, ... என்ற எண்களையே எடுத்துக் கொள்வோம்.

‘இரண்டு’ என்ற சொல், அல்லது அந்த சொல்லுக்குரிய எண், எதைக் குறிக்கிறது என்று துல்லியமாக்ச் சொல்ல முடியுமா? சற்று சிந்தித்துப் பார்த்தால் “இதென்ன கேள்வி? ‘இரண்டு’ என்ற சொல் ‘2’ என்ற எண்ணைக் குறிக்கிறது” என்ற பதில் சரியான பதில் அல்ல என்று புரியும். ‘2’ என்பது ‘இரண்டு’ எதைக் குறிக்கிறதோ அதற்கு ஒரு குறியீடு. அவ்வளவுதான். அதே ‘இரண்டு’ என்ற சொல்லின் பொருளுக்கு வெவ்வேறு நாகரிகங்களில் வெவ்வேறு குறியீடுகள் உண்டு. அதனால் ‘இரண்டு’ என்பது எதைக் குறிக்கிறது என்ற கேள்விக்கு இவை விடையாகா.

‘இரண்டு பழங்கள்’, ‘இரண்டு விரல்கள்’, ‘இரண்டு நபர்கள்’ என்று சொல்லும்போது நன்றாகவே புரிகிறது. அப்படியானால் ‘இரண்டு’ என்பதுதான் என்ன? ‘இரண்டு’ என்பது ஒரு தத்துவம் (abstraction). எந்த கணங்கள் எல்லாம் A = {1, 2} என்ற கணத்துடன் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு (பார்க்கவும்: எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும்)பெற்றிருக்கின்றனவோ அந்த கணங்களுக்கெல்லாம் பொதுவான ஒரே தத்துவம் தான் ‘இரண்டு’. ‘இரண்டு’ என்ற ஒரு எளிமையான பொருளைச் சொல்ல இவ்வளவு சிக்கல் வேண்டுமா என்று கேட்கலாம். ‘எண்’ என்ற தத்துவம் துல்லியமாக வரையறுக்கப்பட வேண்டுமானால் இப்படி தத்துவப்படுத்தித் தான் ஆகவேண்டும். வேறு வழி இல்லை.

தத்துவப்படுத்தல் அல்லது பண்பியல் என்ற செயற்பாங்கிற்கு இன்னொரு எடுத்துக்காட்டும் கொடுக்க வேண்டியிருக்கிறது. இதுவரை கொடுத்தது பொருட்பண்பு (Object Abstraction). இப்பொழுது கொடுக்கப்பட இருப்பது செயற்பண்பு (Process Abstraction).

இரண்டும் மூன்றும் ஐந்து .
மூன்றும் இரண்டும் ஐந்து .

இவ்விரண்டு வாக்கியங்களும் ஒரே பொருளைச் சொன்னாலும் ஒரு முக்கிய வேறுபாடு இருக்கிறது. நாம் வழக்கமாகக் காலுறையைப் போட்ட பிறகு தான் காலணி அணிகிறோம். மாறாகக் காலணியை முதலில் போட்டுவிட்டுப் பிறகு காலுறையைப் போட முடியாது. சுருங்கச் சொன்னால் காலுறை போடுவதும் காலணி போடுவதும் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் தான் செய்யப்படவேண்டும். மாற்று வரிசையில் செய்யப்பட முடியாது.

இரண்டும் மூன்றும் ஐந்து என்று சொல்லும்போது இரண்டையும் மூன்றையும் கூட்டுவது என்ற செய்கையை ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் செய்கிறோம். இதையே மாற்று வரிசையில் செய்தால் மூன்றையும் இரண்டையும் கூட்டுவது என்ற செய்கையாகும். ஆனால் இம்மாற்று வரிசைக் கூட்டலும் அதே விடையைத்தான் கொடுக்கிறது. எந்த இரண்டு எண்களை எடுத்துக் கூட்டினாலும் நேர்வரிசை, மாற்றுவரிசை இரண்டிலும் ஒரே விடைதான் வரும்.

நேர் வரிசையிலும் மாற்று வரிசையிலும் செய்யப்படும் ஒரு செயற்பாங்கிற்கு இரண்டிலும் ஒரே பயன் கிட்டினால் அச்செயற்பாங்கு ‘பரிமாற்று’ச்செயற்பாங்கு (commutative process, operation ) எனப்படும்.

இதனால் காலுறை அணிந்து காலணி போட்டுக்கொள்வது என்பது ஒரு பரிமாற்றாச்செயற்பாங்கு.

எண்களைக் கூட்டல் என்பது ஒரு பரிமாற்றுச்செயற்பாங்கு.

கழித்தல் என்பது பரிமாற்றக்கூடாதது (non-commutative).

ஆக, பண்பியலுக்குள்ள இரண்டு பரிமாணங்களையும் பார்த்தோம்.
இவ்விதம் தத்துவப்படுத்தி ஆழ நுழைந்து ஆராய்வதால் பலவித பொதுவிதிகளின் உண்மைகள் வெளிப்படும். புதுவிதப் பொதுவிதிகளும் உருவாகும்.

தத்துவப்படுத்துதல், பொதுவிதி உருவாக்கல், கருத்தியல் வழிகாணல், பண்பியல், எல்லாமே கணிதத்தில் வழக்கமாகச் செய்யப்படும் இயல்பான வழிமுறைகள். இதுதான் கணிதத்தை மற்ற எல்லாத் துறைகளிலிருந்தும் தனிப்படுத்திக் காட்டும் முகம்.
குறியீட்டமர்வு (Symbolism)

உருவகம் கணிதத்துறையின் வணிக உரிமைக்குறி (Trademark). எந்தப் பிரச்சினையை ஆராய்ந்தாலும் அது பளிச்சென்று தெரியும்படி உருவகப்படுத்துவது, பிர்ச்சினையின் வெவ்வேறு உருப்படிகளை சின்னங்கள் மூலம் எளிமையான தோற்றத்தில் கண்ணுக்கு முன் கொண்டு வந்து நிறுத்துவது, அவைகளுக்குள் இருக்கும் பல்வேறு தொடர்புகளை நாம் மறந்தாலும் அவை மறக்காமல் வெளிக்காட்டச் செய்வது – இதுதான் கணிதத் துறையின் முதல் வேலை. கணித உலகில் நுழையும் அல்லது நுழைக்கப்படும் எந்தப் பிரச்சினையும் அனாவசியமன பெயர்களையும் சந்தர்ப்பங்களையும் கூடவே கொண்டு வந்து நம்மை கலக்கிவிடாமல் நமக்கு அடித்தளப் பிரச்சினையை எடுத்துக்காட்டுவது இந்த சின்னங்களும் குறியீடுகளும் தான்.
கணித்தல் (Evaluation)

துல்லியமாகவும் தர்க்கரீதியாகவும் அலசி ஆராய்ந்து, வேண்டாத காளான்களை பிரச்சினையிலிருந்து விலக்கி, சின்னங்களைப் பயன் படுத்தி, அடித்தளத்தில் புதைந்து கிடக்கும் உயிர்நாடியைப் பிடித்தவுடன் கண்ணுக்கு முன் எஞ்சி நிற்பது சின்னங்களுக்குள் ஒன்றுக்கொன்று பிணைந்திருக்கும் தொடர்புகள் தான். தெரிந்தும் தெரியாமலும் இருக்கும் இத்தொடர்புகளை வெளிக்கொணர்ந்து பிரச்சினையின் சிக்கலை விடுவிப்பதைத்தான் கணித்தல் என்று சொல்கிறார்கள். இந்த ஒரு முகமே பெரிதுபடுத்தப்பட்டு இதுதான் கணிதம் என்று தவறாக எண்ணப்பட்டு விடுகிறது. கணிதம் என்று பேசப்படும் போதெல்லாம், தவறுதலாக கணித்தல் என்ற இவ்வொரே அங்கத்தைத்தான் சொல்கிறார்கள் பாமரர்கள்.

ஆக இந்த ஆறு முகங்களும் சேர்ந்து உருவாக்கப்பட்டது தான் கணிதம். கணிதப் பாடங்கள் கற்கும் மாணவர்களும் சரி, அவர்களுக்குக் கற்பிக்கும் ஆசிரியர்களும் சரி, கணிதத்தின் இந்த ஆறு முகங்களையும் நினைவுகொண்டு செயல்பட்டால் கணிதம் உருப்போடும் ஒரு பளுவாக இல்லாமல் வேண்டத்தக்க நண்பனாகிவிடும்.
ஆதாரங்கள்

*

பகுப்பு:கணிதம்