உள்வெளி

கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான நேரியல் இயற்கணிதத்தில் திசையன் வெளி என்ற கருத்துடன் கூடவே திசையன் உள்வெளி (Vector subspace) என்ற கருத்தும் உண்டு.
வரையறை

V என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், V இலுள்ள அதே கூட்டலுக்கும் அளவெண் பெருக்கலுக்கும் ஒரு திசையன் வெளியாகுமானால் அது V இனுடைய (திசையன்) உள்வெளி எனப் பெயர் பெறும்.

எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடின் தளம் V_2 வை எடுத்துக்கொள்வோம். தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச்செல்லும் எந்த நேர்கோடும் ஒரு உள்வெளி.

யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளி V_3 இல், தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் எந்த நேர்கோடும், எந்தத் தளமும் உள்வெளிகளே.

சுருங்கச்சொன்னால், திசையன்வெளி V இல், ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு u_0 இன் எல்லா அளவெண் மடங்குகளும் சேர்ந்து ஒரு உள்வெளியாகும்.

வரையறைப்படி பார்த்தால் ஒவ்வொரு முறை உள்வெளி என்று உறுதிப்படுத்துவதற்கும் திசையன்வெளியின் எல்லா நிபந்தனைகளையும் சரிபார்க்கவேண்டும் தான். ஆனால், இரண்டே நிபந்தனைகளைச் சரிபார்த்தால் போதும் என்பதற்கு ஒரு தேற்றத்தை நிறுவமுடியும். அத்தேற்றத்தின்படி,

V என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், ஒரு உள்வெளி யாவதற்கு கீழுள்ள இரண்டும் சரிபார்க்கப்பட்டால் போதும்:

(உ.வெ. 1) S இல் உள்ள எந்த u, v க்கும், u + v \in S;

(உ.வெ. 2) \alpha ஒரு அளவெண்ணானால், S இல் உள்ள எந்த u க்கும், \alpha u \in S.
சில சார்பு வெளிகளில் உள்வெளிகள்

குறிப்பு: வெளிகளின் குறியீடுகளுடைய விபரங்களுக்கு இங்கே பார்க்கவும்.

கீழேயுள்ள உட்கணக்குறியீடுகள் காட்டும் உட்கணங்களெல்லாம் உள்வெளிகளே:

\mathcal{P}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{F}_{\mathbf{R}}[a, b],

ஒவ்வொரு 1 \leq m \leq n க்கும், \mathcal{C}^{\infty}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(n)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(m)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(1)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{F}_{\mathbf{R}}[a, b].
உள்வெளிகளின் வெட்டு

V ஒரு திசையன் வெளியெனக்கொள்வோம்.

:* U வும் W வும் இரண்டு உள்வெளிகளானால், U \cap W வும் ஒரு உள்வெளிதான்.

இதனுடைய முக்கியமான விளைவுகளில் ஒன்று ஒருங்கமைச்சமன்பாடுகளை விடுவிக்கும்போது ஏற்படுகிறது. கீழேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் சரியாக்கும் n-திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம்:

:: W = \{\overline {x} = (x_1, x_2, ...,x_n) \in V_n : (1), (2), (3) ஐ சரியாக்குகிறது}
:::: \alpha_1 x_1 +\alpha_2 x_2 + ... + \alpha_n x_n = 0 ....... (1)
:::: \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n = 0 ....... (2)
:::: \gamma_1 x_1 + \gamma_2 x_2 + ... + \gamma_n x_n = 0 .......(3)

இதனால் W = W_1 \cap W_2 \cap W_3; இங்கு W_i, i = 1,2,3 என்பது 1-வது, 2-வது, 3-வது சமன்பாட்டின் விடைத்திசையன்களின் கணம்.
உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு

U, W இரண்டும் V இன் உள்வெளிகள் எனக்கொள்வோம்.

இரண்டு உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு உள்வெளியாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால் [U \cup W], அதாவது, U \cup W இன் அளாவல் U \cup W ஐ அடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வெளி. மற்றும் U + W = \{u+w: u\in U, w\in W\} ஒரு உள்வெளிதான். உண்மையில்,

:: U + W = [U \cup W]

என்று எளிதில் காட்டிவிடலாம்.

இதற்கு மேலும் U \cap W = \{\overline {0}\} ஆக இருக்குமானால், U + W ஐ ஒரு நேரிடைக்கூட்டல் (direct sum) என்று சொல்வோம். இதற்கு கணிதவழக்குப்படி ஒரு பொதுக்குறியீடு உள்ளது: அ-து, U \oplus W.
முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளியின் உள்வெளி

V ஒரு முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளியென்று கொள்வோம்.

:* V இன் ஒவ்வொரு உள்வெளி U க்கும்,
:: dim U \leqslant dimV .
:: U , V இரண்டும் ஒன்றாக ஆகும்போதுதான் பரிமாணங்களும் சமமாக இருக்கும்.

:* U, W இரண்டு உள்வெளிகளானால்,

:: dim(U + W) = dim U + dim W - dim (U \cap W)

:* U, W இரண்டும் U \cap W = \{\overline {0}\} ஆக இருக்கும்படி இரண்டு உள்வெளிகளானால்,

:: dim(U \oplus W) = dim U + dim W

பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்
பகுப்பு:சார்புப் பகுவியல்
குறிப்புகள்
மேற்கோள்கள்

ru:Векторное пространство#Подпространство