இசுட்டெர்லிங் எண்கள்

கணிதத்தில் இசுடர்லிங் எண்கள் (Sterling numbers) இருவகைப்படும். ஒரு n-கணத்தை எத்தனை விதமாகச் சுழல்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும்,எத்தனை விதமாக உட்கணங்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. ஜேம்ஸ் ஸ்டர்லிங் (1692 - 1770) என்ற ஸ்காட்லாந்து நாட்டுக் கணிதவியலர் 1730 இல் தன்னுடைய நூலில் இவைகளை அறிமுகப்படுத்தினார். ஆய்லர் எண்கள், ஈருறுப்புக் கெழுக்கள், பெல் எண்கள் -- இவைகளுடன் ஸ்டர்லிங் எண்கள் நெருங்கிய தொடர்பு கொண்டவை.
முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்

ஒரு n-கணத்தை k சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண் எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை n-திரிபுகள் k சுழல்களாலானவை என்ற கேள்விக்கும் இதே எண்ணிக்கைதான் விடை. இதற்கு ஒரு குறியீடு s(n,k). இக்கட்டுரையில்
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix} என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.இதை n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம். 1930 இல் காராமாடா என்பவரால் இக்குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு தற்காலத்தில் பரவலாக எங்கும் புழக்கத்திலுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக, \begin{bmatrix}
4\\
2
\end{bmatrix} = 11

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இருசுழற்பிரிவுகள்:

: a/bcd; a/bdc; b/cda; b/cad; c/dab; c/dba; d/abc; d/acb; ab/cd; ac/db; ad/bc

அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் ஸ்டர்லிங் சுழல் எண் என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.
முதல்வகை எண்அட்டவணை

\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}
இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்

ஒரு n-கணத்தை k உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் எனப் பெயர் பெறும். இதற்கு ஒரு குறியீடு S(n,k). இக்கட்டுரையில்
\left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\} என்ற் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். இதை n-subset-k என்றோ n-உட்கணம்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, \left\{\begin{matrix}
4\\
2
\end{matrix}\right\} = 7

ஏனென்றால், {a, b, c, d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரு-உட்கணப்பிரிவுகள்:

: {a}/{b,c,d}; {b}/{c,d,a}; {c}{d,a,b}; {d}{a,b,c}; {a,b}/{c,d}; {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c}.

அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் ஸ்டர்லிங் உட்கண எண் என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.
இரண்டாவது வகை எண் அட்டவணை

\left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\}
சில எளிதான பொதுவிளைவுகள்

:* n\geqslant 2 ஆக இருந்தால் \left\{\begin{matrix}
n\\
2
\end{matrix}\right\} = 2^{n-1} - 1.

:* n\geqslant 1 ஆக இருந்தால் \begin{bmatrix}
n\\
1
\end{bmatrix} = (n - 1)!

:* \begin{bmatrix}
n\\
n
\end{bmatrix} = \left\{\begin{matrix}
n\\
n
\end{matrix}\right\} = 1

:* \begin{bmatrix}
n\\
n - 1
\end{bmatrix} = \left\{\begin{matrix}
n\\
n - 1
\end{matrix}\right\} = \binom{n}{2}
செங்குத்துத்தன்மை உறவுகள்

முதல் வகை, இரண்டாவது வகை ஆகிய இரண்டு ஸ்டர்லிங் எண்களுக்கும், இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவுகள் உள்ளன. முதல்வகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,

: (*) x(x - 1)(x - 2) ... (x - n + 1) = \sum_{k} \begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix} (-1)^{n-k} x^k.

இரண்டாவதுவகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,

: (**) x^n = \sum_k \left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\}x(x-1)(x-2) ... (x-k+1)

(*)ஐ (**) இல் பொருத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது:

:x^n = \sum_k \left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\} \sum_m \begin{bmatrix}
k\\
m
\end{bmatrix} (-1)^{k-m} x^m

= \sum_m \biggl(\sum_k\left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\}\begin{bmatrix}
k\\
m
\end{bmatrix} (-1)^{k-m}\biggr)x^m

ஆனால் x^n பல்லுறுப்புகளெல்லாம் சேர்வியல் சார்பற்றவை.

:::ஃ (செ.உ.1): \sum_k \left\{\begin{matrix}
n\\
k
\end{matrix}\right\}\begin{bmatrix}
k\\
m
\end{bmatrix}(-1)^{k-m} = \delta_{nm}. இங்கு \delta_{nm} = \begin{cases}
1 , n=m \\
0 , n\neq m
\end{cases}.

மாற்றாக, (**)ஐ (*) இல் பொருத்தி, பல்லுறுப்புகள் x(x-1)(x-2)...(x-n+1) சேர்வியல் சார்பற்றவை என்பதைப் பயன்படுத்தினால், நமக்குக்கிடைப்பது, இதற்கு இணையான் இன்னொரு செங்குத்துத்தன்மை உறவு (Orthogonality Relation):

:::ஃ (செ.உ.2):\sum_k\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}\left\{\begin{matrix}
k\\
m
\end{matrix}\right\} (-1)^{n-k} = \delta_{nm}

ஸ்டர்லிங் எண்களைப்பற்றிய மற்ற தேற்றங்களையும் மீள்வரு தொடர்புகளையும் முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண், இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் என்ற தனிக்கட்டுரைகளில் பார்க்கவும்.
மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:சேர்வியல்
பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்
பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்