مدیدی سمتیہ

ایسے سمتیہ کا مجموعہ، جن کے لکیری جوڑ سے سمتیہ مکاں کا کوئی بھی سمتیہ بن جاتا ہو، اس فضاء کے لیے مدیدی سمتیہ (spanning vectors) کا مجموعہ کہلاتا ہے۔

شکل 4

تصویر:Simtia_basis_r2.png


شکل 4 میں \mathbb{R}^2 کا مستوی دکھایا گیا ہے۔ سرخ دھُرا (axis) پر واقعہ سمتیہ
e_0=\left[\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}\right]
اور
e_1=\left[\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}\right]
(شکل 4 میں سرخ نکتے) \mathbb{R}^2 کے قدرتی بنیاد سمتیہ کہلاتے ہیں، کیونکہ \mathbb{R}^2 فضاء کا کوئی بھی نکتہ ان دو سمتیوں کے لکیری تولیف کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مثلاً نکتہ(x,y) یوں لکھ سکتے ہیں:
\left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}\right] = x e_0 + y e_1


غور کرو کہ سرخ دھُرا کی بجائے ہم سبز دھُرا بھی استعمال کر سکتے ہیں۔ اس کے لیے شکل 4 میں سبز نکتوں سے دو سمتیہ دکھائے گئے ہیں، جو (سرخ دھُرا کے حوالے سے ) یوں ہیں:
v_0=\left[\begin{matrix}1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{matrix}\right]
اور
v_1=\left[\begin{matrix}-1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{matrix}\right]
اب نکتہ (x,y) کو ان سبز سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر یوں لکھا جا سکتا ہے:
\left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}\right] = a v_0 + b v_1
= a \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]
+ b \left[\begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]

یعنی سرخ دھرا کے نکتہ (x,y) کو سبز دھرا میں نکتہ (a,b) کہا جائے گا۔ دوسرے الفاظ میں جو نکتہ
مدیدی سمتیہ e0, e1 کے حوالے سے (x=0.8, y=1.4) تھا، وہی نکتہ مدیدی سمتیہ v0, v1 کے حوالے سے (a=1.56, b=0.42) کہلائے گا۔

اب e0, e1, v0, v1 بھی ایک مدیدی سمتیہ کا مجموعہ ہے۔ اس مجموعہ کی مدد سے ہم اسی (x=0.8, y=1.4) نقطہ کو لکھ کر دیکھتے ہیں:

\left[\begin{matrix}
0.8 \\ 1.4 \end{matrix}
\right]
= c_0 e_0 + c_1 e_1 + c_2 v_0 + c_3 v_1
= c_0 \left[\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}\right] +
c_1 \left[\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}\right] +
c_2 \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right] +
c_3 \left[\begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]


یا


\left[\begin{matrix}
1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
c_0 \\ c_1 \\ c_2 \\ c_3
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}0.8 \\ 1.4 \end{matrix}\right]

غور کرو کہ اس میٹرکس کے ستون مدیدی سمتیہ ہیں اور ہمیں یہ یکلخت لکیری مساوات کا نظام
\begin{matrix}
c_0 + \frac{1}{\sqrt{2}} c_2 - \frac{1}{\sqrt{2}} c_3 &=& 0.8 \\
c_1 + \frac{1}{\sqrt{2}} c_2 + \frac{1}{\sqrt{2}} c_3 &=& 1.4
\end{matrix}

حل کر کے c0, c1, c2, c3 نکالنا ہیں۔ اب چونکہ مساوات صرف دو ہیں جبکہ متغیر چار، اس لیے ہم کسی بھی دو متغیر کو اپنی مرضی کی قدر دے کر باقی دو متغیر کی قدریں مساوات سے نکال سکتے ہیں۔ دوسرے الفاظ میں مساوات کے لامحدود حل ہیں، جن میں سے چند یہ ہیں:
:نقطہ (x,y) کے مدیدی سمتیہ e0, e1, v0, v1 کے حوالے سے ممکنہ روپ

Possible representations of (x,y) w.r.t. spanning vectors e0, e1, v0, v1

c0
c1
c2
c3


0.5
0.5
0.85
0.42


0.1
0.7
1.0
0


2
‎-3
2.26
3.96


اس سے پتہ چلا کہ مدیدی سمتیہe0, e1, v0, v1 کے حوالہ سے نکات کا ایک واحد روپ نہیں۔ شکل 4 سے ظاہر ہے کہ \mathbb{R}^2 میں کوئی بھی دو سمتیہ جو آپس میں متوازی نہ ہوں، نکات کا واحد روپ نکالنے کے لیے کافی ہیں۔ \mathbb{R}^2 میں دو سے زیادہ سمتیہ چننے سے ایک ہی نکتہ کے بہت سے روپ ممکن ہو جاتے ہیں۔ یہ بات ہمیں بنیاد سمتیہ کی طرف لے جاتی ہے۔


زمرہ:خطی الجبرا