چکوری ہئیت

دو متغیر \ x_0, x_1 کی چکوری ہیئت کو یوں لکھا جاتا ہے

Q(x_0,x_1) = a x_0^2 + 2 a b x_0 x_1 + b x_1^2


اس کو میٹرکس صورت میں یوں لکھا جا سکتا ہے

Q(x_0,x_1) =
\left[\begin{matrix}
x_0 & x_1
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
a & b \\
b & a
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
x_0 \\ x_1
\end{matrix}\right]

یا


Q(X) = X^t A X


جہاں

A= \left[\begin{matrix}
a & b \\
b & a
\end{matrix}\right] \,,\,
X= \left[\begin{matrix}
x_0 \\ x_1
\end{matrix}\right]

غور کرو کہ وزن میٹرکس A ایک متناظر میٹرکس ہے۔ اب ایک متناظر میٹرکس کو ویژہ سمتیہ میٹرکس V کی مدد سے وتر میٹرکس میں لے جایا جا سکتا ہے

A = V \Lambda V^t


اب ایک نیا سمتیہ تعریف کرو

Y = V^t X

جس کی مدد سے چکور ہیئت کو یوں لکھو


Q(X) = X^t A X = (V Y)^t A (V Y) = Y^t V^t A V Y = Y^t \Lambda Y


اب دیکھو کہ یہ چکور ہیئت ایسی بن گئی جس میں وزن میٹرکس ایک وتر میٹرکس ہے

Q(y_0,y_1) =
\left[\begin{matrix}
y_0 & y_1
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
\lambda_0 & 0 \\
0 & \lambda_1
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
y_0 \\ y_1
\end{matrix}\right]


یعنی ایسی رقم کا خاتمہ کر دیا گیا ہے جس میں دونوں متغیر کی ضرب تھی

Q(y_0,y_1) = \lambda_0 y_0^2 + \lambda_1 y_1^2

مثال

فرض کرو کہ بجلی کا ایک قمقمہ دو وولٹیج سے چلتا ہے اور روشنی کی مقدار Q(x,y) پیدا کرتا ہے جہاں دو وولٹیج کی مقدار x اور y ہے:

Q(x,y) = 5 x^2 + 8 x y + 5 y^2

اب ہم چاہتے ہیں کی روشنی کی مقدار
Q(x,y) = 9
حاصل ہو۔ تو مساوات یوں بنی
5 x^2 + 8 x y + 5 y^2 = 9
جسے ہم سائیلیب کی مدد سے پلاٹ کرتے ہیں(تصویر پر کلک کرو)۔ بیضوی (ellipse) شکل پر کسی بھی نکتہ (x,y) پر روشنی کی مطلوبہ مقدار حاصل ہوتی ہے۔ ہم چاہتے ہیں کہ مطلوبہ روشنی کے لیے بجلی کی کم سے کم طاقت خرچ ہو، یعنی x^2 + y^2 کم سے کم ہو۔ تصویر سے ظاہر ہے کہ ایسا نکتہ بیضوی کے چھوٹے دھرے (minor axis) پر واقع ہے (تصویر میں جہاں 1 کا نشان لگا ہے)۔ اب ہم اوپر دیے طریقے سے اس مسلئہ پر نظر ڈالتے ہیں۔
فائل:quadratic_eigen.png
روشنی کی مقدار کی مساوات کو میٹرکس صورت میں لکھتے ہوئے

Q(x,y) =
\left[\begin{matrix}
x & y
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
5 & 4 \\
4 & 5
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
x \\ y
\end{matrix}\right]

اب وزن میٹرکس کا ایک ویژہ سمتیہ

u=\left[\begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]

ہے جس کے ساتھ ویژہ قیمت

\lambda_u=1

ہے۔ دوسرا ویژہ سمتیہ

v=\left[\begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]

ہے جس کے ساتھ ویژہ قیمت

\lambda_v=9

ہے۔ تصویر میں دیکھو کہ ویژہ سمتیہ u بیضوی کے بڑے دھرے کی جانب ہے اور ویژہ سمتیہ v بیضوی کے چھوٹے دھرے کی جانب ہے۔ اس سے واضح ہوا کہ ویژہ سمتیہ بیضوی کی رو سے سادہ ترین رُخ متعین کرتے ہیں۔ اب ان نئی سمتوں میں جانے کے لیے ہم ویژہ سمتی کی میٹرکس کا استعمال کرتے ہیں

\left[\begin{matrix}
x^\prime \\ y^\prime
\end{matrix}\right]=
\left[\begin{matrix}
u^t \\ v^t
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
x \\ y\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
x \\ y\end{matrix}\right]

اور اس نئے رُخ ہماری روشنی کی مساوات یوں لکھی جا سکتی ہے، جو سادہ ترین صورت ہے:

Q(x^\prime,y^\prime) =
\left[\begin{matrix}
x^\prime & y^\prime
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 9
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
x^\prime \\ y^\prime
\end{matrix}\right]
= {x^\prime}^2 + 9 {y^\prime}^2

نئے رُخ بیضوی کی مساوات یوں بنی

{x^\prime}^2 + 9 {y^\prime}^2 = 9

تصویر میں دیکھو کہ y^\prime سمتیہ v کی جانب پیمائش ہے، جبکہ x^\prime سمتیہ u کی جانب پیمائش ہے۔ بیضوی کی v جانب انتہا 1 ہے اور u جانب انتہا 3 ہے۔ ان دونوں انتہاوں کا تناسب \sqrt{\lambda_v/\lambda_u} ہے۔ اب نئے رُخ کی مساوات میں x^\prime=0 کرکے ہمیں مل جاتا ہے ،y^\prime=1، جو کم از کم طاقت والا نکتہ ہم ڈھونڈ دہے تھے۔ واپس اصل رُخ میں اس نکتہ کی پیمائش یوں نکل آتی ہے (ویژہ سمتیہ میٹرکس کی مدد سے )

\left[\begin{matrix}
x \\ y
\end{matrix}\right]=
\left[\begin{matrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
0 \\ 1\end{matrix}\right]
=\left[\begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]


اس مثال سے ہم یہ اصول اخذ کر سکتے ہیں: تصویر میں دیکھو کہ سب سے بڑی ویژہ قیمت بیضوی کے چھوٹے دھرے کی جانب ویژہ سمتیہ v سے وابستہ ہے۔ گویا طریقہ یہ ہے کہ چکوری ہیئت کی متناظر میٹرکس کی سب سے بڑی ویژہ قیمت نکالو اور اس سے وابستہ ویژہ سمتیہ نکالو۔ اس سمتیہ کی جانب بیضوی پر نکتہ سب سے اچھا ہو گا، یعنی کم سے کم طاقت کا نکتہ ہو گا۔
شکل

چکوری ہیئت کے گراف کی یہ اشکال ممکن ہیں:
* ellipse
* hyerbola
صورت جب متغیر کی تعداد n ہو

اوپر کی بحث اس وقت بھی لاگو رہتی ہے جب چکوری ہیئت میں متغیر کی تعداد n ہو۔ اس صورت میں X ایک n \times 1 میٹرکس اور A ایک n \times n مربع متناظر میٹرکس ہو گی:


Q(X) = X^t A X


اب متناظر میٹرکس A کو ویژہ سمتیہ میٹرکس V کی مدد سے وتر میٹرکس \Lambda میں لے جایا جا سکتا ہے (یاد رہے کہ V قائم الزاویہ (میٹرکس) ہونی چاہیے):
A = V \Lambda V^t
جہاں
\Lambda =\left[\begin{matrix}
\lambda_0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_1 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1}
\end{matrix}\right]\,,

اب نئے رُخ پر سمتیہ تعریف کرتے ہوئے

X^\prime = V^t X

چکوری ہیئت یوں بن جاتی ہے


Q(X^\prime) = {X^{\prime}}^ t \Lambda X^\prime = \lambda_0 {x^{\prime}}^ 2_0
+ \lambda_1 {x^{\prime}}^2_1 + \cdots + \lambda_{n-1} {x^{\prime}}^2_{n-1}


زمرہ:خطی الجبرا
زمرہ:کامنز زمرہ جس کا ربط ویکی ڈیٹا پر ہے
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مختلف مختصر وضاحت