وینر مصفاہ

ریاضیاتی کاملیت میں وینر مصفاہ کامل مصفاہ کی جماعت ہیں، جو کسی مطلوبہ متوالیہ کا لکیری تخمینہ لگاتے ہیں، کسی متعلقہ معطیات متوالیہ کی مدد سے۔ لکیری مصفاہ کے احصائی حل میں تمام متوالیہ تصادفی عملیہ تصور کیے جاتے ہیں۔ ہم یہ فرض کرتے ہیں کہ متوالیہ کے درجہ دوم کے احصاء (یعنی اوسط، ڈیٹا متوالیہ کی خود تضایف اور "معطیات متوالیہ" اور "مطلوبہ متوالیہ" کے درمیان مخلوط تضایف) معلوم ہیں۔ مسئلہ ایسا لکیری مصفاہ بنانے کا ہوتا ہے جس میں شوری ڈیٹا ادخال ہو، اس کا اخراج تخمینہ ہو اور مصفاہ کے اخراج پر شور کا اثر کسی کسوٹی کے تحت تصغیر ہو۔ ایک مفید کسوٹی "تخمینہ متوالیہ" اور "مطلوبہ متوالیہ" میں فرق (جسے غلطی کہتے ہیں) کے مربع کی اوسط ہے۔ اگر متوالیہ ساکن عملیہ ہوں، تو وینر مصفاہ اس کسوٹی کے تحت مسئلہ کا حل ہے۔

تصغیر|تصویر 1۔ مصفاہ H(z)=\sum_{k=0}^K h_kz^{-k}

تصویر 1 میں اشارہ متوالیہ x_n کسی صورت میں اشارہ متوالیہ d_n سے متعلق ہے۔ ہم اشارہ متوالیہ x_n کو مصفاہ H سے گزار کر اشارہ y_n حاصل کرتے ہیں۔ ہمارا مقصد یہ ہے کہ متوالیہ y_n تخمینہ ہو متوالیہ d_n کا۔ یعنی مصفاہ H اس طرح چنا جائے کہ متوالیہ d_n اور متوالیہ y_n کے درمیان غلطی متوالیہ e_n=d_n-y_n کا اوسط مربع کم سے کم ہو:
:\min_{H} E[e^2_n]
تمام متوالیہ تصادفی ہیں اور اوسط سے مراد متوقع قدر ہے۔ اس کے علاوہ متوالیہ تصادفی ساکن ہیں۔ مصفاہ H ایک متناہی متوالیہ h_0, h_1, \cdots, h_{K-1} سے بنا ہے۔ مصفاہ کے اخراج y_n اور ادخال x_n کے درمیان تلفیف کا رشتہ ہے۔ اس مسئلہ میں اس رشتہ کو قالب ضرب کے ذریعہ لکھنا مفید ہے:
:
y_n
=
\begin{bmatrix}
x_n & x_{n-1} & \cdots & x_{n-(K-1)}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
h_0 \\
h_1 \\
\vdots \\
h_{K-1}
\end{bmatrix}

یا

y_n = \underline{x}_n^t \underline{h}

جہاں
\underline{x_n}=
\begin{bmatrix}
x_n \\
x_{n-1}\\
\vdots \\
x_{n-(K-1)}
\end{bmatrix}

اور t کی علامت پلٹ (میٹرکس) ظاہر کرتی ہے۔
یہ ایک معلوم بات ہے کہ اوسط مربع غلطی E[e^2_n] کی تصغیر اسی وقت ہوتی ہے جب غلطی e_n ڈیٹا x_n کے قائم الزاویہ ہو، یعنی
:E[\underline{x}_n e_n]=0
اس معلومہ کو استعمال کرتے ہوئے
:E[\underline{x}_n e_n]=E[\underline{x}_n (d_n-y_n)]
=E[\underline{x}_n (d_n - \underline{x}_n^t \underline{h})]
=E[\underline{x}_n d_n] - E[\underline{x}_n \underline{x}_n^t \underline{h}]
= 0

یا
:\underline{r}_{dx} = R_{xx} \underline{h}
جہاں
\underline{r}_{dX}=E[\underline{x}_n d_n]
سمتیہ،
d_n اور \underline{x}_n کے درمیان
تضایف کو ظاہر کرتا ہے اور اس کی جسمات K\times 1 ہے اور
\underline{R}_{xx}=E[\underline{x}_n \underline{x}_n^t]
میٹرکس، \underline{x}_n کی "خود تضایف" کو ظاہر کرتی ہے اور اس کی جسامت K\times K ہے۔ چونکہ متوالیہ d_n اور x_n تصادفی ساکن ہیں، اس لیے یہ تضایف صرف "وقت فرق" پر منحصر ہیں۔ اس لیے ہم اس مساوات کو یوں لکھ سکتے ہیں

\begin{bmatrix}
r_{dx}(0) \\
r_{dx}(1) \\
\vdots \\
r_{dx}(K-1)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
r_{xx}(0) && r_{xx}(1) && r_{xx}(2) && \cdots && r_{xx}(K-1)\\
r_{xx}(1) && r_{xx}(0) && r_{xx}(1) && \cdots && r_{xx}(K-2)\\
\vdots \\
r_{xx}(K-1) && r_{xx}(K-2) && r_{xx}(K-3) && \cdots && r_{xx}(0)\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
h_0 \\
h_1 \\
\vdots \\
h_{K-1}
\end{bmatrix}

جہاں ہم نے تعریف کیا
\ r_{dx}(k) = E[d_n x_{n+k}]
اور
\ r_{xx}(k) = E[x_n x_{n+k}]
اس کے علاوہ ہم نے یہ معلومہ استعمال کیا کہ تضایف جفت دالہ ہوتی ہے (r(k) = r(-k)).٘
ان مساوات کو وینر ہوپف (wiener-hopf) مساوات کہا جاتا ہے۔
اس مساوات نظام سے ہمیں مصفاہ حاصل ہوتا ہے
:\underline{h} = R_{xx}^{-1} \underline{r}_{dx}
چونکہ میٹرکس R_{xx} متناظر ٹوپلٹز ہے، اس لیے اس حل کے لیے میٹرکس اُلٹانے جیسے مہنگے عالج کو استعمال کرنے کی ضرورت نہیں پڑتی، بلکہ اس کے لیے ایک سستا الخوارزم
لیونسن ڈربن نام سے موجود ہے۔
اس حل تک پہنچنے کے لیے ہمیں تصادفی متوالیہ d_n اور x_n کی صرف درجہ دوم کی احصاء کی ضرورت پڑی ہے۔
مزید دیکھیے

* لکیری اقل مربعات

زمرہ:احتمال و احصاء
زمرہ:عشوائی عملیت
زمرہ:عملیت اشارہ
زمرہ:رقمی عملیت اشارہ