குறுக்குப் பெருக்கல்

கணிதத்தில் குறுக்குப் பெருக்கல் (Cross-multiplication) என்பது அடிப்படை எண்கணிதம், அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் இரு பின்னங்கள் அல்லது இயற்கணிதக் கோவை#விகிதமுறு கோவைகளுக்கிடையேயான சமன்பாட்டை எளிய வடிவிற்கு மாற்றவும் அவற்றிலுள்ள மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடித்து அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு காணவும் பயன்படும் எளிய கணக்கீட்டு முறையாகும்.

தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு:
:\frac a b = \frac c d. இங்கு , இரண்டும் பூச்சியமல்ல

இச்சமன்பாட்டைக் குறுக்கே பெருக்கிப் பின்வரும் முடிவைப் பெறலாம்:
:ad = bc \qquad \mathrm{or} \qquad a = \frac {bc} d.

யூக்ளிடிய வடிவவியலின் விகிதங்களை வடிவொத்த முக்கோணங்களின் விகிதங்களைப் போன்று கருதுவதன் மூலம் யூக்ளிடிய வடிவவியலிலும் குறுக்குப் பெருக்கலைச் செய்யலாம்.
செய்முறை

குறுக்குப் பெருக்கலில் விகிதமுறு சமன்பாட்டின் இருபுறம் உள்ள பின்னங்களில்,
*வலப்புற பின்னத்தின் பகுதி இடப்புறத்துக்கு மாற்றப்பட்டு, இடப்புற பின்னத்தின் தொகுதியோடு பெருக்கப்படுகிறது.
*அதேபோல, இடப்புற பின்னத்தின் பகுதி வலப்புறத்துக்கு மாற்றப்பட்டு, வலப்புற பின்னத்தின் தொகுதியோடு பெருக்கப்படுகிறது.

:\frac a b \nwarrow \frac c d \quad \frac a b \nearrow \frac c d.

குறுக்குப் பெருக்கலை முறையை கீழுள்ள கணிதச் செயற்பாடுகளின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்:

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் விகிதமுறு சமன்பாடு:
:\frac a b = \frac c d

எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் அதன் இருபுறமும் ஒரே உறுப்பால் பெருக்கும்போது அச்சமன்பாடு மாறாது என்ற முடிவின்படி, இச்சமன்பாட்டை இருபுறமும் ஆல் பெருக்க:
:\frac a b \times bd = \frac c d \times bd

ஒவ்வொரு புறமுமுள்ள பொதுக்காரணியால் சுருக்க:
:ad = bc

குறுக்குப் பெருக்கலை கீழுள்ள மற்றொரு முறையிலும் சரிபார்க்கலாம்:
:\frac a b = \frac c d

இடதுபுறம் = 1 ஆலும், வலதுபுறம் = 1 ஆலும் பெருக்க:

:\frac a b \times \frac d d = \frac c d \times \frac b b
:\frac {ad} {bd} = \frac {cb} {db}.

, இரண்டும் பூச்சியமல்ல என்பதால், இருபுறமும் பொதுவான பகுதியாகவுள்ள = ஐ நீக்க:
:ad = cb.
பயன்பாடு

பின்னச் சமன்பாடுகளைச் சுருக்கவும், தீர்க்கவும் குறுக்குப் பெருக்கல் பயன்படுகிறது.
:\frac x b = \frac c d

இச்சமன்பாட்டில் x இன் மதிப்பைக் காண வேண்டுமெனில் குறுக்குப் பெருக்கலைப் பயன்படுத்த,
:x = \frac {bc} d.

எடுத்துக்காட்டு:

மாறாத வேகத்தில் ஓடிக்கொண்டிருக்கும் ஒரு மகிழுந்து கடந்த மூன்று மணி நேரத்தில் 90 கிமீ கடந்துள்ளது என்றால், ஏழு மணி நேரத்தில் அது கடக்கும் தூரம் எவ்வளவு?

இக்கணக்கின் விடைகாண்பதற்கு, தரவு கீழ்வரும் விகிதச் சமனாக எழுதப்படுகிறது. இதில் x என்பது 7 மணி நேரத்தில் கடக்கும் தொலைவைக் குறிக்கிறது.

:\frac x {7\ \mathrm{hours}} = \frac {90\ \mathrm{km}} {3\ \mathrm{hours}}.

குறுக்குக் பெருக்கலின்படி:

:x = \frac {7\ \mathrm{hours} \times 90\ \mathrm{km}} {3\ \mathrm{hours}}

:x = 210\ \mathrm{km}.

:a = \frac {x} {d} என்ற எளிய வடிவில் சமன்பாடு அமைந்தால் = 1 எனக் கொள்ள:
:\frac a 1 = \frac x d.

இப்போது குறுக்குப் பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி x இன் மதிப்பைக் காணலாம்:
:x = \frac {ad} 1 = ad.
மூன்றின் விதி

மூன்றின் விதி (Rule of Three) என்பது குறுக்குப் பெருக்கலுக்கான ஒரு சுருக்கு வழிமுறையாகும். பிரெஞ்சு தேசிய பள்ளிக்கல்விப் பாடத்திட்டத்தில் இது இடம் பெற்றுள்ளது.

தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு:
:\frac a b = \frac c x

இதில் மதிப்பு காணப்பட வேண்டிய மாறியானது வலதுபக்கத்தில் பகுதியாக உள்ளது. மூன்றின் விதிப்படி:

:x = \frac {bc} a.

இதில் , ”ஓரமதிப்பு”” (extreme) எனவும் , இடைமதிப்புகள் (means) எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன..
மேற்கோள்கள்


*mathsisfun-Cross Multiply
மேலும் படிக்க

* 'Dr Math', Rule of Three
* 'Dr Math', Abraham Lincoln and the Rule of Three
* Pike's System of arithmetick abridged: designed to facilitate the study of the science of numbers, comprehending the most perspicuous and accurate rules, illustrated by useful examples: to which are added appropriate questions, for the examination of scholars, and a short system of book-keeping., 1827 - facsimile of the relevant section
* Hersee J, Multiplication is vexation - an article tracing the history of the rule from 1781
* The Rule of Three as applied by Michael of Rhodes in the fifteenth century
* The Rule Of Three in Mother Goose
* Rudyard Kipling: You can work it out by Fractions or by simple Rule of Three, But the way of Tweedle-dum is not the way of Tweedle-dee.
வெளி இணைப்புகள்

பகுப்பு:பின்னங்கள்
பகுப்பு:எண்கணிதம்