സമവാക്യം (ഗണിതശാസ്ത്രം)

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, രണ്ട് വ്യഞ്ജകങ്ങൾ തുല്യങ്ങളാണെന്ന് കാണിക്കുന്ന പ്രതീകാത്മമകപ്രസ്താവനയാണ് സമവാക്യം അഥവാ സമീകരണം (equation) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.

സമീകരണം സംഖ്യകൾ മാത്രമുള്ളതോ, അക്ഷരങ്ങൾ അടങ്ങിയ സമതയോ ആവാം. ഒരു സമവാക്യത്തിൽ തുല്യത കാണിക്കുന്നതിനായി, = എന്ന സമചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് 2 + 3 = 5 എന്നത് സാംഖ്യികസമതയാണ് (numerical equation); x(x − 1) = x2 − x എന്നത് ഒരു സാക്ഷരസമതയും (literal equation) ആണ്. വാസ്തവികസംഖ്യാഗണത്തിലെ ഏതൊരംഗത്തിനും ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്. അതുകൊണ്ട്, ഈ സമവാക്യം ഒരു സദാസത്യസമകം (identity) കൂടിയാണ്. എന്നാൽ, x2 − x = 0 എന്ന സമത പരിഗണിച്ചാൽ, 0,1 എന്നീ രണ്ട് വിലകൾ ഒഴിച്ച്, മറ്റൊരു സംഖ്യക്കും ഈ സമത സത്യമല്ല എന്നു കാണാം. അതിനാൽ ഇതൊരു സദാസത്യസമത അല്ല; ഒരു സമവാക്യം മാത്രമാണ്. ഒരു സമവക്യത്തിൽ ഒന്നിലധികം ചരങ്ങൾ ഉണ്ടാവാം.
സവിശേഷതകൾ

ബീജഗണിതത്തിൽ ഒരു സമവാക്യം സദാസത്യമാണെന്ന് പറയണമെങ്കിൽ
# ഏത് അളവും സമചിഹ്നത്തിന് ഇരുവശവും കൂട്ടിയാലോ,
# ഏത് അളവും സമചിഹ്നത്തിന് ഇരുവശത്തുനിന്നും കുറച്ചാലോ,
# ഏത് അളവുകൊണ്ടും സമത്തിന് ഇരുവശത്തേയും ഗുണിച്ചാലോ,
# പൂജ്യമല്ലാത്ത എത് അളവുകൊണ്ടും സമത്തിന് ഇരുവശത്തേയും ഹരിച്ചാലോ, അല്ലെങ്കിൽ,
# പൊതുവേ, ഏതു ഫലനവും സമത്തിന് ഇരുവശത്തും സംയോജിപ്പിച്ചാലോ സമതയുടെ ഇരുവശത്തെ വ്യഞ്ജകങ്ങളുടെ വില തുല്യമായിരിക്കണം. എന്നാൽ, ഇപ്രകാരം ക്രിയകൾ ചെയ്യുമ്പോൾ വേറൊരു സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കപ്പെടും.

മേൽക്കാണിച്ചിരിക്കുന്ന, 1 മുതൽ 4 വരെയുള്ള സവിശേഷതകളുള്ള ഒരു സമത, അതിന്റെ മണ്ഡലത്തിലെ ഒരു സർവ്വസമബന്ധമാണ്.
അപ്രകാരം എല്ലാ സവിശേഷതകളും ഉള്ള ഒരു മണ്ഡലം, വാസ്തവികസംഖ്യാഗണമാണ്. എന്നാൽ, എണ്ണൽസംഖ്യാഗണമോ പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണമോ എല്ലാ സമവാക്യസവിശേഷതകളും പാലിക്കുന്നില്ല.
നിർദ്ധാരണം

ഒരു സമതയിലെ ചരങ്ങളുടെ വില കണ്ടെത്തുന്ന ഗണിതക്രീയയാണ് സമവാക്യനിർദ്ധാരണം എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. ആ വിലകളെ, സമതയുടെ മൂല്യങ്ങൾ (Roots) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഒരേ മൂല്യങ്ങൾ ഉള്ള സമതകൾ തുല്യസമതകളാണ് (Equivalent Equations). x2 = 3x - 2 എന്ന സമതയുടേയും x2 + 2 = 3x എന്ന സമതയുടെയും രണ്ടു മൂല്യങ്ങളും (അതായത്, 1,2 എന്നീ സംഖ്യകൾ) തുല്യങ്ങളാണ്. അതുകൊണ്ട് അവ തുല്യസമതകളാണ്.

ഒരു സമതയെ അതിന്റെ തുല്യസമതകൾ കൊണ്ട് തുടർച്ചയായി മാറ്റി ലഘൂകരിച്ചു കൊണ്ട് നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നത്. സമതകൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിന് സാധാരണ താഴെക്കാണുന്ന ഉപായങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു:
# തുല്യസമതകൾകൊണ്ടുള്ള പുന:സ്ഥാപനം. (x+1)2 = 2x + 5 എന്ന സമതയെ x2+ 2x +1 = 2x + 5 എന്ന് മാറ്റാം.
# സമതയിലെ പദങ്ങൾ ഇരുവശത്തേക്കും ക്രമീകരിച്ചുകൊണ്ട്. x2+ 2x +1 = 2x + 5 എന്നത്, x2+ 2x +1 - 2x - 5 = 0 എന്നെഴുതാം. ഇതിൽ നിന്ന് x2 - 4 = 0 എന്ന സമത ലഭിക്കുന്നു. ഇത് ആദ്യസമതയുടെ തുല്യസമതയാണ്.
# സമതയുടെ ഇരുവശത്തും ഒരേ സംഖ്യകൊണ്ടോ, ഒരേ വ്യഞ്ജകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്തുകൊണ്ടോ; എന്നാൽ ഇപ്രകാരം ചെയ്യുമ്പോൾ, വ്യഞ്ജകങ്ങൾ, പൂജ്യമായിത്തീരാൻ സാധിക്കുന്നവയായിരിക്കരുത്; അത് പുതിയ തുല്യസമതയെ സൃഷ്ടിക്കുകയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, (x+2) (x-1) = 4 (x-1) എന്ന സമതയെ, (x-1) എന്ന വ്യഞ്ജകം കൊണ്ടു വിഭജിക്കുമ്പോൾ, x+2 = 4 എന്ന സമത ലഭിക്കുന്നു. ഇതിന് x=2 എന്ന ഒരു മൂല്യം മാത്രമാണുള്ളത്, എന്നാൽ ആദ്യസമതയ്ക്ക്, X=1 എന്ന മറ്റൊരു മൂല്യം കൂടിയുണ്ട്. അതുപോലെ, x+2 = 4 എന്ന സമത നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോൾ, സമതയുടെ ഇരുവശത്തും (x-1) എന്ന വ്യഞ്ജകം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന പുതിയ സമതയ്ക്ക്, x=2 എന്ന ഒരു മൂല്യമാത്രമുള്ള ആദ്യസമതയേക്കാൾ, x=1 എന്ന ഒരു മൂല്യം കൂടുതലായുണ്ട്. അതുകൊണ്ട്, സമതകൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇങ്ങനെ ആദ്യസമതയുടേ മൂല്യങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടാതിരിക്കുവാനും, പുതിയ മൂല്യങ്ങൾ അധികമായി വന്നു ചേരാതിരിക്കുവാനും സവിശേഷം ശ്രദ്ധിക്കണം.
# അതുപോലെ ഒരു സമതയുടെ ഇരുവശവും ഒരു കൃത്യങ്കം കൊണ്ട് ഉയർത്തുവാനും, ഒരേപോലെ മൂലനിർണയം ചെയ്യുവാനും കഴിയും. എന്നാൽ, അപ്രകാരം കിട്ടുന്ന സമതകൾ തുല്യങ്ങളായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല; ഉദാഹരണത്തിന്, 2x=6 എന്ന സമതയ്ക്, x=3 ഒരു മൂല്യം മാത്രമാണുള്ളത്; എന്നാൽ, (2x)2=36 എന്ന സമതയ്ക്ക്, x= 3, -3 എന്നിങ്ങനെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. അതുകൊണ്ട്, ഈ സവിശേഷത പ്രധാനമായും ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കണം.
"P(x)=ax²+can bx+c എന്ന ബഹുപദത്തിൽ
P(x)=0 എന്നു കിട്ടും"
വർഗ്ഗീകരണം

ഇരുവശത്തും ഏകപദങ്ങളോ(Mononomial), ബഹുപദങ്ങളോ (Polynomial) മാത്രമുള്ള ഒരു സമതയാണ് ബീജീയസമതകൾ (Algebraic Equations). bx+ay2 = xy + 2m എന്ന സമത, രണ്ടു ചരങ്ങളിലുള്ള ഒരു ബീജീയസമതയാണ്; എന്നാൽ, bx+ay2 = xy + 2x ഒരു ബിജീയസമതയല്ല; കാരണം, 2x എന്നത് ഒരു ഏകപദമല്ല.

ക്രമപ്പെടുത്തിയ ഒരു ബീജീയസമതയിലെ പദങ്ങളിലെ അജ്ഞാതചരങ്ങളുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന തുക, ആ ബിജീയസമതയുടെ കൃതി (Degree) എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ: 4x3 + 2x2 - 17x = 4x3 - 8 എന്ന സമത ക്രമപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, 2x2 - 17x + 8 = 0 എന്നു കിട്ടുന്നു. അതുകൊണ്ട്, മേൽസമതയുടെ കൃതി രണ്ടാണ് ; a4x+b5=c5 എന്ന സമതയുടെ കൃതി 1 ആണ് ; a2x5+bx3y3-a8xy4-2=0 എന്ന ദ്വിചരസമതയിലെ അജ്ഞാതചരങ്ങളായ എന്നിവയുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ ഏറ്റവും കൂടിയ തുക 6 ആണ് ( ആദ്യപദത്തിലും, മൂന്നാം പദത്തിലും). അതുകൊണ്ട്, സമതയുടെ കൃതി 6 ആണ്.

നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു ബിജീയസമവാക്യമായി ലഘൂകരിക്കപ്പെടുന്ന സമതകളും ബീജീയസമതകളായി പരിഗണിക്കാറുണ്ട്.
(x+1)/(x-1) = 2x എന്ന സമത രണ്ടാം കൃതിയുള്ള സമതയാണ്. ലഘൂകരിക്കുമ്പോൾ, 2x2 -3x-1 = 0 എന്നതുല്യസമത ലഭിക്കുന്നു.

എത്രതന്നെ അജ്ഞാതചരങ്ങൾ ഉണ്ടായാലും, കൃതി ഒന്നായ സമതകളെ‍, രേഖീയസമതകൾ (Linear Equations)എന്നു വിളിക്കുന്നു.


വർഗ്ഗം:ഗണിതം
വർഗ്ഗം:സമവാക്യങ്ങൾ