اعتماد وقفہ

کسی تصادفی تجربہ کے ذریعہ کسی تصادفی متغیر کی اوسط بطور نکتہ تخمینہ نکالنے کی بجائے ایک وقفہ بتایا جا سکتا ہے جس میں تخمینہ کے ہونے کا قوّی احتمال ہو۔ اس کے علاوہ تخمینہ کے وقفہ کے اندر ہونے پر اعتماد بھی فیصد عدد کے طور پر بتایا جاتا ہے۔ مثلاً کہا جائے کہ "جماعت الف کی عوام میں حمایت کا تخمینہ (13,16) فیصد کے وقفہ میں ہے اور اس تخمینہ پر ہمارا اعتماد 95 فیصد ہے،" یا احتمال نظریہ کی زبان میں کہیں گے کہ "جماعت الف کی حمایت کا 95% اعتماد وقفہ (13%, 16%) ہے۔ "

تصادفی متغیر X جس کا (اصل مگر نامعلوم) اوسط \mu ہے، کے اوسط کا تجرباتی تخمینہ لگانے کے لیے تجربہ N بار دہرا کر مشاہدات کا اوسط نکالا جاتا ہے۔ ان مشاہدات X_1, X_2, \cdots, X_N کا حسابی اوسط
:\bar{X} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i
نمونہ اوسط کہلاتا ہے۔ مشاہدات X_1, X_2, \cdots, X_N کو آزاد اور ایک جیسے توزیع شدہ تصادفی متغیر سمجھا جاتا ہے، جن (میں سے ہر ایک) کا اوسط \mu ہے اور معیاری انحراف \sigma۔ اس لیے "نمونہ اوسط" \bar{X} بھی ایک تصادفی متغیر ہو گا جس کا اوسط E(\bar{X}) = \mu اور معیاری انحراف
\sqrt{\hbox{Var}(\bar{X})} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}
ہو گا۔


:بائیں|تصغیر|300px|تصویر 1۔
تعریف: عدد x_C یوں تعریف کرو کہ معیاری معمول توزیع احتمال فنکشن \ \phi(.) کے نیچے وقفہ \ (-x_C, x_C) میں رقبہ C ہو (تصویر 1)، یعنی کسی معیاری معمول توزیع شدہ تصادفی متغیر X کا وقفہ \ (-x_C, x_C) میں ہونے کا احتمال C ہے :
: \Pr( -x_C \le X \le x_C) = \int_{-x_C}^{x_C} \phi(x) dx = C
مرکزی حد مسلئہ اثباتی کی رو سے ہم کہہ سکتے ہیں کہ تصادفی متغیر،
:\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{N}}
(بڑے N کے لیے) تقریباً معمول توزیع شدہ ہو گا۔ اس لیے
: \Pr\left( -x_C \le \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{N}} \le x_C\right) \approx C
جسے یوں بھی لکھ سکتے ہیں
: \Pr\left( \bar{X}-x_C \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \le \mu \le \bar{X} + x_C \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \right) \approx C
یعنی اصل اوسط \mu کا وقفہ
\left( \bar{X}-w_C , \bar{X} + w_C \right)
میں پڑنے کا احتمال C ہے، جہاں ہم نے تعریف کیا
w_C = x_C \frac{\sigma}{\sqrt{N}}
ہے۔ اب چونکہ \sigma^2 بھی نامعلوم ہوتا ہے، اس لیے اس کا بھی مشاہدات کی مدد سے تخمینہ S^2 یوں لگاتے ہیں
:S^2= \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} \left( X_k-\bar{X}\right)^2
اب S کو \sigma کی جگہ w_C کی تعریف میں استعمال کیا جا سکتا ہے، w_C = x_C \frac{S}{\sqrt{N}}

خلاصہ یہ کہ بڑے N کے لیے، تصادفی متغیر X کے نامعلوم اوسط \ \mu=E(X) کا (قریباً) C \times 100 \%
اعتماد وقفہ ہے
\bar{X} \pm w_C
اعتماد کی تفسیر

فرض کرو کہ آپ نے کسی نامعلوم قدر \mu کا 95\% اعتماد وقفہ تجربے سے \ (a,b) معلوم کیا۔ اب یا تو نامعلوم قدر \mu اس وقفے میں ہو گی یا پھر نہیں۔ سوال پیدا ہوتا ہے کہ 95 فیصد اعتماد سے کیا مراد ہے؟ اس کو یوں سمجھا جا سکتا ہے کہ تجربہ سے پہلے اس بات کا احتمال 0.95 ہے کہ تجربہ سے معلوم ہونے والے وقفہ میں نامعلوم قدر پڑے گی۔ یا تجربے کے بعد ہمارا اس امر میں اعتماد 95 فیصد ہے کہ نامعلوم قدر اس وقفہ میں ہے۔ یا پھر یوں کہیں کہ اگر ہم بہت بار تجربات کر کے متعدد 95\% اعتماد وقفے معلوم کریں، تو ان میں سے 95 فیصد وقفے ایسے ہوں گے کہ جن میں نامعلوم قدر پڑتی ہو گی۔
:فائل:NYW-confidence-interval.png
تصویر میں وقفے نکالنے کا عمل پچاس مرتبہ دہرایا گیا ہے۔ دیکھو کہ \mu کچھ وقفوں کے درمیان نہیں پڑتا۔
مزید دیکھیے

* مونٹے کارلو تشبیہ
*

زمرہ:احتمال نظریہ
زمرہ:احتمال و احصاء
زمرہ:پیمائش
زمرہ:تنظیمی نفسیات
زمرہ:حیاتی احصاء
زمرہ:قیاسی معاشیات
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مطابقت رکھنے والی مختصر تفصیل
زمرہ:شماریات
زمرہ:علم رائے شماری
زمرہ:تحقیق عملیات