நேரியல் சார்பின்மை

கணிதத்தில் நேரியல் இயற்கணிதப்பிரிவில் நேரியல் சார்பின்மை(Linear independence) யும் நேரியல் சார்புடைமையும் (Linear dependence) அடிப்படைக் கருத்துகள். V என்ற திசையன் வெளி யில் S = \{u_1, u_2, ..., u_n\} என்ற திசையன்களின் கணம் நேரியல் சார்புடையது என்பதற்குப் பொருள், அவைகளில் ஏதாவதொன்று மற்றவைகளின் நேரியல் சேர்வு என்பதே. எடுத்துக்காட்டாக, V_3 இல்

{(1,0,0), (1,2,-3), (0,1,-3/2)} என்ற கணம் நேரியல் சார்புடையது. ஏனென்றால்,

(1,2,-3) = 1(1,0,0) + 2(0,1,-3/2).

S இல் எதுவுமே மற்றவைகளின் நேரியல் சேர்வாக இல்லையானால், அது நேரியல் சார்பின்மை என்ற பண்பை உடையது அல்லது நேரியல் சார்பற்றது எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, V_3 இல்

{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} என்ற கணம் நேரியல் சார்பற்றது.

அதாவது, இதனில் எதுவும் மற்ற இரண்டின் நேரியல் சேர்வாக இருக்கமுடியாது. துல்லியமான மாதிரி நிறுவலுக்குக் கீழே பார்க்கவும்.
வரையறை

V = V^{\mathbf{F}} என்பது ஒரு திசையன் வெளி. அதனில் S = \{u_1, u_2, ..., u_n\} என்பது ஒரு உட்கணம், அல்லது திசையன்களின் குழு. இக்குழு நேரியல் சார்பின்மை உடையது என்பதன் இலக்கணம் பின்வருமாறு:

(*):\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_n u_n சூனியத்திசையன் ஆகவேண்டுமானால் \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n என்ற எல்லா அளவெண்களும் சூனியங்களாக இருக்கவேண்டும்.

(*) என்ற நிபந்தனைக்குக் கட்டுப்படவில்லையானால், S நேரியல் சார்புடையது எனப்படும்.

குறிப்பு: நேரியல் சார்பின்மை, நேரியல் சார்புடைமை ஆகிய பண்புகள் திசையன்களைக்கொண்ட ஒரு உட்கணம் அல்லது குழுவைப்பற்றியது. தனிப்பட்ட ஒரு திசையனின் பண்பல்ல.

விளக்கம்: S நேரியல் சார்புடையது என்றால் (*) என்ற நிபந்தனைக்குக் கட்டுப்படவில்லை என்று பொருள். அதாவது, ஏதாவது ஒரு, அல்லது சில, அளவெண்கள் \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n சூனியமல்லாததாகவே இருக்க,

\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_n u_n = \mathbf{0}

என்ற சமன்பாடும் உண்மையாக இருக்கும். இதனால் நமக்குக் கிடைப்பது, u_1, u_2, ..., u_n என்ற திசையன்களில் ஏதாவதொன்று மற்ற திசையன்களின் நேரியல் சேர்வு என்பதுதான்.
உட்கணத்தின் அளாவல்

V என்ற திசையன் வெளியில் S என்ற உட்கணத்தின் அளாவல் (Span) என்பது S இலுள்ள உறுப்புகளின் எல்லாமுடிவுறு நேரியல் சேர்வுகளும் கொண்ட கணம். அதற்குக் குறியீடு [S]. விரித்துச்சொன்னால்,

[S] = {\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_n u_n: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n ஏதாவது அளவெண்கள், n ஒரு இயல்பெண், மற்றும், u_1, u_2, ..., u_n \in S}.

[S] ஒரு உள்வெளி. அது மட்டுமல்ல. அது Sஐ உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வெளி.

n = 1: [S] = {\alpha_1 u_1: \alpha_1 \in \mathbf{F}}. வடிவியல் பாங்கில் சொன்னால், இது தொடக்கப்புள்ளி வழியாகவும், u_1 வழியாகவும் செல்லும் நேர்கோடு.

n = 2: [S] = {\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2: \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbf{F}}. வடிவியல் பாங்கில் சொன்னால், இது தொடக்கப்புள்ளி வழியாகவும், u_1, u_2 வழியாகவும் செல்லும் தளம்.
நேரியல் சார்பின்மையின் இதர பண்புகள்

V என்ற திசையன் வெளியில்

* u = \mathbf{0} ஆக இருந்தால், இருந்தால் தான், \{u\} நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.
* இரண்டு திசையன்கள் u_1, u_2 களில் ஒன்று மற்றொன்றின் அளவெண் பெருக்கலாக இருந்தால், இருந்தால் தான், \{u_1, u_2\} நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.
* n திசையன்கள் u_1, u_2, ... , u_n களில் ஏதாவதொன்று மற்றவைகளின் அளாவலில் இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை நேரியல் சார்புடையதாய் இருக்கும்.
* ஒரு கணம் நேரியல் சார்பற்றதாயிருந்தால், அதனுடைய எந்த வெற்றற்ற உட்கணமும் நேரியல் சார்பற்றது.
* ஒரு கணம் நேரியல் சார்புடையதாயிருந்தால், அதனுடைய எந்த மேற்கணமும் நேரியல் சார்புடையது.
* {u_1 \neq 0, u_2,..., u_n} என்பது திசையன்களின் ஒரு வரிசையுள்ள கணமானால், அது நேரியல் சார்புடையதாக இருந்தால், இருந்தால் தான், u_2, u_3, ..., u_n களில் ஏதாவதொன்று (u_k என்று சொல்லலாமே) அதற்கு முந்தினவைகளின், அதாவது, u_1, u_2, ..., u_{k-1} களின் அளாவலில் இருக்கும். குறியீட்டில் சொன்னால் u_k \in [u_1, u_2, ..., u_{k-1}]
எடுத்துக்காட்டுகள்

1. V_3: S = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.

\alpha (1,0,0) + \beta (0,1,0) + \gamma (0,0,1) = \mathbf{0} =(0,0,0)
என்று கொண்டால்,
நமக்குக்கிடைப்பது: \alpha = 0, \beta = 0, \gamma = 0.

ஆக, S நேரியல் சார்பற்றது.

2. V_4 : S = {A=(1,1,0,2), B=(0,1,1,2), C=(0,0,1,1), D=(1,0,0,1)}

\alpha (1,1,0,2) + \beta (0,1,1,2) + \gamma (0,0,1,1) +\delta (1,0,0,1) = (0,0,0,0)

\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = 1, \delta = -1 இதை சரியாக்குகிறது.

ஆக, S நேரியல் சார்புடையது. இதை உறுதிப்படுத்தும் வழியில் ஏதாவதொன்றை மற்றவைகளின் சேர்வாகச்சொல்லலாம்:

(1,0,0,1) = 1(1,1,0,2) -1(0,1,1,2) +1(0,0,1,1)

இதற்கு வடிவியற்பொருள் குறிப்பிடத்தக்கது: D என்ற புள்ளி A, B, C, ஆகிய மூன்று புள்ளிகளால் ஆக்கப்பட்ட தளத்தில் இருக்கிறது.
அணிக்கோட்பாட்டிலிருந்து ஒரு தேற்றம்

பார்க்கவும்: அணிகளின் அளவை

{V_n}^\mathbf{R} இலிருந்து m திசையன்கள் எடுத்து அவைகளை ஒரு n \times m அணி M இன் நிரல் திசையன்களாகக்கொண்டு, அவ்வணியைக் குறுவரிசைப்படி(row-reduced echelon form) ஆக்கினதும், வெற்றில்லாத நிரல்களின் எண்ணிக்கை r என்று கண்டால்,முதலில் எடுத்த m திசையன்களில் நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் மிகப்பெரிய எண்ணிககை r ஆகும்.

இதன் கிளைத்தேற்றம்: {V_n}^\mathbf{R} இலிருந்து எடுக்கப்பட்ட n திசையன்களை நிரல் திசையன்களாகக்கொண்ட ஒரு n-பரிமாண சதுர அணி M இன் அணிக்கோவையின் மதிப்பு சூனியமானால், ஆனால் தான், அவை நேரியல் சார்புடையவை.

இதனால், எ.கா. #2 க்கு, அணிக்கோவை கருத்து மூலம் மாற்று வழி:

அணிக்கோவை \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
2 & 2 & 1 & 1
\end{vmatrix}

இதைச்சுருக்கி மதிப்பு கணித்தால், கிடைப்பது 0. ஆக நான்கு நிரல் திசையன்களும் நேரியல் சார்புடையது என்பது தேற்றத்திலிருந்து அறிகிறோம்.
முடிவுறாக்கணங்களின் நேரியல் சார்பின்மை

திசையன் வெளி V இன் ஒரு முடிவுறாக்கணம் S நேரியல் சார்பற்றது என்று சொல்லப்பட வேண்டுமென்றால், அதன் ஒவ்வொரு முடிவுள்ள உட்கணமும் நேரியல் சார்பற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.

எ.கா.: பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வெளியான \mathcal{P} ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனில் S = {1, x, x2, x3, .... } ஒரு நேரியல் சார்பற்ற முடிவுறாக்கணம்.

\mathcal{P} என்ற குறியீட்டுக்கு திசையன் வெளி கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.
துணை நூல்கள்

* Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. .
* V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi.

பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்
பகுப்பு:நுண்புல இயற்கணிதம்