خود مشابہ مجموعہ (مستوی میں)

خود مشابہ مجموعہ کی تعریف کرنے سے پہلے ہمیں کچھ ابتدائی تعاریف کی ضرورت ہے۔
ابتدائی تعاریف

ذیل میں ہم اقلیدسی فضاء \mathbb{R}^2 کے حوالے سے کچھ تعریف سمجھاتے ہیں۔ (یاد رہے کہ یہ تعاریف اس فضا کے حوالے کے بغیر بھی کی جا سکتی ہیں۔)
تحیط طاقم

اقلیدسی فضا \mathbb{R}^2 میں کسی طاقم کو تحیط کہا جاتا ہے اگر اس کے گرد ایک ایسا دائرہ لگانا ممکن ہو، جس میں یہ طاقم سما جائے (تصویر 1)۔ اگر ایسا ممکن نہ ہو تو طاقم "لاتحیط" کہلائے گا۔

چوکھٹا|تصویر 2
بند طاقم

اقلیدسی فضا \mathbb{R}^2 میں اگر طاقم کا احاطہ بھی طاقم میں شامل ہو تو اسے بند طاقم کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں طاقم (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔
کھلا طاقم

اقلیدسی فضا \mathbb{R}^2 میں اگر طاقم کا احاطہ کو طاقم کا حصہ نہ سمجھا جائے، تو اسے کھلا طاقم کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں طاقم (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔
طاقموں میں مطابقت

اگر ایک طاقم کو گھماء اور ترجمہ کر کے دوسرے طاقم میں بدلا جا سکتا ہو، تو ان دونوں طاقم جات کو بمطابق کہیں گے۔ تصویر 2 میں ایسے تین طاقم جات دکھائے گئے ہیں جو آپس میں مطابقت رکھتے ہیں۔


چوکھٹا|تصویر 3


چوکھٹا|تصویر 4


تراکب طاقموں

اگر دو طاقم جات کا کچھ حصہ سانجھا ہو تو ان کو تراکب کہا جاتا ہے، ورنہ ناتراکب۔ مثال تصویر 3 میں تراکب مجموعات دکھائے ہیں اور تصویر 4 میں ناتراکب مجموعات۔


تصویر 5

200px


T\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\begin{bmatrix} s & 0 \\
0 & s
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}


200px



\longrightarrow


سکیڑ اور پھیلاؤ

اگر \ T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 ایسا لکیری استحالہ ہو، جو طاقم کو چھوٹا یا بڑا کرتا ہو۔ اگر \ 0 تو اس کو سکیڑنا کہیں گے (تصویر 5) اور اگر \ s>1 تو اسے پھیلانا کہیں گے۔ تصویر 5 میں نیلے طاقم کو سکیڑ کر سرخ طاقم بنتا دکھایا گیا ہے۔

تصغیر|وسط|300px|تصویر 6
خود مشابہ طاقم

ایک بند اور تحیط طاقم (جو \mathbb{R}^2 کا ذیلی طاقم ہو) کو خود مشابہ کہا جائے گا، اگر اس طاقم S کو یوں لکھا جا سکے
:S = S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_n
جہاں S_1, S_2, \cdots, S_n ناتراکب مجموعات ہیں اور ان میں سے ہر ایک بمطابق ہے S کی سکڑی ہوئی صورت کے (جہاں سکڑنے کا عدد \ 0 ہے)۔ یہاں علامت \cup اتحاد کے لیے استعمال ہوئی ہے۔

تصویر 6 میں طاقم S کو چار مجموعات S_1, S_2, S_3, S_4 کے اتحاد کے بطور دکھایا گیا ہے۔ یہاں سکڑنے کا عدد s=\frac{1}{2} ہے۔
ان ذیلی مجموعات کو سے ان مماثلتیہ کے ذریعہ حاصل کیا جا سکتا ہے:
:S_1=T_1(S), \, S_2=T_2(S), \, S_3=T_3(S), \, S_4=T_4(S)
جہاں مماثلتیہ یہ ہیں
:T_1\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}\frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix}

:T_2\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}

:T_3\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}0 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}

:T_4\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}


تصغیر|250px|تصویر 7
تصغیر|250px|تصویر 8
چوکھٹا|تصویر 9. سیرپنسکی (Sierpinski) تکون
تصغیر|200px|تصویر 10
مثال

اگر نیچے دی تین مماثلتیہ ایکی مربع پر استعمال کی جائیں،
:T_1\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}

:T_2\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}\frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix}

:T_3\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}0 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}

تو تین ناتراکب مربع \ T_1(U), T_2(U), T_3(U) بنتے ہیں (تصویر 7)۔ اب ان تین مربع پر (علاحدہ علاحدہ) یہ تین مماثلتیہ استعمال کیے جائیں، تو تصویر 8 حاصل ہو گی۔ اسی طرح یہ عمل جاری رکھا جائے تو تصویر 9 حاصل ہوتی ہے، جو مشہور سیرپنسکی تکون ہے۔ (تصویر 9 میں سیرپنسکی تکون سفید رنگ میں دکھائ ہے۔)

غور کرو کہ تصویر 7 میں مربع U اقلیدسی فضا \mathbb{R}^2 (مستوی) میں ہے، اس لیے اس کا بُعد 2 ہے۔ اس مربع کا رقبہ 1 ہے۔ مماثلتیہ کے استعمال کے بعد جو تین مربع کا خاکہ بنتا ہے (نیلے) اس کا کل رقبہ \frac{3}{4} ہے۔ ہر نیلے مربع پر مماثلتیہ کے استعمال سے تصویر 8 ملتی ہے اور اب ہمارے خاکہ کا رقبہ \left(\frac{3}{4}\right)^2 ہے۔ مماثلتیہ کے n بار استعمال کے بعد بننے والے خاکہ کا رقبہ \left(\frac{3}{4}\right)^n ہو گا اور
:\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n = 0
یعنی تصویر 9 میں خاکہ (سیرپنسکی تکون، سفید رنگ میں) کا رقبہ صفر (0) ہو گا۔ یاد رہے کہ ایک لکیر، جس کا بُعد 1 ہوتا ہے، کا رقبہ صفر ہوتا ہے۔ اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ سیرپنسکی تکون کا بُعد 1 ہے۔ اگرچہ سیرپنسکی تکون \mathbb{R}^2 میں نظر آتی ہے، مگر اس میں سوراخ اتنے ہیں کہ یہ ایک لکیر کی ماند ہے (جس کا بُعد 1 ہوتا ہے)۔ سیرپنسکی تکون ایک فریکٹل ہے۔


یہاں یہ واضح کر دیں کہ تصویر 9 ایک حد تک تفصیل میں دکھائی جا سکتی ہے۔ بہت چھوٹی تفصیل واضح ہونا تصویر میں ممکن نہیں۔

یہ واضح کرنے کے لیے کہ شیرپنسکی تکون، "خود مشابہ طاقم" کی تعریف پر پورا اترتی ہے، ہم نے تصویر 10 مین جان بوجھ کر اسے تین حصوں S_1, S_2, S_3 میں بانٹ کر دکھایا ہے، اس طرح کہ ہر حصہ بڑے سیرپنسکی تکون S (تصویر 9) پر ایک مماثلتیہ T_1, T_2, T_3 کے عمل سے بنا ہے اور
:S = S_1 \cup S_2 \cup S_3
یاد رہے کہ ان تین حصوں S_1, S_2, S_3 میں سے ہر حصہ بھی "خود مشابہ" ہے اور یہ بات ان حصوں کے اس طرح مزید حصے کرنے پر بھی برحق ہے (کیونکہ سیرپنسکی تکون ایک فریکٹل ہے)۔
مسلئہ اثباتی

اگر T_1, T_2, \cdots, T_n سکڑنے والی مماثلتیہ ہوں، جن کا سکڑنے کا عدد برابر ہو، تو پھر ایک منفرد، غیر خالی، بند اور محیط طاقم S ہو گا، جبکہ
:S = T_1(S) \cup T_2(S) \cup \cdots \cup T_n(S)
اور اگر مجموعات \ T_1(S), T_2(S), \cdots, T_n(S) ناتراکب ہوں، تو طاقم S خود مشابہ ہو گا۔
خود مشابہ طاقم بنانے کا الخوارزم

یہ مسلئہ اثباتی اس طاقم کو نکالنے کا کوئی طریقہ نہیں بتاتا۔ اگر مسلئہ اثباتی کی عبارت کے مطابق T_1, T_2, \cdots, T_n مماثلتیہ ہوں اور ایک "خود مشابہ طاقم" S کو جنم دیتے ہوں، تو یہ طاقم نکالنے کے لیے ایک تصادفی الخوارزم نیچے دیا ہے:
# پلین میں ایک نکتہ \ (x,y) چنو
# ایک تصادفی تجربہ سے تصادفی متغیر جنم دو، جس کی قدر 1 سے n تک ہو۔ فرض کرو کہ قدر j آتی ہے۔
# اب مماثلتیہ T_j چنو اور نکتہ \ (x,y) کو اس میں سے گزار کر نیا نکتہ حاصل کرو۔ اس نئے نکتہ کو پلاٹ کر دو۔ (یہ نکتہ طاقم S کا حصہ ہے۔)
# اس نئے نکتہ \ (x,y) کو لے کر، سیڑھی 2 پر جا کر یہ طریقہ دہراتے رہو (جبتک تصویر نکھر آئے۔)

تصویر 9 بنانے کے لیے یہ الخوارزم استعمال کیا گیا ہے۔
مزید دیکھیے

* میٹرکس