مخلوط عدد

کسی عدد کو اپنے آپ سے ضرب دے کر اس کا مربع نکالا جا سکتا ہے۔ مثلاً \ 7\times 7 = 49۔ اسی طرح کسی عدد کا جزر المربع بھی نکالا جا سکتا ہے، مثلاً \sqrt{49}=7۔ اسی طرح \sqrt{1}=1، چونکہ \ 1 \times 1 =1، مگر \sqrt{-1}=?۔ یعنی ایک منفی عدد کا جزر المربع کیا ہو؟ اس کا حل نکالنے کے لیے ریاضی دانوں نے "تخیلی عدد" بتائے ہیں۔ اس کے لیے \ -1 \, کے جزر المربع کو ایک خاص علامت \ \iota دی گئی ہے، یعنی \sqrt{-1}=\iota۔ اسی طرح \sqrt{-49}=7\iota۔ ایسے عدد جن کے ساتھ \ \iota لکھا جاتا ہے، "تخیلی عدد" کہلاتے ہیں، مثلاً \ 7\iota\,۔ اسی طرح عام اعداد کو "حقیقی عدد" کہا جاتا ہے، مثلاً 7۔ ایسا عدد جو "حقیقی عدد" اور "تخیلی عدد" کے مجموعہ سے بنے، کو "مخلوط عدد" کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر \ 6+7\iota\, اور \ 6-7\iota\, مخلوط عدد ہیں۔ مخلوط اعداد پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے حسابی عمل کیے جا سکتے ہیں۔ دو مخلوط اعداد \ a+b\iota اور \ c+d\iota کی جمع اور تفریق:


\ (a + b \iota) + (c + d \iota) = (a+c) + (b+d)\iota \,


\ (a + b \iota) - (c + d \iota) = (a-c) + (b-d)\iota \,


اسی طرح ضرب اور تقسیم، الجبرا کے عام اصولوں کے مطابق (یاد رہے کہ، \ \iota^2=-1 )


\ (a + b \iota) (c + d \iota) = (ac-bd) + (ad+bc)\iota \,


\frac{a + b \iota} {c + d \iota} = \frac{(a + b \iota) (c - d \iota)} {(c + d \iota) (c - d \iota)} = \frac{(ac+bd) }{c^2+d^2}+ \frac{(bc-ad) \iota }{c^2+d^2} \,

چونکہ مخلوط اعداد پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے عمل کیے جا سکتے ہیں، اس لیے مخلوط اعداد ایک مخلوط میدان بناتے ہیں، جسے \mathbb{C}\, کی علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
مستطیل اور قطبی صورت

left
مخلوط عدد \ a+b \iota کو مستطیل مستوی میں اس طرح دکھایا جاتا ہے، حقیقی عدد افقی جانب اور تخیلی عدد عمودی جانب۔ یعنی مستطیل مستوی میں کوئی بھی نکتہ ایک مخلوط عدد سمجھا جا سکتا ہے۔ پلین کے مبدا سے اس نکتہ کو جوڑنے والی لکیر کو اکثر سمتیہ کہتے ہیں۔ اس لکیر کی لمبائی \ r ہے اور اس کا دائیں افقی جانب سے زاویہ \theta\, ہے۔ ان پیمائیشوں کے درمیان رشتہ داری فیثاغورث کے اصول استعمال کرتے ہوئے یوں بیان کی جا سکتی ہے:
:
r = \sqrt{ a^2 + b^2} \; ,\;\;\; \theta=\tan^{-1}\left( \frac{b}{a} \right)

:
\ a=r \cos(\theta)\;,\;\;\; b=r \sin(\theta)

ہم r \angle{\theta} کو مخلوط عدد کی قطبی صورت کہتے ہیں، جبکہ \ a+ b \iota کو مستطیل صورت۔

اب \ \exp(x) \, کے سلسلہ کے استعمال سے یہ آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ
:
\ e^{\iota\theta} = \cos(\theta) + \iota \sin(\theta)

اس کے استعمال سے ہم مخلوط عدد کی مستطیل اور قطبی صورت کے رشتہ کو مساوات کی شکل میں یوں لکھ سکتے ہیں:
:
\ a + \iota b = r \cos(\theta) + \iota r \sin(\theta) = r (\cos(\theta) + \iota \sin(\theta) ) = r e^{\iota \theta}

یعنی
\ a + b \iota = r \exp(\iota \theta) \,

قطبی صورت میں مخلوط عدد کی ضرب اور تقسیم نسبتاً زیادہ آسان ہے:
:
\ (r_1 \exp(\iota \theta_1)) (r_2 \exp(\iota \theta_2)) = r_1 r_2 \exp(\iota (\theta_1+\theta_2))

:
\frac{r_1 \exp(\iota \theta_1)}{r_2 \exp(\iota \theta_2)} = \left( \frac{r_1}{ r_2} \right) \exp(\iota (\theta_1 -\theta_2))


مخلوط عدد \ z=a+\iota b = r e^{\iota \theta} اور مخلوط عدد \ \bar{z}=a-\iota b = r e^{-\iota \theta} کو ایک دوسرے کا conjugate کہا جاتا ہے۔ غور کرو کہ ان دونوں کی لمبائی برابر ہے اور یہ افقی طرف سے ایک دوسرے کا عکس ہیں۔

مخلوط عدد \ z= r e^{\iota \theta} کی لمبائی کو عموماً \ |z|= r لکھا جاتا ہے اور اس کے زاویہ کو \ arg(z)= \theta لکھا جاتا ہے۔
عدد ایک 1 کے جزر

مساوات \ x^n-1 کے \ n جزر یوں لکھے جا سکتے ہیں:
x= \sqrt[n]{1} = \exp(\iota \pi 2 k/n) \, ,\, k=0,\cdots,n-1
مساوات میں\ x کی قدر ڈال کر بآسانی یہ تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ مساوات کے جزر ہیں۔ غور کرو کہ یہ جزر مبدا کے گرد ایک دائرے پر واقع ہیں، جس دائرہ کا نصف قطر ایک (1) ہے۔ تصویر میں \ n=10کے لیے دس جزر دکھائے گئے ہیں۔
تصویر: croots.png

اسی طرح مساوات \ x^n+1 کے جزر یوں ہیں:
x= \sqrt[n]{-1} =\exp(\iota \pi (2k+1)/n) \, , \, k=0,\cdots,n-1
بیرونی روابط

* کمپوٹر سافٹوئیر سائیلیب میں مخلوط (کمپلکس) اعداد کے استعمال کا ایک سبق ۔


زمرہ:مخلوط اعداد
زمرہ:کامنز زمرہ جس کا ربط ویکی ڈیٹا پر ہے
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مختلف مختصر وضاحت
زمرہ:ابتدائی ریاضیات
زمرہ:اعداد
زمرہ:نظریۂ عدد
زمرہ:مختلط تحلیل