تبدل کامل گروہ

ریاضی میں، تبدلکامل گروہ ایسا گروہ ہوتا ہے جس کے عناصر کسی مجموعہ پر تبدلکامل ہوتے ہیں اور گروہ عالجہ ان تبدلکامل کی ترکیب ہوتا ہے۔ کسی مجموعہ پر تمام تبدلکامل کے گروہ کو "متناظر گروہ" S_n کہا جاتا ہے۔ عموماً تبدلکامل گروہ اس "متناظر گروہ S_n" کے کسی ذیلی گروہ کو کہا جاتا ہے۔
متناظر گروہ (تبدل کامل)

اعداد کے مجموعہ \{1,2,\cdots,n\} کے کسی خاص تبدل کامل کو ایک دالہ کے ذریعہ لکھا جا سکتا ہے، یعنی


1
2
3
....
n

f(1)
f(2)
f(3)
....
f(n)

مثلاً n=4 کے لیے یہ ہو سکتی ہے


1
2
3
4

4
2
1
3

اگر f(.) اور g(.) کوئی دو فنکشن تبدل کامل ہوں اعداد \{1,2,\cdots,n\} پر، تو ان فنکشن کی ترکیب
f \circ g(k) = f(g(k))
بھی ان اعداد کی تبدل کامل ہو گی۔ اس طرح گروہ کا پہلا مسلمہ پورا ہوتا ہے، عناصر f اور g کے لیے۔

شناخت عنصر کے لیے ہم فنکشن تعریف کرتے ہیں
I(k)=k \,,\,\, k=1,2,\cdots,n
، یعنی:


1
2
3
....
n

1
2
3
....
n

اور یہ دوسرے مسلمہ پر پوری اترتی ہے۔

اگر فنکشن f(.) کوئی خاص تبدل کامل تعریف کرتی ہے


1
2
3
....
n

f(1)
f(2)
f(3)
....
f(n)

تو یہ تبدل کامل


f(1)
f(2)
f(3)
....
f(n)

1
2
3
....
n

اس کا اُلٹ ہے اور اسے f^{-1}(.) کہہ سکتے ہیں،
:f(f^{-1}(k)) = f^{-1}(f(k)) = k
یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہوتا ہے۔

اگر g، f اور h، کوئی تبدل کامل فنکشن ہوں، تو چوتھا مسلمہ بھی پورا ہونے کی تصدیق کی جا سکتی ہے
:(f \circ g) \circ h(k) =(f \circ g) ( h(k) ) = f(g(h(k))) = f \circ (g \circ h) (k)

پس ثابت ہوا کہ مجموعہ \{1,2,\cdots,n\} کے تمام تبدل‌کامل ایک گروہ بناتے ہیں۔ خیال رہے کہ ان تبادل‌کامل کی تعداد n! ہے، یعنی اس گروہ کے عناصر کی تعداد n! ہے۔ اس گروہ کی اہمیت "متشاکل کیلے مسلئہ اثباتی" کی بدولت ہے۔ اس گروہ کو متناظر گروہ کہا جاتا ہے اور S_n کی علامت سے لکھا جاتا ہے۔
طاق اور جفت تبدلکامل

کثیر رقمی تعریف کرو
:P(x_1,\cdots,x_n) = \prod_{i
جہاں ضرب حاصل تمام n \choose 2 جوڑوں پر کیا گیا ہے جن کے لیے i

کسی تبدلکامل f \in S_n کے لیے تعریف کرو
:P_f(x_1,\cdots,x_n) = P(x_{f(1)},\cdots,x_{f(n)})
اس تبدلکامل f کو جفت کہو، اگر
:P_f(x_1,\cdots,x_n) = P(x_1,\cdots,x_n)
اور طاق کہو، اگر
:P_f(x_1,\cdots,x_n) = -P(x_1,\cdots,x_n)

عام طور پر ہم لکھ سکتے ہیں
:P_f(x_1,\cdots,x_n) = s(f) P(x_1,\cdots,x_n)
جہاں \ s(f)=+1 ہو گا اگر تبدلکامل جفت ہو اور \ s(f)=-1 اگر تبدلکامل طاق ہو۔ اب یہ دیکھایا جا سکتا ہے کہ دو تبدلکامل f اور g کی ترکیب f \circ g کے لیے
:s(f \circ g)=s(f) s(g)

کسی تبدلکامل f اور اس کے اُلٹ f^{-1} کا اشارہ برابر ہوتا ہے، یعنی
: \ s(f)=s(f^{-1})
قضیہ

گروہ S_n کی n! تبدلکامل میں سے آدھی (یعنی \ n!/2) جفت ہوتی ہیں اور آدھی طاق ہوتی ہیں۔
تقلیب


1,
2,
3,
....
n

کی تبدلکامل


f(1),
f(2),
f(3),
....
f(n)

میں ہم کہتے ہیں کہ r تقلیبات برپا ہوتی ہیں عنصر k سے، اگر تبدلکامل میں k سے پہلے ٹھیک r اعداد k سے بڑے ہوں۔
مثلاً تبدلکامل


1
2
3
4
5

4
2
1
5
3

میں:
* 2 تقلیبات برپا کرتا ہے عنصر 1
* 1 تقلیب برپا کرتا ہے عنصر 2
* 4 تقلیبات برپا کرتا ہے عنصر 3
* 0 تقلیب برپا کرتا ہے عنصر 4
* 3 تقلیبات برپا کرتا ہے عنصر 5
اور یہ تبدلکامل کُل (2+1+4+0+3=) 10 تقلیبات برپا کرتا ہے۔

تقلیبات کی مدد سے ہم جفت اور طاق تبدلکامل کی متبادل تعریف یوں کر سکتے ہیں:

:قضیہ: تبدلکامل جفت کہلائے گا اگر تقلیبات کی کُل تعداد جفت ہو اور طاق کہلائے گی اگر تقلیبات کی کُل تعداد طاق ہو۔
متبادلی ذیلی گروہ

جفت تبدلکامل کے گروہ کو "متبادلی ذیلی گروہ" A_n کہتے ہیں، جو S_n کا معمول ذیلی گروہ ہے۔
گیلوا مسلئہ اثباتی

اگر n>4 ہو، تو A_n کے معمول ذیلی گروہ صرف A_n اور \{I\} ہیں۔

گیلوا نے اپنے اس نتیجے سے ثابت کیا کہ درجہ پنجم اور زیادہ کی مساوات کو ناطق عالجوں (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) اور معلوم قدروں کی n۔ ویں جذر لینے سے حل نہیں کیا جا سکتا۔


زمرہ:نظریہ گروہ
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مطابقت رکھنے والی مختصر تفصیل