ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಯನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿನ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ (ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಿಯಾದ ಜೋಡಣಾ ಕ್ರಮ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯದ ಗುಂಪಿನ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ದವಾಗಿ ಮಾಡುವುದು ಅಲ್ಲದೇ ಅದರ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಒಂದರ ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ ಇಡುವುದು ಹೀಗೆ ಆರು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ {1,2,3}, ಉದಾಹರಣೆಗೆ [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], ಮತ್ತು [3,2,1].ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲೂ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗುಂಪು ಪ್ರಮೇಯವು,ಗಣದ ಎಸ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಎಸ್ ನಿಂದ ದ್ವಿಮುಖವಾದೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ,(ಅಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಕಾಶೆ ಒಂದು ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಎಸ್ ಎಂಬುದು ಆ ಅಂಶದ ಪ್ರತಿರೂಪದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗನಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇಂತಹ ನಕಾಶೆಯಲ್ಲಿ ಎಫ್ ತನ್ನ ಮರುಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಎಸ್ ನೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಮರ್ಥವಾಗಿರುತ್ತದೆ.ಹೀಗೆ ಎಸ್ ಪ್ರತಿರೂಪ ಎಫ್ ಎಸ್ ನ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದುಕೊಂಡು ತನ್ನ ಮೌಲ್ಯದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೂಗೂಡಿದ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಎಸ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎಸ್ ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ಅದರಲ್ಲಿನ ಮರುಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಎಸ್ ನ್ನು ಅದರ ಮೂಲ ಜೋಡಣೆಗೆ ನೀಡಿದಾಗ ಅದು ಎಸ್ = {1,2,3,...,{0}n},ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.ಇದು ಈ ಎರಡು ಅರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಎಸ್ ಸಲದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸುತ್ತದೆ,ಇದೇ ಮುಂದುವರೆದು ಆ ಗಣದ ಮುಂಬರುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗೆ ದಾರಿಯಾಗುವುದು.

ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಭಾಗಗಳ ಮರುಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಕ್ರಿಯೆ ಯನ್ನಾಗಿ ಅಥವಾ ಅದರೆ ನಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗಾಗಿ ಕಾಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಪದಗುಚ್ಛದಲ್ಲಿನ ಶಬ್ದದ ಪಲ್ಲಟವನ್ನು ಒಟ್ಟು ಅರ್ಥಕ್ಕೆ ಅದರ ಅಕ್ಷರಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಎನ್ನಲಾಗುತ್ತದೆ.ಅಥವಾ ಅದು X 3Y +7+Y 2Z is (ಅದು ಪಡೆದಿರುವಂತೆ) ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಬಹುಪದೀಯ ಬೀಜೋಕ್ತಿ ಆಗಿರುವ ಇದನ್ನು X 3Y +Y 2Z +7.ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದು ಸಂಕೇತಗಳ ಉಪಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ,ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ Y 3Z +Z 2X +7 ಇವುಗಳನ್ನು ಇದರಿಂದ X 3Y +Y 2Z +7 (ಚಕ್ರೀಯ)ವಾಗಿ ಪಡೆದಾಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು X, Y, Z ಆಗಿದೆ.ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಚಕ್ರೀಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಅರ್ಥವಾಗುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಒಂದೇ ರೂಪದ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆ ಎನ್ನಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದುಗೂಡಿದ ಪದಗಳು ಎರಡನೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಈ "ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ"ಯು ವ್ಯಾಪಕಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಒಂದುಗೂಡುವಿಕೆಯ ಹೆಸರು "ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದುಗೂಡುವಿಕೆಗಳು"ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ,ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗುಣಿತದ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು k ದಿಂದ n ನ ಗುಂಪಿನ ಗಣ ಗಳೊಂದಿಗೆ k ನ ಒಂದುಗೂಡುವಿಕೆಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾಗ ಇದನ್ನು ಕಡೆಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಇಲ್ಲಿ k ಅಂಕಿಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದು.ಪದಗಳ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ k ನ ಗಣಿಸಲು-ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ\tbinom nk ರ k -ನ ಒಂದುಗೂಡುವಿಕೆ ಗಳನ್ನಿಲ್ಲಿ,ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.ಅದರಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆ n ನ್ನು ಸಹ ಇಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು! ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಗಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.(ಇದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಎರಡು ಅರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.) ಹೇಗೆಯಾದರೂ k -ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಈ k = n, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕ್ರಮಬದ್ದತೆಯನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ ಆಗ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಅಲ್ಲಿನ ಬೀಜಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪಡೆದು ಇಂತಹ ಜೋಡಣೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು S,ನ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಆರಂಭಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.ಇಲ್ಲಿ ಬಹುಗುಂಪು M ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮರುಕಳಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು (ಬಹುಗುಂಪು) M ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಅದರ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲೇ ಸರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ,ಇಲ್ಲಿ M ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅದರಲ್ಲೇ M ನಲ್ಲೇ ಮರುಕಳಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ,ಹೀಗೆ M ತನ್ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಪಡೆದು [1,1,1,2,3,3],[3,1,2,1,1,3]ಗಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಹುಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು M,ನ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು ಆದರೆ ಈ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗಣ ಅಥವಾ ಗುಂಪು [3,1,2,1,2,3,1] ಅಲ್ಲಿ ಸೇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ಕ್ರಮಬದ್ದ ಜೋಡಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಗಣಿತದ ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ,ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಜೋಡಣಾ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇವು ಪದೇ ಪದೇ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ,ಆದರೆ ಇಂತಹ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಣೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದಲ್ಲದೇ ಇಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕಂಪೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳ ಹೆಕ್ಕಿ ತೆಗೆಯಲು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ವಿಧಾನ ಬಳಸಲಾಗುವುದು,ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದರ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ಅದರ ಲಕ್ಷಣವನ್ನೂ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಇದರ ಸಂಭವನೀಯ ಕೀಲಿಕೈ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ರಚನಾ ನಿರ್ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ,ಹೀಗೆ ಇದು ಎರಡು ದತ್ತ ಮರುವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿ ಮುಂದಿನ ಜೋಡಣೆಯು ಮೂರನೆಯ ಮರುವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
ಆದರೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ n ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹಿಂದು ಸಂಸ್ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 1150 ನಲ್ಲಿಯೇ ಬಳಕೆಗೆ ತರಲಾಗಿದೆ.ಲೀಲಿವಾತಿ ಕೃತಿಯನ್ನು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಭಾಸ್ಕರ್ ಅವರು ಅನುವಾದಿಸಿ ಅದರಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಣಿಗಳ ಆರಂಭದ ಗುಣಿತದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಒಂದಂಕಿ ಮೂಲಕ ವಿವಿಧ ಲೆಕ್ಕಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಾಗ ಅದು ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಪಡದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು 1770 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂತ್ರ ರಚಿಸಲಾಯಿತು,ಇಂತಹ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಪಡದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತರ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಬಹುಪದೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡಂದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಜೊಸೆಫ್ ಲೂಯಿಸ್ ಲಾಗ್ರೆಂಜೆ ಇವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾನೆ.ಆತ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಂತೆ ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮುಂಬರುವ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.ಈವಾರೈಸ್ಟೆ ಗಲೊಇಸ್ ತನ್ನ ಗಲೊಇಸ್ ಥೆಯರಿಯಲ್ಲಿ ಇದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ಮತ್ತು ಅಸಂಭವನೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.(ಇದರಲ್ಲಿ ಗೊತ್ತಿರದ) ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇಂತಹದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.ನಿಶ್ಚಿತ ಗಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಈ ಕ್ರಮಜೋಡಣೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಸಹಕಾರಿಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತದೆ.
ಗುಂಪು ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ(ಥೆಯರಿಯಲ್ಲಿ)

ಗುಂಪು ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಒಂದು ಗುಂಪು S ಒಂದು ದ್ವಿಮುಖ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ.ಇದು S ನಿಂದ ಅದರರಲ್ಲಿ ಸೇರಿದೆ. ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಹಾಯವಾಗುವುದು,ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಗುಂಪುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ S ಕೂಡಾ ಒಂದು n ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತರುತ್ತದೆ.ಅದು ಹೀಗೆ n ! ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. S ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು.
ಒಂದುಗೂಡುವಿಕೆಗಳು

ಒಂದುಗೂಡುವಿಕೆಗಳು ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಒಂದು ಪರಿಧಿಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ,ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಸೇರಿ ಒಂದು ಗಣದ ಗುಂಪಾಗುತ್ತದೆ,ಇದು ಒಂದೇ ಒಂದು ಬಾರಿ ಅದರಲ್ಲಿ ಅಂಶವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಧಿಯ ಸಮೀಕರಣ ದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಗಣ ದ ಅಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ,ಇದು ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ದತೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ.ಮೊದಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ(ಇದು ಖಾಲಿಯಾಗಿದ್ದರೆ)ಎರಡನೆಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ (ಇದರ ಉದ್ದ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ)ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಒಂದು ಗಣದ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕ್ರಮಕ್ಕೆ;{1, 2, 3} ಮತ್ತು {3, 2, 1} ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಗಣದ ಸೂಚಕವಾಗಿದೆ. ಹೀಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು n ಗುಂಪಿನ S ಗೆ ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅದರ ದ್ವಿಮುಖವಾದ ಸಮತ್ವಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ.ಅದರಲ್ಲಿ {1, 2,..., {0}n} ನಿಂದ S ಗೆ ಹೊಂದುತ್ತದೆ.(ಯಾವುದೇ ಗಣದ i ನ್ನು ರಚಿಸಿ i -ಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಯಾ ಪರಿಧಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.),ಅಥವಾ ಅದರ ಆಯ್ಕೆಯ ಒಟ್ಟು ಜೋಡಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು S ನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.(ಅದಕ್ಕಾಗಿ x n>kಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಗಣಿತದ ಉದ್ದೇಶಗಳನ್ನು ಪರಿಧಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮರುಕಳಿಕೆ ಇಲ್ಲದ ಪದಗುಚ್ಚ ಎನ್ನಲಾಗುತ್ತದೆ,ಇದರಿಂದಾಗಿ "ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ"ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಹೀಗೆ k ನ ಪರಿಧಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಉದ್ದದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವುದೇ ಮರುಕಳಿಕೆ ಇಲ್ಲದೇ ನಡೆಯುತ್ತದೆ;ಅದು n ನ ಗಾತ್ರದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೆ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
:n^{\underline k}=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1),
ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯು k -ಅದರ ಎಂದು ಭಾಗಗಳ n ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಹಲವಾರು ಹೆಸರುಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳ ಚಾಲ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಹುಗುಂಪು ಅಥವಾ ಗಣವು M ಆದರೆ ಆಗ ಬಹುಗಣವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗುವುದಲ್ಲದೇ M ನ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವೂ ಆಗುತ್ತದೆ.ಆಗ ಇದು M ನ ಗುಣಾಕಾರದ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿತವಾಗುತ್ತದೆ.M ನ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಅದರ ಅಂಶವಾದಾಗ (ಕೆಲವು ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ)ಅವು m_1, m_2,..., m_l ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ (ಅಂದರೆ., M ನ ಗಾತ್ರ) n,ಆಗಿರುತ್ತದೆ.ಹೀಗೆ ಅದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ M ನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುತ್ತದೆ.ಇದು M ನ ಬಹುಗಣವು ಬಹುಗಣದ ಸಮಕ್ಕಾಗುತ್ತದೆ.
:{n \choose m_1,m_2,\ldots,m_l} = \frac{n!}{m_1!\,m_2!\, \cdots\,m_l!}.
ಗುಂಪು ಪ್ರಮೇಯದ ಥೆಯರಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ಗುಂಪು ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಗಣದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಅಂದರೆ ದ್ವಿಮುಖ ನಕಾಶೆ ಅಥವಾ ದ್ವಿಮುಖೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ,ಅಲ್ಲಿನ ಗುಂಪಿನ ದತ್ತ ಗಣದ ಮೇಲೆ ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಧಿಷ್ಟ S ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ.ಇಲ್ಲಿನ ಆಕೃತಿ ನಕಾಶೆಗಳನ್ನು ಅದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅಲ್ಲಿ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದಾಗಿದೆ. ಇದು S ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುಂಪು.ಅಲ್ಲದೇ ಸಮರೂಪದ ಆಕೃತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.ಇದು ಸಮರೂಪದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.ಇಲ್ಲಿರುವ ಸಮರೂಪದ ಅಂಶಗಳು ಒಂದು ಘಟಕವಗಿ ರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ,ಆದರೆ S ನ ರಚನೆಯು ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುಂಪುಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ,ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಿದಂತೆ S ={1,2,...,{0}n}ನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ಅದು n ನ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಶ್ರೇಣಿಕೃತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಜವಾಗಿ ನೋಡಿದರೆ ಕೆಯಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಯಾವುದೇ ಸಮರೂಪದ ಗುಂಪು ಕ್ರಮಬದ್ದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪತೆಯಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.ಅಲ್ಲದೇ ಯಾವುದೇ ಸಮರೂಪದ ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುಂಪುಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಂಪುಗಳಿಗಿಂತ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ,ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಅದಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಸಮವಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ಸಮರೂಪತೆ ಹೊಂದುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಸಂಕೇತದ ಸೂಚನೆ

ಸೀಮಿತ S ನ ಗಣದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎರಡು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಕೇತಗಳಿವೆ.ಎರಡು ಸಂಕೇತಿಕ ಅಂಕನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು S ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಆ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರಚನೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಡಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ {1,2,3,4,5} ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
: \sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix};
ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಈ σ ಸಂಕೇತದ ಸಮತೆಯನ್ನು σ (1)=2, σ (2)=5, σ (3)=4, σ (4)=3, and σ (5)=1.ಇದರ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನಾವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಚಕ್ರೀಯ ಸಂಕೇತ ಬಳಸಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಕ್ರೀಯತೆಗಳು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಂಶಗಳು ಕಕ್ಷೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುತ್ತವೆ.(ಕನಿಷ್ಟಪಕ್ಷ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು)ಇದರೊಟ್ಟಿಗಿನ ಕರಮಬದ್ದ ಜೋಡಣೆ;ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಜೋಡಣೆಯಾಗದೇ,ಇದು ಸಡಿಲಾಗಿ "ಅದು ರಚನೆಯನ್ನು ಜೋಡಿಸದ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿ"ಇರುತ್ತದೆ.ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ x ನ ಅಂಶವು S ಗೆ ಸೇರಿ ಒಂದಾಗುತ್ತದೆ.,ಇದರ ಪರಿಧಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (x σ (x ) σ (σ (x ))...)ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ.ಇದರಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿದ ರಚನೆಗಳು ಇದರಡಿ σ,ಈ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಜೊತೆಯಾಗಿ x,ಇದರೊಂದಿಗೆ ಸಮರೂಪದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅದರ ಬದಲಾಗಿ ನಿಕಟವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಗುಂಪಿನ ಗಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಕ್ಷೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.(σ ) of x,ಇದರೊಳಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ಚಕ್ರವು ಅಲ್ಲಿನ ಜೋಡಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ,ಇದು σ ಚಕ್ರದ ಪೂರಕ ಅಂಶವಾಗುತ್ತದೆ. ಆಗ ನೀವು ಆ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿರುವುದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ x ದಿಂದS ಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.ಆಗ ಇಂತಹದು ,ತನಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಚಕ್ರದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾದರಿಯನ್ನಾಗಿಸಿ ಆ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಎಲ್ಲವುಗಳನ್ನೂS ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಒಳಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ,ಇದು ನಿಶ್ಚಿತ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಕೇತವಾಗಿ σ ಸೂಚಿತವಾಗುವುದು. ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿ ಹೊಸ ಗಣಿತದ ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ತುದಿಯೊಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಲಾಗುವುದು.ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ರಚನೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

:\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಕ್ರವು (x 1 x 2... x l ) ಇದರ ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು σ ತೋಇರಿಸುವುದೇ ಒಂದು ಆ ಸರಣಿಯ a ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿದೆ.ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೂಪದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ತೆರನಾಗಿ σ ಈ ಕಕ್ಷೆ ಮೇಲೆ (ಹೀಗೆ ಇದು ಸಿಗುವ x i ಗೆx i +1 ಸಲುವಾಗಿ , ಮತ್ತು x l to x 1),ಇನ್ನುಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ರೂಪ ಕಾಣಲು S ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗಾತ್ರದ l ಕಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಚಕ್ರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಆವರಿಸುತ್ತದೆ. ದೂರದ ಕಕ್ಷೆಗಳು σ ಈ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಣೆಯಾಗದ ಅಂಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆನಿಸಿದೆ.ಹೀಗೆ ಅದಕ್ಕೆ ಪೂರಕ ಸಂಕೇತಗಳು ಸರಳವಾಗಿ ಸಾಗಿ ಹೋಗುತ್ತವೆ. ಆಗ ಇದು σ ಚಕ್ರದ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗುತ್ತದೆ.(ಯಾವುದೇ ತೆರನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ) ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಕೊಂಡಿ ಜೋಡಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿ ಅದರ ಸಂಕೇತಗಳ ರಚಿಸಿ ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಅಥವಾ "ಪರಿವರ್ತನಾ" ರೂಪವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ಪುನರ್ ಸಂಯುಕ್ತವು ಒಂದು ಅಪರೂಪದ ಉದಾಹರಣೆ:ಗುಣಲಬ್ದದಲ್ಲಿರುವ ಚಕ್ರವನ್ನು ಹೊರತು ಪಡಿಸಿದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು σ ಬೇರೆ ವಿಧಾನಗಳಿಲ್ಲ.(ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿ ಇದು ಚಕ್ರದ ಪರಿವರ್ತನಾ σ ಆವರ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದಲ್ಲ.ಆದ್ದರಿಂದಲೇ ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮರುಜೋಡಣೆಗೆ ಒಳಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಜೋಡಣಾ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದರ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಚಕ್ರೀಯ ಸಂಕೇತವು ಕಡಿಮೆ ಅಪರೂಪವಾಗಿದೆ;ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿ ಚಕ್ರದ ಅಂಶವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ (5 1 2) ಸೂಚಿಸುವುದೆಂದರೆ ಅದೇ ಚಕ್ರದ (1 2 5) (ಆದರೆ (5 2 1)ಇದು ಮಾತ್ರ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಕಕ್ಷೆಯ ಗಾತ್ರವು 1 (ಒಂದು ನಿಶ್ಚಿತ ಅಂಶ x ರಲ್ಲಿS )ಒಂದು ಪೂರಕ ಚಕ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ,ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು x ನ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯಾ ಕ್ರಮಬದ್ದ ಜೋಡಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಒಳಪಡುತ್ತದೆ.ಈ ಅಂಶವು S,ಇನ್ನೊಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅದು x ಸಂಕೇತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ (x )ನ್ನು ಚಕ್ರದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು σ ಇಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಈ ಒತ್ತಡವು σ ಅದರಲ್ಲಿ x ನ್ನು ನಿಗದಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.(ಇದು ಒಂದುಗೂಡುವುದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ದರ್ಜೆಯನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಚಕ್ರಗಳು ಮತ್ತು ನಿಶ್ಚಿತ ಅಂಶಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.ಆದರೆ ಇದು ಗುಂಪು ಥೆರಾಟಿಕಲ್ ನಲ್ಲಿ ಮರುಜೀವ ಪಡೆಯುವ σ ಸಂಗತಿಗಳು ಬರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ "ಚಕ್ರದ"ಸಂಕೇತವನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುರುತಿಸಲು ಬಳಸಿದರೆ ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಅಪರೂಪತೆ ಅಥವಾ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು (ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ)ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಒಂದು ಜೋಡಿಸಲಾಗದ ಚಕ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗುವುದು. ಹೀಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗದ ಚಕ್ರದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಒಂದು ಖಾಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ತನ್ನ ಪುನರ್ ಜೀವನದ ಅಂಶವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡುತ್ತದೆ.ಇದು ಇನ್ನುಳಿದ e ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯದ ಹಾದಿಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಕ್ರದ ಉದ್ದದ ಎರಡನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳ ಬದಲಾವಣೆ ಅಥವಾ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ;ಈ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಇದರ ವಿನಿಮಯಕ್ಕೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ತಿರುವುಮುರುವು

ಎರಡು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ತಮ್ಮ ಮರುರಚನೆ ಅಥವಾ ಪುನರ್ ಜೀವನದದ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.ಇನ್ನುಳಿದ ಶಬ್ದಗಳಲ್ಲಿ σ·π ಇದು ಆ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯ ನಕ್ಷೆಗೆ ಗುಂಪನ್ನು ಅದರ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು x σ (π (x ) ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ ನಿಖರವಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಈ ವಾದಕ್ಕೆ ಮೊದಲು ಅಳವಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ,ಯಾಕೆಂದರೆ ಇದರ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯು ಅದರ ಅಳವಡಿಕೆ ಬಗ್ಗೆ ಲಿಖಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಬರಹಗಾರರು ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯ ಎಡಕ್ಕೆ ನಮೂದಿಸಲು ಹೇಳಿದರೆ ಆದರೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ನಮೂದಿಸಿ ತಮ್ಮ ವಾದವನ್ನು ಮಂಡಿಸಿದ್ದಾರೆ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಲ್ಲಿ σ ಈ ಸಂಕೇತವು ಇದರ ಮೇಲೆ x ಇದ್ದಾಗ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.x σ ; ಆಮೇಲೆ ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಸಂಕೇತದಿಂದ x σ·π =(x σ )π ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಹೊಸ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ;ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇದರ ಉಪಯೋಗವನ್ನು ಅಲ್ಲಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಪುನರ್ ಎರಡು ದ್ವಿಮುಖಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಮತ್ತೊಂದು ದ್ವಿಮುಖದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ನಾಂದಿಯಾಗುತ್ತದೆ.ಇದು ಮತ್ತೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಕಾಣಸಿಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ,ಹಾಗೆ ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನುನೋಡಬಹುದು: (σ·π )·ρ =σ ·(π·ρ ). ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಆಧಾರ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲದೇ ನಡೆಯುತ್ತವೆ:ಅದಲ್ಲದೇ ಇವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಡಾಟ್ ಅಥವಾ ಇನ್ನಿತರ ಸಂಕೇತಗಳಿಲ್ಲದೇ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುರುತು ಪತ್ತೆಯು ಅದರ ಆಕಾರ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅದರ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ,ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಟಸ್ಥವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಾಕ್ಯದ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ, ಅದರ ಗುರ್ತು ಪತ್ತೆಯು
:\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n\end{pmatrix}.

ಆದರೆ ದ್ವಿಪಾದದ ಮುಖಗಳು ಅದರ ತಿರುವುಮುರುವುಗಳು, ಅದರಂತೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ, ಅದಲ್ಲದೇ ಅದರ ತಿರುವುಮುರುವುಗಳು σ −1 of σ ಮತ್ತೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿವೆ.ಈ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬಾರಿ ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಅದು ನಿಜರೂಪದ ಬಣ್ಣ ತೋರುತ್ತದೆ. ವಿವರವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಹೇಳಲು ಇದು ಈ ಸಂಕೇತಗಳ σ (x )=y ಒಂದು ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಇದರಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಪಟ್ಟಿದೆ.σ −1(y )=x. ಎರಡು-ಸಾಲಿನ ವಾಕ್ಯದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದ ತಿರುವುಮುರುವು ಅದರ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.(ದತ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಕಾಲಮ್ ಗಳನ್ನು ಹೆಕ್ಕಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ) ಉದಾಹರಣೆಗೆ
:\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}2 & 5 & 4 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}.
ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಚಕ್ರದ ಅಂಶಗಲನ್ನು ಸಂಕೇತದ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಿದಾಗ ಪ್ರತಿಚಕ್ರದ ಸಾಂಕೇತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಜೋಡನಾ ಕ್ರಮವನ್ನರಿತು ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.ಇದು ಅದರ ತಿರುಗುಮುರುಗಾದ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗಣದ ಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಹೀಗೆ ಇಂತಹ ಸೂಚಕಗಳು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ,ಇದು ಸಮವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಲಾಗುವುದು.ಇಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.ಈ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಗುಣಿತ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಚಕ್ರೀಯ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆದು ಸರಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದು,ಹೀಗೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಕ್ರವು ಅಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಚಕ್ರೀಯ ರಚನೆಯು ವಿಶೇಷ ಸಂಯುಕ್ತಗಳ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಾಯ್ದಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ,ಆಗ ಈ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು σ ನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತನಾ π ಸ್ಥಿತಿಗೆ ತಲುಪುತ್ತದೆ.ಅಂದರೆ ಇದು π·σ·π −1 ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಚಕ್ರೀಯದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ σ ಇದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.ಅಲ್ಲಿπ ನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರವೇಶಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಪ್ರತಿನಿಧಿತ್ವವನ್ನು {1, 2,..., {0}n}ಇದರ ಮೂಲಕ ಒಂದು n ×n ಮಾನದಂಡ ವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗೆ ಮಾಡಲು ಎರಡು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ,ಒಂದು ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಬ್ದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿಸಿ ಅದರ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಗುಣಿತಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವುದು,ಅದನ್ನು ಅದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಾಗತಗೊಳಿಸುವುದು:ಇದು ಅದರ ಜೊತೆಗಿನದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿದೆ,σ ಈ ಮಾನದಂಡವು M ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ಪ್ರವೇಶವು M i,j ಇದ್ದು 1 ಆದರೆ i =σ (j ), ಮತ್ತು 0 ಬೇರೆಯೇನನ್ನೂ ಸಂಕೇತಿಸಲಾಗದು. ಇದರಿಂದ ಬರುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರವೇಶದ 1 ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕಾಲಮ್ ಮತ್ತು ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಇಂತಹ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಮಾಣದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಅಳತೆ.
ಒಟ್ಟುಗೂಡುವಿಕೆಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ಒಟ್ಟುಗೂಡುವಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು S ಜೊತೆಗೆ n ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು S ನ ಇನ್ನಿತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.(ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ಘಟಿಸುತ್ತದೆ) ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದ್ವಿಪದೀಯ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ,ಅಂದರೆ ಈ ಗುಂಪಿನಿಂದ { 1, 2,..., {0}n } ರ ವರೆಗೆ S ; ಒಂದು ವೇಳೆ S ಆದಾಗ ಇದಕ್ಕೆ { 1, 2,..., {0}n ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ;ಇದು ಹೀಗೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗುಂಪು ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಹು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ { 1, 2,..., {0}n }ಇದರ ಬದಲಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಗಣದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಜೋಡಣೆಯು ಇದರಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಕ್ರಮಬದ್ದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಒಟ್ಟುಗೂಡುವಿಕೆಯ ಅಂಶಗಳು ಈ ಗುಂಪು ಥೆಯರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಂಡಿವೆ.ಇಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು S ನ ಸರಿಜೋಡಿಸುವಿಕೆಯು ಚಕ್ರೀಯ ರಚನೆಯ ಅದರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಲನೆಯ σ ಇದರ ಒಟ್ಟು ಜೋಡಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು n ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಚಕ್ರಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು σ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಭಾಗ "1" ರ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಶ್ಚಿತ σ ಅಂಶದ ಭಾಗವನ್ನು ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ನಿಶ್ಚಿತ ಅಂಶದ ತುದಿ ಇಲ್ಲೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತ ಜೋಡಿಸುವುದು ಎನ್ನಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನುಳಿದ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ S ಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ,ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ರಚನೆಗೆ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಗಳು
ಏರಿಕೆ, ಇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಓಟ(ಚಲನೆ)

ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಪರಿವರ್ತನಾ ಏರಿಕೆ ಯ ವಿಧಾನವು σ of n i 1σ 2...σ n , ಆಗಿದ್ದಾಗ i ಇದರಲ್ಲಿ ಏರಿಕೆಯ ವಿಧಾನ ಕಾಣಬಹುದು. σ i i +1.

ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು 3452167 ಏರಿಕೆ ವಿಧಾನವಾದಾಗ (ಈ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ)1,2,5,6 ಈ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಏರಿಕೆ ಕಾಣಬಹುದು.

ಅದೇ ತೆರನಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯಾದ ಒಂದು ಇಳಿಕೆ ಕ್ರಮದ ಸ್ಥಿತಿಯಿರುವಾಗ i i > σ i +1,ಸೂತ್ರದ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತದೆ.ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ i ಜೊತೆಗೆ1\leq i ಆದಾಗ ಇಲ್ಲಿ ಏರಿಕೆ ಅಥವಾ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮವು σ ಈ ತೆರನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಆದಾಗ of n ಜೊತೆಗೆ k ಏರಿಕೆ ಕ್ರಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲುರಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆ \textstyle\left\langle{n\atop k}\right\rangle; ಆಗಿರುತ್ತದೆ.ಅದರೆ ಇದೂ ಕೂಡಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ n ಆಗಿ k ಜೊತೆಗೆ ಇಳಿಕೆ ಕ್ರಮವಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದೊಂದು ಏರಿಕೆಯ ಓಟ ದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿದೆ,ಇಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರೆದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯಾ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೊನೆಯನ್ನು ಮುಟ್ಟುವ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಜೋಡಣೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಗರಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ತಲುಪಿಸುವ ಪರಿಧಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ.(ನಂತರದ ಹಾಲಿ ಇರುವ ಇಳಿಕೆ ಕ್ರಮವು ಅಲ್ಲಿನ ಉದ್ದದ 1 ನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಹೇಳುತ್ತದೆ.) ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವ ಉಪಪರಿಧಿ ಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಒಳಗೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.ಇಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದು ಹಾಕಿ ಅದಕ್ಕೆ ತಕ್ಕುದಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿರುವ 2453167 ಇದು ಹೀಗೆ ತನ್ನ ಗತಿ ಅಥವಾ ಓಟವನ್ನು 245, 3, ಮತ್ತು 167, ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 2367 ಬದಲಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು k − 1ನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದರೆ ಅದು k ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು n ಜೊತೆಗೆk ಅದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ \textstyle\left\langle{n\atop k-1}\right\rangle o ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಜೊತೆk − 1 ಇಳಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿಲೋಮಕರಣದ ವಿಧಾನಗಳು

ಒಂದು ವಿಲೊಮಕರಣವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ σ ದ್ವಿಪದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. (i,j ) ಇವುಗಳ ಸ್ಥಾನ ಪಲ್ಲಟವು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರವೇಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ವಿರೋಧಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ: i ಮತ್ತು \sigma_i>\sigma_j. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಇಳಿಕೆ ಕ್ರಮವು ಒಂದು ವಿಲೊಮಕರಣವಾಗಿದ್ದು ಎರಡು ಹತ್ತಿರದ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು σ = 23154 ಹೀಗೆ ಮೂರು ವಿಲೊಮಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದೆ: (1,3), (2,3), (4,5), ಅದಲ್ಲದೇ ಜೋಡಿಗಳ ಪ್ರವೇಶಗಳ ಗಣವು (2,1), (3,1), (5,4)ಈ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಬಾರಿ ಈ ವಿಲೊಮಕರಣವನ್ನು ಜೊತೆಯಾದ ಅಥವಾ ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (σ i ,σ j ) ಹೀಗೆ ಇದು ತನ್ನ ಸರಣಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತಿರುವುಮುರುವಾಗಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಂತರವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಗಾಗಿ ವಿಲೊಮಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. (ತಿರುವುಮುರುವಾದದ್ದು) ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ σ −1ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಿಲೊಮದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಮಹತ್ವದ ಪ್ರವೇಶಗಳನ್ನು ಆಯಾ ಅಳತೆಯ ಮೇರೆಗೆ ಇದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;ಇದೇ ತೆರನಾದ σ and for σ −1ಸರಣಿ ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು k ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ತಂದಾಗ (ಅಂದರೆ,ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಗುರುತಿಸಲು ಪರಿವರ್ತನೆ ಅಗತ್ಯ)ಆಗ 9ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿ) ಅಲ್ಲಿ ನಿಕಟವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ k ಪರಿಧಿಯನ್ನು ತರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂಕ್ತ ಆಯ್ಕೆಯು ನಿಕಟ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ:ಆಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ i ಮತ್ತು ರ ಕ್ರಮ ಅನುಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಇಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು i ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.ಅಲ್ಲಿ ಇದರ ಸುಧಾರಿತ ರೂಪವನ್ನು ಗಣದಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.(ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅಲ್ಲಿರುವ ಇಳಿಕೆಯ ಅನುಲೊಮವನ್ನು ಬದಿಗಿರಿಸಿ ಬೇರೆ ರೀತಿಯದನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ) ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವುದರಿಂದ ವಿಲೊಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು 1;ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರುವ ವರೆಗೂ ಇದನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ಅಳವಡಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬಬಲ್ ಆಯ್ಕೆ (ಸೊರ್ಟ್ )ಮತ್ತು ಒಳಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಈ ವಿಧಾನದ ವಿಶೇಷ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆನ್ನಬಹುದು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ σ ಎನ್ನಬಹುದಲ್ಲದೇ ಇದನ್ನು ನಿಕಟ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಲಿಖಿತ ರೂಪ ನೀಡಬಹುದು;ಹೀಗೆ ಈ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟಗಳಿಂದ ಉಂಟಾದ ಪರಿವರ್ತನಾ ಜೋಡಣೆಗಳು ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದೇ ತೆರನಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಧಿಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಅದರಲ್ಲಿσ ಇದರ ಪರಿವರ್ತನೆ ಕಾಣಬಹುದು.ಅದರಲ್ಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಟ ಉದ್ದದ ಅಳತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು.ಆಗ σ ಇದು ಅಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು n ಇದರ ಜೊತೆಗೆ k ಇದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಇದೊಂದು ಮಾಹೊನೊಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು X k ಸೂತ್ರದ ಸಮರೂಪದ ವಿಸ್ತಾರದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಒಂದು ರೂಪವೂ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಒಳಪಡುತ್ತದೆ.
:\prod_{m=1}^n\sum_{i=0}^{m-1}X^i=1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+X^2+\cdots+X^{n-1}),
ಇದನ್ನೂ ಕೂಡಾ (ಜೊತೆಗೆ q ದೊಂದಿಗೆ ಉಪಪರ್ಯಾಯ ಪದದೊಂದಿಗೆ X ) q-ಅಂಶದ [n ]q ! ಜೊತೆಯಲ್ಲೇ ಇದನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮರುಕಳಿಸಲಾಗದೇ ಕ್ರಮಾಗತಗಳ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುವುದು

ಇದರಲ್ಲಿ, ಒಂದು k -ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ S ಕ್ರಮಾಗತದ k ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು S. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ದತ್ತ ಗಣದ ಅಕ್ಷರಗಳ {{1}C, , , , , }, ಈ ಕ್ರಮಾಗತ is a 3-ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ, ಮತ್ತು ಇವುಗಳ 4-ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಮತ್ತು are 5-ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಮತ್ತು ಇದೊಂದು 6-ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ನಂತರದ ಉಪಯೋಗಗಳು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಅದರಲ್ಲಿ ಕೊಡಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿದ ಕ್ರಮಾಗತವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಕ್ಷರ ಜೋಡಣೆಯು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಲಾರದು, ಯಾಕೆಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಮರುಕಳಿಕೆ ಇದೆ: ಇಲ್ಲಿ ಈ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಗಳ ಎರಡು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿದೆ. twice.

ಈಗ n ಎಂಬುದು S,ನ ಅಂಶವಾಗಿರಲಿ,ಇದು ಆಯ್ಕೆಗೆ ಬೇಕಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು k -ಅಂಶದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಕೂಡಾ ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ,ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಗತದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಆಗ ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ 1-ರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬಾರಿ ಇದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ, ಅಲ್ಲಿ S ನ ಅಂಶಗಳಿವೆ, ಅವುಇಗಳಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಹಕರಿಯಾಗಿದೆ, ಹೀಗೆ ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ರಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದರ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು n × (n − 1) ಸಂಭವನೀಯ 2-ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಮಾಗತದ ಅಂಶವು ಆ ಪರಿಧಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ,ಇದು ಆಯಾ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತದೆ.
:n × (n − 1) × (n − 2)... × (n − k + 1) ಸಂಭನೀಯ k -ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ವಿಶೇಷ ಸಂಖ್ಯೆಯ n -ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಕ್ರಮಾಗತವಾಗಿದೆ(ಇದು S ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದಲ್ಲದೇ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ ಅಲ್ಲದೇ S ):ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ.
:n × (n − 1) × (n − 2) ×... × 2 × 1,
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪದೇ ಪದೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿ,ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಕೇತ "n !"ಹೊಂದಿ ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಅದನ್ನು ಈ ಸಂಕೇತದಿಂದ"n " ಅಂಶಗಳ ಸಕ್ಷಣ "ಗಳೆಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವು n -ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಅತಿ ಉದ್ದವಾದ ಶ್ರೇಣಿಗಳಾಗಿದ್ದು S ಅಂಕೆಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇದರಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಯಾವಾಗ k > n ಆಗಿರುತ್ತದೋ k -ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

k -ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವನ್ನು ಕೆಲವುಬಾರಿ P (n,k ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದೇ ತರಹದ ಸಂಕೇತನದಿಂದ. ಆ ಸಂಕೇತನವು ಇತರೆ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ k ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇತರೆ ಹಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ರೆಶನ್ ಇಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. n ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ k ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಮತ್ತು ಹಂತವಾಗಿ ಇಳಿಕೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ, ಇದನ್ನು k -ನೆಯ ಬೀಳುವ ಕ್ರಮಗುಣಿತದ n ನ ಪವರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
:n^{\underline k}=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times(n-k+1),
ಇತರೆ ಹಲವು ಹೆಸರುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತನಗಳ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗ್ಯೂ ಕೂಡ ಪೊಚ್ಚಮ್ಮರ್ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿವೆ. k ≤ n ಆದಾಗ ಅದರ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಪವರ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಪವರ್ತನಗಳಿಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದು: n k × (n − k )! = n !, ಇದು ಬರೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
:n^{\underline k}=\frac{n!}{(n-k)!}.
ಇದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ k -ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುವುದು, ಆದರೆ ಇದರ ಮುಖ್ಯವಾದ ಅರ್ಹತೆಯೆಂದರೆ ಸಾಂದ್ರ ಕ್ರಮಗುಣಿತದ ಸಂಕೇತನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. k ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ದವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಬ್ದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ದವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದು, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಅಂಶದಲ್ಲಿಯು ಸಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುವ ಇವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಮರ್ಥವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಸ್ಪರ್ದಾತ್ಮಕ ಪದ್ದತಿಯಾಗಿ ತಪ್ಪುಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಅಥವಾ ಸುತ್ತುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಪಾಯವಿದೆ. k > n ಯಾದಾಗ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲವೆಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಆತರಹದ ಸಂಗತಿಗಳಲ್ಲಿ k -ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ n k ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೇವಲ ೦ ಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಎಣಿಕೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನೀಡುವಿಕೆ

ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವಗಳ ನಡುವೆ ಪರಿವರ್ತನೆಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ, n ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, 0 ≤ N n , d n −1,..., d 2, d 1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಧ್ಯಬರುವಿಕೆಯ ನಮೂನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ d i ಯು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದು i ಗಿಂತಲು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, (0ಯು ಯಾವಾಗಲು ೦ ಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, d 1ಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದರ ಇರುವಿಕೆಯು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗುವ ನಂತರದವನ್ನು ವರ್ಣಿಸಲು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲನೆಯ ಹೆಜ್ಜೆಯು N ನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಿಶ್ರಿತ ರಾಡಿಕ್ಸ್ ಪ್ರದರ್ಶನವಾಗುತ್ತದೆ, n ! ಸಂಖ್ಯೆಗಳವರೆಗೆ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿ-ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಾಧಾರಗಳು ಎಂದರೆ n, ,..., 2, 1. ಎರಡನೆಯ ಹಂತವು ಈ ಕ್ರಮಾಗತವನ್ನು ಲೆಹ್ಮರ್ ಪದ್ದತಿಯ ಕೋಡ್ ನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ.(ಬಹುತೇಕ ಸಮನಾಗಿ)


ಲೆಹ್ಮರ್ ಕೋಡ್ ನ ಸಲುವಾಗಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು σ,ಈ ಸಂಖ್ಯೆd n ಅಲ್ಲದೇ ಮೊದಲ ಪದದ ಈ ಅಂಶಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೆಯ ಪದಕ್ಕೆ ಪೂರಕ್ವಾದ ಕ್ರಮಬದ್ದತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
ಇವುಗಳ ಸಂಕೇತಗಳಾದ σ 1ಇವು ಮತ್ತು ಇನ್ನುಳಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅದರ ಗಣದ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ,ಇದು ಹೀಗೆಯೇ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು d n +1−i ಇವುಗಳ ಅಳತೆಯಂತೆ ಇನ್ನುಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆ ಪದದ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣದ σ i ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಶೇಷಭಾಗದ ಅಂಶಗಳು ಮುಂದೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗೆ ಒಳಪಡುತ್ತವೆ,ನಂತರ σ j , ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶ d n +1−i ಅದನ್ನು ತಿರುವುಮುರುವಾಗಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.(i,j ) ಅದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ i ಅದರ ಅತಿ ಸಣ್ಣ ಸೂಚ್ಯಂಕ (ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು j ಇದಕ್ಕಾಗಿ i i > σ j ) ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. σ ನ ತಿರುವುಮುರುವು ಪಟ್ಟಿ ಯು ಸಮಾನರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ k = σ j ಯು ತಿರುಗಿಸಿದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದಾಗ, d n +1−k ತಿರುವುಮುರುವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಕೆಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಎನ್‌ಕೋಡ್‌ಗಳನ್ನು (ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂದೇಶ ವದಗಿಸುವ) n ಬೈ n ರೋಥೆ ನಕ್ಷೆ ಯಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು ಇದರಲ್ಲಿ (i,σ i ) ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ನಮೂದನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು (i,σ j ) ನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಾಸ್ಸ್ ಗುರುತು (i,j )ನ ತಿರುವುಮುರುವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ತಿರುವುಮುರುವಿನ ವಿವರಣೆಯಿಂದ ಕ್ರಾಸ್ಸ್ ಗುರುತು ಇದರ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ (j,σ j )ನ ಬಿಂದುವಿಗಿಂತ, ಮತ್ತು ಇದರ ಪಂಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ (i,σ i )ನ ಬಿಂದುವಿಗಿಂತಲು, ಎರಡುರಲ್ಲು ಮುಂದೆಬಂದ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಹ್ಮೆರ್ ಕೋಡ್‌ ಕ್ರಾಸ್ಸ್ ಗುರುತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮ ಪಂಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುತ್ತದೆ, ತಿರುವುಮುರುವು ಪಟ್ಟಿಯು ಕ್ರಾಸ್ಸ್ ಗುರುತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುತ್ತದೆ; ತಿರುವುಮುರುವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ಲೆಹ್ಮೆರ್ ಕೋಡ್‌ ಸಮಂಜಸವಾದುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಮದಲ್ಲಿ.

ಲೆಹ್ಮೆರ್ ಕೋಡ್‌ನ್ನು d n , d n −1,..., d 2, d 1ನ್ನು ಆಯತಿಸಿದ ಸೆಟ್ S ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, S ಅಂಶಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಏರಿಸುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು i ಗೆ 1 ರಿಂದ n ಸೆಟ್‌ σ i ರಿಂದ ಇತರ d n +1−i ನಿಂದ ಆಧ್ಯತೆಗೊಳಗಾದ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಇತರ ಅಂಶಗಳವರೆಗೆ ಏರಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಆ ಅಂಶವನ್ನು ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ತಿರುವುಮುರುವಾದ ಪಟ್ಟಿ d n , d n −1,..., d 2, d 1ಯನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ಆರಂಭದ ಖಾಲಿ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ S ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡದರಿಂದ ಚಿಕ್ಕದವರೆಗೆ ಸೇರಿಸುವಾಗ d 1 ರಿಂದ d n ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು; ತಿರುವುಮುರುವಾದ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದd ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಈಗಾಗಲೆ ಇರುವ d ಅಂಶಗಳಿಂದ ಆಧ್ಯತೆಗೊಳಗಾಗುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ S ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ n ಪಂಕ್ತಿಯ ಖಾಲಿ ಜಾಡುಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸೇರಿಸುವಿಕೆಯ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು S ನ ಅಂಶಗಳು ಎರಡನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು S ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಖಾಲಿ ಜಾಡುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತವು ಇತರ d ಖಾಲಿ ಜಾಡುಗಳಿಂದ ಆಧ್ಯತೆಗೊಳಗಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಮಾಗತ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವಿಕೆಯು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ (ಯಾವುದೇ ಮಿಶ್ರಿತ ರಾಡಿಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿಯಂತೆ), ಮತ್ತು ಲೆಹ್ಮೆರ್ ಕೋಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ (ತಿರುಗುಮುರುಗು ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ,ಒಬ್ಬರು ಬೇರೆ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತೊಬ್ಬರು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಅವರ ಮೊದಲ ನಮೂದನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತಲು ಅವರ ನಮೂದನೆಗಳ 1ರಿಂದ ಹೋಲಿಸುವುದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವರು), ಅವನ್ನು ಮುಂದೆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಡುವಿಕೆಯು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿಯ ಪ್ರದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ತಿರುಗುಮುರಿಗು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಸಮತೆಯು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ರುಜುವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲಾಗಿ ತಿರುವುಮುರುವು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿನ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಎಡ-ದಿಂದ-ಬಲ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತವೆ (6, 8, 9ನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ) ಲೆಹ್ಮೆರ್ ಕೋಡ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳು ಬಲ-ದಿಂದ-ಎಡ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾದ ಸ್ಥಾನಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 4, 8, 9ಗಳು 1, 2, 5 ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳು); ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳೊಳಗಿನ ಈ ತರಹದ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮದ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಗಣನೆಮಾಡಲು ಅನುವುಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಲೆಹ್ಮರ್ ಕೋಡ್ ನೊಂದಿಗೆ d n , d n −1,..., d 2, d 1 ಇದು ಒಂದು ಏರಿಕೆ ಕ್ರಮಾಂಕ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅದು ಕೇವಲ ಅದನ್ನೇ ಹೊಂದಿರಬೇಕು .
ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು

ಲೆಕ್ಕ ಗಣನೆ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಅನುಕ್ರಮ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿರುವ ಉತ್ತಮ ವಿಧಾನಗಳು, ಕೆಲವು, ನಿರ್ಧಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಕ್ರಮ ಬೇಕಾದರೆ, ಈ ಎಲ್ಲವುಗಳನ್ನು ಅವಲಂಭಿಸಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ, ಕೊಟ್ಟ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ನಮೂದನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬವಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾ ಎಂಬುದು; ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅನುಕ್ರಮದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಭಿನ್ನವಾದ ಅನೇಕಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೃಷ್ಟಿಸಬೇಕು.

n ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಸ್ಪಷ್ಟ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಲೆಹ್ಮೆರ್ ಕೋಡ್‌ಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದು (ಬಹುಶಃ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ದತಿಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ n ! ವರೆಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಿಂಬಿಸುವುದು), ಮತ್ತು ಅವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು. ಏನೇಯಾಗಲಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತ, ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಜಾರಿಗೊಳಿಸಲು ಕಠಿಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಕಾರಣ ಇಚ್ಚಾನುಸಾರದ ಸ್ಥಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡ ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ತೆಗೆದು ಹಾಕಿದ n ಕಾರ್ಯಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ; ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಜೊತೆಗೂಡಿದ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿ ಸ್ಪುಟವಾಗಿ ಬಿಂಬಿಸಲು, ಎರಡಕ್ಕೂ (ಬೇರೆಬೇರೆ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ) ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಸುಮಾರು n 2/4 ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. n ದೊಂದಿಗೆ ಇದು ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು (ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸೃಷ್ಟಿಯು ಬೇಕಾದಲ್ಲಿ) ಇದು ಅಷ್ಟೊಂದು ಸಮಸ್ಯ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಅನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾದ ಸೃಷ್ಟಿಗಳೆರಡಕ್ಕು ಇದು ಸರಿಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅವಕ್ಕೆ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಯೋಗ್ಯವಾಗುವ ಸರಳ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಗಳಿವೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಇದನ್ನು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿ ಕಾಣಲಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಲೆಹ್ಮೆರ್ ಕೋಡ್‌ನಿಂದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ O (n logn ) ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ನೆರವೇರಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುವ, ವಿಶೇಷ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಲು ಖಚಿತವಾಗಿ ಸಾದ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಅನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಸೃಷ್ಟಿ

n ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೊಟ್ಟ ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು, ಅನಿರ್ಧಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡ n ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರು, ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮದ ಭಿನ್ನವಾದ (ಅನೇಕಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನೊಂದಿದ) ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಅನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ, ಮರುಕಳಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿದ್ದರು ಅಲ್ಲಿ n ನ ಅನೇಕ ಭಿನ್ನವಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿರಬಹುದು, ಇದು ಅದಲುಬದಲು ಮಾಡಿದ ಅದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾದ್ಯವಾಗುವ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕು ಆ ತರಹದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮವಾದ ಸೃಷ್ಟಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, n ನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕಾರಣ ಊರ್ಜಿತ n! ಗೆ ಇದು ಅಸಂಭವನೀಯವಾಗಿತ್ತದೆ, ಅನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಸೃಷ್ಟಿಗೆ n ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆಂದು ಭಾವಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಕಾರಣಗಳಿಲ್ಲ.

ಅನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಮೂಲ ಕ್ರಮವೆಂದರೆ, n !ನ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ d 1,d 2,...,d n ಸಮಜಾಯಿಸುವಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅನಿರ್ಧಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದು (d 1 ಯಾವಾಗಲು ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು) ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅನುರೂಪತೆಯ ಮೂಲಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು. ನಂತರದ ಅನುರೂಪತೆಗೆ (ವಿರುದ್ಧವಾದ) ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಲೆಹ್ಮೆರ್ ಕೋಡ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದು 1938ರಲ್ಲಿ ರೊನಾಲ್ಡ್ A. ಪಿಶೆರ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಂಕ್ ಯಾಟೆಸ್‌ರವರಿಂದ ಮೊದಲಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಕಟಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸೃಷ್ಟಿಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ.
ಗಣಕಯಂತ್ರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಯಾಗಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಮಾದರಿಯು ಲೆಹ್ಮೆರ್ ಕೋಡನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ದಕ್ಷತೆಯಿಂದ ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ ಹೊರಬಂದ ತೊಂದರೆಗಳಿಂದ ಕಷ್ಟಕ್ಕೊಳಗಾಗುತ್ತದೆ. ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅನುರೂಪತೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು: ಅನುಕ್ರಮದ ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳಿಂದ i ಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು d i ನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ನಂತರ (i ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲು), ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದಕ್ಕಿಂತಲು ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲನಟನ ಮಾಡುವಿಕೆಯಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಆವರಿಸುವುದು. ಅವು ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿದ್ದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸದಿದ್ದರು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಮಯದಲ್ಲು ಕ್ರಮಾನುಗತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಅಂಶಗಳು ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸ್ವಲ್ಪ ಕ್ಲಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ತ್ವರಿತ ಮುನ್ನುಡಿಯಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ನಿಷ್ಕೃಷ್ಟವಾಗಿ ಒಂದೇ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡ ಅಂಶವು ಉಳಿದ ಕೊನೆಯ ಅಂಶವಾಗುತ್ತದೊ, ಆಗ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸಲು ಇದು ಬೇಕಾದಷ್ಟು ಸಲ ಗೋಚರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಬಹುದೆಂದು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸಲು, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಅಂಶವನ್ನೊಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು.

a [0], a [1],..., a [n − 1]ನ ಅನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿದ ಕಲ್ಪಿತಕೋಡಿನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು.


:i ಗೆ n ನಿಂದ 2ವರೆಗೆ ಕೆಳಗೆ
::ಮಾಡಿ di ← { 0,..., {1}i − 1 }ನ ಅನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳು
::: a [di ] ಮತ್ತು a [i − 1]ನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿ

ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಕ್ರಮವಾದ ಸೃಷ್ಟಿ

ಆಯಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ; ಕ್ನುತ್‌ರವರು ದಿ ಆರ್ಟ್ ಆಫ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೊಗ್ರಾಮ್‌ನ ಬರಲಿರುವ ಸಂಪುಟದ ದೃಢವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಅವರ ಚರ್ಚೆಗೆ ಮೀಸಲಿಟ್ಟರು.
ಸರಳ ಮತ್ತು ಬದಲಿಸಬಹುದಾದ, ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್‌, ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಲೆಕ್ಸಿಕೊಗ್ರಾಫಿಕ್(ಪ್ರತಿ ಶಬ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಲೇಖನ ಪ್ರಣಾಳಿಯ) ರಚನೆಯಲ್ಲಿನ, ತರುವಾಯದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಮರುಕಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಯೋಗ್ಯವಾದುದಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಸಿಕೊಗ್ರಾಫಿಕ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿನ ಲೆಹ್ಮರ್ ಕೋಡ್‌ಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟಿಸುವುದು (ಬಹುಶಃ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತಲೂ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗು ಸಹ ಮಹತ್ತರವಾಗಿ ದಕ್ಷವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಲು, ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು (ಅಲ್ಪವಾಗಿ) ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಆರಂಭಿಸಲಾಗುವುದು (ಇದು ಇದರ ಲೆಕ್ಸಿಕೊಗ್ರಾಫಿಕ್‌ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಟ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವವರೆಗು ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತಾ ಮರುಕಳಿಸುತ್ತದೆ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಭಾರತದ 14ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ನಾರಾಯಣ ಪಂಡಿತರವರಿಗೆ ವಾಪಾಸುಕಳಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗು ಇದನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮರುಸಂಶೋಧನೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಮುಂದೆ ಬರುವ ಆಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ ಕೊಟ್ಟ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ನಂತರ ಲೆಕ್ಸಿಕೊಗ್ರಾಫಿಕ್‌ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೊಟ್ಟ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಆಯಾ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ.

# ದೊಡ್ಡದಾದ ಸೂಚಿಕೆ k ಹೌದಾ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಆ ತರಹದ ಯಾವುದೇ ಸೂಚಿಕೆ ಇರದಿದ್ದರೆ, ಆ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಕೊನೆಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಯಾಗುತ್ತದೆ.
# ದೊಡ್ಡದಾದ ಸೂಚಿಕೆ l ಹೌದಾ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಆ ತರಹದ ಸೂಚಿಕೆ ಹೌದಾದರೆ , l ನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆಯೆಂದರ್ಥ.
# a [k ]ಯನ್ನು a [l ]ದೊಂದಿಗೆ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡುವುದು.
# ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು a ಯಿಂದ[] ವರೆಗು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಂಶ a [n ]ನ್ನು ಒಳಗೊಂಡು ತಿರುಗಿಸಿ.

ಹಂತ 1ರ ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ಸೂಚಕಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ k ನ ಸ್ಥಾನದನಂತರವಷ್ಟೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಲ್ಫವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಮುಂಚಿತವಾಗಿಯೆ ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಸಿಕೊಗ್ರಾಫಿಕ್‌ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ; ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಯಾರಾದರು a [k ]ಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಹಂತ2 ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ a [l ]ಯನ್ನು a [k ] ದಿಂದ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟಮಾಡಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವನ್ನು ಹಂತ 3ರಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯಮಾಡಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು k ನ ಸ್ಥಾನದ ನಂತರ ಅಲ್ಫವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಹಂತ 4ರಲ್ಲಿ ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ ನಂತರ ಇದರ ಲೆಕ್ಸಿಕೊಗ್ರಾಫಿಕ್‌ ರೀತಿಯಲ್ಲಿನ ಕನಿಷ್ಟ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮದ ಆರಂಭದ ಹಂತದ ಲೆಕ್ಸಿಕೊಗ್ರಾಫಿಕ್‌ ರೀತಿಯ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಇಂಪ್ಲಿಮೆಂಟೇಶನ್ಸ್

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಗಳು

ಬಹಳಷ್ಟು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ n ಸಂಖ್ಯೆಯ k ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು ಅದರದ್ದೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು nPr ಅಥವಾ PERM ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೆನುನ ಹಲವು ಪದರಗಳ ಮೂಲಕ ಲಭ್ಯವಿರುತ್ತವೆ; ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳ ದಾಖಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವುದೆಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಿರುತ್ತಾರೆ.
ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು

n ನ k ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಂತಹ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್‌ಗಳ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಲವಾರು ಜನಪ್ರಿಯ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ PERMUT ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಪಲ್‌ನ ನಂಬರ್ಸ್ '08 ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಈ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಇದು ಆಪಲ್‌ನ ನಂಬರ್ಸ್ '09 ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್‌ನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.
ಉಪಯೋಗಗಳು

ತಪ್ಪು ಹುಡುಕುವುದು ಮತ್ತು ಸರಿಮಾಡುವ ಆಲ್ಗಾರಿದಂಗಳ ಇಂಟರ್‌ಲೀವರ್ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಟರ್ಬೋ ಕೋಡ್‌ಗಳಂತವುಗಳಲ್ಲಿ,
ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3GPP ಲಾಂಗ್ ಟರ್ಮ್ ಎವೊಲ್ಯೂಷನ್ ಮೊಬೈಲ್ ಟೆಲಿಕಮ್ಯುನಿಕೇಶನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಈ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ( 3GPP ಟೆಕ್ನಿಕಲ್ ಸ್ಪೆಸಿಫಿಕೇಷನ್ 36.212 ).
ಕೆಲವೊಂದು ಬೇಕಾಗಿರುವ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವಂತಹ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಧಾನವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ.
ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನೂ ನೋಡಬಹುದು


* ಪರ್ಯಾಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ
* ಜೊತೆಯಾಅಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ದಿಕ್ಸೂಚಿ
* ಒಟ್ಟುಗೂಡುವಿಕೆ
* ಒಂದುಗೂಡಿಸುವಿಕೆ
* ಜಟಿಲತೆ
* ಚಕ್ರೀಯ ಕ್ರಮ
* ಚಕ್ರೀಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ
* ಸರಿ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು
* ಕ್ರಮಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ದತಿ
* ಉತ್ತಮ ವಿಧಾನ
* ಜೊಸೆಫಸ್ ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ
* ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಪಠ್ಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ
* ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಸಂಕೇತ
* ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಗುಂಪು
* ಸಂಭಾವ್ಯತೆ
* ಸರಾಸರಿ ಆಯ್ದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ
* ಪುನರ್ಜೀವಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
* ಆಯ್ಕೆಯ ಜಾಲ
* ಬದಲಿ ಗಣಿತದ ಸೊನ್ನೆ
* ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು
* ಹನ್ನೆರಡುಪಟ್ಟು ವಿಧಾನ
* ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ದುರ್ಬಲ ಸರಣಿ
* ಬಹುಪದೀಯ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು
ಆಕರಗಳು

* ಮೈಕ್ಲೊಸ್ ಬೊನಾ. "ಒಂದುಗೂಡಿದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು", ಚಾಪ್ಮನ್ ಹಾಲ್ -CRC, 2004. ಐಎಸ್ ಬಿಎನ್ 0-19-211579-0
* ಡೊನಾಲ್ಡ್ ನುತ್. ದಿ ಆರ್ಟ್ ಆಫ್ ಕಂಪೂಟರ್ ಪ್ರೊಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ಸಂಪುಟ 4: ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಆಲ್ ಟಪ್ಲ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಪರ್ಮುಟೇಶನ್ಸ್ , ಫ್ಯಾಸಿಕಲ್ 2, ಮೊದಲ ಮುದ್ರಣ. ಎಡಿಸನ್-ವೆಸ್ಲೆಯ್, 2005. ISBN 0-19-211579-0
* ಡೊನಾಲ್ಡ್ ನುತ್. ದಿ ಆರ್ಟ್ ಆಫ್ ಕಂಪೂಟರ್ ಪ್ರೊಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ಸಂಪುಟ 3: ಸಾರ್ಟಿಂಗ್ ಅಂಡ್ ಸರ್ಚಿಂಗ್ , ಸೆಕೆಂಡ್ ಎಡಿಶನ್. ಎಡಿಸನ್-ವೆಸ್ಲೆಯ್, 1998. ISBN 0-19-211579-0 Section 5.1: ಕಾಂಬಿನಾಟೊರಿಯಲ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟೀಸ್ ಆಫ್ ಪ್ರಿಮುಟೇಶನ್ಸ್, pp. 11–72.
* ಹಂಫ್ರೆಯೆಸ್, ಜೆ. ಎಫ್.. ಎ ಕೋರ್ಸ್ ಇನ್ ಗ್ರುಪ್ ಥೆಯರಿ. ಆಕ್ಸಫರ್ಡ್ ಯುನ್ವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1996. ISBN 0-19-518201-4

ವರ್ಗ:ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಒಂದುಗೂಡುವಿಕೆಗಳು
ವರ್ಗ:ಕ್ರಮಗಣಿತ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದದ ಅಧ್ಯಯನಗಳು
ವರ್ಗ:ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು