ফ্রিদমান সমীকরণ

এই সমীকরণগুলো রাশিয়ান জ্যোতির্বিজ্ঞানী আলেক্সান্দ্র্‌ আলেক্সান্দ্রোভিচ ফ্রিদমান প্রবর্তন করেন।

সূত্রগুলো হলো:

:H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G \rho + \Lambda}{3} - K\frac{c^2}{a^2}

:3\frac{\ddot{a}}{a} = \Lambda - 4 \pi G (\rho + \frac{3p}{c^2})
where \rho and p are the density and pressure of the fluid, \Lambda

আরও সরল রূপ হলো:

\rho \rightarrow \rho - \frac{\Lambda}{8 \pi G}

p \rightarrow p + \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}

যা থেকে আমরা পাই:

:H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - K\frac{c^2}{a^2}

:3\frac{\ddot{a}}{a} = - 4 \pi G (\rho + \frac{3p}{c^2})
সংকট ঘনত্ব

মহাবিশ্বের সম্প্রসারণ শেষমেশ থেমে গিয়ে, সংকোচন শুরু হওয়ার জন্য মহাজাগতিক ভর-ঘনত্বকে সর্বনিম্ন যে মানবিশিষ্ট হতে হবে তাকে সংকট ঘনত্ব (critical density) বলা হয়। মহাজাগতিক ভর-ঘনত্ব যদি সংকট ঘনত্বের চেয়ে বেশি হয় তাহলে মহাবিশ্ব স্থানিকভাবে(spatially) সসীম হবে। একে ρc দ্বারা সূচিত করা হয়।
সংকট ঘনত্বের সমীকরণ

ধরা যাক, R ব্যাসার্ধের একটি সুষম গোলকের মধ্যে রয়েছে অনেকগুলি ছায়াপথ। (হিসাবের সুবিধার্থে ধরে নিচ্ছি যে, যেকোন দুইটি ছায়াপথগুচ্ছের মধ্যকার দূরত্বের তুলনায় বড় হলেও মহাবিশ্বের সামগ্রিক আকৃতির তুলনায় R ক্ষুদ্রতর।)

এই সুষম গোলকটির ভর(M) হবে এর আয়তন ও মহাজাগতিক ভর-ঘনত্ব(ρ) এর গুণফলের সমান:

M = \frac {4 \pi R^3}{3} \rho

এই গোলকটির পৃষ্ঠদেশে অবস্থিত যেকোন ছায়াপথের বিভব শক্তি নিউটনের মহাকর্ষতত্ত্ব থেকে পাওয়া যায়:

P.E. = - \frac {mMG}{R} = - \frac {4 \pi m R^2 \rho G}{3}

যেখানে, m হলো ছায়াপথটির ভর, এবং G হলো সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক

\,G = 6.673 * 10^{-11} N m^2 kg^{-2}

হাবলের নীতি অনুসারে ছায়াপথটির দ্রুতি V হবে,

\,V = HR

যেখানে H হলো হাবলের ধ্রুবক। সুতরাং গোলকপৃষ্ঠে অবস্থিত ছায়াপথটির গতিশক্তি হবে,

\,K.E. = \frac {1}{2} m V^2 = \frac {1}{2}m H^2 R^2

এখন ছায়াপথটির বিভব শক্তি এবং গতিশক্তির সমষ্টি নিলে পাওয়া যাবে এর মোট শক্তি,

\,E = P.E. + K.E. = m R^2 [\frac {1}{2} H^2 - \frac {4}{3} \pi \rho G]

শক্তির নিত্যতার নীতি অনুযায়ী মহাবিশ্ব সম্প্রসারিত হলেও মোট শক্তি(E) এর মান সদা অপরিবর্তীত থাকবে।

যদি E এর মান ঋণাত্মক হয়, তাহলে মহাবিশ্ব কখনোই অসীম পরিমাণে সম্প্রসারিত হতে পারবে না, কারণ অসীম দূরত্বে বিভবশক্তির মান নগণ্য হওয়ায় মোট শক্তির সিংহভাগ থাকে গতিশক্তি, যা কিনা সবসময়ই ধনাত্মক। অন্যদিকে, E এর মান ধনাত্মক হলে অসীম দূরত্বেও কিছু গতিশক্তি অবশিষ্ট থাকায় মহাবিশ্বের পক্ষে অসীম পরিমাণ সম্প্রসারণ সম্ভবপর হয়। সুতরাং, ছায়াপথটি কাঁটায় কাঁটায় মুক্তিবেগ প্রাপ্ত হওয়ার শর্ত হবে,

\frac {1}{2} H^2 = \frac {4}{3} \pi \rho G

অন্যভাবে বলতে গেলে, এ অবস্থার জন্য ঘনত্বের মান হতে হবে,

\,\rhoc = \frac{3 H^2}{8 \pi G}

এটাই হলো সংকট ঘনত্বের সমীকরণ। (এখানে নিউটনীয় পদার্থবিদ্যা ব্যবহৃত হলেও মহাবিশ্বের অন্তর্গত বস্তুসমূহ দারুনরকম আপেক্ষিক হলে সেক্ষেত্রেও এই সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে- কেবল \,\rho কে মোট শক্তি-ঘনত্ব এবং c2 এর অনুপাত হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।)

উদাহরণস্বরপ, যদি H এর অধুনা জনপ্রিয় মান ১৫ কিলোমিটার প্রতি সেকেন্ড প্রতি মিলিয়ন আলোকবর্ষ(১ আলোকবর্ষ = ৯.৪৬ x ১০১২ কিলোমিটার) ব্যবহার করা হয় তবে:

\,\rhoc = \frac {3}{8 \pi (6.67 * 10^{8} cm^3/gm sec^2)} (\frac {15km/sec/ 10^{6} lt yrs}{9.46 * 10{12} km/lt yr})^2 = 4.5 * 10^{-30}gm/cm^{2}

প্রতি গ্রামে নিউক্লীয় কণা আছে ৬.০২ X ১০২৩ টি। সুতরাং সংকট ঘনত্বের এই মান নির্দেশ করে যে, প্রতি ঘনসেন্টিমিটারে ২.৭ X ১০−৬ টি তথা প্রতি লিটারে ০.০০২৭ টি নিউক্লীয় কণা রয়েছে।
তথ্যসূত্র

বিষয়শ্রেণী:পদার্থবিজ্ঞান
বিষয়শ্রেণী:ভৌত বিশ্বতত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:সাধারণ আপেক্ষিকতা
বিষয়শ্রেণী:সমীকরণ