فرق مساوات

اگر کسی متوالیہ \ \{y_n\} کا رکن \ y_n دوسرے اراکین کے دالہ کے طور پر مساوات کی صورت لکھا جا سکتا ہو، تو اس مساوات کو فرق مساوات کہتے ہیں۔
لکیری فرق مساوات (درجہ اول)

پہلے درجے کی لکیری فرق مساوات کی ہیئت یوں ہوتی ہے
:‎
\ y_n = \alpha y_{n-1} + b

‎جہاں \ \alpha, b دائم اعداد ہیں۔ وجہ تسمیہ دیکھنے کے لیے مساوات کو یوں لکھتے ہیں
:‎
y_n - y_{n-1} =\beta y_{n-1} + b \,\,,\,\,\,\,\, \beta = (\alpha - 1)
‎
یعنی متوالیہ کے دو یکے بعد دیگرے ارکان کا فرق، پہلے رکن کے نسبی جوڑ کے طور پر منحصر ہے۔ اس مساوات کا حل دیکھنے کے لیے متوالیہ کے کچھ ارکان لکھتے ہیں، یہ سمجھتے ہوئے کہ \ y_0 ہمیں معلوم ہے:

‎
\begin{matrix}
y_1 = \alpha y_0 + b \\
y_2 = \alpha y_1 + b = \alpha (\alpha y_0 + b) +b = \alpha^2 y_0 + \alpha b + b \\
y_3 = \alpha y_2 + b = \alpha (\alpha^2 y_0 + \alpha b + b) +b = \alpha^3 y_0 + \alpha^2 b + \alpha b+ b \\
\cdots \\
y_n = \alpha^n y_0 + (1+ \alpha+ \cdots + \alpha^{n-1}) b
\end{matrix}
‎

آخری متوالیہ کی جمع جانتے ہوئے، مساوات کا حل یوں:


y_n = \alpha^n y_0 + \frac{(1 - \alpha^{n})}{1-\alpha} b \,\,\,,\,
\alpha \ne 0 \,,\,\,\, n=0,1,2,3,\cdots


اس سے واضح ہے کہ
‎
\lim_{n \to \infty}y_n = \left\{
\begin{matrix}
\frac{b}{1-\alpha} \,, & |\alpha|

‎
مثال

فرض کرو کہ چائے کی گرم پیالی میز پر رکھی ہے۔ کمرے کا درجہ حرارت \ R=20^\circ C ہے اور چائے کا درجہ حرارت \ y_n ہے، منٹ \ n پر۔ علم حرارت کے قانون کے مطابق چائے کا درجہ حرارت اس فرق مساوات کے زیر ہے

‎
\ y_n - y_{n-1} = k (y_{n-1} - R)
‎

فرض کرو کہ وقت صفر پر چائے کا درجہ حرارت \ 80^\circ C تھا، یعنی \ y_0=80۔ ایک منٹ بعد درجہ حرارت \ 70^\circ C نوٹ کیا گیا، یعنی \ y_1=70 ۔
اس طرح ہمیں دائم k کی قیمت معلوم ہو جاتی ہے:
\ 70-80 = k (80-20) \, \Rightarrow \, k=-1/6
درجہ حرارت کی مساوات کو معیاری ہیئت میں یوں لکھا جا سکتا ہے:
‎
y_n = (1+k) y_{n-1} - kR

فائل:diff_plot.png
‎
اور اس کا حل کچھ سادگی کے بعد:
‎
y_n = 60 (\alpha)^n + 20 \,\,\,,\, \alpha=\frac{5}{6} \,\,,\, n=0,1,2,3,\cdots
‎

چائے کا درجہ حرارت \ y_0=80 ڈگری سے گرتا ہوا \ y_\infty=20 ڈگری تک جاتا ہے، چونکہ \ \lim_{n \to \infty} (5/6)^n = 0۔ پلاٹ سے معلوم ہوتا ہے کہ تقریباً 4\tau=24 منٹ میں چائے ٹھنڈی ہو کر کمرے کے درجہ حرارت کے قریب پہنچ جاتی ہے، جہاں
\ \tau=\frac{1}

فرق مساوات کا وقتی دائم کہلاتا ہے۔

پہلے درجے کی اس مساوات
‎
\ y_n = \alpha y_{n-1} + b
‎
کو n کی منفی جانب بھی بڑھایا جا سکتا ہے، جس کے لیے ہم اس مساوات کو یوں لکھتے ہیں:

\ y_{n-1} = \alpha^{-1}b - \alpha^{-1} y_n

اوپر والے طریقے سے اس کا حل یہ نکل آتا ہے:

\ y_{-n} = -\alpha^{-n} y_0 + \alpha^{-1}b \frac{1-\alpha^{-n}}{1-\alpha^{-1}}
\,,\, \alpha \ne 0 \,,\,\, n=1,2,\cdots


اس بار یہ واضح ہے کہ:

\lim_{n \to \infty}y_{-n} = \left\{
\begin{matrix}
\frac{\alpha^{-1}b}{1-\alpha^{-1}} \,, & |\alpha|> 1 \\
\infty \,, & |\alpha| \le 1
\end{matrix}
\right.


پہلی درجہ کی فرق مساوات کی زیادہ عام ہیئت یوں لکھی جا سکتی ہے، جہاں \ \{u_n\} کوئی بھی دیا گیا متوالیہ ہو سکتا ہے:


y_n = \alpha y_{n-1} + u_n


جس کا حل بھی اوپر دیے طریقے سے نکالا جا سکتا ہے۔ غور کرو کہ اوپر کی بحث میں\ u_n = b ایک دائم تھا۔
مثال

فرق مساوات جس کو ایک
کمپلکس سائینوسائڈ چلا رہا ہے:


y_n = \alpha y_{n-1} + \exp(\iota 2 \pi \nu n)


اگرچہ اس مساوات کا حل ہم اوپر دیے گئے طریقے سے نکال سکتے ہیں، مگر یہاں ہم حل کی ایک ہیئت تجویز کرتے ہیں، یہ دیکھتے ہوئے کہ ہمیں

y_n = \alpha y_{n-1} + b

کا حل معلوم ہے اور ارتعاش ایک کمپلکس سائنوسایڈ ہے۔ تجویز کردہ حل کی ہیئت یوں ہے، جہاں A اور B نامعلوم دائم ہیں:


y_n = A \alpha^n + B \exp(\iota 2 \pi \nu n)


اب یہ سمجھتے ہوئے کہ n=0 پر ہمیں y_0 معلوم ہے، اس میں ڈال دیتے ہیں اور A اور B میں ایک رشتہ معلوم کر لیتے ہیں:

y_0 = A \alpha^0 + B \exp(\iota 2 \pi \nu 0) \Rightarrow y_0 = A + B


اب چونکہ حل کو مساوات کی تسکین کرنی ہے، اس لیے:


(y_0-B) \alpha^n + B \exp(\iota 2 \pi \nu n) = \alpha \left((y_0-B) \alpha^{n-1} + B \exp(\iota 2 \pi \nu (n-1))\right) + \exp(\iota 2 \pi \nu n)

جس سے ہمیں نامعلوم B کی قیمت معلوم ہو جاتی ہے:


\Rightarrow B = \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu )}

اور اب مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے:

y_n = \alpha^n y_0 - \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu)} \alpha^n + \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu)} \exp(\iota 2 \pi \nu n)


فائل:first_diff_eqn_sinusoid.png

اس حل کو ہم \alpha=0.9 \,, \, \nu=0.04 \,,\, y_0=0 کے لیے ہم پلاٹ کر سکتے ہیں۔ پلاٹ میں نیلے رنگ میں سائینوسائڈ ارتعاش دکھایا گیا ہے، جبکہ\Re(y_n) سرخ رنگ میں ہے۔ دیکھو کہ تقریباً \ 4 \tau=40 کے بعد \ y_n خود بھی ایک عام سائنوسائڈ بن جاتا ہے (جہاں وقتی دائم \ \tau=\frac{1}
) ۔
درجہ N کی لکیری فرق مساوات

درجہ N کی لکیری فرق مساوات کی ہیئت یہ ہے:


\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} + \cdots + \alpha_{N} y_{n-N} = 0


لکیری مساوات کہنے کی وجہ یہ ہے کہ اس مساوات کے اگر دو حل \{y^{(1)}_n\} اور \{y^{(2)}_n\} ہوں، تو ان حل کا لکیری جوڑ (مثلاً \{y^{(1)}_n + y^{(2)}_n\} ) بھی اس مساوات کا حل ہو گا۔ درجہ N کی مساوات کے N
آزاد حل ہوں گے جو اس مساوات کے حل ہوں گے- مساوات کا عام حل ان N حلوں کا لکیری جوڑ ہو گا۔
درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات

دوسرے درجہ کی فرق مساوات

\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} = 0


اس کے ایک حل کی ہیئت یہ تصور کرتے ہوئے،

y_n^{(1)} = A \lambda^n

جہاں A ایک دائم ہے، یہ حل ہم مساوات میں ڈال دیتے ہیں:

\begin{matrix}
\alpha_0 A \lambda^n + \alpha_{1} A \lambda^{n-1} + \alpha_{2} A \lambda^{n-2} =& 0 \\

A \lambda^{n-2} \left(\alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2}\right) =& 0 \\

\alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2} =& 0
\end{matrix}


اُپر کی مساوات سے \ \lambda کا حل یوں نکل آتا ہے

\lambda_0, \lambda_1 = \frac{-\alpha_1 \pm \sqrt{\alpha_1^2 - 4 \alpha_0 \alpha_2}}{2 \alpha_0}

جس سے ہمیں فرق مساوات کے دو حل بنا سکتے ہیں۔ فرق مساوات کا عام حل ان دو کے لکیری جوڑ سے یوں بنتا ہے:


y_n = A_0 \lambda_0^n + A_1 \lambda_1^n


جہاں A_0, A_1 دو دائم ہیں، جن کی قیمت ہم معلوم کر سکتے ہیں، اگر ہمیں ابتدائی y_0, y_1 معلوم ہوں، نیچے دی مساوات کو حل کر کے :


\begin{matrix}
y_0 = A_0 \lambda_0^0 + A_1 \lambda_1^0 \\
y_1 = A_0 \lambda_0^1 + A_1 \lambda_1^1
\end{matrix}


اگر \lambda_0=\lambda_1 (یعنی \alpha_1^2 - 4 \alpha_0 \alpha_2 =0) تو فرق مساوات کا حل یوں لکھا جائے گا:


y_n = A_0 \lambda_0^n + A_1 n \lambda_0^n

مثال

فرض کرو کہ درجہ دوم کی مساوات کے عددی سر یوں ہیں
\alpha_0=1, \alpha_1=-1.96, \alpha_2=0.98

تو اس مساوات کے جزر نکالنے ہیں:
\ \alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2} = 0
جو مخلوط عدد ہیں

\ \lambda, \bar{\lambda} = 0.98 \pm \iota 0.14 = 0.99 \exp(\pm \iota 0.142)


اب دوسرے درجے کی فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے


\ y_n = A_0 \lambda^n + A_1 \bar{\lambda}^n


جہاں دائم \ A_1, A_0 ابتدائی حالت سے نکالے جائینگے۔
فائل:diff2_eq_u.png

فرض کرو کہ ابتدائی حالت یہ ہے:
\ y_0=0, y_{-1}=-1
یوں سمجھو کہ یہ مساوات دو ستونوں کے درمیان سختی سے بندھی ہوئی ایک لوہے کی تار کی حالت بیان کر رہی ہے۔ تار کو وقت "منفی ایک" پر کھینچ کر چھوڑ دیا جاتا ہے، جس کہ بعد تار کچھ دیر ارتعاش میں رہ کر اپنی اصل حالت پر واپس آ جاتی ہے۔

ابتدائی حالت کو استعمال کرتے ہوئے دائم نکالتے ہیں:

\ y_0 = 0 = A_0 \lambda^0 + A_1 \bar{\lambda}^0

جس سے پتہ چلتا ہے کہ
\ A_1 = -A_0
اور
\begin{matrix}
y_{-1} = -1 = A_0 \lambda^{-1} - A_0 \bar{\lambda}^{-1} \\
\longrightarrow
A_0 = \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda-\bar{\lambda}} = \frac{7}{\iota 2}
\end{matrix}


اب فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے:
\begin{matrix}
y_n = \frac{7}{2 \iota} (0.99)^n \left( \exp(\iota 0.142 n) - \exp(-\iota 0.142 n)
\right) \\
y_n = 7 (0.99)^n \sin(0.142 n)
\end{matrix}


پلاٹ میں غور کرو کہ تقریبا 4 \tau=400 وقت کے بعد سائینوسایڈ (مساوات کا حل
) تقریباً صفر ہو جاتا ہے، جہاں وقتی دائم
\ \tau=\frac{1}


درجہ N کی لکیری فرق مساوات کی زیادہ عام ہیئت یہ ہے:

\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} + \cdots + \alpha_{N} y_{n-N} = u_n

اس مساوات کو بیرونی ارتعاش \ u_n چلا رہا ہے۔ اس مساوات کے حل میں اوپر کے N حلوں کے علاوہ ایک رقم جو \ u_n پر منحصر ہو گی، جمع کی جائے گی۔
میٹرکس صورت

اس درجہ N کی لکیری فرق مساوات کو ہم ایک میٹرکس مساوات کی صورت لکھیں گے۔ اس کے لیے ہم ایک ستون میٹرکس

Y_n =\begin{bmatrix}
y_{n-N+1} \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ y_{n}
\end{bmatrix}


بناتے ہیں۔ اب \ Y_{n} اور \ Y_{n-1} پر غور کرتے ہوئے، درجہ N کی فرق مساوات کو پہلے درجہ کی میٹرکس مساوات کی صورت یوں ڈھالا جا سکتا ہے:

\begin{bmatrix}
y_{n-N+1} \\ \vdots \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ y_{n}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & 0 & 1 & & \vdots \\
\vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & & & 1 \\
\frac{-\alpha_N}{\alpha_0} & \frac{-\alpha_{N-1}}{\alpha_0} & \cdots & \cdots & \frac{-\alpha_1}{\alpha_0}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_{n-N} \\ y_{n-N+1} \\ \vdots \\ \vdots \\ y_{n-1}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ u_{n}
\end{bmatrix}

یا


\ Y_n = A Y_{n-1} + U_n


جہاں \ A سائیز \ N \times N کی مربع میٹرکس ہے۔ اب اس میٹرکس مساوات سے \ Y_n متوالیہ سائیلیب میں بآسانی نکالا جا سکتا ہے۔ ستون میٹرکس \ Y_n کا کوئی بھی جُز اصل فرق مساوات کا حل ہے۔ پہلے درجہ کی میٹرکس فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے:

\ Y_n = A^n Y_0 + \sum_{k=0}^{n-1} A^k U_k \,\,,\, n=0,1,2,\cdots

ویژہ قیمت

اوپر دی درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات کی مثال

\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} = 0


کو میٹرکس صورت لکھو، تو میٹرکس یہ ہو گی:

A = \left[\begin{matrix}
0 & 1 \\
-\frac{\alpha_2}{\alpha_0} & -\frac{\alpha_1}{\alpha_0}
\end{matrix}\right]

اب اگر اس میٹرکس کی ویژہ قیمت نکالی جائے

\det(A - \lambda I ) = 0

تو وہی مساوات مل جاتی ہے

\alpha_0 \lambda^2 + \alpha_{1} \lambda^{1} + \alpha_{2} = 0

اس سے معلوم ہوتا ہے کہ فرق مساوات کے حل پر اس میٹرکس (یا فرق مساوات) کی ویژہ قیمتوں کا راج ہوتا ہے۔
مزید دیکھیے

* رجعت نسبت
* سائیلیب
* Maxima software batch(solve_rec)


زمرہ:الجبرا
زمرہ:نظریۂ شمارندگی
زمرہ:ترکیبیات
زمرہ:متوالیہ اور سلسلہ
زمرہ:ریاضیاتی تعلقات
زمرہ:ریاضیاتی اصطلاحیات
زمرہ:رقمی عملیت اشارہ
زمرہ:معادلات