بنیاد سمتیہ

عام الفاظ میں خطی الجبرا میں ایسے سمتیہ کا مجموعہ جن کے لکیری تولیف سے ایک دی ہوئی فضا کا کوئی بھی سمتیہ حاصل کیا جا سکتا ہو۔

ایسے سمتیہ کا مجموعہ v_0, v_1, \cdots, v_{n-1} جن کے لکیری تولیف (linear combination) سے سمتیہ مکاںء کا کوئی بھی سمتیہ v یوں لکھا جا سکے :
v= c_0 v_0 + c_1 v_1 + \cdots + c_{n-1} v_{n-1}

ایسے مجموعہ کو عبری سمتیہ کہتے ہیں اور کو ان عبری سمتیے کے حوالے سے
\begin{matrix}c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\end{matrix}
کو سمتیہ v
کی صورت (representation) کہتے ہیں۔ ہم نے دیکھا کہ ایسا ممکن ہو سکتا ہے کہ کسی عبری سمتیہ مجموعہ کے حوالہ سے ایک ہی سمتیہ کی ایک سے زیادہ صورتیں ممکن ہوں۔
بنیاد سمتیہ (تعریف)

عبری سمتیہ کا ایسا مجموعہ جس کے حوالہ سے فضاء کے کسی بھی سمتیہ کی صرف ایک واحد صورت ممکن ہو، ایسے مجموعہ کو سمتیہ فضاء کا بنیاد سمتیہ مجموعہ (basis vectors) کہتے ہیں۔
مسلئہ اثباتی (بنیاد سمتیہ کی لکیری آزادی)

بنیاد سمتیہ مجموعہ کے تمام سمتیہ آپس میں باہمی لکیری آزاد ہوتے ہیں۔ یعنی بنیاد سمتیہ مجموعہ میں سے کسی سمتیہ کو باقی ماندہ بنیاد سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ دوسرے الفاظ میں اگر v_0, v_1, \cdots, v_{n-1} بنیاد سمتیہ کا مجموعہ ہے، تو درج زیل مساوات کا کوئی حل ممکن نہیں
c_0 v_0 + c_1 v_1 + \cdots + c_{n-1} v_{n-1} = 0

یعنی ایسے کوئی \begin{matrix}c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\end{matrix} نہیں جو اس مساوات کی تسکین کر سکیں۔
\mathbb{R}^n میں قدرتی بنیاد سمتیہ

\mathbb{R}^n میں نیچے دیے قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کے مجموعہ کو \mathbb{R}^n کا قدرتی بنیاد سمتیہ (مجموعہ) کہا جاتا ہے۔
\begin{matrix}
e_0 = \left[\begin{matrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right],
e_1 = \left[\begin{matrix}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right],
\cdots ,
e_{n-1} = \left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix}\right]
\end{matrix}

مثال

شکل 4 میں \mathbb{R}^2 کے لیے یہ جوڑے بنیاد سمتیہ کا کردار ادا کر سکتے ہیں :
# e0, e1
# e0, v0
# e0, v1
# e1, v0
# e1, v1
یعنی کوئی بھی دو ایسے سمتیہ جو آپس میں متوازی نہ ہوں، بنیاد سمتیہ کا کردار ادا کر سکتے ہیں۔
بنیاد سمتیہ کے حوالے سے (منفرد) صورت

فرض کرو کہ سمتیہ فضا V کے بنیاد سمتیہ کا ایک مجموعہ v_0, v_1, ..., v_{n-1} ہے (ان بنیاد سمتیہ کی تعداد n ہے)۔ اب V کے کسی بھی سمتیہ v کو ان بنیاد سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر یوں لکھا جا سکتا ہے :

v = c_0 v_0 + c_1 v_1 + ... + c_{n-1} v_{n-1}

گویا اس بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے سمتیہ v کی صورت کو \mathbb{R}^n کے ایک رکن کے بطور یوں لکھا جا سکتا ہے :
c=\left[\begin{matrix}
c_0 \\
c_1 \\
\vdots \\
c_{n-1}
\end{matrix}\right]

\mathbb{R}^n کے بنیاد سمتیہ کے حوالے سے صورت نکالنے کا طریقہ

\mathbb{R}^n میں دیے گئے بنیاد سمتیہ کے مجموعہ کے حوالے سے کسی سمتیہ
X=
\left[\begin{matrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1}
\end{matrix}\right]
کی صورت نکالنے کا طریقہ یہ ہے۔ بنیاد سمتیہ کے مجموعہ v_0, v_1, \cdots, v_{n-1} کو میٹرکس صورت میں لکھو، یعنی ایسی میٹرکس جس کا ہر ستون ایک بنیاد سمتیہ ہو:

V= \left[\begin{matrix}
v_0 \, v_1 \cdots v_{n-1}
\end{matrix}\right]


جسے زیادہ تفصیل میں یوں لکھا جا سکتا ہے (ہر ستون ایک سمتیہ ہے)

V= \left[\begin{matrix}
v_{0,0} & v_{1,0} & \cdots & v_{n-1,0} \\
v_{0,1} & v_{1,1} & \cdots & v_{n-1,1} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
v_{0,n-1} & v_{1,n-1} & \cdots & v_{n-1,n-1}
\end{matrix}\right]


اب درج ذیل یکلخت لکیری مساوات کا نظام کا حل نکالو

V \left[\begin{matrix}
c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{n-1}
\end{matrix}\right] = X

یہ حل
\begin{matrix}c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\end{matrix}
ان بنیاد سمتیہ کے حوالے سے سمتیہ X کی صورت (representation) ہو گا۔
قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ

ایسے بنیاد سمتیہ کا مجموعہ v_0, v_1, \cdots, v_{n-1} جس میں شامل تمام سمتیہ آپس میں قائم الزاویہ ہوں، ایسے مجموعہ کو قائم الزاویہ (orthogonal) بنیاد سمتیہ کا مجموعہ کہا جاتا ہے۔ یعنی
v_{i}^t v_{j} = 0 \,,\, i \ne j

v_{i}^t v_{i} = 1

دوسرے الفاظ میں قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کی میٹرکس
V=[v_0 \, v1 \cdots v_{n-1}]
کے لیے ضروری ہے کہ
V^t V = I جہاں I شناخت میٹرکس ہے۔

شکل 4 میں یہ جوڑے (جو آپس میں نوے درجہ کے زاویہ پر ہیں) قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کا جوڑا بناتے ہیں :
# e0, e1
# v0, v1
یعنی \mathbb{R}^2 میں قدرتی بنیاد سمتیہ e0, e1 کی میٹرکس
\left[\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right]

قائم الزاویہ (میٹرکس) ہے۔ اسی طرح \mathbb{R}^2 میں بنیاد سمتیہ v0, v1 کی میٹرکس
V= \left[ \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{matrix}\right]
قائم الزاویہ (میٹرکس) ہے۔ یعنی
V^t V = I جہاں I شناخت میٹرکس ہے۔

اوپر ہم نے "بنیاد سمتیہ کے حوالے سے صورت نکالنے کا طریقہ" دیکھا۔ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کی صورت میں c_0 کی مساوات یوں بنتی ہے :

c_0 =X^t v_0= x_0 v_{0,0} + x_1 v_{0,1} + ... + x_{n-1} v_{0,n-1}


دوسرے الفاظ میں نکتہ (سمتیہ) X کی سمتیہ v_0 پر پروجیکشن (projection) c_0 ہے۔


زمرہ:خطی الجبرا
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مختلف مختصر وضاحت