احتمال (احتمال نظریہ)

نمونہ فضا اور تجربہ کے تناظر میں، احتمال نظریہ میں، ہر واقعہ سے ایک عدد نتھی کر دیا جاتا ہے، جو اس واقعہ کا احتمال کہلاتا ہے اور یہ عدد اس واقعہ کے رونما ہونے کے امکان کو ظاہر کرتا ہے۔ واقعہ E کے احتمال کو \ \Pr(E) لکھا جاتا ہے۔
احتمال مسلمات

احتمال کے لیے نیچے دیے مسلمات (بنیادی اصول) بورے ہونا ضروری ہوتے ہیں :
# کسی واقعہ E کے لیے، اس کا احتمال منفی نہیں ہو سکتا، \ \Pr(E)>0
# نمونہ فضاء S کا احتمال یک ہوتا ہے، \ \Pr(S)=1
# اگر E_1, E_2, \cdots, E_n باہمی ناشمول واقعات ہوں، تو ان واقعات کے اتحاد سے بننے والے واقعہ
:\ E= E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_n
کا احتمال، باہمی ناشمول واقعات کی جمع ہو گا
:\ \Pr(E) = \sum_{i=1}^{n} \Pr(E_i)
اگر باہمی ناشمول واقعات کی تعداد لامحدود ہو، تب بھی
:\ \Pr(E_1 \cup E_2 \cup \cdots ) = \sum_{i=1}^{\infty} \Pr(E_i)
احتمال کی خصوصیات

* واقعہ E کے پراؤ \bar{E} کا احتمال یوں ہوتا ہے،
:\ \Pr(\bar{E}) = 1 - \Pr(E)
* اگر دو واقعات E_1 اور E_2 باہمی ناشمول ہوں، تو ان کے تقاطع واقعہ کا احتمال صفر ہو گا (کیونکہ تقاطع عدیمہ ہو گا)
:\ \Pr(E_1 \cap E_2) = 0
* کسی بھی دو واقعات E_1 اور E_2 کے لیے ان کے اتحاد واقعہ کا احتمال یوں ہو گا
:\ \Pr(E_1 \cup E_2) = \Pr(E_1) + \Pr(E_2) - \Pr(E_1 \cap E_2)
:* اسی طرح کسی بھی تین واقعات E_2، E_1 اور E_3 کے لیے ان کے اتحاد واقعہ کا احتمال یوں ہو گا
::\begin{matrix}
\Pr(E_1 \cup E_2 \cup E_3) =& \Pr(E_1) &+ \Pr(E_2) &+ \Pr(E_3) \\
& - \Pr(E_1 \cap E_2) &- \Pr(E_1 \cap E_3) &- \Pr(E_2 \cap E_3) \\
& + \Pr(E_1 \cap E_2 \cap E_3) & &
\end{matrix}

احتمال کا مرحلہ وار تعین

جب ممکنہ نتائج (سادہ واقعات) کی تعداد زیادہ ہو، تو بہت سے مرکب وقعات ہوں گے۔ ان واقعات کو احتمال تفویض کرنے کا آسان طریقہ، جبکہ احتمال مسلمات اور خصوصیات کی خلاف ورزی نہ ہوتی ہو، یہ ہے کہ پہلے تمام سادہ واقعات E_i کو یوں احتمال تفویض کیا جائے کہ ان نسبتوں کی تسکین ہو:
:\ \Pr(E_i)>0 \,,\,\, \sum_{i} \Pr(E_i) = 1
پھر مرکب واقعہ A کا احتمال اس میں موجود سادہ واقعات E_i کے احتمال کو جمع کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے :
:\ \Pr(A) = \sum_{\hbox{all} E_i \hbox{in} A} \Pr(E_i)
برابر امکانی نتائج

بہت سے تجربات ایسے ہوتے ہیں جن میں N نتائج کو برابر احتمال تفویض کرنا صحیح معلوم ہوتا ہے۔ مثلاً طاس کو اچھالنے کا تجربہ۔ اس صورت میں ہر نتیجہ کا احتمال p سمجھا جائے تو
: 1 = \sum_{i=1}^{N} \Pr(E_i) = \sum_{i=1}^{N} p = Np
اس لیے
: p = \frac{1}{N}
اب اگر کسی واقعہ A" میں نتائج کی تعداد کو\ N(A) لکھا جائے تو، واقعہ A کا احتمال یوں ہو گا
:\ \Pr(A) = \sum_{\hbox{all} E_i \hbox{in} A} \Pr(E_i) =
\sum_{\hbox{all} E_i \hbox{in} A} \frac{1}{N} = \frac{N(A)}{N}

یعنی احتمال ایک کسر کے طور لکھا جا سکتا ہے، جس کا کسر (ریاضی) واقعہ A میں نتائج کی تعداد ہے اور کسر (ریاضی) نمونہ فضاء کے تمام نتائج کی تعداد۔
تعدد اور احتمال

2001ء میں شہر ٹورانٹو کی آبادی میں 62.23 فیصد تعداد گوروں کی ہے، 10.6 فیصد چینی، 10.3 فیصد جنوب ایشائی، 8.3 فیصد کالے اور باقی متفرق۔ ہم اس واقعہ کا احتمال مقرر کرنا چاہتے ہیں کہ اگر اس آبادی میں سے کوئی شخص تصادفی طور پر چنا جائے، تو اس کا کیا احتمال ہے کہ گورا ہو گا/گی۔ اب یہ موزوں معلوم ہوتا ہے کہ چنے جانے والے شخص کے رنگ و نسل کے لیے ہم تعدد کے حساب سے احتمال مقرر کر دیں، یعنی
\begin{matrix}
\Pr(\hbox{White}) &=& 0.6223 \\
\Pr(\hbox{Chinese}) &=& 0.106 \\
\Pr(\hbox{South Asian}) &=& 0.103 \\
\Pr(\hbox{Black}) &=& 0.083 \\
\Pr(\hbox{Others}) &=& 0.0857
\end{matrix}

مزید دیکھیے

* مشروط احتمال
* کثیر اعداد کا قانون
* نظریۂ احتمال


زمرہ:احتمال نظریہ