爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬

爱因斯坦-波多尔斯基-罗森吊诡（），简称「爱波罗吊诡」、「EPR吊诡」（）是阿尔伯特·爱因斯坦、鲍里斯·波多尔斯基和纳森·罗森在1935年发表的一篇论文中，以吊诡的形式针对量子力学的哥本哈根诠释而提出的早期重要批评。
在这篇题为《能认为量子力学对物理实在的描述是完全的吗？》（，下称「EPR论文」）的论文中，他们设计出一个思想实验，称为「EPR思想实验」。藉著检验两个量子纠缠粒子所呈现出的关联性物理行为，EPR思想实验凸显出定域实在论与量子力学完备性之间的矛盾，因此，这论述被称为「EPR吊诡」。
EPR论文并没有质疑量子力学的正确性，它质疑的是量子力学的不完备性。EPR论文是建立于貌似合理的假设──定域论与实在论，合称为定域实在论。定域论只允许在某区域发生的事件以不超过光速的传递方式影响其它区域。实在论主张，做实验观测到的现象是出自于某种物理实在，而这物理实在与观测的动作无关。换句话说，定域论不允许鬼魅般的超距作用，实在论坚持，即使无人赏月，月亮依旧存在。将定域论与实在论合并在一起，定域实在论阐明，在某区域发生的事件不能立即影响在其它区域的物理实在，传递影响的速度必须被纳入考量。在学术界里，这些假设引起强烈的争论，特别是在两位诺贝尔物理学奖得主爱因斯坦与尼尔斯·玻尔之间。
EPR论文表明，假若定域实在论成立，则可以推导出量子力学的不完备性。在那时期，很多物理学者都支持定域实在论，但是，定域实在论这假设到底能否站得住脚还是一个待查的问题。1964年，物理学者约翰·贝尔提出贝尔定理表明，定域实在论与量子力学的预测不相符。专门检验贝尔定理所获得的实验结果，证实与量子力学的预测相符合，因此定域实在论不成立。
理论概述.
根据量子力学的不确定性原理，对于微观粒子做测量实验，粒子的位置与动量不可同时被确定；假若越准确地知道粒子位置，则越不准确地知道粒子动量；反之亦然。爱因斯坦因此提问，不论有没有对于粒子做测量试验，粒子是否具有明确的位置？对于这问题，量子力学的哥本哈根诠释表明，在测量之前，粒子的位置不具任何意义。EPR论文尝试证明，粒子具有物理实在的要素，例如位置，因此量子力学不完备，量子力学无法在测量之前，明确预测粒子的位置。
EPR论文采用可观察量动量与位置来表述EPR吊诡，玻姆采用的可观察量是自旋，另外可以使用的可观察量有很多种。做实验体现EPR案例，时常会使用光子偏振，因为很容易就可制备与测量光子的偏振。
EPR论文.
EPR论文表示，任何成功的物理理论必须满足以下两个条件：
对于第一个条件，物理理论到底是否正确无误，决定于物理理论预测符合实验检验结果的程度。在这方面，EPR论文并没有给出任何评估，但至今为止，量子力学的预测与所有实验检验结果之间，并没有甚么明显的差别。量子力学似乎正确无误。EPR论文主要聚焦于第二个条件，物理理论的完备性。对于这论题，EPR论文首先给出两个严格定义：
EPR论文接著描述，先前相互作用的两个粒子，在分离之后的物理性质。假设两个粒子A、B在原点位置相互作用之后，以相反方向移动分离。根据不确定性原理，由于位置算符与动量算符不对易，无法同时确定粒子B的位置与动量；位置越确定则动量越不确定，反之亦然。假设准确测量出粒子A的位置 formula_1 ，则由于粒子A与粒子B之间相隔很远，测量粒子A不会搅扰到粒子B，粒子B的位置可以准确地预测为 formula_2 （概率为1），因此，按照实在性判据，对于测量粒子B的位置，必定存在物理实在的要素 formula_3 。在这里，作者假设测量粒子A这动作遵守定域论，另外，由于存在物理实在的要素 formula_3 ，遵守实在论，粒子B的位置可以被预测。类似地，假设准确测量出粒子A的动量，则由于测量粒子A不会搅扰到粒子B，粒子B的动量可以准确地预测为 formula_5 （概率为1），因此，按照实在性判据，对于测量粒子B的动量，必定存在物理实在的要素 formula_6 。
EPR论文推论出 formula_3 、formula_6 都是物理实在的要素，都能够分别预先决定粒子B的准确位置 formula_9 、准确动量 formula_10 。但是，这违背了量子力学的不确定性原理，因为位置算符与动量算符不对易，无法同时确定粒子B的位置与动量。因此，对于位置和动量，量子力学无法给出对应的理论要素。EPR论文断言，量子力学对于物理实在的描述并不完备。EPR论文总结：
定域论与实在论，综合为定域实在论。EPR作者藉著EPR思想实验来指出定域实在论与量子力学完备性之间的矛盾，这论述就是所谓的「EPR吊诡」。
爱因斯坦自己的论证.
爱因斯坦在自己的出版物和信件中表示，他对 EPR 论文并不满意，并且认为该论文的大部分内容是波多尔斯基撰写的。后来他又用不同的论据坚持认为量子力学是一个不完备的理论。 他明确地淡化了 EPR 将“现实元素”归因于粒子 B 的位置和动量的说法，并表示“我根本不在乎”粒子 B 的结果状态是否允许人们确定地预测其位置和动量。 
对爱因斯坦而言，该论证的关键在于非定域性的证明，即对粒子A进行位置或动量的测量，都会导致粒子B产生"两种不同的"量子态。他认为，由于定域性，粒子B的真实状态不可能依赖于对粒子A进行何种测量，因此量子态不可能与真实状态一一对应。 爱因斯坦终其一生都在努力寻找一种能够更好地符合他的局域性思想的理论，但没有成功。
爱因斯坦后来在1949年发表论文对于这吊诡重新加以表述。总结其内容，「EPR定理」表明，下述两项论述不相符合：
在这两项论述之中，只能选择赞同一项，或都不赞同。爱因斯坦选择第二项，波耳则选择第一项。
玻姆版本.
1951年，戴维·玻姆提出了EPR吊诡的另一种版本，又称为「EPRB吊诡」。这个版本测量粒子的离散自旋沿著某特定轴的分量，不需要测量位置与动量这两个连续变量。使用施特恩-格拉赫仪器，可以很容易的测量出粒子的自旋沿著磁场轴的分量。
假设一个零自旋中性π介子衰变成一个电子与一个正电子。这两个衰变产物各自朝著相反方向移动。电子移动到区域A，在那里的观察者「爱丽丝」会观测电子自旋沿著某特定轴的分量；正电子移动到区域B，在那里的观察者「鲍勃」也会观测到正电子的相关性质。这两个纠缠粒子共同形成了零自旋单态 formula_11 ，是两个的叠加，以狄拉克标记表示为
在圆括弧内，称第一个项目 formula_13 为直积态 I，是两个量子态 formula_14 、 formula_15 的张量乘积，第二个项目 formula_16 为直积态 II ，是两个量子态 formula_15 、 formula_14 的张量乘积。在直积态 I 里，量子态为 formula_14 的电子，其自旋的z轴分量 formula_20 为正值；量子态为 formula_15 的正电子，其 formula_20 为负值。在直积态 II 里，量子态为 formula_15 的电子，其 formula_20 为负值；量子态为 formula_14 的正电子，其 formula_20 为正值。但假若不做测量，则无法知道这两个粒子中任何一个粒子的 formula_20 ；根据哥本哈根诠释，这变量根本不存在。
这单态具有旋转不变性，对于任意取向参考轴，它保持同样的性质。例如，选择任意u轴为参考轴，则这单态可以表示为
这单态的两个粒子相互反关联，测量自旋延著u轴的分量 formula_29 ，假若电子的 formula_29 为正值，则正电子的 formula_29 为负值，假若电子的 formula_29 为负值，则正电子的 formula_29 为正值。量子力学不能预测到底是哪一组数值，但是量子力学可以预测，获得任何一组数值的概率。
设想爱丽丝测量电子的 formula_20 ，她可能会得到两种结果：正值 或负值，假若她得到正值，则根据量子力学的哥本哈根诠释，单态塌缩为量子态 I ，随后，若鲍勃测量正电子的 formula_20 ，他会得到负值；类似地，假若爱丽丝得到负值，则单态塌缩为量子态 II ，随后鲍勃会得到正值。因此，通过测量电子的 formula_20 ，爱丽丝可以准确地预测正电子的 formula_20 ，并且完全不会搅扰到正电子。按照实在性判据，对于测量正电子的 formula_20 ，必定存在物理实在的要素 formula_39 。
当然，选择z轴并没有任何特别意义，自旋单态也可以表示为以x轴为参考轴的两个直积态的叠加态：
测量电子自旋的x轴分量 formula_41 ，若爱丽丝得到正值，则随后鲍勃会测得正电子的 formula_41 为负值；若爱丽丝得到负值，则随后鲍勃会得到正值；因此，通过测量电子的 formula_41 ，爱丽丝可以准确地预测正电子的 formula_41 ，并且完全不会搅扰到正电子。按照实在性判据，对于测量正电子的 formula_41 ，必定存在物理实在的要素 formula_46 。
formula_39 、formula_46 都是物理实在的要素，都能够分别预先决定正电子的 formula_20 、formula_41 。但是，这违背了量子力学的不确定性原理，因为 formula_20 、formula_41 不对易，无法同时确定正电子的 formula_20 、formula_41 ，因此，对于 formula_20 、formula_41 ，量子力学无法给出对应的理论要素，所以，EPR论文断言，量子力学对于物理实在的描述并不完备。
理论分析.
EPR思想实验主要是建立于两个基本假设：
EPR思想实验使用实在论来表明物理实在的概念，然后，尝试论述与发展这概念，意图找出这概念内含的更深层意义。EPR思想实验又利用定域性原理来明显展示出实验测量对于物理实在所产生的影响，从而推导出这思想实验想要表达的结论。
定域性原理.
定域性原理表明，物体只能直接地被毗连区域发生的事件所影响，遥远区域发生的事件不能以某种超过光速的传递方式间接地影响此物体。初看之下，这句话似乎很合理，因为它似乎是狭义相对论的后果。根据狭义相对论，信息传播的速度绝不会比光速更快，否则会违背因果性，也就是说，在某种参考系可以观测到信息以逆时间方向传播，后果会早于前因发生。任何理论，假若违背了因果性，则会造成逻辑吊诡，因此，这理论无法成立。
经过多次论证，物理学者发现，量子力学理论违背了定域性原理，例如，波函数塌缩或全同粒子对称化都是非定域性行为。检试贝尔定理的实验也证实量子纠缠违背了定域性原理，但量子力学理论并没有违背因果性。
假设爱丽斯选定u轴的取向，当测量电子的 formula_29 时，波函数会塌缩为对应于u轴的两个直积态 formula_58 或 formula_59 中的一个直积态，正电子的量子态也会约化为对应于u轴的本征态 formula_60 或 formula_61 。假若鲍勃测得正电子的量子态，就可以知道u轴的取向。在这里，通过传播测量参数u轴的取向，而不是通过传播测量的结果，实现了超光速传播信息，违背因果性。u轴的取向是测量参数，可以由测量者选定，可以利用为信息；测量的结果具有随机性，不能利用为信息。
但是，爱丽斯不可能藉著操纵她的测量轴来传播信息给鲍勃。不论她的测量轴为何，她获得正值的概率为ㄧ半，获得负值的概率为ㄧ半，这是完全随机的结果。在区域B，鲍勃只能做一次测量，这是因为不可克隆原理不允许将移动到区域B的正电子加以复制为成千上万个正电子，然后测量其中每一个正电子的自旋，再分析获得的统计分布结果。这样，对于鲍勃所能够做的一次测量，获得正值的概率为50%，获得负值的概率为50%，不论他的测量轴是否与爱丽斯相同。因此，鲍勃无法测得正电子的量子态，他无法从他的测量结果得知艾丽丝的测量轴方向。
既然量子力学的描述并没有违背因果性，是否可以放松定域性原理的条件，将信息传递的速度限制为低于光速的某有限速度？在EPRB思想实验里，假设爱丽丝测量电子的 formula_20 ，则根据量子力学的哥本哈根诠释，单态 formula_11 会以有限速度塌缩为量子态 I 或量子态 II 。假设在塌缩抵达区域B之前，测量正电子的 formula_20 ，则获得正值的概率为50%，获得负值的概率为50%，而在塌缩抵达区域B之后，正电子与电子的 formula_20 分别呈相反值，因此，在塌缩抵达区域B之前，两个粒子的 formula_20 分别呈相同值的概率为50%，这违背了角动量守恒定律，所以，量子态不能以有限速度塌缩，而是在瞬时之间完成塌缩。
定域性原理对于物理直觉相当具有吸引力，是狭义相对论的基础，EPR作者不愿意轻易将它丢弃。爱因斯坦甚至将非定域性量子行为嘲讽为「鬼魅般的超距作用」，这是他不能相信量子力学的主要原因之一，他认为物理理论不应该存在任何鬼魅般的超距作用。换一个角度来看，量子力学的非定域性行为意谓著，在某种状况下，狭义相对论可能需要修正；按照量子力学，量子纠缠是比时空更为基本的概念。再换另一个角度来看，根据狭义相对论，信息传递速度不能超过光速，但是，根据，光速并不是上限，信息传递速度可以超过光速。而在速度低于光速的状况，狭义相对论与洛伦兹相对论会给出同样的物理。约翰·贝尔就曾隐约的提到这点子。洛伦兹相对论意味著乙太的存在，然而，乙太的存在尚待证实。
实在论.
实在论表明，做实验观测到的现象是出自于某种物理实在，而这物理实在与观测无关。假设做施特恩-格拉赫实验测量一个自旋1/2粒子的 formula_20 ，获得结果为 formula_68 ，请问在测量之前短暂片刻内，粒子的 formula_20 为何？实在派会说，答案是 formula_68 。假若这答案正确，则可推断，量子力学并不完备，因为量子力学无法给出这答案，虽然量子力学给出的答案都非常正确。实在派进一步猜测，是否有甚么尚未发现的隐变量可以给出量子力学所不能给出的结果，促使量子力学变得完备无缺？
爱因斯坦不赞同量子力学的统计性质，他认为，物理学者应该能够给出一个实在模型来直接描述事件本身，而不是它们发生的概率。爱因斯坦与量子力学的真正分歧点不是决定论，而是实在论。他否认曾经使用决定论来判断一个理论正确与否。不论是否被观测，物体都具有其特定性质。他曾经对亚伯拉罕·派斯提出一个耐人寻味的问题：「月亮是否依旧存在，即使无人赏月？」
另外一派包括尼尔斯·玻尔在内的物理学者认为，在测量这粒子的 formula_20 之前，这变量并不存在。这些物理学者属于「正统派」，或「哥本哈根学派」。他们持有的「正统派」观点是哥本哈根诠释的一部分。按照这观点，物理性质的客观实在与观测有关，不被观测的物体不具有物理性质。玻尔声明，「没有量子世界，只有抽象量子力学描述。我们不应该以为物理学的工作是发现大自然的本质。物理只涉及我们怎样描述大自然」帕斯库尔·约当强调，「观测不只搅扰了被测量的性质，它们造成了这性质...我们自己造成了测量的结果。」大多数量子学者都持有这观点，虽然这观点也给予测量动作异常奇怪的功能。
定域实在论.
将定域性原理与实在论综合在一起，定域实在论表明，微观粒子具有可测量、良好定义的物理实在，不会被在遥远区域发生的事件以超光速速度影响。在EPR吊诡里，按照定域性原理，测量电子在区域A的 formula_20 ，不会影响正电子在区域B的 formula_20 ，若将之后正电子数据 与电子数据相比，两者所获得的结果恰恰相反，若知道电子的 formula_20 ，就可以预测正电子的 formula_20 ，因此，在测量电子的 formula_20 之前，正电子B就已拥有具体的 formula_20 ，即实在论必须被遵守，但是，量子力学对于这结果并没有给出任何相关论述，所以，量子力学并不完备。
玻尔不赞同EPR思想实验的结论，他所反对的不是其推论，而是其假设──定域实在论。玻尔认为，实在性判据的「对于系统不造成任何搅扰的状况」这句话的语意含混不清。玻尔承认，在爱丽丝测量电子时，鲍勃的正电子并没有遭受到任何「机械性搅扰」，但是，爱丽丝测量电子这动作著实影响了某些条件，而这些条件恰巧地设定了对于鲍勃的正电子未来行为可以做哪些预测。由于爱丽丝在区域A测量电子的位置这动作，她可以预测在区域B正电子的位置，但她不能藉著这测量动作预测正电子的动量；同样地，由于爱丽丝在区域A测量电子的动量这动作，她可以预测在区域B正电子的动量，但她也不能藉著这测量动作预测正电子的位置。问题是，怎么可能同时存在位置与动量的实在要素？从此可推断，EPR吊诡的假设──定域实在论──不成立。
从另一种角度来看，的概念可以用来分析EPR悖论。假设一个量子系统是由几个亚系统组成，由于量子纠缠，整体系统所具有的某种物理性质，亚系统不能私自具有，这时，不能够对亚系统给定这种物理性质，只能对整体系统给定这种物理性质，它具有「不可分性」。这性质不一定与空间有关，处于同一区域的几个物理系统，只要彼此之间没有任何纠缠，则它们各自拥有应有的物理性质。物理学者艾雪·佩雷斯给出不可分性的数学定义式，可以计算出整体系统到底可分还是不可分。假设整体系统具有不可分性，并且这不可分性与空间无关，则可将它的两个亚系统分别置放于两个相隔遥远的区域，凸显出不可分性与定域性的不同──虽然它们之间分隔遥远，仍旧不可将它们个别处理。在EPR吊诡里，由于两个粒子分别处于两个相隔遥远的区域，整体系统被认为具有可分性，但因量子纠缠，整体系统实际具有不可分性，整体系统所具有明确的自旋，它们都不具有。
定域实在论是经典力学、相对论、电磁学里很重要的特色，但是，由于非定域量子纠缠理论，量子力学不能接受定域实在论。EPR吊诡也不能接受非定域量子纠缠理论，因为这理论可能与相对论发生冲突。
吊诡的解答.
不论测量自旋沿著哪一个参考轴的分量，爱丽丝与鲍勃都会得到相反的结果。这只能解释为两个粒子以某种方式连结在一起。现列出两种可能：
隐变量.
EPR作者提议，虽然在很多实验检验案例里，量子力学都能预测出非常正确的实验结果，实际而言，它是个不完备理论，换句话说，可能存在某种描述大自然、尚未被发现的完备理论，而量子力学扮演的是一种统计近似的角色，即量子力学是这完备理论的统计近似。与量子力学不同，这完备理论可以给出变量来对应于每一个实在要素，并且，必定有某种机制作用于这些变量，给出不相容可观察量会观测到的效应，即不确定性原理。这完备理论称为隐变量理论。
为了说明这点子，举一个简单的隐变量理论案例。假设，粒子源发射出的量子零自旋单态，实际是近似描述拥有明确 formula_20 、formula_41 的「真实量子态」。在这些真实量子态里，鲍勃对于正电子与爱丽斯对于电子的测量结果，其数值分别相反，除此特点以外，自旋分量完全随机。例如，在粒子源发射出的第一对粒子里，电子的真实量子态是 formula_84 、正电子的真实量子态是 formula_85 ；在第二对粒子里， 电子的真实量子态是 formula_86 、正电子的真实量子态是 formula_87 ，像这样模式，发射出很多对粒子。注意到，假若鲍勃测量的参考轴与爱丽斯相同，则两者必定会测量到相反的自旋分量；另外，鲍勃会测量到正值或负值的概率分别为50%。
假设限制测量的参考轴只能为z轴与x轴，则在实验方面不会区分出这隐变量理论与量子力学有甚么不同。实际而言，有无限多个参考轴可以给予爱丽斯与鲍勃做测量，因此也必须有无限多个独立的隐变量。但是，这论题并不严重，这是一个很简单的隐变量理论，或许更精致的理论可以将论题补足。但是，另外还有更严重的挑战面对隐变量这点子。
贝尔不等式.
1964年，约翰·贝尔提出论文表明，对于EPR思想实验，量子力学的预测显著不同于定域性隐变量理论。概略而言，假若测量两个粒子的自旋分别沿著不同轴的分量，则量子力学得到的统计关联性结果比定域性隐变量理论得到的结果要强很多，贝尔不等式定量地给出这差别，做实验应该可以侦测出这差别。如同EPR作者，贝尔在论文里的导引采用了与EPR思想实验相同的两个假设：实在论与定域性原理。从这两个假设，贝尔推导出重要结果──贝尔不等式，贝尔提出贝尔定理：没有任何定域隐变量理论能够复制所有量子力学预测。这意味著在这两个假设之中至少有一个假设不正确。
在两个方面，贝尔论文比EPR论文更为深入。第一、贝尔论述的是隐变量，而不仅仅是物理实在要素。第二、做实验能够检试贝尔不等式，也就是说，检试定域实在论这假说是否有瑕疵。贝尔论文只涉及了命定性隐变量理论。后来，这论文被推广至。物理学者还发觉，这论文所论述的并不只是隐变量，它还论述到一些并未真正执行测量的变量可能会拥有的测量结果。这种变量的存在称为反事实确定性假设。
在贝尔论文发表之后，物理学者想出很多种实验来检试贝尔不等式，这些实验一般都依赖测量光子偏振的机制。所有至今完成的实验结果，都违背贝尔不等式，符合量子力学预测。虽然这些实验结果并没有证实量子力学具有完备性，贝尔定理似乎终结了定域实在论，必须违背定域论或违背实在论，或者同时违背两者。这么简单与精致的理论导致出极为重要的量子力学结果，物理学者因此称誉其为「意义最深远的科学发现」。
量子导引.
受薛定谔 1935 年对 EPR 佯谬的处理的启发， Howard M. Wiseman等人于 2007 年将此现象形式化并命名为量子导引（quantum steering）。 他们将“导引”定义为爱丽丝（Alice）对其持有的纠缠态的一部分的测量"导引（steer）"鲍勃所持有的那一部分的状态。也就是说，鲍勃的观察结果无法用局域隐态模型（local hidden state model）来解释，因为在该模型中，鲍勃一方本应拥有一个固定的量子态，该状态与爱丽丝一方（的状态）仅存在经典关联，而在其他方面是相互独立的。
影响与应用.
EPR吊诡揭露了量子测量过程的基本非经典性质，从而推进了物理学者对于量子力学的了解。在EPR论文发表之前，测量时常被视为是一种物理搅扰，直接作用于被测量系统。例如，测量电子的位置可以想像为照射一束光波于电子，这会搅扰电子，造成电子动量的不确定性。在谈述量子力学的科普文章里，时常会遇见这类解释。EPR吊诡指出这类解释的错误之处，并且表明，测量一个粒子的性质，不需要直接搅扰这粒子，而可以改为测量在遥远区域与这粒子相互纠缠的粒子。
很多正在研发中的科技倚赖量子纠缠为基本运作机制。在量子密码学里，纠缠粒子被用来传递信息，使用这种方法，任何窃听动作必定会留下痕迹。在量子计算学里，纠缠量子态可以做并行计算，使用这种方法，某些算法的运算速度比经典计算机快很多。
数学表述.
使用量子力学的自旋形式论，可以对EPRB吊诡做数学表述。表现电子、正电子自旋量子态的态向量分别存在于二维复向量空间 formula_88 ，每一个量子态对应于一个二维向量。朝著 formula_89 、formula_90 、formula_91 方向的自旋算符，分别标记为 formula_41 、formula_93 、formula_20 ，以包立矩阵表示为：
其中，formula_96 是约化普朗克常数。
自旋算符 formula_20 的本征态表示为
自旋算符 formula_41 的本征态表示为
电子-正电子对的向量空间是 formula_101 ，电子向量空间与正电子向量空间的张量积。自旋单态是
其中，在圆括弧内，第一个项目 formula_13 为量子态 I ，第二个项目 formula_16 为量子态 II 。
这自旋单态也可写为
其中，在圆括弧内，第一个项目、第二个项目分别为量子态 I 、量子态 II 。
若要说明定域实在论怎样被违背，必须先显示出在爱丽斯测量电子的 formula_20 之后，鲍勃的正电子的 formula_20 已被唯一地决定，因此对应于一个实在因素；同样的道理，鲍勃的正电子的 formula_41 也对应于一个实在因素。这是由量子测量原理导致。当爱丽斯测量电子的 formula_20 时，整个量子态 formula_110 塌缩成 formula_20 的一个本征态。假若测量结果为正值，则这意味著量子态 formula_110 在测量之后立刻经历一个正交投影至以下量子态空间：
对于自旋单态，新量子态为
类似地，假若爱丽斯的测量结果为负值，则量子态 formula_110 在测量之后立刻经历一个正交投影至以下量子态空间：
因此，新量子态为:formula_117 。
这意味著鲍勃测量正电子的 formula_20 所得到的答案已被唯一地决定。对于第一个案例，答案是负值，对于第二个案例，答案是正值。
剩下来需要做的就是证明，在量子力学里，formula_41 、formula_20 不能同时拥有明确值。这是因为两个算符不对易：
它们必须遵守不确定性原理：
历史.
在第五、六次索尔维会议，爱因斯坦分别提出两个思想实验，试图凸显不确定性原理为何不成立，从而质疑量子力学的正确性，然而，这两次挑战，都分别被玻尔成功驳回。爱因斯坦并不因此气馁，虽然他开始接受量子力学的自洽性这事实，他仍旧认为量子力学不具有完备性。1935年，在普林斯顿高等研究院，他与博士后罗森、研究员波多尔斯基合作完成论文《物理实在的量子力学描述能否被认为是完备的？》并且发表于5月份的《物理评论》。波多尔斯基又发给纽约时报一份新闻稿，暗示已经找到量子力学的瑕疵。爱因斯坦为此非常气愤，认为波多尔斯基过于夸大，从此再也不跟波多尔斯基讲话。
很快地，这篇论文在量子力学界掀起一阵强风巨浪，沃尔夫冈·包立特别写信要求大师维尔纳·海森堡立即发表声明，让其他物理学者不会因这篇论文而被困惑。海森堡后来撰写了一篇草稿，但他并没有将之发表，因为玻尔已经开始带头反驳了。
玻尔是哥本哈根诠释的创建者之一，他发现EPR论题相当奥妙，需要周详地思考，他立刻放下手里所有其它工作，专心研究EPR论题。同年7月，玻尔撰写完毕反驳论文，以同论文名发表于10月份的《物理评论》。在这篇论文里，他发掘出EPR思想实验里有一个弱点，即实在性判据要求「测量时对于系统不造成任何搅扰」，他指控这句话的语意含混不清。为了回应爱因斯坦先前提出的思想实验，玻尔曾经多次提出，测量的动作会造成不可避免的物理搅扰。但是，EPR思想实验里，没有物理搅扰的问题。因此，玻尔做出让步，他不再主张「测量的动作会造成不可避免的物理搅扰。」替而代之，玻尔强调，被测量的微观物体与做测量的仪器形成一个不容分割的整体，这就是为甚么EPR思想实验提出的实在要素判据，当应用于量子现象时，显得含混不清。专门测量位置的仪器，可以用来准确地测量粒子A的位置，从而准确地预测粒子B的位置，但也因为不能准确地测量粒子A的动量，无法准确地测量粒子B的动量。实在要素判据应该将测量仪器与被测量的粒子共同纳入考量。爱因斯坦和玻尔两人彼此终生都没有被对方说服。
同年，爱因斯坦和埃尔温·薛定谔就EPR吊诡在书信中交换了意见。薛定谔表示，爱因斯坦可能已经捉到了量子力学的燕尾。他认为，「量子力学与相对论不相符合。」为了进一步显示量子力学的不完备性，他将量子力学应用到宏观效应中，从而构思了著名的薛定谔猫思想实验。
1953年，英国物理学家大卫·玻姆同样认为哥本哈根诠释对物理实在的解释是不完备的，需要附加的参量来描述，他从而提出隐变量理论。1965年，北爱尔兰物理学家约翰·贝尔在此基础上提出贝尔不等式，这为隐变量理论提供了实验验证方法。从二十世纪七十年代至今，对贝尔不等式的验证给出的大多数结果是否定的。
1991年，在一场讲座里直截了当的表示，「EPR论文有误。」在稍后讨论时，EPR作者之一，罗森很有礼貌的承认，「该论文无误，它做了一些假设，然后给出逻辑的总结；该假设有误。」