CSS纠错码

在量子纠错中，CSS纠错码（，以其发明者Robert Calderbank、Peter Shor 
和Andrew Steane的名字命名）是一种特殊的稳定子码（stabilizer code），它由具有某些特殊性质的经典纠错码构造而成。CSS码的一个例子是斯蒂恩码（Steane code）。
构造.
设 formula_1 和 formula_2 为两个（经典）线性码，参数分别为 formula_3 和 formula_4，且满足 formula_5。此外，要求 formula_1 和 formula_7的最小距离（Minimum distance）都不小于 formula_8，其中formula_7是formula_2 的对偶码（Dual code）。则 formula_1 基于 formula_2 的CSS码，记作 formula_13，是一个参数为 formula_14 的量子纠错码，其最小距离 formula_15。其构造方式如下：
对于 formula_16，定义态 formula_17，其中 formula_18 表示按位模2加法。那么 formula_13 码空间就是由这些态构成的集合：formula_20。
横向门 (Transversal Gates).
在量子纠错和容错量子计算的理论框架中，逻辑量子门的实现方式对抵抗物理错误至关重要。其中，横向操作 (transversal operation) 提供了一种结构简单且通常具有良好容错特性的实现方式。对于一个将 formula_21 个物理量子比特编码为 formula_22 个逻辑量子比特的量子纠错码，一个作用在 formula_21 个物理量子比特上的幺正操作 formula_24 被称为是横向的，如果它可以分解为作用在每个独立物理量子比特上的相同操作 formula_25 的张量积，即 formula_26；或者，对于涉及多个量子比特块的门（如 CNOT），该操作由作用在不同块中对应位置量子比特（对或组）上的相同基本操作构成。
一个物理操作 formula_24 若能在码空间 formula_28（编码的逻辑量子比特所在的状态子空间）上实现一个逻辑门 formula_29，其必须保持码空间不变，即 formula_30。对于稳定子码，其码空间 formula_28 是其稳定子群（stabilizer group） formula_32 所有元素的共同+1特征子空间（formula_33）。在此情况下，幺正操作 formula_24 保持码空间不变的充分必要条件是 formula_24 将稳定子群 formula_32 整体映射到自身，即满足 formula_37。这意味着对于任意稳定子 formula_38，其变换后的算子 formula_39 必须仍然是 formula_32 中的一个（可能不同的）稳定子。 CSS 码作为一类重要的稳定子码，其结构使得某些基础量子门具备横向实现。
泡利门 (Pauli Gates).
对于任何稳定子码，逻辑泡利算子（formula_41）总能通过相应的横向物理泡利操作实现。这是因为逻辑泡利算子被定义为稳定子群 formula_32 在 formula_21-量子比特泡利群 formula_44 中的正规化子 formula_45 内的非平凡元素（模去 formula_32 本身与全局相位）。而 formula_44 中的所有元素（即泡利串）按其定义（单比特泡利门或单位门的张量积）都是横向操作。 formula_48
CNOT 门.
对于任意满足 formula_49 条件的 CSS 码 formula_50，将横向 CNOT 门（即在两个编码块的对应物理量子比特之间逐对执行 CNOT 操作）作用于这两个块上，能够精确实现逻辑 CNOT 门。
证明概要： CSS 码的稳定子群 formula_32 可由纯 formula_52 型生成元（其支撑集对应于 formula_7 中的向量）和纯 formula_54 型生成元（其支撑集对应于 formula_1 中的向量）共同生成。记 formula_56 为横向 CNOT 操作。它作用于两个码块的稳定子生成元时，其变换规则如下：
formula_57
formula_58
formula_59
formula_60
其中 formula_61 和 formula_62 分别代表单个码块的 formula_52 型和 formula_54 型稳定子生成元。若 formula_65，则变换后的所有算子（等式右侧）显然都属于两个码块稳定子群的乘积群 formula_66。由于 formula_66 的所有生成元在 formula_56 的共轭作用下仍然落在 formula_66 内，因此整个稳定子群 formula_66 保持不变。这表明横向 CNOT 操作在码空间上正确地实现了逻辑 CNOT 门。 formula_48
阿达马门 (Hadamard Gate).
对于 CSS 码 formula_50，若其构造所用的两个经典码相同，即 formula_73（这同时蕴含了 formula_1 必须包含其对偶码，formula_75），则逐比特应用的横向阿达马门 formula_76 能够实现逻辑阿达马门。
证明概要： 关键在于阿达马门在泡利算子上的作用：formula_77 和 formula_78。这意味着横向 formula_79 操作会将 formula_52 型稳定子 formula_61 变换为对应的 formula_54 型稳定子 formula_62，反之亦然。当 formula_73 时，CSS 码的稳定子群 formula_32 展现出一种对称性：一个泡利串是 formula_52 型稳定子（由 formula_87 定义）当且仅当将其中的 formula_52 替换为 formula_54（formula_54 替换为 formula_52）后得到的串是 formula_54 型稳定子（由 formula_1 定义）。因此，formula_76 的作用仅仅是在 formula_32 内部置换了生成元类型，稳定子群 formula_32 整体保持不变。故横向 formula_79 实现了逻辑阿达马门。 formula_48
相位门 (Phase Gate).
对于 CSS 码 formula_50，若满足 formula_73 并且 formula_1（或其对偶码 formula_87）是一个双偶码（doubly-even code，即码中所有码字的汉明重量均为4的倍数），则逐比特应用的横向相位门 formula_103（其中 formula_104）能够保持稳定子群 formula_32 不变。
证明概要： 相位门 formula_106 与 formula_54 算子对易（formula_108），因此所有 formula_54 型稳定子 formula_62 在 formula_103 作用下保持不变。对于 formula_52 型稳定子 formula_61，其对应的经典向量属于 formula_87（因为 formula_61 必须与所有 formula_54 型生成元即 formula_1 中的码字对易）。单比特变换为 formula_118（忽略对稳定子群无关的全局相位）。因此，formula_119 的形式为 formula_120，其中 formula_121 是 formula_61 的权重（即其中 formula_52 算子的数量），formula_124 是在 formula_61 的支撑集上作用 formula_54 得到的算子。由于 formula_61 对应的向量属于双偶码 formula_87，其权重 formula_121 是4的倍数，故 formula_130。于是变换结果为 formula_131。又因为 formula_132，对应的 formula_124 也是 formula_32 中的（formula_54 型）稳定子，所以 formula_131 仍然属于 formula_32。综上，formula_103 保持了稳定子群 formula_32。 需要注意，虽然横向 formula_106 门保持了稳定子群，但其实现的逻辑操作不一定恰好是逻辑 formula_106 门；不过，它确实实现了克利福德群中的某个门，且应用两次横向相位操作等效于（可能相差全局相位）一个逻辑 formula_54 操作。formula_48
斯蒂恩码示例 (Steane Code Example).
斯蒂恩码是一个著名的 formula_144 量子码，它是 CSS 码的一个实例，其构造满足 formula_145，即 汉明码 [7,4,3]。其对偶码 formula_87 是 [7,3,4] 码，这是一个双偶码。
基于上述性质和讨论：
因此，斯蒂恩码允许整个克利福德群 (Clifford group) 的逻辑门都通过横向物理操作来实现，这极大地简化了容错量子计算中这些常用门的实现。
横向性的局限 (Limitations on Transversality).
尽管横向门具有诸多优点，但伊思廷-尼尔定理 (Eastin-Knill theorem) 明确指出，任何非退化的量子纠错码都无法通过横向操作实现一个通用的逻辑门集合。 通用性要求门集中至少包含一个非克利福德门。该定理意味着，对于包括斯蒂恩码、表面码等在内的许多重要量子纠错码，非克利福德门（如实现通用计算所需的 formula_151 门，也称 formula_152 门）不能简单地通过横向操作实现。要容错地实现这些关键的非克利福德门，必须采用如魔术态蒸馏 (magic state distillation) 等更为复杂的策略。