椭圆几何

椭圆几何是欧几里得平行公设不成立的几何的一个例子。与此公设相反，就像在球面几何中一样，不存在平行线，因为任何两条线都必须相交。然而，与球面几何不同，通常假设两条线相交于一个点（而不是两个点）。因此，本文中描述的椭圆几何有时被称为"单椭圆几何，"而球面几何有时被称为"双椭圆几何"。
十九世纪这种几何的出现刺激了非欧几何的普遍发展，包括双曲几何。
椭圆几何具有多种不同于经典欧几里得平面几何的性质。例如，任何三角形的内角和总是大于 180°。
定义.
椭圆几何可以通过将球体的对跖点识别为单个椭圆点，从球面几何推导出来。椭圆线对应于通过识别对跖点而缩小的大圆。由于任何两个大圆相交，因此在椭圆几何中没有平行线。
在椭圆几何中，垂直于给定直线的两条直线必定相交。事实上，给定线的所有垂直线都会交于一个点，这个点称为该线的"绝对极点"。
每个点都对应一条"绝对极线，"该点就是这条"极线的"绝对极点。该极线上的任意一点都与极点构成"绝对共轭对"。这样的一对点是"正交的"，它们之间的距离是一个"象限"。 
一对点之间的距离与它们的绝对极线之间的角度成正比。 
正如HSM Coxeter所解释的那样：
二维.
椭圆平面.
椭圆平面是具有度量的实射影平面。开普勒和笛沙格使用心射投影将平面σ与半球上与其相切的点联系起来。以"O"为半球中心， σ上的点"P"确定一条与半球相交的直线"OP" ，任何直线"L" ⊂ σ确定一个平面"OL" ，它与半球相交于大圆的一半。该半球以通过 O 且平行于σ平面为界。没有一条普通的"σ"线与该平面相对应；而是在"σ"上附加了一条无穷远线。由于σ的延伸中的任意一条线都对应于通过"O 的"一个平面，并且任意一对这样的平面都会与通过"O 的"一条线相交，因此可以得出结论，延伸中的任意一对线都会相交：交点位于平面交点与σ或无穷远线的交点处。这样就证实了射影几何的公理，即平面内所有直线对必定相交的公理。 
给定"σ"中的"P"和"Q" ，它们之间的椭圆距离是角度"POQ"的度量，通常以弧度为单位。阿瑟·凯莱在撰写《论距离的定义》时开创了椭圆几何的研究。 费利克斯·克莱因 (Felix Klein)和伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann)随后对几何抽象进行了探索，并由此产生了非欧几里得几何和黎曼几何。
与欧几里得几何的比较.
在欧几里得几何中，图形可以无限放大或缩小，并且得到的图形是相似的，即它们具有相同的角度和相同的内部比例。在椭圆几何中，情况并非如此。例如，在球形模型中，我们可以看到任意两点之间的距离必须严格小于球体周长的一半（因为确定了对跖点）。因此，线段不能无限扩大。
欧几里得几何的很大一部分内容直接延伸到了椭圆几何。例如，欧几里得公设的第一和第四条公设，即任意两点之间都有一条唯一的线，并且所有直角都相等，在椭圆几何中成立。假定 3，可以构造具有任何给定中心和半径的圆，如果将“任何半径”理解为“任何实数”，则不成立，但如果将其理解为“任何给定线段的长度”，则成立。因此，欧氏几何中任何由这三个公设得出的结果在椭圆几何中也成立，例如《"几何原本"》第一卷中的命题 1，其中指出给定任何线段，都可以以其线段为底构造一个等边三角形。
椭圆几何也与欧几里得几何类似，空间是连续的、均匀的、各向同性的，并且没有边界。各向同性由第四条公设保证，即所有直角都相等。举一个同质性的例子，请注意欧几里得命题 I.1 意味着可以在任何位置构造相同的等边三角形，而不仅仅是在某些特殊的位置。边界的缺乏源于第二个假设，即线段的延展性。
椭圆几何与欧几里得几何的一个不同之处在于，三角形的内角和大于 180 度。例如，在球面模型中，可以构造一个三角形，其顶点位于三个正笛卡尔坐标轴与球面相交的位置，并且其三个内角均为 90 度，总计 270 度。对于足够小的三角形，超过 180 度数可以任意小。
勾股定理在椭圆几何中不成立。在上述 90°–90°–90° 三角形中，三条边的长度相等，因此不满足formula_1 。在小三角形的极限内恢复了毕达哥拉斯的结果。
圆的周长与面积的比率小于欧几里得几何中的比率。一般来说，面积和体积并不按照线性尺寸的二次方和三次方来缩放。
椭圆空间（三维情况）.
"注意：本节使用术语“椭圆空间”来特指三维椭圆几何。这与上一节关于二维椭圆几何的内容形成对比。四元数用于阐明这个空间。"
椭圆空间可以用类似于三维向量空间的构造方式来构造：具有等价类。人们在球体的大圆上使用有向圆弧。正如有向线段在平行、长度相同且方向相似时是等值的，大圆上的有向弧在长度、方向和圆周率相同时也是等值的。这些等价关系分别产生三维向量空间和椭圆空间。
通过威廉·罗文·汉密尔顿的矢量代数可以获得椭圆空间结构：他将球面设想为负一平方根的区域。然后是欧拉公式formula_2 （其中"r"在球面上）表示包含 1 和"r 的"平面内的大圆。对立点"r"和"-r"分别对应方向相反的圆。 θ 和 φ 之间的弧与 0 和 φ – θ 之间的弧等价。在椭圆空间中，弧长小于 π，因此弧可以用 [0, π) 或 (-π/2, π/2) 中的 θ 参数化。 
为了formula_3据说"z"的模数或范数为 1（汉密尔顿称之为 z 的张量）。但由于"r 的"范围是三维空间中的一个球面，因此 exp( θ r) 的范围也是四维空间中的一个球面，现在称为三维球面，因为它的表面有三个维度。汉密尔顿将他的代数称为四元数，它很快成为一种有用且受欢迎的数学工具。它的四维空间是在极坐标中演化的formula_4其中"t"为正实数。
在地球或天球上进行三角学时，三角形的边是大圆弧。四元数的第一次成功是将球面三角学转化为代数。 汉密尔顿把范数为 的四元数称为向量，这些是椭圆空间的点。
当固定时，单位四元数
形成一条"椭圆线"。距离formula_6到 1。对于任意变量  ，距离将是 θ ，使得 ，因为这是任何四元数的标量部分的公式。
"椭圆运动"由四元数映射描述
点之间的距离与椭圆运动的图像点之间的距离相同。当和互为四元数共轭时，运动为空间旋转，其矢量部分为旋转轴。当时，椭圆运动称为右Clifford 平移，或称"并列平移"。情况对应于左 Clifford 平移。
"椭圆线"穿过 可能的形式是
它们是 Clifford 的左右翻译 沿着通过 1 的椭圆线。通过识别对映点，从形成"椭圆空间"。 
椭圆空间具有称为Clifford 平行线和Clifford 曲面的特殊结构。
椭圆空间的 versor 点通过凯莱变换映射到formula_10以获得空间的另一种表现形式。
高维空间.
超球面模型.
超球面模型是球面模型向更高维度的推广。 "n"维椭圆空间的点是R "n" +1中的单位向量对，即维空间（ "n"维超球面）中单位球表面上的对映点对。该模型中的线是大圆，即超球面与通过原点的"n"维平坦超曲面的交点。
射影椭圆几何.
在椭圆几何的射影模型中， "n"维实射影空间的点被用作模型的点。这模拟了一种抽象的椭圆几何，也称为射影几何。
"n"维射影空间中的点可以用维空间中通过原点的直线来表示，并且可以用R "n" +1中的非零向量非唯一地表示，前提是对于任何非零标量， 和  ，代表同一点。距离使用公制来定义
即两点之间的距离是它们在R "n" +1中对应线之间的角度。距离公式在每个变量中都是齐次的，如果和是非零标量，则 ，因此它确实定义了射影空间点上的距离。
射影椭圆几何的一个显著性质是，对于偶数维度，例如平面，该几何是不可定向的。它通过识别顺时针和逆时针旋转来消除它们之间的区别。
立体模型.
利用立体投影的方法，可以得到与超球面模型表示同一空间的模型。令E "n"表示即由无穷远点扩展的维实空间。我们可以在E "n"上定义一个度量，即"弦度量"
其中和是R "n"中的任意两个向量，并且formula_13是通常的欧几里得范数。我们还定义
结果是E "n"上的度量空间，它表示沿超球面模型上对应点的弦的距离，它通过立体投影双射映射到该超球面模型上。如果我们使用度量，我们就会得到球面几何模型
椭圆几何由此通过识别对跖点和得到 ，并将到该对的距离设为到这两点中每个点的距离的最小值。
自洽性.
因为球面椭圆几何可以被建模为欧几里得空间的球面子空间，所以如果欧几里得几何是自洽的，那么球面椭圆几何也是自洽的。因此，不可能根据欧几里得几何的其他四个公设来证明平行公设。
塔斯基证明了初等欧几里得几何是完备的：对于每一个命题，都存在一种算法，可以证明它是真还是假。 （这并不违反哥德尔定理，因为欧氏几何无法描述足够多的算术来使该定理得以应用。 ）因此，初等椭圆几何也是自洽和完备的。