牛顿旋转轨道定理

在经典力学里，牛顿旋转轨道定理（）辨明哪种连心力能够改变移动粒子的角速度，同时不影响其径向运动（图1和图2）。艾萨克·牛顿应用这理论于分析轨道的整体旋转运动（称为拱点进动，图3）。月球和其他行星的轨道都会展现出这种很容易观测到的旋转运动。连心力的方向永远指向一个固定点；称此点为「力中心点」。「径向运动」表示朝向或背向力中心点的运动，「角运动」表示垂直于径向方向的运动。
发表于1687年，牛顿在巨著《自然哲学的数学原理》，第一册命题43至45里，推导出这定理。在命题43里，他表明只有连心力才能达成此目标，这是因为感受连心力作用的粒子，其运动遵守角动量守恒定律。在命题44里，他推导出这连心力的特征方程式，证明这连心力是立方反比作用力，与粒子位置离力中心点的径向距离formula_1的三次方成反比。在命题45里，牛顿假定粒子移动于近圆形轨道，将这定理延伸至任意连心力状况，并提出牛顿拱点进动定理（）。
天文物理学家苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡在他的1995年关于《自然哲学的数学原理》的评论中指出，虽然已经过了三个世纪，但这理论仍然鲜为人知，有待发展。自1997年以来，唐纳德·林登-贝尔（）与合作者曾经研究过这理论。2000年，法扎尔·穆罕默德（）与F·瓦乌达（）共同贡献出这理论的延伸的精确解。
历史背景.
过去几千年来，天文学家有系统地观测天空中的星体运动，发现各种各样的恒星有规律地绕行，相对位置永远保持不变。可是，也有一些星体被观测到「漫游」于这些以恒星为背景的前方，其轨迹比较难以捉摸，大多数这种星体被称为行星。虽然它们通常沿著一条路径循著同样方向从天空的这一端移动到那一端（请参阅黄道），但是某些独特的行星有时候会短暂地逆转其移动方向，显示出逆行运动。
为了描述这种忽前忽后的运动，阿波罗尼奥斯（西元前262年–前190年）提出均轮与本轮的概念。按照这概念，行星的本身绕行的轨迹为一个圆圈，而这个圆圈的圆心又循著另一个圆圈的轨迹绕行；如此这般一个搭著一个，就像儿童乐园里的咖啡杯游戏一样。任意轨道可以用足够数量、仔细设定的本轮来模拟，因为这方法对应于现代的傅立叶变换。大约350年后，托勒密编纂出《天文学大成》。在这本书里，他发展出来的系统能够比美那时代最准确的天文观测。托勒密采用亚里斯多德的地心学说来解释自己发展出来的系统。地心学说强调行星只能运行于以地球为圆心的同心圆球面。之后的一千多年，学术界公认这是最正确的宇宙模型。
在16世纪，由于天文学家第谷·布拉赫和物理学家约翰内斯·克卜勒的共同努力，研究出许多关于行星运动的科学理论。经过多年披星戴月、不眠不休地细心观测，第谷获得许多非常准确的行星运动数据。第谷慷慨无私地将这些数据托付给克卜勒，使他能够专心研究这些数据，因而推论出关于行星运动的克卜勒定律。根据这定律，在太阳系里，各个行星绕著太阳（不是地球）公转；这公转轨道的形状是椭圆形，而不是本轮形。克卜勒第二定律和第三定律更给出具体的预测数值：在相等时间内，太阳和公转中的行星的连线所扫过的面积都是相等的（称此连线为行星的「连心线」）；绕著太阳的各个行星，其公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。后来，更准确的观测又显示出，由于拱点进动，椭圆的长轴也会随著时间演进而缓慢地旋转。轨道近拱点和远拱点分别是行星的公转轨道离椭圆焦点（力中心点）最近或最远的位置，又共称为拱点。对于绕著太阳的行星的公转轨道，近日点和远日点都是拱点。
大约80年后，于1687年，牛顿发表了《自然哲学的数学原理》。在这本巨著里，牛顿创建的物理理论能够完全解释克卜勒的三条定律。这理论建构于牛顿运动定律和牛顿万有引力定律。牛顿提出，任意两个物体彼此之间相互作用的重力是一种连心力，大小与这两个物体各自的质量乘积成正比，与这两个物体之间的距离平方成反比。从他的运动定律来论述，感受到这种作用力的任意粒子的轨道是圆锥曲线，更明确地说，假若这轨道不延伸至无穷远，则必会呈椭圆形。可是，这结论只成立于当系统里只有两个物体（二体问题）的案例。在牛顿之后已有几百年了，虽然科学家能够找到一些特别案例的解答，像的解答，三个或三个以上的物体因为相互的重力作用而呈现的运动（三体问题、多体问题）仍旧无解。牛顿建议，由于太阳的重力是主掌的作用力，足以掩盖其它作用力，取至一阶近似，其它行星的影响可以被忽略，因此，行星绕著太阳的公转轨道大约为椭圆形。同理，月亮绕著地球的椭圆形公转轨道，所牵涉到的作用力，极大部分是地球重力，而太阳的重力和其它太阳系的天体的重力都可以被忽略。但是牛顿也表明，行星轨道和月球轨道的拱点进动是这些被忽略的作用力所造成的；特别是月球轨道的拱点进动是因为太阳重力的微扰效应所产生的现象。
牛顿旋转轨道定理是牛顿第一次尝试研究拱点进动的成果。根据这定理，增添某种连心力（立方反比力）可以使得公转轨道绕著力中心点旋转，能够将绕著力中心点公转的粒子的角速度乘以因子formula_2，同时保持粒子的径向运动不变。但是，这定理局限于某种特定的作用力，某种无关紧要的作用力；一些平方反比微扰作用（例如，其它行星施加的作用力）似乎不太可能会恰巧地合并成一个立方反比力。为了使得他的定理能够应用于其它种类的作用力，聪明绝顶的牛顿发觉，在近圆形轨道的极限，任意连心力formula_3的最佳近似值乃是一个立方反比力。这解答牵涉到一种低离心率椭圆轨道；在太阳系里，大多数轨道都是这种轨道。为了找到这近似值，牛顿发展出一种无穷级数，可以视为泰勒展开的前驱。这近似使得牛顿能够估算任意连心力的进动率。牛顿用这近似来检测各种各样造成月亮轨道的拱点进动的作用力模型。但是月亮运动轨道问题错综复杂，牛顿心有余而力不足，无法给出一个准确的月亮轨道的拱点进动的重力模型。后来，亚历克西斯·克莱罗于1747年研究出一个比较准确的模型。19世纪末期，乔治·希尔、欧尼斯特·布朗（）、又分别发展出几种月球运动的分析模型。
牛顿旋转轨道定理不仅可以解释拱点进动，其涉及的范围极为广博。这定理能够描述将立方反比力增添于任意连心力formula_3会产生的效应；这连心力formula_3可能不是像牛顿的万有引力或库仑力般的简单的平方反比作用力，而是相当复杂的未知力。如同数学概述章节表明，这定理便利地简化了经典力学轨道问题：在分析粒子的运动轨道时，不需先行考虑立方反比力，就可以计算分别表达径向运动和角运动的轨道方程式formula_6、formula_7；然后，通过将粒子的角速度乘以因子formula_2 ,就可以计算出来这立方反比力对于角速度的效应：
其中，formula_10和formula_11分别为增添立方反比力之前和之后的角速度。
数学概述.
设定一个感受到任意连心力formula_12、质量为formula_13的移动中的粒子，由于其运动为平面运动，粒子的位置可以以极坐标formula_14表示。设定极坐标系的原点于力中心点。随著时间的演进，移动于轨道的粒子的极坐标是时间formula_15的函数formula_16。
设定另一个感受到连心力formula_17、质量为formula_13的移动中的粒子，径向运动也是formula_6，但是角速度是第一个粒子的formula_2倍；也就是说，两个粒子的角坐标的关系式为formula_21。牛顿表明，增添一个立方反比连心力，将这连心力与formula_12共同施加于第二个粒子，就可得到想要的运动：
其中，formula_24是第一个粒子的角动量，是连心力的一个运动常数（守恒量）。
称这方程式为「增力方程式」。假设formula_25，formula_26，则增添的立方反比力是吸引力，如同图1、图4中，绿行星额外感受到的吸引力。明显对比，假设formula_27，formula_28，则增添的立方反比力是排斥力，如同图5、图10中，绿行星额外感受到的排斥力，和图1、图4、图5中，红行星额外感受到的排斥力。
粒子运动路径的改变.
增添立方反比力会使得粒子的运动路径也有所改变。由于主要目标是要了解径向变量和角变量之间的关系，所以不需考虑径向运动和角运动对于时间的关系。为了达到这目标，不限制角变量必须在formula_29至formula_30之间；随著粒子一圈又一圈地绕著力中心点公转，角变量可以无定限地递增。例如，假设粒子绕著力中心点公转两圈，然后绕到初始位置，其终结角度不等于初始角度，而是增加了。角变量正式定义为角速度的积分：
其中，formula_10和formula_11分别为第一个粒子和第二个粒子的角速度。
假设第一个粒子的路径表示为formula_35，则因为formula_36，第二个粒子的路径应该表示为formula_37。例如，令第一个粒子的椭圆路径为
其中，formula_39和formula_40都是常数。
那么，第二个粒子的路径应为
轨道进动.
按照增力方程式，假设formula_2接近formula_43，但不等于formula_43，则第二个轨道会与第一个轨道很相像，但是第二个轨道会绕著力中心点旋转，称这现象为「轨道进动」（参阅图3）。假若formula_45，则轨道进动方向与粒子公转方向相同（参阅图3）；假若formula_46，则轨道进动方向与粒子公转方向相反。
虽然在图3里，进动中的轨道似乎是以角速度常数在均匀地旋转，这只成立于圆形轨道。假设轨道的旋转速度为formula_47，则第二个粒子公转的角速度比第一个粒子快formula_47；换句话说，两个粒子公转的角速度满足方程式formula_49。注意到牛顿旋转轨道定理表明，两个粒子公转的角速度的关系式为formula_50。因此，轨道的旋转速度为formula_51；只当formula_52为常数时，formula_47也是常数。但是，根据角动量守恒定律，formula_52随著径向距离formula_1改变，与formula_56成反比：
所以只当径向距离formula_1为常数时，formula_52才会是常数；也就是说，当轨道呈圆形时，formula_52才会是常数。对于其它案例，formula_52和formula_47都不是常数。
简易范例：科茨螺线.
举一个最简单的范例来解释牛顿旋转轨道定理。当没有任何作用力施加于第一个粒子时，也就是说，当formula_63时，第一个粒子呈静止状态或移动于直线路径。假设这粒子移动于直线路径（图6的蓝线），而且不经过极坐标系的原点（黄色圆点），则此粒子的路径方程式为
其中formula_65是最近会遇距离（撞击参数，以红线段表示），formula_14是粒子的极坐标，formula_67是粒子的径向距离为最近会遇距离时的角度。
当formula_68时，粒子的径向距离formula_1为无穷远。随著粒子朝著formula_70单调递增的方向移动，径向距离formula_1会单调递减。当粒子移动到formula_72时，径向距离formula_1等于最近会遇距离formula_65，也就是撞击参数，定义为从原点到直线路径的垂直距离。然后，随著粒子朝著formula_70单调递增的方向继续移动，径向距离formula_1会改为单调递增。当formula_77时，粒子的径向距离formula_1又变得无穷远。
设定立方反比力formula_17的形式为
其中常数formula_81可能是正值（排斥力）或负值（吸引力）。
在这范例里，formula_17就是增添的作用力。从增力方程式，可以得到
假设，将这立方反比力formula_17施加于粒子，则牛顿旋转轨道定理表明，对应的曲线路径解答是一种，以方程式定义为&lt;/ref&gt;
其中，formula_2是常数，以方程式定义为formula_87。
当formula_88是正实数时，解答是。当formula_89时，其余弦趋向于零，径向距离趋向于无穷远。因此，当formula_46时，容许角度的值域变小，作用力为排斥力（图7的红曲线）；而当formula_45时，容许角度的值域变大，作用力为吸引力。（图7的绿曲线、青绿曲线、蓝曲线）。因为容许角度的值域变大，粒子的轨道可能会卷绕力中心点几圈，然后趋向无穷远。参数formula_2的可能值为从零到无穷大，对应于formula_81从负无穷大到最大正值formula_94。因此，如图7展示，对于每一种立方反比吸引力（formula_95），以及有些立方反比排斥力（formula_96），都存在有对应的外螺线轨道。
按照前面formula_2的定义式，假设formula_88是负数，则formula_2是虚数，余弦函数解答变成双曲余弦解答：
其中formula_101是正实数，formula_102。
这是科茨螺线的另一种曲线，对应于两种中的一种曲线（如图8所示）。formula_101的可能值为从零到无穷大，对应于formula_81值大于formula_105。所以，只有当施加的立方反比排斥力的formula_81超过正值底限时，才会出现潘索螺线运动。
取formula_2或formula_101趋向于零的极限，可以得到第三种形式的科茨螺线解答，称为倒数螺线或双曲螺线，以方程式表示：
其中formula_39和formula_111是任意常数。
当施加的排斥力formula_17的参数formula_81恰巧地与角动量-质量项目保持平衡时，就会出现双曲螺线运动：
闭合轨道和立方反比连心力.
在各种各样的连心力之中，有两种连心力的性质比较特别：一种连心力与距离呈线性关系，formula_115，例如虎克定律；另一种连心力与距离平方呈反比关系，formula_116，例如牛顿万有引力定律和库仑定律。一个移动中的粒子，假设感受到这两种之中任何一种作用力，而且缺乏足够能量移动到无穷远，则当回到初始位置时，其速度永远是初始速度。换句话说，一个束缚粒子的路径必定是闭合路径，其运动会不停地重复，不论其初始位置或初始速度。伯特兰定理表明，对于其它种类的连心力，这性质不成立；通常而言，当一个粒子回到初始位置时，其速度不等于初始速度。
但是牛顿旋转轨道定理表明，对于一个感受到线性作用力或平方反比作用力的移动中的粒子，假设再增添立方反比力于此粒子，只要因子formula_2是有理数，则粒子的轨道仍旧是闭合轨道。根据增力方程式，增添的立方反比力formula_118为
所以，formula_120。 
由于formula_2是有理数，formula_2可以写为分数formula_123；其中，formula_13和formula_125都是整数。对于这案例，增添立方反比力使得粒子完成formula_13圈公转的时间等于原本完成formula_125圈公转的时间。这种产生闭合轨道的方法不违背伯特兰定理，因为，增添的立方反比力跟粒子的初始速度有关。
谐和轨道与次谐和轨道都是闭合轨道。假若formula_2为整数，则称闭合轨迹为「谐和轨道」；也就是说，假若方程式formula_129中的formula_130。例如，假若formula_131（图1和图4里的绿行星，图9里的绿轨道），则形成的轨道是原本轨道的第三谐和。假若formula_2为整数的倒数，则称闭合轨迹为「次谐和轨道」；也就是说，假若方程式formula_129中的formula_134。例如，假若formula_135（图5里的绿行星，图10里的绿轨道），则形成的轨道是原本轨道的第三次谐和。虽然这些轨道不常出现于大自然，它们可以帮助解释牛顿旋转轨道定理。
近圆形轨道极限.
在《自然哲学的数学原理》，第一册命题45里，牛顿应用他的旋转轨道定理发展出一套新方法，能够寻找出主掌行星运动的作用力定律。克卜勒发觉大多数行星和月球的轨道似乎是椭圆形的，这些椭圆的长轴可以从天文测量数据中准确地计算出来。长轴定义为连接近拱点（离力中心点最近距离点）和远拱点（离力中心点最远距离点）的直线段。例如，水星轨道的长轴定义为连接其近日点和远日点的直线。经过一段时间，由于其它星体的重力微扰、吸引体的扁球形状（）、广义相对论效应和其它效应，大多数行星轨道的长轴会缓慢地旋转。这现象称为，看起来好像整个轨道在缓慢地旋转。通常来说，行星每完成一个公转，长轴旋转的角度不多过几度，有时候会是相当微小。但是，只要等待足够长久时间，长轴旋转的角度可以很容易地被测量出来。牛顿的新方法就是应用这拱点进动来侦测行星感受到的是哪种作用力。
牛顿旋转轨道定理只描述增添立方反比连心力会造成的效应。但是靠著限制公转轨道为近圆形轨道，像低轨道离心率的椭圆轨道（formula_136），牛顿成功地将他的定理延伸而推导出牛顿拱点进动定理。使用这定理，可以计算出任意连心力formula_3的径向距离参数formula_1的指数。
从椭圆轨道的力中心点指向近拱点的向量称为「近拱向量」，指向远拱点的向量称为「远拱向量」；「拱角」formula_139则为近拱向量与远拱向量之间的夹角角度。假设椭圆轨道是静止不动的，则粒子绕著力中心点公转，从一个拱点绕动到另一个拱点，拱角角度为formula_140；对于拱点进动现象，椭圆轨道的长轴会缓慢地旋转，椭圆轨道也一同旋转，拱角角度可能不等于formula_140。牛顿拱点进动定理阐明，对于近圆形轨道，假若连心力遵守幂定律formula_142，则拱角遵守拱角方程式：
在太阳系里的八个行星轨道中，有七个是低轨道离心率的椭圆轨道。牛顿又将他的定理应用于水星，轨道离心率大约为21%。牛顿更明确地建议，他的定理或许可以应用于哈雷彗星，轨道离心率大约为97%。
定量公式.
为了简化方程式，牛顿以新函数formula_144来表达任意连心力formula_17：
其中，formula_147是用来近似近圆形轨道的椭圆形轨道的半正焦弦。
牛顿将formula_144展开为径向距离formula_1的级数（这方法后来知为泰勒展开），认定级数的立方项目为增添的立方反比力formula_150，这样，就可以给出近圆形轨道角速度的标度因子formula_2 ：
换句话说，这任意连心力formula_17的一部分formula_150使得角运动增加角速度为formula_2倍，同时不显著地影响径向运动。对于平方反比力，粒子的运动轨道是闭合轨道，formula_156等于formula_157；近拱向量与远拱向量同线。按照方程式formula_36，对于任意连心力formula_3，其拱角formula_160等于formula_161。
范例.
牛顿举出三个例子来说明他的公式。在前两个例子里，连心力遵守幂定律formula_142，formula_144与formula_164成正比。按照前面的公式，可以推导出角运动被乘以因子formula_165。所以，拱角formula_139符合拱角方程式：
回想前面所述，轨道的旋转速度为formula_51。假设粒子从一个拱点绕动到另一个拱点，需要时间formula_169，则轨道或轨道长轴会旋转formula_170角度。
用来衡量作用力定律的距离幂，拱角是一个的优良的指示量。牛顿就是用这指示量来侦测连心力的种类。在《自然哲学的数学原理》，第三册里，牛顿因此推断太阳施加于行星的作用力是平方反比力；他又推断地球施加于月球的作用力也是平方反比力，天文观测到的进动误差是由太阳重力造成的。可是，牛顿无法给出一个准确的重力模型来描述月亮轨道的拱点进动。
在第三个例子里，牛顿计算两个幂定律的叠和：
其中，formula_181和formula_65都是系数常数，formula_13和formula_125都是指数常数。
对于这案例，角速度增加的倍数为
所以，拱角formula_139为
这两个公式（幂定律和幂叠加定律）为牛顿研究月球拱点进动的重要工具。
月球轨道的进动.
使用精密的仪器，经过细心地勘测，可以准确地获得月球运动的数据。分析这些数据，天文学家发觉，月球的运动比其它行星的运动更为复杂。古希腊天文学家喜帕恰斯和托勒密注意到月球轨道有许多周期性的变化，像轨道离心率的小振动、轨道面与黄道面之间的轨道倾角的小规模振动。这些振动通常发生频率为每月一次或每月两次。拱点线缓慢地进动，周期大约为8.85年，而交点线（轨道面与黄道面的交集）旋转一周期需要大约双倍时间18.6年。这事实解释了蚀大约为18年的周期，称为沙罗周期。但是，这两条线的运动都会经历到月时间尺寸的小规模变动。
1673年，杰雷米亚·霍罗克斯发表了一个相当准确的月亮运动模型，月亮被认为是依循著一条进动中的椭圆轨道公转。假若能够有一个足够准确又简单的预测月亮运动的方法，则计算船只位置的经度的航海问题应该可以迎刃而解。月球直径大约为30角分。在牛顿那年代，目标是预测月亮位置至误差不大于2角分，即地球经度的formula_188误差。霍罗克斯模型能够预测月亮位置至误差不大于10角分。
月亮绕著地球公转的拱角观测值大约为formula_189。为了解释月亮的拱点进动，牛顿想出两种方法来应用牛顿旋转轨道定理。第一，不采用平方反比定律为重力定律的形式，替而代之，采用指数是formula_190的幂定律为重力定律的形式，就可以给出一个合理的拱点进动解释：
1894年，阿萨夫·霍尔将这方程式加以改良，使这方程式更为精确。从计算得到的结果，他能够解释水星轨道的异常进动，于尔班·勒威耶于1859年观测到的现象。然而，欧尼斯特·布朗（）于1903年发展出的月球运动说（），只根据平方反比形式的牛顿万有引力定律，就能够准确地预测月亮的位置，因此彻底地推翻了霍尔的理论。对于月球轨道进动，现代科学认可的解释涉及了广义相对论，取至第一近似，这理论增添了一个四次方反比连心力，即与径向距离的四次方成反比的连心力。
第二，牛顿建议，太阳对于月亮运动的微扰影响，或许可以近似为额外的线性作用力：
其中，formula_1是月亮与地球之间的距离，formula_39和formula_40都是系数常数。
这方程式右手边的第一个项目对应于月亮与地球之间互相吸引的重力，第二个项目代表太阳的重力施加于地球-月亮系统的平均微扰力。假设地球被一团均匀密度的圆球状灰尘云包围，也会出现这样的作用力。应用近圆形轨道的formula_2的计算公式，牛顿证明这定律无法解释月球进动，因为这定律预测的拱角为formula_197，月球每公转一圈，长轴会旋转formula_198是观测值的一半。
推广.
于1687年，牛顿发表了他的定理，即《自然哲学的数学原理》，第一册命题43至命题45。但是，如同天文物理学家学家钱德拉塞卡在他的1995年关于这本巨著的评论中指出，已经过了三个世纪，这理论仍旧鲜为人知，有待发展。
于2000年，玛侯嵋与娃达共同发表了牛顿旋转轨道定理的第一个推广。他们假设第二个粒子的角运动是第一个粒子的formula_2倍，formula_36。但是，与牛顿不同，他们不要求两个粒子的径向运动相同，formula_201，而是要求两个径向运动的关系式为
其中，formula_181和formula_65都是常数。
这变换改变了粒子的路径。假设第一个粒子的路径写为formula_205，则第二个粒子的路径写为
假设第一个粒子感受到的作用力为formula_12，则第二个粒子感受到的作用力为
按照这方程式，将第一个作用力formula_209标度化，改换其参数，然后再增添平方反比连心力和立方反比连心力，就可以得到第二个作用力formula_210。
稍微比较一下，设定formula_211和formula_212，则这方程式约化为牛顿旋转轨道定理的增力方程式，注意到formula_213，符合牛顿旋转轨道定理里径向运动保持不变的条件。对于这案例，原本的作用力没有被标度化，参数保持不变，又增添了立方反比连心力，但增添的平方反比连心力等于零。还有，第二个粒子的路径是formula_214，与第一个粒子的路径相同。
导引.
牛顿的导引.
在牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》第一册的命题43至命题45里，可以找到他的导引。这些导引大多数是建立于几何学。
命题43；问题30.
详细地解释这句话，假设一条曲线formula_215绕著力中心点旋转，另外一条同样的曲线formula_216固定不动，则由于作用力为连心力，物体移动于曲线formula_215的运动，必定如同物体移动于曲线formula_216的运动。
牛顿的命题43导引依赖在《自然哲学的数学原理》里已先行推导出来的命题2。命题2给出一种能够查明一个粒子所感受到的合力是否为连心力的测验：牛顿表明，一个作用力是连心力，若且维若，在相等时间内，粒子的连心线扫过的面积都是相等的。
牛顿的导引如下：
假设一粒子感受到任意连心力formula_219，安置极作标系的原点于力中心点，则粒子位置的径向坐标和角坐标分别为formula_16。在无穷小时间formula_221内，其连心线扫过的面积formula_222为
由于粒子感受到的作用力为连心力，根据牛顿命题2，在相等时间内，粒子的连心线扫过相等角度，即粒子的连心线扫过的面积速度为常数：
在拱点，离力中心点最近或最远的位置，速度向量与径向向量相互垂直，单位质量的角动量（表示为formula_225）与常数面积速度的关系式为
第二个粒子的轨道的径向函数与第一个粒子完全相同，但角函数formula_227是第一个粒子的formula_2倍：
第二个粒子的面积速度formula_230是第一个粒子的面积速度乘以因子formula_2：
由于formula_2是常数，在相等时间内，第二个粒子的连心力也扫过相等面积。因此，根据命题2，第二个粒子所感受到的作用力也是连心力formula_234。这是命题43的结论。
命题44.
为了能从原本连心力formula_235计算出新的连心力formula_234，牛顿应用几何与向心加速度的定义来计算它们的差值formula_237。他证明这差值与径向距离的立方成反比：
仔细分析一个移动中的粒子所感受到的径向作用力formula_239，这作用力可以分为两部分，一部分给出牛顿第二定律的加速度项目formula_240，另一部分给出向心力项目formula_241：
此命题的两个粒子的径向距离相同，formula_213，因此涉及加速度项目的那一部分相等，所以，这两个粒子只感受到不同大小的向心力：
命题45；问题31.
在这命题里，从他的旋转轨道定理，牛顿推导出「牛顿拱点进动定理」：对于近圆形轨道，假若连心力遵守幂定律formula_142，则拱角遵守拱角方程式：
牛顿拱点进动定理可以用来研究近圆形轨道。对于行星轨道和月亮回绕地球的公转轨道，这近似通常成立。这近似也使得牛顿能够计算一些不同种类的连心力定律，不仅仅是平方反比定律或立方反比定律。
假设第一个粒子的轨道为椭圆轨道，则这粒子必定感受到平方反比力
其中，formula_248是半正焦弦，formula_181是半长轴，formula_250是椭圆离心率。
将这公式代入命题44的方程式，可以得到
对于近圆形轨道，将径向距离近似为 
其中，formula_253是远拱距，formula_254是偏差，设定为超小于远拱距。
牛顿以新函数formula_144来表达任意连心力formula_17，并且将formula_144展开为formula_1的级数，取至formula_254的一阶：
匹配零阶项目。这时，可以将formula_261近似为formula_147：
再匹配一阶项目：
综合这两个方程式，可以得到近圆形轨道角速度的标度因子formula_2的方程式：
以方程式表达连心力为formula_267，则formula_268，标度因子为formula_165。
换句话说，假设第一个粒子感受到平方反比力formula_270，而第二个粒子感受到任意连心力formula_267，则第二个粒子角速度为第一个粒子角速度的formula_2倍，第一个粒子的拱角为formula_273，第二个粒子的拱角为formula_274。总结，拱角方程式为
现代导引.
爱德蒙·惠特克（）和钱德拉塞卡都曾经分别发表过有关于牛顿旋转轨道定理的现代导引。
增力方程式.
假设，第二个粒子的角速度formula_11是第一个粒子的角速度formula_10的formula_2倍：
由于两个粒子的径向行为formula_6相同，两个粒子的守恒角动量formula_24、formula_282之间的关系为因子formula_2：
一个运动于连心势formula_285的粒子的拉格朗日量等于其动能减去连心势：
其中，formula_287是粒子的直角坐标。
其拉格朗日方程式为
分别应用径向运动方程式于这两个粒子，
其中，formula_235、formula_234分别为作用于第一个粒子和第二个粒子的连心力。
稍加编排，可以得到增力方程式：
这两个连心力之间的关系式的内涵，可以解释为，角速度（或等价地，角动量）的不同造成了向心力需求的不同；为了满足这需求，径向力必须增添一个立方反比力。
牛顿旋转轨道定理可以等价地以势能来表达，径向力方程式以势能写为
对于径向距离formula_1 积分，牛顿旋转轨道定理表明，增添一个平方反比连心势于任意给定的势能formula_296，可以使角速度增快为formula_2倍：
拱角方程式.
粒子的径向方程式为
注意到formula_300，对于时间的导数与对于角度的导数之间的关系式为
设定径向距离的倒数formula_302，变量代换，稍加运算，可以得到粒子路径的不含时微分方程式：
以方程式表达连心力为formula_304，将这代入路径微分方程式：
将近圆形轨道近似为椭圆轨道，formula_306；其中，formula_147是椭圆轨道的半正焦弦，formula_308是离心率。假设formula_309，取至formula_308的一次方，
注意到零次方项目，formula_312，所以formula_313。剩下的方程式简化为
为了要满足这方程式，必须设定formula_315。那么，路径方程式为
拱点是径向距离formula_1为极值之点，formula_318对于角度formula_319的导数等于零。因此，formula_320；其中；formula_321是整数。所以，近拱向量与远拱向量之间的夹角角度为　
称这为拱角方程式。进一步计算，可以得到更精确的结果