极限 (范畴论)

在数学里的范畴论中，极限（）的概念融贯了多种构造，包括和、积等等；范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。
极限分为极限与余极限（又称上极限），彼此的定义相对偶。在不同场合的别名及英译如下表：
本条目用语取归纳极限与射影极限。
定义.
一范畴 "C" 中的极限及上极限可用 "C" 中的图示来定义。形式上，"C" 中类型 "J" 的图示是指一个由 "J" 映射至 "C" 的函子：
范畴 "J" 称之为「索引范畴」，图示 "F" 可想做是以 "J" 索引 "C" 内的物件及态射。"J" 实际的物件及态射为何并不重要，关键在于之间的互动。
通常，最感兴趣的情况是当类型J为小范畴或有限范畴之时，此类图示分别被称为「小图示」及「有限图示」。
极限.
设 "F" : "J" → "C" 为一个在范畴 "C" 中类型 "J" 的图示。一个对应于 "F" 的「锥体」是指 "C" 中的一物件 "N" ，具有可以 "J" 内之物件 "X" 索引的态射族 ψ"X" : "N" → "F"("X")，使得对每个 "J" 内的态射 "f" : "X" → "Y"，均有 "F"("f") o ψ"X" = ψ"Y"。
图示 "F" : "J" → "C" 的极限是一个对应于 "F" 的锥体 ("L", φ)，使得对所有其他对应于 "F" 之锥体 ("N", ψ)，总存在一个「唯一的」态射 "u" : "N" → "L"，使得对所有 "J" 中的 "X"，φ"X" o "u" = ψ"X"。
可以说，锥体 ("N", ψ) 能被唯一的因子 "u" 分解成锥体 ("L", φ)。此一态射 "u" 有时称为「中介态射」。
极限亦称之为「泛锥体」，因为其所具有之泛性质（详见下文）。如同每个泛性质一般，上述定义叙述了一个有关一般性的对称状态：极限物件 "L" 够一般，能让所有其他锥体分解；另一方面，"L" 也必须够特殊，每个锥体都只可能有「一个」因子。
极限也可视为是在对应于 "F" 的锥体范畴内的终对象。
图示可能不存在极限；但若一个图示存在极限，则此一极限一定是唯一的：在同构下是唯一的。
上极限.
极限及锥体的对偶概念是上极限及上锥体。虽然可直接将上述定义的所有态射反转，以得到上极限及上锥体之定义，但下文仍将明确叙明之：
图示 "F" : "J" → "C" 的「上锥体是指 "C" 中的一物件 "N"，具有可以每个 "J" 中的物件 "X" 索引的态射族
使得对每个 "J" 内的态射 "f" : "X" → "Y"，均有 ψ"Y" o "F"("f")= ψ"X"。
图示 "F" : "J" → "C" 的上极限是 "F" 的上锥体 ("L", formula_1)，使得对所有其他对应于 "F" 的上锥体 ("N", ψ)，总存在一个「唯一的」态射 "u" : "L" → "N"，使得对所有 "J" 中的 "X"，"u" o formula_1"X" = ψ"X"。
上极限也称为「泛上锥体」，也可视为是在对应于 "F" 的上锥体范畴内的始对象。
如同极限一般，若图示 "F" 存在上极限，则此上极限在同构下是唯一的。
归纳系统与射影系统.
以下固定一个范畴formula_3，并探讨其中的极限。为避免集合的悖论，我们将固定一个宇宙formula_4，并假定formula_3是formula_4-范畴，即：对任意两个对象formula_7，态射集formula_8同构于formula_4里的某个集合。formula_10表所有formula_4里的集合构成的范畴。
设formula_12为对formula_4的一个小范畴，所谓归纳系统（或称I-图）系指一个函子formula_14，射影系统则指一函子formula_15。
形象地说，归纳系统不外是给定formula_3中一族对象formula_17，对每个态射formula_18都有formula_3中对应的态射formula_20，且此对应在态射的合成下不变。射影系统对应的态射则反向：formula_21。
固定一对象formula_22，对任意归纳系统α或射影系统β，可定义从formula_23到formula_10的函子
我们将遵循可表函子的哲学，从集合的射影极限出发。暂设formula_27，formula_10上的归纳系统不外是formula_12上的预层。给定一个归纳系统β，定义：
可手工验证下述自然同构：
若干例子.
始对象与终对象.
令formula_12为空范畴，此时的归纳极限与射影极限（若存在）便分别满足泛性质
这不外就是formula_3里的始对象与终对象。
纤维积与纤维余积.
令formula_12为离散范畴（即：其间只有恒等态射），此时归纳及射影系统不外只是一族formula_3的对象formula_38，对应的归纳极限及射影极限称作余积（又称上积）与积。
令formula_12为范畴formula_40；设formula_14对应于formula_42。若其归纳极限存在，称之formula_43对formula_44的纤维余积，写作formula_45。
对偶地看，对于formula_46，对应于formula_47，若其射影极限存在，称之formula_48对formula_49的纤维积，写作formula_50。
纤维积与纤维余积可视为「相对」版本的积与余积。若存在终对象（或始对象），则积（或余积）可视为对该对象的纤维积（或纤维余积）。
核与上核.
核（kernel）与余核（cokernel，又译上核），有时也称等化子（equalizer）与余等化子（coequalizer）。考虑对应到 formula_51 的归纳或射影系统，此时的归纳极限formula_52称作上核，射影极限formula_53称作核。它们的泛性质图解如下：
在加法范畴中仅须考虑formula_54的状况，上述概念遂归结为同调代数所探讨的核与余核。
性质.
极限之交换.
设formula_55为小范畴，formula_56为归纳系统，则有自然同构
将箭头反向，对射影系统formula_58亦有自然同构
归纳极限与射影极限通常不交换，一个格外有用的结果是：若formula_12是滤通范畴，则formula_61与任意formula_62交换。
完备性.
若一个范畴内存在任意的（小）射影极限，则称之完备范畴；完备的充要条件是存在任意的积与核。
将箭头反向，遂得到上完备范畴的定义及其充要条件。
正合函子.
考虑一个函子formula_63。
在阿贝尔范畴中，上述定义回归到同调代数中的定义。
根据极限的泛性质，formula_71函子无论对哪个变数都是左正合的。
设formula_72是一对伴随函子。若formula_3存在任意有限归纳极限，则formula_65右正合；若存在任意有限射影极限，formula_75左正合。此法可建立许多函子的正合性。
具体实例.
拓扑空间.
拓扑空间范畴formula_85也是完备且上完备的。各种极限构造与集合相同，惟须安上适合的商拓扑或子空间的诱导拓扑。
特别是可以构造一族无穷多个拓扑空间的极限及逆极限，此时相应的拓扑称作始拓扑或终拓扑。此类构造在泛函分析及同伦理论中特别有用。
一个拓扑空间formula_44满足豪斯多夫性质的充要条件是formula_87的核formula_88是闭浸入，将此性质推广到概形上，则得到分离概形。
概形.
概形范畴formula_89（或相对版本formula_90）有终对象formula_91（或formula_92），并存在有限的纤维积。
抽象代数.
阿贝尔群范畴formula_93或一个环formula_94上的模范畴formula_95都是完备且上完备的。函子的正合性对应到交换代数里的正合性概念。
射影极限的一个典型例子是p进整数：formula_96。