巴拿赫-阿劳格鲁定理

泛函分析和邻近数学分支中，巴拿赫-阿劳格鲁定理或阿劳格鲁定理（或）断言，任意赋范向量空间的连续对偶空间中，闭单位球在弱*拓扑中为紧。常见证明将弱*拓扑中的单位球看成一系列紧集之积的闭子集。根据吉洪诺夫定理，该些紧集的积拓扑空间仍为紧，故该球亦然。
定理在量子力学方面有应用。系统的可观测量是某个C*代数中的自伴算子，而量子态则是该代数上的线性泛函。此框架下，定理可以推出，每个量子态皆是纯态的凸线性组合。
历史.
纳里奇（）与贝肯斯坦（）书中，称阿劳格鲁定理为「非常重要的结果——也许是关于唯一（）最重要的事——回响传遍泛函分析。」1912年，赫利（）证明，闭区间上连续函数的空间formula_1，其连续对偶空间的单位球，为弱*。1932年，斯特凡·巴拿赫证明，任何可分赋范向量空间的连续对偶中，闭单位球必为弱*序列紧（他仅考虑了序列紧）。 
一般情况的证明，是由于1940年发表。纳里奇与贝肯斯坦书中，引述Pietsch [2007]指，至少有12个数学家可以主张自己证明此定理或某个重要前身。 
布尔巴基-阿劳格鲁定理（）是尼古拉·布尔巴基将原定理推广到的的结果。此定理亦称为巴拿赫-阿劳格鲁定理或弱*紧定理（），也常简称为阿劳格鲁定理（）。
敍述.
一般敍述.
对于域formula_2上的向量空间formula_3，以formula_4表示其代数对偶（所有线性泛函组成的空间）。两者由双线性求值映射formula_5所联系，该映射由 
定义。所以，三元组formula_7（两个空间及一个映射）组成，称为典范对偶系。
若formula_3进一步具有拓扑，即为拓扑向量空间（TVS），则可分辨其上的函数连续与否，并定义其连续对偶formula_9为代数对偶formula_4中，连续泛函组成的子集。以formula_11表示formula_4上的。类似有formula_13是formula_9上的弱*拓扑。
弱*拓扑又称逐点收敛拓扑，因为给定映射formula_15和一网映射formula_16，网formula_17在弱*拓扑中收敛至formula_15，当且仅当对定义域中每点formula_19，函数值组成的网formula_20收敛到formula_21。 
阿劳格鲁定理
设formula_3为任意拓扑向量空间（无需豪斯多夫或），formula_9为其连续对偶，则对于formula_3中原点的任何邻域formula_25（formula_26），其 
在formula_9上的formula_13中，必为紧集。
此外，formula_30亦是formula_25相对于典范对偶系formula_7的极集，在拓扑空间formula_33同样为紧。
赋范特例.
若formula_3为赋范向量空间，则原点邻域的极集，在对偶空间中为闭，且其范数有上界。特别地，若formula_25为formula_3的开（或闭）单位球，则formula_25的极集为连续对偶空间formula_9的闭单位球（对偶空间配备平常的对偶范数）。此时，定理化为以下特例：
巴拿赫-阿劳格鲁定理
若formula_3为赋范空间，则连续对偶空间formula_9中，算子范数的闭单位球，为中的紧集。
当formula_3的连续对偶formula_9是无穷维赋范空间时，formula_9中的闭单位球，不可能是平常范数拓扑的紧集。原因是，范数拓扑的闭单位球为紧，当且仅当空间为有限维（见）。此定理显示出，在同一个向量空间上，考虑不同的拓扑，到㡳有何用。
但注意，巴拿赫-阿劳格鲁定理并不推出弱*拓扑为局部紧，因为仅知闭单位球在中为原点的邻域，在弱*拓扑中则不一定。弱*拓扑中，单位球的内部可能为空，除非空间为有限维。实际上，韦伊证明，局部紧的豪斯多夫拓扑向量空间必为有限维。
证明.
对偶理论证明.
记formula_3的基域为formula_2，此处为实数域formula_46或复数域formula_47。证明会用到、、连续线性算子的基本性质，可参见该些条目，以下亦会简单提及。
先列举一些常见定义和性质。当代数对偶formula_4配备formula_11时，为一个豪斯多夫拓扑向量空间，记为formula_33。空间formula_33总是，但连续对偶formula_52则不一定，此即证明需牵涉formula_33的原因。具体而言，本证明用到的性质是：完备豪斯多夫空间的子集为紧，当且仅当其为闭，且。注意formula_9从formula_33继承的子空间拓扑，等于弱*拓扑formula_13。为验证此事，只需检查对每个formula_57，formula_9中的网在其中一个拓扑中收敛到formula_59，当且仅当在另一个拓扑中亦然（因为两个拓扑结构相等，当且仅当其具有的收敛网完全一样）。
三元组formula_60也是（有双线性映射formula_61），但与formula_7不同，前者一般而言未必是对偶系。以下定义极集时，会注明是对于何种对偶而言。
设formula_25为formula_3原点的邻域，又设： 
极集的基本性质有formula_74。 
下证巴拿赫-阿劳格鲁定理，分若干步：
较初等的证明.
以下证明，仅用到集合论、点集拓扑、泛函分析的基本概念。拓扑方面，需要熟悉使用拓扑空间中的网、积拓扑、两者与逐点收敛的关联（为方便起见，证明中也会给出部分细节）。同时也要了解，线性泛函为连续，当且仅当其在原点的某个邻域上有界（见）。 
设向量空间formula_3的基域为formula_2，为实数系formula_46或复数系formula_47两者之一。对任意实数formula_144，以
表示以原点为球心，半径为formula_144的闭球。在formula_147中，此为紧的闭集。
极集的等价表示.
由于formula_25是formula_3中原点的邻域，可知formula_25亦是formula_3的吸收集，即对每个formula_152，皆有正实数formula_153使formula_154。以
表示formula_25相对典范对偶系formula_7的极集。将证明，此极集formula_75，与定理提到，formula_25相对formula_60的极集formula_30，两者相等。
formula_97成立，是因为连续线性泛函按定义必是线性泛函。反之，欲证formula_163，设formula_83满足formula_165，即线性泛函formula_15在邻域formula_25上有界。所以formula_15是连续线性算子（换言之formula_103），从而有formula_104，即所求证。
至此，已证明formula_171，余下的证明中，需理解笛卡儿积formula_172与所有formula_173的映射构成的空间formula_174等同。仍需证明以下两个命题：
以上命题推出，formula_175为formula_189的闭子集，而由吉洪诺夫定理，该积空间为紧（因为每个闭球formula_190皆为紧）。因为紧空间的闭子集仍为紧，所以有formula_30为紧集，从而证毕巴拿赫-阿劳格鲁定理的主要结论。
极集为闭.
以下证明前述命题1。代数对偶formula_4总是积空间formula_193 的闭子集。要证明formula_175在formula_174中为闭，祇需证明集合
是formula_174的闭子集，因为若有此结论，则formula_198是formula_174中两闭集之交，故亦为闭集。
设formula_200，又设formula_16为formula_202中的网，在formula_174中收敛到formula_15。需要证明formula_205。换言之，要证对每个formula_85，formula_84（或等价写成formula_208）。由于在纯量域formula_2中，formula_210，且每项formula_88皆属于formula_2中的闭子集formula_213，此网的极限formula_91亦必属于该闭集，即formula_208。证毕命题1。
上述证明可以推广，以论证以下命题：
设formula_216为任意集合，formula_217为拓扑空间formula_218的闭子集，则在formula_219的逐点收敛拓扑中，formula_220为闭子集。
命题1为其特殊情况，取formula_221和formula_222便得。
极集包含于紧空间之积.
以下证明前述命题2。对任意formula_223，以formula_224表示到第formula_225个坐标的。欲证formula_226。换言之，欲对每个formula_152，证明formula_228。
于是选定formula_152，设formula_230；要证formula_231。由formula_181的定义，formula_184，故formula_234。因为formula_235，线性泛函formula_15满足formula_237，所以由formula_238，可知
所以formula_240，即formula_241，证毕命题2。
序列版本.
巴拿赫-阿劳格鲁定理有个特殊情况，对可分空间使用，并将「紧」换成「序列紧」。此时定理断言：
可分赋范向量空间的对偶中，闭单位球在弱*拓扑下是序列紧。
可度量.
实际上，可分空间的对偶的闭单位球上，弱*拓扑可度量，故紧与序列紧等价。
明确而言，设formula_3为可分赋范向量空间，而formula_243为连续对偶formula_9中的闭单位球。根据formula_3可分的定义，有某个可数稠密子集，列举为formula_246。则下式定义一个度量：对于formula_247，
其中formula_249表示formula_9与formula_3的对偶匹配，即将后一个元素代入到前一个元素求值。此度量下，formula_243为序列紧之事，用类似阿尔泽拉-阿斯科利定理的对角线证法，即可证明。
由于证明本质为构造性（而非如一般情况，用到非构造性的选择公理），在偏微分方程学中，有时使用序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，构造偏微分方程或变分问题的解。举例，若有某个可分赋范空间formula_3，其对偶上有泛函formula_254，欲求最小值，则常见策略是先构造序列formula_255，使formula_256的泛函值趋向下确界，然后诉诸序列巴拿赫-阿劳格鲁定理，取出子序列formula_257，在弱*拓扑下收敛到极限formula_19，并确定formula_19使formula_256取最小值。最后一步通常要求formula_256在弱*拓扑下为（序列）下半连续。
考虑另一个例子，设formula_262为实轴上，在无穷远处消失的连续函数组成的空间，则由里斯-马可夫表示定理，formula_9为实轴上全体有限拉东测度的空间。此时序列巴拿赫-阿劳格鲁定理等价于。
证明.
下证序列版本的巴拿赫-阿劳格鲁定理。
对每个formula_152，设
以及
因为formula_267是复平面的紧子集，formula_268在积拓扑中亦为紧（根据吉洪诺夫定理）。
formula_9中的闭单位球formula_270，可以自然地看成formula_268的子空间：考虑映射
其为单射，且对于formula_270的弱*拓扑和formula_268的积拓扑而言，是连续映射。在像集上，映射的逆也连续。
欲完成定理的证明，只需证明映射的像为闭集。给定网formula_268中的网
等式formula_277定义的泛函formula_278，也在formula_279中。定理证毕。
推论.
赋范空间.
假设formula_3为赋范空间，则其连续对偶空间formula_9具有对偶范数。 
与选择公理的关系.
通常，会用到吉洪诺夫定理来证明巴拿赫-阿劳格鲁定理，所以要依赖于ZFC公理系统，尤其是选择公理。主流泛函分析中，许多结果皆依赖选择公理。然而，本定理在可分空间的情况（见）并不依赖选择公理，该情况下有构造性证明。对于不可分的情况，比选择公理严格弱，但亦足以证明巴拿赫-阿劳格鲁定理。反之，巴拿赫-阿劳格鲁定理也推出超滤子引理，所以两者等价。