刚体

在物理学里，理想刚体（）是一种有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到外力，在刚体内部，质点与质点之间的距离都不会改变。这种理想模型适用条件是，运动过程比固体中的弹性波的传播要缓慢得多。根据相对论，这种物体不可能实际存在，但物体通常可以假定为完美刚体，前提是必须满足运动速度远小于光速的条件。
在经典力学里，刚体通常被视为连续质量分布体；在量子力学里，刚体被视为一群粒子的聚集。例如，分子（由假定为质点的电子与核子组成）时常会被视为刚体。
运动学.
位置与取向.
刚体是由一群数量超多的质点组成。实际而言，不可能精确地追踪其中每一个质点的运动。为了简化运算，可以利用刚体的「刚性」，即其内部所有质点彼此之间距离不变的性质。假若物体具有刚性，则倚靠设定三个不共线质点的位置，就足以设定此物体的位置。这意味著，在三维空间里，刚体至多只有九个自由度，但由于假定三个质点之间的距离固定不变，所以，刚体只有六个自由度。假设还有其它约束，例如，刚体的运动必需绕著其内部一点旋转（定点转动），或绕著其内部一直轴旋转（定轴转动），则自由度会小于六。
关于其它任意质点P的位置，只要知道质点P对于上述三个质点之中的任意一个质点的相对位置，就可以重建这质点的位置。通常，整个刚体的空间位形可以简易地以参数设定：
方向余弦.
方向余弦方法可以用来设定附体参考系B的取向，即刚体的取向。假设沿著参考系S的坐标轴的三个单位向量分别为formula_1、formula_2、formula_3，沿著参考系B的坐标轴的三个单位向量分别为formula_4、formula_5、formula_6。定义formula_7与formula_8之间的方向余弦formula_9为
其中，formula_11是formula_7与formula_8之间的夹角。
formula_4、formula_5、formula_6与formula_1、formula_2、formula_3之间的关系分别为
两个参考系的坐标轴所形成的矩阵称为「方向余弦矩阵」formula_23：
采用爱因斯坦求和约定，由于formula_25，给定方向余弦矩阵formula_23，则可设定附体参考系B的取向，也就是刚体的取向。
反过来，经过一番运算，可以得到formula_27。
给定位置向量formula_28
则formula_28与formula_7的内积为
方向余弦矩阵formula_23可以将从空间参考系S观测的位置坐标formula_34，变换为从附体参考系B观测的位置坐标formula_35，因此又称为「变换矩阵」。
变换矩阵formula_23也可以做反变换如下：
变换矩阵formula_23是一种正交矩阵，满足「正交条件」
其中，formula_40是克罗内克函数。
注意到formula_11与formula_42不同，夹角formula_42是formula_44与空间参考系S的坐标轴单位向量formula_45之间的夹角。变换矩阵formula_23通常不是对称矩阵。
对于二维旋转，变换矩阵formula_23可以视为旋转矩阵。例如，将附体参考系B或刚体旋转，从formula_4、formula_5、formula_6旋转formula_51角弧成为formula_52、formula_53、formula_54；其中，formula_55。对于这旋转，旋转矩阵formula_23为
参考轴formula_58与formula_44之间的关系为
旋转矩阵formula_23也可以视为将点P的位置向量formula_62旋转formula_63角弧成为点P'的位置向量formula_64：
欧拉角.
方向余弦矩阵formula_23足以设定附体参考系B的取向。但是，矩阵formula_23有九个元素，而刚体只能供给三个自由度来设定取向，因为这九个元素不是。欧拉角的三个自变量可以用来设定刚体的取向。
相对于空间参考系S，附体参考系B的取向，可以用三个欧拉角来设定。参阅右图。设定xyz-轴为空间参考系S的坐标轴，XYZ-轴为附体参考系B的坐标轴。称xy-平面与XY-平面的相交为「交点线」，用英文字母（N）代表。按照「zxz顺规」，欧拉角可以这样定义：
每一个欧拉角的旋转都对应于一个简单的旋转矩阵：
设定刚体取向的旋转矩阵formula_23是由三个简单旋转矩阵formula_75、formula_76、formula_77共同合成：
单独分开工作，每个矩阵各自代表一种旋转。按照顺序相乘，
经过一番运算，可以得到formula_23矩阵：
formula_23的逆矩阵是：
欧拉旋转定理.
欧拉旋转定理表明，在三维空间里，假设约束刚体内部一点固定不动，则其任意位移等价于绕著某固定轴的一个旋转，而这固定轴必包含这固定点。换句话说，设定附体参考系B的原点为这固定点，则附体参考系B不会因为这位移而涉及任何平移运动，再设定附体参考系B的z-轴与固定轴同轴，则这位移对应于绕著附体参考系B的z-轴旋转formula_70角弧，而z-轴的方向是由formula_68与formula_69角弧给出。
对于内部有一点被约束固定不动的刚体（或原点固定不动的参考系），欧拉旋转定理将其任意位移等价为绕著某固定轴的一个旋转。这允许使用旋转来表达取向的改变。因此，变换矩阵formula_23可以视为三维旋转的旋转矩阵，将附体参考系B或刚体做任意环绕著固定点的旋转，从formula_4、formula_5、formula_6旋转成为formula_52、formula_53、formula_54。参考轴formula_58与formula_44之间的关系为
沙勒定理.
当刚体移动时，它的位置与取向都可能会随著时间演进而改变。是欧拉旋转定理的一个推论。根据沙勒定理，刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转。因此，刚体运动可分为平移运动与旋转运动。刚体的现在位置与现在取向可以视为是从某个初始位置与初始取向经过平移与旋转而成。
如右图所示，从时间formula_96到时间formula_97，当刚体在做平移运动时，任意内部两点，点P与点Q的轨迹（以黑色实线表示）相互平行，线段formula_98（以黑色虚线表示）的方向保持恒定。
挑选刚体内部一点G来代表整个刚体，设定附体参考系B的原点于点G（称为「基点」），则从空间参考系S观测，在刚体内部任意一点P的位置formula_99为
其中，formula_101、formula_102分别是基点G的位置、点P对于基点G的相对位置。
从附体参考系B观测，刚体内部每一点的位置都固定不变，但从空间参考系S观测，刚体从时间formula_96到时间formula_97的运动，可以分为基点G从formula_105到formula_106的平移运动，与位移formula_102从时间formula_96到时间formula_97的旋转运动。
平移速度与角速度.
从不同的参考系观测刚体运动，可能会获得不同的平移速度和不同的角速度。为了确保测量结果具有实际物理意义，必需先给定参考系。
刚体的平移速度是向量，是其位置向量的时间变化率，是附著于刚体的基点G的速度。对于纯平移运动（没有任何旋转运动），刚体内部所有点的移动速度相同。假设涉及旋转运动，则通常刚体内部任意两点的瞬时速度不相等；只有当它们恰巧处于同一直轴，而这直轴平行于，则它们的瞬时速度相等。
角速度也是向量，描述刚体取向改变的角速率，和刚体旋转时的瞬时转轴的方向（欧拉旋转定理保证瞬时转轴的存在）。在任意时间，刚体内部每一个质点的角速度相同。
向量的时间变化率.
假设一刚体呈纯旋转运动，其附体参考系B也会跟著旋转，因此，对于任意向量formula_110，从这附体参考系B与从空间参考系S观测，会得到不同的结果。假设附体参考系B formula_111与空间参考系S formula_112同原点。对于这些参考系，三维含时向量formula_113分解为
formula_113对于时间的导数为
单独计算附体参考轴对于时间的导数：
其中，formula_118是方向余弦对于时间的导数。
由于formula_119垂直于formula_7，formula_119只能是其他两个单位向量的线性组合：
其中，formula_123是列维-奇维塔符号，formula_124是系数。
对于任意formula_125 ,
单位向量formula_7与formula_127的内积对于时间的导数为
所以，formula_124的下标formula_130多余无用，可以删除，变为formula_131：
思考formula_133方程式最右边项目formula_134，对换傀标formula_130 formula_136，可以得到
向量formula_138是由三个系数formula_139、formula_140、formula_141组成，对应于附体参考系的三个参考轴formula_4、formula_5、formula_6，系数数值可以从欧拉角计算求得：
试想对应于欧拉角formula_68、formula_69、formula_70的三个旋转轴分别为formula_151、formula_152、formula_153，三个角速度分别为
这三个角速度的向量和，对于附体参考系B的分量分别为
注意到附体参考系B的formula_4、formula_5、formula_6就是欧拉角的formula_163、formula_164、formula_153，所以，向量formula_138是附体参考系B旋转的角速度。
总结，向量formula_113对于时间的导数为
设定formula_169、formula_170分别为从空间参考系S、附体参考系B观测到的向量formula_113对于时间的导数，上述方程式可以表达为
项目 formula_173可以想像为，从空间参考系S观测，刚体内部位置向量为formula_110的质点，由于刚体旋转而产生的速度。
向量formula_113是任意向量，因此可以将formula_176、formula_177当作算符，这样，对应的算符方程式的形式为：
这算符方程式可以作用于任意含时向量。
运动学方程式.
根据沙勒定理，刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转。挑选刚体内部一点G来代表整个刚体，设定附体参考系B的原点于基点G，则从空间参考系S观测，在刚体内部任意一点P的位置formula_99为
其中，formula_101、formula_102分别是基点G的位置、点P对于基点G的相对位置。
点P的速度formula_183为
其中，formula_185、formula_186分别是基点G的速度、点P对于基点G的相对速度。
应用前段推导出的适用于任意含时向量的算符方程式，可以计算出formula_187。由于从附体参考系B观测，刚体内部每一点的位置都固定不变，项目formula_188等于零：
其中，formula_138是刚体的角速度向量。
所以，点P的速度为
点P的加速度formula_192为
其中，formula_194、formula_195分别是基点G的速度、点P对于基点G的相对速度。
再应用前段推导出的算符方程式，可以计算出
其中，formula_197是附体参考系B旋转的角加速度向量。
动力学.
当描述刚体的动力运动时，必需先处理妥善刚体的平移运动，即先选择一个参考点来代表刚体与其附体参考系B。刚体内部任意一点都可以被选为参考点（附体参考系B的原点）。但是，根据实际应用需要，比较适当的选择为：
当质心被选为参考点时：