逆半群

群论中，逆半群 formula_1 为一类半群，其任意元 formula_2 均具唯一"逆" formula_3 使得 formula_4 且 formula_5, 即任意元均具唯一逆的正规半群。逆半群出现在不少领域，如用于研究部分对称群。
（本文遵循半群理论研究中的惯例，书函数名于参数右侧，函数复合亦从左至右，如 formula_6 而非 formula_7.）
起源.
逆半群分别由 在苏联于 1952 年、在英国于 1954 年独立引入。两位作者均通过研究集合上的偏双射得到逆半群：集合 formula_8 的偏变换 formula_9 为从 formula_10 到 formula_11 的函数，其中 formula_12. 令 formula_9, formula_14 为集合 formula_8 的偏变换，其能够（从左到右）在“有意义”组成它们的最大定义域上组成：
其中 formula_17 表示 formula_9 的原像。偏变换在的背景下已有研究。首先是 Вагнер 注意到偏变换的复合是二元关系复合的特例，还认识到两个偏变换的复合，其定义域可能为空，因而引入空变换以考虑之。伴随空变换引入，集合偏变换的复合是处处定义的二元结合关系。依此复合，集合 formula_8 上全部偏一一变换的总体 formula_20 即构成一逆半群，称 formula_8 上的对称逆半群或幺半群，其中逆定义作从像到定义域的函数逆。这就是“原型”逆半群了，同样地可以说对称群是“原型”群。举例，所有群均可嵌入对称群，所有逆半群均可嵌入对称逆半群（见下文的逆半群的同态与表示章节）。
基本叙述.
逆半群 formula_1 中的元 formula_23, 其逆常写作 formula_24. 逆半群中的逆，不少性质同乎群中的逆，例如 formula_25. 在逆幺半群中，formula_26 和 formula_27 均幂等。满足 formula_28 的逆幺半群 formula_1 （一个“幂幺逆幺半群”）当然是群。
逆半群 formula_1 有如下等价特征：
formula_38 的 formula_34-类中的幂等元为 formula_40, 而 formula_38 的 formula_35-类中的幂等元为 formula_43.
因而在逆半群中的 Green 关系又一个简单特征：
除非另行说明，将以 formula_45 指代逆半群 formula_1 幂等元构成的半格。
逆半群的例子.
以乘法表示例，逆半群可结合，且任意元均由 , 具其逆，但无幺且非交换。
自然偏序.
逆半群 formula_1 总具自然偏序 formula_49（有时写作 formula_50），满足：
对 formula_1 中的幂等元 formula_53. 此外有等价表述
对一些（一般不同的）幂等元 formula_55. 实际上 formula_56 可视作 formula_57, formula_58 可视作 formula_59.
自然偏序同时兼容乘法与逆运算，即：
且
群中的逆序则简单地退化为等价关系，因为幺元正是其唯一幂等元。在交换逆半群中，逆序退化为限制映射，即 formula_62 当且仅当 formula_9 的定义域含于 formula_14 的定义域，且 formula_65.
对 formula_45 来说，自然偏序变成了：
故而由于幂等元构成乘积运算下的半格，formula_45 的乘积给出了关系 formula_49 的最小上界。
若 formula_45 有限且构成链（即 formula_45 按 formula_49 构成全序），则 formula_1 为群的并。若 formula_45 为无穷链，亦可能据 formula_1 和 formula_45 的假设获得类似结果。
逆半群的同态与表示.
逆半群的同态（或态射）以与对其他半群那样完全相同的方式定义：对逆半群 formula_77, 函数 formula_78 是同态，当且仅当 formula_79. 可用控制条件 formula_80 加强上述定义以阐明逆半群的态射，但并不必要，因为这一性质可由上面的定义导出，有定理：
关于逆半群，最早的结果之一由 Wagner-Prestion 定理证明，这是群论中 Cayley 定理的类推：
因此，任意逆半群可嵌入交换逆半群，而偏双射的像对取逆封闭。反过来说，任意交换逆半群的子半群是逆半群，若对逆运算封闭。故而半群 formula_1 同构于交换逆半群对逆运算封闭的子半群当且仅当 formula_1 是逆半群。
逆半群的同余.
逆半群的同余实际与其他半群的如出一辙：同余 formula_83 为兼容半群乘法的等价关系：
特别值得关注的是定义在逆半群 formula_1 上的关系 formula_86:
可以证明 formula_86 为同余，而且实际上是群同余，这意味着因子半群 formula_89 是群。半群 formula_1 上的所有群同余构成的集合中的极小元（就由集合包含给出的偏序而言）不一定是最小元。特别当 formula_1 为逆半群时，formula_86 是使得 formula_89 是群的 formula_1 上的最小同余，换言之，给定群同余 formula_95, formula_86 必包含于 formula_97. 称同余 formula_86 为 formula_1 上的极小群同余。极小群同余可用于给出 formula_100-纯逆半群的一个表征（见下文）。
逆半群 formula_1 的同余 formula_83 称幂等纯若
formula_100-纯逆半群.
一类常年广受关注的逆半群是 formula_100-纯逆半群：称逆半群 formula_1（有幂等元半格 formula_100） formula_100-纯当且仅当 formula_109
条件等价于
以下是 formula_100-纯逆半群 formula_1 更深刻的一个表征：formula_114.
formula_100-纯逆半群研究的核心为下述构造。
令 formula_116 为序关系 formula_49 的偏序集，令子集 formula_118 具性质：
现令 formula_126 为左作用于 formula_116 上的群，有
三元组 formula_132 亦假设拥有如下性质：
如此的 formula_132 称 McAlister 三元组。McAlister 三元组用于定义如下:
通过乘法规则
此时 formula_138 构成该乘法规则下的逆半群，有 formula_139. formula_100-纯逆半群研究的主要结果之一是 McAlister formula_141-定理：
formula_142-逆半群.
逆半群称 formula_142-逆半群若任意元在自然偏序意义下均拥有唯一极大元，即所有 formula_86-类均拥有极大元。formula_142-逆半群均为 formula_100-纯幺半群。McAlister 覆盖定理由 M. V. Lawson 精简叙述如下：
McAlister formula_141-定理能够良好表征 formula_142-逆半群。McAlister 三元组 formula_132 为 formula_142-逆半群，当且仅当 formula_119 为 formula_116 的主理想且 formula_116 为半格。
与范畴论的联系.
上文中集合上偏变换的复合得到了交换逆半群，下面阐述另一种复合偏变换的形式，约束力更强：两偏变换 formula_154 可复合当且仅当 formula_9 的像完全等于 formula_14 的定义域，否则称复合 formula_157 未定义。
采用替换后的复合定义，所有集合上的偏一一变换总体不构成逆半群，而在范畴意义上构成诱导群胚。
逆半群和到处群培之间的密切联系体现于 Ehresmann-Schein-Nambooripad 定理，该定理指明，导出群胚总能经由逆半群构造，反之亦然。更准确地说，逆半群严格地是偏序集范畴中的一个群胚，这是关于其（对偶）Alexandrov 拓扑的 étale 群胚，且其对象的偏序集为交半格。
逆半群的推广.
按前述记号，逆半群 formula_1 限制于：
对逆半群来说，这就引出两条不同的推广方式，即保留其中一个限制而取消另一个。
逆半群的正则推广有下例：
广义逆半群类为局部逆半群类与保守半群类的交。
逆半群的非正则推广有：
逆范畴.
逆运算这一记号亦可拓展到范畴上。逆范畴即其任意态射 formula_169, 均对应唯一逆 formula_170, 使得 formula_171. 易知逆范畴自对偶。典例即集合范畴及其上的偏双射。
逆范畴在理论计算机科学里已有部分应用。