轨形

拓扑学与几何学中，轨形（orbifold，“有轨的流形”）是对流形的推广。粗略地说，轨形是局部为欧氏空间的有限群商的拓扑空间。
轨形的定义已出现过好几次：1950年代佐武一郎在研究自守形式时将其命名为“V-流形”；1970年代，威廉·瑟斯顿在研究3-流形的几何时，经过与学生的投票将其命名为“轨形”；1980年代，André Haefliger在研究米哈伊尔·格罗莫夫的CAT(k)空间纲领时将其命名为“轨边形”（orbihedron）。
历史上，早在正式定义出现前，轨形首先是作为具有奇点的曲面出现的。最早的经典例子之一出现在模形式理论中，模群formula_1对上半平面的作用：对商添加2个轨形尖点、实现紧化后，可得到黎曼–罗赫定理的一种表述。3-流形理论中，赫伯特·塞弗特提出的塞弗特纤维空间理论可用2维轨形表述。几何群论中，后格罗莫夫时期的离散群是根据“轨边形”（orbihedron）及其覆叠空间的局部曲率特性来研究的。
弦论中，“轨形”的含义略有不同。下详。二维共形场论中，“轨形”指顶点代数在自同构的有限群作用下附着于定点的子代数。
底空间的主要例子是流形在具有迷向有限子群的微分同胚（可能无限）群的纯不连续作用下的商空间。这尤其适于有限群的任何作用，于是有界流形带有自然的轨形结构，因为它是自身的双倍对formula_2作用的商。
拓扑空间可携带不同的轨形结构。例如，考虑与沿formula_3旋转的圆的商空间相关联的轨形"O"，其与圆同胚，但自然轨形结构不同。可将流形的大部分特征直接推广到轨形，而它们通常不同于底空间的相应特征。上述例子中，"O"的轨形基本群是formula_2，其轨形欧拉示性数为1。
正式定义.
使用轨形图集.
与流形类似，轨形也由局部条件指定；不过轨形不是以formula_5的开子集为局部模型，而用formula_5的开子集对有限群作用的商。轨形的结构不仅包括底商空间的结构（不必是流形），还包括迷向子群。
"n"维轨形包含豪斯多夫拓扑空间"X"，称作底空间（underlying space）；以及一个覆叠，包含对有限交封闭的开集formula_7。formula_8都有
若满足下列属性，则轨形坐标图的集合形成轨形图集（atlas）：
对流形上的图集，若"X"的两个轨形图集能连续地组合成更大的轨形图集，则称它们等价。于是，轨形结构是轨形图集的等价类。
注意轨形结构在同构意义上决定了轨形上任意点的迷向子群：可作为任意轨形坐标图上点的稳定子来计算。若formula_24，则在formula_25中有唯一的过渡元素formula_26，使得
这些过渡元素满足
以及上循环关系（不失结合性）
更广义地说，在轨形坐标图对轨形的开覆叠上，附着着叫做“复群”的组合数据。（下详）
与流形的情形完全一样，可对胶合映射施加可微条件，得到微分轨形。若轨形坐标图上还存在不变的黎曼度量，且胶合映射等距，则称为黎曼轨形。
用李广群定义.
广群包含对象集合formula_30、箭头集formula_31与结构映射（包括源映射和目标映射formula_32及允许箭头组合、取逆的其他映射）。若formula_33都是光滑流形；所有结构映射都光滑；源映射和目标映射都是浸没，则称其为李广群。源纤维与目标纤维在给定点formula_34的交，即集合formula_35，是formula_31在"x"点的迷向群，是个李群。若映射formula_37是紧合映射，则称李广群也紧合（proper）；若源映射和目标映射都是局部微分同胚，则称平展。
轨形广群由以下等价定义给出：
由于紧合广群的迷向群自动地紧，离散条件意味着迷向群必须是有限群。
在上述定义中，轨形广群与轨形图集起类似作用。事实上，在豪斯多夫拓扑空间"X"上的轨形结构被定义为轨形广群formula_38的森田等价类，以及同胚formula_39，其中formula_40是李广群"G"的轨道空间（即当formula_41时，若有formula_42，"M"对等价关系的商）。这定义表明，轨形是一种特殊的微分叠。
两种定义间的关系.
给定空间"X"上的轨形图集，可构造伪群，由"X"的开集间所有保留了过渡函数formula_43的微分同胚组成。反过来，其元素的芽空间formula_44是轨形广群。此外，据轨形图集的定义，有限群formula_10都忠实地作用于formula_46，所以广群formula_44自动地有效，即映射formula_48都是单射。当且仅当与之相关联的轨形广群森田等价时，两个不同的轨形图集会产生相同的轨形结构。于是，第一个定义的轨形结构（也称为经典轨形）在第二个定义下是特殊的。
反过来说，给定轨形广群formula_38，在其轨道空间上有规范轨形图集，其相关的有效轨形广群与"G" 森田等价。由于森田等价广群的轨道空间是同胚的，在有效情况下，第二个定义的轨形结构还原了经典轨形。
因此，虽然轨形图集的概念更简单，在文献中也更常见，但轨形广群在讨论非有效轨形与轨形间的映射时特别有用。例如，轨形间的映射可用广群间的同胚描述，比底拓扑空间之间的底连续映射携带更多信息。
轨形基本群.
有几种方法定义轨形基本群。更精致的方法是用轨形覆叠空间或分类空间（广群的空间）。最简单的方法（Haefliger采用，瑟斯顿也使用）推广了基本群标准定义中的环圈。
轨形路径在底空间中，具有明确的将路径分段提升到轨形坐标图的方法，及明确的识别重叠坐标图中路径的群元素；若底路径是环圈，则称之为轨形环圈。两轨形路径若通过与轨形坐标图中的群元素相乘而产生关联，则它们就被确认了。轨形基本群是由轨形环圈的同伦类形成的群。
若轨形来自单连通流形"M"对离散群Γ的紧合刚性作用（proper rigid action）的商，则轨形基本群可被认同为Γ。总的来说，它是Γ对formula_66的群扩张。
若轨形来自对群作用的商，则称其可发展或性质良好；否则称不良。类比拓扑空间的万有覆叠空间，可为轨形构造万有覆叠轨形，即“轨形上的点，与连接点和基点的轨形路径的同伦类”的对子组成的空间。这空间自然是轨形。
注意，若可收缩开子集上的轨形坐标图对应群Γ，则Γ到轨形基本群，有自然的局部同胚。
以下条件等价：
作为广义微分几何.
轨形可定义在广义微分几何的一般框架中，可以证明其等价于佐武一郎的原始定义：
定义. 轨形是在每个点上都与某个formula_67（"n"是整数，"G"是有限线性群，后者不是定的）局部微分同胚的微分空间（diffeological space）。
这个定义需要一些说明：
注意，作为微分空间的轨形的基本群不同于上面定义的基本群，后者与结构广群及其迷向群有关。
轨空间.
在几何群论的应用中，用Haefliger提出的略微广义的轨形概念往往更方便。轨空间（orbispace）之于拓扑空间，如同轨形之于流形，是轨形概念在拓扑学的推广。其定义用具有有限群的刚性作用的局部紧空间代替了轨形坐标图模型，即具有平凡迷向的点是稠密的（忠实线性作用自动满足这条件，因为任何非平凡群元素固定的点都会形成紧合线性子空间）考虑轨空间上的度量空间结构也是有用的，它们由轨空间上的不变度量给出，其中胶合映射保留距离。这时，通常要求轨空间坐标图是长度空间，具有连接任意两点的唯一测地线。
令"X"为赋以度量空间结构的轨空间，其坐标图是测地线长度空间。前面关于轨形的定义和结果可推广到轨空间基本群和万有覆叠轨空间，及类似的可发展性标准。轨空间坐标图上的距离函数可用于定义万有覆叠轨空间中轨空间路径的长度，若每个坐标图中的距离函数曲率非正，则伯克霍夫曲线缩短论证就可证明，任何定端点轨空间路径都与唯一的测地线同伦。将这应用于轨空间坐标图中的常路径，可知每个局部同态都是单射，于是：
复群.
每个轨形都与由复群给出的附加组合结构有联系。
定义.
抽象单纯复形"Y"上的复群formula_73由以下条件给出
此外，群作用还要满足上循环条件
对每个单形链formula_80（若"Y"的维度小于等于2，这条件就是空的）
任意元素的选择formula_81都会产生等价的复群，定义如下
只要formula_84无处不在，就称复群是单的。
用"Y"的重心重分通常更方便，概念上也更吸引人。这细分的顶点对应"Y"的单形，因此顶点附带一个群。重心重分的边自然有向（对应单形的包含），有向边给出了群的包含。三角形都附有过渡元素，属于恰有1顶点的群；（若有）四面体给出了过渡元素的上循环关系。于是，复群只涉及重心重分的3-骨架；若是单的，则只涉及2-骨架。
例子.
若"X"是轨形或轨空间，从轨形坐标图formula_86中择一由开子集构成的覆叠。令"Y"为由覆叠的神经给出的抽象单纯复形：其定点是覆叠集，"n"单形对应非空交formula_87对每个这样的单纯形，都有相关联的群formula_88，同态formula_89成为同态formula_90。每个三元链formula_76对应交
有坐标图formula_93，以及胶合映射formula_94
有唯一的过渡元素formula_95，使formula_96轨形的过渡元素满足的关系意味着复群所需的关系，这样，复群就可通过轨形（或轨空间）坐标图，规范地与开覆叠的神经相关联。用非交换层理论和束的语言来说，这时的复群是作为与覆叠formula_7相关联的群层产生的；数据formula_98是非交换层上同调中的一个2-上循环，数据formula_99给出了2-上边界扰动。
边径群.
复群的边径群（edge-path group）可定义为单纯复形边径群的自然推广。在"Y"的重心重分中，取对应于"i"到"j"的边（formula_100）的生成子formula_101，则有单射formula_102令Γ为由formula_103生成的群，具有关系
其中formula_105，且
若formula_107
对于定顶点formula_108，边径群formula_109定义为由Γ的所有积生成的子群：
其中formula_111是一条边径，formula_112位于formula_113中，formula_114
可发展复形.
在具有有限商的单纯复形"X"上，离散群的单纯紧合作用若满足以下条件之一，则称该作用正则（regular）：
这时，基本域和商formula_115可自然地确定为单纯复形，由基本域中单形的稳定子给出。这样得到的复群"Y"称作可发展（developable）。
Γ在"X"的重点重分"X"'上的作用总满足以下条件，弱于正则性：
事实上，"X" '中的单形对应"X"中的单形链，因此单形子链给出的子单形由子链中单形的大小唯一确定。作用满足这条件时，"g"必然固定了σ的所有顶点。有直接的归纳证明表明，这样的作用在重心重分上是正则的；特别是
事实上没必要进行第三次重心重分：如Haefliger利用范畴论的语言指出的，这时"X"基本域的3-骨架已经承载了所有必要数据，包括三角形的过渡元素，可定义与Γ同构的边径群。
2维中，这尤其容易描述。"X"的基本域具有与群"Y"的复合的重心重分"Y"'相同的结构，即
这样就可以定义边径群。重心子分"Z"'也继承了类似结构，其边径群同构于"Z"的边径群。
轨边形.
若可数离散群在单纯复形上有正则单纯紧合作用，则商不仅可被赋予复群的结构，还可被赋予轨空间结构。这就引出了“轨边形”（orbihedron）概念，其是轨形的简单类似物。
定义.
令"X"是有限单纯复形，有重心重分"X。轨边形"'结构包含：
formula_10在formula_134上的这作用延伸到formula_134上单纯锥formula_143的单纯作用（"i"和formula_134的单纯链接），并固定了锥心"i"，映射formula_43延伸为单纯映射formula_146（"i"的星），将重心带到"i"上，因此formula_43可与formula_148等同，在"i"处给出一个轨边形坐标图。
若formula_157，则有唯一的过渡元素formula_26使得
这些过渡元素满足
及上循环关系
群三角.
历史上，几何群论中最重要的轨形的应用之一就是群三角。塞尔关于树的讲座将混合自由积视作对树的作用，讨论了1维“群区间”；群三角是最简单的将其推广到2维的示例。在formula_165的仿射Bruhat–Tits建造中，当离散群简单地作用于三角时，就产生这样的群三角；1979年，戴维·芒福德发现了formula_166的第一个例子（下详），作为产生与射影空间不同构而有相同贝蒂数的代数曲面的一步。Gersten &amp; Stallings详细研究了群三角，而上述复群的更一般情形则是Haefliger独立提出的。由非正曲率度量空间分析有限呈现群的基本几何方法由格罗莫夫提出。这样，群三角对应曲率非正的2维单纯复形，具有群的正规作用，在三角形上有传递性。
群三角是由三角形ABC组成的简单复群，其中有这些群：
formula_170到其他群有单射同态，边群formula_171到formula_172也有单射同态。formula_170到顶点群的三种映射都一致（formula_170通常是平凡群）。对应轨空间上的欧氏度量结构曲率非正，当且仅当轨边形坐标图中每个顶点的链的围长不小于6。
顶点上的围长总是偶数，且正如Stallings观察到的，在顶点A上，可描述为到达两边群formula_175在formula_170上的混合自由积的formula_177的自然同态核中的最小字长：
欧氏度量结构所得结果不理想。Stallings将角α、β、γ定义为2π/围长，在欧氏情况下α、β、γ ≤ π/3；而若只要求α + β + γ ≤ π，便有可能由庞加莱度量得到与双曲面上相应的测地三角（取等时等同于欧氏平面）。双曲几何的经典结果是，双曲中线相交于双曲重心，与我们熟悉的欧氏几何情形一样。这模型的重心重分和度量在相应的轨空间上产生了曲率非正的度量结构，因此若α+β+γ≤π：
芒福德的例子.
设formula_179，由formula_180在formula_181中的二项展开式得到，并使formula_182。令
令formula_184，"K"上的3维向量空间，formula_185为基。定义"E"上的"K"线性算子如下：
formula_190生成了formula_191的离散子群，紧合作用于与formula_192相对应的仿射Bruhat–Tits建造。这个群对建造中的所有顶点、边与三角形都传递。令
则
元素formula_196生成了顶点的稳定子。可以认为这定点的链等同于formula_199的球面建造。稳定子则等同于法诺面的直射变换群，由固定一个点的3次对称σ及所有7个点的循环置换τ生成（满足formula_200）。法诺面可看做formula_201，σ可看作formula_202的弗罗贝尼乌斯自同态formula_203的约束，τ则是与任意不在素域formula_204中元素的乘法，即formula_202的循环乘法群的7阶生成器。这个弗罗贝尼乌斯群简单传递地作用于法诺面的21个标记，即带标记点的直线。于是，"E"上σ、τ的公式“提升”（lift）了formula_202上的公式。
芒福德还通过传递到子群formula_207，得到了对建造顶点的简单传递作用。群formula_208保留了定义域为formula_209，值域属于formula_210的埃尔米特形式
其可看作是formula_212由于formula_213所以有群同态formula_214这作用使formula_215中的一个2维子空间不变，产生了同态formula_216是阶数为16·3·7的群。另一方面，顶点的稳定子是21阶子群，"Ψ"是其上的单射。于是，若合同子群formula_217定义为formula_218的2-西罗子群的"Ψ"下的原像，则formula_217对定点的群作用一定是简单传递的。
推广.
其他三角形或2维复群的例子可由上述例子的变化来构造。
Cartwright et al.考虑了对建造顶点简单传递的作用。这样的作用会在有限射影平面的标记复形中的点"x"-线"x"*间产生双射（或改良的对偶），和点formula_220的有向三角形集合，其在循环置换下不变，即"x"在"z"*上，"y"在"x"*上，"z"在"y"*上；任意两点唯一确定第三点。所生成的群有生成器"x"（以点为标记），对每个三角形有关系formula_221一般来说，这种构造不对应于经典仿射建造上的作用。
更一般地说，如Ballmann &amp; Brin所证的，类似的代数数据编码了曲率非正2维单纯复形顶点上的所有简单传递作用，条件是每个顶点的链的围长不少于6。数据包括
"S"中的元素"g"表示定顶点"v"的链中的顶点formula_223；关系对应链中的边formula_224。对于formula_225有定点"S"与边formula_226的图的围长至少要是6。可用复群和第二重心重分重建原单纯复形。
Swiatkowski基于对有向边简单传递的作用和每个三角形的3次对称，构造了更多非正曲率2维复群的例子。这样，复群也通过对第二重心重分的正则作用得到。最简单的例子是Ballmann发现的：有有限群"H"与生成器的对称集"S"（不含恒等），于是相应的凯莱图的围长至少为6。伴生群（associated group）由"H"和对合τ生成，使得formula_227
事实上，若Γ以这种方式作用，且固定一条边formula_228则存在交换"v"、"w"的对合τ。"v"的链由顶点formula_229对称子集formula_230，若链连通则生成"H"。三角形假设意味着
于是，若formula_232则有
由对三角形formula_234的简单传递，可得formula_235
第二重心重分给出了由沿大边相连的单子或细分三角形对组成的复群：后者依据识别"S"中的逆，得到的商空间formula_236进行索引。单个或“成对”的三角形又沿着共同的“脊线”连接起来。除了脊线两端的顶点（稳定子分别为"H"、&lt;τ&gt;）及大三角形的其余顶点（稳定子由适当的σ生成）外，单形的稳定子都平凡。大三角形中的3个小三角包含过渡元素。
当"S"的所有元素都是对合时，便没有三角形需要加倍（double）。若将"H"看作14阶二面体群"D"7、由对合"a"与7阶元素"b"生成，其中
则"H"是由3个对合：formula_238生成。顶点的链由对应的凯莱图给出，因此只是有两部分的希伍德图，即与formula_192的仿射建造完全相同。这种链结构意味着，对应的单纯复形必须是欧氏建造，而目前似乎还不知道这些类型的作用能否实现在经典仿射建造：芒福德群formula_208（模标量）只在边上简单传递，而不在有向边上简单传递。
2维轨形.
2维轨形有以下3类奇异点：
紧2维轨形有欧拉示性数formula_243，其中formula_244是底拓扑流形formula_245的欧拉示性数，formula_62是角反射器阶数，formula_247是椭圆点阶数。
2维紧连通轨形的欧拉示性数若为负，则具有双曲结构；若是0，则具有欧几里得结构；若为正，则或是不良的，或具有椭圆结构（若轨形没有流形作为覆叠空间，则称为不良）。也就是说，其万有覆叠空间具有双曲、欧氏或球面结构。
下表列出了非双曲的紧2维连通轨形。17个抛物轨形是平面与17个壁纸群的商。
3维轨形.
若3维流形是闭的、不可还原的且不含任何不可压缩面，则称其“小”。
轨形定理. 令"M"为小3维流形，φ为"M"的周期保向非平凡微分同胚。则，"M"具有φ不变的双曲或塞弗特纤维结构。
这是瑟斯顿轨形定理（1981，未经证明）的特例，是几何化猜想的一部分。它意味着，若"X"的紧连通有向不可还原、具有非空奇异轨迹的非环状3维轨形，则"M"具有几何结构（在轨形的意义上）。完整证明由Boileau, Leeb &amp; Porti (2005)给出。
应用.
弦论.
弦论中，“轨形”的意义稍有不同。数学中的轨形是流形的推广，允许有邻域微分同胚于formula_248对有限群之商（formula_249）的点。物理学中，轨形则通常描述能全局描写为轨道空间"M"/"G"（"M"是流形或理论，"G"是其等距的群或对称，不必是所有等距群）的对象。这些对称性在弦论中不必有几何解释。
定义在轨形上的量子场论在"G"的定点附近变得奇异。不过，弦论要求我们在闭弦希尔伯特空间中增加新的部分——即“扭结弦”（twisted sector），当中定义在闭弦上的场在"G"作用下是周期性的。于是，轨形化成为了弦论的一般程序，从旧弦论推出新弦论。这能减少状态数，因为状态在"G"下必须不变；但也增加了状态数，因为增加了扭结弦。结果通常是完美平滑的新弦论。
低能情形下，轨形上传播的D膜由箭图定义的规范场论描述。连接到这些D膜上的开弦没有扭结弦，于是开弦状态数会随轨形化减少。
更具体地说，轨形群"G"是时空等距的离散子群时，若无定点，则通常得到紧光滑空间；扭结弦包含缠绕在紧维度上的闭弦，后者也称作“缠绕态”（winding state）。
轨形群G是时空等距的离散子群，且有定点时，通常有锥奇点，因为formula_250formula_251在formula_251的定点处有这样的奇点。弦论中，引力奇点通常代表着额外自由度，位于时空中的轨迹点（locus point）。在轨形情形下，这些自由度就是扭结态，是“卡”在定点上的弦。当与扭结态相关的场获得非零真空期望值，奇点便发生变形，即度量发生变化，在点附近变得正规（regular）。江口-汉森时空就是一例由此产生的几何。
从定点附近的D膜看来，对附着于D膜上的开弦的有效理论是超对称场论，其真空空间有奇异点，存在额外的无质量自由度。与闭弦扭结弦有关的场以这样一种方式同开弦耦合，即在超对称场论的拉格朗日量中添加Fayet–Iliopoulos项，于是场获得非零真空期望值时，Fayet–Iliopoulos项非零，理论从而变形，使奇点不再存在 , 。
卡拉比-丘流形.
超弦理论中，构造现实的现象学模型需要维度减化，因为弦在10维空间中才能自然传播，而观测到的宇宙时空则是4维的。理论的形式约束对额外“隐”变量所在的紧化空间施加了限制：寻找具有超对称的现实4维模型时，辅助紧化空间必须是6维卡拉比-丘流形。
可能的卡拉比-丘流形有很多（数以万计），因此目前的理论物理学文献常用“景观”（landscape）描述这种令人困惑的选择。卡拉比-丘流形的一般研究在数学上非常复杂，且长期以来难以明确构造实例。轨形被证明非常有用，因为轨形能自动满足超对称施加的约束。其奇点提供了卡拉比-丘流形退化的例子，但从理论物理学的角度看是完全可接受的。这种轨形称作“超对称”：在技术上比一般卡拉比-丘流形更容易研究。通常可将非奇异卡拉比-丘流形的连续族同奇异超对称轨形联系起来。4维中，可用复K3曲面说明：
1988年，对弦论中卡拉比-丘流形与不同模型（IIA、IIB）间对偶性的研究引发了镜像对称的想法。大约同一时期，Dixon, Harvey, Vafa &amp; Witten首次指出了轨形的作用。
乐理.
在数学和物理学的流形和各种应用外，最晚在1985年，Guerino Mazzola和后来Dmitri Tymoczko及同事、就已将轨形应用于乐理。Tymoczko的论文是《科学》的第一篇乐理论文。Mazzola和Tymoczko参与了有关其理论的讨论，在各自的网站上发表了一系列评论。
Tymoczko将由"n"个（不必不同）音和弦模型化为轨形formula_254中的点，即圆中"n"个无序点（不必不同）组成的空间，实现为"n"环面formula_255（圆上"n"个有序点的空间）对对称群formula_256（对应有序集到无序集的移动）的商。
从音乐角度可解释如下：
对双和弦，这会产生闭莫比乌斯带；对三和弦，这会产生轨形，可描述为三棱柱，其顶面和底面带有120°（⅓）的扭转，等同于截面为等边三角形、且有扭转的3维实心环面。
由此得到的轨形自然由重复的乐音（由"t"的整数部分）分层：开集包含不同乐音（分区formula_262），还有1维奇异集，包含所有相同乐音（分区formula_263），拓扑等价于圆，还有各种中间分区。还有一个明显的圆，穿过等距点开集的中心。至于三和弦，三棱柱的3个侧面对应2个相同乐音+1个不同乐音（分区formula_264），三条边对应1维奇异集。顶面、底面是开集的一部分，它们的出现只是因为轨形被分割了——若将其视作带扭曲的三角环面，便消失了。
Tymoczko认为，靠近中心的和弦（音程（几乎）相等）构成了许多西方传统和弦的基础，这样将其可视化有助于分析。中心有4个和弦（十二平均律下等间距：4/4/4），对应增三和弦（可视作音集）C♯FA、DF♯A♯、D♯GB、EG♯C（之后就循环了：FAC♯ = C♯FA），12个大三和弦和12个小三和弦是紧邻中心的点——几乎均匀分布。大三和弦对应间距为4/3/5（或等价地5/4/3），小三和弦则对应3/4/5。音阶变化对应轨形上点的移动，相邻点之间的移动会产生更光滑的变化。