柯里化

在计算机科学中，柯里化（），又译为卡瑞化或加里化，是把接受多个参数的函数变换成接受一个单一参数（最初函数的第一个参数）的函数，并且返回接受余下的参数而且返回结果的新函数的技术。这个技术由克里斯托弗·斯特雷奇以逻辑学家哈斯凯尔·加里命名的，尽管它是Moses Schönfinkel和戈特洛布·弗雷格发明的。
在直觉上，柯里化声称「如果你固定某些参数，你将得到接受余下参数的一个函数」。所以对于有两个变量的函数formula_1，如果固定了formula_2，则得到有一个变量的函数formula_3。
在理论计算机科学中，柯里化提供了在简单的理论模型中，比如：只接受一个单一参数的lambda演算中，研究带有多个参数的函数的方式。
函数柯里化的对偶是Uncurrying，一种使用匿名单参数函数来实现多参数函数的方法。例如：
var foo = function(a) {
 return function(b) {
 return a * a + b * b;
这样调用上述函数：codice_1，或直接codice_2。
动机.
柯里化是一种处理函数中附有多个参数的方法，并在只允许单一参数的框架中使用这些函数。例如，一些分析技术只能用于具有单一参数的函数。现实中的函数往往有更多的参数。弗雷格表明，为单一参数情况提供解决方案已经足够了，因为可以将具有多个参数的函数转换为一个单参数的函数链。这种转变是现在被称为“柯里化”的过程。
在数学分析或计算机编程中，所有可能遇到的“普通”函数都可以被使用。但是，有些类别不可能使用柯里化；确实允许柯里化的最普通的类别是闭合的monoidal类别。一些编程语言几乎总是使用curried函数来实现多个参数；值得注意的例子是 ML 和 Haskell，在这两种情况下，所有函数都只有一个参数。这个属性是从lambda演算继承而来的，其中多参数的函数通常以柯里形式表示。
柯里化与部份求值是相关的，但不完全相同。在实作中，闭包的编程技术可以用来执行部份求值和一种卷曲，通过将参数隐藏在使用柯里化函数的环境中。
部份求值.
柯里化有如倣效接受多个参数的函数评估过程，若以纸笔手工作业，要周密地写出评估过程中的所有步骤。
例如，给定某一函数 formula_4:
在纸上使用传统符号，上述过程通常是一次代入两个参数 formula_14的值就完成了。
而每个参数其实是依次序替换，在每一步替换的中介函数只能接受单一个参数。
以上范例有点缺陷，虽然应用上类似函数的部份求值。对柯里化的过程来说，但并非完全相同（见下文）。
示例.
柯里化（Currying）是产生一系列连锁函数的一种方法，其中每个函数只有一个参数。借由另一个柯里化之后的新函数，传回其它剩余参数的功能，将原本以多个参数应用的函数“隐藏”起来，如下所述。
给定带有 "x"和"y"两个参数的函数 "f"，也就是，
然后可以构造一个与原来的 "f" 相关的新函数 "h"x。这个函数的形式只有单一参数 "y"，并给定该参数，则 "h"x 返回 "f"("x","y")。也就是，
在这里应该了解 "h"上的下标 "x"是当成隐藏作用的符号设施，或者说把一个参数放在一边，使原函数变成只带一个参数。柯里化（Currying）提供了符号标记上的技巧，将函数因而抽象化。
这个技巧要利用map或函数构造子。符号 formula_17用于表示抽象化的实际行为。
例如以 formula_18 这样子来表示：某个函数将一个参数 "y"映射到结果 "z"。
然后考虑从 "h""x" 记号中删掉下标 "x"，就得到了一个 柯里化表示的代表符 "h"；
而成为另一个给予 "x" 能把其“值”传回的不同函数 "h"x；它恰好是一个函数构造，其映射过程
可以用 formula_19 语句来表达，或者描述为一个将参数 "y"映射到结果 "z"的函数。也就是，
用不同代表符号（但意义相同）来看，
函数 "h" 本身现在可用 "h"x 相似的表示，并写成
能够负责并处理对开头"涉及"的函数参数。鉴于上述情况，柯里化的行为可被理解为一函数，给予某些任意的 "f"，即涉及相关的 "h"函数可以产生 "h"的所述功能；论及 "f"。也就是，
或相当于
这说明了柯里化的基本性质：它是参数重新定位的机制，将原函数中的每一个参数绑定到不同的新函数，而返回另一个相关的函数。也就是给定函数 "f"原本传回一个“值”，则柯里化“构造”了一个新函数 "h" 而传回的是涉及 "f"的函数。另一种理解柯里化的不同方式，则意识到它只是一个代数游戏，符号的句法重新排列。人们不会问这些符号的“含义”是什么; 一个人只同意他们的重新排列规则。 要看出这一点，注意原来的函数 "f"本身可能写成
与上面的函数 "h"互相比较，可以看出这两种形式都重新排列了括号，以及将逗号转换为箭头。回到前面的例子，
然后有，
作为上例柯里化的相等物。 添加一个参数到 "g" 然后给出
以及
剥除参数的方法或许更容易地理解，例如有四个参数的函数：
经过上述操作，导出为形式
这应用到三元组之上可得到
然后适当地写成柯里化形式
一直继续玩著重新安排符号的代数游戏，最终导出了完全的柯里化形式
对箭头运算符一般理解是右结合的，所以上面大部份的括号是多余的，在意义不变的情况下可以删除掉。因此，写成了很常见的
也就是函数 "f"完全的柯里化形式。
定义.
从非形式的一般定义开始，柯里化是最容易理解的，然后再塑造它以适应许多不同的领域。
首先说明一些符号的标记法。
formula_36 表示从 formula_37 映射到 formula_38 的函数formula_39。
formula_40 表示从 formula_37 到 formula_38 的所有函数。
这里，formula_37 和 formula_38 可以是集合、或者是类型，或者它们可以是其它型别的物件，如下所述。
令 formula_45表示有序对，即笛卡尔乘积。
给定类型为formula_46 的函数formula_39，柯里化即构造或创建一个新的函数：
formula_48
也就是说，formula_49取一个类型为 formula_37的参数，并返回一个类型为 formula_51的函数。Uncurrying则相反。
集合论.
数理领域的集合论中，符号 formula_52用于表示从 formula_37集合映射到 formula_38集合的函数。柯里化是指从 formula_55映射到 formula_56的 formula_57函数，和从 formula_58之中映射，由 formula_59到formula_56的 formula_61函数，这些组合的自然变换。事实上是这种自然变换关系，阐述了出现在集合论中的指数符号。在集合的范畴论中 formula_52被称为指数物件。
函数空间.
在函数空间理论中，如泛函分析或拓扑的同伦，人们通常对拓扑空间之间的连续函数感兴趣。从 formula_37到 formula_38 "所有的"函数集，写成 formula_65（Hom函子）并使用 formula_52 来表示连续函数的子集。在这里的 formula_67是一一对应的
而 uncurrying 是反向的映射。如果从 formula_37到 formula_38 的 formula_52集合为连续函数
给出了紧致开拓扑紧致开拓扑，而且如果 formula_38空间是局部豪斯多夫紧致的，那么 formula_67是一个连续函数，也是同胚。尽管可能有更多情况，当 formula_37，formula_38和 formula_52 是紧生成的时候，情况都是相同的。
这结果发展成了指数表示法
有时称为指数法则。 而有用的推论是，一个函数若且唯若其柯里化形式是连续时，它才是连续的。另一个重要的结果是应用程序映射（在这种情况通常称为“评估”）是连续的（注意codice_3在计算机科学中的概念与此严格不同）。也就是说，
formula_78
当 formula_52是紧致开放的，而且 formula_38局部紧致的豪斯多夫时，那上述式子是连续的。这两个结果对于确立同伦的连续性非常重要，亦即当 formula_37是单位区间 formula_82，所以 formula_83能想成
就是从 formula_38 到formula_85的两个函数的同伦，或者等价地，是 formula_86中的单个（连续）路径。
域理论.
在序理论对于偏序集合的格，当格是给定的 Scott拓扑时，则 formula_67会是一个连续函数。为了提供 lambda演算的语义学，要先研究 Scott连续函数（因为普通集合理论不适合这样做）。更一般地说，现在研究 Scott连续函数的域理论中，含括了计算机算法的指称语义学。
请注意，Scott拓扑结构与拓扑空间范畴中可能遇到的许多常见拓扑结构完全不同; Scott拓扑通常更为精巧，而不是很严审的。连续性的概念使它出现在同伦类型理论中，粗略地说，两个计算机程序可以被认为是同伦的，如果他们可以“连续”地从一个重构到另一个，即计算得出相同的结果。
型别理论.
在型别理论中，对于计算机科学型别系统的一般概念，被形式化为一个具体的代数类型。例如写为 formula_36时，
意指那个 formula_37和 formula_38是一种类型，而 formula_91 箭头符号代表是类型构造函数，特别是指函数类型或箭头类型。类似地，类型的笛卡尔积是由 formula_92构造函数，而建构出的复合结构类型。
型别理论方法可以用 ML编程语言表达，而受启发衍生出的语言有：CaML，Haskell和F＃。
逻辑.
在Curry-Howard下，柯里化和对偶柯里化的存在相当于逻辑定理formula_93，因为多元组（型别积, product type）对应于逻辑中的且连接，而函数类型对应于蕴涵。
历史.
「科里化」一词由克里斯托弗·斯特雷奇创造，以逻辑学家哈斯凯尔·加里命名。另外一个名词 "Schönfinkelisation" 则以Moses Schönfinkel命名。在数学历史中，这个原理可以追溯到1893年戈特洛布·弗雷格的工作。