直言三段论

直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。前两个命题被分别称为大前提和小前提。如果这个三段论是有效的，这两个前提逻辑上蕴涵了最后的命题，它叫做结论。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上：中项在前提中必须周延（distribute）至少一次，形成在结论中的主词和谓词之间的连接。例如：
这里的中项“生物”在大前提中周延，大项“会死者”在大前提和结论中都不周延，小项“人”在小前提和结论中周延；这个三段论符合周延规则：中项至少在一个前提中周延。一些直言三段论不是有效的，例如：
即使此例子的两个前提和结论都是正确的，中项“鸟”在大前提和小前提中周延，大项“有翅膀”在结论中周延，小项“人”在小前提和结论中周延；此三段论却是一种大项不当谬误，将结论“没有人有翅膀”理解为同样表达的“所有人没有翅膀”如此一来方便了解其中的谬误；此三段论不有效的原因是它不符合另一个周延规则：在结论中周延的词项，在前提中也必须周延。在该三段论中大项“有翅膀”在结论被否定了，也就是说表达了人没有“有翅膀”，大项在此周延，但在大前提中未周延，因为在大前提中“有翅膀”并没有涉及该项的所有个体。
语气和格式.
三段论有如下典型形式：
其中S代表结论的主词（Subject），P代表结论的谓词（Predicate），M代表中词（Middle）。
三段论的命题可分为全称（universal）、特称（particular），及肯定、否定，组合起来有以下四类语气（Mood）：
三段论中，结论中的谓词称作大词（P，或称大项），包含大词在内的前提称作大前提；结论中的主词称作小词（S，或称小项），包含小词在内的前提称作小前提；没有出现在结论，却在两个前提重复出现的称作中词（M，或称中项）。大词、中词、小词依不同排列方式，可分成四种格（Figure）：
将以上整合在一起，三段论的大前提、小前提、结论分别可为A、E、I、O型命题之一，又可分为4格，故总共有256种三段论（若考虑大前提与小前提对调，便有512种，但逻辑上是相同的）。
三段论依语气与格的分类缩写，例如AAA-1（也可以写成1-AAA）代表「大前提为A型，小前提为A型，结论为A型，第1格」的三段论。
此外，三段论的四种格之间可相互转换：
E和I命题对换主词和谓词的位置而保持同原命题等价。A命题和O命题不能对换主词和谓词的位置，但是可以采用直接推理中的“对置法”。A命题还可以在确实主词有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的I命题后再对换主词和谓词的位置。
有效性.
考虑各种直言三段论的有效性将是非常冗长耗时的。前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有论式。
还可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圆圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圆圈。临近小项的圆圈的是同小项有着交叠的大项的圆圈。在这两个圆圈之上是中项的圆圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一个三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。
作为文氏图方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P，它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。（注意：黑影区域和存在量化区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。
本文最后一节列出了所有24个有效论式的文氏图。
最后一种方法是记住下面非形式表述的几条规则以避免谬论。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用这些规则来检验有效性。
基本规则：
若一个三段论式满足以上的所有规则，就必定有效。
其他检查：
有效三段论式.
唯有第一格的所有有效三段论式的结论涵盖了A、E、I、O全部四种命题，第二格的所有有效三段论式皆为否定结论（E或O），第三格的所有有效三段论式皆为特称结论（I或O），第四格的所有有效三段论式皆为否定结论或特称结论（E、I或O）。下面表格中加下划线者必须假设所有提及的集合非空才有效。
在全部256种三段论式中，有24种有效，但是如果不能确定所有提及的集合为非空，则只有15种有效。
常犯的无效三段论式.
 1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
 2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
 3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
 4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO
三段论式列表.
总共有19个有效的论式，算结论弱化（全称弱化为特称）的5个论式则为24个有效论式，其中每一格刚好各有6个有效论式。为便于记忆，中世纪的学者将这些有效论式分别取了对应的拉丁语名字，每个名字的加了下划线的元音即是对应的语气：
经典三段论式.
下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。
第1格.
 所有M是P。
 所有S是M。
∴所有S是P。
formula_1
 没有M是P。
 所有S是M。
∴没有S是P。
formula_2
 所有M是P。
 有些S是M。
∴有些S是P。
formula_3
 没有M是P。
 有些S是M。
∴有些S不是P。
formula_4
第2格.
 所有P是M。
 没有S是M。
∴没有S是P。
formula_5
（AEE-2是AEE-4的等价形式。这种形式还有其他推导方法。）
 没有P是M。
 所有S是M。
∴没有S是P。
formula_6
（EAE-2是EAE-1的等价形式。）
 所有P是M。
 有些S不是M。
∴有些S不是P。
formula_7
（这种形式还有其他推导方法。）
 没有P是M。
 有些S是M。
∴有些S不是P。
formula_8
（EIO-2是EIO-1的等价形式。）
第3格.
 所有M是P。
 所有M是S。
∴有些S是P。
（这种形式需要假定有些M确实存在。）
formula_9
 没有M是P。
 所有M是S。
∴有些S不是P。
（这种形式需要假定有些M确实存在。）
formula_10
 所有M是P。
 有些M是S。
∴有些S是P。
formula_11
（AII-3是AII-1的等价形式。）
 没有M是P。
 有些M是S。
∴有些S不是P。
formula_12
（EIO-3是EIO-1的等价形式。）
 有些M是P。
 所有M是S。
∴有些S是P。
formula_13
（IAI-3是IAI-4的等价形式。）
 有些M不是P。
 所有M是S。
∴有些S不是P。
formula_14
（这种形式还有其他推导方法。）
增补的论式.
第4格由亚里士多德的学生泰奥弗拉斯托斯补充。
第4格.
 所有P是M。
 所有M是S。
∴有些S是P。
（这种形式需要假定有些P确实存在。）
formula_15
 没有P是M。
 所有M是S。
∴有些S不是P。
（这种形式需要假定有些M确实存在。）
formula_16
（EAO-4是EAO-3的等价形式。）
 所有P是M。
 没有M是S。
∴没有S是P。
formula_17
 没有P是M。
 有些M是S。
∴有些S不是P。
formula_18
（EIO-4是EIO-1的等价形式。）
 有些P是M。
 所有M是S。
∴有些S是P。
formula_19
结论弱化的论式.
历史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁语名字中有字母“p”，用来指示出这些论式通过引入了某个词项确实有元素存在的前提，将一个A命题弱化成了I命题。后人认为它们不是直言的即不是无条件的，这个问题被称为存在性引入问题。
在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可将论式中的结论A弱化为结论I，结论E弱化为结论O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。结论弱化论式有5个：AAI-1（Barbari），即弱化的AAA-1；EAO-1（Celaront），即弱化的EAE-1；AEO-2（Camestros），即弱化的AEE-2；EAO-2（Cesaro），即弱化的EAE-2；AEO-4（Calemos），即弱化的AEE-4。AAI-1的结论同于AII-1的结论，EAO-1、EAO-2的结论同于EIO-1的结论，AEO-2、AEO-4的结论同于AOO-2的结论，需要注意结论弱化论式原来的结论依然成立。
谓词演算公式的注解.
按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）formula_20和集合formula_21有某种二元关系，并且集合formula_21和集合formula_23有某种二元关系，从而推论出集合formula_20和集合formula_23是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：
两个全称命题可以推出一个新的全称命题，一个全称命题和一个特称命题可以推出一个新的特称命题，两个特称命题无法推理。A命题可以和所有四种命题组合。E命题还可以和I命题组合，两个否定命题和IE组合，不能得出属于四种命题之一的结论。故而有效的论式，要在AA、AE、EA、AI、IA、AO、OA、EI这8种组合乘以4种格，共32种情况中找出。
AA组合中AAA-1是直接推出的；第4格AA组合推论出谓词包含于主词的关系，这不是四种命题之一，只能在谓词确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE组合中AEE-4是直接推出的，EA组合中EAE-1是直接推出的。第3格AA组合和EA组合，在中项确定有元素存在的前提下，形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3没有等价者。通过对换其前提E命题中主词和谓词的位置，从AEE-4得出其等价者AEE-2，从EAE-1的得出其等价者EAE-2，从EAO-3得出其等价者EAO-4。
AII-1、IAI-4是直接推出的，通过对换其前提I命题中主词和谓词的位置，从AII-1得出其等价者AII-3，从IAI-4得出其等价者IAI-3。AOO-2和OAO-3在历史上采用了反证法，这里采用了直接推理中的“对置法”，AOO-2、OAO-3没有等价者。EIO-1是直接推出的，通过对换其前提E命题I命题中主词和谓词的位置，从EIO-1得出其等价者EIO-2、EIO-3、EIO-4。
24论式图示.
下表以文氏图展示24个有效直言三段论，不同栏表示不同的前提，不同外框颜色表示不同的结论，需要存在性预设的推理以虚线与斜体字标示。