代数基本定理

代数基本定理（）说明，任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的。
有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有 formula_1 个复数根（重根视为多个根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有 formula_1 个根。也就是说，任何一个 formula_1 次多项式，都可以因式分解为 formula_1 个复系数一次多项式的乘积。
尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。
高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。
同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理论指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。
证明.
所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。
定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式 formula_5，以下的多项式
就是一个实系数多项式，如果 formula_7 是 formula_8 的根，那么"z"或它的共轭复数就是 formula_5 的根。
许多非代数证明都用到了“增长引理”：当 formula_10 足够大时，首系数为1的 formula_1 次多项式函数 formula_5 的表现如同 formula_13。一个更确切的表述是：存在某个正实数 formula_14，使得当 formula_15 时，就有：
复分析证明.
证明一.
寻找一个中心为原点，半径为 formula_17 的闭圆盘 formula_18，使得当 formula_19 时，就有formula_20。因此，formula_21 在 formula_18 内的最小值（一定存在，因为 formula_18 是紧致的），是在 formula_18 的内部的某个点 formula_25 取得，但不能在边界上取得。于是，根据最大模原理，formula_26。也就是说，formula_25 是 formula_5 的一个零点（根）。
证明二.
由于在 formula_18 之外，有 formula_20，因此在整个复平面上，formula_21 的最小值在 formula_25 取得。如果 formula_33，那么formula_34在整个复平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个复数 formula_7，都有 formula_36。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知 formula_34 是常数，因此 formula_38 是常数。于是得出矛盾，所以 formula_39。
证明三.
这个证明用到了辐角原理。设 formula_14 为足够大的正实数，使得 formula_5 的每一个根的绝对值都小于 "formula_14"；这个数一定存在，因为 formula_1 次多项式函数最多有 formula_1 个根。对于每一个 formula_45，考虑以下的数：
其中 formula_47 是中心为0，半径为 formula_17 的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是 formula_5 在中心为0、半径为 formula_17 的开圆盘内的零点的数目 formula_51，由于 formula_45，所以它也是 formula_5 的零点的总数目。另一方面，formula_54 沿着 formula_47 的积分除以 formula_56，等于 formula_1。但这两个数的差为：
被积分的有理表达式中的分子，次数最多是 formula_59，而分母的次数是 formula_60。因此，当 formula_17 趋于 formula_62 时，以上的数趋于0。但这个数也等于 formula_63，因此有 formula_64。
证明四.
这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个 formula_65 次复系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值。证明用到了反证法。
设 formula_66 为大小 formula_65 的方块矩阵，并设 formula_68 为相同大小的单位矩阵。假设 formula_66 没有特征值。考虑预解函数
它在复平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。"formula_66" 的特征值正好是 formula_72 的极点。根据假设，"formula_66" 没有特征值，因此函数 formula_72 是整函数，根据柯西积分定理可知：
另一方面，把 formula_72 展开为几何级数，可得：
这个公式在半径为 formula_78 的闭圆盘的外部（"A"的算子范数）成立。设 formula_79。那么：
（仅当 formula_81 时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此 formula_66 一定有一个特征值。
拓扑学证明.
设 formula_83 为使 formula_21 在 formula_25 取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把 formula_5 写成 formula_87 的多项式：存在某个自然数 formula_88 和一些复数 formula_89，使得 formula_90，以及：
可推出如果 formula_92 是 formula_93 的一个 formula_88 重根，且 formula_95 是足够小的正数，那么 formula_96，这是不可能的，因为 formula_97 是 formula_98 在 formula_18 内的最小值。
对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设 formula_5 没有根。选择一个足够大的正数 formula_14，使得对于 formula_102，formula_5 的第一项 formula_13 大于所有其它的项的和；也就是说，formula_105。当 formula_7 依逆时针方向绕过方程为 formula_102 的圆一次时，formula_5，像 formula_13 那样，依逆时针方向绕过零 formula_1 次。在另外一个极端，formula_111 时，“曲线” formula_5 仅仅是一个（非零的）点 formula_113，它的卷绕数显然是0。如果 formula_7 所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么 formula_5 的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为formula_116，其中 formula_95 大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量 formula_95 视为时间，那么在时间为零时，曲线为 formula_5 ，时间为1时，曲线为 formula_113。显然在每一个点 formula_95，根据原先的假设 formula_5 都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是 formula_1，结束时是0，因此得出矛盾。所以，formula_5 至少有一个根。
代数证明.
这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数在 formula_125 上有实平方根，以及任何奇次多项式在 formula_125 上有一个根（这可以用介值定理证明）。
首先 formula_127。经过简单的计算可以证明formula_128在开平方运算下是封闭的 formula_129, formula_130 分别是formula_131。结合formula_132。得出formula_128不存在二阶扩张。
由于 formula_134，于是任何formula_125的扩张都是可分的，从而任何formula_125的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设formula_137、formula_138都是伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群formula_139的西罗2-子群 formula_140。那么formula_141是奇数。由本原元定理得出，formula_142 存在本原元 formula_143，它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，不存在奇数次且次数&gt;1的不可分多项式。于是formula_144是2的幂次。
假设formula_145并且 formula_146，再次利用西罗定理，formula_147 存在一个阶为 formula_148 的子群"N"。这时formula_149。这和先前formula_128不存在二阶扩张矛盾。因此formula_128的任何代数扩张都是formula_128本身，代数基本定理得证。
推论.
由于代数基本定理可以视为复数域是代数封闭的，可推出任何关于代数封闭域的定理在复数域都是适用的。这个定理有一些推论，要么是关于实数域的，要么是关于实数域与复数域之间的关系的：
韦达公式.
韦达公式把多项式的系数formula_170与它的根formula_171的和与积联系起来。
这可以直接从以下等式的展开式推出：
formula_172