斐波那契数

-{zh-hant:费波那契数;zh-hans:斐波那契数}-（意大利语：Numero di Fibonacci），又译为菲波拿契数、菲波那西数、斐氏数、黄金分割数、费氏数列。所形成的数列称为-{zh-hant:费波那契数列;zh-hans:斐波那契数列}-（意大利语：Successione di Fibonacci），又译为菲波拿契数列、菲波那西数列、斐氏数列、黄金分割数列、费氏数列。这个数列是由意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出。
在数学上，斐波那契数是以递归的方法来定义：
用白话文来说，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。首几个斐波那契数是：
特别指出：0 不是第一项，而是第零项（formula_5）。
起源.
公元1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。在西方，最先研究这个数列的人是比萨的李奥纳多（意大利人斐波那契Leonardo Fibonacci, 1175－1250），他描述兔子生长的数目时用上了这数列：
假设在formula_6月有兔子总共formula_7对，formula_8月总共有formula_9对。在formula_10月必定总共有formula_11对：因为在formula_10月的时候，前一月（formula_8月）的formula_9对兔子可以存留至第formula_10月（在当月属于新诞生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子对数等于所有在formula_6月就已存在的formula_7对
斐波纳契数也是杨辉三角形（即帕斯卡三角形）的每一条红色对角线上数字的和。
表达式.
为求得斐波那契数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。高中的初等数学知识也能求出。
初等代数解法.
已知：
首先构建等比数列.
设formula_21化简得formula_22
比较系数可得：
formula_23
不妨设formula_24
解得：
formula_25
又因为有formula_21，
即formula_27为等比数列。
求出数列{an+αan-1}.
由以上可得：
formula_28
变形得：
formula_29。
令formula_30
求数列{bn}进而得到{an}.
formula_31
设formula_32，解得formula_33。
故数列formula_34为等比数列
即formula_35。而formula_36，
故有formula_37
又有formula_25
和formula_30
可得formula_40
得出formula_41表达式，称比内公式(Binet's Formula)
formula_40
用数学归纳法证明表达式.
因此，根据数学归纳法原理，此表达式对于任意整数formula_6皆成立
线性代数解法.
formula_69
formula_70
称为「斐波那契Q矩阵」(Fibonacci Q-Matrix)
构建一个矩阵方程.
设formula_71为第formula_6个月有生育能力的兔子数量，formula_73为这一月份的兔子数量。
上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。而要求的是，formula_75的表达式。
求矩阵的特征值：λ.
根据特征值的计算公式，我们需要算出来 formula_76 所对应的解。
展开行列式有：formula_77。
故当行列式的值为 0，解得 formula_78 或 formula_79。
特征向量.
将两个特征值代入
求特征向量formula_81得
formula_82=formula_83
formula_84=formula_85
分解首向量.
第一个月的情况是兔子一对，新生0对。
将它分解为用特征向量表示。
用数学归纳法证明.
从
可得到
化简矩阵方程.
将（4） 代入 （5）
根据3
求A的表达式.
现在在6的基础上，可以很快求出formula_75的表达式，将两个特征值代入6中
（7）即为formula_75的表达式
数论解法.
实际上，如果将斐波那契数列的通项公式写成formula_98，即可利用解二阶线性齐次递回关系式的方法，写出其特征多项式formula_99（该式和表达斐波那契数列的矩阵的特征多项式一致），然后解出formula_100=formula_101，formula_102=formula_103，即有formula_104，其中formula_105为常数。我们知道formula_106，因此formula_107，解得formula_108。
组合数解法.
formula_109
黄金比例恒等式解法.
设formula_44为黄金比例formula_45，则有恒等式formula_113与formula_114，其中formula_6为任意整数，则
formula_116
因此得到formula_117的一般式：
formula_118
此一般式对任意整数formula_6成立
近似值.
当formula_6为足够大的正整数时，则
用计算机求解.
可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。第二种是已知序数，求该项的值。
可通过递归递推的算法解决此两个问题。
事实上当formula_6相当巨大的时候，O（n）的递推/递归非常慢……这时候要用到矩阵快速幂这一技巧，可以使递回加速到O(logn)。
和黄金分割的关系.
开普勒发现数列前、后两项之比formula_124，也组成了一个数列，会趋近黄金分割：
斐波那契数亦可以用连分数来表示：
formula_126
formula_127
而黄金分割数亦可以用无限连分数表示：
而黄金分割数也可以用无限多重根号表示：
和自然的关系.
斐氏数列见于不同的生物学现象，如树的分枝、、菠萝聚花果上小单果的排列、雅枝竹的花蕾、正在舒展的蕨叶、松毬的鳞的排列、蜜蜂的家族树。开普勒曾指出斐氏数列存在于自然界，并以此解释某些花的五边形形态（与黄金分割率相关）。法国菊的「瓣」（舌状花）数通常为斐氏数。1830年，K. F. Schimper和A. Braun发现植物的旋生叶序中，连续两块叶之间转过的角度与周角之比，约成整数比时，常出现斐氏数，如formula_130或formula_131。
恒等式.
证明以下的恒等式有很多方法。以下会用组合论述来证明。
不失一般性，我们假设formula_134，formula_135是计算了将1和2加到n的方法的数目。若第一个被加数是1，有formula_117种方法来完成对formula_137的计算；若第一个被加数是2，有formula_138来完成对formula_139的计算。因此，共有formula_140种方法来计算n的值。
计算用多个1和多个2相加令其和等于formula_8的方法的数目，同时至少一个加数是2的情况。
如前所述，当formula_143，有formula_144种这样的方法。因为当中只有一种方法不用使用2，就即formula_145　（formula_8项），于是我们从formula_144减去1。
若该数式包含2为被加数，2的首次出现位置必然在第1和formula_8的被加数之间。2在不同位置的情况都考虑到后，得出formula_155为要求的数目。
数论性质.
斐波那契质数.
在斐波那契数列中，有质数：
2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917……
截至2015年，已知最大的斐波那契质数是第104911个斐波那契数，一共有21925个十进制位。不过，人们仍不知道是不是有无限个斐波那契质数。
如所述，formula_190总能被formula_117整除，故除formula_192之外，任何斐氏质数的下标必同为质数。由于存在的一列连续合数，斐氏数列中亦能找到连续任意多项全为合数。
大于formula_193的斐氏数，必不等于质数加一或减一。
与其他数列的交集.
斐波那契数列中，只有3个平方数：0、1、144。2001年，证明，斐氏数中的次方数衹有有限多个。2006年，Y. Bugeaud、M. Mignotte、S. Siksek三人证明，斐波那契数中的次方数只有0、1、8、144。
1、3、21、55为仅有的斐氏三角形数。曾猜想此结论，后来由罗明证明。
斐波那契数不能为完全数。推而广之，除1之外，其他斐氏数皆非多重完全数，任两个斐氏数之比亦不能是完全数。
模"n"的周期性.
斐波那契数列各项模formula_6的余数构成，其最小正周期称为皮萨诺周期，至多为formula_195。皮萨诺周期对不同formula_6值的通项公式仍是未解问题，其中一步需要求出某个整数（同余意义下）或二次有限域元素的。不过，对固定的formula_6，求解模formula_6的皮萨诺周期是问题的特例。
推广.
斐波那西数列是斐波那西n步数列步数为2的特殊情况，也和卢卡斯数列有关。
反费波那西数列.
反费波那西数列的递归公式如下：
如果它以1,-1开始，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ...
即是formula_201，
亦可写成formula_202，其中formula_185是非负整数。
反费波那西数列两项之间的比会趋近formula_204。
证明关系式.
证明formula_205，其中formula_185是非负整数
巴都万数列.
费波那西数列可以用一个接一个的正方形来表现，巴都万数列则是用一个接一个的等边三角形来表现，它有formula_212的关系。
佩尔数列.
佩尔数列的递归公式为formula_213，前几项为0,1,2,5,12,29,70,169,408...
应用.
1970年，尤里·马季亚谢维奇指出了偶角标的斐波那契函数
正是满足Julia Robison假设的丢番图函数，因而证明了希尔伯特第十问题是不可解的。