逻辑代数

在数学和数理逻辑中，逻辑代数（有时也称开关代数、布尔代数）是代数的一个分支，其变量的值仅为"真"和"假"两种真值（通常记作 1 和 0）。初等代数中变量的值是数字，而且主要的运算是加法、乘法和乘方（以及它们的逆运算），而逻辑代数的主要运算符有合取"与"，记为；析取"或"，记为；否定"非"，记为。因此，它是描述逻辑运算的一种形式主义，就像初等代数描述数字运算一样。
逻辑代数是乔治·布尔（George Boole）在他的第一部著作《逻辑的数学分析》（1847年）中引入，并在他的《思想规律的研究》（1854年）中全面阐述了逻辑代数。
根据Huntington的说法，“布尔代数”术语最初是由Sheffer于1913年提出。
逻辑代数一直是数字电路设计的基础，所有现代编程语言都提供支持。它还用于集合论和统计学。 
逻辑代数中的几个概念.
参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母 formula_1，formula_2, ……表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。
正、负逻辑规定：
逻辑函数：如果有若干个逻辑变量（如formula_1、formula_2、formula_5、formula_6）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值与之对应，则称formula_7为逻辑函数。逻辑变量formula_1、formula_2、formula_5、formula_6的逻辑函数记为：formula_12
逻辑运算.
基本运算.
逻辑代数的基本运算如下。
如果把真值0和1解释为整数，这些运算可以表示为普通算数运算：
此外可以用制作真值表来表示 "formula_13", "formula_20" 和 "formula_27" 的值：
有人可能会认为，只有否定和另外两种运算之一是基本的，因为用下列性质可以用逻辑否和逻辑或来定义逻辑与，反之亦然：
衍生运算.
上述三个逻辑运算被称为基本的，这意味着其他逻辑运算可以以它们为基础，由他们的复合来建立，即将这些运算组合或结合。下面是由基本运算构成的运算的例子：
这些定义产生以下真值表，其中给出了对所有四个可能的输入，这些运算的值。
第一种运算，formula_43 或 Cformula_16，叫做实质蕴涵。如果 formula_14 为真，则 "formula_43" 的值就取自 formula_15 的值。但如果 formula_14 为假，则 formula_15 可以忽略；然而此运算必须返回"某种"真值，而且只有两种选择，所以返回蕴含较小的值，即"真"。（相干逻辑通过看作非真非假的假前提的蕴含来处理这件事。）
第二种运算，formula_50 或 J"formula_16"，叫做异或（通常缩写为XOR）与逻辑或的区别在于逻辑或包含其类型。它排除了 "formula_14" 和 "formula_15" 同时为真的情形。用算术来定义就是加和之后 formula_54，就如 1 + 1 = 0.
第三种运算，异或的互补运算，是同或或逻辑等价：formula_55 或 E"formula_16"，当 "formula_14" 与 "formula_15" 值相同时为真。因此作为其互补运算，"formula_50" 可以理解为 formula_60，当 "formula_14" 和 "formula_15" 不同时为真。它对应的 formula_54 算术为 formula_64。
给定两个操作数，每个具有两个可能的值，共有 22 = 4 种可能的输入组合。由于每种输出有两种可能值，一共有 24 = 16种可能的。
运算律.
两个主要的二元运算的符号定义为 formula_65 (逻辑与)和 formula_66 (逻辑或)，把单一的一元运算的符号定义为 formula_67 (逻辑非)。我们还使用值 0 (逻辑假)和 1 (逻辑真)。逻辑代数有下列性质:
逻辑代数的基本规则.
代入规则.
任何一个含有变量 formula_68 的等式，如果将所有出现 formula_68 的位置，都代之以一个逻辑函数 formula_70，此等式仍然成立。
对偶规则.
设 formula_70 是一个逻辑函数式，如果将 formula_70 中的所有的 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，而变量保持不变。那么就的得到了一个逻辑函数式 formula_73，这个 formula_73 就称为 formula_70 的对偶式。如果两个逻辑函数 formula_70 和 formula_77 相等，则它们各自的对偶式 formula_73 和 formula_79 也相等。
反演规则.
当已知一个逻辑函数 formula_70，要求 formula_81 时，只要把 formula_70 中的所有 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，原变量变成反变量，反变量变成原变量，即得 formula_81。
使用反演规则时要注意保持原函数中逻辑运算的优先顺序。
逻辑函数的标准形式.
逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式，也叫做积之和式(SP form)。
逻辑变量的逻辑或运算叫做或项，或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式，也叫做和之积式(PS form)。
最小项.
对于 formula_84 个变量的逻辑函数而言，它的与项如果包含全部 formula_84 个变量，即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次，那么这个与项就称为该逻辑函数的最小项。
最大项.
对于 formula_84 个变量的逻辑函数而言，它的或项如果包含全部 formula_84 个变量，即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次，那么这个或项就称为该逻辑函数的最大项。
逻辑函数的化简.
运用逻辑代数的基本公式及规则可以对逻辑函数进行变换，从而得到表达式的最简形式。这里所谓的最简形式是指最简与或式或者是最简或与式，它们的判别标准有两条：(1)项数最少；(2)在项数最少的条件下，项内的文字最少。
卡诺图是遵循一定规律构成的。由于这些规律，使逻辑代数的许多特性在图形上得到形象而直观的体现，从而使它成为公式证明、函数化简的有力工具。
应用.
计算机.
20世纪早期，一些电子工程师领悟到逻辑代数很像某种电子电路的行为。香农在它1937年的论文中证明了这种行为与逻辑代数等价。
几乎所有现代通用计算机都用二值布尔逻辑做运算；也就是说它们的电路是二值布尔逻辑的物理表示。几种表示方式：导线上电压的高低，磁性存储设备中磁畴的方向，打孔卡或纸带上的洞，等等（但有些早期的计算机用了十进制电路或者机械，而不是二值逻辑电路）
当然，也可能在任意介质中编码进2个以上的符号。比如在导线上用0，1，2，3伏特去编码一种有4个符号的字符集，或者利用打孔卡的洞的不同大小。但实践上，在一个很小的、高速的、低功耗的电路中噪声是个关键因素。它使分辨多个可能出现的符号变得困难。所以电路设计者们选择了高、低2种电压而不是4种。
由于上面的原因计算机使用二值逻辑电路。最常见的计算机架构使用32或64个叫做比特的布尔值序列，比如011010001101001010101001010111100000010101001011。当使用机器语言、汇编语言和某些高级语言时，程序员可以操作寄存器的数字结构。在寄存器中0电压表示逻辑0，参考电压（通常是+5伏或+3.3伏）表示逻辑1。这些语言同时支持数值操作和逻辑操作。这里的“数值操作”指计算机把比特序列当作二进制数字进行加减乘除等运算。“逻辑操作”指2个比特序列之间的与或非运算，序列中每一位都与另一序列中对应位进行运算。这两种操作之间的关键不同是前者有进位而后者没有。