拉回 (微分几何)

在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 formula_1 是从光滑流形 formula_2 到 formula_3 的光滑映射；那么伴随有一个从 "formula_3" 上 1- 形式（余切丛的截面）到 "formula_2" 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 formula_6 拉回，经常记作 formula_7。更一般地，任何 "formula_3" 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 "formula_6" 拉回到 formula_2 上。
当映射 "formula_6" 是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何 "formula_3" 上的张量场变换到 "formula_2"，或者相反。特别地，如果 "formula_6" 是 formula_15 的开集与 formula_15 之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形 "M" 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。
拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。
光滑函数与光滑映射.
设 formula_1 是光滑流形 "formula_2" 与 "formula_3" 之间的光滑映射，假设 formula_20 是 "formula_3" 上一个光滑函数。则 formula_22 通过 formula_6 的拉回是 "formula_2" 上的光滑函数 formula_25，定义为formula_26。类似地，如果 formula_22 是 "formula_3" 中开集 formula_29 上的光滑函数，则相同的公式定义了 "formula_2" 中开集 formula_31 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了 "formula_3" 上光滑函数层到 formula_6 的直接像（在 "formula_2" 上光滑函数层中）的一个态射。
更一般地，如果 formula_35 是从 "formula_3" 到任意其他流形 formula_37 的光滑映射，则 formula_38 是从 "formula_2" 到 formula_37 的一个光滑映射。
丛与截面.
如果 formula_41 是 "formula_3" 上一个向量丛（或任意纤维丛），formula_1 是光滑映射，那么拉回丛 formula_44 是 "formula_2" 上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其 "formula_2" 中的点 formula_47 处的纤维由 formula_48 给出。
在此情形，前复合定义了 formula_41 上截面的一个变换：如果 formula_50 是 "formula_3" 上 formula_41 的一个截面，那么拉回截面 formula_53 是 "formula_2" 上拉回丛 formula_44 的一个截面。
多重线性形式.
设 formula_56 是向量空间 formula_57 与 formula_58 之间的一个线性映射（即，formula_59 是 formula_60 中的元素，也记成 formula_61），设
是 formula_58 上一个多重线性形式（也称为 formula_64 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 formula_50 是乘积中 formula_58 的因子的个数）。则 formula_67 由 formula_59 的拉回 formula_69 是一个 formula_57 上的多重线性形式，定义为 formula_67 与 formula_59 的前复合。准确地，给定 formula_57 中向量 formula_74，formula_69 由公式定义
这是 formula_57 上一个多重线性形式。从而 formula_78 是一个从 formula_58 上的多重线性形式到 formula_57 上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果 formula_67 是 formula_58 上一个线性形式（或 formula_83 -张量），那么 formula_67 是 formula_58 的对偶空间 formula_86 中一个元素，则 formula_69 是 formula_88 中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射 formula_59 自己的方向相反：
从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 formula_58上取值于 formula_92 个 formula_58 的张量积 formula_94 的线性映射。但是，这种张量积不能自然的拉回：不过有从
formula_95 到 formula_94 的前推算子，定义为
然而，如果 formula_59 可逆，拉回可以用逆函数 formula_99 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起，得到了对任何 formula_100 阶张量一个拉回算子。
余切向量与 1 形式.
设 formula_1 是光滑流形间的光滑映射。那么 formula_6 的前推：formula_103 （或 formula_104），是从 formula_2 的切丛 formula_106 到拉回丛 formula_107 的（在 formula_2 上）向量丛同态。从而 formula_109 的转置是从 "formula_110" 到 formula_2 的余切丛 formula_112 的丛映射。
现在假设 formula_113 是 "formula_114" 的一个截面（"formula_3" 上一个 1-形式），将 "formula_113" 与 "formula_6" 前复合得到 formula_118的一个拉回截面。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致 formula_113 由 "formula_6" 的拉回，是 formula_2 上一个 1-形式，定义为：
对 formula_47 属于 formula_2 与 formula_125 属于 formula_126。
（共变）张量场.
对任何自然数 formula_50，上述构造马上可推广到 formula_64 阶张量丛上。流形 formula_3 上 formula_64 张量场 是 formula_3 上张量丛的一个截面，在 formula_3 中 formula_133 点的截面是多重线性 formula_50-形式空间
取 formula_59 等于从 "formula_2" 到 formula_3 的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 "formula_2" 上 formula_64 张量场的拉回。更确切地，如果 formula_141 是 "formula_3" 上一个 formula_64-张量场，那么 "formula_141" 由 "formula_6" 的拉回 是 "formula_2" 上 formula_64-张量场 formula_148，定义为
对 formula_47 属于 "formula_2" 与 formula_152 属于 formula_126。
微分形式.
共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 formula_113 是一个微分 formula_155-形式，即 formula_156（逐点）反交换 "formula_155"-形式组成的外丛 formula_158 的一个截面，则 formula_113 的拉回是 "formula_2" 上一个微分 formula_155-形式，定义与上一节相同：
对 formula_47 属于 formula_2 与 formula_152 属于 "formula_126"。
微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。
1. 和楔积相容：假设同上，对 formula_3 上的微分形式 formula_113 与 formula_169，
2. 和外导数 formula_171 相容：如果 formula_113 是 "formula_3" 上一个微分形式，则
由微分同胚拉回.
当流形之间的映射 formula_6 是微分同胚，即有一个光滑逆函数，则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射
可逆，给出
一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 "formula_156" 与 formula_179 两部分，分别用 formula_59 与 formula_99 变换。当 formula_182 时，则拉回和前推刻画了流形 formula_2 上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量共变指标的变换性质；相对地，反变指标的变换性质由前推给出。
由自同构拉回.
上一节的构造有一个代表性特例，若 formula_6 是流形 formula_2 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 formula_186 是 formula_187 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 formula_188 相配于 "formula_2" 的标架丛 formula_190 的任何丛的截面上导出了拉回作用。
拉回与李导数.
将上述想法应用到由向量场 "formula_2" 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。
联络（共变导数）.
如果 formula_192 是 formula_3 上向量丛 formula_41 的联络（或共变导数），"formula_6" 是从 "formula_2" 到 formula_3 的光滑映射，那么在 "formula_2" 上的向量丛 formula_199 上有拉回联络 formula_200，由等式
惟一确定。