克利福德代数

数学上，克利福德代数（Clifford algebra）是由具有二次型的向量空间生成的单位结合代数。作为域上的代数，其推广实数系、复数系、四元数系等超复数系，以及外代数。此代数结构得名自英国数学家威廉·金顿·克利福德。
研究克里福代数的理论有时也称为克里福代数，其与二次型论和正交群理论紧密联系。其在几何、理论物理、数码图像处理中有很多应用。其主要贡献者有：威廉·哈密顿（四元数），赫尔曼·格拉斯曼（外代数），威廉·金顿·克利福德，等。
最常见的克里福代数是正交克里福代数，又称（伪）黎曼克里福代数。另一类是扭对称克里福代数。
定义及基本性质.
设有域formula_1上的向量空间formula_2，且其上有二次型formula_3。克里福代数formula_4是由formula_2生成的「」的单位结合代数，但须满足
其中左边的平方是该代数中的乘法，而右边的formula_7为其乘法单位元。所谓「最自由」，可以用泛性质严格定义，详见下节。
若formula_2为有限维实向量空间，且formula_9非退化，则formula_4可记为formula_11，表示formula_2有一组正交基，其中formula_13个基元formula_14满足formula_15，另有formula_16个基元满足formula_17，而formula_18指明该克里福代数定义在实域上，即该代数的元素系数皆为实数。此组正交基可藉找出。
由formula_2生成的自由代数是张量代数formula_20。换言之，其为formula_2自身的formula_22重张量积，对所有formula_22的直和。故相应的克里福代数会是该张量代数对元素formula_24（formula_25取遍formula_2的元素）生成的双边理想的商。张量积导出在商代数的乘积以串接表示（例如formula_27）。其结合律由张量积的结合律推出。
克里福代数有指明的子空间formula_2，即嵌入的像。若只得与克里福代数同构的formula_1代数，则一般无法唯一确定该子空间。
若底域formula_1的特征不为formula_31，则可将基本恒等式formula_32重写成
其中
定义的对称双线性形式与二次型formula_9之间有极化恒等式。
特征为formula_31的二次型与克里福代数为特例。具体而言，若formula_37，则对于二次型formula_9，式formula_39未必唯一确定某个对称双线性型formula_40，formula_9也未必有正交基。本条目不少命题的条件皆要求特征不为formula_31，而若允许特征为formula_31，则命题不再成立。
作为外代数的量子化.
克里福代数与外代数密切相关。外代数是克里福代数的特例：若在克里福代数的定义中，取formula_44，则克里福代数formula_4就是外代数formula_46。即使formula_9非零，只要基域formula_1的特征非formula_31，formula_46和formula_4之间仍有典范的线性同构。换言之，两者作为向量空间自然地同构，但其上的乘法有分别。特征为formula_31时，两者仍线性同构，然而该同构并非自然。克里福代数的乘法和指定的子空间是比外代数更丰富的结构，因为用到formula_9提供的额外资讯。
克里福代数为，而为外代数。
具体而言，克里福代数可视为外代数的「量子化」（见量子群），正如为的量子化。
外尔代数和克里福代数还具有*-代数的结构，并能整合成某个超代数的偶次和奇次项，见。
泛性质与构造.
设formula_2为域formula_1上的向量空间，formula_3为formula_2上的二次型。多数情况下，域formula_1是实域formula_18或复域formula_60，或有限域formula_61。
克里福代数formula_4定义为有序对formula_63，其中formula_64为formula_1上的单位结合代数，而线性映射formula_66满足对任意formula_67，皆有formula_68，且formula_63满足下列泛性质：给定formula_1上任何单位结合代数formula_71和线性映射formula_72令
（其中formula_74表示formula_71的乘法单位元），必有唯一的代数同态formula_76使得以下图表可交换（即formula_77：
二次型formula_9可换成满足formula_79的（无需对称的）双线性形式formula_40，此时formula_81需满足的条件等价于
当基域的特征非formula_31时，以上条件也等价于：
其中双线性型不妨限定为对称双线性型。
以上描述的克里福代数必定存在，能借以下一般方法构造：先选取由formula_2生成的最自由的代数，即张量代数formula_86，然后藉取商，保证基本恒等式成立。对于克里福代数，所需formula_86的双边理想formula_88是由所有形如
的元素生成，其中formula_25取遍formula_2的元素，随后便可定义formula_4为商代数formula_93。
商承继的环乘积有时称为克里福积，以免与外代数的外积formula_94或纯量积formula_95混淆。
有上述formula_4的构造后，可以直接验证formula_4包含formula_2，且满足所需的泛性质。而由泛性质，可知formula_99在唯一同构的意义下唯一，故在此意义下，可当克里福代数必定由上述构造给出。从构造可知，formula_100是单射，故通常隐藏formula_100而视formula_2为formula_4的线性子空间。
因为克里福代数可由泛性质定义，所以formula_4的构造具函子性，即formula_99为函子，其定义域为具有二次型的formula_1-向量空间组成的范畴（其态射为保二次型的线性映射），陪域为结合formula_1-代数范畴。泛性质保证，向量空间之间保二次型的线性映射，唯一扩展成相应的克里福代数的代数同态。
基与维数.
由于formula_2已配备二次型formula_9，在特征非formula_31时，formula_2有一组正交基，即其元素formula_14满足
基本克里福恒等式推出，对于正交基，有
此关系使正交基元间的运算很容易。给定formula_2中两两互异的正交基元的乘积formula_118 ，可以将各因子按顺序排好，而仅需依照置换的奇偶性在前面加上正负号。
若formula_2在formula_1上的维数为formula_22，且formula_122为formula_123的正交基，则formula_4为formula_1上的向量空间，其一组基为
在上式中，空乘积（formula_127）定义为乘法单位元。由于每个formula_14可以出现或不出现在乘积中，formula_4的维数（即基的大小）为
例子：实域上与复域上的克里福代数.
克里福代数的重要例子源自实或复向量空间及其上非退化的二次型给出。
本节的例子formula_131和formula_132皆同构于某个formula_71或formula_134，其中formula_71为formula_18、formula_60或formula_138上的全个矩阵环。此类代数的完整分类，见。
实域上.
克里福代数有时称为几何代数，尤其定义在实域上时。
有限维实向量空间上的非退化二次型必等价于某个标准对角型：
其中formula_140为向量空间的维数。非负整数对formula_141称为二次型的。配备此二次型的实向量空间一般记为formula_142，而formula_142生成的克里福代数则记为formula_131。formula_145可能表示formula_146或formula_147，视乎作者偏好二次型正定抑或负定。
formula_142的标准基formula_122由formula_140支两两正交的向量组成，其中formula_13支的平方为formula_152，其余formula_16支的平方则为formula_154。于是，代数formula_131中，也有该formula_13支向量的平方为formula_152，该formula_16支向量的平方为formula_154。
低维的例子有：
复域上.
也可以研究复域上的克里福代数。formula_22维复向量空间上，每个非退化二次型都等价于标准对角型
由此，对每个维数formula_22，在同构意义下，恰有一个克里福代数定义在配备非退化二次型的formula_22维复向量空间上，记为formula_132。
最小的几个例子为：
例子：构造四元数与二元四元数.
四元数.
本节将会构造哈密顿的四元数系，作为克里福代数formula_170的偶子代数。
设formula_2为实三维向量空间formula_184，二次型formula_9为欧氏度量的相反数，则对于formula_186，相应的纯量积（双线性型）由
给出。
现引入向量formula_188的克里福积formula_189，使其满足
（此处有负号，以使该代数与四元数的联系更清晰。）
设formula_191为formula_184的一组正交单位基，则由上式可知，其两两的克里福积满足
且
克里福代数formula_170的任意元素可以表示成
若只考虑偶次项，则得到偶子代数formula_197，其任意元素可表示成
若定义四元数的基元formula_199为
则可知formula_197与哈密顿的实四元数代数同构，理由是：
且
与四元数的运算法则一致。
二元四元数.
本节构造，作为配备退化二次型的实四维向量空间的偶克里福代数。
设向量空间formula_2为实四维空间formula_206，并设二次型formula_9为源自formula_184上欧氏度量的退化型，即相应的双线性型formula_209满足：对任意formula_210，
换言之，此退化纯量积只考虑将formula_206投影到formula_184后的像。
向量formula_188的克里福积formula_189由下式定义：
同上节，负号是为了明确该代数与四元数系的对应关系。
记formula_206的标准基元为formula_218，则其克里福积满足关系
及
克里福代数formula_221也记为formula_222（下标分别表示平方为formula_223的基元个数），其一般元素有16项，而仅取偶次项时，得到偶子代数formula_224，其一般元素形如
于是，可分别定义四元数基元formula_226和二元数基元formula_227为
从而给出formula_221与代数的同构。
要验证二元四元数的乘法法则，可以计算
和
后者的计算中，formula_163和formula_233的换位将符号改变了偶数次（即无改变）。同样的方法能证明，二元数基元formula_227可与全部四元数基元formula_226交换。
低维例子.
设formula_1为特征非formula_31的域。
一维.
对于formula_238的情况，若formula_9有对角化formula_240，即存在非零向量formula_67令formula_242，则formula_4代数同构于formula_244，即由满足formula_245的单一个元素formula_246生成的formula_1-代数。
更具体而言，有三种情况：
二维.
对于formula_258的情况，若formula_9有对角化formula_260，其中formula_261皆非零（formula_9非退化时必然存在），则formula_4同构于由formula_264生成的formula_1-代数，其中formula_264满足formula_267。
于是formula_4同构于（广义）formula_269。在formula_270且formula_271时，该代数化归为哈密顿的四元数代数，即formula_272。
作为特殊情况，若有某个formula_273使得formula_274，则formula_275是二阶方阵的代数。
性质.
与外代数的关系.
给定向量空间formula_2，可以构造外代数formula_277，其定义不取决于formula_2上任何二次型。事实上，若formula_1的特征非formula_31，则formula_277与formula_4作为向量空间自然同构（而在特征formula_31时，仍有同构，但不一定自然）。该自然同构当且仅当formula_44时为代数同构。所以，可以将克里福代数formula_4视为formula_2的外代数额外配备取决于formula_9的乘法。（准确而言是外代数的「量子化」，见#作为外代数的量子化。）原有的外积仍有不取决于formula_9的定义。
描述以上同构的简单方法是：先取formula_2的正交基formula_122，并扩展成formula_4的基（如#基与维数所述）。定义映射formula_292使
并线性扩展。注意此处用到formula_122正交。可以证明，映射formula_295的定义无关正交基的选择，故为自然同构。
若formula_1的特征为formula_297，则也可以藉反对称化（antisymmetrizing）定义以上同构：定义一列映射formula_298使
其求和符号中，formula_300取遍formula_301阶对称群formula_302的元素。由于formula_303反对称，其导出独一个映射formula_304。该些映射的为formula_277至formula_4的线性映射。可以证明该映射为同构，且是自然同构。
也可以从更高等的观点，在formula_4上构造，以看待两者的关系。注意张量代数formula_86有自然滤过formula_309，其中formula_310含所有阶不高于formula_301的张量。将此滤过投射到克里福代数上，就得到formula_4上的滤过。与此滤过
与外代数formula_314自然同构。由于滤过代数的相伴分次代数总与原滤过代数作为滤过向量空间同构（藉选取formula_315在formula_316中的补集），可知克里福代数与外代数在任何特征（包括formula_31）下皆同构（尽管不一定自然）。
分次.
本节假设特征非formula_31。
克里福代数为formula_319-（又称为超代数），以下说明原因。在formula_2上，线性映射formula_321（关于原点对称）保持二次型formula_9，故由克里福代数的泛性质，该线性映射延拓成代数自同构
由于formula_324为对合（即其平方为恒同映射），可以将formula_4分解成formula_324的正和负特征空间：
其中 
由于formula_324是自同构，有：
其中方括号上标的运算模formula_31，故上式赋予formula_4作为formula_319-的结构。子空间formula_334为formula_4的，称为偶子代数。而子空间formula_336则称为奇部（其不为子代数）。此formula_337-分次在克里福代数的分析和应用上很重要。自同构formula_324称为主对合（main involution）或次数对合（grade involution）。此formula_337-分次中的纯元素，即偶部或奇部的元素，分别称为偶元和奇元。
当特征非formula_31时，由于formula_4与外代数formula_46有典范同构，formula_4作为向量空间，承继formula_46的formula_345-分次和formula_346-分次。然而，该分次仅为向量空间分次，而非代数分次。换言之，克里福乘积并不遵守该formula_345-分次或formula_346-分次，仅遵守上段的formula_337-分次：例如，若formula_350，则formula_351，但formula_352，而不在formula_353中。不过此等分次之间有自然的联系：formula_354。更甚者，克里福代数有formula_346-：
克里福数的次数通常指formula_345-分次的次数。
克里福代数的偶子代数formula_334本身亦同构于某个克里福代数。若formula_2为具有非零范数formula_360的向量formula_252与子空间formula_362的正交直和，则formula_334同构于formula_364，其中formula_365为二次型formula_9乘上formula_367，并限制到formula_362。作为例子，以上结论在实域上推出：
在formula_9负定的情况下，上式给出包含关系formula_371，延伸序列
类似可证，在复域上, formula_132的偶子代数同构于formula_374。
反自同构.
除自同构formula_324外，克里福代数的分析中，还有两个重要的。记得张量代数formula_86有将全部乘法次序反转的反自同构：
由于理想formula_88在该反转下不变，该反转也定义formula_379上的反自同构，称为转置或反转，记为formula_380。转置为反自同构，即有formula_381。上述定义中，并未用到formula_382-分次，故可复合自同构formula_324与转置，而得另一个反自同构。新的反自同构称为克里福共轭，记为formula_384。以符号表示：
两个反自同构中，转置更本质。
此三种运算皆是对合。此外，其对formula_346-分次纯元的作用皆是乘上formula_387，且符号仅取决于次数formula_388。换言之，若formula_246是formula_301次纯元，则
其中符号载于下表：
克里福纯量积.
当特徴非formula_31时，formula_2上的二次型formula_9可以延拓成formula_4上的二次型（同样记为formula_9）。该延拓可用以下不取决于基的方式定义：
其中formula_398表示formula_252的纯量部分（formula_346-分次的零次项）。可以证明，对于formula_2的元素formula_402，有
但上式对formula_4的其他元素不一定成立。
在formula_4上，与formula_9相伴的对称双线性型由下式定义：
可以验算，若限制在formula_2上，则该双线性型化为formula_2上原有的双线性型。在formula_4上，该双线性型非退化当且仅当其限制在formula_2上非退化。
关于此纯量积，左（右）乘formula_412与右（左）乘formula_252互为伴随。换言之，
且
克里福代数的结构.
本节假设域的特征非formula_31，向量空间formula_2为有限维，且二次型formula_9非退化。若矩阵代数的系数取自某个中心为formula_1的有限维，则该矩阵代数称为formula_1上的。例如，实域上的中心单代数可能是实域上的矩阵代数，也可能是四元数代数上的矩阵代数。有下列结论：
克里福代数的结构可从以下结果推导出：假设formula_362有偶数维，且有非退化的双线性型，其行列式为formula_209，又设formula_2为另一个向量空间，亦配备二次型，则formula_438的克里福代数同构于formula_362的克里福代数与formula_440的克里福代数的张量积。（后者仍是向量空间formula_2，但其上的二次型要乘上因子formula_442。）在实域上，上述结果推出：
该些公式可用作找出所有实克里福代数和复克里福代数的结构，详见。
值得注意，克里福代数的森田等价类（即其整个表示论：该代数上的的加性等价类）只取决于其符号formula_446。此为一种代数形式的博特周期性。
利普希茨群.
利普希茨群（又称为克里福群或克里福－利普希茨群）由鲁道夫·利普希茨发现。
本节中，设formula_2为有限维向量空间，而二次型formula_9非退化。
克里福代数的可逆元群以「扭转共轭」的方式作用在克里福代数上：所谓formula_246扭转共轭作用在formula_450上，结果便是formula_451，其中formula_324是上文定义的主对合。
利普希茨群formula_453定义为所有满足
的可逆元formula_246的集合。换言之，要求formula_246的扭转共轭稳定化所有向量组成的集合。 
上式说明，该群作用可以限制成向量空间formula_2上的群作用，且其保持二次型formula_9，故给出利普希茨群到正交群的同态。利普希茨群包含所有令formula_459在formula_1中可逆的元素formula_461，而此等元素作用在formula_2上的效果为反射
（特征为formula_31时，此种映射称为错切而非反射。）
若formula_2为有限维实向量空间，并配备，则利普希茨群满射到formula_2关于该二次型的正交群（根据嘉当－迪厄多内定理），且核恰好包含formula_1的所有非零元，故有下列短正合列
其中formula_470是formula_453的偶子群。
其他域上，或当二次型退化时，该映射未必满，而旋量范数描述其不满程度。
旋量范数.
对任意特征，利普希茨群上的旋量范数formula_9由下式定义：
其为由利普希茨群射去非零元素的乘法群formula_474的同态。当formula_2视为克里福代数的子空间时，formula_9在formula_2上等于与formula_2原有的二次型。若干作者采用不同的定义，以致在formula_479上，其定义与上述定义相差formula_154、formula_31、formula_482倍。只要特征不为formula_31，此差异并不重要。
formula_1中的非零元素的旋量范数是在非零平方子群formula_485中，所以，若formula_2有限维且其上的二次型非退化，则有同态从formula_2的正交群映去formula_488，亦称为旋量范数。对任意向量formula_489，关于formula_490（formula_491是关于二次型而言）反射的旋量范数在formula_488中的像为formula_459。此性质唯一确定正交群上的旋量范数。故有正合列：
注意在特征为formula_31时，群formula_496只有一个元素。
若从代数群的伽罗瓦上同调考虑，旋量范数是上同调的连接同态。其含义是，以formula_497表示（若域的特征不为formula_31，则该群大致就是二元群，且其伽罗瓦作用平凡），则短正合列
给出上同调层面的长正合列，其起始一段为
代数群的formula_1系数零阶伽罗瓦上同调即其formula_1值点旳群：formula_503，而 formula_504，故也能从长正合列推导出上段的正合列
其中旋量范数为连接同态formula_506。
旋量群与Pin群.
本节假设formula_2有限维，且其双线性型非退化。
Pin群formula_508为利普希茨群formula_453中，旋量范数为formula_7的元素组成的子群。类似地，旋量群formula_511为formula_508中，迪克森不变量为formula_297的元素组成的子群。当特征非formula_31时，该些元素即行列式为formula_7的元素。旋量群在Pin群的通常为formula_31。
前一节说明，利普希茨群有到正交群的满同态。定义特殊正交群为formula_470的像。若formula_1的特征非formula_31，则特殊正交群就是正交群中，行列式为formula_7的元素的子群。若formula_1的特征为formula_31，则正交群所有元素的行列式皆为formula_7，而特殊正交群为迪克森不变量为formula_297的元素的子群。
也有从Pin群到正交群的同态。其像由旋量范数为formula_525的元素组成，而核则由formula_152和formula_154组成（故其阶为formula_31，除非特征为formula_31）。类似有由formula_2的旋量群到其特殊正交群的同态。
当formula_2为实正定或负定空间时，旋量群有满同态射到特殊正交群上，且在formula_2至少formula_533维时，旋量群单连通。更甚者，此满同态的核为formula_496。故此时，旋量群formula_535为formula_536的二重复叠。然而，旋量群在一般情况下未必单连通：若formula_2为formula_142，其中formula_539皆至少为formula_31，则旋量群并不单连通。此情况下，代数群formula_541作为代数群仍然单连通，但其实值点群formula_542则不再单连通。
旋量.
在formula_543为偶时，克里福代数formula_544可表示成formula_545维的（复）矩阵代数。限制到群formula_546，则得到同一维数的Pin群的复表示，称为。若再限制到旋量群formula_542上，则该表示分解成两个半旋量表示（half spin representations，又称外尔表示，Weyl representations）的直和，每个半旋量表示有formula_548维。
若formula_549为奇，则克里数代数formula_544为两个矩阵代数的直和，每个有formula_545维，且皆为Pin群formula_546的表示。限制到旋量群formula_553时，两个矩阵代数变得同构，故旋量群有formula_545维的复旋量表示。
更一般而言，任何域上的旋量群和Pin群都有相似的表示，其结构取决于：每当克里福代数有因子为某个除代数上的矩阵代数，其Pin群和旋量群就有该除代数上的对应表示。在实域的例子，参见旋量条目。
实旋量.
为描述实旋量表示，需先明白旋量群如何位处克里福代数中。Pin群formula_555为formula_556中，可写成单位向量之积的可逆元素的集合：
若考虑克里福代数的矩阵表示，则pin群的元素为任意多个反射（见上文）之积，是整个正交群formula_558的覆叠。而旋量群的元素则是formula_555中，偶数支单位向量之积。所以，根据嘉当－迪厄多内定理，旋量群是旋转群formula_560的覆叠。
设formula_561为自同构，其将纯向量formula_25映至formula_563，则formula_541为formula_555中，formula_324的不动点组成的子群。又设
（其元素正是formula_556的偶次元素。）则旋量群包含于formula_569。
formula_556的不可约表示可以成pin群的表示。反之，由于pin群由单位向量生成，其所有不可约表示皆可如此，故两者有一样的不可约表示。同理，旋量群与formula_569有同样的不可约表示。
要将pin群的表示分类，需要用到。至于旋量群的表示（与偶子代数的表示一样），可以使用下列同构（见上文）：
从而得知，符号formula_141的旋量群表示就是符号formula_575或formula_576的pin群表示。
应用.
微分几何.
外代数在微分几何可用作定义光滑流形上的微分形式丛。在（伪）黎曼流形的情况，每个切空间上配备自然的二次型（由度规张量导出）。所以，如同，可以定义。在黎曼几何，克里福丛有若干重要应用，例如其与、相伴的旋量丛、formula_577流形的关联。
物理.
克里福代数在物理有若干重要应用。物理学家通常认定克里福代数具有一组基，其由狄拉克矩阵formula_578生成。此种矩阵满足关系式
其中formula_580为记号formula_581（或formula_582，度量记号的两种等价选取）的二次型的矩阵。上列关系式恰好是定义实克里福代数formula_583的关系式，而该代数的复化formula_584根据，同构于formula_585复矩阵的代数formula_586。然而，在此用法下，仍需保留formula_584的写法，因为将双线性型变成标准型的变换不属时空的洛伦兹变换。
所以，物理使用的时空克里福代数比formula_588有更多结构。例如，有额外指明一族允许的变换，即洛伦兹变换。视乎用途，例如希望框架能容纳多少理论，不一定一开始便要复化，但在量子力学，为使李代数formula_589的能包含于克里福代数中，通常都须考虑复克里福代数。以下列出定义该旋量李代数的关系式以供参考：
上式按照formula_582记号的约定，因此能放入formula_592。
狄拉克矩阵最早由保罗·狄拉克写出，其时他正尝试写出电子的相对论性一阶波动方程，并试图给出由克里福代数到复矩阵代数的明确同构。该些矩阵后来用作定义狄拉克方程式和引入狄拉克算子。在量子场论中，整个克里福代数以的形式出现。
使用克里福代数来描述量子理论，推动者有、（方面）、戴维·玻姆和及同事（）、Elio Conte等。
电脑视觉.
电脑视觉方面，克里福代数适用于辨认和分类动作。米基·洛迪古斯（Mikel Rodriguez）及合作者提出用克里福嵌入，将传统的最大平均关联高度滤子（Maximum Average Correlation Height filter, MACH filter）推广，套用于影片（3D时空体积）以及向量值数据，例如光流。向量值数据需以分析。基于该些向量，能在克里福傅立叶域中，合成出动作滤子，然后用克里福关联来辨认动作。论文作者用克里福嵌入，分辨出传统剧情长片和体育广播的常见动作，以论证其方法有效。
会议与期刊.
克里福代数和几何代数，以及相关的跨学科研究，是活跃的研究主题，且有广泛的应用。此学科的学术会议包括克里福代数及其在数学物理的应用国际会议（ICCA） 及几何代数在电脑科学及工程学的应用（AGACSE） 两个系列。期刊包括斯普林格出版的《》。