傅里叶级数

在数学中，傅里叶级数（，）是把类似波的函数表示成简单谐波的方式。更正式地说，对于满足狄利克雷定理的周期函数，其傅里叶级数是由一组正弦与余弦函数的加权和表示的方法。傅里叶级数与用来找出无周期函数的频率信息的傅里叶变换有密切的关系。
傅里叶级数是傅里叶分析的一个研究分支，也是采样定理原始证明的核心。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
历史.
傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶（1768年–1830年），他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家欧拉、达朗贝尔和克莱罗，已发现在认定一个函数有三角级数展开后，通过积分方法计算其系数的公式，而拉格朗日等人已经找到了一些非周期函数的三角级数展开。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。
傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助，傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文虽经、加斯帕尔·蒙日同意，但在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他的现在被称为的理论后来发表于1822年出版的《热的解析理论》。
定义.
傅里叶级数可以用不同的形式来表达，下面将周期为formula_1的一个周期函数formula_2表达为不同形式的傅里叶级数。
正弦-余弦形式.
人们常用formula_3与formula_4的三角级数来表示formula_5，就是将所有formula_6阶谐波formula_7与formula_8，乘以其各自在formula_5中的权重，求得它们的总和；这些formula_6阶谐波的权重称为傅立叶级数系数，它们可以借由如下积分来获得：
符号formula_11表示在选定区间上的积分，典型的选择为formula_12或者formula_13。注意formula_14是函数formula_15的，这个性质扩展到了类似的变换比如傅里叶变换。
通过这些系数定义傅里叶级数为：
这里使用符号formula_16，表示傅里叶级数的求和不一定总是等于formula_15。普遍来说formula_6是理论上趋近于无限大的，但是就算趋近于无限大，对所有的formula_19（例如在某一点上不连续），傅立叶级数也不一定收敛到formula_5 。尽管不收敛的可能性始终存在，在科学和工程领域中经常将中的formula_16直接替代为formula_22。
在傅里叶级数系数中的整数索引formula_6，是级数中相应的formula_24或formula_25，在这个函数的周期formula_1中，形成的圆周（cycle）的数目。因此对应于formula_27和formula_28的项有着：
指数形式.
下面借由欧拉公式formula_33，将傅里叶级数系数简化成复数指数形式。
根据定义，我们可以得到:
通过将等式代入，可以证实：
\,dx\qquad\text{for}\ n \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;
给定复数傅里叶级数系数，可以用公式复原出formula_27和formula_28：
通过这些定义，傅里叶级数可以写为：
这是可推广到复数值域函数的惯用形式。formula_6的负数值对应于负频率。
复数值函数.
人们习惯将formula_5的值域普遍化到复数上，设formula_5是一个复数值函数，它的实部和虚部，都是实数值函数：
定义formula_40则：
对于这个复数值函数，它的傅里叶级数的实部，是它的实部的傅里叶级数；它的傅里叶级数的虚部，是它的虚部的傅里叶级数：
振幅-相位形式.
还可以利用三角恒等式formula_45，把正弦-余弦形式中后面的正弦函数跟余弦函数合并起来：
然后定义振幅formula_47，相位formula_48，这里的formula_49和formula_50对应正弦-余弦形式中formula_27和formula_28。formula_53是formula_15的formula_55。
部份求和算子.
在描述傅里叶级数行为的时候，经常会为一个函数formula_56介入部份求和算子formula_57：
这里的formula_58是formula_59的傅里叶系数。不同于微积分中的级数，傅里叶级数的部份求和必须采用对称形式，否则收敛结果可能不成立。
假设formula_56与formula_61是在formula_62上的可积函数，formula_56与formula_61在formula_65的卷积formula_66为:
周期为formula_68的函数formula_56的傅立叶级数的部份求和，可以经由formula_56与狄利克雷核formula_71的折积来表示：
收敛性概要.
formula_73在formula_74近似了formula_15，该近似程度会随着formula_76逐渐改善。这个无穷和formula_77叫做 formula_78的傅里叶级数表示。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值，这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件。参见之一。对于广义函数或分布也可以用范数或定义傅里叶系数。在formula_15的不可导点上，如果我们只取无穷级数中的有限项求和，那么在这些点上会有幅度不随formula_80增大而持续变小的起伏，这叫做吉布斯现象，一个简单的例子是方波信号。
在工程应用中，一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛，原因是工程上遇到的函数比数学家提供的这个假定的反例表现更加良好。特别地，傅里叶级数绝对收敛且一致收敛于formula_15，只要在formula_15的导数（或许不会处处存在）是平方可积的。如果一个函数在区间formula_83上是平方可积的，那么此傅里叶级数在几乎处处的点都收敛于该函数。
其他常用表示法.
符号formula_58在讨论多个不同函数的傅里叶系数时是不够用的。因此习惯上将其替代为函数（这里是函数formula_78）的某种修改形式，即采用函数式符号比如formula_86或formula_87，来替代下标式符号：
在工程上，特别是在变量formula_19表示时间的时候，系数序列叫做频域表示。经常使用方括号来强调这个函数的定义域是频率的离散集合。
另一个常用频域表示，使用傅里叶级数系数，调制像梳子一样的：
这里的formula_59表示连续频域。在变量formula_19以秒为单位的时候，formula_59以赫兹为单位。采样的间隔为基本频率formula_95的formula_6倍（即为谐波）。 formula_77可以通过从这种表示恢复出来:
构造出的函数formula_99，因而通常称为“傅里叶变换”，即使一个周期函数的傅里叶积分在这个谐波频率上不收敛。
常用的傅里叶级数.
下表列出常用的周期函数及其傅里叶级数系数。
基本性质.
下表展示在时域中的一些数学运算及其对应的在傅里叶级数系数上的效果。
对称性质.
所有的函数都可以分解成唯一性的：formula_115，这里的formula_116而formula_117。实数参数的复数值函数formula_118，对于所有formula_119，如果formula_120则称其为“偶对称”，如果formula_121则称其为“奇对称”，这里formula_122的上顶横线指示复数共轭。
一个复数值函数的实部和虚部，分解成各自的偶部和奇部，就有了四个分量，分别用下标标明为RE、RO、IE和IO。一个复数值时间参数函数的四个分量，与它的复数频率变换的四个分量之间，有着一一映射：
由此可见，各种关系是显而易见的，例如：
范例.
一个简单的傅里叶级数.
我们现在用上面的公式给出一个简单函数的傅里叶级数展开式。考虑一个锯齿波：
在这种情况下，傅里叶级数为：
可以证明，当formula_78可微时，傅立叶级数在每个点formula_19都收敛于formula_15，于是：
当formula_130时，傅里叶级数收敛于formula_131，为在formula_130 处formula_78的左极限和右极限之和的一半。这是傅里叶级数的狄利克雷定理的特例。
这个例子为我们引出了巴塞尔问题的一种解法。
傅里叶诱导.
在上例中我们的函数的傅里叶级数展开式看起来不比formula_134简单，因此人们需要傅里叶级数的原因也就不会立即显现出来。但还有很多应用，我们举用傅里叶诱导解热方程的例子。考虑边长为formula_135米的方形金属版，坐标为formula_136。如果板内没有热源，并且四个边中三个都保持在formula_131摄氏度，而第四条边formula_138，对于formula_139，保持在温度梯度formula_140摄氏度。在这种情况下，稳态（或者说很长时间过后的）热分布函数formula_141不能得出解析解，但却可以证明：
这里的formula_143是双曲正弦函数。热方程的这个解是通过将formula_144的傅里叶级数的每一项乘以formula_145得到的。尽管示例的函数formula_15的傅里叶级数似乎很复杂，用傅里叶的方法却可以求解这个热分布问题。
其他例子.
我们也可以应用傅立叶级数去证明等周不等式，或是构造处处连续而处处不可微的函数。
收敛性.
至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如formula_147的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：
满足以上条件的formula_147傅里叶级数都收敛，且：
1966年，里纳特·卡尔松证明了勒贝格二次可积函数的傅立叶级数一定是几乎处处收敛的，即级数在除了一个勒贝格零测集外均收敛。
傅立叶级数收敛证明.
假设一个函数在formula_56在formula_159上是平方可积，则会有:
证明的第一步:
考虑一系列正交基底，formula_162，其中formula_163，且有
然后有formula_165
特别的有，formula_56的傅立叶级数的部分和formula_167
然后根据formula_168 以及毕氏定理，可以有:
如果右边第一项收敛到0，再根据正交的性质，可以看出上述式子中的右手边第二项:
证明的第二步:
回到证明右边第一项，因为函数formula_56可积，找到一个连续函数formula_61，然后根据最佳逼近引理，可以找到一个三角多项式p(x)，使得
故当formula_76，函数formula_56跟formula_177的差为0。
其他性质.
傅立叶级数的唯一性.
如果有一个定义在formula_65的函数formula_56和formula_61,其中函数formula_56和formula_61的傅立叶系数formula_183还有formula_184相同，且傅立叶级数都收敛到函数本身，那么可以证明此傅立叶级数具有唯一性，也就是formula_185。换句话说，如果函数formula_56在formula_65上可积，傅立叶系数formula_183为0，对所有的formula_189，那么函数formula_190
卷积定理.
给定周期为formula_1的函数formula_192和formula_193，它们具有傅里叶级数系数formula_87和formula_112，这里的formula_196。
微分性质.
我们说formula_56属于在formula_210 formula_211 如果formula_56是一个在实数上以formula_68为周期的函数，且formula_214次可微而且formula_214阶连续。
黎曼-勒贝格定理.
如果formula_199是可积函数，则formula_231，formula_232而formula_233。
帕塞瓦尔定理.
如果函数formula_56属于在formula_235之中，那么便有formula_236。
普朗歇尔定理.
如果formula_237是系数，并且formula_238，则有一个唯一的函数formula_239使得对于所有formula_6有着formula_241。
延伸.
希尔伯特空间的解读.
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。
在希尔伯特空间释义下，函数的集合{"en" = "einx"; "n" ∈ Z}是[−π, π]平方可积函数"L"2([−π, π])的正交基。这个空间实际上是一个希尔伯特空间，有著针对任何两个的元素"f"和"g"的如下内积:
三角函数族的正交性用公式表示出来就是：
(这里的δ"mn"是克罗内克函数)，而