纽曼-彭罗斯形式体系

纽曼-彭罗斯( NP )形式体系 是由Ezra T. Newman和Roger Penrose为广义相对论(GR) 发展出的一套记号体系。他们的记号体系试图用旋量记号来处理广义相对论，从而引入了广义相对论中通常使用的变量的复数形式。 NP 形式体系本身是四元组形式体系的一个特例， 在该体系中，理论中的张量被投影到时空每个点的完备矢量基上。通常选择这个矢量基来反映时空的某种对称性，从而简化物理可观测量的表达。对于 NP 形式体系，所选择的矢量基是零四元组：一组四个零矢量——两个实数，一个复共轭对。两个实数成员通常渐近地指向径向内侧和径向外侧，并且该形式体系非常适合处理弯曲时空中的辐射传播。通常使用由韦尔张量导出的韦尔标量。具体来说，可以证明其中一个标量—— formula_1在适当的框架中——编码渐近平坦系统向外的引力辐射。 
纽曼和彭罗斯利用这个四元组引入了以下函数作为基本量： 
在许多情况下——尤其是代数特殊时空或真空时空——纽曼-彭罗斯形式大大简化，因为许多函数趋于零。与使用爱因斯坦方程的标准形式相比，这种简化可以更容易地证明各种定理。
在本文中，我们将只采用张量而非旋量版本的 NP 形式，因为前者更容易理解并且在相关论文中更流行。关于这两个版本的统一表述可以参考文献 。
零四分体和符号约定.
该形式体系是针对四维时空开发的，具有洛伦兹号型度规。在每个点上，引入一个四元组（四个矢量的集合）。前两个矢量formula_6和formula_7只是一对标准（实）零矢量， formula_8 。例如，我们可以用球坐标来思考，并取formula_9为传出的零矢量，并且formula_10成为进入的零矢量。然后通过组合一对实数、正交的单位空间矢量构造一个复数零矢量。对于球坐标，标准选择是formula_11该矢量的复共轭就构成了四元组的第四个元素。
NP 形式化使用了两组签名和规范化约定： formula_12和formula_13 。前者是 NP 形式体系发展过程中最初采用的 方法，并在黑洞物理、引力波和广义相对论的其他各个领域得到了广泛的应用 。然而，当代从准局部视角研究黑洞时通常采用的是后一种惯例 （如孤立视界和动态视界 ）。在本文中，我们将利用formula_13对 NP 形式体系进行系统回顾（另见参考文献 in black-hole physics, gravitational waves and various other areas in general relativity. However, it is the latter convention that is usually employed in contemporary study of black holes from quasilocal perspectives (such as isolated horizons and dynamical horizons). In this article, we will utilize formula_13 for a systematic review of the NP formalism (see also refs.）。
需要注意的是，当从formula_16到formula_17 、自旋系数的定义、Weyl-NP 标量formula_18和 Ricci-NP 标量formula_19需要改变它们的符号；这样，爱因斯坦-麦克斯韦方程就可以保持不变。
在 NP 形式中，复数零四元组包含两个实数零（余）矢量formula_20以及两个复数零（余）矢量formula_21 。作为"零"（余）矢量，"自"归一化formula_20自然消失，
formula_23
因此采用以下两对"交叉"规范化
formula_24
而两对之间的收缩也正在消失，
formula_25
这里的指数可以通过全球指标来提高或降低formula_26可以通过以下方式获得
formula_27
NP 量和四元组方程.
四个协变导数算子.
为了与形式体系对对象的每个组成部分使用不同的未索引符号的实践保持一致，协变导数运算符formula_28使用四个独立的符号来表示（ formula_29 ) 为每个四元组方向命名一个方向协变导数算子。给定四元组矢量的线性组合， formula_30 ，协变导数算子formula_31方向是formula_32 。
formula_33
简化为formula_34当作用于"标量"函数时。
十二个旋转系数.
在 NP 形式中，每个Ricci 旋转系数formula_35在零四元组中分配了一个小写的希腊字母，它们构成了 12 个复杂的"自旋系数"（分为三组），
formula_36
formula_37
自旋系数是 NP 形式中的主要量，所有其他 NP 量（如下所定义）都可以利用 NP 场方程间接计算。因此，NP 形式有时也称为"自旋系数形式"。
运输方程：四元组矢量的协变导数.
四元组矢量的十六个方向协变导数有时被称为"传输/传播方程，"可能是因为当四元组矢量沿导数算子方向平行传播或传输时，导数为零。
O'Donnell 给出了以这种精确符号表示的结果： formula_38formula_39formula_40formula_41
从"Dℓ" "a"和 Δ "n" "a"解释"κ" 、 "ε" 、 "ν" 、 "γ".
实零四元组矢量在其自身方向上的协变导数的两个方程表明该矢量是否与测地线相切，如果是，则表明测地线是否具有仿射参数。
零切矢量formula_42如果formula_43 ，也就是说，如果矢量沿其自身方向平行传播或传输，则矢量不会发生变化。 
formula_44表明formula_9与测地线相切当且仅当formula_46并且与仿射参数化测地线相切，如果另外formula_47 。相似地， formula_48表明formula_10是测地线当且仅当formula_50 ，并且具有仿射参数化formula_51 。
（复杂的无效四分体载体formula_52和formula_53必须分离成类空基矢量formula_54和formula_55然后询问其中一个或两个是否与类空测地线相切。）
对易子.
协变导数的度量兼容性或无扭转性被重铸为"方向导数的对易子"，
formula_56
这意味着
formula_57
注意：（i）上述方程既可以看作对易子的蕴涵，也可以看作运输方程的组合；（ii）在这些隐含方程中，矢量formula_58可以用余矢量代替，方程仍然成立。
Weyl–NP 和 Ricci–NP 标量.
Weyl 张量的 10 个独立分量可以编码为 5 个复数Weyl-NP 标量，
formula_59
Ricci 张量的 10 个独立分量被编码为 4 个"实"标量formula_60 ， formula_61 ， formula_62 ， formula_63和 3 个"复数"标量formula_64 （及其复共轭），
formula_65formula_66
在这些定义中， formula_67可以用其无痕部分代替formula_68 或爱因斯坦张量formula_69因为关系正常化。还， formula_61简化为formula_71用于电真空（ formula_72 ）。
爱因斯坦–麦克斯韦–NP 方程.
NP 场方程.
在复零四元组中，里奇恒等式产生下列 NP 场方程，连接自旋系数、Weyl-NP 和 Ricci-NP 标量（回想一下，在正交四元组中，里奇旋转系数将遵循嘉当第一和第二结构方程）， 
各种符号的这些方程可以在多篇文献中找到。 Frolov 和 Novikov 中的符号相同。
formula_73
此外，Weyl-NP标量formula_18和 Ricci-NP 标量formula_19可以在获得自旋系数后，从上述 NP 场方程间接计算出来，而不必直接使用它们的定义。
麦克斯韦–NP 标量、NP 形式中的麦克斯韦方程.
法拉第-麦克斯韦2形式的六个独立分量（即电磁场强度张量） formula_76可以编码成三个复数 Maxwell-NP 标量
formula_77
因此八个实麦克斯韦方程formula_78和formula_79 （作为formula_80 ）可以转化为四个复方程，
formula_81
使用 Ricci-NP 标量formula_19与麦克斯韦标量相关
formula_83
值得指出的是，补充方程formula_84只对电磁场有效；例如，在杨-米尔斯场的情况下， formula_85在哪里formula_86是 Yang-Mills-NP 标量。 
综上所述，上述传输方程、NP场方程和麦克斯韦-NP方程共同构成了纽曼-彭罗斯形式中的爱因斯坦-麦克斯韦方程。
NP 形式在引力辐射场中的应用.
Weyl 标量formula_1 Newman &amp; Penrose 将其定义为formula_88 （但请注意，整体符号是任意的，并且 Newman &amp; Penrose 使用了“类时间”度量符号formula_89 ）。在空旷的空间中，爱因斯坦场方程简化为formula_90 。从韦尔张量的定义中，我们可以看出这意味着它等于黎曼张量， formula_91 。我们可以对无穷远处的四元组做出标准选择： formula_92formula_93formula_94
在横向无迹规范中，简单的计算表明线性引力波与黎曼张量的分量的关系为formula_95formula_96假设传播在formula_97方向。结合这些，并使用定义formula_1上面，我们可以写formula_99远离源头，在几乎平坦的空间中，场 formula_100和formula_101对沿给定方向传播的引力辐射的所有内容进行编码。因此，我们看到formula_1在单个复杂场中对有关（传出的）引力波的所有内容进行编码。
有限源辐射.
使用 Thorne 总结的波生成形式 ，我们可以用质量多极子、电流多极子和自旋加权球谐函数非常紧凑地写出辐射场： formula_103这里，前缀上标表示时间导数。也就是说，我们定义formula_104组件formula_105和formula_106分别是质量和电流多极子。 formula_107是自旋重量 −2 球谐函数。