量子纠错

量子纠错（, QEC）是量子计算领域应用的一套关键技术，旨在保护量子信息免受退相干及其他量子噪声源所引发错误的影响。理论上，量子纠错对于实现容错量子计算至关重要，它能够有效降低噪声对已存储量子信息、量子逻辑门操作、量子态制备及量子测量的负面效应。通过实施有效的量子纠错，即使构建量子计算机的物理量子比特保真度相对较低，也能执行具有更高复杂度或更大线路深度的量子算法。
经典的纠错技术通常利用冗余（redundancy）原理。其中，最简单（但效率较低）的方法是重复码（repetition code）。重复码将待保护的逻辑信息复制多份进行存储。若后续因噪声引入错误导致这些副本不再一致，则通过多数表决原则来判定原始信息的最大概率值。例如，假设将一个处于“1”状态的比特复制三次得到“111”。若噪声引入单比特错误，使状态变为如“011”，只要错误发生概率 formula_1 足够低且独立，系统最可能推断原始信息是“111”。尽管也存在发生双比特错误（如变为“001”）的可能性，此时系统可能误判原始信息为“000”，但这种情形的概率远低于单比特错误。在此例中，逻辑信息是单个比特“1”，而物理信息是三个重复比特“111”。将逻辑状态映射为物理状态的过程称为编码（encoding），而从（可能含错的）物理状态确定其所代表的逻辑状态的过程称为解码（decoding）。与经典纠错类似，量子纠错码并不总能完美恢复逻辑量子比特，但其目标是显著降低噪声对逻辑状态的影响。
然而，量子信息无法被完美复制，这源于不可克隆定理。该定理似乎为构建量子纠错理论设置了障碍。幸运的是，可以将单个逻辑量子比特的信息“分散”到由多个物理量子比特构成的、高度纠缠的量子态上。彼得·肖尔（Peter Shor）率先发现了这种构建量子纠错码（quantum error correction code, QECC）的方法，他设计了一个方案，将一个量子比特的信息存储在由九个物理量子比特组成的高度纠缠态中。
在经典纠错中，“伴随式译码”（syndrome decoding）被用于诊断错误来源。通过测量“校验子”（syndrome），可以推断出最可能发生的错误类型和位置，并施加相应的纠正操作。量子纠错同样采用校验子测量的思想。它执行一种特殊的多量子比特测量，这种测量在不干扰编码逻辑状态本身所含量子信息的前提下，能够提取出关于所发生错误的信息。根据所使用的量子纠错码，校验子测量可以确定错误的发生、位置以及类型。在许多量子纠错码中，可识别的错误类型通常是比特翻转（bit flip，对应泡利矩阵 formula_2）、相位翻转（phase flip，或称符号翻转 sign flip，对应泡利矩阵 formula_3），或是两者的结合（对应泡利矩阵 formula_4）。校验子测量具有量子测量的投影效应。因此，即使噪声引起的错误是任意形式的，测量后系统的状态也会被投影到由特定错误基（通常由泡利算符 formula_5 和恒等算符 formula_6 构成）所描述的状态的叠加态上。为了纠正错误，需根据测得的校验子结果，在受损的量子比特上施加对应的泡利算符（formula_7 或 formula_3），以逆转错误的影响。
关键在于，校验子测量只提供关于已发生错误的信息，而完全不泄露逻辑量子比特所存储的原始信息——否则，测量将破坏该逻辑量子比特与量子计算机中其他量子比特之间可能存在的量子叠加态，使其无法用于后续的量子计算。
位翻转码.
重复码在经典通信信道中是有效的，因为经典比特易于测量和复制。然而，由于不可克隆定理禁止完美复制未知量子态，这种方法不能直接应用于量子信道。为解决此问题，需采用不同策略，例如由Asher Peres于1985年提出的三量子比特位翻转码（three-qubit bit-flip code）。 该技术利用量子纠缠和校验子测量，实现了与经典重复码类似的纠错功能。
考虑如下场景：欲通过一个有噪声的量子信道 formula_9 传输单量子比特状态 formula_10。进一步假设该信道以概率 formula_1 翻转（应用泡利 formula_2 门）量子比特的状态，或以概率 formula_13 保持其不变。信道 formula_9 对输入密度矩阵 formula_15 的作用可表示为 formula_16。
令 formula_17 为待传输的量子态。若不采用纠错协议，该状态被正确传输的概率为 formula_13。然而，通过将逻辑状态编码（encode）到多个物理量子比特上，可以提升传输的可靠性，使得错误能被检测和纠正。对于三量子比特位翻转码，编码规则为：formula_19 及 formula_20。因此，输入态 formula_10 被编码为 formula_22。这个编码过程可以通过两个CNOT门实现，将原始量子比特与两个初始化为 formula_23 态的辅助量子比特纠缠起来。 编码后的状态 formula_24 随后通过噪声信道 formula_9 进行传输。
假设信道 formula_9 对三个物理量子比特的作用是独立且等同的。那么，formula_27 在传输过程中可能经历如下情况：
现在的问题是如何在不破坏所传输量子态 formula_24 本身的情况下，检测并纠正可能发生的错误。
为简化分析，假设 formula_1 足够小，使得发生多于一个量子比特翻转的概率可以忽略不计（即主要考虑零比特或单比特翻转错误）。此时，可以通过测量某些特定算符（校验子）来判断是否有量子比特发生翻转，以及是哪个量子比特发生了翻转，而无需直接测量存储的信息本身。这相当于执行一组投影测量，其对应的投影算符定义如下：
formula_34
测量结果揭示了哪个量子比特（若有）与其他两个不同，但并不泄露 formula_35 和 formula_36 的信息。
形式上，这个纠正过程对应于对信道输出状态 formula_42 应用如下量子操作 formula_43：
formula_44
其中 formula_45 表示作用在第 formula_40 个量子比特上的泡利 formula_2 算符。
需要注意，此纠错流程仅在信道引入零个或一个位翻转时能完美恢复原始状态。若发生多于一个位翻转（例如，第一和第二个量子比特同时翻转），校验子测量将给出 formula_48 的结果，导致纠正操作错误地作用于第三个量子比特。
为评估该方案的整体性能，可以计算最终输出态 formula_49 与理想编码态 formula_27 之间的保真度 formula_51。由于在发生零个或一个位翻转（总概率为 formula_52）的情况下，状态被完美恢复，我们可以得到保真度的下界：
formula_53
将此结果与未使用纠错时的保真度 formula_13 相比较，可以发现，当 formula_55 时，formula_56。这意味着在错误概率适中（formula_55）的情况下，采用三量子比特位翻转码确实能够提高量子信息传输的保真度，这与推导过程中假设 formula_1 较小的条件是一致的。
相位翻转码.
位翻转是经典计算中唯一需要考虑的错误类型。然而，在量子计算中，还存在另一种基本错误：相位翻转（phase flip），也称符号翻转（sign flip）。当量子比特通过某些噪声信道时，其 formula_23 和 formula_60 分量之间的相对相位可能被改变。例如，一个处于 formula_61 态的量子比特，在经历相位翻转错误后，可能变为 formula_62 态。
若原始量子比特状态为
formula_63
采用三量子比特相位翻转码进行编码，其编码态为
formula_64
其中 formula_65 和 formula_66 是Hadamard基（或称X基）的基矢。
注意到，在Hadamard基下，位翻转错误表现为相位翻转，而相位翻转错误表现为位翻转。因此，相位翻转码的构造与位翻转码密切相关。可以通过在位翻转码的编码操作之前和解码操作之后，对每个量子比特施加一个Hadamard门（H门），来构建能够纠正单量子比特相位翻转错误的三量子比特相位翻转码。
Shor码.
实际的量子信道可能同时引起位翻转和相位翻转错误，或两者的组合。量子纠错码的设计目标之一便是能同时纠正这两种类型的错误。彼得·肖尔于1995年提出的九量子比特Shor码是第一个实现此功能的著名例子。 Shor码能够纠正任意单量子比特错误。
Shor码通过级联（concatenation）的方式结合了相位翻转码和位翻转码的思想。它将一个逻辑量子比特 formula_67 编码到9个物理量子比特上，其逻辑基态 formula_68 和逻辑激发态 formula_69 定义为：
formula_70
formula_71
编码后的状态为 formula_72。
其纠错原理如下：
由于任何单量子比特错误都可以分解为泡利算符formula_85的线性组合，而Shor码能够分别纠正 formula_2（位翻转）和 formula_3（相位翻转）错误（以及它们的乘积 formula_88），因此Shor码能够纠正作用在任意单个物理量子比特上的任意类型的错误。
若单量子比特错误由幺正算符 formula_89 描述，则 formula_89 总能表示为：
formula_91
其中 formula_92 是复数系数，formula_6 是恒等算符，formula_5 是泡利算符：
formula_95
Shor码通过其校验子测量能够识别并纠正这些基本错误类型，从而能够纠正任意形式的单量子比特错误 formula_89（除了一个整体的复系数 formula_102 外）。
更一般地，错误过程可能并非幺正演化，而是由量子操作（quantum operation）描述，错误算符 formula_89 对应于其中的克劳斯算符（Kraus operator）。Shor码的设计同样适用于这种情况下的错误纠正。
玻色编码.
除基于多个二能级系统（量子比特）的编码外，研究人员还提出了多种利用玻色模式（bosonic modes，如量子谐振子或光场模式）进行量子纠错的方案，称为玻色编码。与拥有两个能级的量子比特不同，单个量子谐振子拥有无限多个等间距的能级（Fock态 formula_104）。玻色编码利用这个无限维度的希尔伯特空间来实现冗余和错误防护。
常见的玻色编码方案包括：
这些编码方案的核心思想是利用单个物理系统（玻色模式）内部的广阔状态空间来实现冗余，而不是像传统量子比特编码那样依赖于复制多个二能级系统。
二项式码.
以Fock态基表示，最简单的二项式码的逻辑基态可以定义为：
formula_105
其中下标 L 表示逻辑编码态。假设系统的主要错误来源是光子丢失（由玻色湮灭算符 formula_106 描述）。当 formula_106 作用一次时，formula_108 变为 formula_109 （忽略 formula_23 被湮灭的情况），formula_111 变为 formula_112。可以观察到，逻辑码字 formula_113 仅由偶数光子数（光子数为0, 2, 4）的Fock态构成，而单光子丢失后的错误状态仅涉及奇数光子数（光子数为1, 3）的Fock态。因此，可以通过测量系统的光子数宇称（photon number parity）来检测单光子丢失错误。 若测得奇数宇称，则表明发生了单光子丢失错误，可以通过施加适当的恢复操作进行纠正，且此过程无需知道量子比特所处的具体逻辑状态（formula_108 或 formula_111）。然而，需要注意的是，上述定义的这种简单二项式码对于双光子丢失（formula_116 作用）等其他类型的错误并不鲁棒。
猫态码.
薛定谔猫态，即相干态的特定叠加形式，也可被用作量子纠错码的逻辑状态。例如，在 Ofek 等人于2016年实现的实验中，采用了一种基于四种相干态 formula_117 的猫态码。其逻辑状态可以分为两组，具有不同的光子数宇称：
其中 formula_122 是归一化因子。
与二项式码类似，如果系统的主要错误是单光子丢失（由湮灭算符 formula_106 描述），那么该错误会将偶宇称逻辑态映射到奇宇称子空间，反之亦然。因此，可以通过测量光子数宇称算符 formula_124（例如，利用色散耦合的辅助量子比特进行量子非破坏测量）来检测单光子丢失错误。
然而，猫态码本身并不能防止所有类型的错误，例如双光子丢失 formula_116、退相位噪声（dephasing, 与 formula_126 相关）以及光子增益错误 formula_127 等，通常需要结合其他技术或更复杂的编码方案来应对。
通用编码.
从更抽象的角度看，对于给定的量子信道 formula_128（描述噪声过程），一个量子纠错码（quantum code）定义为状态希尔伯特空间 formula_129 的一个子空间 formula_130。该子空间需满足以下条件：存在另一个量子信道（称为纠正操作或恢复操作, recovery operation）formula_131，使得对于所有属于编码子空间 formula_132 的状态 formula_133 （其中 formula_134 是到 formula_132 上的正交投影算符），满足：
formula_136
这意味着，对于编码空间内的任何状态，先经过噪声信道 formula_128 作用，再经过纠正操作 formula_131 处理后，能够完美恢复到原始状态。
一个量子纠错码能够纠正一组特定的错误 formula_139。若对于这组错误中的不同元素 formula_140，当它们作用于编码子空间 formula_132 中的元素时，其结果 formula_142 和 formula_143 （对于任意 formula_144）是线性无关的，则称该码为非简并码（non-degenerate code）。进一步地，如果这些结果是相互正交的，则称该码为纯粹的（pure code）。
主要量子纠错码模型.
随着量子纠错理论的发展，研究人员提出了多种重要的量子纠错码模型：
量子阈值定理（quantum threshold theorem）由迈克尔·本-奥尔（Michael Ben-Or）和多里特·阿哈罗诺夫（Dorit Aharonov）等人证明，是量子纠错理论的基石。该定理指出，只要构成量子计算机的基本操作（如量子逻辑门）的错误率低于某个特定的阈值，就可以通过级联（concatenation）的方式（即用纠错码对已编码的逻辑量子比特进行再次编码，重复多层）任意地降低计算过程中的逻辑错误率，从而实现任意长时间的可靠量子计算。若物理错误率高于阈值，则纠错过程本身引入的错误会比其纠正的错误更多，导致计算失败。
对容错量子计算所需阈值的估计不断得到改进。截至2004年底，一些研究表明，若有足够多的可用量子比特，阈值可以高达1–3%。 后续研究考虑了更实际的噪声模型和架构约束，阈值估计值通常在 formula_148 到 formula_149 的范围内，具体取决于所用编码和物理平台。
实验实现.
量子纠错的实验实现是构建实用量子计算机的关键挑战。研究人员已在多种物理平台上演示了各种量子纠错码和相关操作：
无需编码或奇偶校验的量子纠错探索.
除传统的基于编码和校验子测量的量子纠错方案外，研究人员也在探索其他错误抑制和校正方法。例如，2022年，拉合尔工程技术大学的研究提出了一种通过在超导量子电路中的特定位置策略性地插入单量子比特Z轴旋转门，来实现相干噪声错误（coherent error）抵消的方案。 这种方法旨在纠正那些在相干噪声下可能迅速累积的特定类型错误，它依赖于对退相干行为（如异常衰减或振荡）的精确追踪来定位和补偿错误，而无需进行编码或奇偶校验测量。这更像是一种电路级的校准或误差缓解（error mitigation）技术。 此类方法对于非相干噪声（incoherent noise）的有效性仍需进一步研究。