圆周率

.&lt;/math&gt;
圆周率是数学常数，等于任何圆的周长和其直径的比，一个常见的近似值等于，常用符号表示。
是无理数，不能用分数表示出来（即它的小数部分是无限不循环小数），但近似formula_4等有理数。学界认为的数字序列在统计上是随机分布，但迄今未能证明。此外，还是超越数，亦即它不是任何有理系数多项式的根；化圆为方的问题不可能用尺规作图解决。
几个文明古国很早就须计算出的精确值以便于生产的计算。西元5世纪，中国刘宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位。大约同时，印度数学家也将圆周率计算到小数点后5位。史上首条的精确无穷级数公式（即π的莱布尼茨公式）直到约1000年后才由印度数学家发现。微积分出现，的位数很快计到数百位，足以满足任何科学工程的计算需求。在20和21世纪，计算机技术快速发展，的计算精度急速提高。截至2024年3月，的十进制精度已达105万亿位。几乎所有科学研究对的精度要求都不超过几百位，当前计算的值主要都为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法。
的定义涉及圆，在三角学和几何学的许多公式，特别是广泛应用在圆形、球形或椭球形相关公式中。在近代数学分析里，改由实数系统谱性质中的特征值或周期来定义，其他数学领域如数论、统计以及几乎所有物理学领域均有出现，的广泛用途使它成为科学界内外最广为人知的数学常数。几本专门介绍的书籍经已出版，圆周率日（3月14日）和值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外，背诵值的世界记录已达10万位。
基本概念.
名称.
数学家用小写希腊字母表示圆周和其直径之比，有时也将其拼写为“”，来自希腊语“”（周长）的首字母。英语的发音与英文单词“Pie”（，西式馅饼）相同。π的小写字母（或其无衬线体）在数学要和表示连乘积的大写Π相区分开。
关于选择符号的原因，请参见引入π符号一节。
定义.
常用定义为圆的周长formula_5与直径formula_6的比值：
无论圆的大小如何，比值formula_8为恒值。如果圆的直径变为原先的二倍，周长也变为二倍，比值formula_8不变。目前的定义暗地用了欧几里得几何的一些定理，虽然圆的定义可扩展到任意曲面（即非欧几里得几何），但这些圆不符合定律formula_7。
这里，圆的周长指其圆周的弧长，弧长这概念可以不依赖几何学，而是用微积分学的极限来定义。例如，若想计算笛卡儿坐标系中单位圆formula_11上半部分的弧长，需要用到积分：
上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对的积分定义。
这些依赖周长、且暗地依赖积分的定义如今在文献中并不常见。雷默特（）解释说现代教微积分时，大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前，所以不依赖于后者的π的定义就很有必要了。其中一种定义由提出，由爱德蒙·兰道推广，其表述如下：是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数定义，或者使用微分方程的解来定义。
在相似的启发下，可以用关于复变量formula_13的复指数函数formula_14来定义。复指数类似余弦函数，可用多种方式定义。令函数formula_14值为一的复数集合是如下所示的（虚）等差数列：
并且其中包括独特的正实数。
基于同样想法但更抽象的定义运用了精巧的拓扑学和代数学概念，用以下定理描述：存在唯一的从加法模数整数组成的实数群R/Z到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态（拓扑学概念，指在拓扑空间之间的一种态射）。数字π定义为此同态派生的模的一半。
周长固定，圆会围成最大面积，π同样表述为等周不等式中出现的常数（乘四分之一）。此外，在很多其他紧密相关的方程中，π作为某些几何或者物理过程的特征值出现；详见下文。
无理及正规性.
是无理数，无法表示成两整数之比的形式（形如formula_4的分数常用来近似表达，但是没有任何普通分数（指整数的比）可以取到的精确值）。由于是无理数，故可表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数，这些证明也都要用到微积分学和反证法。可以用有理数来近似的程度还无法准确得知（称为无理性度量），不过估计其无理性度量比formula_18或formula_19的要大，但是小于刘维尔数的无理性度量。
检验，包括正规数检验，可验证的位数没有明显的固定模式。的小数中任意固定长度的序列（如3位数000，001……999）出现机率都相同。不过有关是正规数的猜想既无证明，亦无-{zh-hans:证伪;zh-hant:否证;}-。
电脑出现后可生成大量的不同位数，并统计分析之。金田康正详细统计分析了的十进制数字，并验证了其分布正规：例如，假设检定0到9十个数的出现频率，找不到有特定重复规律的证据。根据无限猴子定理，任何任意长度、由随机内容组成的子序列看起来都有可能像不随机生成。因此，就算的小数序列通过了随机性统计测试，其中也可能有几位的数字看起来似有规律可循而非随机数，例如的十进制写法在小数第762位后开始出现了连续六个9。
超越性.
不仅是无理数，还是超越数，即不是任何有理系数多项式的根。（比方说，试图解有限项方程formula_20来求的值）
的超越性衍生出一些重要的结果：不能经有限次四则运算和开平方运算有理数来获得，因此不是规矩数。换言之，尺规作图作不出长度为的线段，也就不可能用尺规方法做出与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圆为方问题，该问题早在古典时代即已提出，曾困扰人数千年之久。直至今天，依然有民间数学爱好者声称他们解决了这问题。
连分式.
像所有无理数一样无法表示成分数，但等全部无理数都能表示成一系列叫连分数的连续分数形式：
在这连分数的任意一点截断化简，都能得到π的近似值；前四位近似值是3、formula_22、formula_23、formula_24。这些数在历史上是最广为人知且广为使用的几个近似值。用以上方式得出的的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近。是超越数，据定义来说它不是代数数，又因此不可能是二次无理数；是故不能表示为循环连分数。尽管的简单连分数没有表现出任何其他明显规律，数学家发现了数条广义连分数能表示，例如：
近似值.
圆周率近似值包括：
其他进位制的近似值
复数与欧拉恒等式.
任何复数（以formula_13为例）都可以表示为一组实数对：极坐标系用实数formula_42表示半径，代表复平面上复数formula_13离原点的距离；实数formula_44则表示夹角，即这条半径（复平面上复数formula_13与原点的连线）与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来，formula_13就可写成
复分析中，欧拉公式将三角函数与复指数函数糅合在一起：
欧拉公式确立了formula_18的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系，而且当formula_52时，欧拉公式就能改写为欧拉恒等式的形式：
欧拉等式亦可用于求出方程formula_53的formula_54个不同复数根（这些根叫做formula_54次单位根”），可以根据以下公式求得：
谱特征.
常出现在有关几何的问题中。然而，不少和几何无关的问题也可看到的身影。
在许多用处中都会以特征值形式出现。例如理想的问题可以建模为函数formula_57在单位区间formula_58的图形，固定边界值为formula_59。弦振动的模态会是微分方程的formula_60，此处是相关的特征值。受施图姆－刘维尔理论限制，formula_61只能是一些特定的数值。而formula_62即为一个特征值，因为函数formula_63满足边界条件及微分方程formula_62。
是上述方程的最小特征值，也和弦振动的有关。一种让弦振动的方式是提供弦能量，能量会满足维廷格函数不等式，其中提到若函数formula_65使得formula_59，且formula_57和formula_68都是平方可积函数，则以下的不等式成立：
此例中等号成立的条件恰好是formula_57为formula_71倍数的时候。因此似乎是维尔丁格不等式的最佳常数，也是最小的特征值（根据雷利商数的计算方式）
在更高维度的分析也有类似的角色，出现在其他类似问题的特征值中。就如以上所述，的一项特点是等周定理中的最佳常数：周长为formula_72的平面若尔当曲线，所围面积formula_73满足以下的不等式
formula_75及formula_76，故等号成立的条件是曲线为圆形。
圆周率也和庞加莱不等式的最佳常数有关，是一维及二维的特征向量最佳值中最小，会出现在许多经典的物理现象中，例如经典的位势论。其一维的情形即为维廷格不等式。
圆周率也是傅里叶变换的重要常数，傅里叶变换属于积分变换，将实数线上有复数值、可积分的函数，转换为以下形式：
傅里叶变换有几种不同的写法，但不论怎么写，傅里叶变换及反傅里叶变换中，一定会有某处出现。不过上述的定义是最经典的，因为其描述了空间中唯一的幺正算符，也是formula_78空间到formula_79空间的代数同态。
不确定性原理也用到。不确定性原理提出了可以将函数在空间及在频域中局部化程度的下限，用傅立叶转换的方式表示：
物理的结果，有关量子力学中同时观测位置及动量的不确定性，见下文。傅立叶分析中出现是的结果，证实了海森伯群的是唯一。
高斯积分.
高斯积分是对高斯函数formula_81在整条实轴上的积分，即函数下方与X轴围成的面积，其结果为formula_82，
此积分的计算可以先计算formula_84对整条实轴的积分的平方，通过转换笛卡尔坐标系为极坐标系从而求得
其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为formula_86，求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求formula_87的积分。
另外，当高斯函数为以下形式时，它则是平均数为formula_88和标准差为formula_89的正态分布的机率密度函数：
这函数是概率密度函数，函数下方与X轴围成的面积必须为1，令formula_91和formula_92即可变换得出formula_93。概率论与统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型：例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布。
概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及的核心作用，这定理本质上是联系着的谱特征与海森堡不确定性原理相关的特征值，并且在不确定性原理中有
这里的formula_95与formula_96分别为位置与动量的标准差，formula_97是约化普朗克常数，而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立。
同样地，作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换，此时的高斯函数形式为formula_98。根据豪（）的说法，建立傅里叶分析基本定理的“全部工作（whole business）”简化为高斯积分。
历史.
远古时期.
圆周率在远古时期（西元前一千纪）已估算至前两位（3.1）。有些埃及学家声称，远至古王国时期时期的古埃及人已经用formula_4作为圆周率的约数，但这说法受到质疑。
最早有记载的对圆周率估值在古埃及和巴比伦出现，两估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一块西元前1900至1600年的泥板，泥板上的几何学陈述暗示人们当时把圆周率视同formula_100（等于3.125）。埃及的莱因德数学纸草书（鉴定撰写年份为西元前1650年，但抄自一份西元前1850年的文本）载有用作计算圆面积的公式，该公式中圆周率等于formula_101（≈3.1605）。
西元前4世纪的《》的天文学运算把formula_102（≈3.139，精确到99.91%）用作圆周率估值。西元前150年前其他印度文献把圆周率视为formula_103（≈3.1622）。
割圆时代.
第一条有纪录、严谨计算数值的演算法是用正多边形的几何算法，在西元前250年由希腊数学家阿基米德发明。这算法用了有一千年之久，因而有时亦称阿基米德常数。阿基米德的算法是在计算圆的外切正六边形及内接正六边形的边长，以此计算的上限及下限，之后再将六边形变成十二边形，继续计算边长，一直计到正96边形为止。他根据多边形的边长证明formula_104（也就是formula_105）。阿基米德得到的上限formula_4也造成常见误解，认为就等于formula_4。在西元前150年，希腊罗马的科学家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一书中提到的数值是3.1416，可能来自阿基米德，也可能来自阿波罗尼奥斯。数学家在1630年利用多边形的方式计算到第39位小数，一直到1699年，其他数学家才利用无穷级数的方式打破其纪录，计算到第71位小数。
中国历史上，的数值有3、3.1547（西元前一世纪）、formula_108（西元前100年，数值约3.1623）及formula_109（第三世纪，数值约3.1556）。大约在西元265年，曹魏数学家刘徽创立割圆术，用正3072边形计算出的数值为3.1416。他后来又发明了较快的算法，利用边数差两倍的正多边形，其面积的差值会形成等比数列，其公比为formula_110的原理，配合96边形算出的值为3.14。祖冲之在西元480年利用割圆术计算12288边形边长，得到的值在3.1415926和3.1415927之间。他同时提出了π的约率formula_4和密率formula_112。在之后的八百年内，这都是最准确的估计值。为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献，日本数学家三上义夫将这推算值命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。
印度天文学家阿耶波多在西元499年的著作《阿里亚哈塔历书》中使用了3.1416的数值。斐波那契在大约1220年用独立于阿基米德多边形法，计算出3.1418。义大利作家但丁·阿利吉耶里用的数值则是formula_113。
波斯天文学家卡西在1424年利用3×228边的多边形，计算到六十进制的第9位小数，相当十进制的第16位小数。这一突破成为当时的纪录，延续了约180年。法国数学家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×217边形计算到第9位小数，佛兰芒数学家阿德里安·范·罗门在1593年计算到第15位小数。荷兰数学家鲁道夫·范·科伊伦在1596年计算到第20位小数，他之后又计算到第35位小数（因此在二十世纪初之前，圆周率在德国会称为鲁道夫数）。荷兰科学家威理博·司乃耳在1621年计算到第34位小数，而奥地利天文学家在1630年用1040边形计算到第38位小数，至今这仍是利用多边形算法可以达到最准确的结果。
无穷级数.
16及17世纪时，开始改用无穷级数的方式去计。无穷级数是一组无穷数列的和。无穷级数让数学家可以计算出比阿基米德以及其他用几何方式计算的数学家更准确的结果。虽然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·莱布尼茨等欧洲数学家利用无穷数列计算而使得该方法为大家所知，但这种方法最早是由印度科学家在大约1400到1500年之间发现。第一个记载用无穷级数计算的人是约西元1500年左右时，印度天文学家在他的著作《》中用梵语诗所记录。当时没有这数列对应的证明，而证明出现在另一本较晚的印度作品《》，年代约在西元1530年。尼拉卡莎将该数列归功于更早期的印度数学家（1350–1425）。相关的无穷级数有许多，包括有关formula_114、formula_115及formula_116的，现在称为或π的莱布尼茨公式。玛达瓦在1400年用无穷级数计算到第11位小数，但在1430年一位波斯数学家卡西利用多边形算法否定了他算的结果。
欧洲发现的第一条无穷项圆周率公式是无穷乘积（和一般用来计算的无穷级数不同），由法国科学家弗朗索瓦·韦达在1593年发现：
约翰·沃利斯在1655年发现了沃利斯乘积，是欧洲发现的第二条无穷项圆周率公式：
微积分学由英国科学家艾萨克·牛顿及德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代发明，许多计的无穷级数出现。牛顿自己就用反正弦（formula_119）数列在1655年或1666年将近似到第15位小数，后来写到「我很羞愧告诉你我为了计算它用了多少数字，我当时没有做其他事。」
苏格兰数学家詹姆斯·格雷果里在1671年发现了马德哈瓦公式，莱布尼茨也在1674年发现：
这公式即为格雷果里－莱布尼茨公式，在formula_121时数值为formula_122。1699年时英国数学家亚伯拉罕·夏普用格雷果里－莱布尼茨公式，在formula_123时计算，计算到π的第71位小数，打破由多边形算法得到的第39位小数的记录。格雷果里－莱布尼茨公式在formula_121时非常简单，但收敛到最终值的速度非常慢，现在不会再用此公式来计π。
约翰·梅钦在1706年用格雷果里－莱布尼茨级数产生了可以快速收敛的公式：
梅钦用这公式计到第100位小数后来其他数学家也发展了一些类似公式，现在称为梅钦类公式，创下了许多计算位数的纪录。在进入电脑时代时，梅钦类公式仍然是耳熟能详可以计算的公式，而且在约250年的时间里，很多有关位数的纪录都是梅钦类公式所得，比如在1946年时由达尼尔·弗格森（）用这类公式计到第620位小数，是没有计算设备辅助的最佳纪录。
1844年，计算天才在德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的要求下以梅钦类公式心算了的200位小数，并创下纪录。英国数学家花了15年的时间计算到小数707位，不过第528位小数出错，后面的小数也都不正确。
收敛速度.
有些的无穷级数收敛的比其他级数要快，数学家一般会选用收敛速度较快的级数，可以在较少的计算量下计算，且达到需要的准确度。以下是的莱布尼茨公式：
随著一项一项的值加入总和中，只要项次够多，总和最后会慢慢接近π。不过此数列的收敛速度很慢，要到50万项之后，才会精确到的第五位小数。
尼拉卡莎在15世纪发展了的另一条无穷级数，收敛速度比格雷果里－莱布尼茨公式快很多：
以下比较两条级数的收敛速率：
计算前五项后，格雷果里－莱布尼茨级数的和跟的误差为0.2，而尼拉卡莎级数和的误差为0.002。尼拉卡莎级数收敛快很多，也甚为适合用来计的值。收敛更快的级数有梅钦类公式及楚德诺夫斯基算法，后者每计一项就可以得到14位正确的小数位。
无理与超越性.
并非所有和有关的研究都旨在提高计算它的准确度。1735年，欧拉解决了巴塞尔问题，建立了所有平方数倒数和与的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式，得到了、素数的重要关联，对日后黎曼ζ函数的研究影响深远。
1761年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯用正切函数的无穷连分数表达式证明了是无理数。1794年，法国数学家阿德里安－马里·勒让德证明了formula_129也是无理数。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数formula_130，formula_131都是超越数，该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼－魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式，π只能是超越数，进而证实了勒让德和欧拉提出的π超越性猜想。哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出后，经过希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。
引入符号.
在用专指“圆周率”之前，希腊字母即已用于几何概念中。威廉·奥特雷德在1647年起在《数学之钥》（Clavis Mathematicae）就已经用及formula_132（对应p和d的希腊字母）来表示圆的周长及直径的比例。
威廉·琼斯在他1706年出版的《新数学导论》（）提到了，是目前已知最早专门用希腊字母表示圆周和其直径比例的人。这希腊字母第一次出现是在书中讨论一块半径1的圆时提到「其圆周长一半（）」。琼斯选用可能因它是希腊文“周边”一词“”的首字母。不过琼斯提到，他那些有关的算式出自「真正聪明的约翰·梅钦先生」，人们推测在琼斯之前，约翰·梅钦就已开始用表示圆周率。
琼斯在1706年开始使用此希腊字母，但直到莱昂哈德·欧拉在其1736年出版的《》中开始使用之后，其他数学家才纷纷开始用指代圆周率。在此之前，数字家可能用像"c"或"p"之类的字母代表圆周率。欧拉与欧洲其他数学家间时常互相写信来往，的用法迅速传播开来。1748年欧拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了，写道：「简洁起见，我们将此数字写为，等于半径为1的圆周长的一半。」这表示方式之后也推展到整片西方世界。
现代数值近似.
计算机时代与迭代算法.
二十世纪中期计算机技术发展、革新再次引发了计算位数的热潮。美国数学家约翰·伦奇及李维·史密斯在1949年用桌上型计算机计算到1120位。同年，乔治·韦斯纳（George Reitwiesner）及约翰·冯·诺伊曼带领的团队利用反三角函数（arctan）的无穷级数，用ENIAC计算到了小数后2037位，花了70小时的电脑工作时间。这纪录后来多次由其他透过arctan级数计算出的结果打破（1957年到7480位小数，1958年到第一万位数，1961年到第十万位小数），直到1973年，小数点后第一百万位小数经已算出。
1980年代有两项发明加速计算了π。第一项是发现了新的迭代法去计的值，计算速度比无穷级数快很多；另一项是发现了可以快速计算大数字乘积的乘法演算法。电脑大部分的工作时间都是在计乘法，这类演算法对现代计格外重要。这类演算法包括嘉良对马（Karatsuba）算法、谭曲（Toom－Cook）乘法及以傅里叶变换为基础的乘法演算法（傅里叶乘法）。
迭代演算法最早是在1975年至1976年间分别由美国物理学家及奥地利科学家独立提出。这两条演算法没有依赖无穷级数来计算。迭代会重复特定计算，将前一次的计算结果作为这一次的输入值，使得计算结果渐渐的趋近理想值。此方式的原始版本其实是在160年前由卡尔·弗里德里希·高斯提出，现在称为算术－几何平均数算法（AGM法）或高斯－勒让德算法。萨拉明及布兰特都曾修改之，这算法也称为萨拉明－布兰特演算法。
迭代演算法收敛速度比无穷级数快很多，在1980年代以后广为使用。无穷级数随著项次的增加，一般来说正确的位数也会增加几位，但迭代演算法每计算多一次，正确位数会呈几何级数增长。例如萨拉明－布兰特演算法每计算多一次，正确位数会是之前的二倍。1984年加拿大人及提出迭代演算法，每计算多一次，正确位数会是之前的四倍，1987年时有另一条迭代演算法，每计算多一次，正确位数会是之前的五倍。日本数学家金田康正使用的演算法在1955年及2002年间创下了若干项纪录。不过迭代演算法的快速收敛也有其代价，需要的记忆体明显比无穷级数多。
计算的意义.
一般而言，值并不需要过于精确便能够满足大部分数学运算的需求。按照约·安（Jörg Arndt）及古里斯佗夫·希奴（）的计算，39位精确度已可将可观测宇宙圆周的精确度准确至一粒原子大小，足以运算绝大多数宇宙学的计算需求。尽管如此，和π有关的成就往往成为世界各地的新闻头条；部分人出于对破纪录的冲动，依然奋力算出π小数点后上千甚至上百万位。此外也有测试超级计算机、测试数值分析算法（包括）等实际好处。纯粹数学这领域也能计算π的位数评定其随机度。
快速收敛级数.
现代计算的程序不仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代，出现了可用来计算的新无穷级数，其收敛速度可与迭代算法媲美，而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱，他在1914年发表了许多与π相关的公式，这些公式十分新颖，极为优雅而又颇具数学深度，收敛速度也非常快。下式即为一例，其中用到了模方程：
这无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列，包括梅钦公式。第一位使用拉马努金公式计算π并取得进展的是，他在1985年算得了小数点后一千七百万位。拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河，此后波尔文兄弟和进一步发展了这类算法。后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式，如下所示：
此公式每计算一项就能得到π的约14位数值，因而用于突破圆周率的数位的计算。利用这公式，楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π小数点后10亿（109）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×1012）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（1013）位。类似的公式还有。
2006年，加拿大数学家西蒙·普劳夫利用PSLQ按照以下模版生成了几条计算π的新公式：
formula_136为，formula_137是奇数，formula_138是普劳夫计算出的有理常数。
统计模拟法.
统计模拟法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的计数方法，经大量重复试验计算事件发生频率，按照大数定律（即当试验次数充分大时，频率充分接近概率）可以求得的近似值。 布芬（Buffon）投针问题就是其中一项实例：长度formula_139的针随机往画满间距formula_140的平行线的平面上抛掷formula_54次， 如果针与平行直线相交formula_142次，formula_54充分大就可根据以下公式算出的近似值：
用统计模拟法计的另一例子是随机往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量点，落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似于formula_145。
此外还可用随机游走试验，并用统计模拟法计算值，如抛掷一枚均匀的硬币formula_146次，并记录正面朝上的次数，所得结果中，正面朝上的次数formula_147服从二项分布且
因为硬币均匀，所以次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量formula_149，当抛掷结果为正面时formula_150否则为-1，且formula_151且取何值有相同概率（即，正面朝上和背面朝上的概率相同）。对随机变量formula_152求和可得
设为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”，即可得到formula_154。变换式子，得formula_155，因此
可证明，
并且当"N"变大时，formula_161的值会渐近于formula_162，因此当"N"充分大时可根据以下公式算出的近似值：
表示位于距原点formula_164的单位质量（或电荷）的势能，而formula_137是维度常数。在这里由formula_166表示的场可以是（牛顿）引力场或（库仑）电场，是位势的负梯度：
特殊情况有库仑定律和牛顿万有引力定律。高斯定律表明，通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面formula_168的场的向外通量等于formula_169：
标准形式会将formula_170的这因子吸收到常数formula_137中，但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外，formula_170是单位球面的表面积，但并没有假设formula_168是球面。然而，作为散度定理的结果，由于远离原点的区域是真空（无源的），只有formula_174中的表面formula_168的同调类与计算积分有关，因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替，特别是球形，因为球面坐标可以用于计算积分。
高斯定律的结果之一是位势formula_176的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数的formula_169倍：
通过卷积就能得到物质（或电荷）的更一般分布，给出泊松方程
其中formula_180是分布函数。
常数在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用，爱因斯坦方程是形成广义相对论基础的一条基本公式，并且把引力的基本相互作用描述为物质和能量引起的时空弯曲的结果：
formula_182是里奇曲率张量，formula_183是数量曲率，formula_184是度量张量，formula_185是宇宙学常数，formula_186是万有引力常数，formula_187是真空中的光速，而formula_188是应力－能量张量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟，并化简（reduce）至在弱域的极限，而右边是分布函数的模拟乘以formula_189。
柯西积分公式.
在复分析中，沿复平面若尔当曲线的围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西积分公式表明，对任何若尔当曲线formula_190内任一点formula_191，以下围道积分给出formula_192：
该命题是柯西积分定理的直接推论，后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变，因而沿任一曲线的积分和沿以formula_191为圆心的圆周积分的结果相同。更为一般地，该公式对不通过formula_191点的任意可求长曲线都成立，但等式右边要乘以曲线关于该点的卷绕数。
一般形式的柯西积分公式建立了全纯函数formula_196在若尔当曲线formula_190上的值与曲线内任意点formula_191处值的关系：&lt;ref name="CauchyIntegralFormula|title=Cauchy Integral Formula}}&lt;/ref"&gt;&lt;/ref&gt;
柯西积分定理是留数定理的一项特例。根据留数定理，在区域内除去有限个点解析的亚纯函数formula_200在边界上的围道积分与函数在这些点的留数之和满足：
Γ函数与斯特灵公式.
阶乘函数formula_202的值等于所有小于等于formula_54的正整数之积，它的定义域只包含非负整数。Γ函数则是阶乘的推广。它在复平面的右半平面定义为：
再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整块复数域。当自变量formula_205取正整数时，formula_206函数给出阶乘formula_207；当自变量取半整数时，计算结果含有。例如formula_208，formula_209。
根据魏尔施特拉斯分解定理，formula_206函数可分解为如下的无穷乘积：
formula_190是欧拉－马斯刻若尼常数。利用该分解公式和formula_206函数在formula_214的值formula_215，亦可以证明沃利斯乘积式。formula_206函数和黎曼ζ函数、的恒等式存在关联，其中扮演着重要的角色。
formula_206函数常用于计算formula_54维欧氏空间中"n" 维球的体积和"n" 维球面的表面积。对formula_54维欧氏空间中半径为formula_42"formula_54"维球，其体积formula_222和表面积formula_223满足：
两者还满足如下的关系式：
当formula_54很大，用formula_206函数可得到阶乘formula_202的近似公式formula_230，称斯特灵公式，等价于：
斯特灵近似的几何应用之一是。将formula_54维欧几里得空间的单纯形记作formula_233，formula_234则表示该单纯形的所有面扩大formula_235。于是
这是仅含一点晶格点之凸体体积的（最佳）上界。
数论与黎曼ζ函数.
黎曼ζ函数formula_237 在数学的许多领域均有应用。当自变量formula_238 ，可写作
找到这无穷级数的解析解是数学界著名的“巴塞尔问题”。1735年，欧拉解决了这问题，他得到该无穷级数等于formula_240。欧拉的结论可推导出数论中一项结果，即两随机整数互质（无公因数）的概率为formula_241 。整数可由质数formula_242整除的概率为formula_243（例如，连续7个正整数只有一个可以7整除），任取两随机整数都能以质数formula_242整除的概率为formula_243，至少有一数不能整除的概率则为formula_246。又，一随机整数能否以两不同质数整除是相互独立事件，两随机整数互质的概率可以表示成关于所有质数formula_242的无穷乘积
这结论可结合随机数生成器，用统计模拟法计的近似值。
﻿巴塞尔问题的结论意味着几何导出量的数值与质数的分布有着深刻的关联。巴塞尔问题是谷山－志村定理的一种特殊情况，是的一项特例，即猜想一个这种形式的算术量关于所有质数formula_242的无穷乘积能够等于一个几何量——某体积的倒易。巴塞尔问题中，这空间是。
formula_250函数同样满足黎曼方程的公式，其中用到了和伽玛公式：
除此之外，
formula_250函数导数也满足
最终的结果是可以从谐振子中求得。这泛函行列式可以无穷乘积展开式计算，而且这种方法等价于沃利斯乘积公式。这种方法可用于量子力学，尤其是玻尔模型中的变分。
傅里叶级数.
周期函数的傅里叶级数很自然出现了。周期函数即实数的小数部分所构成群formula_254上的函数。傅里叶分解指出，formula_255上的复值函数formula_57可表示为无穷多个formula_255的的线性叠加之和。也就是说，formula_255到圆群formula_259（模为1的复数组成的乘法群）的映射是连续群同态。formula_255的特征都有formula_261的形式，是一条定理。
formula_255有唯一的特征值，直到复共轭，那是一群同态。在圆群用哈尔测度，常数是这特征值的拉东－尼科迪姆导数值的一半。其他的特征值的导数值为formula_263的正整数倍。因此，常数是独特的数字，以至于配备了其哈尔测度的群formula_255，有对于formula_263整数倍的点阵的庞特里亚金对偶性。这是的一维版本。
模形式与函数.
常数与模形式和Θ函数密切相关——比如，椭圆曲线中的就很大程度涉及楚德诺夫斯基算法（一种快速计算的方法）。
模形式是以在上半平面的全纯函数的在formula_266（或其子群，formula_266是formula_268的一格）下的变换特性归纳。Θ函数便是一例：
它是一种名为的模形式，有时以formula_270表达。
常数是特殊常数，它会使雅可比formula_271函数形成自守形式，即该函数会以特定方式变换。有若干恒等式在所有自守形式下成立。，例如：
它使得formula_273必然在离散海森伯群下以表示（representation）变换。一般模形式和其他formula_271函数也包含，这也是根据。
柯西分布与位势论.
积分formula_275，柯西分布formula_276是概率密度函数，总概率等于1。
柯西分布的香农熵等于formula_277，也含。
柯西分布在位势论中扮演着重要的角色因为它是最简单的和与在半平面上做布朗运动相关联的经典泊松核。以及希尔伯特变换与泊松核的渐近线有关。希尔伯特变换formula_278是由奇异积分的柯西主值给出的积分变换
常数是唯一的（正）归一化因子因此formula_278定义了一个在实数轴上的平方可积分实值函数的希尔伯特空间上的。 和傅里叶变换一样，希尔伯特变换就其在希尔伯特空间formula_281的变换特性而言可以完全特征化。直到归一化，它是唯一的与正膨胀对易且与实数轴的所有反射反对易有界线性算子。常数是唯一能使这变换幺正的归一化因子。
复变动态系统.
大卫·波（David Boll）在1991年发现在曼德博集合分形也有出现。他检查在曼德博集合在formula_282位置的特性。若考虑坐标在「颈部」formula_283的点，而formula_284趋近零，在发散之前迭代的次数和formula_284相乘，会趋近。若是在右侧尖点处附近的点formula_286也会有类似的特性：在发散之前迭代的次数和formula_284的平方根相乘，也会趋近。
数学之外的.
描述物理现象.
与圆以及球坐标系关系密切，即使不是物理常数，也常出现在描述宇宙的基本原则方程中。比方说，经典力学领域的简单公式给出长L的单摆小幅摆动的近似周期formula_288，formula_289为地球引力加速度常数。
海森堡不确定性原理是量子力学的基本公式，表明测量粒子时，其位置不确定度（formula_290）与动量不确定度（formula_291）不可能同时达到任意小（formula_292为普朗克常数）：formula_293。
近似三这特性，和电子偶素的半衰期相对较长有密切的联系。其半衰期的倒数和精细结构常数formula_130的关系为formula_295，formula_142为电子质量。
许多结构工程的公式也有，例如欧拉推导的挫曲公式说明了长度为formula_297、截面二次轴矩为的细长形物体，在不挫曲的条件下可以承受的最大轴向负载formula_298：
流体动力学的斯托克斯定律中也有。斯托克斯定律是半径约为formula_183的小球体在黏度formula_301的流体中以速度formula_302运动时会受到的阻力满足：
在理想状态下，河的曲折程度（河道本身的长度与源头到入海口的比值）随着时间的推移逐渐趋向于。河流外边缘的快速水流弯曲会使河流内边缘加倍侵蚀，河道变得更弯曲，整条河弯折更厉害。然而，这股弯折劲儿最终会导致河流折回一开始弯折的地方，导致“短路”，并形成河迹湖。这两种相反因素使河道长度与源头到入海口的比值的平均值为。
的记忆技巧.
π文字学（或译作圆周率的语言学）是指记住的大量位值，并将其世界纪录载于健力士世界纪录大全的做法。维尔·美拿（Rajveer Meena）于2015年3月21日在印度于9小时27分钟内背诵了7万位的，创下健力士世界纪录大全认证的世界纪录。2006年，日本退休工程师原口证在千叶县于官员见证下背诵了十万位小数，但他未获健力士世界纪录大全认证。
常用于记忆的一项技巧是背诵以单词长度代表数值的故事或诗歌：第一单词有三字母，第二单词有一字母，第三单词有四字母，第四单词有一字母，第五单词有五字母，如此类推。早期例子是英国科学家詹姆士·金斯设计的诗歌：「」这类诗歌有时在英文中称为「」。除了英文，用于记忆的诗歌亦有不同语言的版本。但是，记忆的人一般并不以诗歌记忆来创下纪录，而是用如记忆数字规律或的方法。
有好几位作家仿照上述记忆技巧，用的数值创作了新型的方式，当中单词长度须符合的数值。《》以上述技巧包含了前3835位的值，一本标准长度的书《Not a Wake》有一万单词，其中各单词亦代表了的一位。
大众文化.
也许因为的公式很简短而且四处可见， 比其他数学常数在流行文化中更常见。
在2008年由英国公开大学及英国广播公司联合制作的记录片《》于2008年十月由英国广播公司第四台播放。影片讲述了英国数学家马库斯·杜·索托伊在到访印度研究当地三角学的贡献时，展示出历史上最精确的计算公式的信息图形。
巴黎的科学博物馆发现宫有间圆形房间叫「房」，墙上刻有的707位数，数字贴在圆顶状的天花板上，由大型的木制字符组成。数值是1853年由英国数学家计算出来，但是该结果于第528位后开始出现谬误，在1946年发现，1949年修正。
卡尔·萨根的小说《接触未来》中则暗示说，宇宙的创造者在的数字中暗藏了一则信息。的数字也用在凯特·布希所出的专辑中的《Pi》的歌词里。
美国人在3月14日庆祝圆周率日，此节日在学生中很流行。一些自称“数学极客”的人常常用与其数位来创作一些数学或技术圈内人士才能领会到的笑话。麻省理工学院则有几句包含“3.14159”的大学。2015年的圆周率日格外重要，按照美式写法，当天的日期时间codice_1较其他圆周率日包含更多位数的。
在北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上，谷歌用了一些包含在内的数学或科学常数来竞价。
 在1958年，提议将换成（tau）以便简化公式。formula_304在此定义为的两倍。然而，没有任何其他作者曾这样使用过formula_304。有些人使用不同的值，formula_306。这些人称formula_304不论是作为弧度制下圆周长的1转还是作为弧长与半径的比值（而不是与直径的比值）都比自然，也能因此简化许多公式。有媒体报道称，因为formula_304的值大小约为6.28，现已有人在6月28日庆祝“formula_304节”，并吃“两个派”；然而，主流数学界还并未使用formula_304。
1897年，有业余美国数学家试图藉印第安纳州议会来通过后世所谓印第安纳圆周率法案的法案。这法案试图以法律命令强制规定数学常数之值而臭名远播。该法案描述化圆为方的方法，并间接提到了的错误值，例如3.2。该法案通过了印第安纳州众议院的表决，但参议院否决之。