通量

通量（），或称流束是通过一个表面或一个物质的量，是一个物理学和应用数学的概念。在热学和流体力学领域中，研究输运现象时，是指在单位时间内通过单位面积的具有方向的流量，它是一个向量；在电磁学领域中，是指在单位面积上垂直于其表面的磁场或电场的强度，它是一个标量。
给定一个三维空间中的向量场formula_1以及一个简单有向曲面formula_2，则向量场formula_1通过曲面formula_4的通量就是曲面每一点formula_5上的场向量formula_6在曲面法向方向上的分量的积分:
其中formula_8是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。
术语.
通量这个词源于拉丁语：fluxus 意为“流”，fluere 是“流动”的意思。而 fluxion 一词是由牛顿引入微积分。
热通量的概念是约瑟夫·傅立叶对热传递现象分析的重要贡献之一。他的重要著作《热的分析理论》（）中，将 fluxion 定义为一个核心量，并推导出了现在的通量表达式。这些表达式与平板的温度差异有关，且更广义地在其他几何形状的温度梯度或温度差异有关。根据詹姆斯·克拉克·马克士威的研究，可以显示其传输的定义早于磁通量定义。马克士威的具体引言是：
根据传输的定义，通量可为单一向量，也可以是位置的向量场／函数。后者的通量可以很容易地在一个表面上积分。相比之下，根据电磁学定义，通量是对表面的积分；对于第二种定义的通量进行积分是没有意义的，因为这样会对表面进行两次积分。因此，马克士威的引言只有在“通量”按照传输定义使用时才有意义（进一步来说，是向量场而不是单一向量）。这很讽刺，因为马克士威是我们现在所称的“电通量”和“磁通量”的主要发展者之一，而这些名称是根据电磁学定义来的。根据该引言（和传输定义），它们应该被称为“电通量的曲面积分”和“磁通量的曲面积分”。在这种情况下，“电通量”应定义为“电场”，“磁通量”应定义为“磁场”。这意味著马克士威将这些场视为某种形式的流动／通量。
根据电磁学定义的通量，其相应的通量密度（假设使用这个术语）指的是沿积分表面的导数。根据微积分基本定理，相应的通量密度是根据传输定义的通量。给定一个流，例如电流——每单位时间的通电量，电流密度根据传输定义也是一个通量——每单位时间每单位面积的通电量。由于通量的定义冲突，以及在非技术性英语中通量、流动和电流的互换性，本文中的所有术语有时会被互相使用且可能含义模糊。本文其余部分中具体的通量将根据其在文献中的广泛接受度来使用，无论该术语对应哪种通量的定义。
以单位面积流量表示的通量.
在输送现象（热传、质传和流体动力学），通量被定义为「每单位面积的流量的流动率」，其因次组成为 量 (物理)·[时间]−1·[面积]−1。这个面积是流“通过”或“穿过”的表面。例如，每秒钟流经河流横截面的水量除以横截面的面积，或是每秒钟落在地面一块区域上的阳光能量除以该区域的面积，都是通量的例子。
一般数学定义（传输）.
以下是按复杂度递增的三个定义。每个定义都是下面这个的一个特例。在所有情况下，常用符号 formula_9（或 formula_10）表示通量，formula_11 表示流动的物理量，formula_12 表示时间，formula_13 表示面积。当且唯当这些标识符是向量时，它们将以粗体显示。
首先，通量作为一个（单一的）纯量时：
formula_14
其中
formula_15
在这种情况下，测量固定的通量的表面，且具有面积formula_16。假设该表面是平坦的，而流量在各处相对于位置是恒定的，并且垂直于表面。
其次，通量作为沿著表面定义的纯量场，即作为表面上各点的函数：
formula_17formula_18
如上所述，假设表面是平坦的，且流量在各处都垂直于表面。然而，流不需要是恒定的。此时，formula_19 是 p（表面上的一个点）的函数，面积 formula_16亦是。与其测量通过整个表面的总流量，不如 formula_19 测量的是以 p 为中心、沿表面上面积 A 的圆盘通过的流量。
最后，通量作为一个向量场时：
formula_22
formula_23
在这种情况下，我们没有固定的表面来测量。formula_19 是一个点、面积和方向（由单位向量 formula_25 给定）的函数，并测量与该单位向量垂直的面积 A 的圆盘中的流量。formula_26 的定义是选择使该点周围流量最大的单位向量，因为真正的流量在垂直于该单位向量的圆盘上达到最大值。因此，当单位向量指向流动的“真正方向”时，它唯一地最大化该函数。（严格来说，这是一种滥用符号，因为“arg max”无法直接比较向量；我们改为选择具有最大范数的向量。）
性质.
这些直接的定义，尤其是最后一个，显得相对不完善。例如，从来看，arg max 的构造是人工的，而使用风向标或类似工具可以简单推断出某一点的通量方向。与其直接定义向量通量，通常更直观的是陈述一些关于它的性质。此外，通量可以根据这些性质唯一确定。
若通量 j 以角度 formula_27 通过（formula_27为该通量与该面积法向量 formula_25 形成之夹角），则其点积为：
formula_30
也就是说，通过表面的通量分量（即垂直于表面的分量）是 
formula_31，而沿切向通过表面的通量分量是 formula_32，但实际上没有通量沿切向通过表面。唯一通过且垂直表面的通量分量是其余弦分量。
对于向量通量，通量 j在表面 formula_33上的曲面积分给出了每单位时间通过该表面的适当流量：
formula_34
其中 A（及其无穷小量）是—— formula_35 的组合，结合了面积 A 的大小和垂直于该面的单位向量 formula_25
。与第二组方程式不同的是，这里不需要平坦的表面。
最后，以时间区间 formula_37 到 formula_38 做积分，计算在该时间段 formula_39 内流过表面的总量：
formula_40
传输通量.
八种在输送现象文献中最常见的通量定义如下：
这些通量在空间中的每一个点都是向量，具有明确的大小和方向。此外，可对任何这些通量取散度，以确定在空间中给定点周围的控制体积内该量的累积速率。对于不可压缩流，体积通量的散度为零。
化学扩散.
如上所述，化学的莫耳通量在等温、等压系统中，成分 A 在菲克扩散定律中定义为：
formula_41
其中 nabla 符号 formula_42 表示梯度算子，formula_43 是成分 A 透过成分 B 扩散时的扩散系数 (m2·s−1)，formula_44 是成分 A 的浓度 (mol/m3)。
这个通量的单位是 mol·m⁻²·s⁻¹，符合马克士威对通量的原始定义。
对于稀薄气体，分子动力学理论将扩散系数 D 与粒子密度 n=N/V、分子质量 m、碰撞截面 σ 以及绝对温度 T 联系起来，关系式如下：
formula_45
其中，第二个因子是平均自由径，而平方根（包含波兹曼常数 k）项 则是粒子的平均速率。
在紊流中，涡旋运动所造成的传输可以表示为一个大幅增加的扩散系数。
量子力学.
在量子力学中，质量为 m 的粒子在量子态 "ψ"(r, "t") 下，其机率幅定义为：
formula_46
因此，在微分 d3r 中找到粒子的机率是：
formula_47
那么，单位时间内垂直穿过截面单位面积的粒子数就是机率通量（英语：probability flux）。
formula_48
有时也被称为机率流、机率流密度，或者机率通量密度。