西罗定理

在数学中，特别是代数学中的群论，西罗定理（）是一系列关于有限群的定理，由挪威数学家彼得·卢德维格·梅德尔·西罗在1872年证明。这些定理使得代数学家对有限群的结构有了更深入的了解，并对有限群的研究以及百年后的有限单群分类作出了重要贡献。
西罗定理处理了拉格朗日定理的部份反例。拉格朗日定理表明如果 formula_1 是 formula_2 的子群，那么子群formula_1的阶 formula_4 是 formula_5 的因数；但是 formula_5 的因数未必等于某个子群的阶。西罗定理表明，formula_5形如 formula_8 的因数确实是一些子群的阶，定理亦给出这种类型子群数目的相关讯息。
定理叙述.
给定一个有限群 formula_2 ，通过质因数分解，可以把 formula_5 表示成 formula_11的形式（并且 formula_12 不被 formula_13 整除）。如果 formula_2 的子群 formula_1 的阶是 formula_13 的幂 formula_17 ， formula_18 ，则 formula_1 称为一个 formula_13-子群。西罗formula_13-子群是最大的一类 formula_13-子群，其定义为阶等于 formula_23 的子群。群 formula_2 的西罗formula_13-子群构成的集合一般记为 formula_26 。
西罗定理有三个部分：
无限群的西罗定理.
无限群中的西罗formula_13-子群为一个在所有群内之formula_13-子群中，以内含关系为序，极大的formula_13-子群。可用佐恩引理证明这类子群存在。
定理：若 formula_43 为一个 formula_2 的西罗formula_13-子群，且 formula_46 有限，则每一个西罗formula_13-子群都与formula_43共轭，且 formula_49 ，其中 formula_50 表示 formula_43 的共轭类。
应用例子.
设formula_2为一个阶为formula_53的群。令formula_54为西罗formula_55子群的数量，则formula_54整除formula_57，且模 formula_55 余 formula_27。满足上述条件的值只有1；因此，formula_2只有一个阶为formula_55的子群，且其必须为正规子群（因为其没有其他的共轭）。类似地，formula_62整除formula_55，且formula_64；所以formula_2仅有一个阶为formula_57的正规子群。由于3和5互质，此两个子群的交集为平凡群{e}，所以formula_2必须为循环群。因此，只存在一个阶为15的群（以群同构来区分），记为formula_68。
举另一个更复杂的例子来说，可证明不存在一个阶为formula_69的简单群。若formula_70，则formula_62必须整除formula_72，且formula_64。由此可知formula_74（因为6和11都不整除14），所以formula_2必然会有一个阶为formula_76的正规子群，故不可能为简单群。
西罗定理的证明.
西罗定理的证明利用了群作用的许多概念。群 formula_2 会以许多种方式作用在其自身或其formula_13-子群上，而此类的每个作用则可以被利用来证明西罗定理的其中一个定理。下列的证明是基于1959年H.Wielandt所发表之整合的论述。下面用 formula_79 表示「 formula_80 整除 formula_81 」，而 formula_82 表示「 formula_80 不整除 formula_81 」。
第一西罗定理.
 定理：一个元素个数 formula_5 可以被一质数 formula_13 的次方 formula_87 整除的有限群 formula_2 会有一个元素个数为 formula_87 的子群。
证明：设 formula_90 ， formula_91 且 formula_92 。令 formula_93 为 formula_2 中元素个数为 formula_87 的子集所组成的集合，有 formula_96 及 formula_97 ，其中 formula_98 是一个二项式系数，此处我们考虑它在组合数学中的意义，即「从 formula_99 个相异元素选出 formula_87 个元素的方法数」，这等价于元素个数为 formula_101 的集合 formula_2 中元素个数为 formula_87 的子集的个数，因此等于 formula_104。
令 formula_2 以左乘积作用于 formula_93 上。基于 formula_29 的定义，存在一个于 formula_93 内的子集 formula_109 ，使得其轨道 formula_110 的元素个数不被 formula_111 整除， formula_112。
这里有 formula_113 ，其中 formula_114 代表集合 formula_109 的稳定子子群。因此 formula_116 故 formula_117 。注意在 formula_114 的作用下之于 formula_109 内的两个元素 formula_80 和 formula_121 可能不同，所以 formula_122 。由上述 formula_117 和 formula_124 两结论可知 formula_125 。 formula_114 即为所求的群。 formula_127
该定理一个平凡的推论是，如果质数 formula_13 整除群 formula_2 的阶，那么 formula_2 有至少一个西罗 formula_13-子群。
第二西罗定理.
 定理：若"H"是"G"的子群且|"H"|="ps"，以及"P"为"G"的p-西罗子群，则存在一个在"G"内的元素"a"会使得"a"H"a-1"为"P"的子群。特别地是，所有"G"的西罗"p"-子群都会共轭（且因此同构）于另一个，即若"H"和"K"为"G"的西罗"p"-子群，则存在一个"G"内的元素"g"会使得"g"−1"Hg" = "K"。
先证明一个有用的引理：
引理: 设"G"为一个有限"p"-群，将"G"作用于一个有限集合Ω上，及令Ω0为在"G"的作用下为固定之Ω内的点所组成之集合。然后可知|Ω| ≡ |Ω0| mod "p"。
证明：将Ω写成在"G"下之轨道此种不相交集合的联集。每一个在Ω内的元素"x"若在"G"的作用下不固定的话，其将会在其目为|"G"|/|"Gx"|之轨道上（其中"Gx"为稳定子），此目依题目的假设会是"p"的倍数（不可能为1，因为其目为1的轨道即为在"G"的作用下固定的点）。因此结论立即就出来了。
证明：设Ω为"G"内"P"的左陪集所组成的集合，及"H"以左乘积作用在Ω上。应用"H"于Ω上的引理，可知|Ω0| ≡ |Ω| = ["G" : "P"] mod "p"。由定义可知"p" formula_132 ["G" : "P"]，所以"p" formula_132 |Ω0|，且因为|Ω0| ≠ 0，故会存在一些"gP" ∈ Ω0。因此对每个于"H"内的元素"h"，"hgP" = "gP"，故"g"−1"hgP" = "P"且"g"−1"hg" ∈ "P"，且因此"h" ∈ "gPg"−1，故"H"会包含于某些"G"内元素"g"之"gPg"−1内。若"H"为一个西罗"p"-子群，则|"H"| = |"P"| = |"gPg"−1|，因此对某些在"G"内的"g"，"H" = "gPg"−1。
第三西罗定理.
 定理：设"q"为一有限群"G"的任一西罗"p"-子群的目，则"np" | |"G"|/"q"且"np" ≡ 1 mod "p"。
证明：依定理2，"np" = ["G" : "N""G"("P")]，其中"P"为任一个子群且"N""G"("P")为于"G"内"P"的正规化子，可知此数为|"G"|/"q"的因数。令Ω为所有"G"的西罗"p"-子群所组成的集合，且"P"以共轭作用于Ω上。设"Q" ∈ Ω0并可知对所有"x" ∈ "P"，"Q" = "xQx"−1，因此"P" ⊆ "N""G"("Q")。依定理2，"P"和"Q"会于"N""G"("Q")内共轭，尤其是"Q"会在"N""G"("Q")为正规，故可知"P" = "Q"。由上可知Ω0 = {"P"}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω0| = 1 mod "p"。
算法.
由一个给定的群中得出一个西罗子群是计算群论中一个很重要的问题。在置换群里，已由William Kantor证明出一个西罗"p"-子群可以在多项式时间内被找到。