莫尔圆

莫尔圆（Mohr's circle）得名自德国土木工程师，是一种用二维方式表示柯西应力张量转换关系的图。
先针对假设为连续的物体进行，之后特定一点的柯西应力张量分量会和坐标系有关。莫尔圆是用图形的方法去确认一个旋转坐标系上的应力分量，也就是在同一点上，但是作用在不同方向平面上的分量。
圆上每一个点的横坐标formula_1及纵坐标formula_2都是在这个旋转坐标系统上某一个方向的正应力及剪应力。换句话说，莫尔圆表示了在所有方向平面上应力状态的轨迹，而X轴和Y轴为应力元素的主轴。
是第一个想到用图形来表示应力的人，他是在分析水平梁承受弯曲时的纵向应力及垂直应力时所想到的。莫尔的贡献不止是用莫尔圆表示二维及三维的应力，他也根据莫尔圆发展了结构失效判定的准则。
其他表示应力状态的方式有及柯西应力二次曲线（Cauchy's stress quadric）。
莫尔圆可以扩展到对称的 2x2 张量，包括应变及转动惯量张量。
应力及莫尔圆.
考虑一个会变形的物体（假设为连续体），若受到外力（可能是表面力或是体积力），物体的内部就会有力的分布。物体内部的力会依循欧拉运动定律，正如物体受力依循牛顿运动定律一様。物体内部力的强度可以用应力来表示。因为物体假设为连续体，其内部的力也是会均匀分布在其体积中。
在工程中（例如结构工程、机械工程或土力工程）会透过来分析一物体中应力的的分布，例如隧道中岩石的应力，飞机机翼的应力，或是建筑物中梁柱的应力等。计算应力分布也就表示要知道物体中每一点的应力。据奥古斯丁·路易·柯西的理论，（假设为连续体的）物体中任何一点的应力（图2），可以完全由二阶的张量中的九个应力元素 formula_3完全决定，此二阶张量称为柯西应力张量, formula_4:
若确定了一物体在特定坐标系统formula_6下的应力分布，有可能需要知道特定一点formula_7相对另一个有旋转的坐标系统formula_8下的应力张量，也就是在需要关注的点，在特定角度下的的应力张量。而此坐标系统formula_8和原有的坐标系统formula_6之间有一个角度差（图3）。例如，一般会需要知道最大的正向应力以及最大的剪应力，也需要知道其对应的方向。因此，需要发展一种张量转换的方式，可以配合坐标系统的旋转得到新坐标系统的张量。依照张量的定义，柯西应力张量遵守张量转换定律。应力的莫尔圆是用图解方式来说明柯西应力张量转换定律的方式。
二维张量下的莫尔圆.
在二维下，一点formula_7相对于垂直方向的应力张量可以用三个应力向量完全表示。在垂直坐标系统formula_6下，其应力分量为：法向应力formula_13及formula_14，以及剪应力formula_15。由于角动量守恒，柯西应力张量会有对称性，也就是formula_16，因此柯西应力张量可以写成：
其目的是在另一个通过formula_7点，但存在角度差的坐标系统formula_8下，找到应力分量formula_1及formula_2（图4）。坐标系统formula_8和原坐标系统formula_6的角度差即为formula_24。
莫尔圆的方程.
要推导二维平面应力及平面应变的莫尔圆方程，先考虑一个位在位置formula_7的二维的无限小方形元素（图4），和formula_26-formula_27平面平行。
利用无限小元素上的力平衡，正向应力formula_1及剪应力formula_2的大小为：
上述二个方程也可以用柯西应力张量的张量变换定律来求得，这和在formula_1及formula_2方向用力平衡计算是等效的。
这二个方程是莫尔圆的参数式。在方程中，formula_34为参数，而formula_1和formula_2为坐标，因此表示若选择适当的坐标系统，使formula_1为横轴，formula_2纵轴，给定参数formula_24，会给定在莫尔圆上的一点。
若从参数式中消去参数formula_34，可以得到非参数式的莫尔圆方程。可以用重组formula_1及formula_2的方程来达到。先将第一式等号右侧的第一项移到等号左边，二式平方后相加，可得
其中
这就是圆（莫尔圆）的方程
在formula_46坐标系统中，其半径formula_47，圆心在坐标formula_48处。
符号体系.
在使用莫尔圆时，需考虑两组分别的符号体系，一个是针对实体空间下应力分量的符号体系，另一个是针对「莫尔圆空间」下应力分量的符号体系。此外，工程力学（结构工程及机械工程）文献用的体系和地质力学用的符号体系不同。没有所有系统都适用的标准符号体系，是否要使用特定的符号体系取决于计算及诠释特定问题的方便程度。
上述图4的莫尔圆推导都是使用工程力学的符号体系，以下也会继续使用工程力学的符号体系。
实体空间符号体系.
为了描述柯西应力张量的方便（图3及图4），应力分量的第一个下标表示应力分量作用的面，第二个下标表示应力分量的方向。因此formula_15是作用在以formula_50轴正向为其法向量的平面上，而方向是往formula_26轴的正方向。
在实体空间符号体系，正的正向应力是由作用平面往外（张力），负的正向应力是由作用平面往内（压缩力）（图5）。
在实体空间符号体系中，正剪应力在法向量为正的材料元素平面上，其作用方向会往轴的正方向，同样的，正剪力在法向量为负的材料元素平面上，其作用方向会往轴的负方向。例如作用在正向平面的剪应力formula_15和formula_53为正，因为这二个剪应力的作用方向往formula_26轴及formula_50轴的正方向（图3）。而相对应的作用在负向平面的剪应力formula_15和formula_53，其作用方向往formula_26轴及formula_50轴的负方向，因此这二个剪应力也为正。
莫尔圆空间符号体系.
在莫尔圆空间符号体系中，应力的符号体系和实体空间符号体系中的相同：正的正向应力是由作用平面往外（张力），负的正向应力是由作用平面往内（压缩力）
不过剪应力的符号体系和实体空间符号体系中的不同。在莫尔圆空间符号体系中，正的剪应力会使材料往逆时针方向旋转，而负的剪应力会使材料往顺时针方向旋转。因此在莫尔圆空间中，剪应力分量formula_15为正，而formula_53为负。这和实体空间符号体系中formula_15和formula_53符号相同的情形不同。
在绘制莫尔圆时，有二个作法可以绘制在数学上正确的莫尔圆：
将正的剪应力画在上方会让莫尔圆上的formula_34角为正值时，旋转方向是顺时针旋转，这和实体空间符号体系中的相反。因此有些作者会选择让正的剪应力画在下方，这会让莫尔圆上的formula_34角为正值时，旋转方向是逆时针旋转，类似实体空间符号体系的情形。
为了克服剪应力轴往下才是正向的问题，有另外一种「替代的」符号体系，其中正的剪应力假设为将材料将顺时针方向旋转，而负的剪应力假设为将材料将逆时针方向旋转（图5，符号体系#3）。在「替代」体系下，正的剪应力轴往上，而且在莫尔圆上formula_34为正值时，旋转方向为逆时针。此符号体系产生的莫尔圆和图5，符号体系#2中的相同，因为正的剪应力formula_64也是会逆时针旋转的剪应力，也画在下方。而负的剪应力formula_64也是会顺时针旋转的剪应力，也画在上方。
此条目在实体空间符号体系中，会依照工程力学的符号体系，而在莫尔圆空间中，会使用「替代的」符号体系（图5，符号体系#3）。
绘制莫尔圆.
假设已知待研究物体上的点formula_7的应力分量formula_13、formula_14及formula_15，如图4所示。以下方法可以绘制点formula_7的莫尔圆，以表示其应力状态。
找主要正向应力.
主要应力的大小是点formula_89和点formula_90（图6中圆和 formula_91轴的交点）中的横坐标。最大正向应力formula_92的大小恒为这二个横坐标中最大的那一个，而formula_93最小正向应力的大小恒为这二个横坐标中最小的那一个。这二个点的纵坐标为0，对应在主要平面上的剪应力为零，主要应力的大小也可以表示为
其中平均正向应力formula_96的大小是圆心formula_86的横坐标，为
其半径的长度formula_99为
找最大和最小剪应力.
最大剪应力和最小剪应力对应圆上最大及最小的纵坐标。这二个点是圆和通过圆心formula_86的垂直线的交点。因此，最大和最小剪应力的大小为圆的半径formula_99
找任意平面的应力分量.
如前面所述，在二维应力分析后，可以知道在材料某一点formula_7上的应力分量formula_13、formula_14及 formula_15。这些应力分量作用在通过formula_7点的二垂直平面 formula_109 及 formula_82，如图5及图6所述。莫尔圆也可以计算在莫尔圆上formula_111的应力分量formula_1及formula_2，事实是作用在formula_111平面上，此平面也通过formula_7点，和formula_82平面有夹角formula_24，计算应力分量有二种方式：倍角法以及平面原点法（origin of planes）
倍角法.
如图6所示，若平面formula_111是平面formula_82再逆时针旋转角度formula_24后的平面，要找到在平面formula_111上的应力分量formula_122，可以在莫尔圆上从已知应力点 formula_80同样以逆时针旋转，但旋转角度 formula_34，旋转到点formula_125，也就是让formula_126线和formula_127线之间的夹角是formula_34。
倍角法的作法源自于通过formula_7点的二实际平面之间的夹角formula_24（图4），是其对应应力点 formula_122在莫尔圆上和圆心连线形成夹角的一半。
倍角关系是因为莫尔圆的参数式是formula_34的函数。也可以从在材料点 formula_7上的平面formula_81和formula_82夹角是90度，而在莫尔圆上其应力点夹角为180度看出（90度的两倍）。
极点法（或平面原点法）.
第二种方式和要找到莫尔圆上的一个点，称为极点（pole）或是平面原点（origin of planes）。从极点画的任何直线都会和莫尔圆相交，交点表示在和直线相同角度的平面上的应力状态。因此若知道任何特定平面上的应力分量formula_136及formula_137，可以画一条线通过莫尔圆上的 formula_1和formula_2，且和平面平行，找到莫尔圆上这些线的交点，即为极点。例如，假设有应力状态如圆7所示，其分量是formula_140, formula_141及formula_142。首先先从formula_82点画一条线，平行formula_13的作用平面，或是从formula_81点画一条线，平行formula_14的作用平面，任一条线都会和莫尔圆交会，交会的点即为极点。在找到极点后，若要找到和垂直有formula_147夹角的平面上的应力，可以从极点画一条平行该平面的线（见图7）。可以根据直线和莫尔圆的交点找到平面上的正向应力以及剪应力。
找主要平面的方向.
最大主要应力及最小主要应力所在的平面方向也称为主要平面（principal planes），可以用莫尔圆中
的∠BOC及∠BOE判断，然后将二个角度都取一半。因此formula_148和formula_149之间的夹角是角∠BOC，是formula_150（主要平面和平面formula_82夹角）角度的二倍。
而formula_152和formula_153也可以用以下的方程取得
此方程的解会是二个角度，彼此相差formula_155。可以直接用圆的几何求解此方程，或是用圆的参数式，并且让formula_64等于零（主要平面上的剪应力为0）。
一般三维应力下的莫尔圆.
若要绘制三维应力下的莫尔图，需要先量测其主应力的大小formula_157以及方向formula_158。
考虑以主应力轴为坐标系统，而不是用formula_159, formula_160, formula_161坐标系统，并且假设formula_162，则在一法向量为 formula_163的平面，其应力向量formula_164的应力分量及剪力分量会满足下式
由于formula_167，可以用高斯消去法求解formula_168, formula_169, formula_170：
因为formula_162及formula_173都不是负值，因此其分子满足
方程式可以写成
是三个应力莫尔圆formula_184, formula_185和formula_186的方程，其半径分别是formula_187, formula_188及formula_189，而其圆心分别在formula_190, formula_191, formula_192。
有了上述三个应力莫尔圆的方程，所有可能的应力点formula_122都会在三个应力莫尔圆之间的阴影区域（见图10）。应力点formula_122 可能满足圆formula_184的方程，或是在圆formula_184的外面，可能满足圆formula_185的方程，或是在圆formula_185的里面，可能满足圆formula_186的方程，或是在圆formula_186的外面。