自行车及摩托车的动力学

自行车及摩托车的动力学是有关自行车及机车以及其零组件，因受力而产生运动的物理学，属于的范畴。动力学属于物理学中经典力学的领域。自行车的运动中，比较多人在意的包括力学平衡、反向操舵（countersteering）、煞车、加速度、悬吊系统灵活性、以及振动。对于自行车运动的研究从十九世纪末就开始了，目前仍有相关的研究。
自行车及机车都是二个轮子共平面，可以只产生一个轮迹的，因此其运动有许多的基本共同点，本质上也和其他车辆（例如、自行三轮车、）不同，并且更加困难。自行车和单轮车类似，在静止时没有侧向的稳定性，大部份情形下，自行车在前进时，车身需维持直立。实验及数学模型可以证明，当脚踏车的质心被操控维持在车轮上时，车身可以维持直立。多半就是骑车的人来操控，有时自行车也可以在无人控制的情形下维持平衡。包括几何、质量分布及陀螺效应的几个因素都在不同程度影响其本体稳定度。但长期存在宣称以陀螺效应或曳距（Trail，从前轮与地面的接触点，到转向轴与地面的交点，沿地面方向的距离）决定自行车稳定的假设已确定不成立。
学习自行车时，初期目标就是如何使车辆在行进间稳定直立，不过在转弯时，为了维持平衡，自行车需要倾斜：若速率越快，或是转弯半径越小，其倾斜程度要越大。倾斜可以平衡离心力及重力的影响。倾斜一般是瞬时往反方向转向，称为反向操舵。反向操舵之技巧是透过运动技能学习所习得的，是透过程序记忆运作，不是透过有意识的思考。自行车和其他的车辆不同，其主要控制输入是给龙头的力矩，而不是位置。
自行车在静止时有纵向的稳定性，而自行车的重心较高，轴距较短，因此在有足够加速度或是减速度的情形下，可以。在煞车时，依照自行车及骑者重心位置的不同，以及前轮接触地面的位置，自行车有可能前轮，也有可能是自行车旋转，自行车及骑者一起翻到前轮之前。在加速时也会有类似的情形，不过加速时会相对后轮来分析。
历史.
早在自行车发展期间，就已开始自行车动力学研究的历史。其中有许多著名科学家的贡献，例如兰金、及等人。一般认为是十九世纪初期的发明了两轮的车辆，有不同的名称，例如、、及，驾驶者可以透过控制前轮来使车辆平衡。兰金在1869年在《The Engineer》发表一篇文章，其中重复德莱斯的论点，可以透过向车身倾斜方向转向来使车辆平衡。
法国科学院在1897年将了解自行车的动力学列为Prix Fourneyron竞赛的目标，、及Francis Whipple在十九世纪末用刚体动力学证明，有些在适当的速度下可以自行平衡。Bourlet赢得Prix Fourneyron，Whipple赢得了剑桥大学的史密斯奖。其中一个关键是让前轮转向轴和垂直线维持一个角度，不清楚这个是由谁发现的。
在1970年于《》发表一篇文章，提到在维持自行车平衡的过程中，不一定需要陀螺效应。1971年时，科学家已发现了摆振（wobble）、迂回摆动（weave）及倾倒（capsize）的运动模式，并且命名，那时Robin Sharp已经定期的发表有关自行车及摩托车行为的文章。Robin Sharp在伦敦帝国学院时，和David Limebeer及Simos Evangelou一起共事。
在1970年代初期，康乃尔太空实验室（CAL，之后位在纽约水牛城的）接受Schwinn自行车公司及其他公司的赞助，研究并且模拟自行车及摩托车的动力学。其中部份的成果已公开发表，并且30份详细报告的扫描档已在网站中发布。
Cossalter等人从1990年代开始，在Padova大学研究摩托车的动力学。其研究包括实验以及数值分析，其中包括了迂回摆动（weave）、 摆振（wobble）、颤振（chatter）、模拟、车辆建模、轮胎建模、操控以及最小单圈时间操控（minimum lap time maneuvering）。
Meijaard等人在2007年在《皇家学会报告A》中发表了正则的线性化运动方程，配合两种不同的验证方式。运动方程假设轮子纯滚动没有滑行，而且驾驶者是牢牢的固定在自行车的后车架上。
Kooijman等人在2011年在《科学》期刊发表，证实自行车的自行平衡，不需要陀螺效应，也不需要因为曳距（trail）而产生的所谓主销后倾稳定效应（caster effect）。他们设计了，虽然曳距为负值，前轮接触地面的点在前轮转向轴之前，和一般自行车不同，而且其中有反转的轮子以抵消陀螺效应。这部车的设计和一般自行车不同，但依照其运动方程，可以自行稳定。之后建构了实体的模型以确认其预测。其中需要一些重新评估转向几何以及稳定性的资料。自行车动力学在2011年《发现》的前一百大故事中，排名第26。
2013年时，艾迪·莫克斯因为确认自行车的稳定性，获得根特大学的15万欧元。
受力.
若将自行车和驾驶视为一个系统，作用在系统及其各部份的力可以分为两类：外力及内力。外力包括重力、惯性力、和地面接触产生的力、以及和空气接触产生的力。内力是驾驶所产生的力，或各部份之间的相互施力。
外力.
自行车和驾驶会受到重力的影响，有向下的力，两个轮子的会受到地面水平方向及垂直方向的反作用力。垂直方向反作用力是因为重力而产生，也会因为加速或是煞车而变化。水平方向反作用力是因为轮子和地面的摩擦，其中也包括了滚动阻力，是因为车辆推进力、煞车力及转向力而产生。空气施力中大部份是和前进方向相反的阻力，不过也可能有侧风。在自行车以一般速度行驶时，其空气阻力是反抗其前进的外力中，最大的外力。若速度更快，空气阻力会远大于其他的阻力。
转向力是因为操作平衡，以及单纯转弯时产生。可以解读为在自行车和驾驶此系统的加速参考系中的离心力，或只是静止惯性参考系下的惯性。陀螺力是因为车轮、引擎、传动等转动件所产生，也是因为转动件的惯量所造成。
内力.
内力是自行车和驾驶系统中，各组件之间的施力，大部份是因为驾驶者或是摩擦力产生。驾驶者除了踏踏板外，也会在转向机构（前叉、把手杆、前轮等）及后车架中施加力矩。摩擦力出现在二个有相对运动的组件之间，例如动力总成、转向机构及后车架之间等。会在转动的轮子和不转动的车架之间产生摩擦力，有许多车在前叉及后车架都有。有些机车及自行车会有，来消耗不想要的动能，有些车有连接前叉及后车架的弹簧，提供个渐近的力矩，使脚踏车往前。若自行车有后悬吊系统，需考虑动力总成及悬吊系统之间的反馈问题，设计者一般会用不同的连杆机构组态以及来设法改善此问题。
运动.
自行车的运动可以大致分为不在其对称面上的（侧向运动），以及在其对称面上的（纵向及垂直运动）。侧向运动包括平衡、倾斜、转向（steering）及转弯。在对称面上的运动包括车轮转动让自行车前进，也包括、翘前轮及悬吊系统的动作，也包括伸缩前叉机车的煞车下沉（brake diving）。不在对称面上的运动和对称面上的运动是线性解耦，在一阶近似的范围内互相独立。未受控的自行车在静止时，在侧向上不稳定，若在适当条件下，或是有驾驶者控制可以侧向稳定。纵向稳定的情形不同，自行车在静止时是纵向稳定的，但在加速或减速太快时可能会纵向不稳定。
侧向动力学.
自行车的侧向动力学比其纵向动力学要复杂的多。侧向动力学需三维空间的多体动力分析来能求解，需要二个广义座标来进行分析。至少要有二个耦合的二阶微分方程来找到主要的运动形态。侧向动力学不一定能找到解析解，需要用数值分析的方式求解。在文献和网路上，还可以找到几种互相竞争，有关自行车如何平衡的理论。另一方面，纵向动力学利用平面运动学即能进行相当程度的分析，而且只需要用到一个轴。
平衡.
在讨论自行车的平衡时，需要仔细区分「稳定性」（即力学平衡）、「自稳定性」以及「可控制性」。近期的研究认为「驾驶控制的稳定性在本质上和其自稳定性有关」。
若控制自行车的转向，使地面的反作用力可以平衡自行车受到的其他外力，即可让自行车保持直立。此处的外力包括倾斜时的重力、转弯时的惯性力或是离心力、转向时的回转力（gyroscopic）以及侧风时的风力。转向操控一般是由驾驶者控制，自行车在一些特殊的情形下，也可以自行控制平衡。自稳定性是由于许多因素的结合，和自行车的几何外形、质量分布、自行车的前进速度有关。轮胎、悬吊系统、转向的阻尼及车架挠性也都会影响自稳定性，尤其是机车更明显。
就算是在车辆未行进的情形下，驾驶者也可以用类似原理来使自行车平衡。例如在自行车（自行车不行进，驾驶者脚不著地的情形下维持直立平衡）时，驾驶者可以设法让驾驶和车辆的结合重心在二个轮胎接地印迹的连线上，以维持平衡，方式是将前轮左右微幅转向，若需要的话，也可以将车辆微幅的前进及后退，设法调整前轮的接地印迹。让车辆前进可以靠踏踏板达成，若是死飞，也可以用踏踏板来让车辆后退。不然，驾驶者也可以利用路面适当的坡度，或是在自行车刹车动作时让驾驶上半身略为往后倾斜。
若自行车的把手锁住不能转弯，在自行车行进时几乎不可能使车平衡。若是将自行车加上反向旋转的轮，抵消其陀螺仪效应，自行车在行进时仍可以靠驾驶控制而平衡。不论自行车把手是否有锁住，另一种使自行车平衡的方式是在自行车及驾驶之间施加力矩，作法类似在运动员在高低杠上旋转的方式。人可以用摆动双脚的方式，坐在秋千上让秋千由静止开始摆动，倒双摆也可以用致动器在双摆转折处控制而平衡。
前进速度.
驾驶者会在自行车龙头上施加力矩来转动前轮，以控制自行车倾斜及维持平衡。若速度较快时，小的转向角度就可以让前轮接地印迹快速的侧向移动。但在低速时，若要在相同时间内将前轮接地印迹移动相同的量，需要较大的转向角度。因此，自行车在高速时比较容易维持平衡。自平衡一般也是要超过某一个速度后才会出现，自行车若速度越快，自身平衡的效果越好。
重心位置.
自行车和驾驶系统的重心越靠近前轮，前轮要维持平衡要做的侧向位移越小。若重心越靠近前轮，前轮要维持平衡要做的侧向位移越大，或是需要较快的前进速度才能使自行车平衡。这可以从一些长轴距的自行车，例如卧式自行车、及中即可看出。针对，在后轮上（甚至后轮后方）有大齿轮的设计，要平衡也是项挑战。后轮上的重量若比前轮上重量的高度要低，在控制上会比较简单。
自行车也是固定枢轴点倒单摆的例子。就像扫帚棒比铅笔更容易在手中平衡一样，较高的自行车（重心较高）也比较低的自行车要容易平衡，因为较高的自行车其倾斜速率（倾斜角以此速率增加时，车可能会倒）会比较慢。不过车辆在静止时的平衡情形和在行进时不同。例如重心较高的车在因为红灯停车时，就会比重心较低的车要难维持平衡。这是垂直型第二类杠杆的例子。支点在轮胎和地面接触的部份，若重量越靠近支点，需要施的力就越小。因此自行车旅行时会建议将重物放在较低的位置，在自行车前方及后方两侧加挂。
曳距.
曳距（trail）是前轮转向轴（就是包括前叉、龙头、前轮整个转向机构的枢钮）延伸到地面的点，领先前轮和地面接触点的长度，是影响自行车操作性的因素之一。在传统自行车的设计中（其前轮转向轴会略为弯曲偏离垂直线的设计），不论前进速度为何，正值的曳距会将前轮转向车身倾斜的方向。可以用推一部静止，无人控制自行车，使其自由滑动到另一边来模拟，前轮多半会转向车身倾斜的方向。在倾斜时，重力就是使其转向的力。不过行进中自行车的动力学更加复杂，其他的因素可能会使此效果减弱，也可能增强此效果。
曳距（trail）是头管角（head angle）、前叉偏移量（rake）以及前轮大小的函数。其关系可以由以下公式来说明：
其中
增加曳距的方式有增加前轮半径、减少头管角或减少前叉偏移量。
传统自行车的曳距越大，在骑乘时会越稳定，不过曳距太大会让自行车不容易转向。若自行车的曳距为负（前轮转向轴延伸到地面的点，在前轮和地面接触点之后），虽然仍然可以操控，但目前有的资讯是非常不稳定。一般而言，公路赛车自行车的曳距会比旅行自行车要大，但比登山自行车要小。登山自行车的头管角比公路自行车要小，以提升在下坡时的稳定性，因此其曳距较大。旅行自行车的曳距较小，让驾驶者用所载行李较低的重心使车辆平衡，因此没有行李的旅行自行车可能会较不稳定。自行车的一般会是弯曲的，在靠近前轮轴的部份会转为较水平的角度，使前轮转向轴较接近垂直，让曳距可以比较小。有些自行车会有负曳距（例如Python Lowracer），也可以骑，有些实验性的负曳距自行车，其实验结果也可以自稳定。
在摩托车中，rake会指其头管角（head angle），会用三叉树（triple tree）产生的位移来降怟曳距。
Whitt及Wilson的小型研究指出
特定自行车的曳距也会因为一些原因而改变。若前轮有悬吊系统的自行车（特别是伸缩式前叉），若因为车较重而压缩前叉，会使转向轴角度变陡，会降低曳距。曳距也会因为倾斜角及转向角而变化，若自行车直立，往前行时，会是最大值。若倾斜角及转向角够大，曳距有可能变为零，这也会影响驾驶者控制车辆平衡的能力，前轮的轮组也会影响在有倾斜角及转向角时，曳距的变化情形。
有另外一种类似曳距的量测方式，称为mechanical trail、normal trail或true trail，是转向轴到前轮接触面形心的垂直距离。
轴距.
轴距（wheelbase）是影响方向稳定性的因素之一，是指前轮和后轮对地接触面之间的水平距离。由于干扰影响，前轮有一定的位移，偏离原定路径的角度和轴距成反比。特定转向角（steer angle）和倾斜角的曲率半径也和轴距成正比。若自行车倾斜而且有转向，其轴距会变长。最极端的情形是倾斜角为90°，轴距会因为前轮及后轮的半径而增加。
转向机构质量分布.
另一个在传统自行车设计中会对自平衡有帮助的因素是转向机构（包括前轮、前叉及车把）中的质量分布。若转向机构的质心是在转向轴的前面，重力的推力也会让前轮转向倾斜的方向。这可以由将静止的自行车倾斜即可看出。不论和地面是否有交互作用，前轮通常都会往倾斜的方向转向。另外的参数，例如质心相对前后的位置，以及质心的高度也会影响行车的动态平衡。
陀螺效应.
大部份自行车中陀螺效应的角色是帮助自行车的前轮转向倾斜的方向。这称为进动，进动率和其旋转速率成反比。前轮转的越慢，自行车在倾斜时前轮进动的会越快，反之亦然。
后轮不会进动，因为前轮是受到地面对轮胎的摩擦力影响，就算没有自旋也会继续倾斜。因此陀螺力无法提供阻止脚踏车翻倒的力。
在前进速度较慢时，前轮的进动速度太快，因此自行车会有过度转向（oversteer）的情形，会开始往另一边倾斜，会让自行车左右晃动甚至翻倒，属于不容易操控的情形。在较高速时，前轮的进动速度太慢，自行车会有转向不足（understeer）的情形，无法到直立的位置，自行车也会翻倒。此不稳定性很慢，是以秒为单位，对大部份的驾驶者都容易counteract。因此自行车速度较快时，驾驶者会觉得容易操控，虽然自行车当时无法自稳定，若不受控的话，其实也会翻倒。
陀螺效应的另一个效果是前轮在反向操舵时产生的滚动，例如，向左转弯会生一个向右的矩，相较于前轮产生的矩，向右的矩其实不大，但只要驾驶者开始对车把施加转矩，就会出现这个矩，在时很有帮助。
自行稳定.
在上述两个不平衡的情境之间，因著曳距、质量分布、陀螺效应等因素的影响，会有一段前进速度的区间，在此区间内可以使特定设计的自行车在不受控的情形下维持直立。已经证实陀螺效应或正曳距既不是自行稳定的必要条件，也无法透过这二个达到自行稳定，不过这二个效应对未握手把时的控制有帮助。
不过，就算自行车无法自行稳定，也可以透过车把控制前轮转向的方式来达到平衡，而上述这个可能可能形成自行稳定的效应，也可能会被其他因素所盖过，例如的摩擦力，或是很硬的。
纵向加速度.
有关纵向加速度对侧向动力学之间的复杂关系，已经有相关的研究证实。在一个研究中，正的加速度消除了自平衡的能力，而负加速度会改变自平衡时的速度。
转弯.
为了要让自行车转弯，改变其前进的方向，和所有用前轮调整方向的车辆一样，需将前轮转到接近前进的方向的位置。地面和轮胎之间的摩擦力会产生转弯需要的加速度，是及合成的结果。在转向角较小时，自行车直立（不倾斜）时的转弯半径为：
其中
倾斜.
不过自行车和其他有轮子的车辆不同，为了平衡重力、惯性力、摩擦力及地面的支持力，自行车在转弯时必须倾斜。其倾斜角"θ"可以用以下圆周运动的定律来计算。
其中"v"是前进速度，"r"是转弯半径，"g"是重力加速度。这是理想的例子。若考虑相同的速度及转弯半径，轮胎宽度是现代的标准宽度，当倾斜角略为增加时，自行车骑士就需要自行补偿其施力。
不过可以证实，利用简单的二维模型，在本质上说就是在旋转盘上的倒单摆，就可以预测稳态的转弯是不稳定的。若自行车的倾斜角较平衡时的倾斜角要大一点，重力产生的力矩增加，向心力减少，位移会放大。更复杂的模型会允许一个轮子转向，调整路径，并且对抗重力产生的力矩，真实的自行车需要此一机制才能有自平衡的能力。
例如若自行车在旋转半径10公尺的圆周上转弯，速度10 m/s（时速36公里），其倾斜角需要是45.6°。自行车驾驶者若想要的话，可以让车辆（或是身体）倾斜多一点或是少一点。重要的角度是水平面和另一个平面的夹角：是轮胎接触点以及车辆和自行车驾驶者此系统的重心所定义的平面。
自行车的倾斜会减少转弯的旋转半径，减少量和倾斜角的余弦成正比。所得半径可以近似如下（误差值2%）：
其中"r"是近似半径，"w"是轮距，"θ"是倾斜角，"δ"是转弯角，而"φ"是转向轴的转向轴的后倾角。当自行车倾斜时，轮胎接触面更往轮胎的侧边移动因此会造成磨损。摩托车轮胎的侧边，若转弯时没有受到磨损，有时称为是chicken strips。
轮胎的有限宽度会影响后轮实际的倾斜角，和上述所列的不同。实际的倾斜角会随著轮胎宽度增加，随质心高度而减少。有较宽轮胎、重心较低的车，在相同车速、相同转弯下的倾斜角会比较大。
若轮胎宽度为2"t"，倾斜角的增加量为
其中"φ"为实际的倾斜角，"h"为质心高度。
可以证明重力及地面的反作用力产生的力偶是自行车转弯时必须的。有一个实验设法抵消此一力偶，自行车和驾驶者可以在直线行驶时维持任意的倾斜角，因此无法转弯。只要轮子的方向偏离原来的方向时，自行车和驾驶者会往反方向倾斜，因此唯一可以正常驾驶的方式就是直线行驶
稳定的转弯.
在开始转弯后，维持自行车在固定转弯半径、固定速度下转弯需要的力矩会随车速、车辆几何及质量分布有关。。若车辆速率低于capsize速度（在以下特征值的章节会提到，也称为反转速度）。除非施加和转弯相反的力矩，不然自行车的自稳定性会使车辆转弯、自行转直，之后结束转弯。若速率超过capsize速度，除非在转弯方向加力矩，不然capsize不稳定性会让自行车离开转弯，增加倾斜度。若在capsize速率，可以在没有施加力矩下转弯。
转向角.
为了要维持稳定的转弯，转向角（车头延著转向轴旋转的角度）会受到许多因素的影响。其中有些是单轨车辆特有的，有些是其他车辆也会有的。在条目中有说明过这些效应，再重列在此段落中，以下的顺序不代表各效应的重要性。
第一点，实际的动态转向角（车头旋转投影到道路上的角度）是转向角以及转向轴后倾角角度的函数：
其中formula_14是动态转向角，formula_8是转向角，formula_9是转向轴的后倾角。
第二点，自行车的倾斜角会减少实际的旋转半径，减少量和倾斜角的余弦成正比。所得的半径大约可以近似如下（误差在2%以内）：
其中formula_6是近似半径，formula_7是轮距，formula_20是倾斜角，formula_8是转向角，formula_9是转向轴的后倾角
第三点，因为前轮和后轮可能由于重量分布、轮胎特性等原因，有不同的偏滑角，自行车可能会有转向不足或是转向过度的情形。若转向不足，转向角应该要更大。若转向过度，转向角应该要更小。有些作者用 counter-steering 指自行车在某些情形下需要将车头转往要转向方向相反的方向（逆转向角），以反应显著的后轮滑移。
第四点，要产生使自行车偏离其路径的向心力，所需要的，以及因为偏滑角产生的，可能是影响转向力大的因素。弧度推力让自行车可以和车辆一样以相同的转弯半径转弯，但其转向角可以比较小。当自行车有人驾驶，且依相同方向倾斜，前轮的弧度角会比后轮的大，因此在其他条件相时，可以产生较大的弧度推力。
利用调整重心转弯.
反向操舵一般是直接在车把上施加力矩，若是较轻的车，也可能透过让驾驶者的重心往旁边偏来得到效果。若驾驶者往车的右边偏，车会往左边偏来满足角动量守恒，结合的重心会几乎在原来的位置上。此时左偏的自行车（在一些文献中会称为counter lean）会让车往左转，就像驾驶者使用反向操舵之技巧时，用在车把上加力矩左转来开始右转的动作一样。若再考虑车前碗摩擦力及较紧的控制线，此技巧的分析会更加复杂。
当驾驶将身体往右偏时，驾驶和自行车的重心会略往左移一点点，而自行车会往右倾斜。此动作会让轮胎往右移，但因为轮胎和地面摩擦力，无法往右，因此会施力让重心往左移。不过，这个效应很小，大部份的人很难只靠此方式让自行车平衡不倒下。
陀螺效应.
如同平衡章节所述的，旋转前轮产生的效果之一就是因为陀螺进动引起的滚勋矩。矩的大小和前轮转动惯量、前进速率、驾驶在车把加力矩转动前轮的角速度、转向轴和垂直线夹角的余弦成正比。
假设自行车行进速度22 m/s，前轮转动惯量0.6 kg·m2，转动前轮的角速度是半秒旋转一度，其滚勋矩为3.5 N·m。相对而言，前轮的侧向力最大可到50 N。作用在0.6 m高的重心上，产生的滚勋矩为30 N·m。
陀螺效应产生的矩虽然只有12%，但这是驾驶施加力矩就立刻会出现的矩，在机车赛车上有重要的意义。
轮胎.
轮胎对自行车的操控性有很大的影响，尤其在摩托车上，在自行车上也是。轮胎的影响有二个方面：有限的胎冠半径，以及产生力的方式。增加前轮的胎冠半径会减少自稳定性，或甚至完全抵消。增加后轮的胎冠半径的效果相反，不过比较不明显。
透过产生转弯力及弧度推力，轮胎可以提供转向或是平衡需要的侧向力。轮胎充气的压力是机车在高速时是否可以平衡的重要因素之一。因为重量分布、轮胎特性等因素的不同，前轮和后轮可能会有不同的偏滑角，因此自行车可能会有转向不足或是转向过度的情形。转向不足是指前轮的偏滑角比后轮大，因为前轮的转向在维持平衡的过程中非常重要，转向不足的危险性比转向过度要高。因为真实的轮胎其可以产生scrub转矩的接触地面面积有限，因此在滚动时可能会出现侧滑（side-slip），出现延著接触地面面积法线旋转旳力矩。
轮胎会产生，这是因为接触地面面积的边在侧滑时的非对性造成。所得侧滑的转弯力是在接触地面面积几何中心的后面出现，称为，也会产生力矩。因为侧滑方向是朝向轮子的外部，轮胎的力是从转弯的中心。因此，转矩会让前轮往侧滑的方向转，远离转弯的方向，会加大转弯的旋转半径。
另外一种转矩是因为接触面积的有限宽度以及轮胎在转弯时的倾斜造成的。在转弯时接触地面面积的较外侧部份，因为从轮毂外往外算的距离较其他部份要长，因此相对轮毂向后移动的速度比其他部份要快。依照相同的推论，接触地面面积的较内侧部份往后移动的速度较慢，这两部份的力方向相反，因此会产生力矩，让前轮转向倾斜的方向，因此会减少转弯的旋转半径。
这两种力矩的组合，使得前轮会产生（Yaw）力矩，其方向和轮胎侧滑角、轮胎实际路径以及指向方向之间夹角、以及轮胎和垂直线的夹角有关。产生的力矩会使得其反转速度会比刚体轮胎模型所计算的要小。
操控性.
自行车的操控性（maneuverability）及handling很难量化，原因有以下几点：自行车的几何，特别是转向轴的角度，让运动学分析格外的复杂。自行车在许多情形下是不稳定的，一定需要透过驾驶控制。在操控自行车时，驾驶者的技术对自行车的性能有很大的影响。自行车的设计需要在操控性和稳定性之间进行取舍。
驾驶者的控制输入.
驾驶者可以提供的控制输入是在车把上，施加给转向机构旳力矩。因为自行车其转向几何及陀螺效应产生的动态，已确定直接控制转向角会有许多问题。
另一个驾驶者可以提供的控制输入是将其上半身的身驱往某一方向倾斜。如上所述，倾斜的效果和自行车的质量成反比。若车辆比较重（例如重型机车），驾驶者为了要转弯，身体可能会有相当大的倾斜，增加路面的视野。在机车的赛车中，在转弯时赛车手会倾斜身躯、移动身体，将内侧的膝盖伸出，这些动作也可以产生空气动力学上的偏摆力矩，让机车可以进入转弯弯道。
和汽车的差异.
自行车及机车在测试时，为了避免让驾驶受伤，也避免使车辆受损，多半会维持车辆的直立，这也限制了一般会进行的操控性测试。例如，汽车玩家的杂志常会对汽车进行测试，但多半不会针对机车进行类似测试。机车要预备转弯，将机车倾斜到适当的角度，代表驾驶者需要比一般汽车在相同速度下看的更深，若机车速度越快，驾驶者就需要看的更深。
评价方式.
有几种评价方式可以评价机车的操控性。
侧向运动理论.
自行车及摩托车的运动方程虽然可以线性化，但本身是非线性系统。要求解的变数无法表示为独立成份的线性和，也就是说，其行为无法表示为许多独立行为的组合。一般而言，非线性系统很难求解，相较于线性系统，非线性系统也比较不容易理解。在理想的情形下（不考虑摩擦力及弯曲），自行车是能量守恒的系统。不过实务上会看到阻尼的效果。在适当的条件下，自行车的左右晃动会随时间而减少。侧向颠簸加在直立自行车上的能量使得其速度更快，而晃动会越来越小（自稳定）。
自行车是非完整系统，其输出和路径有关。为了要知道其确切的组态（特别是位置），不只要知道各组件目前的状态，也需要知道其过去各时间的状态，这使得数学分析变的复杂。若依控制理论的术语，自行车是非最小相位系统，车辆最终的转向会和一开始的转向不同（即为反向操舵）。
自由度.
自行车的自由度会因为选用的模型不同而不同，最简单的模型为Whipple模型，得名自最早发现模型的Francis Whipple，此模型掌握了自行车最重要的特征，模型中有四个刚体，轮子的边假设为没有宽度的刀边，在光滑表面上滚动，不会滑动，此模型有七个自由度（完全描述四个刚体位置以及方向时，所需要的组态变数）：
若要在模型上再增加复杂度、例如骑乘者的运动、悬吊系统的位移、轮胎顺应性（tire compliance）或是框架弯曲（frame flex），都会增加系统的自由度。若在倾斜及转向时，车框有偏摆角，会因为两轮都要在地面的限制条件，偏摆角没有自由度，可以由其他七个变数来计算。若忽略自行车位置以及轮子的转动，也就可以省略上述前五个自由度，自行车可以只用二个变数来描述：倾斜角及转向角。
运动方程.
理想自行车的条件如下：
其运动方程可以用二个四阶线性化常微分方程表示，或是二个耦合的二阶微分方程表示，其倾斜角为
而转向角方程为
其中
可以表示为以下的矩阵形式 
其中
在理想及线性化的方程中，有许多和自行车几何有关的参数（轴距、头管角、各部份质量、轮径等），但只有四个变数：倾斜角(lean angle)、倾斜角变化率（lean rate）、转向角（steer angle）及转向角变化率（steer rate）。这个方程已由许多独立完成的数值模型验证过。
从方程式可以看出：自行车在侧向位置类似倒单摆，在其支持点是由表示倾斜加速度、倾斜速度、倾斜角度的项控制，为转向力矩的回授。倾斜加速度项的正负号和自行平衡的正负号恰好相反，在摆振（wobble）振荡中很重要。倾斜速度回授的正负号正确，和陀螺效应有关，和速度成正比，由前轮运动所主控。倾斜角度项是最重要的一项，主要是由曳距（trail）、前叉偏移量（rake）及前轮质心相对转向角的偏移量有关。这三项都和复杂的自行车设计参数有关，有些也和速度有关。此自行车模型有些限制，可以再扩展，考虑轮胎的处理、车框以及驾驶者以及其相关的关系。也有文献探讨最佳的驾驶者稳定度控制，以及路径追随控制。
特征值.
可以绘出特定自行车，线性状态方程式下的四个特征值（每一个对应一个状态变数，即倾斜角、倾斜角变化率、转向角及转向角变化率）对前进速度的变化，以分析其简正模以及自稳定性。在右图中，绘出前进速度从0–10 m/s范围的特征值。若所有特征值的实部（图中深蓝色线）都为负，自行车可以自稳定。若特征值有不为0的虚部，表示自行车会振荡。特征值是对原点对称的，因此自行车设计时，在前进速度某一范围内可以自平衡，但在以相同速度后退时，无法自平衡。
在图中有三个不同的速度点，自行车在这三个点的行为有明显的变化：
在weave速度及倾倒速度（若两者都存在的话）之间，有一段速度范围内，自行车可以自稳定。在此例中，特征值随速度的变化如上，自稳定的速度范围为5.3–8.0 m/s。第四个特征值多半是稳定的负值，是前轮的castoring特性，是自行车在行进时倾向转弯方向的能力。上述的理想模型中没有摆振或后轮摆振的不稳定性。这些是轮胎和地面的交互作用或是其他自由度的运动所产生的。
目前真实自行车的实验证实了特征值预期的迂回摆动（weave）模态。也发现若速度超过6 m/s，轮胎的滑动以及框架弯曲（frame flex）的特性对侧向动态的影响会比较小。上述计算特征值的理想模型没有考虑真实轮胎会产生的力矩，另外轮胎和路面之间的交互作用无法避免高速下倾倒（capsize）模态的不稳定，如同Wilson和Cossalter认为，真实世界所发生的情形一样。
模态.
自行车和其他复杂旳机械一样，有许多的模态：其基本的运动特性。模态可以分为稳定或不稳定，依自行车参数及前进速度而定。这里提到的「稳定」指的是未受控的自行车只要维持速度，就可以继续前进，不会倒下，而「不稳定」指的是未受控的自行车就算维持速度，最终仍然会倒下的情形。模式可以依其平衡稳定的速度，以及当时倾斜及转向的情形而定。任何的自行车运动都是由许多模态组合而成，模态主要有三种：倾倒（capsize）、迂回摆动（Weave）及摆振（wobble）。有一种称为后轮摆振（rear wobble）的模态比较少见，多半也不稳定。
倾倒.
倾倒（Capsize）是指自行车没有振荡，直接倒下的情形。倾倒时，不受控的前轮会转向倾斜的方向，但转向不足，无法使倾斜的情形减缓或停止，一直到倾斜角很大的时候为止，那时转向角会转向相反的方向。若自行车快速前进的话，倾倒的速率会很慢，因为倾倒不平衡的速度很慢，约是以秒为单位。对驾驶者来说很容易控制，其实上驾驶者也会在要转弯前，刻意产生小幅的倾倒，以产生要开始转弯需要的倾斜角。
大部份的自行车，在低速下的倾倒是可以稳定的，但若速度越低，稳定程度就会变差，最后会变不稳定。不过在许多自行车中，高速时轮胎和地面的交互作用已可以避免不稳定的倾倒。
迂回摆动.
迂回摆动（Weave）一词用来描述在车往左倾斜，往右转向时的振荡（反之亦然）。自行车会受到转向角（steering angle）、倾斜角以及方向角（heading angle）明显变化的影响。此时，转向角和方向角差180度，而和倾斜角差90度
依自行车几何以及质量分布不同，大部份的自行车在低速迂回摆动时无法自行稳定。前进速度增加时，不稳定情形会改善，到一定速度就可以稳定了。前进速度增加时，振荡振幅会变小，但振荡频率会变大。
摆振.
摆振（Wobble）或是描述一种主要在自行车前半部（前轮、前叉及握把）的快速振荡（约4–10 Hz）。若自行车挠性太高，后车架的yawing也可能会造成摆振。这种不稳定最常出现在高速时，类似卖场推车轮子、飞机起落架及汽车前轮会有的振荡。若透过调整速度、位置或是调整握握把的位置，很容易改善摆振情形，但若不调整，会让自行车倒下。
摆振会在出现一些小幅不规则时出现，例如前叉的不对称、让轮子加速往某一侧移动。车轮的恢复力和不规则的作用力恰好同步，轮子会因此转向。若不足，振荡会因此变大，最后系统会失效。若改变行进速度，让自行车的刚性变高或是变轻，或是增加转向的刚性，摆振频率也会变化。
后轮摆振.
后轮摆振（rear wobble）是描述一种倾斜角和方向角几乎同步，和转向角差180度的振荡。振荡速率中等，在约6.5Hz振荡速率会到最大值。若速度上升，后轮摆振会有很强的阻尼，最后自行车会快速倒下。
设计准则.
自行车设计参数在这些模态上的效果，可以由线性方程中特征值的变化看出。在上述运动方程章节有进一步有关运动方程及特征值的说明。以下是一些通用性的结论。
后车架及轮轴的侧向刚性及扭转刚性实际上会影响摆振模态的阻尼。长轴距、长曳距及较平的头管角可以增加摆振模态的阻尼。若将扭转轴尽量放低，可以克服侧向的抖动。
Cornering迂回摆动的倾向会因为后轮悬吊阻尼的减弱而增强。Cornering、外弯刚度及后轮的松弛长度（relaxation length）对迂回摆动的阻尼影响最大。前轮的相关参数影响较小。后轮的载重会放大迂回摆动的倾向。不过后轮的载重若配合适合的刚性以及阻尼，可以减小摆振及迂回摆动。
有个研究在理论上证明，在自行车转弯时，若道路起伏刚好对应车辆速度以及其他参数，可能会在高速激发迂回摆动模态，或是在低速激发摆振模态。若有有效的转向阻尼，可以减小摆振。而驾驶者若比较轻，比较不会激发迂回摆动模态。
在跑步机及滚筒上行驶.
自行车在跑步机行驶的情形理论上和在固定路面上行驶的情形相同。实际测试结果也是如此。目前已有设计特别为室内自行车训练用的跑步机。的动力学是目前仍在研究的主题。
其他的假设.
自行车及摩托车大致可分为四个主要部份（车架、前叉及二个轮子），看起来似乎是很简单的机械，但由于其组成方式，使得分析相当困难。目前可以观测到自行车在没有陀螺效应的情形下仍可以行驶，但很多网路及书籍中仍会提到自行车是因为陀螺效应才能稳定的假说。
例如以下的文献就有提到上述假设：
纵向力学.
自行车也会受到纵向力，以及纵向的运动。大部份的自行车，若前轮略为左弯或是右弯，整个后车架会略为前移，依后倾角及曳距而不同。若是有悬吊系统的自行车，会用trim来描述自行车的几何构形，特别是自行车对煞车、加速、转弯、传动系统施力，以及空气阻力的反应。
二个轮子所承载的重量和质量中心位置有关（这部份和驾驶者及行李的重量及位置有关），也和自行车的加减速有关。这称为负载转移或重量转移，视文献而不同。这种现象对自行车设计者及驾驶者是挑战，但有时也是优势。例如摩托车赛车手可以用此效应增加转弯时前轮的摩擦力，在重刹车时设法减少前悬架压缩量的想法也产生了许多摩托车前叉的设计。
总空气阻力可以视为只作用在一个点上，称为压力中心。高速时，总空气阻力会产生对后轮的力矩，使负载从前轮移至后轮。依自行车的车型不同，是否有安装以及其位置，可能会产生空气升力，可能减少前轮的负载，也可能增加其负载。
稳定性.
自行车在静止时在纵向是稳定的，但在特定的加速或减速条件下，可能会由稳定变为不稳定，欧拉第二运动定律可以分析地面产生的反作用力。例如轴距为formula_39，重心高度为formula_40，重心距后轮的水平距离为formula_41的自行车，在两轮锁死时，地面所产生的垂直反作用力为
formula_43（前轮）
其摩擦力为
其中formula_46是摩擦系数，formula_47是自行车和驾驶的总质量，formula_35是重力加速度。因此，若
意思是重心和前轮接触点所连直线，对水平角夹角等于或超过以下角度
则后轮的正向力会为零，此时后轮不接触地面，自行车会翻倒。
另外，若重心和前轮接触点所连直线夹角小于以上角度（例如、长轴距的卧式自行车或是汽车），前轮不太可能产生足够让车辆翻倒的刹车力矩。意思是可以轮胎和地面产生的最大摩擦力进行减速，若摩擦系数是0.8，刹车的减速到可以到0.8 g，比一般的自行车最好的刹车情形还要多40%。《自行车科学》（Bicycling Science）的作者指出这代表一般自行车跟在汽车后面时，有因为紧急刹车而撞上汽车的风险。
而机车可以由后轮产生够大的刹车力矩，使前轮离开地面，此一动作称为。其分析方式类似，由重心位置相对后轮接触点、摩擦力及刹车力矩决定是否会跷前轮。自行车的刹车力矩小很多，不过也会出现类似情形，若在踏板上提供动力时，重心够后面、多高，或是骑乘者向后倾斜，就有可能让使前轮离开地面。
地面的角度也会影响上述的计算。上述条件都一样，在上坡时跷前轮的风险降低，而下坡时的风险会比较高，这是在机车拉豪比赛时的主要考量因素之一。
煞车和地面反作用力的关系.
驾驶者刹车是目的是要改变驾驶者和自行车总重"m"的速度，会产生在行驶方向上的反向加速度"a"。"F"="ma"，加速度会在质量"m"上产生往前的惯性力"F"。
刹车的加速度"a"可以由初始速度"u"、最终速度"v"、经过时间"t"求得。方程式"u" - "u" = "at"意味者
加速度越大，改变速度需要的时间越短。若加速度是在路面条件上可允许的最大加速度，刹车距离"s"也会是最小值，"s" = "ut" - 1/2 "at"2，当"a"是最大值，"t"是最小值时，"s"会是最小值。
二个车轮的刹车力分布会依地面条件、车轮的重量分布而定。总刹车力不会超过驾驶者和自行车总重，和轮胎和地面摩擦系数"μ"的乘积，"mgμ" &gt;= "Ff" + "Fr"。若"Ff"除以"Nf"的值超过"μ"，或"Fr"除以"Nr"的值超过"μ"，就表示有打滑的情形，后轮打滑对侧向稳定度的影响比较小。
在刹车时，惯性力"ma"是往进行方向，和刹车力"f"不一定共线，会将"m"转向"f"的方向。这个停转矩（overturning moment）会和mg产生的转矩平衡。
考虑任意时间下，相对于前轮接触点的转矩：
其他因素：
摩擦系数"μ"的数值会因为以下因素而影响：
煞车.
自行车大部份的刹车力是来自前轮。如以上分析所述的，若自行车刹车系统够强大，后轮很容易打滑，而前轮可以产生够大的刹车力，甚至会让车辆和骑士以前轮为轴心旋转。此时后轮离地，若车辆没有翻倒，则称为。不过较低或是较长型的车辆，例如cruiser motorcycles或卧式自行车。前轮比较容易打滑，可能会失去平衡。若没有失去平衡，可以依照车辆的几何、重心位置以及最大摩擦系数计算最大的刹车性能。
若车辆的前叉有悬吊，特别是伸缩，会因为往下的力增加而压缩悬吊系统，使车辆的前面变低。这称为「俯冲煞车」（brake diving）。有一种骑车的技巧，利用刹车时所增加的往下力量，此技巧称为循迹刹车。
前轮煞车.
前轮煞车力的限制因素有：
若自行车直立，在干燥柏油路面上，煞车系统很好，骑乘者的俯仰位置可能会是限制因素。骑乘者和车辆的重心在前轮和地面接触点后60公分，上方120公分，煞车减速度可以到0.5 "g"（5 m/s2）。若骑乘者让重心往后往下，可能可以有更大的煞车减速度。
不过大部份便宜的自行车前轮煞车不够强壮，因此在行驶时，煞车本身会成为限制因素。便宜的悬臂刹车，以及罗利式侧拉刹车严重限制了刹车力。在湿的路面上效果更差。在非正常路面上行驶时，常有前轮打滑的情形。泥泞、水或是路上松动的石头都会降低煞车力，不过粗胎在不规则的路面上抓地力较好，煞车力的影响较少。在转弯时也常会有前轮打滑的情形，不论是否在正常路面上都是如此。向心加速度会增加轮胎和地面的接触力，若产生的摩擦力超过一定值，就会有打滑的情形。
后轮煞车.
因为后轮正向力会在刹车过程中减少，后轮的煞车最多约可以产生0.25 "g"（~2.5 m/s2）的减速度。若只有后轮煞车的车辆都有类似问题，例如只有的自行车，以及没有其他刹车机制的单速车。以下的情形会需要后轮刹车。
煞车技巧.
专家的建议不一，从「一开始前后轮一起刹车」
到「正常轴距的自行车，最快让自行车停下的方式是让前轮急刹到后轮快到离开地面的程度，依道路条件、驾驶者的技术、最大可能减速度下需要的摩擦力而不同。
悬吊系统.
自行车可能只有前轮或后轮有避震系统（悬吊系统），也有可能两轮都有，或是两轮都没有，若有避震系统，多半会在中心对称面上，不过有些会考量其侧向的可挠性。避震系统的目的是减少驾驶者受到的震动、维持车辆和地面的接触、在意外辗过物体时减少动量损失、减少因为路面不平造成的冲击力，并且维持车辆trim。悬吊系统主要的参数有刚度、阻尼比、簧上质量及簧下质量，以及轮胎特性。煞车、加速度、传动系统的力也会引发悬吊系统的反应。例子包括自行车上的bob及，机车上的，自行车和机车上的squat和brake dive。
振动.
自行车及机车振动的研究包括其来源，例如、轮胎平衡、地面、空气动力学、车辆的传动及摩擦、以及振动对车辆、驾驶者及安全性的影响。振动分析中很重要的是比较系统的基本频率以及可能振动源的振动频率。若二者接近，表示可能会出现共振，让振动的振幅持续变大。振动阻尼器设计时，一方面需要在特定方向（例如垂直方向）有随受力变形的顺应性，但又不能牺牲动力传动以及转向（扭转）需要的框架刚性。另一个和振动有关的问题是可能会因为金属疲劳而让零件失效。振勋对驾驶者的影响有不适、失去平衡、手-手臂振动症候群（续发性的雷诺氏症候群）及全身振动。在车辆上使用振动设备量测，可能不一定准确，而且不容易阅读。
自行车.
机能正常的自行车，会出现振动的主要原因和其行驶的路面有关。其处理方式包括轮胎的气压避震，以及传统的，也有其他新的技术让振动传送到驾驶者之前，可以耗散振动。这些技术包括有材料（例如碳纤维强化聚合物），或是自行车车架（例如、、自行车车把、或是弯曲的自行车立叉）、凝胶车把、坐垫，或是一些特殊的配件，例如特制的Zertz，或是崔克自行车公司的Buzzkills。
摩托车.
摩托车的振动来源除了路面以外，摩托车的引擎及轮子若没有平衡，也可能造成振动。制造商会用许多方式来减少振动，或是用阻尼来耗散振动。这些作法包括有、橡胶引擎支架及轮胎平衡。振动产生的问题也造成售后零件及系统相关产业的产生。附加组件包括有配重、隔离脚蹬以及引擎曲轴。高速时的摩托车及骑士会偶到空气力学上的或。这可以用改变空气流动的主要零件来调整，例如加装机车挡风玻璃。
实验.
为了验证或是反证许多有关自行车动力学的假说，已进行了许多的实验。
外部连结.
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