超越数

在数论中，超越数（）是指任何一个不是代数数的复数。只要它不是任何一个有理系数代数方程的根，它即是超越数。最著名的例子是自然对数底e以及圆周率π。
几乎所有的实数和复数都是超越数，这是因为代数数的集合是可数集，而实数和复数的集合是不可数集之故。
定义.
超越数是代数数的相反，也即是说若formula_1是一个超越数，那么对于任何整数formula_2都符合：
（其中formula_4）
例子.
超越数的例子包括：
所有超越数构成的集是一个不可数集，也就是说，几乎所有的实数和复数都是超越数；尽管如此，现今发现的超越数极少，甚至连formula_27是不是超越数也不知道，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。
超越数的证明，给数学带来了大的变革，解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随著超越数的发现，这三大问题被证明为不可能。
可能的超越数.
以下数仍待证明为超越数或代数数：
猜想：
简要地证明formula_47是超越数.
第一个对自然对数底 "e"是超越数的证明可以追溯到1873年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：
为寻找矛盾，假设formula_47是代数数。那就存在一个有限的整系数集formula_49满足下列等式：
现在对于一个正整数formula_51，我们定义如下的多项式：
并在上述等式的两端乘上
于是我们得到等式：
该等式可以写成这种形式
其中
 引理 1. 对于恰当选择的formula_51， formula_59 是非零整数。
证明： "P" 的每一项都是整数乘以阶乘的和，这可以从以下的关系式得出
对于任何正整数 "j" 成立（考虑Γ函数）。
它是非零的，因为对于每一个满足 0&lt; "a" ≤ "n" 的 "a" ，
中的被积函数均为 "e−x" 乘以一些项的和，在积分中用 "x" - "a" 替换 "x" 后， "x" 的最低幂次是 "k"+1 。然后这就变成了具有以下形式的积分的和
其中 "k"+1 ≤ "j" ，而且它是一个能被 ("k"+1)! 整除的整数。在除以 "k!" 后，我们得到模 ("k"+1) 得 0 的数。
现在我们只须考虑"a"=0的项。我们有：
于是
通过选择 "k" ，使得 "k"+1 是大于 "n" 与 |"c"0| 的质数，我们可以得出 formula_65 模 ("k"+1) 为非零，从而该数为非零整数。
引理 2. 对于充分大的 "k" ， formula_66 。
 证明： 注意到
使用 formula_68 和 formula_69 在区间 [0,"n"] 的上限 G 和 H ，我们可以推出
由于
我们有
这点足以完成对引理的证明。
注意可以选择满足两个引理的formula_51，从而我们能得出矛盾。进而得以证明formula_47的超越性。
马勒的分类.
在1932年把超越数分为3类，分别叫做S数、T数和U数。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。
实数的无理性度量.
一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数formula_1，可以使得一次多项式formula_76尽可能小但不精确地等于 0 。这里的formula_77 , formula_78是满足formula_79, formula_80以正整数formula_81为界的整数。
令formula_82为这些多项式所取的最小非零绝对值，并且令：
formula_85常称为实数formula_1的无理性度量（measure of irrationality）。对于有理数formula_87，而且对无理数其值至少为1 。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。表明了实代数无理数的无理性度量均为 1 。
复数的超越性度量.
接下来考虑多项式对于复数formula_1的取值，这些多项式系数为整数，次数至多为formula_41，而且至多为formula_81，此处的formula_41, formula_81是正整数。
令formula_93为以formula_1为变量的上述多项式所取的最小非零值，并且令：
假如对于尽可能小的正整数formula_41，formula_98为无穷大，则这种情况下复数formula_1称为formula_41次的U数。
现在我们可以定义
formula_102常称为formula_1的超越性度量（measure of transcendence）。假如formula_98有界，则formula_102有限，formula_1称为S数。如果formula_98有限而无界，则formula_1称为T数。formula_1为代数数当且仅当formula_110。
显然刘维尔数是U数的子集。在1953年构造了任意次数的U数。刘维尔数是不可数集，从而U数也是。它们的测度为 0 。
T数组成的集合测度亦为 0 。人们花了 35 年时间证明它们存在。在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数。马勒证明了当formula_1为任意非零代数数时formula_112均为S数：这点揭示了formula_47是S数且给出了formula_28的超越性证明。对于formula_28我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。
两个数formula_1, formula_117称为代数相关，当存在 2 个变量的整系数非零多项式formula_118满足formula_119。一个有力的定理指出，属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的。这允许我们构造新形式的超越数，例如刘维尔数与formula_47或formula_28的和。
通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下来的两个字母。
Koksma 的等价分类.
 在 1939 年提出了基于代数数逼近的另一种分类。
考虑用次数formula_122且高formula_123的代数数逼近复数formula_1。令formula_46为该有限集中满足formula_126取最小正值得代数数。定义formula_127和formula_128如下：
若对于最小的正整数formula_41，formula_128为无穷大，则称formula_1为formula_41次的U*数。
若formula_128有界且不收敛到 0 ，则则称formula_1为S*数，
一个数formula_1被称为 A*数 ，当formula_128收敛到 0 。
若所有的formula_128均为有限但无界，则称 "x" 为T*数，
Koksma和马勒的分类是等价的，因为它们将超越数以同样的方式分类。"A*数"就是代数数。
勒维克的构造.
令
可以证明formula_141（刘维尔数）的formula_41次方根是formula_41次的U数。
此构造可以改进以建立formula_41次U数的不可数个系列。令formula_145为上述formula_141的级数中 10 的幂次的集合。formula_145所有子集的集合是不可数的。在表示formula_141的级数中删去任意一个formula_145的子集，将产生不可数个显然的刘维尔数，它们每一个的formula_41次方根都是次数为formula_41的U数。
类型.
数列formula_152的上界称为类型（type）。几乎所有实数都是类型为 1 的S数，此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数，此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出，于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明。