前推 (微分)

假设 formula_1 是光滑流形之间的光滑映射；则 formula_2 在一点 formula_3 处的微分在某种意义上是 "formula_2" 在 "formula_3" 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说，它是从 formula_6 在 formula_3 处的切空间到 formula_8 在 formula_9 处的切空间的一个线性映射，从而可以将 "formula_6" 的切向量“前推”成 "formula_8" 的切向量。 
映射 formula_2 的微分也被一些的作者称为 formula_2 的导数或全导数，有时它自己也之称为前推（）。
动机.
设 formula_14是从 formula_15 的一个开集 formula_16 到 formula_17 的开集 formula_18 的一个光滑映射。对任何 "formula_16" 中的给定点 formula_3， "formula_2" 在 "formula_3" 的雅可比矩阵（关于标准坐标）是 "formula_2" 在 "formula_3" 的全微分的矩阵表示，这是一个从 formula_15 到 formula_17 的线性映射：
我们希望将其推广到 "formula_2" 是“任何”两个光滑流形 "formula_6" 与 "formula_8" 之间的光滑映射。
光滑映射的微分.
令 "formula_1" 是光滑流形间的光滑映射。给定某点 formula_32，formula_2 在 "formula_3" 的微分或（全）导数是从 "formula_6" 在 "formula_3" 的切空间到 "formula_8" 在 formula_9 的切空间一个线性映射
映射 formula_40 运用到切向量 formula_41 上有时称为 "formula_41" 由 formula_2 的前推。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量（不同的定义可参见切空间）。
如果我们定义切向量为通过 formula_3 的曲线等价类，那么微分由
给出，这里 formula_46 是 formula_6 上满足 formula_48 的一条曲线。换句话说，一条曲线 "formula_46" 在 0 处切向量的前推恰好是 formula_50 在 0 处的切向量。
另一种方式，如果切向量定义为作用在光滑实值函数上的导子，那么微分由
给出，这里 formula_52，从而 "formula_41" 是定义在 "formula_6" 上的一个导子而 formula_55 是 formula_8 上一个光滑实值函数。根据定义，在给定 "formula_6" 上 formula_3 处 formula_41 的前推在 formula_60中，从而定义了一个 formula_8 上的导子。
取定 formula_3 与 formula_9 附近的坐标卡以后，formula_64 局部由 "formula_15" 与 formula_17 之间的光滑映射
确定。而 formula_40 具有表示（在 "formula_3" 附近）：
这里使用了爱因斯坦求和约定，偏导数对 "formula_3" 坐标卡相应的 formula_16 中的点取值。
线性扩张得到如下矩阵
从而光滑映射 formula_2 在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从 "formula_15" 到 formula_17 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果 formula_2 是一个局部微分同胚，那么在 formula_3 点的前推是可逆的，其逆给出 formula_60 的拉回。
另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构。
微分经常有其他一些记法，比如
从定义可得出复合函数的微分便是微分的复合（即，具有函子性质），这便是光滑函数微分的链式法则。
切丛上的微分.
光滑映射 formula_2 的微分以显而易见的方式诱导了从 "formula_6" 的切丛到 formula_8 的切丛的一个丛映射（事实上是向量丛同态），记为 formula_84 或 formula_85，满足如下的交换图表：
这里 formula_86 与 formula_87 分别表示 "formula_6" 与 formula_8 切丛的丛投影。
等价地（参见丛映射），formula_90 是从 formula_91 到 formula_6 上的拉回丛 "formula_93" 的丛映射，这可以看成 "formula_6" 上向量丛 formula_95 的一个截面。
向量场的前推.
给定了一个光滑映射 "formula_1" 与 formula_6 上一个向量场 formula_41，一般不能定义 "formula_41" 通过 formula_2 的前推为 formula_8 的一个向量场。譬如，如果映射 "formula_2" 不是满射，则在 "formula_2" 的像外部没有自然的方式定义拉回；如果 "formula_2" 不是单射也有可能在给定一点拉回不止一种选择。无论如何，可以用“沿着映射的向量场”概念将难处变精确。
"formula_6" 上 "formula_93" 的一个截面称为沿着 "formula_2" 的向量场。例如，如果 "formula_6" 是 "formula_8" 的一个子丛而 formula_2 是包含映射，那么沿着 formula_2 的向量场恰好是 "formula_8" 沿着 "formula_6" 的切丛的一个截面；特别的，"formula_6" 上的向量通过 formula_91 包含到 formula_116 中定义这样一个截面。这种想法推广到任何光滑映射。
假设 "formula_41" 是 "formula_6" 上一个向量场，即 "formula_91" 的一个截面。那么，运用逐点微分得出 "formula_41" 的前推 
"formula_121"，这是一个沿着 formula_2 的向量场，即 "formula_6" 上 "formula_93" 的一个截面。
任何 "formula_8" 上的向量场 formula_126 定义了 "formula_93" 的一个拉回截面 "formula_128" 使得 formula_129。"formula_6" 上一个向量场 "formula_41" 与 "formula_8" 上一个向量场 "formula_126" 称为 "formula_2"-相关的，如果作为沿着 "formula_2" 的向量场有 formula_136。换句话说，对任何 formula_3 属于 formula_6，有 formula_139。
在某些情形，给定 "formula_6" 上一个向量场 "formula_41"，"formula_8" 上只有惟一的向量场 "formula_126" 与 formula_144-相关。特别地，这在 formula_2 是微分同胚时自然成立。在这种情况下，前推定义了 "formula_8" 上一个向量场 "formula_126"，由
给出。一个更一般的情形是 formula_2 为满射（比如纤维丛的丛投影）。这时 "formula_6" 上的向量场 "formula_41" 称为可投影的，如果对任何 formula_152 属于 formula_8, formula_154 与 formula_3 属于 formula_156 的取法无关。这恰好是保证 formula_41 的前推可以作为 formula_8 上的一个良定的向量场的条件。