乘法

乘法（英语、法语：multiplication）是四则运算之一。乘法运算的本质，就是​​“同类累加的简写形式​​”。
例如：
formula_2 和 formula_3 都是本式的因数（或称约数），其运算结果称为积。
须注意的是，华人地区有将四则运算的被运算数和运算数统一位置，念作「a 乘以 b」（“a times b”）或「b 乘 a」（“a multiplied by b”）。前者 formula_2 是乘数，formula_3 是被乘数，后者则相反。而乘数和被乘数的交替并不会影响乘法的结果。
乘法运算亦有其它形象理解：对于整数乘法，可表现为将对象排列成矩形阵列；对于实数乘法，则可解释为计算矩形面积。同样地，运算结果不受边长测量顺序的影响。
在乘法基本概念的基础上，序列乘积、向量乘法、复数及矩阵运算等均对其进行了概念扩展。这些更高级的数学结构会以各自方式影响乘法的基本性质——例如矩阵乘法和某些向量乘法会呈现非交换性，复数乘法则会改变复数的符号。
引言.
首先，进入正题前，我们不妨来看两个生活中的例子：
其次，数学和物理存在许多“累加关系”：
可见，在数学，尤其是在基本算术中，乘法是​​加法的“快捷版”​​。
定义.
基本定义.
乘法运算，指通过特定法则将两个或多个数结合生成积的运算过程。其核心内涵包括：
符号与表示.
乘法可以用几种方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：
古代常用的方法是将两个数并排，没有甚么特别的符号来表示乘法。
以「formula_19」表示乘法，是由奥特雷德于1618年最先引入，也是现在最流行的写法。在计算机领域，也有为方便键盘输入而以小写英文字母「x」替代「×」。
以「formula_27」表示乘法，如今已成为美国、德国、法国等国家的标准。其最早由托马斯·哈里奥特于1631年出版的著作使用，但令这种用法影响深远的人是莱布尼兹。
因为星号「formula_28」是键盘必备的符号，电脑常用其表示乘号，这种用法起源于FORTRAN语言。
代数中，为方便书写，乘号常被略去（如 formula_29 和 formula_30 ）。但如果变数多于一个字母，则易令人混淆。同时如果只有数字，乘号则不应略去，如 formula_22 不会表示成 formula_32 。
累乘则用大写希腊字母 formula_33（Pi）表示：
性质.
乘法运算的数学性质在不同定义和数系下具有多样性，以下是主要分类及详细说明。
特殊数系下的性质​.
模运算.
在模 formula_48 下，乘法逆元存在当且仅当数与 formula_48 互质（如模质数时所有非零数均有逆元）。
不同的乘法运算.
两个数的乘法运算或积（这两个数可以是自然数、整数、分数、实数、复数、四元数等）的数学定义，相似而又各有特性。
自然数乘法.
两个自然数 formula_50 ，其乘积为：
这是将该整数自身重复相加若干次的简写法。换言之：
长远来看，将乘法视为重复加法并不高效。因此，数学家归纳了从 formula_38 到 formula_54 的乘法结果，即九九乘法表。
多个自然数相乘时，我们使用括号标明运算顺序。为避免过多括号，规定以下优先级规则：乘法始终优先于加法。例如在表达式 formula_55 中，应理解为 formula_56 ，而非 formula_57 。
当formula_58是量，formula_59是自然数时，定义乘法递归如下：
整数乘法.
整数乘法推广自然数乘法至负数，符号规则为：同号得正，异号得负，绝对值相乘。
分数（小数）乘法.
两个分数 formula_62 作乘法运算时，分子与分子相乘，分母与分母相乘：
当且仅当 formula_64 时成立。
两个小数作乘法运算时，可利用乘法交换律的特性进行计算。
例如，计算 formula_65 乘以 formula_66 时：
可见，两个小数作乘法运算时，先忽略小数点，计算两数小数点后数字的位数之和，将两数视为整数相乘，最后在结果中从右往左数出与总位数相同的位数，并放置小数点。
又如，计算 formula_68 乘以 formula_69 时：
实数乘法.
实数乘法是前文乘法的推广，性质也相同。其核心在于：每个实数都是某有理数集的上确界。特别地，每个正实数是其无限小数展开式截断序列的上确界，例如 formula_75 是集合 formula_76 的上确界。
实数的一个基本性质是：有理逼近与算术运算（特别是乘法）相容。这意味着，若正实数 formula_2 和 formula_3 分别表示为集合 formula_79 和 formula_80 的上确界（即 formula_81 ， formula_82 ），则两数乘积 formula_83 等于所有 formula_84 与 formula_85 的乘积项的上确界（即 formula_86 ）。具体而言，两个正实数的乘积等于其十进制展开式逐项积序列的上确界。
对于涉及负实数的乘法运算，可通过符号法则简化处理：正负号的变化将上确界转化为下确界。很多人都通过柯西序列构造实数，因为这种方法无需考虑四种可能的符号组合情况，从而简化了运算规则的推导过程。
复数乘法.
复数乘法可通过分配律和虚数单位性质 formula_87 进行运算。具体地，两个复数 formula_88 与 formula_89 作乘法运算时，展开过程为：
其中 formula_91 替换为 formula_92 后，实部与虚部分别合并。
从几何视角理解，复数可表示为极坐标形式：
此时，复数乘法可转化为模长与辐角的运算：
其几何意义在于模长相乘（ formula_96 ）、辐角相加（ formula_97 ）。
基于集合论的乘法.
非负整数的乘法可通过集合论中的基数概念或皮亚诺公理进行定义。基数理论通过集合的势（即集合元素的数量）定义乘法，例如，两个有限集合的笛卡儿积的势等于各自势的乘积。而皮亚诺公理体系则通过自然数的递归定义实现乘法运算：设非负整数表示为自然数，其乘法可归纳定义为：
此定义通过数学归纳法可证明满足乘法结合律、交换律等基本性质。
对于任意整数的乘法，需在自然数乘法基础上引入符号规则。例如，负整数乘法定义为：若 formula_2 、formula_3 为自然数，则 formula_105 ，而 formula_106 。这一扩展保持了乘法运算的代数结构一致性。
有理数乘法则通过分数形式定义：若 formula_107 与 formula_108 为最简分数（ formula_3 、formula_110 ），则其乘积为 formula_111 ，分母通过集合论中的笛卡尔积构造，分子通过自然数乘法定义。此过程需验证运算的封闭性与唯一性，例如通过交叉相乘消去公约数，确保结果仍为最简分数。
实数乘法的定义依赖于有理数乘法的完备性。通过戴德金分割或柯西序列构造实数时，乘法运算被定义为极限运算：若 formula_112 和 formula_113 为收敛的有理数序列，则实数乘积定义为 formula_114 。此定义需满足乘法与极限运算的交换性，并通过formula_115 语言严格证明其合理性。
基于群论的乘法.
在群论中，若一个集合在乘法运算下满足封闭性、结合律、存在单位元且每个元素均有逆元素，则称其构成群结构。这些公理构成了群的定义基础。
以非零有理数集为例，其乘法运算满足群的所有条件：单位元为1（不同于加法群的单位元0），每个非零有理数均存在乘法逆元，且乘法运算封闭（因为两个非零有理数相乘仍为非零有理数）。但需注意的是，零必须被排除，因其乘法逆元不存在。此例中的群为阿贝尔群，但群论中并非所有乘法群均为阿贝尔群。
考虑可逆方阵群：给定域上同维数的可逆矩阵集合，其乘法运算满足封闭性（矩阵相乘仍为同维可逆矩阵）、结合律、单位矩阵作为单位元，且每个矩阵均有逆矩阵。然而，矩阵乘法不满足交换律（如 formula_116 ），因此该群为非阿贝尔群。
即使排除零元素，整数集在乘法下也不构成群。原因在于除 formula_38 和 formula_92 外，其他整数均无乘法逆元。这一特性凸显了乘法群对逆元存在与否的严格要求。
群的乘号通常表示为点乘（formula_27）或直接省略不写。在描述群时，点乘符号常用于明确运算，例如非零有理数乘法群可记为（ formula_120 ）。这种符号体系与加法群（如（ formula_121 ））形成对比，体现了运算类型的差异。
运算方法.
历史上的算法.
迄今为止发现的最早的乘法运算，是可追溯至旧石器时代初期的伊尚戈骨上的刻痕。划痕可能是计数符号，也可能只是为了方便抓握，或有其他非数学的目的。
古埃及人采用连续加倍法进行整数和分数的乘法运算，这一方法在《莱因德数学纸草书》中有详细记载。例如，计算 formula_122 时，通过将formula_123依次加倍三次得到formula_124、formula_125、formula_126，再根据加倍序列中的对应项，得出 formula_127 。
巴比伦人使用六十进制系统，其乘法运算与现代十进制类似，但因 formula_128 种组合过多，他们通过制作包含前formula_129个基数倍数的乘法表（如 formula_130 及 formula_131 ）来简化计算，如 formula_132 可通过 formula_133 的组合快速得出。
古希腊人以几何图形（如矩形）表示乘法，体现“乘积即面积”的思想。欧几里得更是在《几何原本》中用几何方法证明乘法分配律。
中国古代拥有史上最早、最详细的​​十进制位值制​​乘法规则，其首见于南北朝时期的孙子算经。孙子乘法的核心，是通过纵横排列的算筹模拟位值运算，如计算 formula_134 时，先以算筹摆出 formula_135 和 formula_136 ，再按“九九表”逐位相乘并累加，终得 formula_137 。这种算法在9世纪传至中东，13世纪又译成拉丁文而流行于欧洲。至于九九乘法表​​，则在战国时期已成熟应用，其采用“小九九”形式，从“九九八十一”到“一一如一”，比古埃及的累加法效率提升数十倍。
阿拉伯穆斯林于9世纪引入印度数字和位值制，结合阿拉伯语符号形成计算体系，推动乘法运算标准化。而数学家花拉子米在接纳中国的孙子乘法后，在《代数学》中将乘法与方程系统化结合，提出“还原与对消”法，将乘法纳入代数运算框架，影响欧洲数学发展。
印度古代的乘法运算亦有发展。7世纪，数学家婆罗摩笈多提出“交叉相乘法”，即 formula_138 ，简化多位数乘法步骤。例如计算 formula_139 时，通过分项相乘再求和，减少重复计算。12世纪，印度文献中出现类似中国古代“铺地锦”的图形化乘法，通过网格线段交叉点计数得出结果，后经阿拉伯传入欧洲。“纳皮尔的骨头”便是借鉴“铺地锦”的灵感产生的。
现代算法.
现代基于印度-阿拉伯数字系统的乘法，最早同样由婆罗摩笈多系统阐述。他在7世纪著作《婆罗摩修正体系》中完整定义了加、减、乘、除四则运算的规则，其乘法体系包含多种算法，现代竖式乘法即源于此。此算法通过花拉子米的著作《印度数字算术》于9世纪初传入阿拉伯世界，其《代数学》系统整合了印度数字与运算规则。13世纪，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中推广此法，最终使印度-阿拉伯数字系统取代罗马数字成为欧洲主流。
由于历史影响，华人小学生现在仍背诵九九乘法表来学习乘法。
关于电脑的特别算法，以及其它现代运算法，详见乘法算法。
其它算法.
用手指算乘法.
除了加法，在有限范围内，乘法也可以用手指完成。为此，两个因数需处于同一十位半区，也就是说，两者要么均以 formula_38 至 formula_141 结尾，要么均以 formula_142 至 formula_40 结尾。
对于因数以 formula_38 至 formula_141 结尾的情况：
对于因数以 formula_142 至 formula_40 结尾的情况：
以 formula_164 为例：
formula_165 和 formula_166 均以 formula_142 至 formula_40 结尾，而 formula_169 。对齐手指后，下方手指有 formula_141 根，乘以 formula_171 得 formula_172 ；上方手指分别为 formula_16 根和 formula_174 根，积为 formula_175 ；加法常数项 formula_176，总和为 formula_177 。
再如 formula_178 ：
formula_179 和 formula_180 均以 formula_38 至 formula_141 结尾，而 formula_183 。对齐手指后，下方手指有 formula_142 根，乘以 formula_185 得到 formula_186 ；下方手指分别为 formula_18 根和 formula_174 根，积为 formula_189 ；加法常数项 formula_190 ，总和为 formula_191 。
此方法尤其适用于快速心算平方数。对于不同十位或十位半区的因数，可通过分解为和的形式（如 formula_192 ）应用该技巧。其数学原理基于多项式展开：
尺规作图法.
从相交弦定理出发的尺规法.
如图1所示，过点 formula_194 作一直线，分别在 formula_194 点两侧截取长度为 formula_2 和 formula_3 的线段，得点 formula_79 和 formula_80 。再从 formula_194 出发，沿另一方向作射线，截取单位长度 formula_38 ，得点 formula_202 。过 formula_79 、formula_80 、formula_202 三点作外接圆，该圆与第二条射线的交点 formula_206 满足相交弦定理：
此法通过构造三角形外接圆，将乘法转化为几何长度的投影关系。
从割线定理出发的尺规法.
如图2所示，设圆外一点 formula_194 ，沿同一方向截取长度为 formula_2 和 formula_3 的线段，得点 formula_79 和 formula_80 。过 formula_194 作与 formula_215 成任意角 formula_216 的射线，在该射线上截取单位长度 formula_38 ，得点 formula_206 。作 formula_219 和 formula_220 的垂直平分线以确定圆心，过 formula_79 、 formula_80 、 formula_206 三点作外接圆，该圆与射线交于点 formula_224 。根据割线定理：
通过调整射线角度 formula_216 ，可利用相似三角形关系将乘积转化为圆外一点到交点的距离。
从相似三角形出发的尺规法.
如图3所示，在射线 formula_79 上截取单位长度 formula_38 和长度 formula_3 ，得点 formula_202 和 formula_80 ，从 formula_202 出发，沿另一方向截取长度 formula_2 ，得点 formula_206 。过 formula_206 作与 formula_219 平行的直线，与过 formula_79 的射线交于点 formula_224 。由相似三角形关系可得：
此法通过构造平行线与相似三角形，将乘法运算转化为几何比例问题。