外代数

外代数（）也称为格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以纪念数学家赫尔曼·格拉斯曼。
数学上，向量空间formula_1的外代数是一个特定有单位的结合代数，其包含了"formula_1"为其中一个子空间。它记为formula_3或formula_4. 而它的乘法，称为楔积或外积，记为formula_5. 楔积是结合的和双线性的；其基本性质是它在"formula_1"上是交错的，也就是：
这表示
值得注意的是，以上三性质只对formula_1中向量成立，不是对代数formula_3中所有向量成立。
外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。formula_3的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。
形式为formula_16的元素，其中formula_17在"formula_1"中，称为formula_19-向量。所有"formula_19"-向量生成的formula_3的子空间称为"formula_1"的formula_19"-阶外幂，记为formula_24。外代数可以写作每个formula_19"阶幂的直和：
该外积有一个重要性质，就是formula_19-向量和formula_28-向量的积是一个formula_29-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由formula_19给出。这些formula_19-向量有几何上的解释：2-向量formula_32代表以formula_33和formula_34为边的带方向的平行四边形，而3-向量formula_35代表带方向的平行六面体，其边为"formula_33", "formula_34", 和formula_38。
外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。
定义及运算律.
外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。
定义: 设 formula_1是域 formula_40上的一个向量空间，让formula_41则定义
令 formula_28为 formula_1的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如formula_45的张量生成的（其中formula_46任意），则将formula_1上的外代数formula_48定义为商代数formula_49，即
并且把formula_51的等价类formula_52记为formula_53，其中 formula_54。设formula_55 称 
为formula_1的formula_19-阶外幂（formula_19th exterior power of formula_1），称formula_61中的元素为formula_19-向量（formula_19-multivector）。
注：
运算律 将上面的注中的内容用formula_107写出，则分别给出
(1) formula_108, formula_109
证明如下： 作为等价类，我们从formula_110中任意挑选一个代表元formula_111，则formula_96而且formula_113。根据商代数的定义，
类似地，可以证明formula_115
(2) 根据注3.1中的内容，显然有formula_116.
(3) 根据注3.2中的内容，对任意formula_117成立着
注：即使formula_40的特征为2，这个公式也是对的，只不过此时有formula_120而已。
(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算formula_121满足结合律和分配律：
其中formula_125都是任意的。
以前两条性质为例，其证明如下：设张量formula_126分别是formula_127中的代表元，即formula_128, formula_129, formula_130, 则
(5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明：formula_133
证明从略。
基底和维数.
若formula_1的维数是formula_136而formula_137是"formula_1"的基，则集合
是formula_19阶外幂formula_24的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积
则每个向量formula_143可以记为基向量formula_144的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基formula_19-向量前的系数可以用通过积"formula_144"来描述"formula_143"的矩阵的子式来计算。
数一下基元素，我们可以看到formula_24的维数是"n" 取 "k"。特别的有，
formula_149对于formula_150.
外代数是一个分级代数，是如下直和
其维数等于二项式系数之和，也就是formula_152.
例子: 欧氏三维空间的外代数.
考虑空间formula_153，其基为formula_154。一对向量
的楔积为
其中formula_158是三维空间formula_159的基底。
再加一个向量
这三个向量的楔积是
其中formula_162是一维空间formula_163的基底。
空间formula_164是formula_153, 而空间formula_166是formula_167。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间formula_168，这是八维向量空间
那么，给定一对8维向量formula_170和formula_171, 其中formula_170如上给出，而
formula_170和formula_171的楔积如下(用列向量表达),
容易验证8维楔积以向量formula_177为乘法幺元。也可以验证该formula_168代数的楔积是结合的(也是双线性的):
所以该代数是有单位且结合的。
叉乘的实质，赝向量与赝标量.
对三维欧几里得空间formula_180可以建立一个线性同构formula_181如下：任取formula_180的右手的标准正交基formula_183，formula_184，formula_185，规定formula_186把formula_187，formula_188，formula_189分别映射为formula_185，formula_183，formula_184，则formula_186的定义与右手的标准正交基如何选取无关。
不难看出，对任意向量formula_194和formula_195，这个线性同构把formula_196映射为formula_197。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，formula_180中平行四边形formula_199的面积向量可以表示为formula_200. 经过推广之后，高维黎曼流形formula_201中的紧的二维曲面formula_202的面积则可以用
来计算（其中formula_204是度规张量场formula_205在formula_202上的诱导度规
formula_207
的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。
在物理学中，向量（极向量）与赝向量（轴向量）两个概念经常需要加以区分。从根本上说，向量是formula_180中的元素，所以在空间反演变换下不会改变方向；而赝向量其实是formula_209中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。
类似地，借助于右手的标准正交基，可以把formula_210中的元素formula_211映射为“标量"formula_212。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。
把 2-向量formula_196映射为向量formula_197以及把 3-向量formula_211映射为一个实数formula_170的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。
泛性质及构造.
令formula_1为一个域formula_40（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。formula_219是“最一般”的包含formula_1的并有一个交替乘法在"formula_1"上由单位的结合"formula_40"-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：
任给一个有单位的结合 "formula_40"-代数formula_224和一个"formula_40"-线性映射formula_226使得formula_227对于每个formula_34属于"formula_1"成立，则存在"恰好一个"由单位的代数同态formula_230使得formula_231所有formula_34属于"formula_1"成立。
要构造最一般的包含"formula_1"的代数，而且其乘法是在"formula_1"上交替的，很自然可以从包含"formula_1"的最一般的代数开始，也就是张量代数formula_237，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取formula_237中由所有形为formula_239的元素生成的双边理想formula_28，其中formula_34属于"formula_1"，并定义formula_219为商
（并且使用formula_5为formula_219中的乘法的代号）。然后可以直接证明formula_219包含"formula_1"并且满足上述泛性质。
如果不是先定义formula_219然后把外幂formula_24等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间formula_24然后把它们合并成为一个代数formula_219。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。
反对称算子和外幂.
给定两个向量空间"formula_1"和formula_254，一个从formula_255到"formula_254"的"反对称算子"是一个多线性映射
使得只要formula_17是"formula_1"中线性相关的向量，则 
最著名的例子是行列式值，从formula_261到formula_40的反对称线形算子。
映射
它关联"formula_1"中的formula_19个向量到他们的楔积，也就是它们相应的"formula_19"-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在"formula_255"上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子formula_257，存在一个唯一的线性映射formula_269。这个泛性质表述了空间formula_24并且可以作为它的定义。
所有从"formula_255"到基域"formula_40"的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若"formula_1"是有限维的，维数formula_136，则该空间可以认同为formula_275，其中formula_276表示"formula_1"的对偶空间。特别的有，从"formula_255"到"formula_40"的反对称映射的空间是formula_136取"formula_19"维的。
在这个等同关系下，若基域是formula_282或者formula_283，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设formula_284和formula_285为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：
其中多线性映射的交替formula_287定义为其变量的所有排列的带符号平均：
注意： 有一些书中楔积定义为
指标记法.
在主要由物理学家使用的指标记法中有：
微分形式.
令formula_291为一个微分流形。一个微分"k"-形式formula_292是formula_293（formula_291的余切丛的formula_19阶外幂）的一个截面。等价的有：formula_292是formula_291的光滑函数，对于formula_291的每个点formula_299给定一个formula_300的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。
推广.
给定一个交换环formula_282和一个"formula_282"-模"formula_291"，我们可以定义和上文一样的外代数formula_304，它是张量代数formula_305适当的商。它会满足类似的泛性质。
物理应用.
格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。
"参看"：超空间，超代数，超群