对偶系统

数学中，域formula_1上的对偶系统或对偶对是指三元组formula_2，包含formula_1上的2个向量空间"X"、"Y"，以及非退化双线性映射formula_4。
对偶理论是对对偶系统的研究，在泛函分析中占有重要地位，并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。
定义、记号与惯例.
配对.
域formula_1上的配对（pairing或pair）是一个三元组formula_2，也可以用formula_7表示， 包含formula_1上的两个向量空间"X"、"Y"及双线性映射formula_4，称作与配对关联的双线性映射，或配对的映射，或其双线性形式。简单起见，本文只涉及formula_1是实数formula_11或复数formula_12的例子。
formula_13，定义
formula_14
formula_15，定义
formula_16
formula_17是"Y"上的线性泛函，formula_18是"X"上的线性泛函。令
formula_19
其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。
通常记formula_20而非formula_21，这样配对不必写成formula_22，而可以写成formula_23。不过，本文将用formula_24表示求值映射（定义见下），以避免混淆。
对偶对.
若双线性形式"b"是非退化的，则称配对formula_2是formula_1上的对偶系统或对偶对 ，满足下面两条分离公理：
这样"b"是非退化的，可以说"b"将"X"、"Y"置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），"b"是三元组formula_2的对偶配对（duality pairing）。
全子集.
若formula_44, formula_45能推出formula_29，则称formula_47为全集。
"X"的全子集定义相似（见脚注）。因此，当且仅当"X"是"X"的全子集，"X"分离"Y"中所有点，对"Y"亦然。
正交性.
若formula_48，称向量"x"、"y"正交，记作formula_49。若formula_50，称两子集formula_51、formula_52正交，记作formula_53；即formula_54、formula_55，formula_56。子集正交于向量的定义与之类似。
子集formula_51的正交补或零化子是
formula_58.
于是，当且仅当formula_59，"R"是"X"的全子集。
极集.
给定在formula_1上定义了对偶对的三元组formula_2，子集formula_62的绝对极集或极集是集合formula_63对称地，子集formula_64的绝对极集或极集记作formula_65，定义为
formula_66
为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集formula_67的绝对极也可以称为"B"的绝对预极（absolute prepolar）或预极（prepolar），可表为formula_68。
极formula_65必然是凸集，包含formula_70，若"B"平衡，则formula_65也平衡；若"B"是"X"的向量子空间，则formula_65是"Y"的向量子空间。
若"A"是"X"的向量子空间，则formula_73，还等于"A"的实极。若formula_74，则"A"的双极（bipolar，记作formula_75）是"A"正交补的极，即集formula_76。相似地，若formula_77，则"B"的双极是formula_78。
对偶的定义与结果.
给定对formula_2，定义新对formula_80，其中formula_81。
对偶理论有个一贯的主题：任何对formula_2都有相应的对偶对formula_80。
例如，若"X"分离"Y"的点（或者说"S"是"Y"的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义："Y"分离"X"的点（或者说"S"是"X"的全子集）。
下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为"d"指定符号。
再比如，一旦定义了"X"上的弱拓扑formula_91，则此对偶定义就会自动应用到配对formula_80，从而得到"Y"上弱拓扑的定义——formula_93而非formula_94。
formula_95及formula_96的识别.
虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对formula_2与formula_80互换处理，并用formula_99表示formula_80。
例子.
配对的限制.
设formula_2是配对，"M"是"X"的向量子空间，"N"是"Y"的向量子空间。则，formula_2对formula_103的限制就是配对formula_104。若formula_2是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若formula_106、formula_107）。
本文将使用通常做法，用formula_108表示限制formula_104。
向量空间上的规范对偶.
设"X"是向量空间，令formula_110表示"X"的代数对偶空间（即，"X"上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶formula_111，其中formula_112，称之为formula_113上的求值映射或自然/规范双线性泛函。
注意formula_114，formula_115只是表示formula_116的另一种方式，即formula_117
若"N"是formula_110的一个向量子空间，则formula_111对formula_120的限制称作规范配对。若此配对是对偶，则称为规范对偶。显然"X"总是分离"N"的点，因此当且仅当"N"分离"X"中的点，规范配对是对偶系统。
下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。
求值映射记作formula_121（而非"c"），将formula_122改为formula_123。
若"N"是formula_110的向量子空间，则当且仅当"N"分离"X"的点（或等价地，"N"是全的，formula_126能推出formula_29），"X"分离"N"的点（或等价地，formula_122是对偶），
拓扑向量空间上的规范对偶.
设"X"是拓扑向量空间，有连续对偶空间formula_129。
则，规范对偶formula_111对formula_131的限制确定了配对formula_132，其中"X"分离formula_129的点。
若formula_129分离"X"的点（例如，若"X"是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。
拓扑向量空间的极与对偶.
下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。
内积空间与复共轭空间.
预希尔伯特空间formula_136，当且仅当"H"是formula_11上的向量空间，或"H"是0维，formula_136是对偶对。这里假定半双线性形式formula_24在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。
设formula_136是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或formula_147表示。
定义映射
formula_148
其中右式使用了"H"的标量乘法。令formula_149表示"H"的复共轭向量空间，其中formula_149表示加群formula_151（所以formula_149中的向量加法与"H"中的相同），但formula_149中的标量乘法是映射formula_154（而非"H"被赋予的标量乘法）。
映射formula_155定义为formula_156，在两个坐标中都是线性的，因此formula_157形成对偶对。
弱拓扑.
设formula_2是formula_1上一对向量空间。若formula_52，则"X"上由"S"（和"b"）诱导的弱拓扑是"X"上最弱的拓扑向量空间拓扑，记作formula_175或formula_176，使"y"在"S"上取值时所有映射formula_39连续。若"S"在语境中不明确，则应假定是"Y"的全部，这时称之为"X"上（由"Y"诱导的）的弱拓扑。
formula_178或（若无混淆）formula_179用于表示赋有弱拓扑formula_175的"X"。
重要的是，弱拓扑完全取决于函数"b"、formula_12上的通常拓扑与"X"上的向量空间结构，而与"Y"的代数结构无关。
同样，若formula_51，则"Y"上由"R"（和"b"）诱导的弱拓扑的对偶定义记作formula_183或formula_184（细节见脚注）。
拓扑formula_91是局部凸的，因为它由formula_195定义的半范数族formula_196确定，其中"y"在"Y"上取值。
若formula_197是"X"中的网，则若formula_198在formula_193中收敛到"x"，formula_198formula_91-收敛于"x"。网formula_198，当且仅当formula_203收敛到formula_21，formula_91-收敛到"x"。
若formula_206是希尔伯特空间中的正交规范向量列，则formula_206弱收敛到0，但不会规范收敛（norm-convergence）到0（或任意向量）。
若formula_2是配对，"N"是"Y"的一个适当的向量子空间，使得formula_209是对偶对，则formula_210比formula_91严格粗。
有界子集.
子集formula_212，当且仅当formula_213，其中formula_214，称"S"formula_91-有界。
豪斯多夫性.
若formula_2是配对，则下列条件等价：
弱表示定理.
下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了formula_193的连续对偶空间。
因此，formula_193的连续对偶空间是
formula_221
关于规范配对，若"X"是拓扑向量空间，其连续对偶空间formula_129分离"X"的点（即使formula_223豪斯多夫，这可推出"X"也必豪斯多夫），则formula_224的连续对偶空间等于"x"在"X"中取值时所有“点"x"处得值”的映射集合（即将formula_225送到formula_226的映射）。
通常写成
formula_227
这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果（如formula_129上的强对偶拓扑formula_229）能应用到原拓扑向量空间"X"的。例如，将"X"视作formula_230意味着formula_230上的拓扑formula_232可被视作"X"上的拓扑。
此外，若formula_129被赋予比formula_234更细的拓扑，那么formula_129的连续对偶空间必然包含formula_230（作为子集）。
例如，formula_129被赋予强对偶拓扑（于是记作formula_238），则
formula_239
这允许"X"被赋予由强对偶拓扑formula_240在"X"上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于自反空间理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间"X"，若formula_241则称其是半自反空间，若在此之外，其在"X"上的强双对偶拓扑formula_240还等于"X"的原/初拓扑，则称其是自反空间。
正交、商与子空间.
若formula_2是配对，则对"X"的任意子集"S"：
formula_251
formula_253
若"X"是赋范空间，则根据规范对偶性，formula_254在formula_129中对范是封闭的，formula_256在"X"中对范是封闭的。
子空间.
设"M"是"X"的向量子空间，并令formula_257表示formula_2对formula_259的限制。
"M"上的弱拓扑formula_260与"M"从formula_193继承的子空间拓扑相同。
另外，formula_262是配对空间（paired space）（其中formula_263是formula_264），其中formula_265定义为
formula_266
拓扑formula_267等于"M"继承自formula_193的子空间拓扑。 
此外，若formula_193是对偶系统，则formula_262也是。
商.
设"M"是"X"的向量子空间，则formula_271是配对空间，其中formula_272定义为
formula_273
拓扑formula_274等同于formula_193在formula_276上诱导的一般的商拓扑。
极与弱拓扑.
弱"X"是局部凸空间，且若"H"是连续对偶空间formula_129的子集，则当且仅当对"X"中某桶"B"，有formula_278时，"H"是formula_234-有界的。
下列结果对定义极拓扑非常重要。
若formula_2是配对，formula_281则
若formula_2是配对，formula_293是"X"上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当"B"是"Y"的某formula_93-有界子集的极时，formula_295是formula_296中的桶。
转置.
线性映射关于配对的转置.
令formula_2和formula_298是formula_1上的配对，并令formula_300是线性映射。
formula_301令formula_302是由formula_303定义的映射。
若满足以下条件，就可以说"F"的转置或伴随是良定的（well-defined）：
这样，formula_308存在（由条件2）唯一的（由条件1）formula_35，使formula_310，其中"Y"的这个元素将表为formula_311。这定义了线性映射
formula_312
称作"F"的转置或关于formula_2和formula_298的伴随（注意不要与厄米伴随混淆）。不难看出，上述两个条件（即“转置良定义”）也是formula_315良定的必要条件。
formula_308，formula_311的定义条件是
formula_318 
即，
formula_319
根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为formula_320 
formula_321 
formula_322 
formula_323等的线性映射的转置（见脚注）。
转置的性质.
formula_2和formula_298是formula_1上的配对，formula_300是线性映射，其转置formula_328是良定义的。
若"X"、"Y"是规范对偶下的赋范空间、formula_360是连续线性映射，则formula_361。
弱连续性.
线性映射formula_300，若formula_363连续，则称其（关于formula_2和formula_298）弱连续。
下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。
弱拓扑与规范对偶.
设"X"是向量空间，formula_110是其代数对偶。则"X"的所有formula_367-有界子集包含于有限维向量子空间，"X"的所有向量子空间是formula_367-闭的。
弱完备性.
若formula_193是完备拓扑向量空间，例如"X"是formula_91-完备或（若无歧义）弱完备的情形。
存在不弱完备的巴拿赫空间（尽管在其范拓扑中是完备的）。
若"X"是向量空间，则在规范对偶下，formula_371是完备的。 
相反，若"Z"是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，且有连续对偶空间formula_372，则当且仅当formula_373时，formula_374是完备的；即，当且仅当将formula_375发送到"z"处求值映射（即formula_376）的映射formula_377是双射。
特别地，就规范对偶而言，若"Y"是formula_110的向量子空间，使"Y"分离"X"中的点，则当且仅当formula_379，formula_380是完备的。
换句话说，formula_110不存在紧合向量子空间formula_382使得formula_383是豪斯多夫空间，且"Y"在弱-*拓扑（即逐点收敛的拓扑）中完备。
因此，若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间"X"的连续对偶空间formula_129 被赋以弱*-拓扑，当且仅当formula_385（即"X"上所有线性泛函都连续）时，formula_386是完备的。
"Y"与代数对偶的子空间的等同.
若"X"分离"Y"的点、"Z"表示单射formula_217的范围，则"Z"是"X"的代数对偶空间的向量子空间，且配对formula_2与规范配对formula_389（其中formula_390是自然求值映射）是规范等同（canonically identify）的。
特别地，这时我们将不失一般性地假设"Y"是"X"代数对偶的向量子空间，而"b"是求值映射。
完全类似的是，若"Y"分离"X"中的点，则"X"就有可能等同于"Y"的代数对偶空间的向量子空间。
代数伴随.
在对偶是规范对偶formula_394和formula_395的特例下，线性映射formula_300的转置总是良定义的。
此转置称作"F"的代数伴随，记作formula_397；
即formula_398 
这样，formula_399其中formula_400的定义条件是
formula_401 
或等价地formula_402
若对整数"n"，formula_403，formula_404是"X"的基，其对偶基formula_405是线性算子，"F"关于formula_406的矩阵表示是formula_407，则"M"的转置是formula_397关于formula_409的矩阵表示。
弱连续性与开性.
设formula_23，formula_411是对偶系统的规范配对（所以formula_412），并令formula_300是线性映射。则当且仅当formula_300满足下列等价条件之一，"F"是弱连续的： 
若"F"是弱连续的，则formula_420是连续的，于是formula_334
拓扑空间之间的映射formula_422，若formula_423是开映射（formula_424是"g"的范围），则称之是相对开的。
设formula_425是对偶系统，formula_300是弱连续线性映射。则下列条件等价：
此外
拓扑向量空间之间映射的转置.
当且仅当"F"是弱连续的，两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。
设formula_360是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射，则
可度量化性与可分性.
令"X"是局部凸空间，有连续对偶空间formula_129，并令formula_449。 
极拓扑与同配对相容的拓扑.
从弱拓扑开始，极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑，弱拓扑是其中最弱的。
formula_2将是formula_1上的配对，formula_460将是"X"的formula_91-有界子集的非空集合。
极拓扑.
给定"X"子集的集合formula_460，"Y"上由formula_460（与"b"）定义的极拓扑（或"Y"上的formula_460-拓扑）是"Y"上唯一的拓扑向量空间拓扑，其中
formula_465
形成了原点邻域的子基。 
"Y"被赋予这formula_460-拓扑时，就表示为formula_467。极拓扑都需要是局部凸的。 
formula_460是关于子集包含的有向集合时（即若formula_469，formula_470使得formula_471），则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基。
下面列出了一些较重要的极拓扑。
与极拓扑有关的定义.
连续性
若formula_480连续，则线性映射formula_300是（关于formula_2和formula_298）麦基连续的。
若formula_484是连续的，则线性映射formula_300是（关于formula_2和formula_298）强连续的。
有界子集.
"X"的子集，若在formula_193（或formula_489、formula_490）中有界，则称"X"是弱有界（或麦基有界、强有界）。
同配对相容的拓扑.
弱formula_2是formula_1上的配对，formula_493是"X"上的向量拓扑，则formula_493是配对的拓扑，且若其局部凸、formula_495的连续对偶空间formula_496，则称之与配对formula_2相容或一致。 
若"X"分离"Y"的点，则"Y"可视作"X"的代数对偶的向量子空间，定义条件变为formula_498有人（如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999]）要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的，若"Y"分离"X"的点（这些学者假设），则必须是豪斯多夫的。
弱拓扑formula_91同配对formula_2相容（如弱表示定理所示），事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑，即麦基拓扑。
若"N"是非自反的赋范空间，则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶formula_501不相容。
麦基–阿伦定理.
下面是对偶理论中最重要的定理之一。
由此可见，麦基拓扑formula_87是由"Y"中所有formula_91-紧圆盘生成的极拓扑，是"X"上与配对 formula_2相容的最强局部凸拓扑。
给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。
上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。
麦基定理、桶与闭凸集.
若"X"是（formula_505或formula_12上的）拓扑向量空间，则半空间（half-space）是形式为formula_507的集合。（"r"是实数，"f"是"X"上的连续实值线性泛函）
上述定理说明，局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是，在任何与配对相容的拓扑中，闭子集和凸子集都相同；即，若formula_493、formula_509是"X"上的任意局部凸拓扑，且有同样的连续对偶空间，则当且仅当"X"的凸子集在formula_509拓扑中封闭，，此子集也在formula_493拓扑中封闭。
这说明，"X"任意凸子集的formula_493-闭等同于其formula_509-闭，对"X"中任意formula_493-闭圆盘"A"，formula_515。 
特别地，若"B"是"X"的一个子集，则当且仅当"B"是formula_516中的桶时，"B"也是formula_516中的桶。
下面的定理说明，桶（即闭吸收圆盘）恰是弱有界子集的极。
若"X"是拓扑向量空间，则 
所有这些都引出了麦基定理，这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之，定理支出，对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑，有界子集是相同的。
有限序列空间.
令"X"表示标量formula_519的所有序列的空间，且对所有足够大的"i"都有formula_520。
令formula_521，定义双线性映射formula_522为
formula_523 
则formula_524。 
此外，当且仅当存在正实数序列formula_525，使得formula_526、及所有指标"i"（或还有formula_527）时，子集formula_528是formula_529-有界（或formula_530-有界）的。 
由此可见，"X"的子集中有弱有界（即formula_529-有界）的，但没有强有界（即无formula_530-有界）的。