复合函数

复合函数（），又称作合成函数，在数学中是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果，所得到的第三个函数。例如，函数 formula_1 和 formula_2 可以复合，得到从 formula_3 中的 formula_4 映射到 formula_5 中 formula_6 的函数。直观来说，如果 formula_7 是 formula_8 的函数，formula_8 是 formula_4 的函数，那么 formula_7 是 formula_4 的函数，得到的复合函数记作 formula_13，定义为对 formula_3 中的所有 formula_4，formula_16。直观地说，复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程，内函数的输出就是外函数的输入。
函数的复合是关系复合的一个特例，因此复合关系的所有性质也适用于函数的复合。复合函数还有一些其他性质。
定义.
考虑到函数的值域跟定义域，要简单的以“计算式”，如把所有 formula_17 和 formula_18 的有序对头接尾的这样直观定义“合成”是会遇到问题的，像是把 formula_4 取为实数，这样把 formula_20 很自然的对接到 formula_8 然后开根号成 formula_22 ，是会遇到对负数开根号，出现非单一值的问题（请参见棣莫弗公式），就算不考虑单一值的问题，我们期望的“合成函数”的值域到底该不该包含复数呢？所以 (1) 我们一开始就要把准备“合成”的两个函数的值域跟定义域划分清楚 (2) 要考虑到对接的时候，前面的值域跟后面的值域不一定相等的问题。
设我们有两个函数 formula_23 和 formula_24 ，两者的定义域分别是 formula_25 和 formula_26，值域分别是 formula_27 和 formula_28。如果 formula_29 ，那我们定义合成函数为
直观上来说，如果 formula_23 的“输出范围”是有一部分在 formula_24 的“输入范围”，那我们就可以定义“先作用 formula_23 再作用 formula_24 ”的函数，但这个“新合成”的函数的定义域可能会因此被限缩（输出值处在两者交集的那些 formula_4 而已）。注意到每个 formula_4 只会有一个输出值 formula_8 ，而每个 formula_8 只会有一个输出值 formula_7 ，所以这样“先作用 formula_23 再作用 formula_24 ”的话，每个 formula_4 只会有一个输出值 formula_7 而已，这确保了 formula_44 符合我们对函数的要求。
当 formula_45 时（注意这是集合的相等！），我们会说 formula_24 和 formula_23 是可交换的。
两个一对一函数的合成函数也是一对一的。
涉及到可导函数的复合函数的导数，可以用链式法则求得。Faà di Bruno公式给出了复合函数的高阶导数的表达式。
复合幺半群.
假设我们有两个（或多个）函数 formula_64， formula_65，定义域与到达域相同；这些函数一般称作变换。于是，我们可以构造多个变换复合而成的链，比如 formula_66。这种链具有幺半群的代数结构，称作变换幺半群或者复合幺半群。通常，变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是德拉姆曲线。所有函数 formula_64 的集合称作 formula_3 上的全变换半群或对称半群。（我们其实可以定义两个半群，这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。）
如果变换是双射（也就可逆），则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群；可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凯莱定理从本质上表明，（在同构意义下）任何群都是某一置换群的子群。
所有双射函数 formula_64（称作置-{}-换）的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群，有时称作复合群。
在（所有变换的）对称半群中，我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换（称作伪逆），因为对称子群是一个正则半群。
函数幂.
如果 formula_70，则 formula_71 有可能可以与自身复合；这有时候记作 formula_72。即：
更一般地，对于 formula_76 的自然数，formula_77 次函数幂可以归纳定义为 formula_78。 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数。 
注意：若 formula_23 在一个环内取值（特别是对于实值或复值 formula_23），存在混淆的风险，因为 formula_90 也可以表示 formula_23 的 formula_77 次乘积，比如 formula_93。 对于三角函数，通常会使用后者的含义，至少对于正指数是这样。例如，在三角学中，使用三角函数 formula_94 的时候，这个上标记号表示标准的指数运算。不过，对于负指数（特别是 −1），则通常指的是反函数，例如，formula_95.
在一些情况下，对于给定函数 formula_23，方程 formula_97 只有一个解 formula_24 的时候，该函数可以定义为 formula_23 的函数平方根，记作 formula_100.
更一般地，当 formula_101 只有唯一解时（自然数 formula_85），formula_103可以定义为 formula_104.
在额外的限制下，这个想法还可以推广，使得迭代函数可以是一个连续的参数；在此情形下，这样的系统称作流，由施罗德方程定义。迭代函数和流很自然地出现在分形和动力系统的研究中。
为避免混淆，有些数学家把 formula_23 的 formula_77 次迭代写作 formula_107.
其他记法.
许多数学家，特别是群论方面的数学家，省去复合符号，把 formula_108 写作 formula_109.
在20世纪中叶，一些数学家认为用“formula_108”来表示“首先施加 formula_23，然后施加 formula_24”太令人困惑，于是决定改变记法。他们用“formula_113”来代表“formula_114”，用“formula_115”来代表“formula_6”。这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中，当 formula_4 为行向量，formula_23 和 formula_24 表示矩阵，而复合是通过矩阵乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要，因为函数复合不一定是可交换的（比如矩阵乘法）。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。
使用后缀表示法的数学家可能会写“formula_120”，表示先施加 formula_23 再施加 formula_24，这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致，不过这就会让“formula_120”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用 formula_124 来表示 [1] ，这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用于左关系复合。由于所有函数都是二元关系，在函数复合中也应该用[粗]分号（参见 关系复合条目了解此记法的详细内容）。
复合算子.
给定函数 formula_24，复合算子 formula_126 定义为使得
的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。
多元函数.
对于多元函数来说，部分复合是有可能的。当函数 formula_23 的部分参数 formula_129 由 formula_24 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中，记作 formula_131
当 formula_24 是一个常数 formula_134 时，复合退化为一个（部分）求值，其结果就会是限制或者辅因子。
通常，多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数，如原始递归函数的定义。给定 formula_23，一个 formula_77 元函数，formula_77 个 formula_139 元函数 formula_140，formula_23 与 formula_140 的复合是 formula_139 元函数
这有时称作 "formula_23" 与 formula_140 的广义复合。在这个一般化的情形中，可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为射影函数，只保留一个参数函数，就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意，在这个一般化情形中，formula_140 可以看作是单个向量或元组值函数，这样理解的话，这就是复合函数的标准定义。
某些基本集 formula_3 上的一些有限性运算称作克隆，它们需要包含所有射影，并且在广义复合下封闭。请注意，克隆通常包含各种元数（arity）的运算。交换的概念在多元情形中叶有一个有意思的推广：如果元数 formula_77 的函数 "formula_23" 是保持 formula_24 的同态函数（"formula_24" 的元数为 formula_139），则可以说 "formula_23" 与 "formula_24" 是可交换的，反之亦然。例如：
一元运算总是与自己可交换，但二元（或者更多元）运算不一定如此。与自身可交换的二元（或更多元）运算称为medial或entropic。
推广.
复合可以推广到任意二元关系。若 formula_157 与 formula_158 是两个二元关系，则它们的复合 formula_159 是定义为 formula_160. 考虑二元关系的一个特殊情形（函数关系），复合函数满足关系复合的定义。
偏函数的复合可是用相同方式定义的定义，有一个类似凯莱定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。
具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴（prototypical category）。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质（和定义）启发。由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广，函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 formula_161 中的反序复合，同样适用于使用逆关系的关系复合，因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。
排版.
复合算子 编码为。参见Degree symbol条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中，写作codice_1。