握手引理

在图论中，握手引理（）为在每个有限无向图中，顶点邻接奇数个边的数量有偶数个。也可以说，度数为奇数的顶点有偶数个。例如，在某派对上大家互相握手，则「跟奇数个人握手的人」有偶数个。此引理是由度求和公式（）推导而得，内容为无向图中所有顶点的度数（邻接到该顶点的边数）总和为该图边数的两倍。上面的两个结果都由在他著名的柯尼斯堡七桥问题的论文上证明，也就是图论研究的起点。
除了后来催生一笔画问题的柯尼斯堡七桥问题之外，度求和公式的其他应用还包括了某些组合结构的证明。例如，在和爬山问题的证明中，该公式的几何特性经常出现。复杂度类 概括了在给定大型中给定一个奇数顶点的情况下，找出第二个奇数顶点的难度。
定义与陈述.
在无向图中，包含一系列的顶点与连接无序顶点对的边。在任何的图中，顶点 formula_1 的度数 formula_2 定义为以 formula_1 为端点的边的数量。对于允许包含连接顶点本身，也就是包含环的图，为了符合握手引理，每个环应该对其端点的度数贡献两单位（即有环的顶点本身度数加二）。然后握手引理指出，在每个有限无向图中，度数 formula_2 为奇数的顶点数必须为偶数。图中度数为奇数的顶点有时称为奇顶点（或奇节点）； 以此术语而言，握手引理可改述为「每个图都有偶数个奇顶点」的陈述。
度求和公式指出：formula_5其中 formula_6 是图中节点（或顶点）的集合且 formula_7 是图中边的集合。也就是说，顶点度数的总和等于边数的两倍。 在有向图中，度求和公式的另一种形式指出，所有顶点的入度（）之和与出度（）之和皆等于边的数量。这里的入度是指「起点为某节点的边的数量」，出度是指「终点为某节点的边的数量」。 度求和公式的一个版本也适用于有限的集族，等价于多重图：元素度数的总和（其中度数等于包含它的集合的数量）总是等于集合的势总和。
这两个结果也适用于给定图的任何子图，特别是其连通元件。推论是对于任何奇数顶点，必存在一条路径将其连接到另一个奇顶点。
应用.
欧拉路径与回路.
莱昂哈德·欧拉在研究柯尼斯堡七桥问题时首次证明了握手引理。这个问题是关于如何在柯尼斯堡（现为加里宁格勒）城中进行一次徒步旅行，跨过七座桥，且每座桥都只能走一次。以图论的术语来说，相当于在一个代表城市和桥梁的连通图中寻找一条欧拉路径（）或欧拉回路（）：遍历图中每条边一次的路径，其区别为欧拉路径的起点和终点不同，而欧拉回路行径则会回到起点。
欧拉根据图中奇顶点的数量阐述了此问题的基本结果，握手引理则将奇数顶点的数量限制为偶数。如果奇顶点的数量为零，则存在欧拉回路；如果为两个，则存在欧拉路径。否则，问题就无法解决。在柯尼斯堡七桥问题中，代表该问题的图有四个奇数顶点，因此既不存在欧拉路径，也不存在欧拉回路。这表示在柯尼斯堡，不可能在不重复过桥的情况下走完所有七座桥。
在近似旅行推销员问题（缩写为 TSP）的克里斯托菲德斯算法中，度求和公式的几何意义扮演著至关重要的角色，使该演算法得以将顶点成对连接，从而构建一个图，并在此图上形成一个欧拉回路作为近似 TSP 路径。
组合计数.
某些组合结构的数量可以透过将它们与适当的「交换图（exchange graph）」中的奇顶点相关联来证明其为偶数。
举例，如 所证，在任何立方图 formula_8 中，通过任何固定边 formula_9 的汉米顿回圈数量必为偶数；这些回圈恰好经过每个顶点一次。 则是利用基于握手引理的证明，将此结果推广到所有顶点都具有奇数度数的图。汤玛森定义一个交换图 formula_10，其顶点与 formula_8 中始于 formula_12 并持续通过边 formula_9 的汉米顿路径一一对应。若一条路径 formula_14 可透过在 formula_15 的末端添加一条新的边并从 formula_15中间移除另一条边来获得，那么 formula_15 和 formula_14 这两条路径在 formula_10 中被定义为透过一条边连接。此操作是可逆的，形成一个对称关系，因此 formula_10 是一个无向图。若路径 formula_21 结束于顶点 formula_22，则 formula_10 中对应于 formula_21 的顶点的度数等于 formula_21 可透过不连接回 formula_12 的边进行扩展的方法数；也就是若 formula_21 不构成通过 formula_9 之汉米顿回圈的一部分，则 formula_10 中此顶点的度数为 formula_30（偶数）；若 formula_21 通过 formula_9 之汉米顿回圈的一部分，则为 formula_33（奇数）。因为 formula_10 具有偶数个奇顶点，因此 formula_8 必须有偶数个通过 formula_9 的汉米顿回圈。
其他应用.
握手引理（或度求和公式）在数学中也用于证明其他几项结果。其中包括：
证明.
欧拉证明度求和公式时使用了双重计数的技巧：他以两种不同的方式，计算了关联对 formula_37 的数量，其中 formula_38 是一条边，且顶点 formula_1 是它的其中一个端点。顶点 formula_1 属于 formula_2 个关联对，其中 formula_2（formula_1 的度数）是与它邻接的边的数量。因此，关联对的数量就是所有度数的总和。然而，图中的每条边都恰好属于两个关联对，每个端点一个；因此，关联对的数量是 formula_44。由于这两个公式计算的是同一组物件，它们的值必然相等。同样的证明也可以解释为：透过两种方式对图的中的条目进行求和，按行求和得到度数的总和，按列求和得到边数的两倍。
对于图而言，握手引理是度求和公式的直接推论。在整数的和中，总和的奇偶性不受总和中偶数项的影响；当奇数项的数量为偶数时，总和为偶数；当奇数项的数量为奇数时，总和为奇数。由于度求和公式的一边是偶数 formula_44，所以另一边的和必须有偶数个奇数项；也就是说，必须有偶数个奇数度数顶点。
此外，也可使用数学归纳法来证明度求和公式，或者透过从给定图中一次移除一条边，并对其端点的度数进行穷举法，以确定此移除对奇数度数顶点数量奇偶性的影响，从而直接证明奇数度数顶点的数量为偶数。
特殊类别的图.
正则图.
度求和公式意味著每个具有 formula_46 个顶点的 formula_47-正则图有 formula_48 条边。因为边的数量必须是整数，所以当 formula_47 是奇数时，顶点的数量必须是偶数。 此外，对于 formula_47 的奇数值，边的数量必须可被 formula_47 整除。
二部图与双正则图.
一个二部图的顶点被分成两个子集，每条边的两个端点分别位于不同的子集中。同样地，透过双重计数的论证可以推断，在每个子集中，度数之和都等于图中边的数量。特别是，这两个子集的度数之和相等。对于，如果顶点被划分为 formula_52 和 formula_53 两个子集，并且子集 formula_54 中的每个顶点都具有度数 formula_55，那么必然满足 formula_56；两者都等于边的数量。
无限图.
握手引理之通常形式不适用于无限图，即使这些图只有有限数量的奇数度数顶点。例如，一条只有一个端点的无限图就只有一个奇数度数顶点，而不是偶数个。然而，可以利用（end）的概念来表述握手引理的一个版本。末端是指半无限路径（「射线（"rays"）」）的等价类，当存在第三条射线同时无限次使用两条射线中的顶点时，这两条射线被视为等价。一个末端的度数是它所包含的最大边不相交射线的数量，如果度数是有限且为奇数，则该末端是奇数的。更普遍地说，对于所有顶点都具有有限度数的图，无论末端是否具有无限度数，都可以将其定义为奇数或偶数。然后，在这样的图中，奇数顶点和奇数末端的数量加总后是偶数或无限个。
子图.
根据 定理，任何图的顶点集 formula_6 都可以被划分为 formula_58​，使得在两个由此产生的导出子图中，formula_59 的所有度数都是偶数，而 formula_60 的所有度数都是奇数。根据握手引理，formula_61 必须是偶数。此外，也可以找到具有许多顶点的偶数度数和奇数度数的导出子图。可以找到一个至少包含一半顶点的偶数度数导出子图，并且（在没有孤立顶点的图中）可以找到一个奇数度数导出子图，其满足 formula_62。
计算复杂度.
关于利用交换图（exchange graph）方法证明组合结构存在性的问题，人们对于如何有效地找到这些结构很感兴趣。例如，假设输入是一个三次图中的汉米顿回圈；根据史密斯定理，存在第二个回圈。那这个第二个回圈能多快被找到呢？
 研究了这类问题的计算复杂度，更广义地说，是在一个大型中，当给定一个奇数度顶点时，寻找第二个奇数度顶点的问题。他定义了复杂度类 来概括这类问题；一个密切相关、定义在有向图上的类别 ，在中引起了广泛关注，因为计算纳许均衡在计算上等同于此类别中最困难的问题。
被证明是 PPA 复杂度类别完备（complete）的计算问题包括与相关的计算任务，以及根据进行资源公平划分的问题。