狭义相对论中的加速度

狭义相对论中的加速度类似于牛顿力学中的概念，乃速度对于时间的微分。因为相对论中的劳仑兹转换及时间膨胀，时间与距离的概念变为复杂，因此「加速度」的定义也变得复杂。狭义相对论为平直闵考斯基时空的理论，即使加速度存在依然有效，前提是能量动量张量所造成的重力场效应可以忽略。否则，则需用到广义相对论以及弯曲时空来诠释。在地球表面附近，时空弯曲程度不明显，因此实务上采用狭义相对论来诠释物理现象仍是合宜作法，比如粒子加速器实验。
如同在外界惯性座标系中的测量，三维空间中的普通加速度（称为「三维加速度」或「座标加速度」）的转换式可以推导得出。此外作为一特例，也可用共动（comoving）的加速规来测量固有加速度。另一种有用的形式是四维加速度，其分量可透过劳仑兹转换在不同参考系中做连结。连结加速度与力的运动方程式也可得到。几种特殊形式的加速物体运动方程式以及它们的弯曲世界线可以透过对上述方程式的积分求得。知名的特例如，适用于常数值纵向固有加速度的例子，以及等速率圆周运动。最后，在狭义相对论的架构下，描述加速参考系中的物理现象亦为可行。
历史演进上，在相对论发展的早年即已出现包含加速度的相对论性方程式，在早年的教科书中有整理，如马克斯·冯·劳厄（1911年、1921年）或沃夫冈·包立（1921年）。举例来说，运动方程式以及加速度转换式于以下学者的论文中建立起来：亨德里克·劳仑兹（1899年、1904年）、儒勒·昂利·庞加莱（1905年）、阿尔伯特·爱因斯坦（1905年）、马克斯·普朗克（1906年）；四维加速度、固有加速度与双曲运动的分析参见赫尔曼·闵考斯基 （1908年）、马克斯·玻恩（1909年）、（1909年）、阿诺·索末菲（1910年）、冯·劳厄（1911年）。
三维加速度.
在牛顿力学与狭义相对论中，三维加速度或座标加速度的定义保持一致。formula_1是速度formula_2对座标时间的一阶导数，亦即是位置formula_3对座标时间的二阶导数：
然而在另一相异的惯性参考系中做三维加速度测量时，两项理论的预测就出现重大歧异。牛顿力学中，时间是绝对的（formula_5），采用的惯性系转换式为伽利略转换。因此，从伽利略转换推导而得的三维加速度在所有惯性系中皆相同：
相反地，在狭义相对论中，formula_7与formula_8两者皆与劳仑兹转换相依，因此三维加速度formula_9及其分量在不同惯性系也各不相同。当惯性系间的相对速度是沿著x轴，即formula_10（formula_11为相对应的劳仑兹因子），劳仑兹转换式为：
或是对于一长度formula_12及任意方向的速度向量formula_13（其中formula_14），劳仑兹转换式为：
\left(\gamma_{v}-1\right)-t\gamma_{v}\right]\\
t^{\prime} &amp; =\gamma_{v}\left(t-\frac{\mathbf{r\cdot v}}{c^2}\right)
 &amp; \begin{align}\mathbf{r} &amp; =\mathbf{r}'+\mathbf{v}\left[\frac{\left(\mathbf{r'\cdot v}\right)}{v^{2}}\left(\gamma_{v}-1\right)+t'\gamma_{v}\right]\\
t &amp; =\gamma_{v}\left(t'+\frac{\mathbf{r'\cdot v}}{c^2}\right)
为了求得三维加速度的转换式，必须分别对劳仑兹转换式中的空间座标formula_7及formula_16做时间formula_8与formula_18的微分。首先是得到三维速度formula_19及formula_20的转换式（亦称为速度加成式）；尔后再次做时间formula_8与formula_18的微分运算而得到三维加速度formula_9及formula_24的转换式。从式()出发，所得到的转换式为平行（x方向）与垂直（y、z方向）于速度formula_10之加速度：
a_{y}^{\prime} &amp; =\frac{a_{y}}{\gamma_{v}^{2}\left(1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)^{2}}+\frac{a_{x}\frac{u_{y}v}{c^{2}}}{\gamma_{v}^{2}\left(1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)^{3}}\\
 &amp; \begin{align}a_{x} &amp; =\frac{a_{x}^{\prime}}{\gamma_{v}^{3}\left(1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}\right)^{3}}\\
a_{y} &amp; =\frac{a_{y}^{\prime}}{\gamma_{v}^{2}\left(1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}\right)^{2}}-\frac{a_{x}^{\prime}\frac{u_{y}^{\prime}v}{c^{2}}}{\gamma_{v}^{2}\left(1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}\right)^{3}}\\
若从式()出发，则得到通解，速度与加速度可以是任意方向：
此转换式表示：若有两惯性系formula_26与formula_27，两者相对速度formula_28，则formula_26系中测到一物体瞬时速度为formula_19、加速度为formula_9，该物体在formula_27系中则具有瞬时速度formula_20、加速度formula_24。一如速度加成式，这些加速度转换式可保证一物体无法加速到光速，遑论超过光速。
四维加速度.
若改采用四维向量，即formula_35乃四维位置，formula_36乃四维速度，则一物体的四维加速度formula_37可透过对原时formula_38的微分求得：
 &amp; =\left(\gamma^{4}\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{a}}{c},\ \gamma^{4}\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{u})\mathbf{u}}{c^{2}}+\gamma^{2}\mathbf{a}\right)
其中formula_9为物体的三维加速度；formula_19为物体的瞬时三维速度，长度为formula_41，所对应的劳仑兹因子为formula_42。若只考虑空间分量且速度是沿著x方向（即formula_43），且只考虑与速度平行（x方向）或垂直（y、z方向）的加速度，则关系式可简化为：
与前述的三维加速度不同，四维加速度不需要推导新的转换关系式，因为所有四维向量（包括四维加速度）在两个具有相对速度formula_12的惯性系之间都呈现劳仑兹协变性。因此只要将式()中的formula_46代换为formula_47，即为四维加速度在两惯性系之间的转换式：
又或将式()中的formula_49代换为formula_50，亦可得到任意相对速度formula_28情形的转换式：
此外，四维加速度自身内积formula_53及向量大小formula_54为不变量（这里所采用的度规标记（metric signature）为），因此：
固有加速度.
在无限小的瞬间，总有一惯性系formula_27与一加速物体（加速参考系）相对静止，即两者相对速度为0。在这样的惯性系中，劳仑兹转换成立。相对应的三维加速度formula_56可透过加速规直接测量，称之为固有加速度或静止加速度。此瞬时惯性系formula_27中的formula_58与外界另一惯性系formula_26所测到的formula_9之间的关系式为()与()，其中formula_61，formula_62，formula_63，而formula_64。因此如同()中的情形，速度沿x方向（formula_65），且只考虑与速度平行（x方向）或垂直（y、z方向）的加速度，则关系式为：
a_{y}^{0} &amp; =\frac{a_{y}}{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}\\
 &amp; \begin{align}a_{x} &amp; =a_{x}^{0}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{3/2}\\
a_{y} &amp; =a_{y}^{0}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)\\
a_{z} &amp; =a_{z}^{0}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)
 &amp; \begin{align}\mathbf{a}^{0} &amp; =\mathbf{a}\left(\gamma^{3},\ \gamma^{2},\ \gamma^{2}\right)\\
\mathbf{a} &amp; =\mathbf{\mathbf{a}}^{0}\left(\frac{1}{\gamma^{3}},\ \frac{1}{\gamma^{2}},\ \frac{1}{\gamma^{2}}\right)
或将固有加速度此一特例条件代入通式()，其中任意方向的速度formula_19其长度为formula_41：
另外固有加速度与四维加速度的长度也有密切关系：如前述，四维加速度的长度为不变量，可在瞬间共动惯性系formula_27中被测定，其中formula_70，且因formula_71，formula_72：
因此四维加速度长度对应到固有加速度长度。将此结果与式()结合，可得到将formula_27系中formula_58与formula_26系中formula_9连结的另一种关系式求法，亦即：
从这里可得到式()，只要再次采用如下条件：速度沿著x方向（formula_43），只考虑与速度平行（x方向）或垂直（y、z方向）的加速度。
加速度与力.
四维力formula_79可写为三维力formula_80的函数：formula_81。四维力、四维加速度（式()）以及不变质量formula_82则具有如下关系式：formula_83；因此可得
速度沿任意方向的情形下，三维力与三维加速度的关系式则可写成：
\mathbf{a} &amp; =\frac{1}{m\gamma}\left(\mathbf{f}-\frac{(\mathbf{f}\cdot\mathbf{u})\mathbf{u}}{c^{2}}\right)
当速度沿著x方向，即formula_43，且仅考虑平行（x方向）或垂直（y、z方向）于速度方向的加速度与力，则三维力与三维加速度的关系式为：
f_{y} &amp; =\frac{ma_{y}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\\
 &amp; \begin{align}a_{x} &amp; =\frac{f_{x}}{m}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{3/2}\\
a_{y} &amp; =\frac{f_{y}}{m}\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}\\
 &amp; \begin{align}\mathbf{f} &amp; =m\mathbf{a}\left(\gamma^{3},\ \gamma,\ \gamma\right)\\
\mathbf{a} &amp; =\frac{\mathbf{f}}{m}\left(\frac{1}{\gamma^{3}},\ \frac{1}{\gamma},\ \frac{1}{\gamma}\right)
牛顿力学中，将质量简单定义为三维力与三维加速度的比值；此想法在狭义相对论中变为拙劣，因为这样定义的质量将与速度的大小及方向相依。是故如下曾出现在旧版教科书中的质量定义在当代已舍弃不用：
式()中三维加速度与三维力的关系式也可透过运动方程式求得：
其中formula_88是三维动量。若惯性参考系formula_26与formula_27间的相对速度为沿著x方向，即formula_10，且仅考虑平行（x方向）或垂直（y、z方向）于速度方向的情形时，formula_26中的三维力formula_80与formula_27中的三维力formula_95之间的转换关系式可透过对formula_19、formula_9、formula_98、formula_99等相关转换式做代换，或透过四维力进行劳仑兹转换后取其分量，而得到以下结果：
(\mathbf{f}\cdot\mathbf{u})}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}\\
f_{y}^{\prime} &amp; =\frac{f_{y}}{\gamma_{v}\left(1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)}\\
 &amp; \begin{align}f_{x} &amp; =\frac{f_{x}^{\prime}+\frac{v}{c^{2}}(\mathbf{f}^{\prime}\cdot\mathbf{u}^{\prime})}{1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\\
f_{y} &amp; =\frac{f_{y}^{\prime}}{\gamma_{v}\left(1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}\right)}\\
又或将之推广到任意方向的formula_19及formula_28（其中formula_102）：
固有加速度与固有力.
透过一共动弹簧秤来测量一瞬时惯性系中的力formula_103可称为固有力。从式()与式()，设定formula_104、formula_62、formula_63、formula_64等条件，可得到固有力的关系式。当速度沿x轴，formula_65，且仅考虑平行（x方向）或垂直（y、z方向）之加速度，可采用式()：
 &amp; \begin{align}f_{x} &amp; =f_{x}^{0}\\
f_{y} &amp; =f_{y}^{0}\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}\\
 &amp; \begin{align}\mathbf{f}^{0} &amp; =\mathbf{f}\left(1,\ \gamma,\ \gamma\right)\\
\mathbf{f} &amp; =\mathbf{f}^{0}\left(1,\ \frac{1}{\gamma},\ \frac{1}{\gamma}\right)
任意方向、大小为formula_41的速度formula_19之通则采用式()：
因为formula_112，牛顿力学关系式formula_113在瞬时惯性系中成立，是故式()、式()、式()可归结为：
透过这些式子，历史上对横向质量formula_114定义中的明显矛盾可以得到解释。爱因斯坦（1905年）的定义是固有力与三维加速度的比值：
而劳仑兹（1899年与1904年）、普朗克（1906年）的定义则是三维力与三维加速度的比值
弯曲世界线.
对运动方程式做积分，可得到一加速物体的世界线，对应到一连串的瞬时惯性系。如此则需考虑相关的「时钟假设」：共动时钟的原时与加速度无关。也就是说，对外部惯性系而言，这些时钟的时间膨胀只相依于和外部惯性系之间的相对速度。以下是两个简单的弯曲世界线范例，透过对式()中固有加速度的积分而得：
a) ：式()中为恒定的纵向固有加速度formula_117，造成世界线
 &amp; \tau(t)=\frac{c}{\alpha}\ln\left(\sqrt{1+\left(\frac{\alpha t}{c}\right)^{2}}+\frac{\alpha t}{c}\right),\quad x(t)=\frac{c^{2}}{\alpha}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\alpha t}{c}\right)^{2}}-1\right)
此世界线对应到双曲方程式formula_118，因此这样的移动物体世界线被称作双曲运动。此方程组常用来计算孪生子悖论或贝尔太空船悖论的不同版本案例，亦与有关。
b) 式()中为恒定的横向固有加速度formula_119，可视为向心加速度，造成一匀速旋转物体的世界线：
其中formula_121为切线速率，formula_122是轨道半径；角速度formula_123为座标时间的函数，另外formula_124为固有角速度。
加速参考系.
加速运动亦可透过加速座标系或来描述。以此方式建立的固有参考系与密切相关。举例而言，一双曲加速参考系的座标有时称为润德勒座标，而匀速旋转参考系的情形，则称为旋转圆柱座标，或称。
历史.
更多资讯请参见冯·劳厄、包立、米勒、Zahar、Gourgoulhon，以及狭义相对论发现史中的历史资料。
1899年：在一静止静电粒子系统formula_125（静止于中）及具有相对平移的另一系统formula_26之间，亨德里克·劳仑兹在包含一因子formula_127的情况下，推导出了加速度、力、质量之间的正确关系，下式中formula_128为劳仑兹因子：
劳仑兹提到了他无法决定formula_127的值。若当时他设formula_142，则他的关系式会跟相对论关系式一模一样。
1904年：劳仑兹以更详尽的方法推导初上述关系式，采用了静止于系统formula_143及移动于系统formula_144之粒子的性质，搭配上新的辅助变数formula_145，相当于1899年推导中的formula_146，而得到：
这次劳仑兹可以展示formula_157，而他的数学式与相对论形式完全相符。他也推导了运动方程式：
对应于()里的formula_160，其中formula_157、formula_162、formula_163、formula_164、formula_165，以及视为的formula_166。他更进一步地阐述：这些数学式不只适用于带电粒子的力与质量，也适用于其他过程，因此使得乙太中地球运动的影响无法被侦测出来。
1905年：儒勒·昂利·庞加莱引入了三维力的转换式():
其中formula_168，而formula_128为劳仑兹因子，formula_170为电荷密度。或以现代符号表记：formula_171，formula_172，formula_173，以及formula_174。与劳仑兹相同，他设定formula_157。
1905年：阿尔伯特·爱因斯坦以其狭义相对论为基础，推导出运动方程式。此表示出等价惯性系之间的关系，而不需要用到机械式乙太。爱因斯坦总结到，在一瞬时惯性系formula_128中，运动方程式维持牛顿力学形式：
此关系式对应到formula_113，因为formula_179，formula_180，以及formula_181。透过转换式转换至一相对移动之系统formula_182，他得到了在新参考系中能观察到之电磁分量方程式：
此关系式对应到()，其中formula_184，因为formula_179，formula_186，formula_187，以及formula_188。也因此，爱因斯坦决定了纵向与横向质量，尽管他将之与瞬时惯性系formula_128中的力formula_181（可透过共动的弹簧秤测量）以及在系统formula_182中之三维加速度formula_9做了关联：
此关系式对应到()，其中formula_194。
1905年：庞加莱引入了三维加速度转换式（）：
其中formula_196，以及formula_165，formula_171，formula_199。
他更进一步地引入了四维力，采如下形式：
其中formula_201 and formula_173，以及formula_203.
1906年：马克斯·普朗克导出了运动方程式：
其中
以及
这些方程式对应到()，其中formula_208，以及formula_209，formula_210，formula_211，与劳仑兹（1904年）所给的相应。
1907年：爱因斯坦分析了一均匀加速参考系，得到与座标相依的时间膨胀及光速之关系式，类同于Kottler-Møller-Rindler座标。
1907年：赫尔曼·闵考斯基定义了四维力（他称之为「移动力」）与四维加速度之间的关系：
对应到formula_213。
1908年：闵考斯基将formula_214对原时作微分的二次导数称之为「加速向量」（四维加速度）。他展示了：在世界线上任一点formula_215，此向量的大小为formula_216，其中formula_217为从相对应「曲率双曲线」（）之中心点指向点formula_215所成之向量的大小。
1909年：马克斯·玻恩 denotes the motion with constant magnitude of Minkowski's acceleration vector as "hyperbolic motion" (), in the course of his study of rigidly accelerated motion. He set formula_219 (now called proper velocity) and formula_220 as Lorentz factor and formula_221 as proper time, with the transformation equations
which corresponds to () with formula_223 and formula_224. Eliminating formula_225 Born derived the hyperbolic equation formula_226, and defined the magnitude of acceleration as formula_227. He also noticed that his transformation can be used to transform into a "hyperbolically accelerated reference system" ().
1909年： extends Born's investigation to all possible cases of rigidly accelerated motion, including uniform rotation.
1910年：阿诺·索末菲 brought Born's formulas for hyperbolic motion in a more concise form with formula_228 as the imaginary time variable and formula_229 as an imaginary angle:
He noted that when formula_231 are variable and formula_229 is constant, they describe the worldline of a charged body in hyperbolic motion. But if formula_231 are constant and formula_229 is variable, they denote the transformation into its rest frame.
1911年：索末菲 explicitly used the expression "proper acceleration" () for the quantity formula_235 in formula_236, which corresponds to (), as the acceleration in the momentary inertial frame.
1911年：黑格洛兹 explicitly used the expression "rest acceleration" () instead of proper acceleration. He wrote it in the form formula_237 and formula_238 which corresponds to (), where formula_239 is the Lorentz factor and formula_240 or formula_241 are the longitudinal and transverse components of rest acceleration.
1911年：马克斯·冯·劳厄 derived in the first edition of his monograph "Das Relativitätsprinzip" the transformation for three-acceleration by differentiation of the velocity addition
equivalent to () as well as to Poincaré (1905/6). From that he derived the transformation of rest acceleration (equivalent to ), and eventually the formulas for hyperbolic motion which corresponds to ():
thus
and the transformation into a hyperbolic reference system with imaginary angle formula_229:
He also wrote the transformation of three-force as
equivalent to () as well as to Poincaré (1905).
1912年-1914年：obtained general covariance of Maxwell's equations, and used four-dimensional Frenet-Serret formulas to analyze the Born rigid motions given by Herglotz (1909). He also obtained the proper reference frames for hyperbolic motion and uniform circular motion. 
1913年：冯·劳厄 replaced in the second edition of his book the transformation of three-acceleration by Minkowski's acceleration vector for which he coined the name "four-acceleration" (), defined by formula_248 with formula_249 as four-velocity. He showed, that the magnitude of four-acceleration corresponds to the rest acceleration formula_250 by
which corresponds to (). Subsequently, he derived the same formulas as in 1911 for the transformation of rest acceleration and hyperbolic motion, and the hyperbolic reference frame.