连续函数演算

在数学中，特别是在算子理论和C*-代数理论中，连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C*-代数中的正规元的函数演算。
在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来，对于后者只能定义全纯函数演算。
动机.
对于巴拿赫代数 formula_1 中的成员 formula_2 ，若要将其谱 formula_3 上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成 formula_1 中成员 formula_2 ，再证明这些 formula_2 的多项式序列收敛为 formula_7 中元素。
谱集 formula_8 上的连续函数由 formula_9 和 formula_10 的形如 formula_11 的多项式来逼近，其中 formula_10 表示 formula_9 的复共轭，而复共轭是复数上的一个对合。在将 formula_9 替换为 formula_2 时，为使 formula_10 也有对应，须考虑 formula_1 为巴拿赫*-代数，即配备了一个对合运算 formula_18 的巴拿赫代数，这时 formula_10 就被替换为 formula_20 。由于多项式环 formula_21 是交换环，为得到一个 formula_22 的代数同态，须限制在 formula_7 中的正规元（即满足 formula_24 的成员）上。
须保证：若多项式序列 formula_25 在 formula_3 上一致收敛于一连续函数 formula_27 ，则 formula_1 上的序列 formula_29 收敛于 formula_30 。对这个收敛性的问题进行细致分析之后，就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。
定义.
由于*-同态性质，有以下对任意函数 formula_31 与标量 formula_32 有效的计算规则： 
因此，可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广，它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。
对于单位元的要求并不是一个强的限制。如果需要，可以，得到一个扩大了的C*-代数 formula_33 。对于 formula_34 和满足 formula_35 的 formula_36 ，有 formula_37 和 formula_38 。
下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要：
在泛函分析中，常对正规算子 formula_39 的连续函数演算感兴趣，即 formula_1 是希尔伯特空间 formula_41 上的有界算子所构成的C*-代数 formula_42 的情况。在文献中，通常仅对此情况的自伴算子的连续函数演算作了证明。在这种情况下，证明不需要用到盖尔范德表示。 
性质.
到子代数的等距同构.
连续函数演算 formula_43 是到 formula_2 和 formula_45 所生成的C*-子代数 formula_46 的等距同构，即：
由于 formula_2 是 formula_1 中的正规元，由 formula_2 和 formula_45 生成的C*-子代数是一个交换代数。特别地， formula_53 也是一个正规元，且函数演算的所有成员间都对易。
与其他函数演算的关系.
全纯函数演算可无歧义地扩张为连续函数演算。因此，连续函数演算在多项式 formula_54 上重合于多项式函数演算：
formula_55
其中 formula_56 。
对于 formula_3 上一致收敛于函数 formula_58 的函数序列 formula_59 ， formula_60 收敛于 formula_53 。对于 formula_3 上绝对且一致地收敛的幂级数 formula_63 ，就有 formula_64 。
反函数的连续函数演算.
若有 formula_65 和 formula_66 ，那么它们的函数演算的复合满足 formula_67 。
设有两个正规元 formula_68 满足 formula_69 ，且无论限制在 formula_3 还是 formula_71 上时 formula_72 都是 formula_27 的反函数，那么必然有 formula_74 ，因为 formula_75 。
谱映射定理.
谱映射定理 formula_76 
也成立。
对于 formula_77 ，若有 formula_78 ，那么也有
formula_79
也就是说若 formula_80 与 formula_2 对易，则它也与 formula_2 的在连续函数下的像 formula_53 对易。
与*-同态相容.
设 formula_84 是C*-代数 formula_1 和 formula_86 间的保单位元的*-同态，那么 formula_87 与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说：
formula_88
特别地，连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。
函数性质与像的性质间的关系.
利用谱映射定理，具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质：
这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论，这些结论会在一节中展示。
有界算子代数的谱.
在 formula_1 是希尔伯特空间 formula_41 上的有界算子所构C*-代数 formula_42 的特殊情况下，正规算子 formula_109 的对应特征值 formula_110 的特征向量 formula_111 也将是算子 formula_112 关于特征值 formula_113 的特征向量。设 formula_114 ， 则 formula_115 。
应用.
下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。
谱.
设 formula_1 是一个C*-代数而 formula_117 为其中一个正规元，则对于谱 formula_3 有以下结论：
(z) = \overline{z},&lt;/math&gt; 即 formula_3 是实的。
开方.
设 formula_2 是 C*-代数 formula_1 中的正元，那么对于每一个 formula_134 存在一个唯一确定的正元 formula_135 满足 formula_136 ，即唯一的 formula_137 次方根。
若 formula_138 是自伴元，则至少有：对于每个奇数 formula_139 ，存在唯一确定的自伴元 formula_140 满足 formula_141 。
类似地，对于C*-代数 formula_1 中正元 formula_2 和任意 formula_144 ， formula_145 唯一定义了一个 formula_146 中的正元，并满足 formula_147
若 formula_2 是可逆元，则还可以推广到取负值的 formula_149 。
绝对值.
若 formula_34 且 formula_151 是正元，那么绝对值可由连续函数演算定义为 formula_152 ，因为它在正实数上连续。
设 formula_2 是C*-代数 formula_1 中的自伴元，则存在正元 formula_155 ，使得 formula_156 和 formula_157 成立。 formula_158 和 formula_159 也被称为正部和负部。此外还有 formula_160 。
幺正元.
若 formula_2 是有单位元 formula_45 的C*-代数 formula_1 中的自伴元，那么 formula_164 是幺正元，其中 formula_165 表示虚数单位。反过来，若 formula_166 是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集（即 formula_167 ），那么存在一个自伴元 formula_138 满足 formula_164 。
谱分解定理.
设 formula_1 是一个有单位元的C*-代数，其中有一个正规元 formula_117 。假设谱由 formula_137 个两两不相交的闭子集 formula_173 构成，也就是说 formula_174 。那么就存在投影 formula_175 ，使得下面的命题对任意 formula_176 都成立：
特别是，有分解 formula_182 ，其中 formula_183