常微分方程数值方法

常微分方程数值方法是用以寻找常微分方程（ODE）解的数值近似值的方法。其使用也称作“数值积分”，不过「数值积分」主要是指积分的计算。
很多微分方程无法精确求解。但在工程学等领域的实际应用中，通常只需得到数值近似解。本文介绍的算法可用于计算这种近似值，另一种方法是用微积分技术得到解的级数展开表达。
常微分方程出现于物理学、化学、生物学、经济学等学科中。此外，偏微分方程数值方法中的一部分将偏微分方程转为常微分方程，然后可用本文所述方法求解。
问题.
一阶微分方程是有如下形式的初值问题（IVP）：
其中"f"是函数formula_1，初始条件formula_2是已知向量。“一阶”是说方程中只出现了"y"的一阶导。
在不失高阶系统一般性的前提下，限制(l)式为一阶微分方程，因为高阶ODE可通过引入额外变量转换为更大的一阶方程组。例如，二阶方程formula_3可重写为2个一阶方程：formula_4。
本文介绍IVP的数值方法，并指出边值问题（BVP）需要一套不同的工具：需要在多个点上定义解"y"的值或成分，因此要用不同方法求解BVP，如打靶法（及其变体），或差分、伽辽金法、之类全局方法，都适用于此类问题。
Picard–Lindelöf定理指出，只要"f"是利普希茨连续的，就有唯一解。
方法.
解一阶IVP的数值方法可分为两大类：线性多步法与龙格-库塔法。还可进一步划为显式或隐式，例如隐式线性多步法包括亚当斯-莫尔顿法（Adams-Moulton methods）与（BDF），隐式龙格-库塔法包括对角隐式龙格-库塔法（DIRK）、单对角隐式龙格-库塔法（SDIRK）与基于高斯求积的高斯–拉道法等等。线性多步法中的显式方法有亚当斯-巴什福思法，布彻表（Butcher tableau）为下对角的龙格-库塔法都是显式方法。根据经验，刚性微分方程需要用隐式方案，而非刚性问题则可用显示方案更有效地求解。
所谓（GLM）是上述两大类方法的概括。
欧拉法.
从曲线上任意一点出发，沿与曲线相切的直线移动一小段距离，就能得到曲线上邻近点的近似值。
从微分方程()开始，可用差分近似代替导数"y"′：
重新排列后得到以下公式
利用()可得
此式的应用通常如下：择步长"h"，构造序列formula_6记精确解formula_7的数值估计值为formula_8。受()启发，可用下面的递归方法计算估计值：
这就是（前向）欧拉法，是莱昂哈德·欧拉（1768）描述的方法。
欧拉法是显式方法的一个例子，这是说新值formula_9是根据已知值（如formula_8）定义的。
反向欧拉法.
若不用()，而用近似值
则得到反向欧拉法：
反向欧拉法是隐式方法，这是说需要求解一个方程才能得到新值formula_9。通常用定点迭代或牛顿-拉弗森法（的某种修改版）实现之。
隐式方法求解这方程比显示方法直接代入要花更多时间，选择方法时必须考虑这一成本。隐式方法（如()）的优点是求解刚性方程时通常更稳定，便可以使用更大的步长"h"。
一阶指数积分法.
描述了一大类积分器，近来得到了长足发展。它们至少可以追溯到20世纪60年代。
此处不用()，假设微分方程形式为
或已被局部线性化，围绕背景状态产生线性项formula_12与非线性项formula_13。
将()乘以formula_14，并在时间区间formula_15内精确积分，便构造得到了指数积分：
此积分方程是精确的，但并没有定义积分。
使formula_17在整个区间内不变，可实现一阶指数积分：
推广.
欧拉法往往不够精确。更准确地说，只有一阶（下面将介绍阶的概念），这就促使数学家寻找高阶方法。
一种方法是，用formula_8以及更多之前的值确定formula_9，所谓"多步法"便实现了这种想法。最简单的可能是蛙跳积分法，其是二阶方法，（粗略地说）依赖于2个时间值。
几乎所有实用的多步法都属于线性多步法，形式为
formula_20
另一种方法是在区间formula_21内取更多点。这产生了得名于卡尔·龙格与马丁·威廉·库塔的龙格-库塔法，其中一种4阶方法尤为流行。
高级特征.
要用这些方法求解ODE，需要的不仅是时间步长公式。始终相同的步长效率不高，于是开发了可变步长方法。通常，步长的选择应使每步的（局部）误差低于某容差水平，这意味着方法还要计算误差指标（error indicator），即对局部误差的估计。
这一思想的延伸是在不同阶方法之间动态选择（称作可变阶数方法）。基于理查德森外推法的Bulirsch–Stoer算法之类方法通常用于构建各种不同阶的方法。
其他理想特征还有：
其他方法.
很多方法不在讨论的框架内，如
实时并行方法.
有些IVP要求积分具有很高的时间分辨率和/或很长的时间区间，传统的序列时间步进法无法实时计算（如数值天气预报、等离子体建模与分子动力学中的IVP）。针对这些问题，人们开发了实时并行（PinT）法以便用并行计算缩短运行时间。
早期的PinT法（最早提出于20世纪60年代）最初被研究人员忽视，因为其所需的并行计算架构尚未普及。2000年代初，随着算力的提高，灵活易用的PinT算法——重新吸引了兴趣，它适用于求解各种IVP。的出现使PinT算法获得更多关注，并启动了能用于世界上最强大的超级计算机的算法开发。截至2023年，最流行的方法有Parareal、PFASST、ParaDiag、MGRIT等，
分析.
数值分析不仅包括数值方法的设计，还包括其分析。分析中的3个核心概念是：
收敛性.
若数值解随着步长"h"趋近于0而逼近精确解，则称此数值方法具有收敛性（convergent）。更确切地说，要求对利普希茨函数"f"与每个formula_23，ODE (1)
上述所有方法都收敛。
一致性与阶数.
设数值方法
方法的局部（截断）误差定义为迭代一步产生的误差。即，假设之前的迭代无误差，则是此方法结果与精确解之间的差
若
则称此方法一致（consistent）。若
则称此方法阶数为"p"。因此，阶数不为0的方法是一致的。上文介绍的两种欧拉法(4、6)都是1阶的，因此是一致的。实践中使用的大多数方法阶数更高。一致性是收敛的必要条件，但不是充分条件；方法要收敛，必须同时具有一致性与零稳性（zero-stable）。
一个相关概念是全局（截断）误差，即达到固定时间"t"所需所有步骤中持续存在的误差。明确地说，"t"时刻的全局误差是formula_29，其中formula_30。第"p"阶一步法是收敛的，其全局误差是formula_31。对多阶方法，这一说法不一定成立。
稳定性与刚性.
对某些微分方程，欧拉法、显式龙格-库塔法、多步法（如亚当斯-巴什福思法）之类标准方法会表现出解的不稳定性，其他方法则可能产生稳定的解。方程中的这种“困难行为”（本身不一定复杂）称作“刚性”（stiffness），通常是由于底问题中存在不同时间尺度造成的。例如，机械系统中的碰撞（如碰撞振子中的）发生的时间尺度通常比物体运动的时间尺度小得多，这种差异使状态参数曲线变得非常陡峭。
刚性问题在化学动力学、控制论、固体力学、天气预报、生物学、等离子体物理、电子学等领域中无处不在。克服刚性的一种方法是将微分方程推广到微分包含式，从而允许非光滑性并建立其模型。
历史.
下面是该领域一些重要进展的时间线。
二阶一维边值问题的数值解法.
边值问题（BVPs）通常要离散化，得到近似相等的矩阵问题再数值求解。最常用的一维BVP数值求解方法称作有限差分法。这种方法用点值的线性组合构造描述函数导数的有限差分系数，例如一阶导数的二阶中心差分近似为：
二阶导数的二阶中心差分近似为：
两式中，formula_34是离散域上相邻"x"值间的距离。这样就构建了线性系统，然后可用标准矩阵法求解。例如，待解方程：
下一步是将问题离散化，用线性导数近似，如
并解所得线性方程组。将有如下方程
初看之下，这个方程组似乎有困难，因为方程中没有不与变量相乘的项，但事实上这是错误的。"i" = 1或"n" − 1时，有一项涉及边值formula_38、formula_39，由于两值已知，可以简单地代入，就得到了具有非平凡解的非齐次线性方程组。