莫尔斯理论

在微分拓扑中，莫尔斯理论使人们能通过流形上的可微函数分析流形的拓扑。根据马斯顿·莫尔斯的基本见解，流形上的可微函数在典型的情况下，直接反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和柄分解，并得到关于它们的同调的信息。
在莫尔斯之前，阿瑟·凯莱和麦克斯韦在测绘学中发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量泛函的临界点）。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。
莫尔斯理论在复流形中的类似理论是皮卡第–莱夫谢茨理论。
基本概念.
考虑山地地表表面"M"（或流形）。若函数"f"formula_1给出当点海拔，则formula_2中一点的原像就是一条等高线（或水平集）。等高线的连通组分或者是点，或者是简单闭合曲线，或者是有二重点的闭合曲线。等高线也可能有更高阶的点（三重点等等），但不稳定，可能因地形的轻微变化而消失。等高线中的二重点出现在鞍点或通路。
想象用水淹没等高线下的地形。水位达到"a"时，水下的表面是formula_3，海拔不高于"a"的点。想象一下随着水位上升，这个面的拓扑结构将如何变化。除了当"a"经过临界点的海拔时，"f"的梯度都为0（更一般地，作为切空间之间线性映射的雅可比矩阵不具有最大秩）。也就是说，除非(1)水流注入盆地，(2)覆盖鞍点（山口），或(3)淹没山顶，否则formula_4的拓扑不变。
盆地、山路、山顶（即最小点、鞍点、最大点）这三类临界点，一般与指标（index）有关，即"f"从该点递减的独立方向数。或者说，"f"的非退化临界点"p"的指标是"M"在"p"处切空间的最大子空间的维度，其中"f"的黑塞矩阵是负定的。盆地、山路、山顶的指标分别是formula_5。
考虑更一般的面，令"M"是方向如图所示的环面，"f"还是点到平面的距离。可以再次分析水下面formula_4的拓扑结构如何随水位"a"上升而变化。
从环面底部开始，令formula_7分别是指标为formula_8的临界点，对应最小值、两个鞍点、最大值。formula_9时，formula_4是空集；"a"经过"p"的海拔之后有formula_11，则formula_4是圆盘，它同伦等价于“附着”到空集的一个点（0-胞腔）。接着，"a"越过"q"的海拔时有formula_13，则formula_4是圆柱，同伦等价于附着了1-胞腔的圆盘（左图）。"a"越过"r"的海拔时有formula_15，则formula_4是去圆盘的环面，同伦等价于附着了1-胞腔的圆柱（右图）。最后，"a"高于"s"的海拔后，formula_4便是环面了，即去掉一个圆盘（2-胞腔）并重新附着的环面。
这说明了以下规则：除非"a"越过临界点，否则formula_18的拓扑不变；遇到临界点时，一个formula_19-胞腔会被附着到formula_18，其中formula_19是点的指标。这没有说明两个临界点位于同一高度时会发生什么，可以通过扰动"f"来解决。若是嵌入欧氏空间的景观或流形，这种扰动可能只是稍微倾斜、旋转坐标系。
必须注意不能使临界点退化。设想退化会造成什么问题：令formula_22、formula_23。则0是"f"的一个临界点，但"a"经过0时formula_18的拓扑并不改变。这是因为"f"在0的二阶导formula_25，也就是"f"的黑塞矩阵为0，临界点退化。这种情形是不稳定的，因为将"f"扰动为formula_26，则退化的临界点或者被移除（formula_27）或者分解为两个非退化临界点（formula_28）。
形式发展.
对于微分流形"M"上的实值光滑函数formula_29，"f"的微分为0的点称作"f"的临界点，在"f"下的像称作临界值。若临界点"p"处，二阶偏导数矩阵（黑塞矩阵）非奇异，则"p"称作非退化临界点；若黑塞矩阵是奇异的，则"p"称作退化临界点。
函数formula_30：
formula_31
formula_32时，原点是"f"的一个临界点。若formula_33，则此临界点是非退化的（即"f"具有形式formula_34）；若formula_35，则此临界点是退化的（即"f"具有形式formula_36）。退化临界点的一个不太平凡的例子是猴鞍面的原点。
"f"的非退化临界点"p"的指标（index）是"M"在"p"处的切空间中黑塞矩阵为负定阵的最大子空间的维数。这与指标是"f"递减的方向个数的概念直观对应。临界点的退化性和指标同所用的局部坐标系无关，如西尔维斯特惯性定理所示。
莫尔斯引理.
令"p"为formula_37的非退化临界点。则，在"p"的邻域"U"中存在卡formula_38，使得formula_39且在整个"U"中
formula_40
其中formula_19等于"f"在"p"处的指标。作为莫尔斯引理的推论，可以看到非退化临界点是孤点（关于复数域的扩张，可见复莫尔斯引理。关于推广，见莫尔斯–帕莱引理）。
基本定理.
流形"M"上的光滑实值函数若无退化临界点，则称作莫尔斯函数。莫尔斯理论的基本结果表明，几乎所有函数都是莫尔斯函数。技术上，莫尔斯函数形成了formula_42拓扑中所有光滑函数formula_43的一个开稠密子集，这有时表述为“典型的函数是莫尔斯的”或“通有的函数是莫尔斯的”。
如上述，我们感兴趣的是formula_44的拓扑何时会随着"a"的变化而变化。下面的定理给出了这个问题的一半答案。
我们还有兴趣知道，"a"经过临界点时formula_4的拓扑会怎样变化。下面的定理回答了这个问题。
这些结果是对上一节所述“规则”的推广与形式化。
用前面两个结果以及微分流形上存在莫尔斯函数的事实，可以证明微分流形是CW复形，指标为"n"的临界点都附加了"n"-胞腔。可在临界水平面上安排一个临界点来证明，通常通过类梯度向量场重排临界点来实现。
莫尔斯不等式.
莫尔斯理论可用于证明流形同调的一些有力结果。函数formula_29的指标为formula_19的临界点数量等于“爬升”"f"得到的"M"上CW结构中formula_19-胞腔的数量。利用拓扑空间同调群的秩的交替和等于链群（计算同调用）的秩的交替和，用胞腔链群（见胞腔同调），很明显欧拉示性数formula_61等于
formula_62
其中formula_63是指标为formula_19的临界点数量。同样根据胞腔同调，CW复形"M"的第"n"同调群的秩不大于"M"中"n"-胞腔的数量。于是，第formula_19同调群的秩、即贝蒂数formula_66不大于"M"上莫尔斯函数的指标为formula_19的临界点数量。强化这些事实可得到莫尔斯不等式：
formula_68
特别地
formula_69
都有
formula_70
这给出了研究流形拓扑的有力工具。假设在闭流形上存在莫尔斯函数formula_29，恰有"k"个临界点，则"f"的存在以何种方式限制了"M"？Georges Reeb (1952)研究了formula_72情形，里布球面定理指出，"M"同胚于球面formula_73。formula_74情形只可能出现于少数低维情形，"M"同胚于伊尔斯–柯伊伯流形。
爱德华·威滕 (1982)考虑扰动算子formula_75的德拉姆复形，提出了莫尔斯不等式的解析方法。
用于闭2-流形的分类.
莫尔斯理论可用于对闭2-流形在微分同胚意义上进行分类。若"M"有向，则"M"依其亏格"g"分类，且与具有"g"柄的球面微分同胚：若formula_76，则"M"微分同胚于2-球面；若formula_77，则"M"微分同胚于"g" 2-环面的连通和。若"N"无向，则"M"依正数"g"分类，微分同胚于"g"个实射影空间formula_78的连通和。特别地，当且仅当两闭2-流形微分同胚时，它们同胚。
莫尔斯同调.
莫尔斯同调是理解光滑流形的同调一种很简单的方法。莫尔斯同调使用莫尔斯函数和黎曼度量的一般选择来定义，基本定理是：所得的同调是流形的不变量（即与函数和度量无关），同构于流形的奇异同调；这意味着莫尔斯和奇异贝蒂数一致，并给出了莫尔斯不等式的直接证明。莫尔斯同调在辛几何中的类似物是弗洛尔同调。
莫尔斯–博特理论.
莫尔斯函数的概念可以推广到以非退化流形作为临界点的函数。莫尔斯–博特函数是流形上的光滑函数，其临界集是闭子流形，它的黑塞矩阵在法向上非退化（等价地，临界点处的黑塞矩阵核等于对临界子流形的切空间）。莫尔斯函数是临界流形为0维时的特例（于是临界点处的黑塞矩阵在每个方向上非退化，即无核）。
指标可被自然地认为是一对
formula_79
其中formula_80是不稳定流形在临界流形给定点上的维度，formula_81临界流形维度。若莫尔斯–博特函数在临界轨迹（locus）上被小函数扰动，则在未扰动函数的临界流形上，扰动函数所有临界点的指标将介于formula_80、formula_83之间。
莫尔斯–博特函数非常有用，因为一般的摩尔斯函数不易处理。能直观看到、可轻松计算的函数通常具有对称性。拉乌尔·博特在最初证明博特周期性定理时使用了莫尔斯–博特理论。
圆形函数是莫尔斯–博特函数的例子，其中临界集是圆（的不交并）。
莫尔斯同调也可用于莫尔斯–博特函数；莫尔斯–博特同调中的微分是由谱序列算得。Frederic Bourgeois在研究莫尔斯–博特版本的辛场论时勾勒出一种方法，但由于分析上的巨大困难，这项工作从未发表。