新基础集合论

在数理逻辑中，新基础集合论（NF）是公理化集合论的一种，由蒯因构想出来作为对《数学原理》中类型论的简化。蒯因1937年于《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF（此即其名称的由来）。请注意，此条目大多是在谈论NFU，这是Jensen于1969年所提出，并由Holmes于1998年阐述的一重要变体。
类型论TST.
改进版本的类型论TST的基本谓词是等于和成员关系。TST有一个线性的类型层次：类型0由不加描述的个体组成。对于每个（元-）自然数"n"，类型"n"+1的对象是类型"n"对象的集合；类型"n"的集合有类型为"n"-1的成员。用等号连接的对象必须有相同的类型。下列两个原子公式简洁的描述了定类型规则：formula_1和formula_2（符号仍可改进）。
TST的公理是：
这个类型论比于《数学原理》首次发表的类型论简单许多，因为它还得包括其参数不必然都有同样类型的关系类型。在1914年，诺伯特·维纳展示了如何把有序对编码为集合的集合。这使得以这里描述的集合层次的方式消除了关系类型。
蒯因集合论.
公理和层化.
新基础（NF）是通过放弃TST的类型区别而获得的。NF的公理有：
通过约定，NF的概括模式使用层化公式的概念来陈述，而不直接提及类型。一个公式formula_8被称为是层化的，如果存在从语法片段到自然数的一个函数"f"，使得对于任何formula_8的原子子公式formula_10有"f"("y") = "f"("x") + 1；而对于任何formula_8的原子子公式formula_12，有"f"("x") = "f"("y")。概括接着变成：
对于朴素集合论概括好像是不自洽的，但是在这里不是。例如，不可能的罗素类formula_15不是NF集合，因为formula_16不能被层化。
有序对.
关系和函数在TST（以及NF和NFU）中以通常的方式定义为有序对。首先由Kuratowski在1921年提议的有序对常用的定义对于NF和相关理论有个严重缺陷：结果的有序对必定有比它的参数（它的左和右投影）的类型高2的类型。所以为了决定分层，函数有比它的定义域的成员高3的类型。
如果能以其类型是同它的参数一样的类型的方式定义对（导致一个类型齐平有序对），则关系或函数有只比它的域的成员的类型高1的类型。所以NF和相关理论通常采用蒯因的有序对的集合论定义，这样得出的是类型的类型-齐平的有序对。Holmes（1998）把有序对与它的左和右投影定为原始概念。幸运的是，无论有序对是通过定义或通过假定（就是作为原始概念）而类型齐平，通常是不重要的。
类型齐平有序对的存在蕴涵了“无穷公理”，而NFU +“无穷公理”解释了NFU +“存在着类型齐平的有序对”（它们不是同样的理论，但是区别无关紧要）。反过来，NFU +“无穷公理”+“选择公理”证明了类型齐平有序对的存在。
有用的大集合的可容纳性.
NF（以及NFU +“无穷公理”+“选择公理”，下面描述并已知是相容的）允许构造两种集合，它们都是ZFC和它的真扩展所不允许的，因为“太大”的缘故（某些集合论在真类的名义下接受这些实体）：
NF(U)如何避免集合论悖论.
NF清除了三个周知的集合论悖论。NFU这个{相对}相容的理论也避免了这些悖论，增强了我们对这些理论的信心。
罗素悖论：formula_20不是层化公式，所以不会通过概括的任何推论得出formula_15的存在性。蒯因构造NF的时候大概最关注于这个悖论。
关于最大基数的康托尔悖论利用了康托尔定理对全集的应用。康托尔定理声称（假定ZFC）任何集合的formula_22的幂集formula_23大于formula_22（没有从formula_23到formula_22的单射函数）。但如果formula_27是全集的话，当然有从formula_28到formula_27的单射。为了解决这个问题，我们需要注意到formula_30在类型论中没有意义：formula_23的类型比formula_22的类型高1。正确的有类型版本（它是在类型论中的定理，成立的原因就像康托尔定理在ZF中成立那样）是formula_33，这里的formula_34是formula_22的单元素子集的集合。在这个定理中，使我们感兴趣的特殊实例是formula_36：单元素集合们少于集合们（因此一个元素的集合们少于全体对象，如果我们在NFU中的话）。从全集到这些单元素集合明显的双射formula_37不是一个集合；它不是集合是因为它的定义是非层化的。注意在所有已知的NFU的模型中formula_38都成立；“选择公理”允许我们不只证明有基本元素，而且在formula_39和formula_40之间有很多基数。
我们现在引入某些有用的概念。若集合formula_22满足formula_42，就被称为康托尔式的：康托尔式集合满足通常形式的康托尔定理。集合formula_22满足进一步条件formula_44，即单元素集合映射在"A"上的限制，则不只是康托尔式的而且是强康托尔式的。
下面是关于最大序数的布拉利-福尔蒂悖论。我们定义(跟从朴素集合论)序数是良序排序在相似性下的等价类。在序数上有一个明显的自然的良序排序；因为它是良序排序所以它属于一个序数formula_45。(通过超限归纳法)可直接证明在小于一个给定序数formula_46的序数们上的自然次序的序类型是formula_46自身。但是这意味着formula_45是小于formula_49的序数们的序类型，因此它严格小于所有序数的序类型 -- 但是通过定义，后者是formula_45自身！
在NF(U)中对这个悖论的解决开始于观察到在小于formula_46的序数们上的自然次序的序类型的类型比formula_46的类型高。因此类型齐平有序对的类型比它的参数的类型高1，而常规的Kuratowski有序对高3。对于任何序类型formula_46，我们可以定义比formula_46的类型高1的序类型：如果formula_55，则formula_56是次序formula_57的序类型。T运算的烦琐只是外观上的；可以轻易的证明T是在序数们上的严格的单调(序保持)运算。
我们可以用层化的方式重申关于序类型的引理：在小于formula_46的序数们上的自然次序的序类型是formula_59或formula_60，依赖于使用哪个有序对定义(我们在下文中假定类型齐平有序对)。从此我们可演绎出在小于formula_49的序数们上的序类型是formula_62，从它我们演绎出formula_63。因此T运算不是个函数；我们不能有从序数到序数的严格单调集合映射，它向下映射一个序数！因为T是单调的，我们有formula_64，在序数们中的“递减序列”不能是集合。
某些人已经断言这个结果证实了没有NF(U)的模型是“标准”的，因此在任何NFU的模型中序数们外在的不是不是良序的。我们不接受这种立场，而我们注意到还有一个NFU的定理，任何NFU的集合模型都有非良序的“序数”；NFU不结论出全集"V"是NFU的模型，尽管"V"是集合，因为成员关系不是集合关系。
关于数学在NFU中的进一步开发，和与在ZFC中相同的开发的比较，请参见数学的集合论实现（）。
蒯因在1940年第一版的《数理逻辑》的集合论中，结合了von Neumann-Bernays-Gödel集合论的真类于NF，并为真类包括了一个无限制概括的公理模式。在1942年，J. Barkley Rosser证明了蒯因的集合论遭受Burali-Forti悖论。在1950年，王浩展示了如何修正蒯因的公理来避免这个问题，蒯因在1951年第二和最终版本的《数理逻辑》中包括了结果的公理化。