叠 (数学)

叠（Stack）或2层（2-sheaf）是在范畴而非集合上取值的层。叠用于形式化下降理论的一些主要构造，以及在不存在精细模空间时构造精细模叠。
下降理论关注的是同构、相容几何对象（如拓扑空间上的向量丛）可在拓扑基的限制之下“粘合在一起”的情形的推广。在更一般的情景中，限制推广为拉回；纤维范畴是讨论这种粘合的可能性的良好框架。叠的直观含义是“所有粘合都有效”的纤维范畴。要说明粘合，就要定义能考虑粘合的覆盖；事实证明，描述覆盖的通用语言就是格罗滕迪克拓扑。因此，形式化地说，叠是另一个基范畴上的纤维范畴，前者具备格罗滕迪克拓扑，后者满足的公理确保一部分粘合对格罗滕迪克拓扑的存在性与唯一性。
概述.
叠是代数叠（也称作阿廷叠）和德利涅-芒福德叠的基础结构，推广了概形与代数空间，十分有助于模空间研究。其包含关系是：概形 ⊆ 代数空间 ⊆ 德利涅–芒福德叠 ⊆ 代数叠（阿廷叠） ⊆ 叠。、简要介绍了叠，、、做了更详细的介绍，描述了更高级的理论。
动机与历史.
叠概念源于对有效下降数据的定义。
格罗滕迪克在1959年给塞尔的一封信中指出，构建良好模空间的一个基本障碍是自同构的存在。若某问题的模空间由于有自同构而不存在，那么仍有可能构造一个模叠。
在叠有正式定义之前就研究了椭圆曲线的模叠的皮卡第群。第一个叠的定义见于，“叠”（stack）由引入，取代原法语的champ“场、域”。论文中，他们还引入了德利涅–芒福德叠,，他们称之为“代数叠”，不过这个术语现在一般指提出的阿廷叠。
在用群作用定义概形之商时，可以发现概形与商的理想属性往往不可能共存。例如，若几个点有非平凡的稳定器，那么范畴商不会在概形中，而会作为叠存在。
同样地，曲线、向量丛及其他几何对象的模空间通常最好定义为叠而非概形。模空间的构造一般是先构造能参数化问题对象的大空间，再用群作用取商，以考虑具有自同构的对象，它们被重复计算了。
定义.
抽象叠.
有范畴"c"及到范畴"C"的函子，若对"C"中任意态射formula_1、"c"中任意对象"y"（在函子下都有像"Y"）都有"y"对"F"的回拉formula_2，则函子与范畴"c"统称为"C"上的纤维范畴。这意味着，具有像"F"的态射使任意像为formula_3的态射formula_4可通过"c"中的唯一态射formula_5分解为formula_6，使函子从"h"映射到"H"。元素formula_7称作"y"沿"F"的拉回，在规范同构意义上是唯一的。
若范畴"c"在"C"上纤维化，且对任意"U"、"C"的对象以及"c"中像为"U"的对象"x"、"y"，从上范畴C/U到集合的函子，取formula_8到formula_9是层，则范畴"c"称作前叠。这一术语与层理论中的并不一致：前叠是分离的前层的类似物，而非前层。有人认为，这是叠而非前叠的性质。
若范畴"c"是"C"上的前叠，且每个下降数据（descent datum）都有效，则称范畴"c"是范畴"C"上具有格罗滕迪克拓扑的叠。下降数据大致包括："C"中对象"V"被一族"Vi"覆盖，纤维元素"xi"在"Vi"上，且"xi"、"xj"限制间的态射"fji"到达formula_10，并满足相容条件formula_11。若元素formula_12本质上是元素"x"的拉回，且"x"的像为"V"，则称下降数据有效。
若叠在广群也纤维化，即其纤维（"C"的对象的逆像）是广群，则称之为广群叠或 (2,1)层 。有人用“叠”指更具限制性的广群叠。
代数叠.
代数叠或阿廷叠是广群"X"中、fppf址上的叠，使"X"的对角映射是可表示的，且存在从某概形（与叠相关联）到X的光滑满射。若对从某概形（与叠相关联）到X的每个态射formula_13，纤维积formula_14同构于（与叠相关联的）代数空间，则称叠的态射formula_15是可表示的。叠的纤维积由一般的泛性质定义，并将图交换的要求改为2交换。
对角可表示性背后的动机是：对角态射formula_16是可表示的，当且仅当对代数空间任意一对态射formula_17，其纤维积formula_18可表示。
德利涅–芒福德叠是代数叠"X"，使概形到"X"的平展满射存在。粗略地说，德利涅-芒福德叠可看作是对象没有无穷小自同构的代数叠。
代数叠的局部结构.
自代数叠诞生以来，人们就期望它们是形式为formula_19的局部商叠，其中formula_20是线性约化代数群。最近证明了这一点给定在代数闭域"k"上有限类的拟分离的局部代数叠formula_21，其稳定子为仿射，且formula_22是光滑闭点，有线性约化稳定子群formula_23，其中存在GIT商formula_24的平展覆盖，当中formula_25，使得图formula_26是笛卡尔的，并存在平展态射formula_27在formula_28、formula_29处引起稳定子群的同构。
例子.
叠构造.
叠商.
若formula_47是概形formula_44、"G"是作用于"X"的光滑仿射群概形，则有商代数叠formula_55，将概形formula_56带到"S"-概形"Y"上的"G"扭子的广群，当中"G"等变映射到"X"。明确地说，给定具有"G"作用的空间"X"，就形成叠formula_55，（直观地说）其将空间"Y"送到回拉图formula_58的广群，其中formula_59是空间的"G"等变态射，formula_60是主"G"丛。此范畴中的态射只是图的态射，右侧箭头相等，左侧箭头为主"G"丛的态射。
分类叠.
"X"为点是特殊情形给出了光滑仿射群概形"G"的分类叠"BG"：formula_61这样命名是因为范畴formula_62（"Y"上的纤维）正是"Y"上主"G"丛的范畴formula_63。
注意formula_63本身可视作叠，即"Y"上主"G"丛的模叠。
这个构造的一个重要子例是formula_65，其是主formula_66丛的模叠。由于主formula_66丛的数据等同于"n"秩向量丛的数据，这与"n"秩向量丛formula_68的模叠同构。
线丛的模叠.
线丛的模叠是formula_69，因为每个线丛都与一个主formula_70丛规范同构。事实上，给定概形"S"上的线丛"L"，相对的specformula_71给出了一个几何线丛。去掉零段的像，就得到了主formula_70丛。反过来，可以从表示formula_73重建相关联的线丛。
束（Gerbe）.
束（Gerbe）是广群中的叠，总有非空范畴。例如对群"G"，给每个概形分配概形上主"G"丛的广群的平凡束formula_74。
相对spec &amp; proj.
若"A"是概形"S"上的代数叠"X"中的准相干代数层，则有叠Spec("A")，其推广了交换环"A"的谱Spec("A")的构造。Spec("A")的对象由"S"概形"T"、formula_75的对象"x"、从formula_76到"T"的坐标环formula_77的代数层的态射给出。
若"A"是概形"S"上的代数叠"X"中的分次代数的准相干层，则有叠Proj("A")，其推广了分次环"A"的射影概形Proj("A")的构造。
模叠.
孔采维奇模空间.
另一类得到广泛研究的模空间是孔采维奇模空间，其参数化了亏格固定的曲线与像反映固定上同调类的空间"X"之间的固定映射的空间。这些模空间表示为formula_87并可能有不受控制的行为，如成为分量的维数不相等的可约叠。例如，模叠formula_88有由开子集formula_89参数化的光滑曲线。在模空间边界上，曲线可能退化为可约曲线，存在参数化可约曲线的子叠，其0亏格分量和1亏格分量交于一点，映射将1亏格曲线送到一点。由于所有这样的1亏格曲线都由"U"参数化，且曲线在1亏格曲线的何处相交又有1维选择，因此边界分量的维度为10。
几何叠.
加权射影叠.
构建加权射影空间要取某formula_90对formula_70作用的商簇。特别地，作用将元组formula_92而此作用的商给出加权射影空间formula_93。由于这可看做是叠商，加权射影叠是formula_94取线丛formula_95中加权多项式的趋零轨道，可得叠加权射影簇。
叠曲线.
叠曲线或轨线（orbicurve）可通过取曲线态射对一般点上的覆盖的单值群的叠商来构造。例如，取（通常是平展的）射影态射formula_96域对formula_97的叠商给出带叠点的formula_98，其在formula_99表的第5个单位根处具有稳定群formula_100。这是因为这些点是覆盖的分歧点。
非仿射叠.
非仿射叠的例子如有两个叠原点的半线。其可构造为formula_101的两个包含的上极限。
代数叠上的准相干层.
在代数叠上可构造一个准相干层范畴，类似于概形上的准相干层范畴。
准相干层大致是指局部看起来像环上的模层。第一个问题是明确“局部”：这涉及格罗滕迪克拓扑的选择，有许多选择，都有不能让人完全满意的问题。格罗滕迪克拓扑应足够强大，使叠在其中局部仿射：概形在扎里斯基拓扑中局部仿射，因此它对概形来说是好选择。塞尔发现代数空间和德利涅-芒福德叠在平展拓扑中是局部仿射的，因此通常用平展拓扑来处理它们，而代数叠在光滑拓扑中是局部仿射的，因此这时可用光滑拓扑。对于普通的代数叠，平展拓扑没有足够的开集：如若G是光滑连通群，则分类叠BG的唯一平展覆盖就是各份BG的联合，不足以给出正确的准相干层理论。
一般不把光滑拓扑用于代数叠，而是用其修正，即光滑平展拓扑（Lis-Et拓扑），具有与光滑拓扑相同的开集，但开覆盖由平展给出，而非光滑映射。这通常似乎会导致一个等价的准相干层范畴，但更易使用：例如，它更容易与代数空间上的平展拓扑相比较。光滑平展拓扑有个微妙的技术问题：叠之间的态射一般不会给出对应拓扑斯之间的态射。（问题在于，虽然可据拓扑斯的几何态射的需要，构造一对伴随函子"f"*, "f"*，但"f"*在一般情况下并不精确。这个问题在论文和书籍中造成了很多错误。）这意味着，在叠态射下构造准相干层的拉回需要额外努力。
用更精细的拓扑也是可能的。大多数合理的“足够大”的格罗滕迪克拓扑似乎都能引出等价的准相干层范畴，但拓扑越大就越难处理，所以只要有够多的开集，人们会更倾向于用较小的拓扑。例如，大fppf拓扑与光滑平展拓扑引出的准相干层范畴基本相同，但有个微妙的问题：拓扑中，准相干层到formula_102模的自然嵌入并不精确（一般不保核）。
其他种类的叠.
微分叠与拓扑叠的定义与代数叠类似，只是仿射概形的底层范畴换成了光滑流形或拓扑空间。
更一般地，可定义"n"层或"n"-1叠，大致是一种在"n"-1个范畴上取值的叠。有几种不等价的方法可以做到这一点。1层与层相同，2层与叠相同，称作高阶叠。
一个非常相似的推广是在非离散对象（即空间实际上是代数拓扑中的谱）上发展的叠理论，得到的类叠对象被称为派生叠（或谱叠）。雅各·卢里正在撰写的《谱代数几何》研究了一种推广，他称之为谱德利涅–芒福德叠，根据定义是成环∞拓扑斯，在formula_103环的平展谱上是局部平展的（这概念包含了派生概形的概念，至少在特征为0时如此）。
集合论问题.
叠理论的通常基础存在一些小的集合论问题，因为叠常被定义为集合范畴的某些函子，因此不是集合。有几种方法可以解决这个问题：