二端口网络

二端口网络（）又称双端口网络、双口网络，是四端子网络（四端网络）的一种，是具有2个端口的电路或装置，端口与电路内部网络相连接。一个端口由2个端子组成，当这2个端子满足端口条件，即一个端子流入的电流等于另一个端子流出的电流时，则这2个端子就构成了一个端口，换句话说，也就是相同的电流从同一端口流入并流出。二端口网络的实例包括电晶体的小信号模型（如混合π模型）、电子滤波器以及阻抗匹配网络。被动二端口网络的分析是互易定理的副产物，最初由洛伦兹提出。
二端口网络能将电路的整体或一部分用它们相应的外特性参数来表示，而不用考虑其内部的具体情况，这样被表示的电路就成为具有一组特殊性质的“黑箱”，从而就能抽象化电路的物理组成，简化分析。任意具有4个端子的线性电路都可以变换成二端口网络，且满足不含独立源的条件和端口条件。
描述二端口网络的参数不只有一组，常用的几组参数是分别为阻抗参数Z、导纳参数Y、混合参数h、g和传输参数，每组参数都在下文中有描述。这几组参数只能用于线性网络，因为它们导出的条件是假定任何给定的电路情况都是各种短路和开路情况的线性叠加。这几组参数通常用矩阵表示法表示，通过以下变量建立关系：
如图1所示。这些电流和电压变量在低频到中频情况下是非常有用的。在高频情况下（如微波频率），使用功率和能量变量会更合适，这时二端口电流－电压法就应该由基于S的方法代替。
请注意，四端子网络（four-terminal network）等同于四端网络（quadripole，注意与四极子（quadrupole）区分），但不等同于二端口网络，因为只有2个端子满足流入一个端子的电流等于流出另一个端子的电流时，即满足端口条件时，才能称这2个端子为一个端口，而四端子网络的端子可能无法满足端口条件。因此对于一个四端子网络，只有当连接到其内部电路的2对端子满足端口条件时，这个四端子网络才是一个二端口网络。
一般性质.
二端口网络具有若干常用于实际网络中的特定性质，能大大简化分析。这些性质包括：
阻抗参数（Z参数）.
阻抗参数又称开路阻抗参数，因为计算这一参数时电路满足开路条件Ix=0（其中x = 1, 2，分别表示流过2个端口的输入和输出电流）。
一般形式的开路阻抗矩阵（Z参数矩阵）中，所有的输出电压都用Z参数矩阵和输入电流表示，满足如下矩阵方程：
其中formula_32和formula_33分别是formula_34 阶方阵formula_35和formula_36。一般来说，开路阻抗矩阵中的元素都是复数和频率函数。对于一端口网络，Z参数矩阵缩减为单元素矩阵，变成了2个端子间的普通阻抗。
二端口网络的Z参数矩阵方程的具体形式如下，其中formula_37为二端口网络的开路阻抗矩阵（Z参数矩阵）：
其中
对于n端口网络，以上表达式可归纳为
Z参数矩阵中每一元素的单位均是欧姆。
对于互易网络，formula_6。对于对称网络，formula_43。对于互易无耗网络，所有的formula_44都是纯虚数。
发射极退化的双极型电流镜.
图3展示了一个双极型电流镜，发射极接入电阻是为了增加电流镜的输出电阻。晶体管"Q"1是二极管接法，也就是说其集电极－基极电压为零。图4展示了一个与图3电路等效的小信号电路。晶体管"Q"1由其发射极电阻"rE" ≈ "VT / IE"（"VT" = 热电压，"IE" = Q点发射极电流）表示，这是因为"Q"1的混合π模型中的独立电流源消耗的电流与"rπ"上跨接的电阻1 / "gm"消耗的电流相同，所以这样简化电路是可行的。第二个晶体管"Q2"用其混合π模型表示。表1列出的Z参数表达式使图2中的Z参数等效电路与图4中的小信号电路成为电学等效电路。
电阻"RE"引入的负反馈在参数中有所体现。例如，当电流镜在差分放大器中用作有源负载时，"I1 ≈ -I2"，这使得电流镜的输出阻抗近似为"R22 -R21" ≈ 2 β "rORE" /( "rπ+2RE" )，但是如果未接入负反馈（即"RE" = 0 Ω），输出阻抗仅为"rO"。同时，电流镜基准测的阻抗近似为"R"11 − "R"12 ≈ formula_45 formula_46，仅是一个不大的值，但仍比无负反馈时的阻抗"rE"大。在差分放大器应用中，较大的输出电阻可以增大差模电压放大倍数，这是一个优点，而较小的电流镜输入电阻可以避免密勒效应，因此这也是一个优点。
导纳参数（Y参数）.
导纳参数又称短路导纳参数，因为计算这一参数时电路满足短路条件Vx=0（其中x=1,2，分别表示2个端口上的输入和输出电压）。
一般形式的短路导纳参数（Y参数矩阵）中，所有的输出电流都用Y参数矩阵和输入电压表示，满足如下矩阵方程：
其中formula_33和formula_32分别是formula_34 阶方阵formula_36和formula_35。一般来说，短路导纳参数中的元素都是复数和频率函数。对于一端口网络，Y参数矩阵缩减为单元素矩阵，变成了2个端子间的普通导纳。
二端口网络的Y参数矩阵方程的具体形式如下，其中formula_53为二端口网络的短路导纳矩阵（Y参数矩阵）：
其中
对于n端口网络，以上表达式可归纳为
Y参数矩阵中每一元素的单位均是西门子。
对于互易网络，formula_8。对于对称网络，formula_59。对于互易无耗网络，所有的formula_60都是纯虚数。
混合参数（h参数）.
混合参数（h参数）又称第一类混合参数。下式中的formula_61为二端口网络的混合矩阵（h参数矩阵，第一类混合矩阵）。
其中
对于互易网络，formula_9。对于对称网络，formula_66。
当输出端需要电流放大电路时，这种等效电路常被选用。请注意，混合参数矩阵的非对角线元素均为无量纲量，而对角线元素的量纲互为倒数。
三极管的h参数微变等效电路.
"h"ix、"h"rx、"h"fx和"h"ox分别对应"h"11、"h"12、"h"21和1/"h"22。
共基极放大器.
表2中列出的公式使图6中的晶体管与图8中其相应的小信号低频混合π模型成为h参数等效电路。
图8中：
如上所示，"h"21为负，这是因为一般规定电流"I"1、"I"2流入二端口的方向为正方向。"h"12为非零值表明输出电压对输入电压有影响，也就是说放大电路为双向放大电路；若"h"12 = 0，则放大电路为单向放大电路。
第二类混合参数（g参数）.
下式中的formula_67为二端口网络的第二类混合矩阵（g参数矩阵）。
其中
对于互易网络，formula_10。对于对称网络，formula_72。
当输出端需要电压放大电路时，这种等效电路常被选用。请注意，g参数矩阵的非对角线元素均为无量纲量，而对角线元素的量纲互为倒数。
共基极放大器.
表3中列出的公式使图9中的晶体管与图10中其相应的小信号低频混合π模型成为h参数等效电路。
图10中：
如上所示，"g"12为负，这是因为一般规定二端口电流"I"1、"I"2流入的方向为正方向。"g12"为非零值表明输出电流对输入电流有影响，也就是说放大电路为双向放大电路；若"g"12 = 0，则放大电路为单向放大电路。
传输参数.
传输参数又称ABCD参数、级联参数、传输线参数、F参数、T参数（注意不要与散射传输参数混淆），其定义有多种不同的形式，下面列出两种最常见的等价定义形式。
定义一（ABCD参数）.
最常见的一种定义形式如下，下式中的formula_73为二端口网络的传输矩阵（ABCD参数矩阵、A参数矩阵、T参数矩阵）：
其中
对于互易网络，formula_12。对于对称网络，formula_78。对于互易无耗网络，"A"与"D"为纯实数，而"B"与"C"为纯虚数。
这种表示法是首选方法，因为当参数用于表示二端口的级联时，书写矩阵的顺序与绘制电路图相同，都是从左到右。
下面给出的定义形式是上述定义的变体，下式中的formula_79为二端口网络的反向传输矩阵（反向ABCD参数矩阵、B参数矩阵、T'参数矩阵）：
其中
以上公式中的formula_82和formula_83为负，因为formula_84被定义为formula_85的相反数，即formula_86。采用这一约定的原因是若满足上述关系，一个二端口网络的输出电流与下一个与其级联的二端口网络的输入电流相等。因此，输入电压/电流矩阵向-{}-量可以被直接替换为前一个二端口网络的矩阵方程以构造组合formula_87矩阵。
电话四线传输系统（Telephony four-wire Transmission Systems）的ABCD矩阵是于1977年由P·K·韦伯（P. K. Webb）在British Post Office Research Department Report 630中定义。
定义二（A参数、B参数）.
部分学者将formula_88参数矩阵的元素符号指定为"aij" (i, j = 1, 2)，将逆formula_87参数矩阵的元素符号指定为"bij" (i, j = 1, 2)，二者都很简洁，且不会与电路元件的符号混淆。下列公式中的formula_90为二端口网络的A参数矩阵（传输矩阵、传输参数矩阵、T参数矩阵），formula_91为二端口网络的B参数矩阵（反向传输矩阵、反向传输参数矩阵、T'参数矩阵）。
两种形式满足的关系非常简单，互为逆矩阵，即
请注意，A矩阵、B矩阵分别代表ABCD矩阵、反向ABCD矩阵，不要与定义一中的参数A、B混淆。
基本电路元件的传输参数.
下表列出了一些简单的基本电路元件的反向传输参数矩阵（B参数矩阵）。
二端口网络的组合联接.
当联接2个或2个以上的二端口网络时，组合网络的二端口参数可以通过对组合网络的每一组成部分的参数矩阵进行矩阵代数运算求取。若恰当的选取与二端口联接方式相匹配的二端口参数，矩阵运算将会极为简单，例如串联联接最好用Z参数来描述。
二端口网络的联接中要注意端口的组合规则，因为当连接电势相异的部分时，有一些连接会导致组合网络不满足端口条件，且违反组合规则。要解决这一难题，可以在出现问题的二端口网络输出端接入匝数比为1:1的理想变压器。这一举动并不会改变二端口网络的参数，而且还能保证二端口网络互相联接时满足端口条件。图12和图13中分别展示了串联联接中有关这一问题的一个实例和解决方案。
简表：
串联.
若两个二端口网络以串联方式联接（图11），最好选择Z参数来描述二端口网络。组合网络的Z参数矩阵是由两个独立网络分别的Z参数矩阵相加得到：
两个独立网络的Z参数矩阵方程如下：
此时，formula_98、formula_99、formula_100和formula_85分别满足关系formula_102、formula_103、formula_104、formula_105，故如下关系成立：
因此，串联二端口网络的Z参数矩阵为
如前文所述，有些组合网络不能通过分析结果直接串联得到。一个简单的实例是由电阻"R"1和"R"2组成的L形网络。这一网络的Z参数为：
图12展示了2个串联的相同网络。理论上，由矩阵相加得到的整体"Z"参数为
但是，如果直接分析这一组合网络会得到
二者的分歧在于下方二端口网络中的"R"1被加在输出端口的2个端子间的电阻短接，这就导致2个独立网络中每一网络的输入端口中分别有一个端子无电流流过，但另一个端子仍有电流流入。因此，2个原始网络的输入端口都无法满足端口条件。解决方案是在2个二端口网络中至少一个网络的输出端接入一个理想变压器（图13）。虽然这种方法是教科书上常见的介绍二端口网络原理的方法，在每个独立二端口网络的设计中都使用变压器是否实用是需要考虑的问题。
并联.
若两个二端口网络以并联方式联接（图14），最好选择Y参数来描述二端口网络。组合网络的Y参数矩阵是由两个独立网络分别的Y参数矩阵相加得到：
两个独立网络的Y参数矩阵方程如下：
此时，formula_100、formula_85、formula_98和formula_99分别满足关系formula_118、formula_119、formula_120、formula_121，故如下关系成立：
因此，并联二端口网络的Y参数矩阵为
串－并联.
若两个二端口网络以串－并联方式联接（图15），最好选择h参数来描述二端口网络。组合网络的h参数矩阵是由两个独立网络分别的h参数矩阵相加得到：
两个独立网络的h参数矩阵方程如下：
此时，formula_100、formula_85、formula_98和formula_99分别满足关系formula_104、formula_119、formula_102、formula_121，故如下关系成立：
因此，并联二端口网络的h参数矩阵为
并－串联.
若两个二端口网络以并－串联方式联接（图16），最好选择g参数来描述二端口网络。组合网络的g参数矩阵是由两个独立网络分别的h参数矩阵相加得到：
两个独立网络的g参数矩阵方程如下：
此时，formula_100、formula_85、formula_98和formula_99分别满足关系formula_118、formula_105、formula_120、formula_103，故如下关系成立：
因此，并联二端口网络的g参数矩阵为
级联.
级联又称链联，是将二端口网络输出端口的2个端子分别连接到下一个二端口网络输入端口的2个端子的联接方式。若两个二端口网络以级联方式联接（图17），最好选择ABCD参数来描述二端口网络。组合网络的ABCD参数矩阵是由两个独立网络分别的ABCD参数矩阵进行矩阵相乘得到：
"n"个二端口网络组成的级联网络的参数可以通过对"n"个矩阵进行矩阵相乘得到。若利用"b"参数矩阵计算级联网络的参数，也是通过对"n"个矩阵进行矩阵相乘实现，不过矩阵相乘的顺序必须颠倒：
两个独立网络的ABCD参数矩阵方程如下：
此时，formula_154、formula_155、formula_156和formula_157满足如下关系：
因此，级联二端口网络的ABCD参数矩阵为
下面给出一个实例：
假设一个二端口网络由串联电阻"R"后接并联电容"C"组成，这一网络整体上可以被视为2个结构更为简单的网络的级联：
整个网络的传输矩阵formula_162只需要将2个二端口网络组成部分的传输矩阵进行矩阵相乘即可得出：
因此
散射参数（S参数）.
上述参数都是就端口的电压和电流而言定义的，而S参数是就端口的而言定义的。S参数常用于特高频和微波频率，因为：
S参数矩阵方程定义为
其中formula_168是端口"k"上的入射波，formula_169是端口"k"上的反射波，一般规定formula_168和formula_169与功率的平方根有关，因此二者与波电压有关，定义如下：
每一个端口的入射波定义为
每一个端口的反射波定义为
其中formula_174是每一个端口基准阻抗构成的对角矩阵，formula_175是formula_174的按元素的（element-wise）复共轭矩阵，formula_177和formula_178分别是每一个端口电压和电流的-{列向量}-，且 formula_179。
若假设每一个端口上的基准阻抗均相等，则定义可简化为
其中formula_182是每一端口的特性阻抗。
上述矩阵方程以参数formula_183、formula_184、formula_185和formula_186给出了每一端口的反射功率波与入射功率波的关系。若在端口1加入射功率波formula_187，由其引起的出射波一部分会出现在端口1（formula_188），另一部分会出现在端口2（formula_189）；同理，端口2加入射功率波formula_190，由其引起的出射波一部分会出现在端口1（formula_191），另一部分会出现在端口2（formula_192）。端口1的两股出射波之和为formula_193，端口2的两股出射波之和为formula_194。不过还存在一种特殊情况：按照S参数的定义，若端口2终端接入的负载阻抗与系统阻抗formula_195相等（端口2匹配），那么由最大功率传输定理，formula_194会被完全吸收，这使得formula_190等于零。因此，
同样，如果端口1终端接入的负载阻抗与系统阻抗相等（端口1匹配），formula_187会为零，则
各参数的物理含义和网络特性如下：
对于互易网络，formula_207。对于对称网络，formula_208。对于反对称网络，formula_209。对于互易无耗网络，formula_210且formula_211。
二端口网络的S参数矩阵很常用，是生成的大型网络的高阶矩阵的基本组成部分。
特性参数.
非互易网络的一个典型例子是工作在线性（小信号）条件下的放大器，而互易网络的例子是匹配衰减器。在以下的参数中，按一般约定假设输入和输出分别连接到端口1和端口2。系统额定阻抗、频率以及其他会影响装置的因素也都一定要事先精确规定。
散射传输参数（T参数）.
散射传输参数又称T参数，是从入射波和反射波的角度来定义的参数。T参数与S参数的不同之处，在于T参数是将端口1的信号波与端口2的信号波关联起来，而S参数是将反射波与入射波关联起来。从这一方面来说，T参数与ABCD参数充当了相同的角色，能通过将级联网络组成部分的T参数进行矩阵相乘得到级联组合网络的T参数。同ABCD参数一样，T参数也可称为传输参数。T参数不像S参数一样容易直接测出，但是可以通过S参数非常容易地转换得出。
二端口网络的T参数矩阵与S参数矩阵非常接近，T参数是与归一化入射波和归一化反射波有关，符合如下关系：
另一种定义方式：
MATLAB的RF工具箱插件以及多部著作（如《Network scattering parameters》）均采用第一种定义，而本节的S与T参数的转换公式是基于第二种定义推导的，因此要特别注意，而将第一种定义中的T11和T22交换，T12和T21交换并不会影响定义的正确性。
与S参数相比，T参数的优点在于其只需要将每个级联的独立二端口的T参数矩阵进行矩阵相乘，就能确定若干个级联二端口网络的效果。将二端口网络1、2和3的T参数矩阵分别设为formula_251、formula_252和formula_253，则3个级联的二端口网络的T参数矩阵顺序相乘就能得到组合网络的矩阵formula_254：
如S参数一样，T参数是复值，二者可以直接转换。虽然级联T参数是由独立网络的T参数进行简单的矩阵相乘得到，但是将每个网络的S参数转换为T参数进行运算后，再将级联网络的T参数转换为等效的级联网络S参数是有意义的，因为这种运算方法在实际中常常需要应用。不过在运算完成后，所有端口间的双向复全波互作用就要考虑到。下列等式是S与T参数相互转换的公式。
S参数转换为T参数：
T参数转换为S参数：
参数转换.
其中formula_264，formula_265。
将h参数方程组进行等式变形，得到Y参数方程组的形式：
将第一个式子代入第二个式子：
对第二个式子进行整理：
其中formula_270。
整理后的Y参数方程组为
与Y参数方程组的标准形式进行比较，可以得到以下代换关系：
其中
散射参数（S参数）一般通过直接测量得到，但也可通过与其他参数相互转换导出，下面举出S参数与其他参数的转换公式示例。
二端口S参数可以由等效的二端口Z参数得出，表达式如下：
其中
而formula_182是每一端口的特性阻抗（假定对于2个端口特性阻抗相同）。
上式中的formula_280和formula_281一般用复数表示。注意对于某些特定formula_281值，formula_283将会为0，因此这将导致计算formula_280的表达式中分母formula_283为0。
二端口Y参数可以由等效的二端口S参数得出，表达式如下：
其中
而formula_182是每一端口的特性阻抗（假定对于2个端口特性阻抗相同）。上式中的formula_280和formula_293一般用复数表示。注意对于某些特定formula_280值，formula_283将会为0，因此这将导致计算formula_293的表达式中分母formula_283为0。
二端口S参数也可由等效的二端口Y参数得出，表达式如下：
其中
而formula_182是每一端口的特性阻抗（假定对于2个端口特性阻抗相同）。
电路变换.
输入、输出阻抗和电流、电压增益.
输入阻抗Zin、输出阻抗Zout、电流增益KI、电压增益KV分别定义为：
formula_304。
其中ZL是连接到端口2上的负载阻抗，ZS是连接到端口1上的电源阻抗。
输入阻抗为
不带负载的二端口网络的h参数方程组为
接入负载后
将上式代入h参数方程组，并进行等式变换
其中formula_270。
多于2个端口的网络.
二端口网络非常普遍，如放大器和滤波器都是二端口网络，但是如定向耦合器和等电阻网络有多于2个的端口。下列表示法可用于具有任意端口数的网络：
例如，三端口网络的阻抗参数为下列形式：
而下列参数只限于在二端口网络中应用：