叶状结构

微分几何中，叶状结构（）是"n"-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度"p"，以实坐标空间formula_1的分解为标准嵌入子空间formula_2的陪集formula_3为模型。等价类称作叶状结构的叶（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（formula_4类的）分段线性、微分或解析结构，就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的formula_4类微分叶状结构中，通常"r" ≥ 1（否则formula_6就是拓扑叶状结构）。"p"（叶的维度）称作叶状结构的维度，formula_7称作其余维数。
在数学物理学家关于广义相对论的一些论文中，“叶状结构”用于描述：相关的洛伦兹流形（("p"+1)维时空）分解为"p"维超平面，指定为梯度处处不为零的实值光滑函数（标量场）的水平集；这光滑函数通常被假定为时间函数，梯度处处类时间，因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致，这些超平面通常称作叶状结构的叶。注意，虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构，但这类例子是全局平凡的。虽然（数学）余维-1叶状结构的叶局部上总是函数的水平集，但一般不能在全局这样表达，因为叶可能无限多次通过局部平凡化坐标图，叶周围的完整也可能阻碍叶的全局一致定义函数的存在。例如，虽然3-球面有一个由里布发现的余维1-叶状结构，但闭流形的余维-1叶状结构不能由光滑函数的水平集给出，因为闭流形上的光滑函数必然在最值点有临界点。
叶状结构好比是一种给流形穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上，这些条纹给了流形一个局部乘积结构，不需在局部区域之外一致（不用有良定义的整体结构）：沿着一个条纹走足够远，可能回到不同的邻近的条纹。
叶状图与图册.
为给叶状结构下精确定义，需先定义一些辅助元素。
formula_1中的"矩邻域"是形式为formula_9的开子集，其中formula_10是第"i"个坐标轴上（可能无界）的相对开区间。若formula_11具有形式formula_12，则称"B"具有边界
在下面的定义中，坐标图（coordinate chart）被认为是在formula_14，允许流形具有边界和（凸）角的可能。
"n"-流形"M"上余维为"q"的叶状图（foliated chart）是formula_15，其中formula_16是开集，formula_17是微分同胚，formula_18是formula_19中的矩邻域，formula_20是formula_2中的矩邻域。集合formula_22，其中formula_23称作这叶状图的斑（plaque）。formula_24，集合formula_25称作叶状图的横截（transversal）。集合formula_26称作"U"的切边界（tangential boundary），formula_27称作"U"的横截边界（transverse boundary）。
叶状图是所有叶状结构的基本模型，斑就是叶。formula_20表示“"B"-切”，formula_18表示“"B"-截”。还有多种可能。若formula_30都有空边界，则叶状图就建模了无界"n"-流形的余维-"q"叶状结构。若其中一个矩邻域有界，则叶状图建模了有界无角"n"-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说，若formula_31，则formula_32是斑之并，斑表示的叶状结构切于边界。若formula_33，则formula_34是横截之并，叶状结构横截于边界。最后，若formula_35，则建模了叶状流形（foliated manifold），角分开了切边界与横截边界。
"n"-流形"M"上余维为"q"的formula_36类"叶状图册"（foliated atlas）是余维为"q"的叶状图的formula_4-图册formula_38，只要"P"、"Q"在formula_39的不同图中都是斑，"P" ∩ "Q"在"P"、"Q"中都是开的，它们就是相干叶状结构（coherently foliated）。
重新表述相干叶状图的有效方法是将formula_40写作：
formula_43常写作formula_44，其中
在formula_47上，坐标公式可改写为
formula_49是相干叶状结构这一条件意味着，若formula_50是斑，则formula_51的连通分量位于formula_52的（可能不同的）斑中。等价地，由于formula_53的斑分别是横坐标formula_54的水平集，formula_55都有邻域，其中公式
与formula_57无关。
叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来，形成叶状结构；上述一般定义显得有点笨拙，一个问题是，formula_43的斑可以与多个formula_59的斑相遇。甚至可能出现，一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过，如下所示，假设情形更规则，也不失一般性。
若formula_60是叶状formula_4图册，则"M"上两具有相同余维和光滑度的formula_4类叶状图册formula_63是相干的：formula_64。叶状图册的相干是等价关系。
上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过，我们也可以谈论闭的斑与横截：若formula_65都是叶状图，使得formula_66（"U"的闭包）是"W"的子集，formula_67；则，若formula_68可知formula_69，写作formula_70，将formula_66微分同胚地带到formula_72
符合以下条件的叶状图册称作规则的（regular）：
根据性质 (1)，坐标formula_80延伸到formula_81上的坐标formula_82，可以写成formula_83性质 (3)等价于要求：若formula_84，横坐标变化formula_85独立于formula_86即
有公式
类似论断也适于开图（无覆盖线）。横坐标映射formula_89可视作浸没
公式formula_91可视作微分同胚
它们满足上循环条件，即，在formula_93上，
尤其是，
用上述关于相干性和规则性的定义，可证明每个叶状图册都有规则的相干细化。
叶状结构的定义.
根据实现叶状结构的方式，有几种不同的定义。最常见方式是通过流形分解，得到
定义 "n"维流形"M"的"p"-维formula_4类叶状结构是将"M"分解为不交连通子流形formula_98的并，称作叶状结构的叶（leaf），具有如下性质："M"的点都有邻域"U"和局部formula_4类坐标系formula_100，使得对每片叶formula_101，formula_102的组分都由方程组formula_103描述。则，叶状结构记作formula_104
叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义，"n"维流形"M"的"p"维叶状结构formula_105也许可简单视作"M"的逐对不交、连通浸没的"p"维子流形（叶状结构的叶）的集合formula_106，使得对点formula_107，都有图formula_108，其中"U"同胚于formula_1，包含的"x"使得对每片叶formula_110，与"U"相遇或为空集或为子空间的可数集，其在formula_111中formula_112的像下是前n-p个坐标为常数的"p"维仿射子空间。
叶状结构局部上都是浸没，允许下列定义
定义 令"M"、"Q"是"n"维流形，"q"≤"n"，并令formula_113是浸没，即假设函数微分矩阵（雅可比矩阵）的秩为"q"，则据隐函数定理，"ƒ"在"M"上诱导了余维为"q"的叶状结构，其中的叶定义为formula_114
这定义描述了"n"维流形"M"的"p"维叶状结构formula_105，是由图（chart）formula_116与下列映射复盖的：
这样，对重叠对formula_118，转移函数formula_119定义为
形式为
其中"x"表示前formula_7个坐标，"y"表示后"p"个坐标（co-ordinates），即
将转移函数formula_124拆分为formula_125，作为浸没的一部分完全类似于将formula_126拆分为formula_127，作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此，必须首先证明，余维度为"q"的规则叶状图册都与唯一的余维度为"q"的叶状结构formula_105相关联。
正如证明所示，叶状结构的叶是长度 ≤ "p"的斑链的等价类，也是拓扑浸入豪斯多夫"p"维子流形。接着，我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示，即它们与叶状结构的联系。更具体地说，若formula_63是"M"上的叶状图册、且若formula_39与叶状结构formula_105相关联，则当且仅当formula_132也与formula_105相关联时，formula_63相干。
现在很明显，"M"上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了"M"的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应，换句话说，"M"上余维为"q"的formula_4类叶状结构formula_105是余维为"q"的formula_4类叶状图册的相干类。据佐恩引理，叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是，
定义 "M"上余维为"q"的formula_4类叶状结构是"M"上余维为"q"的最大叶状formula_4-图册。
实践中，通常用较小的叶状图册表示叶状结构，通常还要求是规则的。
在图formula_116中，条纹formula_141与别的图formula_142上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大连通单射浸入子流形，就是叶状结构的叶（leaf）。
若缩小图formula_116，可以写成formula_144，其中formula_145与斑同构，formula_146的点参数化了formula_116中的斑。若择formula_148，则formula_149是formula_116的子流形，与每个斑恰交一次，这叫做叶状结构的局部横截面。注意，由于单值性的原因，全局横截面可能不存在。
"r" = 0的情形比较特殊。实践中出现的formula_6叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说，是以下意义的formula_152类：
定义 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册formula_153，使得坐标变换式
属于formula_155类，但formula_156在坐标formula_57中是formula_4类，其阶数≤ "r"、与formula_57的混合偏导数在坐标formula_160中是formula_155类，则称叶状结构formula_105属于formula_163类。
上述定义是所谓“叶状空间”的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为formula_19的相对紧开子集，允许横坐标formula_89在更一般的拓扑空间"Z"中取值。斑仍是formula_19的相对紧开子集，横坐标公式formula_167的变化是连续的，formula_168在坐标formula_57中属于formula_4类，其阶数 ≤ "r" 、与formula_57的混合偏导数在坐标formula_172中连续。一般要求"M"、"Z"为局部紧可测第二可数空间。这似乎是很狂野的推广，但在一些情形下很有用。
完整性.
令formula_173是叶状流形（foliated manifold）。设"L"是formula_105的叶，"s"是"L"中的路径，我们感兴趣的是"M"中"s"的邻域中叶状结构的行为。直观地说，在叶上可以沿路径"s"行走，同时关注附近所有叶。在他（以下写作"s"("t")）行走时，一些叶可能会“掉落”、变得不可见；另一些可能会突然进入可视范围，渐渐接近"L"；还有些可能会以接近平行的方式跟随"L"，或垂直地打转之类。若"s"是环路，则随着"t"增大，"s"("t")会反复回到同一个点"s"("t"0)，每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化，叫做叶状结构的完整性（holonomy）。
完整性在叶状流形上有多种具体实现方式：叶状丛（foliated bundle）的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。
叶状丛.
最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性，这是庞加莱映射概念的推广。
“第一回归映射”来自动力系统理论。令formula_175是紧"n"-流形上的非奇异formula_176流。应用中，可以想象"M"是个回旋加速器或流体的闭合回路。若"M"有界，则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构formula_105。若知道流的正方向，但不知道其他参数（轨迹形状、速度等），则称底叶状结构（underlying foliation）formula_105有向。假设流有全局横截面"N"，即"N"是"M"的n-1维紧正合嵌入的formula_4子流形，叶状结构formula_105垂直于"N"，每条流线都与"N"相遇。由于"N"的维度与叶的维度是互补的，横截性条件是
令formula_182，考虑"M"中所有序列formula_183的所有堆积点的"ω"-极限集合ω(y)，其中formula_184为无穷大。可以证明，ω(y)是紧非空的，是流线的并。若formula_185则有值formula_186使得formula_187，由此可得
由于"N"是紧的，formula_105横截于"N"，因此集合formula_190是单调递增序列formula_191，并发散。
当formula_182变化，令formula_193，这样定义一个正函数formula_194（第一回归时间），使得formula_195
定义formula_196这是formula_4映射。若流反向，则完全相同的构造会得到逆的formula_198；所以formula_199。这个微分同胚是第一回归映射，τ称作第一回归时间。虽然第一回归时间取决于流的参数化，但"f"显然只取决于有向叶状结构formula_105。可以将流formula_175重参数化，使其保持非奇异、是formula_4类，且方向不翻转，从而使formula_203
流有横截面N的假设是很受限的，意味着"M"是formula_204上纤维丛的总空间。事实上在formula_205上，可将formula_206定义为以下条件生成的等价关系：
等价地，这是加法群Z在formula_205上的作用的轨等价，定义如下
"f"的映射圆柱定义为formula_4流形
由第一回归映射"f"的定义与第一回归时间formula_212的假设，可立即得出映射
流的定义可诱导一个规范formula_4微分同胚
若记formula_216，则formula_205到R的投影诱导了formula_4映射
使"M"变为圆上纤维丛的总空间。这只是formula_220到formula_204的投影。叶状结构formula_105横截于这丛的纤维，限制到每片叶"L"的丛投影π是覆盖映射formula_223，这就是叶状丛（foliated bundle）。
以formula_224的等价类formula_225为基点，formula_226就是原横截面"N"。对formula_204上以formula_228为基点的每个环路"s"，同伦类formula_229的唯一特征是formula_230。环路"s"提升到每条流线中的一条路径，很明显提升formula_231始于formula_182、终于formula_233。微分同胚formula_234也用formula_235表示，称作环路"s"的总整体性。由于只取决于["s"]，因此定义了同胚
称作叶状丛的总整体同胚。
更直观地运用纤维丛，令formula_173是余维为"q"的叶状"n"-流形，令formula_238是纤维丛，具有"q"维纤维"F"与连通基空间"B"。假设所有这些结构都属于formula_239类，若"r" = 0，"B"支持一个formula_240结构。由于"B"上的最大formula_240图册都包含formula_242子图册，因此假设"B"如所期望那般光滑并不失一般性。最后，formula_243，假设"x"有连通开邻域formula_244，和局部平凡化
其中"φ"是formula_4微分同胚（若"r" = 0则是同胚），将formula_247带到积叶状结构formula_248。其中，formula_247是叶为formula_250的连通组分的叶状结构，"L"是formula_105的叶。这是formula_4类“叶状丛”（foliated bundle）formula_253的一般定义。
formula_105垂直于π的纤维（可以说formula_105是垂直于纤维的），π到formula_105的每片叶"L"的限制是覆盖映射formula_257。特别是，每条纤维formula_258都与formula_105的每片叶相遇。纤维是formula_105的横截，与流的横截完全类似。
叶状结构formula_105横截于纤维不能保证叶是"B"的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是formula_262的一个叶状结构横截于纤维
但有无限多叶缺失了"y"轴。在相应的图像中，“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于"x" = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的，即当参数formula_265接近某个formula_266，一些叶“奔向无穷大”。更确切地说，可能有叶"L"，和一条连续路径formula_267使得formula_268，但formula_269在"L"的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流，某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶"L"可能在别处与formula_226相遇，但不能均匀覆盖formula_228的邻域，因此不可能是"B"在π下的的覆盖空间。"F"是紧的时，formula_105对纤维的横截性确实保证了完备性，于是formula_273是叶状丛。
"B"上有图册formula_274，包含开连通坐标图，以及平凡化formula_275，将formula_276带到积叶状结构。置formula_277，并记formula_278，其中（滥用符号）formula_156表示formula_280是将formula_281与规范投影formula_282组合而得的浸没。
图册formula_283的作用类似叶状图册。formula_284的斑是formula_89的水平集，这一族斑通过formula_89，与"F"相同。由于预设了"B"支持某个formula_242结构，据怀特黑德定理，可在"B"上固定一个黎曼度量，择图册formula_39为测地凸的。于是，formula_289总是连通的。若这个交非空，则formula_284的每个斑都正好与formula_291的一个斑相遇。然后，通过设下式，可定义一个完整上循环（holonomy cocycle）formula_292 by setting
例子.
平坦空间.
考虑"n"维空间，是由前n-p个坐标为常数的点组成的子空间之积。这可以用一张图（chart）表示，其基本原理是formula_294，叶或斑formula_2由formula_296枚举。置"n" = 3、"p" = 2，可以类比三维空间：书的2维叶由（1维）页码枚举。
丛.
较平凡的叶状结构例子是积formula_297，叶formula_298（"M"的另一个叶状结构由formula_299给出）。
对流形"F"而言，formula_300的平坦"G"-丛是更一般的一类。给定表示formula_301，具有单值ρ的平坦formula_302-丛由formula_303给出，其中formula_304通过甲板变换作用于万有覆盖formula_305，通过表示ρ作用于"F"。
平坦丛符合纤维丛的框架。若有流形"F"使得formula_306，都有开邻域"U"使得有同胚formula_307（其中"p"1是到第一个因子的投影），则流形之间的映射formula_238是纤维丛。纤维丛产生了由纤维formula_309组成的叶状结构，其叶空间"L"与"B"同构，前者是豪斯多夫流形。
覆盖.
若formula_310是流形间的覆盖映射，"F"是"N"上的叶状结构，则其拉回到"M"上的叶状结构。更一般地，若映射只是分歧覆盖（分歧轨迹横截于叶状结构），则叶状结构就可以被拉回。
浸没.
若formula_311是流形的浸没，则据反函数定理，浸没的纤维的连通组分定义了"M"的余维为"q"的叶状结构。纤维丛是这种类型的一个例子。
不是纤维丛的浸没的一个例子是
这种浸没产生了formula_313的叶状结构，在下列formula_314作用下是不变的：
其中formula_316。formula_317的诱导叶状结构称作（环空的）2维里布叶状结构，或（莫比乌斯带的）2维无向里布叶状结构。它们的叶空间都不是豪斯多夫的。
里布叶状结构.
定义一个潜没
其中formula_319是"n"维圆盘formula_320上的圆柱坐标。这浸没产生了formula_321的叶状结构，在如下Z作用下是不变的：
formula_323的诱导叶状结构被称作"n"维里布叶状结构，其叶空间不是豪斯多夫的。
对于"n" = 2，这给出了实心环面的叶状结构，可由沿边界粘合两个实心环面，来定义3-球的里布叶状结构。奇数维球formula_324的叶状结构也是明确已知的。
李群.
若"G"是李群、"H"是李子群，则"G"就会被"H"的陪集叶化。若"H"在"G"中闭合，则商空间formula_325是光滑（豪斯多夫）流形，将"G"转化为纤维丛，纤维"H"、基为formula_325。这个纤维丛实际上是主的，具有结构群"H"。
李群作用.
令"G"是光滑作用于流形"M"的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，则"G"的轨道定义了"M"的一个叶状结构。
线性叶状结构与克罗内克叶状结构.
若formula_327是非奇异（即无处为零）的向量场，则formula_327定义的局部流拼凑在一起，就定义了维度为1的叶状结构。事实上，给定任一点formula_329，由于formula_327是非奇异的，所以可找到一个关于"x"的坐标邻域formula_331，使得
从几何角度来看，formula_334的流线就是水平集
其中所有的formula_336由惯例，流形是第二可数的，因此类似“长线”这样的叶异常现象会被"M"本身的第二可数性排除。要求formula_327是完全域（例如"M"是紧的），从而要求每片叶都是流线，就可以避开这个难题。
环面formula_338上的一类重要1维叶状结构来自投影于其上的恒向量场。formula_262上的恒向量场
对formula_262中所有平移都不变，因此当投影到环面formula_342时传递到良定义向量场"X"。假定"a" ≠ 0。formula_327产生的formula_262上的叶状结构formula_345的叶具有斜率为formula_346的平行线，这叶状结构在平移下也是不变的，并传递到"X"产生的formula_338上的叶状结构formula_105。
formula_345每片叶的形式是
若斜率是有理的，则所有叶都是与圆同胚的闭合曲线。这时，可取formula_351。对固定的formula_352，formula_353中与formula_354的值对应的点都投影到formula_338的同一点，于是formula_105对应的叶"L"是formula_338中的嵌入圆。由于"L"是任意的，所以formula_105是formula_338对圆的叶状结构。由此很容易得出，这个叶状结构实际上就是纤维丛formula_360，这就是所谓线性叶状结构。
若斜率是无理的，则叶是非紧的，同胚于非紧实线，在环面中稠密（参无理旋转）。每个点formula_361的轨迹永远不会回到同一点，而是在环面上产生“处处稠密”的环绕，会任意接近任何给定的点。于是，轨迹的闭包是整个2维环面。这种情形称作克罗内克叶状结构，得名于利奥波德·克罗内克与
克罗内克稠密性定理 若实数θ不等于π的所有有理倍数，则集合formula_362在单位圆内稠密。
用平行线对formula_1进行叶状结构的类似构造，可得与环面上的线性流相关的"n"-环面formula_364的1维叶状结构。
纬悬叶状结构.
平坦丛不仅有对纤维的线性结构，还有横截于纤维的叶状结构，其叶为
其中formula_366是规范投影。这个叶状结构称作表示formula_301的纬悬。
具体地说，若formula_368，formula_369是"F"的同胚，则formula_112的纬悬叶状结构定义为表示formula_371的纬悬叶状结构，由formula_372给出。其叶空间是formula_373，其中只要对某个formula_374。
纬悬叶状结构最简单的例子是"q"维流形"X"。令formula_375是双射。将纬悬formula_376定义为formula_377对等价关系formula_378的商。
则，"M"自动携带两个叶状结构：formula_380包含formula_381形式的集合；formula_382包含formula_383形式的集合，其中轨道formula_384定义为
其中指数指的是函数"f"与自身复合的次数。注意formula_386，对formula_387也同样。理解叶状结构formula_382等效于理解映射"f"的动力学。若流形"X"已经叶化，则只要"f"是叶间映射，就可以利用这构造增加叶状结构的余维数。
2-环面的克罗内克叶状结构是旋转formula_389（角度为formula_390）的纬悬叶状结构。
更具体地说，若formula_391是2洞环面，formula_392是两个嵌入圆，则formula_105是叶formula_394的3-流形的积叶状结构formula_395。注意formula_396是嵌入环，formula_105横截于formula_398。令formula_399表示formula_204的保向微分同胚群，并择formula_401。将"M"沿formula_402切开，formula_403表示它们的副本。这时，流形formula_404有4个边界分量formula_405叶状结构formula_105横截边界formula_407的叶状结构formula_408，叶的形式为formula_409。
这片叶在4个圆formula_410中与formula_407相遇。若formula_412，则formula_413中的对应点记作formula_414，formula_415通过下列标识，“回到”formula_416：
由于formula_418是formula_204的保向微分同胚，因此与恒同（identity）同痕，由这操作得到的流形同胚于"M"。formula_408的叶则重新组合，产生"M"新的叶状结构formula_421。若formula_421的叶"L" 包含一片formula_423，则
其中formula_425是由formula_426生成的子群。这些Σ'的副本通过标识彼此相连：
其中"g"在"G"上取值。叶完全由formula_429的"G"-轨道决定，可以很简单也可以很复杂。例如若相应的"G"-轨道有限，则叶就是紧的。举个极端的例子，若"G"是平凡的formula_430，则formula_431。若轨道在formula_204中是稠密的，则对应的叶在"M"中也稠密。例如，若formula_418是2π的有理独立倍的旋转，则每片叶都是稠密的。其他例子中，某些叶"L"的闭包formula_434与每个因子formula_435在康托尔集中相遇。在formula_436上也可做类似构造，其中"I"是紧非退化区间。这里，取formula_437，由于formula_438通过所有保向微分同胚逐点固定了，所以可得一个以formula_439的两分量为叶的叶状结构。若在这情形下形成"M' "，就会得到有角叶状流形。无论哪种情形，这种构造都被称作微分同胚对的纬悬，提供了余维为1的叶状结构的有趣例子。
叶状结构与可积性.
假设一切都光滑，那么向量场之间有一种密切关系：给定"M"上不为零的向量场"X"，其积分曲线将给出1维叶状结构（即余维为"n"-1的叶状结构）。
这观察可推广为弗罗贝尼乌斯定理，即分布（流形切丛的"n" − "p"维子丛）与叶状结构的叶相切的充分必要条件是，与分布相切的向量场集对李括号闭合。这也可以解释为，将切丛的结构群从formula_440约化为可约群。
弗罗贝尼乌斯定理中的条件作为可积条件出现，并断言若满足条件，就能约化，因为具有所需块结构的局部转移函数存在。例如，对某（非规范）formula_441（即非零余向量场），余维为1时可定义叶状结构的切丛为formula_442。若处处都有formula_443，则给定的α可积。
由于存在拓扑约束，因此存在全局叶状结构理论。例如，曲面情形中，处处非零向量场只能存在于环面的有向紧曲面上。这是庞加莱-霍普夫定理的结果，指出欧拉示性数需为0。其与切触几何有很多深层联系，专门研究不可积情形。
叶状结构的存在.
给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。证明，任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。