斯特林数

在数学中，史特灵数用于解决各种数学分析和组合数学问题，史特灵数是两组不同的数，均是18世纪由引入并以其命名，以'和'的称呼区分。此外，有时候也将称为第三类史特灵数。
第一类史特灵数.
定义.
可以定义为对应递降阶乘展开式的各项系数，即
formula_1
其中，formula_2（formula_3）即为第一类史特灵数。例如：
则
于是formula_6，
formula_7，
formula_8，
formula_9。
由此可知，formula_2是代数数，或称为有符号（第一类）史特灵数（英语：signed Stirling numbers of the first kind）。
有符号史特灵数的绝对值formula_11可以看作（或直接定义为）把formula_12个元素排列成formula_13个非空圆圈（循环排列）的方法数目。所以formula_11是算术数，或称为无符号（第一类）史特灵数（英语：unsigned Stirling numbers of the first kind）。无符号史特灵数一般可以记为formula_15或formula_16。例如：把formula_17，formula_18，formula_19三个数排列成formula_20个非空圆圈，显然有零种方法；排列成formula_17个非空圆圈，有formula_22，formula_23两种方法；排列成formula_18个非空圆圈，有formula_25formula_26，formula_27formula_28和formula_29formula_30三种方法；排列成formula_19个非空圆圈，有formula_25formula_30formula_28一种方法，所以formula_35formula_36，formula_37，formula_38。可以看到这和前面有符号史特灵数formula_2在formula_40时的结果一致（只是符号差异）。
与有符号史特灵数类似，无符号史特灵数可以定义为对应递进阶乘展开式的各项系数，即
其中，formula_16（formula_3）即为无符号史特灵数。不过要注意，这里的记号formula_16有时候会用来表示高斯二项式系数。
有符号史特灵数和无符号史特灵数有如下关系：
拓展示例.
无符号史特灵数有更多的应用。例如，将formula_12个元素分成formula_13组，每组内的元素再进行排列的方法数目即可用无符号史特灵数formula_16求得。以formula_49为例：
或用有向图表示如下：
递推关系式.
无符号史特灵数有如下递推关系式：
其中，formula_51，且初始条件为
formula_52，formula_53（formula_54）。
有符号史特灵数有如下递推关系式：
第一类史特灵数表.
下表其实是一部分无符号史特灵数，要想获得有符号史特灵数，可以通过它们之间的关系式：
求得。
简单性质.
观察前面的“第一类史特灵数表”，我们可以得到一些简单的性质：
如果formula_60，我们有
或更一般地，如果formula_62，我们有
还有
注：这里记号formula_69表示组合数。
第二类史特灵数.
定义.
与第一类史特灵数类似，可以用递降阶乘定义为
其中，formula_71即为第二类史特灵数，也可以记为formula_72。例如：
即
将递降阶乘展开并合并同类项，得
比较等式两边系数，得
解得
formula_77，formula_78，formula_79，formula_80。
第二类史特灵数计算的是将含有formula_12个元素的集合拆分为formula_13个非空子集的方法数目。例如：对于集合formula_83，若拆分为formula_20个非空子集，显然有零种方法；拆分为formula_17个非空子集，只有formula_83一种方法；拆分为formula_18个非空子集，有formula_88formula_89，formula_90formula_91，formula_92formula_93三种方法；拆分为formula_19个非空子集，有formula_88formula_92formula_91一种方法。于是formula_77，formula_78，formula_79，formula_80。
第二类史特灵数可以使用以下公式进行计算：
取formula_103进行验算，有
即
于是
拓展示例.
将formula_12个人分成formula_13组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成formula_17组，只能所有人在同一组，因此formula_110；若所有人分成formula_111组，只能每人独立一组，因此formula_112；若分成formula_18组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即：
因此formula_114。同理，可以得到formula_115。
递推关系式.
第二类史特灵数有与第一类史特灵数类似的递推关系式：
其中，formula_51，且初始条件为
formula_118，formula_119（formula_54）。
第二类史特灵数表.
下面为部分第二类史特灵数：
简单性质.
观察前面的“第二类史特灵数表”，我们可以得到一些简单的性质：
如果formula_60，我们有
或更一般地，如果formula_62，我们有
还有
其他性质.
贝尔数和第二类史特灵数有如下关系：
两类之间的关系.
第一类和第二类史特灵数可以看作互为逆矩阵的关系：
以及
其中，formula_138是克罗内克尔δ。
拉赫数.
定义.
是由在1954年发现的，因为拉赫数与史特灵数关系密切，所以有时拉赫数也被称为第三类史特灵数。可以用递进阶乘和递降阶乘定义为
或
其中， formula_141即为拉赫数。例如：
即
等式两边展开并合并同类项，得
比较等式两边系数，得
解得
formula_146，formula_147，
formula_148，formula_149。
或
即
等式两边展开并合并同类项，得
比较等式两边系数，得
解得
formula_146，formula_147，
formula_148，formula_149。
以上定义的拉赫数是无符号拉赫数（英语： signed Lah numbers），有符号拉赫数（英语：signed Lah numbers）的定义如下：
或
无符号拉赫数计算的是将含有formula_12个元素的集合拆分为formula_13个非空线性有序子集的方法数目。例如：对于集合formula_83，若拆分为formula_20个非空线性有序子集，显然有零种方法；拆分为formula_17个非空线性有序子集，有formula_165，formula_166，formula_167，formula_168，formula_169，formula_170六种方法；拆分为formula_18个非空线性有序子集，有formula_172formula_173，formula_172formula_175，formula_176formula_177，formula_176formula_179，formula_180formula_181，formula_180formula_183六种方法；拆分为formula_19个非空线性有序子集，有formula_172，formula_176，formula_180一种方法。于是formula_146，formula_147，
formula_148，formula_149。
无符号拉赫数可以使用以下公式进行计算：
有符号拉赫数可以使用以下公式进行计算：
递推关系式.
无符号拉赫数有如下递推关系：
或
其中，formula_196，formula_196，formula_198（formula_62），formula_200
拉赫数表.
下面为部分无符号拉赫数：
简单性质.
观察前面的“拉赫数表”，我们可以得到一些简单性质：
formula_201，
formula_202（formula_54）
如果formula_204，有
formula_201，formula_206
还有
其他性质.
无符号拉赫数计算公式可以作进一步拓展：
无符号拉赫数与两类史特灵数都有关系，关系如下：
取formula_216进行验算，有
即
于是
由无符号拉赫数与两类史特灵数之间的关系，考虑到两类史特灵数之间的关系，有
其中，formula_138是克罗内克尔δ。
三类之间的关系.
三类史特灵数以及乘方、阶乘之间的关系可以用下图表示：