实数的构造

在数学里，实数系统可以透过不同方式被定义。其中，基本方法通过一些公理将实数系统定为一个完备的有序数域。通过集合论公理，可以证明基本方法中给定的公理是绝对的，即是说如果有两个模型都符合那些公理，那么这两个模型必然是同构的。这样的模型须是从更基础的对象构建而成的，而多数的模型的建立都是借助于有理数域。
基本方法.
一个实数系统由一个集合formula_1，formula_1当中的两个不同元素 0 和 1 ，formula_1上的两种二元运算 formula_4 （分别叫做"加法"与"乘法"），以及formula_1上的一个二元关系formula_6（即序关系）构成。
而且这个模型符合以下性质：
有理数域 formula_49符合前三条公理，也就是说formula_49是一个有序域（同时formula_49还满足阿基米德性，所以formula_49是一个阿基米德有序域），但formula_49 不符合最后一条公理。所以戴德金完备性这一点在实数的定义中是不可或缺的。戴德金完备性蕴含了阿基米德性质。若有两个模型符合公理1-4的话，它们必然是同构的，所以在同构意义下只有一个戴德金完备的阿基米德有序域。
附注：当我们说符合以上公理的两个模型： formula_54 和 formula_55是同构时，即是指存在一个保持运算和序的双射。
确切地说存在formula_56满足
塔斯基实数公理.
另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念：一个称之为实数集的集合（记作formula_64）、一个称之为序的二元关系（记作formula_65）、一个称之为加法的二元运算（记作formula_66）和常数formula_67。
序相关公理 formula_68：
加法相关公理 formula_89：
常数formula_67相关公理 formula_99
模型的具体构造.
柯西序列.
首先我们需要一个定义。设formula_102是一个有理数列，如果对于任何正有理数formula_103，存在一个正整数formula_104使得对于所有的整数formula_105，都有formula_106，则称formula_102为有理数的柯西序列。
有理数集formula_49配备上度量formula_109（即一般的绝对值）后便是一个度量空间。而透过一个叫作完备化的过程，可以往度量空间加进新点，从而使得度量空间中的所有柯西序列都收敛到某点。
以下说明实数集formula_110可定义为formula_49对于度量formula_109的完备化。（关于formula_49在其他度量下的完备化，参见p进数。）
记formula_1为由有理数的柯西序列组成的集合。定义两个柯西序列的加法和乘法为：
运算得到的序列依然会是柯西序列。
称两个柯西序列是等价的，如果它们之间的差收敛到0。这样便在formula_1上定义了一个等价关系。以formula_118表示包含序列formula_102的等价类。
设formula_110为包含所有等价类的集合，然后也在formula_110上定义加法和乘法：
同样地，这两个运算是良好定义的。
可以证明formula_124是一个域。我们可以把formula_49嵌入到formula_110——只要把有理数formula_127对应于formula_128便可。
实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的：
称一个实数是正的，即formula_129，当且仅当存在自然数formula_104和正有理数formula_127，使得对一切formula_132有 formula_133。称formula_134当且仅当formula_135。
较难推导的是formula_136的完备性，具体可以参考。
常用的小数记法可以自然地理解为柯西序列，比如说， formula_137的记法意味著 formula_138 是柯西序列 formula_139的等价类。等式formula_140则断定了序列formula_141 和formula_142是等价的，即它们之间的差收敛到formula_143。
把formula_110作为formula_49的完备化有一个好处，那就是这种方法并不限于此例；对于其他度量空间也是适用的。
戴德金分割.
实数可定义为有理数集上的戴德金分割，即是有理数集的一个划分formula_146，其中formula_147都非空，而且"A"的每个元素都小于"B"的任意元素。为方便起见，不妨把划分formula_146以其下组 formula_39来代表，因为给定了 formula_39 就唯一确定了 formula_151。所以直观上，实数formula_127能被formula_153所代表。
具体而言，一个实数formula_127是formula_155 的符合以下条件的一个子集：
以下示范如何以戴德金分割代表根号2：设formula_195。
首先，对于任何自乘小于2的正有理数 formula_196，都存在一个大于x的有理数formula_197 ，而且有formula_198 。选择formula_199 便可。所以我们证明了formula_39 是一个实数。
要证明formula_201成立，只需指出如果formula_202是小于2的有理数，那么存在正的 formula_203 ，且 formula_204。
这种方法的好处是每个实数都对应于唯一的分割。
小数记法.
西蒙·斯蒂文 首先提出了以小数来代表一切数（即现今的实数）的想法。具体地，可以将无限小数展开式作为实数的定义，然后规定像0.9999... 和1.0000... 这样的两种展开式是等价的，再形式化地定义好四则运算和大小次序。这种方法跟柯西序列和戴德金分割这两种构造是等价的，而且它还给出了明确的。这种方法不限于十进制，其他的进位制也是适用的。
用小数来构造的好处是，这跟我们对于实数的基本印象相符。一个证明“完全有序域的所有模型都同构”的标准做法便是，说明任意模型都同构于这个模型，因为我们可以系统地给每个元素建立小数展开式。
超实数.
首先，透过超滤子从有理数构造出超有理数域*Q 。此处的超有理数之定义为两个超整数的比。考虑由*Q里所有有界（或者说有限）元素所组成的环"B"。 "B" 有著唯一的极大理想 "I"，即无穷小量。商环 "B/I" 给出了实数域 formula_1。 注意"B" 并不是*Q的一个内在集合。
此外，这种构造在自然数集上使用了非主超滤子，而其存在性是依赖于选择公理的。
这个极大理想 "I"保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完备性的证明跟柯西序列一节中的论证类同。
超现实数.
每个有序域都可以嵌入到超现实数系统内。而实数组成了一个符合阿基米德性质的极大子域（意味著没有实数是无穷大量）。这种嵌入方式并不是唯一的，尽管有标准的一种方式。
透过整数集（欧多克索斯实数）.
一个较不为人知的构造方法只需用到整数的加法群。 这种方法已由IsarMathLib project正式验证了。 Shenitzer和Arthan将此构造称为欧多克索斯实数。
设formula_206为一函数，若然formula_207是有限集，则称"f"为殆同态。称两个殆同态formula_208 是 几乎相等的，如果集合formula_209是有限集。如此便在殆同态上定义了一等价关系。实数被定义为各个等价类，可简单记为[f]。实数的加法，对应于殆同态的加法运算；实数的乘法，则对应于殆同态的复合运算。最后，称formula_210，若formula_57 是有界的，或者formula_57 在formula_213上无限多次取正值。这样便在实数上建立了全序。