冈布茨

冈布茨（，）是第一个被制造出来的为人所知的具有单单稳态性质的三维凸均匀体，在平面上，单单稳态物体只具有一个稳定和一个不稳定的力学平衡点。1995年俄罗斯数学家弗拉基米尔·阿诺尔德猜想存在这类三维凸均匀体。2006年匈牙利科学家和瓦尔科尼·彼得证明了这类物体存在并构造出来。单单稳态的形态多种多样，它们中大多数都接近圆形并且有着非常严苛的形状公差要求（大约千分之一）。
冈布茨作为第一个被制造出来的单单稳态形状极为出名。它具有如图所示的一个尖顶。该形状解释了一些陆龟是如何利用它们身体的形状在其翻过来以后回到平衡点的。冈布茨的许多副本被捐赠给了一些机构和博物馆，其中最大的一个在中国2010年上海世界博览会上被展出。2017年12月，一个大的冈布茨雕塑被安放在了布达佩斯的Corvin广场。
命名.
如果对物体的「平度」和「扁度」进行定量分析，除球体之外，已发现的单单稳态体近似于球体的，因此，该几何形状被命名为冈布茨（，是匈牙利语中的“球形”）。冈布茨一词最初指的是一种类似香肠的食物：用调味猪肉填充猪胃，类似于肉馅羊肚。在匈牙利文化中有一个关于拟人化冈布茨吞食人的故事。 
历史.
在几何学上，具有一个稳定的平衡位置的物体被称作单稳态的。单单稳态是为了描述一个仅具有一个稳定平衡位置和一个不稳定平衡位置的物体而创造的术语。（先前已知的不符合单单稳态的定义，因为它具有三个不稳定的平衡点）一个质心偏离了几何中心的球是单单稳态体，不倒翁则是一个更常见的例子（见左图）。它不仅具有较低的质心，而且具有特定的形状。在平衡状态下，质心和触地点在垂直于地面的直线上。推动玩具时，其质心上升，偏离该直线。这会产生一个使玩具回到平衡位置的扶正力矩。
上述例子中的单单稳态体不可能是均匀的，也就是说，它们的材料密度在其整体上是变化的。俄罗斯数学家弗拉基米尔·阿诺尔德于1995年提出了一个问题，即是否可以构造一个具有单单稳态且又均匀的三维凸多面体（凸集）。凹凸性对于单单稳态很重要，因为构造单单稳态非凸多面体很容易（例如，内部有空腔的球）。凸多面体是指物体上任意两点之间的直线段均在物体内部，换句话说，该表面没有凹陷区域，而且每个点都向外突出（或者至少是平坦的）。从经典四顶点定理的几何和拓扑概论中已经知道，平面曲线具有至少四个曲率极值，更确切地说，这函数有至少两个局部极大值和至少两个局部极小值（请参见右图），表示在二维中不存在凸多边形的单稳态体。人们普遍认为三维物体应该有至少4个极值，而阿诺德推测此数字可能会更小。
数学解.
2006年，加博尔·多莫科什和彼得·瓦尔科尼于解决了上述问题。加博尔·多莫科什是一名工程师和建筑师，当时是布达佩斯科技经济大学的力学材料结构系主任。自2004年起，他成为了匈牙利科学院最年轻的成员。彼得·瓦尔科尼受过工程师和建筑师培训，他是加博尔·多莫科什的学生，并且是1997年国际物理奥林匹克竞赛的银牌得主。2006年至2007年在普林斯顿大学担任博士后研究员后，他担任布达佩斯科技经济大学的助理教授。加博尔·多莫科什以前一直在研究单单稳态问题。1995年，他在汉堡的一次主要数学会议上遇到了阿诺德，在那儿，阿诺德作了一次阐述了大多数几何问题都有四个解或极值点的报告。但在一次个人讨论中，阿诺德质疑单单稳态体是否需要四个极值点，并鼓励多加博尔·多莫科什寻找平衡性较小的例子。
该结果的严格证明过程可以在他们的工作参考中找到。总体来说，确实存在并且不是唯一的具有一个稳定平衡点和一个不稳定平衡点的三维均质凸多面体（单单稳态体）。这种单单稳态体很难形象化地描述和识别。它们的形态与任何经典的其他的平衡几何类别都不同。它们应具有最小的平度，并且为避免具有两个不稳定平衡点，还必须具有最小的扁度。它们是唯一同时具有最小的平整度和薄度的非退化对象。它们对外部形状微小的变化是非常敏感的。例如，加博尔·多莫科什和彼得·瓦尔科尼的第一个解决方案非常类似于球体，其形状偏差仅为10−5。由于其很难通过实验进行测试，所以被舍弃了。后来，他们又发表了对形状敏感度较低的方案，形状偏差为10−3，即，10厘米的偏差为0.1毫米。
加博尔·多莫科什和他的妻子通过分析卵石并记录其平衡点，开发了形状分类系统。在一次实验中，他们测试了在希腊罗得岛海滩上收集的2,000个卵石，但没有在其中发现任何单单稳态体，这说明了发现或建造这样一个单单稳态体的难度。
加博尔·多莫科什和彼得·瓦尔科尼的方案是构造具有弯曲的边缘，类似于具有压缩顶部的球体。上图为处于平衡状态的单单稳态体。通过将图形绕水平轴旋转180°可获得其不稳定的平衡位置。从理论上讲，它将停留在那儿，但是最小的扰动会使它回到稳定点。特别是，其平度和扁度极小，这是具有此属性的唯一非退化对象类型。加博尔·多莫科什和彼得·瓦尔科尼致力于找到一种多面体解决方案，其表面由最少数量的平面组成。如果有人找到一种多面体的面，边和顶点的最小数目F,E和V，将会被奖励一百万除以C=F+E+V-2美元的奖金，其中C为单单稳态多面体的机械复杂性。显然，人们可以用有限数量的离散表面来近似曲线曲线。但是，他们估计要实现这一目标将需要数千个平面。他们希望通过奖励的方式来激励大众找到与他们不同的解决方案。
与动物的联系.
冈布茨的平衡特性与带外骨骼动物（例如乌龟和甲虫）的“扶正响应”（即倒置时可以转身回正的能力）异曲同工。这种能力在战斗中或者抵抗掠食者时至关重要。冈布茨仅存在一个稳定点和一个非稳定点，这意味着无论如何推动或旋转，它都会恢复到这个平衡状态。相对扁平的动物（例如甲虫）在很大程度上依赖于通过移动其肢体和翅膀来恢复爬行姿势，而许多圆拱形乌龟的四肢太短，无法用来矫正自己。
加博尔·多莫科什和彼得·瓦尔科尼用了一年的时间在布达佩斯动物园，匈牙利自然历史博物馆和布达佩斯的各种宠物商店里测量乌龟，并对它们的外壳进行数字化和分析，试图在几何学中“解释”它们的身体形状和功能。他们的第一篇生物学论文在被拒了五次后才最终被生物学杂志《皇家学会报告》所录用。随即，它被数个科学期刊所报道，包括科学期刊《自然》和《科学》。报道表明，陆龟的扁平壳有利于游泳和挖掘，但是，锋利的外壳边缘阻碍了其翻滚。这些乌龟通常有长长的腿和脖子可以用来推动地面，得以在倒置时能恢复正常位置。相反，“更圆”的乌龟很容易自行滚动，再加上其肢体较短，因此在失去的平衡时很少使用它们。圆拱壳还可以更好地抵抗捕食者的压碎颚和更好地进行温度调节。
一些古生物学家已经使用冈布茨理论解释了乌龟的体型。例如，现代生物力学的先驱之一罗伯特·麦克尼尔·亚历山大将该理论应用到了在2008年有关进化优化的全会报告中。
与岩石、鹅卵石和柏拉图立方体的联系.
冈布茨的发现推动了有关自然形状演变的研究：尽管冈布茨形状的鹅卵石几乎没有，但几何形状和静态平衡点数量之间的联系似乎是理解自然形状演变的关键：实验和数值证据表明，自然磨损会减少沉积颗粒静态平衡点的数量N。这项观察有助于确定控制这一过程的几何偏微分方程，这些模型不仅为火星卵石的起源和小行星奥陌陌的形状提供了重要证据。
尽管由于碰撞和摩擦磨损而产生的碎屑都逐渐消除了平衡点，但是其仍无法成为冈布茨的形状。最终，具有N = 2个平衡点的形状似乎成为了自然演化过程无法达到的终点。同样的不可见的起点似乎是具有N = 26个平衡点的立方体，这证实了柏拉图的四个古典元素和具有五个柏拉图立体的宇宙的假说，尤其是他用立方体确定了地球元素。尽管这一说法长期以来仅被视为一个隐喻，但最近的研究证明了它在定性上是正确的：自然生成的碎片的碎片形状可以用多面体来近似，这些碎片的面、顶点和边的统计平均值分别为6，8和12，这与其相对应的立方体是一致的。这在洞穴比喻中有很好的体现，柏拉图认为直观可见的物理世界（自然产生的碎屑）可能是现象真正本质（立方体）的扭曲阴影。
这一结果受到了包括《科学》、《》、《量子杂志》、《连线》、《Futura-Sciences》、意大利语版的《科学美国人》和希腊日报《》在内的著名科学期刊广泛报道。2020年，《科学》将该文章列为年度十大最有趣的研究，并在“年度突破，顶级在线新闻和科学书籍重点”播客中，新闻编辑David Grimm与主持人Sarah Crespi讨论了四个最著名的研究项目，并称冈布茨研究为迄今为止最具哲学意义的论文。
工程应用.
由于近似于球体，单单稳态体对精度要求很高，设计制造一个冈布茨所需求的加工精度是惊人的（&lt;0.01％）。但如果抛开均质性这一要求的话，作为一个几何参考，冈布茨能够很好地帮助人们找到底部带重物物体实现自稳定特性的最优形状。
这激发了由宾夕法尼亚大学的领导的工程师团队的灵感，他们设计了一种类冈布茨结构的笼子，用于帮助无人机在空中碰撞后保持稳定。
由麻省理工学院和哈佛大学的罗伯特·兰格领导的团队设计了一种受冈布茨启发的胶囊，该胶囊可在胃中释放胰岛素从而代替1型糖尿病患者的注射剂。该设计的关键在于使胶囊能够达到胃中的特定位置的特性，该特性是在胶囊的重量分配，形状设计和自稳定性优化下共同实现的。在论文中，研究者研究了有关冈布茨的论文和乌龟壳的几何形状后，通过优化制造了一个轮廓几乎与冈布茨的正面相同单单稳态胶囊。
在争夺2017年美洲杯帆船赛时，新西兰酋长队开发了一种模拟软件用以优化其双体船的性能。并决定根据船的所需单单稳态平衡设计需求将为软件命名为“冈布茨”，以表彰纪念致力于冈布茨形状开发的相似优化工作。冈布茨软件正迅速成为所有性能艇的海军建筑师的标准工具。
制造.
冈布茨严格的形位公差极大的限制了它的制造。2006年夏，第一个冈布茨样板由三维快速成型技术制造了出来，然而，由于它的加工精度低于所需要求，导致了它经常卡在中间位置而不能恢复到稳定的平衡状态。后来，通过选用不同的结构材料和使用数控机床加工，其制造工艺得到了极大的提升。特别地，由于透明（特别是浅色材料）固体材料能更好地表现出其均质性，因此在视觉上更吸引人。目前用于制造冈布茨的材料包括各种金属、合金和塑料（例如有机玻璃聚甲基丙烯酸甲酯）。除了数控铣削加工之外，还发明了一种特殊的混合技术（铸造铣削结合）来生产功能强大但质量轻且价格合理的冈布茨模型。
冈布茨模型的平衡特性很容易受到其机械缺陷和表面灰尘的影响。一旦其发生损坏，恢复原始形状的过程要比重新制造一个复杂得多。虽然从理论上讲，平衡特性不应该取决于材料和物体的大小，但实际上，较大和较重的冈布茨模型更容易在出现缺陷的情况下保持平衡特性。
冈布茨模型.
2007年，一系列冈布茨模型被制造了出来，这些模型都被冠以唯一的数字编号N（N的取值范围为1≤N≤Y，其中Y表示当前年份），且每个编号仅被使用一次，需注意的是，冈布茨的制造顺序与N的顺序无关。
最初的冈布茨模型是通过快速成型法制造的，通过使用密度相同的不同材料将其序列号打印在模型内部。现在的冈布茨都是通过数控机床加工（CNC）制成的，对于每一个冈布茨模型的加工，都需要制造对应的一次性夹具。
在弗拉基米尔·阿诺尔德70岁时，和彼得·瓦尔科尼向其赠送了第一个带单独编号的冈布茨模型（冈布茨001）。该模型随后被阿诺尔德教授捐赠给了斯捷克洛夫数学研究所展出。
现有的大部分带编号的冈布茨模型都是私人所有的，很多都是在全球知名机构中被展出。这些模型中的大多数都是通过捐赠计划到达的其现所在地。
现有两种不带序列号的冈布茨模型。一是为中国2010年上海世界博览会会制作的11件刻有匈牙利馆的徽标的冈布茨作品。二是作为由每三年颁发一次的斯蒂芬·斯马德数学奖的徽章。
有关每个冈布茨作品的详细信息，请参见下表。单击地图或在线手册 获取更多信息。
艺术.
冈布茨启发了许多艺术家进行创作。