余调

在同调论与代数余链中，余调表示由与拓朴空间相关的阿贝尔群组成的序列，经常由余链复形定义。余调可以被视为给予空间（比同调）更丰富的代数不变量的方式。某些余调是将同调的建构对偶化产生的。换言之，余链是同调论中链群上的函数。
这个概念一开始是在拓扑学中，到20世纪后半变成数学的一个主要方法。从原先将同调作为建构拓朴空间的代数不变量的方法，现今同调与余调理论的应用已遍布几何与代数。余调是个反变的理论，而在很多应用中比同调更自然，但术语使上述事实变得不明显。基础地看，这与几何的情况中的函数与拉回有关：给定空间 X、Y 、 Y 上的某种函数 F ，对任何映射 f : X → Y ，与 f 的复合会产生在 X 上的函数 F ∘ f 。最重要的一些余调论有一种积，称为杯积，使其具有环的结构。所以，余调常是比同调更强的不变量。
广义上的同调理论（其他代数或几何结构的不变式，而不是拓扑空间的不变式）包括：代数K理论，李代数同调，晶体同调等。
奇异上同调.
奇异上同调是拓扑学中一个强大的不变量，将分次交换环同任意拓扑空间联系起来。每个连续映射formula_1都决定了从"Y"的上同调环到"X"的上同调环的同态，这对"X"到"Y"的可能映射施加了强有力的限制。上同调环不同于同伦群等更微妙的不变式，对于感兴趣的空间来说，实际上往往是可以计算的。
对拓扑空间"X"，奇异上同调的定义始于奇异链复形：
formula_2
由定义，"X"的奇异同调是这链复形的同调（一个同态的核对前一个的像取模）。更详细地说，formula_3是从标准"i"单纯形到"X"（称作“"X"中的奇异"i"单形（simplice）”）的连续映射集的自由阿贝尔群；formula_4是第"i"个边界同态。"i"为负数时，群formula_3为零。
现固定一个阿贝尔群"A"，把每个群"Ci"换成其对偶群formula_6；把formula_4换成对偶同态
formula_8
这会把原复形的“所有箭头都逆转”，留下上链复形
formula_9
对任意整数"i"，"X"的第"i"个系数在"A"中的上同调群定义为formula_10记作formula_11"i"为负数时，群为零。formula_12的元素称作奇异"i"上链，系数在"A"中。（等价地，"X"上的"i"上链可从"X"中到"A"的奇异"i"单形集函数中辨别出来）ker("d")、im("d")中的元素分别称作上循环和上边界（coboundary），formula_13的元素则称作上同调类（因为是上循环的等价类）。
下文时而省略系数群"A"不写。通常取"A"为交换环"R"，则上同调群为"R"模。标准的选择是整数环Z。
上同调的一些形式性质与同调基本一致：
另一方面，上同调有同调没有的重要结构：对任意拓扑空间"X"与交换环"R"，有称作上积的双线性映射：
formula_25
从奇异上链的明确公式定义。上同调类"u"与"v"的积写作"u" ∪ "v"或只是"uv"，这个积使得直和
formula_26
变为分次环，称作"X"的上同调环，在如下意义上是分次交换环：
formula_27
对任意连续映射formula_28，拉回formula_29是分次"R"代数的同态。可见，若两空间同伦等价，则它们的上同调环就同构。
下面是上积的一些几何解释。除非另有说明，否则默认流形无界。闭流形是（不含边界）紧流形，而流形"M"的闭子流形"N"是"M"的闭子集的子流形，不必是紧流形（不过，若"M"紧，则"N"必紧）。
非常不正式地说，对任意拓扑空间"X"，formula_37的元素都可认为是可在"X"上自由移动的余维度为"i"的子空间。举例来说，定义元素的一种方法是给出从"X"到流形"M"的连续映射"f"，以及"M"的余维度为"i"的闭子流形"N"，且在法丛上有向。形式上说，可将结果类formula_38视为位于"X"的子空间formula_39上；这是合理的，因为类formula_40在开子集formula_41的上同调中限制为零。上同调类formula_40可在"X"上自由移动，即"N"可被"M"内"N"的任意连续变形所代替。
例子.
下面默认上同调系数为整数。
对角.
上积可视作来自对角映射formula_84也就是说，对于具有上同调类formula_85的任意空间"X"、"Y"，有外积（或叉积）上同调类formula_86类formula_87的上积可定义为外积的对角线拉回：
formula_88
另外，外积也可用上积定义。对空间"X"、"Y"，将两投影分别写作formula_89，则formula_85两类的外积就是
formula_91
庞加莱对偶性.
庞加莱对偶性的另一种解释是，闭有向流形的上同调环在强意义上是自对偶的。也就是说，令"X"为"n"维闭紧有向流形，"F"为域。则formula_92同构于"F"，积
对每个整数"i"是完美配对。特别地，向量空间formula_94具有相同的（有限）维度。同样，积分上同调模挠、在formula_95中取值的积是Z上的完美配对。
示性类.
拓扑空间"X"上秩为"r"的有向实向量丛"E"决定了"X"上的上同调类，即欧拉类formula_96χ。非正式地说，欧拉类是"E"的一般截面的零集类。"E"若是光滑流形"X"上的光滑向量丛"E"，这种解释会更明确，因为此时"X"的一般光滑截面会在"X"的"r"余维子流形上归于零。
在上同调取值的向量丛还有其他几种示性类，如陈类、施蒂费尔–惠特尼类、庞特里亚金类等。
艾伦伯格–麦克兰恩空间.
对任意阿贝尔群"A"与自然数"j"，有空间formula_97，其第j个同伦群同构于"A"，其他同伦群均为零。这样的空间叫做艾伦伯格–麦克兰恩空间，对上同调是分类空间：有formula_98的自然元素"u"，每个空间"X"上每个度为"j"的上同调类都是"u"对某连续映射formula_99的拉回。更确切地说，类"u"的拉回对每个具有CW复形上同调类型的空间"X"给出了双射
当中formula_101表示"X"到"Y"的连续映射的同伦类集合。
例如，空间formula_102（同伦等价意义上）可看作是圆formula_46，所以上面的描述说，formula_104的每个元素都是通过某映射formula_105从formula_46是哪个一点的类"u"拉回的。
对系数在任意阿贝尔群"A"（如CW复形"X"）中的第一上同调，都有相关的描述：formula_107与具有群"A"的"X"的伽罗瓦覆叠空间的同构类集（也称为"X"上的主"A"丛）一一对应。对连通的"X"，formula_107同构于formula_109，曲线formula_110是"X"的基本群。例如，formula_111分类了"X"的双覆叠空间，元素formula_112对应平凡双覆叠，即两个"X"的不交并。
下积.
对任意拓扑空间"X"、任意整数"i"、"j"、任意交换环"R"，下积是双线性映射
得到映射
使"X"的奇异上同调成为"X"的奇异上同调环上的模。
formula_115时，下积给出了自然同态
其是"R"域的同构。
例如，令"X"是有向流形，不必是紧的。则其余维为"i"的闭有向子流形"Y"（不必紧）确定了formula_24中的一个元素，"X"的紧有向"j"维子流形"Z"确定了formula_118中的一个元素。下积formula_119可通过扰动"Y"、"Z"使其横截相交，再取交集的类（即j-i维紧有向子流形）进行计算。
"n"维闭有向子流形"X"在formula_120中具有基本类formula_121。庞加莱对偶同构
formula_122
可通过与"X"的基本类的下积定义。
奇异上同调简史.
上同调是现代代数拓扑的基础，但在同调论发展了40余年后，人们才意识到其重要性。亨利·庞加莱证明庞加莱对偶定理用的“对偶单元结构”概念即是上同调思想的雏形，但后来才被发现。
这与M的上同调的上积很相似。
层上同调.
层上同调是奇异上同调的丰富推广，允许更一般的系数，而不限于阿贝尔群。对拓扑空间"X"上任意的阿贝尔群层，有上同调群formula_125（"i"为整数）。特别地，"X"上的常层与阿贝尔群"A"相关联的情形下，所得的群formula_126与"X"的奇异上同调（流形或CW复形）重合（并非对任意"X"都成立）。20世纪50年代开始，层上同调成为了代数几何与复分析的核心部分，部分原因是正则函数层或全纯函数层的重要性。
亚历山大·格罗滕迪克用同调代数优雅地定义、描述了层上同调。其要点在于固定空间"X"，并将层上同调视作从"X"上的阿贝尔范畴层到阿贝尔群的函子。首先，取从"X"上的层"E"到其在"X"上的非局部截面的阿贝尔群的函子，即"E"("X")，它是左正合函子，而不必右正合。格罗滕迪克定义层上同调群为左正合函子formula_127的右导出函子。
这定义可以有很多推广。例如，可定义拓扑空间"X"的上同调，其系数可以在层的任意复形中，早先称作超上同调（现在则只叫做“上同调”）。从这角度来看，层上同调成了从"X"上的层导出范畴到阿贝尔群的函子序列。
更广义地讲，“上同调”常用作阿贝尔范畴上的左正合函子的右导出函子，而“同调”则是右正合函子的左导出函子。例如，对于环"R"，Tor群formula_128在每个簇形成“同调”，即"R"模的张量积formula_129的左导出函子。同样，Ext群formula_130可视作是每个簇中的“上同调”，c即Hom函子formula_131的右导出函子。
层上同调与一种Ext群相关：对拓扑空间"X"上的层"E"，formula_125同构于formula_133，当中formula_134表示与整数Z相关联的常层，Ext取"X"上的层的阿贝尔范畴。
簇的上同调.
有很多构造可计算代数簇的上同调。最简单的情形是确定formula_135特征域上光滑射影簇的上同调。霍奇理论有叫做霍奇结构的工具，有助于计算这些簇类的上同调（增加了更精细的信息）。最简单的情形下，formula_136中的光滑超平面的上同调可仅根据多项式的度确定。
考虑有限或特征为formula_137的域上的簇，需要更有力的工具，因为同调/上同调的经典定义被打破了：有限域上的簇只能是有限点集。格罗滕迪克提出了运用格罗滕迪克拓扑的想法，并用平展拓扑上的层上同调定义有限域上的簇的上同调论。利用特征formula_137域上的簇的平展拓扑，可构造formula_139进上同调（formula_140）：
若有有限类型的概形
则只要簇在两个域上都光滑，formula_143的贝蒂上同调和formula_144的formula_139进上同调的维度就相等。此外，还有韦尔上同调论，与奇异上同调的行为类似。有一种猜想，其理论动机是所有韦尔上同调论的基础。
另一个有用的计算工具是爆破序列（blowup sequence）。给定余维度formula_146的子概形formula_147，有笛卡儿平方
由此，有相关的长正合序列
若子簇formula_150光滑，则连通态射均平凡，因此
此外，利用法丛formula_152的陈类，爆破的上同调环很容易计算，公式为
公理与广义上同调论.
拓扑空间的上同调有多种定义（如奇异上同调、切赫上同调、亚历山大–斯潘尼尔上同调或层上同调）（此处层上同调只考虑系数在常层中）。这些理论对某些空间给出了不同结果，但对一大类空间都是一致的，这从公理上最容易理解：有一系列属性称作艾伦伯格-斯廷罗德公理，任意两个满足其的构造至少在所有CW复形上都一致。同调论和上同调论都有公理版本。有些理论可作为计算特殊拓扑空间的奇异上同调的工具，如单纯复形的单纯上同调、CW复形的胞腔上同调、光滑流形的德拉姆上同调。
上同调论的艾伦伯格-斯廷罗德公理之一是维度公理：若"P"是单点，则formula_1541960年左右，George W. Whitehead发现，完全省略维度公理很有意义：这就产生了广义（上）同调论（定义如下）。K理论或复配边之类的广义上同调论，提供了拓扑空间的丰富信息，且是奇异上同调无法直接提供的（这时，奇异上同调通常叫做“普通上同调”）。
由定义，广义同调论是从CW-拓扑对范畴formula_155（于是"X"是CW复形，"A"是子复形）到阿贝尔群范畴的函子序列formula_156（"i"是整数），以及自然变换formula_157，称作边界同态（其中formula_158是formula_159的简写）。公理如下：
广义上同调论的公理大致是通过翻转箭头得到的。更详细地说，广义上同调论是一系列从CW-拓扑对范畴到阿贝尔群范畴的反变函子序列formula_168（"i"是整数），及自然变换，称作边界同态 （其中formula_169表示formula_170。公理如下：
谱决定了广义（上）同调论。Brown、Whitehead、Adams得到的一个基本结果是：所有广义同调论都来自一个谱，所有广义上同调论也来自一个谱。这推广了艾伦伯格–麦克兰恩空间对普通上同调的可表性。
一个微妙问题是，从稳定同调范畴（谱的同伦范畴）到CW-拓扑对上的广义同调论的函子，虽然给出了同构类上的双射，但是不等价；在稳定同伦范畴中，有非零映射（即），其诱导了CW-拓扑对上同伦论间的零映射。同样，从稳定同伦范畴到XW-拓扑对上的广义上同调论的函子也不等价。正是稳定同伦范畴具有三角化之类良好性质。
要将（上）同调论的定义域从CW复形推广到任意拓扑空间，一种标准方法是加入公理：所有弱同伦等价都会在（上）同调诱导一个同构（对奇异（上）同调是正确的，但层上同调等则不然）。由于每个空间都可从CW复形得到弱同伦等价，这公理将所有空间的（上）同调论还原为CW复形的相应理论。
广义上同调论的一些例子：
其中许多理论比普通上同调的信息更丰富，但更难计算。
上同调论"E"若满足formula_186对每个空间"X"都具有分次环的结构，则称"E"具有乘性。用谱的语言来说，有几个更精确的环谱概念，如"E"∞环谱，其中的积在很强的意义上是交换、结合的。