庞加莱引理

庞加莱引理是一个数学中的引理， 亨利·庞加莱在1886 年提出了这个引理。 
它精确地陈述了封闭微分形式是恰当微分形式的一个充分条件， 而恰当形式必然是封闭的：
在 一个n-维度域 R"n" 中的开球上的每个封闭的"p-微分"形式对于 "p" 都是恰当的，这里 。 
研讨.
庞加莱引理还指出，特别是在微积分中， 每个formula_1内的单联通开子集上的闭1-形式都是恰当的。
简单来说，这意味着如果一个微分形式在一个可以收缩到一点的区域内闭合，那么它可以写成另一个微分形式的导数；即如果在单连通区域上有 dα = 0，我们总能找到 α = dβ；因此我们有 d(dβ) = 0，简单地表示为 d2 = 0。这个概念在数学物理特别是电磁学和微分几何中有用，它与边界的边界总是空的这一事实有关；即，如果您有一个表面（2-形式）并且采用其边界（1-形式，曲线），则该边界的边界（0-形式，点）是空集。
在电磁学中，磁场可以使用矢量势来描述，庞加莱引理有助于在“表现良好”的磁场（即，当磁场不是由于单极而产生时）中找到这种势，高斯磁定律指出通过闭合表面的总磁通量始终为零，这意味着磁单极子即使存在也不是孤立的，必须伴随着其他磁荷。
用上同调的语言，庞加莱引理指出一个流形"M"的可收缩开子集的第"k"个德拉姆上同调群（例如， formula_2 ）当formula_3时化为零 。具体来说，它意味着德拉姆复形可以产生一个在"M"上的常数层的消解formula_4。可收缩空间的奇异上同调在正度数上化为零，但庞加莱引理"却不能由此得出"，因为实际上是流形的奇异上同调可以计算为它的德拉姆上同调，也就是德拉姆定理，依赖于庞加莱引理。但是， 这确实意味着证明开球的庞加莱引理就足够了；然后可以从拓扑考虑推出可收缩流形的版本。
庞加莱引理也是德拉姆上同调的同伦不变性的一个特例；事实上，通过展示同伦不变性或至少是它的一个版本来建立引理是很常见的。
证明.
庞加莱引理的一个标准证明使用了同伦不变性公式（参见下面的多个证明和沿纤维积分#示例）。 描述了局部微分形式的同伦算符，而解释了庞加莱引理与马尤厄-嘉当形式的联系。 
直接证明.
庞加莱引理可以通过沿纤维积分来证明。 （这种方法是通过微积分中的积分构造原始函数的直接概括。）
我们将证明这个引理给开子集formula_5，formula_5为星形或锥形formula_7 ；即，如果formula_8在formula_9中，那么formula_10在formula_9中对于formula_12 。这种情况尤其涵盖了开球的情况，因为可以假设开球以原点为中心而不失一般性。
诀窍是考虑在formula_13 （我们使用formula_14对于坐标formula_7 ）上的微分形式。首先定义算符formula_16 （称为纤维积分），对于"k-"形式formula_17：
这里formula_19 ， formula_20且同样地对于formula_21和formula_22 。现在，对于formula_23 ， 因为formula_24 ，利用积分符号 下的微分，我们得到：
这里formula_26表示formula_27在超平面formula_28上的限制并且它们为零，因为formula_29为零。如果formula_30 ，那么类似的计算得出
因此，上述公式适用于任何在formula_17的formula_33 -形式formula_27 。 （该公式是有时称为相对斯托克斯公式的公式的一个特例。）
最后，让formula_35然后设定formula_36 。那么，用符号formula_37 ，我们得到：对于任何在formula_9上的formula_33 -形式formula_40 ，
这个公式称为同伦公式。算子formula_42被称为同伦算子（也叫链同伦）。现在，如果formula_40是关闭的， formula_44 。另一方面， formula_45和formula_46 ，后者是因为在某一点没有非零的更高形式。因此，
证明了庞加莱引理。
事实上对于流形的任何可收缩开子集"U，"庞加莱引理都成立，可以用同样的方法证明。的确，给定流形的任何可收缩开子集 "U" ，我们都能找到这样的同伦formula_48，formula_48包括 formula_50 恒等式 和 formula_51 一个点。从近似的角度来看这个formula_48， ，我们可以认为formula_48事实上是光滑的。那么纤维积分formula_16也被定义为formula_55 。由此可见，庞加莱引理在"U上是"成立的。
使用李导数证明.
神奇的嘉当的李导数公式可用来给出庞加莱引理的简短证明。公式表明，沿矢量场的李导数formula_56定义为： 
这里formula_58表示内积；即formula_59 。
让 formula_60 是一个光滑族的"对于某个formula_1的开子集 U" 的光滑映射"，这样的光滑映射"使得"formula_62"被定义在某个闭区间 "I" 中，并且 formula_62 是 "I" 内部 "t" 的一个微分同胚。让 formula_64 标示曲线的切向量 formula_65 ; 就是说， formula_66 。对于 "I" 内部的一个固定的"t" ，让 formula_67 。那么formula_68 。因此，根据李导数的定义，
那就是，
假设formula_71 。然后对上面的两边进行积分，然后利用嘉当公式和积分符号下的微分，我们得到： 对于formula_72 ，
其中积分表示对微分形式中各个系数的积分。让formula_74 ，那么我们有：
使用符号formula_76
现在假设formula_9是一个有中心formula_78的开放球 ；那么我们可以取formula_79 。那么上面的公式就变成：
这证明了当formula_40是封闭的时庞加莱引理。
二维情况下的证明.
在二维中，对于封闭的 1-形式和 2-形式, 庞加莱引理能被直接证明，如下所示。 
如果 是 上的一个封闭的 1-微分形式，那么必然 。如果 那么必然 而且 .
可以设定
所以使得 。那么 必定满足 和 。因为等式的右手边对 "x" 的偏导数是零，所以它是独立于 "x" 的。因此得到
因此
相类似地可以得到，如果 那么根据 有 。因此，根据 和
给出一个解
归纳证明.
也可以给出庞加莱引理的归纳证明，但不使用同伦论证。让formula_86 ， 这里formula_71 ，为m维坐标立方体。对于微分"k"形式formula_88 ，设其维"度"为整数"mk" 。归纳是在形式的余维度上进行的。由于我们在坐标域上工作，可以将关于坐标的偏导数和积分应用于形式本身，通过将对于标准坐标的偏导数和积分应用于形式的系数。
首先让formula_89 ，即余维度为0。它可以写成formula_90所以如果我们定义formula_91经过formula_92 ，我们有formula_93因此， formula_94是formula_40的一个原函数 。
现在设 formula_88，这里 formula_97，也就是说，formula_40 有 m-k 的余维度，并且让我们假设，任何时候一个封闭的形式有小于 m-k 的余度，形式是适当的。形式 formula_40 可以分解为formula_100 其中 formula_101 和 formula_102均不包含任何 formula_103因子. 定义 formula_104，那么formula_105， 其中formula_106不包含任何formula_103因子， 因此，因此定义formula_108，这种形式也是封闭的, 然而它不包含任何 formula_103 因子. 因为这个形式是封闭的， 我们得到formula_110其中最后一项不包含 formula_103 因子。由于坐标微分的线性无关，这个方程意味着formula_112即形式 formula_113 是 一个只有变量formula_114的微分形式，那么可以被解释为 formula_115 的一个元素，且它的余维度因此是 "m-k-1。"归纳假设适用于此，所以对于某些 formula_116 有 formula_117，那么formula_118对坐标立方体的证明结束。在任意流形上，每个点都有一个与坐标立方体微分同胚的邻域，这个证明还表明在流形上任意闭 k 形式 (对于 formula_119 ) 都是局部适当的。
对德拉姆上同调的启示.
根据定义， "k"阶de Rham 上同调群formula_120流形"M"的开子集"U"定义为商向量空间
因此，庞加莱引理的结论恰恰是，如果formula_9是一个开球，那么formula_123对于formula_3 。现在，微分形式确定了一个称为 de Rham 复形的上链复形：
其中"n" = "M"的维度， formula_126表示微分"k"形式层；即formula_127对于"M"的每个开子集"U" ，由"U"上的"k"形式组成。然后它产生复形（增强复形）
其中formula_4是常数层，其值为formula_130 ；即，它是局部常数实值函数层，并且formula_131包含。
formula_132的内核是formula_4 ，因为具有零导数的光滑函数是局部常数。此外，层序列是适当的当且仅当它是局部如此。因此，庞加莱引理表明，序列的其余部分也是适当的（因为流形局部微分同胚于formula_1然后每个点都有一个开球作为邻域）用同调代数的语言来说，这意味着德拉姆复合形决定了常数层的分解formula_4 。这就意味着德拉姆定理；即流形的德拉姆上同调与它的奇异上同调相一致（简而言之，因为奇异上同调可以看作是层上同调。）
一旦知道了德拉姆定理，就可以纯拓扑地获得庞加莱引理的结论。例如，它蕴含了可收缩或单连通开集的庞加莱引理的一个版本（参见§单连通情况）。
简单连通情况.
庞加莱引理在微积分中是特别针对单连通开放子集 formula_5 而表述的 。在那种情况下，庞加莱引理指出 "U" 上的每个封闭 1-形式都是适当的。可以如接下来这样用代数拓扑来看这个版本的引理。有理胡列维茨定理（或者更确切地说是该定理的实类似物）指出， 因为 "U" 是单连通的，所以 formula_137。因为 formula_130 是一个域，"k阶"上同调 formula_139 是 第"k"个同源性的对偶向量空间 formula_140 。在这里特别地， formula_141 根据德拉姆定理（由开球的庞加莱引理推出）， formula_142与第一个德拉姆上同调群相同（参见§德拉姆上同调的蕴涵）。因此， "U"上的每个闭 1-形式都是适当的。
简单来说，这意味着如果一个微分形式在一个可以收缩到一个点的区域内闭合，那么它可以写成另一种形式的导数。
紧支撑的庞加莱引理.
对于紧支撑微分形式，有一个版本的庞加莱引理： 
沿适当映射的回拉保留紧支撑；因此，与通常的证明相同。 
复几何类似物.
在复流形上， 铎尔博尔算子formula_143和formula_144对于复微分形式的使用，通过公式formula_145来改进外导数 ，导致了formula_144-封闭并且formula_144-适当的微分形式。这种封闭形式的局部适当性结果被称为铎尔博尔–格罗滕迪克 引理（或formula_144-庞加莱引理）；参见。重要的是,在这样的域上的几何，要求formula_144-封闭的微分形式是formula_144-适当的，比庞加莱引理更受限制，因为 铎尔博尔–格罗滕迪克引理的证明在多圆盘（复平面上的圆盘积，多维柯西积分公式可在其上应用）上成立，并且即使在可收缩域上也存在引理的反例。 formula_144 -庞加莱引理对于拟凸域具有更普遍的适用性。 
使用庞加莱引理和formula_144 -庞加莱引理，一个改进的局部庞加莱引理可被证明，并且在上述两个引理都适用的领域上有效。这个引理表明formula_153 -封闭的复微分形式实际上是局部的formula_154 -适当（而不仅仅是formula_153或者formula_144 -适当，如上述引理所暗示的那样）。
相对庞加莱引理.
相对庞加莱引理将庞加莱引理从一个点推广到子流形（或者某些更一般的局部闭子集）。它声明：让 "V" 为流形 "M" 的子流形，"U" 为 "V" 的管状邻域。如果 formula_157 是 "U" 上的封闭"k-"形式，"k" ≥ 1，且在"V"上归为零，那么必然存在 这样 ("k" -1) 形式 formula_158 在"U"上，使得 formula_159 和 formula_158 在 "V" 上归为零。 
相对庞加莱引理的证明方式与原庞加莱引理的证明方式相同。事实上，由于"U"是一个管状邻域，因此从"U"到"V"存在一个平滑的强变形收缩；即存在一个平滑的同伦formula_161，从投影formula_162到恒等式， 使得formula_48是"V"上的恒等式。然后我们有"U"上的同伦公式：
其中 formula_42 是通过李导数或沿纤维的积分给出的同伦算符。现在，因为 formula_166所以 formula_167 。因为 formula_168 和 formula_169 ，我们得到 formula_170 ; 取 formula_171 。那 formula_158 在 "V" 上消失，这由 "J" 的定义和事实 formula_173 可知 。 （因此，这个证明实际上通过了，如果 "U" 不是管状邻域但如果 "U" 变形缩回到 "V" 并且相对于 "V" 同伦。） formula_174
关于多项式微分形式.
在特征为零的情况下，下列庞加莱引理对多项式微分形式成立。 
该版本的引理可以用类似微积分的论证来理解。首先要注意的是formula_175 ，明显地。因此，我们只需要检查formula_176 。让formula_40成为一个formula_178 -形式。然后我们写
是适当的，其中微分formula_153按通常方式定义；即线性和
这个版本的引理是由一个类似微积分的论点看到的。 首先要清楚地注意到 formula_175。 因此，我们只需要检查 formula_176. 让 formula_40 成为一个 formula_178-微分形式。 然后我们写出
其中formula_187不涉及formula_188 。定义积分formula_189通过线性且
它由特征（0）假设明确定义。然后让
其中积分应用于每个系数formula_101 。显然，微积分基本定理在我们的正式设置中成立，因此我们得到：
这里 formula_157 不涉及 formula_188. 因此, formula_196 "不涉及 formula_188." formula_196更换 formula_40，我们可以由此认为 formula_40 不涉及 formula_188. 从假设 formula_202 很容易地得出formula_40的每个系数都的是独立于 formula_189的;就是说 formula_40 是多项式的对于变量 formula_206的微分形式. 因此,我们是通过归纳完成了证明. formula_174
备注：使用同样的证明，当formula_208是形式幂级数环或全纯函数芽环。 适当修改的证明还表明了formula_144 -庞加莱引理；即用柯西积分公式代替微积分基本定理。 
在奇异空间上.
庞加莱引理通常不适用于奇异空间。例如，如果考虑复代数簇（在扎里斯基拓扑中）上的"代数"微分形式，则该引理对这些微分形式不成立。 解决这个问题的一种方法是使用正则形式，并且由此产生的代数德拉姆上同调可以计算奇异上同调。 
然而，该引理的变体仍然可能对某些奇异空间成立（精确的公式化和证明取决于这类空间的定义及其上的非光滑微分形式。）例如，Kontsevich 和 Soibelman 声称该引理对他们的分片代数空间中某些不同形式的变体（称为 PA 形式）成立。 
同伦不变性对于交上同调不成立；特别是，庞加莱引理对于这种上同调不成立。