标准模型的数学表述

这篇文章讲的是粒子物理的标准模型的数学表述，而标准模型是一个包含这个由酉群的直积构成的群的内禀对称性的规范量子场论。学界常将这理论给视为对轻子、夸克、规范玻色子及希格斯玻色子等基本粒子的描述。
标准模型可重整化，且是数学自洽的；然而，尽管有著巨大且持续的成功，但依旧有些现象，无法以标准模型解释。特别地，尽管这模型涉及了狭义相对论，但这模型不涉及广义相对论；此外，一般认为标准模型会在重力子预期出现的能量或距离范畴上失效。因此在当代场论的语境中，一般将这理论视为有效场论。
量子场论.
标准模型是种量子场论，也就是说其基本对象是对定义于时空的每一点上的量子场。量子场论将粒子视为其基底量子场的激发态（也就所谓的「量子」），而这量子场比粒子更加基本。
以下是几种标准模型牵涉到的量子场：
这些场是量子场而非古典场的事实，表示说这些场的「值」在数学上是以算符表示的；特别地，这些场的「值」不服从交换律。作为算符，这些数值是在量子态（以右矢表记）上作用的。
场的另类表示.
量子论常见的一点是，观察事物可有多个角度。第一眼看上去，以上给出的量子场可能不像上述的「基本粒子」表；然而对粒子，存在有多种不同的描述，而这些描述可能更适合某些给定的情境。
费米场.
费米场可以不只有一个，研究者也可对每种粒子都各别分出费米场不同的成分。这反映了量子场论的历史演变，而这是因为费米场的电子成分（用以描述电子及其反粒子正子）是用于量子电动力学的原始之故，而之后随著物理学的发展，其中又加入了跟这两个分别对应μ子跟τ子及其反粒子的场。之后的电弱理论又给费米场加入了与三个世代的中微子分别对应的formula_2及formula_3等成分。
夸克的存在给给费米场加入了更多的成分，由于要跟电子跟其他轻子一样，保持4-旋量之故，因此对于夸克每个风味跟色荷的组合，都必须有一个相对应的夸克场，而这表示费米场会有24种划分（3个带电轻子各一种、三个世代的中微子各一种，夸克则有formula_4种，而这是因为夸克有三种风味、每种风味各两种夸克，且每种夸克各有三个不同颜色的版本之故）；此外，由于每个上述的划分都是有四个成分的之故，因此费米场总共有96个复数值成分。
一个重要的定义是费米场formula_5，其定义是formula_6，其中formula_7是的埃尔米特伴随，而是第零个γ矩阵。若是一个矩阵，那么formula_5就应该要是一个矩阵。
手征性理论.
的一种独立分解，是按照手征性将之分拆：
其中formula_9是第五个γ矩阵。这点在标准模型中非常重要，而这是因为左手性跟右手性粒子在规范场作用下有不同的表现之故。特别地，在弱同位旋的SU(2)变换下，左手性粒子呈现弱同位旋双重态，而右手性粒子则呈现单重态，也就是说，的弱同位旋为零。举个例子，弱交互作用可将左手性电子旋转成左手性中微子（这过程会放出粒子），但不能对相对应的右手性粒子做同样的变换。另外，本来标准模型中是不包含右手性中微子的；然而，中微子振荡的发现，显示说中微子必然有质量，而由于手征性在具有质量的粒子传播的过程中可以改变之故，因此右手性中微子必然得存在；然而这不会改变弱交互作用经实验证明的手征性本质。
除此之外，对formula_10及formula_11作用方式不同，而这是因为它们有不同的弱超荷之故。
质量与交互本征态.
有鉴于此，因此可做出像是中微子的质量与交互本征态之间的区别。前者是在自由空间中传播的状态；而后者则是参与互动的「不同」状态。那么哪个才是「基本」粒子？就中微子而言，一般都以其本征态来定义其「风味」（、或）；而对夸克而言，一般都以质量态来定义其风味（上、下、奇、粲、底、顶等等）。我们可借由对夸克的卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）以及对中微子的庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵（PMNS矩阵）等来转换这些状态。另一方面，带荷的轻子，其质量及风味皆为其本征态。
另外，若这些矩阵存在复数项的话，就会导致直接的CP破坏，而这可解释为何在我们现在的宇宙中，物质会多于反物质。这点已在卡比博-小林-益川矩阵上得证，且预计会在庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵上出现。
正负能量.
最后，量子场可分解成「正能量」与「负能量」两个成分：。这种作法在已经建立的量子场论上不常见，但在建立量子场论的过程中，这常常是显著的特性。
玻色子.
由于希格斯机制之故，电弱玻色场formula_1及formula_13发生混合，进而产生物理上可观察的状态。若要保持规范场不变性，这些量子场必须是无质量的；然而可观测的状态在这过程中可以「得到质量」。这些状态如下：
其中是温伯格角。
量子场是光子的量子场，其对应至众所皆知的电磁四维势，也就是电场与磁场。量子场（Z玻色子的量子场）实际上参与所有光子参与的过程，但有鉴于其庞大的质量之故，其参与一般可忽略。
微扰量子场论及互动绘景.
许多以「粒子」和「力」等词语对标准模型的质性描述，都来自对此模型的微扰量子场论视角。在其中，拉格朗日量可分解为「自由场」跟「交互场」拉格朗日量，并以formula_17表示。自由场表示的是孤立粒子；而交互场表示的是起自交互作用的数个粒子。这表示背后的想法是状态向量应该只在产生交互作用时改变，也就是说自由粒子是量子态保持不变者。这与量子力学的相互作用绘景相对应。
在较常见的薛丁格绘景中，即使是自由粒子，也会随时间改变：其相改变的速率取决于其能量；而在与之相对的海森堡绘景中，状态向量保持不变，而这么做的代价就是其算符（尤其可观测的）是取决于时间的。相互作用绘景则是两者的折衷，其中部分取决于时间的成分置于算符（也就是量子场）上，而其他的一些则置于状态向量上。在微扰量子场论中，前者又称为「自由场部分」，而后者称为「交互场部分」。自由场模型可得到精准解，而整个模型的解可以自由场解的微扰表示，而微扰可使用诸如等方式表示。
应当注意的是，将量子场给分解为自由场及交互场的作法，在原则上是任意的。像例如说量子电动力学的重整化修改了自由场电子的质量以使之合乎物理的电子（带有电磁场），并因此给其自由场拉格朗日量加入了一个必须在交互场拉格朗日量当中以相反项抵销的项，这使其在费曼图中以带有两条线的顶点表示。这也被认为是希格斯场赋予粒子质量的方式：希格斯场中，与非零真空期望值相对应的交互项部分，被从交互场拉格朗日量移动到自由场拉格朗日量当中，在其中，这项看起来就像与希格斯场无关的质量项。
自由场.
在常规的、适用于低能情境的自由场/交互场分解下，自由场遵循以下等式：
这些方程可得精确解。一般会首先考虑沿著每个空间轴且带有周期的周期解，之后取其极限可解除周期性的限制。
在周期性的状况下，任意量子场（可以是上述的任意量子场）的解都可以形式如下的傅立叶级数表示：
formula_21
其中各参数定义如下：
在取极限的状况下，由于藏于的参数之故，此和会变成一个积分，而的数值会取决于对formula_32及formula_33选取的归一。
技术上而言，formula_34是右矢的算符在内积空间中的埃尔米特伴随。之所以将formula_34以及给鉴别做创生及湮灭算符，是因为这是比较其中之一在其上发生作用前后保存的量的结果之故。做为例子，formula_34可视做加添一个粒子，而这是因为这会给粒子数算符的特征值加之故；而这样操作之后，粒子的动量应当要是，这是因为以向量为值的动量算符会如此增加之故。人们一般以量子场的算符表示作为起始进行衍伸。将带有formula_7的算符做为创生算符是一个习惯，而这是因为导入其彼此间的交换符号之故。
一个在微扰量子场论计算中重要的步骤是将上述「算符」因子与从其向量或旋量因子与中分离。费曼图顶点的设置来自源于不同因子的交互拉格朗日量与彼此相合的方式；而其边的设置则来自与必须移动以在正规化的形式的戴森级数中设项的方式。
交互场项及路径积分法.
在不使用创生及湮灭算符（也就是「常规」形式）的状况下，也可借由路径积分得到拉格朗日量，这作法最初由费曼基于狄拉克的工作所发展。费曼图乃是交互项的图像化展示。详情可见费曼图一文说明。
拉格朗日形式.
我们现在可以给出前述出现在标准模型中的自由与交互场的拉格朗日量。任何如此的项都必须是规范且参考系不变的，不然物理法则会取决于任意的选择或者观察者所在的参考系。因此包含、旋转对称及作为狭义相对论核心的惯性座标系的全域庞加莱对称必须成立。局域规范场对称是种内部对称如下所见，在一些合适的关系定义后，规范场对称的三个因子会给出三种基本作用力。
动能项.
自由粒子可以一个质量项及一个与量子场「移动」有关的「动能」项表示。
费米场.
狄拉克费米子的动能项如下：
formula_38
其中的表记跟前文一致。可指任何标准模型中的狄拉克费米子；此外一般而言，如下所述，这项可包含在耦合（并因此得到一般的动态项）当中。
规范场.
对于自旋为1的量子场，首先定义场强度张量：
formula_39
对于给定的、耦合常数为的规范场（此处以表记）而言，这个量是该规范群的结构常数，而这常数可由以下交换子定义：
formula_40
其中是这个群的生成元。在交换群（如此处用的）中，结构常数会消失，而这是因为生成元全都满足交换律之故。当然，这非一般情况，而这是因为标准模型也包含了非交换的及群之故。而这些非交换群也是杨-米尔斯规范场论出现的原因。
我们需要引入三个与这个群的每个子群相对应的规范场：
因此动能项可表示如下：
formula_44
其迹位于分别隐藏于及的指数中的及之上。而这些双指数物件乃是衍生自向量场及的场强度；此外，还有两个隐藏参数：及的角度。
耦合项.
下一步是将规范场与费米场「耦合」以描述交互作用。
电弱部分.
电弱交互作用可以对称群表示，其中L表示说其只与左手性费米子耦合。
formula_45
其中是规范场；是弱超荷，也是的生成元；是有三个部份的规范场；而由泡利矩阵（也是群的极小生成元）组成，且其特征值给出弱同位旋。应当注意的是，我们给弱超荷定义了一个新的、不同于量子电动力学的新群，而这么做是为了统一弱作用力。
作为弱同位旋第三成分（又作或等）的电荷及弱超荷之间，有以下关系：
formula_46
（或用「另外的」常规表示，有） 
用于此篇文的第一个常规表示与盖尔曼-西岛关系等价，这使得超荷等于同位多重态平均荷的两倍。
我们可接著定义弱同位旋的如下：
formula_47
并定义弱超荷的保守流如下：
formula_48
其中formula_49是电流，而formula_50是第三弱同位旋流。如上所言，这些粒子流彼此混合以产生物理上观测到的玻色子，这也导致了耦合常数间可测试的关系。
换个方式解释，我们可以借由将不同项目从拉格朗日形式取出的做法来观察电弱交互作用的效应。我们可看见对称在每个包含于的（左手性）费米子二重态上发生作用，像例如说
formula_51
其中粒子都被理解为左手性的，且其中
formula_52
这是一个对应到「弱同位旋空间的旋转」或与之间，透过发射玻色子进行的变换。
另一方面，对称与电磁作用力类似，但经由中性的，作用于所有带有弱超荷的（左手性跟右手性的）费米子上，也透过光子作用在带有电荷的费米子上。
量子色动力学部分.
量子色动力学部分定义了夸克与胶子之间的交互作用，而这部分带有由生成的对称。
由于轻子不与胶子作用之故，因此轻子与此部分无涉。夸克与胶子场耦合的狄拉克拉格朗日量如下：
formula_53
其中与是分别与上类与下类夸克相关的狄拉克旋量，而其他的表记则同前文。
质量项与希格斯机制.
质量项.
对于任意费米子而言，起自狄拉克拉格朗日量的质量项是formula_54，这项在电弱交互作用下并非不变的。这点可从将给写作左手与右手部分的总和看出（此处跳过实际计算）：
formula_55
其中formula_56及formula_57项给出的贡献并未出现。
我们从中可见说质量生成作用是借由不断翻转粒子的手性而发生的。
半自旋粒子不带有同于表示、并具有相同或相反弱超荷的左右手对，因此在假定这些规范荷在真空中不变的状况下，没有任何半自旋粒子可翻转手性，也因此必须保持无质量；此外，我们从实验中可知W和Z玻色子带质量，但玻色子质量项包含了等组合，而这些组合明确地取决于规范的选取。因此没有任何标准模型中的费米子或玻色子可以「在开始时」就有质量，而其质量必须透过其他机制取得。
希格斯机制.
解决这些问题的方法来自希格斯机制，其中涉及了被「吸收」入带质量玻色子、成为其自由度一部分（此处尽量简短解释），以及透过汤川耦合以生成看起来是质量项的纯量场，而纯量场的值，取决于希格斯机制的实际形式。
在标准模型中，希格斯场是一个群的复纯量场：
formula_58
其中上标的和表示其成分的电荷。两成分的弱超荷都是。
希格斯部份的拉格朗日量如下：
formula_59
其中且以使得自发对称破缺机制可套用。在此有一个开始时隐藏于势能形态、但非常重要的参数。
下，可设formula_60并使得formula_61为实数。在这种状况下，formula_62即是希格斯场不消逝的真空期望值。formula_63带有质量单位，且在标准模型中是唯一不是无因次的参数。
此外，其数值远小于普朗克尺度且大约是希格斯粒子质量的两倍，而这也给了标准模型中所有其他粒子的质量设置了一个尺度。这是整个模型中，唯一确实微调到微小非零数值的参数。及当中出现二次项，而这些项目赋予了W和Z玻色子质量：
formula_64
希格斯玻色子本身的质量则为formula_65
汤川耦合.
汤川耦合项如下：
formula_66
其中formula_67、formula_68及formula_69为汤川耦合矩阵，其中的项给出和这两世代的耦合，而formula_70表示前述各项的埃尔米特共轭。
formula_71及formula_72等量子场代表左手性夸克与轻子的二重态；类似地，formula_73及formula_74等量子场代表右手性上类夸克、下类夸克与轻子的单重态。最后，formula_75表示希格斯双重态，且有formula_76
中微子质量.
如前所述，证据显示中微子有质量；然而在标准模型中，右手性中微子并不存在，因此即使是汤川耦合中微子，也依旧是无质量的。
对此一个明显的解是「加入右手性中微子」，而这样座要求在汤川耦合的部分中加入新的「狄拉克质量」项：
formula_77
但这样的量子场必须是惰性中微子，而这是因为在实验上，右手性粒子皆属于同位旋单重态（）且其电荷, implying 之故，此点可见上说明。也就是说，这样的粒子甚至不参与弱交互作用。目前惰性中微子的实验证据尚不明确。
另一个可能性是假定中微子满足马约拉纳方程式，而因为中微子的电荷为零之故，因此这乍看之下是可能的。在这种状况下，一个新的「马约拉纳质量」项会加入汤川耦合的部分中：
formula_78
其中指的是共轭粒子（也就是反粒子），而formula_79这项则一致地为左手性（或右手性）。应当注意的一个反粒子的左手性投射是个右手性量子场；由于有些人会用不同的表记之故，因此这里要保持注意。
在此，我们基本翻转了左手性中微子和右手性反中微子，中微子可能是（但不必然）自身的反粒子，但这非必然的，因此这些粒子是相同的；然而，对于左手性中微子而言，这项会改变弱超荷达两单位，而这在标准希格斯交互作用下是不可能的，因此这要求将希格斯场延伸以包含额外带弱超荷为2的三重态；而对于右手性中微子而言，没有任何对希格斯场的延伸是必要的。不管在左手性或右手性的状况下，马约纳拉项违反轻子数守恒，但这可能性可能位于既有实验对这类违背的侦测敏感度的范围之外。
将狄拉克与马约拉纳质量项同时包含在同一个理论中是可能的，而这可借由将右手性中微子连结到物理上尚未清楚的大统一尺度，为中微子质量观测到的微小的大小提供一个「自然的」（相对于仅包含狄拉克质量项的作法）解释。详情可见翘翘板机制一文。
由于在上述任何情况下，新的量子场都必须引入以解释实验结果之故，因此中微子可作为超越标准模型的物理学明显的开端。
详细讯息.
本段落为模型的一些面相提供更多细节，并提供一些参考资料。明确表达的拉格朗日项也可见于电弱交互作用一文。
量子场内容的详细讯息.
标准模型有如下的场，这些场描述一个世代的轻子与夸克，而目前已知这些粒子有三个世代，因此对每种费米场都有三个复本。由CPT对称性可知，每种费米子都有与之相对的、带有相反宇称和电荷的反费米子。若一个左手性费米子存在于某些表示上，那其反粒子（右手性反费米子）也会存在于相对应的上。（当注意的是由于SU(2)是之故，因此有formula_80）「表示」这直列指称说每个场在何种规范群的表示下进行转换，转换当中的顺序分别为对formula_81的转换，而对于formula_82群也会给出弱超荷的值，在轻子场部分中，这数值的左手场部分两倍于右手场部分；但在夸克部分中，这数值的左手场部分与右手场部分相等。
费米场讯息.
下表部分基于搜集到的资料：
自由参数.
在写下包含不带质量中微子的、最一般性的拉格朗日形式时候，可发现说这动力系统取决于19个参数，而这些参数的数值由实验决定。包括带质量的中微子的、对标准模型的直观延伸会需要额外的7个参数（3个质量参数跟4个PMNS矩阵参数），并因此得到26个参数。
目前中微子相关参数值依旧不确定，而19个已确定的参数总结如下：
自由参数的选择是有些任意的，规范耦合被列为自由参数，因此在这种状况下，温伯格角就不再是自由参数，而这是因为温伯格角的定义为formula_83之故；类似地，量子电动力学的精细结构常数为formula_84；此外，在费米子质量之外，无因次的汤川耦合也可被选为替代的自由参数。像例如说电子质量取决于电子对希格斯质量的汤川耦合，而其数值为formula_85；而在希格斯粒子的质量之外，希格斯场的自我耦合强度formula_86也可被选作替代的自由参数，而其实验数值约为0.129。
另外，在希格斯真空期望值之外，formula_87这个直接源自希格斯场自我交互作用项formula_88的参数也可被选作替代的自由参数，而其数值为formula_89，或说其数值大约是formula_90 GeV。
另外，真空能量的值（或更精确地说，用以计算此能量的重整化尺度）也可用做额外的自由参数。而其重整化的尺度可借由普朗克尺度或微调来符合观测到的宇宙常数，但这两个选项都有问题。
标准模型的额外对称.
从理论的角度来看，标准模型还有四个在开始时并未被提出的、额外的全域对称，而这四个全域对称合称「」，这些对称性属连续U(1)全域对称。其转换后的拉格朗日不变量如下：
formula_91
formula_92
formula_93
formula_94
第一个转换规则指的是说所有世代的所有夸克场都必须同时透过同样的相旋转，也就是说，及formula_95等量子场是及formula_96量子场在第二（μ子所属的世代）与第三世代（τ子所属的世代）的类似物。
根据诺特定理，所有上述的对称性都伴随著一个守恒定律：重子数守恒、、电子数守恒、μ子数守恒和τ子数守恒。每个夸克都被赋予重子数formula_97，而每个反夸克都被赋予重子数formula_98。重子数守恒指称说夸克总数与反夸克总数相减后要是一个常数。在实验范围内，尚未发现这个守恒受破坏的迹象。
此外，每个电子及其伴随的中微子都有电子数+1；而正子及伴随的其伴随的反中微子都有电子数−1；类似地，μ子及其伴随的中微子都有μ子数+1，而τ子及其伴随的中微子都有τ子数+1。标准模型预测说这些三个数值应当会以类似重子数守恒的方式各自保持守恒，而这些数字又合称轻子数家族（LF）。然而这结果仰赖于标准模型里头中微子没有质量的假定，但在实验上，中微子振荡显示了个别的电子数、μ子数和τ子数并不守恒。
在上述的意外（但精确的）对称性之外，标准模型还展现了数个。这其中包括了「SU(2)」及「SU(2)或SU(3)夸克风味对称性」。
U(1)对称.
对于轻子而言，规范群可写作。其中的两个
因子可合做，其中是轻子数。
对轻子数的规范化已为实验否决，因此唯一可能的规范群为。对夸克部分类似的论证也对电弱交互理论给出类似的结果。
带荷与中性流耦合及费米理论.
带荷流formula_99描述如下：
formula_100
这些带荷流即是进入的那些。其作用包含了如下描述的带荷流成分：
formula_101
对于能量小于W玻色子质量的那些，期有效理论即是中以formula_102描述的粒子流─粒子流接触交互作用。
然而，规范不变性现在也要求规范场的formula_103部分与三重状态中的粒子流发生耦合；但另一方面，这与发生混合，因此在此部分的另一个粒子流动也是必须的。这些粒子流必须是不带荷的，以保持荷守恒。因此「中性流」也是必须的：
formula_104
formula_105
而中性流的拉格朗日量如下：
formula_106