逗号范畴

在数学中，逗号范畴（特例：切片范畴）为范畴论的一类构造，提供了看待态射的一个不同的角度：不仅是简单地从范畴的一个对象联系到另一个对象，态射本身亦是另一个对象。这一记号由 F. W. Lawvere 在 1963 年引入，最开始并不广为人知。多个数学概念可处理为逗号范畴，逗号范畴本身亦确保部分极限和余极限存在。逗号范畴这一名称来自 Lawvere 的原始记号，使用了逗号表示该结构，不过现已由于视觉上易混淆而不采用该记号，而 Lawvere 本人亦不喜欢不提供额外信息的命名 “逗号范畴”。
定义.
最一般的逗号范畴结构涉及同一上域的两个函子。通常，其中一个函子的域是 formula_1, 即单对象单态射的范畴。范畴论中的一些情形仅考虑一些特殊情形，但逗号范畴实际上宽泛得多。
一般形式.
给定范畴 formula_2, formula_3, formula_4, 和函子 formula_5, formula_6:可按如下形式构建逗号范畴 formula_7:
态射复合取 formula_19 作 formula_20, 只要后者有定义. 特定对象 formula_21 的单位态射即 formula_22.
切片范畴.
首先注意到 formula_23 时的特例, 函子 formula_5 即恒等函子, 而 formula_25, 具唯一对象 formula_26 与唯一态射. 则对 formula_2 中的某对象formula_28 有 formula_29.此时, 逗号范畴写作 formula_30, 常称作 formula_28 上的切片范畴, 或对象在 "formula_28" 上的范畴. 对象 formula_33 可简化为有序对 formula_34, 其中 formula_35. 有时 formula_36 亦记作 formula_37. 切片范畴中从 formula_38 到 formula_39 的态射 formula_40 此时可简化作使得下图交换的箭头 formula_15:
余切片范畴.
切片范畴的对偶即余切片范畴. 此时, formula_42, formula_5 的域为 formula_44, 而 formula_6 为恒等函子.
此时, 逗号范畴写作 formula_46, 其中 formula_47 为据 formula_5 选定的 formula_3 的对象, 称作 formula_50 下的切片范畴, 或对象在 formula_50 下的范畴. 其对象为有序对 formula_52, 其中 formula_53. 给定 formula_52 和 formula_55, 余切片范畴中的态射为使得下图交换的对象 formula_16:
箭头范畴.
formula_5 和 formula_6 为 formula_4 上的单位函子 (此时 formula_60).
此时, 逗号范畴为箭头范畴 formula_61, 其对象为 formula_4 中的态射, 而其态射为 formula_4 中的形状如下的交换图.
其他变体.
在切片与余切片范畴的情形中, 单位函子有时由其他某个函子替代, 这产生了一定程度上在伴随函子研究中有用的范畴族. 例如, 若 formula_6 为将Abel群范畴投射到其基集合范畴的遗忘函子, 而 formula_65 为某给定集 (视作从 formula_44 出发的范畴), 则逗号范畴 formula_67 以从 formula_65 到某群的基集合的映射为对象. 这亦关联到 formula_69 的左伴随, 即投射集合到以该集为基集合的自由 Abel 群的函子. 某种程度上, formula_67 的始对象为典范内射 formula_71, 其中 formula_72 为 formula_65 生成的自由群.
formula_67 的对象称作从 "formula_75 "到 "formula_6" 的态射或有域 formula_75 的 formula_6-结构化箭头.formula_79 的对象称从 formula_80 到 formula_81 的态射或有上域 formula_81 的 formula_80-结构化箭头.
另一特例聚焦于 formula_5 和 formula_6 均为域为 formula_44 的函子. 若有 formula_87 和 formula_88, 逗号范畴 formula_7, 记作 formula_90, 为离散范畴, 其对象为从 formula_91 到 formula_92 的态射.
插入子范畴为逗号范畴的 (非满) 子范畴, 要求 formula_93 且 formula_94. 逗号范畴亦可视作 formula_95 和 formula_96 的插入子, 其中 formula_97 和 formula_98为积范畴 formula_99 的投射函子.
性质.
对每个逗号范畴, 总存在如下的遗忘函子:
用例.
一些值得注意的范畴.
一些有趣的范畴存在按照逗号范畴完成的自然定义.
极限与万有态射.
逗号范畴中的极限与余极限可能具 “遗传性”. 若 formula_2 和 formula_3 完全, formula_146 为连续函子, 而 formula_147 为其他函子 (不必连续), 此时引出逗号范畴 formula_7 亦完全, 且投射函子 formula_149 和 formula_150 均连续. 类似地, 若 formula_2 和 formula_3 余完全, 而 formula_147 余连续, 则 formula_7 亦余完全, 投射函子亦余连续.
例如, 沿用前述图范畴之记号, 视其作逗号范畴, 则集合范畴完全且余完全, 而其单位函子连续且余连续. 因此图范畴完全且余完全.
抵达于选定余极限或出发于选定极限的万有态射, 可以逗号范畴的形式表示. 本质上是创建对象为锥, 且极限锥为终对象的范畴, 然后, 极限的每个万有态射即到终对象的态射. 这一工作在对偶情形中, 即对象为拥有始对象的余锥的范畴. 例如, 令 formula_4 为范畴, 且函子 formula_156 递送每个对象 formula_157 到 formula_158, 每个箭头 formula_128 到 formula_160. 从 formula_161 到 formula_162 的万有态射据定义含对象 formula_158 与携万有性质的态射 formula_164, 使得对任意态射 formula_165 总存在唯一态射 formula_166 满足 formula_167. 换言之, 这是在逗号范畴 formula_168 中的对象, 到该范畴中的任何其他对象均存在态射, 即始对象. 这也用于定义 formula_4 中的余积, 只要其存在.
伴随.
William Lawvere 证明, 函子 formula_170 与 formula_171 为伴随对, 当且仅当分别以 formula_172 和 formula_173 为单位函子的逗号范畴 formula_174 和 formula_175 同构, 而改逗号范畴中的等价元可投射于 formula_176 中的相同元. 这使得伴随得以不必涉及集合来序数, 而实际上这也是引入逗号范畴的最初动机.
自然变换.
若 formula_177 的域相同, 则在 formula_178 中以 formula_179 定义的图将与定义自然变换 formula_180 的图同一. 两个极好的不同在于, 自然变换是结构 formula_181 型态射的特定总体, 而逗号范畴的对象涵盖所有如此结构形态射. 到达逗号范畴的函子选定这一特定态射总体. 这也由 S.A. Huq 的观点描述为, 给定 formula_182, 自然变换 formula_183 相当于映射每个元 formula_91 到 formula_185, 每个态射 formula_186 到 formula_14 的函子 formula_188, 这是自然变换 formula_180 和函子 formula_188 间的双射对应, 这是从 formula_178 出发的两个遗忘函子的截面.