本定理を (しばしば複数回) 適用することにより、不定形の式を非不定形の式に変換し、その極限値を容易に求めることができる可能性がある。
概要.
が成り立つならば、
であることを主張する。
つまり、分子と分母を微分することにより不定形の分数を単純化あるいは非不定形に変換し、分数の極限値を簡単に計算できる可能性がある。
発見.
定理.
が存在すれば、
である。このときの極限は片側極限であっても良い。
極限が存在するという条件.
極限、
が存在するという条件はこの定理において外すことの出来ない重要な仮定である。
例えば、
となりこの極限は存在しない。従ってこの場合ロピタルの定理の適用は出来ないがしかし次のように、求めたい極限はしっかり存在していることが確認できる。
分母の微分に関する条件.
とおくと、
他の不定形.
を得て、極限は次のように求められる。
極限を求めるための他の方法.
ロピタルの定理は通常の方法では求めることが困難な極限問題に対しても強力な手法であるが、それが常に簡単とは限らない。次の例を考えてみよう。
この極限はロピタルの定理を用いると、
この極限を計算するさらに他の方法は、テイラー展開を用いることである。
循環論法.
いくらかのケースではある極限を計算するためにロピタルの定理を使用するとき、循環論法 () を構成することがある。次の例を考えてみよう。
であることの証明であるとき、もしその極限をロピタルの定理を使用して計算すれば、この論法は結論を仮定として用いることとなり (論点先取)、たとえ結論が正しくとも非合理的な証明である。
発見的論法.
以下の単純な論法はロピタルの定理あるいは類似の概念が正しいことを示唆している。ここではロピタルの定理よりも強い仮定を用いているため、ロピタルの定理を証明するものではない。
である。またグラフによる幾何学的な考察から尤もらしさを確認することもできる。
ロピタルの定理の証明.
∞/∞形.
が成り立つから
が成り立つ。
日本の高校数学・大学入試での扱い.
概説.
大学入試で使うべきではないとする説.
ダーナ神族
粟津駅 (石川県)
粟津駅（あわづえき）は、石川県小松市符津町にある、西日本旅客鉄道（JR西日本）北陸本線の駅である。