冪乗の演算が右結合、すなわち のように積みあがった指数の上側から計算していくように、テトレーションの計算も に対する の部分から計算していく。
定義から直ちに、次の等式が成り立つ。
 と が互いに素であるとき、 の最後の 桁がオイラーの定理から求められる。
表記.
反復指数関数.
この関数は他に次のような表記で書かれる。
例.
以下の表では、大部分の値が指数表記による表記すら困難なほど巨大であるため、それらの表記には底を とした反復指数関数を用いた。なお小数部を持つ値はすべて近似値である。
微積分.
テトレーション に対する は正の実数に対して定義できるので、 を固定したときにそれぞれ微分と積分が定義できる。
高さが定数の微分.
任意の正の整数 に対し、 の微分は次のようになる。
ここから以下の近似値が導かれる。
同様に値を逆向きに求めていくことで 、 が得られる。 の値を複素平面上にプロットすると、点列は渦巻状に極限値 へと近づく。この値は のときと解釈できる。
このようなテトレーションの列に関する研究はオイラーの時代から続けられてきているものの、そのカオス的な振る舞いのために不明な所が多い。これまでに発表された研究のほとんどは、無限反復指数関数の収束について焦点を当てたものである。現在の研究は高性能のコンピュータを用いたフラクタルと数式処理システムの出現に大きな恩恵を受けている。テトレーションについて分かっていることの多くは、複素力学系の一般的な知識と、指数写像の専門的な研究によるものである。
高さが無限大.
ある範囲の底 に対して は有限の値に収束するので、この範囲においてテトレーションは高さ無限大の場合へ拡張できる。例えば は収束して、その値は であるから、 であると言える。
極限値 が存在するとき、これは方程式
高さが非正.
定義より
と以下続く。但しこの微分可能性はあくまで区分的なものである。整数 を境に微分係数が 倍されるため、（ の場合を除いて）整数 において微分不可能となる。
以下は値の計算例である。
これはテトレーションの一次近似を表し、 と表記される。 は、次の定理によって一意に定められる。
証明は、三番目から五番目の条件より が で線型となることから従う。