曲線、曲面、あるいはもっと一般に（ の）部分多様体の縮閉とは、その法写像の焦線（包絡線）をいう。具体的に、 を滑らかで非特異な の部分多様体とし、 の各点 と を基点として に直交する各ベクトル に対して、点 を対応させると、これは法写像と呼ばれるラグランジュ写像を定める。法写像の焦線は の縮閉である。
歴史.
定義.
弧長変数の場合.
平面曲線 はその弧長変数 によって媒介変数表示されているとする。この曲線の単位接ベクトル は、弧長を媒介変数とすることの利点として
と簡単な形に表すことができる。単位法ベクトル は に垂直な単位ベクトルで、対 が正の向きとなるようにとる。
曲線 の曲率 は、等式
を γ の定義域の各点 において満たすものとして定義される。曲率半径はその逆数
である。 の曲率半径の大きさは、その点において曲線を最もよく二次近似する円、つまりその点で曲線と二次の接触をもつような円（すなわち接触円）の半径に一致する。曲率半径の符号は、その接点における曲線と同じ向きに進むように媒介変数をとれば、接触円がどちらの向きに動くかを指し示すものとなる（接触円は、正ならば反時計回り、負ならば時計回りに動く）。
曲率の中心は接触円の中心をいう。曲率の中心はもちろん の法線上の、 からの距離が のところに位置する（どちら側にあるかは曲率 の符号で決まる）。記号で表せば、曲率中心の位置する点は
である。 が変化すれば、曲率の中心はこの等式で表される平面曲線を描く。それが曲線 の縮閉線である。
一般の媒介変数の場合.
もちろん、縮閉線の式を およびその導函数のみを用いて表すこともできる。実際、
から と を消去すれば、媒介変数表示として
が得られる。
放射曲線.
曲線の縮閉線と似た定義を持つものに、曲線の放射線（ラジアル曲線; ）がある。これは、曲線上の各点においてその点から曲率中心へ結んだベクトルをとり、それを始点が原点となるように平行移動させるとき、そのようなベクトルの終点の軌跡として得られる曲線をいう。つまり、放射曲線の式は縮閉線の式から の項を単純に除去することによって得られる。要するに、 または
が放射曲線の式である。
星芒形
佐佐木邦子
アステロイド曲線
ズーブルズ
歴史.
地理.
行政区分.
産業.
ナワナコーン工業団地が立地する。
交通.
諸施設.