とする。正の定数 は、重力ポテンシャルの下での天体運行モデルの場合、太陽の質量を 、惑星の質量を とすれば、万有引力定数 により、 で与えられる。また、クーロンポテンシャルの下での水素型原子モデルの場合、原子番号（陽子数）、電気素量 と真空の誘電率 によって で与えられる。このとき、質点の運動を記述する運動方程式は
となる。但し、ドット記号は時間微分を表し、 は運動量
である。運動方程式の右辺は逆二乗則に従う中心力を表している。
この系では、力学的エネルギー
と角運動量ベクトル
は時間に対して不変な保存量となる。ここで、質点は角運動量ベクトルに垂直となる平面内を運動し、その軌道は原点を焦点とする二次曲線となる。特に の場合、軌道は楕円軌道となる。楕円軌道の軌道長半径を 、軌道離心率を とすると
の関係が成り立つ。
このとき、
で定義されるベクトルをルンゲ＝レンツベクトルと呼ぶ。ルンゲ＝レンツベクトルは
を満たす保存量である。
一般に中心力ポテンシャルの下での運動は回転対称性から角運動量ベクトルは保存量となり、その軌道は角運動量ベクトルに垂直な一定平面内に限られる。一方で、必ずも軌道が閉じて閉軌道となることは保証されない。距離に反比例する中心力ポテンシャル においても、わずかにその値が揺らぐと近日点と遠日点を結ぶ軸に歳差が生じ、楕円軌道としては閉じない。軌道が閉じる背後には角運動量ベクトルに加えて、別の保存量の存在が示唆されるが、ルンゲ＝レンツベクトルがその保存量となっている。
基本的な性質.
ルンゲ＝レンツベクトルは時間的に変化しない一定ベクトルであり、楕円軌道を含む一定平面内に位置する。その方向は原点である焦点と近日点 () を結ぶ方向にある。また、その大きさは
で与えられる。従って、近日点の座標を とすると、
と表すことができる。ルンゲ＝レンツベクトルを で除したベクトル
は大きさが軌道離心率 である一定ベクトルである。このベクトルは離心率ベクトルと呼ばれる。
を満たす。また、ルンゲ＝レンツベクトル、角運動量ベクトル、エネルギーは関係式
で結ばれている。
歴史.
ハミルトン形式とポアソン括弧.
ハミルトン形式の解析力学で記述すれば、ケプラー問題の対称性とルンゲ＝レンツベクトルの性質がより明らかになる。角運動量ベクトル の各成分同士のポアソン括弧は