周期進行波に関する数学の理論は、そのほとんどが偏微分方程式のために発展されたものではあるが、他のタイプの数学のシステム、例えば積分微分方程式、積分差分方程式、結合写像格子やセルオートマトンなどにおいても、それら周期進行波の解は同様に生じる。
歴史.
族.
周期進行波の存在は、通常、数学的な方程式の中の媒介変数の値に左右される。周期進行波解が存在するなら、波のスピードが異なるそのような解の族が通常存在する。偏微分方程式において、周期進行波は通常、波のスピードの連続的な領域に対して生じる。
安定性.
周期進行波に関する重要な問題の一つに、それが元の数学的システムの解として安定かそれとも不安定か、という問題がある。偏微分方程式に対しては、通常、周期進行波の族は安定な部分と不安定な部分に細分される。不安定な周期進行波に関する、重要かつ補助的な問題の一つに、それらが絶対不安定あるいは対流不安定であるか、すなわちそれらは定常的に成長する線型モードであるかどうか、という問題がある。この問題は限られた偏微分方程式についてのみ、解決されている。
生成.
周期進行波の生成に関する以下のような多くのメカニズムが知られている。
これら全てのケースにおいて、キーとなる問題は周期進行波の族のどの所属者が選択されるかということである。ほとんどの数学的システムに対しては、この問題は未解決となっている。
周期進行波と時空カオス.
いくつかの媒介変数に対して、ある波の生成メカニズムから生じた周期進行波が不安定であることは、共通認識となっている。そのような場合、解は通常、時空カオスへと発展する。したがってそのような解は、周期進行波を介したカオスへの時空的な変遷を含むものである。
である（ は複素数値）。これらの系は のとき、同一のものとなることに注意されたい。これらの系はいずれも、方程式を振幅（ あるいは ）および位相（ あるいは ）に関して書き換えることで、簡易化することが出来る。この方法で方程式が書き換えられたなら、振幅が定数であるような解は、位相が空間と時間の線型関数であるような周期進行波であることが簡単に分かる。したがって、 あるいは は空間と時間の正弦関数である。