多変数函数に対する全微分可能性は、多変数の微分積分学における基本性質の一つである。函数の与えられた点における全微分可能性は、函数が局所的に線型変換で近似されることを意味している。これに対し、（任意方向の）偏微分は、任意方向を持つ直線上における線形近似に過ぎず、全体としては線型近似になるとは限らない。函数 の変数 に関する全微分の計算において、 以外の変数を定数と見なすことは必要でなく、実際他の変数が に依存することが許される。全微分では の に対する依存関係として、このような変数間の陰伏的な従属関係も含めて考えるのである。その意味において函数の全微分商は、函数の偏微分商とは異なる。
例えば、函数 の に関する全微分商は
であり、これはまた
と簡約することができる。両辺に無限小変分 を掛ければ
と書くこともできる。最後の式は、 を多変数函数 の無限小変分と見ることも、線型主要部と見ることもできる。 は に依存しているのだから、その変分には に関する の偏微分からの寄与がいくらかはあるはずであるが、ほかの変数 に関する の偏微分からの寄与も同様に来るはずである。無限小変分 に対する および の全微分を考えることにより、無限小変分 および が求まるから、これらを用いて への寄与を知ることができる。
導入.
函数 に対し、その点 における微分係数とは、一般に
なる極限として定義される。この形で定式化すると、 で割るということが多変数の の場合にはできないから、もう少し違った形を探らねばならない。
微分係数 は函数 のグラフ上の点 における接線の傾きであり、またその接線は
で表され、これは一次函数（アフィン線型函数）
のグラフでもある。この函数は
あるいは（ つまり と置いて）
と書くとき、誤差項 が の極限において よりも早く に収束する、すなわち
が成り立つという意味において函数 を近似するものである。
変数同士の陰伏的な関係と微分.