随伴の理論は基礎付けに「左」と「右」という言葉を用い、また考えるべき二つの圏 と の中にはたくさんの構成要素が存在している。そこで、「左」の圏 からとったのか「右」の圏 から取ったのかを、この左、右の順で付ける文字がアルファベット順となるようにし、またできうる限りこの順で書き下すようにすると非常に便利である。
普遍射による定義.
であって、これらの合成
が成り立つことを意味する。
を定める。
随伴の全容.
以上のことから、随伴にはたくさんの関手や自然変換を持っているが、その一部を決めるだけで他のものは決定される。
このことを使うと、以下に挙げる復元が可能である
を以下の手順で構成する。
を以下の手順で構成する。
歴史.
随伴の遍在性.
これらの随伴関手の対を探し始めると、実は抽象代数では非常にありふれたことであり、他の分野でも同様であることが分かる。以下の例の節ではこの証拠を与える。さらに、普遍的構成はもっと普通にたくさんの随伴関手の対に持ち上げることができる。
様々な問題の定式化.
半順序集合.
半順序の場合の随伴の定義は著しくつぶれているが、いくつかのテーマを与えてくれる。
このような観察は全ての数学で価値のあるものである。
例.
自由群.
自由群の構成は極めて普通の随伴による構成であり、上記の詳細の分かりやすくて便利な例である。
自由構成と忘却関手.
自由対象は全て忘却関手の左随伴の例となる。ここで忘却関手は代数的対象をその台集合に写す。これらの代数的な自由関手に対しても、上記の自由群に詳細に記述したものと同様のことが一般に成り立つ。
対角関手と極限.
積、引き戻し、等化子、核はどれも圏論的な極限の例である。全ての極限関手は対応する対角関手(考えている極限の種類から決まる)の右随伴である。随伴の余単位は極限対象からの(つまり、関手圏における、考えている極限に対応する対角関手からの)定義射を与える。以下に個々の例を示す。
余極限と対角関手.
余積、押し出し、余等化子、余核はいずれも圏論における余極限の例えである。
性質.
存在性.
同様のことが右随伴に関しても成り立つ。
一意性.
合成.
は関手
これにより、小さな圏を対象とし、随伴を射とする圏を作ることが出来る。
極限の保存.