類体論の主結果は次の相互法則と存在定理である。
相互法則.
代数体の任意の有限次アーベル拡大 に対して、この拡大で分岐するすべての（有限及び無限）素点で割り切れるモジュラス
が存在し、このモジュラスに対してアルティン写像は全射かつその核はこの拡大の合同群と等しい。したがってアルティン写像から同型
存在定理.
を代数体
の任意のモジュラスとし、
を
を法とする任意の合同群とする。このとき、あるアーベル拡大
が存在して
補足.
歴史的な用語.
任意の類体はガロア拡大であり、またそのガロア群はアーベル群なので、類体は基礎の体上のアーベル拡大である。よって、基本定理と合わせると、類体とアーベル拡大とは完全に同義である。こうして、類体論が確立された結果、アーベル拡大と類体は同じものであることが判明したため、類体論の主要な結果に「類体」の語が現れないのである。
乗法合同.
と
を
の分子が整イデアル
によって割り切れ、分母が
と互いに素であるとき、
と
は
を法として乗法合同であるという。モジュラス
の有限部分
を法として
と
が乗法合同であり、かつ
を割るすべての実素点による埋め込みで
と
の符号が等しいとき、
と
はモジュラス
を法として乗法合同である、ということもある。この言葉を使うならば、
は
イデアルの群.
モジュラス
に対して
と互いに素な分数イデアルのなす群
は
を割り切る有限素点の集合だけによって決まる。特に
に含まれる無限素点には依存しない。他方、
商群
のときこれは通常のイデアル類群なので、これはイデアル類群の一般化になっている。
が
の実素点すべての積であったとする。このとき
はすべての分数イデアルからなる群であり、
は総正な元で生成される単項イデアル全体の群である。この
を
任意のモジュラス
に対して
の位数は類数 を用いて
と表すことができる。ここで
は
の整数環の
による剰余類環の可逆元の個数、
は
を割り切る実素点の個数、
は
の単数群における
は有限群である。
存在定理によって合同群に対してアーベル拡大
が定まり、逆にアーベル拡大
があれば合同群
が定まる。この対応を一対一にするためには合同群に対して適切な同値関係を定義する必要がある。これは次のように定義される。
を法とする合同群
と
を法とする合同群
が同値であるとは、
と