となる。ただし、 の場合は、 と解釈する。
また、三角関数の等式を用いて、この式を書き直す方法がたくさんある。球面上の円柱座標 と平面上の極座標 を用いると、立体射影とその逆写像は、
となる。
性質.
前の節で定義された立体射影は、“南極” を に、“赤道” を単位円に、南半球をその円の内側に、北半球をその円の外側に射影する。
この変換は では定義されない。この点の小さい近傍は、平面の から遠く離れた部分集合に射影される。 を に近づけるほど、像は より遠くなる。この性質により、一般に は射影によって平面の無限遠点に写ると言われ、また球面は “無限遠点” を付け加えて平面を完備化しているといわれる。この事実が、射影幾何学や複素解析において有用である。単に位相的なレベルでは、それは球面が平面の一点コンパクト化に同相である様子を示している。
角度と面積をともに保存する球面から平面への写像は存在しない。仮にあるとすれば、それは局所等長写像で、ガウス曲率を保存しているはずである。しかし球面と平面はガウス曲率が異なるので、これは不可能である。
立体射影の等角性は、いくつかの有用な幾何学的性質を意味する。光源点を「通らない」球面上の円は、平面上の円に射影される。光源点を「通る」球面上の円は、平面上の直線に射影される。このような直線は、無限遠点を通る円や無限大の半径を持つ円とみなされる事がある。
球面上の等角航路を平面上に写した曲線は次の式で表される。
ここで は、等角航路の方位角である。よって等角航路は、等角螺旋になる。等角航路が常に子午線と同じ角度で交わるのと同じように、この螺旋は平面上の放射線(子午線の投影像)に常に同じ角度で交わる。
ウルフネット.
格子線を見ることで、この投影の正角性も見ることが出来る。球面上の緯線と経線は直角に交わるが、ウルフネット上のそれらの像も同じく直角で交わっている。
ウルフネットの使い方の例を説明する。
別な定式化と一般化.
別な文献 では半径 の球面と平面 で考える。この場合の定義式は
となる。
一般に、球面上の任意の点 から