正方行列 , が互いに相似かどうか調べたいとしよう。考えられる方法のひとつは、それぞれについて自然に作用するベクトル空間を不変部分空間の直和に可能な限り分解し、これらの部分空間上のそれぞれの作用を比較することである。たとえば両者が共に対角化可能であれば、固有空間分解をして、固有値とその重複度を比較することによって相似性は決定可能である。実際これは非常に有力な方法であることが多いが、一般的な方法としては様々な欠点がある。第一に、すべての固有値を（たとえば固有多項式の根として）見つける必要がある。しかし、それらを陽に表示することができるとは限らない。第二に、固有値は拡大体の中にしか存在しないかもしれない。このとき基礎体に関する相似性の証明は得られない。最後に、行列 , は、そもそも拡大体においてさえ対角化できないかもしれない。このような場合には広義固有空間への分解や、ジョルダン細胞への分解を代わりに使わなければならない。
巡回部分空間による直和分解は常に存在し、それを見つけるのは多項式の分解を必要としない。しかしながら、巡回部分空間はより小さな巡回部分空間の直和へと分解されるかもしれない（本質的には中国剰余定理による）。したがって、単に巡回部分空間への分解を求め、対応する最小多項式を知るだけでは相似性を決定するには十分でない。相似な行列に対し同じ巡回部分空間への分解が得られるように付加的な条件を課す必要がある：対応する最小多項式の列は、各多項式が次の多項式を整除しなくてはならない（そして 次元の自明な巡回部分空間を除外するために定数多項式 も許さない）。このようにして得られる多項式の列は行列の単因子と呼ばれ、行列が互いに相似であるのは、同一の単因子をもつとき、かつそのときに限る。行列 の有理標準形は対応する最小多項式が の単因子となるような巡回部分空間への分解に沿った基底の表現行列として得られる。行列が互いに相似であるのは、同一の有理標準形をもつとき、かつそのときに限る。
理論.
を満たすものが一意的に存在する。ただし は が を整除することを表す。