有限次アーベル拡大を個別に一般化されたイデアル類群に対応させるのではなく、 の有限次アーベル拡大をすべて合成した最大アーベル拡大 のガロア群を直接記述する方法も知られている。有限次代数体の場合、その最大アーベル拡大のガロア群
は無限群になるが、クルル位相により位相群とみたときこれは副有限群の構造を持つ。現代的な類体論の定式化では、イデール類群（イデール群を体の乗法群で割ったもの）と呼ばれる から（おおよそ）内在的に定まる位相群から
の開部分群と一対一対応し、相互律準同型によりそれはイデール類群の開部分群と一対一対応する。有限次アーベル拡大に対応するイデール類群の開部分群は、その有限次アーベル拡大体のイデール類群のノルム写像による像として特徴づけられる。
 の開部分群
代数体についての類体論の元々の証明は、代数体に対して直接類体論を証明するというものだった。その後、局所体類体論を使って証明するという手法が確立された。現代の類体論の教科書ではこの手法による証明を採用しているものが多くある。
イデアルを使った定式化.
類体論の主要な結果は少し用語と記号を準備すれば簡単に述べることができる。以降、この節を通して
は任意の有限次代数体を表すものとする。
用語と記号.
代数体
のすべての素点
をわたる形式的な無限積
モジュラス
の有限素点だけを取り出したものを
と書く。ここで、素点
が有限素点であることを
、無限素点であることを
と表している。
を
のイデアルと思える。
の分数イデアルで
の有限部分と互いの素なもの全体を
と置く。これは自然に群になる。群としての構造は
と互いに素な素イデアルを底とする自由アーベル群である。
の部分群
を
という形の単項イデアル全体とする。ここで
と
は
包含関係
にある群
を
を有限次拡大とする。
の部分群
を
の分数イデアルのノルムになっているような元全体とする。これは
（ は の素イデアルで
と互いに素なもの、 はそれの
における剰余次数）で生成される
の部分群である。
と置く。これを拡大 に対する合同群という。
さらに
はアーベル拡大であったとする。この拡大で不分岐な
の素イデアル
と書く。
で分岐する素イデアルを含まない分数イデアル
に対しても、素イデアル分解を使って
が
から
類体論の主結果.