到達可能性関係・推移閉包・推移簡約.
しかし、異なる DAG から、同じ到達可能性関係と同じ半順序集合が得られる場合もある。
DAG の推移閉包は、 と同じ到達可能性関係を表す DAG の中で、最も多くの辺を持つものである。
これは、頂点 から に到達できるときには必ず辺 → を持つ。
このようにして、全ての有限半順序集合は、DAG の到達可能性関係として表すことができる。
DAG のとは、 と同じ到達可能性関係を表す DAG の中で、最も少ない辺を持つものである。
これは のサブグラフであり、 が から に至るより長いパスを持つ場合に辺 → を廃棄することで形成される。
推移閉包と同様、推移簡約も DAG に対して一意に定義される。
一方、DAG 以外の有向グラフでは、同じ到達可能性関係を持つ最小部分グラフが複数存在する場合がある。
推移簡約は同じ半順序を表す他のグラフに比べて辺の数が少なく、グラフの描画が単純になるため、半順序を視覚化するのに便利である。
半順序のハッセ図は、推移簡約を図示したもので、各辺の向きを、辺の始点の頂点を終点の頂点よりも低い位置に置いて示している。
小宇
福岡県の市町村歌一覧
福岡県の市町村歌一覧（ふくおかけんのしちょうそんかいちらん）は、日本の福岡県に属する市町村で制定されている、もしくは過去に制定されていた市町村歌などの自治体歌やそれに準じた楽曲の一覧である。なお、一覧の順序は全国地方公共団体コード順による。
概説.
町村部では、筑豊地域を中心に町民音頭のみが作られている自治体が多い。
北九州市.
北九州市の区民音頭.
北九州市の一部の区では区民音頭が存在する。大半は合併前に各市の市民音頭として作成されたものを継承しているが、一部は区制を敷いてから新たに作られたものである。
福岡市.
福岡市の区歌等.
福岡市の一部の区では独自に区歌が、また全ての区において区民音頭が作られている。
その他市部.
編入合併に当たり、北野町・三潴町・城島町・田主丸町が制定していた楽曲（主に町民音頭）は「地域の歌」として存続している。
また、編入合併された上陽町の「地域の歌」として「上陽マイホームタウン」（作詞・作曲：後藤悦治朗）がある。