と表すことができる。また、角運動量ベクトルとルンゲ＝レンツベクトルのポアソン括弧は
となる。一方、ルンゲ＝レンツベクトル同士のポアソン括弧は、例えば
となり、定数項 の係数が付く。ここで となる束縛状態について
を導入すれば、
と簡明にまとめられる。この関係式はを拡大したに対応付けられる。
水素型原子モデル.
量子力学においては、対称性は保存量と結び付き、エネルギー準位の縮退を導く。水素型原子モデルのエネルギー固有状態は主量子数 、方位量子数 、磁気量子数 で指定されるが、エネルギー準位は主量子数だけで定まり、 重に縮退している。空間的に球対称な水素型原子モデルでは、で表される回転対称性により、角運動量が保存量となる。但し、回転対称性だけでは の値をとる磁気量子数による 重の縮退しか説明できない。このことは、さらに別の対称性の存在を示唆する。この対称性こそが、束縛状態で角運動量とルンゲ＝レンツベクトルがなすの対称性である。
量子化.
量子力学では正準量子化により、力学的な物理量はエルミート演算子になる。演算子（の各座標成分）同士の積は可換とは限らず、古典力学とは違い演算子 は に一致しない。したがって、 はエルミート演算子ではなく、量子力学では物理量を表わさない。そこで量子力学的なルンゲ＝レンツベクトルは、エルミート演算子
で定義される。
 はハミルトニアン と可換であるから、ハイゼンベルク方程式からの帰結として保存量であるといえる。
また、古典論での関係式に類似した下記の関係を満たす。
対称性.
古典論と同様に となる束縛状態について、
を導入すれば、 との交換関係として、に対応する
が成り立つ。すなわち、またはそれと局所同型なに対応していた の交換関係がなすリー代数は、のものに拡張される。さらに、
を導入すると、これらは
が該当する。
エネルギー準位.
カシミール演算子としては、 の線形結合として
をとることができる。ここで、 であるから、のなすリー代数を に制限してよい。よって、 であり、 のとり得る値は
となる。一方、
であるから、水素型原子のエネルギー準位は
となる。ここで、 は主量子数 に対応する。
レース概要.
ルンゲ・レンツベクトル
ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル
ラプラス＝ルンゲ＝レンツベクトル
ウェルシュ・リーグカップ