すべてのアフィンあるいは射影代数的集合は多項式環のイデアルの零点集合として定義される。この場合、既約成分は極小素イデアルに対応する多様体である。分解の一意性と有限性を証明できるようにするのはこの同一視である。この分解はイデアルの準素分解と強く関係している。
一般のスキーム論、すべてのスキームは既約成分の和集合であるが、成分の数が有限であるとは限らない。しかしながら、「実際」上起こるたいていのケースでは、すなわちすべてのネータースキームに対しては、既約成分は有限個である。
例.
既約成分の概念は代数幾何学において基本的であり、数学のこの分野の外ではめったに考えられない：代数的集合
参考文献.
 
指標群
有限アーベル群の指標群の主要な重要性は数論においてである。そこではそれがディリクレ指標を構成するために使われる。巡回群の指標群はまた離散フーリエ変換の理論においても現れる。局所コンパクトなアーベル群に対して、（連続性を仮定して）指標群はフーリエ解析の中核をなす。
前書き.
定義.
指標の直交性.
これは指標の所望の直交性関係を意味する。すなわち、
ヒルベルト–ポアンカレ級数
普遍係数定理
準備.
ホモロジー.
となるもの上のチェイン複体といい、
コホモロジー.
関手.
を考えると必ずしも完全系列にならない。そこで
関手は以下の性質を満たす。
関手.
を考えると必ずしも完全系列にはならない。そこで
関手は以下を満たす：
に関する普遍係数定理.
ホモロジーの場合.
次の定理が成立することが知られている：
が短完全系列となる、が存在する。
コホモロジーの場合.
係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理.
上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をを係数に持つコホモロジー（例えばを係数にもつ特異コホモロジー）に適用する場合は注意が必要である。
定義.
と定義すると
ホモロジーの場合.
に係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、
コホモロジーの場合.
であり、コホモロジーの普遍係数定理における
に関する普遍係数定理.
関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。
このとき以下の定理がしたがう：
が短完全系列となる、が存在する。
このとき、
が短完全系列となる、が存在し、この短完全系列は分裂する。
参考文献.
その他