執筆の背景.
題材.
内容は、藩主時代の田沼意次政権や松平定信が主導した寛政の改革の時期に関すること、執筆期に起きているシーボルト事件や大塩平八郎の乱などについての記述を始め、社会風俗、他藩や旗本に関する逸話、人物評、海外事情、果ては魑魅魍魎に関することまでの広い範囲に及んでおり、文学作品としてのみならず江戸時代後期、田沼時代から化政文化期にかけての政治・経済・文化・風俗などを知る文献としても重視されている。
資料.
漸近展開
漸近展開（ぜんきんてんかい、）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析や特殊関数に対する数値解析など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある。
漸近級数.
が成立するとき、
と表す。
さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という。
を持つという。
性質.
一意性.
さらに、漸近級数の各係数は
で与えられる。
和と積.
を持つとする。このとき、任意の α、β に対して
が成立する。
が成立する。
項別微分.
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。
項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。
が成立する。
項別積分.
とする。定積分
が存在して、
が成立する。
例えば、漸近級数が漸近冪級数
を持つ場合、
とする必要がある。
例.
スターリングの公式の一般化.
ガンマ関数は
合流型超幾何関数.
合流型超幾何関数 ():
は次の漸近展開を持つ。
誤差関数.
誤差関数
は、以下の様な漸近展開を持つ。
指数積分.
指数積分
の漸近展開は、
で与えられる。
ラプラス変換.
の漸近展開は、
で与えられる。
微分方程式の解.
微分方程式
の解は
で与えられ、