も確率変数 の確率分布の振る舞いと属性を完全に決定する。どちらか一方が分かっていればもう一方を求めることができ、その確率変数の特徴についてそれぞれ異なる洞察を与える。しかし、これらの関数を単純な標準的関数で表せるかどうかは、場合によって異なる。
確率変数が確率密度関数を持つ場合、特性関数と密度関数は互いにもう一方のフーリエ変換になっているという意味で双対である。確率変数に積率母関数がある場合、特性関数は複素領域に拡張されうる。
なお、確率密度関数や積率母関数が存在しない場合でも、ある確率分布の特性関数は常に存在する。
特性関数は、特に独立した確率変数の線型結合の分析で有効である。他にも、確率変数のの理論においても重要である。
定義.
スカラーの確率変数 について、その特性関数は、 の期待値として定義される。ここで は虚数単位、 は特性関数の引数である。
ここで は の累積分布関数、積分はリーマン＝スティルチェス型である。確率変数 に確率密度関数 がある場合、その特性関数は確率密度関数のフーリエ変換であり、上記の括弧内の式が対応する。
なお、特性関数の定義に出現する定数は一般的なフーリエ変換のものとは異なる。例えば書籍によっては と定義しており、これは本質的にはパラメータの変更である。他にも、確率測度 の特性関数を 、確率密度関数 に対応する特性関数を と表すこともある。
特性関数の記法は、多変量の確率変数やさらに複雑な確率要素に一般化される。特性関数の引数は確率変数 が値を持つ空間の連続的双対空間に常に属する。主な場合における定義を以下に示す。
ここで （プライム）は 転置行列、 は行列の跡作用素、 は複素数の実部、 は の複素共役、 は共役転置行列を意味する。
具体例.
性質.
連続性.
上述した確率分布と特性関数の全単射は「連続」である。すなわち、累積分布関数の族 が何らかの分布 にするとき、対応する一連の特性関数 も収束し、極限 はそのままの の特性関数に対応する。これをより形式的に述べると、次のようになる。
この定理は大数の法則や中心極限定理の証明によく使われる。
反転公式.
特性関数の判定基準.