で与えられることがわかる。 が奇数であれば、任意の に対し は偶数であり、 が偶数であれば、 と の偶奇はひとしい。従って、
である。ここに は作用した形式の次数である。
多様体上のホッジスター.
余微分形式.
多様体上のホッジ双対の最も重要な応用は、余微分 を定義することである。
とする。ここに、リーマン多様体に対し、 は外微分、 とする。
 に対し、 である。
余微分は反微分ではない。これは外微分と異なる。
余微分は外微分に随伴する、すなわち である。
これは滑らかな微分形式に対するストークスの定理より従う。このことは
となるとき、つまり、 は境界を持たないか、または、 あるいは が境界値が を持っているときである。
（もちろん、真の随伴性は、滑らかな微分形式の閉包として、適切な位相ベクトル空間への連続に接続した後に、これらの事実が成り立つ。）
ホッジ理論の心臓部をなす。この作用素は対称、すなわち であり、
非負 である。
の同型をもたらす。これは のポアンカレ双対性と標準的に同一視される。
ホッジスター作用素を適用することは、次を意味する。
となる。
クマワラビ
特徴.
胞子嚢をつける羽片は一回り小さく先端近くのものはより小さい。裏面は一面に胞子嚢が着く。苞膜は腎臓形で縁は滑らか。
胞子を散らせると、この部分の羽片は他の部分よりも早く枯れ、巻き込んだ後に脱落する。
和名は熊蕨で、葉柄の基部に鱗片が密生する様を熊の毛深い様になぞらえたものである。
類似種など.
生涯.
人物.
紅毛碧眼で顔には赤茶けたしみがあったという。
「彼は強くまた勇敢であり非常に大胆で、遠大な夢を持っていた。彼はアラビア語にきわめて達者であり雄弁であった。私は彼が嘆願書に対して書いた返信も見たことがあるが、それは素晴らしい筆跡と文章技能で書かれていた」
「カリフは説教の間にあまりの悲しみと絶望からセルジューク朝について不平を述べた。アラブの雄弁家、ペルシアの能弁家たちはいずれもそれをこう評している。すなわち、預言者の弟子にして、コーランの注釈者たちたる教友たち以来、かかる流麗かつ雄弁な話をした者はいない」
参考文献.
関連項目.
ホッジスター
経歴.
プロ入りとカージナルス傘下時代.
ブレーブス時代.
レンジャーズ傘下・レッズ傘下時代.
パドレス傘下時代.
これを最後に現役を引退した。