「『新改正　三ヶ津浄瑠璃・太夫方素人方・音曲座鋪角力　所付・実名付』に、（略）「太夫方」の「西」の前頭十四枚目の「同（京。筆者註）三条　浜側万吉」が、『増補浄瑠璃大系図』が三代綱太夫の住所地・本名と伝えるところの「三条橋東松の木町北側通称飴屋万吉」と一致するので、「浜側万吉」を、寛政七年当時「浜」太夫と名乗る、のちの三代綱太夫そのひとと推定する。右の推定を加えて、二代・三代の改名歴を示すと、
二代綱太夫　浜太夫→綱太夫
三代綱太夫　浜太夫→紋太夫→綱太夫→三綱翁
となる。
　三代綱太夫が、師・二代綱太夫の前名を許されたのは、将来有望と見込まれたからこその命名であったと理解し得よう。そしてふたりの綱太夫がともに「浜太夫」を初名としていたからこそ、四代竹本長登太夫編著『増補浄瑠璃大系図』は錯覚して、前名を取り違えたと解釈できるように考える。」
初代植村文楽軒（正井与兵衛）の妻である「てる」の肖像画の賛に、鴨長明に文楽座のために一文書いて頂くために、三綱翁（三代目綱太夫）に力添えを願った趣旨の文章が記されている。
せの君とかしつきしのち末遠く　かたりつくへき名さへ残せり　八十二叟　賀茂長命」
孫弟子の七代目綱太夫（三代目津太夫）が三代目綱太夫が世事に疎かったエピソードを語っている
四代目.
二代目竹本むら太夫 → 四代目竹本綱太夫 → 竹本四綱翁
本名：佐々木吉兵衛（近江屋吉兵衛）。八日市金谷町生まれ。通称：江戸堀。号は四綱翁。屋号は近江屋、和泉屋。
「勘助住家の段」の他、綱太夫場（風）の『勢州阿漕浦』「平次住家の段」や、『伊賀越道中双六』「岡崎の段」『ひらかな盛衰記』「逆櫓の段」『義経千本桜』「すしやの段」を当り役とした。
三代目長門太夫は、「其頃評判のよきむら太夫後四代目綱太夫なり此人を頼みて江戸堀迄稽古に通ひ」と『増補浄瑠璃大系図』にあるように、むら太夫時代の四代目綱太夫に師事している。
五代目.
（生没年不詳）
竹本芝（柴）太夫 → 七代目竹本紋太夫 → 竹本綱戸（登）太夫 → 七代目竹本紋太夫 → 竹本綱戸（登）太夫 → 初代竹本津島（対馬）太夫 → 五代目竹本綱太夫
本名：大坂屋喜兵衛。屋号は加賀屋。