任意の集合 に対して、 を基底とする自由アーベル群が作れる。そのような群は同型を除いて一意に定まる（同じ集合を基底に持つどの二つの自由アーベル群も必ず群同型になる）。基底元から元を構成する方法ではなくて、 の各元ごとに整数の加法群 のコピーを対応させ、それらの直和として基底 を持つ自由アーベル群を得る方法もある。他にも、 の各元を生成元として の元の任意の対から得られる交換子を基本関係子とする群の表示によって、 を基底とする自由アーベル群を記述することもできる。任意の自由アーベル群はその基底の濃度として定義される階数を持ち（同じ群のどの二つの基底も濃度が等しいこと（基底数不変性質）に注意すべきである）、同じ階数をもつどの二つの自由アーベル群も互いに同型である。自由アーベル群の任意の部分群はそれ自身自由アーベルである。この事実により、一般のアーベル群を自由アーベル群を「関係」または自由アーベル群の間の単射準同型の余核で割ったものと見ることができる。
例と構成.
整数と格子.
整数全体は、加法演算のもとで、基底 をもつ自由アーベル群をなす。すべての整数 は基底元の整係数線型結合（具体的には係数 を持つ結合 ）である。
より一般に、すべての格子は有限生成自由アーベル群をなす。 次元の整数格子は 個の単位ベクトルからなる自然な基底をもつが、他の基底もたくさんもつ。 が 整数行列で行列式が であれば、 の列は基底をなし、逆に整数格子のすべての基底はこの形である。二次元の場合についてより詳しくは、を見よ。
直和、直積、自明群.
自明群 もまた空集合を基底とする自由アーベル群と考えられる。これは の個のコピーの直積と解釈できる。
二つの自由アーベル群のテンソル積はつねに、積をとる二つの群の基底のカルテシアン積を基底にもつ自由アーベル群になる。
任意の自由アーベル群は、基底の各元に対して一つずつ のコピーを与えて、 のコピーの直和として記述できる。この構成は、任意の集合 を自由アーベル群の基底にすることを可能にする。
整数値関数と形式和.
表示.
群の表示は群の生成元（任意の元は生成元の有限個の積として書ける）の集合と基本関係子（単位元に等しくなるべき生成元の積）の集合の組を言う。