と、それらを で割った（正の）余りを考える。（これらの余りはすべて相異なるので、全部で ( 個ある。）
その余りが よりも大きいものの個数を とする。このとき
例.
 および とすると、考える整数列は
であり、 で割った余りは、
上の余りの列
は
の置換であることも明らかである。
証明.
 は後者の範囲に属するような倍数 の個数を数え、このとき は前者の範囲に入るから、
となる。
さて値 が に対して相異なることを見る。実際、 は と互いに素であるから、
となり、 を得る。
しかし、“絶対値”の取る値もちょうど 個であるから、それらは整数 を並べ替えたものとなる。したがって
となる。
を消すと、
応用.
ガウスの補題は、平方剰余の相互法則の知られている証明のうち、決してすべてではないが、多くで 使われる。
となることを証明し、この式を用いて平方剰余の相互法則を証明した。円関数ではなく楕円関数を使うことで、彼はやを証明した。
レオポルト・クロネッカー は補題を用いて
を示した。 と を入れ替えることで直ちに平方剰余の相互法則を得る。
「第二補充法則」のおそらく最も簡単な証明 においても用いられる：
群論の移送との関係.
この代表系の集合に移送のからくりを施して、移送準同型
を得るが、これは を に送る写像であることが分かる、ただし と は補題の主張のとおりとする。するとガウスの補題は、この準同型を二次剰余指標として明示的に同一視する計算と見ることができる。
関連項目.
ループ代数
数学において，ループ代数 (ループだいすう、 とは，ある種のリー環であり，特に理論物理学において興味を持たれる．
定義.
 を複素リー環とし， を円周多様体 上の滑らかな（複素）関数の代数とする．このとき， と のテンソル積
は，リーブラケットが
で与えられる無限次元リー環である．ここで と は の元で， と は の元である．
これは の各点に を乗せた の無限個のコピーの直積に対応するものではない，なぜならば滑らかさの制約があるからである．そうではなく， から への滑らかな関数，言い換えると， 内の滑らかな径数付けられたループと考えることができる．これがループ代数の名前の由来である．
なお，部分代数
もループ代数と呼ばれる．
ループ群.