妻は綱豊といった女義太夫で、門弟の稽古屋竹本織王太夫を紹介する欄に記述がある。「同人（竹本織王太夫）の妻は綱鶴と呼び先師綱太夫の妻なりし綱豊の弟子なるが目下毎日柳橋の芸妓屋などに出稽古なせり」
川崎大師に知友（五代目一龍齋貞山 (三代目錦城斎典山）、二代目神田伯山、初代柳亭燕枝、二代目松林伯圓、初代三遊亭圓朝、三遊亭圓鶴 他）や門弟の建立した立派な碑が現存している。
三代目.
竹本織の太夫 → 二代目竹本殿母太夫 → 三代目竹本織太夫
六代目竹本綱太夫（初代竹本殿母太夫・二代目竹本織太夫）門弟。
定紋は四つ柏に隅立て四つ目。本名：加藤房治郎。出身は京都市上京区油小路竹屋町。
この後、師の前名である三代目竹本織太夫を襲名することとなるが、殿母太夫襲名と同様に、詳細は不明ながらも、後年出版された『義太夫雑誌』の「三代目竹本織太夫」の評判を紹介する欄に以下のような記述がある。
「利生記」舟宿・「壷坂」・「沓掛村」・「伊勢音頭」・「伊右衛門住家」、特にチャリ語りが得意を得意とした。
三代目織太夫ほどの実力があれば、東京での七代目竹本綱太夫襲名披露を行うことも可能であったと考えられるが、竹本山城掾亡き後、竹本綱太夫一門の総帥は三代目津太夫（後の七代目綱太夫）であり、その庇護の元、七代目綱太夫の襲名披露は、初代以来のゆかりの地大阪で行うものであるというコンセンサスが本人三代目織太夫はもちろんのこと、一門内にあったものと推察される。また、師六代目綱太夫の親戚である京都在住の八代目弥七が竹本綱太夫の名跡を預かっており、八代目弥七は三代目津太夫こそ七代目綱太夫に相応しいと考えていたとの話もあるため、八代目弥七の意向も大きかった。
以降、綱太夫の名跡は、三代目織太夫の祖父師匠である竹本山城掾の京・大坂の系統に戻り、山城掾の門弟であり、文楽座の庵として重きをなした三代目津太夫（織太夫の叔父師匠）が晩年に七代目綱太夫を襲名した。その七代目の弟子である二代目豊竹古靭太夫（豊竹山城少掾）は、門弟の二代目豊竹つばめ太夫に八代目竹本綱太夫を襲名させるための前名として四代目竹本織太夫を選んでおり、以降、織太夫が綱太夫の前名として揺るぎない地位を築いている。
四代目（代数外）.
三代目竹本大隅太夫の門弟。本名は木津谷 吉兵衛。定紋は隅立て四つ目。