と定義する．さらに，台有限次元単純リー環の基底は構造係数がすべての添え字で反対称となるようとられ基底は適切に正規化されていると仮定する．このとき定義より直ちに次の交換関係が分かる：
ヴィラソロ代数.
 とし の反対称性を用いて
を得る．拡大において，元 に対する交換関係は
である．右辺の中心電荷を取り除くことが望ましい．このために
となり，したがって
である，ただし最後の条件はリーブラケットの反対称性による．これと （ の「平面」を切り出す）により は
となり，（ の「直線」を切り出す）として
となる．これは一般に
で解かれる差分方程式である．すると の元の拡大における交換子は
とでき，中心電荷が全く現れず，したがって拡大は自明である．（これは のみがもともとの関係を得た前の修正の場合では（一般には）ない．） のとき基底の変換
により交換関係は
であり，交換関係は
である．
群の拡大.
リー群 の射影表現 （背景）は，いわゆる群拡大 を定義するのに使うことができる．
量子力学において，ウィグナーの定理は， が対称変換群であるとき，それはユニタリあるいは反ユニタリ作用素によってヒルベルト空間上射影的に表現されるということを述べている．これはしばしば， のにうつりそれを対称変換群ととることで扱われる．これは回転群 やローレンツ群 に対してはうまくいくが，対称変換群がのときはうまくいかない．この場合その中心拡大であるバーグマン群にうつらなければならない．これはシュレディンガー方程式の対称変換群である．同様に，, 位置と運動量の空間の平行移動の群のとき，その中心拡大であるハイゼンベルク群にうつらなければならない．
と定義し，乗法を
が成り立ち，逆元は
である．集合 は の可換部分群である．これは が半単純でないことを意味する． の中心 はこの部分群を含む．中心はより大きいかもしれない．
リー環のレベルでは， のリー環 はベクトル空間としては
で与えられリーブラケットは
さて射影表現 を用いて写像 を
で定義できる．それは次の性質を持つ：
なので は の本物の表現である．