物理学や工学の様々な場面でフーリエ変換の応用例が見られる。
微分方程式の解析.
がある。この方程式は無限に多くの解が存在する。ここで問題となるのは、次の「境界条件」を満たす解をみつけること、いわゆる「境界問題」である。
この解を直接求めるよりも、解のフーリエ変換 を求める方が簡単である。なぜならフーリエ変換によって微分は変数による掛け算になり、もともとの関数についての偏微分方程式は、フーリエ変換された関数についての双対変数の多項式関数による掛け算になるからである。 が決定された後は、フーリエ逆変換によって が得られる。
フーリエの方法は以下に示す。まず次の形をした関数は波動方程式を満たす。
これらは基本解と呼ばれる。
は（任意の において）波動方程式を満たす（この積分は連続的な線形結合のようなもので、方程式は線形である）。
ここで、これは関数のフーリエ合成における公式に似ている。実際これは、 と の変数 における実フーリエ逆変換である。
同様に、 を について微分し、フーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換をすると、次が得られる。
つまり によってパラメータ化された基本解の組を選び、それらの一般解はパラメータ についての積分の形をした（連続的な）線形結合である。しかしこの積分はフーリエ積分の形ではない。
次のステップでは、これらの積分についての境界条件を表現し、それらを与えられた関数 と に等しいとする。しかしこれらの表現は、導関数のフーリエ変換の性質により、フーリエ積分の形にもなる。
最後のステップは、両辺にフーリエ変換することでフーリエ反転を利用し、与えられた境界条件 と についての係数関数 と の表現を得る。
これは （ただし）を要求することと等価である。直ちにこれは我々が先ほど得た基本解の選択がなぜうまくいくのかを説明する。明らかには解である。これらのデルタ関数にフーリエ反転を適用すると、先ほど選んだ基本解を得る。しかしより高い視点から見ると、基本解を選んだのではなく、むしろ（退化した）円錐 に台を持つ全ての超関数の空間を考慮したことになる。
フーリエ反転によって、境界条件において上でより具体的に得たものに非常に似たものが得られる（を代入し、これは明らかに多項式増大である）。
また、