単項イデアル整域とは、任意のイデアルが単項イデアルである整域のことであるが、ここではイデアルという用語を用いずに、対応する以下の命題を示す。
（証明）ガウス整数の集合
を満たす が取れる。
であるから、 は の元である。 は の でない元のうちノルムが最小のものであったから、 でなければならない。ゆえに、 は を割る。同様にして、 は も割る。
 を先の定義によるガウス素数とする。このとき、
であって、仮定より は を割るので は左辺の も割る。 は単数であるから、 は を割る。次に、 が と同伴とすると、 は を割るから、 も を割る。
通常の割り算を考えれば、有理整数環も絶対値に関してユークリッド整域であるので、同様にして素元分解整域であることが示される。一般に、ユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は素元分解整域であることの証明は、有理整数環やガウス整数環における証明をプロトタイプとしてほぼ同様に行える。ただし、最後のステップにおいて、有限個の既約元の積に分解されることを示すのにノルムを用いたが、一般には単項イデアル整域の性質のみで同様のことが示せる。
応用.
ピタゴラス数.
ここでは、ガウス整数環の素因数分解の一意性の簡単な応用例として、ピタゴラス数のうち、互いに素であるものは全て次の公式
で与えられることを確かめる。
 を原始ピタゴラス数とする。すなわち
であって は互いに素とする。簡単に分かるように、 と は偶奇が異なり、 は奇数である。左辺を因数分解して
を得る。ガウス素数 と は互いに素である。実際、あるガウス素数 が両方を割り切るとすると、その和や差も割り切るので、 と を割り切る。 と は互いに素であるので、 は を割り切る。 は も割り切るので、 が奇数であることに矛盾する。したがってそのようなガウス素数 は存在しない。
互いに素である と の積が平方数であるので、それぞれ平方数と同伴である（ここで素因数分解の一意性を用いた）。例えば とおくと、上記の公式を得る。同伴の違いは符号の違いや と の入れ替えを与えるのみである。実際に公式が原始ピタゴラス数を与えるためには、 は互いに素で偶奇が異なり、 である必要がある。
このアイデアは、一見して一般のフェルマー方程式