から定数項 を右辺へ移項し、両辺に を掛けることで以下の方程式を得る。
 と括弧内の整数の積は に等しく、従って は を割り切れることが分かる。しかしながら、 と は互いに素であり、ユークリッドの補題から同様に と も互いに素であるため、 は残る因数 を割り切ることが示される。
 から最高次の項 を右辺へ移項し両辺に を掛けることで次の式を得る。
 と の場合と同様の理由で、 は最高次の係数 を割り切ることが示される。
ガウスの補題による証明.
多項式のすべての係数を割り切る非自明な約数がある場合、その多項式を係数の最大公約数で割った、の意味での原始多項式が得られる。この原始多項式の有理根は元の多項式と同じであり、可約条件だけが強められる。
ガウスの補題によれば、ある多項式が有理係数の多項式 で因数分解できるなら、整係数の多項式 で因数分解することができ、原始多項式の積として表すことができる。
 を因数とする整係数多項式 について、最高次の係数は で割り切れ、定数項は で割り切れるので、有理根定理が得られた。
この事はより一般に、多項式 の可約でない因数は整係数を持つことができ、その最高次の係数と定数項が、対応する の係数を割り切れることを示す。
例.
例として、方程式
のいずれの有理根も
 という置き換えをすると定数項を とし、 の係数は の係数に等しい の多項式が得られる。有理根定理を適用すれば、 として可能な根は
となる。従って、元の方程式の根の候補は次の通りである。
こうして得られた候補のリストと以前のリストを比較して、両者に存在しない候補は除外することができる。結局、候補のリストは に短縮される。
また、いずれの候補も根でなかった場合、方程式は有理根を持たない。
定数項 がゼロの方程式は有理根として を持つ。
弔問者芳名録
病気や事故、大きな災害などによる死亡後、弔問者名簿は公共の場所、特に葬儀の時に置かれる場合が殆どである。弔問者芳名録が閉じられた後は親族に渡されるか、まれにアーカイブに保管される。また著名人の場合、弔辞の公的記録はコンパイルされ再版される場合がある。
最近ではデジタル弔問者芳名録も出現し、人々はネットで署名することもできる。
略歴.
シラヒゲウニ
特徴.
分布と生息環境.
利害.
イビサ空港
犯人は誰だ!!
解説.
あらすじ.