より一般的に、線型代数学の基本定理によって関連付けられる像、核、余像、余核について考えることができる。
証明.
第一の証明.
} を の基底とする。この基底を の基底に拡張して } となるとする。 の次元は であり、 の次元は であるため、 の次元が であることを示せば十分である。
} が の基底であることを示す。 内の任意のベクトル に対して、以下を満たすスカラーが一意に存在する：
したがって、} は の生成系であることが分かる。
あとは、} が線型独立であることを示せばよい。今
とする。
より
すると、} は を張るから、
とスカラー で表せる。しかし、} は の基底であるから、線形結合の表示は一意であり、ゆえに、全ての および はゼロに等しい。したがって、} は線型独立であり、 の基底である。このことから、 の次元は であることが分かり、目標は達成された。
より抽象的な言い方をすると、写像 は分裂する。
第二の証明.
 を、 個の線型独立な列を含む 行列とする（すなわち、 の階数は である）。以下では次を示す：
すなわち言い換えると、列ベクトルが の零空間の基底を形成する、ある 行列 を、以下では作る。
一般性を失うことなく、 の初めの 個の列が線型独立であると仮定できる。すると、 個の線型独立な列ベクトルを含むある 行列の と、 個の各列が の列ベクトルの線型結合で与えられるある 行列の を用いて、 と書くことができる。このことは、ある 行列 に対して が成立することを意味し（階数因数分解を参照）、したがって である。
 次単位行列 に対し、
とする。この は
を満たす 行列であることに注意されたい。したがって、 の 個の各列は、 の特殊解である。さらに、以下に示すように であれば であることから、 の 個の列は線型独立である：
したがって、 の列ベクトルは に対する 個の線型独立な解の集合を構成する。
続いて、 の解はどのようなものでも の列ベクトルの線型結合で表現されることを示す。このことを示すために、 を満たす任意のベクトル
を定める。 の列ベクトルは線型独立であることにより、 であれば が成立することに注意されたい。したがって、