これから得られる運動方程式は以下のようになる。
自発的対称性の破れ.
キンク解.
キンク解を持つスカラー場の理論として、他にが知られている。
複素スカラー場.
スカラー場が実数の値をとる実スカラー場に対して、複素数の値をとるスカラー場を複素スカラー場と呼ぶ。ポテンシャルを含む複素スカラー場の作用は以下のように定義される。
のもとでの対称性を持つ。
次元解析とスケーリング.
上述の議論では量子論の定数である換算プランク定数を用いているが、これを古典的な定数と置き換えれば、古典論においても同様の議論が成立する。
スケーリング次元.
ここでは、物理量φはスカラー場であり、スケーリング次元Δは質量次元である。
スケール不変性.
スカラー場の理論がスケール不変性を持つ、つまりスケール変換
通常、古典場がスケール不変であるとき、それと対応する量子場は必ずしもスケール不変であるとは限らない。このように、古典論で成立していた対称性が量子論で破れることをアノマリーと呼ぶ。
共形対称性.
スカラー場の量子論.
正準量子化.
さらに、自由スカラー場のハミルトニアンは以下のよう表記される。
量子力学における調和振動子からの類推によって、生成・消滅演算子を用いて場の演算子と共役運動量を書き直すと
ハミルトニアンを生成・消滅演算子によって表記すると、
経路積分.
運動量が決められた粒子の散乱問題に適用するような場合には、フーリエ変換を用いて指数関数の中の積分を座標表示から運動量表示へ書き直す。
ファインマン則.
ファインマン則には位置空間と運動量空間の二種類の表示があるが、以下では運動量空間におけるファインマン則を記述する。
繰り込み.
ファインマン・ダイアグラムにおいてループとして表される高次の輻射補正は、場の量子論の計算で無限大の発散項として現れる。この発散を回避する操作が繰り込みである。このとき、繰り込みによって導入されたエネルギースケールに依存して結合定数や質量が変化する。
このようにエネルギースケールに依存する結合定数は有効結合定数、あるいは走る結合定数と呼ばれ、これらの理論は繰り込み群によって記述される。