少し考えるとこれらは が から まで行くとき 内のループであることが確かめられる．演算は の演算によって点ごとに定義されるものである．この代数は代数
に同型である，ただし はローラン多項式の代数であり，
と対応する．リーブラケットは
である．この後者の視点により元は（定数！）係数が の多項式と考えることができる．基底と構造定数のことばでは，
である．異なる表記
をすることも一般的である，ただし の省略は混乱を避けるため心に留めておくべきである；元は実際には関数 である．するとリーブラケットは
である．そのような表現はユニタリと呼ばれる，なぜならば代表元
がユニタリだからである．ここで， の下の添え字のマイナスは慣習であり，和の規約が使われ， は（定義により）右辺の たちに埋もれている．
カレント代数（物理）.
カレント代数は場の量子論において大域的ゲージ対称性の結果として生じる．
not for ), 
at .
 を 次元複素単純リー環で次のような正規化された基底をもつものとする：構造定数はすべての添え字について反対称であり，交換関係は
とおき，交換関係を
と定める． ならば， で張られる部分代数は明らかに上の多項式ループ代数と同一である．
と書け，リーブラケットはベクトル場のリーブラケットで， 上単に次で与えられる：
代数は と書かれる． の基底は次の集合で与えられる：
この基底は次を満たす：
射影表現.
 がのとき，リー環の元 は
同様に，群の表現 が与えられると，そのリー環 は次で計算される：
すると と の間の基底を基底に送りしたがって が の忠実表現であるようなリー環の同型が存在する．
しかしながら が，すなわち位相因子を除いた表現ならば，群の表現から計算されるリー環は， に同型ではない．射影表現において乗法の規則は
である．関数 は，しばしば滑らかと仮定されるが，次を満たす：
次が成り立つ：
なぜならば と はともに において単位元になるからである．位相因子 の説明は，を参照． における基底に対する交換関係
は において
となるので， がブラケットで閉じている（したがって実際にリー環である可能性を持つ）ためには，中心電荷 が含まれていなければならない．
境界付き多様体