前の二つは の交換子全体の成す部分集合が反転と共役に関して閉じていることを示すものである。三つ目の式で と取れば、交換子全体の成す部分集合が の任意の準同型で閉じていることを示すものとなる。この三つ目は実は二つ目の等式の一般化であり、実際に自己準同型 として共役変換 を取れば二つ目が出る。
定義.
一般に交換子が積で閉じていないことが次の定義に繋がる。群 の交換子全体が生成する部分群
を の交換子部分群という。これを導来部分群と呼ぶこともある。交換子部分群を表す記号としては他にも
などが慣習的に用いられることがある。交換子の逆元も交換子なので、交換子部分群 の任意の元は有限個の交換子の積
の形に書くことができる。さらに共役に関しては、
が成立するから、交換子部分群は の正規部分群になる。また任意の準同型 に対して
が成立するから、交換子部分群の準同型写像による像は交換子部分群に含まれる。これにより、交換子部分群を作る操作は群の圏における函手と見ることができる（これについて、いくらかは後述する）。また、さらに と取れば、交換子部分群は の任意の自己準同型に関して保たれることがわかる。すなわち、交換子部分群 は のであり、これは単に正規であるというよりも非常に強い性質である。
交換子部分群は、群 の元 を積の形 に書くとき、右辺の積の順番を適当に交換して単位元にすることができるような元 の全体で生成される部分群として定義することもできる。
導来列.
導来群を作る操作を繰り返して
と定義する。このとき部分群 を 次導来部分群、降
アーベル化.
群 とその正規部分群 に対し、剰余群 がアーベル群となる必要十分条件は が交換子部分群 を含むことである。 
剰余群 は群 のアーベル化と呼ばれるアーベル群である。また剰余群としてアーベル化を得ることを、 をアーベル化すると言う。 のアーベル化は や と書かれるのが普通である。
標準的な全射 には有用な圏論的解釈がある。つまり は
を満たす。普遍性からアーベル化 は自然同型を除いて一意的である。また存在性は具体的な構成 からわかる。このアーベル化函手は、アーベル群の圏から群の圏への包含函手の左随伴である。一方で群の中心はこのような函手性を持たない。