を の部分集合で共役で閉じているものとする。このとき、
が
に含まれているもの全体の集合は密度
を持つ。密度が自然密度であっても解析密度であってもこのことが成り立つ。
エフェクティブ版.
、 を
のいくつかの共役類の和集合とする。このとき、
の不分岐な素イデアルでノルムが
と等しい。ここで、ランダウの記号に暗に含まれている定数は絶対定数であり、 は
の
上の次数、 はその判別式である。
を次数 の自明でない
または
の部分表現
に対して
を
の指標とする。このとき、正の絶対定数
が成り立つ。ここで
は
は
のと呼ばれる実数である。その零点が無い場合は項
は出てこない。この式に暗に含まれている定数は絶対定数である。
無限次拡大.
 の素イデアルの有限集合 の外では不分岐な無限次ガロア拡大 
に対して一般化できる。この場合、 のガロア群 
はクルル位相を備えた副有限群である。
はこの位相でコンパクトであるから、 上には一意的なハール測度 が存在する。
 が有限次拡大の場合にはハール測度は数え上げ測度になるので、有限次の場合の密度定理と同じ主張となる。
重要な帰結.
のガロア拡大
は、この拡大で完全分解する の素イデアルの集合によって一意的に決定されることがこの定理からわかる。また、
のほとんどすべての素イデアルが
で完全分解するならば、実際には
であることがわかる。
円分体交差法によるアーベル拡大に対する密度定理の証明とは次のようなものである。まず有限次代数体のガロア拡大
とそのガロア群
とその共役類
に対して
に含まれる
の素イデアルの密度を表すものとする。密度定理とは
が存在し
に等しいという主張である。
アーベル拡大に対して密度定理を証明したいので
をアーベル拡大とし
を拡大次数とする。ここで、やや唐突であるが、 の判別式を割らない素数 を取る。そして 
は
と同型であり
は
と同型である。
の素イデアル
の
とすると、拡大
における
なので、
で の定義で極限の代わりに下極限を取ったものを表すことにすると
が成り立つ。
 と を取って固定する。 はその位数が
 で割り切れるものを取ったとする。
で生成される部分群を
とすると、これと
の共通部分は単位元のみである。
を
に対応する部分体とすると
であり
は円分拡大である。