ここに二元 の交換子とは積 のことであり、この積が単位元に等しいということは , つまり と は可換であることを意味する（さらに言えば、生成元がどの二つも可換となるならば、生成元の積として得られる元はどの二つも可換になる）から、上記の表示によって生成される群は確かにアーベルであり、しかもこの表示の関係子集合は生成される群がアーベルであることを保証するに必要最小限のものになっている。
生成元集合が有限集合のとき、表示もまた有限型である。この事実と自由アーベル群の任意の部分群が自由アーベルとなる（後述）という事実を合わせれば、任意の有限生成アーベル群が有限表示であることが示せる。というのも、アーベル群 が集合 によって有限生成されるならば、 は 上の自由アーベル群をその適当な自由アーベル部分群（この部分群は の表示の基本関係子によって生成される部分群である）で割った商であるが、この部分群もそれ自体自由アーベルゆえ有限生成であり、その基底（と 上の交換子全体を合わせたもの）は の表示における基本関係子の成す有限集合を与えるからである。
用語.
性質.
普遍性.
ランク.
部分群.
有限生成自由群の場合、証明はより容易で、より正確な結果が得られる。
ねじれと可除性.
任意のアーベル群との関係.
純非分離拡大
純非分離拡大.
純非分離拡大のガロワ対応.
位数 (群論)
例.
位数と構造.
群の位数と元の位数はよく群の構造の情報をもたらす。大ざっぱに言えば、位数の分解が複雑であればあるほど群も複雑である。
と書けば、
任意の群において、
元の位数で数える.
準同型との関係.
類等式.
未解決問題.
群とその元の位数についてのいくつかの深い問題は様々なバーンサイド問題に含まれている。これらの問題のいくつかはまだ解決されていない。
静岡県立天竜高等学校春野校舎
またまたゴチャ・まぜっ!
群の元の位数
位数 (群)
モジュラー拡大
純非分離
純非分離体拡大
形式和
形式差
自由アーベル
ゴチャ・まぜっ!水曜日
ゴチャ・まぜっ!水曜日（ごちゃ・まぜっ!すいようび）は、MBSラジオで放送されていたラジオ番組。
大西連
略歴.
東京都練馬区出身。麻布中学校・高等学校卒業。在学中はチェス部に所属。
横田嘉右衛門
生涯.
前半生.
富山.