このときの作用は次のように記述される。 
これは独立した調和振動子の集合体に対する位置運動量経路積分とみることができる。 
等価性を見るには、作用を実部と虚部に分解できることに注意して以下のようにすればよい。 
非線形シュレディンガー方程式.
多体ポテンシャル.
ポテンシャルには、多体の寄与が含まれる。 相互作用ラグランジアンは次のとおりである。 
これらのポテンシャルは、最密原子の有効的記述に重要である。 高次の相互作用は次数が高いほど重要度が低い。 
正準形式.
正準交換関係は、各点で独立した調和振動子のそれに近い。 
場のハミルトニアンは 
摂動論.
解説.
同種粒子.
ただし、ハミルトニアンは以下の通りである。 
粒子は区別できないため、波動関数は位置を切り替える対称性がある。すなわちどちらかを満たす。 
シュレーディンガー方程式の形式では、ポテンシャルの制限はアドホックであり、古典的な波の極限に到達するのは困難である。 また、系が環境に対して開いている場合、粒子が出入りする可能性があるため、有用性が限定される。 
シュレーディンガー場は、ヒルベルト状態空間を拡張して、任意の粒子数の構成を含めることで定義されます。 この一連の状態のほぼ完全な基礎は、次のような元の集合です。 
これは粒子の総数とそれぞれの位置によってラベル付けされている。 粒子が離れた位置にある任意の状態は、これらの状態の重ね合わせによって記述されます。 
シュレーディンガー表現を再現するためには、基底状態の内積を 
等としてとればよい。 物理的性質は異なるものの、ボソンとフェルミオンについてほぼ形式的に同一であるため、ここから粒子はボソンであるものとする。 
オペレーター 
無限遠の粒子の相互作用のポテンシャルエネルギーがなくなると、無限体積のフーリエ変換演算子は相互作用しない状態を作成します。 状態は無限に広がっており、粒子が近くにある可能性はゼロとなる。 
一致しないポイント間の演算子の行列要素は、すべてのモード間のフーリエ変換の行列要素を再構築される。 
これによって交換関係は演算子を完全に決定するものとなる。空間体積が有限の場合、運動量は離散的であるため、一致する運動量を理解するための概念的な障害はありません。 離散運動量基底では、基底状態は次のとおりである。