により定義することで、局所可積分関数に上の線形汎関数を対応させる事ができる。この対応関係が単射な事は容易に確かめられるので、とを自然に同一視することにすると、上の線形汎関数の集合は局所可積分関数の集合を部分集合として含むことになるので、上の線形汎関数を局所可積分関数よりも広いクラスの「関数」であるとみなせる。そこで上の線形汎関数で「連続」なものの事を「シュワルツ超関数」、あるいは単に「超関数」と呼ぶことにする。
以下、超関数と局所可積分関数に対し、
と表記する。緩増加超関数に対しても同様の表記を用いる。なお上述の表記は内積に似ているが、内積の定義では複素共役を取っている事が原因で、
となることに注意されたい。
超関数と緩増加超関数の関係.
デルタ超関数.
ディラックのデルタ関数の概念は、緩増加超関数の概念を用いて定式化する事ができる。
内積の定義より、これは
を意味する。上式を空間における内積の定義と照らし合わせると、上式はディラックの議論における
を数学的に正当化したものとみなせる。
超関数の偏微分.
が成立する。よってライプニッツルールにより
が成立する。そこで上式を参考にして、超関数の偏微分を以下のように定義する：
の元は無限回微分可能なので、上記の定義は常に意味を持つ。より一般に微分作用素を
も定義可能である。
限界.
以上で示したように、超関数の概念を用いる事でディラックによるデルタ関数の議論の一部を数学的に正当化できるが、超関数を用いても全ての議論を正当化できるわけではない。例えば以下の議論は超関数では正当化されない：
弱微分.
関数の超関数としての微分が関数で書けるとき、その関数をの弱微分という：
フーリエ変換.
本節では、関数 のフーリエ変換
とその逆変換に当たるフーリエ逆変換
の厳密な定義を述べ、その性質を調べ、そして最後に位置作用素と運動量作用素が（換算プランク定数を除いて）フーリエ変換で移り合う関係にある事を見る。
次が成立する事を簡単な計算で確かめることができる：
またこれらの変換は連続である：
シュワルツ関数の埋め込み.
となる事が分かる。これを参考にして緩増加超関数のフーリエ変換を以下のように定義する：
空間上のフーリエ変換.
定義.
実はこのような性質を満たすフーリエ変換の拡張は一意である：
性質.
(の閉包作用素)を考え、多項式を