ニールス・アーベルは一般化された等時曲線問題（アーベルの力学問題）、すなわちある関数 が与えられたとき、ある点からの総降下時間がこの関数となるような曲線を求める問題に取り組んだ。等時曲線問題は、アーベルの力学問題において が定数関数である特殊例に相当する。
ここで、 から まで積分し、総降下時間を求めると以下を得る。
これをアーベルの積分方程式と呼ぶ。これにより、曲線が与えられれば（かつ が計算できるならば）総降下時間を計算することができる。しかし、アーベルの力学問題では逆に、 が与えられたときに を得たい。これもこの式から得ることができる。そのために、右辺を と の畳み込みとみなし、両辺をラプラス変換する。
一般の について言えることはここまでである。ひとたび が与えられれば、そのラプラス変換が計算でき、 のラプラス変換を得ることができ、逆変換を施すことにより が得られる。
等時曲線問題では、 が定数関数である。 のラプラス変換は であるから、次を得る。
上述のラプラス変換を逆に利用することにより、次の結論を得る。
サイクロイドがこの式に従うことは示すことができる。
等時降下曲線
マーキュリー・レッドストーン・ロケット
レッドストーンロケットからの改良点.
アルコールを採用したことにより、新たな問題が発生した。レッドストーンはロケットのノズルのすぐ下に黒鉛製の推力偏向板があるが、燃焼時間が著しく長くなったためにそれが損傷してしまう可能性が出てきたのである。そのためNASAは偏向板の品質を高める要求を出した。
またマーキュリー・レッドストーンはレッドストーンミサイルよりも長い燃料タンクを持っていたため、内部に圧力を加えるための窒素のタンクと、燃焼時間が長くなったことに備えエンジンを潤滑するための過酸化水素のタンクが追加された。
機体を宇宙飛行士が搭乗可能なものに変更する際、最も重要だったのは自動飛行中止検知システムを追加することだった。破局的な事故に至りそうな緊急事態に陥った際は、中止システムが宇宙船に取りつけられている緊急脱出用ロケットを作動させ、直ちに本体から切り離すことになっていた。このシステムは飛行士と地上の双方が作動させることができたが、飛行中に大惨事に至るような潜在性を秘める事態に陥ったときは手動で発動されることもあり得た。