を考えると、コーシー＝シュワルツの不等式
より、この作用素は有界作用素である。実は複素数値の有界線形作用素はこの形のものに限られる事が知られている：
オブザーバブル.
幸運な事に、これら量子力学で用いる作用素は「稠密に定義された可閉作用素」という、比較的扱いやすいクラスに属している事が知られている。そこで本節では、まず「稠密に定義された」という概念と「可閉」という概念を定式化する。
次に本節では、この「稠密に定義された可閉作用素」の概念をベースとして、量子力学におけるオブザーバブルの概念を定式化する。すなわち、稠密に定義された可閉作用素の共役作用素の概念を定式化し、共役作用素の概念を用いて自己共役作用素の概念を定式化し、最後に量子力学におけるオブザーバブルの概念を自己共役作用素により定式化する。
稠密に定義された作用素.
オブザーバブルは状態空間の全域で定義されているとは限らないが、状態空間の稠密部分集合上では定義が可能である。そこでまず、稠密に定義された作用素の概念を導入する。
と書く
稠密に定義された作用素に対し以下の拡大の概念を定義できる：
有界作用素に関しては、次の重用な性質が知られている：
したがって有界作用素に限定すれば、稠密に定義されている事は全域で定義されている事と実質的な差がない。しかし量子力学で用いる作用その多くは有界ではないので、この定理を用いる事ができない。
可閉作用素.
が可閉作用素である必要十分条件は、任意の点列に対し、のときかつであればが成立する事である新井。
共役作用素.
定義より明らかに
であるが、が有界とは限らない時、が稠密に定義されていたとしてもが稠密に定義されることもとの定義域が一致する事も無条件には保証されない新井が、が可閉であればこれらは保証される：
自己共役作用素とオブザーバブル.
量子力学では以下の仮定を課す：
自己共役作用素とその関連概念の性質.
明らかに次が成立する：
しかし逆向きは一般には成り立たない。与えられた作用素が自己共役かどうかを決定する問題を自己共役性の問題といい、それだけで一冊の本が書けるほど難しい問題である新井。
自己共役作用素とその関連概念に対し以下が知られている：
自己共役作用素は必ず掛け算作用素として表現できる事が知られている：
オブザーバブルの具体例.
本節では