主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
数学において，抽象代数学の分野において，主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は有限生成アーベル群の基本定理の一般化であり，あらっぽく言えば，有限生成加群は整数の素因数分解とほぼ同じように一意的に分解するというものである．この結果は体上の正方行列に対する様々な標準形の結果を理解する単純な枠組みを提供する．
主張.
体 上のベクトル空間が有限生成集合を持つとき，その中から有限の 個のベクトルからなる基底を取り出すことができ，空間は に同型となる． を主イデアル整域 に一般化したときに対応する主張は， 上の有限生成加群が基底を持つとは限らないから，もはや成り立たない．しかしながら，そのような加群はなお，有限な に対するある加群 の商に同型である（これを見るには， の標準基底を加群の生成元に送る射を構成し，その核による商を取れば十分である．）生成集合の取り方を変えることで，実は加群を特に単純な部分加群によってある の商として記述することができ，これが構造定理である．
単因子分解.
 の自由部分を分けて書くことを好む者もいる：
準素分解.
前のように，自由部分 () を分けて書き を
証明.
これから単因子分解を得，スミス標準形の対角成分が単因子である．
別の証明の概略：
系.
これは特別な場合として が体のときに有限次元ベクトル空間の分類を含んでいる．体は非自明なイデアルを持たないから，すべての有限生成ベクトル空間は自由である．
 と取ることで，有限生成アーベル群の基本定理を得る．
 を 上の有限次元ベクトル空間 上の線型作用素とする． として 係数の の多項式の代数 を取ると， についての構造の情報を得る． は 上の有限生成加群として見ることができる．最後の単因子は最小多項式であり，単因子すべての積は特性多項式である． の標準的な行列形と合わせて，これは様々な標準形を生み出す：
一意性.
しかしながら，標準的な捩れ部分加群 と各（相異なる）単因子に対応する類似の標準的な部分加群があり，これは標準的な列
を生む．ジョルダン・ヘルダーの定理の組成列と比較せよ．
一般化.
群.
ジョルダン・ヘルダーの定理は有限群（あるいは任意の環上の加群）に対するより一般的な結果である．この一般化では，直和ではなく組成列を得る．