で与えられる。右辺において、 は変数 たちに関する偏微分からなる行列、 は変数 に関する偏微分からなる行列である。陰函数定理が述べるのは、このときの行列 が正則ならば、所期の通りの が存在することである。以上全ての仮定をまとめれば以下の定理を得る。
例の再考.
で与えられる。したがって定理に言う はここでは単に数 で、それが定める線型写像が正則であるための必要十分条件は である。ゆえに陰函数定理によれば、単位円は、 なる任意の点に対して局所的に の形に書くことができる。しかし、既に上でも述べたが、点 においては問題が生じる。陰函数定理はこれら二つの点においても適用することは未だ可能であるが、それは を の函数 と見てのことである。実際、そのグラフを とすれば、 のとき と取れるから、局所的にこの形の函数に表されるための条件は満足されている。
 の に関する陰函数微分、および の に関する陰函数微分は、陰函数 の全微分 を に等しいと置いた
から求めることができる。すなわち、 および が成り立つ。
応用: 座標変換.
と計算することができる。この逆が可能であるかどうか、すなわち各点の新座標 から旧座標 に戻せるか、を検証したいと考えるかもしれない。この問いに、陰函数定理は一つの答えを提供する。
新旧の座標の対、 は
と置くことにより、 なる関係を持つ。ここに の適当な点 におけるヤコビ行列は
例: 極座標系.
簡単な例として、平面上の極座標系 を考える。新たな座標系として直交座標系を考えれば、変換は および で与えられる。これにより、任意の点 が与えられれば、対応する直交座標 が計算できる。逆に直交座標を極座標に変換することができるのはいつなのかを考えよう。前節に従えば、ヤコビ行列
が を満たすことが十分であった。ここに が成り立つから、極座標に戻すためには が十分である。ゆえに残りの の場合に関して確かめよう。この場合、座標変換が可逆でないことを確かめることは容易である。実際、原点において の値は定義可能でない。
一般化.
微分不能函数の定める陰函数.
堂上平氏
アップ・ティル・ナウ
デューク雪子
来歴.
ジャーナリストとして.