ロジスティック写像 が厳密にカオス的であることの証明や、 の厳密解 () の導出に、これらの位相共役の関係を利用できる。
あるいは、記号力学系の考え方を導入して、上記で導入したような と の列から成る記号列空間上に定義される次のようなシフト写像 を考えるとする。
ここで、 は または である。式 () で導入した集合 上で、ロジスティック写像 はシフト写像と位相共役であるので、これを利用して 上の がカオス的であることを導ける。
生物個体数モデルとしてのロジスティック写像.
離散型個体群モデル.
ロジスティック写像は、イギリスの数理生物学者ロバート・メイの研究を発端にして、生物の個体数の変化を考える式として世に広まった。このような生物個体数としてのロジスティック写像では変数 は、ある環境中に生息する生き物の個体数（より専門的には個体群サイズ）を意味する。さらに、個体がその環境から出たり、外部の個体が環境に入ってきたりしない場合（あるいは移出入があっても実質的な影響がない場合）を想定しており、このような状況での個体数の増減を考える数理モデルが数理生物学上のロジスティック写像である。
ある環境中の単一種の生物の個体数を で表すとする。もっとも単純な個体数の増殖の仕方として、個体数に対して常に一定の割合で増え続けるモデルが考えられる。そのような個体数増加モデルはマルサスモデルと呼ばれ、次のような形で表される。
ここで、 は 世代目の個体数を意味しており、 は個体数の増殖率で正の定数である。しかし、モデル () では個体数が無尽蔵に増え続け、ほとんどの実現象に対して非現実的なモデルといえる。ある環境が養える個体数には限度があるので、個体数 が増えていくと増殖率 は低下していくのが自然に思われる。このように個体数密度の変化によって増殖率が変化することを密度効果と呼ぶ。密度効果をモデル () に反映した改良モデルとして、もっとも単純なものとして次のような差分方程式が考えられる。
ここで、 はその環境中で可能な最大増殖率を意味し、 は密度効果の影響の強さを意味している。モデル () は、増殖率が個体数に単純に比例して下がっていくと想定している。式 () の を
と変数変換すると、以下のロジスティック写像が導出される。