三角形の三つの頂垂線（場合によってはその延長線）は、三角形の垂心 と呼ばれる一点において交わる。。垂心が三角形の内部にあるための必要十分条件はその三角形が鋭角三角形（すべての角が直角以上になることがない三角形）となることである。一つの角が直角ならば、垂心はその直角を成す頂点に一致する。
重心座標系は三角形の内点に対してすべての座標が正となるが、外部の点では少なくとも一つの座標が負であり、また頂点において二つの座標の値が零となるから、垂心に対して与えられる上記の重心座標は、垂心が鋭角三角形の内部にあり、直角三角形の直角を成す頂点上にあり、また鈍角三角形の外部にあることを示すものになっている。
性質.
三角形の各頂点 から降ろした垂線の足をそれぞれ と書けば:
円および円錐曲線との関係.
三角形の垂心を通るはである。
他の中心との関係.
三角形の三辺の長さ , 内半径 および 外半径 を用いて、以下が成立する:
垂足三角形.
垂足三角形の頂点に対するは以下で与えられる:
垂足三角形のは、その基準三角形の対延長辺と三つので交わる。
三角形 の各辺の中点における九点円の接線は、垂足三角形の辺に平行であり、垂足三角形に相似な三角形を成す。
垂足三角形はに近い関係を持つ。 を三角形 の頂点 における外接円の接線とし、同様に各頂点に対して外接円の接線 も定義する。三つの交点 , , の成す三角形 をもとの三角形の外接三角形と呼び、その辺は三角形 の外接円に頂点 において接する。この外接三角形は垂足三角形のである。外接三角形の外心および、外接三角形と垂足三角形のはオイラー線上にある。
外接三角形の頂点の三線座標系は以下で与えられる:
垂足三角形に関するより詳細はの項を参照。
いくつかの垂線定理.
辺の垂線定理.
これは三角形の面積を辺の長さで表すヘロンの公式と面積公式 （を辺 とその対角 からの垂線に対して適用したもの）を組み合わせれば出る。
内半径定理.
外半径定理.
内点.
面積定理.
垂線上の一般点.
特別な三角形の場合.
正三角形.
正三角形内の任意の点 に対し、三辺への垂線の長さの和はその三角形の頂垂線の長さに等しい。これはヴィヴィアーニの定理である。
直角三角形.
高さ (三角形)
ブダペストにて死去。
佐屋町 (愛西市)
地理.
字一覧.