これを の 上のガロア群、または多項式 のガロア群と呼ぶ。
仮に 多項式 の根が係数の加減乗除やべき根による式で表せていたとすると、その式のうち一部分で表される数から生成するような体を考えることができる。
こうして得られる体は を含んで に含まれる体（ の部分拡大）となる。
このとき、ガロア理論の主定理によってこの部分拡大をちょうど不変体にするような の部分群が存在する。
 の元 の 乗根は 個あるが、それらすべてで生成されるような の部分体は重要な役割を果たす。
より一般に、体の拡大において、ある体上で既約な多項式の分解体となるという性質を正規性といい、中間体の正規性はガロア群の部分群が正規部分群であることに対応している。
例えば、 の正規部分拡大のうちで の特定の元のべき根によって生成されるもの の対称性を表す群
は巡回群になる。
 が のべき根拡大になっているかどうかは群 が可解群になっているかどうか。
このようにして分解体の自己同型を調べることで方程式の可解性について考察することができる。
一方、最も一般的な設定の下では群 は 次の対称群になる。
より発展的な定式化.
抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 () と呼ばれる。
一般に体 の有限次分離拡大の「合併」として の分離閉包 が考えられる。 の正規部分拡大 の自己同型で の元を固定しているもの全体 は に含まれる の有限次分離拡大のガロア群の射影極限となっている。 は各点収束の位相について位相群となり、 の中間体のなす系と、 の閉部分群たちのなす系との間に同値性が成り立つ。
体 に対しその絶対ガロア群 が推移的かつ連続に作用する有限離散空間 が与えられたとする。このとき から への写像の空間 に対する の作用
逆問題.
ガロア理論の基本定理.
体 を体 の有限次ガロア拡大とする。「 と の中間体 」 と 「 の部分群 」 について次の式が成立つ。
ただし、 は拡大 のガロア群であり、 は の作用で不変な の元を集めた の部分体を指す。