リーマン球面
数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、）は、無限遠点 を一点追加して複素平面を拡張したものである。このとき、関係式
を、意味を持ち、整合的であり、かつ有用となるように構成できる。
これはまた、以下のようにも呼ばれる。
複素解析において、リーマン球面は有理型関数の洗練された理論で重要な役割を果たす。
リーマン球面は、射影幾何学や代数幾何学では、複素多様体、射影空間、代数多様体の根源的な事例として常に登場する。
リーマン球面はまた、量子力学その他の物理学の分野等、解析学と幾何学に依存する他の学問分野においても、有用性を発揮している。
拡張複素数.
拡張複素数 は複素数 と からなる。拡張複素数の集合は と書け、しばしば文字 に追加の装飾を施して表記される。例えば、, または 。
幾何学的には、拡張複素数の集合はリーマン球面 （あるいは拡張複素平面 ）と呼ばれる。
演算.
複素数の加法は任意の複素数 に対して
と定義することで拡張され、乗法は任意の でない複素数 に対して
とし、 と定義することで拡張される。 は未定義のままであることに注意すべきである。複素数とは違って、拡張複素数は体をなさない。 は乗法逆元をもたないからだ。それでもなお、 上の除法を次のように定義するのが習慣である。 でないすべての複素数 に対して
 そして 。商 および は定義されないままである。
有理関数.
例えば、関数
複素多様体としてのリーマン球面.
 と を 上の複素座標とする。
非零複素数 と非零複素数 を、以下の推移写像（すいいしゃぞう、）による等式で関係付ける。
推移写像は正則であることから、これによりリーマン球面と呼ばれる複素多様体が定義できる。
直感的には、推移写像は、二つの平面をどの様に貼り付けてリーマン球面を作るかを示している。
二つの平面は「表裏反対」に貼り付けられ、各平面の一点（原点）を除き、他の至る部分が互いに重なり合う。
位相幾何学的には、結果として得られるリーマン球面は、平面を一点コンパクト化し球面にしたものである。
しかし、リーマン球面は単なる位相的球面ではない。リーマン球面は上手く定義された複素構造を持つ球面であり、球面上の任意の点は、 と正則同相な近傍を有する。