変数を常に に限定しようとすると、必然的にパラメータ が取れる範囲は から まで に限定される。なぜならば、 が の範囲内にあれば、 の最大値は となっている。したがって、 では の値が を超える可能性が出て来てしまう。一方、 が負のときは、 が負の値を取るようになってしまう。
写像のグラフを利用することで、その振る舞いの多くを知ることもできる。ロジスティック写像 のグラフとは、横軸を （あるいは ）とし、縦軸を （あるいは ）として、平面上に と の関係を示した曲線である。ロジスティック写像のグラフは、 の場合を除き、
を満たしている点であり、写像を適用しても変化しない点を意味する。不動点を と表記することにする。ロジスティック写像の場合に式 () を満たす不動点は、 を解いて、
まず、パラメータが のときは、初期値 がどんな値であろうが、 となる。つまり、 におけるロジスティック写像の軌道は、初期値以降の値が全て となるような軌道で、この場合あまり調べる中身はない。
次に、パラメータが の範囲にあるとき、初期値 が から までのどんな数値であったとしても、 は単調に減少していく。つまり、 の極限で は へ収束する。この収束先の という点は、式 () で示した不動点 である。このように周りの軌道が収束するタイプの不動点は、漸近安定、安定、あるいは吸引的と呼ばれる。逆に時間 の増加と共に の近くの軌道が から離れていくならば、その不動点 は不安定や反発的と呼ばれる。
不動点が漸近安定かどうかを知るには、写像 の微分を求めるという一般的で簡単な方法がある。 の微分 を と表すとする。 この微分が不動点 で
という条件を満たせば、 は漸近安定である。ここで、 は 〇 の絶対値を意味する。
写像のグラフでこのことを見ると、グラフの曲線上の点 における接線の傾きが から の間にあれば、 は安定で、その周囲の軌道は へ引き寄せられるということである。ロジスティック写像の微分は、
なので、 かつ では であるから、不動点 は式 () を満たしている。