ギリシアの哲学者エレアのゼノンは極限過程に関するパラドックスの定式化で有名である。
レウキッポス、デモクリトス、アンティポン、エウドクソス、アルキメデスは、面積や体積を決定するために近似値の無限列を用いる取り尽くし法を発展させた。アルキメデスは現在ではと呼ばれるものを計算することに成功した。
実数.
実数において、数 が数列 の極限であるとは、数列の数が にどんどん近づき、他の数には近づかないことをいう。
正式な定義.
 が数列 の極限であるとは、以下の条件が成り立つことをいう：
論理記号を用いて形式的に表すと、
数列がある極限に存在すれば、それは収束列であり、そうでなければ発散列である。
性質.
数列の極限は通常の四則演算について良く振る舞う。 ならば、 であり、 もどの も でなければ、 である。
任意の連続関数 に対して、 のとき である。実は、任意の実数値関数 について、 が連続であることと数列の極限を保つことは同値である（がこれはより一般の連続性の概念を用いるときには必ずしも正しくない）。
実数列の極限のいくつかの他の重要な性質の中には以下がある。
無限大の極限.
距離空間.
定義.
距離空間 の点 が点列 の極限であるとは、任意の に対して、ある が存在して、任意の に対して、 となることをいう。これは , のとき実数に対して与えられた定義と一致する。
性質.
任意の連続関数 に対して、 のとき である。実は、関数 が連続であることと点列の極限を保つことは同値である。
点列の極限は存在すれば一意である。なぜならば、相異なる点はある正の距離によって離れているため、この距離の半分よりも小さい に対して、点列の項は両方の点から距離 以内にいることは出来ない。
位相空間.
定義.
位相空間 の点 が点列 の極限であるとは、 の任意の近傍 に対して、ある が存在して、任意の に対して、 となることをいう。これは、 が距離空間で が から生成される位相であるとき、距離空間に対して与えられた定義と一致する。
性質.
コーシー列.
超実数における定義.