双対性により、上記の性質において、「閉包」・「拡大集合」・「交叉」・「含む」・「最小」・「閉」をそれぞれ「内部」・「部分集合」・「合併」・「含まれる」・「最大の」・「開」に置き換えたものもやはり成立する。詳細は後述。
例.
これらの例から、与えられた部分集合の閉包というのが、その台となる空間のうえの位相に依存していることが諒解される。後二者の例はもっと一般に
という形で述べることができる。
性質.
集合族の交わりの閉包は、各集合の閉包の族の交わりに必ず含まれる（が、必ずしも一致しない）。また、有限個の集合の合併については、合併の閉包と（各集合の）閉包の合併とは一致する。零個の集合の合併は空集合とする規約の下で、最初の空集合の閉包についての主張はこれに含まれると考えることができる。無限個の合併では、等号が必ずしも成り立つわけではないが、合併の閉包は必ず閉包の合併を含む。式で書けば
などのように表せる。
閉包作用素.
閉包作用素 − は
および
圏論的な解釈.
閉包作用素は、以下のように普遍射を用いるとすっきりと定義することができる。
閉包作用素の持つ性質は全てこの定義（と上記の圏のいくつかの性質）から導くことができる。さらにこの定義が普遍射として述べられていることにより、やはり普遍射として記述される他の種類の閉包（たとえば代数閉包）などと位相的な閉包との間の類似対応が明確になるという利点がある。
関連する概念.
位相的閉包
ヴィオラ (小惑星)
スミレ属の植物ビオラに因んで名付けられた。
蝕点
渡辺脩
人物.
閉包点
解説.
背景.
大船団主義とミ船団廃止.
もっとも、本任務は「レイテ沖海戦で撃沈できなかった日向と伊勢を捕捉したい」というハルゼー提督の思惑も込められていた。
航海の経過.
船団の編成.
サンジャック出航.
サンジャック碇泊中にルソン島へのアメリカ軍上陸開始の情報がもたらされたが、危険度がわずかでも低いうちに通過するしかないとの判断で、速やかに出航する方針となった。艦長会議に出席していた海上護衛総司令部参謀の大井篤大佐も同意した。
対空戦闘.
周辺船団等の被害.
日本の資源輸送への影響.