係数体 の二つのスカラー および を固定して、線型漸化式
を満たす列の一般項が、 における特性多項式の根の値に従って、以下のように与えられることが示される。
また、 と は列の最初の二項によって決まる, 初期パラメータである。 
前者についてはさらに、多項式 の二根 が互いに共軛な複素数 であるとき、数列の一般項を
と書くことができる。ただし、 は数列の最初の二項から決まるパラメータである。
ここまで数列はある番号 から始まるものとして扱ったが、以下、一般性を失うことなく数列は自然数全体の成す集合 上で定義されるものと仮定してよい。実際、数列 が からしか定義されていないとき、 上で定義される数列 を によって定めることができる。 
基本的な考え方は線型漸化式 () を満たす幾何数列を求めること、即ち数列 が () を満たすようなスカラー を見つけることである。そうするとこの問題が、二次方程式 を解くことと等価であることが容易に理解される。多項式 はこの数列の特性方程式と呼ばれ、その判別式は で与えられる。特性多項式の根の数によって、いくつかの場合が区別されねばならない。
相異なる二根を持つ場合.
 と が相異なる二根であるとき、数列 および はともに漸化式 () を満たすから、漸化式の線型性から同様に、一般項が の数列もすべて () を満たす。ここから () を満足する数列を全て決定するには、そのような数列が初期条件 によって完全に決まることから、 に関する次の方程式系
を解けば十分である。しかし、この系の行列式 は常に ではないから、() を満たす数列は常に および の線型結合として表される。このような状況は、数列が実数値で のときや、数列が複素数値で判別式が でないときに起きる。
二重根を持つ場合.
判別式が のときは、根が 一つしかなく、() を満たす幾何数列が しか出てこないから、状況が全く変わってくる。考え方としては、一般項が となる数列 が () を満足するような数列 を見つければよい。これは「定数変化法」と呼ばれる手法である。まずは、 が でない限り が存在することを確かめよう。 に対する漸化式は に関する漸化式
に書き直すことができる。 と となる事実を用いれば、算術数列の定義式
が得られるから、従って数列 は一般項が の算術数列になる。