現代数学においては圏を、その各対象に、問題の対象についての十分な量の情報が残っているより単純な対象を割り当てることによって研究するのが一般的である。ホモトピー群は群を位相空間に割り当てるそのような方法である。
を満たす、なぜならばすべてのループは定値写像に収縮できるからである（このことおよびより複雑なホモトピー群の例はを参照）。
したがってトーラスは球面と同相ではない。
定義.
ファイブレーションの長完全列.
計算の手法.
相対ホモトピー群.
相対ホモトピー群の長完全列がある。
関連概念.
ホモトピー群はホモトピー論において基本的であり、ホモトピー論はモデル圏の発展を刺激した。に対して抽象ホモトピー群を定義することが可能である。
映画番組
ベルケ
即位以前.
治世・モンゴル本土の後継闘争と対外政策.
彼は新サライを建設したことでも有名である。これをベルケ・サライと呼ぶ。『集史』によるとベルケには息子がいなかったと記録されているが、娘もいなかったかは述べられていない。彼の死後、モンケ・テムルが後を継いだ。
ベルケとイスラーム.
イギリス女王の夫（男性配偶者）として、議会から唯一公式に「プリンス・コンソート」（）の称号を認められた人物である。
生涯.
出自.
ヴィクトリア女王との結婚.
家族.
王室の改革.
アルバートは、このような数々の無駄遣いや、召使たちの無秩序ぶりを見て、いかにもドイツ人らしい徹底した方法で、王室全体を改革することにした。彼は職員の大半を入れ替え、王室の部署を大幅に削減した。そのため、改革前から勤めていた者も新しく入った者も、真剣に働かざるを得なくなった。当然、アルバートに彼らの憎悪や反発が向けられた。特に彼らの最大の不満は、職員が副業にしていた格好の収入源を、アルバートが潰してしまったことだった。彼らの多くは、王室の情報を新聞社に流して、いい収入を得ていた。しかし、アルバートが王室での出来事を掲載した公報を毎日発行するようになったため、これも不可能になった。また用具類に関しても、帳簿を付けさせてしっかり管理させた。
政治への関与.
晩年.
外国から授与された勲章.