ヤングの定理（ヤングのていり、）は、ある条件の下で多変数関数に対する偏微分の順序を交換できることを述べる定理である（下記参照）。ヤングの定理はしばしば二階導関数の対称性（）、または混合微分の等価性（）とも呼ばれる。 変数の関数 について、 に関する偏導関数を のように下付きの添え字 で表せば、二階導関数の対称性とは、二階の偏導関数 とは、関数 が
を満たすことをいう。このとき関数 の二階導関数 が成す行列（ヘッセ行列）は 次対称行列を成す。
偏微分方程式の文脈では、それはシュワルツの可積分条件（）と呼ばれる。
ヘッセ行列.
 の二階偏導関数からなる の行列 は のヘッセ行列と呼ばれる。主対角線を除いた成分は混合導関数（）である。つまり、異なる変数に関する逐次導関数である。
大抵の「実生活の」状況においてはヘッセ行列は対称である。しかしながら、対称性を持たない関数の例はとても多く、解析学は、関数 にこの対称性を仮定することが、単に の二階導関数が特定の点で存在することよりも強い要求であることを明らかにする。シュワルツの定理はこれが起こる についての十分条件を与える。
形式的表現.
二階偏導関数の対称性はたとえば、記号的には、
であると言い表せる。この等式は
とも書ける。あるいは、対称性は についての偏導関数を取る微分作用素 に関する代数的ステートメントとしても書ける：
この関係から によって生成される定数係数を持つ微分作用素の環が可換であることが従う。しかしもちろんこれらの作用素の定義域を明確にしなければならない。単項式が対称性を持つことを確認するのは容易であり、したがって定義域として たちの多項式を取ることができる。実際には滑らかな関数を定義域にとることが可能である。
シュワルツの定理.
解析学において、シュワルツの定理（）またはクレローの定理（）とは、ヘルマン・シュワルツ とアレクシス・クレロー に因む定理で、次のことを述べる：
が 上の与えられた任意の点 で連続な二階偏導関数を持つなら、それらの偏導関数は以下の関係を満たす。
超関数による定式化.