ツルナ・ルカ
半直積
群論において、群の半直積（はんちょくせき、）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。
群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。
定義.
内部半直積.
ふたつの群 , に対して の による内部半直積とは、次の性質を満たす群 のことで、 と表す。
 を群とし、 をその部分群、 を正規部分群 () とすると、以下は同値である。
外部半直積.
 を正規部分群 と部分群 の（内部）半直積であるとする。 を のすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像 は群準同型である。, ただしすべての と に対し、．（ は の正規部分群であるから であることに注意。）, , の三つ組は以下で示すように を同型の違いを除いて決定する。
逆に、群 と正規部分群 と部分群 が与えられていて、 のすべての元 が一意的に , ただし , , の形に書けるとしよう。 を 、ただしすべての に対して
ホモロジー代数的定義.
群 の 群 による半直積とは、分裂する短完全列
を持つような群 のことである。ここで、短完全列が分裂するとは切断 が存在することである。（つまり半直積 とは群 の群 による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。）
導入.
このような関係をさらに一般化したものが半直積である。
例.
直積.
直積群は半直積群でもある。
二面体群.
位数 の二面体群 は位数 の巡回的正規部分群 の位数 の巡回群 による半直積である。
一般線型群の上三角行列からなる部分群 を取る。
 を対角成分がすべて からなる群 の部分群とし、
 を対角行列からなる群 の部分群とする。このとき次が成り立つ。
アフィン変換群.
正則アフィン変換からなる群 も半直積の例である。
半直積で表せない例.
位数 の四元数群 は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない。
性質.
位数.
位数はそれぞれの積である。
埋め込み.
もとの群は半直積群に埋め込まれる。
つまり、ふたつの単射準同型写像 と がある。
さらに の単射準同型像は の正規部分群で、その剰余群は と同型である。
異なる作用における同型.
一般に、ふたつの異なる群作用 が非同型な半直積群を定めるとは限らない。
もし が巡回群で作用 が単射かつ を満たすならば である。