の場合を考えよう。ここで は整数群に非自明な 作用を入れたものを表す。交差準同型は写像 で とある整数 に対して を満たすものからなる。内部交差準同型はさらに をみたすものであり、したがって
となる。
上の例において、 の による拡大は無限二面体群に限るので である。
である。
性質.
以下では は 加群とする。
コホモロジーの長完全列.
は長完全列
を誘導する。いわゆる連結準同型
は非斉次双対鎖のことばで次のように記述できる。もし が の 次の双対鎖 に代表される元ならば、 は に代表される。ここで は を「持ち上げて」（つまり が と全射 の合成となるようにして）得られる 次の双対鎖 である。
関手性.
群のコホモロジーは次の意味で群 に反変的に依存している：つまり群準同型 は自然な射 を誘導する。（ここで後者の は を介して 加群としてみる。）これを制限写像（）という。もし の における指数が有限ならば、逆向きの移送写像（）と呼ばれる写像
積.
歴史.
を発表した。ここで
 は考えている空間、
 の基本群 を生成元と関係式で
 と表示したときの自由群と関係式、
は交換子で生成される群である。特に
続く研究でホップは高次のホモトピー群
 が に対して自明になるならば
も基本群から代数的に決まることを示した。これから、この場合には 次までのホモロジー群がすべて基本群から代数的に決定できることになる。しかし、ホップはこの段階ではどのように決定できるかまでは示さなかった。
彼らがどのように考えて群の（コ）ホモロジーの定義に至ったかを述べると次のようになる。まず
を弧状連結な位相空間とする。そして
を
は頂点が基点に写される特異単体を基底とする自由アーベル群とし、特異単体としては頂点が基点に写されるものだけを考える。
の基本群（基点は先ほど取ったものとする）を
とする。
を
の元の
個の組
を生成元とする自由アーベル群とする。これは基本群から純代数的に定義されている。
から
への準同型
を次のように定義する。
の場合。
を定める。
による
の像がこの
になるように
を定める。考えている特異単体が明らかで
を
と表しているときは
と書ける。
の場合。
がある。
による
の像が
になるように
を定める。考えている特異単体が明らかで
を
と表しているときは
と書ける。