竹本織太夫の名跡は、三代目竹本綱太夫の師匠である二代目竹本綱太夫が京都の猪熊仏光寺にて菅大臣縞を織る津國屋（つのくにや）という織物業を営んでいたことに由来する。
二代目竹本織太夫が六代目竹本綱太夫を襲名して以来、竹本綱太夫の前名として位置づけられている。
初代.
生没年不詳 「文化・文政の織太夫」
三代目竹本綱太夫（三綱翁）の門弟。細かな経歴は明らかではないが、『増補浄瑠璃大系図』には、「三綱翁門弟にて西京住人なり大坂に出て芝居出勤致 文政申年伽藍鑑の節出勤す」とある。
出座歴は以下の通り。
正月 北堀江市の側芝居 太夫竹本政太夫『楠昔噺』「徳太夫内の段」
このように出座のない期間があり、家業があったためか、『義太夫年表近世篇』に収録のない芝居に出座していたのかは不明であるが、出座した芝居では師匠三代目竹本綱太夫の端場を勤めるなど、門弟が「百有余人」いたと伝わる三代目竹本綱太夫の門弟の中でも評価が高かったことがわかる。
二代目.
竹本小定太夫 → 初代豊竹錣太夫 → 初代竹本殿母太夫 → 二代目竹本織太夫 → 六代目竹本綱太夫
本名：斎藤太市。通称：左官の綱太夫、織太夫の綱太夫。
長門太夫の門弟時代に、自らの芸の未熟さに嫌気がさし、フグの毒で自殺を図ったエピソードが『義太夫雑誌』に収録されている。
「六代目竹本綱太夫の昔話　筆笠生
織太夫・綱太夫名跡の後継者である八代目綱太夫は著書『でんでん虫』にて「慶応の初めに二代目織太夫をついでおられます」と記している。
これ以降『義太夫年表 近世篇』では殿母太夫や織太夫の出座が確認できないことから、全国各地を回っていたものと思われる。
明治八年亥の三月吉日より 京都四条南側に於て 中狂言 三十三間堂 切 竹本織太夫
亥の二月吉日より 竹田芝居にて 切狂言 切 竹本織太夫
明治九年子年十月 大江橋席にて 中狂言 切 竹本織太夫