の間の同型写像になっている。したがってこれは
と
の間の双有理写像になっている。
代わりに正則な射影
を考える。これは
のと呼ばれるものになっており、例外因子
はこれの零切断、つまり点
を
上のファイバーにおける零元
に送る写像
と同一視できる。
複素多様体の部分多様体でのブローアップ.
もっと一般に、 の中の余次元
の任意の複素部分多様体
でブローアップすることができる。 を方程式
を
の斉次座標とする。このとき、ブローアップは空間
における
すべての と についての方程式
の解集合である。
さらに一般に、局所的にこの構成を使うことで任意の複素多様体
の任意の部分多様体でブローアップすることができる。これは、前と同じくブローアップの中心
 を例外因子
で置き換える操作になっている。言い換えると、ブローアップ写像
は双有理写像になっていて、
の外では同型写像になっており、
上ではファイバー
を持つ局所自明なになっている。実際、制限
は
における
のを射影化したものと自然に見ることができる。
 は滑らかな因子なので、その法束は直線束である。 が自分自身と交叉することを見るのは難しくない。これは、この法束は正則な切断を持たないことを意味する。
それゆえ、 は
におけるそのホモロジー類の唯一の滑らかな複素代表元である（仮に
を
ではない
の他の部分多様体とする。 が
と交わりを持たなければ、
に沿ったブローアップで本質的には何の影響も受けない。しかし、 と交わる場合には、ブローアップ
の閉包である。これの
における法束は通常は
における
の一部、または全部を併せたものである。これは、本質的にはコホモロジーにおいて
を引き戻したものである。
スキームのブローアップ.
ブローアップを最大限に一般化するために、
を
上のイデアルの連接層とする。
の
についてのブローアップとは、スキーム
と射
は可逆層であり、任意の射
で
が可逆層だとすると、
 は
を介して一意に分解する、という普遍性で特徴付けられるものをいう。
次で定義されるスキーム
は次数付き環上の
である。
例外因子.
ブローアップ
の例外因子とは、イデアル層
の逆像によって定義される部分スキームのことである。これは
によって定義されることがわかる。このイデアル層は
 についての相対的な
でもある。