連続微分可能なに対して、点 （入力変数の値の組、 の点）が臨界点であるとは、関数の全ての偏微分が において零であること、あるいは同じことであるが、その勾配が零であることをいう。臨界値は臨界点における関数の値である。
 変数の関数に対して、臨界点におけるヘッセ行列の負の固有値の個数は臨界点の指数 (index) と呼ばれる。非退化臨界点で極大値をとることと指数が であること、あるいはおなじことだがヘッセ行列が負定値であることは同値である。指数の他の値に対しては、非退化臨界点は鞍点である、つまりある方向には極大でありある方向には極小である。
最適化への応用.
により、微分可能関数のすべての極値は臨界点において生じる。したがって、極値を求めるには、理論的には、勾配の零点とこれらの零点におけるヘッセ行列の固有値を計算すればよい。それには連立の解を求めなければならず、これは難しい仕事なので、実際にはうまくいかない。通常の数値アルゴリズムは極値点を見つけるのにはるかに効率的であるが、すべての極値点が見つかったことを保証できない。特に、において、これらの手法は出力が本当に大域的最適解であることを保証できない。
最小化すべき関数が多変数多項式のとき、臨界点と臨界値はの解であり、そのような系を解く現代アルゴリズムは大域的最小値を見つける競争的な保証された手法を与える。
可微分写像の臨界点.
 の開集合から への可微分写像 が与えられたとき、 の臨界点とは の点であって のヤコビ行列のランクが最大でない点のことである。 による臨界点の像はと呼ばれる。臨界値の集合の補集合の点は正則値と呼ばれる。サードの定理は滑らかな写像の臨界値の集合が であるというものである。とくに、 ならば、各有界区間において臨界値は有限個である。
著者によってはわずかに異なる定義を与える： の臨界点とは の点であって のヤコビ行列のランクが よりも小さい点のことである。この慣習では、 のときすべての点は臨界点である。
位相幾何学への応用.
臨界点は多様体やのトポロジーの研究に対して基本的である。特に、それらはモース理論とカタストロフ理論の基本的な道具である。
横断性 (数学)