熊本工大高等学校
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商群
商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する。第一同型定理は任意の群 の準同型による像はつねに のある商と同型であると述べている。具体的には、準同型 による の像は と同型である、ただし は の核 を表す。
定義と説明.
一般の部分群 に対して、すべての剰余類 からなる集合に協調的な群演算を定義することが望ましい。これは以下に見るように が正規部分群であるときにちょうど可能である。群 の部分群 が正規であるとは、 のすべての元 に対して剰余類の等式 が成り立つことをいう。 の正規部分群は と書かれる。
定義.
 を群 の正規部分群とする。集合 を の におけるすべての左剰余類からなる集合と定義する、すなわち、 とする。 上の演算を次のように定義する。 の各元 と に対し、 と の積は である。これは 上の演算を定めている、なぜならば の部分集合の次の等式が成り立つからである：
 の正規性により、 の における左剰余類たちと右剰余類たちは等しく、したがって代わりに を の における右剰余類たちの集合として定義することもできた。
名前「商」の動機づけ.
詳しく述べるため、 を の正規部分群として、 を見ると、群構造は自然な「グループ分け」をするために用いられる。これらは の における剰余類である。群と正規部分群から始めたから、最終的な商は（通常の割り算が与える）単なる剰余類の個数よりも多くの情報を含んでおり、それ自身群構造を持つ。
例.
この例を少し一般化する。再び整数が加法についてなす群 を考える。 を任意の正整数とする。 のすべての倍数からなる の部分群 を考える。 は可換なのでその部分群 は正規である。剰余類たちの集合は である。整数 は、 を で割った余りを とすると、剰余類 に属する。商 は で割った「余り」の群と考えることができる。これは位数 の巡回群である。
性質.
 の位数、すなわち元の個数は、 すなわち の における指数に等しい。 が有限ならば、指数は の位数を の位数で割ったものにも等しい。 と がともに無限でも は有限かもしれないことに注意（例えば ）。