さて、前節で述べたような仕方で、任意の に対し、有理数上で定義された函数 で上記の函数方程式を満足し、 において値 をとる函数の存在と一意性が保証される。
連続性の証明 —と、 の における稠密性により— 上記の函数方程式を満足し、 において値 を取り、少なくとも一点で連続な函数の一意性が保証される。その存在性はから得られる:
ここで、定数函数 （これは に対応する）を除いたこれらすべての函数 が全単射であることに注意を与えることができる。したがってこれらは、 から への群同型を与える。
自然指数・対数函数による.
これら函数は連続で、和を積に写し、 において値 をとる。
微分方程式による.
このような函数に対して、 はその導函数の における値に等しいことに注意する。
 に対して解 (函数 ) が存在することのみ知れていれば、任意の に対する解は明らかに函数 で与えられる。それが唯一の解であることが示せる。さらに言えば、この解が和を積に写すこと、したがってそれが に対する代数的性質による定義と一致することが確かめられる。
対数函数の逆函数.
対数函数は、連続で、積を和に写し、 において値 をとるから、その逆函数は、連続で、和を積に写し、 において値 をとることが分かる。
性質.
函数の挙動.
指数函数は常に正値であるから、その導函数の符号は の符号のみによって決まる。したがって指数函数は、底 が より真に大きいとき狭義単調増大で、 より真に小さいときには狭義単調減少、 のとき定数函数 である。
底 の指数函数の極限は と との位置関係で決まる:
指数函数は冪函数に対して へ飛ばす極限で指数函数のほうが早く発散するという予測可能な挙動を示す: 
指数函数は（したがって凸）かつである。
底を持つ指数函数
分布.
上記以外の産地は知られていない。
特徴.
底に対する指数函数
指数函数 (底を持つ)
一般の底に関する指数函数
機場
概要.
原曲は、祖国を失い流浪の旅を続け、東ヨーロッパを中心に移住したユダヤの人々に歌い継がれた民謡。作編曲を担当した田中正史が、サントールという友人のイランの民族楽器のエンディング演奏者から知る機会を得たという。古いヘブライ語の流れを汲むイーディッシュ語で書かれたこの歌の意味を知るために、博識なイスラエル人の尽力があった。
収録.