で定義される（文献によって異なる。群論の専門家は上の方をよく使う）。交換子がその群の単位元 に等しいことと、 と が互いに可換（つまり ）となることとは同値である。 のすべての交換子から生成される の部分群を、 の導来群 または交換子群と呼び、 あるいは と表記する。注意すべきは、一般には交換子は群演算について閉じていないので、交換子全体の成す集合 そのものではなく、それで生成される部分群 を考えなければならないことである。交換子の概念は、冪零群や可解群の定義に用いられる。
群論における恒等関係式.
特定の部分群で割った剰余群を考えれば、広くさまざまな恒等式が成り立つようにできる。これは[[可解群]]や[[冪零群]]の研究においてとくに有用である。たとえば、任意の群において積の自乗は
が成り立つという意味でよく振舞う。したがって、[[導来部分群]]が[[中心 (代数学)|群の中心]]に含まれる（中心的）ならば
という関係が成り立つ。
環論における交換子.
環論における恒等関係式.
交換子は以下のような性質を満たす。
[[ベイカー–キャンベル–ハウスドルフの公式]]の特別な場合だが、交換子を用いて書ける次の恒等式
は有用である。
次数つき交換子.
[[次数付き多元環|次数環]]を扱うとき、交換子もしばしば、斉次成分について
となるものとして定義される、次数付き交換子 に置き換えられる。
導分.
多重交換子などを扱う場合などは特に、[[随伴表現]]を使った別の記法
を満たすものである。しかし、一般には
が必ずしも成り立たず、多元環の準同型とは必ずしもならない。
反交換子.
で定義される。反交換子は交換子ほど応用範囲が広いわけではないが、たとえば[[クリフォード代数]]や[[ジョルダン代数]]の定義などに用いられる。
外部リンク.
[[Category:環論]]
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:抽象代数学]]
[[Category:二項演算]]
事件の概要.
捜査と裁判.
その後の経過.