このある種で漠然とした定義においても、直観的な集合論を展開することはできる。
例えば、集合 に対し、 は各々 の元である。ここで、「元であること」と「部分集合であること」を混同してはならない。先の例であれば や などは の部分集合だが の元ではない。
定義.
形式論理に基づく現代的な集合論は、（相等関係 以外に）一つの記号（二項述語 ）を含む一階述語論理で記述される。
そのような記述法の下で、文「 は の元である」は
という式に翻訳される。
ハウスドルフは、このような記述自身は元からある概念を元にして定義を構成するような手法でないことを注意している:
集合と類.
先に与えた定義に従って記述された式
において、文字 が表すものは集合である。
素朴集合論においてよく知られた逆理が導かれるなどの理由により、元 の属する対象 は集合でなく類（クラス）と考えたほうが有効な場面がある。例えば圏論では圏に属する元（圏論の文脈ではこれを「対象」と呼ぶ）の全体は類と考える。
元素.
そのような場合においては、必ずしも集合でないような対象に対しても、考えている数学的体系に属する対象であることを以って「元」と呼ぶ方が自然である。数、点、函数など（これらは集合として実現できる）と言った従来の数学的体系の殆どに加えて、星、分子、カエルなどもその体系における「元」ということになる。
代数系の特定の元.
代数系の研究においては、その代数的構造に特徴的な性質を持つ代表的な元に特定の名前を付けるのが有用である。例えば、単位元、可逆元、吸収元など。
ダイアモンドは傷つかない
『ダイアモンドは傷つかない』（ダイアモンドはきずつかない）は、三石由起子の小説。『早稲田文学』に発表された。
小説.
内容.
妻もあり、愛人もいる中年男性と女子大生の奇妙な同棲生活を描いた内容となっている。
映画.
あらすじ (映画).
ある日、一郎は予備校で弓子との関係が噂になることを恐れて、彼女の新しいバイト先として中学生を対象にした塾を知人に紹介してもらう。後日弓子がレストランに入ると楽しく食事をする一郎と和子を偶然見つけ、とっさに一郎の元に行き自身と別れてくれるよう感情的に訴える。店を出た弓子は後から来た一郎と2人ではしご酒をした後、先程別れると言ったばかりなのにいつものように体を許してしまう。