このようなことを考える理由はいくつかある。ひとつはそれによって「離散」的な変数 で添字付けられる微分作用素の族 全体が作る半群を実数 を径数とする「連続」的な半群のなかにあるとして考えられるようになることである。連続的半群というものは数学のさまざまなところに現われ、豊かな理論を備えている。分数階微分積分学では、冪として必ずしも有理数冪に限らず実数冪や複素数冪を一般に扱うため「分数階」という名称で呼ぶのは少々紛らわしいが、慣習的に「分数階微分積分学」の名称が使われている。
分数階微分作用素.
経験則.
まず相応に自然な疑問は、半微分 () と呼ばれるべき、作用素 で
もう少し詳しく述べるに、階乗の非整数値への拡張としてのガンマ函数 Γ から始める。ガンマ函数は
ができるものと仮定する。これを繰り返して
や任意の自然数冪 に拡張することができるが、反復積分に関するコーシーの公式によれば
とも表せる。これを用いれば直接に が実数だけでなく複素数である場合にまで一般化することができる。すなわち、ガンマ函数を複素数の範囲まで広げることにより、積分作用素を「分数（負の整数を除く複素数）階適用する」作用素の自然な候補として
を与えることができる。これは実際に作用素として矛盾なく定まる。
作用素 は可換かつ加法的である。つまり、
が成立する。この性質は、分数階微積分作用素の半群性と呼ばれる。残念ながら微分作用素 に関しての同様の議論はこれよりももっと著しく複雑なものになってしまうが、それでも が一般には可換にも加法的にもならないことは示すことができる。
簡単な函数の二分の一階導函数.
ここで函数 () として
という形の単項式を考える。この一階導函数は周知の如く 
で与えられる。また、この二階導函数は
で与えられる。微分を繰り返せば一般に
を得る。ここで、階乗をガンマ函数に置き換えることにより
が成り立つものと考えることができる。そのため、たとえば の半微分（二分の一階導函数）は 
で与えられる。これをもう一回行うと、
が得られる。これはすなわち、そもそも成り立って欲しかった性質である 
ラプラス変換.
ラプラス変換に関する話として分数階微積分の問題を考えることもできる。
などが成立することに注意して、ここでは
が成り立つものと考える。例えば、