実際にという概念もあり、こちらは本当に関手が逆関手であることを要求するが、圏同値の概念に比べると実用性を欠く。
定義.
形式的には、ふたつの圏 と の圏同値はふたつの関手 , とふたつの自然同型 , から成る。
ここで , はそれぞれ と の合成を表し、, は圏 , 上の恒等関手を表す。
もし , が反変関手のときは、代わりに圏双対と言う。
実際には上のすべての情報が指定されないこともしばしばである。
たとえば、ふたつの圏 , の間に圏同値（圏双対）があるときに、圏 , は圏同値
（圏双対）であると言ったりする。
さらに逆関手 や自然同型 が存在するときに、関手 が圏同値であると言ったりもする。
しかし関手 に関する知識から普通は逆関手 と自然同型 を復元することはできず、いくつもの可能性が残ることがある。
特徴づけ.
随伴関手と密接に関連する概念もある。
したがってふたつの関手の間の随伴性は「非常に弱い形の同値関係」と見ることもできる。
随伴関手の間の自然変換が与えられているとすると、これらすべての定式化から必要な情報を明示的に構成することができて、どれを選ぶか決める必要がない。
性質.
大雑把に述べて圏同値は「圏論的な」すべての概念と性質を保つ。たとえば が圏同値のとき次が成り立つ。
双対性はすべての概念を「逆転」させる。始対象は終対象に、単射は全射に、核は余核に、直積は直和になど。
 を圏同値とし、 と を関手 の逆とすれば、 と は自然同型である。
 を圏同値とし、圏 が前加法圏（あるいは、アーベル圏）ならば関手 が加法的になるようにして圏 もそうなる。一方、加法的圏の間の圏同値は加法的でなければならない。（最後の主張は前加法圏の間では正しいとは限らない。）
圏 の自己同値とは圏同値 のことである。圏 の自己同値は自然同型な自己同値を同一視することによって合成に関して群をなす。この群は本質的に圏 の「対称性」を捉えている。（注意：もし が小圏でなければ、圏 の自己同値は集合ではなくクラスをなすかもしれない。）
ハドソン・スクエア
概要.
この地区内の地下鉄駅としては、スプリング・ストリート駅がある。またいくつかのバス路線がこの地区を走っている。
歴史.
トリニティ・ウォール・ストリートはハドソン・スクエア内に多くの商業用不動産を有している。