がある，ただし は基点を保つ連続写像の空間にコンパクト開位相を入れたものである．
特に， として単位円 を取ると，懸垂関手 は関手 の左随伴であることが分かる：
ルート系
定義と基本的な例.
定義.
は内積ではないことに注意．対称であるとは限らず，第一変数についてのみ線型である．
を のワイル群と呼ぶ．ワイル群は有限集合 に忠実に作用するから，必ず有限群である．
歴史.
ルート系の公理の初等的な結果.
であるからである．
正ルートと単純ルート.
ルート系 が与えられると，必ず，正ルート（positive root）の集合を（何通りも）取ることができる．これは の部分集合 であって，以下を満たすものである：
正ルートの集合 が選ばれると， の元は負ルート（negative root）と呼ばれる．
ルートの半順序.
正ルート全体の集合は を が単純ルートの非負線型結合であることとして自然に順序付けられる．この半順序集合は
双対ルート系とコルート.
 が のルート系であるとき，ルート のコルート は
である． が の単純ルートの集合であれば， は の単純ルートの集合である．
ディンキン図形によるルート系の分類.
既約ルート系はにちなんで名づけられているディンキン図形というグラフと対応する．これらのグラフの分類は単純な組合せ論であり，既約ルート系の分類をもたらす．
ルート系が与えられたとき，前の節にあるように単純ルートの集合 を選ぶ．付随するディンキン図形の頂点は のベクトルに対応する．ベクトルの直交しない各対の間に辺が描かれる．なす角度が ラジアンのときは，無向の一重辺であり， のときは有向二重辺であり， のときは有向三重辺である．「有向辺」という用語は二重・三重辺は短い方のベクトルを指す記号が付けられることを意味する．
したがってルート系の分類の問題は可能なディンキン図形の分類の問題に帰着する．ルート系が既約であることとそのディンキン図形が連結であることは同値である．ディンキン図形は基底 のことばで の内積の情報を持っており，この内積が正定値でなければならないという条件は所望の分類を得るのに必要なすべてであることが判明する．
実際の連結図形は以下のとおりである．サブスクリプトは図形の頂点の個数（したがって対応する既約ルート系の階数）を指し示す．
既約ルート系の性質.