したがって、実数列あるいは実ユークリッド空間内の点列のみに関して言うならば、それが収束することとコーシー列であることは同値となる。この場合であれば、コーシー列は必ず収束するので、 を評価してコーシー列か判定すれば、極限値を仮定することなく収束性が判定できる。また本質的に同じことだが、級数の収束性を和を仮定せずに判定することもできる。このように実数列がコーシー性を持つか否かをその収束性の判定に用いるとき、コーシーの収束判定基準という。収束の定義に基づいて点列 の収束性を判定する場合、極限値 を推定した上で を評価する必要がある。つまりこの方法で収束するかどうか調べるためには、その前に極限値が分からなければならないのであるが、コーシーの方法ならば極限値の推定は不要であるという利点がある。
数学史における位置付け.
一般のコーシー点列.
一般の距離空間 内の点列 についても、コーシー性を定義することができる。 がコーシー列であることは、差のノルムの代わりに距離関数 を用いることによって、つまり
コーシー列の収束性と空間の完備性.
距離空間 が、その任意のコーシー列が 上に極限を持つとき完備であるといい、完備である距離空間を完備距離空間、または単に完備空間という。
“実数の連続性”は、実数全体の成す距離空間 が完備であることを意味している。すでに述べたように、 や などもすべて完備である。一方、有理数全体の成す集合 やユークリッド空間内の有理点全体 などを完備でない距離空間の例として挙げることができる。
実数の構成.
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
 の元 に対して、その極限を標準射影によって
今、任意の実数のコーシー列
に対して、有理数列
で、任意の について となるものをとることができる。この有理数列 は
であるので、コーシー列である。
このことから、 の任意のコーシー列は収束する、すなわち が完備であることが分かる。
コーシーフィルターとコーシーネット.
距離空間を一般化した空間である一様空間上でもコーシー列に対応するものを以下のように定義できる。
コーシーフィルターとコーシーネットは本質的に同じ概念である。
ブルゴーニュ王朝
歴史.
王国の成立.