円筒極座標系を含む多くの問題において線素および体積要素がこの座標系でどのように表されるかを知っていることは有意である（それにより曲線経路や体積を含む問題を積分によって解く方法が考えられるようになる）。
円筒調和函数.
円筒対称性を持つ系におけるラプラス方程式の解はと言う。
球面座標系
座標変換.
球面座標 から直交直線座標 への変換は
で与えられる。第二の角度座標を とする場合は、直交直線座標 から球面座標 への変換は
で与えられる。ここで は符号関数
球面座標 から直交直線座標 への変換の式を微分すれば
が得られて、ヤコビ行列とヤコビ行列式は
となる。従って球面座標で表した体積素は
となる。また、線素の二乗は
となる。交叉項が現れないため、球座標は各点において動径が増減する方向と二つの角度が増減する方向がそれぞれに直交している直交座標系である。
ベクトル解析.
球面座標 での位置ベクトル の偏微分により
を定義する。
標準基底 を用いれば、位置ベクトルの微分は
となるので、具体的に
で表される。
標準内積を考えれば
となり、これらは正規直交基底である。
となる。したがって、球面座標は の順番で向き付けられた座標である。
曲面上の点が でパラメータ付けされるとき、面積素ベクトルは
で与えられる。
任意のベクトル場 は
によって成分表示される。
ベクトル場の球面座標による微分は
で与えられる。
スカラー場の勾配.
スカラー場 の勾配は
で定義されるベクトル場である。球面座標で表した位置ベクトルの微分が
であることから、球面座標系でのスカラー場 の勾配は
となる。ベクトル微分演算子を
で定めれば
と書ける。
ベクトル場の発散.
ベクトル場 の発散は
で定義されるスカラー場である。球座標で表した体積素と面積素を用いれば
となるので、球面座標系でのベクトル場の発散として
が得られる。
ベクトル微分演算子を用いれば
と書ける。
ベクトル場の回転.
ベクトル場 の回転は
で定義されるベクトル場である。
球座標の面積素と線素を用いれば
となるので、球面座標系でのベクトル場の回転として
が得られる。
ベクトル微分演算子を用いれば
となる。
円筒座標
球面座標
笠懸村
基準座標系
参照系
邑楽村
竹内三統流