本節の目標は、非有界作用素のもう一つのスペクトル分解方法であるスペクトル測度によるスペクトル分解を定式化する事である。まず、スペクトル測度の概念を定式化する動機を与える為に、有限次元における固有値分解を復習する。
と表現でき、
が成立する。
に射影する射影変換である。
スペクトル測度.
スペクトル分解.
この線形作用素を
以上の準備のもと、スペクトル定理を定式化する：
と書き表す事もできる。
スペクトル分解定理は前述した有限次元の場合の固有値分解
の無限次元版である。実際、ディラック測度を
により定義し、スペクトル測度を
とすれば、両者が一致する事を確認できる。
直積分によるスペクトル分解との関係.
観測.
観測確率.
を何らかの物理量を表す自己共役作用素とし、をのスペクトル測度とする。量子力学では以下を仮定する：
と直積分で書き表し、を直積分の切断として
に一致する。
また簡単な計算により、を観測した観測値の期待値が
となる事を確かめられる新井。
波束の収縮.
量子力学では以下を仮定する：
上述の仮定では観測値が固有値、すなわち点スペクトルに属していた場合の事を述べているが、観測値が連続スペクトルに属していた場合については何も規定していない事に注意されたい。
ゲルファントの三つ組.
と定義すると、
なので、写像
を定義する事ができ、は反線形写像となる。
定義.
を定義できる。
写像
はいずれも線形な埋め込みとなる。
ゲルファントの三つ組に関する諸概念.
先に進む前にゲルファントの三つ組に関する諸概念を定義する。
一般化固有ベクトル.
ディラックがデルタ関数を量子力学に導入したそもそもの動機は、デルタ関数を位置作用素に対する「固有ベクトル」とみなすというものであった。すなわち、第方向の位置作用素
に形式的に
を代入すると、この関数は以外でになる事から、
定義.
が定義できる。
上述のように定義したは埋め込み写像と
であるので、の任意性から上述の事実が従う。
そこで一般化固有値・固有ベクトルを以下のように定義する：
完全性.