なる形に書くことができる。 の極限で値は となるが、グラフは横軸に平行に近づく。直交座標系にグラフを書けば は、直線 に関して、 と（必要ならば正の実軸上の函数に制限して）対称である。
実数冪.
指数函数と対数函数が既知ならば、それらを用いて冪函数を任意の実数を冪指数とするものへ一般化することができる。 は真に正の値をとるものとすれば、函数 は
で定義される。 の値によっては、既にみたように や 、 全体などへ定義域を拡張することができる。あるいは の値によって でも微分できるかどうかが異なる。また冪函数の増減の仕方は の符号で決まる。函数の凸性は二階導函数の符号に関係するが、したがって今の場合だと冪函数の凸性は の符号で決まる。
性質.
導函数と原始函数.
冪函数は区間 上で常に微分可能で、その導函数は 
によって与えられる。従って、冪指数が でなければ、同じ区間上で常に原始函数が存在して、その一つが
で与えられる。 のときは、自然対数が原始函数として生じる。
増大度の比較.
対数函数、底 の指数函数および に対する冪函数は、何れも の極限で へ発散する。従って、それらに対してそれぞれの「強さ」を定義して増大度を比較することができる。すなわち
無限小とヘルダー連続.
正の数 に対して である。他の函数とこの極限の収束度を比較しよう。函数 が位数 の無限小であるとは、 が を含む十分小さな開区間上で有界なることとする.
とできるときに言う。一般に、 は で考えるものとする（ ならば は 上で定数ということになってしまう）。
が成り立つ。
級数展開.
冪函数 は の近傍で冪級数
巣山ひろみ
巣山 ひろみ（すやま ひろみ）は、日本の小説家、児童文学作家。
経歴・人物.
作品リスト.
アンソロジー収録作品.
「」内が巣山の作品。
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あらすじ.