これらの代数的な概念は位相的な概念と密接に関連している。離散群 の群のコホモロジーは を基本群とする適当な空間——つまり対応する——の特異コホモロジーである。したがって のコホモロジーは円 の特異コホモロジーと思うことができ、同様に のコホモロジーは の特異コホモロジーと思うことができる。
動機.
群 はその表現を通じて研究されるべきであるという群論における一般的なパラダイムがある。このような表現をわずかに一般化したものに 加群がある： 加群とは群 の各元が自己同型として作用するアーベル群 である。われわれは は乗法的に、 は加法的に書くことにする。
 加群 が与えられたとき、 不変な元のなす部分加群
定義.
双対鎖複体.
導来関手を使った定義は概念的には極めて明快であるが、実際に利用するには一部の著者が定義としている、次の計算法が役に立つことが多い。 に対して を から への関数全体からなる群とする。これはアーベル群であり、その元を（非斉次） 次の双対鎖という。双対境界作用素を
で定めると が成り立つので、これはコホモロジーが計算可能な双対鎖複体を定める。上述の導来関手を使った群のコホモロジーの定義はこの複体のコホモロジー
と同型であることを示すことができる。ここで 次の双対輪体群、 次の双対境界群はそれぞれ次のように定義される。
関手 と群のコホモロジーの形式的な定義.
 加群を群環 上の加群とみると
であることに注意する。つまり の 不変な元からなる部分群は ——これは自明な 加群（ のすべての元が単位元として作用する）と見做す——から への準同型からなる群と同一視される。したがって 関手は 関手の導来関手であるから、自然同型
がある。これらの 群は の射影分解から計算することもでき、そのような分解は のみに依存し、 には依存しないという利点がある。
群のホモロジー.
を与える対応は右完全関手である。その左導来関手
を入れ替える。
具体的にはホモロジー群 は次のように計算できる。まず自明な 加群 の射影分解
からはじめる。共変関手 を の各項ごとに適用して鎖複体
を得る。 はこの鎖複体のホモロジー群 である。
低次のコホモロジー群.
もし の への作用が自明ならば、これは群準同型 からなる群 となる。