リーマン多様体上の曲線の、弧長パラメータによる「二階微分」の長さ
存在性と一意性.
と書く。
特徴づけ.
測地線の概念を全く違った角度から特徴づける事ができる。
弧長の停留曲線.
そして、
と定義し弧長積分
 \right)
より、
である。一方右辺は
である。よって両辺を見比べることで、
左辺第一項の添字のをに代えて整理する事で、
よって、
なので、
エネルギーの停留曲線.
上では測地線が
に対して停留曲線になる事を示したが、エネルギー
から得られる
に対しても停留曲線は測地線になっている事が知られている。
 \right)
を満たす。|}}この事実は擬リーマン多様体を基礎に置く一般相対性理論では、運動エネルギーを最小にする曲線、すなわち自由落下曲線が測地線になる事を含意する。
正規座標.
である。正規座標において、共変微分は方向微分と一致する：
なお、後述するテンソルの共変微分に関しても、正規座標においては方向微分に一致する。
曲率.
動機.
この「平たい」空間とのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」空間とのズレを測る。
となる事に着目する。この事実から「平たい」空間では、
が常に成立する事を示せる。そこで
定義と性質.
定義.
上のベクトル場、、に対し、
というテンソルとみなせる。
規約.
性質.
次の事実が知られている：
成分表示.
としている。}}、以下が成立する：
以下のようにも成分表示できる：
特徴づけ.
また、
を任意のなめらかな関数とし、
とすると、曲率を以下のように特徴づけられる：この定理は一般のベクトルバンドルに対する接続においても成立する。
断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率.
定義から明らかなように、以下が成立する：実は断面曲率は曲率テンソルを特徴づける：
部分リーマン多様体における断面曲率.
定曲率空間.
曲率が、、の定曲率空間については以下の事実が知られている：よって被覆空間の一般論から以下の系が従う：
テンソルの共変微分.
本節ではテンソルに対する共変微分を定義する。
と書くことにする（）。
ここでは上のベクトル場である。すると上のベクトル場に対しライプニッツ則
定義.
また微分形式に関しては