群の表現は、有限群の研究にとって非常に重要なツールである。有限群の表現は、有限群論を幾何学や結晶構造へ応用する中でも発生する。有限群の表現は、表現論の一般論の多くの面をもち、他の表現論の分野の方法やトピックスを反映している。
モジュラー表現.
群論への応用を持つことと同様に、モジュラー表現は、他の数学の分野である代数幾何学、符号理論、組み合わせ論や数論で自然に応用される。
ユニタリ表現.
調和解析.
リー群.
リー群は滑らかな多様体でもある群である。実数や複素数上の行列の多くの古典群が、リー群である。物理や化学で重要な群の多くはリー群であり、リー群の表現論はこれらの分野への群論の応用上で決定的である。
リー代数.
無限次元リー代数.
超リー代数.
線型代数群.
不変式理論.
不変式理論は、群の表現を形成する函数上への効果の観点から、代数多様体上の群作用を研究する。古典的には、不変式論は、与えられた線型群の変換の下に不変な多項式函数をどのように明確に記述するかを扱った。現代的なアプローチでは、これらの表現がどのように既約表現への分解するかを解析する。
保型形式と数論.
結合代数.
ある意味で、結合代数の表現論は、群やリー群の表現の両方を一般化する。群の表現は、対応する群環の表現を導くことに対し、リー代数の表現は、リー代数の普遍包絡代数の表現が全単射的に対応する。しかしながら、一般の結合代数の表現論は、群とリー群の表現論のすべての性質を持つわけはない。
加群の理論.
結合代数の表現を考える場合、基礎となる体を忘れて、単純に環としての結合代数と加群としての表現を考えることができる。このアプローチは、驚くほど豊かで、表現論の多くの結果が、環上の加群についての結果の特別な場合と解釈することができる。
ホップ代数と量子群.
一般化.
集合論的表現.
他の圏の表現.
圏の表現.
さらに一般的に、表現される圏がひとつの対象しか持たないという前提を緩めることができる。まったく一般的に、これは単純に圏の間の函手の理論であり、少ししか知られていない。