である。を応用しても同じ結果が得られる。
正射影行列の場合.
考える行列が射影行列ならば、これは冪等だから、行列乗は
となることが指数函数の定義より容易に分かる。実際、冪等性により だから、
である。
冪零行列の場合.
冪零行列 は適当な正整数 に対して を満たす。乗 は指数函数の定義級数から直接に
と計算できる（級数は有限項で終わる）。
より一般の場合.
行列 に対してその最小多項式が一次式の積に分解されるとき、行列 は
なる形に書くことができる（ジョルダン分解）。このとき 乗の計算は
により、先の対角化可能行列および冪零行列の計算に帰着される。後の等号で と との可換性が必要であることに注意せよ。
同様の方法は、代数閉体上の行列に対してジョルダン標準形を取ることで与えられる。即ち が のジョルダン標準形で と書くとき、
である。ジョルダン細胞の直和として
と書けば、
となるから、後はジョルダン細胞乗が計算できればよい。各ジョルダン細胞は特別な形をした冪零行列 を用いて
なる形に書けるのだから、
が得られる。
ローラン級数による評価.
ケイリー・ハミルトンの定理を考えれば、次正方行列乗はその行列の高々次数 の多項式として表示できるはずである。
非零な一変数多項式 および は なるものとする。有理型函数
が整函数ならば
が成り立つ。これを示すには上記等式において を掛けて を で置き換えればよい。
さてこのような多項式 は以下のように見つけることができる（参照）。 は の根として、 は に の におけるローラン級数の主要部を掛けることで得られる。これは関連するに比例する。 が の根を亙るときの 全ての和 が所期の として取れる。他全ての は に の定数倍を加えることで得られる。特に、ラグランジュ–シルヴェスター多項式 は より次数が低くなる唯一の である。
行列の行列乗.
と定義することができる。ここに、行列の乗法は非可換であるから、行列の行列乗も左冪 と右冪 の別が生じることに注意せよ。さらに言えば、
応用.
連立常微分方程式の数値解法であるの研究においては、行列指数関数は重要視されている。
金正煥
略歴.
民衆文学に対する彼の関心は、単なる創作活動だけに留まらず、文芸運動組織である自由実践文人協議会にも積極的に参加してその意志を表した。
主な作品.
詩
小説