とする。ここでの動機というのは、 のとき、そのイデアル類群の 部分こそがフェルマーの最終定理の直接証明における主要な障害となっている、ということがクンマーによって既に特定されていたということによるものである。
は有限 群 なのでその位数
はある整数
を用いて
証明と岩澤代数.
次の仮定のもとで証明の概略を見る。
があったとき、代数体の有限次拡大
のノルム写像からイデアル類群の準同型
ができる。これによる逆極限
を
と書き、
の岩澤加群という。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。
岩澤加群
がわかれば
もわかる。実際、
の元
を
が成り立つことがわかる。
岩澤加群
の構造は、これを完備群環上の加群とみることによって調べられる。
は有限 群なので自然に
の元の乗算が定義でき、またガロア群
が作用しているので、その極限の
には完備群環
の作用が定義できる。この環
は、実は
係数の形式的べき級数環
と
によって同型であることが示される（位相的生成元の取り方に依存するので、標準的ではない）。 や
はと呼ばれている。岩澤代数は岩澤理論において中心的な役割を演ずる。例えば、岩澤主予想と呼ばれる予想は
岩澤加群
は岩澤代数
上の加群であることがわかった。さらに有限生成であることが示される。
このようにして得られた岩澤加群
の表示と
を使うことにより
の個数を
や
で表すことができる。そして と を
で定義すると岩澤類数公式が成り立つことがわかる。以上が証明の概略である。
なお、すべての
と
を乗じて得られる多項式
を岩澤加群
加群
に対して定義され、同様に
という記号で書かれる。岩澤不変量の は特性多項式
の次数であり、 は特性多項式を割り切る最大
べきの指数である。岩澤主予想は
固有空間への分解.
代数体
に複素共役や
まず複素共役の場合を見る。 をCM体、 を奇素数、
を円分
拡大とする。このとき、 のイデアル類群のシロー 部分群
の直和
に分解できる。
と
をそれぞれ
と
とすると、 の
と
は
と分解できる。同様の方法で岩澤加群
を
に分解したとき、
は
の最大実部分体
の円分