を検査して は の部分環であり は のイデアルであることが分かる． を によって， を によって定義する． は明らかである．したがって は の による拡大である．
自明な拡大と同様に，この性質は分裂拡大の定義に一般化する．
（ただし と は におけるそれらの像と同一視される）．ポワンカレ群において であることが直ちに従う．したがってすべてのローレンツ変換 は逆写像が の の自己同型 に対応し， は明らかに準同型である．さて
と定義し，乗法を で与える．定義を解きほぐすことで乗法が最初の乗法と同じであることが分かり， であることが従う． より なので より である．
導分により.
定理.
によって，あるいは の対称性と の反対称性を用いて
によって定義できるという観察は系を導く．
応用.
多項式ループ代数.
 を多項式ループ代数（背景）
である．
 上の非退化双線型結合反対称形式 を作るために，注意はまず， を固定して引数の制限に向けられる．要求を満たす“全て”の形式は 上のキリング形式 の倍数であることは定理である．これより
でなければならない， の対称性により
であり，結合性により
である． として が分かる．この最後の条件は前のを含んでいる．このことを用いて， と定義する．すると定義方程式は
となる．すべての に対して，定義
は実際対称結合双線型形式
を定義する．しかしこれらはすべての形式が正しい性質をもつベクトル空間の基底をなす．
手元の導分と条件
に戻り，定義を用いて次が分かる：
あるいは， として，
これ（と反対称性条件）は， ならば成り立つ，とくに のとき成り立つ．
したがって および と選ぶ．これらの選択により，系の前提が満たされる．
を定義するために最後に雇われ，そのリーブラケットは
である．基底元に対して，適切に正規化し反対称構造定数により次が成り立つ：
これは多項式ループ代数の普遍中心拡大である．
カレント代数.
or
カッツ・ムーディ代数.
とおく，次に，ベクトル空間として
と定義する． 上のリーブラケットは，導分との標準的な構成によれば，基底上次で与えられる：
便宜上，