捩れなし加群の構造.
ネーター整閉整域上、任意の有限生成捩れなし加群は自由部分加群であってそれによる商が環のイデアルに同型なものをもつ。
デデキント整域上、有限生成加群が捩れなしであることと射影的であることは同値であるが、一般には自由でない。任意のそのような加群は有限生成自由加群とイデアルの和に同型であり、イデアルのクラスは加群によって一意的に決まる。
主イデアル整域上、有限生成加群が捩れなしであることと自由であることは同値である。
群の生成系
有限生成群.
自由群.
例.
行列群
任意の有限群は線型である。これはを使って置換行列により実現できることによる。の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む（例：無限集合の置換からなる無限対称群）。
基本的な例.
古典群.
とりわけ面白い行列群はいわゆるである。行列群の基礎環が実数のとき、これらの群はである。基礎環が有限体であるとき古典群はである。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす。
行列群としての有限群.
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べると似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。
表現論と指標理論.
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広く使われてきた。とくに表現論は群から行列群への準同型を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への写像を研究する。
例.
重複度 (数学)
数学において、多重集合の元の重複度（ちょうふくど、じゅうふくど、）は、それがその多重集合において現れる回数である。例えば、与えられた多項式方程式が与えられた点において持つ根の数など。
重複度を無視する場合には、そのことを「相異なる根の個数」というように相異なる（あいことなる、）と言って強調することもある。ただし、（多重集合ではなく）集合を考える場合には「相異なる」と断らずとも自動的に重複度は無視される。
素因数の重複度.
素因数分解において、例えば、
多項式の根の重複度.
重根の近くでの多項式関数の振る舞い.
交叉重複度.
複素解析学において.
リーマンのクシー関数