法 での根
から法 での根
を求める反復計算をずっと直感的に行うことができる。次の合同式
を解いて整数
を見つける代わりに、有理数
を次の式
で定める。分母に が出てくるように見えるが、
 が
で割れるため実際には出てこない。そして
と置く。これは整数にはならないかもしれないが、
進整数にはなっている。数列
はある
 進整数
に収束し、極限は
の解になっている。そして、
から
を計算する漸化式をよく見てみると、実数の場合における求根アルゴリズムであるニュートン法の漸化式とまったく同じになっている。
 進数の中で計算を行い
進絶対値を使うことで
となってしまう
を満たすものがあったとすると、 進整数 で
 かつ
となるものが一意的に存在する。この
 を作るにはニュートン法の漸化式が初期値
で
 進数に収束することを示しその極限を
と置けばよい。条件
 が一意であることを示すには追加の議論がいる。
と
は
と
を意味するからである。
例.
 の平方根が存在することをヘンゼルの補題を使って示すことができる。これを見るために
と置く。 を法 での
 の平方根とすると
 が奇数であることによる。基本形のヘンゼルの補題を使って、
が成り立つように作ることができる。この列はある
 進整数 に収束し
を満たす。
この は、法 で と合同になる
における
の唯一の平方根である。逆に、 を
 で割り切れないものとすると、
が法 でゼロではない平方剰余かどうかは平方剰余の相互法則で簡単に判定できるので、これで（奇素数 に対する） 進数が 進平方根を持つかどうかを決定する実用的な方法が得られたことになる。
としよう。ヘンゼルの補題における
の計算式に現れる各種の数値は
となる。これらの式から、次の式
は
となり、これは
を意味する。したがって、
次の反復計算を行うと
となる。
最初に
を選んだ場合でも
であることと辻褄があっている）。
元々のヘンゼルの補題は適用できないが一般化されたものなら適用できる例として
とすると
であり、また
であるので、
を満たすものが一意に存在する。二番目の式は
の根を法
から法
となっている。
と置き、最初の近似根として
を取る。任意の に対して
となってしまうので、基本形のヘンゼルの補題を使って
の根を見つけることはできない。