初代竹本政太夫事二代目竹本義太夫（竹本播磨少掾）の養子である二代目竹本政太夫の門弟。南堀江の「新露路（しんろうじ） りうへい橋（隆平橋）より一丁南」（『大坂町鑑』） に住居を構えていたことから、通称を新ろうじという。「わざ知り」（今日でいう技巧派）と言われ、できるだけ淋しく陰気に語ってしかも人情を漂わし、逆に三味線を派手に賑やかに弾かせて調和させるという綱太夫風を後世に伝えている。
『音曲鼻けぬき』 に「夕霧文章は近松門左衛門の作にして、…人も知りたる銘文なり。尤国太夫一仲節(一中節）抔にて語るといへども、儀太夫ぶし（義太夫節）なれば儀太夫を語る太夫は、儀太夫節（義太夫節）にて語るべきに、一仲ぶし(一中節）にて語るは何事ぞや。…此浄るり嘉助綱太夫拵へ語りしが、是とても時代違ひゆへむかしはしらねども、儀太夫の本躰を崩さず儀理有て面白し。其頃芝居にて語るべきに極しか病重りて故人と成。」とあることから、『曲輪文章』「吉田屋の段」は初代綱太夫の章句であることがわかる。また、同書には「故人上総太夫（初代竹本紋太夫）・嘉助綱太夫生れ付たる、悪声なれども、熟して後に妙音となり、只一心の以てなす時ハ、得ぬことハあるべからず。唯凝り給へかたり給え」とも記されている。
初代綱太夫の「綱太夫風」を杉山其日庵は『素人浄瑠璃講釈』にて「（初代）竹本綱太夫は、絃師を十分陽気に弾かせて、語り方は成る丈け陰気に運んで、夫を派手に聞かせて、人情を漂はする事を、一生研究したとの事」と記し、武智鉄二は「（初代綱太夫は）三味線を陽気にひかせ、語り口はなるたけ陰気に運び派手に聞かせる工夫をした人」「綱太夫風も産み字が多く、曲節が派手になっているが、それを二の音に落として、陰気に聞かせることで情をつないだ（酒屋などその一例）」と記している。また武智鉄二は「名人清水町団平が一生を綱太夫風に凝ったというのほ、じつに彼が近世での三絃の名人であったからで、浄瑠璃の足取りに深い考慮を払い、裏撓ということに深く意をとどめた」と、初代豊澤團平が一生綱太夫風に凝ったと記している。
二代目.
初代竹本濱太夫 → 二代目竹本綱太夫
本名：津國屋（つのくにや）甚兵衛。通称：猪熊。紋は二つ釘抜に閂