リー環は，ベクトル空間として， である．これは が を生成し だから明らかである．リーブラケットは次で与えられる：
である．
であり により
であるから
である．さてこの関係式を について微分し で評価する：
であり により
であるから
コホモロジー.
現在の目的，理論の限られた部分の考察には，リー環のコホモロジーが十分である．定義は最も可能な一般的なものではなく，最もよく使われるものでさえないが，それらの言い及ぶ対象はより一般の定義の真正の例である．
を持つものとして定義される．
は（ここでは に制限されているが）コバウンダリ作用素と呼ばれる．
 の による像を と書く．商
これらの概念はいくつかの方向に一般化される．各記事を参照．
構造定数.
 を のハメル基底とする．このとき各 は適切な大きさのある添え字集合 に対して
が分かる，ただしアインシュタインの和の規約を用いている．構造定数の添え字の配置（上か下か）は重要ではない．次の定理は有用である：
定理：構造定数がすべての添え字について反対称な基底がそんざいすることと，リー環が単純コンパクトリー環と リー環の直和であることは同値である．これは 上の実正定値計量 であって不変性条件
キリング形式.
キリング形式は次で定義される 上の対称双線型形式である：
ここで はベクトル空間 に作用する行列と見なされる．必要な大事な性質は， が半単純ならばにより は非退化であるということである．そのような場合 は と を同一視するのに使うことができる． ならば，ある が存在して，
となる．これはリースの表現定理に似ており，証明は実質的には同じである．キリング形式は性質
を持ち，これは結合性と呼ばれる． と定義し中のブラケットを構造定数により展開することで，キリング形式は上の不変性条件を満たすことが分かる．
ループ代数.
は単位円周 からリー群 への滑らかな写像の群に群構造を 上の群構造によって定義したものとして取られる．するとループ群のリー環は から のリー環 への写像のベクトル空間である．そのようなリー環の任意の部分環はループ代数と呼ばれる．ここでは注意は次の形の多項式ループ代数に当てられる：