それは 内の時間に対してのみ定義されていて，すべての （もちろん も）に対して定義されている必要はないという意味で局所的である．したがって，積分曲線の存在と一意性を証明する問題は常微分方程式・初期値問題の解を見つけそれが一意であることを示す問題と同じである．
時間微分についての注意.
 が の開部分集合という特別な場合には，これはよく知っている微分
である，ただし は通常の座標方向についての の座標である．
同じことはのことばでさらに抽象的に述べることができる． の接束 は自明束 であり，すべての に対して （より正確には ）なるこの束の自然な切断 が存在する．曲線 は次の図式が可換になるような束写像 を誘導する：
このとき時間微分 は合成 であり， は点 におけるその値である．
半単純リー環のルート系
付随するルート系.
付随する半単純リー環.
 をユークリッド空間とし， を の被約抽象ルート系とする．さらに を単純ルートたちのある選択とする．次の生成元と関係式で複素リー環を定義する．生成元：
応用.
同型により，半単純リー環の分類は被約抽象ルート系を分類するいくぶん簡単な仕事に帰着される．
複素数の偏角
数学において、複素数の偏角（へんかく、）とは、複素数平面上で複素数が表す点の動径が表す一般角のことである。複素数 の偏角は記号で で表す。偏角はラジアンで表す。
複素数を極形式表示することで、絶対値と偏角が得られる。これにより、複素数の乗除が簡明に行うことができる。
複素数に対する偏角は、 の任意の整数倍を足す分だけ表し方がある。つまり、多価関数である。そこで表示を一意にするには、主値を決め、区間 などに制限する。
 の任意の整数倍の差を除いて次の等式が成り立つ：
定義.
複素数 の偏角は、 と書かれ、正の実軸から動径 までの角度を反時計回りに測った角度である。弧度法で表示する。時計回りに測ると負になる。
複素数に対する偏角の表示を一意にするために、主値を区間 に制限する。 にすることもある。
主値を にすると、逆正接関数 を用いて次のように表せる：
上記の式には条件分岐が多数あるが、符号関数 やヘヴィサイドの階段関数 を用いることで次のようにまとめることもできる：
 除算を含む式 と形式的に考えることで、更にまとめることもできる：