無限次元空間の双対は、もとの空間よりもより高い次元（高次無限濃度）を持ち、したがって同一の添字集合を備えるような双対空間の基底は存在しない。しかしながら、ベクトルの双対集合は存在し、それはもとの空間と同型であるようなその双対空間の部分空間を定義する。さらに、線型位相空間に対し、連続的双対空間を定義することが出来、そのような場合には双対基底は存在し得る。
有限次元ベクトル空間.
有限次元ベクトル空間の場合、双対集合は常に双対基底であり、各基底に対して一意的である。それらの基底を および と表す。ベクトル の余ベクトル による評価をペアリング で表すとき、二重直交性の条件は次のようになる：
このことは、「ベクトルのペアリング」を「対応する余ベクトルによる評価」と定義することによって、ドット積（内積）を定義することに繋がる。基底ベクトルに対して、これは を意味し、基底ベクトルは を満たす。
ここで、前述のデルタの上付き添字と下付き添字の記号は、通常、余ベクトルを使っているものとベクトルあるいは二つのベクトルを符合させるために変化するものである。形式的に言えば、 は反変計量テンソル、 は共変計量テンソルと見なされ、これは の最も簡単な例である。
ある双対基底と基底の組合せは、 の基底の空間から の基底の空間への写像を与え、これはまた同型でもある。実数のような位相体に対して、双対の空間は位相空間であり、これはそれらの空間の基底のの間の位相同型を与える。
有限次元においては、二重直交性の条件は双対の各元に対し 個の線型独立条件を課すことが代替的に分かる（なぜならば、 個の基底ベクトルが存在し、それらは線型独立であるからである）。したがって、双対空間の次元は であることにより、その双対集合の各元は一意的に定められる。
ある 次元ベクトル空間 上の双対ベクトルの作用については、 の元を の列ベクトルと見なし、双対空間 の元を 左による線型汎関数として作用する の行ベクトルと見なすことで分かる。
奥園國義
サンガモン郡
概要.
表題曲は、メンバーが出演の日本コカ・コーラ「コカ・コーラ ゼロ」CMソング。
山本美智子 (薬学者)
山本 美智子（やまもと みちこ）は、日本の厚生官僚、薬学者（医薬品情報学）。学位は博士（医学）（東京医科歯科大学）。昭和薬科大学薬学部教授。