から誘導されているものとする。これが平坦であることを示すには
加群の系列
を得る。 は零因子ではないのでこの核は自明である。したがってホモロジー群は消える。
奇跡的平坦性.
平坦射の例はからも得られる。奇跡的平坦性とは、コーエン・マコーレー・スキームから正則スキームへの射
は、ファイバーが等次元であれば平坦であるという定理である。これから簡単に得られる平坦射の例としては、楕円ファイバー空間、滑らかな射、各滑層上で奇跡的平坦性が成り立つ
への射などがある。
ヒルベルトスキーム.
普遍性を持つスキームの平坦射の例はヒルベルトスキームである。ヒルベルトスキームは平坦射の普遍族のパラメーター空間なので、すべての平坦射はあるヒルベルトスキームからの引き戻しである。つまり、
を射影空間に閉部分スキームとして埋め込める平坦射とすると、
はすべて同じヒルベルト多項式
を持つので、上記のヒルベルトスキームを
で置き換えてもよい。
平坦射ではない例.
ブローアップ.
平坦射ではない射の例としてはブローアップ
のコピーである。つまり
ということであるが、これは
が成り立つ。このことと奇跡的平坦性の補題により平坦ではないことが分かる。
無限分解.
平坦射ではない簡単な例は
である。このことを見るには
が無限複体であることを見ればよい。 の平坦分解
を取り、この分解に をテンソルして
であることが分かる。したがって平坦ではない。
平坦射の性質.
をスキームの射とする。射
に対して
と書くことにすると、射 が平坦であることと、すべての に対して引き戻し
が準連接
加群の圏から準連接
加群の圏への完全関手になることは同値である。
と
をスキームの射とし、 は
 の点 で平坦とする。
このとき、 が
で平坦であることと、 が
 で平坦であることは同値である。特に、 が忠実平坦なら、 が平坦または忠実平坦であることと
がそれぞれ平坦または忠実平坦であることは同値である。
基本的な性質.
をスキームの平坦射とする。
を平坦射とする。 と を
をこれらの
による基底変換とする。
位相的性質.
 が平坦かつ局所的に有限表示であれば、 は普遍的開写像（絶対開ともいう）である。しかし、 が忠実平坦かつ準コンパクトであるとき、仮に