は体である。したがって
は単項イデアル整域なので、
特に一意分解環である。これは、任意のゼロではない
の多項式は
ヘンゼルの補題は、 の法
での互いに素な多項式への因数分解は、任意の
に対して
を法とする因数分解に一意的に持ち上げられることを主張する。
もう少し詳しく書くと、上述の仮定のもとで、法
 と 
を使って
と分解できたとすると、全ての正の整数 に対してモニック多項式
と
が存在して次の式
が成り立ち、しかもこのような性質を持つ
と
は法
で一意ということを主張する。
単根の持ち上げ.
大切で特別な場合として
であるときを考える。この場合、互いに素という仮定は
 は
の単根であるということを意味する。したがってこの場合にはヘンゼルの補題の主張は次のようになる（これもヘンゼルの補題と言われる）。
記号と仮定は今までと同じとし、 を
の単根とする。このとき、 は全ての正の整数 に対して
の単根に一意的に持ち上げることができる。つまり、任意の正の整数 対して
の単根
であって
を満たすものが一意的に存在する。
完備化への持ち上げ.
全ての正の整数 に対して
に持ち上げることができるので、
のベキたちは
の完備化と同一視でき、また射影極限
とも同一視できる。この完備局所環は
と一般的に書き表される。 が整数環で
である。
完備化の射影極限を使った定義と上述のヘンゼルの補題の主張から、多項式
の法
の
における像の因数分解に一意的に持ち上げられることが導かれる。同様に、 の法
での任意の単根は
 の
における像の単根に持ち上げられる。
証明.
での因数分解を
 と 
かつ
かつ次の式
を満たすものが存在するということである。
が極大イデアルではなくともヘンゼルの補題を証明することができる。
それゆえ、以下では
 の因数分解に現れる因子が法 
であることを表すことにする。
を
そして何らかの正の整数 に対して
と因数分解でき、 と
が存在して
という意味で使っている。このとき、多項式
であって
かつ
かつ次の式
が成り立つものが存在する。しかもこれらの条件が成り立つ
と
は法
で一意的に定まる。
そして
と
は
または
を係数とする多項式だけを使って
と
で
の場合には、これは法
 での剰余類だけを使って計算できることを意味する。
証明： 仮定から