エルンスト・ラース
生涯.
ドイツ領時代のシュトラスブルク（ストラスブール）で死去。
業績.
汎称
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概要.
公称名
招集選手.
過去の招集.
ブローアップ (数学)
双有理変換を説明するという重要性のほかに、ブローアップは新しい空間を作る重要な方法でもある。例えば、特異点解消のほとんどの方法は滑らかになるまで特異点でブローアップするというものである。さらに、これを使ってブローアップを双有理写像の不確定点を除去するために使うこともできる。
平面の点でのブローアップ.
最も簡単なブローアップは平面の点でのブローアップである。この例を通して、ブローアップの一般的な性質をほとんど見ることができる。この節では、ブローアップという操作で得られた空間のことを特に頻繁にブローアップと呼ぶことにする。
の点
でのブローアップ は
である。ここで は他の点で
はグラスマン多様体の元である。
は射影多様体の直積の閉部分代数多様体なので射影多様体である。これは、組
を
に送る
への自然な射
を備えている。この射は、
であるすべての点
がなす開部分集合上で同型写像となっている。これは、直線
のときは、直線
は
を通る任意の直線でよい。これらの直線全体は
 を通る向き全体の空間に対応し
と同型である。この
での（normal space）である。
は点なので法空間は接ベクトル空間と一致する。したがって例外因子は射影化された
での接ベクトル空間と同型である。
ブローアップ上での座標を得るために、結合対応の方程式を求める。
に
を与え、これでの点
の座標を
と書く。により
は
と同型なので、これに斉次座標
に対応する直線は
を満たすすべての
の集合である。したがって、ブローアップは次の式
で記述することができる。ブローアップは
の外では同型写像になっている。射影平面の代わりにアフィン平面で考えることによりブローアップをより簡単な方程式で表すことができる。必要ならば射影変換を使うことにより
としてよい。アフィン平面
の座標を
と
で書くことにする。条件
は
を意味するので、グラスマン多様体を
に置き換えることができる。このとき、ブローアップは多様体
である。座標を変更してどちらかの符号が逆になるようにするほうがより一般的である。このとき、ブローアップは