算術以外で、多くの数学分野で「商」の語がより大きな構造を解体して作られる構造の事を指すのに借用されている。同値関係にある集合が与えられた際、「商集合」はその同値関係を要素として含むようにつくられる。商群は群を類似の剰余類の個数に合わせてばらすことでつくられ、商線型空間も同じようにベクトル空間を類似の線型部分空間に分割することで得られる。
置換 (数学)
の全部で六種類ある順序組である。単語のアナグラムは、単語を構成する文字列に対する置換として定められる。そういった意味での置換の研究は、一般には組合せ論に属する話題である。 
置換の概念は、多かれ少なかれ（あるいは陰に陽に）、数学のほとんどすべての領域に現れる。たとえばある有限集合上に異なる順序付けが考えられる場合に、単にそれらの順番を無視したいとか、無視した時にどれほどの配置が同一視されるかを知る必要があるなどの理由で、置換が行われることも多い。同様の理由で、置換は計算機科学におけるソートアルゴリズムの研究において生じる。
歴史.
と訳せる一節が含まれる。
一般性.
置換の概念を研究対象とする分野について挙げる。
群論の文脈で.
組合せ論の文脈で.
によって与えられる。
群論的取扱い.
記法について.
と書くことができ、上と下の対応が同じなら横の順序は問わない記法である。
一方でベッチの流儀を使う場合は合成写像として
置換の積と逆置換.
二つの全単射の合成は再び全単射を与えるから、二つの置換の積は再び置換を与える。写像の合成は結合的であるから、置換の積に関してもそうで、 (σπ)ρ = σ(πρ) が任意の置換に関して成立する。これにより、二つより多くの置換の積において、積の順番を表すグループ化の括弧を書かないのが普通である。また、中黒などの乗法を指し示す記号も、省略するのが通例である。
集合の各元をそれ自身に写す恒等置換は、この置換の積に関する単位元である。二行記法で言えば、この単位元は
である。
である。巡回置換表示で逆置換を得るには、現れる巡回置換において元を逆順に並べなおせば、それがそのまま逆置換の巡回置換表示になる。