数列 において、番号 を限りなく進ませると距離 が に近づくときに、数列 の極限が であると定義される。等式 自身は以下のように極限として表すことにより証明される。
区間縮小法と上限.
無限小数の小数部分を級数として直接計算する前述の導出に対して、それとは別に、もう一つの方法は、無限小数が取らない値の範囲を排除していくという方法である。
と表現される。
実数の構成.
デデキント切断による構成.
デデキント切断のアプローチでは、任意の実数 は、「 より小さい有理数全体からなる無限集合」と定義される。この考え方では、実数 は「 より小さいすべての有理数の集合」となる。
正の数でのデデキント切断は、その小数展開により得られる。小数表示を適当な位までで切って得られる有理数を使い、それより小さい有理数全体の和集合を作ればいいのである。この方法で実数 というものが何であるかを考えるなら、（つまり、ある自然数 に対して、 を満たす有理数 すべてが作る集合）として定義されるということになる。 より小さい有理数すべては より小さいので、これは実数 の元に含まれる。一方、実数 の元となる任意の有理数
() を考えると、
となるため、 は の元になっている。よって、 と とは全く同じ有理数をすべて元として含み、これらは集合として等しい。つまり であるというわけである。
コーシー列による構成.
この性質より を証明するためにしなければならないことは、有理数のコーシー列
が同値である、すなわち
が に収束することを証明することである。
この極限は単純で、数列の極限の定義により示される。こうして、やはり が示されたことになる。
他の数体系での振る舞い.
標準的な数体系である実数体に対して、通常と異なる方法で数を構成し、 という表記が意味を持つ、実数とは別の数体系を定義することができる。。
無限小を含む体系.
超実数.
超現実数・ゲーム.
減法の再考.