遅刻して登城した算哲は対戦相手となる旧知の本因坊道策から真剣碁を持ちかけられる。かねてから将軍に碁の本当の面白さを伝えたいと考えていた二人はそれぞれの師からあらかじめ指示されていた打ち筋を外れ、算哲は初手天元（碁盤の中央）という奇手を打つ。このことで立ち会いの幕臣たちは色めき立つが家綱は面白いと承知。道策と算哲の真剣な対局に家綱は身を乗り出して観戦していたが蝕（日蝕。古来凶兆の前触れとして忌まれた）が発生したとの報告が入り、城中の儀式は全て取りやめとなり、算哲と道策の勝負も水入りとなってしまう。それぞれの師にこっぴどく叱られる二人だったが、算哲は正之に呼び出される。正之は初手天元の真意を尋ねた後、「半月後から日本各地で北極星の位置を確認せよ」（北極出地）という命令を与える。その遂行に当たって刀を下賜される。つまりは武士として職務に当たれという命令であり、これは幕府の正式な事業であった。
関孝和に会いたいと考えた算哲は手がかりとなる村瀬塾という和算塾を訪ねるが、そこでえんと思いがけぬ再会を果たす。塾長・村瀬義益の妹だというえん。義益が関の書いた本を見せると算哲は食事も忘れて夢中になる。算哲は関に挑戦するため関の難問を解いた上、自身の設問を掲げる。算哲は関から解答があったら預かって欲しいとえんに頼む。算哲とえんは互いにほのかな恋心を抱くのだった。一方、道策は師の制裁で公開の場での対局を禁じられていた。算哲が公務を果たした暁には封じ手とした上覧碁の続きを対局することを約束する。
北極出地は過酷を極め、行程には大幅な遅れが生じる。そして旅の最中、年配の建部は健康を害してしまう。病床にて建部は天の理を解き明かし我が二腕にて抱いて三途の川を渡るという大望を語る。出地一行と銚子で落ち合う約束していた建部だが身罷ってしまう。算哲は建部の遺志を継ぐことを誓う。
正之に呼び出された算哲は正之の悲願である改暦について光圀、建部、伊藤、安藤そして恩師・闇斎からの推挙により責任者に任じられる。「天を相手に真剣勝負を見せよ」という正之の言葉に算哲は「御意」と答えるのだった。こうして幕府の威信をかけた一大事業が始まる。だが、暦を巡る戦いは熾烈を極め、算哲は幾度となく苦境に立たされるのだった。