関連する恒等式.
ニュートンの恒等式に関連する恒等式がいくつかある。
完全斉次対称式を使用した変形.
これらの関係は、以下のような母関数の恒等式の係数を比較することで確認できる。
べき和による基本対称多項式を表現.
前述のように、ニュートンの公式を使用して、べき和により基本対称多項式を再帰的に表現できる。
一般式は次のように簡単に表すことができる。
この関係を単項多項式に適用すれば、係数を根のべき和で表すことができる。
べき和による完全同次対称式の表現.
完全斉次対称式についても同様の関係式を得ることができる。
この場合もベル多項式により以下のように表される。
これは、次の帰納的ステップを検討することで証明できる。
基本対称多項式によるべき和の表現.
ニュートンの恒等式から基本対象式によりべき和を表すことができる。
通常のベル多項式により次のように簡単に表すことができる。
または母関数として表すことができる。
これはベル多項式の指数的母関数と類似している。
上式は、次の帰納法のステップを検討することで証明できる。
完全同次対称式によるべき和の表現.
最後に、完全同次対称式によるべき和の表現を示す。
一般式は次のとおりである。
行列式による表現.
ニュートンの恒等式は、クラメルの法則を適用することで、行列式の形で表すことができる。以下に示すニュートンの恒等式：
恒等式の導出.
ニュートンの恒等式は、初等代数で簡単に確認できる。
係数の比較.
基本的な関係
ここで、右辺の多項式はまず有理関数に変形され、次に以下の公式により変形される。
ジグ選別機
粒子は通常、破砕しふるい分けすることでその成分によらずほぼ同じ大きさにされ、ジグ選別機の粒子層へ供給される。
ジグ選別機の設計はいくつか種類があるが、基本的な考え方は共通している。
粒子は網を底とした粒子層に供給される。
次に水を断続的に下から上へと流し水位を上昇させる。
これにより粒子は水中へ巻き上げられ、一時的に浮遊する。
続いて水の流れが止まり、水位が下って元にもどる中で、粒子は網の上に再度沈降する。
水中に浮遊して再び網の上に沈降するとき、より比重の大きな粒子ほど速く落下するため、
沈降後の粒子層では下側により比重の大きな粒子が集まる。
こうすることで粒子は比重により濃縮させることができた。