例
倍角公式.
倍角・三倍角・半角の公式.
以下の式は加法定理などから容易に導くことができる。
正弦関数と余弦関数の三倍角の公式は、元の関数の三次方程式で表すことができる。従って、三次方程式の解を求めることでそれらの三角関数の値を得ることができる。
幾何学的には、三倍角の公式を経由し三角関数の値を求めることは角の三等分問題に相当する。この問題は、定規とコンパスを用いた解法が特別な角を除いて存在しないことが知られている。
倍角の公式.
ここで は二項係数である。上記の和の最初の数項を明示すれば、以下の通りである。
ビエトの公式を利用し、正接関数と余接関数の倍角公式を漸化式として与えることができる。
またド・モアブルの定理、あるいはオイラーの公式を利用し、以下のように表すことができる。
チェビシェフの方法.
 は、以下のように表される。
同様に は以下のように表される。
 は以下のようになる。
ここで、 である。
算術平均の正接関数.
 の算術平均の正接について以下が成り立つ。
ビエトの無限積.
以下の式が成り立つ。
べき乗.
余弦関数の倍角公式を変形することにより、以下の式が得られる。式の次数を下げるためによく用いられる。
ド・モアブルの定理・オイラーの公式・二項定理を用いると、以下のように一般化できる。
和積公式と積和公式.
加法定理に（θ±φ）を代入することにより、積和公式を導くことができる。これを変形すると和積公式になる。
エルミートの無限積.
シャルル・エルミートは、複素関数に関する以下の式を示した。
合成公式.
正弦関数と余弦関数の和は、正弦関数で表すことができる。
ここで、φの値は以下の式で与えられる。
または
位相の違う正弦関数を以下のように合成することができる。
その他の和に関する公式.
正弦関数と余弦関数の和に関する以下のような公式がある。
正接関数と正割関数に関して以下の式が成り立つ。
メビウス変換.
このとき以下が成り立つ。
以下のように書くこともできる。
複素関数.
無限乗積による表現.
三角形.
特定の角度に関する式.
以下の式が成り立つ。
この式は以下の式の特殊な場合である。
以下の式も同じ値を持つ。
正弦関数では以下の式が成り立つ。
余弦関数では以下の式が成り立つ。
上の式を利用して以下の式が得られる。
以下の式は単純である。