以下は双曲型メビウス変換がリーマン球面上へ与える効果（を平面に立体射影したもの）を図示したものである。
この図は、円弧的流線が二つの不動点の間で一定の角を内在するから、不動点に負の電荷を置いたときの電気力線の様子と似ている。
斜航型変換.
任意の斜航型メビウス変換で生成される一係数部分群をとれば、この部分群の各変換が同じ二点を固定するような、連続変換が得られる。固定されない点は全て、一方の不動点から出て他方の不動点へ入るようなある曲線族に従って移動する。これが双曲型の場合と異なるのは、その曲線が円弧ではなくて、リーマン球面から平面への立体射影で写すと、一方の不動点を反時計回りに、他方の不動点を時計回りにそれぞれ無限回廻る、ひねられた螺旋となるような曲線になっていることである。一般に、二つの不動点はリーマン球面の相異なる任意の二点がとれる。
立体射影.
以下の図は、メビウス変換がリーマン球面の上への立体射影であることを示すものである。球面の上への射影をするとき、不動点が無限遠にある特別の場合には、任意の場所に不動点を持つ場合と何も違わないように見えることに特に注意。
変換の反復適用.
変換の極.
をしばしば逆極 と呼ぶ。メビウス変換がひとつ与えられると、この二種類の極の中点は必ずその変換のふたつの不動点の中点にもなっており、したがって
なる関係式が成立する。これらよっつの点を頂点として平行四辺形が形成され、それをしばしばメビウス変換の特性平行四辺形 などと呼び表す。
が得られる。これを成分を用いて書き下せば、
となるが、この最後の式はメビウス変換を表す行列
となり、これは
を根に持つ。
ローレンツ変換.
なる座標を持つ点を
へ写す。
複素座標函数
双曲空間.
メビウス群の部分群.
と共軛変換によって得られる。
で与えられる。この部分群は、同型
メビウス変換からなるはクラインによって において五次方程式の解析解を与えるために用いられた（現代的な解説が にある）。
一次分数変換