以下、 は必ずしも自然数でない実または複素数数値の変数（あるいはより一般の環の元でもよい）とし、 は自然数とする。
これらは何れも、底 を変数と見れば を不定元とする整数係数多項式となることに注意する。展開の係数はスターリング数で与えられる（後述）。またこれら底 を変数とする階乗冪は様々な意味で冪函数に相当する。
記法について.
また、自然数 に対して
実または複素「冪」.
 および が負の整数でないとき、階乗の代わりにその補間函数であるガンマ函数を用いれば階乗冪の指数 は任意の実数（あるいは複素数）とすることができる。具体的には次のようになる。
ふたつの実数 および について、 と が負の整数でないとき、定数 を底とし、指数 を変数とする階乗冪 は（階乗冪を冪の類似と見做すならば）指数函数の類似である。
組合せ論的解釈.
なる関係式を得る。これは
とも書ける。
性質.
計算規則.
空積の規約により
下降階乗冪と上昇階乗冪の間に関係
が成り立つ。
多項式基底と変換係数.
上昇階乗冪 および下降階乗冪 はそれぞれ、 を変数とする多項式とみるとき多項式環の基底になる。標準基底 との基底変換は以下のように与えられる:
二項型の関係式.
上昇（または下降）階乗冪全体の成す多項式列は二項型である。即ち
あるいはこれらをまとめて
が成り立つ。上昇階乗冪に対するものは、と呼ばれる。
結合係数.
下降階乗冪は多項式環の基底を成す。これは下降階乗冪の線型結合同士の積が再び下降階乗冪の線型結合となることを意味し、それは以下を確かめれば十分である:
右辺に現れる各項の係数
指数法則.
指数法則に似た次の法則が下降階乗冪、上昇階乗冪に成り立つ。
これを用いて、負数の下降階乗冪、上昇階乗冪を定義することもできる。
また、次のような関係もある
和の公式.
微分.
となる。
陰計算との関係.
下降階乗冪の全体および上昇階乗冪の全体はそれぞれ多項式列を成す。下降階乗冪は多項式を前進差分作用素 を用いた公式（ニュートン級数展開）
（微分積分学におけるテイラーの定理と形の上で類似）で表すときに現れる。この公式やほかの様々なところで、微分積分学における冪函数 に当たる役割を、和分差分学において下降階乗冪 が果たす。例えば
と