したがって、加法的和集合 上の作用素を研究する問題は、本質的には二つの自然な空間 および から二つの目的空間 および への有界作用素を研究する問題に帰着される。そのような作用素は加法的和集合の空間 を に写すため、それらの作用素は補間空間 を対応する補間空間 に写すものであると期待することは自然である。
定理の内容.
リース＝ソリンの補間定理を述べる上でいくつかの方法がある：前節での記号を利用するために、ここでは加法的和集合を用いた方式を採用する。
証明の概要.
 内の各 に対し、 および の適切な派生形 および を定義することで、次の整函数
を得ることが出来る。この での値は
となる。このとき、直線 および 上での の上界を得るために仮定を用いることが出来る。するとアダマールの三線定理によって、直線 上の の補間的な上界を得ることが出来る。あとはその での上界が求めるものであることを調べればよい。
作用素の族の補間.
前節で紹介されている証明の概要は、すでに が解析的に変動する場合に対しても一般化されている。実際、整函数
実ハーディ空間との理論により、ハーディ空間 と有界平均振動の空間 上の作用素を扱う上でスタインの補間定理を使うことが可能となる。これはチャールズ・フェファーマンとエリアス・スタインによる結果である。
応用.
ハウスドルフ＝ヤングの不等式.
ただし かつ である。これはハウスドルフ＝ヤングの不等式である。
畳み込み作用素.
 を固定された可積分函数とし、 を との畳み込み作用素、すなわち各函数 に対して で与えられる作用素とする。
このような が から への有界作用素であることはよく知られており、 から への有界作用素であることは自明である（いずれの場合も、 によって評価される）。したがって、リース＝ソリンの定理より次が成立する。
ヒルベルト変換.
 のヒルベルト変換は次で与えられる。
しかし、ヒルベルト変換は あるいは 上で有界とはならず、直接的にリース＝ソリンの補間定理を用いることは出来ない。それらの終点の境界が得られない理由を探るためには、簡単な函数 および のヒルベルト変換を計算すれば十分である。しかし、すべてのシュワルツ函数 に対しては