上既約である。したがって
の
となる。ここで
は
最後に、この多項式は
においては
である。
微分を用いた根の持ち上げ.
を整数（または 進整数）を係数とする多項式とし、 と を
を満たす正の整数とする。整数 に対して
が成り立ったとする。このとき、任意の
に対してある整数 が存在して
が成り立つ。この は法
で一意であり、次の式
で具体的に計算できる整数である。ここで
は次の式
なので条件
であるときは、持ち上げ は存在しないかもしれないし複数存在するかもしれない（あとで「#ヘンゼル持ち上げ」で例示する）。
証明.
 の まわりでのテイラー展開
なのである整数 が存在して
とかける。これを使うと
は法
で逆元を持ち、しかもそれは一意でなければならない。したがって、最後の式の
についての解は法
で一意に存在し、 は法
で一意に存在する。
関連する諸結果.
多項式の既約性判定.
仮定は今までと同じとし、既約多項式
が
だったとすると、
では両方の値が等しいので既約である可能性がある。
による多項式
を考える。この微分は
となり常にゼロである。
乗根は
に存在しないが、方程式
の解は存在する。次の式
は決してゼロにならないので、解が存在すればそれは
なので、ゼロではない元全体
ヘンゼル持ち上げ.
補題を使って、多項式 の法
での根 を
法
での新しい根 に
となるように持ち上げることができる。
（ と取る。数学的帰納法により大きい はしたがう）。
また、法
での根は法
での根でもあるので、法
での根はすべて法
での根の持ち上げである。
持ち上げた根 は法 
で
と合同なので、
新しい根も
を満たす。
したがって、
最初の根
が
の解
からはじめて、 の高次冪に対して同じ合同式を満たす解の数列
を作れる。
このことはまた、
 の法
での根が全て単根であれば、
の法
での根の数は法
での根の数と同じであることを示している。
 が法
で単根になっていないとき、このプロセスでは何が起きているのであろうか? これを見るために、次の状況
は
を意味する。つまり任意の整数 に対して
例:
 として両方のケースを見てみよう。
かつ
進数の場合のヘンゼルの補題.
 進数では、 の冪乗を法とする有理数の合同類というものを、分母が
の倍数でなければ考えることができる。このことを使うと、