定理より、 に対し および であって、かつ で下に凸であるような関数 は唯一 のみである。 が十分微分可能であるためには で極値を持つ必要がある。
より高次の近似.
（微分可能性についての）二次近似は次のように与えられる。
これは任意の について微分可能であるが二階微分可能でない。 のときこれは一次近似に等しくなる。
三次近似および高次への一般化は次のように与えられる。
高さが複素数.
次の条件を満たす関数 が一意に定まる事が証明されている 。
一意性.
テトレーションを一意に定めるためには正則性の条件が重要となる。いま、関数 に対し関数 を次のように構成する。
ここで 、 は十分速く減衰する実数列であり、少なくとも実軸の近くで 、 を収束させるとする。
この関数 は と同様に最初の二つの条件 、 を満たす。また 、 が十分速く に近づくとき、 は正の実軸近傍で解析的となる。しかし 、 が全て でない場合、 は新たに大量の特異点と不連続線を複素平面上に持つことになる。これは 、 が虚軸に沿って指数関数的に増大するためである。これらの特異点は 、 が小さければ小さいほど実軸から離れていくため、 が正則であるためには全ての 、 が となる、即ち であればよい。
実解析上のテトレーションは一意的に定まらないので、複素平面への拡張は一意性に必要である。
逆関係.
冪は冪根と対数の二つの逆関係を持つ。これに倣って、以下テトレーションの逆関係をそれぞれ超冪根（）とと呼ぶ。
超冪根.
超冪根はテトレーションの底に関する逆関係である。
超平方根.
超平方根（）は の逆であり、二つの等価な表記 , を持つ。
超平方根はネットワークのクラスタサイズを決定するのに使用される。
その他の超冪根.
任意の整数 に対して は定義され、 のとき増加となり を満たす。従って のとき は存在する。しかし上述した一次近似を用いた場合、 のとき は によらず となり、従ってこの場合 は存在しない。
超平方根のほか 次の超冪根も同様の記号を用いて と表すことができる。
超冪根は高さが無限大の場合へと拡張することができ、これは の場合に限り問題なく定義される（#高さが無限大を参照）。 が存在するとき が成り立つことから、無限次の超冪根は初等関数によって と表すことができる。例えば となる。