ユークリッド幾何学において、直角三角形に対する三角不等式は三平方の定理の帰結であり、一般の三角形の場合は余弦定理の帰結である（もちろんそれらの定理によらない証明は可能であるけれども）。三角不等式は や の何れかにおいて直観的に見ることができる。右図は明らかに不等号が成り立つもの (上) から等号に近いもの (下) までの三例である。ユークリッド幾何学の場合では、等号が成立するには一つの角が で二つの角が の場合、したがって三頂点が場合に限られる。したがって、ユークリッド幾何学において二点間の最短距離は直線である。
ユークリッド幾何学の場合.
折線不等式.
三角不等式は数学的帰納法により、任意の折線に関する命題に拡張することができる。すなわち、そのような折線の全ての辺の長さの和は、その折線の二端点を直線で結んだ長さよりも小さくなることはない。特にその帰結として、多角形のどんな長さの辺も残り全ての辺の長さの和より必ず小さいことが言える。
このように折線に対して一般化すれば、ユークリッド幾何において二点間を結ぶ最短曲線が直線であることが示せる。
二点間を結ぶ折線がその二点間を結ぶ線分よりも短くならないことから、曲線の弧長がその曲線の両端点の間の距離より短くなることはないことが従う。実際、定義により曲線の弧長はそれを近似する折線の長さの上限で、折線に対する結果は端点間を結ぶ線分が全ての折線近似の中で最短ということであった。曲線の弧長は任意の折線近似の長さ以上であるから、曲線それ自身が直線経路より短くなることはない。
高次元単体不等式.
ノルム線型空間の場合.
ノルム空間 に対して、ノルムを定義する性質の一つが三角不等式
距離空間の場合.
距離空間 の距離函数を とすれば、三角不等式
は距離函数の定義要件の一つである。つまり、 から までの距離は、 から への距離と から までの距離の和で上から押さえられる。