ウィグナーの定理の文脈では，状況をそのようなものとして描写できる（ を でおきかえる）； でヒルベルト空間 における単位球面を表し， をその内積とする． で を表し， で を表す．さらに波矢印で群作用を表す．すると図式
は可換である，すなわち
である．さらに， が を保つ の対称性であるのと同様に， は を保つ の対称性である． のファイバーはすべて円である．これらの円は の作用で不変である．これらのファイバーへの の作用は推移的で固定点がない．結論は， は 上の主ファイバー束で，構造群は である．
背景資料.
拡大を適切に議論するためには，リー環の定義性質を超えた構造が必要である．これらについての基本的な事実がクイック・リファレンスのためここに集められている．
導分.
リー環 上の導分（微分） とは，写像
であって，ライプニッツ則
が成り立つもののことである．リー環 上の導分全体の集合は と書かれる．それはそれ自身リーブラケット
のもとでリー環である．それは の自己同型の群 のリー環である．
を示さなければならない．右側が成り立てば，微分して とおけば左側が成り立つ．左側 が成り立てば，右側を
と書き，この式の右辺を微分する．それは， を用いて，恒等的に である．したがってこの式の右辺は に依らず， に対するその値に等しく，これはこの式の左辺である．
 ならば， によって作用する は導分である．集合 は 上の内部微分全体の集合である．有限次元単純リー環に対して，すべての微分は内部微分である．
半直積（群）.
このとき は単位元 を持つ群であり，逆元は によって与えられる．逆元の式と式 を用いて， は において正規であることが分かる．この半直積による群を と書く．
逆に， が群 の与えられた半直積表示ならば，定義により は において正規であり，各 に対して , ただし , であり，写像 は準同型である．
さてリー対応を利用しよう．写像 はそれぞれ，リー環のレベルで，写像 を誘導する．この写像は
によって計算される．例えば， と がともに大きい群 の部分群であり， であるとき，
で与えられ，例えば， ならば，（形式的には）
である，ただし と随伴作用 とので厳密に証明されている関係が使われている．