この解の分散関係は次のように表され、この場合は分散があることがわかる。
時刻 で自由粒子の状態が であった場合、その後の時間変化は時間依存シュレーディンガー方程式を解くことで と求まる。ただし
である。このように量子論では一般的に分散がある。この時間変化する平面波を係数 として重ね合わせると、次のようなガウス波束の時間変化が求まる。
これを二乗したものである確率密度は、次のようにガウス波束であることがわかる。
このガウス関数は で極大となるため、群速度 で移動する波束であることがわかる。
また時刻 でのガウス波束の幅は であるため、時間とともに波束の幅は広がっていき、最終的には空間中に広がることがわかる。たとえば、電子の波束が最初はオングストロームの領域、すなわち に局在していた場合、波束の幅はおよそ で倍になる。明らかに、粒子の波束は自由空間を非常に早く広がっていく。たとえば 後では、幅は 程度に増加する。
波束と不確定性原理.
量子論では位置 と運動量 は非可換であるため、両者に対する同時固有状態が存在しない。この非可換性により不確定性原理 が成り立つため、各標準偏差を とすることはできない。しかし、不確定性原理の許す限り と のどちらも小さい状態が存在し、その波動関数は波束で表される。古典的なスケールでの測定を考えると、波束状態に対する は非常に小さいため、現実的には測定誤差に埋もれて不確定性は見えなくなる。結果として、測定対象は古典的な粒子のように見える。逆に古典的な粒子のように振る舞う状態は、波束状態だと考えることができる。
最小波束状態.
 でのフーリエ変換も、波数ベクトル についてのガウス関数となっている。
このガウス波束の幅は、 の逆数であり、
よって不確定性関係において等号が成立している。
波束の幅が運動とともに線形的に広がっていくことは、運動量の不確定性を反映している。波束が ほどの狭い範囲に制限されていると、運動量は ほどの不確定性を持つ。波束は の速度で広がり、時間 で ほど進む。不確定性関係は等号から大きく外れ、最初の不確定性 は、 が大きくなると 倍に増加する。
概要.
帯キャッチコピーは「海青し前田飛び込む夏の音」。
収録曲.
（全作詞:前田亘輝/作曲:春畑道哉/編曲:TUBE）
確率密度
沼上トンネル
金谷成格
概要.