たとえば、次の関数で表わされるような信号を、超函数を用いて関数全体を周波数ドメインに変換することなく、時間によって周波数が変化する信号として表現することができる。
このような表現が得られれば、時間周波数解析的な手法を重ねて適用することにより、ノイズや干渉した信号の分離など、信号から情報を得るためのさまざまな処理を行うことが可能となる。
時間周波数分布関数.
定式化.
有効な時間周波数分布を定式化する方法として有名なものを以下に挙げる。
理想的時間周波数分布関数.
時間周波数分布関数は、理想的には以下のような性質を持つ。
信号解析をうまく行うためには、適切な時間周波数分布関数を選ぶことが重要である。どの時間周波数分布関数を使うべきかはどのような用途を考えているかに依存する。ウィグナー分布関数は、その定式化に自己相関関数を含むため、分解能は高いが交叉項が問題を起こす場合がある。そのため、単項信号を解析したい場合にはウィグナー分布関数が最適のアプローチとなる。信号が複数の成分から成る場合には、ガボール変換やガボール・ウィグナー分布関数、修正ベータ分布関数などの別のアプローチを選んだ方がよい。
例として、非局所的フーリエ解析による振幅からは次の二つの信号を区別することができない。
時間周波数解析によれば、これらの信号は区別することが可能である。
用途.
瞬時周波数推定.
とは位相の時間変化率であり、定義式は以下のように書ける。
時間周波数フィルタリングおよび信号分解.
フィルターの目的は信号の望ましくない成分を除去することにある。次に示すように時間ドメインおよび周波数ドメインにフィルターを別々に適用することは従来から行われてきた。
このようなフィルタリング手法は時間ドメインおよび周波数ドメインで重なり合う信号に対してはうまくいかない。時間周波数分布関数を用いることにより、ユークリッド的時間周波数ドメインについて、もしくは分数次フーリエ変換により分数次ドメインについてフィルタを適用することができる。以下に例を示す。
時間周波数解析におけるフィルタの設計は常に複数成分からなる複数の信号を扱うことになる。したがって、交叉項のあるウィグナー関数を用いることはできず、ガボール変換、ガボール・ウィグナー分布関数もしくはCohenクラス分布関数などを使うことができる。
標本化定理.