を得る。最初の数項を書き下せば
とやり、指数関数のテイラー展開により
となる。
鞍点法による導出.
という近似が許され、ガウス積分により
であり
であるから
を得る。これは
収束の速度と誤差見積もり.
より正確に記すと、次のようになる。
ここで
スターリングの公式は以下の級数（スターリング級数）の近似（初項で打ち切ったもの）である。
以下のような階乗の対数の漸近展開も「スターリング級数」と呼ぶ。
この場合、誤差は打ち切った級数の初項と同じ符号で同程度の大きさであることが知られている。
ガンマ関数に対するスターリングの公式.
すべての正の整数に対して、
が成り立つ。ここで Γ はガンマ関数を表す。
が成り立つ。
部分積分を繰り返すことで次が得られる
ビネーの公式.
スターリングの公式は収束しない級数を伴うので解析的に扱いづらいが、収束しない級数を収束する積分に換えたものとしてビネーの(第二)公式がある。
ビネーの公式は、スターリングの級数を形式的に(収束条件を無視して)操作することによっても導かれるが、厳密には対数ガンマ関数の導関数にアベル・プラナの和公式を適用して得られる。
積分して
である。
スターリングの公式と比較して積分定数を求め
真数に直して
を得る。なお、ビネーの公式を元にして部分積分を繰り返すとスターリングの級数が得られる。
収束級数形式のスターリングの公式.
スターリングの公式の収束級数形式を得るには以下を評価する。
ここで
である。以上から次のようなスターリング級数が得られる。
計算機向けの変形.
ガンマ関数の（関数電卓などの）計算機向けの近似として次の式がある。
これは、次と同等である。
これは、次と同等である。
歴史.
OPERATION LOVE
深沙神
人物像.
『トランスフォーマーテレフォン』によれば、コンボイの命により、セイバートロン星から地球にやって来たとされる。
地球人とも親しみやすいため、ダニエルとウィーリーによって極秘に誕生日パーティの計画が進められる（ウルトラマグナスの誕生日に関する記録が失われた上に、ウルトラマグナス自身が自分の誕生日を忘れていたためうやむやになってしまったが）など、かなり慕われている。