固有関数とは、上述の作用素の出力が入力された関数に何らかのスケーリングを施した同じ関数になるときの入力された関数をいう。数式で表すと次の通り。
畳み込みの交換律から、これを次のように変形できる。
ここで
フーリエ変換とラプラス変換.
これらの変換は畳み込み属性があるため、システムの出力を与える畳み込みを畳み込み定理によって個別に変換したあとに積を求める形に変換できる。
例.
導関数がこのような単純なラプラス変換の形式となることは、変換の有効性の証でもある。
これは、積分が線型性をもつため、線型である。
また、時不変でもある。
重要なシステム属性.
システムについて最も重要な属性として、因果性と安定性がある。実世界でシステムを利用する場合、因果性は多かれ少なかれ必要である。非安定的なシステムも構築でき、様々な状況で有効である。
因果性.
安定性.
出力が次を満足する。
離散時間システム.
連続時間システムから離散時間システムへ.
多くの場合、離散時間 (DT) システムはより大きな連続時間 (CT) システムの一部となっている。例えば、デジタル録音システムはアナログの音響を入力とし、それをデジタイズして、必要に応じてデジタル信号を処理し、最終的に再生して人間が聴くためにアナログに戻してやる。
時間不変性と線型写像.
ここで、次のように設定する。
すると、次のようになる。
従って、この畳み込み総和は任意の入力関数についての線型時不変系の作用を表している。有限次元のアナログについては、巡回行列を参照されたい。
インパルス応答.
これにはデルタ関数のシフト属性を利用している。なお、ここで次が成り立つ。
固有関数としての指数関数.
固有関数とは、上述の作用素の出力が入力された関数に何らかのスケーリングを施した同じ関数になるときの入力された関数をいう。数式で表すと次の通り。
畳み込みの交換律から、これを次のように変形できる。
ここで
これらの変換は畳み込み属性があるため、システムの出力を与える畳み込みを畳み込み定理によって個別に変換したあとに積を求める形に変換できる。
例.
これは、総和が線型性をもつため、線型である。
また、時不変でもある。
重要なシステム属性.
因果性.
安定性.
出力が次を満足する。
二次元安定性.