また、集合が全測度であるとは、その に関する補集合が零集合であることをいう。集合が、その全測度部分集合の各点で決まった性質を満たすとき、つまりある性質が適当な零集合を除いて成立するとき、その性質はその集合の殆ど至る所成立すると言う。
ダニエル積分の定義.
基本函数として選んだ函数族 をもとに、より大きな函数のクラス を定める。これは積分 全体の成す集合が有界となるような、殆ど至る所非増大な基本函数の列 の極限として得られる函数全体の成す族である。 に属する函数 の積分 を、
で定めるとき、この積分が矛盾無く定義されていることが示せる。すなわち、これは に収斂する基本函数列 の取り方に依らない。
しかし、函数のクラス は一般に、点ごとの減法と負の数によるスカラー乗法に関して閉じていないので、これをさらに広い函数のクラス へ拡張する。これは、 の適当な函数 に対して適当な全測度集合上で差 として表されるような函数 全体の成す族である。 における函数 の積分 を
で定めると、やはりこれも矛盾無く定義される。すなわち は の への分解の仕方に依らない。これでダニエル積分が洩れなく構成された。
性質.
ダニエル積分の測度.
集合と写像の間の自然な対応により、ダニエル積分から測度論を構成することが可能である。すなわち、ある集合の 指示函数 をとったとき、その積分値 をその集合 の測度 と定めるのである。このダニエル積分を基にして定義される測度が、古典的なルベーグ測度と同値であることが証明できる。
旧来の定式化に対する優位性.
この方法で構成される一般の積分は、特に函数解析学の分野において旧来のルベーグ式の積分に対するいくつか優位な点を持つ。既に述べたように、基本函数として有限個の値をとる通常の階段函数をとって得られるダニエル積分の構成は、ルベーグ積分の構成と同値である。しかしながら、積分をより複雑な函数に対してまで拡張するとき（例えば、線型汎函数の積分を定義しようとしたとき）、ルベーグの構成を用いる際に生じる困難を、ダニエル積分の方法は緩和することができる。
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