著者によっては関数 の臨界点をグラフがいずれかの軸に平行な射影に対する臨界点をもつような 値と定義する。上の円の上半分の例では、この拡大された定義での臨界点は である。そのような定義は、関数のグラフの他の曲線の定義の前に臨界点が定義され、多変数の関数が考えられていない（拡大した定義はこの場合に拡張しない）とき、初歩的な教科書にのみ通常現れる。
臨界点の位置.
により、複素平面における多項式関数の臨界点はすべて関数の根の凸包内にある。したがって実根しかない多項式関数に対して、すべての臨界点は実であり、最大の根と最小の根の間にある。
陰曲線の臨界点.
臨界点は陰方程式によって定義された平面曲線の研究において、とくにそれらのと位相の決定に対して、重要な役割を果たす。この節で用いられる臨界点の概念は、前の節のそれとは異なって見えるかもしれない。実はそれは以下で与えられる臨界点の一般の概念の単純な場合への特殊化である。
の解であるときである。これはこの定義が以下で与えられる臨界点の一般の定義の特別な場合であることを意味している。
 に対する臨界点の定義は同様である。 が関数 のグラフならば、 が に対して臨界であることと が の臨界点であることは同値であり、臨界値は同じであることに注意すべきである。
著者によっては の臨界点を、 かまたは に対して臨界である点として定義するが、それは だけでなく座標軸の取り方にも依存する。特異点を臨界点と考えるかどうかも著者による。実際特異点は
を満たす点であり、したがって臨界点を特徴づける方程式系の解である。このより一般の定義で、 に対する臨界点はちょうど陰関数定理が適用できない点である。
判別式の使用.
曲線 が代数的であるとき、すなわち二変数多項式 によって定義されているとき、判別式は臨界点の計算に有用な道具である。
ここで射影 のみを考える。 と を交換することで に同様の結果が成り立つ。
 を を係数が の多項式である の多項式と見たときの判別式とする。したがってこの判別式は の多項式でその根に沿って の臨界値を持つ。
多変数.