有名な数学的事実であるところの、円周率 が より小さいことの証明（えんしゅうりつが ぶんの よりちいさいことのしょうめい）は、古代ギリシアのアルキメデスに始まり、何通りも与えられている。本項では、そのうちの一つで、微分積分学の初等的なテクニックのみを用いる、近年に発見された証明を扱う。この証明は、その数学的な美およびディオファントス近似の理論との関係によって、現代数学においても注目されてきた。スティーヴン・ルーカスは、これを「 の近似に関する最も美しい結果の一つ」と呼び、ジュリアン・ハヴィルは、円周率の連分数近似の議論を終える際に「この結果に言及せざるを得ない」と述べた上で証明を示している。
もし円周率が に近いことを知っていれば、（ に近い）よりも小さいことは自明である。しかし、 を示すのは、 が に近いことを示すよりもずっと手間は小さい。この証明の評価方法は一般化され、円周率の値を計算する系統的な方法になっている。
背景.
 は、 の正則な連分数展開から得られる近似値の一つであり、また、表現が簡潔であることから の近似値として広く用いられている。 が よりも大きいことは、これらの値の十進法での小数展開
より分かる。
より精密な の近似値に、 がある。これも の連分数展開から得られる近似値であって、円周率よりわずかに大きい。
証明.
証明の概略は非常に簡潔に述べられる。
より、 は よりも小さい。
パトナムの競技会の他のほとんどの問題は、この問題よりも難しい。しかし、この競技会は、直接にはあまり知られていなくとも、実は非常によく知られたことに言及していると判明する問題を、しばしば呼び物にしている。この積分は、インド工科大学の入試問題に用いられたこともある。
積分の評価の詳細.
被積分関数の分母と分子が共に非負であることから、この積分の値が正であることは直ちに分かる。よって、あとはこの積分の値を、有理関数の標準的な積分の手順に従って求めればよい。
直ちに得られる円周率の評価.
であり、これより円周率 の評価として
より良い評価.
 のより良い上限としてよく知られた は、
として与えられる。この値は十進小数で表すと
一般化.
が成り立ち、第二の積分は