を小さい圏とし（すなわち対象たちや射たちは真クラスではなく集合をなす）、 を任意の圏とする。 から への関手全体のなす圏は、, , , などと書かれ、対象として から への共変関手を持ち、射としてそのような関手の間の自然変換を持つ。自然変換は合成できることに注意： が関手 から関手 への自然変換で、 が関手 から関手 への自然変換であるとき、集まり は から への自然変換を定義する。自然変換のこの合成（垂直合成と呼ばれる；自然変換を参照）によって、 は圏の公理を満たす。
 と がともに前加法圏（すなわち射の集合がアーベル群であり、射の合成が双線型）であれば、 から への加法的関手全体のなす圏を考えることができ、 と書かれる。
事実.
結果として、関手圏 は のほとんどの「よい」性質を共有するという一般的 がある：
また次も成り立つ：
先に述べた圏 の関手圏への埋め込みは主な道具として米田の補題を用いる。 の任意の対象 に対して、 を から への反変表現可能関手とする。米田の補題は割り当て
が圏 の圏 への充満埋め込みであると言っている。したがって は自然にトポスの中にいる。
同じことは任意の前加法圏 に対して実行できる：すると米田は の関手圏 への充満埋め込みを生む。したがって は自然にアーベル圏の中にいる。
上でのべた直感（ で実行できる構成は に「持ち上げる」ことができること）はいくつかの方法で正確にできる；もっとも簡潔な定式化は随伴関手のことばを用いる。すべての関手 は（ との合成により）関手 を誘導する。 と が随伴関手の対であるとき、 と もまた随伴関手の対である。
指標理論
応用.
定義.
 を体 上の有限次元ベクトル空間とし、 を群 の 上の表現とする。 の指標 (character) とは関数
である、ただし はトレースである。
であり、これはちょうど表現 の核である。
性質.
算術的性質.
 と を の表現とする。このとき以下の等式が成り立つ：
広義固有ベクトル
線型代数学において， 行列 の広義（あるいは一般）固有ベクトル（こうぎこゆうベクトル，いっぱんこゆうベクトル，）は，（通常の）固有ベクトルの定義を緩めたある条件を満たすベクトルである．