有限次元のベクトル空間の場合、自己共役作用素の固有値分解を行うと、ベクトル空間上の任意のベクトルは、固有ベクトルの線形和として書き表す事ができる事が知られている。この性質を満たす時、自己共役作用素は固有ベクトルの完全系を持つというが、一般化固有ベクトルの場合も類似した完全系の概念を考える事ができる。
実数に対し、一般化固有値に属する一般化固有ベクトル全体の集合(すなわちの（一般化）固有空間)
のへの制限写像
はの双対空間の元である：
を対応させる写像
具体例.
運動量作用素.
運動量作用素
となる。よって
は、
は自然に
位置作用素.
位置作用素
を満たすので、
デルタ関数の定数倍
は、
は自然に
スペクトル定理.
である。さらに以下が成立する：
時間発展.
本節では、ポテンシャルが時間に依存しない場合に対する系の時間発展について述べる。
シュレディンガー方程式.
ここで微分は強微分の意味で考える。すなわち
が有界作用素の場合のシュレディンガー方程式の解.
が有界作用素であれば、シュレディンガー方程式を以下のように解くことができる。まず
と定義する。これを形式的に微分すると、
となり、シュレディンガー方程式を満たす事になる。詳細は省略するが、この形式的な議論は数学的にも正当化可能である。
しかしが有界作用素ではない場合はテイラー展開
作用素解析.
を定義できる。
ストーンの定理.
作用素解析により、
が成立する。
一般の場合のシュレディンガー方程式の解.
とすると次が成立する：
実際、前節で述べた事と強微分の定義から、
が成立する。さらに作用素解析の定義より、
である。最後の等号は作用素値積分の定義より従う。よって
となり、はシュレディンガー方程式の解となる。
ハイゼンベルク描像.
これまで我々はいわゆるシュレディンガー描像で時間発展を記述してきた。すなわち任意のオブザーバブルは時間に関して不変であり、状態ベクトルの方が
により
と時間発展するとみなしてきた。一方同じ時間発展をハイゼンベルク描像で記述することも可能である。この場合状態ベクトルは時間に対して不変であり、オブザーバブルの方が
と時間発展するとみなせる。
ハイゼンベルクの運動方程式.
を満たすものとし、
を取り、
が成立する事が示せる新井。ここで上式左辺の時間微分は強微分である新井。
ネーターの定理.