と定義すると、以下が成立することが知られている新井：
ここではを乗じる掛け算作用素である。よって特に運動量作用素
（の閉包作用素）は以下を満たす：
倍する掛け算作用素は位置作用素であったことから、上式は換算プランク定数を除いて位置作用素と運動量作用素が移り合うことを意味する。
スペクトル.
スペクトルとは、有限次元における固有値・固有ベクトルの理論の「無限次元版」であり、量子力学では物理量を観測する時に得られる値の集合となる。本節の目標は、ヒルベルト空間上定義された自己共役作用素のスペクトルの概略を述べる。
有限次元における固有値.
が存在し、逆にが存在すればはの固有値ではない。
しかし無限次元の場合には
が存在するため、このような単純な関係は存在しない。スペクトル理論は、上述のような作用素の存在を考慮した上で、固有値・固有ベクトルの理論を適切に「無限次元化」したものである。
スペクトルの定義.
次の事実が知られている：
点スペクトル.
スペクトルの定義より、がに属する場合、は全単射でない。すなわちは「全射でない」かもしくは「単射でない」事を意味する。
がの元であれば明らかに
であるので、
剰余スペクトル、連続スペクトル.
以上で定義した概念をまとめると次のようになる。
自己共役作用素のスペクトル.
以上をまとめると、以下が成立する。
スペクトル分解と観測.
スペクトル分解とは、有限次元ベクトル空間における線形作用素の固有値分解を無限次元に拡張したものであるが、単純に有限次元の固有値分解を無限次元に拡張することはできない。これは無限次元の場合、有限次元と違って連続スペクトルが存在し、連続スペクトルには点スペクトル（＝固有値）と違い、対応する固有ベクトルが存在しないことに起因する。
直積分によるスペクトル分解.
である。
直積分の定義.
直積分の概念を定式化するため、「切断」の概念を導入する：
により定義することができる。
可測性の定義.
スペクトル分解.
以上の準備のもと、直積分によるスペクトル分解を定式化する：
により定義すると、写像
は
スペクトル測度によるスペクトル分解.