ここで は の集合 への制限である。局所可積分函数の古典的な定義は測度論的および位相空間論的な概念のみを含むものであり、ある位相的な測度空間 上の複素数値函数へと抽象的に拡張されるものであった。しかし、そのような函数の最も基本的な応用はユークリッド空間上の超函数に対するものであったので、以下の定義および節ではその重要な場合について明らかな形で扱う。
代替的な定義.
. をユークリッド空間 内のある開集合とする。このとき、各テスト函数 に対して
を満たす函数 は、局所可積分と呼ばれる。またそのような函数の集合は と記述される。ここで は、 に含まれるコンパクトな台を持つすべての無限回微分可能な函数 の集合を表す。
この定義の由来は、ニコラ・ブルバキとその学派によって発展された、ある位相ベクトル空間上の連続線型汎函数の概念に基づく測度と積分の理論にある。またこの定義は、 や によって用いられた。この「超函数理論的な」定義は、前述の通常の定義と同値である。実際、次の補題が成立する。
記法.
性質.
 は完備距離化可能空間である。すなわち、その位相は次の計量によって生成される：
ここで は、次の性質を満たす空でない開集合の族である。
参考文献 、 、 および において、この定理は述べられているが形式的な証明は与えられていない。より一般の結果に対する完全な証明は、 に見られる。
証明 の場合は自明であるので省略し、以下では を仮定して証明を続ける。 のあるコンパクトな部分集合 に対し、その特性函数 を考える。このとき、 に対して
が成立する。ただし
このときヘルダーの不等式より、積 は可積分である。すなわち、 に属すとともに、次を満たす。
したがって
である。ここで、不等式
, 内のすべての函数 は局所可積分である。すなわち、 に属する。
函数 が絶対連続測度の密度函数であるための必要十分条件は、 であることである。
この結果の証明は に見られる。内容を解釈し直すと、この定理ではすべての局所可積分函数はある絶対連続測度を定義し、逆にすべての絶対連続測度はある局所可積分函数を定義することが主張されている。これはまた、抽象的測度論の枠組みにおいて、 の学術論文で与えられた重要なラドン＝ニコディムの定理として現れる。
応用.