ヴィクトリア朝前期から中期にかけて保守党、ピール派、自由党と党派を移しながら閣僚職を歴任した。
経歴.
家族.
中央研究院天文及天文物理研究所
歴史.
現況.
いまいち萌えないラジオ
派生番組.
経歴.
語源.
形成.
生物相.
世界遺産.
登録名.
脅威.
あんどうなつ
あんどうなつ、あんドーナツ、あんどーなつ、安藤なつ、杏堂なつ
サンデー・ウェストゲート
ラドン＝ニコディムの定理
この函数 はラドン＝ニコディム微分と呼ばれ、 と表記される。
ラドン＝ニコディム微分.
応用.
さらなる応用.
情報ダイバージェンス.
 および は 上の測度で、 が成り立つものとする。
ラドン＝ニコディムの定理が成立するものと仮定する。すなわち、ある可測函数 に対して
がすべてのボレル集合について成立するものとする。 を単集合 } とし、上述の等式を使うことで
がすべての実数 に対して成り立つ。このことは函数 およびルベーグ測度 がゼロであることを意味し、矛盾である。
証明.
この節では、ラドン＝ニコディムの定理の測度論的な証明を紹介する。ヒルベルト空間の手法を使った函数解析的な証明も、ジョン・フォン・ノイマンによって与えられている。
有限測度の場合.
はじめに と のいずれも有限値の非負測度である場合を考える。 を、次の関係式を満たすようなそれらの可測函数 の集合とする：
少なくともゼロ函数を含むため である。今 とし、 を任意の可測集合とし、次を定義する：
このとき、
が成り立ち、したがって となる。
今 を、次を満たす 内の函数列とする。
 をはじめの 個の函数の最大で置き直すことで、 は増加列であると仮定することが出来る。 を次で定義される函数とする。
ルベーグの単調収束定理より、各 に対して
が成り立ち、したがって となる。また、 の構成法より
となる。 であるため、
が成立することに注意されたい。また であることに注意されたい。実際、もし であるなら、（ は に関して絶対連続であるため） であり、したがって および
が成り立つが、これは に矛盾する。
したがって
が成り立つことから、 となり、
が満たされる。しかしこれは矛盾であるため、元の仮定 が偽ということになる。したがって、目標としていた が得られる。
のように定めれば、 は目標としていた性質を満たすものとなる。