二階導函数がこのような結果をもたらす理由は、現実世界の例で説明できる。ある車両が、最初は大きな速度で、しかし負の加速度を伴って前進しているとする。速度がゼロになった地点での車両の位置は、明らかに出発地点からの距離が極大となる。この時点を過ぎると、速度は負となり、車両は逆走する。極小の場合も同様で、最初は負の速度だが正の加速度を持つ車両がある。
極限.
以下のように、極限を用いて二階導函数を表記できる。
この極限は二階対称導函数と呼ばれる。たとえ（通常の）二階導函数が存在しないときでも二階対称導函数が存在しうることに注意。
式の右辺は差分商の差分商として次のように表記可能である。
この極限は、数列の二階差分の連続版と見なすことができる。
二次近似.
一階導函数が線型近似と関連しているように、二階導函数は函数 に対する最良の二次近似と関連している。これは、ある点での一階導函数と二階導函数が のそれと一致する二次函数である。点 付近の函数 の最良の二次近似の公式は次の通りである。
この二次近似は における函数の二次までのテイラー級数である。
二次導函数の固有値と固有ベクトル.
その他の著名な例については、 を参照せよ。
高次元への一般化.
ヘッセ行列.
および混合導函数
を含む。
函数の像と定義域の両方がポテンシャルを持つ場合、これらはヘッセ行列と呼ばれる対称行列に当てはまる。この行列の固有値は、二次導函数判定の多変量アナログを実装するために使用できる。（ を参照せよ。）
ラプラシアン.
函数のラプラシアンは、勾配の発散とヘッセ行列の跡に等しい。
大柳館
大柳館（おおやぎやかた、だいりゅうかん）は、千葉県長生郡睦沢町北山田にあった日本の城。
概要.
秀胤には美人のいいなずけがおり、死後もいいなずけに会いたくて閻魔王のところへ行ったところ、「この御札を授けるので、それに符合する札を持つものが尋ねるいいなずけである」といわれ、早速地獄に行って探し当てたという伝説がある。
宝治合戦の後、大柳館は廃城となっている。
構造.
北山田の台地下に「史跡大柳館址」の標柱があり、そこから道を上がると三之宮神社がある。その周辺に土塁などの遺構が残る。