の形の微分作用素を考えた。最も良く見かける微分作用素のひとつに、
で定義されるラプラス作用素がある。他の微分作用素として、オイラー作用素 は
で定義される。この作用素の固有函数は の単項式
により与えられる。一変数と同様に、 の固有空間は、斉次多項式全体の成す空間である。
よくある数学の記法に従えば、微分作用素の引数は作用素自身の右側に書くのが通常であるが、別の記法を用いることもある。作用素を作用素の左側にある函数、作用素の右側にある函数に施した結果や、両側に施した結果の差を、以下のような矢印で記す:
そのような、双方向の矢印記法は、量子力学のを記述することによく使われる。
で定義される。∇ は様々な対象の勾配、回転、発散およびラプラシアンの計算に使われる。
随伴作用素.
与えられた線型微分作用素
に対し、その随伴作用素とは
を満たす作用素 を言う。ここに、記号 はスカラー積または内積である。つまり、この定義はスカラー積の定義のしかたに依存する。
一変数の形式随伴.
自乗可積分函数全体の成す函数空間において、標準的なスカラー積が
で定義される。ここに 上の横棒は、 の複素共役を表している。さらに または が および において消えているという条件を加えれば、 の随伴を
により定義することができる。この定義式は上記のスカラー積の定義に陽に依存していない。それゆえに、これを随伴作用素の定義として採用することもある。この定義式に従って定義された は の形式随伴と呼ばれる。
（形式）自己随伴作用素とは、自身の（形式）随伴作用素に等しい作用素を言う。
多変数の随伴作用素.
例.
この性質は、上の形式随伴の定義を使い証明することができる。
微分作用素の性質.
微分演算 はである。すなわち、
函数係数の を変数とする任意の多項式も、微分作用素である。また、微分作用素の合成は
という規則に基づいて扱うことができるが、いくつかの注意が必要である。まず、作用素 に関する任意の函数係数は、 を適用するのに必要なだけの何倍も微分可能でなければならないことである。そのような（函数係数の）作用素の環を得るには、全ての係数の任意階数の導函数を用いることを仮定せねばならない。第二に、この環は可換にはならないことである。作用素 は一般には に等しくない。事実として、量子力学の基本的な関係式