の右正則表現の空間と見立てて既約表現への分解を考えることが多い。もともとのセルバーグの論文ではラプラシアンの固有空間への分解を考えていた。より荒く連続スペクトラムと離散スペクトラムへの分解でもよい。
次に幾何サイドと呼ばれる方の計算をする。行列の例えでいうとこれは対角成分の和の方である。まず
の定義から簡単な計算により
がわかる。よって
は積分核
によって定義される積分作用素である。積分核によって定義される作用素の跡は、核関数の対角集合に沿っての積分と等しくなることが知られている。つまり
が成り立つ。右辺の を に戻して計算を進めると
が成り立つことがわかる。ここで
は
の共役類の代表元全体の集合、
と
はそれぞれ
および
における
の中心化群である。これが幾何サイドと呼ばれる方の計算結果である。
以上の
の跡の二通りの計算から
が成り立つことがわかった。これがセルバーグの跡公式である。もちろん、以上の議論は跡の存在や無限和の収束について何も仮定を置いていない形式的なものなので、これだけでは何も証明できていない。実際に成立する等式を得るためには状況に応じて適切な前提を置き厳密な議論を行わねばならない。
ポアソンの和公式.
簡単な場合として
の場合を考える。この場合、
、
などに注意すれば幾何サイドは
と計算できる。スペクトル・サイドを計算するために
という分解をとる。簡単に分かるように
は
の不変部分空間になっており、この空間での
の跡は
である。ここで
は
のフーリエ変換である。したがってスペクトル・サイドは
となるので、この場合の跡公式は
となる。この等式は実際に
が急減少関数であるときなどに成立し、ポアソン和公式と呼ばれている。これから、セルバーグの跡公式とはポアソンの和公式の非可換な位相群への一般化であるとも言える。
余コンパクトな場合.
がコンパクトな場合、
は既約部分空間の直和に分解し、各既約表現の重複度は有限であることが知られている。記号で書くと
となる。ここで
は既約ユニタリ表現のユニタリ同値類である。
この分解を使ってスペクトル・サイドを計算すると、セルバーグの跡公式は
となる。右辺の
は
である。
非コンパクトな場合.
が非コンパクトな場合、たとえば
で
の場合、
がコンパクト台であっても