このときの昌邑王は劉賀であったが、狩猟を好むなど行動が好ましくなかったので、王吉は遊興を慎むよう諫言した。昌邑王劉賀は王吉を称揚したが、行いは改まらなかった。王を諌める姿に昌邑国の人間はみな王吉を尊敬した。
元帝が即位すると、使者を遣わして貢禹と王吉を徴用したが、王吉は老身であったため、道中で病死した。元帝はそれを悼み、使者を派遣して弔わせた。
子に王駿がいる。王駿はのちに御史大夫になった。
宮脇理恵子
多項式環
数学、殊に抽象代数学における多項式環（たこうしきかん、）は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。多項式環はヒルベルトの基底定理や分解体の構成、線型作用素の理解など数学のかなり広い分野に影響をもつ概念である。セール予想のような多くの重要な予想が、他の環の研究に影響をもち群環や形式冪級数環のようなほかの環の定義にさえ影響を及ぼしている。
体上の一変数多項式環.
定義.
体 に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、 で表して、 上の多項式環 と呼ぶ。記号 は普通「変数」と呼び、もうすこし一般の多変数の多項式環と区別するためにここでの多項式環を 上一変数の多項式環と呼ぶ。この語法は、重要な場合である実係数あるいは複素係数の多項式を実または複素「多項式函数」と見なすことからの示唆である。しかしながら、一般には不定元 およびその冪 は形式的な記号として扱われ、体 の元としては扱われない. 多項式環 を に の外側にあって の任意の元と可換な新しい元 を付け加えて得られるものと考えることができる。 が環を成すためには、 の任意の冪を含まなければならず、このことが多項式を の冪の に係数を持つ線型結合としての定義に繋がる。
もっと一般に、体 を任意の可換環 に取り替えて、可換環 上の多項式環 を考えることができるが後述。
環 の性質.
は整域である.
多項式環の第一の性質は基本的で、二つの零でない多項式の積は零ではないというものである。実際、 で始まる次数 の多項式 と で始まる次数 の多項式との積 は で始まる。ここで係数は であるから、積 は次数 の零でない多項式である。ような可換環は整域であると言われる。すなわち、多項式環 は整域である。
の因数分解.