ここでの深遠という言葉の対義語として自明を使用する。自明な方法は、他の既知の結果から明白あるいは簡単な方法で演繹できるような結果であるかも知れないし、空集合のように特定の対象の特定の集合にだけ適用できるものかも知れない。しかしながらしばしば、定理の記述の文章は、その証明がかなり明白であっても深い洞察をするのに十分に独自的であるかも知れない。
イギリスの数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディは彼の随筆である『ある数学者の生涯と弁明』で、数学的な美は驚愕の一要素から生じると示唆している。それに対してアメリカの数学者・哲学者であるジャン＝カルロ・ロタ () は同意せず、次のような反例を提示している。
この反対意見は数学的な美しさの主観的な要素とその数学的な結論の関連性の両方、すなわちこの場合はエキゾチック球面の存在性のみではなくそれらの具体的な実現手段をも表現している。
経験の美.
数と記号の操作から生じるある種の歓喜は、あらゆる数学の研究のために必要なものである。科学哲学でそうであったように、科学や工学に数学が道具として与えられると、他に例がなくとも技術化社会は美学を積極的に培うだろう。
大半の数学者での数学的な美の顕著な経験は、能動的な数学の研究活動からもたらされる。受動的な方法で数学の喜びを楽しむことは大変に難しく、特に数学では、見物人、視聴者、傍観者の立場ではそのような経験をすることはないだろうとされている。バートランド・ラッセルはこのことを数学の厳しい美と称している。
美からの再発見.
数学的な美は、その美という結果のみで評することはできない。数学的な美を追求することは新たなる事実の発見の切っ掛けとなることは珍しいことではない。物理学者ポール・ディラックは科学者のとるべき行動についてこう述べている。
つまり、このような二者択一を迫られたときには数学的な美を持つ理論を選択せよ、さすればそれは神が創造した真理に近づき、新たな真理の発見に繋がる、という訓示である。
美と哲学.