特異ホモロジー
なお「特異」という言葉はσが必ずしも良い埋め込みである必要が無いが、その像がもはや単体には見えないという”特異性”を強調する意味合いで使われている。
特異単体.
特異チェイン複体.
特異ホモロジーの通常の構成は次のように進行する。単体の形式和を定義する。これは自由アーベル群の元として理解できる。そしてある種の群、位相空間のホモロジー群を、バウンダリ作用素を含めて、定義できることを示す。
ホモトピー不変性.
である。これはホモロジー群が位相的不変量であることを意味する。
次のことが直ちにわかる。
関手性.
に
であることを示している。
次に、代数的な部分はホモロジー関手
でこれは
で写しチェイン写像をアーベル群の写像に写す。公理的に定義されるのはこのホモロジー関手であり、それはそれ自身にチェイン複体の圏上の関手として基づいている。
相対ホモロジー.
ただしチェイン複体の商は短完全列
によって与えられる。
コホモロジー.
コホモロジー群はより豊富な、あるいは少なくともよりよく知られた、代数的構造をホモロジー群よりももつ。まず、それらは以下のように次数付き微分代数をなす。
ベッチホモロジーとコホモロジー.
分離拡大
分離拡大の重要性は正標数のガロワ理論においてそれらが果たす基本的な役割にある。より具体的には、有限次体拡大がガロワ拡大であることと正規拡大かつ分離拡大であることが同値である。標数 の体や有限体の代数拡大は分離的だから、ガロワ理論のたいていの応用において分離性は障害ではない。例えば、有理数体のすべての代数拡大（特に有限次拡大）は分離的である。
数学において分離拡大はあらゆるところで現れるが、その対極である純非分離拡大もまたきわめて自然に現れる。代数拡大 が純非分離拡大であることと、すべての に対して の 上の最小多項式が分離多項式でない（つまり相異なる根をもたない）ことが同値である。体 が非自明な純非分離拡大をもつためには、素数標数の無限体（すなわち例えば不完全）であることが必要である、なぜならば完全体の任意の代数拡大は分離的だからだ。
インフォーマルな議論.
分離・非分離多項式.
代数拡大における分離拡大.
分離非代数拡大体の定義.