任意の順序数 に対して を定義するために、を定義する必要がある。これは任意の濃度 に対して次に大きい整列された濃度 を割り当てる（選択公理が成り立てば、これは次に大きい濃度である）。
するとアレフ数を次のように定義できる。
そして無限極限順序数 に対して、
 番目の無限始数は と書かれる。
その濃度は と書かれる。始順序数を参照。
アレフ関数の不動点.
任意の順序数 に対して
選択公理の役割.
任意の有限集合は整列可能であるが、その濃度はアレフ数ではなく、有限の自然数である。
同型定理
歴史.
群.
定理の付番と命名について.
定理のステートメント.
 と を群とし、 を群準同型とする。このとき
とくに、 が全射であれば、 は に同型である。
 を群とする。 を の部分群とし、 を の正規部分群とする。このとき
技術的には、 が の正規化群の部分群でありさえすれば のが正規部分群である必要はない。この場合、共通部分 は の正規部分群とは限らないが、 の正規部分群ではなおある。
 を群とする。 と を の正規部分群で とする。このとき
一部の文献では対応定理を三番目もしくは四番目の同型定理として紹介している。また別の文献ではを第四同型定理としている。
議論.
環.
環に対する定理のステートメントも同様であり、正規部分群の概念がイデアルの概念に取って代わる。
 と を環とし、 を環準同型とする。このとき
とくに、 が全射であれば、 は に同型である。
 を環とする。 を の部分環とし、 を のイデアルとする。このとき
 を環とする。 と を のイデアルで とする。このとき
加群.
 と を加群とし、 を準同型とする。このとき
とくに、 が全射であれば、 は に同型である。
 を加群とし、 と を の部分加群とする。このとき
 を加群とする。 と を の部分加群で とする。このとき
一般.
これを普遍代数学に一般化するために、正規部分群は合同で置き換えられる必要がある。
 を代数系の準同型とする。このとき の像は の部分代数系で、 で与えられる関係は 上の合同で、代数系 と は同型である。
代数系 と の部分代数系 と、 上の合同 が与えられ、 を の におけるトレースとし を と交わる同値類の集まりとする。
このとき
接束