はっきりした分野としての微分幾何学の出現は一般にカール・フリードリヒ・ガウスとベルンハルト・リーマンによるものとされている。リーマンはゲッティンゲン大学の有名な教授就任講演 で初めて多様体を記述した。彼は多様体のアイデアを与えられた対象を新しい方向に変える直観的な過程によって動機付け、続くフォーマルな発展において座標系とチャートの役割を先見の明を持って記述した：
定義.
変換関数にどれだけの微分可能性を要求するかに従って可微分多様体の異なるタイプがある。以下はいくつかの一般的な例である。
一方、複素多様体は著しい制限を受けている。例として、周の定理は任意の射影複素多様体は実は射影代数多様体であると述べている。代数的な構造を持っているのである。
アトラス.
である。
両立するアトラス.
別の定義.
擬群.
構造層.
局所環の層.
このアプローチの最後の利点は微分幾何と位相幾何の研究の基本的な対象の多くの自然な直接的記述ができることである。
微分可能な関数.
関数の微分.
可微分多様体上の関数の微分を定義する様々な方法があるが、最も基本的なのは方向微分である。方向微分の定義は多様体がベクトルを定義する適切なアフィン構造を欠いているという事実によって複雑である。したがって方向微分はベクトルの代わりに多様体内の曲線を見る。
方向微分.
接ベクトルと微分.
 での接ベクトルは なる微分可能曲線 を、曲線の間に定まる接する（一次の接触を持つ）という同値関係で割った、同値類である。したがってすべての座標チャート において
である。したがって同値類は において定められた速度ベクトルを持つような を通る曲線たちである。 におけるすべての接ベクトルの集まりはベクトル空間をなす。これが における の接空間 である。
再び、チェーンルールによってこれは同値類からの の選び方に依らないことが示せる、なぜならば において互いに一次の接触を持つ任意の曲線は同じ方向微分を生み出すからである。
関数 を固定すると、写像
多様体間の写像の微分可能性.
スカラーの多元環.
束.
接束.
余接束.
ベクトル空間の双対空間はベクトル空間上の実数値線型写像の集合である。ある点での余接空間はその点での接空間の双対であり、余接束はすべての余接空間の集まりである。