基本群はホモトピー不変量であるので、複素平面から一点を除いた空間の回転数の理論は、円（の基本群）と同じとなる。
関手性.
とも書かれる。この連続写像から群準同型への写像は、恒等写像および写像の結合と整合性を持っている。言い換えると、（この準同型は、）点付き空間の圏から群の圏への関手である。
と
ファイブレーション.
空間の積の一般化は、により与えられる。
普遍被覆空間.
例.
が成り立つ。
普遍被覆群が示唆しているように、位相群の基本群と群の中心とは類似関係にあり、このことはに詳しく記載されている。
単体複体の辺ループ群.
連結な単体複体 の辺道は、 の辺で繋がれた頂点の鎖として定義される。ふたつの辺道が辺同値とは、一方の辺道が他方の辺道から、その適当な辺を 内の三角形の二つの対辺で置き換える操作を連続的に行って得られるときに言う。 の固定した頂点 における辺ループとは、 を始点かつ終点とする辺道を言う。辺ループ群 は、 における辺ループの辺同値類全体の成す集合として定義され、積や逆元は辺ループの連接と逆転により定義される。
辺ループ群は の の基本群 に自然同型となる。辺ループの各同値類は、 の （つまり、 の頂点、辺、三角形）にしか依らないから、二つの群 と は同型である。
辺ループ群は生成元と基本関係を用いて陽に書き表せる。 が のにおける極大全域木ならば、 に現れない の有向辺道を生成元とし、 内の三角形に対応する辺同値を基本関係とする群に は自然同型になる。同様な結果は、 を の任意の単連結—特に可縮な—部分複体に取り換えても成立する。これはしばしば、基本群を計算する実用的な方法を与え、また、任意の有限表示群が有限単体複体の基本群として生じることを示すための利用できる。これは（その基本群によって分類される）位相的曲面に対して用いられる古典的方法のひとつでもある。
関連する概念.
特別な基点を持つループの集合は、ホモトピックなループを同値と考えずに研究される。この大きな対象は、である。
位相群では、つなぎ合わせではなく各点における積によって、ループの集合に別の群の積を割り当てることもできる。この群がである。
基本亜群.
ホモトピー群
導入.