代数曲線の各無限枝はその曲線の無限遠点（つまり、その射影完備化の点でアフィン部分に属さない点）に対応する。そして対応する漸近線はその無限遠点における曲線の接線である。接線に対する一般式を射影曲線に適用することはできるが、今の場合は陽には意味を成さない。
曲線の定義多項式の斉次成分への分解を （各 は次数 の単項式の和）と書けば、
および
である。この曲線の無限遠点は の の形の零点である。あるいは同じことだが、 が の零点である。代数学の基本定理によれば、代数閉体（典型的には複素数体）上では、 は一次式の積に分解される。各一次の因子は曲線の無限遠点を定義する（ をそのような因子とすれば、それは無限遠点 を定義する）。実数体上では、 は一次式と二次式からなる積に分解される。既約な二次の因子は非実無限遠点を定義し、一次の因子は実点を定義する。点 が曲線の無限遠点であることを、 は漸近方向であると言い表す。 と置くと、対応する漸近線の方程式は
となる。 かつ ならば漸近線は無限遠直線であり、実係数の場合には曲線は放物線のように見える枝を持つ。このことを曲線は「放物的な分枝を持つ」と言い表す。
ならば、曲線は無限遠に特異点を持ち、複数の漸近線を持ち得る。これらは特異点の接錐の計算法によって計算することができる。
特異点.
次数 の多項式 の定義する次数 の曲線の特異点の全体は、連立方程式
の解の全体である。標数 の場合、この方程式系は
に同値である。ただし、先の節の記号に従い である。これらの方程式系の同値性はオイラーの斉次函数定理による。後者の連立方程式では、三つ目の多項式の次数が ではなく である点で有利である。
同様に、次数 の斉次多項式 の定義する射影曲線に対し、その特異点は、連立方程式
のに関する意味での解である（正標数の場合には、方程式 も系に加える）。
特異点における接線の方程式は、その特異点における定義多項式のテイラー級数の次数最小の非零斉次成分によって与えられる。特異点を座標系の原点に取り直すとき、その特異点における接線の方程式は、従って定義多項式の次数最小の非零斉次成分で与えられ、この斉次成分の次数が特異点の重複度になる。