微分 形式は、 に引き戻すことにより、自然な方法で 単体上で積分できる。 線形性を使って拡張すると、鎖をまたいで積分できる。これにより、 形式の空間から特異な余鎖の 番目の群 、上の線形汎関数への線形写像が得られる。 言い換えれば、 形式 は 鎖上で
微分形式のレベルでは、これは
を意味する。
となる。この形式は一意で完全形式である。
滑らかな多様体上の一般化されたストークスの定理は、滑らかな多様体の鎖上のストークスの定理から導き出すことができ、その逆も可能である。正式に述べると、後者は次のように述べている。
根本原理.
位相幾何学的な議論を単純化するために、 次元の例を検討することによって根本的な原理を調べてみる。本質的な考え方は左の図で理解できる。この図は、多様体の向き付けられたタイリングで、内部経路が反対向きに横切っていることを示している。したがって、経路積分へのそれらの寄与はペアの経路ごとに互いに打ち消し合い、結果として境界からの寄与のみが残る。したがって、十分に細かいタイリング（また単体でも同様）に対するストークスの定理を証明するだけで十分である。これは通常は難しいことではない。
古典的なベクトル解析の例.
ラフな集合への一般化.
が成り立つことを証明した。
ラフな集合の測度論的性質の研究はにつながる。ストークスの定理のさらに一般的なバージョンがフェデラーとハリソンによって証明されている。
特別な場合.
微分形式を使用したストークスの定理の一般的な形式は、特殊な場合よりも強力で使いやすい。従来のバージョンは、微分幾何学の機構なしでデカルト座標を使用して定式化できるため、よりアクセスしやすい。さらに、それらはより古く、その結果、それらの名前はより親しみやすい。従来の形式は、実践的な科学者やエンジニアにはより便利であると見なされることがよくあるが、他の座標系（たとえば球座標や円筒座標などの使い慣れた座標系でさえ）を使用すると、従来の定式化の不自然さが明らかになる。名称の適用方法や二重の定式化の使用にも混乱が生じる可能性がある。
古典的な（ベクトル解析の）場合.
グリーンの定理.
電磁気学における応用.
発散定理.
同様に、発散定理