このセクションにおいて、が退化二次形式を持った実四次元空間の偶クリフォード代数として構成される。
によって与えられる。負号は四元数との対応を簡単にするために導入していることに注意しよう。
と
を生み出す。
基底元は四元数基底元 と双対単位 と
として同一視できる。これは の双対四元数代数との対応を提供する。
これを見るには、次式を計算する
と
性質.
外積代数との関係.
によって決定される。これは基底 が直交しているときにのみうまくいくことに注意しよう。この写像は直交基底の選択とは独立であり従って自然同型を与えることを示すことができる。
次数付け.
に拡張する。α は対合（すなわち自乗すると恒等関数になる）であるから、 を の正と負の固有空間に分解できる
ただし 。 は自己同型であるから
負定値の場合にはこれは包含 を与え、列を拡張する
同様に、複素の場合には、 の偶部分代数は に同型であることを示せる。
反自己同型写像.
ただし符号は以下の表によって与えられる：
クリフォードスカラー積.
を示すことができる、ただし は の元である – この恒等式は の任意の元に対しては正しく「ない」。
 上の伴う対称双線型形式は
によって与えられる。これは に制限されたときにもとの双線型形式に戻ることを確認できる。 のすべての上の双線型形式が非退化であることとそれが 上非退化であることは同値である。
転置はこの内積に関して左/右クリフォード乗法の随伴であることを証明するのは難しくない。つまり、
および
クリフォード代数の構造.
この節ではベクトル空間 の次元は有限であり の双線型形式は非特異であると仮定する。 上の中心単純代数は中心が の（有限次元）可除代数上の行列代数である。例えば、実数体上の中心単純代数は実数体あるいは四元数体上の行列代数である。
これらの公式を用いることで実と複素のすべてのクリフォード代数の構造が導かれる。を見よ。
とりわけ、クリフォード代数の森田同値類（その表現論： それ上の加群の圏の同値類）は符号 のみに依っている。これはの代数的な形である。
クリフォード群.
クリフォード群のクラスはルドルフ・リプシッツ () によって発見された。
このセクションにおいて は有限次元で二次形式 は非退化であると仮定する。