と有限次代数体
に対して、体の拡大
が
拡大であるとは、これがガロア拡大であって、そのガロア群
が
進整数環
の加法群と位相群として同型であることをいう。
拡大のガロア群は
と書かれ、アーベル群ではあるが乗法的に記される。 を非負整数としたとき、
には
の倍数たちからなる有限指数の開部分群があるので、
にもそのような部分群がある。これは
と
の同型の取り方によらない。この部分群を
と書く。
にガロア対応する
の部分体を
と書き、
拡大
の中間体で、
上
次である唯一のものであり、 上の巡回拡大である。
たちは体の塔（拡大列）
を構成する。代数体
に
拡大を与えることと、このような
の拡大列を与えることは同値である。実際、このような拡大列が与えられれば、 のガロア群は加法群
と同型であり、
のガロア群（無限次代数拡大のガロア群なので射有限群）
に対して
乗根をすべて添加した体、つまり
の合成体
は
上の
拡大である。また、この合成体を有理数体
上の拡大体とみると、これはガロア拡大で、そのガロア群
は
と同型であるので、これの部分体で 上の
拡大であるものが存在する。これを
と書き、有理数体の円分
拡大という。任意の有限次代数体
に対して合成体
は
拡大になる。これを
の円分
拡大という。円分
拡大が存在することがわかる。
代数体
の
拡大は一般に無限に存在しうる。
の
拡大すべての合成を
とすると
が成り立つことが知られている。ここで は
を満たすある整数、
は
の複素素点の個数である。このことから、 が総実体でなければ無限に多くの
拡大が存在することがわかる。ここに出てきた定数 が、実は
であろうというのがである。レオポルト予想は、有理数体のアーベル拡大体や虚二次体のアーベル拡大体については正しいことが知られている。
円分
拡大ではない
を虚二次体とする。
の
にはガロア群が
と同型になる唯一の拡大体
が存在する。
とすると、
は
の直積に分解できる。
の固定体
は円分的ではない
 拡大
になっている。これを反円分
拡大という。
イデアル類群と岩澤類数公式.
を素数、
を有限次代数体
の
拡大とする。第 層
のイデアル類群
のシロー 部分群（ 部分）を