論理体系には、（証明可能性の概念を定める）統語論的要素と（論理的妥当性の概念を定める）意味論的要素が共に備わっている。ある体系で証明可能な論理式をその体系の定理と呼ぶ。一階述語論理ではゲーデルの完全性定理により証明可能性と論理的妥当性の同値性が示されているため、定理とは妥当な論理式のことでもあるが、線形論理などの他の体系では一般にそうとは限らない。
論理体系が決定可能であるとは、任意の論理式がその論理体系の定理か否かを決定する実効的方法があることを意味する。例えば、命題論理は任意の論理式が論理的に妥当か否かを真理値表を使って決定できるため、決定可能である。
理論の決定可能性.
理論は論理式の集合であり、論理的帰結の下で閉じているとする。理論の決定可能性を問うということは、その理論のシグネチャに含まれる任意の論理式を与えられたとき、その論理式がその理論の一部かどうかを決定する実効的手続きが存在するかどうかを問うことである。理論が公理の決まった集合からの論理的帰結の集合として定義されているとき、この問題は自然に生じる。決定可能な一階の理論の例として、実閉体の理論やプレスブルガー算術があり、決定不能な理論の例として、群の理論やロビンソン算術がある。
理論の決定可能性について、いくつかの基本的結論がある。矛盾を含む理論は決定可能である。その理論のシグネチャにある論理式はどれでもその理論の論理的帰結になりうるため、理論の一部となりうるからである。完全で帰納的可算な一階の理論は決定可能である。決定可能な理論を拡張したものは決定可能でない場合がある。例えば、命題論理には決定不能な理論もあるが、最小の理論である妥当性の集合は決定可能である。
無矛盾の理論で、全ての無矛盾な拡張が決定不能であるとき、本質的に決定不能であるという。実際、全ての矛盾のない拡張は本質的に決定不能である。体の理論は決定不能だが、本質的に決定不能ではない。ロビンソン算術は本質的に決定不能であることが知られており、ロビンソン算術を内包するか翻訳した全ての無矛盾な理論も（本質的に）決定不能である。
決定可能な理論の例.
決定可能な理論を以下に挙げる。
決定不能な理論の例.
決定不能な理論を以下に挙げる
半決定可能性.
完全性との関係.