一般調和級数.
一般調和級数 は , を実数とし、 なるものとして
という形に表される級数である。比較判定法により、任意の一般調和級数が発散することが示せる。
実数値凸関数 で 
を満たすものに対し、級数
は必ず収束する。
確率調和級数.
で与えられる。
劣化調和級数.
部分積分
部分積分（ぶぶんせきぶん、）とは、微分積分学・解析学における関数の積の積分に関する定理であり、積の積分をより計算が容易な積分に変形するために頻繁に使われる手法である。
不定積分の場合であれば、同様に以下の関係式が成り立つ。
またはより簡潔に
である。
導出.
上記の定理は以下のように導出される。
ここで微分積分学の基本定理より、
であるから、
即ち以下の部分積分の公式を得る。
不定積分の場合も同様に導出出来る。
（具体的な計算例は後述）
視覚的な解釈.
青色の領域の面積は、
同様に赤色の領域の面積は、
にそれぞれ対応する。
近傍で曲線が滑らかであれば、これは不定積分に一般化できる。
変形して、
つまり部分積分は、青色の領域の面積が領域全体の面積と赤色の領域の面積から導かれることに相当すると考える事が出来る。
部分積分を用いた積分計算.
基本方針.
その他いくつかのテクニックを以下の例で示す。
例.
この積分を計算するには、
とすると、
部分積分の仕組みを考えるためによく使われる例として、
とすると、
となる。残った積分項に対して再度部分積分を行う。
として、
これらを組み合わせて、
同じ積分項が等式の両辺に出現しているので
と変形出来て、
次のようにおくと、
以下のように計算出来る。
これを以下のように書き換える。
次のようにおくと、
以下のように計算出来る。
ここでは逆関数の微分法を使用した。
部分積分の再帰的適用.
拡張.
多因子への拡張.
（積の微分法則の一般化も参照のこと）
即ち、
ここで右辺の積は、同じ項で微分を取った関数を除く全ての関数の積を取るものとする。
スティルチェス積分.
リーマン＝スティルチェス積分（またはスティルチェス積分）とは、スティルチェスによるリーマン積分の拡張である。
なる形で成り立つ。