対数微分
数学、とくに微分積分学と複素解析学において、関数 の対数微分あるいは対数導関数 () は式
によって定義される。ただし は の導関数である。直感的には、 における無限小である。つまり、 の現在の値によってスケールされた、 の無限小絶対変化すなわち 。
 が実変数 の関数 で真に正の実数値をとるとき、これは , すなわち の自然対数の導関数に等しい。これは連鎖律から直ちに従う。
基本的な性質.
が成り立つ。そのため正の実数値関数に対して、積の対数微分は因子の対数微分の和である。しかし積の微分に対してはライプニッツの法則を使うこともでき、次を得る
より一般に、商の対数微分は被除数と除数の対数微分の差である：
ちょうど商の微分は非除数と除数の対数の差であるように。
別の方向に一般化して、（実定数の指数による）ベキの対数微分は、指数と、底の対数微分の積である：
ちょうどベキの対数は指数と底の対数の積であるように。
まとめると、微分と対数はともに積の法則、、商の法則、そしてをもつ（ を比較せよ）。法則の各ペアは対数微分を通して関係している。
対数導関数を使った普通の導関数の計算.
対数導関数は積の法則を要求する導関数の計算を簡単化できる。過程は次のようである： とし を計算したいとする。それを直接計算する代わりに、その対数微分を計算する。つまり、次を計算する：
両辺に をかけることによって が計算できる：
このテクニックは がたくさんの数の因子の積であるときに非常に有用である。このテクニックによって の計算が各因子の対数導関数を計算し、和を取り、 を掛けることによってできるようになる。
積分因子.
対数導関数のアイデアは一階の微分方程式の積分因子手法と密接に関係している。作用素の言葉では、
は（積の法則によって）
による積作用素を表す。実際的には
を解きたい。するとこれは
をもつ。
複素解析.
の言葉で容易に分析できる方法で振る舞う。このとき対数導関数は
乗法群.
は不変形式のである。
対数微分法
概要.
関数
陰関数微分をすると
この手法は対数の性質によって複雑な関数の微分を素早く、単純にするために使われる。以下の性質(対数法則)を、両辺の自然対数をとったのちの微分をする前に利用できる。最もよく使われる対数法則：
一般の場合.
を使って、