数学における、ベクトル空間の次元（じげん、）とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数である。 他の種類の次元（たとえばヒルベルト次元）との区別のため、ハメル次元または代数次元と呼ばれることもある。この定義は「任意のベクトル空間は（選択公理を仮定すれば）基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 上のベクトル空間 の次元を あるいは で表す（文脈から基礎とする体 が明らかならば単に と書く）。
ベクトル空間 が有限次元であるとは、その次元が有限値であるときにいう。
例.
ベクトル空間 は
を基底に持ち、従って が成り立つ。より一般に、 が成り立ち、さらに一般に、任意の体 に対して が成り立つ。
複素数の全体 は実ベクトル空間でも複素ベクトル空間でもあるが、それぞれの場合について および が成り立つ。従って、次元の値は基礎とする体の取り方に依存するものである。
次元が のベクトル空間は、零ベクトルのみからなるベクトル空間 のみである。
いくつかの事実について.
ベクトル空間 の部分線型空間 に対して が成り立つ。
二つの有限次元ベクトル空間が等しいことを示すのに、次の判定規準が利用できる。
次元についての重要な結果として、線型写像に対する階数・退化次数定理が挙げられる。
ベクトル空間の次元について、基底の濃度および空間自身の濃度に関するいくつか簡単な公式が知られている。 を体 上のベクトル空間とし、その次元を で表すと
などが成立する。
一般化.
ベクトル空間をマトロイドの特別の場合とみることができて、後者にたいして次元の概念を矛盾なく定義することができる。加群の長さおよびアーベル群のランクは、いずれもベクトル空間の次元と同様のさまざまな性質をもつ。
トレースによる特徴づけ.
ベクトル空間の次元は、その恒等作用素のトレースとして特徴付けることもできる。例えば、
はトレースの定義から明らかだが、一般化には有用である。