なる条件を満たすものによって表現されるときにいう。メビウス変換が双曲型となるのは、λ が正の実数となるときであり、かつそのときに限る。
斜航型変換.
歴史的に、等角航路 あるいは航程線 に従った航行というのは一定の方角に航路をとることであった。この航跡は対数螺旋であり、斜航型メビウス変換がガウス平面に描く軌跡も同様である。変換の軌跡については後述。
実解析的な議論と語法についての注意.
不動点.
不動点の決定.
メビウス変換
からふたつの根、つまり変換の不動点
で与えられる。この場合のメビウス変換は、平行移動と回転変換および拡縮変換の合成として
なる形に表される状況に対応している。
位相幾何学的な証明.
正規形.
メビウス変換をその不動点を用いた正規形 と呼ばれる形に表すこともある。まずは相異なるふたつの不動点をもつ非抛物型の場合を考えよう。
非抛物型の場合.
あるいは、不動点の一方が無限遠にあるときは
であり、不動点の順序を入れ替えることは乗数の逆数を特性定数として選ぶことに相当する。
抛物型の場合.
となる。β はこの平行移動の長さあるいは移動距離 と呼ばれる。したがって、抛物型変換の不動点公式は
あるいは、γ = ∞ のときは
特性定数の幾何学的解釈.
特性定数はその対数を考えることによってその性質を分類することができる。すなわち、
楕円型変換.
任意の楕円型メビウス変換で生成される一径数部分群をとれば、この部分群の各変換が同じ二点を固定するような、連続変換が得られる。他の点はどれもリーマン球面上の二つの不動点の間でネストされた円の族に沿って流れる。一般に、二つの不動点は相異なる任意の二点を取ることができる。
次の二つの図は、楕円型メビウス変換のリーマン球面への効果（を平面へ立体投影したもの）を表したものである。
これらの図は単独のメビウス変換の効果を図示したものである。一径数部分群は、これを図によって示唆される円弧の族に沿って各点を「連続的に」動かすことで生成される。
双曲型変換.
任意の双曲型メビウス変換で生成される一径数部分群をとれば、この部分群の各変換が同一の二点を不動にするような、連続変換が得られる。不動点以外の点は一方の不動点から出て他方の不動点へ向かう円弧の族に沿って流れる。一般に、二つの不動点はリーマン球面上の相異なる任意の二点にとりうる。