内容–原始成分分解は以下のように有理係数にまで拡張できる。
さてこれにより、有理係数の任意の多項式が一意に定まる整係数原始多項式に同伴となることが従う。この原始多項式はユークリッドの互除法によって計算できる。
重要な帰結の一つとして、有理係数の範囲での多項式の因数分解は整係数の範囲での因数分解に同値になることが挙げられる。整係数多項式よりも体上の多項式のほうがはるかに一般的であるから、一見してこの同値性は整係数多項式の分解に利用する方に意味がありそうにも思えるが、実はそれは反対である。すなわち、有理係数多項式の因数分解の効果的なアルゴリズムは、適当な素数 を法とする有限体上での問題に帰着するために、この同値性を用いて整係数での因数分解に帰着する方法を用いる。
この同値性を多項式の最大公約数の計算に用いることもできる。互除法は有理数係数の多項式に対して定義できるから、それを直接用いればよいのだけれども、実はこの場合には多くの係数を簡約形（既約分数）にしておかなければ互除法がうまく回らないから、整係数多項式に対する互除法の計算よりも非常に重たい計算を強いられることになるのである。（の項を参照）。
商体上での記述.
多項式環の一意分解性.
多変数多項式の分解.
体上の、または整係数の、多変数多項式の因数分解については、それをより不定元の数の少ない多項式環に係数を持つ一変数多項式とみることができるから、この設定における内容および原始成分の分解に問題を分けることができる。この場合に多項式の内容は不定元が一つ少ない多項式として与えられるから、以下帰納的に分解していけばよい。原始成分に関しては、残した変数に関する次数を変えないように係数環の不定元を整数に置き換えて得られた一変数多項式を分解し、それをもとの原始成分の分解に持ち上げるというのが標準的な方法である。
内容 (多項式)
原始多項式 (環論)
多項式の内容
経歴.
SLぐんま よこかわ
概要.
運行概況.
いずれの列車も全車普通車指定席。
停車駅.
使用車両.
派生列車.
碓氷.
停車駅.
特別運行.
ダイヤや使用車両を変更するなどして別の列車名で運行された事例を列記する。なお、以下はSLを基準とした列車名とし、それ以外の方を別に表記する。
リンク・インターナショナル
冤罪 (曖昧さ回避)