いくつか例を考えよう。 とおくと は および 双方の拡大である。もっと一般に、 が と との半直積 ならば は の による拡大である。同様に輪積による積を考えれば拡大の更なる例が得られる。
拡大問題.
拡大の分類.
拡大問題を解決するというのは、 の による拡大を全て分類すること、あるいはもっと実際的にいえば、そのような拡大全てをもっと判り易くて計算し易い数学的対象を使って表現することをいう。一般に拡大問題は非常に困難な問題で、他に条件を付け加えてやらないと意味のある拡大の分類というものは殆ど得られない。
二つの拡大がいつ同値（あるいは合同）であるかを知ることは重要である。すなわち、拡大 
および
自明な拡大.
自明な拡大とは拡大
であって拡大
分解型拡大の分類.
準同型 が存在して、 と商写像 との合成が 上で恒等写像 () となるものが存在するとき、拡大
は分解または分裂 する、あるいは分解型であるなどという。またこのとき、 は上記の完全系列を分解するという。
分解型の拡大の分類は非常に簡単で、拡大が分解する必要十分条件は群 が および の半直積となることであり、半直積自体は分類が容易（ を の自己同型群とすれば、半直積は から への準同型と一対一に対応する）だからである。
注意.
後述の非可換拡大に関するの論文では の拡大がより大きな構造を与える用語法を用いている。
中心拡大.
群 の中心拡大とは、短完全列
任意の群 と任意のアーベル群 を使って、 とおけば中心拡大の例が得られる。これは分裂型（ を の部分群と見れば上述した意味での分裂拡大）の例でありとくに面白くは無い（コホモロジー群との対応で言えば、 の元 に対応する）ものである。もっとちゃんとした例は射影表現論において射影表現がふつうの線型表現に持ち上げられない場合に見つけることができる。
有限完全群の場合には普遍完全中心拡大が存在する。
群の中心拡大と同様に、リー環の中心拡大も完全列
における中心拡大の一般論が存在する。
一般の拡大の一般化.
リー群の拡大.