算数・数学教育において、 という関係（または類似の関係）が正しいことを教えることは一つの課題となっている。個別には例えば、 のような簡単な数に対しても別の表示方法（この場合、）があることや、 が数列の極限の簡便な記法であること、極限の値は必ずしも元の数列に含まれないこと、また極限という概念そのものの理解が難しいことなどが挙げられる。
代数的な証明.
分数による証明.
 を小数表示すると、小数点以下の位は全て であることを利用する。 は の商であり、割り算の筆算により、循環小数 となる。ここで は無限に続く。この小数点以下の各位は 倍するといずれも となることから、有限小数のときと同様に各位への一斉な掛け算が可能とみなせば、無限小数 を 倍すると に等しい。一方、 である。従って である。同様な別証明として、 の両辺に を掛けることでもできる。
位取り記数法の性質を利用した証明.
この位取り記数法の性質を利用した証明は他の有限小数（ と など）にも適用できる。
無数の位ごとの操作の正当性.
解析的な証明.
 という小数点以下の位に無数の を加えていくという定義自体が解析的である。これが に等しいことを厳密に証明するには、実解析の手法を必要とする。 という無限小数を正確にとらえるには、小数部分の位が無数に並ぶことを明確に定義し直すことが必要となる。
差に着目した証明.
 が に等しいことを証明するには、それらの差が であることを証明すればよい。その分、無数に並ぶ についての定義はぼやけるが、初等的かつ解析的に導くことができる。
なお、この証明では、最後に
であることを証明抜きで用いている。
これを証明するためには、実解析における実数の連続性（アルキメデスの性質）が必要となる。
無数の位の定義の再考.
の形である。小数部分は整数部分と違って有限の桁数に制限されない。これは基数 の位取り記数法であるから、例えば の単位は の単位の 倍、 の単位は の単位の 倍である。
級数の計算.
小数展開の一般的な定義としては、おそらく級数（無限数列の総和）として定義することである。つまり
と表される。
ここで、 の小数部分の計算には等比級数の公式：
を適用することが可能である。
 は、上式の左辺で初項 , 公比 としたものであるから、この公式より