これが最初のベクトル場に対応する。このようにしてリー代数の要素の行列表現とベクトル場表現を対応づけることができる。
前節の手続を逆転させることにより、上の六つの生成子に対応するメビウス変換が次に示すパウリ行列にそれぞれ （回転の場合）および （ブーストの場合）をかけて指数関数をとったものになることがわかる。
ここでの目的のためには、別の生成子がより便利である。下表その六つの生成子の一覧を挙げる。表の見方は、
これらの生成子は次からなることに注意されたい。 
この表の一列を検証してみよう。始めに、
を指数関数に入れて次を得る。
さらに次を得る。
対応する 上のベクトル場（立体射影の下の の像と考えることができる）は
 で微分して を代入すると、対応する 上のベクトル場が得られる。 
これは明らかに 軸まわりの反時計回り回転である。
ローレンツ群の部分群.
ローレンツ群のリー代数の部分代数はを共役による違いを除いて列挙することができる。そこから、制限ローレンツ群の閉じた部分群を共役の違いを除いて列挙することができる。（詳細についてはを参照のこと。） その結果は上の表に挙げた生成系により容易に表現できる。
その一次元部分代数はもちろんローレンツ群の四つの共役類に次のように対応する。
（厳密に言うと、最後の生成子は が違えば違う類に対応するため、無限の類に対応する。）二次元部分代数については、
三次元部分代数については、
（ここで、ビアンキ分類とはイタリア人数学者による三次元リー代数の分類である。） 四次元部分代数はすべて次に共役である。
これら部分代数は格子を形成し（図を参照）、各部分代数は制限リー群の閉部分群のべき乗により生成される。これらから、クラインの四元群の要素を乗することにより、ローレンツ群の全ての部分群が、共役による違いを除いて、構成できる。
連結リー群の常として、制限ローレンツ群の閉じた部分群の剰余空間、すなわち等質空間は、非常に数学的に興味深い。いくつか簡潔な説明を加えると、
被覆群.