平均 のポアソン分布の積率母関数 は、
で与えられる。
モーメント.
ポアソン分布の 次のは である。
再生性.
ポアソン分布は再生性をもつ。すなわち、 と とが独立な確率変数であり、それぞれパラメータ , のポアソン分布に従うとき、 確率変数の和 はパラメータ のポアソン分布に従う。
その他.
ポアソン分布は無限分解可能な確率分布である。
近似.
 が十分に大きい（たとえば ）ならば、平均 、標準偏差 の正規分布はこのポアソン分布の非常によい近似となる。おおよそ であれば、適切な連続な分布への修正がなされている場合に限り、正規分布はこのポアソン分布のよい近似となる。例えば に関して、 が非負の整数ならば、 と置換することができる。
ポアソン過程.
 は、単位時間あたりの事象の平均発生回数などの割合と見なされる場合があり、到着率と呼ばれる。このとき、 を時刻 より前に発生した事象の回数とすると、
となる。この式を満たす確率過程をポアソン過程という。さらに、最初の事象が発生するまでの待機時間 は、指数分布による連続確率変数である。この確率分布は、次のように導くことができる。
事象.
ポアソン分布は、に関連して発生する。
上記のように、稀にしか起こらないような現象を大量に観測した結果がポアソン分布に従う例は極めて多く見られる。このようなポアソン分布に従う事象の中で、時間の経過とともに発生する事象の特徴は次のようにまとめられる。
ここで、 は に対して高位の無限小を表しており、 のスケールに注目したときに無視できる微小量であることを表す。
極限定理.
パラメータが と である二項分布において、 を一定に保ったまま を無限大に近づけると、その分布は平均 のポアソン分布に近づく。すなわち、
導出の詳細を次に示す。計算には、以下の関係式を用いる。
ここで とすると、
したがって極限は存在し、
となる。
少数の法則.
法則という言葉は、確率分布の同義語として使われることがあり、法則収束は分布の収束を意味する。したがってポアソン分布は、滅多に起こり得ない希少な事象の発生数の確率分布であることから、少数の法則と呼ばれることがある。
京成スカイライナー
登場から荒川線成立まで.
荒川線成立後.
概要.
歴史.
その他.