について考える。この空間は、ユークリッド空間 の無限次元版とみなすことができる。有界数列 をとれば、 は の元であり
で定められるノルムを持つ。作用素 を成分ごとの掛け算
で定めたとき、そのような作用素 は、作用素ノルムが
同値な定義.
作用素ノルムの定義として、次のようないくつかの同値な定義が存在する:
性質.
作用素ノルムは実際に、 から への有界作用素全体の成す空間上のノルムとなる。すなわち、 は有界、 は任意のスカラーとして
が成立する。
作用素ノルムの定義より、次の不等式がただちに得られる:
作用素の合成あるいは積について、 を、同じ係数体上の三つのノルム線形空間とし、 を二つの有界作用素としたとき
定義より、作用素の列が作用素ノルムに関して収束することは、それらが有界集合上で一様収束することを意味する。
ヒルベルト空間上の作用素.
空間 を実あるいは複素ヒルベルト空間であるとする。もし作用素 が有界線形作用素であるなら
および
が成立する。ここで は作用素 の共役作用素を表す（それは標準内積を持つユークリッドヒルベルト空間における、行列 の共役転置行列に対応する）。
一般に、作用素 のスペクトル半径 は、作用素ノルム により上から抑えられる。すなわち
が成り立つ。ここで常に等号が成立するわけではないことを見るには、有限次元の場合で行列のジョルダン標準形について考えればよい。優対角線（主対角線の一つ上）に非零な成分を持つものが存在するから、等号は成立しない可能性がある。また、等号が成立しない例からなるクラスとして準冪零作用素が挙げられる。ゼロでない準冪零作用素 のスペクトルは であるため、スペクトル半径は となるが、このとき作用素ノルムに対しては が成立する。
しかし、行列 が正規のとき、そのジョルダン標準形は（ユニタリ同値の違いを除いて）対角行列である（スペクトル定理）。このとき
が成立することを見るのは容易。