標数が でない体 の上のベクトル空間 上で定義される、自明な根基を持つ対称双線型形式 に対し、 の部分空間全体の成す集合 からそれ自身への写像
消防団
消防団（しょうぼうだん）とは、日本においては、消防組織法に基づいて各市町村に設置される消防機関である。消防団は直接には自治体の条例に基づき設置されており、全国統一の運用と自治体独自の運用の両方が存在する。
概要.
消防団員は本業を別に持つ一般市民 で構成されており、自治体から装備及び報酬が支給される（支給された報酬が本人に支払われず、分団・部等に一括支給される自治体も存在する）。市町村における非常勤地方公務員である。
基本的には非常備の消防機関であるが、山間部、離島の一部など、常備の消防機関とされる消防本部及び消防署がない地域では常備消防と同様の機能を担うところもある。
沿革.
町火消は主に鳶職を中心に形成された。延焼止めの破壊消火（除去消火法）が主流だったため、消火道具も鳶口や掛矢、鋸と呼ばれるものが主力であった。
構成.
消防団の組織.
地域差はあるが、概ね以下のような構成で運営される。
市町村によって異なり、基本の活動単位が分団の市町村、部の市町村、班の市町村がある。また、いくつかの分団の集まりをブロックや方面隊・地区隊としている市町村もある。なお近年では市町村合併が促進された結果、合併前の旧市・郡等に含まれる旧市町村をそれぞれ「支団」や「方面隊」として構成し、分団以下の組織を採る場合もある。その場合は、
となる。また旧市町村を一つの消防団とみなし、その連合体として「連合消防団」としている場合もある。
消防団員の階級.
地域によって体系が異なるためあくまで一般的なものである。
地域によっては、各階級内で「専任」や「筆頭」という上級者（専任/筆頭副団長、専任/筆頭班長等）としてといった者を置いたり、部長を「集団長」と呼ぶこともある。このように、集団長と呼ぶ場合は、特科団員の集団、「救護集団長」「誘導集団長」「予防集団長」「自動車集団長」「積載車集団長」「ラッパ（喇叭）集団長」といったものを班長と同じ階級におく。この場合集団に属する時はそれらが必要になったときのみである。
装備・機材.
主な装備、機材としては、以下の通り。
車両.
指揮車.