一次関数は線型関数（）やアフィン関数（）とも呼ばれ、この場合しばしば定数関数 () も含む。ベクトルを変数とする広義の一次関数はアフィン写像と呼ばれ、これはベクトルにベクトルを対応させる写像であるが、ふつう線型写像はその特別な場合 () で斉一次関数で与えられる。
以下、解析幾何学における実関数としての一次関数について述べる。
定義と簡単な説明.
初等解析学において、不定元 に関する高々一次の多項式 （ は実定数）に対し、 を実変数とみて得られる写像
を一次関数と呼ぶ（見かけ上一次なだけでなく実際に「一次」であることを要請する場合は「」とする）。定数関数となる を含める場合は、これを「退化」しているといい、そうでない場合を非退化という。
は直線を描くため、一次関数は「直線の式」（あるいは単に「直線」）としても知られ、言葉の濫用で（一次函数それ自身とそのグラフとをとくに区別することなく扱って）直線 などともいう。
一次関数 が非退化 () ならば、非有界、非周期的、かつ単調増大 () または単調減少 () である。さらに単射かつ全射、従って一対一対応ゆえに可逆（であって、逆関数もまた非退化な一次関数）である。これと対照に、定数関数に退化している () ならば、有界、周期的、かつ偶関数であり、非増大かつ非減少の意味では単調であるが、単射でも全射でもなく（したがって一対一対応にならず）逆函数を持たない。退化・非退化の場合によらず のとき一次関数は奇関数であり、偶かつ奇となるのは定数関数 に限る。
平面直線の式として.
傾き・切片標準形.
（これ自体は二変数の一次方程式である）が挙げられる。詳細は平面における直線の標準形も参照。
二点標準形.
一次関数の傾きは通る二点が分かれば一意的に決定できるので、一次関数はそれが通る二点が決まればただひとつに決まる。一次関数 が二点 を通るとき、 = は点の取り方に依らず一定で、傾きに等しく
が成り立つ。この直線は点 を通る（あるいは点 を通る）のだから点・傾き標準形と合わせて考えれば、二点標準形が得られ、この一次関数は
と書くことができる。
直線の成す角の正接と傾き.
から求まる。とくに角 が直角 であるとき、この式は
の形に書けるから、一次関数が表す直線の直交条件を「傾きの積が に等しい」と述べることもできる。
解析学.