ユークリッド空間のように、距離 の定まった空間における点の列についての収束の概念を、実数の列の収束の概念を拡張して定めることができる。すなわち、点列 が点 に収束するとは、正の実数列 が に収束することである。この概念をさらに一般化して、自然数によって数え上げられるとは限らない「列」とその収束性を一般の位相空間に対して定式化することができる。（#位相空間を参照のこと）
関数.
変数の収束に伴う関数の挙動.
 を実関数とし、 を実数とする。式
または
という形で厳密に定義される。このとき、この極限と関数 の における値は無関係であり、 であることもあれば、 が において定義されている必要もないのである。
このことを理解するために次の例を挙げる。
 が に近づくときの の値を考える。この場合、 は が のときに定義されており、値は である。
例として、
また、 のとき、 の値が限りなく大きくなることを、「 が に限りなく近づくとき関数 は正の無限大に発散する」といい、
または、
と表す。このことは次のように厳密に定義される。
逆に、 のとき、 の値が限りなく小さくなることを、「 が に限りなく近づくとき関数 は負の無限大に発散する」といい、
または、
と表す。これは次のように厳密に定義される。
連続な実関数 が とする極限において発散するならば、 は において定義できない。なぜなら、定義されていたとすると は不連続点となるからである。
無限遠点における挙動.
一般には がある有限の値に近づくときを考えることが多いが、 が正か負の無限に近づくときの関数の極限を定義することもできる。
ある無限区間 （を含む集合）で定義される関数 において、 が限りなく大きくなると関数 の値がある値 に近づくとき、「 が限りなく大きくなるとき は に収束する」といい、
または、
と表す。
これは次のように定義される。
また、ある無限区間 で定義される関数 において、 が限りなく小さくなると関数 の値がある値 に近づくとき、「 が限りなく小さくなるとき は に収束する」といい、
または、
と表す。
これは次のように定義される。
関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。
または、
と表す。
これは次のように定義される。
または、
と表す。