本節ではまず共変微分を天下り的に定義し、次に平行移動の概念を用いて共変微分の概念の意味付けを行う。
リフトとの関係.
と書くことにすると、以下が成立する事が知られている：
よって特に次が成立する：
成分表示とクリストッフェル写像.
という形に成分表示できる。共変微分とリフトの関係性から、簡単な計算により、以下の定理を示すことができる：
水平リフトの事をクリストッフェル写像と呼んだのは以上の理由による。
曲率.
定義.
接続概念の定義において垂直方向への射影
を導入したが、同様にして水平方向への射影
も定義できる。
曲率概念はこの、を使って定義できる：
とも書き表せる。
さらに曲率形式に対する下記の（第二）ビアンキ恒等式が成立する事も示せる
曲率概念の可積分性による意味付け.
曲率概念の意味付けをみるため、いくつかの概念を定義する。
をの開集合上で定義されたの切断がの任意の点とにおけるの任意の接ベクトルに対し、
を満たすとき、は平坦()であるという。
成分表示.
曲率を
と書く。
ホロノミー群.
定義.
を定義できる。
さらに以下を定義する：
クリストッフェル形式.
クリストッフェル形式を使うと曲率が以下のように書ける：
上述の定理はあくまで局所座標で成立するものに過ぎないが、後述する主バンドルの接続の場合は局所座標ではなく手バンドル自身の上で同種の定理が成り立つことを後で示す。
接続の引き戻し.
が定義できる。
曲率は引き戻しに対して自然に振る舞う：
主バンドルの接続.
本節では主バンドルの接続を定義する。
定義.
主バンドルの接続は、ファイバーバンドルの接続で群作用に対して不変になるものである：
により接続概念を定義づけられる。
しかし次節に見るようにリー群・リー代数対応に着目する事で、リー代数の言葉を使った定式化も可能である。
リー代数を使った定式化.
本節では、前節で定義した主バンドルの接続概念をリー代数を使って特徴づける。
そのためにまず、定義のために必要な概念を導入する。
基本ベクトル場.
随伴表現.
定式化.
は全単射であるので、の写像の逆写像を垂直射影と合成する事で、
以上の議論から明らかに垂直射影からが定まり、逆にから垂直射影が定まるのでによって接続概念を定式化できる：