ある加群の任意の元が部分加群 の元の有限の和として一意的に書き表せるとき、この加群は の直和と同型になる。直和はこのようにして構造的に定義することもできる。これに対して既に述べたような定義を構成的ということもある。
ベクトル空間と同じように、直和加群の長さはそれぞれの加群の長さ（またはアーベル群のランク）の和になる。
圏論的直和.
集合の圏では、この圏論的定義でいう直積・直和と、上で述べた 「集合の直積・直和」 の概念は一致する。ところが、一般にはそうはならない。たとえば、
味噌汁
味噌汁（みそしる）は、日本料理における汁物の一つで、だしを味噌で調味した汁に、野菜や豆腐、麸や魚介類などの食品を実としたスープ様の料理である。御味御付（御御御付、おみおつけ）ともいう。
概要.
日本の食文化において、飯とともに提供される汁物料理の代表である。
味噌汁は、主食を食べるに際しての食欲増進の役割をおかずとともに果たすと同時に、味噌に含まれる大豆の蛋白質は、かつての低蛋白の日本食における主要な蛋白源であり、また汗とともに消耗する塩分の補給に重要な役割を果たしていた。
西洋料理のスープに相当する側面がある。パンもご飯もそれぞれ固形物であり、味に乏しく単独で食べるのは口寂しい。そこで食べ方のひとつとして、スープ・味噌汁という、塩味がある汁物と一緒に食べるという点で、両者は共通するものがある。ヨーロッパのスープの、硬くなったパンをふやかして柔らかくして食べるという側面は、ご飯と味噌汁による雑炊に類似する。
日本料理で類似するものに吸物があるが、味噌汁が飯と飲食されるのに対して、吸物は酒と飲食される肴として区別される。
名称.
東京近郊では御味御付（おみおつけ）と呼んでいる。「おみ」は「味噌」、「おつけ」は「汁」を意味する女房言葉。江戸時代に江戸の地で使用され始めた。「御御御付」と書くこともあるが、これは「おつけ」にさらに接頭辞が付いたという民間語源説に基づくもので本来は正確ではない。
特にこの地域では味噌汁の中身の固形物のことを「具」とは呼ばず「実」と呼ぶ（「おつけの実」、など）。具と呼ぶようになったのは近年の事で、特にテレビのグルメ番組で一様に具と呼ぶようになったのが影響している（他にはおでんの種も具と呼ぶなど）。