を満たす 次正方行列 が存在するとき、 は 次正則行列、あるいは単に正則であるという。 が正則ならば上の性質を満たす は一意に定まる。
これを の逆行列（ぎゃくぎょうれつ、）と呼び、 と表す。
例.
次の複素数体の元を成分にもつ行列 を考える。
このとき を満たすので、 は正則行列で、 は の逆行列である。
一方、 に注目すれば も正則行列で、 は の逆行列である。
また次の行列 は逆行列をもたないので、正則ではない。
特徴づけ.
体の元を成分にもつ 次正方行列 に対して次は同値である。
性質.
 次正則行列 、 について次が成り立つ。
判定法.
行列の正則性は行列の基本変形を使って判定できる。
具体的な逆行列の計算には、基本変形を使って順に掃き出していく方法がよく使われる。
一方で、理論的には行列式を使ったクラメルの公式も重要である。
しかしこの方法は逆行列を数値計算するのには向かない。
実行列
複素行列
線形変換
線型写像
数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、）は、ベクトルの加法とスカラー倍を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。
概要.
抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。
定義.
 と とを同じ体 の上のベクトル空間とする。 から への写像 が、任意のベクトル と任意のスカラー に対し、
上記の二性質を合わせて線型性と呼び、また有限個のスカラー とベクトル に対して
のような形で言及することもある。
核・像と全射性・単射性.
線型写像 に対して
なる等式を満足する（階数退化次数定理）。
は の余核と呼ばれる。核および余核は線型写像 のそれぞれ単射性および全射性からの「ずれ」を測るものと考えることができる。即ち、
線型写像の演算.
線型写像がいくつか与えられたとき、それらから新たな線型写像を作り出す操作がいくつか存在する。
双線型写像 が与えられたとき、テンソル積空間 から への線型写像 が
によって誘導される（テンソル積の普遍性）。
線型写像の空間.