必ずしも環の中で閉じているわけではないが、「イデアル」と呼ばれる重要な例を二つ挙げる。詳細はそれぞれの項を参照。
歴史.
有理整数環 においては であって、順序の入れ替え を除いては他の素因数分解は存在しない。しかし、代数的整数の場合はそうではない。
 がこれ以上分解できないことは、乗算における絶対値に注目すれば容易に証明できる。
なのであろうというのがクンマーの基本的な発想である。
もちろん は の元ではありえない。クンマーは、 の分解のためには の平方根を含むより広い領域が必要となるように、 の元が上のように完全に分解されるより広い領域が存在すると考えた。そしてこの のような理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (') あるいは理想因子 (') と名付けて、理想数の理論を築いた。
クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。イデアル () という名称は、理想数に由来する名前である。
現代の環論の言葉で言うなら、先の の分解に対するクンマーの考えは次のようなことに相当する。
とすれば、
であり、
すなわち、 という元の素因数分解を考えるのではなく、 により生成されるイデアルの素イデアル分解を考えることが適当だったのである。
また、現代の環論では はそもそも における の素因数ではない。これらのように「これ以上分解できない元」は既約元と呼ばれ、素数の一般の概念である素元とは区別される。詳しくは環 (数学)を参照のこと。
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ポルトガル語
ポルトガル語は、大航海時代のポルトガル海上帝国の成長とともにアジア・アフリカ地域に広まった。日本では最初に伝播したヨーロッパの言語であり、古くからの外来語として定着しているいくつかの単語は、ポルトガル語由来である。代表的な例として「パン」があり、戦国時代にキリスト教と共に伝わった。漢字表記では葡萄牙語、蒲麗都家語であり、省略形は葡語及び蒲語。
話者分布.
音韻と表記.