任意の複素正方行列は三角化可能である。実際には行列 が、その固有値すべてを含む体（たとえば代数的閉体）上で三角行列と相似であることが示せる。これは帰納法により証明できる。行列 は固有ベクトルをもつので、その生成系による商空間を考え、帰納法によって完全旗を固定することを示すことにより、その基底に関して三角化可能であることがわかる。より精密な主張がジョルダン標準形の理論により与えることができ、行列は非常に特別な形の上三角行列（ジョルダン標準形）と相似である。けれども、より単純な三角化で多くの場合は用が足りる。いずれにせよジョルダン標準形の存在を示すときには三角化が必要となる。
代数閉体上の互いに可換な正方行列は同時三角化可能である。
一般化.
上三角行列全体の成す集合は結合多元環を成すのであった。これは函数解析学においてヒルベルト空間上のに一般化される。
実係数で考えれば、この群は非連結で、各対角成分が正または負となることに応じて 個の連結成分を持つ。単位成分は対角成分が全て正の正則三角行列全体に等しく、また正則三角行列全体の成す群はこの単位成分の群と対角線上に が（各連結成分に対応して）並ぶ対角成分との半直積になる。
標準旗の適当な部分を忘れて得られる部分旗の固定部分群は、区分行列として上三角な（つまり各区分は上三角であるとは限らない）行列の成す集合として記述することができる。そのような部分群の共軛は適当な部分旗の固定部分群として定義される。これらの部分群をと総称する。
例えば、二次の上単三角行列全体の成す群は係数体の加法群に同型である。複素係数の場合にはその群は放物型メビウス変換からなる群に対応する。三次の上単三角行列の全体はハイゼンベルク群を成す。
上三角行列
下三角行列
ホウ素
名称.
概要.
植物にとってホウ素は細胞壁を維持するために必要な必須元素であり、ホウ素の欠乏によって成長障害が引き起こされる。動物にとっても必須元素であると考えられているが、その生物学的な役割はよく知られていない。ヒトや動物に対しては食塩と同程度に無毒な物質であるが、植物では高濃度のホウ素を含む土壌で葉の壊死などの障害が発生し、昆虫に対しては強い毒性を示す。
歴史.
性質.
物理的および化学的性質.