寄付講座
ジョン・アミエル
ケンブリッジ大学で英文学を学んだ後、ハンプステッド・シアターを経て、ロイヤル・シェイクスピア・カンパニーに入り演出を手掛ける。
岩崎良三
ユークリッド環
動機付け.
整数全体の成す集合 に自然な演算として加法 と乗法 を考える。よく知られた整数に対する長除法は、 における次の事実に強く依拠したものである：
 および が正である場合のみを考えることにすれば、 と に関する制約条件は、単に「 または 」と表すことができる。
任意の環にも加法と乗法の概念があるから、長除法の概念が任意の環で展開できないかを考えるのはある意味で自然なことだが、しかし剰余や商に関する条件（つまり「 または 」）を単なる環の文脈で定義することは（もちろん、環上に何らの順序関係も定義されていないので）容易にはできない。こうして、各元に加法単位元 からの「距離」を導く（「次数」や「賦値」などとも呼ばれる）ある種のノルム を備えた環としてのユークリッド環の概念が導かれる。そうして、制約条件「 または 」は「 または 」で置き換わる。
ユークリッド環の裏にある本質的な考え方は、それが環であって「その任意の元 と任意の非零元 に対して、 の倍元の中に に十分近い元が存在する」という性質を持つということである。もちろん、その環が可除環（あるいは体）であったならば、 を倍率として左から に掛ければ が得られる。つまり、体や可除環については に「ちょうど」一致するような の倍元が存在する。もちろんこのことは一般の環では成立するとは限らない（例えば整数環 では成り立たない）から、制約条件は「 の倍元の中に に十分近い元が存在する」というだけに緩めるのである。
自然な問いとして「次数はどのような集合に値を取るのか」という問題が考えられるが、多くの目的で（特にユークリッドの互除法が自由にできるという目的で）、自然数全体の成す集合 に値をとるものと定めるのが普通である。自然数全体の成す集合 の持つ、この文脈で重要になる性質は、それが整列集合を成すことである。
定義.
 を整域とする。 上のユークリッド函数 は除法の原理