実用に際しては、ほぼ全ての場合において適当なの下で回転作用素を適用することになり、その場合はより平易な表現を導出することができるので、上記の定義をそのまま適用する場面と言うのは希である。
直交座標系に関して を展開すれば、ベクトル場 に対して、
これは
一般の座標系における回転は
で与えられる。ここで、 はエディントンのイプシロンであり、この計量テンソルは の下付き添字に対するものとして用いられる。またアインシュタインの和の規約に従って和の記号は省略した。
この式はつまり、各座標ベクトル場を とすれば
であることを言っているのである。
これはまた、外微分を用いて
この公式を見れば一般座標系で の回転をどのように計算すべきかがわかり、回転作用素を任意の向きを持つ三次元リーマン多様体に対して一般化することができる。これは向きに依存するから、回転は演算、即ち向きを逆にすれば回転の向きも同じく逆になる。
例.
単純なベクトル場.
 と に線型に依存するベクトル場
をとれば、これは
さて、この場の回転を計算すれば、
となり、これは期待した通り、実際に負の 方向を指す。上記の回転量はどの点 でも同じであり、 の回転を図にしたものは非常につまらないものになる：
少し複雑な例.
少し状況を複雑にして、ベクトル場
を考える。これは以下の図
のような場である。これは一見して回転を見つけることができないかもしれないが、例えば右側をよく見ると、この場は における値よりも における値の方が大きい。直観的にはこの部分に小さな外輪を置けば、右側の流量が大きいので時計回りに回転し始めることがわかる。これは回転ベクトルが が負の向きを持つことを意味する。対照的に左の方を見れば、ここに外輪を置いたとき左側の流量が多いので、外輪は反時計回りに回転し、回転ベクトルは が正の向きを持つ。これらの直観を裏打ちするように、
が成り立ち、期待した通り実際にこの回転場は負の に対して の正方向を持ち、正の に対して の負方向を持つ。この回転はどこでも同じではないから、少しは意味のある形になる：
主な恒等式.
例えば を考える。デカルト座標系に従えば、これは
となることが示される。この場合はベクトル場 と とを入れ替えて