は に関する有理係数多項式である。この意味において、 には任意の実数あるいは複素数を代入することができ、それによって二項係数の定義を一般化するとき、そのような「一般化された二項係数」はニュートンの一般化二項定理に現れる。
各 に対し、多項式 は かつ を満たす唯一の 次多項式 として特徴づけることができる。
この多項式の係数はを用いて
と表すことができる。この導函数は対数微分法により
と計算できる。
多項式の空間の基底.
標数 の任意の体（すなわち、有理数体 を含む体）上で、次数が高々 の任意の多項式 は二項係数の線型結合
で決まる。
整数値多項式.
二項係数に関する等式.
階乗表示を用いれば近くにある二項係数の関係を容易に知ることができる。例えば を正整数、 は任意として
が成り立ち、また少しの計算で
が得られる。さらに言えば以下の結果
は有用である。例えば定数 に対して以下の漸化式
を得ることができる。
二項係数を含む級数.
等式
等式
および
は任意の複素数 と任意の非負整数 に対して成立する。これは の展開における の係数として、等式 () を用いて求めることができる。 のとき等式 () は等式 () に簡約される。
任意の整数 に対して適用できる同様の等式
の展開における の係数として求められる。 のとき等式 () は
となる。展開 () を に対して用い、() を使えば
を得る。
 で 番目のフィボナッチ数を表せば、パスカルの三角形の対角和に関する等式
を得る。これは等式 () を用いた帰納法、あるいはゼッケンドルフの表現によって示すことができる（左辺は の連続した元を含まない部分集合の総数を与えるものであり、そのようなものはまた 以下の数の全体を成すということに他ならないことに注意）。組合せ論的証明は後述。
等式 () から従う別の等式として、 とおいて を得る。
 に対する閉じた式は（超幾何函数を用いなければ）ないが、再び等式 () および帰納法により に対して を得る。同様に を得る（ の自明な場合は除く。このときは になる）。これ自身は次数高々 の任意の多項式 に対する和分差分学における結果 の特別の場合である。 に対しては等式 () を 回微分して と置けば得られる。一般の場合はこれらの線型結合を作ればよい。
次以下の多項式 に対して