いま、数列の場合と同じように、有向集合の「極限」に興味がある。 上で述べたことに従えば、これは、有向集合のすべての要素の情報を拡張した情報の最も一般的な断片にあたる要素、すなわち、有向集合に含まれる情報を「正確」に含み、それ以上のものはもたない唯一の要素ということになるだろう。 順序集合の形式では、これは有向集合の上限 (最小上界) にすぎない。 数列の極限の場合のように、有向集合の上限は常に存在するとは限らない。
計算と領域.
計算の領域が何であるべきかについて、すでにいくつかの基礎的で形式的な記述がそろったので、計算そのものへと目を転じることができる。 明らかに、それは関数でなければならず、ある計算の領域から入力をもらい、ある（おそらくは異なった）領域へと出力を返す。 さらに、入力の情報の内容が増えたなら、関数の出力がより多くの情報を含むとも期待できるだろう。 これは、形式的には単調な関数を要求していることになる。
近似と有限性.
このような要素が、他の数学における意味で「有限」でも「コンパクト」でもある必要はないが、これは、集合論と位相における対応する概念にある程度沿って名付けられたものである。 領域のコンパクトな要素は、それが含まれていないような有向集合の極限として得られないという重要で特殊な特性をもっている。
領域の基底.
前節の考察は別の疑問を提起する。 領域のすべての要素がはるかに単純な要素の極限として得られることを保証することは可能だろうか？ これは現実の問題に大いに関係がある。 我々は無限の対象を計算できないが、それでもこれによってそれをいくらでも近似する望みがあることになる。
最後に、半順序集合に対するいくらか強い制限は「コンパクト」な要素の基底の存在を要求することにより与えられる。 このような半順序集合は代数的であるといわれる。 代数的半順序集合は、それが有限のものに制限されていても、すべての要素の近似を可能にするため、表示的意味論の観点からはとりわけ行儀よくふるまう。 前に注意したように、すべての有限の要素は古典的な意味で「有限」であるとは限らず、有限の要素が非可算な集合を構成することもありうる。
特殊な種類の領域.
重要な帰結.
領域理論が適用される応用分野に依存して、この他にも多くの帰結がある。
文献.
浅野孝巳