四元数をスカラー部とベクトル部に分解して
と表すと、加法、乗法の定義式は
が成り立つ。
共軛、ノルムおよび逆数.
であって でない。
複素数における共軛とは異なり、四元数の共軛は乗法と加法を用いて完全に書き表すことができる：
共軛を用いると、四元数 の実部、虚部はそれぞれ
となる。
四元数 のノルム は、自身とその共軛の積の平方根として定義される：
（ハミルトンはこれを四元数のテンソルと呼んだが、この用語は現代的な意味でのテンソルと衝突する）
が成り立つ。特に、実数 に対して
が成り立つ。
この乗法性は、積の共軛に関する式からの帰結である。あるいは、正方行列の行列式の乗法性と公式
（ は通常の虚数単位）から乗法性を示すこともできる。
このノルムを使って、四元数 と の間の距離 を、それらの差のノルム () として定義することができる。これにより は距離空間となり、加法と乗法はこの距離位相に関して連続になる。
単位四元数.
ノルムが の四元数を単位四元数という。 でない四元数 に対して、そのノルムで割って得られる単位四元数
を、 のという。
任意の四元数 は、その
を持つ。
共軛とノルムにより、四元数の逆数（自身との積が である数）が得られる：
代数的性質.
基底元の積は別の基底元に符号を付けたものになるから、集合 はその乗法に関して群を成す。この群は四元数群と呼ばれ、 で表す。 の実係数群環 は環であり、また 上の 次元ベクトル空間でもあり、 の各元を基底ベクトルに持つ。四元数体 は を で生成するイデアルで割った剰余環になっている。ここで、生成元となっている各差の第一項は基底元 のそれぞれ一つであり、第二項は残りの基底元 のそれぞれ一つであって、これらは の（群環の加法に関する）加法的逆元でないことに注意（剰余環、つまり の中では加法逆元になる）。
四元数と の幾何.
で与えられる。これは のどのスカラー部にも等しい（これらのベクトル部は相異なることに注意）。それゆえドット積については
という等式も成り立つ。また、 と のクロス積は基底 の元の順序（から定まる向き）に依存して
と定義される（符号を決めるために向きが必要であることを想起せよ）。これは四元数としての積 のベクトル部に等しく、 のベクトル部とも同じく等しい。ゆえに、これについても