正接ノルムが内積から誘導されていないことから、フィンスラー多様体はリーマン多様体よりも一般的な概念と言える。
ポール・フィンスラーがこの幾何学を研究し、がそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。
定義.
フィンスラー多様体は、可微分多様体 であって、接束上の連続非負関数 であるフィンスラー計量が の各点 に対して、以下の性質をもつものである：
つまり、 は接空間 上のである。フィンスラー計量 は「滑らか」である必要がある。より正確には
ここで、 における のヘッシアンは対称な双線型形式
さらに、
のとき、フィンスラー計量は可逆であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の (通常の意味での) ノルムを定義する。
例.
ランダース多様体.
を満たすものとする。ここで は の逆行列である。アインシュタインの縮約記法を用いている。すると
は 上のランダース計量を定義し、 は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である。
滑らかな準距離空間.
 を準距離とする。つまり は可微分多様体であり、 は の微分構造と次の意味での互換性をもつ：
するとフィンスラー関数 を
測地線.
 の均一性により、 上の微分可能な曲線 の長さ
は、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線 は、もしその十分に短いセグメント が から までの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数
が固定端点 をもつ微分可能な曲線 上でその汎関数微分が消えるという意味で定常なら、 は測地線である。
フィンスラー多様体上の正準スプレー構造.
エネルギー汎関数 のオイラー・ラグランジュ方程式は の局所座標系 で
である。ここで 、また は次で定義される基本テンソルの座標表現である：
 に関して にを仮定すると、行列 は正則であり、その逆行列は と表される。すると が の測地線である必要十分条件は、接曲線 } が } 上で次式によって局所的に定義された滑らかなベクトル場 の積分曲線であることである：
ここで局所スプレー係数 は次式で与えられる：
} 上のベクトル場 は および を満たす。ここで は } のおよび正準ベクトル場である。したがって定義より は 上のである。スプレー は垂直投影を介してファイバー束 にを定義する。