アフィン空間では点の差としてベクトルを得たり、点にベクトルを加えて他の点を得たりすることはできるが、点同士をくわえることはできない。また特に、どの点が原点を与えるのかを認識することができない。
形式的な定義.
座標系.
あるいは位置ベクトルと座標との対応
のように表すことがある。任意の線型結合を考える代わりに点に関するこのようなアフィン結合だけを考えることにも意味がある。
部分空間.
と書くことができる。
平行条件.
捩れの位置.
アフィン変換.
を満たすものとしてアフィン写像を特徴づけることもできる。
実際には、任意のアフィン写像は変換前の原点を変換後の原点に移す平行移動と、各点と原点とのあいだの差のベクトルに関する線形変換との合成によってあたえられる。
アフィン空間内の二つの図形が、可逆なアフィン変換によって互いに移り合うとき、その二つの図形は互いにアフィン合同であるという。ユークリッド空間においてアフィン合同かつ角度を保つということと相似であるということとは同値であり、アフィン合同かつ角度も線分の長さも変えないということは合同であるということである。
その他の公理による定式化.
アフィン空間は座標やそれに等価なベクトル空間を用いて解析幾何学に属するものとして扱うのが通例であり、以下のような公理によって与えられる総合幾何学として扱うこともできるがあまり一般的ではない。アフィン空間の公理にはいくつか異なるものが存在する。
アフィン平面はキャメロンの公理 
キャメロンは高次元のアフィン空間の公理も与えている 。
特殊なアフィン空間.
ユークリッド空間.
ユークリッドの幾何学で記述される図形の性質というものは、その図形の絶対的な位置には関わりのないものである。したがってこのような図形の属するユークリッド空間は、アフィン空間に長さや角度という計量を加えたものになっている。また、このような計量は、内積によってもたらされる構造である。
ベクトル空間.
任意のベクトル空間はそれ自身の上のアフィン空間である。またその任意の部分空間による商空間もアフィン空間となる。特に、一次元部分空間全体の成す空間である射影空間はアフィン空間の構造を持つ。