結合的だからといって単純に括弧を取り去ってはいけない例として、 を挙げよう。 は結合的であって は に同値であるが、 はふつうは の意味であって先のふたつとは同値でない。
例.
結合的演算の例をいくつか挙げる:
命題論理.
結合規則.
論理演算の結合性.
非結合的演算.
そのような演算では、計算順序は結果に影響する。非結合演算の例として
非結合的構造の研究は、古典代数学の主流からはいくらか異なった理由から生じてくるものである。非結合多元環の領域にあってすでに一大分野へと発展したリー代数の理論では、結合法則の代わりにヤコビ恒等式が採用される。リー代数はの本質的な特質を抽象化するものであり、数学に遍在するものとなった。
既に深く調べられているほかの特定種類の非結合的構造もあり、それらは何らかの特定の応用から、あるいは組合せ論のような分野から生じたものである。その他の例は、、、非結合的環、非結合的多元環、など。
非結合的演算の記法.
非結合的演算が一つの式の中で複数回現れるときには、評価の順を指し示すために括弧を挿入することは（例えば のように、ほかの方法で順番を指定する記法を用いているのでない限り）一般には不可避である。とはいえ、いくつかのよく用いられる非結合的演算については、特定の順番に評価することにして括弧の使用を回避する簡便記法が、受け入れられている。
左結合演算も右結合演算もどちらも生じ得る。左結合演算の例:
右結合演算の例:
評価順について特定の規約がない演算の例:
プログラミング言語.
中置記法を採用しているプログラミング言語においては、任意の演算子について数学で言うところの結合法則が成り立たないことを仮定して、その式の意味をどういった順序で、値を演算子により結合させたものとするかについて、それぞれの言語にそれぞれ法則がある。「演算子の優先順位」() と「」（) と言う。
優先順位.
（ここでの前提である、中置記法を採用している）たいていのプログラミング言語の四則演算の演算子において、加減算より乗除算のほうが優先順位が高い、としているものが多い。
結合性.
数ベクトル空間
定義.
基底と次元.
内積.
標準内積は次のように定義される。
アフィン構造.
一般のベクトル空間との関係.