また、 を含む各凸集合は（それが凸であるという仮定によって） に属する点の凸結合をすべて含むから、従ってこのような凸結合全体の成す集合は を含む凸集合全ての交わりに含まれる。逆に、そのような凸結合全体の成す集合はそれ自身 を含む凸集合ゆえ を含む凸集合全ての交わりを含むから、これら二つの定式化が同じ集合を与えていることが知れる。
 の凸包が閉集合となるとき（よくあるのが例えば が有限集合やもっと一般にコンパクト集合のとき）、それは を含む閉半空間全ての交わりと一致する。このとき、超平面分離定理は、凸包に属さない各点が半空間によって凸包と分離されることを保証する。しかし、このようなやり方で表すことのできない凸集合および凸包が存在する。例えばその一つは、その境界に一点しか含まない開半平面によって与えられる。
を満たす。
有限点集合の凸包.
凸包の計算.
計算幾何学において、点やその他の幾何学的対象のなす有限集合の凸包を計算するアルゴリズムが数多く知られている。ギフト包装法などがある。
ミンコフスキー和と凸包.
凸包を取る操作は集合のミンコフスキー和に関してよく振る舞う。
実線型空間の任意の二つの部分集合 に対して、それらのミンコフスキー和の凸包はそれぞれの凸包のミンコフスキー和に等しい。即ち
が成り立つ。この結果は部分集合の有限族に対しても一般化できて、
が成り立つ。言葉を替えれば、ミンコフスキー和作用素と凸包作用素は可換なのである。
によって与えられる。
他の構造との関係.
位相的には、開集合の凸包は常にそれ自身開であり、コンパクト集合の凸包は常にそれ自身コンパクトとなるが、閉集合の凸包で閉とならないものが存在する。例えば、閉集合
の凸包は開上半平面になる。
応用.
凸包を求める問題の実用的な応用としては、パターン認識・画像処理・統計学・地理情報システム・抽象解釈による静的コード解析などがある。あるいはまた、点集合の幅や径を計算する回転キャリパー法のような、ほかの計算幾何学的アルゴリズムの構成部材としても重要な役割を提供する。
冪等性
長い腕シリーズ
『長い腕シリーズ』（ながいうでシリーズ）は、川崎草志による日本の推理小説のシリーズ。
ストーリー概要.