FrFTは次のように積分変換として表わせる。
ここでも、特殊な場合は α が π の整数倍に近付いたときの挙動と矛盾なく定義されている。
FrFTは、核関数と同じ次のような性質を持つ。
関連する変換.
離散フーリエ変換のような類似の変換にも、分数次フーリエ変換と関連する分数次への一般化が存在する。離散分数次フーリエ変換は、 による定義が、 および に見える。
関連するフーリエ変換の一般化について、も参照されたい。
一般化.
分数次フーリエ変換の解釈.
フーリエ変換の通常の解釈は、時間領域信号を周波数領域信号へと変換するものである。これに対して、逆フーリエ変換の解釈は周波数領域信号を時間領域信号に変換するものである。見て分かるように、分数次フーリエ変換は（時間領域でも周波数領域でもどちらでもよい）信号を時間と周波数の間の領域の信号へと変換するもの、つまりでの回転と解釈できる。この見方はにより一般化される。この変換は、分数次フーリエ変換を一般化し、時間・周波数領域における回転以外の線形変換を可能とする。
実際、分数次フーリエ変換は時間周波数分布上の回転操作である。上述の定義から、 の場合の分数次フーリエ変換では何も変化せず、 の場合はフーリエ変換となり、時間周波数分布を だけ回転させる。 がその他の値の場合、分数次フーリエ変換は時間周波数分布を だけ回転させる。次の図はさまざまな の値における分数次フーリエ変換の結果である。
応用.
分数次フーリエ変換は時間周波数解析や DSP に用いられることがある。ノイズのフィルタリングにも有用だが、ノイズと信号が時間・周波数領域において重ならないことが条件となる。次の例を考えよう。ノイズを除去したいが直接フィルタを適用することができない場合、まず分数次フーリエ変換により（ノイズを含む）信号を回転させる。すると、適切なフィルタを適用することにより欲しい信号のみを通すことができる。したがってノイズは完全に除去される。その後さらに分数次フーリエ変換を適用することにより信号を元にもどせば欲しかった信号が得られる。
分数次フーリエ変換は光学系の設計やホログラフィックストレージの効率最適化に用いられることもある。