デカルト冪.
集合 に対し、それ自身の（任意個の）直積として得られる集合
で与えられる。一般の添字集合 に対して
は から への写像全体の成す集合に他ならない。
性質.
 であるような が少なくとも一つ存在すれば、 であることは、直ちに示される一方、その逆にあたる命題は選択公理 （と同値）である。
集合算.
集合のデカルト積は交叉に関してよく振る舞う。すなわち
が成り立つが、この式の交叉を合併に置き換えた式は一般には正しくない:
実は右辺は
と書くことができる。差に関しては等式
が成り立つ。直積はいくつかの集合算に対して分配的であることが示せる:
ここで は の補集合である。
一般に
などが成り立つ。
ほかに、部分集合に関しては以下の性質がある:
濃度.
有限集合 の直積 の濃度は、 で与えられる。これは、数え上げに関する積の原理から導くことができる。
一例として、
このとき、, であって、実際に であることが確認できる。
同様にして
が成り立つ。特にデカルト冪について、
が言え、あるいは一般に
が濃度の冪の意味で成り立つ。
普遍性.
直積は次のような普遍性を持つものとして特徴付けることができる：
圏論の言葉で言えば、集合の直積は集合の圏における積である。
写像の直積.
ふたつの写像 が与えられたとき、直積集合 から直積集合 への写像を
で定義することができる。この を写像 の直積と呼ぶ。任意の有限あるいは無限個の写像の直積も同様に定義できる。
多変数の写像.
多変数の写像 は直積集合上の写像 として理解できる。
二項演算あるいは一般に多項演算は多変数の写像として定式化できる。
二変数の写像 の一変数化 は集合の圏における等式 を与える。これにより、集合の直積は配置集合をとる操作の左随伴となる。
直積
数学において、直積を考えられる対象は以下に挙げるように様々あり、それらの共通する本質は圏論的積によって捉えられる。
おもちゃのまち駅
歴史.
駅名の由来.
駅構造.
利用状況.
バス路線.
西口から関東自動車の路線が発着する。
三国志
概要.
後世、歴史書の『三国志』やその他の民間伝承を基として唐・宋・元の時代にかけてこれら三国時代の三国の争覇を基とした説話が好まれ、その説話を基として明の初期に羅貫中らの手により、『三国志演義』として成立した。