このような考察は任意の体 上の任意の無限次元ベクトル空間に対して一般化できる。基底 を一つとって を は有限個の例外を除く全ての に対して となるような写像 全体の成す空間 と同一視すれば、写像 は のベクトル と同一視される（ の仮定からこれは有限和だから意味を持ち、また基底の定義により任意の はこの形に書ける）。
そして の双対空間は から への写像全体の成す空間 に同一視される。実際、 上の線型汎函数 は の基底におけるその値 によって一意に決定され、また任意の写像 () は
と置くことにより 上の線型汎函数 を定める（ は有限個の を除いて全て だから、やはりこの和が有限であることに注意）。
 は をそれ自身 上一次元のベクトル空間と見做したものの で添字付けられた無限個のコピーの直和と（本質的には定義によって）同一視できる。即ち線型同型
が存在する。他方 は（やはり定義によって） で添字付けられる の無限個のコピーのに同型である。同一視
は加群の直積と直和に関する一般の場合の結果の特別の場合である。
従って無限次元のとき、代数的双対は必ずもとの空間よりも大きな次元を持つ。これは連続的双対の場合には無限次元の場合でももとの空間と同型となる場合があることと対照的である。
双線型な乗法と双対空間.
 が有限次元のとき、 はその双対 とは同型であるが、それらの間に自然な同型は存在しない。 上の任意の双線型形式 は から双対 への写像
を与える。この右辺は 各 をスカラー へ写す 上の線型汎函数である。即ち、双線型形式は線型写像
を定義するのである。もとの双線型形式が非退化ならば、この線型写像は の中への同型を与える。特に が有限次元ならば の上への同型である。逆に、 から の部分集合（あるいは 全体）への任意の同型 は、
と置くことにより、 上の非退化双線型形式 を一意的に定める。従って、 から の部分集合（あるいは 全体）への同型写像と 上の非退化双線型形式との間には一対一対応が存在する。
ベクトル空間 が複素線型ならば、双線型形式よりも半双線型形式を考えたほうが自然なこともある。この場合、半双線型形式 は からその双対空間のへの線型写像
を定める。共軛空間 は加法的複素数値函数 で
を満たすもの全体の成すベクトル空間と同一視される。
二重双対空間への単射.