：ジェルマン、ディリクレ、ルジャンドル.
例えば、 のとき、 は素数なので、よりフェルマー予想の「第一の場合」は指数 に対して正しい。
ジェルマンまでは（そしてジェルマン以降も当面は）「 のとき」あるいは「 のとき」といった個別研究の域を出なかったこの問題に対し、解の条件が「第一の場合」に限られているとはいえ包括的な証明を与えようとした点において、ジェルマンの研究成果の意義はきわめて大きい。
：ディリクレおよび ：ラメ、ルベーグ.
また、 の場合についてのラメの証明があまりにも複雑なものだったため、同様の手法で や の場合について研究してみようと思う者はいなくなり、個別研究の時代は終わる。
クンマーの理想数.
の場合にフェルマー予想が成り立つことが証明された。
近代的アプローチへ.
モジュラー形式.
アンリ・ポアンカレは上半平面上の関数についての研究から、モジュラー形式を案出する。
モーデル予想.
谷山–志村予想.
このラマヌジャン予想→谷山–志村予想→ラングランズ予想→超ラングランズ予想という一連の流れ（ゼータの統一）は数論の中心的テーマの一つとなっている。
フライ・セール予想.
これらの経過は以下のように整理することができる。
つまり、谷山–志村予想が証明されたならば、それはフェルマーの最終定理が証明されたことをも意味するのである(=完全証明への道がつながった)。
最終的解決.
フィクション.
偽の反例.
しかし、この等式は偽であり、厳密に計算すると以下のようになる。
一方、
また、
ピタゴラスの定理
という等式の形で述べられる。
現在の日本ではとも呼ばれている。戦前の日本ではと呼ばれていた。「ピタゴラス」と冠しているが、彼が発見したかは定かでない。
 で特に全てが自然数であるものは、本質的に可算個あることが知られており、ピタゴラス数と呼ばれている。
定理の概要.
歴史.
「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」などいくつかの逸話が伝えられているが、実際にピタゴラスが発見したかどうかは正確には判っていない。
ピタゴラスの定理の内容は歴史上の文献にいくつか著されているが、どれだけあるのかは議論がある。ピタゴラスが生まれる前からピタゴラスの定理は広く知られていた。
日本での呼称.