強結合モデルはその長い歴史上、様々な方法で様々な目的に用いられており、それぞれ異った結果をもたらしている。このモデルは自己完結的ではなく、部分的にほとんど自由な電子モデルなどの他のモデルや別の方法による計算の結果を組込む必要がある。このモデル全体、もしくは一部分が他の計算の基として用いられることがある。たとえば、導電性高分子や有機半導体、分子エレクトロニクスの分野においては、もともとの強結合モデルでは原子軌道を用いるところに共役系の分子軌道を用い、原子間行列成分を分子内・分子間ホッピング・トンネリングパラメータにおきかえたものが用いられている。これらの導電体のほぼ全ては非常に非等方性が強く、完全に一次元的であると見做せることもある。
歴史的背景.
この手法では、別の原子サイトとの相互作用はとして扱われる。とり入れるべき相互作用として、数種類のものがある。結晶のハミルトニアンを各原子のハミルトニアンの和として表わすのはあくまで近似であり、また隣接する原子同士の波動関数は重なりを持つことから、真の波動関数を精度よく表現できるわけではない。 詳細な数学的形式については後述する。
数学的形式.
ここで は原子エネルギー準位の添字であり、 は結晶格子上の原子サイトを表わす。
並進対称性と規格化.
ブロッホの定理により、並進によって結晶の波動関数は位相因子分しか変わらない。
ここで は波動関数の波数ベクトルである。したがって、上の線形結合の係数は以下の式を満たす。
または
波動関数を規格化する。波動関数のノルムは、
すると波動関数は以下のようになる。
強結合ハミルトニアン.
さらに、他のサイト上の原子ハミルトニアンを含む項は無視する。するとこのエネルギーは以下のようになる。
ここで、 は 番目の原子準位であり、 は強結合行列要素と呼ばれる。
強結合行列要素.
行列要素
は隣接する原子のポテンシャルによる原子準位のシフトに由来する。この項はほとんどの場合比較的小さく、もしこれが大きいときは隣接する原子が原子準位に大きな影響を与えることを意味する。
次に、行列要素
は隣接する原子上の原子軌道 と の間の原子間行列要素と呼ばれる。結合エネルギー、または二中心積分とも呼ばれ、強結合模型上で最も重要な行列要素である。
最後に、行列要素