一般の基礎体 上の線型代数群 に対して、すべての極大トーラスが の元によって互いに共役であるとは限らない。例えば、上述の乗法群 や円周群 は 上 の極大トーラスとして現れる。しかし、 上の に含まれるどんな極大分裂トーラス （これはより大きな分裂トーラスに含まれていないものを指す）も適当な の元によって互いに共役である。その結果として、 上の の あるいは を極大分裂トーラスの次元として定義することができる。
べき単群.
 で 上 に含まれる対角成分がすべて である上三角行列からなる群とする。体 上の群スキーム（例えば線型代数群）は、ある に対して のある閉部分群スキームと同型であるとき、べき単 であるという。 がべき零であることは簡単に確かめられる。よって、任意のべき単群スキームはべき零である。
 に含まれる上三角行列からなる群 は半直積
である。ここで は である。より一般に、連結で可解な線型代数群はトーラスとべき単群の半直積 である。
完全体（例えば、代数的閉体） 上滑らかで連結なべき単群は、すべての商群が加法群 と同型である組成列を持つ。
である。対応する は、それぞれ
である。
半単純群と簡約群.
任意のコンパクト連結リー群はと呼ばれる複素簡約代数群を持つ。その上、この構成はコンパクト連結リー群と複素簡約群の同型類に対して一対一対応を与える。
体 上の線型代数群 は半単純かつ非自明で 上 のどんな滑らかな連結正規部分群も自明であるとき、単純 （あるいは ）と呼ばれる。（この性質を と呼ぶ著者もいる。）この用語は抽象群のものとは僅かに異なっており、単純代数群は非自明な中心を持つことがある（ただし中心は必ず有限になる）。例えば、 以上の整数 と体 に関して、 上の群 は単純で、その中心は の 乗根の群スキーム である。
完全体 上の連結線型代数群 は簡約群 の滑らかな連結べき単群 による（一意的な）拡大である：
 は のべき単根基 と呼ばれる。もし の標数がゼロならば、より精密に を持つ： 上の線形代数群 は簡約群のべき単群による半直積 である。
簡約群の分類.