ボーアの原子模型は水素原子の輝線スペクトルに関する実験結果を説明することができる。
水素原子中において、電子はクーロンポテンシャル
の下で運動する。定常状態にある電子は、仮定により、古典力学に従って楕円軌道をとる。
定常状態における系のエネルギーを とすれば、軌道長半径と軌道周期は
で表される。
電子の軌道が円軌道であるとき、電子の周回速度は
となる。
ボーアの量子条件より、量子数 に対して
であり、対応するエネルギー準位が
と求められる。
この式から判るように、量子数 が大きいほどエネルギー準位は高い。
ここで量子数 から への定常状態の遷移を考える。 とすると、エネルギー準位の高い状態から低い状態への遷移であり、このときに放出される光の周波数は、振動数条件より
である。放出される光の波長で表せば
となり、バルマー系列などの水素原子の輝線スペクトルの関係式と同じ形の式が得られる。
比例係数は
である。
物理定数から計算されるこの比例係数の値は、水素原子のスペクトルの観測から得られたリュードベリ定数と見事に一致し、ボーアの模型の正しさが実証された。
原子模型.
既に見たようにボーアの原子模型において、量子数 に対応して電子のエネルギーが離散化される。量子数 に対応する定常状態が最もエネルギーが低く安定した状態であり、この状態を基底状態と呼ぶ。基底状態よりエネルギーの高い量子数 に対応する定常状態を励起状態と呼ぶ。基底状態から励起状態へ移ることを励起という。
また、量子数 に対応する電子の軌道半径は
となる。ボーアの原子模型においてはエネルギーだけでなく軌道半径も離散化され、基底状態で最も軌道半径が小さく、高いエネルギー準位へ励起されるに従って軌道半径は大きくなる。基底状態における軌道半径は特にボーア半径と呼ばれ
である。
軌道周期と周回速度はそれぞれ
となる。
イオン化エネルギー.
量子数 の極限を考えると
である。電子の軌道半径が無限大の状態とは、電子が束縛を逃れた状態であり、すなわちイオン化された状態である。水素原子の第一イオン化エネルギーは基底状態から量子数 の状態への遷移エネルギーであり
となる。
水素以外の原子の軌道.
水素のほかにも原子番号 の原子についてボーアの原子模型を用いると、クーロンポテンシャルを
と置き換えることに相当する。