そこで、多くの効率的なFFTアルゴリズム は入力データが実数であることを前提に設計されている。
入力データが実数の場合の効率化の手段としては、次のようなものがある。
歴史.
以下の書籍にも、天体観測の軌道の補間のためにガウスが高速フーリエ変換を利用したことが書かれている。
学習用図書.
今後記述を追加の予定
局所密度近似
一般に、スピン非偏極系について、交換相関エネルギーに対する局所密度近似は次のような関数系を仮定する。
応用.
均一電子ガス.
交換汎関数.
相関汎関数.
であり、低密度限界は
スピン偏極.
である。LSDAはバンド計算において磁性（強磁性、反強磁性、ハーフメタリックなど）やスピンの問題（スピン分極）を扱う時に使用される。
交換エネルギーについては、（局所密度近似に対してのみではない）厳密な結果がスピン非偏極汎関数の観点から知られている。
相関エネルギー密度のスピン依存性は相対スピン偏極度
実例となる計算.
局所密度近似は大変成功した近似であるが、実際の系に対する様々な計算の結果、その限界もまた露わになってきた。代表的な問題点とその克服に向けたアプローチについて記述する。
問題を克服する手段・手法.
以下のようなものが提案、試行されている。
状態密度
固体物理学および物性物理学において、系の状態密度（じょうたいみつど、, DOS）とは、微小なエネルギー区間内に存在する、系の占有しうる状態数を各エネルギーごとに記述する物理量である。気相中の原子や分子のようなとは異なり、密度分布はスペクトル密度のような離散分布ではなく連続分布となる。あるエネルギー準位において DOS が高いことは、そこに占有しうる状態が多いことを意味する。DOS がゼロとなることは、系がそのエネルギー準位を占有しえないことを意味する。一般的に DOS とは、空間的および時間的に平均されたものを言う。局所的な変動は局所状態密度 (, LDOS) と呼ばれ区別される。
概要.