整数の変数を持つ代数方程式 の形において、エルデシュ＝シュトラウス予想はディオファントス方程式の一例である。局所大域原理はこれらの方程式の研究には合同算術が必要であることを示唆している。もし代数方程式が整数解をもつならば、任意の整数 に対して法 を取れば、法 の際の解が得られる。逆に、もし方程式が全ての素数冪 に対して法 上での解を持つ場合、中国の剰余定理に関連した手法を用いてそれらの合同算術解をつなぎ合わせ整数解を得られる。与えられた問題が局所大域原理によって解くことができるかどうかはによって制限されるが、エルデシュ＝シュトラウス予想の場合にはこの制限は存在しない。
それにもかかわらず、この原理はエルデシュ＝シュトラウス予想の解決にはほとんど役に立たない。すべての に対し、方程式 は任意の素数を法として容易に解くことができるが、これらの解をつなぎ合わせ、正整数解を得るのは不可能だと考えられている。しかしながら、合同算術およびそれを基にした恒等式はこの予想の研究において極めて重要な道具であることが示されている。
合同恒等式.
恒等式の不在.
モーデルの結果がこの問題に対する合同恒等式の形式を限定しているにもかかわらず、依然として合同恒等式を用いたエルデシュ＝シュトラウス予想解決の可能性が残されている。素数は立体数ではないため、ハッセ・ミンコフスキーの定理より、 が素数ならば、 が の平方剰余とならないような、より大きな素数 が存在する。証明を解決するための可能性あるアプローチのひとつとして、任意の素数 に対してより大きな素数 を探し、 と に関して合同な、 問題の解となる を見つけるというものがある。もしそのような例が見つかれば、全ての素数 は予想の反例とならなくなり、したがって予想が正しいことになる。
解の個数.
一般化.
 が奇数のとき、エジプト式分数に対するからの類推で = + + （、、 は相異なる正奇数）の解を求められる。この方程式の解は の時常に存在することが知られている。
石見村 (島根県)
石見村（いわみむら）は、島根県那賀郡にあった村。現在の浜田市の一部にあたる。
解説.
エルデシュ・シュトラウス予想
さんざか
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生涯.
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