であるが、 は 次だから、この指数函数部分は のオーダーまで展開するだけでよい。 の最後の負冪はケイリー・ハミルトンの定理により自動的に消える（再度、これには係数環が有理数体を含むことが必要である）。 に対する係数たちが完全ベル多項式によって直接的に書けることは、この級数表示とベル多項式の母函数を比べれば分かる。この表示を に関して微分することで、一般の に対する固有多項式の一般係数を 次行列式
高次の冪の計算.
ケイリー・ハミルトンの定理は の冪の間に成り立つ（最も
とは限らないが）関係を記述するものであるから、それにより の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、式を簡単化して の（ 以上の指数が大きな）冪を直接計算することなく値を評価することができるようになる。
だから、 を計算したければ、順に
行列函数を多項式に帰着する.
解析函数が収束冪級数として
と与えられ、次正方行列 の固有多項式を と書くとき、上記の冪級数を十分大きな で打ち切った多項式に対する剰余付きの除法を考えれば、
で「剰余」多項式 が となる「商」解析函数 とともに一意的に決まる。 を行列 に置き換えれば、ケイリー・ハミルトンの定理により だから、ある種の剰余の定理：
が成り立つ。ゆえに、行列変数の解析函数は各行列 ごとに 次以下の行列多項式として書き表される。
を作ることができる。これは 個の線型方程式系になっているから、解くことで係数 を決定することができて、
が決まる。
を新たに 本追加して、係数 を決めるのに必要な 個の方程式系を得ることができる。
全ての点 を通る多項式を求めることは本質的に補間問題であり、ラグランジュ補間やニュートン補間法を用いて解くことができ、が導かれる。
として与えられる。その多項式表示は に対しては古くから知られており、パウリ行列 を用いて
と書ける。 も同様で
と書ける（これはロドリゲスの回転公式である）。記法についてはを見よ。
代数的数論.
の表現行列を と書けば、 にケイリー・ハミルトンの定理を適用することにより の最小多項式が求まる。
一般の証明.
三角化による証明.
文献に掲載されている方法による。
 を上三角化した行列を とする。このとき対角成分に固有値 が並ぶ：
単因子による証明.