とすることができる。ここで、ファインマンの下付き添字記法 を用いた。これは下付きにした勾配作用を因子 のみに対して施すことを意味する。
他には例えば、 を考えれば、これはデカルト座標系で
となり、これを前の例で とした特別の場合として考えることができる。（この場合、
 は、問題のベクトルの各成分に対して個別にラプラス作用素を施したベクトルであることに注意）。
任意のスカラー場 に対し、その勾配の回転は常に零ベクトル、即ち
が成り立つ。また、 がスカラー値で がベクトル場ならば、
が成り立つ。
一般化.
微分形式による定式化.
三次元において、各係数は実函数であるものとして、
で与えられる。ここで、 などの「楔積」は
に外微分 を施したものが
など、混合微分の交換可能性 が成り立つから、外微分を二度施したものは必ず になる ()。
が出てくる。一次元ファイバーが函数に対応し、三次元ファイバーがベクトル場に対応する（後述）。適当な同一視で割って、外微分から , , に対応する三つの非自明な演算が導かれることに注意。
それぞれ写す演算として理解できる。一方、 なる事実に対応するのは、函数 およびベクトル場 に対する二つの恒等式 および である。
微分幾何学的な意味での回転.
回転を二重ベクトル場（反対称二階テンソル）と考えることは、ベクトル解析とそれに関連する物理学を高次元化するのに用いられている。
スカラーポテンシャル
スカラーポテンシャルは、ある位置から他の位置へと物体が移動するときのポテンシャルエネルギーの変化が位置のみに依存し移動経路に依存しないときのポテンシャルである。このときのポテンシャルは方向に依存しない値、すなわちスカラーである。よく知られた例は重力によるポテンシャルエネルギーである。物理領域では特に静電ポテンシャルを指す場合がある。
可積分条件.
重力ポテンシャルエネルギーとしての高度.
よって
浮力ポテンシャルとしての圧力.
流体力学において、平衡状態にあるが一様な重力場の存在下では一様な浮力が重力を相殺するように浸透する。つまり、流体はその平衡状態を維持する。この浮力は負の圧力勾配である。