有限次元線型写像の連続性.
と表すことができるから、三角不等式により 
を得る。ここで 
とできるという事実（これは有限次元空間上のどの二つのノルムも互いに同値であるという事実から従う）を用いると
具体例.
完備でない空間においては不連続線型写像の例を構成するのは容易である。線型独立なベクトルからなるコーシー列で極限を持たないものを任意に取れば、線型作用素は際限なく増加することができる。これはつまり、空間に「穴」があるから線型作用素が連続でないという意味である。
を入れたものを考えると、「一点において微分する」写像
この例において定義域が完備でないという事実が重要である。完備空間上の不連続作用素を得るにはもう少し準備が必要である。
非構成的な例.
この例は任意の無限次元ノルム空間上の（終域が自明でない）不連続線型写像の存在についての一般定理に拡張することができる。
一般の存在定理.
ここで、任意の線型独立系を基底に延長することができるという事実を用いたから、そこに暗黙の裡に選択公理が使われていることに注意すべきである（前掲の具体例では選択公理を必要としない）。
選択公理に関して.
選択公理を持たない集合論では不連続線型写像が存在しなくても矛盾は起こらないのだから、結論としては選択公理の必要性を取り除くことは可能でないということになる。系として、至る所導函数が定義できないような不連続作用素が構成可能である。
不連続な閉作用素.
自然に生じる線型不連続作用素が閉作用素となることは多く、そのような作用素のクラスは連続作用素のクラスと様々な特徴を共有している。連続性についての問いと同様、与えられた空間上の任意の線型作用素が閉であるかと考えることは意味を成す。閉グラフ定理は完備な定義域上の至る所定義された閉作用素が連続であることを保証するから、不連続閉作用素を考える文脈では至る所定義されるのではない作用素を許さねばならない。至る所定義されたものでない作用素の中でも、密に定義された作用素を考えて一般性を失わない。
双対空間への影響.