ただし江戸時代農民の勤勉性と現代人の考える勤勉性は必ずしも一致するものではない。工業化以前の農村社会では、社交と労働が混然とした中で自然のリズムにあわせて課題が遂行される「課題本位」と呼ばれる仕事の仕方をしており、それは時間を気にしながら働く人からは浪費的で緊張感を欠いていると看做されるものであった。江戸時代には計画的な農業経営が求められて農書の中でもその大切さが強調され、「一年の計は元旦にあり」「時は金なり」「早起きは三文の得」の格言に示されるように計画的な行動や時間の重要性が認識されていた。しかしこれは工業化を経験した人間が重要視する定時性とは異なるものであり、明治初期に日本に訪れた西洋人の中には「日本人は怠惰な民族」とみなす者も存在した。
鎖国の中での勤勉革命.
勤勉革命論の受容.
また、速水から勤勉革命という用語を聞いたヤン・デ・フリース()は、産業革命前夜のヨーロッパの労働集約的手工業の発展を勤勉革命と呼んで勤勉革命と産業革命は連続的なものと捉え、勤勉革命論はその適用範囲拡大の可能性が模索されている。しかし速水は「勤勉革命は工業化と対立する概念」であって外圧なしに自発的に工業化へ発展しないものと捉えており、これに対し否定的な見解を示している。
ものまねウォーズ
正規直交系
定義.
直交系.
正規直交系.
有限個または可算個の一次独立なベクトル が存在する場合、グラム・シュミットの正規直交化法により、 から正規直交系を具体的に構成することができる。
完全正規直交系.
内積で定まるノルムについて完備であるヒルベルト空間を論ずる際において、正規直交系は重要な役割を果たす。ヒルベルト空間において、正規直交系 が完全系である、すなわち
という展開が可能となる。但し、無限列についてはノルムに関する収束を表すものとする。
任意のヒルベルト空間において、完全正規直交系は存在するが、特に可分なヒルベルト空間であれば、高々可算個からなる完全正規直交系が存在する。
性質.
完全正規直交系.
完全正規直交系の性質を特徴付ける定理として、次の同値性が成り立つ。
ヒルベルト空間 の正規直交系 に対し、以下は同値となる。
正規直交系の例.
完全系の例.
で与えられる は 空間の完全正規直交系である。
定数関数 と三角関数の列
からなる は、 で完全正規直交系である。