が挙げられる。 は粒子の運動量、 は粒子の位置を表す演算子である。 は粒子の質量であり、それぞれの定数や演算子の添字 は観測された各粒子を番号付けるものである。また は系の粒子数を表す。
ハミルトニアンが時間に依存する例としては、量子系が外界と相互作用する場合が挙げられ、特に有名なものとして古典的な電磁場と相互作用する電子のハミルトニアンがある。
ここで は電磁ポテンシャルであり、 は電気素量である。
ユニタリ性.
ハミルトニアン の自己共役性と時間発展演算子 の初期条件から、時間発展演算子がユニタリ演算子であることが分かる。時間発展演算子の微分方程式
およびその共役演算子に関する微分方程式（ここでハミルトニアンの自己共役性を利用する）
より時間発展演算子とその共役の積は
を満たす。初期条件
より任意の時刻について時間発展演算子はユニタリ性を持つ。
時間発展演算子がユニタリ演算子である場合、状態ベクトルの内積は保存される（つまり、状態ベクトルの内積は時間によらず一定である）。
後述するように状態ベクトルの内積が保存することは、物理的には測定に関する確率の保存則として理解できる。
座標表示.
このことは固有ベクトルの正規性および直交性によっている。
位置演算子の固有ベクトルにかかる波動関数を特に座標表示の波動関数と呼ぶ。シュレーディンガー方程式を座標表示の波動関数によって書き換えれば、
となる。波動関数は位置 を変数に持つため、時間微分は偏微分に置き換えられる。ここでのハミルトニアンは
として座標表示した波動関数に作用する演算子に置き換えられている。同様に運動量表示の波動関数のシュレーディンガー方程式を考えることもできる。座標表示や運動量表示の波動関数に対するシュレーディンガー方程式は単純な代数方程式ではなく、線型偏微分方程式となる。
物理的意味.
波動関数に物理的な意味が与えられるには、波動関数の空間部分について二乗可積分である必要がある。
可積分性の条件は、波動関数に対して適切な境界条件を課すことで満足される。通常は更に波動関数の規格化条件
を満たすものが非物理的でない解として採用される。
波動関数の収縮との関係.
シュレーディンガー方程式を解くと、その系の波動関数がどのように時間発展するかがわかる。