数ベクトル空間 は、すでに示した基底によってその次元が であることがわかる。#函数空間節で述べた多項式環 の次元は可算無限（基底の一つは で与えられる）であり、ある（有界または非有界な）区間上の函数全体の成す空間など、もっと一般の函数空間の次元は当然無限大になる。現れる係数に対して適当な正則性条件を課すものとして、斉次常微分方程式の解空間の次元はその方程式の階数に等しい。例えば、式()の解空間は と で生成され、これら二つの函数は 上線型独立であるから、この空間の次元は で、方程式の階数 と一致する。
有理数体 上の拡大体 の次元は に依存して決まる。 が有理数係数の代数方程式
他方、 が代数的でないならば、 の 上の次元は無限大である。例えば とすれば、 を根とする代数方程式は存在しない（別な言い方をすれば、 は超越的である）。
線型写像と行列.
線型写像.
二つのベクトル空間の間の関係性は線型写像あるいは線型変換によって表すことができる。これは、ベクトル空間の構造を反映した写像、即ち任意の と任意の に対して
を満たすという意味で和とスカラーとの積を保つものである。
同型写像とは、線型写像 で逆写像 , 即ち合成写像 および がともに恒等写像となるものが存在するものを言う。同じことだが、 は一対一（単射）かつ上への（全射）線型写像である。 と の間に同型写像が存在するとき、これらは互いに同型であるという。このとき、 において成り立つ任意の関係式が を通じて における関係式に写され、また逆も を通じて行えるという意味で、これら本質的に同じベクトル空間と見做すことができる。
固定されたベクトル空間の間の線型写像 の全体は、それ自体が線型空間を成し、 や などで表される。 から係数体 への線型写像全体の成す空間は、 の双対空間 と呼ばれる。自然な単射 を通じて、任意のベクトル空間はその二重双対へ埋め込むことができる。この写像が同型となるのは空間が有限次元のときであり、かつその時に限る。
行列.
行列 ( ) は線型写像の情報を記述するのに有効な概念である。行列は、図のように、スカラーの矩形配列として書かれる。任意の 行列 は から への線型写像を
として生じる（ は総和を表す）。これはまた行列 と座標ベクトル との行列の積を用いて