表現行列.
表現空間を明示したいときは組 で表現を表す。表現空間 の次元 を表現の次元という。表現空間 に適当な基底を導入すれば、 は具体的に 次正方行列で書き表せるから、群 の表現とは「から正則行列の成す群 への準同型写像である」といってもよい。このとき行列 を の表現行列と呼ぶ。
同値な表現.
で繋がるならば、表現 と は同値あるいは同型であるといい、両者は本質的には同じ表現である。この条件はすべての元 に対して次の図式が可換であるといってもよい。
なお、一般に、全単射とは限らないこのような変換をという。
特別な表現.
恒等表現・忠実表現.
対応 は一般には単射であるとは限らない。たとえば、すべての元 に恒等変換を対応させるものも表現であって、これは恒等表現あるいはと呼ばれる。一方、対応 が単射のときはその表現は忠実な表現であるという。
既約表現.
また適当な相似変換によってブロック対角型になる（簡約できる）表現を直可約表現、直可約でない表現を直既約表現という。
有限群の同値でない複素数体上の有限次元既約表現の数は、群の共役類の数と等しい。
ユニタリ表現.
すべての がユニタリ変換であるような表現をユニタリ表現と呼ぶ（直交変換はユニタリ変換の特別な場合であるから、直交変換による表現もユニタリ表現である）。
誘導表現.
有限群 の部分群 を取り、剰余類分解の完全代表系 をひとつ固定する。
体 上の表現 の とは次で定義される群 の表現のことである。
誘導表現 の次数は表現 の次数の 倍である。また自明な部分群の自明な表現の誘導表現は群 の正則表現を与える。
部分群 の表現加群を としたとき誘導表現から定まる群 の表現加群のことを誘導加群といい、, あるいは で表す。代数のテンソル積を使って と定義しても同型な表現加群が定義できる。
具体例.
基本的な定理.
有限群 の部分群 を取る。群 の表現 に対し、部分群 への制限表現 を で定める。またこの制限表現から定まる部分群 の表現加群のことを制限加群といい、, あるいは で表す。このとき線型空間としての同型
有限群 の部分群 を取り、その両側剰余類分解を
とする。このとき 加群 について 加群として次の同型が成り立つ。