射影は、集合論、位相空間論、など様々な分野において、あるいはまた、リレーショナルデータベースにおける演算としても用いられる。場合により、座標函数 () や 評価写像 ( などと呼ばれることもある。
定義.
任意の添字集合 を持つ集合族 に対し、それらのデカルト積 を考える。いま を の部分集合とすれば、 上の射影 とは、写像
を言う。すなわち、射影 によって元の族 は、添字集合 で添字付けられた元の族となる。添字集合が一元集合 であるときには、射影 は簡単に とも書かれる。
例.
順序対の成分.
添字集合がちょうど二つの元からなるとき、それを とすれば、考えるデカルト積は で、これは二つの集合 の元の順序対全体の成す集合である。このとき、順序対 の第一および第二成分への射影が
および
成分への標準射影.
評価写像.
任意の直積因子 がすべて同じ集合 であるとき、デカルト積 は集合 全体の成す集合である。この場合の射影 は写像
で、これは各写像に対して引数 に対するその写像の値を割り当てるものになっている。ゆえにこの写像は評価写像とも呼ばれる。
性質.
全射性.
添字集合 に対し各集合 が空でないとき、射影は全射であり、したがって
を満たす。しかし、空でない集合からなる任意の集合族のデカルト積が空でないことを保証するには選択公理が必要である。実は上に挙げた主張が成り立つのは選択公理と同値である。したがって選択公理の仮定の下、空でない集合からなる任意の集合族に対して、任意の射影は必ず全射である。
逆像.
 が添字集合 の真の部分集合で、 を射影 の終域の部分集合とするとき、 の逆像は
と書くことができる。従って集合 はでもある。
応用.
位相空間論.
各添字 に対する集合 が位相空間であるとき、デカルト積 上の積位相は全ての射影 を連続にする（開集合が最も少ない位相）をいう。このとき、 が の開集合であるときの円筒集合 全体の成す集合が、積空間 のを成す。積空間を以下のような圏論的直積の普遍性によって特徴づけることもできる: