一端が壁に固定されたフックの法則に従うばね係数 のばねに接続された物体を考える。ばねの伸びが のとき、ばねが物体に及ぼす力は である。
ばねの伸びが だけ変化するとき、ばねに接続された物体は だけ移動する。
ばねの伸びの変化が充分に小さい場合には、ばねが及ぼす力は殆ど変化しないとみなすことができる。このとき、ばねが物体に行う仕事は
である。
一方、ばねが物体に仕事を行うとき、ばねから物体にエネルギーが移動する。ばねの他端は壁に固定されているので、外部からのエネルギーの流入はない。従って、ばねが行う仕事の分だけばねが蓄えている弾性エネルギーが減少する。弾性エネルギーを 、その変化量を とすれば
である。
これら二つの式から
が得られる。ばねの伸びが無限小の極限 で、微分係数が
となる。これを積分すれば
が導かれる。ここで は積分定数であり、これは伸びが 、すなわちばねが自然な長さにあるときの弾性エネルギーを意味する。通常は と定める。
弾性エネルギーと応力.
先のばねの例において、ばねの伸び を弾性体の歪み へ、物体がばねに及ぼす力 を、弾性体の応力 へと置き換えれば、応力が偏微分係数
として表され、弾性エネルギーはこの積分として
で与えられる。弾性エネルギーは弾性体の変形の関数として定まるエネルギーであり、先の一次元線形弾性体の例では、ばねの伸び の関数として与えられている。応力と歪みは一般にテンソルであり、テンソル添え字を で表している。
応力を歪みの関数として与える関係式は構成方程式であり、弾性エネルギーと構成方程式は一方が分かれば、他方が偏微分あるいは積分として得られる関係にある。理論モデルとしてはどちらを先に与えても等価であるが、実験的には構成方程式が先に決定され、その積分として弾性エネルギーを導かれる場合が多い。
弾性エネルギーの例.
弾性エネルギーは例として伸びている「ゴム」や「ばね」などのことを言う。弓が元に戻ろうとする力で飛ぶ矢など。
熱力学との関係.