最後の条件は正規部分群の重要性の一端を示すもので、ある群の上で定義される準同型写像全体を内部的に分類する方法を与えている。たとえば、単位群でない有限群が単純（自分と単位群以外には正規部分群を持たない群）となるための必要十分条件はその群が自明(全ての元を単位元に写す準同型)でない任意の自己準同型の像と同型となることであり、有限群が完全群となるための必要十分条件はそれが素数指数の正規部分群を持たないことであり、また群が不完全群となるための必要十分条件は、その導来部分群がいかなる真の正規部分群をも補群として持たないことである。
性質.
正規部分群の束.
群 の正規部分群全体の成す集合は、集合の包含関係に関して } を最小元、 を最大元として持つ束を成す。 の正規部分群 と が与えられたとき、 と の「交わり」が
で定義され、「結び」が
で定義される。この束は完備かつモジュラーである。
正規部分群と準同型.
 が の正規部分群ならば、剰余類の間の乗法を
一般に、準同型 は の部分群を の部分群に写す。また、 の任意の部分群の原像（逆像）は の部分群となる。 の自明な部分群 } の準同型 による逆像 を、準同型 の核と言い、記号 で表す。さらに、核はつねに正規部分群であり、 の像 と、商群 はつねに同型である（第一同型定理を参照）。実は、この同型対応は の剰余群全体の成す集合と の準同型像の同型類全体の成す集合との間の全単射を与えている。これと、商写像 の核が それ自身であることはすぐにわかるから、まとめると の正規部分群はすべて を定義域とするなんらかの群準同型の核として得られることが示せる。
洪武
概要.
脚注.
注釈
出典
長町駅
長町駅（ながまちえき）は、宮城県仙台市太白区長町五丁目にある、東日本旅客鉄道（JR東日本）および仙台市地下鉄の駅である。
乗り入れ路線.
また、当駅北方で仙台貨物ターミナル駅へ向かう貨物線（東北本線貨物支線、通称「宮城野貨物線」）が北東方向へ分岐しており、当駅が分岐駅とされている。貨物下り線は上り旅客線と平面交差する形になっている。以前は分岐点から当駅構内までが線路別複々線だったが、長町機関区の廃止とあすと長町再開発事業に伴う高架化により複線に変更された。
歴史.
駅構造.
JR東日本.