なる等式が成り立つ。一般に が四元数（純虚でなくてよい）のとき、これをスカラー部とベクトル部との和
に分解すれば、等式
行列表現.
複素数の行列表現と全く同様に、四元数も行列で表現することができる。四元数を行列で表現し、四元数の加法と乗法を行列のそれに対応させる方法は、少なくとも二つあり、一つは 複素 次正方行列を用いるもの、もう一つは実 次正方行列を用いるものである。何れの場合も、表現は線型に関連する表現の族として与えられるもので、抽象代数学の観点からは、 からそれぞれ全行列環 および への単射環準同型である。
複素 次正方行列を用いて、四元数 は
と表現される。この表現は以下の性質を持つ：
実 次正方行列を用いれば、同じ四元数は
で表される。この表現では、四元数の共軛は対応する行列の転置に対応する。また、四元数のノルムの四乗は対応する行列の行列式に等しい。複素数は、行列を のブロックに分けたときの区分対角行列に対応する。
四平方和定理.
四元数を、数論におけるラグランジュの四平方和定理（任意の非負整数が四つの整数の平方の和で表せること）の証明に用いることもできる。ラグランジュの四平方和定理は定理それ自体が美しいだけでなく、のような数論以外の数学の分野においても有意な応用を持つ。四元数に基づく証明では四元数全体ではなくその部分環でユークリッドの互除法が使えるが用いられる。
複素数の対として.
四元数は複素数の対として表現することができる。この側面からは、四元数は複素数全体にケーリー＝ディクソン構成を適用して得られたものということになる。これは、複素数の実数の対としての構成を一般化したものである。
 を複素数体上の二次元ベクトル空間とし、基底 をとる。 に属するベクトルは
と表される。ここで および であるものと定めると、分配律により二つのベクトルの掛け算が定義できる。いま、積 を とおくと、通常の四元数の乗法規則と同じになるので、従って上記の複素ベクトルは四元数
に対応するものである。 の元を順序対として、四元数を四つ組としてそれぞれ書けば、この対応は
となる。
の平方根.