基本的に に到達するごとに に戻るのであって、これは法 で考えているということになる。先の例では と は法 に関して合同であると言う。より一般に etc. は法 のもとで等しいものと考える。
文字盤に任意個数の整数の書かれた時計を想像すれば、一般化は容易であり、計算もできる。
法 に関する合同.
定義.
 が 以上の整数として、「二つの整数 が法 に関して合同である」とは、以下の同値な条件のいずれか（したがってすべて）を満足する場合を指す:
記法.
二つの整数が合同であることを表すのに が記号として用いられる。
 と とが法 に関して合同であることを表すのに、以下のような表記がある。
性質.
同値律.
法 に関する合同という関係は以下の性質を満たす:
即ち法 に関する合同という関係は同値関係である。
代数学的性質.
特に踏まえておくべき代数学的性質は、 かつ ならば
が成り立つことである。ここから ならば任意の整数 に対して および であること、および正整数 に対して であることが容易に導ける。
これは法 に関する合同関係がある意味で整数の加法および乗法と「両立する」ことを示すものであり、「法 に関する合同は有理整数環 の構造と両立する」と言い表す。これにより商集合 に合同算術の環を定義することができるようになる。
合同類環.
構成.
この集合上での加法と乗法は、整数に関する加法と乗法と同様に定義される:
法 に関する加法と乗法を以下のような表にまとめることができる:
これら加法と乗法は、整数の集合 における加法と乗法に良く似た性質を持つ:
これらの性質を満足する集合は（単位的）環と呼ばれる。
簡約と合同方程式.
 では常に正当であるにも拘らず、合同類環 では必ずしも正当化されない操作の一つに、簡約（消約）がある。
同様に、整数の演算では常に成り立っているのに 上では必ずしも成り立たない性質として、「積が に等しいならばいずれかの数が に等しい」というものがある。
こういった理由により、乗法を含む方程式を解くのは少々厄介である。
 の方程式 が 上で一意な解を持つための必要十分条件は、 と とが互いに素であることである。
合同類環 の構成は環のイデアルによる商構成である。環 の代数的性質に関しては合同類環の項へ譲る。
冪とフェルマーの小定理.