第二に、() の右辺の はスカラーだからこそ行列式として意味をもつものであり、行列式の展開の前に を に置き換えると意味をなさなくなる。
様子が分かるように具体的に 次の場合をとらえると、
ただし、スカラーであるところをスカラー行列（単位行列のスカラー倍）で置き換えた区分行列
を考えるならば式としては有効で、この行列式は実際に になるが、この行列が上記の論法で の引数とした でないことは明らかである。
ケイリー・ハミルトンの定理の証明の中には、数以外を成分とする行列を用いて、あたかも 式を用いた論法にある意味似た方法をとるものがあるが、その場合でも は と等しくなく、結論も異なる所へ到達する。
応用.
次正方行列の固有多項式：
において、次の係数 は の固有値たちのなす 次基本対称式に等しい。特に、定数項（次の係数） は固有値の総乗ゆえそれは の行列式 に等しい。
行列式の計算および逆行列.
ケイリー・ハミルトンの定理により、一般の 次正則行列 （つまり の行列式は でない）に対し、その逆行列 は の 次以下の行列多項式で表せる。実際、
式 () において、定数項を移項すると
両辺に を掛けると
を得る。
一般に、係数 を与える公式が、完全指数型ベル多項式によって
で与えられる。ただし、和は を満たす分割 全体の成す集合上を亙る}}。特に の行列式は であるから、トレースを含む表示（）として
と書ける。同様に、
なる表示もできる。
例えば、ベル多項式の最初の方は であるから、これらを用いて 次の場合の固有多項式の係数 を具体的に計算すれば
などとなる。ここで、 は行列式であるから、この場合の逆行列を
と計算することができる。
と書くことができる。同様に の場合の行列式は今度は
と書けるが、これはそのまま一般の場合の の係数 を表す式として理解できる。ゆえにさらにこれを用いて 次正方行列 に対する定理の主張は
と書けるし、この場合の行列式
は を表す式に他ならない。以下より大きな次数の行列に対しても帰納的に同様の話を適用することができる。
係数 に対するもっと複雑な表示が、やなどから導ける。係数 を求める別の方法として、一般の 次正方行列でどの根も でないものと仮定すれば、指数函数を用いた行列式の別表示
を用いたアルゴリズムがある。メルカトル級数を用いて書けば