で与えられる。
各実次正方行列 は二次元の数ベクトル空間からそれ自身への線型写像
と一対一対応する。
平面部分環の族.
 内で、スカラー行列（つまり単位行列 の任意の実数倍）の全体は実数直線と見なすことができる。この実数直線は、以下に述べる可換部分環 の全てが共有する:
 なる 実行列 に対して、「平面」 と置けば、 は の可換部分環で を満たす。ただし、和は なる すべてにわたってとる。
そのような を同定するために、 でも でもない一般の 実行列 を平方すれば
である。 ならばこれは対角行列となるから、上記の可換部分環を成す を求めるに際して を仮定することができる。
 に適当な基底変換を施せば、この平面部分環族は、 と が双曲面のように対称な形をとるの平面部分環族に書きなおすことができる。
等積変換行列.
まず微分ベクトルの変換
に注意すれば、等積変換の全体は行列式 の行列からなる特殊線型群 と同一視できる。前節のごとく平面部分環族 を取れば、各 は適当な に対する可換部分環 に入り、また であるから、以下の三者択一:
が成り立つ。
行列変数の函数.
 の可換部分環族は、この行列環の函数論を決定する。特に三種類の平面部分環がそれぞれ持つ代数構造は、代数的な式の値を決めるものである。以下に述べるように平方根函数や対数函数を考えることは、部分平面 の各々が持つ特別な性質に従って課される制約条件について詳らかにする。 の単元群の（単位元の属する連結成分）の概念は、各単元群における:
を導く。一つ目（複素数）の場合 であり、二つ目（二重数）の場合 である。三つ目（分解型複素数）の場合は単元群が四つの連結成分に分解され、単位成分は および でパラメータ付けされる。
更なる函数論の詳細については、複素函数論（複素変数の場合）および（分解型複素変数の場合）を参照せよ。
実数体の二次拡大環として.