拡大体の部分体として.
ゆえに環 は体を成し、 は の 上の根体である。さらに言えば、この体の 上のベクトル空間としての基底は で与えられる（ の任意の拡大体 は、 の加法と の元と見た の元を掛ける操作を のスカラー倍と見做して 上のベクトル空間の構造を持つことに注意せよ）。 の 上の拡大次数 はこのベクトル空間としての次元であるから、 は多項式 の次数に等しい。
根体における計算.
前節でみたように の 上の根体 の元を の次数が の次数より小さい多項式として表すとき、それらの和、積および逆元は、 の取り方に依らず のみによって決まる。
構成.
より抽象的に、 は を の生成するイデアル で割った剰余環として定義される。 は既約であるから、 は素イデアルであり、さらに は主環（特にユークリッド環）だから極大イデアル、従って剰余環 は体を成す。 の各剰余類は、次数高々 の多項式をただ一つずつ含み、それらを完全代表系として先に述べた構成および計算が得られる。
この体は（ の各元は定数多項式と同一視することにより） の拡大体で の根を含むものとして構成されたものである。実際、 の同値類を と書けば、 は の根体である。
前の節で述べたことは以下のように言い直せることを注意しておく:
実際、 から への環準同型で、 の元をそれ自身に写し、かつ を に写すものはただ一つであり、 の生成するイデアルはこの準同型の核であるから、準同型定理により、環準同型 で所期の性質を満足するものが得られる。 は体であるから、この は必ず単射である。これらの性質を用いれば、 の各元は の線型結合であるということから、 が の行き先のみによって決まることがわかる。 
この性質は特に、 の 上の任意の根体が に同型となることを保証する（先の記法で書けば、 ととって作った上記の準同型の像は と を含む の部分体であるから、それは 全体に他ならない）。
性質.
存在と一意性.
 の構成は、根体の存在を保証し、ほかの任意の根体がこれに同型であるという性質はその一意性を示している。 の根を含む の拡大体に関する研究は、 上で有効である。すなわち、以下の定理を得た: