この係数が符号つき面積となったことは偶然ではない。符号つき面積を代数的構造として公理化しようとすれば、必然的に外積と結びつくことが比較的簡単に確かめられる。詳しく言えば、 と によって決まる平行四辺形の符号つき面積を と表すことにすれば、 は下に挙げる性質を満たさなくてはならない。
クロス積と三重積.
となる。これはスカラー三重積の通常の定義とよく似ている。
形式的定義と代数的な性質.
ベクトル空間 上の外積代数 はテンソル代数 を の形の元で生成される両側イデアル で割ったとして定義される。これを記号的に
で与えられる。
楔積の交代性.
この積は の元の上で反対称的である。 とすれば ゆえ
が成り立つから
が得られる。あるいはもっと一般に を の元、 を整数 の置換 とすれば
が成立する。ここで は置換 の符号である。
外冪.
 の –次外冪 () とは
で張られる の部分線型空間である。
は分解可能ではない（ であり、実際にはこれは斜交形式である）。
基底と次元.
 の次元を有限な とし、 を の一つの基底とする。このとき、集合
の形に与えられたとき、各ベクトル は基底 の線型結合に書けるから、楔積の重線型性を使って展開すればこれを基底ベクトル同士の楔積の線型結合に書き直すことができる。このとき、楔積の中に同じベクトルがあれば になるし、基底ベクトルが順番に現われていなければ符号を変えて順番を入れ替えて、基底を順番通りに並ばせることができる。
基底に属する元の個数を数えることにより の次元は二項係数 で与えられることが分かる。特に、 ならば である。
外積代数の任意の元は多重ベクトルの和として表される。よって、外積代数はベクトル空間の直和
に分解される（ここで および と約束する）。したがって外積代数の次元は二項係数の和に等しく、 である。
多重ベクトルの階数.
 とすると は分解可能多重ベクトルの線型結合
として表示できる。ここで各 は分解可能、つまり
と書ける。多重ベクトル の階数 とは のこのような表示に現れる分解可能多重ベクトルの最小数をいう。これはの記法の類似である。
と一意的に表示できる（ここで ゆえ、対応する係数行列は歪対称行列である）。そして の階数は行列 の階数に一致する。
かつ
であることとは同値である。
次数付け構造.