多変数の場合、開集合上定義された函数が有界変動となるのは、その函数の弱微分（超函数の意味での微分）がベクトル値の有限ラドン測度となるときである。
有界変動函数の最も重要な側面の一つは、その全体が殆ど至る所一階微分の存在する不連続函数の成す函数環に一致することである。この事実により、数学・物理学・工学などにおける汎函数・常および偏微分方程式を含む非線型問題の弱解を定めるのに有界変動函数を用いることが可能で、しばしば用いられる。問題やより一般の超函数に対する一般非線型演算の定義問題を考えるとき、有界変動函数の環は、乗法の結果を保つ任意の超函数空間に埋め込まれるべき最小の函数環である。
歴史.
定義.
一変数の場合.
実函数 が 上で有界変動となるための必要十分条件が、 上で広義単調増大な二つの函数の差 に書けることであることが示せる。このような差への分解を（函数の）ジョルダン分解 と呼び、測度のジョルダン分解と関連する。
スティルチェス積分を考えることにより、閉区間 上の任意の有界変動函数は連続函数の空間 上の有界線型汎函数を定める。その特別の場合として、リースの表現定理は任意の有界線型汎函数がこの方法で一意に得られることを述べる。正規化された正値函数あるいは確率測度は広義単調増大下半連続な正値函数に対応する。このような観点はスペクトル論において、特にへの応用において重要である。
多変数の場合.
多変数の函数が有界変動であるとは、その超函数微分がラドン測度となるときに言う。より精確に:
つまり、 は積分により に含まれるコンパクト台を持つ連続的微分可能ベクトル値函数の空間 上の線型汎函数を定めるが、したがってベクトル測度 はシュヴァルツ超函数としての の微分あるいは弱勾配である。
全変動による同値な定義もできる:
局所有界変動.
記法についての注意.
というものである。
一般化.
重み付き有界変動函数.
特殊有界変動函数.
特殊有界変動函数の性質の詳細は参考文献節に挙げられた文献を参照、特に論文 には有用な参考文献が挙げられている。
有界変動数列.
有界変動測度.
可測空間 上の符号付き測度（あるいは複素測度） が有界変動であるとは、その が有限となるときに言う（詳細は , を参照）。
誘惑者の日記
ジュスチーヌ物語又は美徳の不幸
有界変動
ミドル・パッセージ