いま、グラフについてその全域木が与えられたとする。の辺の数をとすると、 が成り立つ。また'の辺の数をとすると、'は' の全域木であるため、'の頂点の数、すなわちの面の数'について同様な関係 が成り立つ。の辺の数と'の辺の数を足すとの辺の数に等しく、また'の各辺は'の各辺に一対一に対応するため、
非平面表面埋め込みでは、全域木と相補的な双対辺は元のグラフの全域木とはならない。そのかわり、これらは元のグラフの双対の全域木と少数の余分な辺を合わせた集合となる。このとき、余分な辺の数は、グラフが埋め込まれている曲面の種数によって決まる。この余分な辺は全域木に含まれる経路と合わせて用いることで、曲面の基本群を生成できる。
他の性質.
派生概念.
有向グラフ.
弱い双対.
平面グラフの弱い双対は、双対グラフのサブグラフで、その頂点は主グラフの面に対応する。平面グラフは、その弱い双対が森である場合に限り、外平面グラフになる。任意の平面グラフについて、の外面に一つの新しい頂点を追加し、との外面に属する全ての点を辺で結んだグラフをとするとき、は の双対の弱い双対である。
無限グラフと平面充填.
双対性の概念は、有限グラフの場合と同様に、平面に埋め込まれた無限グラフも適用することができる。しかしながら、開放領域の一部ではなく、グラフの辺または頂点の一部でもない点のような位相的な複雑さを避けるために注意が必要である。全ての面が、グラフのサイクルで囲まれている場合、無限平面グラフは平面充填とみなすことができる。平面双対性は、双対平面充填 、つまり各タイルの中心に頂点を置き、隣接するタイルの中心を結ぶことによって形成される平面充填の概念を生み出す。
双対平面充填の概念は、平面を有限の領域に分割する場合にも適用することができる。これは平面グラフ双対性と非常に類似しているが、まったく同じではない。たとえば、ボロノイ図とドロネー三角分割は双対の関係にあるが、平面グラフとしての双対として考えるためには、無限遠に位置する頂点である。
非平面埋め込み.
平面グラフの主グラフと双対グラフの性質の間の等価性の多くは、非平面埋め込みの場合に一般化できないか、追加の注意を必要とする。
マトロイドと代数双対.
アプリケーション.