後はを決定するだけである。を決定するには()を()のハミルトニアンに入れてシュレディンガー方程式()を解けば良い。（）を式変形すると、
である。ラプラシアンを球面座標で書き表し、動径方向と球面方向にわけると、
すなわち
束縛状態ではは負の値しか取らないので、記号を簡単にするため
この方程式を解くのは複雑な計算を必要とするので後の章にまわし、ここでは結論のみを述べる。
()の方程式を解くことで各に対し、（()のを単位とした）エネルギー
に対する解が見つかる新井。に対応する固有関数は、
に一致する。ここで
である。
規格化定数.
と書けるので、()におけるのノルム
も
と「変数分離」する。ここで
であり、
である。
結論.
無次元化した()をベースにしたこれまでの議論を通常の単位系に戻すことで以下の結論が得られる。
とし、を自然数、を以下を満たす整数とする：
このとき()のハミルトニアンはエネルギー
に対し、
を満たす固有関数
を持つ。ここで
であり、規格化定数は
である。
と点スペクトル
を持ち、
量子数.
なお、は、動径方向の波動関数の節の数を表している。
化学的意味.
リュードベリ定数.
エネルギー準位がにある電子がエネルギー準位がに落ちると、
のエネルギーが
を満たす波長の光となって放出される。したがって
水素原子の場合、すなわち
の場合の上式右辺の定数、もしくはその定数に対して近似
を行ったときの値をリュードベリ定数という。
()の解.
本節の目的は、微分方程式()を解き、()、()を導出することである。
が十分小さい場合の()の近似解.
()におけるの係数はが十分小さいところではと近似できるので、()は
この形の方程式はオイラーの微分方程式の解法に準ずる方法で解ける。その解は
の形で書ける。
が十分大きい場合の()の近似解.
()式をで割った上での極限をとることで、が十分大きいところでは()は
となる事がわかる。簡単な計算から上記の方程式の一般解は
もしくはこれらの線形和である。は発散する不適切な解となるので、
である。
を満たすので、()の第一項、および第二項は、
である。上式を()に代入すると、すべての項にが掛かっていることがわかる。よって各項をで割った上で式を整理して、
を得る。この式の両辺をで割ると、
ここで、は
を満たす整数である。