自然数全体が整除関係に関して成す半順序集合から、その冪集合が包含関係に関して成す半順序集合への写像 を各自然数にその素因数全体の成す集合を対応させることにより定まる。これは順序を保つ集合である（すなわち、 が を割るならば の各素因数は の素因数にもなる）が単射ではない（例えば も もこの写像で に写る）し、順序を反映もしない（例えば は を割らない）。少し設定を変えて、各自然数にそのの集合を対応させる写像 を考えれば、これは順序を保ち、かつ順序を反映するから、従って順序埋め込みになる。一方、これは順序同型ではない（実際、たとえば単集合 に移る数は無い）が終域を の値域 に変更すれば順序同型にすることができる。このような冪集合の中への順序同型の構成は、より広汎なと呼ばれる半順序集合のクラスに対して一般化することができる（の項を参照）。
区間.
 を順序集合とし、 を の元とするとき、閉区間 と開区間 を以下のように定義する：
さらに および を以下のように定義し、半開区間と呼ぶ：
文献によっては , , のことを , , と表す場合もある。
半順序集合がであるとは、全ての区間が有限集合であることをいう。例えば、整数全体の成す集合は通常の大小関係による半順序に関して局所有限である（端点の無い無限区間のようなものは今考えていない）。
順序集合における区間の概念と、として知られる特定の半順序の類いとを混同してはならない。
順序構造と位相構造.
全順序集合の位相.
順序位相.
上極限位相、下極限位相.
単に「実数体上の位相」といった場合、前述の順序位相を指すがその他の位相を考えることも（主に反例として用いるために）できる。
全体の集合を開基とする位相のことである。
を準開基とする位相である。
半順序集合の位相.
半順序空間.
なお、半順序空間と名前の似たは別概念であるので注意が必要である。
定義より明らかに半順序空間は常にハウスドルフ性を満たす。
半順序空間では以下が成立する：
上方位相、下方位相.
下方位相も同様にして定義できる。
アレクサンドロフ空間.
実数体における例.