より、 の を法とする位数は で、これは の約数である。すなわち、フェルマー数は を底とする擬素数である。また、フェルマー数の積
フェルマー数はまた、正多角形の定規とコンパスによる作図の問題とも関係がある。ガウスは、正 角形が作図可能になる必要十分条件を求めたが、それは「 が の冪であるか、異なるフェルマー素数の積と の冪の積であるとき」というものである。
フェルマー素数.
現在 以降のフェルマー数で素数であるものが存在するかどうかは知られていない。また、フェルマー素数やフェルマー合成数が無限にあるかどうかも知られていない。フェルマー数の最大素因数についてはを、最小素因数についてはを参照。
フェルマー数の素数性、素因数分解に関する情報は外部リンクに挙げたサイトが詳しい。
素数判定法.
ペピン・テスト.
ペピン・テストはフランスの数学者テオフィル・ペピン()によって名付けられたフェルマー数に対する素数判定法である。
その他の未解決問題.
フェルマー数は平方因子を持たないと予想されているが、未だに解決されていない。
表記.
フェルマー数を表すにはいくつか等価な表記がある。
メルセンヌ数
 が素数ならば もまた素数であるが、逆は成立しない ()。素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数（メルセンヌそすう、）という。なお、「メルセンヌ数」という語で、 が素数であるもののみを指したり、さらに狭義の意味でメルセンヌ素数を指す場合もある。
基本的な性質.
 が素数ならば もまた素数であることは、次の式から分かる：
対偶命題「 が合成数ならば は合成数である」が示される。また、この等式より、 のとき である。一方、 が素数でも が素数とは限らない。最小の反例は の場合であり、 が成り立つ。
完全数.
メルセンヌ数の素因数.
 を素数とする。
メルセンヌ素数.
メルセンヌ素数の発見の歴史.
古代～中世.
メルセンヌの予想.
素数判定法.
リュカ・テスト.
 が 型の素数のとき、, で を定義すると、
アルゴリズム.
アルゴリズムは以下の擬似コードで表される。
 が奇素数のとき、, で を定義すると、
アルゴリズム.
アルゴリズムは以下の擬似コードで表される。
メルセンヌ素数の一覧.
メルセンヌ素数は小さい順番から並べると
となる。
液体