これが意味するのは、定義によってすべての に対して ということである。すべての に対して集合 と は同じにはなり得ない、なぜならば は（ による）像が自身を含まないような の元から構成されていたからである。より具体的には以下のとおりである。任意の を考えると、 かまたは である。前者の場合には、 である一方 の構成から であるため、 と は等しくない。後者の場合には、 である一方 の構成から であるため、やはり と は等しくない。
したがって なる は存在しない。言い換えると は の像に含まれない。 は の冪集合に含まれるから、 の冪集合は 自身よりも大きい濃度を持つ。
別の証明方法としては、 が空集合であるかどうかにかかわらず、つねに の冪集合に含まれることを用いる。 が全射であるためには、 のある元は に写らなければならないが、これは矛盾であることを示す。 の構成より、 のどの元も に写らない。したがって に写る元は の元ではない。しかしこれは の構成における元の判定条件を満たし、矛盾。したがって のある元が に写るという仮定は誤りである。したがって は全射ではない。
具体例：可算無限集合の場合.
証明を理解するために、元の集合が可算無限集合 である場合を考えよう。一般性を失うことなく （自然数の集合）ととれる。
 とその冪集合 は等濃と仮定する。 の具体的な例を見よう：
さて の具体的な元がわかっているから、これらの無限集合が等濃であることを示すために、 と のそれぞれの元をペアにしてみよう。言い換えると、 の各元が無限集合 の元とペアになるようにして、どちらの無限集合の元もペアにならないまま残ることがないようにする。このように元をペアにすると以下のようになるだろう：
 とペアにできる自然数は存在しないから、もとの仮定「 と の間に全単射が存在すること」に矛盾する。
集合 は空かもしれないことに注意しよう。これはすべての自然数 は を含む自然数の集合に写ることを意味する。すると、すべての自然数は空でない集合に写り、どんな数も空集合に写らない。しかし空集合は の元であるので、写像は全射にならない。