分数関数においては、分母が になるところで漸近線になり、 で漸近線が存在する場合があるが、それぞれ存在しないこともある。
無理関数で漸近線が存在するのは 
グラフと漸近線がどんな遠くでも無限回交わる例もある。減衰曲線（ や など）と 軸はその一例である。
関数の漸近線.
軸平行の漸近線.
いずれも で不連続の場合である。したがって、関数の不連続点が、軸平行の漸近線の場所の候補である。
で漸近する直線.
直線 が でグラフ に漸近するとする（ の場合も同様）。このとき、, は（存在の可否も含めて）次の極限で求められる。
直線 は でグラフ に漸近するから、
が成り立つ。左辺の式を で割った式は、尚のこと に近付くから、
ここで
であるから、
 より、
である。■
軸平行の漸近線.
とくに 軸平行の漸近線は、前節の の場合であり、漸近線 は
で与えられる。
例えば、逆正接関数 では、
より、 は漸近線である。
分数関数の漸近線.
分数関数の漸近線の方程式は、上記の方法を使わずに求めることができる。
分数関数の式を （既約分数式）とする。
 を満たす を求める ()。既約より で、 が漸近線である。
存在する必要十分条件は である。このとき の商 , 余り を求める。 であり、直線 が で漸近する直線である。
（例）
漸近線は、軸平行の漸近線は , 、 で漸近する直線は である。
 の値によって、漸近線の位置が分類される。
媒介変数表示された曲線の漸近線.
媒介変数表示された平面曲線
を考える（ここで、 は でもよく は でもよい）。曲線 は無限遠点に向かう、すなわち
が成り立つことを仮定する。直線 が曲線 の漸近線であるとは、 のとき点 と直線 の距離が に収束することと定義される。
一般に、点 と直線 の距離は
で与えられるので、直線 が曲線 の漸近線であるとは、
が成り立つことと同値である。曲線の媒介変数表示は一意ではないが、漸近線の定義はその取り方に依らない。実際、 を媒介変数の取り換えとすると、 は
と同値であるからである。
実一変数の実数値関数のグラフは、媒介変数表示された平面曲線の特別な場合と考えることができる。関数 のグラフは点 の集合であり、 を径数 とすれば、径数付け（の一つ）
が得られる。
曲線である漸近線.