ガンマ函数を用いた最後の式はもとと比べて非常に広く定義されるもので、この定義により は負の実軸上にある の負の倍数を除く任意の複素数に対して定義された函数と見なせる。そして「 なる整数 に対しては を満たす」という意味でこの二つの定義は両立する。
 がほとんどの複素数 に対して延長できることに加え、 も任意の正実数値としてこの定義は意味を為す。さらに言えば、 のとき、定義される函数 はパイ函数である。また のときは、奇階乗の複素変数への拡張に一致する。
はなまる幼稚園
概要.
園児側の主人公の杏（あんず）ははなまる元気な幼稚園児。幼稚園の大人側の主人公・土田先生（つっちー）のことが大大大好き。大好きなつっちーの為に色々な作戦でつっちーの気を引こうと日々奮闘するほのぼのコメディ作品。つっちーの想い人である美人保育士・山本先生には押されぎみだが、それでもつっちーへの恋が実るように頑張る毎日。
同時に教え子の園児達に助けられながら、好きな同僚の山本先生と両思いになる為に頑張る男性保育士・土田先生の話でもある。
「きゃらくたぁ ふぁんぶっく」のインタビューでは「はなまるワールドに悪い人はいない」と作者のコメントがあり、本作は「人間の醜い心を一寸たりとも描いていない、優しい世界」として描かれている。
作者の次作である『いろは坂、上がってすぐ。』と世界観がリンクしており、そちらにも土田などが登場している。
登場人物.
メインキャラクター.
土田直純
杏の母親である桜の後輩であり、幼馴染。幼い頃から家族ぐるみの交流があり、杏が生まれた現在も、杏をお泊りさせたり、一緒に里帰りするなど交流が続いている。桜と夫の恋を後押しした張本人だが、かつて桜に思いを寄せていたような描写もされている（現在は菜々子に恋をした事で吹っ切っている）。菜々子の父親曰く「気持ちの良い青年」で、直純のような人だったら、娘達を任せられるらしい。原作終盤で菜々子に告白し、両思いになる。現在は菜々子と遠距離恋愛をしている。
作者の次作である「いろは坂、上がってすぐ。」にも登場する。菜々子とのファーストキスはまだ経験していない模様。
栗色のロングヘアと「結構巨乳」が特徴。ほぼ毎回違う服を着ているが、概ねいつもロングスカートを穿いている。