である。単位円の面積で三角関数を定義したのと同じように双曲線を用いて双曲線関数を定義することができる。
標準形の双曲線上の点 と 軸上の点 を取り、線分 と双曲線の囲む領域の面積が であるとき、 の座標を として、双曲線関数 が定義される。
ちなみに、三角関数の定義に現れた は、弧度法における角度に対応していたが、双曲線関数では角度には対応しない。
定義.
双曲線関数は指数関数 を用いて
や、双曲線正割・余割関数
このように定義された、双曲線正弦関数、双曲線余弦関数、双曲線正接関数、双曲線余接関数、双曲線正割関数、双曲線余割関数を総称して双曲線関数という。
性質.
基本性質.
指数関数を偶関数の部分と奇関数の部分に分けたとき、
となり、偶関数部分が で、奇関数部分が であることが分かる。
また は、双曲線 上の点であり
が成り立つ。
加法定理.
三角関数の場合と同様に次の加法定理が成立する。
微分公式.
したがって、 と はいずれも二階の線型微分方程式
無限乗積展開.
双曲線関数は以下に示す無限乗積に展開される。(→証明)
三角関数との関係.
複素変数で定義された三角関数と双曲線関数を比べてみると
という関係にある。
これは、それぞれの指数関数による表現の比較、テイラー展開の比較などによって導出することができる。
逆双曲線関数.
双曲線関数が指数関数で表せるように、その逆関数である逆双曲線関数は対数関数を用いて表示することができる。等式 や などを考えれば、これらは に関する二次方程式であるから解くことができて、次の表示を得る。
微分公式.
このことから、 を含む有理関数の原始関数を求めるために などと三角関数を用いた置換積分を考えると有用である場合が多いのと同様に、 を含む有理関数の積分に双曲線関数を用いた置換積分を考えることは有用であることが多い。
べにばな (列車)
概要.
運行概況.
停車駅.
使用車両.
パウル・カレル