なる関係を満足する（ここで はランダウの記号）という意味で の における一次近似であり、接空間の間の線型写像とみなせる。この線型写像の合成は行列積と等価であり、 が を含む領域 から への関数であり、 において微分可能であるとき、
が成り立つ。これは、合成関数の微分に相当する。
逆関数の定理.
ここでは、 が 上で級 であるとする。
 のとき、 の におけるヤコビ行列は正方行列であるが、ヤコビ行列が正則行列である場合、 は 局所的に全単射となり、その逆関数は 級であり、 でのヤコビ行列は の逆行列となる。
つまり、 を含むある領域 について、 の への制限
が 級全単射で、
となる。
一方、 が退化している（階数が落ちる）場合には、以下の二つの状況がありうる。
この時、 を特異点、または臨界点という。ヤコビ行列及びヤコビアンは、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。
多様体論におけるヤコビ行列.
ここでは、多様体間の写像のヤコビ行列について述べる。
 をそれぞれ 次元、 次元の 多様体で、 をその間の 級写像だとする。
このとき、 の点 での微分 は、点 における の接ベクトル空間 と、点 における の接ベクトル空間 の間の線型写像となる。 のまわりの の局所座標 および のまわりの の局所座標 を定めると、それぞれの接ベクトル空間における基底が定まる。
この基底に関する の表現行列を の におけるヤコビ行列と呼ぶ。
写像の微分は局所座標に依存しないが、ヤコビ行列は局所座標の選び方に依存する。
ただし、同じ写像の、局所座標の選び方を変えたヤコビ行列同士は互いに共役である。
この定義は、冒頭の定義の拡張となっている。
（の開集合）、 とし、それぞれに自明な局所座標を選ぶことによって、冒頭の定義と一致する。
極座標系に関する具体例.
ここでは、いくつかの極座標系から直交座標系への座標変換で、ヤコビアンがどのようになるか述べる。
円座標.
円座標は、直交座標への座標変換 を与えるから、ヤコビアンは
となる。従って、特異点は となる点、即ち である。これは直交座標での を表す。
円柱座標.
円柱座標は、直交座標への座標変換 を与えるから、ヤコビアンは
となる。従って、円座標のときと同じく、特異点は となる点、即ち である。これは直交座標での すなわち –軸を表す。