実関数 の二階線型常微分方程式の初期値問題
の解として を定義し、 を として定義できる。
および初期条件 となる。
他の定義.
この他にも定積分による（逆三角関数を用いた）定義や複素平面の角の回転による定義などが知られている。
性質.
周期性.
 軸の正の部分となす角は
と表すことができ、 を偏角、 を一般角という。
すなわち三角関数 は周期 の周期関数である。
ほぼ同様に、 は周期 の周期関数、 は周期 の周期関数である。
また、のグラフの形は正弦曲線である。
相互関係.
単位円上の点の座標の関数であることから、三角関数の間には多数の相互関係が存在する。
基本相互関係.
が挙げられる。これはピタゴラスの基本三角関数公式 と呼ばれている。
上記の式を変形して整理すれば、以下の式が導かれる。
証明.
ピタゴラスの基本三角公式.
三角関数および指数関数は冪級数によって定義されているものとすると、負角公式と指数法則およびオイラーの公式より
である。
負角.
 および については、冪級数による表示から明らかである。また
である。
加法定理.
オイラーの公式
と負角の公式から
を得て、指数法則
を用いれば の加法定理が得られる。これらから他の三角関数についての加法定理も得られる。
次に となるような座標系を取り、同様に三平方の定理から を求める。この座標系に対する操作は、 軸および 軸を角度 だけ回転させる操作に相当するので、 となる。従って、
となる。
 と の右辺が互いに等しいことから、次の に関する加法定理が得られる。
三角関数の他の性質を利用することで、 から の加法定理なども導くことができる。
微積分.
三角関数の微積分は、以下の表のとおりである。ただし、これらの結果には様々な（一見同じには見えない）表示が存在し、この表における表示はいくつかの例であることに注意されたい。
なお、以下の表の は積分定数、 は自然対数である。
三角関数の微分では、次の極限
の成立が基本的である。このとき、 の導関数が であることは加法定理から従う（が、後述のようにこれは循環論法であると指摘される）。さらに余角公式 から の導関数は である。すなわち、 は微分方程式 の特殊解である。また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。
の における極限.
を示すことができる。