像および逆像は、写像のみならず一般の二項関係に対しても定義することができる。
定義.
逆像.
像および逆像の記号について.
既に用いた部分集合の像や逆像に関する慣習的な記法はしばしば混乱を生ずる可能性を持つ。これを明示的に代替する表記として、冪集合間の写像としての像や原像に対しては、以下のような表記が提案されている：
基本的な結果.
などが成立する。像や逆像に関するこの結果は、任意の部分集合族に対して交わりと結びに関するブール代数をうまく考えることができることを意味しており、部分集合の対だけでなくもっと一般に
これらのことから、部分集合のブール代数に関して、逆像は束準同型となるが像のほうは半束準同型にしかならない（像は交わりを保つとは限らない）ことがわかる。
終域
数学において写像の終域（しゅういき、; 余域）あるいは終集合（しゅうしゅうごう、）は、写像を と表すときの集合 、すなわち写像 の出力する値がその中に属するべきという制約を定める集合をいう。終域の代わりに「値域」という語を用いる場合もあるが、値域は写像の像（出力される値すべてからなる集合、 で言えば ）の意味で用いることが多いので注意すべきである。
定義と注意.
さて の意味で写像（函数）を定義するのであれば、終域は写像 の一部として含まれる。即ち、写像 とは三つ組 であって が直積集合 の函数的部分集合（すなわち函数関係）かつ に属する順序対の第一成分の成す集合（すなわち定義域）が に一致するものをいう。このとき集合 はこの写像のグラフと呼ばれる。また、 が写像 の定義域 の元を亙るとき、 の形に書ける元全てからなる集合を の値域と呼ぶ。一般に値域は終域の部分集合であって、従って一般には両者は一致しないことが起こり得る。一致する場合（すなわち全射）でないならば、終域に属する適当な元 に対して、方程式 は解を持たない。