などが典型的である。しかし、（エヴァリスト・ガロワとニールス・アーベルによって証明されたように）そのような有限表式に書けない代数関数もある。例えば、
によって定義される関数がそのような例である。
定義.
一変数代数関数.
正確に言えば、一変数 の次数 の代数関数とは、ある多項式方程式
を満たす関数 である、ただし係数 は係数が適当な集合 に属する の多項式関数である。
多変数代数関数.
 変数の代数関数は 変数の適当な多項式方程式
の解となる関数 として同様に定義される。通常 は既約多項式と仮定される。すると代数関数の存在は陰関数定理によって保証される。
形式的には、体 上の 変数の代数関数は、有理関数体 の代数閉包の元である。
一変数の代数関数.
導入と概観.
を解く代数関数である。驚くべきことに、代数関数の逆関数は代数関数である。各値の に対して が方程式
の解となると仮定するならば、 は各値の に対するこの方程式の解である。実際、 と の役割を入れ替えて に関して同類項をまとめれば
と書きなおすことができるから、 を の関数として書けば逆関数を得、これはまた代数関数である。
複素数の役割.
によって決定される代数関数を考えよう。を用いて次を得る：
より重要な理論的なレベルでは、複素数を用いることで複素解析の強力なテクニックを用いて代数関数を議論することができる。とくに、偏角の原理を用いて、任意の代数関数は実は少なくとも多価関数の意味で解析関数であることを示すことができる。
これは解析関数である。
一価性.
歴史.
ザ・ギャンブラー/熱い賭け
日本では劇場公開されなかったが、ビデオスルーという形で視聴可能。
ストーリー.
ギャンブル依存症の大学教授ジムは、毎晩カジノに出向いては大金をつぎ込むといった破滅的な生き方をしていた。そんなある日、金に困ったジムは、危険だとわかっていながらマフィアから大金を借りてしまう。しかし、その借金すらもカジノに消えてしまったことで、返済を迫られたジムはついに命までも狙われるようになってしまう。窮地に陥ったことで自暴自棄になるジムだったが、教え子のエイミーと親密になったことで、そんな自らの人生を変えようと決意する。
キャスト.
※括弧内は日本語吹替
代数函数
能村龍太郎
人物・略歴.
ドン・ミッチェル (俳優)
出演作品.