歴史的には、イデアルを素イデアルに分解するアイデアはエルンスト・クンマーの（イデアル数）の導入にはじまった。クンマーはこれらを、円分体における一意分解の不成立のための代用品として用いた。これらはやがてリヒャルト・デデキントによるイデアルの先祖の導入とイデアルの一意分解の証明を導いた。
ここで だから と で生成されたイデアルは同じであることに注意。ガウスの整数でどのイデアルが素イデアルのままであるかという問への完全な解答はフェルマーの二平方和の定理によって与えられる。奇素数 に対して は、 ならば素イデアルであり、 ならば素イデアルでない。このこととイデアル が素イデアルという観察を合わせて、ガウスの整数での素イデアルの完全な記述を得る。この単純な結果をより一般の整数環に一般化することは代数的整数論における基本的な問題である。類体論は が のアーベル拡大である（すなわちガロワ拡大でありそのガロワ群がアーベル群である）ときにこの目標を達成する。
イデアル類群.
一意分解が不成立なことと主イデアルでない素イデアルが存在することは同値である。素イデアルが主イデアルからどのくらい離れているかを測る対象はイデアル類群と呼ばれる。イデアル類群を定義するには、群構造を持たせるために、整数環のイデアルの集合を大きくする必要がある。これはイデアルを分数イデアルに一般化することでなされる。分数イデアルは の加法的部分群 であって の元の積で閉じている。すなわち のとき となるもののことである。 のすべてのイデアルは分数イデアルでもある。 と が分数イデアルであるとき、 の元と の元の積全体の集合 もまた分数イデアルである。この演算により零でない分数イデアルの集合は群となる。群の単位元はイデアル であり、 の逆元は（一般）イデアル商 である。
イデアル類群は因子のことばによる別の記述をもつ。数の可能な分解を表す形式的な対象がある。因子群 は の素イデアルたちによって生成される自由アーベル群と定義される。 の零でない元が乗法についてなす群 から への群準同型がある。 が次を満たすとする：
このとき は次の因子と定義される。
 の核は の単数群であり、余核はイデアル類群である。ホモロジー代数のことばでは、これは（乗法的な）アーベル群の次の完全列があることを言っている：
実・複素埋め込み.