が成り立つ。言い換えれば、 の 上の積分は、点 および 上の の値のみに依存し、それらを結ぶ積分路の取り方に依らない。特に積分路 が閉経路であるならば、積分は必ず になるため、ベクトル場 はと呼ばれる。また、物理学において、このような性質を持つ力の場を保存力と呼ぶ。
このことから、保存ベクトル場の線積分は経路独立 あるいは「積分経路に依らない」と言う。
応用.
この線積分は物理学でよく用いる。たとえば、ベクトル場 で表す力場の内側で曲線 に沿って運動する粒子の成す仕事を の 上の線積分で表す。
複素線積分.
線積分は複素解析における基本的な道具である。 を複素数平面 の開集合、 を有限長曲線とすると、函数 の線積分
は、区間 の への細分を考えて得るリーマン和
の、小区間の幅を に近づける極限として定義する。
 が連続的微分可能な曲線ならば、この線積分の値は実変数函数の積分
として評価することができる。弧長に関する線積分も同様に
と定義できる。これら二種類の線積分について、特に
が成り立つ。
複素線積分の例.
複素函数 と閉路 として を中心とする単位円を から反時計回りに一周するもの考える。 は () と媒介変数表示できるから、代入して
を得る。上記の積分はコーシーの積分公式を用いても同じ計算結果が得られる。
複素線積分とベクトル場の積分との関係.
と書くことができて、これと共軛複素積分
をあわせて考えれば、ベクトル場としての線積分と面積分を考えることができる。
複素正則函数がコーシー＝リーマンの方程式を満たすことから、正則函数の共軛に対応するベクトル場の回転は になる。これはどちらの種類の線積分でもそれが になるときのストークスの定理と関連がある。すなわち、ガウス＝グリーンの定理を適用すれば複素関数の面積分は、その領域の境界上の線積分に帰着されるため、複素関数の積分では線積分が本質的である。特に正則関数 の単純閉曲線 上の閉路積分に関するコーシーの定理
は、 を境界 とする領域 でのグリーンの定理にコーシー・リーマンの関係式を代入することに対応する。
親日家
決議に至る背景.
内容.
これらは、ドイツ連邦結成当初の規約を逸脱しており、連邦をより保守化・反動化させるものであった。
結果.
穢れを払い、禍（まが）を直す神とする説がある。
神直日神