そこで、ゲージ理論の完全なラグランジアンは
となる。
電磁気学の例.
前のセクションで示した定式化の単純な応用として、電子の場だけがある電磁気学の場合を考える。裸の骨だけの（最も中心となる）電子の場であるディラック方程式を生成する作用は、
である。
この系の大域対称性は、
である。
となる。
を得る。ディラック方程式、マックスウェルの方程式、量子電磁気学も参照。
数学的定式化.
接続による定式化.
無限小ゲージ変換はリー代数を形成し、スカラー ε に値を持つ滑らかなリー代数により特徴付けられる。そのような無限小ゲージ変換の下に、
である。
ヤン・ミルズ作用.
により与えられる。ここに * はホッジ双対を表し、積分は微分形式を使い微分幾何学的に定義される。
ゲージ不変量（すなわち、ゲージ変換の下に不変である量）は、次の式のように、任意の閉じた経路 γ で定義されるウィルソンループである。
ゲージ場の量子化.
方法と目的.
理論の結合定数が充分に小さいとき、求めるべき量の全ては摂動論により計算することができる。量子化のスキームはそのような計算（正準量子化）の単純化を意図していて、摂動量子化スキームと言われることもある。現在は、これらの方法のからゲージ理論の詳細な実験検証の大半が導かれる。
しかしながら、ほとんどのゲージ理論では、多くの興味のある量は非摂動的である。この問題に適合する（格子ゲージ理論のような）量子化スキームは、非摂動的量子化スキームと呼ばれる。このスキームの詳細な計算は、スーパーコンピュータを必要とし、他のスキームよりもうまく開発されているとは言えない。
アノマリ.
古典理論の対称性のうちのいくつかは、量子理論では保たれないことが分かる。この現象をアノマリと言う。知られているもの列挙すると、
大域対称性.
大域対称性は、力ではなく、保存則を要求する。
例.
となる。
局所対称性.
微分同相群は、定義により局所対称性であり、全ての幾何学的、より一般には共変な理論（すなわち、一般相対論のように、理論の方程式がテンソル方程式となる）は局所対称性を持つ。
ゲージ不変
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概要.
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