リースの表現定理は内積の存在に関して基本的であるばかりでなく、双対空間の完備性に関しても基本的である。事実、定理からは任意の内積空間の位相的双対がもとの空間の完備化と同一視できることが導かれる。リースの表現定理から直ちに導かれる結果としては他にも、ヒルベルト空間 の回帰性、即ち からその二重双対空間への自然な写像が同型となることも挙げられる。
弱収束列.
をみたすことをいう。
この事実（とその種々の一般化）は変分法における直接法の基礎を成している。有界閉凸関数に対する最小値の存在は、もう少し抽象的な、ヒルベルト空間 内の有界閉凸部分集合が の回帰性により弱コンパクトになるという事実からも直接的に得られる。弱収束部分列の存在性は、の特別の場合である。
ヒルベルト空間上の線型作用素.
有界作用素.
に分解され、各項は互いに可換になる。正規作用素をその実部と虚部とに分けて考えることも有用である。
非有界作用素.
密定義非有界作用素の随伴は、本質的に有界作用素の場合と同じ方法で定義される。自己随伴非有界作用素は量子力学の数学的基礎において可観測量の役割を持つ。ヒルベルト空間 上の自己随伴非有界作用素の例としては、
ヒルベルト空間の構成.
直和.
が成り立つ。
テンソル積.
なる正方形上の関数に写される。
正規直交基底.
線型代数学で言うような正規直交基底の概念を、ヒルベルト空間に対するものへ一般化することができる。ヒルベルト空間 における正規直交基底とは、 の元からなる族 で、条件
を満足するものを言う。
正規直交基底の例としては、
等を挙げることができる。
無限次元の場合には、正規直交基底は線型代数学でいう意味での基底にはならない（これを区別する意味で後者をハメル基底とも呼ぶ）。基底ベクトルの張る部分空間が全空間において稠密であるということから、空間の各ベクトルが基底ベクトルの無限線型和として書けることが従う。また直交性からはそのような和としての表示の一意性が従う。
数列空間の場合.
で、条件
を満たすもの全体からなる集合（に、項ごとの和、スカラー倍、標準内積を入れたもの）である。この空間には標準的な正規直交基底
が得られる。
ヒルベルト次元.
可分ヒルベルト空間.
直交補空間と射影作用素.