この節の記載は、フーリエ変換の「動機」についてのものであるが、フーリエ変換の理解に必須のものではなく、むしろ理解を妨げる要因（数学的に不正確な内容を含む）もあるため、注意が必要である。フーリエ変換についてのイメージを掴むには有用であるが、この節の理解に拘泥するとむしろ本質的な理解が阻害されることになる。
フーリエ変換を考える動機はフーリエ級数の研究に始まる。フーリエ級数の研究において、複雑な周期関数は単純な波動の数学的な表現である正弦関数や余弦関数の和として表される。正弦や余弦の性質のおかげで、この和に現れる各波の量、フーリエ係数を積分によって計算することができる。
フーリエ変換の性質.
を満たすルベーグ可測関数であることをいう。
基本性質.
絶対可積分関数 が与えられたとき、これらのフーリエ変換をそれぞれ , , で表す。フーリエ変換は以下の基本性質を満たす。
一様連続性とリーマン・ルベーグの補題.
を満たす。絶対可積分関数のフーリエ変換は
が成立する。ここで上付きバーは複素共役を表す。
局所コンパクトアーベル群に関する文脈におけるフーリエ変換の概念の一般の定式化についてはポントリャーギン双対の項を参照されたい。
不確定性関係.
が成り立つことを述べる。等式が成立するのは
したがって、
が成立することをも含む。
量子力学において、運動量と位置の波動関数は（プランク定数を因子に持つ）フーリエ変換対である。プランク定数でスケールしなおせば、上述の不等式はロバートソンの不確定性関係を記述する。これは、ハイゼンベルグが構想した不確定性原理そのものではないが、深い関係がある。
ポアソン和公式.
畳み込み定理.
と表されるとき、
相互相関定理.
で与えられることが示される。
固有関数.
球面調和関数.
となる。ただし、
一般化.
他の函数空間上のフーリエ変換.
多次元版.
フーリエ・スティルチェス変換.
このフーリエ変換を用いて連続測度の特徴づけを与えることができる。はそのような函数を測度のフーリエ・スティルチェス変換として得られるものとして特徴付ける。
緩増加超函数.