の何れかの形に書ける の元全体から生成される。商を取れば の元は零ベクトルに写されるから、 と書けば、この場合もやはり
が満足されることがわかる。
記法について.
普遍性.
テンソル積は普遍性を用いて定義することもできる。この文脈では、テンソル積は同型を除いて一意的に定義される。ベクトル空間のテンソル積は以下の普遍性を満たす:
この意味において、 は から作られる最も一般の双線型写像になっている。特に、これにより（一意的に定義される）テンソル積を持つ任意の空間の集まりがの例となることが導かれる。テンソル積の一意性は、上記の性質を満たす任意の双線型写像 に対し、同型写像 が存在して を満足することを言う。
この特徴付けを用いるとテンソル積に関する主張を簡明に示すことができる。例えば、テンソル積が対称であること、すなわち自然同型
が存在すること。左辺から右辺への写像を構成するには、普遍性により、適当な双線型写像 を与えることが十分である。ここでは、 を に写す写像を与えればよい。反対方向の写像も同様に定義して、それら二つの線型写像 と が互いに他方の逆写像となっていることを確認して証明は完成する。
同様にしてテンソル積の結合性、すなわち自然同型
の存在も証明できる。これにより、この互いに同型な空間を、括弧を落として のようにも書く。
線型写像のテンソル積.
ベクトル空間の間の線型写像にもテンソル積を定義することができる。具体的に二つの線型写像 および が与えられたとき、 と とのテンソル積 は
で与えられる。これによりテンソル積構成はベクトル空間の圏からそれ自身へのとなり、これは各引数に関してともに共変である。
線型写像 がともに単射、全射または連続ならば、テンソル積 もそれぞれ単射、全射または連続となる。
現れるベクトル空間にそれぞれ基底をとれば、線型写像 はそれぞれ行列で表現され、さらにテンソル積 を表現する行列は、 を表す行列のクロネッカー積で与えられる。具体的に書けば、線型写像 および がそれぞれ行列 および で表されるとき、 は区分行列
で表される。
より一般に、多重線型写像 に対して、それらのテンソル積は
なる多重線型写像として与えられる。
双対空間との関係.