階乗の増大度.
 が増えるにつれて、階乗 は を変数とする任意の多項式函数あるいは指数函数よりも早く増加する（ただし、二重指数関数よりは遅い）。
 の近似式の多くは自然対数
であることを利用する。最も単純に得られる の近似値を評価する式は、上記の式と以下の積分:
によって与えられる。積分を評価すれば
を得る。これは、ランダウの記号を用いれば のオーダーは であることを言っているのであり、この結果はソートアルゴリズムの計算量を測るのに重要な役割を果たす。さて上記の の評価から
が分かる。実用上はより弱い結果だがより評価のしやすいものを用いることもある。上記の式から簡単な評価をしてみると、任意の に対して であり、また のとき であることなどが分かる。
大きな に対して をよりよく評価するにはスターリングの公式
であることが証明できる。
したがって
と与えられている。この近似の誤差は、スターリングの公式よりも小さい。
連続変数への補間.
ガンマ関数とパイ関数.
で与えられる。ガンマ函数と階乗との関係は、任意の自然数 に対して
が成り立つことである。オイラーのもともとの定義式は
である。ガウスの導入した別表記として、負でない実数 に対するパイ函数 は
を満たす。ガンマ函数との関係は
である。非負整数 に対し
が成り立つことを思えば、こちらのほうが階乗を補完した函数としては適していると言えるかもしれない。さてパイ函数は階乗が満たすのと同じ漸化式
を、しかし定義される限り任意の複素数 に対して満たす。事実としてはこれはもう漸化式ではなくて函数等式と見るべきものであるが。この函数等式をガンマ函数に関するものに書き換えれば
となる。階乗を延長したものがパイ函数なのだから、定義可能な任意の複素数 に対して
と定めることは可能である。これらの補間函数を用いて半整数における階乗の値を定めるならば、例えば
が成り立ち、さらに自然数 に対して
が得られる。例えば
同様に に対して
が成り立ち、例えば
そうは言うものの、解析的函数論の意味で恐らくより簡明な、階乗の値を補間する複素函数は存在する。例えばアダマールの「ガンマ」函数はガンマ函数とは異なり整函数になる。
オイラーはまた非整数の階乗に対する近似無限乗積