一方、リアプノフ安定とは別の安定性の概念もある。平衡点の近くにある初期点を取る解がその平衡点へ収束するとき、そのような平衡点を吸引的であるという。厳密な定義では、平衡点 に対してある定数 が存在し、 を満たすような任意の解 が、 のときに を満たすことを吸引的という。吸引的な平衡点は沈点とも呼ばれる。
さらに、平衡点がリアプノフ安定なおかつ吸引的であるとき、漸近安定であるという。誤解や混乱を生まないようであれば、漸近安定な平衡点を単に「安定な平衡点」と呼ぶこともある。平衡点がリアプノフ安定であるが吸引的ではないときは、とくに中立安定な平衡点という。
平衡点がリアプノフ安定ではないとき、あるいは平衡点がリアプノフ安定でも吸引的でもないとき、不安定であるという。吸引的とは逆に、平衡点近傍の全ての初期値の解が時間経過に従って平衡点から離れるとき、そのような平衡点を反発的であるという。反発的な平衡点は源点とも呼ばれる。
線形系.
問題が次のような定数係数の線形微分方程式であれば、全ての解を厳密に解くことができる。
ここで、 は次のような定数を各要素とする 次正方行列である。
この線形微分方程式系の初期値を とすると、一般解は行列の指数関数を使って と表すことができる。このような線形微分方程式系では、 にかかわらず原点 はつねに平衡点である。
線形微分方程式を解く上で中心的役割を果たすのが固有値と固有ベクトルである。一般に、 次正方行列 から導かれる特性方程式
を解くことで、重複も含めて 個の固有値 と固有ベクトル が得られる。 の固有値 の値によって、線形微分方程式系の平衡点 の安定性は次のように判別できる。
ポアンカレの分類.
この場合、原点 が常に平衡点である。この系の係数行列を
とし、 の固有値を および とする。 と の値によって、平衡点 は次のように分類される。
また、 の行列式を とし、 のトレースを とする。これらは
というように各係数あるいは各固有値で表される。したがって、これらの と の値によっても平衡点の定性的分類を行うことができ、結節点、鞍状点、渦状点、渦心点の判別は次のようになる。
非線形系.
下記のような一般的な自励系的微分方程式が与えられているとする。