という関数となる。ここで、 は における の値である。よって、 であれば、 は で であり、系の原点を除く全ての軌道は回転しながら単位円に近づいていくこととなる。この結果は、明示的な一般解を必要としない簡易な安定判別によっても得られる。よって、原点を中心とする単位円がこの系の安定なリミットサイクルである。
上記の微分方程式系にパラメータ を与えた
では、 であれば、半径 の円が上記と同様に安定なリミットサイクルである。しかし のときは、全ての軌道は原点に収束する。 のときも、代数的なオーダーの速さだが全ての軌道は原点に収束する。 になったときに、原点は不安定となり、原点周囲に安定なリミットサイクルが発生する。よって、この系では でホップ分岐が起きている。
として表される。ここで がパラメータである。
実存の現象.
実存する現象に対して、リミットサイクルは自励振動現象の数理モデルとなり得る。自励振動とは、流入するエネルギーは非振動的であるにも拘らず、系自身の特性から自ずと発生する振動現象である。リミットサイクル振動子には、外力による強制振動の周期に依存せずに系自身でリズムを生み出す自律性がある。また、リミットサイクル振動子に外乱が加わった場合、一時的に振幅が変化するかもしれないが、外乱が無くなれば元の振幅に戻ることができる。このようなリミットサイクルの安定性は、工学的にも生物的にも重要である。
一定のリズムを鳴らす機械式のメトロノームは安定なリズムの好例である。最初に針を小さく振って動かしたとしても、針を大きく振って動かしたとしても、メトロノームは一定の振動に落ち着く。メトロノームの減衰力と駆動力がバランスすることによって安定な振動を生み出しており、簡単なモデル化によってもメトロノームにおけるリミットサイクルの存在が確認できる。また例えば心臓の拍動などのように、生物のリズム現象の多くは（生物分野では恒常性と呼ばれる）安定性を持っている。このような安定なリズムを記述するのにリミットサイクルを持つモデルが有効である。
レディホーク
SFXが多用され、戦闘シーンも多いが、本領は幻想的な映像によるラブ・ストーリー主体のロマンス作品である。ロック調の音楽が花を添えている。
でファンタジー映画賞と衣装デザイン賞を受賞している。
ストーリー.