の展開の係数として定義された。ここに、 はそれぞれベクトル の長さであり、 はそれらのベクトルのなす角である。上記の級数は が満たされる場合に収束し、質点に対応する重力ポテンシャルもしくは点電荷に対応するクーロンポテンシャルを極座標表示する際に用いることができる。このルジャンドル多項式を用いた展開は、例えば連続質量や電荷分布の上でこの展開を積分するときなどに有用である。
ルジャンドル多項式は、空間の無電荷領域における電位に関するラプラス方程式
となる。 と は各問題の境界条件に従って決定される。
三次元における中心力に対するシュレーディンガー方程式を解く際にもルジャンドル多項式は現れる。
多重極展開におけるルジャンドル多項式.
ルジャンドル多項式は、多重極展開で自然に現れる
なる形の関数（記号を少し変えてあるが、上で述べたものと同じ）の展開においても有用である。等式の左辺はルジャンドル多項式の母関数の閉じた形である。
と書くことができる。観測点 の半径 が より大きければ、電位はルジャンドル多項式を用いて
と展開することができる。ここでは および と置いた。この展開は通常の多重極展開を行うのに用いられる。
逆に、観測点 の半径 が より小さいならば、電位を上記のようにルジャンドル多項式展開することはできるが、 と とは入れ替わる。この展開は内部多重極展開 () の基本となる。
その他の性質.
ルジャンドル多項式は対称または反対称、即ち
を満たす。
微分方程式と直交性はスケール変換に依らない性質だから、ルジャンドル多項式はその定義において適当に定数倍して
で与えられる。既に述べたとおり、ルジャンドル多項式はボネの漸化式と呼ばれる三項間漸化式
と、公式
に従うが、これらから得られる等式
ルジャンドル多項式の積分に有効である。これを繰り返し用いて
あるいは同じことだが、
である。ボネの漸化式から帰納的に陽な表現
が得られる。ルジャンドル多項式に対するは
を導く。
ずらしルジャンドル多項式.
で定義される。ここで、ずらし写像（実はアフィン変換） は、区間 を区間 へ写す全単射として選ばれたもので、それゆえ多項式系 の区間 上での直交性
が従う。ずらしルジャンドル多項式の明示式は
で与えられる。ロドリゲスの公式のずらしルジャンドル多項式版は