次元が より大きい任意のコンパクトリー群 は円周群に同型な部分群を含む。これは対称性の言葉で言えば、連続的に作用するコンパクト対称変換群は、一径数円周群の作用を含むことが期待できるということを意味する。
円周群は部分群を多く持つが、真の閉部分群は の冪根からなる部分群に限られる。すなわち、各正整数 に対する の 乗根全体の成す集合は位数 の巡回群となり、そのような部分群は同型を除いて一意に決まる。
表現.
円周群の既約実表現は自明表現（これは一次元）と、回転
で尽くされる。ここで、 を正整数としているのは、 は と同値だからである。
抽象群構造.
本節では位相構造を考えない単に代数的な群としての円周群の構造について扱う。
を得る。同様にして、同型
も証明できる（ もまた加除アーベル群で、そのねじれ部分群は のねじれ部分群と同一であることによる）。
柴田倫世
来歴・人物.
イメージフィードバックシステム
概要.
IFSとは、体内にナノマシンを注入することで、脳とコンピュータをリンクさせる補助脳を形成、これにより人間の思考をコンピュータに入力できるインターフェースである。主に機体操縦に用いられており、操縦者のイメージのみで機体を操作することができるため、煩雑な操作を簡略化することを可能とした。
しかしナノマシン注入には不快感を伴い、またナノマシン処理中は精神が不安定になりやすく、場合によっては幻覚(幻聴)を伴うこともある。アカツキの発言によれば、使用中も闘争本能を高める副作用があるらしい。
IFS処理をしている者は一般的にはパイロット（高度な教育を受けたエリートではなく、それしか能のないごろつき）と見なされるなど偏見もあり、地球では忌避される傾向にある。しかしナノマシンのテラフォーミングによって移住を可能にした火星ではナノマシンに対する偏見がなく、重機の操作などにも用いられている。
また、コンピュータの管理用インターフェースとしての側面もあり、IFSの作動時には使用者の手の甲に模様のようなデバイスの媒介が浮かび上がる。
リアクト・システム.
漫画『遊撃宇宙戦艦ナデシコ』では、IFSに替わる新技術としてマーベリック社開発の「リアクト・システム」なるものが登場する。