値域と終域との違いを見るもう一つの例として、線型空間の間の線型写像を考えよう。特に からそれ自身への任意の線型変換を考えれば、それは実数を成分とする 正方行列によって表すことができる。そのような行列はどれも 定義域が で終域が であるような写像を表すのだけれども、値域は未知である。値域が終域に一致する変換（これはフルランクつまり階数の場合）もあれば、そうでなくより小さい線型部分空間に写る場合（階数 や の行列）もある。例えば行列 が
値域と終域が異なるということが、しばしば考えている写像の性質を発見するのに有効となり得る。例えば、先の は終域よりも真に小さい値域を持つから、フルランクではない。
値域
数学、特に素朴集合論における写像の値域（ちいき、）は、その写像の終域または像の何れかの意味で用いられる。現代的な用法ではほとんど全ての場合において「像」の意味である。 
注意.
古い本では「値域」を今日でいうところの終域の意味で用いている傾向がある。より現代的な本では大半が今日でいう像の意味で用いる。紛れを無くす目的で「値域」という語は用いないという本もある。
これら二つの用例の違いを知るために、例として実函数（実変数実数値函数）としての を考える（つまり、実数を入力として、その自乗を出力する函数である）。この場合、終域は実数全体の成す集合 と考えるが、（ が実数であるとき は負にはならないから）像は非負実数全体の成す集合 になる。この函数に対して、「値域」を終域の意味で用いているのならばそれは のことであり、他方「値域」を像の意味で用いているのであればそれは を指していることになる。
像と終域が一致するような例として、入力した実数を二倍する函数 を考えよう。この函数は終域と像がともに実数全体の成す集合 となり一致する（全射である）から、この場合「値域」をいずれの意味で用いたとしても誤解は無い。
定義.
「値域」を終域の意味で用いるならば、写像 の値域は の定義において指定しなければならない。初等実解析では、それはしばしば実数全体の成す集合 であることが仮定される。また、集合 は の像と呼ぶ。