ローレンツ曲線（ローレンツきょくせん、）とは、ある分布を持つ事象について、確率変数が取り得る値を変数とし、確率変数の値が与えられた変数の値を超えない範囲における確率変数と対応する確率の積の和（あるいは確率変数と確率密度関数の積の積分）を、その分布に対する確率変数の期待値で割って規格化したものとして与えられる関数の幾何学的な表現のことである。言い換えると、ある集団に含まれる下位集団に対する期待値を全体の期待値で割ったものをその下位集団ごとにプロットしたものとも言える。
あるいは、確率変数の値がある値を下回る集団の割合はそれらがとり得る確率変数の値の上限と一対一に対応付けられるため、全体に対する下位集団の割合を変数とする関数としても表すことができる。
ローレンツ曲線は下位集団の割合を変数 として、関数 によって定義される。集団全体の期待値を で表せば、連続的な分布に対するローレンツ曲線 は次のように定義される。
この定義から明らかなように、期待値 が または であるような分布に対しては、ローレンツ曲線を定めることができない。言い換えると、期待値が でない有限の値をとるような集団に対してのみローレンツ曲線が定義される。
概要.
国家の所得格差の統計に当てはめて、ローレンツ曲線について説明する。国民一人一人を所得が小さい順に並べ、下から 割に属する人の所得の合計値が、国民全員の所得の合計値の 割であるとき、
と表される関数 をローレンツ曲線という。
どんな分布でも、ローレンツ曲線 は確率密度関数 または累積分布関数 を用いて以下のように書くことができる。
ここで は累積分布関数 の逆関数である。逆関数の性質より、
を満たすので、積分
の積分変数を から に変えたものは、累積分布関数の定義より となるから、次のように書き換えられる。
また累積分布関数 は、対応する確率密度関数の積分 で置き換えられる。従って、その導関数 は確率密度関数 を与えるから、変数変換後の積分からは確率密度関数を消去することができ、上記の積分は以下のように書くことができる。
クシャトリヤ
概要.
仏教の開祖釈迦は釈迦族の王子であり、ヴァルナの中ではクシャトリヤに属した。また、仏教を保護したマウリヤ朝のアショーカ王やクシャーナ朝のカニシカ王もクシャトリヤ階級に属している。
神話的起源.