により定義することができる。
により与えられる。
結合律.
結合律を除く全ての群法則は、直ちに群作用の幾何学的定義から導くことができる。このアニメーションは幾何学的な結合法則を示している。
六本のどの直線についても、直線上の三点の和が であることに注意。九個の点全ての位置は、 と の位置と楕円曲線によって決定される。九点のうちの中心の点は、 と を通る直線上と、 と を通る直線上にある。加法の結合律は、格子の中心点を楕円曲線が通るという事実と同値である。この事実より、 が導かれる。
楕円曲線と点 はこのアニメーションの中では不動であることに対し、一方、 は互いに独立して動く。
複素数体上の楕円曲線.
により関係付けられている。
により、複素射影平面の中に埋め込まれる。
と書くことができる。
以上のことから、
であり、
であることが分かり、このモジュラー判別式は
である。
ここに はと呼ばれることもある。
注意すべきは、一意化定理は、種数 の全てのコンパクトなリーマン面は、トーラスとして実現することができることを意味していることである。
代数体上の楕円曲線.
高さ.
 が
さらに、偶関数 に対し
が成り立ち、さらに
有理点の構造.
定理の証明は無限降下法の変形の一種で、 へのユークリッドの互除法の繰り返しの適用となっている。 を曲線の有理点とし、 を と書くことにする。ここに は の の固定された代表元である。すると の高さは、 の高さのおよそ となる（より一般的には、任意の である を の替わりとすると、 の替りに となる）。同じように を と書き、 を と書き、と繰り返していくと、最終的には は、点 と、高さが事前に選択したある定数より小さいような点の、整数係数の線型結合となる。弱い形のモーデル・ヴェイユの定理と高さ関数の第二の性質により、 はある決められた有限個の点の整数係数の線型結合として表される。
これまでに、 の代表元を決定する一般的なプロセスが知られていないので、この定理は有効である（計算可能である）とは言えない。
とあらわすことができる。ここではねじれ点である。このとき、標準的高さは
と二次形式であらわされ、かつこれは正定値である。
となることを言っている。
BSD予想.