ような対角化不可能な行列については適用できない。このような行列に対しては、そのジョルダン分解を計算する必要があり、また上述のような対角成分の対数ではなく、の対数を計算することになる。
後者の作業については、ジョルダン細胞が
のような形に書き表せることに注意することで達成される。ここで、 は主対角成分およびその下がすべて であるような行列である（数 が零でないことは、対数が取れるために行列は可逆とする仮定による）。
このとき、メルカトル級数
を用いれば
を得る。一般には、この級数は任意の行列 に対して収束するわけではない（絶対値が より大きい任意の実数に対して収束しないのと同様）が、今の場合に限っては は冪零行列であるから、実際には有限項しかない（ の次元が なら は零行列である）。
このやり方で、例えば
を得る。
関数解析学的な側面.
の道具立てを用いると、複素数平面内の開集合上で定義された正則関数 および有界作用素 に対し、 が のスペクトル上で定義される限りにおいて、 を計算することができる。
関数 は、複素数平面内の原点を含まない任意の単連結開集合上で定義することができて、かつそのような領域上で正則である。このことは のスペクトルが原点を含まず、原点から無限遠点へ向かう のスペクトルを横切らない径路が存在するならば が定義できることを示している（例えば、 のスペクトルがその内側に原点がくるような円ならば、 は定義できない）。
ユークリッド空間の場合に立ち戻ると、この空間上の線形作用素のスペクトルはその表現行列の固有値全体の成す集合であり、それは有限集合である。そのスペクトルに原点が含まれない（行列が可逆）である限りにおいて、前段落で述べた径路に関する条件などは明らかに満たされるので、その論法により が定義可能である。この種の行列の対数が一意でないことは、行列の固有値集合上で定義される対数函数の分枝が複数選びうるという事実から生じる。
リー群論的な側面.
リー群論において、リー代数 から対応するリー群 への指数写像