複素数の複素数乗.
複素数の複素数乗 は
として定義される。対数函数は多価であったから、その結果として複素数の複素数乗も一般には多価になる。特に （ は自然数）の形のときは、複素数 の 乗根 を表し、値は一意に定まらない。
対数函数の適当な枝をとって一価函数として扱うとき、実数の実数乗に対して成立していた指数法則や対数法則は、複素数の複素数乗では一般に成り立たない。例えば、
は が複素数である場合には一般には成立しない。この式の両辺を今述べたような多価の値を持つものと見なす場合、左辺の値の全体は右辺の値の全体の成す集合の部分集合になっていることに注意する。
正則函数.
 を複素数平面 の領域とする。
複素函数 が正則であるとは、定義域 の各点で複素微分可能であることである。実部と虚部に分けて考えると、 が正則である必要十分条件は、, が微分可能で、コーシー・リーマンの方程式を満たすことである。例えば、複素函数
や
は正則でない。これらはコーシー・リーマンの方程式を満たさず複素微分可能でない。
複素解析には実解析に無いいくつかの特徴がある。
正則函数は解析関数である（正則関数の解析性）。したがって、正則函数は何回でも微分可能である。
有理型函数は、局所的には正則函数 を用いて で近似でき、正則函数といくつかの特徴が共通する。有理型でない函数は真性特異点をもつ（例えば は で真性特異点を持つ）。
歴史.
その後、ウォリスにより幾何学的な解釈が試みられ、ヨハン・ベルヌーイやオイラー、ダランベールらにより、虚数を用いた解析学、物理学に関する研究が多くなされた。
他分野における複素数の利用.
複素数 と実数 により定まる、一変数 の関数 は時間 に対して周期的に変化する量を表していると見なすことができる。周期的に変化し、ある種の微分方程式を満たすような量を示すこのような表示はフェーザ表示と呼ばれ、電気・電子工学における回路解析や、機械工学・ロボット工学における制御理論、土木・建築系における振動解析で用いられている。
物理学.
量子力学では複素数が本質的である（数学的な定式化に用いられる）。物体の位置と運動量とはフーリエ変換を介して同等の扱いがなされ、波動関数たちのなす複素ヒルベルト空間とその上の作用素たちが理論の枠組みを与える。
複素数の拡張.