ベクトル同士の演算に基づいて、（結果がまた二項積となるように）ベクトルと二項積の間に四種類の積を構成できる。
二項積同士の乗法.
二項積同士の積がまた二項積となるように五種類の演算を以下のように定義する。 はベクトルとする。
一般二項積テンソル
に対しては:
ダブルドット積.
ダブルドット積（二重点乗積）の定義には二通りあり、何れの意味で用いる規約になっているのかは文脈に注意すべきである。この二項積同士の積に対応する行列の演算はなく、このような定義を持ち出すことに疑問は無かろう。
通常のドット積（点乗積）が可換であるため、このダブルドット積（二重点乗積）もまたそうなる:
ダブルドット積（二重点乗積）は転置に関して特別の性質を持つ:
他には:
ダブルクロス積.
任意の二つのベクトル の二項積に対して、そのダブルクロス積（二重交叉平方、自身との二重交叉積）は必ず になる:
しかし一般の二項積テンソルに対して、そのダブルクロス積（二重交叉平方）は一般には でない。例えばどの二つも一致しないベクトルから得られる一般二項積
に対して、積（平方）
は でない。
テンソルの縮約.
この二項積の縮約をアインシュタインの和の規約に従って添字記法で書けば
特別な二項積.
三次元の場合に、基底ベクトル およびその逆ベクトル を用いれば単位二項積は
と書ける。標準基底（基本ベクトル）で書けば
である。対応する行列
は単位行列になる。
これは（併置記法が何を意味するのかという論理的な文脈で）より注意深く基礎付けることができる。有限次元ベクトル空間 と 上の二項積テンソルは、 とその双対空間に関するテンソル積の基本テンソルである。
この意味で、基本二項積 は を に写す三次元空間からそれ自身への写像であり、同様に は同じ和を に写す。そうすると、 は恒等写像（単位元）であるということにはっきりと意味ができて、これは をそれ自身に写す。
二次元の任意のベクトル に対して単位二項積への左交叉積:
は の周りの 反時計回りの回転を与える二項積である。あるいは、一般二項積テンソル
も二次元の 反時計回りの回転になる。これはベクトルに左点乗積で回転を表す:
行列として書けば
一般に、反時計回りの角 の二次元回転二項積は
で与えられる。ただし、 は上で与えたものとする。
一般化.