とすると、()で述べたの基底を用いてスピン群の元を次のように書き表す事ができる事が、()、()、()からわかる：
から への準同型写像.
と定義するとが()で定義された内積と空間の向きを保つ事を簡単な計算で確かめられる。すなわちは回転変換であるので、である。
以上により、 から への準同型写像
が定義できた。この の具体的表記は後の節で述べる。
が誘導する写像の定義とその具体的表記.
()に従い、が誘導する写像 を、
により定義する。このとき は
を満たす。成分で書けば
である。特に
である。ここでは交換子積である。
よっての任意性と()から以下の結論が得られる：
の具体的表記.
()、()より、
である。()より、の元は何らかのを用いて、の形に書けるので、上式によりの振る舞いを完全に記述可能である。
しかも
の元の成分表示()を用いると、は下記のように表示できることも知られている：
スピン角運動量演算子の定義と性質.
スピン角運動量演算子の定義.
以上の準備の元、スピン角運動量を定義する。
さらに
同様に が誘導する を()式のように定義すると、 は()式のように書け、()より
である。
単位ベクトル に対し無限小回転 を()式のように定義し、合成写像
によって定まるエルミート演算子
を考えると、()より、
スピン角運動量演算子の性質.
交換関係.
となる。よって()より、軌道角運動量と同様、以下の交換関係が成り立つ：
回転軸の変更.
を満たすが存在する。
なので、が同型写像である事から、
よって任意のに対し、
したがって
スピンの場合の具体的表記.
スピン量子数がである場合、スピノール空間は()より
であり、単位ベクトル を回転軸に持つスピン角運動量演算子は、()、()、()、()より、
を持つ。
それぞれの規格化された固有ベクトルは、次のとおりとなる。
のユニタリ表現と角運動量.
軌道角運動量と全角運動量のスピン群による表記.
と定義されていた。
と定義すると、
が誘導する写像であるので、一粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量のいずれも
という形で書けている事がわかる。
複数粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量は一粒子のものの和として表記できるので、やはり()の形で表記できる事がわかる。