外冪の普遍性により、 上の次数 の交代形式の空間は双対空間 と自然同型である。 が有限次元なら後者は に自然同型である。特に から への反対称写像全体の成す空間の次元は から を選ぶ二項係数に等しい。
で定義される。この楔積の定義は、 が有限標数をもてば矛盾無く定まる。上記と同値で階乗を使わないものとして
双代数構造.
正確に言えば、次数付き代数 の次数付き双対と 上の重線型交代形式全体の空間の間に対応が存在する。上で定義した重線型代数の楔積は 上に定義され、余代数の構造を定める余積の双対である。
この余積 () は線型写像 であって、分解可能な元の上では
によって与えられる。例えば
のようである。これを線型に拡張して外積代数全体で定義される演算を得る。余積の言葉で言えば、双対空間上の楔積はちょうど余積の次数つき双対
である。ここで右辺におけるテンソル積は線型写像としてのそれである（両立しない斉次次数の元については で拡張する。もっとはっきり言えば と定める。ここで は以下で定義する余単位射である）。
内部積.
 は有限次元とし、 を の双対空間とする。任意の に対し、代数 上の
が定義できる。この微分を に関する内積あるいは内部積 () と呼ぶ。挿入作用素 () や による縮約 () などということもある。
が定義される。加えて、 が純スカラー（つまり、 の元）であるときには とする。
公理的特徴づけと性質.
内部積は以下の性質
が挙げられる。
ホッジ双対性.
によって明示的に与えられる。体積要素に加えて、ベクトル空間 が と を同一視する内積を備えているならば、得られる同型
になっている。ここで は恒等写像で、内積は計量符号数 （プラスが 個、マイナスが 個）を持つ。
函手性.
 をベクトル空間の対とし、 を線型写像とする。このとき普遍構成により、次数付き代数の準同型
であって、その への制限が
で与えられる。
完全性.
ベクトル空間の短完全列
に対し、
は次数付き線型空間の完全列である。もちろん
も完全である。
直和.
ベクトル空間の直和上の外積代数はそれぞれの空間上の外積代数のテンソル積に同型
である。これは次数付き同型、つまり
になっている。もう少し一般に
がベクトル空間の短完全列ならば は
で、その商が
が完全である。
交代テンソル代数.