自然数 の正の約数の和を、約数関数 で表す。素因数分解により、正の約数の和も式で表すことができる。
 の素因数分解を とすると、
約数の和から元の自然数の求め方.
正の約数の和が となる自然数 を求めるには、初項 の素因数のべき和の積を既知とするところから求める必要がある。
例：正の約数の和が になる自然数 の求め方：
一般化.
約数の概念は、除法の原理が定義される、整域で一般化される。ユークリッド整域などの一意分解整域、例えば可換体上の一変数多項式環 などである。
公案
公案（こうあん）
法身、機関、言詮、難透などに大別されるが、その他に様々な課題がある。内容はいわゆる禅問答であって、にわかに要領を得ず、解答があるかすら不明なものである。有名な公案として「隻手の声」、「狗子仏性」、「祖師西来意」などがある。
　例: 両手を叩くと音がする。では片手の音とはなんだろう。（隻手の声）
公案を通じて、禅の修行者に「東洋的無」を体験させようとしたのは、宋代の五祖法演禅師からで、このころに公案禅（看話禅）が確立しており、公案は「五祖下の暗号密令」と言われることもある。
なお、「公案」の語は、転じて芸道の思案・工夫の意味にも用いられ、世阿弥は能楽論書中に好んで使用している。
公案を用いた禅道修行と看話禅.
禅道修行を志した雲水は、一般に参禅のしきたりを踏んだうえで一人の師につき、各地にある専門道場と呼ばれる養成寺院に入門し、与えられた公案に取り組むことになる。公案は、師家（老師）から雲水が悟りの境地へと進んで行くために手助けとして課す問題であり、悟りの境地に達していない人には容易に理解し難い難問だが、屁理屈や詭弁が述べられているわけではなく、頓知や謎かけとも異なる。
数年間の修行中は僧堂で坐禅をしたり、寺の業務に従事しながら毎日、多い時には日に数度も、老師のもとに呼び出され、回答を求められる。思考の限りを尽くしてもそのたび老師に追い返され、なおも回答の提出を求められて懊悩する日々の生活は、きわめて厳しい。
公案をひとつひとつ解いて悟りへと至る禅を看話禅と呼び、臨済宗、黄檗宗、韓国の曹渓宗が看話禅に属する。これに対し、公案を用いずにひたすら坐禅をして（只管打坐）悟りを開いていく禅を黙照禅といい、黙照禅は曹洞宗の特徴となっている。