適当な環 （例えば実数体 や複素数体 ）に成分を持つ 次正方行列環を と書き、その一つの元として行列 をとる。 に関する多項式を係数として持つ行列、例えば やその余因子行列（の転置行列） なとは の元である。 の同じ次数の冪を含む項をまとめることにより、 に属する行列を を変数とする行列係数の「多項式」の形に書き表すことができる。行列係数の多項式全体の成す集合を と書けば、 と との間に一対一対応が存在するから、それにより対応する算術演算を定義することができる。特に乗法は
で与えられる。これは明らかに非可換な乗法である（特に右辺の係数における積の順番は、左辺の対応する因子の現れる順番を反映するようにしなければならない）。
が成り立つが、これに を代入して整理すれば
が残る。各 に対してを行うことにより、所期の式 が得られる。
このように実際に が環準同型となる適切な設定の下が求められたからには、定理の証明は
しかしここで用いた被除数 も除数 もともに部分環 に属している（ここで は の生成する行列環 の部分環、すなわち のすべての冪によって 上線型に張られる集合である）。したがって、実は上記の割り算は可換多項式環の中で実行できるものであり、もちろんこの小さい環においても同じ商 と剰余 が与えられる。このことから特に が実は に属すことが分かる。このように可換環部分環の中で考えれば、等式 において を とおくことは有効、すなわち評価写像
定理を証明することに加えて、上記の論法では の係数 は に関する多項式であることまで分かる（これに対して、第二の証明からはそれらは の中心化環 に入ることしか分からない。一般に は より大きな部分環であり、可換とも限らない）。特に定数項 が に入る。 は勝手な正方行列でよかったのだから、これにより が常に の多項式に書ける（係数は ごとに変わる）ことが保証される。
が導かれる。ここに、 は の固有多項式 のものである。
抽象化・一般化.
上で述べた通り、定理の主張における行列 は、先に行列式を評価してからその後で行列 を変数 に代入して得るものであり、行列式を計算する前に行列 に代入を行うことは意味をなさない。にも拘らず、 をある特定の行列式の値として直截に得ることのできる解釈を与えることは可能である。