となる。
また、が証明可能であれば、の性質から命題「は証明できる」も証明可能である。この際、もしそのものが証明不能だとすると、ω矛盾ということになる。ω無矛盾であればも証明可能である。しかしが証明可能であれば「は証明できない」も証明可能であるので、やはり両者から矛盾が導かれる。したがってω無矛盾であればも証明できないのである。よってω無矛盾であれば、もも証明できない（第一不完全性定理）。
なお、証明可能性の代わりに真理性を用いれば、パラドックスが導かれることから、帰納的公理化された自然数論（以下、自然数論）における真理性は自然数論の中では算術的述語として表現できない、と示される（タルスキの定理）。
第二不完全性定理の証明の概要.
自然数論の無矛盾性を
と証明できる。しかし、
したがって自然数論が無矛盾、すなわち自然数論で矛盾が証明されないならば、そのこと自体も自然数論では証明できない（第二不完全性定理）。
詳細.
ゲーデルの定理は「帰納的公理化可能な自然数論を含む無矛盾理論」に対して示されているが、ここでは簡単の為、帰納的公理化可能な自然数論のみを扱う。一般の場合も同様。
ゲーデル文の構成.
ゲーデル数化により、論理式に関する様々な性質を論理式として表すことができる。たとえば、
という論理式も作ることができる。
第一不完全性定理の証明.
否定命題の証明不能性.
という意味である。
が証明可能である。したがって、
は証明可能である。
肯定命題の証明不能性.
により
が証明可能である。
それ故、矛盾が証明されるが、これは自然数論が無矛盾であるという仮定に反する。
第二不完全性定理の証明.
の意味に解することができる。
まず
が自然数論の体系内で証明可能であると仮定する。
が自然数論の体系内で証明可能なことがわかる。故に対偶を取ることで
決定不能命題の例.