が において微分可能であることと、各成分 がすべて において微分可能であることは同値である。また
が成り立つ。
ベクトル値関数 が区間 の各点で微分可能なとき、 は区間 において微分可能であるという。
超準解析による定式化.
実数を拡大して超実数 の体系の中で考えるとき、実函数 の実点 における微分係数は（ の超実数への自然延長をやはり と書くとき）、無限小 に対して とすれば、 の に関する商 の を考えることで定義することができる。ここで、上記の差分商の標準部が無限小 の取り方に依らずに定まるとき、すなわち
が成り立つとき、この実数 を実函数 の における微分係数と呼ぶ。
記法について.
関数 の導関数や高階導関数を表す記法には次のようなものがある。
また、 とおいて、下記の記法における を で置き換えた記法も用いられる。
微分係数.
点 における微分係数（および高階の微分係数）を表すには、 を添えたり を添えたりする。
例えば、
である。
微分公式.
基本法則.
 が微分可能な の函数で、 が に無関係な定数のとき
初等函数に関する公式.
いくつかの初等函数に関して、特徴的な微分公式が挙げられる。、、、 はそれぞれ指数函数と対数函数であり、、、 は三角函数、、、 は三角函数の逆函数（逆三角函数）、、、 は双曲線函数、、、 は双曲線函数の逆函数（逆双曲線函数）である。また、三角函数および双曲線函数のべき乗は のように函数名の肩に指数を書いて表していることに注意。
多変数函数の微分法.
偏微分と方向微分.
偏微分.
を、 の点 における に関する偏微分係数といい、
などの記号で表す。また、点 に対してこれらの偏微分係数を対応づける 上の関数を の に関する偏導関数といい、
 が の各点ですべての変数について偏微分可能で、かつすべての偏導関数 が で連続であるとき、関数 は で連続微分可能（または 級）であるという。
高階の偏微分.
偏微分を繰り返して行うことにより得られる微分係数のことを高階の偏微分係数という。これは微分の階数について帰納的に定義される。
および 階偏導関数
が定義される。
方向微分.
関数 について、偏微分は の各座標軸方向への変化を測る。 の任意の方向への変化を測るのが方向微分である。