幾何学への応用.
位相空間上のベクトル束に対しテンソル代数、対称代数や外積代数などの操作を考えることで次数付き線型環の束が得られる。つまり、空間 上のベクトル束 に対し、各点 におけるファイバーのベクトル空間ごとに などを考えることで新たな束が得られる（これらの操作はベクトル束に期待される変換の連続性を保っている）。特に多様体 の余接束 に対し、この操作を施すことで共変の 階テンソルの束 やそれら切断のなす外積代数 、接束 に対しこの操作を施すことで反変の 階テンソルの束 などが得られる。
物理学への応用.
テンソル代数
数学におけるベクトル空間 上のテンソル代数（テンソルだいすう、） または は 上の任意階のテンソル全体がテンソル積を乗法として成す体上の多元環である。これは多元環をベクトル空間とみなすの左随伴となるという意味において 上の自由多元環、すなわち普遍性を満たすという意味で を含む多元環として「最も一般」のものである。
テンソル代数はまた二種類の余代数構造を持つ。一つは簡素で双代数を定めないが、もう一つはより複雑なもので双代数を導き、さらに対蹠射を以ってホップ代数へ拡張することができる。
構成.
を台として構成される。 における乗法は、テンソル積によって与えられる自然同型
随伴と普遍性.
陽に書けば、テンソル代数の普遍性（ を含む最も一般な多元環であることをきちんと述べたもの）は以下のようなものである:
ここに、 は自然な埋め込み（随伴の単位射）である。したがって、以下の図式
が可換となる。実は、この性質を満たす一意的な多元環としてテンソル代数 を定義することができる（厳密に言えば一意的な同型を除いて一意）が、それでもこの性質を満たす対象が存在することは示さなければならない。
非可換多項式.
注意すべき点として、 上の非可換多項式環として適切なのは よりはむしろ の方であることが挙げられる。これは 上の一次斉次函数は の元であること、またベクトル空間上の座標函数 は（ベクトルをその座標成分となるスカラーへ写す函数とみれば）共変ベクトルであることによる。
商代数系.