を持ち、 の各点 においてファイバー がベクトル空間を成すようなものを言う。 ならば線束という。任意のベクトル空間 に対し、射影 は直積 を「自明な」ベクトル束にする。 上のベクトル束は、局所的にはある（固定された）ベクトル空間 と との直積でなければならない。つまり、 の各点 に対して の適当な近傍 を選んで、 の への制限が自明束 に同型となるようにすることができる。これらの局所自明性にもかかわらず、ベクトル束は巨視的には（台となる位相空間 の形に依存して）「捻じれ」ているのである。つまり、ベクトル束は自明束 （と大域的に同型）である必要はない。例えば、メビウスの帯は（円周を実数直線上の半開区間と同一視することによって）円周 上の線束と見做すことができるが、しかしこれは円筒 とは異なる。後者は向き付け可能だが、前者はそうではない。
ある種のベクトル束の性質は、台となる位相空間についての情報を提供する。例えば、接空間の集まりからなる接束は可微分多様体の点によって径数付けられる。
可微分多様多の余接束は、多様体の各点において接空間の双対である余接空間が対応するベクトル束である。余接束の切断は微分一次形式 と呼ばれる。
加群.
アフィン空間および射影空間.
大雑把に言うと、アフィン空間 ( ) というのはベクトル空間からその原点をわからなくしたものである。より正確には、アフィン空間とは自由かつ推移的なベクトル空間の作用を備えた集合を言う。特にベクトル空間は、写像
を考えることによって、自身の上のアフィン空間となる。 をベクトル空間とするとき、 のアフィン部分空間とは、固定したベクトル によって線型部分空間 を平行移動することによって得られるものを言う。この空間は （ による の剰余類）であり、 に対する の形のベクトル全てからなる。重要な例は、非斉次の線型方程式系
の解空間である。これは斉次の場合、つまり の場合を一般化するものである。この解空間は、方程式の特殊解 と、付随する斉次方程式の解空間（つまり の核空間） に対するアフィン部分空間 である。