主バンドルとしての接続から前述の方法での接続形式が定まり、逆に接続形式がになる方向を水平方向とすることでに主バンドルとしての接続が再現できるので、両者の定義は同値である。
諸概念.
本節では主バンドルの接続に関する諸概念を接続形式を使って表現する。
共変微分.
である。
曲率.
本節では、上記で定義したリー代数による接続の記述を使って曲率形式をリー代数の言葉で書き換える。
を考える。紛れがなければ添字を省略し単にと書く。
構造方程式から以下が明らかに従う：
曲率がである事は水平部分空間が可積分である事と同値であったので、水平部分空間が自明になる一点上のバンドルでは曲率がになるのは自明である。
実は以下が成立する：
実際、底空間が一点である事から
のみになる。
実は次が成立する：
平行移動.
主バンドルの接続の場合、平行移動は以下を満たす：
よって特に以下が成立する：
ベクトル値を取る微分形式.
をベクトル空間とし、
上記の写像の逆写像は以下のように書ける：
随伴バンドル.
が成立する。すなわち曲率形式は随伴バンドルの元と見なすことができる。
共変外微分.
主バンドル上の共変外微分.
を定義できる。
同伴バンドルへの接続の誘導.
本節では主バンドルの接続からそれに同伴するバンドルに接続を誘導する方法を述べる。
準備：同伴バンドル.
接続の誘導.
定義.
を考える。
別の定式化.
本節では、前節で定義した同伴バンドルに誘導された接続を別の方法で特徴づける。
そのために上の積を取る写像と逆元を取る写像
を考え、これらが接バンドルに誘導する写像
をそれぞれ上で積を取る演算、逆元を取る演算とみなすと、がこの積に対して群になる事を示す事ができる。この群をリー群の（）という。
このため同伴バンドル
を考える事ができる。しかも
が同型
を誘導することも示す事ができる。
本節で定義された「誘導された接続」が前節で定義されたものと同一であることを用意に示す事ができる。
誘導された接続の性質.
共変微分.
本節では同伴接続の共変微分が主接続の接続形式を用いて表現できる事を見る。まず記号を定義する。
とする。
曲率.
主接続の曲率とそこから誘導された接続の曲率は以下の関係を満たす。
誘導された接続の特徴づけ.