量子力学において、昇降演算子（しょうこうえんざんし、）とは、演算子として表現される物理量の固有状態を、異なる固有値を持つ別の固有状態に写す演算子。特に固有値を増加させる演算子は上昇演算子（じょうしょうえんざんし、）、固有値を減少させる演算子は下降演算子（かこうえんざんし、）と呼ばれる。ある物理量に対応する昇降演算子を構成することで、全ての固有状態を調べ上げることが可能となる。昇降演算子が応用される代表的な例としては、量子力学における角運動量、アイソスピン、調和振動子が挙げられる。昇降演算子を用いて、固有状態を求めることは、交換関係で規定されるリー代数の既約表現を構成することに対応する。特に最高ウェイト状態を用いたリー代数の表現は、昇降演算子と密接に関連する。一方、位置座標によって、状態ベクトルを座標表示すれば、昇降演算子は同種の系列である特殊関数同士を結びつける。こうした特殊関数に作用する昇降演算子はリー代数、リー群の表現論により、統一的に扱うことができる。
一般的な定式.
角運動量.
直交座標系での各成分は、次の交換関係を満たす。
この結果と
原子・分子への応用.
原子系や分子系のハミルトニアンは角運動量の内積を含む。例えば超微細構造ハミルトニアンの磁気双極子項がある
これらの定義から、上記の内積を展開できる。
調和振動子.
で与えられる。ここで は位置演算子、は運動量演算子であり、次の正準交換関係を満たす。
昇演算子 と降演算子 を次のように定義する。
これらは次の交換関係を満たす。
このとき、ハミルトニアンは昇降演算子により、
と表すことができ、交換関係
を満たす。すなわち、 はハミルトニアンのエネルギー固有状態を だけエネルギーが高い固有状態に移し、 は だけ低い固有状態に移す。これらを導入することで系の微分方程式を直接に解くことなくエネルギー固有値を抽出することができる。
大江光 (スノーボーダー)
来歴.
器械体操のトレーニングを積み富山県大会で優勝経験も持つ。
二川中学校
二川中学校（ふたかわちゅうがっこう／ふたがわちゅうがっこう）は、日本の公立中学校。
ほまれ
内容.
ハワード・クロスビー・ウォーレン
生涯.
須戸敏之
搭載貨物.
経過.
巨蟲列島