多重集合の演算と重複度函数.
多重集合 に対し、台集合 の部分集合 を台集合とする多重集合 で の各元 の重複度について
が成り立つとき、多重集合 は多重集合 の部分多重集合であるといい、 で表す。
また、多重集合に対する和、差、積、対称差などの概念が、通常の集合に関する和、差、積、対称差などに従って定義される。例えば、多重集合 の和 は包含関係 を順序とする上限、積 は に関する下限である。多重集合の演算は台集合に対しては通常の集合演算として作用するが、その元の重複度については多少の注意を要する。
!
! 交叉
! 合併
と矛盾なく定義される。定数項 は微分で消え、省略した後続の項は極限をとれば消える。ゆえに平均 , 標準偏差 を持つ標準正規分布に対して、その累積母函数の導函数は となる。平均 , 標準偏差 の正規分布の累積母函数の導函数は で与えられる。
応用.
多重集合は様々な応用を持つ。多重集合はそのより高度な厳密さが希求されたことの結果として、組合せ論における主要な構造となり、現代組合せ論は集合ではなく多重集合に対する理論として発展した。多重集合はデータベースにおいて重要な道具となった。例えば多重集合はデータベースシステムにおける重要な関係としてしばしば用いられる。多重集合は計算機科学においても重要な役割を務める。
一般化.
重複度関数の値域を変更することにより、重複度を負の値も含めた整数値や実数値などに拡張して考えることができる。拡張された意味での多重集合に関する多重集合演算は、大抵の場合には非負整数値の場合の重複度関数の算術がそのまま成立するものとして演算後の重複度関数を定め、それによって特徴付けられる多重集合として定義される。
に対して、
となるように帰属率函数に制限を加えて考えることも多い。
各種問題の研究と解法に応じて様々に異なる多重集合の一般化が存在する:
概要.
なお、同社のビールは、国内外で多数の賞を獲得している。
名称の由来.
同社のビールのラベル等もザンクト・ガレン修道院の修道僧をイメージしている。
ビール.
また、サンクトガーレンは日本各地で開催されるビール関連のイベントに積極的に参加しており、同社が醸造する銘柄のリアルエールの出展なども行っている。
受賞歴.
モンドセレクション.
歴史.