有理数体 の超準モデル（超有理数体） を取る。ある正の有理数よりも絶対値の小さい超有理数は有限という。有限数の全体を とおく。任意の正の有理数よりも絶対値の小さい超有理数は無限小という。無限小数の全体を とおく。このとき剰余環 は完備順序体となる。
エウドクソスの実数.
論理学における実数.
実数という数のクラスが初めてはっきりと取り出されたのはカントールによる集合の研究においてだった。彼は集合論的には実数全体の集合は有理数全体の集合からはっきりと区別されるべき大きさ（濃度）を持っていること（実数の集合は可算でないこと）を示した。
また、カントールは実数全体の集合と有理数全体の集合のちょうど中間の大きさの集合は存在することするかどうかいう問いをたてた。これは後になって連続体仮説とよばれ、結局通常用いられる集合論の体系からは証明も反証もできないことがわかった。
解析学における実数.
実数の完備性により、実数に値を持つ関数の範疇で様々な近似操作を考えることができ、微積分などが定義される。特定のクラスの関数たちに対して距離の概念などを用いて位相を考えると位相線形空間が得られる。こうして得られるものは多くの場合に無限次元であるが、考えている位相に関して完備になっている。関数解析学では、この概念を公理化した実数体上で考えられる完備位相線形空間とよばれる様々な空間が研究される。
位相空間上の関数やその積分の収束を考えるときは、問題にしている関数たちによって指定される位相空間の部分集合が重要になるが、こうして可測集合の概念が得られる。例えば実閉区間 上の関数を考えるときには一点集合 や開集合を含んで、補集合をとったり可算個の合併について閉じていたりするような集合族を考えることになる。距離を持つコンパクト空間の可測集合のなす構造は、高々可算集合または閉区間 の構造に同型となることが知られている。
幾何学における実数.
から正規空間とよばれる広いクラスの位相空間の位相構造（つまり、どの部分集合が開集合か）はその上の実数値連続関数のなす空間に完全に反映されていることがわかる。