一般相対性理論において、リッチ曲率はアインシュタイン方程式の鍵となる項であり、重要な役割を果たす。
ケーラー多様体においては、リッチ曲率はその多様体の第一チャーン類をねじれを除いて決定する。しかし、一般のリーマン多様体においては類似する位相幾何学的解釈が無い。
大域的幾何と位相幾何.
ここに、正のリッチ曲率を持つ多様体に関する大域的な結果の短い一覧を示す。リーマン幾何学の古典定理も参照されたい。簡潔に言うと、リーマン多様体の正のリッチ曲率は強い位相幾何的帰結を持つのに対して、（三次元以上では）負のリッチ曲率は何らの位相幾何的含意も持たない。（リッチ曲率は、リッチ曲率関数 が非零接ベクトル の集合に対して正であるときに正であるという。）いくつかの結果は擬リーマン多様体についても知られている。
共形再スケーリング下での振舞い.
計量 を共形因子 倍に変更するとき、新しい計量 のリッチテンソルは によれば
特に、リーマン多様体上のある点 で、任意の計量に対してそれと共形でありながらリッチテンソルが点 において零となるような計量を必ず見付けることができる。ただし、これは点についての言及であることに注意されたい。多様体全体のリッチ曲率を共形再スケーリングにより零にすることは一般には不可能である。
二次元多様体の場合は、上の公式は が調和関数であるならば共形スケーリング はリッチ曲率を変化させないことを示している。
トレースなしリッチテンソル.
リーマン幾何学及び一般相対性理論において、擬リーマン多様体 のトレースなしリッチテンソル () は次のように定義される。
ここで はリッチテンソル、 はスカラー曲率、 は計量テンソル、 は の次元である。この量の名前は、トレースが自動的に零になることに由来する。
ここで は何らかの定数とする。数学的には、これが がアインシュタイン多様体となる条件である。物理的には、この式は が宇宙定数つきの真空アインシュタイン方程式の解であることを意味する。
ケーラー多様体.
逆に、リッチ形式はリッチテンソルにより次のように決定される。
局所正則座標 においては、リッチ形式は次のように与えられる。
アフィン接続への一般化.
リッチテンソルは次のようにトレースで定義される。