多くの特別の場合、例えば複素半単純群やローレンツ群において、その理論を直接的に推し進める単純な方法が存在する。これらの群のある種の部分群は、よく知られたアダマールの「降下法」を一般化した手法によって扱うことができる。特に は、実半単純群に対する球変換の性質をその複素化から還元する一般手法を与えた。
球函数.
で与えられる。この式に関して：
ここから、 
ことがわかる。
球主系列.
を満たすものに対し、
で作用が定義されるものである。ただし、
となる。
にメビウス変換として推移的に作用する。即ち、二次の複素正方行列が
を使った球変換および球反転公式
によって表すことができる。
が導かれる。これを両側不変函数に対して用いれば、
球函数 Φλ はラプラス作用素
で与えられる。また函数
が成り立つ。この表現 πλ は既約であり、これとユニタリ同値なものは λ の符号を変えたものに限る。
にメビウス変換として推移的に作用する。即ち実行列は
で与えられる。この常微分方程式に対して、対応する固有函数展開を導出する方法はいくつかあるが、例えば：
アダマールの降下法.
で定義されて
となることがわかる。函数
を満足する。一方、
がわかる。同様にして
で定義されるならば、
が導かれる。
が得られる。球函数 φλ はラプラス作用素
で与えられる。函数
第一因子上の測度を 
に群作用は
で与えられる。従って
また、ラプラス作用素は
によって与えられる。ただし、
および
で定義されるものとすると、
が成り立つ。他方、
で定義することができる。従って、上記積分公式から
となるから以下の随伴公式
が得られる。この帰結として
が成り立つ。従って
とすれば、アダマールの降下法と同様に
が成り立ち、
を得る。
アーベルの積分等式.
球函数 φλ は
で与えられるから、球変換
を
と定めれば、球変換は
によって入れ替えるのは古典的である。実は
が導かれる。
そのほか特別の場合.
複素半単純リー群の場合.
で与えられ、球反転公式は
となることがわかる。これらの公式と非コンパクト双対における同等の公式の間には明白な双対性が存在する。
実半単純リー群の場合.
が成り立つ。
なる双対関係を満たす。特に
で与えられる。さらに今の場合には
いま、球函数 φλ はラプラス作用素
に引き移すことができる。