を意味し、したがって定理の主張は示される。
仮定についての考察.
関数列がある可積分関数 によって支配されるという仮定を外すことは出来ない。このことは次の例によって分かる。区間 上の関数列 を次で定義する。 内の に対しては であり、それ以外の に対しては である。この列を支配するような が存在するとしたら、それは各点上限 も支配しなければならない。今、
であることが、調和級数の発散性により分かる。したがって、ルベーグ積分の単調性により、そのような関数列を 上で支配するような可積分関数は存在しないことが分かる。次のような直接的な計算により、この場合の関数列の積分と各点収束極限の順序は交換できないことが分かる:
（この関数列の各点収束の極限はゼロ関数であるから左辺は である）。関数列 は一様可積分ですらないため、ヴィタリの収束定理を適用することも出来ない。
有界収束定理.
優収束定理の一つの系として、次に述べる有界収束定理がある: が実数値可測関数からなる一様有界な関数列で、有界な測度空間 （すなわち、 が有限）上である関数 に各点収束するならば、この極限 は可積分関数であり、
が成り立つ。
注意: この関数列の各点収束性と一様有界性は、次の仮定の下で、（ に関して）ほとんど至る所成立すれば良いという様に緩められる：測度空間 は完備であるか、あるいは、 はほとんど至る所で存在する各点極限とほとんど至る所一致する可測関数である。
空間における優収束（系）.
このとき、すべての および は に属し、関数列 は の意味において へと収束する。すなわち
が成立する。
拡張.
中の川駅
中の川駅（なかのがわえき）は、かつて北海道寿都郡黒松内町に存在した寿都鉄道の駅（廃駅）である。
駅周辺.
グロワール級装甲巡洋艦
山田東次
人物.
また、中央法学会において法律雑誌を出版し、法学の啓蒙・教育活動に努めている。
その後、自由党系衆議院議員として活躍し、法典調査会委員に私立法律学校出身者として唯一人就任している。
著書.
わらわ
「童」は目の上に入れ墨をされ、重い袋を背負わされた奴隷を表し、転じてわらべの意味をも表す。辛+目+重という形声。辛は入れ墨の針をかたどり、重は重い袋をかたどる。「妾」は、貴人に近づき奉仕する入れ墨をほどこされた女性・腰元（侍女）の意味。辛+女という会意。