最後に有向点族による極限概念によって位相が特徴づけられる事を見る：
連続性と位相同型.
という表記を用いる事もある。
一点での連続性.
位相空間上で定義された関数の点における連続性を以下のように定義する。
我々はにハウスドルフ性を仮定していないので、以上の定理で有向点族の収束の一意性が保証されていない事に注意されたい。
全点での連続性.
一様連続と一様収束.
これまで説明してきたように、連続性と収束性は、位相空間で定義可能な代表的な性質である。しかしこれらを強めた概念である一様連続性と一様収束性は、位相のみをベースにして定義する事はできない。
これらの概念は、距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念である一様空間で定義可能である。
位相同型.
位相同型性は、位相空間のクラスにおける同値関係であることを簡単に確認できる。
位相空間論や、その応用分野である位相幾何学では、「位相同型で不変」(位相不変性)な性質(位相的性質)を探ったり、そうした性質により、空間を分類する。
位相不変量.
位相不変な性質の中には位相不変量と呼ばれる、位相空間の性質によって決まる「量」がある。
χが「位相不変量」であるとは、以下の性質を満たすことを言う
これの対偶をとると、
したがって位相不変量に着目することで、二つの空間を位相的に分類することができる。
位相不変量は、位相空間論の応用分野である位相幾何学で主要な役割を果たし、特にホモロジー群やホモトピー群のような代数的な不変量は代数的位相幾何学の研究対象である。
位相の比較、生成.
位相同士の比較.
位相の生成.
以上で我々は、準開基の抽象的な定義を与えたが、準開基の概念をより具体的な形で与えることもできる。そのための準備として、まず準開基の関連概念である開基について述べる。
開基の概念は、基本近傍系の概念と以下のような関係がある：
最後に、開基の概念で位相空間を特徴づける方法を述べる：
位相全体のなす順序.
弱い/強いを位相の間の順序関係とみなすと、上の位相の集合
は順序集合になる。
この順序集合は完備束であり、
である。最も弱い位相は密着位相、最も強い位相は離散位相である。
位相空間の導出.
すでにある位相空間を加工して、別の位相空間を作る方法を述べる。