から への線型写像は によって与えられている。 から –代数 への –線型写像 が与えられたとき、 と両立する準同型 は によって与えられる。
対称代数と対称積.
テンソル代数 において という形の の元が生成する両側イデアルを とする。商環 と –準同型 は上に挙げた対称代数の普遍性を満たしている。
 における の 像 を の 次対称冪 () と呼ぶ。直接的には、 は をその部分加群
で割った商加群となっており、 は の直和になっている。
外積代数と外積.
 という形の元が生成する両側イデアルを とする。商環 と –準同型 は上に挙げた対称代数の普遍性を満たしている。
 の像 を の 次外冪 () と呼ぶ。直接的には は をその部分加群
で割った商加群となっており、 は の直和になっている。
圏と関手による言い換え.
上に挙げたテンソル代数の特徴付けは、 が –代数の圏から –加群の圏への埋め込み関手の左随伴関手であることをいっている。同様にして は可換 –代数の圏から 加群の圏への埋め込み関手の左随伴関手になっている。
テンソル積加群や対称積加群、外積加群についても関手的な特徴付けができる。 次テンソル冪は 変数双線型写像を表現している。つまり、 –加群 に対して から への 重線型写像を と書くことにすれば、関手の間の自然な同一視 がある。
同様にして 次対称冪や 次外冪もそれぞれある関手を表現していると見なすことができる。具体的には、 は 次対称写像の空間
を として表現している。同様にして は 次交代写像の空間
を表現している。
対称代数や外積代数の構造.
加群の直和 に対して、次数付き加群としての自然な同一視 や がある。つまり、各自然数 について
が成立している。したがって、 や の母関数 や について
が成立している。ここから や から などが従う。
多項式環.
 次の自由 –加群（ が体のときには 次元のベクトル空間） の対称代数は を係数とする 変数の多項式環 と見なせる。
行列式.
 の 次外冪 は一次元空間であるが、これは向きも込めた における体積要素の空間と見なせる。 上の線型写像 について、 が体積要素を何倍に変換するかという情報は 上に引き起こされる線型写像 がどんな定数倍写像になっているかということで表されている。