転置行列は以下の計算規則に従う：
行列式.
で定義される数である。これは行列の固有値の積と一致し、, などが成り立つ。
ランク.
トレース.
のことである。これは を満たし、行列のトレースはその固有値の和に等しい。
内積とノルム.
その他の演算.
差.
とすればよい．
べき乗.
ベクトルの二項積.
行列の三項積.
を定義することができる。これと同様の方法で得られる三重線型な三項系（三項積）の一般論は、ジョルダン環あるいはリー環の理論とかかわりを持つ。
定義されない演算.
以下のような計算は定義されないため実行してはならない。
行列の分解.
線型写像.
行列とその乗法は、これを一次変換（つまり線型写像）と関連付けるとき、その本質的な特徴が浮き彫りになる。
このとき、行列 は線型写像 を表現すると言い、 を の変換行列または表現行列と呼ぶ。
例えば 行列
は、単位正方形を を頂点とする平行四辺形に写すものと見做すことができる。この平行四辺形は、単位正方形の頂点を成す四つの（列）ベクトル の各々に を掛けることによって得られる。
この行列と線型写像との間の一対一対応のもとで、行列の乗法は写像の合成に対応する: 上記の と に加えて、 行列 が別の線型写像 を表現するものならば、合成 は行列の積 で表現される。実際、
である。最後の等号は行列の積の結合性による。
行列の抽象代数的側面と一般化.
行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。抽象代数学では行列の成分をもっと一般の（可換とは限らない）体や環としたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。他の拡張としてテンソルは、（行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して）数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである。適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれる群を成す。
より一般の成分を持つ行列.