すなわち について
が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ とエディントンのイプシロン を用いれば、これらをまとめて
と書くことができる。
交換関係・反交換関係.
パウリ行列の交換関係と反交換関係は一般的に
となる。
固有値・固有ベクトル.
それぞれのパウリ行列は、固有値 と を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、
である。
トレース・行列式.
である。
単位行列を含めたパウリ行列 について、
複素行列の展開.
ここで複素係数 は
で与えられる。
部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル（実ベクトル）はと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。
指数関数.
パウリ行列の性質
から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式
を満たす。
さらに実ベクトル とパウリ行列の組 に対し、
が成り立つ。ただし、 は
で与えられる単位ベクトルである。
は の基底であり、交換関係
を満たす。 はトレースが かつ反エルミート
である元 から構成されるが、 はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である
 の任意の元は、リー環の指数写像によって、
の形で与えることができる。
スピン角運動量.
量子力学において、パウリ行列はスピン の角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子 は交換関係
を満たす。ただし、 はディラック定数である。エディントンのイプシロン を用いれば、この関係式は
と表すことができる。ここで、
を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。 の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は を選び対角化している。 の固有値は であり、スピン の状態を記述する。
ガンマ行列の表現.
パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 () は反交換関係
を導入する。その行列式は
であり、ミンコフスキー内積 を与える。ここで の元 により、変換
を定義すると、
が成り立つ。
四元数の表現.
を導入すると、関係式
を満たす。これは四元数の基底元 が満たす関係式
と対応する。四元数環 から複素行列環 への線形写像
であり、 と は 多元環として同型である。
概要.