が従う。
である。
したがってスピンを記述するには、スピンの状態ベクトルの空間 をとは別個に用意し、
を考える必要がある。ここで添字は整数もしくは半整数であり、は 次元の複素計量ベクトル空間である。
スピンを考慮した波動関数の記述方法.
成分表示.
と定義すれば、
である。この形はスピン（を表すスピノール ） が とは独立である事がわかりやすい。
スピノール表示.
スピンを考慮した波動関数 () に対し、 を
スピノールを成分表示することがある。 をの基底とするとき、は必ず
の形で表記できるので、はベクトル
と成分表示できる。
なお基底 は通常、（何らかの軸に関する）スピン演算子に対応した固有ベクトルとする。
スピンを考慮した場合のオブザーバブル.
と同一視する。
上のユニタリ表現に関する問題.
を に関して微分する事で軌道角運動量演算子を定義していた。
射影ユニタリ表現を用いた解決.
一つ目の解決方法は を直接考えるのではなく、 の元を位相の相違を無視する同値関係
で割った空間
を考え、同様にユニタリ演算子に対しても同様の同値関係
により同一視した同値類 を考えるというものである。このユニタリ演算子の同値類全体の集合を
と表記する。 を 上の射影ユニタリ群、 に属する同値類を 上の射影ユニタリ演算子と呼ぶ。
射影ユニタリ演算子 は 上の写像となる事が知られている：
そこでスピン演算子の振る舞いを記述するため、 のユニタリ表現の代わりに の射影ユニタリ表現
を用いる。
通常のユニタリ表現と違い、射影ユニタリ表現は次を満たす事が知られているよってユニタリ表現の代わりに射影ユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。
本稿では、射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義の詳細は述べない。これは射影ユニタリ表現を使ってスピン演算子を記述している物理の教科書は少ない為である。しかしすでに述べたように、射影ユニタリ表現による解決方法は後述するもう一つの解決方法と本質的に同値なので、もう一つの解決方法を利用したスピン角運動量演算子の定義から射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義を導くことができる。