と書くことができる。分解型複素数が可逆であることとその絶対値が非零であることとは同値であり、そのとき逆元は
で与えられる。可逆でない分解型複素数はヌル元 と呼ばれ、ヌル元の全体は適当な実数 をとって の形に書ける元の全体と一致する。
対角基底.
ゆえ、ヌル元である。分解型複素平面におけるもう一つの基底として をとるとしばしば便利である。この基底は対角基底あるいはヌル基底と呼ばれる。分解型複素数 は対角基底を用いて
と表せる。実数 の順序対 で分解型複素数 を表すとき、分解型複素数の乗法は
で与えられる。この基底を用いれば、分解型複素数の全体が環の直和 に同型であることがはっきり判る。
対角基底に関して分解型複素共軛は であり、絶対値は を満たす。
分解型複素数の幾何.
 でない任意の実数 に対し、点集合
複素数におけるオイラーの公式の分解型複素数に該当する類似物として
が成立する。このことは、双曲線余弦関数 の冪級数展開が偶数次の項のみからなり、双曲線正弦関数 が奇数次の項のみからなることを用いて導出することができる。任意の実数値を取る に対し、分解型複素数 はノルムが で単位双曲線の右側の枝上にある。このような数 は双曲ベルソルと呼ばれる。
 は絶対値が であるから、任意の分解型複素数 への を掛ける操作は の絶対値を保ち、双曲的回転（狭義ローレンツ変換、縮小写像とも）を表現する（「回転」というのは の通常の複素数を掛ける操作が の回転を引き起こすことからの示唆）。 を掛ける操作は、双曲線をそれ自身に写し、ヌル錐をそれ自身に写すという意味で、幾何学的な構造を保つ。
代数的性質.
抽象代数学の言葉では、分解型複素数の全体は多項式環 の が生成するイデアルによる商環
分解型複素数の全体は「ノルム」が正定値ではないから、術語を通常の意味に解する限りはノルム代数を成さない。しかし、定義を拡張して一般の符号数を持つノルムというものを考えれば、その意味での「ノルム代数」と考えることができる。これは以下の事実
から従う。一般符号数を持つノルム代数の詳細は を参照。
定義により、分解型複素数の環は の巡回群 に対する実数体 上の群環 に同型であることが従う。