この正準変換の母関数は
であり、この場合、新旧の正準変数の間には
の関係が満たされている。
一次元調和振動子.
質量、角振動数の一次元調和振動子では、ハミルトニアンは
で与えられる。母関数を
で与えると、新旧の正準変数の間には
の関係が成り立つ。
また、新しいハミルトニアンは、
とだけの関数となる。すなわち、は循環座標である。この場合、との時間発展は、
と簡単な形で求まる。但し、は任意の定数、は保存量である系のエネルギーである。
ゲージ変換.
電磁ポテンシャルのゲージ変換は、座標を変化させない正準変換
に対応する。この正準変換の母関数は
であり、新旧の正準変数の間には
の関係が成り立つ。荷電粒子のハミルトニアンが電磁ポテンシャルを用いて
で表されることから、新しい正準変数でも同じ形式
が成り立つことが分かる。ここではゲージ変換した電磁ポテンシャル
である。
正準変換の性質.
ポアソン括弧の不変性.
正準変換に対し、ポアソン括弧は不変に保たれる。すなわち、元の正準変数に対するポアソン括弧を、新しい正準変数に対するポアソン括弧をと表すと、
が成り立つ。逆にポアソン括弧を不変に保つ変数変換は正準変換となる。ポアソン括弧の不変性が成り立つには、
が満たされていればよい。但し、はクロネッカーのデルタである。
群の構造.
正準変換は次の性質を満たしており、群の構造を持つ。
微小正準変換と対称性.
微小正準変換.
正準変数を微小変化させる微小正準変換
の母関数は、恒等変換を与える母関数にを加えた
の形で与えられる。但し、は微小定数、 は任意の関数である。
このとき、微小変化は
となる。任意の力学量に対し、微小正準変換に対する変化
は、ポアソン括弧を用いて、
で与えられる。
例.
として、ハミルトニアンをとれば、
であるから、正準変換は
となる。すなわち、微小時間における時間発展は、ハミルトニアンによる微小正準変換となる。有限時間での時間発展は、微小時間における時間発展を繰り返し合成することで得られる。正準変換の合成も正準変換であるため、の時間発展は、正準変換の特別な例となっている。
相空間の体積要素
は正準変換の下、不変となる。
したがって、相空間のある領域が正準変換により、領域に写されるとすると、
が成り立つ。すなわち、領域の体積は正準変換で不変に保たれる。
が導かれる。