定義.
例.
直積の結合性.
ベクトル空間の二重双対.
開集合と閉集合.
位相空間 の開集合 に対して、その補集合 は閉であり、また の補集合は 自身である。これにより、各 と の間に全単射を定められる。この全単射は について自然であり、さらにコンポーネントはいずれも同型であるため、 と の間に自然同型が存在するとわかる。
群拡大と因子団.
ブール代数のウルトラフィルター.
補元 を持つ分配束 をブール代数という。二点集合 } に適切な演算を入れたものは最小のブール代数の構成となる。ブール代数の準同型 とは写像 であって、各演算の結果を保つものをいう。
ブール代数 のウルトラフィルターとは、 の真部分集合 であって、
(反例) 双対ベクトル空間.
歴史.
自然変換の演算.
垂直合成.
定義から、自然変換の垂直合成は明らかに射の性質を継承して、結合律や単位元律を満たすことになるため、同じ型 を持つ関手とその間の自然変換は圏を構成する。これを関手圏と言い、 あるいは のように表す。
水平合成.
相互交換法則.
米田の補題.
米田の補題は圏論において最も重要な結果であるとも評され、様々な帰結をもたらすとても基礎的な補題である。
応用例.
随伴.
カン拡張.
関手 が与えられたとき、関手の前に を合成する操作 もまた関手 となる。関手 と に対して、 から へ (あるいは から へ) の普遍射を構成する関手 と自然変換 () の組が存在するとき、これを の に沿った左 (右) カン拡張という。
圏論における極限、随伴、米田の補題を初めとした諸概念はカン拡張によって表すことができ、マックレーンは「すべての概念はカン拡張である」と述べている。
層理論.
数学において「局所から大域へ」という状況が数多く存在するために、層理論は代数幾何を始めとした数多くの分野と影響を及ぼしあっている。
普遍代数.
有限順序数の集合 } を対象の集合とする、 の充満部分圏を で表す。また、 の余積 (すなわち集合の非交和) を の余積として導入する。
超自然変換.
圏 , , , と関手 , に対して、 から への超自然変換 (特別自然変換、英：) とは、, , でパラメータ付けられた射の族 で、任意の射 , , に対して以下の図式が可換になるものをいう。