平面波の周期性について、以下の命題が成り立つ。
以下の定理より、 重周期関数 と同じ 重周期を持つ平面波を沢山作る方法が与えられる。
量子論における平面波.
第一原理バンド計算における平面波.
量子電磁力学
量子電磁力学（りょうしでんじりきがく、, QED）とは、電子を始めとする荷電粒子間の電磁相互作用を量子論的に記述する場の量子論である。量子電気力学と訳される場合もある。
概要.
電子は電荷をもっており、この電荷が時空の各点で（つまり、常に連続的に）保存することを理論に要請すると、光子を表す場が自然に定義される。この要請はゲージ変換と呼ばれる場の量の変換に対して理論が持つべき対称性（ゲージ不変性）
量子電磁力学のゲージ変換にまつわる理論の構造は、まず粒子場を用意し、理論にゲージ不変性を要求することによって粒子間の相互作用を導くというゲージ原理の考え方を導き、電磁相互作用以外の相互作用においても、場の理論の構築の際の基礎とされている。
歴史.
同論文で、くりこみで本質的な役割を果たす相互作用表示を提示したことも重要である。（戦後、シュウィンガーも相互作用表示を朝永と独立に見出す）。朝永振一郎は、超多時間論や相互作用表示を基に、「くりこみ原理」の厳密な式を求めていく。
第二次世界大戦を経てマイクロ波技術の進歩により水素原子のエネルギー準位の縮退からのずれ（ラムシフト）
、非相対論での簡易計算であった。朝永の超多時間論や、朝永表示（相互作用のない表示）は戦争のためアメリカには伝わっていず、また、ファインマンの経路積分がない当時、この問題の解決は困難であった。
基本モデルとして.
定式化.
ディラック場.
ディラック場についてのラグランジュの運動方程式を計算すると
とすれば、左辺が通常のディラック方程式、右辺がディラック場と電磁場との相互作用項となる。
である。
天体
とは、宇宙空間にある物体のことである。宇宙に存在する岩石、ガス、塵などの様々な物質が、重力的に束縛されて凝縮状態になっているものを指す呼称として用いられる。
惑星・準惑星・太陽系小天体.