正方行列 に対して、
これを行列に当てはめれば、
例: 平面回転の対数.
簡単な例が、平面上の回転によって与えられる。原点を中心とする角度 の回転は 行列
で表わされる。任意の整数 に対して、行列
は の対数である。したがって、 は無限個の対数を持つ。このことは、回転角が の整数倍の違いを除いてしか決めることができないという事実に対応するものである。
リー理論の用語を用いれば、回転行列 はリー群 の元であり、対応する対数 は（歪対称行列全体の成す）リー代数 の元となる。行列
はリー代数 の生成元である。
存在性.
実係数の範囲内で考えるならば答はより込み入ってくる。実行列が実行列を対数に持つための必要十分条件は、それが可逆かつ負の固有値に属する各ジョルダン細胞が偶数回あらわれることである。可逆な実行列が、このジョルダン細胞に関する条件を満たさないならば、その対数は実でない複素行列の中でしか考えられない。この状況はスカラーの場合にすでに生じていることであり、実際 の（複素）対数は実数でない複素数である。 実行列の実対数の存在性については後述する。
性質.
 および がともに正定値行列ならば
が成り立つ。 と とが可換（）なとき
が成り立つ。ここで を代入すれば
が得られる。
さらなる例: 三次元空間上の回転行列の対数.
 における回転 は 直交行列によって与えられる。
さらなる注意として、回転行列 に対して、
は回転行列全体の成す三次元多様体上の測地的距離である。
対角化可能な行列の対数の計算法.
対角化可能行列 に対する の求め方は以下のようにする。
このとき
と置けば は の固有値が対角成分に並んだ対角行列となる。
これにより
を得る。
このような の対数が（ が実行列の場合でさえ）複素行列となりうることは、各成分が実かつ正の行列が（にも拘らず）負のあるいはさらに複素数の固有値を持ち得る（それは回転行列の例においても言えることである）という事実から従う。この種の行列の対数が一意でないことは、複素数の対数が一意でないことから生じてくる。
対角化が不可能な行列の対数.
ジョルダン細胞の対数行列.
である。
英語版よりの直訳.
上述のアルゴリズムは