次のような物理的な関係式があるとする：
証明.
概要.
物理的単位を物理的関係式の両辺で一致させることは、物理次元ベクトル空間で線形従属性を課すこととみなすことができる。
正式な証明.
は物理変数 の次元行列である。
無次元量は単位のべきが全てゼロとなる（すなわち次元がない）組み合わせであり、次元行列の零空間に相当する。無次元変数は有次元変数間の単位の線型結合である。
無次元変数は（分母を払うことで）いつも有次元変数の整数の組み合わせになるように取られる。不自然な有次元数の選択が数学的にはある。いくつかの無次元変数の選択は物理的により意味があり、理想的に使われるものがある。
例.
調和振動.
比例係数 は無次元量の定数で次元解析から求めることはできない。この運動の運動方程式を直接解くと周期は
となり、 のもとで両者は見事に一致している（固有振動も参照）。このように簡単な問題ならば次元を考えるだけで見通しが立つ。式の次元が合うことは必須の要請であるので、式の間違いをチェックする場合にも使える。
減衰振動.
ばねにつながれた物体が、速度に比例した大きさの抵抗（粘性抵抗力）を受けながら一次元運動することを考える。運動方程式は以下である
が用いられ、実際に運動方程式を解析的に解くと、 のとき減衰振動、 のとき臨界減衰、 のとき過減衰となり、運動が定性的にも変化する。
流体機械.
このとき、次の未知量を推測する：
次元が一致するように各変数のべきを調整すると、（変数が多いので一意ではないが）以下のように関係式を推測できる：
ここで、 は次元解析から求めることはできないが、条件で考慮していない流体の粘度や機械の各部寸法バランスなどに依存する無次元量である。
この場合の次元行列は
無次元の関係式 で表すと
となる。
原子構造.
原子構造を古典物理学が説明できないということも次元解析から理解できる。
が導かれる。これはボーア半径の 倍である。
以上の次元解析的議論により、ボーアは が必須であることを確信した。
拡張.
という、より詳細な関係式を得ることができる。
反例
ベガ (曖昧さ回避)
実在の人物.
概要.
Java EE自体は仕様であるため、各社・各組織がライセンスを受け実装している。オープンソースのものからプロプライエタリなもの、無償のものや有償のものなど選択肢が多い。