より広く調べられ利用されている四元数や複素数に比べれば、八元数についてはそれほどよく知られているわけではない。にもかかわらず、八元数にはいくつも興味深い性質があり、それに関連して（例外型リー群が持つような）例外的な構造もいくつも備えている。加えて、八元数は弦理論などといった分野に応用を持っている。
定義.
の形に書くことができる。
八元数の加法及び減法は（四元数の場合と同様に）、それぞれの対応する項においてそれらの係数に対する加法及び減法によって定める。乗法についてはより複雑である。積は和の上に分配的であり、従って二つの八元数の乗法は（やはり四元数の場合と同様に）、それぞれの項の積の総和として計算することができる。各項の積は係数の積と単位八元数に対する乗積表から決まる。乗積表としては例えば
を考えるとよい。この表の非対角成分のほとんどは反対称で、主対角線と に対応する行と列とを消せば歪対称行列が作れる。
この乗積表は以下の関係
ケイリー–ディクソン構成.
と同一視してやると、当初定義と同値になる。
およびこれに三点の巡回置換を行って得られる関係式で与えられる。この規則に
共軛、ノルムおよび逆元.
八元数
の八元数としての共軛は
で、同様に虚部が
を満足する。
故に、常に非負の実数となることがわかる。これを用いて、八元数のノルムを
性質.
八元数の乗法は可換でなく:
結合的でもない:
を満足する（つまり乗法的である）ことが挙げられる。これにより、八元数の全体は非結合的ノルム多元体となることが従う。ケイリー・ディクソン構成を使って得られるより高次の代数（十六元数など）ではこの性質は成り立たない（それらの代数には零因子が存在する）。
交換子と交叉積.
で与えられる。ただし、八元数の積と異なり、この積の値は一意には決まらない。実際、八元数の積の決め方に依存して無数に異なる交叉積が存在する。
自己同型.
中央値
平均値との関係.
中央値は平均値と同様に集団の代表値を得る目的で使う。例えば年収からなるデータの場合を考えてみると分かりやすい。
例えば一人の億万長者が小さな町に引っ越してくれば平均年収はつり上がってしまうが、年収の中央値はたかだか一順位分変わるに過ぎない。
厳密な定義.