数 に対して、 を満たす を の平方根という。元の数 がどのような数の範囲であるかによって、この概念は、意味を持つかどうかということを含め、さまざまな点で差異が生じるということに注意が必要である。
また、数とは限らず、もっと一般にいくつかの数学的対象についても、それぞれに意味のある仕方で平方根が定義されるものがある（正定値行列など）。
基本的な性質.
実数の平方根.
 が正の整数でも、 の平方根が整数とは限らない。
元の数が平方数でない正の整数だと、その平方根は無理数であることが証明されている。
簡略化.
 のとき、
が成り立つ。例えば、
である。
概数とその求め方.
有理数の平方でない正の実数の平方根は、その小数部分が循環しない。その小数表示を効率的に求める方法として、開平法が知られている。
比較的小さな数の平方根については、概数を知る必要がしばしばあることから、以下のような小数部分の数桁目までの語呂合わせが知られている。
絶対値.
任意の実数 に対して
が成り立つ。
積・商に関する計算法則.
、 のとき、
が成り立つ。
累乗根による表記.
 に対して、その冪乗と冪根について
が成り立ち、特に
平方根関数.
のグラフの和集合は、二次函数 のグラフと直線 に関して線対称な放物線に等しい。
正の平方根函数 √ は連続かつ で微分可能であり、導関数は
不定積分は
で与えられる。また、収束冪級数としての二項展開
が で成り立つ。
, 自然数 に対して帰納的に
（ および根号の個数は ）と定めると、函数列 は漸化式
に従い、 は に収束するならば でなければならないから、
が成り立つ。
負の数の平方根.
二次体.
有理数体 （有理数全体（負の数も含む））上で定義される函数
において、その値域は（虚数も含めた）代数的数（の一部）からなる。有理数の平方根が再び有理数となるならば、その有理数は（有理数の範囲での）平方数であるという。有理数内で平方数とならない有理数 に対して は二次の無理数であって、 に を付け加えて得られる体（たい）は二次体と総称される。
複素数の平方根.
数以外の平方根.
行列の平方根.
このような半正定値行列の平方根の計算および一意性の証明には、エルミート作用素に関するスペクトル論（固有値分解）や特異値分解あるいはコレスキー分解などが利用できる。