となる。ここで はで、 が 個の素因子をもつとき によって与えられる。彼はこのことからリーマン予想が真であることが導かれると示した。しかしながら、 は は無限個の で負であること示し（また密接に関連したポリア予想も反証し）、 は最小のそのような は であることを示した。 は数値計算によって、上の有限ディリクレ級数が のときに実部が よりも大きい零点をもつことを示した。トゥランはまた、いくぶん弱い仮定、すなわち上の有限ディリクレ級数で大きい に対して実部が よりも大きい零点が存在しないことが、リーマン予想を導くことを示したが、 はすべての十分大きい に対してこれらの級数は実部が よりも大きい零点をもつことを示した。したがって、トゥランの結果は空虚な真であって、リーマン予想の証明のためには使えない。
非可換幾何学.
 はリーマン予想と非可換幾何学の間の関係を記述し、アデール類空間へのイデール類群の作用に対するセルバーグ跡公式の適切な類似があればリーマン予想が従うことを示した。これらのアイデアのいくつかは に詳細に述べられている。
整関数のヒルベルト空間.
準結晶.
数体上の楕円曲線のモデルの数論的ゼータ関数.
多重ゼータ関数.
零点の位置.
零点の個数.
関数等式を偏角の原理と合わせて考えれば虚部が と の間にあるゼータ関数の零点の個数は に対して次で与えられる：
ここに偏角は、偏角 の から出発し、直線 に沿って連続的に変化させることで定義される。これは大きいがよく分かっている項
と小さいがよく分かっていない項
の和である。なので虚部が の近くの零点の密度は約 であり、関数 はこれとの小さな差を記述する。関数 はゼータ関数の各零点において 飛び、 に対しては零点の間で導関数がおよそ で単調に減少する。
零点の存在.
 と は、ゼータ関数に関連したある関数のモーメントを考えることによって、臨界線上には零点が無限個存在することを証明した。 は、少なくとも（小さい）正の割合の零点は臨界帯上にあることを証明した。 は、ゼータ関数の零点をゼータ関数の導関数の零点と関連付けることで、それを に改善し、 はさらに に改善した。
真偽の議論.
豊四季駅
歴史.
駅名の由来.
駅構造.
利用状況.
近年の推移は以下の通り。
駅周辺.