部分群 が有限群の場合は と表すことができて、左剰余類 は となる。
同値類の間の同型写像.
部分群 から同値類 への写像 を と定義するとき、 とすると、 となるから、左から を掛けて となるので、写像 は単射になる。写像 による部分群 の像が だから写像 は全射になり、全単射になる。したがって、写像 の逆写像 は となる。これより、同値類 から同値類 への写像 を と定義すると写像 は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 と は同型となり、 となる。
同値類による指数.
 が有限集合の場合は、 と表すことができて、 となる。
 が有限群の場合は、以下のように書ける：
証明.
有限群 の部分群 を とすると、
左剰余類 は に等しくなるので、
このとき、 の要素 に を対応させる写像を とすると、 のとき、左から を掛けて、 となるので、写像 は単射になる。
写像 は を に写すから は全射となるので、全単射になる。したがって、 と とは同じ個数の要素を待つから、 となる。
したがって、 の による類別を考えると、以下のようになる。
このとき、 となるので、 となる。 となるので、
拡張.
以下では、 が群 の部分群であるとき、 または と表し、 が群 の部分群であり、かつ が群 の部分群であるとき、 または と表す。
 のとき （ は群 の単位元）とおくと および が成り立つ。したがって、元々の等式 を得る。
応用.
ラグランジュの定理には、次のような系がある。
フェルマーの小定理.
より一般に、合成数 についても乗法群 を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。
逆.
歴史.
ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。
烏孫公主
夙川
夙川（しゅくがわ）は、兵庫県南東部を流れる河川。二級水系の本流である。