「幾何学 (平面/立体)」「天文学」「音階論」.
次にソクラテス等は、「数/計算術」とのつながりから、「幾何学」を検討することにする。
グラウコンが、「幾何学」(の一部) が、
など、「軍事」に役立つことは明らかだと指摘したのを受け、ソクラテスが、それでは「幾何学」が、「可知界への魂の向け変え」「「善の実相」「実在」の観想を促し、生成を見させないこと」に関して、寄与するかどうかの検討を行い、
次に、ソクラテスが一旦は「天文学」を取り上げようとしたが、それを撤回し、自分たちは、
と指摘しつつ、「天文学」を扱う前に、先ほどの「(平面) 幾何学」(二次元) に続いて、「立体幾何学 (空間幾何学)」(三次元) を扱うよう促す。
グラウコンが、「立体幾何学」はまだ「未成熟な分野」であると指摘すると、ソクラテスが、その原因は、
であると指摘しつつ、
ということを指摘する。
ただし、こちらも「天文学」の場合と同じように、「耳に聞こえる協和音などの音響を、様々な楽器/道具を使って聴き比べて考察する」といったやり方ではなく、「数的な割合/関係性/原理性」こそを探求すべきであることを、ソクラテスは付言する。
グラウコンも同意する。
そして最後にソクラテスは、以上の数学諸学科の学習/研究は、
といった水準まで達しなければならず、そうして初めてこれらの学科は、(「魂/知性」を「上方/可知界」へと向け変え、「上昇の道」を進ませるという) 目的に資するものになるし、逆に言えば、そうした水準に達しないならば、ただの「無駄骨」に終わると指摘する。
グラウコンは、同意しつつも、それは「大変な仕事」だと感想を漏らすが、ソクラテスは、これらはまだ「前奏曲」(予備学) に過ぎないと指摘する。
「哲学的対話/問答法 (弁証術/ディアレクティケー)」.
そしてソクラテスは、ようやく「本曲」(本学) としての「哲学的対話/問答法 (弁証術/ディアレクティケー)」の話題に移る。
ソクラテスは、「洞窟の比喩」で言えば、先程までの「前奏曲」(予備学) としての「数学諸学科」の学習/研究は、
であり、それに対して、この「本曲」(本学) としての「哲学的対話/問答 (ディアレクティケー)」こそは、
であると指摘しつつ、
のだと主張する。グラウコンも同意する。