ベクトル空間 の次元が であるとき、跡写像は 上の線型写像の空間としての行列リー環 からスカラーのリー環（自明なリー括弧積を持つ可換リー環と見て得られる） への写像と見ることができる。これは即ち、交換子括弧のトレースが消える:
という意味に他ならない。跡写像の核はトレース の行列からなるが、そのような行列はしばしば跡が無い (', ') と言い、それら行列は単純リー環 を成す。 は行列式 の行列の成す特殊線型群 のリー環である。 に属する行列が体積を変えない変換であることに類比して、 の元は無限小体積を変えない行列である。
実は の内部直和分解
が存在し、そのスカラー（行列）成分への射影はトレースを用いて
と書ける。きちんと述べるならば、（余単位射としての）跡写像に（単位射としての）「スカラーの包含」 を合成して を作れば、これはスカラー行列の成す部分リー環の上への写像で、それは 倍として作用する。この 倍の分だけ割って射影を得れば上記の如くである。
短完全列の言葉で言えば、
がリー群の短完全列
に対応する形で成り立つが、跡写像は（スカラーの 倍を通じて）自然に分裂するから を得る。一方、行列式の分裂は行列式の 乗根をとる必要があり、これは一般には写像を定めない。つまり、行列式は分裂せず、一般線型群も分解されない（）。
以下の双線型形式
はキリング形式と呼ばれ、リー環の分類に用いられる。
正方行列 に対して定義される双線型形式
は対称かつ非退化、さらに
が成り立つ意味で結合的である。（ のような）複素単純リー環に対しては、このような任意の双線型形式は互いに他の定数倍であり、特にキリング形式として書ける。 
を満たすときに言う。
複素 行列 に対し、 は共軛転置とすれば、
が成り立つ。なお、等号成立⇔ である。これにより、対応
は 行列全体の成す空間における内積の性質を満たす。特に実行列の場合には、
はベクトルの点乗積に類似の形であることが確認できる（行列の一列化を通じて実際にベクトルの点乗積として
と記述できる）。アダマール積を使って書くこともできる。しばしばベクトルの演算を行列に対して一般化する際に積のトレースが現れるのはこのような事情による。
したがって時に が同じサイズの半正定値行列ならば
が成り立つ。
双対.
トレースを定める写像の双対