参考: 共通部分
前提.
SQL.
直積.
参考: 直積集合
前提.
定義.
SQL.
直接にはサポートされない。
制限.
前提.
どの条件式の要素も比較可能であり、比較演算子θを使って条件式が記述されていること。
定義.
SQL.
射影.
前提.
射影演算で指定された属性が、対象となる関係に含まれていること。
定義.
SQL.
結合.
この一般化された結合演算の概念は、θ結合（シータ結合）とも呼ばれる。
一般化された結合演算であるθ結合を具象化した演算として、この節で述べる等結合、自然結合、準結合（半結合）などがある。
この他に外結合（外部結合）も考案されているが、外結合の妥当性については議論の対象となっており、後の節で説明する。
前提.
定義.
なお、θ比較式を expression とする。
この定義を演繹すると次のように表現できる。
等結合.
定義.
自然結合.
自然結合では交換法則と結合法則が成り立つ。
関係代数演算において、この交換法則と結合法則はクエリ最適化のために活用することができる。
前提.
なし。
例.
定義.
SQL.
準結合.
定義.
商.
商は直積演算とは対称となる逆の演算と考えることができる。
例.
定義.
商は、演繹して導き出される演算子であるため、関係代数の他の演算子を使って定義される。
このとき、商は次のとおり定義される。
SQL.
SQLでは、直接、商を求める機能は、提供されていない。
商演算を行うには複雑な問い合わせを記述する必要がある。
応用的な演算子.
属性名変更.
この演算子は次に述べるとおり重要である。
属性名変更は次のように記述する。
定義.
SQL.
拡張.
例.
SQL.
要約.
例.
SQL.
外結合.
左外結合.
例.
数学的には、左外結合は自然結合と集合和とで模擬実行できる。
SQL.
右外結合.
例.
数学的には、右外結合は自然結合と集合和とで模擬実行できる。
SQL.
完全外結合.
例.
数学的には、完全外結合は左外結合と右外結合 (したがって自然結合と集合和) とで模擬実行できる。
SQL.
問い合わせ最適化.
関係代数と関係群に対する問い合わせの最適化について説明する。
関係群に対する問い合わせは木構造として表現される。
その木構造において、