対称群（たいしょうぐん、）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、）という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、）と呼ばれる。置換群が空間 の変換群として与えられているとき、 の元 の置換は で与えられる の部分群の分だけ潰れているが、これは のなかに と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、 の中でこれらを区別することができれば の元の置換から対称群 が回復される。
定義.
などで表される。 の元は 次の置換と呼ばれる。
 を有限集合とするとき、 の場合と同様にして から への全単射全体の集合を とおくと、写像の合成を積として は群になる。このとき、 は の対称群と呼ばれる。有限集合の間の単射 に対して対称群の間の単射 が自然に定まる。
あるいは
のように記される。後者の記法は番号の入れ替えとしての の表示を与えており、この二つの記法の対応が集合 と集合 との同一視の仕方（全単射の選び方）に応じた と との間に定まる群の同型対応を具体的に与えている。
無限集合についての対称群にあたるものとして二つの異なった概念が挙げられる。ひとつめの概念は有限集合 に対する の構成をそのまま拡張し、有限とは限らない集合 に対しても から への全単射全体のなす群を考えることによって得られる。もう一つのより繊細な概念は、有限とは限らない集合 に対して、その有限部分集合全体のなす族 を考え、有限対称群たち () の直極限
として得られる群である。この二つの定式化は有限集合に対しては自然に同型な群を与えている。自然数の集合 に対して二つ目の方法を適用して得られる群は と書かれ、無限対称群と呼ばれる。これは たちすべての合併と見なすことができる。
諸概念.
群演算.
対称群 の群演算は写像の合成で与えられるが、置換 が与えられたとき、 の積を共変的に で表すか反変的に で表すかは（対称群の作用の方向が左からであるか右からであるかという）文脈による。