により定義する。なお、面素 は球面座標 を
を用いて
と書ける。特に 次元空間の場合は球面座標 に対し、
である。
直交性.
特に 次元空間では次が成立する。
完全直交性.
これを言い換えると、以下の系が従う：
特に 次元の場合は、上述の事実とから以下が成立する：
 次元空間 の球面座標 に対し、
が成立する。そこで、 上の関数 に対し、 の内積を
により定義し、さらに の関数 の内積を
とする。 が
と変数分離形で書けていた場合には、(), (), () で定義した内積は以下の性質を満たす。
(), (), () の内積を用いて自乗可積分な関数全体の集合をそれぞれ と書くと、ヒルベルト空間の一般論から、次が成立する。
上述した定理とから、以下の結論が従う。
の具体例.
いくつかの球面調和関数の具体的な表式を示す。
代数的性質.
加法定理.
球面調和関数には「加法定理」と呼ばれる性質がある。これは三角関数における加法定理
を一般化したものと捉えることができる。上式の右辺は球面調和関数に、左辺はルジャンドル多項式に置き換えられる。
二つの単位ベクトル および を考え、それらの球面座標をそれぞれ および とする。このとき、加法定理は以下のように表すことができる：
ここで は 次のルジャンドル多項式である。この表式は実数調和関数・虚数調和関数の双方について成り立つ。この結果は単位球面上のポアソン核の性質を用いて、あるいはベクトル を 軸に沿うように幾何的に回転させたのちに右辺を直接計算することにより解析的に証明することができる。
に帰着する。この式は一次元の三角関数における恒等式 を二次元に拡張したものとみなすことができる。
式 () の左辺 は 次のの定数倍である。この観点から、より高次元の場合にも次のように一般化することができる。 を 次元超球面上の 次の球面調和関数の張る空間 の任意の正規直交基底とする。このとき、単位ベクトル に対応する 次の帯球調和関数 は以下のように書き下せる。
 および が球面座標で表される場合、() および () を組み合わせると () が得られる。最後に、 の場合を評価すると次の恒等式が得られる：
ここで は 次元超球の体積である。
パリティ.