以下の一覧表において多重定義の虞を除くため、底は非零実数であるような冪のみを考える。ただし、正の冪のみを考えるならば、底が でも各法則は成り立つ。また以下の一覧において、有理数について分母が奇数あるいは偶数であるというときは、常にその有理数の既約分数表示における分母のことを言っているものとする。
例えば、 および であるから、 に対して , したがって任意の実数 に対して が成り立つ。
指数・対数法則の不成立.
正の実数に対する冪および対数に関する等式のいくつかは、複素数冪や複素対数がどのように定義されようとも、複素数に対しては成り立たないことが起こる。
が反例として示される。
他方、 が整数のときには任意の非零複素数に対して成り立つ。
複素数冪を多価函数として考えれば、 の取り得る値は で、等式は成り立つが と言うことは間違っている。
という不合理が生じる。この推論にはいくつも問題がある:
一般化.
モノイドにおける冪.
冪演算は任意のモノイドにおいて定義できる。モノイドは単位元を持つ半群、すなわち適当な集合 を台として合成あるいは乗法と呼ばれる二項演算が定義される代数系であって、その乗法が結合法則を満足し、かつ乗法単位元 を持つものを言う。モノイドにおける自然数冪は
モノイドの例には群や環（の乗法モノイド）のような数学的に重要な多くの構造が含まれ、またより特定の例として行列環や体の場合について後述する。
行列および線型作用素の冪.
正方行列 に対して 自身の 個の積を行列の冪と呼ぶ。また は単位行列に等しいものと定義され、さらに が可逆ならば と定義する。
行列の冪はの文脈でしばしば現れる。そこでは行列 は適当な系の状態ベクトル を次の状態 へ遷移させることを表す。これは例えばマルコフ連鎖の標準的な解釈である。これにより、 は二段階後の系の状態であり、以下同様に は 段階後の系の状態と理解される。つまり行列の冪 は現在と 段階後の状態の間の遷移行列であって、行列の冪を計算することはこの力学系の発展を解くことに等しい。便宜上、多くの場合において行列の冪は固有値と固有ベクトルを用いて計算することができる。
有限体における冪.