という関数等式を持つことが示された。ここで はガンマ関数である。これは複素解析的関数の解析接続が初めて明示的に行われた例である。
 （ は正の整数）を代入すると
次のように修正されたゼータ関数（これは実質的にリーマンによって導入され、完備化されたゼータ関数と呼ばれる）
は と に関する以下のような対称的な関数等式を持つ：
（リーマンのクシー関数も参照。）
また、次のような重積分でも表記できる。
関数等式の導出.
関数等式は以下のようにして求まる。ガンマ関数の定義と変数の置き換えにより
よってポアソン和公式から以下が成り立つ。
よって
である。よって
は以下の式と等しい。
つまり
ガンマ関数の乗法公式および相反公式より
よって
ゼータ関数と数論的関数.
ゼータ関数を適当に組み合わせることにより、様々な数論的関数を係数とするディリクレ級数の母関数を得ることができる。
たとえば、ゼータ関数の逆数はメビウス関数 を用いて
自然数 の（正の）約数の個数と全ての約数の和は、どちらも約数関数として定義され、それぞれ、、 で表すことができる。このとき、
が成り立ち、また、 と互いに素な 以下の自然数の個数を
オイラーのφ関数 で表すとき、
なども成り立つ。
ゼータ関数と素数計数関数.
以下に素数分布、すなわち素数計数関数 とゼータ関数との関係を述べる。
まずゼータ関数のオイラー積表示の両辺において対数をとり、テイラー展開で和の中の対数を展開する：
ここで各 について
と変形して、先の式に代入すると
通常
と置いて、最終的に上式は次のように書かれる。
と書けることを注意しておこう。
ゼータ関数の零点の分布に関する未解決問題であるリーマン予想は、素数公式の近似精度に関連している。この予想は純粋数学における最も重要な未解決問題であると考える数学者は多い。
スリランカの仏教
比丘サンガのシステムが堅持されており、出家者は比丘の戒律（具足戒）を守り、瞑想修行を通じて、涅槃への到達を目指す。北伝仏教の大乗仏教側からは、個人の覚りを優先する小乗仏教と呼ばれることもあったが、この語は蔑称である。