位相空間を加工する上で基本となるのは、「逆像位相」と「像位相」の概念、おそびそれらの拡張概念である「始位相」と「終位相」である。
逆像位相と像位相、始位相と終位相は互いに双対の関係にあり、写像の向きを逆にすることでもう片方の概念を定式化できる。なお始位相と終位相はそれぞれ圏論における、の例のになっている。
始位相、逆像位相、部分位相、直積位相.
まず始位相の概念を以下のように定義する：
始位相の特殊な場合として、以下のものが重要である。以下では集合である。
これらはより具体的に書き表す事が可能である：
は直積位相に関して
箱型積位相は直積位相より強い（弱くない）位相である。
終位相、像位相、商位相、直和位相.
まず始位相と双対的に終位相を定義する：
終位相の特殊な場合として下記のものを定義できる。これらは逆像位相、部分位相、始位相、直積位相と双対的に定義したものである。以下では集合である：
これらはより具体的に書き表す事が可能である：
位相的性質.
位相空間の定義それ自身は可能な限り一般的に定義されているため、個々の応用では位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものを考えることが多い。
本節では、そうしたプラスアルファの性質のうち代表的なものを紹介する。
分離公理.
代表的な分離公理としてハウスドルフの分離公理があり、これは以下のような公理であり、前述のようにこれは有向点族の収束の一意性と同値である。
他にも下記のような分離公理がある：
連結性.
連結性とは、直観的には位相空間が「ひとつながりである」
コンパクト性.
このような「性質の良い」空間を一般の位相空間に拡張して定義したものがコンパクトの概念である。
可算公理と可分.
可分もこれと類似したモチベーションのもと定義される。
厳密な定義は以下の通りである
性質と例.
以下が成立する：
しかし距離空間は第二可算公理を満たすとは限らない。
距離空間においては第二可算公理を満たす事と可分な事は同値である。
有限次元のユークリッド空間(あるいはより一般に多様体)は第二可算公理を満たす。(距離化可能なので可分でもある)。
一方、ユークリッド空間の「無限次元版」であるヒルベルト空間は距離空間であるが第二可算公理を満たすとは限らない。