に、理想気体について成り立つジュールの法則
および を代入すると
より、マイヤーの関係式
が導かれる。この導出方法から明らかなように、 が成り立つ気体であるならば が温度に依存するような気体であってもマイヤーの関係式は成り立つ。そのような気体の場合、 の温度依存性は の温度依存性に等しい。
ジュール＝トムソン効果.
ジュール＝トムソン係数 は、先に示したように に比例する。理想気体では なので、理想気体の は常にゼロである。よって、理想気体ではジュール＝トムソン効果が起こらない。
断熱自由膨張.
断熱自由膨張では外部との熱のやりとりがなく、なおかつ、気体が外部に仕事をしないので、熱力学第一法則から気体の内部エネルギー は過程の前後で変化しない。よって、断熱自由膨張するときの気体の温度変化を調べるには、 一定の条件下での の体積依存性 を調べればよい。偏微分の公式と定積熱容量 の定義式を使うと は
を熱力学的状態方程式に代入して計算すると
となるので、 一定の条件下での の体積依存性は
ジュール＝トムソン膨張.
逆転温度 は、ジュール＝トムソン係数 がゼロになる温度である。 は、先に示したように に比例する。よって、熱力学的状態方程式
から
のとき、すなわち
および、これを先の式に代入して得られる方程式
を同時に満たす として求めればよい。適当な代数計算によりこれら二つの方程式から を消去すると
となり、逆転温度 が圧力 の関数として得られる。
得られた の式から、 となる圧力においては逆転温度が二つあることが分かる。十分に高い温度では なので、二つの逆転温度に挟まれた温度領域では である。この温度領域では、ジュール＝トムソン膨張により気体の温度が下がる。圧力が高くなるにつれて となる温度範囲は狭まり、 となる圧力においては逆転温度は存在しない。すなわち、ジュール＝トムソン膨張により気体を冷却できる圧力には上限があることが分かる。
シュテファン＝ボルツマンの法則.
容積 の容器の内部を真空にして容器の温度を に保つと、容器内の空洞に電磁場が生じる。この電磁場のエネルギー密度 は に比例し、容器の材質に依らない。これをシュテファン＝ボルツマンの法則という。熱力学的状態方程式を使うと、電磁場の状態方程式からシュテファン＝ボルツマンの法則を熱力学的に導くことができる。