となるから、ここでトレースと直交射影の性質に従って計算すれば
を得る。
同じ論法が、無限次元ヒルベルト空間のコンパクト正規作用素に対しても、を用いて通用する。しかし、一般の有界正規作用素に対しては、不変部分空間の直交補空間で不変とならないものが存在し得る。これはつまり、そのような部分空間は固有ベクトルで張ることはできないということを意味する。例えばを考えれば、これは固有値を持たない。両側シフト作用素の不変部分空間はによって特徴づけられる。
対合環の正規元.
非有界正規作用素.
有界作用素の定義は、ある種の非有界作用素のクラスに対しては自然に一般化される。具体的には、閉作用素 が正規であることを
で定める。ここで随伴 の存在性は の定義域が稠密であることを、等号は の定義域が の定義域と等しいことをそれぞれ含意するが、この場合一般には必要でない。
非有界正規作用素に対してもスペクトル定理はやはり成り立つが、ふつうは別に証明が必要である。
一般化.
正規作用素論の成功は、その可換性条件を緩めた様々な一般化への呼び水となった。そのような正規作用素を含む作用素のクラスには
などがある（上記は、後のものが前のものを含むより広いクラスとなるような順番で並べてある）。
孫休
経歴.
若き日.
丹陽太守の李衡は、孫休をしばしば圧迫するような態度をとったという。そのため、孫休は他の郡への移住を願い出、勅を得て会稽郡に移住した。
また、あるとき、龍に乗って天に昇ったが、振り返ると尻尾がない、という夢を見たという。
皇帝に即位.
孫休は皇后と太子を立てることを勧められたが、今はまだそのときでないとしてこれを辞退したという。
また、生母の王氏を追尊し、敬懐皇后の諡号を贈って敬陵に改葬し、王氏の同母弟の王文雍を亭侯に封じた。
親政の確立.
会稽郡において、先帝の会稽王の孫亮が、再び皇帝になるだろうという流言があった。また、孫亮が巫女に祈祷を行わせ、呪いの言葉を発しているという内部告発があった。そのため、孫休は孫亮を侯官侯に位を降格させ、任地に向かわせたが、孫亮は任地に赴く途中で自殺したため、孫休は護送の役人を処刑した。一説には孫休による毒殺であったともいう。
国難と急死.