派生パズル.
ベルヌーイ数
定義.
ベルヌーイ数 を定義する展開式
から、関数 を繰り返し微分していけばベルヌーイ数を得ることができるが、そのような手段でベルヌーイ数を得るのは容易ではない。 ベルヌーイ数を計算するには、マクローリン展開ではなく、次の漸化式を用いる。この漸化式から、ベルヌーイ数がすべて有理数であることがわかる。
値.
ベルヌーイ数の一般項.
この公式は、総和記号が二重になっているため、上に示した漸化式ほど手軽にベルヌーイ数を計算する公式ではない。
漸近的性質.
が成り立つ。従ってスターリングの公式から、 のとき、
が成り立つ。
ベルヌーイ数を用いた級数展開.
この関係式は、 を利用すれば導出できる。 なお、この級数の収束半径は である。
べき乗和による導入.
ベルヌーイ数は、もともと、連続する整数のべき乗和を定式化する際に、展開係数として導入された。 現代の表記法によって書くならば、定式化するべき乗和とは、
なる総和である。この総和は、ベルヌーイ数を用いて、
のように書くことができる。 ベルヌーイ数の漸化式は、べき乗和を定式化した際の考察から得られる。 さらに、ベルヌーイ数の指数型母関数が となることから、その母関数を現在ではベルヌーイ数の定義とする。
ヤコブ・ベルヌーイは彼の著書『推測術』でベルヌーイ数を導入した際、べき乗和を上に書いたような から にわたる和でなく、 から にわたる和:
として扱っていた。 ベルヌーイは、その著書で整数のべき乗 の和を計算する公式として、次の数式を記している。
一方、日本ではベルヌーイとほぼ同時期に関孝和がべき乗和を定式化し、ベルヌーイ数を発見していた。 そのため、ベルヌーイ数を関・ベルヌーイ数と書いている文献もある。
一般ベルヌーイ数.
トランスパーソナル心理学
概要.