数学の線型代数学における余因子展開（よいんしてんかい、）、あるいはピエール・シモン・ラプラスの名に因んでラプラス展開とは、次正方行列 の行列式 の、 個の の 次小行列式の重み付き和としての表示である。余因子展開は行列式を見るいくつかの方法の一つとして理論的に興味深く、行列式の実際の計算においても有用である。
 の とは、次で定義されるスカラーである：
ここで は の 小行列式、つまり、 から第行と第列を除いて得られる 次小正方行列の行列式である。
すると余因子展開は次で与えられる：
例.
次の行列式の余因子展開を考える：
証明.
置換による証明.
と表すことができる。ここで は行列式の展開項が等しくなるように から導かれるものであり、対応 は と の間の全単射である。 は で次のように表せる：
 からもとの を以下のようにして導出することができる： を に拡張すると（このとき にならざるを得ない）、
と表せる。このとき、先に （これは巡回置換 のことである）を施してから を施す置換 も、 を施してから を施す置換 も、どちらも次の置換になる：
したがって , 故に を得る（ただし、 は の逆置換である を表すとする）。故に
であり、また写像 が全単射であったから、
となり、ここから所期の結果が得られる。（証明終）
多重線形交代性による証明.
次正方行列 の行列式を、第列に沿って展開することを考える。
第行に沿う展開も同様である。（証明終）
補小行列式展開.
余因子展開は次のように一般化できる。
例.
正方行列
をそれらの集合とする。
補余因子を
と定義し、それらの置換の符号を
と定義することで、 の行列式は
と書き下せる。ただし は の補集合である。
我々の明示的な例でこれを計算すると次のようになる。
一般の主張.
 を 次正方行列とし、 を の 元部分集合全体の集合とし、 をその元とする。すると の行列式は によって指定される 個の行に沿って次のように展開できる：
ただし は と によって決定される置換の符号で
に等しく、 は から添え字がそれぞれ と に属している行と列を除いて得られる の正方部分行列で、（ の補行列と呼ばれる）は と定義される。ここで と はそれぞれ と の補集合である。