本項、水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解（すいそげんしにおけるシュレーディンガーほうていしきのかい）では、ハミルトニアンが
と書ける二粒子系の時間非依存なシュレーディンガー方程式の厳密解を解く（式中の記号の意味は後述）。
物理学的にはこれは、
なお、微細構造、超微細構造、ラムシフトなどの効果は、いずれも相対論的な量子力学を必要とする為、本項の対象外である。
シュレーディンガー方程式.
本項の目的は、時間非依存なシュレディンガー方程式
でハミルトニアンが
と書ける場合の厳密解を求める事である。ここで
ここで
はの元であり、、、は正の定数であり、
であり、は換算プランク定数である。
であるが、本項では一般の正の定数に対して解を導くので、必ずしもが上述の形である事を仮定しない。
重心系への還元.
と換算質量
を使うと、ハミルトニアン()は
このハミルトニアンは
の和である。
()のハミルトニアンはよく知られた自由粒子のハミルトニアンであり、その連続スペクトルは
であり、点スペクトルは
無次元化.
してやると、()のハミルトニアンに関する時間非依存なシュレディンガー方程式は
簡単な計算により、の具体的な値は
である事が分かる。
ボーア半径・ハートリー.
特に、陽子の質量が電子の質量より遥かに重いと仮定した場合の水素原子の系における、は
より、
求解.
本節では()のハミルトニアンを無次元した
のスペクトルを求める。なお、本節ではまず変数分離解を求めるが、後述するように実はこのハミルトニアンは変数分離解しか持たない。
求解の方針.
()を解く基本的アイデアは、無次元化した座標系を球面座標に変換するというものだが、直接球面座標を用いると、計算が複雑になる。そこで計算を楽にするため、以下の事実に着目する。
よって特に、軌道角運動量演算子の自乗とも可換である：
よってはと同時対角化できるはずである、さらに
そこでまず、の同時固有関数を求め、これを利用しての固有関数を求める。
との同時固有関数.
との同時固有関数の求め方は「軌道角運動量」の項目に書いてあるので、結論だけを言えば、に対し、
を満たす固有関数が存在し、は極座標で
である新井。
の決定.