連続写像は開集合の逆像が開集合となり、閉集合の逆像が閉集合となる写像であったが、それと対照的に「開集合の像が開集合となる」写像と「閉集合の像が閉集合となる」写像は、それぞれ開写像と閉写像と呼ばれる。つまり、開写像あるいは閉写像が逆写像を持てばそれは連続であり、連続写像が逆を持てばその逆写像は開かつ閉写像である。このことから、位相空間の間の写像について以下は全て同値である。
このような写像は開集合系や近傍系といった位相的構造を双方向に保つため、位相同型写像、あるいは同相写像と呼ばれる。また、同相写像 が存在するとき、 と は互いに位相同型である、あるいは同相であるという。
連続写像の定める位相.
位相空間 から（特に位相を考えない）集合 への写像
が与えられたとき、 上のは、 の部分集合 が開集合であるということを、 が の開集合であることと定めることにより定義される。 に予め位相が定められていたとき、 がその位相に関して連続となる必要十分条件は、もとの位相が 上の終位相よりも粗いことである。従って、終位相は 上の を連続にする最も細かい位相となる。 が全射のとき、終位相は の定める同値関係のもとでの商位相と自然に同一視される。 
これと双対的に、集合 から位相空間への写像 に対し、 上のは、 の部分集合 が開集合であることを、 が の開集合となることと定めることによって定義される。 にもともと位相が入っているとき、 がその位相に関して連続となる必要十分条件は、その位相が 上の始位相よりも細かいことである。従って、始位相は 上の位相として を連続にする最も粗い位相となる。 が単射のとき を の部分集合と同一視すれば、 上の始位相は から定まる部分空間としての位相と自然に同一視される。 
より一般に、集合 が与えられたとき、任意の位相空間 への連続写像 全体の成す集合を特定することにより、 に位相が定まる。双対的に同じことが に対しても考えられる。これは普遍性の一例である。
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