ニュートン的な物理量はユークリッド空間における回転変換の下での変換性によってスカラー量やベクトル量、テンソル量として区別されていたが、相対論的なミンコフスキー時空においてはローレンツ変換の下での変換性によってスカラー量やベクトル量、テンソル量として区別される。
として対応する。
として対応する。
として対応する。
ニュートン的なスカラー量やベクトル量は、組み合わせられる量に応じて変換性が異なる。
時空の記述.
で位置を記す。
時空上のスカラー場 に対する勾配は、時間変動と空間勾配と合わせて
とする。
平坦な時空においてダランベール演算子は
と表される。
粒子の記述.
粒子の運動を記述する媒介変数を として、粒子の位置が
である。
電磁場の記述.
電磁ポテンシャル.
として振舞う。添え字を下に下げると
である。
電磁場テンソル.
電荷に力を及ぼす場である電場の強度 と磁束密度 は、ニュートン的な空間においてそれぞれ極性ベクトルと軸性ベクトルとして振舞う。
となる。
により定義される。
完全反対称テンソル により電磁場強度の双対テンソルが
により定義される。
となる。
源と媒質の記述.
として振舞う。
分極テンソル.
として振舞う。
電磁場強度 および との間に構成方程式
を満たす。
電磁気学のラグランジュ形式.
作用汎関数
から導かれる電磁場 の運動方程式は
運動項.
電磁場の作用汎関数の運動項は
であり、ラグランジュ関数は
である。電磁場の運動項は多くの力学系の運動項と同様に一般化速度の二次形式で書かれる。
ラグランジュ関数の微分は
となるので、運動項の汎関数微分は
となる。
自由空間.
自由空間において荷電粒子と相互作用する電磁場の作用汎関数は粒子と電磁場の運動項、および相互作用項の和で
と書かれる。
で与えられる。相互作用項の汎関数微分は
で与えられるので、電磁場 に対する運動方程式としてマクスウェル方程式
が得られる。
媒質中.
媒質が存在する場合は、媒質の状態を記述する力学変数として分極テンソル が導入される。
媒質中での作用汎関数には、媒質と電磁場との相互作用と、媒質の自己相互作用を記述する部分が追加されて
で与えられる。ラグランジュ関数の電磁場の強度 による偏導関数は