連続型確率変数の期待値はルベーグ積分で定義されているので、計算するときには積分の変数変換を行って確率変数の分布で積分するのが普通である。確率変数 の分布を とすると、任意の可測関数 に対して
となり、さらに が確率密度関数 を持つときは
により、ルベーグ測度で計算できるようになる。
例.
サイコロの目の期待値.
賞金の期待値.
次のようなゲームを考える。
このとき、もらえる金額 の期待値は
特異点定理
特異点定理（とくいてんていり）またはペンローズ・ホーキングの特異点定理（）は、重力は重力の特異点を必要とするかどうか、という問いへの、一般相対性理論による結論のまとめである。
詳細.
簡単に説明すると、「光的捕捉面 () が存在しエネルギー密度が負ではない場合、有限で延長不可能な測地線が存在する」というステートメントである。後半は時空多様体における「特異点」の数学的な定義である。ほとんど一般的な状況で成立するので、一般相対性理論のもとでは特異点の存在は避けられない、と理解してよい。ただし、特異点定理は、特異点の存在について述べるだけであり、特異点の形状や位置を特定するものではない。
物理法則の視点からは、特異点の存在は、因果律を破壊する原因になるので避けたいものである。ブラックホールなどの特異点は、事象の地平面で覆われることで問題にならないが、事象の地平面で覆われない「裸の特異点」が出現すれば物理的に厄介である。ペンローズ はこの立場から、宇宙検閲官仮説 () を提唱した。自然界には裸の特異点は存在しないだろう、という予想である。しかし、この仮説の真偽については、明らかではなく、特殊な状況の数値シミュレーションでは裸の特異点が出現する、という報告もある。
相対性理論の示す特異点はあくまで古典論の範囲においてであり、量子力学的効果が無視できなくなる領域では相対性理論は破綻すると考えられている。したがって、量子効果を含めた特異点の考察は、ペンローズとホーキングの特異点の範囲外になる。相対論と量子論を融合する理論は量子重力理論と呼ばれており、この理論が特異点を解消、あるいは説明するものと考えられている。量子重力理論は現在多くの理論物理学者が構築中である。
ジャック・ルネ・エベール
人物略歴.
相対論的力学