逆には、が内の任意の球面上の平均と一致するならば、は調和関数となる。
ディリクレ問題とランダムウォーカー.
平均値の性質から、点 における調和関数の値 は、点 から出発したランダムウォーカーが領域 の境界 に到達したとき、到達した点での調和関数の境界 の期待値に対応していることが分かる。逆に、任意のディリクレ境界条件に対して、任意の点 の調和関数の値 を見積もるには、 を出発して到達した点での境界値の算術平均をとればよい。
最大値原理.
が存在すれば、は定数関数となる。この性質を調和関数の強最大値原理と呼ぶ。
最大値原理の直接的な応用としては、ポアソン方程式の境界値問題における解の一意性の証明がある。 の有界な開集合 とその境界 において、とを与え、ポアソン方程式の境界値問題を考える。この境界値問題の二つの解に対し、差を取ったものは調和関数であり、最大値原理より、その最大値、最小値はゼロとなる。すなわち、二つの解は一致する。
正則性.
一般化.
弱調和函数.
函数（あるいはより一般にシュヴァルツ超函数）がラプラス方程式 の弱解（シュヴァルツ超函数の意味での解）となるときであるという。
弱調和函数は殆ど至る所真の調和函数に一致し、特に滑らかである。弱調和超函数とは、真の調和函数に同伴するシュヴァルツ超函数のことであり、従ってこれもまた滑らかである。これラプラス方程式に関するワイルの補題という。
このほかにもラプラス方程式の弱バージョンで有用なものがたくさんある。そういったものの一つはディリクレの原理で、これはソボレフ空間 に属する調和函数をディリクレエネルギー積分
を局所変分に関して最小化するものとして表現する。すなわち、調和函数 は、任意の に対して（あるいは同じことだが に対して を満たす。
多様体上の調和函数.
任意のリーマン多様体上の調和函数は、 を用いて定義することができる。すなわち、この文脈における函数が調和であるとはラプラス・ベルトラミ作用素に関する方程式 を満足することを言う。