二次正方行列全体の成す環は可換でない。行列の乗法が可換でないことは、例えば
などを見ればわかる。しかし同じ相似変換で同時対角化可能な行列の全体は可換環を成す。例えば、ある決まったノード集合に関する差分商行列全体は可換環である。
諸概念.
以下に挙げる概念の多くは可換環でなくとも存在するものだが、しかし可換性を仮定しなければその定義や性質は普通より複雑なものとなる。例えば、可換環における任意のイデアルは自動的に両側イデアルとなり、状況は大幅に簡単になる。
イデアルと剰余環.
局所化環.
素イデアルと素スペクトル.
体は整域ゆえ、すでに述べたように極大イデアルは素イデアルである。ある特定のイデアルが素であること(つまりその剰余環が零因子を持たないこと)を示すのは必ずしも容易ではなく、非常に難しい問題となる場合もある。
環の準同型.
加群.
ネーター環.
が取れるからアルティンではない。実はホプキンス・レヴィツキの定理により任意のアルティン環はネーターになる。
環の次元.
の形となるので、一次元である。
次元の概念は、考えている環がネーターならばよく振る舞う。例えばその場合、成り立ってほしい等式
可換環の構成.
与えられた環から別の環を作り出す操作がいくつか存在する。そういった構成の多くは、環に特定の性質を備えさせることで理解をより容易にする目的で行われる。例えば、整域がその商体の中で整閉であるとき、正規であるといい、これは例えば一次元正規環は必ず正則局所環であるなどの、望ましい性質を持っている。環が正規性を持つようにすることを「正規化」などと呼ぶ。
完備化.
性質.
下駄釣り
鍵盤打楽器
鍵盤打楽器（けんばんだがっき）とは、打楽器の内、ピアノなどの鍵盤と同じ配列に音板が並べてある楽器を言う。マレット楽器とも。これらは高音で短く、低音で長いが、「黒鍵」が「白鍵」に比べて短く作られることはない。このうち、消音装置を持つヴィブラフォンなどは「黒鍵」と「白鍵」が同一平面に置かれるが、そうでなければ普通、「黒鍵」が「白鍵」より高い位置に置かれる。
パラセタモール
イングランドバスケットボール
バスケットボールイングランド代表の運営及び、セミプロリーグ「イングリッシュバスケットボールリーグ」の主催を主とする。
突撃!パッパラ隊の登場人物
突撃!パッパラ隊.