に を代入することで得られる。この を の線素（せんそ、）と呼ぶ。曲線が区分的に滑らかなら、微分可能な区間の和にわけて同じく弧長を定義することができる。
場の線積分.
スカラー場に対する線積分.
偏線積分.
スカラー場 の滑らかな曲線 に沿った各軸方向の線積分は
で与えられる。
このとき、函数 を被積分函数 、曲線 を積分領域 あるいは積分路 と呼ぶ。
線素に関する線積分.
スカラー場 の滑らかな曲線 に沿った線素に関する線積分は
と定義する（区分的に滑らかの場合は、滑らかな区間ごとの積分の和と定める）。ただし、 は、 と が与えた曲線 の両端点となるような、 の勝手な全単射媒介表示とする。
記号 は直観的には弧長の無限小成分としての線素と解釈できる。スカラー場の曲線 に沿った線積分は、 の媒介表示 の取り方に依らない。
線素に関する線積分の導出.
と考えるとき、曲線上の分点間の距離は
と書けるから、これを代入して得る
は、積分
に対応するリーマン和である。基本的にこの積分は、 および となる制約条件下でスカラー函数 の下にある領域の面積になっている。
ベクトル場に対する線積分.
ベクトル場の線積分の定義.
ベクトル場 の の向きへの区分的に滑らかな曲線 に沿った線積分は
と定義される。ただし、“” はベクトルの内積であり、 は、 と が曲線 の両端点となる の全単射媒介表示とする。
従ってスカラー場の線積分は、各ベクトルが常に積分路に接するようなベクトル場の線積分に一致する。
ベクトル場の線積分は、絶対値に関しては媒介変数 の取り方に依らないが、向きに関しては依存する。特に、媒介変数の向きを逆にすれば、線積分の符号が変わる。
ベクトル場の線積分の導出.
を考える。曲線上の隣り合う分点の間の変位ベクトルは
と書けるから、代入してリーマン和
を得、これにより上記の線積分が定まる。
経路独立な線積分.
ベクトル場 が何らかのスカラー場 の勾配として
と書けるとき、 と との合成の導函数
は、 の 上の線積分の被積分函数である。従って、積分路 を与えれば