微分はにも拡張できる。この一般化において、導函数はそのグラフが（適当な変換の後）もとの函数のグラフを最適線型近似する線型変換と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。
導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算（）と言い、その逆の過程（原始函数を求めること）を反微分という。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である。
直観的な説明.
説明を単純にするため、 はすべての実数 に対して定義されているとしよう。すると各々の実数 に対して、 の における微分係数と呼ばれる数がある（定義されない場合もあるが、ここでは理想的な状況のみを想定して説明する）。これを で表す。また、実数 に対して微分係数 を対応させる関数 のことを の導関数という。
微分係数 とは何であるか直観的に説明するには、いくつかの方法がある。
これらはいずれも、論理的に厳密な定義とはいえない。それは、「接線」や「瞬間変化率」について厳密な定義が与えられていないし、またグラフを「限りなく拡大する」ということの意味も定かではないからである。
厳密な定式化.
一点における微分可能性と微分係数.
が存在するとき、 は において微分可能であるという（極限は有限確定値であることを要請する。すなわち、正の無限大や負の無限大であることは許容しない）。またそのとき、上記の極限を における の微分係数とよび、 によって表す。
これにともない、 のグラフ上の点 を通り傾き をもつ直線のことを、 のグラフの における接線という。つまり、 における接線とは、 によって与えられる直線のことである。
上述の微分係数の定義に現れる分数
なお、上述の微分可能性の定義では が にどのようにして近づいても差分商が一定の値に収束することを要請したが、近づき方を限定することも考えられる。 が正の値をとりながら に近づいたときの片側極限