また位相的特徴付けである次を定義として採用することも出来よう：非自明な順序体であって順序位相に関して連結なものは唯一つに定まる（による）。これを実数体と呼ぶ。実数体の元（＝要素）を実数という。
これで実数（体）の概念は定まったがこれだけではまだ実数（体）というものが存在するかどうかは分からない。しかし#構成節で述べるようにそのようなものは実際に存在する、即ちこのような性質を満たす順序体が構成できることが分かる。またその構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる。
実数の表示.
現代数学の体系において実数が構成されるときは#構成節で述べるような、数の表示に直接依存しない方法が用いられるが、個々の実数を表すときは や のような（有限とは限らない）小数表示がよく用いられる。
また、実数の集まりを幾何学的に表示する方法として数直線があげられる。これは実数 に対応する原点とよばれる点を持った一つの直線で、直線上のそれぞれの点と原点との向きをこめた位置関係が各実数に対応している。
実数の様々な構成.
コーシー列を用いた構成.
実数の構成は有理数の空間 の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。
この完備化による定義の変種として、コーシー列たちの空間のかわりに長さがどんどん小さくなっていくような閉区間の列たちを適当な同値関係によって同一視したものを考えてもやはり実数を得ることができる。この考え方はより一般的で強力な手法であるフィルターの特別な例と見なすことができる。
デデキント切断による構成.
有理数の集合 上に通常の意味での大小関係を考えて、それをもとにした の分割の方法として実数を定めることもでき、この方法はデデキント切断と呼ばれる。この考え方では を と に分けるという操作である数 を定義する。 のような有理数でない によって与えられる切断 は有理数の範囲での最小の数よりも が小さくなるため、有理数の間の数として無理数の実在を示すことができる。一方実数の範囲ではその定義からいつでも が の最小の数になっている。
超準解析に基づく構成.