フーリエ変換はシュワルツ函数全体の成す空間（シュワルツ空間）をそれ自身に移す同相写像を与える。これにより、緩増加超函数のフーリエ変換を定義することができる。これには上述の絶対可積分函数が全て含まれ、それに加えて緩増加超函数のフーリエ変換がふたたび緩増加超函数となるという利点がある。
超函数は微分可能であり、緩増加超函数のフーリエ変換と微分および畳み込みとはやはり上述の意味で両立する。
局所コンパクトアーベル群.
によって定義することができる。
応用.
微分方程式の解析学.
フーリエ変換および近い関係にあるラプラス変換は微分方程式の解法において広く用いられる。 を可微分函数で、そのフーリエ変換を とすると、導函数のフーリエ変換が で与えられるという意味でフーリエ変換と微分作用素は両立する。このことを用いて微分方程式を代数方程式に変換することができる。ただし、この手法は定義域が実数全体である場合にしか適用できないことに注意が必要である。これを拡張して、定義域が であるような多変数函数に関する偏微分方程式を代数方程式に書き換えることもできる。
フーリエ変換の定義域と値域.
フーリエ変換を可能な限り最も一般な定義域上で考えることが望ましいことも多々ある。フーリエ変換を積分として定義すれば、定義域は絶対可積分函数全体の成す空間に自然に制限されてしまうが、不幸にして絶対可積分函数のフーリエ変換として得られる函数の簡単な特徴づけは知られていない。フーリエ変換の定義域の拡張は上述のようにいくつかの方法を用いて行うことができる。以下いくつか、フーリエ変換の定義されるより広範な定義域と領域について詳細を述べる。
その他の記法.
フーリエ変換の記法として 以外によく用いられるものに
複素函数 は、極座標に関してこれを表示することにより、振幅
および位相
なる形に解釈することができる。
その他の定義.
と書くことができ、また同じくこの規約の下で逆変換は
これら三種類の定義はどれも、順変換逆変換ともに複素指数函数的な積分核を結びつけることによって形成されている。順変換と逆変換で肩に付く符合は反対でなければならないが、どちらがどちらの符号を持つべきであるかという選択は、やはり定義の仕方によるということになる。
主なフーリエ変換の一覧.
函数の関係式.