既知の位相空間の和集合、積集合、商集合といったものにどのような位相を定めるべきかに関しては一般的な導出方法が知られており、これについては「#位相空間の導出」の節で説明する。
位相空間に関する諸概念.
定義.
内部、外部、境界.
位相空間の部分集合に対し、の「内部」、「外部」、「境界」の概念を定義できる：
閉包.
さらに閉包を次のように定義する：
定義から明らかに次が成立する：
基本的な性質.
定義より明らかに次が成立する。
さらに次が成立する。
内部、閉包の性質.
内部および閉包は以下のようにも特徴づけられる事が知られている：
内部の概念は以下を満たす：
内核作用素・閉包作用素による位相の特徴づけ.
本項ではこれまで、開集合系を使って位相空間を定義し、これをベースに内核作用素を定義したが、逆に上述の性質を満たす内核作用素の概念を使って位相空間を定義し、これを使って開集合と定義する事も可能である。すなわち以下が成立する：
その他の関連概念.
集積点、導集合.
定義より明らかに次が成立する。
稠密.
近傍.
本節では近傍の定義を述べ、その基本的な性質を述べる。後述するように近傍は位相空間における収束の概念を定義するのに用いられるが、それ以外にもある点の周りの局所的な性質を記述する際に広く使われている。
定義.
近傍の定義は以下のとおりである：
基本近傍系.
近傍概念は収束などの局所的な振る舞いを記述する際に用いられるので、多くの場合全ての近傍を考える代わりに、基本近傍系のみを考えれば十分である。例えば次が成立する：
近傍系の性質.
近傍系は以下の性質を満たす：
ハウスドルフの公理系を満たす近傍系は位相を特徴づける：
収束.
本節の目標は、位相空間上での収束概念を定義し、収束概念によってこれまで述べてきた様々な概念を捉え直す事にある。
位相空間における収束概念は、距離空間における点列の収束概念を適切に修正する事により得られる：
が収束する任意の点列に対して成り立つ事により定式化できるが、一般の位相空間の場合は「任意の点列」ではなく「任意の有向点族」に対してこれと類似の性質が成り立つ事により連続性を定義する必要がある。