を次元 を持つ有限次元内積空間とする。任意の基底はちょうど 本の線型独立なベクトルからなることを思い出そう。グラム–シュミットの正規直交化法を用いれば、任意の基底を正規直交基底に取り換えてから話を進めて良い。即ち、基底は各ベクトルが単位ノルムを持ち互いに直交するものとする。式で書けば、基底 } が正規直交であるとは、 ならば , かつ各 に対して を満足することを言う。
この正規直交基底の定義は、以下のように無限次元内積空間に対して一般化することができる。 は任意の内積空間として、ベクトルの系 が の（位相的）基底であるとは、 の元からなる有限線型結合全体の成す の部分集合が において（内積の導くノルムに関して）稠密となるときに言う。基底 が の正規直交基底であるとは、それが各添字 に対して ならば かつ を満足することをいう。
が示される。また、および完備内積空間において線型部分空間への直交射影が定義可能であるという事実を用いれば、
も示せる。これら二つの定理は「任意の内積空間が正規直交基底を持ち得るか」という問いに答えるもので、これには否定的な結論が下される。これは非自明な結果であり、以下のような証明が知られている:
パーシヴァルの等式から直ちに次が従う。
この定理はフーリエ級数の抽象版であり、任意の正規直交基底がフーリエ級数における三角多項式の成す直交系の役割を果たす。上記の添字集合は任意の可算集合としてよい（また実は、ヒルベルト空間の項にあるように、そうして得られる空間は全て、適当な集合上で定義された となる）ことに注意。特に、フーリエ級数に関して
から直ちにわかる。正規性は列の作り方による（即ち、列の各係数はノルムが となるように選ばれたものである）。
内積空間上の作用素.
内積空間 から内積空間 への線型写像 に対して、望ましい性質を持つクラスがいくつか挙げられる。
内積空間論の観点からは、互いに等長同型な二つの空間は区別を要しない。スペクトル定理は有限次元内積空間上の対称作用素、ユニタリ作用素、あるいは一般に正規作用素に対する標準形を与えるものである。スペクトル定理の一般化はヒルベルト空間上の連続正規作用素に対しても成り立つ。
今上天皇
今上天皇（きんじょうてんのう）は、その時々における在位中の日本の天皇を指す語。