平均値の定理は微分係数の値と元の函数の値との関係を記述する。 が実数値函数で は を満たす数とするとき、平均値の定理は、緩やかな仮定の下で二点 および 間の傾きが と の間にある適当な点 における接線の傾きに等しいことを主張する。記号で書けば が成り立つ。
実用上は、平均値の定理がやっていることは、導函数によって函数自身を制御することである。例えば、 が各点において零に等しい導函数を持つとすると、これはその接線が至る所水平であることを意味するから、函数自身も水平でなければならない。平均値の定理はこれが実際に正しいことを証明する。 グラフ上の任意の二点間の傾きは の接線の一つの傾きに等しくなければならず、それは全て零なのであるから、グラフ上の一点から別の任意の点へ引いた任意の直線も傾き零でなければならない。そしてそのような函数は上昇も下降もできないのだから水平線に他ならない。
導函数に対してより複雑な条件を与えれば、正確性は落ちるがより有効なもとの函数に関する情報が得られる。
テイラー展開.
導函数は与えられた点において可能な函数の最適線型近似を与えるが、それはもとの函数とは非常に異なることもある。この近似を改善する一つの方法は、二次の近似をとることである。それはつまり、実数値函数 の点 における線型化が一次の多項式函数 であるのに対し、より良い近似が二次多項式 を考えることで得られるかもしれないということである。三次多項式 なら更によいかもしれないし、この考えはより高次の多項式に対しても推し進めることができる。これらの多項式の各々に対して、可能な限りの近似を実現する係数 の最適な選び方があるはずである。
テイラー多項式の極限はテイラー級数と呼ばれる無限級数である。テイラー級数はしばしばもとの函数の非常に良い近似を与える。自身のテイラー級数と一致するような函数は解析函数と呼ばれる。不連続だったり尖ったりしている函数は解析的になることはできない。そして滑らかだが解析的でない函数が存在する。
陰函数定理.
陰函数定理は、函数が逆函数の貼り合せのように見えることを述べる逆函数定理と近しい関係がある。
高松天満屋
バーレーンのライトレール網
バーレーンのライトレール網（バーレーンのライトレールもう、英: ）は、バーレーン王国の公共交通プロジェクトである。
ルート.