エルミート行列に限らない一般のレイリー商の値域はと呼ばれる（あるいは関数解析学においてはスペクトルという）。エルミート行列のレイリー商について、その数域はスペクトルノルムに等しい。関数解析学においては、 はスペクトル半径として知られる。代数や代数的量子力学の文脈では、固定された と代数上で動く に対するレイリー商 を、 の代数上のベクトル状態 と見なすことがある。
エルミート行列の境界.
エルミート行列 の固有値 と固有ベクトル の間の関係は
である。上で述べたとおり に対するレイリー商 は実数で、その範囲は の固有値の最小値 と最大値 の間となる：
このことは、ベクトル が の固有ベクトル によって展開できることから示すことができる。
 を規格化された固有ベクトル（：クロネッカーのデルタ）で以下のように展開する:
展開係数は固有ベクトルとの内積
である。
 の固有ベクトルによる展開をレイリー商に適用すれば、レイリー商が の固有値の重み付き平均に等しくなることが示される：
重み付き平均の形から、レイリー商の値域とその境界が固有ベクトル によって定められることが確認できる。
レイリー商が固有値の重み付き平均に等しいという事実から、すべての固有値を特定することができる。それぞれの固有値が と降順に並べてあるとすると、 が基底 に直交するという条件の下では、 であり、レイリー商 の最大値は となる。またこのとき である。
ラグランジュの未定乗数法による導出.
レイリー商に関する関係はラグランジュの未定乗数法を用いても導くことができる。問題は
なので、停留点において未定乗数 は の固有値で、 は対応する固有ベクトルであり、レイリー商は
一般化.
レイリー商の一般化として以下のようなものがある。
与えられた行列の組 および零でないベクトル に対する一般化されたレイリー商 は以下のように定義される：
一般化されたレイリー商は狭義のレイリー商 へ簡約することができる。ここで 
であり、 は正定値エルミート行列 のコレスキー分解である。
与えられた零でないベクトルの組 およびエルミート行列 に対する一般化されたレイリー商は次のように定義される：
これは の場合に狭義のレイリー商 と一致する。
ルイ・ステール
略歴.
ベーシックロールプレイング
東員町総合文化センター
歴史.