よってロバートソンの不等式が証明された。
反例.
よってこの反例の存在はこれまでの成果と矛盾しない。
反例となる作用素.
の定義域.
でとしてよい。
の定義域.
よって
不等式の右辺.
が可微分であれば、
より、
が成立する。したがって特に、ロバートソンの不等式の定義域に関する条件を満たしている場合には、上式が成立する。
しかし
なぜなら、
一方明らかに
なので、 
どの条件に反しているか.
ロバートソンの不等式が成り立つためには、
でなければならなかった。しかし上述したは
は
であり、ロバートソンの不等式の条件が満たされない。
小澤の関係式.
位置と運動量の測定の関係を小澤の不等式に当てはめると、
時間とエネルギーの不確定性関係.
時間とエネルギーに関しては、観測量の分散に対するロバートソン不等式を論じることは一般にできない。それはエネルギー固有値が連続でかつ上限および下限を持たない量子系でなければ、ハミルトニアン に正準共役な時間演算子 は定義できないためである。もし考えている量子系においてエルミートな が存在して
を満たすならば、任意の実数 に対して
というユニタリ変換が存在する。これをあるエネルギー固有値 に対応する固有状態 に作用させると、得られる状態は
という関係を満たすため、エネルギー固有値が のエネルギー固有状態を得たことになる。しかし は負の無限大から正の無限大の間の任意の実数値をとれるため、エネルギー固有値も連続的となり下限も上限もなくなる。安定した基底状態をもつ量子系ではエネルギー固有値は下限をもつため、エルミートな時間演算子は存在しないことが証明される。従って安定な基底状態をもつ通常の量子系では、時間とエネルギーに関するロバートソン不等式は意味を持たない。同様に、時間とエネルギーに関しては小澤の不等式も意味を持たない。