例えば、取り得る状態が全て分かっているとして、全部で つの状態があったとき、それらの状態のエネルギーを と表す。
エネルギー保存の法則が成り立つことは、それらの差について、
が成り立っていることをいう。
時間が導入されている場合には、任意の時刻でエネルギー総量の時間変化量がゼロであることをいい、時間微分を用いて表現される。
エネルギー保存の法則は、物理学の様々な分野で扱われる。特に、熱力学におけるエネルギー保存の法則は熱力学第一法則 () と呼ばれ、熱力学の基本的な法則となっている。 ()
熱力学第一法則は、熱力学において基本的な要請として認められるものであり、あるいは熱力学理論を構築する上で成立すべき定理の一つである。第一法則の成立を前提とする根拠は、一連の実験や観測事実のみに基づいており、この意味で第一法則はいわゆる経験則であるといえる。
一方でニュートン力学や量子力学など一般の力学において、エネルギー保存の法則は必ずしも前提とされない。
歴史.
概要.
ルネ・デカルトやゴットフリート・ライプニッツが、それぞれの仕方でこれを主張し、それぞれの支持者によって議論が長年に渡り行われた。
現在ではエネルギー保存の法則は、しばしば「最も基本的な物理法則の一つ」と考えられている。多くの物理学者が、自然はこの法則にしたがっているはずだ、と信じているのである。
活力論争.
デカルトが主張した （, 運動の量）という概念は、現代の運動量とある程度似てはいるが、厳密には異なる概念である。デカルトは「質量」という概念を持っていなかったし、デカルトは速度の大きさだけを重視し、向きが変わることについては考慮していなかった。したがって、デカルトの を現代の運動量に対応する量と見なすことはできない。
ゴットフリート・ライプニッツは、運動の量というのを初めて数式で表現してみようと試みたが、デカルトとは異なって の総和が保存されている、と主張した。ライプニッツはこの量を （, 活力）と呼んだ。この という概念は、釣り合いなどの場面で想定される動きとしては見えない （, 潜在的な力）と対比しつつ置かれた概念である。
「エネルギー」の定義.
力学的仕事と熱に関する保存則の発見.