テンソルは多次元の配列によって成分表示できるのは確かだが、テンソルの理論を構築することの意義はここの量がテンソルであるということによって具体的に添字づけられた成分を指定しないでも何が導かれるのかを説明することである。とくに座標変換によってテンソル（場）は決まったふるまいを見せる。
が成立している。
抽象的なテンソルの理論は今では多重線型代数と呼ばれる線型代数の一分野になっている。
歴史.
例.
線形でないような関係もあるが、たいていの関係は微分可能性を満たしており、局所的には多重線形写像を足しあわせたもので近似できる。従って物体の解析に際してたいていの量はテンソルとして表示すると取り扱いが便利になる。
幾何におけるテンソルでは二次形式や曲率テンソルが有名である。物理学におけるテンソルにはエネルギー・運動量テンソル、慣性能率テンソルや極分解テンソルがある。
幾何学的な量や物理学的な量はその記述について内在的な自由度を考えることによって分類できる。圧力、質量、温度などのスカラー量はただ一つの数によって指定できる。力のようなベクトル量を表示するためには数のリストを用いる必要があるし、二次形式のような量は複数の添字系によって並べられる数の配列を用いて表示される。これらの量はテンソルとして考えなければとらえることができない。
一般化.
ベクトル空間のテンソル積.
無限次元テンソル.
テンソル密度.
はげたかの餌食
対称テンソル
より具体的には、テンソルを多重線型写像 と見るならば、その引数となるベクトルの任意の置換 について
を満たすもの、あるいは座標を用いて成分で表すならば
を満たすものである。
定義.
を満たすことをいう。ここで は記号 の置換 に付随する組み紐写像である。
の形に書けば、この基底に関する の成分 はその添字に関して対称、すなわち
が任意の置換 について満足される。
で与えられる。対称テンソル空間 は に対する の直和
として構成される。
例.
対称テンソルの例はたくさんあるが、例えば計量テンソル , アインシュタインテンソル , リッチテンソル など。
物理学や工学で用いられるさまざまな物性および場が対称テンソル場として表される。例えば、応力、歪み、異方的伝導性など。拡散MRIも、脳やその他の体の部分の拡散の記述に対称テンソルをしばしば用いる。