直観主義論理の色々な意味論が研究されている。ひとつの意味論は古典的なブール代数値意味論を写しとったものでブール代数の代わりにハイティング代数を用いる。別の意味論ではクリプキ・モデルを用いる。
直観主義論理は実際的な有用性を持つ。何故ならばこの制限によって存在具体性を持つ証明が作られるからであり、これは直観主義論理が数学的構成主義のある形態として適当なものとする。非正式には、ある対象が存在することの構成的証明があれば、その構成的証明はそのような対象の例を生成するアルゴリズムとして使える、ということを意味する。
形式化された直観主義論理はアレン・ハイティングによってヤン・ブラウワーの直観主義プログラムの形式的な基礎として発展せられたものである。
構文論と証明体系.
多くの古典論理で妥当な恒真式は直観主義論理では定理でないが、全ての直観主義論理で妥当な定理は古典論理に於いても妥当であるから、直観主義論理は古典論理を弱めたものであるという見方ができる。ただし直観主義論理は古典論理にはない良い性質を多く持っている。
シークエント計算.
ヒルベルト流の計算.
を取り、公理図式として次のものを取る：
一階述語論理の体系を作るには次の推論規則を加える：
また次のものを公理図式に加える：
オプションの結合子.
否定.
同値.
古典論理との関係.
古典論理の体系は次のどれかを公理に追加することによって得られる：
結合子の定義不可能性.
これらは全ての結合子はブール関数であるという二値原理からの基本的な帰結である。二値原理は直観主義論理においては成り立たない。ただ無矛盾律だけが成り立つ。結果として、いかなる結合子も不要ではなく、上に述べたどの公理も必要であることが分かる。古典論理において成立する同値性は、直観主義論理においては、幾つかは成り立つけれども、多くは一方の含意だけが成り立つ。次のようなものがある：
論理積と論理和：
論理積と含意：
論理和と含意：
全称量化と存在量化：
同値を結合子のリストに入れるならば、いくつかの結合子は他から定義できる：
意味論.
ハイティング代数意味論.
したがってこの論理式の付値は真であり、妥当であることが従う。
他の論理との関係.