とおくと
が得られる。両辺を三乗することにより
同様に
という二次方程式になり、この解は解の様子を調べた時に定義した記号 ⊿ と ⊿ によって
と書くことができる。
一般解.
の解の公式は以下の通りである：
式の一部を置き換えたことにより簡略化したもの
円錐曲線による作図.
代数的解法は重要であるものの、歴史的にはそれよりも先に、作図による三次方程式の幾何学的解法が模索されていた。このような解法は、古代ギリシアのメナイクモスに始まり、セルジューク朝期ペルシャのウマル・ハイヤームによって一般化された。
の実数解を、線分の長さとして得たことになる。
また、放物線と円を表す式
という三次方程式の実数解を与えるのと同じである。
一般に、
という三次方程式は
のように、放物線と双曲線の交点としても表すことができる。
歴史.
古代バビロニアでは、数表を用いて三次方程式の解の近似値を得ていた。
となる数 を求めるという、比の問題に帰せられた。
メナイクモスは、ヒポクラテスのアイデアから円錐曲線を思いつき、立方体倍積問題を円錐曲線による作図によって解いた。この業績によって、メナイクモスは、円錐曲線の発見者と考えられている。立方体倍積問題は
の形の三次方程式を解くことと同じであり、メナイクモスによる方法は、三次方程式の幾何学的解法の一つと考えられ、円錐曲線の数表を計算しておけば、三次方程式の解の近似値も得ることができることになる。しかし、一般に円錐曲線は、プラトンの束縛の下で作図できる曲線ではないため、円錐曲線による幾何学的解法は立方体倍積問題の解法とは見なされない。このような円錐曲線の研究は、アルキメデスやイブン・ハイサム等を経て、セルジューク朝期ペルシアのウマル・ハイヤームにより拡張され、様々な形をした三次方程式の解が、円錐曲線同士の交点として調べられ、網羅された。
という形の物である。当時はまだ、負の数はあまり認められていなかったため、係数を正に限った形をしている。
この方程式自体は特殊な形であるものの、一般の三次方程式はこの形に変形できるため、本質的には三次方程式はデル・フェロが解いたといっても過言ではない。また、この方程式の場合は係数の符号の制約から還元不能にはならない。
三次方程式の解法があるという噂を元にタルタリアは、独力かどうかは分からないが