拘束条件は全ての時間で成り立つので、未定乗数も各々の時間に対して導入される時間の関数である。
拘束条件が取り入れられた作用に対して最小作用の原理を適用して
が得られる。力学変数 に対応する運動方程式には「拘束力」 が加えられ、未定乗数に対応する運動方程式として拘束条件が導かれる。
ハミルトン形式との関係.
ハミルトン形式とラグランジュ形式はルジャンドル変換を通して等価である。ただし、ラグランジアンが退化している場合は、ルジャンドル変換が微分同相写像ではなくなり、ラグランジュ系からハミルトン系へ移行することができなくなる。この退化している場合の処方としてディラックの拘束理論が知られている。
ラグランジュ形式による場の理論.
特に相対論的な場の理論の場合では、ラグランジュ形式から出発するのが一般的である。その方が相対論的不変性などの対称性が見やすいからである。
で書かれる。その変分は
となり、ラグランジュの運動方程式として
が得られる。
ラグランジュ関数の存在条件.
（ただし ）を導くラグランジュ関数が局所的に存在する必要十分条件は以下であることがヘルムホルツにより調べられている：
このとき、ラグランジュ関数は以下で与えられる：
ここで は の任意関数である。
具体例.
相対論的な粒子系.
とする。ここで は時空の添え字で、 は粒子を区別する添え字である。
自由粒子系を考えると、作用積分は
平方根の中が正である為に、作用積分の段階で運動は時間的なものに限定されている。
ラグランジュの運動方程式は
となる。
ここで、一般化運動量は
である。
となる。
補助変数の導入.
この作用は平方根の中に微分を含む形のため扱いが困難である。
補助変数 を導入して別の形に書くことが出来る。
としてマクスウェルの方程式が導かれる。
電磁場中の粒子系.
物質場として相対論的な粒子系を考え、相互作用項として
を考える。
このとき、物質 に関する運動方程式は
となり、ローレンツ力を再現する。
となる。
一般相対性理論.
一般相対性理論においては、平坦な時空の計量は曲がった時空の計量 に置き換えられ、これが力学変数となる。
作用積分は
と書かれる。
重力場の項は
である。
ここで はスカラー曲率である。
アインシュタイン方程式は時空の計量 の運動方程式として導かれる。
ハミルトン形式