となる。積分は境界面に直交する外向きの単位法ベクトル場 を伴う面積分である。各点において が得られて、これは点 の函数である。定義から明らかなように、 が の流束の流出密度（発散密度）であることが分かる。
物理的な解釈から見れば、あらゆる点で発散がゼロとなるベクトル場は非圧縮性 あるいは管状 であるといい、この場合任意の閉曲面に対してそれと交わる正味の流れは存在しない。
直感的に、全ての湧出量の和から全ての排出量の和を引けば領域から流れ出る正味の流れがわかるだろうと想像できる。これを精緻化したものが発散定理である。
具体的な表示.
デカルト座標系での表示.
 を三次元ユークリッド空間のデカルト座標系とし、対応する単位ベクトルからなる基底を とする。
連続的微分可能なベクトル場 の発散はスカラー値の函数:
に等しい。これは座標で表されているけれども、物理的解釈が示唆する通り、この式の値は任意の直交変換によって変わることはない。
連続的微分可能二階テンソル場 の発散は、一階テンソル場
になる。
円柱座標系.
に対し、その発散は、
と書ける。
球座標系.
と書ける。
分解定理.
 内の少なくとも二回連続的微分可能な定常流束 が十分遠く () で消えているならば、 は無回転成分 と無発散成分 に分解される。さらに、 これらの成分は「湧出密度」（上述）と「循環密度」（回転の項を参照）から明示的に決定される。即ち、無回転成分は
で与えられ、無発散成分 もスカラーポテンシャル をベクトルポテンシャル で、 を で、湧出密度 を循環密度 でそれぞれ置き換えた、
で与えられる。
この「分解定理」は電気力学でも定常流に関する研究の副産物として得られた事実であり、三次元以外でも通用するもっと一般のヘルムホルツ分解の特別の場合である。
性質.
以下の性質は、通常の微分積分学における常微分の微分法則から導かれる。最も重要なことは、発散作用素が線型作用素となること、つまり、
が任意のベクトル場 と任意の実数 に対して成立することである。
積の微分法則は以下の形で成立する。 はスカラー場、 はベクトル場として、
 を用いた記法であれば、
が成り立つ。二つの三次元ベクトル場 の交叉積に対するもう一つの積の法則は、回転 を含む以下の形
 を用いた記法であれば、
で書くことができる。