無限小数は、厳密には極限の概念を用いて定義される。特に、循環小数が表す数は無限等比級数、すなわち等比数列の和の極限と見なすことができ、ゆえに有理数である。例えば、
である。
一般には、冒頭の循環していない有限小数部分を分離し とおき、循環部分の循環節の部分だけ取り出した小数部分を 、循環節の長さを とすれば
となる。ところで、級数部分の総和は
であるから
やや厳密さに欠ける説明として、以下のようなものがある。
辺々引くと「循環部分が打ち消しあって」
循環節の長さ.
である()。
素数の逆数.
このことは、 の循環節の長さが であることと、 が同値であることから、初等的な群論より導かれる。
である()。このような に対する の循環節は、巡回数となる。
一般の有理数.
循環節の求め方.
定義に則った方法.
最も素朴には、充分な桁数の小数表記を求め、その周期を見つける。同様に、有限小数の桁数も、素因数分解した時の大きい方の冪指数によって決まる。
筆算.
割り算を筆算で求めれば、余りに同じ数が現れた時点で、繰り返しに入ったことがわかる。例えば、十進法の を小数表示する場合、次のような計算を行う。
 BD
素数の逆数の場合.
貴金属
貴金属（ききんぞく）は、金属のうち化合物をつくりにくく希少性のある金属の総称。
定義.
性質.
金・銀・白金.
周期表の金、銀、白金は化学的、物理的、機械的に似た性質を有する。金、銀、白金はいずれも、色が美しく、加工が容易、室温で変色しない（銀を除く）という三要素をもち工芸品や宝飾品に用いられている。
白金族元素.
白金族元素はお互い性質が似通っており、融点が高く、白金、パラジウムはアルミニウム並に軟らかく、ルテニウム、イリジウムは硬く、オスミウムは非常に硬く脆い。ロジウムはその中間の硬さである。全体的にくすんだ銀白色を呈した金属である。
白金族元素はどれもかなり希少な金属だが、その中でもロジウム、オスミウム、イリジウムは特に希少な金属である。
レニウム
レニウムは、地球上においても、宇宙空間においても最も希少な金属である。(ビスマス以外のほぼ全ての高度放射性元素を除く)
レニウムは灰白色の非常に硬い金属で、過酷な条件下にも耐えうることから、ロケットエンジンにごく少量添加されたりしている。
ジュエリー用貴金属.