が得られるが、これは求める不等式に他ならない。
連続関数に対する積分型.
注意:
証明.
を定義する。関数の積の微分公式、連鎖法則、指数関数の微分公式および微分積分学の基本定理を用いることにより、微分
が得られる。これを仮定に現れた積分不等式に代入することにより、求めるグロンウォールの不等式が得られる。
が得られ、証明が完成される。
局所有限測度を持つ積分型.
また関数 は積分不等式
を満たすとする。さらに、もし
が成立するという意味において、測度 について積分可能であるならば、関数 はグロンウォールの不等式
を区間 のすべての に対して満足する。ここで は開区間 を表す。
証明の概略.
証明の詳細.
が成立する。ここで残部は
とし
としている。
数学的帰納法を用いる。 の場合、空和がゼロであることにより、これはそのまま仮定で現れた積分不等式となる。
 での成立を仮定したときの、 の場合について考える: 関数 に関する仮定で現れた積分不等式を残部に代入することにより
を得る。ここで
ゼロを含む任意の自然数 および、区間 に含まれる任意の に対し
が成立する。ここで等号は、関数 が区間 に含まれる について連続である場合に成立する。
 の場合、定義により主張は成立する。したがって以下では の場合を考える。
 を に含まれる元のすべての組み合わせからなる集合とする。 に含まれる任意の組み合わせ に対し、
を定義する。異なる組み合わせに対するそれらの集合は互いに素となり、
が成立する。したがって
であることにより、主張の不等式は成立する。
グロンウォールの不等式の証明.
任意の自然数 に対し、 により、 に現れる残部に対して
が成立することが分かる。今、測度 は区間 上で局所有限であるため、 である。したがって、関数 の積分可能性に関する仮定により
が得られる。 および指数関数の級数展開により、評価
が、区間 に含まれるすべての に対して得られる。もし関数 が非負であるなら、これらの結果を に代入することにより、関数 についての求めるグロンウォールの不等式の変形版が得られる。
関数 が区間 に含まれる について連続である場合、 により
が得られ、したがって関数 の積分可能性により、ルベーグの優収束定理を用いることで求める不等式が得られる。
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