とする。 次元 級多様体 とその上の点 を考える。 を含む座標近傍 上で定義された微分作用素
は方向微分になる。この 個の方向微分は線型独立であり、これらの線型結合
を、 における の接ベクトル といい、接ベクトルの全体を と書き、 における の接ベクトル空間 あるいは 接空間 という。接ベクトル空間 は の線型部分空間である。
この等号が成り立つのは、 が 級多様体（滑らかな多様体）であるときに限る。
接ベクトルの定義において、係数 をどのような組み合わせでとってもその接ベクトルに対する を通る曲線 が存在する。逆に を通る 曲線 に対して定められた方向微分 は接ベクトルになる。
見かけは局所座標系に依存しているように見える定義も、局所座標に依存しないベクトルとして定まっている。 を含む別の座標近傍 を取り、座標変換を考え
を用いれば、接ベクトルは
という計算によって
の形に変換できる。
関数の微分.
 次元 級多様体 とその上の点 を考える。 における 接ベクトル は、 の近傍で定義された 級関数 を実数 に対応させる関数である。
 は接ベクトル と関数 の組であり、 を固定して、 に対して値が定まると考えてきた。逆に を固定して
という関数も考えることができる。この を の における 微分 という。
接ベクトルのなす空間 は 上の線型空間であることから、 から への線型写像のなす双対ベクトル空間
が定まるが、 微分 はこの の元である。 のことを の における余接ベクトル空間 という。
特に を含む座標近傍 があるとき、関数 として 局所座標系の成分の一つである を選べば、その における微分は となり
である。右辺の はクロネッカーのデルタとする。
写像の微分.
多様体上の関数の微分は、多様体から多様体への写像の微分へと拡張される。
として、 級写像
を考える。
 の中の曲線
をとり、 を含む座標近傍 を取る。
曲線 の における接ベクトルは
と書ける。
ここで を で の中へ写した曲線
と、 を含む座標近傍 を取る。同様に における接ベクトルは
となる。この接ベクトルの係数は、 の局所座標系を用いると合成関数の微分により
となることが分かる。行列を用いて書くと
となる。右辺の 行列