無限乗積展開.
三角関数は以下のように無限乗積として書ける。
部分分数展開.
三角関数は以下のように部分分数に展開される。
逆三角関数.
である。逆関数は逆数ではないので注意したい。逆数との混乱を避けるために、逆正弦関数 ' を ' と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は多価関数になるので、通常は逆三角関数を一価連続なる枝に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に主値と呼ばれる枝を
のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、 のように頭文字を大文字にした表記がよく用いられる。
複素関数として.
が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の指数関数を用いた表現が可能となる。すなわち、
が成り立つ。この事実により、級数によらずこの等式をもって複素変数の正弦・余弦関数の定義とすることもある。また、
が成り立つ。ここで は双曲線関数を表す。この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。複素数 を と表現すると、加法定理より
が成り立つ。
他の三角関数は , , , によって定義できる。
球面三角法.
球面の三角形 ABC の内角を , 各頂点の対辺に関する球の中心角を とするとき、次のような関係が成立する。余弦公式や正弦余弦公式は式の対称性により各記号を入れ替えたものも成立する。
語源.
三角関数の英語の名称の語源について記す。
女真
歴史.
金代以前.
契丹人王朝の支配が中国東北部におよぶと、黒水靺鞨を起源とする女真は、ツングース本来の漁撈や農耕、養豚、狩猟を生業としていた生女真と、遼にしたがい、その領土内に移されて遼の戸籍につけられていた熟女真に大別された。渤海は建国当初から唐の文化を導入しており、遼もまた中国内地への進出とともに政治・文化の漢化が進行したので熟女真の方がより漢化の度合いが大きかった。
金の興亡.