あとは全く同様の議論を繰り返すことで次の偏微分方程式が得られる。
境界条件は配当なしの場合と同一である。この偏微分方程式の解は以下のようになる。
ただし、
プットコールパリティ.
ヨーロピアンタイプのプットオプションについてもコールオプションの場合と全く同様の議論から次の偏微分方程式が成り立つ。
となる。解は
と書ける。このポートフォリオの満期でのペイオフは
インプライド・ボラティリティ.
実務への応用.
オプションの理論価格算定方式が数学上非常に明晰な形で提供されたことはに決定的な示唆を与えている。
オプション価格の理論値が得られることから、適正プレミアムの獲得や現実の取引価格との乖離が投資戦略として裁定取引上の利益目標となり得ると考えられた。この点、実際にはテイルリスクに対する脆弱性などが指摘されている。そしてショールズが参加したロングターム・キャピタル・マネジメント破綻により現実的妥当性まで疑問視された。しかし、投資中に発生するイベントの定性情報を無視したポートフォリオ戦略としては依然として強力であり、それまでアナロジーやアフォリズム、アノマリーやテクニカル分析などといった従来の「投資の慣行」を超えた学術的バックグラウンドを持つものとして、現代ポートフォリオ理論や資本資産価格モデルなどと同様に大きな影響をもたらしている。
発展.
ブラック–ショールズ方程式は、価格の変化率の分布が正規分布に従うという仮定を置いている。しかし現実の金融商品では必ずしも正規分布が成立しない。そのような批判にこたえる形でブラック–ショールズモデルが持つ仮定を緩めたものとして、ボラティリティが時間経過にしたがって確率的に変動する確率的ボラティリティモデルや原資産(株式など)の価格の不連続な変動を許容するマートンモデルなどが考案されている。
法学
法学（ほうがく）または法律学（ほうりつがく、、、、）とは、法又は法律に関する学問である。
法学の分類として一般的なのは、実定法に関する研究を行う実定法学（実定法の意味を認識体系化する法解釈学と、立法に関する立法学に分けることができる。）と、基礎法学への分類である。
語源.