の始点と終点が一致するとき（すなわちが閉曲線のとき）はそのことを強調して
とも表記する。
弧長.
線積分の特殊なケースとして
を考えると、曲線の長さ（弧長）に一致する事が知られている。
に一致する。従って上述の線積分で弧長を求める事ができる。
弧長パラメーター.
曲線を、
なので、両辺を微分すると、
が恒等的に成り立つ。
従って線積分とは、
ベクトル場の線積分.
定義.
を考える。ここで「・」は内積である。
と表記し、ベクトル場の曲線に沿った線積分という。ここで
である。成分で書けば、線積分は
とも表示できる。
の始点と終点が一致するとき（すなわちが閉曲線のとき）はそのことを強調して
とも表記する。
弧長パラメーターによる表示.
と表記できる。　すでに示したように
が恒等的に成り立つので、内積
すなわち線積分は、ベクトル場の、 の接線方向成分を積分したものである。
スカラー場の面積分.
定義.
により定義する。
のパラメーターを
と変数変換しても、この変数変換がの向き付けを変えないなら、すなわちヤコビアン
が恒等的に成り立つなら、面積分の値は替わらないことを容易に示せる。
そこでの上での面積分を
が閉曲面のときはそのことを強調して、面積分の事を
とも表記する。
ベクトル場の面積分.
このとき、ベクトル場の上での面積分を
により定義する。
が
でもある。
勾配、回転、発散.
定義.
をスカラー場とするとき、の勾配 をベクトル場
により定義する。
さらにベクトル場の回転 、発散 をそれぞれベクトル場
により定義する。
と定義すると、勾配、回転、発散は
と表記できる。
ストークスの定理とガウスの定理.
を以下のように定義する：
が全てのに対して成り立つ点とする。
を成分で と書くことにすると、体積要素はヤコビアンを用いて
という関係式を満たす。すなわち、 は点において微小体積を体積比
で変換する写像である。
ヤコビの公式より、
ポアンカレの補題とポテンシャル.
簡単な計算により、任意のスカラー場と任意のベクトル場に対し
が恒等的に成立する事が簡単な計算により確認できる。
このような、が存在するとき、、をそれぞれのスカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルという。