実数の対数 は、底 が でない正数であり ()、真数 が正数である場合 () について定義される。 これらの条件を満たす対数は、ある と の組に対してただ一つに定まる。
実数の対数関数 は底 に対する指数関数 の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先である。
定義.
一般には複素数でも定義されるが、その解説は自然対数の項目にゆずる。
指数関数を用いた定義.
 でない正の実数 および正の実数 に対し
を満たす実数 がただ一つ定まる。この を の を底とする対数として定義する。 に対して を底とする対数を と表わせば、上記の方程式を満たす は以下のように書き換えることができる。
演算法則からの定義.
正の実数 について、正の実数 を変数にとる実数値連続関数 として
を満たすものを
と書き、この関数 を を底とする対数関数と呼ぶ。
特殊な底.
歴史.
指数関数的に変化する量を対数に変換してみると、線型性などの綺麗な性質が浮かび上がる。また、双曲線などの面積を求める積分にも対数があらわれる（たとえば、 である）。これらの例の他にも対数はいろいろな場面であらわれ、単なる「簡便な計算法」以上の意味を持つことも多い。そのため対数は、詳しく研究されてきた関数の一つでもある。
オリジナルの定義.
ネイピアらが示した対数の定義は現在用いられているものとは異なっていた。
ネイピアによる対数の定義は次のようなものである：正の実数 に対して
冪の表記.
計算.
対数により、積の計算を、より簡単な和の計算に置き換えることができる。いくつかの例外を除き、有限の手順では対数の値を厳密に求めることはできないため、対数の計算には近似値を用いる。予め定めた近似の精度に応じて有効数字が決定される。対数の近似計算は計算量が多く高コストであるため、対数を含んだ計算には基本的に数表が用いられる。この対数値を列挙した数表を対数表という。対数表には限られた数しか値が載っていないため、対数表から対数値を参照する場合にはしばしば補間公式が用いられる。
という置き換えがいつでも可能であり、指数法則
が成り立つことから、以下の手順によって積 を求めることができる。
具体例.
対数の性質.
基本的な演算.
定義より
が成り立つ。