は実数体（あるいはより一般に適当な順序体）上のベクトル空間とする。ユークリッド空間はその例である。 内の集合 が凸であるとは、任意の および任意の に対し、点 もまた に属することをいう。即ち、 と とを結ぶ線分上の各点が に属する。これにより、実または複素位相線型空間における凸集合は弧状連結、したがって連結であることが従う。
集合 が絶対凸とは、それが凸かつ均衡であるときにいう。
凹集合.
性質.
が成り立つ。このように書かれるベクトルは、 の凸結合と呼ばれる。
交叉と合併.
ベクトル空間の凸部分集合は以下の性質をもつ。
最後の凸集合の合併に関する性質については、合併をとる対象を包含関係を持つ列に制限することが大切である（ふたつの凸集合の合併は必ずしも凸集合でない）。
閉凸集合.
閉凸集合は、その極限点をすべて自身に含むような凸集合である。これらは、閉（超平面の片側に位置する空間内の点の集合）たちの交わりとして特徴付けることができる。
凸包とミンコフスキー和.
凸包.
ベクトル空間の部分集合 は、もっとも小さな凸集合（ の凸包と呼ぶ）に含まれる。すなわち、凸包は、 を含むすべての凸集合の交叉である。凸包作用素 はを特徴づける性質をもつ。
として定義される。凸集合の任意の交叉は凸集合であり、従って（実または複素）ベクトル空間の凸部分集合全体は完備束を成す。
ミンコフスキーの和.
実線型空間において、二つの空でない集合 のミンコフスキー和 は、加えられる各集合の元ごとの和の集合
として定義される。より一般に、空でない部分集合の有限族 のミンコフスキー和は、同様に元ごとの和をとって
で与えられる。ミンコフスキー和に関して、零ベクトルのみからなる集合 は特に重要である: 空でない任意の部分集合 に対して
代数の言葉で言えば は（空でない集合族上の）ミンコフスキー和の単位元である。
ミンコフスキー和の凸包.
ミンコフスキー和は、凸包を取る操作に関して以下の命題が示す通りよく振舞う。
 を実ベクトル空間の部分集合とすると、それらのミンコフスキー和の凸包は、凸包のミンコフスキー和
である。
この結果は、有限個の空でない集合の集まりに対して、より一般的に成り立つ。
数学的な言い方をすれば、ミンコフスキー和と凸包を作る操作は、可換な操作である
凸集合のミンコフスキー和.