現代流の成分によらないベクトルの概念によって、成分表示にもとづく伝統的な（しかし、初学者にベクトルの概念がどんなものかを教えるには有効な）取り扱いが置き換えられるように、この取り扱いは成分にもとづく取り扱いをより高度な考え方によって置き換えることを目的としている。「テンソルはテンソル空間の元のことなのだ」という標語を掲げることもできるだろうが、高階のテンソルに対して幾何的な解釈をどう与えるかという難しさもあって、成分表示によらないアプローチが支配的になったというわけではない。
物理学者や技術者たちは（勝手に選べてしまうような）座標系に左右されない概念としてのベクトルやテンソルの重要性を認識した。同様に、数学者たちは座標表示で導くのがより簡単であるテンソルの関係もあることを見いだしている。
数学的定義.
多重線型写像としての取り扱い.
で、各引数に関して線型であるようなものとして定義される。ここで は有限次元ベクトル空間で、 はその双対ベクトルからなる双対空間である。
テンソルを多重線型写像と見る立場では、ベクトル空間 を の双対空間上の線型汎函数全体の成す空間（つまり の ）と同一視するのが普通である。 からその二重双対への自然な線型写像が常に、 のベクトルを「 に属する線型形式を与えられたベクトルにおいて評価した値へ写す写像」と看做すことによって与えられる。 が有限次元ならばこの線型写像は同型であり、しばしば をその二重双対と同一視することは有用である。
テンソル積に基づく定義.
として定義される。
一般に、 が の基底を成し、 が の基底を成すとき、テンソル積空間 は自然な基底 を持つ。テンソル の成分は、 の基底 とその双対基底 から得られる基底に関するテンソルの係数
テンソルは極めて一般に（例えば任意の環上の加群まで含めて）定義することができる。一つの原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学の文献では「テンソル」とは上記のように一つの空間 とその双対から得られるテンソル積（テンソル空間）の元のために用いるのが普通である。
テンソルの応用と重要性.