を満足する。特に が奇数ならばこれは に等しい。この結果はカール・グスタフ・ヤコビに因んでヤコビの定理と呼ばれる。
偶数次元の場合はもっと興味深い結果がある。次数 が偶数であるときの の行列式は の成分に関する斉次多項式（代数形式）の完全平方式
として書くことができる。ゆえに、実交代行列の行列式は常に非負である。ここで現われた形式 は のパフ多項式（パフ式、パフ形式）と呼ばれる。
スペクトル論.
交代行列の固有値は常に のような対として得られる（奇数次の場合に、 を固有値に加えて考えることもあるが、ここでは除いている）。実交代行列の非零固有値はすべて純虚数であり、それらを （各 は実数）の形に書くことができる。
実交代行列は正規行列（つまり、自身の随伴と可換）であり、それゆえスペクトル論の対象として任意の実交代行列がユニタリ行列によって対角化可能であることを述べることができる。実交代行列の固有値は複素数となるから実行列によって対角化することはできないが、それでも適当な直交変換によって区分対角化することができる。特に、任意の 次交代行列は直交行列 と行列
（ただし、 は実数）を用いて の形に書くことができる。ここで直交行列とは を満たす行列 のことである。行列 の非零固有値は である。奇数次の場合には、 は必ず少なくとも一つの行か列が全て になる。
対応する双線型形式.
任意の体 上の 次元ベクトル空間 において、 の基底を固定すれば、 上の双線型形式 は適当な 次正方行列 によって と表されることを思い出そう。
 上の双線型形式 が
 が交代的ならば、任意の実ベクトル に対して が成り立つ。実際、 はスカラー値ゆえ転置と自身とが一致するが、同時に積の転置法則と の交代性から
が成り立つ。またこの逆も成り立つ。実際、 が交代的でないならばその対称成分が でない固有値 を持ち、 に属する正規化された固有ベクトルを とすれば が成立する。
無限小回転.
交代行列の全体は、直交群 の単位元における接空間を成す。この意味で、交代行列を無限小回転 と考えることができる。別な言い方をすれば、交代行列全体の成すベクトル空間はリー群 に付随するリー環 に一致する。この空間におけるリー括弧積は交換子
交代行列 の指数函数