ガウス積分（ガウスせきぶん、）あるいはオイラー＝ポアソン積分（オイラーポアソンせきぶん、）はガウス関数 の実数全体での広義積分：
のことである。名称は、数学・物理学者のカール・フリードリヒ・ガウスに由来する。
この積分の応用は広い。例えば、変数の微小変化に伴う正規分布の正規化定数の計算に用いられる。積分の上の限界を有限な値に替えることで、誤差関数や正規分布の累積分布関数とも深く関連する。
ガウス積分は物理学で非常に頻繁に現れ、またガウス積分の様々な一般化が場の量子論に現れる。
積分値の計算.
極座標を用いて.
ガウス積分を求める標準的な方法として、以下のアイデアはポアソンまで遡れる：
と計算できる。後者では なる置換を行って、 となることを用いている。さてこれらの結果から
であり、符号を考慮して
を得る。
上記の考察において、広義二重積分や二つの式を等しいとおいたことに対する正当性を再考しておこう。まずは近似函数
を考える。求めるガウス積分が絶対収斂ならば、それはコーシー主値、即ち
なる極限によって求められることになる。これを見るには、
が成り立つという事実を確かめればよい。故に の平方をとれば
に等しいことが確かめられる。ただし、積分域は を頂点集合とする正方形である。
指数函数は全実数に対して正の値を取るから、上記の積分域の内接円上での積分は よりも小さく、同様に外接円上での積分は よりも大きい。これら二つの円板上での積分は、直交座標系から極座標系へ
なる標準的な変換でうつれば容易に計算できるから、積分を実行して
なる評価を得ることができる。 なる極限をとれば、はさみうちの原理によって等式
が正当化できる。
直交座標を用いて.
と置くと、 を へ近づけるとき の極限は の符号で決まるから、 が偶函数ゆえに実数全体にわたる積分が正の実数全体にわたる積分の 倍となること、つまり
であることを利用すれば計算が簡単になる。即ち、積分範囲を に限れば、変数 と とは同じ極限を持ち、
が成り立つ。故に
となり、所期の を得る。
ウォリスの公式を用いて.
ウォリス積分における公式を用いて証明することができる。
ガンマ関数との関係.
被積分関数が偶関数ゆえ
が得られる。ここで はガンマ関数。この式は、半整数値の階乗が の有理数倍となる理由を示している。より一般に、