環の公理に乗法単位元の存在を含めない文献もあり、この文脈では本項に云う概念は単に「環」と呼称される。また、修飾辞「非単位的」は「必ずしも単位的でない」という意味で用いられるが、本項ではその意味では専ら「擬環」を（あるいは直接的に「必ずしも」を付けて）用い、単独の「単位的」・「非単位的」を単位元の有無を強調する意味でのみ用いる（つまり、非単位的であるといった場合には実際に単位元を持たない）。
定義.
を満たすものを言う。
例.
性質.
擬環に対するイデアルや剰余環の概念は単位的環の場合と同じ仕方で定義される。擬環のイデアルに対してそれを含む極大イデアルが必ずしも存在しないなど、単位的環論の定理は少なからず擬環に対して成立しないものがあるので、単位的環の場合と比べて擬環のイデアル論はより複雑である。
単位元の添加.
の形をしている。乗法は線型に
で定める。
単位元類似の概念.
擬環を扱う文脈において、単位元を持つという条件よりは弱いが同等程度に一般な性質というのがいくつか存在する。例えば、
などを挙げることができる。これらが単位元を持つことよりも弱い性質であることや、後へ行くほどより緩い制約条件となっていることを確かめることは難しくない。
非単位的環
単位的環
数学、特に環論における単位的環（たんいてきかん、）、単位環（たんいかん、）あるいは単位元を持つ環 とは、乗法単位元を持つ環のことである。
定義について.
例.
ダウトフェタール
地理.
位置.
自然環境.
山.
町内の主な山を標高の順に列記する。
気候.
概論.
天災.
水域.
隣接する市町村.
土地利用.
歴史.
古代から中世.
自治体の構成.
人口推移.
行政.
議会.
首長.
姉妹自治体.
紋章.
宗教.
経済と社会資本.
経済.
ダウトフェタールの経済構造は現在、工業と商業に拠っており、サービス業の占める割合は少ない。歴史的に発達した代表的な職種が、鉄鋼業と型製造である。これに加えて、ダウトフェタールはラーン川の谷や広い森を有しており、保養地や観光地としても大きな可能性がある。
地元企業.
交通.
連邦道.
アウトバーン.
鉄道.
バス交通.
航空.
自転車道/遊歩道.
公共施設.
教育.
社会機関.
メディア.
文化と見所.
博物館・美術館.
サークル・協会活動.
建造物.
この他の建物は、
余暇.