となる。
ここで質点系の全質量 と質量中心 を
により導入すれば
となる。
即ち、質点系の全運動量は、質量中心に全質量が集中していると考えたときの運動量に等しい。
質点 の運動量 の時間変化は、質点 に作用する力 に等しく
を満たす。
ここで質点 に作用する力は、質点系の外部から作用する外力と、系に含まれる他の質点との内部相互作用に分けられる。
質点 に作用する外力を 、質点 から質点 に作用する内力を とすれば
と表される。
ただし、質点 から質点 自身に作用する力は とする。
全運動量の時間変化を考えると
となる。
質点 から質点 に作用する力 は大きさが等しく符号が逆なので
が成り立ち、内力を全て足し合わせたものは となる。
従って
となり、質点系の全運動量の時間変化は作用する外力の総和と等しい。
これは、重力などの単純な外力の下では質量中心の運動が相対位置の運動から分離できることを意味している。
保存則.
質点系の運動において、特に作用する外力が釣り合っている場合は
が成り立つ。
つまり、この系では系の全運動量は時間的に変化しない。これは運動量保存の法則 と呼ばれる。運動量保存の法則は、ニュートン力学においては作用反作用の法則から導かれるが、運動量保存則自体は作用反作用の法則より一般的に成り立つ法則である。たとえば、電磁気学などの場の理論では近接作用論の立場をとり、遠隔作用論的な法則である作用反作用の法則をその基礎には置かない。しかしながら、電磁気学においても運動量保存の法則は成り立ち、それに伴い運動量の定義も拡張される。
モーメント.
物理学において、ベクトルで表される物理量とある原点に対する位置の外積をモーメントという。運動量のモーメントは、角運動量 と呼ばれ、次のように定義される。
解析力学においては、角運動量は角度に対応した一般化運動量として得られる。
角運動量は、ニュートンの運動方程式と同様な方程式、
を満たす。ここで は物体に作用する力のモーメントである。
解析力学における運動量.
解析力学において、一般化座標 に対応する一般化運動量 はその系のラグランジアン の一般化速度 による偏微分として定義される。
ここで、ラグランジアン は、運動エネルギー 、ポテンシャル の差として定義される。