簡約群は実際問題として現れる——, , 直交群 , 斜交群 ——などの重要な線型代数群の多くを含んでいる。一方で、簡約群の定義は極めて「消極的」であり、多くを語ることができるのか明らかではない。驚くべきことに、クロード・シュヴァレーは代数的閉体上の簡約群の完全な分類を与えた：それらはによって決定される。特に、代数的閉体 上の単純群は（有限中心的部分群スキームによる商を除いて）そのディンキン図形によって分類される。特筆すべきことに、この分類は の標数に依存しない。例えば、例外型リー群 , , , , はどんな標数でも（さらに 上の群スキームとしてさえも）定義することができる。有限単純群の分類は多くの有限単純群が有限体 上の単純代数群かその亜種の 有理点のなす群として生じると述べている。
体上の簡約群はトーラスとある単純群との直積の有限中心的部分群スキームによる商である。例えば
である。
任意の体 に関して、簡約群 は 上の極大分裂トーラス（つまり、 に含まれる分裂トーラスであって、 の代数的閉包上でも極大である）を含むならば分裂 するという。例えば、 はどんな体 上でも分裂簡約群である。シュヴァレーは分裂簡約群の分類はどんな体上でも同じであることを示した。それとは対照的に、任意の簡約群の分類は難しいこともあり、基礎体に依存する。例えば、体 上の任意の非退化二次形式 は簡約群 を定め、 上の任意の中心的単純多元環 は簡約群 を定める。その結果、 上の簡約群の分類問題は本質的に 上の二次形式や 上の中心的単純多元環の分類問題を含んでいる。これらの問題は が代数的閉体のときは易しいし、数体などいくつかの体上では理解されているが、任意の体上では多くの未解決問題がある。
応用.
表現論.
簡約群が重要である理由のひとつは表現論に由来する。べき単群が持つ任意の既約表現は自明である。より一般に、線型代数群 をべき単群 の簡約群 による拡大