電磁気学によれば、電磁場が容器の内壁に及ぼす放射圧は に等しい。よって、 が温度の関数であることをあらわに書くと、空洞の電磁場の状態方程式は
である。一方、空洞の電磁場の内部エネルギーは
で与えられる。ここで熱力学的状態方程式
を用いると
となり、 についての微分方程式
が得られる。この微分方程式は求積法で解くことができて
より、 を積分定数としてシュテファン＝ボルツマンの法則
が導かれる。
ゴム弾性.
熱力学的状態方程式.
長さ の帯状のゴムバンドの一端を固定し、他端をゆっくりと引っ張ってゴムバンドの長さを に変化させる過程を考える。このとき、ゴムバンドの張力を とするならこの準静的過程でゴムバンドになされた仕事は である。よって、ゴムバンドの は
で与えられる。この式から は
となることが分かり、ゴムバンドの伸長についてのマクスウェルの関係式
を使うと、ゴムバンドの内部エネルギーに関する熱力学的状態方程式
が導かれる。
ゴムバンドの状態方程式.
ここで温度係数 は長さ の関数で、 が自然長 （ がゼロのときの長さ）より長ければ、 である。 が自然長 のときは がゼロなので、 である。一般に、熱膨張率がゼロでなければゴムの自然長 が温度に依存するため、 もまた温度に依存する。それゆえ、 が温度に依存しないなら、熱膨張率はゼロでなければならない。
以下この節では、状態方程式 に従うゴムバンドを理想ゴムと呼び、この最も単純なゴムバンドの熱力学モデルから、どれほどのことが熱力学的に導かれるのかを示す。理想ゴムの熱膨張率はゼロなので、体積 は温度に依存しない。よって圧力 が一定であれば、 は常に一定値になる。以下のゴム弾性の議論では、定圧過程のみを考えることして、 一定を意味する添え字を省略する。
理想ゴムの熱力学的性質.
熱力学的状態方程式
に を代入すると
となる。すなわち理想ゴムの内部エネルギーは温度が同じならゴムの伸びには依らない。このことは、ゴムを伸ばすときにゴムになされた仕事は、内部エネルギーとしてゴムに蓄積されているわけではなく、すべて外界に熱として放出されることを意味している。
温度が同じであれば理想ゴムの内部エネルギーがゴムの伸びに依らないことから、ゴムの長さを一定に保ったときの熱容量 もまたゴムの伸びには依らないことが分かる。なぜなら