逆に式の意味で正規直交基底である 、、、 を一つ任意に選び、この基底における座標の成分表示を と書くことにすると、ミンコフスキー内積が式を満たすことを簡単に確認できる。
ただし、正規直交基底の中には、 が過去の方向を向いていたり、、、 が左手系だったりするものもあるので、このようなものは以下除外して考えるものとする。
世界線、光速との比較.
次に の速度を光速と比較してみる。 の速度が光を下回る必要十分条件は、 となることであるので、これを書き換えると、 となる。ミンコフスキー計量の定義より、この式は と慣性座標系によらない形で表現できる。従って、 であれば、どの慣性系から見ても光速度を下回り、逆に であれば どの慣性系から見ても光速度を上回る。
前述のように の正負によって、 を時間的もしくは空間的と呼ぶので、まとめると以下が結論づけられる：
最後のものは光速度不変の原理からの直接の帰結でもある。
なお、上の議論では、質点の世界線が直線である事を仮定したが、そうでない場合も原点での接線を として同様の議論をする事で同じ結論が得られる。
ローレンツ変換.
定義.
が成立するものの事である。
ユークリッド空間で内積を変えない線形変換は合同変換であるので、ローレンツ変換とは、ミンコフスキー空間における合同変換の対応物である。
ただし正規直交基底の場合と同様、ローレンツ変換にも
が存在するのでこのようなものは以下除外して考える。
なお、空間方向の向き、時間方向の向きの両方を保つローレンツ変換を正規ローレンツ変換という事があるが、本項では以下、特に断りがない限り、単にローレンツ変換と言ったならば正規ローレンツ変換を指すものとする。
の形に書ける線形変換をポアンカレ変換という。特殊相対性理論では、2人の観測者が原点で出会ったケースにおいてローレンツ変換に関して議論する事が多いが、これは出会った場所を原点に平行移動した上で議論しているという事なので、実質的にはポアンカレ変換に関する議論である事が多い。
ローレンツ変換の意義.
前述のように、正規直交基底は慣性座標系と対応している。よって上の定理は、以下を意味する：慣性座標系から別の慣性座標系への座標変換はローレンツ変換である。
ローレンツ変換の具体的な形.