物理的には、空間変数 と時間変数 は異なるものであるが、数学ではどちらも単なる変数である。この意味において、 次元の時間変数を持つ平面波は、 変数の時間変数を持たない平面波と見做すことができる。
時間変数を持つ平面波
とする。但し、 は、波数ベクトル の第 成分を意味する。
又、とする。このとき、
のように書くことが出来る。この意味において、 次元の時間変数を持つ平面波は、 変数の時間変数を持たない平面波と見做すことができた。
正弦平面波.
実正弦平面波の一般式.
時間変数を持つ形で書くと
で表される。
ここで、波数ベクトルや時間・空間変数は、それぞれ
である。
複素正弦平面波の一般式.
実正弦平面波は重ね合わせの計算などが面倒であることから、計算上のテクニックとして、実正弦平面波の値域をオイラーの公式を用いて複素数域に拡張した複素正弦波が発案された。古典物理では、複素平面正弦波は実正弦平面波の重ね合わせを計算するための便宜にすぎないが、量子力学では複素平面正弦波を用いなければ説明がつかない現象があるため、計算上の便宜のためだけのものではない。
の形で表される。
複素正弦平面波を用いた実正弦平面波の重ね合わせ.
を実定数（ただし ）としたときに、重ね合わせ
を計算する問題を考える。
オイラーの公式より、複素数をベクトルのように表記して
と見なすことができる。
としたときに、
が成り立つ。 は複素共役を意味する。このことに注意して、 の展開を行うと
一般には、これ以上簡単な形に変形することは難しいが、いくつかの特殊な場合には振幅の項あるいは位相項の片方あるいは両方がより簡単な形になる。例えば
のときには、
のように級数展開可能である。
それぞれを、 についての関数とみなして、それぞれフーリエ級数展開する.
実際、 は、周期 を持つため、 である。従って、
である。
とすると、
となる。
証明のまとめ.
を得る。
周期性についての補足.
ここで、 が の周期であったとしても、 や が の周期であるとは限らない。
格子についての補足.
のように展開することが出来る。この展開は、一意的である。
多重周期関数と周期格子.
特に、 重周期関数 に対し、 の列ベクトル全て、即ち が の周期となるような 次正則行列
簡単な計算から以下の定理が判る。
平面波の周期性.