従って、単位四元数は三次元球面 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 を与える。これは 次特殊ユニタリ群 に同型、あるいはまた の普遍被覆に同型である。
歴史.
ハミルトンは複素数が座標平面における点として解釈できることを知っていて、三次元空間の点に対して同じことができる方法を探していた。空間の点はそれらの座標としての数の三つ組によって表すことができ、ハミルトンはそれらの三つ組に対して加法や減法をどのようにすべきかはずっと前から分かっていたのだが、乗法と除法をどう定めるかという問題については長く行き詰ったままであった。ハミルトンは、空間における二点の座標の商をどのように計算すべきかを形にすることができなかったのである。
を、渡っていたの石に刻みつけた。
ハミルトンの死後も弟子のテイトが四元数の振興を続けた。同時に、ダブリンでは四元数が試験の必須題目になっていた。物理学と幾何学の主題においては、今日ではベクトルを用いて記述するような空間の運動エネルギーやマクスウェルの方程式などが、まったく四元数の言葉で記述されていた。四元数やほかの超複素数系を専ら研究するプロの研究機関であるさえ存在した。
また、四元数は二次形式との関係性により、数論からの後押しも受けている。
物理学への歴史的影響.
定義.
の形に一意に表される。基底元 は の乗法単位元であるため、通常省略して
と表すのが普通である。この基底が与えられたところで、四元数の結合的乗法は、初めに基底元同士の積を定義して、一般の積はそれを分配律を用いて拡張することで定義される。
基底間の乗法.
 の基底元 に対して等式
を得る。他の積も同じようにして得られて、結局
が可能なすべての積を列挙したものとなる。これは左側の因子を列に、右側の因子を行にそれぞれ充てて、表の形にまとめることができる（乗積表）。
ハミルトン積.
二つの四元数 と に対し、それらのハミルトン積 は、基底間の積と分配律によって与えられる。具体的には、この積は分配律により基底元の積和の形に展開することができて、
となるので、ここで先の基底元の間の乗法規則を適用して
を得る。
順序組として.
 の基底 を用いて を四つ組の集合
として表すことができる。このとき基底元は
であり、加法、乗法の定義式は
で与えられる。
スカラー部とベクトル部.