のような数体は、実数体の部分体として特定できる。 のような数体は、できない。抽象的には、そのような特定は体準同型 あるいは と対応する。これらはそれぞれ実埋め込みと複素埋め込みと呼ばれる。
慣習的に、 の実埋め込みの個数は と書かれ、複素埋め込みの共役対の個数は と書かれる。 の符号は対 である。 を の次数としたとき， となることは定理である。
すべての埋め込みを同時に考えることで関数
が決定される。これはミンコフスキー埋め込みと呼ばれる。複素共役によって固定される終域の部分空間は次元 の実ベクトル空間であり、と呼ばれる。ミンコフスキー埋め込みは体準同型によって定義されるから、元 による の元の積はミンコフスキー埋め込みで対角行列を掛けることに対応する。ミンコフスキー空間上のドット積はトレース形式 に対応する。
ミンコフスキー空間における の像は 次元格子である。 をこの格子の基底とすると、 は の判別式である。判別式は あるいは と書かれる。 の像の余体積は である。
素点.
単数.
単数群の自由部分は の無限素点を用いて研究できる。次の写像を考える：
ゼータ関数.
ゼータ関数は類数公式によって上で記述された他の不変量と関係する。
局所体.
数体 を素点 で完備化するとを得る。付値がアルキメデス的ならば または を得、非アルキメデス的で有理数の素数 の上にあれば、有限拡大 : 有限の剰余体を持つ完備離散付値体を得る。この手順は体の算術を単純化し、問題を局所的に研究できるようになる。例えば、クロネッカー・ウェーバーの定理は類似の局所的な主張から容易に結論できる。局所体の研究の背後にあるこの哲学は幾何学的な手法によって大きく動機づけされる。代数幾何学では、多様体を極大イデアルに局所化することで点で局所的に研究することが一般的である。すると大域的な情報は、局所的なデータを貼り合わせることで復元できる。この精神は代数的整数論において取り入れられる。数体の整数環の素元が与えられると、その素元において局所的に体を研究することが望ましい、したがって整数環をその素元に局所化し、多くは幾何学の精神で分数体を完備化する。
主要な結果.
類群の有限性.
ディリクレの単数定理.
相互律.
ルジャンドル記号を用いて、正の奇素数 に対する平方剰余の相互法則は
というものである。