フーリエ解析の基本目的の一つは、関数を付随するフーリエ級数、即ち与えられた基底関数族の（必ずしも有限とは限らない）線型結合に分解することである。区間 上の関数 に付随する古典フーリエ級数とは
なる形の級数である。
種々の物理学的問題においては、関数を物理的に意味を持つ微分作用素（典型的なものはラプラス作用素）の固有関数系に分解することができ、微分作用素のスペクトルに関連して、関数のスペクトル研究の基礎を成している。物理学への具体的な応用として問題が挙げられる。これは「太鼓の皮が引き起こす基本振動モードを与えたとき、太鼓自身の形が推定できるか」というものである。この問題の数学的定式化は、平面上のラプラス作用素のディリクレ固有値に関わるものになる（これはヴァイオリンの弦の基本振動モードを表す整数の直接の対応物である）。
量子力学.
量子状態の時間発展はシュレーディンガー方程式によって記述され、そこに現れるハミルトニアン（全エネルギーに対応する作用素）は時間発展を生み出す。
二つの状態ベクトルの間の内積は確率振幅として知られる複素数になる。量子力学系の理想的な測定の間で、系が与えられた初期状態から特定の固有状態に崩壊する確率は、初期状態から終期状態の間の確率振幅の絶対値の平方によって与えられる。測定の結果として可能なのは、作用素の固有値であり（これは自己随伴作用素のとり方を説明する）、全ての固有値は実数でなければならない。与えられた状態の可観測量の確率分布は対応する作用素のスペクトル分解を計算すれば求められる。
ハイゼンベルクの不確定性原理は、ある種の可観測量に対応する作用素が互いに可換でなく、特定の形の交換子を与えるという主張として表される。
性質.
三平方の定理.
が満たされることである。更に言えば、互いに直交するベクトルからなる級数の和は、それらのベクトルの和をとる順番に依らずに定まる。
中線定理と極化公式.
であり、複素ヒルベルト空間の場合は
最適近似.
双対性.
で定義される自然なノルムが入る。このノルムは中線定理を満足するので、この双対空間もまた内積空間になる。またこれは完備であり、従ってそれ自身ヒルベルト空間を定める。