以下に一粒子系の場合についての力学的エネルギー保存の法則を述べる。
より次の運動方程式が得られる。
このとき仕事は、
となるので、ポテンシャルの時間についての全微分、
を用いて、
再び仕事の定義に戻ると、粒子の運動方程式より、次のように書き換えられる。
ここで、ベクトルの内積の微分について、
という公式が成り立つので、
ポテンシャルと仕事、運動エネルギーと仕事の関係をそれぞれ見比べると、
こうして得られた等式が成り立つことを、力学的エネルギー保存の法則と呼ぶ。保存則が成り立っているかどうかは系の設定により、外界の力学的エネルギーを考慮しない場合には、保存則は成り立たないが、外界の力学的エネルギーを考慮するのであれば、外界への仕事を付け加える形で、保存則が成立する。
多粒子系での力学的エネルギー保存の法則.
力：
運動方程式：
また、ポテンシャルの時間微分は、それぞれの粒子の速度と粒子が感じるポテンシャルの勾配の内積をすべて足しあわせたものになる。
系になされる仕事は、各粒子に対する仕事の和になる。
以上のことから、力学的エネルギー保存の法則は次のように表される。
一粒子の場合と異なり、各粒子の運動エネルギーの総和と系のポテンシャルの和が系の力学的エネルギーの役割を果たしている。
量子力学.
このとき期待値の時間微分は以下のようになる。
時間とエネルギーの不確定性関係のために短時間ではエネルギー保存則が破れるという記述もあるが、それは摂動論における自由ハミルトニアン部分の保存則の破れにすぎず、相互作用項まで加えた全エネルギーは常に厳密に保存する（詳しくは不確定性原理のページを参照）。
エネルギーの「量」と「質」.
「《エネルギー保存の法則》が成り立つ」ということは「（有用な）エネルギーはいくら使ってもなくならない」という意味ではない（第二種永久機関の否定）。エネルギー保存の法則は、エネルギー問題においては直接的には第一種永久機関の否定という面でかかわりを持つ。
乙一
は、日本の小説家、映画監督。日本推理作家協会会員、本格ミステリ作家クラブ会員。
やの別名義でも小説を執筆している。
来歴.
作風・別名義.