と書くことができる。この式は、三次曲線の変曲点が にあり、その接線が であるとした時に得られる形で、ワイエルシュトラスの標準形と呼ばれる。この斉次式を非斉次形に直すと
となる。
同種.
有限体上の楕円曲線.
 を 個の元を持つ有限体として、 を 上に定義された楕円曲線とする。 上のを正確に数えることは、一般には難しいが、楕円曲線のハッセの定理は、無限遠点を含めると、この数を、
と評価できることを教えている。
点の集合 は有限アーベル群である。常に、巡回的か、もしくは二つの巡回群の積となる。例えば、 では、
により定義される。ここに体 は体 の 次拡大、つまり である。ゼータ関数は の有理関数である。ある整数 が存在し、
となる。
さらに、絶対値が である複素数 α, β とすると、
が成り立つ。この結果はヴェイユ予想
の特別な場合である。例えば、 では、体 上の のゼータ関数である は、
により与えられる。このことは、次の式に従う。
佐藤・テイト予想は、 上の楕円曲線 を法 で還元した場合に、ハッセの定理の中の誤差項 が素数 によってどのように変わるのかについての言明である。佐藤・テイト予想は（ほとんどすべてのそのような曲線に対し）、により証明され、誤差項が等分分布していることを言っている。
有限体の上の楕円曲線は、特に暗号理論や大きな整数の素因数分解に応用されている。これらのアルゴリズムには、 上の点の群構造がしばしば利用されている。一般の群（例えば有限体の可逆元からなる群，）に適用できるアルゴリズムは、楕円曲線上の点の群へも応用することができる。例えば、離散対数はそのようなアルゴリズムである。興味深いのは、楕円曲線を選ぶ方が、体の位数 （と単位元）を選ぶよりも、高い柔軟性がある点である。また、楕円曲線の群構造は、一般にはより複雑である。
楕円曲線を使ったアルゴリズム.
有限体上の楕円曲線は、整数の素因数分解への応用と同じように、暗号理論への応用にも使われる。典型的には、暗号理論への応用の一般論は、ある有限群を使った知られているアルゴリズムを、楕円曲線の有理点の群を使うように書き換えて使う。さらに以下を参照。
参考文献.
真岡市
概要.