世帯数と人口.
人口の変遷.
国勢調査による人口の推移。
世帯数の変遷.
国勢調査による世帯数の推移。
学区.
事業所.
事業者数の変遷.
経済センサスによる事業所数の推移。
従業員数の変遷.
経済センサスによる従業員数の推移。
事件・事故.
アイヌ文字
アイヌ文字
角谷の不動点定理
数学の解析学の分野における角谷の不動点定理（かくたにのふどうてんていり、）は、集合値函数に対する不動点定理である。ユークリッド空間のあるコンパクトな凸部分集合が不動点（すなわちそれを含む集合へ写像される点）を持つための十分条件を与える定理である。角谷の不動点定理は、ブラウワーの不動点定理の一般化である。ブラウワーの不動点定理は、ユークリッド空間のコンパクトな凸部分集合上で定義される連続函数の不動点の存在を示すものであった。角谷の定理はこれを集合値函数に拡張したものである。
内容.
角谷の定理の内容は次のようになる：
例.
例外.
別の表現.
角谷の原著論文を含むいくつかの文献では、の概念を用いた次のような定理の表現も見られる：
この角谷の定理の内容は、本記事の始めに説明された内容と全く同じものである。
応用.
ゲーム理論.
角谷の不動点定理は、ゼロ和ゲームの理論におけるミニマックス定理を証明するために利用することが出来る。この応用は角谷の原著論文において具体的に議論されていた。
数学者ジョン・ナッシュは、ゲーム理論における主要な結果を証明するために角谷の不動点定理を利用した。平たく言うと、この定理は、任意のプレイヤー数で混合戦略のすべての有限ゲームにおいてナッシュ均衡が存在することを保証するものである。この業績により、彼は後にノーベル経済学賞を受賞した。
一般均衡.
経済学における一般均衡の理論において、角谷の定理は、すべての市場における需要と供給を同時に等しいものとする価格の集合の存在を示すために用いられる。そのような価格の存在は、少なくともレオン・ワルラスの時代にはすでに経済学における未解決問題として知られていた。その最初の証明は、ライオネル・マッケンジーによって与えられた。
証明の概要.
角谷の定理は、実数直線の閉区間上で定義される集合値函数の場合に、最も容易に証明される。その証明方法は、高次元の場合にも同様に適用することが出来るため、非常に有用である。