この標準的な埋め込みに従って 上の算術を、以下のような追加の規則:
を定めて まで延長することができる。斉次座標に関して書けば、（式中に が発生しない限りにおいて）
が成り立つ。
例.
実射影直線.
実数体 上の射影直線を実射影直線と呼ぶ。これは実数直線 に理想化された一つの無限遠点 を付け加えたものとしても考えられ、 の両端点は無限遠で接合されて閉路（位相的な意味での円周）を成す。
これは例えば、実平面 の各点を単位円周の上への射影してを同一視することで得られる。群論の言葉で言えば、円周群をその部分群 で割った剰余群である。
実数直線 に相異なる二つの無限遠点 を付け加えて得られる補完数直線の場合と比較せよ。
複素射影直線.
複素数体 上の射影直線を複素射影直線と呼ぶ。複素直線（複素数平面、ガウス平面） に一つの無限遠点 を付け加えて得られる空間は、位相的には球面となる。故に複素射影直線はリーマン球面とも呼ばれる（ガウス球面と呼ばれることもある）。これはもっとも単純なの例として複素解析、代数幾何学、複素多様体論などで常用される。
有限射影直線.
対称性の群.
極めて一般に、 に係数を持つ射影変換群が射影直線 に作用する。この群はこれら変換が射影的な特性を持つことを強調して と書かれる。この作用は推移的であり、したがって は の等質空間となる。作用が推移的であるとは、任意の点 を別の任意の点 に写すような射影変換が必ず存在するということである。従って 上の「無限遠点」とは座標系を選んだことによって生じた「人工物」に過ぎないのである。実際、 は二次元平面の非零な点 が載った一次元部分空間を表すが、射影直線の対称性によって点 は他の点に写されるのだから、それらを区別する必要はない。
代数曲線としての性質.
 上の代数多様体 の任意の函数体 は（一点を除いて） に同型な部分体を含む。双有理幾何学の観点からは、これは から への定数でないが存在することを意味する。その像は の有限個の点のみが落ちており、また典型点 の逆像は次元 となる。これは代数幾何学における次元に関する帰納的方法の出発点である。有理写像は複素解析における正則函数に対応する役割を果たし、そして実際の場合には両者の概念は一致する。