バーゼル問題は、スイスのレオンハルト・オイラーによって初めて解決された。オイラーは、三角関数のテイラー級数およびその無限乗積の の項の展開係数を比較することで、
となることから、
が成り立つことを示した。さらにオイラーの研究はバーゼル問題にとどまることはなく、より一般の場合の研究に努め、任意の自然数 に対して、
が成り立つことも示した。ただし、ここで は 番目のベルヌーイ数である。
である。ただし、ここで は虚数単位である。ここで右辺は、
であり、ベルヌーイ数の定義から、
となるので、ベルヌーイ数の特殊値を利用し、
一方、正弦関数の無限乗積の対数は、
であり、両辺を微分して を乗じると、
となるが、これをテイラー展開して整理すると、
それぞれで導いた を比較して、
この公式により、正の偶数に対する特殊値を容易く計算することができる。しかるに から小さい順に まで計算してみると、
となる。またその近似値は、以下の表に示す通りである。
この表からもわかるように、ゼータ関数は の極限で である。すなわち、
である。また、自然数 に対して、
を満たすように と を定める。ただし、ここで と は任意の自然数 に対して常に自然数をとるものとする。すると、このとき と の から までの挙動は以下の表に示す通りである。
さらに と定めると、偶数に対する特殊値はより簡単に、
とかくことができる。するとこのとき、
なる漸化式が存在することがわかる。この漸化式は、ベルヌーイ数を効率的に求める漸化式に基づいている。また、特殊値の係数ではなく、ゼータ関数についての漸化式も存在する。余接関数の微分：
を用いれば、
が容易に導かれる。ただし、ここで である。
正の奇数に対する特殊値.
ゼータ関数は なる複素数 に対して定義される関数であるが、その定義式に を代入すると、
となって調和級数に一致する。調和級数は、古くにおいては収束すると考えられていたが、今日においては発散することが知られている。しかしこれはコーシーの主値は存在し、
である。ただし、ここで はオイラーの定数である。
が成り立つことがわかる。
から始める。ただし、ここで は自然数ではない複素数で、積分路 はである。ここで を自然数として とすると、
となる。留数定理に基づいてこの複素積分を実行すれば、