原子のエネルギー準位が ( と離散的な値をとるとすると、温度 にある 個の原子の集団において、原子がエネルギー の状態にある確率はボルツマン統計によって、
で与えられる。但し、 は準位の縮退度、 は分配関数である。よって、 エネルギー準位 にある原子数 とエネルギー準位 にある原子数 の比は
と表される。この吸収過程は誘導吸収と呼ばれる。逆に上側準位 にある原子は輻射場の放出によって、下側準位 に遷移する。放出の過程には周囲に輻射場が存在せずとも生じる自然放出と輻射場によって誘起される誘導放出が存在する。自然放出は上側準位の原子数、誘導放出は上側準位の原子数と輻射強度の積に比例することから、下側準位への遷移率 は
と表される。平衡状態では詳細釣り合いの条件 が成り立つことから、
が得られる。 が温度の増大とともに無限大になる条件から
であり、さらに の関数形であるというウィーンの法則の結果から、
とボーアの振動数条件
が成り立つ。その帰結としてプランクの公式
が得られる。
光子の統計性.
導出.
によって与えられる。
統計力学に従い、特定のモードのエネルギー準位についての確率分布はカノニカル分布になる
で与えられる。ここでβは
で定義される逆温度である。
分母 は単モードの分配関数であり、 を正しく規格化する。
ここで
は単一光子のエネルギーである。あるモードにおける平均エネルギーは分配関数によって
のように表される。
これはボース＝アインシュタイン統計に従う粒子の場合の公式である。全光子数に制限がないため、化学ポテンシャル は零である。
と書くことができる。
である。
で与えられる。
を得る。
この方程式から、周波数の関数 または波長の関数 として分光エネルギー密度を容易に導出することができる。
ここで
である。この は黒体スペクトルとして知られる。これが単位周波数、単位体積あたりの分光エネルギー密度の関数である。
更に
も導くことができる。ここで
である。
と置換すると、積分変数を無次元量の割り算にすることができ
によって与えられる。
よって箱の中の全電磁エネルギーは
である。よって
を得る。
この式を波長についての の形式へと変換するためには、 を で置き換え、
の式を計算する。
百分率.
歴史に関する補遺.
参考文献.
より詳しくは、
プランクの放射法則