古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。
直観的な説明.
これらのことを数学的にきちんと述べるには、距離や角度、平行移動や回転といった概念をきちんと定義せねばならない。標準的な方法は、ユークリッド平面を内積を備えた二次元実ベクトル空間として定義することである。そうして
といったようなことを考えるのである。こうやってユークリッド平面が記述されてしまえば、これらの概念を勝手な次元へ拡張することは実に簡単である。次元が上がっても大部分の語彙や公式は難しくなったりはしない（ただし、高次元の回転についてはやや注意が必要である。また高次元空間の可視化は、熟達した数学者でさえ難しい）。
最後に気を付けるべき点は、ユークリッド空間は技術的にはベクトル空間ではなくて、（ベクトル空間が作用する）アフィン空間と考えなければいけないことである。直観的には、この差異はユークリッド空間には原点の位置を標準的に決めることはできない（平行移動でどこへでも動かせるため）ことをいうものである。大抵の場合においては、この差異を無視してもそれほど問題を生じることはないであろう。
厳密な定義.
が成り立つ。そこで、この を座標系 における の座標と呼ぶ。
ユークリッド空間の計量.
 を 次元ユークリッド空間とする。二変数の函数 を
によって定義すればこの は距離関数の条件を満たし、 を と の間の距離と呼ぶ。したがって は距離空間である。場合によっては、この距離空間と同相な位相空間もユークリッド空間と呼び、 などで表すこともある。 が直交座標系である場合、この座標系における の点 および の座標をそれぞれ および とすれば、 と との距離は
と表すことができる。
を と を端点とする線分、あるいは線分 などと呼ぶ。線分 の長さ（あるいは大きさ）とは距離 のことをいう。