により、複素数は実二次正方行列で表現することができる。特に、実数単位 , 虚数単位 は
である。この対応により、複素数の加法および乗法は、この対応によって通常のおよび行列の積に対応する。複素共役は行列の転置に対応している。
極形式表示を とすると、
は角度 の回転行列のスカラー 倍であり、これは複素数の積が 上で原点を中心とすると回転の合成を引き起こすことに対応する。
複素数 の表現行列を とすると、 の行列式
は対応する複素数の絶対値の平方である。
複素函数.
複素変数の函数の研究は複素函数論と呼ばれ、純粋数学の多くの分野のみならず応用数学においても広汎な応用がもたれる。実函数論や数論等における命題の最も自然な証明が、複素解析の手法によって為されることもしばしば起こる（例えば素数定理。あるいは代数学の基本定理のルーシェの定理による証明）。実函数が一般に実二次元のグラフとして視覚的に理解することができたのとは異なり、複素函数のグラフは実四次元となるから、その視覚化に際しては二次元やに色相（もしくは明度や彩度、輝度）による次元を加えたり、あるいは複素函数の引き起こす複素数平面の動的な変換をアニメーションで表したりすることが有効になる。
を備える完備距離空間で、特に三角不等式
が成立する。実解析と同様に、収束の概念はいくらかの初等函数の構成において用いられる。
指数・対数.
複素指数函数.
複素指数函数 あるいは は級数
で定義される。この級数の収束半径は であるから、複素指数函数は 上正則（整関数）である。
任意の実数 に対して次の等式が成り立つ：
一般の複素変数 に拡張した余弦函数 , 正弦函数 は次の式で定義できる：
余弦函数、正弦函数は整関数である。整関数であるような拡張の仕方は、一致の定理より一意である。
, などの双曲線函数も、同様に複素指数函数により定義できる。
複素対数函数.
実函数の場合と異なり、複素数 に関する方程式
は任意の非零複素数 に対して無限個の複素数解を持つ。そのような解 、すなわち の複素対数函数 は
と表すことができる。ただし、 は実函数としての自然対数で、 は上述の偏角である。この値は、偏角のときと同様に の整数倍の差を除いて一意であるから、複素対数函数もまた多価函数である。主値としては、虚部 を区間 にすることが多い。