まず、多面体の頂点や辺の関係は平面グラフに落とし込むことができることに着目する。これは次のようにして可能である。まず多面体の面の一つを取り除き、空いた穴を広げて残りの面を平面に近づけていく。こうしてできたグラフの外側の領域を最初に取り除いた面と対応させれば、多面体の頂点と辺の関係を持つ平面グラフが得られる。
次に、平面グラフの全域木とその双対を考える。グラフの全域木とはグラフのすべての頂点を接続し、なおかつ閉路を含まないようなグラフである。また、双対グラフとは、元となるグラフの面に対応する頂点をもち、元グラフの面どうしを繋ぐ辺に対応する辺をもつグラフである。全域木の双対は、元グラフの双対のうち、全域木に含まれない辺に対応する辺を含むグラフである。全域木の双対は元グラフの双対の全域木となることは、以下のようにしてわかる。
このことから、平面グラフの全ての辺は全域木と、グラフの双対の全域木に対応する辺に分解することができる。
木グラフは一つの頂点から初めて、頂点と辺をそれぞれ一つずつグラフに付け加えていくことによって作ることができる。このため、木グラフの頂点の数'と辺の数'は、 という関係をもつ。
いま、グラフについてその全域木が与えられたとする。の辺の数をとすると、 が成り立つ。またの双対'の辺の数をとすると、'は' の全域木であるため、'の頂点の数、すなわちの面の数'について同様な関係 が成り立つ。の辺の数と'の辺の数を足すとの辺の数に等しく、また'の各辺は'の各辺に一対一に対応するため、
が成り立つ。これはオイラーの公式に他ならない。
ジャン・バティスト・ビオ
スパイゲーム
紀政
経歴.
小宮良之
石田正子
経歴.
南ネーデルラント
広義のネーデルラントでの意味.
スペイン領南ネーデルラント.
スペイン領南ネーデルラントは、以下の領土より構成されていた。
首都はブラバントのブリュッセルであった。
オーストリア領ネーデルラント.
フランスの占領.
ロイヤルコーポレーション