と書くこともできる。さらに言えば、 と の基底を選ぶことで、任意の線型写像 は同様の方法で行列によって一意的に表される。
正方行列 の行列式 は、 に対応する線型写像が同型か否かを測るスカラーである（同型となるには、行列式の値が でないことが必要かつ十分である）。 実行列に対応する の線型変換が向きを保つには、その行列式が正となることが必要十分である。
固有値・固有ベクトル.
自己準同型写像、即ち線型写像 は、この場合ベクトル とその による像 とを比較することができるから、特に重要である。
任意の零でないベクトル が、スカラー に対して を満足するとき、これを の固有値 ( ) に属する固有ベクトル ( ) という。
同じことだが、固有ベクトル は差 の核の元である（ここで は恒等写像 ）。 が有限次元ならば、これは行列式を使って言い換えることができる。つまり、 が固有値 を持つことは
となることと同値である。行列式の定義を書き下すことにより、この式の左辺は を変数とする多項式と見ることができて、これを の固有多項式と呼ぶ。
係数体 がこの多項式の根を含む程度に大きい（ のように、 が代数閉体ならばこの条件は自動的に満たされる）ならば任意の線型写像は少なくとも一つの固有ベクトルを持つ。
ベクトル空間 は（固有ベクトルからなる基底）を持つかもしれないし持たないかもしれないが、それがどちらであるかは写像のジョルダン標準形によって制御される。 の特定の固有値 に属する固有ベクトル全体の成す集合は、固有値 （と ）に対応する固有空間と呼ばれるベクトル空間を成す。無限次元の場合の対応する主張であるスペクトル定理に達するには、函数解析学の道具立てが必要である。
基本的な構成法.
上記具体例に加えて、与えられたベクトル空間から別のベクトル空間を得る標準的な線型代数学的構成がいくつか存在する。それらは以下に述べる定義に加えて普遍性と呼ばれる、線型空間 を から他の任意の線型空間への線型写像によって特定することができるという性質によっても特徴づけられる。
部分空間と商空間.