いま の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に の階数と呼ぶことができる。これについて、 はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた（これは任意の体上で有効である）。また、 は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 に出ている。
性質.
 を 行列とする。また、 を表現行列 の線型写像とする。
階数の計算.
例えば、行列
は、基本変形を行うことによって
線型写像の階数.
 をベクトル空間とし、線型写像 が与えられたとき、 の像 の次元を線型写像 の階数と呼び、 や などで表す。 や は一般に無限次元であっても、像の次元 が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに階数有限なる線型写像にはトレースが定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。
 や が有限次元ならば、行列表現によって は表現行列 の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列 のとり方に依らない。
ベクトル空間 に対して が 次元とすれば、線型写像 の階数は 以下である。実際に、 となるとき、線型写像 は非退化（ひたいか、）であるという。そうでないときには、像 は で へ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像 の核
の次元 を の退化次数と呼ぶ。 の退化次数を や などで表すことがある。次の公式
が成立し、階数と退化次数の関係式あるいは簡単に階数・退化次数公式などと呼ばれる。
ローマ教会
ローマ教会（ローマきょうかい）
魏
魏（ぎ）
ジョン・ケージ
人物・来歴.
晩年.
音楽思考.
当初、ケージは自らの音楽が「実験音楽」と呼ばれることに異議を唱えた。いかなる実験も、作品が完成する前に行なわれていると考えたためである。しかしのちには、結果を予知できない行為を「実験的」と表現し、自身が特に興味をおぼえ、傾倒するすべての音楽を実験音楽と呼ぶようになった。
キノコ研究.
思想.