なる線型同型によってテンソル積で書き表せる。もっと一般に、 個のベクトル空間 のテンソル積はこれらの双対空間からの 重線型形式の空間 とのあいだに同型
を持つことによって特徴付けられる。
 とその双対空間 に対して、自然な「評価」写像
が単純テンソルの上では
を満たすものとして普遍性により定義される。他方 が「有限次元」ならば逆向きの写像（余評価写像）
が存在する。ただし、 は の基底、 はその双対基底である。この評価写像と余評価写像との間に成り立つ関係は無限次元ベクトル空間をその基底に言及することなく特徴づけることができる（の項を参照）。
ベクトル空間 , , に対して、テンソル積と全線型変換の空間とは
種々のテンソル積.
応用.
係数拡大.
が定義できて、 の作用を
で定めると、 は 上のベクトル空間になる。ベクトル空間 の 上の次元は の 上の次元に等しい。これは の 上の基底 に対して、集合
が の 上の基底を与えることから分かる。
表現のテンソル積.
群 の同じ体上のベクトル空間 における表現
が与えられたとき
に対してテンソル積の普遍性を適用することにより、表現のテンソル積
が誘導される。
テンソル冪.
テンソル空間.
の に関する無限直和（二重次数付き線型空間）としてのテンソル空間において、テンソル積は自然な同型
の意味で次数付き双線型な乗法を定める。
ベクトル と線型形式 に関して、 は双線型であるから、テンソル積の普遍性によってテンソルの縮約と呼ばれる線型写像
が一意的に引き起こされる。これは成分でみれば、上下に現れる同じ添字の打ち消しを行うことに等しい。これはまた と との双対性
を導く。
対称積・交代積.
に対してテンソル積の普遍性を適用すれば、一意的な同型
と置いたものは、それぞれ対称テンソル空間 および反対称テンソル空間 上の双線型な乗法を与え、それぞれ対称（テンソル）積、交代（テンソル）積と呼ばれる（交代積は外積あるいはグラスマン積とも呼ばれる）。
炎トリッパー
あらすじ.