曲率が増えるごとに、波の振幅はより速く交互に正負を動き、波長を短くする。運動量と波長の逆比例の関係は粒子の持つエネルギーに整合し、すべての数式で、粒子のエネルギーは波と結び付けられる。
古典力学との関係.
シュレーディンガー方程式の一般式
と密接に関連している。
代入式
関わりあいは、
古典力学と量子力学の時間発展.
他方で量子力学では、量子系（通常原子、分子、亜原子粒子のような自由か束縛されているか局在しているもの）のシュレーディンガー方程式が、古典力学における運動方程式に対応し、状態の時間発展を記述する。
相対論とシュレーディンガー方程式.
ニュートンの運動方程式と同じように、シュレーディンガー方程式における時間の扱いは、相対論的な記述にするには不都合である。この問題は行列力学では波動力学ほど深刻ではなく、経路積分の方法では全く問題にならない。
歴史的背景と発展.
ド・ブロイは、物質波がそれと対応する粒子に伴って伝搬すると仮定すると、電子は定常波を形成する、つまり原子核のまわりで離散的な回転周波数のみが許されることを示した。
ド・ブロイによれば、電子は波で表現され、波長の数は電子の軌道の円周上にぴったり収まらねばならない。従って、
彼の論証を現代的な表現で以下に記述する。彼の発見した方程式は
正準量子化
解説.
正準量子化とは、量子力学的な系を扱う際に、古典力学から量子力学での対応則を構成する手法である。その具体的な手続きは、以下のようにまとめられる。
正準量子化の手続き.
をみたす演算子に置き換える。
正準量子化における演算子の不定性などの問題については、正準量子化における諸問題の項を参照のこと。
具体例.
系の古典力学的なハミルトニアンが
で与えられるとすると、正準量子化により、量子力学的なハミルトニアンは
となる。
古典力学との対応.
交換関係とポアソン括弧.
正準量子化の操作は、古典力学での「ポアソン括弧」と量子力学における「交換関係」の対応原理を考えると、より明確になる。
実際、正準変数については、
の関係が成り立つ。力学量の時間発展についても、この対応原理から
とハイゼンベルクの運動方程式が現れる。
正準量子化における諸問題.