を備えている。これは においてよくある二つのベクトル の成す角 の概念を余弦定理
によって反映するものである。これにより、 を満たす二つのベクトル は互いに直交すると言われる。この標準内積の重要な変形版として、ミンコフスキー空間 はローレンツ積
を備える。標準内積との大きな違いは、ローレンツ積が正定値でないこと、つまり は負の値を取り得る（例えば のとき）ことである。（三つの空間的な座標とは異なり、時間に対応する）第四の座標を考えることは特殊相対論の数学的取扱いにおいて有効である。
位相線型空間.
収束性の問題は、ベクトル空間 に両立する位相（近さを記述することを可能にする構造）を入れることによって扱われる。。 ここでいう「両立」とは、加法とスカラー乗法がともに連続写像となるという意味で、大雑把に言えば、 と が限られた範囲の中にあれば、 と も限られた範囲に留まるということである。スカラーについてこの議論がきちんと意味を持つようにするためには、この文脈において体 にも位相が定められていなければならない。よく用いられるのが実数体や複素数体である。
このような位相線型空間ではベクトル項級数を考えることができて、 の元からなる列 の無限和
とは、対応する有限部分和の極限を表すものである。例えば が、ある（実または複素）函数空間に属する函数であるとすると、この場合の級数は函数項級数と呼ばれる。函数項級数のは、函数空間に課された位相に依存する。そのような様態の中でも各点収束と一様収束の二つは特に際立った例である。
または に対して
だが
である。
実数列よりも一般の函数 は、上記の和のところをルベーグ積分に置き換えた
をノルムとして備えている。与えられた領域 （例えば区間）上の を満足する可積分函数の空間に、このノルムを入れたものはルベーグ空間 と呼ばれる。ルベーグ空間は何れも完備になる（が、もし上記の積分をリーマン積分としたならば、空間は完備にならない。これがルベーグ積分論を考えることの正当性の一つとして挙げられる理由の一つである）。具体的に書けば、任意の可積分函数列 で となるものが、条件
を満足するならば、適当な函数 でベクトル空間 に属するものが存在して
を満たすようにすることができる。