となる。これをゼータ関数に代入したとき、被積分関数は広義一様に絶対収束するため項別に積分する（極限と積分を入れ替える）ことができて、
解析接続.
まず、ゼータ関数が のもとで絶対収束することを以下に証明する。
前項でゼータ関数の積分表示を示した。すなわち、
である。この積分表示に対して、ベルヌーイ数の指数型母関数を とおき、さらに、
のように記述すれば、
であり、 は で収束する。これに部分積分を適用すると、
が得られる。
ゼータ関数の特殊値.
と表すことができる。ここで、 は 番目のベルヌーイ数である。
である。ただし、ここで は虚数単位である。ここで右辺は、
であり、ベルヌーイ数の定義から、
となるので、ベルヌーイ数の特殊値を利用し、
一方、正弦関数の無限乗積の対数は、
であり、両辺を微分して を乗じると、
となるが、これをテイラー展開して整理すると、
それぞれで導いた を比較して、
また のとき、
が成り立つ。
から始める。ただし、ここで は自然数ではない複素数で、積分路 はである。ここで を自然数として とすると、
となる。留数定理に基づいてこの複素積分を実行すれば、
となるのでベルヌーイ数の定義から，
ここで、右辺の留数は、
であるから、
が成り立つ。ここで、
とおくと、
が成り立つ。この漸化式はベルヌーイ数の漸化式から導かれる。
小さい正の奇数については、
などが数値的に成り立っている。これらに関して、
級数との関係.
複素平面上で複素数はベクトルとして表され、和はベクトルの和で表される。このため級数
オイラー積.
オイラー積に基づく等式.
この等式は、次の通りオイラー積に基づく単純な式変形により導かれる。
この等式の発見者について、オイラーは包括的なオイラー積の生みの親であるが、ラマヌジャンはの場合を発見していたとされる。
の場合、等式は次の通りである。
 が正の偶数の場合、ゼータ関数の特殊値より、この等式の値は、ベルヌーイ数と整数階乗のみの計算となるため、結果的に有理数となる。
ゼータ関数の表示と関数等式.
ゼータ関数は次のような表示も持つ：
ここで に関する積はリーマン・ゼータ関数の複素零点全体をわたるものとする。この式から、
は整関数であることが分かる。実際
という式を推測している。