数学において、関数または写像 が、定義域のある点 において連続（れんぞく、）であるとは、 が において極限を保つこと、平たく言えば、 の入力 を に「限りなく近づける」ことで、その近づけ方によらず、出力 をも に「限りなく近づける」ことができるということである。特に定義域の全ての点において連続であるとき、 は連続関数（れんぞくかんすう、）または連続写像（れんぞくしゃぞう）という。連続でないことは不連続（ふれんぞく、）という。
連続性は多項式関数や指数関数といった多くの初等関数が備える性質であり、実数値関数では連結集合の上で中間値の定理、コンパクト集合の上で最大値最小値定理が成り立つほか、微分可能であるための必要条件や積分可能であるための十分条件でもあるなど、解析学的に重要な性質を伴う。
実関数の連続性.
実関数、すなわち定義域と値域がともに実数直線上にある関数 が を含む区間で定義されているとき、座標平面上にそのグラフを描くことができるが、 における連続性とは、『数直線上の左から に近づいたときの極限値と、数直線上の右から に近づいたときの極限値が一致して、しかも に等しいこと』であり、関数の極限を用いて以下の等式で定義される。
これはつまり、どれだけ小さな正の実数 に対しても「 との誤差が 未満である を持ってくれば、 との誤差が 未満であることが保証された を得られる」ような正の実数 が存在するということを意味する。なお、 の条件は無くてもよい。
関数 が定義域上のすべての点において連続であるとき、これを連続関数と呼ぶ。
以下に挙げるように、連続関数を組み合わせてできる様々な関数が再び連続関数になることが知られている。
距離空間の間の写像の連続性.
一般の距離空間 と の間の写像 についても、 における連続性の定義は
で与えられる。
と言い換えることができる。
とも言えて、 であることから、一階述語論理で
あるいは
と表すこともできる。
あるいは
とあらわすことができる。特に後者はより短く
と表すこともできる。
位相空間の間の写像の連続性.
前節の通り、距離空間の間の写像の連続性は、近傍を用いて距離に明示的に依存せずに表すことができた。これを位相が定める近傍系に適用することで、一般の位相空間 と の間の写像 について における連続性は、