微分方程式の独立変数を とし、従属変数を とする。このとき、 が次のような を陽に含まない自励的な常微分方程式で与えられているとする。
ここで、
上記の微分方程式に対して が
を満たすとき、 を平衡点などと呼ぶ。一方で、
を満たす を通常点などと呼ぶ。
どれだけ時間変化しても解軌道が相空間上のある集合から出ない場合、その集合を不変集合という。平衡点はもっとも単純な閉不変集合である。またさらに、閉不変集合 の部分集合で閉不変集合であるのは と空集合だけであるとき、 を極小集合という。平衡点は極小集合でもある。
平衡点の計算例.
 が代数的に解けるときは、平衡点 を式で書き表すことができる。例えば、
という微分方程式系であれば、
方程式の係数が変数で与えられているような例としては、次のローレンツ方程式を挙げる。
平衡点近傍における解軌道の振る舞い、安定性判別.
平衡点は、微分方程式の解を理解する上で重要な役割を果たす。微分方程式系の解の振る舞いを知りたいとき、最初の取っ掛かりとなるのが平衡点の調査である。相空間の全体での大域的な性質を問題にする場合であっても、平衡点近傍の局所的な性質の解明が基礎となる。平衡点近傍の解軌道の振る舞いを調べ、分類するのが、解軌道の幾何学的構造を理解する第一歩である。
とくに、微分方程式のある解軌道とその近くを通る別の解軌道が、任意の時刻 においても十分近く同士にあるのか、それとも で離れていくかといったような問題は、安定性の問題と言われ、微分方程式の定性理論においてもっとも基本的な問題である。
安定性の定義.
平衡点 の十分近くの初期値を取る解が、全ての時刻 において の近くに留まり続けるようなとき、その平衡点をリアプノフ安定であるという。厳密に言うと、平衡点 がリアプノフ安定であるとは、 任意の定数 が与えられたときにある定数 が存在し、 を満たすような任意の解 が、全ての で を満たすことをいう。ここで、 は相空間に定義されたノルムを表す。リアプノフ安定であるとき、単に安定であるともいう。