で定まる標準内積 は対称双線型形式である。また
で定まる写像 や
で定まる自明な写像 なども対称双線型形式である。
表現行列.
有限次元ベクトル空間 の基底 をひとつ固定する。このとき 上の双線型形式 に対して 次正方行列 を
で定義する。これを双線型形式 の基底 に関する表現行列という。表現行列 は、双線型形式 が対称であるとき、かつそのときに限り対称行列である。ベクトル に対して値 は表現行列 を用いて
と表される。逆に（対称）行列 が与えられると（対称）双線型形式 が上の関係式から定まる。
新たな基底 をとり、基底の変換行列 が で与えられているとする。このとき、 双線型形式 の基底 に関する表現行列 は
で与えられる。
二次形式.
 上の対称双線型形式 に対して を
で定める。これを 上の二次形式という。
直交性と特異性.
双線型形式は対称ならば反射的である。ふたつのベクトル が 上の対称双線型形式 に関して直交するとは が成り立つことをいう。（反射性より、これは と同値。）これを記号 で表す。
が同型写像であることと同値である。ただし は の双対空間 である。対称双線型形式 が非退化ならば の部分空間 に対し の次元は である。
直交基底.
 の基底 が 上の対称双線型形式 に関して直交するとは、
が成り立つことを言う。基礎体の標数が でないとき、 は常に直交基底を持つ。このことの証明は数学的帰納法による。
基底 が に関して直交するための必要十分条件は、その表現行列 が対角行列となることである。
符号数とシルベスターの慣性法則.
実係数の場合.
実数体上の空間を考える場合には、もう少し詳しく述べることができる。 を直交基底とする。
新たな直交基底 を
で定義すると、新たな表現行列 は対角線上に のみを成分に持つ対角行列になる。 が現れるのは、根基が非自明となるときであり、かつそのときに限る。
複素係数の場合.
複素数体上の空間を扱う場合も、同様に詳しくしかもより平易な形に述べることができる。 を直交基底とする。
新たな基底 を
で定義すると、新たな表現行列 は対角線上に と のみを成分に持つ対角行列となる。 が現れるのは根基が非自明なときであり、かつそのときに限る。
直交偏極.