超実数の全体 は、実数体 を部分体として含む、順序体を成す。実数体とは異なり、超実数は通常の意味の距離空間を成さないが、超実数の大小関係からを入れることはできる。
発展.
超実数は、公理的にまたは構成志向的な方法のいずれかによって発展されうる。
公理的アプローチの本質は、次を主張することである：
超冪による構成.
実数列から超実数体が構成できることを見てゆこう。次のようにして、実数列の加法と乗法を定義する：
これにより、実数列全体の成す集合は可換環（実際には実多元環） を成す。
実数 と数列 を同一視することによって、 の への自然な埋め込みが存在する。この同一視は実数の代数的演算を保存する。
直感的な動機は、例えば、ゼロに収束するような数列を用いて無限小超実数を表したいということである。そのような数列の逆元が無限大超実数を表すことになるだろう。
同様に、 はある無限小超実数として を考えるように、永遠にランダムに振動するような多くの数列についても、これを解釈する方法を見つけなければならない。
実数列の比較を定義するのはデリケートな問題である。例えば、加法や乗法と同じように次のように定義したとしても、すぐに問題が生じる。
「問題」となる添字集合を一つ選び出すような、 を考えよう。つまり、
と定義しよう。
体 は の超冪である。この体は を含むから、最低でも連続体濃度以上の濃度を持つ。
 は
という濃度以下でもあるから、 の濃度は連続体濃度に等しい。
構成の詳細な説明は超積を参照せよ。
無限小および無限大超実数の性質.
超実数体 の有限な元全体 は局所環（実は付値環）であり、その唯一の極大イデアル は無限小元全体によって与えられ、剰余体 は実数体 に同型になる。従って環準同型 で かつ、各値 は となる唯一の標準実数となるものの存在が言える。言い方を変えれば、任意の有限超準実数 は、ただ一つの標準実数 に（それらの差 が無限小となるという意味で）「極めて近い」のである。この標準実数 を の と言い、概念的には に最も近い実数を意味するものである。この函数 は順序を保つ環準同型であり、従って代数学的にも順序論的にもよく振る舞う。
函数 は、この有限超実数体 上のに関して連続である（実は は局所定数函数になる）。
超実体.