を満たす数 を虚数単位という。実数 と は実数体上で線型独立である。実数 を係数として の線型結合で表される数 を複素数と呼ぶ。
任意の実数 は と表せるので複素数である（実数全体の複素数全体への埋め込みは、四則演算および絶対値を保つという意味で、位相体の埋め込みである）。 の形の複素数を純虚数と呼ぶ。
複素数 に対して、
複素数平面.
複素数 に対して
とすると、 は距離空間となる。この距離は、座標平面におけるユークリッド距離に対応する。複素数平面は複素数の計算を視覚化でき、数直線の概念そのものを拡張した。
複素数球面.
複素数平面 を、座標空間内の 平面とみなし、 に含まれ 平面と原点で接する球面 を考える。この球における原点の を北極と呼ぶことにする。任意の複素数 に対し と北極を結んだ線分はこの球面と、北極以外の一点で必ず交わり、それを と書けば は単射、連続である。 の像は、球面から北極を除いた部分である。また、 のとき （北極）である。そこで、 の定義域を に拡張すると、 は同相写像になる。
この同相写像 は、複素平面上の円を円に写し、複素平面上の直線を、無限遠点を通る円に写す。このことは、複素平面上の直線と円はほぼ同等であることを表している。
基本的な性質.
相等関係.
二つの複素数が等しいとは、それらの実部および虚部がそれぞれ等しいことである：
このことは、 が線型独立であることから示される。
四則演算.
 は整数とする。
複素共役（共役複素数）.
 と を複素共役あるいは単に共役という。
複素数の共役をとる複素関数 は環同型である。すなわち次が成り立つ。
複素共役は実数を変えない：
逆に、 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。
複素共役変換 は、 の全ての点で複素微分不可能である。
以下の性質が成り立つ。
代数方程式の解について、次が成り立つ：
つまり、
このことは、複素共役変換が環準同型であることから容易に示せる。
極形式.
複素数を実部と虚部で表すのとは別の方法として、複素数平面上での点 を、原点 からの距離と、と線分 の見込む角を反時計回りに測ったものの対（ の極座標）で表す方法が挙げられる。これにより、複素数の極形式の概念が導入される。
絶対値.
複素数 （ は実数）の絶対値は