行列に含まれる行の数が , 列の数が である時に、その行列を 行 列行列や 行列、 行列などと呼ぶ。行列を構成する行の数と列の数の対を型 () あるいはサイズという。したがって 行 列行列のことを 型行列などと呼ぶこともある。 上の 行列の全体は , や , などで表される。
に対して、 はその列ベクトル、 はその行ベクトルである。
行と列の数が同じである行列は正方行列と呼ばれる。無限の行または列をもつ行列を無限次行列と呼ぶ。プログラミングにおいて行または列を持たない行列を考えると便利となることがしばしばあるが、このような行列を空行列と呼ぶ。
厳密な定義.
行列は二重に添字づけられた族であり、添字の各対 に成分 を割り当てる二変数写像
 に成分を持つ 行列の全体は、したがって配置集合
であり、省略形として （あるいはやや稀だが ）や などと書くことの一つの根拠になる。
行の数と列の数が一致するような行列は正方行列と呼ばれる。
ただ一つの列を持つ行列は列ベクトル、ただ一つの行を持つ行列は行ベクトルと呼ばれる。 のベクトルは、文脈によって行ベクトル空間 または列ベクトル空間 の元を表すのにも用いられる。
歴史.
と説明している。
ハイゼンベルク、ボルン、ジョルダンらによる行列力学の創始は、行または列の数が無限であるような行列の研究へ繋がるものであった。後にフォン・ノイマンは、（大体無限次元のユークリッド空間にあたる）ヒルベルト空間上の線型作用素などの関数解析学的な概念をさらに推し進めることにより、量子力学の数学的基礎を提示した。
行列の演算.
基本演算.
加法.
で定める。
例えば
である。
線型代数学において成分はふつう（実数や複素数の全体のような）体であり、この場合の行列の加法は、結合的かつ可換であり、また単位元として零行列
を持つ。一般に、これらの三性質を満たす代数系に成分を持つ（同じ型の）行列の全体は、やはりこれらの性質を満たす。
スカラー倍.
行列の各成分に一つのスカラーを掛けることにより、任意の行列のスカラー倍
が定義される。例えば、
である。
乗法.
で与えられる。
例えば、
である。
行列が区分行列に分解されるとき、そのような行列の積は、それらのブロックが適当なサイズならば、ブロック成分ごとに積を計算することができる。例えば
転置.