から最初に発見された。ここで、 は電子の静止質量、 は電気素量、 はプランク定数、 は真空の誘電率である。この定数はエネルギーのリュードベリ単位という形で原子物理学においてよく用いられる。
波動関数.
球面座標系において、標準位置での波動関数は
不確定性原理
原理的には、一般のフーリエ解析で窓関数を狭めるほど得られるスペクトルが不正確となるのと同種の説明がなされる。
このような限界が存在するはずだという元々の発見的議論がハイゼンベルクによって与えられたため、これはハイゼンベルクの原理という名前が付けられることもある。しかし後述するようにハイゼンベルク自身による不確定性原理の物理的説明は、今日の量子力学の知識からは正しいものではない。
今日の量子力学において、不確定性原理でいう観測は日常語のそれとは意味が異なる用語であり、測定装置のような古典的物体と量子系との間の任意の相互作用を意味する。したがって例えば、実験者が測定装置に表示された値を実際に見たかどうかといった事とは無関係に定義される。また不確定性とは、物理量を観測した時に得られる測定値の標準偏差を表す。
不確定性原理が顕在化する現象の例としては、原子（格子）の零点振動（このためヘリウムは、常圧下では絶対零度まで冷却しても固化しない）、その他量子的なゆらぎ（例：遍歴電子系におけるスピン揺らぎ）などが挙げられる。
概要.
一般のフーリエ変換に現れる同種のトレードオフ.
不確定性原理は、物質が根源的に波であり、位置と運動量が共役すなわちフーリエ変換の双対となることに由来する。よって、一般の音声解析等のフーリエ変換にて生じるトレードオフに例えられる。
フーリエ変換では対象となる波に窓関数を乗じて波の一部を切り出し、一度の解析対象領域とするが、この領域を長くとった方が周波数分析としては正確であり、スペクトル空間上の局在的な情報が得られる。例えば波長の値などが正確に得られる。
しかし、領域が長いほど、波の瞬時ピークの高さやその出現時刻といった、時間軸で局在している特徴は曖昧になる。スペクトル空間上の局在性を犠牲にして対象領域を狭めていくことで時間軸上の局在情報すなわち瞬時のピークや波形は、より正確に捉えられる。