は関数と見ることができ，ベクトルはタプルである．したがって，任意のベクトル は なる関数 に対応し，ベクトルの任意の成分ごとの演算はそれらのベクトルに対応する関数の点ごとの演算である．
点ごとの関係.
順序理論において関数の点ごとの半順序を定義することが一般的である． を半順序集合として，関数 全体の集合は，すべての に対して であるときに とすることで順序付けられる．点ごとの順序は半順序集合のいくつかの性質を受け継ぐ．例えば と がであれば，関数 全体の集合も点ごとの順序で連続束である．関数の点ごとの順序を用いて，他の重要な概念を簡潔に定義できる，例えば：
が関数 に各点収束するとは， の各元 に対して
となることをいう．
参考文献.
成分ごと
リー環のコホモロジー
数学において、リー環のコホモロジー（）とは、リー環に対するコホモロジー論である。それは によって、コンパクトリー群の位相空間としてのコホモロジーの代数的構成を与えるために、定義された。上の論文では、と呼ばれる鎖複体がリー環上の加群に対して定義され、そのコホモロジーが普通の意味で取られる。
動機付け.
定義.
の右導来関手である。
同様に、リー環のホモロジーを
の左導来関手と同値である。
リー環のコホモロジーについての重要な基本的な結果の中には、、定理がある。
シュバレー・アイレンバーグ複体.
ただしキャレットはその引数を除くことを意味する。
小さい次元のコホモロジー.
ただし微分はリー環から への写像 で
なるもので、それが内部微分とはそれがある で
で与えられることをいう。
はリー環の加群 によるリー環の拡大
の同値類の空間である。
より高次のコホモロジー群に対しては同様の易しい解釈は無いようである。
リー代数のコホモロジー
半単純リー環のコホモロジー
半単純リー代数のコホモロジー
リー環のホモロジー
リー代数のホモロジー
シュバレー・アイレンバーグ複体
シュバレー–アイレンバーグ複体
シュヴァレー・アイレンバーグ複体
シュヴァレー–アイレンバーグ複体
シュバレー–アイレンベルグ複体
シュヴァレー–アイレンベルグ複体
余因子展開