ベクトル に対して、関数 の点 における 方向への方向微分係数とは、
のことである。 軸正の方向の単位ベクトルを とするとき、 方向への方向微分係数は、 に関する偏微分係数に他ならない。
 が点 においてすべての変数に関して偏微分可能ならば、あらゆるベクトル について、点 における 方向への方向微分係数が存在する。またこのとき、方向微分係数は に関して線型である。特に、 に対して方向微分係数 は
によって与えられる。
全微分.
 が の開集合から への函数ならば、 の方向微分は、その点における の選択した方向への最適線型近似を与える。しかし、 のときは、位置方向への方向微分だけでは の挙動を完全に捉えることはできない。全微分は、全ての方向を一度にまとめて考えることで函数の挙動を完全にとらえるものである。
 の における全微分係数（あるいは単に全微分）は
を満たす唯一の線型写像 と定義される。ただし、 だから分母におけるノルムは における標準ノルムであり、他方 であり分子のノルムは の標準ノルムである。 が を始点とするベクトルならば、 は による の押し出しと呼ばれ、 とも書かれる。 の点 における全微分係数 は を始点とする任意のベクトル に対して、線型近似公式
が満足される。一変数の微分係数のときと同じく はこの近似の誤差が可能な限り最小となるように選ばれる。高次元の場合に、この線型近似公式が意味を持つためには は のベクトルを のベクトルへ写す線型写像でければならず、また はその写像の における値でなければならない。
偏微分・方向微分との関係.
は の におけるヤコビ行列と呼ばれる。全微分係数 が存在することは、すべての偏微分が存在することよりも真に強い条件であるが、偏微分が全て存在して連続ならば全微分は存在し、それはヤコビ行列によって与えられ、 に関して連続的に変化する。
全微分係数の定義は一変数の場合も含むものになっている。 が実一変数の実数値函数であるとき、全微分係数の存在する必要十分条件は通常の微分係数が存在することである。ヤコビ行列は微分係数 を唯一の成分とする 行列であり、この行列は なる近似性質を持つ。違いを除いて、これは函数 が の における最適線型近似であることを述べるものである。
高階の全微分.