圏論的な仕方で直積を定めるとき、直平方マグマ 上の演算を成分ごとの演算により と定義することができる。 上の二項演算 を写像 と見れば、, および が成り立つから、したがってマグマ が中可換となるための必要十分条件を、その二項演算がマグマ準同型 となっていることと述べることができる。このことは可換図式を用いて容易に表示することができ、それによって圏論的直積を持つ圏の中可換マグマ対象の概念が導かれる。（の項も参照）
中可換準群の特徴付け.
と定める。この演算のもとで が中可換準群を成すことを確かめるのは難しくない。ブルック–豊田の定理は、任意の中可換準群がこの形で得られる（すなわち、適当なアーベル群からこの仕方で作った準群に同型となる）ことを述べるものである。特に任意の中可換準群はアーベル群にである。
この結果は , が独立に発見し、 が再発見した。
一般化.
圏論的直積
大成丸 (初代)
船歴.
設計.
湊茶臼山古墳
概要.
墳丘.
墳丘の規模は次の通り。
埋葬施設.
概要.
システム.
操作.
レース中の操作を説明する。一般的なレースゲームというよりは、スマートフォンゲームとして簡略化されたタイプに含まれるゲームである。
回復アイテム.
プレイヤー経験値.
現時点では上限はないようである。
マシン愛着度.
アバター.
バトル.
数章（チャプター）から成るストーリー的なバトルと、後述するイベントバトルがある。各話とも最初は難易度「NORMAL」だけが選べ、「NORMAL」をクリアすると「HARD」「VERY HARD」が追加される。
イベントバトル.
曜日限定バトル.
曜日毎のパーツは以下のとおり。
ゲリラバトル.
VS.
通常のグループ内の対戦相手の他「ゲストBOSS」が一定時間現れることがある。
エリアバトル.
チャレンジ.
いわゆるアチーブメント（実績）であるが、この作品では「チャレンジ」と呼んでおり、ログイン、レース中のアタックの評価、等々、多くのチャレンジが設定されている。報酬はチケット、VIPコイン、称号、種々のパーツ、まれに車、などである。
リミット解放.
パーツ.