は「任意の整数がほとんど全ての二項係数を整除する」という幾分驚くべき結果を与えた。より精確に言えば、整数 を固定して、 は なる二項係数 のうち で割り切れるものの総数を表すものとすると、
が成り立つというものである。 なる二項係数 の総数は であるから、これは で整除可能なものの占める密度が に収束することを意味する。
別の事実として、整数 が素数となる必要十分条件は、中間二項係数
の全てが で整除可能なことである。実際、 が素数ならば、 なる任意の に対して は
を割り切る。これは分子は素因数 を含むが分母は を素因数に持たないことによる。 が合成数のとき、 を を割り切る最小の素因数とし、 と置けば、 かつ
は で割り切れない。仮に割り切れるとすると分子 が で割り切れることになり、それは が で割り切れる場合しかありえないが、 は で割り切れるのだから、 は を割り切らず、 は素数だから従って も割り切らず、それゆえ分子が で割り切られることもない。
上界・下界と漸近公式.
 に関して以下の評価
が に対して成立する。スターリングの近似からは , 一般に
が かつ に対して成立する。また のとき近似
も従う。ここに は の二値エントロピー関数である。より精確に、任意の整数 と に対して、最初の 個の二項係数の和を
と評価することができる。
を得る。より精度を望むならば、 を積分で近似して
となる。 かつ に対して およびこれら近似式からそれぞれ近似値 および を得る。
ガンマ函数の無限積表示に基づく無限積
から漸近公式
が で成り立つ。この漸近挙動は近似
が成り立つ。
二項係数の和について、二項定理を用いると
という単純で粗い上界が得られる。
近似.
 が十分大きいとき、
は二項係数と正規分布との関係に基づく近似を与える。これは、二項分布と等しい期待値と分散 を持つ正規分布をとり、 として、 を掛ければ、中心極限定理に対する評価から従う。
一般化.
多項への一般化.
二項係数を一般化するものとして
で定義される数を多項係数と呼ぶ。二項係数が の係数であったのに対し、多項係数は の多項式展開の係数であり、 のとき二項係数を与える: