同じ体 上の二つのベクトル空間 と のテンソル積 ( ) あるいは単に は、線型写像を多変数にするような概念の拡張を扱う多重線型代数における中心的な概念のひとつである。写像 が双線型写像であるとは、 が両変数 の何れについても線型であることを言う。これはつまり、 を固定したとき写像 が線型であり、かつ を固定した時も同様であることを意味する。
テンソル積は以下のような意味で、双線型写像を普遍的に受け入れる特別のベクトル空間である。それはテンソルと呼ばれる記号の（形式的な）有限和
の全体からなる線型空間で、これらの元は をスカラーとして
なる規則で縛られている。
これらの規則は、写像 が双線型となることを保証するものである。テンソル積の普遍性とは
というものである。テンソル積の普遍性は対象を、その対象からの、あるいはその対象への写像によって間接的に定義するという（進んだ抽象代数学ではよく用いられる）手法の一例である。
付加構造を備えたベクトル空間.
線型代数学の観点からは、任意のベクトル空間が（同型を除いて）その次元によって特徴づけられるという意味で、ベクトル空間については完全に分かっている。しかしベクトル空間というものは「本質的に」、函数列が別の函数に収束するか否かという（解析学では重要な）問題について取り扱う枠組みを提供していないし、同様に加法演算が有限項の和のみを許す線型代数学では無限級数を扱うのには適当でない。従って、函数解析学ではベクトル空間に更なる構造を考える必要が求められる。ほとんど同様に、付加的な情報を持つベクトル空間が有効に働く部分を抽象的に見つけだすことで、公理的取扱いからベクトル空間の持つ代数学的に本質的な特徴を浮き彫りにすることができる。
として（ は の正部分で は負部分）表すことができることに依拠しているから、（例えばリース空間）はルベーグ積分において基本的である。
ノルム空間および内積空間.
ベクトルの「測度」は、ベクトルの長さを測るノルムや、ベクトルの間の角を測る内積を決めることによって与えられる。ノルムが定義されたベクトル空間をノルム空間とよび、ノルムを のように表す。内積が定義されたベクトル空間を内積空間と呼び、 内積は のように表す。内積空間は付随するノルム
を持つ。
数ベクトル空間 は標準内積