また、これらの損傷時交換対応などは、少量・損傷判定が明確であれば、銀行法上の銀行窓口においても対応する場合がある。ただし銀行法上の銀行における交換業務は義務対応ではないので、銀行によって対応が異なる（大量であったり損傷判定が明確でない場合に、銀行が日銀鑑定に回付までしてもらえる場合がある。ただしこれも義務対応ではない）。ゆうちょ銀行窓口においては両替業務を行っていない関係上、損傷硬貨の交換も行っていない。
損傷硬貨の引換え基準.
硬貨の刻印（模様）が確認できることが条件となる。また、欠損のある場合は以下の基準により交換を行う。
前提とする主な定義.
または
 に対して与えられる の値 を初期値という。以下、簡単のために で固定する。初期値 を満たし、時間 のときの の値を返す写像 を微分方程式の定める流れや連続力学系という。 が 級であることから、上記の微分方程式系は解の存在と一意性を満たし、流れ は
を満たす。
初期値 を決めて、 を から まで動かしながら が返す値を相空間 上に描くと、それは 上の一つの曲線となる。この曲線を を通る軌道という。 を通る軌道を で表すとする。微分方程式の解の一意性により、ある を通る はただ一つだけに限られる。特に が非負のときの軌道
を正の半軌道といい、 で表すとする。 が 級であることから軌道は（以下の平衡点である場合を除いて）滑らかな曲線で、曲線上の各点の接ベクトルが微分方程式の に対応する。
また、 に対して、 かつ を満たすような が存在するとき、これを満たすときの の軌道を周期軌道という。相空間上の周期軌道は、円のように自分自身と交わらない閉曲線となる。
時間が無限大に発散するときの軌道 の漸近的な振る舞いを調べるために、 の極限集合が重要となる。ある点 に対して時刻 の列 を一つ適当に選ぶと
となるとき、 を の極限点という。そして、 の極限点全てから成る集合を の極限集合といい、 で表すとする。時間を逆向き にした方は極限集合といい、 で表すとする。極限集合または極限集合を総称して極限集合という。