このように、軌道の形（ の元の互いに素な巡回置換の積としての表示）は各自然数 に対して 個の元を持つような軌道（長さ の巡回置換）の数 がいくつかを指定することで決定される。このとき、集合 への作用を考えているので数列 は を満たさなければならない（ の分割）。このとき、
を置換 の巡回置換型 、あるいはたんに型と呼ぶ。 の共軛類は巡回置換型によって決まる。さらに共軛類の大きさは巡回置換型を用いると
と表せる。また、の分割は、位数 のヤング図形と一対一に対応しており、したがって の共役類は位数 のヤング図形たちによって記述されることになる。
交代群との関係.
 のとき交代群 は単純で、それによって誘導される商は符号函数である。すなわち、短完全列
は二つの元の互換を取ることによって分裂する。ゆえに、 は半直積
に分解され、かつそれ以外の真の正規部分群を持たないことがわかる。実際、部分群があれば との交わりは単位群（したがってそれ自身単位群か二元群だが後者は正規ではない）または （したがってそれ自身 または ）だからである。
 は部分群である に共軛によって作用し、 のとき は の全自己同型群となる。
偶置換による共軛は の内部自己同型であり、対して の位数 のは奇置換による共軛に対応する。 のときは、 にが存在するので、 は の全自己同型群とはなっていない。
したがって、 のとき は外部自己同型を持たず、さらに のとき中心を持たない。ゆえに のとき はである（後述）。
 のとき はであり、それは単純群 とその自己同型群の間に位置するものとみなされる。
群の置換表現.
群 が与えられたとき、 の元 の左・右・両側からの積
は 上の全単射を与える。群 から対称群 への写像
は群の準同型であり、これにより群 の元は 自身の上の置換群の元として表される。これが群の置換表現である。
置換表現を一元体上の線型表現と看做して表現論の一般論に組み込む試みが見られる。
対称群の作用.
一般多項式のガロア群.
対称式.
体上の多変数多項式環 は対称群 の への作用を移すことで が作用する。この作用の下で不変な元の全体を
などであらわし、その元を対称式と呼ぶ（ のときは、無限変数の多項式環と無限対称群とを考えるならば同様の概念を構成できて、不変元は対称函数と呼ばれる）。
置換行列.