切断とその性質.
接続の概念を定義するため、ベクトルバンドル関連の概念をいくつか定義する。
を考える。実は次が成立する：また次が成立する：
ベクトルバンドルの接続.
定義.
ライプニッツ則を用いると、以下を示す事ができる：
別定義.
と定義すると、余接ベクトル空間の定義から、
接続形式.
そこで以下のような定義をする：
定義から明らかに、
である。
と表記すると、
本節ではアフィン接続
の性質を述べる。
意味づけ.
性質.
ここで、は上の任意の可微分なベクトル場である。
上述の定理と前に述べた定理から、以下の系が従う：
と書くとき、次が成立する：
外微分に対し、次が成立する：
接続の誘導.
引き戻し.
を考える事ができる。
と成分表示する。
である。
直和・テンソル積への誘導.
により、接続が定義できる。
双対バンドルの接続とリーマン計量.
にリーマン計量が定義されている場合、とは自然に同一視でき、
次が成立する：
また簡単な計算から以下が従う：
複数の接続の関係.
に対し、
も上の接続である事を確かめられる。まとめると、以下の定理が成り立つ：
により局所的に接続を定義できるが、
の成分表示は
とクリストッフェル記号を用いて書ける。
平行移動とホロノミー群.
平行移動.
にリーマン計量が定義されているときは以下が成立する事を容易に示せる：
共変微分の特徴づけ.
これまで共変微分の概念を用いる事で平行移動の概念を定義してきたが、逆に平行移動の概念を用いて共変微分を特徴づけることができる：
であるので、これを共変微分の成分表示
と比較する事で、以下が結論付けられる：
すなわち
ホロノミー群.
よって
また、
測地線.
定義と性質.
恒等的に同じ点を取る「曲線」は自明に測地線方程式を満たすが、これは通常の意味での曲線ではないので、以下このような「曲線」を測地線とは呼ばない事にする。
測地線の局所的な存在性と一意性.
測地線の局所的な存在一意性が示されたので、以下の定義をする：
正規座標.
はの周りの座標近傍とみなせる。この座標近傍をの周りの（）という。
同一の測地線を定めるアフィン接続.
が上の任意の曲線に対し、
とし、
とする。
このとき次が成立する事が知られている：
簡単な計算により
である事がわかるので、次の系が従う：
なお、接続の局所座標表示