が満たされるという意味である。最大値定理は、有界性定理における上界と下界の存在を強めて、最小上界を最大値として、および最大下界を最小値として、それぞれ実現する点が定義域内に存在することまでをも主張するのである。
最大値の原理ともいう。
歴史.
定理の適用外となる函数.
定理を用いるには定義域が有界かつ閉であることが必要であることを示す例を挙げる。何れも与えられた区間において最大値を持たないものである。
上記例の後二者において と定めることで、定理において閉区間上で連続であることが要求されることが理解される。
位相空間論における定式化.
実数直線を任意の位相空間へ取り換えるとき、有界閉区間に対応するものはコンパクト空間である。位相空間論において、連続写像がコンパクト性を保つこと、および実数直線の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件がそれが有界閉区間となることであることは既知である。従って以下のような極値定理の一般化
が導かれる。もう少し一般に、このことは上半連続函数に対して成立する
定理の証明.
証明にあたっては の上界の存在と最大値について調べることになる。そうすれば、その結果を函数 に適用して の下界の存在と最小値についての結果を得ることができる。証明は全て実数直線に関する文脈の中で行われることにも注意。
最大値定理の証明においてはその途中段階として有界性定理をまず証明する。証明は基本的に次のような段階を踏んで行う：
半連続函数への定理の拡張.
函数の連続性を半連続性に弱めると、それに対応して有界性定理および最大値最小値定理は（函数は補完数直線に値をとるものとして、つまり函数値として あるいは となることを許して）半分だけ成立する。明確に書けば、