上式は、主定理の右辺を、グリーンの定理に帰着する過程に他ならない。
さらに、内積の多重線形性を考慮すると、
を意味する。
さらに、以下の事実を考慮し、
さらに、スカラー三重積を考慮すると、以下の等式を得る。
一方で、面積分の定義から
が成り立つ。さらにスカラー三重積を考慮すると、以下を得る．
従って、以下の等式が成り立つ。
証明の第四段階.
主定理の証明の最終段階である。
Second stepの結果と、Third stepの結果をグリーンの定理に代入すると、主定理が得られる。
保存力場への適用.
本節では 層状ベクトル場 （保存力場)に本定理を適用し、スカラーポテンシャルの一意性を基礎づける定理を導く。
区分的になめらかな曲線
このとき、以下の等式が成り立つ。
以降、そのように考える。
層状ベクトル場（保存力場）.
層状ベクトル場は、力学では「保存力場」と呼ばれ。流体力学では、
ヘルムホルツの定理(流体力学).
であるとき、以下が成り立つ。
保存力場を議論する文脈では、そのような本が多い。
しかしながら、「ホモトピック」、「ホモトピー」という用語は、通常は、別の意味（より弱い条件のものを指す）
で使われる。
証明.
と定義する。
も明白である。
従って、
である。従って、
ことになる。
以上から、以下が判る。
これに、以下の事実を考え合わせることで、本定理の証明ができた。
単連結空間上の保存力場の性質.
上記の意味のヘルムホルツの定理は、以下の問題に指針を与える。
以下が成り立つ。
任意のループと、任意の固定点との間に、区分的に滑らかなループ曲線
ような連結空間のことを、単連結空間という。正確な定義は以下の通り。
この定理より、
イロコイ郡 (イリノイ州)
歴史.
地理.
交通.
気候と気象.
人口動態.
郡区.
塔寺村
塔寺村（とうでらむら）は福島県河沼郡にあった村。現在の会津坂下町塔寺にあたる。
交通.
鉄道路線.
現在は旧村域を只見線が通過するが、当時は未開業。塔寺駅は隣接する旧・気多宮村に開設された。
気多宮村
気多宮村（けたのみやむら）は福島県河沼郡にあった村。現在の会津坂下町気多宮にあたる。
交通.
鉄道路線.
現在は旧村域に只見線の塔寺駅が所在するが、当時は未開業。
坂本村 (福島県)