そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて主バンドルの接続概念を定義すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化する。そして構造群を持つファイバーバンドルにその主バンドルから接続を誘導する方法を説明する。そして最後にベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の接続形式の言葉で記述する。
ファイバーバンドルの接続の定義.
ファイバーバンドルの接続概念は、ベクトルバンドルの接続における平行概念を自然に拡張する事で定義する。
定義の背後にある直観.
よってベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。
定義.
を、'における'の垂直部分空間（）という。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する：
分解
後で述べるように、この垂直射影が主バンドルの接続の場合は接続形式に対応している。
ジェットバンドルによる特徴づけ.
本節ではの概念を用いる事でファイバーバンドルの接続を特徴づける。
ジェットバンドルの定義.
によりを上のバンドルとみなすこともできる。
ジェットバンドルを使った接続の特徴づけ.
「切断」という「水平部分空間」よりも数学的に扱いやすい対象によって接続を定義できる点でこの定義は有益である。
諸概念.
本節では、上記の接続の概念に基づいて、一般のファイバーバンドルに対して平行移動、共変微分、および曲率形式の概念を定義していく。
ベクトルバンドルの場合にこれらの概念がこれまで議論してきた平行移動、共変微分、および曲率形式の概念に一致する事は後述する。
平行移動.
平行移動の概念を以下のように定義する：
接続の定義から、
はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像
を満たす事である。
完備性.
定義.
前節で平行移動が局所的には必ず存在する事を見たが、平行移動の大域的な存在性は必ずしも保証されない。平行移動が大域的に存在するときに接続は完備であるという：
なお、接バンドルにおいては「完備」という言葉は
ファイバーがコンパクトの場合も完備性が成り立つ：
反例.
を考え、このファイバーバンドル上に下記のような接続を考える：
である事を容易に示す事ができる。この平行移動は
の範囲でしか延長できず、完備でない事が言えた。
共変微分.