に対し、クリストッフェル記号の添字との役割を反対にした
曲線の曲率.
リーマン多様体上の曲線に対し、以下の定義をする。
前述の定理から、明らかに次が従う：
である。よって次が従う：
なおここで定義した「曲線の曲率」は次章で定義する「（接続が定義された）多様体の曲率」とは別概念であるので注意されたい。実際、
曲率.
動機.
曲率の概念を定義するため、モチベーションを述べる。
を考える。
この「平たい」バンドルとのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」バンドルとのズレを測る。
となる事に着目する。この事実から「平たい」バンドルに対しては、
定義.
以上のモチベーションの元、曲率を以下のように定義する：
リーマン多様体における特徴づけ.
曲率形式.
と成分分解すると、
が成立する。
性質.
第二構造方程式は曲率の定義を成分で書く事で得られる。一般化されたビアンキの第二恒等式は第二構造方程式から従う。
なお、一般化されたビアンキの第二恒等式においての場合がビアンキの第二恒等式（）である。
成分表示.
アフィン接続の場合の性質.
このとき、次が成立する：
ビアンキの第一および第二恒等式は以下のようにも書くことができる：
さらに次が成立する：
としている。}}、以下が成立する：
次の事実が知られている：
ビアンキの第二恒等式は以下のようにも書ける
ここで
断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率.
定義から明らかなように、以下が成立する：
実は断面曲率は曲率テンソルを特徴づける：
部分リーマン多様体における断面曲率.
共変外微分による曲率の特徴づけ.
本節では共変外微分の概念を導入し、この概念を用いて曲率概念を特徴づける。
共変外微分.
まず共変外微分の概念を導入する。
をの接続とし、
とする。
共変外微分は以下を満たす：
共変外微分は通常の外微分と違い、
となるとは限らない。しかし
曲率の特徴づけ.
一般の接続へ.
第一に、リーマン多様体であればから定義される曲率テンソルを使って記述できた恒等式、例えば（第二）構造方程式や（第二）ビアンキ恒等式は、一般のベクトルバンドルではを使わないと記述できない（曲率の章を参照）。