直線でない一般の函数では、傾きを持たないことが起こる。幾何学的には、点 における の微分係数とは函数 の点 における接線の傾きのことをいい、上記の差分商の極限（微分商）に等しい。これはしばしばラグランジュの記法に従って , あるいはライプニッツの記法に従って と書かれる。微分商は の における線型近似の傾きであるから、この微分商（と における の値）は点 の近くで の最適線型近似あるいは線型化を決定する。
 の定義域の各点 において微分商が存在するならば、各点 を の における微分商へ写す函数（導函数）が存在する。例えば、 とすれば導函数は である。
これと近しい関係の概念として、函数の微分がある。接点 を原点として、各軸に平行な座標軸 , を持つ局所座標系を考えるとき、この座標系において原点を通り傾き の直線（すなわち、もとの座標系でみれば の における接線）は で表される。これは における増分 の線型化、線型主要部であり、 は の における微分と呼ばれる。
 および が実変数のときは の における微分商は のグラフの における接線の傾きであり、 の始域と終域は一次元であるから、 の微分商は実数として与えられるが、 および がベクトル変数のとき、 のグラフの最適線型近似は が一度に複数の方向へどれほど変化するかに依存する。一つの方向に関する最適線型近似をとることは偏微分係数（通常、 と書かれる）を決定する。一度にすべての方向への の線型化は全微分 という。
微分法の歴史.
応用.
最適化問題.
 は実数直線 （またはその開区間）上で定義された可微分函数で、 は の極大値または極小値を与える点とするとき、 の導函数の における値は零に等しい。 なる点は臨界点またはと呼ばれ、また の における値はと呼ばれる（臨界点の定義は、微分係数が存在しない点まで含めるように拡張することがある）。逆に、 の臨界点 を の における二階導関数を考えることで調べることができる:
これはと呼ばれる。別なやり方として、は臨界点の前後における の符号の変化を見る。