微小角度 を用いると、弧長は で計算できるので、角度を から まで積分すれば良いから、
となる。
円周と面積.
 は を用いて、次のように表すことができる。
なお、重積分で考えると、ヤコビアンを とおいて積分すれば良いから、
となる。ヤコビアンの概念を上記のような場合に限って大雑把に捉えたならば、円周を円の半径 について、区間 で積分すればその面積が求まることになる。逆に、面積を微分すれば円周が求まることになる。さらに円周を微分すれば、ラジアンの定義より、周角（全角）が求まることになる。
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斎藤清作
微細構造定数
歴史的な経緯から、複数の電磁気量の単位系とそれらが基づく量体系があるが、微細構造定数は無次元量で、単位はなく、量体系に依らず値は変わらない。微細構造定数の値は
である。
他の物理定数との関係.
微細構造定数は
と表される。ここで、 はプランク定数、 は電気素量、 は自由空間における電磁波の特性インピーダンスである。電磁相互作用の大きさを表す結合定数である電気素量を、量子論を特徴付ける普遍定数であるプランク定数で関係付けている量といえる。
特性インピーダンスは複数ある電磁気量の体系のうち、どの量体系に基づいているかを決める定数である。
国際量体系においては、電気定数 、磁気定数 、および光速度 により で表されるので、微細構造定数は
となる。
素粒子物理学ではしばしば に固定する自然単位系が用いられるので
となる。
ガウス単位系は とする量体系に基づいているので
である。
原子単位系では に固定するので
となる。
物理定数の比.
微細構造定数は同じ次元を持つ物理定数の間の比例係数となる。
長さ.
電子のコンプトン波長 に対して、ボーア半径 は
であり、古典電子半径 は
である。
また、リュードベリ定数 の逆数は
となる。
エネルギー.
電子の静止エネルギー に対して、ハートリーエネルギー は
である。
歴史.
微細構造定数はボーア模型において基底状態にある電子の速度の光速度に対する比に等しく、ゾンマーフェルトの解析の中で自然に現れ、水素原子のスペクトル線の分裂の大きさを決めている。