微分積分学の基本定理は一変数の関数に対するものだが、多変数関数への拡張は、ストークスの定理として知られる。
定理.
微分積分学の基本定理として知られる定理にはいくつか（等価でない）バリエーションがある。
ストークスの定理
ストークスの定理.
ベクトル解析におけるストークスの定理は、ベクトル場の回転を曲面上で面積分したものが、元のベクトル場を曲面の境界で線積分したものに一致することを述べたものであり、以下のように記述される。
ここで は積分範囲の面、 はその境界の曲線である。
ストークスの定理を用いることで、電磁気学ではマクスウェルの方程式からアンペールの法則などを導くことができる。
歴史.
応用.
アンペールの法則.
ストークスの定理の応用の一つして、電磁気学におけるマクスウェル方程式からのアンペールの法則の導出がある。時間に依存しない静電場、静磁場を考える。このとき、電荷密度は定数であり、電流は定常状態にある。この場合、静磁場は時間に依存しないマクスウェル方程式
を満たす。但し、 は真空の透磁率、 は電流密度である。ここで、任意の閉曲線 に沿って、静磁場 の線積分を行えば、ストークスの定理より、 を境界とする曲面 に対し、
が成り立つ。右辺を前述の静磁場と電流密度の関係式を用いて、書き換えれば、
を得る。右辺の電流密度の面積分は閉曲線 を貫いて流れる電流 に対応しており、
が成り立つ。このある曲面を貫いて流れる電流 とその周囲に発生する静磁場を結ぶ関係をアンペールの法則と呼ぶ。
ファラデーの電磁誘導の法則.
電磁気学におけるストークスの定理の別の応用例として、マクスウェル方程式からのファラデーの電磁誘導の法則の導出がある。空間に固定された閉曲線 に沿った誘導起電力は
で定義される。 を境界とする曲面 に対し、ストークスの定理を適用すれば、
となる。右辺の被積分関数にマクスウェル方程式
を適用すれば、
と表せる。ここで、右辺の磁場 の面積分は磁束 であり、
が成り立つ。この誘電起電力が磁束の時間変化で与えられるという関係をファラデーの電磁誘導の法則と呼ぶ。
微分形式による表現.
とすると、 に外微分を作用させた は
と表すことができる。
微分形式による一般化.
境界付き多様体上の微分形式に対する一般化されたストークスの定理は次のように定式化される。