丘陵のもっとも急峻な傾きが とすると、その丘陵を真っ直ぐ上る道の最も急峻な傾きも となるが、代わりに適当な角度をつけて丘陵をぐるりと回る道を行けば、傾きはもっと緩やかになるはずである。
例えば、道と真っ直ぐ坂を上がる方向との間の角度が、水平面に投影して になっていれば、その道の最も急峻な傾きは （ に の余弦を掛けたもの）になるはずである。
この考察を数学的に述べると以下のようになる。丘陵の高さを表す関数 が微分可能であるものとすれば、 の勾配に単位ベクトルとの内積をとれば、そのベクトルの方向への丘陵の傾きが得られる。もう少し形式的に書くと、 が可微分であるとき、 の勾配と与えられた単位ベクトルとの内積は、その単位ベクトルの方向への の方向微分に等しい。
定義.
スカラー関数 の勾配（勾配ベクトル場）は、ベクトル微分作用素 （ナブラ記号）を用いて、 あるいは と書かれる。勾配を と書くことも広く行われている。
 の勾配 とは、各点 において任意の空間ベクトル とのドット積が の に沿う方向微分に一致するベクトル場として一意的に定義される。式で書けば、勾配は
で決定されるということである。直交座標系において、勾配は成分が の偏微分で与えられるベクトル場
である。ただし、 はこの座標系の目地を描く直交単位ベクトルである。
関数が例えば時間のようなパラメータにも依存する場合、その勾配とは単に空間成分の微分のみからなるベクトルを指すことも多い。
三次元デカルト座標系においてこれは、 を基本単位ベクトルとして
と書ける。例えば関数 の勾配は となる。
応用に際して、勾配をその直交座標系に関する成分の成す行ベクトルもしくは列ベクトルとして表示することもある。
勾配と全微分の関係.
写像の線型近似.
ユークリッド空間 から への関数 の、任意の点 における勾配は、 における の最適線型近似を特徴づけるものである。即ち、線型近似式は にほど近い に対して
全微分.
関数 の点 における最適線型近似は、 から への線型汎関数であり、 における の微分係数あるいは全微分係数 と呼ばれる。従って勾配は全微分係数との間に
なる関係で結ばれている。 を へ写す関数 は の全微分または全導関数と呼ばれ、これを一次微分形式と解釈して の外微分と見做すこともできる。