スキームの言葉を用いると、体 上の線型代数群 は特に 上の である。つまり、 上のスキームであって 有理点 と 上の射
を持ち、群の積と逆に関する通常の（結合律・単位元・逆元に関する）公理を満たす。さらに線型代数群は滑らかで 上有限型であり、アフィン・スキームである。逆に、どんな体 上の有限型アフィン群スキームもある自然数 に関して 上 への忠実表現を持つ。例としては上述の加法群 の への埋め込みがある。その結果、線型代数群を行列群、あるいはより抽象的に体上の滑らかなアフィン群スキームと思うことができる。（「線型代数群」という用語を体上の有限型アフィン群スキームの意味で使う著者もいる。）
基本的な概念.
がある。ここで は有限代数群である。（代数的閉体 に対して、 は抽象有限群と同一視できる。）このため、代数群の研究の多くは連結群に焦点を合わせている。
抽象群論における様々な概念は線型代数群へ拡張できる。線型代数群が可換・・可解であるとは何を意味するかを定義するのは、抽象群論における定義の類似から、単純である。例えば、線型代数群が可解 であるとは、線型代数部分群からなる組成列であって、その商群が可換となるものを持つことである。同様に、線型代数群 の閉部分群 に対し、その正規化群・中心・中心化群は自然に の閉部分群スキームと見做せる。もしそれらが 上滑らかならば、上で定義した線型代数群である。
体 上の連結線型代数群 が持つ性質は抽象群 によってどの程度決定されるのかを問うことができる。この方面における有益な結果として、もし体 が完全（例えば標数 ）、あるいは が簡約（後述）ならば、 は 上単有理的 であるというものがある。加えて が無限体ならば群 は において である。例えば、上述の仮定の下で、 が可換・べき零・可解である必要十分条件は が対応する性質を持つことである。
代数的閉体上では、代数群に関して代数多様体としてより強い結果がある：代数的閉体上のすべての連結線型代数群は有理多様体である。
リー代数と代数群.
を与える。
半単純元とべき単元.