が成り立つ。ここで は の 次係数である。等式 () はより一般に、複素数 に対して
とできる。これは の代わりに多項式 とするとき、 がやはり 次以下の多項式であることと 次係数が であることに注意すれば、等式 () を適用して直ちに得られる。
級数
は に対して収束する。この等式はを調べるのに利用できる。これを見るには
が成り立つことを に関する帰納法で示せばよい。
等式 () から および が得られる。
により、 として を境に 刻みに取った二項係数の総和と 項の閉じた形の式の和との間の等式
が示せる。
組合せ論的に証明できる等式.
二項係数を含む多くの等式が証明することができる。例えば なる非負整数に対して
（ のとき () に簡約される）は、以下のようにできる。左辺は集合 の少なくとも 個の元を含む部分集合を選び、選ばれた元のうち 個に印をつける方法を数えている。右辺も同じものを数えるのだけれども、 個の元のうち 個に印をつける方法が 通りあり、その各々について印をつけた 個を含む部分集合を得るには印の付いた 個に残りの 個の元から任意に追加すればよいから、そのような仕方は 通りである。
パスカルの法則
等式 (), 再掲すると
も組合せ論的に証明できる。 個の□を一列に並べ、それらのうちの 個を選んで印を付けることを考える。そのような方法は 通りである（右辺）。他方、そのような 個の□を選ぶときに、 個は前半の 個から、残り 個は後半の 個から選ぶとして に亙って考える。これにより が得られるから、等式 () を適用して所期の結果を得る。
ディクソンの等式.
は
あるいはより一般に
で与えられる。ここに は非負整数である。
連続等式.
ある種の三角積分は二項係数で表される値を持つ。 を非負整数として:
これらはオイラーの公式で三角函数を複素指数函数に変換して、二項定理で展開して項別積分すれば示せる。
母函数.
通常母函数.
固定した に対して作られる数列 の通常母函数は
で与えられる。固定した に対して作られる数列 の通常母函数は
である。一般の非負整数 に対する二項係数の は
を満たす。二項係数に対する別の形の二変数母函数は、対称函数として
で与えられる。
指数型母函数.
二項係数に関するは
となる。
可除性.