を適用すればよいから、以下本項では主に自然指数関数について記述し、多くの場合「指数関数」は自然指数関数の意味で用いる。
歴史と概観.
ある量の変化（増大または減少）率がその量の現在値に比例するというような状況において、指数関数は生じてくる（指数関数的増大または指数関数的減少）。
そのような例として、連続的複利計算があり、実はヤコブ・ベルヌイが においてこのような複利計算から今日 と書かれる数（ネイピア数）
を与えた最初の人はオイラーである。これは数ある指数関数の特徴付けの一つであり、ほかにも冪級数や微分方程式を用いた定義などがある。
どの定義に従ったとしても、指数関数は以下の基本的な関係（指数法則）
を満たすから、指数関数を の冪乗とみなし、 と書くこともある。
指数関数の変化率、即ち導関数は指数関数自身に一致する。より一般に、変化率が自分自身と（そのものではなく）比例するという性質を持つ関数は、指数関数を用いて表すことができる。関数のこのような性質は指数関数的増加や指数関数的減少と呼ばれる。
性質.
厳密な定義.
で定義するのが典型的である。これは他の方法で指数関数を定義した場合に導くことのできる、指数関数のテイラー級数そのものである。
の解 と定めることもできる。あるいはまた、以下の極限
によっても同じものが定まる。
微分.
底がネイピア数 、すなわち
である指数関数 の導関数は 自身となる。
解析学においてはこの性質を満たす関数として指数関数を定義する。つまり、指数関数 とは、
を満たす関数のことである。この関数は代数的な定義で示される性質を満たし、両者は一致することが示される。
一般の指数関数 の導関数は自然対数 を用いて、合成関数の微分公式より、
概要.
性格.
明るく楽天的で、行動力があり、直感的に物事を判断するリーダー。基本的には落ち着きがあり倫理的な行動規範を持つものの、しばしば激昂したりルールを無視する場面が見られる。
常に氷のように冷静なスポック副長、皮肉屋の旧友レナード・マッコイ船医との掛け合いはドラマの見どころのひとつとなっている。後のシリーズと異なり、率先して危険な惑星上陸任務に赴き、これを指揮する船長（宇宙艦隊の規約などの設定が固まっていなかったという点もある）。
経歴.
ケルヴィン・タイムライン.