などで表す。この集合 は上記の和とスカラー倍によって、それ自身一つのベクトル空間になる。特に としたとき、つまりベクトル空間 上の線型汎函数の空間
は の（代数的）双対空間と呼ばれる。特にまた
なる同型が成り立つ。
や などと表す。 は写像の合成を積として 上の一般線型群と呼ばれる群を成す（単位元は恒等写像、逆元は逆写像で与えられる）。
行列表現.
が成り立つ。各基底の行き先 が分かれば、この写像は一つに決まる。このとき
と書くことができる。基底の変換
を行うとき、 は正則行列で , であり、
が成立するから、表現行列は に置き換わる。
適当な基底を固定して各線型写像 に対応する行列を と書けば、
が成り立つから、特に 上のベクトル空間 の 上次元がそれぞれ であるとき、
というベクトル空間の同型が成り立つ。また、合成に関しても
（右辺は行列の積）となるから、特に のとき
は結合多元環の同型になる。これらの同型が成り立つことをもって、線型写像が行列によって表現されるという。
線型写像の連続性.
一般に無限次元のベクトル空間を扱うとき、空間には付加的な構造として位相が定められているのが普通であり、そのような空間では線型写像の連続性を考察することができる。有限次元空間上の線型写像は必ず連続であり、したがって不連続線型作用素の概念は特に無限次元の場合において意味を持つ。
行列式
数学における行列式（ぎょうれつしき、）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。
概要.
とするとき、これは
により指定されると考えることができる。このとき が成り立っているが、これは の定める線型変換によって平面内の図形の面積が 倍される、と解釈できる。
定義.
抽象的な定義.
は一意的に定まるある に関する定数倍写像と一致する。この は の行列式 と呼ばれる。
明示的な定義.
 次正方行列 の 行 列成分を で表すと、 の行列式は、次の式で定義される：
ここで、
を表す。