ここで、各 に対してさらに二つ、 および を識別点に加える（片方が区間 を外れるならばその点は考えない）と、 は小区間 に対応する識別点になる。 が直接 のどれかの上にあるならば、 は二つの小区間 と の双方に対応する識別点とする。さらに、これら以外の小区間の識別点を選ばなければならないが、その選び方はいま二種類を挙げることができる。一つは全ての識別点を有理数にとる方法で、これによってリーマン和は可能な限り大きくとれて、よりも大にすることができる。もう一つは、識別点を全て無理数にとる方法で、これによりリーマンはは可能な限り小さくできて、 で抑えられる。
任意の分割から始めて、最終的にリーマン和を にも にも望むだけ近くすることができたから、リーマン和が特定の数 に収束するという主張は偽となり、この函数 はリーマン可積分でないことが示された。実はこの函数はルベーグ可積分であり、函数が殆ど至る所 であるから、ルベーグの意味での積分値は であるけれども、しかしこのことはリーマン積分に影響を及ぼすものではない。
類似概念.
微積分学の教科書によっては、一般の点付き分割を用いずに特定の種類の点付き分割のみに限って用いるものがあるが、分割の種類を限定しすぎると、実際にはリーマン積分不能な函数が可積分であるように見えてしまうことがある。
よくある制限は「左側」リーマン和と「右側」リーマン和である。左側リーマン和は各 に対して ととるもので、右側リーマン和は同じく ととるものをいう。これらの制限はだけでは問題となるわけではなく、任意の分割を各 で再分割することにより左側リーマン和または右側リーマン和を得ることができる。より厳密な言い方をすれば、左側リーマン和全体の成す集合と右側リーマン和全体の成す集合とは、点付き分割全体の成す集合において共終である。