（注意：逆正割関数の終域を と定義する著者もいる、なぜならば正接関数がこの定義域上非負だからである。これによっていくつかの計算がより首尾一貫したものになる。例えば、この終域を用いて、 と表せる。一方で終域 を用いる場合、 と書かねばならない、なぜならば正接関数は 上は負でないが 上は正でないからである。類似の理由のため、同じ著者は逆余割関数の終域を と定義する。）
 が複素数であることを許す場合、 の終域はその実部にのみ適用する。
三角関数と逆三角関数の関係.
逆三角関数の間の関係.
余角：
負角：
逆数：
表から の項目を参照すれば：
ここでは複素数の平方根を、正の実部（あるいは平方が負の実数であれば正の虚部）を持つように選ぶ。
逆正接加法定理.
これは正接の加法定理
から
とすることで導かれる。
微分積分学.
逆三角関数の導関数.
 の複素数値の導関数は次の通りである：
 が実数である場合のみ、以下の関係が成り立つ：
導出例： であれば：
定積分としての表現.
導関数を積分し一点で値を固定すると逆三角関数の定積分としての表現が得られる：
 では被積分関数値は定義できないが、定積分としては広義積分としてきちんと定義されている。
級数.
正弦・余弦関数のように、逆三角関数は次のように級数を用いて計算できる：
レオンハルト・オイラー () は逆正接関数のより効率的な級数を見つけた：
代わりにこれは次のようにも書ける：
ここから次の級数も得られる：
変種：逆正接関数の連分数.
逆三角関数の不定積分.
実および複素値 に対して：
と置換する。すると
そして
が出る。
複素平面への拡張.
対数を使った形.
これらの関数は複素対数関数を使って表現することもできる。これらの関数の対数表現は三角関数の指数関数による表示を経由して初等的な証明が与えられ、その定義域を複素平面に自然に拡張する。
とおくと、
正弦の指数関数による定義より
を得る。
とおくと
これを について解くと、
応用.
一般の解.
応用：直角三角形の鋭角の計量.
逆三角関数は、直角三角形において、辺の長さから鋭角を求めるときに有用である。例えば の直角三角形による定義を思い出すと