ここでの曲線の定義は、幅が無く途切れもない直線のような連結で連続な図形という曲線に対する我々の直観的概念をよく捉えているものになっているが、一般的な意味では曲線とはいいがたい病的な図形も含まれてしまう。例えば、平面上の正方形を像が被覆するような曲線（空間充填曲線）が存在する。単純平面曲線の像が一つ大きいハウスドルフ次元を持ち得る（コッホ雪片を参照）し、さらに正のルベーグ測度さえ持ち得る（それはペアノ曲線の構成を少し変更すれば作れる）。ドラゴン曲線はもうひとつの変な例である。
曲線の長さ.
で定義される量を言う。曲線の長さは のパラメータの取り方に依らないことに注意せよ。特に、閉区間 上定義された連続的微分可能函数 のグラフ の長さ は
で与えられる。より一般に が距離函数 を持つ距離空間とすれば、曲線 の長さは
と定義できて、
が示される。
微分構造.
 は実数直線内の区間とする。 が可微分多様体であるとき、 内の可微分曲線の概念を考えることができる。厳密さをさておけば可微分曲線とは局所的に単射可微分写像 で定義される曲線である。より厳密には、可微分曲線は の部分集合 であって、 の各点に近傍 が存在して、 が実数直線内の区間に微分同相となる。すなわち、可微分曲線は一次元の可微分多様体である。この概念は、数学における曲線の使用の大半の部分をカバーするのに十分一般なものである。局所的に見れば はユークリッド空間 ととることができる。他方、より一般であることは有用で、例えば、可微分曲線の概念を用いて の接ベクトルを定義することができる。
代数曲線.
平面代数曲線は射影平面内の曲線として計算することもできる。曲線が全次数 の多項式 で定義されているとき、 は斉次次数 の斉次多項式 に簡略化できる。 を満たす の値はもとの曲線を完備化した射影曲線上の曲線上の点の斉次座標を与えており、特にもともとの曲線上の点は が非零であるような点として表される。例えば はそのアフィン形が で与えられる。この斉次化の過程はより高次元の空間内の曲線に対しても同様に定義できる。