特定の二次形式の研究（特に、与えられた整数が整係数二次形式の値として得られるかといったような問題）は何世紀も遡れるものである。そういったものの一つに「どのような整数が整数 の平方和 の形に表されるか」というフェルマーの二平方和定理がある。この問題は、ピタゴラス数を求める問題に関係しており、こちらは紀元前2千年紀には既に存在していた問題である。
実二次形式.
に直せることを注意している。ゆえに対応する対称行列は対角行列であり、これは直交行列による変数変換で実現できる。この場合、係数 は実は番号の並べ替えの違いを除いて一意に決まる。変数変換が（必ずしも直交でない）正則行列によって与えられるならば係数 を の何れかにすることができる。シルベスターの慣性法則 によれば および の数は（どんな対角化によっても変わらないという意味で）二次形式の不変量である（ の数を , の数を とするとき、組 を二次形式の符号数 という）。
すべての が同じ符号を持つ場合は特に重要で、すべて となるとき二次形式は正定値 であるといい、すべて のとき負定値 であるという。 が も も含むとき、不定値であるという。また、 となる項が存在しないとき、二次形式は非退化 であるといい、これには正定値、負定値、不定値の場合が含まれうる。あるいは同じことだが、非退化二次形式とはその付随する対称双線型形式が非退化であるものをいう。符号数 をもつ不定値で非退化な二次形式をもつ実ベクトル空間は、しばしば と表され、特に物理学における時空の理論などで用いられる（ミンコフスキー空間の項などを参照せよ）。
以下、これらの結果を異なるやり方で再定式化しよう。
に従って変換される。任意の対称行列 は、適当な直交行列 を選ぶことにより、対角行列