ベクトル空間の次元のようなものとして、任意のアーベル群は階数と呼ばれるものを持つ。整数の加法群 および有理数の加法群 は階数 であり、 の任意の部分群についても同様である。
一般の群 の中心 は の任意の元と交換する の元全体の成す部分群であった。明らかに群 が可換であるための必要十分条件は が中心 に一致することである。中心 は必ず の特性部分アーベル群となる。中心で割った剰余群 が巡回群ならば はアーベルである。
有限アーベル群.
素数位数の任意の群は巡回群に同型であり、ゆえにアーベル群である。また、位数が素数の平方であるような任意の群はアーベル群となる。実は任意の素数 に対して位数 の群は、同型を除いて と のちょうど二種類しかない。
これは有限生成アーベル群の基本定理の特別の場合（階数 の場合）である。位数 の巡回群 が と の直和に同型となるための必要十分条件は と が互いに素となることである（中国の剰余定理）。これにより任意の有限アーベル群 が
なるかたちの直和に同型となることが従うが、位数 に関しては標準的に二種類：
の仮定のうちの何れかを課すことで一意に定まる。
無限アーベル群.
もっとも単純な無限アーベル群は無限巡回群 である。任意の有限生成アーベル群 は の適当な 個のコピーと有限個の素冪位数巡回群の直和に分解可能なアーベル群との直和に同型である。この場合、分解は一意ではないけれども、上記の定数 は一意に定まり（ の階数と呼ばれる）、分解に現れる素数冪は全体として有限巡回直和因子すべての位数を一意的に決定する。
対極的な性質を持つ無限アーベル群の重要な二つのクラスに、とがある。例えば、加法群の商 はねじれアーベル群の、加法群 はねじれのないアーベル群のそれぞれ例になっている。
ニールス・アーベル
業績.