一般化された冪は、複数の集合上で定義される演算や追加の構造を持つ集合に対しても定義することができる。例えば、線型代数学において勝手な添字集合上でのベクトル空間の直和を考えることができる。つまり をベクトル空間として
を考えるとき、任意の について とすれば得られる直和を冪記法を用いて あるいは直和の意味であることが明らかならば単に のように書くことができる。ここで再び集合 を基数 で取り替えれば を得る（濃度 を持つ特定の標準的な集合を選ぶことなしに、これは同型を除いてのみ定義される）。 として実数体 を（それ自身の上のベクトル空間と見て）とれば、 を適当な自然数として線型代数学でもっともよく調べられる実ベクトル空間 を得る。
配置集合.
圏論における冪対象.
デカルト閉圏において、任意の対象に対して別の任意の対象を冪指数とする冪演算を冪対象によって与えることができる。集合の圏における冪対象は配置集合であるから、これはその一般化になっている。考えている圏に始対象 が存在するならば、冪対象 は任意の終対象 に同型である。
順序数・基数の冪.
集合論では基数や順序数の冪演算も定義される。
基数 に対して冪 は基数 の任意の集合から基数 の任意の集合への写像全体の成す集合の基数を表す。 がともに有限ならばこれは通常の算術的な（つまり自然数の）冪演算と一致する（たとえば、二元集合から元を取って得られる三つ組全体の成す集合の基数は で与えられる）。基数の算術において は常に（特に が無限基数や であるときでさえ） である。
基数の冪は順序数の冪とは異なる。後者は超限帰納法を含む過程の極限として定義される。
反復冪.
自然数冪が乗法の反復として考えられたことと同様に、冪演算を繰り返す演算というものを定義することもできる。それをまた反復すれば別の演算が定義され、同様に繰り返してハイパー演算の概念を得る。このようにして得られるハイパー演算の列において、次の演算は前の演算に対して急速に増大する。
写像の冪の記法に関する注意.
合成冪.