よって運動量は空間並進の生成子である。
よってエネルギーは時間並進の生成子である。
場の理論におけるネーターの定理.
場の量を扱う場の解析力学や場の量子論においても、対称性は基本的な概念であり、ネーターの定理がしばしば応用される。ネーターの定理によって導かれる保存則に登場するネーターカレントや、ネーターチャージは特に重要な概念になっている。
とする。
系が座標と場との微小変換
に対して対称性をもち、この変換の下で作用が不変であるとする。
このとき、ネーターカレント
が保存し、連続の方程式
を満たす。
このとき、ネーターカレントは
となる。
特に微小変換が次のようなパラメータの線型結合
で書かれている場合には、ネーターカレントはパラメータの成分毎に
と書くことができて、それぞれに連続の方程式
を満たす。
ネーターカレントの時間成分を空間積分した
はネーターチャージと呼ばれる。
これは微小変換の生成子(無限小生成作用素)
となる。
例.
場の理論における例.
時空の並進対称性.
座標変換において、無限小の平行移動を考える。
これに付随する場の無限小変換は
であり、ネーターカレントは
保存則は
であり、エネルギーと運動量の保存則を表している。
対応するネーターチャージ
はエネルギー並びに運動量であり、時空の併進の生成子
となる。
ローレンツ変換.
無限小ローレンツ変換
を考える。これに付随する場の無限小変換は
このとき、ネーターカレントは
保存則は
であり、角運動量の保存則を表している。
対応するネーターチャージ
は角運動量とブースト演算子となる。
位相変換.
複素場を考えて場の位相を変える変換を考える。
このとき、ネーターカレントは
であり、電荷の保存則を表している。
対応するネーターチャージ
は電荷である。
導出.
を満たしているとする。
微小変換
を考える。
このとき、系が対称性を持つとは、作用積分
となることである。
この微分を計算すると、
である。運動方程式を用いれば、
となる。また、
から、
従って、
が保存する。
ハミルトニアンを用いれば
と書けて、ポアソン括弧を用いれば
を得る。
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イオンタウン松本村井
概要.
主なテナント.
など
デニス・リアリー
略歴.