いま言った例を推し広げて、最も直ちに考え付くのは正方行列に多項式函数を適用するという事例である。話が有限次元の場合であるならば、この多項式汎函数計算から得られる作用素の情報というのは極めてたくさんある。例えば、ある作用素 を零化するような多項式族を考えると、この族は多項式環のイデアルであり、さらに言えば非自明なイデアルである（零化イデアル）。つまり、行列環の有限な次元 について は線型従属だから、 を満たす少なくとも一つが でないスカラー が存在するが、これはつまり多項式 が件のイデアルに属することを意味する。さて多項式環は主イデアル整域であるから、件のイデアルはある多項式 によって生成され、それはまさに作用素（今の場合は行列） の最小多項式に他ならない。だから例えば、スカラー が行列 の固有値となるための必要十分条件が、 が最小多項式 の根となることなどがわかる。また、行列 の指数函数を計算するのにも最小多項式 を利用することができる。
汎函数計算の技術的な取扱いについては、以下の各項へ：
多項式函数
ここでは定義を複雑にしないために多項式函数の定義域および終域 については特に限定しないが、事実として は 上の単位的結合多元環の構造を持てば十分である。つまりそのような構造は多項式函数の定義に現れるすべての演算を持っている:
実用上は大抵、実変数実数値 () や複素変数複素数値 () となる特別の場合を扱うが、その場合は上記に現れるすべての乗法は一つの同じ演算である。
解析学で多項式函数を扱う場合には、連続性や可微分性などを議論の埒に入れることになるから、専ら実係数 () あるいは複素係数 () である。
次数.
非零多項式函数 の次数とは が零でない最大の自然数 をいう（ゆえに次数 ならば は必ず非零である）。零多項式の次数は であるものと約束する。
多項式函数の の形の各項は（次数 の）単項式函数と言う。最高次単項式の係数は先頭係数または最高次係数と呼び、また は定数項係数（零次係数）と呼ぶ。
係数の決定.
注意すべきは、 が有限体ならばこのような係数の同定はもはや可能でないことである。例えば が二元体 のとき、多項式 に付随する多項式函数は零値函数である。
特定の多項式函数.
例えば多項式函数 は三次函数の例で、最高次係数は および定数項は である。