部分集合の零化域はそれ自身がベクトル空間を成す。特に、空集合の零化域は（から） 自身 ()であり、また の零化域は零部分空間 () である。さらに言えば、 の部分空間にその零化域を対応させることは包含関係を逆にする操作、すなわち部分空間の包含列 に対し
が成り立つ。また、 の二つの部分集合 に対し
が成り立ち、 が有限次元のときはこれは等号で成り立つ。これはさらに適当な添字集合 で添字付けられる の任意の有限部分集合族 に対して 
が成り立つから、特に の部分集合 に対して
となることを導く。
有限次元ベクトル空間 とその部分空間 に対し、二重双対の自然な同型 による の像を と同一視するとき
が成り立つ。従って特に、零化域をとる操作は有限次元ベクトル空間の部分空間束上のを定める。
 の部分空間 に対し、商空間 はそれ自身ベクトル空間であり、その双対を考えることができる。第一同型定理によれば、汎函数 が 上の汎函数を誘導するのは が の核に含まれるとき、かつそのときに限るから、同型
が導かれる。特に、 が二つの部分空間 と との直和に分解されるとき、 は と の直和に分解される。
ドイツの歌
『ドイツの歌』（ドイツのうた、）または『ドイツ人の歌』(ドイツじんのうた、）は、ドイツ連邦共和国の国歌である。
概要.
ただし、現在でもドイツでは国歌に関する正規な法律は制定されていない。
歴史.
経緯.
ドイツ帝国時代まで.
ワイマール共和国からナチス・ドイツまで.
冷戦以降.
第二次世界大戦後、連合国を始め他国の人々からは、『ドイツの歌』はナチスの狂信的人種差別と世界制覇の野望を強烈に表す象徴と見られており、連合軍は『ドイツの歌』を禁止にして処罰の対象とした。しかし、、その禁を破ってこの歌が再び歌われた。
西ドイツではナチス・ドイツ時代に使用されたこの国歌を引き継ぐのに抵抗を感じ、全く新しい国歌を制定しようとする試みがあった。ホイス大統領は、民主的国家としてのドイツの新たな始まりを明らかにするために、新しい国歌が必要であると考えていた。
歌詞への評価.
1番.
ドイツ民族の統一に対しての展望が書かれている。歌詞中にあるフレーズ「 統一（団結）と正義（権利、法）と自由」は、。