BSD予想は、クレイ研究所のミレニアム懸賞問題の一つである。予想は、問題を楕円曲線により定義される解析的で数論的な対象に依拠して記述している。
整数係数 で、
有限体 上の楕円曲線のゼータ関数は、ある意味で、有限な体の拡大 の中の の点の数の情報を集める母関数 である。この母関数は、
で与えられる。
冪の右肩に乗っている指数の和は、対数の展開に似ていて、実際、そのように定義されるゼータ関数は有理関数
である。
よって、 上の のハッセ・ヴェイユのゼータ関数は、全ての素数 についてのこれらの情報を互いに集めることにより定義される。すなわち、
と定義される。ここに、 が で良い還元を持つ場合は、 であり、そうでない場合は である(良い還元を持たない場合は、 が上記とは異なる定義となる）。
モジュラー性定理とフェルマーの最終定理への応用.
の形に書くと、
に関係付けられている。
別な定式化は、一方では楕円曲線に、他方ではモジュラー形式に関連するガロア表現の比較に依拠している。モジュラー形式に関係付けられた定式化は予想の証明に使用された。形式のレベルを扱うこと（と曲線の導手との関係）は特に微妙である。
は、零ではない整数解を持つとする、つまり、フェルマーの最終定理の反例であるとすると、判別式
の楕円曲線
整数点.
が成り立つ。この写像φを楕円対数と呼ぶ。
この方法は が知られているときには整数点の大きさに対する計算可能な上界を与えるが、前にも述べたように 自体を特定するアルゴリズムが知られていないため、この方法は一般の楕円曲線に対しては理論上は必ずしも有効ではない。
一般の体上の楕円曲線.
楕円曲線は任意の体 上で定義することができる。楕円曲線の公式な定義は、 上で定義された点を持ち、種数 の 上の非特異射影代数多様体ことを言う。
 の標数が でも でもなければ、全ての 上の楕円曲線は、
の形をしている。
標数 の場合は、以上のようなことな不可能で、最も一般的な方程式である
が、非特異な多様体を与える。標数が問題にならない場合は、各々の方程式は、適切な変数変換により前の方程式となる。
一般の体 上の楕円曲線は、射影平面 の非特異三次曲線