このような座標に依らない記述法は、テンソルが自然に現れる抽象代数学およびホモロジー代数においても重々用いられる。
一方、物理学において慣例的に用いられる座標に基づくテンソルの添字表記法は、テンソル空間の元 を、台となるベクトル空間 の基底とその双対空間 の双対基底を用いて
と展開するときの、スカラー成分
として理解することができる（擬テンソルなどはこの構成に含まれず一般テンソル空間を考える必要がある）。
定義.
共通の体 上のベクトル空間の有限集合 が与えられたとき、それらのテンソル積 はふたたび 上のベクトル空間であり、またその元はテンソルと呼ばれる。特に一種類のベクトル空間 から作られるテンソル積空間
を 上のテンソル空間と呼び、その元（ベクトル）をベクトル空間 上のテンソルと言う。ここに は の双対空間である。
普遍性.
テンソル空間 は多重線型写像を用いた普遍性によって特徴づけることができる。それによって、多くの線型写像が「自然」あるいは「幾何学的」（つまり基底の取り方に依らない）ことを示す手段が与えられるという点で、この特徴付けは優位である。また、テンソル積は自由加群に対してのみ用いるものではないが、普遍性を用いる方法によればより一般の場合にまで容易に持ち込めるという側面もある。
ベクトル空間の直積（あるいは直和）上で定義された実数値函数
に対して線型写像
が一意に存在して、任意の および に対して
が成り立つ。
が得られる。特に、, , が成り立つ。
テンソルの階数.
に書けるならば、 は階数 である。より一般に、行列 の階数はこのような二項積の和
として表すことができるときの右辺の項数の最小値に等しいのであった。同様に階数 のテンソル（単純テンソル）は または の非零な元 を用いて
の形に表されるテンソルを言う。これはつまり非零な完全分解可能テンソルである。添字記法で書けば、階数 のテンソルとは
なる形のテンソルということになる。任意のテンソルは単純テンソルの和に書くことができ、一般のテンソル の階数はそれを単純テンソルの和に表すときの項数の最小値として定義される。