先程の速度ベクトルの式と比べてみるとこれは、速度ベクトルと の勾配
の内積と見ることができる。
つまり、速度ベクトルと の勾配を組み合わせることによって、局所座標系に依存しないものが得られることになる。ここで、 は 上の 級関数であり、定数関数かもしれないし、 だけを変数にとるといったような必ずしも多様体 の性質を反映しない関数かもしれないということを考えると先程の式は
のように関数 とそれに作用する作用素とに分け、この作用素を接ベクトルと定義するのである。
すなわち、局所座標系に依存しない速度ベクトルのようなものを探し求めた結果
という形をした微分作用素の一次結合（接ベクトル）を用いることで解決できる事が分かる。この接ベクトルの全体を接ベクトル空間という。
定義.
方向微分と接ベクトルについての定義を与える。接ベクトルは方向微分であるが、 方向微分が接ベクトルとは限らない。滑らかな多様体の場合にのみ両者は一致するので、滑らかな多様体の話に限るのであれば方向微分の定義は接ベクトルの定義でもある。
方向微分.
 とする。 次元 級多様体 と、その中の 級曲線
と 上の任意の 級関数
を与えたとき、 に対して
という対応 を曲線 の における方向微分 という。
 とする。 の近傍で定義された任意の 級関数 及び任意の実数 に対し
が成り立つ。この左辺の変数になっている は に対して
のように関数の値の（普通の意味での）積とする。
このことから、方向微分 は線型性を持ち、ライプニッツ則（積の微分法則）に従う作用素であることが分かる。
数学においては、このように性質を調べた後でその性質をその言葉の定義と取り替えて一般化することがよくある。
すなわち 次元 級多様体 の点 の近傍で定義された任意の 級関数 及び実数 に対し
をみたすような対応
のことを における方向微分という。
多様体 上の点 における方向微分の全体を と書く。
 が恒等的に を取る関数であれば、定義より
となる。このことより が定数 を取る定数関数であれば
となることがわかる。
 の開近傍を十分小さく取ったときに 級関数 の値がその開近傍上で等しいとき
となる。
 での方向微分 と 級関数 実数 に対して
のように、方向微分の和と定数倍を定義することにより、 はベクトル空間になる。
接ベクトル.