有限集合上の任意の置換は互換の積に表すことができる。与えられた置換に対してそのような表示は無数に存在するけれども、それらの表示の中に現れる互換の数の偶奇は表示によらない。これにより、任意の置換は偶置換または奇置換に分類することができる。置換の組合せ論.転倒.マディソン・スクエア・ガーデン概要.また、ニューヨークという世界的に影響力のある都市の主要コンサート会場であることから、世界中のロックミュージシャンなどがこの会場を目指している。開催される行事.シアター.大規模改修と移転計画.数学において剰余(じょうよ、)とは、ある種の計算を実行した後の「あまり」の量を指す。算術においては、剰余とはある整数を別の整数で割って(除法、割り算)商を得る際に「あまる」整数の事を指す(整数除法)。多項代数学においては、剰余とはある多項式を別の多項式で割った際の「あまり」を指す。剰余演算は被除数と除数が与えられた際にそのような乗除を得るような演算である。整数除法.(この結果の証明はを参照。どのように剰余を計算するかのアルゴリズムについては除算(デジタル)を参照。)上で定義されたような剰余は「最小正剰余」あるいは単に「剰余」と呼ばれる。整数はの倍数か、(を正として)との間にある数のどちらかである。いくつかの場合、ができる限りの整数倍になるようにすると便利である。このとき、いくつかの整数に対してとなる。この場合、は「最小絶対剰余」と呼ばれる。商および剰余と同様に、かつの場合を除き、とは一意に定まる。例外の場合、となる。固有の剰余はいくつかの条件(例えばは正に限る)などの条件を付け加えた場合に得られる。例.となる。浮動小数点数.およびが浮動小数点数で、かつがゼロでない時、はによって剰余なしで割り切れ、その商は別の浮動小数点数となる。しかしながら、商を整数値に制限するとき、剰余の概念が必要となる。(ただし)を満たすような唯一つの整数商および浮動小数点数剰余が存在することを示せる。上記のような、剰余の概念を浮動小数点数へ拡張することは数学の理論上重要ではない。しかしながら、多くのプログラミング言語はこの定義を実装している(剰余演算を参照)。プログラミング言語.