カプセルホテル.岡本徹略歴・人物.現在は、東京荻窪にて、自身の修行のかたわら、後進の指導に当たっている。コーシー=シュワルツの不等式線型代数学や関数解析学における有限次元および無限次元のベクトルの内積や、確率論における分散や共分散に適用されるなど、様々な状況で現れる有用な不等式である。定理の内容と意義.とも表せる。また、この定理の系として内積ノルムに関する三角不等式が導かれる。これの等号成立は、との一方が他方の非負実数倍であるときである。証明.定理には数多くの証明が知られている。判別式による証明.実内積空間におけるシュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、を実変数(あるいは任意の実定数)としてが(内積の加法性により)に依らず成立し、の絶対二次不等式となる。ゆえに、二次不等式についてよく知られた事実により、このの二次式の判別式Δは半負定値(非正)でなければならない:ここからコーシー=シュワルツの不等式を得る。に対して同様の議論を行い、であるから、定理の主張が得られる。直交射影による証明.とすると、はの方向への直交射影である。実際、このについてはに直交している。よりコーシー=シュワルツの不等式が従う。不等式の等号成立は、即ちが線型従属のときであることが分かる。数学的帰納法による証明.標準内積を入れた数ベクトル空間で考えている場合は、成分表示するとより成り立つ。で成立すると仮定する。のとき、となって成立する。具体例.標準内積を入れた数ベクトル空間で考えている場合は、成分表示するととなる。特にの場合はがシュワルツの不等式に当たる不等式である。これはヘルダーの不等式に一般化される。線型独立線型代数学において、本のベクトルが線型独立(せんけいどくりつ、)または一次独立であるとは、それらのベクトルが張る空間が次元部分線形空間になることである。線型独立であるベクトルたちは、何れも、零ベクトルでない。が成り立つことである(#定義)。線型独立でないことを線型従属(一次従属)という。定義.自明な線型関係.任意のベクトルに対してである。これをの自明な線型関係と呼ぶ。これ以外の線型関係があるかないかで線型従属、線型独立になる。