具体的には、余接空間の元は上の線型汎関数である。つまり、すべての元は線型写像である、ただしは考えているベクトル空間の基礎体である。例えば、実数体。の元は余接ベクトルと呼ばれる。別の同値な定義.関数の微分.を滑らかな多様体としを滑らかな関数とする。点におけるの微分は写像と書く。どちらの場合にも、は上の線型写像でありしたがってそれはにおける余接ベクトルである。すると点における微分写像ををに送る写像として定義できる。微分写像の性質は次を含む:滑らかな関数の引き戻し.を誘導するのとちょうど同じように、すべてのそのような写像は余接空間の間の(と呼ばれる)線型写像を誘導する。このとき向きは逆である:引き戻しは微分写像の双対(あるいは転置)として自然に定義される。定義を紐解くと、これは次を意味する:ただしおよびである。それぞれがどこの元であるかを注意深く注意せよ。点で消える滑らかな関数の同値類の言葉で余接ベクトルを定義すれば、引き戻しの定義はさらにもっと直接的である。をで消える上の滑らかな関数とする。するとによって決定される余ベクトルの引き戻し(と表記される)はで与えられる。つまり、それはで決定されるで消える上の関数の同値類である。外冪.曲線の特異点幾何学において、曲線の特異点(とくいてん、)は曲線がパラメーターの滑らかな埋め込みによって与えられていない点である。特異点の正確な定義は研究している曲線のタイプに依存する。平面代数曲線.平面の代数曲線は、を多項式関数として、の形の方程式を満たす点の集合として定義できる。がと展開されているとする。原点が曲線上にあればである。ならば陰函数定理によって滑らかな関数が存在して原点の近くで曲線はの形に書ける。同様に、ならば滑らかな関数が存在して曲線は原点の近くでの形である。どちらの場合にも、原点の近傍において曲線を定義するから平面への滑らかな写像が存在する。次のことに注意する。原点において正則点.曲線は原点を通るとしと書く。するとは二重点.と書くことができる。二重点はの解によって分類することができる。結節点.孤立点.さらなる分類.多重点.媒介表示曲線.