解析力学では力学系のひとつの状態は相空間(例えば質点の位置と運動量を座標とする空間)上の点で表され、その点の近傍はその状態に近い状態の集まりを表し、回帰定理はこの相空間上の力学系に関する定理である。簡単には、「力学系は、ある種の条件が満たされれば、その任意の初期状態に有限時間内にほぼ回帰する」、「ほとんどすべての軌道が出発点の任意の近傍に無限回もどってくる」、「与えられた初期条件に、いくらでも近づき、かつそれを何回でも繰返すことができる」と表現される。ここである条件、つまり回帰定理の成り立つ条件とは、広く一般的にいえば力学系が保測的(相空間内の点集合の体積が保存されること)で、その軌道が有限領域に限られていることである。例えばニュートン力学の成り立つ系で等エネルギー面を動く軌道(エネルギーが保存される状態の軌道)では回帰定理が成り立つ。ハミルトン力学による導入.ポアンカレの回帰定理の主張は、ハミルトン力学における相空間上の点の時間発展を数学的に抽象化した測度空間上の保測変換の満たす性質として、定式化される。ハミルトン力学では、一般化座標と正準共役な正準運動量の組からなる正準変数によって、系の状態が記述される。で指定される状態は相空間上の点であり、その時間発展は相空間の軌道として、表現される。の時間発展は、ハミルトンの正準方程式で記述される。但し、は系のハミルトニアンである。この時間発展によってを与える写像が定まる。写像は性質を満たしており、その集合は流れ(flow)と呼ばれる。リュービルの定理によれば、相空間上の体積要素は、による時間発展に対して、不変である。これは、が測度を不変に保つ保測変換であることを意味する。ハミルトニアンが時間に陽に依存しない場合、エネルギーは保存量であり、軌道はで与えられる相空間内の等エネルギー面内に留まることとなる。この等エネルギー面内の領域の面積は、ポアンカレの回帰定理では、の面積が有限であるという仮定が置かれる。これは、一般化座標や正準運動量が無限に増大することがないという仮定に相当する。定理の数学的表現.証明の概略.再帰性の証明.である。一方、再帰が無限回であることの証明.前述のの零集合に対し、