これらの三性質をより抽象的なベクトル空間へ一般化することでノルムの概念は与えられる。ノルム空間(および半ノルム空間)は線型代数学および函数解析学の研究の中核である。定義.を満たす実数値函数であった。またこの三条件を、最初の条件のうちを除いてすべて満足するものは半ノルムと呼ばれ、と半ノルムとの組は同様に半ノルム空間と呼ばれる(半ノルム空間についての詳細は半ノルムおよび局所凸空間も参照のこと)。文脈上、どの(半)ノルムを考えているか明らかで紛れのおそれの無い場合には、やを落として、単に(半)ノルム空間のように書く。三角不等式に関して、以下のような変形版も有用である。これはベクトルのノルムが連続写像であることも示している。位相構造.がノルム空間ならば、ノルムは距離函数(および距離の概念)を誘導し、上の位相を定義する。この距離函数は自然な仕方で定義される(すなわち、二つのベクトルの絶対差で与えられる)。この位相は、ちょうどを連続にする最弱の位相であり、以下の性質が成り立つという意味での線型構造とも両立する。同様に、半ノルム空間においてもとおけば擬距離空間の構造が入り、連続性や極限などの概念を定義することができるようになる。もう少し抽象的に言えば、任意の半ノルム空間は位相線型空間であり、半ノルムの誘導する位相構造が入る。半ノルム空間の位相は多くの良い性質を満足する。零ベクトルの近傍系は、各点の近傍系をとおくことにより構成できる。さらに、併呑凸集合からなるのが存在する。この性質があることは函数解析学において有用であり、ノルム空間を一般化する概念としてこの性質を満足するような位相線型空間を局所凸空間と呼ぶ。線型写像と双対空間.ノルム空間の間の写像で最も重要なのは、連続な線型写像である。すべてのノルム空間とそれらの間のすべての連続線型写像は圏を成す。ノルムはそのベクトル空間上の連続函数であり、また有限次元線型空間の間の任意の線型写像は連続である。半ノルム空間の商.