を検査してはの部分環でありはのイデアルであることが分かる.をによって,をによって定義する.は明らかである.したがってはのによる拡大である.自明な拡大と同様に,この性質は分裂拡大の定義に一般化する.(ただしとはにおけるそれらの像と同一視される).ポワンカレ群においてであることが直ちに従う.したがってすべてのローレンツ変換は逆写像がのの自己同型に対応し,は明らかに準同型である.さてと定義し,乗法をで与える.定義を解きほぐすことで乗法が最初の乗法と同じであることが分かり,であることが従う.よりなのでよりである.導分により.定理.によって,あるいはの対称性との反対称性を用いてによって定義できるという観察は系を導く.応用.多項式ループ代数.を多項式ループ代数(背景)である.上の非退化双線型結合反対称形式を作るために,注意はまず,を固定して引数の制限に向けられる.要求を満たす“全て”の形式は上のキリング形式の倍数であることは定理である.これよりでなければならない,の対称性によりであり,結合性によりである.としてが分かる.この最後の条件は前のを含んでいる.このことを用いて,と定義する.すると定義方程式はとなる.すべてのに対して,定義は実際対称結合双線型形式を定義する.しかしこれらはすべての形式が正しい性質をもつベクトル空間の基底をなす.手元の導分と条件に戻り,定義を用いて次が分かる:あるいは,として,これ(と反対称性条件)は,ならば成り立つ,とくにのとき成り立つ.したがっておよびと選ぶ.これらの選択により,系の前提が満たされる.を定義するために最後に雇われ,そのリーブラケットはである.基底元に対して,適切に正規化し反対称構造定数により次が成り立つ:これは多項式ループ代数の普遍中心拡大である.カレント代数.カッツ・ムーディ代数.とおく,次に,ベクトル空間としてと定義する.上のリーブラケットは,導分との標準的な構成によれば,基底上次で与えられる:便宜上,