の定める方程式の定義する射影曲線に完備化することができる。逆にが射影曲線を定める斉次方程式ならば、はこの射影曲線上の第三射影座標が零でないような点全体の成すアフィン曲線の方程式になる。これら二つの操作は互いに逆になっている。実際、であり、またがで定義されるものとすればががで割り切れない限り直ちに得られる。これにより、アフィン曲線とその射影完備化は同じもの(より精確には、アフィン曲線は射影曲線の中で「完全な」曲線を定めるに十分大きな部分を成している)と看做すことができる。このような観点は、射影完備化の中でアフィン部分に属さない(有限個の)点をアフィン曲線に関する「無限遠点」と呼ぶことによって広く言い表される。を考えることは有用である。例えば、方程式のアフィン曲線の点における接線の方程式はで与えられる。平面曲線の特徴点.本節では、二元多項式の定める平面代数曲線と、の斉次化多項式の定める射影完備化を考える。直線との交点.多項式の定義する曲線と、直線との交点を計算するために、直線の方程式をに関して(のときはについて)解く。それをに代入すれば、一元方程式(直線をについて解いたときは)を得て、その根は交点の座標の一つを与える。他の座標の値は直線の方程式から求められる。交点の重複度は、対応する根の重複度である。の次数がの次数より低いならば、無限遠点において交点が存在し、そのような無限遠点の重複度は次数の差で与えられる。各点の接線.曲線上の各点における接線は、陰伏的に定義された任意の可微分曲線に対すると同様に、方程式の定める直線である。多項式の場合には、より単純な定数項を持ち、より対称性の高い形の接線の公式が存在する。ただし、は無限遠における微分である。これら二つの方程式の同値性はオイラーの斉次函数定理をに適用した結果である。これは直ちに射影曲線の場合にも拡張できる。方程式の定める射影曲線の、射影座標の点における接線の方程式はで与えられ、この曲線上の特異点はで与えられる(条件は、これらの条件から、オイラーの斉次函数定理により得られる)。漸近線.