拡大の岩澤加群と同型になるので、プラス部分は実部分の寄与、マイナス部分は全体と実部分の差と考えられる。マイナス部分のについては、木田の公式と呼ばれるリーマン・フルヴィッツの公式の類似が成り立つことが知られている。典型的なCM体は奇素数についてのである。これの最大実部分体の類数はで割れないという予想をという。もしこれが正しければ、の最大実部分体の類数もで割れないので次に、でイデアル類群が分解される様子を見るため、典型的な例としての場合を考える(は奇素数とする)。と置き、の任意の元に対してが成り立つ唯一の準同型とする。のイデアル類群の成分に自然に作用しと分解できる。ここでが成り立つとするとの岩澤不変量はなどと分解できる。偶数のに対する成分は成分に関する予想である。なお、このような分解はもっと一般の状況でも可能であるが、の指標の値が必ずしもに入らないので、係数拡大が必要となる。岩澤不変量.岩澤不変量のに対して定まるのでなどと書かれる。また、代数体と素数に対しての円分は一意に定まるので、このときはと書いたりする。例えばなどが知られている。はイデアル類群の元の位数の増加を示すものであり、はランクの増加を示すものである。岩澤不変量にはまだ分からないことが多い。次のような予想が立てられている。この予想は一般には未解決であるが、がアーベル体の場合は正しいことが証明されている()。知られていることとしては次のようなことがある。特性多項式の具体例.がアーベル体であれば、その円分が虚二次体であればプラス部分は自明なので、マイナス部分の特性多項式が全体の特性多項式である。例えば、での場合はである。特性多項式は進数係数の多項式なので、までの近似で表示している。岩澤主予想.ルード(面積の単位)ジョージタウン(ケイマン諸島)形態.分布.日本の本州(東北南部より南の地域)、四国、九州。沖縄及び近隣の島には近似種(オキナワマツムシなど)が生息する。生態.食物は草本の葉や昆虫の死骸。イネ科をはじめ、様々な植物を食べ、枯れた植物も食べる。メスはイネ科植物の茎に産卵する。