プロ入り後.現役引退後.選手としての特徴.背景.反響・評価.セールス的には大きな成功を収められず、母国アメリカではチャート入りを逃す結果となった。収録曲.全曲ともフランク・ザッパ作。事故.事故の結果.経歴.アマチュア時代.プロ時代.総合格闘技デビュー.ゼネラル・エレクトリックパスポート設計.開発.松浦耕大経歴.選手としての特徴.鈴木優(野球)経歴.プロ入り前.オリックス時代.巨人時代.現役引退後.選手としての特徴・人物.幼少期から大の巨人ファンであり、巨人でチームメイトとなる伊藤優輔とは高校時代から仲が良かったという。現役引退後に第一子が誕生している。奥川雅也来歴.京都サンガ.ザルツブルクからレンタル時代.ホルシュタイン・キール.ザルツブルク復帰.FCアウクスブルク.ハンブルガーSV.代表歴.プレースタイル.所属クラブ.個人成績.その他の国際公式戦毛治国来歴.田中英祐経歴.プロ入り前.プロ入り後.現役引退後.選手としての特徴.人物.芽(数学)正式な定義.基本的な定義.で同じ芽を持つことが(写像や集合の上で)同値関係であることを確かめることは容易である。その同値類を芽(それぞれ写像の芽あるいは集合の芽)と呼ぶ。同値関係は通常と書かれる。上の写像が与えられると、そのでの芽は通常と表記される。同様に、集合のにおける芽はと書かれる。したがって、である。の点をの点に写す写像のにおける芽はと表記される。この表記を用いるとき、は任意の代表写像と同じ文字を使って写像の同値類全体として意図されている。ことに注意する。より一般に.基本的な性質.さらに、終域がベクトル空間であれば、芽を足すことが意味をなす:を定義するために、まず近傍と上でそれぞれ定義された代表元とを取ると、は写像(ここでは上定義されている)のにおける芽である。(同様にしてより一般の線型結合を定義できる。)層との関係.例.表記.集合と多様体の芽に対して、表記はそれほどよく確立されていない:文献で見つかる表記には例えば次のものがある: