ここに二元の交換子とは積のことであり、この積が単位元に等しいということは,つまりとは可換であることを意味する(さらに言えば、生成元がどの二つも可換となるならば、生成元の積として得られる元はどの二つも可換になる)から、上記の表示によって生成される群は確かにアーベルであり、しかもこの表示の関係子集合は生成される群がアーベルであることを保証するに必要最小限のものになっている。生成元集合が有限集合のとき、表示もまた有限型である。この事実と自由アーベル群の任意の部分群が自由アーベルとなる(後述)という事実を合わせれば、任意の有限生成アーベル群が有限表示であることが示せる。というのも、アーベル群が集合によって有限生成されるならば、は上の自由アーベル群をその適当な自由アーベル部分群(この部分群はの表示の基本関係子によって生成される部分群である)で割った商であるが、この部分群もそれ自体自由アーベルゆえ有限生成であり、その基底(と上の交換子全体を合わせたもの)はの表示における基本関係子の成す有限集合を与えるからである。用語.性質.普遍性.ランク.部分群.有限生成自由群の場合、証明はより容易で、より正確な結果が得られる。ねじれと可除性.任意のアーベル群との関係.純非分離拡大純非分離拡大.純非分離拡大のガロワ対応.位数(群論)例.位数と構造.群の位数と元の位数はよく群の構造の情報をもたらす。大ざっぱに言えば、位数の分解が複雑であればあるほど群も複雑である。と書けば、任意の群において、元の位数で数える.準同型との関係.類等式.未解決問題.群とその元の位数についてのいくつかの深い問題は様々なバーンサイド問題に含まれている。これらの問題のいくつかはまだ解決されていない。静岡県立天竜高等学校春野校舎またまたゴチャ・まぜっ!群の元の位数位数(群)モジュラー拡大純非分離純非分離体拡大形式和形式差自由アーベルゴチャ・まぜっ!水曜日ゴチャ・まぜっ!水曜日(ごちゃ・まぜっ!すいようび)は、MBSラジオで放送されていたラジオ番組。大西連略歴.東京都練馬区出身。麻布中学校・高等学校卒業。在学中はチェス部に所属。横田嘉右衛門生涯.前半生.富山.