なお、何の前提もなく偽を導入する導入規則は存在しない。従って、単純な判断から偽であることを推論することはできない。仮説的導出.仮説的判断の考え方は、含意の結合子に利用される。含意の導入規則と除去規則は次のようになる。仮説的導出を使うと、論理和の除去規則を書くことができる。否定については、含意と類似している。一貫性、完全性、正規形.数学的理論は、(仮定なしで)偽を証明可能でないなら一貫性があると言われ、論理の推論規則を使って全ての定理が証明可能なら完全性があると言われる。これは論理一般に言えることで、通常はモデルの何らかの観念に対応する。しかし、それとは別に推論規則の統語的な性質としての一貫性と完全性もあり、こちらはモデルとは無関係である。まず、局所一貫性(あるいは局所還元性)とは、ある結合子の導入規則のすぐ後に同じ結合子の除去規則を使っている導出過程があったとき、その部分を除いた等価な導出過程に変換可能であることを意味する。例として論理積の場合を示す。これと対になる局所完全性では、除去規則を使って結合子をその導入規則の入力となる形式に分解できることを意味する。論理積での例を示す。一階と高階の拡張.このような量化された命題には、次のような導入規則と除去規則がある。高階論理における導入規則と除去規則は、ここでは扱わない。一階論理と高階論理の間には様々な段階がある。例えば、二階論理は、項を量化した命題と、命題を量化したものを命題として扱う。証明理論と型理論.論理と同様、型理論には様々な拡張や変種があり、一階版も高階版もある。型理論の興味深い変種として依存型理論がある。これは、プログラム全体に量化を施せるものである。量化型は∀と∃の代わりにΠとΣを使って記述する。構成規則は次のようになる。これらの型は矢印と積の型の一般化であり、導入規則と除去規則は次のようになる。普遍的な依存型理論は非常に強力であり、プログラムの想像可能ないかなる属性もプログラムの型で直接表すことができる。ただし、その普遍性と引き換えに、あるプログラムがある型であるかを決定不能となっている。このため、依存型理論を実際に使う場合、任意のプログラムの量化を許さないで、特定の決定可能な領域(整数、文字列、線形プログラムなど)のみを扱うことが多い。