が任意のおよび滑らかな函数に対して成立する。したがって、余ベクトル場を余接束の切断と見るだけでなく、ベクトル場を函数へ写す線型写像としても見ることができる。二重双対空間の構成により、ベクトル場も同じく余ベクトル場を函数に写す写像と見做せる(つまり、余ベクトル場から始めて自然に同じ論法を適用して進めていくことができる)。応用.曲率テンソルは微分幾何学において扱われ、応力エネルギーテンソルは物理学および工学において重要である。これらはともにアインシュタインの一般相対論に関係がある。工学においては、考える多様体は三次元ユークリッド空間であることが殆どである。多様体上の積分を定義するのに用いられる微分形式がテンソル場の一種であるということも重要である。テンソル解析.理論物理学および周辺分野において、テンソル場の言葉で記述された微分方程式は、(テンソルの性質によって記述される)自然の幾何学的な、そして微分学に結び付けられる規約的な関係性の両方を表す、非常に一般な方法を与える。そのような方程式の定式化には新たな概念として共変微分を考える必要があった。これにより、ベクトル場に「沿った」テンソル場の変分を定式化することができるようになる。この絶対微分学(のちにテンソル解析と呼ばれるようになる)に端を発する概念は、接続の幾何学的概念を単離することとなる。線束によるひねり.テンソル場の概念の拡張として、上の余分な線束を併せることを考える。がにを掛けたテンソル積束とすれば、はとちょうど同じ次元を持つベクトル空間の束である。これにより、テンソル場の「ひねられた」型としてのテンソル密度の概念を考えることができるようになる。テンソル密度は、が「多様体の密度」の束(つまり、余接束の行列式束)である特別の場合である(より厳密を期すならば、推移写像はさらに絶対値をとる必要がある。これは向き付け可能多様体では小さな違いを生じる)。より旧来的な説明についてはの項を参照。