有限次アーベル拡大を個別に一般化されたイデアル類群に対応させるのではなく、の有限次アーベル拡大をすべて合成した最大アーベル拡大のガロア群を直接記述する方法も知られている。有限次代数体の場合、その最大アーベル拡大のガロア群は無限群になるが、クルル位相により位相群とみたときこれは副有限群の構造を持つ。現代的な類体論の定式化では、イデール類群(イデール群を体の乗法群で割ったもの)と呼ばれるから(おおよそ)内在的に定まる位相群からの開部分群と一対一対応し、相互律準同型によりそれはイデール類群の開部分群と一対一対応する。有限次アーベル拡大に対応するイデール類群の開部分群は、その有限次アーベル拡大体のイデール類群のノルム写像による像として特徴づけられる。の開部分群代数体についての類体論の元々の証明は、代数体に対して直接類体論を証明するというものだった。その後、局所体類体論を使って証明するという手法が確立された。現代の類体論の教科書ではこの手法による証明を採用しているものが多くある。イデアルを使った定式化.類体論の主要な結果は少し用語と記号を準備すれば簡単に述べることができる。以降、この節を通しては任意の有限次代数体を表すものとする。用語と記号.代数体のすべての素点をわたる形式的な無限積の有限素点だけを取り出したものをと書く。ここで、素点が有限素点であることを、無限素点であることをと表している。のイデアルと思える。の分数イデアルでの有限部分と互いの素なもの全体をと置く。これは自然に群になる。群としての構造はと互いに素な素イデアルを底とする自由アーベル群である。の部分群という形の単項イデアル全体とする。ここで包含関係にある群を有限次拡大とする。の部分群の分数イデアルのノルムになっているような元全体とする。これは(はの素イデアルでと互いに素なもの、はそれのにおける剰余次数)で生成されるの部分群である。と置く。これを拡大に対する合同群という。はアーベル拡大であったとする。この拡大で不分岐なの素イデアルと書く。で分岐する素イデアルを含まない分数イデアルに対しても、素イデアル分解を使って類体論の主結果.