本節では、有理数体上での因数分解は整数環上での因数分解と本質的に同じ問題であることを示す。カール・フリードリヒ・ガウスは二つの原始多項式の積がふたたび原始的であること()を示した。これにより「原始多項式が有理数体上既約であるための必要十分条件は、整数環上で既約であること」が従う。これはつまり、有理係数多項式の有理数体上での因数分解が、その原始成分の整数環上での因数分解と同じことであることをも意味する。他方、整係数多項式の整数環上での因数分解は、その原始成分の分解と内容の素因数分解とを掛けることで与えられる。さてここまでに述べたことは、を体上の多項式環で、およびをの有理函数体でそれぞれ置き換えて(ただし置き換え後の両者の不定元は共通とする)、「符号の違いを除いて」という代わりに「の単元を掛ける違いを除いて」とすれば、すべてそのまま成り立つ。この場合、の純超越拡大体上での因数分解が上の多変数多項式の因数分解に帰着される。無平方分解.古典的手法.本節では手計算に便利な教科書的方法について述べる。それらは多項式の分解よりも極めて複雑な一面を持つ自然数の因数分解も利用しているから、計算機に載せるようなものではない。一次因子の見つけ方.クロネッカーの方法.整数係数多項式の各整数で評価した値は有限通りの分解しかないので、十分多くの整数での値から因子の候補となる多項式を(補間公式などにより)構成すれば、因子はこれらの有限個の多項式から見つけられる。現代的手法.整係数一変数多項式の因数分解.上で見たことを踏まえれば、が整係数の一変数多項式のときには、一般性を失うことなくそれが原始的かつ無平方と仮定してよい。すると初めに考えるべきはの任意の因子のすべての係数の絶対値を抑える上界を計算することである。そうしてをより大きな整数として、がを法として求まったならば、その法に関して分かっているの情報からが復元できる。その方法を述べるのアルゴリズムは以下のようなものである: