数学において,ホップ代数(ホップだいすう,)は,に因んで名づけられた代数的構造であり,同時に(単位的結合)代数かつ(余単位的余結合的)余代数であり,これらの構造の整合性により双代数になっており,さらにある性質を満たすを備えたものである.ホップ代数の表現論は特に見事である,なぜならば整合的な余積,余単位射,対合射の存在により,表現のテンソル積,自明表現,双対表現を構成できるからである.ホップ代数は,その起源でありの概念と関係する代数的位相幾何学,の理論,群論(群環の概念によって),そして多数の他の場所で,自然に生じ,おそらく双代数の最もよく知られた種類となっている.ホップ代数はそれ自身も研究されていて,一方では例の特定のクラスが,他方では分類問題が,多く研究されている.それらは物性物理学や量子的場の理論から弦理論まで多様な応用を持つ.定義.正式には,ホップ代数は体上の(結合的かつ余結合的)双代数であって,次の図式が可換であるような(対蹠射または対合射と呼ばれる)線型写像を持つものである:代数に関しては,上の定義において基礎体を可換環に置き換えることができる.ホップ代数の定義は(上の図式の対称性に表れているように)自己双対であるので,の双対を定義できるならば(が有限次元ならいつでも可能である),それは自動的にホップ代数になる.構造定数.余積に対して対合射に対してすると結合律はであり,余結合律はである.上の図式の可換性はである.対蹠射の性質.対蹠射は線型逆写像を持つよう要求されることもある.これは有限次元の場合や,が可換あるいは余可換(あるいはより一般に)であるとき,自動的に成り立つ.一般に,は反準同型なので,は準同型で,したがってが可逆ならば同型である.対合射はを逆元に送る群上の写像の類似である.部分ホップ代数.の正規部分ホップ代数は(の部分集合の等式の)条件を満たす,ただしは上の余単位射の核を表す.この正規性条件はがのホップイデアルである(すなわち余単位射の核の代数イデアルで,余代数余イデアルで,対合射で安定である)ことを意味する.したがって,商ホップ代数と全射準同型があり,群論における正規部分群と商群に類似の理論がある.ホップ整環.