この「七月蜂起」の失敗の後、レーニンは「すべての権力をソヴィエトへ」をというスローガンを放棄することを呼びかけるようになった。これまでの様な平和的な手段によって権力を奪取するのではなく、「武装蜂起」、つまり「暴力革命」によって臨時政府から政権を奪取することを志向することになった。平面三項環用語法には広くバリエーションがある。本項に言う平面三項環を文献によっては別の呼び方をするし、また本項の言うものの変種を平面三項環と呼ぶものもある。短く三項環と言うとき、平面三項環の意味で用いる場合もあれば、より一般の(あるいは別の)三項系の意味であるかもしれない。定義.は少なくとも相異なる二点(それをと書くことにする)を含む集合とするとき、写像との組が(右)平面三項環とは、写像が以下の条件三項環の代数構造.以下に定められる「二項演算」は必ずしも結合的でない。そのことを強調する意味で演算子は丸囲みのものを用いてあることに注意(つまり、以下は直和やテンソル積などではない)。加法.は単位元を持つを成す。乗法.集合はこの乗法に関して閉じている。もまた単位元を持つループになる。線型三項環.関連する代数系.平面三項環がさらに余分に特定の代数的条件を満足するとき、別の名が与えられる。ただし、その名称に関して必ずしも広く定まったものでなく文献によって揺れがあることに注意すべきである。以下はによる:さらに交代体は半体で、斜体は交代体射影平面との関係.平面三項環が与えられたとき、点集合と直線集合を以下のように与えて射影平面を構成することができる:(はに属さない余分の記号であることに注意)直観的には、は座標を持つ点、は傾きの原点を出る直線(軸)上の無限遠直線上にある端点、は無限遠直線上の端点の一方(もう一方は)であり、またはとを結ぶ直線、は傾きの軸、は無限遠直線である。射影平面のは以下のように与えられる:任意の射影平面は適当な平面三項環からこの方法で構成することができる。ただし二つの同型でない平面三項環から同型な射影平面が導かれることもある。