等時曲線(とうじきょくせん)または等時降下曲線(とうじこうかきょくせん)とは、物体が一様重力場の下でその曲線に沿って摩擦なく滑り降りるとき、最下点に達するまでの時間が出発点に依存しなくなるような曲線をいう。英語では'または'(ギリシャ語の接頭辞「同じ」、「等しい」、「時間の」から)と呼ばれる。この曲線はサイクロイドであり、また降下時間はサイクロイドの動円の半径を重力加速度で除したものの平方根にを乗じたものとなる。また、等時曲線は全ての出発点について最速降下曲線と同一である。等時曲線問題.ホイヘンスは同時に、降下時間は物体がサイクロイドの動円半径と等しい距離を自由落下するのにかかる時間にを乗じたものに等しいことを証明した。現代的記法を用いれば、降下時間はを動円半径、を重力加速度としてと表わされる。ホイヘンスが等時曲線問題を詳しく研究する過程で、円軌道を描く振り子は厳密には等時性をもっておらず、したがって当時の振り子時計は振幅によって異なる時間を刻むことが明らかになった。正しい軌道を得たホイヘンスは、おもりを糸で吊し、糸の最上点の傍に障害物を設置しておもりに等時曲線を描かせることを試みた。これらの試みは多くの理由から実用的でなかった。まず、糸が曲がることにより摩擦が生じる。さらに、等時曲線から外れることよりも大きな誤差要因はいくつもあり、あまり改善に役立たない。その上、振り子の「円軌道誤差」は振幅が小さくなるにつれて減少するため、の改善によりこの誤差は大きく低減できる。その後、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュとレオンハルト・オイラーがこの問題を解析的に解いた。ラグランジュの解.と書ける。この関係を微分形式で書き下し、媒介変数を消去すると以下を得る。これを解くため、をで積分する。これが見慣れない媒介変数表示のサイクロイドであることを示すため、と置いて代数的に整理すると以下を得る。これは、係数を除いてサイクロイド曲線の通常の媒介変数表示となっている。「仮想重力」解.等時降下を実現するのに必要な「仮想重力」は、残りの距離に単純に比例するものであるから、以下を得る。(おおよそに基く)アーベルの解.