したがって、加法的和集合上の作用素を研究する問題は、本質的には二つの自然な空間およびから二つの目的空間およびへの有界作用素を研究する問題に帰着される。そのような作用素は加法的和集合の空間をに写すため、それらの作用素は補間空間を対応する補間空間に写すものであると期待することは自然である。定理の内容.リース=ソリンの補間定理を述べる上でいくつかの方法がある:前節での記号を利用するために、ここでは加法的和集合を用いた方式を採用する。証明の概要.内の各に対し、およびの適切な派生形およびを定義することで、次の整函数を得ることが出来る。このでの値はとなる。このとき、直線および上でのの上界を得るために仮定を用いることが出来る。するとアダマールの三線定理によって、直線上のの補間的な上界を得ることが出来る。あとはそのでの上界が求めるものであることを調べればよい。作用素の族の補間.前節で紹介されている証明の概要は、すでにが解析的に変動する場合に対しても一般化されている。実際、整函数実ハーディ空間との理論により、ハーディ空間と有界平均振動の空間上の作用素を扱う上でスタインの補間定理を使うことが可能となる。これはチャールズ・フェファーマンとエリアス・スタインによる結果である。応用.ハウスドルフ=ヤングの不等式.ただしかつである。これはハウスドルフ=ヤングの不等式である。畳み込み作用素.を固定された可積分函数とし、をとの畳み込み作用素、すなわち各函数に対してで与えられる作用素とする。このようながからへの有界作用素であることはよく知られており、からへの有界作用素であることは自明である(いずれの場合も、によって評価される)。したがって、リース=ソリンの定理より次が成立する。ヒルベルト変換.のヒルベルト変換は次で与えられる。しかし、ヒルベルト変換はあるいは上で有界とはならず、直接的にリース=ソリンの補間定理を用いることは出来ない。それらの終点の境界が得られない理由を探るためには、簡単な函数およびのヒルベルト変換を計算すれば十分である。しかし、すべてのシュワルツ函数に対しては