メビウス変換全体の成す集合は写像の合成を積として、メビウス群と呼ばれる群を成す。メビウス群は(リーマン球面をリーマン面とみなしたときの)リーマン球面上の自己同型群であり、しばしばと記される。メビウス群は双曲的三次元空間上の向きを保つ等距変換全体の成す群に同型で、それゆえ双曲的三次元多様体の研究において重要な役割を演じる。物理学においては、メビウス群がリーマン球面に作用するのと同じやり方で、ローレンツ群の単位成分が天球に作用する(実はこれらふたつの群は同型である)。相対論的速度にまで加速した観測者には、地球付近での見え方から無限小メビウス変換に従って連続的に変形された星座が見えているはずである。このような考察はしばしばツイスター理論の出発点として行われる。メビウス群のいくつかの部分群は(ガウス平面や双曲平面などの)単連結リーマン面上の自己同型群を成す。そのような事情から、メビウス変換はリーマン面の理論においても重要な働きをする。どんなリーマン面の基本群もメビウス群の離散部分群となるのである(フックス群、クライン群など参照)。メビウス群の特に重要な離散部分群としてモジュラー群があり、それはフラクタルやモジュラー形式、楕円曲線あるいはペル方程式などといった多くの理論において中心的な役割を果たしている。定義.基本的な変換への分解とかんたんな性質.メビウス変換はもっと単純な変換の列に等価である。実際、とおけば、これらの合成が、メビウス逆変換の式を与えるのである。角の保存と広義の円.複比の保存.である。射影行列表現.に対して、メビウス変換斉次座標を用いれば無限遠点∞についての場合を分けて扱わずに済むので、メビウス変換に関する具体的な計算の多くが簡素化される。メビウス変換は三点で決まる.に対応するメビウス変換明示的な行列式公式を利用する方法.方程式明示公式.明示公式は以下のようになる。分類.なるものが互いに共軛となるための必要十分条件はが満たされることである。に正規化されているものと仮定する。抛物型変換.に共軛な行列によって定義されるものであることが必要十分である。特性定数.楕円型変換.に共軛である。双曲型変換.