エルブランの定理は一階述語論理における任意の恒真な論理式の証明が有限回の機械的な操作で終わることを保証し、ほとんどの自動定理証明の理論的な基盤になっている。チューリングマシンの停止性問題と同様、一般的な述語論理式が証明可能かどうかを求めるアルゴリズムは存在しないが、エルブランの定理では一階述語論理を命題論理と結び付けることで、一階述語論理での証明可能性についての部分的な回答を与えている。なお、エルブランの本来の証明は任意の一階述語論理式を対象としたものだが、多くの場合、冠頭形の論理式に制限し単純化した定理で表される。エルブラン領域.エルブラン領域()とは、述語論理式に現れうる変数を含まない全ての項の集合である。エルブラン基底とエルブラン解釈.エルブラン領域の全ての要素を論理式を構成する原子論理式に割り当て、それぞれの真偽値を決めることで、論理式に対する任意の解釈が表現できる。エルブラン領域の要素を引数とする原子論理式の全体をエルブラン基底()という。エルブラン基底を導入することで、論理式を命題論理式として扱うことができ、論理式の意味を構文的に決めることができる。エルブランの定理.エルブランの定理は、以下のように表現できる。つまり、一階述語論理式の充足不能性の判定は、エルブラン基底上の有限回の命題論理レベルでの判定で行うことができる。エルブランの定理はこれ以外にも様々な形式で表現することができる。が恒真になることである。エルブランが定理を証明した時にゲンツェンのカット除去定理はまだ知られておらず、ゲーデルの完全性定理も発表されていなかった。そのためエルブランによる証明はエルブラン版のカット除去定理や独自の完全性定理を含むもので、任意の一階述語論理式を対象としていた。応用.エルブランの定理は自動定理証明の理論的基盤となった。これらはエルブランの定理の証明を直接計算機上で実行するようなやり方だったため、多数の不要な基礎例の生成が行われ、効率的ではなかった。推論の過程で多数の基礎例の生成を行うのではなく単一化により必要な基礎例のみを段階的に具体化していくことで、導出原理では効率的な推論が可能になり、その後の定理証明やPrologなどの論理プログラミング言語に大きな影響を与えた。ロングショット(曖昧さ回避)星川(曖昧さ回避)