を小さい圏とし(すなわち対象たちや射たちは真クラスではなく集合をなす)、を任意の圏とする。からへの関手全体のなす圏は、,,,などと書かれ、対象としてからへの共変関手を持ち、射としてそのような関手の間の自然変換を持つ。自然変換は合成できることに注意:が関手から関手への自然変換で、が関手から関手への自然変換であるとき、集まりはからへの自然変換を定義する。自然変換のこの合成(垂直合成と呼ばれる;自然変換を参照)によって、は圏の公理を満たす。とがともに前加法圏(すなわち射の集合がアーベル群であり、射の合成が双線型)であれば、からへの加法的関手全体のなす圏を考えることができ、と書かれる。事実.結果として、関手圏はのほとんどの「よい」性質を共有するという一般的がある:また次も成り立つ:先に述べた圏の関手圏への埋め込みは主な道具として米田の補題を用いる。の任意の対象に対して、をからへの反変表現可能関手とする。米田の補題は割り当てが圏の圏への充満埋め込みであると言っている。したがっては自然にトポスの中にいる。同じことは任意の前加法圏に対して実行できる:すると米田はの関手圏への充満埋め込みを生む。したがっては自然にアーベル圏の中にいる。上でのべた直感(で実行できる構成はに「持ち上げる」ことができること)はいくつかの方法で正確にできる;もっとも簡潔な定式化は随伴関手のことばを用いる。すべての関手は(との合成により)関手を誘導する。とが随伴関手の対であるとき、ともまた随伴関手の対である。指標理論応用.定義.を体上の有限次元ベクトル空間とし、を群の上の表現とする。の指標(character)とは関数である、ただしはトレースである。であり、これはちょうど表現の核である。性質.算術的性質.とをの表現とする。このとき以下の等式が成り立つ:広義固有ベクトル線型代数学において,行列の広義(あるいは一般)固有ベクトル(こうぎこゆうベクトル,いっぱんこゆうベクトル,)は,(通常の)固有ベクトルの定義を緩めたある条件を満たすベクトルである.