も確率変数の確率分布の振る舞いと属性を完全に決定する。どちらか一方が分かっていればもう一方を求めることができ、その確率変数の特徴についてそれぞれ異なる洞察を与える。しかし、これらの関数を単純な標準的関数で表せるかどうかは、場合によって異なる。確率変数が確率密度関数を持つ場合、特性関数と密度関数は互いにもう一方のフーリエ変換になっているという意味で双対である。確率変数に積率母関数がある場合、特性関数は複素領域に拡張されうる。なお、確率密度関数や積率母関数が存在しない場合でも、ある確率分布の特性関数は常に存在する。特性関数は、特に独立した確率変数の線型結合の分析で有効である。他にも、確率変数のの理論においても重要である。定義.スカラーの確率変数について、その特性関数は、の期待値として定義される。ここでは虚数単位、は特性関数の引数である。ここではの累積分布関数、積分はリーマン=スティルチェス型である。確率変数に確率密度関数がある場合、その特性関数は確率密度関数のフーリエ変換であり、上記の括弧内の式が対応する。なお、特性関数の定義に出現する定数は一般的なフーリエ変換のものとは異なる。例えば書籍によってはと定義しており、これは本質的にはパラメータの変更である。他にも、確率測度の特性関数を、確率密度関数に対応する特性関数をと表すこともある。特性関数の記法は、多変量の確率変数やさらに複雑な確率要素に一般化される。特性関数の引数は確率変数が値を持つ空間の連続的双対空間に常に属する。主な場合における定義を以下に示す。ここで(プライム)は転置行列、は行列の跡作用素、は複素数の実部、はの複素共役、は共役転置行列を意味する。具体例.性質.連続性.上述した確率分布と特性関数の全単射は「連続」である。すなわち、累積分布関数の族が何らかの分布にするとき、対応する一連の特性関数も収束し、極限はそのままのの特性関数に対応する。これをより形式的に述べると、次のようになる。この定理は大数の法則や中心極限定理の証明によく使われる。反転公式.特性関数の判定基準.