で定まる標準内積は対称双線型形式である。またで定まる写像やで定まる自明な写像なども対称双線型形式である。表現行列.有限次元ベクトル空間の基底をひとつ固定する。このとき上の双線型形式に対して次正方行列をで定義する。これを双線型形式の基底に関する表現行列という。表現行列は、双線型形式が対称であるとき、かつそのときに限り対称行列である。ベクトルに対して値は表現行列を用いてと表される。逆に(対称)行列が与えられると(対称)双線型形式が上の関係式から定まる。新たな基底をとり、基底の変換行列がで与えられているとする。このとき、双線型形式の基底に関する表現行列はで与えられる。二次形式.上の対称双線型形式に対してをで定める。これを上の二次形式という。直交性と特異性.双線型形式は対称ならば反射的である。ふたつのベクトルが上の対称双線型形式に関して直交するとはが成り立つことをいう。(反射性より、これはと同値。)これを記号で表す。が同型写像であることと同値である。ただしはの双対空間である。対称双線型形式が非退化ならばの部分空間に対しの次元はである。直交基底.の基底が上の対称双線型形式に関して直交するとは、が成り立つことを言う。基礎体の標数がでないとき、は常に直交基底を持つ。このことの証明は数学的帰納法による。基底がに関して直交するための必要十分条件は、その表現行列が対角行列となることである。符号数とシルベスターの慣性法則.実係数の場合.実数体上の空間を考える場合には、もう少し詳しく述べることができる。を直交基底とする。新たな直交基底をで定義すると、新たな表現行列は対角線上にのみを成分に持つ対角行列になる。が現れるのは、根基が非自明となるときであり、かつそのときに限る。複素係数の場合.複素数体上の空間を扱う場合も、同様に詳しくしかもより平易な形に述べることができる。を直交基底とする。新たな基底をで定義すると、新たな表現行列は対角線上にとのみを成分に持つ対角行列となる。が現れるのは根基が非自明なときであり、かつそのときに限る。直交偏極.