オイラー法(オイラーほう、)とは、常微分方程式の数値解法の一つである。この方法は、数学的に理解しやすく、プログラム的にも簡単なので、数値解析の初歩的な学習問題としてよく取りあげられる。定義と公式の導出.常微分方程式とその初期値問題を次のように定める。時間の刻み幅をとする。時間後の数値解を求めるために、まずは時間を離散化し、とすると、オイラー法は次の公式で定義される。ここで、はでの数値解である。この公式を導出するために、解の存在性と滑らかさはより保証されると想定する(特に、はリプシッツ連続である)。上記の初期値問題の厳密解(ときには解析解)をにし、のテイラー展開を考える:ここでを微分方程式によりに変換すると上記式がとなる。の項を切り捨てて、をに、(厳密解)を(数値解)に置き換えるとオイラー法の公式である。他に微分の定義から公式を導出する方法も存在する。オイラー法は陽公式である。すなわち、過去の値のみが未来の値の計算に必要である。収束性と安定性.を意味する。原則として、収束しない、また収束性を証明できない方法は絶対に使ってはいけない。そのため、オイラー法の収束性を示す必要がある。のテイラー展開からオイラー法の公式を引いて両辺の絶対値を取るととなる。解の滑らかさの仮設よりリプシッツ連続を用いて、不等式図の領域は線形安定領域と呼ばれる。例.この方程式に対するのオイラー法はという漸化式になる。この漸化式は厳密解を求めることができて、初期値を用いて、となる。この例では、微分方程式の厳密解を直接に求めることができる。解いて厳密解はとなる。のときの誤差はとなる。のテイラー展開と二項定理を用いて等式したがって、この表示からがの極限で局所誤差がに収束することが分かる。後退オイラー法.前に述べたように、オイラー法は数値的不安定である。硬い微分方程式の解を計算するときに刻み幅を非常に小さくしないと近似解は厳密解に収束しない。そのような方程式の近似解を求めるために、数値的安定な方法が必要となる。安定性を持つ方法の中では、後退オイラー法()が一番シンプルな方法である。の代わりに、のに対するテイラー展開を考える前と同じ置き換えをすると、次の公式となる。拡張.