単項イデアル整域とは、任意のイデアルが単項イデアルである整域のことであるが、ここではイデアルという用語を用いずに、対応する以下の命題を示す。(証明)ガウス整数の集合を満たすが取れる。であるから、はの元である。はのでない元のうちノルムが最小のものであったから、でなければならない。ゆえに、はを割る。同様にして、はも割る。を先の定義によるガウス素数とする。このとき、であって、仮定よりはを割るのでは左辺のも割る。は単数であるから、はを割る。次に、がと同伴とすると、はを割るから、もを割る。通常の割り算を考えれば、有理整数環も絶対値に関してユークリッド整域であるので、同様にして素元分解整域であることが示される。一般に、ユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は素元分解整域であることの証明は、有理整数環やガウス整数環における証明をプロトタイプとしてほぼ同様に行える。ただし、最後のステップにおいて、有限個の既約元の積に分解されることを示すのにノルムを用いたが、一般には単項イデアル整域の性質のみで同様のことが示せる。応用.ピタゴラス数.ここでは、ガウス整数環の素因数分解の一意性の簡単な応用例として、ピタゴラス数のうち、互いに素であるものは全て次の公式で与えられることを確かめる。を原始ピタゴラス数とする。すなわちであっては互いに素とする。簡単に分かるように、とは偶奇が異なり、は奇数である。左辺を因数分解してを得る。ガウス素数とは互いに素である。実際、あるガウス素数が両方を割り切るとすると、その和や差も割り切るので、とを割り切る。とは互いに素であるので、はを割り切る。はも割り切るので、が奇数であることに矛盾する。したがってそのようなガウス素数は存在しない。互いに素であるとの積が平方数であるので、それぞれ平方数と同伴である(ここで素因数分解の一意性を用いた)。例えばとおくと、上記の公式を得る。同伴の違いは符号の違いやとの入れ替えを与えるのみである。実際に公式が原始ピタゴラス数を与えるためには、は互いに素で偶奇が異なり、である必要がある。このアイデアは、一見して一般のフェルマー方程式