任意のアーベル群は有理整数環上の加群と見ることができ、生成系を持つ有限生成アーベル群は、その任意の元をそれら生成元の整係数線型結合(は適当な整数)として書くことができる。有限生成アーベル群の基本定理は、有限生成アーベル群が有限階の自由アーベル群と有限アーベル群の直和に分解できて、各直和因子が同型を除いて一意となることを述べるものである。部分群.有限生成群の部分群は必ずしも有限生成に限らない。二元生成自由群の交換子部分群は有限生成群の有限生成でない部分群の例を与える。有限生成群の指数有限な部分群は常に有限生成であり、またはそのような部分群に対して必要な生成元の数の上限を与える。は自由群の二つの有限生成部分群の交わりがふたたび有限生成となることを示した。より精確には、二つの有限生成部分群の生成元の数をそれぞれとするとき、それら部分群の交わりは高々個の生成元で生成される。この上界の値はによってまで著しく改善された(を参照)。群のが昇鎖条件を満足するための必要十分条件は、その群の任意の部分群が有限生成になることである。任意の部分群が有限生成となる群はであると言う。任意の有限生成部分群が有限となる群はであると言う。任意の局所有限群はねじれ群、すなわち任意の元が位数有限となる群である。逆に、任意のねじれアーベル群は局所有限である。幾何学的群論.幾何学的群論は、有限生成群の代数的性質と、そのような群が作用する空間の幾何学的および位相的性質との間の関連性の研究である。関連概念.有限生成群のは、群の生成元からなる二つのがいつその群の同じ元を定めるかを問う決定問題である。与えられた有限生成群に対する語の問題が解けるための必要十分条件は、その群が任意のに埋め込めることである。はしばしば、その群の生成系の濃度のうち最小のものと定義される。定義により、有限生成群の階数は有限である。有限生成部分群線型群二重根重複度根の重複度単純零点素因数の重複度多項式の重根リーマンのグザイ関数リーマンのクサイ関数リーマンのΞ関数Ξ関数有馬療養温泉旅館岡安辰雄来歴.