ヘルムホルツの定理(ヘルムホルツのていり、)とは、ベクトル解析における定理の一つ。ヘルムホルツの定理により、任意のベクトル場を回転なしの場と発散なしの場に分解できることが示される。回転なしの場は元の場の波数空間における縦成分、発散なしの場は元の場の波数空間における横成分に対応し、ベクトル場をこれらの成分に分解することをヘルムホルツ分解と呼ぶ。定理の名はドイツの物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツに因む。ベクトル解析の応用として、物理学の特に電磁気学や流体力学などでしばしば利用されている。概要.を満たすものが存在する。すなわち任意のベクトル場を、スカラー場の勾配で表される項とベクトル場の回転で表される項に分解して表示できる。これをヘルムホルツの定理と呼ぶ。の前に負号がついているのは、スカラーポテンシャルの物理的な意味に則するためであり、数学的には負号をつけなくても良い。との取り方は一意的ではなく、に任意の定数を加えたものや、に任意のスカラー場の勾配を加えたものもを満たしている。これらの関係はおよびより導かれる。他に、以下の方程式を満たすような場を加える自由度がある。例として、にを満たす調和関数を加え、にそれを打ち消す項を加えることができる。応用上、よく用いられるスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの与え方として、が存在する。但し、この体積分が定義されるためには、ベクトル場が遠方で充分早くに近づくことが必要である。分解の意味.とするとであり、元のベクトル場が渦なし()のベクトル場と発散なし()のベクトル場に分解されていることが分かる。は縦成分、は横成分と呼ばれる。このことは、縦成分のフーリエ変換が波数ベクトルに対して平行であり、横成分のフーリエ変換が波数ベクトルに対して直交していることによる。注意しなければならないことは、これが波数空間上の性質であり、実空間上の性質ではないということである。ベクトル場のフーリエ変換は以下のように表される。これを縦成分および横成分について行い、(),()を適用すれば、次の関係が得られる。