線型空間は代数学的な性質のものである。(実数全体の成す体上で定義される)実線型空間、(複素数全体の成す体上で定義される)複素線型空間、あるいはもっと一般に任意の体上の線型空間などが考えられる。実数は複素数でもあるから、任意の複素線型空間は実線型空間でもある(後者は前者の台)。定義によって線型空間が与えられたとき、線型作用素は「直線」(および「平面」あるいは他の線型部分空間)、「平行線」、楕円(あるいは楕円体)などの概念を導く。しかし、「直交」(あるいは「垂直」)の概念を定義することはできないし、円を楕円の中の特別なものとして選び出すことなどはできない。線型空間の次元は線型独立なベクトルの数の最大値として、あるいは同じことだが空間全体を張るベクトルの数の最小値として定義される(それは有限かもしれないし無限かもしれない)。同じ体上の二つの線型空間が互いに同型となるための必要十分条件は、それらの次元が等しいことである。上で述べた線型空間と位相空間という二つの構造はともに、位相線型空間構造の台となる構造である。つまり、位相線型空間は(実または複素)線型空間でも、(実は等質な)位相空間でもある。しかし、勝手な線型空間と位相空間の構造を組み合わせても、一般には位相線型空間は得られない。位相線型空間となるためには、二つの構造が両立する必要がある。つまり(線型空間としての構造を定める)線型演算が(その位相空間の構造において)連続でなければならない。任意の(実または複素)有限次元線型空間は(それを位相線型空間とする位相がただ一つ存在するという意味で)線型位相空間と看做せる。従って、「(実または複素)有限次元線型空間」と「有限次元位相線型空間」という二つの構造は互いに同値である(つまり、互いに他の台構造と成り得る)。このことから、有限次元位相線型空間の任意の可逆線型変換は同相になる。しかし、無限次元の場合には、一般には異なる位相構造が与えられた線型構造と両立し得るし、従って一般には同相でない可逆線型変換が存在し得る。アフィン空間と射影空間.このやり方で定義されたアフィン空間と射影空間は、代数的な性質のものであって、実数体または複素数体あるいはもっと一般の体上で定義することができる。