を満たすとき、はノルムと呼ばれる。このときはに距離空間の構造(とくに位相)を導く。とくに、実または複素級数の場合には、絶対値をノルムとして、これらの主張がすべて満たされている。半ノルム空間の場合.ノルム空間とは限らない位相線型空間においても、半ノルムの意味での「絶対」収束を論じることができる。位相線型空間において、の元からなる(一般には非可算の)族が絶対総和可能であるとは、以下の二つの条件がみたされるときにいう:がノルム付け可能である場合には、が絶対総和可能であるとき、必然的に可算個の例外を除くすべてのはに等しい。絶対総和可能族は核型空間の理論において重要な役割を果たす。収束との関係.これについて、完備性とコーシー列に基づく「コーシーの判定法」による簡明な証明がある:すなわち部分列はに収束する。は上のコーシー列であったから、もに収束する。(証明終り)収束するが絶対収束しないような級数は条件収束すると言う。このような級数の例として交項調和級数がある。級数の収束判定法の多くのもの、例えばダランベールの収束判定法やコーシーの冪根判定法などは、絶対収束性を判定する。それは、実用的に重要な冪級数が収束円の内部で絶対収束するためである。無条件収束との関係.級数の積と絶対収束.積の分配法則.は無条件収束、したがって絶対収束し、その値はに等しい。これは、絶対収束する級数同士の積においては、有限和の場合と同様に積と和の分配法則が成り立つことを意味する。絶対収束級数は無条件収束、すなわち和の順序も自由に交換できるから、絶対収束する級数はおおむね有限和に近い性質を持つといえる。コーシー積.無限積.絶対収束は無限積の収束性を判定することもできる。積分の絶対収束.標準的な結果としては、がリーマン可積分(またはルベーグ可積分)ならも同様である、といえる。同じ様にが長さ無限の区間であるとき、絶対可積分でないような広義リーマン可積分関数が存在することはよく知られている。任意の可測空間において、実数値関数のルベーグ積分は正部分、負部分によって定義される。そこで、次の事実条件収束定義.正確には、級数が存在して有限の数である(やではない)が、であることをいう。古典的な例は次の交代級数