ギリシアの哲学者エレアのゼノンは極限過程に関するパラドックスの定式化で有名である。レウキッポス、デモクリトス、アンティポン、エウドクソス、アルキメデスは、面積や体積を決定するために近似値の無限列を用いる取り尽くし法を発展させた。アルキメデスは現在ではと呼ばれるものを計算することに成功した。実数.実数において、数が数列の極限であるとは、数列の数がにどんどん近づき、他の数には近づかないことをいう。正式な定義.が数列の極限であるとは、以下の条件が成り立つことをいう:論理記号を用いて形式的に表すと、数列がある極限に存在すれば、それは収束列であり、そうでなければ発散列である。性質.数列の極限は通常の四則演算について良く振る舞う。ならば、であり、もどのもでなければ、である。任意の連続関数に対して、のときである。実は、任意の実数値関数について、が連続であることと数列の極限を保つことは同値である(がこれはより一般の連続性の概念を用いるときには必ずしも正しくない)。実数列の極限のいくつかの他の重要な性質の中には以下がある。無限大の極限.距離空間.定義.距離空間の点が点列の極限であるとは、任意のに対して、あるが存在して、任意のに対して、となることをいう。これは,のとき実数に対して与えられた定義と一致する。性質.任意の連続関数に対して、のときである。実は、関数が連続であることと点列の極限を保つことは同値である。点列の極限は存在すれば一意である。なぜならば、相異なる点はある正の距離によって離れているため、この距離の半分よりも小さいに対して、点列の項は両方の点から距離以内にいることは出来ない。位相空間.定義.位相空間の点が点列の極限であるとは、の任意の近傍に対して、あるが存在して、任意のに対して、となることをいう。これは、が距離空間でがから生成される位相であるとき、距離空間に対して与えられた定義と一致する。性質.コーシー列.超実数における定義.