の公倍数であるようなが存在しての核との核が等しいことと定義する。この同値関係による合同群の同値類とアーベル拡大の対応は一対一になる。イデールによる定式化ではこの対応がより直接的に記述される。導手.判別公式.を代数体の有限次アーベル拡大、をこの拡大に対してアルティン相互法則が成り立つようなモジュラスとする。このとき、相対判別式と導手を関係づける公式が知られている。ここでの指標をすべてわたり、は合同群に対応するアーベル拡大の導手、はその有限部分である。これはハッセの判別公式()と呼ばれている。射類体.任意のモジュラスに対して存在定理よりに対応するアーベル拡大体が存在する。この拡大体はによって決まるのでで表す。この体はと呼ばれている。射類体の導手を割るが一致するとは限らない。例えば有理数体のモジュラスに対する射類体は有理数体に一致するので導手はである。またこの例から分かるように異なるモジュラスに対する射類体が等しくなるということもある。不分岐類体論.代数体の自明なモジュラスを取りと置く。存在定理よりこれに対応するアーベル拡大が存在する。これをと表すこともできる。もともとヒルベルトが存在を予想した「類体」は無限素点で何も条件をつけていないのでこの体とは異なる。しかし、現在ヒルベルト類体と呼ばれているものはここで定義したものである。ヒルベルト類体はすべての射類体に含まれる。代数体のすべてのイデアルはヒルベルト類体に延長すると単項イデアルになることが知られている()。終結定理.類体論は、有限次アーベル拡大に対してイデアルのノルムの成す群を乗じた群、つまり拡大に対する合同群を考えることでアーベル体に対して深い理解をもたらした。しかし、この手法は非アーベル拡大には通じない。このことを端的に示すのが次の終結定理である。