数学の一分野である複素解析におけるモレラの定理(モレラのていり、)とは、の名にちなむ定理で、函数が正則であるか判別するための重要な指標を与えるものである。数学的な記述.モレラの定理では、複素平面内のある連結開集合上で定義される連続な複素数値函数で、内のすべての区分的閉曲線に対してを満たすものは、必ず上で正則であると述べられている。モレラの定理の仮定は、が上に原始関数を持つことと同値である。この定理の逆は一般には成り立たない。正則函数は、付加的な仮定が課されない限り、その定義域上に不定積分を持つとは必ずしも言えない。例えば定義域が単連結であれば、そのような逆は成立する。これは、閉曲線に沿った正則函数の線積分はゼロであることを述べたコーシーの積分定理による。一方、区分的級閉曲線の代わりに内部および周がに含まれる三角形の境界に限っても定理は成り立ち、さらに逆も成り立つ(後述)。こちらもモレラの定理と呼ばれる。証明.この定理には比較的簡単な証明が存在する。一般性を失うことなく、は連結空間であるとしてよい。内のある点を固定し、任意のに対してをおよびを満たすような区分的曲線とする。このとき、函数を次のように定める。が成立し、したがってが成立する。するとの連続性を用いて平均変化率を評価すると、を得る。ここで、微分積分学の基本定理や平均値の定理は、実数値に関するものであるため利用できないことに注意されたい。するとは正則函数の導函数であるため、それ自身が正則である。正則関数の導関数が正則であるという事実は、正則関数は解析的である、すなわち収束冪級数によって書けるという事実と、冪級数は項別微分できるという事実を用いて、証明できる。これで証明は完成される。応用.モレラの定理は複素解析における標準的な道具であり、正則函数の非代数的な構成を含むほとんどすべての議論において利用することが出来る。一様極限.例えば、ある開円板上の連続函数に一様収束する正則函数の列を考える。コーシーの積分定理より、すべてのと円板内の任意の閉曲線に対してが成立する。このとき一様収束であることは、任意の閉曲線に対して無限和と積分.やガンマ函数を考える。任意の適切な閉曲線に対し、が示される。実際、