熊本工大高等学校アスタナ・チームラヴ・ラヴ・ラヴ/君を許す生涯.家族.后妃・子女なし十年ロマンス銀河旅行商群商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する。第一同型定理は任意の群の準同型による像はつねにのある商と同型であると述べている。具体的には、準同型によるの像はと同型である、ただしはの核を表す。定義と説明.一般の部分群に対して、すべての剰余類からなる集合に協調的な群演算を定義することが望ましい。これは以下に見るようにが正規部分群であるときにちょうど可能である。群の部分群が正規であるとは、のすべての元に対して剰余類の等式が成り立つことをいう。の正規部分群はと書かれる。定義.を群の正規部分群とする。集合をのにおけるすべての左剰余類からなる集合と定義する、すなわち、とする。上の演算を次のように定義する。の各元とに対し、との積はである。これは上の演算を定めている、なぜならばの部分集合の次の等式が成り立つからである:の正規性により、のにおける左剰余類たちと右剰余類たちは等しく、したがって代わりにをのにおける右剰余類たちの集合として定義することもできた。名前「商」の動機づけ.詳しく述べるため、をの正規部分群として、を見ると、群構造は自然な「グループ分け」をするために用いられる。これらはのにおける剰余類である。群と正規部分群から始めたから、最終的な商は(通常の割り算が与える)単なる剰余類の個数よりも多くの情報を含んでおり、それ自身群構造を持つ。例.この例を少し一般化する。再び整数が加法についてなす群を考える。を任意の正整数とする。のすべての倍数からなるの部分群を考える。は可換なのでその部分群は正規である。剰余類たちの集合はである。整数は、をで割った余りをとすると、剰余類に属する。商はで割った「余り」の群と考えることができる。これは位数の巡回群である。性質.の位数、すなわち元の個数は、すなわちのにおける指数に等しい。が有限ならば、指数はの位数をの位数で割ったものにも等しい。とがともに無限でもは有限かもしれないことに注意(例えば)。