と、それらをで割った(正の)余りを考える。(これらの余りはすべて相異なるので、全部で(個ある。)その余りがよりも大きいものの個数をとする。このとき例.およびとすると、考える整数列はであり、で割った余りは、上の余りの列の置換であることも明らかである。証明.は後者の範囲に属するような倍数の個数を数え、このときは前者の範囲に入るから、となる。さて値がに対して相異なることを見る。実際、はと互いに素であるから、となり、を得る。しかし、“絶対値”の取る値もちょうど個であるから、それらは整数を並べ替えたものとなる。したがってとなる。を消すと、応用.ガウスの補題は、平方剰余の相互法則の知られている証明のうち、決してすべてではないが、多くで使われる。となることを証明し、この式を用いて平方剰余の相互法則を証明した。円関数ではなく楕円関数を使うことで、彼はやを証明した。レオポルト・クロネッカーは補題を用いてを示した。とを入れ替えることで直ちに平方剰余の相互法則を得る。「第二補充法則」のおそらく最も簡単な証明においても用いられる:群論の移送との関係.この代表系の集合に移送のからくりを施して、移送準同型を得るが、これはをに送る写像であることが分かる、ただしとは補題の主張のとおりとする。するとガウスの補題は、この準同型を二次剰余指標として明示的に同一視する計算と見ることができる。関連項目.ループ代数数学において,ループ代数(ループだいすう、とは,ある種のリー環であり,特に理論物理学において興味を持たれる.定義.を複素リー環とし,を円周多様体上の滑らかな(複素)関数の代数とする.このとき,とのテンソル積は,リーブラケットがで与えられる無限次元リー環である.ここでとはの元で,とはの元である.これはの各点にを乗せたの無限個のコピーの直積に対応するものではない,なぜならば滑らかさの制約があるからである.そうではなく,からへの滑らかな関数,言い換えると,内の滑らかな径数付けられたループと考えることができる.これがループ代数の名前の由来である.なお,部分代数もループ代数と呼ばれる.ループ群.