で定義される(文献によって異なる。群論の専門家は上の方をよく使う)。交換子がその群の単位元に等しいことと、とが互いに可換(つまり)となることとは同値である。のすべての交換子から生成されるの部分群を、の導来群または交換子群と呼び、あるいはと表記する。注意すべきは、一般には交換子は群演算について閉じていないので、交換子全体の成す集合そのものではなく、それで生成される部分群を考えなければならないことである。交換子の概念は、冪零群や可解群の定義に用いられる。群論における恒等関係式.特定の部分群で割った剰余群を考えれば、広くさまざまな恒等式が成り立つようにできる。これは[[可解群]]や[[冪零群]]の研究においてとくに有用である。たとえば、任意の群において積の自乗はが成り立つという意味でよく振舞う。したがって、[[導来部分群]]が[[中心(代数学)|群の中心]]に含まれる(中心的)ならばという関係が成り立つ。環論における交換子.環論における恒等関係式.交換子は以下のような性質を満たす。[[ベイカー–キャンベル–ハウスドルフの公式]]の特別な場合だが、交換子を用いて書ける次の恒等式は有用である。次数つき交換子.[[次数付き多元環|次数環]]を扱うとき、交換子もしばしば、斉次成分についてとなるものとして定義される、次数付き交換子に置き換えられる。導分.多重交換子などを扱う場合などは特に、[[随伴表現]]を使った別の記法を満たすものである。しかし、一般にはが必ずしも成り立たず、多元環の準同型とは必ずしもならない。反交換子.で定義される。反交換子は交換子ほど応用範囲が広いわけではないが、たとえば[[クリフォード代数]]や[[ジョルダン代数]]の定義などに用いられる。外部リンク.[[Category:環論]][[Category:群論]][[Category:数学に関する記事]][[Category:抽象代数学]][[Category:二項演算]]事件の概要.捜査と裁判.その後の経過.