を満たすものである。開近傍に同相写像を考え合わせたものを、ベクトル束の局所自明化という。局所自明化によって、写像が「局所的に見れば」からの射影である「かのようにみえる」ということが表されている。座標変換式.階数のベクトル束と、近傍の対にそれぞれの局所自明化が与えられているとき、上で合成写像は矛盾無く定まり、がとれる。このような写像を(のとり方に依らず総称して)ベクトル束の遷移写像もしくは推移写像または座標変換という。座標変換の全体は任意のについてその局所自明化上でを満たすという意味でを成す。したがって、組はファイバー束を定める。このとき、座標変換の与える付加情報は、ファイバーの構造群がであり、ファイバーへの作用がの通常の作用として与えられることを示すものである。逆に、ファイバー束がファイバー上にの通常の作用によるコサイクル作用を持つならば、対応するベクトル束が存在する。このことを以ってベクトル束の定義とすることもある。ベクトル束の射.ベクトル束からベクトル束への射は、連続写像との対であって、以下の条件を満たすものである。の全射性により、はによって完全に決定される。このことからはの被覆と呼ばれる。ベクトル束全体の成す類に束射を考え合わせたものは圏をなす。ベクトル束を空間が可微分多様体で束射影が滑らかなものに制限し、束の射も滑らかなもののみに制限すると、滑らかなベクトル束の圏を得る。ベクトル束の射は、ファイバー束間の束写像の概念の特別な事例であり、(ベクトル)束準同型(写像)ともいう。からへの束準同型で、その逆写像が再び(からへの)束準同型であるものを(ベクトル)束同型(写像)といい、このときととは束(として)同型であるという。上の(階数の)ベクトル束と(上の階数の)自明束の間の同型写像をの自明化といい、自明化をもつベクトル束は自明である、または自明化可能であるという。ベクトル束の定義より、任意のベクトル束は局所的に自明である。固定した底空間の上のすべてのベクトル束の圏を考えることもできる。この圏の射として、底空間上の写像が恒等写像になるベクトル束の射を取る。つまり、以下の図式を可換にする束の射である。