射影に関しては、をの部分空間へ写す正射影をとするとが一般的な関係として成り立つ。計算.定義からの直接計算.一般的に、与えられた集合のハウスドルフ次元を決定するのは困難である。次元を決定するためによく使われる手法は、上からの評価と下からの評価を行い、それらが同じ値を取ることを証明する手法である。すなわち、(上から)かつ(下から)であることを証明すればである。上からの評価は比較的簡単で、特殊な被覆を設定すれば求まる。特に一般的に大変なのが、ハウスドルフ測度およびハウスドルフ次元の下からの評価を得ることである。下からの評価のためにはあらゆる被覆を考えて決める必要があり、難しくなる。であり、カントール集合をと表すとと定義される。カントール集合はハウスドルフ次元を正確に決定できる少ない例のうちの一つである。カントール集合のハウスドルフ測度およびハウスドルフ次元の場合、をに対する被覆と考えれば、上からの評価が得られる。この被覆についてと仮定すると、およびであることが得られる。また、少し技巧的な証明を要するが、任意の閉区間による被覆に対しておよびであることが得られる。したがって、である。自己相似集合の場合.フラクタルの中でも、ハウスドルフ次元を正確かつ簡単に決定できるクラスの集合がある。写像が、ある定数が存在して、が任意のについて成り立つとき、を縮小写像という。個の縮小写像の組が与えられたとき、を満たすコンパクト集合を自己相似集合という。自己相似集合がかつ任意のとについてを満たすとき、は開集合条件を満たすという。さらに、個の縮小写像の組における各写像について、ある定数が存在し、が任意のについて成り立つとき、は相似縮小変換などと呼ばれる。定数は縮小率と呼ばれる。すなわち、は縮小、回転、平衡移動、反転などの変換を組み合わせて、上の部分集合を幾何学的に相似な集合に写す線形変換である。以上のように、縮小写像が相似縮小変換でなおかつ開集合条件を満たすとき、その縮小写像の組から定まる自己相似集合のハウスドルフ次元は例.