周期進行波の族に対するそれらの厳密解は、非常に広い範囲のさらなる解析的研究を可能とする。その周期進行波の安定性のための厳密条件を見つけることが出来、絶対安定性のための条件は、簡単な多項式の解へと帰着される。数値計算と安定性.周期進行波の安定性は、そのスペクトルを計算することで、数値的に調べることが出来る。偏微分方程式の周期進行波のスペクトルはすべて本質的スペクトルであるという事実があるため、より簡単に調べることが出来る。考えられる数値的手法として、ヒルの方法や、スペクトルの数値接続などが挙げられる。後者の手法を採用する利点として、安定な波と不安定な波の間の媒介変数空間の境界を計算出来ることが挙げられる。ソフトウェア.周期進行波の数値的な解析を行うための、フリーのオープンソースソフトウェアとして、Wavetrainが挙げられる。数値接続を利用することで、Wavetrainでは偏微分方程式の周期進行波解の形状と安定性、および波が安定に存在するような媒介変数空間の領域を計算することが出来る。応用.経験的に発見されている、周期進行波を示す現象の例として、以下が挙げられる。フィリッポ・ネリ生涯.幼少時代.ローマへ.彼は、ローマ在住のフィレンツェ貴族の子弟の家庭教師をしながら、聖アウグスチノ修道会にて学びつつ、病院や救貧院での奉仕を始める。彼が理想とするのは、祈りを中心とする生活であった。しかし、修道院において聖職者になるための勉強をする時間が、フィリッポ・ネリにとって、祈りの時間を削ることになると考えさせるようになる。彼は、修道院での勉強に終止符を打ち、カタコンベで独り祈り、奉仕をする生活を始める。ただし、トマス・アクィナスの神学大全を学ぶことは欠かさなかった。司祭へ.迫害.司祭となったフィリッポ・ネリは、信徒としてオラトリオで行っていた宣教活動を、さらに規模を拡大して進めていく。司祭となった、彼は、オラトリオの活動を積極的に推し進めた。一見するとプロテスタントの宗教改革に似た、フィリッポ・ネリの手法は、当初、教皇庁ににらまれた。オラトリオ会.