ツルナ・ルカ半直積群論において、群の半直積(はんちょくせき、)とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。定義.内部半直積.ふたつの群,に対してのによる内部半直積とは、次の性質を満たす群のことで、と表す。を群とし、をその部分群、を正規部分群()とすると、以下は同値である。外部半直積.を正規部分群と部分群の(内部)半直積であるとする。をのすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像は群準同型である。,ただしすべてのとに対し、.(はの正規部分群であるからであることに注意。),,の三つ組は以下で示すようにを同型の違いを除いて決定する。逆に、群と正規部分群と部分群が与えられていて、のすべての元が一意的に,ただし,,の形に書けるとしよう。を、ただしすべてのに対してホモロジー代数的定義.群の群による半直積とは、分裂する短完全列を持つような群のことである。ここで、短完全列が分裂するとは切断が存在することである。(つまり半直積とは群の群による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。)導入.このような関係をさらに一般化したものが半直積である。例.直積.直積群は半直積群でもある。二面体群.位数の二面体群は位数の巡回的正規部分群の位数の巡回群による半直積である。一般線型群の上三角行列からなる部分群を取る。を対角成分がすべてからなる群の部分群とし、を対角行列からなる群の部分群とする。このとき次が成り立つ。アフィン変換群.正則アフィン変換からなる群も半直積の例である。半直積で表せない例.位数の四元数群は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない。性質.位数.位数はそれぞれの積である。埋め込み.もとの群は半直積群に埋め込まれる。つまり、ふたつの単射準同型写像とがある。さらにの単射準同型像はの正規部分群で、その剰余群はと同型である。異なる作用における同型.一般に、ふたつの異なる群作用が非同型な半直積群を定めるとは限らない。もしが巡回群で作用が単射かつを満たすならばである。