言い換えると、体拡大に対する合同群からは、含まれているアーベル拡大についての情報しか得られない。類体論に主要な貢献をなした高木は、この定理を提示したのち、「合同類別を以てしては、その統制力は直接には上の「アアベル」体以上には及び得ない。それ以上、類体論の拡張は将来の発展にまたねばならない」という言葉で自著『代数的整数論:一般論及類体論』を締めくくった。その後の発展については#類体論の一般化参照。イデールを使った定式化.イデアルの言葉による類体論は、具体的であり、多くの場合に最も便利である。しかし、モジュラスを固定するため一度に取り扱えるのは導手がを割る有限次アーベル拡大だけであったり、また無限次アーベル拡大が扱えないなどの短所もある。イデールの言葉による類体論では、無限次拡大も扱え、すべてのアーベル拡大を同時に取り扱える。、イデール類群をが存在して、次を満たす。が存在することがわかる。考えている大域体が代数体の場合には、は全射であり、その核は単位元の連結成分であるため、が成り立つ。ガロア・コホモロジーを使った定式化.を有限次代数体、をの有限次ガロア拡大(アーベルでなくともよい)とする。のイデール類群にはガロア群が作用するので、をガロア加群と見て群のコホモロジーを取ったものをが存在する。この同型によってが定める右側の群の元に対応する左側のの元をが得られる。ここでが存在することがわかる。これがガロア・コホモロジーの文脈で述べられる類体論の相互法則である。なお、が局所体の場合にも、イデール類群の乗法群に置き換えれば同様のことが成り立つ。局所体の場合と大域体の場合をまとめて扱えるように、共通する上述の性質を抽象化したものがである。コホモロジーを用いずに非常に明示的で応用が利く方法などもある。各種特別な体に関する類体論.によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならばによって与えられる。しかし、このような小さな代数体に対する詳細理論の主要な構成法は一般の代数体の場合にまで拡張することはできないし、一般類体論で用いられるのはもっと違った概念的原理である。類体論の一般化.