確率変数の確率密度関数がである時、別変数の確率密度関数を計算することができる。(多くの場合は必要ないが。)これは「変数変換」と呼ばれ、実際面では既知の(一様分布等)乱数生成器から任意の形のを導き出すことができる。関数が単調写像である時、その結果得られる確率密度関数はである。ここでは逆写像である。このことは微分範囲に含まれる確率が変数変換後も不変であることからも分かる。つまり、またはである。一方、単調写像でない確率密度関数は(はを満たすの解の数、はその解)である。これを見ると、期待値を求めるためには最初に新たな確率変数の確率密度を求める必要があると思いたくなる。しかし、を計算するよりはむしろ、を計算する方がよい。多変量.となる。ただし積分は添え字の方程式の次元の解全体を渡り、記号は実際の計算にはこの解のパラメータ化に置き換えなければならない。変数はもちろんこのパラメータ化の関数である。これからより直感的な表現が導かれる。を同時確率密度の次元確率変数とする。を全単射で微分可能な関数としてであるならば、は密度を持つ:ここで微分はの逆関数のヤコビ行列のにおける値である。独立性を仮定してデルタ関数を用いると、以下のように同じ結果が得られる。独立な確率変数の確率密度関数がで与えられる時、の確率密度関数を計算できる。次の式は、の確率密度関数とをデルタ関数で結合するものである。独立な確率変数の和の確率密度関数.この関係は、個の独立な確率変数の和に拡張できる。独立な確率変数の積と商の確率密度関数.商の確率密度関数.この時、同時確率密度関数はをに変数変換することで計算でき、は同時確率密度関数からを周辺化することで導出できる。その逆変換は、である。である。従って、となる。の分布はの周辺化によって、と計算される。この手法でをに変換する時に不可欠な条件が全単射である。上記の変換はがに直接逆写像され、与えられたについてが単調写像であるので条件に適合している。これは、和:,差:、積:においても同様である。独立な確率変数の積についても全く同じ手法で計算することができる。