より一般的に、線型代数学の基本定理によって関連付けられる像、核、余像、余核について考えることができる。証明.第一の証明.}をの基底とする。この基底をの基底に拡張して}となるとする。の次元はであり、の次元はであるため、の次元がであることを示せば十分である。}がの基底であることを示す。内の任意のベクトルに対して、以下を満たすスカラーが一意に存在する:したがって、}はの生成系であることが分かる。あとは、}が線型独立であることを示せばよい。今とする。すると、}はを張るから、とスカラーで表せる。しかし、}はの基底であるから、線形結合の表示は一意であり、ゆえに、全てのおよびはゼロに等しい。したがって、}は線型独立であり、の基底である。このことから、の次元はであることが分かり、目標は達成された。より抽象的な言い方をすると、写像は分裂する。第二の証明.を、個の線型独立な列を含む行列とする(すなわち、の階数はである)。以下では次を示す:すなわち言い換えると、列ベクトルがの零空間の基底を形成する、ある行列を、以下では作る。一般性を失うことなく、の初めの個の列が線型独立であると仮定できる。すると、個の線型独立な列ベクトルを含むある行列のと、個の各列がの列ベクトルの線型結合で与えられるある行列のを用いて、と書くことができる。このことは、ある行列に対してが成立することを意味し(階数因数分解を参照)、したがってである。次単位行列に対し、とする。このはを満たす行列であることに注意されたい。したがって、の個の各列は、の特殊解である。さらに、以下に示すようにであればであることから、の個の列は線型独立である:したがって、の列ベクトルはに対する個の線型独立な解の集合を構成する。続いて、の解はどのようなものでもの列ベクトルの線型結合で表現されることを示す。このことを示すために、を満たす任意のベクトルを定める。の列ベクトルは線型独立であることにより、であればが成立することに注意されたい。したがって、