法での根から法での根を求める反復計算をずっと直感的に行うことができる。次の合同式を解いて整数を見つける代わりに、有理数を次の式で定める。分母にが出てくるように見えるが、で割れるため実際には出てこない。そしてと置く。これは整数にはならないかもしれないが、進整数にはなっている。数列はある進整数に収束し、極限はの解になっている。そして、を計算する漸化式をよく見てみると、実数の場合における求根アルゴリズムであるニュートン法の漸化式とまったく同じになっている。進数の中で計算を行い進絶対値を使うことでとなってしまうを満たすものがあったとすると、進整数でとなるものが一意的に存在する。このを作るにはニュートン法の漸化式が初期値進数に収束することを示しその極限をと置けばよい。条件が一意であることを示すには追加の議論がいる。を意味するからである。例.の平方根が存在することをヘンゼルの補題を使って示すことができる。これを見るためにと置く。を法でのの平方根とするとが奇数であることによる。基本形のヘンゼルの補題を使って、が成り立つように作ることができる。この列はある進整数に収束しを満たす。このは、法でと合同になるにおけるの唯一の平方根である。逆に、をで割り切れないものとすると、が法でゼロではない平方剰余かどうかは平方剰余の相互法則で簡単に判定できるので、これで(奇素数に対する)進数が進平方根を持つかどうかを決定する実用的な方法が得られたことになる。としよう。ヘンゼルの補題におけるの計算式に現れる各種の数値はとなる。これらの式から、次の式となり、これはを意味する。したがって、次の反復計算を行うととなる。最初にを選んだ場合でもであることと辻褄があっている)。元々のヘンゼルの補題は適用できないが一般化されたものなら適用できる例としてとするとであり、またであるので、を満たすものが一意に存在する。二番目の式はの根を法から法となっている。と置き、最初の近似根としてを取る。任意のに対してとなってしまうので、基本形のヘンゼルの補題を使っての根を見つけることはできない。