媒介変数を取り換えるとき、非正則点が正則点に変わることが起こり得る。例えば、単位球面をオイラー角で媒介表示したときの極点は非正則だが、これを正則にするには座標軸の役割を入れ替えて極点でないようにすれば十分である。二変数函数のグラフ.有理曲面.有理曲面は代数曲面だが、ほとんどの代数曲面は有理曲面でない。陰伏曲面.正常点と接平面.曲面の特異点.特異点付近の曲面の研究および特異点の分類はと言う。特異点が孤立するとは、その近傍に他の特異点を含まないときに言う。さもなくば特異点の集合は曲線を成す(自己交叉曲面の場合には特にそうである)。代数曲面.によって定義された曲面という意味であった。この概念を拡張するのにはいくつかの方向性が有る。例えば、任意の体上で定義された曲面を考えたり、任意次元の空間あるいは射影空間内の曲面を考えたりすることができるし、ほかの空間に陽に埋め込まれていない抽象代数曲面も考えることができる。任意の体上の曲面.代数曲面の定義に際しては任意の体に係数をとる多項式を用いることができるが、例えば有理係数の多項式は実あるいは複素数を係数とすると見なすこともできるから、「与えられた多項式の係数体」は一概には決まらない。そこで、この場合の曲面上の「点」の概念は以下に言うような一般化された意味でいうことにする:射影曲面.三次元射影空間内の射影曲面は、ひとつの三変数斉次多項式の零点をに持つような点全体の成す集合である。より一般に、射影曲面とは射影空間の部分集合であって、二の射影多様体となっているようなものを言う。射影曲面はアフィン曲面(つまり通常の代数曲面)と強く関係する。射影曲面から対応するアフィン曲面を得るには、座標(あるいは不定元)の一つをと置けばよい(最後の変数をにすることが多い)。逆に、アフィン曲面から付随する射影曲面(もとの曲面の射影完備化と呼ばれる)を得るには、定義多項式を斉次化すればよい(高次元空間内の曲面の場合は、定義イデアルを斉次化する)。高次元空間内の曲面.高次元空間内の代数曲面という概念を定義するには、代数多様体およびに対する一般の定義が不可欠である。事実として、代数曲面とは「二次元の代数多様体」のことにほかならないのである。