逆に、を(抽象的な微分多様体または位相多様体としての)球面とする。一意化定理により、には複素構造が一意に存在する。上の任意の計量は、円形計量()に共形同値である。これらすべての計量は、同一の共形幾何学を決定する。従って「円形性」は共形幾何学の不変量でないので、円形計量はリーマン球面にとって内在的なものではない。リーマン球面は単に共形多様体に過ぎず、リーマン多様体ではない。しかし、リーマン球面上でリーマン幾何学をする必要があるのであれば、円形計量は自然な選択である。自己同型.あらゆる数学的対象の研究は、自己同型群、つまりその対象から自身への写像であって、同対象の主要な構造を保存するものがなす群を理解することにより促進される。リーマン球面の場合、自己同型は、リーマン球面から自身への可逆な双正則写像である。このような写像は、メビウス変換()とも呼ばれる一次分数変換のみであることが知られている。一次分数変換はなる形に書かれる関数である。ここにはを満たす複素数である。一次分数変換には、伸縮と回転()、平行移動()、相似・実軸対称(等がある。実際のところ、任意の一次分数変換はこれらの合成により記述できる。一次分数変換は複素射影曲線上の変換と見るとわかり易い。変換は射影座標によりと書くことができる。ここで、二つの行列は、それらが非零定数倍だけ異なるとき、かつその場合に限り、同一の一次分数変換を表す。したがって、一次分数変換の全体は射影線型変換の全体に完全に一致する。例えば、伸縮と平行移動はそうでない。等長写像全体はの真の部分群を形成する。この部分群は回転群,つまり内の単位球面の等長変換群と同型である。応用.複素解析で、複素平面(またはリーマン球面)上の有理型関数とは、正則関数との比である。複素数全体への写像としては、である限り、これは定義されない。しかし、であっても、複素射影直線への正則写像は整合的に定義され、これを含む。この構成法は正則および有理型関数の研究に有用である。例えば、コンパクトなリーマン球面上には定数でない複素数値正則写像が存在しないが、複素射影直線への正則写像は沢山存在する。リーマン球面は物理学で多くの応用を有する。