竹本津島太夫と竹本対馬太夫で表記にゆらぎがあり、『義太夫年表近世篇』によれば、どちらの名前も番付で確認できるが、「対馬」が国号であり、国号使用の禁止により「津島」とした理由もあるが、紋太夫襲名を強行するほど綱太夫家(の名跡)に思い入れがあったと推察され、竹本津太夫や竹本津賀太夫のように「津」の字は二代目綱太夫の営んでいた「津國屋」に由来する綱太夫家にとって大切な文字であることから、津島太夫を名乗ったと考えられる。また、同時期に四代目竹本染太夫の門弟にも竹本対馬太夫がいたため、竹本津島太夫とした可能性もある。その他にも、綱太夫代々の演物である『摂州合邦辻』「合邦内の段」『勢州阿漕浦』「平次住家の段」『伊賀越道中双六』「岡崎の段」『ひらかな盛衰記』「逆櫓の段」を得意とした他、『仮名手本忠臣蔵』「山科閑居の段」『近江源氏先陣館』「盛綱陣屋の段」『箱根霊験躄仇討』「滝の段」も度々語っている。五代目綱太夫を「盛綱陣屋の段」で襲名した後も、『佐倉曙』「宗五郎内の段」『箱根霊験躄仇討』「滝の段」『五天竺』「長者館の段」『勢州阿漕浦』「平次住家の段」『関取二代鑑』「秋津嶋切腹の段」『本朝廿四孝』「勘助住家の段」『仮名手本忠臣蔵』「判官切腹の段」『花上野誉石碑』「志渡寺の段」等、歴代綱太夫の演物や紋下太夫に相応しい語り物を勤めている。図案は渡辺源吾綱であり、師匠四代目綱太夫も渡辺源吾綱に比されたように「綱」つながりの所縁がある。また、渡辺綱の鎧の弦走韋等に定紋である抱き柏に隅立て四つ目が描かれている。渡辺綱の羅生門の鬼退治から、羅生門と鬼も描かれている。同じ四代目綱太夫一門の兄弟子竹本山城掾と五代目竹本春太夫が、竹本綱太夫の名跡を日本一の霊峰である富士山になぞらえた句を寄せている。「對馬太夫改名をともによろこびのあまり尻おすぞまだ〳〵かほれ不二詣竹本山城掾おなしこゝろをともに手を組てのぼらん不二詣竹本春太夫何とも申ませぬたゞ此上御ひいき御取立を願ひて御贔屓の綱をちからに不二もふで對馬太夫更五代目竹本綱太夫」また、同じ竹本綱太夫一門の女流の三代目竹本綱吉や六代目竹本綱太夫夫人である竹本綱豊らも竹本綱太夫家所縁の演目を詠み込んだ句を寄せている。「夏祭り扨にきわしき遊参船大阪綱栄(『夏祭浪花鑑』)