の場合に対して、オブザーバブルの具体例を述べる。微分作用素.量子力学で登場する代表的なオブザーバブルは、いずれも偏微分を用いて表現できるので、まず本節では微分作用素の定義と性質を述べる。とする(この記法を多重指数表記という)。微分作用素は上で明らかに定義可能であり、しかもの元をに写すので、以下の系が従う:位置作用素.上記の定理は以下のように証明できる。可測性から運動量作用素、軌道角運動量作用素.という形で書ける微分作用素は本質的に自己共役である新井。特にの閉包として書ける軌道角運動量作用素も自己共役である。()の形の微分作用素が自己共役である事の証明は本項の範囲を超えるため省略するが、が対称作用素である事は以下のように示すことができる。に対し、部分積分の公式からシュレディンガー作用素.量子力学では時刻に依存するかもしれないポテンシャルと呼ばれる実数値局所可積分関数を固定し、シュレディンガー作用素と呼ばれる作用素を考える。ここでは何らかの定数で、物理的には番目の粒子の質量を表す。または次元であり、物理学的なセッティングではである。各時刻に対しシュレディンガー作用素は常に対称作用素であるが新井、本質的に自己共役であるか否かはポテンシャルによる。超関数によるデルタ関数の定式化.量子力学を定式化するため、ディラックはデルタ関数を導入した。数学的に見た場合、このような「関数」は存在しないものの関数概念を一般化した「超関数」の概念を使う事でデルタ関数を数学的に定式化でき、これによりディラックの議論をある程度の部分まで数学的に正当化ができる(全ての議論を正当化できるわけではない。詳細後述)。そこで本稿では超関数の概念を導入し、デルタ関数を超関数の概念を使って定式化し、超関数の性質を調べる。準備.本節では超関数の概念を定式化するのに必要な概念を導入する。性質.明らかにである。また前述したようにはの稠密部分空間なので、次の事実が成り立つ:収束.超関数の定義.シュワルツ超関数の定義.をの領域とし、を局所可積分関数とするとき、上の線形汎関数を