と定義する.さらに,台有限次元単純リー環の基底は構造係数がすべての添え字で反対称となるようとられ基底は適切に正規化されていると仮定する.このとき定義より直ちに次の交換関係が分かる:ヴィラソロ代数.としの反対称性を用いてを得る.拡大において,元に対する交換関係はである.右辺の中心電荷を取り除くことが望ましい.このためにとなり,したがってである,ただし最後の条件はリーブラケットの反対称性による.これと(の「平面」を切り出す)によりはとなり,(の「直線」を切り出す)としてとなる.これは一般にで解かれる差分方程式である.するとの元の拡大における交換子はとでき,中心電荷が全く現れず,したがって拡大は自明である.(これはのみがもともとの関係を得た前の修正の場合では(一般には)ない.)のとき基底の変換により交換関係はであり,交換関係はである.群の拡大.リー群の射影表現(背景)は,いわゆる群拡大を定義するのに使うことができる.量子力学において,ウィグナーの定理は,が対称変換群であるとき,それはユニタリあるいは反ユニタリ作用素によってヒルベルト空間上射影的に表現されるということを述べている.これはしばしば,のにうつりそれを対称変換群ととることで扱われる.これは回転群やローレンツ群に対してはうまくいくが,対称変換群がのときはうまくいかない.この場合その中心拡大であるバーグマン群にうつらなければならない.これはシュレディンガー方程式の対称変換群である.同様に,,位置と運動量の空間の平行移動の群のとき,その中心拡大であるハイゼンベルク群にうつらなければならない.と定義し,乗法をが成り立ち,逆元はである.集合はの可換部分群である.これはが半単純でないことを意味する.の中心はこの部分群を含む.中心はより大きいかもしれない.リー環のレベルでは,のリー環はベクトル空間としてはで与えられリーブラケットはさて射影表現を用いて写像をで定義できる.それは次の性質を持つ:なのではの本物の表現である.