から誘導されているものとする。これが平坦であることを示すには加群の系列を得る。は零因子ではないのでこの核は自明である。したがってホモロジー群は消える。奇跡的平坦性.平坦射の例はからも得られる。奇跡的平坦性とは、コーエン・マコーレー・スキームから正則スキームへの射は、ファイバーが等次元であれば平坦であるという定理である。これから簡単に得られる平坦射の例としては、楕円ファイバー空間、滑らかな射、各滑層上で奇跡的平坦性が成り立つへの射などがある。ヒルベルトスキーム.普遍性を持つスキームの平坦射の例はヒルベルトスキームである。ヒルベルトスキームは平坦射の普遍族のパラメーター空間なので、すべての平坦射はあるヒルベルトスキームからの引き戻しである。つまり、を射影空間に閉部分スキームとして埋め込める平坦射とすると、はすべて同じヒルベルト多項式を持つので、上記のヒルベルトスキームをで置き換えてもよい。平坦射ではない例.ブローアップ.平坦射ではない射の例としてはブローアップのコピーである。つまりということであるが、これはが成り立つ。このことと奇跡的平坦性の補題により平坦ではないことが分かる。無限分解.平坦射ではない簡単な例はである。このことを見るにはが無限複体であることを見ればよい。の平坦分解を取り、この分解にをテンソルしてであることが分かる。したがって平坦ではない。平坦射の性質.をスキームの射とする。射に対してと書くことにすると、射が平坦であることと、すべてのに対して引き戻しが準連接加群の圏から準連接加群の圏への完全関手になることは同値である。をスキームの射とし、はの点で平坦とする。このとき、がで平坦であることと、がで平坦であることは同値である。特に、が忠実平坦なら、が平坦または忠実平坦であることとがそれぞれ平坦または忠実平坦であることは同値である。基本的な性質.をスキームの平坦射とする。を平坦射とする。とををこれらのによる基底変換とする。位相的性質.が平坦かつ局所的に有限表示であれば、は普遍的開写像(絶対開ともいう)である。しかし、が忠実平坦かつ準コンパクトであるとき、仮に