直観的には、ベクトル場は領域の各点に(変化する長さや方向を持つ)「矢印」を張りつけることによってもっともよく視覚化することができる。まがった空間上のベクトル場の一つの例として、地上の各地点における水平方向の風速を示した天気図がある。テンソル場の一般概念は、もっと豊かな幾何(例えば計量テンソルの場合において、点から点へ変化する楕円体)の要求にこの概念を結び付けるとき、地表をマッピングする特定の方法に依存する先の方法のようにはならないようにする。つまり、その値は数値的な座標系を導入するために用いる経緯度の測り方、あるいは何か特定の「地図投影」に独立に存在しているものでなければならない。ベクトル束としての説明.テンソル場の概念の現代数学的な表示は二段階の概念に分けることができる。「(多様体に値を取る)パラメータに依存するベクトル空間」の自然な概念として、ベクトル束の概念がある。例えば、「一つの角に依存する一次元ベクトル空間」というのはメビウスの帯や円柱のようなものになる。多様体上のベクトル束が与えられたとき、対応する場の概念はベクトル束の切断()と呼ばれる。これはが上を動くとき、におけるベクトル空間上のベクトルを一つずつ選ぶものである。テンソル積の概念は基底の選び方に依らないから、上の二つのベクトル束のテンソル積を取ることは各点におけるテンソル積の単純な繰り返しである。接束(接空間全体の成す束)から始めて、で用いた論法を全体に繰り返し適用すればよい。これはまた導入において述べたとおり座標系に依存しない。これによって、つまりテンソル束の切断として、テンソル場の定義を与えることができる。(テンソル束ではないようなベクトル束は存在する。例えばメビウスの帯)。この方法は全てを内在的な方法で行うことができるから、従ってこれは幾何学的な内容を保証するものになっている。より正確に言えば、テンソル場は多様体の各点に対して空間のテンソルを割り当てる。ここではその点における接空間であり、は余接空間である。接束および余接束も参照。記法について.と書かれることもある。これをテンソル空間の場合の非常によく似た記法と混同しないようにしたい。後者はテンソル空間が一つしかないが、前者では多様体の各点に対してテンソル空間が定義される。