この関数はとに特異点を持つ。積分路として実数値積分を含む積分路を選ぶ。ここでは実数直線上に境界の直径(からまで)を持つ半円が便利である。この積分路をと呼ぶ。コーシーの積分公式を使う.次に注意:したがってさらに次が成り立つ:閉曲線の囲む領域内に二位の極があるため、コーシーの積分公式を用いて、半円の弧をと呼ぶことにすれば、上の積分がのときに収束することを示す必要がある。を用いてただしは上のの上界であり、はの長さである。今である。したがって留数の方法を使う.の周りでののローラン展開を考える(は考える必要のある唯一の特異点である)。するととなる(この級数の導出はの計算例を参照)。留数がであることは見た目から明らかである(これを確かめるには、上の等式にを掛けたものを考え、コーシーの積分公式を用いて両辺を積分すると、第二項のみがでない値となる)。よって留数定理よりしたがって前と同じ結果が得られた。積分路についての注意.これは級数による留数の手法の使用に影響しない。(確率論においてコーシー分布の特性関数のスカラー倍として生じる)は初等解析学のテクニックでは困難である。それを次の積分路に沿った線積分の極限として表示することにより計算しよう:実数直線をからまで沿って行き、を中心とする半円に沿ってからまで反時計回りに行く。をよりも大きく取って、虚数単位が曲線の内側に入るようにする。線積分はである。留数定理により、でありしたがってとなる。のときであることを示すことができる。よってのときである。のときはではなくをまわる弧を用いた類似の議論によってが示される。よって最終的に次を得る:(のときは積分はただちに実数値の解析学の手法が使えてその値はである。)三角関数を含む積分に対して、ある種の代入を行って複素有理関数へと変換することで積分値が算出できる場合がある。例として次のような積分を考える。上記の方法は、次の形をした全ての積分に適用できる。右の図はの場合を図示したものである。まず、と変形して、変数変換をするととなる。例IV:分岐切断.実関数積分を考える。次のように複素積分として書き直すところから始める。