分数体をもつ整域上のホップ整環とは,上のホップ代数におけるであって,代数と余代数の演算で閉じている,特に余積はをに送る,もののことである.群的元.群的元とは非零元であってなるものである.群的元たちは対合射によって与えられる逆元を持つ群をなす.はを満たす.表現論.をホップ代数とし,とを加群とする.このとき,も次のようにして加群である:,,に対して,さらに,自明表現を基礎体にに対してとして定義できる.最後に,の双対表現が定義できる:が加群でがその双対空間のとき,とに対しての間の関係により,ベクトル空間のある自然な準同型は実際加群の準同型であることが保証される.例えば,ベクトル空間の自然な同型とは加群の同型でもある.また,ベクトル空間の写像も加群の準同型である.しかしながら,写像は加群の準同型であるとは限らない.例.リー群のコホモロジー.リー群のコホモロジー環はホップ代数である:積はカップ積で与えられ,余積は群の積によって与えられる.この観察は実はホップ代数の概念の源であった.この構造を用いて,ホップはリー群のコホモロジー環の構造定理を証明した.量子群と非可換幾何学.関連概念.はホップ代数を一般化し,位相を持つ.リー群上のすべての連続関数からなる代数は局所コンパクト量子群である.弱ホップ代数.,あるいは量子亜群は,ホップ代数の一般化である.ホップ代数と同様,弱ホップ代数たちは代数の自己双対なクラスをなす,つまり,が(弱)ホップ代数ならば,上の線型形式からなる双対空間もそうである(との自然なペアリングとその余代数・代数構造から得られる代数・余代数構造に関して).弱ホップ代数は通常次のように取られる:弱ホップ代数への早期の理論的貢献はやに見つかる.ホップ亜代数.を参照.群との類似.群はホップ代数と同じ図式(同じことだが演算)によって公理化できる,ただしは加群の代わりに集合と取られる.この場合:この哲学において,群は「一元体」上のホップ代数と考えることができる.関手圏定義.