上の非特異既約射影代数曲線の全体が(定数でない正則写像を射として)成す圏、コンパクトリーマン面の全体が(定数でない正則写像を射として)成す圏、上の一変数代数函数体の全体(がを固定する体準同型を射として)成す圏の反対圏の三者の間には圏同値が存在する。これは、この三つの主題を研究するにあたって、そのうちの一つについて知ることはほかの二つにおいても同じであることを意味する。これにより、代数幾何学において複素解析的手法を用いたり、複素解析において代数幾何学的手法を用いたり、両方において体論的手法を用いたりすることができるようになる。これは代数幾何学におけるかなり広範なクラスの問題の持つ特徴である。特異点.内在的な接空間の概念を用いて、代数曲線上の点を非特異(滑らか)か特異かに分類することができる。本の変数多項式が与えられたとき、全ての偏微分からなる行列としてヤコビ行列を得ることができる。この行列の階数がならば、これら多項式は代数曲線を定義する(さもなくばより高次元の代数多様体を定義する)。このヤコビ行列を曲線上の点において評価したものがやはり階数となるならば、その点は滑らかあるいは正則点であるといい、さもなくばは特異あるいは臨界点と呼ぶ。特に、考える曲線が一本の斉次多項式方程式で定義された平面射影代数曲線のとき、その特異点とはヤコビ行列の階数が零、すなわちを満たす点のことに他ならない。は多項式であるから、この定義は純代数的であり、体の持つ特性については何も仮定する必要はない(特にが実数体や複素数体である必要はない)。もちろん、点はこの曲線上の点ではなく、したがって特異点でもないことを断っておく。同様に、一つの多項式方程式で定義されたアフィン代数曲線に対して、その特異点はちょうどヤコビ行列の階数が零、すなわちを満たす点で与えられる。曲線の特異点は双有理不変ではないが、曲線の特異点の位置を特定して分類することは、双有理不変量である幾何種数を計算する一つの方法である。これをうまく行うには、曲線を射影的に考え、曲線に属する全ての特異点が考慮されるためにが代数閉体であることを仮定しなければならない。特異点の分類.