係数体の二つのスカラーおよびを固定して、線型漸化式を満たす列の一般項が、における特性多項式の根の値に従って、以下のように与えられることが示される。また、とは列の最初の二項によって決まる,初期パラメータである。前者についてはさらに、多項式の二根が互いに共軛な複素数であるとき、数列の一般項をと書くことができる。ただし、は数列の最初の二項から決まるパラメータである。ここまで数列はある番号から始まるものとして扱ったが、以下、一般性を失うことなく数列は自然数全体の成す集合上で定義されるものと仮定してよい。実際、数列がからしか定義されていないとき、上で定義される数列をによって定めることができる。基本的な考え方は線型漸化式()を満たす幾何数列を求めること、即ち数列が()を満たすようなスカラーを見つけることである。そうするとこの問題が、二次方程式を解くことと等価であることが容易に理解される。多項式はこの数列の特性方程式と呼ばれ、その判別式はで与えられる。特性多項式の根の数によって、いくつかの場合が区別されねばならない。相異なる二根を持つ場合.とが相異なる二根であるとき、数列およびはともに漸化式()を満たすから、漸化式の線型性から同様に、一般項がの数列もすべて()を満たす。ここから()を満足する数列を全て決定するには、そのような数列が初期条件によって完全に決まることから、に関する次の方程式系を解けば十分である。しかし、この系の行列式は常にではないから、()を満たす数列は常におよびの線型結合として表される。このような状況は、数列が実数値でのときや、数列が複素数値で判別式がでないときに起きる。二重根を持つ場合.判別式がのときは、根が一つしかなく、()を満たす幾何数列がしか出てこないから、状況が全く変わってくる。考え方としては、一般項がとなる数列が()を満足するような数列を見つければよい。これは「定数変化法」と呼ばれる手法である。まずは、がでない限りが存在することを確かめよう。に対する漸化式はに関する漸化式に書き直すことができる。ととなる事実を用いれば、算術数列の定義式が得られるから、従って数列は一般項がの算術数列になる。