変数を常にに限定しようとすると、必然的にパラメータが取れる範囲はからまでに限定される。なぜならば、がの範囲内にあれば、の最大値はとなっている。したがって、ではの値がを超える可能性が出て来てしまう。一方、が負のときは、が負の値を取るようになってしまう。写像のグラフを利用することで、その振る舞いの多くを知ることもできる。ロジスティック写像のグラフとは、横軸を(あるいは)とし、縦軸を(あるいは)として、平面上にとの関係を示した曲線である。ロジスティック写像のグラフは、の場合を除き、を満たしている点であり、写像を適用しても変化しない点を意味する。不動点をと表記することにする。ロジスティック写像の場合に式()を満たす不動点は、を解いて、まず、パラメータがのときは、初期値がどんな値であろうが、となる。つまり、におけるロジスティック写像の軌道は、初期値以降の値が全てとなるような軌道で、この場合あまり調べる中身はない。次に、パラメータがの範囲にあるとき、初期値がからまでのどんな数値であったとしても、は単調に減少していく。つまり、の極限ではへ収束する。この収束先のという点は、式()で示した不動点である。このように周りの軌道が収束するタイプの不動点は、漸近安定、安定、あるいは吸引的と呼ばれる。逆に時間の増加と共にの近くの軌道がから離れていくならば、その不動点は不安定や反発的と呼ばれる。不動点が漸近安定かどうかを知るには、写像の微分を求めるという一般的で簡単な方法がある。の微分をと表すとする。この微分が不動点でという条件を満たせば、は漸近安定である。ここで、は〇の絶対値を意味する。写像のグラフでこのことを見ると、グラフの曲線上の点における接線の傾きがからの間にあれば、は安定で、その周囲の軌道はへ引き寄せられるということである。ロジスティック写像の微分は、なので、かつではであるから、不動点は式()を満たしている。