をの部分集合で共役で閉じているものとする。このとき、に含まれているもの全体の集合は密度を持つ。密度が自然密度であっても解析密度であってもこのことが成り立つ。エフェクティブ版.、をのいくつかの共役類の和集合とする。このとき、の不分岐な素イデアルでノルムがと等しい。ここで、ランダウの記号に暗に含まれている定数は絶対定数であり、は上の次数、はその判別式である。を次数の自明でないまたはの部分表現に対しての指標とする。このとき、正の絶対定数が成り立つ。ここでのと呼ばれる実数である。その零点が無い場合は項は出てこない。この式に暗に含まれている定数は絶対定数である。無限次拡大.の素イデアルの有限集合の外では不分岐な無限次ガロア拡大に対して一般化できる。この場合、のガロア群はクルル位相を備えた副有限群である。はこの位相でコンパクトであるから、上には一意的なハール測度が存在する。が有限次拡大の場合にはハール測度は数え上げ測度になるので、有限次の場合の密度定理と同じ主張となる。重要な帰結.のガロア拡大は、この拡大で完全分解するの素イデアルの集合によって一意的に決定されることがこの定理からわかる。また、のほとんどすべての素イデアルがで完全分解するならば、実際にはであることがわかる。円分体交差法によるアーベル拡大に対する密度定理の証明とは次のようなものである。まず有限次代数体のガロア拡大とそのガロア群とその共役類に対してに含まれるの素イデアルの密度を表すものとする。密度定理とはが存在しに等しいという主張である。アーベル拡大に対して密度定理を証明したいのでをアーベル拡大としを拡大次数とする。ここで、やや唐突であるが、の判別式を割らない素数を取る。そしてと同型でありと同型である。の素イデアルとすると、拡大におけるなので、での定義で極限の代わりに下極限を取ったものを表すことにするとが成り立つ。とを取って固定する。はその位数がで割り切れるものを取ったとする。で生成される部分群をとすると、これとの共通部分は単位元のみである。に対応する部分体とするとでありは円分拡大である。