とする。ここでの動機というのは、のとき、そのイデアル類群の部分こそがフェルマーの最終定理の直接証明における主要な障害となっている、ということがクンマーによって既に特定されていたということによるものである。は有限群なのでその位数はある整数を用いて証明と岩澤代数.次の仮定のもとで証明の概略を見る。があったとき、代数体の有限次拡大のノルム写像からイデアル類群の準同型ができる。これによる逆極限と書き、の岩澤加群という。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。岩澤加群がわかればもわかる。実際、の元が成り立つことがわかる。岩澤加群の構造は、これを完備群環上の加群とみることによって調べられる。は有限群なので自然にの元の乗算が定義でき、またガロア群が作用しているので、その極限のには完備群環の作用が定義できる。この環は、実は係数の形式的べき級数環によって同型であることが示される(位相的生成元の取り方に依存するので、標準的ではない)。やはと呼ばれている。岩澤代数は岩澤理論において中心的な役割を演ずる。例えば、岩澤主予想と呼ばれる予想は岩澤加群は岩澤代数上の加群であることがわかった。さらに有限生成であることが示される。このようにして得られた岩澤加群の表示とを使うことによりの個数をで表すことができる。そしてとをで定義すると岩澤類数公式が成り立つことがわかる。以上が証明の概略である。なお、すべてのを乗じて得られる多項式を岩澤加群加群に対して定義され、同様にという記号で書かれる。岩澤不変量のは特性多項式の次数であり、は特性多項式を割り切る最大べきの指数である。岩澤主予想は固有空間への分解.代数体に複素共役やまず複素共役の場合を見る。をCM体、を奇素数、を円分拡大とする。このとき、のイデアル類群のシロー部分群の直和に分解できる。をそれぞれとすると、のと分解できる。同様の方法で岩澤加群に分解したとき、の最大実部分体の円分