となるときである。この級数はを大きくすればいくらでも大きくすることができるから、十分大きなに対して上の式は成り立つ。すなわち芋虫は端まで到達できることになる。ただし、そのようなことになるためにはの値を極めて大きくする必要がある。具体的には、後述の積分判定法のところで見るように、左辺のΣの和はよりわずかに大きな値をとるので、およそ分でやっと端に到達できることになる。別な例として「まったく同じドミノの集まりが与えられたとき、それをテーブルの縁に積み上げることができるのは明らかだが、それではテーブルのへりを(どの程度)張り出すように積めるか」というものが挙げられる。この直観的でない結果というのは、「ドミノが十分あれば、いくらでも好きなだけ張り出させることができる」である。発散性.調和級数は正の無限大+∞に発散する。この事実を証明する方法はよく知られたものがいくつか存在する。比較判定法.調和級数の発散性を示す方法の一つは別の発散級数と比較することである。調和級数の各項は、以下の第二の級数の対応する項よりも大きいかさもなくば一致するので、調和級数の和の値は第二の級数よりも大きい。しかし、第二の級数の値は無限大であるから比較判定法により、調和級数の和も同様に無限大となる。もっとはっきり述べれば、上記の証明において比較が任意の正の整数に対して成立する。この証明はニコル・オレームによるもので、中世の数学の極みである。現在では、この方法が教科書的な証明の標準的なものとして教えられている。コーシーの判定法はこの方法を一般化したものになっている。積分判定法.の値に一致する。一方、曲線を考え、の部分の下にある面積は広義積分である。この面積は先ほどの長方形たちによって完全に覆われるから、長方形の面積の合計も同様に無限大となる。もっといえば、が示されたということになる。このような手法を一般に積分判定法という。発散率.部分和.発散する調和級数の第部分和は第調和数と呼ばれる。これは以下の性質を持つ。関連のある級数.交代調和級数.が成り立つ。この式は自然対数関数のテイラー級数であるメルカトル級数の特別な場合である。逆正接関数のテイラー級数から、関連する級数が導かれる。これはライプニッツのπの公式として知られる。