簡単な一般化は、変数の肩に乗せる冪指数を取り出す集合を変えるだけで得られる。加法と乗法の公式は冪指数の加法が可能である限り意味を成す。この加法が意味を持つ(演算が閉じていて、結合的である)ような集合は加法的モノイドと呼ばれる。モノイドから環への写像で、有限台をもつ(非零値であるような点が有限個である)もの全体の成す集合は環の構造を持つ。これをと表して、モノイドのに係数を持つモノイド環と呼ばれる。この環の加法は成分ごとの和で定義される。つまりならば各に対しを満たす。乗法はコーシー積として定義される。つまりならば各に対しは、和がであるようなの元の組全てにわたるの和である。などではこのモノイドによる定義を出発点にとる。通常の一変数多項式環はが非負整数全体が作るモノイドであるような特別の場合である。多変数の多項式環はとして単に非負整数全体の成すモノイドのいくつかのコピーたちの直積モノイドをとる。環や群のいくつかの興味深い例が、として非負有理数の成す可換モノイドをとることにより構成される。冪級数.非零の項を無限個含むことも許すという別の方向で冪指数を一般化することにより、冪級数が定義される。ここではコーシー積における和が有限和であることを保証するために、冪指数に用いるモノイドに対していくつかの仮定を課す必要がある。あるいは環のほうに位相を導入して、無限和を収束するものだけに限ることもできる。として標準的な非負整数全体を選ぶならば問題は何もなく、形式冪級数環をから環への写像全体として定義することができ、和は成分ごと、積はコーシー積で入れることができる。形式冪級数環は多項式環の完備化と見ることができる。非可換多項式環.多変数の多項式環に対して、積とは単純に等しいものと定義される。多項式環のもう少し一般の概念は、これらの形式的な積を別なものとして区別して扱うことによって得られる。形式的には、環に係数を持つ個の非可換な変数に関する多項式環はモノイド環で、モノイドが個の文字に関する自由モノイド(個の記号をアルファベットとする文字列全体が文字列の結合を積として成すモノイド)の場合である。係数も変数もそれぞれそれらの間で可換性を持つ必要はないが、係数と変数との間では可換でなければならない。