円筒極座標系を含む多くの問題において線素および体積要素がこの座標系でどのように表されるかを知っていることは有意である(それにより曲線経路や体積を含む問題を積分によって解く方法が考えられるようになる)。円筒調和函数.円筒対称性を持つ系におけるラプラス方程式の解はと言う。球面座標系座標変換.球面座標から直交直線座標への変換はで与えられる。第二の角度座標をとする場合は、直交直線座標から球面座標への変換はで与えられる。ここでは符号関数球面座標から直交直線座標への変換の式を微分すればが得られて、ヤコビ行列とヤコビ行列式はとなる。従って球面座標で表した体積素はとなる。また、線素の二乗はとなる。交叉項が現れないため、球座標は各点において動径が増減する方向と二つの角度が増減する方向がそれぞれに直交している直交座標系である。ベクトル解析.球面座標での位置ベクトルの偏微分によりを定義する。標準基底を用いれば、位置ベクトルの微分はとなるので、具体的にで表される。標準内積を考えればとなり、これらは正規直交基底である。となる。したがって、球面座標はの順番で向き付けられた座標である。曲面上の点がでパラメータ付けされるとき、面積素ベクトルはで与えられる。任意のベクトル場はによって成分表示される。ベクトル場の球面座標による微分はで与えられる。スカラー場の勾配.スカラー場の勾配はで定義されるベクトル場である。球面座標で表した位置ベクトルの微分がであることから、球面座標系でのスカラー場の勾配はとなる。ベクトル微分演算子をで定めればと書ける。ベクトル場の発散.ベクトル場の発散はで定義されるスカラー場である。球座標で表した体積素と面積素を用いればとなるので、球面座標系でのベクトル場の発散としてが得られる。ベクトル微分演算子を用いればと書ける。ベクトル場の回転.ベクトル場の回転はで定義されるベクトル場である。球座標の面積素と線素を用いればとなるので、球面座標系でのベクトル場の回転としてが得られる。ベクトル微分演算子を用いればとなる。円筒座標球面座標笠懸村基準座標系参照系邑楽村竹内三統流