上既約である。したがってとなる。ここで最後に、この多項式はにおいてはである。微分を用いた根の持ち上げ.を整数(または進整数)を係数とする多項式とし、とをを満たす正の整数とする。整数に対してが成り立ったとする。このとき、任意のに対してある整数が存在してが成り立つ。このは法で一意であり、次の式で具体的に計算できる整数である。ここでは次の式なので条件であるときは、持ち上げは存在しないかもしれないし複数存在するかもしれない(あとで「#ヘンゼル持ち上げ」で例示する)。証明.のまわりでのテイラー展開なのである整数が存在してとかける。これを使うとは法で逆元を持ち、しかもそれは一意でなければならない。したがって、最後の式のについての解は法で一意に存在し、は法で一意に存在する。関連する諸結果.多項式の既約性判定.仮定は今までと同じとし、既約多項式だったとすると、では両方の値が等しいので既約である可能性がある。による多項式を考える。この微分はとなり常にゼロである。乗根はに存在しないが、方程式の解は存在する。次の式は決してゼロにならないので、解が存在すればそれはなので、ゼロではない元全体ヘンゼル持ち上げ.補題を使って、多項式の法での根をでの新しい根にとなるように持ち上げることができる。(と取る。数学的帰納法により大きいはしたがう)。また、法での根は法での根でもあるので、法での根はすべて法での根の持ち上げである。持ち上げた根は法と合同なので、新しい根もを満たす。したがって、最初の根の解からはじめて、の高次冪に対して同じ合同式を満たす解の数列を作れる。このことはまた、の法での根が全て単根であれば、の法での根の数は法での根の数と同じであることを示している。が法で単根になっていないとき、このプロセスでは何が起きているのであろうか?これを見るために、次の状況を意味する。つまり任意の整数に対して例:として両方のケースを見てみよう。進数の場合のヘンゼルの補題.進数では、の冪乗を法とする有理数の合同類というものを、分母がの倍数でなければ考えることができる。このことを使うと、