他の体上あるいは不定値形式では、写像は一般には全射ではなく、失敗はスピノルノルムによってとらえられる。スピノルノルム.任意の標数において、スピノルノルムはクリフォード群上ただしスピノルノルムは連結準同型である。スピン群とピン群.スピノル.より一般に、任意の体上のスピノル群とピン群は正確な構造がに依存する同様の表現を持つ:クリフォード代数がある可除代数上の行列代数である因子を持つときにはいつでもその可除代数上のピンとスピン群の対応する表現を得る。例えば実数体上の場合についてはスピノールの記事を見よ。実スピノル.実スピン表現を記述するために、スピン群がクリフォード代数の中にどのようにあるかを知らなければならない。ピン群は単位ベクトルの積として書けるの可逆元の集合である:とする。(これらはにおいてちょうど偶数次の元である。)するとスピン群はの中にある。ピン表現を分類するためには、にアピールするだけでよい。(偶部分代数の表現である)スピン表現を見つけるためには、まず次の同型のいずれかを利用できる(上記参照)そして符号あるいはにおけるピン表現として符号におけるスピン表現を実現できる。応用.微分幾何学.外積代数の主要な応用の一つは微分幾何学にありそこではそれが滑らかな多様体上の微分形式のファイバー束を定義するために使われる。(擬)リーマン多様体の場合には、接空間は計量によって誘導される自然な二次形式を持つ。したがって、とのアナロジーでを定義できる。これはリーマン幾何学においてたくさんの重要な応用を持つ。おそらくより重要なのはスピン多様体、その付随するそして多様体へのつながりであろう。物理学.クリフォード代数は物理学においてたくさんの重要な応用を持つ。物理学者は通常クリフォード代数を次の性質を持つディラック行列と呼ばれる行列によって生成された基底を持つ代数と考える。ディラック行列は最初ポール・ディラックによって、電子に対する相対論の一階波動方程式を書き、クリフォード代数から複素行列への明示的な同型を与えようとしていた時に、書き下された。結果はディラック方程式を定義しディラック作用素を導入するために用いられた。クリフォード代数全体はの形式の場の量子論において現れる。コンピュータビジョン.関連項目.クリフォード乗法