を次元ベクトル空間とする.をからへの線型写像とする.をある基底についてのの行列表示とする.に対応する広義固有ベクトルは,行列とあわせて,の不変部分空間の基底をなす線型独立な広義固有ベクトルのジョルダン鎖を生成する.広義固有ベクトルを用いて,の線型独立な固有ベクトルの集合を必要ならばの完全な基底に拡張できる.この基底はに相似なジョルダン標準形にある「ほとんど対角な行列」を決定するのに用いることができ,これはのあるを計算するのに有用である.行列はが対角化可能とは限らないときに線形微分方程式系を解く際にも有用である.概要と定義.(通常の)固有ベクトルを定義するいくつかの同値な方法がある.行列の固有値の固有ベクトルとは,なる零でないベクトルである,ただしはの単位行列であり,は次元の零ベクトルである.つまり,は変換の核に属する.が個の線型独立な固有ベクトルを持てば,は対角行列に相似である.つまり,ある可逆行列が存在して,は相似変換により対角化可能である.行列はのと呼ばれる.行列はのと呼ばれる.対角化可能な行列は,その行列関数が容易に計算できるなどの特長がある.一方,行列が個の線型独立な固有ベクトルを持たないとき,は対角化可能ではない.与えられたに対するすべての広義固有ベクトルによって張られる集合はの広義(あるいは一般)固有空間()をなす.例.広義固有ベクトルの概念を説明するいくつかの例を挙げる.詳細のいくつかは後で記述される.まず,固有値が重複しても異なる(通常の)固有ベクトルが得られる例について示す.なお,固有値が重複する場合に異なる(通常の)固有ベクトルが得られない例について示す.とは線型独立であり,ベクトル空間の基底をなす.さて,求めた(通常の)固有ベクトルと(一般)固有ベクトルを並べた行列に対して,の固有値はの解なので,固有値とを持ち,その代数的重複度はそれぞれとである.に対して,となるので,幾何学的重複度はである.に対して,となるので,幾何的重複度はである.