同じ説明によって、重力ポテンシャルのラプラシアンがとなることが導かれる。電荷や質量の分布が与えられていてそれらに付随するポテンシャルは未知ということはよくあることである。適当な境界条件の下でポテンシャル函数を求めるということは、ポワソン方程式を解くことに同じである。エネルギー最小化.物理学においてラプラス作用素が現れる別な理由は、領域における方程式の解はディリクレエネルギー・汎函数を停留させる函数となることである。これを見るためには函数で、函数はの境界上で消えていると仮定する。このときが成り立つ(ただし、最後の等号はグリーンの恒等式を用いた)。この計算により、ならばはの周りで停留する。逆にがの周りで停留するならばによりである。各種座標表示.二次元.で与えられる。三次元.三次元では様々な座標系がラプラシアンを記述するために広く用いられる。一般次元.次元球座標系において、を正の実数をとる半径、は単位球面の元として、パラメータ表示をすればと書いても同じことである。一つの帰結として、上で定義される函数の球ラプラシアンはへ延長した函数の通常のラプラシアンとして計算することができて、それは半直線に沿って定数(つまり、斉零次の斉次函数)になる。スペクトル論.ラプラス作用素のスペクトルは、対応する固有函数が一般化.ダランベール作用素.ラプラシアンを適当な仕方によって非ユークリッド空間に一般化することができて、それには楕円型、双曲型、超双曲型などが可能である。となる。これは考える空間上の等長写像群()のもとで不変な微分作用素であるという意味においてラプラス作用素の一般化となるものであり、時間不変函数へ制限する限りにおいてはラプラス作用素に帰着される。ここでは計量の符号を作用素の空間成分に関して負符号を許すようにしてあることに注意(高エネルギー素粒子物理学ではこう仮定するのが普通)。ダランベール作用素は波動方程式に現れる微分作用素であるという理由で波動作用素と呼ばれることもある。これはまたクライン=ゴルドン方程式(質量の無い場合には波動方程式に帰着される)の成分でもある。リーマン多様体上のラプラス作用素.