値域と終域との違いを見るもう一つの例として、線型空間の間の線型写像を考えよう。特にからそれ自身への任意の線型変換を考えれば、それは実数を成分とする正方行列によって表すことができる。そのような行列はどれも定義域がで終域がであるような写像を表すのだけれども、値域は未知である。値域が終域に一致する変換(これはフルランクつまり階数の場合)もあれば、そうでなくより小さい線型部分空間に写る場合(階数やの行列)もある。例えば行列が値域と終域が異なるということが、しばしば考えている写像の性質を発見するのに有効となり得る。例えば、先のは終域よりも真に小さい値域を持つから、フルランクではない。数学、特に素朴集合論における写像の値域(ちいき、)は、その写像の終域または像の何れかの意味で用いられる。現代的な用法ではほとんど全ての場合において「像」の意味である。注意.古い本では「値域」を今日でいうところの終域の意味で用いている傾向がある。より現代的な本では大半が今日でいう像の意味で用いる。紛れを無くす目的で「値域」という語は用いないという本もある。これら二つの用例の違いを知るために、例として実函数(実変数実数値函数)としてのを考える(つまり、実数を入力として、その自乗を出力する函数である)。この場合、終域は実数全体の成す集合と考えるが、(が実数であるときは負にはならないから)像は非負実数全体の成す集合になる。この函数に対して、「値域」を終域の意味で用いているのならばそれはのことであり、他方「値域」を像の意味で用いているのであればそれはを指していることになる。像と終域が一致するような例として、入力した実数を二倍する函数を考えよう。この函数は終域と像がともに実数全体の成す集合となり一致する(全射である)から、この場合「値域」をいずれの意味で用いたとしても誤解は無い。定義.「値域」を終域の意味で用いるならば、写像の値域はの定義において指定しなければならない。初等実解析では、それはしばしば実数全体の成す集合であることが仮定される。また、集合はの像と呼ぶ。