と有限次代数体に対して、体の拡大拡大であるとは、これがガロア拡大であって、そのガロア群進整数環の加法群と位相群として同型であることをいう。拡大のガロア群はと書かれ、アーベル群ではあるが乗法的に記される。を非負整数としたとき、にはの倍数たちからなる有限指数の開部分群があるので、にもそのような部分群がある。これはの同型の取り方によらない。この部分群をと書く。にガロア対応するの部分体をと書き、の中間体で、次である唯一のものであり、上の巡回拡大である。たちは体の塔(拡大列)を構成する。代数体拡大を与えることと、このようなの拡大列を与えることは同値である。実際、このような拡大列が与えられれば、のガロア群は加法群と同型であり、のガロア群(無限次代数拡大のガロア群なので射有限群)に対して乗根をすべて添加した体、つまりの合成体上の拡大である。また、この合成体を有理数体上の拡大体とみると、これはガロア拡大で、そのガロア群と同型であるので、これの部分体で上の拡大であるものが存在する。これをと書き、有理数体の円分拡大という。任意の有限次代数体に対して合成体拡大になる。これをの円分拡大という。円分拡大が存在することがわかる。代数体拡大は一般に無限に存在しうる。拡大すべての合成をとするとが成り立つことが知られている。ここではを満たすある整数、の複素素点の個数である。このことから、が総実体でなければ無限に多くの拡大が存在することがわかる。ここに出てきた定数が、実はであろうというのがである。レオポルト予想は、有理数体のアーベル拡大体や虚二次体のアーベル拡大体については正しいことが知られている。円分拡大ではないを虚二次体とする。にはガロア群がと同型になる唯一の拡大体が存在する。とすると、の直積に分解できる。の固定体は円分的ではないになっている。これを反円分拡大という。イデアル類群と岩澤類数公式.を素数、を有限次代数体拡大とする。第層のイデアル類群のシロー部分群(部分)を