任意の順序数に対してを定義するために、を定義する必要がある。これは任意の濃度に対して次に大きい整列された濃度を割り当てる(選択公理が成り立てば、これは次に大きい濃度である)。するとアレフ数を次のように定義できる。そして無限極限順序数に対して、番目の無限始数はと書かれる。その濃度はと書かれる。始順序数を参照。アレフ関数の不動点.任意の順序数に対して選択公理の役割.任意の有限集合は整列可能であるが、その濃度はアレフ数ではなく、有限の自然数である。同型定理歴史.群.定理の付番と命名について.定理のステートメント.とを群とし、を群準同型とする。このときとくに、が全射であれば、はに同型である。を群とする。をの部分群とし、をの正規部分群とする。このとき技術的には、がの正規化群の部分群でありさえすればのが正規部分群である必要はない。この場合、共通部分はの正規部分群とは限らないが、の正規部分群ではなおある。を群とする。とをの正規部分群でとする。このとき一部の文献では対応定理を三番目もしくは四番目の同型定理として紹介している。また別の文献ではを第四同型定理としている。議論.環.環に対する定理のステートメントも同様であり、正規部分群の概念がイデアルの概念に取って代わる。とを環とし、を環準同型とする。このときとくに、が全射であれば、はに同型である。を環とする。をの部分環とし、をのイデアルとする。このときを環とする。とをのイデアルでとする。このとき加群.とを加群とし、を準同型とする。このときとくに、が全射であれば、はに同型である。を加群とし、とをの部分加群とする。このときを加群とする。とをの部分加群でとする。このとき一般.これを普遍代数学に一般化するために、正規部分群は合同で置き換えられる必要がある。を代数系の準同型とする。このときの像はの部分代数系で、で与えられる関係は上の合同で、代数系とは同型である。代数系との部分代数系と、上の合同が与えられ、をのにおけるトレースとしをと交わる同値類の集まりとする。このとき接束