少し考えるとこれらはがからまで行くとき内のループであることが確かめられる.演算はの演算によって点ごとに定義されるものである.この代数は代数に同型である,ただしはローラン多項式の代数であり,と対応する.リーブラケットはである.この後者の視点により元は(定数!)係数がの多項式と考えることができる.基底と構造定数のことばでは,である.異なる表記をすることも一般的である,ただしの省略は混乱を避けるため心に留めておくべきである;元は実際には関数である.するとリーブラケットはである.そのような表現はユニタリと呼ばれる,なぜならば代表元がユニタリだからである.ここで,の下の添え字のマイナスは慣習であり,和の規約が使われ,は(定義により)右辺のたちに埋もれている.カレント代数(物理).カレント代数は場の量子論において大域的ゲージ対称性の結果として生じる.notfor),at.を次元複素単純リー環で次のような正規化された基底をもつものとする:構造定数はすべての添え字について反対称であり,交換関係はとおき,交換関係をと定める.ならば,で張られる部分代数は明らかに上の多項式ループ代数と同一である.と書け,リーブラケットはベクトル場のリーブラケットで,上単に次で与えられる:代数はと書かれる.の基底は次の集合で与えられる:この基底は次を満たす:射影表現.がのとき,リー環の元は同様に,群の表現が与えられると,そのリー環は次で計算される:するととの間の基底を基底に送りしたがってがの忠実表現であるようなリー環の同型が存在する.しかしながらが,すなわち位相因子を除いた表現ならば,群の表現から計算されるリー環は,に同型ではない.射影表現において乗法の規則はである.関数は,しばしば滑らかと仮定されるが,次を満たす:次が成り立つ:なぜならばとはともににおいて単位元になるからである.位相因子の説明は,を参照.における基底に対する交換関係はにおいてとなるので,がブラケットで閉じている(したがって実際にリー環である可能性を持つ)ためには,中心電荷が含まれていなければならない.境界付き多様体