回転全ては通常のと同型なリー部分群を成す。しかし、ブーストを二つ組み合わせても一般にはブーストにはならないため、ブースト全ては部分群を成さない(むしろ、二つの非共線なブーストはブーストと回転の組み合わせに相当し、に関連付けられる)。ある方向へのブーストもしくはある軸周りの回転は、を生成する。推移曲面.群が空間に作用するとき、曲面が推移曲面()であるとは、がの下で不変、つまりが任意のとに対して成り立ち、かつ任意の二点に対してあるが存在してが成り立つことをいう。ローレンツ群は定義により二次形式を保つ。順時ローレンツ群の時空上の推移曲面には次の場合がある。これらの(超)曲面は三次元であり、画像は正確なものではなく、についての対応する事実に対して忠実なものである。ローレンツ群全体に対しては、推移曲面は四種類のみとなる。双曲面および双円錐の上側から下側およびその逆に移す変換が存在するからである。メビウス群との関係性.制限ローレンツ群は射影線型群と同型であり、これはさらにメビウス群、リーマン球面上ののと同型である(この知識は、ロジャー・ペンローズによってツイスター理論の出発点として用いられている)。このことは、リー群からへのスピノル写像と呼ばれる全射準同型写像を構築することで示すことができる。これは、次のように進められる。この表現は次の好ましい性質を持っている。スピノル写像の核は二元からなる部分群であり、この写像は全射である。第一同型定理により、商群はと同型である。夜空の見かけ.この同型性の帰結として、リーマン球面上のメビウス変換は、「静止した星々」に対して相対論的速度で運動している観測者から見るであろうように、ローレンツ変換により夜空の見かけが変わる様を表現しているということができる。「静止した星々」がミンコフスキー時空上にあり、天球上の点によりモデル化されるものとする。すると、天球上のある点はリーマン球面上の点に対応する複素数と対応づけることができ、ミンコフスキー時空上のヌルベクトル(光的ベクトル)は次のように表される。または、エルミート行列の形で次のように表される。