外部直和における群演算は通常の直積のように成分ごとの積とする。この部分集合は確かに群をなす。特に、群の有限集合に対して、それらの外部直和は直積に等しい。双対ベクトル束双対バンドルデュアルバンドル局所単連結非生成元ヒルベルト・サミュエル重複度退化双線型形式非退化非退化双線型形式非退化性非退化形式非特異形式既約代数的集合既約多様体可約多様体ヒルベルト・ポワンカレ級数ヒルベルト・ポアンカレ級数ヒルベルト・セールの定理双対普遍係数定理コホモロジーに対する普遍係数定理コホモロジーの普遍係数定理対数導関数対数の導関数自然対数の導関数自然対数の微分対数の微分余接バンドル余接多様体接余ベクトル弱直積フラッチニ部分群ハッセ図式ブランコ島概要.概要.ムマキル概要.呼称.語源.自然史.元は南方のハラドの地に鬱蒼と広がるジャングルに生息していたとされる。第三紀以前の不特定の時期にハラドリムとの接触があったと思われる。中つ国のほとんどの生き物はこの巨象を恐れたとされ、その巨体の生み出す破壊力と威容は龍に匹敵し、ありとあらゆる不思議な力を持っているとまでも言われた。また、指輪戦争時に見られた個体らは十分に巨大で多大な戦力であったが、生物の弱小化と神性や魔性の消失は、神々の影響を受けなくなった第二紀以降の中つ国では普遍的な現象であるが、ムマキルらもその影響を受けたのかは定かではない。歴史.映画版.今井集士今井集士(いまいあつし)は絵画心理学者。リッチランド郡区付近に存在する海山について.ちなみに、ちょうど、この付近にはホットスポットが存在していると考えられている。カラ山エディー・キングストンベルデ山概要.、成層火山として形成された山である。そして、ベルデ山は活動中の火山だとされている。しかしながら、サン・ヴィセンテ島は活火山とされているベルデ山が存在する火山島でありながら比較的侵食の進んだ島(長らく噴火によって多くの噴出物が出るようなことが起こっていない島)であり、この程度の標高の山であっても、同島においては最高峰である。つまり、ベルデ山では長らく噴火などが起きておらず、ベルデ山自体も比較的侵食が進んでいる。