定理より、に対しおよびであって、かつで下に凸であるような関数は唯一のみである。が十分微分可能であるためにはで極値を持つ必要がある。より高次の近似.(微分可能性についての)二次近似は次のように与えられる。これは任意のについて微分可能であるが二階微分可能でない。のときこれは一次近似に等しくなる。三次近似および高次への一般化は次のように与えられる。高さが複素数.次の条件を満たす関数が一意に定まる事が証明されている。一意性.テトレーションを一意に定めるためには正則性の条件が重要となる。いま、関数に対し関数を次のように構成する。ここで、は十分速く減衰する実数列であり、少なくとも実軸の近くで、を収束させるとする。この関数はと同様に最初の二つの条件、を満たす。また、が十分速くに近づくとき、は正の実軸近傍で解析的となる。しかし、が全てでない場合、は新たに大量の特異点と不連続線を複素平面上に持つことになる。これは、が虚軸に沿って指数関数的に増大するためである。これらの特異点は、が小さければ小さいほど実軸から離れていくため、が正則であるためには全ての、がとなる、即ちであればよい。実解析上のテトレーションは一意的に定まらないので、複素平面への拡張は一意性に必要である。逆関係.冪は冪根と対数の二つの逆関係を持つ。これに倣って、以下テトレーションの逆関係をそれぞれ超冪根()とと呼ぶ。超冪根.超冪根はテトレーションの底に関する逆関係である。超平方根.超平方根()はの逆であり、二つの等価な表記,を持つ。超平方根はネットワークのクラスタサイズを決定するのに使用される。その他の超冪根.任意の整数に対しては定義され、のとき増加となりを満たす。従ってのときは存在する。しかし上述した一次近似を用いた場合、のときはによらずとなり、従ってこの場合は存在しない。超平方根のほか次の超冪根も同様の記号を用いてと表すことができる。超冪根は高さが無限大の場合へと拡張することができ、これはの場合に限り問題なく定義される(#高さが無限大を参照)。が存在するときが成り立つことから、無限次の超冪根は初等関数によってと表すことができる。例えばとなる。