と考えることである。これに射影を施せば、平行なベクトル同士の内積と垂直なベクトル同士の内積の性質からを得る。で表される。これは内積を使えばこの射影の値域となるベクトル空間が(基底ではなくて)枠(frame)で張られているとき(つまり生成元の数が次元の値よりも大きいとき)には、上記の公式はが成立する。これらの公式は(転置行列を随伴行列に取り替えれば)複素内積空間でも成立する。斜交射影.直交射影でないような射影のことを、斜交射影と呼ぶこともある。直交射影ほど頻繁ではないが、この種の射影は二次元に描画された空間図形を表すのにも用いられる。によって定まる。この公式を、上で直交射影に対してやったように拡張することもできる。標準形.ノルム空間上の射影作用素.応用およびさらに進んだ議論.射影(直交射影とその他)は、線形代数の問題でのいくつかの計算アルゴリズムにおいて、重要な役割を果たす。上で述べたように、射影というのは冪等作用素の特別なものであり、解析学的には直交射影は特性函数の非可換な一般化になっている。可測集合の特性函数を考えることから測度論が始まったように、冪等作用素は(例えば半単純多元環などの)分類にも用いられ、それゆえ想像のつくとおり、射影作用素も作用素環論の文脈で極めて頻繁に用いられる。特に、フォン・ノイマン環はその射影の成す完備束によって生成される。物理への応用.量子論では,ある条件を満たす状態の全体はの部分空間と考えることができるので,量子力学的な命題と部分空間,すなわち射影演算子とを対応させることができる(量子論理).統計力学では、運動の粗視化を射影演算子を使って定式化する方法(射影演算子の方法)がある.分子対称性、分子振動、格子振動、結晶の波動関数では、任意の関数からある対称性に従う関数のみを作りたい時に、射影演算子が用いられる。たとえば射影演算子を用いれば、既約表現の表現行列からその基底関数(基準振動、基準モードなど)を求めることができる。一般化.菊池氏