リー環は,ベクトル空間として,である.これはがを生成しだから明らかである.リーブラケットは次で与えられる:である.でありによりであるからである.さてこの関係式をについて微分しで評価する:でありによりであるからコホモロジー.現在の目的,理論の限られた部分の考察には,リー環のコホモロジーが十分である.定義は最も可能な一般的なものではなく,最もよく使われるものでさえないが,それらの言い及ぶ対象はより一般の定義の真正の例である.を持つものとして定義される.は(ここではに制限されているが)コバウンダリ作用素と呼ばれる.のによる像をと書く.商これらの概念はいくつかの方向に一般化される.各記事を参照.構造定数.をのハメル基底とする.このとき各は適切な大きさのある添え字集合に対してが分かる,ただしアインシュタインの和の規約を用いている.構造定数の添え字の配置(上か下か)は重要ではない.次の定理は有用である:定理:構造定数がすべての添え字について反対称な基底がそんざいすることと,リー環が単純コンパクトリー環とリー環の直和であることは同値である.これは上の実正定値計量であって不変性条件キリング形式.キリング形式は次で定義される上の対称双線型形式である:ここではベクトル空間に作用する行列と見なされる.必要な大事な性質は,が半単純ならばによりは非退化であるということである.そのような場合はとを同一視するのに使うことができる.ならば,あるが存在して,となる.これはリースの表現定理に似ており,証明は実質的には同じである.キリング形式は性質を持ち,これは結合性と呼ばれる.と定義し中のブラケットを構造定数により展開することで,キリング形式は上の不変性条件を満たすことが分かる.ループ代数.は単位円周からリー群への滑らかな写像の群に群構造を上の群構造によって定義したものとして取られる.するとループ群のリー環はからのリー環への写像のベクトル空間である.そのようなリー環の任意の部分環はループ代数と呼ばれる.ここでは注意は次の形の多項式ループ代数に当てられる: