数学の特定の分野では、その他の特別な記法が使われたりもする。例えば線型代数学や函数解析学では線型形式をベクトルに作用させるときに、それらの間に成り立つ双対性を明らかにするために内積の記法が用いられる(量子力学でも同様のブラケット記法が用いられる)。数理論理学や計算理論ではラムダ計算の記法が、函数の抽象化やなどの基本概念を明示的に表すために用いられる。圏論やホモロジー代数では、上で見た函数の矢印記法を延長あるいは一般化するように、函数からなる図式およびそれらの合成が可換図式を満たすという意味でどのような可換性を持つかという形で記述される。関数を特定するには.函数が与えられたとき、定義により、の定義域の各点に対してのにおける値がただ一つ割り当てられる。をに(陰に陽に)関係付ける方法を特定あるいは記述するやり方は様々である。場合によっては、(函数が具体的にどのような姿かたちをしているかについては一切言及せずに)適当な性質を持つ函数の存在を定理や公理によって保証することもあるが、大抵は函数の定義の一部としてその特定法や記述法は言及される。値を書き並べる.式を与える.この方法で函数を定義したとき、その函数がどのような集合上で定義されているかの決定が難しい場合がときどき生じる。例えば定義式が割り算を含む場合には、分母が零になるような変数の値は定義域から除かなければならない。同様に、実函数の定義に平方根が含まれる場合には、平方根の引数が非負となるような変数の値の集合に定義域が収まるようにしなければならない。式によって函数を定義する場合、それらの式が持つ性質・特性によって函数を分類することもしばしば行われる逆函数や陰伏函数として定める.陰函数定理は点の近傍における陰函数の存在と一意性を保証する緩やかな可微分性条件を提供するものである。微積分学的な条件によって指定する.適当な函数の原始函数として沢山の函数が定義できる。例えば自然対数函数は逆数函数の原始函数でにおける値がとなるものとして定義される。誤差函数もこのような方法で定義される函数の例である。