そこで本項では、まずベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の両方を包括する概念であるファイバーバンドルの接続概念を導入する。この概念は「そもそも平行移動とは何か」を直接的に定式化したもので、この概念それ自身が接続形式の言葉で記述されるわけではない。そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて主バンドルの接続概念を定義すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化し、ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の接続形式の言葉で記述する。ファイバーバンドルの接続.主バンドルの接続を定義する前準備として、一般のファイバーバンドルに対する接続を定義する。後述するように、主バンドルの接続はファイバーバンドルに対する接続で群作用に対して普遍になるものである。すでに述べたように研究が進んでいるのばベクトルバンドルの接続なので、そのような目的のためにはこの一般の接続概念は必要ない。しかしファイバーバンドルの接続により、ベクトルバンドルの接続と次章に述べる主バンドルの接続とを統一的な視点から語る事ができるようになり、主バンドルの接続に基づいてベクトルバンドルの接続の性質をそれに対応する主バンドルの接続と対応付けて調べる事ができる。定義に至る背景.以上のように接続から水平部分空間が定まるが、逆に水平部分空間の情報があれば接続を再現できる事も知られている。このことからベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。定義.を、におけるの垂直部分空間()という。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する:名称に関して.両者の区別のため、一般のファイバーバンドルの接続を一般の接続()、主バンドルの接続を主接続()と呼ぶ場合がある。平行移動、共変微分.平行移動.接続の定義から、はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像を満たす事である。共変微分.一般の接続からベクトルバンドルの接続へ.主バンドルの接続.定義.リー代数を使った定式化.本節では、前節で定義した主バンドルの接続概念をリー代数を使って特徴づける。後述するようにこちらの定義が自然にベクトルバンドルの接続と対応する。である。