特に可逆過程の場合、クラウジウスの不等号において等号が成立する。可逆過程は現在エントロピーとして知られる状態量の概念が導入される際に用いられた。これは循環過程においては状態量の変化はゼロに等しいためである。言い換えると、クラウジウスの定理は冷たい熱浴から熱い熱浴に熱を運ぶという機能だけを実行するような機関を構成することは不可能であることを主張している。あるいは同じことだが、熱は熱い物体から冷たい物体へ自発的に流れ、その逆は起こらない。は、循環過程だけでなく閉じた系のどのような過程に関しても成立する。歴史.クラウジウスの定理は熱力学第二法則の数学的な説明となっている。この定理は熱力学的な系における熱流と系と外界のエントロピーとの関係を説明しようと試みていたルドルフ・クラウジウスによるものである。クラウジウスはこの定理をエントロピーとは何かを説明し、それを定量的に定義しようとする中でこの定理に到達した。より直接的には、この定理により循環過程が可逆かそうでないかを決定することができる。クラウジウスの定理は第二法則の定量的な定式化を与えている。が成立しなければならないことをクラウジウスは見出したのである。彼はその後さらに研究を推し進め、可逆か不可逆かを問わずすべての可能な循環過程で次の不等式が成立することを示した。これが「クラウジウスの不等式」である。と定義される。熱として系に流入したエネルギー量や系の温度を過程に際して測定し続けることができたと仮定しよう。このときクラウジウスの不等式は、その中の積分を実際に評価することができ、問題の過程が可逆か不可逆かを決定するためにこの不等式を用いることができる。証明.クラウジウスの不等式において被積分関数の分母として現れる温度は、系が熱を交換している外部の熱浴の温度であることに注意する。過程の各瞬間において、系は熱浴と熱的接触をしているものとする。という不等式が得られる。特にが成り立つことから、クラウジウスの定理が示された。以上の議論は次のように要約できる(三番目の不等式はここでの議論の前提であった熱力学第二法則によって保証されるものである)。可逆な循環過程に限ると、熱輸送の各段階でエントロピー生成がないために、等式