これらの代数的な概念は位相的な概念と密接に関連している。離散群の群のコホモロジーはを基本群とする適当な空間——つまり対応する——の特異コホモロジーである。したがってのコホモロジーは円の特異コホモロジーと思うことができ、同様にのコホモロジーはの特異コホモロジーと思うことができる。動機.群はその表現を通じて研究されるべきであるという群論における一般的なパラダイムがある。このような表現をわずかに一般化したものに加群がある:加群とは群の各元が自己同型として作用するアーベル群である。われわれはは乗法的に、は加法的に書くことにする。加群が与えられたとき、不変な元のなす部分加群定義.双対鎖複体.導来関手を使った定義は概念的には極めて明快であるが、実際に利用するには一部の著者が定義としている、次の計算法が役に立つことが多い。に対してをからへの関数全体からなる群とする。これはアーベル群であり、その元を(非斉次)次の双対鎖という。双対境界作用素をで定めるとが成り立つので、これはコホモロジーが計算可能な双対鎖複体を定める。上述の導来関手を使った群のコホモロジーの定義はこの複体のコホモロジーと同型であることを示すことができる。ここで次の双対輪体群、次の双対境界群はそれぞれ次のように定義される。関手と群のコホモロジーの形式的な定義.加群を群環上の加群とみるとであることに注意する。つまりの不変な元からなる部分群は——これは自明な加群(のすべての元が単位元として作用する)と見做す——からへの準同型からなる群と同一視される。したがって関手は関手の導来関手であるから、自然同型がある。これらの群はの射影分解から計算することもでき、そのような分解はのみに依存し、には依存しないという利点がある。群のホモロジー.を与える対応は右完全関手である。その左導来関手を入れ替える。具体的にはホモロジー群は次のように計算できる。まず自明な加群の射影分解からはじめる。共変関手をの各項ごとに適用して鎖複体を得る。はこの鎖複体のホモロジー群である。低次のコホモロジー群.もしのへの作用が自明ならば、これは群準同型からなる群となる。