の場合を考えよう。ここでは整数群に非自明な作用を入れたものを表す。交差準同型は写像でとある整数に対してを満たすものからなる。内部交差準同型はさらにをみたすものであり、したがってとなる。上の例において、のによる拡大は無限二面体群に限るのでである。である。性質.以下ではは加群とする。コホモロジーの長完全列.は長完全列を誘導する。いわゆる連結準同型は非斉次双対鎖のことばで次のように記述できる。もしがの次の双対鎖に代表される元ならば、はに代表される。ここではを「持ち上げて」(つまりがと全射の合成となるようにして)得られる次の双対鎖である。関手性.群のコホモロジーは次の意味で群に反変的に依存している:つまり群準同型は自然な射を誘導する。(ここで後者のはを介して加群としてみる。)これを制限写像()という。もしのにおける指数が有限ならば、逆向きの移送写像()と呼ばれる写像積.歴史.を発表した。ここでは考えている空間、の基本群を生成元と関係式でと表示したときの自由群と関係式、は交換子で生成される群である。特に続く研究でホップは高次のホモトピー群がに対して自明になるならばも基本群から代数的に決まることを示した。これから、この場合には次までのホモロジー群がすべて基本群から代数的に決定できることになる。しかし、ホップはこの段階ではどのように決定できるかまでは示さなかった。彼らがどのように考えて群の(コ)ホモロジーの定義に至ったかを述べると次のようになる。まずを弧状連結な位相空間とする。そしては頂点が基点に写される特異単体を基底とする自由アーベル群とし、特異単体としては頂点が基点に写されるものだけを考える。の基本群(基点は先ほど取ったものとする)をとする。の元の個の組を生成元とする自由アーベル群とする。これは基本群から純代数的に定義されている。への準同型を次のように定義する。の場合。を定める。によるの像がこのになるようにを定める。考えている特異単体が明らかでと表しているときはと書ける。の場合。がある。によるの像がになるようにを定める。考えている特異単体が明らかでと表しているときはと書ける。