リーマン球面数学においてリーマン球面(リーマンきゅうめん、)は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張したものである。このとき、関係式を、意味を持ち、整合的であり、かつ有用となるように構成できる。これはまた、以下のようにも呼ばれる。複素解析において、リーマン球面は有理型関数の洗練された理論で重要な役割を果たす。リーマン球面は、射影幾何学や代数幾何学では、複素多様体、射影空間、代数多様体の根源的な事例として常に登場する。リーマン球面はまた、量子力学その他の物理学の分野等、解析学と幾何学に依存する他の学問分野においても、有用性を発揮している。拡張複素数.拡張複素数は複素数とからなる。拡張複素数の集合はと書け、しばしば文字に追加の装飾を施して表記される。例えば、,または。幾何学的には、拡張複素数の集合はリーマン球面(あるいは拡張複素平面)と呼ばれる。演算.複素数の加法は任意の複素数に対してと定義することで拡張され、乗法は任意のでない複素数に対してとし、と定義することで拡張される。は未定義のままであることに注意すべきである。複素数とは違って、拡張複素数は体をなさない。は乗法逆元をもたないからだ。それでもなお、上の除法を次のように定義するのが習慣である。でないすべての複素数に対してそして。商およびは定義されないままである。有理関数.例えば、関数複素多様体としてのリーマン球面.とを上の複素座標とする。非零複素数と非零複素数を、以下の推移写像(すいいしゃぞう、)による等式で関係付ける。推移写像は正則であることから、これによりリーマン球面と呼ばれる複素多様体が定義できる。直感的には、推移写像は、二つの平面をどの様に貼り付けてリーマン球面を作るかを示している。二つの平面は「表裏反対」に貼り付けられ、各平面の一点(原点)を除き、他の至る部分が互いに重なり合う。位相幾何学的には、結果として得られるリーマン球面は、平面を一点コンパクト化し球面にしたものである。しかし、リーマン球面は単なる位相的球面ではない。リーマン球面は上手く定義された複素構造を持つ球面であり、球面上の任意の点は、と正則同相な近傍を有する。