数学における曲面(きょくめん、)は、平面の概念を平坦ではない(つまり曲率が必ずしも零でない)ものへ一般化するものである。これは直線に対する曲線の二次元的な対応物である。精確な定義は、それぞれの文脈および研究に用いる数学的な道具によって異なる複数のものが存在する。数学的概念としての曲面は、日常語としての、あるいは科学やコンピュータグラフィックが扱うような、曲面(または表面形状)の概念を理想化したものと理解することができるものである。本項では様々な種類の曲面を考慮したり比較したりすることがあるので、その場合にはそれらを区別できる曖昧さのない用語法を用いる必要がある。たとえば、「位相曲面」は二次元の(位相)多様体としての曲面の意味であり(曲面の項で扱う)、「(可)微分曲面」は可微分多様体となっている場合に用いる(の項を参照)。任意の微分曲面は位相曲面であるが、逆は言えない。導入.古典幾何学での曲面は、何らかの点や線の成す軌跡として一般に定義される。例えば、球面は「中心」と呼ばれる定点から与えられた距離にある点の軌跡である。また例えば、は定点を通り一つの曲線と交わる直線の軌跡になっている。あるいは回転曲面は曲線を一つの直線を軸に回転させた軌跡である。も適当な制限を課して直線を動かした軌跡になっている。曲面の媒介表示.媒介付けられた曲面(短く、媒介曲面)は、ユークリッド平面(典型的には)の開部分集合の位相空間(よくあるのは、次元が以上のユークリッド空間)への連続函数による像を言う。この函数は連続的微分可能と仮定するのが通例であり、本項でも常にそのように仮定する。接平面と法ベクトル.正則点における接平面はを通り、そのヤコビ行列の二つの行ベクトルに平行な方向を持つ唯一の平面である。接平面は定義において計量の選び方に依らないから、その意味でである。すなわち、任意のアフィン変換は曲面上の一点における接平面を、その点の写る先の点における接平面に写す。曲面上の点における法線は、その点を通りその点における接平面に直交する唯一の直線を言う。法線に平行なベクトルは法ベクトルと呼ばれる。点の近傍におけるほかの曲面のについてはの項を参照。非正則点と特異点.