この歴史は、少なくとも革命的なジャンルにおいては(単純な三和音はジャズではめったに使われない)、各時代の支配的なテクノロジー(三和音など)が、旧時代のテクノロジー(中世の空虚四度、五度など)に完全に取って代わるという、断続平衡説的な進化を示唆している。このことから、和声の複雑さを説明するために上限概念を使うことが正当化されると考えられる。奇数限界と素数限界.純正律音階では、音程を有理数から導く。音楽理論の文献においては、音程に関して奇数限界(協和音の議論に使用)と素数限界(音階の構築に使用)の二種類の限界が使われる。ただし、この区別はあらゆる著者が意識しているわけではない。奇数限界.純正律では、音程は周波数比によって表される。ハリー・パーチは「」において、純正律音程の複雑さを、(既約分数として表された)周波数比を構成する数の大きさを、オクターブで割った剰余に比例すると定義した。この限界は、他の限界概念の定式化と区別するため、しばしば奇数限界と呼ばれる。素数限界.カリフォルニアなどのミュージシャンは、インドネシアのガムランに影響を受けて、独自のガムラン楽器を製作しだした。その楽器は純正律で調律されることが多かった。このムーブメントの中心人物は、アメリカ人の作曲家ルー・ハリソンだった。アメリカン・ガムランの作曲家たちは、音階を倍音列から構成することが多かったパーチとは異なり、の構成に使われるのと類似の方法で、純正律のから音階を構成することが多かった。そのような音階の周波数比には、非常に大きな数が含まれることが多いが、にもかかわらず、音階中の他の音とは単純な音程で関連付けられる。そのような音階からパーチの奇数限界を求めると、誤解を招く結果になりやすいので、このようなミュージシャンは、代わりに特定の音階を構成するあらゆる音程を素因数分解できる最大の素数を使用した。これが後に素数限界として知られるようになった。純正律を超えて.平均律においては、純正律の単純な比は、近似する無理数に変換される。この操作は、うまくいけば、さまざまな音程間の和声の相対的な複雑さ自体を変えることはないが、和音の限界の計算はより困難になる。この場合、まず近似元になっている有理数音程を判定してから、奇数限界や素数限界を計算する必要がある。磁南極