この表現により、非平面代数曲線の任意の性質(例えばそれを図示することなど)を、その平面射影に対する対応する性質から容易に演繹することが可能となる。代数函数体.代数曲線の研究は既約代数曲線(より小さな曲線の合併として表すことができない曲線)の研究に還元される。双有理同値の違いを除いて、体上の既約曲線全体の成す圏は上の一変数代数函数体全体の成す圏に圏同値である。そのような代数函数体は、上超越的な元を含むの拡大体であって、を不定元とする上の有理函数体の有限次代数拡大となっているようなものである。が代数閉体でない場合には、函数体を考える視点のほうが点の軌跡を考える視点よりも少しだけ一般である(これは例えば、点が一つも載っていない「曲線」なども考えるからである)。例えば、係数体が実数体であるとき、はの代数拡大体を定義するが、対応する曲線はの部分集合と見れば点を持たない。方程式は、スキームの意味での上の既約代数曲線(上)を定義する。この意味において、上の既約代数曲線の全体(を双有理同値で割ったもの)と上の一変数代数函数体の全体との間の一対一対応は、一般に成立する。曲線としては同型でない二つの曲線が双有理同値となる(つまり同型な函数体を持つ)ことが起こり得る。この状況は非特異(つまり如何なる特異点も持たない)曲線を扱うときには簡単になる。すなわち、体上の二つの非特異射影曲線が同型となるための必要十分条件は、それらの函数体が同型となることである。は代数閉体上の代数曲線の函数体に関するものである。複素曲線と実曲面.この曲面の位相的種数(つまりハンドル体やドーナツ穴の数)は、代数曲線の幾何種数に等しく、代数的な意味で計算することができる。要するに、次数の非特異曲線の平面射影を考えるとき、常特異点(相異なる接線を持つ重複度の特異点)しか持たないならば、その種数はとなる。ただし、はそのような特異点の数とする。コンパクトリーマン面.リーマン面とは複素一次元の連結な複素解析的多様体のことであり、これを連結な実二次元多様体と看做すことができる。リーマン面がコンパクトであるとは、それが位相空間としてコンパクトとなるときに言う。