したがって、実数列あるいは実ユークリッド空間内の点列のみに関して言うならば、それが収束することとコーシー列であることは同値となる。この場合であれば、コーシー列は必ず収束するので、を評価してコーシー列か判定すれば、極限値を仮定することなく収束性が判定できる。また本質的に同じことだが、級数の収束性を和を仮定せずに判定することもできる。このように実数列がコーシー性を持つか否かをその収束性の判定に用いるとき、コーシーの収束判定基準という。収束の定義に基づいて点列の収束性を判定する場合、極限値を推定した上でを評価する必要がある。つまりこの方法で収束するかどうか調べるためには、その前に極限値が分からなければならないのであるが、コーシーの方法ならば極限値の推定は不要であるという利点がある。数学史における位置付け.一般のコーシー点列.一般の距離空間内の点列についても、コーシー性を定義することができる。がコーシー列であることは、差のノルムの代わりに距離関数を用いることによって、つまりコーシー列の収束性と空間の完備性.距離空間が、その任意のコーシー列が上に極限を持つとき完備であるといい、完備である距離空間を完備距離空間、または単に完備空間という。“実数の連続性”は、実数全体の成す距離空間が完備であることを意味している。すでに述べたように、やなどもすべて完備である。一方、有理数全体の成す集合やユークリッド空間内の有理点全体などを完備でない距離空間の例として挙げることができる。実数の構成.実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。の元に対して、その極限を標準射影によって今、任意の実数のコーシー列に対して、有理数列で、任意のについてとなるものをとることができる。この有理数列はであるので、コーシー列である。このことから、の任意のコーシー列は収束する、すなわちが完備であることが分かる。コーシーフィルターとコーシーネット.距離空間を一般化した空間である一様空間上でもコーシー列に対応するものを以下のように定義できる。コーシーフィルターとコーシーネットは本質的に同じ概念である。ブルゴーニュ王朝歴史.王国の成立.