与えられた数体に対する(狭義)ヒルベルト類体の存在はにより予想され,フィリップ・フルトヴェングラーによって証明された.ヒルベルト類体の存在は与えられた体のイデアル類群の構造の研究において貴重な道具である.他の性質.ヒルベルト類体は以下も満たす:実は,は一,二,四番目の性質を満たす一意的な体である.明示的な構成.が虚二次体でがの整数環によって虚数乗法を持つ楕円曲線のとき,の不変量をに添加するとヒルベルト類体を得る.一般化.類体論において,(アルキメデス的なものも含んでよい)素イデアルの形式的な積である与えられたに関するを研究する.射類体はモジュラスを割る素点の外で不分岐でモジュラスを割る素点である分岐条件を満たす最大アーベル拡大である.するとヒルベルト類体は自明なモジュラスについての射類体である.イデアル類群への応用.ヒルベルト類体を使うと次のような論法でイデアル類群の性質を調べることができる。まずイデアル類群をヒルベルト類体を使ってガロア群と解釈する。ガロア群の性質を分岐理論などの代数的整数論や体論を使って調べる。調べたことを今度はガロア群をイデアル類群と解釈してイデアル類群の性質に翻訳する。この論法が使われる例としてフルトヴェングラーの定理の証明を見る。この証明には先の論法で「イデアル類群」「ガロア群」をそれぞれ「類数」「体の拡大次数」に置き換えたより簡単な論法が使われる。具体的には次の通り。まずのヒルベルト類体、のヒルベルト類体とする。それぞれの拡大次数はであるので、類数を体の拡大次数と解釈することができた。次にこの拡大次数を調べる。の不分岐アーベル拡大なので、の合成体上の不分岐アーベル拡大である。よっての部分体であるので、拡大次数を割り切る。と置く。がともにベキ分体に含まれるという仮定から素数のこれらの体における分岐指数は上の拡大次数でなければならず、の上にあるの素イデアルのにおける分岐指数はである。一方、はヒルベルト類体の部分体なのでの不分岐拡大である。よって、つまりでなければならない。これからがわかる。を割り切るのでもそうである。最後にこれらの拡大次数が類数であったことを思い出すことにより証明は完結する。