自然対数を適用すると(大文字シグマ表記を使って)となり、微分すると、もとの関数の導関数を得るために整理すると応用.積.に適用されて積を和に変えるチェインルールとを適用して微分する整理すると商.に適用されて割り算を引き算に変えるチェインルールとを適用して微分する整理すると次の形の関数に対して自然対数は冪乗を積に変えるチェインルールとを適用して微分する整理すると余接束数学、特に微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束(よせつそく、)は、多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。それはまた接束の双対束として記述することもできる。余接層.余接層の定義.多様体における反変性.相空間としての余接束.群の直和数学における群の直和(ちょくわ、)は、与えられた群のあつまりからより大きな群を作り出す構成法の一つであり、また与えられた群をその特定の性質を満たす部分群によって表す方法の一つである。抽象代数学において、この構成法はベクトル空間、加群、そして他の構造の直和に一般化することができる。より多くの情報は記事加群の直和を見よ。有限個の群の直和(有限直和)は群の直積に本質的に同一の概念となる一方で、無限個の群の直和(無限直和)は直積とは必ずしも同型にならないため、直和と直積の区別は無限直和において本質的である。無限直和は制限直積とも呼ばれる。群の直和が圏論的直和(双対直積)ではないことに注意せよ(群の直積の圏論的双対は群の自由積である)。しばしば、考える群が加法的に書かれたアーベル群であるときの群の直積という意味で「直和」と呼び、アーベル群のその意味での直和を(と書く代わりに)で表すことがある。有限直和.ふたつの群の直和.複数の群の直和.基本性質.群の直和は可換である。つまり、ふたつの部分群の直和の場合には、有限直和は有限直積であること.として一意的に書ける。直和分解.直可約性と直既約性.直和成分.アーベル群の場合には、がの可除部分群ならばはの直和成分となる。直和分解の等価性.無限直和.が部分群の(非可算の場合も許す)無限集合の直和の場合において群の直和と直積との関係を述べるには、より多くの注意が必要である。