は体である。したがっては単項イデアル整域なので、特に一意分解環である。これは、任意のゼロではないの多項式はヘンゼルの補題は、の法での互いに素な多項式への因数分解は、任意のに対してを法とする因数分解に一意的に持ち上げられることを主張する。もう少し詳しく書くと、上述の仮定のもとで、法を使ってと分解できたとすると、全ての正の整数に対してモニック多項式が存在して次の式が成り立ち、しかもこのような性質を持つは法で一意ということを主張する。単根の持ち上げ.大切で特別な場合としてであるときを考える。この場合、互いに素という仮定はの単根であるということを意味する。したがってこの場合にはヘンゼルの補題の主張は次のようになる(これもヘンゼルの補題と言われる)。記号と仮定は今までと同じとし、をの単根とする。このとき、は全ての正の整数に対しての単根に一意的に持ち上げることができる。つまり、任意の正の整数対しての単根であってを満たすものが一意的に存在する。完備化への持ち上げ.全ての正の整数に対してに持ち上げることができるので、のベキたちはの完備化と同一視でき、また射影極限とも同一視できる。この完備局所環はと一般的に書き表される。が整数環でである。完備化の射影極限を使った定義と上述のヘンゼルの補題の主張から、多項式の法における像の因数分解に一意的に持ち上げられることが導かれる。同様に、の法での任意の単根はにおける像の単根に持ち上げられる。証明.での因数分解をかつ次の式を満たすものが存在するということである。が極大イデアルではなくともヘンゼルの補題を証明することができる。それゆえ、以下ではの因数分解に現れる因子が法であることを表すことにする。そして何らかの正の整数に対してと因数分解でき、とが存在してという意味で使っている。このとき、多項式であってかつ次の式が成り立つものが存在する。しかもこれらの条件が成り立つは法で一意的に定まる。またはを係数とする多項式だけを使っての場合には、これは法での剰余類だけを使って計算できることを意味する。証明:仮定から