以下、は必ずしも自然数でない実または複素数数値の変数(あるいはより一般の環の元でもよい)とし、は自然数とする。これらは何れも、底を変数と見ればを不定元とする整数係数多項式となることに注意する。展開の係数はスターリング数で与えられる(後述)。またこれら底を変数とする階乗冪は様々な意味で冪函数に相当する。記法について.また、自然数に対して実または複素「冪」.およびが負の整数でないとき、階乗の代わりにその補間函数であるガンマ函数を用いれば階乗冪の指数は任意の実数(あるいは複素数)とすることができる。具体的には次のようになる。ふたつの実数およびについて、とが負の整数でないとき、定数を底とし、指数を変数とする階乗冪は(階乗冪を冪の類似と見做すならば)指数函数の類似である。組合せ論的解釈.なる関係式を得る。これはとも書ける。性質.計算規則.空積の規約により下降階乗冪と上昇階乗冪の間に関係が成り立つ。多項式基底と変換係数.上昇階乗冪および下降階乗冪はそれぞれ、を変数とする多項式とみるとき多項式環の基底になる。標準基底との基底変換は以下のように与えられる:二項型の関係式.上昇(または下降)階乗冪全体の成す多項式列は二項型である。即ちあるいはこれらをまとめてが成り立つ。上昇階乗冪に対するものは、と呼ばれる。結合係数.下降階乗冪は多項式環の基底を成す。これは下降階乗冪の線型結合同士の積が再び下降階乗冪の線型結合となることを意味し、それは以下を確かめれば十分である:右辺に現れる各項の係数指数法則.指数法則に似た次の法則が下降階乗冪、上昇階乗冪に成り立つ。これを用いて、負数の下降階乗冪、上昇階乗冪を定義することもできる。また、次のような関係もある和の公式.微分.となる。陰計算との関係.下降階乗冪の全体および上昇階乗冪の全体はそれぞれ多項式列を成す。下降階乗冪は多項式を前進差分作用素を用いた公式(ニュートン級数展開)(微分積分学におけるテイラーの定理と形の上で類似)で表すときに現れる。この公式やほかの様々なところで、微分積分学における冪函数に当たる役割を、和分差分学において下降階乗冪が果たす。例えば