より一般に、ほとんどの特殊函数を含めた多くの函数は微分方程式の解として定義される。最も単純な例として、指数函数はその微分が自分自身に等しいような函数の中でにおける値がとなる唯一の函数として定義することができる。漸化式を与える.定義域が非負整数であるような函数(つまり数列)はしばしば漸化式によって定義される。表示法.函数のグラフは函数の直観的描像を与えるために広く用いられる。グラフからは、例えば函数がどのように増減するかといった函数の性質を読み取ることができて、函数の理解に役立つ。函数によっては、その表現に棒グラフなども利用できる。グラフ.値の表.によって表すことができる。計算機や電卓の登場以前には、対数や三角函数などの函数に対するこのような数表がしばしば編纂され出版されていた。棒グラフ.解析学.いまや函数は数学のあらゆる分野において用いられる。初歩の基礎解析学では単に「函数」といえば一変数の実数値函数の意味である。より一般の定義が導入され厳密な設定のもとで函数を扱うようになるのは実解析や複素解析においてであろう。実函数.実函数とは「実変数」「実数値」の函数、つまり実数全体の成す集合を終域とし実数からなる適当な区間を含む部分集合を定義域とする函数を言う。以下本節では、そのような函数を単に函数と呼ぶことにする。数学及びその応用分野において最もよく扱われる函数はさらに適当な正則性条件(連続性や微分可能性あるいは解析性など)が課せられる。このような正則性があることによって、函数はそのグラフを用いてよく視覚化することができる。以下、適当な区間上で微分可能であるような函数だけを扱う。多項式からは実数全体で定義された多項式函数が定まる。これには定数函数・一次函数・二次函数などが含まれる。ふたつの多項式函数の商である有理函数は(零除算が起きないように)有限個の例外を除くすべての実数を定義域とする。もっとも単純な有理函数のグラフは双曲線でを除く実数直線全体を定義域に持つ。