はの斉次座標環と呼ばれる.次数や次元のような基本的な不変量は,この次数環のヒルベルト多項式から読み取ることができる.多様体の構造.を代数閉体とする.射影多様体の定義の基本は射影空間であり,これは異なるが同値な方法で定義できる:は任意の多項式に対しては意味をなさず,は斉次,すなわちすべての単項式(和が)の全次数が同じでなければならない.この場合,として生じる.さらに,射影多様体は代数多様体である,すなわち開アフィン部分多様体によって被覆され,分離公理を満たす.したがって,の局所的な研究(例えば特異点)はアフィン多様体の研究に帰着される.明示的な構造は以下のようである.射影空間は標準的な開アフィンチャートによって生成されるものである.射影スキーム.様々な応用のため,射影多様体よりも一般的な代数幾何学的対象,すなわち射影スキームを考える必要がある.射影スキームへの最初のステップは,射影空間に次のようにスキーム構造を与えることである:代数多様体としての射影空間の上記の記述を洗練する,すなわち,はアフィン空間の個のコピーの合併であるスキームである.より一般に,環上の射影空間はアフィンスキーム同値だが簡素な構成はによって与えられ,これはアフィンスキームを定義する環のスペクトル“”の類似である.例えば,が環のとき,上記の座標に依らない類似を与えることができる.すなわち,上の有限次元ベクトル空間が与えられたとき,とおき,これをのと呼ぶ.ネータースキーム上の射影空間はファイバー積スキームが上射影的であるとは,閉埋め込みとへの射影の合成として分解するときをいう.完備多様体との関係.完備多様体と射影多様体の間には密接な関係がある:一方には,射影空間はしたがって任意の射影多様体は完備である.逆は一般には正しくない.しかしながら:射影多様体のいくつかの性質は完備性から従う.例えば,が上の任意の射影多様体に対して成り立つ.この事実はリュービルの定理(連結コンパクト複素多様体上の任意の正則関数は定数である)の代数類似である.実は,複素射影多様体上の複素解析幾何と代数幾何の間には以下に説明されるようにはるかに大きな類似が成り立つ.例と基本的な不変量.