指数写像を用いて一点コンパクト化を考えることもできる。ふたたび、二次元球面をユークリッド平面に置いた例で考えれば、平面上の原点を始点とする測地線は球面上の南極を始点とする同じ長さの測地線に写される。このとき、半径の円上の点はすべて北極に写るが、開単位円板はユークリッド平面に同相であったから、これもやはり一点コンパクト化であったことがわかる。三次元球面に対する指数写像も同様に構成される。この議論は、三次元球面が単位四元数の成すリー群であるという事実を用いてもできる。座標系.三次元球面に対して四次元ユークリッド空間の四つの直交座標成分は冗長である(球面上では条件としてが成り立っているから)。三次元多様体としては三成分の座標系でパラメタ付けられなければならない(これはちょうど、通常の二次元球面が経度と緯度の二つの座標成分でパラメタ取られるというのと対応している)。の非自明な位相のおかげで、球面全体をカバーする単一の座標系をとることが可能である。二次元球面の場合と同様、そのような座標系は少なくとも二つの座標チャートを用いなければならない。いくつか代表的な座標系のとり方を以下に挙げる。超球面座標系.二次元球面上の通常の球面座標系に対応するものとして、上の超球面座標系の一種を入れることは想定しやすい。この場合、とり方は一つではないけれども、三つのパラメタを用いてのように取ればよい。を任意の値で固定するとき、二つのパラメタは半径の二次元球面を描くことに注意せよ(ただし、がまたはのときは退化して一点を表す)。単位四元数で空間回転を記述するとき(cf.)、上記の表示はの周りにの角度で回ることを述べるものと見ることができる。ホップ座標系.をとの間の任意の値で止めて考えるとき、座標は二次元トーラスをパラメタ付ける。およびの各々を一定とすることで描かれる円形の軌跡は、トーラス上の直交格子を描く(図を参照)。退化する場合(がまたはのとき)これらの座標は円周を描く。この場合,がどの円かを特定し、が各円に沿った位置を特定する。またはの何れかについてぐるりと一周(からまで)すれば、トーラスの両の軸となる全円が描かれる。立体座標系.群構造.