の間の同型写像になっている。したがってこれはの間の双有理写像になっている。代わりに正則な射影を考える。これはのと呼ばれるものになっており、例外因子はこれの零切断、つまり点上のファイバーにおける零元に送る写像と同一視できる。複素多様体の部分多様体でのブローアップ.もっと一般に、の中の余次元の任意の複素部分多様体でブローアップすることができる。を方程式の斉次座標とする。このとき、ブローアップは空間におけるすべてのとについての方程式の解集合である。さらに一般に、局所的にこの構成を使うことで任意の複素多様体の任意の部分多様体でブローアップすることができる。これは、前と同じくブローアップの中心を例外因子で置き換える操作になっている。言い換えると、ブローアップ写像は双有理写像になっていて、の外では同型写像になっており、上ではファイバーを持つ局所自明なになっている。実際、制限におけるのを射影化したものと自然に見ることができる。は滑らかな因子なので、その法束は直線束である。が自分自身と交叉することを見るのは難しくない。これは、この法束は正則な切断を持たないことを意味する。それゆえ、はにおけるそのホモロジー類の唯一の滑らかな複素代表元である(仮にではないの他の部分多様体とする。がと交わりを持たなければ、に沿ったブローアップで本質的には何の影響も受けない。しかし、と交わる場合には、ブローアップの閉包である。これのにおける法束は通常はにおけるの一部、または全部を併せたものである。これは、本質的にはコホモロジーにおいてを引き戻したものである。スキームのブローアップ.ブローアップを最大限に一般化するために、上のイデアルの連接層とする。についてのブローアップとは、スキームと射は可逆層であり、任意の射が可逆層だとすると、を介して一意に分解する、という普遍性で特徴付けられるものをいう。次で定義されるスキームは次数付き環上のである。例外因子.ブローアップの例外因子とは、イデアル層の逆像によって定義される部分スキームのことである。これはによって定義されることがわかる。このイデアル層はについての相対的なでもある。