ウィグナーの定理の文脈では,状況をそのようなものとして描写できる(をでおきかえる);でヒルベルト空間における単位球面を表し,をその内積とする.でを表し,でを表す.さらに波矢印で群作用を表す.すると図式は可換である,すなわちである.さらに,がを保つの対称性であるのと同様に,はを保つの対称性である.のファイバーはすべて円である.これらの円はの作用で不変である.これらのファイバーへのの作用は推移的で固定点がない.結論は,は上の主ファイバー束で,構造群はである.背景資料.拡大を適切に議論するためには,リー環の定義性質を超えた構造が必要である.これらについての基本的な事実がクイック・リファレンスのためここに集められている.導分.リー環上の導分(微分)とは,写像であって,ライプニッツ則が成り立つもののことである.リー環上の導分全体の集合はと書かれる.それはそれ自身リーブラケットのもとでリー環である.それはの自己同型の群のリー環である.を示さなければならない.右側が成り立てば,微分してとおけば左側が成り立つ.左側が成り立てば,右側をと書き,この式の右辺を微分する.それは,を用いて,恒等的にである.したがってこの式の右辺はに依らず,に対するその値に等しく,これはこの式の左辺である.ならば,によって作用するは導分である.集合は上の内部微分全体の集合である.有限次元単純リー環に対して,すべての微分は内部微分である.半直積(群).このときは単位元を持つ群であり,逆元はによって与えられる.逆元の式と式を用いて,はにおいて正規であることが分かる.この半直積による群をと書く.逆に,が群の与えられた半直積表示ならば,定義によりはにおいて正規であり,各に対して,ただし,であり,写像は準同型である.さてリー対応を利用しよう.写像はそれぞれ,リー環のレベルで,写像を誘導する.この写像はによって計算される.例えば,とがともに大きい群の部分群であり,であるとき,で与えられ,例えば,ならば,(形式的には)である,ただしと随伴作用とので厳密に証明されている関係が使われている.