という普遍性を持つ。空間は等距変換の違いを除いて、この普遍性によって決まり、の完備化と呼ばれる。の完備化は内のコーシー列のある同値類集合として構成することができる。まず内の任意の二つのコーシー列とに対して、それらの間の距離をで定める(この極限は、実数直線が完備であることから存在する)。これは実は擬距離であって距離関数ではない(二つの相異なるコーシー列の間の距離がとなることがあり得る)が、「距離がである」というのはコーシー列全体の成す集合上の同値関係で、これで割って得られる同値類集合は距離空間となり、これがの完備化を与える。もともとの空間は各元に対して、に収束するコーシー列の同値類(これはつまり各項が常にを値に取る定値列を含む同値類である)ととを同一視することにより、完備化へ埋め込まれる。この埋め込みが所期の通り稠密部分空間の上への等距変換を定める。ただし注意すべき点として、今示した構成法は実数の完備性を明示的に用いているので、有理数の集合の完備化については少し異なる扱いが必要になる。実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されないという問題に慎重に取り組まねばならない。そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すことを示すのは容易である。この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え、同型を除いて唯一の完備全順序体となる。こうして実数全体の成す体が「定義」される(より詳しくはの項も参照のこと)。こうして作った実数と普段見慣れた実数とが同一視できるということを実感する一つの方法は、その実数を極限として与える「はず」の有理コーシー数列の同値類を同定することである。例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する。位相的完備空間.