力学系でもフラクタルが様々な形で現れる。倍に縮む散逸系のパイこね変換のアトラクターはハウスドルフ次元である。複素力学系のマンデルブロ集合は非常な複雑な図形だが連結で、その境界はハウスドルフ次元である。規則的に作られる自己相似フラクタルの外に、自然界で見られるようなランダムパターンから生まれる自己相似フラクタルもある。上のブラウン運動の軌跡は、であればの値にかかわらず確率でハウスドルフ次元である。ハウスドルフ次元が位相次元よりも大であることをフラクタルの定義とすると、直感的にはフラクタルに相応しいような図形がフラクタルにならない例もある。例えば、カントールの悪魔の階段や高木関数のグラフは、位相次元・ハウスドルフ次元ともにである。連続曲線でありながら平面を充填するペアノ曲線も、位相次元・ハウスドルフ次元ともにで一致する。こういった集合の存在が、フラクタルの定義に改善の余地がある理由の一つである。ハウスドルフ次元の決定が数学上の未解決問題となっているものには、次のようなものがある。上の部分集合が有界閉で、全ての方向の長さの線分を含み、さらに次元ルベーグ測度がのとき、を次元掛谷集合と呼ぶ。次元掛谷集合のハウスドルフ次元はであろうと予想されており、掛谷予想や掛谷問題と呼ばれる。次元掛谷集合のハウスドルフ次元はであることは証明されたが、次元以上は未解決である。他の次元との関係.位相次元.フラクタルの提唱者であるブノワ・マンデルブロ自身のフラクタルの定義は、ハウスドルフ次元が位相次元よりも高い集合(図形)がフラクタルとされる。ただし、マンデルブロも述べているように、このフラクタルの定義は確定的ではない。「フラクタル次元」という言葉はしばしば曖昧に用いられ、定義が与えられずに用いられたり、使う人によっては定義が異なったりするが、一つの考え方としては非整数値を取る次元をフラクタル次元と呼ぶ。マンデルブロはハウスドルフ次元のことをフラクタル次元と言い換えており、文献によってはフラクタル次元とはハウスドルフ次元を指す。ボックス次元.