の冪指数を無限に大きくしていったときの(射影極限の意味での)極限を取ることにより、法での根(または因数分解)を進整数上での根(または因数分解)に持ち上げることができる。ヘンゼルの補題は、解析的整数論の一分野である進解析学の基礎である。ヘンゼルの補題の証明はであり、証明からヘンゼル持ち上げの効率的なアルゴリズムが得られる。これは多項式の因数分解のアルゴリズムの基礎である。また有理数体上の線型代数学についての最も効率の良いアルゴリズムが得られる。還元と持ち上げ.もともとのヘンゼルの補題は、整数を係数とする多項式の因数分解と、素数、もしくはその冪乗を法とする剰余類環を係数とする多項式の因数分解との関係についてのものであった。素数この一般化を正確に書くためには、整数の場合の合同算術を一般化しておく必要があるので、この文脈で通常使われる用語を正確に定義しておこう。を可換環、をのイデアルとする。の元をによる像で置き換えることを、を法とする還元、または法での還元と呼ぶ。係数の多項式とするとき、そのを法とする還元とは、の係数をでの像に置き換えることで得られるで係数が等しくなるとき、つまりの法での因数分解とは、を法でことをいう。の元を使って表されている対象があったとき、持ち上げとは対象の性質を保ったまま還元するとこの対象に等しくなるように例えば、多項式が法でと因数分解されているとき、この因数分解を法へ持ち上げるとは、多項式であってを満たすものを見つけることである。ヘンゼルの補題は、この因数分解の持ち上げが緩い条件のもとで常に可能であることを主張するものである。ヘンゼルの補題の主張.元々のヘンゼルの補題は、整数を係数とする多項式の素数を法とする因数分解をの冪乗を法とする因数分解、もしくは進整数環上の因数分解に持ち上げることを主張(そして証明)するものであった。この補題は、整数を任意の可換環、素数を極大イデアル、そして進整数環をその極大イデアルについての完備化に置き換えることで簡単に一般化できる。証明の仕方も同じである。この一般化された補題も広く用いられる。本記事で述べるのもこれである。の多項式で最高次の係数に含まれないものとする。を極大イデアルとしているので、その剰余環