ラプラス作用素は次元ユークリッド空間上の函数の勾配の発散として定義される二階の微分作用素である。つまり、が二回微分可能実数値函数ならばのラプラシアンはで定義される。ただし、あとの記法は形式的にと書いたものである。あるいは同じことだが、のラプラシアンは直交座標系における非混合二階偏導函数の全てにわたる和数学的特徴づけ.ラプラス作用素は、合同変換と可換である。すなわち、任意の級関数と任意の合同変換に対し、が成立する。しかもラプラス作用素は、上記の性質を満たす非自明な微分演算子で最も簡単なものとして特徴づけることができる。これを説明する為、記号を導入する。を実数の集合とし、個の実数からなる組の集合をとする。と個の非負整数の組に対し、と表記する。微分演算子が任意の級関数と向きを保つ任意の合同変換に対し、が成立する。よってラプラス作用素は、合同変換に対して不変な微分演算子の中で、自明なもの(=恒等的にを対応させる微分演算子)を除けば最も簡単なものである。動機付け.拡散.拡散の物理理論において、ラプラス作用素は(ラプラス方程式を通じて)平衡の数学的記述に自然に現れる。具体的に、が化学濃度のような適当な量の平衡密度であるとき、の滑らかな境界を持つ領域を通る流束が、に流入も漏出も無いとすれば、であるからと書ける。ただし、は領域の境界に対して外側を向く単位法ベクトルである。発散定理によりは領域が滑らかな境界を持つ限りにおいて成り立つから、これによりが導かれる。方程式の左辺はラプラス作用素である。ラプラス作用素それ自身は拡散方程式によって記述されるような、化学濃度の流入や漏出を表す点を含む非平衡拡散に対する物理的解釈を持つ。ポテンシャルに付随する密度.が電荷分布に付随した電位を記述するものとすると、電荷分布自身はのラプラシアンとしてで与えられる。これはガウスの法則の帰結である。実際、が任意の滑らかな領域ならば、電場の電束に関するガウスの法則により、(単位当たりの)電荷はになる。ただし、最初の等号は静電場は静電位の勾配に等しいという事実を用いた。発散定理により、が成り立ち、これは任意の領域に対して成り立つことから()を得る。