複素解析学における留数(りゅうすう、)は、孤立特異点を囲む経路に沿う有理型関数の複素線積分により得られる複素数である。定義.留数定理により次のように定められる。(が正則点の場合にもこの積分および留数を考えることができるが、コーシーの積分定理により、その場合留数の値は消える)。ただし、は虚数単位、積分路は点を中心とする十分小さな円を正の向きに回るものとする(実際には、積分路は、それがガウス平面から切り取る有界領域が以外にの特異点を含まなければ、どんな単純閉曲線でも良い)。無限遠点を含めて上の函数を考えるときは、無限遠点における留数というものを考えることができる。無限遠点に孤立特異点を持つ解析函数に対し、なる変数変換を行えば、はに孤立特異点を持つ(あるいは正則な)解析函数だが、留数はであることに留意すべきである。留数計算.解析函数はその孤立特異点の周りでローラン展開を持つ。これは、を含みを中心とする適当な円環領域上で一様収束するから、上項別積分可能でとなるが、コーシーの積分定理によりほとんどの項は消えてとなることがわかる。同様に、無限遠点における留数は、のに関するローラン展開がとテイラー展開されるので、と計算することができる。留数定理.が成り立つ。ただし、積分はをの内点からの偏角が正の向き(領域を左に望む方向)に進む。これを留数定理と呼ぶ。留数定理を用いると、例えばのような積分が計算できる。まず、を複素領域へ拡張したを考えると、これはに極を持つ。十分大きなを取り、区間を直径とする原点中心の半円板でを含むほうの周を、から直径を除いた部分をとする。実軸上を正の向きに進むものとして上でを積分すればとなる。一方、右辺第二項はのときに収束するので、結局を得る。留数定理の系として、偏角の定理あるいは偏角の原理などと呼ばれる次のような定理を得ることができる。のような無限和の計算ができる。例えばととる。を整数とし、を正方形の周に反時計回りに向きを付けた閉路とする。留数定理により、一方、以上よりであることがわかり、バーゼル問題の解法の一つが得られた。同じ技巧を用いて、整数でない任意の複素数について