したがって、複素数に対して定義された連続な対数函数を得るためには、定義域をガウス平面のより小さな部分集合に制限することが必要となる。目的の一つとしてその函数が微分可能となるようにしたいので、定義域の各点の近傍においてそれが定義されていると仮定することには意味がある。つまりとしては開集合をとるべきである。また、の異なる連結成分上で定義される函数値は互いに関連性がないものに取り得ることを考えれば、が連結と仮定することも自然である。そういったことを取り纏めて、この文脈では枝を以下のようなものとして定める:分岐切断.函数がその分岐切断上の一点において定義されるように拡張されるならば、はその点で不連続でなければならない。よくて、負の実数における主値のように、「片側」連続になるだけである。導函数.開集合上で定義されたの各枝は複素指数函数の制限(具体的にはのによる像への制限)の逆函数である。指数函数は正則(つまり複素微分可能)かつその導函数が消えることはないから、複素函数版の逆写像定理が適用できて、はの各点において正則で、が成り立つ。これはコーシー–リーマン方程式の成立を見ることによっても証明できる。積分としての解釈.実自然対数函数は積分公式によって定義することができる。あるいは積分の下の限界をからに取り換えて、定義式をとすることもできる。同じことを「複素」対数に対しても議論するならば、さらなる複雑さが生じる。複素積分を定めるには積分路を決めなければならないが、今の場合はたまたま被積分函数が正則であるから、積分値は積分路を(端点を固定して)連続的に変形しても変わらず、また単連結領域(「穴のない」領域)ではからへ行く内のどの道も連続的な変形で互いに移りあう。ゆえに以下のように言うことができる:複素対数の等角性.の枝は、正則かつ導函数は上で消えないから、上記の命題により等角写像を定める。例えば、主枝はから垂直帯状領域への写像と見て上記の性質を満たすから、等角性を極形式で書いた直接の帰結として以下のことが言える:対数函数のリーマン面.構成.