勿論、リーマン球面は、閉曲面(境界がないコンパクト曲面)としては唯一のものである。複素射影直線としてのリーマン球面.これは、双方が零ではない複素数の対に対し、任意の非零複素数によって同値関係を定義し、の部分集合であるこの様なすべての対全体の集合に関して商をとった空間である。座標を有する複素平面はにより複素射影直線の中に写像される。座標を有するもう一つの複素平面は非零なに対し、恒等式により、上記のとおりおよびが推移写像であることがわかる。この様に取り扱うことにより、リーマン球面は射影幾何学に最も容易に関係付けられる。例えば、複素射影平面における任意の直線(または滑らかな円錐曲線)は、複素射影直線に正則同相である。これはまた、この記事の後半に登場する球面の自己同型の研究において便利である。球面としてのリーマン球面.そのため、点を除いた単位球面から平面への立体射影を考え、により複素平面と同一視する。直交座標と球座標(は天頂角、は方位角)により、立体射影は、以下のとおり書ける。と書ける。(二つの複素平面は、平面と異なる方法で同一視される。球面上の向きを整合的に保つため、双方の向きを反対にすることが必要であり、特に、複素共軛は推移写像を正則にする。)これは、上記のとおりおよびである。この様にして、単位球面はリーマン球面に可微分同相である。単位円盤は南半球と同一視され、単位円盤は北半球と同一視される。計量.リーマン球面には特定のリーマン計量が標準的に備わっている訳ではない。しかしリーマン球面の複素構造は、等角同値を除き一意に計量を決定する(二つの計量は、正値の滑らかな関数を掛けただけしか差がないとき、等角同値という)。逆に、向きの付いた曲面上の任意の計量は複素構造を一意に決定する。これは等角同値を除き計量に完全に依存して定まる。従って、向きの付いた曲面上の複素構造はその曲面上の計量の等角同値類と一対一に対応する。ある等角同値類の中で、便利な特性を有する計量を代表元として選ぶために、等角対称性を使うことができる。特に、任意の等角同値類には定曲率の完備な計量が常に存在する。実座標において、この式は、以下のとおりとなる。