放物型ローレンツ変換はしばしばヌル回転()と呼ばれる。なぜなら、回転が時間的ベクトルを保存したりブーストが空間的ベクトルを保存するのと同様に、ヌルベクトルが保存されるからである。この型のローレンツ変換は恒等変換以外の四種類のローレンツ変換(楕円型、双曲型、斜航型、放物型)の中でも最もなじみのないなので、放物型ローレンツ変換の例がどのような影響をミンコフスキー時空上に与えるのかをここで例示する。上の行列は次の変換を与える。ここで、一般性を失うことなくとする。この変換を実パラメータで微分し、で評価することにより、次の対応するベクトル場(一次線形微分作用素)が生成される。これを関数に適用し、不変であること、つまりこの変換により消滅することを要請すると、その結果得られる一次線形偏微分方程式は次の形式で表現できる。これらの右辺の定数に実数値を選ぶことにより三つの条件が得られ、それがミンコフスキー時空上の曲線を指定する。この曲線は変換の軌道である。これらの回転不変量の形式から、フロー線(軌道)がシンプルに説明できることがわかる。あまり重要でない座標を無視すると、各軌道は「ヌル平面」と「双曲面」との交差線となる。の場合は放物面は光円錐へと縮退し、軌道は対応するヌル平面上の放物線になる。光円錐上のある特定のヌルラインは不変に保たれる。これは上述したリーマン球面上の不動点に対応する。原点を通る別のヌルラインは変換により「円錐の周りに振り回される」。そのようなヌルラインがが増えるにつれどのように動くかは、上述の天球上のある円形フロー線に沿って動く点に対応する。代わりにとすると、似た軌道ではあるがとの役割が逆転したものが得られる。リー代数.リー群の常として、ローレンツ群の多くの側面がそのリー代数により明らかにできる。ローレンツ群は上の微分同相群の部分群であり、したがってそのリー代数は上のベクトル場により明らかにされる。具体的には、空間に等長性を生成するベクトルはキリングベクトルであり、これがリー代数を計算する際に便利な左不変なベクトル場の代わりとなる。次の六つの生成子を書き下すことができる。対応する初期値問題は以下のようになる。この解は次のように書ける。または