前の二つはの交換子全体の成す部分集合が反転と共役に関して閉じていることを示すものである。三つ目の式でと取れば、交換子全体の成す部分集合がの任意の準同型で閉じていることを示すものとなる。この三つ目は実は二つ目の等式の一般化であり、実際に自己準同型として共役変換を取れば二つ目が出る。定義.一般に交換子が積で閉じていないことが次の定義に繋がる。群の交換子全体が生成する部分群をの交換子部分群という。これを導来部分群と呼ぶこともある。交換子部分群を表す記号としては他にもなどが慣習的に用いられることがある。交換子の逆元も交換子なので、交換子部分群の任意の元は有限個の交換子の積の形に書くことができる。さらに共役に関しては、が成立するから、交換子部分群はの正規部分群になる。また任意の準同型に対してが成立するから、交換子部分群の準同型写像による像は交換子部分群に含まれる。これにより、交換子部分群を作る操作は群の圏における函手と見ることができる(これについて、いくらかは後述する)。また、さらにと取れば、交換子部分群はの任意の自己準同型に関して保たれることがわかる。すなわち、交換子部分群はのであり、これは単に正規であるというよりも非常に強い性質である。交換子部分群は、群の元を積の形に書くとき、右辺の積の順番を適当に交換して単位元にすることができるような元の全体で生成される部分群として定義することもできる。導来列.導来群を作る操作を繰り返してと定義する。このとき部分群を次導来部分群、降アーベル化.群とその正規部分群に対し、剰余群がアーベル群となる必要十分条件はが交換子部分群を含むことである。剰余群は群のアーベル化と呼ばれるアーベル群である。また剰余群としてアーベル化を得ることを、をアーベル化すると言う。のアーベル化はやと書かれるのが普通である。標準的な全射には有用な圏論的解釈がある。つまりはを満たす。普遍性からアーベル化は自然同型を除いて一意的である。また存在性は具体的な構成からわかる。このアーベル化函手は、アーベル群の圏から群の圏への包含函手の左随伴である。一方で群の中心はこのような函手性を持たない。