函数で与えられる曲線が求長可能であるものと仮定する。曲線上の点からまでのに沿った弧長を近似するために、斜辺を連結して曲線の弧を「被覆」できるような直角三角形の列を構成する。簡単のため、全ての三角形の底辺は等しくであるものとすると、その各々の三角形に対して高さが対応づけられて、斜辺の長さがピタゴラスの定理によりと与えられる。を近似する個の斜辺の長さの和はと書けるが、を小さく取るにつれて近似の精度は上がり、をに近づける極限でと等しくなる。すなわち、が得られる。円弧長.円弧の長さは中心角を周角で割ったものを周長にかけたものに一致する。半径を,直径をとすると、円の周長はまたはである。角度をラジアンで測れば、半径,弧が見込まれる角がであるような弧長はで与えられる(弧長をで表すのは、角が弧を「見込む」()ことに由来する)。特に半円の弧長はである。の単位は半径の単位と同じになる。歴史的方法論.古代.数学史の大半の時期においては、偉大な思想家ですらも、特異な弧の長さを計算することは不可能と考えられた。窄出法(積尽法)と呼ばれる独自の方法を用いて、曲線に囲まれる領域の面積を求めた先駆者であったアルキメデスでさえも、直線が持つのと同様の確かな長さを曲線が持つことが可能であるとはほとんど信じていなかった。しばしば微分積分学の起源と考えられるこの分野が開拓される最初の足掛かりは、近似法を用いることであった。人々は、曲線に内接する多角形を考え、その辺の長さを曲線の幾分精密な長さを知るために計算するということを始めるのである。線分の数を増やして各線分の長さを記述することによって、どんどん精密な近似を得ることができた。特に、円に内接する多角形の辺の数を増やすことによって、円周率の近似値が求められた。積分公式.フェルマーはそれまでの自身による接線を用いる方法に基づいて、曲線を用いた。これはにおける接線が傾きを持つから、接線の方程式はで与えられる。ここでをに変更して、線分がからまでの曲線の弧長の比較的よい近似になるようにする。線分の長さを求めるためにピタゴラスの定理を用い、から、両辺の平方根をとってを得る。弧長を近似するために、フェルマーはこのような小線分の列を足し上げたのである。無限長曲線.