多項式の剰余付き除算の別の系として、の任意の零ではない真のイデアルは単項生成であるという事実がある。つまりは、に帰属する任意の多項式の最大公約元である唯一つの非零多項式の倍元全体からなる。したがって、多項式環は主イデアル整域である。の剰余環と根体.上の多項式環はに唯一つの元を添加して得られる。これに対し、を含む可換環がに唯一つの元を付け加えたものから環として生成されるようなものならば、はを用いて書き表すことができる。特に、の有限次拡大に対して適用できる。多変数多項式環.環上の多変数多項式.多項式環の普遍性.環上の多変数多項式環は、「もっとも一般」の有限生成可換多元環である。すなわち以下の普遍性が成り立つ:代数幾何学において.体上の多変数多項式環は代数幾何学において基本的な役割を演じる。可換環論やホモロジー代数の多くの結果が、多項式環のイデアルや多項式環上の加群の研究に端を発している。ダフィット・ヒルベルトに端を発する多項式環のイデアルとの代数的集合との間の関係に関する基本的な結果のいくつかは零点定理()と呼ばれる。多項式環の素イデアルがの既約部分多様体に対応する。環の拡大の性質.可換環論における基本的な手法の一つは、環の性質をその部分環の性質に関連付けることである。なる記法で環が環の部分環であることを示唆することにする。この場合はの拡大環や上にある環などとよび、またという。これは多項式環に対しては特によく働き、多変数の多項式環に対する多くの重要な性質の証明に、に関する帰納法を用いることが可能になる。結果の要約.一般化.多項式環の一般化には実にさまざまな方法がある。たとえば、冪指数を一般化した多項式環、冪級数環、非可換多項式環、歪多項式環などである。冪指数の一般化.