弧長は有限にも無限にもなりうるが、ならばは有限長(;求長可能)であるといい、さもなくば無限長(;求長不能)であるという。この弧長の定義において、は可微分函数で定義されている必要はない。実際のところ、一般の距離空間上で考えている場合には、微分可能性を定義することが一般には期待できない。曲線は様々な方法で媒介変数表示されうる。そこで曲線が定義写像以外に媒介変数表示をも持つ場合を考える。およびが単射であるときには、連続単調写像が存在して、が成り立ち、逆写像が存在する。明らかに、任意のの形の和は、とおけば、の形の和に等しく、逆もまた同様である。従って弧長は、それが媒介変数の取り方に依らないという意味で、曲線に内在する性質であることがわかる。曲線に対するこの弧長の定義は、実数値函数に対する全変分(全変動)の定義の類似である。積分による弧長の計算.実函数で、および導函数が閉区間上の連続函数であるようなものを考えると、のグラフのからまでの間の弧長はで与えられる。曲線が,と媒介変数表示されている場合、であるからが成り立つ。これらは、十分小さな増分に対する距離の公式から求めた式で、の代わりにその極限を取ったものと考えればわかりよい。また、極座標系においてで定義された函数のからまでの間の弧長はで与えられる。線素からの導出.曲線の弧長を近似するために曲線をたくさんの線分に分解するが、弧長の長さを近似値でなく真の値として得るには無限に多くの線分が必要になる。これはつまり、各線分を無限に小さくすることを意味しているが、このことは後に積分を用いる際に効いてくる。線分の代表元を見れば、その長さ(線素)が微分であることが確認できる。この変位の水平成分を、垂直成分をで表すと、ピタゴラスの定理からが従う。曲線が媒介変数によって表されているなら弧長は線素を無限小区間に亘って次々に足し合わせればよいから、積分によって弧長が求められる。がの函数ならば、としてを得る。これはのグラフのからまでの弧長を与えている。例として、曲線がになる。折線近似からの導出.