このヌルベクトルの実数倍の集合はある時刻にある点にいる観測者の(ミンコフスキー時空の任意の世界点を原点とすることができる)星のような離れた適当な物体への「視線」と呼ぶことができる。ここで、天球上の点(同等に、視線)をあるエルミート行列により指定することができる。共役類.制限ローレンツ群はメビウス群と同型であるため、その共役類も五つに分けられる。メビウス変換の項では、メビウス変換をリーマン球面上に作用させたときの不動点を考えることにより、この分類がどのように生じるかを説明しているが、この不動点はここでは制限ローレンツ変換をミンコフスキー時空に作用させたときのヌル固有空間に相当する。各分類型の例を、それが生成するの影響(たとえば夜空の見かけ)とともに下の節に挙げる。楕円型.の楕円型要素はであり、を不動点として持つ。作用をのように書き、項を集めると、スピノル写像により次の制限ローレンツ変換に対応づけられる。対応する天球上の連続変換は(恒等変換以外は)全てが北極と南極という同じ不動点を持つ。他の全ての点は変換により緯線上を移動する。よって、この群はが増えるに従って軸まわりの連続な反時計周り回転を与える。スピノル写像での明らかな「角度倍増」は「スピノル二重被覆」の特徴的な特性である。双曲型.の双曲型要素はで、を不動点として持つ。リーマン球面からユークリッド平面への立体投影の下、このメビウス変換の影響は原点からの発散となる。スピノル変換により、これらは次のローレンツ変換に対応づけられる。斜航型.の斜航型要素はであり、を不動点として持つ。スピノル写像によりこれは下のローレンツ変換に対応づけられる。対応する天球上の連続変換は、(恒等変換以外は)南極と北極という同じ不動点を持つ。他の全ての点は南極から北極(もしくはその逆)に向かって斜航線と呼ばれる種類の曲線に沿って移動する。各斜航線は無限に、通常は各極の回りで螺旋を描く。放物型.の放物型要素はで、リーマン球面上にを唯一の不動点として持つ。立体射影の下、実軸に沿った通常の平行移動として現れる。スピノル変換により、次の(ローレンツ変換を表わす)行列に対応づけられる。