ガウス整数は二次方程式の解である(ゆえにガウス整数は代数的整数である)。この方程式のもう一つの解はである。これをの共役といい、で表す(この場合、はの複素共役でもある)。方程式の係数に現れる、共役との和をのトレース(もしくはシュプール)、共役との積をのノルムという。すなわち、ガウス整数のノルムとはが成り立つ。整除性.公約数.複数のガウス整数の共通の約数を公約数と呼ぶ。公約数が単数のみであるとき、それらのガウス整数たちは互いに素であるという。さて、公約数を定義したなら、最大公約数も定義したくなるが、次の注意が必要である。ガウス素数.ガウス整数環を含む一般の環において、単数以外の元の積で表せない元のことを既約元といい、素元とは別であるが、後述するようにガウス整数環においては既約元と素元は同じ概念になるので問題はない。の形に限られる。このように、ある環では素元であったものが、拡張した環でも素元であるか、またはどのような素元の積に分解されるのか、という問題は代数的整数論の主題の一つである(より正確には素元の代わりに素イデアルを考える)。素因数分解の一意性.ガウス整数環の特筆すべき性質として、素元分解整域(一意分解環などともいう)であるという事実がある。つまり、という定理がある。素因数分解の一意性は、当然成り立つことであるかのように誤解されることは多い。初等教育・中等教育では、有理整数の素因数分解の一意性の非自明性について触れられることはほとんどないが、しかしが無理数であることの証明で、素因数分解の一意性を用いずに証明している、という点が挙げられる。歴史的にも長い間証明が必要なこととは認識されていなかった。しかし、例えばにおいては証明.ガウス整数環における素因数分解の一意性は、ガウスが初めて証明した。現代的には、環論の用語を用いて次のように証明するのが一般的である。以下では、なるべく環論の用語を用いずに、証明のあらすじを与える。ユークリッド整域とは、素朴に言えば、その中で適切な余りの出る割り算ができる整域のことである。ユークリッドの互除法が通用する整域という意味合いである。ガウス整数環はノルムに関してユークリッド整域である。すなわち、次が成り立つ。