一見するとこの級数が意味のある値を持つことは全くないように思われるが、これに数学的に意味のある値を結びつける方法があり、そうして得られた値は複素解析や、物理学における場の量子論、特に弦理論などの分野において応用がある。様々な総和法を用いることで、上記のごとき発散級数にさえ有限な数値を割り当てることができ、特にゼータ関数正規化やラマヌジャン総和法では件の級数にを値として割り当てる。この事実をよく知られた公式として式に表す。モンスター群のムーンシャイン現象に関するモノグラフではこの等式を「自然科学において最も注目すべき公式の一つ」と評した。部分和について.級数の部分和は順にと続き、第部分和は簡単な公式三角数からなる無限数列はに発散するから、定義により無限級数もまたに発散する。これが発散することは「項がに収束しないならば級数は発散する」というの単純な帰結でもある。ゼータ関数の部分和.総和可能性について.ヒューリスティックな説明.さて級数を級数に変形するのに、第二項からを引き、第四項からを引き、第六項からを引き......、という具合にやって行けば、引かれる総量はでこれはもとの級数の倍である。これを少し代数学的に書いてみよう。この級数の「和」となるべきものがあるとしてそれをと呼ぶことにすると、これを倍してもとの式から引けばを得る。考察の第二の鍵は、交項級数がの形式冪級数展開にと代入したものになっていることである。ラマヌジャンのノートに従えばの両辺をで割って、を得る。一般論で言えば、無限級数を(特に発散級数を)有限和と同様のものであるかのように扱うことは危険である。例えば発散級数に対してその任意の位置に無数のを挿入することでさえ、自己矛盾した結果を導き得る(まして他と整合する結果であることをあらかじめ望むべくもない)。特に、とした手順は、単に加法単位元の基本性質のみで正当化することができるものではないのである。さらに極端な例として、級数の先頭にたった一つを付け加えるだけで矛盾した結果を導くことができることさえある。