同様の貼り合わせを、虚部がに入る枝、に入る枝、......に対して、あるいは別方向の、虚部がに入る枝、に入る枝、......とどんどん続けることができる。そうして最終的に得られる連結な曲面は、先ほどの駐車場の喩えで言えば、上にも下にも無限に伸びる無数の階が螺旋状に連なった駐車場になる。この曲面を複素対数函数に付随するリーマン面と呼ぶ。対数のリーマン面上の点は、複素数とその偏角の取り得る値との対と考えることができる。これによりはに埋め込める。リーマン面上の函数.各枝の定義域はそれらの値が一致する開集合に沿ってしか貼り合わされないから、貼り合わせで一つの矛盾なく定義された函数が与えられる。この函数は各点をに写す。もともとの枝に両立する正則函数を貼り合わせて拡張する過程は解析接続と呼ばれる。リーマン面からへの(螺旋を「平らに」押しつぶす)「射影」が存在して、はに写される。任意のに対して、の「真上」にある全ての点をとって、それらの点をで評価すれば、の対数がすべて得られる。すべての枝の張り合わせ.上でやったように、特定の枝を選んで貼り合わせる代わりに、のすべての枝をとって、枝の対,をのとが一致する最大の開部分集合に沿って貼り合わせることを、任意の対に対して同時に行っても、前節のと同じリーマン面と函数が得られる。このやり方は、絵に描くことはやや困難だが、特定の枝をどのように選ぶかは問わない点で、より自然である。がの開部分集合で、その射影像と全単射ならば、のへの制限は上定義されたの枝に対応する。の任意の枝はこの方法で得られる。普遍被覆として.射影はをの被覆空間として実現する。実はこれは、(をに写す同相写像が生成する)に同型な群を持つになる。複素多様体としては、を通じてに双正則である(逆写像はをに写す)。これはが単連結であることを示しており、したがってはの普遍被覆となる。一般化.任意の底.実数のときと同様に、複素数に対してと定義することができるが、において定義されるの枝の選択によって値が変わることには気を付けなければならない。例えば主値を用いればとなる。正則函数の対数.