エルンスト・ラース生涯.ドイツ領時代のシュトラスブルク(ストラスブール)で死去。業績.GoogleStore概要.公称名招集選手.過去の招集.ブローアップ(数学)双有理変換を説明するという重要性のほかに、ブローアップは新しい空間を作る重要な方法でもある。例えば、特異点解消のほとんどの方法は滑らかになるまで特異点でブローアップするというものである。さらに、これを使ってブローアップを双有理写像の不確定点を除去するために使うこともできる。平面の点でのブローアップ.最も簡単なブローアップは平面の点でのブローアップである。この例を通して、ブローアップの一般的な性質をほとんど見ることができる。この節では、ブローアップという操作で得られた空間のことを特に頻繁にブローアップと呼ぶことにする。の点でのブローアップはである。ここでは他の点ではグラスマン多様体の元である。は射影多様体の直積の閉部分代数多様体なので射影多様体である。これは、組に送るへの自然な射を備えている。この射は、であるすべての点がなす開部分集合上で同型写像となっている。これは、直線のときは、直線を通る任意の直線でよい。これらの直線全体はを通る向き全体の空間に対応しと同型である。このでの(normalspace)である。は点なので法空間は接ベクトル空間と一致する。したがって例外因子は射影化されたでの接ベクトル空間と同型である。ブローアップ上での座標を得るために、結合対応の方程式を求める。を与え、これでの点の座標をと書く。によりと同型なので、これに斉次座標に対応する直線はを満たすすべてのの集合である。したがって、ブローアップは次の式で記述することができる。ブローアップはの外では同型写像になっている。射影平面の代わりにアフィン平面で考えることによりブローアップをより簡単な方程式で表すことができる。必要ならば射影変換を使うことによりとしてよい。アフィン平面の座標をで書くことにする。条件を意味するので、グラスマン多様体をに置き換えることができる。このとき、ブローアップは多様体である。座標を変更してどちらかの符号が逆になるようにするほうがより一般的である。このとき、ブローアップは