作用は概念の発達とともに様々な方法で定義された。数学的定義.系が辿る実際の時間発展の経路は、作用の停留点(通常は最小点)に対応する。作用の停留点は作用積分に対する変分により与えられる。作用には異なるいくつかの定義があり、それらは物理学で一般的に使われている。よく使われる作用の定義は、ラグランジアンの時間積分として与えられる。しかし、場の作用に対しては、ラグランジアンではなくラグランジアン密度に対する積分として定義され、空間と時間の両方の積分として定義される。いくつかの特別な場合において、作用は時間をパラメターとした系の辿る経路に沿った積分に置き換えられる。例えば粒子系の時間発展に関して、作用積分はそれぞれの粒子が辿る経路に束縛されるため、作用積分は時間をパラメターとする粒子の軌跡の積分となる。典型的な作用は、初期時刻と終端時刻の間で系が辿る経路に沿った時間積分として表現されるものである。作用汎関数.として定義される。簡約された作用.ハミルトンの主関数.ハミルトンの特性関数.全エネルギーが保存される場合、ハミルトン・ヤコビ方程式は、一般化座標の関数と時間の関数の和の形に変数分離することができる。時間に依存しない関数をハミルトンの特性関数(ハミルトンのとくせいかんすう、)と呼ぶ。特性関数の物理的重要性は、時間に関する全微分から明らかにされる。特性関数の全微分を改めて積分するととなり、特性関数が定数を除き簡約された作用に一致することが分かる。ハミルトン・ヤコビ方程式の他の解.エネルギー保存則が成り立つ系について時間の関数を分離できたように、特別な場合にはハミルトン・ヤコビ方程式の解は変数分離形となる。ある独立変数についてハミルトンの主関数が変数分離できた場合、その変数分離された項もまた「作用」と呼ばれることがある。一般化座標の作用.の正準変数は、一般化運動量の相空間の閉経路上の積分を積分として定義される。正準変数は回転や振動の運動に対応している。