超実数全体の成す集合は、実数体を各自然数ごとに一つコピーを作って、それらの超積(自然数の集合を添字集合とする超冪)をとったものである(この場合、超フィルターは自然数全体の集合上でその補有限集合をすべて含むものをとっている)。超実数の集合における順序は、実数全体の集合における順序の拡張として与えられる。例えば、数列は一般項がで与えられるものとすると、その同値類として表現される超実数は任意の実数よりも大きい。同様の類似対応物として、やなどが、対応する構造の超冪をとることにより与えられる。関係が超積上に引き写されることの例として、数列が一般項で与えられるものとすれば、からの属する同値類はの属する同値類よりも大きく、したがってに対応する超実数はに対応する超実数よりも大きな無限大数と考えることができる。しかし、かつとすると、とが一致する添字全体の成す集合は任意の超フィルターに属する(とは殆ど至る所一致する)から、とは同じ同値類に属する。ウォシュの定理.超積の基本定理とも呼ばれるウォシュの定理は、によって示され「一階述語論理の任意の式が超積において真となるための必要十分条件は、その式がにおいて真となる添字全体の成す集合が超フィルターに属することである」ことを述べる。より精確には:定理は式の複雑さに関する帰納法で示せる。が超フィルターである(単にフィルターとなるだけでない)ことはこの節の否定において用いられており、また存在量化のステップでは選択公理が必要である。応用として、超実数に対するが得られる。が構造上の単項関係とし、の超冪を作る。集合は超冪の中に対応するを持ち、に関する一階の式はに対しても有効となる。例えば、が実数体ではが有理数であるとき真とするとき、において「任意の有理数の対に対して有理数でないが存在して、とできる」が成立するが、この性質は適当な形式言語における一階の式に直せるから、ウォシュの定理により、も同じ性質を持つ。つまり、超実数体の部分集合で有理数と一階の性質が同じである「超有理数」の概念がこれによって定まったということになる。