のときのより正確なおよびに対する公式、あるいは同じことだがだが零でないときのおよびの漸近近似がで与えられる。のとき、これらは良い近似であるが漸近的でない(またはと上記の近似式との比は、現れる正弦および余弦の値が零となるところで無限大に発散することによる)。これらの極限に対する漸近展開も可能である。それらについてはおよびにある。複素エアリー関数.エアリー関数の定義をと置くことにより複素数平面まで拡張することができる。ただし、積分路は偏角の無限遠点から偏角の無限遠点までとる。あるいは、微分方程式によっておよびを複素数平面上の整関数に拡張することもできる。に対する漸近公式は、の主値をとり、が負の実軸の近くを除いて有界ならば、複素数平面上でもやはり有効である。に対する漸近公式が有効なのは、が適当なに対する扇形にあるときである。また、に対する公式はが扇形にあるとき有効である。エアリー関数の漸近的挙動から分かることは、ともに負の実軸上に無限個の零点を持つことである。関数は複素数平面上に他の零点を持たないが、は扇形にも無限個の零点を持つ。他の特殊関数との関係.正の引数に対して、エアリー関数は変形ベッセル関数となる関係を持つ。ここではの解である。エアリー関数の一階微分はであり、関数およびは急速に収束する積分によって表すことができる(変形ベッセル関数の項も参照)。負の引数に対して、エアリー関数はベッセル関数となる関係を持つ。ここにはの解。(の解)もまたエアリー関数を用いてと書くこともできる。フーリエ変換.エアリー関数の定義から直接に、そのフーリエ変換がで与えられることが示せる。歴史.ガウスの法則ここでの単位のガウスは、磁束密度の単位であり、電場を扱うこの法則とは全く関係がない。積分形.一般に積分形と呼ばれるガウスの法則は以下の形で表される。ここで、である。この式は、ある領域内に電荷が存在すると、その領域から電荷と等しい大きさの電束という物理量が出入りするということを示している。微分形.発散.となる。直角座標における発散.となる。