式を式に代入して整理すると下記のような式になる。この式が恒等的に成り立つには下記の条件が満たされる必要がある。固有モード.固有モードの直交性と正規化.固有モードの直交性の物理的な意味は、次数の異なる固有モードの振動の間で力学的エネルギーの移動が全く起きないことを表している。ある固有モードの振動において、運動エネルギーと復元力によるポテンシャルエネルギーは時間的に変化しているが、それらの和の力学的エネルギーは時間に依らず一定に保たれている。そのため、自由振動中にある固有モードの振動が他の固有モードに移り変わったり、他の固有モードが新たに誘起されたりすることはない。固有モードは比の関係を定めるベクトルであった。絶対的な大きさを持たない固有モードに大きさを定める方法として、次のような方法がある。質量正規固有モードを採用すると、式に対して剛性行列は固有角振動数とという関係を持つ。モード座標と一般解.固有モードの直交性(式と式)を上式に当てはめると、や、指数の正負が異なる複素指数関数の和減衰自由振動.一般の粘性減衰.式の解を式と同じように仮定し、式を式に代入して整理すると、比例粘性減衰.実際の減衰が比例粘性減衰になっていることはまれであり、比例粘性減衰はあくまでも近似的なものである。しかし、比例粘性減衰の仮定を導入することで、不減衰系と同じ取り扱いが可能となり、モード解析の手法が適用可能になる。もし減衰が全体に分布しているような構造であれば、適当な比例減衰定数を設定すれば、実際の現象を実用問題ないレベルで再現できるという一定の妥当性もある。減衰は摩擦・材料減衰・流体粘性など様々な要因で起こるため、そもそも減衰の適切な定式化自体が難しいといった事情もある。式のように速度の比例定数として与えられる一般の粘性減衰も、多種多様な発生機構によって減衰が起きるという実情に起因して厳密には成立しない。式を式に代入した場合、という運動方程式になる。解を式のように仮定して上式に代入し、整理すると、となる。さらに、とおけば、式はという量を導入して、これでモード減衰を割った量強制振動.不減衰系.任意の励振力を受ける減衰の無い系の運動方程式は以下のように表される。