ことの救済として始まる。数が一意的に素数に分解しなければ、その数で生成されるイデアルは素イデアルの冪の交叉にまだ分解する。それがだめなら、イデアルは少なくとも準素イデアルの交叉に分解できる。をネーター環とし、をのイデアルとする。このときは準素イデアルへのむだのない準素分解をもつ:むだがないとは次を意味する:さらに、この分解は次の意味で一意である:素因子の集合は一意であり、この集合の任意の極小素イデアルの上の準素イデアルもまた一意である。しかしながら、極小でない素因子に伴う準素イデアルは一般には一意ではない。である。証明.今日では、準素分解を素因子の理論で行うのが一般的である。以下の証明はこのアプローチの精神である。をネーター環上の有限生成加群とし、を部分加群とする。が準素分解がもつことを示すには、をでおきかえて、のときを示せば十分である。さて、注意:同じ証明により、がすべて次数付けられていれば、分解におけるも次数付けられているようにとることができる。最短分解と一意性.この節では、すべての加群はネーター環上有限生成であるとする。加群の部分加群の準素分解が最短であるとは、準素加群の個数が最小であることをいう。最短準素分解に対して、準素加群の素因子は一意的に決定される:それらはの素因子である。さらに、極小あるいは孤立素因子(他の素因子を含まない素因子)に伴う準素部分加群も一意である。しかしながら非孤立素因子(幾何学的な理由から埋め込まれた素因子とも呼ばれる)に伴う準素部分加群は一意とは限らない。ネーターでない場合.次の定理は環がそのイデアルについて準素分解を持つための必要十分条件を与える。イデアルが準素分解を持つための次の一意性定理もある。さて、任意の可換環、イデアル、上の極小素イデアルに対して、局所化写像のもとでのの逆像はを含む最小の準素イデアルである。したがって、直前の定理の設定では、極小素イデアルに対応する準素イデアルはを含む最小の準素イデアルでもあり、の準素成分と呼ばれる。例えば、素イデアルの冪が準素分解を持てば、その準素成分はのである。イデアルの加法的理論.