複素行列の指数関数が常に正則行列であるということに注意する(の逆行列はによって与えられる)。これは複素変数の指数関数が常に零でないことに対応する事実である。ゆえに、行列の指数関数次正方行列の全体の成す空間から次元の一般線型群(次正則行列の群)への写像を定めている。実は、この写像は全射、すなわちどんな正則行列も何らかの行列乗として書くことができる(ここで実数体でなく複素数体上で考えることが本質的に利いてくる)。が成り立つ。ここでは任意の行列ノルムである。ここから、指数写像はコンパクト部分集合上で連続かつリプシッツ連続であることが従う。はで単位元を通る、一般線型群内の滑らかな曲線を定義する。実はが成り立つから、これらは一般線型群のを与えている。この曲線の上の微分係数(あるいは接ベクトル)はで与えられる。での微分係数はまさに行列であり、これはつまりがこの一径数部分群を生成することを示している。より一般に、に依存する生成的指数に対してとなる。右辺のを積分記号の外へ出して、残った被積分関数をアダマールの補題を使って展開すれば、以下の有用な行列乗の微分係数の表示が得られる。この式における係数はもとの指数函数の成分に現れているものとは異なることに注意せよ。また閉じた形の式はを参照。行列の指数関数の行列式.ヤコビの公式から、任意の複素正方行列について次のが成り立つ:計算に役立つだけでなく、上記の等式の右辺は常に非零であるから、左辺の行列式は非零であり、したがって行列指数関数は常に正則であることが分かる。実行列の場合、上記の公式から写像が全射ではないことも分かる。なぜならば、実行列について公式の右辺は常に正であるが、行列式が負の正則行列は存在するからである。このことは先に触れた複素行列の場合とは対照的である。指数函数の計算.いくつかの行列のクラスに関しては、比較的容易に計算ができる。対角行列の場合.対角行列に対して、行列乗は単に主対角成分のそれぞれを肩に載せたで与えられる。これは対角行列同士の行列の積は単に成分ごとの積に等しいということからの帰結である。特に通常の指数函数は「一次元」の場合の対角行列の指数函数とみなせる。これを利用すれば対角化可能行列乗も計算できる。つまりかつが対角行列ならば