混合タイプの確率変数としては例えば、コインを投げて表が出た時のみルーレットを回すということを考えることができる。コインが裏であれば、表であればルーレットの角度とすると、この確率変数は確率で、その他の数である確率は上記の例の半分である。測度論的定義.実数確率変数.確率変数の分布関数.実数確率変数が示す範囲の確率を全て記録すると、の確率分布が得られる。確率分布はの定義に使われた特定の確率空間を「忘れる」ので、の様々な値の確率を記録するのみである。このような確率分布は常に分布関数で捉えることができる。確率変数値の平均.を満たすことである。これは測度論における可測関数の可積分性と同じである。このとき確率変数あるいはその確率分布の平均はで定義される。で定義される。ここでは指示関数である。モーメント.数学的には、与えられた確率変数が所属する母集団に関する(一般化された)として知られ、確率変数の分布の性質を示す期待値の関数のコレクションである。確率変数の関数.である。関数に逆関数が定義可能であり、かつそれが増加関数かまたは減少関数である場合には、上記の関係は以下のように展開できる。さらに、同じくの可逆性に加えて微分可能性も仮定すると、両辺をで微分することにより、確率密度関数の関係を下記のように記述できる。の逆関数が存在しない場合でも、それぞれのが高々可算個の根を持つ場合(すなわち、であるの数が有限または可算無限の場合)には、上記の確率密度関数の関係は次のように一般化できる。この式はが増加関数でなくとも成立する。を実数の連続確率分布とした時、とすると、は、分布関数が最後の表現はの分布関数で計算できる。すなわちを標準正規分布に従う確率変数であるとすると、その確率密度は下記の通りである。確率変数を考えると、上記の式を変数変換して確率密度を下記のように表すことができる。である。この逆変換は、であり、両辺を微分するとである。従って、これは自由度の分布である。確率変数の同値性.確率変数が同値と見なされるには「等しい」「ほとんど確実に等しい」「分布が等しい」といった、いくつかの異なる意味がある。強さの順に並べると、これらの正確な定義は以下の通り。分布が等しい.