与えられた関数が漸近展開となるような関数は常に多く存在する。ただし、ある領域における有限次元での近似誤差が可能な限り小さいという意味で、最良の関数が存在する場合がある。以下に提示するワトソンの定理とカーレマンの定理は、漸近級数に対する「最良の和」をボレル総和が与えることを示す。ワトソンの定理.ワトソンの定理は、関数がその漸近級数のボレル総和になる条件を与える。が次の条件を満たす関数であると仮定する。やや一般的には、の漸近展開に対する誤差評価をからに緩めても、領域の条件をへ強めることでは決定できる。これは最良の評価であって、をより小さい数に置き換えた場合には反例が存在する。カーレマンの定理.カーレマンの定理は、扇状領域内における有限次近似の近似誤差が急速に増大しない限り、関数は漸近級数によって一意的に定まることを示す。より正確には以下の通りである。このとき、逆数和が発散するならばが成立する、ということを主張する。カーレマンの定理の具体例.関数は、任意のに対する領域において、上述のような誤差範囲をもつ漸近級数を持つが、この漸近級数のボレル総和にならない。ここからもワトソンの定理におけるは誤差項がより小さくできない限り最良の値であることが示される。具体例.幾何級数.次のような幾何級数は通常の意味でに対してに収束する。このボレル変換はが得られ、これは元の級数の解析接続を与える。が成立することからも示される。交代階乗級数.次の級数を考える。この級数はを除くで収束しない。このボレル変換はにおいて再び、同値性が成り立たない例.次の例はでの例を拡張したものである。次の級数存在性定理と収束領域.線分上での総和可能性.が成立するような関数が存在する。級数の収束半径が厳密に正であると仮定すると、は原点を含む非自明な領域で解析的となる。今、をの特異点集合とすると、がを満たすということとが原点からへの開線分に沿って解析接続できるということが同値となる。に対して、でを通り直線に垂直な直線の集合とする。集合をとなる。境界上の点での総和可能性については、その点における級数の性質に依存する。次の形式的べき級数タウバー型定理.応用.歴史と命名.価値.