で与えられる。右辺において、は変数たちに関する偏微分からなる行列、は変数に関する偏微分からなる行列である。陰函数定理が述べるのは、このときの行列が正則ならば、所期の通りのが存在することである。以上全ての仮定をまとめれば以下の定理を得る。例の再考.で与えられる。したがって定理に言うはここでは単に数で、それが定める線型写像が正則であるための必要十分条件はである。ゆえに陰函数定理によれば、単位円は、なる任意の点に対して局所的にの形に書くことができる。しかし、既に上でも述べたが、点においては問題が生じる。陰函数定理はこれら二つの点においても適用することは未だ可能であるが、それはをの函数と見てのことである。実際、そのグラフをとすれば、のときと取れるから、局所的にこの形の函数に表されるための条件は満足されている。のに関する陰函数微分、およびのに関する陰函数微分は、陰函数の全微分をに等しいと置いたから求めることができる。すなわち、およびが成り立つ。応用:座標変換.と計算することができる。この逆が可能であるかどうか、すなわち各点の新座標から旧座標に戻せるか、を検証したいと考えるかもしれない。この問いに、陰函数定理は一つの答えを提供する。新旧の座標の対、はと置くことにより、なる関係を持つ。ここにの適当な点におけるヤコビ行列は例:極座標系.簡単な例として、平面上の極座標系を考える。新たな座標系として直交座標系を考えれば、変換はおよびで与えられる。これにより、任意の点が与えられれば、対応する直交座標が計算できる。逆に直交座標を極座標に変換することができるのはいつなのかを考えよう。前節に従えば、ヤコビ行列がを満たすことが十分であった。ここにが成り立つから、極座標に戻すためにはが十分である。ゆえに残りのの場合に関して確かめよう。この場合、座標変換が可逆でないことを確かめることは容易である。実際、原点においての値は定義可能でない。一般化.微分不能函数の定める陰函数.堂上平氏アップ・ティル・ナウデューク雪子来歴.ジャーナリストとして.