であるが,がの部分環に同型であるとは限らない.この構成は群の拡大という密接に関連した概念における類似の構成を反映している.同じ体上のリー環に対して完全列が成り立っているとき,はのによる拡大であるという.性質.定義性質は言い換えられる.リー環がのによる拡大であるとは,が完全であることをいう.ここで両端のは(零ベクトルのみからなる)零リー環を表し,写像は明らかなものである,つまり,はをに写し,はのすべての元をに写す.この定義では,が単射でが全射であることは自動的に従う.なるものが存在するとき,拡大とは同値な拡大であるといわれる.拡大の同値性は同値関係である.拡大の種類.自明.リー環の拡大が自明とは,部分空間であって,かつはのイデアルとなるものが存在することをいう.分裂.リー環の拡大が分裂とは,部分空間であって,ベクトル空間としてかつ,がの部分代数となるものが存在することをいう.イデアルは部分代数だが,部分代数はイデアルとは限らない.したがって自明な拡大は分裂拡大である.中心.リー環の拡大が中心拡大とは,がの中心に含まれることをいう.中心拡大が普遍とは,任意の他の中心拡大に対して,準同型,が存在して,図式が可換になること,すなわち,となることをいう.構成.直和により.を同じ体上のリー環とする.と定義し,上に加法を点ごとに定義する.スカラー乗法はによって定義される.これらの定義により,は上のベクトル空間である.リーブラケットにより,はリー環である.さらにと定義する.が完全列として成り立つことは明らかである.のによるこの拡大は自明な拡大と呼ばれる.これはもちろん,リー環の直和に他ならない.定義の対称性により,はのによる拡大でもあるが,である.から部分環がイデアルであることは明らかである.リー環の直和のこの性質は自明な拡大の定義に昇格する.半直和により.準同型を用いた群の半直積(背景)の構成に触発されて,リー環の対応する構成を作ることができる.がリー環の準同型であるとき,上のリーブラケットをで定義する.このリーブラケットにより得られるリー環はと書かれ,との半直和と呼ばれる.