特異点のミルナー数は半径の小球上で定義された写像の写像度(連続写像の位相的な写像度)に一致する。ここにはの(複素)勾配ベクトル場である。:全ての特異点におけるデルタ不変量を計算することで、曲線の種数を決定することができる。すなわち、曲線の次数をとすればが成り立つ。ここに和は平面複素射影曲線の特異点すべてに亙ってとる。これをという。曲線の例.有理曲線.有理曲線(一筆書き曲線とも言う)は直線に双有理同値な任意の曲線の総称である(ここに直線は射影直線の意味にとるものとする)。従って、この曲線の函数体を一変数有理函数体と同一視することができる。が代数閉体ならば、これは種数の曲線に同値である。しかし、実代数多様体上で定義された実代数函数全体の成す体は、種数の体ではあるが、有理函数体でない。具体的に、上次元の有理曲線は、一つの助変数によって定義された本の有理函数からなるという意味において、(孤立した例外点を除いて)パラメータ付けすることができる。分母を払って、これらの有理函数を射影空間内の本の多項式函数にすることができる。一つの例がである。例えば、楕円はを有理点に持つ。から傾きの直線を描いて、楕円の方程式に代入し、因数分解してについて解けばを得る。従って方程式からはと書けて、これらがこの楕円の有理媒介変数表示を定めるから、この楕円が有理曲線であることが示された。これによりこの楕円上の全ての点が、に対応する点を除いて与えられる。従って、曲線全体は実射影直線によってパラメータ付けられている。このような有理媒介変数表示は、初めの方の射影座標はこの媒介変数表示の分子と等しいと置き、最後の座標は表示の共通分母ととることにより射影空間内で考えることができる。この助変数が射影直線上定義されているのと同じく、この助変数に関する各多項式も斉次化を考えるべきである。つまり、例えば上記の楕円に関する射影的媒介元数表示はとなる。これら方程式からとをすれば、楕円の射影的方程式が回復される(この式自体は上記の楕円の方程式を斉次化すれば直接に得られる)。に挙げられている多くの曲線が有理曲線であり、したがって同様の有理媒介変数表示を持つ。楕円曲線.