これをの上のガロア群、または多項式のガロア群と呼ぶ。仮に多項式の根が係数の加減乗除やべき根による式で表せていたとすると、その式のうち一部分で表される数から生成するような体を考えることができる。こうして得られる体はを含んでに含まれる体(の部分拡大)となる。このとき、ガロア理論の主定理によってこの部分拡大をちょうど不変体にするようなの部分群が存在する。の元の乗根は個あるが、それらすべてで生成されるようなの部分体は重要な役割を果たす。より一般に、体の拡大において、ある体上で既約な多項式の分解体となるという性質を正規性といい、中間体の正規性はガロア群の部分群が正規部分群であることに対応している。例えば、の正規部分拡大のうちでの特定の元のべき根によって生成されるものの対称性を表す群は巡回群になる。がのべき根拡大になっているかどうかは群が可解群になっているかどうか。このようにして分解体の自己同型を調べることで方程式の可解性について考察することができる。一方、最も一般的な設定の下では群は次の対称群になる。より発展的な定式化.抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。この二つを満たすような拡大はガロア拡大()と呼ばれる。一般に体の有限次分離拡大の「合併」としての分離閉包が考えられる。の正規部分拡大の自己同型での元を固定しているもの全体はに含まれるの有限次分離拡大のガロア群の射影極限となっている。は各点収束の位相について位相群となり、の中間体のなす系と、の閉部分群たちのなす系との間に同値性が成り立つ。体に対しその絶対ガロア群が推移的かつ連続に作用する有限離散空間が与えられたとする。このときからへの写像の空間に対するの作用逆問題.ガロア理論の基本定理.体を体の有限次ガロア拡大とする。「との中間体」と「の部分群」について次の式が成立つ。ただし、は拡大のガロア群であり、はの作用で不変なの元を集めたの部分体を指す。