抽象代数学における直和(ちょくわ、)は、いくつかの加群を一つにまとめて新しい大きな加群にする構成である。加群の直和は、与えられた加群を「不必要な」制約なしに部分加群として含む最小の加群であり、余積の例である。双対概念であると対照をなす。ベクトル空間とアーベル群に対する構成.まずこれら二つについて、対象が二つだけの場合と仮定して構成を与え、それからそれらを任意の加群の任意の族に一般化する。一般的な構成の重要な部分は、これら二つのケースを深く考えることによって、よりはっきり浮かび上がってくるだろう。この構成はただちに任意の有限個のベクトル空間に一般化する。これはベクトル空間の直和に対するスカラー倍と同様の定義である。この構成は直ちに有限個のアーベル群に一般化する。加群の任意の族に対する構成.内部直和.普遍性.双対的に、直積は積である。付加的な構造をもった加群の直和.古典的なテクストには、さらに体上の多元環の直和の概念を導入するものもある。しかしながらその構成は、多元環の圏における余積ではなくて直積を与えるものになる(次の節の注意を参照、あるいは自明でない単位的環の無限族に加法群としての直和をとり成分ごとの積を入れたものは単位元を持たないことを想起せよ)。多元環の直和.多元環との直和とは、ベクトル空間の直和に積をで入れたものをいう。これらの古典的な例を考えよう:合成代数.合成代数は体上の多元環,対合および「ノルム」からなる。任意の体に対して、と自明なノルム(つまり)から始まる合成代数の系列が生じてくる。この系列は、多元環の直和を作って新たな対合を入れるという帰納的な手続きによって得られる。によって定めたものをいう。例えば、添字集合をにとりであれば、直和はノルムが有限となる実数列全体の成す数列空間である。双線型形式付き加群の直和.で定義される双線型形式をもったものを言う。ここで、上記の和に非零の項は有限個しか現れないから、この和は添字集合が無限集合であっても意味を成す。また、複素係数の場合には双線型を半双線型に置き換えて同様のことができる。ヒルベルト空間の直和.前節と同様の仕方で、有限個のヒルベルト空間が与えられたとき、を内積として直交直和が定義できる。