より一般に、(ある関係に関して)同値なものを(別の関係に関して)同値なものへ写す写像を考えることができて、そのような写像をからへの準同型(あるいは射)などと呼ぶ。商集合.集合の同値関係から定まる同値類すべてを集めた集合のことを、集合を同値関係で割った集合、あるいはのによる商集合であるといい、と表す。集合の元に対してそれが属する同値類を対応させることにより、から商集合への自然な全射が与えられる。これを同値関係に付随する商写像や標準射影という。類別.これが同値関係と類別の間の基本的な結果である。同値核.で定義される関係を言う。同値関係の比較.同値類の言葉で言えばそれゆえ、に関する任意の同値類はに関する同値類の合併になる。すなわちとも言い換えられる。商集合の例.整数全体のなす集合に、との差がの倍数であるときまたそのときに限ってという関係を決めると、これは同値関係になる。この商集合は普通と書かれて、自然に演算が定義できて、加法に関するアーベル群、さらに乗法をいれて可換環になる(剰余類環)。またが素数のときは体(有限体)になる。同様の例として、商線型空間(商ベクトル空間)、剰余群(剰余類群、商群)、剰余環(商環)、商位相空間などはそれぞれ適当な同値関係による商集合(に適切な構造を付与したもの)として定義される。ユークリッド関係.ユークリッドの著『原論』にはという公理がある。今日において、上の公理の「等しい」という部分をすべて「関係する」と書き換えた性質を満足する関係はであると言われる。二項関係に関して一般にははと相異なるから、ユークリッド関係もの二種類が考えられる。ユークリッド関係と同値関係との関係は以下のように述べることができる:証明は以下のようにすればよい。右ユークリッド関係についても同様。ゆえに、同値関係は反射的かつユークリッド的な二項関係として特徴づけられる。一般化.集合上に同値関係が与えられたとする。とおき、写像を,で定義すると、商集合と標準射影の組は集合の圏におけるとの余等化子である。非ユークリッド幾何学