逆には、が内の任意の球面上の平均と一致するならば、は調和関数となる。ディリクレ問題とランダムウォーカー.平均値の性質から、点における調和関数の値は、点から出発したランダムウォーカーが領域の境界に到達したとき、到達した点での調和関数の境界の期待値に対応していることが分かる。逆に、任意のディリクレ境界条件に対して、任意の点の調和関数の値を見積もるには、を出発して到達した点での境界値の算術平均をとればよい。最大値原理.が存在すれば、は定数関数となる。この性質を調和関数の強最大値原理と呼ぶ。最大値原理の直接的な応用としては、ポアソン方程式の境界値問題における解の一意性の証明がある。の有界な開集合とその境界において、とを与え、ポアソン方程式の境界値問題を考える。この境界値問題の二つの解に対し、差を取ったものは調和関数であり、最大値原理より、その最大値、最小値はゼロとなる。すなわち、二つの解は一致する。正則性.一般化.弱調和函数.函数(あるいはより一般にシュヴァルツ超函数)がラプラス方程式の弱解(シュヴァルツ超函数の意味での解)となるときであるという。弱調和函数は殆ど至る所真の調和函数に一致し、特に滑らかである。弱調和超函数とは、真の調和函数に同伴するシュヴァルツ超函数のことであり、従ってこれもまた滑らかである。これラプラス方程式に関するワイルの補題という。このほかにもラプラス方程式の弱バージョンで有用なものがたくさんある。そういったものの一つはディリクレの原理で、これはソボレフ空間に属する調和函数をディリクレエネルギー積分を局所変分に関して最小化するものとして表現する。すなわち、調和函数は、任意のに対して(あるいは同じことだがに対してを満たす。多様体上の調和函数.任意のリーマン多様体上の調和函数は、を用いて定義することができる。すなわち、この文脈における函数が調和であるとはラプラス・ベルトラミ作用素に関する方程式を満足することを言う。