で与えられる。の元に対して、右辺の積分が存在することはコーシー・シュヴァルツの不等式から示されるから、これは確かに内積を定義している。このように定義された内積に関しては実は完備になる。積分がルベーグ積分であることは完備性を保証するために本質的である。例えば、実数からなる領域上でリーマン可積分関数を考えるのでは十分でない。多くの自然な設定の下でルベーグ空間を考えることができる。およびをそれぞれ実数直線および単位閉区間上で定義される(ルベーグ測度に関する)自乗可積分関数全体の成す空間とすると、それぞれの自然な定義域上でフーリエ変換とフーリエ級数が定義できる。別な状況では、実数直線上の通常のルベーグ測度ではない何か別の測度を用いることもある。例えば、任意の正値可測関数をとり、区間上の可測関数でで与えられる。重み付き空間はヒルベルト空間に等しい。ただし測度は可測集合に対してを満たすものと定める。このような重み付き空間は直交多項式を調べるのによく用いられる(これは種々の直交多項式系は、それぞれ別な重み関数に関する意味で直交することによる)。ソボレフ空間.で与えられる。ただし、右辺のドット積は各階の偏導関数全体の成すユークリッド空間におけるドット積である。が整数でない場合にもソボレフ空間は定義できる。ソボレフ空間は、(ヒルベルト空間のより具体的な構造に依拠する)スペクトル論の観点からも研究される。適当な領域に対してソボレフ空間を全体の成す空間として定義することができる。これはだいたいのようなものである。ここではラプラス作用素、はによって捉えることができる。非負整数に対するソボレフ空間の意味のある定義を与える必要があることをひとまず置いておけば、ソボレフ空間の定義はフーリエ変換のもとで特に望ましい性質を持ち、擬微分作用素の研究に対して理想的である。これらの方法をコンパクトリーマン多様体上で用いれば、例えばホッジ理論の基礎を成すホッジ分解が得られる。正則関数の空間.