エルミート行列に限らない一般のレイリー商の値域はと呼ばれる(あるいは関数解析学においてはスペクトルという)。エルミート行列のレイリー商について、その数域はスペクトルノルムに等しい。関数解析学においては、はスペクトル半径として知られる。代数や代数的量子力学の文脈では、固定されたと代数上で動くに対するレイリー商を、の代数上のベクトル状態と見なすことがある。エルミート行列の境界.エルミート行列の固有値と固有ベクトルの間の関係はである。上で述べたとおりに対するレイリー商は実数で、その範囲はの固有値の最小値と最大値の間となる:このことは、ベクトルがの固有ベクトルによって展開できることから示すことができる。を規格化された固有ベクトル(:クロネッカーのデルタ)で以下のように展開する:展開係数は固有ベクトルとの内積である。の固有ベクトルによる展開をレイリー商に適用すれば、レイリー商がの固有値の重み付き平均に等しくなることが示される:重み付き平均の形から、レイリー商の値域とその境界が固有ベクトルによって定められることが確認できる。レイリー商が固有値の重み付き平均に等しいという事実から、すべての固有値を特定することができる。それぞれの固有値がと降順に並べてあるとすると、が基底に直交するという条件の下では、であり、レイリー商の最大値はとなる。またこのときである。ラグランジュの未定乗数法による導出.レイリー商に関する関係はラグランジュの未定乗数法を用いても導くことができる。問題はなので、停留点において未定乗数はの固有値で、は対応する固有ベクトルであり、レイリー商は一般化.レイリー商の一般化として以下のようなものがある。与えられた行列の組および零でないベクトルに対する一般化されたレイリー商は以下のように定義される:一般化されたレイリー商は狭義のレイリー商へ簡約することができる。ここでであり、は正定値エルミート行列のコレスキー分解である。与えられた零でないベクトルの組およびエルミート行列に対する一般化されたレイリー商は次のように定義される:これはの場合に狭義のレイリー商と一致する。ルイ・ステール略歴.ベーシックロールプレイング東員町総合文化センター歴史.