これはユークリッド空間の例を一般化するものである(実数の直積にユークリッド距離を入れたものは距離空間である)。一般の位相空間の場合.一般の位相空間において、開集合としてはほとんど何でもありで、下敷きにする集合が同じであっても開集合族として選ぶものが異なれば、位相空間としては異なるものとなる。集合とその上の部分集合族に対し、が上の位相または開集合系であるとは、に属する集合を開集合と総称する。このような開集合の位相的定義は距離空間における開集合の定義を一般化するものである。距離空間において上のように開集合を定義すれば、その開集合全体の成す族はその距離空間上に位相を定める。したがって、任意の距離空間は自然な仕方で位相空間となる。しかし、任意の位相空間は距離空間になるとは限らない。性質.開集合からなる有限または無限個の族の合併は、ふたたび開となる。有限個の開集合からなる族の交わりは開集合である。開集合の(位相の定義された全体空間に対する)補集合は閉集合と呼ばれる。開でも閉でもある集合(開かつ閉集合)も存在しうる。空集合および全体空間は開かつ閉集合の例となる。使用.開集合は位相空間論において基礎を成す重要性を持つ。開集合は位相空間やほかの位相的構造の定義に用いられ、近さの概念や距離空間や一様空間などの空間における収束性に意味を持たせる。位相空間の任意の部分集合は必ず開集合(空集合でもよい)を含むが、そのような開集合の中で最大のものはの内部と呼ばれる。の内部はに含まれる開集合すべての合併をとることで構成できる。が位相空間であるとき、写像が連続であるとは、の任意の開集合の逆像がの開集合となるときに言う。が開であるとは、の任意の開集合の像がの開集合となるときに言う。実数直線上の開集合は、それが可算個の開区間の非交和となるという性質によって特徴付けられる。注意.位相が違えば開かどうかも変わる.与えられた集合が開集合かどうかは考えている位相に依存するが、「位相を備えた集合」に言及する際に、「位相空間」と言わずに「位相空間」と略すことがある。