数学における層(そう、,)とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される。層は局所と大域をつなぐことばであり、装置である。層のことばを使って多様体やリーマン面などの幾何学的対象が定義できる。曲面の向きや微分形式も層のことばで定義できる。例として、位相空間上の連続関数を考える。位相空間の各集合に対しそこで定義された連続関数の環が定まり、開集合の包含関係に対し定義域を制限することで定まる写像は環の射である。より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層(ぜんそう、)とよばれる。定義.前層.層.をすべてのに対して満たすものが存在する(閉条件)ようなもののことをいう。射.発見的な方法でいうと、層の射は層の間の写像のようなものである。しかし、層は位相空間の各開集合に対するデータを含んでいるので、層の射は、各開集合上の写像の整合性条件を満たす集まりとして定義される。層の茎.茎の別の定義方法は、多くの状況下で、層の茎を知ることは、層自身を知るに充分である。例えば、層の射が単射、全射、あるいは同型射であるか否かは、茎の上で調べることができる。のような構成においても、茎が使われる。エタール束.局所同相写像は上のエタール束とよばれる。上の層と上のエタール束の間には自然な対応がある。エタール束に対応する層は各開集合に対してその上のへの切断の空間を与え、開集合の包含関係に対して切断の制限写像を対応させることで定義される。の点について、茎はにおけるの逆像と自然に対応する。例.同様に、複素多様体に対しその上の正則関数のなす層を考えることができる。空間の復元.前層の層化.層化の構成には何通りかの方法がある。たとえば層に付随するエタールバンドルの構成を前層に対して同様に実行することでエタールバンドルが得られ、このエタールバンドルに付随する層を考えることで層化が得られる。歴史.ウォーレス・サージェント賞歴・エポニム.藤井大丸概要.