このような座標に依らない記述法は、テンソルが自然に現れる抽象代数学およびホモロジー代数においても重々用いられる。一方、物理学において慣例的に用いられる座標に基づくテンソルの添字表記法は、テンソル空間の元を、台となるベクトル空間の基底とその双対空間の双対基底を用いてと展開するときの、スカラー成分として理解することができる(擬テンソルなどはこの構成に含まれず一般テンソル空間を考える必要がある)。定義.共通の体上のベクトル空間の有限集合が与えられたとき、それらのテンソル積はふたたび上のベクトル空間であり、またその元はテンソルと呼ばれる。特に一種類のベクトル空間から作られるテンソル積空間を上のテンソル空間と呼び、その元(ベクトル)をベクトル空間上のテンソルと言う。ここにはの双対空間である。普遍性.テンソル空間は多重線型写像を用いた普遍性によって特徴づけることができる。それによって、多くの線型写像が「自然」あるいは「幾何学的」(つまり基底の取り方に依らない)ことを示す手段が与えられるという点で、この特徴付けは優位である。また、テンソル積は自由加群に対してのみ用いるものではないが、普遍性を用いる方法によればより一般の場合にまで容易に持ち込めるという側面もある。ベクトル空間の直積(あるいは直和)上で定義された実数値函数に対して線型写像が一意に存在して、任意のおよびに対してが成り立つ。が得られる。特に、,,が成り立つ。テンソルの階数.に書けるならば、は階数である。より一般に、行列の階数はこのような二項積の和として表すことができるときの右辺の項数の最小値に等しいのであった。同様に階数のテンソル(単純テンソル)はまたはの非零な元を用いての形に表されるテンソルを言う。これはつまり非零な完全分解可能テンソルである。添字記法で書けば、階数のテンソルとはなる形のテンソルということになる。任意のテンソルは単純テンソルの和に書くことができ、一般のテンソルの階数はそれを単純テンソルの和に表すときの項数の最小値として定義される。