法が素数でない場合の合同算術はより複雑なものとなるが、その構造を明らかにするのに中国の剰余定理が利用できる。この場合の合同類環は整域を成さず、零因子(それ自身は非零だが、ほかの非零元に掛けると零になる元)が存在する。この環における可逆元の数はオイラー数で与えられ、例えば一般化されたフェルマーの小定理が成り立つ。多項式の割り算.ガウスは有理係数多項式の集合にも(そこでは加法、乗法およびユークリッド除法ができるから)合同算術の論理を持ち込めることを指摘している。多項式の合同は、特定の多項式によって多項式を割った剰余によって与えられる。ガウスはそのような方法論を円分多項式と呼ばれる多項式に適用してその既約元分解を得ている。またガウスはその結果を以って正十七角形の定規とコンパスによる作図を発見した。ガウスはこれらの業績を算術と看做すことを躊躇っており、と記している。この論法の論理は今日も有効である。代数的整数.整係数多項式の場合は少し事情が異なり、除法がうまく行くには最高次係数がでなければならない。多項式を法とする算術を考えれば、その商構造はやはり環を成し、整数と虚数単位に対しての形に書ける数全体の成す集合と同一視することができる(と単項式が対応する)。このような数の集合はガウスの整数環である。ガウス整数環はノルムを考えることができる。ガウス整数には(複素数の絶対値から導かれる)ノルムが割り当てられる。このノルムを用いて(右図のように)ユークリッド除法が定義できる。ガウス整数はガウス平面上の(成分が整数の)格子点として表すことができることに注意する。ガウス整数の複素数としての商はが非零ならば存在するが、それは必ずしもガウス整数ではない。ユークリッド除法が可能であるというのは、との差のノルムが最小となるガウス整数がただ一つ存在するということである(右図ではその候補が少なくとも三点、一般には一点から四点の候補が考えられる)。ディリクレ指標.ディリクレは互いに素な整数と正整数を亙る変数に対しての形に書ける数について注目し、このような数の世界における素数が実際に無数に存在することを示そうと試みた。そのような問題に対して合同算術は有効な道具であり、それはつまり剰余類における素数全体の成す集合の濃度を知ることに同じである。