ガウス積分(ガウスせきぶん、)あるいはオイラー=ポアソン積分(オイラーポアソンせきぶん、)はガウス関数の実数全体での広義積分:のことである。名称は、数学・物理学者のカール・フリードリヒ・ガウスに由来する。この積分の応用は広い。例えば、変数の微小変化に伴う正規分布の正規化定数の計算に用いられる。積分の上の限界を有限な値に替えることで、誤差関数や正規分布の累積分布関数とも深く関連する。ガウス積分は物理学で非常に頻繁に現れ、またガウス積分の様々な一般化が場の量子論に現れる。積分値の計算.極座標を用いて.ガウス積分を求める標準的な方法として、以下のアイデアはポアソンまで遡れる:と計算できる。後者ではなる置換を行って、となることを用いている。さてこれらの結果からであり、符号を考慮してを得る。上記の考察において、広義二重積分や二つの式を等しいとおいたことに対する正当性を再考しておこう。まずは近似函数を考える。求めるガウス積分が絶対収斂ならば、それはコーシー主値、即ちなる極限によって求められることになる。これを見るには、が成り立つという事実を確かめればよい。故にの平方をとればに等しいことが確かめられる。ただし、積分域はを頂点集合とする正方形である。指数函数は全実数に対して正の値を取るから、上記の積分域の内接円上での積分はよりも小さく、同様に外接円上での積分はよりも大きい。これら二つの円板上での積分は、直交座標系から極座標系へなる標準的な変換でうつれば容易に計算できるから、積分を実行してなる評価を得ることができる。なる極限をとれば、はさみうちの原理によって等式が正当化できる。直交座標を用いて.と置くと、をへ近づけるときの極限はの符号で決まるから、が偶函数ゆえに実数全体にわたる積分が正の実数全体にわたる積分の倍となること、つまりであることを利用すれば計算が簡単になる。即ち、積分範囲をに限れば、変数ととは同じ極限を持ち、が成り立つ。故にとなり、所期のを得る。ウォリスの公式を用いて.ウォリス積分における公式を用いて証明することができる。ガンマ関数との関係.被積分関数が偶関数ゆえが得られる。ここではガンマ関数。この式は、半整数値の階乗がの有理数倍となる理由を示している。より一般に、