点列コンパクト性の事を点列に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラス性とも言う。}}コンパクトと点列コンパクトの同値性は擬距離空間でも成立するが、無条件には成立しない。点列コンパクト性に関する詳細は後述する。有限次元ベクトル空間におけるコンパクト性.距離空間においてはコンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事をユークリッド空間に適用すると、以下の系が従う:より正確に言うと有限次元のユークリッド空間や完備リーマン多様体の部分集合に対しては、有界性と全有界性が同値であり、完備性と閉集合である事が同値である。これらの事実は簡単に証明できる。一様空間への一般化.コンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事は距離空間よりも一般的な一様空間でも成立する:一様空間の定義は当該項目を参照されたい。一様空間における全有界性と完備性は以下のように定義される:擬距離化可能空間においてコンパクト性は以下のようにも特徴づける事ができる:無限次元空間におけるコンパクト性.すでに述べたように、有限次元ベクトル空間やより一般に有限次元の完備リーマン多様体の部分集合に対してはコンパクト性は有界閉集合と等しい。一方無限次元の空間の場合は、どのような空間にどのような位相を入れるかにより結論が異なる。無限次元ベクトル空間.ノルムから位相を入れた場合.ノルムから位相を入れたベクトル空間(ノルム空間)に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う:から定まる距離を入れた空間の閉単位球はコンパクトではない。実際、とすると(ここではクロネッカーのデルタ)、*弱位相の場合.一方、無限次元空間であってもノルムから定まる位相以外の位相に関しては閉単位球がコンパクトになる事もある:ここでノルム空間の双対空間は上の値連続線形写像全体を関数としての和と定数倍によりベクトル空間とみなしたものであり、*弱位相とはに対し、とするとき、が全て連続になる上の最弱の位相の事である。なおは作用素ノルムによりノルム空間とみなせ、上記の定理で言う「閉単位球」はこのノルムに関する閉単位球の事である。