を満たす零ベクトルでないベクトルとスカラーが存在するとき、をの固有ベクトル(右固有ベクトル)、をの固有値と呼ぶ。線型変換の固有値に対するその固有ベクトルおよび零ベクトルは部分線形空間をなし、これを固有空間という。固有値の固有空間は次の式で表せる(は核、は恒等変換を表す):固有多項式.体の元を成分とする次正方行列の固有値は、体上に存在するとは限らない。このことを含めて、固有値は、次のようにして求めることができる。の固有値が満たすべき条件は、を満たすが存在することである。ただし、は単位行列である。線形方程式・行列式の理論より、この条件はとなる。この方程式のことを固有方程式(または特性方程式)という。固有方程式はについての次代数方程式であり、は、この方程式の解として、重複度(代数学的重複度)を込めて(基礎体の代数的閉包上)個の固有値を持つことが分かる。特に行列が実対称(あるいはエルミート)の場合、固有方程式は永年方程式とも言われる。が大きければ固有値問題は数値的対角化手法(→ヤコビ法、ハウスホルダー法など)によって解くこととなる。行列が実対称やエルミートでない場合は、これを解くことは一般に難しくなる。例.例えば、三次元内の回転変換の固有ベクトルは回転軸の中にある。この変換の固有値はのみで、固有値はの固有空間は回転軸である。固有空間が一次元であるから、この固有値の幾何的重複度はであり、スペクトルは実数である固有値唯一つのみからなる。別の例として、右のモナ・リザの画像の変形のような剪断変換の正方行列を考える:まず、この行列の固有多項式を求める。故に、この行列の固有方程式はの解全体である。この方程式の解空間は、となる。ここでは任意の定数である。つまり、この形に表される(この場合、真上または真下を向いている)ベクトルで零ベクトルでないものは全てこの行列の固有ベクトルである。その他の例.定常波では、ひもの加速度とひもの変位が常に一定の比例係数で比例する。その比例係数が固有値である。その値は、角振動数をωとすると、−ωに等しい。定常波は時間とともに正弦的な振幅で伸縮するが、基本的な形は変わらない。正定値と半正定値.