対角化可能でない行列の場合にはジョルダン標準形が利用できる。すべての固有値が正の実数であるような任意の複素行列が、同じ条件の平方根を持つことを見るには、ジョルダンブロックの場合に証明すれば十分である。そのようなブロックは実数および冪零行列を用いての形に書ける。平方根の二項級数展開(収束域は)に対し、形式冪級数としての平方はに等しい。をに置き換えれば、冪零性により有限個を除く全ての項は零となり、が固有値に属するジョルダンブロックの平方根を与える。一意性を見るにはの場合に確認すれば十分である。上で構成した平方根をの形に書けば、は定数項を持たないの多項式である。固有値が正の実数となる他の任意の平方根はの形でが冪零かつと(したがってと)可換となるようにとれる。しかしこのときであり、またとの可換性によりは冪零ゆえは可逆(逆行列はノイマン級数で与えられる)となるから、したがって.すべての固有値が正の実数であるような行列の最小多項式をとするとき、の一般固有空間へのジョルダン分解はの部分分数分解から導かれる。すなわち、対応する一般固有空間の上への射影はの実係数多項式として与えられ、各固有空間上では上記の通りの形をしている。固有空間上での平方根の冪級数展開は、の主平方根が実係数多項式に対するの形をしていることを示すものである。現実的な計算法.「対角化」の方法でも「ジョルダン分解」の方法でも、すべての固有値を算出することが必要となるが、それは行列の特性方程式(あるいは最小方程式)のすべての解を求めることと同じであり、行列の次数が大きくなれば非現実的となる。このため、現実的な平方根の求め方が必要となる。行列対数関数、行列指数関数による求め方.この方法は、固有値を全て求める必要がないこと(「全ての特性根の実数部分が正」という条件は、特性根を全て求めなくても、十分条件がいくつか知られている)、収束計算が速いこと、対称行列に限らず一般の行列に利用可能であることなど、現実的かつ速い計算方法になっている。ニュートン法.対称行列(エルミート行列)に限定した議論.以下では、対称行列(あるいはエルミート行列)に限定した行列の平方根についての性質を示す。