射影ユニタリ表現による解決方法は、物理的に意味を持たないフェーズで同一視した事を除けば、他のオブザーバブルと類似した形式でスピン角運動量演算子を記述できるため、後述するもう一つの解決と比べ、その物理的意味がわかりやすい事が利点である。スピン群を用いた解決方法.したがって以下、特に断りがない限りとを同一視する。スピン群の定義より、回転行列は何らかのスピン群の元を用いてと書くことができる。これはすなわち、回転行列を直接扱う代わりに、スピン群の元により回転が記述可能な事を意味する。そこでのユニタリ表現の代わりにのユニタリ表現を考える。のユニタリ表現と違い、のユニタリ表現は以下を満たす:よってのユニタリ表現の代わりにのユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。詳細は後述する。スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記.以上の議論により、を用いる事でスピン角運動量を定義できる事がわかった。そこで本節では、スピン角運動量の定義に必要となるなどを具体的に書き表す。ただし本節ではとに関しては最も重要なの場合を述べるに留める。それ以外のに関しては後の章を参照されたい。スピンの場合のとの具体的表記.の部分集合である。したがってと定義すると、包含写像はの元の上のユニタリ表現になっている。このユニタリ表現が、で述べた既約ユニタリ表現のの場合に相当している。すなわち、無限小変換の集合の具体的表記.軌道角運動量を定義する際の無限小変換の集合が必要になったのと同様の理由で、スピン角運動量の定義にはの「無限小変換」全体の集合を用いるので、本節ではその具体的形と基本的な性質を調べる。()、()より、である。上に内積次にの基底について述べる。パウリ行列をにより定義し、の元をにより定義すると、()、()より次が成立することがわかる。は上の正規直交基底である。...()と定義すると、写像ここで「」はクロス積であり、は交換子積である。の元の具体的表記.は、の実数を用いてと書き表すことができる事が簡単な計算から従う。一方、を単位ベクトルとし、パウリ行列を使ってと定義すると簡単な計算により、がわかる。よって行列に対する指数関数を()式のように定義すると、に対し、が従う。