位相群の位相空間への(連続)作用は、のへの群作用であって、対応する写像が連続となるものをいう。同様に、位相群の実または複素線型空間における表現(線型表現)は、のへの連続作用であって、各に対する写像が上の線型変換となるものを言う。群作用および表現論は特にコンパクト群に対してはよくわかっており、それはの内容を一般化するものになっている。例えば、コンパクト群の任意の有限次元表現は既約表現の直和である。また、コンパクト群の無限次元ユニタリ表現は、ヒルベルト空間として既約表現(これらはすべて有限次元)の直和に分解することができる。これはの一部である。例えば、フーリエ級数論が述べるのは、円周群の複素ヒルベルト空間におけるユニタリ表現の分解である。の既約表現はすべて一次元であり、適当な整数に対するの形をしている(ここでは非零複素数の成す乗法群の部分群と見ている)。これら既約表現はに各々重複度で現れる。全てのコンパクト連結リー群の既約表現は、分類が済んでいる。特に各既約表現の指標はワイルの指標公式で与えられる。局所コンパクト群の既約ユニタリ表現は無限次元となり得る。表現論の大きな目標は、(許容表現)のに関係して、半単純リー群に対するユニタリ双対(既約ユニタリ表現全体の成す空間)を求めることである。ユニタリ双対は、など多くの場合について知られているが、全てではない。局所コンパクトアーベル群に対しては、任意の既約ユニタリ表現は一次元である。この場合、ユニタリ双対は群となり、実は局所コンパクトアーベル群になる。ポントリャーギン双対性とは、局所コンパクトアーベル群に対してのユニタリ双対がもとの群に等しいことを述べるものである。例えば、整数の加法群の双対群は円周群であり、実数の加法群の双対群はに同型である。任意の局所コンパクト群は十分多くの既約ユニタリ表現を持ち、例えばの任意の点を区別することができる()。対照的に、局所コンパクトでない位相群の表現論は、特別な場合を除きほとんど発展しておらず、おそらく一般論を期待するのは妥当でない。例えば、アーベルなでそのヒルベルト空間上の任意の表現が自明となるものはたくさんある。位相群のホモトピー論.一般化.位相群の様々な一般化が、連続性条件を緩めることによって得られる。