函数自体だけでなくその導函数にも有界性条件を課すことでソボレフ空間の概念が導かれる。ヒルベルト空間.完備な内積空間はヒルベルトに因んでヒルベルト空間()と呼ばれる。自乗可積分函数の空間にで定義される内積(ただしはの複素共軛とする)を入れたものは主要なヒルベルト空間の例である。様々な微分方程式に対して、その解をヒルベルト空間の言葉で解釈することができる。例えば物理学や工学におけるかなり多くの分野でそのような方程式が導かれ、特定の物理的性質を持つ解が(しばしば直交する)基底函数族としてよく扱われる。物理学からの例として、量子力学における時間依存シュレーディンガー方程式は、その解が波動函数と呼ばれる偏微分方程式として、物理的性質の時間的な変化を記述する。。エネルギーやモーメントのような物理的性質に対する明確な値は、ある種の線型微分作用素の固有値とそれに属する固有状態と呼ばれる波動函数に対応する。スペクトル定理は、函数に作用する線型コンパクト作用素を、それらの固有値と固有函数を用いて分解することを述べるものである。体上の多元環.可換多元環は一変数または多変数の多項式環を使ってたくさん作れる。可換多元環の乗法は可換かつ結合的である。これらの環およびその剰余環は、それが代数幾何的対象上の函数の環となることから、代数幾何学の基礎を成している。別の重要な例はリー環である。リー環の乗法(の積をと書く)は可換でも結合的でもないが、そうなることは制約条件テンソル代数は任意のベクトル空間に積を導入して多元環を得るための形式的な方法である。はベクトル空間としては、単純テンソルあるいは分解可能型テンソルと呼ばれる記号応用.