の元は全単射であるから逆写像が存在して、これが写像の合成に関する逆元を与えるから、このがにおけるの逆元であり、の逆置換などと呼ばれる。の単位元はどの元も動かさない恒等変換であり、これをなどで表して恒等置換などとも呼ぶ。巡回置換.に属する置換は、上のある全単射と、あるに対しの形(ここではの形で得られないようなの元全てについてである)に書けるならば巡回置換と呼び、で表す。このときはによって一意に定まり、巡回置換の長さと呼ばれる。ふたつの巡回置換が互いに素であるとは、それらが共通の文字を含まないことを言う。互いに素な巡回置換は互いに可換である。任意の置換は互いに素な巡回置換の積に順序を除いて一意的に分解することができる(ただし、「個の積」は恒等置換、「個の積」は自分自身という意味でいう)。互換.互換のうちの形で表される互換を基本互換あるいは隣接互換と呼ぶ。任意の置換は実は隣接互換の積に分解できる。つまり、対称群は隣接互換で生成される。における隣接互換は組み紐関係式を満たし、組み紐群を生成元が対合となるという関係式置換の符号.はから位数の群への準同型を定めており、二つ目の定式化からも明らかなように交代群はこの符号写像の核として特徴づけられる。共役類.群に関する基本的な問題としてその共役類の分類が挙げられるが、対称群における共役類はのへの自然な作用に関する軌道の形によって分類される。実際、とがの元ならばとは同じ軌道の形を持っており、逆にとが同じ軌道の形を持つならば適当なについてとなっている。これはすなわち、任意の置換を互いに素な巡回置換の積として表したとき、現れる巡回置換の長さが重複度を込めて一致しているような置換は同じ共軛類に入り、またその逆も成り立つということである。たとえば、でのとき、の軌道は()であり、一方の軌道は()で、どちらも一つの元からなる軌道を一つと二つの元からなる軌道を一つ持っている。