を(必ずしも単位的でない)環とする。の空でない左イデアルの族の交わりはまた左イデアルになる。の任意の部分集合に対し、のを含む任意のイデアル全ての交わりはやはりを含む左イデアルであって、また明らかにそのようなイデアルの中で最小である。このイデアルをによって生成された左イデアルと呼ぶ。左イデアルの代わりに右イデアルもしくは両側イデアルをそれぞれ考えることにより、それぞれ同様の概念が定義される。が単位的ならば、の部分集合が生成する左、右、両側イデアルは内部的な演算によって記述することができる。即ち、の生成する左イデアルはによって与えられる。実際これが左イデアルを成し、これらの元がを含む任意のイデアルに属することは明らかであるから、確かにこれはの生成する左イデアルである。同様にの生成する右、両側イデアルはそれぞれによって与えられる。の左イデアルがの有限集合によって生成されるならば、イデアルは有限生成であるという。有限集合で生成される右イデアル、両側イデアルについても同様である。生成系がの適当な元のみからなる単元集合とすると、の生成する各イデアルは簡単にと言う形に書くことができる。これらはによって生成される左、右、両側の主イデアル(単項イデアル)と呼ばれる。の生成する両側イデアルを簡単にと書くことも広く行われている。イデアルの演算.を環の左(右)イデアルとする。の和をで定義すると、これはを含む左(右)イデアルのうち最小のものである。また、との積集合はに含まれる左(右)イデアルのうち、最大のものである。しかし、和集合は必ずしもイデアルにならない。とが共に両側イデアルのとき、それらの積をで定義すると、これはまた両側イデアルであり、に含まれる。積の定義は、単なるの元との元の積ではなく、その有限和全体の集合であることに注意する必要がある。これらの間の包含関係をまとめると次のようになる。ただし、最初の包含関係は、が両側イデアルの場合である。イデアルの種類.イデアルの重要性は、それが環準同型の核となることであり、また剰余環を定義することができることにある。異なる種類の剰余環が定義できると言うことに従って、様々な種類のイデアルが考えられる。