実変数実数値の函数と見た自然対数函数は自然指数函数の逆函数であり、それは二つの恒等式との成立を意味する。他の任意の対数がそうであるように、自然対数はなる意味で乗法を加法へ写す。これにより自然対数函数は正の実数の乗法群から実数の加法群への写像として群の準同型になる。以外にも、任意の正数に対して、それを底とする対数を定義することができるが、そのような対数は自然対数の定数倍として得ることができる(例えば二進対数は自然対数の倍である)し、通常はそうして自然対数から定義される。対数は未知の量がほかの適当な量の冪と見なされる問題を解く際に有用で、例えば指数函数的減衰問題における減衰定数としての半減期を求めるときなどに利用できる。このように対数は、数学や自然科学の多くの分野において重要であり、また金融経済において複利を含む問題にも利用できる。歴史.記法の慣習.「自然」の意味.別な意味で底の対数が最も自然と思わせる理由として、単純な積分やテイラー級数でそれが極めて容易に定義できること(それは他の対数ではできない)が挙げられる。この自然さの更なる意味は、微分積分学の中では見えてこないが、例えば自然対数を含む単純な級数が様々存在することによって知ることができる。とニコラス・メルカトルがそれを「自然対数」()と呼んだのは、ニュートンとライプニッツが微分積分学を繰り広げるよりも、何十年か先んじる。定義.自然対数は直交双曲線の面積として定義される。それは具体的には定積分としてと定めるということである。この函数は対数の基本性質を満足するという意味において対数である。定数はを満足する正数として定義される。自然指数函数が先に(具体的には無限級数として)定義されている場合には、自然対数を自然指数函数の逆函数として定義することもできる。すなわちはを満足する函数である。実数全体で定義された自然指数函数の値域は正数全体の集合に一致し、また自然指数函数は狭義単調増大(ゆえに一対一)であるから、はこの方法で任意の正数に対して矛盾なく定まる。一般化.複素数の対数.でない複素数を極座標表示してと書けたとする。対数関数は指数関数の逆関数なので