不定元(変数)に関する多項式があるとき、このを多項式とみなす限りにおいては、は単なる形式的な記号にすぎず、値を持ったりはしない。その意味で、を「変数」とよぶのは不適切だと考えることもできる。一方で、を多項式関数(後述)とみなした場合はは変数となる。多項式と多項式関数は異なる概念ではあるけれども、両者には密接な関係があることから、多項式についても「不定元」でなく「変数」という言葉を用いる人も少なくない。不定元も参照せよ。記号と.多項式を記号で表す際の記法には、たとえばとのように、不定元を表す文字を添えるものと添えないものがある。これらは両方とも広く用いられる。多項式の演算.加法・乗法・定数倍.となり、積はとなる。である。これらの演算は、多項式,を多項式関数(後述)とみなしたときの、関数としての加法、乗法、定数倍と対応している。また、多項式の乗法は、数列に対する畳み込みとみることもできる。可換環上の不定元に関する多項式全体の集合は、上述の演算によって上の多元環になる。これを(を不定元とする)上の変数多項式環といい、記号で表す。除法.これらの条件をみたす多項式,の組は必ず存在し、しかも一意的である。のことををで割った商、のことを余り(または剰余)という。をで割った余りがのとき、すなわちをみたすが存在するとき、はで割り切れるという。多項式の除法は、より一般の、余りつきの除法の特別な場合とみなすことができる。除法の原理、ユークリッド環も参照せよ。なお、多項式の除法に関する商のほかに、有理式としての商を考えることもできる。両者は異なるものである。微分・積分.で定められる多項式をつくる演算である。のことをの導多項式という。同様にして、多変数多項式についても、各々の不定元に関する微分を考えることができる。実数または複素数を係数とする多項式については、それを多項式関数(後述)とみなして微分することもできるが、上述の多項式としての微分は、この関数としての微分(多変数多項式の場合には偏微分)と対応している。関数としての微分と区別するため、多項式としての微分を形式的微分とよぶことがある。形式的微分には、多項式の係数が実数や複素数でなくても問題なく定義できるという利点がある。