が成り立つ。しかし中心差分法の主な問題は、振動する函数の微分が零ということになってしまう場合があることである。例えば、奇数のに対してかつ偶数のに対してとすれば、中心差分法で計算するととなる。これはの定義域が離散の場合に特に問題になる。「有限差分」を有限差分近似の意味で用いる文献では、「前進・後退・中心差分」は(前節の意味ではなく)本節で言う商として定義される。高階差分.微分の有限差分近似と対応して、高階微分の有限差分近似が得られる。例えば、中心差分の式をとに対して考え、の微分の中心差分近似に適用すれば、の二回微分の近似式としてが得られる。同様にほかの差分公式を繰り返し適用すればで与えられる。上記において、は二項係数である(各に対する係数はパスカルの三角形の各行で与えられる)。中心差分においてはが奇数のときが非整数倍されることに留意すべきである。これは離散化の幅を変えることになるため、しばしば問題になる。この問題はととの平均をとることで除くことができる。これら高階差分と微分との関係はそれぞれ直接的にとなる。高階微分はより良い近似を構成するためにも利用できる。上で述べたように、一階差分近似はのオーダーの項を除いて一階微分を近似するものであるが、高階微分を組み合わせたはとのオーダーの項しか違わない。これを示すには、先述のようにテイラー級数展開してもよいし、後述のように有限差分の汎函数計算を用いてもよい。必要ならば、前進・後退・中心差分を混合して任意の点を有限差分の中心にすることができる。有限差分法.有限差分の重要な応用として、数値解析、特に数値微分方程式論において、常微分および偏微分方程式の数値解を得る目的での利用が挙げられる。これは、微分方程式に現れる微分を、それを近似する有限差分で置き換えるという考え方である。これを有限差分法と呼ぶ。有限差分法は、計算機科学や工学の熱工学や流体力学などといった分野においてよく応用される。ニュートン級数.が任意の多項式函数に対して成立する。これはさらに多くの(全てではない)解析函数でも成立する。ここでは二項係数であり、