と書かれる。しかし、通常はこのような一般的すぎる積の代わりに何らかの対称性を課した対称微分形式や交代微分形式がもちいられる。いずれも、座標のとりかたによらない幾何学的な量を表すものであるが、区別するためにも、このテンソル積の記号はあまり用いられない。対称微分形式は、リーマン計量などを表現するときによく使われ、のような形でテンソル積の記号は省略して書かれる。といった形で指数にして表してしまうこともある。交代微分形式の方は、テンソル積の代わりに外積代数の積としての記号を用いの形に書かれる。交代微分形式は、向きの与えられた幾何学的な量を表している。という関係式を満たしの並ぶ順序の入れ替えに応じて符号が変わる(対称微分形式では符号は変わらない)。こういった符号の反転を内包させることによって積分する変数の「向き」を捉えられることになる。したがって微分形式の積分として得られる面積や体積などの量にも符号が導入され、負の面積や負の体積といったものも現れるが、そうすることによって重積分における座標変換の公式などが、非常に簡明に計算できるようになる。特に何の指定も無い場合、(高次元の)微分形式というと、交代微分形式の方を指すことが多い。この項目でも交代微分形式を中心に扱う。定義.微分形式.の点における次微分形式の値という関数で交代線型性を満たすものになっている。の形に書かれている微分形式は、に対してという値を取るとする。の線型性と行列式の性質から、およびのそれぞれについて多重線型性と交代性が分かる。外微分.が定義される。を対応させる。これは座標系の選び方によらない量になっている。従って多様体全体で定義された関数の外微分も、局所的には上の式によって定義することで、座標系の選択によらない自然な量として定義できる。微分形式に対しては、微分形式を対応させる。これもふたたび局所的な座標系の取り方にはよらず、上の微分形式に対する外微分が考えられることになる。外積の計算.もっと一般に、である。ここで、は置換であり、は置換の符号である。などが成り立つ。微分形式と微分形式の外積は、微分形式となり、交代性からとなることが分かる。特に、が奇数の時はとなりまた、和と積を組み合わせた演算では分配法則