で与えられる。これが所期の結果であった。略証.定義によりが一点で微分可能ならばと書くことができる。ここではランダウの記号でを意味する。このとき、だから、をに近づける極限をとって所期の結果を得る。対数微分と四分平方を使った証明.に対してとがともにの正値函数であるならば、ゆえ、両辺を微分してとなるから、左辺には,右辺にはを掛けると(もちろんなのだから)を得る。微分可能なは連続でなければならないから、正値性に関する仮定は一般性を落とすものでないことに注意せよ。この証明では積の法則より深い結果である連鎖律と自然対数の性質が使われており(とは言っても、対数の微分に関する情報は、を定数としての任意の底に対する対数をで微分してからを一般化することによって知ることができるから、先の証明は証明の一形態として十分に意味を成しうる)、ある意味では分の悪い証明ということになる。一方、この証明では単純明快な代数的操作しかせずに済むので、定義から直接証明するよりも恐らく理解は容易であろう。同様の、しかし(対数の微分ができなくても証明できるという意味で)確実にさらに容易な方法として、(四分の一平方乗算)を用いるものがある。これには、やはり連鎖律と、それから四分平方函数(即ち、)の性質が用いられる。この等式の両辺を微分すれば、を得る。この証明だと先ほどの証明のように函数の値が正か負かというのは問題にならないし、函数の性質も随分容易に示される。これらの証明は函数の値が数値あるいはそれと同様の性質を持つ対象ならば意味を成す。特に行列などは、先ほどの対数のを変化させる方法でに代入することに意味を持たせることができるから、これを適用できる。連鎖律からの導出.多変数の連鎖律の特別な場合として積の法則を捉えることもできる。超準解析による定式化.はの連続函数とし、は超準解析の枠組みにおける無限小、特に超実数とする。標準部函数は有限超実数に対して無限に近い実数を割り当てるものとすれば、と計算できる。(このとき標準部分を取る代わりに)を適用することを考えれば、これは本質的にライプニッツの証明である。滑らかな無限小解析の場合.と計算できる。に注意せよ。一般化.多因子化.