これはニュートンの運動方程式と同等である。運動量.一般化座標に共役な一般化運動量は、ラグランジアンの一般化速度による偏微分によって定義される。これは並進対称性から導かれる保存量である。一般化運動量を用いると、ラグランジュの運動方程式はとなる。ニュートンの運動方程式との比較から、右辺は一般化された力と見ることも出来る。ハミルトン形式では一般化座標と一般化運動量によって記述されている。一般化運動量は正準共役量であり、共役運動量や正準運動量と呼ばれることもある。ラグランジュ関数.ラグランジュ関数(ラグランジアン、)は、物理的な力学系の動力学を記述するために用いられる関数である。の形で書かれる。を行っても全く同じ力学系を表す。この全微分は連鎖律によりとなるので、この変換に対して、共役運動量はと変換される。したがって、新たな共役運動量の時間微分はとなる。一方、一般化された力はと変換される。任意関数に作用する全微分と座標の偏微分が交換可能なので、この変換に対して運動方程式が保たれる。座標変換.で表されるとき、新たな座標の下でのラグランジアンはで与えられ、新たなラグランジアンから導かれる運動方程式はである。このように写像の合成で座標変換を容易に行えることが一般化座標で表されるラグランジュ形式の利点の一つである。座標変換の時間微分は連鎖律によりであるため、新たな座標に共役な運動量はとなる。母関数.座標変換はで定義される母関数により生成される。座標変換はで与えられ、新たな運動量はで与えられる。先の任意関数によるラグランジュ関数の変換を伴う場合の母関数はで与えられる。拘束系.拘束条件が課された系にラグランジュ形式を用いる際に、一般座標を適当に選ぶことによって、拘束条件が常に満たされるようにすることができる。上で挙げた振り子の例であれば、座標変数に角度を選ぶことによって長さが一定という拘束条件が常に満たされるようにしている。これの手法とは別に、ラグランジュの未定乗数法を用いて作用汎関数(ラグランジュ関数)に拘束条件を取り入れる方法がある。一般化座標に対して、拘束条件が課されている場合を考える。このとき、作用はによって拘束条件が取り入れられる。ここで導入されたがラグランジュの未定乗数である。