ベクトル空間では、ノルムの概念を定義する事ができ、ベクトル空間上の距離としてはノルムから定まるものを考える事が多い。本節ではまずノルムの定義を振り返り、ノルムから定まる距離を定義し、その距離から定まる位相の性質を見る。ノルムの定義.まずノルムとは何かを簡単に説明する:が知られている。ここでである。ノルムから定まる距離と位相.により、上の距離が定まる。このようにノルムから距離が定まり、距離から位相が定まるが、ノルムが「同値」であるとそこから定まる位相が同一になる事が知られている:有限次元ベクトル空間の場合.が有限次元の場合は次の事実が知られている:この事実から、有限次元ベクトル空間の場合は、ノルムのとり方によらず同一の位相構造が定まる事がわかる。この位相を有限次元ベクトル空間上の自然な位相、通常の位相等と呼ぶ。無限次元ベクトル空間の場合.また無限回微分可能な写像の空間その他の具体例.密着位相、離散位相、補有限位相、補可算位相.密着位相と離散位相はいわば「両極端」の人工的な位相構造に過ぎないが、これらの位相構造は、位相に関する命題の反例として用いられる事がある。またこれらの位相構造は、任意の集合上に位相構造を定義できる事を意味している。離散位相は上に離散距離をいれたときに距離から定まる位相と一致する。ザリスキー位相.と定義し、全体の集合を閉集合系とする上の位相を上のザリスキー位相という。ザリスキー位相は上のいかなる距離から定まる位相とも一致しないことが知られており、距離から定まらない位相でなおかつ数学の重要な研究対象となっているものの代表例である。ザリスキー位相の概念は一般の可換環の素イデアル全体の集合に対しても定義する事ができる事が知られている。一方、これとは全く異なる角度からザリスキー位相を定義する事ができる。を複素数体(もしくはより一般に代数的閉体)とし、を考える。そして上の多項式の任意の集合に対し、と定義し、全体の集合を閉集合系とする位相を上のザリスキー位相という。加工により得られた位相空間.数学で使われる多くの位相空間は、距離空間(から定まる位相空間)のような既知の位相空間を加工して作られている。