集合と多重集合と順序対(あるいは組)は例えば次のような点で差異が認められる。として、建前上は基本的に集合のみを扱い多重集合を扱わないというような(しばしば初等的な)文脈でも、「重複度を込めて」という注釈とともに一時的に多重集合が扱われることがある。たとえば、二次式に対して、とおき、その根の集合またたとえば、自然数の素因数分解(実際にはごとに右辺に現れる素因子は有限個、つまり殆どのがとなる実質有限積である)は、自然数を素数全体の成す集合を台とする多重集合として表示する方法を与えるものと解釈することができる(素因数分解が積の順番の違いを除いて一意であるということが多重集合の性質に対応する)。置換の巡回置換分解あるいは巡回置換型も同様である。同様に、自然数の分割を考えることは、分割に現れる各整数の個数を重複度ととれば、自然数全体の成す集合を台とする多重集合であって、重複度関数が次の二条件を満たすようなものを一つ定めることに他ならない。ゆえに、分割数は、各自然数に対してこのような重複度関数のとり方が通りあることを示している。歴史.定義.を全体集合とし、その任意の部分集合とから非負整数全体の集合への写像で、すなわちに属さない元に対しては恒等的にを満たすものの組を、を台集合とする多重集合といい、台集合の各元に対してそのによる像をの重複度という。紛れのおそれの無い場合、多重集合をその台集合で表す。非負整数値の重複度を持つ多重集合は、項の値に重複のある列の集合としてのようにも記される。新たに添字を導入してなどのように同じ元を区別すれば、通常の集合として扱うこともできる。また、各値に対して、同じ値を持つ項は有限個であるような族に対して、同じ元からなる多重集合をで表すことがある。多重集合の構成.文字集合を固定したとき、上の有限多重集合は、上の文字列で文字の順番を自由に取り替えたものと同一視できるから、上の有限文字列全体が文字列の連接を演算として空文字列を単位元とするの生成する自由モノイドとなるのと並行して、の生成する自由可換モノイドと上の有限多重集合の全体とが同一視される。すなわち、の元からなる有限多重集合は、上の自由モノイドのアーベル化の元である。