基本的な概念.単位元と零元.部分半群とイデアル.元をそれが生成する主イデアルの言葉で特徴付ける、五つの同値関係からなるは半群のイデアルや関連する構造概念を調べる重要な道具である。半群準同型と半群合同.がの各元に対して成立することを言う。つまり(の中で)積をとってからで写しても、で写してから(のなかで)積をとっても同一の結果が得られると言うことである。半群が単位元を持つ場合でも、半群準同型は必ずしも単位元を単位元に移すとは限らない。ふたつの半群が同型であるとは、全単射の半群準同型(すなわち半群同型写像)が存在することを言う。同型な半群は、半群として同一の構造を持つ。半群合同は、半群演算と両立する同値関係である。つまり、半群合同は上の同値関係であって、かつがの任意の元に対して成立するものを言う。任意の同値関係と同じく半群合同は合同類を定めるが、さらに合同類の間の二項演算をで定めるとこれは矛盾無く定義できて半群演算となる。これにより、半群合同による合同類の全体はを演算として半群を成す。この半群を剰余半群、商半群などと呼ぶ。自然な写像は全射半群準同型であり、商写像などと呼ばれる。がモノイドならばその剰余半群はの単位元の属する合同類を単位元とするモノイドを成す。逆に、任意の半群準同型の核は半群合同を与える。これらの結果は、普遍代数学における第一同型定理の特別な場合にほかならない。で定まる半群合同に関するとして部分半群を誘導する。半群の構造.半群が周期的あるいはねじれ半群であるとは、その任意の元が位数有限であるときに言う。また、ただ一つの元から生成される半群は単項生成または巡回半群であるという。巡回半群が位数無限ならばそれは正の整数全体が加法に関して成す半群に同型であり、位数有限かつ空でないならば少なくとも一つは冪等元を含まねばならない。したがって、任意の空でない周期的半群は少なくともひとつの冪等元を含む。位数有限の場合にはさらにいろいろなことが言える。例えば、任意の空でない有限半群は、周期的で、極小イデアルを持ち、少なくとも一つの冪等元を持つ。さらなる有限半群の構造についての議論はの項を参照せよ。分数群.偏微分方程式の半群法.歴史.