ここでの曲線の定義は、幅が無く途切れもない直線のような連結で連続な図形という曲線に対する我々の直観的概念をよく捉えているものになっているが、一般的な意味では曲線とはいいがたい病的な図形も含まれてしまう。例えば、平面上の正方形を像が被覆するような曲線(空間充填曲線)が存在する。単純平面曲線の像が一つ大きいハウスドルフ次元を持ち得る(コッホ雪片を参照)し、さらに正のルベーグ測度さえ持ち得る(それはペアノ曲線の構成を少し変更すれば作れる)。ドラゴン曲線はもうひとつの変な例である。曲線の長さ.で定義される量を言う。曲線の長さはのパラメータの取り方に依らないことに注意せよ。特に、閉区間上定義された連続的微分可能函数のグラフの長さはで与えられる。より一般にが距離函数を持つ距離空間とすれば、曲線の長さはと定義できて、が示される。微分構造.は実数直線内の区間とする。が可微分多様体であるとき、内の可微分曲線の概念を考えることができる。厳密さをさておけば可微分曲線とは局所的に単射可微分写像で定義される曲線である。より厳密には、可微分曲線はの部分集合であって、の各点に近傍が存在して、が実数直線内の区間に微分同相となる。すなわち、可微分曲線は一次元の可微分多様体である。この概念は、数学における曲線の使用の大半の部分をカバーするのに十分一般なものである。局所的に見ればはユークリッド空間ととることができる。他方、より一般であることは有用で、例えば、可微分曲線の概念を用いての接ベクトルを定義することができる。代数曲線.平面代数曲線は射影平面内の曲線として計算することもできる。曲線が全次数の多項式で定義されているとき、は斉次次数の斉次多項式に簡略化できる。を満たすの値はもとの曲線を完備化した射影曲線上の曲線上の点の斉次座標を与えており、特にもともとの曲線上の点はが非零であるような点として表される。例えばはそのアフィン形がで与えられる。この斉次化の過程はより高次元の空間内の曲線に対しても同様に定義できる。