より、のを法とする位数はで、これはの約数である。すなわち、フェルマー数はを底とする擬素数である。また、フェルマー数の積フェルマー数はまた、正多角形の定規とコンパスによる作図の問題とも関係がある。ガウスは、正角形が作図可能になる必要十分条件を求めたが、それは「がの冪であるか、異なるフェルマー素数の積との冪の積であるとき」というものである。フェルマー素数.現在以降のフェルマー数で素数であるものが存在するかどうかは知られていない。また、フェルマー素数やフェルマー合成数が無限にあるかどうかも知られていない。フェルマー数の最大素因数についてはを、最小素因数についてはを参照。フェルマー数の素数性、素因数分解に関する情報は外部リンクに挙げたサイトが詳しい。素数判定法.ペピン・テスト.ペピン・テストはフランスの数学者テオフィル・ペピン()によって名付けられたフェルマー数に対する素数判定法である。その他の未解決問題.フェルマー数は平方因子を持たないと予想されているが、未だに解決されていない。表記.フェルマー数を表すにはいくつか等価な表記がある。メルセンヌ数が素数ならばもまた素数であるが、逆は成立しない()。素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数(メルセンヌそすう、)という。なお、「メルセンヌ数」という語で、が素数であるもののみを指したり、さらに狭義の意味でメルセンヌ素数を指す場合もある。基本的な性質.が素数ならばもまた素数であることは、次の式から分かる:対偶命題「が合成数ならばは合成数である」が示される。また、この等式より、のときである。一方、が素数でもが素数とは限らない。最小の反例はの場合であり、が成り立つ。完全数.メルセンヌ数の素因数.を素数とする。メルセンヌ素数.メルセンヌ素数の発見の歴史.古代~中世.メルセンヌの予想.素数判定法.リュカ・テスト.が型の素数のとき、,でを定義すると、アルゴリズム.アルゴリズムは以下の擬似コードで表される。が奇素数のとき、,でを定義すると、アルゴリズム.アルゴリズムは以下の擬似コードで表される。メルセンヌ素数の一覧.メルセンヌ素数は小さい順番から並べるととなる。