数学における位相群(いそうぐん、)は、位相の定められた群であって、そのすべての群演算が与えられた位相に関して連続となるという意味において代数構造と位相構造が両立する。したがって位相群に関して、群としての代数的操作を行ったり、位相空間として連続写像について扱ったりすることができる。位相群のは、連続対称性を調べるのに利用でき、例えば物理学などにも多くの応用を持つ。定義.がともに成り立つことを言う(ここで乗法演算の連続性は、に直積位相を与えて位相空間と見たときの連続性(二変数の連続性)であり、各因子それぞれに関して連続(偏連続)というよりも強い)。この定義では入れていないけれども、多くの文献で上の位相がハウスドルフであることを仮定する。これは単位元がにおいて閉集合を成すと仮定することと同値になる。その理由およびいくつか同値な条件は後述する。いずれにせよ、任意の位相群は適当な商をとることでハウスドルフにすることができる。圏論の言葉で言えば、位相群とは位相空間の圏におけるとしてちょうど定義できる。これは通常の群が集合の圏における群対象であると言うのと同じ仕方である。群の定義が射(二項の積、単項の反転、零項の単位元)によって与えられているという意味で圏論的定義となっていることに注意せよ。準同型.位相群に対し、写像が位相群の準同型であるとは、それが連続な群準同型となるときに言う。位相群の同型は、群同型であって、なおかつ台となる位相空間の間の同相でもある。これは単に連続な群同型であるという条件よりも強く、逆写像もまた連続でなければならない。代数的な群同型だが位相群としては同型でないという位相群の例が存在する。実際、任意の非離散位相群に対し、その位相を離散位相に取り換えた位相群を考えれば、台となる群は同じ(特に同型)だが、位相群としては同型にならない。すべての位相群と、それらの間のすべての準同型を併せたものは、ひとつの圏を成す。ヒルベルトの第五問題.位相群とリー群との間の関係について、いくつか強力な結果が存在する。まず、リー群の間の任意の連続準同型は滑らかになる。これにより、位相群がリー群の構造を持つならば、その構造は一意に決まる。また、は、リー群の任意の閉部分群がリー部分群、特に滑らかな部分多様体となることを述べる。(局所)コンパクト群の表現.