と予想した。ここに、自明な零点とは負の偶数()のことである。自明でない零点はの範囲にしか存在しないことが知られており(下記の歴史を参照)、この範囲を臨界帯という。に等しいことを示した、ここで無限積はすべての素数を走り、再び実部がより大きい複素数に対して収束する。オイラー積の収束は、どの因子も零点を持っていないから、がこの領域において零点を持たないことを示している。リーマン予想はこの級数とオイラー積の収束領域の外側での零点について議論する。予想が意味をなすために、関数を解析接続して、すべての複素数に対して有効な定義を与える必要がある。これは以下のようにの言葉でゼータ関数を表すことによってできる。の実部がよりも大きければ、ゼータ関数はを満たす。しかしながら、右辺の級数はの実部がより大きいときだけでなく、より広くの実部が正のときにいつでも収束する。したがって、この代わりの級数はゼータ関数をからより大きい領域に、の零点を除いて、拡張する(を参照)。ゼータ関数はこれらの除かれた値にも極限を取ることによって拡張でき、における一位の極を除いて、正の実部を持つすべてのの値に対して有限値を与える。帯において、ゼータ関数は関数等式帰結.リーマン予想の仮定の下で真である命題や、リーマン予想と同値である命題が、多く知られている。同値な命題.以下の各命題は、リーマン予想と同値である。素数の分布.が従う、ただしは素数計数関数であり、はの自然対数である。はまた、リーマン予想からが従うことを示した。ここでは第二チェビシェフ関数である。はリーマン予想から次が従うことを示した:任意のに対して、ある素数が存在して、が成り立つ。これはクラメルの定理の明示的なバージョンである。数論的関数の増大.リーマン予想は、上記の素数計数関数に加えて、他の多くの数論的関数の増大に関する強い上界も導く。が、実部がよりも大きいすべてのに対して右辺の和が収束して成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。このことから次のことも結論できる:をによって定義すると、すべてのに対して