なる線型同型によってテンソル積で書き表せる。もっと一般に、個のベクトル空間のテンソル積はこれらの双対空間からの重線型形式の空間とのあいだに同型を持つことによって特徴付けられる。とその双対空間に対して、自然な「評価」写像が単純テンソルの上ではを満たすものとして普遍性により定義される。他方が「有限次元」ならば逆向きの写像(余評価写像)が存在する。ただし、はの基底、はその双対基底である。この評価写像と余評価写像との間に成り立つ関係は無限次元ベクトル空間をその基底に言及することなく特徴づけることができる(の項を参照)。ベクトル空間,,に対して、テンソル積と全線型変換の空間とは種々のテンソル積.応用.係数拡大.が定義できて、の作用をで定めると、は上のベクトル空間になる。ベクトル空間の上の次元はの上の次元に等しい。これはの上の基底に対して、集合がの上の基底を与えることから分かる。表現のテンソル積.群の同じ体上のベクトル空間における表現が与えられたときに対してテンソル積の普遍性を適用することにより、表現のテンソル積が誘導される。テンソル冪.テンソル空間.のに関する無限直和(二重次数付き線型空間)としてのテンソル空間において、テンソル積は自然な同型の意味で次数付き双線型な乗法を定める。ベクトルと線型形式に関して、は双線型であるから、テンソル積の普遍性によってテンソルの縮約と呼ばれる線型写像が一意的に引き起こされる。これは成分でみれば、上下に現れる同じ添字の打ち消しを行うことに等しい。これはまたととの双対性を導く。対称積・交代積.に対してテンソル積の普遍性を適用すれば、一意的な同型と置いたものは、それぞれ対称テンソル空間および反対称テンソル空間上の双線型な乗法を与え、それぞれ対称(テンソル)積、交代(テンソル)積と呼ばれる(交代積は外積あるいはグラスマン積とも呼ばれる)。炎トリッパーあらすじ.