カントールの定理からは、任意の集合がその冪集合(部分集合全体の成す集合)と等濃でないことがわかる。このことは、無限集合に対しても成り立っている。特に、可算無限集合の冪集合は非可算無限集合になる。自然数全体の成す無限集合の存在と、任意の集合の冪集合の存在を認めれば、次々に冪集合をとることで得られる無限集合の無限の系列を作ることができる。カントールの定理により、この系列の各集合の濃度は直前の項の濃度よりも真に大きいから、どんどん濃度は大きくなっていく。カントールの仕事は同時代の一部の数学者からは痛烈な批判を受けることになった(例えば、数学の哲学としてに強く立脚したレオポルト・クロネッカーは、そのような無限の数の概念()を真っ向から否定した)が、ほかの数学者(例えばリヒャルト・デーデキント)によって擁護され、最終的には大いに受け入れられ、ダフィット・ヒルベルトによる強固な支持を受けた(の項を参照)。無限系列の各集合に対応する濃度はベート数で表される。最小のベート数は可算無限濃度に等しく、その次のベート数は連続体濃度に等しい。デデキント無限集合.集合がその真部分集合と等濃になる場合がある(例えば自然数全体の成す集合はその真部分集合である偶数全体の成す集合と等濃である)。そのような集合はデデキント無限であると言う。各集合算との両立性.等濃性は基数の算術のもとで集合の基本演算と両立する。具体的に例えば非交和との両立性は:これは基数の加法を正当化するものである。あるいは例えば直積との両立性はというような形で述べられる。これらの性質により基数の乗法が正当化できる。冪についても、からへの写像全体の成す集合をと書けばこれらの性質により基数の冪が正当化される。他にも、与えられた集合に対してその冪集合(の部分集合全体の成す集合)はから二値集合への写像全体の成す集合に等濃である。圏論的定義.すべての集合を対象としその間のすべての写像を射とする圏において、二つの対象の間の同型射とは二つの集合の間の全単射のことにほかならず、したがって二つの集合が等濃であることはこの圏において同型であるということにほかならない。疑似伝承集合の対等性対等(集合論)同数(集合論)シュレーダー–ベルンシュタインの定理基数の算術