このように、をどれほどでも小さく定義すれば、の近似の精度はどれほどでも高くできる。特に、開区間の形の集合はの近くの点に関するたくさんの情報を与えるものとなる。そこで、具体的なユークリッド距離の代わりに、このような集合をに近い点の記述に用いることができる。この画期的な考えは広範にわたって重大な結果をもたらす。特に、を含む(ではない)別な種類の集合の集まりを定義することで、とほかの実数との距離に関する異なる結果を求めることができる。例えば、そのように「距離を測る」集合はのみと定めれば、を近似する精度はこのただ一つなのであるから、の元である任意の実数がに近い(ある意味では、と任意の実数との距離がであると思える)ということになる。このような測り方はつまり、に入るならばに近く、に入らないならばに近くない、という二択条件と考えればよい。一般に、の近似に用いる、を含む集合族として開近傍系が定まり、その元は開集合と呼ばれる。実は、これらのことは実数の集合に限らず任意の集合に対して一般化することができる。その場合、集合の与えられた点に対して、の近似に用いるの「周囲」の(つまりを含む)集合の族を定義することができる。もちろん、そのような族は(公理と呼ばれる)ある種の性質を満足するようにしなければならない(そうでないと距離を測る方法がきちんと定義できない)。たとえば、に属する任意の点はを何らかの精度で近似するはずであるから、は当該の集合族に入っているべきものである。ひとたびを含む「より小さい」集合を定義し始めれば、をより高い精度で近似する方向へ向かっていく。このようなことを念頭に、の周りの集合族が満足することが求められるほかの公理も定めることができる。定義.開集合の概念は、その抽象性の度合いも含めて、様々なクラスに対して定式化することができる。以下にいくつかを挙げる:ユークリッド空間の場合.距離空間の場合.距離空間の部分集合が開であるとは、任意の点に応じて適当な実数を選べば、なる任意のに対してとなるようにできるときに言う。同じことだが、が開となるのは、の各点がに含まれる近傍を持つときである。