は、単位区間上の二乗可積分関数全体のなすヒルベルト空間において稠密である。はこれを次を示すことで拡張した:ゼータ関数が実部がよりも大きい零点を持たないこととこの関数空間がにおいて稠密であることは同値である。はリーマン予想が真であることと次が同値であることを示した:積分方程式はに対して非自明な有界な解を持たない。はある関数の正値性がリーマン予想と同値であるという主張である.関連するのはで,ある数列の正値性がリーマン予想と同値であるという主張である。はリーマン予想が次の主張と同値であることを証明した:の導関数は帯一般リーマン予想の帰結.排中律.ここでの証明の手法は本当にすごい.一般リーマン予想が正しいならば,定理は正しい.一般リーマン予想が間違いならば,定理は正しい.したがって,定理は正しい!!リトルウッドの定理.リトルウッドの定理は素数定理における誤差項の符号に関するものである。すべてのに対してであることが計算されており、であるようなの値は知られていない。この表を参照。となるような任意に大きいの値が存在し、ガウスの類数予想.リーマン予想に関わる以下の定理はに記されている:となるような絶対的な定数が存在する。一般化と類似物.種々の結果.作用素理論..これは次のようなハミルトニアンを生み出す。固有値がリーマンの零点の虚部の平方であり、またこのハミルトニアン作用素の汎関数行列式はリーマンのクシー関数である。実はリーマンのクシー関数はコンヌらによって証明されたように汎関数行列式(アダマール積)の定数倍であり、このアプローチではリー–ヤンの定理.リー・ヤンの定理は、統計力学におけるある分割関数の零点がすべて実部の「臨界線」上に乗っていると述べており、これはリーマン予想との関係についての推測をもたらした。トゥランの結果.は次のことを示した。関数がの実部がよりも大きいときに零点をもたないならば、