ユークリッド空間は空間の雛形として幾何学的な構造を様々に含んでいる。たとえば、「近さ」について、ユークリッド距離と呼ばれる距離函数によって距離空間の構造を備えている。空間(の中の図形)が閉じているとか開いているとか、あるいは「広がり」具合に関して限界があるとか、繋がっているとか離れているとか、収束・発散、とかいった概念は、ユークリッド空間であれば距離の言葉で解釈して、論じることができる。一般には距離を定めることのできない抽象空間で近さを論じるために、位相空間や一様空間といった抽象空間の類が定義される。また、ユークリッド空間上の函数やその解析学は、ユークリッド空間の局所的な振る舞いを明らかにし、微分構造を備えた多様体としての姿を浮き彫りにする。それは、座標による表示を通して、空間上の微分が存在する接空間のベクトル空間としての構造と、その張り合わせとして捉えることもできる。とくに三次元空間では、空間の向きや距離をベクトルの内積や外積などによって把握するベクトル解析が詳しく展開される。位相空間は、開集合や閉集合の全体がどうなっているべきであるかを明らかにすることで定義されるが、それによって他の多くの幾何学的な構造が統一的に調べられる、非常に広い空間概念である。一方、函数や収束・発散あるいは完備といった、空間の解析学を展開するために必要な性質は一様空間の性質として理解されることも少なくはない。多様体の場合に限らず、集合上の函数の集まりは、空間の持つ情報を様々に写し取るために、それを空間と双対的な存在の「空間」と見なすようなこともしばしば行われる。こういった函数空間の考察は、多くの場合代数的な道具を空間の研究に導入する便宜を提供することになる。空間に対して、空間上の自己準同型のつくる作用素環などの函数環および、その上の加群を新たな空間として考えたり、非可換環上の幾何学を展開する場としての非可換空間を通常の空間の変形版と見なす非可換幾何を考察したりといった直接的な影響に留まらず、点の集まりとして定義される空間という点集合論を超えて、詳細な情報を得るには点の不足している空間に対して、函数空間の代数的な情報によって元の空間の情報を引き出したりするようなこと、あるいは抽象代数的な構造物を積極的に幾何学的な空間として捕らえるような代数幾何学的な思想が、現われてくる。