リーマン積分は積分の多くの性質を示すのに有効であるが、積分と極限との交換に関係する性質を示すには理論的困難を伴うなど、いくつかの技術的欠点がある。この為こうした欠点を補うべくリーマン–スティルチェス積分やルベーグ積分など積分概念の別の定式化方法も提案されている。定義(一次元の場合).区間の分割.区間の分割とはなる形の数の有限列である。各をこの分割の小区間と呼ぶ。分割の大きさとは最長の小区間の長さをいう。区間の点付き分割とは、各に対してなる条件を満たす有限数列を備えた分割をいう。つまり、点つき分割は分割の各小区間に識別のための点をとったものである。点付き分割の大きさは、(識別点をとらない)通常の分割におけるものと同一とする。リーマン和.区間上で定義された実数値函数をとる。函数の点付き分割に関するリーマン和とはなる形の和をいう。和の各項は函数の識別点における値と小区間の長さの積であるから、従って各項は高さがで幅がであるような矩形の面積を表す。すなわち、リーマン和はこのような矩形の全体が占める符号付き面積に等しい。リーマン積分.大雑把に言って、リーマン積分は函数のリーマン和の分割をどんどん細分していった極限である。この極限が存在するならば、その函数は可積分(積分可能)あるいはもっと明確にリーマン可積分であるという。このときリーマン和は分割を十分細かくすることによっていくらでもリーマン積分に近づけることができる。重要なことは、分割の大きさはどんどん小さく、極限においてとなるようにしなければならないことである。さもなくば、ある小区間上で函数を十分に近似することができない。実は、分割の大きさを極限でとすれば積分を定義するのに十分である。具体的に、函数のリーマン積分がに等しいというのは、を満足することをいう。定義(一般の次元の場合).区間の分割.上のリーマン積分を定義する為、いくつかの概念を定義する。の部分集合で、を区間とするとき、区間の集合で以下の性質を満たすものをの分割という:を満たす実数の組}が存在し、とするとき、はの形に書ける区間全体の集合である。リーマン和とリーマン積分.別定義(細分による定義).