上式においてはの、面素に対する外向き法線ベクトルの方向での方向微分である。すなわちグリーンの第三恒等式.グリーンの第三恒等式は、第二恒等式においてとすることで得られる。ここではラプラス作用素の基本解として定められるグリーン函数である。すなわち、次が成り立つ:例えばにおいて、ある解は次の形を取る:グリーンの第三恒等式は、が上で二階連続的微分可能な函数である場合に、次式で与えられる:それ自身が調和函数、すなわちラプラス方程式の解であるなら、よりこの式は次のように簡易化される:この積分の中の第二項は、問題が適切であるような領域の境界に対するグリーン函数としてが選ばれる(ディリクレ境界条件)とき、消える。すなわちとなる。この形式はディリクレ境界条件の問題に対する解を構成する際に用いられる。ノイマン境界条件の問題に対する解を見つけるためには、境界上で法線微分が消失するようなグリーン函数を代わりに用いればよい。さらに上述の恒等式は、がヘルムホルツ方程式あるいは波動方程式の解で、が適切なグリーン函数の解である場合にも適用される。そのような文脈において、この恒等式はホイヘンス=フレネルの原理の数学的表現となる。多様体上での恒等式.グリーンの恒等式はリーマン多様体上で成立する。この場合、初めの二つの恒等式は次のようになる。グリーンのベクトル恒等式.グリーンの第二恒等式は、二つのスカラー函数の二階微分と一階微分(の発散)との関係を表すものである。微分形式では、となる。ここでとは二つの任意の二階連続的微分可能なスカラー場である。この恒等式は、質量やエネルギーのようなスカラー場に対して連続の方程式が成立する担保となるため、物理学において非常に重要なものとなっている。グリーンの第二恒等式はベクトル解析においてよく示されているが、多くの教科書ではスカラーの場合のみが扱われている。専門書においても、ベクトルの場合を見つけるのは容易ではない。ベクトル回折理論において、そのようなグリーンの第二恒等式の二つの場合が導入されている。一方は、クロス積の発散によるもので、場における回転と回転に関する関係を表している:この方程式はラプラシアンを使って次のように書くことが出来る:しかし、項