を(長さで成分が実数値の)列ベクトル全体の成す空間と見るとき、全微分を行ベクトルと見做して、を行列の積で与えることができる。このとき、勾配は列ベクトルに対応する。微分としての性質.を満たすものである(中黒はドット積)。この帰結として、勾配が通常の微分が持つ微分法則を満足することがわかる。更なる性質と応用.等位集合.が可微分であるとき、点における勾配とベクトルとのドット積はにおけるの方向への方向微分を与える。従ってこの場合、の勾配はのすべての等位集合と直交する。例えば、三次元空間における等位面はなる形の方程式で定義され、そしての勾配はこの面の法線族となる。より一般に、リーマン多様体に埋め込まれた任意の超曲面は(ただしは至る所零でない)の形の方程式に表すことができて、の勾配はこの超曲面の法線族になる。一点において関数を考えるとき、この点を通る曲面を描き、この曲面上の各点で関数が同じ値を取るものとすれば、この曲面は「等位面」と呼ばれる。保存ベクトル場と勾配定理.関数の勾配を勾配場と呼ぶ。連続勾配場は常に保存場で、任意の積分路に沿った線積分は積分路の端点にのみ依存して決まり、その値は勾配定理(線積分に対する微分積分学の基本定理)で求められる。逆に連続保存ベクトル場は必ずある関数の勾配場として得られる。リーマン多様体.リーマン多様体上の任意の滑らかな関数に対し、の勾配とは、任意のベクトル場についてを満たすベクトル場を言う。ただしは計量の定めるにおける接ベクトルの内積で、(とも書く)は各点において方向へのの方向微分のにおける値をとる関数である。言い換えれば、座標チャートにおいての開集合からの開集合への写像はで与えられる。ここには、この座標チャートにおけるの第成分を表す。故にこの勾配の局所形はとなる。の場合を一般化して、関数の勾配と外微分とをによって関係づけることができる。より細かく言えば、勾配ベクトル場は微分一次形式との定める(シャープ)を用いて対応付けられる。上の関数の勾配と外微分との間の関係は、この計量がドット積の与える平坦計量である特別の場合である。円筒座標系および球面座標系での表示.円筒座標系において勾配は