が平衡点または周期軌道ならば、とはその自体と同じとなる。極限集合またはが周期軌道で、それでいて自体はそれらまたはに含まれないとき、そのような極限集合をリミットサイクルという。リミットサイクルに対して、軌道は巻きつくようにして収束する。定理の主張.定理ではではなく、がコンパクトと仮定してもよい。また、ではなく、球面や円筒上の流れと仮定してもよい。定理はの極限集合についても同様に成り立つ。すなわち、またはがコンパクトで平衡点を含まなければ、またはは周期軌道である。平衡点が有限個しか存在しないという仮定は平面上の理論を構成する上で必ずしも必要ではないが、議論を簡単にするために導入される。例えばという系は、平衡点がの直線上の全ての点として存在する。しかし、大抵の場合で扱われる微分方程式は平衡点が有限という条件を満たす。証明の概略.次に、ある点の極限集合を考える。は定理の仮定のように平衡点を含まないとし、その上のある非平衡点について上のような横断線を引く。また、から出発する軌道がもし周期軌道ならば、となり、明らかに定理が成り立つ。よって以下ではは周期軌道ではないとする。次に、上の任意の点の極限集合がと一致することを証明する。これも背理法で考える。主張の逆が成立すると、差集合が存在することになる。この前提と、極限集合は閉で有界な軌道の極限集合は連結である性質を利用して議論すると、上のある点で横断線と複数交わるという、上記の補題と矛盾した結論が得られる。適用.一般化・拡張.がクラインの壺の場合は次のような結果が知られている。非平衡点についてを満たすが存在するときを周期点という。上の流れでは、ある点がそれ自身の極限集合に属するとき(すなわちまたは)、は平衡点または周期点である。が高次元の場合への拡張もいくつか調べられている。しかし、の境界上の全てのベクトルが内側を向いているような有界領域に平衡点または周期軌道のいずれかが必ず存在するか、といったような疑問は未決である。歴史.を発表した。論文の題名は冠詞が異なるだけでポアンカレの論文とほぼ同名であり、論文の最初にベンディクソンはこの研究はポアンカレの仕事の続きだと位置づけている。日本の競馬