ポンスレーやスタイナーらの仕事は解析幾何学を拡張する方向には向かわなかった。彼らの手法は「総合幾何学」に裏打ちされたものであり、おかげで射影空間は今日では公理的に導入されるものと理解されている。結果として、射影幾何学の初期の研究は再定式化され、現在の標準的な扱いでは、厳密な理解がいささか困難を伴いうる。射影平面だけを考えた場合でさえ、公理的な方法では、そのモデルの中で線型代数学を通じた記述ができないという結果となる。概要.理想化された「方向」は無限遠点として理解され、理想化された「地平線」は無限遠直線と呼ばれる。同様に、無限遠直線はすべて無限遠平面上にある。しかし、「無限遠」は計量(距離)的な概念であるから、純粋な射影幾何においては、このような無限遠点、無限遠直線、無限遠平面といったような特別な対象を選び出すということはできない。つまり、射影幾何学ではこのような無限遠の対象たちも他の対象と区別無く同様に扱われるのである。ユークリッド幾何学が射影幾何学に含まれるから、射影幾何学をより単純に基礎付けることができる。つまり、ユークリッド幾何学における一般の結果は透過的なやり方で射影幾何における結果に読み替えることができる。このとき、ユークリッド幾何学では似ているが別々であった定理が射影幾何学の枠組みで統一的に扱える場合がある。例えば、勝手な射影平面を理想化された平面として選び出し、それを斉次座標系を用いて「無限遠」に配置すれば、平行線と平行でない線で場合を分けて考える必要はなくなる。