であるが、は次だから、この指数函数部分はのオーダーまで展開するだけでよい。の最後の負冪はケイリー・ハミルトンの定理により自動的に消える(再度、これには係数環が有理数体を含むことが必要である)。に対する係数たちが完全ベル多項式によって直接的に書けることは、この級数表示とベル多項式の母函数を比べれば分かる。この表示をに関して微分することで、一般のに対する固有多項式の一般係数を次行列式高次の冪の計算.ケイリー・ハミルトンの定理はの冪の間に成り立つ(最もとは限らないが)関係を記述するものであるから、それによりの十分大きな指数の冪を含む式の計算において、式を簡単化しての(以上の指数が大きな)冪を直接計算することなく値を評価することができるようになる。だから、を計算したければ、順に行列函数を多項式に帰着する.解析函数が収束冪級数としてと与えられ、次正方行列の固有多項式をと書くとき、上記の冪級数を十分大きなで打ち切った多項式に対する剰余付きの除法を考えれば、で「剰余」多項式がとなる「商」解析函数とともに一意的に決まる。を行列に置き換えれば、ケイリー・ハミルトンの定理によりだから、ある種の剰余の定理:が成り立つ。ゆえに、行列変数の解析函数は各行列ごとに次以下の行列多項式として書き表される。を作ることができる。これは個の線型方程式系になっているから、解くことで係数を決定することができて、が決まる。を新たに本追加して、係数を決めるのに必要な個の方程式系を得ることができる。全ての点を通る多項式を求めることは本質的に補間問題であり、ラグランジュ補間やニュートン補間法を用いて解くことができ、が導かれる。として与えられる。その多項式表示はに対しては古くから知られており、パウリ行列を用いてと書ける。も同様でと書ける(これはロドリゲスの回転公式である)。記法についてはを見よ。代数的数論.の表現行列をと書けば、にケイリー・ハミルトンの定理を適用することによりの最小多項式が求まる。一般の証明.三角化による証明.文献に掲載されている方法による。を上三角化した行列をとする。このとき対角成分に固有値が並ぶ:単因子による証明.