などで表す。この集合は上記の和とスカラー倍によって、それ自身一つのベクトル空間になる。特にとしたとき、つまりベクトル空間上の線型汎函数の空間はの(代数的)双対空間と呼ばれる。特にまたなる同型が成り立つ。やなどと表す。は写像の合成を積として上の一般線型群と呼ばれる群を成す(単位元は恒等写像、逆元は逆写像で与えられる)。行列表現.が成り立つ。各基底の行き先が分かれば、この写像は一つに決まる。このときと書くことができる。基底の変換を行うとき、は正則行列で,であり、が成立するから、表現行列はに置き換わる。適当な基底を固定して各線型写像に対応する行列をと書けば、が成り立つから、特に上のベクトル空間の上次元がそれぞれであるとき、というベクトル空間の同型が成り立つ。また、合成に関しても(右辺は行列の積)となるから、特にのときは結合多元環の同型になる。これらの同型が成り立つことをもって、線型写像が行列によって表現されるという。線型写像の連続性.一般に無限次元のベクトル空間を扱うとき、空間には付加的な構造として位相が定められているのが普通であり、そのような空間では線型写像の連続性を考察することができる。有限次元空間上の線型写像は必ず連続であり、したがって不連続線型作用素の概念は特に無限次元の場合において意味を持つ。行列式数学における行列式(ぎょうれつしき、)とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。概要.とするとき、これはにより指定されると考えることができる。このときが成り立っているが、これはの定める線型変換によって平面内の図形の面積が倍される、と解釈できる。定義.抽象的な定義.は一意的に定まるあるに関する定数倍写像と一致する。このはの行列式と呼ばれる。明示的な定義.次正方行列の行列成分をで表すと、の行列式は、次の式で定義される:ここで、を表す。