と書くことができる。この式は、三次曲線の変曲点がにあり、その接線がであるとした時に得られる形で、ワイエルシュトラスの標準形と呼ばれる。この斉次式を非斉次形に直すととなる。同種.有限体上の楕円曲線.を個の元を持つ有限体として、を上に定義された楕円曲線とする。上のを正確に数えることは、一般には難しいが、楕円曲線のハッセの定理は、無限遠点を含めると、この数を、と評価できることを教えている。点の集合は有限アーベル群である。常に、巡回的か、もしくは二つの巡回群の積となる。例えば、では、により定義される。ここに体は体の次拡大、つまりである。ゼータ関数はの有理関数である。ある整数が存在し、となる。さらに、絶対値がである複素数α,βとすると、が成り立つ。この結果はヴェイユ予想の特別な場合である。例えば、では、体上ののゼータ関数であるは、により与えられる。このことは、次の式に従う。佐藤・テイト予想は、上の楕円曲線を法で還元した場合に、ハッセの定理の中の誤差項が素数によってどのように変わるのかについての言明である。佐藤・テイト予想は(ほとんどすべてのそのような曲線に対し)、により証明され、誤差項が等分分布していることを言っている。有限体の上の楕円曲線は、特に暗号理論や大きな整数の素因数分解に応用されている。これらのアルゴリズムには、上の点の群構造がしばしば利用されている。一般の群(例えば有限体の可逆元からなる群,)に適用できるアルゴリズムは、楕円曲線上の点の群へも応用することができる。例えば、離散対数はそのようなアルゴリズムである。興味深いのは、楕円曲線を選ぶ方が、体の位数(と単位元)を選ぶよりも、高い柔軟性がある点である。また、楕円曲線の群構造は、一般にはより複雑である。楕円曲線を使ったアルゴリズム.有限体上の楕円曲線は、整数の素因数分解への応用と同じように、暗号理論への応用にも使われる。典型的には、暗号理論への応用の一般論は、ある有限群を使った知られているアルゴリズムを、楕円曲線の有理点の群を使うように書き換えて使う。さらに以下を参照。参考文献.真岡市概要.