数学において、線型代数群(せんけいだいすうぐん、)とは、次正則行列の全体が(行列の積に関して)成す群(すなわち一般線型群)の部分群であって、それが多項式系によって定義されるものを総称して言う。例えばという関係式で定義される直交群は線型代数群である。(ここでは行列の転置。)の定義は初期におけるこの理論の用途のひとつであった。例.正の整数に対して、次正則行列から成る体上の一般線型群は上の線型代数群である。これはという形の行列から成る部分群を含む。群は乗法群と呼ばれる。すなわち、群は体のゼロでない元が乗法に関して成す群である。加法群——(加法に関して)——も行列群として表すことができる:例えばのという形の行列から成る部分群として。定義.代数的閉体に関して、上の代数多様体に関する構造の多くはその有理点の集合にエンコードされていて、それにより線型代数群を初等的に定義することができる。まず、抽象群からへの関数が正則であるとは、それが次正方行列の成分との多項式としてかけることをいう。ここでは行列式である。すると、が体上の線型代数群とは、ある自然数に関する抽象群の部分群である。ここでは適当な正則関数のなす集合の零点として定義される。任意の体に関して、上の代数多様体は上のスキームの特別な場合として定義される。スキームの言葉では、体上の線型代数群とは、ある自然数に関する体上ののな閉部分群スキームである。特には上の適当な正則関数のなす集合の零点として定義され、これらの関数は「任意の可換多元環に対しては抽象群の部分群である」と言う性質を満たさなくてはならない。(したがって、上の代数群は単に抽象群ではなくて、むしろ可換多元環に対する群の族全体である——これが関手的観点からスキームを記述する哲学である。)どちらの言葉を用いるにせよ、線型代数群に関する準同型の概念がある。例えば、が代数的閉体のときは、からへの準同型は抽象群に関する準同型であって、上の正則関数で定義されるものである。これにより上の線型代数群は圏をなす。特に、これにより線型代数群の同型とは何を意味するのかが定まる。