正方行列とは限らない一般の行列に対して、その行と列からそれぞれ個選び、それらに属する成分からなる正方行列の行列式を考えることができる:余因子展開.次正方行列に対して、行または列を除いてできる小行列式にを乗じたを余因子(よいんし、)という。(係数を含まない形で定義する場合もある。)と展開される。また同様に行に関してと展開される。(余因子の定め方によっては展開の符号が変わる。)余因子行列と逆行列.次正方行列に対し、余因子を成分に持つ行列をの余因子行列という。余因子行列については、余因子展開を逆に用いるととなることが確かめられる。ただし、は次単位行列である。またここから、の行列式がでない場合にははの逆行列に一致する(クラメルの公式)。なお、余因子行列としてここでの余因子行列の転置行列、すなわち余因子を成分に持つ行列を採用する流儀もあるので、単に「余因子行列」といったときにはどちらの流儀であるか注意が必要である。行列式の性質.行列式の基本的な性質として以下が成り立つ。固有値との関係.行列の固有値をと置くと、となる。このことは、を三角化すると、対角成分に固有値が並ぶこと、すなわちの両辺のを取ることで得られる。特異値との関係.正方行列の特異値を()と置くと、となる。このことは、特異値分解を用いて示される。正方行列に関して行列式と固有値および特異値の間には次の関係が成り立つ。跡との関係.正方行列の跡とは、対角成分の総和である。それは固有値の総和に一致する。そのため、固有値の積である行列式とは指数関数を介してつながっている。行列に対する指数関数はと書けるが、の固有値とそれに属する固有ベクトルに対して、となることより、は固有値とその固有ベクトルを持つことが分かる。よって、関係式が成り立つ。微分.行列式は多項式であり、微分が可能である。余因子展開の式から、の行列式の微分として次の関係が成り立つ。冪零行列例.性質.標準化.と置いたとき、上の行列の幾つかの直和(行列をブロックとして対角線上に並べた区分行列のこと)ユニタリ行列ユニタリ行列(ユニタリぎょうれつ、)は、次を満たす複素正方行列として定義される。