オイラーの公式を用いた証明.オイラーの公式よりまたはもしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。の式はピタゴラスの基本三角関数公式と呼ばれている。の時点ですでに単位円上において本定理の成立が明らかである。なぜならば、実数の範囲では、単位円上の偏角の点の座標として定義したと上記の冪級数による定義は一致するからである。前提としたについて、とおけば,,よりゆえにが得られる。三角関数の微分公式を用いた証明.正弦および余弦関数を微分すれば,および微分公式よりしたがってここでは定数である。を代入するとであるので、が得られる。よってが得られる。あとは前節と同様にしてが得られる。三角関数の不定積分を用いた証明.下記のように関数を定める。上記を漸化式を利用して不定積分するとである。微分積分学の基本定理を考慮し、これを微分するとである。したがってゆえに、ピタゴラスの定理は成立する。三角関数の加法定理を用いた証明.三角関数の加法定理は、三平方の定理を使わないで証明できる。本定理を使わないで証明した、三角関数の加法定理を使うと、またはが得られる。また、加法定理から導かれる半角公式を適用するとしたがってが得られる。あとはこれまでと同様にしてが得られる。冪級数展開を用いた証明.三角関数は級数によって定義されているものとし、との自乗をそれぞれ計算するととなる。ここで二項定理よりである。したがってが得られる。あとはこれまでと同様にしてが得られる。回転行列を用いた証明.平面において原点を中心とする角の回転の表現行列はであるが、このことも三平方の定理を用いないで証明が可能である。(単位行列)であるが、この式の左辺を直接計算するととなる。したがってが得られる。あとはこれまでと同様にしてが得られる。三角関数と双曲線関数を用いた証明.任意のに対しである。よって任意のに対してが成り立つ。あとはこれまでと同様にしてが得られる。ピタゴラスの定理の逆.ピタゴラスの定理は、逆も真となる。すなわち、に対してが成立すれば、はの直角三角形となる。証明.ピタゴラスの定理に依存しない証明.がを満たすとする。線分をに内分する点をとすると