慣例的に、ある種の集合が系(けい、)や族(ぞく、)などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系(「相互に連立する」方程式の集合)、集合族(「一定の規則に基づく」集合の集合)、加法族(「加法的な性質を持つ」集合族)など。導入.集合は「ものの集まり」である。集合の元(要素)として、集められる対象となる「もの」は、数、文字、記号などをはじめ、どんなものでも(当然、集合でも)構わない。一方で、どんな「集まり」でも集合と呼んでよいわけではない。その「集まり」が集合と呼ばれるためには、対象が「その集まりの元であるかどうかが不確定要素なしに一意に決定できる」ように定義されていなければならない。例えば、ジョーカーやコマーシャルカードを除いたトランプのスート全体{♠(スペード),♦(ダイヤ),♣(クラブ),♥(ハート)}やトランプの数字全体帰属と包含.集合と元、集合と集合などの間には含んだり含まれたりといった素朴な関係を考えることができる。帰属関係と包含関係は異なる概念であって、混同してはならない。例えば、'⊂'⊂'ならば必ず'⊂'であるが、'∈'∈'からは'∈'は必ずしも導かれない。また、'∈'⊂'ならば'∈'であるが、'⊂'∈'からは'∈'を帰結することは一般にはできない。記法.と表記する。と表記する。一般に、条件'(')があったとき、それをみたす対象だけを全て集めた集合を、などと略記する。集合{'∈'|'(')}は'の部分集合となる。また、条件'(')が「条件'(')を満たすようなある'を用いて'='(')と表すことができる」というような形のときは、集合{'|'(')}をのように表すこともある。要素を外延的に書きつくせないような集合、例えば自然数全体の集合を外延性の公理.','を任意の集合とするとき、もし任意の集合'について「'がの要素であるならば、そのときに限りはの要素である」が成り立つならば、とは等しい、とする。すなわち、である。特別な集合.濃度.集合の演算.