ガロワ理論では他に様々な概念を利用する。方程式の可解性は、ガロワ対応と呼ばれる部分体と部分群の間の対応により、ガロワ群と呼ばれる体の自己同型群の研究を通じて調べられる。代数方程式の可解性の研究に留まらず、ガロワ理論は算術、や代数幾何学の様々な問題の解法の自然な一部を成し、また時にそういった様々な領域における新しい広汎な問題の定式化をもたらした。同様の理論をより一般のユークリッド環の商の概念を用いて記述するとき、合同算術の特定の道具からの繋がりにおいて、本項の主題とは大きく異なる別の領域が生じてくる。このような理論の成果の一つが、ガロワ体とも呼ばれる有限体であり、これは合同算術の様々な応用において自然な設定を与える。代数的整数と代数的整数論.素数が存在しない環における素数の代替として、エルンスト・クンマーは、今日ではイデアルを用いて定式化される商の一般化に関する道具を用いた。代数的整数論ではそれまでと異なるいくつかの手法が取り入れられる。基本的な道具は、その元が代数的整数と呼ばれ、デデキント環と呼ばれる構造を持つ環である。クンマーはが正則素数と呼ばれる特定の種類の素数であるときのフェルマーの大定理を証明した。以下の値でこれに相当しないものはの三つのみである。ディリクレ指標と解析数論.オイラーにより、素数を亙るある無限積が単位円の面積の平方の(つまり、)に等しいことが発見され、数の理解に対する新たなアプローチの仕方が生まれた。ディリクレはこれを用いて整数の合同類環の単数群が素数を無限に含むことを示した。今日ではこれはディリクレの算術級数定理と呼ばれる。ここでもやはり、合同算術は定理に至るには不十分であり、ディリクレは整級数や複素解析など種々の解析的手法を用いている。そうして新たな数学の分野である、解析数論が生まれた。解析数論の重要な通過点がベルンハルト・リーマンの一つの論文(「与えられた数より小さい素数の個数について」)によってもたらされる。リーマンはゼータ函数の根の位置に関する予想を提示した。ディリクレによってはじめられた根の位置の研究は、この分野の中心的な関心となり、現代の数学においても最も解決の難しい予想の一つとして残されている。暗号理論.積の素因数分解.