二重数全体は、実数全体にを満たす新しい元を添加して得られる。二重数全体からなる集合は、実数体上の二次元の可換かつ単位的な結合多元環(二元数)の一種になる。二重数全体の成す平面は、交代的複素数平面()と呼ばれ、通常の複素数平面と分解型複素数平面とに対して相補的な関係にある。線型表現.行列を用いると二重数はと表現することができる。このとき二重数の和と積は、通常の行列の和と行列の積によって計算することができ、両演算は可換かつ結合的である。これは複素数の行列表現の類似であり、さらに言えばに二重数の概念が必要である。幾何.二重数平面上の“単位円”は、実部がである二重数全体からなる集合である。これは、二重数に対して、その“共軛”がであり、であることによる。二重数に対して、のとき、とすると、はの極分解であり、傾きはその偏角になる。二重数平面における“回転”の概念は、が成り立つことから、垂直剪断(せんだん)変換と同値である。のように見えることによる。循環.と平行移動との合成変換に関して不変である。代数的性質.一般化.このような環及びその一般化は、導分およびケーラー微分(純代数的な微分形式)の代数的理論において重要な役割を果たす。微分法.超空間.二重数の応用は物理学にもあり、そこでは二重数は非自明な超空間の最も簡単な例を与える。虚数単位εに沿う方向はフェルミ的方向といい、実成分はボソン的方向と呼ばれる。フェルミ的方向というのはパウリの排他原理にフェルミオンが従うという事実からくるものである。座標変換のもとで、量子力学的波動函数は符号を変え、従って二つの座標がともに動くならば消えるという物理学的な考え方が、なる代数的関係式でとらえられている。除法.二重数の除法は、除数の実部が零でないときに定義され、除法の過程は複素数の場合と同様に、分母にその共軛元を掛けて純虚部分を消すことによって行われる。そういうわけで、の形の除法を計算するには、分母分子に分母の共軛元を掛けては、のいずれかである。これは、“商”の純虚部分が任意に取れることを意味するから、純虚二重数に対する除法は定義できない。実際、純虚二重数は(自明な)零因子であり、その全体は明らかに二重数の成す結合多元環(従って環)のイデアルを成す。津谷正明