このようにして定義される距離関数に関して、任意の内積空間は距離空間となる。内積空間のことを前ヒルベルト空間と呼ぶこともある。距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。完備性は、内の列に対するの形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間が完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で内の元に収束することである。完備性は、次のような条件によっても特徴付けることができる。もう少し自明でない例.複素数を項とする無限数列で級数で定義される。この右辺の級数が収束することはコーシー・シュヴァルツの不等式からの帰結である。空間の完備性は「の元からなる級数が(ノルムの意味で)絶対収束するならば必ず、その級数がの何らかの元に収束する」ことを示せば言える。このことの証明は解析学の初歩であり、この空間の元からなる級数は複素数(あるいは有限次元ベクトル空間のベクトル)からなる級数と同程度容易に扱うことができる。歴史.を持ち、これがよく知られたユークリッド空間のドット積の性質の多くを有していた。これにより特に、関数からなる正規直交系の概念が意味を持つようになる。シュミットは、この内積と通常のドット積との類似性として、(ただし、はに関して対称)なる形の作用素に対してスペクトル分解の類似物を示した。得られる固有関数展開は関数をなる形の級数として表す。ただし、関数系は、なるとき常にを満たすという意味で、直交系を成す。この級数の個々の項は、基本積解と呼ばれることもある。しかし、この固有関数展開には、適当な意味で自乗可積分関数に収束するものとそうでないものがある。収束を保証するには完備性(系の完全性)が不可欠なのである。例.ルベーグ空間.ルベーグ空間は測度空間(は集合で、はの部分集合からなる完全加法族、は上の完全加法的測度)に付随する関数空間である。を、上の複素数値可測関数で、その絶対値の平方のルベーグ積分が有限となるようなもの全体の成す空間とする。即ち、に属する関数は必ずを満たす。ただし、測度零の集合の上でだけ異なる(殆ど至る所一致する)ような関数は全て同一視するものとする。に属する関数の内積は