一般の基礎体上の線型代数群に対して、すべての極大トーラスがの元によって互いに共役であるとは限らない。例えば、上述の乗法群や円周群は上の極大トーラスとして現れる。しかし、上のに含まれるどんな極大分裂トーラス(これはより大きな分裂トーラスに含まれていないものを指す)も適当なの元によって互いに共役である。その結果として、上ののあるいはを極大分裂トーラスの次元として定義することができる。べき単群.で上に含まれる対角成分がすべてである上三角行列からなる群とする。体上の群スキーム(例えば線型代数群)は、あるに対してのある閉部分群スキームと同型であるとき、べき単であるという。がべき零であることは簡単に確かめられる。よって、任意のべき単群スキームはべき零である。に含まれる上三角行列からなる群は半直積である。ここではである。より一般に、連結で可解な線型代数群はトーラスとべき単群の半直積である。完全体(例えば、代数的閉体)上滑らかで連結なべき単群は、すべての商群が加法群と同型である組成列を持つ。である。対応するは、それぞれである。半単純群と簡約群.任意のコンパクト連結リー群はと呼ばれる複素簡約代数群を持つ。その上、この構成はコンパクト連結リー群と複素簡約群の同型類に対して一対一対応を与える。体上の線型代数群は半単純かつ非自明で上のどんな滑らかな連結正規部分群も自明であるとき、単純(あるいは)と呼ばれる。(この性質をと呼ぶ著者もいる。)この用語は抽象群のものとは僅かに異なっており、単純代数群は非自明な中心を持つことがある(ただし中心は必ず有限になる)。例えば、以上の整数と体に関して、上の群は単純で、その中心はの乗根の群スキームである。完全体上の連結線型代数群は簡約群の滑らかな連結べき単群による(一意的な)拡大である:はのべき単根基と呼ばれる。もしの標数がゼロならば、より精密にを持つ:上の線形代数群は簡約群のべき単群による半直積である。簡約群の分類.