の解の全体は、任意のに対しての三つ組として与えられる。これらの三つ組の成分ごとの加算とスカラー倍はやはり同じ比を持つ三つの変数の組であるから、これも解となり、解の全体はベクトル空間を成す。行列を使えば上記の複数の線型方程式を簡略化して一つのベクトル方程式、つまりにすることができる。ここでは与えられた方程式の係数を含む行列、はベクトルであり、は行列の積を、は零ベクトルをそれぞれ意味する。同様の文脈で、斉次の線型微分方程式の解の全体もまたベクトル空間を成す。例えば、を解けば、を任意の定数としてが得られる。ただしは自然指数函数である。クラス.ベクトル空間はいくつかのクラスに分類できる。基底と次元.基底は簡明な方法でベクトル空間の構造を明らかにする。基底とは、適当な添字集合で添字付けられたベクトルの(有限または無限)集合であって、それが全体空間を張るもののうちで極小となるものを言う。この条件は、任意のベクトルが、基底元の有限線型結合(がスカラーでが基底の元)として表されることを意味し、また極小性はが線型独立性を持つようにするためのものである。ここでベクトルの集合が線型独立であるというのは、その何れの元も残りの元の線型結合として表されることがないときに言い、これはまた方程式が満たされるのが、全てのスカラーが零に等しい場合に限ると言っても同じことである。基底の線型独立性は、の任意のベクトルが基底ベクトルによる表示(そのような表示ができることは基底が全体空間を張ることから保証されている)が一意であることを保証する。このことは、基底ベクトルをにおける基本ベクトルや高次元の場合の同様の対象を一般化するものと見ることによって、ベクトル空間の観点での座標付けとして述べることができる。基本ベクトルはの標準基底と呼ばれる基底を成す。これは任意のベクトルがこれらのベクトルの線型結合として一意的にと表されることによる。