となる。これをゼータ関数に代入したとき、被積分関数は広義一様に絶対収束するため項別に積分する(極限と積分を入れ替える)ことができて、解析接続.まず、ゼータ関数がのもとで絶対収束することを以下に証明する。前項でゼータ関数の積分表示を示した。すなわち、である。この積分表示に対して、ベルヌーイ数の指数型母関数をとおき、さらに、のように記述すれば、であり、はで収束する。これに部分積分を適用すると、が得られる。ゼータ関数の特殊値.と表すことができる。ここで、は番目のベルヌーイ数である。である。ただし、ここでは虚数単位である。ここで右辺は、であり、ベルヌーイ数の定義から、となるので、ベルヌーイ数の特殊値を利用し、一方、正弦関数の無限乗積の対数は、であり、両辺を微分してを乗じると、となるが、これをテイラー展開して整理すると、それぞれで導いたを比較して、またのとき、が成り立つ。から始める。ただし、ここでは自然数ではない複素数で、積分路はである。ここでを自然数としてとすると、となる。留数定理に基づいてこの複素積分を実行すれば、となるのでベルヌーイ数の定義から,ここで、右辺の留数は、であるから、が成り立つ。ここで、とおくと、が成り立つ。この漸化式はベルヌーイ数の漸化式から導かれる。小さい正の奇数については、などが数値的に成り立っている。これらに関して、級数との関係.複素平面上で複素数はベクトルとして表され、和はベクトルの和で表される。このため級数オイラー積.オイラー積に基づく等式.この等式は、次の通りオイラー積に基づく単純な式変形により導かれる。この等式の発見者について、オイラーは包括的なオイラー積の生みの親であるが、ラマヌジャンはの場合を発見していたとされる。の場合、等式は次の通りである。が正の偶数の場合、ゼータ関数の特殊値より、この等式の値は、ベルヌーイ数と整数階乗のみの計算となるため、結果的に有理数となる。ゼータ関数の表示と関数等式.ゼータ関数は次のような表示も持つ:ここでに関する積はリーマン・ゼータ関数の複素零点全体をわたるものとする。この式から、は整関数であることが分かる。実際という式を推測している。