適当な条件の下で、函数と分布あるいは分布同士の畳み込みが定義できる。がコンパクト台付き函数でが分布ならばは、函数の畳み込みの式を分布版にしたで定義される滑らかな函数である(が密度函数を持てば通常の函数の畳み込みに書き直せる)。より一般に、試験函数に対して結合律が成り立つような一意的な方法で畳み込みの定義を拡張することができて、それはが分布、がコンパクト台付き分布のときには有効である。測度.測度の畳み込みは、測度のをノルムとして群上の畳み込み.適当な測度を備えた群とその上の実または複素数値ルベーグ可積分函数とが与えられれば、それらの畳み込みをで定義することができる。しかし一般には可換性が成り立たないことに注意すべきである。局所コンパクト群上の不変積分の場合.典型的な場合として、が局所コンパクトハウスドルフ位相群でが左ハール測度(左不変測度)の場合である。右不変測度に対しても同様の積分を考えることができるが、が単模でないならば両者は一致しない。前者の定義では、固定した函数による畳み込みが群への左移動作用と可換:となることからよく選ばれる。さらにこの定義では後で述べる測度の畳み込みの定義と矛盾しない。一方、左不変ではなく右不変測度を取り、後者の定義を用いれば右移動作用と可換になる。よく知られた例の導出.局所コンパクトアーベル群上で、ある種の(畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の点ごとの積に一致する)が成立する。円周群にルベーグ測度を考えたものはよく知られた循環畳み込みの場合の例を与える:を固定して、ヒルベルト空間に作用するよく知られた作用素:がとれる。作用素はコンパクト作用素である。直接計算により、その随伴作用素はによる畳み込みであることが示せる。上で掲げた可換性により、は正規作用素(である。または平行移動作用素とも可換である。そのような畳み込み作用素と平行移動作用素全体の成す作用素族をとすれば、は正規作用素からなる可換族である。ヒルベルト空間上のスペクトル論に従えば、を同時対角化する正規直交基底が存在して、これが円周上の畳み込みを特徴付ける。具体的には