ユークリッド空間のように、距離の定まった空間における点の列についての収束の概念を、実数の列の収束の概念を拡張して定めることができる。すなわち、点列が点に収束するとは、正の実数列がに収束することである。この概念をさらに一般化して、自然数によって数え上げられるとは限らない「列」とその収束性を一般の位相空間に対して定式化することができる。(#位相空間を参照のこと)関数.変数の収束に伴う関数の挙動.を実関数とし、を実数とする。式またはという形で厳密に定義される。このとき、この極限と関数のにおける値は無関係であり、であることもあれば、がにおいて定義されている必要もないのである。このことを理解するために次の例を挙げる。がに近づくときのの値を考える。この場合、はがのときに定義されており、値はである。例として、また、のとき、の値が限りなく大きくなることを、「がに限りなく近づくとき関数は正の無限大に発散する」といい、または、と表す。このことは次のように厳密に定義される。逆に、のとき、の値が限りなく小さくなることを、「がに限りなく近づくとき関数は負の無限大に発散する」といい、または、と表す。これは次のように厳密に定義される。連続な実関数がとする極限において発散するならば、はにおいて定義できない。なぜなら、定義されていたとするとは不連続点となるからである。無限遠点における挙動.一般にはがある有限の値に近づくときを考えることが多いが、が正か負の無限に近づくときの関数の極限を定義することもできる。ある無限区間(を含む集合)で定義される関数において、が限りなく大きくなると関数の値がある値に近づくとき、「が限りなく大きくなるときはに収束する」といい、または、と表す。これは次のように定義される。また、ある無限区間で定義される関数において、が限りなく小さくなると関数の値がある値に近づくとき、「が限りなく小さくなるときはに収束する」といい、または、と表す。これは次のように定義される。関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。または、と表す。これは次のように定義される。または、と表す。