実変数や整数変数の関数であれば、周期的であることは関数のグラフが特定の一部分のコピーを一定間隔で並べて全体を形作ることができることを意味する。のようなことが成り立つ。この関数のグラフは鋸歯状波になる。三角関数の正弦および余弦関数は、ともに周期を持つ、共通周期関数である。フーリエ級数の主題は、「勝手な」周期関数を周期を調整した三角関数の和として表すという考えについて研究するものである。上記の定義に従えば、例えばディリクレ関数のような、ある種の際立った関数までもが周期的であることになる(ディリクレ関数の周期は任意の非零有理数)。性質.周期関数が周期を持つならばの定義域の各元と任意の整数に対してが成立する。同じくが周期を持つならば、定数に対して函数は周期を持つ周期函数になる。例えばは周期ゆえは周期を持つ。二重周期関数.複素変数の周期関数.複素数を変数に持つ周期関数として、以下の複素指数関数がよく知られている(この関数はときに関数とも呼ばれる)。実部の余弦関数と虚部の正弦関数のどちらも周期的であるから、この関数は明らかに周期的である。このような複素指数関数の三角関数による表示はオイラーの公式として知られる。この複素指数関数を用いることで三角関数は指数関数によって書き表すことができる。三角関数と同様に指数関数の周期はで与えられる。一般化.反周期関数.ブロッホ関数.ブロッホ波やフロケ理論の文脈では、周期関数はさまざまな周期的微分方程式の解として一般化され、まとめられる。この文脈で(一次元の場合の)解は、典型的には適当な実または複素定数を伴ってなる形に表される(定数はブロッホ波ベクトルやフロケ指数と呼ばれる)。この文脈では、この形の関数はブロッホ周期的であると言うこともある。通常の周期関数はなる特別の場合であり、また反周期関数はなる特別の場合である。商空間上の関数.