しかし、これらの制限を組み合わせて、区間の等分割上で左側または右側リーマン和を考えるのは危険である。初めから函数がリーマン可積分であることがわかっている場合には、そのようなリーマン和から正しい積分値が得られるが、しかし例えばディリクレの函数は、このようなリーマン和を用いると上可積分で、その値がであるかのように見えてしまう。実際、任意の小区間の端点は有理数になるから、有理数の上で値がであるこの函数は、この分割では常にであるかのように見えてしまう。このように定義することに伴う問題は、積分を二つの部分に分割しようとするときに顕在化する。例えば、次のような等式は当然の如く成立すべきものであるが、等分割上の左側または右側リーマン和を用いた場合は、左辺の二つの項は(以外の全ての端点が無理数になるから)ともにに等しく、他方右辺は既に見たようにに等しい。上述の定義のもと、リーマン積分はこの問題を「の積分が存在しない」とすることで回避する。なお、ルベーグ積分はこれらの積分の値が全てとなるように定義されている。性質.線型性.リーマン積分は線型変換である。すなわち、が有界閉区間上リーマン可積分で、を定数とすると、が成り立つ。函数のリーマン積分は一つの数であるから、これはリーマン積分がリーマン可積分函数全体の成すベクトル空間上の線型汎函数となることを示している。可積分性.有界関数のリーマン可積分性はルベーグ測度を用いて以下のように特徴づけられる:可算集合は測度であるので、上の定理から特に、有界閉区間上の有界函数は不連続点が高々可算個ならリーマン可積分である。この定理は様々な方法で証明できるが、そのうちの一つは以下のようなものである:有界集合の指示函数がリーマン可積分であるための必要十分条件は、その集合がジョルダン可測となることである。閉区間上の実数値函数がリーマン可積分ならば、ルベーグ可積分でもある。つまり、リーマン可積分性はルベーグ可積分性よりも「強い」(つまり満たすことが難しい)条件である。を閉区間上の一様収束列で、その極限をとするとき、すべてのがリーマン可積分であるならばもまたリーマン可積分でが成立する。しかし、(点ごとの収束が単調なときの)ルベーグの単調収束定理は成り立たない。一般化.