は実数体(あるいはより一般に適当な順序体)上のベクトル空間とする。ユークリッド空間はその例である。内の集合が凸であるとは、任意のおよび任意のに対し、点もまたに属することをいう。即ち、ととを結ぶ線分上の各点がに属する。これにより、実または複素位相線型空間における凸集合は弧状連結、したがって連結であることが従う。集合が絶対凸とは、それが凸かつ均衡であるときにいう。凹集合.性質.が成り立つ。このように書かれるベクトルは、の凸結合と呼ばれる。交叉と合併.ベクトル空間の凸部分集合は以下の性質をもつ。最後の凸集合の合併に関する性質については、合併をとる対象を包含関係を持つ列に制限することが大切である(ふたつの凸集合の合併は必ずしも凸集合でない)。閉凸集合.閉凸集合は、その極限点をすべて自身に含むような凸集合である。これらは、閉(超平面の片側に位置する空間内の点の集合)たちの交わりとして特徴付けることができる。凸包とミンコフスキー和.凸包.ベクトル空間の部分集合は、もっとも小さな凸集合(の凸包と呼ぶ)に含まれる。すなわち、凸包は、を含むすべての凸集合の交叉である。凸包作用素はを特徴づける性質をもつ。として定義される。凸集合の任意の交叉は凸集合であり、従って(実または複素)ベクトル空間の凸部分集合全体は完備束を成す。ミンコフスキーの和.実線型空間において、二つの空でない集合のミンコフスキー和は、加えられる各集合の元ごとの和の集合として定義される。より一般に、空でない部分集合の有限族のミンコフスキー和は、同様に元ごとの和をとってで与えられる。ミンコフスキー和に関して、零ベクトルのみからなる集合は特に重要である:空でない任意の部分集合に対して代数の言葉で言えばは(空でない集合族上の)ミンコフスキー和の単位元である。ミンコフスキー和の凸包.ミンコフスキー和は、凸包を取る操作に関して以下の命題が示す通りよく振舞う。を実ベクトル空間の部分集合とすると、それらのミンコフスキー和の凸包は、凸包のミンコフスキー和である。この結果は、有限個の空でない集合の集まりに対して、より一般的に成り立つ。数学的な言い方をすれば、ミンコフスキー和と凸包を作る操作は、可換な操作である凸集合のミンコフスキー和.