基本的にに到達するごとにに戻るのであって、これは法で考えているということになる。先の例ではとは法に関して合同であると言う。より一般にetc.は法のもとで等しいものと考える。文字盤に任意個数の整数の書かれた時計を想像すれば、一般化は容易であり、計算もできる。法に関する合同.定義.が以上の整数として、「二つの整数が法に関して合同である」とは、以下の同値な条件のいずれか(したがってすべて)を満足する場合を指す:記法.二つの整数が合同であることを表すのにが記号として用いられる。ととが法に関して合同であることを表すのに、以下のような表記がある。性質.同値律.法に関する合同という関係は以下の性質を満たす:即ち法に関する合同という関係は同値関係である。代数学的性質.特に踏まえておくべき代数学的性質は、かつならばが成り立つことである。ここからならば任意の整数に対しておよびであること、および正整数に対してであることが容易に導ける。これは法に関する合同関係がある意味で整数の加法および乗法と「両立する」ことを示すものであり、「法に関する合同は有理整数環の構造と両立する」と言い表す。これにより商集合に合同算術の環を定義することができるようになる。合同類環.構成.この集合上での加法と乗法は、整数に関する加法と乗法と同様に定義される:法に関する加法と乗法を以下のような表にまとめることができる:これら加法と乗法は、整数の集合における加法と乗法に良く似た性質を持つ:これらの性質を満足する集合は(単位的)環と呼ばれる。簡約と合同方程式.では常に正当であるにも拘らず、合同類環では必ずしも正当化されない操作の一つに、簡約(消約)がある。同様に、整数の演算では常に成り立っているのに上では必ずしも成り立たない性質として、「積がに等しいならばいずれかの数がに等しい」というものがある。こういった理由により、乗法を含む方程式を解くのは少々厄介である。の方程式が上で一意な解を持つための必要十分条件は、ととが互いに素であることである。合同類環の構成は環のイデアルによる商構成である。環の代数的性質に関しては合同類環の項へ譲る。冪とフェルマーの小定理.