これが意味するのは、定義によってすべてのに対してということである。すべてのに対して集合とは同じにはなり得ない、なぜならばは(による)像が自身を含まないようなの元から構成されていたからである。より具体的には以下のとおりである。任意のを考えると、かまたはである。前者の場合には、である一方の構成からであるため、とは等しくない。後者の場合には、である一方の構成からであるため、やはりとは等しくない。したがってなるは存在しない。言い換えるとはの像に含まれない。はの冪集合に含まれるから、の冪集合は自身よりも大きい濃度を持つ。別の証明方法としては、が空集合であるかどうかにかかわらず、つねにの冪集合に含まれることを用いる。が全射であるためには、のある元はに写らなければならないが、これは矛盾であることを示す。の構成より、のどの元もに写らない。したがってに写る元はの元ではない。しかしこれはの構成における元の判定条件を満たし、矛盾。したがってのある元がに写るという仮定は誤りである。したがっては全射ではない。具体例:可算無限集合の場合.証明を理解するために、元の集合が可算無限集合である場合を考えよう。一般性を失うことなく(自然数の集合)ととれる。とその冪集合は等濃と仮定する。の具体的な例を見よう:さての具体的な元がわかっているから、これらの無限集合が等濃であることを示すために、とのそれぞれの元をペアにしてみよう。言い換えると、の各元が無限集合の元とペアになるようにして、どちらの無限集合の元もペアにならないまま残ることがないようにする。このように元をペアにすると以下のようになるだろう:とペアにできる自然数は存在しないから、もとの仮定「との間に全単射が存在すること」に矛盾する。集合は空かもしれないことに注意しよう。これはすべての自然数はを含む自然数の集合に写ることを意味する。すると、すべての自然数は空でない集合に写り、どんな数も空集合に写らない。しかし空集合はの元であるので、写像は全射にならない。