項が何らかの対象を表す記号列であったのに対して、論理式は何らかの命題を表すものである。論理式は原子論理式と呼ぶ最も基本的な論理式から結合記号と量化記号を繰り返し用いることによって形成される。まず、原子論理式は次のように定義される:例.再び自然数論の言語を考える。定義から、はすべて原子論理式(したがって論理式)であり、自由変数.論理式の真偽.構造.論理式の充足.論理的帰結.形式的証明.形式的証明の定義の仕方はひとつではなく、様々な異なる(等価な)方法がある。ここで述べる定義はヒルベルト流計算の典型例であり、これは異なる公理を多数用意して推論規則を少なくするスタイルをとっている。ゲンツェン流の形式的証明では逆に、公理を少なくして推論規則を多く用いている。ここで述べるものと異なる証明可能性の定義については「自然演繹」「シークエント計算」などを参照。論理公理.推論規則.全称化(GEN).証明可能性.論理式φが論理式の集合Σから証明可能であるとは、Σに属する論理式と論理公理から推論規則の有限回の適用によってφが得られることを意味する。そして、Σに属する論理式と論理公理からφを導出する仮定を示した論理式の有限列を、Σからのφの形式的証明とよぶ。これらの概念は次のように厳密に定義することができる。代入について.代入可能性の正式な定義は次の通りである。等号に関する公理について.健全性と完全性.健全性とは、Σの定理はすべてΣの論理的帰結であることである。完全性とは、Σの論理的帰結はすべてΣの定理であることである。古典一階述語論理は健全かつ完全である。一階述語論理に関する定理.以下、健全性定理と完全性定理以外の重要な定理を列挙する。他の論理との比較.述語論理