は完全連続であることが示されている。はコンパクトな台を持つ上の連続的微分可能な実数値函数とする。このときに対し、とにのみ依存するある定数が存在して次の不等式が成り立つ:すると適切に反復することにより、上の他の位数の埋め込みも得ることが出来る。ハーディ=リトルウッド=ソボレフの補題.ソボレフ自身によるソボレフ埋蔵定理の本来の証明は、ハーディ=リトルウッド=ソボレフの定理として知られる以下の内容に従うものであった。同様の内容はにおいてはソボレフの補題としても知られている。証明はに見られる。とを定める。を上のリースポテンシャルとする。このとき、に対して、にのみ依存する定数が存在して、次が成り立つ:なら、次の弱い形式の評価が成立する:ここでである。ハーディ=リトルウッド=ソボレフの補題は、リース変換とリースポテンシャルの間の関係により、本質的にソボレフの埋め込みを意味するものである。モレーの不等式.とする。このとき、とにのみ依存するある定数が存在して、すべてのに対して次の不等式が成り立つ。ここで同様の結果は、境界がであるような有界領域に対しても成り立つ。この場合、となる。ここで定数はとに依存する。この場合の不等式は、からへのノルム保存拡張を行うことで、上述の不等式より従う。一般ソボレフ不等式.はの有界開部分集合で、その境界はであるとする(は非有界である場合もあるが、その場合の境界は存在するなら十分に良く振る舞うものである)。を仮定し、次の二つの場合を考える。この場合、である。但しである。さらに次の評価が成り立つ。この定数はとにのみ依存する。この場合、はヘルダー空間に属する。より正確に言うと、が成り立つ。ここでである。さらに次の不等式が成り立つ。ここで定数はとにのみ依存する。がにのみ依存するある定数に対して成立する。この評価はポアンカレ不等式の系である。ナッシュ不等式.によって導入されたナッシュ不等式によると、すべてのに対してある定数が存在し、次が成立する:この不等式は、フーリエ変換の基本的な性質より従う。実際、半径の球の補集合についての積分に対して、がパーセバルの定理より従う。一方、