このときの元を自然数といい、自然数に対して自然数をその後者()という。第五公理は、数学的帰納法の原理である。これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない。ペアノの公理からやのような「定理」を証明するにはなどの項を導入したり、加法や乗法の存在や性質を示したりする必要がある。たとえばを見よ。回帰定理.次の主張を回帰定理()という。集合に属する元と写像が与えられたときを満たす写像が一意的に存在する。たとえばのとき写像は初項がの漸化式により定義される数列に他ならない。回帰定理はこのような再帰的に定義される写像の存在と一意性を数学的帰納法の原理により保証する。範疇性.集合と定数と関数がペアノの公理を満たすとき組をペアノ構造()という。ペアノ構造は同型を除いてただ一つに定まる、つまりペアノの公理は範疇的()であることがわかる。集合論的な構成.現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている。集合論における自然数の標準的な構成法としてはがある。これらの集合は存在して、ペアノの公理を満たすことが確かめられる。このとき具体的な自然数はのようになる。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる。自然数の集合が定義されたとき、その構成と自然数上での帰納法から、自然数上の算術や順序を定めることができる。加法.自然数の加法は次のように再帰的に定義される。乗法.自然数の乗法は次のように再帰的に定義される。順序.自然数の順序は次のように定義される。あるについてが成り立つときと定義する。またかつのときと定義する。ペアノ算術.非論理記号として定数記号と関数記号,,と述語記号をもつ等号つき一階述語論理の形式言語上で、以下の公理によって定まる理論をペアノ算術()あるいはPAという(形式言語や公理の選び方には本質的に同じものが色々とある。)。自然数の標準モデルにおいて真である閉論理式はペアノ算術から証明ができること(PAの完全性)が知られている。歴史.ペアノがこれらの原始命題によって自然数そのものを定義しようとはしなかった点には注意を払う必要がある。