環と多元環.を備えるものを言う。が体上定義された環準同型であるということは、は自明環かさもなくばは単射である。この定義は、スカラー乗法をを満たすものを言う。言い換えれば、図式を可換にする環準同型を多元環の準同型と呼ぶのである。構造係数.体上の多元環に対し、その双線型な乗法はの基底元の間の積を求めれば完全に決まる。逆に、の基底を選んでおいて、その間の積を任意に定めるならば、それを延長して上の双線型な演算が一意的に定まり、それは多元環の積の条件を満足する。なる規則によって完全に決定するものである。ただし、はの基底とする。構造係数に課される条件は、次元が無限大であるときには、この和が(状況に応じて適当な意味で)常に収斂することだけである。構造係数のいくつか異なる組に対して、同型な多元環が生じ得ることは留意すべきである。多元環が計量を備えているときには、構造係数の添字は上付きと下付きに書いて、座標変換に対するそれらの変換規則を区別する。具体的には、数理物理において、下付き添字は共変添字で、を通じて変換し、他方上付き添字は反変添字で、押し出しのもとで変換するので、このとき構造係数はと書かれ、またアインシュタインの縮約記法を用いるなら定義式はと書くことができる。ベクトルの成分に関する添字記法を用いるならば、これはと書くこともできる。が単に可換環であって体を成さない場合、同様の過程はが自由加群であるときに限れば通用する。そうでなくとも、の乗法はを生成する集合上の作用が決まるならばやはり完全に決めることができるが、しかしこの場合には構造係数を任意に決めるということはできず、構造係数から同型を除いて多元環を決定するということも可能にはならない。低次元多元環の分類.複素数体上の二次元、三次元、および四次元の単型結合多元環(線型環)はによって、同型を除く完全な分類が知られている。二次元の多元環は二種類で、何れの多元環も単位元ともう一つの元の二つの基底元の複素係数線型結合からなる。単位元の定義からは確定しているから、残るはを特定すれば決まり、の二種である。三次元の多元環は五種類で、各多元環は単位元とほかに二つの基底元の複素係数線型結合からなる。単位元の定義を勘案すれば、各々の多元環は以下のように特定できる。