突然のドイツ軍の侵攻に不意を突かれたの司令官少将は、ドイツ軍の規模やその意図についての情報を全く持たない中で、「諸隊が現在地を撤退するのは、そこが持ち堪えられなくなったとき、ただ、その時にかぎる」と実質的な死守命令を出した。隷下の各師団からはドイツ軍の戦力が強大なことや、いたるところで前線が突破されているという情報がもたらされたが、ミドルトンの死守命令が覆ることはなく、さらに「一切の陣地はいかなる犠牲をはらっても、これを堅持せよ」と強い命令を下している。バルジの形成.特殊作戦.グライフ作戦.連合軍の防衛.連合軍の状況判断.これらのアメリカ軍司令部の動きはヒトラーやドイツ軍最高統帥部にとって全くの予想外で、寄合所帯の連合軍には各国間の調整が必要で迅速な対応ができず、アメリカ軍単体でも指揮系統を無視した臨機応変な対応はできないと分析しており、こうも早く防衛体制を立て直せるとは考えていなかった。そしてこれらの増援部隊は各戦場で決定的な役割を果たすこととなる。連合軍の作戦計画.ドイツ軍の状況判断.サン・ヴィトの攻防.パイパー戦闘団の壊滅.ドイツ軍の降伏勧告.連合軍の反撃とその後.ドイツ軍進撃停止.アメリカ軍とイギリス軍の不協和音.ドイツ軍の撤退.両軍の損害.戦局への影響.ドイツの初期の攻勢は連合国を驚かせ、いくつかは成功したが西部戦線での主導権を奪還するに至らなかった。当初予定していたドイツの目標は達成出来ず、「バルジの戦い」は多くの損害を生み出し、連合国の反撃により、押し戻される結果になった。二項係数歴史と記法.定義と解釈.自然数(も含める)およびに対し、二項係数は二項冪の展開におけるの項の係数として定義できる。同係数は(のとき)二項公式に現れるため「二項係数」の名がある(この式自体は環の互いに可換な任意の元に対して成り立つ)。二項係数の値の計算.漸化式.一つは、をなる自然数として、純加法的な漸化式を初期条件「任意のに対し」の下で用いることである。あるいはまた、の両辺におけるへの寄与を見ることでもこの漸化式は得られる。においてやの項は存在しない(あるいは係数が零である)から、二項係数の定義を上記の境界を越えて延長して、とすることもできる。