閉集合に関する別の特徴づけが、点列や有向点族(ネット)を通じて与えられる。位相空間の部分集合がにおいて閉であるための必要十分条件は、の元からなる任意の有向集合の極限がふたたびに属することである。距離空間などの第一可算空間においては、有向点族をすべて考えなくても、点列の極限と収束だけ見れば十分である。このような特徴づけの一つの価値は、位相空間よりも一般である収束空間の文脈で定義として用いることができるという点である。この特徴付けは、(において点列や有向点族が収束するか否かは、にどのような点が存在するかということに依るから)周辺空間にも依存するものであることに留意する。さらに言えば、コンパクト空間の任意の閉集合はコンパクトであり、ハウスドルフ空間の任意のコンパクト集合は閉集合である。閉集合によるコンパクト性の有用な特徴づけを与えることもできる。位相空間がコンパクトであるための必要十分条件は、の空でない閉集合族でその交わりが空ならば必ず、その有限部分族で交わりが空となるものがとれる(同じことだが、有限交叉性を持つ任意の閉集合族は空でない交わりを持つ)ことである。位相空間が不連結であるとは、互いに交わらない二つの空でない閉集合でそれらの合併がとなるようなものが存在するときに言う。さらに、が完全不連結であるとは、それが閉集合からなる開基を持つときに言う。開集合数学の位相空間論における開集合(かいしゅうごう、)は、実数直線における開区間の概念を一般化する概念である。もっとも簡単な例は距離空間における場合で、そこでは開集合の概念は、各点を中心とする球体を含むような部分集合と一致する。しかし、一般には開集合は非常に抽象的なもので、「開集合の任意個の合併は開集合である」「開集合の有限個の交わりは開集合である」「全体空間は開集合である」という性質を満たす限りにおいて任意の集合族を開集合族とすることができる。空間に対する開集合族の選び方の各々は位相と呼ばれる(位相の特徴付けの項も参照せよ)。全ての集合には、任意の部分集合が開集合である離散位相と、空集合と全体集合のみを開集合とする密着位相という、二つの自明な位相が定義できる。