上式は、主定理の右辺を、グリーンの定理に帰着する過程に他ならない。さらに、内積の多重線形性を考慮すると、を意味する。さらに、以下の事実を考慮し、さらに、スカラー三重積を考慮すると、以下の等式を得る。一方で、面積分の定義からが成り立つ。さらにスカラー三重積を考慮すると、以下を得る.従って、以下の等式が成り立つ。証明の第四段階.主定理の証明の最終段階である。Secondstepの結果と、Thirdstepの結果をグリーンの定理に代入すると、主定理が得られる。保存力場への適用.本節では層状ベクトル場(保存力場)に本定理を適用し、スカラーポテンシャルの一意性を基礎づける定理を導く。区分的になめらかな曲線このとき、以下の等式が成り立つ。以降、そのように考える。層状ベクトル場(保存力場).層状ベクトル場は、力学では「保存力場」と呼ばれ。流体力学では、ヘルムホルツの定理(流体力学).であるとき、以下が成り立つ。保存力場を議論する文脈では、そのような本が多い。しかしながら、「ホモトピック」、「ホモトピー」という用語は、通常は、別の意味(より弱い条件のものを指す)で使われる。証明.と定義する。も明白である。従って、である。従って、ことになる。以上から、以下が判る。これに、以下の事実を考え合わせることで、本定理の証明ができた。単連結空間上の保存力場の性質.上記の意味のヘルムホルツの定理は、以下の問題に指針を与える。以下が成り立つ。任意のループと、任意の固定点との間に、区分的に滑らかなループ曲線ような連結空間のことを、単連結空間という。正確な定義は以下の通り。この定理より、イロコイ郡(イリノイ州)歴史.地理.交通.気候と気象.人口動態.郡区.塔寺村塔寺村(とうでらむら)は福島県河沼郡にあった村。現在の会津坂下町塔寺にあたる。交通.鉄道路線.現在は旧村域を只見線が通過するが、当時は未開業。塔寺駅は隣接する旧・気多宮村に開設された。気多宮村気多宮村(けたのみやむら)は福島県河沼郡にあった村。現在の会津坂下町気多宮にあたる。交通.鉄道路線.現在は旧村域に只見線の塔寺駅が所在するが、当時は未開業。坂本村(福島県)