なお、有限半順序集合から前述の方法で作ったグラフは閉路を持たない。逆にを閉路を持たない有限な単純有向グラフとすると、上に以下の順序を入れることでを半順序集合と見なせる:したがって有限半順序集合は閉路を持たない有限な単純有向グラフと自然に同一視できる。上界、最大、極大、上限、上方集合.を半順序集合とし、をその部分集合とし、をの元とする。このとき上界、上限、最大、極大の概念、およびこれらの双対概念である下界(かかい)、下限、最小、極小は以下のように定義される:極大元の概念と最大元の概念は以下の点で異なる。まずがの極大元であるとは、の元は「以下である」か、もしくは「とは大小が比較不能である」かのいずれかである事を意味する。一方がの最大元であるとはの元は常に以下である事を意味する(このときはの任意の元と比較が可能である)。したがって最大元は必ず極大元であるが、極大元は必ずしも最大元であるとは限らない(下の具体例参照)。全順序集合においては必ず極大元は最大元に一致する。具体例.正整数全体の成す集合を整除関係で順序付けるとき、は任意の正整数を割り切るという意味においては最小元である。しかしこの半順序集合には最大元は存在しない(任意の正整数の倍数としてのを追加して考えたとするならば、それが最大元になる)。この半順序集合には極大元も存在しない。実際、任意の元はそれとは異なる。例えばを割り切るからは極大ではありえない。この半順序集合から最小元であるを除いて、順序はそのまま整除関係によって入れるならば、最小元は無くなるが、極小元として任意の素数をとることができる。この半順序に関しては部分集合の上界(上限ではない)を与えるが、は除かれているので下界は持たない。他方、の冪全体の成す部分集合に対してはその下界(これは下限でもある)を与えるが、上界は存在しない。写像と順序.順序に関する写像の概念に以下のものがある:定義.を順序集合とし、を写像とする。このときが順序埋め込みであるとき、はによってに(順序集合として)埋め込まれるという。また順序同型が存在するとき、とは順序同型あるいは単に同型であるという。性質.上で述べた概念は以下の性質を満たす:具体例.