簡約群は実際問題として現れる——,,直交群,斜交群——などの重要な線型代数群の多くを含んでいる。一方で、簡約群の定義は極めて「消極的」であり、多くを語ることができるのか明らかではない。驚くべきことに、クロード・シュヴァレーは代数的閉体上の簡約群の完全な分類を与えた:それらはによって決定される。特に、代数的閉体上の単純群は(有限中心的部分群スキームによる商を除いて)そのディンキン図形によって分類される。特筆すべきことに、この分類はの標数に依存しない。例えば、例外型リー群,,,,はどんな標数でも(さらに上の群スキームとしてさえも)定義することができる。有限単純群の分類は多くの有限単純群が有限体上の単純代数群かその亜種の有理点のなす群として生じると述べている。体上の簡約群はトーラスとある単純群との直積の有限中心的部分群スキームによる商である。例えばである。任意の体に関して、簡約群は上の極大分裂トーラス(つまり、に含まれる分裂トーラスであって、の代数的閉包上でも極大である)を含むならば分裂するという。例えば、はどんな体上でも分裂簡約群である。シュヴァレーは分裂簡約群の分類はどんな体上でも同じであることを示した。それとは対照的に、任意の簡約群の分類は難しいこともあり、基礎体に依存する。例えば、体上の任意の非退化二次形式は簡約群を定め、上の任意の中心的単純多元環は簡約群を定める。その結果、上の簡約群の分類問題は本質的に上の二次形式や上の中心的単純多元環の分類問題を含んでいる。これらの問題はが代数的閉体のときは易しいし、数体などいくつかの体上では理解されているが、任意の体上では多くの未解決問題がある。応用.表現論.簡約群が重要である理由のひとつは表現論に由来する。べき単群が持つ任意の既約表現は自明である。より一般に、線型代数群をべき単群の簡約群による拡大