は「任意の整数がほとんど全ての二項係数を整除する」という幾分驚くべき結果を与えた。より精確に言えば、整数を固定して、はなる二項係数のうちで割り切れるものの総数を表すものとすると、が成り立つというものである。なる二項係数の総数はであるから、これはで整除可能なものの占める密度がに収束することを意味する。別の事実として、整数が素数となる必要十分条件は、中間二項係数の全てがで整除可能なことである。実際、が素数ならば、なる任意のに対してはを割り切る。これは分子は素因数を含むが分母はを素因数に持たないことによる。が合成数のとき、をを割り切る最小の素因数とし、と置けば、かつはで割り切れない。仮に割り切れるとすると分子がで割り切れることになり、それはがで割り切れる場合しかありえないが、はで割り切れるのだから、はを割り切らず、は素数だから従っても割り切らず、それゆえ分子がで割り切られることもない。上界・下界と漸近公式.に関して以下の評価がに対して成立する。スターリングの近似からは,一般にがかつに対して成立する。またのとき近似も従う。ここにはの二値エントロピー関数である。より精確に、任意の整数とに対して、最初の個の二項係数の和をと評価することができる。を得る。より精度を望むならば、を積分で近似してとなる。かつに対しておよびこれら近似式からそれぞれ近似値およびを得る。ガンマ函数の無限積表示に基づく無限積から漸近公式がで成り立つ。この漸近挙動は近似が成り立つ。二項係数の和について、二項定理を用いるとという単純で粗い上界が得られる。近似.が十分大きいとき、は二項係数と正規分布との関係に基づく近似を与える。これは、二項分布と等しい期待値と分散を持つ正規分布をとり、として、を掛ければ、中心極限定理に対する評価から従う。一般化.多項への一般化.二項係数を一般化するものとしてで定義される数を多項係数と呼ぶ。二項係数がの係数であったのに対し、多項係数はの多項式展開の係数であり、のとき二項係数を与える: