が得られるが、これは求める不等式に他ならない。連続関数に対する積分型.注意:証明.を定義する。関数の積の微分公式、連鎖法則、指数関数の微分公式および微分積分学の基本定理を用いることにより、微分が得られる。これを仮定に現れた積分不等式に代入することにより、求めるグロンウォールの不等式が得られる。が得られ、証明が完成される。局所有限測度を持つ積分型.また関数は積分不等式を満たすとする。さらに、もしが成立するという意味において、測度について積分可能であるならば、関数はグロンウォールの不等式を区間のすべてのに対して満足する。ここでは開区間を表す。証明の概略.証明の詳細.が成立する。ここで残部はとしとしている。数学的帰納法を用いる。の場合、空和がゼロであることにより、これはそのまま仮定で現れた積分不等式となる。での成立を仮定したときの、の場合について考える:関数に関する仮定で現れた積分不等式を残部に代入することによりを得る。ここでゼロを含む任意の自然数および、区間に含まれる任意のに対しが成立する。ここで等号は、関数が区間に含まれるについて連続である場合に成立する。の場合、定義により主張は成立する。したがって以下ではの場合を考える。をに含まれる元のすべての組み合わせからなる集合とする。に含まれる任意の組み合わせに対し、を定義する。異なる組み合わせに対するそれらの集合は互いに素となり、が成立する。したがってであることにより、主張の不等式は成立する。グロンウォールの不等式の証明.任意の自然数に対し、により、に現れる残部に対してが成立することが分かる。今、測度は区間上で局所有限であるため、である。したがって、関数の積分可能性に関する仮定によりが得られる。および指数関数の級数展開により、評価が、区間に含まれるすべてのに対して得られる。もし関数が非負であるなら、これらの結果をに代入することにより、関数についての求めるグロンウォールの不等式の変形版が得られる。関数が区間に含まれるについて連続である場合、によりが得られ、したがって関数の積分可能性により、ルベーグの優収束定理を用いることで求める不等式が得られる。八丁原地熱発電所