が定めるでの剰余類がこの巡回群の生成元となるようなものとする。が環になることを示した。これによりは等しいので、この環は後者の記号で表すことにする。当時「環」という概念は無かったので、クンマーはこれを「周期の有理整関数は周期の一次結合として表示できる」と言い表している。の元はと表すことにする。一般にはは異なる。したがって後者の環のすべての元を整数係数の多項式を使ってと表すことはできない。そのためという書き方は誤解を招きやすいのであるが、クンマーにならっての整数係数の一次結合をこのような記号で表すことにする。で個の根を持つ。するとその根になるものとする。を一つ取ると、環準同型であっての像がの剰余類になるものが唯一存在する。クンマーの時代に「環準同型」という概念は無かったのでクンマーはに置き換えて合同式を考える、というような表現をしている。簡潔に述べるため、ここでは「環準同型」の言葉を用いる。を一変数の整数係数多項式としてを考える。これは今日でいうところの円分整数であるが、クンマーは「複素数」と呼んでいる。またアルファベットのはもう使ってしまっているので記号は重複しているのであるが、多項式の方のは必ずとして使うことにして区別する。以上の準備のもと、クンマーはを満たすとき「は置換に属するの理想素因子を含む」と定義した。この合同式の定義は次の通りである。まずの元()を使ってとして表す(表せる)。そしてすべてのに対してが成り立つこと、つまりクンマーはこの合同式で理想因子が含まれるかどうか判定することを化学で例えて「試薬によって生じる沈殿物で溶液に含まれる元素を決定するようなもの」と言っている。イデアル論を使った解釈.記号は今までと同じとする。クンマーが定義した環準同型の核をとする。これは剰余環が整域(更に強く体)なので素イデアルである。これを延長したイデアルの素イデアルである(後述)。円分整数がこの素イデアルに含まれることと「置換に属するの理想素因子を含む」ことは同値である。このことは次のように状況を整理すれば判明する。象徴的に言えば、「理想素因子を含む」の定義はイデアル論での「素イデアルを含む」の定義と完全に一致している、ということになる。