クリフォード代数は、二次形式を備える線型空間を台として、その上に構成される単位的結合多元環である。二次形式を持つということは、実数体上では対称双線型形式の意味でのスカラー積を定義できることと同値で、これに関する直交化を施すことにより、基底でを満たすものをとることができる。乗法が閉じるように、個の元によって張られるの空間を作る。これらの多重ベクトルを超複素数系の基底として解釈することができる。この基底は、もとの基底と異なり、それらの交換に際していくつ単純因子を入れ替える必要があるかによって、反交換となることもならないこともある。つまり、例えばだが、である。となるを含む基底(つまり、もとの空間において二次形式が退化している方向)を除けば、そうでない部分で作られるクリフォード線型環はとラベル付けることができる。この記法の添字については、この多元環の単純基底元のうち個がを満たし、かつ個がを満たすということ、またはこれが実数体上の多元環(各元の係数が実数)であることを示唆するものである。と呼ばれるこれら多元環は体系的な集合を成し、特に古典力学、量子力学、電磁気学、相対性理論における回転、位相、スピンなどを含む物理学的問題に非常に有効なことが知られている。例えば:多元環の元全体は、多元環の偶部分環を成す。このことはより大きな代数における回転をパラメータ付けするために利用することができる。これはつまり、複素数と二次元空間の回転の間の、あるいは四元数と四次元空間の回転の間の、また分解型複素数と次元空間の双曲的回転(ローレンツ変換)の間の、ほかにも同様の、それぞれ近しい関係があるということである。ケーリー=ディクソン構成やその変形である分解型の構成法では八次元以上になると乗法に関して結合的でなくなるが、クリフォード線型環は何次元であっても結合的なままである。古典多元環を超えた拡張については、の項を参照せよ。ケーリー=ディクソン代数.