分数関数においては、分母がになるところで漸近線になり、で漸近線が存在する場合があるが、それぞれ存在しないこともある。無理関数で漸近線が存在するのはグラフと漸近線がどんな遠くでも無限回交わる例もある。減衰曲線(やなど)と軸はその一例である。関数の漸近線.軸平行の漸近線.いずれもで不連続の場合である。したがって、関数の不連続点が、軸平行の漸近線の場所の候補である。で漸近する直線.直線がでグラフに漸近するとする(の場合も同様)。このとき、,は(存在の可否も含めて)次の極限で求められる。直線はでグラフに漸近するから、が成り立つ。左辺の式をで割った式は、尚のことに近付くから、ここでであるから、より、である。■軸平行の漸近線.とくに軸平行の漸近線は、前節のの場合であり、漸近線はで与えられる。例えば、逆正接関数では、より、は漸近線である。分数関数の漸近線.分数関数の漸近線の方程式は、上記の方法を使わずに求めることができる。分数関数の式を(既約分数式)とする。を満たすを求める()。既約よりで、が漸近線である。存在する必要十分条件はである。このときの商,余りを求める。であり、直線がで漸近する直線である。(例)漸近線は、軸平行の漸近線は,、で漸近する直線はである。の値によって、漸近線の位置が分類される。媒介変数表示された曲線の漸近線.媒介変数表示された平面曲線を考える(ここで、はでもよくはでもよい)。曲線は無限遠点に向かう、すなわちが成り立つことを仮定する。直線が曲線の漸近線であるとは、のとき点と直線の距離がに収束することと定義される。一般に、点と直線の距離はで与えられるので、直線が曲線の漸近線であるとは、が成り立つことと同値である。曲線の媒介変数表示は一意ではないが、漸近線の定義はその取り方に依らない。実際、を媒介変数の取り換えとすると、はと同値であるからである。実一変数の実数値関数のグラフは、媒介変数表示された平面曲線の特別な場合と考えることができる。関数のグラフは点の集合であり、を径数とすれば、径数付け(の一つ)が得られる。曲線である漸近線.