と書いてもよい。三つの函数の積の導函数はである。発見者について.積の法則の発見者はゴットフリート・ライプニッツであると言われる。ライプニッツは無限小(微分)を用いてこれを示した。で与えられるはずだが、項は(およびに比べて)「無視できる」(高位の無限小)ことから、ライプニッツはであると結論付けた。実際、これが積の法則の微分形である。両辺を無限小で割るならばが得られ、これはまたラグランジュの記法によってと書くこともできる。厳密な証明.標準的な微分積分学の場合.積の法則の厳密な証明には、微分の定義と極限の基本性質を用いる。積について、各因子は一点においてそれぞれ微分可能であるものとする(以降、本節を通しては固定するものとする)。主張は、積が点において微分可能であること、およびその微分係数がで与えられることの二点である。差分を考える。は固定しているといっても、はの値(これは十分に「小さい」ものと考える)に依存して変化することに注意せよ。積がにおいて微分可能であるということは、極限が存在するという意味であり、また微分可能であるときはこの極限の値として定義されるのであった。と同様に、およびと定める。これらはやはりと同じくの函数になる。このときおよびである。さてこのとき、を分配法則に従って展開すれば、を得る。証明自体には不必要だが、この積を以下のような面積図を用いて図形的に表すのも理解の一助となるであろう。の値を得るには、先の等式からを引けばよいのだから、面積図で言えば白い矩形の面積を除く残りの三矩形の面積にあたるを得る(右辺の前二項は面積図で言うところの青い矩形の面積に相当し、三番目の項は灰色の矩形の面積に相当する)。微分係数を求めるためにはのをに近づけた極限を求めねばならない。極限の基本性質と微分の定義を用いて、一項づつ処理していこう。まずはであり、同様ににおいて、は連続であるからの極限はとなることを用いる。結論には変わりないがという形で述べてもよい。こうして等式の三項がそれぞれ極限を持つことが示されたから、したがって極限は存在し、その値は三項の極限の和に等しい。即ち、積は点において微分可能であり、その微分係数は