であるので、とみなす。本項で重要なのは底が自然対数の場合なので、底に対するシャノンエントロピーを単にシャノンエントロピーと呼び、と略記する。フォン・ノイマンエントロピーの定義.定義.と呼ぶ。ここではボルツマン定数である。別定義.を定義する事ができ、性質.を満たす。フォン・ノイマンエントロピーは通常の観測(射影観測)を行った場合には、増加するかも知れないが、減少する事はない。しかしより一般的な観測をした場合には減少する場合がある。時間発展.フォン・ノイマンの式は、純粋状態(状態ベクトル)の時間発展を記述するシュレーディンガー方程式と密度演算子の定義式だけを用いて導出できる。ここでブラ・ベクトルはケット・ベクトルの双対であることに注意。統計力学への応用.統計力学においては、状態のアンサンブルを混合状態と考えることができる。量子統計力学では、あるハミルトニアンの各エネルギー固有状態が混合していると考えて密度行列を表現することがよくある。密度行列は、たとえば混合の比率がカノニカル分布で表せるとすると、グランドカノニカル分布では、で表される。ここでは逆温度、はボルツマン定数、はグランドポテンシャル、はグランドカノニカル分布でのハミルトニアンである。このときオブザーバブルの期待値は、と書くことができる。特にが恒等演算子の場合、を満たす。また、がハミルトニアンの場合、ハミルトニアンの固有値をとすれば、と書き換えられる。密度行列演算子は相空間の中でも実現される。ウィグナー函数の下では、等価なウィグナー函数への密度行列変換は、である。このウィグナー函数の時間発展の方程式は、上記のフォン・ノイマン函数のウィグナー変換である。斜面崩壊斜面崩壊(しゃめんほうかい)とは、集中豪雨などによって斜面が不安定になり崩壊に至ることである。斜面の安定性は地下水の影響を受けるが、発生機構(メカニズム)については個性があり一概にはいえない。要因.多くの場合、複数の要因が関連し合って発生する。人工林との因果関係.対策.