「実際の積分計算」に対しては、ニュートンとライプニッツによる微分積分学の基本定理(微分と積分の基本的なつながりを示す定理)が利用される。これを先ほどの平方根関数の例に適用すれば、その原始関数に対し、単に両端の値を代入した原始関数の差を計算すればよい(、は区間の境界である)。従って、定積分(この曲線の下側の面積の「真の値」)は、機械的にと計算することができる。前述したとおり、短冊に分割した計算の結果は分割数を増やすほどこの値に近づく。積分の記法歴史的には、初期の無限小を厳密に解釈する試みが失敗したあと、リーマンが重み付き和の極限として積分を厳密に定義したものであって、それゆえには差(つまり区間の幅)の極限を示唆したものということになる。リーマンの積分法には区間の制限や連続性の要求などからくる欠点があったことを契機として、新たな積分の定義が考え出された。特にルベーグ積分は非常に柔軟な方法で「測度」の概念を拡張する方法に基づくものである。ルベーグ積分の記法は、各値に割り当てられた重みがとなるような関数値の分割から得られる重み付き和を示唆するものである。ここには積分領域を表す。微分幾何学で考察される「多様体上の微積分」には、微積分でよく使われている記法に別な解釈を与えることができる。この立場では、とは微分形式として理解され、新たに外微分と呼ばれる微分作用素が導入されて、微積分学の基本定理はより一般のストークスの定理:として述べることができる。ストークスの定理からグリーンの定理、ガウスの発散定理および微積分学の基本定理が導出できる。もう少し新しいところでは、超準解析のような新しい現代的な手法を通じて、無限小が厳密な意味を持って再登場している。これらの方法は黎明期の直観を正当化するのみならず、新たな数学を切り開くものとなった。これらの積分の概念の間には差異はあるけれども、多くの部分では重なっている。例えば、楕円形の水泳プールの表面積は、プールを幾何学的に楕円として扱って、無限小の和あるいはリーマン積分やルベーグ積分として計算しても、微分形式を備えた多様体として計算しても、結果として得られる値は皆同一である。厳密な定義.