などとも書く。このようにに関して合同であるという理解は重要である。しかし、先述のように(適当なリーマン面上で)偏角をとるものと仮定すれば、の整数倍を加える不定性無く実際に等号が成り立つ。すなわち、三つの複素数のそれぞれに対して独立に偏角をとるのではなく、ひとたびを満たすように偏角を一組選べば(例えば右辺の各項の値を決め、それによって左辺の値を定義すれば)、あるいはを連続的に変化させるとき、も連続的に変化して、そのような三点の近傍において常に厳密な意味で等号が成立する。この注意の下で以下が成り立つ:偏角の計算法則は対数のそれとほぼ同じであるが、それは複素対数函数の虚部が偏角に等しいことに起因している。ド・モアブルの定理.実数,整数に対して、と表現することもできる。が整数でないとき一般には成り立たない。性質と特徴付け.体構造.複素数全体からなる集合は可換体になる。つまり、以下の事実が成り立つ。これらの性質は、実数全体からなる集合が可換体であるという事実の下、先に与えた基本的な和と積の定義式から証明することができる。実数と異なり、虚数に通常の大小関係()はない。つまり、複素数体は順序体にはならない。これは、自乗すると負である数(例えば虚数単位)が存在することによる。代数的閉体.代数学の基本定理より、複素数を係数とする代数方程式の解は存在しまた複素数になる。つまり、は、少なくとも一つの複素根を持つ。上記の多項式の複素根の一つをとし、因数定理を帰納的に用いると、上記の多項式はと複素数の範囲で因数分解される。これは、複素数が代数方程式による数の拡張の最大であることを意味している。つまり、は代数的閉体である。この事実により、「任意の代数的閉体に対して成り立つ定理」をにも適用できる。例えば、任意の空でない複素正方行列は少なくとも一つの複素固有値を持つ。代数的特徴付け.体は以下の三つの性質:を満足する。この三つの性質を持つ任意の体は、体としてに同型であることが示せる。例えばの代数的閉包はこれら三つを満たすので、に同型となる。この代数的なの特徴付けの帰結として、は自身に同型な真の部分体を無数に含むことが分かる。または複素体に同型である(が、その同型を決めるには選択公理が必要となる)。