階乗の増大度.が増えるにつれて、階乗はを変数とする任意の多項式函数あるいは指数函数よりも早く増加する(ただし、二重指数関数よりは遅い)。の近似式の多くは自然対数であることを利用する。最も単純に得られるの近似値を評価する式は、上記の式と以下の積分:によって与えられる。積分を評価すればを得る。これは、ランダウの記号を用いればのオーダーはであることを言っているのであり、この結果はソートアルゴリズムの計算量を測るのに重要な役割を果たす。さて上記のの評価からが分かる。実用上はより弱い結果だがより評価のしやすいものを用いることもある。上記の式から簡単な評価をしてみると、任意のに対してであり、またのときであることなどが分かる。大きなに対してをよりよく評価するにはスターリングの公式であることが証明できる。したがってと与えられている。この近似の誤差は、スターリングの公式よりも小さい。連続変数への補間.ガンマ関数とパイ関数.で与えられる。ガンマ函数と階乗との関係は、任意の自然数に対してが成り立つことである。オイラーのもともとの定義式はである。ガウスの導入した別表記として、負でない実数に対するパイ函数はを満たす。ガンマ函数との関係はである。非負整数に対しが成り立つことを思えば、こちらのほうが階乗を補完した函数としては適していると言えるかもしれない。さてパイ函数は階乗が満たすのと同じ漸化式を、しかし定義される限り任意の複素数に対して満たす。事実としてはこれはもう漸化式ではなくて函数等式と見るべきものであるが。この函数等式をガンマ函数に関するものに書き換えればとなる。階乗を延長したものがパイ函数なのだから、定義可能な任意の複素数に対してと定めることは可能である。これらの補間函数を用いて半整数における階乗の値を定めるならば、例えばが成り立ち、さらに自然数に対してが得られる。例えば同様にに対してが成り立ち、例えばそうは言うものの、解析的函数論の意味で恐らくより簡明な、階乗の値を補間する複素函数は存在する。例えばアダマールの「ガンマ」函数はガンマ函数とは異なり整函数になる。オイラーはまた非整数の階乗に対する近似無限乗積