基準振動.振動が微少である場合は、基準振動(固有振動)の足し合わせで表せる。基準振動は独立な調和振動子である。よって格子振動は独立な調和振動子の集まりと等価である。原子間に働く力は線形で、最近傍のみ働くと過程すると、弾性ばねによって表される。それぞれの原子は点粒子と仮定し、原子核と電子は互いに足並みを合わせて運動すると考える(断熱近似)。これは結合方程式であり、解は振動的だと予想されるため、離散フーリエ変換によって新たな座標を定義して分解することができる。ここで解として次を考える。これを運動方程式に代入すると、次のように分解される(これには離散フーリエ変換における正規直交性と完全性関係が必要である。これは次の解を持つ調和振動子の運動方程式である。音響モードと光学モード.縦波モードと横波モード.有限の波数を持つ縦波モードは疎密波であり、固体の周期的な体積変化をもたらす。体積変化は密度変化である。横波モードには密度変化は見られない。多くは、古い地層の中の堆積岩において発見される。化石の存在によって知られる生物のことを古生物といい、化石を素材として、過去の生物のことを研究する学問分野を古生物学という。の二重の性格を併せもっている。でき方と産出状況.遺骸が地層にとじ込められたのち、肉などの軟質部は通常、化学変化により失われる。したがって化石には動物の骨や殻、歯などの固い組織の部分を主として、それらが鉱物に置換されて残っているものが多いが、木の葉や恐竜をはじめとする動物の皮膚や羽毛の型が残っているもの、貝などの内部が鉱物で充填されたものもある。形状的には、凸型(雄型、石膏型形状)のものを「カスト」、凹型(雌型、鋳型形状)を「モールド」と呼ぶ。また、軟体性生物あるいは生物における軟質部が酸素の少ない泥に閉じ込められたバージェス頁岩のような例もまれに見つかる。動物の糞の化石(糞化石)も、その動物の消化器官の様子や、餌にしていた生物を知る重要な手がかりとなる。また、恐竜の卵の化石は一箇所に集中して大量に見つかることが多く、マイアサウラのように、ある種の恐竜は子育てをしたのではないかと推論される証拠も見つかって、このような例から動物たちの多様な行動様式を知ることができる。