積分のきちんとした定義は様々な仕方があり、それらの全てが同値なわけではない。異なる定義が用いられるのは、その殆どが別な定義では積分が定義できない特別な場合に別な扱いを与えるためであるが、それだけでなく時に教育上の理由が介在することもある。最も広く用いられる積分法はリーマン積分とルベーグ積分である。リーマン積分.実数、がであるとき、区間の分割とは、となる点の組のこと、あるいはとなる小区間からなる集合のことである。各を区間の分点、各を区間の小区間または切片という。また、分割の各切片についてをあわせて考えるとき、を点付き分割という。区間の点付き分割があたえられたとき、の形の和を、の点付き分割に関するリーマン和という。分点の個数を十分大きく、切片の長さを十分小さくするような任意の分割に関して、リーマン和の極限が有限に確定するならば、その極限を関数のリーマン積分と称する。またこのとき、は(区間で)積分可能あるいは可積分(より厳密にはリーマン積分可能あるいはリーマン可積分)であるという。区間の分割に対して、とおくとき、が満たされることは明らかである。とくに、が有界ならば(分割のとり方に依らず)各辺の値はいずれも有限値となる。ルベーグ積分.リーマン積分は広い範囲の関数や応用上重要な状況(および理論的に興味深い状況)では定義されないことも多い。例えば、鉄骨の密度を積分してその質量を得ることはリーマン積分で容易に求められるが、その上に静止している鉄球にまでは適応することができない。これが動機となって、より広い範囲の関数を積分することのできる新しい定義が生み出された。特にルベーグ積分は、重み付き和の重み付けの方に注目することによってきわめて柔軟な性質を持つに至った。ルベーグ積分の定義は測度を考えることから始まる。最も単純な場合は、区間のルベーグ測度を区間の幅で定義するもので、従ってルベーグ積分は、(狭義)リーマン積分と(両者が存在する限りは)一致する。より複雑な場合には、連続性も持たず、区間とは全く類似点の無いような、高度に断片化した様々な集合も測度を測ることができる。