と書くことができる。分解型複素数が可逆であることとその絶対値が非零であることとは同値であり、そのとき逆元はで与えられる。可逆でない分解型複素数はヌル元と呼ばれ、ヌル元の全体は適当な実数をとっての形に書ける元の全体と一致する。対角基底.ゆえ、ヌル元である。分解型複素平面におけるもう一つの基底としてをとるとしばしば便利である。この基底は対角基底あるいはヌル基底と呼ばれる。分解型複素数は対角基底を用いてと表せる。実数の順序対で分解型複素数を表すとき、分解型複素数の乗法はで与えられる。この基底を用いれば、分解型複素数の全体が環の直和に同型であることがはっきり判る。対角基底に関して分解型複素共軛はであり、絶対値はを満たす。分解型複素数の幾何.でない任意の実数に対し、点集合複素数におけるオイラーの公式の分解型複素数に該当する類似物としてが成立する。このことは、双曲線余弦関数の冪級数展開が偶数次の項のみからなり、双曲線正弦関数が奇数次の項のみからなることを用いて導出することができる。任意の実数値を取るに対し、分解型複素数はノルムがで単位双曲線の右側の枝上にある。このような数は双曲ベルソルと呼ばれる。は絶対値がであるから、任意の分解型複素数へのを掛ける操作はの絶対値を保ち、双曲的回転(狭義ローレンツ変換、縮小写像とも)を表現する(「回転」というのはの通常の複素数を掛ける操作がの回転を引き起こすことからの示唆)。を掛ける操作は、双曲線をそれ自身に写し、ヌル錐をそれ自身に写すという意味で、幾何学的な構造を保つ。代数的性質.抽象代数学の言葉では、分解型複素数の全体は多項式環のが生成するイデアルによる商環分解型複素数の全体は「ノルム」が正定値ではないから、術語を通常の意味に解する限りはノルム代数を成さない。しかし、定義を拡張して一般の符号数を持つノルムというものを考えれば、その意味での「ノルム代数」と考えることができる。これは以下の事実から従う。一般符号数を持つノルム代数の詳細はを参照。定義により、分解型複素数の環はの巡回群に対する実数体上の群環に同型であることが従う。