拡大体の部分体として.ゆえに環は体を成し、はの上の根体である。さらに言えば、この体の上のベクトル空間としての基底はで与えられる(の任意の拡大体は、の加法との元と見たの元を掛ける操作をのスカラー倍と見做して上のベクトル空間の構造を持つことに注意せよ)。の上の拡大次数はこのベクトル空間としての次元であるから、は多項式の次数に等しい。根体における計算.前節でみたようにの上の根体の元をの次数がの次数より小さい多項式として表すとき、それらの和、積および逆元は、の取り方に依らずのみによって決まる。構成.より抽象的に、はをの生成するイデアルで割った剰余環として定義される。は既約であるから、は素イデアルであり、さらには主環(特にユークリッド環)だから極大イデアル、従って剰余環は体を成す。の各剰余類は、次数高々の多項式をただ一つずつ含み、それらを完全代表系として先に述べた構成および計算が得られる。この体は(の各元は定数多項式と同一視することにより)の拡大体での根を含むものとして構成されたものである。実際、の同値類をと書けば、はの根体である。前の節で述べたことは以下のように言い直せることを注意しておく:実際、からへの環準同型で、の元をそれ自身に写し、かつをに写すものはただ一つであり、の生成するイデアルはこの準同型の核であるから、準同型定理により、環準同型で所期の性質を満足するものが得られる。は体であるから、このは必ず単射である。これらの性質を用いれば、の各元はの線型結合であるということから、がの行き先のみによって決まることがわかる。この性質は特に、の上の任意の根体がに同型となることを保証する(先の記法で書けば、ととって作った上記の準同型の像はとを含むの部分体であるから、それは全体に他ならない)。性質.存在と一意性.の構成は、根体の存在を保証し、ほかの任意の根体がこれに同型であるという性質はその一意性を示している。の根を含むの拡大体に関する研究は、上で有効である。すなわち、以下の定理を得た: