代数学において、与えられた群および環に対する群環(ぐんかん、)は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を係数環とし与えられた群を生成系とする自由加群であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が可換であるとき、群環は与えられた環上の多元環(代数)の構造を持ち、群多元環(ぐんたげんかん、;群代数)(あるいは短く群環)と呼ばれる。群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。無限群の群環はしばしば位相を加味した議論を必要とするため位相群の群環の項へ譲り、本項は主に有限群の群環を扱う。また、より一般の議論は群ホップ代数を見よ。定義.を環、を群とする。を考えるとき、は上の標準基底としてを持ち、が有限群ならば、このはからへの写像全体の成す空間に他ならない。これは無限群の場合には一般には成り立たないが、それでも以下に示すような意味で群環と写像空間は互いに双対の関係にある:群環の元が矛盾なく定まる(右辺が実質有限和であることに注意せよ)。例.このときと群環の元を定めると、これらは中心的直交原始冪等元分解を与え、次の直既約分解と同型が得られる。群環上の加群.特に、群環が半単純であることは、それがに成分をとる行列環の直和として理解することができることを意味する。性質.基本性質.環が乗法単位元を持つとき(群の単位元はと書くことにする)、群環はに環同型な部分環を持ち、またその単元群はに群同型な部分群を含む。実際、は単射環準同型であり、同様には乗法群に関する単射群準同型になる。特に、はの乗法単位元である。群環の中心.また、上の非退化な対称双線型形式(内積)をで定義することができる。これにより、(この部分空間の次元を考えて)ゆえに、群の上の既約表現が(同型を除いて)存在して、それらの指標が群環の中心の基底を成す。前節の記号を引き続き用いて以下の基本的な定理が直接的に示せる。正則表現.指標の直交関係.が成り立つ。右辺の次元は上で考える。が得られる。