直線でない一般の函数では、傾きを持たないことが起こる。幾何学的には、点におけるの微分係数とは函数の点における接線の傾きのことをいい、上記の差分商の極限(微分商)に等しい。これはしばしばラグランジュの記法に従って,あるいはライプニッツの記法に従ってと書かれる。微分商はのにおける線型近似の傾きであるから、この微分商(とにおけるの値)は点の近くでの最適線型近似あるいは線型化を決定する。の定義域の各点において微分商が存在するならば、各点をのにおける微分商へ写す函数(導函数)が存在する。例えば、とすれば導函数はである。これと近しい関係の概念として、函数の微分がある。接点を原点として、各軸に平行な座標軸,を持つ局所座標系を考えるとき、この座標系において原点を通り傾きの直線(すなわち、もとの座標系でみればのにおける接線)はで表される。これはにおける増分の線型化、線型主要部であり、はのにおける微分と呼ばれる。およびが実変数のときはのにおける微分商はのグラフのにおける接線の傾きであり、の始域と終域は一次元であるから、の微分商は実数として与えられるが、およびがベクトル変数のとき、のグラフの最適線型近似はが一度に複数の方向へどれほど変化するかに依存する。一つの方向に関する最適線型近似をとることは偏微分係数(通常、と書かれる)を決定する。一度にすべての方向へのの線型化は全微分という。微分法の歴史.応用.最適化問題.は実数直線(またはその開区間)上で定義された可微分函数で、はの極大値または極小値を与える点とするとき、の導函数のにおける値は零に等しい。なる点は臨界点またはと呼ばれ、またのにおける値はと呼ばれる(臨界点の定義は、微分係数が存在しない点まで含めるように拡張することがある)。逆に、の臨界点をのにおける二階導関数を考えることで調べることができる:これはと呼ばれる。別なやり方として、は臨界点の前後におけるの符号の変化を見る。