を満足する。特にが奇数ならばこれはに等しい。この結果はカール・グスタフ・ヤコビに因んでヤコビの定理と呼ばれる。偶数次元の場合はもっと興味深い結果がある。次数が偶数であるときのの行列式はの成分に関する斉次多項式(代数形式)の完全平方式として書くことができる。ゆえに、実交代行列の行列式は常に非負である。ここで現われた形式はのパフ多項式(パフ式、パフ形式)と呼ばれる。スペクトル論.交代行列の固有値は常にのような対として得られる(奇数次の場合に、を固有値に加えて考えることもあるが、ここでは除いている)。実交代行列の非零固有値はすべて純虚数であり、それらを(各は実数)の形に書くことができる。実交代行列は正規行列(つまり、自身の随伴と可換)であり、それゆえスペクトル論の対象として任意の実交代行列がユニタリ行列によって対角化可能であることを述べることができる。実交代行列の固有値は複素数となるから実行列によって対角化することはできないが、それでも適当な直交変換によって区分対角化することができる。特に、任意の次交代行列は直交行列と行列(ただし、は実数)を用いての形に書くことができる。ここで直交行列とはを満たす行列のことである。行列の非零固有値はである。奇数次の場合には、は必ず少なくとも一つの行か列が全てになる。対応する双線型形式.任意の体上の次元ベクトル空間において、の基底を固定すれば、上の双線型形式は適当な次正方行列によってと表されることを思い出そう。上の双線型形式がが交代的ならば、任意の実ベクトルに対してが成り立つ。実際、はスカラー値ゆえ転置と自身とが一致するが、同時に積の転置法則との交代性からが成り立つ。またこの逆も成り立つ。実際、が交代的でないならばその対称成分がでない固有値を持ち、に属する正規化された固有ベクトルをとすればが成立する。無限小回転.交代行列の全体は、直交群の単位元における接空間を成す。この意味で、交代行列を無限小回転と考えることができる。別な言い方をすれば、交代行列全体の成すベクトル空間はリー群に付随するリー環に一致する。この空間におけるリー括弧積は交換子交代行列の指数函数