ラグランジュの方程式を次のように拡張することによって:現状では、極小曲面の理論は取巻く他の幾何学における極小部分多様体の理論に多様化して、数理物理学(例えば、、)と三次元多様体の幾何学(例えば、、ポアンカレ予想、幾何化予想)に関係するようになった。例.極小曲面の古典的な具体例は以下を含む:現代の曲面は以下を含む:零でない一定のある曲率をもつ、球面は、用語の規定の意味において極小曲面ではない。それは別の極小の意味においてであることを確かめられる:それは一定の体積を内包して面積が極小である曲面である(等周定理の項を見よ)。数学的性質.偏微分方程式.モース理論の応用.モース理論は、臨界点の計算についての有効性を十分に上げる;有限次元のコンパクト空間において定義された或る関数の臨界点の個数を評価するのを含めて成し遂げるところの、モース不等式をもつことでそれは有名である。曲率が零の曲面は面積あるいは体積の臨界点として呈する。それはモース理論の応用を試みられる:とかくするうちに、曲面における'変分'()は無限次元での検討の必要性を導く。コンパクト性は基本的な位相の性質において依存していることを与えない。それでも、類似の理論が成り立ち恒等式を与える:一般化と他分野との関係.極小曲面の定義はに一般化または拡張できる:必ずしも零である必要はない、平均曲率を有する曲面。等温曲面()の曲率線()は等温網()を成す。では離散極小曲面が研究される:頂点の位置の'微動'()のもとで面積を最小化する三角形による複体。そのような離散化はしばしば、閉じた表現が知られていない表示においても、数値的に極小曲面を近似するのに用いられる。極小曲面上のブラウン運動は、極小曲面に関する幾つかの定理の、確率論的な証明を導出する。合成物の素材の自己集合での予想された応用により、特にと材料工学の分野で、極小曲面は甚だしい科学の研究の一分野になった。細胞生物学で重要な構造の、小胞体は、非自明な極小曲面に従う進化の圧力のもとにおかれるよう提案された。一般相対性理論とローレンツ幾何学では、として知られる、極小曲面の概念の確かな拡張と修正はは顕著である。事象の地平線と対照的に、それらはブラックホールの境界の理解への曲率に基づいた接近法を示す。