*弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する:なお、が再帰的であれば上の弱位相に関しても同様な事が成立する事が知られているが、再帰的でない場合には反例がある事が知られている。注意しなければならないのは、*弱位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても*弱位相をいれたが後述する局所コンパクトにはなっていない事を意味する。コンパクト空間の直積.直積位相と箱型積位相.は直積位相に関しての開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて...」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。コンパクト空間の(有限個または無限個の)直積に直積位相位相を入れたものはコンパクトである:コンパクト化.関連概念とその関係性.コンパクト性は位相空間論における重要概念の一つなので、コンパクト性の定義を拡張したり修正したりした概念が複数存在する。本節ではこうした概念を紹介し、それらの関係性を述べる。可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクト.これらの概念は以下のように定義される。点列コンパクトの定義は前の章ですでに述べたがが再掲している:これらは以下のように定義される:関係性.以上の概念は以下の関係性を満たす:パラコンパクト.以上で述べた概念の中で重要なものの一つにパラコンパクトがある。本節ではパラコンパクトの性質について述べる。なおパラコンパクトの定義において我々は文献Kellyに従い、ハウスドルフ性を条件として課したが、書籍によってはハウスドルフ性を仮定していないので、注意が必要である。パラコンパクトに関しては以下のようにも特徴づけられる。なお(ハウスドルフ性を満たす)パラコンパクトな空間は必ず正規空間になる事が知られている。ここで細分が開であるとは細分が開被覆になっている事を意味する。同様に細分が閉であるとは細分が被覆になっている事を意味する。上記の定理はパラコンパクトな空間において開被覆が単に局所有限な細分を持つだけでなく、局所有限でしかも開な細分や閉な細分を持つ事を保証している。