定義.例.直積の結合性.ベクトル空間の二重双対.開集合と閉集合.位相空間の開集合に対して、その補集合は閉であり、またの補集合は自身である。これにより、各との間に全単射を定められる。この全単射はについて自然であり、さらにコンポーネントはいずれも同型であるため、との間に自然同型が存在するとわかる。群拡大と因子団.ブール代数のウルトラフィルター.補元を持つ分配束をブール代数という。二点集合}に適切な演算を入れたものは最小のブール代数の構成となる。ブール代数の準同型とは写像であって、各演算の結果を保つものをいう。ブール代数のウルトラフィルターとは、の真部分集合であって、(反例)双対ベクトル空間.歴史.自然変換の演算.垂直合成.定義から、自然変換の垂直合成は明らかに射の性質を継承して、結合律や単位元律を満たすことになるため、同じ型を持つ関手とその間の自然変換は圏を構成する。これを関手圏と言い、あるいはのように表す。水平合成.相互交換法則.米田の補題.米田の補題は圏論において最も重要な結果であるとも評され、様々な帰結をもたらすとても基礎的な補題である。応用例.随伴.カン拡張.関手が与えられたとき、関手の前にを合成する操作もまた関手となる。関手とに対して、からへ(あるいはからへ)の普遍射を構成する関手と自然変換()の組が存在するとき、これをのに沿った左(右)カン拡張という。圏論における極限、随伴、米田の補題を初めとした諸概念はカン拡張によって表すことができ、マックレーンは「すべての概念はカン拡張である」と述べている。層理論.数学において「局所から大域へ」という状況が数多く存在するために、層理論は代数幾何を始めとした数多くの分野と影響を及ぼしあっている。普遍代数.有限順序数の集合}を対象の集合とする、の充満部分圏をで表す。また、の余積(すなわち集合の非交和)をの余積として導入する。超自然変換.圏,,,と関手,に対して、からへの超自然変換(特別自然変換、英:)とは、,,でパラメータ付けられた射の族で、任意の射,,に対して以下の図式が可換になるものをいう。