上述した定義には、非常に扱いづらいという困った問題が存在する。そこでリーマン積分のより扱いやすい別な定義を与え、それが先ほどの定義によるものと一致することを証明する。一方が他方の細分となっているとき、前者は後者以上であるとすることにより、点付き分割全体の成す集合に半順序を定義することができる。細分によるリーマン積分の定義.のリーマン積分がであることの新しい定義をを満たすことと定める。これらはいずれも最終的には、分割を細かくしていけばのリーマン和がいくらでもに近づくことを意味する。これはリーマン和をどれほどでも望むだけ近づけても成り立つから、すなわちリーマン和がに収束することを言うものに他ならない。これらの定義は実際にはもっと一般の有向点族の概念の特別の場合になっている。元の定義との同値性の証明の概要.リーマン積分の例.ディリクレの函数は区間に含まれる有理数全体の成す集合の指示函数、つまり有理数の上で,無理数の上でとなるような函数である。この函数はリーマン積分を持たない。これを示すには、リーマン和がおよびにそれぞれいくらでも近づけることができるような点付き分割を構成すればよい。点付き分割からはじめて、を選ぶ。は既に確定しているから、そこでのの値を変更することはできないが、の周りをごく小さい小区間に分ければの寄与は十分小さくすることができるから、新しい識別点を注意深く選べば、リーマン和の値をあるいはの好きなほうとの差をより小さくできることを示す。最初の段階は分割の細分である。は個あり、それらの寄与の総計をより小さくしたい。そこでそれらの点を長さがより小さい小区間に入るようにすれば、各のリーマン和への寄与はからの間に収まるから、それらの総計はからの間に収まることになる。をより小さな正の数とし、たちの二つが互いによりも近くにあるならば、をさらに小さく取り直し、またと以内にがあってそれらが異なる場合もを小さく取り直す。基準点(と)の数は有限個だから、有限回の取り直しでは十分小さく取れているはずである。