しかし通常は第二可算公理を満たすヒルベルト空間のみを考えることが多く、そのようなヒルベルト空間は全て同型で、しかもそのようなヒルベルト空間にはベクトル空間としての可算基底が存在する事が知られている。距離化可能性.距離空間は自然に位相空間になるが、では逆に位相空間がどのような条件を満たせば距離空間になるであろうか。学部レベルの教科書には距離化可能性の十分条件であるウリゾーンの距離化可能定理が載っていることが多いが、現在は距離化可能性の必要十分条件である長田=スミルノフの距離化定理やビングの距離化定理が知られている。発展的なトピック.コンパクト開位相.とより定義する。連続体論.連続体(れんぞくたい、)とは、空でないコンパクト連結距離空間、あるいはより一般にコンパクト連結ハウスドルフ空間のことを言う。ユークリッド空間上の閉曲面は連続体となるが、連続体論ではこのような「常識的な」空間に留まらず幅広く連続体一般を研究する。具体的にはヒルベルト空間の無限次元部分集合であるにもかかわらずコンパクトなヒルベルト立方体フラクタル図形のシェルピンスキーのカーペット、ホモトピー群は自明となるが可縮空間ではないワルシャワの円などが研究対象となる。完全不連結性とカントール空間.学部レベルの位相空間論で登場する概念の多くは、曲面のような「常識的な」空間における性質を抽象したものである。カントール集合(に実数体から誘導される距離をいれたもの)は、完備距離空間でありながら完全不連結な空間の例となっている。実はカントール集合はこのような空間の典型例の一つであり、以下の性質を満たす空間(カントール空間)は必ずカントール集合と位相同型になることが知られている(ブラウワーの定理):ベール空間.完備疑距離空間の開集合はベール空間になる(ベールの第一範疇定理)。また局所コンパクトハウスドルフ空間もベール空間になる(ベールの第二範疇定理)。ベールの範疇定理は関数解析学において、開写像定理や閉グラフ定理を証明するのに用いられる。ヴィートリス位相.集合論的位相空間論.位相ゲーム.とは、2人のプレイヤーにより位相空間上で行われるゲームで、プレイヤー達が自分の手番のとき、何らかの位相的な対象(開集合や閉集合など)を指定する事でゲームが進んでいく。位相代数的構造.