例えばはと素因数分解され、素数の順序を無視して、これ以外の素数の積として表すことはできない。解説.を用いることが多い。また、素数の積としての順番を考慮しないのは、自然数が積に関して交換法則と結合法則を満たすことによる。そして通常は見易さを考慮して、素因数を最も小さいものから順に並べる。この定理の整数の場合への自然な一般化は「以外の任意の整数は、素数と単数の積として因子の順番の違いを除いて一意に表される」である(この意味において「整数に対して算術の基本定理が成立する」と言うことができる)。同様の主張はもっと一般の環などにおいても(成り立つか成り立たないかを考えることができるという意味で)意味を持つけれども、必ずしも成立はしない。証明.完全な形での証明はガウスの『算術研究』におけるものが最初であると考えられている。それは現代的な言葉で書けば以下のようになる。存在性の証明.一意性.素数が自然数の積を割り切るならば、はまたはの少なくとも一方を割り切ることに注意しよう。この補題はユークリッドの補題と呼ばれる。ユークリッドの補題の証明.が得られるが、仮定より左辺のおよびはで割り切れるから、がを割り切ることが示される。がを割り切らないときも同様にしてを割り切ることが示せる。素因数分解の一意性の証明.なぜ素因数分解の一意性は、それほど自明ではないのか?.素因数分解の一意性がそんなに自明でないことを理解するために、ここで次のような整数の部分集合を考えてみよう。一般化.抽象代数学において、この定理をもっと一般の場合に「仮説」として持ち込むならば、定理の主張は「任意のでない元は、素元および単元の積として一意的に表される」となるのが自然である(「素元」は素数の一般化であり、「単元」は考えている範囲の数の中に逆数があるということの一般化である)。ここで「仮説」としたのは、定理の主張が意味を持つ同様の代数系(環やモノイド)の中にも、算術の基本定理が成立しないものがあるからである。