位相空間の族の直積空間が与えられたとする。これは直積空間が位相空間の圏における積であることを示している。上の普遍性から写像が連続であることとがすべてのに対して連続であることが同値であることが従う。多くの場合においてcomponentfunctionが連続であることを確認する方が易しい。写像が連続であるかどうかを確認することは通常より難しい。が連続であるという事実を何らかの方法で使おうとする。直積空間における閉包と内部について次のことがいえる。任意のに対してであるような集合族に対して、が成り立つ。が有限集合のときは、であるような集合に対して、が成り立つ。選択公理.ホプキンス・レヴィツキの定理が同値であるというものである。半準素という条件がなければ、が組成列を持てばはネーターかつアルティンであるということしか言えない。証明の概略.クルルの定理クルルの単項イデアル定理.よくクルルの定理と呼ばれる別の定理が存在する:積空間積(位相空間論)積空間(位相空間論)秋月・ホプキンス・レヴィツキの定理ホプキンスの定理半準素環極大イデアルの存在川端翔伍歴史.植民地時代.町の形成.衰退.地理.気候.政治.文化とレクリエーション.メディア.教育.黄柳野黄柳野(つげの)は、愛知県新城市の大字。地理.旧鳳来町南部に位置する。歴史.地名の由来.黄柳村および多利野村の合併による合成地名。黄柳村については、延喜年間に伊勢神宮へツゲが奉納されるなど、ツゲの自生地であったことに由来するという。また、多利野村については、慶長年間頃に「多離村」と記録されており、遠く離れた集落の意であるという。世帯数と人口.人口の変遷.国勢調査による人口の推移学区.市立小・中学校に通う場合、学区は以下の通りとなる。また、愛知県立高等学校全日制普通科に通う場合の学区は以下の通りとなる。ワンダーランドウォーズ出羽乃富士智章来歴.主な戦績.場所別成績.