第二運動法則を用いて、方向と方向の二つの方程式を得る。質点にかかる反力は台車にかかる反力と逆符号になることに注意されたい。これはニュートンの第三法則から帰結する。この方程式をよく見れば、ラグランジュ法による方程式と同じであることがわかる。二つ目の方程式を得るには、振り子の運動方程式と、常に振り子に直交する単位ベクトルとのドット積をとる必要がある。このベクトルは物体系の座標と呼ばれることが多い。慣性座標系ではこのベクトルは単純な二次元座標変換を用いて以下のように表わされる。上の式展開においては反力の物体系成分と慣性系成分との関係式が用いられている。質点と台車を繋ぐ棒が質量を持たないという仮定から、この棒は自身に垂直な負荷をまったく伝えないと考えられる。したがって、反力の物体系成分は単にのように書け、棒に沿った成分しか存在しないことがいえる。このことから、棒の張力に関して次の方程式が得られる。同様に、先に示した加速度の式ととのドット積を取ることで、求める運動方程式の右辺も計算することができる。その結果は(少々整理すると)以下のようになる。左辺と右辺を繋いでで割ると以下を得る。これもまた、ラグランジュ法による方程式と同一である。ニュートン法を用いる利点は、全ての反力が明らかであり、損壊がないことを保証できる点にある。支点の振動する振り子.質量の無い、振動する台に繋がれた振り子の運動方程式は台車に繋がれた振り子と同じように導出することができる。質点の位置はこの場合は次のように表わされる。そして、位置の一階微分をとることにより速度が得られる。この系のラグランジアンは次のように書ける。そして、オイラー・ラグランジュ方程式から次の運動方程式が得られる。ここで、が単振動で表わされる場合、次の微分方程式を得る。倒立振子の種類.