いまの列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単にの階数と呼ぶことができる。これについて、はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた(これは任意の体上で有効である)。また、は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書に出ている。性質.を行列とする。また、を表現行列の線型写像とする。階数の計算.例えば、行列は、基本変形を行うことによって線型写像の階数.をベクトル空間とし、線型写像が与えられたとき、の像の次元を線型写像の階数と呼び、やなどで表す。やは一般に無限次元であっても、像の次元が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに階数有限なる線型写像にはトレースが定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。やが有限次元ならば、行列表現によっては表現行列の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間にはという関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列のとり方に依らない。ベクトル空間に対してが次元とすれば、線型写像の階数は以下である。実際に、となるとき、線型写像は非退化(ひたいか、)であるという。そうでないときには、像はでへ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像の核の次元をの退化次数と呼ぶ。の退化次数をやなどで表すことがある。次の公式が成立し、階数と退化次数の関係式あるいは簡単に階数・退化次数公式などと呼ばれる。ローマ教会ローマ教会(ローマきょうかい)魏(ぎ)ジョン・ケージ人物・来歴.晩年.音楽思考.当初、ケージは自らの音楽が「実験音楽」と呼ばれることに異議を唱えた。いかなる実験も、作品が完成する前に行なわれていると考えたためである。しかしのちには、結果を予知できない行為を「実験的」と表現し、自身が特に興味をおぼえ、傾倒するすべての音楽を実験音楽と呼ぶようになった。キノコ研究.思想.