を備えている。これはにおいてよくある二つのベクトルの成す角の概念を余弦定理によって反映するものである。これにより、を満たす二つのベクトルは互いに直交すると言われる。この標準内積の重要な変形版として、ミンコフスキー空間はローレンツ積を備える。標準内積との大きな違いは、ローレンツ積が正定値でないこと、つまりは負の値を取り得る(例えばのとき)ことである。(三つの空間的な座標とは異なり、時間に対応する)第四の座標を考えることは特殊相対論の数学的取扱いにおいて有効である。位相線型空間.収束性の問題は、ベクトル空間に両立する位相(近さを記述することを可能にする構造)を入れることによって扱われる。。ここでいう「両立」とは、加法とスカラー乗法がともに連続写像となるという意味で、大雑把に言えば、とが限られた範囲の中にあれば、とも限られた範囲に留まるということである。スカラーについてこの議論がきちんと意味を持つようにするためには、この文脈において体にも位相が定められていなければならない。よく用いられるのが実数体や複素数体である。このような位相線型空間ではベクトル項級数を考えることができて、の元からなる列の無限和とは、対応する有限部分和の極限を表すものである。例えばが、ある(実または複素)函数空間に属する函数であるとすると、この場合の級数は函数項級数と呼ばれる。函数項級数のは、函数空間に課された位相に依存する。そのような様態の中でも各点収束と一様収束の二つは特に際立った例である。またはに対してだがである。実数列よりも一般の函数は、上記の和のところをルベーグ積分に置き換えたをノルムとして備えている。与えられた領域(例えば区間)上のを満足する可積分函数の空間に、このノルムを入れたものはルベーグ空間と呼ばれる。ルベーグ空間は何れも完備になる(が、もし上記の積分をリーマン積分としたならば、空間は完備にならない。これがルベーグ積分論を考えることの正当性の一つとして挙げられる理由の一つである)。具体的に書けば、任意の可積分函数列でとなるものが、条件を満足するならば、適当な函数でベクトル空間に属するものが存在してを満たすようにすることができる。