このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。実数体上の楕円曲線.楕円曲線の形式的な定義には、かなり技術的で代数幾何学の背景を必要としているが、高校レベルの代数と幾何を使って、楕円曲線の様子をいくらか記述することが可能である。すなわち、実平面上、楕円曲線は次の方程式により定義される平面曲線としてあらわされる。ここにとは実数である。と関係している。曲線が非特異であることと、判別式がでないこととは同値である。(係数は、非特異であることと無関係に見えるが、楕円曲線の高度な研究ではこのようにしたほうが便利である。)非特異楕円曲線の(実数の)グラフは、判別式が正であれば、二つの曲線の成分を持ち、負であれば、一つの曲線の成分しか持たない。例えば、右の図で示されているグラフでは、図中の左は判別式がであり、図中の右は判別式がである。群構造.によりあらわされるとき、そのような三次曲線はである無限遠点を持ち、群の単位元となる。とが曲線上の二点であれば、一意に第三の点を次の方法で定義することができる。まず、とを通る直線を引く。この直線は一般に第三の点で曲線と交わる。をの反対の点であるとする。この加法の定義は、ほとんどの場合はうまく働くが、いくつかの例外がある。一つ目の例外は、加算する点の片方がであるときである。このとき、と定義し、は群の単位元となる。第二の例外は、とが互いに反対側の点である場合である。この場合は、と定義する。最後の例外は、の場合であり、このとき一点しかないため、これを通る直線を一意に定義できない。そこで、この点での曲線の接線を使う。ほとんどの場合、接線は第二の点で曲線と交叉するため、反対の点をとることができる。しかしながら、がたまたま変曲点(そこで曲線の凹み方が変わるような点)であるようなときは、接線はでしか曲線と交叉しない。そこで、を自身として、を単純に点の反対の点とする。上記の群は、幾何学的に記述されると同様に代数的にも記述できる。体(体の標数はでもでもないとする)上の曲線が与えられるとし、曲線上の点をととして、まず、とする(下図の一つ目のグラフ)。をとを含む直線の傾き、つまり、とする。は体であるので、はうまく定義できる。すると、を