双対関係は、で、正五胞体と正二十四胞体はそれぞれ自己双対である。半正多胞体.星型正多胞体.広く定着している日本語名は現在のところない。一様多胞体.準正多胞体.角柱・反角柱.双対.四次元多胞体の双対とは、立体の数と頂点の数、面の数と辺の数を入れ替えたものをいう。多胞体公式.オイラーの多面体定理の拡張としての多胞体公式が成立する。ここでは頂点の数、は辺の数、は面の数、は胞の数である。正多胞体ある正多胞体の各低次元の要素は合同であり、またそれ自体も正多胞体である。たとえば、ある正多面体の面は合同な正多角形である。ただし、デルタ多面体でわかるように、これは必要十分条件ではない。概要.特徴.分布と生育環境.岩手県早池峰山特産で、山頂部の蛇紋岩地の礫地に生える。保全状況評価.VIPクオリティチョウバエ科ワヤン・クリ仕組み.白いスクリーンを貼り、その裏から、石油ランプ(現在では電灯使用も多い)を当てる。間にワヤン・クリの人形を置いて、芝居を行う。観客はランプや人形の反対側からスクリーンに投影された影絵を鑑賞する。使われる言語はインドネシア語ではなく、伝統芸能ゆえジャワ島ではジャワ語、バリ島ではバリ語で行われることがほとんどである。人形遣い(ダラン).ダランと呼ばれる一人の人形遣いが、語り、歌をうたう、効果音を出すなどしながら、数々の人形をスクリーン間近で操る。人形のセリフもすべてダラン一人で行う。その点では、人形劇(通常は、各人形の操作を個々の人形遣いが行い、声役も人形ごとに異なる)ではあるものの、日本の紙芝居師や講談師のような人が一人で人形の操作まで行うといったような形態である。ワヤン・クリはダラン一人に頼る部分が大きく、また劇は何時間も続けられることが多い。重労働の上、多くの知識が要求され、ダランという職業は特殊技能と言える。そのため従来は世襲が多かったが現在では育成のため、また未来への継承のため国立大学や専門学校でも教育を行っている。人形.音楽.その他.音楽以外はほぼダラン一人によって行われ、表現に限りがあるが、ときにスクリーンから人形を遠ざけ、影を大きくしたり、ぼやかしたりすることにより情景描写や心理描写の効果としている。