で表すことができるベクトル場である。各点における回転の値は、その点に中心を持つ小さな風車の軸周りのトルク(回転力)に比例する。このベクトル積演算を行列式もどきにとして視覚化することができる。これもやはり積の規則が成立することが強みだが、残念ながらベクトル積は簡単にならずとなる。方向微分.ラプラス作用素.ラプラス作用素はベクトル場にもスカラー場にも施せるスカラー作用素である。直交座標系ではで与えられ、より一般の座標系に対してはによって定義することができる。ラプラス作用素は現代的な数理物理学に遍在しており、そのごく一部を挙げるならばラプラス方程式、ポアソン方程式、熱方程式、波動方程式、シュレーディンガー方程式などにおいて現れる。テンソル微分.と書くことができる。この量は空間に対するベクトル場のヤコビ行列の転置に等しい。で与えられる。二階微分.これらは常に一意と言うわけでも互いに独立と言うわけでもないという意味でそれ自体興味深い。素性のよい函数に対しては、これらのうちの二つが常に零、即ちが成り立ち、また二つは常に等しい:残る三種のベクトル微分の間には等式が成り立ち、さらに一つはテンソル積を用いて表すことができて、素性の良い函数に対してが成り立つ。注意点.上で述べたベクトルの性質の大部分は(∇の微分的性質に陽に依存する部分、例えば積の法則などを除いて)記号の再配置のみに依っていて、∇を他のベクトルで置き換えても必然的に成り立たなければならない。これは∇をそれ自身ベクトルとして表すことで得られた莫大な価値の一部である。∇をベクトルで置き換えてベクトルの恒等式をしばしば得ることができるが、恒等式を直観的に作ることに関して、逆は必ずしも信用できない。∇はしばしば可換でないことが理由である。∇の可換性に対する反例として、通常成り立つ等式に対してまた∇の微分的な性質を用いた反例としては、が成り立つが、一般にはである。これらの違いが生じる根本は、∇が単なるベクトルではなくてベクトル作用素であるという事実である。ベクトルが明確に数値的な大きさと方向を持つ対象であるのに対し、∇は何かに作用することができて初めて大きさや向きが明確となる。