正接ノルムが内積から誘導されていないことから、フィンスラー多様体はリーマン多様体よりも一般的な概念と言える。ポール・フィンスラーがこの幾何学を研究し、がそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。定義.フィンスラー多様体は、可微分多様体であって、接束上の連続非負関数であるフィンスラー計量がの各点に対して、以下の性質をもつものである:つまり、は接空間上のである。フィンスラー計量は「滑らか」である必要がある。より正確にはここで、におけるのヘッシアンは対称な双線型形式さらに、のとき、フィンスラー計量は可逆であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の(通常の意味での)ノルムを定義する。例.ランダース多様体.を満たすものとする。ここではの逆行列である。アインシュタインの縮約記法を用いている。するとは上のランダース計量を定義し、は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である。滑らかな準距離空間.を準距離とする。つまりは可微分多様体であり、はの微分構造と次の意味での互換性をもつ:するとフィンスラー関数を測地線.の均一性により、上の微分可能な曲線の長さは、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線は、もしその十分に短いセグメントがからまでの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数が固定端点をもつ微分可能な曲線上でその汎関数微分が消えるという意味で定常なら、は測地線である。フィンスラー多様体上の正準スプレー構造.エネルギー汎関数のオイラー・ラグランジュ方程式はの局所座標系でである。ここで、または次で定義される基本テンソルの座標表現である:に関してにを仮定すると、行列は正則であり、その逆行列はと表される。するとがの測地線である必要十分条件は、接曲線}が}上で次式によって局所的に定義された滑らかなベクトル場の積分曲線であることである:ここで局所スプレー係数は次式で与えられる:}上のベクトル場はおよびを満たす。ここでは}のおよび正準ベクトル場である。したがって定義よりは上のである。スプレーは垂直投影を介してファイバー束にを定義する。