を満たすようなをそれぞれ商と剰余として与える。このような方程式を満たす整数は複数存在するが(たとえばあるに対してとの組は同様に上記の方程式を満たす)、剰余の取り得る値に制限を与えて一意に商と剰余の組を定めることができる。よく用いられる方法は剰余を除数より絶対値が小さな非負の数と定めることである。このような除法はユークリッド除法と呼ばれる。これは、感覚的には被除数から除数を引けるだけ引いた残りを剰余と定めているということである。こうして定められる剰余はしばしば「のを法とする剰余」「の法に関する剰余()」などと言い表される。剰余がでないことはしばしば「はで割り切れない」と表され、記号的にと表される。ユークリッド除法による計算例は以下の通りである。以下では除数を,被除数をとしている。絶対的最小剰余.他の剰余に対する制限方法として、剰余の絶対値が最小となるよう商を定める方法がある。この方法では、の範囲に剰余が含まれる。この場合、ユークリッド除法と違いは負の値を取り得る。このように定められる剰余を絶対的最小剰余(絶対値最小剰余とも。)と呼ぶ。絶対的最小剰余を用いる場合の計算例は以下の通りである。以下では除数を,被除数をとしている。いずれの方法であっても、除数がの場合、剰余はでなければならず、被除数がどんな数であっても商を一意に定めることはできない。絶対的最小剰余とユークリッド除法によって定められる最小非負剰余、あるいは別の方法のいずれを用いるかは自由であり、与えられる剰余がそのいずれかであるかは予め決められた規約に従う。この規約は、計算する対象や計算機の機種、あるいはプログラミング言語により、まちまちである。簡単な分析とサーベイがという文献にまとめられている。有理数の除法.整数の除法では、考えている数(自然数または整数)の範囲内で商を取り直して剰余を定義することで、除法をその数の範囲全体で定義できることを述べた。さらに、よく知られているように、数の範囲を有理数まで拡張し、商に有理数を許すことによって、剰余の概念は不要となり、有理数の全体で四則演算が自由に行えるようになる。任意の被除数のでない除数による除算は、有理数をただ一つ与える。この有理数は