数学において部分写像(ぶぶんしゃぞう、)あるいは部分函数()は適当な部分集合上で定義された写像である。即ち、集合からへの部分写像はの任意の元にの元を割り当てることが求められる写像の概念を一般化して、の適当な部分集合の元に対してのみそれを要求する。となる場合にはは全域写像()と呼ばれ、これは写像と同じ概念を意味する。部分写像を考えるときには、その定義域がはっきりとは分かっていないという場合もよくある。基本概念.始域,終域の部分写像をのように縦棒付き矢印であらわすことがある。あるいはなどとも表す(単にと書くと(全域)写像と紛らわしい)。「が未定義である」とか「」などと書くのは、はあるのに値が与えられていないだけという印象を与えるため、しばしば適当でない。正確には「写像は点において定義されない」とか「」のように書くべきである。表示的意味論では、部分写像が未定義であるときには、を返すものと理解される。部分写像が単射あるいは全射であるとは、その始域を定義域に制限して得られる写像がそうであるときに言う。部分写像が単射かつ全射となり得る。任意の写像はその像に終域を制限するとき自明に全射となるから、部分写像がとは、単射な部分写像の意である。即ち、単射部分写像の逆関係は単射部分写像であり、全単射な部分写像はその逆部分写像として単射な写像を持つ。さらにいえば、単射全域写像の逆は単射部分写像になる。変換の概念も部分写像によって一般化することができる。即ち、集合上の部分変換とは、写像で、の双方がの部分集合となるものを言う。全域写像.全域写像(全域函数)は写像(函数)の同義語である。接頭辞として「全域」()を付けるのは、それがの部分集合上で定義される部分写像の特別な場合(全体集合上で定義される場合)であることを示唆するためである。例えばにおける射の合成を行う演算が全域写像となるための必要十分条件は、がただ一つの元からなることである。なぜならば、二つの射,がと合成できるのはの余域との域が一致するとき()に限られるからである。性質等.圏論.集合と部分写像の圏は基点付き集合と基点を保つ写像の圏に圏同値だがでない。集合と部分全単射の圏は自身の双対に同値である。これはの原型例である。