以上では特性類の定義に「対応関係」という未定義の言葉を使ったが、圏論の概念を使えばこうした未定義の語に頼らずに特性類の概念を定義できる:なお、上述の特性類の定義において圏の射は連続写像としたが、下記の定理より、これを胞体写像に変えても定義は同値になる:ファイバーバンドルとその主バンドルの関係.以下の事実は特性類を具体的に定義する上で鍵となる重要な性質である:この事実からファイバーバンドルに対して特性類を定義するには主バンドルに対して特性類が定義できる事が必要十分である事がわかる。そこで以下、おもに主バンドルにフォーカスして特性類の議論をすすめる事とする。分類空間.本節では位相群の分類空間のいう概念を導入し、分類空間の概念を用いて主バンドルの特性類の概念を全く別の角度から特徴づける。この分類空間を用いた特性類の定義は、後の節で特性類の具体例を構築する上で非常に有益である。定義と性質.定義.分類空間の概念を定義するため、まず以下の概念を定義する。弱可縮の概念を用いて、分類空間の概念は以下のように定義される:「分類空間」という名称の由来は次節に回すが、分類空間は必ず存在し、本質的に一意である:上述したように、分類空間はホモトピー同型を除いて一意ではあるものの、同一の位相群に対し位相同型ではない複数の分類空間が存在しうる。このため位相群に対する個々の分類空間の事を分類空間のモデル()という。分類定理.離散群の分類空間.が離散群である場合は、定義より明らかに次が成立する:準同型から誘導される写像.実はこの対応関係は関手になっている:分類空間の性質.本節では、後で特性類を計算するとき必要となる分類空間の性質を述べる。分類空間の関手は直積に関して以下のように振る舞う。分類空間による特性類の特徴づけ.分類空間の概念を用いる事により、主バンドルに対する特性類の概念を以下のように特徴づける事ができる:により定義できる。定理の証明は以下の通りである:ベクトルバンドルの構造群の分類空間.特性類の概念は原理的には任意の位相群の主バンドルに対して定義できるが、研究が進んでいるのはベクトルバンドル(の主バンドル)に対する特性類である。