ここで、は単位行列、は行列の随伴行列()。なお、実数で構成される行列の随伴は単に転置であるため実ユニタリ行列は直交行列に等しく、直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。同値条件.以下の条件は、複素正方行列がユニタリ行列であることと同値である:一次独立随伴作用素数学の特に函数解析学において、ヒルベルト空間上の各有界線型作用素は、対応する随伴作用素(ずいはんさようそ、)を持つ。作用素の随伴は正方行列の随伴行列の概念の無限次元の場合をも許すような一般化である。ヒルベルト空間上の作用素を「一般化された複素数」と考えれば、作用素の随伴は複素数に対する複素共軛の役割を果たすものである。有界作用素に対する定義.は内積を備えるヒルベルト空間とし、連続線型作用素(線型作用素に対して、連続性はそれが有界作用素であることと同値)を考えるとき、の随伴作用素は、を満たす線型作用素である。随伴作用素の存在と一意性はリースの表現定理から従う。これは(標準複素内積に関して同様の性質をもつ)複素正方行列の随伴行列の一般化と見ることができる。性質.有界作用素のエルミート随伴は以下の性質を満たす:の作用素ノルムをで定義するならば、および、さらにが成り立つ。この性質を満足するノルムは、自己随伴作用素の場合からの類推で、「最大値」のように振る舞うということができる。ヒルベルト空間上の有界線型作用素全体の成す集合は、随伴をとる操作と作用素ノルムに関して環の原型的な例である。密定義作用素の随伴.ヒルベルト空間上の密定義作用素は、その定義域がにおいて稠密で、かつその終域がであるようなものを言う。その随伴はその定義域がを満たすが存在するような全体の成す集合で与えられ、かつとなるものとして定義される。作用素の像とその随伴の核との間の関係性は、で与えられる(ここで上付き横棒は集合の閉包を表す。直交補空間も参照)。一つ目の式の証明はで、二つの式は一つ目の式の両辺の直交補空間をとることでわかる。一般に、像は閉とは限らないが連続線型作用素の核は常に閉である。エルミート作用素.有界作用素が自己随伴であるとはあるいは同じことだがを満たすことを言う。