多項式函数の重要性.多項式函数がよく用いられるのは、それが和と積だけ(冪は単に反復積の簡便な表記であるに過ぎない)でできた、最も単純な函数であることによる。あるいはまた、次数高々の多項式函数の全体が階導函数が恒等的に零になる函数の全体に一致するという意味においても、多項式函数は単純である。多項式函数の商は有理函数と言う。それらは計算機の中央演算装置で実行可能な加法・乗法・除法(と論理演算)だけでできているから、計算機で直接計算できる唯一の函数ということになる。そうでない函数、例えば三角函数や指数・対数函数などは、計算機で評価するために有理函数で近似することが必要になる。変数の与えられた値において多項式函数を評価するために、定義通りに多項式を適用したりの冪を計算したりするのではなく、より効率的なホーナー法を利用することができる。多数の等間隔に置かれた点における多項式函数の評価が必要な場合、ニュートンの有限差分法は計算量を劇的に下げることができる。チャールズ・バベッジの階差機関は、多数の点における差分法で多項式を評価することによって、巨大な対数表および三角函数表を自動的に作成するために考案された。根.多項式の根または零点とは、付随する多項式函数の零点すなわちを満たす数のことを言う。次数が以上の多項式の根を決定すること、すなわち「代数方程式の求解」は、最も古来からある数学的問題の一つであった。ある種の多項式、例えばは実数の集合の中に根を持たない。根を複素数の集合の中に求めれば、少なくとも一つ(この場合は二つ)求まる。実際、任意の(定数でない)複素係数多項式は少なくとも一つの複素根を持つ(ダランベール–ガウスの定理)。重複度.が多項式の根ならば、多項式でとなるものが取れる(これを示すには、の各単項式から、が自然に因子になることに注意して、値を引けば十分である)。ここでが非零ならば、はの単根(simpleroot)と言い、が零ならば(さらにが因子として出て)をの重根と呼ぶ。例えば、多項式はとも書けるから、のは重複度の根と単根を持つ。多項式の求根.