そこでベクトルバンドルの特性類について記述するための準備として、本節ではベクトルバンドルの構造群の分類空間を具体的に記述する。の分類空間を記述する為、本節ではとを定義する。の分類空間の具体的記述.これはCW複体上の任意のベクトルバンドルには必ず内積が定義でき、グラム・シュミットの正規直交化法によりがに可縮である事が理由である。具体的には複素ベクトルバンドルの特性類:チャーン類.本章では、複素ベクトルバンドルの特性類であるチャーン類について述べる。これまでの議論からわかるように、複素ベクトルバンドルの整数係数の特性類とは分類空間の具体的記述.の事をのワイル群という。なお極大トーラスは共役を除いて一意に定まる事が知られているので、ワイル群は極大トーラスの取り方によらず同型になる。またの極大性から中心化群は実は自身に等しい。チャーン類.は対称多項式全体の集合に一致する。よく知られているように、任意の対称多項式は基本対称式の多項式として書けるので、以上の事実からチャーン類を以下のように定義する:以上で見たように各は対称多項式の根に相当するものなので、の事をチャーン根()という。これまでの議論とチャーン類の定義から明らかに以下の事実が従う:規約.という関係を満たす。本稿では以下、特に断りがない限り、代数的位相幾何学の規約を採用するものとする。チャーン類の公理的特徴づけ.前節で定義したチャーン類が次元公理と正規化公理を満たすのは明らかである。ホイットニー和の公式の証明は下記のとおりである。一方、上記の公理を満たす特性類の一意性は数学的帰納法により容易に示せる。チャーン多項式.チャーン類を取り扱う上で、下記のチャーン多項式を考えると便利である:なお、チャーン類の定義より、チャーン多項式はチャーン根を使って形式的にと因数分解できる。チャーン多項式を用いると、ホイットニー和の公式は以下のように言い換えられる:チャーン多項式の性質.チャーン多項式は以下の性質を満たす。なお文献によっては以下の性質をチャーン類の公理として入れているものもあるが、実は他の公理から従うので、公理に入れる必要はない。実ベクトルバンドルの特性類.