微分して臨界点に関して解くことは、最適化において有効な極値を求めるための簡単な方法としてよく用いられる。極値定理により、閉区間上定義される連続函数は区間内で少なくとも一つの最小値および最大値に到達しなければならない。さらに函数が微分可能ならば、極小および極大は臨界点または端点でのみ達成できる。これはまたグラフを描くのにも応用を持つ。可微分函数の極小値および極大値がわかったならば、グラフの概形は臨界点の間で増大するか減少するかを見ることで分かる。高次元において、スカラー値函数の臨界点はその勾配が零になる点である。二階微分判定法は、臨界点における函数の二階偏微分係数からなるヘッセ行列の固有値を考えることで、やはり臨界点を調べるのに利用できる。全ての固有値が正ならば臨界点で極小であり、全て負ならば極大であり、いくつかは正で残りが負ならば臨界点は鞍点である。その何れの場合でもない(つまり、いくつかの固有値が零である)ならばこの判定法では結論は出ない。変分法.最適化問題の一つの例は、「曲面上の二点間を結ぶ最短曲線を求めよ、曲線はある曲面上に無ければならないものとする」というようなものである。考える曲面が平面ならば最短曲線は直線である。しかし曲面が例えば卵型のようなものならば最短経路はすぐには明らかでない。そのような経路は測地線と呼ばれ、変分法におけるもっとも単純な問題の一つが、測地線を求めることである。別の例は「空間ないの閉曲線が囲む最小の面積を求めよ」というものである。この曲面は極小曲面と呼ばれ、これも変分法を用いて求めることができる。微分方程式.微分方程式は函数とその各階導函数たちの間に成り立つ関係を記述するものである。常微分方程式は一変数函数とその変数に関する導函数に対する微分方程式であり、偏微分方程式は多変数函数とその偏導函数に対する微分方程式である。微分方程式は物理科学、数理モデリングおよび数学自身のなかから自然に生じてくる。例えば、力と加速度の関係を記述するニュートンの第二法則は二階常微分方程式で記述される。また、真っ直ぐな筒を通る熱の拡散の仕方を記述する一つの空間変数に関する熱方程式は偏微分方程式で記述される。ただし、はの位置の時刻における筒の温度を表し、は筒を通る熱の拡散の仕方に依存して決まる定数である。平均値の定理.