位相体としての特徴付け.には代数的側面のみならず、近傍や連続性などの解析学や位相空間論の分野で考慮の対象となる性質も備わっている。そのような位相的性質に関しては、適当な意味で収束の概念を考えることのできる位相体を成すことに注意しよう。は以下の三条件を満たす部分集合を持つ。このはつまり正の実数全体の成す集合である。さらに言えば、は非自明な対合的として複素共軛変換を持ち、任意の非零複素数に対してが成り立つ。これらの性質を満たす任意の体には、任意のに対する集合を開基とすることによって、位相を入れることができ、この位相に関してはに位相体として同型になる。これとは別の位相的な特徴付けに、連結な局所コンパクト位相体はおよびに限ることが利用できる。実際このとき、非零複素数の全体は連結だが、非零実数の全体は連結でないという事実を併せれば、と峻別することができる。乗法群の構造.非零複素数の全体は、複素数体の乗法群であり、における距離空間としての部分位相空間と見て、位相群を成す。また、絶対値の複素数全体の成す群(円周群)はその部分位相群であり、写像および写像は位相群としての同型である。ここに、は商位相群、は正の実数の全体が乗法についてなす群であり、は位相群の直積を表す。形式的構成.実数の対として.実数の順序対およびに対して和と積をにより定めるとき、を複素数という。実数はで表され、虚数単位はに当たる。このとき、はに関して体となり、零元は、単位元はである。ハミルトンの代数的な見方に対するこだわりは、複素数をさらに拡張した四元数の発見へと結び付いた。剰余環としての構成.複素数体の代数的な構造は、体および多項式の概念により、自然に構成することができる。体とは、四則演算ができてよく知られた計算法則を満たすものである(例えば有理数体など)。実数全体の成す集合は体である。また、係数体がの多項式全体の成す集合は、通常の加法、乗法に関して環を成す(多項式環と呼ばれる)ことに注意する。行列表現.複素数を、上の(左からの)作用と見ると、それに対応する上での一次変換の表現行列を考えることができる。