表現行列.表現空間を明示したいときは組で表現を表す。表現空間の次元を表現の次元という。表現空間に適当な基底を導入すれば、は具体的に次正方行列で書き表せるから、群の表現とは「から正則行列の成す群への準同型写像である」といってもよい。このとき行列をの表現行列と呼ぶ。同値な表現.で繋がるならば、表現とは同値あるいは同型であるといい、両者は本質的には同じ表現である。この条件はすべての元に対して次の図式が可換であるといってもよい。なお、一般に、全単射とは限らないこのような変換をという。特別な表現.恒等表現・忠実表現.対応は一般には単射であるとは限らない。たとえば、すべての元に恒等変換を対応させるものも表現であって、これは恒等表現あるいはと呼ばれる。一方、対応が単射のときはその表現は忠実な表現であるという。既約表現.また適当な相似変換によってブロック対角型になる(簡約できる)表現を直可約表現、直可約でない表現を直既約表現という。有限群の同値でない複素数体上の有限次元既約表現の数は、群の共役類の数と等しい。ユニタリ表現.すべてのがユニタリ変換であるような表現をユニタリ表現と呼ぶ(直交変換はユニタリ変換の特別な場合であるから、直交変換による表現もユニタリ表現である)。誘導表現.有限群の部分群を取り、剰余類分解の完全代表系をひとつ固定する。体上の表現のとは次で定義される群の表現のことである。誘導表現の次数は表現の次数の倍である。また自明な部分群の自明な表現の誘導表現は群の正則表現を与える。部分群の表現加群をとしたとき誘導表現から定まる群の表現加群のことを誘導加群といい、,あるいはで表す。代数のテンソル積を使ってと定義しても同型な表現加群が定義できる。具体例.基本的な定理.有限群の部分群を取る。群の表現に対し、部分群への制限表現をで定める。またこの制限表現から定まる部分群の表現加群のことを制限加群といい、,あるいはで表す。このとき線型空間としての同型有限群の部分群を取り、その両側剰余類分解をとする。このとき加群について加群として次の同型が成り立つ。