積の法則を二つよりも多い因子を持つ積の場合にも一般化することができる。例えば、因子が三つの場合はと書ける。高階化.が成り立ち、一般ライプニッツ則と呼ばれる。これは二項定理と非常に似た形をしている(二項係数の項も参照)。高階偏導函数版.偏導函数に対する積の法則はと書ける。ただし、添字は集合の個ある部分集合の全てに亙る。例えばのときはとなる。で与えられる線型写像である。導分作用素の定義.抽象代数学では、積の法則の方が公理として先にあって、そこから導分作用素(微分作用素)と呼ばれるものが「定義」される。ベクトル値函数の場合.ベクトル値函数のスカラー乗法、点乗積、交叉積についても積の微分法則は拡張できる。(注意すべきこととして、交叉積は交換的ではないからと書いてしまったら誤りである。しかし交叉積は反交換的であるから、と書くことはできる)。スカラー場の場合.スカラー場の勾配の概念に対してもやはり同様の積の法則が成立する。応用.諸公式の導出.積の法則の応用として最たるものが、が正の整数であるときの冪函数に対する公式の証明である(この式自体はが正でなくとも、あるいはさらに整数でなくとも成立するが、その証明には別の方法を考える必要がある)。証明は冪指数に関する数学的帰納法を用いる。のときは定数で、だから式は成り立つ(定数函数の導函数はであるから)。任意にとって固定した冪指数で帰納法の仮定が成り立つならばとなるからでも等式は成り立つ(二つ目の等号は積の法則の適用、三つ目の等号は帰納法の仮定である)。接空間の定義.積の法則はある抽象的な図形(可微分多様体)の抽象接空間の定義にも用いられる。この定義は考えている図形の周りにある全空間を使えない若しくは使いたくない場合に利用できる(そもそも全空間というものが存在しないことだってあり得る)。それには図形上の実数値函数の専ら一点のみにおいて微分係数と積の法則が定義という事実を利用する。実はこのような微分係数全体の成す集合が、接空間と見るにふさわしいベクトル空間を成すのである。描画診断リクルートメント現象マクシミリアン・シュタードラー生涯.彼はウィーンで生涯を閉じた。連想検索明代以前.明清.