とする。次元級多様体とその上の点を考える。を含む座標近傍上で定義された微分作用素は方向微分になる。この個の方向微分は線型独立であり、これらの線型結合を、におけるの接ベクトルといい、接ベクトルの全体をと書き、におけるの接ベクトル空間あるいは接空間という。接ベクトル空間はの線型部分空間である。この等号が成り立つのは、が級多様体(滑らかな多様体)であるときに限る。接ベクトルの定義において、係数をどのような組み合わせでとってもその接ベクトルに対するを通る曲線が存在する。逆にを通る曲線に対して定められた方向微分は接ベクトルになる。見かけは局所座標系に依存しているように見える定義も、局所座標に依存しないベクトルとして定まっている。を含む別の座標近傍を取り、座標変換を考えを用いれば、接ベクトルはという計算によっての形に変換できる。関数の微分.次元級多様体とその上の点を考える。における接ベクトルは、の近傍で定義された級関数を実数に対応させる関数である。は接ベクトルと関数の組であり、を固定して、に対して値が定まると考えてきた。逆にを固定してという関数も考えることができる。このをのにおける微分という。接ベクトルのなす空間は上の線型空間であることから、からへの線型写像のなす双対ベクトル空間が定まるが、微分はこのの元である。のことをのにおける余接ベクトル空間という。特にを含む座標近傍があるとき、関数として局所座標系の成分の一つであるを選べば、そのにおける微分はとなりである。右辺のはクロネッカーのデルタとする。写像の微分.多様体上の関数の微分は、多様体から多様体への写像の微分へと拡張される。として、級写像を考える。の中の曲線をとり、を含む座標近傍を取る。曲線のにおける接ベクトルはと書ける。ここでをでの中へ写した曲線と、を含む座標近傍を取る。同様ににおける接ベクトルはとなる。この接ベクトルの係数は、の局所座標系を用いると合成関数の微分によりとなることが分かる。行列を用いて書くととなる。右辺の行列