他の任意の定数値を定数多項式と看做すのと同様に、定数も零多項式と呼ばれる(定数)多項式と見るのは自然である。しかし、零多項式は非零係数を持つ項を全く持たないのであるから、従って厳密に言えば如何なる次数も持たない。その意味において零多項式の次数は定義されない。この立場をとる限りにおいて、前節で述べられた多項式の和や積に関する次数公式は、零多項式を含む場合においては適用を除外しなければならない。しかしここで、零多項式の次数を負の無限大()と約束することは、以下のような直観的には正しいと思える算術規則(は任意の正整数)を追加することと合わせて、非常に有効である以下のような例を見れば、前節で述べた次数公式とどのように整合するか理解されるだろう。函数を用いた次数の計算.多項式の次数を、以下の式によって計算することができる。この公式を使って、多項式函数以外の函数に対しても次数の概念を拡張して考えることができる:別の式によってもの次数を計算することができる:(ただし、ロピタルの定理を用いる)多元多項式への拡張.多元多項式に対して、項の次数(全次数)はその項に現れる各不定元の冪指数の「和」で与えられる。その上で多項式の次数とは、やはりその多項式に現れる全ての項の次数のうちの最大のものと定義される。例えば、多項式の次数はで、これは項の次数である。しかし、二つの不定元に関する多項式は、に関する多項式を係数とするに関する多項式と見ることも、に関する多項式を係数とするに関する多項式と見ることもできる。はに関して次数(偏次数)およびに関して次数の多項式である。抽象代数学における次数函数.環が与えられたとき、多項式環はに係数をとる、不定元に関する多項式全体の成す集合である。が体であるような特別の場合には、多項式環は主イデアル整域であり、より重要なことにユークリッド整域を成す。ここで、体上の多項式に対する次数函数は、ユークリッド整域における「ノルム」の満たすべき性質をすべて満たす。つまり、二つの多項式が与えられたとき、それらの積の次数は個々の次数を超えなければならない。実はより強く