この漸化式はパスカルの三角形を描くのにも利用できる。乗法表示.個々の二項係数をより効果的に計算するには階乗表示.最後に、計算論的には不利だが、短く書けるのでしばしば証明や導出に用いられるよく知られた階乗函数を用いた式はで与えられる。ここにはの階乗である。この式は上記の乗法表示式に、分子分母に対してを掛けることで得られる(その結果、この式において分母と分子は多くの共通因数を持つことになる)。(特に階乗は非常に速く増加するから)この式を(が小さくが大きい場合に)実際の数値計算に用いることは(先に共通因数を約分しない限り)実用的でない。この式は上記の乗法表示よりは二項係数が対称性を持つことを見るのに適している(二項係数の定義から対称性をもつことは分かる)。この対称性を用いれば乗法的な計算をより効果的にすることもできる。下降階乗冪で書けばと書ける。一般化および二項級数.乗法表示を用いれば、を任意の数(負の整数、実数、複素数、......)あるいは任意の整数が可逆となるような可換環の元に取り換えて、により二項係数の定義を拡張することができる。この定義により、二項定理(の一方の変数をとしたもの)も一般化してと書くことができる。故にこの場合もを二項係数と呼ぶことは正当化される。この等式は任意の複素数となるに対して有効である。これはまたを不定元とする形式冪級数の等式としても解釈でき、それは実際に定数係数を持つ級数の任意の冪の定義として機能する。この定義を用いるポイントは、冪乗として満足することが期待される全ての恒等式(指数法則)、特にが満足されることである。が非負整数のとき、なる全ての項は零であり、上記の無限級数は有限和となり、したがってもともとの二項定理が再び得られる。しかしがそれ以外の値ならば、負の整数や有理数の場合も含めて、上記の級数は実際に無限和になる。パスカルの三角形.は重要な漸化式パスカルの法則からパスカルの三角形が生じる:が直ちに読み取れる。他の対角線上の数との差は、上記漸化式()の帰結として、一つ前の対角線上の数である。解釈.二項係数はよくある数え上げ問題の簡明な公式を与えるという意味で組合せ論において重要である。多項式としての性質.を不定元として、任意の非負整数に対して式