を満たす数を虚数単位という。実数とは実数体上で線型独立である。実数を係数としての線型結合で表される数を複素数と呼ぶ。任意の実数はと表せるので複素数である(実数全体の複素数全体への埋め込みは、四則演算および絶対値を保つという意味で、位相体の埋め込みである)。の形の複素数を純虚数と呼ぶ。複素数に対して、複素数平面.複素数に対してとすると、は距離空間となる。この距離は、座標平面におけるユークリッド距離に対応する。複素数平面は複素数の計算を視覚化でき、数直線の概念そのものを拡張した。複素数球面.複素数平面を、座標空間内の平面とみなし、に含まれ平面と原点で接する球面を考える。この球における原点のを北極と呼ぶことにする。任意の複素数に対しと北極を結んだ線分はこの球面と、北極以外の一点で必ず交わり、それをと書けばは単射、連続である。の像は、球面から北極を除いた部分である。また、のとき(北極)である。そこで、の定義域をに拡張すると、は同相写像になる。この同相写像は、複素平面上の円を円に写し、複素平面上の直線を、無限遠点を通る円に写す。このことは、複素平面上の直線と円はほぼ同等であることを表している。基本的な性質.相等関係.二つの複素数が等しいとは、それらの実部および虚部がそれぞれ等しいことである:このことは、が線型独立であることから示される。四則演算.は整数とする。複素共役(共役複素数).とを複素共役あるいは単に共役という。複素数の共役をとる複素関数は環同型である。すなわち次が成り立つ。複素共役は実数を変えない:逆に、上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。複素共役変換は、の全ての点で複素微分不可能である。以下の性質が成り立つ。代数方程式の解について、次が成り立つ:つまり、このことは、複素共役変換が環準同型であることから容易に示せる。極形式.複素数を実部と虚部で表すのとは別の方法として、複素数平面上での点を、原点からの距離と、と線分の見込む角を反時計回りに測ったものの対(の極座標)で表す方法が挙げられる。これにより、複素数の極形式の概念が導入される。絶対値.複素数(は実数)の絶対値は