関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はテイラー多項式と呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間(あるいは複素平面の開円板)でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。前述の通り、一定の条件の下でテイラー展開の高次の項を無視することができる。例えば単振り子の問題では、振り子の振れ角が充分小さいことを利用して、正弦関数をで近似できる。このように、関数をテイラー展開することで計算が容易になり、また原点近傍の振る舞いを詳細に調べることができるようになる。一実変数関数のテイラー展開.点を含む実数の開区間上で無限階微分可能な関数が与えられたとき、べき級数と書ける。または積分を用いて、次のように表せる。また、この剰余項を評価することで関数の近似値を精度保証つきで数値的に求めることもできる(テイラーの定理#例を参照)。特ににおける以下のような展開をマクローリン展開(マクローリンてんかい、;名称は数学者コリン・マクローリンに由来する)と呼ぶ。マクローリン級数の例.いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。についてのforの範囲外の実数をに代入したら発散する(ただし、元の関数が収束することもある)。一変数複素関数のテイラー展開.点を含む開集合上で微分可能、すなわち正則な複素関数が与えられたとき、べき級数を関数の点まわりのテイラー級数という。正則関数の解析性から、点を中心としてに包含されるような任意の開円板上でこの級数はに収束する。剰余項は複素線積分を用いて、次のように表せる:ここでは、点とを囲み、周および内部がに含まれるような反時計回りの円周である。多変数関数のテイラー展開.テイラー展開は一変数関数のみならず、多変数関数にも適用できる。変数関数のテイラー展開は以下の式である。