後続順序数性質.を除く任意の順序数は後続順序数か極限順序数の何れかである。フォンノイマンのモデル.順序数の順序付けにおいてとなるための必要十分条件は、となることであったから、ここから直ちに二つの順序数の間にはほかの順序数はなく、かつ明らかにが成り立つ。すなわち、このはの後者としての条件を満足していることが確かめられる。順序数の和.特に、が成り立つ。乗法や冪も同様に定義される。位相.後続順序数およびはに関して順序数全体の成す類の孤立点である極限順序数例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数は、それよりも小さい任意の順序数(つまり自然数)が常にそれよりも大きい別の自然数(なかんずく)を持つから、極限順序数である。を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる。を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。特徴付け.極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:を、直前の順序数を持たない順序数として、極限順序数に分類すべきか否かに関しては流儀が分かれる。いくつかの教科書はを極限順序数のクラスに含めるが、含めないものもある。例.一般に、このような再帰的定義は乗法、冪演算、反復冪などを通じてもできるが、何れも極限順序数を導き出す。ここまでで出てきた順序数はそれでもまだ可算順序数であるが、同様に可算順序数であるチャーチ–クレイニ順序数より小さいすべての順序数に系統的に名前を付けることのできるな命名規則は存在しない。一般に、順序数からなる空でない集合が最大元を持たなければ、合併を取れば常に極限順序数が得られる。に対する全体の成す集合は極限順序数からなる極限順序数、など。性質.