名前はフランスの数学者、アドリアン=マリ・ルジャンドルに因む。ルジャンドル変換は点と線の双対性、つまり凸な関数はの点の集合によって表現できるが、それらの傾きと切片の値で指定される接線の集合によっても等しく充分に表現できることに基いている。凸関数をルジャンドル変換する際、変換前の関数が保持している情報は、変換後の関数においても完全に保たれる。解析力学においてはこの性質を利用して、ラグランジアンからルジャンドル変換によってハミルトニアンが得られる(⇒#解析力学)。物理学等において他にも広く応用されており、熱力学における熱力学関数間の変換などにも用いられる(⇒#熱力学)。定義.関数のルジャンドル変換は次のように定義される:またはここでおよびは変数を動かしたときの上限および下限を表す。また、下に凸な関数に対して等価な、別の定義として以下がある。at以下は、「を満たすようなを、一意でなければどれでもいいから代入せよ」という意味である。変換される関数は以外の変数を持っていてもよく、多変数関数に対しては各変数についてルジャンドル変換をすることができる。性質.その定義から明らかなように、関数の上限が定まる場合のみ、ルジャンドル変換によって新しい関数を与えることができる。それが定まる場合でも、もととなる関数が凸関数でない場合、新たに定義された関数は逆変換してももとの関数へは戻らない。したがって応用上は初めから関数は凸であると仮定することが多い。滑らかな関数に対する変換.ここで関数はの導関数の逆関数である:これは方程式の解である。ただしとはを満たすとする。逆変換.関数のルジャンドル変換に対して再びルジャンドル変換を施した関数をとする:が下に凸であれば、はもとの関数に等しい:つまりルジャンドル変換の逆変換はルジャンドル変換そのものとなる。はの逆関数であり、はの逆関数なので、はの逆関数でもあり、が成り立つ。このことから、はもとの関数に等しいことが示される。ヤングの不等式.以下の不等式が成り立つ。この種の不等式はヤングの不等式と呼ばれる。ルジャンドル変換の定義より、であるから、を両辺に足せば上述の不等式が成り立つ。多変数関数.