実関数の二階線型常微分方程式の初期値問題の解としてを定義し、をとして定義できる。および初期条件となる。他の定義.この他にも定積分による(逆三角関数を用いた)定義や複素平面の角の回転による定義などが知られている。性質.周期性.軸の正の部分となす角はと表すことができ、を偏角、を一般角という。すなわち三角関数は周期の周期関数である。ほぼ同様に、は周期の周期関数、は周期の周期関数である。また、のグラフの形は正弦曲線である。相互関係.単位円上の点の座標の関数であることから、三角関数の間には多数の相互関係が存在する。基本相互関係.が挙げられる。これはピタゴラスの基本三角関数公式と呼ばれている。上記の式を変形して整理すれば、以下の式が導かれる。証明.ピタゴラスの基本三角公式.三角関数および指数関数は冪級数によって定義されているものとすると、負角公式と指数法則およびオイラーの公式よりである。負角.およびについては、冪級数による表示から明らかである。またである。加法定理.オイラーの公式と負角の公式からを得て、指数法則を用いればの加法定理が得られる。これらから他の三角関数についての加法定理も得られる。次にとなるような座標系を取り、同様に三平方の定理からを求める。この座標系に対する操作は、軸および軸を角度だけ回転させる操作に相当するので、となる。従って、となる。との右辺が互いに等しいことから、次のに関する加法定理が得られる。三角関数の他の性質を利用することで、からの加法定理なども導くことができる。微積分.三角関数の微積分は、以下の表のとおりである。ただし、これらの結果には様々な(一見同じには見えない)表示が存在し、この表における表示はいくつかの例であることに注意されたい。なお、以下の表のは積分定数、は自然対数である。三角関数の微分では、次の極限の成立が基本的である。このとき、の導関数がであることは加法定理から従う(が、後述のようにこれは循環論法であると指摘される)。さらに余角公式からの導関数はである。すなわち、は微分方程式の特殊解である。また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。のにおける極限.を示すことができる。