もう一つ重要な例は、実数の対によって与えられる(との対は並べる順番が重要であり、そのような対を順序対という)。この対をと書く。そのような対ふたつの和および実数倍はで定義される。定義.集合が、その上の二項演算と、体のへの作用をもち、これらが任意のに関して次の公理系を満たすとき、三組は「体上のベクトル空間」と定義される。ベクトル空間の要素はそれぞれ次のように呼ばれる。導入節では始点を固定した有向平面線分の全体や実数の順序対の全体の成す集合をベクトル空間の例として挙げたが、これらはともに実数体(実数全体からなる体)上のベクトル空間である。公理系はこのようなベクトルの性質を一般化したものである。実際、二番目の例で二つの順序対の和は、和をとる順番に依らずを満たす。有向線分の例でもとなることは、和を定義する平行四辺形が和の順番に依存しないことから言える。他の公理も同様の方法で満たすことがどちらの例についてもいえる。故に、特定の種類のベクトルが持つ具体的な特質というものは無視して、この定義によって、先の二つあるいはもっとほかの例もひっくるめて、ベクトル空間という一つの概念として扱うのである。ベクトル空間は係数体の種類に基づき次のように呼ばれる:体というのは本質的に、四則演算が自由にできる数の集合である。例えば有理数の全体もまた体を成す。平面やより高次の空間におけるベクトルには、直観的に、近さや角度や距離という概念が存在する。しかし、一般的なベクトル空間においてはそれらの概念は不要であり、実際、そういうものが存在しないベクトル空間もある。これらの概念は、一般的なベクトル空間に追加的に定義される構造である(#付加構造を備えたベクトル空間)。別な定式化と初等的な帰結.ベクトルの加法やスカラー乗法は(二項演算の定義によって)閉性と呼ばれる性質を満たすものとなる(つまりの各元およびの各元に対しておよびが必ずに属する)。これをベクトル空間の公理に独立した条件として加えている文献もある。