形式体系が帰納的であるとは、公理群と推論規則群が(文脈によって)帰納的集合または帰納的可算集合である場合を意味する。関連する主題.論理体系.論理体系または論理は、ある種の意味論(通常、モデル理論的解釈の形態)を伴った形式体系であり、形式言語の文(自由変数を含まない論理式)に真理値を割り当てる。ある論理が健全であるとは、導出される全ての文が真と解釈されることを意味し、ある論理が完全であるとは、逆に全ての真の文を導出できることを意味する。形式的証明.形式的証明は整式の連なりである。証明を構成する整式は、公理かまたは証明内の前の整式に推論規則を適用して導出されたものである。一連の整式の最後の整式が定理と認識される。このような観点を総じて、数学は「形式主義」的であると称する。ダフィット・ヒルベルトは形式体系を論じる学問分野として超数学を起こした。形式体系を論じるために使われる言語を「メタ言語」と呼ぶ。メタ言語は自然言語そのものである場合もあるし、何らかの形式化がなされている場合もある。しかし、一般に研究対象である形式体系を構成する形式言語ほどには形式化されていない。ある形式体系が与えられたとき、定理群を定義でき、それらをその形式体系内で証明できる。形式体系は証明が存在する全ての整式で構成される。すなわち全ての公理は定理とみなされる。公理や既に存在する定理に推論規則を適用して得られる整式も定理に含まれる。整式の文法とは異なり、ある整式が定理であるか否かを決定する手順は必ずしも存在しない。ここでいう定理は「形式体系についての定理」ではなく、混同をさけるため後者をとも呼ぶ。形式言語.概要.逸話の一つとして、彼はソクラテスの言葉を聴くためにピレウス港からアテナイ市街へと毎日徒歩で通い、友人たちにも共に来るように薦めていたといわれる。彼は清貧を重んじたため、彼のもとには多くの貧しい人々が集まるようになった。彼は、世界を高貴であったり壮麗であったりするものではないと考え、袖なしの外套のみを纏い、哲学の象徴として杖一本とずだ袋一つだけを所持していた。彼の追随者はみなこの装いを真似るようになったが、あまりにもこれ見よがしであったため、ソクラテスは彼を次のように非難した。「おおアンティステネスよ、私には外套の隙間から君の自惚れが見える」。思想.