にを代入することで得られる。このをの線素(せんそ、)と呼ぶ。曲線が区分的に滑らかなら、微分可能な区間の和にわけて同じく弧長を定義することができる。場の線積分.スカラー場に対する線積分.偏線積分.スカラー場の滑らかな曲線に沿った各軸方向の線積分はで与えられる。このとき、函数を被積分函数、曲線を積分領域あるいは積分路と呼ぶ。線素に関する線積分.スカラー場の滑らかな曲線に沿った線素に関する線積分はと定義する(区分的に滑らかの場合は、滑らかな区間ごとの積分の和と定める)。ただし、は、とが与えた曲線の両端点となるような、の勝手な全単射媒介表示とする。記号は直観的には弧長の無限小成分としての線素と解釈できる。スカラー場の曲線に沿った線積分は、の媒介表示の取り方に依らない。線素に関する線積分の導出.と考えるとき、曲線上の分点間の距離はと書けるから、これを代入して得るは、積分に対応するリーマン和である。基本的にこの積分は、およびとなる制約条件下でスカラー函数の下にある領域の面積になっている。ベクトル場に対する線積分.ベクトル場の線積分の定義.ベクトル場のの向きへの区分的に滑らかな曲線に沿った線積分はと定義される。ただし、“”はベクトルの内積であり、は、とが曲線の両端点となるの全単射媒介表示とする。従ってスカラー場の線積分は、各ベクトルが常に積分路に接するようなベクトル場の線積分に一致する。ベクトル場の線積分は、絶対値に関しては媒介変数の取り方に依らないが、向きに関しては依存する。特に、媒介変数の向きを逆にすれば、線積分の符号が変わる。ベクトル場の線積分の導出.を考える。曲線上の隣り合う分点の間の変位ベクトルはと書けるから、代入してリーマン和を得、これにより上記の線積分が定まる。経路独立な線積分.ベクトル場が何らかのスカラー場の勾配としてと書けるとき、ととの合成の導函数は、の上の線積分の被積分函数である。従って、積分路を与えれば