全体集合や普遍集合などと呼ばれる(大きな)集合を固定して、その部分集合についてのみ考えているとき(例えば、が自然数全体、実数全体やある位相空間であるときなど)の部分集合について、をの(絶対)といい、が了解されている文脈では単にのように表す。注意.ド・モルガンの法則.,をある集合の部分集合とするとき、が成り立つことが分かる。これはもっと一般化できて、をある基礎となる集合の部分集合の族とするときに、が成り立つ。これらをド・モルガンの法則という。この法則は、対応する論理記号の性質(特に双対性)を反映したものである。詳しくは記号論理学の項目を参照。集合論集合論(しゅうごうろん、)は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。また、集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。と定義することができる。すなわち濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。ただし選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。詳細はスコットのトリックを参照。素朴集合論と公理的集合論.集合論の初期の段階では、集合は「普通の意味での」ものの集まりとして導入され考察された。この見方を現在では素朴集合論(そぼくしゅうごうろん)という。これは集合を理解する上で最もわかりやすい考え方であるが、「普通の意味での」ものの集まりを以下の内包公理で定式化すると、パラドックスが現れてしまう。パラドックスの有名なものとしては、以下のものがあげられる。ベリーのパラドックス