を満たす写像のことをいう。つまり、の各元に対してはを満たす。したがってはの値域上ではの逆写像と一致しなければならないが、値域に入らないの元に対してはどのような値をとろうとも支障ない。写像が左逆写像をもつならばは単射であることが次のように証明できる。写像に対し、をの左逆写像とする。がを満たすとすると、からなので、したがって、は単射である。逆に写像が(空写像ではない)単射ならば、適当なを選んで、次のように左逆写像を構成することができる。このように古典数学では任意の単射は左逆写像を持つことが必要となるが、。右逆写像.写像に対し、の右逆写像あるいは切断もしくは断面とはを満たす写像のことをいう。つまりはの各元に対してなる条件を満足する。したがってはによってへ写されるようなならばどのようなものでもよい。写像が右逆写像をもつ必要十分な条件は、が全射となることである(ただし一般には、選択公理が必要となるので、右逆写像を構成的に得ることはできない)。(証明)写像に対し、をの右逆写像とする。このとき、任意のに対してとすれば、となるのでは全射。左逆写像にも右逆写像にもなっている逆写像は一意でなければならない。同様に、がの左逆写像のとき、はの右逆写像である場合もあるし、そうでない場合もある。またがの右逆写像であるときも、は必ずしも左逆写像でなくてよい。例えばがの各元に対してその平方を与える函数とし、を各に対して正の平方根を与える函数とすると、のどの元に対してもが成り立つ。つまり、はの右逆函数である。しかし、例えばであるから、はの左逆函数にはなっていない。原像.を(必ずしも可逆でない)任意の写像とするとき、の元の原像または逆像が、によってに写されるの元全体の成す集合として定まる。の原像は、全逆写像によるの像(完全逆像)として考えることができる。として定まる。たとえば、函数を考えると、この函数は既に述べたように可逆ではないが、しかし終域の部分集合に対する原像は定義できて、たとえば