超函数に対する演算.コンパクト台を持つ滑らかな函数のうえに定義される作用や演算の多くが、シュワルツ超函数に対しても定義される。一般に、なる写像まで延長することができる(このことは一様連続性を持つことを仮定すればもっと一般の非線型写像についても正しい)。とおくことにより超函数に対する作用素に延長される。超函数の微分.滑らかな函数との合成.によって定まる。超函数の局所化.制限.超函数の台.緩増加超函数とフーリエ変換.緩増加超函数で与えれば、φがシュワルツ函数となるのは、全ての半ノルムに対してが成り立つならば緩増加超函数はその「緩増加」性によっても特徴付けることができる。これは、テスト函数のたとえばのような「急減少」的な振舞いの双対的な特徴である。畳み込み.適当な状況の下では、函数と超函数、あるいはさらに超函数同士の畳み込みを定義することができる。テスト函数と超函数との畳み込み.を満たす超函数として定まる。が従う。ここでchは凸包を表す。コンパクト台付き超函数との畳み込み.で定義される。これは函数同士の古典的な畳み込みの概念を一般化するもので、微分とは連続函数の微分としての超函数.緩増加超函数の場合.コンパクト台付き超函数の場合.離散的な台を持つ超函数の場合.一般の超函数の場合.テスト函数として正則函数を用いること.シュワルツ超函数論の成功に刺激を受けて佐藤超函数の概念が生み出された。テスト函数には正則函数の空間が用いられる。この精錬された理論は特に、層の理論や多変数複素解析を駆使する佐藤幹夫の代数解析学によって発展した。これにより、例えばファインマンの経路積分のような形式的な方法の範疇にあったものが、厳密な数学として扱えるようになった。乗法の問題.を満たすものとし、δをディラックのデルタ超函数とするとだがとなるので、(いつでもきちんと定義できる)滑らかな函数による超函数への積を拡張する方法では、超函数の空間における結合的な積を得ることはできない。