数理論理学の中心では形式論理体系を用いて表現された数学の概念を取り扱う。それらの体系は、多くの細部の差異はあるが、固定した形式言語で記述されるという共通の性質がある。命題論理と一階述語論理の体系は今日では最も広く研究されている。それは数学基礎論への応用可能性とそれらの望ましい証明論的な性質の故である。より強い古典論理、例えば二階述語論理や無限論理もまた直観主義論理とともに研究されている。一階述語論理.他の古典論理.一階述語論理の他にも多くの論理体系が考えられている。それらのうちには無限の長さの証明や論理式を許す無限論理や、意味論に集合論の一部分を直接含むような高階述語論理も含まれる。高階述語論理は議論領域の要素だけではなく議論領域の部分集合(述語)、議論領域の冪集合の部分集合(述語の述語)、さらに高階の対象に対する量化を許した論理である。その意味論は、それぞれの高階型の量化子に対して独立した議論領域を割り当てるよりは、量化子は適切な型の全ての対象に及ぶように定義される。現在の形の一階述語論理が開発される以前に研究されていた論理、例えばフレーゲの論理など、は集合論的な側面を持っていた。高階述語論理はより表現力が高く、自然数の構造の完全な公理化すら可能であるけれども、一階述語論理における完全性やコンパクト性定理に対応する性質を高階述語論理は持たない。また一階述語論理の持つ証明論的なよい性質の多くは高階述語論理では失われている。他のタイプの論理としては不動点論理があり、これは原始帰納的関数の記述に使われるような帰納的定義を許す。非古典論理と様相論理.直観主義論理はブラウワーの直観主義(ブラウワー自身はその形式化を避けたが)のプログラムの研究からハイティングによって形式化・発展せられたものである。直観主義論理は排中律、すなわち任意の文が真または偽であるという原理を、明確に含まない論理である。クリーネの直観主義論理の証明論に関する仕事は、直観主義的な証明からは構成的な情報が復元できることを示している。例えば、直観主義的算術のいかなる証明可能全域関数も計算可能である。このことはペアノ算術のような算術の古典理論においては成立しない。代数的論理学.