左一意性「の任意の元に対して、ならば」が成り立つとき、を単射という。包含写像は単射である。単射の制限写像も単射である。からへの全射がさらに単射でもあるとき、はからへの全単射であると言われる。定義域をとする任意の単射はあきらかにその値域への全単射である。逆写像.はからへの全単射である。の構成から、であることが分かる。関連概念および定理.からそれ自身への全単射全体の集合をとすると、写像の合成は結合法則を満たし、恒等写像を単位元として、任意の全単射が逆写像を逆元に持つから、これは群をなす。特にが個の元からなる有限集合の場合のを次対称群という。,の合成が定義可能で全単射であるとき、が全射であることおよびが単射であることが容易に確かめられるが、このことの逆も次の意味で成り立つ。この二つの事実には、正確に逆が成り立つ。従って、全射と単射を次のように定義することもできる;写像の構成法.既知の写像から別の新たな写像を構成する方法をいくつか示す。制限と延長.直和.ふたつの写像,で、それらの定義域が交わりを持たない()とき、これらのグラフの合併として写像の直和を定義する。これは具体的にを満たす。直和は,の共通の延長として最小であり、直和のグラフはそれぞれの写像のグラフの合併である。直和は可換である。と書ける。上書き和は一般には可換でない。直積.ふたつの写像,に対して、写像の直積はで与えられる。商と標準分解.任意の写像に対し、上の二項関係をで定めるとは同値関係で、写像に付随する同値関係と呼ばれる。この同値関係による類別を考えることによりは等位集合の和に分割される。このとき、商集合からの写像あるいは等式(ただし、は自然な全射、は自然な単射)を写像の標準分解と呼ぶ。写像の集合.写像図式.などを挙げることができる。任意の頂点から別の任意の頂点への写像が経路の取り方に依らないとき、図式は可換であるという。例えばのとき図式は可換であり、逆もまた成り立つ。一般化と応用.部分写像.一般には、定義域と始域が異なる(値の定められていない始域の元が存在する)という場合も考え得る。集合,の元の順序対からなる集合(すなわち二項関係)が