が成り立つ。言い換えれば、の上の積分は、点および上のの値のみに依存し、それらを結ぶ積分路の取り方に依らない。特に積分路が閉経路であるならば、積分は必ずになるため、ベクトル場はと呼ばれる。また、物理学において、このような性質を持つ力の場を保存力と呼ぶ。このことから、保存ベクトル場の線積分は経路独立あるいは「積分経路に依らない」と言う。応用.この線積分は物理学でよく用いる。たとえば、ベクトル場で表す力場の内側で曲線に沿って運動する粒子の成す仕事をの上の線積分で表す。複素線積分.線積分は複素解析における基本的な道具である。を複素数平面の開集合、を有限長曲線とすると、函数の線積分は、区間のへの細分を考えて得るリーマン和の、小区間の幅をに近づける極限として定義する。が連続的微分可能な曲線ならば、この線積分の値は実変数函数の積分として評価することができる。弧長に関する線積分も同様にと定義できる。これら二種類の線積分について、特にが成り立つ。複素線積分の例.複素函数と閉路としてを中心とする単位円をから反時計回りに一周するもの考える。は()と媒介変数表示できるから、代入してを得る。上記の積分はコーシーの積分公式を用いても同じ計算結果が得られる。複素線積分とベクトル場の積分との関係.と書くことができて、これと共軛複素積分をあわせて考えれば、ベクトル場としての線積分と面積分を考えることができる。複素正則函数がコーシー=リーマンの方程式を満たすことから、正則函数の共軛に対応するベクトル場の回転はになる。これはどちらの種類の線積分でもそれがになるときのストークスの定理と関連がある。すなわち、ガウス=グリーンの定理を適用すれば複素関数の面積分は、その領域の境界上の線積分に帰着されるため、複素関数の積分では線積分が本質的である。特に正則関数の単純閉曲線上の閉路積分に関するコーシーの定理は、を境界とする領域でのグリーンの定理にコーシー・リーマンの関係式を代入することに対応する。親日家決議に至る背景.内容.これらは、ドイツ連邦結成当初の規約を逸脱しており、連邦をより保守化・反動化させるものであった。結果.穢れを払い、禍(まが)を直す神とする説がある。神直日神