ここでは(基本群のような)代数的対象が位相空間から導かれ、位相空間の間の連続写像は基本群の間の代数的準同型を導いている。定義.共変関手.圏から圏への関手、特に共変関手(きょうへんかんしゅ、)は、すなわち、関手に対して恒等射および射の合成を保存することが要請される。反変関手.関手に似た形式を持ちながら、射を反転させる(合成を逆向きにする)ような対応が多数存在する。そこで、からへの反変関手(はんへんかんしゅ、)が、各対象を対象に対応させ、各射を射に対応させるとき、以下の性質を満たすものとして定義される。注意.の双対圏を考えるならば、反変関手をかわりに(共変)関手(場合によっては)と見ることによって、共変関手の概念だけで処理することができる。反変関手はまれに「余関手」(よかんしゅ、)と呼ばれることもあるが、圏論の文脈で「(圏論的)双対」(つまり「全ての矢印を逆向きにする」)を意味する接頭辞「余」の使い方とは乖離がある。(共変)関手は射を射に対応させるものだが、ここで双対を得るために全ての矢印を逆向きにするなら射に射が対応することになる。これは結局のところ普通の共変関手の概念を表している。つまり関手とは自己双対的な概念であり、字義どおりにとらえるなら余関手と関手とは同じ概念を表している。性質.関手の公理からの重要な帰結としての二つがあげられる。いかなる圏においても、(こうとうかんしゅ、)が、どの対象も射もそれ自身へうつすものとして定まる。函手およびに対し、それらの合成を考えることができる。関手の合成は、それが定義される限り結合的である。このことから、関手が圏の圏における射となることが示される。唯一つの対象からなる圏は、射をその元とし、合成をその演算とするようなモノイドと同値である。圏と見なしたモノイドの間の関手はモノイドの準同型に他ならない。その意味で、勝手な圏の間の関手は、モノイドの準同型の、二つ以上の対象を持つ圏へのある種の一般化になっている。自然変換.が圏との間の(共変)関手であるとき、からへの自然変換はに含まれる全ての対象に対しの射を与える。このとき、の任意の射に対し、が成り立つ。これは即ち、以下の図式が可換になることを意味している。