適当な環(例えば実数体や複素数体)に成分を持つ次正方行列環をと書き、その一つの元として行列をとる。に関する多項式を係数として持つ行列、例えばやその余因子行列(の転置行列)なとはの元である。の同じ次数の冪を含む項をまとめることにより、に属する行列をを変数とする行列係数の「多項式」の形に書き表すことができる。行列係数の多項式全体の成す集合をと書けば、ととの間に一対一対応が存在するから、それにより対応する算術演算を定義することができる。特に乗法はで与えられる。これは明らかに非可換な乗法である(特に右辺の係数における積の順番は、左辺の対応する因子の現れる順番を反映するようにしなければならない)。が成り立つが、これにを代入して整理すればが残る。各に対してを行うことにより、所期の式が得られる。このように実際にが環準同型となる適切な設定の下が求められたからには、定理の証明はしかしここで用いた被除数も除数もともに部分環に属している(ここではの生成する行列環の部分環、すなわちのすべての冪によって上線型に張られる集合である)。したがって、実は上記の割り算は可換多項式環の中で実行できるものであり、もちろんこの小さい環においても同じ商と剰余が与えられる。このことから特にが実はに属すことが分かる。このように可換環部分環の中で考えれば、等式においてをとおくことは有効、すなわち評価写像定理を証明することに加えて、上記の論法ではの係数はに関する多項式であることまで分かる(これに対して、第二の証明からはそれらはの中心化環に入ることしか分からない。一般にはより大きな部分環であり、可換とも限らない)。特に定数項がに入る。は勝手な正方行列でよかったのだから、これによりが常にの多項式に書ける(係数はごとに変わる)ことが保証される。が導かれる。ここに、はの固有多項式のものである。抽象化・一般化.上で述べた通り、定理の主張における行列は、先に行列式を評価してからその後で行列を変数に代入して得るものであり、行列式を計算する前に行列に代入を行うことは意味をなさない。にも拘らず、をある特定の行列式の値として直截に得ることのできる解釈を与えることは可能である。