シュレーディンガー描像では、量子系の時間的変化はその量子系の状態ベクトルや波動関数がその情報を持っていると考える。量子系の状態ベクトルおよび波動関数の時間的変化は、時間に依存するシュレーディンガー方程式によって記述される。状態ベクトルに関するシュレーディンガー方程式は一般に以下のように表される。は系全体の力学的エネルギーを表す演算子で、ハミルトニアンと呼ばれる。ハミルトニアンの具体的な中身は考える系に応じて異なり、対応する古典系のハミルトニアンを正準量子化して求めることが多い。ハミルトニアンは自己共役な演算子であることが要請されるが、ハミルトニアンを自己共役とは限らない一般の線型演算子に置き換えた方程式もまたシュレーディンガー方程式と呼ばれる。シュレーディンガー方程式は非相対論的な方程式であり、相対論的領域に対してそのまま適用することはできない。しかし、ディラック方程式を変形することで相対論的なハミルトニアンを得ることができ、形式的にシュレーディンガー方程式と同様の形に表すことができる。時間発展.時間に依存するシュレーディンガー方程式は時間発展演算子を用いて形式的に解を求めることができる。初期条件をとして、各時刻の状態ベクトルを時間発展演算子を用いてと書き換える。初期条件を満たすためには時間発展演算子は初期時刻において恒等演算子に等しくなければならない:。時間発展演算子による置き換えをすることにより、シュレーディンガー方程式は時間発展演算子に関する微分方程式となる。この方程式は以下の積分方程式に置き換えることができる。積分方程式の右辺を再帰的に展開することにより無限級数として解が求まる。積分中のハミルトニアンに時間順序演算子を作用させ、ハミルトニアンの積を時間順序積に置き換えれば、積分の順序を時間順序演算子に担わせることができる。ハミルトニアンの積の置換は通りあるため、上記の級数はと書き換えられる。指数関数の級数展開からのアナロジーにより、記述の煩雑さを避けるため時間発展演算子は以下のように略記される。特にハミルトニアンが時間に依存しない場合、時間発展演算子は単に演算子の指数関数となる。ハミルトニアンが時間に依存しない例として、ポテンシャルが時間に依存しない一般の多体系のハミルトニアン