数学者は長い間、十分滑らかなグラフを持つ非負値関数、例えば有界閉区間上の連続関数、に対しては、「曲線の下部の面積」を積分と定義できると理解しており、多角形によって領域を近似する手法によってそれを計算した。しかし、より不規則な関数を考える必要が、例えば解析学や確率論において極限を考えるときに生じたため、より注意深い近似の手法が適切な積分を定義するために必要なことが明らかとなった。また、局所コンパクト群のような、実数直線よりも一般の空間上で積分をしたいことがある。ルベーグ積分はこの重要な仕事をするために必要な正しい抽象化を与える。例えば、フーリエ級数などの関数列の極限として表される関数に対して、積分と極限操作が可換となるかどうかをリーマン積分で考えると非常に繊細な議論が必要だが、ルベーグ積分では、積分と極限操作の交換が可能であるための簡単な十分条件が分かっている。導入.直感的な解釈.積分の定義方法の違いを直感的に理解できるように、山の(海抜より上の部分の)体積を計算する例を考えよう。この山の境界ははっきりと定まっているとする(これが積分範囲である)。例.定義のための準備.構成法.ルベーグ積分論は、可測集合とその上の測度に関する理論(測度論)と可測函数とその積分に関する理論(積分論)の二段構えになっている。測度論.可測函数.で与えられる関数もまた可測関数になる。従って、可測関数列が各点収束していれば極限関数もまた可測関数である。積分の構成.ルベーグ積分の定式化の一つの方法として、単函数(有限個の指示函数の実係数線型結合)を用いるものがある。単函数は、可測函数の値域を帯状に分割することにより、可測函数を近似することができる。単函数の積分は各帯状領域の測度にその高さを掛けたものに等しい。非負値をとる一般の可測函数の積分はその函数の単函数による近似の上限として定義され、非負と限らない場合には函数を正成分と負成分の二つの非負値函数の差に分解してそれらの積分の差として可測函数の積分を定義する。集合の定義関数の場合.単関数の場合.与えられた単函数を指示函数の線型結合として表す方法が複数あったとしても、上記のように定義した積分が常に同じ値となることに留意する。これは測度の加法性からくるものである。不定符号の場合.複素数値の場合.