そのような問題のもっとも単純な例は、二点を結ぶ最短の曲線を求める問題である。何の制約も無ければ二点を結ぶ直線が明らかにその解を与えるが、例えば空間上の特定の曲面上にある曲線という制約が与えられていれば、解はそれほど明らかではないし、複数の解が存在し得る。この問題の解は測地線と総称される。関連する話題としてフェルマーの原理は「光は二点を結ぶ最短の光学的長さを持つ経路を通る。ただし光学的長さは間にある物質によって決まる」ことを述べる。これは力学における最小作用の原理に対応する。重要な問題の多くが多変数函数を含む。ラプラス方程式の境界値問題の解はディリクレの原理を満足する。は空間内の与えられた周回路の張る面積が最小の曲面(極小曲面)を求める問題であり、しばしばその解を石鹸水に浸した枠が張る石鹸膜として見つけるデモンストレーションを目にする。こうした経験は比較的容易に実験できるけれども、その数学的解釈は簡単とはほど遠い(局所的に最小化する曲面は複数存在し得るし、非自明な位相を持ち得る)。歴史.極値.変分法は汎函数の極大と極小(総称して「極値」と呼ばれる)に注目する。函数が数値的な変数に依存して決まるのとある意味同じように、汎函数は函数に依存して決まり、またその意味で函数の函数としても記述される。汎函数の強極値・弱極値はともに連続函数の空間に対するものだが、弱極値はその空間に属する函数の一階導函数が連続という追加の要件を持つ。強極値は弱極値でもあるが、逆は真ではない。強極値を求めることは弱極値を求めることよりも困難である。弱極値を求めるために用いる必要条件の一つの例として、オイラー=ラグランジュ方程式がある。変分および極小値に関するある十分条件.変分法は、汎函数の引数である函数のわずかな変化によって生じる小さな変動としての汎函数の変分に注目する。一次変分は汎函数の増分の一次成分(線型部分)として定義され、二次変分は汎函数の増分の二次成分として定義される。例えばは函数を引数とする汎函数とし、はと同じ函数空間に属する函数として引数をからへわずかに変化させるとき、対応する汎函数の増分はで与えられる。