というように、多様体に含まれる開集合に多様体を制限したものが開部分多様体である。円周と球面.単位円そして座標近傍系を積多様体.という写像である。その他の例.原点を通る直線は多様体上の関数.とすればしたがって多様体の間の写像.とすればとなる。これが具体的に座標の成分を用いてしたがって多様体上の曲線.歴史.多様体の歴史はゲッティンゲンで行われたリーマンの講演に始まる。脚注.名称.用途.硫黄から製造される硫酸は化学工業上、もっとも重要な酸である。一般的に酸として用いられるのは希硫酸で、脱水剤や乾燥剤に用いられるのは濃硫酸である。また、種々の硫黄を含んだ化合物が合成されている。硫黄は古来から漂白剤、儀式用の香料、殺虫剤、接着剤など多様に用いられていた。また黒色火薬の原料であり、ローマ人は硫黄を花火や武器の製造に使用した。現代では合成繊維、医薬品や農薬、また抜染剤などの重要な原料であり、さまざまな分野で硫化物や各種の化合物が構成されている。農家における干し柿、干しイチジクなどの漂白剤には、硫黄を燃やして得る二酸化硫黄が用いられる(燻蒸して行われる)。また、ワインの酸化防止剤としても二酸化硫黄は使われている。ゴムに数パーセントの硫黄を加えて加熱(加硫)すると(架橋により)弾性が増し、さらに添加量を増やすと硬さを増す加工が可能となり、最終的にはエボナイトとなる。この硫黄添加はゴム製タイヤの性質の決定において重要な要素である。また、金属の硫化鉱物は半導体の性質を示すものが多く、シリコン鉱石検波器やゲルマニウムダイオードが実用化される以前は、鉱石検波器の主要部品として重用された。硫黄は高い電位を示す為、二次電池の正極活物質としても利用されている。代表的な例としてナトリウム・硫黄電池が風力発電所などで広く利用されている。近年は全固体電池の固体電解質にも硫化物が利用されている。この硫化物系固体電解質は高いイオン伝導度を示し、今後は全固体電池がリチウムイオン電池の座を取り大きな需要が見込まれている。同素体.特徴.