が成り立つ。ここではの次係数である。等式()はより一般に、複素数に対してとできる。これはの代わりに多項式とするとき、がやはり次以下の多項式であることと次係数がであることに注意すれば、等式()を適用して直ちに得られる。はに対して収束する。この等式はを調べるのに利用できる。これを見るにはが成り立つことをに関する帰納法で示せばよい。等式()からおよびが得られる。により、としてを境に刻みに取った二項係数の総和と項の閉じた形の式の和との間の等式が示せる。組合せ論的に証明できる等式.二項係数を含む多くの等式が証明することができる。例えばなる非負整数に対して(のとき()に簡約される)は、以下のようにできる。左辺は集合の少なくとも個の元を含む部分集合を選び、選ばれた元のうち個に印をつける方法を数えている。右辺も同じものを数えるのだけれども、個の元のうち個に印をつける方法が通りあり、その各々について印をつけた個を含む部分集合を得るには印の付いた個に残りの個の元から任意に追加すればよいから、そのような仕方は通りである。パスカルの法則等式(),再掲するとも組合せ論的に証明できる。個の□を一列に並べ、それらのうちの個を選んで印を付けることを考える。そのような方法は通りである(右辺)。他方、そのような個の□を選ぶときに、個は前半の個から、残り個は後半の個から選ぶとしてに亙って考える。これによりが得られるから、等式()を適用して所期の結果を得る。ディクソンの等式.あるいはより一般にで与えられる。ここには非負整数である。連続等式.ある種の三角積分は二項係数で表される値を持つ。を非負整数として:これらはオイラーの公式で三角函数を複素指数函数に変換して、二項定理で展開して項別積分すれば示せる。母函数.通常母函数.固定したに対して作られる数列の通常母函数はで与えられる。固定したに対して作られる数列の通常母函数はである。一般の非負整数に対する二項係数のはを満たす。二項係数に対する別の形の二変数母函数は、対称函数としてで与えられる。指数型母函数.二項係数に関するはとなる。可除性.