原始ピタゴラス数には重複なく生成する式、そしてそれを効率良く列挙するアルゴリズムが知られており、そのアルゴリズムによって原始ピタゴラス数全体を三分木で表すことができる。リスト(三分木を含まない).は偶奇が異なる(#生成式参照)ので、がある。ユークリッドの式ではを偶数辺、ブラフマグプタの式ではを偶数辺としていることが多い。生成式.原始ピタゴラス数の生成式は、ユークリッドの式とブラフマグプタの式が知られている。ただしの順番は流儀によりまちまちである。ユークリッドの式またはピタゴラスの公式とは、の形のことである。ここで、は自然数でを満たす。の形のことである。ここで、は自然数でを満たす。ユークリッド式とブラフマグプタ式にはの関係があり、本質的には同じである。ただし、周長は、ユークリッド式では、ブラフマグプタ式ではとなり、ブラフマグプタ式の方が式が簡単になることがある。『数学ガール』(結城浩著)では、ユークリッドの式は「ピタゴラ・ジュース・メーカー」とネーミングされて取り上げられている。生成式の導出.ユークリッドの式は、以下のようにして導出できる。もも奇数であると仮定すると、これはに矛盾。故に、とは偶奇が異なる。(は整数)とおく。ここでとは偶奇が一致するから、(ともに奇数だとすると上の等式を満たさないため)とおくことができる。ここでは互いに素であるから、は互いに素であることが導ける。さらには偶奇が一致するからは奇数である。逆に、は互いに素でが奇数ならば、は互いに素であることも導ける。は互いに素だから、(は互いに素な自然数)とおくことができる。このときは奇数よりは奇数。生成アルゴリズム.タイルの操作.原始ピタゴラス数全体を分類するために、ピタゴラスの生成式における(ただし)の「退化」を次で定義する:こうして得られた新たなも満たすべき条件:この「退化」を繰り返していくと、有限回でになる。となり、それぞれに対応している(短辺は広義増加、長辺は狭義増加する)。