四元数をスカラー部とベクトル部に分解してと表すと、加法、乗法の定義式はが成り立つ。共軛、ノルムおよび逆数.であってでない。複素数における共軛とは異なり、四元数の共軛は乗法と加法を用いて完全に書き表すことができる:共軛を用いると、四元数の実部、虚部はそれぞれとなる。四元数のノルムは、自身とその共軛の積の平方根として定義される:(ハミルトンはこれを四元数のテンソルと呼んだが、この用語は現代的な意味でのテンソルと衝突する)が成り立つ。特に、実数に対してが成り立つ。この乗法性は、積の共軛に関する式からの帰結である。あるいは、正方行列の行列式の乗法性と公式(は通常の虚数単位)から乗法性を示すこともできる。このノルムを使って、四元数との間の距離を、それらの差のノルム()として定義することができる。これによりは距離空間となり、加法と乗法はこの距離位相に関して連続になる。単位四元数.ノルムがの四元数を単位四元数という。でない四元数に対して、そのノルムで割って得られる単位四元数を、のという。任意の四元数は、そのを持つ。共軛とノルムにより、四元数の逆数(自身との積がである数)が得られる:代数的性質.基底元の積は別の基底元に符号を付けたものになるから、集合はその乗法に関して群を成す。この群は四元数群と呼ばれ、で表す。の実係数群環は環であり、また上の次元ベクトル空間でもあり、の各元を基底ベクトルに持つ。四元数体はをで生成するイデアルで割った剰余環になっている。ここで、生成元となっている各差の第一項は基底元のそれぞれ一つであり、第二項は残りの基底元のそれぞれ一つであって、これらはの(群環の加法に関する)加法的逆元でないことに注意(剰余環、つまりの中では加法逆元になる)。四元数との幾何.で与えられる。これはのどのスカラー部にも等しい(これらのベクトル部は相異なることに注意)。それゆえドット積についてはという等式も成り立つ。また、とのクロス積は基底の元の順序(から定まる向き)に依存してと定義される(符号を決めるために向きが必要であることを想起せよ)。これは四元数としての積のベクトル部に等しく、のベクトル部とも同じく等しい。ゆえに、これについても