射影幾何学は円錐曲線の理論(これはユークリッド幾何学の範疇で既に非常によく調べられている)を全て含む。射影幾何で考えることの明らかな優位性としては、双曲線と楕円の区別を、双曲線は無限遠直線と交わるということのみで判断できるということ、そして放物線は無限遠直線に接するということで他と区別できることが挙げられる。円全体の成す族は複素座標を考えるだけで「無限円直線上の二点を通る円錐曲線」として見ることができる。座標というのは「総合幾何学」的ではないから、代わりに直線とその上の二点を固定して、研究の基本対象としてそれらに点を通る円錐曲線全体の成す「線型系」を考える。この手法は才能ある幾何学者にとって非常に魅力的であり、この分野はとことん調べつくされている。このような手法の例として、ベイカーによる複数巻に及ぶ論文がある。様々な射影幾何が存在するが、それらは「離散」と「連続」の二つに大別することができる。離散射影幾何では、それが含む点の集合が「有限」の場合も無限の場合もありうるが、連続射影幾何には必ず無限に多くの点が隙間無く含まれていなければならない。「射影幾何」の語は、背景となる一般化された抽象幾何を指すこともあるし、広く興味の対象となる特定の幾何(例えば、平坦な平面上に斉次座標系を入れて解析できるようにしたもの)を指す場合もある。後者ではユークリッド幾何を埋め込むことができるから、拡張ユークリッド幾何と呼ぶこともある。楕円型の平行線条件が射影幾何の双対原理を(そして恐らく、全ての射影幾何が共通に持つ重要な性質のほとんどを)導く上で鍵となる考えである。射影幾何における双対原理.実用上、双対原理を使えば二つの幾何学的構成の間の「双対対応」を構築することができるようになる。そのようなものの中で最もよく知られたものは、円錐曲線(二次元の場合)あるいは二次曲面(三次元の場合)における二つの図形の両極性もしくは相互関係である。ありふれた例が、双対多面体を得るための同心球における対称多面体の相互関係に見つかる。射影幾何の公理.