正多面体のひとつである正十二面体の頂点周りを面の中心まで切頂することによって得られる(双対関係)。また、正六面体や正十二面体に対する捩じり切り操作と同様の操作を正四面体に対して行うことでも得られる。計量.頂点、辺、面の座標.対称性.また、双対図形である正十二面体の回転の群ならびに対称変換の群は、どちらも正二十面体のそれと全く等しい。この図形を枠に持つ立体.正二十面体を枠に持つのは次の立体である。近縁となるジョンソンの立体.正二十面体と近縁となるジョンソンの立体は次の通りである。脚注.生涯.即位前の活動.長兄・甥およびフランス諸侯との抗争.政策.グレゴリウス改革に対して.聖職売買に関して、俗人による聖職叙任が問題となった大陸諸国の様子を踏まえて、司教叙任の際に国王の同意が必要と言う条件だけを確保した。以前の王達と違い、修道士出身の司教よりも在俗聖職者を司教にすることが多く、特に、自らの詔書局(大抵は宮廷礼拝堂付き司祭ことチャプレン)で働いた聖職者達をノルマンディーやイングランドの司教に転出させ、その働きに報いた。後継者問題.このような施策により、イングランド王権は強化され、国内は安定したが、晩年には王位継承問題に苦しんだ。伝承.子女.脚注.脚注.双対の具体的な定義は、双対関係の成立している対象の種類によって様々に与えられる。数学における双対概念.正多面体の双対.グラフの双対.論理の双対.命題を論理式として表したとき、論理和∨と論理積∧とをすべて入れ替え、全称記号∀と存在記号∃とをすべて入れ替えたものをもとの論理式の双対といい、入れ替えて得られた命題をもとの命題の双対命題と呼ぶ。双対の双対はもとの命題に一致する。元の論理式が証明可能ならばその双対の否定が証明可能であり、ある論理式の否定が証明可能ならば、その論理式の双対が証明可能になる。ベクトル空間の双対.アーベル群の双対.と定義すると、自然な同型そして有限性や可換性の条件をゆるめると問題は急速に難しくなる。圏の双対.与えられた圏において、圏の対象を共有し射の向きを逆にして得られる新たな圏を、もとの圏の双対圏という。