この定義は対角化を用いることにより、二次形式の正定値、半正定値の定義と同値の関係であることが確認できる。量子力学における固有値問題.量子力学においては固有値問題が次のような形で現れる。まず、系の状態は、「状態ベクトル」というもの(波動関数ともいう)で表現されると考える。そして、その状態ベクトルは、シュレーディンガー方程式に従って時間的に変化すると考える。このとき、系が時間的に変化しない定常状態(厳密に言うと、時間的に変化するものが状態ベクトルの位相に限定される場合)、シュレーディンガー方程式は、変数分離法によって、以下のようになる:ハミルトニアンはエルミート演算子であり、従って、異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交している。ハミルトニアンに限らず、任意の物理量は、それぞれエルミート演算子に対応する。それらに関する固有ベクトルは、それらの物理量が確定している状態であり、その固有値が、その状態での物理量の値となる。実際の多電子系などの数値計算においてはエルミート演算子を有限サイズのエルミート行列で近似することになる。つまり、本来、状態ベクトルのなすヒルベルト空間が無限次元であれば、行列による表現は無限行、無限列であるが、これは現実に計算することは不可能なので、有限の大きさに切断して近似的に計算が実行される。波動関数は適当な基底関数の線型結合(重ねあわせ)で表現され、求めるべき基底関数の展開係数を並べたものが、そのエルミート行列の固有ベクトルに相当することになる。展開係数の数も本来無限個必要であるが、有限の数で切断(カットオフ)される。切断は、求めるべき物理量(全エネルギーなど)が精度として十分に収束するところで行う必要がある(解くために必要な数値計算量にも依存する)。対角化概要.対角化可能であるための必要十分条件.定義式を成分で表示すると、上式は、次のように書き直せる:以上が行列が対角化できるための必要十分条件である。またこれは、実際に対角化を行うための手順にもなっている。他にも同値な条件がいくつか知られている。例.次の行列は対角化可能かどうか判断し、可能な場合は対角化せよ:固有値と固有ベクトルを計算すると、固有ベクトルを並べた磁性半導体現在は、主に半導体結晶成長の際に磁性不純物を入れる、希薄磁性半導体が主流である。