リー群でない群、したがって多様体の構造を持たない群の中で、例は進整数のなす加法群やそれから構成されるものである。実は任意の射有限群はコンパクト群である。これはガロワ群がコンパクト群であることを意味し、無限次の代数拡大の理論にとって基本的な事実である。ポントリャーギン双対性により可換コンパクト群の例がたくさん与えられる。これらは可換離散群と双対である。ハール測度.表現論.コンパクト群の表現論の未知の部分はしたがって、大まかに言って、に投げ返される。この理論は詳細にかなり豊かだが、質的によく理解されている。双対性.コンパクト群をその表現論から復元する話題はの主題であり、今ではしばしば淡中圏の理論のことばで書き直されている。コンパクト群から非コンパクト群へ.コンパクト群論の非コンパクト群への影響はによって定式化された。一般の半単純リー群の中には極大コンパクト部分群があり、そのような群の表現論は、多くがによって発展されたが、表現のそのような部分群へのやワイルの指標の理論のモデルを集中的に用いる。余誘導加群誘導加群係数拡大係数の拡大係数環の拡大係数制限係数の制限係数環の制限係数環の変更それらは随伴関手として関係する:これはと関係する.Operations.係数制限.定義.関手としての解釈.係数制限は加群の圏から加群の圏への関手と見ることができる.準同型は自動的にとの制限の間の準同型になる.実際,とに対し,となる.関手として,係数制限は係数拡大関手の右随伴である.が有理整数環のとき,これは単に加群の圏からアーベル群の圏への忘却関手である.体の場合.係数拡大.係数拡大は加群を加群に変える.定義.この定義では環は結合的と仮定するが,可換であったり単位元を持ったりする必要はない.また,加群は左加群と仮定する.右加群の場合に必要な修正は容易である.例.応用.関手としての解釈.係数拡大と係数制限の関係.交わり(数学)環上の自由代数自由結合代数自由結合環自由環非可換多項式環非可換多項式非可換多項式代数自由代数定義.多項式との対照.アルファベット上の語全体はの基底をなすから、の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである: