を満たす。少なくとも一つのユークリッド函数を備えた整域をユークリッド環と呼ぶ。ここで、ユークリッド環の構造が「特定」のユークリッド函数を持つことを要求していないことに注意すべきである。一般に一つのユークリッド環が複数のユークリッド函数を持ちうるが、そのようなものはどれでも一つあればよいのである。多くの代数学の教科書では、ユークリッド函数がさらに次のような性質をも満たすことを仮定している。しかし、これは次のような意味で冗長である:実際に対してをのように定めればこのは条件を満たす。言葉で書けば、の値として、が生成する主イデアルの非零元全体の成す集合上でのの最小値を与えるのである。定義に関する注意.「ユークリッド函数」と言うかわりに「次数」、「賦値」、「ゲージ函数」、「ノルム」などといったような用語を用いているものも多い(特に名称を提示せず、単に条件を満たす写像/函数とだけ言っている場合も少なくないが)。ユークリッド函数の定義として任意の整列集合に値を取ることを許して一般化する場合もある。このように条件を弱めても、ユークリッド性の最も重要な部分には何も影響しない。またユークリッド函数の定義域から零元を抜かず全体で定義されることを仮定する文献もある。この場合、例えば一変数多項式環に対して通常の次数函数は(ユークリッド函数の値域をとするとそのままでは使えないが)零多項式の次数を最小値として付与したに値をとるユークリッド函数にはなる。例.以下にユークリッド環の例を挙げる。性質.整域とその上のユークリッド函数について:ノルムユークリッド体.「体がノルムユークリッドでない」というのは、整数環がユークリッド環にならないことを必ずしも意味しない。単に体のノルムがユークリッド函数の公理を満足しないというだけである。実際、その整数環がユークリッド環になるが自身はノルムユークリッドでないような数体は存在する。簡単な例として二次体があるが、このような体を(特に二次体の場合に)全て決定する問題は重要な未解決問題である。ノルムユークリッド二次体の分類は済んでおり、そのような二次体を成す整数の値はであたえられる。三重短期大学の人物一覧