カルマンフィルター()は、誤差のある観測値を用いて、ある動的システムの状態を推定あるいは制御するための、無限インパルス応答フィルターの一種である。実用例.カルマンフィルターは、離散的な誤差のある観測から、時々刻々と時間変化する量(例えばある物体の位置と速度)を推定するために用いられる。レーダーやコンピュータビジョンなど、工学分野で広く用いられる。例えば、カーナビゲーションでは、機器内蔵の加速度計や人工衛星からの誤差のある情報を統合して、時々刻々変化する自動車の位置を推定するのに応用されている。カルマンフィルターは、目標物の時間変化を支配する法則を活用して、目標物の位置を現在(フィルター)、未来(予測)、過去(内挿あるいは平滑化)に推定することができる。歴史.用いられる動的システム.カルマンフィルターは、直接システムの状態が観測できない問題に対する状態推定法のひとつであるから、一般的に観測方程式を伴う問題に適用される。ここに、これがシステムの状態の遷移を記述する状態方程式である。システムの初期条件と雑音多くの実動的システムでは、上記のような状態空間モデルは厳密には適合しないが、カルマンフィルターは雑音の影響を加味した上で設計されているがゆえに、上記のモデルが対象システムに近似的に適合するものと考えられ、これが理由でカルマンフィルターは十分な有用性が認められている。カルマンフィルターは洗練された様々な拡張がなされており、それは以降に述べられる。カルマンフィルター.カルマンフィルターは、時間ステップをひとつ進めるために予測と更新の二つの手続きを行う。予測の手続きでは、前の時刻の推定状態から、今の時刻の推定状態を計算する。更新では、今の時刻の観測を用いて、推定値を補正してより正確な状態を推定する。予測.更新.不偏量.設定例.トロッコの場所と速度は、ここに、ここに、である。初期条件は正確に分かっているので、導出.更新後の共分散行列.変形して、となり、さらに変形カルマンゲインの導出.このゲインは、最適カルマンゲインと呼ばれる。更新後の誤差共分散行列.更新後の誤差共分散行列を展開して、右の二項は相殺するから、