は、デルタ関数の満たすべき性質を満たす。さらに、でとすればの近傍の外で一様にかつである。これは、とすることで、関数族が汎関数としてデルタ関数に近づくことを意味する。したがって、デルタ関数はある意味で正規分布の密度関数の極限と見なすことができて、と表現される。デルタ関数の表現に正規分布を用いたが、このことから、デルタ関数は正規分布の一種であると考えることが可能である。デルタ関数は、特殊な確率分布の表現に有用である。は、デルタ関数の満たすべき条件が成り立っている。これも弱収束の意味でデルタ関数を近似していると考えられ、と表現される。フーリエ変換の基礎付け.であり、フーリエ変換における基本的な関係式が得られる。この表式は量子場の理論で非常によく利用される。フーリエ変換とその逆変換は、以下の関係式により正当化される。佐藤超関数としての定義.佐藤超関数の流儀では、ディラックのデルタ関数は複素領域から実軸への抽象的境界値と定義される。ここで抽象的境界値とは正則関数のある種の同値類を表すが、直感的にはならばである。また、デルタ関数の最も重要な性質であるディラック測度.であり、形式的にが成り立っている。演算子体の単位元.実際は、特に定数関数に対応する積分作用素に対してすなわち、形式上は任意のに対してを満たさなければならない(もしが上の連続関数ならば、とすれば左辺はとなるから、これをの中だけで考えることはできない)。再び形式的な議論だが、この被積分関数をとの指示関数との値ごとの積と見なすことで、無限区間でのデルタ関数の性質が満たされると考えることができる。一方で、十分小さなに対しだから、でが満たされていると考えることができる。性質.階微分については以下が成り立つ:であるが、を満たす超関数はを任意定数としてである。Theガッツ!概要.