これらのうち四番目は非可換だが、他はみな可換である。チャン・ツィイーラングランズ・プログラムラングランズ・プログラム()は、代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。同プログラムはにより提唱された。問題の背景.非常に広い脈絡において、既存の概念を用いて、ラングランズプログラムは構築される。これには例えば、それより少し前にとが定式化していたカスプ形式の哲学や、半単純リー群に関するハリシュ=チャンドラの手法及び結果、セルバーグの跡公式などが含まれる。初めこそ非常に新しかったラングランズの研究も、技術的に深められる中で、豊かに体系立った仮説的な構造(いわゆる函手性)を伴って数論との直接的な繋がりを提示するものとなった。カスプ形式の概念の出所は、モジュラー曲線上のカスプのみならずスペクトル論においても(アイゼンシュタイン級数からのと対照を成す)離散スペクトルとも見ることができる。より大きなリー群に対してカスプ形式を考えることは、の数が膨大になるため、より技巧的な扱いを要する。こういった手法の何れにおいても技術的な近道となる方法はなく、しばしば本来帰納的でとりわけに基づいているが、その分野は昔も今も非常に多くのことが要求される。モジュラー形式の側からは、例えば、、テータ級数などの例があった。対象.ラングランズ予想を述べることのできる様々に異なった種類の対象として、以下のものを挙げることができる:ラングランズ予想.ラングランズ予想の述べた方は様々に異なった方法があり、それらは密接に関連しているが、それらの同値性については明らかなことではない。相互律.保型形式論.函手性.一般化された函手性.幾何学的ラングランズ予想.現在の状況.局所ラングランズ予想.基本補題.ラングランズプログラムラングランズ予想ラングランズ哲学北村花絵人物.非圧縮性流体峰岸米造人物.二重数数学における二重数(にじゅうすう、)または双対数(そうついすう)とは、実数と(複零性)を満たす実数でないを用いてと表すことのできる数のことである。