完全な形式の測地線方程式を以下に示す。座標時をパラメータとする等価な数学的表式.等価原理からの直接的導出.次の一歩は連鎖律を用いることである。すると、次の方程式を得る。この両辺を時間について微分すると、さらに次を得る。前掲の方程式とあわせて、次の方程式が得られる。ここで、両辺に次の量をかける。すると、次の方程式が得られる。(局所座標系と一般座標系の関係を記述している)角括弧の中の項は一般座標系の関数であるから、(座標時をパラメータに用いた)測地線の運動方程式がこの方程式から直ちに得られる。測地線の運動方程式は、平行移動の概念を用いて導出することもできる。作用積分を通じた測地線方程式の導出.測地線方程式は、最小作用の原理を用いて導出することもできる(そして最も一般的な導出方法である)。作用を次のように定義する。分配則を用いて、以下のように展開できる。部分積分を用い、(境界においてゼロとなる)全微分を落とすと、次が得られる。若干整理すると、以下を得る。したがって、よって、により次のオイラー=ラグランジュ方程式を得る。ここに、測地線方程式が得られた。クリストッフェル記号計量テンソルを用いて以下のように定義される。(注意:この導出は、光的および空間的経路についても同様に成り立つ。)何も無い空間に対する場の方程式から運動方程式は得られるか?.アルベルト・アインシュタインは、測地線の運動方程式は何も無い空間に対する場の方程式から、つまりリッチ曲率が零になるという事実から導出できると考えていた。測地線方程式が重力の特異点を記述する場の方程式から得られるという主張は、しばしば物理学者と哲学者の両方から繰り返されるが、この主張は依然論争の的である。より議論の少ない主張として、場の方程式が流体もしくは塵の運動を決定することと、特異点の運動を決定することとは別であるというものが挙げられる。電荷を帯びた粒子への拡張.等価原理からの測地線方程式の導出仮定において、粒子は局所慣性座標系において加速していないという仮定が置かれていた。しかし、実世界においては、粒子は電荷を帯びているかもしれず、それゆえローレンツ力に従って局所的に加速しているかもしれない。つまり、次のように書ける。ここで、次の条件を仮定する。ここで、次の条件を課した。