述語論理式を自然数論の体系内に構成し、証明を形式的に進めるために、ゲーデルはゲーデル数化という操作を導入した。自由変数、論理式、証明図などを自然数でコード化し証明可能、反証可能などの概念を数論的関数として表現する。このように、論理式や証明を数学的に表現して数学内に埋め込む上記の手法は、数学そのものを分析する「超数学(メタ数学)」を、分析すべき数学の中に写像する技法の先駆けであり、その後数学基礎論や理論計算機科学でよく用いられるようになる。ゲーデル以後の展開.不完全性定理の代数化.不完全性定理は他の論理構造と同じく抽象代数による簡易な表現が可能である。を次のように定義する。数学と哲学の分離.数学の世界全体の無矛盾性を「有限の立場」で証明して数学を危機から救おうとしたヒルベルト・プログラムが、実現不可能であることをゲーデルの不完全性定理が明らかにした。ヒルベルト・プログラムは破綻した一方で、公理的集合論が整備されて「無矛盾」と見なされたこと、「算術の世界の無矛盾性」が証明されたことなどによって「不安の時代」は終わり、数学基礎論が哲学から決別した。数学基礎論上で不完全性定理は、哲学的なものとしてでなく、数学的な応用可能性として重視されるようになった。またこの定理は、電子技術を伴うコンピュータ科学(計算機科学)の重要な基本定理でもある。誤解(哲学等による誤解・誤用).という言があるが、これらは乱暴な誇張とされる。不完全性定理が一番大きな衝撃を与えたと思われる数学においてさえ、「革命」らしきものは何も起きていない。この定理は、数理論理学(数学の比較的小さな領域)で常に使われているが、普通の数学者の仕事にはほとんど何の役にも立っていない(そもそも計算機科学は、不完全性定理の証明後に、アラン・チューリング主導で成立した。不完全性定理が計算機科学に革命を発生させたと述べるのは、時系列が誤っている)。ゲーデルの完全性定理と不完全性定理は、革命的出来事ではなく時代の流れの産物だった。ゲーデル以外の誰かがこれらの定理を発見するのは時間の問題だったとされており、ゲーデル自身もそう見ていた。数学上の「無矛盾性」と不完全性定理について、フランセーンは以下の通り解説している。誤用例.