無限小数は、厳密には極限の概念を用いて定義される。特に、循環小数が表す数は無限等比級数、すなわち等比数列の和の極限と見なすことができ、ゆえに有理数である。例えば、である。一般には、冒頭の循環していない有限小数部分を分離しとおき、循環部分の循環節の部分だけ取り出した小数部分を、循環節の長さをとすればとなる。ところで、級数部分の総和はであるからやや厳密さに欠ける説明として、以下のようなものがある。辺々引くと「循環部分が打ち消しあって」循環節の長さ.である()。素数の逆数.このことは、の循環節の長さがであることと、が同値であることから、初等的な群論より導かれる。である()。このようなに対するの循環節は、巡回数となる。一般の有理数.循環節の求め方.定義に則った方法.最も素朴には、充分な桁数の小数表記を求め、その周期を見つける。同様に、有限小数の桁数も、素因数分解した時の大きい方の冪指数によって決まる。筆算.割り算を筆算で求めれば、余りに同じ数が現れた時点で、繰り返しに入ったことがわかる。例えば、十進法のを小数表示する場合、次のような計算を行う。素数の逆数の場合.貴金属貴金属(ききんぞく)は、金属のうち化合物をつくりにくく希少性のある金属の総称。定義.性質.金・銀・白金.周期表の金、銀、白金は化学的、物理的、機械的に似た性質を有する。金、銀、白金はいずれも、色が美しく、加工が容易、室温で変色しない(銀を除く)という三要素をもち工芸品や宝飾品に用いられている。白金族元素.白金族元素はお互い性質が似通っており、融点が高く、白金、パラジウムはアルミニウム並に軟らかく、ルテニウム、イリジウムは硬く、オスミウムは非常に硬く脆い。ロジウムはその中間の硬さである。全体的にくすんだ銀白色を呈した金属である。白金族元素はどれもかなり希少な金属だが、その中でもロジウム、オスミウム、イリジウムは特に希少な金属である。レニウムは、地球上においても、宇宙空間においても最も希少な金属である。(ビスマス以外のほぼ全ての高度放射性元素を除く)レニウムは灰白色の非常に硬い金属で、過酷な条件下にも耐えうることから、ロケットエンジンにごく少量添加されたりしている。ジュエリー用貴金属.