距離空間は位相空間として第一可算性(任意の点が可算の近傍生成基を持つ)、パラコンパクト性、完全正規性やハウスドルフ性など、いくつかの扱いやすいと見なされる性質を持っている。また、距離空間が可算コンパクト性や点列コンパクト性を持つならばその空間が位相空間としてコンパクトであることが導かれる。この距離空間のコンパクト性は距離空間が全有界かつ完備であることと同値になる。さらに距離空間が可分である(稠密な可算部分集合を持つ)ことと第二可算公理を満たす(可算個の開集合によってその位相が生成される)ことは同値になる。距離の誘導する一様構造・粗構造.一般の一様空間は距離函数の値が小さい時の距離の振る舞いの抽象化であり、また一般の粗空間は距離函数の値が大きい時の距離の振る舞いを抽象化するものである。初等的な例.離散距離構造.実数の直積集合における距離.を考えたとき、その極限はチェビシェフ距離と呼ばれる。このように、同じ集合に対して定めることのできる距離は一つではない。球面上の距離.他の例としては球面距離がある。距離空間の構成.有限直積.を定めることも出来る。無限直積.直和と商空間.と定めることが出来る。応用数学・組み合わせ論における距離構造.ハミング距離.このようなものにも距離を定義すると、抽象的で分かりにくかった対象に図形的に分かりやすい解釈を与える事ができる。例えばハミング距離は誤り訂正を図形的で分かりやすいものにしてくれる。誤り訂正とは、データ通信の際に生じる誤りを取り除く方法の事である。例えば「apple」という文章を送ったはずがデータ通信の途中でエラーが入り、このようにハミング距離は、「誤りを訂正する」という図形的ではないものに、「距離が一番近いものを探す」という図形的な解釈を与えてくれるのである。グラフ距離.幾何学における距離構造.リーマン多様体.双曲空間.代数学における距離構造.解析学における距離構造.位相線型空間.可分距離空間.完備な可分距離空間のボレル集合のなすσ代数はきわめて限られたものになっている。実際、そのようなσ代数は世界保健機関歴史.天然痘の撲滅.ポリオやその他感染症の撲滅計画.多剤耐性菌について.その他近年の動向.世界保健機関が定義・統計・公開している指標項目.組織.