例.は自然数の通常の大小関係(を各集合に制限したもの)を表すものとすると、この例から推測されるように、一般に有限の整列集合に対してはの要素の個数に等しい。特に、任意の自然数に対してが成り立つので、自然数はすべて順序数である。順序数に関して次が成り立つ:順序数の大小関係.任意の順序数に対して次が成り立つことが示される:そこで、のときはより大きいといい、と書く。この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。より小さな順序数(すなわち自然数)を有限順序数と呼び、以上の(すなわちと等しいかより大きい)順序数を超限順序数と呼ぶ。順序数の大小関係に関して次が成り立つ:順序数の並び方を次のように図示することができる:まず、が最小の順序数である。その後にと有限順序数(自然数)が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数である。の後にはまたその後続者たちがと無限に続いていく。その後、それらの最小上界(後にと呼ばれる)が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、...のように順序数の列は“永遠に”続いていくのである。順序数の特徴付け.ただし正則性公理を仮定しない場合は必ずしも同値にならないので注意が必要である。後続順序数と極限順序数.ある順序数が存在してとなる順序数を後続順序数と呼ぶ。でも後続順序数でもない順序数を極限順序数と呼ぶ。定義より、すべての順序数に対して、のいずれか一つだけが成り立つ。は最小の極限順序数である。また、任意の順序数に対して、より大きな極限順序数が存在することが示される。順序数の演算.順序数の間には自然数の場合と同じく和、積、冪が定義できる。特に有限順序数の間の演算は通常のそれと一致する。和.,を順序数とする。整列集合,を,,をみたすように取り、上の関係を、