しかし実用上は、離散位相と密着位相の中間にある非自明な位相を考えることが多く、開集合の概念は位相空間における点の「近さ」について述べる方法を提供する基本的な道具立てである。開集合族がひとたび決められたならば、近さの概念を言い表すのに用いられる連続性・連結性およびコンパクト性が定義される。開集合およびそれを含む位相の概念は点集合位相において中心的な重要性を持つものであるが、数学の他の主要分野における構造化の道具としても用いられる。そのような位相の例には、代数幾何学におけるザリスキー位相(代数多様体の代数的特性を反映する)や、微分位相幾何学における可微分多様体上の位相(空間内の各点が有限次元ユークリッド空間内の開球体に同相な近傍を持つ)などがある。動機づけ.直観的には、開集合は二点を区別する方法を与える。例えば、位相空間内の一点について、もうひとつの(相異なる)点を含まない開集合がとれるならば、それら二点はと言う。このようなやり方で、同じ位相空間のふたつの集合が「近い」ということを、その空間上に具体的な距離函数を定義することなしに言及することができる。したがって、位相空間は距離空間の一般化とみなすことができる。実数全体の成す集合には、自然なユークリッド距離(函数)がある。これを用いて、与えられた実数に対して、その実数の近い点(つまり、与えられた実数をとして、からの距離が内にあるような点)全体の成す集合について述べることができる。本質的に、と以内にある点は、の精度でを近似するものである。着目すべきは、を常に保ったままをより小さくしていけば、をより高い精度で近似する点が得られることである。例えば、とすれば、と内の距離にある点全体は、ちょうど開区間に属する点(つまり、からまでの任意の実数)の全体になっている。同様に、とすれば、と内の距離にある点全体は開区間に他ならず、明らかにこちらの点のほうがの場合と比べて精度が高い。