ただし、は可換環ではないから、の全体で定義される行列式は存在せず、の可換部分環上の行列に限った場合にだけ行列式が定義できることには注意しなければならない。今、問題の行列の成分はすべて、と恒等変換で上生成される可換部分環に属しているから、行列式をとる写像は定義されて、をの固有多項式をにおいて評価した値とすることができる(このことはととの間に成り立つ関係とは無関係に成り立つ)。この設定で、ケイリー・ハミルトンの定理の主張はが零写像となることである。この設定での定理の証明を以下に示す(これは(中山の補題と関連した)より一般の形でにあるものである):この証明を検討すれば、固有多項式をとる行列は、多項式に代入する値としてのと同一である必要がないことが分かる。すなわち上の自己準同型は、最初に与えた等式を、何らかの元の列に対して満足すればよい(これらの元の生成する空間を改めてと書けば上記の証明を追うことができる)。この元の列には基底のような独立性は仮定しないでよいから、生成される空間の次元はよりも小さくなり得るし、係数環が体でないときは自由加群でない場合も出てくる。そうしてを生成系を持つ任意の可換環とし、の自己準同型の上記生成系に関する表現行列が,すなわちを満たすものとする設定の下でのケイリー・ハミルトンの定理:が満足されることが正当化できる。このように一般化された状況におけるこの定理は可換環論および代数幾何学において重要な中山の補題の源流である。脚注.できごと.天文学.脚注.脚注.脚注.脚注.脚注.脚注.脚注.脚注.稲子駅稲子駅(いなこえき)は、静岡県富士宮市下稲子にある、東海旅客鉄道(JR東海)身延線の駅である。駅構造.利用状況.駅周辺.下稲子の集落にある静かな駅で、周辺には商店や食堂が数軒ある。この辺りの富士川は大きく蛇行しており、十島駅との間の身延線にはトンネルが二つある。広い河川敷を挟んだ対岸には橋上の集落があるが富士川を渡る橋が無いため当駅からは不便である。