上記の同値関係によれば、同じ同値類に入る任意の代表元がこれらチャートのもとで同じ実数に写されるから、これは定義可能である。かの何れか一方は零となり得るが、ともに零となることはないので、この二つのチャートは射影直線を被覆しなければならない。この二つのチャートの間の座標変換写像は逆数函数で与えられる。逆数函数は(を除いて)可微分函数であり、さらに解析函数でさえあるから、実射影直線は可微分多様体であり、さらにでさえある。チャートの逆函数はなる写像であり、これは実数直線の射影直線の中への埋め込みを定義するが、その埋め込み像の射影直線に対する補集合はただ一点のみである。この埋め込みと射影直線との組をと呼ぶ。実数直線をこの埋め込みによる像と同一視することで、射影直線を実数直線と一点(これは射影的補完数直線上の無限遠点と呼ばれる)との合併と看做すことができることが理解される。この埋め込みで点をなるとき実数と、さもなくばと同一視することができる。もう一方のチャートについても同じことができて、今度は無限遠点はになる。このことから、無限遠点の概念は実射影直線において内在的なものではなく、実数直線の射影直線への埋め込みの取り方に依存して決まるものであることであることが理解される。構造.実射影直線は内の、あるいは複素射影直線内の、完備なである。したがって、その構造はこれら外部構造(superstructure)から遺伝する。そのような構造の中で第一は、射影領域内の点の間に成り立つである。実数直線が全順序かつであったのに対し、実射影曲線はを持つことは重要な数学的構造である。巡回順序は適切な演繹に必要となる性質であるによって対処される。自己同型群.具体的には、の元は、を射影直線上のアフィン座標とする一次分数変換によって実現される。群は実射影直線上三重推移的、つまり相異なる点の三つ組が二つ与えられたとき、必ず一方の三つ組を他方の三つ組に写す自己同型写像がただ一つ存在する。任意の一点の(特に「無限遠点」の)一点固定群は、直線のアフィン群になる。なる性質を持つであるから、射影変換群はモジュラー群とメビウス群の中間にある。ユークリッドベクトル空間概要.ダニエル・ロンダ来歴.モハマド・キリル・ムヒミーン・ザンブリ