必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、上記の条件を適用するためには「値域の各元に対して、でに写されるような定義域の元がちょうど一つ存在する」必要がある。この性質を満たす写像は一対一あるいは単射と呼ばれる。およびがそれぞれおよび上の写像となるとき、これらはともに全単射となる。後述するように、全単射とならない単射の逆は部分写像として与えられる(すなわち、対応する値が定義されないが存在する)。例.函数はどのような種類の数の集合を(定義域として)考えるのかによって、可逆になることもあるしならないこともある。定義域として実数直線全体を考えれば、各に対して対応する定義域の点が二種類(一方は正で他方は負)が考えられるから、出力値から入力値を特定することができず、これは可逆でない。この函数の定義域を非負実数全体に制限すれば、得られる函数は単射となり、特に可逆である。高等数学における逆写像.既に述べた定義は集合論および初等解析学によく馴染むものである。進んだ数学ではと書いて「は集合の元を集合の元に写す写像である」ことを表す。出元であるをの始域といい、行先のをの終域という。の終域はの値域を部分集合として含み、また終域はの定義の一部とみなされる。終域を気にする立場では、写像の逆写像は始域と終域を持つ必要がある。逆写像がの全域で定義されるためには、の全ての元が写像の値域に入っていなければならない。このような性質を持つ写像は上への写像または全射という。ゆえに、終域を持つ写像が可逆となる必要十分条件は、それが一対一かつ上への写像となることである。そのような写像は、一対一対応または全単射といい、の各元にちょうど一つの元が対応するという性質を持つ。逆写像と写像の合成.可逆写像の始域が、値域がであるときが成り立つ。写像の合成の言葉で書き直せばとなる。ここでは集合上の恒等写像(つまり、引数の値を変えない写像)である。圏論ではこれを逆射の定義として用いる。記法についての注意.記法は値の乗法逆元を意味する記法としばしば誤解されるが、後者はの逆写像とは無関係である。性質.一意性.