この正準変換の母関数はであり、この場合、新旧の正準変数の間にはの関係が満たされている。一次元調和振動子.質量、角振動数の一次元調和振動子では、ハミルトニアンはで与えられる。母関数をで与えると、新旧の正準変数の間にはの関係が成り立つ。また、新しいハミルトニアンは、とだけの関数となる。すなわち、は循環座標である。この場合、との時間発展は、と簡単な形で求まる。但し、は任意の定数、は保存量である系のエネルギーである。ゲージ変換.電磁ポテンシャルのゲージ変換は、座標を変化させない正準変換に対応する。この正準変換の母関数はであり、新旧の正準変数の間にはの関係が成り立つ。荷電粒子のハミルトニアンが電磁ポテンシャルを用いてで表されることから、新しい正準変数でも同じ形式が成り立つことが分かる。ここではゲージ変換した電磁ポテンシャルである。正準変換の性質.ポアソン括弧の不変性.正準変換に対し、ポアソン括弧は不変に保たれる。すなわち、元の正準変数に対するポアソン括弧を、新しい正準変数に対するポアソン括弧をと表すと、が成り立つ。逆にポアソン括弧を不変に保つ変数変換は正準変換となる。ポアソン括弧の不変性が成り立つには、が満たされていればよい。但し、はクロネッカーのデルタである。群の構造.正準変換は次の性質を満たしており、群の構造を持つ。微小正準変換と対称性.微小正準変換.正準変数を微小変化させる微小正準変換の母関数は、恒等変換を与える母関数にを加えたの形で与えられる。但し、は微小定数、は任意の関数である。このとき、微小変化はとなる。任意の力学量に対し、微小正準変換に対する変化は、ポアソン括弧を用いて、で与えられる。例.として、ハミルトニアンをとれば、であるから、正準変換はとなる。すなわち、微小時間における時間発展は、ハミルトニアンによる微小正準変換となる。有限時間での時間発展は、微小時間における時間発展を繰り返し合成することで得られる。正準変換の合成も正準変換であるため、の時間発展は、正準変換の特別な例となっている。相空間の体積要素は正準変換の下、不変となる。したがって、相空間のある領域が正準変換により、領域に写されるとすると、が成り立つ。すなわち、領域の体積は正準変換で不変に保たれる。が導かれる。