本項においては、規約として多元環の元の乗法が結合的であることは仮定しないが、文献によっては結合的なものを単に「多元環」と呼んでいる場合があるので注意を要する。また、(先の複素数の例などのように)ベクトル空間の上の乗法が可換であるときには、左分配性と右分配性とはまったく一致する条件であるが、一般に非可換である場合には(後述する四元数の例のように)両条件は同値ではない。したがって、これらは別々に要請されるべき公理であることに注意を要する。動機付けとなる例.実数全体を一次元ベクトル空間と見ると、乗法と両立するから、自分自身の上の一次元多元環になる。先ほどは複素数の全体が実数体上の二次元ベクトル空間で、さらに上の二次元多元環となることを見た。これらはともに、任意の非零ベクトルが逆元を持つ。同様にして三次元の実ベクトル空間で、任意の非零元が逆元を持つようなもの(多元体)はあるかと問うのは自然なことであるが、答えは否定的である(ノルム多元体を参照)。四元数のほかにも、体上の多元環の簡単な例として超複素数系がいくつか得られる。基本概念.多元環の準同型.部分多元環とイデアル.先の複素数の例を実数体上二次元の多元環と見做せば、実数直線は一次元の部分多元環になる。いま定義したイデアルの概念が、環のイデアルとは異なる概念であることに留意することは重要である(スカラー倍に関する条件が加わっている)。もちろん、考える多元環が単型であるときには、スカラー倍に関する条件は最後の条件に含まれる。係数拡大.係数体を含むより大きな体,すなわち体の拡大が与えられたとき、自然な仕方で上の多元環から上の多元環が構成できる。これはベクトル空間の係数体をより大きな体に取り換えるのと同じ構成法、つまりテンソル積を作ることで与えられる。つまり、が上の多元環ならばテンソル積は上の多元環である。多元環の種類と例.体上の多元環にはいくつか種類がある。以下に挙げる多元環の種類はある種の公理、例えば一般の多元環の定義には含まれていない乗法の可換性や結合性など、を追加で要求することで特定される。これらの多元環についての理論は、それぞれの多元環の種類によって、大きく趣を異にするものとなる。単位的多元環.零多元環.非結合多元環.以下、個別の項目において詳述する: