次正方行列の行列式は次の斉次多項式で、項を個持つ(ライプニッツの公式)。正方行列の行列式は、あるいはと表記される。行列の成分を明示する場合はを単にと書く。二つの定義の同値性.の標準基底をとする。正方行列を表す列ベクトルをとすると、である。であるが、ここで複線型交代形式.次行列に関する行列式は列に関して重交代線型性をもつ。つまり、行列をのように列ベクトルの組の形に書くことにすればが成り立っている。例えば、線型性によってが成立しており、さらに交代性によっての行列式と、の転置行列の行列式は等しい。これによって、行列式が列に関してある性質を持てば、行に関しても同様の性質を持つことが分かる。つまり、上記の性質は全て行に対するものにも書き直せる。二つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい:を次正方行列とするとき、である。これより特に行列式が基底の取り替えによって不変であることが従う。歴史.行列式に関する最初期の計算.高階の行列に関する行列式.高階の行列に関する行列式の定義はそれから百年ほどたって日本で和算の関孝和、田中由真、そしてドイツのライプニッツによりほとんど同時にかつ独立に与えられた。関孝和ら和算家による発見.これらの研究では、いずれも行列式は終結式を表すための手段にすぎず、行列式そのものを意味のある対象として捉えていたかについては異論がある。実際、それをあらわす用語すら提案されていない。また、日本が鎖国によって外界から遮断されていたこともあり、西洋数学に影響を与えることはなかった。ライプニッツによる行列式の発見.一般的な行列式.現代的な行列式の概念の確立.行列式の理論は様々な対称性を持つような行列についての行列式の研究や、線型微分方程式系のロンスキー行列式など数学の様々な分野に新たに行列式を持ち込むことが追究されている。いくつかの行列式.三角行列の行列式は、主対角成分の総乗をとることで求まる。三角行列の主対角成分には固有値が並ぶから、行列式の値は固有値の総乗である。このことは、基底の取替えによる行列の三角化可能性と行列式の乗法性によって、一般の正方行列に対しても正しい。つまり、与えられた行列の行列式の値は、その行列の固有値の総乗に等しい。発展的な話題.小行列式.