このような考察は任意の体上の任意の無限次元ベクトル空間に対して一般化できる。基底を一つとってをは有限個の例外を除く全てのに対してとなるような写像全体の成す空間と同一視すれば、写像はのベクトルと同一視される(の仮定からこれは有限和だから意味を持ち、また基底の定義により任意のはこの形に書ける)。そしての双対空間はからへの写像全体の成す空間に同一視される。実際、上の線型汎函数はの基底におけるその値によって一意に決定され、また任意の写像()はと置くことにより上の線型汎函数を定める(は有限個のを除いて全てだから、やはりこの和が有限であることに注意)。はをそれ自身上一次元のベクトル空間と見做したものので添字付けられた無限個のコピーの直和と(本質的には定義によって)同一視できる。即ち線型同型が存在する。他方は(やはり定義によって)で添字付けられるの無限個のコピーのに同型である。同一視は加群の直積と直和に関する一般の場合の結果の特別の場合である。従って無限次元のとき、代数的双対は必ずもとの空間よりも大きな次元を持つ。これは連続的双対の場合には無限次元の場合でももとの空間と同型となる場合があることと対照的である。双線型な乗法と双対空間.が有限次元のとき、はその双対とは同型であるが、それらの間に自然な同型は存在しない。上の任意の双線型形式はから双対への写像を与える。この右辺は各をスカラーへ写す上の線型汎函数である。即ち、双線型形式は線型写像を定義するのである。もとの双線型形式が非退化ならば、この線型写像はの中への同型を与える。特にが有限次元ならばの上への同型である。逆に、からの部分集合(あるいは全体)への任意の同型は、と置くことにより、上の非退化双線型形式を一意的に定める。従って、からの部分集合(あるいは全体)への同型写像と上の非退化双線型形式との間には一対一対応が存在する。ベクトル空間が複素線型ならば、双線型形式よりも半双線型形式を考えたほうが自然なこともある。この場合、半双線型形式はからその双対空間のへの線型写像を定める。共軛空間は加法的複素数値函数でを満たすもの全体の成すベクトル空間と同一視される。二重双対空間への単射.