により定義する。なお、面素は球面座標をを用いてと書ける。特に次元空間の場合は球面座標に対し、である。直交性.特に次元空間では次が成立する。完全直交性.これを言い換えると、以下の系が従う:特に次元の場合は、上述の事実とから以下が成立する:次元空間の球面座標に対し、が成立する。そこで、上の関数に対し、の内積をにより定義し、さらにの関数の内積をとする。がと変数分離形で書けていた場合には、(),(),()で定義した内積は以下の性質を満たす。(),(),()の内積を用いて自乗可積分な関数全体の集合をそれぞれと書くと、ヒルベルト空間の一般論から、次が成立する。上述した定理とから、以下の結論が従う。の具体例.いくつかの球面調和関数の具体的な表式を示す。代数的性質.加法定理.球面調和関数には「加法定理」と呼ばれる性質がある。これは三角関数における加法定理を一般化したものと捉えることができる。上式の右辺は球面調和関数に、左辺はルジャンドル多項式に置き換えられる。二つの単位ベクトルおよびを考え、それらの球面座標をそれぞれおよびとする。このとき、加法定理は以下のように表すことができる:ここでは次のルジャンドル多項式である。この表式は実数調和関数・虚数調和関数の双方について成り立つ。この結果は単位球面上のポアソン核の性質を用いて、あるいはベクトルを軸に沿うように幾何的に回転させたのちに右辺を直接計算することにより解析的に証明することができる。に帰着する。この式は一次元の三角関数における恒等式を二次元に拡張したものとみなすことができる。式()の左辺は次のの定数倍である。この観点から、より高次元の場合にも次のように一般化することができる。を次元超球面上の次の球面調和関数の張る空間の任意の正規直交基底とする。このとき、単位ベクトルに対応する次の帯球調和関数は以下のように書き下せる。およびが球面座標で表される場合、()および()を組み合わせると()が得られる。最後に、の場合を評価すると次の恒等式が得られる:ここでは次元超球の体積である。パリティ.