の平方根は、複素数の範囲ではであるが、ではの平方根は無数に存在する。の四元数解は三次元空間内の単位球面を成すのである。これを見るのにを四元数とし、その平方がに等しいものと仮定する。が満たすべき条件は故に、負の実四元数は無数の平方根を持つことも分かるが、それ以外の四元数の平方根はただ二つ(についてはただ一つ)である。複素数平面の合併としての.の平方根のどの二つをとっても、四元数の中で複素数の相異なる複製を作ることができる。とすれば、そのような複製は写像によって決定される。抽象代数学の言葉でいえば、それぞれがからへの単射環準同型(埋め込み)である。とに対応する埋め込みの像は集合としては同じになる。任意の実でない四元数はに同型なの部分空間上にあることを見よう。四元数をスカラー部とベクトル部の和としてとし、さらにベクトル部をノルムとベルソルの積に分解(極分解)して、と書く(これはとは異なることに注意)。のベクトル部のベルソルは純虚な単位四元数ゆえ、その平方はである。従ってこれから、写像によって複素数の複製が得られるが、この写像の下では複素数の像になる。以上から、は実数直線を共通の交わりとして持つ無数の複素数平面の合併であることが分かる。ただし、この合併はの平方根の成す球面全体を(球面の対蹠点が同じ平面に対応することを踏まえた上で)わたって取ったものである。可換部分環.各四元数がのどの部分複素数平面に含まれるかという関係性は、可換部分環族の言葉を使っても同定し書き表すことができる。具体的に言えば、二つの四元数とが可換()となるのはそれらがの同じ部分複素数平面上にあるときに限られるだから、四元数全体の成す環の可換部分環を全て求めたければ、そこに複素数平面の合併としてのが生じる。この可換部分環を求める方法は、全体や実二次正方行列全体の性質を知るのにも利用できる。四元数を変数とする函数.複素変数の函数同様に、四元変数の函数から有効な物理モデルが得られることが示唆される。例えば、マクスウェルによるもともとの電磁場の記述には四元変数函数が用いられていた。指数・対数・冪函数.四元数に対して、指数函数はと計算され、その逆函数として対数函数はとして与えられる。