多くの特別の場合、例えば複素半単純群やローレンツ群において、その理論を直接的に推し進める単純な方法が存在する。これらの群のある種の部分群は、よく知られたアダマールの「降下法」を一般化した手法によって扱うことができる。特には、実半単純群に対する球変換の性質をその複素化から還元する一般手法を与えた。球函数.で与えられる。この式に関して:ここから、ことがわかる。球主系列.を満たすものに対し、で作用が定義されるものである。ただし、となる。にメビウス変換として推移的に作用する。即ち、二次の複素正方行列がを使った球変換および球反転公式によって表すことができる。が導かれる。これを両側不変函数に対して用いれば、球函数Φλはラプラス作用素で与えられる。また函数が成り立つ。この表現πλは既約であり、これとユニタリ同値なものはλの符号を変えたものに限る。にメビウス変換として推移的に作用する。即ち実行列はで与えられる。この常微分方程式に対して、対応する固有函数展開を導出する方法はいくつかあるが、例えば:アダマールの降下法.で定義されてとなることがわかる。函数を満足する。一方、がわかる。同様にしてで定義されるならば、が導かれる。が得られる。球函数φλはラプラス作用素で与えられる。函数第一因子上の測度をに群作用はで与えられる。従ってまた、ラプラス作用素はによって与えられる。ただし、で定義されるものとすると、が成り立つ。他方、で定義することができる。従って、上記積分公式からとなるから以下の随伴公式が得られる。この帰結としてが成り立つ。従ってとすれば、アダマールの降下法と同様にが成り立ち、を得る。アーベルの積分等式.球函数φλはで与えられるから、球変換と定めれば、球変換はによって入れ替えるのは古典的である。実はが導かれる。そのほか特別の場合.複素半単純リー群の場合.で与えられ、球反転公式はとなることがわかる。これらの公式と非コンパクト双対における同等の公式の間には明白な双対性が存在する。実半単純リー群の場合.が成り立つ。なる双対関係を満たす。特にで与えられる。さらに今の場合にはいま、球函数φλはラプラス作用素に引き移すことができる。