確率論や統計学、確率行列において行列は確率の組を表現するのに用いられ、例えば、これはGoogle検索におけるページランクのアルゴリズムで使われている。は、古典的な解析学における微分や指数関数の概念を高次元へ一般化するものである。経済学では経済上の関係のシステムを説明するのに行列が用いられる。アルゴリズム.行列計算の効率的なアルゴリズムの研究は数値解析における主要な分野であり、これは何世紀にもわたるもので、今日でも研究領域が広がっている。行列の分解は、理論的にも実用的にも計算を簡単化するもので、そのアルゴリズムは正方行列や対角行列などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、有限要素法やそのほかの計算を効率的に処理させる。惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。無限次行列の簡単な例としては、関数のテイラー級数に対して作用する微分作用素を表す行列がある。素朴な定義.記法.行列は数または数を表わす文字から成る要素()を矩形状に書き並べて、大きな丸括弧(あるいは角括弧)で括った形に書かれる。ここで文字送りの方向(横)の並びを行()といい、行送りの方向(縦)の並びを列()と呼ぶ。例えばのように書く。成分.書き並べられた要素は行列の成分()と呼ばれる。成分が取り得る値は(さまざまな対象を想定できるが)大抵の場合はある体または可換環の元であり、このとき上の行列()という。特に、が実数全体の成す体であるとき実行列と呼び、複素数全体の成す体のとき複素行列と呼ぶ。一つの成分を特定するには、二つの添字が必要である。行列の第行目、列目の成分を特に行列の成分と呼ぶ。例えば上記行列の成分はである。行列の成分はふつうのように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間にコンマを入れることもある。例えば行列目の成分をと書いてよい。また略式的には、行列の成分を指定するのにという記法を用いることがある。この場合、例えば積(後述)の成分をと指定したりできるので、これで記述の簡素化を図れる場合もある。型.