第二に、()の右辺のはスカラーだからこそ行列式として意味をもつものであり、行列式の展開の前にをに置き換えると意味をなさなくなる。様子が分かるように具体的に次の場合をとらえると、ただし、スカラーであるところをスカラー行列(単位行列のスカラー倍)で置き換えた区分行列を考えるならば式としては有効で、この行列式は実際にになるが、この行列が上記の論法での引数としたでないことは明らかである。ケイリー・ハミルトンの定理の証明の中には、数以外を成分とする行列を用いて、あたかも式を用いた論法にある意味似た方法をとるものがあるが、その場合でもはと等しくなく、結論も異なる所へ到達する。応用.次正方行列の固有多項式:において、次の係数はの固有値たちのなす次基本対称式に等しい。特に、定数項(次の係数)は固有値の総乗ゆえそれはの行列式に等しい。行列式の計算および逆行列.ケイリー・ハミルトンの定理により、一般の次正則行列(つまりの行列式はでない)に対し、その逆行列はの次以下の行列多項式で表せる。実際、式()において、定数項を移項すると両辺にを掛けるとを得る。一般に、係数を与える公式が、完全指数型ベル多項式によってで与えられる。ただし、和はを満たす分割全体の成す集合上を亙る}}。特にの行列式はであるから、トレースを含む表示()としてと書ける。同様に、なる表示もできる。例えば、ベル多項式の最初の方はであるから、これらを用いて次の場合の固有多項式の係数を具体的に計算すればなどとなる。ここで、は行列式であるから、この場合の逆行列をと計算することができる。と書くことができる。同様にの場合の行列式は今度はと書けるが、これはそのまま一般の場合のの係数を表す式として理解できる。ゆえにさらにこれを用いて次正方行列に対する定理の主張はと書けるし、この場合の行列式はを表す式に他ならない。以下より大きな次数の行列に対しても帰納的に同様の話を適用することができる。係数に対するもっと複雑な表示が、やなどから導ける。係数を求める別の方法として、一般の次正方行列でどの根もでないものと仮定すれば、指数函数を用いた行列式の別表示を用いたアルゴリズムがある。メルカトル級数を用いて書けば