またガウスの方程式からの断面曲率部分多様体の基本定理.詳細はを参照。第三基本形式.第三基本形式は以下のようにも表現可能である:特にの余次元がであれば、前述したワインガルテン写像による第三基本形式の表記を適用することで、以下が成立する事がわかる:主曲率、ガウス曲率、平均曲率.曲線に沿ったガウスの公式と第二基本形式の定義より、厳密な定義は以下の通りである:を点における第平均曲率()という。特に、を点におけるのガウス曲率()もしくはガウス・クロネッカー曲率()といい、を点におけるの平均曲率()という。なお、ガウス曲率の事を全曲率()という事もあるが、「全曲率」という言葉は測地線曲率の曲線全体に対する積分値を指す場合もあるので注意が必要である。第三にワインガルテンの公式からであるので、明らかに次が成立する:よって固有多項式の一般論から、特に次が成立する:ガウス写像.これまで同様をの単位法ベクトル場とすると、各点に対し、ベクトルは長さのベクトルなので、を原点中心の単位球の元とみなす事ができる。このようにみなす事で定義できる写像をガウス写像(、)という。さらにガウス写像はガウス曲率と以下の関係を満たす:が成立する。実は上式の右辺はに内在的な量である:オイラー形式.定義から明らかに次が成立する。オイラー形式.なお、添字の上下がの具体的表記とは異なっているが、正規直交基底を考えているのでこれは問題にならない。したがって、オイラー形式はの全域で定義可能である。と成分表示すると、オイラー形式を下記のように成分表示できる:ここではの体積要素であり、上式はアインシュタインの縮約記法を用いている。オイラー形式とガウス曲率の関係.本節では、偶数次元リーマン多様体が余次元でユークリッド空間に埋め込まれているときは、ガウス曲率とオイラー形式は定数倍を除いて一致する事を見る:証明のアイデア.という関係がある。ここではのガウス曲率である。この事実を利用すると、偶数次元のに対し以下の定理が結論付けられる:上記の定理にガウス曲率がオイラー形式で表記できたという事実を適用する事で、は以下を示した:ここで我々はとすると、である事を用いた(超球の体積の項目も参照)。が成立する。擬リーマン多様体の場合.詐欺師と泥棒の党歴史.