抽象代数学の言葉で言えば、先の公理系の最初の四つは「ベクトルの全体が加法に関してアーベル群を成す」という条件にまとめられる。残りの条件は「この群が上の加群となる」という条件にまとめられる。あるいはこれを「体からベクトル全体の成す群の自己準同型環への環準同型が存在すること」と言い換えることもできる。この場合スカラー乗法はで定められる。ベクトル空間の公理系から直接的に分かることがいくつかある。それらのうちのいくつかは初等群論をベクトル全体の成す加法群に適用することで得られる。例えばの零ベクトルや各元に加法逆元が一意に存在することなどはそれである。その方法で得られない性質は分配法則から来るもので、例えばまたはなどがそうである。歴史.例.数ベクトル空間.で、各がの元であるようなものである。かつの場合が上記の#導入節で論じたものとなる。体の拡大.実は、この複素数体の例は本質的には(つまり、同型の意味で)導入節に挙げた実数の順序対の成すベクトル空間の例と同じものである。即ち、複素数を複素数平面において順序対を表すものと考えると、複素数体における和とスカラーとの積の規則が、先の例のそれらに対応することが理解される。函数空間.任意の一つの集合から体への函数全体もまた、よくある点ごとの和とスカラー倍によって、ベクトル空間を成す。即ち、二つの函数の和はで定義される函数であり、スカラー倍も同様である。そのような函数空間は多くの幾何学的状況で生じる。例えばが実数直線やその区間あるいはの他の部分集合などのときである。位相空間論や解析学における多くの概念、例えば連続性、可積分性や可微分性などは、線型性に関してよく振る舞う。即ち、そのような性質を満たす函数の加算やスカラー倍もまた同じ性質を持つ。従って、そのような函数全体の成す集合もまたそれぞれベクトル空間を成す。これら函数空間は、函数解析学の方法を用いてかなり詳しく調べられている(#付加構造を備えたベクトル空間節を参照)。代数学的な制約からもベクトル空間を得ることができる。ベクトル空間は多項式函数(ただし各係数はの元)の全体によって与えられる。線型方程式の解空間.斉次線型方程式系はベクトル空間と近しい関係にある。例えば方程式系