これは窓関数の利用に限ったことではなく、波の局在した成分を捉えようとすると、周波数空間での情報は曖昧になり分布が広がる。両方を同時に局在化させることはできない。※詳細はやフーリエ解析にて図入りで説明されている。観察者効果との混同.歴史的に、不確定性原理は観察者効果と呼ばれる物理学におけるいくらか似た効果と混同されてきた。観察者効果とは、系を測定する行為それ自身が系に影響を与えてしまうというものである。量子力学が成立するミクロな世界が測定による観測者効果で「揺動」してしまうという説明は、ハイゼンベルク自身が当初不確定性原理に対して与えたものであり、今日において繰り返し出てくるものの、根本的に誤解を招くおそれのあることが現在は知られている。「不確定性原理は実際には量子系の基本的特性を述べており、現代のテクノロジーにおける測定精度の到達点について述べたものではない」。不確定性原理は全ての波のような系にもともと備わっている特性であること、不確定性は単純に全ての量子物体の物質波の性質によって現われることが今日の量子力学ではわかっている。不確定性原理の概要.これまでについて詳しく書いてこなかったが、実はが適切な定義域に属している場合にしか不確定性原理は成り立たず、そうでない場合には反例がある事が知られているので注意が必要である。そこで次節でこの点を考慮して不確定性原理を厳密に定式化する。厳密な定式化.予備知識.オブザーバブルの定義域.不確定性原理を定式化する準備として、オブザーバブルの定義域に関して述べる。後でみるように、不確定性原理を厳密に定式化する際、オブザーバブルの定義域に関して細心の注意を払わないと、反例がつくれてしまうからである。が全て成り立つときのみである。不確定性の定義.ロバートソンの不等式.証明は後述する。における位置と運動量に関する不確定性原理.に関しては、の定義域に関する条件を弱めることができる事が知られている。であれば、なお、である。ここで「偏微分可能」は通常の意味の偏微分が可能である事を含むのはもちろん、弱微分の意味での偏微分が可能であるものも許容する。ロバートソンの不等式の証明.がいずれも定義可能である事が簡単な議論で分る。コーシー・シュワルツの不等式により、単位行列は全ての作用素と可換なので、