ベクトル空間の次元のようなものとして、任意のアーベル群は階数と呼ばれるものを持つ。整数の加法群および有理数の加法群は階数であり、の任意の部分群についても同様である。一般の群の中心はの任意の元と交換するの元全体の成す部分群であった。明らかに群が可換であるための必要十分条件はが中心に一致することである。中心は必ずの特性部分アーベル群となる。中心で割った剰余群が巡回群ならばはアーベルである。有限アーベル群.素数位数の任意の群は巡回群に同型であり、ゆえにアーベル群である。また、位数が素数の平方であるような任意の群はアーベル群となる。実は任意の素数に対して位数の群は、同型を除いてとのちょうど二種類しかない。これは有限生成アーベル群の基本定理の特別の場合(階数の場合)である。位数の巡回群がとの直和に同型となるための必要十分条件はとが互いに素となることである(中国の剰余定理)。これにより任意の有限アーベル群がなるかたちの直和に同型となることが従うが、位数に関しては標準的に二種類:の仮定のうちの何れかを課すことで一意に定まる。無限アーベル群.もっとも単純な無限アーベル群は無限巡回群である。任意の有限生成アーベル群はの適当な個のコピーと有限個の素冪位数巡回群の直和に分解可能なアーベル群との直和に同型である。この場合、分解は一意ではないけれども、上記の定数は一意に定まり(の階数と呼ばれる)、分解に現れる素数冪は全体として有限巡回直和因子すべての位数を一意的に決定する。対極的な性質を持つ無限アーベル群の重要な二つのクラスに、とがある。例えば、加法群の商はねじれアーベル群の、加法群はねじれのないアーベル群のそれぞれ例になっている。ニールス・アーベル業績.