行列を転置行列で置き換えることは、成分の添字を並び替えることと等しい。結果は両辺の跡を取ることで導かれる。定理(ヤコビの公式)実数から行列への微分可能な任意の写像に対してが成り立つ。の行列式に対する余因子展開は次のように表せられる。和は行列の任意の行に対して実行されることに注意。の行列式はの要素の函数と見なせる。それゆえ、連鎖律より、導函数はとなる。この加算は行列の要素すべてで実行される。余因子展開右辺のを得るために、添字は任意に定められる(計算を最適化するため。他の任意の選択からも同様の結果が得られるが、過程がより困難なものとなりうる)。特に、の最初の添字と一致するように選ぶことができる。積の微分法則よりとなる。ここで、もし行列の要素および要素の余因子が同じ行(あるいは列)にある場合、の余因子はその行(あるいは列)以外の要素で表されることから、余因子はの函数とならない。それゆえであり、のすべての要素は互いに独立であるから、をクロネッカーのデルタとしてそれゆえとなり、補題を用いることで次の結果が得られる。連鎖律による方法.をの導函数として、である。この等式は単位行列によって定まるの導関数は跡と等しいことを意味している。導関数は行列を実数へ写す線形演算子である。方向微分の定義と微分可能な函数の基本的な性質を用いることで、次の式を得る。正則行列に対して、である。の函数を考える。を得る。定理(ヤコビの公式)となる。からへの余因子と関連する等式を用いる。正則線形行列は行列空間上で稠密であるから公式はすべての行列に対し成り立つ。対角化による方法.ヤコビ公式の両辺はおよびの係数に関して多項式である。それゆえの固有値が相異なり、かつゼロでないような稠密な部分集合上で多項恒等式を示せば十分である。の因子がのように微分可能ならば、である。特に、が正則ならば、かつである。は相異なる固有値を持つから、(は対角行列)を満たす微分可能な複素正則行列が存在する。このときである。()をの固有値とする。このときすなわち相異なるゼロでない固有値を持つ行列に対するヤコビ公式となる。系.