本節以降、実ベクトルバンドルの特性類を記述していくが、その記述は複素ベクトルバンドルのそれと比べかなり複雑であるので、詳細は次節以降に譲り、本節では実ベクトルバンドルの特性類の概要を述べる。係数環がの場合.係数環がを満たすの場合.具体的にはポントリャーギン類は実ベクトルバンドルを複素化する事で得られる複素ベクトルバンドルのチャーン類を使って以上をまとめると、実ベクトルバンドルの分類空間のコホモロジーは以下のように記述できる:スティーフェル・ホイットニー類.この違いが原因でチャーン類は偶数次のコホモロジー群にしか登場しなかったが、スティーフェル・ホイットニー類は奇数次のコホモロジーにも登場する。の具体的記述.スティーフェル・ホイットニー類の定義.スティーフェル・ホイットニー類を以下のように定義する:明らかに以下の事実が従う:公理的特徴づけ.チャーン類と同様スティーフェル・ホイットニー類も公理的に特徴づける事ができる:性質.全チャーン類と同様、全スティーフェル・ホイットニー類を定義でき、全チャーン類と同様の性質を示す事ができる:ポントリャーギン類とオイラー類.定義.詳細は後回しにし、先に結論を述べる。ポントリャーギン類とオイラー類を以下のように定義する:なぜ上述の定理が成立するのかについては後述する。定理の証明のアイデア.準備.以上の事からのワイル群の具体的な形とが偶数の場合のの構造.により定義すると、下記の図式が可換になる:よって、以下が成立する:と書ける事がわかる。が奇数の場合のの構造.と書ける事がわかる。の構造.上述の定理から特に、が従う。性質.前述の定理が成り立つ理由の説明は後回しにし、本節ではポントリャーギン類とオイラー類の性質を述べる。ポントリャーギン類はチャーン類との間に以下の関係を満たす:と対角化する行列を並べてできる行列による内部自己同型である。の場合に元の動きを図示すると、以下の通りである:よって非負整数に対し、が成立する。任意の不定元、、に対し、なので、が成立する。両辺の次数を比較する事により、である。以上の議論とポントリャーギン類の定義から定理が従う。が成立する。またチャーン類は整数係数のコホモロジーに属している事から、以下の系も従う: