は対称である。任意の正方対角行列は、その非対角成分がであるから、対称である。同様に、歪対称行列(なる行列)の各対角成分は、自身と符号を変えたものと等しいから、すべてでなければならない。実対称行列が実内積空間上の適当な正規直交基底に対して定める線形作用素は対称作用素(自己随伴作用素)である。複素内積空間の場合に対応する概念は、複素数を成分に持つエルミート行列(自身の共役転置行列と一致するような複素行列)である。故に、複素数体上の線型代数学においては、対称行列という言葉は行列が実数に成分をとる場合に限って使うことがしばしばある。対称行列は様々な応用の場面に現れ、典型的な数値線型代数ソフトウェアではこれらに特別な便宜をさいている。性質.実対称行列の対角化.有限次元のスペクトル定理によれば、任意の実対称行列は直交行列によって対角化可能である。更に、実正方行列が対称であるのはが実対角行列となる実直交行列が存在するとき、かつそのときに限ることが知られている。従って、任意の対称行列は適当な正規直交基底に関する(同値の違いを除いて)対角行列である。言い換えれば、次実正方行列が対称となる必要十分条件は、の固有ベクトルの全体がの正規直交基底となることである。複素対称行列のオートン高木分解.複素対称行列のジョルダン標準形は対角行列ではないかもしれず、それゆえが対角化可能であるとは限らない。複素対称行列はユニタリ行列によって「対角化」される。即ち、複素対称行列に対しユニタリ行列が存在してが対角行列かつ成分が非負実数となるようにすることができる。このことは「オートン高木分解」とも呼ばれ、もとはレオン・オートンと高木貞治がそれぞれ証明し、その後さまざまな数学者によって異なる証明を以って再発見された。各対角成分の平方はの固有値であり、の特異値と一致する。行列演算と対称性.対称成分.次正方行列全体の成す空間をと書くことにする。次対称行列は主対角線およびそれよりも上側にある個のスカラーで決まり、同様に歪対称行列も主対角線よりも上にある個のスカラーで決定される。次対称行列全体の成す空間および次歪対称行列全体の成す空間に対しておよびが成り立つから、すなわち直和分解が成立する。実際、に対して自己随伴性.