の始点と終点が一致するとき(すなわちが閉曲線のとき)はそのことを強調してとも表記する。弧長.線積分の特殊なケースとしてを考えると、曲線の長さ(弧長)に一致する事が知られている。に一致する。従って上述の線積分で弧長を求める事ができる。弧長パラメーター.曲線を、なので、両辺を微分すると、が恒等的に成り立つ。従って線積分とは、ベクトル場の線積分.定義.を考える。ここで「・」は内積である。と表記し、ベクトル場の曲線に沿った線積分という。ここでである。成分で書けば、線積分はとも表示できる。の始点と終点が一致するとき(すなわちが閉曲線のとき)はそのことを強調してとも表記する。弧長パラメーターによる表示.と表記できる。すでに示したようにが恒等的に成り立つので、内積すなわち線積分は、ベクトル場の、の接線方向成分を積分したものである。スカラー場の面積分.定義.により定義する。のパラメーターをと変数変換しても、この変数変換がの向き付けを変えないなら、すなわちヤコビアンが恒等的に成り立つなら、面積分の値は替わらないことを容易に示せる。そこでの上での面積分をが閉曲面のときはそのことを強調して、面積分の事をとも表記する。ベクトル場の面積分.このとき、ベクトル場の上での面積分をにより定義する。でもある。勾配、回転、発散.定義.をスカラー場とするとき、の勾配をベクトル場により定義する。さらにベクトル場の回転、発散をそれぞれベクトル場により定義する。と定義すると、勾配、回転、発散はと表記できる。ストークスの定理とガウスの定理.を以下のように定義する:が全てのに対して成り立つ点とする。を成分でと書くことにすると、体積要素はヤコビアンを用いてという関係式を満たす。すなわち、は点において微小体積を体積比で変換する写像である。ヤコビの公式より、ポアンカレの補題とポテンシャル.簡単な計算により、任意のスカラー場と任意のベクトル場に対しが恒等的に成立する事が簡単な計算により確認できる。このような、が存在するとき、、をそれぞれのスカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルという。