部分群が有限群の場合はと表すことができて、左剰余類はとなる。同値類の間の同型写像.部分群から同値類への写像をと定義するとき、とすると、となるから、左からを掛けてとなるので、写像は単射になる。写像による部分群の像がだから写像は全射になり、全単射になる。したがって、写像の逆写像はとなる。これより、同値類から同値類への写像をと定義すると写像は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類とは同型となり、となる。同値類による指数.が有限集合の場合は、と表すことができて、となる。が有限群の場合は、以下のように書ける:証明.有限群の部分群をとすると、左剰余類はに等しくなるので、このとき、の要素にを対応させる写像をとすると、のとき、左からを掛けて、となるので、写像は単射になる。写像はをに写すからは全射となるので、全単射になる。したがって、ととは同じ個数の要素を待つから、となる。したがって、のによる類別を考えると、以下のようになる。このとき、となるので、となる。となるので、拡張.以下では、が群の部分群であるとき、またはと表し、が群の部分群であり、かつが群の部分群であるとき、またはと表す。のとき(は群の単位元)とおくとおよびが成り立つ。したがって、元々の等式を得る。応用.ラグランジュの定理には、次のような系がある。フェルマーの小定理.より一般に、合成数についても乗法群を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。逆.歴史.ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。烏孫公主夙川(しゅくがわ)は、兵庫県南東部を流れる河川。二級水系の本流である。