なる関係を満足する(ここではランダウの記号)という意味でのにおける一次近似であり、接空間の間の線型写像とみなせる。この線型写像の合成は行列積と等価であり、がを含む領域からへの関数であり、において微分可能であるとき、が成り立つ。これは、合成関数の微分に相当する。逆関数の定理.ここでは、が上で級であるとする。のとき、のにおけるヤコビ行列は正方行列であるが、ヤコビ行列が正則行列である場合、は局所的に全単射となり、その逆関数は級であり、でのヤコビ行列はの逆行列となる。つまり、を含むある領域について、のへの制限が級全単射で、となる。一方、が退化している(階数が落ちる)場合には、以下の二つの状況がありうる。この時、を特異点、または臨界点という。ヤコビ行列及びヤコビアンは、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。多様体論におけるヤコビ行列.ここでは、多様体間の写像のヤコビ行列について述べる。をそれぞれ次元、次元の多様体で、をその間の級写像だとする。このとき、の点での微分は、点におけるの接ベクトル空間と、点におけるの接ベクトル空間の間の線型写像となる。のまわりのの局所座標およびのまわりのの局所座標を定めると、それぞれの接ベクトル空間における基底が定まる。この基底に関するの表現行列をのにおけるヤコビ行列と呼ぶ。写像の微分は局所座標に依存しないが、ヤコビ行列は局所座標の選び方に依存する。ただし、同じ写像の、局所座標の選び方を変えたヤコビ行列同士は互いに共役である。この定義は、冒頭の定義の拡張となっている。(の開集合)、とし、それぞれに自明な局所座標を選ぶことによって、冒頭の定義と一致する。極座標系に関する具体例.ここでは、いくつかの極座標系から直交座標系への座標変換で、ヤコビアンがどのようになるか述べる。円座標.円座標は、直交座標への座標変換を与えるから、ヤコビアンはとなる。従って、特異点はとなる点、即ちである。これは直交座標でのを表す。円柱座標.円柱座標は、直交座標への座標変換を与えるから、ヤコビアンはとなる。従って、円座標のときと同じく、特異点はとなる点、即ちである。これは直交座標でのすなわち–軸を表す。