このように、軌道の形(の元の互いに素な巡回置換の積としての表示)は各自然数に対して個の元を持つような軌道(長さの巡回置換)の数がいくつかを指定することで決定される。このとき、集合への作用を考えているので数列はを満たさなければならない(の分割)。このとき、を置換の巡回置換型、あるいはたんに型と呼ぶ。の共軛類は巡回置換型によって決まる。さらに共軛類の大きさは巡回置換型を用いるとと表せる。また、の分割は、位数のヤング図形と一対一に対応しており、したがっての共役類は位数のヤング図形たちによって記述されることになる。交代群との関係.のとき交代群は単純で、それによって誘導される商は符号函数である。すなわち、短完全列は二つの元の互換を取ることによって分裂する。ゆえに、は半直積に分解され、かつそれ以外の真の正規部分群を持たないことがわかる。実際、部分群があればとの交わりは単位群(したがってそれ自身単位群か二元群だが後者は正規ではない)または(したがってそれ自身または)だからである。は部分群であるに共軛によって作用し、のときはの全自己同型群となる。偶置換による共軛はの内部自己同型であり、対しての位数のは奇置換による共軛に対応する。のときは、にが存在するので、はの全自己同型群とはなっていない。したがって、のときは外部自己同型を持たず、さらにのとき中心を持たない。ゆえにのときはである(後述)。のときはであり、それは単純群とその自己同型群の間に位置するものとみなされる。群の置換表現.群が与えられたとき、の元の左・右・両側からの積は上の全単射を与える。群から対称群への写像は群の準同型であり、これにより群の元は自身の上の置換群の元として表される。これが群の置換表現である。置換表現を一元体上の線型表現と看做して表現論の一般論に組み込む試みが見られる。対称群の作用.一般多項式のガロア群.対称式.体上の多変数多項式環は対称群のへの作用を移すことでが作用する。この作用の下で不変な元の全体をなどであらわし、その元を対称式と呼ぶ(のときは、無限変数の多項式環と無限対称群とを考えるならば同様の概念を構成できて、不変元は対称函数と呼ばれる)。置換行列.