後はを決定するだけである。を決定するには()を()のハミルトニアンに入れてシュレディンガー方程式()を解けば良い。()を式変形すると、である。ラプラシアンを球面座標で書き表し、動径方向と球面方向にわけると、束縛状態ではは負の値しか取らないので、記号を簡単にするためこの方程式を解くのは複雑な計算を必要とするので後の章にまわし、ここでは結論のみを述べる。()の方程式を解くことで各に対し、(()のを単位とした)エネルギーに対する解が見つかる新井。に対応する固有関数は、に一致する。ここでである。規格化定数.と書けるので、()におけるのノルムと「変数分離」する。ここでであり、である。結論.無次元化した()をベースにしたこれまでの議論を通常の単位系に戻すことで以下の結論が得られる。とし、を自然数、を以下を満たす整数とする:このとき()のハミルトニアンはエネルギーに対し、を満たす固有関数を持つ。ここでであり、規格化定数はである。と点スペクトルを持ち、量子数.なお、は、動径方向の波動関数の節の数を表している。化学的意味.リュードベリ定数.エネルギー準位がにある電子がエネルギー準位がに落ちると、のエネルギーがを満たす波長の光となって放出される。したがって水素原子の場合、すなわちの場合の上式右辺の定数、もしくはその定数に対して近似を行ったときの値をリュードベリ定数という。()の解.本節の目的は、微分方程式()を解き、()、()を導出することである。が十分小さい場合の()の近似解.()におけるの係数はが十分小さいところではと近似できるので、()はこの形の方程式はオイラーの微分方程式の解法に準ずる方法で解ける。その解はの形で書ける。が十分大きい場合の()の近似解.()式をで割った上での極限をとることで、が十分大きいところでは()はとなる事がわかる。簡単な計算から上記の方程式の一般解はもしくはこれらの線形和である。は発散する不適切な解となるので、である。を満たすので、()の第一項、および第二項は、である。上式を()に代入すると、すべての項にが掛かっていることがわかる。よって各項をで割った上で式を整理して、を得る。この式の両辺をで割ると、ここで、はを満たす整数である。