ベクトル空間の次元がであるとき、跡写像は上の線型写像の空間としての行列リー環からスカラーのリー環(自明なリー括弧積を持つ可換リー環と見て得られる)への写像と見ることができる。これは即ち、交換子括弧のトレースが消える:という意味に他ならない。跡写像の核はトレースの行列からなるが、そのような行列はしばしば跡が無い(',')と言い、それら行列は単純リー環を成す。は行列式の行列の成す特殊線型群のリー環である。に属する行列が体積を変えない変換であることに類比して、の元は無限小体積を変えない行列である。実はの内部直和分解が存在し、そのスカラー(行列)成分への射影はトレースを用いてと書ける。きちんと述べるならば、(余単位射としての)跡写像に(単位射としての)「スカラーの包含」を合成してを作れば、これはスカラー行列の成す部分リー環の上への写像で、それは倍として作用する。この倍の分だけ割って射影を得れば上記の如くである。短完全列の言葉で言えば、がリー群の短完全列に対応する形で成り立つが、跡写像は(スカラーの倍を通じて)自然に分裂するからを得る。一方、行列式の分裂は行列式の乗根をとる必要があり、これは一般には写像を定めない。つまり、行列式は分裂せず、一般線型群も分解されない()。以下の双線型形式はキリング形式と呼ばれ、リー環の分類に用いられる。正方行列に対して定義される双線型形式は対称かつ非退化、さらにが成り立つ意味で結合的である。(のような)複素単純リー環に対しては、このような任意の双線型形式は互いに他の定数倍であり、特にキリング形式として書ける。を満たすときに言う。複素行列に対し、は共軛転置とすれば、が成り立つ。なお、等号成立⇔である。これにより、対応は行列全体の成す空間における内積の性質を満たす。特に実行列の場合には、はベクトルの点乗積に類似の形であることが確認できる(行列の一列化を通じて実際にベクトルの点乗積としてと記述できる)。アダマール積を使って書くこともできる。しばしばベクトルの演算を行列に対して一般化する際に積のトレースが現れるのはこのような事情による。したがって時にが同じサイズの半正定値行列ならばが成り立つ。双対.トレースを定める写像の双対