多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数(てんそるだいすう、)、対称代数(たいしょうだいすう、)、外積代数(がいせきだいすう、)が挙げられる。テンソル代数におけるテンソル積によって、ベクトルの積として最も一般的なものが定式化される。また、対称積や外積によって一定の付加的な条件を満たすような積が捉えられる。歴史.ブルバキによる多重線型代数の再構成において、それまでの多重線型代数の一流儀であった四元数(より一般にはリー群との関係から導かれるような)を通じてテンソルを考える方法は打ち捨てられることになった。ブルバキが採用したのはより圏論的な方法論であり、普遍性をもとにした議論によって多重線型代数の理論は大きく整理された。定義.以下、を可換環とする。特徴付け.テンソル代数.–加群のテンソル代数とは、可換とは限らない–代数であってからの線型写像を持ち、次の条件を満たすもののことである:(可換とは限らない)–代数への–線型写像が与えられたとき、図式が可換になるような–代数の準同型が存在して一意に定まる。この条件によって対は同型を除き一意に定まる。対称代数.–加群の対称代数とは、可換な–代数であってからの–線型写像をもち、次の条件を満たすもののことである:可換–代数への–線型写像が与えられたとき、図式が可換になるような–代数の準同型が存在して一意に定まる。この条件によって対は同型を除き一意に定まる。外積代数.–加群の外積代数とは、可換とは限らない–代数であってからの–線型写像を持ち、次の条件を満たすもののことである:(可換とは限らない)–代数への線型写像で、任意のについて、となっているものが与えられたときに、図式が可換になるような–代数の準同型が存在して一意に定まる。この条件によって対は同型を除き一意に定まる。構成.テンソル積とテンソル代数.とし、について回テンソル積をとったものをとし、これらの直和をとする。この–加群はによって定まる積を持ち(一般には非可換な)–代数になる。をの次テンソル冪()と呼ぶ。