ディリクレは、法に関して可逆な元全体の成す群(環の単元群、つまり既約合同類群)を考え、その群から非零複素数全体の成す乗法群への群準同型(すなわち、群の元に対してを満たす写像)全体の成す集合について調べた。このような写像をディリクレ指標という。ディリクレ指標は個存在し、二つの指標の積はまた一つの指標であり、乗積表を書けばそれは既約合同類群のものと全く同じになる。理論の展開.数学において、ある文脈で発展した概念がまた別の領域で再利用されることは常であり、例えば群論は算術や幾何学に応用される。それは合同算術の道具についても同じであり、これらの道具は抽象代数学やガロワ理論などを含む純粋数学の広汎な分野において影響を与えた。これらの理論は、もはや合同算術の特別の場合とは考えられることがないほどに、合同算術には無い多くの概念を含んでいる。商構造.現代的な言葉で言えば、合同算術はユークリッド環の商の概念によって定式化できる。この概念は同値関係の概念により、多くの代数的構造に対して一般化される。例えば群の正規部分群による商はを通じて有限群の分類の基本的な道具であり、また代数的位相幾何学においても代数多様体の分類に利用される。環論においてはイデアルが正規部分群の役割を果たし、合同算術を含むもっと広い文脈において用いられる商環の概念が定式化される。可換環論と代数幾何学の橋渡しを為すヒルベルトの零点定理はイデアルの言葉で表される。とはいえ、合同や法といった語はユークリッド環の商の場合のために用いるのが普通である。多項式の割り算とガロワ理論.可換体に係数を持つ多項式環は、が可能であるから、合同算術を考えることができる。ガロワ理論の出発点は多項式を既約多項式(これが数の場合の素数に相当)で割った合同類の集合を体系的に扱うことにある。これら集合は今日では代数拡大と呼ばれる。これら拡大により代数方程式(つまり、多項式の等式として書かれる方程式)の可解性が調べられるようになる。与えられた多項式が既約ならば、それを法とする合同類の集合は少なくとも一つその多項式の根を含む体を成す。これを根体と呼ぶ。これを繰り返して与えられた多項式の根をすべて含む体(分解体)が構成できる。合同に関する商を考える論法はこの問題に適した代数的構造を与えるのである。