体上の任意のベクトル空間の(代数的)双対空間は上の線型写像(すなわち線型汎函数)全体の成す集合として定義される。集合としてのには、次の加法とスカラー乗法双対空間の元である汎函数との元との対をしばしば括弧を用いてあるいはで表す。この対の記法は非退化な双線型形式を定める。このとき、はととの間に双対性を定める、とを双対にする、あるいはとの双対性を表す内積であると言う。有限次元の場合.が有限次元ならば、はと同じ次元を持つ。の基底から双対基底と呼ばれる特別なの基底を定義することができる。それは上の線型汎函数の集合で、係数の選び方に依らずを満たすものとして定義される(上付きの添字が冪を意味するものではないことに注意せよ)。特に、一つの係数を,残りをすべてとすることにより、関係式はに帰着される。ここにはクロネッカーのデルタである。例えばが座標平面でその標準基底}に選べば、は,,,を満たす線型形式である。が平面上の幾何学的なベクトル(有向線分)からなる空間であるとき、の元の等位曲線はの平行線の族からなる。故にの元は直観的には平面を被覆する特定の平行線族と見做すことができる。このとき、与えられたベクトルにおける汎函数の値を計算するには、そのベクトルが平行線族のどの線上にあるかを知るだけでよい。イメージとしては、そのベクトルが何本の平行線と交わるかを数えればよいことになる。より一般に、を任意有限次元のベクトル空間とするとき、に属する線型汎函数の等位集合はの平行超平面族であり、汎函数の各ベクトルにおける値はこれら超平面を用いて理解することができる。無限次元の場合.ベクトル空間が有限次元でない場合にも適当な無限集合で添字付けられる基底は持つから、有限次元の場合と同様の構成によって、双対空間の線型独立な元の族を作ることはできるが、これは必ずしも基底とならない。