は外積代数に次数付き代数の構造を与える。記号的にはが成り立つ。さらに楔積は次数付き反対称性を持つ。つまりとに対しが成立する。外積代数の次数付き構造の研究に加えては、(それ自身次数付けを持つ加群である)次数付き加群上の外積代数のような、外積代数上の加法的次数付き構造を研究した。普遍性.を含み、の上で交代的な乗法を持つもっとも一般の多元環を構成するには、を含む最も一般な多元環であるテンソル代数から始めるのが自然であり、テンソル代数の適当な商をとることによって交代性を導入してやればよい。そこでの形の元全体が生成するの両側イデアルをとり、をで定義して、における乗法を表す記号として()を用いる。このがを含み、上記の普遍性を満たすことはすぐに判る。この構成の結果として、ベクトル空間に外積代数に対応させる操作が、ベクトル空間の圏から多元環の圏への函手となる。空間を始めに定義して、それらの直和として代数を構成する代わりに、最初にを定義して、外冪を適当な部分空間と同一視するほうを好むかもしれない。このやり方はしばしば微分幾何で用いられる(次の節で記述する)。一般化.位相幾何学などでベクトル束の外積代数を考えることがしばしばある。セール–スワンの定理により、有限次元ベクトル束の外積代数の代数的性質と有限生成射影加群の外積代数のそれとの間には本質的な違いはない。もっと一般に外積代数は加群の層に対して定義できる。双対性.交代作用素.であって、が線型従属なベクトルならばも交代的である。事実として、この写像は上定義される交代作用素の中で「もっとも一般」なものである。つまり、交代作用素が与えられたとき、線型写像でを満たすものが唯一つ存在する。この普遍性によりを特徴づけられる。この普遍性をの定義とすることもある。重線型交代形式.上記の特別の場合としてを基礎体とするとき、交代重線型写像は重線型交代形式と呼ばれる。重線型交代形式の全体の成す集合は、それらの和もスカラー倍も再び交代性を持つから、ベクトル空間を成す。