汎函数が微分可能であるとは、線型汎函数が存在してとできるときに言う。ただし、はのノルムであり、はのときを満たすものとする。このとき、線型汎函数をのとよびと表す:また汎函数が二回微分可能とは、一次変分および二次汎函数が存在してとできるときに言う。ただし、はのときである。二次汎函数をの二次変分と呼び、と書く:プラネタリー・バウンダリープラネタリー・バウンダリー()は、人類が生存できる安全な活動領域とその限界点を定義する概念である。地球の限界、あるいは惑星限界とも呼ばれる。提唱者の1人であるヨハン・ロックストロームは、プラネタリー・バウンダリーが人類による大惨事を防ぐためのものだとしており、崖道に付けられたガードレールにたとえている。背景.分類.地球的な閾値が明確に定義されたグループ.気候変動、成層圏オゾン層の破壊、海洋酸性化が含まれる。これらには明確な閾値があり、ある状態から別の状態に急激に移行すると地球全体に影響を与える。緩やかに変化する地球環境にかかる変数にもとづくグループ.人類が作り出した脅威.大気エアロゾルの負荷化学物質、重金属や有機化学物質による生物圏の汚染が含まれる。これらは多数のプロセスに関連するため、閾値の設定を定めるための研究が進められている。各プロセスの詳細.気候変動.生物多様性の損失.生物地球化学的循環.窒素循環には微生物叢が関わっており、マメ科などの植物の根には窒素固定菌が生息して土壌に窒素を蓄積する。土壌の窒素は、脱窒素細菌によって窒素ガスとして大気中に放出され、河川や海洋への流出を防ぐ。こうして窒素固定細菌と脱窒素細菌による循環が作られている。古来から農業で作物を育てるために窒素が必要とされ、工業化の前には堆肥などで窒素を補充したり、豆類との混作によって空気中の窒素を取り入れていた。メソアメリカにおけるトウモロコシやカボチャと豆類の混作、西アフリカにおける穀物とササゲの混作、日本の縄文時代におけるアズキやダイズの栽培は、マメ科植物の利点を経験から学んだ方法だった。海洋酸性化.土地利用変化.グローバルな淡水利用.成層圏オゾン層の破壊.大気エアロゾルの負荷.炭素粒子・硝酸塩・硫酸塩などによる大気汚染が問題とされているが、明確な指標が定められていない。