ベクトル空間からその二重双対への標準的な(自然な)線型準同型がと置くことにより定まる。この写像必ず単射になる。これが同型となるのはが有限次元のとき、かつそのときに限る。実際、ベクトル空間とその二重双対との間の、この同型写像は自然同型の原型的な例となっている。無限次元のヒルベルト空間は、代数的な二重双対ではなく、連続的な二重双対に同型なので、この反例にはならない。線型写像の転置写像.線型写像に対し、その転置(または双対)はで定義される。得られた汎函数はのに沿った引き戻しと呼ばれる。任意のおよびに対し恒等式が満足される。ここで左辺の括弧はとその双対との双対性を表す内積であり、右辺のはとその双対との双対性を表す内積である。この等式は転置を特徴づけるものであり、形の上では随伴の定義と同じである。対応はからへの線型作用素の空間からからへの線型写像の空間への単射線型写像を与える。この線型準同型が同型となるのはが有限次元のときであり、かつそのときに限る。の場合には、先の線型写像の空間は実際は写像の合成に関して多元環を成し、先の対応は多元環の、即ちを満たす線型同型となる。圏論の言葉で言えば、ベクトル空間の双対と線型写像の転置をとる操作は、上のベクトル空間の圏からそれ自身への反変函手である。このとき、転置の転置が二重双対空間への自然な単射によってと同一視されていることに注意。線型写像をおよびの基底に関して行列で表すとき、はおよびの双対基底に関して転置行列によって表され、転置写像の名の由来となっている。あるいはまたをが左から列ベクトルに作用すると見るとき、は同じ行列によって右から行ベクトルに作用するものと表現することができる。これらの観点は上の標準内積をもちいて関係づけることができ、行ベクトルの空間は列ベクトルの空間の双対と同一視される。商空間と零化域.上のベクトル空間の部分集合に対し、のにおける零化域は、任意のに対してを満たす線型汎函数全体の成す集合と定義される。すなわち、はへの制限が消えているような線型汎函数全てからなる。