すなわちについてが成り立つ。ここでクロネッカーのデルタとエディントンのイプシロンを用いれば、これらをまとめてと書くことができる。交換関係・反交換関係.パウリ行列の交換関係と反交換関係は一般的にとなる。固有値・固有ベクトル.それぞれのパウリ行列は、固有値とを持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、である。トレース・行列式.である。単位行列を含めたパウリ行列について、複素行列の展開.ここで複素係数はで与えられる。部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。指数関数.パウリ行列の性質から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式を満たす。さらに実ベクトルとパウリ行列の組に対し、が成り立つ。ただし、はで与えられる単位ベクトルである。はの基底であり、交換関係を満たす。はトレースがかつ反エルミートである元から構成されるが、はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群であるの任意の元は、リー環の指数写像によって、の形で与えることができる。スピン角運動量.量子力学において、パウリ行列はスピンの角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子は交換関係を満たす。ただし、はディラック定数である。エディントンのイプシロンを用いれば、この関係式はと表すことができる。ここで、を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現はを選び対角化している。の固有値はであり、スピンの状態を記述する。ガンマ行列の表現.パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列()は反交換関係を導入する。その行列式はであり、ミンコフスキー内積を与える。ここでの元により、変換を定義すると、が成り立つ。四元数の表現.を導入すると、関係式を満たす。これは四元数の基底元が満たす関係式と対応する。四元数環から複素行列環への線形写像であり、とは多元環として同型である。概要.