で定義される。これは以上の実数である。が実数(つまり)のときは実数の絶対値に一致する。複素数の絶対値は、ピタゴラスの定理により、複素数平面における原点とのユークリッド距離に等しい。そして次が成り立つ。逆に、複素数の絶対値は、実数の絶対値を複素数に拡張した乗法的ノルムとして特徴付けられる。複素数の絶対値は、を極形式表示:したときの動径に等しい。共役複素数と自身の積は、絶対値の平方に等しい。すなわち複素数に対してが成り立つ。偏角.複素数の偏角(応用の場面ではしばしば「位相」とも呼ばれる)とは、複素数平面上で、正の実軸から測った動径の角度のことである。偏角の値はラジアンで表すものとする。角にの任意の整数倍を加えてもそれが表す動径、複素数は同じであるから、偏角を与える関数は多価である。上記の定義で、負となる偏角の値に対してはを加えることにすると、主値はとなる。複素数が主値の端の値の近傍を連続的に変化するならば、偏角の値もまたその近傍で連続的に変化するように枝をとるものとして、それを単にのように書く。極形式の表示と記法.複素数(は実数)において、直交座標に対応する極座標をとするとき、極形式から元の直交座標を恢復するには、三角関数表示を展開すればよい。オイラーの公式を用いれば、これをと書くこともある。フェーザ表示は電子工学において振幅と位相を持つ正弦信号を表すのによく用いられる。極形式表示での乗除法.とすると、積は、三角関数の加法定理:によりとなる。すなわち、積の絶対値は絶対値の積であり、積の偏角は偏角の和である。より、虚数単位を掛けること(作用)は、複素数平面上で原点中心に反時計回りに直角回転させることである。ゆえに、虚数単位は、複素数平面上では、直交座標での位置にある。同様にして、商はになる。偏角の計算規則.偏角に関する等式は、両辺の差がの任意の整数倍であることを除いて成り立つ等式であることに注意しなければならない。それを明示するために合同式の記法を流用してしばしば