この標準的な埋め込みに従って上の算術を、以下のような追加の規則:を定めてまで延長することができる。斉次座標に関して書けば、(式中にが発生しない限りにおいて)が成り立つ。例.実射影直線.実数体上の射影直線を実射影直線と呼ぶ。これは実数直線に理想化された一つの無限遠点を付け加えたものとしても考えられ、の両端点は無限遠で接合されて閉路(位相的な意味での円周)を成す。これは例えば、実平面の各点を単位円周の上への射影してを同一視することで得られる。群論の言葉で言えば、円周群をその部分群で割った剰余群である。実数直線に相異なる二つの無限遠点を付け加えて得られる補完数直線の場合と比較せよ。複素射影直線.複素数体上の射影直線を複素射影直線と呼ぶ。複素直線(複素数平面、ガウス平面)に一つの無限遠点を付け加えて得られる空間は、位相的には球面となる。故に複素射影直線はリーマン球面とも呼ばれる(ガウス球面と呼ばれることもある)。これはもっとも単純なの例として複素解析、代数幾何学、複素多様体論などで常用される。有限射影直線.対称性の群.極めて一般に、に係数を持つ射影変換群が射影直線に作用する。この群はこれら変換が射影的な特性を持つことを強調してと書かれる。この作用は推移的であり、したがってはの等質空間となる。作用が推移的であるとは、任意の点を別の任意の点に写すような射影変換が必ず存在するということである。従って上の「無限遠点」とは座標系を選んだことによって生じた「人工物」に過ぎないのである。実際、は二次元平面の非零な点が載った一次元部分空間を表すが、射影直線の対称性によって点は他の点に写されるのだから、それらを区別する必要はない。代数曲線としての性質.上の代数多様体の任意の函数体は(一点を除いて)に同型な部分体を含む。双有理幾何学の観点からは、これはからへの定数でないが存在することを意味する。その像はの有限個の点のみが落ちており、また典型点の逆像は次元となる。これは代数幾何学における次元に関する帰納的方法の出発点である。有理写像は複素解析における正則函数に対応する役割を果たし、そして実際の場合には両者の概念は一致する。