定理の主張から、冪を展開すると、次の項の総和になる。ここでの係数を二項係数と呼び、正整数となる。から帰納的に求めることができる。二項係数を並べるとパスカルの三角形となる。例えば二項係数は直接的、組合せ論的には歴史.アイザック・ニュートンは有理数冪に対して成り立つ一般化された二項定理を示したと考えられている(二項級数を参照)。定理の主張.定理によれば、の冪を展開すると、冪指数を自然数として、となる。この展開した式の係数を二項係数と呼び、正整数となる。この等式はしばしばあるいは二項(恒)等式とも呼ばれる。と定義すれば、全ての項を総和記号で一律に表示できる:最後の等号は、についての対称性と、二項係数の列の対称性により得られる。二項公式を簡略化した一変数版もよく知られる:逆に、二項定理の一変数版からもとの二項定理を、指数法則などの基本的な計算法則により導くことができる。定理の主張を、多項式列は二項型であると述べることもできる。証明.帰納的証明.数学的帰納法とにより、簡単に証明できる。により成り立つ。以下、非負整数に関する帰納法で示す。あるについて成り立つと仮定する。より、となり、パスカルの法則を用いてを得る。これは所期の式である。組合せ論的証明.個のの積を一度に展開し切ることにより、より直接的に、直観的な証明ができる。一度に展開すると、それぞれのからまたはを取った文字個の総乗の総和となる。これらの積のうち、並び替えてになるものは、個の、個のを並べる場合の数だけあるから、二項係数、すなわちの係数はとなる。一般化.ニュートンの一般化された二項定理.が成り立つ。が非負整数のとき、に対する二項係数は零であるから等式()は等式()に特殊化され、非零項は高々個である。がそれ以外の値のときは級数()は(少なくともが非零のとき)無数の非零項を持つ。これは級数を扱っていてそれをで表そうとするときに重要である。と置けば有用な等式を得る。これをさらにと特殊化すれば等比級数を得る。多項定理.二項定理は三項以上の和の冪展開に拡張することができる: