上で示した近似関数を境界積分方程式に代入すると、次の残差方程式を得る。境界要素法では、前者の選点法を採用して離散化を進めるのが一般的である。その結果、ここで、この式を解くことで、境界上のポテンシャルとフラックスが近似的に得られることになる。境界形状の近似.前節で示したように、境界積分方程式の離散化においては境界値の近似と境界積分の計算が必要となる。その際,当然のことながら物体形状も定義しておく必要がある。領域形状の近似表現においても、有限要素法で用いられる曲線要素や平面・曲面要素がそのまま利用できる。ただし、境界値の近似では区間一定近似が適用可能であったが、領域形状の近似においては区間一定近似を用いることはできない。境界上の積分計算.先に述べた選点法で積分方程式を代数方程式に置き換える場合、次の境界積分の計算が必要となる。なお、境界積分は、選点が境界上にない場合でもその取り扱いには注意を要する。選点と積分領域との距離が積分領域の代表長さに比べて小さい場合には、被積分関数が積分領域内で大きく変動し、ガウス求積などの数値積分公式を用いて積分計算を実行する場合に積分精度が大幅に低下することがある。境界積分の計算は係数行列の作成において必要となり、その積分誤差が大きくなると近似解の誤差も増大する。改善のためには、積分領域を細分割して積分を計算する方法が最も簡単である。基本解.主要な境界値問題・初期値境界値問題における基本解は、次の通りである。解法の特徴・利点と欠点.境界要素法には、以下のような特徴、および利点・欠点がある。境界上の離散化のみで近似解が得られる.境界上の離散化だけで問題が解ける場合としては、静的問題・定常問題ではラプラス問題、線形弾性問題、定常波動問題などのように、線形問題で離散化の際に用いられる基本解が解析的に厳密に得られ、かつ内部ソースや物体力のような支配方程式の非同次項が存在しない場合である。ただし、支配方程式が非同次項を含んでいても常にこの特徴が失われる訳ではなく、非同次項の種類によっては非同次項を含む領域積分を境界積分に変換できる場合もある(例:線形弾性問題における重力の作用)。