となる。ここではで、が個の素因子をもつときによって与えられる。彼はこのことからリーマン予想が真であることが導かれると示した。しかしながら、はは無限個ので負であること示し(また密接に関連したポリア予想も反証し)、は最小のそのようなはであることを示した。は数値計算によって、上の有限ディリクレ級数がのときに実部がよりも大きい零点をもつことを示した。トゥランはまた、いくぶん弱い仮定、すなわち上の有限ディリクレ級数で大きいに対して実部がよりも大きい零点が存在しないことが、リーマン予想を導くことを示したが、はすべての十分大きいに対してこれらの級数は実部がよりも大きい零点をもつことを示した。したがって、トゥランの結果は空虚な真であって、リーマン予想の証明のためには使えない。非可換幾何学.はリーマン予想と非可換幾何学の間の関係を記述し、アデール類空間へのイデール類群の作用に対するセルバーグ跡公式の適切な類似があればリーマン予想が従うことを示した。これらのアイデアのいくつかはに詳細に述べられている。整関数のヒルベルト空間.準結晶.数体上の楕円曲線のモデルの数論的ゼータ関数.多重ゼータ関数.零点の位置.零点の個数.関数等式を偏角の原理と合わせて考えれば虚部がとの間にあるゼータ関数の零点の個数はに対して次で与えられる:ここに偏角は、偏角のから出発し、直線に沿って連続的に変化させることで定義される。これは大きいがよく分かっている項と小さいがよく分かっていない項の和である。なので虚部がの近くの零点の密度は約であり、関数はこれとの小さな差を記述する。関数はゼータ関数の各零点において飛び、に対しては零点の間で導関数がおよそで単調に減少する。零点の存在.とは、ゼータ関数に関連したある関数のモーメントを考えることによって、臨界線上には零点が無限個存在することを証明した。は、少なくとも(小さい)正の割合の零点は臨界帯上にあることを証明した。は、ゼータ関数の零点をゼータ関数の導関数の零点と関連付けることで、それをに改善し、はさらにに改善した。真偽の議論.豊四季駅歴史.駅名の由来.駅構造.利用状況.近年の推移は以下の通り。駅周辺.