第一種クリストッフェル記号は基本計量テンソルからと定義される。第二種クリストッフェル記号.第二種クリストッフェル記号は同じく基本計量テンソルまたは第一種クリストッフェル記号からと定義される。共変微分によるクリストッフェル記号の導出.第二種クリストッフェル記号が定義されていない代わりに、接続の記号とともに共変微分が定義されている場合、接続の記号としてクリストッフェル記号を得ることができる。二階共変テンソルの共変微分は定義より、である。また、二階共変テンソルであるリーマン多様体の基本計量テンソルの共変微分についてリッチの補定理が一般の接続の記号から定義される共変微分についてもそのまま成り立つものとされているとすると、であり、添字を並べ替え、補うことにより、上式を計量テンソルの関数として接続の記号について陽に解いてと、接続の記号としてクリストッフェル記号を導出することができる。性質.第二種クリストッフェル記号は下の添字について対称.定義から明らかにが成り立つ。第二種クリストッフェル記号はテンソルではない.第二種クリストッフェル記号について、座標系から座標系への変数変換を行うととなる。この式から第二種クリストッフェル記号はテンソルの成分ではないことが判る。ここで、なる座標変換を行う。このとき、で偏微分を行うととなり、さらにで偏微分を行うととなる。したがって、のときであることから、であることから、このような座標系を、点を原点とする測地座標系()と呼ぶ。なお、測地座標の原点においては、テンソルの共変微分と通常の微分が一致する。測地座標系の原点において共変微分は通常の微分と一致する.一階共変テンソルをとするとき、その共変微分はしたがって、の共変微分はにおいて、と、共変微分と通常の微分が一致する。基本計量テンソルの行列式による表示.次元リーマン多様体の基本計量テンソルはの正方行列であると見なせることからその行列式を定義することができる。ここで、の余因子行列をとし、をで偏微分するとの関係が成り立つため。}}。さらに余因子行列を行列式で割ったものは逆行列となるが、それは反変版の基本計量テンソルに他ならない。つまり、。よってよってが得られる。一般相対論への応用.