クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。外積代数(グラスマン代数)は、与えられた体上のベクトル空間上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。形式的には、外積代数はあるいはで表され、を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれるで表される乗法を持つ、体上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法であり、上の交代性を持つものである。これは以下の性質を特別の場合として含む。圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の(ベクトル空間としての)双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。この双対代数は特に上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。動機付けとなる例.平面における面積.平面はベクトル空間であり、と表される。いま、の外積をのように定める。まず最初の部分では楔積に分配法則を適用し、ついで楔積が交代的であるという性質を用いた。最終的に得られた表式の係数はまさに行列の行列式である。この係数が正負の値を取りうることは、直感的には、に、それらの定義する平行四辺形の辺として時計回りあるいは反時計回りの向きがつけられることを意味する。このような面積のことを平行四辺形の「符号つき面積」という。符号つき面積の絶対値は通常の意味での面積であり、符号はその向きを与えている。