によって定める。このときの表現行列をとするとから、クロネッカーのデルタを用いてとなる。この行列を、置換に対応する置換行列という。偶置換に対応する置換行列の定める線型変換は空間の向きを保ち、一方で奇置換に対応する線型変換は空間の向きを反転させている。対称群の部分群構造.対称群の部分群は一般に置換群と呼ばれる。正規部分群.無限集合上の対称群の正規部分群には、交代群に対応するもの以外にも、その集合の適当な濃度の部分集合の元を除いて全ての元を固定するような無限濃度で添字付けられた部分群なども存在する。例えば、可算無限集合上の対称群は、有限個を除く全ての元を固定するような置換の全体からなる正規部分群を含む。このの元というものは、どれも無限対称群に含まれ、偶または奇置換である。の偶置換の全体はの特性部分群を成し、の交代群と呼ばれる。また、可算無限集合上の対称群の単位群でない真の正規部分群はほかには存在しない。詳細はあるいはを参照されたい。極大部分群.シロー部分群.の形で与えられる。対称群の自己同型群.のときは(中心とが両方とも自明)である。のとき、自己同型群は自明だが自身は自明でない(巡回群に同型で、これはアーベル群だから、中心は全体)。のときは位数の外部自己同型をもち、自己同型群はのによる半直積となる。実は、以外の濃度の任意の集合に対して、上の対称群の任意の自己同型は内部自己同型である。によれば、この結果をはじめて得たのはである。対称群のホモロジー.対称群の群ホモロジーは極めて正則かつ安定である。一次のホモロジー(つまりアーベル化)はは対合をへ移す(自明写像)かへ移す(符号写像)。符号写像が矛盾なく定まっていることは確認すべきことだが、それを認めれば、これでの一次ホモロジーが得られる。二次のホモロジー(具体的には)はである。これはで計算されており、に対応する。交代群の低次ホモロジーに関するな同型(非自明なアーベル化の存在に対応してが成り立ったり、例外的三重被覆の存在によって