なので完備(上)半束()及び完備下半束()も完備束と同じ対象を表す。ただし、準同型の定義が異なる(下記の写像の節を参照)。完備部分束.上の条件を「任意の空でない部分集合」に取り替えたものは閉部分束()と言われる。写像.完備束の間の下限及び上限を保つ写像を完備準同型(完備束準同型)()という。正確に述べると、このような写像は自動的に単調増加写像となる。この定義はしばしば強すぎることがあり、その場合は上限を保存する写像もしくは下限を保存する写像を考える。それらは各々完備(上)半束準同型()及び完備下半束準同型()と呼ばれる。完備半束準同型には以下の様な特徴付けが存在する。完備束間の写像が完備上半束準同型となることとガロア接続()の下随伴()となることは同値。同様に、完備束間の写像が完備下半束準同型となることとガロア接続の上随伴()となることは同値。(このようなガロア接続は完備準同型に対し一意的に定まる)自由完備束と完備化.自由完備半束.完備半束の圏における自由対象を自由完備半束()という。言い換えると任意の集合に対しそれの生成する自由完備半束を具体的に構成することができる。即ち、普遍性は次のように言える。自由完備束.完備束と完備準同型の圏における同様の問題はより困難である。完備化.半順序集合に対して、それから生成される「最大の」完備束を考えることは一般には出来ない(なぜなら、離散順序集合に対してそれを考えればそれは自由完備束となるから)。しかし、半順序集合に対して、それから生成される「最小の」完備束を考えることはできる。これを具体的に構成する方法がによりデデキント切断を一般化することで与えられてる()。完備束と閉包作用素.すなわち、デデキント・マクニール完備化は完備束を冪集合上の閉包作用素の像として与えていると見なすことが出来る。さらなる結果.によると完備束から自分自身への単調写像の不動点全体は再び完備束になる。これは閉包作用素の場合の結果の一般化とみなせる。林間学校