からへの線型写像はによって与えられている。から–代数への–線型写像が与えられたとき、と両立する準同型はによって与えられる。対称代数と対称積.テンソル代数においてという形のの元が生成する両側イデアルをとする。商環と–準同型は上に挙げた対称代数の普遍性を満たしている。におけるの像をの次対称冪()と呼ぶ。直接的には、はをその部分加群で割った商加群となっており、はの直和になっている。外積代数と外積.という形の元が生成する両側イデアルをとする。商環と–準同型は上に挙げた対称代数の普遍性を満たしている。の像をの次外冪()と呼ぶ。直接的にははをその部分加群で割った商加群となっており、はの直和になっている。圏と関手による言い換え.上に挙げたテンソル代数の特徴付けは、が–代数の圏から–加群の圏への埋め込み関手の左随伴関手であることをいっている。同様にしては可換–代数の圏から加群の圏への埋め込み関手の左随伴関手になっている。テンソル積加群や対称積加群、外積加群についても関手的な特徴付けができる。次テンソル冪は変数双線型写像を表現している。つまり、–加群に対してからへの重線型写像をと書くことにすれば、関手の間の自然な同一視がある。同様にして次対称冪や次外冪もそれぞれある関手を表現していると見なすことができる。具体的には、は次対称写像の空間をとして表現している。同様にしては次交代写像の空間を表現している。対称代数や外積代数の構造.加群の直和に対して、次数付き加群としての自然な同一視やがある。つまり、各自然数についてが成立している。したがって、やの母関数やについてが成立している。ここからやからなどが従う。多項式環.次の自由–加群(が体のときには次元のベクトル空間)の対称代数はを係数とする変数の多項式環と見なせる。行列式.の次外冪は一次元空間であるが、これは向きも込めたにおける体積要素の空間と見なせる。上の線型写像について、が体積要素を何倍に変換するかという情報は上に引き起こされる線型写像がどんな定数倍写像になっているかということで表されている。