によって定義すれば、は整列集合であり、その順序数は,の特定の取り方によらず一定である。そこでをとの和といい、これをで表す。直観的には、というのはの後ろにを並べてできる整列集合の順序数である。順序数の和について次が成り立つ:積.,を順序数とする。整列集合,を,をみたすように取り、上の関係を、によって定義すれば、は整列集合であり、その順序数は,の特定の取り方によらず一定である。そこでをとの積といい、これをで表す。直観的には、というのはを個並べてできる整列集合の順序数である。順序数の積について次が成り立つ:冪.,を順序数とする。整列集合,を,をみたすように取り、は有限集合上の関係を、によって定義すれば、は整列集合であり、その順序数は,の特定の取り方によらず一定である。そこでをの乗といい、これをで表す。順序数の冪について次が成り立つ:集合の濃度と基数.集合から集合への全単射が存在するとき、とは同数であるといい、で表す。選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合に対してと同数であるような順序数が存在することが言える。そこで、集合と同数であるような順序数の中で最小のものをの濃度といい、これをあるいはで表す。ある集合に対してである順序数を基数と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ:基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。理系(りけい)梁山泊『水滸伝』での意味が転じ、「優れた人物たちが集まる場所」、「有志の集合場所」の例として使われることもある(#日本での人気、派生語、梁山泊(曖昧さ回避)を参照)。歴史.現在の梁山泊は、沼沢の面影を全く残していないが、一帯は水泊梁山風景区と観光地化され、小説中の山塞を復元した施設がある。日本での人気、派生語.日本にも江戸時代に伝わって民衆に好まれ、梁山泊の名は非常によく知られるようになった。このため、日本では「梁山泊」は有志の巣窟を意味する代名詞のように使われる。たとえば明治初期、大隈重信の東京の私邸には井上馨、伊藤博文ら若手官僚が集まり政談にふけったため、「築地梁山泊」と呼ばれる。