代数的閉体に関して、行列は対角化可能であるとき半単純と呼ばれ、がべき零であるときべき単と呼ばれる。言い換えると、がべき単であるのはのすべての固有値がと等しいことである。正則行列の乗法的ジョルダン分解はすべての行列が積として一意的に書けると述べている。ここでは半単純、はべき単であり、とは互いに可換である。任意の体に関して、元はの代数的閉包上で対角化可能であるとき半単純という。体が完全であるとき、元の半単純成分とべき単成分もまたに属する。最後に、体上の任意の線型代数群に対して、の値点は内の半単純元あるいはべき単元であるとき、半単純あるいはべき単と定める。(これらの性質はの忠実表現の取り方に依存しない。)体が完全であるとき、値点の半単純成分とべき単成分もまたに属する。すなわち、すべての元はにおいて積として一意的に書ける(ジョルダン分解)。ここでは半単純、はべき単であり、とは互いに可換である。これによっての共役類を記述する問題は半単純な場合とべき単の場合に還元される。トーラス.代数的閉体上のトーラスとはと同型な群を指す。ここではある自然数であり、は上の乗法群の個のコピーの直積である。線型代数群に対して、の極大トーラスとはに含まれるトーラスであって、より大きなトーラスに含まれていないものを指す。例えば、上のに含まれる対角行列群はの極大トーラスでと同型である。理論における基本的な結果は、代数的閉体上においてのどんな極大トーラスも適当なの元によって互いに共役であるというものである。の階数は極大トーラスの次元を指す。がある。ただし、群構造は複素数の積によって与える。ここでは上次元のトーラスである。は円周群であり、抽象群としてすらと同型でないので、これは分裂しない。