ファームウェアとは、家電製品や、パソコン、周辺機器、携帯電話などのように、コンピュータシステムを組み込んだ電子機器本体(組み込みシステム)に所望の動作をさせるためのソフトウェアであり、ハードウェアに密接に結びついていて、むやみに書き換えることのない媒体に書き込まれた物を言う。一般的なソフトウェアよりハードウェア寄りのソフトウェアということで、ファーム(堅い、固定した)という呼び方をしている。なおファームウェアには、機器に使用しているCPU自体の動作を決定するためのマイクロコードを含んでいる場合もある。さらに従来のように動作に関わるものすべてを一からコーディングするという手法だけでなく、複雑な処理を行うシステムではオペレーティングシステムも含む全てのソフトウェアを機器に組み込んで、開発の効率化と高機能化を図る例も増えている。ファームウェアは、一般にROMタイプのメモリ素子に書き込む形で機器に組み込みを行う。低コストの機器では、マイクロコントローラに内蔵されたROMを使用し、より高機能のものでは独立したメモリ素子を用意してそれに書き込みを行う。しかし、フラッシュメモリの登場により、筐体のふたを開けなくてもユーザの手元で電子的な操作のみで書き替えが行えるISP(イン・システム・プログラミング)ができるようになり、出荷後のアップデートが以前よりも比較的容易に行えるようになった。歴史的背景.関数値の収束.限りなく近付くという極限の概念は、以下に示す、有限の値をとる変数の論理式だけで定義することができる。実関数に対して、極限の式とは、となる。これはがにいくらでも近づくとは、有限値で表現すると、任意のに対して、がの近傍に属するようになっていくということになる。そこで、の値に応じてが存在し、がの近傍に属していれば、それを満たすということになる。は無限小でなく有限の値であるが、それぞれいくらでも小さい値を取れるということが極限の概念を明確に定義している。の一つをとするとき、に対応するを選べばを成り立たせることができるが、よりもさらに小さい(例えば)を考えると、成立しなくなりうる。しかしその分より小さいを適当に取ることで、が成り立つようにできる。否定である、極限が存在しないとは、あるでが存在しないとなる。