が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である(これらの記号の意味については、ランダウの記法を参照)。orderのの行列式はに等しいので、リーマン予想はこれらの行列式の増大に関する条件としても述べることができる。リーマン予想はの増大度についてかなりきつい制限を与える、というのもがわずかに強いを反証したからである.リーマン予想はの他の数論的関数の増大率についての多くの予想とも同値である。典型的な例は次のである:をで与えられる約数関数とすると、が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。ここで群論からの例として、をとする、つまり次の対称群の元の最大位数とする。はリーマン予想が十分大きい全てのに対する上界と同値であることを示した.が成り立つというものである。リーマン予想はまた、臨界帯の他の領域におけるゼータ関数の増大率に対するかなり鋭い上界も与える。例えば、素数の間隔が大きいことの予想.素数定理は平均的に素数とその次の素数の間の間隔がであることを意味する。しかしながら、素数間の間隔には平均よりもはるかに大きいものもある。クラメルはリーマン予想を仮定してすべての間隔がであることを示した。これは、リーマン予想を用いて証明できる最もよい上界でさえ、正しいと思われるものよりも遥かに弱い場合である。すなわち、はすべての間隔がであることを意味しており、これは平均間隔よりは大きいが、リーマン予想から導かれる上界よりは遥かに小さいのである.数値計算はクラメルの予想を支持している。リーマン予想に同値な主張.リーマン予想に同値な多くの主張が発見されているが、これまでのところそれらがリーマン予想を証明する(あるいは反証する)のに大きな進展をもたらしたことはない。いくつかの典型的な例は以下のようである。(他にに関するものがある。)がすべてのに対して成り立つこととリーマン予想が成り立つことは同値である。はリーマン予想が真であることと次が同値であることを示した:の形の関数全体のなす空間、ただしはの小数部分で、で、