体上では不定元の自由代数は次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できる。より一般の係数環に対しては、生成元の自由加群を取ることで同じ構成ができる。上の自由代数の構成は本来関手的であり、適切な普遍性を満たす。自由代数関手は代数の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴である。可除環上の自由代数はである。フロイデンタールの再帰公式フロイデンタールの重複度公式ハリシュ・チャンドラの指標公式ワイル指標ワイルの公式ワイルの分母公式ワイルの次元公式ワイル・カッツの指標公式ワイル–カッツの指標公式フロイデンタールの公式ワイルベクトルヴァイルの指標公式ヴァイル指標ヴァイルの公式ヴァイルの分母公式ヴァイルの次元公式ヴァイル・カッツの指標公式ヴァイル–カッツの指標公式ヴァイルベクトルワイルの指標公式数学において,表現論におけるワイルの指標公式()はコンパクトリー群の既約表現の指標をのことばで記述する.によって証明された.ワイルの指標公式の主張.ここでワイルの分母公式を用いて,指標公式は次のように書きなおすことができる:コンパクト連結リー群の既約表現の指標はがの指標の微分であるとき,たとえばが単連結であるとき,これは次のように書き直せる:ワイルの分母公式.特殊ユニタリ群に対しては,これはヴァンデルモンドの行列式に対する次の式と同値である:ワイルの次元公式.単位元のトレースへの特殊化により,ワイルの指標公式は最高ウェイトの有限次元表現の次元に対するワイルの次元公式を与える.(いつもどおり,はワイルベクトルであり,積は正ルートを走る.)特殊化は全く自明ではない,なぜならばワイルの指標公式の分子と分母はともに単位元において高次に消えるから,単位元に近づく元のトレースの極限を取る必要があるからである.フロイデンタールの公式.ワイル・カッツの指標公式.ワイルの指標公式はカッツ・ムーディ代数の可積分最高ウェイト表現に対しても成り立ち,ワイル・カッツの指標公式と呼ばれる.同様にカッツ・ムーディ代数に対する分母公式もあり,アフィンリー環の場合にはマクドナルド恒等式と同値である.型のアフィンリー環という最も単純な場合には,これはヤコビの三重積公式である: