しかし内積空間ならば、内積から自然に定義され、中線定理を満足するノルムを持つ。このノルムは内積の定義における正定値性公理によってきちんと定義される。ノルムはベクトルの長さ(あるいは大きさ)と考えることができる。公理から直接に以下のようなことが分かる:斉次性と三角不等式は函数が実際にノルムを成すことを示すものである。これによりはノルム線型空間となり、従ってまた距離空間を成す。最も重要な内積空間は、この距離に関して完備距離空間となるもので、それらはヒルベルト空間と呼ばれる。任意の内積空間は、適当なヒルベルト空間の稠密な部分空間であり、このヒルベルト空間はの完備化として、本質的にによって一意に決定される。この等式の証明には、ノルムを定義に従って内積を用いて書いて、各成分に関する加法性に従って展開すれば十分である。「ピタゴラスの定理」という名称はこの結果を幾何学的に解釈したものが綜合幾何学における同名の定理の類似対応物になっていることによる。無論、綜合幾何学におけるピタゴラスの定理の証明は、基礎に置かれた構造が乏しいために、より複雑なものとなることに注意すべきである。その意味において、綜合幾何学におけるピタゴラスの定理は、いま述べた内積空間におけるものよりも深い結果である。ピタゴラスの定理に数学的帰納法を適用することにより、がベクトルの直交系、即ち相異なる任意の添字に対してを満たすならばとなることが示せる。コーシー=シュワルツの不等式から、が連続写像となることも分かるから、ピタゴラスの定理を無限和にまで拡張することができる:空間の完備性は、部分和の列(これがコーシー列となることは容易)が収斂することを保証するために必要である。実は中線定理はノルム空間において、そのノルムを導く内積が存在するための必要かつ十分な条件であり、これを満足するとき対応する内積は偏極恒等式によって与えられる(これは余弦定理の一つの形である)。正規直交系.