負の値をとる領域が存在しても、(幅の小さいガウス関数と畳み込んだ場合)多くの場合その領域は「小さく」なる。つまり、その領域はの数倍より大きくなることはなく、そのためにおいては消滅する。これは、位相空間上でよりも小さな体積をもつ領域に粒子の運動状態を特定することはできないとする不確定性原理による遮蔽であり、「負の確率」という概念の矛盾を軽減している。定義と意味.を波動関数とし、をそれぞれ位置および運動量、または他の正準共役量(例えば電磁場の実部および虚部、もしくは信号における時間と周波数など)とすると、ウィグナー関数は以下のように定義される。ここで、ウィグナー関数はが上に台を持たない領域でも台を持つことがある。ウィグナー関数の定義はおよびについて対称である。ここで、はのフーリエ変換である。三次元系では、以下のようになる。混合状態を含む一般の場合には、密度行列のウィグナー変換を用いて以下のように定義される。ここで、である。このウィグナー変換(または写像)は、位相空間上の関数をヒルベルト空間上の作用素へと移すの逆になっている。よって、ウィグナー関数は位相空間上の量子力学における基礎となっている。具体的に書き下せば、作用素の期待値は作用素をウィグナー変換して得られる関数の「位相空間上の平均値」として以下のように定義される。数学的特徴.古典極限においては非有界となる。このことから、は座標空間においては確率密度関数に帰着し、通常は非常に局在化した、運動量方向にデルタ関数のかかった分布になる。つまり、古典極限は「尖って」いる。このことから、この有界性は不確定性原理を反映し、ウィグナー関数が位相空間上で完全に局在化した関数になることを防いできると言える。ウィグナー関数の時間発展方程式.ウィグナー変換は、ヒルベルト空間上の作用素を位相空間上の関数へと写す可逆な変換であり、以下のように定義される。エルミート演算子は実関数に写される。位相空間からヒルベルト空間への逆変換はワイル変換と呼ばれる。(別の定義のワイル変換も存在することに注意。)