数学の線型代数学における余因子展開(よいんしてんかい、)、あるいはピエール・シモン・ラプラスの名に因んでラプラス展開とは、次正方行列の行列式の、個のの次小行列式の重み付き和としての表示である。余因子展開は行列式を見るいくつかの方法の一つとして理論的に興味深く、行列式の実際の計算においても有用である。のとは、次で定義されるスカラーである:ここではの小行列式、つまり、から第行と第列を除いて得られる次小正方行列の行列式である。すると余因子展開は次で与えられる:例.次の行列式の余因子展開を考える:証明.置換による証明.と表すことができる。ここでは行列式の展開項が等しくなるようにから導かれるものであり、対応はとの間の全単射である。はで次のように表せる:からもとのを以下のようにして導出することができる:をに拡張すると(このときにならざるを得ない)、と表せる。このとき、先に(これは巡回置換のことである)を施してからを施す置換も、を施してからを施す置換も、どちらも次の置換になる:したがって,故にを得る(ただし、はの逆置換であるを表すとする)。故にであり、また写像が全単射であったから、となり、ここから所期の結果が得られる。(証明終)多重線形交代性による証明.次正方行列の行列式を、第列に沿って展開することを考える。第行に沿う展開も同様である。(証明終)補小行列式展開.余因子展開は次のように一般化できる。例.正方行列をそれらの集合とする。補余因子をと定義し、それらの置換の符号をと定義することで、の行列式はと書き下せる。ただしはの補集合である。我々の明示的な例でこれを計算すると次のようになる。一般の主張.を次正方行列とし、をの元部分集合全体の集合とし、をその元とする。するとの行列式はによって指定される個の行に沿って次のように展開できる:ただしはとによって決定される置換の符号でに等しく、はから添え字がそれぞれとに属している行と列を除いて得られるの正方部分行列で、(の補行列と呼ばれる)はと定義される。ここでとはそれぞれとの補集合である。