正定値行列は正定値対称双線型形式(複素の場合は対称半双線型形式)に、あるいはベクトル空間の内積に近しい関係を持つ。表記法.行列の定値性を次の記号を用いて表現することがある。(ただし同様の記号で正行列や非負行列を表すこともある。)性質.固有値との関係.実対称行列(またはエルミート行列)の定値性は固有値の符号と関係している。「すべての固有値の符号」がわかれば定値性がわかり、逆に定値性がわかれば「すべての固有値の符号」が正なのか負なのか正負混じっているのかなどが以下のようにわかる。正定値行列の特徴.エルミート行列に対して、以下の条件は何れもが正定値であることと同値である。同様の理由により、定義について.実の場合と複素の場合の定義の一貫性.任意の実行列は複素行列と見ることもできるから、その場合に両クラスに対する「正定値」の定義は一致しているべきである。複素行列に対しては、「が正定値であるとは、任意の非零複素列ベクトルに対してが必ず正の実数となること」と述べる定義が最も一般的であり、この条件からがエルミートである(つまり自身の転置が自身の共軛に等しい)ことが導かれる。それを見るために、行列およびを考えると、かつであり、行列およびはエルミートだからおよびはそれぞれが実数値である。ここで、が実数となるならばは任意のに対して零とならねばならず、従ては零行列であり、がエルミートであることが示される。この定義の下で、正定値実行列はエルミート、したがって対称であり、また二次形式は任意の非零実ベクトルに対して正となる。しかし、最後の「二次形式が常に正」という条件のみではが正定値であるとするには十分ではない。たとえば、とすると、任意の実ベクトルに対して、はが零でない限り常に正であるが、しかし複素ベクトルに対しては実数ではないから、従っては正定値ではない。他方、対称実行列に対してならば、条件「任意の非零実ベクトルに対して」から複素行列の意味でのの正定値性が導かれる。非対称行列への拡張.実際にこの定義の下では、実行列が正定値であるための必要十分条件は任意の非零実ベクトルに対してとなることであって、必ずしもの対称性は要求しない。