に変換することができる。このときの対角成分は一意に決まるというのがヤコビの定理である。として任意の正則行列をとることを許せば、の対角成分はさらにの何れかにすることができて、対角成分のの個数の個数の数のはのみに依存して決まる。これはシルベスターの慣性法則の定式化の一つであり、およびはそれぞれ正および負の慣性指数と呼ばれる。ここでの定義は基底の選び方および対応する実対称行列のとり方に依存する形で述べたが、シルベスターの慣性法則は(それらのとり方に依存せず)これらの指数が二次形式の不変量であることを述べるものである。一般の二次形式の定義.を満たすようなものが存在するときに言う。二次形式の係数行列を対称行列に置き換えても、は不変である。ゆえに初めからは対称であると仮定して考えてよい。さらにこのとき、対称行列は対応する二次形式によって一意的に定まる。同値変換をもつ二次形式に対して、に付随する対称行列とに付随する対称行列との間にはで与えられる。すなわち、は係数行列を持つ上の対称双線型形式である。逆に、任意の対称双線型形式に対して二次形式が二次空間.を定める。写像は以下の性質を満たすという意味で二次写像である。は上の双線型形式である。上有限次元のベクトル空間とからへの二次写像の組は二次空間と呼ばれ、はに付随する双線型形式と呼ばれる。二次空間の概念は、二次形式の座標を用いない形での表現であると理解することができる。しばしばのことも二次形式と呼ぶ。諸定義.正則二次形式の直交群とは、の線型自己同型でを保つようなもの全体からなる群(つまり、二次空間からそれ自身への等距同型全体の成す群)のことをいう。二次形式の同値性.に同値である。このような対角線形式はしばしばと書かれる。したがって、同値関係を除く全ての二次形式の類別は対角線形式の分類に帰着することができる。整係数二次形式.有理整数環上の二次形式は整係数二次形式あるいは整二次形式と呼ばれ、対応する加群は二次格子(あるいは単に格子ともいう)である。整係数二次形式は数論および位相空間論において重要である。