外冪の普遍性により、上の次数の交代形式の空間は双対空間と自然同型である。が有限次元なら後者はに自然同型である。特にからへの反対称写像全体の成す空間の次元はからを選ぶ二項係数に等しい。で定義される。この楔積の定義は、が有限標数をもてば矛盾無く定まる。上記と同値で階乗を使わないものとして双代数構造.正確に言えば、次数付き代数の次数付き双対と上の重線型交代形式全体の空間の間に対応が存在する。上で定義した重線型代数の楔積は上に定義され、余代数の構造を定める余積の双対である。この余積()は線型写像であって、分解可能な元の上ではによって与えられる。例えばのようである。これを線型に拡張して外積代数全体で定義される演算を得る。余積の言葉で言えば、双対空間上の楔積はちょうど余積の次数つき双対である。ここで右辺におけるテンソル積は線型写像としてのそれである(両立しない斉次次数の元についてはで拡張する。もっとはっきり言えばと定める。ここでは以下で定義する余単位射である)。内部積.は有限次元とし、をの双対空間とする。任意のに対し、代数上のが定義できる。この微分をに関する内積あるいは内部積()と呼ぶ。挿入作用素()やによる縮約()などということもある。が定義される。加えて、が純スカラー(つまり、の元)であるときにはとする。公理的特徴づけと性質.内部積は以下の性質が挙げられる。ホッジ双対性.によって明示的に与えられる。体積要素に加えて、ベクトル空間がとを同一視する内積を備えているならば、得られる同型になっている。ここでは恒等写像で、内積は計量符号数(プラスが個、マイナスが個)を持つ。函手性.をベクトル空間の対とし、を線型写像とする。このとき普遍構成により、次数付き代数の準同型であって、そのへの制限がで与えられる。完全性.ベクトル空間の短完全列に対し、は次数付き線型空間の完全列である。もちろんも完全である。直和.ベクトル空間の直和上の外積代数はそれぞれの空間上の外積代数のテンソル積に同型である。これは次数付き同型、つまりになっている。もう少し一般にがベクトル空間の短完全列ならばはで、その商がが完全である。交代テンソル代数.