この係数が符号つき面積となったことは偶然ではない。符号つき面積を代数的構造として公理化しようとすれば、必然的に外積と結びつくことが比較的簡単に確かめられる。詳しく言えば、とによって決まる平行四辺形の符号つき面積をと表すことにすれば、は下に挙げる性質を満たさなくてはならない。クロス積と三重積.となる。これはスカラー三重積の通常の定義とよく似ている。形式的定義と代数的な性質.ベクトル空間上の外積代数はテンソル代数をの形の元で生成される両側イデアルで割ったとして定義される。これを記号的にで与えられる。楔積の交代性.この積はの元の上で反対称的である。とすればゆえが成り立つからが得られる。あるいはもっと一般にをの元、を整数の置換とすればが成立する。ここでは置換の符号である。外冪.の–次外冪()とはで張られるの部分線型空間である。は分解可能ではない(であり、実際にはこれは斜交形式である)。基底と次元.の次元を有限なとし、をの一つの基底とする。このとき、集合の形に与えられたとき、各ベクトルは基底の線型結合に書けるから、楔積の重線型性を使って展開すればこれを基底ベクトル同士の楔積の線型結合に書き直すことができる。このとき、楔積の中に同じベクトルがあればになるし、基底ベクトルが順番に現われていなければ符号を変えて順番を入れ替えて、基底を順番通りに並ばせることができる。基底に属する元の個数を数えることによりの次元は二項係数で与えられることが分かる。特に、ならばである。外積代数の任意の元は多重ベクトルの和として表される。よって、外積代数はベクトル空間の直和に分解される(ここでおよびと約束する)。したがって外積代数の次元は二項係数の和に等しく、である。多重ベクトルの階数.とするとは分解可能多重ベクトルの線型結合として表示できる。ここで各は分解可能、つまりと書ける。多重ベクトルの階数とはのこのような表示に現れる分解可能多重ベクトルの最小数をいう。これはの記法の類似である。と一意的に表示できる(ここでゆえ、対応する係数行列は歪対称行列である)。そしての階数は行列の階数に一致する。であることとは同値である。次数付け構造.