が次を超える多項式関数の場合、または多項式関数でない場合には、上記の公式は厳密には成立しないが、が次以下の多項式関数で精度よく近似できる場合には、上記の公式をに対して適用することにより、そのにおける定積分値を精度よく得ることが期待できる。それ以外のたとえば、特異点のある関数の積分にはこの公式をそのまま適用することはできないが、被積分関数をと表すことができて、が多項式で近似できて、が既知の関数(重み関数、通常は正値関数)であれば、それに対応する適切な離散的重みを使って次のように表せる。ガウス・ルジャンドル公式による求積.上述のように次のこの方法には、次のルジャンドル多項式が対応している。このときの次多項式はとなるよう正規化され、番目のガウスノードは番目のの根である。重みは次の式で与えられる。低次の求積法は次のようになる。区間の変更.一般的な区間についての積分は、ガウス求積法を適用する前にその区間を標準区間に変更する必要がある。この区間変更は以下のように線型変換で行う。ガウス求積法を適用すると、以下で積分の近似値が得られる。他の形式.正の重み関数を導入することで、より汎用的な積分問題の表現も可能であり、区間以外にも適用可能である。すなわち、次の形式の問題である。基礎となる定理.が自明でない次の多項式で、次のように表されるとする。この多項式は、を重み関数とする次数の直交多項式である。計算.ここでである。そして、はいわゆるヤコビ行列である。したがって、ガウス求積法のノードは三重対角行列の固有値として計算できる。誤差の見積もり.ガウス求積法の誤差は次のように定式化される。被積分関数が連続な次の導関数を持つときには、となる。ここでは区間にあり、は次の直交多項式であり、さらにである。重要な特別な場合については、次のような誤差見積もりがある。ガウス=クロンロッド求積法.ガウスの求積法ガウス求積法下部構造下部構造(かぶこうぞう、,)、または土台(どだい、,)とは、カール・マルクスの著作『経済学批判』()の序言()等において、上部構造とともに提示された概念。マルクス経済学、唯物史観において社会の経済的構造のことを指す。概要.