また、金額の期待値が金額の重み付け算術平均なのに対し、効用の期待値は、金額の重み付け幾何平均の効用となる。相加相乗の法則から、効用の期待値は、金額の期待値の効用より、ほとんどの場合小さい。そのため一般に、効用の期待値を最大化する戦略は、金額の期待値を最大化する戦略より、リスクに対し慎重になる。ギャンブラーの総資産を、賭の価格をとすると、賭終了後の総資産はと発散するのは先に見たとおりだが、効用の期待値はとなり、この値は有限にとどまる。単純なケースとして(有り金全て賭ける)とすると、これを完全に防ぐためには、効用には上限があると考える必要がある。つまり、ある金額を超えれば、効用は基本的にそれ以上増えない、と考えるのである。効用の上限は、金で買える全ての欲望を満たした状態を意味し、これを「至福水準」と呼ぶ。この設定により、どれだけ急激に賞金が増えても、効用の期待値は有限にとどまる。反響.このパラドックスは、ダニエル・ベルヌーイの提示以降、繰り返し議論の的となっている。標本抽出による解答.数学的に正しい一つの解答として、ウィリアム・フェラー()による標本抽出がある。フェラーの解答を正しく理解するには確率論、統計学に関する十分な知識が必要であるが、直感的には「大人数でこのゲームを行い、その標本抽出から期待値を算出する」という手法を用いている。この手法によれば、このゲームの期待値が無限大となるのは無限回ゲームを行うことが仮定される必要があり、ゲームの回数が有限回数である場合、期待値は遥かに小さな値に収束することが示されている。発展的話題.このパラドックスを理解するポイントの一つは、ゲームを繰り返す回数である。一言で説明すれば、あらかじめゲームを何回繰り返すかを決めておけば、比較的公平な賭け金を設定できる、ということである。先述のように、賞金の期待値は発散する。したがって、第回目の獲得賞金(回コインを投げるという意味ではなく、はこのゲームに何回参加したかを表す)をとすると、任意の実数に対して、を満たす正数は存在しない。次に、どのように発散するかを定量的に評価することを考えてみよう。任意の正数に対し、