このような柔軟性を十分に引き出すために、ルベーグ積分は重み付き和に対してリーマン積分とは「逆」なアプローチをとる。に言わせると、「のリーマン積分を計算するには領域を小区間に分割する」が、一方ルベーグ積分は「実質的にの値域を分割する」ものである。よくある仕方では、まず可測集合の指示関数の積分の定義をで与え、これを線型に拡張して、個の異なる非負の値をとる可測単関数に対してとおき、任意の非負値可測関数については、下からを近似する単関数の上限:としての積分を定義する。さらに一般の可測関数に対しては、それを正部分と負部分によって定める。性質.被積分関数に関する線型性.はこのベクトル空間上の線型汎関数になる。これはつまり、ひとつは可積分関数の全体が線型結合をとる操作に関して閉じていること、そしてもうひとつのように、線型結合の積分が積分の線型結合として表されることを言っているものである。はその線型空間上の線型汎関数、すなわちを満たす。いくつかの注意.あるいはもっと記号的にであるものとすることがしばしば行われる。この規約の元では区間に対する加法性微分積分学の基本定理.微分積分学の基本定理は微分法と積分法が互いに逆の演算であることを述べるもので、連続関数を積分したものを微分すると、もとの関数に戻ることを示している。これにより、第二基本定理とも呼ばれる重要な帰結として、原始関数が既に知られている関数の定積分の計算はその原始関数を用いて計算できるようになる。一般化.広義リーマン積分.これらの極限値が有限値に定まるとき、広義リーマン積分可能であるという。一方、広義リーマン積分可能でなくとも極限のとりかたを限定するとき極限値が有限確定に存在することがある。たとえばとなる。このように上下から同等の速さで特異点に近づける極限で現れる値をコーシーの主値という。重積分.線積分.積分の概念はもっと一般の積分領域にも拡張することができる。例えば曲線や曲面を積分領域とする積分は、それぞれ線積分や面積分と呼ばれる。これらはベクトル場を扱うような物理学に応用を持つ。線積分は曲線に沿って評価された関数の積分である。線積分にも様々なものがあり、特に閉曲線に関する線積分を周回積分などとも呼ぶ。で求められる。面積分.