最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである(これは乗法が可換だから可換環の例でもある)。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。したがって、台集合は加法の下「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法の下「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは、(整数環や多項式環などの)よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満たす多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。また、環論は基本的な物理法則(の根底にある特殊相対性)や物質化学における対称現象の理解にも寄与する。定義と導入.原型的な例.乗法が可換律を満たすから、整数の全体は可換環である。厳密な定義.自明な例.定義に関する注意.他にも大きな違いを生む環の定義を採用する場合があり、例えば、環の公理から乗法の結合性を落として、非結合環あるいは分配環と呼ばれる環を考える場合がある。本項では特に指定の無い限りこのような環については扱わない。少しだけ非自明な例.環の初等的性質.環の加法や乗法に関する定義からの直接的な帰結として、環の様々な性質が導かれる。しかし、環においては乗法と加法を組み合わせた様々な特徴的性質も存在する。例えば、などが任意の環において示される。基本概念.部分環.イデアル.環の準同型.歴史.環の構成法.環が与えられたとき、それを用いて新しい環を作り出す一般的な方法がいくつか存在する。剰余環.多項式環.行列環.が挙げられる。一意分解整域.整域と体.非可換環.