先程の速度ベクトルの式と比べてみるとこれは、速度ベクトルとの勾配の内積と見ることができる。つまり、速度ベクトルとの勾配を組み合わせることによって、局所座標系に依存しないものが得られることになる。ここで、は上の級関数であり、定数関数かもしれないし、だけを変数にとるといったような必ずしも多様体の性質を反映しない関数かもしれないということを考えると先程の式はのように関数とそれに作用する作用素とに分け、この作用素を接ベクトルと定義するのである。すなわち、局所座標系に依存しない速度ベクトルのようなものを探し求めた結果という形をした微分作用素の一次結合(接ベクトル)を用いることで解決できる事が分かる。この接ベクトルの全体を接ベクトル空間という。定義.方向微分と接ベクトルについての定義を与える。接ベクトルは方向微分であるが、方向微分が接ベクトルとは限らない。滑らかな多様体の場合にのみ両者は一致するので、滑らかな多様体の話に限るのであれば方向微分の定義は接ベクトルの定義でもある。方向微分.とする。次元級多様体と、その中の級曲線と上の任意の級関数を与えたとき、に対してという対応を曲線のにおける方向微分という。とする。の近傍で定義された任意の級関数及び任意の実数に対しが成り立つ。この左辺の変数になっているはに対してのように関数の値の(普通の意味での)積とする。このことから、方向微分は線型性を持ち、ライプニッツ則(積の微分法則)に従う作用素であることが分かる。数学においては、このように性質を調べた後でその性質をその言葉の定義と取り替えて一般化することがよくある。すなわち次元級多様体の点の近傍で定義された任意の級関数及び実数に対しをみたすような対応のことをにおける方向微分という。多様体上の点における方向微分の全体をと書く。が恒等的にを取る関数であれば、定義よりとなる。このことよりが定数を取る定数関数であればとなることがわかる。の開近傍を十分小さく取ったときに級関数の値がその開近傍上で等しいときとなる。での方向微分と級関数実数に対してのように、方向微分の和と定数倍を定義することにより、はベクトル空間になる。接ベクトル.