バーゼル問題は、スイスのレオンハルト・オイラーによって初めて解決された。オイラーは、三角関数のテイラー級数およびその無限乗積のの項の展開係数を比較することで、となることから、が成り立つことを示した。さらにオイラーの研究はバーゼル問題にとどまることはなく、より一般の場合の研究に努め、任意の自然数に対して、が成り立つことも示した。ただし、ここでは番目のベルヌーイ数である。である。ただし、ここでは虚数単位である。ここで右辺は、であり、ベルヌーイ数の定義から、となるので、ベルヌーイ数の特殊値を利用し、一方、正弦関数の無限乗積の対数は、であり、両辺を微分してを乗じると、となるが、これをテイラー展開して整理すると、それぞれで導いたを比較して、この公式により、正の偶数に対する特殊値を容易く計算することができる。しかるにから小さい順にまで計算してみると、となる。またその近似値は、以下の表に示す通りである。この表からもわかるように、ゼータ関数はの極限でである。すなわち、である。また、自然数に対して、を満たすようにとを定める。ただし、ここでとは任意の自然数に対して常に自然数をとるものとする。すると、このときとのからまでの挙動は以下の表に示す通りである。さらにと定めると、偶数に対する特殊値はより簡単に、とかくことができる。するとこのとき、なる漸化式が存在することがわかる。この漸化式は、ベルヌーイ数を効率的に求める漸化式に基づいている。また、特殊値の係数ではなく、ゼータ関数についての漸化式も存在する。余接関数の微分:を用いれば、が容易に導かれる。ただし、ここでである。正の奇数に対する特殊値.ゼータ関数はなる複素数に対して定義される関数であるが、その定義式にを代入すると、となって調和級数に一致する。調和級数は、古くにおいては収束すると考えられていたが、今日においては発散することが知られている。しかしこれはコーシーの主値は存在し、である。ただし、ここではオイラーの定数である。が成り立つことがわかる。から始める。ただし、ここでは自然数ではない複素数で、積分路はである。ここでを自然数としてとすると、となる。留数定理に基づいてこの複素積分を実行すれば、