データ点の第主成分は主成分得点として負荷量ベクトルを基底とする表示が与えられ、また対応するベクトルは主成分得点に対応する基底ベクトルをかけたとなる。ここでは行列の第固有ベクトルである。の完全な主成分分解は以下のように表わすことができる。ここではの正方行列であり、各列ベクトルは行列のの固有ベクトルであり単位ベクトルである。共分散.はデータセットから与えられる経験的な標本共分散行列に比例する。上述の結果を言い換えると、主成分変換は経験的な標本共分散行列を対角化する座標変換であると特徴づけられる。元々の基底に対する経験共分散行列は行列記法によって以下のように表わすことができる。ここではの固有値からなる対角行列である。固有値は対応する添え字の主成分得点の二乗和に等しい。行列が得られれば、行列の直交性を利用して、主成分ベクトルを基底とする経験共分散行列として次の表示が得られる。次元削減.線型変換はデータ点を元の次元の空間から、与えられたデータセットに対して各成分が互いに無相関になるような次元の空間へ写すが、一部の主成分だけを残すような変換も考えることができる。第一主成分から順に、各主成分に関するデータの分散が単調減少するように負荷量ベクトルが得られるため、最初の個の負荷量ベクトルだけを残し、残りの説明能力の低い負荷量ベクトルを無視すると、次のような変換が得られる。はの行列であり、はの行列である。上記の変換はデータ点に対する変換として、と書くこともできる。つまり、主成分分析は個の特徴量を持つデータ点を個の互いに無相関な特徴量を持つ主成分得点へ写す線型変換を学習する手法であるといえる。データ行列を変換することで得られる主成分得点行列は、元のデータセットの分散を保存し、二乗再構成誤差の総和、を最小化するように与えられる。