対称群(たいしょうぐん、)とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換(ちかん、)という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群(ちかんぐん、)と呼ばれる。置換群が空間の変換群として与えられているとき、の元の置換はで与えられるの部分群の分だけ潰れているが、これはのなかにと「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、の中でこれらを区別することができればの元の置換から対称群が回復される。定義.などで表される。の元は次の置換と呼ばれる。を有限集合とするとき、の場合と同様にしてからへの全単射全体の集合をとおくと、写像の合成を積としては群になる。このとき、はの対称群と呼ばれる。有限集合の間の単射に対して対称群の間の単射が自然に定まる。のように記される。後者の記法は番号の入れ替えとしてのの表示を与えており、この二つの記法の対応が集合と集合との同一視の仕方(全単射の選び方)に応じたととの間に定まる群の同型対応を具体的に与えている。無限集合についての対称群にあたるものとして二つの異なった概念が挙げられる。ひとつめの概念は有限集合に対するの構成をそのまま拡張し、有限とは限らない集合に対してもからへの全単射全体のなす群を考えることによって得られる。もう一つのより繊細な概念は、有限とは限らない集合に対して、その有限部分集合全体のなす族を考え、有限対称群たち()の直極限として得られる群である。この二つの定式化は有限集合に対しては自然に同型な群を与えている。自然数の集合に対して二つ目の方法を適用して得られる群はと書かれ、無限対称群と呼ばれる。これはたちすべての合併と見なすことができる。諸概念.群演算.対称群の群演算は写像の合成で与えられるが、置換が与えられたとき、の積を共変的にで表すか反変的にで表すかは(対称群の作用の方向が左からであるか右からであるかという)文脈による。