また、これらの損傷時交換対応などは、少量・損傷判定が明確であれば、銀行法上の銀行窓口においても対応する場合がある。ただし銀行法上の銀行における交換業務は義務対応ではないので、銀行によって対応が異なる(大量であったり損傷判定が明確でない場合に、銀行が日銀鑑定に回付までしてもらえる場合がある。ただしこれも義務対応ではない)。ゆうちょ銀行窓口においては両替業務を行っていない関係上、損傷硬貨の交換も行っていない。損傷硬貨の引換え基準.硬貨の刻印(模様)が確認できることが条件となる。また、欠損のある場合は以下の基準により交換を行う。前提とする主な定義.またはに対して与えられるの値を初期値という。以下、簡単のためにで固定する。初期値を満たし、時間のときのの値を返す写像を微分方程式の定める流れや連続力学系という。が級であることから、上記の微分方程式系は解の存在と一意性を満たし、流れはを満たす。初期値を決めて、をからまで動かしながらが返す値を相空間上に描くと、それは上の一つの曲線となる。この曲線をを通る軌道という。を通る軌道をで表すとする。微分方程式の解の一意性により、あるを通るはただ一つだけに限られる。特にが非負のときの軌道を正の半軌道といい、で表すとする。が級であることから軌道は(以下の平衡点である場合を除いて)滑らかな曲線で、曲線上の各点の接ベクトルが微分方程式のに対応する。また、に対して、かつを満たすようなが存在するとき、これを満たすときのの軌道を周期軌道という。相空間上の周期軌道は、円のように自分自身と交わらない閉曲線となる。時間が無限大に発散するときの軌道の漸近的な振る舞いを調べるために、の極限集合が重要となる。ある点に対して時刻の列を一つ適当に選ぶととなるとき、をの極限点という。そして、の極限点全てから成る集合をの極限集合といい、で表すとする。時間を逆向きにした方は極限集合といい、で表すとする。極限集合または極限集合を総称して極限集合という。