が成立するなど)に対して、交代群を対称群に取り替えることはできないことに注意すべきである。これは、交代群に関する現象から対称群に関する現象が導ける(例えば自然な全射は自然な全射に延びるし、およびの三重被覆はおよびの三重被覆に延びる)けれども、しかしそれは「ホモロジー的」(ホモロジーを取る操作と可換)ではないという意味である。つまり、全射でやをそのアーベル化に取り替えることはできないし、後者の例では三重被覆をホモロジーに対応させることができないということになる。このホモロジーは論でいう意味で「安定」である。すなわち、包含写像と適当な整数が存在して、ホモロジーの間の包含写像が十分大きなに対して同型となる。これはリー群のホモロジーの安定性の類似である。無限対称群のホモロジーはそのコホモロジー代数をホップ代数化することによってで計算されている。対称群の表現論.対称群の表現論は有限群の表現論の特別な場合であり、具体的かつ詳細な理論が展開される。その応用は広く、対称函数の理論から、同種粒子に対する量子力学まで利用される。対称群の位数はである。共軛類はの分割でラベル付けられるから、有限群の表現論に従えば、複素数体上の互いに同値でない既約表現の総数はの分割の総数に等しい。有限群の一般的な状況とは異なり、実は共軛類をパラメータ付けするのと同じ集合(つまりの分割やサイズがのヤング図形)で既約表現をパラメータ付けする自然な方法が対称群の場合には存在する。そのような既約表現はどれも整数全体の集合上で実現することができる(任意の置換が成分が整数の行列として作用する)。これはヤング図形によって形の与えられるヤング盤の全体で生成される空間へのを計算することによって明示的に構成できる。しかしそれ以外の任意の標数における対称群の既約表現については知られていない。この文脈では表現の言葉よりも加群の言葉を用いるほうが普通であるが、整数環上定義された既約表現に標数を法とした還元を行って得られる表現は一般には既約でない。こうして得られる加群はと呼ばれ、任意の既約表現はそれらの加群の中から得られる。いまのところそのような既約加群はあまり知られておらず、それらの分類についてもたいした理解は得られていない。例えば、その次元なども一般にはわかっていない。