数に対して、を満たすをの平方根という。元の数がどのような数の範囲であるかによって、この概念は、意味を持つかどうかということを含め、さまざまな点で差異が生じるということに注意が必要である。また、数とは限らず、もっと一般にいくつかの数学的対象についても、それぞれに意味のある仕方で平方根が定義されるものがある(正定値行列など)。基本的な性質.実数の平方根.が正の整数でも、の平方根が整数とは限らない。元の数が平方数でない正の整数だと、その平方根は無理数であることが証明されている。簡略化.のとき、が成り立つ。例えば、である。概数とその求め方.有理数の平方でない正の実数の平方根は、その小数部分が循環しない。その小数表示を効率的に求める方法として、開平法が知られている。比較的小さな数の平方根については、概数を知る必要がしばしばあることから、以下のような小数部分の数桁目までの語呂合わせが知られている。絶対値.任意の実数に対してが成り立つ。積・商に関する計算法則.、のとき、が成り立つ。累乗根による表記.に対して、その冪乗と冪根についてが成り立ち、特に平方根関数.のグラフの和集合は、二次函数のグラフと直線に関して線対称な放物線に等しい。正の平方根函数√は連続かつで微分可能であり、導関数は不定積分はで与えられる。また、収束冪級数としての二項展開がで成り立つ。,自然数に対して帰納的に(および根号の個数は)と定めると、函数列は漸化式に従い、はに収束するならばでなければならないから、が成り立つ。負の数の平方根.二次体.有理数体(有理数全体(負の数も含む))上で定義される函数において、その値域は(虚数も含めた)代数的数(の一部)からなる。有理数の平方根が再び有理数となるならば、その有理数は(有理数の範囲での)平方数であるという。有理数内で平方数とならない有理数に対しては二次の無理数であって、にを付け加えて得られる体(たい)は二次体と総称される。複素数の平方根.数以外の平方根.行列の平方根.このような半正定値行列の平方根の計算および一意性の証明には、エルミート作用素に関するスペクトル論(固有値分解)や特異値分解あるいはコレスキー分解などが利用できる。