非相対論的な量子力学において、スピン角運動量はそれ以外のオブザーバブルとは振る舞いを異にする為にスピン角運動量を記述するためだけの理論の修正を迫られる。それに対し相対論的量子力学では、例えばディラック方程式の定義それ自身にスピンの概念が織り込まれているなど、より自然な形でスピンが定式化される。スピン量子数.粒子の運ぶスピン角運動量の大きさをスピン量子数という。スピン量子数による粒子分類.の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。歴史.数学的導出の方法.本稿では以下、特に断りがない限り非相対論な量子力学に対するスピンの概念について述べる。準備.本節ではまず回転群とユニタリ群について紹介し、次にこれらの概念を使って軌道角運動量の概念を回転対称性の観点から定式化する。本節で軌道角運動量の概念を復習するのは、次節以降、軌道角運動量の定義を参考にしながらスピン角運動量の概念を定式化する為である。数学の準備.のように、「滑らかな」構造を持った群をリー群という(厳密な定義はリー群の項目を参照)。特にのように行列からなるリー群を行列リー群あるいは単に行列群という。本項で登場するリー群は以下の行列群に限られる。そこで本項ではリー群の一般論を展開するのは避け、以下の行列群に限定して話をすすめる。以下では複素計量ベクトル空間であり、は単位行列であり、はのエルミート共役である:ベクトル空間がである場合は、の事をそれぞれと表記する。をのいずれかとするとき、集合に関して環をなすからである。のリー環はそれぞれ、である。が上述した形になるのは以下の理由による。を上の可微分な曲線で、のとき単位行列となるものとすると、の定義より、なので、そのでの微分はをからへの可微分な準同型写像とする。このときが誘導する写像をである。が誘導する写像と行列の指数関数は以下の関係を満たす:空間の回転対称性からみた軌道角運動量演算子.である。が定義される。一方、に対応する「無限小変換」全体の集合を()のように定義し、()に従ってが誘導する写像をそこで単位ベクトルに対し、を()のように定義し、虚数単位と換算プランク定数を用いて、と表記できる事を以下のように確認できる。を任意の波動関数とすると、()、()より