単因子論を用いると、簡単に導出できる。ただし、単因子標準形の存在・一意性の証明にはかなりの工程を要する。文献に掲載されている方法による。単因子論で知られている結果として、最後の単因子はの最小多項式に等しい。故に固有多項式は最小多項式で割り切れると分かる。故に(証明終)余因子行列による証明.の固有多項式を定義する行列は多項式行列である。多項式全体は可換環をなすから、この行列の余因子行列が存在して、基本関係式によりが成り立つ。このもまたを変数とする多項式行列であるから、各に対して行列の各成分からの項だけを取り出してまとめたものを係数行列として、と書き直すことができる(の定義の仕方から、より高次の冪は現れないことに注意)。これは、多項式行列を、「行列を係数とする多項式」(定数成分行列の線型結合)で表す便法である(それを強調するためには係数として左側に書いている)。さて等式を積の双線型性により展開すればを得る。これにそれぞれ(比較に用いたに応じて)を掛けて足し合わせたは畳み込み和として全ての項が打ち消し合うから、となる。(証明終)行列係数の多項式を用いた証明.まず、前節の証明に現れる式によって示唆される「行列係数の多項式」という概念について正当化しておく。これには非可換環係数の多項式というある意味普通ではないものを考えることになるので、入念に注意を払う必要が出てくる。通常の多項式で正当化されることが、今の定では適用できないということが多々起こる。著しい点として、通常の可換環係数の多項式に対する算術は、多項式を多項式函数と同一視して函数としての(点ごとの)演算を雛形とすることができるが、非可換環係数ではそれは可能ではない(実は、非可換環上での場合には、乗法のもとで閉じる多項式函数の明らかな概念は存在しない)。それゆえ、行列係数の変数に関する多項式を考えるときには、変数は係数環の任意の値を取りうる「未知数」と考えてはいけなくて、いくつかの決まったルールに従う形式的な記号としての「不定元」として扱うべきである。特にに特定の値を代入しようというのは危険である。