で定義される。これは距離空間のときと同じようにと書いても同じである。写像がのすべての点において連続であるならば、を連続写像という。このことから、開集合や閉集合を用いて連続写像を定義することもできる。特に、位相を開集合によって定義する流儀が多いことに伴い、開集合を用いた定義が採用されることが多い。他に、各部分集合にその閉包を割り当てるや、開核を割り当てる開核作用素も位相を定めるが、これらを用いると、位相空間の間の写像が上記の意味で連続となるための必要十分条件は、任意の部分集合に対してが成り立つことである。これはつまり、の与えられた元が任意の部分集合の閉包に属す限りにおいて、は必ずの閉包に属すことを言っている。これはまたの任意の部分集合に対してを満足することを課すのと同値である。あるいは開核作用素を用いて、写像が連続となる必要十分条件を、任意の部分集合に対しが満足されることと述べることもできる。点列および有向点族を用いた定義.「列の極限を保つ」写像は点列連続()と呼ばれる。すなわち、写像が点列連続であるとは、内の点列が極限点に収束するならば像の列がに収束することである。この有向点族の極限を用いることで、写像の連続性を表すことができるようになる。というのも、に収束する任意の有向点族についてが必ずに収束することが、においてが連続であるための必要十分条件となるからである。これにより、連続写像を「有向点族の極限を保つ」写像として定義することができる。性質.二つの写像が連続ならば、それらの合成もそうである。またが連続のとき、である。一つ固定した空間上に入れることのできる位相の全体には半順序を入れることができて、位相が別の位相よりも()とは、に関する任意の開集合が、必ずに関する開集合ともなるときに言うのであった。さてこのとき、恒等写像が連続となる必要十分条件はが成り立つことである。より一般に、連続写像に対し、位相をより粗い位相に取り換えても、またをより細かい位相に取り換えても、連続性は保たれる。同相写像.