イデアルは整数の算術から定義される合同算術の方法と同様の剰余環(商環)の構成にも用いられる、この点において群論で剰余群(商群)の構成に用いられる正規部分群と同様のものと理解することができる。順序集合に対するの概念は環論におけるこのイデアルの概念に由来する。またイデアルの概念を一般化して分数イデアルの概念を考えることもでき、それとの区別のためここで扱う通常のイデアルは整イデアルと呼ばれることもある。定義.環の部分集合が、加法群としての部分群であり、のどの元を左からかけても、またに含まれるとき、を左イデアル()という。同様に任意のの元を右からかけたものがに含まれるとき、を右イデアル()という。言い換えると、の部分集合が左(右)イデアルであるとは、がの左(右)加群としての部分加群であることをいう。左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアル()または単にイデアルという。が可換環である場合はこれらの概念は全て一致するため、単にイデアルと呼ばれる。以下に述べるように、群を正規部分群で類別することによって剰余群を得るのと同様に、環を両側イデアルで類別することによって剰余環を得る。を環の両側イデアルとする。によって二項関係を定義すると、これは同値関係になる。この同値関係による商集合には自然に演算が定義できて、環になることが分かる。新しく作られたこの環をのイデアルによる剰余環と呼び、と書く。商環と呼ばれる場合もある。環の準同型の核はイデアルであり、逆にイデアルはある環準同型の核になる。群の場合と同じように、環についても準同型定理が成り立つ。すなわち、イデアルと合同関係.環構造と両立する同値関係である合同関係とイデアルとの間には一対一対応が存在する。即ち、環のイデアルが与えられたとき、で定義される関係は上の合同関係であり、逆に上の合同関係が与えられたときは上のイデアルになる。イデアルの生成.