写像が双射(全単射)となるのは、それが単射かつ全射となることと同値である。函数を(よくやるように)そのグラフと同一視して考えるとき、単射性とは異なり、全射性を函数のグラフのみから読み取ることはできない。全射性は函数自体の性質というよりは函数と余域との関係性と見るべきものである。右可逆性.写像が写像の右逆写像であるとは、(つまりの効果がによって打ち消される)がの各元で成り立つときに言う。言葉を変えれば、ととのこの順番での合成がの定義域上の恒等写像となるとき、がの右逆であるという。逆順のがの定義域上の恒等写像でないかもしれないから、写像は必ずしもの(完全)逆写像であるわけではない。即ち、はを打ち消すが、逆は必ずしも成り立たない。右逆を持つ任意の写像は全射であるが、「任意の全射が右逆写像を持つ」という命題は選択公理に同値である。が全射でがの部分集合であるとき、が成り立つ。つまりはその原像から回復される。全型射との関係.二項関係としての全射.域および余域を持つ任意の写像は(そのグラフと同一視することにより)、ととの間の左全域的かつ右一意な二項関係と見ることができる。従って、域,余域をもつ全射は、ととの間の左全域的、右一意かつ右全域的な二項関係ということになる。全射の始域の濃度.全射の始域の濃度は、余域の濃度以上である。つまりが全射ならば、は少なくともの元の(濃度の意味での)個数と等しい数の元を含む。ただし、このことの証明には、の任意の元に対してを満たす写像の存在を言うために選択公理が必要になる。が単射であることを見るのは容易であるから、定義によりが得られる。特に、とが同じ数の元を持つ有限集合であるときには、が全射であることとが単射であることとが同値になる。合成と分解.全射同士の合成は常に全射である。即ち、およびがともに全射で、の余域がの定義域と等しいとき、合成写像は全射になる。逆に、合成が全射ならばは全射(だが先に施すほうのは必ずしも全射でなくてよい)。この性質は、集合の圏における全射から任意の圏における任意の全射に一般化される。誘導された全射・双射.数え上げ.包除原理の応用として、有限集合からへの全射の数は