別定義.純粋状態の定義.を意味する。観測.観測の期待値.波束の収縮.密度行列集合の凸性.注意.上で定義した重ね合わせの概念は、状態ベクトルの重ね合わせとは異なる概念である。実際、一般には密度行列の公理的特徴づけ.本章では密度行列を全く別の角度から公理的に特徴づける。そしてこの特徴づけができる事の結果として、前述した単純な表記方法の持つ欠点が密度行列では解消されている事を見る。公理的特徴付け.を物理量、すなわち状態空間上の自己共役作用素であるとする。今何らかの量子力学的な系が与えられていたとし、この系でを観測した観測値の期待値をと書くことにする。なお系の具体的な状態は問わない。したがって系が純粋状態であっても混合状態であってもよい。このとき次が成立する事が知られている:欠点が解消されている事.前の章で述べたように、混合状態を単純な方法で記述した場合、見かけ上の記述が異なるにもかかわらず、実質的に同一の量子状態を表している(=観測結果では両者を区別できない)、という事が起こりうる。しかし密度行列を用いて混合状態を記述した場合にはこのような問題は生じない。純粋状態を記述する上での数学的利点.本項では密度行列を、混合状態を記述する上での便利な道具立てとして導入した。しかし純粋状態を記述する際にも密度行列は有効に働く。これは状態ベクトル表記もやはり、(位相以外にも差がある)全く別の状態ベクトルが、同一の純粋状態を表す場合があるからである。前述のように密度行列であればこうした問題は生じない。を満たすは存在しない。密度行列による問題解決.これに対し、密度行列を利用した場合は、上述の問題は生じない。そもそも、上述の問題が生じたのは、状態ベクトルに位相分の自由度が存在したからである。しかし密度行列で記述した場合、純粋状態はという形式なので、位相分の自由度は消え去る:よって前述の問題はそもそも生じない。フォン・ノイマンエントロピー.シャノンエントロピーとは.であると定義する。より一般に、確率で起こる事象があった場合、この事象の底に対する自己情報量をまた値を取る確率変数があった時、であるという事象の自己情報量はであるので、の期待値を定義でき、この値をの底に対する情報量、もしくは底に対するシャノンエントロピーという。