リーマンテンソルは、テンソルの対称性として理解される多くの性質を持っている。特に一般相対性理論で参照される性質は、代数的または微分幾何学的なビアンキ恒等式である。共変微分のもうひとつの性質のため、を得る。添字を入れ替える前の式から入れ替えた式を引き、クリストッフェル記号の対称性を思い起すと、となる。これが求めている方程式で、この式に名前を付ける必要がある。結局リーマン曲率テンソルは、となる。添字は行列を掛けることにより縮約することができ、テンソルを共変とすることができる。このことはアインシュタイン方程式において有益であり、さらに分解すると、これらはすべてアインシュタインの場の方程式の解を計算する際に有益である。エネルギー・運動量テンソル.エネルギー保存.一般相対性理論には、エネルギー・運動量の局所的な保存則があり、テンソルの方程式により簡素に表現することができる。特殊相対性理論でこの式に対応する局所的なエネルギー保存則は、である。この説明は、「偏微分が共変微分へ至る」という経験則を表している。アインシュタイン場の方程式.ここで、左辺のはアインシュタインテンソル、は宇宙定数で、右辺のは真空中の光速、は円周率、は重力定数である。この式はニュートンの万有引力の法則から出てくる。測地線方程式.ここにはの曲線に沿った固有時間による微分を表す。この等式によりクリストッフェル記号の意義が明確となる。アインシュタイン場の方程式は、全物質(エネルギー)の分布と時空の曲率と関連付ける。その非線型性により、結果として現れる時空の中の物質の正確な運動を決定するときに問題が起こる。例えば、恒星の周りを回る惑星から成る系において、惑星の運動は惑星と恒星の運動の和であるエネルギー・運動量テンソルについての場の方程式を解くことにより決定される。惑星の重力場は全体の時空の幾何学に影響を与える、従って、対象の運動に影響を与えることになる。それ故、場の方程式は測地線を導出することに使うことができるという主張は合理的である。系のエネルギー・運動量テンソルが完全流体であるとき、エネルギー運動量テンソルの局所保存法則を使うことで、測地線の運動方程式が完全に満たされることを示すことができる。ラグランジアン定式化.