如何將本文提出的固定點平滑算法推廣到非線性狀態空間模型?
將固定點平滑算法推廣到非線性狀態空間模型的關鍵在於如何處理非線性動態和觀測方程。本文的固定點平滑算法基於線性高斯模型，利用了高斯分佈的性質和Cholesky因子的數值穩健性。對於非線性模型，可以考慮以下幾個步驟：
後驗線性化：可以使用後驗線性化技術，將非線性模型在每個時間步進行局部線性化，這樣可以在每個時間點近似地使用線性高斯模型進行平滑。這種方法的核心是利用泰勒展開來近似非線性函數，從而在每個時間步獲得一個線性模型。
擴展卡爾曼濾波器（EKF）：在非線性狀態空間模型中，擴展卡爾曼濾波器是一種常用的方法。它通過對非線性函數進行一階泰勒展開來獲得狀態的估計，然後可以將這些估計應用於固定點平滑算法中。
粒子濾波：對於高度非線性的系統，粒子濾波提供了一種基於蒙特卡羅方法的解決方案。通過使用一組粒子來表示狀態分佈，粒子濾波可以有效地處理非線性和非高斯的情況。固定點平滑可以在粒子濾波的框架內進行，通過對粒子進行重採樣和加權來獲得初始狀態的估計。
數值穩健性：在推廣過程中，保持數值穩健性是至關重要的。可以考慮使用Cholesky因子或QR分解來處理協方差矩陣的計算，這樣可以減少由於數值不穩定性引起的問題。
通過這些方法，可以將固定點平滑算法有效地擴展到非線性狀態空間模型中，從而在更廣泛的應用場景中發揮作用。