Можно ли в схеме софтстарта обойтись без отдельного трансформатора? Например запитать софтстарт отдельной обмоткой общего, «защищаемого» трансформатора?
В принципе можно. Но возникают две большие  проблемы.
1. В этом случае схема софтстарта питается от защищаемого источника. Работа софтстарта состоит в снижении и ограничении напряжения главного источника питания. Поэтому возникает опасность, что при таком пониженном напряжении питания  реле софтстарта не включится, и схема не перейдет в номинальный режим работы. Значит, нужно подавать на  софтстарт напряжение с запасом, чтобы реле наверняка сработало.
2. Питание схемы софтстарта в этом случае придется производить либо от общей сравнительно высоковольтной обмотки главного трансформатора. И возникнет задача стабилизации напряжения на схеме софтстарта. Что в сочетании с довольно большим током реле приведет к довольно большой рассеиваемой этим стабилизатором мощности и его  нагреву. Частично снизить нагрев можно используя реле на 24 вольта.
Либо питать схему софтстарта от отдельной обмотки главного трансформатора. Значит, такая обмотка должна быть. Но и в этом случае может  потребоваться стабилизатор питания схемы софтстарта, так как когда главный трансформатор выйдет на рабочий режим, напряжение в этой отдельной обмотки превысит номинальное чуть ли не в два раза. И снова сталкиваемся с проблемой значительной выделяемой мощности в блоке питания софтстарта.
Поэтому проще для схемы софтстарта использовать свой собственный блок питания. Если у вас заранее известен ток реле, то можно использовать  бестрансформаторный блок питания с балластным конденсатором.
И еще. Хорошая практика - делать системы безопасности полностью независимыми от того объекта, чью безопасность они обеспечивают.