「recycle」という言葉は、接頭語の「re-」と「cycle」の複合語ですか。また、リサイクルできないものは何と呼ぶのでしょうか。
その通りです！「recycle」とは、何かを消費の「cycle」に戻すということです。リサイクルできないものは単に「non-recyclable」「trash/waste/garbage」と言います。
例: You can throw your non-recyclables [non-recyclable items] in this trash bin here.（リサイクルできないものはこのゴミ箱に捨ててね。）
例: Remember to separate the recyclables from the garbage.（リサイクルできるものをゴミから分けておくのを忘れずにね。）