「brothers and sisters」を「family」と言い換えると意味が変わってしまうのでしょうか。
そうですね、多少意味が変わってしまいますね！「brothers and sisters」というと、相手を対等な立場の一人の人間としてみなしている感じがします。一方で「family」は、年齢や社会的・家族的な役割を考えると、ヒエラルキーがありますよね。また、これはあまり各々の差を考えず、家族をひとつのまとまりとして表しているように聞こえます。
例: We are brothers and sisters in this fight for freedom. Let's support each other.（私たちは自由のために戦う兄弟姉妹だ。お互いに支え合おう。）
例: As a nation, we are a family and represent this nation together. We must support our brothers and sisters in other nations.（国家として、私たちは家族であり、共にこの国を代表しています。他の国にいる兄弟姉妹をサポートしなければなりません。）