他の人のお父さんを「father」でなく「dad」と呼ぶと失礼ですか。
まったくそんなことはありません。「dad」は日常会話的な表現ですが、英語はあまり形式にはこだわらない言語です。「father」や「mother」と言うよりも、「your dad」「your mom」と言ったほうが自然です。
例: Nicholas is Courtney's dad.（ニコラスはコートニーのお父さんです。）
例: Her mom works with my mom.（彼女のお母さんは私のお母さんと働いている。）
例: Their dad's name is George, and their mom's name is Mary.（彼らの父親の名前はジョージで、母親の名前はメアリーだ。）