Zorn's lemma is equivalent to the well-ordering theorem and also to the axiom of choice, in the sense that within ZF (Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice) any one of the three is sufficient to prove the other two.
Lema Zorn setara dengan teorema yang tertata dengan baik dan juga aksioma pilihan, dalam arti bahwa salah satu dari ketiganya, bersama dengan aksioma Zermelo–Fraenkel dari teori himpunan, cukup untuk membuktikan dua lainnya.
To prove the existence of a mathematical object that can be viewed as a maximal element in some partially ordered set in some way, one can try proving the existence of such an object by assuming there is no maximal element and using transfinite induction and the assumptions of the situation to get a contradiction.
Untuk membuktikan keberadaan objek matematika yang dapat dilihat sebagai elemen maksimal dalam beberapa poset dalam beberapa cara, seseorang dapat mencoba membuktikan keberadaan objek tersebut dengan mengasumsikan tidak ada elemen maksimal dan menggunakan induksi transfinite dan asumsi situasinya untuk mendapatkan kontradiksi.
Zorn's lemma tidies up the conditions a situation needs to satisfy in order for such an argument to work and enables mathematicians to not have to repeat the transfinite induction argument by hand each time, but just check the conditions of Zorn's lemma.
lema Zorn merapikan kondisi yang perlu dipenuhi situasi agar argumen seperti itu berfungsi dan memungkinkan matematikawan tidak harus mengulangi argumen induksi transfinite dengan tangan, tapi periksa saja kondisi lema Zorn.
Furthermore, P is partially ordered by set inclusion (see inclusion order).
Selanjutnya, P sebagian diurutkan oleh set inklusi (lihat urutan penyertaan).
If T is the empty set, then {v} is an upper bound for T in P. Suppose then that T is non-empty.
Jika T adalah himpunan kosong, maka ideal sepele {0} adalah batas atas untuk T dalam P .
Since R is non-trivial, the set P contains the trivial ideal {0}.
Karena R tidak sepele, himpunan P berisi ideal sepele {0}, dan karena itu P tidak kosong.
Furthermore, P is partially ordered by set inclusion.
Selanjutnya, P sebagian diurutkan oleh set inklusi (lihat urutan penyertaan).
We will first show that I is an ideal of R. For I to be an ideal, it must satisfy three conditions: I is a nonempty subset of R,
Kami pertama-tama akan menunjukkan bahwa I adalah ideal dari R , dan kemudian itu adalah ideal yang tepat dari R dan begitu juga elemen dari P .
(It is clear that if it is R then it contains 1; on the other hand, if it contains 1 and r is an arbitrary element of R, then r1r is an element of the ideal, and so the ideal is equal to R.)
Sekarang, sebuah ideal sama dengan R jika dan hanya jika ia mengandung 1. (Jelas bahwa jika itu sama dengan R , maka itu harus berisi 1; di sisi lain, jika mengandung 1 dan r adalah elemen sembarang dari R , maka r1r adalah elemen ideal, dan ideal adalah sama dengan R .)
For every totally ordered subset T we may then define a bigger element b(T), because T has an upper bound, and that upper bound has a bigger element.
kemudian dapat mendefinisikan elemen yang lebih besar b ( T ), karena T memiliki batas atas, dan batas atas itu memiliki elemen yang lebih besar.
To actually define the function b, we need to employ the axiom of choice (explicitly: let B ( T )
Untuk benar-benar mendefinisikan fungsi b , kita perlu menggunakan aksioma pilihan.
Using the function b, we are going to define elements a0 < a1 < a2 < a3 < ... <
Menggunakan fungsi b , kita akan mendefinisikan elemen a0 < a1 < a2 < a3 < ... di P .
In fact, the sequence is too long for the set P; there are too many ordinals (a proper class), more than there are elements in any set (in other words, given any set of ordinals, there exists a larger ordinal), and the set P will be exhausted before long
Faktanya, urutannya terlalu panjang untuk himpunan P ; ada terlalu banyak ordinal (sebuah kelas sesuai), lebih dari jumlah elemen di set mana pun, dan set P akan habis tak lama kemudian dan kemudian kita akan mengalami kontradiksi yang diinginkan.
The 1970 film Zorns Lemma is named after the lemma.
Film tahun 1970, Zorns lemma , dinamai menurut lema ini.
The lemma was referenced on The Simpsons in the episode "Bart's New Friend".
lema ini direferensikan di The Simpsons di episode tersebut "Bart's New Friend".