In mathematics, the Regiomontanus's angle maximization problem, is a famous optimization problem posed by the 15th-century German mathematician Johannes Müller (also known as Regiomontanus).
Dalam matematika, Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus, adalah masalah terkenal optimasi yang dilakukan oleh matematikawan asal Jerman abad ke-15, Johannes Müller (juga dikenal sebagai Regiomontanus).
The problem is as follows: A painting hangs from a wall.
Masalahnya adalah sebagai berikut: Sebuah lukisan tergantung di dinding.
Given the heights of the top and bottom of the painting above the viewer's eye level, how far from the wall should the viewer stand in order to maximize the angle subtended by the painting and whose vertex is at the viewer's eye?
Mengingat ketinggian bagian atas dan bawah lukisan di atas tanggul mata pemirsa, seberapa jauh penonton harus berdiri dari dinding untuk memaksimalkan sudut subtended dengan lukisan dan simpul siapa yang ada di mata pemirsa?
The same approach applies to finding the optimal place from which to kick a ball in rugby.
Pendekatan yang sama berlaku untuk menemukan tempat optimal untuk menendang bola di rugby.
For that matter, it is not necessary that the alignment of the picture be at right angles: we might be looking at a window of the Leaning Tower of Pisa or a realtor showing off the advantages of a sky-light in a sloping attic roof.
Oleh karena itu, kesejajaran gambar tidak perlu berada pada sudut siku-siku: kita mungkin sedang melihat jendela Menara Miring Pisa atau makelar yang memamerkan keunggulan lampu langit di atap loteng miring.
There is a unique circle passing through the top and bottom of the painting and tangent to the eye-level line.
Ada lingkaran unik yang melewati bagian atas dan bawah lukisan dan bersinggungan dengan garis setinggi mata.
By elementary geometry, if the viewer's position were to move along the circle, the angle subtended by the painting would remain constant.
Dengan geometri dasar, jika posisi pemirsa bergerak di sepanjang lingkaran, sudut yang ditubuhkan oleh lukisan akan tetap konstan.
All positions on the eye-level line except the point of tangency are outside of the circle, and therefore the angle subtended by the painting from those points is smaller.
Semua posisi pada garis sejajar mata kecuali titik singgung berada di luar lingkaran, dan oleh karena itu sudut yang dirubah oleh lukisan dari titik-titik tersebut lebih kecil..
In the present day, this problem is widely known because it appears as an exercise in many first-year calculus textbooks (for example that of Stewart ).
Saat ini, masalah ini dikenal luas karena muncul sebagai latihan di banyak buku teks kalkulus tahun pertama (contohnya Stewart ).
bthe height of the top of the painting above eye level; xthe viewer's distance from the wall; αthe angle of elevation of the bottom of the painting, seen from the viewer's position; βthe angle of elevation of the top of the painting, seen from the viewer's position.
Jika aketinggian bagian bawah lukisan di atas ketinggian mata; bketinggian bagian atas lukisan di atas ketinggian mata; xjarak pemirsa dari dinding; αsudut peninggian bagian bawah lukisan, dilihat dari posisi penonton; βsudut ketinggian bagian atas lukisan, dilihat dari posisi pemirsa.
The tangent of the angle increases as the angle increases; therefore it suffices to maximize tan ⁡ ( β − α )
tangen sudut bertambah seiring dengan bertambahnya sudut; oleh karena itu cukup dimaksimalkan tan ⁡ ( β − α )tan ⁡ β − tan ⁡ α 1 + tan ⁡ β tan ⁡ αb x − a x 1 + b x ⋅ a x( b − a )
{1+\tan \beta \tan \alpha }}={\frac {{\dfrac {b}{x}}-{\dfrac {a}{x}}}{1+{\dfrac {b}{x}}\cdot {\dfrac {a}{x}}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2}+ab}}.} Since b − a is a positive constant, we only need to maximize the fraction that follows it.
{1+\tan \beta \tan \alpha }}={\frac {{\frac {b}{x}}-{\frac {a}{x}}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2}+ab}}.} setelah b − a adalah konstanta positif, kita hanya perlu memaksimalkan pecahan yang mengikutinya.
\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}.\end{cases}}} Therefore the angle increases as x goes from 0 to √ab and decreases as x increases from √ab.
\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}.\end{cases}}} Oleh karena itu sudutnya meningkat sebagai x pergi dari 0 sampai √ab dan menurun sebagai x meningkat dari √ab.
The angle is therefore as large as possible precisely when x√ab, the geometric mean of a and b.
Oleh karena itu, sudutnya sebesar mungkin kapan tepatnya x√ab, rata-rata geometris dari a and b.
We have seen that it suffices to maximize x x 2 + a b .
Kami telah melihat bahwa itu sudah cukup untuk memaksimalkan x x 2 + a b .
{x^{2}+ab}}.} This is equivalent to minimizing the reciprocal: x 2 + a b xx + a b x .
{x^{2}+ab}}.} Ini setara dengan meminimalkan timbal balik: x 2 + a b xx + a b x .
+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}.} Observe that this last quantity is equal to ( x − a b x ) 2 + 2 a b .
+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}.} Perhatikan bahwa kuantitas terakhir ini sama dengan ( x − a b x ) 2 + 2 a b .
}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}.} This is as small as possible precisely when the square is 0, and that happens when x√ab.
}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}.} Ini sekecil mungkin tepatnya jika kuadratnya 0, dan itu terjadi jika x√ab.
Alternatively, we might cite this as an instance of the inequality between the arithmetic and geometric means.
Atau, kita dapat mengutip ini sebagai contoh dari pertidaksamaan antara aritmetika dan sarana geometri.