In mathematics, a set B of elements of a vector space V is called a basis (pl.: bases) if every element of V can be written in a unique way as a finite linear combination of elements of B.
Dalam matematika, sebarang himpunan vektor B dalam suatu ruang vektor V disebut basis, jika setiap elemen di V dapat dituliskan sebagai kombinasi linear terhingga yang unik dari elemen-elemen di B. Koefisien-koefisien pada kombinasi linear tersebut disebut sebagai koordinat dari vektor terhadap B. Elemen-elemen dari basis disebut sebagai vektor basis.
A vector space can have several bases; however all the bases have the same number of elements, called the dimension of the vector space.
Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis; namun semua basis tersebut akan memiliki jumlah elemen yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari ruang vektor.
Thus, the scalar coefficients a i } that appear in this combination are uniquely determined; they are called the coordinates of v } with respect to the basis B .
Skalar-skalar a i } disebut koordinat dari vektor v } terhadap basis B , dan berdasarkan sifat pertama, nilai mereka unik (tunggal).
( a + c , b + d ) and scalar multiplication λ ( a , b )( λ a , λ b ) , where λ is any real number.
( a + c , b + d ) dan perkalian λ ( a , b )( λ a , λ b ) , dengan λ adalah sebarang bilangan riil.
A simple basis of this vector space consists of the two vectors e1(1, 0) and e2(0, 1).
Contoh basis yang sederhana dari ruang vektor ini adalah himpunan yang berisi vektor e 1( 1 , 0 ) _{1}=(1,\,0)} dan e 2( 0 , 1 ) _{2}=(0,\,1)} .
These vectors form a basis (called the standard basis) because any vector v(a, b) of R2 may be uniquely written as va e 1 + b e 2 .
Kedua vektor ini membentuk sebuah basis (yang disebut basis standar) karena sebarang vektor v( a , b )(a,\,b)} di R 2 ^{2}} dapat ditulis secara unik sebagai va e 1 + b e 2 .
More generally, if F is a field, the set F n } of n-tuples of elements of F is a vector space for similarly defined addition and scalar multiplication.
Secara umum, jika F berupa lapangan, maka himpunan F n } yang berisi rangkap-n elemen-elemen dari F n } adalah sebuah ruang vektor, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian yang serupa dengan contoh pembuka tadi.
Let e i( 0 , … , 0 , 1 , 0 , … , 0 ) _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)} be the n-tuple with all components equal to 0, except the ith, which is 1.
Misalkan e i( 0 , … , 0 , 1 , 0 , … , 0 ) _{i}=(0,\,\ldots ,\,0,\,1,\,0,\,\ldots ,\,0)} adalah rangkap-n dengan semua komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i, yang bernilai 1.
Then e 1 , … , e n _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}} is a basis of F n , ,} which is called the standard basis of F n .
Himpunan e 1 , … , e n _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}} membentuk suatu basis (terurut) untuk F n , ,} yang disebut dengan basis standar dari F n .
If F is a field, the collection F[X] of all polynomials in one indeterminate X with coefficients in F is an F-vector space.
Jika F berupa lapangan, himpunan F [ x ] dari semua polinomial satu-variabel dengan koefisien-koefisiennya berada di F , merupakan suatu ruang vektor.
One basis for this space is the monomial basis B, consisting of all monomials: B{ 1 , X , X 2 , … } .
Salah satu basis untuk ruang ini adalah basis monomial B, yang berisi semua monomial: B{ 1 , x , x 2 , … } .
If V is a vector space over a field F, then: If L is a linearly independent subset of a spanning set S ⊆ V, then there is a basis B such that L ⊆ B ⊆ S .
Jika V adalah ruang vektor atas lapangan F , maka: Untuk sebarang subset bebas linear L dari sebarang himpunan merentang S ⊆ V , terdapat suatu basis B sehingga L ⊆ B ⊆ S .
V has a basis (this is the preceding property with L being the empty set, and SV).
V memiliki basis (hal ini dapat dihasilkan dari sifat sebelumnya dengan memilih L sebagai himpunan kosong, dan SV ).
All bases of V have the same cardinality, which is called the dimension of V. This is the dimension theorem.
Setiap basis dari V memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut dengan dimensi dari V .
If V is a vector space of dimension n, then: A subset of V with n elements is a basis if and only if it is linearly independent.
Jika V adalah ruang vektor berdimensi n , suatu subset berisi n elemen dari V merupakan basis dari V jika dan hanya jika: Subset tersebut bebas linear; Subset tersebut himpunan merentang dari V .
For example, 3 b 1 + 2 b 2 _{1}+2\mathbf {b} _{2}} and 2 b 1 + 3 b 2 _{1}+3\mathbf {b} _{2}} have the same set of coefficients {2, 3}, and are different.
Sebagai contoh, vektor 3 b 1 + 2 b 2 _{1}+2\mathbf {b} _{2}} dan 2 b 1 + 3 b 2 _{1}+3\mathbf {b} _{2}} yang berbeda memiliki himpunan koefisien { 2 , 3 } } yang sama.
Then, the coordinates of a vector form a sequence similarly indexed, and a vector is completely characterized by the sequence of coordinates.
Koordinat dari vektor juga diindeks dengan cara yang sama, sehingga vektor dapat dikarakterisasi seutuhnya dari barisan koordinat mereka.
Let, as usual, F n } be the set of the n-tuples of elements of F.
Misalkan, seperti biasa, F n } adalah himpunan rangkap-n dari elemen-elemen di F ).
The e i _{i}} form an ordered basis of F n } , which is called its standard basis or canonical basis.
Himpunan e i _{i}} membentuk suatu basis terurut bagi F n } , yang disebut dengan basis standar atau basis kanonik.
Typically, the new basis vectors are given by their coordinates over the old basis, that is, w j∑ i1 n a i , j v i .
Umumnya, koordinat vektor-vektor basis baru dinyatakan atas basis lama, yakni, w j∑ i1 n a i , j v i .
,\ldots ,x_{n})} and ( y 1 , … , y n ) ,\ldots ,y_{n})} are the coordinates of a vector x over the old and the new basis respectively, the change-of-basis formula is x i∑ j1 n a i , j y j ,\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},} for i1, ..., n. This formula may be concisely written in matrix notation.
Jika ( x 1 , … , x n ) ,\ldots ,x_{n})} dan ( y 1 , … , y n ) ,\ldots ,y_{n})} adalah koordinat vektor z } , masing-masing atas basis lama dan atas basis baru, maka rumus perubahan basis adalah x i∑ j1 n a i , j y j ,\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},} Untuk i1 , … , n .
Let A be the matrix of the a i , j } , and X[ x 1 ⋮ x n ] and Y[ y 1 ⋮ y n ] x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}} be the column vectors of the coordinates of v in the old and the new basis respectively, then the formula for changing coordinates is XA Y .
Misalkan A } adalah matriks dengan entri-entri a i , j } , dan x[ x 1 ⋮ x n ] dan y[ y 1 ⋮ y n ]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{dan}}\quad \mathbf {y}{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}} adalah vektor kolom dari koordinat z } masing-masing atas basis lama dan atas basis baru.
\mathbf {v} _{i}.}
i\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbf {b} _{
As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X, ⊆) has an upper bound in X, Zorn's lemma asserts that X has a maximal element.
Karena X tak-kosong, dan semua subset terurut total dari ( X , ⊆ ) memiliki batas atas dalam X , lema Zorn menyatakan bahwa X memiliki elemen maksimal.
Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true.
Kebalikan dari hubungan di atas juga telah dibuktikan, bahwa jika semua ruang vektor memiliki basis, maka aksioma pemilihan benar.
(2000), Extension Theory, Kannenberg, L.C., Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2031-5 Hamel, Georg (1905), "Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)", Mathematische Annalen (in German), 60 (3), Leipzig: 459–462, doi:10.1007/BF01457624, S2CID 120063569 Hamilton, William Rowan (1853), Lectures on Quaternions, Royal Irish Academy Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (in German), archived from the original on 2009-04-12 Moore, Gregory H. (1995), "The axiomatization of linear algebra: 1875–1940", Historia Mathematica, 22 (3): 262–303, doi:10.1006/hmat.1995.1025 Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle
(2000), Extension Theory, Kannenberg, L.C., Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2031-5 Hamel, Georg (1905), "Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)", Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman), 60 (3), Leipzig: 459–462, doi:10.1007/BF01457624, S2CID 120063569 Hamilton, William Rowan (1853), Lectures on Quaternions, Royal Irish Academy Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (dalam bahasa Jerman), diarsipkan dari asli tanggal 2009-04-12 Moore, Gregory H. (1995), "The axiomatization of linear algebra: 1875–1940", Historia Mathematica, 22 (3): 262–303, doi:10.1006/hmat.1995.1025 Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle
Instructional videos from Khan Academy Introduction to bases of subspaces Proof that any subspace basis has same number of elements "Linear combinations, span, and basis vectors".
Video pembelajaran dari Khan Academy (bahasa Inggris) Introduction to bases of subspaces Proof that any subspace basis has same number of elements "Linear combinations, span, and basis vectors".
Archived from the original on 2021-11-17 – via YouTube.
Diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2021-11-17 – via YouTube.