The number π ( ; spelled out as pi) is a mathematical constant, approximately equal to 3.14159, that is the ratio of a circle's circumference to its diameter.
Bilangan π (; dieja "pi") adalah konstanta matematika yang merepresentasikan rasio antara keliling sebuah lingkaran dengan diameternya.
The number π is an irrational number, meaning that it cannot be expressed exactly as a ratio of two integers, although fractions such as 22 7 {7}}} are commonly used to approximate it.
π dikenal sebagai bilangan irasional, artinya bilangan ini tidak dapat dinyatakan secara persis sebagai perbandingan dua bilangan bulat.
Around 250 BC, the Greek mathematician Archimedes created an algorithm to approximate π with arbitrary accuracy.
Sekitar tahun 250 SM, Archimedes dari Yunani memperkenalkan algoritma untuk menghitung nilai π dengan presisi tinggi.
In the 5th century AD, Chinese mathematicians approximated π to seven digits, while Indian mathematicians made a five-digit approximation, both using geometrical techniques.
Pada abad ke-5 M, matematikawan Tiongkok berhasil mendekati nilai π hingga tujuh angka desimal, sementara matematikawan India mencapai lima angka desimal, keduanya menggunakan metode geometris.
Nevertheless, in the 20th and 21st centuries, mathematicians and computer scientists have pursued new approaches that, when combined with increasing computational power, extended the decimal representation of π to many trillions of digits.
Namun, pada abad ke-20 dan ke-21, ahli matematika dan ilmuwan komputer mengembangkan metode baru dengan memanfaatkan peningkatan daya komputasi dan berhasil memperluas representasi desimal π hingga triliunan digit.
Because it relates to a circle, π is found in many formulae in trigonometry and geometry, especially those concerning circles, ellipses and spheres.
Karena π berhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips.
The symbol used by mathematicians to represent the ratio of a circle's circumference to its diameter is the lowercase Greek letter π, sometimes spelled out as pi.
Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah huruf Yunani "π".
Because π is irrational, it has an infinite number of digits in its decimal representation, and does not settle into an infinitely repeating pattern of digits.
Karena π irasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya.
The digits of π have no apparent pattern and have passed tests for statistical randomness, including tests for normality; a number of infinite length is called normal when all possible sequences of digits (of any given length) appear equally often.
Digit-digit π tidak memiliki pola apa pun dan telah melewati uji keacakan statistis meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya.
The conjecture that π is normal has not been proven or disproven.
Hipotesis bahwa π adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah.
Since the advent of computers, a large number of digits of π have been available on which to perform statistical analysis.
Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit π telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik.
In addition to being irrational, π is also a transcendental number, which means that it is not the solution of any non-constant polynomial equation with rational coefficients, such as x 5 120 − x 3 6 + x0 {\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0} .
π adalah bilangan transendental, yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari polinom non-konstan berkoefisien rasional manapun seperti x 5 120 − x 3 6 + x0. }{120}}\,-\,{\frac {x^{3}}{6}}\,+\,x\,=\,0.} Transendensi π mempunyai dua konsekuensi penting.
Squaring a circle was one of the important geometry problems of the classical antiquity.
Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman era klasik.
Amateur mathematicians in modern times have sometimes attempted to square the circle and claim success—despite the fact that it is mathematically impossible.
Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.
But every number, including π, can be represented by an infinite series of nested fractions, called a simple continued fraction: π3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}} Truncating the continued fraction at any point yields a rational approximation for π; the first four of these are 3, ⁠22/7⁠, ⁠333/106⁠, and ⁠355/113⁠. These numbers are among the best-known and most widely used historical approximations of the constant.
Namun setiap bilangan irasional, termasuk π dapat diwakilkan menggunakan deret pecahan bersarang tak terhingga yang disebut sebagai pecahan kontinu: π3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}} Penghentian pecahan kontinu pada titik pembagian manapun akan memberikan nilai pendekatan π; dua pecahan 22/7 dan 355/113 secara historis digunakan sebagai pendekatan terhadap π.
The first 20 digits in hexadecimal (base 16) are 3.243F6A8885A308D31319...
Heksadesimal: Pendekatan basis 16 hingga 20 digit adalah 3,243F6A8885A308D31319...
Setting φπ in Euler's formula results in Euler's identity, celebrated in mathematics due to it containing five important mathematical constants: e i π + 10. +1=0.}
Substitusi φπ dalam rumus Euler menghasilkan identitas Euler, disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima konstanta matematika paling penting: e i π + 10 +1=0} .
In Babylon, a clay tablet dated 1900–1600 BCE has a geometrical statement that, by implication, treats π as ⁠25/8⁠3.125.
Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan π sebagai 25/83,1250.
In Egypt, the Rhind Papyrus, dated around 1650 BCE but copied from a document dated to 1850 BCE, has a formula for the area of a circle that treats π as ( 16 9 ) 2 ≈ 3.16 {\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}\approx 3.16} .
Di Mesir, Papirus Rhind yang berasal dari tahun 1650 SM (papirus ini sendiri merupakan salinan dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai π sebagai (16⁄9)2 ≈ 3,1605.
This polygonal algorithm dominated for over 1,000 years, and as a result π is sometimes referred to as Archimedes's constant.
Algoritma poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya π kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes".
Mathematicians using polygonal algorithms reached 39 digits of π in 1630, a record only broken in 1699 when infinite series were used to reach 71 digits.
Para matematikawan kemudian menggunakan algoritma ini dan mencapai rekor 39 digit π pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.
In ancient China, values for π included 3.1547 (around 1 AD), 10 }} (100 AD, approximately 3.1623), and ⁠142/45⁠ (3rd century, approximately 3.1556).
Pada zaman Cina kuno, nilai π adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi), 10 }} (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556).
, the Cao Wei mathematician Liu Hui created a polygon-based iterative algorithm, with which he constructed a 3,072-sided polygon to approximate π as 3.1416.
Sekitar tahun 265, matematikawan dari Kerajaan Wei, Liu Hui, menemukan algoritma iteratif berbasis poligon yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai π sebesar 3,1416.
The Indian astronomer Aryabhata used a value of 3.1416 in his Āryabhaṭīya (499 AD).
Astronom India Aryabhata menggunakan nilai 3,1416 dalam Āryabhaṭīya (tahun 499).
French mathematician François Viète in 1579 achieved nine digits with a polygon of 3 × 2 17 {\textstyle 3\times 2^{17}} sides.
Matematikawan Prancis François Viète pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×217.
Dutch scientist Willebrord Snellius reached 34 digits in 1621, and Austrian astronomer Christoph Grienberger arrived at 38 digits in 1630 using 1040 sides.
Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit pada tahun 1621, dan astronom Austria Christoph Grienberger mencapai 38 digit pada tahun 1630, adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.
Madhava used infinite series to estimate π to 11 digits around 1400.
Madhava menggunakan deret takhingga untuk memperkirakan nilai π sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400.
In 1706, John Machin used the Gregory–Leibniz series to produce an algorithm that converged much faster: π 44 arctan ⁡ 1 5 − arctan ⁡ 1 239 .
Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkan algoritma yang berkonvergen lebih cepat: π 44 arctan ⁡ 1 5 − arctan ⁡ 1 239 {4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}} Machin mencapai 100 digit π dengan rumus ini.
Some infinite series for π converge faster than others.
Beberapa deret takhingga untuk π berkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya.
A simple infinite series for π is the Gregory–Leibniz series: π4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − 4 11 + 4 13 − ⋯ {1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }
Deret tak terhingga untuk π yang sederhana misalnya deret Gregory-Leibniz: π4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − 4 11 + 4 13 − ⋯ {1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots } akan perlahan-lahan mendekati π. Nilainya berkonvergen sangat lambat.
An infinite series for π (published by Nilakantha in the 15th century) that converges more rapidly than the Gregory–Leibniz series is: π3 + 4 2 × 3 × 4 − 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 − 4 8 × 9 × 10 + ⋯ {2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots } The following table compares the convergence rates of these two series: After five terms, the sum of the Gregory–Leibniz series is within 0.2 of the correct value of π, whereas the sum of Nilakantha's series is within 0.002 of the correct value.
Deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh Nilakantha pada abad ke-15): π3 + 4 2 × 3 × 4 − 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 − 4 8 × 9 × 10 + ⋯ {2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots } Perbandingan konvergensi kedua deret di atas adalah sebagai berikut: Setelah lima suku, jumlah deret Gregory-Leibniz akurat dengan selisih 0,2 dari nilai π sebenarnya, manakala pada deret Nilakantha, selisihnya 0,0002.
Nilakantha's series converges faster and is more useful for computing digits of π.
Deret Nilakantha berkonvergen lebih cepat dan lebih berguna dalam perhitungan π.
When Euler solved the Basel problem in 1735, finding the exact value of the sum of the reciprocal squares, he established a connection between π and the prime numbers that later contributed to the development and study of the Riemann zeta function: π 2 61 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ }{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } Swiss scientist Johann Heinrich Lambert in 1768 proved that π is irrational, meaning it is not equal to the quotient of any two integers.
Ketika Euler menyelesaikan masalah Basel pada tahun 1735, ia berhasil menurunkan hubungan antra π dengan bilangan prima yang kemudian berkontribusi pada berkembangnya kajian mengenai fungsi zeta Riemann: π 2 61 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ }{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } Ilmuwan Swiss Johann Heinrich Lambert pada tahun 1761 membuktikan bahwa π adalah irasional, yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun.
Lambert's proof exploited a continued-fraction representation of the tangent function.
Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen.
French mathematician Adrien-Marie Legendre proved in 1794 that π2 is also irrational.
Matematikawan Prancis Adrien-Marie Legendre pada tahun 1794 membuktikan bahwa π2 jugalah irasional.
In 1882, German mathematician Ferdinand von Lindemann proved that π is transcendental, confirming a conjecture made by both Legendre and Euler.
Pada tahun 1882, matematikawan Jerman Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa π adalah transendental, yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh Legendre dan Euler.
For most numerical calculations involving π, a handful of digits provide sufficient precision.
Dalam perhitungan numeris yang melibatkan π, biasanya kita hanya memerlukan beberapa digit desimal π untuk mencapai tingkat presisi yang cukup tinggi.
According to Jörg Arndt and Christoph Haenel, thirty-nine digits are sufficient to perform most cosmological calculations, because that is the accuracy necessary to calculate the circumference of the observable universe with a precision of one atom.
Menurut Jörg Arndt dan Christoph Haenel, 39 digit π sudah mencukupi untuk menghitung kebanyakan perhitungan kosmologi, karena ini merupakan jumlah digit yang diperlukan untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan satu atom.
Despite this, people have worked strenuously to compute π to thousands and millions of digits.
Walau demikian, banyak orang telah bekerja keras untuk mengkomputasi π sampai dengan ribuan dan jutaan digit.
They also have practical benefits, such as testing supercomputers, testing numerical analysis algorithms (including high-precision multiplication algorithms) –and within pure mathematics itself, providing data for evaluating the randomness of the digits of π.
Perhitungan seperti ini juga memiliki kegunaan praktisnya, yaitu untuk menguji superkomputer, menguji algoritma analisis numeris; dan dalam lingkup matematika murni sendiri, data yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengevaluasi keacakan digit-digit π.
Mathematicians John Wrench and Levi Smith reached 1,120 digits in 1949 using a desk calculator.
Matematikawan Amerika John Wrench dan Levi Smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja.
Using an inverse tangent (arctan) infinite series, a team led by George Reitwiesner and John von Neumann that same year achieved 2,037 digits with a calculation that took 70 hours of computer time on the ENIAC computer.
Dengan menggunakan deret tak terhingga invers tangen (arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh George Reitwiesner dan John von Neumann pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer ENIAC dengan lama perhitungan selama 70 jam.
The record, always relying on an arctan series, was broken repeatedly (3089 digits in 1955, 7,480 digits in 1957; 10,000 digits in 1958; 100,000 digits in 1961) until 1 million digits was reached in 1973.
Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.
Two additional developments around 1980 once again accelerated the ability to compute π.
Perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasi π.
They include the Karatsuba algorithm, Toom–Cook multiplication, and Fourier transform-based methods.
Algoritma seperti ini contohnya algoritme Karatsuba, perkalian Toom–Cook, dan metode berbasis transformasi Fourier.
The iterative algorithms were independently published in 1975–1976 by physicist Eugene Salamin and scientist Richard Brent.
Algoritma iteratif secara independen dipublikasikan pada tahun 1975-1976 oleh fisikawan Amerika Eugene Salamin dan ilmuwan Australia Richard Brent.
An iterative algorithm repeats a specific calculation, each iteration using the outputs from prior steps as its inputs, and produces a result in each step that converges to the desired value.
Algoritma iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan.
For example, the Brent–Salamin algorithm doubles the number of digits in each iteration.
Sebagai contohnya, algoritma Brent-Salamin menggandakan jumlah digit yang benar pada tiap iterasi.
In 1984, brothers John and Peter Borwein produced an iterative algorithm that quadruples the number of digits in each step; and in 1987, one that increases the number of digits five times in each step.
Pada tahun 1984, John dan Peter Borwein berhasil menemukan algoritma iteratif yang menggandaempatkan jumlah digit pada tiap iterasi; dan pada tahun 1987 berhasil menggandalimakan jumlah digit pada tiap iterasi.
Modern π calculators do not use iterative algorithms exclusively.
Kalkulator π modern tidak menggunakan algoritma iteratif secara eksklusif.
The fast iterative algorithms were anticipated in 1914, when Indian mathematician Srinivasa Ramanujan published dozens of innovative new formulae for π, remarkable for their elegance, mathematical depth and rapid convergence.
Penemuan algoritma iteratif cepat terdahului oleh penemuan deret konvergen cepat pada tahun 1914, ketika matematikawan India Srinivasa Ramanujan memublikasikan lusinan rumus-rumus baru untuk π yang berkonvergen sangat cepat.
One of his formulae, based on modular equations, is 1 π2 2 9801 ∑ k0 ∞ ( 4 k ) !
Salah satu rumusnya yang didasarkan pada persamaan modular adalah sebagai berikut: 1 π2 2 9801 ∑ k0 ∞ ( 4 k ) !
{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}396^{4k}}}.} This series converges much more rapidly than most arctan series, including Machin's formula.
4 ( 396 4 k ) {\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}(396^{4k})}}} Deret ini berkonvergen lebih cepat daripada kebanyakan deret-deret arctan, meliputi rumus Machin.
Bill Gosper was the first to use it for advances in the calculation of π, setting a record of 17 million digits in 1985.
Bill Gosper adalah orang yang pertama kali menggunakan rumus ini untuk menghitung π dan memecahkan rekor 17 juta digit pada tahun 1985.
Ramanujan's formulae anticipated the modern algorithms developed by the Borwein brothers (Jonathan and Peter) and the Chudnovsky brothers.
Penemuan rumus-rumus Ramanjuan mendahului penemuan algoritma-algoritma modern yang dikembangkan Borwein bersaudara dan Chudnovsky bersaudara.
The Chudnovsky formula developed in 1987 is 1 π10005 4270934400 ∑ k0 ∞ ( 6 k ) !
Rumus Chudnovsky yang dikembangkan pada tahun 1987 adalah sebagai berikut 426880 10005 π∑ k0 ∞ ( 6 k ) !
k ! 3 ( − 640320 ) 3 k .
( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) !
{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.} It produces about 14 digits of π per term and has been used for several record-setting π calculations, including the first to surpass 1 billion (109) digits in 1989 by the Chudnovsky brothers, 10 trillion (1013) digits in 2011 by Alexander Yee and Shigeru Kondo, and 100 trillion digits by Emma Haruka Iwao in 2022.
( k ! ) 3 ( − 640320 ) 3 k }}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}} Rumus ini menghasilkan 14 digit π setiap sukunya, dan telah digunakan dalam berbagai perhitungan π yang memecahkan rekor, meliputi yang pertama kali memecahkan 109 digit pada tahun 1989 oleh Chudnovsky bersaudara, 2,7 triliun (2.7×1012) digit oleh Fabrice Bellard pada tahun 2009, dan 10 triliun (1013) digit pada tahun 2011 oleh
In 2006, mathematician Simon Plouffe used the PSLQ integer relation algorithm to generate several new formulae for π, conforming to the following template: π k∑ n1 ∞ 1 n k ( a q n − 1 + b q 2 n − 1 + c q 4 n − 1 ) ,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),} where q is eπ (Gelfond's constant), k is an odd number, and a, b, c are certain rational numbers that Plouffe computed.
Pada tahun 2006, matematikawan Kanada Simon Plouffe menggunakan algoritme relasi integer PSLQ untuk menghasilkan beberapa rumus baru untuk π, yang memiliki bentuk acuan sebagai berikut: π k∑ n1 ∞ 1 n k ( a q n − 1 + b q 2 n − 1 + c q 4 n − 1 )\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)} dengan q }}
Monte Carlo methods, which evaluate the results of multiple random trials, can be used to create approximations of π.
Metode Monte Carlo, yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi π.
These Monte Carlo methods for approximating π are very slow compared to other methods, and do not provide any information on the exact number of digits that are obtained.
Metode Monte Carlo untuk memperkirakan π sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan π ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.
Two algorithms were discovered in 1995 that opened up new avenues of research into π.
Dua algoritma baru yang ditemukan pada tahun 1995 membuka jalan baru bagi riset π.
Mathematicians Stan Wagon and Stanley Rabinowitz produced a simple spigot algorithm in 1995.
Matematikawan Amerika Stan Wagon dan Stanley Rabinowitz menemukan algoritma keran sederhana pada tahun 1995.
This formula, unlike others before it, can produce any individual hexadecimal digit of π without calculating all the preceding digits.
Rumus ini, tidak seperti rumus lainnya, dapat menghasilkan digit π heksadesimal individu tanpa menghitung digit-digit sebelumnya.
An important application of digit extraction algorithms is to validate new claims of record π computations: After a new record is claimed, the decimal result is converted to hexadecimal, and then a digit extraction algorithm is used to calculate several randomly selected hexadecimal digits near the end; if they match, this provides a measure of confidence that the entire computation is correct.
Aplikasi penting dari algoritma ekstraksi digit ini adalah untuk memvalidasi klaim rekor komputasi π yang baru; Setelah suatu rekor baru diklaim, hasil bilangan desimal ini kemudian diubah menjadi bilangan heksadesimal, dan kemudian algoritma ekstraksi digit digunakan untuk menghitung beberapa digit heksadesimal tersebut secara acak dekat bagian akhir digit π yang terhitung; apabila hasilnya cocok, maka dapat digunakan sebagai tolok ukur keyakinan bahwa perhitungan yang dilakukan telah benar Antara tahun 1998 dan 2000, proyek komputasi terdistribusi PiHex menggunakan rumus Bellard (modifikasi algoritma BBP) untuk mengkomputasi bit ke-kuadriliun (ke-1015) π, yang hasilnya adalah 0.
In September 2010, a Yahoo employee used the company's Hadoop application on one thousand computers over a 23-day period to compute 256 bits of π at the two-quadrillionth (2×1015th) bit, which also happens to be zero.
Pada bulan September 2010, seorang karyawan Yahoo! menggunakan aplikasi Hadoop perusahaan dalam seribu komputer selama 23 hari untuk menghitung 256 bit π pada bit ke-dua kuadriliun (ke-2×1015), yang hasilnya juga nol.
Because π is closely related to the circle, it is found in many formulae from the fields of geometry and trigonometry, particularly those concerning circles, spheres, or ellipses.
Karena π berhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips.
π appears in formulae for areas and volumes of geometrical shapes based on circles, such as ellipses, spheres, cones, and tori.
π muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya elips, bola, kerucut, dan torus.
Common trigonometric functions have periods that are multiples of π; for example, sine and cosine have period 2π, so for any angle θ and any integer k, sin ⁡ θsin ⁡ ( θ + 2 π k ) and cos ⁡ θcos ⁡ ( θ + 2 π k ) .
Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari π, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2π, sehingga untuk suautu sudut θ dan suatu bilangan bulat k, sin ⁡ θsin ⁡ ( θ + 2 π k ) dan cos ⁡ θcos ⁡ ( θ + 2 π k ) .
However, π also appears in many natural situations having apparently nothing to do with geometry.
Lebih jauh lagi, π muncul dalam cabang ilmu yang tampaknya tidak berhubungan dengan geometri, seperti teori bilangan dan statistika.
The fields of probability and statistics frequently use the normal distribution as a simple model for complex phenomena; for example, scientists generally assume that the observational error in most experiments follows a normal distribution.
Bidang probabilitas dan statistik sering kali menggunakan distribusi normal sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal.
The Gaussian function, which is the probability density function of the normal distribution with mean μ and standard deviation σ, naturally contains π: f ( x )1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) .
Fungsi Gauss (yang merupakan fungsi kepekatan probabilitas distribusi normal) dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ, pada dasarnya adalah π: f ( x )
The gamma function extends the concept of factorial (normally defined only for non-negative integers) to all complex numbers, except the negative real integers, with the identity Γ ( n )
Fungsi gamma memperluas konsep faktorial (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat taknegatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat real negatif.
When the gamma function is evaluated at half-integers, the result contains π.
Ketika fungsi gamma dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi π; sebagai contoh Γ ( 1 / 2 )π }} dan Γ ( 5 / 2 )3 π 4 }}{4}}} .
For example, Γ ( 1 2 )π {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\sqrt {\pi }}} and Γ ( 5 2 )3 4 π {\textstyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {5}{2}}{\bigr )}={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}} .
Ketika fungsi gamma dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi π; sebagai contoh Γ ( 1 / 2 )π }} dan Γ ( 5 / 2 )3 π 4 }}{4}}} .
The Riemann zeta function ζ(s) is used in many areas of mathematics.
Fungsi zeta Riemann ζ(s) digunakan dalam banyak bidang matematika.
When evaluated at s2 it can be written as ζ ( 2 )
Ketika dievaluasi pada s2, fungsi ini dapat ditulis sebagai: ζ ( 2 )
1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ {1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots } Finding a simple solution for this infinite series was a famous problem in mathematics called the Basel problem.
1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ {1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots } Menemukan penyelesaian sederhana untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut masalah Basel.
Leonhard Euler solved it in 1735 when he showed it was equal to π2/6.
Leonhard Euler memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan π 2 6 {\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} .
Euler's result leads to the number theory result that the probability of two random numbers being relatively prime (that is, having no shared factors) is equal to 6/π2.
Hasil Euler mengarah pada teori bilangan yaitu probabilitas dua angka acak yang relatif prima (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan 6 π 2 {\textstyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}} .
This probability is based on the observation that the probability that any number is divisible by a prime p is 1/p (for example, every 7th integer is divisible by 7.)
Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang dapat dibagi dengan suatu bilangan prima p adalah 1 p {\textstyle {\frac {1}{p}}} (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.)
Hence the probability that two numbers are both divisible by this prime is 1/p2, and the probability that at least one of them is not is 1 − 1/p2.
Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah 1 p 2 {\textstyle {\frac {1}{p^{2}}}} , dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah 1 − 1 p 2 {\textstyle 1-{\frac {1}{p^{2}}}} .
When the number of iterations until divergence for the point (−0.75, ε) is multiplied by ε, the result approaches π as ε approaches zero.
Jika dianggap titik dengan koordinat ( − 0 , 75 ; ε ) , dengan ε cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan ε konvergen menuju π.
Although not a physical constant, π appears routinely in equations describing physical phenomena, often because of π's relationship to the circle and to spherical coordinate systems.
Meskipun bukan konstanta fisika, π hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara π dengan lingkaran dan dengan sistem koordinat sferis.
The inverse lifetime to lowest order in the fine-structure constant α is 1 τ2 π 2 − 9 9 π m e α 6 , {\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},} where me is the mass of the electron.
Kebalikannya hingga orde paling rendah dalam tetapan struktur halus α adalah 1 τ2 π 2 − 9 9 π m α 6 , {\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6},} dengan m adalah massa elektron.
The record for memorizing digits of π, certified by Guinness World Records, is 70,000 digits, recited in India by Rajveer Meena in 9 hours and 27 minutes on 21 March 2015.
Rekor mengingat digit π, yang dicatat oleh Guinness World Records, adalah 70.000 digit, dibacakan di India oleh Rajveer Meena selama 9 jam 27 menit pada tanggal 21 Maret 2015.
One common technique is to memorize a story or poem in which the word lengths represent the digits of π: The first word has three letters, the second word has one, the third has four, the fourth has one, the fifth has five, and so on.
Satu teknik umum untuk mengingat adalah melalui cerita atau puisi yang mana panjang kata-kata mewakili angka digit π: Kata pertama terdiri dari tiga huruf, kata kedua memiliki satu huruf, kata ketiga empat huruf, kata keempat satu huruf, kata kelima lima huruf, dan seterusnya.
Poems for memorizing π have been composed in several languages in addition to English.
Puisi untuk mengingat π telah digubah dalam beberapa bahasa selain bahasa Inggris.
A few authors have used the digits of π to establish a new form of constrained writing, where the word lengths are required to represent the digits of π.
Beberapa penulis telah menggunakan digit π sebagai dasar bentuk baru tulisan terbatas (bahasa Inggris: constrained writingcode: en is deprecated ), di mana diperlukan panjang kata yang mereprentasikan digit π.
The Cadaeic Cadenza contains the first 3835 digits of π in this manner, and the full-length book Not a Wake contains 10,000 words, each representing one digit of π.
Cadaeic Cadenza mengandung 3.835 digit pertama π, dan satu buku penuh berjudul Not a Wake mengandung 10.000 kata, yang masing-masing mereprentasikan satu digit π.