Ik45/wikipedia_dataset_science_en_id huggingface dataset:
In 2013, its numerical value in decimal notation was computed to ten billion digits.
Hingga Desember 2013, nilai numeriknya dalam notasi desimal telah dihitung sampai setidaknya sepuluh miliar digit.
If an equilateral triangle with sides of length 1 is cut into two equal halves, by bisecting an internal angle across to make a right angle with one side, the right angle triangle's hypotenuse is length one, and the sides are of length 1 2 {\textstyle {\frac {1}{2}}} and 3 2 {\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} .
Jika segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 dipotong menjadi dua panjang yang sama, dengan cara membagi suatu sudut dalam, maka hipotenusa dari segitiga siku-siku memiliki panjang 1, dan panjang sisi lainnya adalah 1 2 {\textstyle {\frac {1}{2}}} dan 3 2 {\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} .
Euler's constant (sometimes called the Euler–Mascheroni constant) is a mathematical constant, usually denoted by the lowercase Greek letter gamma (γ), defined as the limiting difference between the harmonic series and the natural logarithm, denoted here by log:
Konstanta Euler–Mascheroni atau tetapan Euler–Mascheroni (terkadang disebut juga sebagai konstanta Euler atau tetapan Euler) adalah konstanta matematika yang biasanya dilambangkan sebagai huruf kecil gamma ( γ ) dengan nilai: 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992 ... Konstanta Euler didefinisikan sebagai limit dari selisih deret harmonik dan logaritma alami.
lim x → ∞ ( ∑ n1 x 1 Ω ( n ) n − log ⁡ x ⋅ lim x → ∞ ∑ n1 x 1 Ω ( n ) x ) , \left(\sum _{n=1}^{x}{\frac {1_{\Omega }(n)}{n}}-\log x\cdot \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n=1}^{x}1_{\Omega }(n)}{x}}\right),} where ⁠ Ω ⁠ is a fixed list of prime numbers, 1 Ω ( n )
γlim n → ∞ ( ∑ k1 n 1 k − ln ⁡ n )∫ 1 ∞ 1 ⌊ x ⌋ − 1 x d x \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x} , dengan ⌊ ⋯ ⌋ melambangkan fungsi bilangan bulat terbesar.
γlim n → ∞ ( ∑ k1 n 1 k − log ⁡ n − ∑ m2 ∞ ζ ( m , n + 1 ) m ) , \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),} where ζ(s, k) is the Hurwitz zeta function.
γlim n → ∞ ( ∑ k1 n 1 k − ln ⁡ n )∫ 1 ∞ 1 ⌊ x ⌋ − 1 x d x \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x} , dengan ⌊ ⋯ ⌋ melambangkan fungsi bilangan bulat terbesar.
− ∑ n1 ∞ ( − 1 ) n ψ n ( a ) n , ℜ ( a ) > − 1 ^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1} and γ− 2 1 + 2 a { log ⁡ Γ ( a + 1 )
γlim n → ∞ ( ∑ k1 n 1 k − ln ⁡ n )∫ 1 ∞ 1 ⌊ x ⌋ − 1 x d x \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x} , dengan ⌊ ⋯ ⌋ melambangkan fungsi bilangan bulat terbesar.
− 1 α − 1\zeta (\alpha )-{\frac {1}{\alpha -1}}} with again the limit: γlim a → 1 ( ζ ( a ) − 1 a − 1 ) \left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)} This can be further generalized to c flim n → ∞ ( ∑ k1 n f ( k ) − ∫ 1 n f ( x )
γlim n → ∞ ( ∑ k1 n 1 k − ln ⁡ n )∫ 1 ∞ 1 ⌊ x ⌋ − 1 x d x \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}-{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x} , dengan ⌊ ⋯ ⌋ melambangkan fungsi bilangan bulat terbesar.
In 1934, Aleksandr Gelfond and Theodor Schneider independently proved the more general Gelfond–Schneider theorem, which solved the part of Hilbert's seventh problem described below.
Pada tahun 1934, Aleksandr Gelfond dan Theodor Schneider secara terpisah berhasil membuktikan teorema Gelfond–Schneider yang lebih umum, yang sekaligus memecahkan bagian dari masalah ketujuh Hilbert.
Part of the seventh of Hilbert's twenty-three problems posed in 1900 was to prove, or find a counterexample to, the claim that ab is always transcendental for algebraic a ≠ 0, 1 and irrational algebraic b.
Bagian ketujuh dari 23 masalah Hilbert yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari contoh tandingan dari, klaim kalau a b } selalu transendental, untuk bilangan aljabar a ≠ { 0 , 1 } } dan bilangan irasional aljabar b .
In 1919, he gave a lecture on number theory and spoke of three conjectures: the Riemann hypothesis, Fermat's Last Theorem, and the transcendence of 2√2.
Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai teori bilangan dan membicarakan tiga konjektur, yaitu hipotesis Riemann, Teorema Terakhir Fermat, dan transendentalnya bilangan 2 2 }} .
He mentioned to the audience that he didn't expect anyone in the hall to live long enough to see a proof of this result.
Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini.
But the proof of this number's transcendence was published by Kuzmin in 1930, well within Hilbert's own lifetime.
Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930, tahun di mana Hilbert masih hidup.
Namely, Kuzmin proved the case where the exponent b is a real quadratic irrational, which was later extended to an arbitrary algebraic irrational b by Gelfond and by Schneider.
Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen b merupakan Bilangan riil kuadratik irasional, yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar b oleh
Gelfond's constant Ribenboim, Paulo (2000).
Konstanta Gelfond Ribenboim, Paulo (2000).
My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory.
My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory
Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems.
Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems
Proceedings of Symposia in Pure Mathematics.
Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (dalam bahasa Inggris).
Real number operations can be extended to imaginary and complex numbers, by treating i as an unknown quantity while manipulating an expression (and using the definition to replace any occurrence of i2 with −1).
Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan i sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan
i 3i 2 i( − 1 )
i− i i 4i 3 i( − i )
i 4i 3 i( − i )
i− i i 4i 3 i( − i )
ii , {3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}} and so on, cycling through the four values 1, i, −1, and −i.
i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}} Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol:
i− 1 ⋅ − 1f a l l a c y ( − 1 ) ⋅ ( − 1 )
i− ( i 2 )− ( − 1 )1 i 5i 4 i( 1 )
i 4 n1 , i 4 n + 1i ,
i− ( i 2 )− ( − 1 )1 i 5i 4 i( 1 )
i 4 n + 2− 1 , i 4 n + 3−
i− ( i 2 )− ( − 1 )1 i 5i 4 i( 1 )
{3}{\sqrt {i}}&={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}} Squaring either expression yields ( ± 1 + i 2 ) 21 + 2 i − 1 22 i 2i .
\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\end{aligned}}} Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan i2 2 ( 1 + i ) .
{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.} The three cube roots of i are i 3exp ( 1 6 π i )
}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).} Tiga buah akar kubik dari i adalah: ( − i , 3 2 + i 2 , − 3 2 + i 2 ) .
In plane geometry, the Kepler–Bouwkamp constant (or polygon inscribing constant) is obtained as a limit of the following sequence.
Dalam Geometri Euklides, Konstanta Kepler–Bouwkamp (atau konstanta poligon tersurat) diperoleh sebagai batas dari urutan berikut ini.
Inscribe a regular triangle in this circle.
Memasukan segitiga biasa dalam lingkaran ini.
Inscribe a circle in this triangle.
Memasukan sebuah lingkaran dalam segitiga ini.
Inscribe a circle, regular pentagon, circle, regular hexagon and so forth.
Menuliskan sebuah lingkaran, pentagon biasa, lingkaran, segi enam biasa dan sebagainya.
The decimal expansion of the Kepler–Bouwkamp constant is (sequence A085365 in the OEIS) ∏ k3 ∞ cos ⁡ ( π k )
Perluasan desimal Konstanta Kepler–Bouwkamp adalah (barisan A085365 pada OEIS) ∏ k3 ∞ cos ⁡ ( π k )0.1149420448 … .
If the product is taken over the odd primes, the constant ∏ k3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , … cos ⁡ ( π k )0.312832 … \cos \left({\frac {\pi }{k}}\right)=0.312832\ldots } is obtained (sequence A131671 in the OEIS).
Jika produk diambil alih bilangan prima ganjil, konstantanya: ∏ k3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , … cos ⁡ ( π k )
"The prime analog of the Kepler–Bouwkamp constant". arXiv:math/0608186. Kitson, Adrian R. (2008).
"The prime analog of the Kepler–Bouwkamp constant". arΧiv:math/0608186 [math.HO].
In 1935, the Soviet mathematician Aleksandr Khinchin showed that the denominators qn of the convergents of the continued fraction expansions of almost all real numbers satisfy lim n → ∞ q n 1 / ne β {q_{n}}^{1/n}=e^{\beta }} Soon afterward, in 1936, the French mathematician Paul Lévy found the explicit expression for the constant, namely e βe π 2 / ( 12 ln ⁡ 2 )
Pada tahun 1935, matematikawan Soviet Aleksandr Khinchin menunjukkan bahwa penyebut qn dari konvergensi ekspansi pecahan berlanjut dari hampir semua bilangan asli memenuhi lim n → ∞ q n 1 / nγ {q_{n}}^{1/n}=\gamma } untuk beberapa konstanta γ.
3.275822918721811159787681882 …e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.275822918721811159787681882\ldots } (sequence A086702 in the OEIS)
3.275822918721811159787681882 … /(12\ln 2)}=3.275822918721811159787681882\ldots } (barisan A086702 pada OEIS)
The value derives from the asymptotic expectation of the logarithm of the ratio of successive denominators, using the Gauss-Kuzmin distribution.
Nilainya berasal dari ekspektasi asimtotik dari logaritma rasio penyebut berturut-turut, menggunakan distribusi Gauss-Kuzmin.
1 z ( z + 1 ) ln ⁡ ( 2 ) {z(z+1)\ln(2)}}} for z ≥ 1 and zero otherwise.
1 z ( z + 1 ) ln ⁡ ( 2 ) {z(z+1)\ln(2)}}} untuk z ≥ 1 dan nol sebaliknya.
This gives Lévy's constant as β∫ 1 ∞ ln ⁡ z z ( z + 1 )
Ini memberikan konstanta Lévy sebagai ln ⁡ ( γ )∫ 1 ∞ ln ⁡ ( z )
ln ⁡ 2 d z∫ 0 1 ln ⁡ z − 1 ( z + 1 )
d z∫ 0 1 ln ⁡ ( z − 1 ) ( z + 1 ) ln ⁡ ( 2 )
ln ⁡ 2 d zπ 2 12 ln ⁡ 2 ^{\infty }{\frac {\ln z}{z(z+1)\ln 2}}dz=\int _{0}^{1}{\frac {\ln z^{-1}}{(z+1)\ln 2}}dz={\frac {\pi ^{2}}{12\ln 2}}} .
=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln(z)}{z(z+1)\ln(2)}}dz=\int _{0}^{1}{\frac {\ln(z^{-1})}{(z+1)\ln(2)}}dz={\frac {\pi ^{2}}{12\ln(2)}}} .
The base-10 logarithm of Lévy's constant, which is approximately 0.51532041…, is half of the reciprocal of the limit in Lochs' theorem.
Logaritma basis-10 dari konstanta Lévy, yaitu sekitar 0,51532041 ..., adalah setengah dari kebalikan dari batas dalam teorema Lochs.
The MRB constant is a mathematical constant, with decimal expansion 0.187859… (sequence A037077 in the OEIS).
Konstanta MRB adalah konstanta matematika, dengan ekspansi desimal 0,187859...
The constant is named after its discoverer, Marvin Ray Burns, who published his discovery of the constant in 1999.
Konstanta ini dinamai menurut penemunya, Marvin Ray Burns, yang memublikasikan penemuannya tentang konstanta ini pada tahun 1999.
Burns had initially called the constant "rc" for root constant but, at Simon Plouffe's suggestion, the constant was renamed the 'Marvin Ray Burns's Constant', or "MRB constant".
Burns awalnya menyebut konstanta ini "rc" untuk konstanta akar (root constant) tetapi, atas saran Simon Plouffe, konstanta tersebut diubah namanya menjadi 'Konstanta Marvin Ray Burns', atau "konstanta MRB".
The MRB constant is defined as the upper limit of the partial sums s n∑ k1 n ( − 1 ) k k 1 / k\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k^{1/k}} As n grows to infinity, the sums have upper and lower limit points of −0.812140… and 0.187859…, separated by an interval of length 1.
Konstanta MRB didefinisikan sebagai batas atas dari jumlah parsial s n∑ k1 n ( − 1 ) k k 1 / k\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k^{1/k}} Ketika n tumbuh menuju tak hingga, jumlah tersebut memiliki titik batas atas dan bawah -0,812140... dan 0,187859..., dipisahkan oleh selang dengan panjang 1.
∑ k1 ∞ ( ( 2 k ) 1 / ( 2 k ) − ( 2 k − 1 ) 1 / ( 2 k − 1 ) ) .
k ( k 1 / k − 1 )∑ k1 ∞ ( ( 2 k ) 1 / ( 2 k ) − ( 2 k − 1 ) 1 / ( 2 k − 1 ) ) .
^{\infty }(-1)^{k}(k^{1/k}-1)=\sum _{k=1}^{\infty }\left((2k)^{1/(2k)}-(2k-1)^{1/(2k-1)}\right).}
^{\infty }(-1)^{k}(k^{1/k}-1)=\sum _{k=1}^{\infty }\left((2k)^{1/(2k)}-(2k-1)^{1/(2k-1)}\right).} Konstanta ini berhubungan dengan deret divergen: ∑ k1 ∞ ( − 1 ) k k 1 / k .
There is no known closed-form expression of the MRB constant, nor is it known whether the MRB constant is algebraic, transcendental or even irrational.
Tidak ada ekspresi bentuk tertutup yang diketahui untuk konstanta MRB, dan juga tidak diketahui apakah konstanta MRB adalah bilangan aljabar, transenden, atau bahkan irational.
It took almost a century before the prize was finally established by the Government of Norway in 2001, and it was specifically intended "to give the mathematicians their own equivalent of a Nobel Prize."
Ide penghargaan ini baru kembali dimunculkan pemerintah Norwegia nyaris seabad kemudian pada 2001 dan bertujuan khusus "untuk memberi penghargaan kepada para matematikawan yang setara dengan Hadiah Nobel".
The laureates are selected by the Abel Committee, the members of whom are appointed by the Norwegian Academy of Science and Letters.
Penerima penghargaan ini diusulkan Komite Abel, yang anggotanya dipilih Akademi Sains Norwegia.
The award ceremony takes place in the aula of the University of Oslo, where the Nobel Peace Prize was awarded between 1947 and 1989.
Acara pengaungerahan penghargaan ini diadakan di aula Universitas Oslo, tempat yang sama dengan tempat penyerahan Hadiah Nobel Perdamaian antara tahun 1947 dan 1989.
The Abel Prize board has also established an Abel symposium, administered by the Norwegian Mathematical Society, which takes place twice a year.
Panitia Penghargaan Abel juga menyelenggarakan simposium Abel symposium, dikelola oleh Himpunan Matematikawan Norwegia, diadakan dua kali dalam setahun.
" 2024 Hannah Larson, University of California, Berkeley (PhD Stanford University 2022) – "For advances in Brill-Noether theory and the geometry of the moduli space of curves.
" 2024 Hannah Larson, Universitas California, Berkeley (PhD Universitas Stanford 2022) – "Atas kemajuan dalam teori Brill-Noether dan geometri ruang modulus kurva.
" Laura Monk, University of Bristol (PhD University of Strasbourg 2021) – "For advancing our understanding of random hyperbolic surfaces of large genus."
" Laura Monk, Universitas Bristol (PhD Universitas Strasbourg 2021) – "Atas peningkatan pemahaman kita tentang permukaan hiperbolik acak dari genus besar."
Mayuko Yamashita, Kyoto University (PhD University of Tokyo 2022) – "For contributions to mathematical physics, index theory.
Mayuko Yamashita, Universitas Kyoto (PhD Universitas Tokyo 2022) – "Atas kontribusi pada fisika matematika, teori indeks.
The Fields Medal is a prize awarded to two, three, or four mathematicians under 40 years of age at the International Congress of the International Mathematical Union (IMU), a convention which takes place every four years.
Medali Fields adalah penghargaan yang diberikan kepada dua hingga empat matematikawan yang berusia kurang dari 40 tahun pada Kongres Internasional Persatuan Matematika Internasional.
The name of the award honors the Canadian mathematician John Charles Fields.
Medali Fields mengambil namanya dari sang penggagas, matematikawan Kanada John Charles Fields.
Its purpose is to give recognition and support to younger mathematical researchers who have made major contributions to the field of mathematics.
Tujuannya adalah untuk memberikan pengakuan dan dukungan kepada para peneliti matematika muda yang telah memberikan kontribusi besar. .
In 2014, the Iranian mathematician Maryam Mirzakhani became the first female Fields Medalist.
Pada 2014, Maryam Mirzakhani dari Iran menjadi wanita pertama peraih medali tersebut.
Arithmetica Universalis ("Universal Arithmetic") is a mathematics text by Isaac Newton.
Arithmetica Universalis adalah teks matematika karya Isaac Newton.
Written in Latin, it was edited and published by William Whiston, Newton's successor as Lucasian Professor of Mathematics at the University of Cambridge.
Ditulis dalam bahasa Latin, teks ini disunting dan diterbitkan oleh William Whiston, pengganti Newton selaku Lucasian Professor of Mathematics di Universitas Cambridge.
The Arithmetica was based on Newton's lecture notes.
Arithmetica didasarkan pada catatan-catatan kuliah Newton.
It was translated into English by Joseph Raphson, who published it in 1720 as the Universal Arithmetick.
Edisi pertama Whiston diterbitkan tahun 1707, lalu diterjemahkan ke bahasa Inggris oleh Joseph Raphson yang menerbitkannya pada tahun 1720 dengan judul Universal Arithmetick.
John Machin published a second Latin edition in 1722.
John Machin menerbitkan edisi Latin kedua pada tahun 1722.
In fact, when Whiston's edition was published, Newton was so upset he considered purchasing all of the copies so he could destroy them.
Faktanya, ketika edisi Whiston diterbitkan, Newton begitu kecewa sampai-sampai ia sempat mempertimbangkan membeli semua salinan yang ada agar bisa dihancurkan.
The Arithmetica touches on algebraic notation, arithmetic, the relationship between geometry and algebra, and the solution of equations.
Arithmetica membahas notasi aljabar, aritmetika, hubungan antara geometri dan aljabar, dan solusi persamaan.
Newton also applied Descartes' rule of signs to imaginary roots.
Newton juga menerapkan aturan tanda Descartes pada akar imajiner.
He also offered, without proof, a rule to determine the number of imaginary roots of polynomial equations.
Ia juga tanpa bukti mengusulkan aturan untuk menentukan jumlah akar imajiner dari persamaan polinomial.
The Arithmetica Universalis from the Grace K. Babson Collection, including links to PDFs of English and Latin versions of the Arithmetica Centre College Library information on Newton's works Arithmetica Universalis (1707), first edition Universal Arithmetick (1720), English translation by Joseph Raphson Arithmetica Universalis (1722), second edition
The Arithmetica Universalis from the Grace K. Babson Collection, including links to PDFs of English and Latin versions of the Arithmetica Diarsipkan 2011-07-01 di Wayback Machine.
Computability in Analysis and Physics is a monograph on computable analysis by Marian Pour-El and J. Ian Richards.
Computability in Analysis and Physics adalah sebuah monograf tentang analisis komputabel yang ditulis oleh Marian Pour-El dan J. Ian Richards.
It was published by Springer-Verlag in their Perspectives in Mathematical Logic series in 1989, and reprinted by the Association for Symbolic Logic and Cambridge University Press in their Perspectives in Logic series in 2016.
Buku ini diterbitkan oleh Springer-Verlag dalam seri Perspectives in Mathematical Logic pada tahun 1989, dan dicetak ulang oleh Association for Symbolic Logic serta Cambridge University Press dalam seri Perspectives in Logic pada tahun 2016.
The book concerns computable analysis, a branch of mathematical analysis founded by Alan Turing and concerned with the computability of constructions in analysis.
Buku ini membahas analisis komputabel, sebuah cabang dari analisis matematika yang didirikan oleh Alan Turing dan berfokus pada keterkomputasian dari konstruksi-konstruksi dalam analisis.
This area is connected to, but distinct from, constructive analysis, reverse mathematics, and numerical analysis.
Bidang ini berhubungan dengan, tetapi berbeda dari, analisis konstruktif, matematika balik (reverse mathematics), dan analisis numerik.
The early development of the field was summarized in a book by Oliver Aberth, Computable Analysis (1980), and Computability in Analysis and Physics provides an update, incorporating substantial developments in this area by its authors.
Perkembangan awal bidang ini dirangkum dalam buku Oliver Aberth berjudul Computable Analysis (1980), dan Computability in Analysis and Physics memberikan pembaruan dengan memasukkan perkembangan signifikan yang dilakukan oleh para penulisnya.
They provide an example of computable and continuous initial conditions for the wave equation (with however a non-computable gradient) that lead to a continuous but not computable solution at a later time.
Mereka memberikan contoh kondisi awal untuk persamaan gelombang yang komputabel dan kontinu (meskipun gradiennya tidak komputabel) yang menghasilkan solusi yang kontinu tetapi tidak komputabel pada waktu selanjutnya.
However, they show that this phenomenon cannot occur for the heat equation or for Laplace's equation.
Namun, mereka menunjukkan bahwa fenomena ini tidak dapat terjadi untuk persamaan panas maupun persamaan Laplace.
The book also includes a collection of open problems, likely to inspire its readers to more research in this area.
Buku ini juga mencakup kumpulan masalah terbuka, yang diperkirakan akan menginspirasi pembaca untuk melakukan penelitian lebih lanjut di bidang ini.
God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed History is a 2005 anthology, edited by Stephen Hawking, of "excerpts from thirty-one of the most important works in the history of mathematics.
God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed History adalah sebuah antologi yang disunting Stephen Hawking dan berisi "kutipan dari tiga puluh satu karya terpenting dalam sejarah matematika."
Kepler was aware that the content of Harmonice Mundi closely resembled that of the subject matter for Ptolemy's Harmonica, but was not concerned.
Judul awal karya tersebut adalah De harmonia mundi, dan walau Kepler sadar bahwa isi dari Harmonices Mundi mirip dengan isi dalam karya Ptolemaus yang berjudul Harmonica, ia tidak mengkhawatirkannya.
The new astronomy Kepler would use (most notably the adoption of elliptic orbits in the Copernican system) allowed him to explore new theorems.
Ilmu astronomi baru yang Kepler pakai—terutama penggunaan orbit elips dalam sistem Copernicus—memungkinkannya mengeksplorasi teorema-teorema baru.
Another important development that allowed Kepler to establish his celestial-harmonic relationships was the abandonment of the Pythagorean tuning as the basis for musical consonance and the adoption of geometrically supported musical ratios; this would eventually be what allowed Kepler to relate musical consonance and the angular velocities of the planets.
Perkembangan penting lainnya yang memungkinkan Kepler menuliskan hubungan harmonis benda-benda angkasa, adalah tidak berpatok pada Pythagorean tuning sebagai dasar konsonan musik namun menggunakan rasio musik yang berdasarkan pada geometri.
Thus, Kepler could reason that his relationships gave evidence for God acting as a grand geometer, rather than a Pythagorean numerologist.
Karenanya, hubungan yang Kepler dapatkan memberi bukti bahwa Tuhan bertindak sebagai ahli geometri, bukan ahli numerologi Phytagorean.
While writing the book, Kepler had to defend his mother in court after she had been accused of witchcraft.
Ketika menulis bukunya, Kepler perlu membela ibunya, Katharina Kepler, di pengadilan karena tuduhan penggunaan ilmu sihir.
Kepler divides The Harmony of the World into five long chapters: the first is on regular polygons; the second is on the congruence of figures; the third is on the origin of harmonic proportions in music; the fourth is on harmonic configurations in astrology; the fifth is on the harmony of the motions of the planets.
Kepler membagi Harmonices Mundi menjadi lima bab yang panjang: bab pertama berisi tentang poligon reguler, bab kedua berisi tentang kekongruenan bentuk geometri, bab ketiga membahas asal dari rasio harmonik pada musik, bab keempat membahas tentang konfigurasi yang harmonis dalam astrologi, dan bab kelima membahas tentang gerakan planet.
Pythagoreanism Mysterium Cosmographicum Johannes Kepler, The Harmony of the World.
Johannes Kepler, The Harmony of the World.