In number theory, a Liouville number is a real number x with the property that, for every positive integer n , there exists a pair of integers ( p , q ) with q > 1 such that 0 < | x − p q | < 1 q n .
Dalam teori bilangan, bilangan Liouville ialah suatu bilangan riil x dengan sifat bahwa untuk setiap bilangan asli n , terdapat suatu pasangan terurut bilangan asli ( p , q ) dengan q > 1 sedemikian sehingga 0 < | x − p q | < 1 q n {q}}\right|<{\dfrac {1}{q^{n}}}} Pertidaksamaan tersebut mengakibatkan bahwa bilangan Liouville memiliki suatu barisan hampiran bilangan rasional yang sangat baik.
In 1844, Joseph Liouville proved a bound showing that there is a limit to how well algebraic numbers can be approximated by rational numbers, and he defined Liouville numbers specifically so that they would have rational approximations better than the ones allowed by this bound.
Pada tahun 1884, Joseph Liouville membuktikan bahwa terdapat batas pada seberapa baik suatu bilangan aljabar dapat dihampiri oleh bilangan rasional, dan beliau mendefinisikan bilangan Liouville secara spesifik agar bilangan tersebut memiliki hampiran rasional yang lebih baik dibandingkan bilangan lain pada rentang tersebut.
Liouville also exhibited examples of Liouville numbers thereby establishing the existence of transcendental numbers for the first time.
Liouville juga memberikan contoh-contoh dari bilangan Liouville yang membuktikan keberadaan bilangan transendental untuk pertama kalinya.
One of these examples is Liouville's constant L0.110001000000000000000001 … , in which the n th digit after the decimal point is 1 if n is the factorial of a positive integer and 0 otherwise.
Salah satu contoh dari bilangan tersebut ialah konstanta Liouville L0 , 11000100000000000000000100 … dimana digit ke- n setelah koma desimal ialah 1 jika n merupakan faktorial dari suatu bilangan asli, dan 0 untuk digit-digit lainnya.
It is known that π and e, although transcendental, are not Liouville numbers.
Telah diketahui bahwa π dan e—walau merupakan bilangan transendental—bukan merupakan bilangan Liouville.
The existence of Liouville numbers (Liouville's constant)
Kewujudan bilangan Liouville (konstanta Liouville)
Liouville numbers can be shown to exist by an explicit construction.
Bilangan Liouville dapat ditunjukkan keberadaannya dengan konstruksi eksplisit.
For any integer b ≥ 2 and any sequence of integers a 1 , a 2 , … ,a_{2},\dots } such that a k ∈ { 0 , 1 , 2 , … , b − 1 } \in \{0,1,2,\ldots ,b-1\}} for all k and a k ≠ 0 \neq 0} for infinitely many k , define the number x∑ k1 ∞ a k b k !
Diberikan sembarang bilangan bulat b ≥ 2 dan sembarang barisan ⟨ a k ⟩ \rangle } sedemikian sehingga nilai a k ∈ { 0 , 1 , 2 , … , b − 1 } \in \left\{0,\,1,\,2,\,\ldots ,\,b-1\right\}} untuk setiap k ∈ N } , dan terdapat takhingga banyaknya nilai k ∈ N } sedemikian sehingga a k ≠ 0 \neq 0} .
^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}} .
^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k!}}}} .
In the special case when b10 , and a k11} for all k , the resulting number x is called Liouville's constant:
Pada kasus khusus ketika b10 dan a k11} untuk setiap k ∈ N } , bilangan x disebut sebagai konstanta Liouville:
L0. 11 000 1 00000000000000000 1 … 11}000{\color {red}1}00000000000000000{\color {red}1}\ldots } It follows from the definition of x that its base- b representation is x( 0. a 1 a 2 000 a 3 00000000000000000 a 4 … ) b a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}\ldots )_{b}} where the n th term is in the n !
L0 , 11 000 1 00000000000000000 1 00 … 11}000{\color {red}1}00000000000000000{\color {red}1}00\ldots } Berdasarkan definisi dari x , maka representasi x dalam basis b ialah x( 0 , a 1 a 2 000 a 3 00000000000000000 a 4 00 … ) b a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}00\ldots \right)_{b}} dengan suku ke- n berada pada posisi n !
Since this base- b representation is non-repeating, it follows that x is not a rational number.
Oleh karena digit-digit dari representasi x dalam basis b tidak periodik, maka x merupakan bilangan irasional.
Therefore, for any rational number p / q , | x − p / q | > 0 . Now, for any integer n ≥ 1 , p n } and q n } can be defined as follows: q nb n ! ; p nq n ∑ k1 n a k b k !
Akibatnya, untuk setiap bilangan rasional p q {q}}} , maka berlaku | x − p q | > 0 {q}}\right|>0} Diambil sembarang n ∈ N } .
Then 0 < | x − p n q n || ∑ k1 ∞ a k b k !
| ∑ kn + 1 ∞ a k b k !
< ∑ k( n + 1 ) ! ∞ b − 1 b kb − 1 b ( n + 1 ) !
∑ k0 ∞ 1 b kb − 1 b ( n + 1 ) !
+ b − 1 b ( n + 1 ) !
b − 1 b ( n + 1 ) !
+ 1 + b − 1 b ( n + 1 ) !
+ 1 , ( n + 1 ) !
+ 2 + ⋯b − 1 b ( n + 1 ) !
b − 1 b ( n + 1 ) !
b 0 + b − 1 b ( n + 1 ) !
b − 1 b ( n + 1 ) !
b 1 + b − 1 b ( n + 1 ) !
b − 1 b ( n + 1 ) !
b 2 + ⋯b − 1 b ( n + 1 ) !
b − 1 b ( n + 1 ) !
1 b ( n + 1 ) !
b − 1 b ( n + 1 ) !
1 b ( n + 1 ) n !
b − 1 b ( n + 1 ) !
1 b ( n ! ) n1 q n n 0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|&=\left|\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\\[6pt]&\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}+\cdots \\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}}}+\cdots{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}\\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)n!-n!}}}={\frac {1}{b^{n(n!)+n!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n!)n}}}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}\end{aligned}}} Therefore, any such x is a Liouville number.
n1 q n \left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|&=\left|\sum _{k\,=\,1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k\,=\,1}^{n}{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|\\&=\left|\sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|\\&=\sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}&&{\text{(Lihat catatan 1)}}\\&\leq \sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {b-1}{b^{k!}}}&&{\text{(Lihat catatan 2)}}\\&<\sum _{k\,=\,(n+1)!}^{\infty }{\dfrac {b-1}{b^{k}}}&&{\text{(Lihat catatan 3)}}\\&=\sum _{k\,=\,0}^{\infty }{\dfrac {b-1}{b^{k+(n+1)!}}}\\&={\dfrac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k\,=\,0}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}\\&={\dfrac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\dfrac {b}{b-1}}\\&={\dfrac {b}{b^{(n+1)!}}}\\&\leq {\dfrac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}&&{\text{(Lihat catatan 4)}}\\&={\dfrac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}\\&={\dfrac {1}{b^{n!\,\cdot \,n}}}\\&={\dfrac {1}{\left(b^{n!}\right)^{n}}}\\&={\dfrac {1}{q^{n}}}\end{aligned}}} yang menunjukkan bahwa x merupakan bilangan Liouville.
The inequality ∑ kn + 1 ∞ a k b k !
Akibatnya, pertidaksamaan ∑ kn + 1 ∞ 1 b k ! < ∑ k( n + 1 ) !
≤ ∑ kn + 1 ∞ b − 1 b k !
∑ k0 ∞ 1 b kb − 1 b ( n + 1 ) !
^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}} follows since ak ∈ {0, 1, 2, ..., b−1} for all k, so at most akb−1.
∞ 1 b k ^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k!}}}<\sum _{k\,=\,(n+1)!}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}} merupakan pertidaksamaan sejati, sebab untuk setiap k ≥ n + 1 , terdapat k ( k ! ) − 1 suku yang bernilai positif di atara 1 b k !
The strong inequality ∑ kn + 1 ∞ b − 1 b k ! < ∑ k( n + 1 ) ! ∞ b − 1 b k \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}} follows from the motivation to eliminate the series by way of reducing it to a series for which a formula is known.
∞ 1 b k ^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k!}}}<\sum _{k\,=\,(n+1)!}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}} merupakan pertidaksamaan sejati, sebab untuk setiap k ≥ n + 1 , terdapat k ( k ! ) − 1 suku yang bernilai positif di atara 1 b k !
^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}} a partial sum.
^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k!}}}} .
Observe that, for any term in ∑ kn + 1 ∞ b − 1 b k ! ^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}} , since b ≥ 2, then b − 1 b k !
∞ 1 b k ^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k!}}}<\sum _{k\,=\,(n+1)!}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}} merupakan pertidaksamaan sejati, sebab untuk setiap k ≥ n + 1 , terdapat k ( k ! ) − 1 suku yang bernilai positif di atara 1 b k !
Therefore, ∑ kn + 1 ∞ b − 1 b k !
∑ k0 ∞ 1 b kb − 1 b ( n + 1 ) !
< ∑ kn + 1 ∞ b − 1 b k \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}} (since, even if n=1, all subsequent terms are smaller).
∞ 1 b k ^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k!}}}<\sum _{k\,=\,(n+1)!}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}} merupakan pertidaksamaan sejati, sebab untuk setiap k ≥ n + 1 , terdapat k ( k ! ) − 1 suku yang bernilai positif di atara 1 b k !
{b^{(n+1)!}}}} into something of the form 1 b exponent × n {b^{{\text{exponent}}\times n}}}} .
{b^{(n+1)!}}}} harus dimanipulasi menjadi sesuatu dengan bentuk 1 b pangkat × n {b^{{\text{pangkat}}\,\times \,n}}}} .
This particular inequality allows the elimination of (n+1)!
Pertidaksamaan tersebut memungkinkan proses eliminasi dari ( n + 1 ) !
(n!)n, thus putting the denominator in ideal form for the substitution q nb n !
n ( n ! ) , sehingga bagian penyebutnya memiliki bentuk ideal untuk substitusi qb n ! } .
From this it follows that | x − p q || c q − d p | d q ≥ 1 d q {q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}} Now for any integer n > 1 + log 2 ⁡ ( d ) , (d)~,} the last inequality above implies | x − p q | ≥ 1 d q > 1 2 n − 1 q ≥ 1 q n . {q}}\right|\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}>{\frac {1}{\,2^{n-1}q\,}}\geq {\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.} Therefore, in the case | c q − d p | > 0 such pair of integers ( p , q ) would violate the second inequality in the definition of a Liouville number, for some positive integer n. Therefore, to conclude, there is no pair of integers ( p , q ) , with q > 1 , that would qualify such an xc / d , as a Liouville number.
n1 q n \left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|&=\left|\sum _{k\,=\,1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k\,=\,1}^{n}{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|\\&=\left|\sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|\\&=\sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}&&{\text{(Lihat catatan 1)}}\\&\leq \sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {b-1}{b^{k!}}}&&{\text{(Lihat catatan 2)}}\\&<\sum _{k\,=\,(n+1)!}^{\infty }{\dfrac {b-1}{b^{k}}}&&{\text{(Lihat catatan 3)}}\\&=\sum _{k\,=\,0}^{\infty }{\dfrac {b-1}{b^{k+(n+1)!}}}\\&={\dfrac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k\,=\,0}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}\\&={\dfrac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\dfrac {b}{b-1}}\\&={\dfrac {b}{b^{(n+1)!}}}\\&\leq {\dfrac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}&&{\text{(Lihat catatan 4)}}\\&={\dfrac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}\\&={\dfrac {1}{b^{n!\,\cdot \,n}}}\\&={\dfrac {1}{\left(b^{n!}\right)^{n}}}\\&={\dfrac {1}{q^{n}}}\end{aligned}}} yang menunjukkan bahwa x merupakan bilangan Liouville.
A Liouville number is irrational but does not have this property, so it cannot be algebraic and must be transcendental.
Walaupun bilangan Liouville merupakan bilangan irasional, bilangan Liouville tidak memiliki sifat ini, sehingga bukan merupakan bilangan aljabar dan harus bersifat transendental.
The following lemma is usually known as Liouville's theorem (on diophantine approximation), there being several results known as Liouville's theorem.
Lema berikut ini biasanya dikenal sebagai teorema Liouville (mengenai penghampiran Diophantine), meskipun terdapat beberapa hasil yang dikenal sebagai teorema Liouville.
As shown in the section on the existence of Liouville numbers, this number, as well as any other non-terminating decimal with its non-zero digits similarly situated, satisfies the definition of a Liouville number.
Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa bilangan tersebut—beserta setiap bilangan desimal takberakhir lainnya, dengan digit-digitnya diatur menyerupai contoh di atas—memenuhi definisi dari bilangan Liouville.
For positive integers n > 2 and q ≥ 2 set: V n , q⋃ p− ∞ ∞ ( p q − 1 q n , p q + 1 q n )\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)} then L ⊆ ⋃ q2 ∞ V n , q .
Akibatnya, untuk setiap bilangan rasional p q {q}}} , maka berlaku | x − p q | > 0 {q}}\right|>0} Diambil sembarang n ∈ N } .
It is defined by adapting the definition of Liouville numbers: instead of requiring the existence of a sequence of pairs ( p , q ) that make the inequality hold for each n —a sequence which necessarily contains infinitely many distinct pairs—the irrationality exponent μ ( x ) is defined to be the supremum of the set of n for which such an infinite sequence exists, that is, the set of n such that 0 < | x − p q | < 1 q n {q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}} is satisfied by an infinite number of integer pairs ( p , q ) with q > 0 .
Dalam teori bilangan, bilangan Liouville ialah suatu bilangan riil x dengan sifat bahwa untuk setiap bilangan asli n , terdapat suatu pasangan terurut bilangan asli ( p , q ) dengan q > 1 sedemikian sehingga 0 < | x − p q | < 1 q n {q}}\right|<{\dfrac {1}{q^{n}}}} Pertidaksamaan tersebut mengakibatkan bahwa bilangan Liouville memiliki suatu barisan hampiran bilangan rasional yang sangat baik.