In mathematical logic, the Peano axioms (, [peˈaːno]), also known as the Dedekind–Peano axioms or the Peano postulates, are axioms for the natural numbers presented by the 19th-century Italian mathematician Giuseppe Peano.
Dalam logika matematika, aksioma Peano, juga dikenal sebagai aksioma Dedekind–Peano atau postulat Peano, adalah aksioma-aksioma untuk bilangan asli yang disampaikan oleh matematikawan Italia abad ke-19 Giuseppe Peano.
These axioms have been used nearly unchanged in a number of metamathematical investigations, including research into fundamental questions of whether number theory is consistent and complete.
Aksioma-aksioma tersebut telah digunakan hampir tanpa diubah dalam beberapa penyelidikan metamatematika, termasuk penelitian mengenai pertanyaan fundamental mengenai apakah teori bilangan bersifat konsisten dan lengkap.
The importance of formalizing arithmetic was not well appreciated until the work of Hermann Grassmann, who showed in the 1860s that many facts in arithmetic could be derived from more basic facts about the successor operation and induction.
Keperluan untuk memformalkan aritmetika tidak terlalu dipikirkan hingga karya Hermann Grassmann, yang menunjukkan pada 1860-an bahwa banyak fakta dalam aritmetika yang bisa diperoleh dari fakta lebih mendasar mengenai operasi penerus dan induksi.
In 1881, Charles Sanders Peirce provided an axiomatization of natural-number arithmetic.
Pada tahun 1881, Charles Sanders Peirce memberikan pengaksiomaan dari aritmetika bilangan asli.
In 1888, Richard Dedekind proposed another axiomatization of natural-number arithmetic, and in 1889, Peano published a simplified version of them as a collection of axioms in his book The principles of arithmetic presented by a new method (Latin: Arithmetices principia, nova methodo exposita).
Pada tahun 1888, Richard Dedekind mengusulkan pengaksiomaan aritmetika bilangan asli lainnya, dan pada tahun 1889, Peano menerbitkan versi sederhana dari mereka sebagai kumpulan aksioma dalam bukunya, The principles of arithmetic presented by a new method (bahasa Latin: Arithmetices principia, nova methodo expositacode: la is deprecated ).
Peano maintained a clear distinction between mathematical and logical symbols, which was not yet common in mathematics; such a separation had first been introduced in the Begriffsschrift by Gottlob Frege, published in 1879.
Peano menjaga perbedaan antara simbol matematika dan logika, yang pada saat itu belum sering dijumpai dalam matematika; pemisahan seperti itu pertama kali diperkenalkan dalam Begriffsschrift oleh Gottlob Frege, diterbitkan pada tahun 1879.
Peano was unaware of Frege's work and independently recreated his logical apparatus based on the work of Boole and Schröder.
Peano tidak mengetahui tentang karya Frege dan secara terpisah membuat ulang peraltan logikanya berdasarkan karya Boole dan Schröder.
The Peano axioms define the arithmetical properties of natural numbers, usually represented as a set N or N .
Aksioma Peano mendefinisikan sifat-sifat aritmetis dari bilangan asli, biasanya dilambangkan sebagai sebuah himpunan N } atau N .
Since they are logically valid in first-order logic with equality, they are not considered to be part of "the Peano axioms" in modern treatments.
Karena mereka secara logika valid dalam logika predikat tingkat pertama dengan kesamaan, mereka tidak dianggap sebagai bagian dari "aksioma Peano" dalam penafsiran modern.
The intuitive notion that each natural number can be obtained by applying successor sufficiently many times to zero requires an additional axiom, which is sometimes called the axiom of induction.
Ide intuitif bahwa setiap bilangan asli bisa diperoleh dengan menerapkan penerus pada nol memerlukan aksioma tambahan, yang terkadang disebut aksioma induksi.
It is now common to replace this second-order principle with a weaker first-order induction scheme.
Sekarang prinsip tingkat kedua ini kerap diganti dengan skema induksi tingkat pertama yang lebih lemah.
It is defined recursively as: a + 0a , (1) a + S ( b )S ( a + b ) .
Ini didefinisikan secara rekursif sebagai: a + 0a , (1) a + S ( b )
The smallest group embedding N is the integers.
Grup terkecil yang membenamkan N } adalah bilangan bulat.
Given addition, it is defined recursively as: a ⋅ 00 , a ⋅ S ( b )
Diberikan tambahan, itu didefinisikan secara rekursif sebagai: a ⋅ 00 , a ⋅ S ( b )
a + 0a To show that S ( 0 ) is also the multiplicative left identity requires the induction axiom due to the way multiplication is defined: S ( 0 ) is the left identity of 0: S ( 0 )
Oleh karena itu, dengan aksioma induksi S ( 0 ) adalah identitas kiri perkalian dari semua bilangan asli.
If S ( 0 ) is the left identity of a (that is S ( 0 ) ⋅ aa ), then S ( 0 ) is also the left identity of S ( a ) : S ( 0 ) ⋅ S ( a )S ( 0 ) + S ( 0 ) ⋅ aS ( 0 ) + aa + S ( 0 )S ( a + 0 )
Jika S ( 0 ) adalah identitas kiri dari a (yaitu S ( 0 ) ⋅ aa ), maka S ( 0 ) juga merupakan identitas kiri S ( a ) : S ( 0 ) ⋅ S ( a )S ( 0 ) + S ( 0 ) ⋅ aS ( 0 ) + aa + S ( 0 )
Therefore, by the induction axiom S ( 0 ) is the multiplicative left identity of all natural numbers.
Oleh karena itu, dengan aksioma induksi S ( 0 ) adalah identitas kiri perkalian dari semua bilangan asli.
Thus, ( N , + , 0 , ⋅ , S ( 0 ) ) ,+,0,\cdot ,S(0))} is a commutative semiring.
Jadi, ( N , + , 0 , ⋅ , S ( 0 ) ) ,+,0,\cdot ,S(0))} adalah komutatif semigelanggang.
S B ( f ( n ) ) f(0_{A})&=0_{B}\\f(S_{A}(n))&=S_{B}(f(n))\end{aligned}}} and it is a bijection.
S ( a + b ) . (2) a+0&=a,&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b).&{\textrm {(2)}}\end{aligned}}}
Henri Poincaré was more cautious, saying they only defined natural numbers if they were consistent; if there is a proof that starts from just these axioms and derives a contradiction such as 01, then the axioms are inconsistent, and don't define anything.
Henri Poincaré lebih hati-hati, mengatakan bahwa aksioma tersebut hanya mendefinisikan bilangan asli apabila mereka konsisten; jika terdapat bukti yang dimulai hanya dari aksioma itu dan menghasilkan kontradiksi seperti 01, maka aksioma itu tidak konsisten, dan tidak mendefinisikan apapun.
In 1900, David Hilbert posed the problem of proving their consistency using only finitistic methods as the second of his twenty-three problems.
Pada tahun 1900, David Hilbert mengajukan masalah membuktikan konsistensi aksioma Peano hanya menggunakan metode finitis sebagai masalah kedua dari kedua-puluh-tiga masalahnya.
In 1931, Kurt Gödel proved his second incompleteness theorem, which shows that such a consistency proof cannot be formalized within Peano arithmetic itself, if Peano arithmetic is consistent.
Pada tahun 1931, Kurt Gödel membuktikan teorema ketaklengkapan keduanya, yang menunjukkan bahwa bukti konsistensi seperti itu tidak bisa diformalisasikan dalam aritmetika Peano itu sendiri.
Although it is widely claimed that Gödel's theorem rules out the possibility of a finitistic consistency proof for Peano arithmetic, this depends on exactly what one means by a finitistic proof.
Meskipun kerap dikatakan bahwa teorema Gödel menunjukkan bahwa bukti konsistensi finistis untuk aritmetika Peano tidak mungkin dibuat, ini bergantung pada apa yang dimaksud dengan bukti finistis.
Gödel himself pointed out the possibility of giving a finitistic consistency proof of Peano arithmetic or stronger systems by using finitistic methods that are not formalizable in Peano arithmetic, and in 1958, Gödel published a method for proving the consistency of arithmetic using type theory.
Gödel sendiri mengatakan bahwa bisa saja dibuat bukti konsistensi finistis untuk aritmetika Peano atau sistem yang lebih kuat dengan menggunakan metode finistis yang tidak bisa diformalisasikan dalam aritmetika Peano, dan pada tahun 1958, Gödel menerbitkan sebuah metode untuk membuktikan konsistensi aritmetika menggunakan teori tipe.
In 1936, Gerhard Gentzen gave a proof of the consistency of Peano's axioms, using transfinite induction up to an ordinal called ε0.
Pada tahun 1936, Gerhard Gentzen memberikan bukti konsistensi aksioma Peano, menggunakan induksi transfinit hingga bilangan ordinal yang disebut ε0.
Gentzen explained: "The aim of the present paper is to prove the consistency of elementary number theory or, rather, to reduce the question of consistency to certain fundamental principles".
Gentzen menjelaskan: "Tujuan dari karangan ini adalah untuk membuktikan konsistensi dari teori bilangan dasar atau, lebih tepatnya, untuk mereduksi pertanyaan konsistensi ke prinsip-prinsip dasar tertentu".
Gentzen's proof is arguably finitistic, since the transfinite ordinal ε0 can be encoded in terms of finite objects (for example, as a Turing machine describing a suitable order on the integers, or more abstractly as consisting of the finite trees, suitably linearly ordered).
Bukti Gentzen bisa jadi finitis, karena ordinal transfinit ε0 bisa dituliskan dalam bentuk objek-objek terhingga (contohnya, sebagai mesin Turing yang menggambarkan urutan yang cocok pada bilangan bulat, atau lebih abstraknya sebagai terdiri dari pohon yang terhingga, yang diurutkan linear sehingga cocok).
Whether or not Gentzen's proof meets the requirements Hilbert envisioned is unclear: there is no generally accepted definition of exactly what is meant by a finitistic proof, and Hilbert himself never gave a precise definition.
Apakah bukti Gentzen memenuhi syarat yang Hilbert berikan atau tidak bukanlah hal yang jelas: tidak ada definisi yang diterima secara umum mengenai apa yang dimaksud bukti finistis, dan Hilbert sendiri tidak pernah memberikan definisi yang saksama.
The vast majority of contemporary mathematicians believe that Peano's axioms are consistent, relying either on intuition or the acceptance of a consistency proof such as Gentzen's proof.
Mayoritas matematikawan percaya bahwa aksioma Peano bersifat konsisten, atas dasar intuisi mereka atau menerima bukti konsistensi seperti yang diberikan Gentzen.
A small number of philosophers and mathematicians, some of whom also advocate ultrafinitism, reject Peano's axioms because accepting the axioms amounts to accepting the infinite collection of natural numbers.
Sebagian kecil filsuf dan matematikawan, yang sebagian mendukung ultrafinitisme, menolak aksioma Peano karena menerimanya berarti menerima kumpulan bilangan asli yang tak berhingga.
All of the Peano axioms except the ninth axiom (the induction axiom) are statements in first-order logic.
Semua aksioma Peano kecuali aksioma kesembilan (aksioma induksi) adalah pernyataan dalam logika orde pertama.
The arithmetical operations of addition and multiplication and the order relation can also be defined using first-order axioms.
Operasi aritmetika penjumlahan dan perkalian dan hubungan urutan juga dapat ditentukan menggunakan aksioma orde pertama.
Such a schema includes one axiom per predicate definable in the first-order language of Peano arithmetic, making it weaker than the second-order axiom.
Skema seperti itu mencakup satu aksioma per predikat yang dapat didefinisikan dalam bahasa orde pertama aritmetika Peano, membuatnya lebih lemah daripada aksioma orde kedua.
The reason that it is weaker is that the number of predicates in first-order language is countable, whereas the number of sets of natural numbers is uncountable.
Alasan yang lebih lemah adalah bahwa jumlah predikat dalam bahasa orde pertama dapat dihitung, sedangkan jumlah himpunan bilangan asli tidak dapat dihitung.
First-order axiomatizations of Peano arithmetic have another technical limitation.
Aksiomatisasi orde pertama aritmetika Peano memiliki batasan teknis lain.
In second-order logic, it is possible to define the addition and multiplication operations from the successor operation, but this cannot be done in the more restrictive setting of first-order logic.
Dalam logika orde kedua, dimungkinkan untuk menentukan operasi penjumlahan dan perkalian dari operasi penerus, tetapi ini tidak dapat dilakukan dalam pengaturan logika orde pertama yang lebih ketat.
Therefore, the addition and multiplication operations are directly included in the signature of Peano arithmetic, and axioms are included that relate the three operations to each other.
Oleh karena itu, operasi penjumlahan dan perkalian secara langsung dimasukkan dalam tanda tangan aritmetika Peano, dan aksioma dimasukkan yang menghubungkan ketiga operasi satu sama lain.
The following list of axioms (along with the usual axioms of equality), which contains six of the seven axioms of Robinson arithmetic, is sufficient for this purpose: ∀ x ( 0 ≠ S ( x ) ) ∀ x , y ( S ( x )
Daftar aksioma berikut (bersama dengan aksioma persamaan yang biasa), yang berisi enam dari tujuh aksioma aritmetika Robinson, cukup untuk tujuan ini: ∀ x ( 0 ≠ S ( x ) ) ∀ x , y ( S ( x )
For each formula φ(x, y1, ..., yk) in the language of Peano arithmetic, the first-order induction axiom for φ is the sentence ∀ y ¯ ( ( φ ( 0 , y ¯ ) ∧ ∀ x ( φ ( x , y ¯ ) ⇒ φ ( S ( x ) , y ¯ ) ) ) ⇒ ∀ x φ ( x , y ¯ ) ) }{\Bigg (}{\bigg (}\varphi (0,{\bar {y}})\land \forall x{\Big (}\varphi (x,{\bar {y}})\Rightarrow \varphi (S(x),{\bar {y}}){\Big )}{\bigg )}\Rightarrow \forall x\varphi (x,{\bar {y}}){\Bigg )}} where y ¯ }} is an abbreviation for y1,...
Untuk setiap rumus φ ( x , y 1 , … , y k ) ,\dots ,y_{k})} dalam bahasa aritmetika Peano, aksioma induksi orde pertama untuk φ adalah kalimat ∀ y ¯ ( ( φ ( 0 , y ¯ ) ∧ ∀ x ( φ ( x , y ¯ ) ⇒ φ ( S ( x ) , y ¯ ) ) ) ⇒ ∀ x φ ( x , y ¯ ) ) }((\varphi (0,{\bar {y}})\land \forall x(\varphi (x,{\bar {y}})\Rightarrow \varphi (S(x),{\bar {y}})))\Rightarrow \forall x\varphi (x,{\bar {y}}))
The first-order induction schema includes every instance of the first-order induction axiom; that is, it includes the induction axiom for every formula φ.
Skema induksi orde pertama menyertakan setiap contoh aksioma induksi orde pertama, yaitu, menyertakan aksioma induksi untuk setiap rumus φ .
+ ( x ⋅ z ) ) , i.e., multiplication distributes over addition. ∀ x ( x + 0x ∧ x ⋅ 00 ) , i.e., zero is an identity for addition, and an absorbing element for multiplication (actually superfluous). ∀ x ( x ⋅ 1x ) , i.e., one is an identity for multiplication. ∀ x , y , z ( x < y ∧ y < z ⇒ x < z ) , i.e., the '<' operator is transitive. ∀ x ( ¬ ( x <
∀ x ( x + 0x ∧ x ⋅ 00 ) , yaitu, nol adalah identitas untuk penambahan, dan elemen penyerap untuk perkalian (sebenarnya berlebihan). ∀ x ( x ⋅ 1x ) , yaitu, satu adalah identitas untuk perkalian. ∀ x , y , z ( x < y ∧ y < z ⇒ x < z ) , yaitu, operator ' < ' adalah transitif.
x ) ) , i.e., the '<' operator is irreflexive. ∀ x , y ( x < y ∨
∀ x ( ¬ ( x < x ) ) , yaitu, operator ' < ' adalah tidak refleksif.
Foundations of mathematics Frege's theorem Goodstein's theorem Neo-logicism Non-standard model of arithmetic Paris–Harrington theorem Presburger arithmetic Skolem arithmetic Robinson arithmetic Second-order arithmetic Typographical Number Theory Buss, Samuel R. (1998).
Aritmetika Presburger Aritmetika Robinson Aritmetika tingkat kedua Fondasi matematika Model non-standar aritmetika Neo-logisisme Teorema Frege Teorema Goodstein Teorema Paris–Harrington Typographical Number Theory Raymond M. Smullyan (19 September 2013).
The Gödelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs.
The Godelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs.
[1994] Weisstein, Eric W. "Peano's Axioms".
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Peano's Axioms".
Commentary on Dedekind's work.
Komentar mengenai karya Dedekind.