Nonetheless, in the mid-18th century, Leonhard Euler wrote what he admitted to be a paradoxical equation: 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯1 4 .
Meskipun demikian, pada pertengahan abad ke-18, Leonhard Euler menemui sebuah kejanggalan: 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯1 4 .
{4}}.} A rigorous explanation of this equation would not arrive until much later.
{4}}.} Penjelasan yang dianggap ketat secara matematis mengenai kejanggalan ini baru dapat diperoleh beberapa waktu kemudian.
Starting in 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel and others investigated well-defined methods to assign generalized sums to divergent series—including new interpretations of Euler's attempts.
Rincinya, per tahun 1890, beberapa matematikawan, seperti Ernesto Cesàro, dan Émile Borel, mulai menyelidiki berbagai metode penjumlahan, termasuk pembaharuan baru atas metode Euler, yang terdefinisi baik agar dapat menentukan nilai deret-deret divergen.
1 − 1 + 1 − 1 + ....
pada deret 1 − 2 + 3 − 4 + ...
Euler treated these two as special cases of the more general sequence 1 − 2n + 3n
Oleh karena itu, Euler mengelompokkan keduanya sebagai kasus khusus dari deret umum 1 − 2n + 3n
− 4n + ..., where n1 and n0 respectively.
− 4n + ..., berturut-turut n1 dan n0 untuk masing-masing deret.
1 + ( 1 − 2 + 3 − ⋯ ) + ( − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( 3 − 4 + 5 − ⋯ )1 + [ ( 1 − 2 − 2 + 3 ) + ( − 2 + 3 + 3 − 4 ) + ( 3 − 4 − 4 + 5 ) + ⋯ ]1 + [ 0 + 0 + 0 + ⋯ ] 4 s1 {5}4s&=&&(1-2+3-\cdots )\ \ &&{}+(1-2+3-4+\cdots )&&{}+(1-2+3-4+\cdots )&&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-\cdots )&&+1{}+(-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+1+(-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+1-2+(3-4+\cdots )\\&=\ 1+{}&&(1-2+3-\cdots )&&{}+(-2+3-4+\cdots )&&{}+(-2+3-4+\cdots )&&{}+(3-4+5-\cdots )\\&=\ 1+{}[\ &&(1-2-2+3)&&{}+(-2+3+3-4)&&{}+(3-4-4+5)&&{}+\cdots \ ]
1 + [ ( 1 − 2 − 2 + 3 ) + ( − 2 + 3 + 3 − 4 ) + ( 3 − 4 − 4 + 5 ) + ⋯ ]1 + [ 0 + 0 + 0 + ⋯ ] 4 s1 {5}4s&=&&(1-2+3-\cdots )\ \ &&{}+(1-2+3-4+\cdots )&&{}+(1-2+3-4+\cdots )&&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-\cdots )&&+1{}+(-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+1+(-2+3-4+\cdots )\ \ &&{}+1-2+(3-4+\cdots )\\&=\ 1+{}&&(1-2+3-\cdots )&&{}+(-2+3-4+\cdots )&&{}+(-2+3-4+\cdots )&&{}+(3-4+5-\cdots )\\&=\ 1+{}[\ &&(1-2-2+3)&&{}+(-2+3+3-4)&&{}+(3-4-4+5)&&{}+\cdots \ ]
\\&=\ 1+{}[\ &&0+0+0+\cdots \ ]\\4s&=\ 1\end{alignedat}}}
\\&=\ 1+{}[\ &&0+0+0+\cdots \ ]\\4s&=\ 1\end{alignedat}}} Jadi, s1 4 {4}}} .
Although 1 − 2 + 3 − 4 + ... does not have a sum in the usual sense, the equation s1 − 2 + 3 − 4 + ...
Meskipun 1 − 2 + 3 − 4 + ... tidak dapat dijumlahkan sesuai pada umumnya, persamaan s1 − 2 + 3 − 4 + ...
with 1 − 1 + 1 − 1 + ....
pada deret 1 − 2 + 3 − 4 + ...
In the case where anbn(−1)n, the terms of the Cauchy product are given by the finite diagonal sums c n∑ k0 n a k b n − k∑ k0 n ( − 1 )
Pada kasus anbn(−1)n, suku-suku hasil kali Cauchy dapat dituliskan dengan deret diagonal c n∑ k0 n a k b n − k∑ k0 n ( − 1 )
c_{n}&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}} The product series is then ∑ n0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 )
c_{n}&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}} Maka deret hasil kalinya menjadi ∑ n0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 )
With the result of the previous section, this implies an equivalence between summability of 1 − 1 + 1 − 1 + ... and 1 − 2 + 3 − 4 + ... with methods that are linear, stable, and respect the Cauchy product.
Per penjelasan pada bagian sebelumnya, hal ini menyiratkan kesetaraan antara keterjumlahan 1 − 1 + 1 − 1 + ... dan 1 − 2 + 3 − 4 + ... apabila metode yang digunakan bersifat linear, stabil, dan dapat dikalikan dengan perkalian Cauchy.
Since all forms of Cesàro's theorem are linear and stable, the values of the sums are as calculated above.
Dalam menghitung nilai kedua deret tersebut, dapat dilakukan seperti cara di atas karena semua bentuk teorema Cesàro bersifat linear dan stabil.
The fact that ⁠1/4⁠ is the (H, 2) sum of 1 − 2 + 3 − 4 + ... guarantees that it is the Abel sum as well; this will also be proved directly below.
Rincinya, fakta bahwa ¼ adalah nilai dari deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... menjamin bahwa itu adalah jumlah Abel.
In particular, he summed 1 − 2 + 3 − 4 + ..., to ⁠1/4⁠ by a method that may be rephrased as (C, n) but was not justified as such at the time.
Salah satu contoh yang ia berikan yakni penjumlahan 1 − 2 + 3 − 4 + ... menjadi ¼. Namun, metode tersebut belum ia definisikan secara formal.
In the case of 1 − 2 + 3 − 4 + ..., his ideas are similar to what is now known as Abel summation: ...
Dalam kasus 1 − 2 + 3 − 4 + ..., gagasannya mirip dengan penjumlahan Abel: ...
There are many ways to see that, at least for absolute values |x| < 1, Euler is right in that 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯1 ( 1 + x ) 2 .
Setidaknya, untuk nilai absolut |x| < 1, Euler benar dalam hal ini 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯1 ( 1 + x ) 2 .
Since the function is defined for all |x| < 1, one can still take the limit as x approaches 1, and this is the definition of the Abel sum: lim x → 1 − ∑ n1 ∞ n ( − x ) n − 1lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 21 4 .
Hal ini adalah definisi dari jumlah Abel: lim x → 1 − ∑ n1 ∞ n ( − x ) n − 1lim x → 1 − 1 ( 1 + x ) 21 4 .
Euler applied another technique to the series: the Euler transform, one of his own inventions.
Euler menerapkan teknik lain pada deret tersebut, yakni transformasi Euler.
The first element of this sequence is labeled Δa0.
Elemen pertama barisan ini diberi label Δa0.
The Euler transform of 1 − 2 + 3 − 4 + ... is then defined as 1 2 a 0 − 1 4 Δ a 0 + 1 8 Δ 2 a 0 − ⋯1 2 − 1 4 .
Lebih lanjut, transformasi Euler dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... akan didapatkan sebagai 1 2 a 0 − 1 4 Δ a 0 + 1 8 Δ 2 a 0 − ⋯1 2 − 1 4 .
Saichev and Woyczyński arrive at 1 − 2 + 3 − 4 + ...
Saichev dan Woyczyński sampai pada 1 − 2 + 3 − 4 + ...
\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.} This result generalizes Abel summation, which is recovered by letting φ(x)exp(−x).
\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.} Deret di atas merupakan perluasan atas penjumlahan Abel.
− 4n + ... for other values of n. For positive integers n, these series have the following Abel sums: 1 − 2 n + 3 n − ⋯2 n + 1 − 1 n + 1 B n + 1 +3^{n}-\cdots{\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}} where Bn are the Bernoulli numbers.
Secara matematis, deret ini mempunyai jumlah Abel sebagai berikut: 1 − 2 n + 3 n − ⋯2 n + 1 − 1 n + 1 B n + 1 +3^{n}-\cdots{\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}} Di sini, Bn adalah bilangan Bernoulli.
For even n, this reduces to 1 − 2 2 k + 3 2 k − ⋯0 , +3^{2k}-\cdots0,} which can be interpreted as stating that negative even values of the Riemann zeta function are zero.
Sementara itu, apabila hanya menggunakan n bilangan genap postitif, jumlah Abel menjadi 1 − 2 2 k + 3 2 k − ⋯0 , +3^{2k}-\cdots0,} yang dapat diartikan bahwa nilai genap negatif dari fungsi zeta Riemann adalah nol.
Can one think of anything more appalling than to say that where n is a positive number.
Adakah yang bisa memikirkan hal yang lebih mengerikan daripada mengatakan hal janggal seperti ini dengan n adalah bilangan positif.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯