These properties, such as whether a ring admits unique factorization, the behavior of ideals, and the Galois groups of fields, can resolve questions of primary importance in number theory, like the existence of solutions to Diophantine equations.
Properti ini, seperti apakah gelanggang mengakui faktorisasi unik, perilaku ideal, dan Galois grup dari bidang, dapat menyelesaikan pertanyaan yang sangat penting dalam teori bilangan, seperti keberadaan solusi untuk persamaan Diofantin.
The beginnings of algebraic number theory can be traced to Diophantine equations, named after the 3rd-century Alexandrian mathematician, Diophantus, who studied them and developed methods for the solution of some kinds of Diophantine equations.
Nama dari persamaan tersebut diambil dari seorang ahli matematika Aleksandria pada abad ke-3, Diophantus, yang mempelajarinya dan mengembangkan metode untuk solusi dari beberapa jenis persamaan Diophantine.
A typical Diophantine problem is to find two integers x and y such that their sum, and the sum of their squares, equal two given numbers A and B, respectively: Ax + y Bx 2 + y 2 .
Masalah Diophantine yang khas meminta untuk menemukan dua buah bilangan bulat x dan y sehingga jumlahnya beserta jumlah dari kuadratnya, masing-masing sama dengan dua bilangan A dan B .
For example, the solutions to the quadratic Diophantine equation x2 + y2z2 are given by the Pythagorean triples, originally solved by the Babylonians (c. 1800 BC).
Sebagai contoh, solusi untuk persamaan Diophantine kuadratik x 2y 2z 2y^{2}=z^{2}} yang dinyatakan sebagai tripel Pythagoras, sudah terpecahkan oleh bangsa Babilonia (c. 1800 SM).
Solutions to linear Diophantine equations, such as 26x + 65y13, may be found using the Euclidean algorithm (c. 5th century BC).
Sementara itu, solusi untuk persamaan Diophantime linear, seperti 26 x + 65 y13 , dapat ditemukan dengan menggunakan algoritma Euklides (c. abad ke-5 SM).
Diophantus's major work was the Arithmetica, of which only a portion has survived.
Karya utama Diophantus adalah Aritmetika, yang hanya sebagian yang bertahan.
No successful proof was published until 1995 despite the efforts of countless mathematicians during the 358 intervening years.
Tidak ada bukti yang berhasil diterbitkan sampai 1995 meskipun upaya matematikawan yang tak terhitung jumlahnya selama 358 tahun terjadi.
The unsolved problem stimulated the development of algebraic number theory in the 19th century and the proof of the modularity theorem in the 20th century.
Masalah yang belum terpecahkan tersebut mendorong perkembangan teori bilangan aljabar di abad ke-19 dan bukti teorema modularitas di abad ke-20.
In this book Gauss brings together results in number theory obtained by mathematicians such as Fermat, Euler, Lagrange and Legendre and adds important new results of his own.
Di dalam bukunya, Gauss menyatukan hasil dalam teori bilangan yang didapatkan oleh matematikawan seperti Fermat, Euler, Lagrange dan Legendre; ia menambahkan hasil baru pentingnya sendiri.
Before the Disquisitiones was published, number theory consisted of a collection of isolated theorems and conjectures.
Sebelum diterbitkannya Disquisitiones, teori bilangan terdiri dari kumpulan teorema dan dugaan yang terisolasi.
Gauss brought the work of his predecessors together with his own original work into a systematic framework, filled in gaps, corrected unsound proofs, and extended the subject in numerous ways.
Gauss menyatukan karya milik para pendahulunya dengan karya aslinya sendiri ke dalam kerangka yang sistematis, mengisi celah, mengoreksi bukti yang tidak masuk akal, dan memperluas subjek dengan berbagai cara.
The Disquisitiones was the starting point for the work of other nineteenth century European mathematicians including Ernst Kummer, Peter Gustav Lejeune Dirichlet and Richard Dedekind.
Matematikawan pada kala itu di antaranya adalah Ernst Kummer, Peter Gustav Lejeune Dirichlet dan Richard Dedekind.
Many of the annotations given by Gauss are in effect announcements of further research of his own, some of which remained unpublished.
Banyak anotasi yang diberikan oleh Gauss pada dasarnya merupakan pengumuman tentang penelitiannya lebih lanjut, beberapa di antaranya tetap tidak diterbitkan.
They must have appeared particularly cryptic to his contemporaries; we can now read them as containing the germs of the theories of L-functions and complex multiplication, in particular.
Mereka tampaknya sangat samar bagi orang-orang sezamannya; kita sekarang dapat membacanya sebagai mengandung kuman dari teori L-fungsi dan perkalian kompleks, khususnya.
Based on his research of the structure of the unit group of quadratic fields, he proved the Dirichlet unit theorem, a fundamental result in algebraic number theory.
Berdasarkan penelitiannya tentang struktur grup satuan bidang kuadratik, ia membuktikan teorema satuan Dirichlet, sebuah hasil fundamental dalam teori bilangan aljabar.
He published important contributions to Fermat's last theorem, for which he proved the cases n5 and n14, and to the biquadratic reciprocity law.
Dia menerbitkan kontribusi penting untuk teorema terakhir Fermat, yang membuktikan kasus n5 dan n14, dan pada hukum timbal balik bikuadratik.
In 1863, he published Lejeune Dirichlet's lectures on number theory as Vorlesungen über Zahlentheorie ("Lectures on Number Theory") about which it has been written that: "Although the book is assuredly based on Dirichlet's lectures, and although Dedekind himself referred to the book throughout his life as Dirichlet's, the book itself was entirely written by Dedekind, for the most part after Dirichlet's death."
Pada tahun 1863, ia menerbitkan kuliah Lejeune Dirichlet tentang teori bilangan sebagai Vorlesungen über Zahlentheorie ("Kuliah tentang Teori Bilangan") tentang yang telah dituliskan bahwa: "Meskipun buku itu pasti didasarkan pada ceramah Dirichlet, dan meskipun Dedekind sendiri merujuk buku itu sepanjang hidupnya sebagai Dirichlet, buku itu sendiri seluruhnya ditulis oleh Dedekind, sebagian besar setelah kematian Dirichlet."
(Edwards 1983) 1879 and 1894 editions of the Vorlesungen included supplements introducing the notion of an ideal, fundamental to ring theory.
(Edwards 1983) Edisi 1879 dan 1894 dari Vorlesungen termasuk suplemen yang memperkenalkan gagasan ideal, fundamental untuk teori gelanggang.
Dedekind defined an ideal as a subset of a set of numbers, composed of algebraic integers that satisfy polynomial equations with integer coefficients.
Dedekind mendefinisikan ideal sebagai bagian dari himpunan angka, terdiri dari bilangan bulat aljabar yang memenuhi persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat.
The concept underwent further development in the hands of Hilbert and, especially, of Emmy Noether.
Konsep ini mengalami pengembangan lebih lanjut di tangan Hilbert dan, terutama, Emmy Noether.
Ideals generalize Ernst Eduard Kummer's ideal numbers, devised as part of Kummer's 1843 attempt to prove Fermat's Last Theorem.
Cita-cita menggeneralisasi bilangan ideal Ernst Eduard, yang dirancang sebagai bagian dari upaya Kummer tahun 1843 untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat.
David Hilbert unified the field of algebraic number theory with his 1897 treatise Zahlbericht (literally "report on numbers").
David Hilbert menyatukan bidang teori bilangan aljabar dengan risalahnya pada tahun 1897 Zahlbericht (secara harfiah berarti "laporan angka").
He also resolved a significant number-theory problem formulated by Waring in 1770.
Dia juga menyelesaikan teori bilangan signifikan masalah yang dirumuskan oleh Waring pada tahun 1770.
As with the finiteness theorem, he used an existence proof that shows there must be solutions for the problem rather than providing a mechanism to produce the answers.
Seperti teorema keterbatasan, ia menggunakan bukti keberadaan yang menunjukkan bahwa harus ada solusi untuk masalah tersebut daripada menyediakan mekanisme untuk menghasilkan jawaban.
He then had little more to publish on the subject; but the emergence of Hilbert modular forms in the dissertation of a student means his name is further attached to a major area.
Dia kemudian memiliki lebih sedikit untuk dipublikasikan tentang subjek; Namun munculnya bentuk modular Hilbert dalam disertasi seorang mahasiswa berarti namanya lebih melekat pada suatu bidang utama.
The concepts were highly influential, and his own contribution lives on in the names of the Hilbert class field and of the Hilbert symbol of local class field theory.
Konsepnya sangat berpengaruh, dan kontribusinya sendiri tetap hidup dalam nama bidang kelas Hilbert dan simbol Hilbert teori bidang kelas lokal.
Results were mostly proved by 1930, after work by Teiji Takagi.
Hasilnya sebagian besar dibuktikan pada tahun 1930, setelah dikerjakan oleh Teiji Takagi.
Emil Artin established the Artin reciprocity law in a series of papers (1924; 1927; 1930).
Emil Artin menetapkan Hukum timbal balik Artin dalam serangkaian makalah (1924; 1927; 1930).
This law is a general theorem in number theory that forms a central part of global class field theory.
Hukum ini merupakan teorema umum dalam teori bilangan yang merupakan bagian sentral dari teori medan kelas global.
Artin's result provided a partial solution to Hilbert's ninth problem.
Hasil Artin memberikan solusi parsial untuk masalah kesembilan Hilbert.
Around 1955, Japanese mathematicians Goro Shimura and Yutaka Taniyama observed a possible link between two apparently completely distinct, branches of mathematics, elliptic curves and modular forms.
Sekitar tahun 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengamati kemungkinan hubungan antara dua yang tampaknya sangat berbeda, cabang matematika, kurva elips dan bentuk modular.
The resulting modularity theorem (at the time known as the Taniyama–Shimura conjecture) states that every elliptic curve is modular, meaning that it can be associated with a unique modular form.
Teorema modularitas yang dihasilkan (pada waktu itu dikenal sebagai dugaan Taniyama-Shimura) menyatakan bahwa setiap kurva eliptik adalah modular, artinya dapat dikaitkan dengan bentuk modular unik.
It was initially dismissed as unlikely or highly speculative, but was taken more seriously when number theorist André Weil found evidence supporting it, yet no proof; as a result the "astounding" conjecture was often known as the Taniyama–Shimura-Weil conjecture.
Awalnya dianggap tidak mungkin atau sangat spekulatif, dan dianggap lebih serius ketika ahli teori nomor André Weil menemukan bukti yang mendukungnya, tetapi tidak ada bukti; Akibatnya "luar biasa" Dugaan ini sering dikenal sebagai dugaan Taniyama – Shimura-Weil.
From 1993 to 1994, Andrew Wiles provided a proof of the modularity theorem for semistable elliptic curves, which, together with Ribet's theorem, provided a proof for Fermat's Last Theorem.
Dari 1993 hingga 1994, Andrew Wiles memberikan bukti teorema modularitas untuk kurva elips semistabel, yang, bersama-sama dengan teorema Ribet, memberikan bukti untuk Theo Terakhir Fermat.
Almost every mathematician at the time had previously considered both Fermat's Last Theorem and the Modularity Theorem either impossible or virtually impossible to prove, even given the most cutting-edge developments.
Hampir setiap ahli matematika pada saat itu sebelumnya menganggap Teorema Terakhir Fermat dan Teorema Modularitas tidak mungkin atau hampir tidak mungkin untuk dibuktikan, bahkan diberi perkembangan paling canggih.
Wiles first announced his proof in June 1993 in a version that was soon recognized as having a serious gap at a key point.
Wiles pertama kali mengumumkan buktinya pada Juni 1993 dalam versi yang segera dikenali memiliki celah serius pada poin kunci.
The proof was corrected by Wiles, partly in collaboration with Richard Taylor, and the final, widely accepted version was released in September 1994, and formally published in 1995.
Buktinya dikoreksi oleh Wiles, sebagian bekerja sama dengan Richard Taylor, dan versi terakhir yang diterima secara luas dirilis pada September 1994, dan secara resmi diterbitkan pada 1995.
It also uses standard constructions of modern algebraic geometry, such as the category of schemes and Iwasawa theory, and other 20th-century techniques not available to Fermat.
Ia juga menggunakan konstruksi standar geometri aljabar modern, seperti kategori dari skema dan teori Iwasawa, dan teknik abad ke-20 lainnya tidak tersedia untuk Fermat.
An important property of the ring of integers is that it satisfies the fundamental theorem of arithmetic, that every (positive) integer has a factorization into a product of prime numbers, and this factorization is unique up to the ordering of the factors.
Sifat penting dari gelanggang bilangan bulat adalah memenuhi teorema dasar aritmetika, teorema yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat (positif) memiliki faktorisasi menjadi hasil kali bilangan prima, dan faktorisasi ini unik hingga urutan faktor-faktornya.
If factorizations into prime elements are permitted, then, even in the integers, there are alternative factorizations such as 62 ⋅ 3( − 2 ) ⋅ ( − 3 ) .
Jika faktorisasi menjadi elemen prima diperbolehkan, maka, bahkan dalam bilangan bulat, ada faktorisasi alternatif seperti 62 ⋅ 3( − 2 ) ⋅ ( − 3 ) .
In general, if u is a unit, meaning a number with a multiplicative inverse in O, and if p is a prime element, then up is also a prime element.
Secara umum, jika u adalah satuan, artinya bilangan dengan pembalikan perkalian di O, dan jika p adalah elemen prima, maka up juga merupakan elemen prima.
Numbers such as p and up are said to be associate.
Angka-angka seperti p dan up dikatakan sebagai sekutu .
When K is not the rational numbers, however, there is no analog of positivity.
Ketika K bukan angka rasional, bagaimanapun, tidak ada analog dari kepositifan.
This leads to equations such as 5( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i )
Ini mengarah ke persamaan seperti 5( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i )
( 2 + i ) ( 2 − i ) , which prove that in Z[i], it is not true that factorizations are unique up to the order of the factors.
( 2 + i ) ( 2 − i ) , yang membuktikan Z[i], tidak benar bahwa faktorisasi bersifat unik hingga urutan faktor-faktornya.
However, even with this weaker definition, many rings of integers in algebraic number fields do not admit unique factorization.
Namun, bahkan dengan definisi yang lebih lemah ini, banyak cincin bilangan bulat dalam bidang bilangan aljabar tidak menerima faktorisasi unik.
These are the elements that cannot be factored any further.
Ini adalah elemen yang tidak dapat difaktorkan lebih jauh.
Every element in O admits a factorization into irreducible elements, but it may admit more than one.
Setiap elemen dalam O mengakui faktorisasi menjadi elemen yang tidak dapat direduksi, tetapi dapat menerima lebih dari satu.
For example, consider the ring Z[√-5].
Misalnya, perhatikan cincinnya Z[√-5].
In this ring, the numbers 3, 2 + √-5 and 2 - √-5 are irreducible.
Di ring ini, angka 3, 2 + √-5 dan 2 - √-5 tidak bisa direduksi.
This means that the number 9 has two factorizations into irreducible elements, 93 2( 2 + − 5 ) ( 2 − − 5 ) .
Ini berarti bilangan 9 memiliki dua faktorisasi menjadi elemen yang tidak dapat direduksi, 93 2( 2 + − 5 ) ( 2 − − 5 ) .
This equation shows that 3 divides the product (2 + √-5)(2 - √-5)9.
Persamaan ini menunjukkan bahwa 3 membagi hasil kali (2 + √-5)(2 - √-5)9.
If 3 were a prime element, then it would divide 2 + √-5 or 2 - √-5, but it does not, because all elements divisible by 3 are of the form 3a + 3b√-5.
Jika 3 adalah elemen prima, maka elemen tersebut akan membagi 2 + √-5 atau 2 - √-5, tetapi tidak, karena semua elemen yang habis dibagi oleh 3 berbentuk 3a + 3b√-5.
Similarly, 2 + √-5 and 2 - √-5 divide the product 32, but neither of these elements divides 3 itself, so neither of them are prime.
Demikian pula, 2 + √-5 dan 2 - √-5 bagi produk 32, tapi tidak satu pun dari elemen ini yang membagi 3 sendiri, jadi tidak satu pun dari mereka adalah bilangan prima.
As there is no sense in which the elements 3, 2 + √-5 and 2 - √-5 can be made equivalent, unique factorization fails in Z[√-5].
Seperti tidak ada rasa di mana elemen 3, 2 + √-5 dan 2 - √-5 dapat dibuat setara, faktorisasi unik gagal masuk Z[√-5].
Unlike the situation with units, where uniqueness could be repaired by weakening the definition, overcoming this failure requires a new perspective.
Berbeda dengan situasi unit, di mana keunikan dapat diperbaiki dengan melemahkan definisi, mengatasi kegagalan ini membutuhkan perspektif baru.
This is a consequence of Minkowski's theorem since there are only finitely many integral ideals with norm less than a fixed positive integer page 78.
Ini adalah konsekuensi dari Teorema Minkowski karena hanya ada banyak Integral ideal dengan norma kurang dari bilangan bulat positif tetap halaman 78.
The order of the class group is called the class number, and is often denoted by the letter h.
Urutan kelompok kelas disebut nomor kelas, dan sering dilambangkan dengan huruf h.
Hilbert reformulated the reciprocity laws as saying that a product over p of Hilbert symbols (a,b/p), taking values in roots of unity, is equal to 1.
Hilbert merumuskan kembali hukum timbal balik yang mengatakan bahwa produk melebihi p dari simbol Hilbert (a,b/p), mengambil nilai-nilai dalam akar persatuan, sama dengan 1.
Algebraic number theory interacts with many other mathematical disciplines.
Teori bilangan aljabar berinteraksi dengan banyak disiplin matematika lainnya.
Via the analogy of function fields vs. number fields, it relies on techniques and ideas from algebraic geometry.
Melalui analogi bidang fungsi vs. bidang angka, ini bergantung pada teknik dan ide dari geometri aljabar.
Moreover, the study of higher-dimensional schemes over Z instead of number rings is referred to as arithmetic geometry.
Selain itu, studi tentang skema berdimensi lebih tinggi di atas Z daripada cincin angka disebut sebagai geometri aritmetika.
Algebraic number theory is also used in the study of arithmetic hyperbolic 3-manifolds.
Teori bilangan aljabar juga digunakan dalam studi aritmetika hiperbolik 3-manifold.
[1967], Algebraic number theory (2nd ed.), London: 9780950273426, MR 0215665 Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin J. (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43834-9, MR 1215934 Lang, Serge (1994), Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 110 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723 Neukirch, Jürgen (1999).
[1967], Algebraic number theory (Edisi 2nd), London: 9780950273426, MR 0215665 Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin J. (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43834-9, MR 1215934 Lang, Serge (1994), Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 110 (Edisi 2), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723 Neukirch, Jürgen (1999).