Let T : V → W be a linear transformation between two vector spaces where T 's domain V is finite dimensional.
Misalkan T : V → W adalah transformasi linear antara dua ruang vektor, dengan domain V dari T adalah dimensi hingga.
Explicitly, since T induces an isomorphism from V / Ker ⁡ ( T ) (T)} to Im ⁡ ( T ) , (T),} the existence of a basis for V that extends any given basis of Ker ⁡ ( T ) (T)} implies, via the splitting lemma, that Im ⁡ ( T ) ⊕ Ker ⁡ ( T ) ≅ V .
Secara eksplisit, karena T menginduksi isomorfisme dari V⁄Ker(T) ke Im(T), keberadaan basis untuk V yang memperluas basis apa pun dari Ker(T) menyiratkan, dengan lema pembagian, bahwa Im(T) ⊕ Ker(T) ≅
Linear maps can be represented with matrices.
Peta linear dapat direpresentasikan dengan matriks.
More precisely, an m × n matrix M represents a linear map f : F n → F m , \to F^{m},} where F is the underlying field.
Lebih presisi, matriks M dengan dimensi m × n merepresentasikan peta linear f :
This means that there are linear maps not given by matrices for which the theorem applies.
Ini berarti bahwa terdapat peta linear yang tidak dituliskan oleh matriks yang diaplikasikan oleh teorema ini.
Thus, owing to the linearity of T , it follows that T ( ∑ j1 n − k α j w j )0 W ⟹ ( ∑ j1 n − k α j w j ) ∈ Ker ⁡ TSpan ⁡ K ⊂ V .
Misalkan T(S) tidak bebas secara linear, dan misalkan ∑ j1 n − k α j T ( w j )0 W ^{n-k}\alpha _{j}T(w_{j})=0_{W}} untuk beberapa αj ∈ F. Maka, oleh karena linearitas dari T, dapat disimpulkan bahwa T ( ∑ j1 n − k α j w j )
^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)=0_{W}\implies \left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)\in \operatorname {Ker} T=\operatorname {Span} {\mathcal {K}}\subset V.}
^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)=0_{W}\implies \left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)\in \operatorname {Ker} T=\operatorname {Span} {\mathcal {K}}\subset V.} Ini adalah kontradiksi terhadap B sebagai basis, kecuali seluruh αj bernilai nol.
={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}.} Let X( − B I n − r ) ,{\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}},} where I n − r _{n-r}} is the ( n − r ) × ( n − r ) identity matrix.
={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}.} Misalkan X( − B I n − r ) ,{\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}},} dengan In-r adalah matriks identitas (n-r) × (n-r).
So, X } is an n × ( n − r ) matrix such that A X( A 1 A 1 B ) ( − B I n − r )− A 1 B + A 1 B0 m × ( n − r ) .
Maka, X adalah matriks {{math|n × (n-r) yang A X( A 1 A 1 B ) ( − B I n − r )− A 1 B + A 1 B0 m × ( n − r ) .
\mathbf {X}{\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}=-\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} +\mathbf {A} _{1}\mathbf {B}\mathbf {0} _{m\times (n-r)}.} Therefore, each of the n − r columns of X } are particular solutions of A
\mathbf {X}{\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}=-\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} +\mathbf {A} _{1}\mathbf {B}\mathbf {0} _{m\times (n-r)}.} Oleh karena itu, setiap kolom n-r dari X adalah solusi khusus untuk
Therefore, A u0 F m ⟹ ( A 1 A 1 B ) ( u 1 u 2 )A 1 u 1 + A 1 B u 2A 1 ( u 1 + B u 2 )0 F m ⟹ u 1 + B u 20 F r ⟹ u 1− B u 2 {rcl}\mathbf {A} \mathbf {u} &=&\mathbf {0} _{{F}^{m}}\\\implies {\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}&=&\mathbf {A} _{1}\mathbf {u} _{1}+\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {A} _{1}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2})&=&\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}\\\implies \mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\implies \mathbf {u} _{1}&=&-\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}\end{array}}} ⟹ u( u 1 u 2 )( − B I n − r ) u 2X u 2 .
0 F m ⟹ u 1 + B u 20 F r ⟹ u 1− B u 2 {rcl}\mathbf {A} \mathbf {u} &=&\mathbf {0} _{{F}^{m}}\\\implies {\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}&=&\mathbf {A} _{1}\mathbf {u} _{1}+\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {A} _{1}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2})&=&\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}\\\implies \mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\implies \mathbf {u} _{1}&=&-\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}\end{array}}} ⟹ u( u 1 u 2 )
This proves that any vector u } that is a solution of A x0\mathbf {0} } must be a linear combination of the n − r special solutions given by the columns of X } .
Sekarang kita buktikan bahwa setiap solusi dari Ax0Fm harus merupakan kombinasi linear dari kolom X. Untuk itu, pertama, kita tuliskan bahwa u( u 1 u 2 ) ∈ F n{\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}\in {F}^{n}} merupakan vektor apa
This theorem is a statement of the first isomorphism theorem of algebra for the case of vector spaces; it generalizes to the splitting lemma.
Teorema kenolan peringkat ini adalah pernyataan dari teorema isomorfisme pertama dari aljabar untuk kasus ruang vektor; teorema ini menggeneralisasi lema pembagian.
In more modern language, the theorem can also be phrased as saying that each short exact sequence of vector spaces splits.
Pada bahasa yang lebih modern, teorema ini juga dapat difrasakan sebagai pernyataan yang mengatakan bahwa setiap barisan eksak pendek dari setiap ruang vektor terbagi.
0. ^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0.} The rank–nullity theorem for finite-dimensional vector spaces may also be formulated in terms of the index of a linear map.
0. ^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0.} Teorema kenolan perangkat untuk ruang vektor berimensi hingga dapat juga diformulasikan dalam hal indeks pada peta linear.
Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.).
Undergraduate Texts in Mathematics (Edisi 3).
Linear Algebra (4th ed.).
Linear Algebra (Edisi 4).
Gilbert Strang, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces, from MIT OpenCourseWare
Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link) Gilbert Strang, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces, dari MIT OpenCourseWare