That is, 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3( 1 + 2 + 3 + ⋯ + n ) 2 .
Jumlah tersebut dirumuskan sebagai 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3( 1 + 2 + 3 + ⋯ + n ) 2 .
Many early mathematicians have studied and provided proofs of Nicomachus's theorem.
Banyak matematikawan pada awalnya telah mempelajari dan memberikan bukti teorema Nicomachus.
Pengelley (2002) finds references to the identity not only in the works of Nicomachus in what is now Jordan in the first century CE, but also in those of Aryabhata in India in the 5th century, and in those of Al-Karaji c. 1000 in Persia.
menemukan sumber untuk identitas yang tidak hanya dalam karya Nicomachus di Jordan pada abad pertama M. Sumber identitas tersebut juga ditemukan dalam karya Aryabhata di India pada abad kelima, dan karya Al-Karaji sekitar 1000 di Persia.
Bressoud (2004) mentions several additional early mathematical works on this formula, by Al-Qabisi (10th century Arabia), Gersonides (c. 1300, France), and Nilakantha Somayaji (c. 1500, India); he reproduces Nilakantha's visual proof.
menyebutkan beberapa karya matematika pada rumus ini ditambahkan oleh Al-Qabisi di Arab pada abad kesepuluh, Gersonides di Prancis sekitar tahun 1300, dan Nilakantha Somayaji di India sekitar 1500; ia menyalin kembali bukti visual Nilakantha.
For instance, the points of a 4 × 4 grid (or a square made up of three smaller squares on a side) can form 36 different rectangles.
Sebagai contoh, titik-titik dari 4 × 4 kisi (atau persegi yang terdiri dari tiga persegi kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda.
Then, the probability that W is the largest of the four numbers equals the probability that Y is at least as large as X and that W is at least as large as Z .
Maka, probabilitas mengatakan bahwa W adalah bilangan bulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas yang mengatakan Y setidaknya sebesar X , dan W setidaknya sebesar Z P ( max ( X , Y , Z ) ≤ W )
The probabilities themselves are respectively the left and right sides of the Nichomachus identity, normalized to make probabilities by dividing both sides by n 4 } .
Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh n 4 } .
Charles Wheatstone (1854) gives a particularly simple derivation, by expanding each cube in the sum into a set of consecutive odd numbers.
Charles Wheatstone (1854) memberikan pembuktian yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap bilangan kubik dalam penjumlahan menjadi suatu himpunan dari bilangan ganjil yang berurutan.
He begins by giving the identity n 3( n 2 − n + 1 ) + ( n 2 − n + 1 + 2 ) + ( n 2 − n + 1 + 4 ) + ⋯ + ( n 2 + n − 1 ) ⏟ n consecutive odd numbers .
+ ( n 2 − n + 1 + 2 ) + ( n 2 − n + 1 + 4 ) + ⋯ + ( n 2 + n − 1 ) ⏟ n bilangan ganjil berurutan .
=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.} That identity is related to triangular numbers T n } in the following way: n 3∑ kT n − 1 + 1 T n ( 2 k − 1 ) ,\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),} and thus the summands forming n 3 } start off just after those forming all previous values 1 3 } up to ( n − 1 ) 3 } .
=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ bilangan ganjil berurutan }}}.} Identitas tersebut berkaitan dengan bilangan segitiga T n } yang disederhankan sebagai: n 3∑ kT n − 1 + 1 T n ( 2 k − 1 ) .
Applying this property, along with another well-known identity: n 2∑ k1 n ( 2 k − 1 ) ,\sum _{k=1}^{n}(2k-1),} produces the following derivation: ∑ k1 n k 31 + 8 + 27 + 64 + ⋯ + n 31 ⏟ 1 3 + 3 + 5 ⏟ 2 3 + 7 + 9 + 11 ⏟ 3 3 + 13 + 15 + 17 + 19 ⏟ 4 3 + ⋯ + ( n 2 − n + 1 ) + ⋯ + ( n 2 + n − 1 ) ⏟ n 31 ⏟ 1 2 + 3 ⏟ 2 2 + 5 ⏟ 3 2 + ⋯ + ( n 2 + n − 1 ) ⏟ ( n 2 + n 2 ) 2( 1 + 2 + ⋯ + n ) 2( ∑ k1 n k ) 2 .
Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya: n 2∑ k1 n ( 2 k − 1 ) ,\sum _{k=1}^{n}(2k-1),} maka akan menghasilkan bentuk berikut: ∑ k1 n k 31 + 8 + 27 + 64 + ⋯ + n 31 ⏟ 1 3 + 3 + 5 ⏟ 2 3 + 7 + 9 + 11 ⏟ 3 3 + 13 + 15 + 17 + 19 ⏟ 4 3 + ⋯ + ( n 2 − n + 1 ) + ⋯ + ( n 2 + n − 1 ) ⏟ n 31 ⏟ 1 2 + 3 ⏟ 2 2 + 5 ⏟ 3 2 + ⋯ + ( n 2 + n − 1 ) ⏟ ( n 2 + n 2 ) 2( 1 + 2 + ⋯ + n ) 2( ∑ k1 n k ) 2 .
\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.\end{aligned}}} Row (1893) obtains another proof by summing the numbers in a square multiplication table in two different ways.
\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}} (Row 1893) mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam suatu tabel perkalian persegi dengan dua cara berbeda.
Garrett & Hummel (2004) and Warnaar (2004) study polynomial analogues of the square triangular number formula, in which series of polynomials add to the square of another polynomial.
(Garrett & Hummel 2004) dan (Warnaar 2004) mempelajari polinomial dari rumus bilangan segitiga kuadrat, dengan deret pada polinomial bertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.