Proofs of the mathematical result that the rational number ⁠22/7⁠ is greater than π (pi) date back to antiquity.
Hasil pembuktian matematis mengenai nilai bilangan rasional 22 7 {7}}} lebih dari π (pi) telah ada sejak dahulu.
One of these proofs, more recently developed but requiring only elementary techniques from calculus, has attracted attention in modern mathematics due to its mathematical elegance and its connections to the theory of Diophantine approximations.
Salah satu pembuktiannya, baru-baru ini dikembangkan tetapi hanya memerlukan teknik dasar dari kalkulus, berhasil menarik perhatian matematika modern karena keindahan dan koneksinya dengan teori Hampiran Diophantus.
Stephen Lucas calls this proof "one of the more beautiful results related to approximating π".
Stephen Lucas menyebut bukti ini sebagai "salah satu hasil menawan yang berkaitan dengan hampiran π ".
Julian Havil ends a discussion of continued fraction approximations of π with the result, describing it as "impossible to resist mentioning" in that context.
Julian Havil mengakhiri diskusi mengenai penghampiran pecahan berlanjut dari π dengan hasil ini, menyebutnya sebagai "hal yang mustahil untuk tidak disinggung" pada konteks tersebut.
If one knows that π is approximately 3.14159, then it trivially follows that π < ⁠22/7⁠, which is approximately 3.142857.
Jika seseorang mengetahui kalau π memiliki nilai sekitar 3.14159 , maka secara trivial, dapat disimpulkan kalau π < 22 7 {7}}} , yakni sekitar 3.142857 .
But it takes much less work to show that π < ⁠22/7⁠ by the method used in this proof than to show that π is approximately 3.14159.
Dengan menggunakan metode pada pembuktian ini, menunjukkan π < 22 7 {7}}} jauh lebih mudah dibandingkan menunjukkan nilai π itu sekitar 3.14159 .
It is greater than π, as can be readily seen in the decimal expansions of these values: 22 73. 142 857 ¯ , π3.141 592 65 … {\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}} The approximation has been known since antiquity.
Bilangan tersebut bernilai lebih dari π , yang dapat dilihat dari representasi desimal dari kedua nilai tersebut: 22 73. 142 857 ¯ π3.141 592 65 … {\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}}\\\pi &=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}} Nilai hampiran tersebut telah diketahui sejak lama.
That the integral is positive follows from the fact that the integrand is non-negative; the denominator is positive and the numerator is a product of nonnegative numbers.
Hasil integral yang positif datang dari nilai integran yang non-negatif; bagian penyebutnya positif dan pembilangnya adalah hasil kali bilangan non-negatif.
It remains to show that the integral in fact evaluates to the desired quantity: 0 < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x∫ 0 1 x 4 − 4 x 5 + 6 x 6 − 4 x 7 + x 8 1 + x 2 d x expansion of terms in the numerator∫ 0 1 ( x 6 − 4 x 5 + 5 x 4 − 4 x 2 + 4 − 4 1 + x 2 )
Yang tersisa adalah menunjukkan nilai integralnya sama dengan 22 7 − π {7}}-\pi } ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x∫ 0 1 x 4 − 4 x 5 + 6 x 6 − 4 x 7 + x 8 1 + x 2 d x Hasil penjabaran suku-suku pada pembilang∫ 0 1 ( x 6 − 4 x 5 + 5 x 4 − 4 x 2 + 4 − 4 1 + x 2 )
d x using polynomial long division( x 7 7 − 2 x 6 3 + x 5 − 4 x 3 3 + 4 x − 4 arctan ⁡ x ) | 0 1 definite integration1 7 − 2 3 + 1 − 4 3 + 4 − π with arctan ⁡ ( 1 )π 4 and arctan ⁡ ( 0 )
d x Pembagian polinomial dengan cara bersusun( x 7 7 − 2 x 6 3 + x 5 − 4 x 3 3 + 4 x − 4 arctan ⁡ x ) | 0 1 Teorema dasar kalkulus1 7 − 2 3 + 1 − 4 3 + 4 − π Ingat bahwa arctan ⁡ ( 1 )
As discussed in Lucas (2005), the well-known Diophantine approximation and far better upper estimate ⁠355/113⁠ for π follows from the relation 0 <
π Seperti yang telah dibahas pada (Lucas 2005), hampiran Diophantus 355 113 {113}}} yang terkenal dan estimasi atas yang lebih baik untuk π dapat diperoleh dari 0 <
^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi .} 355 1133.141 592 92 … , {113}}=3.141\,592\,92\ldots ,} where the first six digits after the decimal point agree with those of π.
d x355 113 − π ^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi } 355 1133.141 592 92 … {113}}=3.141\,592\,92\ldots } di mana enam digit pertama setelah tanda koma serasi dengan enam digit pertama dari π .
6328 d x911 5 261 111 8560.000 000 173 … , ^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{6328}}\,dx={\frac {911}{5\,261\,111\,856}}=0.000\,000\,173\ldots ,} substituting 0 for x in the denominator, we get twice this value as an upper bound, hence 355 113 − 911 2 630 555 928 < π < 355 113 − 911 5 261 111 856 .
x911 2 630 555 928 ≈ 0.000 000 173 … ^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164}}\,dx={\frac {911}{2\,630\,555\,928}}\approx 0.000\,000\,173\ldots } Substitusikan nilai 1 pada variabel x di bagian penyebut, maka diperoleh setengah dari nilai ini sebagai batas bawahnya, sehingga 355 113 − 911 2 630 555 928 < π < 355 113 − 911 5 261 111 856 {113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}}
For n2 we get 1 4 ∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 1 + x 2 d xπ − 47 171 15 015 {4}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {47\,171}{15\,015}}} and 1 8 ∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 d
Perhatikan bahwa ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 d x1 630 dan ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 2 d x1 1260 ^{1}x^{4}\left(1-x\right)^{4}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{630}}\qquad {\text{dan}}\qquad \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{1260}}} Sehingga, ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 2 d x < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 d
x1 1 750 320 , {8}}\int _{0}^{1}x^{8}(1-x)^{8}\,dx={\frac {1}{1\,750\,320}},} hence 3.141 592 31 < π < 3.141 592 89, where the bold digits of the lower and upper bound are those of π.
d x355 113 − π ^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi } 355 1133.141 592 92 … {113}}=3.141\,592\,92\ldots } di mana enam digit pertama setelah tanda koma serasi dengan enam digit pertama dari π .
Similarly for n3, 1 16 ∫ 0 1 x 12 ( 1 − x ) 12 1 + x 2 d x431 302 721 137 287 920 − π {16}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{12}\left(1-x\right)^{12}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-\pi } with correction term and error bound 1 32 ∫ 0 1 x 12 ( 1 − x ) 12 d x1 2 163 324 800 , {32}}\int _{0}^{1}x^{12}(1-x)^{12}\,dx={\frac {1}{2\,163\,324\,800}},} hence 3.141 592 653 40 < π < 3.141 592 653 87.
d x355 113 − π ^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi } 355 1133.141 592 92 … {113}}=3.141\,592\,92\ldots } di mana enam digit pertama setelah tanda koma serasi dengan enam digit pertama dari π .
The next step for n4 is 1 64 ∫ 0 1 x 16 ( 1 − x ) 16 1 + x 2 d xπ − 741 269 838 109 235 953 517 800 {64}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{16}(1-x)^{16}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}} with 1 128 ∫ 0 1 x 16 ( 1 − x ) 16 d x1 2 538 963 567 360 , {128}}\int _{0}^{1}x^{16}(1-x)^{16}\,dx={\frac {1}{2\,538\,963\,567\,360}},} which gives 3.141 592 653 589 55 < π < 3.141 592 653 589 96.
Perhatikan bahwa ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 d x1 630 dan ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 2 d x1 1260 ^{1}x^{4}\left(1-x\right)^{4}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{630}}\qquad {\text{dan}}\qquad \int _{0}^{1}{\dfrac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,{\text{d}}x={\dfrac {1}{1260}}} Sehingga, ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 2 d x < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 d
Approximations of π Chronology of computation of π Lindemann–Weierstrass theorem (proof that π is transcendental)
Hampiran dari π Kronologi dari komputasi bilangan π Teorema Lindemann–Weierstrass (bukti bahwa π adalah Bilangan transenden)
List of topics related to π Proof that π is irrational The problems of the 1968 Putnam competition, with this proof listed as question A1.
Daftar topik yang berkaitan dengan π Bukti bahwa π merupakan bilangan irasional The problems of the 1968 Putnam competition, with this proof listed as question A1.