d x . {\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}
d x +1)^{7}(x^{2})\,dx} .
Set u2 x 3 + 1. +1.}
Kumpulan nilai u2 x 3 + 1 +1} .
Now: ∫ ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( x 2 )
Sekarang ∫ ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( x 2 )
d d x [ 1 48 ( 2 x 3 + 1 ) 8 + C ]1 6 ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( 6 x 2 )
d d x [ 1 48 ( 2 x 3 + 1 ) 8 ]1 6 ( 2 x 3 + 1 ) 7 ( 6 x 2 )
{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).} For definite integrals, the limits of integration must also be adjusted, but the procedure is mostly the same.
{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).} Untuk integral tertentu, batas integrasi juga harus disesuaikan, tetapi prosedurnya sebagian besar sama.
Then: ∫ a b f ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x )
∫ a b f ( φ ( x ) )
d x∫ g ( a ) g ( b ) f ( u )
d x∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u )
d u d xg ′ ( x ) .
d x∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u )
{dx}}=g'(x).} Working heuristically with infinitesimals yields the equation d ug ′ ( x )
{dx}}=\varphi '(x).} Bekerja secara heuristik dengan infinitesimal, menghasilkan persamaan d uφ ′ ( x )
d x , which suggests the substitution formula above.
d x , Hasil rumus substitusi di atas.
(This equation may be put on a rigorous foundation by interpreting it as a statement about differential forms.)
(Persamaan ini dapat diletakkan di atas dasar yang kuat dengan menafsirkannya sebagai pernyataan tentang bentuk diferensial.)
One may view the method of integration by substitution as a partial justification of Leibniz's notation for integrals and derivatives.
Seseorang dapat melihat metode integrasi dengan substitusi sebagai justifikasi parsial pada notasi Leibniz untuk integral dan turunan.
Integration by substitution can be derived from the fundamental theorem of calculus as follows.
Integrasi dengan substitusi dapat diturunkan dari teorema dasar kalkulus sebagai berikut.
d x ^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx} and ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u )
d x ^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx} dan ∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u )
d u ^{g(b)}f(u)\ du} in fact exist, and it remains to show that they are equal.
d u ^{\varphi (b)}f(u)\,du} darimana uφ(x) pada kenyataannya ada, dan tetap menunjukkan bahwa mereka setara.
′ ( x )F ′ ( g ( x ) )
Setelah itu fungsi pada f(φ(x))φ′(x)
d x∫ a b ( F ∘ g ) ′ ( x )
d x∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u )
d x( F ∘ g ) ( b ) − ( F ∘ g ) ( a )F ( g ( b ) )
d x∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u )
d u , \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}F'(u)\,du=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du,\end{aligned}}} which is the substitution rule.
d u , \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}} yang merupakan aturan substitusi.
Consider the integral: ∫ x cos ⁡ ( x 2 + 1 )
Perhatikan integral berikut ∫ 0 2 x cos ⁡ ( x 2 + 1 )
d x . +1)\ dx.} Make the substitution ux 2 + 1 {\textstyle u=x^{2}+1} to obtain d u2 x d x , meaning x d x1 2 d u .
d x ^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx} Jika kita melakukan substitusi u(x2 + 1), maka diperoleh du2x dx, sehingga x dx½du.
{\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}
d x +1)^{7}(x^{2})\,dx} .
Therefore: ∫ x cos ⁡ ( x 2 + 1 ) d x1 2 ∫ 2 x cos ⁡ ( x 2 + 1 ) d x1 2 ∫ cos ⁡ u d u1 2 sin ⁡ u + C1 2 sin ⁡ ( x 2 + 1 ) + C , \int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}} where C is an arbitrary constant of integration.
d x1 2 ∫ cos ⁡ u d u1 2 sin ⁡ u + C1 2 sin ⁡ ( x 2 + 1 ) + C &{}\quad \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&{}={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C\end{aligned}}} Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Kalkulus/Transendental Awal (Edisi Single Variable), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3 Ferzola, Anthony P. (1994), "Euler dan perbedaan", Jurnal Matematika Perguruan Tinggi, 25 (2): 102–111, doi:10.2307/2687130 Fremlin, D.H. (2010), Teori Ukur, Volume 2, Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4.
Using the substitution ucos ⁡ x gives d u− sin ⁡ x d x and ∫ tan ⁡ x d x∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x∫ − d u u− ln ⁡ | u | + C− ln ⁡ | cos ⁡ x | + Cln ⁡ | sec ⁡ x | + C .
sin(u), dxcos(u) du, karena ( 1 − sin 2 ⁡ ( u ) )cos ⁡ ( u ) (u))}}=\cos(u)} : ∫ 0 1 1 − x 2 d x∫ 0 π 2 1 − sin 2 ⁡ ( u ) cos ⁡ ( u )
Consider the integral: ∫ 0 2 x x 2 + 1 d x .
Perhatikan integral berikut ∫ 0 2 x cos ⁡ ( x 2 + 1 )
^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx.} Make the substitution ux 2 + 1 {\textstyle u=x^{2}+1} to obtain d u2 x d x , meaning x d x1 2 d u .
d x ^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx} Jika kita melakukan substitusi u(x2 + 1), maka diperoleh du2x dx, sehingga x dx½du.
The substitution xsin ⁡ u implying d xcos ⁡ u d u is useful because 1 − sin 2 ⁡ ucos ⁡ u .
sin(u), dxcos(u) du, karena ( 1 − sin 2 ⁡ ( u ) )cos ⁡ ( u ) (u))}}=\cos(u)} : ∫ 0 1 1 − x 2 d x∫ 0 π 2 1 − sin 2 ⁡ ( u ) cos ⁡ ( u )
{\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.} We thus have: ∫ 0 1 1 − x 2 d x∫ 0 π / 2 1 − sin 2 ⁡ u cos ⁡ u d u∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ u d u[ u 2 + sin ⁡ ( 2 u ) 4 ] 0 π / 2π 4 + 0π 4 .
sin(u), dxcos(u) du, karena ( 1 − sin 2 ⁡ ( u ) )cos ⁡ ( u ) (u))}}=\cos(u)} : ∫ 0 1 1 − x 2 d x∫ 0 π 2 1 − sin 2 ⁡ ( u ) cos ⁡ ( u )
\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}
\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}} Perlu diingat bahwa di sini batas bawah x0 diganti dengan u02 + 11, dan batas atas x2 diganti dengan u22 + 15, sehingga dalam kasus ini u tidak perlu diubah kembali menjadi x. Untuk integral ∫ 0 1 1 − x 2 d x ^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx} Substitusi yang sebaiknya dilakukan adalah x
d x∫ S p X ( ϕ − 1 ( y ) ) |
d x∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u )
d ϕ − 1 d y | d y .
d x∫ φ ( a ) φ ( b ) f ( u )
p X ( ϕ − 1 ( y ) ) | det D ϕ − 1 ( y ) | .
F ′ ( φ ( x ) ) φ ′ ( x )f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) .