Before giving a formal definition of universal properties, we offer some motivation for studying such constructions.
Sebelum memberikan definisi formal tentang sifat universal, kami menawarkan beberapa motivasi untuk mempelajari konstruksi.
Proofs often become short and elegant if the universal property is used rather than the concrete details.
Bukti sering kali menjadi singkat dan elegan jika menggunakan sifat universal daripada detail konkret.
For example, the tensor algebra of a vector space is slightly complicated to construct, but much easier to deal with by its universal property.
Misalnya, aljabar tensor dari sebuah ruang vektor agak sulit untuk dibuat, tetapi menggunakan sifat universal membuatnya lebih mudah untuk ditangani.
Universal properties define objects uniquely up to a unique isomorphism.
Properti universal mendefinisikan objek secara hingga isomorfisme.
Therefore, one strategy to prove that two objects are isomorphic is to show that they satisfy the same universal property.
Oleh karena itu, salah satu strategi untuk membuktikan bahwa dua objek isomorfik adalah dengan menunjukkan bahwa sifat universal yang sama.
Universal properties occur everywhere in mathematics.
Sifat universal terjadi di mana-mana dalam matematika.
By understanding their abstract properties, one obtains information about all these constructions and can avoid repeating the same analysis for each individual instance.
Dengan memahami sifat abstraknya, seseorang memperoleh informasi tentang semua konstruksi ini dan dapat menghindari pengulangan analisis yang sama untuk setiap contoh individu.
To understand the definition of a universal construction, it is important to look at examples.
Untuk memahami definisi konstruksi universal, penting untuk melihat contoh.
Universal constructions were not defined out of thin air, but were rather defined after mathematicians began noticing a pattern in many mathematical constructions (see Examples below).
Konstruksi universal tidak ditentukan begitu saja, tetapi ditentukan setelah matematikawan mulai memperhatikan pola dalam banyak konstruksi matematika (lihat Contoh di bawah).
Hence, the definition may not make sense to one at first, but will become clear when one reconciles it with concrete examples.
Oleh karena itu, definisi tersebut mungkin tidak masuk akal bagi seseorang pada awalnya, tetapi akan menjadi jelas ketika seseorang menggabungkannya dengan contoh konkret.
Let F : C → D }\to {\mathcal {D}}} be a functor between categories C }} and D }} .
Maka F : C → D menjadi fungsi antara kategori C dan D .
In what follows, let X be an object of D }} , A and A ′ be objects of C }} , and h : A → A ′ be a morphism in C }} .
Selanjutnya, misalkan X menjadi objek D , sedangkan A dan A ′ adalah objek C .
Then, the functor F maps A , A ′ and h in C }} to F ( A ) , F ( A ′ ) and F ( h ) in D }} .
Jadi, funktor F memetakan A , A ′ dan h pada C ke F ( A ) , F ( A ′ ) dan F ( h ) dalam D .
A universal morphism from X to F is a unique pair ( A , u :
Sebuah morfisme universal dari F hingga X adalah ( A , u : F ( A ) → X ) yang memenuhi sifat universal berikut.
X → F ( A ) ) which has the following property, commonly referred to as a universal property: For any morphism of the form f : X → F ( A ′ ) in D }} , there exists a unique morphism h : A → A ′ {\displaystyle h:A\to
Sebuah morfisme universal dari F hingga X adalah ( A , u : F ( A ) → X ) yang memenuhi sifat universal berikut.
Both definitions are necessary to describe universal constructions which appear in mathematics; but they also arise due to the inherent duality present in category theory.
Kedua definisi tersebut diperlukan untuk menjelaskan konstruksi universal yang muncul dalam matematika; tetapi mereka juga muncul karena dualitas inheren yang ada dalam teori kategori.
In either case, we say that the pair ( A , u ) which behaves as above satisfies a universal property.
Dalam kedua kasus, bahwa ( A , u ) di atas memenuhi sifat universal.
Let F : C → D }\to {\mathcal {D}}} be a functor and X an object of D }} .
Maka F : C → D menjadi funktor dan X sebuah objek dari D .
Then for every object ( A ′ , f : X → F ( A ′ ) ) , there exists a unique morphism h : A → A ′ {\displaystyle h:A\to
Kemudian untuk setiap objek ( A ′ , f : F ( A ′ ) → X ) , morfisme h : A ′ → A {\displaystyle h:A'\to
Note that the equality here simply means the diagrams are the same.
Perhatikan bahwa persamaan berarti diagramnya sama.
Also note that the diagram on the right side of the equality is the exact same as the one offered in defining a universal morphism from X to F .
Juga perhatikan bahwa diagram di sisi kanan persamaan adalah sama persis dengan yang ditawarkan dalam mendefinisikan morfisme universal dari X ke F .
Therefore, we see that a universal morphism from X to F is equivalent to an initial object in the comma category ( X ↓ F ) .
Oleh karena itu, kita melihat bahwa morfisme universal dari X hingga F setara dengan objek awal dalam kategori koma X ↓ F .
→ X ) to ( B ′ , f ′ : F ( B ′ ) → X ) is given by a morphism h : B → B ′ in C }} such that the diagram commutes: Suppose ( A , u : F ( A )
} , di mana B adalah sebuah objek C Morfisme dari ( B , f : X → F ( B ) ) ke ( B ′ , f ′ : X → F ( B ′ ) ) morfisme h : B → B ′ dengan C sehingga diagram:
→ X ) is a terminal object in ( F ↓ X ) .
→ X ) adalah objek terminal ( F ↓ X ) .
Then for every object ( A ′ , f : F ( A ′ ) → X ) , there exists a unique morphism h : A ′ → A {\displaystyle h:A'\to
Kemudian untuk setiap objek ( A ′ , f : F ( A ′ ) → X ) , morfisme h : A ′ → A {\displaystyle h:A'\to
The diagram on the right side of the equality is the same diagram pictured when defining a universal morphism from F to X .
Diagram di sisi kanan persamaan adalah diagram yang sama yang digambarkan saat mendefinisikan morfisme universal dari F ke X .
Hence, a universal morphism from F to X corresponds with a terminal object in the comma category ( F ↓ X ) .
Oleh karena itu, morfisme universal dari F hingga X sesuai dengan objek terminal dalam kategori koma F ↓ X .
Below are a few examples, to highlight the general idea.
Di bawah ini adalah beberapa contoh, untuk menyoroti gagasan umum.
The reader can construct numerous other examples by consulting the articles mentioned in the introduction.
Pembaca dapat membuat banyak contoh lain dengan membaca artikel yang disebutkan dalam pendahuluan.
Let C }} be the category of vector spaces K -Vect over a field K and let D }} be the category of algebras K -Alg over K (assumed to be unital and associative).
Misalkan C menjadi kategori ruang vektor K -Vekt di atas bidang K dan biarkan D menjadi kategori aljabar K -Alj di atas K (diasumsikan sebagai unital dan asosiatif).
Given any vector space V over K we can construct the tensor algebra T ( V ) .
Diberikan ruang vektor V di atas K kita bisa membuat tensor algebra T ( V ) .
This statement is an initial property of the tensor algebra since it expresses the fact that the pair ( T ( V ) , i ) , where i : V → U ( T ( V ) ) is the inclusion map, is a universal morphism from the vector space V to the functor U .
Aljabar tensor dicirikan oleh fakta: Pernyataan ini adalah properti awal aljabar tensor karena menyatakan fakta bahwa ( T ( V ) , i ) , dimana i : V → U ( T ( V ) ) adalah peta inklusi, adalah morfisme universal dari ruang vektor V ke funktor U .
Since this construction works for any vector space V , we conclude that T is a functor from K
Karena konstruksi ini bekerja untuk setiap ruang vektor V , kami menyimpulkan bahwa T adalah funktor dari K -Vect ke K -Alj.
Let F : C → D }\to {\mathcal {D}}} be a functor and let X be an object of D }} .
Maka F : C → D menjadi funktor dan X sebuah objek dari D .
X → F ( B ) (f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)} for each object B in C .
Sekarang objek ( A , u : X → F ( A ) ) dengan ( X ↓ F ) adalah inisial.
→ Xu ∘ F ( f ) : F ( B ) → X (f:B\to A):F(B)\to
Sekarang objek ( A , u : X → F ( A ) ) dengan ( X ↓ F ) adalah inisial.
For each object X in C }} , ( F ( X ) , η X ) )} is a universal morphism from X to G .
Oleh karena itu, kita melihat bahwa morfisme universal dari X hingga F setara dengan objek awal dalam kategori koma X ↓ F .
They were later used extensively by Bourbaki.
Mereka kemudian digunakan secara ekstensif oleh Bourbaki.
Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.).
Graduate Texts in Mathematics 5 (Edisi 2nd).
A Categorical Primer. CiteSeerX 10.1.1.24.3264: formal introduction to category theory.
CiteSeerX 10.1.1.24.3264: ; pengantar formal untuk teori kategori.
WildCats is a category theory package for Mathematica.
WildCats adalah paket teori kategori untuk Mathematica.
Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
Manipulasi dan visualisasi objek, morfisme, kategori, funktor, transformasi natural, sifat universal.
The catsters, a YouTube channel about category theory.
The catsters, saluran YouTube tentang teori kategori.
Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
Video archive rekaman pembicaraan yang relevan dengan kategori, logika dan dasar-dasar fisika.