Squares on the edges of this triangle have areas in another geometric progression, 1 : φ : φ 2 } .
Persegi-persegi dengan sisinya yang membentuk segitiga ini memiliki luas dalam barisan geometri lainnya, yaitu 1 : φ : φ 2 } .
This triangle is named after Johannes Kepler, but can be found in earlier sources.
Segitiga ini dinamai dari Johannes Kepler, tetapi segitiga ini dapat ditemukan di sumber-sumber lainnya.
The Kepler triangle is named after the German mathematician and astronomer Johannes Kepler (1571–1630), who wrote about this shape in a 1597 letter.
Segitiga Kepler dinamai dari seorang matematikawan sekaligus astronom asal Jerman yang bernama Johannes Kepler (1571–1630), yang menulis bangun tersebut dalam makalahnya tahun 1597.
Two concepts that can be used to analyze this triangle, the Pythagorean theorem and the golden ratio, were both of interest to Kepler, as he wrote elsewhere: Geometry has two great treasures: one is the theorem of Pythagoras, the other the division of a line into extreme and mean ratio.
Dua konsep yang digunakan untuk menganalisis segitiga ini, yaitu teorema Pythagoras dan rasio emas, membuat Kepler terpesona, sehingga ia mengatakan: Geometri memiliki dua harta yang besar.
The first we may compare to a mass of gold, the second we may call a precious jewel.
Kita mula-mula dapat membandingkannya dengan massa emas, dan yang kedua kita menyebutnya permata berharga.
However, Kepler was not the first to describe this triangle.
Sayangnya, Kepler bukanlah orang yang pertama kali yang menjelaskan segitiga ini.
Many other theories of proportion have been proposed for the same pyramid, unrelated to the Kepler triangle.
Adapun banyak teori lain mengenai proporsisi diusulkan untuk piramida yang sama, tetapi tidak ada kaitannya dengan segitiga Kepler.
Because these different theories are very similar in the numeric values they obtain, and because of inaccuracies in measurement, in part caused by the destruction of the outer surface of the pyramid, such theories are difficult to resolve based purely on physical evidence.
Nilai-nilai numerik yang didapatkan pada teori-teori berbeda tersebut sangat mirip, dan oleh karena pengukurannya tidak akurat yang disebabkan karena sebagian permukaan luar piramida telah rusak.
Instead, the proportions of the pyramid can be adequately explained using integer ratios, based on a right triangle with sides 11 and 14.
Malahan, proporsisi piramida yang digunakan hanya cukup dijelaskan menggunakan perbandingan bilangan bulat, yang didasarkan pada segitiga siku-siku yang sisi-sisiniya masing-masing 11 dan 14.
The Kepler triangle is uniquely defined by the properties of being a right triangle and of having its side lengths in geometric progression, or equivalently having the squares on its sides in geometric progression.
Segitiga Kepler didefinisikan dengan sifat-sifat yang mengharuskannya berupa segitiga siku-siku dan juga memiliki panjang sisi panjang sisinya dalam barisan geometri, atau memiliki persegi dengan sisinya dalam barisan geometri.
The fact that the triangle with these proportions is a right triangle follows from the fact that, for squared edge lengths with these proportions, the defining polynomial of the golden ratio is the same as the formula given by the Pythagorean theorem for the squared edge lengths of a right triangle: φ 2φ + 1.\varphi +1.} Because this equation is true for the golden ratio, these three lengths obey the Pythagorean theorem, and form a right triangle.
Terlebih lagi, segitiga dengan proporsisi tersebut merupakan segitiga siku-siku, yang juga mengikuti bahwa, untuk panjang sisi yang dikuadratkan dengan proporsisi tersebut, polinomial dari rasio emas yang didefinisikan itu sama saja dengan rumus yang dinyatakan dalam bentuk teorema Pythagoras untuk panjang sisi terkuadrat dari segitiga siku-siku: φ 2φ + 1.\varphi +1.}
Conversely, in any right triangle whose squared edge lengths are in geometric progression with any ratio ρ , the Pythagorean theorem implies that this ratio obeys the identity ρ 2ρ + 1\rho +1} .
Sebaliknya, di sebarang segitiga siku-siku yang panjang sisi yang dikuadratkan itu berupa barisan geometri dengan sebarang rasio ρ , teorema Pythagoras menyiratkan bahwa rasio tersebut memenuhi identitas ρ 2ρ + 1\rho
The three edge lengths 1 , φ }} and φ are the harmonic mean, geometric mean, and arithmetic mean, respectively, of the two numbers φ ± 1 .
Tiga panjang sisi 1 , φ }} and φ masing-masing rataan harmonik, rataan geometri, dan rataan aritmetika, dari dua bilangan φ ± 1 .
These three ways of combining two numbers were all studied in ancient Greek mathematics, and are called the Pythagorean means.
Ketiga cara menggabungkan kedua bilangan ini dikaji di dalam matematika Yunani kuno, dan mereka dikenal dengan sebutan rataan Pythagoras.
Conversely, this can be taken as an alternative definition of the Kepler triangle: it is a right triangle whose edge lengths are the three Pythagorean means of some two numbers.
Berlaku sebaliknya, hal tersebut juga dipandang sebagai definisi alternatif segitiga Kepler, yang menjelaskan bahwa segitiga Kepler didefinisikan sebagai sebuah segitiga siku-siku yang panjang sisinya merupakan tiga rataan Pythagoras dari setiap dua bilangan.
The only triangles for which this is true are the Kepler triangles.
Satu-satunya segitiga yang memenuhi hal tersebut adalah segitiga Kepler.
If the short side of a Kepler triangle has length s , the other sides will have lengths s φ }} and s φ .
Jka sisi pendek dari suatu segitiga Kepler triangle memiliki panjang s , maka sisi lainnya memiliki panjang s φ }} dan s φ .
The cosine of the larger of the two non-right angles is the ratio of the adjacent side (the shorter of the two sides) to the hypotenuse, φ , from which it follows that the two non-right angles are θsin − 1 ⁡ 1 φ ≈ 38.1727 ∘ {\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }} and θcos − 1 ⁡ 1 φ ≈ 51.8273 ∘ .
Dari sini didapati bahwa dua sudut yang bukan siku-siku dirumuskan sebagai θsin − 1 ⁡ 1 φ ≈ 38.1727 ∘ {\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }} dan θcos − 1 ⁡ 1 φ ≈ 51.8273 ∘ .
{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }.} Jerzy Kocik has observed that the larger of these two angles is also the angle formed by the centers of triples of consecutive circles in Coxeter's loxodromic sequence of tangent circles.
{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }.} Jerzy Kocik mengamati bahwa dua sudut tersebut yang besar juga merupakan sudut yang dibentuk oleh pusat dari tiga pasang lingkaran yang berturut-turut di dalam barisan loksodromik lingkaran singgung Coxeter.
Automedian triangle, a triangle whose squared side lengths form an arithmetic progression, including the right triangle with side lengths 1 : 2 : 3 }:{\sqrt {3}}} Golden triangle, an isosceles triangle whose ratio of base to side length is the golden ratio.
Segitiga automedian, segitiga yang panjang sisi terkuadratnya membentuk sebuah barisan aritmetika, yang mencakup segitiga siku-siku yang panjang sisinya 1 : 2 : 3 }:{\sqrt {3}}} .