In mathematics, Midy's theorem, named after French mathematician E. Midy, is a statement about the decimal expansion of fractions a/p where p is a prime and a/p has a repeating decimal expansion with an even period (sequence A028416 in the OEIS).
Dalam matematika, Teorema Midy, dinamai dari ahli matematika Prancis E. Midy, adalah sebuah pernyataan tentang ekspansi desimal dari pecahan a/p di mana p adalah suatu bilangan prima dan a/p memiliki bilangan desimal berulang dengan periode genap (barisan A028416 pada OEIS).
If the period of the decimal representation of a/p is 2n, so that a p0. a 1 a 2 a 3 … a n a n + 1 … a 2 n ¯ {p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}} then the digits in the second half of the repeating decimal period are the 9s complement of the corresponding digits in its first half.
Jika periode dari representasi desimal a/p adalah 2n, sehingga a p0. a 1 a 2 a 3 … a n a n + 1 … a 2 n ¯ {p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}} maka digit pada paruh kedua dari periode desimal berulang merupakan komplemen 9 dari digit yang bersesuaian pada paruh pertamanya.
In other words, a i + a i + n9 +a_{i+n}=9} a 1 … a n + a n + 1 … a 2 n10 n − 1. \dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.}
Dengan kata lain, a i + a i + n9 +a_{i+n}=9} a 1 … a n + a n + 1 … a 2 n10 n − 1. {
076923 ¯ and 076 + 923999.
Sebagai contoh, 1 130. 076923 ¯ dan 076 + 923999.
{13}}=0.{\overline {076923}}{\text{ and }}076+923=999.} 1 170. 0588235294117647 ¯ and 05882352 + 9411764799999999.
{13}}=0.{\overline {076923}}{\text{ dan }}076+923=999.} 1 170. 0588235294117647 ¯ dan 05882352 + 9411764799999999.
{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}{\text{ and }}05882352+94117647=99999999.}
{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}{\text{ dan }}05882352+94117647=99999999.}
If k is any divisor of h (where h is the number of digits of the period of the decimal expansion of a/p (where p is again a prime)), then Midy's theorem can be generalised as follows.
Jika k adalah suatu pembagi dari h (di mana h adalah banyaknya digit periode dari ekspansi desimal a/p (di mana p kembali merupakan bilangan prima)), maka teorema Midy dapat digeneralisasi sebagai berikut.
The extended Midy's theorem states that if the repeating portion of the decimal expansion of a/p is divided into k-digit numbers, then their sum is a multiple of 10k − 1.
Teorema Midy yang diperluas menyatakan bahwa jika bagian berulang dari ekspansi desimal a/p dibagi menjadi angka-angka yang masing-masing terdiri dari k digit, maka jumlahnya merupakan kelipatan dari 10k – 1.
052631578947368421 ¯ {19}}=0.{\overline {052631578947368421}}} has a period of 18.
Sebagai contoh, 1 190. 052631578947368421 ¯ {19}}=0.{\overline {052631578947368421}}} memiliki periode 18.
Dividing the repeating portion into 6-digit numbers and summing them gives 052631 + 578947 + 368421999999.
Membagi bagian berulang menjadi angka-angka 6 digit dan menjumlahkannya menghasilkan 052631 + 578947 + 368421999999.
Similarly, dividing the repeating portion into 3-digit numbers and summing them gives 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 42129973 × 999.
Demikian pula, membaginya menjadi angka-angka 3 digit dan menjumlahkannya menghasilkan 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 42129973 × 999.
However, it is also possible to prove Midy's theorem using elementary algebra and modular arithmetic: Let p be a prime and a/p be a fraction between 0 and 1.
Namun, teorema Midy juga dapat dibuktikan menggunakan aljabar elementer dan aritmetika modular: Misalkan p bilangan prima dan a/p pecahan antara 0 dan 1.
Suppose the expansion of a/p in base b has a period of ℓ, so a p[ 0. a 1 a 2 … a ℓ ¯ ] b ⇒ a p b ℓ[ a 1 a 2 … a ℓ .
Misalkan ekspansi a/p pada basis b memiliki periode ℓ, sehingga a p[ 0. a 1 a 2 … a ℓ ¯ ] b ⇒ a p b ℓ[ a 1 a 2 … a ℓ .
a 1 a 2 … a ℓ ¯ ] b ⇒ a p b ℓN + [ 0. a 1 a 2 … a ℓ ¯ ] bN + a p ⇒ a pN b ℓ − 1 &{\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=[a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}} where N is the integer whose expansion in base b is the string a1a2...aℓ. Note that b ℓ − 1 is a multiple of p because (b ℓ − 1)a/p is an integer.
a 1 a 2 … a ℓ ¯ ] b ⇒ a p b ℓN + [ 0. a 1 a 2 … a ℓ ¯ ] bN + a p ⇒ a pN b ℓ − 1 &{\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=[a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}} di mana N adalah bilangan bulat yang ekspansinya dalam basis b adalah string a1a2...aℓ. Perhatikan bahwa bℓ – 1 merupakan kelipatan p karena (bℓ – 1)a/p adalah bilangan bulat.
Also bn−1 is not a multiple of p for any value of n less than ℓ, because otherwise the repeating period of a/p in base b would be less than ℓ. Now suppose that ℓhk.
Juga bn – 1 bukan kelipatan p untuk nilai n yang lebih kecil dari ℓ, karena jika tidak periode berulang dari a/p akan kurang dari ℓ. Sekarang misalkan ℓhk.
(To see this, substitute x for bk; then bℓxh and x − 1 is a factor of xh − 1. )
Maka bℓ – 1 merupakan kelipatan dari bk – 1. (Untuk melihat ini, gantikan x untuk bk; maka bℓxh dan x – 1 adalah faktor dari xh – 1.)
Say b ℓ − 1m(bk − 1), so a pN m ( b k − 1 ) .
Misalkan bℓ – 1m(bk – 1), sehingga a pN m ( b k − 1 ) .
But b ℓ − 1 is a multiple of p; bk − 1 is not a multiple of p (because k is less than ℓ ); and p is a prime; so m must be a multiple of p and a m pN b k − 1 {p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}} is an integer.
{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.} Tetapi bℓ – 1 merupakan kelipatan p; bk – 1 **bukan** kelipatan p (karena k kurang dari ℓ ); dan p prima; sehingga m harus merupakan kelipatan p dan a m pN b k − 1 {p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}} adalah bilangan bulat.
Nh − 1 in base b, so that N h − 1[ a 1 … a k ] b N h − 2[ a k + 1 … a 2 k ] b ⋮ N 0[ a l − k + 1 … a l ] b N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}} To prove Midy's extended theorem in base b we must show that the sum of the h integers Ni is a multiple of bk − 1.
[ a 1 … a k ] b N h − 2[ a k + 1 … a 2 k ] b ⋮ N 0[ a l − k + 1 … a l ] b N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}} Untuk membuktikan teorema Midy yang diperluas pada basis b, kita harus menunjukkan bahwa jumlah dari h bilangan Ni merupakan kelipatan dari bk – 1.
So N∑ i0 h − 1 N i b i k∑ i0 h − 1 N i ( b k )
Maka N∑ i0 h − 1 N i b i k∑ i0 h − 1 N i ( b k )
i ^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}} ⇒ N ≡ ∑ i0 h − 1 N i ( mod b k − 1 ) ^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}} ⇒ ∑ i0 h − 1 N i ≡ 0 ( mod b k − 1 ) ^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}} which proves Midy's extended theorem in base b. To prove the original Midy's theorem, take the special case where h2.
i ^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}} ⇒ N ≡ ∑ i0 h − 1 N i ( mod b k − 1 ) ^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}} ⇒ ∑ i0 h − 1 N i ≡ 0 ( mod b k − 1 ) ^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}} yang membuktikan teorema Midy yang diperluas di basis b. Untuk membuktikan teorema Midy yang asli, ambil kasus khusus di mana h2.
From the above, a m p {p}}} is an integer Thus m ≡ 0 ( mod p ) }}
Maka m ≡ 0 ( mod p ) }} Dan untuk kℓ 2 {2}}} b ℓ / 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle b^{\ell
And thus for kℓ 2 {2}}} b ℓ / 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) +1\equiv 0{\pmod {p}}} For kℓ 3 {3}}} and is an integer b 2 ℓ / 3 + b ℓ / 3 + 1 ≡ 0 ( mod p )
/2}+1\equiv 0{\pmod {p}}} Untuk kℓ 3 {3}}} dan merupakan bilangan bulat b 2 ℓ / 3 + b ℓ / 3 + 1 ≡ 0 ( mod p ) +b^{\ell
/3}+1\equiv 0{\pmod {p}}} and so on.
/3}+1\equiv 0{\pmod {p}}} dan seterusnya.
Weisstein, Eric W. "Midy's Theorem".
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Midy's Theorem".