That is, a total order is a binary relation ≤ on some set X , which satisfies the following for all a , b and c in X : a ≤ a (reflexive).
Artinya, urutan total adalah relasi biner ≤ pada beberapa himpunan X , yang memenuhi berikut ini untuk semua a , b dan c dalam X : a ≤ a (refleksif).
If a ≤ b and b ≤ c then a ≤ c (transitive).
Jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c (transitif)
a ≤ b or b ≤ a (strongly connected, formerly called totality).
Jika a ≤ b dan b ≤ a maka ab (antisimetris) a ≤ b atau b ≤ a (terhubung, sebelumnya disebut total).
a < b if not b ≤ a (i.e., < is the complement of the converse of ≤ ).
a < b jika bukan b ≤ a (yaitu, < adalah komplemen dari konversi dari ≤ ).
That is, a strict total order is a binary relation < on some set X , which satisfies the following for all a , b and c in X : Not a < a (irreflexive).
Artinya, urutan total adalah relasi biner < pada beberapa himpunan X , yang memenuhi berikut ini untuk semua a , b dan c dalam X : a < a bukan merupakan irrefleksif.
If a < b then not b < a (asymmetric).
Jika a ≠ b , maka a < b atau b < a merupakan terhubung.
If a < b and b < c then a < c (transitive).
Jika a < b dan b < c maka a < c merupakan transitif.
If a ≠ b , then a < b or b < a (connected).
Jika a ≠ b , maka a < b atau b < a merupakan terhubung.
Every ordered field contains an ordered subfield that is isomorphic to the rational numbers.
Setiap medan tatanan dengan submedan tatanan isomorfik ke bilangan rasional.
An example is given by regular chains of polynomials.
Sebuah contoh diberikan oleh kaidah reguler dari polinomial.
We then write a ≤ b if and only if aa ∧ b .
, b. Maka, kita menulis a ≤ b jika dan hanya jika aa ∧ b .
Either by direct proof or by observing that every well order is order isomorphic to an ordinal one may show that every finite total order is order isomorphic to an initial segment of the natural numbers ordered by <.
Baik dengan pembuktian langsung atau dengan mengamati bahwa setiap urutan sumur urutan isomorfik ke ordinal satu mungkin menunjukkan bahwa setiap total order hingga urutan isomorfik ke segmen awal dari bilangan asli yang diurutkan oleh <.
For any totally ordered set X we can define the open intervals (a, b){x | a < x and x < b}, (−∞, b){x | x < b}, (a, ∞){x | a < x}, and (−∞, ∞)X. We can use these open intervals to define a topology on any ordered set, the order topology.
Untuk setiap himpunan terurut total X kita dapat mendefinisikan interval terbuka (a, b){x : a < x dan x < b}, (−∞, b){x : x < b}, (a, ∞){x : a < x} and (−∞, ∞)
For instance if N is the natural numbers, < is less than and > greater than we might refer to the order topology on N induced by < and the order topology on N induced by > (in this case they happen to be identical but will not in general).
Misalnya jika N adalah bilangan asli, < lebih kecil dari dan > lebih besar dari yang mungkin kita lihat pada topologi urutan pada N induksi oleh < dan topologi urutan pada N induksi oleh >, dalam hal ini keduanya identik tetapi tidak secara umum.
For example, over the real numbers a property of the relation ≤ is that every non-empty subset S of R with an upper bound in R has a least upper bound (also called supremum) in R. However, for the rational numbers this supremum is not necessarily rational, so the same property does not hold on the restriction of the relation ≤ to the rational numbers.
Misalnya, di atas bilangan riil, sifat dari relasi adalah bahwa setiap himpunan bagian tidak kosong S dari R dengan batas atas dalam R memiliki batas atas terkecil (juga disebut supremum) di R. Namun, untuk bilangan rasional supremum ini belum tentu rasional, sehingga sifat yang sama tidak berpegang pada restriksi relasi ≤ dengan bilangan rasional.
X is connected under the order topology if and only if it is complete and there is no gap in X (a gap is two points a and b in X with a < b such that no c satisfies a < c < b.)
X yang terhubung di bawah topologi urutan jika dan hanya jika kelengkapan dan tidak ada celah dalam X. Kesenjangannya adalah dua titik a dan b di X dengan a < b sehingga tidak ada c yang memenuhi
For any two disjoint total orders ( A 1 , ≤ 1 ) ,\leq _{1})} and ( A 2 , ≤ 2 ) ,\leq _{2})} , there is a natural order ≤ + } on the set A 1 ∪ A 2 \cup A_{2}} , which is called the sum of the two orders or sometimes just A 1 + A 2 +A_{2}} :
Untuk dua urutan total disjoin ( A 1 , ≤ 1 ) ,\leq _{1})} dan ( A 2 , ≤ 2 ) ,\leq _{2})} , terdapat urutan alami ≤ + } dalam himpunan A 1 ∪ A 2 \cup A_{2}} ,
x , y ∈ A 1 } and x ≤ 1 y y} x , y ∈ A 2 } and x ≤ 2 y y} x ∈ A 1 } and y ∈ A 2 } Intuitively, this means that the elements of the second set are added on top of the elements of the first set.
yang disebut jumlah dari dua tatanan atau terkadang hanya A 1 + A 2 +A_{2}} : Untuk x , y ∈ A 1 ∪ A 2 \cup A_{2}} , x ≤ + y y} memegang jika dan hanya jika salah satu dari yang berikut ini membekukan: x , y ∈ A 1 } dan x ≤ 1 y y} x , y ∈ A 2 }
if and only if a ≤ c and b ≤ d (the product order).
(a,b) ≤ (c,d) jika dan hanya jika a ≤ c dan b ≤ d (pesanan produk).
if and only if (a < c and b < d) or (ac and bd) (the reflexive closure of the direct product of the corresponding strict total orders).
(a,b) ≤ (c,d) jika dan hanya jika (a < c dan b < d) or (ac dan bd) dari penutupan refleksif dari produk langsung dari total pesanan yang sesuai.
Applied to the vector space Rn, each of these make it an ordered vector space.
Diterapkan ke ruang vektor Rn, masing-masing yang menjadi sebagai ruang vektor terurut.
References Birkhoff, Garrett (1967).
Garrett Birkhoff (1967).
Davey, Brian A.; Priestley, Hilary Ann (1990).
Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (1990).