In mathematics, the inverse function of a function f (also called the inverse of f) is a function that undoes the operation of f.
Fungsi f ( x ) akan memiliki invers dengan syarat f ( x ) merupakan fungsi bijektif.
The inverse function f −1 to f can be explicitly described as the function f − 1 ( y )
Fungsi f ( x ) akan memiliki invers dengan syarat f ( x ) merupakan fungsi bijektif.
y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}} Thus the inverse function f −1 is given by the formula f − 1 ( y )y 3 − 8 2 .
y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}} Demikianlah fungsi invers f −1 diberikan oleh rumus f − 1 ( y )
For example, if f is the function f ( x )x − sin ⁡ x , then f is a bijection, and therefore possesses an inverse function f −1.
Misalnya, jika f adalah fungsinya f ( x )x − sin ⁡ x , maka f adalah bijection, dan karena itu memiliki fungsi invers f −1.
Specifically, if f is an invertible function with domain X and codomain Y, then its inverse f −1 has domain Y and image X, and the inverse of f −1 is the original function f.
Secara khusus, jika f adalah fungsi yang dapat dibalik dengan domain X dan rentang Y, maka kebalikannya f −1 memiliki domain Y dan rentang X, serta kebalikan dari f −1 adalah fungsi asli f.
=f^{-1}\circ g^{-1}.} Notice that the order of g and f have been reversed; to undo f followed by g, we must first undo g, and then undo f.
=f^{-1}\circ g^{-1}.} Perhatikan bahwa urutan g dan f telah dibalik; untuk mengurungkan f diikuti oleh g, pertama-tama kita harus membatalkan g, lalu mengurungkan f. Misalnya, maka f(x)
Then the composition g ∘ f is the function that first multiplies by three and then adds five, ( g ∘ f ) ( x )
Kemudian komposisinya g ∘ f adalah fungsi yang pertama kali dikalikan tiga lalu ditambahkan lima, ( g ∘ f ) ( x )
3 x + 5. To reverse this process, we must first subtract five, and then divide by three, ( g ∘ f )
3 x + 5. Untuk membalik proses ini, pertama-tama kita harus mengurangi lima, lalu membaginya dengan tiga, ( g ∘ f )
_{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.} More generally, a function f : X → X is equal to its own inverse, if and only if the composition f ∘ f is equal to idX. Such a function is called an involution.
Secara lebih umum, sebuah fungsi f : X → X sama dengan kebalikannya sendiri, hanya komposisi f ∘ f adalah idX. Fungsi seperti itu disebut involusi.
If f is invertible, then the graph of the function yf − 1 ( x ) (x)} is the same as the graph of the equation xf ( y ) .
Jika f dapat dibalik, maka grafik fungsinya yf − 1 ( x ) (x)} sama dengan grafik persamaan xf ( y ) .
This is identical to the equation yf(x) that defines the graph of f, except that the roles of x and y have been reversed.
Ini identik dengan persamaan yf(x) yang mendefinisikan grafik f, kecuali peran x dan y telah dibalik.
Thus the graph of f −1 can be obtained from the graph of f by switching the positions of the x and y axes.
Demikian grafik f −1 dapat diperoleh dari grafik f dengan mengganti posisi sumbu x dan y. Ini setara dengan mencerminkan grafik melintasi garis yx.
If the function f is differentiable on an interval I and f′(x) ≠ 0 for each x ∈ I, then the inverse f −1 is differentiable on f(I).
Jika fungsi f adalah dapat dibedakan pada interval I dan f′(x) ≠ 0 untuk setiap x ∈ I, lalu kebalikannya f −1 dapat dibedakan f(I).
If yf(x), the derivative of the inverse is given by the inverse function theorem, ( f − 1 ) ′ ( y )
Bila yf(x), turunan dari invers diberikan oleh teorema fungsi invers, ( f − 1 )
{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.} This result follows from the chain rule (see the article on inverse functions and differentiation).
d x . {dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.} Hasil ini mengikuti aturan rantai (lihat artikel tentang Fungsi dan diferensiasi invers).
The inverse function theorem can be generalized to functions of several variables.
Teorema fungsi invers dapat digeneralisasikan menjadi fungsi dari beberapa variabel.
In this case, the Jacobian of f −1 at f(p) is the matrix inverse of the Jacobian of f at p.
Dalam hal ini, Jacobian dari f −1 pada f(p) adalah invers matriks dari
(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}
\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.