In mathematics, specifically in the field of finite group theory, the Sylow theorems are a collection of theorems named after the Norwegian mathematician Peter Ludwig Sylow that give detailed information about the number of subgroups of fixed order that a given finite group contains.
Dalam matematika, khususnya di bidang teori grup hingga, Teorema Sylow adalah kumpulan teorema yang dinamai menurut matematikawan Norwegia Peter Ludwig Sylow (1872)
The Sylow theorems form a fundamental part of finite group theory and have very important applications in the classification of finite simple groups.
Teorema Sylow membentuk bagian fundamental dari teori grup hingga dan memiliki aplikasi yang sangat penting dalam klasifikasi grup sederhana hingga.
A Sylow p-subgroup (sometimes p-Sylow subgroup) of a finite group G is a maximal p -subgroup of G , i.e., a subgroup of G that is a p-group and is not a proper subgroup of any other p -subgroup of G .
Untuk bilangan prima p, Sylow subgrup p (terkadang Sylow subgrup p dari grup G adalah maksimal subgrup p dari G , yaitu, subgrup dari G yaitu grup p (sehingga urutan dari setiap elemen grup adalah kekuatan dari p) itu bukan subgrup yang tepat dari p lainnya, subgrup dari G .
The set of all Sylow p -subgroups for a given prime p is sometimes written Syl p ( G ) }_{p}(G)} .
Himpunan dari semua Sylow subgrup p untuk prima tertentu p terkadang ditulis Sylp(G).
The Sylow theorems assert a partial converse to Lagrange's theorem.
Teorema Sylow menyatakan kebalikan parsial Teorema Lagrange.
Lagrange's theorem states that for any finite group G the order (number of elements) of every subgroup of G divides the order of G .
Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk setiap grup hingga G urutan (jumlah elemen) dari setiap subgrup G membagi urutan G .
The Sylow theorems state that for every prime factor p of the order of a finite group G , there exists a Sylow p -subgroup of G of order p n } , the highest power of p that divides the order of G .
Teorema Sylow menyatakan bahwa untuk setiap faktor prima p dari urutan grup hingga G , terdapat Sylow subgrup p order G pn, pangkat tertinggi p yang membagi urutan G .
Moreover, every subgroup of order p n } is a Sylow p -subgroup of G , and the Sylow p -subgroups of a group (for a given prime p ) are conjugate to each other.
Selain itu, setiap subgrup order pn adalah Sylow subgrup p dari G , dan Sylow p - subgrup dari grup (untuk prime p tertentu) adalah konjugasi satu sama lain.
Furthermore, the number of Sylow p -subgroups of a group for a given prime p is congruent to 1 (mod p ).
Selanjutnya, jumlah Sylow subgrup p dari grup untuk prima p yang diberikan kongruen dengan 1 mod p.
That is, P is a p-group and gcd ( | G : P | , p )
Artinya, P adalah grup p dan gcd(|G : P|, p)1.
The following weaker version of theorem 1 was first proved by Augustin-Louis Cauchy, and is known as Cauchy's theorem.
Versi lemah teorema 1 berikut ini pertama kali dibuktikan oleh Augustin Louis Cauchy, dan dikenal sebagai Teorema Cauchy.
The Sylow theorems imply that for a prime number p all Sylow p -subgroups of G have the same order, p n } , the highest power of p dividing the order of G .
Teorema Sylow menyatakan bahwa untuk setiap faktor prima p dari urutan grup hingga G , terdapat Sylow subgrup p order G pn, pangkat tertinggi p yang membagi urutan G .
Conversely, all subgroups of order p n } are Sylow p -subgroup, and so they are all conjugate to each other.
Selain itu, setiap subgrup order pn adalah Sylow subgrup p dari G , dan Sylow p - subgrup dari grup (untuk prime p tertentu) adalah konjugasi satu sama lain.
There is an analogue of the Sylow theorems for infinite groups.
Ada analogi dari teorema Sylow untuk kelompok tak terbatas.
One defines a Sylow p-subgroup in an infinite group to be a p-subgroup (that is, every element in it has p-power order) that is maximal for inclusion among all p-subgroups in the group.
Kami mendefinisikan Sylow subgrup p dalam grup tak terbatas menjadi subgrup p (yaitu, setiap elemen di dalamnya memiliki urutan daya p ) yang maksimal untuk dimasukkan di antara semua subgrup p dalam grup.
A simple illustration of Sylow subgroups and the Sylow theorems are the dihedral group of the n-gon, D2n.
Ilustrasi sederhana subgrup Sylow dan teorema Sylow adalah kelompok dihedral dari n-gon, D2n.
For n odd, 221 is the highest power of 2 dividing the order, and thus subgroups of order 2 are Sylow subgroups.
Untuk n ganjil, 221 adalah pangkat tertinggi dari 2 yang membagi ordo, dan dengan demikian subgrup orde 2 adalah subgrup Sylow.
These are the groups generated by a reflection, of which there are n, and they are all conjugate under rotations; geometrically the axes of symmetry pass through a vertex and a side.
Ini adalah grup yang dihasilkan oleh refleksi, yang mana terdapat n , dan semuanya terkonjugasi di bawah rotasi; secara geometris sumbu-sumbu simetri melewati sebuah simpul dan sisi.
By contrast, if n is even, then 4 divides the order of the group, and the subgroups of order 2 are no longer Sylow subgroups, and in fact they fall into two conjugacy classes, geometrically according to whether they pass through two vertices or two faces.
Sebaliknya, jika n genap, maka 4 membagi urutan grup, dan subgrup orde 2 bukan lagi subgrup Sylow, dan kenyataannya mereka terbagi dalam dua kelas konjugasi, secara geometris menurut apakah mereka melewati dua simpul atau dua sisi.
These are related by an outer automorphism, which can be represented by rotation through π/n, half the minimal rotation in the dihedral group.
Ini terkait dengan automorfisme luar, yang dapat diwakili oleh rotasi melalui π / n , setengah dari rotasi minimal dalam kelompok dihedral.
Another example are the Sylow p-subgroups of GL2(Fq), where p and q are primes ≥ 3 and p ≡ 1 (mod q) , which are all abelian.
Contoh lainnya adalah p-subgrup Sylow dari GL2(Fq), di mana p dan q adalah bilangan prima ≥ 3 dan p ≡ 1 (mod q) , yang semuanya abelian.
The order of GL2(Fq) is (q2 − 1)(q2 − q)(q)(q + 1)(q − 1)2.
Urutan GL2(Fq) is (q2 − 1)(q2 − q)(q)(q + 1)(q − 1)2.
Since qpnm + 1, the order of GL2(Fq)
Maka qpnm + 1, urutan GL2(Fq)
Thus by Theorem 1, the order of the Sylow p-subgroups is p2n.
Jadi dengan Teorema 1, urutan dari Sylow p adalah p2n.
[ x i m 0 0 x j m ] x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}} , x is any primitive root of Fq.
Salah satu subgrup P , adalah himpunan matriks diagonal [ x i m 0 0 x j m ] x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}} , x adalah salah satu akar primitif dari Fq.
Since the order of Fq is q − 1, its primitive roots have order q − 1, which implies that x(q − 1)/pn or xm and all its powers have an order which is a power of p.
Karena urutan Fq is q − 1, its primitive roots have order q − 1, which implies that x(q − 1)/pn or xm dan semua kekuatannya memiliki urutan yang merupakan kekuatan p .
So, P is a subgroup where all its elements have orders which are powers of p.
Jadi, P adalah subkelompok di mana semua elemennya memiliki urutan yang merupakan kekuatan p.
There are pn choices for both a and b, making |P|p2n.
Jika pn pilihan untuk a dan b , membuat |P|p2n.
Since Sylow's theorem ensures the existence of p-subgroups of a finite group, it is worthwhile to study groups of prime power order more closely.
Karena teorema Sylow memastikan keberadaan subgroup-p dari kelompok terbatas, ada baiknya mempelajari grup tatanan kekuatan utama lebih dekat.
Most of the examples use Sylow's theorem to prove that a group of a particular order is not simple.
Sebagian besar contoh menggunakan teorema Sylow untuk membuktikan bahwa sekelompok urutan tertentu bukanlah sederhana.
For groups of small order, the congruence condition of Sylow's theorem is often sufficient to force the existence of a normal subgroup.
Untuk kelompok orde kecil, kondisi kesesuaian teorema Sylow sering kali cukup untuk memaksa keberadaan subgrup normal.
One can show that n15 is such a number using the Sylow theorems: Let G be a group of order 153 · 5 and n3 be the number of Sylow 3-subgroups.
Dapat ditunjukkan bahwa n15 adalah bilangan seperti itu dengan menggunakan teorema Sylow: Misalkan G adalah sekelompok berorde 153 · 5 dan n3 menjadi jumlah Sylow 3-subgrup.
Then n3 ∣ 5 and n3 ≡ 1 (mod 3).
Kemudian n3 ∣ 5 dan n3 ≡ 1 (mod 3).
The only value satisfying these constraints is 1; therefore, there is only one subgroup of order 3, and it must be normal (since it has no distinct conjugates).
Satu-satunya nilai yang memenuhi batasan ini adalah 1; oleh karena itu, hanya ada satu subgrup berorde 3, dan itu harus normal (karena tidak memiliki konjugasi berbeda).
Similarly, n5 must divide 3, and n5 must equal 1 (mod 5); thus it must also have a single normal subgroup of order 5.
Demikian pula, n5 harus membagi 3, dan n5 harus sama dengan 1 (mod 5); jadi ia juga harus memiliki satu subgrup normal berorde 5.
Since 3 and 5 are coprime, the intersection of these two subgroups is trivial, and so G must be the internal direct product of groups of order 3 and 5, that is the cyclic group of order 15.
Karena 3 dan 5 adalah coprime, perpotongan kedua subgrup ini adalah trivial, dan jadi G haruslah produk langsung internal dari grup orde 3 dan 5, yaitu grup siklik orde 15.
Thus, there is only one group of order 15 (up to isomorphism).
Jadi, hanya ada satu grup orde 15 (hingga isomorfisme).
A more complicated application is to find the order of the smallest simple group that is not cyclic.
Contoh yang lebih kompleks melibatkan urutan grup sederhana terkecil yang bukan siklik.
If |G|30 and G were simple, then n3 > 1 to avoid a normal 3-subgroup, and n3 must both divide 102 · 5 and equal 1 (mod 3), hence n310.
Jika G sederhana, dan |G|30, kemudian n3 must divide 10 (2 · 5), dan n3 harus sama dengan 1 (mod 3).
This means G has at least 20 distinct elements of order 3.
Ini berarti G memiliki setidaknya 20 elemen berbeda dari orde 3.
Similarly, n56, since n5 > 1 must divide 62 · 3, and n5 must equal 1 (mod 5).
Juga, n 56, karena n 5 harus membagi 6 (2 · 3), dan n5 harus sama dengan 1 (mod 5).
Thus G also has 24 distinct elements of order 5.
Jadi G juga memiliki 24 elemen berbeda dari orde 5.
But the order of G is only 30, so a simple group of order 30 cannot exist.
Tapi orde G hanya 30, jadi grup sederhana berorde 30 tidak mungkin ada.
Here n7 > 1 must divide 62 · 3 and n7 must equal 1 (mod 7), which is impossible.
Selanjutnya, misalkan |G|422 · 3 · 7. Di sini n 7 harus membagi 6 (2 · 3) dan n7 harus sama dengan 1 (mod 7), jadi n 71.
On the other hand, if |G|6022 · 3 · 5, then n310 and n56 is perfectly possible.
Di sisi lain, untuk |G|6022 · 3 · 5, maka n 310 dan n 56 sangat mungkin.
In fact, the smallest simple non-cyclic group is A5, the alternating group over 5 elements.
Dan faktanya, grup non-siklik sederhana terkecil adalah A5, grup bergantian lebih dari 5 elemen.
Part of Wilson's theorem states that ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( mod p ) }} for every prime p.
Bagian dari Teorema Wilson menyatakan bahwa ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( mod p ) }} untuk setiap prima p .
One may easily prove this theorem by Sylow's third theorem.
Seseorang dapat dengan mudah membuktikan teorema ini dengan teorema ketiga Sylow.
Indeed, observe that the number np of Sylow's p-subgroups in the symmetric group Sp is ⁠1/p − 1⁠ times the number of p-cycles in Sp, ie. (p − 2)!.
Memang, perhatikan bahwa bilangan np dari Sylow subgrup p dalam grup simetris
Hence, (p − 2)!
Karenanya, (p − 2)!
Frattini's argument shows that a Sylow subgroup of a normal subgroup provides a factorization of a finite group.
Argumen Frattini menunjukkan bahwa subkelompok Sylow dari subkelompok normal menyediakan faktorisasi dari grup hingga.
A slight generalization known as Burnside's fusion theorem states that if G is a finite group with Sylow p-subgroup P and two subsets A and B normalized by P, then A and B are G-conjugate if and only if they are NG(P)-conjugate.
Sebuah generalisasi kecil yang dikenal sebagai Teorema fusi Burnside menyatakan Bahwa jika G adalah grup berhingga dengan Sylow subgrup p dan dua himpunan bagian A dan B dinormalisasi oleh P , lalu A dan B adalah konjugasi G jika dan hanya jika ada konjugasi NG(P).
The proof is a simple application of Sylow's theorem: If B=Ag, then the normalizer of B contains not only P but also Pg (since Pg is contained in the normalizer of Ag).
Buktinya adalah aplikasi sederhana dari teorema Sylow: Jika B=Ag, maka penormal B tidak hanya berisi P tetapi juga Pg (karena Pg terkandung dalam penormal dari Ag).
By Sylow's theorem P and Pg are conjugate not only in G, but in the normalizer of B.
Dengan teorema Sylow P dan Pg terkonjugasi tidak hanya dalam G , tetapi dalam penormalisasi B .
Hence gh−1 normalizes P for some h that normalizes B, and then Agh−1Bh−1B, so that A and B are NG(P)-conjugate.
Karenanya gh−1 menormalkan P untuk beberapa h yang menormalkan B , lalu Agh−1Bh−1B, so that A dan B adalah konjugasi NG(P).
Burnside's fusion theorem can be used to give a more powerful factorization called a semidirect product: if G is a finite group whose Sylow p-subgroup P is contained in the center of its normalizer, then G has a normal subgroup K of order coprime to P, GPK and P∩K{1}, that is, G is p-nilpotent.
Teorema fusi Burnside dapat digunakan untuk memberikan faktorisasi yang lebih kuat yang disebut produk setengah langsung: jika G adalah grup terbatas yang Sylow p - subkelompok P terdapat di tengah penormalnya, lalu G memiliki subgrup normal K dengan urutan coprime ke P , GPK and P∩K{1}, yaitu, G adalah p nilpotent.
Less trivial applications of the Sylow theorems include the focal subgroup theorem, which studies the control a Sylow p-subgroup of the derived subgroup has on the structure of the entire group.
Aplikasi yang kurang sepele dari teorema Sylow termasuk teorema subkelompok fokus, yang mempelajari kontrol Sylow p - subkelompok dari subgrup turunan memiliki struktur keseluruhan.
This control is exploited at several stages of the classification of finite simple groups, and for instance defines the case divisions used in the Alperin–Brauer–Gorenstein theorem classifying finite simple groups whose Sylow 2-subgroup is a quasi-dihedral group.
Kontrol ini dieksploitasi pada beberapa tahap klasifikasi grup sederhana hingga, dan misalnya mendefinisikan pembagian kasus yang digunakan dalam Teorema Alperin – Brauer – Gorenstein yang mengklasifikasikan hingga grup sederhana yang subgrup
These rely on J. L. Alperin's strengthening of the conjugacy portion of Sylow's theorem to control what sorts of elements are used in the conjugation.
Ini bergantung pada J. L. Alperin memperkuat bagian konjugasi dari teorema Sylow untuk mengontrol jenis elemen apa yang digunakan dalam konjugasi.
The group G acts on itself or on the set of its p-subgroups in various ways, and each such action can be exploited to prove one of the Sylow theorems.
Grup G bertindak pada dirinya sendiri atau pada himpunan p -subgrupnya dengan berbagai cara, dan setiap tindakan tersebut dapat dimanfaatkan untuk membuktikan salah satu teorema Sylow.
In the following, we use a ∣ b as notation for "a divides b" and a ∤ b for the negation of this statement.
Berikut ini, kami menggunakan a ∣ b sebagai notasi untuk "a divides b" dan a ∤ b untuk meniadakan pernyataan ini.
In other words, a polycyclic generating system of a Sylow p-subgroup can be found by starting from any p-subgroup H (including the identity) and taking elements of p-power order contained in the normalizer of H but not in H itself.
Dengan kata lain, sistem pembuatan polisiklik dari Sylow p - subkelompok dapat ditemukan dengan memulai dari subgrup- p pada H (termasuk identitas) dan mengambil elemen p - urutan daya yang terkandung dalam normalizer H tetapi tidak dalam H itu sendiri.
In permutation groups, it has been proven, in Kantor and Kantor and Taylor, that a Sylow p-subgroup and its normalizer can be found in polynomial time of the input (the degree of the group times the number of generators).
bahwa Sylow p - subgrup dan normalnya dapat ditemukan di waktu polinomial dari input (derajat grup dikalikan jumlah generator).
"Sylow's proof of Sylow's theorem".
Teorema Sylow telah dibuktikan dalam beberapa cara,
An experiment in abstract algebra with Isabelle HOL" (PDF).
An experiment in abstract algebra with Isabelle HOL" (PDF), J. Automat.
Exact Sci.. 21 (3): 279–290. doi:10.1007/BF00327877. ISSN 0003-9519.
Exact Sci., 21 (3): 279–290, doi:10.1007/BF00327877, ISSN 0003-9519, MR 0575718, Zbl 0436.01006 Wielandt, Helmut
doi:10.1016/0196-6774(85)90029-X. ISSN 0196-6774.
(33): 55–63, ISSN 0791-5578, MR 1313412,
"Sylow theorems", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Abstract Algebra/Group Theory/The Sylow Theorems at Wikibooks Weisstein, Eric W. "Sylow p-Subgroup".
ISBN 978-1-55608-010-4 Abstract Algebra/Group Theory/The Sylow Theorems di Wikibuku (Inggris) Weisstein, Eric W. "Sylow p-Subgroup".
Weisstein, Eric W. "Sylow Theorems".
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Sylow Theorems".