In vector calculus, Green's theorem relates a line integral around a simple closed curve C to a double integral over the plane region D (surface in R 2 ^{2}} ) bounded by C. It is the two-dimensional special case of Stokes' theorem (surface in R 3 ^{3}} ).
Dalam matematika, teorema Green memberikan hubungan antara sebuah integral garis pada kurva tertutup sederhana C dan integral ganda pada bidang D yang dibatasi oleh C. Teorema ini mendapatkan namanya dari George Green dan merupakan kasus khusus dua-dimensi dari teorema Stokes yang lebih umum.
If L and M are functions of (x, y) defined on an open region containing D and have continuous partial derivatives there, then ∮ C ( L d x + M d y )∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y )
Jika L dan M adalah fungsi terhadap ( x , y ) yang terdefinisi pada daerah terbuka yang mencakup D dan memiliki turunan parsial yang kontinu disana, maka ∮ C ( L d x + M d y )∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y )
d A (L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA} where the path of integration along C is counterclockwise.
d x d y (L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dx\,dy} dengan arah integrasi sepanjang C bersifat berlawanan jarum jam.
The following is a proof of half of the theorem for the simplified area D, a type I region where C1 and C3 are curves connected by vertical lines (possibly of zero length).
Berikut ini adalah bukti dari setengah teorema untuk daerah D yang disederhanakan, sebuah daerah tipe I di mana C 1 } dan C 3 } adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis vertikal (panjangnya bisa saja nol).
A similar proof exists for the other half of the theorem when D is a type II region where C2 and C4 are curves connected by horizontal lines (again, possibly of zero length).
Bukti yang sama juga dapat diperoleh untuk separuh teorema yang lain ketika D adalah daerah tipe II di mana C 2 } dan C 4 } adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis horisontal (lagi-lagi, panjangnya bisa saja nol).
Putting these two parts together, the theorem is thus proven for regions of type III (defined as regions which are both type I and type II).
Dengan menyatukan kedua bagian ini, teorema ini terbukti untuk daerah tipe III (didefinisikan sebagai daerah yang merupakan gabungan tipe I dan tipe II).
The general case can then be deduced from this special case by decomposing D into a set of type III regions.
Kasus umum kemudian dapat disimpulkan dari kasus khusus ini dengan menguraikan D menjadi sekumpulan daerah tipe III.
y\leq g_{2}(x)\}} where g1 and g2 are continuous functions on [a, b].
y\leq g_{2}(x)\}} dengan g 1 } dan g 2 } adalah fungsi kontinu pada
Compute the double integral in (1): Now compute the line integral in (1).
Dengan menghitung integral ganda pada persamaan (1): Selanjutnya akan dihitung integral garis pada persamaan (1).
Then ∫ C 1 L ( x , y )
Selanjutnya ∫ C 1 L ( x , y )
}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.} With C3, use the parametric equations: xx, yg2(x), a ≤ x ≤ b.
}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.} Pada C 3 } , persamaan parametrik xx , yg 3 ( x ) (x)} untuk a ≤ x ≤ b dapat digunakan untuk menyatakan kurva ini.
Then ∫ C 3 L ( x , y )
Selanjutnya, ∫ C 3 L ( x , y )
d x∫ b a L ( x , y )
d x∫ a b L ( x , g 1 ( x ) )
}L(x,y)\,dx=\int _{b}^{a}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}
}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}
The integral over C3 is negated because it goes in the negative direction from b to a, as C is oriented positively (anticlockwise).
Integral atas C 3 } bernilai negatif karena bergerak berlawanan arah dari b menuju a , sama dengan arah orientasi C yang positif (berlawanan arah jarum jam).
We have ∫ Γ A d x + B d y∑ i1 k ∫ Γ i A d
d y − ∑ i1 n ∫ Γ i p ( x , y )
x + B d y + ∑ ik + 1 s ∫ Γ i A d x + B d y .
d y − ∑ i1 n ∫ Γ i p ( x , y )
Let Γ 0 , Γ 1 , … , Γ n ,\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}} be positively oriented rectifiable Jordan curves in R 2 ^{2}} satisfying Γ i ⊂ R 0 , if 1 ≤ i ≤ n Γ i ⊂ R 2 ∖ R ¯ j , if 1 ≤ i , j ≤ n and i ≠ j , \Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq
Misalkan Γ 0 , Γ 1 , … , Γ n ,\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}} berorientasi positif pada kurva Jordan yang dapat diperbaiki R 2 ^{2}} yang memenuhi Γ i ⊂ R 0 , ji 1 ≤ i ≤ n Γ i ⊂ R 2 ∖ R ¯ j , jika 1 ≤ i , j ≤ n dan
i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neq j,\end{aligned}}} where R i } is the inner region of Γ i } .
i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{jika }}1\leq i,j\leq n{\text{ dan }}i\neq j,\end{aligned}}} dengan R i } adalah daerah bagian dalam dari Γ i } .
\setminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}).} Suppose p : D ¯ → R }\to \mathbb {R} } and q : D ¯ → R }\to \mathbb {R} } are continuous functions whose restriction to D is Fréchet-differentiable.
Misalkan pula D sebagai DR 0 ∖ ( R ¯ 1 ∪ R ¯ 2 ∪ ⋯ ∪ R ¯ n ) , \smallsetminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}),} dan p : D ¯ ⟶ R }\longrightarrow \mathbf {R} } dan q : D ¯ ⟶ R }\longrightarrow \mathbf {R} } adalah fungsi kontinu yang batasannya (restriction) di D adalah terdiferensialkan-Fréchet.
If the function ( x , y ) ⟼ ∂ q ∂ e 1 ( x , y ) − ∂ p ∂ e 2 ( x , y ) {\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)} is Riemann-integrable over D , then ∫ Γ 0 p ( x , y )
⟼ ∂ q ∂ e 1 ( x , y ) − ∂ p ∂ e 2 ( x , y ) {\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)} terintegralkan Riemann atas D , maka berlaku hubungan: ∫ Γ 0 p ( x , y )
&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}} Green's theorem is a special case of the Kelvin–Stokes theorem, when applied to a region in the x y -plane.
&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}} Teorema Divergensi Teorema Stokes
(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}
}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}
\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}
}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}
So ( d y , − d x )n ^ d s .
d x∫ C 2 L ( x , y )
} \,ds.} Start with the left side of Green's theorem: ∮ C ( L d x + M d y )∮ C ( M , − L ) ⋅ ( d y , − d x )∮ C ( M , − L ) ⋅ n ^ d s .
Teorema Green selanjutnya dapat diperoleh dengan mudah untuk daerah bertipe III. Misalkan D adalah daerah bertipe I dan dapat dinyatakan, seperti gambar disamping kanan, oleh D{ ( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , g 1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x ) } (x)\leq
(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.}
}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}
d s∬ D ( ∇ ⋅ ( M , − L ) ) d A∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y )
d y∫ D { ∂ q ∂ e 1 ( x , y ) − ∂ p ∂ e 2 ( x , y ) }
dA.} Choose L and M such that ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y1 {\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1} , the area is given by A∮ C ( L d x + M d y ) .
Jika L dan M adalah fungsi terhadap ( x , y ) yang terdefinisi pada daerah terbuka yang mencakup D dan memiliki turunan parsial yang kontinu disana, maka ∮ C ( L d x + M d y )∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y )
x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).}
}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}