Continuing in this manner, it is possible to define an infinite cardinal number ℵ α } for every ordinal number α , as described below.
Jika terus dilanjutkan, dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu bilangan kardinal ℵ α } untuk setiap bilangan ordinal α, sebagaimana dinyatakan dibawah.
The concept and notation are due to Georg Cantor, who defined the notion of cardinality and realized that infinite sets can have different cardinalities.
Konsep ini berasal dari Georg Cantor, yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.
The set of all finite ordinals, called ω or ω 0 } (where ω is the lowercase Greek letter omega), also has cardinality ℵ 0 } .
Himpunan semua bilangan ordinal finit, dinamakan ω atau ω0, mempunyai kardinalitas ℵ 0 } .
Among the countably infinite sets are certain infinite ordinals, including for example ω , ω + 1 , ω ⋅ 2 , ω 2 } , ω ω } , and ε 0 } .
Ordinal tak hingga ini: ω , ω + 1 , ω ⋅ 2 , ω 2 , \,,} ω ω \,} dan ε ε 0 \,} adalah salah satu himpunan tak hingga yang terhitung.
If the axiom of countable choice (a weaker version of the axiom of choice) holds, then ℵ 0 } is smaller than any other infinite cardinal.
Jika aksioma pilihan terhitung (versi yang lebih lemah dari aksioma pilihan) berlaku, maka ℵ 0 } lebih kecil dari kardinal tak hingga lainnya.
The definition of ℵ 1 } implies (in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice) that no cardinal number is between ℵ 0 } and ℵ 1 .
Definisi ℵ 1 } menyiratkan (dalam ZF, teori himpunan Zermelo–Fraenkel tanpa aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara ℵ 0 } dan ℵ 1 } .
.} The cardinality of the set of real numbers (cardinality of the continuum) is 2 ℵ 0 } .
Kardinalitas suatu himpunan bilangan real (kardinalitas continuum) adalah 2 ℵ 0 }} .
It cannot be determined from ZFC (Zermelo–Fraenkel set theory augmented with the axiom of choice) where this number fits exactly in the aleph number hierarchy, but it follows from ZFC that the continuum hypothesis (CH) is equivalent to the identity 2 ℵ 0ℵ 1 }=\aleph _{1}} .
Tidak dapat ditentukan dari ZFC (teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis kontinum , ekuivalen dengan persamaan identitas 2 ℵ 0ℵ 1 .
Aleph-omega is ℵ ωℵ n n ∈ ωℵ n n ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯ }\aleph _{n}^{n\in \omega }=\aleph _{n}^{n\in \{0,1,2,\cdots \}}} where the smallest infinite ordinal is denoted as ω .
}=\aleph _{1}.} Secara konvensional, bilangan ordinal tak terhingga terkecil dilambangkan dengan ω, dan bilangan kardinal ℵ ω } merupakan batas atas terkecil dari { ℵ n : n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } } :n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}} di antara bilangan-bilangan alef.
To define ℵ α } for arbitrary ordinal number α , we must define the successor cardinal operation, which assigns to any cardinal number ρ the next larger well-ordered cardinal ρ + } (if the axiom of choice holds, this is the (unique) next larger cardinal).
Untuk mendefinisikan ℵ α } bagi bilangan ordinal sembarang α , perlu didefinisikan operasi kardinal penerus, yang diberikan pada setiap bilangan kardinal ρ bilangan kardinal ρ+ berikutnya yang lebih besar dalam urutan teratur (jika aksioma pilihan masih dipertahankan, inilah bilangan kardinal lebih besar berikutnya).
Its cardinality is written ℵ α } .
Kardinalitasnya ditulis ℵ α } .
The cardinality of any infinite ordinal number is an aleph number.
Kardinalitas suatu bilangan ordinal tak terhingga adalah sebuah bilangan alef.
The least of these is its initial ordinal.
Yang terkecil di antaranya adalah ordinal awalnya.