In mathematics, an infinitesimal number is a non-zero quantity that is closer to 0 than any non-zero real number is.
Dalam matematika, Infinitesimal atau Bilangan Infinitesimal adalah kuantitas yang mendekati angka nol daripada standar pada nilai bilangan riil, tetapi angka bukan nol.
The word infinitesimal comes from a 17th-century Modern Latin coinage infinitesimus, which originally referred to the "infinitieth" item in a sequence.
Kata dari infinitesimal berasal dari mata uang modern latin abad ke-17 infinitesimus, yang awalnya merujuk pada item "tak terhingga ke" secara berurutan.
Infinitesimal numbers were introduced in the development of calculus, in which the derivative was first conceived as a ratio of two infinitesimal quantities.
Rumus yang terkenal dalam pengembangan kalkulus, di mana turunan dari awal dianggap sebagai rasio dua kuantitas pada Infinitesimal.
In his formal published treatises, Archimedes solved the same problem using the method of exhaustion.
Dalam risalah resmi yang diterbitkan, Archimedes memecahkan masalah yang sama menggunakan metode penghabis.
Infinitesimals regained popularity in the 20th century with Abraham Robinson's development of nonstandard analysis and the hyperreal numbers, which, after centuries of controversy, showed that a formal treatment of infinitesimal calculus was possible.
Infinitesimal mendapatkan kembali popularitas pada abad ke-20 dengan Abraham Robinson pengembangan analisis nonstandar dan bilangan hiperriil, yang menunjukkan bahwa pengobatan formal dari kalkulus Infinitesimal, setelah kontroversi panjang tentang topik ini selama berabad-abad matematika.
Consequently, present-day students are not fully in command of this language.
Akibatnya siswa saat ini tidak sepenuhnya menguasai bahasa ini.
Infinitesimals are a basic ingredient in calculus as developed by Leibniz, including the law of continuity and the transcendental law of homogeneity.
Infinitesimal adalah bahan dasar dalam prosedur kalkulus Infinitesimal seperti yang dikembangkan oleh Gottfried Leibniz, termasuk hukum kontinuitas dan hukum homogenitas transendental.
In common speech, an infinitesimal object is an object that is smaller than any feasible measurement, but not zero in size—or, so small that it cannot be distinguished from zero by any available means.
Dalam bahasa umum, objek Infinitesimal adalah objek yang lebih kecil daripada ukuran yang dapat diukur, tetapi tidak berukuran nol atau, sangat kecil sehingga tidak dapat dibedakan dari nol dengan cara apa pun yang tersedia.
Hence, when used as an adjective in mathematics, infinitesimal means infinitely small, smaller than any standard real number.
Karena, bila digunakan sebagai kata sifat dalam penggunaan matematika, "infinitesimal" berarti "sangat kecil", atau lebih kecil dari bilangan riil standar mana pun.
An infinite number of infinitesimals are summed to calculate an integral.
Tak terhingga banyak infinitesimals dijumlahkan untuk menghasilkan integral.
The modern concept of infinitesimals was introduced around 1670 by either Nicolaus Mercator or Gottfried Wilhelm Leibniz.
Konsep infinitesimals awalnya diperkenalkan sekitar tahun 1670 oleh Nicolaus Mercator atau Gottfried Wilhelm Leibniz.
Simon Stevin's work on the decimal representation of all numbers in the 16th century prepared the ground for the real continuum.
Simon Stevin bekerja pada representasi desimal dari semua bilangan pada abad ke 16 menyiapkan dasar untuk kontinum nyata.
Bonaventura Cavalieri's method of indivisibles led to an extension of the results of the classical authors.
Bonaventura Cavalieri metode indivisibles menyebabkan perluasan hasil penulis klasik.
The method of indivisibles related to geometrical figures as being composed of entities of codimension 1.
Metode indivisibles yang terkait dengan figur geometris yang terdiri dari entitas codimension 1.
John Wallis's infinitesimals differed from indivisibles in that he would decompose geometrical figures into infinitely thin building blocks of the same dimension as the figure, preparing the ground for general methods of the integral calculus.
John Wallis infinitesimal berbeda dari tak terpisahkan dalam hal ia akan menguraikan sosok geometris menjadi blok bangunan tipis tak terhingga dari dimensi yang sama seperti gambar, menyiapkan dasar untuk metode umum pada kalkulus integral.
The 18th century saw routine use of infinitesimals by mathematicians such as Leonhard Euler and Joseph-Louis Lagrange.
Abad ke 18 melihat penggunaan rutin infinitesimal oleh ahli matematika seperti Leonhard Euler dan Joseph-Louis Lagrange.
Augustin-Louis Cauchy exploited infinitesimals both in defining continuity in his Cours d'Analyse, and in defining an early form of a Dirac delta function.
Augustin-Louis Cauchy dieksploitasi infinitesimals baik dalam mendefinisikan kontinuitas dalam dirinya Cours d'Analyse, dan dalam mendefinisikan bentuk awal dari Fungsi delta Dirac.
As Cantor and Dedekind were developing more abstract versions of Stevin's continuum, Paul du Bois-Reymond wrote a series of papers on infinitesimal-enriched continua based on growth rates of functions.
Saat Cantor dan Dedekind mengembangkan versi yang lebih abstrak dari kontinum Stevin, Paul du Bois-Reymond menulis serangkaian makalah tentang infinitesimal terus diperkaya berdasarkan tingkat pertumbuhan fungsi.
Du Bois-Reymond's work inspired both Émile Borel and Thoralf Skolem.
Karya Du Bois-Reymond menginspirasi Émile Borel dan Thoralf Skolem.
Borel explicitly linked du Bois-Reymond's work to Cauchy's work on rates of growth of infinitesimals.
Borel explicitly linked du Bois-Pekerjaan Reymond untuk pekerjaan Cauchy tentang tingkat pertumbuhan infinitesimal.
Skolem developed the first non-standard models of arithmetic in 1934.
Skolem mengembangkan model aritmetika non-standar pertama pada tahun 1934.
A mathematical implementation of both the law of continuity and infinitesimals was achieved by Abraham Robinson in 1961, who developed nonstandard analysis based on earlier work by Edwin Hewitt in 1948 and Jerzy Łoś in 1955.
Sebuah implementasi matematis dari hukum kontinuitas dan infinitesimal dicapai oleh Abraham Robinson pada tahun 1961, yang mengembangkan analisis tidak standar berdasarkan karya sebelumnya oleh Edwin Hewitt pada tahun 1948 dan Jerzy Łoś pada tahun 1955.
The hyperreals implement an infinitesimal-enriched continuum and the transfer principle implements Leibniz's law of continuity.
hiperriil mengimplementasikan sebuah infinitesimal kontinu yang diperkaya dan prinsip transfer mengimplementasikan hukum kontinuitas Leibniz.
The standard part function implements Fermat's adequality.
Fungsi bagian standar mengimplementasikan kecukupan Fermat.
The notion of infinitely small quantities was discussed by the Eleatic School.
Gagasan tentang jumlah kecil yang tak terhingga telah dibahas oleh Sekolah Eleatic.
The Greek mathematician Archimedes (c. 287 BC – c. 212 BC), in The Method of Mechanical Theorems, was the first to propose a logically rigorous definition of infinitesimals.
Yunani matematikawan Archimedes (sekitar 287 SM–212 SM), dalam Metode Teorema Mekanik, adalah orang pertama yang mengusulkan definisi infinitesimal yang secara logis ketat.
His Archimedean property defines a number x as infinite if it satisfies the conditions |x| > 1, |x| > 1 + 1, |x| > 1 + 1 + 1, ..., and infinitesimal if x ≠ 0 and a similar set of conditions holds for x and the reciprocals of the positive integers.
Properti Archimedean mendefinisikan bilangan x sebagai tak terhingga jika memenuhi syarat |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ..., dan infinitesimal bila x≠0 dan satu set kondisi serupa berlaku untuk x dan kebalikan dari bilangan bulat positif.
The English mathematician John Wallis introduced the expression 1/∞ in his 1655 book Treatise on the Conic Sections.
Ahli matematika Inggris John Wallis memperkenalkan ekspresi tersebut 1/∞ dalam bukunya yang berjudul Treatise on the Conic Sections pada tahun 1655.
The symbol, which denotes the reciprocal, or inverse, of ∞, is the symbolic representation of the mathematical concept of an infinitesimal.
Simbol, yang menunjukkan kebalikan, atau kebalikan, dari ∞, adalah representasi simbolik dari konsep matematika Infinitesimal.
In his Treatise on the Conic Sections, Wallis also discusses the concept of a relationship between the symbolic representation of infinitesimal 1/∞ that he introduced and the concept of infinity for which he introduced the symbol ∞.
Dalam bukunya Treatise on the Conic Sections, Wallis juga membahas tentang konsep hubungan antara representasi simbolik infinitesimal 1/∞ yang dia perkenalkan dan konsep ketidakterbatasan yang dia perkenalkan simbol dari ∞. Konsep ini menyarankan eksperimen pikiran untuk menambahkan jajaran genjang dengan lebar tak terhingga untuk membentuk daerah berhingga.
This concept was the predecessor to the modern method of integration used in integral calculus.
Konsep ini adalah pendahulu metode integrasi modern yang digunakan dalam kalkulus integral.
The conceptual origins of the concept of the infinitesimal 1/∞ can be traced as far back as the Greek philosopher Zeno of Elea, whose Zeno's dichotomy paradox was the first mathematical concept to consider the relationship between a finite interval and an interval approaching that of an infinitesimal-sized interval.
Asal-usul konseptual dari konsep infinitesimal 1/∞ dapat ditelusuri sejauh filsuf Yunani Zeno dari Elea, yang paradoks dikotomi Zeno adalah konsep matematika pertama untuk mempertimbangkan hubungan antara interval berhingga dan interval mendekati interval berukuran sangat kecil.
Infinitesimals were the subject of political and religious controversies in 17th century Europe, including a ban on infinitesimals issued by clerics in Rome in 1632.
Infinitesimal menjadi subjek kontroversi politik dan agama di Eropa abad ke 17, termasuk larangan infinitesimal yang dikeluarkan oleh para ulama di Roma pada tahun 1632.
Prior to the invention of calculus mathematicians were able to calculate tangent lines using Pierre de Fermat's method of adequality and René Descartes' method of normals.
Sebelum penemuan matematikawan kalkulus dapat menghitung garis singgung menggunakan metode Pierre de Fermat dari kecukupan dan René Descartes 'metode normal.
There is debate among scholars as to whether the method was infinitesimal or algebraic in nature.
Ada perdebatan di antara para ahli tentang apakah metode Infinitesimal atau aljabar.
When Newton and Leibniz invented the calculus, they made use of infinitesimals, Newton's fluxions and Leibniz' differential.
Ketika Newton dan Leibniz menemukan kalkulus, mereka menggunakan infinitesimal, Newton fluks dan Leibniz diferensial.
The use of infinitesimals was attacked as incorrect by Bishop Berkeley in his work The Analyst.
Penggunaan infinitesimal diserang sebagai tidak benar oleh Bishop Berkeley dalam karyanya
Mathematicians, scientists, and engineers continued to use infinitesimals to produce correct results.
Matematikawan, ilmuwan, dan insinyur terus menggunakan infinitesimal untuk menghasilkan hasil yang benar.
In the second half of the nineteenth century, the calculus was reformulated by Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, Cantor, Dedekind, and others using the (ε, δ)-definition of limit and set theory.
Pada paruh kedua abad kesembilan belas, kalkulus dirumuskan kembali oleh Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, Cantor, Dedekind, dan lainnya yang menggunakan (ε, δ)-definisi limit dan teori himpunan.
While the followers of Cantor, Dedekind, and Weierstrass sought to rid analysis of infinitesimals, and their philosophical allies like Bertrand Russell and Rudolf Carnap declared that infinitesimals are pseudoconcepts, Hermann Cohen and his Marburg school of neo-Kantianism sought to develop a working logic of infinitesimals.
Sementara pengikut Cantor, Dedekind, dan Weierstrass berusaha menyingkirkan analisis infinitesimals, dan sekutu filosofis mereka seperti Bertrand Russell dan Rudolf Carnap pseudoconcepts, Hermann Cohen dan sekolah Marburg neo Kantianisme berusaha mengembangkan logika kerja infinitesimals.
The mathematical study of systems containing infinitesimals continued through the work of Levi-Civita, Giuseppe Veronese, Paul du Bois-Reymond, and others, throughout the late nineteenth and the twentieth centuries, as documented by Philip Ehrlich (2006).
Studi matematis dari sistem yang mengandung infinitesimals dilanjutkan melalui karya Levi-Civita, Giuseppe Veronese, Paul du Bois-Reymond, dan lainnya, sepanjang akhir abad kesembilan belas dan kedua puluh, seperti yang didokumentasikan oleh Philip Ehrlich (2006).
In the 20th century, it was found that infinitesimals could serve as a basis for calculus and analysis (see hyperreal numbers).
Pada abad ke-20, ditemukan bahwa infinitesimals dapat berfungsi sebagai dasar untuk kalkulus dan analisis (lihat bilangan hiperriil).
An example from category 1 above is the field of Laurent series with a finite number of negative-power terms.
Contoh dari kategori 1 di atas adalah bidang deret Laurent dengan sejumlah suku pangkat negatif terbatas.
For example, the Laurent series consisting only of the constant term 1 is identified with the real number 1, and the series with only the linear term x is thought of as the simplest infinitesimal, from which the other infinitesimals are constructed.
Misalnya, deret Laurent yang hanya terdiri dari konstanta 1 diidentifikasikan 1, dan deret yang hanya memiliki suku linear x dianggap sebagai infinitesimal paling sederhana, dari mana infinitesimal lainnya dibangun.
David O. Tall refers to this system as the super-reals, not to be confused with the superreal number system of Dales and Woodin.
David O. Tall mengacu pada sistem ini sebagai super-real, jangan disamakan dengan sistem angka superreal dari Dales dan Woodin.
These infinitesimals have different first-order properties than the reals because, for example, the basic infinitesimal x does not have a square root.
Infinitesimal memiliki properti orde pertama yang berbeda dari real karena, misalnya, the basic infinitesimal x tidak memiliki akar kuadrat.
For example, the basic infinitesimal x has a square root.
Misalnya, bilangan Infinitesimal x memiliki akar kuadrat.
This field is rich enough to allow a significant amount of analysis to be done, but its elements can still be represented on a computer in the same sense that real numbers can be represented in floating-point.
Bidang ini cukup kaya untuk memungkinkan dilakukannya banyak analisis, tetapi elemennya masih dapat direpresentasikan di komputer dalam arti yang sama seperti bilangan riil dapat direpresentasikan dalam floating point.
An example of a transseries is: e ln ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ ln ⁡ x + ∑ j0 ∞ e x x − j , }+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},} where for purposes of ordering x is considered infinite.
Contoh transderet adalah: e ln ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ ln ⁡ x + ∑ j0 ∞ e x x − j , }+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},} dimana untuk keperluan pemesanan x dianggap tak terbatas.
The most widespread technique for handling infinitesimals is the hyperreals, developed by Abraham Robinson in the 1960s.
Teknik yang paling luas untuk menangani infinitesimal adalah hyperreals, yang dikembangkan oleh Abraham Robinson pada 1960-an.
They fall into category 3 above, having been designed that way so all of classical analysis can be carried over from the reals.
Mereka termasuk dalam kategori 3 di atas, yang telah dirancang sedemikian rupa sehingga semua analisis klasik dapat dibawa dari riilnya.
This property of being able to carry over all relations in a natural way is known as the transfer principle, proved by Jerzy Łoś in 1955.
Sifat kemampuan untuk meneruskan semua hubungan secara alami ini dikenal sebagai prinsip transfer, dibuktikan oleh Jerzy Łoś pada tahun 1955.
For example, the transcendental function sin has a natural counterpart *sin that takes a hyperreal input and gives a hyperreal output, and similarly the set of natural numbers N } has a natural counterpart ∗ N \mathbb {N} } , which contains both finite and infinite integers.
Contohnya, fungsi transendental sin memiliki pasangan alami * sin yang mengambil masukan hiperreal dan memberikan keluaran hiperreal, dan demikian pula himpunan bilangan asli N } memiliki pasangan alami ∗ N \mathbb {N} } , yang berisi bilangan bulat terbatas dan tak terbatas.
A proposition such as ∀ n ∈ N , sin ⁡ n π0 ,\sin n\pi0} carries over to the hyperreals as ∀ n ∈ ∗ N , ∗ sin ⁡ n π0 ^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin
Sebuah proposisi seperti ∀ n ∈ N , sin ⁡ n π0 ,\sin n\pi0} dibawa ke hiperriil sebagai ∀ n ∈ ∗ N , ∗ sin ⁡ n π0 ^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin
It is different from the super-real system defined by David Tall.
Ini berbeda dari sistem super-nyata yang ditentukan oleh David Tall.
In linear algebra, the dual numbers extend the reals by adjoining one infinitesimal, the new element ε with the property ε20
Dalam aljabar linear, bilangan ganda memperpanjang real dengan menggabungkan satu infinitesimal, elemen baru ε dengan properti ε20
(that is, ε is nilpotent).
(yaitu, ε adalah nilpotent).
Every dual number has the form za + bε with a and b being uniquely determined real numbers.
Setiap bilangan ganda memiliki bentuk za + bε dengan a dan b menjadi bilangan real yang ditentukan secara unik.
One application of dual numbers is automatic differentiation.
Salah satu penerapan angka ganda adalah diferensiasi otomatis.
This is a number x where x20 is true, but x0 need not be true at the same time.
Ini adalah angka x dimana x20 itu benar, tapi x0 tidak perlu benar pada saat bersamaan.
Since the background logic is intuitionistic logic, it is not immediately clear how to classify this system with regard to classes 1, 2, and 3. Intuitionistic analogues of these classes would have to be developed first.
Karena logika latar belakang adalah logika intuitionistic, tidak segera jelas bagaimana mengklasifikasikan sistem ini berkenaan dengan kelas 1, 2, dan 3.
Cauchy used an infinitesimal α to write down a unit impulse, infinitely tall and narrow Dirac-type delta function δ α } satisfying ∫ F ( x )
Cauchy menggunakan infinitesimal α untuk menuliskan impuls unit, fungsi delta tipe Dirac yang tinggi tak terhingga dan sempit δ α } satisfying ∫ F ( x )
F ( 0 ) (x)=F(0)} in a number of articles in 1827, see Laugwitz (1989).
F ( 0 ) (x)=F(0)} dalam sejumlah artikel pada tahun 1827, lihat Laugwitz (1989).
Modern set-theoretic approaches allow one to define infinitesimals via the ultrapower construction, where a null sequence becomes an infinitesimal in the sense of an equivalence class modulo a relation defined in terms of a suitable ultrafilter.
Pendekatan teori-himpunan modern memungkinkan seseorang untuk mendefinisikan infinitesimal melalui konstruksi ultrapower, di mana urutan nol menjadi infinitesimal dalam pengertian modulo kelas ekivalen, sebuah relasi yang didefinisikan dalam istilah ultrafilter yang sesuai.
The article by Yamashita (2007) contains bibliography on modern Dirac delta functions in the context of an infinitesimal-enriched continuum provided by the hyperreals.
Artikel oleh Yamashita (2007) berisi bibliografi tentang fungsi delta Dirac modern dalam konteks kontinum yang diperkaya sangat kecil yang disediakan oleh hyperriil.
More precisely, Loomis and Sternberg's Advanced Calculus defines the function class of infinitesimals, I }} , as a subset of functions f : V → W between normed vector spaces by I ( V , W ){ f : V → W | f ( 0 )
Lebih tepatnya, Kalkulus Tingkat Lanjut Loomis dan Sternberg mendefinisikan kelas fungsi infinitesimal, I }} , sebagai bagian dari fungsi f : V → W antara ruang vektor bernorma dengan
0 , ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ∍ | | ξ | | < δ ⟹ | | f ( ξ ) | | < ϵ } }(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}} , as well as two related classes O , o },{\mathfrak {o}}} (see Big-O notation) by O ( V , W ){ f : V → W | f ( 0 )0 , ( ∃ r > 0 , c > 0 ) ∍ | | ξ | | < r ⟹ | | f ( ξ ) | | ≤ c | | ξ | | } }(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )
0 , ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ∍ | | ξ | | < δ ⟹ | | f ( ξ ) | | < ϵ } }(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}} , serta dua kelas terkait O , o },{\mathfrak {o}}} (lihat Notasi Big-O) by O ( V , W ){ f : V → W | f ( 0 )0 , ( ∃ r > 0 , c > 0 ) ∍ | | ξ | | < r ⟹ | | f ( ξ ) | | ≤ c | | ξ | | } }(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )
||\leq c||\xi ||\}} , and o ( V , W )
||\leq c||\xi ||\}} ,{ f : V → W | f ( 0 )
{ f : V → W | f ( 0 )
I ( V , W ){ f : V → W | f ( 0 )
0 , lim | | ξ | | → 0 | | f ( ξ ) | | / | | ξ | |0 } }(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}||f(\xi )
0 , lim | | ξ | | → 0 | | f ( ξ ) | | / | | ξ | |0 } ||f(\xi )
||/||\xi ||=0\}} .The
||\leq c||\xi ||\}} ,{ f : V → W | f ( 0 )
⊊ I ( V , W ) }(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)} generally hold.
||/||\xi ||=0\}} .Inklusi yang ditetapkan o ( V , W ) ⊊ O ( V , W ) ⊊ I ( V , W ) }(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)} umumnya tahan.
f , g , h ∈ I ( R , R ) , g , h ∈ O ( R , R ) , h ∈ o ( R , R ) }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} but f , g ∉ o ( R , R ) }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} and f ∉ O ( R , R ) }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} .As an application of these definitions, a mapping F : V → W between normed vector spaces is defined to be differentiable at α ∈ V if there is a T ∈ H o m ( V , W ) (V,W)}
x ↦ x 2 } : f , g , h ∈ I ( R , R ) , g , h ∈ O ( R , R ) , h ∈ o ( R , R ) }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} tapi f , g ∉ o ( R , R ) }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} dan f ∉ O ( R , R ) }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} .Sebagai aplikasi dari definisi tersebut, sebuah pemetaan F : V → W antara ruang vektor bernorma didefinisikan untuk dibedakan di α ∈ V bila ada T ∈ H o m ( V , W ) (V,W)}
[i.e, a bounded linear map V → W ] such that [ F ( α + ξ ) − F ( α ) ] − T ( ξ ) ∈ o ( V , W ) }(V,W)} in a neighborhood of α .
[yaitu, peta linier berbatas V → W ] seperti yang [ F ( α + ξ ) − F ( α ) ] − T ( ξ ) ∈ o ( V , W ) }(V,W)} di lingkungan α .
Let ( Ω , F , P ) },\mathbb {P} )} be a probability space and let n ∈ N } .
Bila ( Ω , F , P ) },\mathbb {P} )} menjadi ruang probabilitas dan biarkan n ∈ N } .
An array { X n , k : Ω → R ∣ 1 ≤ k ≤ k n } :\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}} of random variables is called infinitesimal if for every ϵ > 0 , we have: max 1 ≤ k ≤ k n P { ω ∈ Ω ∣ | X n , k ( ω ) | ≥ ϵ } → 0 as n → ∞ }\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty } The notion of infinitesimal array is essential in some central limit theorems and it is easily seen by monotonicity of the expectation operator that any array satisfying Lindeberg's condition is infinitesimal, thus playing an important role in Lindeberg's Central Limit Theorem (a generalization of the central limit theorem).
Sebuah array { X n , k : Ω → R ∣ 1 ≤ k ≤ k n } :\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}} dari variabel acak s disebut sangat kecil jika untuk setiap ϵ > 0 , kita punya: max 1 ≤ k ≤ k n P { ω ∈ Ω ∣ | X n , k ( ω ) | ≥ ϵ } → 0 as n → ∞ }\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty }