More precisely, a function is continuous if arbitrarily small changes in its value can be assured by restricting to sufficiently small changes of its argument.
Secara lebih teknis, fungsi dikatakan kontinu jika perubahan kecil pada nilai fungsi dapat dipastikan cukup dengan membuat perubahan kecil pada variabelnya.
Until the 19th century, mathematicians largely relied on intuitive notions of continuity and considered only continuous functions.
Sampai pada abad ke-19, matematikawan sangat mengandalkan konsep kekontinuan yang intuitif.
The epsilon–delta definition of a limit was introduced to formalize the definition of continuity.
Hal ini berubah sejak definisi epsilon-delta dari limit diperkenalkan untuk memformalkan definisi kekontinuan.
Continuity is one of the core concepts of calculus and mathematical analysis, where arguments and values of functions are real and complex numbers.
Kekontinuan adalah salah satu konsep inti dalam kalkulus dan analisis matematika, yang membahas fungsi dengan keluaran maupun variabelnya dapat berupa bilangan real atau kompleks.
The latter are the most general continuous functions, and their definition is the basis of topology.
Fungsi jenis terakhir adalah fungsi kontinu yang paling umum, dan definisinya menjadi dasar ilmu topologi.
In contrast, the function M(t) denoting the amount of money in a bank account at time t would be considered discontinuous since it "jumps" at each point in time when money is deposited or withdrawn.
Sebaliknya, jika fungsi M(t) melambangkan jumlah uang di sebuah rekening bank pada waktu t, nilai fungsi ini akan "melompat" ketika uang disimpan atau ditarik.
A form of the epsilon–delta definition of continuity was first given by Bernard Bolzano in 1817.
Suatu bentuk definisi epsilon-delta untuk kekontinuan pertama kali diberikan oleh Bernard Bolzano pada tahun 1817.
Augustin-Louis Cauchy defined continuity of yf ( x ) as follows: an infinitely small increment α of the independent variable x always produces an infinitely small change f ( x + α )
Augustin-Louis Cauchy mendefinisikan kekontinuan yf ( x ) sebagai berikut: perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai α dari variabel bebas x , akan selalu menghasilkan perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai f ( x + α )
− f ( x ) of the dependent variable y (see e.g. Cours d'Analyse, p. 34).
− f ( x ) dari variabel terikat y (lihat Cours d'Analyse, hal. 34).
Cauchy defined infinitely small quantities in terms of variable quantities, and his definition of continuity closely parallels the infinitesimal definition used today (see microcontinuity).
Cauchy mendefinisikan besaran yang sangat kecil dalam bentuk besaran variabel, dan definisinya tentang kontinuitas sangat mirip dengan definisi infinitesimal yang digunakan saat ini (lihat mikrokontinuitas).
Like Bolzano, Karl Weierstrass denied continuity of a function at a point c unless it was defined at and on both sides of c, but Édouard Goursat allowed the function to be defined only at and on one side of c, and Camille Jordan allowed it even if the function was defined only at c.
Sama seperti Bolzano, Karl Weierstrass menolak mengganggap fungsi bersifat kontinu di suatu titik c jika nilai fungsi tersebut tidak terdefinisi di c dan di kedua sisi titik itu.
Eduard Heine provided the first published definition of uniform continuity in 1872, but based these ideas on lectures given by Peter Gustav Lejeune Dirichlet in 1854.
Terbitan oleh Eduard Heine pada tahun 1872 memberikan definisi pertama mengenai kekontinuan seragam, tetapi gagasan itu didasarkan pada kuliah yang diberikan oleh Peter Gustav Lejeune Dirichlet pada tahun 1854.
A real function that is a function from real numbers to real numbers can be represented by a graph in the Cartesian plane; such a function is continuous if, roughly speaking, the graph is a single unbroken curve whose domain is the entire real line.
Sebuah fungsi real, yakni fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real, dapat dinyatakan sebagai sebuah grafik pada bidang Kartesius.
Continuity of real functions is usually defined in terms of limits.
Secara sederhana, kekontinuan fungsi real umumnya didefinisikan dalam bentuk limit.
A function f with variable x is continuous at the real number c, if the limit of f ( x ) , as x tends to c, is equal to f ( c ) .
Sebuah fungsi f dengan variabel x dikatakan kontinu di bilangan real c , jika limit dari f ( x ) ketika x menuju c , akan sama dengan f ( c ) .
There are several different definitions of the (global) continuity of a function, which depend on the nature of its domain.
Terdapat beberapa definisi berbeda mengenai kekontinuan (secara global) dari fungsi, yang bergantung dari bentuk domain fungsi tersebut.
A function that is continuous on the interval ( − ∞ , + ∞ ) (the whole real line) is often called simply a continuous function; one also says that such a function is continuous everywhere.
Fungsi yang kontinu pada selang ( − ∞ , + ∞ ) (yakni seluruh garis bilangan) umumnya cukup disebut sebagai fungsi kontinu; sebagian menyebut fungsi tersebut kontinu dimanapun.
For example, all polynomial functions are continuous everywhere.
Sebagai contoh, semua fungsi polinomial kontinu di manapun.
For example, the function f ( x )x }} is continuous on its whole domain, which is the semi-open interval
Sebagai contoh, fungsi f ( x )x }} kontinu pada selang tutup-buka
Examples include the reciprocal function x ↦ 1 x {\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}} and the tangent function x ↦ tan ⁡ x .
Contoh fungsi jenis ini adalah fungsi x ↦ 1 x {\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}} dan x ↦ tan ⁡ x .
For example, the functions x ↦ 1 x {\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}} and x ↦ sin ⁡ ( 1 x ) {\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})} are discontinuous at 0, and remain discontinuous whichever value is chosen for defining them at 0.
Sebagai contoh, fungsi x ↦ 1 x {\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}} dan x ↦ sin ⁡ ( 1 x ) {\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})} takkontinu di x0 , dan tetap takkontinu bahkan ketika nilai fungsi di titik tersebut didefinisikan.
Let f : D → R {\textstyle f:D\to \mathbb {R} } be a function whose domain D is contained in R } of real numbers.
Untuk itu, misalkan f : D → R \quad } adalah fungsi yang terdefinisi pada suatu subset D dari himpunan bilangan real R } .
{ x ∈ R ∣ a < x < b } , \mid a<x<b\},} where a and b are real numbers In the case of an open interval, a and b do not belong to D , and the values f ( a ) and f ( b ) are not defined, and if they are, they do not matter for continuity on D .
[ a , b ]{ x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b } \mid a\leq x\leq b\}} : D berupa selang tutup, atau D( a , b ){ x ∈ R ∣ a < x < b } \mid a<x<b\}} : D berupa selang buka.
The function f is continuous at some point c of its domain if the limit of f ( x ) , as x approaches c through the domain of f, exists and is equal to f ( c ) .
Fungsi f dikatakan kontinu di titik c di domainnya, jika limit dari f ( x ) ketika x menuju c melalui domain f , ada nilainya dan sama dengan f ( c ) .
In mathematical notation, this is written as lim x → c f ( x )
Dalam notasi matematika, hal ini ditulis sebagai lim x → c f ( x )f ( c ) .
Third, the value of this limit must equal f ( c ) .
Ketiga, nilai dari limit ini harus sama dengan f ( c ) .
(Here, we have assumed that the domain of f does not have any isolated points.)
Dalam definisi ini, diasumsikan bahwa domain dari f tidak memiliki titik-titik pencil.
More precisely, a function f is continuous at a point c of its domain if, for any neighborhood N 1 ( f ( c ) ) (f(c))} there is a neighborhood N 2 ( c ) (c)} in its domain such that f ( x ) ∈ N 1 ( f ( c ) ) (f(c))} whenever x ∈ N 2 ( c ) .
Menyatakan dengan lebih rinci, sebuah fungsi f kontinu di titik c di domainnya, jika untuk sembarang lingkungan N 1 ( f ( c ) ) (f(c))} ada suatu lingkungan N 2 ( c ) (c)} di domain fungsi tersebut, sehingga f ( x ) ∈ N 1 ( f ( c ) ) (f(c))} kapanpun x ∈ N 2 ( c ) .
In mathematical notation, ∀ ( x n ) n ∈ N ⊂ D : lim n → ∞ x nc ⇒ lim n → ∞ f ( x n )f ( c ) .
Dalam notasi matematika, definisi ini dapat dituliskan sebagai, ∀ ( x n ) n ∈ N ⊂ D : lim n → ∞ x nc ⇒ lim n → ∞ f ( x n )f ( c ) .
x<x_{0}+\delta ,} the value of f ( x ) satisfies f ( x 0 ) − ε < f ( x ) < f ( x 0 ) + ε . \right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .} Alternatively written, continuity of f : D → R } at x 0 ∈ D \in D} means that for every ε > 0 , there exists a δ > 0 such that for all x ∈ D : | x − x 0 | < δ implies | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ε .
\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .} Definisi tersebut dapat ditulis ulang: fungsi f : D → R } kontinu di x 0 ∈ D \in D} mengartikan untuk setiap ε > 0 , ada sebuah δ > 0 sehingga untuk semua x ∈ D : | x − x 0 | <
Weierstrass had required that the interval x 0 − δ < x < x 0 + δ -\delta <x<x_{0}+\delta } be entirely within the domain D , but Jordan removed that restriction.
Weierstrass mengharuskan selang x 0 − δ < x < x 0 + δ -\delta <x<x_{0}+\delta } seluruhnya berada di dalam domain D , namun Jordan menunjukkan syarat ini dapat dihilangkan.
[0,\infty ]} is called a control function if C is non-decreasing inf δ > 0 C ( δ )
[0,\infty ]} disebut sebagai fungsi kontrol, jika C adalah fungsi tak-turun inf δ > 0 C ( δ )
0 C(\delta )=0} A function f : D → R is C-continuous at x 0 } if there exists such a neighbourhood N ( x 0 ) {\textstyle N(x_{0})}
\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .} Definisi tersebut dapat ditulis ulang: fungsi f : D → R } kontinu di x 0 ∈ D \in D} mengartikan untuk setiap ε > 0 , ada sebuah δ > 0 sehingga untuk semua x ∈ D : | x − x 0 | <
that | f ( x ) − f ( x 0 ) | ≤ C ( | x − x 0 | ) for all x ∈ D ∩ N ( x 0 ) )|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ for all }}x\in D\cap N(x_{0})} A function is continuous in x 0 } if it is C-continuous for some control function C. This approach leads naturally to refining the notion of continuity by restricting the set of admissible control functions.
− f ( x 0 ) | ≤ C ( | x − x 0 | ) )|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right)} Sebuah fungsi f dikatakan kontinu di x 0 } jika fungsi tersebut kontinu- C untuk suatu fungsi kontrol C .
For a given set of control functions C }} a function is C }} -continuous if it is C -continuous for some C ∈ C .
Untuk sebuah himpunan fungsi kontrol C }} , sebuah fungsi disebut kontinu- C }} jika fungsi tersebut kontinu- C untuk suatu C ∈ C }} .
K | δ | , K > 0 } }_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}} C Hölder − α{ C : C ( δ )
=K|\delta |,\ K>0\}} Mirip dengan itu, C Hölder − α{ C : C ( δ )K | δ | α , K > 0 } .
K | δ | α , K > 0 } }_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}} C uniform cont.
}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}.}
x ⁠ is continuous Addition and multiplication: If the functions ⁠ f ⁠ and ⁠ g ⁠ are continuous on their respective domains ⁠ D f } ⁠ and ⁠ D g } ⁠, then their sum ⁠ f + g ⁠ and their product ⁠
Misalkan f , g : D → R , ,} hasil penjumlahan fungsi-fungsi kontinu sf + g yang didefinisikan oleh s ( x )f ( x ) + g ( x ) untuk setiap x ∈ D , adalah sebuah fungsi kontinu di D .
1 (0)=1} ⁠ and ⁠ sinc ⁡ ( x )sin ⁡ x x (x)={\tfrac {\sin x}{x}}} ⁠ for ⁠ x ≠ 0 ⁠. The above rules show immediately that the function is continuous for ⁠ x ≠ 0 ⁠, but, for proving the continuity at ⁠ 0 ⁠, one has to prove lim x → 0 sin ⁡ x x1. {\frac {\sin x}{x}}=1.}
Contoh lain lagi adalah fungsi f ( x ){ sin ⁡ ( x − 2 ) jika x ≠ 0 0 jika x0 \sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ jika }}x\neq 0\\0&{\text{ jika }}x=0\end{cases}}} yang juga kontinu di manapun selain titik x0 .
An example of a discontinuous function is the Heaviside step function H , defined by H ( x )
Sebuah contoh dari fungsi takkontinu adalah fungsi tangga Heaviside H , yang didefinisikan sebagai H ( x )
{ 1 if x ≥ 0 0 if x < 0 1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}} Pick for instance ε1 / 2 .
{ 1 jika x ≥ 0 0 jika x < 0 1&{\text{ jika }}x\geq 0\\0&{\text{ jika }}x<0\end{cases}}} Untuk mengetahui penyebab ketakkontinuan dari fungsi, pilih, sebagai contoh, nilai ε1 / 2 .
Then there is no δ -neighborhood around x0 , i.e. no open interval ( − δ , δ ) with δ > 0 , that will force all the H ( x ) values to be within the ε -neighborhood of H ( 0 ) , i.e. within ( 1 / 2 , 3 / 2 ) .
Tidak ada lingkungan- δ sekitar x0 , dalam kata lain tidak ada selang buka ( − δ , δ ) dengan δ > 0 , yang membuat semua nilai H ( x ) berada di dalam lingkungan- ε sekitar H ( 0 ) , yaitu selang ( 1 − 1 2 , 1 + 1 2 ) {2}},\;1+{\tfrac {1}{2}})} .
Similarly, the signum or sign function sgn ⁡ ( x ){ 1 if x > 0 0 if x0 − 1 if x < 0 (x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}} is discontinuous at x0 but continuous everywhere else.
{ 1 jika x > 0 0 jika x0 − 1 jika x < 0 (x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ jika }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ jika }}x=0\\-1&{\text{ jika }}x<0\end{cases}}} takkontinu di x0 namun kontinu di manapun selain titik itu.
if x ≠ 0 0 if x0 \sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}} is continuous everywhere apart from x0 .
{ 1 jika x > 0 0 jika x0 − 1 jika x < 0 (x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ jika }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ jika }}x=0\\-1&{\text{ jika }}x<0\end{cases}}} takkontinu di x0 namun kontinu di manapun selain titik itu.
{ 1 if x0 1 q if xp q (in lowest terms) is a rational number 0 if x is irrational .
{ 1 jika x0 1 q jika xp q (dalam bentuk paling sederhana) adalah bilangan rasional 0 jika x bilangan irasional .
1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}} is continuous at all irrational numbers and discontinuous at all rational numbers.
1&{\text{ jika }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ jika }}x={\frac {p}{q}}{\text{(dalam bentuk paling sederhana) adalah bilangan rasional}}\\0&{\text{ jika }}x{\text{ bilangan irasional}}.\end{cases}
\right)\neq y_{0}.} Then f ( x ) ≠ y 0 } throughout some neighbourhood of x 0 .
Maka akan berlaku f ( x ) ≠ y 0 } pada semua titik pada suatu lingkungan dari x 0 .
Proof: By the definition of continuity, take ε| y 0 − f ( x 0 ) | 2 > 0 -f(x_{0})|}{2}}>0} , then there exists δ > 0 such that | f ( x ) − f ( x 0 ) | < | y 0 − f ( x 0 ) | 2 whenever | x − x 0 | < δ )\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta } Suppose there is a point in the neighbourhood | x − x 0 | < δ |<\delta } for which f ( x )y 0 ; ;} then we have the contradiction | f ( x 0 )
Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari kekontinuan: dengan memilih ε| y 0 − f ( x 0 ) | 2 > 0 -f(x_{0})|}{2}}>0} , akan ada δ > 0 sehingga | f ( x ) − f ( x 0 ) | < | y 0 − f ( x 0 ) | 2 kapanpun | x − x 0 | < δ .
[ a , b ] , and k is some number between f ( a ) and f ( b ) , then there is some number c ∈ [ a , b ] , {\displaystyle c\in
[ a , b ] , dan k adalah suatu bilangan di antara f ( a ) dan f ( b ) , maka ada bilangan c ∈ [ a , b ] yang memenuhi f ( c )
[a,b]} with f ( c ) ≥ f ( x ) for all x ∈ [ a , b ] .
[a,b]} dengan f ( c ) ≥ f ( x ) untuk setiap x ∈ [ a , b ] .
These statements are not, in general, true if the function is defined on an open interval ( a , b ) (or any set that is not both closed and bounded), as, for example, the continuous function f ( x )1 x , {x}},} defined on the open interval (0,1), does not attain a maximum, being unbounded above.
Sebagai contoh, fungsi kontinu f ( x )1 x {x}}} yang terdefinisi pada interval buka ( 0 , 1 ) tidak memiliki nilai maksimum, karena nilai fungsi tidak terbatas dari atas.
Every differentiable function f : ( a , b ) → R } is continuous, as can be shown.
Dapat ditunjukkan bahwa semua fungsi terdiferensialkan f : ( a , b ) → R } bersifat kontinu.
| x |{ x if x ≥ 0 − x if x < 0 \;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}} is everywhere continuous.
Namun, kebalikannya tidak berlaku: sebagai contoh, fungsi nilai mutlak f ( x )| x |{ x jika x ≥ 0 − x jika x < 0 \;\;\ x&{\text{ jika }}x\geq 0\\-x&{\text{ jika }}x<0\end{cases}}} yang kontinu di manapun.
If f′(x) is continuous, f(x) is said to be continuously differentiable.
Jika f ′ ( x ) kontinu, fungsi f ( x ) dikatakan terdiferensialkan
The set of such functions is denoted C 1 ( ( a , b ) ) .
Himpunan dari fungsi-fungsi jenis ini dinyatakan dengan C 1 .
More generally, the set of functions f : Ω → R } (from an open interval (or open subset of R } ) Ω to the reals) such that f is n times differentiable and such that the n -th derivative of f is continuous is denoted C n ( Ω ) .
.} Secara umum, himpunan fungsi f : Ω → R } (dengan Ω berupa selang buka) yang dapat diturunkan sebanyak n kali dan turunan ke- n dari f bersifat kontinu, dinotasikan dengan C n ( Ω ) .
In the field of computer graphics, properties related (but not identical) to C 0 , C 1 , C 2 ,C^{1},C^{2}} are sometimes called G 0 } (continuity of position), G 1 } (continuity of tangency), and G 2 } (continuity of curvature); see Smoothness of curves and surfaces.
Dalam bidang grafika komputer, sifat-sifat yang berkaitan (namun tidak sama) dengan C 0 , C 1 , C 2 ,C^{1},C^{2}} terkadang disebut G 0 } (kekontinuan posisi), G 1 } (kekontinuan garis singgung), dan G 2 } (kekontinuan kelengkungan/kurvatur).
Every continuous function f :
Setiap fungsi kontinu f :
[ a , b ] → R } is integrable (for example in the sense of the Riemann integral).
[ a , b ] → R } dapat diintegralkan, sebagai contoh dalam konteks integral Riemann.
Given a sequence f 1 , f 2 , … : I → R ,f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} } of functions such that the limit f ( x ) :lim n → ∞ f n ( x ) f_{n}(x)} exists for all x ∈ D , , the resulting function f ( x ) is referred to as the pointwise limit of the sequence of functions ( f n ) n ∈ N .
)_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.} Dengan menyertakan secara eksplisit definisi limit fungsi ke dalam definisi kekontinuan, fungsi kontinu dapat dijelaskan tanpa perlu merujuk ke konsep limit.
Requiring | f ( x ) − f ( c ) | < ε to hold instead for all x with c − δ < x < c yields the notion of left-continuous functions.
− f ( x 0 ) | ≤ C ( | x − x 0 | ) )|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right)} Sebuah fungsi f dikatakan kontinu di x 0 } jika fungsi tersebut kontinu- C untuk suatu fungsi kontrol C .
That is, for any ε > 0 , there exists some number δ > 0 such that for all x in the domain with | x − c | < δ , the value of f ( x ) satisfies f ( x ) ≥ f ( c )
x < x 0 + δ , -\delta <x<x_{0}+\delta ,} berlaku f ( x 0 ) − ε < f ( x ) < f ( x 0 ) + ε .
The concept of continuous real-valued functions can be generalized to functions between metric spaces.
Konsep fungsi bernilai real kontinu dapat perumum untuk fungsi antar ruang metrik.
As in the case of real functions above, this is equivalent to the condition that for every sequence ( x n ) \right)} in X with limit lim x nc ,c,} we have lim f ( x n )f ( c ) .
Seperti pada kasus fungsi real di bagian sebelumnya, definisi ini setara dengan syarat bahwa untuk setiap barisan ( x n ) ∈ X )\in X} dengan nilai limit lim x ncc} , haruslah lim f ( x n )
The latter condition can be weakened as follows: f is continuous at the point c if and only if for every convergent sequence ( x n ) \right)} in X with limit c , the sequence ( f ( x n ) ) \right)\right)} is a Cauchy sequence, and c is in the domain of f .
Syarat ini dapat diperlemah menjadi: fungsi f kontinu jika dan hanya jika untuk setiap barisan ( x n ) ∈ X )\in X} yang konvergen ke c (dan c berada di domain f ), barisan ( f ( x n ) ) ))} adalah barisan Cauchy.
The set of points at which a function between metric spaces is continuous is a G δ } set – this follows from the ε − δ definition of continuity.
Himpunan titik di mana sebuah fungsi antar ruang metrik bersifat kontinu disebut dengan himpunan G δ } , yang berasal dari definisi kekontinuan menggunakan epsilon-delta.
This notion of continuity is applied, for example, in functional analysis.
Salah satu contoh penggunaan konsep kekontinuan ini ada di analisis fungsional.
A key statement in this area says that a linear operator T : V → W between normed vector spaces V and W (which are vector spaces equipped with a compatible norm, denoted ‖ x ‖ ) is continuous if and only if it is bounded, that is, there is a constant K such that ‖ T ( x ) ‖ ≤ K ‖ x ‖ for all x ∈ V .
Sebuah definisi yang penting dalam cabang matematika ini menyatakan bahwa: sebuah operator linear T : V → W antar ruang vektor bernorma V dan W (yakni ruang vektor yang dilengkapi suatu norma ‖ x ‖ ) bersifat kontinu jika dan hanya jika operator tersebut terbatas, yakni terdapat konstanta K yang menyebabkan ‖ T ( x ) ‖ ≤ K ‖ x ‖ untuk semua x ∈ V .
The concept of continuity for functions between metric spaces can be strengthened in various ways by limiting the way δ depends on ε and c in the definition above.
Konsep kekontinuan fungsi antar ruang metrik pada bagian sebelumnya, dapat diperkuat dengan membatasi bagaimana nilai δ terikat pada ε dan titik c ; yang dapat dilakukan dalam berbagai cara.
Intuitively, a function f as above is uniformly continuous if the δ does not depend on the point c.
Secara informal, fungsi f disebut kontinu seragam jika pemilihan nilai δ tidak tergantung pada titik c .
More precisely, it is required that for every real number ε > 0 there exists δ > 0 such that for every c , b ∈ X with d X ( b , c ) < δ , (b,c)<\delta ,} we have that d Y ( f ( b ) , f ( c ) ) < ε .
Lebih tepatnya, fungsi kontinu seragam perlu memenuhi kondisi berikut: untuk setiap bilangan real ε > 0 akan ada δ > 0 sehingga untuk setiap c , b ∈ X yang memenuhi d X ( b , c ) < δ (b,c)<\delta } ,
Uniformly continuous maps can be defined in the more general situation of uniform spaces.
Peta kontinu seragam dapat didefinisikan dalam situasi ruang seragam yang lebih umum.
A function is Hölder continuous with exponent α (a real number) if there is a constant K such that for all b , c ∈ X , the inequality d Y ( f ( b ) , f ( c ) ) ≤ K ⋅ ( d X ( b , c ) ) α (f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }} holds.
Sebuah fungsi disebut kontinu Hölder pangkat α (berupa bilangan real) jika ada konstanta K sehingga untuk semua b , c ∈ X akan berlaku pertidaksamaan d Y ( f ( b ) , f ( c ) ) ≤ K ⋅ ( d X ( b , c ) ) α (f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }} Semua fungsi kontinu Hölder bersifat kontinu seragam.
The particular case α1 is referred to as Lipschitz continuity.
Kasus khusus α1 disebut sebagai kekontinuan Lipschitz.
That is, a function is Lipschitz continuous if there is a constant K such that the inequality d Y ( f ( b ) , f ( c ) ) ≤ K ⋅ d X ( b , c ) (f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)} holds for any b , c ∈ X .
Artinya, suatu fungsi kontinu Lipschitz jika ada konstanta K sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan d Y ( f ( b ) , f ( c ) ) ≤ K ⋅ d X ( b , c ) (f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)} berlaku untuk sembarang b , c ∈ X .
The Lipschitz condition occurs, for example, in the Picard–Lindelöf theorem concerning the solutions of ordinary differential equations.
Kondisi Lipschitz digunakan contohnya dalam teorema Picard – Lindelöf yang membahas tentang solusi persamaan diferensial biasa.
A function f : X → Y between two topological spaces X and Y is continuous if for every open set V ⊆ Y , the inverse image f − 1 ( V )
Jika fungsi f : S → Y adalah suatu fungsi kontinu dari suatu subset S dari ruang topologis X maka perluasan kontinu dari f ke X adalah sembarang fungsi kontinu F :
{ x ∈ X | f ( x ) ∈ V } (V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}} is an open subset of X. That is, f is a function between the sets X and Y (not on the elements of the topology T X } ), but the continuity of f depends on the topologies used on X and Y.
Jika fungsi f : S → Y adalah suatu fungsi kontinu dari suatu subset S dari ruang topologis X maka perluasan kontinu dari f ke X adalah sembarang fungsi kontinu F :
In detail, a function f : X → Y is sequentially continuous if whenever a sequence ( x n ) \right)} in X converges to a limit x , the sequence ( f ( x n ) ) \right)\right)} converges to f ( x ) .
Syarat ini dapat diperlemah menjadi: fungsi f kontinu jika dan hanya jika untuk setiap barisan ( x n ) ∈ X )\in X} yang konvergen ke c (dan c berada di domain f ), barisan ( f ( x n ) ) ))} adalah barisan Cauchy.
If f : S → Y is a continuous function from some subset S of a topological space X then a continuous extension of f to X is any continuous function F : X → Y such that F ( s )f ( s ) for every s ∈ S , which is a condition that is often written as fF | S _{S}} .
Jika fungsi f : S → Y adalah suatu fungsi kontinu dari suatu subset S dari ruang topologis X maka perluasan kontinu dari f ke X adalah sembarang fungsi kontinu F :
In words, it is any continuous function F : X → Y that restricts to f on S .
_{S}.} Secara informal, itu adalah sembarang fungsi F : X → Y yang membatasi f pada S .
This notion is used, for example, in the Tietze extension theorem and the Hahn–Banach theorem.
Konsep ini digunakan, sebagai contoh, dalam teorema perluasan Tietze dan teorema Hahn–Banach.
If f : S → Y is not continuous, then it could not possibly have a continuous extension.
Jika f : S → Y tidak kontinu maka tidak mungkin fungsi tersebut memiliki perluasan kontinu.
If Y is a Hausdorff space and S is a dense subset of X then a continuous extension of f : S → Y to X , if one exists, will be unique.
Jika Y adalah suatu ruang Hausdorff dan S adalah himpunan rapat dari X maka fungsi perluasan kontinu dari f : S → Y ke X , jika itu ada, bersifat unik.
Various other mathematical domains use the concept of continuity in different but related meanings.
Banyak cabang matematika lainnya menggunakan konsep kekontinuan dalam konteks berbeda, namun memiliki makna yang mirip.
For example, in order theory, an order-preserving function f : X → Y between particular types of partially ordered sets X and Y is continuous if for each directed subset A of X , we have sup f ( A )
Sebagai contoh, dalam teori urutan, fungsi kekal-urutan(order-preserving function) f : X → Y antar jenis himpunan terurut parsial tertentu X dan Y ,
Here sup is the supremum with respect to the orderings in X and Y , respectively.
Notasi sup tersebut masing-masing menyatakan supremum terhadap urutan dalam X dan Y .
This notion of continuity is the same as topological continuity when the partially ordered sets are given the Scott topology.
Konsep kekontinuan ini sama kekontinuan topologis ketika himpunan urutan parsial merupakan subset dari topologi Scott.
That is to say, lim ← i ∈ I ⁡ F ( C i ) ≅ F ( lim ← i ∈ I ⁡ C i ) F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)} for any small (that is, indexed by a set I , as opposed to a class) diagram of objects in C }} .
F ( lim ← i ∈ I ⁡ C i ) F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)} untuk sembarang diagram yang kecil (yaitu, yang diindeks dengan sebuah himpunan I , bukan sebuah kelas) dari objek di C }} .
A continuity space is a generalization of metric spaces and posets, which uses the concept of quantales, and that can be used to unify the notions of metric spaces and domains.
Sebuah ruang kekontinuan adalah perumuman dari ruang metrik dan poset, dan dapat digunakan untuk menyatukan konsep dari ruang metrik dan domain.