In linear algebra, a set of vectors is said to be linearly independent if there exists no vector in the set that is equal to a linear combination of the other vectors in the set.
Dalam aljabar linear, sekelompok vektor disebut bebas linear apabila masing-masingnya tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain.
_{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k}.}
_{1}=\left(-{\frac {5}{9}}\right)\mathbf {v} _{2}+\left(-{\frac {4}{9}}\right)\mathbf {v} _{3}+{\frac {1}{9}}\mathbf {v} _{4}.}
A sequence of vectors v 1 , v 2 , … , v n _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}} is said to be linearly independent if it is not linearly dependent, that is, if the equation a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n0 , \mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,} can only be satisfied by a i00} for i1 , … , n .
Bebas linear dapat didefinisikan sebagai berikut: suatu himpunan vektor v1, v2, ..., vn dikatakan bebas linear jika kombinasi linear nol atas vektor-vektor tersebut hanya dipenuhi oleh solusi trivial; yaitu jika a1,a2,...,an adalah skalar sehingga a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n0 \mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} } jika dan hanya jika ai0 untuk semua i1, 2, ..., n. Contoh geografis dapat membantu memperjelas konsep kemerdekaan linier.
A person describing the location of a certain place might say, "It is 3 miles north and 4 miles east of here."
Seseorang yang menjelaskan lokasi suatu tempat mungkin berkata, "3 mil sebelah utara dan 4 mil timur dari sini."
This is sufficient information to describe the location, because the geographic coordinate system may be considered as a 2-dimensional vector space (ignoring altitude and the curvature of the Earth's surface).
Informasi ini cukup untuk menggambarkan lokasi, karena sistem koordinat geografis dapat dianggap sebagai ruang vektor 2 dimensi (dengan mengabaikan ketinggian dan kelengkungan bumi).
The person might add, "The place is 5 miles northeast of here."
Orang itu mungkin menambahkan, "Tempatnya 5 mil timur laut dari sini."
In this example the "3 miles north" vector and the "4 miles east" vector are linearly independent.
Dalam contoh ini vektor "3 mil utara" dan vektor "4 mil timur" tidak bergantung linear.
That is to say, the north vector cannot be described in terms of the east vector, and vice versa.
Artinya, vektor utara tidak dapat dijelaskan dalam bentuk vektor timur, dan sebaliknya.
The third "5 miles northeast" vector is a linear combination of the other two vectors, and it makes the set of vectors linearly dependent, that is, one of the three vectors is unnecessary to define a specific location on a plane.
Vektor ketiga "5 mil timur laut" adalah kombinasi linear dari dua vektor lainnya, dan itu membuat himpunan vektor bergantung secara linear , yaitu, salah satu dari tiga vektor tidak diperlukan.
Also note that if altitude is not ignored, it becomes necessary to add a third vector to the linearly independent set.
Perhatikan juga bahwa jika ketinggian tidak diabaikan, vektor ketiga harus ditambahkan ke himpunan bebas linear.
In general, n linearly independent vectors are required to describe all locations in n-dimensional space.
Secara umum, vektor bebas linear n diperlukan untuk mendeskripsikan semua lokasi dalam ruang dimensi n .
[ a 1 a 2 a 3 ][ 0 0 ] . 1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.} Row reduce this matrix equation by subtracting the first row from the second to obtain, [ 1 − 3 2 0 5 2 ]
1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.} Reduksi baris persamaan matriks ini dengan mengurangkan baris pertama dari baris kedua untuk mendapatkan, [ 1 − 3 2 0 5 2 ] { a 1 a 2 a 3 }
[ a 1 a 2 a 3 ][ 0 0 ] . 1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.} Continue the row reduction by (i) dividing the second row by 5, and then (ii) multiplying by 3 and adding to the first row, that is [ 1 0 16 / 5 0 1 2 / 5 ] [ a 1 a 2 a 3 ][ 0 0 ] .
1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.} Reduksi baris persamaan matriks ini dengan mengurangkan baris pertama dari baris kedua untuk mendapatkan, [ 1 − 3 2 0 5 2 ] { a 1 a 2 a 3 }
[ a 1 a 2 ][ a 1 a 2 ]− a 3 [ 16 / 5 2 / 5 ] . 1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.} which shows that non-zero ai exist such that v 3( 2 , 4 ) _{3}=(2,4)} can be defined in terms of v 1( 1 , 1 ) _{1}=(1,1)} and v 2( − 3 , 2 ) .
{ 0 0 } , {\begin{Bmatrix}1\\1\end{Bmatrix}}+a_{2}{\begin{Bmatrix}-3\\2\end{Bmatrix}}+a_{3}{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}},} atau [ 1 − 3 2 1 2 4 ] { a 1 a 2 a 3 }{ 0 0 } .
Thus, the three vectors are linearly dependent.
Jadi, ketiga vektor tersebut bergantung secara linear.
Two vectors: Now consider the linear dependence of the two vectors v 1( 1 , 1 ) _{1}=(1,1)} and v 2( − 3 , 2 ) , _{2}=(-3,2),} and check, a 1 [ 1 1 ] + a 2 [ − 3 2 ][ 0 0 ] , {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},} or [ 1 − 3 1 2 ]
Dua vektor: Sekarang perhatikan ketergantungan linear dari dua vektor v1(1, 1), v2(−3, 2), dan cek, a 1 { 1 1 } + a 2 { − 3 2 }{ 0 0 } , {\begin{Bmatrix}1\\1\end{Bmatrix}}+a_{2}{\begin{Bmatrix}-3\\2\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}},} atau [ 1 − 3 1 2 ] { a 1 a 2 }{ 0 0 } .
[ a 1 a 2 ][ 0 0 ] . 1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.} The same row reduction presented above yields, [ 1 0 0 1 ]
1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.} Reduksi baris persamaan matriks ini dengan mengurangkan baris pertama dari baris kedua untuk mendapatkan, [ 1 − 3 2 0 5 2 ] { a 1 a 2 a 3 }
This shows that a i0 ,0,} which means that the vectors v 1( 1 , 1 ) _{1}=(1,1)} and v 2( − 3 , 2 ) _{2}=(-3,2)} are linearly independent.
Ini menunjukkan ai0, yang berarti vektor v1(1, 1) dan v2(−3, 2) adalah independen linear.
In order to determine if the three vectors in R 4 , ^{4},} v 1[ 1 4 2 − 3 ] , v 2[ 7 10 − 4 − 1 ] , v 3[ − 2 1 5 − 4 ] .
Untuk menentukan apakah ketiga vektor pada R4, v 1{ 1 4 2 − 3 } , v 2{ 7 10 − 4 − 1 } , v 3{ − 2 1 5 − 4 } .
_{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.} are linearly dependent, form the matrix equation, [ 1 7 − 2 4 10 1 2 − 4 5 − 3 − 1 − 4 ]
_{1}={\begin{Bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{Bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{Bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{Bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{Bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{Bmatrix}}.} bergantung secara linear, membentuk persamaan matriks, [ 1 7 − 2 4 10 1 2 − 4 5 − 3 − 1 − 4 ] { a 1 a 2 a 3 }
[ a 1 a 2 a 3 ][ 0 0 0 0 ] . 1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.} Row reduce this equation to obtain, [ 1 7 − 2 0 − 18 9 0 0 0 0 0 0 ]
{ 0 0 0 0 } . 1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}.} Baris mengurangi persamaan ini untuk mendapatkan, [ 1 7 − 2 0 − 18 9 0 0 0 0 0 0 ] { a 1 a 2 a 3 }{ 0 0 0 0 } .
[ a 1 a 2 a 3 ][ 0 0 0 0 ] . 1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.} Rearrange to solve for v3 and obtain, [ 1 7 0 − 18 ] [ a 1 a 2 ]− a 3 [ − 2 9 ] .
1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}.} Atur ulang untuk memecahkan v 3 dan dapatkan, [ 1 7 0 − 18 ] { a 1 a 2 }− a 3 { − 2 9 } .
1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.} This equation is easily solved to define non-zero ai, a 1− 3 a 3 / 2 , a 2a 3 / 2 ,-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,} where a 3 } can be chosen arbitrarily.
1&7\\0&-18&\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}=-a_{3}{\begin{Bmatrix}-2\\9\end{Bmatrix}}.} Persamaan ini dengan mudah diselesaikan untuk mendefinisikan bukan nol ai, a 1− 3 a 3 / 2 , a 2a 3 / 2 ,-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,} di mana a3 bisa dipilih secara sewenang-wenang.
An alternative method relies on the fact that n vectors in R n ^{n}} are linearly independent if and only if the determinant of the matrix formed by taking the vectors as its columns is non-zero.
Metode alternatif bergantung pada fakta bahwa vektor n di R n ^{n}} secara linier 'independen' jika dan hanya jika determinan dari matriks yang dibentuk dengan mengambil vektor sebagai kolomnya bukan nol.
In this case, the matrix formed by the vectors is A[ 1 − 3 1 2 ] .
Dalam hal ini, matriks yang dibentuk oleh vektor adalah A[ 1 − 3 1 2 ] .
5 ≠ 0. Since the determinant is non-zero, the vectors ( 1 , 1 ) and ( − 3 , 2 ) are linearly independent.
Karena determinan bukan nol, vektor (1, 1) dan (−3, 2) bebas linear.
Otherwise, suppose we have m vectors of n coordinates, with m < n .
Jika tidak, misalkan kita memiliki vektor m dengan koordinat n , dengan m < n .
Then A is an n×m matrix and Λ is a column vector with m entries, and we are again interested in AΛ0.
Maka A adalah matriks n × m dan Λ adalah vektor kolom dengan entri m ,
Consider the first m rows of A , the first m equations; any solution of the full list of equations must also be true of the reduced list.
Perhatikan baris pertama m dari A , persamaan m pertama; solusi apa pun dari daftar lengkap persamaan juga harus benar untuk daftar yang dikurangi.
i 1 , … , i m ⟩ Λ0 .
A ⟨ i 1 , … , i m ⟩ Λ0 .
,\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda\mathbf {0} .}
,\dots ,i_{m}}\rangle }\Lambda\mathbf {0} .} Lebih jauh, kebalikannya benar.
That is, we can test whether the m vectors are linearly dependent by testing whether det A ⟨ i 1 , … ,
Artinya, kita dapat menguji apakah vektor m bergantung secara linier dengan menguji apakah det A ⟨
i m ⟩0 ,\dots ,i_{m}\rangle }=0} for all possible lists of m rows.
i 1 , … , i m ⟩0 ,\dots ,i_{m}}\rangle }=0} untuk semua kemungkinan daftar baris m .
(In case mn , this requires only one determinant, as above.
(Dalam kasus mn , ini hanya membutuhkan satu determinan, seperti di atas.
This fact is valuable for theory; in practical calculations more efficient methods are available.
Fakta ini berharga untuk teori; dalam perhitungan praktis tersedia metode yang lebih efisien.
If there are more vectors than dimensions, the vectors are linearly dependent.
Jika ada lebih banyak vektor daripada dimensi, vektor-vektor tersebut bergantung secara linier.
This is illustrated in the example above of three vectors in R 2 .
Ini diilustrasikan dalam contoh di atas dari tiga vektor di R2.
Tutorial and interactive program on Linear Independence.
Tutorial dan program interaktif tentang Kemerdekaan Linear.