In classical statistical mechanics, the equipartition theorem relates the temperature of a system to its average energies.
Dalam mekanika statistika klasik, teorema ekuipartisi adalah sebuah rumusan umum yang merelasikan temperatur suatu sistem dengan energi rata-ratanya.
The original idea of equipartition was that, in thermal equilibrium, energy is shared equally among all of its various forms; for example, the average kinetic energy per degree of freedom in translational motion of a molecule should equal that in rotational motion.
Gagasan dasar teorema ekuipartisi adalah bahwa dalam keadaan kesetimbangan termal, energi akan terdistribusikan secara merata ke semua bentuk-bentuk energi yang berbeda; contohnya energi kinetik rata-rata per derajat kebebasan pada gerak translasi sebuah molekul haruslah sama dengan gerak rotasinya.
Like the virial theorem, it gives the total average kinetic and potential energies for a system at a given temperature, from which the system's heat capacity can be computed.
Seperti pada teorema virial, teorema ekuipartisi dapat memberikan hasil perhitungan energi kinetik dan energi potensial rata-rata total suatu sistem pada satu temperatur tertentu, yang darinya kapasitas kalor sistem dapat dihitung.
For example, it predicts that every atom in a monatomic ideal gas has an average kinetic energy of ⁠3/2⁠kBT in thermal equilibrium, where kB is the Boltzmann constant and T is the (thermodynamic) temperature.
Contohnya, teorema ini dapat memberikan prediksi bahwa setiap molekul dalam suatu gas ideal monoatomik memiliki energi kinetik rata-rata sebesar (3/2)kBT dalam kesetimbangan termal, dengan kB adalah tetapan Boltzmann dan T adalah temperatur.
The equipartition theorem can also be used to predict the properties of stars, even white dwarfs and neutron stars, since it holds even when relativistic effects are considered.
Teorema ini juga dapat digunakan untuk memprediksi sifat dan ciri bintang-bintang, bahkan berlaku juga untuk katai putih dan bintang neutron, karena teorema ini berlaku pula ketika efek-efek relativitas diperhitungkan.
Although the equipartition theorem makes accurate predictions in certain conditions, it is inaccurate when quantum effects are significant, such as at low temperatures.
Walaupun teorema ekuipartisi memberikan prediksi yang sangat akurat pada kondisi-kondisi tertentu, teorema ini menjadi tidak akurat ketika efek-efek kuantum menjadi signifikan, misalnya pada temperatur yang sangat rendah.
When the thermal energy kBT is smaller than the quantum energy spacing in a particular degree of freedom, the average energy and heat capacity of this degree of freedom are less than the values predicted by equipartition.
Ketika energi termal kBT lebih kecil daripada perjarakan energi kuantum pada suatu derajat kebebasan, energi rata-rata dan kapasitas kalor dari derajat kebebasan ini akan lebih kecil daripada nilai energi yang diprediksi oleh teorema ekuipartisi.
Such decreases in heat capacity were among the first signs to physicists of the 19th century that classical physics was incorrect and that a new, more subtle, scientific model was required.
Fenomena menurunnya kapasitas kalor ini memberikan tanda awal bagi para fisikawan abad ke-19 bahwa fisika klasik tidaklah benar dan diperlukan model ilmiah baru yang lebih akurat dalam menjelaskan fenomena ini.
For example, it predicts that every atom of an inert noble gas, in thermal equilibrium at temperature T, has an average translational kinetic energy of ⁠3/2⁠kBT, where kB is the Boltzmann constant.
Contohnya, teorema ini dapat memberikan prediksi bahwa setiap molekul dalam suatu gas ideal monoatomik memiliki energi kinetik rata-rata sebesar (3/2)kBT dalam kesetimbangan termal, dengan kB adalah tetapan Boltzmann dan T adalah temperatur.
As a consequence, since kinetic energy is equal to 1⁄2(mass)(velocity)2, the heavier atoms of xenon have a lower average speed than do the lighter atoms of helium at the same temperature.
Sebagai konsekuensinya, oleh karena energi kinetik sama dengan 1/2*mass*kecepatan^2, atom yang lebih berat seperti xenon akan memiliki kecepatan rata-rata yang lebih lambat daripada atom yang lebih ringan seperti helium pada temperatur yang sama.
Figure 2 shows the Maxwell–Boltzmann distribution for the speeds of the atoms in four noble gases.
Gambar di samping menunjukkan distribusi Maxwell-Boltzmann kecepatan atom dari keempat gas mulia tersebut.
The (Newtonian) kinetic energy of a particle of mass m, velocity v is given by H kin1 2 m | v | 21 2 m ( v x 2 + v y 2 + v z 2 ) , }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),} where vx, vy and vz are the Cartesian components of the velocity v. Here, H is short for Hamiltonian, and used henceforth as a symbol for energy because the Hamiltonian formalism plays a central role in the most general form of the equipartition theorem.
Energi kinetik suatu partikel bermassa m dan berkecepatan v adalah H kin1 2 m | v | 21 2 m ( v x 2 + v y 2 + v z 2 ) , }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),} dengan vx, vy dan vz adalah komponen Kartesius dari kecepatan v. Di sini, H adalah Hamiltonian dan digunakan sebagai simbol energi karena formalisme
Thus the average kinetic energy of the particle is ⁠3/2⁠kBT, as in the example of noble gases above.
Sehingga energi kinetik rata-rata partikelnya adalah (3/2)kBT, sebagaimana yang diberikan pada contoh gas mulia di atas.
More generally, in a monatomic ideal gas the total energy consists purely of (translational) kinetic energy: by assumption, the particles have no internal degrees of freedom and move independently of one another.
Secara umumnya, pada gas ideal, total energinya hanya terdiri dari energi kinetik (translasional) berdasarkan asumsi bahwa partikel-partikel gas tersebut bergerak secara independen dari satu sama lainnya dan tidak memiliki derajat kebebasan internal.
Equipartition therefore predicts that the total energy of an ideal gas of N particles is ⁠3/2⁠ N kB T. It follows that the heat capacity of the gas is ⁠3/2⁠ N kB and hence, in particular, the heat capacity of a mole of such gas particles is ⁠3/2⁠NAkB⁠3/2⁠R, where NA is the Avogadro constant and R is the gas constant.
Teorema ekuipartisi memprediksikan bahwa energi total rata-rata suatu gas ideal berpartikel sejumlah N adalah (3/2) N kB T. Selanjutnya kapasitas kalor gas adalah (3/2) N kB, dan sehingganya kapasitas kalor satu mol partikel gas ideal tersebut adalah (3/2)NAkB(3/2)R, dengan NA adalah tetapan Avogadro dan R adalah tetapan gas.
Since R ≈ 2 cal/(mol·K), equipartition predicts that the molar heat capacity of an ideal gas is roughly 3 cal/(mol·K).
Oleh karena R ≈ 2 cal/(mol·K), teorema ekuipartisi memprediksikan bahwa kapasitas kalor molar gas ideal adalah kira-kira 3 cal/(mol·K).
The mean kinetic energy also allows the root mean square speed vrms of the gas particles to be calculated: v rms⟨ v 2 ⟩3 k B T m3 R T M , }={\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},} where MNAm is the mass of a mole of gas particles.
Energi kinetik purata memungkinkan kita juga untuk menghitung kecepatan akar purata kuadrat vrms dari partikel gas: v rms⟨ v 2 ⟩3 k B T m3 R T M , }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},} dengan MNAm adalah massa satu mol partikel gas.
According to classical mechanics, the rotational energy of such a molecule is given by H r o t1 2 ( I 1 ω 1 2 + I 2 ω 2 2 + I 3 ω 3 2 ) , }={\tfrac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),} where ω1, ω2, and ω3 are the principal components of the angular velocity.
Mirip dengan contoh di atas, molekul yang berotasi sesuai dengan prinsip momen inersia I1, I2 dan I3 memiliki energi rotasi sebesar H r o t1 2 ( I 1 ω 1 2 + I 2 ω 2 2 + I 3 ω 3 2 ) , }={\tfrac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),} dengan ω1, ω2, dan ω3 adalah komponen kecepatan sudut.
If such a one-dimensional system has mass m, then its kinetic energy Hkin is H kin1 2 m v 2p 2 2 m , }={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}},} where v and pmv denote the velocity and momentum of the oscillator.
Jika sistem berdimensi satu ini bermassa m, maka energi kinetik H-nya adalah H kin1 2 m v 2p 2 2 m , }={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}},} dengan v dan pmv menunjukkan kecepatan dan momentum osilator.
Combining these terms yields the total energy HH kin + H potp 2 2 m + 1 2 a q 2 .
Dengan menggabungkan kedua persamaan di atas akan menghasilkan energi total HH kin + H potp 2 2 m + 1 2 a q 2 .
Each atom in such a solid can oscillate in three independent directions, so the solid can be viewed as a system of 3N independent simple harmonic oscillators, where N denotes the number of atoms in the lattice.
Tiap-tiap atom pada benda padat ini dapat berosilasi ke tiga arah secara bebas dan independen, sehingga padatan dapat dipandang sebagai sistem yang memiliki 3N osilator harmonik sederhana, dengan N menunjukkan jumlah atom dalam kekisi kristal tersebut.
Since each harmonic oscillator has average energy kBT, the average total energy of the solid is 3N kBT, and its heat capacity is 3N kB. By taking N to be the Avogadro constant NA, and using the relation RNAkB between the gas constant R and the Boltzmann constant kB, this provides an explanation for the Dulong–Petit law of specific heat capacities of solids, which stated that the specific heat capacity (per unit mass) of a solid element is inversely proportional to its atomic weight.
Oleh karena tiap osilator harmonik memiliki energi rata-rata kBT, energi total rata-rata padatan itu adalah sebesar 3NkBT, dan kapasitas kalornya adalah 3NkB. Dengan mengambil nilai N sebagai tetapan Avogadro NA, dan menggunakan hubungan RNAkB antara tetapan gas R dengan tetapan Boltzmann kB, hal ini akan menjelaskan hukum Dulong-Petit mengenai kapasitas kalor jenis benda padat, yang menyatakan bahwa kapasitas kalor jenis (per satuan massa) suatu benda padat berbanding terbalik terhadap bobot atomnya.
A modern version is that the molar heat capacity of a solid is 3R ≈ 6 cal/(mol·K).
Dalam versi modernya, kapasitas kalor molar suatu benda padat adalah 3R ≈ 6 cal/(mol·K).
However, this law is inaccurate at lower temperatures, due to quantum effects; it is also inconsistent with the experimentally derived third law of thermodynamics, according to which the molar heat capacity of any substance must go to zero as the temperature goes to absolute zero.
Selain itu, hukum ini juga tidak konsisten dengan hukum ketiga termodinamika, yang menurutnya kapasitas kalor molar zat apapun haruslah menuju nilai nol seiring dengan temperatur sistem menuju nol mutlak.
A more accurate theory, incorporating quantum effects, was developed by Albert Einstein (1907) and Peter Debye (1911).
Teori yang lebih akurat kemudian dikembangkan oleh Albert Einstein (1907) dan Peter Debye (1911)
For an infinitely tall bottle of beer, the gravitational potential energy is given by H g r a vm b g z }=m_{\text{b}}gz} where z is the height of the protein clump in the bottle and g is the acceleration due to gravity.
Untuk sebuah botol bir yang tinggi botolnya tak terhingga, energi potensial gravitasi dirumuskan H g r a vm b g z , }=m_{\rm {b}}gz\,,} dengan z adalah ketinggian gumpalan protein dalam botol dan g adalah percepatan gravitasi.
Since s1, the average potential energy of a protein clump equals kBT.
Oleh karena s1, rata-rata energi potensial suatu gumpalan protein adalah sama dengan kBT.
The process of such sedimentation to equilibrium is described by the Mason–Weaver equation.
Proses sedimentasi menuju kesetimbangan ini dapat dihitung menggunakan persamaan Mason-Weaver.
The general formula is equivalent to the following two: ⟨ x n ∂ H ∂ x n ⟩k B T for all n {\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right\rangle
Rumusan umum di atas setara dengan dua rumus berikut: ⟨ x n ∂ H ∂ x n ⟩k B T untuk semua n x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=k_{B}T\quad {\mbox{untuk semua }}n} ⟨ x m ∂ H ∂ x n ⟩0 untuk semua m ≠ n .
=k_{\text{B}}T\quad {\text{for all }}n} ⟨ x m ∂ H ∂ x n ⟩0 for all m ≠ n . {\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right\rangle0\quad {\text{for all }}m\neq n.} If a degree of freedom xn appears only as a quadratic term anxn2 in the Hamiltonian H, then the first of these formulae implies that k B T⟨ x n ∂ H ∂ x n ⟩2 ⟨ a n x n 2 ⟩ , }T=\left\langle x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right\rangle
x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=0\quad {\mbox{untuk semua }}m\neq n.} Apabila derajat kebebasan xn hanya memiliki suku kuadratis anxn2 pada Hamiltonian H, maka rumus pertama di atas mengimplikasikan k B T⟨ x n ∂ H ∂ x n ⟩2 ⟨ a n x n 2 ⟩ , T={\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=2\langle a_{n}x_{n}^{2}\rangle ,} yang nilainya dua kali lebih besar daripada kontribusi yang diberikan oleh derajat kebebasan ini terhadap energi rata-rata ⟨ H ⟩ .
A similar argument, with 2 replaced by s, applies to energies of the form anxns.
Dengan argumen yang sama, apabila 2 digantikan dengan s, rumus di atas berlaku untuk energi bentuk anxns.
The degrees of freedom xn are coordinates on the phase space of the system and are therefore commonly subdivided into generalized position coordinates qk and generalized momentum coordinates pk, where pk is the conjugate momentum to qk.
Derajat kebebasan xn adalah koordinat-koordinat dalam ruang sistem dan umumnya dibagi lagi ke dalam koordinat posisi rampatan gk dan koordinat momentum rampatan pk, dengan pk adalah momentum konjugat terhadap qk.
In this situation, formula 1 means that for all k, ⟨ p k ∂ H ∂ p k ⟩⟨ q k ∂ H ∂ q k ⟩k B T .
Pada situasi ini, rumus pertama di atas berarti bahwa untuk semua k, ⟨ p k ∂ H ∂ p k ⟩⟨ q k ∂ H ∂ q k ⟩k B T .
{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}\right\rangle\left\langle q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}\right\ranglek_{\text{B}}T.} Using the equations of Hamiltonian mechanics, these formulae may also be written ⟨ p k d q k d t ⟩− ⟨ q k d p k d t ⟩k B T .
p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }=k_{\rm {B}}T.} Menggunakan persamaan mekanika Hamiltonian, rumus ini dapat juga ditulis sebagai ⟨ p k d q k d t ⟩− ⟨ q k d p k d t ⟩k B T .
{\frac {\partial q_{k}}{\partial t}}\right\rangle-\left\langle q_{j}{\frac {\partial p_{k}}{\partial t}}\right\rangle0\quad {\text{ for all }}\,j\neq k.} The general equipartition theorem is an extension of the virial theorem (proposed in 1870), which states that ⟨ ∑ k q k ∂ H ∂ q k ⟩⟨ ∑ k p k ∂ H ∂ p k ⟩⟨ ∑ k p k d q k d t ⟩− ⟨ ∑ k q k d p k d t ⟩ , q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}\right\rangle\left\langle \sum _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}\right\rangle\left\langle \sum _{k}p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}\right\rangle-\left\langle \sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}\right\rangle ,} where t denotes time.
q_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }=0\quad {\mbox{ untuk semua }}\,j\neq k.} Teorema ekuipartisi umum adalah perpanjangan dari teorema virial (yang diajukan pada tahun 1870), yang menyatakan bahwa ⟨ ∑ k q k ∂ H ∂ q k ⟩⟨ ∑ k p k ∂ H ∂ p k ⟩⟨ ∑ k p k d q k d t ⟩− ⟨ ∑ k q k d p k d t ⟩ , \sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle },} dengan t adalah waktu.
Ideal gases provide an important application of the equipartition theorem.
Teorema ekuipartisi dapat diterapkan untuk menurunkan rumus gas ideal.
If q(qx, qy, qz) and p(px, py, pz) denote the position vector and momentum of a particle in the gas, and F is the net force on that particle, then ⟨ q ⋅ F ⟩⟨ q x d p x d t ⟩ + ⟨ q y d p y d t ⟩ + ⟨ q z d p z d t ⟩− ⟨ q x ∂ H ∂ q x ⟩ − ⟨ q y ∂ H ∂ q y ⟩ − ⟨ q z ∂ H ∂ q z ⟩− 3 k B T , \langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &=\left\langle q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}\right\rangle +\left\langle q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}\right\rangle +\left\langle q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}\right\rangle \\&=-\left\langle q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}\right\rangle
Jika q(qx, qy, qz) dan p(px, py, pz) menandakan vektor letak dan momentum partikel gas, dan F adalah resultan gaya pada partikel, maka ⟨ q ⋅ F ⟩⟨ q x d p x d t ⟩ + ⟨ q y d p y d t ⟩ + ⟨ q z d p z d t ⟩− ⟨ q x ∂ H ∂ q x ⟩ − ⟨ q y ∂ H ∂ q y ⟩ − ⟨ q z ∂ H ∂ q z ⟩− 3 k B T , \langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigr \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aligned}}} di mana kesamaan pertama adalah hukum kedua Newton, dan kesamaan kedua menggunakan persamaan Hamilton dan rumus ekuipartisi.
Summing over a system of N particles yields 3 N k B T− ⟨ ∑ k1 N q k ⋅ F k ⟩ .
Dengan mentotalkan seluruh sistem yang berpartikel N akan menghasilkan: 3 N k B T− ⟨ ∑ k1 N q k ⋅ F k ⟩ .
Since the divergence of the position vector q is ∇ ⋅ q∂ q x ∂ q x + ∂ q y ∂ q y + ∂ q z ∂ q z3 , }\cdot \mathbf {q}{\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,} the divergence theorem implies that P ∮ s u r f a c e q ⋅ d SP ∫ v o l u m e ( ∇ ⋅ q ) d V3 P V , }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS}P\int _{\mathrm {volume} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} \right)\,dV=3PV,} where dV is an infinitesimal volume within the container and V is the total volume of the container.
Oleh karena divergensi vektor letak q adalah ∇ ⋅ q∂ q x ∂ q x + ∂ q y ∂ q y + ∂ q z ∂ q z3 , }\cdot \mathbf {q}{\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,} maka menutur teorema divergensi P ∮ p e r m u k a a n q ⋅ d SP ∫ v o l u m e ( ∇ ⋅ q )
Putting these equalities together yields 3 N k B T− ⟨ ∑ k1 N q k ⋅ F k ⟩3 P V , }T=-\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\right\rangle3PV,} which immediately implies the ideal gas law for N particles: P VN k B Tn R T , }T=nRT,} where nN/NA is the number of moles of gas and RNAkB is the gas constant.
Dengan menggabungkan kedua persamaan ini akan didapatkan 3 N k B T− ⟨ ∑ k1 N q k ⋅ F k ⟩3 P V , T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=3PV,} yang secara langsung memberikan persamaan gas ideal berpartikel N: P VN k B Tn R T , T=nRT,\,} dengan nN/NA adalah jumlah mol gas dan RNAkB adalah tetapan gas.
The classical energy of this system is H| p 1 | 2 2 m 1 + | p 2 | 2 2 m 2 + 1 2 a q 2 , _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},} where p1 and p2 are the momenta of the two atoms, and q is the deviation of the inter-atomic separation from its equilibrium value.
Sistem ini akan memiliki energi sebesar H| p 1 | 2 2 m 1 + | p 2 | 2 2 m 2 + 1 2 a q 2 , _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},} dengan p1 dan p2 adalah momentum dua atom dan q adalah deviasi jarak antar dua atom pada kesetimbangannya.
Every degree of freedom in the energy is quadratic and, thus, should contribute 1⁄2kBT to the total average energy, and 1⁄2kB to the heat capacity.
Tiap derajat kebebasan energi ini bersifat kuadratik dan sehingganya haruslah berkontribusi sebesar ½kBT terhadap energi rata-rata total dan ½kB terhadap kapasitas kalornya.
However, the experimental values for molar heat capacities of diatomic gases are typically about 5 cal/(mol·K) and fall to 3 cal/(mol·K) at very low temperatures.
Namun nilai kapasitas kalor molar yang didapatkan dari hasil percobaan biasanya berkisar sebesar 5 cal/(mol·K) dan menurun menjadi 3 cal/(mol·K) pada temperatur yang sangat rendah.
In such cases, the kinetic energy of a single particle is given by the formula H k i n ≈ c pc p x 2 + p y 2 + p z 2 .
Pada kasus ini, energi kinetik suatu partikel tunggal adalah sebesar H k i n ≈ c pc p x 2 + p y 2 + p z 2 .
Adding the three components together gives ⟨ H k i n ⟩⟨ c p x 2 + p y 2 + p z 2 p x 2 + p y 2 + p z 2 ⟩⟨ p x ∂ H k i n ∂ p x ⟩ + ⟨ p y ∂ H k i n ∂ p y ⟩ + ⟨ p z ∂ H k i n ∂ p z ⟩3 k B T \langle H_{\mathrm {kin} }\rangle &=\left\langle c{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}\right\rangle \\&=\left\langle p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}\right\rangle +\left\langle p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y}}}\right\rangle +\left\langle p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}\right\rangle \\&=3k_{\text{B}}T\end{aligned}}} where the last equality follows from the equipartition formula.
1 2 m ⟨ p x 2 + p y 2 + p z 2 ⟩1 2 ( ⟨ p x ∂ H k i n ∂ p x ⟩ + ⟨ p y ∂ H k i n ∂ p y ⟩ + ⟨ p z ∂ H k i n ∂ p z ⟩ )3 2 k B T \langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\frac {1}{2m}}\langle p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\rangle \\&={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }{\biggr )}={\frac {3}{2}}k_{B}T\end{aligned}}} untuk menghitung rata-rata energi kinetik per partikel.
Thus, the average total energy of an extreme relativistic gas is twice that of the non-relativistic case: for N particles, it is 3 NkBT.
Untuk gas relativistik berpartikel N, nilai energinya adalah 3 NkBT.
In an ideal gas the particles are assumed to interact only through collisions.
Dalam kasus gas ideal, partikel-partikel gas diasumsikan hanya berinteraksi secara tumbukan.
The equipartition theorem may also be used to derive the energy and pressure of "non-ideal gases" in which the particles also interact with one another through conservative forces whose potential U(r) depends only on the distance r between the particles.
Teorema ekuipartisi dapat pula digunakan untuk menurunkan energi dan tekanan "gas non-ideal" yang partikel-partikelnya dapat berinteraksi melalui gaya-gaya konservatif yang potensial U(r)-nya bergantung hanya pada jarak r antar partikel.
It follows that the mean potential energy associated to the interaction of the given particle with the rest of the gas is ⟨ h p o t ⟩∫ 0 ∞ 4 π r 2 ρ U ( r )
Energi potensial rata-rata kemudian berhubungan dengan interaksi partikel tunggal tersebut dengan gas lainnya dan secara matematis diekspresikan sebagai ⟨ h p o t ⟩∫ 0 ∞ 4 π r 2 ρ U ( r )
Adding kinetic and potential energies, then applying equipartition, yields the energy equation H⟨ H k i n ⟩ + ⟨ H p o t ⟩3 2 N k B T + 2 π N ρ ∫ 0 ∞ r 2 U ( r )
Dengan menambahkan energi kinetik dan potensial, dan menerapakn teorema ekuipartisi, kita akan mendapatkan persamaan energi H⟨ H k i n ⟩ + ⟨ H p o t ⟩3 2 N k B T + 2 π N ρ ∫ 0 ∞ r 2 U ( r )
}\rangle +\langle H_{\mathrm {pot} }\rangle{\frac {3}{2}}Nk_{\text{B}}T+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr.} A similar argument, can be used to derive the pressure equation 3 N k B T3 P V + 2 π N ρ ∫ 0 ∞ r 3 U ′ ( r )
}\rangle +\langle H_{\mathrm {pot} }\rangle{\frac {3}{2}}Nk_{B}T+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr.} Dengan cara yang sama, kita juga dapat menurunkan persamaan tekanan sebagai 3 N k B T3 P V + 2 π N ρ ∫ 0 ∞ r 3 U ′ ( r )
Simple examples are provided by potential energy functions of the form H p o tC q s , }=Cq^{s},\,} where C and s are arbitrary real constants.
Contoh-contoh yang sederhana dapat diberikan menggunakan fungsi energi potensial berbentuk H p o tC q s , }=Cq^{s},\,} dengan C dan s adalah tetapan bilangan real sembarang.
In these cases, the law of equipartition predicts that k B T⟨ q ∂ H p o t ∂ q ⟩⟨ q ⋅ s C q s − 1 ⟩⟨ s C q s ⟩s ⟨ H p o t ⟩ .
Dalam hal ini, hukum ekuipartisi memprediksi bahwa k B T⟨ q ∂ H p o t ∂ q ⟩⟨ q ⋅ s C q s − 1 ⟩⟨ s C q s ⟩s ⟨ H p o t ⟩ .
}T=\left\langle q{\frac {\partial H_{\mathrm {pot} }}{\partial q}}\right\rangle\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle\langle sCq^{s}\rangle
}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H_{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle\langle sCq^{s}\rangle
Thus, the average potential energy equals kBT/s, not kBT/2 as for the quadratic harmonic oscillator (where s2).
=s\langle H_{\mathrm {pot} }\rangle .} Sehingga, energi potensial rata-rata sama dengan kBT/s, dan bukannya kBT/2 seperti yang ada pada osilator harmonik kuadratis (s2).
More generally, a typical energy function of a one-dimensional system has a Taylor expansion in the extension q: H p o t∑ n2 ∞ C n q n }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n}} for non-negative integers n. There is no n1 term, because at the equilibrium point, there is no net force and so the first derivative of the energy is zero.
Lebih umumnya, suatu fungsi energi berdimensi satu memiliki ekpansi Taylor pada ekstensi q: H p o t∑ n2 ∞ C n q n }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n}} untuk bilangan integer non-negatif n. Ketiadaan suku n1 dikarenakan ketiadaan gaya resultan sehingga turunan pertama energinya adalah nol.
The n0 term need not be included, since the energy at the equilibrium position may be set to zero by convention.
Suku n0 tidak perlu dimasukkan karena energi pada posisi kesetimbangan secara konvensi ditentukan sebagai nol.
In this case, the law of equipartition predicts that k B T⟨ q ∂ H p o t ∂ q ⟩∑ n2 ∞ ⟨ q ⋅ n C n q n − 1 ⟩∑ n2 ∞ n C n ⟨ q n ⟩ .
Dalam kasus ini, hukum ekuipartisi memprediksi bahwa k B T⟨ q ∂ H p o t ∂ q ⟩∑ n2 ∞ ⟨ q ⋅ n C n q n − 1 ⟩∑ n2 ∞ n C n ⟨ q n ⟩ .
}T=\left\langle q{\frac {\partial H_{\mathrm {pot} }}{\partial q}}\right\rangle\sum _{n=2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n}\rangle .}
T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H_{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\sum _{n=2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n}\rangle .}
In contrast to the other examples cited here, the equipartition formula ⟨ H p o t ⟩1 2 k B T − ∑ n3 ∞ ( n − 2 2 ) C n ⟨ q n ⟩ }\rangle{\frac {1}{2}}k_{\text{B}}T-\sum _{n=3}^{\infty }\left({\frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle } does not allow the average potential energy to be written in terms of known constants.
Berlawanan dengan contoh-contoh lainnya, rumus ekuipartisi ⟨ H p o t ⟩1 2 k B T − ∑ n3 ∞ ( n − 2 2 ) C n ⟨ q n ⟩ }\rangle{\frac {1}{2}}k_{\rm {B}}T-\sum _{n=3}^{\infty }\left({\frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle } tidak mengizinkan energi potensial rata-rata ditulis dalam tetapan-tetapan yang diketahui.
According to that equation, the motion of a particle of mass m with velocity v is governed by Newton's second law d v d t1 m F− v τ + 1 m F r n d , }{dt}}={\frac {1}{m}}\mathbf {F}-{\frac {\mathbf {v} }{\tau }}+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} _{\mathrm {rnd} },} where Frnd is a random force representing the random collisions of the particle and the surrounding molecules, and where the time constant τ reflects the drag force that opposes the particle's motion through the solution.
Newton kedua d v d t1 m F− v τ + 1 m F r n d , }{dt}}={\frac {1}{m}}\mathbf {F}-{\frac {\mathbf {v} }{\tau }}+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} _{\mathrm {rnd} },} dengan F'rnd adalah gaya acak yang mewakili osilasi acak partikel dan molekul-molekul disekitarnya; tetapan waktu τ mewakili gaya seret yang melawan gerak partikel dalam larutan.
Using the mathematical identities d d t ( r ⋅ r )d d t ( r 2 )2 ( r ⋅ v ) {dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2}\right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)} and d d t ( r ⋅ v )v 2 + r ⋅ d v d t , {dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}},} the basic equation for Brownian motion can be transformed into d 2 d t 2 ⟨ r 2 ⟩ + 1 τ d d t ⟨ r 2 ⟩2 ⟨ v 2 ⟩6 m k B T , }{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt}}\langle r^{2}\rangle2\langle v^{2}\rangle{\frac {6}{m}}k_{\text{B}}T,} where the last equality follows from the equipartition theorem for translational kinetic energy: ⟨ H k i n ⟩⟨ p 2 2 m ⟩⟨ 1 2 m v 2 ⟩3 2 k B T .
2 ( r ⋅ v ) {dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2}\right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)} dan d d t ( r ⋅ v )v 2 + r ⋅ d v d t , {dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}},} persamaan dasar gerak Brown dapat ditransformasikan menjadi d 2 d t 2 ⟨ r 2 ⟩ + 1 τ d d t ⟨ r 2 ⟩2 ⟨ v 2 ⟩6 m k B T , }{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt}}\langle r^{2}\rangle2\langle v^{2}\rangle{\frac {6}{m}}k_{\rm {B}}T,} dengan kesamaan terakhir mengikuti teorema ekuipartisi untuk energi kintetik translasional: ⟨ H k i n ⟩⟨ p 2 2 m ⟩⟨ 1 2 m v 2 ⟩3 2 k B T .
\rangle \approx {\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}t^{2}=\langle v^{2}\rangle t^{2}.} However, on long time scales, with t ≫ τ, the exponential and constant terms are negligible, and the squared distance grows only linearly: ⟨ r 2 ⟩ ≈ 6 k B T τ m t6 k B T t γ .
Namun dalam skala waktu yang panjang, t >> τ, suku konstan dan eksponensialnya menjadi dapat diabaikan, sehingga jarak kuadrat bertambah hanya secara linear: ⟨ r 2 ⟩ ≈ 6 k B T τ m t6 k B T t γ .
\rangle \approx {\frac {6k_{\text{B}}T\tau }{m}}t={\frac {6k_{\text{B}}Tt}{\gamma }}.}
\rangle \approx {\frac {6k_{B}T\tau }{m}}t={\frac {6k_{B}Tt}{\gamma }}.}
This describes the diffusion of the particle over time.
Hal ini menjelaskan difusi partikel seiring dengan berjalannya waktu.
The equipartition theorem and the related virial theorem have long been used as a tool in astrophysics.
Teorema ekuipartisi dan teorema virial yang berkaitan dengannya telah lama digunakan dalam bidang astrofisika.
As examples, the virial theorem may be used to estimate stellar temperatures or the Chandrasekhar limit on the mass of white dwarf stars.
Sebagai contohnya, teorema virial dapat digunakan untuk memperkirakan temperatur bintang atau limit Chandrasekhar massa katai putih.
The average temperature of a star can be estimated from the equipartition theorem.
Temperatur rata-rata suatu bintang dapat diperkirakan dari teorema ekuipartisi.
Since most stars are spherically symmetric, the total gravitational potential energy can be estimated by integration H g r a v− ∫ 0 R 4 π r 2 G r M ( r ) ρ ( r )
Karena kebanyakan bintang bersimetri bulat, total energi potensial gravitasionalnya dapat diperkirakan menggunakan pengintegralan H g r a v− ∫ 0 R 4 π r 2 G r M ( r ) ρ ( r )
d r , }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M(r)\,\rho (r)\,dr,} where M(r) is the mass within a radius r and ρ(r) is the stellar density at radius r; G represents the gravitational constant and R the total radius of the star.
d r , }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M(r)\,\rho (r)\,dr,} dengan M(r) adalah massa beradius r dan ρ(r) adalah kepadatan bintang pada jari-jari r; G mewakili tetapan gravitasi dan R adalah jari-jari total bintang.
Assuming a constant density throughout the star, this integration yields the formula H g r a v− 3 G M 2 5 R , }=-{\frac {3GM^{2}}{5R}},} where M is the star's total mass.
Dengan mengasumsikan bahwa kepadatan bintang konstan di segala jari-jari, pengintegralan ini menghasilkan rumus H g r a v− 3 G M 2 5 R , }=-{\frac {3GM^{2}}{5R}},} dengan M adalah massa total bintang.
Hence, the average potential energy of a single particle is ⟨ H g r a v ⟩H g r a v N− 3 G M 2 5 R N , }\rangle{\frac {H_{\mathrm {grav} }}{N}}=-{\frac {3GM^{2}}{5RN}},} where N is the number of particles in the star.
Sehingganya energi potensial rata-rata partikel tunggal adalah ⟨ H g r a v ⟩H g r a v N− 3 G M 2 5 R N , }\rangle{\frac {H_{\mathrm {grav} }}{N}}=-{\frac {3GM^{2}}{5RN}},} dengan N adalah jumlah partikel dalam bintang.
Since most stars are composed mainly of ionized hydrogen, N equals roughly M/mp, where mp is the mass of one proton.
Dikarenakan bintang-bintang pada umumnya mayoritas terdiri dari hidrogen, N secara kasar sama dengan M/mp,
Application of the equipartition theorem gives an estimate of the star's temperature ⟨ r ∂ H g r a v ∂ r ⟩⟨ − H g r a v ⟩
Penerapan teorema ekuipartisi ini memberikan nilai perkiraan temperatur bintang ⟨ r ∂ H g r a v ∂ r ⟩⟨ − H g r a v ⟩k B T3 G M 2 5 R N .
k B T3 G M 2 5 R N .
3 G M 2 5 R > 3 N k B T .
}}{\partial r}}\right\rangle\langle -H_{\mathrm {grav} }\ranglek_{\text{B}}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.} Substitution of the mass and radius of the Sun yields an estimated solar temperature of T14 million kelvins, very close to its core temperature of 15 million kelvins.
r{\frac {\partial H_{\mathrm {grav} }}{\partial r}}{\Bigr \rangle }=\langle -H_{\mathrm {grav} }\ranglek_{B}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.} Dengan mansubstitusikan massa dan radius Matahari akan kita dapatkan temperatur surya kira-kira T14 juta kelvin, sangat dekat dengan temperatur inti 15 juta kelvin.
The same formulae may be applied to determining the conditions for star formation in giant molecular clouds.
Rumus yang sama dapat diterapkan untuk menentukan kondisi-kondisi pembentukan bintang dalam awan molekul raksasa.
A local fluctuation in the density of such a cloud can lead to a runaway condition in which the cloud collapses inwards under its own gravity.
Fluktuasi lokal dalam rapatan awan tersebut dapat menyebabkan kondisi tak terkontrol dan cepat di mana awan tersebut runtuh karena gravitasinya sendiri.
Such a collapse occurs when the equipartition theorem—or, equivalently, the virial theorem—is no longer valid, i.e., when the gravitational potential energy exceeds twice the kinetic energy 3 G M 2 5 R > 3 N k B T .
Keruntuhan seperti itu terjadi ketika teorema ekuipartisi ataupun teorem virial tidak lagi berlaku, yakni ketika energi potensial gravitasionalnya melebih dua kali energi kinetik.
}{5R}}>3Nk_{\text{B}}T.} Assuming a constant density ρ for the cloud M4 3 π R 3 ρ {3}}\pi R^{3}\rho } yields a minimum mass for stellar contraction, the Jeans mass MJ M J 2( 5 k B T G m p ) 3 ( 3 4 π ρ ) .
}{5R}}>3Nk_{B}T.} Dengan berasumsi bahwa kepadatan awan ρ M4 3 π R 3 ρ {3}}\pi R^{3}\rho } menghasilkan massa minimum yang diperlukan untuk kontraksi bintang, massa Jeans MJ M J 2( 5 k B T G m p ) 3 ( 3 4 π ρ ) .
}^{2}=\left({\frac {5k_{\text{B}}T}{Gm_{p}}}\right)^{3}\left({\frac {3}{4\pi \rho }}\right).} Substituting the values typically observed in such clouds (T150 K, ρ2×10−16 g/cm3) gives an estimated minimum mass of 17 solar masses, which is consistent with observed star formation.
}^{2}=\left({\frac {5k_{B}T}{Gm_{p}}}\right)^{3}\left({\frac {3}{4\pi \rho }}\right).} Dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang pada umumnya terpantau pada awan tersebut (T150 K, ρ2×10−16 g/cm3) kita dapatkan massa minimum perkiraan sebesar 17 massa surya, yang konsisten dengan pembentukan bintang terpantau.
This effect is also known as the Jeans instability, after the British physicist James Hopwood Jeans who published it in 1902.
Efek ini dikenal juga sebagai instabilitas Jeans, dinamakan setelah fisikawan Britania James Hopwood Jeans yang mempublikasikannya pada tahun 1902.
The original formulation of the equipartition theorem states that, in any physical system in thermal equilibrium, every particle has exactly the same average translational kinetic energy, ⁠3/2⁠kBT.
Perumusan awal teorema ekuipartisi menyatakan bahwa, dalam segala sistem fisik apapun yang berada dalam kesetimbangan termal, setiap partikelnya memiliki energi kinetik rata-rata yang persis sama (eksak), (3/2)kBT.
The same result can also be obtained by averaging the particle energy using the probability of finding the particle in certain quantum energy state.
Hasil yang sama juga dapat didapatkan dengan mereratakan energi partikel menggunakan probabilitas penemuan partikel pada keadaan energi kuantum tertentu.
First, the phase space is described in terms of generalized position coordinates qj together with their conjugate momenta pj.
Pertama, ruang fase dideskripsikan menurut koordinat posisi rampatan qj bersamaan dengan momentum konjugatnya pj.
The quantities qj completely describe the configuration of the system, while the quantities (qj,pj) together completely describe its state.
Kuantitas qj secara penuh mendeskripsikan konfigurasi sistem, manakala kuantitas (qj,pj) secara bersama mendeskripsikan secara penuh keadaannya.
Secondly, the infinitesimal volume d Γ∏ i d q i d p i dq_{i}\,dp_{i}\,} of the phase space is introduced and used to define the volume Σ(E, ΔE) of the portion of phase space where the energy H of the system lies between two limits, E and E + ΔE: Σ ( E , Δ E )
Kedua, volume infinitesimal d Γ∏ i d q i d p i dq_{i}\,dp_{i}\,} dari ruang fase diperkenalan dan digunakan untuk mendefinisikan volume Γ(E, ΔE) porsi bagian ruang fase di mana energi H sistem berada di antara dua limit, E dan E + ΔE: Γ ( E , Δ E )∫ H ∈ [ E , E + Δ E ] d Γ .
∫ H ∈ [ E , E + Δ E ] d Γ .
d Γδ m n ∫ H < E ( E − H )
In this expression, ΔE is assumed to be very small, ΔE ≪ E. Similarly, Ω(E) is defined to be the total volume of phase space where the energy is less than E: Ω ( E )∫ H < E d Γ .
Dalam ekspresi ini, ΔE diasumsikan sangat kecil, ΔE << E. Dengan cara yang sama, Σ(E) didefinisikan sebagai volume total ryang fase di mana energinya lebih kecil daripada E: Σ ( E )∫ H < E d Γ .
Since ΔE is very small, the following integrations are equivalent ∫ H ∈ [ E , E + Δ E ] … d ΓΔ E ∂ ∂ E ∫ H < E … d Γ , \ldots d\Gamma\Delta E{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\ldots d\Gamma ,} where the ellipses represent the integrand.
d\Gamma .\,} Karena ΔE sangat kecil, pengintegralan berikut ini memenuhi kesamaan ∫ H ∈ [ E , E + Δ E ] … d ΓΔ E ∂ ∂ E ∫ H < E … d Γ , \ldots d\Gamma\Delta E{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\ldots d\Gamma ,} di mana elips-elips tersebut mewakili integran (yang diintegralkan).
By the usual definitions of statistical mechanics, the entropy S equals kB log Ω(E), and the temperature T is defined by 1 T∂ S ∂ Ek B ∂ log ⁡ Ω ∂ Ek B 1 Ω ∂ Ω ∂ E .
Berdasarkan definisi mekanika statistik, entropi S sama dengan kB log Σ(E), dan temperatur T didefinisikan sebagai 1 T∂ S ∂ Ek B ∂ log ⁡ Σ ∂ Ek B 1 Σ ∂ Σ ∂ E .
{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{\text{B}}{\frac {\partial \log \Omega }{\partial E}}=k_{\text{B}}{\frac {1}{\Omega }}\,{\frac {\partial \Omega }{\partial E}}.} In the canonical ensemble, the system is in thermal equilibrium with an infinite heat bath at temperature T (in kelvins).
{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{\rm {B}}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}}=k_{\rm {B}}{\frac {1}{\Sigma }}\,{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}.} Dalam ensembel kanonis, sistem berada dalam kesetimbangan termal dengan penangas kalor tak terhingga bertemperatur T (dalam kelvin).
The probability of each state in phase space is given by its Boltzmann factor times a normalization factor N }} , which is chosen so that the probabilities sum to one N ∫ e − β H ( p , q )
Probabilitas tiap-tiap keadaan dalam ruang fase sistem diberikan oleh faktor Boltzmann dikalikan dengan faktor normalisasi N }} , yang dipilih sedemikiannya penjumlahan probabilitas-probabilitasnya adalah satu N ∫ e − β H ( p , q )
d Γ1 , }\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma1,} where β1/(kBT).
d Γ1 , }\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma1,} di mana β1/kBT.
d ΓN ∫ d [ x k e − β H ( p , q ) ] d Γ k − N ∫ x k ∂ e − β H ( p , q ) ∂ x k d Γ , }\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma{\mathcal {N}}\int d[x_{k}e^{-\beta H(p,q)}]d\Gamma _{k}-{\mathcal {N}}\int x_{k}{\frac {\partial e^{-\beta H(p,q)}}{\partial x_{k}}}d\Gamma ,} where dΓkdΓ/dxk, i.e., the first integration is not carried out over xk.
x k ] x ka x kb d Γ k + N ∫ e − β H ( p , q ) x k β ∂ H ∂ x k d Γ1 , }\int \left[e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\right]_{x_{k}=a}^{x_{k}=b}d\Gamma _{k}+{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\beta {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}d\Gamma1,} di mana dΓkdΓ/dxk, yakni, pengintegralan pertamanya tidak dilakukan terhadap xk.
}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}\,d\Gamma\left\langle x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}\right\rangle{\frac {1}{\beta }}=k_{\text{B}}T.} Here, the averaging symbolized by ⟨ … ⟩ is the ensemble average taken over the canonical ensemble.
}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}\,d\Gamma{\Bigl \langle }x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}{\Bigr \rangle }={\frac {1}{\beta }}=k_{B}T.} Di sini, simbol pererataan ⟨ … ⟩ adalah rata-rata ensembel yang dilakukan terhadap ensembel kanonis.
Given these definitions, the equipartition average of phase-space variables xm (which could be either qk or pk) and xn is given by ⟨
Berdasarkan definisi ini, rata-rata ekuipartisi variabel ruang fase xm (yang dapat berupa
x m ∂ H ∂ x n ⟩1 Σ ∫ H ∈ [ E , E + Δ E ]
x m ∂ H ∂ x n ⟩δ m n 1 ρ ∂ ∂ E ∫ H < E ( E − H )
Integrating by parts yields the relation ∫ H < E x m ∂ ( H − E ) ∂ x n d Γ∫ H < E ∂ ∂ x n ( x m ( H − E ) )
Pengintegralan parsialnya akan menghasilkan relasi ∫ H < E x m ∂ ( H − E ) ∂ x n d Γ∫ H < E ∂ ∂ x n ( x m ( H − E ) )
d Γ , \int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (H-E)}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma &=\int _{H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigl (}x_{m}(H-E){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H<E}\delta _{mn}(H-E)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(E-H)\,d\Gamma ,\end{aligned}}} since the first term on the right hand side of the first line is zero (it can be rewritten as an integral of H − E on the hypersurface where HE).
d Γ , \int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (H-E)}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma &=\int _{H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigl (}x_{m}(H-E){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H<E}\delta _{mn}(H-E)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(E-H)\,d\Gamma ,\end{aligned}}} karena suku pertama pada sisi kanan adalah nol.
d Γδ m n 1 ρ ∫ H < E d Γδ m n Ω ρ .
d Γδ m n 1 ρ ∫ H < E d Γδ m n Σ ρ .
{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right\rangle\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(E-H\right)\,d\Gamma\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma\delta _{mn}{\frac {\Omega }{\rho }}.}
x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(E-H\right)\,d\Gamma\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma\delta _{mn}{\frac {\Sigma }{\rho }}.} Karena ρ∂ Σ ∂ E {\partial E}}} , maka: ⟨ x m ∂ H ∂ x n ⟩δ m n ( 1 Σ ∂ Σ ∂ E ) − 1δ m n ( ∂ log ⁡ Σ ∂ E ) − 1δ m n k B T .
{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\right\rangle\delta _{mn}\left({\frac {1}{\Omega }}{\frac {\partial \Omega }{\partial E}}\right)^{-1}=\delta _{mn}\left({\frac {\partial \log \Omega }{\partial E}}\right)^{-1}=\delta _{mn}k_{\text{B}}T.}
x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(E-H\right)\,d\Gamma\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma\delta _{mn}{\frac {\Sigma }{\rho }}.} Karena ρ∂ Σ ∂ E {\partial E}}} , maka: ⟨ x m ∂ H ∂ x n ⟩δ m n ( 1 Σ ∂ Σ ∂ E ) − 1δ m n ( ∂ log ⁡ Σ ∂ E ) − 1δ m n k B T .
Kinetic theory Quantum statistical mechanics Huang, K (1987).
Teori kinetik Mekanika statistika kuantum Huang, K (1987).
Statistical Mechanics (2nd ed.).
Statistical Mechanics (Edisi 2nd).
Landau, LD; Lifshitz EM (1980).
Landau, LD (1980).
Statistical Physics, Part 1 (3rd ed.).
Statistical Physics, Part 1 (Edisi 3rd).