Numbers that are part of the Fibonacci sequence are known as Fibonacci numbers, commonly denoted Fn .
Bilangan yang menjadi bagian dari barisan Fibonacci dikenal sebagai bilangan Fibonacci, umumnya dinotasikan sebagai Fn .
Many writers begin the sequence with 0 and 1, although some authors start it from 1 and 1 and some (as did Fibonacci) from 1 and 2.
Barisan ini umumnya dimulai dari 0 dan 1, walau beberapa penulis memulainya dari 1 dan 1, atau terkadang (seperti Fibonacci sendiri) dari 1 dan 2.
Starting from 0 and 1, the sequence begins 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... (sequence A000045 in the OEIS) The Fibonacci numbers were first described in Indian mathematics as early as 200 BC in work by Pingala on enumerating possible patterns of Sanskrit poetry formed from syllables of two lengths.
Memulai dari 0 dan 1, beberapa suku pertama barisan ini adalah 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .... Bilangan Fibonacci pertama kali dideskripsikan dalam matematika India setidaknya sejak tahun 200 SM, dalam karya oleh Pingala terkait menghitung banyaknya pola puisi Sanskerta yang dibentuk dari dua suku kata.
They are named after the Italian mathematician Leonardo of Pisa, also known as Fibonacci, who introduced the sequence to Western European mathematics in his 1202 book Liber Abaci.
Barisan ini diberi nama dengan nama matematikawan Italia Leonardo da Pisa, juga dikenal sebagai Fibonacci, yang memperkenalkannya ke dunia matematika Eropa Barat lewat bukunya Liber Abacicode:
Fibonacci numbers appear unexpectedly often in mathematics, so much so that there is an entire journal dedicated to their study, the Fibonacci Quarterly.
Bilangan Fibonacci sering muncul secara tak diduga dalam matematika, sampai ada jurnal tersendiri yang didedikasikan untuk mempelajarinya, Fibonacci Quarterly.
Applications of Fibonacci numbers include computer algorithms such as the Fibonacci search technique and the Fibonacci heap data structure, and graphs called Fibonacci cubes used for interconnecting parallel and distributed systems.
Beberapa penerapan barisan Fibonacci diantaranya meliputi algoritma komputer teknik pencarian Fibonacci dan struktur data heap Fibonacci.
The Fibonacci numbers may be defined by the recurrence relation F 00 , F 11 ,0,\quad F_{1}=1,} and F nF n − 1 + F n − 2F_{n-1}+F_{n-2}} for n > 1.
Barisan Fibonacci dapat didefinisikan oleh relasi perulangan F 00 , F 11 ,0,\quad F_{1}=1,} dan F nF n − 1 + F n − 2F_{n-1}+F_{n-2}} untuk n > 1.
Under some older definitions, the value F 000} is omitted, so that the sequence starts with F 1F 21 ,F_{2}=1,} and the recurrence F nF n − 1 + F n − 2F_{n-1}+F_{n-2}} is valid for n > 2.
Barisan Fibonacci dapat didefinisikan oleh relasi perulangan F 00 , F 11 ,0,\quad F_{1}=1,} dan F nF n − 1 + F n − 2F_{n-1}+F_{n-2}} untuk n > 1.
Counting the different patterns of successive L and S with a given total duration results in the Fibonacci numbers: the number of patterns of duration m units is Fm+1.
Menghitung banyaknya pola berbeda dari gabungan [P] dan [S], dengan suatu total satuan durasi yang ditetapkan, menghasilkan suatu bilangan Fibonacci: banyaknya pola dengan m satuan durasi adalah F m + 1 .
Knowledge of the Fibonacci sequence was expressed as early as Pingala (c. 450 BC–200 BC).
Pemahaman terkait barisan Fibonacci disampaikan pertama kali setidaknya oleh Pingala (ca. 450 SM–200 SM).
Fibonacci considers the growth of an idealized (biologically unrealistic) rabbit population, assuming that: a newly born breeding pair of rabbits are put in a field; each breeding pair mates at the age of one month, and at the end of their second month they always produce another pair of rabbits; and rabbits never die, but continue breeding forever.
Fibonacci membahas pertumbuhan populasi kelinci yang ideal (secara biologis tidak realistis), dengan asumsi bahwa: sepasang kelinci yang baru lahir langsung diternakkan di ladang; setiap pasangan kawin pada umur satu bulan, dan pada akhir bulan kedua pasangan akan selalu menghasilkan sepasang kelinci lagi; dan kelinci tidak akan mati, tetapi terus berkembang biak selamanya.
At the end of the n-th month, the number of pairs of rabbits is equal to the number of mature pairs (that is, the number of pairs in month n – 2) plus the number of pairs alive last month (month n – 1).
Pada akhir bulan ke-n, jumlah pasang kelinci sama dengan jumlah pasangan dewasa (yaitu jumlah pasangan di bulan n – 2) ditambah jumlah dari pasangan yang hidup bulan lalu (bulan n – 1).
It has become known as Binet's formula, named after French mathematician Jacques Philippe Marie Binet, though it was already known by Abraham de Moivre and Daniel Bernoulli: F nφ n − ψ n φ − ψφ n − ψ n 5 ,{\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}},} where ⁠ φ ⁠ is the golden ratio and ⁠ ψ ⁠ is its conjugate, φ1 2 ( 1 + 5 )
nama matematikawan Prancis Jacques Philippe Marie Binet, walau ekspresi tersebut sudah diketahui oleh Abraham de Moivre dan Daniel Bernoulli: F nφ n − ψ n φ − ψφ n − ψ n 5 ,{\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}},} dengan φ1 + 5 2 ≈ 1.61803 39887 … }}{2}}\approx 1.61803\,39887\ldots } dikenal dengan sebutan rasio emas, dan ψ adalah konjugatnya: ψ1 − 5 21 − φ− 1 φ ≈ − 0.61803 39887 … .
\varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}={\phantom {-}}1.61803\ldots ,\\[5mu]\psi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}=-0.61803\ldots .\end{aligned}}} The numbers ⁠ φ ⁠ and ⁠ ψ ⁠ are the two solutions of the quadratic equation ⁠ x 2 − x − 10 -x-1=0} ⁠, that is, ⁠ ( x − φ ) ( x − ψ )
a&={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}},\\[3mu]b&={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.\end{aligned}}} Karena suku | ψ n 5 | {\textstyle \left|{\frac {\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right|} pada rumus Binet selalu kurang dari 1 2 {2}}} untuk n ≥ 0 , bilangan F n } menjadi bilangan bulat terdekat dengan
x 2 − x − 1 -x-1} ⁠, and thus they satisfy the identities ⁠ φ + ψ1 ⁠ and ⁠ φ ψ− 1 ⁠. Since ψ− φ − 1 } , Binet's formula can also be written as F nφ n − ( − φ )
}}{2}}=1-\varphi-{1 \over \varphi }\approx -0.61803\,39887\ldots .} Karena ψ− φ − 1 , ,} rumus tersebut juga dapat dituliskan sebagai F nφ n − ( − φ )
In other words, φ nφ n − 1 + φ n − 2 , ψ nψ n − 1 + ψ n − 2 .
a φ n − 1 + b ψ n − 1 + a φ n − 2 + b ψ n − 2U n − 1 + U n − 2 .
\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2},\\[3mu]\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}.\end{aligned}}} It follows that for any values a and b, the sequence defined by U na φ n + b ψ na\varphi ^{n}+b\psi ^{n}} satisfies the same recurrence.
\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2},\\[3mu]\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}.\end{aligned}}} Dari hasil tersebut, semua barisan yang didefinisikan sebagai U na φ n + b ψ na\varphi ^{n}+b\psi ^{n}} juga memenuhi relasi perulangan yang sama, karena U na φ n + b ψ na ( φ n − 1 + φ n − 2 ) + b ( ψ n − 1 + ψ n − 2 )
This is the same as requiring a and b satisfy the system of equations: a φ 0 + b ψ 00 a φ 1 + b ψ 11 a\varphi ^{0}+b\psi ^{0}&=0\\a\varphi ^{1}+b\psi ^{1}&=1\end{aligned}}} which has solution a1 φ − ψ1 5 , b− a , {\varphi -\psi }}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\quad b=-a,} producing the required formula.
Pemilihan ini sama saja dengan mengharuskan a dan b memenuhi sistem persamaan: a + bU 00 φ a + ψ bU 11 a+b&=U_{0}=0\\\varphi a+\psi b&=U_{1}=1\end{aligned}}} yang memiliki solusi a1 φ − ψ1 5 , b− a , {\varphi -\psi }}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\quad b=-a,} sama seperti rumus Binet.
a&={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}},\\[3mu]b&={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.\end{aligned}}} In particular, choosing a1 makes the n-th element of the sequence closely approximate the n-th power of ⁠ φ ⁠ for large enough values of n. This arises when U02 and U11, which produces the sequence of Lucas numbers.
a&={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}},\\[3mu]b&={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.\end{aligned}}} Karena suku | ψ n 5 | {\textstyle \left|{\frac {\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right|} pada rumus Binet selalu kurang dari 1 2 {2}}} untuk n ≥ 0 , bilangan F n } menjadi bilangan bulat terdekat dengan
⌊ log φ ⁡ 5 F ⌉ , F ≥ 1. {\sqrt {5}}F\right\rceil ,\ F\geq 1.} Instead using the floor function gives the largest index of a Fibonacci number that is not greater than F: n l a r g e s t ( F )⌊ log φ ⁡ 5 ( F + 1 / 2 ) ⌋ , F ≥ 0 , }(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}(F+1/2)\right\rfloor ,\ F\geq 0,} where log φ ⁡ ( x )
⌊ log φ ⁡ 5 F ⌉ , F ≥ 1. {\sqrt {5}}F\right\rceil ,\ F\geq 1.} Jika diubah agar melakukan pembulatan ke bawah, rumus akan menghasilkan indeks bilangan Fibonacci terbesar yang tidak lebih dari F .
\varphi ^{n+1}&=(F_{n}\varphi +F_{n-1})\varphiF_{n}\varphi ^{2}+F_{n-1}\varphi \\&=F_{n}(\varphi +1)+F_{n-1}\varphi(F_{n}+F_{n-1})\varphi +F_{n}=F_{n+1}\varphi +F_{n}.\end{aligned}}} For ψ− 1 / φ , it is also the case that ψ 2ψ + 1\psi +1} and it is also the case that ψ nF n ψ + F n − 1 .
U_{n}&=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}\\[3mu]&=a(\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2})+b(\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2})\\[3mu]&=a\varphi ^{n-1}+b\psi ^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b\psi ^{n-2}\\[3mu]&=U_{n-1}+U_{n-2}.\end{aligned}}} Jika nilai a dan b dipilih sedemikian sehingga U 000} dan U 11 ,1,} maka barisan U n } yang terbentuk pastilah barisan Fibonacci.
Binet's formula provides a proof that a positive integer x is a Fibonacci number if and only if at least one of 5 x 2 + 4 +4} or 5 x 2 − 4 -4} is a perfect square.
Rumus Binet memberikan bukti bahwa bilangan bulat positif x merupakan bilangan Fibonacci jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari 5 x 2 + 4 +4} atau 5 x 2 − 4 -4} merupakan kuadrat sempurna.
This is because Binet's formula, which can be written as F n( φ n − ( − 1 ) n φ − n ) / 5(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}} , can be multiplied by 5 φ n }\varphi ^{n}} and solved as a quadratic equation in φ n } via the quadratic formula: φ nF n 5 ± 5 F n 2 + 4 ( − 1 ) n 2 .
Hal ini dapat terlihat mengalikan rumus Binet, yang dituliskan sebagai F n( φ n − ( − 1 ) n φ − n ) / 5(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}} , dengan 5 φ n }\varphi ^{n}} lalu diselesaikan sebagai persamaan kuadrat dalam φ n } menggunakan rumus kuadratik, menghasilkan: φ nF n 5 ± 5 F n 2 + 4 ( − 1 ) n 2 .
={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{\!2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.} Comparing this to φ nF n φ + F n − 1( F n 5 + F n + 2 F n − 1 ) / 2F_{n}\varphi +F_{n-1}=(F_{n}{\sqrt {5}}+F_{n}+2F_{n-1})/2} , it follows that 5 F n 2 + 4 ( − 1 ) n( F n + 2 F n − 1 ) 2 .
={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.} Membandingkan bentuk ini dengan φ nF n φ + F n − 1( F n 5 + F n + 2 F n − 1 ) / 2F_{n}\varphi +F_{n-1}=(F_{n}{\sqrt {5}}+F_{n}+2F_{n-1})/2} didapatkan 5 F n 2 + 4 ( − 1 ) n( F n + 2 F n − 1 ) 2 .
1F m + n − 1 , F m F n + 1 + F m − 1 F nF m + n .
F c − i F n i F n + 1 k − i .
F n( 2 F n − 1 + F n )
F c − i F n i F n + 1 k − i .
F n( 2 F n + 1 − F n ) F n .
F c − i F n i F n + 1 k − i .
Most identities involving Fibonacci numbers can be proved using combinatorial arguments using the fact that F n } can be interpreted as the number of (possibly empty) sequences of 1s and 2s whose sum is n − 1 .
Banyak identitas terkait bilangan Fibonacci yang dapat dibuktikan menggunakan argumen kombinatorial, menggunakan fakta bahwa F n } dapat dianggap sebagai banyaknya
This can be taken as the definition of F n } with the conventions F 000} , meaning no such sequence exists whose sum is −1, and F 111} , meaning the empty sequence "adds up" to 0.
Hal ini dapat dipilih sebagai definisi dari F n } , dengan konvensi F 000} yang mengartikan tidak ada barisan macam itu dengan total −1, dan F 111} yang mengartikan ada satu barisan -- yakni barisan dengan panjang 0 -- dengan total 0.
F 00| { } |0=|\{\}|} F 11| { ( ) } |1=|\{()\}|} F 21| { ( 1 ) } |1=|\{(1)\}|} F 32| { ( 1 , 1 ) , ( 2 ) } |2=|\{(1,1),(2)\}|} F 43| { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) } |3=|\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|} F 55| { ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } |5=|\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|} In this manner the recurrence relation F nF n − 1 + F n − 2F_{n-1}+F_{n-2}} may be understood by dividing the F n } sequences into two non-overlapping sets where all sequences either begin with 1 or 2: F n| { ( 1 , . . . ) , ( 1 , . . . ) , . . . } | + | { ( 2 , . . . ) , ( 2 , . . . ) , . . . } ||\{(1,...),(1,...),...
F 00| { } |0=|\{\}|} F 11| { ( ) } |1=|\{()\}|} F 21| { ( 1 ) } |1=|\{(1)\}|} F 32| { ( 1 , 1 ) , ( 2 ) } |2=|\{(1,1),(2)\}|} F 43| { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) } |3=|\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|} F 55| { ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } |5=|\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|}
In a similar manner it may be shown that the sum of the first Fibonacci numbers up to the n-th is equal to the (n + 2)-th Fibonacci number minus 1.
Dengan cara yang mirip, dapat ditunjukkan bahwa jumlah dari n bilangan Fibonacci pertama sama dengan bilangan Fibonacci ke- ( n + 2 ) dikurang 1.
In symbols: ∑ i1 n F iF n + 2 − 1 ^{n}F_{i}=F_{n+2}-1} This may be seen by dividing all sequences summing to n + 1 based on the location of the first 2.
Secara matematis: ∑ i1 n F iF n + 2 − 1 ^{n}F_{i}=F_{n+2}-1} Identitas ini dapat dilihat sebagai memisahkan setiap barisan dengan total n + 1 berdasarkan letak angka 2 pertamanya.
. , until the last two sets { ( 1 , 1 , .
. , sampai dua himpunan terakhir { ( 1 , 1 , .
, 1 , 2 ) } , { ( 1 , 1 , .
. . ) , ( 1 , 2 , .
. . , 1 ) } ,\{(1,1,...,1)\}} each with cardinality 1.
. . , 1 ) } } yang masing-masing memiliki kardinalitas 1.
Following the same logic as before, by summing the cardinality of each set we see that F n + 2F n + F n − 1 + . . .
Menggunakan logika yang sama seperti sebelumnya, dengan menghitung kardinalitas setiap himpunan yang dihasilkan kita dapatkan F n + 2F n + F n − 1 + . . .
. . , 1 ) } |F_{n}+F_{n-1}+...+|\{(1,1,...,1,2)\}|+|\{(1,1,...,1)\}|} ... where the last two terms have the value F 111} .
. . , 1 ) } |F_{n}+F_{n-1}+...+|\{(1,1,...,1,2)\}|+|\{(1,1,...,1)\}|} dengan dua himpunan terakhir memiliki nilai F 111} .
A similar argument, grouping the sums by the position of the first 1 rather than the first 2 gives two more identities: ∑ i0 n − 1 F 2 i + 1F 2 n ^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}} and ∑ i1 n F 2
Argumen yang mirip, kali ini dengan memisahkan barisan berdasarkan letak angka 1 pertamanya, menghasilkan dua identitas baru: ∑ i0 n − 1 F 2 i + 1F 2 n ^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}} dan ∑ i1 n F 2 iF 2 n + 1 − 1. ^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1.}
In words, the sum of the first Fibonacci numbers with odd index up to F 2 n − 1 } is the (2n)-th Fibonacci number, and the sum of the first Fibonacci numbers with even index up to F 2 n } is the (2n + 1)-th Fibonacci number minus 1.
Dalam bentuk kalimat, jumlah dari n − 1 bilangan Fibonacci berindeks-ganjil pertama adalah bilangan Fibonacci ke- 2 n , dan jumlah dari n bilangan Fibonacci berindeks-genap pertama adalah bilangan Fibonacci ke- ( 2 n + 1 ) dikurang 1.
A different trick may be used to prove ∑ i1 n F i 2F n F n + 1 ^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}} or in words, the sum of the squares of the first Fibonacci numbers up to F n } is the product of the n-th and (n + 1)-th Fibonacci numbers.
Trik yang berbeda dapat digunakan untuk membuktikan ∑ i1 n F i 2F n F n + 1 ^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}} atau secara kalimat, jumlah dari kuadrat n bilangan Fibonacci pertama sama dengan hasil perkalian bilangan Fibonnaci ke- n dan ke- ( n + 1 ) .
. . , F 1 ,F_{n-1},...,F_{1}} ; from this the identity follows by comparing areas:
, F 1 ,F_{n-1},...,F_{1}} ; identitas terbukti dengan membandingkan luas keduanya.
For example, reconsider ∑ i1 n F iF n + 2 − 1. ^{n}F_{i}=F_{n+2}-1.} Adding F n + 1 } to both sides gives ∑ i1 n F i + F n + 1F n + 1 + F n + 2 − 1 ^{n}F_{i}+F_{n+1}=F_{n+1}+F_{n+2}-1}
Argumen yang mirip, kali ini dengan memisahkan barisan berdasarkan letak angka 1 pertamanya, menghasilkan dua identitas baru: ∑ i0 n − 1 F 2 i + 1F 2 n ^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}} dan ∑ i1 n F 2 iF 2 n + 1 − 1. ^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1.}
5 ( F n + 2 − 1 ) 1+&\varphi +\varphi ^{2}+\dots +\varphi ^{n}-\left(1+\psi +\psi ^{2}+\dots +\psi ^{n}\right)\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{\varphi -1}}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{\psi -1}}\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{-\psi }}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{-\varphi }}\\&={\frac {-\varphi ^{n+2}+\varphi +\psi ^{n+2}-\psi }{\varphi \psi }}\\&=\varphi ^{n+2}-\psi ^{n+2}-(\varphi -\psi )\\&={\sqrt {5}}(F_{n+2}-1)\\\end{aligned}}} as required, using the facts φ ψ− 1 {\textstyle \varphi \psi-1} and φ − ψ5 {\textstyle \varphi -\psi{\sqrt {5}}} to simplify the equations.
U_{n}&=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}\\[3mu]&=a(\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2})+b(\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2})\\[3mu]&=a\varphi ^{n-1}+b\psi ^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b\psi ^{n-2}\\[3mu]&=U_{n-1}+U_{n-2}.\end{aligned}}} Jika nilai a dan b dipilih sedemikian sehingga U 000} dan U 11 ,1,} maka barisan U n } yang terbentuk pastilah barisan Fibonacci.
Cassini's identity states that F n 2 − F n + 1 F n − 1( − 1 ) n − 1 ^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}} Catalan's identity is a generalization: F n 2 − F n + r F n − r( − 1 ) n − r F r 2 ^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}}
Beberapa di antaranya meliputi: Identitas Cassini menyatakan bahwa F n 2 − F n + 1 F n − 1( − 1 ) n − 1 }^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}} Identitas Catalan memperumum identitas tersebut menjadi: F n 2 − F n + r F n − r( − 1 ) n − r F r 2 }^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}{F_{r}}^{2}}
F m F n + 1 − F m + 1 F n( − 1 ) n F m − n F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}} F 2 nF n + 1 2 − F n − 1 2F n ( F n + 1 + F n − 1 )F n L nF_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}} where Ln is the n-th Lucas number.
Identitas ini menyatakan bahwa F m F n + 1 − F m + 1 F n( − 1 ) n F m − n F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}} F 2 nF n + 1 2 − F n − 1 2F n ( F n + 1 + F n − 1 )F n L n{F_{n+1}}^{2}-{F_{n-1}}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}} dengan L n } adalah bilangan Lucas ke-n. Identitas kedua di atas menunjukkan persamaan untuk menggandakan indeks n .
The last is an identity for doubling n; other identities of this type are F 3 n2 F n 3 + 3 F n F n + 1 F n − 15 F n 3 + 3 ( − 1 ) n F n2F_{n}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5F_{n}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}} by Cassini's identity.
Identitas lainnya jenis ini adalah F 3 n2 F n 3 + 3 F n F n + 1 F n − 15 F n 3 + 3 ( − 1 ) n F n2{F_{n}}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5{F_{n}}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}} yang didapatkan dari identitas Cassini.
F 3 n + 1F n + 1 3 + 3 F n + 1 F n 2 − F n 3F_{n+1}^{3}+3F_{n+1}F_{n}^{2}-F_{n}^{3}} F 3 n + 2F n + 1 3 + 3 F n + 1 2 F n + F n 3{F_{n+1}}^{3}+3F_{n+1}^{2}F_{n}+F_{n}^{3}} F 4 n4 F n F n + 1 ( F n + 1 2 + 2 F n 2 ) − 3 F n 2 ( F n 2 + 2 F n + 1 2 )4F_{n}F_{n+1}\left(F_{n+1}^{2}+2F_{n}^{2}\right)-3F_{n}^{2}\left(F_{n}^{2}+2F_{n+1}^{2}\right)}
Identitas lainnya jenis ini adalah F 3 n2 F n 3 + 3 F n F n + 1 F n − 15 F n 3 + 3 ( − 1 ) n F n2{F_{n}}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5{F_{n}}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}} yang didapatkan dari identitas Cassini.
More generally, F k n + c∑ i0 k ( k i ) F c − i F n i F n + 1 k − i .
} atau juga dapat dituliskan sebagai F k n + c∑ i0 k ( k i ) F c + i F n i F n − 1 k − i .
^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{\sum _{j=1}^{k}{F_{j}}^{2}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}
=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c+i}{F_{n}}^{i}{F_{n-1}}^{k-i}.}
^{N}{\frac {1}{F_{2^{k}}}}=3-{\frac {F_{2^{N}-1}}{F_{2^{N}}}}.}
=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c+i}{F_{n}}^{i}{F_{n-1}}^{k-i}.}
F n∑ k0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − k − 1 k ) .
Secara lebih umum berlaku, F k n + c∑ i0 k ( k i )
=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-k-1}{k}}.}
=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c+i}{F_{n}}^{i}{F_{n-1}}^{k-i}.}
Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11321-0. Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0.
Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0.
Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (July 1998), Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, pp.
Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (Edisi 3rd), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (July 1998), Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, hlm.
[2002], The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback ed.), New York City: Broadway Books, ISBN 0-7679-0816-3 Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (in French), vol. 1, Paris: Gauthier-Villars.
[2002], The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (Edisi First trade paperback), New York City: Broadway Books, ISBN 0-7679-0816-3 Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (dalam bahasa Prancis), vol.
Sigler, L. E. (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6 Fibonacci Sequence and Golden Ratio: Mathematics in the Modern World - Mathuklasan with Sir Ram on YouTube - animation of sequence, spiral, golden ratio, rabbit pair growth.
Sigler, L. E. (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6 Program bilangan Fibonacci Tabel 500 bilangan Fibonacci pertama The Golden Mean and the Physics of Aesthetics The Golden Section: Phi Diarsipkan 2006-12-05 di Wayback Machine.