For instance, the completion of a metric space M involves an isometry from M into M ′ , a quotient set of the space of Cauchy sequences on M .
Sebagai contoh, pelengkap dari ruang metrik M membutuhkan isometri dari M ke M ′ , sebuah himpunan hasil bagi dari ruang barisan Cauchy pada M .
The original space M is thus isometrically isomorphic to a subspace of a complete metric space, and it is usually identified with this subspace.
Ruang metrik asal M tersebut secara isometris isomorfik terhadap sebuah sub ruang dari ruang metrik lengkap, dan umumnya dapat dikenali lewat sub ruang ini.
Other embedding constructions show that every metric space is isometrically isomorphic to a closed subset of some normed vector space and that every complete metric space is isometrically isomorphic to a closed subset of some Banach space.
Konstruksi-konstruksi lainnya menunjukkan bahwa setiap ruang metrik secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu ruang vektor bernorma; dan setiap ruang metrik lengkap secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu ruang Banach.
A map f : X → Y {\textstyle f\colon X\to Y} is called an isometry or distance-preserving map if for any a , b ∈ X ,
Pemetaan f : X → Y dikatakan isometri atau mempertahankan jarak jika untuk setiap a , b ∈ X berlaku d Y ( f ( a ) , f ( b ) )d X ( a , b ) .
Clearly, every isometry between metric spaces is a topological embedding.
Tentu, setiap isometri antar ruang metrik adalah embedding topologis.
The inverse of a global isometry is also a global isometry.
Dan seperti bijeksi lainnya, isometri global memiliki fungsi invers.
The map x ↦ | x | in R } is a path isometry but not a (general) isometry.
Pemetaan x ↦ | x | di R }} adalah isometri lintasan yang bukan isometri.
The following theorem is due to Mazur and Ulam.
Teorema berikut adalah hasil kerja dari Mazur dan Ulam.
Given two normed vector spaces V and W , a linear isometry is a linear map A : V → W that preserves the norms: ‖ A v ‖ W‖ v ‖ V\|v\|_{V}} for all v ∈ V .
Untuk ruang vektor bernorma V and W , isometri linear adalah pemetaan linear A : V → W yang mempertahankan norma: ‖ A v ‖‖ v ‖ untuk setiap v ∈ V .
In an inner product space, the above definition reduces to ⟨ v , v ⟩ V⟨ A v , A v ⟩ W\langle Av,Av\rangle _{W}} for all v ∈ V , which is equivalent to saying that A †
Pada ruang hasil kali dalam, definisi di atas dapat disederhanakan menjadi ⟨ A v , A v ⟩⟨ v , v ⟩ untuk setiap v ∈ V , yang secara ekuivalen menyatakan bahwa A † AI V A=\operatorname {I} _{V}} .
A=\operatorname {Id} _{V}.}
dan A A †I V\operatorname {I} _{V}} .
By the Mazur–Ulam theorem, any isometry of normed vector spaces over R } is affine.
Berdasarkan teorema Mazur–Ulam, setiap isometri pada ruang vektor R } bernorma bersifat affine.
Thus, isometries are studied in Riemannian geometry.
Karena itu, isometri dibahas di geometri Riemann.
Given a positive real number ε, an ε-isometry or almost isometry (also called a Hausdorff approximation) is a map f : X → Y between metric spaces such that for x , x ′ ∈ X one has | d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ) − d X ( x , x ′ ) | < ε , (f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon ,} and for any point y ∈ Y there exists a point x ∈ X with d Y ( y , f ( x ) ) < ε (y,f(x))<\varepsilon } That is, an ε-isometry preserves distances to within ε and leaves no element of the codomain further than ε away from the image of an element of the domain.
Untuk bilangan real positif ε, sebuah ε-isometri atau hampir isometri (juga disebut dengan hampiran Hausdorff) adalah pemetaan f : X → Y antar ruang metrik dengan sifat: untuk setiap x a , x b ∈ X ,x_{b}\in X} berlaku | d Y ( f ( x a ) , f ( x b ) ) − d X ( x a , x b ) | < ε \!\left(f(x_{a}),f(x_{b})\right)-d_{X}(x_{a},x_{b})|<\varepsilon } , dan untuk setiap y ∈ Y terdapat x ∈ X yang memenuhi d Y ( y , f ( x ) ) < ε \!\left(y,f(x)\right)<\varepsilon
Note that ε-isometries are not assumed to be continuous.
Sebuah ε-isometri belum tentu bersifat kontinu.