In mathematics, a square number or perfect square is an integer that is the square of an integer; in other words, it is the product of some integer with itself.
Dalam matematika, sebuah bilangan persegi atau kuadrat sempurna adalah sebuah bilangan bulat yang merupakan pangkat dua dari sebuah bilangan bulat; Dengan kata lain, bilangan persegi adalah perkalian dari suatu bilangan bulat dengan dirinya sendiri.
For example, 9 is a square number, since it equals 32 and can be written as 3 × 3.
Contohnya, 9 adalah sebuah bilangan persegi, karena sama dengan 32 dan dapat ditulis sebagai 3 × 3.
The usual notation for the square of a number n is not the product n × n, but the equivalent exponentiation n2, usually pronounced as "n squared".
Notasi yang biasa digunakan untuk kuadrat dari sebuah bilangan n adalah bukan hasil kali n × n, tetapi ekuivalen dengan ekponensial n2, yang biasanya diucapkan sebagai "n persegi (atau n dikuadratkan atau n pangkat 2)".
Hence, a square with side length n has area n2.
Karenanya, sebuah persegi dengan panjang sisi n memiliki luas n2.
If a square number is represented by n points, the points can be arranged in rows as a square each side of which has the same number of points as the square root of n; thus, square numbers are a type of figurate numbers (other examples being cube numbers and triangular numbers).
Jika sebuah bilangan persegi direpresentasikan oleh n titik, titik-titik tersebut dapat disusun dalam barisan sebagai sebuah persegi yang setiap sisinya memiliki jumlah titik yang sama dengan akar kuadrat dari n. Dengan demikian, bilangan persegi adalah jenis bilangan bergambar (contoh lainnya adalah bilangan kubus dan bilangan segitiga).
For a non-negative integer n, the nth square number is n2, with 020 being the zeroth one.
Untuk sebuah bilangan bulat non-negatif n, bilangan persegi ke-n adalah n2, dengan 020 sebagai yang ke-nol.
Starting with 1, there are ⌊ m ⌋ }\rfloor } square numbers up to and including m, where the expression ⌊ x ⌋ represents the floor of the number x.
Dimulai dengan angka 1, terdapat ⌊ m ⌋ }\rfloor } banyaknya bilangan persegi hingga dan termasuk m, di mana ekspresi ⌊ x ⌋ merepresentasikan fungsi lantai dari bilangan x.
The squares (sequence A000290 in the OEIS) smaller than 6023600 are: The difference between any perfect square and its predecessor is given by the identity n2 − (n − 1)22n − 1.
Bilangan persegi (Barisan A000290 dalam OEIS) lebih kecil dari 6023600:Selisih antara suatu kuadrat sempurna dan kuadrat sempurna sebelumnya diberikan oleh identitas n2 − (n − 1)22n − 1.
Equivalently, it is possible to count square numbers by adding together the last square, the last square's root, and the current root, that is, n2(n − 1)2 + (n − 1) +
Ekivalen, mungkin untuk menghitung bilangan persegi dengan menambahkan kuadrat terakhir, akar kuadrat terakhir, dan akar saat ini, yaitu, n2(n − 1)2 + (n − 1) + n. Bilangan m adalah bilangan persegi jika dan hanya jika seseorang dapat menyusun m titik dalam sebuah persegi: Ekspresi untuk bilangan persegi ke-n adalah n2.
The formula follows: n 2∑ k1 n ( 2 k − 1 ) .
Rumusnya adalah sebagai berikut: n 2∑ k1 n ( 2 k − 1 ) .
For example, the nth square number can be computed from the previous square by n2(n − 1)2 + (n − 1) +
Contohnya, bilangan persegi ke-n dapat dihitung dari kuadrat sebelumnya dengan n2(n − 1)2 + (n − 1) + n(n − 1)2 + (2n − 1).
The square minus one of a number m is always the product of m − 1 and m + 1 ; that is, m 2 − 1( m − 1 ) ( m + 1 ) .
Bilangan persegi dikurangi satu dari sebuah bilangan m selalu merupakan hasil dari m − 1 dan m + 1 ; sehingga, m 2 − 1( m − 1 ) ( m + 1 ) .
For example, since 7249, one has 6 × 848 .
Contoh, karena 7249, kita memiliki 6 × 848 .
That is, a 2 − b 2( a + b ) ( a − b ) -b^{2}=(a+b)(a-b)}
Artinya, a 2 − b 2( a + b ) ( a − b ) -b^{2}=(a+b)(a-b)}
A square number is also the sum of two consecutive triangular numbers.
Suatu bilangan persegi juga merupakan jumlah dari dua bilangan segitiga yang berurutan.
Three squares are not sufficient for numbers of the form 4k(8m + 7).
Tiga bilangan persegi tidak cukup untuk bilangan-bilangan yang memiliki bentuk 4k(8m + 7).
In base 10, a square number can end only with digits 0, 1, 4, 5, 6 or 9, as follows: if the last digit of a number is 0, its square ends in 00; if the last digit of a number is 1 or 9, its square ends in an even digit followed by a 1; if the last digit of a number is 2 or 8, its square ends in an even digit followed by a 4; if the last digit of a number is 3 or 7, its square ends in an even digit followed by a 9; if the last digit of a number is 4 or 6, its square ends in an odd digit followed by a 6; and if the last digit of a number is 5, its square ends in 25.
Dalam basis 10, sebuah bilanhan persegi hanya dapat diakhiri dengan digit angka 0, 1, 4, 5, 6 atau 9, sebagai berikut: jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, kuadratnya berakhiran 00; jika digit terakhir suatu bilangan adalah 1 atau 9, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 1; jika digit terakhir suatu bilangan adalah 2 atau 8, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 4; jika digit terakhir suatu bilangan adalah 3 atau 7, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 9; jika digit terakhir suatu bilangan adalah 4 atau 6, kuadratnya diakhiri dengan angka ganjil diikuti dengan angka 6; Dan jika digit terakhir suatu bilangan adalah 5, maka kuadratnya berakhiran 25.
All such rules can be proved by checking a fixed number of cases and using modular arithmetic.
Semua aturan tersebut dapat dibuktikan dengan memeriksa sejumlah kasus dan menggunakan aritmetika modular .
In general, if a prime p divides a square number m then the square of p must also divide m; if p fails to divide ⁠m/p⁠, then m is definitely not square.
Secara umum, jika bilangan prima p membagi bilangan kuadrat m maka kuadrat dari p juga harus membagi m ; jika p gagal membagi mp, maka m pasti bukan bilangan persegi.
Thus, the number m is a square number if and only if, in its canonical representation, all exponents are even.
Dengan demikian, bilangan m adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika, dalam representasi kanoniknyanya, semua eksponennya genap.
For example, 1002 − 9991 is the square of 3, so consequently 100 − 3 divides 9991.
Misalnya, 1002 − 9991 adalah kuadrat dari 3, jadi 100 − 3 membagi 9991.
A square number cannot be a perfect number.
Bilangan persegi tidak mungkin merupakan bilangan sempurna .
The sum of the n first square numbers is ∑ k0 n k 20 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ⋯ + n 2n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 .
Jumlah n bilangan persegi pertama adalah ∑ n0 N n 20 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ⋯ + N 2N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 .
^{n}k^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}
^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}
The first values of these sums, the square pyramidal numbers, are: (sequence A000330 in the OEIS) 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...
Nilai awal dari penjumlahan ini, bilangan piramida persegi, adalah: 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...
This explains Galileo's law of odd numbers: if a body falling from rest covers one unit of distance in the first arbitrary time interval, it covers 3, 5, 7, etc., units of distance in subsequent time intervals of the same length.
Hal ini menjelaskan hukum bilangan ganjil Galileo : jika suatu benda jatuh dari keadaan diam mencakup satu satuan jarak dalam selang waktu sembarang pertama, mencakup 3, 5, 7, dst., satuan jarak dalam selang waktu berikutnya yang panjangnya sama.
The sum of the n first cubes is the square of the sum of the n first positive integers; this is Nicomachus's theorem.
Jumlah n kubik pertama adalah kuadrat jumlah n bilangan bulat positif pertama; ini adalah teorema Nicomachus .
A unique relationship with triangular numbers T n } is: ( T n ) 2 + ( T n + 1 ) 2T ( n + 1 ) 2 )^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}} Squares of even numbers are even, and are divisible by 4, since (2n)24n2.
Hubungan unik dengan bilangan segitiga T n } adalah: ( T n ) 2 + ( T n + 1 ) 2T ( n + 1 ) 2 )^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}} Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap dan habis dibagi 4, karena (2n)24n2 .
Squares of odd numbers are odd, and are congruent to 1 modulo 8, since (2n + 1)24n(n + 1) + 1, and n(n + 1) is always even.
Kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil dan kongruen dengan 1 modulo 8, karena (2n + 1)24n(n + 1) + 1, dan n(n + 1) selalu genap.
In other words, all odd square numbers have a remainder of 1 when divided by 8.
Dengan kata lain, semua bilangan kuadrat ganjil mempunyai sisa 1 jika dibagi 8.
The difference between 1 and any higher odd perfect square always is eight times a triangular number, while the difference between 9 and any higher odd perfect square is eight times a triangular number minus eight.
Selisih antara 1 dan kuadrat sempurna ganjil yang lebih tinggi selalu delapan kali suatu bilangan segitiga, sedangkan selisih antara
Since all triangular numbers have an odd factor, but no two values of 2n differ by an amount containing an odd factor, the only perfect square of the form 2n − 1 is 1, and the only perfect square of the form 2n + 1 is 9.
Karena semua bilangan segitiga mempunyai faktor ganjil, tetapi tidak ada dua nilai dari 2n yang berbeda dengan jumlah yang mengandung faktor ganjil, satu-satunya kuadrat sempurna berbentuk 2n − 1 adalah 1, dan satu-satunya kuadrat sempurna berbentuk 2n + 1 adalah 9.
If the number is of the form m5 where m represents the preceding digits, its square is n25 where nm(m + 1) and represents digits before 25.
Jika suatu bilangan berbentuk m5 dimana m mewakili digit-digit sebelumnya, maka kuadratnya adalah n25 dimana nm(m + 1) dan mewakili digit-digit sebelum 25.
For example, the square of 65 can be calculated by n6 × (6 + 1)42 which makes the square equal to 4225.
Misalnya, kuadrat dari 65 dapat dihitung dengan n6 × (6 + 1)42 sehingga kuadratnya sama dengan 4225.
If the number is of the form m0 where m represents the preceding digits, its square is n00 where nm2.
Jika bilangan tersebut berbentuk m0 dimana m melambangkan digit-digit sebelumnya, maka kuadratnya adalah n00 dimana nm2 .
If the number has two digits and is of the form 5m where m represents the units digit, its square is aabb where aa25 + m and bbm2.
Jika suatu bilangan mempunyai dua digit dan berbentuk 5m dimana m melambangkan digit satuan, maka kuadratnya adalah aabb dengan aa25 + m dan bbm2 .
For example, to calculate the square of 57, m7 and 25 + 732 and 7249, so 5723249.
Misalnya, untuk menghitung kuadrat dari 57, m7 dan 25 + 732 dan 7249, jadi 5723249 .
If the number ends in 5, its square will end in 5; similarly for ending in 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, etc.
Jika bilangan digitnya berakhiran 5, kuadratnya akan berakhiran 5; demikian pula untuk berakhiran 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, dst.
If the number ends in 6, its square will end in 6, similarly for ending in 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376.
Jika bilangan berakhiran 6, maka kuadratnya berakhiran 6, begitu pula bilangan yang berakhiran 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376.
For example, the square of 55376 is 3066501376, both ending in 376.
Misalnya, kuadrat dari 55376 adalah 3066501376, keduanya berakhiran 376 .
They are sequence A003226 in the OEIS.)
Merupakan barisan A003226 dalam OEIS . )
In base 10, the last two digits of square numbers follow a repeating pattern mirrored symmetrical around multiples of 25.
Pada basis 10, dua digit terakhir bilangan kuadrat mengikuti pola berulang yang dicerminkan secara simetris di sekitar kelipatan 25.
In the example of 24 and 26, both 1 off from 25, 242576 and 262676, both ending in 76.
Pada contoh 24 dan 26, keduanya 1 turun dari 25, 242576 dan 262676, keduanya diakhiri dengan 76.
In general, ( 25 n + x ) 2 − ( 25 n − x ) 2100 n x {\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx} .
Secara umum, ( 25 n + x ) 2 − ( 25 n − x ) 2100 n x {\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx} .
An analogous pattern applies for the last 3 digits around multiples of 250, and so on.
Pola analogi berlaku untuk 3 digit terakhir di sekitar kelipatan 250, dan seterusnya.
As a consequence, of the 100 possible last 2 digits, only 22 of them occur among square numbers (since 00 and 25 are repeated).
Akibatnya, dari 100 kemungkinan 2 digit terakhir, hanya 22 digit yang muncul di antara bilangan kuadrat (karena 00 dan 25 diulang).
ISBN 0-387-97993-X Kiran Parulekar.
ISBN 0-387-97993-XISBN 0-387-97993-X Kiran Parulekar.