In mathematics, the derivative is a fundamental tool that quantifies the sensitivity to change of a function's output with respect to its input.
Dalam matematika, turunan atau derivatif dari sebuah fungsi adalah cara mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan pada nilai variabelnya.
The Jacobian matrix is the matrix that represents this linear transformation with respect to the basis given by the choice of independent and dependent variables.
Matriks Jacobi adalah matriks yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu basis yang ditentukan.
For a real-valued function of several variables, the Jacobian matrix reduces to the gradient vector.
Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor gradien.
This means that, for every positive real number ⁠ ε ⁠, there exists a positive real number δ such that, for every h such that | h | < δ and h ≠ 0 then f ( a + h ) is defined, and | L − f ( a + h ) − f ( a ) h | < ε , {h}}\right|<\varepsilon ,} where the vertical bars denote the absolute value.
Hal ini mengartikan bahwa, untuk setiap bilangan real positif ε (bahkan jika nilainya sangat kecil), akan ada suatu bilangan real positif δ sedemikian sehingga, untuk semua h yang memenuhi | h | < δ dan h ≠ 0 , menyebabkan nilai f ( a + h ) terdefinisi dan | L − f ( a + h )
If the function f is differentiable at ⁠ a ⁠, that is if the limit L exists, then this limit is called the derivative of f at ⁠ a ⁠. Multiple notations for the derivative exist.
Jika fungsi f terdiferensialkan di a , dengan kata lain jika nilai limit L ada, maka nilai limit ini disebut turunan dari f di a , dan dinyatakan dengan f ′ ( a ) atau d f d x ( a ) {\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)} (dibaca "turunan dari f terhadap x di a " atau "dy per dx di a ").
The function whose value at a equals f ′ ( a ) whenever f ′ ( a ) is defined and elsewhere is undefined is also called the derivative of ⁠ f ⁠.
Fungsi yang nilainya di a sama dengan f ′ ( a ) kapanpun nilai f ′ ( a ) terdefinisi, dan tidak terdefinisi di nilai-nilai yang lainnya,
For example, let f be the squaring function: ⁠ f ( x )
Turunan dari fungsi f dituliskan sebagai f ′ .
Taking the squaring function f ( x )x 2 } as an example again, f ′ ( x )st ⁡ ( x 2 + 2 x ⋅ d x + ( d x ) 2 − x 2 d x )st ⁡ ( 2 x ⋅ d x + ( d x ) 2 d x )st ⁡ ( 2 x ⋅ d x d x + ( d x ) 2 d x )st ⁡ ( 2 x + d x )2 x .
(y)=x^{2}+xy+y^{2}.} Setelah suatu nilai x dipilih, misalnya xa , maka f ( x , y ) selanjutnya menentukan sebuah fungsi f a } yang memetakan y ke a 2 + a y + y 2 +ay+y^{2}} , juga dapat ditulis sebagai f a ( y )
If h is positive, then a + h is on the high part of the step, so the secant line from a to a + h has slope zero.
Sedangkan nilai h yang positif, maka a + h terletak pada sisi tinggi dari fungsi tangga, sehingga garis sekan dari a ke a + h tidak memiliki kemiringan (datar).
However, even if a function is continuous at a point, it may not be differentiable there.
Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu di suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan di sana.
For example, the absolute value function given by f ( x )
Sebagai contoh, fungsi nilai mutlak f(x)
| x | is continuous at ⁠ x0 ⁠, but it is not differentiable there.
|x| bersifat kontinu di x0, tetapi tidak terdiferensialkan di titik itu.
Early in the history of calculus, many mathematicians assumed that a continuous function was differentiable at most points.
Pada awal sejarah kalkulus, banyak matematikawan mengasumsikan fungsi kontinu dapat diturunkan di banyak titik.
Under mild conditions (for example, if the function is a monotone or a Lipschitz function), this is true.
Pada kondisi yang standar, hal ini berlaku karena kebanyakan fungsi adalah fungsi monoton atau fungsi Lipschitz.
However, in 1872, Weierstrass found the first example of a function that is continuous everywhere but differentiable nowhere.
Tetapi pada tahun 1872, Weierstrass menemukan contoh pertama dari fungsi yang kontinu dimanapun tetapi tidak terdiferensialkan dimanapun.
This example is now known as the Weierstrass function.
Contoh tersebut sekarang dikenal sebagai fungsi Weierstrass.
d y d xd d x f ( x ) .
d y d x | xad y d x ( a ) .
Similarly, the second and the third derivatives can be written as f ″ and ⁠ f ‴ ⁠, respectively.
Serupa dengan itu, turunan dari turunan kedua, jika ada, ditulis sebagai f ‴ dan disebut turunan ketiga dari f ; dan seterusnya.
If y is a function of ⁠ t ⁠, then the first and second derivatives can be written as y ˙ }} and ⁠ y ¨ }} ⁠, respectively.
Jika yf ( t ) , maka y ˙ }} dan y ¨ }} masing-masing menyatakan turunan pertama dan turunan kedua dari y .
d d x ln ⁡ ( x )
d x e x − ln ⁡ ( x )
1 x {dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}} ⁠, for x > 0 ⁠ d d x log a ⁡ ( x )1 x ln ⁡ ( a ) {dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}} ⁠, for x , a > 0 Trigonometric functions: d d x sin ⁡ ( x )cos ⁡ ( x ) {dx}}\sin(x)=\cos(x)} d d x cos ⁡ ( x )− sin ⁡ ( x ) {dx}}\cos(x)=-\sin(x)}
d d x a xa x ln ⁡ ( a ) , a > 0 {dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a),\qquad a>0} d d x ln ⁡ ( x )1 x , x > 0. {dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.} d d x log a ⁡ ( x )1 x ln ⁡ ( a ) , x , a > 0 {dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}},\qquad x,a>0} Fungsi trigonometri: d
α f ′ + β g ′ for all functions f and g and all real numbers α and ⁠ β ⁠. Product rule: ( f g ) ′f ′ g + f g ′ for all functions f and ⁠ g ⁠.
Kaidah jumlah: ( α f + β g ) ′α f ′ + β g ′ untuk semua fungsi f dan g, dan untuk semua bilangan real α dan β .
As a special case, this rule includes the fact ( α f ) ′α f ′ whenever α is a constant because α ′ f0 ⋅ f0 by the constant rule.
istimewa, yakni fakta bahwa ( α ⋅ f ) ′α ⋅ f ′ dengan α berupa konstanta.
h ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) .
g ′ ( h ( x ) )
d x + 04 x 3 + 2 x cos ⁡ ( x 2 ) − 1 x e x − ln ⁡ ( x ) e x . f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}} Here the second term was computed using the chain rule and the third term using the product rule.
d x + 04 x 3 + 2 x cos ⁡ ( x 2 ) − 1 x e x − ln ⁡ ( x ) e x . f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}} Misalkan f adalah fungsi terdiferensialkan, dan f ′ adalah fungsi turunannya.
A vector-valued function y } of a real variable sends real numbers to vectors in some vector space ⁠ R n ^{n}} ⁠. A vector-valued function can be split up into its coordinate functions ⁠
Sebuah fungsi bernilai vektor y } dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan bilangan real (ril) ke suatu vektor di suatu ruang vektor R n ^{n}} .
The derivative of y ( t ) (t)} is defined to be the vector, called the tangent vector, whose coordinates are the derivatives of the coordinate functions.
Turunan dari fungsi y ( t ) (t)} didefinisikan sebagai sebuah vektor, disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya.
Here ∂ is a rounded d called the partial derivative symbol.
Dalam ekspresi tersebut, simbol ∂ adalah huruf d melengkung yang disebut sebagai simbol turunan parsial.
To distinguish it from the letter d, ∂ is sometimes pronounced "der", "del", or "partial" instead of "dee".
Untuk membedakannya dengan huruf d yang digunakan dalam turunan satu variabel, ∂ terkadang dilafalkan sebagai "der", "del", atau "parsial", ketimbang "de".
x 2 + x y + y 2 +xy+y^{2}} ⁠, then the partial derivative of function f with respect to both variables x and y are, respectively: ∂ f ∂ x2 x + y , ∂ f ∂ yx + 2 y .
(y)=x^{2}+xy+y^{2}.} Setelah suatu nilai x dipilih, misalnya xa , maka f ( x , y ) selanjutnya menentukan sebuah fungsi f a } yang memetakan y ke a 2 + a y + y 2 +ay+y^{2}} , juga dapat ditulis sebagai f a ( y )
{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.}
{\partial y}}(x,y)=x+2y.} dan disebut sebagai turunan berarah dari f terhadap y .
In general, the partial derivative of a function f ( x 1 , … , x n ) ,\dots ,x_{n})} in the direction x i } at the point ( a 1 , … , a n ) ,\dots ,a_{n})} is defined to be: ∂ f ∂ x i ( a 1 , … , a n )lim h → 0 f ( a 1 , … , a i + h , … , a n ) − f ( a 1 , … , a i , … , a n ) h .
Secara umum, turunan parsial sebuah fungsi f ( x 1 , … , x n ) ,\,\dots ,\,x_{n})} dalam arah x i } di titik ( a 1 , … , a n ) ,\,\dots ,\,a_{n})} didefinisikan sebagai ∂ f ∂ x i ( a 1 , … , a n )
{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.} This is fundamental for the study of the functions of several real variables.
{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}
Let f ( x 1 , … , x n ) ,\dots ,x_{n})} be such a real-valued function.
Misalkan f ( x 1 , … , x n ) (x_{1},\,\dots ,\,x_{n})} sebagai fungsi bernilai vektor.
If all partial derivatives f with respect to x j } are defined at the point ⁠ ( a 1 , … , a n ) ,\dots ,a_{n})} ⁠, these partial derivatives define the vector ∇ f ( a 1 , … , a n )( ∂ f ∂ x 1 ( a 1 , … , a n ) , … , ∂ f ∂ x n ( a 1 , … , a n ) ) , ,\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),} which is called the gradient of f at ⁠ a ⁠. If f is differentiable at every point in some domain, then the gradient is a vector-valued function ∇ f that maps the point ( a 1 , … , a n ) ,\dots ,a_{n})} to the vector ⁠ ∇ f ( a 1 , … , a n ) ,\dots ,a_{n})} ⁠. Consequently, the gradient determines a vector field.
Jika semua turunan parsial ∂ f ∂ x j }{\partial x_{j}}}} terdefinisi di titik a( a 1 , … , a n )(a_{1},\,\dots ,\,a_{n})} , turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor ∇ f ( a 1 , … , a n )( ∂ f ∂ x 1 ( a 1 , … , a n ) , … , ∂ f ∂ x n ( a 1 , … , a n ) ) , (a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\,\ldots ,{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),} yang disebut sebagai gradien dari f } di a } .
If f is a real-valued function on ⁠ R n ^{n}} ⁠, then the partial derivatives of f measure its variation in the direction of the coordinate axes.
Jika f adalah fungsi bernilai real di R n ^{n}} , maka turunan parsial f mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat.
For example, if f is a function of x and ⁠ y ⁠, then its partial derivatives measure the variation in f in the x and y direction.
Sebagai contoh, jika f adalah fungsi dari x dan y , maka turunan parsial f mengukur variasi di f dalam arah x dan y .
However, they do not directly measure the variation of f in any other direction, such as along the diagonal line ⁠ yx ⁠. These are measured using directional derivatives.
Tapi, turunan f tidak mengukur secara langsung variasi f pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal yx .
Given a vector ⁠ v( v 1 , … , v n )(v_{1},\ldots ,v_{n})} ⁠, then the directional derivative of f in the direction of v } at the point x } is: D v f ( x )
Misalkan vektor v( v 1 , … , v n ) ,(v_{1},\ldots ,v_{n}),} turunan berarah f dalam arah v } di titik x didefinisikan melalui limit D v f ( x )
If all the partial derivatives of f exist and are continuous at ⁠ x } ⁠, then they determine the directional derivative of f in the direction v } by the formula:
Jika semua turunan parsial f ada dan kontinu di x } , maka semua turunan parsial menentukan turunan berarah f pada arah v } melalui rumus berikut: D v f ( x )
}{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}
}{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}
When f is a function from an open subset of R n ^{n}} to ⁠ R m ^{m}} ⁠, then the directional derivative of f in a chosen direction is the best linear approximation to f at that point and in that direction.
Jika f merupakan sebuah fungsi dari himpunan terbuka dari R n ^{n}} ke R m ^{m}} , maka turunan berarah f dalam arah yang dipilih merupakan hampiran linear terbaik ke f di titik dan arah tersebut.
That is, for any vector v } starting at ⁠ a } ⁠, the linear approximation formula holds: f ( a + v ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) v .
Dalam artian, untuk suatu vektor v } yang dimulai dari a } , terdapat rumus hampiran linear yang berlaku sebagai: f ( a + v ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) v .
+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .} Similarly with the single-variable derivative, f ′ ( a ) )} is chosen so that the error in this approximation is as small as possible.
+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .} Sama seperti turunan satu variabel, f ′ ( a ) )} dipilih sehingga galat hampiran tersebut dapat dibuat sekecil mungkin.
)=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}
}{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )
Intuitively speaking such a manifold M is a space that can be approximated near each point x by a vector space called its tangent space: the prototypical example is a smooth surface in ⁠ R 3 ^{3}} ⁠.
Secara intuitif, manifold M dikatakan sebagai ruang yang dapat dihampiri mendekati setiap titik x melalui sebuah ruang vektor yang disebut sebagai ruang garis singgung: contoh prototipikalnya adalah permukaan mulus di R 3 ^{3}} .
The derivative (or differential) of a (differentiable) map f : M → N between manifolds, at a point x in ⁠ M ⁠, is then a linear map from the tangent space of M at x to the tangent space of N at ⁠ f ( x ) ⁠.
Turunan (atau diferensial) dari peta (terdiferensialkan) f : M → N di antara manifold, di sebuah titik x di M , merupakan peta linear dari ruang singgung M di x ke ruang singgung N di f ( x ) , sehingga turunan fungsi menjadi sebuah peta antara berkas garis singgung M dan N .
Differentiation can also be defined for maps between vector space, such as Banach space, in which those generalizations are the Gateaux derivative and the Fréchet derivative.
Diferensiasi juga dapat didefinisikan sebagai pemetaan antara ruang vektor dimensi takhingga, seperti ruang Banach dan ruang Fréchet.
The idea is to embed the continuous functions in a larger space called the space of distributions and only require that a function is differentiable "on average".
Tujuannya adalah agar memasukkan fungsi kontinu dalam sebuah ruang yang lebih besar yang disebut ruang distribusi, dan tujuan ini hanya mengharuskan bahwa fungsi "rata-rata" terdiferensialkan.
The study of differential calculus is unified with the calculus of finite differences in time scale calculus.
Dalam kalkulus skala waktu, studi mengenai kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.