For instance u ( x , y , z )1 x 2 − 2 x + y 2 + z 2 + 1 , {\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}},} u ( x , y , z )e 5 x sin ⁡ ( 3 y ) cos ⁡ ( 4 z ) \sin(3y)\cos(4z)} and u ( x , y , z )2 x 2 − y 2 − z 2 -y^{2}-z^{2}} are all harmonic, while u ( x , y , z )
uf ( x , y ) (x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)} dengan a i {\textstyle a_{i}} dan f {\textstyle f} adalah fungsi dengan variabel independen x {\textstyle x} dan y {\textstyle y} saja.
For example: u x∂ u ∂ x , u x x∂ 2 u ∂ x 2 , u x y∂ 2 u ∂ y ∂ x∂ ∂ y ( ∂ u ∂ x ) .
Misalnya: u x∂ u ∂ x , u x x∂ 2 u ∂ x 2 , u x y∂ 2 u ∂ y ∂ x∂ ∂ y ( ∂ u ∂ x ) .
The Greek letter Δ denotes the Laplace operator; if u is a function of n variables, then Δ uu 11 + u 22 + ⋯ + u n n .
Huruf yunani Δ {\textstyle \Delta } menunjukkan Operator Laplace; jika u {\textstyle u} adalah funsi dengan jumlah n {\textstyle n} variabel, maka Δ uu 11 + u 22 + ⋯ + u n n .
For example, for a function u of x and y, a second order linear PDE is of the form a 1 ( x , y ) u x x + a 2 ( x , y ) u x y + a 3 ( x , y ) u y x + a 4 ( x , y ) u y y + a 5 ( x , y ) u x + a 6 ( x , y ) u y + a 7 ( x , y )
Misalnya, untuk fungsi u {\textstyle u} dengan variabel x {\textstyle x} dan y {\textstyle y} , sebuah PDP linear orde kedua dengan bentuk a 1 ( x , y ) u x x + a 2 ( x , y ) u x y + a 3 ( x , y ) u y x + a 4 ( x , y ) u y y + a 5 ( x , y ) u x + a 6 ( x , y ) u y + a 7 ( x , y )
uf ( x , y ) (x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)} where ai and f are functions of the independent variables x and y only.
uf ( x , y ) (x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)} dengan a i {\textstyle a_{i}} dan f {\textstyle f} adalah fungsi dengan variabel independen x {\textstyle x} dan y {\textstyle y} saja.
If f is zero everywhere then the linear PDE is homogeneous, otherwise it is inhomogeneous.
Jika f {\textstyle f} bernilai 0 di mana pun, maka PDP linear disebut homogenous, jika tidak maka disebut inhomogenous.
For example, a general second order semi-linear PDE in two variables is a 1 ( x , y ) u x x + a 2 ( x , y ) u x y + a 3 ( x , y ) u y x + a 4 ( x , y ) u y y + f ( u x , u y , u , x , y )
Misalnya, sebuah persamaan PDP semi-linear orde kedua yang umum dengan dua variabel adalah a 1 ( x , y ) u x x + a 2 ( x , y ) u x y + a 3 ( x , y ) u y x + a 4 ( x , y ) u y y + f ( u x , u y , u , x , y )
0 (x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0} In a quasilinear PDE the highest order derivatives likewise appear only as linear terms, but with coefficients possibly functions of the unknown and lower-order derivatives: a 1 ( u x , u y , u , x , y ) u x x + a 2 ( u x , u y , u , x , y ) u x y + a 3 ( u x , u y , u , x , y )
0 (x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0} Pada PDP 'quasilinear, turunan tertinggi juga muncul seperti bagian linear, tapi dengan koefisien yang kemungkinan fungsi terhadap variabel yang tidak diketahui atau turunan dengan orde yang lebih rendah: a 1 ( u x , u y , u , x , y ) u x x + a 2 ( u x , u y , u , x , y ) u x y + a 3 ( u x , u y , u , x , y ) u y x + a 4 ( u x , u y , u , x , y ) u y y + f ( u x , u y , u , x , y )
0 (u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0} Many of the fundamental PDEs in physics are quasilinear, such as the Einstein equations of general relativity and the Navier–Stokes equations describing fluid motion.
0 (u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0} Banyak PDP fundamental pada fisika berjenis quasilinear, seperti persamaan relativitas umum dan Persamaan Navier-Stokes yang mendeskripsikan pergerakan fluida.
A PDE without any linearity properties is called fully nonlinear, and possesses nonlinearities on one or more of the highest-order derivatives.
Sebuah PDP tanpa properti linear apa pun dikenal sebagai nonlinear penuh, dan memiliki nonlinearitas pada satu atau lebih turunan dengan orde tertinggi.
An example is the Monge–Ampère equation, which arises in differential geometry.
Contohnya adalah Persamaan Monge–Ampère yang muncul dari geometri diferensial.
Separable PDEs correspond to diagonal matrices – thinking of "the value for fixed x" as a coordinate, each coordinate can be understood separately.
PDP yang dapat memisahkan sesuai dengan hasil matriks diagonal dengan memikirkan "menetapkan nilai x" sebagai koordinat, setiap koordinat dapat dipahami secara terpisah.
This generalizes to the method of characteristics, and is also used in integral transforms.
Pada saat menggeneralisasi metode karakteristik dan juga digunakan dalam transformasi integral.