In mathematics, the hypercomplex number is a traditional term for an element of a finite-dimensional unital algebra over the field of real numbers.
Dalam matematika, bilangan hiperkompleks adalah istilah tradisional untuk elemen dari satuan aljabar di atas bidang.
The study of hypercomplex numbers in the late 19th century forms the basis of modern group representation theory.
Studi tentang bilangan hiperkompleks pada akhir abad ke-19 membentuk dasar teori representasi grup modern.
In the nineteenth century, number systems called quaternions, tessarines, coquaternions, biquaternions, and octonions became established concepts in mathematical literature, extending the real and complex numbers.
Pada abad kesembilan belas sistem bilangan disebut kuaternion, tessarin, kokuaternion, bikuaternion, dan oktonion menjadi konsep dalam literatur matematika, ditambahkan ke riil dan bilangan kompleks.
The concept of a hypercomplex number covered them all, and called for a discipline to explain and classify them.
Konsep bilangan hiperkompleks mencakup semuanya, dan disiplin untuk menjelaskan dan mengklasifikasikannya.
The cataloguing project began in 1872 when Benjamin Peirce first published his Linear Associative Algebra, and was carried forward by his son Charles Sanders Peirce.
Proyek pembuatan katalog dimulai pada tahun 1872 ketika Benjamin Peirce pertama kali menerbitkan Aljabar asosiatif linear , dan dibawa oleh putranya Charles Sanders Peirce.
Most significantly, they identified the nilpotent and the idempotent elements as useful hypercomplex numbers for classifications.
Mengidentifikasi nilpoten dan elemen idempoten sebagai bilangan hiperkompleks yang berguna untuk klasifikasi.
It was matrix algebra that harnessed the hypercomplex systems.
Aljabar matriks yang memanfaatkan sistem hiperkompleks.
Soon the matrix paradigm began to explain several others as they were represented by matrices and their operations.
Segera paradigma matriks mulai menjelaskan yang lain ketika mereka diwakili oleh matriks dan operasi mereka.
In 1907 Joseph Wedderburn showed that associative hypercomplex systems could be represented by square matrices, or direct products of algebras of square matrices.
Pada tahun 1907 Joseph Wedderburn menunjukkan bahwa sistem hiperkompleks asosiatif dapat diwakili oleh matriks, atau jumlah langsung dari sistem matriks.
As Thomas Hawkins explains, the hypercomplex numbers are stepping stones to learning about Lie groups and group representation theory.
Sebagai Hawkins menjelaskan, bilangan hypercomplex adalah batu loncatan untuk mempelajari teori grup Lie dan representasi grup.
For instance, in 1929 Emmy Noether wrote on "hypercomplex quantities and representation theory".
Misalnya, pada tahun 1929 Emmy Noether menulis tentang "kuantitas hiperkompleks dan teori representasi".
In 1973 Kantor and Solodovnikov published a textbook on hypercomplex numbers which was translated in 1989.
Pada tahun 1973 Kantor dan Solodovnikov menerbitkan buku teks tentang bilangan hiperkompleks yang diterjemahkan pada tahun 1989.
Karen Parshall has written a detailed exposition of the heyday of hypercomplex numbers, including the role of mathematicians including Theodor Molien and Eduard Study.
Karen Parshall telah menulis penjelasan terperinci tentang masa kejayaan bilangan hiperkompleks, termasuk peran matematikawan termasuk Theodor Molien dan Eduard Study.
Since the algebra is closed under squaring, the non-real basis element u squares to a linear combination of 1 and u: u 2a 0 + a 1 ua_{0}+a_{1}u} for some real numbers a0 and a1.
Karena aljabar tertutup di bawah kuadrat, elemen basis non-riil u persegi menjadi kombinasi linear 1 dan u : u 2a 0 + a 1 ua_{0}+a_{1}u} untuk beberapa bilangan riil a0 dan a1.
Using the common method of completing the square by subtracting a1u and adding the quadratic complement a21 / 4 to both sides yields u 2 − a 1 u + 1 4 a 1 2a 0 + 1 4 a 1 2 .
Menggunakan metode umum kuadrat kompleks dengan mengurangi a1u dan menambahkan komplemen kuadrat a21 / 4 untuk kedua sisi hasil u 2 − a 1 u + a 1 2 4a 0 + a 1 2 4 .
-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}
-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}
}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.} The three cases depend on this real value: If 4a0−a12, the above formula yields ũ20.
}^{2}~=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.} Ketiga kasus tersebut bergantung pada nilai riil: Bila 4a0−a12, hasil rumus di atas ũ20.
Hence, ũ can directly be identified with the nilpotent element ε of the basis { 1 , ε } } of the dual numbers.
Oleh karena itu, ũ dapat langsung diidentifikasi dengan elemen nilpoten ϵ dari dasar { 1 , ϵ } } dari dua angka.
If 4a0 > −a12, the above formula yields ũ2 > 0.
Bila 4a0 > −a12, rumus di atas menghasilkan ũ2 > 0.
If 4a0 < −a12, the above formula yields ũ2 < 0.
Bila 4a0 < −a12, rumus di atas menghasilkan ũ2 < 0.
Split algebras such as the split-complex numbers that include non-real roots of 1 also contain idempotents 1 2 ( 1 ± j ) {\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)} and zero divisors ⁠ ( 1 + j ) ( 1 − j )
Aljabar seperti bilangan kompleks terbagi yang menyertakan akar non-nyata dari 1 juga mengandung idempoten 1 2 ( 1 ± j ) {2}}(1\pm j)} dan pembagi nol ( 1 + j ) ( 1 − j )