In physics, a partition function describes the statistical properties of a system in thermodynamic equilibrium.
Fungsi partisi merupakan suatu fungsi yang menjelaskan sifat-sifat statistika suatu sistem dalam kesetimbangan termodinamika.
Partition functions are functions of the thermodynamic state variables, such as the temperature and volume.
Fungsi partisi merupakan suatu fungsi yang menjelaskan sifat-sifat statistika suatu sistem dalam kesetimbangan termodinamika.
Most of the aggregate thermodynamic variables of the system, such as the total energy, free energy, entropy, and pressure, can be expressed in terms of the partition function or its derivatives.
Kebanyakan variabel-variabel termodinamika dari suatu sistem, seperti energi, energi bebas, entropi, dan tekanan dapat diekspresikan dalam bentuk fungsi partisi atau turunannya.
Other types of partition functions can be defined for different circumstances; see partition function (mathematics) for generalizations.
Jenis lain dari fungsi partisi dapat didefinisikan untuk masing-masing keadaan yang berbeda.
Initially, let us assume that a thermodynamically large system is in thermal contact with the environment, with a temperature T, and both the volume of the system and the number of constituent particles are fixed.
Sebagai asumsi awal, dibuat sebuah sistem yang besar secara termodinamika yang memiliki kontak yang konstan secara termal dengan lingkungan, dengan suhu T, serta dengan volum dan jumlah partikel tetap.
In this case we must describe the partition function using an integral rather than a sum.
Pada kasus ini kita harus menjelaskan fungsi partisi menggunakan suatu integral dibandingkan dengan cara penjumlahan.
The reason for the factorial factor N! is discussed below.
Alasan untuk faktor N! didiskusikan pada bagian di bawah ini.
As stated in the previous section, to make it into a dimensionless quantity, we must divide it by h3N (where h is usually taken to be the Planck constant).
Untuk membuatnya menjadi kuantitas tanpa dimensi, kita harus membaginya dengan h 3 N } di mana h adalah tetapan Planck.
In systems with multiple quantum states s sharing the same energy Es, it is said that the energy levels of the system are degenerate.
Pada sistem dengan berbagai keadaan kuantum s tetapi memiliki nilai Es yang sama, dapat dikatakan bahwa tingkat energi sistem terdegenerasi.
In the case of degenerate energy levels, we can write the partition function in terms of the contribution from energy levels (indexed by j) as follows: Z∑ j g j e − β E j , g_{j}\,e^{-\beta E_{j}},} where gj is the degeneracy factor, or number of quantum states s that have the same energy level defined by EjEs.
Pada kasus di mana tingkat-tingkat energi terdegenerasi, kita dapat menuliskan fungsi partisi dalam bentuk kontribusi dari tingkat-tingkat enrgi (ditandai dengan j) sebagai berikut: Z∑ j g j ⋅ e − β E j g_{j}\cdot e^{-\beta E_{j}}} , di mana gj merupakan faktor degenerasi, atau jumlah keadaan kuantum s yang memiliki tingkat energi sama, EjEs .
In order to demonstrate the usefulness of the partition function, let us calculate the thermodynamic value of the total energy.
Untuk menjelaskan lebih dalam mengenai fungsi partisi, mari kita hitung nilai termodinamika energi total.
This is simply the expected value, or ensemble average for the energy, which is the sum of the microstate energies weighted by their probabilities: ⟨ E ⟩∑ s E s P s1 Z ∑ s E s e − β E s− 1 Z ∂ ∂ β Z ( β , E 1 , E 2 , … )
Jumlah energi keadaan mikro ditentukan dengan nilai kebolehjadian masing-masing: ⟨ E ⟩∑ s E s P s1 Z ∑ s E s e − β E s− 1 Z ∂ ∂ β Z ( β , E 1 , E 2 , ⋯ )
− ∂ ln ⁡ Z ∂ β \langle E\rangle\sum _{s}E_{s}P_{s}&={\frac {1}{Z}}\sum _{s}E_{s}e^{-\beta E_{s}}\\[1ex]&=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \beta }}Z(\beta ,E_{1},E_{2},\dots )\\[1ex]&=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}\end{aligned}}} or, equivalently, ⟨ E ⟩k B T 2 ∂ ln ⁡ Z ∂ T .
− ∂ ln ⁡ Z ∂ β E_{s}P_{s}={\frac {1}{Z}}\sum _{s}E_{s}e^{-\beta E_{s}}=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \beta }}Z(\beta ,E_{1},E_{2},\cdots )=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}} atau, ekovalen dengan: ⟨ E ⟩k B T 2 ∂ ln ⁡ Z ∂ T .
If the microstate energies depend on a parameter λ in the manner E sE s ( 0 ) + λ A s for all sE_{s}^{(0)}+\lambda A_{s}\qquad {\text{for all}}\;s} then the expected value of A is ⟨ A ⟩∑ s A s P s− 1 β ∂ ∂ λ ln ⁡ Z ( β , λ ) .
T^{2}{\frac {\partial \ln Z}{\partial T}}.} Perlu dicatat bahwa energi keadaan mikro bergantung pada λ dengan cara E sE s ( 0 ) + λ A s for all sE_{s}^{(0)}+\lambda A_{s}\qquad {\mbox{for all}}\;s} kemudian nilai A yang diharapkan adalah ⟨ A ⟩
This is analogous to the source field method used in the path integral formulation of quantum field theory.
Hal ini merupakan analog terhadap metode medan sumber yang digunakan dalam formulasi integral jalur teori medan kuantum.
In this section, we will state the relationships between the partition function and the various thermodynamic parameters of the system.
Pada bagian ini, kita akan menyatakan hubungan antara fungsi partisi dengan berbagai parameter termodinamika suatu sistem.
These results can be derived using the method of the previous section and the various thermodynamic relations.
Hasil yang didapatkan bisa diturunkan dengan metode pada bagian sebelumnya serta dengan berbagai hubungan termodinamika.
As we have already seen, the thermodynamic energy is ⟨ E ⟩− ∂ ln ⁡ Z ∂ β .
Seperti yang sudah kita ketahui, energi termodinamika adalah: ⟨ E ⟩− ∂ ln ⁡ Z ∂ β .
\right\rangle \equiv \left\langle (E-\langle E\rangle )
\rangle \equiv \langle (E-\langle E\rangle )^{2}\rangle
\right\rangle \equiv \left\langle (X-\langle X\rangle )^{2}\right\rangle
\rangle \equiv \langle (E-\langle E\rangle )^{2}\rangle
={\frac {\partial \langle X\rangle }{\partial \beta Y}}={\frac {\partial ^{2}\ln Z}{\partial (\beta Y)^{2}}}.} In the special case of entropy, entropy is given by S ≡ − k B ∑ s P s ln ⁡ P sk B ( ln ⁡ Z + β ⟨ E ⟩ )
={\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}={\frac {1}{k_{B}T^{2}}}\langle (\Delta E)^{2}\rangle .} Entropi adalah S ≡ − k B ∑ s P s ln ⁡ P sk B ( ln ⁡ Z + β ⟨ E ⟩ )∂ ∂ T ( k B T ln ⁡ Z )− ∂ A ∂ T \sum _{s}P_{s}\ln P_{s}=k_{B}(\ln Z+\beta \langle E\rangle )
={\frac {\partial }{\partial T}}(k_{\text{B}}T\ln Z)=-{\frac {\partial A}{\partial T}}} where A is the Helmholtz free energy defined as AU − TS, where U⟨E⟩ is the total energy and S is the entropy, so that A⟨ E ⟩ − T S− k B T ln ⁡ Z .
={\frac {\partial }{\partial T}}(k_{B}T\ln Z)=-{\frac {\partial A}{\partial T}}} di mana A adalah energi bebas Helmholtz yang didefinisikan sebagai AU - TS, di mana U=<E> merupakan energi total dan S adalah entropi, jadi A⟨ E ⟩ − T S− k B T ln ⁡ Z .
If the partition functions of the sub-systems are ζ1, ζ2, ..., ζN, then the partition function of the entire system is the product of the individual partition functions: Z∏ j1 N ζ j .
Jika fungsi partisi masing-masing sub-sistem adalah ζ1, ζ2, ..., ζN, maka fungsi partisi untuk sistem secara keseluruhan adalah produk dari masing-masing fungsi partisi: Z∏ j1 N ζ j .
If the sub-systems have the same physical properties, then their partition functions are equal, ζ1ζ2...
Jika sub-sistem memiliki sifat fisis yang sama, maka fungsi partisi mereka setara, ζ1ζ2...
ζ, in which case Zζ N .
ζ, di mana Zζ N .
However, there is a well-known exception to this rule.
Bagaimanapun, terdapat suatu pengecualian terhadap aturan tersebut.
If the sub-systems are actually identical particles, in the quantum mechanical sense that they are impossible to distinguish even in principle, the total partition function must be divided by a N!
Jika sub-sistem merupakan partikel identik, dalam logika mekanika kuantum tidak mungkin dapat dibedakan bahkan dalam hal yang dasar, fungsi partisi total harus dibagi dengan N!
(N factorial): Zζ N N ! .
(N faktorial): Zζ N N ! .
This is to ensure that we do not "over-count" the number of microstates.
Hal tersebut dilakukan untuk memastikan bahwa kita tidak menghitung secara ganda jumlah keadaan mikro.
This is known as the Gibbs paradox.
Hal ini diketahui sebagai paradoks Gibbs.
The partition function is a function of the temperature T and the microstate energies E1, E2, E3, etc.
Fungsi partisi adalah sebuah fungsi dari suhu T dan energi keadaan mikro E1, E2, E3, dst.
The microstate energies are determined by other thermodynamic variables, such as the number of particles and the volume, as well as microscopic quantities like the mass of the constituent particles.
Energi keadaan mikro ditetapkan dengan variabel termodinamika lainnya, seperti jumlah partikel dan volum, serta kuantitas mikroskopik (seperti massa konstituen partikel).
This dependence on microscopic variables is the central point of statistical mechanics.
Kebergantungan terhadap variabel mikroskopik ini merupakan titik tengah dari mekanika statistik.
With a model of the microscopic constituents of a system, one can calculate the microstate energies, and thus the partition function, which will then allow us to calculate all the other thermodynamic properties of the system.
Dengan menggunakan model konstituen mikroskopik suatu sistem, seseorang dapat menghitung energi keadaan mikro, kemudian fungsi partisi, dan selanjutnya dan selanjutnya dapat menghitung semua sifat termodinamika pada suatu sistem.
The partition function can be related to thermodynamic properties because it has a very important statistical meaning.
Fungsi partisi dapat berhubungan dengan sifat-sifat termodinamika karena merupakan makna statistik yang sangat penting.
The probability Ps that the system occupies microstate s is P s1 Z e − β E s .
Probabilitas Ps suatu sistem untuk memenuhi keadaan mikro s adalah P s1 Z e − β E s .
Thus, as shown above, the partition function plays the role of a normalizing constant (note that it does not depend on s), ensuring that the probabilities sum up to one: ∑ s P s1 Z ∑ s e − β E s1 Z Z1. P_{s}={\frac {1}{Z}}\sum _{s}e^{-\beta E_{s}}={\frac {1}{Z}}Z=1.}
Fungsi partisi memegang peranan dalam tetapan normalisasi, untuk memastikan jumlah nilai kebolehjadian adalah satu: ∑ s P s1 Z ∑ s e − β E s1 Z Z1. P_{s}={\frac {1}{Z}}\sum _{s}e^{-\beta E_{s}}={\frac {1}{Z}}Z=1.}