In mathematics, the binary logarithm (log2 n) is the power to which the number 2 must be raised to obtain the value n. That is, for any real number x, xlog 2 ⁡ n ⟺ 2 xn .
Dalam matematika, logaritma biner suatu bilangan n ditulis sebagai log 2 ⁡ n n} atau 2 log ⁡ n \!\log n} .
For example, the binary logarithm of 1 is 0, the binary logarithm of 2 is 1, the binary logarithm of 4 is 2, and the binary logarithm of 32 is 5.
n\quad \Longleftrightarrow \quad 2^{x}=n.} Misalnya logaritma biner 1 adalah 0, logaritma biner 2 adalah 1, logaritma biner 4 adalah 2, logaritma biner 8 adalah 3, logaritma biner 16 adalah 4, logaritma biner 32 adalah 5 dan seterusnya.
The binary logarithm is the logarithm to the base 2 and is the inverse function of the power of two function.
Logaritma biner merupakan fungsi invers dari fungsi kuadrat atau fungsi pangkat dua.
Historically, the first application of binary logarithms was in music theory, by Leonhard Euler: the binary logarithm of a frequency ratio of two musical tones gives the number of octaves by which the tones differ.
Dalam sejarahnya, aplikasi pertama logaritma biner adalah dalam teori musik, oleh Leonhard Euler: logaritma biner dari perbandingan frekuensi antara dua nada menghasilkan perbedaan oktaf antara nada-nada tersebut.
Other areas in which the binary logarithm is frequently used include combinatorics, bioinformatics, the design of sports tournaments, and photography.
Bidang lain yang sering menggunakan logaritma biner di antaranya adalah teori informasi, kombinatorika, ilmu komputer, bioinformatika, desain turnamen olahraga, dan fotografi.
Euler established the application of binary logarithms to music theory, long before their applications in information theory and computer science became known.
Aplikasi logaritma biner pada teori musik dilakukan oleh Leonhard Euler pada tahun 1739, jauh sebelum teori informasi dan ilmu komputer menjadi bidang studi.
As part of his work in this area, Euler published a table of binary logarithms of the integers from 1 to 8, to seven decimal digits of accuracy.
Sebagai bagian karyanya dalam bidang ini, Euler menyertakan suatu tabel logaritma biner untuk bilangan bulat dari 1 sampai 8, sampai dengan tujuh desimal untuk keakuratannya.
In mathematics, the binary logarithm of a number n is often written as log2 n.
Dalam matematika, logaritma biner suatu bilangan n ditulis sebagai log 2 ⁡ n n} atau 2 log ⁡ n \!\log n} .
Donald Knuth credits this notation to a suggestion of Edward Reingold, but its use in both information theory and computer science dates to before Reingold was active.
Donald Knuth mengungkapkan bahwa notasi ini didapatnya dari usulan Edward Reingold, tetapi penggunaannya dalam teori informasi maupun ilmu komputer tampaknya sudah ada sebelum Reingold aktif.
The binary logarithm has also been written as log n with a prior statement that the default base for the logarithm is 2.
Logaritma biner juga pernah ditulis sebagai log ⁡ n , dengan catatan bahwa basis default logaritma adalah bilangan 2 (bukan 10 sebagaimana lazimnya).
The number of digits (bits) in the binary representation of a positive integer n is the integral part of 1 + log2 n, i.e. ⌊ log 2 ⁡ n ⌋ + 1. n\rfloor +1.}
Banyak digit (bit) dalam representasi biner sebuah bilangan bulat positif n adalah bagian bulat dari 1 + log 2 ⁡ n n} , yakni ⌊ log 2 ⁡ n ⌋ + 1.
In information theory, the definition of the amount of self-information and information entropy is often expressed with the binary logarithm, corresponding to making the bit the fundamental unit of information.
n\rfloor +1.\,} Dalam teori informasi, definisi dari banyak konten informasi dan entropi informasi sering diekspresikan dengan logaritma biner, menyebabkan bit menjadi satuan fundamental untuk informasi.
However, the natural logarithm and the nat are also used in alternative notations for these definitions.
Akan tetapi, logaritma alami dan nat juga digunakan dalam notasi alternatif untuk definisi tersebut.
Although the natural logarithm is more important than the binary logarithm in many areas of pure mathematics such as number theory and mathematical analysis, the binary logarithm has several applications in combinatorics: Every binary tree with n leaves has height at least log2 n, with equality when n is a power of two and the tree is a complete binary tree.
Meskipun logaritma alami lebih penting daripada logaritma biner dalam banyak bidang matematika murni seperti teori bilangan dan analisis matematis, logaritma biner memiliki beberapa penerapan dalam kombinatorik: Semua pohon biner dengan n daun memiliki tinggi paling tidak sebesar log 2 ⁡ n n} , dengan nilainya sama persisi apabila n merupakan perpangkatan dari dua dan pohonnya merupakan pohon biner lengkap.
Every family of sets with n different sets has at least log2 n elements in its union, with equality when the family is a power set.
Semua keluarga himpunan dengan n himpunan berbeda memiliki paling tidak log 2 ⁡ n n} anggota dalam gabungannya, dengan nilainya sama persis apabila keluarga tersebut merupakan sebuah himpunan kuasa.
The binary logarithm also frequently appears in the analysis of algorithms, not only because of the frequent use of binary number arithmetic in algorithms, but also because binary logarithms occur in the analysis of algorithms based on two-way branching.
Logaritma biner juga sering muncul dalam analisis algoritma, bukan hanya karena aritmetika bilangan biner kerap digunakan dalam algoritma, tetapi juga karena logaritma biner muncul dalam analisis algoritma yang menggunakan percabangan dua arah.
If a problem initially has n choices for its solution, and each iteration of the algorithm reduces the number of choices by a factor of two, then the number of iterations needed to select a single choice is again the integral part of log2 n.
Jika suatu masalah awalnya punya n pilihan untuk dipilih, dan setiap pengulangan algoritma membagi dua banyak pilihannya, maka banyak pengulangan yang diperlukan untuk mendapatkan satu pilihan adalah bagian bulat dari log 2 ⁡ n n} .
This idea is used in the analysis of several algorithms and data structures.
Ide ini digunakan dalam menganalisis beberapa algoritma dan struktur data.
For example, in binary search, the size of the problem to be solved is halved with each iteration, and therefore roughly log2 n iterations are needed to obtain a solution for a problem of size n. Similarly, a perfectly balanced binary search tree containing n elements has height log2(n + 1) − 1.
Contohnya, dalam pencarian biner, ukuran masalah dibagi dua pada setiap pengulangannya, sehingga perlu kira-kira log 2 ⁡ n n} pengulangan untuk mendapatkan masalah berukuran 1, yang bisa diselesaikan dalam waktu konstan.
The base of the logarithm in expressions such as O(log n) or O(n log n) is therefore not important and can be omitted.
Jadi basis logaritma dalam ekspresi-ekspresi seperti O ( log ⁡ n ) atau O ( n log ⁡ n ) tidaklah penting.
For example, O(2log2 n) is not the same as O(2ln n) because the former is equal to O(n) and the latter to O(n0.6931...).
Contohnya O ( 2 log 2 ⁡ n ) n})} tidak sama dengan O ( 2 ln ⁡ n ) )} karena yang pertama sama dengan O ( n ) sedangkan yang kedua sama dengan O ( n 0.6931 … ) )} .
Algorithms with running time O(n log n) are sometimes called linearithmic.
Algoritma dengan waktu jalan O ( n log ⁡ n ) terkadang disebut linearitmik.
Some examples of algorithms with running time O(log n) or O(n log n) are: Average time quicksort and other comparison sort algorithms Searching in balanced binary search trees Exponentiation by squaring Longest increasing subsequence Binary logarithms also occur in the exponents of the time bounds for some divide and conquer algorithms, such as the Karatsuba algorithm for multiplying n-bit numbers in time O(nlog2 3), and the Strassen algorithm for multiplying n × n matrices in time O(nlog2 7).
Waktu rata-rata dari quicksort dan beberapa algoritma pengurutan lainnya Pencarian dalam pohon pencarian biner yang seimbang Pemangkatan dengan menguadratkan Subbarisan naik terpanjang Logarimta biner juga muncul dalam bentuk eksponen batas waktu untuk beberapa algoritma divide and conquer, seperti algortima Karatsuba untuk perkalian bilangan n-bit dalam waktu O ( n log 2 ⁡ 3 ) 3})} .
In music theory, the interval or perceptual difference between two tones is determined by the ratio of their frequencies.
Dalam teori musik, interval atau perbedaan dalam persepsi antara dua nada ditentukan oleh rasio kedua frekuensinya.
The number of octaves by which two tones differ is the binary logarithm of their frequency ratio.
Bilangan oktaf dari perbedaan dua nada merupakan logaritma biner dari rasio frekuensi kedua nada itu.
To study tuning systems and other aspects of music theory that require finer distinctions between tones, it is helpful to have a measure of the size of an interval that is finer than an octave and is additive (as logarithms are) rather than multiplicative (as frequency ratios are).
Untuk mempelajari sistem penalaan dan aspek lain dari teori musik dibutuhkan pembedaan yang lebih peka antara nada-nada, sehingga diperlukan suatu pengukuran besarnya interval yang lebih halus dari suatu oktaf dan dapat ditambah (sebagaimana suatu logaritma) bukannya dikalikan (sebagaimana rasio frekuensi).
Such a measure is given by the cent, which divides the octave into 1200 equal intervals (12 semitones of 100 cents each).
Pengukuran semacam ini dilakukan dengan satuan sen, yang membagi suatu oktaf menjadi 1200 interval yang sama (12 semitone yang masing-masing terdiri dari 100 cent).
{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right|.} The millioctave is defined in the same way, but with a multiplier of 1000 instead of 1200.
{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right|.} Istilah milioktaf didefinisikan dengan cara yang sama, tetapi dengan pengali 1000 bukannya 1200.
In competitive games and sports involving two players or teams in each game or match, the binary logarithm indicates the number of rounds necessary in a single-elimination tournament required to determine a winner.
Dalam permainan dan olahraga dengan dua pemain atau tim dalam masing-masing permainan atau pertandingannya, logaritma biner menunjukkan banyak babak yang diperlukan untuk menentukan pemengang dalam suatu turnamen dengan sistem gugur.
For example, a tournament of 4 players requires log2 42 rounds to determine the winner, a tournament of 32 teams requires log2 325 rounds, etc.
Sebagai contoh, turnamen dengan 4 pemain perlu log2(4)2 babak untuk menentukan pemenangnya, turnamen dengan 32 tim memerlukan log2(32)
In this case, for n players/teams where n is not a power of 2, log2 n is rounded up since it is necessary to have at least one round in which not all remaining competitors play.
Dalam kasus di mana terdapat n pemain/tim dan n bukan perpangkatan dari 2, log2n dibulatkan ke atas karena akan diperlukan paling tidak satu babak di mana tidak semua pesertanya bertanding.
For example, log2 6 is approximately 2.585, which rounds up to 3, indicating that a tournament of 6 teams requires 3 rounds (either two teams sit out the first round, or one team sits out the second round).
Misalnya, log2(6) kira-kira sama dengan 2,585, dibulatkan ke atas, menunjukkan bahwa turnamen dengan 6 tim memerlukan 3 babak (bisa jadi 2 tim tidak bermain di babak pertama, atau satu tim tidak bermain di babak kedua).
The same number of rounds is also necessary to determine a clear winner in a Swiss-system tournament.
Banyak babak yang sama juga diperlukan untuk menentukan pemenang yang jelas dalam turnamen sistem Swiss.
In photography, exposure values are measured in terms of the binary logarithm of the amount of light reaching the film or sensor, in accordance with the Weber–Fechner law describing a logarithmic response of the human visual system to light.
Dalam fotografi, nilai eksposur diukur menggunakan logaritma biner jumlah cahaya yang mencapai film atau sensor, sejalan dengan hukum Weber–Fechner yang menyatakan respons logaritmik sistem penglihatan manusia terhadap cahaya.
A single stop of exposure is one unit on a base-2 logarithmic scale.
Satu stop exposur adalah satu unit dalam skala logaritma basis-2.
More precisely, the exposure value of a photograph is defined as log 2 ⁡ N 2 t {\frac {N^{2}}{t}}} where N is the f-number measuring the aperture of the lens during the exposure, and t is the number of seconds of exposure.
Lebih tepatnya, nilai exposure suatu foto didefinisikan sebagai: log 2 ⁡ N 2 t {\frac {N^{2}}{t}}} di mana N adalah bilangan-f yang mengukur bukaan lensa selama exposur, dan t adalah jumlah detik lamanya exposur.
Binary logarithms (expressed as stops) are also used in densitometry, to express the dynamic range of light-sensitive materials or digital sensors.
Logaritma biner (diekspresikan dalam satuan stop) juga digunakan dalam densitometri, untuk mengekspresikan rentang dinamis dari bahan atau sensor digital yang sensitif cahaya.
The log2 function is included in the standard C mathematical functions.
Fungsi log2 dimasukkan ke dalam fungsi matematika C standar.
The default version of this function takes double precision arguments but variants of it allow the argument to be single-precision or to be a long double.
Versi default fungsi ini mengambil argumen double precision tetapi varian-variannya mengizinkan argumen dalam bentuk single-precision atau sebagai long double.