In physics and mathematics, supermanifolds are generalizations of the manifold concept based on ideas coming from supersymmetry.
Dalam fisika dan matematika, supermanfiold adalah generalisasi dari konsep lipatan berdasarkan ide yang berasal dari supersimetri.
Several definitions are in use, some of which are described below.
Beberapa definisi sedang digunakan, beberapa di antaranya dinyatakan di bawah ini.
An informal definition is commonly used in physics textbooks and introductory lectures.
Sebuah definisi informal umumnya digunakan di catatan fisika dan pengenalan kuliah.
It defines a supermanifold as a manifold with both bosonic and fermionic coordinates.
Itu mendefinisikan supermanifold sebagai sebuah lipatan dengan koordinasi bosonik dan fermionik.
Locally, it is composed of coordinate charts that make it look like a "flat", "Euclidean" superspace.
Secara lokal, itu tersusun dari grafik koordinat yang membuatnya terlihat seperti "datar", superruang Euklidean.
These local coordinates are often denoted by ( x , θ , θ ¯ ) })} where x is the (real-number-valued) spacetime coordinate, and θ and θ ¯ }} are Grassmann-valued spatial "directions".
Koordinat-koordinat lokal ini sering kali dilambangkan dengan ( x , θ , θ ¯ ) })} Di mana x adalah (bernilai bilangan real) koordinat ruang waktu, θ dan θ ¯ }} adalah "arah" spasial nilai Grassmann.
The physical interpretation of the Grassmann-valued coordinates are the subject of debate; explicit experimental searches for supersymmetry have not yielded any positive results.
Interpretasi fisik dari koordinat nilai Grassmann merupakan subjek dari diskusi; eksperimen eksplisit mencari untuk supersimetri tidak memberikan hasil yang positif.
However, the use of Grassmann variables allow for the tremendous simplification of a number of important mathematical results.
Bagaimanapun, penggunaan variabel Grassmann memperkenankan untuk penyederhanaan yang besar dari sebuah bilangan dari hasil matematis yang penting.
The use of Grassmann-valued coordinates has spawned the field of supermathematics, wherein large portions of geometry can be generalized to super-equivalents, including much of Riemannian geometry and most of the theory of Lie groups and Lie algebras (such as Lie superalgebras, etc.)
Penggunaan dari koordinat nilai Grassmann telah muncul bidang dari supermatematika, di mana sebagian besar geometri bisa digeneralisasikan menjadi superekuivalen, termasuk geometri Riemann dan sebagian besar teori dari grup Lie dan aljabar Lie (seperti superaljabar Lie, dan sebagainya).
Three different definitions of supermanifolds are in use.
Tiga definisi yang berbeda dari supermanifold sedang digunakan.
This approach has a mathematical elegance, but can be problematic in various calculations and intuitive understanding.
Pendekatan ini memiliki keanggunan matematis, tetapi bisa belum tentu dalam berbagai perhitungan dan pemahaman berdasarkan intuisi.
A second approach can be called a "concrete approach", as it is capable of simply and naturally generalizing a broad class of concepts from ordinary mathematics.
Pendekatan yang kedua bisa disebut "pendekatan konkret"; karena mampu dengan sederhana dan tentu saja menggeneralisasikan sebuah kelas konsep yang luas dari matematika biasa.
It requires the use of an infinite number of supersymmetric generators in its definition; however, all but a finite number of these generators carry no content, as the concrete approach requires the use of a coarse topology that renders almost all of them equivalent.
Hal itu membutuhkan penggunaan dari sebuah bilangan tak terhingga dari generator supersimetris dalam definisi tersebut; bagaimanapun, semua kecuali bilangan terbatas dari generator tidak membawa konten, seperti pendekatan konkret membutuhkan penggunaan dari topologi kasar yang membuat hampir semua dari mereka ekuivalen.
Surprisingly, these two definitions, one with a finite number of supersymmetric generators, and one with an infinite number of generators, are equivalent.
Dengan heran, kedua definisi ini, salah satunya dengan bilangan terbatas dari generator supersimetris, dan salah satunya dengan bilangan tak terbatas dari generator ekuivalen.
A third approach describes a supermanifold as a base topos of a superpoint.
Pendekatan ketiga mendeskripsikan supermanifold sebagai topos dasar dari superpoin.
This approach remains the topic of active research.
Pendekatan ini masih menjadi topik penelitian aktif.
A supermanifold M of dimension (p,q) is a topological space M with a sheaf of superalgebras, usually denoted OM or C∞(M), that is locally isomorphic to C ∞ ( R p ) ⊗ Λ ∙ ( ξ 1 , … ξ q ) (\mathbb {R} ^{p})\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})} , where the latter is a Grassmann (Exterior) algebra on q generators.
Meskipun supermanifold merupakan kasus spesial dari manifold nonkomutatif, struktur lokalnya membuat mereka lebih cocok untuk mempelajari dengan alat dari standar geometri diferensial dan ruang bercincin lokal Sebuah supermanifold M } dari dimensi ( p , q ) adalah sebuah ruang topologi M dengan sebuah berkas dari superaljabar, biasanya dilambangkan O M }} atau C ∞ ( M ) (\mathbf {M} )} , yang secara lokal isomorfik C ∞ ( R p ) ⊗ Λ ∙ ( ξ 1 , … ξ q ) (\mathbb {R} ^{p})\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})} , di mana yang terakhir adalah aljabar Grassmann dari generator q .
A supermanifold M of dimension (1,1) is sometimes called a super-Riemann surface.
Sebuah supermanifold M } dari dimensi ( 1 , 1 ) terkadang disebut permukaan super-Riemann.
Historically, this approach is associated with Felix Berezin, Dimitry Leites, and Bertram Kostant.
Menurut sejarah, pendekatanini berhubungan dengan Felix Berezin, Dimitry Leites, dan Bertram Kostant.
A different definition describes a supermanifold in a fashion that is similar to that of a smooth manifold, except that the model space R p ^{p}} has been replaced by the model superspace R c p × R a q _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}} .
Sebuah definisi lainnya menggambarkan supermanifold dengan cara yang mirip dengan lipatan terdiferensial, kecuali bahwa ruang model R p ^{p}}
To correctly define this, it is necessary to explain what R c _{c}} and R a _{a}} are.
Untuk membenarkan definisi ini, sangat sulit untuk menjelaskan apa itu R c _{c}} dan R c _{c}} R c _{c}} .
These are given as the even and odd real subspaces of the one-dimensional space of Grassmann numbers, which, by convention, are generated by a countably infinite number of anti-commuting variables: i.e. the one-dimensional space is given by C ⊗ Λ ( V ) , \otimes \Lambda (V),} where V is infinite-dimensional.
Ini diberikan sebagai subruang real genap dan ganjil dari ruang satu dimensi dari bilangan Grassmann,, yang menurut konvensi, dihasilkan oleh bilangan terhitung tak terbatas dari variabel antikomutatif, yaitu ruang satu dimensi yang diberikan oleh C ⊗ Λ ( V ) \otimes \Lambda (V)} , di mana V adalah tak terbatas dimensi.
An element z is termed real if zz ∗ } ; real elements consisting of only an even number of Grassmann generators form the space R c _{c}} of c-numbers, while real elements consisting of only an odd number of Grassmann generators form the space R a _{a}} of a-numbers.
Sebuah anggota z diistilahkan real jika zz ∗ } ; anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan genap dari generator Grassmann membentuk ruang R c _{c}} dari bilangan-c, sementara anggota real terdiri dari hanya sebuah bilangan ganjil dari generator Grassmann membentuk ruang R c _{c}} dari bilangan-a. Catatan bahwa bilangan-c komutatif, sementara bilangan-a antikomutatif.
The spaces R c p _{c}^{p}} and R a q _{a}^{q}} are then defined as the p-fold and q-fold Cartesian products of R c _{c}} and R a _{a}} .
Ruang R c p _{c}^{p}} dan R a q _{a}^{q}} yang kemudian didefinisikan sebagai produk Kartesius lipatan- p dan lipatan- q dari R c _{c}} dan R a _{a}} .
Just as in the case of an ordinary manifold, the supermanifold is then defined as a collection of charts glued together with differentiable transition functions.
Sama seperti kasus dari manifold biasa, supermanifold kemudian didefinisikan sebagai kumpulan dari diagram yang direkatkan dengan fungsi transisi yang berbeda.
This can only be accomplished if the individual charts use a topology that is considerably coarser than the vector-space topology on the Grassmann algebra.
Ini bisa hanya diselesaikan jika diagram individual menggunakan topologi yang jauh lebih kasar daripada ruang vektor topologi di aljabar Grassmann.
This topology is obtained by projecting R c p _{c}^{p}} down to R p ^{p}} and then using the natural topology on that.
Topologi ini diperoleh R c p _{c}^{p}} ke R p ^{p}} dan kemudian menggunakan topologi biasa dengan itu.
The resulting topology is not Hausdorff, but may be termed "projectively Hausdorff".
Hasil topologi bukan ruang Hausdorff, tetapi bisa disebut "proyektif Hausdorff".
That this definition is equivalent to the first one is not at all obvious; however, it is the use of the coarse topology that makes it so, by rendering most of the "points" identical.
Definisi ini ekuivalen untuk yang pertama tidak semuanya jelas; bagaimanapun, ini adalah penggunaan dari topologi kasar yang membuatnya seperti itu, dengan menerjemahkan sebagian besar "poin" identik.
That is, R c p × R a q _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}} with the coarse topology is essentially isomorphic to R p ⊗ Λ ∙ ( ξ 1 , … ξ q ) ^{p}\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}
Yaitu, R c p × R a q _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}} dengan topologi kasar pada dasarnya isomorfik ke R p ⊗ Λ ∙ ( ξ 1 , … ξ q ) ^{p}\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})} .
Unlike a regular manifold, a supermanifold is not entirely composed of a set of points.
Tidak seperti manifold biasa, supermanifold tidak sepenuhnya tersusun dari satu titik.
If M is a supermanifold of dimension (p,q), then the underlying space M inherits the structure of a differentiable manifold whose sheaf of smooth functions is O M / I /I} , where I is the ideal generated by all odd functions.
Jika M } adalah sebuah supermanifold dari dimensi ( p , q ) , maka ruang yang mendasari M mewarisi struktur dari lipatan diferensial yang berkas dari fungsi mulus adalah O M / I }/I} , di mana
In fact, Π is a functor from the category of vector bundles to the category of supermanifolds.
Faktanya, Π adalah functor dari kategori dari bundel vektor ke kategori dari supermanifold.
Lie supergroups are examples of supermanifolds.
Supergrup Lie merupakan contoh dari supermanifold.
Batchelor's theorem states that every supermanifold is noncanonically isomorphic to a supermanifold of the form ΠE.
Teorema Batchelor menyatakan bahwa setiap supermanifold isomorfik nonkanonik ke supermanifold dari bentuk Π E .
The word "noncanonically" prevents one from concluding that supermanifolds are simply glorified vector bundles; although the functor Π maps surjectively onto the isomorphism classes of supermanifolds, it is not an equivalence of categories.
Kata "nonkanonis" mencegah salah satu dari kesimpulan bahwa supermanifold hanya dimuliakan bundel vektor; meskipun functor peta surjektif Π ke kelas isomorfis dari supermanifold, ini tidak bertentangan dari kategori.
It was published by Marjorie Batchelor in 1979.
Ini dipublikasikan oleh Marjorie Batchelor dalam 1979.
The proof of Batchelor's theorem relies in an essential way on the existence of a partition of unity, so it does not hold for complex or real-analytic supermanifolds.
Bukti dari teorema Batchelor mengandalkan cara penting pada keberadaan partisi dari persatuan, jadi ini tidak berlaku untuk supermanifold analisis real atau kompleks.
In many physical and geometric applications, a supermanifold comes equipped with an Grassmann-odd symplectic structure.
Dalam berbagai penerapan fisika dan geometri, supermanifold dilengkapi dengan struktur simplektis ganjil Grassmann.
An odd symplectic form ω on a supermanifold is a closed, odd form, inducing a non-degenerate pairing on TM.
Sebuah bentuk simplektis ganjil ω di supermanifold tertutup, bentuk ganjil, menginduksikan pasangan nondegenerasi pada T M .
There is a version of the Darboux theorem for P-manifolds, which allows one to equip a P-manifold locally with a set of coordinates where the odd symplectic form ω is written as ω∑ i d ξ i ∧ d x i , d\xi _{i}\wedge dx_{i},} where x i } are even coordinates, and ξ i } odd coordinates.
Ada versi dari teorema Darboux untuk manifold-P, yang memperkenankan salah satunya untuk melengkapi manifold-P secara lokal dengan sebuah kumpulan dari koordinat-koordinat di mana bentuk simplektis ganjil ω ditulis sebagai ω∑ i d ξ i ∧ d x i , d\xi _{i}\wedge dx_{i},} di mana
In contrast, the Darboux version of an even symplectic form is ∑ i d p i ∧ d q i + ∑ j ε j 2 ( d ξ j ) 2 , dp_{i}\wedge dq_{i}+\sum _{j}{\frac {\varepsilon _{j}}{2}}(d\xi _{j})^{2},} where p i , q i ,q_{i}} are even coordinates, ξ i } odd coordinates and ε j } are either +1 or −1.)
Sebaliknya, versi Darboux dari sebuah bentuk simplektis genap adalah ∑ i d p i ∧ d q i + ∑ j ε j 2 ( d ξ j ) 2 , dp_{i}\wedge dq_{i}+\sum _{j}{\frac {\varepsilon _{j}}{2}}(d\xi _{j})^{2},} di mana p i , q i ,q_{i}} adalah koordinat-koordinat genap, ξ i } adalah koordinat-koordinat ganjil dan ε j } adalah + 1 atau − 1 .)
A coordinate transformation that preserves the antibracket is called a P-transformation.
Sebuah transformasi koordinat bahwa mempertahankan antikurung disebut transformasi-P. Jika Berezinian dari transformasi-P.sama dengan satu maka itu disebut transformasi-SP.
If the Berezinian of a P-transformation is equal to one then it is called an SP-transformation.
Sebuah transformasi koordinat bahwa mempertahankan antikurung disebut transformasi-P. Jika Berezinian dari transformasi-P.sama dengan satu maka itu disebut transformasi-SP.
One may define a Laplacian operator Δ on an SP-manifold as the operator which takes a function H to one half of the divergence of the corresponding Hamiltonian vector field.
Salah satunya mungkin mendefinisikan operator Laplacian dari manifold-SP sebagai operator yang mengambil fungsi H ke satu setengah divergensi dari lapangan vektor Hamiltonian yang sesuai.
In Darboux coordinates this definition reduces to Δ∂ r ∂ x a ∂ l ∂ θ a }{\partial x^{a}}}{\frac {\partial _{l}}{\partial \theta _{a}}}} where xa and θa are even and odd coordinates such that ωd x a ∧ d θ a .
Dalam koordinat Darboux definisi ini diturunkan menjadi Δ∂ r ∂ x a ∂ l ∂ θ a }{\partial x^{a}}}{\frac {\partial _{l}}{\partial \theta _{a}}}} di mana x a } dan θ a } adalah koordinat genap dan ganjil yang di mana ωd x a ∧ d θ a \wedge d\theta _{a}} .
One may define the cohomology of functions H with respect to the Laplacian.
Salah satunya mendefinisikan kohomologi dari fungsi H terhadap Laplacian.
In Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, Albert Schwarz has proven that the integral of a function H over a Lagrangian submanifold L depends only on the cohomology class of H and on the homology class of the body of L in the body of the ambient supermanifold.
Dalam Geometry dari kuantisasi Batalin-Vikovisky, Albert Schwarz telah membuktikan bahwa integral dari sebuah fungsi H melalui submanifold Lagrangian L yang bergantung hanya pada kelas kohomologi dari H dan pada kelas homologi dari bagian dari L dalam bagian dari supermanifold sekelilingnya.
A pre-SUSY-structure on a supermanifold of dimension (n,m) is an odd m-dimensional distribution P ⊂ T M .
Struktur sebelum SUSI pada sebuah supermanifold dari dimensi ( n , m ) adalah distribusi dimensi- m ganjil P ⊂ T M .
With such a distribution one associates its Frobenius tensor S 2 P ↦ T M / P P\mapsto TM/P} (since P is odd, the skew-symmetric Frobenius tensor is a symmetric operation).
Dengan seperti distribusi salah satu mengaitkan tensor Frobenius S 2 P ↦ T M / P P\mapsto TM/P} (ketika P ganjil, simetris miring tensor Frobenius adalah sebuah operator simetris).
If this tensor is non-degenerate, e.g. lies in an open orbit of G L ( P )
Jika tensor ini nondegenerasi, misalnya terletak di lintasan terbuka dari G L ( P )
× G L ( T M / P ) , M is called a SUSY-manifold.
× G L ( T M P ) {P}}\right)} , M disebut manfiold-SUSI.
Superspace Supersymmetry Supergeometry Graded manifold Batalin–Vilkovisky formalism Joseph Bernstein, "Lectures on Supersymmetry (notes by Dennis Gaitsgory)", Quantum Field Theory program at IAS:
Superruang Supersimetri Supergeometri Manifold bertingkat Formalisme Batalin-Vilkovisky Joseph Bernstein, "Lectures on Supersymmetry (notes by Dennis Gaitsgory)", Quantum Field Theory program at IAS: Fall Term A. Schwarz, "Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization", ArXiv hep-th/9205088 C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991)