For example, { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } } is a finite set with five elements.
Sebagai contoh, { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } } merupakan sebuah himpunan hingga dengan lima elemen.
The number n is the set's cardinality, denoted as | S | .
Bilangan n merupakan kekardinalan himpunan (yang dinyatakan sebagai | S | ).
A finite set with n elements has 2 n } distinct subsets.
Himpunan hingga dengan elemen n mempunyai 2 n } himpunan bagian yang berbeda.
In Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (ZF), the following conditions are all equivalent: S is a finite set.
Dalam teori himpunan Zermelo–Fraenkel tanpa aksioma pemilihan (ZF), syarat-syarat berikut merupakan ekuivalen semua: S merupakan himpunan hingga.
(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time.
(Kazimierz Kuratowski) S memiliki semua sifat-sifat yang dapat dibuktikan oleh induksi matematika dimulia dengan himpunan kosong dan menambahkan satu elemen baru sekaligus.
(Paul Stäckel) S can be given a total ordering which is well-ordered both forwards and backwards.
(Paul Stackel) S dapat diberikan sebuah urutan total yang terurut rapi di depan dan di belakang.
Every non-empty family of subsets of S has a minimal element with respect to inclusion.
Setiap keluarga himpunan takkosong S memiliki sebuah elemen minimal yang berkenaan dengan inklusi.
(Equivalently, every non-empty family of subsets of S has a maximal element with respect to inclusion.)
(Sebenarnya, setiap keluarga himpunan takkosong S memiliki sebuah elemen maksimal yang berkenaan dengan inklusi.)
S can be well-ordered and any two well-orderings on it are order isomorphic.
S dapat terurut rapi dan dua urutan rapi apapun padanya merupakan isomorfik urutan.
In other words, the well-orderings on S have exactly one order type.
Dengan kata lain, urutan-rapi pada S memiliki tepatnya satu tipe urutan.
Every one-to-one function from S into itself is onto.
Setiap fungsi satu-ke-satu dari S ke sendirinya merupakan pada.
Every surjective function from S onto itself is one-to-one.
Setiap fungsi surjektif dari S pada sendirinya merupakan satu-ke-satu.
S is empty or every partial ordering of S contains a maximal element.
S adalah kosong setiap urutan parsial S berisi sebuah elemen maksimal.
(Note that none of these definitions need the set of finite ordinal numbers to be defined first; they are all pure "set-theoretic" definitions in terms of the equality and membership relations, not involving ω.)
(Catatan bahwa tidak ada dari definisi-definisi ini membutuhkan himpunan terhingga bilangan ordinal yang didefinisikan pertama; mereka semua definisi "himpunan teoretis" murni dalam istilah dari persamaan dan hubungan keanggotaan, tidak melibatkan ω .)
Every non-empty set of subsets of S has a ⊆ -maximal element.
S adalah kosong setiap urutan parsial S berisi sebuah elemen maksimal.
0 or 2 ⋅ | S | > | S | . VI-finite.
0 atau | S |1 atau | S | 2 > | S | >\left|S\right|} .
0 or | S |1 or | S | 2 > | S | >|S|} .
0 atau | S |1 atau | S | 2 > | S | >\left|S\right|} .
S is I-finite or not well-orderable.
S merupakan terhingga-I atau takterurutan baik.
Most of these finiteness definitions and their names are attributed to Tarski 1954 by Howard & Rubin 1998, p. 278.
Hampir definisi-definisi keterhinggaan ini dan nama-namanya dianggap sebagai Tarski 1954 oleh Howard & Rubin 1998, hlm.
At that time, model theory was not sufficiently advanced to find the counter-examples.
Pada saat itu, teori model tidak cukup maju untuk mencari contoh berlawanan.