In number theory, Fermat's Last Theorem (sometimes called Fermat's conjecture, especially in older texts) states that no three positive integers a, b, and c satisfy the equation an + bncn for any integer value of n greater than 2.
Dalam teori bilangan, Teorema Terakhir Fermat (kadang disebut juga konjektur Fermat, terutama dalam teks-teks lama) menyatakan bahwa tidak ada tiga bilangan positif bulat a, b, dan c yang dapat memenuhi persamaan an + bncn untuk setiap bilangan bulat n yang lebih besar daripada 2.
The cases n1 and n2 have been known since antiquity to have infinitely many solutions.
Kasus n1 dan n2 telah lama diketahui sejak zaman kuno memiliki tak terhingga banyaknya solusi.
The proposition was first stated as a theorem by Pierre de Fermat around 1637 in the margin of a copy of Arithmetica.
Pernyataan ini pertama kali dikemukakan sebagai sebuah teorema oleh Pierre de Fermat sekitar tahun 1637 pada catatan pinggir sebuah salinan Arithmetica.
Although other statements claimed by Fermat without proof were subsequently proven by others and credited as theorems of Fermat (for example, Fermat's theorem on sums of two squares), Fermat's Last Theorem resisted proof, leading to doubt that Fermat ever had a correct proof.
Walaupun sejumlah klaim Fermat lain yang ia tuliskan tanpa bukti kemudian berhasil dibuktikan oleh matematikawan setelahnya dan kini dikenal sebagai teorema-teorema Fermat (misalnya Teorema Fermat tentang jumlah dua kuadrat), Teorema Terakhir Fermat tetap bertahan tanpa pembuktian.
After 358 years of effort by mathematicians, the first successful proof was released in 1994 by Andrew Wiles and formally published in 1995.
Setelah 358 tahun upaya tak henti dari para matematikawan, pembuktian yang berhasil pertama kali diumumkan pada tahun 1994 oleh Andrew Wiles dan diterbitkan secara resmi pada 1995.
It also proved much of the Taniyama–Shimura conjecture, subsequently known as the modularity theorem, and opened up entire new approaches to numerous other problems and mathematically powerful modularity lifting techniques.
Pembuktian tersebut juga mengonfirmasi sebagian besar dari konjektur Taniyama–Shimura, yang kemudian dikenal sebagai teorema modularitas, sekaligus membuka jalan baru bagi pendekatan terhadap banyak persoalan lain serta melahirkan teknik pengangkatan modularitas yang sangat kuat.
For its influence within mathematics and in culture more broadly, it is among the most notable theorems in the history of mathematics.
Karena pengaruhnya yang begitu luas, baik di ranah matematika maupun budaya secara umum, teorema ini termasuk salah satu yang paling menonjol dalam sejarah matematika.
This claim, which came to be known as Fermat's Last Theorem, stood unsolved for the next three and a half centuries and was solved with mathematics Fermat would not have known.
Walaupun sejumlah klaim Fermat lain yang ia tuliskan tanpa bukti kemudian berhasil dibuktikan oleh matematikawan setelahnya dan kini dikenal sebagai teorema-teorema Fermat (misalnya Teorema Fermat tentang jumlah dua kuadrat), Teorema Terakhir Fermat tetap bertahan tanpa pembuktian.
Around 1955, Japanese mathematicians Goro Shimura and Yutaka Taniyama suspected a link might exist between elliptic curves and modular forms, two completely different areas of mathematics.
Sekitar 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengamati kemungkinan hubungan antara dua bidang berbeda dalam matematika, yaitu kurva eliptik dan bentuk modular.
In 1993, after six years of working secretly on the problem, Wiles succeeded in proving enough of the conjecture to prove Fermat's Last Theorem.
Dengan menemukan bukti sebagian dari konjektur tersebut pada 1994, Andrew Wiles akhirnya berhasil membuktikan Teorema Terakhir Fermat.
So if the modularity theorem were found to be true, then it would follow that no contradiction to Fermat's Last Theorem could exist either.
Oleh karena itu, jika teorema modularitas berhasil dibuktikan, maka Teorema Terakhir Fermat mungkin juga terbukti.
Although not actually a theorem at the time (meaning a mathematical statement for which proof exists), the marginal note became known over time as Fermat's Last Theorem, as it was the last of Fermat's asserted theorems to remain unproved.
Walaupun sejumlah klaim Fermat lain yang ia tuliskan tanpa bukti kemudian berhasil dibuktikan oleh matematikawan setelahnya dan kini dikenal sebagai teorema-teorema Fermat (misalnya Teorema Fermat tentang jumlah dua kuadrat), Teorema Terakhir Fermat tetap bertahan tanpa pembuktian.
It is not known whether Fermat had actually found a valid proof for all exponents n, but it appears unlikely.
Namun, tidak diketahui apakah Fermat benar-benar menemukan bukti untuk semua pangkat n .
His proof is equivalent to demonstrating that the equation x 4 − y 4z 2 -y^{4}=z^{2}} has no primitive solutions in integers (no pairwise coprime solutions).
Ia menggunakan teknik infinite descent untuk membuktikan bahwa persamaan x 4 − y 4z 2 -y^{4}=z^{2}} tidak memiliki solusi primitif (solusi dengan x , y , z tiap pasangnya relatif prima).
In turn, this proves Fermat's Last Theorem for the case n4, since the equation a4 + b4c4 can be written as c4 − b4(a2)2.
Hal tersebut mengakibatkan Teorema Fermat Terakhir berlaku untuk n4 , karena persamaan a 4 + b 4c 4 +b^{4}=c^{4}} bisa ditulis c 4 − b 4( a 2 ) 2 -b^{4}=(a^{2})^{2}} .
Thus, to prove that Fermat's equation has no solutions for n > 2, it would suffice to prove that it has no solutions for at least one prime factor of every n. Each integer n > 2 is divisible by 4 or by an odd prime number (or both).
Jadi, untuk membuktikan bahwa persamaan Fermat tidak memiliki solusi untuk n > 2 , cukup untuk membuktikan bahwa tidak ada solusi untuk faktor prima manapun dari setiap n .
Therefore, Fermat's Last Theorem could be proved for all n if it could be proved for n4 and for all odd primes p.
Jadi, Teorema Terakhir Fermat bisa dibuktikan untuk semua n jika bisa dibuktikan untuk n4 dan semua np dengan p prima ganjil.
By accomplishing a partial proof of this conjecture in 1994, Andrew Wiles ultimately succeeded in proving Fermat's Last Theorem, as well as leading the way to a full proof by others of what is now known as the modularity theorem.
Dengan menemukan bukti sebagian dari konjektur tersebut pada 1994, Andrew Wiles akhirnya berhasil membuktikan Teorema Terakhir Fermat.
Around 1955, Japanese mathematicians Goro Shimura and Yutaka Taniyama observed a possible link between two apparently completely distinct branches of mathematics, elliptic curves and modular forms.
Sekitar 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengamati kemungkinan hubungan antara dua bidang berbeda dalam matematika, yaitu kurva eliptik dan bentuk modular.
The resulting modularity theorem (at the time known as the Taniyama–Shimura conjecture) states that every elliptic curve is modular, meaning that it can be associated with a unique modular form.
Mereka mencetuskan suatu konjektur yang disebut Konjektur Taniyama-Shimura-Weil, yang menyatakan bahwa setiap kurva eliptik bersifat modular, yang berarti ia bisa dihubungkan dengan tepat satu bentuk modular.
If Fermat's equation had any solution (a, b, c) for exponent p > 2, then it could be shown that the semi-stable elliptic curve (now known as a Frey-Hellegouarch) y2x(x − ap)(x + bp) would have such unusual properties that it was unlikely to be modular.
Jika persamaan Fermat memiliki solusi ( a , b , c ) untuk pangkat p > 2 , maka dapat ditunjukkan bahwa kurva eliptik semistabil y 2x ( x − a p ) ( x + b p )x(x-a^{p})(x+b^{p})} (yang sekarang disebut kurva Frey) memiliki sifat-sifat yang tidak biasa, sehingga Frey menduga bahwa kurva eliptik tersebut tidak modular.
This would conflict with the modularity theorem, which asserted that all elliptic curves are modular.
Hal ini berlawanan dengan teorema modularitas yang menyatakan bahwa semua kurva eliptik bersifat modular.
Following this strategy, a proof of Fermat's Last Theorem required two steps.
Mengikuti strategi ini, sebuah bukti Teorema Terakhir Fermat membutuhkan dua langkah.
Second, it was necessary to show that Frey's intuition was correct: that if an elliptic curve were constructed in this way, using a set of numbers that were a solution of Fermat's equation, the resulting elliptic curve could not be modular.
Kedua, menunjukkan bahwa dugaan Frey benar: jika suatu kurva eliptik dibuat dengan cara ini, dengan bilangan-bilangan yang merupakan solusi persamaan Fermat, maka kurva eliptik yang dihasilkan tidak modular.
The modularity theorem—if proved for semi-stable elliptic curves—would mean that all semistable elliptic curves must be modular.
Hal ini berlawanan dengan teorema modularitas yang menyatakan bahwa semua kurva eliptik bersifat modular.
As Ribet's Theorem was already proved, this meant that a proof of the modularity theorem would automatically prove Fermat's Last theorem was true as well.
Oleh karena itu, jika teorema modularitas berhasil dibuktikan, maka Teorema Terakhir Fermat mungkin juga terbukti.
Fermat's Last Theorem considers solutions to the Fermat equation: an + bncn with positive integers a, b, and c and an integer n greater than 2.
Teorema Terakhir Fermat mempertimbangkan solusi untuk persamaan Fermat: an + bncn with bilangan bulat positif a, b, dan c dan bilangan bulat n lebih besar dari 2.
There are several generalizations of the Fermat equation to more general equations that allow the exponent n to be a negative integer or rational, or to consider three different exponents.
Ada beberapa generalisasi dari persamaan Fermat ke persamaan yang lebih umum yang memungkinkan adanya eksponen n menjadi bilangan bulat negatif atau rasional, atau untuk mempertimbangkan tiga eksponen berbeda.
The generalized Fermat equation generalizes the statement of Fermat's last theorem by considering positive integer solutions a, b, c, m, n, k satisfying In particular, the exponents m, n, k need not be equal, whereas Fermat's last theorem considers the case mnk. The Beal conjecture, also known as the Mauldin conjecture and the Tijdeman-Zagier conjecture, states that there are no solutions to the generalized Fermat equation in positive integers a, b, c, m, n, k with a, b, and c being pairwise coprime and all of m, n, k being greater than 2.
Persamaan Fermat menggeneralisasi pernyataan teorema terakhir Fermat dengan mempertimbangkan solusi bilangan bulat positif a, b, c, m, n, k sebagai bilangan yang memuaskan Secara khusus, bilangan beksponen m, n, k tidak seharusnya sama, sedangkan teorema terakhir Fermat mempertimbangkan kasus bilangan bulat tersebut mnk. Dugaan Beal, atau dikenal juga sebagai dugaan Mauldin dan dugaan Tijdeman-Zagier, menyatakan bahwa tidak ada solusi untuk persamaan Fermat umum dalam bilangan bulat positif a, b, c, m, n, k karena a, b, dan c menjadi koprima berpasangan dan semua m, n, k lebih besar dari 2. Konjektur Fermat–Catalan menggeneralisasi teorema terakhir Fermat dengan ide-ide dari konjektur Catalan.
The conjecture states that the generalized Fermat equation has only finitely many solutions (a, b, c, m, n, k) with distinct triplets of values (am, bn, ck), where a, b, c are positive coprime integers and m, n, k are positive integers satisfying The statement is about the finiteness of the set of solutions because there are 10 known solutions.
Dugaan tersebut menyatakan bahwa persamaan Fermat yang digeneralisasi hanya memiliki solusi ``hasil tak hingga (a, b, c, m, n, k) dengan triplet nilai yang berbeda (am, bn, ck), di mana a, b, c adalah bilangan bulat koprima positif dan m , n , k adalah bilangan bulat positif yang memuaskan Pernyataan tersebut tentang keterbatasan himpunan solusi karena ada 10 solusi yang diketahui.
In the case in which the mth roots are required to be real and positive, all solutions are given by ar s m } br t m } cr ( s + t ) m } for positive integers r, s, t with s and t coprime.
Dalam kasus di mana akar m th harus nyata dan positif, semua solusi diberikan oleh ar s m } br t m } cr ( s + t )
For the Diophantine equation an/m + bn/mcn/m with n not equal to 1, Bennett, Glass, and Székely proved in 2004 for n > 2, that if n and m are coprime, then there are integer solutions if and only if 6 divides m, and a1/m, b1/m, and c1/
Untuk persamaan Diophantine a n / m + b n / mc n / m +b^{n/m}=c^{n/m}} dengan n tidak sama dengan 1, Bennett, Glass, dan Székely membuktikan pada tahun 2004 untuk n > 2, bahwa jika n dan m koprima, maka ada solusi bilangan bulat jika dan hanya jika 6 membagi m , dan a 1 / m } , b 1 / m , ,} dan c 1 / m } adalah akar kompleks keenam yang berbeda dari bilangan riil yang sama.
All primitive integer solutions (that is, those with no prime factor common to all of a, b, and c) to the optic equation a−1 + b−1c−1 can be written as am k + m 2 , ,} bm k + k 2 , ,} cm k for positive, coprime integers m, k. n−2
Semua solusi bilangan bulat primitif (yaitu, solusi tanpa faktor prima yang sama untuk semua a, b, dan c) ke persamaan optik a − 1 + b − 1c − 1 +b^{-1}=c^{-1}} dapat ditulis sebagai am k + m 2 , ,} bm k + k 2 , ,}
The case n−2 also has an infinitude of solutions, and these have a geometric interpretation in terms of right triangles with integer sides and an integer altitude to the hypotenuse.
Kasus selanjutnya n−2 juga memiliki solusi tak terhingga, dan ini memiliki interpretasi geometris dalam istilah segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat dan ketinggian bilangan bulat ke sisi miring.
All primitive solutions to a−2 + b−2d−2 are given by a( v 2 − u 2 ) ( v 2 + u 2 ) , -u^{2})(v^{2}+u^{2}),} b2 u v ( v 2 + u 2 ) , +u^{2}),}
All primitive solutions to a − 2 + b − 2d − 2 +b^{-2}=d^{-2}} maka rumus nya ialah a( v 2 − u 2 ) ( v 2 + u 2 ) , -u^{2})(v^{2}+u^{2}),} b2 u v ( v 2 + u 2 ) , +u^{2}),}
Then the hypotenuse itself is the integer c( v 2 + u 2 ) 2 , +u^{2})^{2},} so (a, b, c) is a Pythagorean triple.
Kemudian sisi miring itu sendiri adalah bilangan bulat c( v 2 + u 2 ) 2 , +u^{2})^{2},} demikian (a, b, c) adalah Triple Pythagoras.
The abc conjecture roughly states that if three positive integers a, b and c (hence the name) are coprime and satisfy a + bc, then the radical d of abc is usually not much smaller than c.
Dugaan abc secara kasar menyatakan bahwa jika tiga bilangan bulat positif a, b dan c (karena itu namanya) adalah koprime dan memuaskan a + bc, maka radikal d dari abc
In particular, the abc conjecture in its most standard formulation implies Fermat's last theorem for n that are sufficiently large.
biasanya tidak lebih kecil dari c. Secara khusus, konjektur abc dalam formulasi paling standarnya menyiratkan teorema terakhir Fermat untuk n yang cukup besar.
An effective version of the abc conjecture, or an effective version of the modified Szpiro conjecture, implies Fermat's Last Theorem outright.
Versi efektif dari dugaan abc, atau versi efektif dari dugaan Szpiro yang dimodifikasi, menyiratkan Teorema Terakhir Fermat secara langsung..
In 1816, and again in 1850, the French Academy of Sciences offered a prize for a general proof of Fermat's Last Theorem.
Pada tahun 1816, dan lagi pada tahun 1850, Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis menawarkan hadiah untuk bukti umum Teorema Terakhir Fermat.
In 1857, the academy awarded 3,000 francs and a gold medal to Kummer for his research on ideal numbers, although he had not submitted an entry for the prize.
Pada tahun 1857, Akademi memberikan 3.000 franc dan medali emas kepada Kummer untuk penelitiannya tentang angka-angka ideal, meskipun dia belum mengirimkan entri untuk hadiah tersebut.
Another prize was offered in 1883 by the Academy of Brussels.
Hadiah lain ditawarkan pada tahun 1883 oleh Akademi Brussel.
In 1908, the German industrialist and amateur mathematician Paul Wolfskehl bequeathed 100,000 gold marks—a large sum at the time—to the Göttingen Academy of Sciences to offer as a prize for a complete proof of Fermat's Last Theorem.
Pada tahun 1908, industrialis dan matematikawan amatir Jerman Paul Wolfskehl mewariskan 100.000 mark emas—jumlah uang yang besar pada saat itu—dan diberikan kepada Göttingen Academy of Sciences untuk menawarkan sebagai hadiah atas bukti lengkap Teorema Terakhir Fermat.
On 27 June 1908, the academy published nine rules for awarding the prize.
Pada 27 Juni 1908, Akademi menerbitkan sembilan aturan pemberian hadiah.
Among other things, these rules required that the proof be published in a peer-reviewed journal; the prize would not be awarded until two years after the publication; and that no prize would be given after 13 September 2007, roughly a century after the competition was begun.
Antara lain, aturan ini mengharuskan bukti dipublikasikan dalam jurnal peer-review; hadiah tidak akan diberikan sampai dua tahun setelah publikasi; dan bahwa tidak ada hadiah yang akan diberikan setelah 13 September 2007, kira-kira satu abad setelah kompetisi dimulai.
Wiles collected the Wolfskehl prize money, then worth $50,000, on 27 June 1997.
Wiles menerima hadiah uang Wolfskehl, saat itu senilai $50.000, pada 27 Juni 1997.
In March 2016, Wiles was awarded the Norwegian government's Abel Prize worth €600,000 for "his stunning proof of Fermat's Last Theorem by way of the modularity conjecture for semistable elliptic curves, opening a new era in number theory".
Pada bulan Maret 2016, Wiles dianugerahi Hadiah Abel dari pemerintah Norwegia senilai €600.000 untuk "bukti menakjubkan dari Teorema Terakhir Fermat melalui dugaan modularitas untuk eliptik semistabel.
Prior to Wiles's proof, thousands of incorrect proofs were submitted to the Wolfskehl committee, amounting to roughly 10 feet (3.0 meters) of correspondence.
" Sebelum pembuktian oleh Wiles, ada ribuan pembuktian yang tidak benar telah diserahkan kepada komite Wolfskehl, yang berjumlah kira-kira 10 kaki (3 meter) korespondensi.
In the first year alone (1907–1908), 621 attempted proofs were submitted, although by the 1970s, the rate of submission had decreased to roughly 3–4 attempted proofs per month.
Pada tahun pertama saja (1907–1908), 621 percobaan pembuktian telah diserahkan, meskipun pada tahun 1970-an, tingkat pengajuan telah menurun menjadi sekitar 3–4 percobaan pembuktian per bulan.
According to F. Schlichting, a Wolfskehl reviewer, most of the proofs were based on elementary methods taught in schools, and often submitted by "people with a technical education but a failed career".
Menurut F. Schlichting, reviewer Wolfskehl, sebagian besar pembuktian didasarkan pada metode dasar yang diajarkan di sekolah, dan sering diajukan oleh "orang dengan pendidikan teknis tetapi kariernya gagal".
In the words of mathematical historian Howard Eves, "Fermat's Last Theorem has the peculiar distinction of being the mathematical problem for which the greatest number of incorrect proofs have been published.
Dalam kata-kata sejarawan matematika Howard Eves, "Teorema Terakhir Fermat memiliki perbedaan yang khas sebagai masalah matematika yang memiliki jumlah terbesar dari bukti salah".
The equation is wrong, but it appears to be correct if entered in a calculator with 10 significant figures.
Persamaan yang salah, tetapi tampaknya benar jika dimasukkan dalam kalkulator dengan 10 angka penting.