Ik45/wikipedia_dataset_science_en_id huggingface dataset:
The arithmetic–geometric mean is used in fast algorithms for exponential, trigonometric functions, and other special functions, as well as some mathematical constants, in particular, computing π.
Rata-rata aritmetika–geometrik dapat diterapkan dalam algoritma cepat untuk fungsi eksponensial dan trigonometri, serta konstanta matematika, khususnya dalam menghitung π.
a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}} These two sequences converge to the same number, the arithmetic–geometric mean of x and y; it is denoted by M(x, y), or sometimes by agm(x, y) or AGM(x, y).
a_{n+1}&={\frac {1}{2}}(a_{n}+b_{n}),\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\,.\end{aligned}}} Rata-rata aritmetika–geometrik dari x dan y dilambangkan sebagai M(x, y), terkadang sebagai agm(x, y) atau AGM(x, y).
The theorem is named after Stefan Banach (1892–1945) who first stated it in 1922.
Nama teorema ini diambil dari nama Stefan Banach, seorang matematikawan Polandia, yang telah membuktikan teorema ini pada tahun 1922.
There are three types of biquaternions corresponding to complex numbers and the variations thereof: Biquaternions when the coefficients are complex numbers.
Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu: Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion)
As an example, the greatest common divisor of 15 and 69 is 3, and 3 can be written as a combination of 15 and 69 as 315 × (−9) +
Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar dari 15 dan 69 ialah 3, dan 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari 15 dan 69, yaitu 315 ⋅ ( − 9 ) + 69 ⋅ 2 , dengan koefisien Bézout −9 dan 2.
69 × 2, with Bézout coefficients −9 and 2. Many other theorems in elementary number theory, such as Euclid's lemma or the Chinese remainder theorem, result from Bézout's identity.
Banyak teorema lain dalam teori bilangan dasar merupakan hasil dari identitas Bézout, seperti lema Euclid atau teorema sisa Tiongkok.
If a > 0 is a divisor of b (including the case b0 ), then one pair of Bézout coefficients is (1, 0).
Jika a > 0 habis membagi b (termasuk kasus b0 ), maka salah satu dari koefisien Bézoutnya ialah ( 1 , 0 ) .
The French mathematician Étienne Bézout (1730–1783) proved this identity for polynomials.
Matematikawan Prancis, Étienne Bézout (1730–1783), membuktikan identitas Bezout untuk polinomial.
The statement for integers can be found already in the work of an earlier French mathematician, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).
Pernyataan untuk bilangan bulat sudah dapat ditemukan dalam karya milik seorang matematikawan Prancis sebelumnya, Claude Gaspard Bachet de Méziriac.
Andrew Granville traced the association of Bézout's name with the identity to Bourbaki, arguing that it is a misattribution since the identity is implicit in Euclid's Elements.
Andrew Granville menelusuri pengatributan nama Bézout dengan identitas persamaan tersebut ke Bourbaki, dengan argumen bahwa hal tersebut merupakan atribusi yang salah, sebab identitas tersebut bersifat implisit pada Elements karya Euclid.
It is named after the French mathematician Augustin-Louis Cauchy.
Nama perkalian tersebut diambil dari Augustin-Louis Cauchy, seorang matematikawan Prancis.
∑ k0 ∞ c k ^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}} where c k∑ l0 k a l b k − l\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}} .
∑ k0 ∞ c k x k ^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}} dengan c k∑ l0 k a l b k − l\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}} .
∑ k0 ∞ c k x k ^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}} where c k∑ l0 k a l b k − l\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}} .
∑ k0 ∞ c k x k ^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}} dengan c k∑ l0 k a l b k − l\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}} .
∑ i + jn f ( i ) g ( j ) .
x i ) ⋅ ( ∑ j0 ∞ b j x j )
In mathematics, the dimension theorem for vector spaces states that all bases of a vector space have equally many elements.
Pada matematika, teorema dimensi untuk ruang vektor menyebutkan bahwa semua basis dari ruang vektor memiliki jumlah elemen yang sama.
This number of elements may be finite or infinite (in the latter case, it is a cardinal number), and defines the dimension of the vector space.
Jumlah elemen ini dapat berupa hingga atau takhingga (dengan kasus terakhir, jumlahnya adalah bilangan kardinal), dan mendefinisikan dimensi dari ruang vektor tersebut.
The theorem can be generalized to arbitrary R-modules for rings R having invariant basis number.
Teorema ini dapat digeneralisasi pada modul-R untuk gelanggang R yang memiliki bilangan basis tak berubah.
Let V be a vector space, {ai : i ∈ I} be a linearly independent set of elements of V, and {bj : j ∈ J} be a generating set.
Misalkan V adalah ruang vektor, {ai: i ∈ I} adalah himpunan kebebasan linear dari elemen V, dan {bj: j ∈ J} adalah himpunan pembangkit.
One has to prove that the cardinality of I is not larger than that of J. If J is finite, this results from the Steinitz exchange lemma.
Perlu pembuktian bahwa kardinalitas dari I tidak bernilai lebih besar dari J. Jika J bernilai hingga, maka hasilnya berasal dari lema pertukaran Steinitz.
If J is finite, a proof based on matrix theory is also possible.
Jika J bernilai hingga, pembuktian yang berdasarkan teori matriks juga dimungkinkan.
As the cardinality of K is greater than or equal to the cardinality of I, one may replace {ai: i ∈ I} with K; that is, one may suppose, without loss of generality, that {ai : i ∈ I} is a basis.
Karena kardinalitas dari K bernilai lebih besar atau sama dengan kardinalitas I, kita dapat mengubah {ai: i ∈ I} dengan K. Maka, kita dapat mengasumsikan, tanpa menghilangkan generalisasi, bahwa {ai: i ∈ I} adalah sebuah basis.
Then that is, the dimension of U is equal to the dimension of the transformation's range plus the dimension of the kernel.
U bernilai sama dengan dimensi dari rentang transformasi ditambah dengan dimensi dari kernel.
The first known analysis of Euclid's algorithm is due to A. A. L. Reynaud in 1811, who showed that the number of division steps on input (u, v) is bounded by v; later he improved this to v/2 + 2.
Analisis tertua yang diketahui tentang algoritma Euklides berasal dari A. A. L. Reynaud pada tahun 1811, yang menunjukkan bahwa banyak langkah pembagian yang dilakukan dengan masukan ( u , v ) tidak mungkin lebih dari v ; dia kemudian memperbaiki batas ini menjadi v 2 + 2 {2}}+2} .
Later, in 1841, P. J. E. Finck showed that the number of division steps is at most 2 log2 v + 1, and hence Euclid's algorithm runs in time polynomial in the size of the input.
Kemudian, pada tahun 1841, P. J. E. Finck menunjukkan bahwa banyak langkah pembagian tidak mungkin lebih tinggi dari 2 log 2 ⁡ v + 1 v+1} , dan artinya algoritma Euklides berjalan dalam waktu polinomial dari ukuran masukannya.
Émile Léger, in 1837, studied the worst case, which is when the inputs are consecutive Fibonacci numbers.
Émile Léger, pada tahun 1837, mempelajari kasus terburuknya, yaitu ketika masukannya adalah bilangan Fibonacci yang bersebelahan.
Finck's analysis was refined by Gabriel Lamé in 1844, who showed that the number of steps required for completion is never more than five times the number h of base-10 digits of the smaller number b.
Analisis Finck kemudian diperbaiki oleh Gabriel Lamé pada tahun 1844, yang menunjukkan bahwa banyak langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan algoritma tidak pernah lebih dari lima kali banyak digit bilangan yang lebih kecil b .
The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd ed.).
The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms (Edisi 3rd).
Euclid's Algorithm at cut-the-knot Euclid's algorithm at PlanetMath.
Templat:EN Algoritma Euklides di cut-the-knot (Inggris) Algoritme Euklid di PlanetMath.
In number theory, Euler's criterion is a formula for determining whether an integer is a quadratic residue modulo a prime.
Dalam teori bilangan, kriteria Euler adalah rumus untuk menentukan apakah suatu bilangan bulat merupakan residu kuadratik modulo suatu bilangan prima.
The proof uses the fact that the residue classes modulo a prime number are a field.
Pembuktian ini menggunakan fakta bahwa kelas-kelas residu modulo suatu bilangan prima membentuk struktur aljabar lapangan.
\equiv x^{2}{\pmod {p}}.} This is because ( p − x ) 2 ≡ p 2 − 2 x p + x 2 ≡ x 2 ( mod p ) .
≡ a p − 1 2 ≡ − ( a p ) ⋅ a p − 1 2 ( mod p ) {2}}\equiv -\left({\dfrac {a}{p}}\right)\cdot a^{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}
As a is coprime to p, Fermat's little theorem says that a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) , \equiv 1{\pmod {p}},} which can be written as ( a p − 1 2 − 1 ) ( a p − 1 2 + 1 ) ≡ 0 ( mod p ) .
Diketahui bahwa a relatif prima dengan p , maka berdasarkan teorema kecil Fermat, berlaku a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) \equiv 1{\pmod {p}}} yang dapat ditulis menjadi ( a p − 1 2 − 1 ) ( a p − 1 2 + 1 ) ≡ 0 ( mod p ) {2}}-1\right)\left(a^{\tfrac {p-1}{2}}+1\right)\equiv 0{\pmod {p}}} sebab p merupakan bilangan ganjil.
{2}}\equiv {-1}{\pmod {p}}.}
≡ − 1 ( mod p ) {2}}\equiv (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}
Now if a is a quadratic residue, a ≡ x2, a p − 1 2 ≡ ( x 2 ) p − 1 2 ≡ x p − 1 ≡ 1 ( mod p ) . {2}}\equiv {(x^{2})}^{\tfrac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.} So every quadratic residue (mod p) makes the first factor zero.
Akibatnya, a p − 1 2 ≡ ( k 2 ) p − 1 2k p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {2}}\equiv (k^{2})^{\tfrac {p-1}{2}}=k^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}} Dengan kata lain, setiap residu kuadratik modulo p akan membuat nilai dari faktor pertama menjadi nol.
This is Euler's criterion.
Inilah isi dari kriteria Euler.
⋅ ( p − 1 ) ≡ − ( a p ) a p − 1 2 ( mod p ) {p}}\right)a^{\frac {p-1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}} .
≡ a p − 1 2 ≡ − ( a p ) ⋅ a p − 1 2 ( mod p ) {2}}\equiv -\left({\dfrac {a}{p}}\right)\cdot a^{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}
As confirmation, note that 17 ≡ 4 (mod 13), and 224.
Sebagai konfirmasi, perhatikan bahwa 17 ≡ 42 2 ( mod 13 ) {\pmod {13}}} .
The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Gauss's Ciceronian Latin into English and German.
Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemahkan dari bahasa Latin Ciceronian Gauss ke dalam bahasa Inggris dan Jerman.
The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.
Edisi Jerman mencakup semua paper teori bilangan miliknya: semua bukti dari timbal balik kuadratik, penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik bikuadratik, serta catatan yang tidak diterbitkan.
In mathematics, and more specifically in algebraic topology and polyhedral combinatorics, the Euler characteristic (or Euler number, or Euler–Poincaré characteristic) is a topological invariant, a number that describes a topological space's shape or structure regardless of the way it is bent.
Dalam matematika, dan lebih khusus lagi dalam topologi aljabar dan kombinatorik polihedral, karakteristik Euler (atau nomor Euler, atau karakteristik Euler-Poincaré) adalah invarian topologis, suatu angka yang menggambarkan bentuk atau struktur ruang topologi terlepas dari cara bengkoknya.
It is commonly denoted by χ (Greek lower-case letter chi).
Biasanya dilambangkan dengan χ (huruf kecil bahasa Yunani chi).
The Euler characteristic was originally defined for polyhedra and used to prove various theorems about them, including the classification of the Platonic solids.
Karakteristik Euler awalnya didefinisikan untuk polihedra dan digunakan untuk membuktikan berbagai teorema tentangnya, termasuk klasifikasi padatan Platonis.
It was stated for Platonic solids in 1537 in an unpublished manuscript by Francesco Maurolico.
Itu dinyatakan untuk padatan Platonis pada 1537 dalam naskah yang tidak diterbitkan oleh Francesco Maurolico.
Leonhard Euler, for whom the concept is named, introduced it for convex polyhedra more generally but failed to rigorously prove that it is an invariant.
Leonhard Euler, untuk siapa konsep ini dinamai, memperkenalkannya untuk polyhedra cembung secara lebih umum tetapi gagal membuktikan secara ketat bahwa itu adalah invarian.
In modern mathematics, the Euler characteristic arises from homology and, more abstractly, homological algebra.
Dalam matematika modern, karakteristik Euler muncul dari homologi dan, lebih tepatnya, aljabar homologis.
This equation, stated by Euler in 1758, is known as Euler's polyhedron formula.
Persamaan ini, dinyatakan oleh Leonhard Euler pada 1758, dikenal sebagai rumus polihedron Euler.
The expected value of a random variable X is often denoted by E ( X ) }(X)} , E [ X ] }[X]} , or E X }X} , with E also often stylized as E } , E }} or E. The concept of expected value emerged in the mid-17th century from the "problem of points", a puzzle centered on how to fairly divide stakes between two players forced to end a game prematurely.
Nilai harapan dari sebuah variabel acak X umum dinyatakan sebagai E [ X ] , E ( X ) , atau E X [X],\mathbb {E} (X),{\text{atau }}\mathbb {E} X} dengan E } terkadang juga ditulis dalam gaya huruf E } atau E .
The use of the letter E to denote "expected value" goes back to W. A. Whitworth in 1901.
Penggunaan huruf E untuk menyatakan nilai harapan (expected value) dapat dilacak ke W. A. Whitworth pada tahun 1901.
The symbol has since become popular for English writers.
Simbol ini kemudian menjadi populer bagi penulis-penulis berbahasa Inggris.
All of these specific definitions may be viewed as special cases of the general definition based upon the mathematical tools of measure theory and Lebesgue integration, which provide these different contexts with an axiomatic foundation and common language.
Definisi-definisi tersebut dapat dianggap sebagai kasus khusus dari definisi umum yang didasarkan pada alat-alat dalam teori ukuran dan integral Lebesgue.
Consider a random variable X with a finite list x 1 , . . . , x k ,...,x_{k}} of possible outcomes, each of which (respectively) has probability p 1 , . . .
Misalkan X adalah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil yang mungkin x1, ..., xk, masing-masing memiliki peluang p1, ..., pk untuk terjadi.
In mathematics, a Gaussian function, often simply referred to as a Gaussian, is a function of the base form f ( x )
Dalam ilmu matematika, fungsi Gauss adalah fungsi yang berbentuk sebagai berikut: f ( x )
It is named after the mathematician Carl Friedrich Gauss.
Fungsi ini dinamai dari matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss.
The graph of a Gaussian is a characteristic symmetric "bell curve" shape.
Grafik fungsi Gauss adalah kurva yang berbentuk "lonceng" dan simetris.
Gaussian functions are often used to represent the probability density function of a normally distributed random variable with expected value μb and variance σ2c2.
Fungsi Gauss sering kali digunakan untuk mewakili fungsi kepekatan probabilitas variabel acak yang didistribusi secara normal dengan nilai harapan μb dan variansi σ2c2.
In this case, the Gaussian is of the form g ( x )
Dalam kasus ini, bentuk fungsi Gaussnya adalah:
1 σ 2 π exp ⁡ ( − 1 2 ( x − μ ) 2 σ 2 ) .
1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 .
1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) .
1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 .
{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).} These Gaussians are plotted in the accompanying figure.
{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}
Gaussian functions are considered.
Dalam kasus ini, bentuk fungsi Gaussnya adalah:
}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-z^{2}\right)\,dz.}
{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}
)^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).}
{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}
^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\tfrac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.}
{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}
2 σ 2 c δ X π Q 2 a 2 var ⁡ ( c )
1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 .
The general form of a geometric sequence is a , a r , a r 2 , a r 3 , a r 4 , … ,\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots } where r is the common ratio and a is the initial value.
Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut: a , a r , a r 2 } , a r 3 } , … dengan r adalah bilangan rasio pengali ( r ≠ 0 ) dan a adalah faktor skala.
a ( 1 − r n + 1 ) , S na ( 1 − r n + 1 1 − r ) , S_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n},\\rS_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n+1},\\S_{n}-rS_{n}&=ar^{0}-ar^{n+1},\\S_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n+1}\right),\\S_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right),\end{aligned}}} for r ≠ 1 .
− r n + 11 − r n + 1 dan r n + 1 → 0 untuk | r | < 1 (1+r+r^{2}+\dots +r^{n})(1-r)&=(1-r)+(r-r^{2})+\dots +(r^{n}-r^{n+1})\\&=1+(-r+r-r^{2}+r^{2}-\dots -r^{n}+r^{n})-r^{n+1}\\&=1-r^{n+1}\,\,{\text{dan}}\,\,r^{n+1}\to 0\,\,{\text{untuk}}\,\,|r|<1\end{aligned}}} Kekonvergenan dari deret geometrik bisa juga didemonstrasikan dengan menulis deret sebagai sebuah deret teleskopik yang setara, g ( K )
Archimedes' theorem states that the total area under the parabola is ⁠4/3⁠ of the area of the blue triangle.
Teorema Archimedes menyatakan bahwa total luas di bawah parabola adalah 4/3 dari luas segitiga berwarna biru.
He determined that each green triangle has ⁠1/8⁠ the area of the blue triangle, each yellow triangle has ⁠1/8⁠ the area of a green triangle, and so forth.
Archimedes menentukan bahwa setiap segitiga berwarna hijau memiliki 1/8 luas dari segitiga berwarna biru, setiap segitiga berwarna kuning memiliki 1/8 luas dari sebuah segitiga berwarna hijau, dan seterusnya.
This sort of calculation is used to compute the annual percentage rate of a loan, such as a mortgage loan.
Perhitungan semacam ini digunakan untuk menghitung tingkat persentase tahunan dari sebuah pinjaman (seperti kredit peminjaman rumah).
Each side of the green triangle is exactly ⁠1/3⁠ the size of a side of the large blue triangle and therefore has exactly ⁠1/9⁠ the area.
Setia sisi dari segitiga berwarna hijau tepatnya 1/3 ukuran dari sebuah sisi dari segitiga besar berwarna biru, dan karena itu tepat 1/9 luas.
Similarly, each yellow triangle has ⁠1/9⁠ the area of a green triangle, and so forth.
Demikian pula, setiap segitiga berwarna kuning memiliki 1/9 luas dari sebuah segitiga berwarna hijau, dan seterusnya.
ISBN 978-0-521-57698-7 "Geometric progression", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Weisstein, Eric W. "Geometric Series".
"Geometric progreDssion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Weisstein, Eric W. "Geometric Series".
Geometric Series at PlanetMath.
Geometric Series at PlanetMath.org.
Archived from the original (Applet) on 2007-09-29.
Diarsipkan dari asli (Applet) tanggal 2007-09-29.
New York: Van Nostrand Reinhold.
New York : Van Nostrand Reinhold.
Then Version I. if u is a number between f ( a ) and f ( b ) , that is, min ( f ( a ) , f ( b ) ) < u < max ( f ( a ) , f ( b ) ) , then there is a c ∈ ( a , b ) such that f ( c )
Jika u menyatakan suatu bilangan di antara f ( a ) dan f ( b ) , maka terdapat suatu bilangan c , dengan a < c < b , sedemikian sehingga f ( c )
Nicola Fusco; Paolo Marcellini; Carlo Sbordone (1996).
Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (1996).
In mathematics, and more specifically in linear algebra, a linear subspace or vector subspace is a vector space that is a subset of some larger vector space.
Dalam aljabar linear, subruang vektor, atau disebut juga subruang linear, adalah sebuah ruang vektor yang merupakan subhimpunan dari ruang vektor yang lebih besar.
If V is a vector space over a field K, a subset W of V is a linear subspace of V if it is a vector space over K for the operations of V. Equivalently, a linear subspace of V is a nonempty subset W such that, whenever w1, w2 are elements of W and α, β are elements of K, it follows that αw1 + βw2 is in W. The singleton set consisting of the zero vector alone and the entire vector space itself are linear subspaces that are called the trivial subspaces of the vector space.
Jika V merupakan sebuah ruang vektor atas lapangan K dan jika W merupakan subhimpunan dari V, maka W adalah sebuah subruang dari V jika di bawah operasi-operasi V, W merupakan ruang vektor atas K. Dengan kata-kata lain, sebuah subhimpunan tidak kosong W merupakan sebuah subruang dari V jika, untuk semua w 1 , w 2 ,w_{2}} anggota W dan α , β anggota K, α w 1 + β w 2 +\beta w_{2}} adalah anggota W. Akibatnya, semua ruang vektor memiliki paling tidak dua subruang: himpunan satu anggota beranggota vektor nol dan ruang vektor itu sendiri.
That is, a nonempty set W is a subspace if and only if every linear combination of finitely many elements of W also belongs to W. The equivalent definition states that it is also equivalent to consider linear combinations of two elements at a time.
Artinya, sebuah himpunan tidak kosong W merupakan sebuah subruang jika dan hanya jika setiap kombinasi linear dari anggota-anggota W juga merupakan anggota dari