In trigonometry, the law of sines (sometimes called the sine formula or sine rule) is a mathematical equation relating the lengths of the sides of any triangle to the sines of its angles.
Dalam trigonometri, aturan sinus, rumus sinus, atau hukum sinus adalah sebuah persamaan yang memperbandingan panjang sisi-sisi segitiga terhadap sinus sudut-sudutnya.
According to the law, a sin ⁡ αb sin ⁡ βc sin ⁡ γ2 R , {\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,} where a, b, and c are the lengths of the sides of a triangle, and α, β, and γ are the opposite angles (see figure 2), while R is the radius of the triangle's circumcircle.
Aturan ini menyatakan bahwa a sin ⁡ αb sin ⁡ βc sin ⁡ γ2 R , {\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,} dengan a, b, dan c menyatakan panjang-panjang sisi dari segitiga, dan α, β, dan γ adalah besar sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut (lihat gambar sebagai ilustrasi), sedangkan R adalah radius dari lingkaran luar segitiga.
It can also be used when two sides and one of the non-enclosed angles are known.
Rumus ini juga dapat digunakan bila diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang tak diapit kedua sisi tersebut.
In some such cases, the triangle is not uniquely determined by this data (called the ambiguous case) and the technique gives two possible values for the enclosed angle.
Dalam kasus ini, data mungkin tidak dapat menghasilkan segitiga yang unik, sehingga rumus dapat memberikan dua nilai yang mungkin untuk sudut yang diapit.
The law of sines is one of two trigonometric equations commonly applied to find lengths and angles in scalene triangles, with the other being the law of cosines.
Aturan sinus adalah salah satu dari dua persamaan trigonometrik yang umum digunakan untuk menentukan besar panjang dan sudut pada segitiga, persamaan lain yang digunakan adalah aturan kosinus.
Equating these two expressions gives b sin ⁡ βc sin ⁡ γ , {\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,,} and similar equations arise by choosing the side of length b or the side of length c as the base of the triangle.
Aturan ini menyatakan bahwa a sin ⁡ αb sin ⁡ βc sin ⁡ γ2 R , {\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,} dengan a, b, dan c menyatakan panjang-panjang sisi dari segitiga, dan α, β, dan γ adalah besar sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut (lihat gambar sebagai ilustrasi), sedangkan R adalah radius dari lingkaran luar segitiga.
The side a is shorter than the side c (i.e., a < c).
Sisi a lebih pendek daripada sisi c (yakni, besar a < c).
Using the law of sines, we conclude that sin ⁡ α 20sin ⁡ ( 40 ∘ ) 24 .
Menggunakan aturan sinus, disimpulkan bahwa sin ⁡ α 20sin ⁡ ( 40 ∘ ) 24 .
{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.} αarcsin ⁡ ( 20 sin ⁡ ( 40 ∘ ) 24 ) ≈ 32.39 ∘ .
{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.} Sehingga dengan menggunakan invers dari fungsi sinus, arcsinus, didapatkan αarcsin ⁡ ( 20 sin ⁡ ( 40 ∘ ) 24 )
As shown in the figure, let there be a circle with inscribed △ A B C and another inscribed △ A D B that passes through the circle's center O.
Seperti terlihat pada gambar, misalkan ada sebuah lingkaran yang memuat segitiga △ A B C , dan memuat segitiga lain △ A D B yang sisinya melewati pusat lingkaran O. Sudut ∠ A O D memiliki sudut pusat sebesar 180 ∘ } , sehingga sudut ∠ A B D90 ∘ } .
Since △ A B D is a right triangle, sin ⁡ δopposite hypotenusec 2 R ,{\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},} where Rd 2 {\textstyle R={\frac {d}{2}}} is the radius of the circumscribing circle of the triangle.
Karena merupakan segitiga siku-siku, pada segitiga △ A B D berlaku sin ⁡ δdepan miringc 2 R ,{\frac {\text{depan}}{\text{miring}}}={\frac {c}{2R}},} dengan Rd 2 {\textstyle R={\frac {d}{2}}} adalah jari-jari dari lingkaran yang memuat segitiga.
Therefore, sin ⁡ δsin ⁡ γc 2 R .
Maka disimpulkan, sin ⁡ δsin ⁡ γc 2 R .
=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}
{\sin {\gamma }}}.}
{\sin {\gamma }}}.} Repeating the process of creating △ A D B with other points gives The area of a triangle is given by T1 2 a b sin ⁡ θ {\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta } , where θ is the angle enclosed by the sides of lengths a and b.
Proses di atas dapat diulangi dengan membentuk △ A D B yang berbeda, sehingga menghasilkan persamaan Menggunakan notasi yang sama dengan bagian sebelumnya, luas dari segitiga △ A B C adalah L1 2 a b sin ⁡ γ {\textstyle L={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma } , dengan γ adalah sudut yang diapit oleh sisi a dan b. Mensubtitusi aturan sinus pada persamaan luas segitiga menghasilkan L1 2 a b ⋅ c 2 Ra b c 4 R .
{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}
{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}={\frac {abc}{4R}}.}
2 a b c ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) , {\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}} where T is the area of the triangle and s is the semiperimeter s1 2 ( a + b + c ) .
Dapat ditunjukkan bahwa persamaan tersebut mengimplikasikan a b c 2 La b c 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c )2 a b c ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) , {\frac {abc}{2L}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}} dengan s adalah panjang setengah keliling segitiga, yakni sa + b + c 2 .
Then the spherical law of sines says: sin ⁡ A sin ⁡ asin ⁡ B sin ⁡ bsin ⁡ C sin ⁡ c .
Aturan sinus pada permukaan bola menyatakan bahwa sin ⁡ A sin ⁡ asin ⁡ B sin ⁡ bsin ⁡ C sin ⁡ c .
{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}
{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{\sin _{K}c}}\,.}
Equating these expressions and dividing throughout by (sin a sin b sin c)2 gives sin 2 ⁡ A sin 2 ⁡ asin 2 ⁡ B sin 2 ⁡ bsin 2 ⁡ C sin 2 ⁡ cV 2 sin 2 ⁡ ( a ) sin 2 ⁡ ( b ) sin 2 ⁡ ( c ) , A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},} where V is the volume of the parallelepiped formed by the position vector of the vertices of the spherical triangle.
Dengan menyatakan Ssin ⁡ A + sin ⁡ B + sin ⁡ C 2 {\textstyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}} , dapat ditunjukkan Dalam geometri hiperbolik dengan kurvatur bernilai −1, aturan sinus berubah menjadi sin ⁡ A sinh ⁡ asin ⁡ B sinh ⁡ bsin ⁡ C sinh ⁡ c .
But A A ′A D sin ⁡ BA E sin ⁡ C Combining them we have: sin ⁡ c sin ⁡ Bsin ⁡ b sin ⁡ C ⇒ sin ⁡ B sin ⁡ bsin ⁡ C sin ⁡ c \sin c\sin B&=\sin b\sin C\\\Rightarrow {\frac {\sin B}{\sin
Aturan sinus pada permukaan bola menyatakan bahwa sin ⁡ A sin ⁡ asin ⁡ B sin ⁡ bsin ⁡ C sin ⁡ c .
b}}&={\frac {\sin C}{\sin c}}\end{aligned}}} By applying similar reasoning, we obtain the spherical law of sines: sin ⁡ A sin ⁡ asin ⁡ B sin ⁡ bsin ⁡ C sin ⁡ c {\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}
Dengan menyatakan Ssin ⁡ A + sin ⁡ B + sin ⁡ C 2 {\textstyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}} , dapat ditunjukkan Dalam geometri hiperbolik dengan kurvatur bernilai −1, aturan sinus berubah menjadi sin ⁡ A sinh ⁡ asin ⁡ B sinh ⁡ bsin ⁡ C sinh ⁡ c .
{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.} In the special case when B is a right angle, one gets sin ⁡ Csinh ⁡ c sinh ⁡ b {\sinh b}}} which is the analog of the formula in Euclidean geometry expressing the sine of an angle as the opposite side divided by the hypotenuse.
{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.} Pada kasus khusus dengan B berupa sudut siku-siku, dihasilkan sin ⁡ Csinh ⁡ c sinh ⁡ b {\sinh b}}} yang mirip dengan rumus pada geometri Euklides, yang menyatakan sinus sebagai perbandingan panjang sisi berlawanan dengan sisi hipotenusa.
Define a generalized sine function, depending also on a real parameter κ : sin κ ⁡ ( x )x − κ 3 !
{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.} Pada permukaan secara umum, fungsi sinus dapat diperumum sebagai berikut: sin K ⁡ xx − K x 3 3 !
The law of sines in constant curvature κ reads as sin ⁡ A sin κ ⁡ asin ⁡ B sin κ ⁡ bsin ⁡ C sin κ ⁡ c .
Aturan sinus pada permukaan kurvatur bernilai konstan K menyatakan bahwa sin ⁡ A sin K ⁡ asin ⁡ B sin K ⁡ bsin ⁡ C sin K ⁡ c .
{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin B}{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin C}{\sin _{\kappa }c}}\,.}
{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{\sin _{K}c}}\,.}
Therefore, the law of sines can also be expressed as: sin ⁡ A p κ ( a )
Aturan sinus pada permukaan bola menyatakan bahwa sin ⁡ A sin ⁡ asin ⁡ B sin ⁡ bsin ⁡ C sin ⁡ c .
sin ⁡ B p κ ( b )sin ⁡ C p κ ( c ) .
sin ⁡ B p K ( b )sin ⁡ C p K ( c ) .