In mathematics, the Riemann hypothesis is the conjecture that the Riemann zeta function has its zeros only at the negative even integers and complex numbers with real part ⁠1/2⁠.
Dalam matematika, hipotesis Riemann merupakan dugaan bahwa fungsi zeta Riemann memiliki akar-akar hanya pada bilangan genap negatif dan pada bilangan kompleks dengan bagian nyata 12.
The Riemann zeta function ζ is a function whose argument may be any complex number other than 1, and whose values are also complex.
Persamaan zeta Riemann ζ(s) adalah sebuah fungsi dengan argumen berupa sembarang bilangan kompleks selain 1, dan nilai fungsi tersebut juga berupa bilangan kompleks.
The Riemann zeta function is defined for complex s with real part greater than 1 by the absolutely convergent infinite series ζ ( s )
Fungsi zeta Riemann terdefinisi pada bilangan kompleks s dengan bagian real lebih besar dari 1, lewat deret takhingga yang konvergen absolut ζ ( s )
∑ n1 ∞ 1 n s1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ ^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots } Leonhard Euler considered this series in the 1730s for real values of s , in conjunction with his solution to the Basel problem.
∑ n1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s1 1 s − 1 2 s + 1 3 s − ⋯ , {2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,} pada daerah konvergensi mereka masing-masing.
To make sense of the hypothesis, it is necessary to analytically continue the function to obtain a form that is valid for all complex s .
Untuk dapat memahami maksud dari hipotesis, diperlukan kontinuasi (perluasan) analitik dari fungsi untuk mendapatkan bentuk yang valid untuk semua bilangan kompleks s .
Because the zeta function is meromorphic, all choices of how to perform this analytic continuation will lead to the same result, by the identity theorem.
Karena fungsi zeta termasuk meromofik, semua pilihan cara untuk melakukan kontinuasi analitik ini akan menghasilkan bentuk yang sama, sebagai akibat dari teorema identitas.
η ( s )∑ n1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s1 1 s − 1 2 s + 1 3 s − ⋯ , {2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,} within the region of convergence for both series.
∑ n1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s1 1 s − 1 2 s + 1 3 s − ⋯ , {2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,} pada daerah konvergensi mereka masing-masing.
Thus, the zeta function can be redefined as η ( s ) / ( 1 − 2 / 2 s ) )} , extending it from Re ⁡ ( s ) > 1 (s)>1} to the larger domain Re ⁡ ( s ) > 0 (s)>0} , except for the points where 1 − 2 / 2 s } is zero.
Akibatnya, fungsi zeta dapat didefinisikan ulang sebagai η ( s ) / ( 1 − 2 / 2 s ) )} , memperluas domain dari Re ( s ) > 1 }(s)>1} menjadi Re ( s ) > 0 }(s)>0} , kecuali untuk titik-titik yang menyebabkan 1 − 2 / 2 s } bernilai nol.
In the strip 0 < Re ⁡ ( s ) < 1 (s)<1} this extension of the zeta function satisfies the functional equation ζ ( s )
Pada daerah berbentuk pita 0 < Re ( s ) < 1 }(s)<1} , perluasan dari fungsi zeta ini akan memenuhi persamaan fungsional ζ ( s )2 s π s − 1 sin ⁡ ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) .
If s is a negative even integer, then ζ ( s )
Jika s merupakan bilangan genap negatif, maka ζ ( s )
0 , because the factor sin ⁡ ( π s / 2 ) vanishes; these are the zeta function's trivial zeros.
0 karena faktor sin ⁡ ( π s 2 ) {\textstyle \sin({\frac {\pi s}{2}})} bernilai nol; ini adalah akar-akar sederhana dari fungsi zeta.
(If s is a positive even integer this argument does not apply because the zeros of the sine function are canceled by the poles of the gamma function as it takes negative integer arguments.)
Argumen ini tidak berlaku ketika s berupa bilangan genap positif karena akar dari fungsi sinus tercoret dengan kutub-kutub dari fungsi gamma.
The value ζ(0)−1/2 is not determined by the functional equation, but is the limiting value of ζ ( s ) as s approaches zero.
Nilai ζ ( s )− 1 2 {\textstyle \zeta (s)=-{\frac {1}{2}}} tidak terdefinisi lewat persamaan fungsional, tetapi lewat nilai limit ζ ( s ) ketika s menuju nol.
Sabbagh, Karl (2003a), The greatest unsolved problem in mathematics, Farrar, Straus and Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, MR 1979664 Sabbagh, Karl (2003b), Dr. Riemann's zeros, Atlantic Books, London, ISBN 978-1-843-54101-1 du Sautoy, Marcus (2003), The music of the primes, HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, MR 2060134 Rockmore, Dan (2005), Stalking the Riemann hypothesis, Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, MR 2269393 Derbyshire, John (2003), Prime Obsession, Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6, MR 1968857 Watkins, Matthew (2015), Mystery of the Prime Numbers, Liberalis Books, ISBN 978-1782797814, MR 0000000 Frenkel, Edward (2014), The Riemann Hypothesis Numberphile, Mar 11, 2014 (video) Nahin, Paul J. (2021).
Sabbagh, Karl (2003a), The greatest unsolved problem in mathematics, Farrar, Straus and Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, MR 1979664 Sabbagh, Karl (2003b), Dr. Riemann's zeros, Atlantic Books, London, ISBN 978-1-843-54101-1 du Sautoy, Marcus (2003), The music of the primes, HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, MR 2060134 Rockmore, Dan (2005), Stalking the Riemann hypothesis, Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, MR 2269393 Derbyshire, John (2003), Prime Obsession, Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6, MR 1968857 Watkins, Matthew (2015), Mystery of the Prime Numbers, Liberalis Books, ISBN 978-1782797814, MR 0000000 Frenkel, Edward (2014), The Riemann Hypothesis Numberphile, Mar 11, 2014 (video)