Still, all proofs of it involve some form of limiting process or calculus, notably the method of exhaustion or, in more modern form, Cavalieri's principle.
Akan tetapi, semua pembuktiannya melibatkan beberapa bentuk proses limit atau kalkulus, terutama metode penghabis, atau prinsip Cavalieri dalam bentuk modern.
Gauss regretted this defect in two of his letters to Christian Ludwig Gerling, who proved that two symmetric tetrahedra are equidecomposable.
Gauss menyesalkan kecacatan pembuktian tersebut dalam kedua suratnya kepada Christian Ludwig Gerling, yang membuktikan bahwa dua buah tetrahedron simetris adalah equidecomposable.
Gauss's letters were the motivation for David Hilbert: Is it possible to prove the equality of volume using elementary "cut-and-glue" methods, for arbitrary polyhedra or for the specific cases studied by Euclid?
Surat Gauss menjadi motivasi David Hilbert, yakni apakah mungkin untuk membuktikan kesamaan volume menggunakan metode "cut-and-glue" yang mendasar, untuk sebarang polihedron atau terlebih lagi kasus yang diketahui oleh Euklides.
He later formulated a 20th-century influential set of 23 mathematical problems in 1900 at the International Congress of Mathematicians.
Pada tahun 1900, Hilbert kemudian memformulasikan kumpulan yang terdiri dari 23 masalah matematika yang berdampak pada abad ke-20 di International Congress of Mathematicians.
Two polyhedra are called scissors-congruent if one can be cut into finitely many polyhedral pieces that can be reassembled to form the other.
Dua polihedron dinamakan scissors-congruent jika suatu polihedron dapat dibelah menjadi potongan-potongan polihedron yang terhingga banyaknya yang dapat disatukan kembali menjadi polihedron yang lain.
Any two scissors-congruent polyhedra have the same volume.
Sebarang dua polihedron scissors-congruent memiliki volume yang sama.
For every polyhedron P , Max Dehn defines a value, now known as the Dehn invariant D ⁡ ( P ) (P)} , with the property that, if P is cut into polyhedral pieces P 1 , P 2 , … P n ,P_{2},\dots P_{n}} , then D ⁡ ( P )
Untuk setiap polihedron P , Max Dehn mendefinisikan suatu nilai yang kini dikenal sebagai invarian Dehn D ⁡ ( P ) (P)} .
Dehn then shows that every cube has Dehn invariant zero while every regular tetrahedron has a non-zero Dehn invariant.
Dehn kemudian memperlihatkan bahwa setiap kubus memiliki invarian Dehn bernilai nol, sementara setiap tetrahedron beraturan memiliki invarian Dehn bernilai tak nol.
Therefore, these two shapes cannot be scissors-congruent.
Oleh karena itu, kedua bentuk tersebut tidak dapat berupa scissors-congruent.
A polyhedron's invariant is defined based on the lengths of its edges and the angles between its faces.
Suatu invarian polihedron didefinisikan berdasarkan panjang rusuknya dan sudut di antara kedua mukanya.
If a polyhedron is cut into two, some edges are cut into two, and the corresponding contributions to the Dehn invariants should therefore be additive in the edge lengths.
Apabila suatu polihedron dibelah menjadi dua, beberapa rusuk ada yang terpotong menjadi dua rusuk, dan kontribusi yang bersesuaian dengan invarian Dehn semestinya aditif dalam panjang rusuk.
The angles introduced when a cut passes through a face add to π , and the angles introduced around an edge interior to the polyhedron add to 2 π .
Sudut-sudutnya diperkenalkan ketika suatu belahan yang melalui suatu muka ditambahkan dengan π , dan suatu sudut yang diperkenalkan di sekitar rusuk di dalam polihedron ditambahkan dengan 2 π .
Therefore, the Dehn invariant is defined in such a way that integer multiples of angles of π give a net contribution of zero.
Oleh karena demikian, invarian Dehn didefinisikan dengan cara tersebut sehingga kelipatan bilangan bulat sudut dari π memberikan kontribusi nol.
All of the above requirements can be met by defining D ⁡ ( P ) (P)} as an element of the tensor product of the real numbers R } (representing lengths of edges) and the quotient space R / ( Q π ) /(\mathbb {Q} \pi )} (representing angles, with all rational multiples of π replaced by zero).
Semua persyaratan di atas dapat terpenuhi dengan mendefinisikan D ⁡ ( P ) (P)} sebagai elemen dari produk tensor dari bilangan real R } (yang merepresentasikan panjang rusuk) dan ruang kuosien R / ( Q π ) /(\mathbb {Q} \pi )} (merepresentasikan sudut, dengan semua kelipatan bilangan rasional dari π digantikan oleh nol).
For some purposes, this definition can be made using the tensor product of modules over Z } (or equivalently of abelian groups), while other aspects of this topic make use of a vector space structure on the invariants, obtained by considering the two factors R } and R / ( Q π ) /(\mathbb
Berbagai alasan, definisi ini dapat dihasilkan dengan menggunakan produk tensor modul atas Z } (atau dari grup abelian), sedangkan aspek-aspek lain dari topik ini menggunakan struktur ruang vektor pada invarian, yang didapatkan dengan memandang dua faktor R } dan R / ( Q π ) /(\mathbb
{Q} \pi )} to be vector spaces over Q } and taking the tensor product of vector spaces over Q } .
{Q} \pi )} sebagai ruang vektor atas Q } dan mengambil produk tensor ruang vektor atas Q } .
This choice of structure in the definition does not make a difference in whether two Dehn invariants, defined in either way, are equal or unequal.
Pemilihan struktur tersebut pada definisi yang diberikan tidak membuahkan perbedaan apakah dua invarian Dehn, yang didefinisikan dengan cara yang berbeda, adalah sama atau tidak.
For any edge e of a polyhedron P , let ℓ ( e ) be its length and let θ ( e ) denote the dihedral angle of the two faces of P that meet at e , measured in radians and considered modulo rational multiples of π .
Untuk sebarang rusuk e dari suatu polihedron P , misalkan ℓ ( e ) panjang rusuk dan θ ( e ) sudut dihedral dari dua muka polihedron P yang bertemu di e , yang diukur dalam bentuk radian dan dipandang sebagi moduli kelipatan rasional dari π .
In light of Dehn's theorem above, one might ask "which polyhedra are scissors-congruent"?
Dengan mempertimbangkan teorema Dehn di atas, seseorang mungkin bertanya "polihedron manakah yang termasuk scissors-congruent"?
In 1965, Jean-Pierre Sydler showed that two polyhedra are scissors-congruent if and only if they have the same volume and the same Dehn invariant.
Sydler (1965) memperlihatkan bahwa dua polihedron adalah scissors-congruent jika dan hanya jika polihedron tersebut mempunyai volume dan invarian Dehn yang sama.
Børge Jessen later extended Sydler's results to four dimensions.
Børge Jessen kemudian memperluas hasil Sydler ke dalam ruang berdimensi empat.
In 1990, Dupont and Sah provided a simpler proof of Sydler's result by reinterpreting it as a theorem about the homology of certain classical groups.
Pada tahun 1990, Dupont dan Sah menyediakan pembuktian lebih sederhana untuk hasil Sydler dengan menginterpretasikannya ulang sebagai suatu teorema mengenai homologi dari grup klasik tertentu.
Jessen also posed the question of whether the analogue of Jessen's results remained true for spherical geometry and hyperbolic geometry.
Jessen juga mengusulkan pertanyaan, apakah analogi dari hasil Jessen tetap berlaku benar untuk geometri sferis dan geometri hiperbolik.
In these geometries, Dehn's method continues to work, and shows that when two polyhedra are scissors-congruent, their Dehn invariants are equal.
Dalam kedua geometri tersebut, metode Dehn tetap berlanjut dan memperlihatkan bahwa ketika dua polihedron adalah scissors-congruent, invarian Dehn dari kedua-duanya itu sama.
However, it remains an open problem whether pairs of polyhedra with the same volume and the same Dehn invariant, in these geometries, are always scissors-congruent.
Akan tetapi, masih menjadi masalah yang belum terpecahkan, bahwa apakah pasangan polihedron dengan volume dan invarian Dehn yang sama di kedua geometri tersebut selalu scissors-congruent.
Hilbert's third problem was also proposed independently by Władysław Kretkowski for a math contest in 1882 by the Academy of Arts and Sciences of Kraków, and was solved by Ludwik Antoni Birkenmajer using a different method than Dehn's.
Masalah ketiga Hilbert sebelumnya pernah diusulkan oleh Władysław Kretkowski sebagai kontes matematika pada tahun 1882 oleh Akademi Seni dan Sains di Kraków.
Birkenmajer did not publish the result, and the original manuscript containing his solution was rediscovered years later.
Birkenmajer tidak menerbitkan hasilnya, dan manuskrip asli yang memuat solusi Birkenmajer ditemukan kembali pada tahun-tahun ke depan.
Proof of Dehn's Theorem at Everything2 Weisstein, Eric W. "Dehn Invariant".
Proof of Dehn's Theorem at Everything2 (Inggris) Weisstein, Eric W. "Dehn Invariant".