However, the theorem does not hold for algebraic integers.
Akan tetapi, teorema ini tidak berlaku untuk bilangan bulat aljabar.
This failure of unique factorization is one of the reasons for the difficulty of the proof of Fermat's Last Theorem.
Kegagalan dari faktorisasi tunggal ini merupakan salah satu alasan dari sulitnya pembuktian teorema terakhir Fermat.
The implicit use of unique factorization in rings of algebraic integers is behind the error of many of the numerous false proofs that have been written during the 358 years between Fermat's statement and Wiles's proof.
Penggunaan faktorisasi tunggal secara implisit pada gelanggang bilangan bulat aljabar merupakan letak kesalahan dari banyak bukti keliru yang ditulis semasa 358 tahun antara pernyataan Fermat dan bukti Wiles.
The fundamental theorem can be derived from Book VII, propositions 30, 31 and 32, and Book IX, proposition 14 of Euclid's Elements.
Teorema dasar aritmetika dapat diturunkan dari Buku VII, proposisi 30, 31, dan 32, serta Buku IX, proposisi 14 dari Elements karya Euclid.
Proposition 30 is referred to as Euclid's lemma, and it is the key in the proof of the fundamental theorem of arithmetic.
Proposisi 30 dikenal sebagai lema Euclid, dan menjadi kunci dari pembuktian teorema dasar aritmetika.
Proposition 32 is derived from proposition 31, and proves that the decomposition is possible.
Proposisi 32 dapat diturunkan melalui proposisi 31, yang membuktikan bahwa penguraiannya dimungkinkan terjadi.
While Euclid took the first step on the way to the existence of prime factorization, Kamāl al-Dīn al-Fārisī took the final step and stated for the first time the fundamental theorem of arithmetic.
Selagi Euclid mengambil langkah pertama menuju kewujudan dari faktorisasi prima, Kamāl al-Dīn al-Fārisī mengambil langkah terakhir dan menyatakan teorema dasar aritmetika untuk pertama kalinya.
Article 16 of Gauss's Disquisitiones Arithmeticae seems to be the first proof of the uniqueness part of the theorem.
Artikel 16 dari Disquisitiones Arithmeticae karya Gauss adalah bukti pertama dari bagian ketunggalan pada teorema dasar aritmetika.
This representation is commonly extended to all positive integers, including 1, by the convention that the empty product is equal to 1 (the empty product corresponds to k0).
Representasi ini umumnya diperluas menjadi seluruh bilangan asli (termasuk 1) dengan konvensi bahwa nilai dari darab kosong ialah 1 (darab kosong berpadanan dengan nilai k0 ).
This representation is called the canonical representation of n, or the standard form of n.
Representasi ini disebut representasi kanonik dari n , bentuk kanonik dari n , atau bentuk standar dari n .
Allowing negative exponents provides a canonical form for positive rational numbers.
Memperbolehkan pangkat negatif akan memberikan bentuk kanonik dari bilangan rasional positif.
One may also suppose that p 1 < q 1 , <q_{1},} by exchanging the two factorizations, if needed.
Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan bahwa p 1 < q 1 <q_{1}} dengan menukar dua faktorisasinya, jika diperlukan.
P=q_{1}Q.} Also, since p 1 < q 1 , <q_{1},} one has Q < P .
Oleh karena p 1 < q 1 <q_{1}} , maka Q < P .
It then follows that s − p 1 Q( q 1 − p 1 ) Qp 1 ( P − Q ) < s .
Oleh karena p 1 < q 1 <q_{1}} , maka Q < P .
As the positive integers less than s have been supposed to have a unique prime factorization, p 1 } must occur in the factorization of either q 1 − p 1 -p_{1}} or Q.
andaikan p 1 } merupakan faktor dari q 1 − p 1 -p_{1}} , maka p 1 } juga merupakan faktor dari q 1 } .
The latter case is impossible, as Q, being smaller than s, must have a unique prime factorization, and p 1 } differs from every q j .
Oleh karena p 1 } haruslah berbeda dengan setiap q m } , maka p 1 } mustahil menjadi faktor dari Q .
The former case is also impossible, as, if p 1 } is a divisor of q 1 − p 1 , -p_{1},} it must be also a divisor of q 1 , ,} which is impossible as p 1 } and q 1 } are distinct primes.
Namun, hal ini mustahil terjadi, sebab diketahui bahwa p 1 } dan q 1 } merupakan bilangan prima yang berbeda.
Similarly, in 1844 while working on cubic reciprocity, Eisenstein introduced the ring Z [ ω ] [\omega ]} , where ω− 1 + − 3 2 , {\textstyle \omega{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},} ω 311} is a cube root of unity.
Serupa seperti Gauss, Eisenstein memperkenalkan gelanggang Z [ ω ] [\omega ]} pada tahun 1844 ketika mempelajari timbal balik kubik, dengan ω− 1 2 + 3 2 i {2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i} , yaitu akar satuan primitif ke-3.
This is the ring of Eisenstein integers, and he proved it has the six units ± 1 , ± ω , ± ω 2 } and that it has unique factorization.
Himpunan ini dikenal sebagai gelanggang bilangan bulat Eisenstein, dan Eisenstein membuktikan bahwa gelanggang ini memiliki enam unit, yaitu ± 1 , ± ω , dan ± ω 2 } , serta setiap bilangan Eisenstein memiliki faktorisasi yang tunggal.
In Z [ − 5 ] \left[{\sqrt {-5}}\right]} it can be proven that if any of the factors above can be represented as a product, for example, 2ab, then one of a or b must be a unit.
Dapat dibuktikan bahwa jika setiap faktor di atas dapat dinyatakan sebagai darab dari dua bilangan pada Z [ i 5 ] [i{\sqrt {5}}]} (misalnya 3a ⋅ b ), maka salah satu dari kedua bilangan tersebut merupakan unit pada Z
This is also true in Z [ i ] [i]} and Z [ ω ] , [\omega ],} but not in Z [ − 5 ] .
Hal ini juga berlaku pada Z [ i ] [i]} dan Z [ ω ] [\omega ]} , tetapi tidak pada Z [ i 5 ] [i{\sqrt {5}}]} .
In 1843 Kummer introduced the concept of ideal number, which was developed further by Dedekind (1876) into the modern theory of ideals, special subsets of rings.
Pada tahun 1843, Kummer memperkenalkan konsep bilangan ideal, yang kemudian dikembangkan lebih jauh oleh Dedekind (1876)
regiae sci, Göttingen 7 These are in Gauss's Werke, Vol II, pp.
regiae sci, Göttingen 7 Kedua monografi tersebut merupakan bagian dari Werke karya Gauss, Vol II, hlm.
65–92 and 93–148; German translations are pp.
93–148; terjemahan Jerman berada pada hlm.
511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.
534–586 dari edisi Jerman dari Disquisitiones.
Euclid (1956), The thirteen books of the Elements, vol. 2 (Books III-IX), Translated by Thomas Little Heath (Second Edition Unabridged ed.), New York: Dover, ISBN 978-0-486-60089-5 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help) Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008)
Euclid (1956), The thirteen books of the Elements [Tiga belas buku dari Elemen] (dalam bahasa Inggris), vol. 2 (Buku III–IX), diterjemahkan oleh Heath, Thomas Little (Edisi ke-2), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60089-5 ; Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008)
[1984], Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 978-0-817-64565-6 Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious? GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
[1984], Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre, Modern Birkhäuser Classics (dalam bahasa Inggris), Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 978-0-817-64565-6 (Inggris) Mengapa teorema dasar aritmetika tidak se-sepele itu? (Inggris) FPB dan Teorema Dasar Aritmetika di Cut-the-Knot.
Grime, James (3 February 2012), "1 and Prime Numbers", Numberphile, Brady Haran, archived from the original on 2021-12-11 Fundamental Theorem of Arithmetic
Grime, James (3 Februari 2012), "1 and Prime Numbers" [1 dan Bilangan Prima], Numberphile (dalam bahasa Inggris), Brady Haran, diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2021-12-11 (Inggris) Teorema Dasar Aritmetika