In geometry, Thales's theorem states that if A, B, and C are distinct points on a circle where the line AC is a diameter, the angle ∠ ABC is a right angle.
Dalam geometri, teorema Thales menyatakan bahwa jika A , B , dan C merupakan titik-titik berbeda pada suatu lingkaran dengan garis A C ¯ }} sebagai diameter, maka sudut ∠ A B C merupakan sudut siku-siku.
Thales's theorem is a special case of the inscribed angle theorem and is mentioned and proved as part of the 31st proposition in the third book of Euclid's Elements.
Teorema Thales merupakan kasus khusus dari teorema sudut keliling dan disebut dan dibuktikan sebagai bagian dari proposisi ke-31 pada buku ketiga Euklides, Elements.
Since the sum of the angles of a triangle is equal to 180°, we have α + ( α + β ) + β180 ∘ 2 α + 2 β180 ∘ 2 ( α + β )
Dikarenakan total sudut pada segitiga itu sama dengan 180 ∘ } , maka α + ( α + β ) + β180 ∘ 2 α + 2 β180 ∘ 2 ( α + β )
\alpha +(\alpha +\beta )+\beta &=180^{\circ }\\2\alpha +2\beta &=180^{\circ }\\2(\alpha +\beta )&=180^{\circ }\\\therefore \alpha +\beta &=90^{\circ }.\end{aligned}}} Q.E.D. The theorem may also be proven using trigonometry: Let O(0, 0), A(−1, 0), and C(1, 0).
180 ∘ α + β90 ∘ \alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta &=180^{\circ }\\2\alpha +2\beta &=180^{\circ }\\2\left(\alpha +\beta \right)&=180^{\circ }\\\alpha +\beta &=90^{\circ }\end{aligned}}} sehingga terbukti bahwa ∠ A B C merupakan sudut siku-siku.
m A By B − y A x B − x Asin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 m B Cy C − y B x C − x B− sin ⁡ θ − cos ⁡ θ + 1 m_{AB}&={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\\[2pt]m_{BC}&={\frac {y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}}={\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\end{aligned}}} Then we show that their product equals −1: m A B ⋅ m B Csin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ⋅ − sin ⁡ θ − cos ⁡ θ + 1− sin 2 ⁡ θ − cos 2 ⁡ θ + 1− sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ− 1 &m_{AB}\cdot m_{BC}\\[4pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{-\cos ^{2}\theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\[4pt]={}&{-1}\end{aligned}}} Note the use of the Pythagorean trigonometric identity sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ1. \theta +\cos ^{2}\theta1.}
=1} ), maka didapatkan m A B ⋅ m B Csin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ⋅ − sin ⁡ θ − cos ⁡ θ + 1− sin 2 ⁡ θ − cos 2 ⁡ θ + 1− sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ− 1 m_{AB}\cdot m_{BC}&={\dfrac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\dfrac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\\&={\dfrac {-\sin ^{2}\theta }{-\cos ^{2}\theta +1}}\\&={\dfrac {-\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\&=-1\end{aligned}}} sehingga terbukti m A B } membentuk sudut siku-siku dengan m B C } .
For any triangle, and, in particular, any right triangle, there is exactly one circle containing all three vertices of the triangle.
Untuk setiap segitiga (termasuk setiap segitiga siku-siku), terdapat tepat satu lingkaran yang melewati semua titik sudut segitiganya.
One way of formulating Thales's theorem is: if the circumcenter lies on the triangle then the triangle is right, and it is on its hypotenuse.
Berdasarkan paragraf sebelumnya, maka konvers dari teorema Thales ialah: titik pusat dari lingkaran luar segitiga siku-siku terletak pada hipotenusa segitiganya.
The converse of Thales's theorem is then: the circumcenter of a right triangle lies on its hypotenuse.
Berdasarkan paragraf sebelumnya, maka konvers dari teorema Thales ialah: titik pusat dari lingkaran luar segitiga siku-siku terletak pada hipotenusa segitiganya.
(Equivalently, a right triangle's hypotenuse is a diameter of its circumcircle.)
Secara ekuivalen, hipotenusa segitiga siku-sikunya ialah diameter dari lingkaran luarnya.
As stated above, Thales's theorem is a special case of the inscribed angle theorem (the proof of which is quite similar to the first proof of Thales's theorem given above):
Seperti yang telah disebutkan pada paragraf di awal, teorema Thales merupakan kasus khusus dari teorema sudut keliling :
Thales's theorem can also be used to find the centre of a circle using an object with a right angle, such as a set square or rectangular sheet of paper larger than the circle.
Teorema Thales juga dapat digunakan untuk mencari titik pusat lingkaran menggunakan suatu objek dengan sudut siku-siku, seperti penggaris segitiga siku-siku atau selembar kertas persegi panjang dengan ukuran yang lebih besar dari ukuran lingkarannya.
Inverse Pythagorean theorem Synthetic geometry Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008).
Geometri sintetis Invers teorema Pythagoras Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008).
A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid.
A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid
Weisstein, Eric W. "Thales' Theorem".
(Inggris) (Inggris) Weisstein, Eric W. "Thales' Theorem".
Munching on Inscribed Angles Thales's theorem explained, with interactive animation Demos of Thales's theorem by Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project.
(Inggris) Munching on Inscribed Angles (Inggris) Thales's theorem explained, dengan animasi interaktif (Inggris) Demos of Thales's theorem oleh Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.