Schröder's equation, named after Ernst Schröder, is a functional equation with one independent variable: given the function h, find the function Ψ such that Schröder's equation is an eigenvalue equation for the composition operator Ch that sends a function f to f(h(.)).
Persamaan Schröder, dinamai Ernst Schröder, adalah persamaan fungsional dengan satu variabel independen: diberi fungsi h , temukan fungsinya {{math | Ψ} } seperti yang Persamaan Schröder adalah persamaan nilai eigen untuk operator komposisi
Application of the chain rule shows that the eigenvalue s is given by sh′(a), provided that Ψ(a) is finite and Ψ′(a) does not vanish or diverge.
Jadi, asalkan Ψ(a) is finite dan Ψ′(a) tidak menghilang atau menyimpang, nilai eigen s diberikan oleh sh′(a).
For a0, if h is analytic on the unit disk, fixes 0, and 0 < |h′(0)| < 1, then Gabriel Koenigs showed in 1884 that there is an analytic (non-trivial) Ψ satisfying Schröder's equation.
Untuk a0, if h bersifat analitik pada disk unit, perbaikan 0, dan 0 < |h′(0)| < 1, kemudian Gabriel Koenigs menunjukkan pada tahun 1884 bahwa ada Ψ analitik (non-trivial) yang memenuhi persamaan Schröder.
This is one of the first steps in a long line of theorems fruitful for understanding composition operators on analytic function spaces, cf.
Ini adalah salah satu langkah pertama dalam garis panjang teorema yang bermanfaat untuk memahami operator komposisi pada ruang fungsi analitik, lih.
Equations such as Schröder's are suitable to encoding self-similarity, and have thus been extensively utilized in studies of nonlinear dynamics (often referred to colloquially as chaos theory).
Persamaan seperti Schröder cocok untuk pengkodean kemiripan diri, dan dengan demikian telah digunakan secara luas dalam studi dinamika nonlinier (sering disebut bahasa sehari-hari sebagai teori chaos).
It is also used in studies of turbulence, as well as the renormalization group.
Ini juga digunakan dalam studi tentang turbulensi, serta grup renormalisasi.
An equivalent transpose form of Schröder's equation for the inverse ΦΨ−1 of Schröder's conjugacy function is h(Φ(y))
Bentuk transpos ekuivalen dari persamaan Schröder untuk invers ΦΨ−1 fungsi konjugasi Schröder adalah h(Φ(y))
The change of variables α(x)log(Ψ(x))/log(s)
Similarly, the change of variables Ψ(x)log(φ(x))
(the Abel function) further converts Schröder's equation to the older Abel equation, α(h(x))
(Fungsi Abel) selanjutnya mengubah persamaan Schröder menjadi persamaan Abel yang lebih lama, α(h(x))
Moreover, for the velocity, β(x)Ψ/Ψ′, Julia's equation, β(f(x))
(φ(x))s. Apalagi untuk kecepatan, β(x)Ψ/Ψ′, Julia, β(f(x))
The n-th power of a solution of Schröder's equation provides a solution of Schröder's equation with eigenvalue sn, instead.
Pangkat ke- n solusi persamaan Schröder memberikan solusi persamaan Schröder dengan nilai eigen sn, instead.
In the same vein, for an invertible solution Ψ(x) of Schröder's equation, the (non-invertible) function Ψ(x) k(log Ψ(x)) is also a solution, for any periodic function k(x) with period log(s).
In the same vein, for an invertible solution Ψ(x) dari persamaan Schröder, fungsi (tidak dapat dibalik) Ψ(x) k(log Ψ(x)) juga merupakan solusi, untuk fungsi periodik "apa saja" k(x) dengan titik log ( s ).
All solutions of Schröder's equation are related in this manner.
Semua solusi persamaan Schröder terkait dengan cara ini.
There are a good number of particular solutions dating back to Schröder's original 1870 paper.
Ada sejumlah solusi khusus yang berasal dari makalah asli Schröder tahun 1870.
The series expansion around a fixed point and the relevant convergence properties of the solution for the resulting orbit and its analyticity properties are cogently summarized by Szekeres.
Ekspansi seri di sekitar titik tetap dan sifat konvergensi yang relevan dari solusi untuk orbit yang dihasilkan dan sifat analititasnya secara meyakinkan diringkas oleh George Szekeres.
It is used to analyse discrete dynamical systems by finding a new coordinate system in which the system (orbit) generated by h(x) looks simpler, a mere dilation.
Ini digunakan untuk menganalisis sistem dinamika diskrit dengan mencari sistem koordinat baru di mana sistem (orbit)
More specifically, a system for which a discrete unit time step amounts to x → h(x), can have its smooth orbit (or flow) reconstructed from the solution of the above Schröder's equation, its conjugacy equation.
Lebih khusus lagi, sistem di mana jumlah langkah waktu satuan diskrit x → h(x), dapat memiliki orbit (atau aliran) halusnya direkonstruksi dari solusi persamaan Schröder di atas, konjugasi persamaan.
That is, h(x)Ψ−1(s Ψ(x))
Itu adalah, h(x)Ψ−1(s Ψ(x)) ≡ h1(x).
The set of hn(x), i.e., of all positive integer iterates of h(x) (semigroup) is called the splinter (or Picard sequence) of h(x).
Sekumpulan dari hn(x), yaitu, dari semua iterasi bilangan bulat positif dari h(x) (semigroup) disebut sempalan (atau urutan Picard) dari h(x).
However, all iterates (fractional, infinitesimal, or negative) of h(x) are likewise specified through the coordinate transformation Ψ(x) determined to solve Schröder's equation: a holographic continuous interpolation of the initial discrete recursion x → h(x) has been constructed; in effect, the entire orbit.
Namun, semua iterasi (pecahan, sangat kecil, atau negatif) dari h(x) juga ditentukan melalui transformasi koordinat Ψ(x) bertekad untuk menyelesaikan persamaan Schröder: interpolasi holografik kontinu dari rekursi diskrit awal x → h(x) dibangun; pada dasarnya, seluruh orbit.
For instance, the functional square root is h1/2(x)Ψ−1(s1/2 Ψ(x)), so that h1/2(h1/2(x))
Misalnya, akar kuadrat fungsional adalah h½(x)
h(x), and so on.
h(x), dan seterusnya.
For example, special cases of the logistic map such as the chaotic case h(x)4x(1 − x) were already worked out by Schröder in his original article (p. 306), Ψ(x)(arcsin √x)2, s4, and hence ht(x)
Sebagai contoh, special cases of the logistic map such as the chaotic case h(x)4x(1 − x) were already worked out by Schröder in his original article (p. 306), Ψ(x)
A nonchaotic case he also illustrated with his method, h(x)2x(1 − x), yields Ψ(x)−⁠1/2⁠ln(1 − 2x), and hence ht(x)
Kasus nonkotik juga diilustrasikan dengan metodenya, h(x)2x(1 − x), memberi Ψ(x)−½ln(1 − 2x), dan karenanya ht(x)
−⁠1/2⁠((1 − 2x)2t − 1).
−½((1 − 2x)2t − 1).