The notation f ∘ − 1 } is not commonly used for function composition, since 1 f {\textstyle {\frac {1}{f}}} can be used for the multiplicative inverse.
Kebalikan dari sebuah fungsi f sering kali ditulis f − 1 } , tetapi notasi ini terkadang ambigu.
Let S be a unital magma, that is, a set with a binary operation ∗ and an identity element e ∈ S .
Maka S menjadi himpunan tertutup di bawah operasi biner ∗ (yaitu, magma).
If an element x is both a left inverse and a right inverse of y , then x is called a two-sided inverse, or simply an inverse, of y .
Jika sebuah elemen x merupakan invers kiri dan invers kanan y , maka x disebut dua sisi invers, atau hanya sebuah invers, dari y .
If the operation ∗ is associative then if an element has both a left inverse and a right inverse, they are equal.
Jika operasi ∗ adalah asosiatif maka jika sebuah elemen memiliki invers kiri dan invers kanan, keduanya sama.
In other words, in a monoid (an associative unital magma) every element has at most one inverse (as defined in this section).
Dengan kata lain, dalam monoid (magma unital asosiatif) setiap elemen memiliki paling banyak satu invers (seperti yang didefinisikan di bagian ini).
In a monoid, the set of invertible elements is a group, called the group of units of S , and denoted by U ( S ) or H1.
Dalam monoid, himpunan elemen pembalik (kiri dan kanan) adalah grup, yang disebut satuan grup dari S , dan dilambangkan dengan U ( S ) atau H1.
The lower and upper adjoints in a (monotone) Galois connection, L and G are quasi-inverses of each other; that is, LGLL and GLGG and one uniquely determines the other.
Adjoin bawah dan atas dalam a (monoton) Galois connection, L dan G adalah quasi-invers satu sama lain, yaitu LGLL dan ' 'GLG' '=' 'G' 'dan satu yang unik lain.
A square matrix M with entries in a field K is invertible (in the set of all square matrices of the same size, under matrix multiplication) if and only if its determinant is different from zero.
Sebuah matriks persegi M dengan entri dalam sebuah bidang K dapat dibalik (dalam himpunan semua matriks persegi yang sama ukuran, di bawah perkalian matriks) jika dan hanya jika determinan -nya berbeda dari nol.
If the determinant of M is zero, it is impossible for it to have a one-sided inverse; therefore a left inverse or right inverse implies the existence of the other one.
Jika determinan dari M adalah nol, tidak mungkin untuk memiliki invers satu sisi; oleh karena itu invers kiri atau invers kanan menyiratkan keberadaan yang lain.
For A : m × n ∣ m < n we have right inverses; for example, A A T ( A A T ) − 1 ⏟ A right − 1I m }\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}} The left inverse can be used to determine the least norm solution of A
− 1 A T ⏟ A kiri − 1 AI n }A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{kiri}}^{-1}}A=I_{n}} Untuk A : m × n ∣ m < n kita memiliki invers yang benar, misalnya: A A T ( A A T ) − 1 ⏟ A kanan − 1I m }\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{kanan}}^{-1}}=I_{m}} Pembalikan kiri dapat digunakan untuk menentukan solusi norma terkecil dari A xb , yang juga merupakan rumus kuadrat terkecil untuk regresi dan diberikan oleh x( A T A )
No rank deficient matrix has any (even one-sided) inverse.
Tidak ada matriks kekurangan peringkat yang memiliki invers (bahkan satu sisi).
However, the Moore–Penrose inverse exists for all matrices, and coincides with the left or right (or true) inverse when it exists.
Namun, invers Moore-Penrose ada untuk semua matriks, dan bertepatan dengan kiri atau kanan (atau benar) terbalik jika ada.
[ 77 − 32 − 32 14 ] A T ( A A T ) − 11 54 [ 1 4 2 5 3 6 ] [ 77 − 32 − 32 14 ]1 18 [ − 17 8 − 2 2 13 − 4 ]A right − 1 AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}} The left inverse doesn't exist, because A T A[ 1 4 2 5 3 6 ]
[ 77 − 32 − 32 14 ] A T ( A A T ) − 11 54 [ 1 4 2 5 3 6 ] ⋅ [ 77 − 32 − 32 14 ]1 18 [ − 17 8 − 2 2 13 − 4 ]A right − 1 AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}} Pembalikan kiri tidak ada, karena A T A[ 1 4 2 5 3 6 ] ⋅ [ 1 2 3 4 5 6 ][ 17 22 27 22 29 36 27 36 45 ] }A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}} yang merupakan matriks tunggal, dan tidak dapat dibalik.