The converse is not true: Not all irrational numbers are transcendental.
Akan tetapi, konvers dari pernyataan tersebut tidaklah benar: Tidak semua bilangan irasional merupakan bilangan transendental.
For example, the square root of 2 is an irrational number, but it is not a transcendental number as it is a root of the polynomial equation x2 − 20.
Sebagai contoh, akar kuadrat dari 2 merupakan bilangan irasional, tetapi bukan transendental, sebab bilangan tersebut merupakan akar dari persamaan polinomial x 2 − 20 -2=0} .
The name "transcendental" comes from Latin trānscendere 'to climb over or beyond, surmount', and was first used for the mathematical concept in Leibniz's 1682 paper in which he proved that sin x is not an algebraic function of x. Euler, in the eighteenth century, was probably the first person to define transcendental numbers in the modern sense.
Nama "transendental" berasal dari bahasa Latin trānscendere, artinya "melewati atau melampaui, mengatasi", dan pertama kali digunakan untuk konsep matematika pada paper dari Leibniz pada tahun 1682 dimana beliau membuktikan bahwa sin ⁡ ( x ) bukanlah fungsi aljabar dari x .
Johann Heinrich Lambert conjectured that e and π were both transcendental numbers in his 1768 paper proving the number π is irrational, and proposed a tentative sketch proof that π is transcendental.
Johann Heinrich Lambert memberikan konjektur bahwa e dan π keduanya merupakan bilangan transendental pada paper bukti bahwa π irasional miliknya di tahun 1768, dan mengajukan sketsa bukti tentatif bahwa π transendental.
Joseph Liouville first proved the existence of transcendental numbers in 1844, and in 1851 gave the first decimal examples such as the Liouville constant L b∑ n1 ∞ 10 − n !
Joseph Liouville adalah orang pertama yang membuktikan kewujudan bilangan transendental pada tahun 1844, dan pada tahun 1851, beliau memberikan contoh pertama dalam bilangan desimal, seperti konstanta Liouville L∑ n1 ∞ 10 − n !
10 − 1 + 10 − 2 + 10 − 6 + 10 − 24 + 10 − 120 + 10 − 720 + 10 − 5040 + 10 − 40320 + …0. 1 1 000 1 00000000000000000 1 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 … L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\[2pt]&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\[4pt]&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}} in which the nth digit after the decimal point is 1 if nk!
10 − 1 + 10 − 2 + 10 − 6 + 10 − 24 + 10 − 120 + 10 − 720 + 10 5040 + …0 , 1 _ 1 _ 000 1 _ 00000000000000000 1 _ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 … L&=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }10^{-n!}\\&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{5040}+\ldots \\&=0,{\underline {1}}{\underline {1}}000{\underline {1}}00000000000000000{\underline {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}} dimana digit ke- n setelah koma desimal adalah 1 jika nk !
In other words, the nth digit of this number is 1 only if n is one of 1!
Dengan kata lain, digit ke- n dari bilangan ini ialah 1 hanya jika n adalah 1 ! , 2 ! , 3 ! , 4 !
Liouville showed that this number belongs to a class of transcendental numbers that can be more closely approximated by rational numbers than can any irrational algebraic number, and this class of numbers is called the Liouville numbers.
Liouville berhasil menunjukkan bahwa bilangan ini termasuk ke dalam golongan bilangan yang dapat dihampiri dengan lebih dekat oleh bilangan rasional dibandingkan dengan bilangan irasional aljabar manapun, dan golongan bilangan ini disebut sebagai bilangan Liouville.
Liouville showed that all Liouville numbers are transcendental.
Liouville berhasil menunjukkan bahwa semua bilangan Liouville merupakan bilangan transendental.
In 1882 Ferdinand von Lindemann published the first complete proof that π is transcendental.
Pada tahun 1882, Ferdinand von Lindemann menerbitkan bukti pertama bahwa π transendental.
This approach was generalized by Karl Weierstrass to what is now known as the Lindemann–Weierstrass theorem.
Pendekatan ini kemudian diperumum oleh Karl Weierstrass menjadi apa yang dikenal sekarang sebagai teorema Lindemann–Weierstrass.
The transcendence of π implies that geometric constructions involving compass and straightedge only cannot produce certain results, for example squaring the circle.
Ketransendentalan π mengakibatkan bahwa konstruksi geometris yang hanya melibatkan lukisan jangka dan mistar tidak dapat menghasilkan hasil tertentu, seperti mempersegikan lingkaran.
In 1900 David Hilbert posed a question about transcendental numbers, Hilbert's seventh problem: If a is an algebraic number that is not 0 or 1, and b is an irrational algebraic number, is ab necessarily transcendental?
Pada tahun 1900, David Hilbert mengajukan pertanyaan mengenai bilangan transendental, yang dikenal sebagai masalah ke-7 Hilbert: Jika a merupakan bilangan aljabar selain 0 maupun 1, dan b merupakan bilangan aljabar irasional, apakah a b } merupakan bilangan transendental?
The affirmative answer was provided in 1934 by the Gelfond–Schneider theorem.
Jawaban afirmatif diberikan pada tahun 1934 oleh teorema Gelfond–Schneider.
For example, from knowing that π is transcendental, it can be immediately deduced that numbers such as 5 π , π − 3 2 {\sqrt {2}}}} , ( π − 3 ) 8 }-{\sqrt {3}})^{8}} , and π 5 + 7 4 ]{\pi ^{5}+7}}} are transcendental as well.
Misalnya, berdasarkan informasi bahwa π merupakan bilangan transendental, maka dapat disimpulkan bahwa 8 π , 11 − 3 π , π − 12 7 {\sqrt {7}}}} , ( π − 3 ) 8 }-{\sqrt {3}})^{8}} , dan 7 + π 5 4 ]{7+\pi ^{5}}}} juga merupakan bilangan transendental.
For example, π and (1 − π) are both transcendental, but π + (1 − π)1 is not.
Misalnya, bilangan π dan 1 − π sama-sama merupakan bilangan aljabar, tetapi π + ( 1 − π ) jelas tidak.
All Liouville numbers are transcendental, but not vice versa.
Semua bilangan Liouville merupakan bilangan transendental, namun tidak sebaliknya.
W ( a ) if a is algebraic and nonzero, for any branch of the Lambert W function (by the Lindemann–Weierstrass theorem), in particular the omega constant Ω. W ( r , a ) if both a and the order r are algebraic such that a ≠ 0 , for any branch of the generalized Lambert W function.
Fungsi W Lambert W ( a ) , dengan a merupakan bilangan aljabar tak nol (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass) Termasuk konstanta omega Ω .
Any Liouville number, in particular: Liouville's constant ∑ k1 ∞ 1 10 k ! ^{\infty }{\frac {1}{10^{k!}}}} .
Setiap bilangan Liouville Termasuk konstanta Liouville ∑ k1 ∞ 1 10 k !
The values of the Rogers-Ramanujan continued fraction R ( q ) where q ∈ C \in \mathbb {C} } is algebraic and 0 < | q | < 1 .
Konstanta Komornik–Loreti Nilai-nilai dari pecahan berlanjut Rogers–Ramanujan R ( q ) , dengan q merupakan bilangan kompleks aljabar yang memenuhi pertidaksamaan 0 < | q | < 1 .
The lemniscatic values of theta function ∑ n− ∞ ∞ q n 2 ^{\infty }q^{n^{2}}} (under the same conditions for q } ) are also transcendental. j(q) where q ∈ C \in \mathbb {C} } is algebraic but not imaginary quadratic (i.e, the exceptional set of this function is the number field whose degree of extension over Q } is 2).
Nilai lemniskatik dari fungsi theta ∑ n− ∞ ∞ q n 2 ^{\infty }q^{n^{2}}} (nilai q memenuhi persyaratan yang sama seperti sebelumnya) juga merupakan bilangan transendental.
The Euler–Mascheroni constant γ: In 2010 it has been shown that an infinite list of Euler-Lehmer constants (which includes γ/4) contains at most one algebraic number.
Pada tahun 2010, telah ditunjukkan bahwa daftar takhingga dari konstanta Euler–Lehmer (termasuk γ / 4 ) memuat paling banyak satu bilangan aljabar.
In 2012 it was shown that at least one of γ and the Gompertz constant δ is transcendental.
Pada tahun 2012, telah ditunjukkan bahwa setidaknya salah satu dari γ dan konstanta Gompertz δ merupakan bilangan transendental.
The values of the Riemann zeta function ζ(n) at odd positive integers n ≥ 3 ; in particular Apéry's constant ζ(3), which is known to be irrational.
Nilai dari fungsi zeta Riemann ζ ( n ) untuk bilangan ganjil n ≥ 3 Termasuk konstanta Apéry ζ ( 3 ) , yang diketahui merupakan bilangan irasional.
The values of the Dirichlet beta function β(n) at even positive integers n ≥ 2 ; in particular Catalan's Constant β(2).
Nilai dari fungsi beta Dirichlet β ( n ) untuk bilangan genap n ≥ 2 Termasuk konstanta Catalan β ( 2 ) Nilai dari fungsi Gamma Γ ( 1 n ) {n}}\right)} untuk n5 dan bilangan asli n ≥ 7 belum diketahui irasional, apalagi transendental.
The first proof that the base of the natural logarithms, e, is transcendental dates from 1873.
Bukti pertama yang menyatakan bahwa basis dari logaritma alami (yaitu e ) merupakan bilangan transendental berasal dari tahun 1873.
We will now follow the strategy of David Hilbert (1862–1943) who gave a simplification of the original proof of Charles Hermite.
Dalam artikel ini, akan digunakan strategi dari David Hilbert (1862–1943) yang menyederhanakan bukti orisinal dari Charles Hermite.
The idea is the following: Assume, for purpose of finding a contradiction, that e is algebraic.
Gagasannya ialah sebagai berikut: Asumsikan bahwa e merupakan bilangan aljabar, dengan tujuan untuk mencari kontradiksi.
x k [ ( x − 1 )
( x − 1 ) k + 1 ( x − 2 )
⋯ ( x − n ) ] k + 1 , (x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},} and multiply both sides of the above equation by ∫ 0 ∞ f k ( x ) e − x d x , ^{\infty }f_{k}(x)\,e^{-x}\,\mathrm {d} x\ ,} to arrive at the equation: c 0 ( ∫ 0 ∞ f k ( x )
k + 1 ⋯ ( x − n ) k + 1 (x)=(x-1)^{k+1}(x-2)^{k+1}(x-3)^{k+1}\cdots (x-n)^{k+1}} sehingga diperoleh a 0 + a 1 e + a 2 e 2 + … + a n e n0 ( ∫ 0 ∞ x k p k ( x )
e − ( x − a ) d x{ tx − a xt + a d xd t }c a ∫ 0 ∞ f k ( t + a )
e − x d x ) ( a 0 + a 1 e + a 2 e 2 + … + a n e n )
Note that f k e − xx k [ ( x − 1 ) ( x − 2 )
( x − 1 ) k + 1 ( x − 2 )
⋯ ( x − n ) ] k + 1 e − x( x ( x − 1 )
( x − 1 ) k + 1 ( x − 2 )
A similar strategy, different from Lindemann's original approach, can be used to show that the number π is transcendental.
Strategi serupa (yang berbeda dari pendekatan orisinal dari Lindemann) dapat digunakaan untuk menunjukkan bahwa bilangan π merupakan bilangan transendental.
Besides the gamma-function and some estimates as in the proof for e, facts about symmetric polynomials play a vital role in the proof.
Selain fungsi gamma dan beberapa estimasi seperti pada bukti untuk e , fakta mengenai polinomial simetris memiliki peran penting dalam pembuktiannya.
Weisstein, Eric W. "Liouville Number".
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Liouville Number".
Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant".
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant".
Fritsch, R. (29 March 1988).
Fritsch, R. (29 Maret 1988).
Hauptversammlung des Deutschen Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts [79th Annual, General Meeting of the German Association for the Promotion of Mathematics and Science Education].
Hauptversammlung des Deutschen Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts [Rapat Umum Tahunan ke-79 Asosiasi Jerman untuk
Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (in German).
Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (dalam bahasa Jerman).
Kiel, DE (published 1989).
Kiel, DE (dipublikasikan 1989).
75–80 (presentation), 375–376 (responses).
hlm. 75–80 (presentasi), 375–376 (tanggapan).
Archived from the original (PDF) on 2011-07-16 – via University of Munich (mathematik.uni-muenchen.de ).
Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 16-07-2011 – via Universitas Ludwig Maximilian München.
— Proof that e is transcendental, in German.
— Bukti bahwa e transendental, dalam bahasa Jerman.
Archived from the original (PDF) on 2011-07-16 – via University of Munich (mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch).
Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 16-07-2011 – via Universitas Ludwig Maximilian München.