In the study of differential equations, a boundary-value problem is a differential equation subjected to constraints called boundary conditions.
Dalam matematika, di dalam bidang persamaan diferensial, masalah nilai batas adalah persamaan diferensial bersama dengan himpunan batasan tambahan yang disebut kondisi batas.
A solution to a boundary value problem is a solution to the differential equation which also satisfies the boundary conditions.
Penyelesaian masalah nilai batas merupakan penyelesaian persamaan diferensial yang juga memenuhi kondisi batas.
Boundary value problems arise in several branches of physics as any physical differential equation will have them.
Masalah nilai batas muncul dalam berbagai cabang ilmu fisika karena setiap persamaan diferensial fisika memiliki permasalahan ini.
Problems involving the wave equation, such as the determination of normal modes, are often stated as boundary value problems.
Masalah yang melibatkan persamaan gelombang, seperti penentuan modus normal, sering dinyatakan sebagai masalah nilai batas.
A large class of important boundary value problems are the Sturm–Liouville problems.
Kelas besar masalah nilai batas penting adalah masalah Sturm–Liouville.
This means that given the input to the problem there exists a unique solution, which depends continuously on the input.
Hal ini memiliki arti bahwa untuk masukan yang diberikan ke dalam masalah terdapat solusi unik, yang terus-menerus bergantung pada masukan.
Among the earliest boundary value problems to be studied is the Dirichlet problem, of finding the harmonic functions (solutions to Laplace's equation); the solution was given by the Dirichlet's principle.
Salah satu masalah nilai batas yang dipelajari paling awal adalah masalah Dirichlet, yaitu penentuan fungsi harmonik (solusi dari persamaan Laplace); penyelesaian diberikan pada prinsip Dirichlet.
Boundary value problems are similar to initial value problems.
Masalah nilai batas serupa dengan masalah nilai awal.
A boundary value problem has conditions specified at the extremes ("boundaries") of the independent variable in the equation whereas an initial value problem has all of the conditions specified at the same value of the independent variable (and that value is at the lower boundary of the domain, thus the term "initial" value).
Masalah nilai batas memiliki kondisi yang ditentukan pada nilai variabel bebas ekstrem ("batas") di dalam persamaan, sementara masalah nilai awal memiliki semua kondisi yang ditentukan pada nilai variabel bebas yang sama (dan nilai tersebut merupakan batas bawah domain, sehingga digunakan istilah nilai "awal").
For example, if the independent variable is time over the domain [0,1], a boundary value problem would specify values for y ( t ) at both t0 and t1 , whereas an initial value problem would specify a value of y ( t ) and y ′ ( t ) at time t0 .
Sebagai contoh, jika variabel bebas adalah waktu di dalam domain [0,1], masalah nilai batas akan menentukan nilai untuk y ( t ) pada t0 dan t1 , sementara masalah nilai awal akan menentukan nilai y ( t ) dan y ′ ( t )
Finding the temperature at all points of an iron bar with one end kept at absolute zero and the other end at the freezing point of water would be a boundary value problem.
Penentuan suhu di semua titik pada batang besi dengan salah satu ujung dijaga bersuhu nol mutlak dan ujung lainnya dijaga bersuhu titik beku air merupakan masalah nilai batas.
If the problem is dependent on both space and time, one could specify the value of the problem at a given point for all time or at a given time for all space.
Jika masalah bergantung pada ruang dan waktu, penyelesaian masalah tersebut dapat menentukan nilai masalah di titik tertentu untuk seluruh titik waktu atau di waktu tertentu untuk seluruh titik ruang.
Concretely, an example of a boundary value problem (in one spatial dimension) is y ″ ( x ) + y ( x )
Secara konkret, contoh masalah nilai batas (pada ruang satu dimensi) adalah y ″ ( x ) + y ( x )
0 to be solved for the unknown function y ( x ) with the boundary conditions y ( 0 )
0 dengan penyelesaian berupa fungsi tak diketahui y ( x ) dan kondisi batas y ( 0 )0 , y ( π / 2 )2. Tanpa kondisi batas, solusi umum dari persamaan ini adalah y ( x )
0 , y ( π / 2 )2. Without the boundary conditions, the general solution to this equation is y ( x )
0 dengan penyelesaian berupa fungsi tak diketahui y ( x ) dan kondisi batas y ( 0 )0 , y ( π / 2 )2. Tanpa kondisi batas, solusi umum dari persamaan ini adalah y ( x )
From the boundary condition y ( 0 )0 one obtains 0A ⋅ 0 + B ⋅ 1 which implies that B0.
0 diperoleh 0A ⋅ 0 + B ⋅ 1 yang berarti bahwa B0. Dari kondisi batas y ( π / 2 )2 diperoleh 2A ⋅ 1 sehingga
One sees that imposing boundary conditions allowed one to determine a unique solution, which in this case is y ( x )
A2. Dapat dilihat bahwa dengan menerapkan kondisi batas memungkinkan untuk menentukan solusi unik, yang dalam kasus ini adalah y ( x )
Summary of boundary conditions for the unknown function, y , constants c 0 } and c 1 } specified by the boundary conditions, and known scalar functions f and g specified by the boundary conditions.
Berikut rangkuman kondisi batas dari fungsi tak diketahui, y , konstanta c 0 } dan c 1 } yang menentukan kondisi batas, serta fungsi skalar f dan g yang diketahui dan menentukan kondisi batas.
A type 1 boundary condition, Dirichlet boundary condition, specifies the value of the function itself.
} Kondisi batas yang menentukan nilai fungsi adalah kondisi batas Dirichlet, atau kondisi batas jenis pertama.
For example, if one end of an iron rod is held at absolute zero, then the value of the problem would be known at that point in space.
Sebagai contoh, jika salah satu ujung batang besi dijaga bersuhu nol mutlak, maka nilai masalah dapat diketahui pada titik ruang tersebut.
A type 2 boundary condition, Neumann boundary condition, specifies the value of the normal derivative of the function.
Kondisi batas yang menentukan nilai turunan berarah normal dari fungsi adalah kondisi batas Neumann, atau kondisi batas jenis kedua.
For example, if there is a heater at one end of an iron rod, then energy would be added at a constant rate but the actual temperature would not be known.
Sebagai contoh, jika terdapat alat pemanas di salah satu ujung batang besi, maka energi akan ditambahkan dengan laju konstan, tetapi suhu aktual tidak diketahui.
If the boundary has the form of a curve or surface that gives a value to the normal derivative and the variable itself then it is a Cauchy boundary condition.
Jika batas memiliki bentuk kurva atau bidang yang diketahui nilai turunan berarah normal dan nilai variabel itu sendiri merupakan kondisi batas Cauchy.
For an elliptic operator, one discusses elliptic boundary value problems.
Untuk operator eliptik termasuk ke dalam masalah nilai batas eliptik.
For a hyperbolic operator, one discusses hyperbolic boundary value problems.
Sementara untuk operator hiperbolik termasuk ke dalam masalah nilai batas hiperbolik.
In electrostatics, a common problem is to find a function which describes the electric potential of a given region.
Dalam elektrostatika, masalah yang umum ditemui adalah mencari fungsi yang menjelaskan potensial listrik pada wilayah tinjauan.
If the region does not contain charge, the potential must be a solution to Laplace's equation (a so-called harmonic function).
Jika wilayah tidak memiliki muatan, potensial haruslah solusi dari persamaan Laplace (juga sering disebut fungsi harmonik).
The boundary conditions in this case are the Interface conditions for electromagnetic fields.
Kondisi batas pada kasus ini adalah kondisi antarmuka untuk medan elektromagnetik.
"Boundary value problems in potential theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] "Boundary value problem, complex-variable methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Linear Partial Differential Equations: Exact Solutions and Boundary Value Problems at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
[1994], "Boundary value problem, complex-variable methods", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 Linear Partial Differential Equations: Exact Solutions and Boundary Value Problems dalam EqWorld: The World of Mathematical Equations.