Derivatives and their generalizations appear in many fields of mathematics, such as complex analysis, functional analysis, differential geometry, measure theory, and abstract algebra.
Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
_{\Delta x\to 0}2x+\Delta x\\\end{aligned}}}
y+\Delta y&=f\left(x+\Delta x\right)\\&=m\left(x+\Delta
When x and y are real variables, the derivative of f at x is the slope of the tangent line to the graph of f at x. Because the source and target of f are one-dimensional, the derivative of f is a real number.
Bilamana x dan y adalah variabel real, turunan dari f pada x adalah kemiringan dari garis singgung grafik f' di titik x. Karena sumber dan target dari f berdimensi satu, turunan dari f adalah bilangan real.
If x and y are vectors, then the best linear approximation to the graph of f depends on how f changes in several directions at once.
Jika x dan y adalah vektor, maka pendekatan linear yang paling mendekati grafik f tergantung pada bagaimana f berubah di beberapa arah secara bersamaan.
Taking the best linear approximation in a single direction determines a partial derivative, which is usually denoted ⁠∂y/∂x⁠.
Dengan mengambil pendekatan linear yang paling dekat di satu arah menentukan sebuah turunan parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x.
0 are called critical points or stationary points (and the value of f at x is called a critical value).
adalah nol; titik-titik di mana f '(x)0 disebut titik kritis atau titik pegun (dan nilai dari f di x disebut nilai kritis).
If f is twice differentiable, then conversely, a critical point x of f can be analysed by considering the second derivative of f at x : if it is positive, x is a local minimum; if it is negative, x is a local maximum; if it is zero, then x could be a local minimum, a local maximum, or neither.
Sebaliknya, titik kritis x dari f dapat dianalisis dengan menggunakan turunan ke-dua dari f di x: jika turunan ke-dua bernilai positif, x adalah minimum lokal; jika turunan ke-dua bernilai negatif, x adalah maksimum lokal; jika turunan ke-dua bernilai nol, x mungkin maksimum lokal, minimum lokal, ataupun tidak kedua-duanya.
x3 has a critical point at x0, but it has neither a maximum nor a minimum there, whereas f(x)
(Sebagai contohnya, f(x)=x³ memiliki titik kritis di x=0, tetapi titik itu bukanlah titik maksimum ataupun titik minimum; sebaliknya f(x)
± x4 has a critical point at x0 and a minimum and a maximum, respectively, there.)
±x4 mempunyai titik kritis di x0 dan titik itu adalah titik minimum maupun maksimum.)
An alternative approach, called the first derivative test, involves considering the sign of the f' on each side of the critical point.
Sebuah pendekatan alternatif lainnya, uji turunan pertama melibatkan nilai f ' di kedua sisi titik kritis.
By the extreme value theorem, a continuous function on a closed interval must attain its minimum and maximum values at least once.
Sesuai dengan teorema nilai ekstremum, suatu fungsi yang kontinu pada interval tertutup haruslah memiliki nilai-nilai minimum dan maksimum paling sedikit satu kali.
In higher dimensions, a critical point of a scalar valued function is a point at which the gradient is zero.
Di dimensi yang lebih tinggi, titik kritis dari nilai skalar fungsi adalah titik di mana gradien fungsi tersebut adalah nol.
The second derivative test can still be used to analyse critical points by considering the eigenvalues of the Hessian matrix of second partial derivatives of the function at the critical point.
Uji turunan kedua masih dapat digunakan untuk menganalisis titik-titik kritis dengan menggunakan nilai-nilai eigen matriks Hesse dari turunan parsial ke-dua fungsi di titik kritis.
If all of the eigenvalues are positive, then the point is a local minimum; if all are negative, it is a local maximum.
Jika semua nilai eigen tersebut adalah positif, maka titik tersebut adalah minimum lokal; jika semuanya negatif, maka titik itu adalah maksimum lokal.
If there are some positive and some negative eigenvalues, then the critical point is called a "saddle point", and if none of these cases hold (i.e., some of the eigenvalues are zero) then the test is considered to be inconclusive.
Jika ada beberapa yang positif dan beberapa yang negatif, maka titik kritis tersebut adalah titik pelana, dan jika tidak ada satupun dari keadaan di atas yang terpenuhi (misalnya ada beberapa nilai eigen yang nol) maka uji tersebut inkonklusif.
One example of an optimization problem is: Find the shortest curve between two points on a surface, assuming that the curve must also lie on the surface.
Salah satu contoh masalah optimalisai adalah mencari kurva terpendek anatar dua titik di atas sebuah permukaan dengan asumsi kurva tersebut harus berada di permukaan tersebut.
If the surface is a plane, then the shortest curve is a line.
Jika permukaan tersebut adalah bidang rata, maka kurva yang paling pendek berupa garis lurus.
These paths are called geodesics, and one of the most fundamental problems in the calculus of variations is finding geodesics.
Kurva ini disebut sebagai geodesik, dan salah satu masalah paling sederhana di kalkulus variasi adalah mencari geodesik.
Another example is: Find the smallest area surface filling in a closed curve in space.
Contoh lainnya adalah mencari luas permukaan paling kecil yang dibatasi oleh kurva tertutup di ruang tiga dimensi.
This surface is called a minimal surface and it, too, can be found using the calculus of variations.
Permukaan ini disebut sebagai permukaan minimum, dan ini dapat dicari dengan menggunakan kalkulus variasi.
x ′ ( t )− 32 t + 16 , }(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!} and the object's acceleration is x ¨ ( t )
x ( t )− 16 t 2 + 16 t + 32 , +16t+32,\,\!} maka kecepatan benda tersebut adalah: x ˙ ( t )
An ordinary differential equation is a differential equation that relates functions of one variable to their derivatives with respect to that variable.
Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri.
Differential equations arise naturally in the physical sciences, in mathematical modelling, and within mathematics itself.
Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri.
If f(x) is a real-valued function and a and b are numbers with a < b, then the mean value theorem says that under mild hypotheses, the slope between the two points (a, f(a)) and (b, f(b)) is equal to the slope of the tangent line to f at some point c between a and b.
Jika f(x) adalah fungsi yang bernilai real dan a dan b adalah bilangan dengan a < b, maka teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan antara dua titik (a, f(a))
In other words, f ′ ( c )f ( b ) − f ( a ) b − a . {b-a}}.} In practice, what the mean value theorem does is control a function in terms of its derivative.
{b-a}}.} Dalam praktiknya, teorema nilai purata ini mengontrol sebuah fungsi terhadap turunannya.
That is to say, the linearization of a real-valued function f(x) at the point x0 is a linear polynomial a + b(x − x0), and it may be possible to get a better approximation by considering a quadratic polynomial a + b(x − x0) + c(x − x0)2.
Linearisasi dari fungsi bernilai real f(x) pada suatu titik x0 adalah linearisasi polinomial a + b(x - x0), dan sangat mungkin untuk mendapatkan pendekatan yang lebih baik dengan menggunakan polinomial kuadratik a + b(x - x0) + c(x - x0)².
Still better might be a cubic polynomial a + b(x − x0) + c(x − x0)2 + d(x − x0)3, and this idea can be extended to arbitrarily high degree polynomials.
Masih lebih baik lagi apabila menggunakan polinomial kubik a + b(x - x0) + c(x - x0)² + d(x - x0)³, dan gagasan ini dapat diperluas sampai polinomial berderajat tinggi.
For each one of these polynomials, there should be a best possible choice of coefficients a, b, c, and d that makes the approximation as good as possible.
Untuk setiap polinomial ini, haruslah terdapat pilihan nilai koefisien yang paling tepat untuk a, b, c, dan d yang membuat pendekatan ini sedekat mungkin.
The Taylor polynomial of degree d is the polynomial of degree d which best approximates f, and its coefficients can be found by a generalization of the above formulas.
Jika f adalah polinomial dengan derajat yang lebih kecil atau sama dengan d, maka polinomial Taylor dengan derajat d sama dengan f. Batasan dari polinomial Taylor adalah deret tidak terbatas yang disebut sebagai deret Taylor.
If f is a polynomial of degree less than or equal to d, then the Taylor polynomial of degree d equals f. The limit of the Taylor polynomials is an infinite series called the Taylor series.
Jika f adalah polinomial dengan derajat yang lebih kecil atau sama dengan d, maka polinomial Taylor dengan derajat d sama dengan f. Batasan dari polinomial Taylor adalah deret tidak terbatas yang disebut sebagai deret Taylor.
Functions which are equal to their Taylor series are called analytic functions.
Fungsi-fungsi yang sama dengan deret Taylor disebut sebagai fungsi analitik.
Some natural geometric shapes, such as circles, cannot be drawn as the graph of a function.
Beberapa bentuk geometri alami, seperti lingkaran, tidak dapat digambar sebagai grafik fungsi.
For instance, if f(x, y)x2 + y2 − 1, then the circle is the set of all pairs (x, y) such that f(x, y)0.
Jika F(x, y)x² + y², maka lingkaran adalah himpunan pasangan (x, y) di mana F(x, y)0.
The implicit function theorem converts relations such as f(x, y)0 into functions.
Teorema fungsi implisit mengubah relasi seperti F(x, y)0 menjadi fungsi .
It states that if f is continuously differentiable, then around most points, the zero set of f looks like graphs of functions pasted together.
Teorema ini menyatakan bahwa jika F adalah secara kontinu terdiferensialkan, maka di sekitar kebanyakan titik-titik, himpunan nol dari F tampak seperti grafik fungsi yang digabungkan bersama.
In a neighborhood of every point on the circle except (−1, 0) and (1, 0), one of these two functions has a graph that looks like the circle.
Di setiap titik lingkungan dari lingkaran kecuali (-1, 0) dan (1, 0),satu dari dua fungsi ini mempunyai grafik yang mirip dengan lingkaran.
(These two functions also happen to meet (−1, 0) and (1, 0), but this is not guaranteed by the implicit function theorem.)
(Dua fungsi ini juga bertemu di (-1, 0)dan (1, 0), tetapi hal ini tidak dipastikan oleh teorema fungsi implisit).
The implicit function theorem is closely related to the inverse function theorem, which states when a function looks like graphs of invertible functions pasted together.
Teorema fungsi implisit berhubungan dekat dengan teorema fungsi invers yang menentukan kapan sebuah fungsi tampak mirip dengan grafik fungsi terbalikkan yang digabungkan bersama.