Hilbert imagines a hypothetical hotel with rooms numbered 1, 2, 3, and so on with no upper limit.
Hilbert membayangkan suatu hotel khayalan dengan kamar yang diberi nomor 1 , 2 , 3 , dan seterusnya, tanpa batas atas.
Initially every room is occupied, and yet new visitors arrive, each expecting their own room.
Pada awalnya, setiap kamar telah terisi penuh, dan kemudian beberapa tamu baru pun berdatangan, masing-masing mengharapkan sebuah kamarnya.
A normal, finite hotel could not accommodate new guests once every room is full.
Sebuah hotel normal (dengan jumlah kamar yang terbatas) tidak dapat menampung tamu baru setelah semua kamar telah terisi penuh.
However, it can be shown that the existing guests and newcomers – even an infinite number of them – can each have their own room in the infinite hotel.
Akan tetapi, dapat ditunjukkan bahwa para tamu yang sudah ada dan para pendatang baru — bahkan dalam jumlah yang tak terhingga — dapat memiliki kamar masing-masing di hotel takhingga.
In general, when k guests seek a room, the hotel can apply the same procedure and move every guest from room n to room n + k.
Secara umum, jika terdapat k pendatang tambahan, pihak hotel dapat menerapkan prosedur serupa dengan memindahkan setiap tamu dari kamar n ke kamar n + k .
In this way all the rooms will be filled by one, and only one, guest.
Dengan cara ini, maka seluruh kamar akan terisi oleh satu dan hanya satu orang.
Once they are filled (by the hotel's redistributed occupants), the remaining empty rooms form the shape of a pyramid exactly identical to the original shape.
Setelah semua tamu hotel dipindahkan ke kamar-kamar yang berada pada kolom paling kiri, semua kamar kosong yang tersisa membentuk bangun piramida yang identik dengan bentuk awalnya.
Hilbert's paradox is a veridical paradox: it leads to a counter-intuitive result that is provably true.
Paradoks Hotel Hilbert merupakan paradoks veridikal: hasilnya bersifat kontraintuitif namun dapat dibuktikan kebenarannya.
The statements "there is a guest to every room" and "no more guests can be accommodated" are not equivalent when there are infinitely many rooms.
Pernyataan "setiap kamar memiliki penghuni" dan "tidak dapat mengakomodasi tamu tambahan" tidak lagi ekuivalen ketika terdapat tak terhingga banyaknya kamar.
Thus, in an ordinary (finite) hotel with more than one room, the number of odd-numbered rooms is obviously smaller than the total number of rooms.
Dalam hotel biasa (dengan jumlah kamar yang terbatas), banyaknya kamar bernomor ganjil jelas kurang dari banyaknya kamar pada hotel tersebut.
However, in Hilbert's Grand Hotel, the quantity of odd-numbered rooms is not smaller than the total "number" of rooms.
Akan tetapi, dalam hotel Hilbert, banyaknya kamar bernomor ganjil tidak kurang dari "banyaknya" kamar yang ada.
In mathematical terms, the cardinality of the subset containing the odd-numbered rooms is the same as the cardinality of the set of all rooms.
Dengan istilah matematika, kardinalitas dari suatu himpunan bagian yang memuat kamar bernomor ganjil sama dengan kardinalitas dari himpunan semua kamar.
For countable sets (sets with the same cardinality as the natural numbers) this cardinality is ℵ 0 } .
Untuk himpunan terhitung (yaitu himpunan yang memiliki kardinalitas yang sama dengan bilangan asli), kardinalitasnya ialah ℵ 0 } .