{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}.} The formula is named after François Viète, who published it in 1593.
{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}.} Nama rumus tersebut diambil dari François Viète yang memperkenalkannya pada tahun 1593.
François Viète (1540–1603) was a French lawyer, privy councillor and code-breaker to two French kings, and amateur mathematician.
François Viète adalah seorang advokat, penasihat pribadi kepada dua Raja Perancis, dan matematikawan.
He published this formula in 1593 in his work Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII.
Ia memperkenalkan rumus hitung π dalam karyanya Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII pada tahun 1593.
Using his formula, Viète calculated π to an accuracy of nine decimal digits.
Viète menghitung nilai π hingga digit desimal ke-9 dengan menggunakan rumusnya.
However, this was not the most accurate approximation to π known at the time, as the Persian mathematician Jamshīd al-Kāshī had calculated π to an accuracy of nine sexagesimal digits and 16 decimal digits in 1424.
Namun demikian, perhitungan tersebut bukan yang paling akurat pada waktu itu karena Jamshīd al-Kāshī, seorang matematikawan Persia, telah terlebih dahulu menghitung nilai π hingga seksagesimal ke-9 dan desimal ke-16 pada tahun 1424.
Not long after Viète published his formula, Ludolph van Ceulen used a method closely related to Viète's to calculate 35 digits of π, which were published only after van Ceulen's death in 1610.
Tidak lama setelah Viète memperkenalkan rumusnya, Ludolph van Ceulen menggunakan metode mirip dengan Viète untuk menghitung nilai π hingga digit ke-35 yang baru dipublikasi setelah kematiannya pada tahun 1610.
Viète's formula may be rewritten and understood as a limit expression lim n → ∞ ∏ i1 n a i 22 π , \prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }},} where a 12 a i2 + a i − 1 .
Rumus Vieta dapat dinyatakan ulang dan dipahami sebagai limit ungkapan lim n → ∞ ∏ i1 n a i 22 π \prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}} dengan a 12 a n2 + a n − 1 .
a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{i}&={\sqrt {2+a_{i-1}}}.\end{aligned}}} For each choice of n , the expression in the limit is a finite product, and as n gets arbitrarily large, these finite products have values that approach the value of Viète's formula arbitrarily closely.
a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{n}&={\sqrt {2+a_{n-1}}}.\end{aligned}}} Untuk sembarang n , ungkapan pada limit tersebut hanya perkalian terhitung.
Viète did his work long before the concepts of limits and rigorous proofs of convergence were developed in mathematics; the first proof that this limit exists was not given until the work of Ferdinand Rudio in 1891.
Karena Viète memperoleh rumusnya jauh sebelum konsep limit serta pembuktian ketat konvergensi dikembangkan dalam matematika, kebenaran adanya limit tersebut baru diberikan oleh Ferdinand Rudio pada tahun 1891.
The rate of convergence of a limit governs the number of terms of the expression needed to achieve a given number of digits of accuracy.
Laju konvergensi suatu limit mengendalikan seberapa banyak suku atau jumlah perhitungan yang dibutuhkan untuk memperoleh digit sesuai konstanta terkait.
\pi &=\lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}},\\a_{1}&=0,\\a_{k}&={\sqrt {2+a_{k-1}}}.\end{aligned}}} Many formulae for π and other constants such as the golden ratio are now known, similar to Viète's in their use of either nested radicals or infinite products of trigonometric functions.
\pi &=\lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}},\\a_{1}&=0,\\a_{k}&={\sqrt {2+a_{k-1}}}.\end{aligned}}} Ada banyak rumus untuk π dan konstanta lain, misalnya, rasio emas, yang diketahui.
Repeatedly applying the double-angle formula sin ⁡ x2 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 , {2}}\cos {\frac {x}{2}},} leads to a proof by mathematical induction that, for all positive integers n, sin ⁡ x2 n sin ⁡ x 2 n ( ∏ i1 n cos ⁡ x 2 i ) .
Dalam hal ini, dengan menyubtitusi secara berulang rumus dua kali sudut sin ⁡ x2 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 {2}}\cos {\frac {x}{2}}} pada dirinya sendiri, diperoleh rumus baru yang dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika, yakni, untuk setiap bilangan bulat positif n, sin ⁡ x2 n sin ⁡ x 2 n ( ∏ i1 n cos ⁡ x 2 i ) .
\sin {\frac {x}{2^{n}}}{\biggl (}\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}{\biggr )}.}
\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).}
Morrie's law, same identity taking x2 n α \alpha } on Viète's formula List of trigonometric identities Viète's Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593) on Google Books.
Hukum Morrie, identitas serupa dengan subtitusi x2 n α \alpha } pada perumuman rumus Vieta Daftar identitas trigonometri Buku Viète Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593)