Multi-objective optimization or Pareto optimization (also known as multi-objective programming, vector optimization, multicriteria optimization, or multiattribute optimization) is an area of multiple-criteria decision making that is concerned with mathematical optimization problems involving more than one objective function to be optimized simultaneously.
Optimisasi multiobjektif (juga dikenal dengan pemrograman multiobjektif, optimisasi vektor, optimisasi multikriteria, optimisasi multiatribut atau optimisasi Pareto) adalah sebuah bidang dalam Pengambilan Keputusan Banyak Kriteria.
Minimizing cost while maximizing comfort while buying a car, and maximizing performance whilst minimizing fuel consumption and emission of pollutants of a vehicle are examples of multi-objective optimization problems involving two and three objectives, respectively.
Meminimumkan biaya sambil memaksimumkan kenyamanan ketika membeli mobil; Memaksimumkan performa sekaligus meminimumkan konsumsi bahan bakar dan meminimumkan emisi polusi kendaraan, adalah contoh dari masalah optimisasi multiobjektif yang melibatkan dua dan tiga objektif, secara berurutan.
For a multi-objective optimization problem, it is not guaranteed that a single solution simultaneously optimizes each objective.
Dalam optimisasi multiobjektif, umumnya tidak ada solusi feasibel yang meminimumkan nilai semua fungsi objektif secara bersamaan.
A solution is called nondominated, Pareto optimal, Pareto efficient or noninferior, if none of the objective functions can be improved in value without degrading some of the other objective values.
Sebuah solusi dikatakan tidak mendominasi, optimal Pareto (Pareto optimal), efisien Pareto, atau tidak inferior, jika tidak ada nilai fungsi objektif yang dapat ditingkatkan tanpa mengurangi nilai dari satu/beberapa fungsi objektif yang lain.
Without additional subjective preference information, there may exist a (possibly infinite) number of Pareto optimal solutions, all of which are considered equally good.
Tanpa tambahan informasi preferensi subjektif, mungkin ada beberapa (atau tak hingga) solusi optimal Pareto, dan semua dianggap sama bagusnya.
The goal may be to find a representative set of Pareto optimal solutions, and/or quantify the trade-offs in satisfying the different objectives, and/or finding a single solution that satisfies the subjective preferences of a human decision maker (DM).
Beberapa tujuan diantaranya, mencari himpunan berisi solusi optimal Pareto yang representatif, dan/atau memberi penilaian terhadap setiap solusi optimal, atau mencari sebuah solusi yang memenuhi preferensi seorang/entitas pengambil keputusan (decision maker, DM).
Bicriteria optimization denotes the special case in which there are two objective functions.
Optimisasi bikriteria adalah kasus khusus ketika hanya ada dua fungsi objektif.
A multi-objective optimization problem is an optimization problem that involves multiple objective functions.
Masalah optimisasi multiobjektif adalah masalah optimisasi yang melibatkan beberapa fungsi objektif.
In addition, the vector-valued objective function is often defined as f : X → R k x ↦ ( f 1 ( x ) ⋮ f k ( x ) ) f:X&\to
Fungsi objektif bernilai vektor juga sering didefinisikan sebagai f → : X → R k , f → ( x → )
We denote Y ⊆ R k ^{k}} the image of X ; x ∗ ∈ X \in X} a feasible solution or feasible decision; and z ∗f ( x ∗ ) ∈ R kf(x^{*})\in \mathbb {R} ^{k}} an objective vector or an outcome.
Citra dari X dinyatakan dengan Y ⊆ R k ^{k}} Sebuah elemen x → ∗ ∈ X }^{*}\in X} disebut solusi feasibel (solusi yang mungkin) atau keputusan feasibel.
In multi-objective optimization, there does not typically exist a feasible solution that minimizes all objective functions simultaneously.
Dalam optimisasi multiobjektif, umumnya tidak ada solusi feasibel yang meminimumkan nilai semua fungsi objektif secara bersamaan.
Therefore, attention is paid to Pareto optimal solutions; that is, solutions that cannot be improved in any of the objectives without degrading at least one of the other objectives.
Oleh karena itu, perhatian difokuskan pada solusi optimal Pareto; yakni, solusi yang tidak dapat meningkatkan nilai salah satu fungsi objektif lainnya tanpa mengurangi setidaknya satu fungsi objektif lainnya.
In mathematical terms, a feasible solution x 1 ∈ X \in X} is said to (Pareto) dominate another solution x 2 ∈ X \in X} , if ∀ i ∈ { 1 , … , k } , f i ( x 1 ) ≤ f i ( x 2 ) ,f_{i}(x_{1})\leq f_{i}(x_{2})} , and ∃ i ∈ { 1 , … , k } , f i ( x 1 ) < f i ( x 2 ) ,f_{i}(x_{1})<f_{i}(x_{2})} .
Secara matematis, solusi feasibel x → 1 ∈ X }_{1}\in X} dikatakan mendominasi (Pareto) solusi x → 2 ∈ X }_{2}\in X} , jika f i ( x → 1 ) ≤ f i ( x → 2 ) ({\vec {x}}_{1})\leq f_{i}({\vec {x}}_{2})} , untuk semua indeks i ∈ { 1 , 2 , … , k } \right\}} , dan f j ( x → 1 ) < f j ( x → 2 ) ({\vec {x}}_{1})<f_{j}({\vec {x}}_{2})} , setidaknya untuk satu indeks j ∈ { 1 , 2 , … , k } \right\}} .
A solution x ∗ ∈ X \in X} (and the corresponding outcome f ( x ∗ ) )} ) is called Pareto optimal if there does not exist another solution that dominates it.
Sebuah solusi x → ∗ ∈ X }^{*}\in X} (dan hasil dari f → ( x → ∗ ) }({\vec {x}}^{*})} ) dikatakan optimal Pareto, jika tidak ada solusi lain yang mendominasi solusi tersebut.
The set of Pareto optimal outcomes, denoted X ∗ } , is often called the Pareto front, Pareto frontier, or Pareto boundary.
Himpunan hasil optimal Pareto umum disebut dengan batas Pareto.
The Pareto front of a multi-objective optimization problem is bounded by a so-called nadir objective vector z n a d i r } and an ideal objective vector z i d e a l } , if these are finite.
Batas Pareto dari sebuah masalah optimisasi multiobjektif dibatasi (bounded) oleh sebuah vektor objektif nadir z → n a d }^{nad}} dan sebuah vektor objektif ideal z → i d e a l }^{ideal}} , jika nilai vektor-vektor tersebut terbatas.
In practice, the nadir objective vector can only be approximated as, typically, the whole Pareto optimal set is unknown.
Dalam praktiknya, nilai vektor objektif nadir hanya dapat diperkirakan, karena himpunan optimal Pareto tidak diketahui secara keseluruhan.
In addition, a utopian objective vector z u t o p } , such that z i u t o pz i i d e a l − ϵ , ∀ i ∈ { 1 , … , k } ^{utop}=z_{i}^{ideal}-\epsilon ,\forall i\in \{1,\dots ,k\}} where ϵ > 0 is a small constant, is often defined because of numerical reasons.
Sebagai tambahan, sebuah vektor objektif utopia z → u t o p i a }^{utopia}} umum didefinisikan karena alasan perhitungan numerik, yakni sebagai z → i u t o p i az → i
In economics, many problems involve multiple objectives along with constraints on what combinations of those objectives are attainable.
Dalam ekonomi, banyak masalah yang melibatkan beberapa objektif, beserta batasan-batasan mengenai kombinasi objektif apa yang dapat dicapai.
For example, consumer's demand for various goods is determined by the process of maximization of the utilities derived from those goods, subject to a constraint based on how much income is available to spend on those goods and on the prices of those goods.
Sebagai contoh, permintaan konsumen akan barang-barang, merupakan proses memaksimumkan daya guna yang dapat dihasilkan oleh barang, dengan batasan besaran pendapatan yang tersedia untuk membeli barang dan harga barang tersebut.
A common method for analyzing such a problem is to use a graph of indifference curves, representing preferences, and a budget constraint, representing the trade-offs that the consumer is faced with.
Metode yang umum untuk menganalisis masalah seperti ini adalah dengan menggunakan grafik kurva indiferensi; grafik ini menyatakan preferensi, konstrain besar budget, dan tarik-ulur objektif yang dimiliki konsumen.
Another example involves the production possibilities frontier, which specifies what combinations of various types of goods can be produced by a society with certain amounts of various resources.
Contoh lainnya adalah membuat kurva kemungkinan produksi, yang menyatakan kombinasi berbagai barang yang dapat diproduksi masyarakat dengan menggunakan berbagai sumber daya.
Macroeconomic policy-making is a context requiring multi-objective optimization.
Pengambilan kebijakan makro ekonomi adalah konteks lainnya yang memerlukan optimisasi multiobjektif.
Typically a central bank must choose a stance for monetary policy that balances competing objectives — low inflation, low unemployment, low balance of trade deficit, etc.
Umumnya bank sentral perlu membuat kebijakan moneter yang menyeimbangkan objektif-objektif yang saling konflik—tingkat inflasi yang rendah, tingkat pengangguran yang rendah, defisit neraca perdagangan yang rendah, dll.
In finance, a common problem is to choose a portfolio when there are two conflicting objectives — the desire to have the expected value of portfolio returns be as high as possible, and the desire to have risk, often measured by the standard deviation of portfolio returns, be as low as possible.
Dalam bidang keuangan, sebuah masalah yang umum adalah bagaimana memilih fortofolio ketika terdapat dua objektif yang saling konflik — keinginan untuk mendapatkan ekspektasi pengembalian portofolio setinggi mungkin, juga keinginan untuk memiliki risiko keuangan (umumnya dinyatakan dalam standar deviasi dari pengembalian portofolio) sekecil mungkin.
The problem of optimizing a function of the expected value (first moment) and the standard deviation (square root of the second central moment) of portfolio return is called a two-moment decision model.
Masalah mengoptimisasi fungsi nilai ekspektasi (momen pertama) dan standar deviasi (akar kuadrat dari momen kedua) dari pengembalian portofolio dikenal dengan model keputusan dua-momen.
For example, energy systems typically have a trade-off between performance and cost or one might want to adjust a rocket's fuel usage and orientation so that it arrives both at a specified place and at a specified time; or one might want to conduct open market operations so that both the inflation rate and the unemployment rate are as close as possible to their desired values.
Sebagai contoh, sebuah sistem energi umumnya memiliki tarik-ulur antara peforma dan harga, atau seseorang ingin mengatur penggunaan bahan bakar dan orientasi roket agar mencapai suatu lokasi pada waktu yang ditentukan, Contoh lain adalah bank sentral yang ingin membuat kebijakan moneter dengan besar tingkat inflasi dan tingkat pengangguran semirip mungkin dengan suatu nilai yang diharapkan.
Since these problems typically involve adjusting the controlled variables at various points in time and/or evaluating the objectives at various points in time, intertemporal optimization techniques are employed.
Teknik optimisasi intertemporal umum digunakan, karena masalah ini umumnya melibatkan pengaturan nilai variabel dan/atau mengevaluasi nilai objektif pada setiap titik (waktu).
Product and process design can be largely improved using modern modeling, simulation, and optimization techniques.
Desain produk dapat jauh ditingkatkan dengan menggunakan teknik optimisasi, simulasi, dan permodelan yang modern.
The key question in optimal design is measuring what is good or desirable about a design.
Pertanyaan utama dalam menemukan desain yang optimal adalah mengukur seberapa bagus atau seberapa menariknya suatu desain.
Before looking for optimal designs, it is important to identify characteristics that contribute the most to the overall value of the design.
Pertanyaan utama dalam menemukan desain yang optimal adalah mengukur seberapa bagus atau seberapa menariknya suatu desain.
A good design typically involves multiple criteria/objectives such as capital cost/investment, operating cost, profit, quality and/or product recovery, efficiency, process safety, operation time, etc.
Desain yang baik umumnya melibatkan kriteria/objektif seperti biaya pengembangan, biaya operasi, keuntungan, kualitas produk, efisiensi, keamanan ketika menggunakan, waktu operasi, dll.
For example, when designing a paper mill, one can seek to decrease the amount of capital invested in a paper mill and enhance the quality of paper simultaneously.
Sebagai contoh ketika mendesain pabrik kertas, seseorang ingin mengurangi banyak modal yang perlu diinvestasikan, sekaligus meningkatkan kualitas kertas.
Multi-objective optimization has been increasingly employed in chemical engineering and manufacturing.
Optimisasi multiobjektif semakin sering digunakan dalam teknik kimia dan manufaktur.
In 2009, Fiandaca and Fraga used the multi-objective genetic algorithm (MOGA) to optimize the pressure swing adsorption process (cyclic separation process).
Pada tahun 2009, Fiandaca dan Fraga menggunakan algoritma genetik multiobjektif (multi-objective genetic algorithm, MOGA) untuk mengoptimisasi proses adsorpsi ayunan tekanan.
The design problem involved the dual maximization of nitrogen recovery and nitrogen purity.
Masalah ini melibatkan proses memaksimumkan jumlah (recovery) nitrogen yang didapatkan sekaligus tingkat kemurnian nitrogen.
The purpose of radio resource management is to satisfy the data rates that are requested by the users of a cellular network.
Tujuan dari manajemen sumber daya radio adalah untuk memenuhi tingkat permintaan data oleh pengguna-pengguna jaringan seluler.
The main resources are time intervals, frequency blocks, and transmit powers.
Sumber daya yang tersedia adalah interval waktu, blok frekuensi, dan daya transmisi.
Multi-user MIMO techniques are nowadays used to reduce the interference by adaptive precoding.
Teknik Multi-user MIMO saat ini digunakan untuk mengurangi interferensi dengan prakode adaptif.
The choice of utility function has a large impact on the computational complexity of the resulting single-objective optimization problem.
Pemilihan fungsi utilitas memiliki dampak yang besar terhadap kompleksitas komputasi dari masalah optimisasi satu-objektif yang muncul.
For example, the common utility of weighted sum rate gives an NP-hard problem with a complexity that scales exponentially with the number of users, while the weighted max-min fairness utility results in a quasi-convex optimization problem with only a polynomial scaling with the number of users.
Sebagai contoh, fungsi utilitas yang menghitung jumlah kecepatan berbobot (weighted sum rate) menghasilkan kompleksitas NP-hard yang meningkat secara eksponensial terhadap banyak pengguna, sedangkan fungsi utilitas keadilan max-min berbobot (weighted max-min fairness) merupakan masalah optimisasi kuasi-konveks yang hanya meningkat secara polinomial terhadap banyak pengguna.
Autonomous inspection of infrastructure has the potential to reduce costs, risks and environmental impacts, as well as ensuring better periodic maintenance of inspected assets.
Inspeksi infrastruktur secara otomatis memiliki potensi untuk mengurangi biaya, risiko dan dampak terhadap lingkungan, juga memastikan perawatan berkala bagi aset yang diperiksa.
A recent study has indicated that multiobjective inspection planning indeed has the potential to outperform traditional methods on complex structures
Penelitian terkini menyimpulkan perencanaan inspeksi secara multiobjektif memiliki potensi memberikan solusi jauh lebih baik, ketimbang metode tradisional, pada infrastruktur yang kompleks.
As multiple Pareto optimal solutions for multi-objective optimization problems usually exist, what it means to solve such a problem is not as straightforward as it is for a conventional single-objective optimization problem.
Umumnya ada beberapa solusi optimal Pareto untuk sebuah masalah optimisasi multiobjektif, hal ini menyebabkan penyelesaian masalah optimisasi tersebut tidak semudah kasus masalah optimisasi satu-objektif.
Therefore, different researchers have defined the term "solving a multi-objective optimization problem" in various ways.
Peneliti-peneliti mendefinisikan "menyelesaikan masalah optimisasi multiobjektif" dalam banyak sudut pandang.
Solving a multi-objective optimization problem is sometimes understood as approximating or computing all or a representative set of Pareto optimal solutions.
Menyelesaikan masalah optimisasi multiobjektif terkadang dipahami sebagai mengaproksimasi, atau menghitung semua, atau mencari himpunan representatif, dari solusi optimal Pareto.
When decision making is emphasized, the objective of solving a multi-objective optimization problem is referred to as supporting a decision maker in finding the most preferred Pareto optimal solution according to their subjective preferences.
Ketika pengambilan keputusan lebih diutamakan, tujuan dari menyelesaikan masalah optimisasi multiobjektif adalah membantu pengambil keputusan untuk mencari solusi optimal Pareto terbaik menurut preferensi subjektifnya.
In a priori methods, preference information is first asked from the DM, and then a solution best satisfying these preferences is found.
Dalam metode a priori, informasi preferensi ditanyakan terlebih dahulu kepada the DM, kemudian mencari solusi yang memenuhi preferensi tersebut.
In a posteriori methods, a representative set of Pareto optimal solutions is first found, and then the DM must choose one of them.
Dalam metode a posteriori, sebuah himpunan solusi optimal Pareto yang representatif dicari terlebih dahulu, kemudian DM perlu memilih salah satu solusi dari himpunan.
In each iteration of the interactive method, the DM is shown Pareto optimal solution(s) and describes how the solution(s) could be improved.
Dalam setiap iterasi, solusi-(solusi) optimal Pareto ditunjukkan kepada DM, beserta bagaiman (setiap) solusi dapat ditingkatkan.
The information given by the DM is then taken into account while generating new Pareto optimal solution(s) for the DM to study in the next iteration.
Informasi yang diberikan oleh DM digunakan untuk menemukan solusi-(solusi) optimal Pareto yang baru,
When a decision maker does not explicitly articulate any preference information, the multi-objective optimization method can be classified as a no-preference method.
Ketika pengambil keputusan tidak menyatakan secara eksplisit preferensi yang diinginkan, masalah optimisasi multiobjektif dapat diklasifikasikan dalam metode tanpa preferensi.
x ∈ X \min &\|f(x)-z^{ideal}\|\\{\text{s.t. }}&x\in X\end{aligned}}} is solved.
x → ∈ X , \min &\left(f_{1}({\vec {x}}),f_{2}({\vec {x}}),\ldots ,f_{k}({\vec {x}})\right)\\{\text{s.t. }}&{\vec {x}}\in X,\end{aligned}}}
In the above problem, ‖ ⋅ ‖ can be any L p } norm, with common choices including L 1 } , L 2 } , and L ∞ } .
x ∈ X \min &\|f(x)-z^{ideal}\|\\{\text{s.t. }}&x\in X\end{aligned}}} Pada masalah di atas, ‖ ⋅ ‖ dapat berupa norma L p } apapun, walau pada umumnya dipilih L 1 } , L 2 } , dan L ∞ } .
The method of global criterion is sensitive to the scaling of the objective functions.
Metode kriteria global sensitif terhadap skala yang digunakan oleh fungsi objektif.
A priori methods require that sufficient preference information is expressed before the solution process.
Metode a priori membutuhkan informasi preferensi sebelum dapat menyelesaikan masalah.
Well-known examples of a priori methods include the utility function method, lexicographic method, and goal programming.
Beberapa contoh terkenal dari metode a priori adalah metode fungsi utilitas, metode leksikografik, dan pemrograman sasaran.
The utility function method assumes the decision maker's utility function is available.
Metode fungsi utilitas mengasumsikan fungsi utilitas dari pengambil keputusan telah tersedia.
A mapping u : Y → R } is a utility function if for all y 1 , y 2 ∈ Y ^{1},\mathbf {y} ^{2}\in Y} it holds that u ( y 1 ) > u ( y 2 ) ^{1})>u(\mathbf {y} ^{2})} if the decision maker prefers y 1 ^{1}} to y 2 ^{2}} , and u ( y 1 )
\displaystyle u\colon Y\rightarrow \mathbb {R} } adalah sebuah fungsi utilitas jika setiap y 1 , y 2 ∈ Y ^{1},\mathbf {y} ^{2}\in Y} yang memenuhi u ( y 1 ) > u ( y 2 ) ^{1})>u(\mathbf {y} ^{2})} mengartikan solusi y 1 ^{1}} lebih menyukai oleh pengambil keputusan ketimbang y 2 ^{2}} , dan jika memenuhi u ( y 1 )u ( y 2 ) ^{1})=u(\mathbf {y} ^{2})} mengartikan kedua solusi y 1 ^{1}} dan y 2 ^{2}} sama baiknya.
The utility function specifies an ordering of the decision vectors (recall that vectors can be ordered in many different ways).
Fungsi utilitas menyatakan sebuah urutan dari vektor keputusan (ingat bahwa vektor dapat diurutkan dalam banyak cara).
Once u is obtained, it suffices to solve max u ( f ( x ) ) subject to x ∈ X , (\mathbf {x} )){\text{ subject to }}\mathbf {x} \in X,} but in practice, it is very difficult to construct a utility function that would accurately represent the decision maker's preferences, particularly since the Pareto front is unknown before the optimization begins.
Setelah fungsi u didapatkan, solusi dapat ditemukan dengan cukup menyelesaikan max u ( f ( x ) ) dengan kendala x ∈ X , (\mathbf {x} )){\text{ dengan kendala }}\mathbf {x} \in X,} Namun pada praktiknya, sangat sulit untuk membuat fungsi utilitas yang secara akurat merepresentasikan preferensi dari pengambil keputusan - secara khusu karena batas Pareto tidak diketahui sebelum proses optimisasi dimulai.
The lexicographic method assumes that the objectives can be ranked in the order of importance.
Metode leksikografik mengasumsikan fungsi objektif dapat diurutkan berdasarkan prioritasnya.
We assume that the objective functions are in the order of importance so that f 1 } is the most important and f k } the least important to the decision maker.
Kita mengasumsikan, tanpa mengurangi keumuman, bahwa f 1 } fungsi objektif terpenting dan f k } adalah objektif dengan prioritas terendah bagi pengambil keputusan.
Note that a goal or target value is not specified for any objective here, which makes it different from the Lexicographic Goal Programming method.
Perhatikan bahwa tujuan (sasaran) atau nilai yang ingin dicapai tidak dinyatakan secara eksplisit, hal ini menyebabkan metode ini berbeda dengan metode pemrograman sasaran leksikografik.
Scalarizing a multi-objective optimization problem is an a priori method, which means formulating a single-objective optimization problem such that optimal solutions to the single-objective optimization problem are Pareto optimal solutions to the multi-objective optimization problem.
Menskalarisasi masalah optimisasi multiobjektif adalah proses memformulasikan masalah optimisasi satu-objektif sehingga solusi optimal yang didapat juga merupakan solusi optimal Pareto dari masalah optimisasi multiobjektif.
In addition, it is often required that every Pareto optimal solution can be reached with some parameters of the scalarization.
Sebagai tambahan, umumnya setiap solusi optimal Pareto diharuskan dapat dicapai oleh dengan mengganti nilai parameter-(parameter) skalarisasi.
With different parameters for the scalarization, different Pareto optimal solutions are produced.
Sebagai tambahan, umumnya setiap solusi optimal Pareto diharuskan dapat dicapai oleh dengan mengganti nilai parameter-(parameter) skalarisasi.
\mathbb {R} } is a function.
\mathbb {R} } adalah sebuah fungsi.
ϵ -constraint method (see, e.g.) min f j ( x )
Metode konstrain- ϵ (lihat, e.g.) min f j ( x ) s.t. x ∈ X f i ( x ) ≤ ϵ
i for i ∈ { 1 , … , k } ∖ { j } {ll}\min &f_{j}(x)\\{\text{s.t.}}&x\in X\\&f_{i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{ for }}i\in \{1,\ldots ,k\}\setminus \{j\}\end{array}}} where upper bounds ϵ j } are parameters as above and f j } is the objective to be minimized.
i for i ∈ { 1 , … , k } ∖ { j } , {ll}\min &f_{j}(x)\\{\text{s.t. }}&x\in X\\&f_{i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{ for }}i\in \{1,\ldots ,k\}\setminus \{j\},\end{array}}} dengan batas atas ϵ j } sebagai parameter dan f j } adalah fungsi objektif yang ingin diminimumkan.
z i n a d i r − z i u t o p s.t. x ∈ S \min &\max _{i=1,\ldots ,k}\left[{\frac {f_{i}(x)-{\bar {z}}_{i}}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\right]+\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\\{\text{s.t. }}&x\in S\end{aligned}}} where the term ρ ∑ i1 k f i ( x )
i1 , … , k , }^{nad}\ni {\vec {z}}_{i}^{nad}={\underset {x\in X}{\sup }}\{f_{i}(x)\}{\text{ untuk setiap }}i=1,\ldots ,k,} dan vektor objektif ideal z → i d e a l ∋ z → i i d e a linf x ∈ X { f i ( x ) } untuk setiap
z i n a d i r − z i u t o p ^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}} is called the augmentation term, ρ > 0 is a small constant, and z n a d
z i n a d − z i utopia ^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nad}-z_{i}^{\text{utopia}}}}} disebut sebagai suku augmentasi (augmentation term), konstanta ρ > 0 yang kecil, z nad }} dan z utopian }} secara berurutan sebagai vektor nadir dan vektor utopia.
In the above problem, the parameter is the so-called reference point z ¯ }} representing objective function values preferred by the decision maker.
Dalam formulasi di atas, parameter z ¯ }} disebut sebagai titik referensi (reference point) dan menyatakan nilai yang diharapkan oleh pengambil keputusan.
A Xb X ≥ 0 {ll}\max &{\frac {\sum _{j=1}^{r}Z_{j}}{W_{j}}}-{\frac {\sum _{j=r+1}^{s}Z_{j}}{W_{r+1}}}\\{\text{s.t. }}&AX=b\\&X\geq 0\end{array}}} where W j } is individual optima (absolute) for objectives of maximization r and minimization r + 1 to s .
s.t. f j ( x ) ≤ y j ∗ , j1 , … , l − 1 , x ∈ X , \min &f_{l}(\mathbf {x} )\\{\text{s.t. }}&f_{j}(\mathbf {x} )\leq \mathbf {y} _{j}^{*},\;j=1,\dotsc ,l-1,\\&\mathbf {x} \in X,\end{aligned}}} dengan y j ∗ _{j}^{*}} menyatakan nilai optimal dari bentuk di atas ketika lj .
A posteriori methods aim at producing all the Pareto optimal solutions or a representative subset of the Pareto optimal solutions.
Metode a posteriori bertujuan untuk menghasilkan semua—atau subset yang merepresentasikan semua—solusi optimal Pareto.
Most a posteriori methods fall into either one of the following three classes: Mathematical programming-based a posteriori methods where an algorithm is run repeatedly, each run producing one Pareto optimal solution; Evolutionary algorithms where one run of the algorithm produces a set of Pareto optimal solutions; Deep learning methods where a model is first trained on a subset of solutions and then queried to provide other solutions on the Pareto front.
Banyak dari metode a posteriori merupakan salah satu anggota dari dua kelompok berikut: Optimisasi matematika yang menjalankan suatu algoritma secara berulang, dan pada setiap iterasi menghasilkan satu solusi optimal Pareto; Algoritma evolusioner yang berisi algoritma untuk menghasilkan sebuah himpunan solusi optimal Pareto.
Well-known examples of mathematical programming-based a posteriori methods are the Normal Boundary Intersection (NBI), Modified Normal Boundary Intersection (NBIm), Normal Constraint (NC), Successive Pareto Optimization (SPO), and Directed Search Domain (DSD) methods, which solve the multi-objective optimization problem by constructing several scalarizations.
Beberapa contoh optimisasi matematika berlandaskan metode a posteriori antara lain: Model Normal Boundary Intersection (NBI), Modified Normal Boundary Intersection (NBIm) Normal Constraint (NC), Successive Pareto Optimization (SPO), dan Directed Search Domain (DSD).
The solution to each scalarization yields a Pareto optimal solution, whether locally or globally.
Solusi-solusi dari setiap skalarisasi merupakan solusi optimal Pareto, baik secara lokal atau secara global.
The scalarizations of the NBI, NBIm, NC, and DSD methods are constructed to obtain evenly distributed Pareto points that give a good approximation of the real set of Pareto points.
Skalarisasi yang digunakan pada metode NBI, NBIm, NC, dan DSD, dikonstruksi untuk menemukan titik-titik Pareto yang terdistribusi secara merata.
Evolutionary algorithms are popular approaches to generating Pareto optimal solutions to a multi-objective optimization problem.
Algoritma evolusioner merupakan pendekatan yang populer untuk menghasilkan solusi-solusi optimal Pareto.
Most evolutionary multi-objective optimization (EMO) algorithms apply Pareto-based ranking schemes.
Saat ini, sebagian besar algoritma optimisasi multiobjektif evolusioner ( evolutionary multi-objective optimization, EMO) menerapkan skema pemeringkatan (ranking) secara Pareto.
Evolutionary algorithms such as the Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II (NSGA-II), its extended version NSGA-III, Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2 (SPEA-2) and multiobjective differential evolution variants have become standard approaches, although some schemes based on particle swarm optimization and simulated annealing are significant.
Algoritma seperti Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II (NSGA-II) dan Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2 (SPEA-2) menjadi pendekatan yang standar, walau beberapa skema berdasarkan optimisasi kawanan partikel dan simulated annealing juga signifikan digunakan.
The main advantage of evolutionary algorithms, when applied to solve multi-objective optimization problems, is the fact that they typically generate sets of solutions, allowing computation of an approximation of the entire Pareto front.
Keuntungan utama dari algoritma evolusioner adalah fakta mereka umumnya menghasilkan himpunan-(himpunan) solusi, dan memungkinkan mengaproksimasi keseluruhan batas Pareto.
Another paradigm for multi-objective optimization based on novelty using evolutionary algorithms was recently improved upon.
Paradigma lain untuk optimisasi multiobjektif didasarkan pada cara baru dalam menggunakan algoritma evolusioner.
This paradigm searches for novel solutions in objective space (i.e., novelty search on objective space) in addition to the search for non-dominated solutions.
Paradigma ini mencari solusi-solusi yang baru (novel) pada ruang objektif (contohnya, novelty search pada ruang objektif) disamping mencari solusi-solusi yang tak mendominasi.
Novelty search is like stepping stones guiding the search to previously unexplored places.
Metode seperti novelty search dapat dianggap sebagai menemukan batu pijakan untuk mencari di daerah yang belum tersentuh sebelumnya.
In other words, the decision maker is expected to express preferences at each iteration to get Pareto optimal solutions that are of interest to the decision maker and learn what kind of solutions are attainable.
Dalam kata lain, pengambil keputusan diharapkan untuk menyampaikan preferensinya pada setiap iterasi (sesi) untuk mendapatkan solusi-(solusi) optimal Pareto yang bagus, dan juga mempelajari bentuk solusi seperti apa yang dapat dicapai/ditemukan.
The above aspiration levels refer to desirable objective function values forming a reference point.
Level aspirasi di atas merujuk pada fungsi objektif-yang-diinginkan untuk membangun titik referensi.
Instead of mathematical convergence, often used as a stopping criterion in mathematical optimization methods, psychological convergence is often emphasized in interactive methods.
Metode interaktif menekankan konvergensi secara psikologis sebagai kriteria berakhirnya iterasi, berbeda dengan metode optimisasi matematika yang menggunakan konvergensi secara matematis.
There are different interactive methods involving different types of preference information.
Metode interaktif dapat melibatkan beberapa tipe informasi preferensi.
Three types can be identified based on trade-off information, reference points, and classification of objective functions.
Tipe-tipe tersebut dapat diidentifikasi berdasarkan pada informasi tarik-ulur, titik referensi, dan klasifikasi fungsi-fungsi objektif.
In reference point-based methods (see e.g.,), the decision maker is expected at each iteration to specify a reference point consisting of desired values for each objective and a corresponding Pareto optimal solution(s) is then computed and shown to them for analysis.
Dalam penerapan metode yang menggunakan titik referensi, pada setiap iterasi pengambil keputusan diharapkan untuk menyatakan nilai-nilai yang diinginkan untuk setiap objektif.
In classification-based interactive methods, the decision maker is assumed to give preferences in the form of classifying objectives at the current Pareto optimal solution into different classes, indicating how the values of the objectives should be changed to get a more preferred solution.
Metode interaktif yang menerapkan klasifikasi mengharapkan pengambil keputusan untuk mengelompokkan objektif-objektif dari solusi optimal Pareto pada setiap iterasi.
In the satisficing trade-off method (STOM), three classes are used: objectives whose values 1) should be improved, 2) can be relaxed, and 3) are acceptable as such.
Metode seperti satisficing trade-off method (STOM) menggunakan tiga kelompok nilai objektif: 1) yang nilainya perlu ditingkatkan, 2) yang nilainya dapat disesuaikan, dan 3) yang nilainya sudah dapat diterima.
Different hybrid methods exist, but here we consider hybridizing MCDM (multi-criteria decision-making) and EMO (evolutionary multi-objective optimization).
Salah satu contoh metode ini adalah hibrida antara Pengambilan Keputusan Banyak Kriteria (MCDM) dengan optimisasi evolusioner multiobjektif (evolutionary multi-objective optimization, EMO).
A local search operator is mainly used to enhance the rate of convergence of EMO algorithms.
Operator pencarian lokal umumnya digunakan untuk mempercepat laju konvergensi algoritma EMO.
Visualization of the Pareto front is one of the a posteriori preference techniques of multi-objective optimization.
Visualisasi batas Pareto adalah salah satu teknik preferensi a posteriori (a posteriori preference techniques) dalam optimisasi multiobjektif.
There are two main approaches to informing the decision maker.
Ada dua pendekatan utama untuk menginformasikan solusi kepada pengambil keputusan.
The decision maker takes this information into account while specifying the preferred Pareto optimal objective point.
Pengambil keputusan menggunakan informasi ini untuk menemukan titik optimal Pareto yang disukai.
This idea was developed and applied in environmental problems by J.L. Cohon.
Ide ini selanjutnya dikembangkan dan diterapkan pada masalah bidang lingkungan oleh J.L. Cohon.
In the 1980s, the idea of W.S. Meisel was implemented in a different form—in the form of the Interactive Decision Maps (IDM) technique.
Pada perkembangannya, teknik Interactive Decision Maps (IDM) dibuat sebagai implementasi yang baru dari ide W.S. Meisel.
More recently, N. Wesner proposed using a combination of a Venn diagram and multiple scatterplots of the objective space to explore the Pareto frontier and select optimal solutions.
Ide lain diusulkan oleh N. Wesner, untuk menggunakan kombinasi diagram Venn dan beberapa diagram pencar untuk menyajikan ruang objektif dan eksplotasi batas Pareto.
https://doi.org/10.1007/s11047-018-9685-y International Society on Multiple Criteria Decision Making Evolutionary Multiobjective Optimization, The Wolfram Demonstrations Project A Tutorial on Multiobjective Optimization and Genetic Algorithms, Scilab Professional Partner Tomoiagă, Bogdan; Chindriş, Mircea; Sumper, Andreas; Sudria-Andreu, Antoni; Villafafila-Robles, Roberto. 2013.
International Society on Multiple Criteria Decision Making Evolutionary Multiobjective Optimization, The Wolfram Demonstrations Project A Tutorial on Multiobjective Optimization and Genetic Algorithms, Scilab Professional Partner Tomoiagă, Bogdan; Chindriş, Mircea; Sumper, Andreas; Sudria-Andreu, Antoni; Villafafila-Robles, Roberto. 2013.