A rational difference equation is a nonlinear difference equation of the form x n + 1α + ∑ i0 k β i x n − i A + ∑ i0 k B i x n − i ,{\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{n-i}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{n-i}}}~,} where the initial conditions x 0 , x − 1 , … , x − k ,x_{-1},\dots ,x_{-k}} are such that the denominator never vanishes for any n. A first-order rational difference equation is a nonlinear difference equation of the form w t + 1a w t + b c w t + d .
Sebuah persamaan beda rasional adalah persamaan beda nonlinear dalam bentuk x n + 1α + ∑ i0 k β i x n − i A + ∑ i0 k B i x n − i ,{\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{n-i}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{n-i}}}~,} di mana kondisi awal x 0 , x − 1 , … , x − k ,x_{-1},\dots ,x_{-k}} sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk n apa-pun.
When a , b , c , d and the initial condition w 0 } are real numbers, this difference equation is called a Riccati difference equation.
={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}.} Bila a , b , c , d dan kondisi awal w 0 } adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai persamaan beda Riccati.
Such an equation can be solved by writing w t } as a nonlinear transformation of another variable x t } which itself evolves linearly.
Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis w t } sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain x t } yang berkembang secara linear.
Then standard methods can be used to solve the linear difference equation in x t } .
Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada x t } .
One approach to developing the transformed variable x t } , when a d − b c ≠ 0 , is to write y t + 1α − β y t\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}} where α( a + d ) / c and β
Pendekatan pertama untuk mengembangkan variabel yang diubah x t } , ketika a d − b c ≠ 0 ditulis sebagai y t + 1α − β y t\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}} di mana α( a + d ) / c dan β( a d − b c ) / c 2 } dan di mana w ty t − d / cy_{t}-d/c} .
Further writing y tx t + 1 / x tx_{t+1}/x_{t}} can be shown to yield x t + 2 − α x t + 1 + β x t0.
Penulisan lebih lanjut y tx t + 1 / x tx_{t+1}/x_{t}} ditampilkan sebagai hasil x t + 2 − α x t + 1 + β x t0.
This approach gives a first-order difference equation for x t } instead of a second-order one, for the case in which ( d − a ) 2 + 4 b c +4bc} is non-negative.
Pendekatan ini diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk x t } alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus di mana ( d − a ) 2 + 4 b c +4bc} bukanlah negatif.
Write x t1 / ( η + w t )1/(\eta +w_{t})} implying w t( 1 − η x t ) / x t(1-\eta x_{t})/x_{t}} , where η is given by η( d − a + r ) / 2 c and where r( d − a ) 2 + 4 b c +4bc}}} .
Tulis sebagai x t1 / ( η + w t )1/(\eta +w_{t})} diimplikasikan w t( 1 − η x t ) / x t(1-\eta x_{t})/x_{t}} , di mana η yang diberikan oleh η( d − a + r ) / 2 c dan di mana r( d − a ) 2 + 4 b c +4bc}}} .
Then it can be shown that x t } evolves according to x t + 1( d − η c η c + a ) x t + c η c + a .
Maka dapat ditunjukkan bahwa x t } dievolusikan sebagai x t + 1( d − η c η c + a ) x t + c η c + a .
=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)\!x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}
=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}
The equation w t + 1a w t + b c w t + d{\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}} can also be solved by treating it as a special case of the more general matrix equation X t + 1− ( E + B X t ) ( C + A X t )
Persamaan w t + 1a w t + b c w t + d{\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}} juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum X t + 1− ( E + B X t ) ( C + A X t )
− 1 ,-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},} where all of A, B, C, E, and X are n × n matrices (in this case n1); the solution of this is X tN t D t − 1N_{t}D_{t}^{-1}}
− 1 ,-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},} di mana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalah X tN t D t − 1N_{t}D_{t}^{-1}} di mana ( N t D t )
− 1 C ′ H t A ,K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,} which can arise in some discrete-time optimal control problems, can be solved using the second approach above if the matrix C has only one more row than column.
− 1 C ′ H t A ,K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,} yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks C hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.
Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500–504.
Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500-504.