Philosophy of mathematics is the branch of philosophy that deals with the nature of mathematics and its relationship to other areas of philosophy, particularly epistemology and metaphysics.
Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-anggapan filsafat, dasar-dasar dan dampak-dampak matematika.
The rules of rigorous reasoning have been established by the ancient Greek philosophers under the name of logic.
Aturan penalaran yang ketat telah ditetapkan oleh para filsuf Yunani kuno dengan nama logika.
Logic is not specific to mathematics, but, in mathematics, the standard of rigor is much higher than elsewhere.
Logika tidak hanya digunakan dalam matematika, tetapi dalam matematika, standar ketelitiannya jauh lebih tinggi dibandingkan bidang lain.
For many centuries, logic, although used for mathematical proofs, belonged to philosophy and was not specifically studied by mathematicians.
Selama berabad-abad, logika digunakan dalam pembuktian matematika tetapi tetap menjadi bagian dari filsafat dan tidak dipelajari secara khusus oleh matematikawan.
Circa the end of the 19th century, several paradoxes made questionable the logical foundation of mathematics, and consequently the validity of the whole of mathematics.
Sekitar akhir abad ke-19, muncul berbagai paradoks yang meragukan dasar logis matematika, sehingga validitas keseluruhan matematika dipertanyakan.
In this framework, a mathematical or logical theory consists of a formal language that defines the well-formed assertions, a set of basic assertions called axioms and a set of inference rules that allow producing new assertions from one or several known assertions.
Dalam kerangka ini, suatu teori matematika atau logika terdiri dari bahasa formal yang menentukan bentuk pernyataan yang sah, seperangkat pernyataan dasar yang disebut aksioma, dan seperangkat aturan inferensi yang memungkinkan pembuatan pernyataan baru dari satu atau beberapa pernyataan yang sudah diketahui.
The Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, generally called ZFC, is a higher-order logic in which all mathematics have been restated; it is used implicitly in all mathematics texts that do not specify explicitly on which foundations they are based.
Teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan, yang biasanya disebut ZFC, merupakan logika tingkat tinggi yang menjadi dasar bagi seluruh matematika.
It results that "rigor" is no more a relevant concept in mathematics, as a proof is either correct or erroneous, and a "rigorous proof" is simply a pleonasm.
Akibatnya, konsep "ketelitian" dalam matematika tidak lagi relevan, karena suatu pembuktian hanya benar atau salah, sehingga istilah "pembuktian yang teliti" sebenarnya berlebihan.
In particular, proofs are rarely written in full details, and some steps of a proof are generally considered as trivial, easy, or straightforward, and therefore left to the reader.
Dalam praktinya, pembuktian jarang dituliskan secara lengkap, dan beberapa langkah sering dianggap sepele, mudah, atau langsung jelas, sehingga dibiarkan untuk disimpulkan oleh pembaca.
Mathematics is used in most sciences for modeling phenomena, which then allows predictions to be made from experimental laws.
Matematika digunakan dalam sebagian besar ilmu pengetahuan untuk memodelkan berbagai fenomena, sehingga memungkinkan prediksi berdasarkan hukum eksperimen.
The independence of mathematical truth from any experimentation implies that the accuracy of such predictions depends only on the adequacy of the model.
Kebenaran dalam matematika tidak bergantung pada eksperimen, yang berarti ketepatan prediksi hanya bergantung pada kesesuaian model matematis yang digunakan.
For example, the perihelion precession of Mercury could only be explained after the emergence of Einstein's general relativity, which replaced Newton's law of gravitation as a better mathematical model.
Misalnya, pergeseran perihelion Merkurius baru bisa dijelaskan setelah munculnya teori relativitas umum Einstein, yang menggantikan hukum gravitasi Newton sebagai model matematis yang akurat.
There is still a philosophical debate whether mathematics is a science.
Masih ada perdebatan filosofis mengenai apakah matematika termasuk dalam ilmu pengetahuan.
However, in practice, mathematicians are typically grouped with scientists, and mathematics shares much in common with the physical sciences.
Namun, dalam praktiknya, para matematikawan sering dikelompokkan bersama ilmuwan, dan matematika memiliki banyak kesamaan dengan ilmu fisika.
Similarly as in science, theories and results (theorems) are often obtained from experimentation.
Sama seperti dalam ilmu sains, teori dan hasil dalam matematika sering kali diperoleh melalui eksperimen.
In mathematics, the experimentation may consist of computation on selected examples or of the study of figures or other representations of mathematical objects (often mind representations without physical support).
Eksperimen dalam matematika bisa berupa perhitungan pada contoh tertentu atau studi terhadap bentuk dan representasi objek matematika, baik dalam bentuk visual maupun pemikiran abstrak.
For example, when asked how he came about his theorems, Gauss once replied "durch planmässiges Tattonieren" (through systematic experimentation).
Sebagai contoh, ketika ditanya bagaimana ia menemukan teorema-teoremanya, Gauss pernah menjawab, "durch planmässiges Tattonieeeren," yang berarti "melalui eksperimen sistematis."
However, some authors emphasize that mathematics differs from the modern notion of science by not relying on empirical evidence.
Namun, beberapa ahli menekankan bahwa matematika berbeda dari ilmu pengetahuan modern karena tidak bergantung pada bukti empiris.