For example, for ⁠ n4 ⁠, ( x + y ) 4x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 .
Contohnya, ( x + y ) 4x 4 y 0 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + x 0 y 4 .
These coefficients for varying ⁠ n ⁠ and ⁠ k ⁠ can be arranged to form Pascal's triangle.
Koefisien untuk setiap variasi n dan b dapat disusun membentuk segitiga Pascal.
x n y 0 + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + ⋯ + ( n n ) x 0 y n ,{\binom {n}{0}}x^{n}y^{0}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y^{1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{0}y^{n},} where each ( n k ) {k}}} is a positive integer known as a binomial coefficient, defined as ( n k )n !
x 0 y n ,{n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},} di mana setiap ( n k ) {k}}} adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai koefisien binomial.
n ( n − 1 ) ( n − 2 )
x 0 + ( n 1 ) x 1 + ( n 2 )
=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}.} The final expression follows from the previous one by the symmetry of x and y in the first expression, and by comparison it follows that the sequence of binomial coefficients in the formula is symmetric, ( n k )
=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.} Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letak x dan y dari ekspresi pertama, dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris.
A simple variant of the binomial formula is obtained by substituting 1 for y, so that it involves only a single variable.
Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh dengan mensubstitusi y dengan 1, sehingga hanya terdapat satu variabel.
In this form, the formula reads ( x + 1 ) n( n 0 )
Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi ( 1 + x ) n( n 0 )
x n∑ k0 n ( n k ) x k . ) (x+1)^{n}&={\binom {n}{0}}x^{0}+{\binom {n}{1}}x^{1}+{\binom {n}{2}}x^{2}+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}
x 0 y n ,{n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},} di mana setiap ( n k ) {k}}} adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai koefisien binomial.
For positive values of a and b, the binomial theorem with n2 is the geometrically evident fact that a square of side a + b can be cut into a square of side a, a square of side b, and two rectangles with sides a and b. With n3, the theorem states that a cube of side a + b can be cut into a cube of side a, a cube of side b, three a × a × b rectangular boxes, and three a × b × b rectangular boxes.
=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!} Untuk setiap a dan b bernilai positif, teorema binomial dengan n2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkar dengan sisi a + b dapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisi a, sebuah bujur sangkar dengan sisi b, dan dua persegi panjang dengan sisi a dan b. Dengan n3, teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisi a + b dapat dipotong-potong menjadi sebuah kubus dengan sisi a, sebuah kubus dengan sisi b, tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×a×b, dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensi a×b×b.
In calculus, this picture also gives a geometric proof of the derivative ( x n ) ′n x n − 1 : )'=nx^{n-1}:} if one sets ax and bΔ x , interpreting b as an infinitesimal change in a, then this picture shows the infinitesimal change in the volume of an n-dimensional hypercube, ( x + Δ x ) n , ,} where the coefficient of the linear term (in Δ x ) is n x n − 1 , ,} the area of the n faces, each of dimension n − 1: ( x + Δ x ) nx n + n x n − 1 Δ x + ( n 2 ) x n − 2 ( Δ x ) 2 + ⋯ .
Dalam kalkulus, gambar ini juga memberikan bukti geometris bahwa turunan ( x n ) ′n x n − 1 : )'=nx^{n-1}:} jika ditentukan ax dan bΔ x , dengan menginterpretasi b sebagai suatu perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam a, maka gambar ini menunjukkan perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam volume sebuah hiperkubus berdimensi n, ( x + Δ x ) n , ,} dengan suku koefisien linearnya (dalam Δ x )
Thus ( x + y ) n + 1∑ k0 n + 1 ( n + 1 k )
Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi ( 1 + x ) n( n 0 )
(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}} When r is a nonnegative integer, the binomial coefficients for k > r are zero, so this equation reduces to the usual binomial theorem, and there are at most r + 1 nonzero terms.
\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}} Perhatikan bahwa: Eksponen dari x menurun hingga mencapai 0 ( x 011} ) dengan nilai awal adalah n (n pada ( x + y ) n } ).
− 11 1 + x1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − x 5 + ⋯ .
x 0 + ( n 1 ) x 1 + ( n 2 )
+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.} This may be written more concisely, by multi-index notation, as ( x + y ) α∑ ν ≤ α ( α ν )
x 0 y n ,{n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},} di mana setiap ( n k ) {k}}} adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai koefisien binomial.
The binomial expansions of small degrees were known in the 13th century mathematical works of Yang Hui and also Chu Shih-Chieh.
Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke-13 bernama Yang Hui dan Zhu Shijie.
Yang Hui attributes the method to a much earlier 11th century text of Jia Xian, although those writings are now also lost.
Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisan Jia Xian, meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.