Modern group theory—an active mathematical discipline—studies groups in their own right.
Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.
For any two integers a and ⁠ b ⁠, the sum a + b is also an integer; this closure property says that + is a binary operation on ⁠ Z } ⁠.
Untuk dua bilangan bulat a dan b , penambahan a + b menghasilkan bilangan bulat, dan sifat ketertutupan mengatakan bahwa + adalah operasi biner Z } .
For all integers ⁠ a ⁠, b and ⁠ c ⁠, one has ⁠ ( a + b ) + ca + ( b + c ) ⁠. Expressed in words, adding a to b first, and then adding the result to c gives the same final result as adding a to the sum of b and ⁠ c ⁠. This property is known as associativity.
Ini dapat dijelaskan melalui kata-kata, yang berarti bahwa menambahkan a ke b terlebih dahulu, dan kemudian menambahkan hasil tersebut ke c akan memberikan hasil akhir yang sama seperti menambahkan a ke penjumlahan b dan c .
To appropriately understand these structures as a collective, the following definition is developed.
Untuk memahami dengan tepat struktur tersebut sebagai suatu kolektif, disajikanlah definisi di bawah berikut.
Inverse element For each a in ⁠ G ⁠, there exists an element b in G such that a ⋅ be and ⁠ b ⋅ ae ⁠, where e is the identity element.
Elemen invers Untuk setiap a dalam G , terdapat elemen b dalam G sehingga a ⋅ be dan b ⋅ ae , dengan e adalah elemen identitas.
Formally, a group is an ordered pair of a set and a binary operation on this set that satisfies the group axioms.
Secara formal, grup adalah pasangan terurut yang terdiri atas suatu himpunan dan operasi biner pada himpunan yang memenuhi aksioma grup.
The set is called the underlying set of the group, and the operation is called the group operation or the group law.
Himpunan itu disebut himpunan pendasar (underlying set) grup, dan operasi binernya disebut operasi grup atau hukum grup.
A group and its underlying set are thus two different mathematical objects.
Grup beserta himpunan pendasarnya merupakan dua objek matematika yang berbeda.
To avoid cumbersome notation, it is common to abuse notation by using the same symbol to denote both.
Supaya menghindari notasi yang sulit dipahami, digunakanlah simbol yang sama untuk menyatakan kedua-duanya.
For example, consider the set of real numbers ⁠ R } ⁠, which has the operations of addition a + b and multiplication ⁠ a b ⁠. Formally, R } is a set, ( R ,
Sebagai contoh, misalkan terdapat himpunan bilangan real R } , yang memiliki operasi penjumlahan a + b dan perkalian a b .
But it is common to write R } to denote any of these three objects.
Akan tetapi, biasanya ditulis sebagai R } untuk menunjukkan salah satu dari tiga objek tersebut.
The additive group of the field R } is the group whose underlying set is R } and whose operation is addition.
Grup aditif dari lapangan R } adalah grup yang himpunan pendasarnya adalah R } , dan operasinya adalah penambahan.
The multiplicative group of the field R } is the group R × ^{\times }} whose underlying set is the set of nonzero real numbers R ∖ { 0 } \smallsetminus \{0\}} and whose operation is multiplication.
Sementara itu, grup perkalian dari lapangan R } adalah grup R × ^{\times }} yang himpunan pendasarnya adalah himpunan bilangan real bukan nol R ∖ { 0 } \setminus \{0\}} dan operasinya adalah perkalian.
Several other notations are commonly used for groups whose elements are not numbers.
digunakan untuk grup yang elemennya bukan bilangan.
In the more specific cases of geometric transformation groups, symmetry groups, permutation groups, and automorphism groups, the symbol ∘ is often omitted, as for multiplicative groups.
Dalam kasus yang lebih spesifik dari grup transformasi geometris, grup simetri, grup permutasi, dan grup automorfisme, simbol ∘ dihilangkan, seperti grup perkalian.
These are: the identity operation leaving everything unchanged, denoted id } ; rotations of the square around its center by 90°, 180°, and 270° clockwise, denoted by ⁠ r 1 } ⁠, r 2 } and ⁠ r 3 } ⁠, respectively; reflections about the horizontal and vertical middle line (⁠ f v }} ⁠ and ⁠ f h }} ⁠), or through the two diagonals (⁠ f d }} ⁠ and ⁠ f c }} ⁠).
Persegi memiliki delapan simetri, yaitu: operasi identitas, yang berarti bangun tersebut tidak berubah, dan operasi ini dilambangkan dengan id; persegi di sekitar pusatnya diputar sebesar 90°, 180°, dan 270° searah jarum jam, yang dilambangkan dengan r 1 } , r 2 } dan r 3 } ; refleksi (cermin) terhadap garis tengah horizontal dan vertikal ( f v }} dan f h }} , atau terhadap dua garis diagonal ( f d }} dan f c }} ).
These symmetries are functions.
Simetri diatas adalah fungsi.
Each sends a point in the square to the corresponding point under the symmetry.
Masing-masing untuk satu titik dalam persegi ke titik yang sesuai di bawah simetri.
These symmetries determine a group called the dihedral group of degree four, denoted ⁠ D 4 _{4}} ⁠.
Kesimetrian ini menentukan sebuah grup yang disebut grup dihedral dengan derajat 4, dilambangkan D4.
The underlying set of the group is the above set of symmetries, and the group operation is function composition.
Himpunan yang didasari grup adalah himpunan simetri di atas, dan operasi grup adalah komposisi fungsi.
Two symmetries are combined by composing them as functions, that is, applying the first one to the square, and the second one to the result of the first application.
Dua simetri digabungkan dengan menyusunnya sebagai fungsi, yaitu menerapkan yang pertama ke persegi, dan yang kedua ke hasil aplikasi pertama.
The result of performing first a and then b is written symbolically from right to left as b ∘ a ("apply the symmetry b after performing the symmetry ⁠ a ⁠").
Hasil dari pertama kali a dan kemudian b ditulis secara simbolis dari kanan ke kiri sebagai b ∘ a ("terapkan simetri b setelah melakukan simetri a").
This is the usual notation for the composition of functions.
Maka ini adalah notasi biasa untuk komposisi fungsi.
Using the above symbols, highlighted in blue in the Cayley table: f h ∘ r 3f d .
Menggunakan simbol di atas, disorot dengan warna biru di tabel grup: f h ∘ r 3f d .
Composition is a binary operation.
Komposisi adalah operasi biner.
Associativity: The associativity axiom deals with composing more than two symmetries: Starting with three elements ⁠ a ⁠, ⁠ b ⁠ and ⁠ c ⁠ of ⁠ D 4 _{4}} ⁠, there are two possible ways of using these three symmetries in this order to determine a symmetry of the square.
Aksioma asosiatif berkaitan dengan penyusunan lebih dari dua simetri: Dimulai dengan tiga elemen a, b dan c dari D4, Ada dua kemungkinan cara menggunakan ketiga kesimetrian ini dalam urutan ini untuk menentukan kesimetrian bujur sangkar.
\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})} can be checked using the Cayley table: ( f d ∘ f v ) ∘ r 2r 3 ∘ r 2r 1 f d ∘ ( f v ∘ r 2 )
\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})} dapat diperiksa menggunakan tabel grup di sebelah kanan: ( f d ∘ f v ) ∘ r 2r 3 ∘ r 2r 1 f d ∘ ( f v ∘ r 2 )
\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}} Identity element: The identity element is ⁠ i d } ⁠, as it does not change any symmetry a when composed with it either on the left or on the right.
\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}} Elemen identitas adalah id, karena tidak mengubah simetri a saat disusun dengan baik di kiri atau di kanan.
The rotations r 3 } and r 1 } are each other's inverses, because rotating 90° and then rotating 270° (or vice versa) yields a rotation over 360° which leaves the square unchanged.
Rotasi r3 dan r1 adalah invers satu sama lain, karena 90° dan kemudian rotasi 270° (atau sebaliknya) menghasilkan rotasi lebih dari 360°
This is easily verified in the table.
Ini dengan mudah diverifikasi di atas meja.
In contrast to the group of integers above, where the order of the operation is immaterial, it does matter in ⁠ D 4 _{4}} ⁠, as, for example, f h ∘ r 1f c }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }} but ⁠ r 1 ∘ f hf d \circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }} ⁠. In other words, D 4 _{4}} is not abelian.
Berbeda dengan grup bilangan bulat di atas, di mana urutan operasinya tidak relevan, D4, misalnya f h ∘ r 1f c }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }} but r 1 ∘ f hf d \circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }} Dengan kata lain, D4 bukan abelian.
The modern concept of an abstract group developed out of several fields of mathematics.
Konsep grup abstrak yang modern dikembangkan dari beberapa cabang matematika.
The original motivation for group theory was the quest for solutions of polynomial equations of degree higher than 4.
Asal-usul teori grup berawal dari ketika menyelesaikan persamaan polinomial dengan derajat yang lebih dari 4.
The 19th-century French mathematician Évariste Galois, extending prior work of Paolo Ruffini and Joseph-Louis Lagrange, gave a criterion for the solvability of a particular polynomial equation in terms of the symmetry group of its roots (solutions).
Matematikawan berkebangsaan Pranci abad ke-19, Évariste Galois, memperluas karya Paolo Ruffini dan Joseph-Louis Lagrange dengan memberikan kriteria untuk solvabilitas dari suatu persamaan polinomial khusus dalam grup simetri dari (penyelesaian) akarnya.
The elements of such a Galois group correspond to certain permutations of the roots.
Elemen dari grup Galois tersebut bersesuaian dengan permutasi dari akar tertentu.
More general permutation groups were investigated in particular by Augustin Louis Cauchy.
Grup permutasi yang lebih umum diteliti lebih lanjut oleh Augustin Louis Cauchy.
Geometry was a second field in which groups were used systematically, especially symmetry groups as part of Felix Klein's 1872 Erlangen program.
Geometri adalah cabang kedua yang menggunakan grup secara sistematik, terutama grup simetri yang merupakan bagian dari program Erlangen milik Felix Klein di tahun 1872.
After novel geometries such as hyperbolic and projective geometry had emerged, Klein used group theory to organize them in a more coherent way.
Setelah munculnya cabang-cabang geometri baru seperti geometri hiperbolik dan geometri proyektif, Klein menggunakan teori grup untuk menyusunnya supaya terlihat mudah dimengerti.
Further advancing these ideas, Sophus Lie founded the study of Lie groups in 1884.
Berlanjut saat memperluas gagasan tersebut, Sophus Lie menemukan kajian grup Lie di tahun 1884.
The third field contributing to group theory was number theory.
Cabang ketiga yang menyumbangkan teori grup adalah teori bilangan.
Certain abelian group structures had been used implicitly in Carl Friedrich Gauss's number-theoretical work Disquisitiones Arithmeticae (1798), and more explicitly by Leopold Kronecker.
Struktur-struktur grup abelian tertentu telah digunakan dalam karya Carl Friedrich Gauss yang berjudul Disquisitiones Arithmeticae (1798).
In 1847, Ernst Kummer made early attempts to prove Fermat's Last Theorem by developing groups describing factorization into prime numbers.
Pada tahun 1847, Ernst Kummer mencoba membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan mengembangkan grup yang menjelaskan faktorisasi menjadi bilangan prima.
The convergence of these various sources into a uniform theory of groups started with Jordan (1870)'s Traité des substitutions et des équations algébriques.
Konvergensi dari berbagai sumber tersebut menjadi teori grup yang berseragam berawal dari karya milik Camille Jordan yang berjudul Traité des substitutions et des équations algébriquescode:
The theory of Lie groups, and more generally locally compact groups was studied by Hermann Weyl, Élie Cartan and many others.
Teori grup Lie, dan lebih umumnya adalah grup kompak lokal (locally compact group) dikaji oleh Hermann Weyl, Élie Cartan dan banyak matematikawan lainnya.
Basic facts about all groups that can be obtained directly from the group axioms are commonly subsumed under elementary group theory.
Fakta dasar tentang semua grup yang diperoleh langsung dari aksioma grup biasanya dimasukkan dalam teori grup elementer.
For example, repeated applications of the associativity axiom show that the unambiguity of a ⋅ b ⋅ c( a ⋅ b ) ⋅ ca ⋅ ( b ⋅ c ) generalizes to more than three factors (for example, a ⋅ b ⋅ c ⋅ d is also unambiguous).
Sebagai contoh, penerapan aksioma asosiatif yang berulang menunjukkan bahwa notasi yang rtidak ambigu dari a ⋅ b ⋅ c( a ⋅ b ) ⋅ ca ⋅ ( b ⋅ c ) memperumum lebih dari tiga faktor.
The group axioms imply that the identity element is unique; that is, there exists only one identity element: any two identity elements e and f of a group are equal, because the group axioms imply ⁠
Aksioma grup mengimplikasikan bahwa elemen identitas adalah tunggal: jika e dan f adalah elemen identitas dari suatu grup, maka ee ⋅ ff .
ee ⋅ ff ⁠. It is thus customary to speak of the identity element of the group.
Aksioma grup mengimplikasikan bahwa elemen identitas adalah tunggal: jika e dan f adalah elemen identitas dari suatu grup, maka ee ⋅ ff .
Given elements a and b of a group G , there is a unique solution x in G to the equation a ⋅ xb , namely a − 1 ⋅ b \cdot b} .
Diberikan elemen a dan b dari grup G , maka terdapat solusi tunggal x dalam G untuk persamaan a ⋅ xb , yaitu a − 1 ⋅ b \cdot b} .
Similarly, given a and b in G , the unique solution x to x ⋅ ab is b ⋅ a − 1 } .
Dengan cara yang serupa, diberikan a dan b , maka solusi tunggal untuk x ⋅ ab adalah b ⋅ a − 1 } .
From these one-sided axioms, one can prove that the left identity is also a right identity and a left inverse is also a right inverse for the same element.
Berdasarkan ''aksioma sepihak'' ini, dapat dibuktikan bahwa identitas kiri juga merupakan identitas kanan, dan begitupula untuk invers kiri yang juga merupakan invers kanan untuk elemen yang sama.
g \varphi (g){\bigr )}=g} for all g in G and such that φ ( ψ ( h ) )
Oleh karena itu, untuk setiap a dalam G , fungsi G → G yang
Otherwise, the group axioms are exactly the same.
Jika tidak, aksioma grupnya persis sama.