The number e was introduced by Jacob Bernoulli in 1683.
Bilangan e diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683.
More than half a century later, Euler, who had been a student of Jacob's younger brother Johann, proved that e is irrational; that is, that it cannot be expressed as the quotient of two integers.
Lebih dari setengah abad kemudian, Euler (yang merupakan murid dari adiknya Jacob, Johann) berhasil membuktikan bahwa e adalah bilangan irasional; yang berarti, bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat.
Euler wrote the first proof of the fact that e is irrational in 1737 (but the text was only published seven years later).
Euler menulis bukti pertama mengenai keirasionalan e pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian).
Since this continued fraction is infinite and every rational number has a terminating continued fraction, e is irrational.
Oleh karena pecahan berlanjut ini tidak berhenti dan setiap bilangan rasional memiliki pecahan berlanjut yang berhenti, maka e merupakan bilangan irasional.
Since the simple continued fraction of e is not periodic, this also proves that e is not a root of a quadratic polynomial with rational coefficients; in particular, e2 is irrational.
Akibatnya, e bukanlah akar dari polinomial kuadratik dengan koefisien rasional; lebih lanjut, e 2 } merupakan bilangan irasional.
The most well-known proof is Joseph Fourier's proof by contradiction, which is based upon the equality e∑ n0 ∞ 1 n ! .
Bukti yang paling terkenal ialah pembuktian melalui kontradiksi oleh Joseph Fourier, yang didasarkan pada persamaan e∑ n0 ∞ 1 n !
^{\infty }{\frac {1}{n!}}.}
^{\infty }{\frac {1}{n!}}}
However, the fast convergence of the series representation implies that x is still strictly smaller than 1.
Akan tetapi, kekonvergenan yang cepat dari representasi deretnya mengakibatkan x haruslah kurang dari 1.
From this contradiction we deduce that e is irrational.
Oleh karena terjadi kontradiksi, maka dapat disimpulkan bahwa e merupakan bilangan irasional.
Define the number xb !
Didefinisikan bilangan x :b !
( e − ∑ n0 b 1 n !
( e − ∑ n0 b 1 n ! )
^{b}{\frac {1}{n!}}\right).} Use the assumption that e⁠a/b⁠ to obtain xb !
Dengan menggunakan asumsi bahwa ea b {b}}} , maka didapatkan xb ! ( e − ∑ n0 b 1 n ! )
− ∑ n0 b b ! n ! .
− ∑ n0 b b ! n !
Therefore, under the assumption that e is rational, x is an integer.
Akibatnya, dengan asumsi bahwa e merupakan bilangan rasional, maka x merupakan bilangan bulat.
> 0 , ^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0,}
> 0 ^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)=\sum _{n\,=\,b+1}^{\infty }{\dfrac {b!}{n!}}>0} sebab setiap suku pada jumlahan di atas bernilai positif.
− ∑ k0 2 n − 1 ( − 1 ) k k !
− ∑ n0 b 1 n ! )
In 1840, Liouville published a proof of the fact that e2 is irrational followed by a proof that e2 is not a root of a second-degree polynomial with rational coefficients.
Pada tahun 1840, Liouville mempublikasikan bukti bahwa e 2 } merupakan bilangan irasional, disusul dengan bukti bahwa e 2 } bukanlah akar dari polinomial derajat dua dengan koefisien rasional.
This last fact implies that e4 is irrational.
Informasi tersebut mengakibatkan bahwa e 4 } irasional.
His proofs are similar to Fourier's proof of the irrationality of e. In 1891, Hurwitz explained how it is possible to prove along the same line of ideas that e is not a root of a third-degree polynomial with rational coefficients, which implies that e3 is irrational.
Pada tahun 1891, Hurwitz menjelaskan bahwa gagasan serupa juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa e bukanlah akar dari polinomial derajat tiga dengan koefisien rasional, yang mengakibatkan bahwa e 3 } irasional.
Characterizations of the exponential function Transcendental number, including a proof that e is transcendental Lindemann–Weierstrass theorem Proof that π is irrational
Karakterisasi fungsi eksponensial Bilangan transendental, termasuk bukti bahwa e transendental Teorema Lindemann–Weierstrass Bukti bahwa π irasional