In numerical analysis, polynomial interpolation is the interpolation of a given data set by the polynomial of lowest possible degree that passes through the points in the dataset.
Dalam analisis numerik, interpolasi polinomial adalah sebuah metode interpolasi untuk suatu himpunan titik, dengan menggunakan polinomial derajat terkecil yang melewati semua titik pada himpunan tersebut.
Given a set of n + 1 data points ( x 0 , y 0 ) , … , ( x n , y n ) ,y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} , with no two x j } the same, a polynomial function p ( x )a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n +a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}} is said to interpolate the data if p ( x j )y j )=y_{j}} for each j ∈ { 0 , 1 , … , n } } .
Secara lebih formal, untuk himpunan n + 1 titik ( x 0 , y 0 ) , … , ( x n , y n ) ,y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} , dengan tidak ada dua x j } yang sama, sebuah fungsi polinomial p ( x ) dikatakan menginterpolasi data jika p ( x j )
Starting with a few accurately computed data points, the corresponding interpolation polynomial will approximate the function at an arbitrary nearby point.
Hal ini dilakukan dengan menghitung nilai fungsi di beberapa titik, lalu membuat polinomial interpolasi dari titik-titik tersebut.
For any n + 1 bivariate data points ( x 0 , y 0 ) , … , ( x n , y n ) ∈ R 2 ,y_{0}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})\in \mathbb {R} ^{2}} , where no two x j } are the same, there exists a unique polynomial p ( x ) of degree at most n that interpolates these points, i.e. p ( x 0 )
Teorema ini menyatakan keberadaan sebuah polinomial dengan derajat maksimum n yang unik dan menginterpolasi himpunan titik ( x 0 , y 0 ) , … , ( x n , y n ) ∈ R 2 ,y_{0}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})\in \mathbb {R} ^{2}} , jika tidak ada dua x j } yang sama.
Equivalently, for a fixed choice of interpolation nodes x j } , polynomial interpolation defines a linear bijection L n } between the (n+1)-tuples of real-number values ( y 0 , … , y n ) ∈ R n + 1 ,\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}} and the vector space P ( n ) of real polynomials of degree at most n: L n : R n + 1 ⟶ ∼ P ( n ) .
Dalam sudut pandang lain, untuk sebuah pemilihan titik-titik interpolasi x j } , interpolasi polinomial mendefinisikan sebuah bijeksi linear antara bilangan real rangkap-n (n-tuple) ( y 0 , … , y n ) ∈ R n + 1 ,\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}} dan ruang vektor polinomial real P ( n ) dengan derajat maksimum n;
:\mathbb {R} ^{n+1}{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\,P(n).}
{\textstyle L_{n}:\mathbb {R} ^{n+1}{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\,\Pi _{n}.}
(x)=\prod _{i=0,i\neq j}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {(x-x_{0})\cdots (x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdots (x-x_{n})}{(x_{j}-x_{0})\cdots (x_{j}-x_{j-1})(x_{j}-x_{j+1})\cdots (x_{j}-x_{n})}}.} Notice that L j ( x ) (x)} is a polynomial of degree n , and we have L j ( x k )
∏ k ≠ j x − x k x j − x k , (x)=\prod _{k\neq j}{\frac {x-x_{k}}{x_{j}-x_{k}}},} yang setiap fungsinya, L n , j } , adalah sebuah polinomial berderajat n .
It follows that the linear combination: p ( x )
Hal ini dapat digunakan untuk menunjukkan kombinasi linear p ( x )
∑ j0 n y j L j ( x ) ^{n}y_{j}L_{j}(x)} has p ( x k )
y j )=y_{j}} dengan p ( x )
To prove uniqueness, assume that there exists another interpolating polynomial q ( x ) of degree at most n , so that p ( x k )q ( x k ) )=q(x_{k})} for all k0 , … , n .
Sifat unik (tunggal) dari fungsi ini dibuktikan secara kontradiksi: anggap ada polinomial interpolasi q ( x ) lainnya yang berderajat maksimum n .
Then p ( x ) − q ( x ) is a polynomial of degree at most n which has n + 1 distinct zeros (the x k } ).
q ( x k ) )=q(x_{k})} untuk setiap k0 , … , n , polinomial p − q memiliki n + 1 akar yang berbeda.
[ a n a n − 1 ⋮ a 0 ][ y 0 y 1 ⋮ y n ] . x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n-2}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1}^{n}&x_{1}^{n-1}&x_{1}^{n-2}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n-2}&\ldots &x_{n}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}.}
[ x 0 n x 0 n − 1 x 0 n − 2 … x 0 1 x 1 n x 1 n − 1 x 1 n − 2 … x 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x n n x n n − 1 x n n − 2 … x n 1 ] [ a n a n − 1 ⋮ a 0 ][ y 0 y 1 ⋮ y n ] . x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n-2}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1}^{n}&x_{1}^{n-1}&x_{1}^{n-2}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n-2}&\ldots &x_{n}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}.}
The matrix X on the left is a Vandermonde matrix, whose determinant is known to be det ( X )
Matriks X di sisi kiri merupakan matriks Vandermonde, dengan nilai determinannya ditentukan dari persamaan det ( X )∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) .
∏ 0 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) , (x_{j}-x_{i}),} which is non-zero since the nodes x j } are all distinct.
(x_{j}-x_{i}).} Nilai determinan ini tidak nol karena setiap titik x j } berbeda.
This ensures that the matrix is invertible and the equation has the unique solution AX − 1 ⋅ Y \cdot Y} ; that is, p ( x ) exists and is unique.
Hal ini memastikan matriks dapat diinvers dan persamaan tersebut memiliki solusi unik AX − 1 ⋅ Y \cdot Y} .
If f ( x ) is a polynomial of degree at most n , then the interpolating polynomial of f ( x ) at n + 1 distinct points is f ( x ) itself.
Sebagai akibat dari teorema ini, jika f adalah polinomial berderajat maksimum n , maka polinomial interpolasi dari f dengan menggunakan n + 1 titik berbeda, akan menghasilkan f itu sendiri.
For a polynomial p n } of degree less than or equal to n , that interpolates f at the nodes x i } where i0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ , n .
Teorema ini menyatakan keberadaan sebuah polinomial dengan derajat maksimum n yang unik dan menginterpolasi himpunan titik ( x 0 , y 0 ) , … , ( x n , y n ) ∈ R 2 ,y_{0}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})\in \mathbb {R} ^{2}} , jika tidak ada dua x j } yang sama.
p n ( x i ) (x_{i})=p_{n}(x_{i})+a_{n+1}\prod _{j=0}^{n}(x_{i}-x_{j})=p_{n}(x_{i})} and when in + 1 : p n + 1 ( x n + 1 )p n ( x n + 1 ) + f ( x n + 1 ) − p n ( x n + 1 ) w n ( x n + 1 ) w n ( x n + 1 )
a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 , x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},} untuk setiap pasangan ( x j , y j ) ,\,y_{j})} .
The process of interpolation maps the function f to a polynomial p.
Fungsi polinomial interpolasi p ( x ) berkorespondensi pada solusi
An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.).
An Introduction to Numerical Analysis (Edisi 2nd).
GSL has a polynomial interpolation code in C Polynomial Interpolation demonstration.
Kode interpolasi polinomial GSL dalam bahasa C.