The concept of idempotence arises in a number of places in abstract algebra (in particular, in the theory of projectors and closure operators) and functional programming (in which it is connected to the property of referential transparency).
Konsep idempoten muncul dalam beberapa hal di aljabar abstrak (khususnya, dalam teori proyektor dan closure operators) dan pada pemrograman fungsional (yang berhubungan dengan sifat referential transparency).
An element x of a set S equipped with a binary operator ⋅ is said to be idempotent under ⋅ if x ⋅ xx .
Suatu elemen x dari sebuah himpunan S yang dilengkapi dengan operator biner ⋅ dikatakan idempoten
The binary operation ⋅ is said to be idempotent if x ⋅ xx for all x ∈ S .
Operator biner ⋅ dikatakan idempoten jika x ⋅ xx untuk semua elemen di S .
In the monoid ( N , × ) ,\times )} of the natural numbers with multiplication, only 0 and 1 are idempotent.
Secara formal, elemen idempoten dalam monoid ( N , × ) ,\times )} hanyalah 0 dan 1.
Indeed, 0 × 00 and 1 × 11 .
× 00 dan 1 × 11).
In the monoid ( N , + ) ,+)} of the natural numbers with addition, only 0 is idempotent.
Secara formal, elemen idempoten dalam monoid ( N , × ) ,\times )} hanyalah 0 dan 1.
In a magma ( M , ⋅ ) , an identity element e or an absorbing element a , if it exists, is idempotent.
Pada magma ( M , ⋅ ) , elemen identitas e atau absorbing element a , jika elemen tersebut ada, akan bersifat idempoten karena e ⋅ ee dan a ⋅ aa .
In a group ( G , ⋅ ) , the identity element e is the only idempotent element.
Pada grup ( G , ⋅ ) , elemen identitas e adalah satu-satunya elemen idempoten.
In the monoids ( P ( E ) , ∪ ) }(E),\cup )} and ( P ( E ) , ∩ ) }(E),\cap )} of the power set P ( E ) }(E)} of the set E with set union ∪ and set intersection ∩ respectively, ∪ and ∩ are idempotent.
Pada monoid ( P ( E ) , ∪ ) }(E),\,\cup )} dan ( P ( E ) , ∩ ) }(E),\,\cap )} dari himpunan kuasa P ( E ) }(E)} himpunan E , yang masing-masing dilengkapi dengan operator gabungan ∪ dan operator irisan ∩ , semua elemennya bersifat idempoten
Indeed, x ∪ xx for all x ∈ P ( E ) }(E)} , and x ∩ xx for all x ∈ P ( E ) }(E)} .
karena x ∪ ux untuk setiap x ∈ P ( E ) }(E)} dan x ∩ xx untuk setiap x ∈ P ( E ) }(E)} .
In the monoids ( { 0 , 1 } , ∨ ) ,\vee )} and ( { 0 , 1 } , ∧ ) ,\wedge )} of the Boolean domain with logical disjunction ∨ and logical conjunction ∧ respectively, ∨ and ∧ are idempotent.
Semua elemen pada monoid ( { 0 , 1 } , ∨ ) ,\,\vee )} dan ( { 0 , 1 } , ∧ ) ,\,\wedge )} , dari domain Boole yang dilengkapi dengan logika disjungsi ∨ dan logika konjungsi ∧, bersifat idempoten.
Indeed, x ∨ xx for all x ∈ { 0 , 1 } } , and x ∧ xx for all x ∈ { 0 , 1 } } .
karena x ∪ ux untuk setiap x ∈ P ( E ) }(E)} dan x ∩ xx untuk setiap x ∈ P ( E ) }(E)} .
In the monoid ( E E , ∘ ) ,\circ )} of the functions from a set E to itself (see set exponentiation) with function composition ∘ , idempotent elements are the functions f : E → E such that f ∘ ff , that is such that f ( f ( x ) )f ( x ) for all x ∈ E (in other words, the image f ( x ) of each element x ∈ E is a fixed point of f ).
Dalam monoid ( E E , ∘ ) ,\,\circ )} dari fungsi-fungsi yang memetakan himpunan E ke dirinya sendiri dan dilengkapi dengan komposisi fungsi ∘ , elemen-elemen idempotennya adalah fungsi f : E → E yang memenuhi f ∘ ff .
If the set E has n elements, we can partition it into k chosen fixed points and n − k non-fixed points under f , and then k n − k } is the number of different idempotent functions.
Contoh lainnya dari fungsi idempoten adalahː fungsi identitas dan fungsi konstan; fungsi floor, ceil, dan fractional part; Jika himpunan E memiliki n elemen, himpunan tersebut dapat dipartisi menjadi k titik tetap (fixed point) dan n − k titik tak-tetap dibawah pemetaan oleh f. Hal ini menghasilkan k n − k } sebagai banyaknya fungsi idempoten yang berbeda.
Hence, taking into account all possible partitions, ∑ k0 n ( n k ) k n − k ^{n}{n \choose k}k^{n-k}} is the total number of possible idempotent functions on the set.
Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan semua kemungkinan partisi, ∑ k0 n ( n k ) k n − k ^{n}{n \choose k}k^{n-k}} menyatakan banyaknya fungsi idempoten yang mungkin di himpunan E .
The integer sequence of the number of idempotent functions as given by the sum above for n0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... starts with 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393, ... (sequence A000248 in the OEIS).
Barisan dari rumus banyaknya fungsi idempoten di atas untuk n0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,… adalah 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393,… (barisan A000248 pada OEIS).
As an example for the former, f ( x )x mod 3 and g ( x )max ( x , 5 ) are both idempotent, but f ∘ g is not, although g ∘ f happens to be.
Sebagai contoh, f ( x )x mod 3 }3} (dengan mod }} menyakan operasi modulo) dan g ( x )max ( x , 5 ) adalah dua fungsi yang idempoten, tetapi fungsi komposisi f ∘ g tidak.
As an example for the latter, the negation function ¬ on the Boolean domain is not idempotent, but ¬ ∘ ¬ is.
Contoh lain adalah fungsi negasi ¬ pada domain Boole yang tidak idempoten, tetapi komposisi fungsi ¬ ∘ ¬ bersifat idempoten.
With non-idempotent operations, the algorithm may have to keep track of whether the operation was already performed or not.
Pada operasi yang tidak idempoten, algoritme mungkin perlu melacak apakah operasi sudah dilakukan atau belum.
A function looking up a customer's name and address in a database is typically idempotent, since this will not cause the database to change.
Sebuah fungsi yang mencari nama dan alamat pelanggan di sebuah database umumnya idempoten, karena operasi ini tidak membuat isi database berubah.
A request for canceling a particular order is idempotent because no matter how many requests are made the order remains canceled.
Membatalkan pesanan bersifat idempoten, karena pesanan tetap dibatalkan tidak peduli berapa kali permintaan pembatalan dilakukan.
The initial activation of the button moves the system into a requesting state, until the request is satisfied.
Aktivasi tombol pertama kali akan mengubah sistem ke status meminta, sampai hingga permintaan dipenuhi.