The history of what today is called the Heine–Borel theorem starts in the 19th century, with the search for solid foundations of real analysis.
Sejarah dari apa yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel bermula pada abad ke-19, dengan pencarian fondasi yang kokoh dari analisis real.
Central to the theory was the concept of uniform continuity and the theorem stating that every continuous function on a closed and bounded interval is uniformly continuous.
Inti dari teori ini adalah konsep kontinu seragam dan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap fungsi kontinu pada suatu selang tertutup dan terbatas bersifat kontinu seragam.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet was the first to prove this and implicitly he used the existence of a finite subcover of a given open cover of a closed interval in his proof.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet adalah orang pertama yang berhasil membuktikan hal ini, dan dia secara implisit menggunakan eksistensi dari subliput hingga dari peliput buka yang diberikan pada sebuah selang tertutup dalam pembuktiannya.
Later Eduard Heine, Karl Weierstrass and Salvatore Pincherle used similar techniques.
Eduard Heine, Karl Weierstrass, dan Salvatore Pincherle kemudian menggunakan teknik serupa.
Émile Borel in 1895 was the first to state and prove a form of what is now called the Heine–Borel theorem.
Pada tahun 1895, Émile Borel adalah orang pertama yang menyatakan dan membuktikan pernyataan yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel.
The Heine–Borel theorem does not hold as stated for general metric and topological vector spaces, and this gives rise to the necessity to consider special classes of spaces where this proposition is true.
Teorema Heine-Borel tidak berlaku pada ruang vektor topologis dan ruang metrik secara umum, sehingga perlu adanya istilah khusus untuk menggambarkan ruang-ruang yang memenuhi proposisi ini.
These spaces are said to have the Heine–Borel property.
Ruang-ruang ini disebut memiliki sifat Heine-Borel.
A metric space ( X , d ) is said to have the Heine–Borel property if each closed bounded set in X is compact.
Suatu ruang metrik ( X , d ) dikatakan memiliki sifat Heine-Borel jika setiap himpunan yang bersifat tertutup dan terbatas pada X adalah himpunan kompak.
Many metric spaces fail to have the Heine–Borel property, such as the metric space of rational numbers (or indeed any incomplete metric space).
Banyak ruang metrik yang tidak memiliki sifat Heine-Borel, seperti ruang metrik bilangan rasional (atau secara umum, setiap ruang metrik tak lengkap).
Even more trivially, if the real line is not endowed with the usual metric, it may fail to have the Heine–Borel property.
Bahkan yang lebih trivial, jika garis bilangan real tidk dilengkapi dengan metrik biasa, maka bisa saja sifat Heine-Borel tidak terpenuhi.
A metric space ( X ,
Suatu ruang metrik ( X ,
d ) has a Heine–Borel metric which is Cauchy locally identical to d if and only if it is complete, σ -compact, and locally compact.
d ) memiliki metrik Heine-Borel (yang identik lokal Cauchy dengan d ) jika dan hanya jika ruang tersebut lengkap, kompak σ , dan kompak lokal.
A topological vector space X is said to have the Heine–Borel property (R.E. Edwards uses the term boundedly compact space) if each closed bounded set in X is compact.
Suatu ruang vektor topologis X dikatakan memiliki sifat Heine-Borel jika setiap himpunan tertutup dan terbatas pada X adalah himpunan kompak (R. E. Edwards menggunakan istilah ruang kompak terbatas).
No infinite-dimensional Banach spaces have the Heine–Borel property (as topological vector spaces).
Tidak ada ruang Banach berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang vektor topologis), tetapi beberapa ruang Fréchet memilikinya.
But some infinite-dimensional Fréchet spaces do have, for instance, the space C ∞ ( Ω ) (\Omega )} of smooth functions on an open set Ω ⊂ R n ^{n}} and the space H ( Ω ) of holomorphic functions on an open set Ω ⊂ C n ^{n}} .
Misalnya, ruang C ∞ ( D ) ({\mathcal {D}})} dari fungsi-fungsi mulus pada himpunan terbuka D ⊂ R n }\subset \mathbb {R} ^{n}} dan ruang H ( D ) })} dari fungsi-fungsi holomorfik pada suatu himpunan terbuka D ⊂ C n }\subset \mathbb {C} ^{n}} .
Bolzano–Weierstrass theorem P. Dugac (1989).
Teorema Bolzano–Weierstrass P. Dugac (1989).
Heine-Borel Property Jeffreys, H.; Jeffreys, B.S. (1988).
Sifat Heine-Borel Jeffreys, H.; Jeffreys, B.S. (1988).
"Constructing metrics with the Heine-Borel property".
"Construction metrics with the Heine-Borel property"
Theorems and Problems in Functional Analysis.
Theorems and Problems in Functional Analysis
Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004).
(Inggris)Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004).
"Borel-Lebesgue covering theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Mathworld "Heine-Borel Theorem" "An Analysis of the First Proofs of the Heine-Borel Theorem - Lebesgue's Proof"
[1994], "Borel-Lebesgue covering theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 (Inggris)Mathworld "Teorema Heine-Borel" (Inggris)"Analisis dari Bukti Pertama dari Teorema Heine-Borel - Bukti Lebesgue"