In mathematics and physics, a vector space (also called a linear space) is a set whose elements, often called vectors, can be added together and multiplied ("scaled") by numbers called scalars.
Ruang vektor adalah struktur matematika yang dibentuk oleh sekumpulan vektor, yaitu objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang dinamakan skalar.
Vector spaces are characterized by their dimension, which, roughly speaking, specifies the number of independent directions in the space.
Ruang vektor merupakan subjek dari aljabar linear, dan dipahami dengan baik dari sudut pandang ini, karena ruang vektor dicirikan oleh dimensinya, yang menspesifikasikan banyaknya arah independen dalam ruang.
Vector spaces stem from affine geometry, via the introduction of coordinates in the plane or three-dimensional space.
Ruang vektor berasal dari geometri affine, melalui pengenalan koordinat pada bidang atau ruang tiga dimensi.
Around 1636, French mathematicians René Descartes and Pierre de Fermat founded analytic geometry by identifying solutions to an equation of two variables with points on a plane curve.
Sekitar 1636, ahli matematika Prancis René Descartes dan Pierre de Fermat mendirikan geometri analitik dengan mengidentifikasi solusi persamaan dua variabel dengan titik-titik pada bidang kurva.
To achieve geometric solutions without using coordinates, Bolzano introduced, in 1804, certain operations on points, lines, and planes, which are predecessors of vectors.
Untuk mencapai solusi geometris tanpa menggunakan koordinat, Bolzano diperkenalkan, pada tahun 1804, operasi tertentu pada titik, garis dan bidang, yang merupakan pendahulu vektor.
Möbius (1827) introduced the notion of barycentric coordinates.
This work was made use of in the conception of barycentric coordinates by Möbius in 1827.
Vectors were reconsidered with the presentation of complex numbers by Argand and Hamilton and the inception of quaternions by the latter.
Vektor dipertimbangkan kembali dengan penyajian bilangan kompleks oleh Argand dan Hamilton dan dimulainya Kuarternion oleh yang terakhir.
They are elements in R2 and R4; treating them using linear combinations goes back to Laguerre in 1867, who also defined systems of linear equations.
Mereka adalah elemen dalam R2 dan R4; memperlakukan mereka menggunakan kombinasi linier s kembali ke Laguerre pada tahun 1867, yang juga mendefinisikan sistem persamaan linear.
In 1857, Cayley introduced the matrix notation which allows for harmonization and simplification of linear maps.
Pada tahun 1857, Cayley memperkenalkan notasi matriks yang memungkinkan harmonisasi dan penyederhanaan peta linear.
Around the same time, Grassmann studied the barycentric calculus initiated by Möbius.
Sekitar waktu yang sama, Grassmann mempelajari kalkulus barycentric yang diprakarsai oleh Mbius.
He envisaged sets of abstract objects endowed with operations.
Dia membayangkan kumpulan objek abstrak yang diberkahi dengan operasi.
Italian mathematician Peano was the first to give the modern definition of vector spaces and linear maps in 1888, although he called them "linear systems".
Matematikawan Italia Peano adalah orang pertama yang memberikan definisi modern ruang vektor dan peta linier pada tahun 1888.
An important development of vector spaces is due to the construction of function spaces by Henri Lebesgue.
Perkembangan penting dari ruang vektor adalah karena pembangunan ruang fungsi oleh Henri Lebesgue.
This was later formalized by Banach and Hilbert, around 1920.
Ini kemudian diresmikan oleh Banach dan Hilbert, sekitar 1920.
When a is negative, av is defined as the arrow pointing in the opposite direction instead.
Jika a negatif, av didefinisikan sebagai panah yang menunjuk ke arah yang berlawanan.
The following shows a few examples: if a2, the resulting vector
Berikut ini adalah beberapa contoh: jika a2, vektor yang dihasilkan
aw has the same direction as w, but is stretched to the double length of w (the second image).
aw memiliki arah yang sama dengan w, tetapi direntangkan menjadi dua kali lipat panjang w (gambar kanan bawah).
Equivalently, 2w is the sum w + w. Moreover, (−1)v−v has the opposite direction and the same length as v (blue vector pointing down in the second image).
Sama halnya, 2w adalah jumlah w + w. Bahkan, (−1)v−v memiliki arah berlawanan dan panjang yang sama v (vektor biru menunjuk ke bawah pada gambar kanan).
A second key example of a vector space is provided by pairs of real numbers x and y.
Contoh kunci kedua dari ruang vektor disediakan oleh pasangan bilangan riil x dan y .
Such a pair is written as (x, y).
Pasangan seperti itu ditulis sebagai (x, y).
( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , a ( x , y )( a x , a y ) .
(x + a) + i(y + b) dan c ⋅ (x + iy)
More generally, all n-tuples (sequences of length n) ( a 1 , a 2 , … , a n ) ,a_{2},\dots ,a_{n})} of elements ai of F form a vector space that is usually denoted Fn and called a coordinate space.
Lebih umum lagi, semua n-tupel (urutan panjang n) (a1, a2, ..., an) dari elemen F membentuk ruang vektor yang biasanya dilambangkan Fn dan disebut ruang koordinat.
The case n1 is the above-mentioned simplest example, in which the field F is also regarded as a vector space over itself.
Kasus n1 adalah contoh paling sederhana yang disebutkan di atas, di mana bidang F juga dianggap sebagai ruang vektor di atasnya.
The set of complex numbers C, numbers that can be written in the form x + iy for real numbers x and y where i is the imaginary unit, form a vector space over the reals with the usual addition and multiplication: (x + iy) + (a + ib)
Himpunan bilangan kompleks C, Artinya, angka yang bisa dituliskan dalam bentuk x + iy untuk bilangan real x dan y di mana i adalah satuan imajiner , bentuk ruang vektor di atas real dengan penjumlahan dan perkalian seperti biasa: (x + iy) + (a + ib)
(x + a) + i(y + b) and c ⋅ (x + iy)
(x + a) + i(y + b) dan c ⋅ (x + iy)
The example of complex numbers is essentially the same as (that is, it is isomorphic to) the vector space of ordered pairs of real numbers mentioned above: if we think of the complex number x +
Faktanya, contoh bilangan kompleks pada dasarnya sama (yaitu isomorfik ) dengan ruang vektor pasangan terurut bilangan real yang disebutkan di atas: jika kita memikirkan bilangan kompleks x + i y sebagai mewakili urutan (x, y) di bidang kompleks kemudian kita melihat bahwa aturan penjumlahan dan perkalian skalar sama persis dengan yang ada di contoh sebelumnya.
That is, the sum of two functions f and g is the function ( f + g ) given by ( f + g ) ( w )
Artinya, jumlah dari dua fungsi f dan g adalah fungsi (f + g) diberikan oleh (f + g)(w)f(w) + g(w), dan juga untuk perkalian.
Such function spaces occur in many geometric situations, when Ω is the real line or an interval, or other subsets of R. Many notions in topology and analysis, such as continuity, integrability or differentiability are well-behaved with respect to linearity: sums and scalar multiples of functions possessing such a property still have that property.
Ruang fungsi seperti itu terjadi dalam banyak situasi geometris, ketika Ω adalah garis nyata atau interval, atau himpunan bagian lainnya dari R. Banyak gagasan dalam topologi dan analisis, seperti kontinuitas, integrabilitas atau diferensiabilitas berperilaku baik sehubungan dengan linearitas: penjumlahan dan kelipatan skalar dari fungsi yang memiliki sifat seperti itu masih memiliki sifat itu.