1 × 2 × 3 × ⋯ × ( n − 1 ) satisfies ( n − 1 ) !
× … × 3 × 2 × 1 , sehingga ( n − 1 ) !
≡ − 1 ( mod n ) }} exactly when n is a prime number.
≡ − 1 ( mod n ) }} ketika n merupakan bilangan prima.
There is evidence that Leibniz was also aware of the result a century earlier, but never published it.
Terdapat bukti bahwa Leibniz juga menyadari kebenaran teorema tersebut satu abad sebelumnya, tetapi ia tidak pernah menerbitkannya.
For each of the values of n from 2 to 30, the following table shows the number (n − 1)!
Untuk setiap nilai n dari 2 sampai 30, tabel berikut berisi bilangan ( n − 1 ) ! beserta sisa pembagian saat ( n − 1 ) ! dibagi oleh n .
As expected, ( n − 1 ) !
Akibatnya, ( n − 1 ) !
≡ n − 1 mod n }n} when n is prime.
≡ − 1 ( mod n ) }} ketika n merupakan bilangan prima.
As a biconditional (if and only if) statement, the proof has two halves: to show that equality does not hold when n is composite, and to show that it does hold when n is prime.
Sebagai pernyataan bikondisional (jika dan hanya jika), maka pembuktiannya memiliki dua bagian: tunjukkan bahwa kekongruenannya tidak akan berlaku ketika n merupakan bilangan komposit, dan tunjukkan bahwa kekongruenannya pasti berlaku saat n merupakan bilangan prima.
Suppose for the sake of contradiction that ( n − 1 ) !
Misalkan—dengan dalih untuk mencari kontradiksi—nilai ( n − 1 ) !
were congruent to − 1 modulo n } .
kongruen dengan − 1 dalam modulo n .
Then ( n − 1 ) !
Akibatnya, ( n − 1 ) !
would also be congruent to − 1 modulo q } : indeed, if ( n − 1 ) !
kongruen dengan − 1 dalam modulo n .
≡ − 1 ( mod n ) }} then ( n − 1 ) !
≡ − 1 ( mod n ) }} ketika n merupakan bilangan prima.
is one less than a multiple of q .
habis dibagi oleh q 2 } .
Therefore ( n − 1 ) !
Akibatnya, ( n − 1 ) !
≡ 0 ( mod q ) }} .
≡ 0 ( mod p ) }} .
≡ − 1 ( mod n ) }} when n is composite.
≡ − 1 ( mod n ) }} ketika n merupakan bilangan prima.
is congruent to 0 modulo n .
kongruen dengan − 1 dalam modulo n .
× ⋯ × 2 × 1 and so ( n − 1 ) ! is divisible by a bn .
× … × 3 × 2 × 1 , sehingga ( n − 1 ) !
, and so n divides ( n − 1 ) !
+ 1 habis dibagi oleh n .
Since the residue classes modulo p form a field, every non-zero residue a has a unique multiplicative inverse a − 1 } .
Oleh karena kelas-kelas residu modulo p merupakan lapangan, maka setiap residu tak nol a memiliki invers perkalian a − 1 } yang bersifat tunggal.
Therefore, with the exception of ± 1 , the factors in the expanded form of ( p − 1 ) !
Akibatnya, setiap faktor selain ± 1 dari ( p − 1 ) !
can be arranged in disjoint pairs such that product of each pair is congruent to 1 modulo p .
dapat disusun ulang menjadi p − 3 2 {2}}} pasangan sedemikian sehingga darab dari setiap pasangan akan kongruen dengan 1 modulo p .
This proves Wilson's theorem.
Alhasil, teorema Wilson terbukti.
For example, for p11 , one has 10 !
Sebagai contoh, untuk p11 , maka perhatikan bahwa 10 !
[ ( 1 ⋅ 10 ) ] ⋅ [ ( 2 ⋅ 6 ) ( 3 ⋅ 4 ) ( 5 ⋅ 9 ) ( 7 ⋅ 8 ) ] ≡ [ − 1 ] ⋅ [ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ] ≡ − 1 ( mod 11 ) .
( 1 ⋅ 10 ) ⋅ ( 2 ⋅ 6 ) ⋅ ( 3 ⋅ 4 ) ⋅ ( 5 ⋅ 9 ) ⋅ ( 7 ⋅ 8 ) ≡ ( − 1 ) ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ≡ − 1 ( mod 11 ) }} Untuk p2 , hasil dari teorema Wilson bersifat trivial, sehingga diasumsikan bahwa p adalah bilangan prima ganjil.
3. Consider the polynomial g ( x )
Selanjutnya, pandang polinomial g ( x )
g has degree p − 1, leading term xp − 1, and constant term (p − 1)!.
x p − 1 − 1 -1} Perhatikan bahwa g memiliki derajat p − 1 , dengan suku utama x p − 1 } .
+ 1 ≡ 0 (mod p).
≡ 0 ( mod p ) }} .
Using Wilson's Theorem, for any odd prime p2m + 1, we can rearrange the left hand side of 1 ⋅ 2 ⋯ ( p − 1 ) ≡ − 1 ( mod p ) }} to obtain the equality 1 ⋅ ( p − 1 )
Dengan menggunakan teorema Wilson, maka untuk setiap bilangan prima ganjil p2 n + 1 , ruas kiri dari 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ ( p − 1 ) ≡ − 1 ( mod p ) }} dapat disusun ulang sebagai berikut 1 ⋅ ( p − 1 ) ⋅ 2 ⋅ ( p − 2 )
Wilson's theorem allows one to define the p-adic gamma function.
Teorema Wilson dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi gamma p-adik.
Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/nat_5.html#T22 Ohana, Andrew.
(Inggris) Bukti sistem Mizar : http://mizar.org/version/current/html/nat_5.html#T22 Ohana, Andrew.