In linear algebra, a rotation matrix is a transformation matrix that is used to perform a rotation in Euclidean space.
Dalam aljabar linear, matriks rotasi adalah matriks transformasi yang digunakan untuk melakukan rotasi dalam ruang Euclidean.
For example, using the convention below, the matrix R[ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] ⋅ \cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\cdot } rotates points in the xy plane counterclockwise through an angle θ about the origin of a two-dimensional Cartesian coordinate system.
Misalnya, dengan menggunakan konvensi di bawah ini, matriks R[ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] \cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}} memutar titik-titik pada bidang xy berlawanan arah jarum jam melalui θ terhadap sumbu x terhadap titik asal sistem koordinat kartesius dua dimensi.
One way to understand this is to say we have a vector at an angle 30° from the x-axis, and we wish to rotate that angle by a further 45°.
Salah satu cara untuk memahami ini adalah dengan mengatakan bahwa kita memiliki sebuah vektor pada sudut 30° dari sumbu x, dan kita ingin memutar sudut itu sebesar 45° lebih jauh.
We simply need to compute the vector endpoint coordinates at 75°.
Kita hanya perlu menghitung koordinat titik akhir vektor pada 75°.
In two dimensions, the standard rotation matrix has the following form: R ( θ )
Dalam dua dimensi, matriks rotasi standar memiliki bentuk berikut: R ( θ )
x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.} Thus, the new coordinates (x′, y′) of a point (x, y) after rotation are x ′x cos ⁡ θ − y sin ⁡ θ y ′x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ .
x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.} Jadi, koordinat baru (x′, y′) dari suatu titik (x, y) setelah rotasi adalah x ′x cos ⁡ θ − y sin ⁡ θ y ′x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ . x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \,\end{aligned}}.}
For example, when the vector (initially aligned with the x-axis of the Cartesian coordinate system) x ^[ 1 0 ] }{\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}} is rotated by an angle θ, its new coordinates are [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ ] , \cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},} and when the vector (initially aligned with the y-axis of the coordinate system) y ^[ 0 1 ] }{\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}} is rotated by an angle θ, its new coordinates are [ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] .
Misalnya, ketika vektor x ^[ 1 0 ] }{\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}} diputar dengan sudut θ, koordinat barunya adalah [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ ] , \cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},} dan ketika vektor y ^[ 0 1 ] }{\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}} diputar dengan sudut , koordinat barunya adalah [ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] . -\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}
-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}
={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}
{\displaystyle R(-\theta )
{\displaystyle R(\theta )
[ 1 0 0 0 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] R y ( θ )
[ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] .
[ 1 0 0 0 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] , Q y ( θ )
[ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] .
Arvo, James (1992), "Fast random rotation matrices", in David Kirk (ed.), Graphics Gems III, San Diego: Academic Press Professional, pp.
Arvo, James (1992), "Fast random rotation matrices", dalam David Kirk (ed.), Graphics Gems III, San Diego: Academic Press Professional, hlm.
I (1841–1853), Cambridge University Press, pp.
I (1841–1853), Cambridge University Press, hlm.
Rotation Matrices at MathPages (in Italian)
Rotation Matrices at MathPages (dalam bahasa Italia)