N ( x ) N ( y ) for all x and y in A. A composition algebra includes an involution called a conjugation: x ↦ x ∗ .
N ( x ) N ( y ) untuk semua x dan y di A. Sebuah aljabar komposisi mencakup involusi yang disebut konjugasi:
When x is not a null vector, the multiplicative inverse of x is x ∗ N ( x ) {\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}} .
Ketika x adalah bukan vektor nol, perkalian invers dari x adalah x ∗ N ( x ) {\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}} .
Every unital composition algebra over a field K can be obtained by repeated application of the Cayley–Dickson construction starting from K (if the characteristic of K is different from 2) or a 2-dimensional composition subalgebra (if char(K)
Setiap unital aljabar komposisi atas medan K apabila diperoleh dengan penerapan berulang konstruksi Cayley–Dickson mulai dari K (jika karakteristik dari K berbeda dari 2) atau subaljabar komposisi 2 dimensi (jika char(K)
When the field K is taken to be complex numbers C and the quadratic form z2, then four composition algebras over C are C itself, the bicomplex numbers, the biquaternions (isomorphic to the 2×2 complex matrix ring M(2, C)), and the bioctonions C ⊗ O, which are also called complex octonions.
Ketika medan K adalah bilangan kompleks 'C dan bentuk kuadrat z2, maka empat aljabar komposisi atas C adalah C sendiri, bilangan bikompleks, bikuaternion (isomorfik ke Templat:Celah kompleks gelanggang matriks M(2, C)), dan bioktonion C ⊗ O, yang juga disebut oktonion kompleks.
The matrix ring M(2, C) has long been an object of interest, first as biquaternions by Hamilton (1853), later in the isomorphic matrix form, and especially as Pauli algebra.
Gelanggang matriks M(2, C) telah lama menjadi objek yang menarik, pertama sebagai bikuaternion oleh Hamilton (1853), kemudian dalam bentuk matriks isomorfik, dan terutama sebagai aljabar Pauli.
In two, four, and eight dimensions there are both a division algebra and a split algebra: binarions: complex numbers with quadratic form x2 + y2 and split-complex numbers with quadratic form x2 − y2, quaternions and split-quaternions, octonions and split-octonions.
Dalam dua, empat, dan delapan dimensi aljabar pembagian dan "aljabar terpisah": biner: bilangan kompleks dengan bentuk kuadrat x2 + y2 dan bilangan kompleks-terpisah dengan bentuk kuadrat x2 − y2, kuaternion dan split-quaternions, oktonion dan oktonion-terpisah.
Diophantus was aware of the identity involving the sum of two squares, now called the Brahmagupta–Fibonacci identity, which is also articulated as a property of Euclidean norms of complex numbers when multiplied.
Diophantus menyadari identitas yang melibatkan jumlah dua kuadrat, sekarang disebut identitas Brahmagupta–Fibonacci, yang juga diartikulasikan sebagai sifat norma Euclidean dari bilangan kompleks ketika dikalikan.
Leonhard Euler discussed the four-square identity in 1748, and it led W. R. Hamilton to construct his four-dimensional algebra of quaternions.
Leonhard Euler membahas identitas empat kuadrat pada tahun 1748, dan itu dipimpin oleh W. R. Hamilton untuk menyusun aljabar empat dimensi kuaternion-nya.
In 1848 tessarines were described giving first light to bicomplex numbers.
Pada tahun 1848 tessarin dijelaskan memberikan cahaya pertama untuk bilangan bikompleks.
In 1919 Leonard Dickson advanced the study of the Hurwitz problem with a survey of efforts to that date, and by exhibiting the method of doubling the quaternions to obtain Cayley numbers.
Pada tahun 1919 Leonard Dickson memajukan studi tentang masalah Hurwitz dengan survei upaya hingga saat itu, dan dengan menunjukkan metode menggandakan angka empat untuk mendapatkan bilangan Cayley.
He introduced a new imaginary unit e, and for quaternions q and Q writes a Cayley number q + Qe.
Ia memperkenalkan unit imajiner e yang baru, dan untuk kuaternion q dan Q menulis bilangan Cayley q + Qe.
The conjugate of a Cayley number is q' – Qe, and the quadratic form is qq′ + QQ′, obtained by multiplying the number by its conjugate.
Konjugat bilangan Cayley adalah q' – Qe, dan bentuk kuadratnya adalah qq′ + QQ′, diperoleh dengan mengalikan bilangan dengan konjugasinya.
In 1931 Max Zorn introduced a gamma (γ) into the multiplication rule in the Dickson construction to generate split-octonions.
Pada tahun 1931 Max Zorn memperkenalkan gamma (γ) dalam kaidah perkalian dalam konstruksi Dickson untuk menghasilkan oktonion-terpisah.
Nathan Jacobson described the automorphisms of composition algebras in 1958.
Nathan Jacobson mendeskripsikan automorfisme dari komposisi aljabar pada tahun 1958.
Freudenthal magic square Pfister form Triality Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994).
Persegi ajaib Freudenthal Bentuk Pfister Trialiti Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994).