The terms enumerable and denumerable may also be used, e.g. referring to countable and countably infinite respectively, definitions vary and care is needed respecting the difference with recursively enumerable.
Istilah enumerable dan denumerable juga terkadang digunakan untuk berturut-turut menyatakan himpunan terhitung dan terhitung.
If we number the elements of the set 1, 2, and so on, up to n , this gives us the usual definition of "sets of size n ".
Jika setiap elemen dari himpunan 1 , 2 , dan seterusnya, sampai n diberi label, maka hal ini menjadi definisi dari "himpunan berukuran n ".
Some sets are infinite; these sets have more than n elements where n is any integer that can be specified.
Beberapa himpunan merupakan himpunan tak terhingga; himpunan-himpunan ini memiliki lebih dari n elemen, dengan n adalah sembarang bilangan asli.
(No matter how large the specified integer n is, such as n10 1000 } , infinite sets have more than n elements.)
Tidak peduli seberapa besar nilai n nya (seperti n10 10 100 }} ), himpunan tak terhingga memiliki lebih dari n elemen.
For example, the set of natural numbers, denotable by { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … } } , has infinitely many elements, and we cannot use any natural number to give its size.
Misalnya, himpunan bilangan asli, yang dinyatakan sebagai { 1 , 2 , 3 , 4 , … } } , memiliki tak hingga banyaknya elemen, sehingga ukuran himpunannya tidak dapat dinyatakan dengan bilangan asli apa pun.
This form of triangular mapping recursively generalizes to n -tuples of natural numbers, i.e., ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) ,a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})} where a i } and n are natural numbers, by repeatedly mapping the first two elements of an n -tuple to a natural number.
Bentuk pemetaan segitiga ini dapat diperumum secara rekursif menjadi bilangan asli rangkap- n , yaitu ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) ,\,a_{2},\,a_{3},\,\ldots ,\,a_{n}\right)} dengan a k , n ∈ N ,\,n\in \mathbb {N} } untuk setiap k ∈ { 1 , 2 , 3 , … , n } } , dengan cara memetakan secara berulang dua elemen pertama dari rangkap- n nya ke suatu bilangan asli.
For example, ( 0 , 2 , 3 ) can be written as ( ( 0 , 2 ) , 3 ) .
Sebagai contoh, ( 0 , 2 , 3 ) dapat ditulis sebagai ( ( 0 , 2 ) , 3 ) .
The set of all integers Z } and the set of all rational numbers Q } may intuitively seem much bigger than N } .
Secara umum, maka Himpunan semua bilangan bulat Z } dan himpunan semua bilangan rasional Q } secara intuitif terlihat lebih besar dari N } , namun penampilan bisa menipu.
This is also true for all rational numbers, as can be seen below.
Hal ini juga berlaku untuk seluruh bilangan rasional, seperti pada pernyataan berikut.
d 0 10 ( 0 , 4 ) a 4 ⋮ {c|c|c }{\text{Index}}&{\text{Tuple}}&{\text{Element}}\\\hline 0&(0,0)&{\textbf {a}}_{0}\\1&(0,1)&{\textbf {a}}_{1}\\2&(1,0)&{\textbf {b}}_{0}\\3&(0,2)&{\textbf {a}}_{2}\\4&(1,1)&{\textbf {b}}_{1}\\5&(2,0)&{\textbf {c}}_{0}\\6&(0,3)&{\textbf {a}}_{3}\\7&(1,2)&{\textbf {b}}_{2}\\8&(2,1)&{\textbf {c}}_{1}\\9&(3,0)&{\textbf {d}}_{0}\\10&(0,4)&{\textbf {a}}_{4}\\\vdots &&\end{array}}} We need the axiom of countable choice to index all the sets a , b , c , … },{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots } simultaneously.
d 0 10 ( 0 , 4 ) a 4 ⋮ ⋮ ⋮ {c|c|c}{\text{Indeks}}&{\text{Rangkap}}&{\text{Elemen}}\\\hline 0&\left(0,\,0\right)&a_{0}\\1&\left(0,\,1\right)&a_{1}\\2&\left(1,\,0\right)&b_{0}\\3&\left(0,\,2\right)&a_{2}\\4&\left(1,\,1\right)&b_{1}\\5&\left(2,\,0\right)&c_{0}\\6&\left(0,\,3\right)&a_{3}\\7&\left(1,\,2\right)&b_{2}\\8&\left(2,\,1\right)&c_{1}\\9&\left(3,\,0\right)&d_{0}\\10&\left(0,\,4\right)&a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots \end{array}}} Aksioma pemilihan terhitung diperlukan untuk memberikan indeks kepada semua himpunan A , B , C , … , secara bersamaan.
A proof is given in the article Cantor's theorem.
Pembuktian dari pernyataan ini dapat dilihat pada artikel teorema Cantor.
Vol. 37 (Third ed.).
Vol. 37 (Edisi 3).