In mathematics, differential refers to several related notions derived from the early days of calculus, put on a rigorous footing, such as infinitesimal differences and the derivatives of functions.
Dalam matematika, diferensial mengacu pada beberapa notasi/konsep yang saling berhubungan dan berasal dari awal perkembangan ilmu kalkulus.
The term is used in various branches of mathematics such as calculus, differential geometry, algebraic geometry and algebraic topology.
Istilah ini dipakai dalam berbagai cabang matematika seperti kalkulus, geometri diferensial, geometri aljabar dan topologi aljabar.
The term differential is used nonrigorously in calculus to refer to an infinitesimal ("infinitely small") change in some varying quantity.
Secara informal, kata differential digunakan dalam kalkulus untuk merujuk suatu perubahan yang infinitesimal ("infinitely small", sangat kecil) pada suatu variabel.
For example, if x is a variable, then a change in the value of x is often denoted Δx (pronounced delta x).
Sebagai contoh, jika x adalah suatu variabel, maka besar perubahan/selisih dari nilai x sering dinyatakan dengan Δ x (dibaca sebagai delta x).
In calculus, the differential represents a change in the linearization of a function.
Dalam kalkulus, diferensial merujuk pada perubahan akibat mencari aproksimasi linear sebuah fungsi.
The total differential is its generalization for functions of multiple variables.
Konsep diferensial ini diperumum sebagai diferensial total pada fungsi multivariabel.
There are several methods of defining infinitesimals rigorously, but it is sufficient to say that an infinitesimal number is smaller in absolute value than any positive real number, just as an infinitely large number is larger than any real number.
Terdapat beberapa cara untuk mendefinisikan secara matematis konsep ini, tetapi juga cukup untuk mengganggap infinitesimal sebagai bilangan yang nilai mutlaknya lebih kecil dari sembarang bilangan real positif; sama seperti tak hingga sebagai bilangan yang lebih besar dari sembarang bilangan real.
The integrator in a Stieltjes integral is represented as the differential of a function.
Pada integral Riemann-Stieltjes, integrator dinyatakan sebagai diferensial dari suatu fungsi.
Infinitesimal quantities played a significant role in the development of calculus.
Besaran infinitesimal ("yang sangat kecil") memainkan peranan penting dalam perkembangan kalkulus.
Archimedes used them, even though he did not believe that arguments involving infinitesimals were rigorous.
Archimedes menggunakan konsep ini, walaupun ia tidak percaya argumentasi menggunakan infinitesimal bersifat tegas (rigor).
Isaac Newton referred to them as fluxions.
Isaac Newton merujuk konsep ini sebagai fluxions.
However, it was Gottfried Leibniz who coined the term differentials for infinitesimal quantities and introduced the notation for them which is still used today.
Tetapi, Gottfried Leibniz yang pertama mencetuskan istilah differential untuk besaran infinitesimal dan memperkenalkan notasi untuk mereka, yang masih digunakan saat ini.
The use of differentials in this form attracted much criticism, for instance in the famous pamphlet The Analyst by Bishop Berkeley.
Penggunaan diferensial dalam bentuk ini awalnya mengundang banyak kontroversi, sebagai contoh dalam pamflet terkenal The Analyst oleh uskup Berkeley.
Differentials are also compatible with dimensional analysis, where a differential such as dx has the same dimensions as the variable x. Calculus evolved into a distinct branch of mathematics during the 17th century CE, although there were antecedents going back to antiquity.
Analisis dimensi juga berlaku bagi diferensial, sehingga dx memiliki dimensi yang sama dengan variabel x. Kalkulus berkembang menjadi cabang matematika tersendiri pada abad ke-17, walaupun beberapa bagian di dalamnya sudah ada sejak jaman kuno.
In the 20th century, several new concepts in, e.g., multivariable calculus, differential geometry, seemed to encapsulate the intent of the old terms, especially differential; both differential and infinitesimal are used with new, more rigorous, meanings.
Pada abad ke-20, beberapa konsep baru dalam, sebagai contoh kalkulus multivariabel dan geometri diferensial, terasa memuat maksud dari definisi-definisi lawas, khususnya differential.
Differentials are also used in the notation for integrals because an integral can be regarded as an infinite sum of infinitesimal quantities: the area under a graph is obtained by subdividing the graph into infinitely thin strips and summing their areas.
Diferensial juga digunakan dalam notasi integral karena suatu integral dapat dianggap sebagai penjumlahan tak hingga banyaknya besaran infinitesimal: Luas daerah di dalam grafik dihasilkan dengan membagi grafik menjadi tak hingga banyaknya persegi panjang yang sangat tipis, dan menjumlahkan semua luas persegi panjang tersebut.
In an expression such as ∫ f ( x ) d x , the integral sign (which is a modified long s) denotes the infinite sum, f(x) denotes the "height" of a thin strip, and the differential dx denotes its infinitely thin width.
d x , Simbol integral (yang merupakan huruf s yang dipanjangkan) menyatakan penjumlahan tak hingga, f(x) menyatakan "tinggi" dari persegi panjang, sedangkan diferensial dx menyatakan lebar persegi panjang yang kecilnya tak hingga.
This approach is popular in algebraic geometry.
Pendekatan ini populer dalam geometri aljabar.
Differentials as infinitesimals in hyperreal number systems, which are extensions of the real numbers that contain invertible infinitesimals and infinitely large numbers.
Diferensial sebagai infinitesimals dalam sistem bilangan hiper-real, yakni perluasan bilangan real yang mengandung infinitesimal terbalikkan dan bilangan yang tak hingga besarnya.
This is the approach of nonstandard analysis pioneered by Abraham Robinson.
Cara ini adalah pendekatan analisis non-standar yang dikembangkan oleh Abraham Robinson.
It can be used on R } , R n ^{n}} , a Hilbert space, a Banach space, or more generally, a topological vector space.
Hal ini selanjutnya dapat diperumum ke R } , R n ^{n}} , ruang Hilbert, ruang Banach, atau secara umum, ruang vektor topologis.
Suppose f ( x ) is a real-valued function on R } .
Misalkan f ( x ) adalah fungsi bernilai real pada R } .
We can reinterpret the variable x in f ( x ) as being a function rather than a number, namely the identity map on the real line, which takes a real number p to itself:
Variabel x dalam f ( x ) dapat dianggap sebagai sebuah fungsi ketimbang sebuah bilangan, yakni sebagai fungsi identitas pada garis bilangan, yang memetakan sebuah bilangan real p ke dirinya sendiri:
Then f ( x ) is the composite of f with x , whose value at p is f ( x ( p ) )
Hal ini mengartikan f ( x ) adalah fungsi komposit f terhadap x , dengan nilai di titik p adalah f ( x ( p ) )f ( p ) .
The differential d ⁡ f f} (which of course depends on f ) is then a function whose value at p (usually denoted d f p } ) is not a number, but a linear map from R } to R } .
Diferensial d ⁡ f f} (yang tentunya bergantung pada perubahan nilai f ) selanjutnya adalah sebuah fungsi di titik p (umumnya dinyatakan sebagai d f p } ) yang memetakan R } ke R } secara linear.
Since a linear map from R } to R } is given by a 1 × 1 matrix, it is essentially the same thing as a number, but the change in the point of view allows us to think of d f p } as an infinitesimal and compare it with the standard infinitesimal d x p } , which is again just the identity map from R } to R } (a 1 × 1 matrix with entry 1 ).
tetapi perubahan perspektif memungkinkan untuk mengganggap d f p } sebagai infinitesimal dan membandingkannya dengan infinitesimal standar d x p } , yang dalam kasus ini adalah fungsi identitas dari R } ke R } (matriks berukuran 1 × 1 dengan elemen bernilai 1 ).
The identity map has the property that if ε is very small, then d x p ( ε ) (\varepsilon )} is very small, which enables us to regard it as infinitesimal.
Fungsi identitas memiliki sifat yakni jika ε bernilai sangat kecil, maka d x p ( ε ) (\varepsilon )} juga akan bernilai sangat kecil, memungkinkannya dianggap sebagai suatu infinitesimal.
The differential d f p } has the same property, because it is just a multiple of d x p } , and this multiple is the derivative f ′ ( p ) by definition.
Diferensial d f p } memiliki sifat yang sama, karena ia merupakan kelipatan dari d x p } , dan besar kelipatan ini, f ′ ( p ) , adalah definisi dari turunan.
We therefore obtain that d f pf ′ ( p )
Alhasil didapatkan d f pf ′ ( p )
d x pf'(p)\,dx_{p}} , and hence d ff ′ d
d x pf'(p)\,dx_{p}} , dan akibatnya d ff ′ d
This would just be a trick were it not for the fact that: it captures the idea of the derivative of f at p as the best linear approximation to f at p ; it has many generalizations.
Pendekatan ini juga dapat diperumum karena berisi ide bahwa turunan dari f di titik p adalah aproksimasi linear terbaik dari fungsi f di titik p .
If f is a function from R n ^{n}} to R } , then we say that f is differentiable at p ∈ R n ^{n}} if there is a linear map d f p } from R n ^{n}} to R } such that for any ε > 0 , there is a neighbourhood N of p such that for x ∈ N , | f ( x ) − f ( p ) − d f p ( x − p ) | < ε | x − p | .
Jika f adalah fungsi multivariabel dari R n ^{n}} ke R } , maka f didefinisikan sebagai terdiferensialkan di titik p ∈ R n ^{n}} jika terdapat pemetaan linear d f p } dari R n ^{n}} ke R } sedemikian sehingga untuk sembarang ε > 0 , ada suatu lingkungan N dari p sedemikian sehigga untuk sembarang x ∈ N , | f ( x ) − f ( p ) − d f p ( x − p ) | < ε | x − p | .
We can now use the same trick as in the one-dimensional case and think of the expression f ( x 1 , x 2 , … , x n ) ,x_{2},\ldots ,x_{n})} as the composite of f with the standard coordinates
(x-p)\right|<\varepsilon \left|x-p\right|.} Pendekatan yang sama dengan kasus satu dimensi dapat digunakan pada masalah ini, dengan menganggap ekspresi f ( x 1 , x 2 , … , x n ) ,x_{2},\ldots ,x_{n})} sebagai fungsi komposit f dengan fungsi koordinat standar x 1 , x 2 , … , x n ,x_{2},\ldots ,x_{n}} on R n ^{n}} (yakni x j ( p ) (p)}
Then the differentials ( d x 1 ) p , ( d x 2 ) p , … , ( d x n ) p \right)_{p},\left(dx_{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx_{n}\right)_{p}} at a point p form a basis for the vector space of linear maps from R n ^{n}} to R } and therefore, if f is differentiable at p , we can write dfp as a linear combination of these basis elements:
x 1 ) p , ( d x 2 ) p , … , ( d x n ) p \right)_{p},\left(dx_{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx_{n}\right)_{p}} pada titik p membentuk sebuah basis untuk ruang vektor dari peta-peta linear R n ^{n}} ke R } .
The coefficients D j f ( p ) f(p)} are (by definition) the partial derivatives of f at p with respect to x 1 , x 2 , … , x n ,x_{2},\ldots ,x_{n}} .
Koefisien-koefisien D j f ( p ) f(p)} adalah (dari definisi) turunan parsial dari f di p terhadap x 1 , x 2 , … , x n ,x_{2},\ldots ,x_{n}} .
Hence, if f is differentiable on all of R n ^{n}} , we can write, more concisely:
Dengan kata lain, jika f terdiferensialkan di keseluruhan R n ^{n}} , maka diferensial
In the one-dimensional case this becomes d fd f d x d x {dx}}dx} as before.
Pada kasus satu dimensi persamaan di atas menjadi d fd f d x d x {dx}}dx} sama seperti hasil pada kasus satu dimensi.
This idea generalizes straightforwardly to functions from R n ^{n}} to R m ^{m}} .
Ide ini dapat diperumum untuk fungsi dari R n ^{n}} ke R m ^{m}} .
Aside: Note that the existence of all the partial derivatives of f ( x ) at x is a necessary condition for the existence of a differential at x .
Walaupun demikian, perlu disadari bahwa keberadaan semua turunan parsial dari f ( x ) di x adalah syarat perlu untuk keberadaan suatu diferensial di titik x .
Boyer, Carl B. (1991), "Archimedes of Syracuse", A History of Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8. Darling, R. W. R. (1994), Differential forms and connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, Bibcode:1994dfc..book.....D, ISBN 978-0-521-46800-8.
Boyer, Carl B. (1991), "Archimedes of Syracuse", A History of Mathematics (Edisi 2nd), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8. Darling, R. W. R. (1994), Differential forms and connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8.
Eisenbud, David; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1 Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2nd ed.).
Eisenbud, David; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1 Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (Edisi 2nd).
Kock, Anders (2006), Synthetic Differential Geometry (PDF) (2nd ed.), Cambridge University Press.
Kock, Anders (2006), Synthetic Differential Geometry (PDF) (Edisi 2nd), Cambridge University Press.
Lawvere, F.W. (1968), Outline of synthetic differential geometry (PDF) (published 1998).
Lawvere, F.W. (1968), Outline of synthetic differential geometry (PDF) (dipublikasikan 1998).