The term wheel is inspired by the topological picture ⊙ of the real projective line together with an extra point ⊥ (bottom element) such that ⊥0 / 0 .
Istilah roda terinspirasi oleh gambar topologis ⊙ dari garis proyektif bersama dengan titik tambahan ⊥0 0 {0}}} .
A wheel is an algebraic structure ( W , 0 , 1 , + , ⋅ , / ) , in which W is a set 0 0} and 1 are elements of that set + and ⋅ are binary operations / is a unary operation and satisfying the following properties:
Sebuah roda merupakan sebuah strukur aljabar ( W , 0 , 1 , + , ⋅ , / ) , di mana W merupakan sebuah himpunan, 0 dan 1 merupakan elemen dari himpunan tersebut, + dan ⋅ merupakan operator biner, / merupakan sebuah operator uner, dan memenuhi sebagai berikut: Penjumlahan dan perkalian adalah komutatif dan asosiatif, dengan 0 dan 1 sebagai masing-masing identitasnya.
Other identities that may be derived are 0 x + 0 y0 x y
Identitas lainnya yang dapat diturunkan ialah 0 x + 0 y0 x y x − x0 x 2 }
x1 + 0 x / x x − x0 x 2 } where the negation − x is defined by − xa x and x − yx + ( − y ) if there is an element a such that 1 + a0 (thus in the general case x − x ≠ 0 ).
Jika terdapat sebuah elemen a sehingga 1 + a0 , maka kita dapat mendefinisikan negasi dengan − xa x dan x − yx + ( − y ) .
However, for values of x satisfying 0 x0 and 0 / x0 , we get
x1 + 0 x / x Dan, untuk x dengan 0 x0 dan 0 /
If x is an invertible element of the commutative ring then x − 1/ x/x} .
Jika x adalah sebuah elemen terbalikkan dari teori gelanggang, maka x − 1xx} .
Thus, whenever x − 1 } makes sense, it is equal to / x , but the latter is always defined, even when x0 .
Dengan demikian, setiap kali x − 1 } masuk akal, ini sama dengan / x , tetapi yang terakhir selalu didefinisikan, bahkan ketika x0 .
Define the congruence relation ∼ S } on A × A via ( x 1 , x 2 ) ∼ S ( y 1 , y 2 ) ,x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})} means that there exist s x , s y ∈ S ,s_{y}\in S} such that ( s x x 1 , s x x 2 )
Mendefinisikan relasi kekongruenan ∼ S } pada A × A melalui ( x 1 , x 2 ) ∼ S ( y 1 , y 2 ) ,x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})} berarti bahwa terdapat suatu s x , s y ∈ S ,s_{y}\in S} sehingga ( s x x 1 , s x x 2 )( s y y 1 , s y y 2 ) x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})} .
Define the wheel of fractions of A with respect to S as the quotient A × A / ∼ S }} (and denoting the equivalence class containing ( x 1 , x 2 ) ,x_{2})} as [ x 1 , x 2 ] ,x_{2}]} ) with the operations 0[ 0 A , 1 A ] ,1_{A}]} (additive identity) 1[ 1 A , 1 A ] ,1_{A}]} (multiplicative identity) /
Mendefinisikan roda pecahan dari A yang terhadap S sebagai kuosien A × A / ∼ S } (dan melambangkan kelas kesetaraan berisi ( x 1 , x 2 ) ,x_{2})} sebagai [ x 1 , x 2 ] ,x_{2}]} dengan operasi 0
[ x 1 , x 2 ][ x 2 , x 1 ] ,x_{2}]=[x_{2},x_{1}]} (reciprocal operation)
[ x 1 , x 2 ] + [ y 1 , y 2 ][ x 1 y 2 + x 2 y 1 , x 2 y 2 ] ,x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]} (operasi penambahan)
[ x 1 , x 2 ] + [ y 1 , y 2 ][ x 1 y 2 + x 2 y 1 , x 2 y 2 ] ,x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]} (addition operation)
[ x 1 , x 2 ] + [ y 1 , y 2 ][ x 1 y 2 + x 2 y 1 , x 2 y 2 ] ,x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]} (operasi penambahan)
[ x 1 , x 2 ] ⋅ [ y 1 , y 2 ][ x 1 y 1 , x 2 y 2 ] ,x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]} (multiplication operation)
[ x 1 , x 2 ] + [ y 1 , y 2 ][ x 1 y 2 + x 2 y 1 , x 2 y 2 ] ,x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]} (operasi penambahan)
However, 0 / 0 is still undefined on the projective line, but is defined in its extension to a wheel.
Namun, 0 / 0 masih takterdefinisi pada garis proyektif, tetapi terdefinisi dalam ekstensinya menjadi sebuah roda.
NaN Setzer, Anton (1997), Wheels (PDF) (a draft)
Setzer, Anton (1997), Wheels (PDF) (a draft)
Carlström, Jesper (2001), "Wheels – On Division by Zero" (PDF), Department of Mathematics Stockholm University Carlström, Jesper (2004), "Wheels – On Division by Zero", Mathematical Structures in Computer Science, 14 (1), Cambridge University Press: 143–184, doi:10.1017/S0960129503004110, S2CID 11706592 (also available online here).
Carlström, Jesper (2004), "Wheels – On Division by Zero", Mathematical Structures in Computer Science, 14 (1), Cambridge University Press: 143–184, doi:10.1017/S0960129503004110 (also available online here).
Lecture Notes in Computer Science.
Lecture Notes in Computer Science (dalam bahasa Inggris).
Springer International Publishing.
Springer International Publishing: 46–61.