In mathematics, a Green's function (or Green function) is the impulse response of an inhomogeneous linear differential operator defined on a domain with specified initial conditions or boundary conditions.
Dalam matematika, Fungsi Green adalah respons impuls dari tidak homogen linier operator diferensial yang ditentukan pada domain.
This means that if L is a linear differential operator, then the Green's function G is the solution of the equation L Gδ , where δ is Dirac's delta function; the solution of the inhomogeneous problem L yf is the convolution, y( G ∗ f ).
Artinya jika L adalah operator diferensial linier, maka fungsi Green G adalah solusi dari persamaan LGδ , di mana δ adalah Fungsi delta Dirac; solusi dari masalah nilai awal Lyf adalah konvolusi ( G * f ), di mana G adalah fungsi Green .
Green's functions are named after the British mathematician George Green, who first developed the concept in the 1820s.
Fungsi Green dinamai menurut ahli matematika Inggris George Green, yang pertama kali mengembangkan konsep ini pada tahun 1830-an.
In the modern study of linear partial differential equations, Green's functions are studied largely from the point of view of fundamental solutions instead, which take into account the modern language of Distribution theory.
Dalam studi modern tentang persamaan diferensial parsial linier, fungsi Green dipelajari sebagian besar dari sudut pandang solusi fundamental.
Building off of the superposition principle in many-body theory, the term is also used in physics and engineering, specifically in quantum field theory, aerodynamics, aeroacoustics, electrodynamics, seismology and statistical field theory, to refer to various types of correlation functions, even those that do not fit the mathematical definition.
Di bawah teori benda banyak, istilah ini juga digunakan dalam fisika, khususnya dalam teori medan kuantum, aerodinamika, aeroakustik, elektrodinamika, seismologi dan teori medan statistik, untuk merujuk pada berbagai jenis fungsi korelasi, bahkan yang tidak sesuai.
In quantum field theory, Green's functions take the role of propagators, also referred to as two-point (correlation) functions.
Dalam teori medan kuantum, fungsi Green berperan sebagai propagator.
A Green's function, G(x,s), of a linear differential operator LL(x) acting on distributions over a subset of the Euclidean space R n ^{n}} , at a point s, is any solution of where δ is the Dirac delta function.
Fungsi A Green, G(x,s), dari operator diferensial linear LL ⁡ ( x )\operatorname {L} (x)} bertindak pada distribusi selama himpunan bagian dari ruang Euklides R n ^{n}} , pada satu titik s , adalah solusi dari dengan δ adalah Fungsi delta Dirac.
This property of a Green's function can be exploited to solve differential equations of the form If the kernel of L is non-trivial, then the Green's function is not unique.
Properti dari fungsi Green ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk tersebut Jika kernel dari L adalah non-trivial, maka fungsi Green tidak unik.
Green's functions may be categorized by a Green's function number according to the type of boundary conditions being satisfied.
Fungsi Green dapat dikategorikan, menurut jenis kondisi batas yang dipenuhi, dengan bilangan fungsi Green.
Green's functions are not necessarily functions of a real variable but are generally understood in the sense of distributions.
Selain itu, fungsi Green secara umum adalah distribusi, tidak harus fungsi dari variabel nyata.
Green's functions are also useful tools in solving wave equations and diffusion equations.
Fungsi Green juga merupakan alat yang berguna dalam menyelesaikan persamaan gelombang s dan persamaan difusi.
In quantum mechanics, Green's function of the Hamiltonian is a key concept with important links to the concept of density of states.
Dalam mekanika kuantum, fungsi Green dari Hamiltonian adalah konsep kunci dengan kaitan penting dengan konsep kepadatan keadaan.
The Green's function as used in physics is usually defined with the opposite sign, instead.
Fungsi Green seperti yang digunakan dalam fisika biasanya didefinisikan dengan tanda yang berlawanan.
If the operator is translation invariant, that is, when L has constant coefficients with respect to x, then the Green's function can be taken to be a convolution kernel, that is, G ( x , s )
Jika operatornya invariansi terjemahan, yaitu kapan L } memiliki koefisien konstan sehubungan dengan x , maka fungsi Green dapat dianggap sebagai kernel konvolusi, yaitu, G ( x , s )
In this case, Green's function is the same as the impulse response of linear time-invariant system theory.
Dalam hal ini, fungsi Green sama dengan respons impuls teori sistem invarian waktu linear.
Loosely speaking, if such a function G can be found for the operator L, then, if we multiply equation 1 for the Green's function by f(s), and then integrate with respect to s, we obtain, ∫ L G ( x , s ) f ( s )
Singkatnya, jika fungsi seperti itu G dapat ditemukan untuk operator L } , kemudian, jika kita mengalikan persamaan (1) untuk fungsi Green dengan f ( s ), dan kemudian mengintegrasikannya dengan s, kita mendapatkan , ∫ L G ( x , s )
Because the operator LL ( x ) is linear and acts only on the variable x (and not on the variable of integration s), one may take the operator L outside of the integration, yielding L ( ∫ G ( x , s ) f ( s )
\,G(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (x-s)\,f(s)\,ds=f(x)~.} Karena operator LL ⁡ ( x )\operatorname {L} (x)} linear dan hanya bekerja pada variabel x (dan tidak pada variabel integrasi s), seseorang dapat mengambil operator L } di luar integrasi, menghasilkan L ( ∫ G ( x , s ) f ( s )
In other words, the solution of equation 2, u(x), can be determined by the integration given in equation 3.
Dengan kata lain, solusi persamaan (2), u(x), dapat ditentukan dengan integrasi yang diberikan dalam persamaan (3).
Although f(x) is known, this integration cannot be performed unless G is also known.
Meskipun f (x) diketahui, integrasi ini tidak dapat dilakukan kecuali G juga dikenal.
The problem now lies in finding the Green's function G that satisfies equation 1.
Masalahnya sekarang terletak pada mencari fungsi Green G yang memenuhi persamaan (1).
For this reason, the Green's function is also sometimes called the fundamental solution associated to the operator L. Not every operator L admits a Green's function.
Untuk alasan ini, fungsi Green terkadang juga disebut solusi fundamental yang terkait dengan operator L } .
A Green's function can also be thought of as a right inverse of L. Aside from the difficulties of finding a Green's function for a particular operator, the integral in equation 3 may be quite difficult to evaluate.
Selain kesulitan menemukan fungsi Green untuk operator tertentu, integral dalam persamaan (3) mungkin cukup sulit untuk dievaluasi.
This can be thought of as an expansion of f according to a Dirac delta function basis (projecting f over δ ( x − s ) ; and a superposition of the solution on each projection.
Ini dapat dianggap sebagai perluasan dari f menurut basis Fungsi delta Dirac (memproyeksikan f ke atas δ ( x − s ) ; dan superposisi solusi pada setiap proyeksi.
The primary use of Green's functions in mathematics is to solve non-homogeneous boundary value problems.
Green dalam matematika adalah untuk menyelesaikan masalah nilai batas non-homogen.
In modern theoretical physics, Green's functions are also usually used as propagators in Feynman diagrams; the term Green's function is often further used for any correlation function.
Dalam fisika teoretis modern, fungsi Green juga biasanya digunakan sebagai propagator dalam diagram Feynman; istilah Fungsi Hijau sering digunakan lebih lanjut untuk fungsi korelasi.
Let L be the Sturm–Liouville operator, a linear differential operator of the form Ld d x [ p ( x )
Maka L } menjadi operator Sturm–Liouville, operator diferensial linear dari bentuk Ld d x [ p ( x )
d d x ] + q ( x ) {dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)} and let D } be the vector-valued boundary conditions operator D u[ α 1 u ′ ( 0 ) + β 1 u ( 0 ) α 2 u ′ ( ℓ ) + β 2 u ( ℓ ) ] .
d d x ] + q ( x ){\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)} dan maka D → }}} menjadi operator kondisi batas nilai vektor D → u[ α 1 u ′ ( 0 ) + β 1 u ( 0 ) α 2 u ′ ( ℓ ) + β 2 u ( ℓ ) ] .
u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.} Let f ( x ) be a continuous function in [ 0 , ℓ ] .
}}\,u=\left[{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )
Further suppose that the problem L uf D u0 Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}} is "regular", i.e., the only solution for f ( x )
Selanjutnya anggaplah masalahnya L uf D → u0 → \operatorname {L} \,u&=f\\{\vec {\operatorname {D} }}\,u&={\vec {0}}\end{aligned}}} adalah "biasa", yaitu satu-satunya solusi untuk f ( x )
0 for all x is u ( x )
0 untuk semua x u ( x )
There is one and only one solution u ( x ) that satisfies L uf D u0 Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}} and it is given by u ( x )
Hanya ada satu solusi u ( x ) maka L uf D → u0 → \operatorname {L} \,u&=f\\{\vec {\operatorname {D} }}\,u&={\vec {0}}\end{aligned}}} and it is given by u ( x )
d s , ^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,} where G ( x , s ) is a Green's function satisfying the following conditions: G ( x , s ) is continuous in x and s .
d s , ^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds~,} di mana G ( x , s ) adalah fungsi Green yang memenuhi kondisi berikut: G ( x , s )
For x ≠ s , L G ( x , s )0 .
Untuk x ≠ s , L G ( x , s )
For s ≠ 0 , D G ( x , s )
Untuk s ≠ 0 , D → G ( x , s )
0 G(x,s)=\mathbf {0} } .
0 \,G(x,s)=0~} .
Derivative "jump": G ′ ( s 0 + , s )
Turunan "lompat": G ′ ( s 0 + , s )
1 / p ( s ) ,s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,} .
1 / p ( s ) ,s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)~} .
Symmetry: G ( x , s )
Simetri: G ( x , s )
If a differential operator L admits a set of eigenvectors Ψn(x) (i.e., a set of functions Ψn and scalars λn such that LΨnλn Ψn ) that is complete, then it is possible to construct a Green's function from these eigenvectors and eigenvalues.
Jika operator diferensial L menerima satu set vektor eigen Ψn(x) (yaitu, satu set fungsi Ψn dan skalar λn such that LΨnλn Ψn ) selesai, maka dimungkinkan untuk membangun fungsi Green dari vektor eigen dan nilai eigen ini.
^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x).}
^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').}
Then the following holds, where † represents complex conjugation.
Kemudian yang berikut berlaku, di mana † mewakili konjugasi kompleks.
The general study of Green's function written in the above form, and its relationship to the function spaces formed by the eigenvectors, is known as Fredholm theory.
Menerapkan operator L ke setiap sisi persamaan ini menghasilkan relasi kelengkapan, yang telah diasumsikan. Studi umum tentang fungsi Green yang ditulis dalam bentuk di atas, dan hubungannya dengan ruang fungsi yang dibentuk oleh vektor eigen, dikenal sebagai teori Fredholm.
There are several other methods for finding Green's functions, including the method of images, separation of variables, and Laplace transforms.
Ada beberapa metode lain untuk menemukan fungsi Green, termasuk metode gambar, pemisahan variabel, dan Transformasi Laplace (Cole 2011).
If the differential operator L can be factored as LL 1 L 2 L_{2}} then the Green's function of L can be constructed from the Green's functions for L 1 } and L 2 } : G ( x , s )∫ G 2 ( x , s 1 ) G 1 ( s 1 , s )
Dari operator diferensial L dapat difaktorkan sebagai LL 1 L 2 L_{2}} maka fungsi Green dari L bisa dibangun dari fungsi Green untuk L 1 } dan L 2 } : G ( x , s )∫ G 2 ( x , s 1 )
The above identity follows immediately from taking G ( x , s ) to be the representation of the right operator inverse of L , analogous to how for the invertible linear operator C , defined by C( A B )
(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,\mathrm {d} s_{1}.} Identitas di atas segera mengikuti dari pengambilan G ( x , s ) menjadi representasi dari operator kanan invers dari L , analog dengan cara operator linear invers C , didefinisikan oleh C( A B )
− 1B − 1 A − 1B^{-1}A^{-1}} , is represented by its matrix elements C i , j } .
− 1B − 1 A − 1B^{-1}A^{-1}} , diwakili oleh elemen matriksnya C i , j } .
A further identity follows for differential operators that are scalar polynomials of the derivative, LP N ( ∂ x ) (\partial _{
Identitas selanjutnya untuk operator diferensial yang merupakan polinomial skalar dari turunannya, LP N ( ∂ x ) (\partial _{x})} .
Taking the Fourier transform of L G ( x , s )
Mengambil Transformasi Fourier dari L G ( x , s )
δ ( x − s ) with respect to both x and s gives: G ^ ( k x , k s )
δ ( x − s ) sehubungan dengan x dan s gives: G ^ ( k x , k s )
This process yields identities that relate integrals of Green's functions and sums of the same.
Proses ini menghasilkan identitas yang menghubungkan integral fungsi Green dan jumlah yang sama.
For example, if L( ∂ x + γ ) ( ∂ x + α ) 2 +\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}} then one form for its Green's function is: G ( x , s )
Misalnya, jika L( ∂ x + γ ) ( ∂ x + α ) 2 +\gamma )(\partial _{x}+\alpha )^{2}} maka salah satu bentuk dari fungsi Green nya adalah:
1 ( γ − α ) 2 Θ ( x − s ) e − γ ( x − s )
1 ( α − γ ) 2 Θ ( x − s ) e − γ ( x − s )
− 1 ( γ − α ) 2 Θ ( x − s ) e − α ( x − s ) + 1 γ − α Θ ( x − s ) ( x − s ) e − α ( x − s )∫ Θ ( x − s 1 ) ( x − s 1 ) e − α ( x − s 1 ) Θ ( s 1 − s ) e − γ ( s 1 − s )
− 1 ( α − γ ) 2 Θ ( x − s ) e − α ( x − s ) + 1 γ − α Θ ( x − s ) ( x − s ) e − α ( x − s )∫ Θ ( x − s 1 ) ( x − s 1 ) e − α ( x − s 1 ) ⁡ Θ ( s 1 − s ) e − γ ( s 1 − s )
G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}} While the example presented is tractable analytically, it illustrates a process that works when the integral is not trivial (for example, when ∇ 2 } is the operator in the polynomial).
G(x,s)&={\frac {1}{(\alpha -\gamma )^{2}}}\Theta (x-s)\operatorname {e} ^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{(\alpha -\gamma )^{2}}}\Theta (x-s)\operatorname {e} ^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\,(x-s)\operatorname {e} ^{-\alpha (x-s)}\\[5pt]&=\int \Theta (x-s_{1})(x-s_{1})\operatorname {e} ^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)\operatorname {e} ^{-\gamma (s_{1}-s)}\,\mathrm {d} s_{1}.\end{aligned}}} Sementara contoh yang disajikan dapat ditelusuri secara analitis, ini mengilustrasikan proses yang bekerja ketika integralnya tidak sepele (misalnya, ketika ∇ 2 } adalah operator dalam polinomial).
Where time (t) appears in the first column, the retarded (causal) Green's function is listed.
Di mana waktu ( t ) muncul di kolom pertama, fungsi Green lanjutan (kausal) terdaftar.
Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u{\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)}=0.\end{aligned}}} First step: The Green's function for the linear operator at hand is defined as the solution to If x ≠ s , then the delta function gives zero, and the general solution is G ( x , s )
0 , u ( π 2 k )0. Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{aligned}}} Langkah pertama: Fungsi Green untuk operator linier yang ada didefinisikan sebagai solusi untuk g ″ ( x , s ) + k 2 g ( x , s )
For x < s , the boundary condition at x0 implies G ( 0 , s )
\cos kx+c_{2}\sin kx.} Untuk x < s , kondisi batas di x0 menyiratkan g ( 0 , s )
c 1 ⋅ 1 + c 2 ⋅ 00 , c 10 \cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0} if x < s and s ≠ π 2 k {2k}}} .
c 1 ⋅ 1 + c 2 ⋅ 00 , c 10 \cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0} jika x < s and s ≠ π 2 k {2k}}} .
c 3 ⋅ 0 + c 4 ⋅ 10 , c 40 {2k}},s\right)}=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0} The equation of G ( 0 , s )0 is skipped for similar reasons.
c 1 ⋅ 1 + c 2 ⋅ 00 , c 10 \cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0} jika x < s and s ≠ π 2 k {2k}}} .
To summarize the results thus far: G ( x , s )
Untuk meringkas hasil sejauh ini: g ( x , s )
c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}} Second step: The next task is to determine c 2 } and c 3 } .
c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}} Tahap kedua: Tugas selanjutnya adalah menentukan c 2 } dan c 3 } .
Ensuring continuity in the Green's function at xs implies c 2 sin ⁡ k sc 3 cos ⁡ k s \sin ks=c_{3}\cos ks} One can ensure proper discontinuity in the first derivative by integrating the defining differential equation (i.e., Eq. *) from xs − ε to xs + ε and taking the limit as ε goes to zero.
Memastikan kontinuitas dalam fungsi Green di xs menyiratkan c 2 sin ⁡ k sc 3 cos ⁡ k s \sin ks=c_{3}\cos ks} Seseorang dapat memastikan diskontinuitas yang tepat pada turunan pertama dengan mengintegrasikan persamaan diferensial dari xs − ε untuk xs + ε dan mengambil batas sebagai ε pergi ke nol: c 3 ⋅ ( − k sin ⁡ k s )
c 3 ⋅ ( − k sin ⁡ k s )
c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x .
− c 2 ⋅ ( k cos ⁡ k s )1 \cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1} The two (dis)continuity equations can be solved for c 2 } and c 3 } to obtain c 2− cos ⁡ k s k ; c 3− sin ⁡ k s k-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}
1 \cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1} Dua persamaan kontinuitas (dis) dapat diselesaikan untuk c 2 } dan c 3 } to obtain c 2− cos ⁡ k s k ; c 3− sin ⁡ k s k-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}} Jadi fungsi Green untuk masalah ini adalah: g ( x , s ){ − cos ⁡ k s k sin ⁡ k x , x < s , − sin ⁡ k s k cos ⁡ k x , s < x .
{ − cos ⁡ k s k sin ⁡ k x , x < s , − sin ⁡ k s k cos ⁡ k x , s < x .
{ c 2 sin ⁡ k x , for x < s , c 3 cos ⁡ k x , for s < x .
-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}
-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}} Hazewinkel, Michiel, ed. (2001)
G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}} Let a < x < b , and all three are elements of the real numbers.
G(x,s)&={\frac {1}{(\alpha -\gamma )^{2}}}\Theta (x-s)\operatorname {e} ^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{(\alpha -\gamma )^{2}}}\Theta (x-s)\operatorname {e} ^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\,(x-s)\operatorname {e} ^{-\alpha (x-s)}\\[5pt]&=\int \Theta (x-s_{1})(x-s_{1})\operatorname {e} ^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)\operatorname {e} ^{-\gamma (s_{1}-s)}\,\mathrm {d} s_{1}.\end{aligned}}} Sementara contoh yang disajikan dapat ditelusuri secara analitis, ini mengilustrasikan proses yang bekerja ketika integralnya tidak sepele (misalnya, ketika ∇ 2 } adalah operator dalam polinomial).
Introduction to the Keldysh Nonequilibrium Green Function Technique by A. P. Jauho Green's Function Library Tutorial on Green's functions Boundary Element Method (for some idea on how Green's functions may be used with the boundary element method for solving potential problems numerically)
Tutorial on Green's functions Boundary Element Method (for some idea on how Green's functions may be used with the boundary element method for solving potential problems numerically) Diarsipkan 2012-02-07 di Wayback Machine.