The commutator subgroup is important because it is the smallest normal subgroup such that the quotient group of the original group by this subgroup is abelian.
Subgrup komutator penting karena merupakan terkecil subgrup normal sedemikian rupa sehingga grup hasil bagi dari grup asli oleh subgrup ini adalah abelian.
In other words, G / N is abelian if and only if N contains the commutator subgroup of G .
Dengan kata lain, G / N adalah abelian jika dan hanya jika N berisi subgrup komutator dari G .
For elements g and h of a group G, the commutator of g and h is [ g , h ]
Untuk elemen g dan h dari grup G , komutator dari g dan h adalah [ g , h ]
if and only if g hh g , that is, if and only if g and h commute.
[ g , h ] sama dengan elemen identitas e jika dan hanya jika g hh g , yaitu jika dan hanya jika g dan h .
In general, g hh g [ g , h ] .
Secara umum, g hh g [ g , h ] .
[ g , h ]g h g − 1 h − 1 h^{-1}} in which case g h ≠ h g [ g , h ] but instead g h
[ g , h ]g h g − 1 h − 1 h^{-1}} dalam hal ini g h ≠ h g [ g , h ] melainkan g h
[ g , h ] s[ g s , h s ] ,[g^{s},h^{s}],} where g ss − 1 g ss^{-1}gs} (or, respectively, g ss g s − 1sgs^{-1}} ) is the conjugate of g by s , for any homomorphism f : G → H , f ( [ g , h ] )
[ g , h ] s[ g s , h s ] ,[g^{s},h^{s}],} dimana g ss − 1 g ss^{-1}gs} (atau, masing-masing, g ss g s − 1sgs^{-1}} ) adalah konjugasi dari g ke s , untuk setiap homomorfisme f : G → H , f ( [ g , h ] )
If in the third identity we take HG, we get that the set of commutators is stable under any endomorphism of G.
Jika dalam identitas ketiga kita mengambil HG , kita mendapatkan bahwa himpunan komutator stabil di bawah endomorfisme dari G .
This is in fact a generalization of the second identity, since we can take f to be the conjugation automorphism on G, x ↦ x s } , to get the second identity.
Ini sebenarnya adalah generalisasi dari identitas kedua, karena kita dapat menganggap f sebagai konjugasi automorfisme pada G, x ↦ x s } , untuk mendapatkan identitas kedua.
[ G , G ] (also called the derived subgroup, and denoted G ′ or G ( 1 ) } ) of G: it is the subgroup generated by all the commutators.
[ G , G ] (juga disebut subgrup turunan, dan dilambangkan dengan G ′ atau G ( 1 ) } ) dari G : ini adalah subgrup dihasilkan oleh semua komutator.
It follows from this definition that any element of [ G , G ] is of the form [ g 1 , h 1 ] ⋯ [ g n , h n ] ,h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]} for some natural number n , where the gi and hi are elements of G. Moreover, since ( [ g 1 , h 1 ] ⋯ [ g n , h n ] )
[ g 1 , h 1 ] ⋯ [ g n , h n ] ,h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]} untuk beberapa bilangan asli n , di mana gi dan hi adalah elemen G .
s[ g 1 s , h 1 s ] ⋯ [ g n s , h n s ] ,h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]} , the commutator subgroup is normal in G.
Selain itu, karena untuk setiap s di G yang kita miliki ( [ g 1 , h 1 ] ⋯ [ g n , h n ] ) s[ g 1 s , h 1 s ] ⋯ [ g n s , h n s ] ,h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]} , subgrup komutator normal di G .
Moreover, taking GH it shows that the commutator subgroup is stable under every endomorphism of G: that is, [G,G] is a fully characteristic subgroup of G, a property considerably stronger than normality.
Selain itu, mengambil GH itu menunjukkan bahwa subkelompok komutator stabil di bawah setiap endomorfisme G : artinya, [ G , G ] adalah subgrup yang memiliki karakteristik lengkap dari G , sebuah properti yang jauh lebih kuat daripada normalitas.
gk that can be rearranged to give the identity.
gk yang dapat diatur ulang untuk memberikan identitas.
Given a group G , a quotient group G / N is abelian if and only if [ G , G ] ⊆ N .
Diberikan grup G , sebuah grup hasil bagi G / N adalah abelian jika dan hanya jika [ G , G ] ≤ N .
[ G , G ] is an abelian group called the abelianization of G or G made abelian.
[ G , G ] adalah grup abelian yang disebut 'abelianization' dari G atau G dibuat abelian.
It is usually denoted by G ab }} or G ab }} .
Biasanya dilambangkan dengan G ab }} atau G ab }} .
There is a useful categorical interpretation of the map φ : G → G ab }} .
Ada interpretasi kategoris yang berguna dari peta φ : G → G ab }} .
Namely φ is universal for homomorphisms from G to an abelian group H : for any abelian group H and homomorphism of groups f : G → H there exists a unique homomorphism F : G ab → H }\to H} such that fF ∘ φ .
Yaitu φ bersifat universal untuk homomorfisme dari G ke grup abelian H : untuk setiap grup abelian H dan homomorfisme grup f : G → H ada homomorfisme unik F : G ab → H }\to H} such that fF ∘ φ .
As usual for objects defined by universal mapping properties, this shows the uniqueness of the abelianization G ab }} up to canonical isomorphism, whereas the explicit construction G → G /
Seperti biasa untuk objek yang ditentukan oleh properti pemetaan universal, ini menunjukkan keunikan abelianisasi G ab }} hingga isomorfisme kanonik, sedangkan konstruksi eksplisit G → G /
[ G , G ] shows existence.
[ G , G ] menunjukkan keberadaan.
The existence of the abelianization functor Grp → Ab makes the category Ab a reflective subcategory of the category of groups, defined as a full subcategory whose inclusion functor has a left adjoint.
Adanya fungsi abelianization Grp → Ab membuat kategori Ab menjadi subkategori reflektif dari kategori grup, yang didefinisikan sebagai subkategori lengkap yang fungsi penyertaannya memiliki adjoint kiri.
Another important interpretation of G ab }} is as H 1 ( G , Z ) (G,\mathbb {Z} )} , the first homology group of G with integral coefficients.
Interpretasi penting lainnya dari G ab }} adalah H 1 ( G , Z ) (G,\mathbb {Z} )} , grup homologi pertama dari G dengan koefisien integral.
A group G is an abelian group if and only if the derived group is trivial:
Grup G adalah grup abelian jika dan hanya jika grup turunannya sepele: [G,G]{e}.
See above for the definition of a group's abelianization.
Lihat di atas untuk definisi abelianisasi grup.
A group G is a perfect group if and only if the derived group equals the group itself:
Grup G adalah grup sempurna jika dan hanya jika grup turunan sama dengan grup itu sendiri:
[G,G]G. Equivalently, if and only if the abelianization of the group is trivial.
[G,G]G. Demikian pula, jika dan hanya jika abelianisasi grup itu sepele.
A group with G ( n )
Grup dengan G ( n )
{ e }\{e\}} for some n in N is called a solvable group; this is weaker than abelian, which is the case n1.
{ e }\{e\}} untuk beberapa n dalam N disebut grup solvabel; ini lebih lemah dari abelian, yaitu kasus n1.
A group with G ( n ) ≠ { e } \neq \{e\}} for all n in N is called a non-solvable group.
Grup dengan G ( n ) ≠ { e } \neq \{e\}} untuk semua n dalam N disebut grup yang tidak dapat dipecahkan.
A group with G ( α )
Grup dengan G ( α )
{ e }\{e\}} for some ordinal number, possibly infinite, is called a hypoabelian group; this is weaker than solvable, which is the case α is finite (a natural number).
{ e }\{e\}} untuk beberapa nomor urut, mungkin tak terbatas, disebut kelompok hipoabelian; ini lebih lemah dari solvable, yang mana kasus α terbatas (bilangan asli).
Whenever a group G has derived subgroup equal to itself, G ( 1 )
Kapanpun grup G telah menurunkan subgrup yang sama dengan dirinya sendiri, G ( 1 )
GG} , it is called a perfect group.
GG} , itu disebut grup sempurna.
This includes non-abelian simple groups and the special linear groups SL n ⁡ ( k ) _{n}(k)} for a fixed field k .
Subgrup komutator dari grup linear umum G L n ( k ) (k)} di atas bidang atau gelanggang pembagian k sama dengan grup linear khusus S L n ( k ) (k)} dengan ketentuan n ≠ 2 atau k bukan bidang dengan dua elemen.
The commutator subgroup of the general linear group GL n ⁡ ( k ) _{n}(k)} over a field or a division ring k equals the special linear group SL n ⁡ ( k ) _{n}(k)} provided that n ≠ 2 or k is not the field with two elements.
Subgrup komutator dari grup linear umum G L n ( k ) (k)} di atas bidang atau gelanggang pembagian k sama dengan grup linear khusus S L n ( k ) (k)} dengan ketentuan n ≠ 2 atau k bukan bidang dengan dua elemen.
The commutator subgroup of the alternating group A4 is the Klein four group.
Subgrup komutator dari alternating group A 4 adalah Klein four group.
Since the derived subgroup is characteristic, any automorphism of G induces an automorphism of the abelianization.
Karena subkelompok turunan adalah karakteristik, setiap automorfisme dari G menyebabkan automorfisme abelianisasi.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract Algebra (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-43334-9 Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 0-387-95385-X Suárez-Alvarez, Mariano.
Grup sovabel Grup nilpoten Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract Algebra (Edisi 3rd), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-43334-9 Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (Edisi 2nd), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 0-387-95385-X Suárez-Alvarez, Mariano.