Mathematical optimization (alternatively spelled optimisation) or mathematical programming is the selection of a best element, with regard to some criteria, from some set of available alternatives.
Optimisasi matematika (terkadang hanya ditulis sebagai optimisasi) adalah proses memilih sebuah elemen terbaik, menurut suatu atau beberapa kriteria, dari suatu himpunan berisi alternatif elemen yang tersedia.
Optimization problems arise in all quantitative disciplines from computer science and engineering to operations research and economics, and the development of solution methods has been of interest in mathematics for centuries.
Masalah optimisasi muncul dalam banyak bidang ilmu dari ilmu komputer dan ilmu teknik sampai riset operasi dan ekonomi, juga selama bertahun-tahun menarik perhatian matematika dalam mengembangkan metode menemukan solusi.
In the more general approach, an optimization problem consists of maximizing or minimizing a real function by systematically choosing input values from within an allowed set and computing the value of the function.
Dalam kasus paling sederhana, sebuah masalah optimisasi berisi tentang cara memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah fungsi real, dengan secara sistematis memilih nilai input dari suatu himpunan yang diperbolehkan.
Many real-world and theoretical problems may be modeled in this general framework.
Banyak masalah nyata (real-world problem) maupun masalah teoretis dapat dimodelkan dalam kerangka umum tersebut.
Problems formulated using this technique in the fields of physics may refer to the technique as energy minimization, speaking of the value of the function f as representing the energy of the system being modeled.
Di bidang fisika, formulasi seperti ini dapat merujuk pada teknik minimisasi energi, dengan nilai fungsi f merepresentasikan energi dari sistem yang dimodelkan.
Typically, A is some subset of the Euclidean space R n ^{n}} , often specified by a set of constraints, equalities or inequalities that the members of A have to satisfy.
Umumnya A adalah subset dari ruang Euklides R n ^{n}} , umum ditandai oleh sebuah himpunan konstrain, yakni kumpulan persamaan atau pertidaksamaan yang perlu dipenuhi oleh anggota A .
The domain A of f is called the search space or the choice set, while the elements of A are called candidate solutions or feasible solutions.
Domain A dari fungsi f disebut dengan ruang pencarian atau ruang pilihan, sedangkan elemen dari A disebut dengan kandidat solusi atau solusi feasibel (solusi yang mungkin).
In mathematics, conventional optimization problems are usually stated in terms of minimization.
Dalam matematika, masalah optimisasi umumnya dinyatakan sebagai masalah minimisasi.
A local minimum x* is defined as an element for which there exists some δ > 0 such that ∀ x ∈ A where ‖ x − x ∗ ‖ ≤ δ , \in A\;{\text{where}}\;\left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\ast }\right\Vert \leq \delta ,\,} the expression f(x*) ≤ f(x) holds; that is to say, on some region around x* all of the function values are greater than or equal to the value at that element.
[titik] minimum lokal x ∗ ^{*}} didefinisikan sebagai elemen yang memiliki suatu δ > 0 dan untuk ∀ x ∈ A dengan ‖ x − x ∗ ‖ ≤ δ , \in A\;{\text{dengan}}\;\left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\ast }\right\Vert \leq \delta ,\,} akan berlaku hubungan f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) ^{*})\leq f(\mathbf {x} )} .
A large number of algorithms proposed for solving the nonconvex problems – including the majority of commercially available solvers – are not capable of making a distinction between locally optimal solutions and globally optimal solutions, and will treat the former as actual solutions to the original problem.
Banyak algoritma dikembangkan untuk menyelesaikan masalah non-konveks, namun sebagian besar tidak dapat membedakan solusi optimal lokal dengan solusi optimal global; mereka akan menganggap solusi optimal lokal sebagai solusi sebenarnya bagi masalah optimisasi.
Global optimization is the branch of applied mathematics and numerical analysis that is concerned with the development of deterministic algorithms that are capable of guaranteeing convergence in finite time to the actual optimal solution of a nonconvex problem.
Optimisasi global adalah cabang matematika terapan dan analisis numerik yang mengkaji perkembangan algoritma deterministik dan memastikan konvergensi dalam waktu yang terbatas (finite time), untuk menemukan solusi optimal masalah non-konveks Masalah optimisasi sering diekspresikan menggunakan notasi khusus.
Here are some examples: Consider the following notation: min x ∈ R ( x 2 + 1 ) }\;\left(x^{2}+1\right)}
Perhatikan notasi berikut: min x ∈ R ( x 2 + 1 ) }\;\left(x^{2}+1\right)} Notasi ini menandakan nilai minimum dari fungsi objektif x 2 + 1 +1} , ketika x dipilih dari himpunan bilangan real R } .
This denotes the minimum value of the objective function x2 + 1, when choosing x from the set of real numbers R } .
Perhatikan notasi berikut: min x ∈ R ( x 2 + 1 ) }\;\left(x^{2}+1\right)} Notasi ini menandakan nilai minimum dari fungsi objektif x 2 + 1 +1} , ketika x dipilih dari himpunan bilangan real R } .
The minimum value in this case is 1, occurring at x0.
Nilai minimum dalam kasus ini adalah 1, dan terjadi ketika x0 .
Similarly, the notation max x ∈ R 2 x }\;2x} asks for the maximum value of the objective function 2x, where x may be any real number.
Serupa dengan itu, notasi max x ∈ R 2 x }\;2x} menandakan nilai maksimum dari fungsi objektif 2 x , dengan x dapat berupa sebarang bilangan real.
Consider the following notation: a r g m i n x ∈ ( − ∞ , − 1 ] x 2 + 1 , {\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,} or equivalently a r g m i n x x 2 + 1 , subject to: x ∈ ( − ∞ , − 1 ] .
Notasi seperti a r g m i n x ∈ ( − ∞ , − 1 ] x 2 + 1 , {\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,} atau secara ekuivalen juga dapat ditulis sebagai a r g m i n x x 2 + 1 , dengan kendala: x ∈ ( − ∞ , − 1 ] .
{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{subject to:}}\;x\in (-\infty ,-1].} This represents the value (or values) of the argument x in the interval (−∞,−1] that minimizes (or minimize) the objective function x2 + 1 (the actual minimum value of that function is not what the problem asks for).
{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{dengan kendala:}}\;x\in (-\infty ,-1].} menandakan nilai (atau nilai-nilai jika ada lebih dari satu) argumen x pada selang ( − ∞ , − 1 ] yang meminimumkan fungsi objektif x 2 + 1 +1} .
Similarly, a r g m a x x ∈ [ − 5 , 5 ] , y ∈ R x cos ⁡ y , }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos y,} or equivalently a r g m a x x , y x cos ⁡ y , subject to: x ∈ [ − 5 , 5 ] , y ∈ R , {\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos y,\;{\text{subject to:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,} represents the {x, y} pair (or pairs) that maximizes (or maximize) the value of the objective function x cos y, with the added constraint that x lie in the interval [−5,5] (again, the actual maximum value of the expression does not matter).
Serupa dengan itu, notasi seperti a r g m a x x ∈ [ − 5 , 5 ] , y ∈ R x cos ⁡ y , }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos y,} atau juga dapat ditulis sebagai a r g m a x x , y x cos ⁡ y , dengan kendala: x ∈ [ − 5 , 5 ] , y ∈ R , {\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos y,\;{\text{dengan kendala:}}\;x\in
In this case, the solutions are the pairs of the form {5, 2kπ} and {−5, (2k + 1)π}, where k ranges over all integers.
Dalam kasus ini, solusi dari notasi tersebut adalah semua himpunan berurut yang memiliki bentuk { 5 , 2 k π } } dan { − 5 , ( 2 k + 1 ) π } } , dengan k merupakan bilangan bulat.
Operators arg min and arg max are sometimes also written as argmin and argmax, and stand for argument of the minimum and argument of the maximum.
Operators arg ⁡ min dan arg ⁡ max terkadang juga ditulis sebagai argmin }} dan argmax }} ; secara berurutan memiliki arti "argumen dari minimum" dan "argumen dari maksimum".
Fermat and Lagrange found calculus-based formulae for identifying optima, while Newton and Gauss proposed iterative methods for moving towards an optimum.
Fermat dan Lagrange menemukan formula untuk mengidentifikasi nilai optimal, yang berdasar pada kalkulus.
The term "linear programming" for certain optimization cases was due to George B. Dantzig, although much of the theory had been introduced by Leonid Kantorovich in 1939.
George B. Dantzig mencetuskan istilah "pemrograman linear" untuk menyelesaikan beberapa kasus optimisasi,walau sebagian teori sudah diperkenalkan oleh Leonid Kantorovich pada tahun 1939.
(Programming in this context does not refer to computer programming, but comes from the use of program by the United States military to refer to proposed training and logistics schedules, which were the problems Dantzig studied at that time.)
Kata "pemrograman" dalam konteks ini tidak merujuk pada "pemrogramam komputer", tetapi merujuk pada penggunaan program oleh pihak militer Amerika Serikat untuk menyebut proposal pelatihan dan jadwal; masalah-masalah yang dipelajari oleh Dantzig pada waktu itu.
Dantzig published the Simplex algorithm in 1947, and also John von Neumann and other researchers worked on the theoretical aspects of linear programming (like the theory of duality) around the same time.
Pada tahun 1947, Dantzig memublikasikan algoritma simplex, sedangkan John von Neumann mengembangkan teori dualitas.
Numerical Optimization (2nd ed.).
Numerical Optimization (Edisi 2nd).