Antisymmetry: if a ≤ b and b ≤ a then ab , i.e. no two distinct elements precede each other.
Relasi antisimetri: jika a ≤ b dan b ≤ a maka ab , mengartikan tidak ada dua elemen berbeda yang saling mendahului.
Transitivity: if a ≤ b and b ≤ c then a ≤ c .
Relasi transitif: jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c .
Asymmetry: if a < b then not b < a .
Relasi antisimetri: Jika a < b maka tidak b < a .
Transitivity: if a < b and b < c then a < c .
Relasi transitif: Jika a < b dan b < c maka a < c .
A transitive relation is asymmetric if and only if it is irreflexive.
Dengan kata lain, relasi yang transitif bersifat asimetri jika dan hanya jika juga bersifat irreflektif.
A non-strict partial order ≤ may be converted to a strict partial order by removing all relationships of the form a ≤ a ; that is, the strict partial order is the set < :≤ ∖ Δ P } where Δ P :{ ( p , p ) : p ∈ P } :=\{(p,p):p\in P\}} is the identity relation on P × P and ∖ denotes set subtraction.
Urutan parsial tak-tegas ≤ dapat diubah menjadi urutan parsial tegas dengan menghilangkan semua hubungan yang memiliki bentuk a ≤ a ; artinya, himpunan parsial tegas adalah himpunan < :≤ ∖ Δ P , ,} dengan Δ P :{ ( p , p ) : p ∈ P } :=\{(p,p):p\in P\}} adalah relasi identitas pada P × P dan ∖ menyatakan operasi pengurangan pada himpunan.
Thus, if ≤ is a non-strict partial order, then the corresponding strict partial order < is the irreflexive kernel given by a < b if a ≤ b and a ≠ b .
Akibatnya, jika ≤ adalah urutan parsial tak-tegas, maka urutan parsial tegas < yang berkorespodensi dengannya adalah irreflexive kernel: a < b if a ≤ b dan a ≠ b .
}a\leq b{\text{ and }}a\neq b.} Conversely, if < is a strict partial order, then the corresponding non-strict partial order ≤ is the reflexive closure given by: a ≤ b if a < b or ab .
}a\leq b{\text{ dan }}a\neq b.} Sebalinya, jika < adalah urutan parsial tegas, maka urutan parsial tak-tegas ≤ yang berkorespodensi dengannya reflexive closure: a ≤ b if a < b atau ab .
Some authors use different symbols than ≤ such as ⊑ or ⪯ to distinguish partial orders from total orders.
Beberapa penulis menggunakan simbol selain ≤ , seperti ⊑ dan ⪯ , untuk membedakannya dengan urutan total.
When referring to partial orders, ≤ should not be taken as the complement of > .
Ketika mengacu pada urutan parsial, ≤ sebaiknya tidak dianggap sebagai komplemen dari > .
The relation > is the converse of the irreflexive kernel of ≤ , which is always a subset of the complement of ≤ , but > is equal to the complement of ≤ if, and only if, ≤ is a total order.
Relasi > adalah konvers irreflexive kernel dari ≤ , yang akan selalu berupa subset komplemen dari ≤ , tetapi > sama dengan komplemen dari ≤ jika, dan hanya jika, ≤ adalah urutan total.
Some pairs of people bear the descendant-ancestor relationship, but other pairs of people are incomparable, with neither being a descendant of the other.
Beberapa pasang orang memiliki relasi keturunan, tetapi pasangan orang lainnya (misal, sesama saudara kandung)
Applied to ordered vector spaces over the same field, the result is in each case also an ordered vector space.
Diterapkan ke ruang vektor terurut di atas bidang yang sama, hasilnya dalam setiap kasus juga merupakan ruang vektor terurut.
For example, { x } } and { x , y , z } } are comparable, while { x } } and { y } } are not.
xy , x > y , atau x dan y tidak dapat dibandingkan.
Maximal elements and minimal elements: An element g ∈ P is a maximal element if there is no element a ∈ P such that a > g .
Elemen maksimal dan elemen minimal: Elemen g di P adalah elemen maksimal jika tidak ada elemen a di P sehingga a > g .
Similarly, an element m ∈ P is a minimal element if there is no element a ∈ P such that a < m .
Demikian pula, elemen m di P adalah elemen minimal jika tidak ada elemen a di P sehingga a < m .
If a poset has a greatest element, it must be the unique maximal element, but otherwise there can be more than one maximal element, and similarly for least elements and minimal elements.
Jika poset memiliki elemen terbesar, itu harus menjadi elemen maksimal yang unik, tetapi jika tidak, bisa ada lebih dari satu elemen maksimal, dan juga untuk elemen terkecil dan elemen minimal.
Upper and lower bounds: For a subset A of P, an element x in P is an upper bound of A if a ≤ x, for each element a in A. In particular, x need not be in A to be an upper bound of A. Similarly, an element x in P is a lower bound of A if a ≥ x, for each element a in A. A greatest element of P is an upper bound of P itself, and a least element is a lower bound of P.
Batas atas dan bawah: Untuk subset A dari P , elemen x dalam P adalah batas atas dari A if a ≤ x, untuk setiap elemen a pada A. Secara khusus, x tidak perlu berada di A untuk menjadi batas atas dari A .
As another example, consider the positive integers, ordered by divisibility: 1 is a least element, as it divides all other elements; on the other hand this poset does not have a greatest element.
Misalnya, perhatikan bilangan bulat positif, yang diurutkan berdasarkan dapat dibagi: 1 adalah elemen terkecil, karena membagi semua elemen lainnya; di sisi lain poset ini tidak memiliki elemen terbesar (meskipun jika seseorang akan menyertakan 0
If the number 1 is excluded, while keeping divisibility as ordering on the elements greater than 1, then the resulting poset does not have a least element, but any prime number is a minimal element for it.
Jika angka 1 dikecualikan, sambil menjaga agar dapat dibagi sebagai urutan pada elemen yang lebih besar dari 1, maka poset yang dihasilkan tidak memiliki elemen terkecil, tetapi bilangan prima adalah elemen minimal untuk itu.
In this poset, 60 is an upper bound (though not a least upper bound) of the subset { 2 , 3 , 5 , 10 } , ,} which does not have any lower bound (since 1 is not in the poset); on the other hand 2 is a lower bound of the subset of powers of 2, which does not have any upper bound.
Dalam poset ini, 60 adalah batas atas (meskipun bukan batas atas terkecil) dari subset {2, 3, 5, 10}, yang tidak memiliki batas bawah (karena 1 tidak ada di poset); di sisi lain 2 adalah batas bawah dari himpunan bagian dari pangkat 2, yang tidak memiliki batas atas.
In the latter case, f is necessarily injective, since f ( x )
Dalam kasus terakhir, f harus injektif, karena f(x)f(y) menyiratkan x ≤ y dan y ≤ x.
If an order-embedding between two posets S and T exists, one says that S can be embedded into T. If an order-embedding f : S → T is bijective, it is called an order isomorphism, and the partial orders (S, ≤) and (T, ≼) are said to be isomorphic.
Jika urutan pembenaman f: S → T adalah bijektif, ini disebut 'isomorfisme tatanan' , dan urutan parsial (S,≤) dan (T ,≤) dikatakan menjadi isomorfik.
It can be shown that if order-preserving maps f : S → T and g : T → U exist such that g ∘ f and f ∘ g yields the identity function on S and T, respectively, then S and T are order-isomorphic.
Dapat ditunjukkan bahwa jika peta pelestarian pesanan f: S → T dan g: T → S dirumuskan g∘f dan f∘g menghasilkan fungsi identitas pada S dan T , lalu S dan T adalah urutan-isomorfik.
However, it is neither injective (since it maps both 12 and 6 to { 2 , 3 } } ) nor order-reflecting (since 12 does not divide 6).
Namun, ini bukan injektif (karena memetakan 12 dan 6 ke {2, 3}) atau mencerminkan urutan (karena 12 tidak membagi 6).
It is not an order-isomorphism (since it, for instance, does not map any number to the set { 4 } } ), but it can be made one by restricting its codomain to g ( N ) .
Ini bukan isomorfisme urutan (karena misalnya tidak memetakan nomor apa pun ke himpunan {4}), tapi bisa dibuat dengan membatasi kodomain menjadi g(ℕ).
If the count is made only up to isomorphism, the sequence 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318, ... (sequence A000112 in the OEIS) is obtained.
Jika hitungan dilakukan hanya hingga isomorfisme, urutan 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318,… (barisan A000112 pada OEIS) diperoleh.
Every poset (and every preordered set) may be considered as a category where, for objects x and y , there is at most one morphism from x to y .
Setiap poset (dan setiap set praorder) dapat dianggap sebagai kategori di mana, untuk objek x dan y , paling banyak ada satu morfisme dari x hingga y .
In a poset, the smallest element, if it exists, is an initial object, and the largest element, if it exists, is a terminal object.
Dalam poset, elemen terkecil, jika ada, adalah objek awal, dan elemen terbesar, jika ada, adalah objek terminal.
Finally, every subcategory of a poset is isomorphism-closed.
Akhirnya, setiap subkategori poset adalah isomorfisme tertutup.
If P is a partially ordered set that has also been given the structure of a topological space, then it is customary to assume that { ( a , b ) : a ≤ b } } is a closed subset of the topological product space P × P .
Jika P adalah himpunan terurut parsial yang juga telah diberi struktur ruang topologi, maka biasanya diasumsikan bahwa { ( a , b ) : a ≤ b } } adalah subhimpunantertutup dari topologi ruang produk P × P .