0.999... is a repeating decimal that represents the number 1.
Dengan kata lain, "0,999…" mewakili bilangan yang sama dengan angka "1".
So, it does not make sense to identify 0.999... with any number smaller than 1.
Dengan kata lain, "0,999…" mewakili bilangan yang sama dengan angka "1".
One has 1 − 0.(9)10.1⁠ 1 10 {10}}} ⁠, 1 − 0.(9)20.01⁠ 1 10 2 {10^{2}}}} ⁠, and so on; that is, 1 − 0.(9)n1 10 n {\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}} for every natural number ⁠ n ⁠. Let x be a number not greater than 1 and greater than 0.9, 0.99, 0.999, etc.; that is, 0.(9)n < x ≤ 1, for every ⁠ n ⁠. By subtracting these inequalities from 1, one gets 0 ≤ 1 − x < ⁠ 1 10 n {10^{n}}}} ⁠. The end of the proof requires that there is no positive number that is less than 1 10 n {\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}} for all ⁠ n ⁠. This follows from the Archimedean property, which can be expressed as, "for every real number, there is a natural number that is greater".
+ 9 ( 1 10 ) 2 + 9 ( 1 10 ) 3 + ⋯9 ( 1 10 ) 1 − 1 101. {10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots{\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,} Pembuktian ini (sebenarnya 10 sama dengan 9,999...) muncul pada tahun 1770 pada buku "Vollständige Anleitung zur Algebra" (Bahasa Indonesia: Instruksi lengkap Aljabar) Leonhard Euler.
b 1 b 2 b 3 b 4 …b 0 + b 1 ( 1 10 ) + b 2 ( 1 10 ) 2 + b 3 ( 1 10 ) 3 + b 4 ( 1 10 ) 4 + ⋯ .
+ b 2 ( 1 10 ) 2 + b 3 ( 1 10 ) 3 + b 4 ( 1 10 ) 4 + ⋯ .
.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldotsb_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .} For 0.999... one can apply the convergence theorem concerning geometric series, stating that if ⁠ | r | ⁠ < 1, then a r + a r 2 + a r 3 + ⋯a r 1 − r .
,b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldotsb_{0}+b_{1}({\tfrac {1}{10}})+b_{2}({\tfrac {1}{10}})^{2}+b_{3}({\tfrac {1}{10}})^{3}+b_{4}({\tfrac {1}{10}})^{4}+\cdots .} Untuk 0,999..., kita dapat menggunakan teorema konvergen deret geometri: Jika | r | < 1 maka a r + a r 2 + a r 3 + ⋯a r 1 − r .
Since 0.999... is such a sum with a9 and common ratio ⁠ r1 10 {10}}} ⁠, the theorem makes short work of the question: 0.999 …0 + 9 ( 1 10 )
adalah penjumlahan dengan rasio umum r1 10 {10}}} : 0 , 999 …9 ( 1 10 )
+ 9 ( 1 10 ) 2 + 9 ( 1 10 ) 3 + ⋯9 ( 1 10 ) 1 − 1 101. {10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots{\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}
+ 9 ( 1 10 ) 2 + 9 ( 1 10 ) 3 + ⋯9 ( 1 10 ) 1 − 1 101. {10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots{\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,} Pembuktian ini (sebenarnya 10 sama dengan 9,999...) muncul pada tahun 1770 pada buku "Vollständige Anleitung zur Algebra" (Bahasa Indonesia: Instruksi lengkap Aljabar) Leonhard Euler.
The statement that 0.999...1 can itself be interpreted and proven as a limit: 0.999 …d e f lim n → ∞ 0. 99 … 9 ⏟ nd e f lim n → ∞ ∑ k1 n 9 10 klim n → ∞ ( 1 − 1 10 n )1 − lim n → ∞ 1 10 n1 − 01. }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1-0=1.}
1 itu sendiri dapat diinterpretasikan dan dibuktikan sebagai limit: 0 , 999 …lim n → ∞ 0 , 99 … 9 ⏟ nlim n → ∞ ∑ k1 n 9 10 klim n → ∞ ( 1 − 1 10 n )1 − lim n → ∞ 1 10 n1. 0,\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.\,} Pada bagian terakhir,— lim n → ∞ 1 10 n0 {\frac {1}{10^{n}}}=0} —dibenarkan oleh aksioma yang menyatakan bahwa bilangan real mempunyai sifat Archimedes.
For example, the 1846 textbook The University Arithmetic explains, ".999 +, continued to infinity1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1"; the 1895 Arithmetic for Schools says, "when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999... becomes inconceivably small".
The University Arithmetic tahun 1846 menjelaskan, ",999 + berlanjut sampai tak terhingga1 karena setiap aneksasi 9 membawa nilai itu semakin dekat dengan 1"; buku Arithmetic for Schools tahun 1895 mengatakan, "…ketika sejumlah bilangan 9 yang sangat banyak dibawa, perbedaan antara 1 dan,99999… akan menjadi tidak bisa dibayangkan kecilnya".
Such heuristics are often incorrectly interpreted by students as implying that 0.999... itself is less than 1.
Heuristik seperti ini sering diinterpretasikan oleh para siswa mengimplikasikan 0,999... itu sendiri lebih kecil daripada 1.
[0, 1], [1, 2], [2, 3], and so on up to [9, 10].
[0, 1], [1, 2], [2, 3],dan seterusnya sampai
and [1, 2], so one can choose either subinterval when finding its digits.
[1, 2], sehingga seseorang dapat memilih salah satu subinterval tersebut untuk menemukan digitnya.
One straightforward choice is the nested intervals theorem, which guarantees that given a sequence of nested, closed intervals whose lengths become arbitrarily small, the intervals contain exactly one real number in their intersection.
Salah satu pilihan yang tepat sasaran adalah teorema interval bersarang, yang memastikan bahwa untuk sebuah barisan tersarang dengan interval tertutup yang panjangnya menjadi sangat kecil, interval-intervalnya akan mengandung persis satu bilangan real pada perpotongannya.
0.999... is then the unique real number that lies in all of the intervals
Maka 0,999... adalah bilangan real tunggal yang berada pada semua interval [0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1], dan
Since 1 is an element of each of these intervals, 0.999...1.
Oleh karena 1 merupakan elemen pada setiap interval ini, 0,999...1.
The nested intervals theorem is usually founded upon a more fundamental characteristic of the real numbers: the existence of least upper bounds or suprema.
Teorema interval bersarang ini biasanya bertumpu pada karakteristik dasar bilangan real, yaitu keberadaan batas atas terkecil atau suprema.
" Some approaches explicitly define real numbers to be certain structures built upon the rational numbers, using axiomatic set theory.
Beberapa pendekatan secara eksplisit mendefinisikan bilangan real sebagai struktur tertentu yang dibangun dari bilangan rasional menggunakan teori himpunan aksiomatik.
So the real number 0.999... is the set of rational numbers r such that r < 0, or r < 0.9, or r < 0.99, or r is less than some other number of the form 1 − 1 10 n0.
adalah himpunan bilangan rasional r sedemikian rupanya r < 0, atau r < 0,9, atau r < 0,99, atau r lebih kecil dari bilangan lainnya yang berbentuk 1 − ( 1 10 ) n 1-({\tfrac {1}{10}})^{n}\end{aligned}}} .
Every element of 0.999... is less than 1, so it is an element of the real number 1.
Setiap unsur 0,999... adalah lebih kecil dari 1, sehingga ia adalah unsur dari bilangan real 1.
Conversely, all elements of 1 are rational numbers that can be written as a b < 1 , {b}}<1,} with b > 0 and ⁠ b > a ⁠. This implies 1 − a bb − a b ≥ 1 b > 1 10 b , {b}}={\frac {b-a}{b}}\geq {\frac {1}{b}}>{\frac {1}{10^{b}}},} and thus a b < 1 − 1 10 b .
Kebalikannya, bilangan 1 adalah bilangan rasional a b < 1 {\tfrac {a}{b}}<1\end{aligned}}} , yang mengimplikasikan a b < 1 − ( 1 10 ) b {\tfrac {a}{b}}<1-({\tfrac {1}{10}})^{b}\end{aligned}}} .
The definition of real numbers as Dedekind cuts was first published by Richard Dedekind in 1872.
Definisi bilangan real sebagai potongan Dedekind pertama kali dipublikasikan oleh Richard Dedekind pada tahun 1872.
First, the distance between x and y is defined as the absolute value ⁠ | x − y | ⁠, where the absolute value | z | is defined as the maximum of z and ⁠ − z ⁠, thus never negative.
Pertama-tama, jarak antara x dan y didefinisikan sebagai nilai mutlak |x − y| dengan nilai mutlak |z| didefinisikan sebagai nilai terbesar z dan −z, sehingga ia tidak pernah negatif.
b 1 b 2 b 3 .b_{1}b_{2}b_{3}} ⁠... generate a sequence of rationals, which is Cauchy; this is taken to define the real value of the number.
Pemenggalan bilangan desimal b0.b1b2b3... menghasilkan sebuah barisan bilangan rasional Cauchy; ini digunakan untuk mendefinisikan nilai real dari bilangan.
Thus in this formalism the task is to show that the sequence of rational numbers ( 1 − 0 , 1 − 9 10 , 1 − 99 100 , … )
Sehingga dalam formalisme ini, tugas kita adalah menunjukkan bahwa barisan bilangan rasional ( 1 − 0 , 1 − 9 10 , 1 − 99 100 , … )
( 1 , 1 10 , 1 100 , … ) ,1-{99 \over 100},\ldots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\ldots \right)} has a limit 0.
( 1 , 1 10 , 1 100 , … ) ,1-{99 \over 100},\dots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\dots \right)} mempunyai limit 0.
The definition of real numbers as Cauchy sequences was first published separately by Eduard Heine and Georg Cantor, also in 1872.
Definisi bilangan rasional sebagai barisan Cauchy pertama kali dipublikasi secara terpisah oleh Eduard Heine dan Georg Cantor pada tahun 1872.
For example, 0.24999... equals 0.25, exactly as in the special case considered.
Sebagai contoh, 0,24999... persis sama dengan 0,25.
For example, in base 2 (the binary numeral system) 0.111... equals 1, and in base 3 (the ternary numeral system) 0.222... equals 1.
Sebagai contoh, dalam basis 2 (sistem bilangan biner), 0,111... sama dengan 1, dan dalam basis 3 (sistem bilangan terner) 0,222... sama dengan 1.
Textbooks of real analysis are likely to skip the example of 0.999... and present one or both of these generalizations from the start.
Buku-buku teks analisis real biasanya akan mengabaikan contoh 0,999... dan sebaliknya memberikan contoh-contoh generalisasi ini dari awalnya.
Generally, for almost all q between 1 and 2, there are uncountably many base- q expansions of 1.
Secara umum, untuk hampir semua q antara 1 dan 2, terdapat banyak ekspansi basis-q 1 yang tak terhitung banyaknya.
In contrast, there are still uncountably many ⁠ q ⁠, including all natural numbers greater than 1, for which there is only one base- q expansion of 1, other than the trivial 1.000...‍. This result was first obtained by Paul Erdős, Miklos Horváth, and István Joó around 1990.
Di sisi lain, terdapat tak terhingga banyaknya q (termasuk pula semua bilangan asli lebih dari 1) yang mana hanya terdapat satu ekspansi 1 basis-q selain 1.000....
In 1998 Vilmos Komornik and Paola Loreti determined the smallest such base, the Komornik–Loreti constant q1.787231650...‍.
Pada tahun 1998 Vilmos Komornik dan Paola Loreti berhasil menentukan basis terkecil yang memungkinkan, yakin tetapan Komornik-Loreti q1,787231650....
In this base, 10.11010011001011010010110011010011...; the digits are given by the Thue–Morse sequence, which does not repeat.
Dalam basis ini, 10,11010011001011010010110011010011...; digit ini didapatkan dari barisan Thue-Morse yang tidak berulang.
One application of 0.999... as a representation of 1 occurs in elementary number theory.
Satu aplikasi 0,999... sebagai representasi 1 dapat terlihat pada teori bilangan dasar.
1 73 {\textstyle {\frac {1}{73}}}0.01369863 and 0136 + 98639999.
dan 142 + 857999. 1/730,0136986301369863... dan 0136 + 98639999.
E. Midy proved a general result about such fractions, now called Midy's theorem, in 1836.
E. Midy membuktikan hasil umum dari pecahan tersebut tahun 1836, dan sekarang disebut sebagai teorema Midy.
The publication was obscure, and it is unclear whether his proof directly involved 0.999..., but at least one modern proof by William G. Leavitt does.
Publikasi awalnya tidak ditulis dengan jelas, dan tidakklah jelas apakah pembuktiannya melibatkan 0,999..., tetapi paling tidak pembuktian modern W. G. Leavitt ada melibatkannya.
Returning to real analysis, the base-3 analogue 0.222...
Kembali ke analisis real, analog basis 3 0,222...
Repeating nines also turns up in yet another of Georg Cantor's works.
Sembilan berulang juga terdapat dalam hasil kerja Georg Cantor lainnya.
A variant that may be closer to Cantor's original argument uses base 2, and by turning base-3 expansions into base-2 expansions, one can prove the uncountability of the Cantor set as well.
Varian yang mungkin lebih dekat dengan argumen Cantor awal sebenarnya menggunakan basis 2, dan dengan mengubah ekspansi basis 3 menjadi ekspansi basis 2, seseorang juga dapat membuktikan ketaktercacahan himpunan Cantor.
There are many common contributing factors to the confusion: Students are often "mentally committed to the notion that a number can be represented in one and only one way by a decimal".
Terdapat banyak faktor yang berkontribusi pada kebingungan ini: Para siswa sering "percaya terhadap nosi bahwa sebuah bilangan hanya dapat diwakili oleh satu dan hanya satu cara dengan menggunakan sebuah bilangan desimal."
Seeing two manifestly different decimals representing the same number appears to be a paradox, which is amplified by the appearance of the seemingly well-understood number 1.
Keberadaan dua bilangan desimal yang berbeda tetapi mewakili bilangan sama seolah-olah seperti paradoks, terlebih lagi diperkuat oleh tampilan bilangan 1 yang kelihatannya sudah sangat dimengerti.
Some students interpret "0.999..." (or similar notation) as a large but finite string of 9s, possibly with a variable, unspecified length.
Beberapa siswa menginterpretasikan "0,999…" (atau notasi yang sama) sebagai untaian 9 yang sangat banyak, tetapi terhingga dengan panjang yang tidak ditentukan.
Many of these explanations were found by David Tall, who has studied characteristics of teaching and cognition that lead to some of the misunderstandings he has encountered with his college students.
Kebanyakan penjelasan-penjelasan ini ditemukan oleh Profesor David Tall yang mempelajari karakteristik pengajaran dan pengenalan yang menyebabkan beberapa kesalahpahaman yang dia temui pada murid-murid universitasnya.
Interviewing his students to determine why the vast majority initially rejected the equality, he found that "students continued to conceive of 0.999... as a sequence of numbers getting closer and closer to 1 and not a fixed value, because 'you haven't specified how many places there are' or 'it is the nearest possible decimal below 1'".
Setelah menanyai murid-muridnya untuk mengetahui mengapa mayoritas besar pada awalnya menolak persamaan ini, ia menemukan bahwa "siswa terus membayangkan 0,999… sebagai sebuah barisan bilangan yang semakin mendekati 1 dan bukanlah nilai yang pasti, karena 'anda belum menentukan seberapa banyak tempat desimal yang ada' atau 'ia merupakan bilangan desimal yang memungkinkan yang paling dekat dengan 1'".
Still, when confronted with the conflict between their belief in the first equation and their disbelief in the second, some students either begin to disbelieve the first equation or simply become frustrated.
Namun, ketika dihadapkan dengan konflik antara kepercayaan mereka terhadap persamaan pertama dan ketidakpercayaan terhadap persamaan kedua, beberapa siswa mulai tidak memercayai persamaan pertama atau menjadi frustrasi.
Nor are more sophisticated methods foolproof: students who are fully capable of applying rigorous definitions may still fall back on intuitive images when they are surprised by a result in advanced mathematics, including 0.999...‍.
Metode yang lebih canggih dan rumit juga tidak membantu, siswa yang secara penuh dapat menerapkan definisi cermat masih mungkin terperangkap ke dalam intuisi mereka ketika dikejutkan oleh hasil pembuktian matematika lanjutan.
For example, one real analysis student was able to prove that 0.333...
Sebagai contoh, seorang siswa analisis real mampu membuktikan 0,333...
1 3 {\textstyle {\frac {1}{3}}} using a supremum definition but then insisted that 0.999... < 1 based on her earlier understanding of long division.
1⁄3 menggunakan definisi supremum, tetapi tetap bersikeras bahwa 0,999... < 1 didasari oleh pemahaman pembagian panjangnya.
Others still can prove that 1 3 {\textstyle {\frac {1}{3}}}0.333..., but, upon being confronted by the fractional proof, insist that "logic" supersedes the mathematical calculations.
Yang lainnya dapat membuktikan 1⁄30,333..., tetapi ketika disodorkan pembuktian pecahan, mereka bersikeras bahwa "logika" melebihi perhitungan matematika.
Mazur (2005) tells the tale of an otherwise brilliant calculus student of his who "challenged almost everything I said in class but never questioned his calculator", and who had come to believe that nine digits are all one needs to do mathematics, including calculating the square root of 23.
Joseph Mazur menceritakan sebuah kisah mengenai murid kalkulusnya yang brilian, yang "menantang hampir semua apa yang saya katakan di kelas namun tidak pernah mempertanyakan kalkulatornya," dan yang percaya bahwa sembilan digit adalah semua yang diperlukan dalam matematika, termasuk perhitungan akar kuadrat dari 23.
The student remained uncomfortable with a limiting argument that 9.99...
Siswa tersebut terganggu dengan argumen bahwa 9,99...
In the newsgroup sci.math in the 1990s, arguing over 0.999... became a "popular sport", and was one of the questions answered in its FAQ.
Dalam newsgroup sci.math, perdebatan mengenai 0,999... merupakan "olahraga yang populer", dan ia merupakan salah satu pertanyaan yang dijawab dalam FAQ situs tersebut.
A 2003 edition of the general-interest newspaper column The Straight Dope discusses 0.999... via 1 3 {\textstyle {\frac {1}{3}}} and limits, saying of misconceptions, The lower primate in us still resists, saying: .999~ doesn't really represent a number, then, but a process.
Kolom surat kabar The Straight Dope edisi 2003 mendiskusikan 0,999... via 1⁄3 dan limit, dan mengenai miskonspesi ini berkata, The lower primate in us still resists, saying: .999~ doesn't really represent a number, then, but a process.
Although the real numbers form an extremely useful number system, the decision to interpret the notation "0.999..." as naming a real number is ultimately a convention, and Timothy Gowers argues in Mathematics:
Walaupun sistem bilangan real membentuk sebuah sistem bilangan yang sangat berguna, keputusan untuk menginterpretasikan frasa "0,999…"
A Very Short Introduction that the resulting identity 0.999...
A Very Short Introduction bahwa identitas 0,999...
1 is a convention as well: However, it is by no means an arbitrary convention, because not adopting it forces one either to invent strange new objects or to abandon some of the familiar rules of arithmetic.
1 itu sendiri juga merupakan sebuah konvensi: However, it is by no means an arbitrary convention, because not adopting it forces one either to invent strange new objects or to abandon some of the familiar rules of arithmetic.
Some proofs that 0.999...1 rely on the Archimedean property of the real numbers: that there are no nonzero infinitesimals.
Beberapa pembuktian 0,999...1 bergantung pada sifat-sifat Archimedes bilangan real standar, yakni tidaklah ada bilangan kecil tak hingga (infinitesimal) bukan nol.
A. H. Lightstone developed a decimal expansion for hyperreal numbers in (0, 1)∗. Lightstone shows how to associate each number with a sequence of digits, 0.
A.H. Lightstone mengembangkan ekspansi desimal non standar untuk bilangan real dalam (0, 1)∗. Lightstone menunjukkan bagaimana kita dapat mengasosiasikan tiap-tiap bilangan real yang diperluas ke sebuah barisan digit 0 ,
d 1 d 2 d 3 … ; … d ∞ − 1 d ∞ d ∞ + 1 … , d_{2}d_{3}\ldots ;\ldots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\ldots ,} indexed by the hypernatural numbers.
d 1 d 2 d 3 … ; … d ∞ − 1 d ∞ d ∞ + 1 … , d_{2}d_{3}\dots ;\dots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\dots ,} yang diindeks menggunakan bilangan asli yang diperluas.
While he does not directly discuss 0.999..., he shows the real number 1 3 {\textstyle {\frac {1}{3}}} is represented by 0.333...;...333..., which is a consequence of the transfer principle.
Walaupun ia tidak secara langsung mendiskusikan bilangan 0,999..., ia menunjukkan bahwa bilangan real 1/3 diwakili oleh 0,333...;...333..., yang merupakan konsekuensi dari prinsip transfer.
As a consequence the number 0.999...;...999...1.
Dengan kata lain, "0,999…" mewakili bilangan yang sama dengan angka "1".
When asked about 0.999..., novices often believe there should be a "final 9", believing 1 − 0.999... to be a positive number which they write as "0.000...1".
Ketika ditanyakan mengenai 0,999..., para pemula sering kali percaya bahwa bilangan ini haruslah memiliki angka "9 paling akhir" dan percaya bahwa 1 − 0,999...
Among other reasons, this idea fails because there is no "final 9" in 0.999...‍.
Namun pemikiran ini tidak dapat diterapkan karena ketiadaan angka "9 terakhir" pada bilangan 0,999....
The p -adic numbers are an alternative number system of interest in number theory.
Bilangan p-adic adalah sistem bilangan alternatif dalam teori bilangan.
The p -adic numbers form a field for prime p and a ring for other ⁠ p ⁠, including 10.
Bilangan p-adic membentuk medan untuk p prima dan cincin untuk p lainnya.
The 10-adic expansion ...999 does have a last 9, and it does not have a first 9.
Ekspansi bilangan 10-adic ...999 memiliki angka 9 terakhir dan tidak memiliki angka 9 paling awal.
One can add 1 to the ones place, and it leaves behind only 0s after carrying through: 1 + ...999...0000, and so ...999−1.
Seseorang dapat menambahkan angka 1 pada posisi 9 terakhir, dan ia akan menyebabkan bilangan ini menjadi berangka 0 sampai tak terhingga: 1 + ...999...0000, sehingga ...999−1.
The infinite series implied by "...999" does not converge in the real numbers, but it converges in the 10-adics, and so one can re-use the familiar formula: … 9999 + 9 ( 10 )
Deret tak terhingga yang diimplikasikan oleh "...999" tidak berkonvergen ke bilangan real manapun, tetapi ia berkonvergen kepada bilangan 10-adic, sehingga kita dapat menggunakan rumus: … 9999 + 9 ( 10 )
+9(10)^{3}+\cdots{\frac {9}{1-10}}=-1.} Compare with the series in the section above.
+ 9 ( 10 ) 2 + 9 ( 10 ) 3 + ⋯9 1 − 10− 1. +9(10)^{3}+\cdots{\frac {9}{1-10}}=-1.} Oleh karena 0,999...
As a final extension, since 0.999...1 (in the reals) and ...999−1 (in the 10-adics), then by "blind faith and unabashed juggling of symbols" one may add the two equations and arrive at ...999.999...0.
1 (dalam sistem bilangan real) dan ...999−1 (dalam bilangan 10-adic), maka berdasarkan "keyakinan buta dan penyulapan simbol-simbol" seseorang dapat menambahkan kedua persamaan tersebut dan berakhir pada ...999,999...0.
1? from Cut-the-Knot Why does 0.9999...
1? dari cut-the-knot (Inggris)Why does 0.9999...
1 ? Proof of the equality based on arithmetic from Math Central David Tall's research on mathematics cognition What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals?
(Inggris)Proof of the equality based on arithmetic (Inggris)Repeating Nines (Inggris)Point nine recurring equals one (Inggris)David Tall's research on mathematics cognition (Inggris)What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals? (Inggris)Theorem 0.999... pada Metamath (Inggris)Hackenstrings, and the 0.999... ?