The theorem is named after Joseph-Louis Lagrange.
Teorema ini dinamai Joseph-Louis Lagrange.
The left cosets of H in G are the equivalence classes of a certain equivalence relation on G: specifically, call x and y in G equivalent if there exists h in H such that xyh.
Coset kiri dari H di G adalah kelas ekivalen dari hubungan ekivalen tertentu pada G: khusus, panggil x dan y di G setara jika ada h di H sedemikian rupa sehingga xyh.
The number of left cosets is the index
Jumlah koset kiri adalah indeks
By the previous three sentences, | G |[ G : H ] ⋅ | H | .
Dengan tiga kalimat sebelumnya, | G |[ G : H ] ⋅ | H | .
Lagrange's theorem can be extended to the equation of indices between three subgroups of G. If we take K{e} (e is the identity element of G), then [G : {e}]|G|
Teorema Lagrange dapat diperluas ke persamaan indeks antara tiga subgrup G. Jika kita ambil K(e} (e adalah elemen identitas dari G), lalu
Therefore, we can recover the original equation |G|[G : H] |H|.
Oleh karena itu kita dapat memulihkan persamaan aslinya |G|
=e{\mbox{.}}} This can be used to prove Fermat's little theorem and its generalization, Euler's theorem.
=e{\mbox{.}}} Ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema kecil Fermat dan generalisasinya, Teorema Euler.
These special cases were known long before the general theorem was proved.
Kasus-kasus khusus ini telah diketahui jauh sebelum teorema umum dibuktikan.
Lagrange's theorem raises the converse question as to whether every divisor of the order of a group is the order of some subgroup.
Teorema Lagrange memunculkan pertanyaan sebaliknya, apakah setiap pembagi urutan suatu kelompok adalah urutan dari suatu subgrup.
This does not hold in general: given a finite group G and a divisor d of |G|, there does not necessarily exist a subgroup of G with order d.
Ini tidak berlaku secara umum: diberi grup terbatas G dan pembagi d dari |G|, belum tentu ada subgrup G dengan urutan d .
The smallest example is A4 (the alternating group of degree 4), which has 12 elements but no subgroup of order 6.
Contoh terkecil adalah A4 (grup bergantian dengan derajat 4), yang memiliki 12 elemen tetapi tidak ada subgrup berorde 6.
A "Converse of Lagrange's Theorem" (CLT) group is a finite group with the property that for every divisor of the order of the group, there is a subgroup of that order.
"Kebalikan dari Teorema Lagrange "(CLT) grup adalah grup berhingga dengan properti bahwa untuk setiap pembagi dari urutan grup, ada subkelompok dari urutan.
It is known that a CLT group must be solvable and that every supersolvable group is a CLT group.
Diketahui bahwa grup CLT harus solvable dan setiap grup selesaikan adalah grup CLT.
However, there exist solvable groups that are not CLT (for example, A4) and CLT groups that are not supersolvable (for example, S4, the symmetric group of degree 4).
Namun, terdapat grup yang dapat dipecahkan yang bukan CLT (misalnya, A 4 ) dan grup CLT yang tidak dapat diselesaikan (misalnya, S 4 </ sub>, kelompok simetris derajat 4).
There are partial converses to Lagrange's theorem.
Ada sebagian percakapan dalam teorema Lagrange.
For general groups, Cauchy's theorem guarantees the existence of an element, and hence of a cyclic subgroup, of order any prime dividing the group order.
Untuk kelompok umum, Teorema Cauchy menjamin keberadaan suatu unsur, dan karenanya dari subkelompok siklik, dengan urutan bilangan prima apa pun yang membagi urutan grup.
A4{e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}.
A4(e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}.
V{e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}.
V(e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}.
Since both H and V are subgroups of A4, K is also a subgroup of A4.
Maka KH ⋂ V. Karena H dan V adalah subgrup dari A4, K juga merupakan subgrup dari A4.
From Lagrange's theorem, the order of K must divide both 6 and 4, the orders of H and V respectively.
Dari teorema Lagrange, urutan K harus membagi 6 dan 4, urutan H dan {{mvar | V} } masing-masing.
Assume |K|1, then K{e}.
Menganggap |K|1, menjadi K(e}.
If H does not share any elements with V, then the 5 elements in H besides the Identity element e must be of the form (a b c) where a, b, c are distinct elements in {1, 2, 3, 4}.
Jika H tidak berbagi elemen apa pun dengan V, maka 5 elemen di H selain Elemen identitas e harus menjadi dari bentuk (a b c) di mana a, b, c adalah elemen berbeda di (1, 2, 3, 4}.
Specifically, the remaining 5 elements of H must come from distinct pairs of elements in A4 that are not in V.
Secara khusus, 5 elemen yang tersisa dari H harus berasal dari pasangan elemen yang berbeda di A4 yang tidak ada di V. Hal ini tidak mungkin karena pasangan elemen harus genap dan tidak dapat berjumlah hingga 5 elemen.
Thus, the assumptions that |K|1 is wrong, so |K|2.
Jadi, asumsi |K|1 salah, jadi |K|2.
Then, K{e, v} where v ∈ V, v must be in the form (a b)(c d) where a, b, c, d are distinct elements of {1, 2, 3, 4}.
Kemudian, K(e, v} di mana v ∈ V, v harus dalam bentuk (a b)(c d) di mana a, b, c, d adalah elemen yang berbeda dari (1, 2, 3, 4}.
The other four elements in H are cycles of length 3.
Empat elemen lainnya dalam H adalah siklus dengan panjang 3.
Note that the cosets generated by a subgroup of a group form a partition of the group.
Perhatikan bahwa coset dihasilkan oleh subgrup grup adalah partisi dari grup.
The cosets generated by a specific subgroup are either identical to each other or disjoint.
Koset yang dihasilkan oleh subgrup tertentu bisa identik satu sama lain atau disjoint.
Since |A4|12 and |H|6, H will generate two left cosets, one that is equal to H and another, gH, that is of length 6 and includes all the elements in A4 not in H. Since there are only 2 distinct cosets generated by H, then H must be normal.
Karena |A4|12 and |H|6, H akan menghasilkan dua koset kiri, yang satu sama dengan H dan yang lainnya, gH, yang panjangnya 6 dan menyertakan semua elemen di A4 tidak termasuk H. Karena hanya ada 2 koset berbeda yang dihasilkan oleh H, maka H harus normal.
Because of that, HgHg−1 (∀g ∈ A4).
Karena, HgHg−1 (∀g ∈ A4).
In particular, this is true for g(a b c) ∈ A4.
Secara khusus, ini benar untuk g(a b c) ∈ A4.
Since HgHg−1, gvg−1 ∈ H. Without loss of generality, assume that a1, b2, c3, d4.
Karena HgHg−1, gvg−1 ∈ H. Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan a1, b2, c3, d4.
Then g(1 2 3), v(1 2)(3 4), g−1(1 3 2), gv(1 3 4), gvg−1(1 4)(2 3).
Kemudian g(1 2 3), v(1 2)(3 4), g−1(1 3 2), gv(1 3 4), gvg−1(1 4)(2 3).
Transforming back, we get gvg−1(a d)(b c).
Bertransformasi kembali, kita dapatkan gvg−1(a d)(b c).
Because V contains all disjoint transpositions in A4, gvg−1 ∈ V. Hence, gvg−1 ∈ H ⋂ VK. Since gvg−1 ≠ v, we have demonstrated that there is a third element in K.
Karena V berisi semua transposisi terputus-putus dalam A4, gvg−1 ∈ V. Hence, gvg−1 ∈ H ⋂ VK. Karena gvg−1 ≠ v, kami telah menunjukkan bahwa ada elemen ketiga di K. Tapi sebelumnya kami berasumsi seperti itu |K|2, jadi kami memiliki kontradiksi.
But earlier we assumed that |K|2, so we have a contradiction.
Jadi, asumsi |K|1 salah, jadi |K|2.
Therefore, our original assumption that there is a subgroup of order 6 is not true and consequently there is no subgroup of order 6 in A4 and the converse of Lagrange's theorem is not necessarily true.
Oleh karena itu, asumsi awal kita bahwa ada subgrup berorde 6 tidak benar dan akibatnya tidak ada subgrup orde 6 pada A4 dan kebalikan dari teorema Lagrange belum tentu benar.
Q.E.D. Lagrange himself did not prove the theorem in its general form.
Q.E.D. Lagrange tidak membuktikan teorema Lagrange dalam bentuk umumnya.
He stated, in his article Réflexions sur la résolution algébrique des équations, that if a polynomial in n variables has its variables permuted in all n!
Ia menyatakan, dalam artikelnya tentangRéflexions sur la résolution algébrique des équations, bahwa jika polinomial dalam variabel n variabelnya diubah dalam semua cara n !, jumlah polinomial berbeda yang diperoleh selalu merupakan faktor dari n!.
(For example, if the variables x, y, and z are permuted in all 6 possible ways in the polynomial x + y − z then we get a total of 3 different polynomials: x + y − z, x + z − y, and y + z − x. Note that 3 is a factor of 6.)
(Misalnya, jika variabel x , y , dan z diubah dalam 6 kemungkinan cara dalam polinomial x + y − z maka kami mendapatkan total 3 polinomial berbeda: x + y − z, x + z − y, dan y + z − x. Perhatikan bahwa 3 adalah faktor 6.)
The number of such polynomials is the index in the symmetric group Sn of the subgroup H of permutations that preserve the polynomial.
Banyaknya polinomial tersebut adalah indeks dalam grup simetris Sn dari subkelompok H dari permutasi yang mempertahankan polinomial.
(For the example of x + y − z, the subgroup H in S3 contains the identity and the transposition (x y).)
(Misalnya x + y − z, subgrup H pada S3 berisi identitas dan transposisi (x y).)
So the size of H divides n!.
So the size of H membagi n!.
With the later development of abstract groups, this result of Lagrange on polynomials was recognized to extend to the general theorem about finite groups which now bears his name.
Dengan perkembangan kelompok abstrak kemudian, hasil Lagrange pada polinomial ini diakui untuk memperluas teorema umum tentang kelompok hingga yang sekarang menyandang namanya.
In his Disquisitiones Arithmeticae in 1801, Carl Friedrich Gauss proved Lagrange's theorem for the special case of ( Z / p Z ) ∗ /p\mathbb
Dalam miliknya Disquisitiones Arithmeticae pada tahun 1801, Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema Lagrange untuk kasus khusus ( Z / p Z ) ∗ /p\mathbb {Z} )^{*}} , kelompok perkalian bilangan bulat bukan nol modulo p , dengan p adalah bilangan prima.
In 1844, Augustin-Louis Cauchy proved Lagrange's theorem for the symmetric group Sn. Camille Jordan finally proved Lagrange's theorem for the case of any permutation group in 1861.
In 1844, Augustin-Louis Cauchy proved Lagrange's theorem for the symmetric group Sn. Camille Jordan akhirnya membuktikan teorema Lagrange untuk kasus grup permutasi mana pun pada tahun 1861.
Bray, Henry G. (1968), "A note on CLT groups", Pacific J. Math., 27 (2): 229–231, doi:10.2140/pjm.1968.27.229 Gallian, Joseph (2006), Contemporary Abstract Algebra (6th ed.), Boston: Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-51471-7 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7, MR 2286236 Roth, Richard R. (2001), "A History of Lagrange's Theorem on Groups", Mathematics Magazine, 74 (2): 99–108, doi:10.2307/2690624, JSTOR 2690624
Bray, Henry G. (1968), "A note on CLT groups", Pacific J. Math., 27 (2): 229–231, doi:10.2140/pjm.1968.27.229 Gallian, Joseph (2006), Contemporary Abstract Algebra (Edisi 6th), Boston: Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-51471-7 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (Edisi 3rd), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7, MR 2286236 Roth, Richard R. (2001), "A History of Lagrange's Theorem on Groups", Mathematics Magazine, 74 (2): 99–108, doi:10.2307/2690624, JSTOR 2690624 (Inggris) Bray, Nicolas.