In mathematical physics, the Berezin integral, named after Felix Berezin, (also known as Grassmann integral, after Hermann Grassmann), is a way to define integration for functions of Grassmann variables (elements of the exterior algebra).
Dalam fisika matematis, Integral Berezin, dinamai dari Felix Berezin, (juga dikenal sebagai Integral Grassmann, dinamai dari Hermann Grassmann) adalah sebuah cara untuk mendefinisikan integral pada fungsi-fungsi pada variabel Grassmann (anggota dari aljabar eksterior).
It is not an integral in the Lebesgue sense; the word "integral" is used because the Berezin integral has properties analogous to the Lebesgue integral and because it extends the path integral in physics, where it is used as a sum over histories for fermions.
Itu bukan sebuah integral dalam maksud integral Lebesgue, kata "integral" digunakan karena integral Berezin memiliki sifat-sifat analogi dari integral Lebesgue dan karena memperpanjang integral lintasan dalam fisika, yang di mana itu digunakan sebagai sebuah penjumlahan atas sejarah pada fermion.
Let Λ n } be the exterior algebra of polynomials in anticommuting elements θ 1 , … , θ n ,\dots ,\theta _{n}} over the field of complex numbers.
Misalkan Λ n } adalah aljabar eksterior dari polinomial dalam anggota antikomutatif θ 1 , … , θ n ,\dots ,\theta _{n}} dari bidang bilangan kompleks.
(The ordering of the generators θ 1 , … , θ n ,\dots ,\theta _{n}} is fixed and defines the orientation of the exterior algebra.)
(Urutan dari generator θ 1 , … , θ n ,\dots ,\theta _{n}} tetap dan mendefinisikan awal dari aljabar eksterior.)
The Berezin integral over the sole Grassmann variable θθ 1 } is defined to be a linear functional ∫
Integral Berezin melebihi variabel tunggal Grassmann θθ 1 } didefinisikan menjadi sebuah fungsional linear ∫ [ a f ( θ ) + b g ( θ ) ] d θa ∫ f ( θ )
\,d\thetaa\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} } where we define ∫ θ d θ1 , ∫ d θ0 so that : ∫ ∂ ∂ θ f ( θ )
\,d\thetaa\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} } ...di mana kita mendefinisikan... ∫ θ d θ1 , ∫ d θ0 sehinggaː ∫ ∂ ∂ θ f ( θ )
d θ0. {\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta0.} These properties define the integral uniquely and imply ∫ ( a θ + b )
d θ0. {\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta0.} Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik dan menyiratkan ∫ ( a θ + b )
.} Take note that f ( θ )a θ + b {\displaystyle f(\theta )
a θ + b {\displaystyle f(\theta )
=a\theta +b} is the most general function of θ because Grassmann variables square to zero, so f ( θ ) cannot have non-zero terms beyond linear order.
=a\theta +b} merupakan fungsi yang paling umum dari θ karena variabel Grassmann kuadrat ke nol, jadi f ( θ ) tidak dapat memiliki istilah tak nol melebihi urutan linear.
These properties define the integral uniquely.
Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.
Notice that different conventions exist in the literature: Some authors define instead ∫ Λ n θ 1 ⋯ θ n d θ :1.
Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya ∫ Λ n θ 1 ⋯ θ n d θ :1. }\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta :=1.} Rumus ∫ Λ n f ( θ )
d θ n }f(\theta )\,\mathrm {d} \theta\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}} expresses the Fubini law.
d θ n }f(\theta )\mathrm {d} \theta\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}} mengekspresikan hukum Fubini.
On the right-hand side, the interior integral of a monomial fg ( θ ′ ) θ 1 } is set to be g ( θ ′ ) , where θ ′( θ 2 , … , θ n ) ,\ldots ,\theta _{n}\right)} ; the integral of fg ( θ ′ ) vanishes.
Di sisi kanan, bagian dalam integral pada sebuah monomial fg ( θ ′ ) θ 1 } diatur menjadi g ( θ ′ ) , di mana θ ′( θ 2 , … , θ n ) ,\ldots ,\theta _{n}\right)} , integral dari fg ( θ ′ ) menghilang.
The integral with respect to θ 2 } is calculated in the similar way and so on.
Integral dengan terhadap θ 2 } dihitung dalam cara yang sama dan sebagainya.
Let θ iθ i ( ξ 1 , … , ξ n ) , i1 , … , n ,\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n,} be odd polynomials in some antisymmetric variables ξ 1 , … , ξ n ,\ldots ,\xi _{n}} .
Misalkan θ iθ i ( ξ 1 , … , ξ n ) , i1 , … , n\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n} , adalah polinomial ganjil dalam beberapa variabel anitsimetris ξ 1 , … , ξ n ,\dots ,\xi _{n}} .
The Jacobian is the matrix D{ ∂ θ i ∂ ξ j , i , j1 , … , n } , }{\partial \xi _{j}}},\ i,j=1,\ldots ,n\right\},} where ∂ / ∂ ξ j } refers to the right derivative ( ∂ ( θ 1 θ 2 ) / ∂ θ 2θ 1 , ∂ ( θ 1 θ 2 ) / ∂ θ 1− θ 2 \theta _{2})/\partial \theta _{2}=\theta _{1},\;\partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{1}=-\theta _{2}} ).
Matriks Jacobian bisa ditulis di mana ∂ ∂ ξ j {\partial \xi _{j}}}} merujuk turunan sebelah kanan ( ∂ ( θ 1 θ 2 ) ∂ θ 2θ 1 , ∂ ( θ 1 θ 2 ) ∂ θ 1− θ 2 \theta _{2})}{\partial \theta _{2}}}=\theta _{1},\;{\frac {\partial (\theta _{1}\theta _{2})}{\partial \theta _{1}}}=-\theta _{2}} ).
The formula for the coordinate change reads ∫ f ( θ )
Rumus untuk perubahan koordinat terbaca ∫ f ( θ )
\theta\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\,\mathrm {d} \xi .}
\theta\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\mathrm {d} \xi .}
Intuitively, a function ff ( x , θ ) ∈ Λ m ∣ n } is a function of m even (bosonic, commuting) variables and of n odd (fermionic, anti-commuting) variables.
Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi ff ( x , θ ) ∈ Λ m ∣ n } adalah sebuah fungsi dari variabel m genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel n ganjil (fermionik, antikomutatif).
More formally, an element ff ( x , θ ) ∈ Λ m ∣ n } is a function of the argument x that varies in an open set X ⊂ R m ^{m}} with values in the algebra Λ n .
Lebih formal, sebuah anggota ff ( x , θ ) ∈ Λ m ∣ n } adalah sebuah fungsi dari argumen x yang bervariasi di himpunan terbuka X ⊂ R m ^{m}} dengan nilai di aljabar Λ n } .
.} Suppose that this function is continuous and vanishes in the complement of a compact set K ⊂ R m .
Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak K ⊂ R m ^{m}} .
The Berezin integral is the number ∫ Λ m ∣ n f ( x , θ )
Integral Berezin adalah ∫ Λ m ∣ n f ( x , θ ) d θ d x∫ R m d x ∫ Λ n f ( x , θ ) d θ .
d θ d x∫ R m d x ∫ Λ n f ( x , θ )
d θ d x∫ Λ m ∣ n f ( x ( y , ξ ) , θ ( y , ξ ) ) ε B e r J d ξ d
}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\,\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta .}
}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta .}
Let a coordinate transformation be given by x ix i ( y , ξ ) , i1 , … , m ; θ jθ j ( y , ξ ) , j1 , … , n ,x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n,} where x i } are even and θ j } are odd polynomials of ξ depending on even variables y .
Misalkan sebuah transformasi koordinat diberikan oleh x ix i ( y , ξ ) , i1 , … , m ; θ jθ j ( y , ξ ) , j1 , … , nx_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n} , di mana
The Jacobian matrix of this transformation has the block form: J∂ ( x , θ ) ∂ ( y , ξ )
Matriks Jacobian dari transformasi ini memiliki bentuk kompleksː J∂ ( x , θ ) ∂ ( y , ξ )
( A B C D ) ,{\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},} where each even derivative ∂ / ∂ y j } commutes with all elements of the algebra Λ m ∣ n } ; the odd derivatives commute with even elements and anticommute with odd elements.
( A B C D ) ,{\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},} di mana setiap turunan genap ∂ ∂ y j {\partial y_{j}}}} komuter dengan semua anggota dari aljabar Λ m ∣ n } , turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil.
The entries of the diagonal blocks A∂ x / ∂ y and D∂ θ / ∂ ξ are even and the entries of the off-diagonal blocks B∂ x / ∂ ξ , C∂ θ / ∂ y are odd functions, where ∂ / ∂ ξ j } again mean right derivatives.
Entri dari blok diagonal A∂ x ∂ y {\partial y}}} dan D∂ θ ∂ ξ {\partial \xi }}} adalah genap dan entri dari blok off-diagonal B∂ x ∂ ξ {\partial \xi }}} , C∂ θ ∂ y {\partial y}}} , di mana ∂ ∂ ξ j {\partial \xi _{j}}}} lagi berarti turunan kanan.
( A B C D )( I B 0 D ) ( A − B D − 1 C 0 D − 1 C I ){\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&B\\0&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&0\\D^{-1}C&I\end{pmatrix}}} So we have the Berezinian (or superdeterminant) of the matrix J } , which is the even function Ber ⁡ Jdet ( A − B D − 1 C ) ( det D )
( A B C D ) ,{\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},} di mana setiap turunan genap ∂ ∂ y j {\partial y_{j}}}} komuter dengan semua anggota dari aljabar Λ m ∣ n } , turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil.
− 1 \mathrm {J}\det \left(A-BD^{-1}C\right)(\det D)^{-1}} Suppose that the real functions x ix i ( y , 0 )x_{i}(y,0)} define a smooth invertible map F : Y → X of open sets X , Y in R m ^{m}} and the linear part of the map ξ ↦ θθ ( y , ξ ) is invertible for each y ∈ Y .
Andaikan bahwa fungsi real x ix i ( y , 0 )x_{i}(y,0)} mendefinisikan pemetaan invertible mulus F : Y → X dari himpunan terbuka X , Y dalam R m ^{m}} dan bagian linear dari ξ ↦ θθ ( y , ξ )
The general transformation law for the Berezin integral reads ∫ Λ m ∣ n f ( x , θ )
Hukum transformasi secara umum untuk inegral Berezin menunjukkan ∫ Λ m ∣ n f ( x , θ )
d θ d x∫ Λ m ∣ n f ( x ( y , ξ ) , θ ( y , ξ ) ) ε Ber ⁡ J d ξ d y∫ Λ m ∣ n f ( x ( y , ξ ) , θ ( y , ξ ) ) ε det ( A − B D − 1 C ) det D d ξ d y , &\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \operatorname {Ber} \mathrm {J} \,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y\\[6pt]={}&\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} y,\end{aligned}}} where εs g n ( det ∂ x ( y , 0 ) / ∂ y (\det \partial x(y,0)/\partial y} ) is the sign of the orientation of the map F .
y∫ Λ m ∣ n f ( x ( y , ξ ) , θ ( y , ξ ) ) ε det ( A − B D − 1 C ) det D d ξ d y , }f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \mathrm {Ber~J~d} \xi \mathrm {d} y=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\mathrm {d} \xi \mathrm {d} y,} di mana εs g n ( det ( ∂ x ( y , 0 ) ∂ y ) ) \left(\det \left({\frac {\partial x(y,0)}{\partial y}}\right)\right)} adalah tanda dari awalnya pemetaan F .
The superposition f ( x ( y , ξ ) , θ ( y , ξ ) ) is defined in the obvious way, if the functions x i ( y , ξ ) (y,\xi )} do not depend on ξ .
Superposisi f ( x ( y , ξ ) , θ ( y , ξ ) ) mendefinisikan dalam cara yang jelas,
=x_{i}(y,0)+\delta _{i},} where δ i , i1 , … , m ,i=1,\ldots ,m} are even nilpotent elements of Λ m ∣ n } and set f ( x ( y , ξ ) , θ )
Dalam kasus umum, kita tulis x i ( y , ξ )x i ( y , 0 ) + δ i (y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{i}} , di mana δ i , i1 , … , m ,i=1,\ldots ,m} adalah anggota nilpoten genap dari Λ m ∣ n } dan himpunan f ( x ( y , ξ ) , θ )
+ ∑ i ∂ f ∂ x i ( x ( y , 0 ) , θ ) δ i + 1 2 ∑ i , j ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( x ( y , 0 ) , θ ) δ i δ j + ⋯ , {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )
+ ∑ i ∂ f ∂ x i ( x ( y , 0 ) , θ ) δ i + 1 2 ∑ i , j ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( x ( y , 0 ) , θ ) δ i δ j + ⋯ {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )
\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots ,} where the Taylor series is finite.
\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots } , di mana deret Taylor terbatas.
∫ exp ⁡ [ − 1 2 θ T M θ ] d θ{ P f M n even 0 n odd {2}}\theta ^{T}M\theta \right]\,d\theta{\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ even}}\\0&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}} with M being a complex skew-symmetric n × n matrix, and P f M \,M} being the Pfaffian of M , which fulfills ( P f M ) 2det M \,M)^{2}=\det M} .
∫ exp ⁡ [ − 1 2 θ T M θ ] d θ{ P f M n genap 0 n ganjil {2}}\theta ^{T}M\theta \right]\,\mathrm {d} \theta{\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ genap}}\\0&n{\mbox{ ganjil}}\end{cases}}} dengan M menjadi sebuah matriks miring simetris n × n yang kompleks, dan Pf M }\ M} menjadi Pfaffian dari M M , yang memenuhi ( Pf M )
the notation d θd θ 1 ⋯ d θ n \cdots \,d\theta _{n}} is used.
Rumus di atas, notasi d θd θ 1 ⋯ d θ n \theta\mathrm {d} \theta _{1}\cdots \mathrm {d} \theta _{n}} digunakan.
Note that these integrals are all in the form of a partition function.
Catatan bahwa integral-integral ini semuanya dalam bentuk dari fungsi partisi.
Other authors contributed to these developments, including the physicists Isaak Khalatnikov (although his paper contains mistakes), Paul Taunton Matthews and Abdus Salam, and J. L. Martin.
Penulis lainnya berkontribusi pengembangan ini, termasuk ahli limu fisika Khalatnikov (meskipun makalahnya memiliki kesalahan), Matthews dan Salam, dan Martin.
Supermanifold Berezinian Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8 Berezin, Felix Alexandrovich: Introduction to Superanalysis, Springer Netherlands, ISBN 978-90-277-1668-2
Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8 Berezin, Felix Alexandrovich: Introduction to Superanalysis, Springer Netherlands, ISBN 978-90-277-1668-2 Supermanifold Berezinian