Suppose a dependent variable y represents a function f of an independent variable x, that is, yf ( x ) .
Misalkan nilai a dari variabel dependen pada nilai y yang mendukung fungsi f dari nilai variabel independen pada x, yaitu yf ( x ) .
Then the derivative of the function f, in Leibniz's notation for differentiation, can be written as d y d x or d d x y or d ( f ( x ) )
Setelah itu hasil turunan dari fungsi f, dalam Notasi Leibniz untuk diferensiasi, dapat ditulis sebagai d y d x atau d d x y atau d ( f ( x ) )
A common alternative is Lagrange's notation d y d xy ′
Alternatif yang umum adalah Notasi Lagrange d y d xy ′f ′ ( x ) .
{dx}}\,=y'=f'(x).} Another alternative is Newton's notation, often used for derivatives with respect to time (like velocity), which requires placing a dot over the dependent variable (in this case, x): d x d tx ˙ .
{dx}}\,=y'=f'(x).} Alternatif lain adalah Notasi Newton, yang sering digunakan untuk turunan terhadap waktu (seperti kecepatan), yang memerlukan penempatan titik di atas x): d x d tx ˙ .
In its modern interpretation, the expression ⁠dy/dx⁠ should not be read as the division of two quantities dx and dy (as Leibniz had envisioned it); rather, the whole expression should be seen as a single symbol that is shorthand for lim Δ x → 0 Δ y Δ x {\frac {\Delta y}{\Delta x}}} (note Δ vs. d, where Δ indicates a finite difference).
{dt}}={\dot {x}}.} Notasi "prima" Lagrange sangat berguna dalam diskusi fungsi turunan atau memiliki keuntungan karena memiliki cara alami untuk menunjukkan nilai fungsi turunan Dalam interpretasi modern, ekspresi pada dydx seharusnya tidak terbaca sebagai pembagian dua besaran dx dan dy (seperti yang dibayangkan Leibniz) sebaliknya, keseluruhan ekspresi harus dilihat sebagai simbol tunggal yang merupakan singkatan lim Δ x → 0 Δ y Δ x {\frac {\Delta y}{\Delta x}}} (Catatan Δ vs. d, darimana nilai Δ menunjukkan perbedaan yang terbatas).
Leibniz did not use this form, but his use of the symbol d corresponds fairly closely to this modern concept.
Leibniz tidak menggunakan bentuk ini, tetapi menggunakan simbolnya yaitu d berhubungan erat dengan konsep modern ini.
x 2d d x ( d y d x ) .
d y d xd y d u ⋅ d u d x .
y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).} A third derivative, which might be written as, d ( d ( d y d x ) d x ) d x , {dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,} can be obtained from d 3 y d x 3d d x ( d 2 y d x 2 )
d x , {dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,} Anda bisa mendapatkannya dari d 3 y d x 3d d x ( d 2 y d x 2 )d d x ( d d x ( d y d x ) ) . y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right).} Demikian pula, turunan yang lebih tinggi dapat diperoleh secara induktif.
d d x ( d d x ( d y d x ) ) .
d y d xd y d u ⋅ d u d x .
While it is possible, with carefully chosen definitions, to interpret ⁠dy/dx⁠ as a quotient of differentials, this should not be done with the higher order forms.
Mungkin, dengan definisi yang dipilih dengan cermat, untuk menafsirkannya pada nilai dydx sebagai hasil bagi dari diferensial tersebut tidak boleh dilakukan dengan bentuk orde yang lebih tinggi.
However, Leibniz did use his d notation as we would today use operators, namely he would write a second derivative as ddy and a third derivative as dddy.
Namun, Leibniz memang menggunakan miliknya sendiri yaitu nilai d notasi seperti yang kita gunakan saat ini operator tersebut akan menulis turunan kedua sebagai nilai ddy dan turunan ketiga tersebut sebagai dddy.
For instance, the chain rule—suppose that the function g is differentiable at x and yf(u) is differentiable at ug(x).
Dalam aturan rantai misalkan fungsi pada g dibedakan pada nilai x dan yf(u) dibedakan menjadi ug(x).
{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.} This can be generalized to deal with the composites of several appropriately defined and related functions, u1, u2, ..., un and would be expressed as,
{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.} Hal ini dapat digeneralisasikan untuk menangani gabungan dari beberapa fungsi yang ditentukan yang terkait dengan tepat, u1, u2, ..., un dan akan diekspresikan sebagai:
One of the simplest types of differential equations is M ( x ) + N ( y )
Salah satu jenis persamaan diferensial paling sederhana adalah: M ( x ) + N ( y )
d y d x0 , {dx}}=0,} where M and N are continuous functions.
d y d x0 , {dx}}=0,} Darimana nilai M Dan nilai N adalah fungsi berkelanjutan.
Solving (implicitly) such an equation can be done by examining the equation in its differential form, M ( x )
Menyelesaikan (secara implisit) persamaan tersebut dapat dilakukan dengan memeriksa persamaan dalam bentuk diferensial: M ( x )
d y0 and integrating to obtain ∫ M ( x ) d x + ∫ N ( y )
d y0 dan mengintegrasikan untuk mendapatkan nilai: ∫ M ( x )
Similarly, although most mathematicians now view an integral ∫ f ( x ) d x as a limit lim Δ x → 0 ∑ i f ( x i ) Δ x , \sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,} where Δx is an interval containing xi, Leibniz viewed it as the sum (the integral sign denoted summation for him) of infinitely many infinitesimal quantities f(x) dx.
x , \sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,} dengan Δx adalah selang yang mengandung xi, Leibniz memandangnya sebagai jumlahan (lambang integral menandakan penjumlahan) kuantitas infinitesimal yang banyaknya takhingga f(x) dx.