They are named after François Viète (1540-1603), more commonly referred to by the Latinised form of his name, "Franciscus Vieta.
Rumus ini dinamai dari François Viète (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").
Typically, R is the ring of the integers, the field of fractions is the field of the rational numbers and the algebraically closed field is the field of the complex numbers.
Biasanya, R merupakan gelanggang bilangan bulat, lapangan pecahannya merupakan lapangan bilangan rasional, dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan bilangan kompleks.
Vieta's formulas are then useful because they provide relations between the roots without having to compute them.
Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.
For example, in the ring of the integers modulo 8, the quadratic polynomial P ( x )x 2 − 1 -1} has four roots: 1, 3, 5, and 7.
Sebagai contoh, fungsi kuadrat P ( x )x 2 − 1 -1} memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat modulo 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7.
+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.} Vieta's formulas can be proved by considering the equality a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0a n ( x − r 1 ) ( x − r 2 )
a x 3 + b x 2 + c x + d +bx^{2}+cx+d} akan memenuhi persamaan r 1 + r 2 + r 3− b a r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3c a r 1 r 2 r 3− d a r_{1}+r_{2}+r_{3}&=-{\frac {b}{a}}\\r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}&={\frac {c}{a}}\\r_{1}r_{2}r_{3}&=-{\frac {d}{a}}\end{aligned}}} Menurut teorema dasar aljabar, jika x 1 , x 2 , … , x n ,\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}} merupakan akar-akar dari polinomial P ( x )
a 2 x 2 + a 1 x + a 0a 2 ( x − r 1 ) ( x − r 2 )
a 2 ( x − x 1 x − x 2 x + x 1 x 2 )a 2 ( x − ( x 1 + x 2 )
Vieta's formulas can also be proven by induction as shown below.
Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan induksi sebagai berikut.
Inductive hypothesis: Let P ( x ) } be polynomial of degree n , with complex roots r 1 , r 2 , … , r n },{r_{2}},{\dots },{r_{n}}} and complex coefficients a 0 , a 1 , … , a n ,a_{1},\dots ,a_{n}} where a n ≠ 0 }\neq 0} .
Misalkan P ( x ) adalah polinomial berderajat n P ( x ) memiliki akar-akar kompleks { x 1 , x 2 , … , x n } ,\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}} P ( x ) memiliki koefisien kompleks { a 0 , a 1 , a 2 , … , a n } ,\,a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}} , dengan a n ≠ 0 \neq 0} maka P ( x )
x n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n ( a n ) ( r 1 r 2 ⋯ r n ){a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{(a_{n})}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}} Base case, n2 (quadratic): Let a 2 , a 1 },{a_{1}}} be coefficients of the quadratic and a 0 } be the constant term.
Maka, hasil bagi a i a n }{a_{n}}}} akan termuat pada lapangan pecahan dari R (dan mungkin saja pada R itu sendiri, jika a n } merupakan elemen unit pada R ) dan akarnya x i } diambil pada perluasan lapangan yang tertutup secara aljabar.
P ( x )a n + 1 x n + 1 + a n x n + ⋯ + a 1 x + a 0{a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}} By the factor theorem, ( x − r n + 1 ) )}} can be factored out of P ( x ) leaving a 0 remainder.
a n + 1 x n + 1 + a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0 x^{n+1}+a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}} Berdasarkan teorema faktor, maka ( x − x n + 1 ) \right)} dapat difaktorkan dari P ( x ) , dengan sisa bagi 0.
[ a n + 1 x n + 1 + a n x n + ⋯ + a 1 x + a 0 x − r n + 1 ]{(x-r_{n+1})}{[{\frac {{a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}{x-r_{n+1}}}]}} Factor out a n + 1 } , the leading coefficient P ( x ) , from the polynomial in the square brackets: P ( x )( a n + 1 ) ( x − r n + 1 ) [ x n + 1 + a n x n ( a n + 1 ) + ⋯ + a 1 ( a n + 1 )
a n + 1 x n + 1 + a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0 x^{n+1}+a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}} Berdasarkan teorema faktor, maka ( x − x n + 1 ) \right)} dapat difaktorkan dari P ( x ) , dengan sisa bagi 0.
x + a 0 ( a n + 1 ) x − r n + 1 ]{(a_{n+{1}})}{(x-r_{n+1})}{[{\frac {{x^{n+1}}+{\frac {{a_{n}}{x^{n}}}{(a_{n+{1}})}}+{\cdots }+{{\frac {a_{1}}{(a_{n+{1}})}}{x}}+{\frac {a_{0}}{(a_{n+{1}})}}}{x-r_{n+1}}}]}} For simplicity sake, allow the coefficients and constant of polynomial be denoted as ζ : P ( x )( a n + 1 ) ( x − r n + 1 )
x n − 1 + … + ( − 1 ) n x 1 x 2 ⋅ … ⋅ x n ) x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)} Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan a 2 x 2 + a 1 x + a 0a 2 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} Dengan menggunakan sifat distributif, diperoleh a 2 x 2 + a 1 x + a 0a 2 ( x − x 1 ) ( x − x 2 )
( a n + 1 ) ( x − r n + 1 )
a n + 1 ( x ( x n − ( x 1 + x 2 + … + x n )
[ x n − ( r 1 + r 2 + ⋯ + r n ) x n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n ( r 1 r 2 ⋯ r n ) ] )}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}} Using distributive property: P ( x )
a x 3 + b x 2 + c x + d +bx^{2}+cx+d} akan memenuhi persamaan r 1 + r 2 + r 3− b a r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3c a r 1 r 2 r 3− d a r_{1}+r_{2}+r_{3}&=-{\frac {b}{a}}\\r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}&={\frac {c}{a}}\\r_{1}r_{2}r_{3}&=-{\frac {d}{a}}\end{aligned}}} Menurut teorema dasar aljabar, jika x 1 , x 2 , … , x n ,\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}} merupakan akar-akar dari polinomial P ( x )
By dividing both sides by a n } , it proves the Vieta's formulas true.
} Dengan membagi kedua ruas dengan x n } , maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.
The formulas were derived by the 16th-century French mathematician François Viète, for the case of positive roots.
Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh matematikawan asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.
In the opinion of the 18th-century British mathematician Charles Hutton, as quoted by Funkhouser, the general principle (not restricted to positive real roots) was first understood by the 17th-century French mathematician Albert Girard: ...
Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti yang dikutip oleh Funkhouser, prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif)