In linear algebra, the characteristic polynomial of a square matrix is a polynomial which is invariant under matrix similarity and has the eigenvalues as roots.
Dalam aljabar linear, polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah suatu polinomial yang invarian dalam keserupaan dan memiliki nilai-nilai eigen sebagai akar-akarnya.
The characteristic polynomial of an endomorphism of a finite-dimensional vector space is the characteristic polynomial of the matrix of that endomorphism over any basis (that is, the characteristic polynomial does not depend on the choice of a basis).
Dengan definisi yang serupa, polinomial karakteristik dari endomorfisme suatu ruang vektor dimensi terhingga, adalah polinomial karakteristik dari representrasi matriks dari endomorfisme tersebut, atas sebarang basis; yang mengartikan polinomial karakteristik tidak bergantung pada pemilihan basis.
The characteristic equation, also known as the determinantal equation, is the equation obtained by equating the characteristic polynomial to zero.
Persamaan karakteristik atau juga dikenal sebagai persamaan determinan, adalah persamaan yang diperoleh dengan menyamakan polinomial karakteristik dengan nol.
In spectral graph theory, the characteristic polynomial of a graph is the characteristic polynomial of its adjacency matrix.
Dalam teori graf spektral, polinomial karakteristik dari sebuah graf adalah polinomial karakteristik dari matriks kedampingan graf tersebut.
Eigenvalues and eigenvectors play a fundamental role in linear algebra, since, given a linear transformation, an eigenvector is a vector whose direction is not changed by the transformation, and the corresponding eigenvalue is the measure of the resulting change of magnitude of the vector.
Dalam aljabar linear, nilai dan vektor eigen memainkan peran penting, karena untuk sebarang pilihan transformasi linear, vektor eigen adalah vektor yang arahnya tidak berubah akibat transformasi tersebut, dan nilai eigen yang berkorespodensi dengan vektor eigen tersebut menyatakan perubahan besar vektor.
It follows that the matrix ( λ I − A ) must be singular, and its determinant det ( λ I − A )
Hal ini menyimpulkan bahwa matriks ( λ I − A ) harus bersifat singular, dan determinan-nya bernilai nol, yang ditulis sebagai det ( λ I − A )
In other words, the eigenvalues of A are the roots of det ( x I − A ) , which is a monic polynomial in x of degree n if A is a n×n matrix.
Walau tidak ada perbedaan untuk sifat-sifat seperti akar-akarnya adalah nilai eigen dari A , polinomial det ( A − t I ) hanya bersifat monik ketika n genap.
The characteristic polynomial of A , denoted by p A ( t ) , (t),} is the polynomial defined by p A ( t )
Polinomial karakterisitik dari A , yang dinyatakan dengan notasi p A ( t ) , (t),} adalah polinomial yang didefinisikan sebagai p A ( t )
Some authors define the characteristic polynomial to be det ( A − t I ) .
Ada sebagian penulis yang mendefinisikan polinomial karakteristik sebagai det ( A − t I ) .
To compute the characteristic polynomial of the matrix A( 2 1 − 1 0 ) .
Misalkan kita ingin menentukan polinomial karakteristik dari matriks A( 2 1 − 1 0 ) .
the determinant of the following is computed: t I − A( t − 2 − 1 1 t − 0 ) t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}} and found to be ( t − 2 ) t − 1 ( − 1 )
I − A( t − 2 − 1 1 t − 0 ) t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}} sehingga diperoleh polinomial karakteristik dari matriks A , yaitu ( t − 2 ) t − 1 ( − 1 )
Another example uses hyperbolic functions of a hyperbolic angle φ.
Contoh berikut menggunakan fungsi hiperbolik dari sudut hiperbolik φ .
Its characteristic polynomial is det ( t I − A )
Ada sebagian penulis yang mendefinisikan polinomial karakteristik sebagai det ( A − t I ) .
The most important fact about the characteristic polynomial was already mentioned in the motivational paragraph: the eigenvalues of A are precisely the roots of p A ( t ) (t)} (this also holds for the minimal polynomial of A , but its degree may be less than n ).
Fakta yang terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah disebut di bagian Motivasi: nilai-nilai eigen A adalah akar-akar dari p A ( t ) (t)} (fakta ini juga berlaku untuk polinomial minimal dari A , tetapi derajatnya dapat lebih kecil dari n ).
All coefficients of the characteristic polynomial are polynomial expressions in the entries of the matrix.
Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah ekspresi dari entri-entri matriks.
( − 1 ) n det ( A ) , \det(A),} the coefficient of t n } is 1, and the coefficient of t n − 1 } is tr(−A)−tr(A), where tr(A) is the trace of A .
Secara khusus, koefisien t 0 } bernilai det ( − A )( − 1 ) n det ( A ) \det(A)} , koefisien t n } bernilai 1 , dan koefisien t n − 1 } bernilai tr ⁡ ( − A )− tr ⁡ ( A ) (-A)=-\operatorname {tr} (A)} , dengan tr ⁡ ( A ) (A)} melambangkan teras dari A .
(The signs given here correspond to the formal definition given in the previous section; for the alternative definition these would instead be det ( A ) and (−1)n – 1 tr(A) respectively.)
(Tanda yang diberikan di bagian ini disesuaikan dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya; sedangkan untuk definisi alternatif, masing-masing koefisien tersebut akan memiliki nilai det ( A ) dan ( − 1 ) n − 1 tr ⁡ ( A ) \operatorname {tr} (A)} .)
For a 2 × 2 matrix A , the characteristic polynomial is thus given by t 2 − tr ⁡ ( A ) t + det ( A ) .
Sebagai contoh, untuk sebarang matriks A dengan ukuran 2 × 2 , polinomial karakteristiknya dirumuskan dengan t 2 − tr ⁡ ( A ) t + det ( A ) .
The recursive Faddeev–LeVerrier algorithm computes these coefficients more efficiently .
Algoritme rekursif Faddeev–LeVerrier menghitung koefisien-koefisien tersebut dengan cara yang lebih efisien.
\left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.} The Cayley–Hamilton theorem states that replacing t by A in the characteristic polynomial (interpreting the resulting powers as matrix powers, and the constant term c as c times the identity matrix) yields the zero matrix.
\left(\bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}.} Teorema Cayley–Hamilton menyatakan bahwa mensubtitusi t dalam polinomial karakteristik dengan A (dan memandang operasi perpangkatan sebagai perpangkatan matriks, dan suku konstan c sebagai perkalian c dengan matriks identitas), akan menghasilkan matriks nol.
This statement is equivalent to saying that the minimal polynomial of A divides the characteristic polynomial of A .
Pernyataan ini sama saja dengan mengatakan bahwa polinomial minimal A membagi polinomial karakteristik A .
The converse however is not true in general: two matrices with the same characteristic polynomial need not be similar.
Dua matriks serupa memiliki polinomial karakteristik yang sama, tetapi pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum: dua matriks dengan polinomial karakteristik yang sama belum tentu serupa.
The matrix A and its transpose have the same characteristic polynomial.
Sebarang matriks dan transpos-nya memiliki polinomial karakteristik yang sama.
A is similar to a triangular matrix if and only if its characteristic polynomial can be completely factored into linear factors over K (the same is true with the minimal polynomial instead of the characteristic polynomial).
Matriks A serupa dengan matriks segitiga jika dan hanya jika polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor-faktor linear atas K (pernyataan yang sama juga benar dengan polinomial minimal).
In this case A is similar to a matrix in Jordan normal form.
Dalam kasus ini, A serupa dengan suatu matriks dalam bentuk normal Jordan.
If A and B are two square n × n matrices then characteristic polynomials of A B and B A coincide:
Jika A dan B adalah dua matriks persegi berukuran n × n , maka polinomial karakteristik dari A B dan B A adalah sama; dengan kata lain, p A B ( t )
More generally, if A is a matrix of order m × n and B is a matrix of order n × m , then A B is m × m and B A is n × n matrix, and one has p B A ( t )
Lebih umumnya, jika matriks A berukuran m × n dan B berukuran n × m , maka A B adalah matriks m × m dan B A adalah matriks n × n , dan terdapat hubungan p B A ( t )
(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,} To prove this, one may suppose n > m , by exchanging, if needed, A and B .
(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).} Untuk membuktikan hal tersebut, anggap n > m , dengan menukarkan A dan B kalau diperlukan.
Then, by bordering A on the bottom by n − m rows of zeros, and B on the right, by, n − m columns of zeros, one gets two n × n matrices A ′ } and B ′ } such that B ′ A ′B A A^{\prime }=BA} and A ′ B ′ B^{\prime }} is equal to A B bordered by n − m rows and columns of zeros.
Lalu, dengan menambahkan n − m baris nol setelah baris terbawah di matriks A , dan menambahkan n − m kolom nol setelah kolom terkanan di matriks B , akan didapatkan dua matriks berukuran n × n , yakni A ′ dan B ′ .
If λ is an eigenvalue of a square matrix A with eigenvector v , ,} then λ k } is an eigenvalue of A k } because A k vA k − 1 A vλ A k − 1 v⋯λ k v .
Jika λ adalah nilai eigen dari matriks persegi A yang berkorespodensi dengan vektor eigen v } , maka λ k } adalah nilai eigen dari A k } , sebab A k vA k − 1 A vλ A k − 1 v⋯λ k v .
Here a polynomial f ( t )t 3 + 1 , +1,} for example, is evaluated on a matrix A simply as f ( A )
Sebagai contoh, polinomial f ( t )t 3 + 1 +1} yang dievaluasi pada matriks A , dapat ditulis dengan sederhana sebagai f ( A )
However, the assumption that p A ( t ) (t)} has a factorization into linear factors is not always true, unless the matrix is over an algebraically closed field such as the complex numbers.
Akan tetapi, asumsi bahwa p A ( t ) (t)} memiliki faktorisasi berupa faktor-faktor linear tidak selalu benar, kecuali untuk matriks atas suatu lapangan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks.
The term secular function has been used for what is now called characteristic polynomial (in some literature the term secular function is still used).
Istilah fungsi sekuler digunakan untuk hal yang sekarang disebut polinomial karakteristik (beberapa literatur masih menggunakan istilah fungsi sekuler).
The term comes from the fact that the characteristic polynomial was used to calculate secular perturbations (on a time scale of a century, that is, slow compared to annual motion) of planetary orbits, according to Lagrange's theory of oscillations.
Istilah tersebut muncul dari penggunaan polinomial karakteristik untuk menghitung pertubasi sekuler (pada suatu skala waktu sekitar dalam rentang abad, yang lebih lambat dibandingkan dengan gerakan tahunan) dari orbit-orbit planet, menurut teori Lagrange mengenai ayunan.
In molecular orbital calculations relating to the energy of the electron and its wave function it is also used instead of the characteristic equation.
Dalam orbital molekul, perhitungan yang mengaitkan energi dari elektron dan fungsi gelombangnya.
Invariants of tensors Companion matrix Faddeev–LeVerrier algorithm Cayley–Hamilton theorem Samuelson–Berkowitz algorithm T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998)
Persamaan karakteristik (disambiguasi) Polinomial minimal (aljabar linear) Invarian tensor Matriks pendamping Algoritme Faddeev–LeVerrier Teorema Cayley–Hamilton Algoritme Samuelson–Berkowitz T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998)
Basic Linear Algebra, p 149, Springer ISBN 3-540-76122-5 .
Basic Linear Algebra, hlm. 149, Springer ISBN 3-540-76122-5.
Linear Algebra 2nd edition, p 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8 .
Linear Algebra 2nd edition, hlm. 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8.
Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 .
Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8.
Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1 .
Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, hlm. 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1.
Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, p 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3 .
Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, hlm. 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3.