In mathematics, the Pythagorean theorem or Pythagoras's theorem is a fundamental relation in Euclidean geometry between the three sides of a right triangle.
Dalam matematika, Teorema Pythagorean, juga dikenal sebagai Teorema Pythagoras, adalah hubungan mendasar dalam geometri Euclidean di antara tiga sisi segitiga siku-siku.
The theorem can be written as an equation relating the lengths of the sides a, b and the hypotenuse c, sometimes called the Pythagorean equation: a 2 + b 2c 2 .
Teorema ini dapat ditulis sebagai persamaan yang menghubungkan panjang sisi a, b dan c, sering disebut "persamaan Pythagoras": a 2 + b 2c 2 , +b^{2}=c^{2},} di mana
The theorem has been proved numerous times by many different methods – possibly the most for any mathematical theorem.
Teorema ini telah diberikan banyak bukti - mungkin yang paling banyak untuk setiap teorema matematika.
The theorem can be generalized in various ways: to higher-dimensional spaces, to spaces that are not Euclidean, to objects that are not right triangles, and to objects that are not triangles at all but n-dimensional solids.
Teorema dapat digeneralisasi dalam berbagai cara, termasuk ruang dimensi tinggi, ke ruang yang bukan Euclidean, ke objek yang bukan segitiga siku-siku, dan memang,
Within the big square on the left side, the four triangles are moved to form two similar rectangles with sides of length a and b.
Kemudian dua persegi panjang dibentuk dengan sisi a dan b dengan menggerakkan segitiga.
In this way they also form two boxes, this time in consecutive corners, with areas a2 and b2 which will again lead to a second square of with the area 2ab + a2 + b2.
Menggabungkan kotak yang lebih kecil dengan persegi panjang ini menghasilkan dua kotak area a2 dan b2, yang harus memiliki area yang sama dengan awal persegi besar.
Heath himself favors a different proposal for a Pythagorean proof, but acknowledges from the outset of his discussion "that the Greek literature which we possess belonging to the first five centuries after Pythagoras contains no statement specifying this or any other particular great geometric discovery to him."
Heath sendiri lebih menyukai proposal yang berbeda untuk bukti Pythagoras, tetapi mengakui dari permulaan diskusinya "bahwa literatur Yunani yang kita miliki milik lima abad pertama setelah Pythagoras tidak berisi pernyataan yang menyebutkan hal ini atau penemuan geometrik besar lainnya kepadanya."
The theorem can be proved algebraically using four copies of the same triangle arranged symmetrically around a square with side c, as shown in the lower part of the diagram.
Teoremanya dapat dibuktikan secara aljabar menggunakan empat salinan dari segitiga siku-siku dengan sisi a, b dan c, disusun di dalam kotak dengan sisi c seperti di bagian atas diagram.
2c 2 + 4 a b 2c 2 + 2 a b ,c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,} giving c 2( b + a ) 2 − 2 a bb 2 + 2 a b + a 2 − 2 a ba 2 + b 2 .
+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.} Tapi ini adalah persegi dengan sisi c dan luas c2, jadi c 2a 2 + b 2 .
The area of the large square is therefore ( b − a ) 2 + 4 a b 2( b − a ) 2 + 2 a bb 2 − 2 a b + a 2 + 2 a ba 2 + b 2 .
Oleh karena itu luas persegi panjang ( b − a ) 2 + 4 a b 2( b − a ) 2 + 2 a bb 2 − 2 a b + a 2 + 2 a ba 2 + b 2 .
This theorem may have more known proofs than any other (the law of quadratic reciprocity being another contender for that distinction); the book The Pythagorean Proposition contains 370 proofs.
Teorema ini mungkin memiliki bukti lebih dikenal daripada yang lain (hukum timbal balik kuadrat menjadi pesaing lain untuk perbedaan itu); buku The Pythagoras Proposition berisi 370 bukti.
This proof is based on the proportionality of the sides of three similar triangles, that is, upon the fact that the ratio of any two corresponding sides of similar triangles is the same regardless of the size of the triangles.
Bukti ini didasarkan pada Kesebandingan sisi-sisi dari dua segitiga yang sama, yaitu, pada kenyataan bahwa rasio dari setiap dua sisi yang sesuai dari segitiga yang sama adalah sama terlepas dari ukuran segitiga.
Let ABC represent a right triangle, with the right angle located at C, as shown on the figure.
Biarkan ABC mewakili segitiga siku-siku, dengan sudut kanan terletak di C, seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Point H divides the length of the hypotenuse c into parts d and e. The new triangle, ACH, is similar to triangle ABC, because they both have a right angle (by definition of the altitude), and they share the angle at A, meaning that the third angle will be the same in both triangles as well, marked as θ in the figure.
Titik H membagi panjang sisi miring c menjadi bagian d dan e. ACH segitiga baru sama dengan segitiga ABC, karena mereka berdua memiliki sudut kanan (menurut definisi ketinggian), dan mereka berbagi sudut pada A, yang berarti bahwa sudut ketiga akan sama di kedua segitiga juga, ditandai sebagai θ pada gambar.
By a similar reasoning, the triangle CBH is also similar to ABC.
Dengan alasan yang sama, segitiga CBH juga mirip dengan ABC.
The proof of similarity of the triangles requires the triangle postulate: The sum of the angles in a triangle is two right angles, and is equivalent to the parallel postulate.
segitiga membutuhkan postulat segitiga: jumlah sudut dalam segitiga adalah dua sudut kanan, dan setara dengan postulat paralel.
Similarity of the triangles leads to the equality of ratios of corresponding sides: B C A BB H B C A C A BA H A C .
Kesamaan segitiga menyebabkan rasio kesetaraan dari sisi yang sesuai: B C A BB H B C dan A C A BA H A C .
{\frac {BC}{AB}}&={\frac {BH}{BC}}\\{\frac {AC}{AB}}&={\frac {AH}{AC}}.\end{aligned}}} The first result equates the cosines of the angles θ, whereas the second result equates their sines.
{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ dan }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.} Hasil pertama menyamakan cosinus dari sudut θ, sedangkan hasil kedua menyamakan sinus mereka.
These ratios can be written as B C 2A B × B H , A C 2A B × A H .
Rasio ini dapat ditulis sebagai B C 2A B × B H dan A C 2A B × A H .
One conjecture is that the proof by similar triangles involved a theory of proportions, a topic not discussed until later in the Elements, and that the theory of proportions needed further development at that time.
Salah satu dugaan adalah bahwa bukti dari segitiga yang sama melibatkan teori proporsi, topik yang tidak dibahas sampai nanti dalam Elemen, dan bahwa teori proporsi membutuhkan pengembangan lebih lanjut pada waktu itu.
Albert Einstein gave a proof by dissection in which the pieces do not need to be moved.
Albert Einstein memberikan bukti dengan pembedahan di mana potongan-potongan tidak perlu dipindahkan.
Those two parts have the same shape as the original right triangle, and have the legs of the original triangle as their hypotenuses, and the sum of their areas is that of the original triangle.
Kedua bagian tersebut memiliki bentuk yang sama dengan segitiga siku-siku asli, dan memiliki kaki-kaki dari segitiga asli sebagai sisi miringnya, dan jumlah area mereka adalah segitiga asli.
Because the ratio of the area of a right triangle to the square of its hypotenuse is the same for similar triangles, the relationship between the areas of the three triangles holds for the squares of the sides of the large triangle as well.
Karena rasio luas segitiga siku-siku dengan kuadrat sisi miringnya sama untuk segitiga serupa, maka hubungan antara luas ketiga segitiga tersebut juga berlaku untuk kuadrat sisi-sisi segitiga besar.
A triangle is constructed that has half the area of the left rectangle.
Sebuah segitiga dibangun yang memiliki setengah luas persegi panjang kiri.
Then another triangle is constructed that has half the area of the square on the left-most side.
Kemudian segitiga lain dibangun yang memiliki setengah luas persegi di sisi paling kiri.
These two triangles are shown to be congruent, proving this square has the same area as the left rectangle.
Dua segitiga ini terbukti kongruen, membuktikan bahwa persegi ini memiliki area yang sama dengan persegi panjang kiri.
If two triangles have two sides of the one equal to two sides of the other, each to each, and the angles included by those sides equal, then the triangles are congruent (side-angle-side).
Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain, masing-masing untuk masing-masing, dan sudut yang dimasukkan oleh sisi yang sama, maka segitiga adalah kongruen (sisi-sudut-sisi).
Next, each top square is related to a triangle congruent with another triangle related in turn to one of two rectangles making up the lower square.
Selanjutnya, setiap bujur sangkar terkait dengan kongruen segitiga dengan segitiga lain yang terkait pada gilirannya dengan salah satu dari dua persegi panjang yang membentuk kuadrat bawah.
The proof is as follows: Let ACB be a right-angled triangle with right angle CAB.
Buktinya adalah sebagai berikut: Biarkan ACB menjadi segitiga siku-siku dengan CAB sudut kanan.
On each of the sides BC, AB, and CA, squares are drawn, CBDE, BAGF, and ACIH, in that order.
Di setiap sisi BC, AB, dan CA, kotak digambar, CBDE, BAGF, dan ACIH, dalam urutan itu.
The construction of squares requires the immediately preceding theorems in Euclid, and depends upon the parallel postulate.
Konstruksi persegi membutuhkan teorema yang mendahului Euclid, dan tergantung pada dalil paralel.
From A, draw a line parallel to BD and CE.
Dari A, gambar garis sejajar dengan BD dan CE.
Since AB is equal to FB, BD is equal to BC and angle ABD equals angle FBC, triangle ABD must be congruent to triangle FBC.
Karena AB sama dengan FB dan BD sama dengan BC, segitiga ABD harus kongruen dengan segitiga FBC.
Since A-K-L is a straight line, parallel to BD, then rectangle BDLK has twice the area of triangle ABD because they share the base BD and have the same altitude BK, i.e., a line normal to their common base, connecting the parallel lines BD and AL.
Karena AKL adalah garis lurus, sejajar dengan BD, maka persegi panjang BDLK memiliki dua kali luas segitiga ABD karena mereka berbagi basis BD dan memiliki ketinggian BK yang sama, yaitu, garis normal ke basis umum mereka, menghubungkan garis paralel BD dan AL.
Therefore, rectangle BDLK must have the same area as square BAGFAB2.
Oleh karena itu, persegi panjang BDLK harus memiliki area yang sama dengan persegi BAGFAB2.
Since BDKL, BD × BK + KL
× KCBD(BK + KC)
× BC Therefore, AB2 + AC2BC2, since CBDE is a square (BD × BCBC2).
× BC Karena itu, AB2 + AC2BC2, sejak CBDE adalah persegi.
Then two rectangles are formed with sides a and b by moving the triangles.
Kemudian dua persegi panjang dibentuk dengan sisi a dan b dengan menggerakkan segitiga.
The third, rightmost image also gives a proof.
Gambar ketiga, paling kanan juga memberikan bukti.
{2}}(b+a)^{2}.} The inner square is similarly halved, and there are only two triangles so the proof proceeds as above except for a factor of ⁠ 1 2 {2}}} ⁠, which is removed by multiplying by two to give the result.
{2}}(b+a)^{2}.} Persegi bagian dalam juga dibelah dua, dan hanya ada dua segitiga sehingga buktinya berlangsung seperti di atas kecuali untuk faktor 1 2 {2}}} , yang dihapus dengan mengalikan dua untuk memberikan hasilnya.
One can arrive at the Pythagorean theorem by studying how changes in a side produce a change in the hypotenuse and employing calculus.
Seseorang dapat sampai pada teorema Pythagoras dengan mempelajari bagaimana perubahan di suatu sisi menghasilkan perubahan dalam sisi miring dan menggunakan kalkulus.
At the same time the triangle lengths are measured as shown, with the hypotenuse of length y, the side AC of length x and the side AB of length a, as seen in the lower diagram part.
Pada saat yang sama panjang segitiga diukur seperti yang ditunjukkan, dengan sisi miring panjang y, sisi AC panjang x dan sisi AB panjang a, seperti terlihat pada bagian diagram yang lebih rendah.
If x is increased by a small amount dx by extending the side AC slightly to D, then y also increases by dy.
Jika x ditambahkan dengan sejumlah kecil dx dengan memperpanjang sisi AC sedikit ke D, maka y juga meningkat dengan dy.
These form two sides of a triangle, CDE, which (with E chosen so CE is perpendicular to the hypotenuse) is a right triangle approximately similar to ABC.
Ini membentuk dua sisi segitiga, CDE, yang (dengan E dipilih sehingga CE tegak lurus terhadap sisi miring) adalah segitiga siku-siku yang kira-kira mirip dengan ABC.
Therefore, the ratios of their sides must be the same, that is:
Oleh karena itu, rasio sisi mereka harus sama, yaitu:
{dx}}={\frac {x}{y}}.} This can be rewritten as y dyx dx, which is a differential equation that can be solved by direct integration: ∫ y d y∫ x d x , giving y 2x 2 + C .
d y d xx y . {dx}}={\frac {x}{y}}.} Ini dapat ditulis ulang sebagai y d yx d x , yang merupakan persamaan diferensial yang dapat diselesaikan dengan integrasi langsung: ∫ y d y∫ x d x , memberikan y 2x 2 + C .
=x^{2}+C.} The constant can be deduced from x0, ya to give the equation y 2x 2 + a 2 .
=x^{2}+C.} Konstanta dapat disimpulkan dari x0, ya untuk memberikan persamaan y 2x 2 + a 2 .
This is more of an intuitive proof than a formal one: it can be made more rigorous if proper limits are used in place of dx and dy.
} Ini lebih merupakan bukti intuitif daripada yang formal: ini dapat dibuat lebih ketat jika batas yang tepat digunakan sebagai pengganti dx dan dy.
Since both triangles' sides are the same lengths a, b and c, the triangles are congruent and must have the same angles.
Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain, masing-masing untuk masing-masing, dan sudut yang dimasukkan oleh sisi yang sama, maka segitiga adalah kongruen (sisi-sudut-sisi).
{c}},\quad \cos \theta{\frac {a}{c}}.} From that it follows: cos 2 θ + sin 2 θa 2 + b 2 c 21 , ^{2}\theta +{\sin }
{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ dan }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.} Hasil pertama menyamakan cosinus dari sudut θ, sedangkan hasil kedua menyamakan sinus mereka.
This extension assumes that the sides of the original triangle are the corresponding sides of the three congruent figures (so the common ratios of sides between the similar figures are a : b : c).
Perpanjangan ini mengasumsikan bahwa sisi-sisi segitiga asli adalah sisi yang sesuai dari tiga angka yang kongruen (sehingga rasio sisi yang sama antara angka-angka yang sama adalah a:b:c).
While Euclid's proof only applied to convex polygons, the theorem also applies to concave polygons and even to similar figures that have curved boundaries (but still with part of a figure's boundary being the side of the original triangle).
Sementara bukti Euclid hanya berlaku untuk poligon cembung, teorema juga berlaku untuk poligon cekung dan bahkan untuk angka-angka serupa yang memiliki batas melengkung (tetapi masih dengan bagian dari batas gambar menjadi sisi segitiga asli).
Thus, if similar figures with areas A, B and C are erected on sides with corresponding lengths a, b and c then: A a 2B b 2C c 2 ⟹ A + Ba 2 c 2 C + b 2 c 2 C .
Jadi, jika gambar yang serupa dengan area A, B dan C didirikan pada sisi dengan panjang yang sesuai a, b dan c maka: A a 2B b 2C c 2 , {a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,,} ⇒ A + Ba 2 c 2 C + b 2 c 2 C .
For example, the starting center triangle can be replicated and used as a triangle C on its hypotenuse, and two similar right triangles (A and B ) constructed on the other two sides, formed by dividing the central triangle by its altitude.
Sebagai contoh, segitiga tengah awal dapat direplikasi dan digunakan sebagai segitiga C pada sisi miringnya, dan dua segitiga siku-siku yang sama (A dan B) yang dibangun pada dua sisi lainnya, dibentuk dengan membagi segitiga tengah dengan ketinggiannya.
The sum of the areas of the two smaller triangles therefore is that of the third, thus A + BC and reversing the above logic leads to the Pythagorean theorem a2 + b2c2.
Penjumlahan area dari dua segitiga yang lebih kecil karena itu adalah dari yang ketiga, sehingga A + BC dan membalikkan logika di atas mengarah ke teorema Pythagoras a2 + b2c2.
(See also Einstein's proof by dissection without rearrangement)
(Lihat juga Bukti Einstein dengan diseksi tanpa penataan ulang)
The Pythagorean theorem is a special case of the more general theorem relating the lengths of sides in any triangle, the law of cosines, which states that a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θc 2 +b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}} where θ is the angle between sides a and ⁠ b ⁠. When θ is π 2 {2}}} radians or 90°, then ⁠ cos ⁡ θ00} ⁠, and the formula reduces to the usual Pythagorean theorem.
Teorema Pythagoras adalah kasus khusus dari teorema yang lebih umum yang menghubungkan panjang sisi dalam setiap segitiga, hukum cosinus: a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θc 2 , +b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},} di mana θ adalah sudut antara sisi a dan b .
History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics Interactive links: Interactive proof in Java of the Pythagorean theorem Another interactive proof in Java of the Pythagorean theorem Pythagorean theorem with interactive animation Animated, non-algebraic, and user-paced Pythagorean theorem Pythagorean theorem water demo on YouTube Pythagorean theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot)
Tautan interaktif: Bukti interaktif teorema Pythagoras di Java Bukti interaktif lainnya teorema Pythagoras di Java teorema Pitagoras dengan animasi interaktif Animasi, non-aljabar, dan serba pengguna teorema Pitagoras Demo teorema air Pythagoras di Youtube teorema Pitagoras