The first 41 highly composite numbers are listed in the table below (sequence A002182 in the OEIS).
38 bilangan komposit tinggi awal atau terkecil tercantum dalam tabel di bawah ini (barisan A002182 pada OEIS).
The number of divisors is given in the column labeled d(n).
Jumlah pembagi diberikan di kolom berlabel d ( n ).
The table below shows all 72 divisors of 10080 by writing it as a product of two numbers in 36 different ways.
Tabel di bawah ini menunjukkan 72 pembagi dari 10080 dengan menuliskannya sebagai hasil kali dari dua angka dalam 36 cara berbeda.
The 15,000-th highly composite number can be found on Achim Flammenkamp's website.
Bilangan komposit ke-15.000 dapat ditemukan di situs web Achim Flammenkamp.
It is the product of 230 primes: a 0 14 a 1 9 a 2 6 a 3 4 a 4 4 a 5 3 a 6 3 a 7 3 a 8 2 a 9 2 a 10 2 a 11 2 a 12 2 a 13 2 a 14 2 a 15 2 a 16 2 a 17 2 a 18 2 a 19 a 20 a 21 ⋯ a 229 , ^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},} where a n } is the n th successive prime number, and all omitted terms (a22 to a228) are factors with exponent equal to one (i.e. the number is 2 14 × 3 9 × 5 6 × ⋯ × 1451 \times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451} ).
Ini adalah produk dari 230 bilangan prima: a 0 14 a 1 9 a 2 6 a 3 4 a 4 4 a 5 3 a 6 3 a 7 3 a 8 2 a 9 2 a 10 2 a 11 2 a 12 2 a 13 2 a 14 2 a 15 2 a 16 2 a 17 2 a 18 2 a 19 a 20 a 21 ⋯ a 229 , ^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},} dimana a n } adalah deretan bilangan prima yang berurutan, dan semua suku yang dihilangkan (a22 to a228)
More concisely, it is the product of seven distinct primorials: b 0 5 b 1 3 b 2 2 b 4 b 7 b 18 b 229 , ^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},} where b n } is the primorial a 0 a 1 ⋯ a n a_{1}\cdots a_{n}} .
Lebih tepatnya, ini adalah produk dari tujuh primorial yang berbeda: b 0 5 b 1 3 b 2 2 b 4 b 7 b 18 b 229 , ^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},} dimana b n } adalah primorial a 0 a 1 ⋯ a n a_{1}\cdots a_{n}} .
Roughly speaking, for a number to be highly composite it has to have prime factors as small as possible, but not too many of the same.
Secara kasar, agar sebuah bilangan menjadi sangat komposit, ialah anda harus memiliki faktorisasi prima sekecil mungkin, tetapi tidak terlalu banyak yang sama.
By the fundamental theorem of arithmetic, every positive integer n has a unique prime factorization: np 1 c 1 × p 2 c 2 × ⋯ × p k c k ^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}} where p 1 < p 2 < ⋯ < p k <p_{2}<\cdots <p_{k}} are prime, and the exponents c i } are positive integers.
Dengan teorema dasar aritmetika, setiap bilangan bulat positif n memiliki faktorisasi prima yang unik: np 1 c 1 × p 2 c 2 × ⋯ × p k c k ( 1 ) ^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)} dimana p 1 < p 2 < ⋯ < p k <p_{2}<\cdots <p_{k}} adalah bilangan prima dan eksponen, sedangkan c i } adalah bilangan bulat positif.
Any factor of n must have the same or lesser multiplicity in each prime: p 1 d 1 × p 2 d 2 × ⋯ × p k d
Faktor apa pun dari n harus memiliki kelipatan yang sama atau lebih kecil di setiap bilangan prima: p 1 d 1 × p 2 d 2 × ⋯ × p k d
i ≤ c i , 0 < i ≤ k ^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k} So the number of divisors of n is:
i ≤ c i , 0 < i ≤ k ^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k} Jadi jumlah pembagi n adalah: d ( n )
Note that although the above described conditions are necessary, they are not sufficient for a number to be highly composite.
Perhatikan, bahwa meskipun kondisi yang dijelaskan di atas diperlukan, kondisi tersebut tidak cukup untuk sebuah bilangan menjadi sangat komposit.
For example, 9625 × 3 satisfies the above conditions and has 12 divisors but is not highly composite since there is a smaller number (60) which has the same number of divisors.
Sebagai contoh, 9625 × 3 memenuhi kondisi di atas dan memiliki 12 pembagi tetapi tidak terlalu komposit karena ada bilangan yang lebih kecil 60 yang memiliki jumlah pembagi yang sama.
If Q(x) denotes the number of highly composite numbers less than or equal to x, then there are two constants a and b, both greater than 1, such that ( log ⁡ x ) a ≤ Q ( x ) ≤ ( log ⁡ x ) b .
Bila Q(x) menunjukkan jumlah bilangan komposit yang kurang dari atau sama dengan x , maka ada dua konstanta a dan b , keduanya lebih besar dari 1, sehingga ( log ⁡ x ) a ≤ Q ( x ) ≤ ( log ⁡ x ) b . \leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.} Bagian pertama dari ketidaksetaraan dibuktikan oleh Paul Erdős pada tahun 1944 dan bagian kedua oleh Jean-Louis Nicolas pada tahun 1988.
\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}
{\log \log x}}\leq 1.71\ .}
We have 1.13682 < lim inf x → ∞ log ⁡ Q ( x ) log ⁡ log ⁡ x ≤ 1.44 {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\ } and lim sup x → ∞ log ⁡ Q ( x ) log ⁡ log ⁡ x ≤ 1.71 .
Kami memiliki 1.13862 < lim inf log ⁡ Q ( x ) log ⁡ log ⁡ x ≤ 1.44 {\log \log x}}\leq 1.44\ } dan lim sup log ⁡ Q ( x ) log ⁡ log ⁡ x ≤ 1.71 .
{\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}
{\log \log x}}\leq 1.71\ .}
Highly composite numbers greater than 6 are also abundant numbers.
Bilangan komposit yang lebih tinggi dari 6 juga merupakan jumlah berlimpah.
It is false that all highly composite numbers are also Harshad numbers in base 10.
Tidak benar bahwa semua bilangan komposit tinggi juga Bilangan Harshad dalam basis 10.
10 of the first 38 highly composite numbers are superior highly composite numbers.
10 dari 38 bilangan komposit tinggi pertama adalah bilangan komposit sangat unggul.
Highly composite numbers whose number of divisors is also a highly composite number are 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (sequence A189394 in the OEIS).
Bilangan komposit tinggi yang jumlah pembaginya juga merupakan bilangan komposit tinggi adalah untuk n1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (barisan A189394 pada OEIS).
d \leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ } for positive c and d with 0.2 ≤ c ≤ d ≤ 0.5 .
d \leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ } untuk nilai positif c,d dengan 0.2 ≤ c ≤ d ≤ 0.5 .
Due to their ease of use in calculations involving fractions, many of these numbers are used in traditional systems of measurement and engineering designs.
Banyak dari angka-angka ini digunakan dalam sistem pengukuran tradisional, dan cenderung digunakan dalam desain teknik, karena kemudahan penggunaannya dalam perhitungan yang melibatkan pecahan.
Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag.
Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. hlm.
Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.
Beranotasi dan dengan kata pengantar oleh Jean-Louis Nicolas dan Guy Robin.
Weisstein, Eric W. "Highly Composite Number".
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Highly Composite Number".
Algorithm for computing Highly Composite Numbers First 10000 Highly Composite Numbers as factors Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma, tau, factors Online Highly Composite Numbers Calculator 5040 and other Anti-Prime Numbers - Dr. James Grime by Dr. James Grime for Numberphile
Algorithm for computing Highly Composite Numbers First 10000 Highly Composite Numbers as factors Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors Online Highly Composite Numbers Calculator Templat:Kelas pembagi Templat:Kelas bilangan asli