In the mathematical field of geometric topology, the Poincaré conjecture (UK: , US: , French: [pwɛ̃kaʁe]) is a theorem about the characterization of the 3-sphere (the hypersphere that bounds the 4-ball in four-dimensional space).
Dalam ranah matematika khususnya topologi geometris, Konjektur Poincaré (UK , US , Prancis: [pwɛ̃kaʁe]) adalah sebuah teorema mengenai karakterisasi dari bola-3, yakni hipersfera yang menjadi batas dari bola satuan di dalam ruang empat dimensi.
Originally conjectured by Henri Poincaré in 1904, the theorem concerns spaces that locally look like ordinary three-dimensional Euclidean space but which are finite in extent.
Awalnya dikemukakan sebagai sebuah konjektur oleh Henri Poincaré pada tahun 1904, teorema ini membahas ruang-ruang yang secara lokal tampak seperti ruang tiga dimensi biasa, tetapi terbatas dan tidak tak-hingga.
Poincaré hypothesized that if such a space has the additional property that each loop in the space can be continuously tightened to a point, then it is necessarily a three-dimensional sphere.
Poincaré mengajukan dugaan bahwa bila sebuah ruang seperti itu memiliki sifat tambahan, yakni setiap lingkaran di dalamnya dapat disusutkan secara kontinu hingga menjadi sebuah titik, maka ruang tersebut niscaya adalah sebuah bola tiga dimensi.
Attempts to resolve the conjecture drove much progress in the field of geometric topology during the 20th century.
Upaya untuk membuktikan konjektur ini menjadi motor penggerak penting bagi kemajuan topologi geometris sepanjang abad ke-20.
The eventual proof built upon Richard S. Hamilton's program of using the Ricci flow to solve the problem.
Bukti akhirnya bertumpu pada program Richard S. Hamilton yang menggunakan aliran Ricci untuk menyelesaikan persoalan ini.
By developing a number of new techniques and results in the theory of Ricci flow, Grigori Perelman modified and completed Hamilton's program.
Dengan mengembangkan berbagai teknik dan hasil baru dalam teori aliran Ricci, Grigori Perelman berhasil menyempurnakan dan menyelesaikan program Hamilton.
In papers posted to the arXiv repository in 2002 and 2003, Perelman presented his work proving the Poincaré conjecture (and the more powerful geometrization conjecture of William Thurston).
Dalam serangkaian makalah yang ia unggah ke repositori arXiv pada tahun 2002 dan 2003, Perelman memaparkan karyanya yang membuktikan Konjektur Poincaré (serta konjektur geometrisasi yang lebih luas dari William Thurston).
Hamilton and Perelman's work on the conjecture is widely recognized as a milestone of mathematical research.
Karya Hamilton dan Perelman mengenai konjektur ini diakui luas sebagai tonggak bersejarah dalam penelitian matematika.
Hamilton was recognized with the Shaw Prize in 2011 and the Leroy P. Steele Prize for Seminal Contribution to Research in 2009.
Hamilton dianugerahi Shaw Prize pada tahun 2011 dan Leroy P. Steele Prize for Seminal Contribution to Research pada tahun 2009.
The journal Science marked Perelman's proof of the Poincaré conjecture as the scientific Breakthrough of the Year in 2006.
Jurnal Science menobatkan bukti Perelman atas Konjektur Poincaré sebagai Terobosan Ilmiah Tahun Ini pada 2006.
The Clay Mathematics Institute, having included the Poincaré conjecture in their well-known Millennium Prize Problem list, offered Perelman their prize of US$1 million in 2010 for the conjecture's resolution.
Clay Mathematics Institute, yang sebelumnya telah memasukkan Konjektur Poincaré dalam daftar bergengsi Masalah Hadiah Milenium, menawarkan hadiah sebesar US$1 juta pada tahun 2010 atas keberhasilan penyelesaiannya.
He declined the award, saying that Hamilton's contribution had been equal to his own.
Namun, ia menolak penghargaan tersebut, dengan alasan bahwa kontribusi Hamilton sama besarnya dengan miliknya.
The Poincaré conjecture was a mathematical problem in the field of geometric topology.
Konjektur Poincaré merupakan sebuah persoalan besar dalam bidang topologi geometris.
Every three-dimensional topological manifold which is closed, connected, and has trivial fundamental group is homeomorphic to the three-dimensional sphere.
Setiap lipatan topologis berdimensi tiga yang tertutup, terhubung, dan mempunyai grup fundamental trivial adalah homeomorfik dengan bola berdimensi tiga.
Familiar shapes, such as the surface of a ball (which is known in mathematics as the two-dimensional sphere) or of a torus, are two-dimensional.
Bentuk-bentuk yang familiar, seperti permukaan sebuah bola (yang dalam matematika disebut sebagai sfera berdimensi dua) atau sebuah torus, sesungguhnya adalah dua dimensi.
The surface of a ball has trivial fundamental group, meaning that any loop drawn on the surface can be continuously deformed to a single point.
Permukaan bola memiliki grup fundamental trivial, artinya setiap lintasan pada permukaan dapat disusutkan secara kontinu hingga menjadi satu titik.
Both are topological manifolds which are closed (meaning that they have no boundary and take up a finite region of space) and connected (meaning that they consist of a single piece).
Keduanya sama-sama lipatan topologis yang tertutup (tidak memiliki batas dan terbatas ruangnya) serta terhubung (tersusun dari satu kesatuan utuh).
Because the (non)triviality of the fundamental group is known to be invariant under homeomorphism, it follows that the two-dimensional sphere and torus are not homeomorphic.
Karena trivialitas grup fundamental diketahui tetap terjaga di bawah homeomorfisme, maka sfera dua dimensi dan torus jelas tidaklah homeomorfik.
The two-dimensional analogue of the Poincaré conjecture says that any two-dimensional topological manifold which is closed and connected but non-homeomorphic to the two-dimensional sphere must possess a loop which cannot be continuously contracted to a point.
Analogi dua dimensi dari Konjektur Poincaré menyatakan bahwa setiap lipatan topologis dua dimensi yang tertutup dan terhubung, tetapi tidak homeomorfik dengan sfera dua dimensi, pasti memiliki sebuah lintasan yang tidak bisa disusutkan menjadi titik.
This analogue is known to be true via the classification of closed and connected two-dimensional topological manifolds, which was understood in various forms since the 1860s.
Analogi tersebut diketahui benar, melalui klasifikasi lipatan topologis dua dimensi yang tertutup dan terhubung, suatu hasil yang telah dipahami dalam berbagai bentuk sejak dekade 1860-an.
In higher dimensions, the closed and connected topological manifolds do not have a straightforward classification, precluding an easy resolution of the Poincaré conjecture.
Namun, pada dimensi lebih tinggi, lipatan topologis tertutup dan terhubung tidak memiliki klasifikasi yang mudah, sehingga penyelesaian Konjektur Poincaré pun tidak dapat ditempuh dengan cara sederhana.
In the 1800s, Bernhard Riemann and Enrico Betti initiated the study of topological invariants of manifolds.
Pada abad ke-19, Bernhard Riemann dan Enrico Betti memulai kajian tentang invarian topologi dari lipatan.
Riemann showed that a closed connected two-dimensional manifold is fully characterized by its Betti numbers.
Riemann menunjukkan bahwa sebuah lipatan dua dimensi yang tertutup dan terhubung dapat sepenuhnya ditentukan melalui bilangan Betti-nya.
As part of his 1895 paper Analysis Situs (announced in 1892), Poincaré showed that Riemann's result does not extend to higher dimensions.
Sebagai bagian dari makalahnya pada tahun 1895 Analysis Situs (yang pertama kali diumumkan pada 1892), Poincaré menunjukkan bahwa hasil Riemann tidak dapat diperluas begitu saja ke dimensi yang lebih tinggi.
To do this he introduced the fundamental group as a novel topological invariant, and exhibited examples of three-dimensional manifolds which have the same Betti numbers but distinct fundamental groups.
Untuk itu, ia memperkenalkan grup fundamental sebagai invarian topologis baru, dan menunjukkan contoh lipatan tiga dimensi yang memiliki bilangan Betti sama tetapi grup fundamental berbeda.
The primary purpose of Poincaré's paper was the interpretation of the Betti numbers in terms of his newly introduced homology groups, along with the Poincaré duality theorem on the symmetry of Betti numbers.
Tujuan utama makalah Poincaré adalah menafsirkan bilangan Betti melalui grup homologi yang baru diperkenalkannya, bersama dengan teorema dualitas Poincaré tentang simetri bilangan Betti.
Following criticism of the completeness of his arguments, he released a number of subsequent "supplements" to enhance and correct his work.
Setelah menerima kritik atas kelemahan argumennya, ia menerbitkan sejumlah “tambahan” (supplements) untuk memperbaiki dan memperdalam pekerjaannya.
(In a modern language, taking note of the fact that Poincaré is using the terminology of simple-connectedness in an unusual way, this says that a closed connected oriented manifold with the homology of a sphere must be homeomorphic to a sphere.)
(Dengan bahasa modern, mengingat Poincaré menggunakan istilah sederhana terhubung dengan makna yang berbeda dari sekarang, maksudnya adalah: sebuah lipatan terhubung dan tertutup yang terorientasi, dengan homologi sama seperti sfera, haruslah homeomorfik dengan sfera.)
This modified his negative generalization of Riemann's work in two ways.
Rumusan ini mengubah generalisasi negatifnya atas karya Riemann dengan dua cara.
Firstly, he was now making use of the full homology groups and not only the Betti numbers.
Pertama, kini ia menggunakan grup homologi penuh, bukan sekadar bilangan Betti.
Secondly, he narrowed the scope of the problem from asking if an arbitrary manifold is characterized by topological invariants to asking whether the sphere can be so characterized.
Kedua, ia mempersempit ruang masalah dari pertanyaan apakah lipatan sebarang dapat ditentukan oleh invarian topologis, menjadi apakah sfera dapat dikarakterisasi demikian.
However, after publication he found his announced theorem to be incorrect.
Namun, setelah dipublikasikan ia menyadari bahwa teorema yang ia umumkan itu keliru.
In his fifth and final supplement, published in 1904, he proved this with the counterexample of the Poincaré homology sphere, which is a closed connected three-dimensional manifold which has the homology of the sphere but whose fundamental group has 120 elements.
Dalam tambahan kelimanya, yang terbit pada 1904, ia membuktikan kekeliruan tersebut lewat contoh tandingan berupa sfera homologi Poincaré, yakni lipatan tiga dimensi tertutup dan terhubung yang memiliki homologi sama seperti sfera, tetapi grup fundamentalnya terdiri atas 120 elemen.
This example made it clear that homology is not powerful enough to characterize the topology of a manifold.
Contoh ini memperlihatkan dengan jelas bahwa homologi saja tidak cukup kuat untuk mengkarakterisasi topologi sebuah lipatan.
In the closing remarks of the fifth supplement, Poincaré modified his erroneous theorem to use the fundamental group instead of homology:
Dalam penutup tambahan kelima itu, Poincaré merevisi teorema keliru tersebut dengan mengganti homologi menggunakan grup fundamental: Satu pertanyaan tersisa: mungkinkah grup fundamental dari V mereduksi menjadi identitas tanpa V itu sendiri sederhana terhubung?
[...] However, this question would carry us too far away.
Namun, pertanyaan ini akan membawa kita terlalu jauh.
In this remark, as in the closing remark of the second supplement, Poincaré used the term "simply connected" in a way which is at odds with modern usage, as well as his own 1895 definition of the term.
Dalam pernyataan itu, sebagaimana juga pada penutup tambahan keduanya, Poincaré menggunakan istilah “sederhana terhubung” dengan cara yang tidak sejalan dengan pemakaian modern, bahkan berbeda dengan definisinya sendiri pada 1895.
However, as can be inferred from context, Poincaré was asking whether the triviality of the fundamental group uniquely characterizes the sphere.
Namun, dari konteks dapat dipahami, bahwa Poincaré sejatinya menanyakan: apakah trivialitas grup fundamental cukup untuk mengkarakterisasi sfera?
Throughout the work of Riemann, Betti, and Poincaré, the topological notions in question are not defined or used in a way that would be recognized as precise from a modern perspective.
Sepanjang karya Riemann, Betti, dan Poincaré, gagasan topologis yang mereka gunakan belumlah didefinisikan atau dipakai dengan ketepatan seperti dalam pandangan modern.
For this reason, it is not possible to read Poincaré's questions unambiguously.
Karena itu, pertanyaan Poincaré tidak bisa dibaca secara gamblang tanpa ambiguitas.
It is only through the formalization and vocabulary of topology as developed by later mathematicians that Poincaré's closing question has been understood as the "Poincaré conjecture" as stated in the preceding section.
Baru melalui formalisasi dan perbendaharaan istilah topologi yang dikembangkan matematikawan kemudianlah pertanyaan penutup Poincaré dipahami sebagai “Konjektur Poincaré” seperti yang telah dirumuskan dalam bagian sebelumnya.
However, despite its usual phrasing in the form of a conjecture, proposing that all manifolds of a certain type are homeomorphic to the sphere, Poincaré only posed an open-ended question, without venturing to conjecture one way or the other.
Namun, meski lazim dikenal sebagai sebuah konjektur — yakni usulan bahwa semua lipatan dengan sifat tertentu adalah homeomorfik dengan sfera — Poincaré sendiri sejatinya hanya mengajukan pertanyaan terbuka, tanpa pernah berani menebak jawabannya.
Moreover, there is no evidence as to which way he believed his question would be answered.
Lebih jauh, tidak ada bukti yang menunjukkan arah jawaban mana yang sebenarnya ia yakini.