In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M. Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary).
Dalam analisis matematika, sebuah ruang metrik M disebut lengkap (atau ruang Cauchy) jika setiap barisan Cauchy dari titik-titik di M memiliki limit yang juga ada di M atau, sebagai alternatif, jika setiap barisan Cauchy pada M dengan M. Secara intuitif, suatu ruang dikatakan "lengkap" apabila tidak ada "titik yang hilang" darinya (di dalam atau di perbatasan).
For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g. 2 }} is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it (see further examples below).
Misalnya, himpunan bilangan rasional tidak lengkap, karena, sebagai contoh, 2 }} adalah "hilang" darinya, meskipun seseorang dapat membangun suatu barisan Cauchy dari bilangan rasional yang konvergen menuju 2 }} itu (lihat contoh lebih lanjut di bawah).
The space Q } of rational numbers, with the standard metric given by the absolute value of the difference, is not complete.
Ruang Q dari bilangan rasional dengan metrik standar yang diberikan oleh nilai mutlak dari selisih bukanlah ruang metrik lengkap.
This is a Cauchy sequence of rational numbers, but it does not converge towards any rational limit: If the sequence did have a limit x , then by solving xx 2 + 1 x {2}}+{\frac {1}{x}}} necessarily x 22 ,2,} yet no rational number has this property.
={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.} Barisan ini adalah barisan bilangan rasional Cauchy, tetapi tidak konvergen menuju limit rasional apa pun: Jika deret itu memang memiliki limit x, maka dengan menyelesaikan xx 2 + 1 x {2}}+{\frac {1}{x}}} , haruslah x22, tetapi tiada bilangan rasional yang memiliki sifat ini.
However the closed interval [0,1] is complete; for example the given sequence does have a limit in this interval, namely zero.
Namun pada interval tertutup [ 0,1]; barisan tersebut memiliki limit dalam interval ini dan limitnya adalah nol.
The space R } of real numbers and the space C } of complex numbers (with the metric given by the absolute difference) are complete, and so is Euclidean space R n ^{n}} , with the usual distance metric.
Ruang R dari bilangan real dan spasi C dari bilangan kompleks (dengan metrik yang diberikan oleh nilai absolut) lengkap, dan begitu pula ruang Euklides Rn, dengan metrik jarak biasa.
In contrast, infinite-dimensional normed vector spaces may or may not be complete; those that are complete are Banach spaces.
Sebaliknya, ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga mungkin lengkap atau tidak lengkap; yang lengkap adalah ruang Banach.
The space C[a, b] of continuous real-valued functions on a closed and bounded interval is a Banach space, and so a complete metric space, with respect to the supremum norm.
Ruang C[a, b] dari fungsi bernilai riil kontinu pada interval tertutup dan terbatas adalah ruang Banach, dan ruang metrik kompleks.
However, the supremum norm does not give a norm on the space C(a, b) of continuous functions on (a, b), for it may contain unbounded functions.
Namun norma supremum tidak memberikan norma pada ruang C(a, b) fungsi kontinu (a, b), karena mungkin berisi fungsi tak terbatas.
Instead, with the topology of compact convergence, C(a, b) can be given the structure of a Fréchet space: a locally convex topological vector space whose topology can be induced by a complete translation-invariant metric.
Sebaliknya, dengan topologi konvergensi komplek, C(a, b) dapat diberikan struktur Ruang Fréchet: ruang vektor topologi cembung lokal yang topologinya dapat diinduksi oleh metrik invarian-translasi lengkap.
The space Qp of p-adic numbers is complete for any prime number p .
Ruang Qp of bilangan p-adic selesai untuk semua bilangan prima p.
This space completes Q with the p-adic metric in the same way that R completes Q with the usual metric.
Ruang ini melengkapi Q dengan p -metrik adic dengan cara yang sama seperti R melengkapi Q dengan metrik biasa.
If A ⊆ X is a complete subspace, then A is also closed.
Jika A ⊆ X adalah subruang kompleks, maka A tertutup.
If X is a set and M is a complete metric space, then the set B ( X , M ) of all bounded functions f from X to M is a complete metric space.
Jika X adalah himpunan dan M adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan B(X, M) dari semua fungsi terbatas f dari X hingga M adalah ruang metrik lengkap.
Here we define the distance in B ( X , M ) in terms of the distance in M with the supremum norm d ( f , g ) ≡ sup { d
Di sini kami mendefinisikan jarak dalam B(X, M) dalam hal jarak di M dengan norma supremum d ( f , g ) ≡ sup { d
[ f ( x ) , g ( x ) ] : x ∈ X } } If X is a topological space and M is a complete metric space, then the set C b ( X , M ) (X,M)} consisting of all continuous bounded functions f : X → M is a closed subspace of B ( X , M ) and hence also complete.
Jika X adalah ruang topologi dan M adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan Cb(X, M) terdiri dari semua kontinu fungsi yang dibatasi f dari X hingga M adalah subruang tertutup dari {{math|B(X, M).
The Baire category theorem says that every complete metric space is a Baire space.
Teorema kategori Baire mengatakan bahwa setiap ruang metrik lengkap adalah ruang Baire.
That is, the union of countably many nowhere dense subsets of the space has empty interior.
Yaitu, gabungan dari terhitung banyak tempat padat himpunan bagian ruang memiliki interior kosong.
The Banach fixed-point theorem states that a contraction mapping on a complete metric space admits a fixed point.
Teorema titik tetap Banach menyatakan bahwa pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap mengakui titik tetap.
For any metric space M, it is possible to construct a complete metric space M′ (which is also denoted as M ¯ }} ), which contains M as a dense subspace.
Untuk setiap ruang metrik M , seseorang dapat membuat ruang metrik lengkap M ′
For any two Cauchy sequences x ∙( x n )\left(x_{n}\right)} and y ∙( y n )\left(y_{n}\right)} in M, we may define their distance as d ( x ∙ , y ∙ )
Untuk dua barisan Cauchy x(xn) dan y(yn) di M , kita dapat mendefinisikan jarak mereka sebagai d ( x , y )
lim n d ( x n , y n ) ,y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)} (This limit exists because the real numbers are complete.)
lim n d ( x n , y n ) d\left(x_{n},y_{n}\right)} (Batas ini ada karena bilangan real lengkap.)
This is only a pseudometric, not yet a metric, since two different Cauchy sequences may have the distance 0.
Ini hanya pseudometrik, belum menjadi metrik, karena dua barisan Cauchy yang berbeda mungkin memiliki jarak 0.