As a solution, Hilbert proposed to ground all existing theories to a finite, complete set of axioms, and provide a proof that these axioms were consistent.
Sebagai tanggapan, Hilbert mengusulkan untuk mendasarkan semua teori matematika pada satu set aksioma terbatas yang lengkap dan memberikan bukti bahwa aksioma-aksioma ini konsisten.
Hilbert proposed that the consistency of more complicated systems, such as real analysis, could be proven in terms of simpler systems.
Hilbert berpendapat bahwa konsistensi sistem yang lebih kompleks, seperti analisis real, dapat dibuktikan dengan menggunakan sistem yang lebih sederhana.
Ultimately, the consistency of all of mathematics could be reduced to basic arithmetic.
Pada akhirnya, ia menyatakan bahwa konsistensi seluruh matematika dapat direduksi menjadi aritmetika dasar.
Gödel's incompleteness theorems, published in 1931, showed that Hilbert's program was unattainable for key areas of mathematics.
Teorema ketidaklengkapan Gödel, yang diterbitkan pada tahun 1931, menunjukkan bahwa program Hilbert tidak dapat dicapai untuk bidang-bidang utama matematika.
In his first theorem, Gödel showed that any consistent system with a computable set of axioms which is capable of expressing arithmetic can never be complete: it is possible to construct a statement that can be shown to be true, but that cannot be derived from the formal rules of the system.
Dalam teorema pertamanya, Gödel menunjukkan bahwa setiap sistem yang konsisten dengan serangkaian aksioma yang dapat dihitung yang mampu mengekspresikan aritmetika tidak akan pernah lengkap: adalah mungkin untuk membangun pernyataan yang dapat dibuktikan benar, tetapi itu tidak dapat diturunkan dari aturan formal sistem.
In his second theorem, he showed that such a system could not prove its own consistency, so it certainly cannot be used to prove the consistency of anything stronger with certainty.
Dalam teorema keduanya, ia menunjukkan bahwa sistem seperti itu tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri, sehingga tentu saja tidak dapat digunakan untuk membuktikan konsistensi sesuatu yang lebih kuat dengan pasti.
This refuted Hilbert's assumption that a finitistic system could be used to prove the consistency of itself, and therefore could not prove everything else.
Ini menyangkal asumsi Hilbert bahwa sistem finitistik dapat digunakan untuk membuktikan konsistensi dirinya sendiri, dan karena itu hal lain.
The main goal of Hilbert's program was to provide secure foundations for all mathematics.
Tujuan utama dari program Hilbert adalah untuk memberikan dasar yang aman untuk semua matematika.
In particular, this should include: A formulation of all mathematics; in other words all mathematical statements should be written in a precise formal language, and manipulated according to well defined rules.
Sebuah formalisasi semua matematika, dengan kata lain semua pernyataan matematika harus ditulis dalam bahasa formal yang tepat, dan dimanipulasi sesuai dengan aturan yang ditetapkan dengan baik.
Completeness: a proof that all true mathematical statements can be proved in the formalism.
Kelengkapan: bukti bahwa semua pernyataan matematika yang benar dapat dibuktikan dalam formalisme.
Consistency: a proof that no contradiction can be obtained in the formalism of mathematics.
Konsistensi: bukti bahwa tidak ada kontradiksi dapat diperoleh dalam formalisme matematika.
This consistency proof should preferably use only "finitistic" reasoning about finite mathematical objects.
Bukti konsistensi ini sebaiknya harus menggunakan hanya "finitistic" penalaran tentang objek matematika yang terbatas.