Every positive number x has two square roots: x }} (which is positive) and − x }} (which is negative).
Setiap bilangan positif x memiliki dua akar kuadrat.
The two roots can be written more concisely using the ± sign as ± x }} .
Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan ± x }} .
The principal square root function f ( x )x }} (usually just referred to as the "square root function") is a function that maps the set of nonnegative real numbers onto itself.
Fungsi akar kuadrat utama f ( x )x }} (biasanya hanya disebut sebagai "fungsi akar kuadrat") adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real taknegatif R+ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal.
For all real numbers x, x 2| x |{ x , if x ≥ 0 − x , if x < 0. }}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}} (see absolute value).
Untuk setiap bilangan real x x 2| x |{ x , if x ≥ 0 − x , if x < 0. }}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}} (lihat nilai absolut) Untuk setiap bilangan real taknegatif x dan y, x yx y }={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}} dan xx 1 / 2 .
}=x^{1/2}.} The square root function is continuous for all nonnegative x, and differentiable for all positive x.
}=x^{1/2}.} Fungsi akar kuadrat adalah kontinu untuk setiap bilangan taknegatif x dan terdiferensialkan untuk setiap bilangan positif x. Turunannya diberikan oleh f ′ ( x )1 2 x .
x n1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − 5 128 x 4 + ⋯ , }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,} The square root of a nonnegative number is used in the definition of Euclidean norm (and distance), as well as in generalizations such as Hilbert spaces.
{2{\sqrt {x}}}}.} Deret Taylor dari √1 + x di dekat x0 konvergen ke | x | < 1 dan diberikan oleh 1 + x1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − 5 128 x 4 + … }=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!} Bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif, dan satu negatif, yang berlawanan satu sama lain.
When talking of the square root of a positive integer, it is usually the positive square root that is meant.
Ketika berbicara tentang akar kuadrat dari bilangan bulat positif, biasanya yang dimaksud adalah akar kuadrat positif.
The square root of a positive integer is the product of the roots of its prime factors, because the square root of a product is the product of the square roots of the factors.
Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari akar faktor prima, karena akar kuadrat dari suatu perkalian adalah hasil kali dari akar kuadrat faktor.
Since p 2 kp k , {\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},} only roots of those primes having an odd power in the factorization are necessary.
Maka p 2 kp k , }}=p^{k},} hanya akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil dalam faktorisasi yang diperlukan.
More precisely, the square root of a prime factorization is p 1 2 e 1 + 1 ⋯ p k 2 e k + 1 p k + 1 2 e k + 1 … p n 2 e np 1 e 1 … p n e n p 1 … p k .
Lebih tepatnya, akar kuadrat dari faktorisasi prima adalah p 1 2 e 1 + 1 ⋯ p k 2 e k + 1 p k + 1 2 e k + 1 … p n 2 e np 1 e 1 … p n e n p 1 … p k .
^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.} The square roots of the perfect squares (e.g., 0, 1, 4, 9, 16) are integers.
^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.} Akar kuadrat dari kuadrat sempurna s (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat.
In all other cases, the square roots of positive integers are irrational numbers, and therefore have non-repeating digits in any standard positional notation system.
Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional s, dan oleh karena itu memiliki digit yang tidak berulang dalam sistem notasi posisi standar.
The square roots of small integers are used in both the SHA-1 and SHA-2 hash function designs to provide nothing up my sleeve numbers.
Akar kuadrat dari bilangan bulat kecil digunakan di kedua desain fungsi hash SHA-1 dan SHA-2 untuk memberikan tidak ada bilangan lengan.
In a sense these square roots are the very simplest irrational numbers, because they can be represented with a simple repeating pattern of integers.
Dalam arti tertentu, akar kuadrat ini adalah bilangan irasional yang paling sederhana, karena mereka dapat direpresentasikan dengan pola berulang sederhana dari bilangan bulat.
Written in the more suggestive algebraic form, the simple continued fraction for the square root of 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], looks like this: 113 + 1 3 + 1 6 + 1 3 + 1 6 + 1 3 + ⋱ }=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}} where the two-digit pattern {3, 6} repeats over and over again in the partial denominators.
Ditulis dalam bentuk aljabar yang lebih sugestif, pecahan lanjutan sederhana untuk akar kuadrat dari 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], terlihat seperti ini: 113 + 1 3 + 1 6 + 1 3 + 1 6 + 1 3 + ⋱ }=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}} di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial.
Since 1132 + 2, the above is also identical to the following generalized continued fractions: 113 + 2 6 + 2 6 + 2 6 + 2 6 + 2 6 + ⋱3 + 6 20 − 1 − 1 20 − 1 20 − 1 20 − 1 20 − ⋱ .
Karena 1132 + 2, di atas juga identik dengan pecahan lanjutan umum: 113 + 2 6 + 2 6 + 2 6 + 2 6 + 2 6 + ⋱3 + 6 20 − 1 − 1 20 − 1 20 − 1 20 − 1 20 − ⋱ .
}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.} Square roots of positive numbers are not in general rational numbers, and so cannot be written as a terminating or recurring decimal expression.
}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}Akar kuadrat dari bilangan negatif dan kompleks
The time complexity for computing a square root with n digits of precision is equivalent to that of multiplying two n-digit numbers.
Kompleksitas waktu untuk menghitung akar kuadrat dengan n angka ketelitian setara dengan perkalian dua bilangan yang memiliki n-angka.
Therefore, no negative number can have a real square root.
Oleh karena itu, tidak ada bilangan negatif yang dapat memiliki akar kuadrat nyata.
However, it is possible to work with a more inclusive set of numbers, called the complex numbers, that does contain solutions to the square root of a negative number.
Namun, dimungkinkan untuk bekerja dengan himpunan bilangan yang lebih inklusif, yang disebut bilangan kompleks s, yang memang berisi solusi untuk akar kuadrat dari bilangan negatif.
This is done by introducing a new number, denoted by i (sometimes by j, especially in the context of electricity where i traditionally represents electric current) and called the imaginary unit, which is defined such that i2−1.
i (terkadang j , terutama dalam konteks listrik di mana " i " secara tradisional mewakili arus listrik) dan disebut unit imajiner, yang didefinisikan sedemikian rupa i2−1.
Using this notation, we can think of i as the square root of −1, but we also have (−i)2i2−1
Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggap i sebagai akar kuadrat dari −1, tetapi kita juga punya (−i)2i2−1 dan jadi - i juga merupakan akar kuadrat dari −1.
By convention, the principal square root of −1 is i, or more generally, if x is any nonnegative number, then the principal square root of −x is − xi x .
Berdasarkan konvensi, akar kuadrat utama dari −1 adalah i , atau lebih umum lagi, jika x adalah bilangan nonnegatif apa pun, akar kuadrat utama dari x adalah − xi x . }=i{\sqrt {x}}.} Ruas kanan (dan juga negatifnya) memang merupakan akar kuadrat dari x , maka ( i x ) 2i 2 ( x ) 2( − 1 ) x− x .
x− x . })^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.} For every non-zero complex number z there exist precisely two numbers w such that w2z: the principal square root of z (defined below), and its negative.
})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.} Untuk setiap bilangan kompleks bukan nol z terdapat tepat dua bilangan w sedemikian rupa w2z: akar kuadrat utama dari z (didefinisikan di bawah), dan negatifnya.
The same point may be reinterpreted using polar coordinates as the pair ( r , φ ) , where r ≥ 0 is the distance of the point from the origin, and φ is the angle that the line from the origin to the point makes with the positive real ( x ) axis.
Titik yang sama dapat diinterpretasikan ulang menggunakan koordinat polar sebagai pasangan ( r , φ ), di mana r ≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan φ adalah sudut yang dibuat oleh garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata ( x ).
In complex analysis, the location of this point is conventionally written r e i φ .
Dalam analisis kompleks, lokasi titik ini ditulis secara konvensional r e i φ .
If zr e i φ with − π < φ ≤ π , {\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,} then the principal square root of z is defined to be the following: zr e i φ / 2 .
<\varphi \leq \pi ,} kemudian kita tentukan akar kuadrat utama dari z sebagai berikut: zr e i φ / 2 .
}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.} The principal square root function is thus defined using the non-positive real axis as a branch cut.
}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.} Fungsi akar kuadrat utama didefinisikan dengan menggunakan sumbu riil nonpositif sebagai potongan cabang.
The above Taylor series for 1 + x }} remains valid for complex numbers x with | x | < 1.
Deret Taylor di atas untuk 1 + x }} tetap berlaku untuk bilangan kompleks x dengan |x| <
The above can also be expressed in terms of trigonometric functions: r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ )
1. Di atas juga dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri: r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ )
}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.} In the following, the complex z and w may be expressed as: z| z | e i θ z }} w| w | e i θ w }} where − π < θ z ≤ π \leq \pi } and − π < θ w ≤ π \leq \pi } .
<\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi } z ∗( z ) ∗ }}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}} (contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: z−1) Persamaan ini hanya valid jika θ z ≠ π \neq \pi } Masalah serupa muncul dengan fungsi kompleks lainnya dengan pemotongan cabang, misalnya, logaritma kompleks dan relasi logz + logwlog(zw) or log(z*)log(z)
Because of the discontinuous nature of the square root function in the complex plane, the following laws are not true in general.
Karena sifat terputus-putus dari fungsi akar kuadrat dalam bidang kompleks, hukum berikut ini adalah tidak benar secara umum.
<\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi } w zw z }{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}} Counterexample for the principal square root: w1 and z−1
<\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi } w zw z }{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}} (counterexample untuk akar kuadrat utama: w1 dan z−1) Persamaan ini hanya berlaku jika − π < θ w − θ z ≤ π {\displaystyle -\pi
This equality is valid only when − π < θ w − θ z ≤ π -\theta _{z}\leq \pi } z ∗( z ) ∗ }}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}} Counterexample for the principal square root: z−1)
<\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi } z ∗( z ) ∗ }}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}} (contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: z−1) Persamaan ini hanya valid jika θ z ≠ π \neq \pi } Masalah serupa muncul dengan fungsi kompleks lainnya dengan pemotongan cabang, misalnya, logaritma kompleks dan relasi logz + logwlog(zw) or log(z*)log(z)
Wrongly assuming one of these laws underlies several faulty "proofs", for instance the following one showing that −11: − 1i ⋅ i− 1 ⋅ − 1( − 1 ) ⋅ ( − 1 )
Salah mengasumsikan salah satu dari undang-undang ini mendasari beberapa "bukti" yang salah, misalnya yang berikut menunjukkan itu −11: − 1i ⋅ i− 1 ⋅ − 1( − 1 ) ⋅ ( − 1 )
11. -1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1.\end{aligned}}} The third equality cannot be justified (see invalid proof).
11 -1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1\end{aligned}}} Persamaan ketiga tidak dapat dibenarkan (lihat bukti tidak sah).
It can be made to hold by changing the meaning of √ so that this no longer represents the principal square root (see above) but selects a branch for the square root that contains 1 ⋅ − 1 .
Ini dapat dibuat untuk menahan dengan mengubah arti dari √ sehingga ini tidak lagi mewakili akar kuadrat utama (lihat di atas) tetapi memilih cabang untuk akar kuadrat yang mengandung 1 ⋅ − 1 .
}\cdot {\sqrt {-1}}.} The left-hand side becomes either − 1 ⋅ − 1i ⋅ i− 1 }\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1} if the branch includes +i or − 1 ⋅ − 1( − i ) ⋅ ( − i )− 1 }\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1} if the branch includes −i, while the right-hand side becomes ( − 1 ) ⋅ ( − 1 )
}\cdot {\sqrt {-1}}.} Sisi kiri menjadi salah satunya − 1 ⋅ − 1i ⋅ i− 1 }\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1} jika cabang menyertakan + i atau − 1 ⋅ − 1( − i ) ⋅ ( − i )− 1 }\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1} jika cabang termasuk - i , sedangkan sisi kanan menjadi ( − 1 ) ⋅ ( − 1 )
1− 1 , }={\sqrt {1}}=-1,} where the last equality, 1− 1 , }=-1,} is a consequence of the choice of branch in the redefinition of √. The definition of a square root of x as a number y such that y 2xx} has been generalized in the following way.
1− 1 , }={\sqrt {1}}=-1,} di mana persamaan terakhir, 1− 1 , }=-1,} adalah konsekuensi dari pemilihan cabang dalam definisi ulang √. Definisi akar kuadrat dari x sebagai angka y sedemikian rupa sehingga y 2xx} telah digeneralisasikan dengan cara berikut.
If n is an integer greater than two, a n-th root of x is a number y such that y nxx} ; it is denoted x n .
Jika n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari dua, n akar ke dari x adalah angka y seperti y nxx} ; dilambangkan x n .
Given any polynomial p, a root of p is a number y such that p(y)0.
]{x}}.} Mengingat polinomial p , sebuah akar dari p adalah bilangan y seperti yang p(y)
For example, the nth roots of x are the roots of the polynomial (in y)
Misalnya, akar ke n dari x adalah akar dari polinomial (pada y)
-x.} Abel–Ruffini theorem states that, in general, the roots of a polynomial of degree five or higher cannot be expressed in terms of nth roots.
-x.} Teorema Abel–Ruffini menyatakan bahwa, secara umum, akar suatu polinomial berderajat lima atau lebih tinggi tidak dapat diekspresikan dalam istilah akar ke n.
In fact, the set of square roots of −1 is exactly { a i + b j + c k ∣ a 2 + b 2 + c 21 } .
Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggap i sebagai akar kuadrat dari −1, tetapi kita juga punya (−i)2i2−1 dan jadi - i juga merupakan akar kuadrat dari −1.