In mathematical logic, model theory is the study of the relationship between formal theories (a collection of sentences in a formal language expressing statements about a mathematical structure), and their models (those structures in which the statements of the theory hold).
Dalam matematika, teori model adalah studi tentang hubungan antara teori formal (kumpulan kalimat dalam bahasa formal mengungkapkan pernyataan tentang struktur matematika), dan modelnya, diambil sebagai interpretasi yang memenuhi kalimat teori tersebut.
Examples for formulas are φ (or φ ( x ) to indicate x is the unbound variable in φ ) and ψ (or ψ ( x ) ), defined as follows: φ∀ u ∀ v ( ∃ w ( x × wu × v ) → ( ∃ w ( x × wu ) ∨ ∃ w ( x × wv ) ) ) ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 , ψ∀ u ∀ v ( ( u × vx ) → ( ux ) ∨ ( vx ) )
Contoh rumusnya adalah φ (atau φ (x) untuk menandai fakta bahwa paling banyak x adalah variabel tak terikat di φ) dan ψ didefinisikan sebagai berikut: φ∀ u ∀ v ( ∃ w ( x × wu × v ) → ( ∃ w ( x × wu ) ∨ ∃ w ( x × wv ) ) ) ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 , }
x\neq 1,\\\psi &=&\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.\end{array}}} (Note that the equality symbol has a double meaning here.)
∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1. {\displaystyle \psi \;=\;\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land
It is intuitively clear how to translate such formulas into mathematical meaning.
Jelas secara intuitif bagaimana menerjemahkan rumus tersebut ke dalam makna matematika.
N ⊨ ψ ( n ) ⟺ n }\models \psi (n)\iff n} is irreducible.
N ⊨ ψ ( n ) ⟺ n }\models \psi (n)\iff n} tidak direduksi.
A theory is satisfiable if it has a model M ⊨ T }\models T} , i.e. a structure (of the appropriate signature) which satisfies all the sentences in the set T .
Suatu teori memiliki model M ⊨ T }\models T} , yaitu sebuah struktur (dari tanda tangan yang sesuai) yang memenuhi semua kalimat dalam himpunan T .
A substructure A }} of a σ-structure B }} is a subset of its domain, closed under all functions in its signature σ, which is regarded as a σ-structure by restricting all functions and relations in σ to the subset.
Substruktur dari struktur σ adalah himpunan bagian dari domainnya, ditutup di bawah semua fungsi dalam tanda tangannya σ, yang dianggap sebagai struktur σ dengan membatasi semua fungsi dan relasi di σ ke subset.
An embedding of a σ-structure A }} into another σ-structure B }} is a map f: A → B between the domains which can be written as an isomorphism of A }} with a substructure of B }} .
A }} ke dalam struktur σ dengan B }} adalah peta f: A → B antara domain yang dapat ditulis sebagai isomorfisme dari A }} dengan substruktur B }} .
Every embedding is an injective homomorphism, but the converse holds only if the signature contains no relation symbols, such as in groups or fields.
Setiap embedding adalah homomorfisme injektif, tetapi kebalikannya hanya berlaku jika tanda tangan tidak berisi simbol relasi.
However, the weaker notion of κ-categoricity for a cardinal κ has become a key concept in model theory.
Namun, dua teorema teori model yang terkenal berurusan dengan gagasan yang lebih lemah tentang kategorisasi κ untuk sebuah kardinal κ.
A theory T is called κ-categorical if any two models of T that are of cardinality κ are isomorphic.
Sebuah teori T disebut κ-kategorikal jika ada dua model T yang berkardinalitas κ isomorfik.
It turns out that the question of κ-categoricity depends critically on whether κ is bigger than the cardinality of the language (i.e. ℵ 0 + | σ | +|\sigma |} , where |σ| is the cardinality of the signature).
Ternyata pertanyaan tentang kategorisasi κ sangat bergantung pada apakah κ lebih besar dari kardinalitas bahasa tersebut (yaitu ℵ 0 } + |σ|, di mana | σ | adalah kardinalitas dari tanda tangan).
However some earlier research, especially in mathematical logic, is often regarded as being of a model-theoretical nature in retrospect.
Namun beberapa penelitian sebelumnya, terutama dalam logika matematika, sering dianggap sebagai model-teoretis alam dalam retrospeksi.
The first significant result in what is now model theory was a special case of the downward Löwenheim–Skolem theorem, published by Leopold Löwenheim in 1915.
Hasil penting pertama dalam apa yang sekarang menjadi teori model adalah kasus khusus dari teorema Löwenheim–Skolem, yang diterbitkan oleh Leopold Löwenheim pada tahun 1915.
The Löwenheim–Skolem theorem and the compactness theorem received their respective general forms in 1936 and 1941 from Anatoly Maltsev.
Teorema Löwenheim–Skolem dan teorema kompak menerima bentuk umum masing-masing pada tahun 1936 dan 1941 dari Anatoly Maltsev.
Tarski's work included logical consequence, deductive systems, the algebra of logic, the theory of definability, and the semantic definition of truth, among other topics.
Karya Tarski termasuk konsekuensi logis, sistem deduktif, aljabar logika, teori definisi, dan definisi semantik kebenaran, di antara topik lainnya.
His semantic methods culminated in the model theory he and a number of his Berkeley students developed in the 1950s and '60s.
Metode semantiknya memuncak dalam teori model dia dan sejumlah Berkeley siswa berkembang pada 1950-an dan 60-an.
Prominent application areas of FMT are descriptive complexity theory, database theory and formal language theory.
Area aplikasi utama FMT adalah teori kompleksitas deskriptif, teori database dan teori bahasa formal.
Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.).
Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (Edisi 3rd).
ISBN 978-0-486-48821-9. Hodges, Wilfrid (1997).
ISBN 978-0-444-88054-3. Hodges, Wilfrid (1997).
Models and Ultraproducts: An Introduction (reprint of 1974 ed.).
Models and Ultraproducts: An Introduction (Edisi reprint of 1974).
ISBN 0-521-30442-3. Manzano, María (1989).
ISBN 0-521-30442-3. Manzano, María (1999).
Oxford University Press. 1999
Oxford University Press.
A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd ed.).
A Concise Introduction to Mathematical Logic (Edisi 3rd).
Introduction to Model Theory (new ed.).
Model Theory: An Introduction.