The root meaning of the word postulate is to "demand"; for instance, Euclid demands that one agree that some things can be done (e.g., any two points can be joined by a straight line).
Arti dasar dari kata postulat adalah "menuntut"; misalnya, Euclid menuntut agar seseorang setuju bahwa beberapa hal dapat dilakukan (misalnya, dua titik mana pun dapat digabungkan dengan garis lurus).
Ancient geometers maintained some distinction between axioms and postulates.
Geometri kuno mempertahankan beberapa perbedaan antara aksioma dan postulat.
Boethius translated 'postulate' as petitio and called the axioms notiones communes but in later manuscripts this usage was not always strictly kept.
Boethius menerjemahkan 'postulat' sebagai petitio dan menyebut aksioma notiones communes tetapi dalam manuskrip-manuskrip selanjutnya penggunaan ini tidak selalu dijaga dengan ketat.
The logico-deductive method whereby conclusions (new knowledge) follow from premises (old knowledge) through the application of sound arguments (syllogisms, rules of inference) was developed by the ancient Greeks, and has become the core principle of modern mathematics.
Metode logika-deduktif dimana kesimpulan (pengetahuan baru) mengikuti dari premis (pengetahuan lama) melalui penerapan argumen suara ( silogisme, aturan inferensi ) dikembangkan oleh orang Yunani kuno, dan telah menjadi prinsip inti matematika modern.
They are accepted without demonstration.
Mereka diterima tanpa demonstrasi.
All other assertions (theorems, in the case of mathematics) must be proven with the aid of these basic assumptions.
Semua pernyataan lain ( teorema, dalam kasus matematika) harus dibuktikan dengan bantuan asumsi dasar ini.
However, the interpretation of mathematical knowledge has changed from ancient times to the modern, and consequently the terms axiom and postulate hold a slightly different meaning for the present day mathematician, than they did for Aristotle and Euclid.
Namun, interpretasi pengetahuan matematika telah berubah dari zaman kuno ke modern, dan akibatnya istilah aksioma dan postulat memiliki arti yang sedikit berbeda untuk matematikawan masa kini, daripada yang mereka lakukan untuk Aristoteles dan Euclid.
The ancient Greeks considered geometry as just one of several sciences, and held the theorems of geometry on par with scientific facts.
Orang Yunani kuno menganggap geometri hanya sebagai salah satu dari beberapa ilmu pengetahuan, dan menganggap teorema geometri setara dengan fakta ilmiah.
As such, they developed and used the logico-deductive method as a means of avoiding error, and for structuring and communicating knowledge.
Dengan demikian, mereka mengembangkan dan menggunakan metode logika-deduktif sebagai sarana untuk menghindari kesalahan, dan untuk menyusun dan mengomunikasikan pengetahuan.
Aristotle's Posterior Analytics is a definitive exposition of the classical view.
Analisis posterior Aristoteles adalah eksposisi definitif dari pandangan klasik.
At the foundation of the various sciences lay certain additional hypotheses that were accepted without proof.
Di dasar berbagai ilmu terdapat hipotesis tambahan tertentu yang diterima tanpa bukti.
Such a hypothesis was termed a postulate.
Hipotesis semacam itu disebut postulat .
While the axioms were common to many sciences, the postulates of each particular science were different.
Sementara aksioma yang umum untuk banyak ilmu pengetahuan, postulat masing-masing ilmu tertentu berbeda.
Their validity had to be established by means of real-world experience.
Validitas mereka harus ditetapkan melalui pengalaman dunia nyata.
Aristotle warns that the content of a science cannot be successfully communicated if the learner is in doubt about the truth of the postulates.
Aristoteles memperingatkan bahwa isi suatu ilmu tidak dapat berhasil dikomunikasikan jika pelajar ragu-ragu tentang kebenaran postulat.
The classical approach is well-illustrated by Euclid's Elements, where a list of postulates is given (common-sensical geometric facts drawn from our experience), followed by a list of "common notions" (very basic, self-evident assertions).
Pendekatan klasik diilustrasikan dengan baik oleh Euclid's Elements, di mana daftar postulat diberikan (fakta geometris yang masuk akal diambil dari pengalaman kami), diikuti oleh daftar "gagasan umum" (sangat mendasar, self -pernyataan yang jelas).
It is possible to extend a line segment continuously in both directions.
Dimungkinkan untuk memperpanjang segmen garis secara terus menerus di kedua arah.
It is true that, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, intersect on that side on which are the angles less than the two right angles.
(" Postulat Sejajar ") Memang benar bahwa, jika garis lurus yang jatuh pada dua garis lurus membuat sudut-sudut dalam pada sisi yang sama kurang dari dua sudut siku-siku, dua garis lurus, jika dibuat tanpa batas, berpotongan pada sisi yang sudut yang lebih kecil dari dua sudut siku-siku.
Things which coincide with one another are equal to one another.
Hal-hal yang bertepatan satu sama lain adalah sama satu sama lain.
The whole is greater than the part.
Keseluruhan lebih besar daripada bagian.
One must concede the need for primitive notions, or undefined terms or concepts, in any study.
Seseorang harus mengakui perlunya gagasan primitif, atau istilah atau konsep yang tidak ditentukan, dalam studi apa pun.
Such abstraction or formalization makes mathematical knowledge more general, capable of multiple different meanings, and therefore useful in multiple contexts.
Abstraksi atau formalisasi semacam itu membuat pengetahuan matematika lebih umum, mampu memiliki banyak arti yang berbeda, dan oleh karena itu berguna dalam berbagai konteks.
Alessandro Padoa, Mario Pieri, and Giuseppe Peano were pioneers in this movement.
Alessandro Padoa, Mario Pieri, dan Giuseppe Peano adalah pionir dalam gerakan ini.
Structuralist mathematics goes further, and develops theories and axioms (e.g. field theory, group theory, topology, vector spaces) without any particular application in mind.
Matematika strukturalis melangkah lebih jauh, dan mengembangkan teori-teori dan aksioma (misalnya teori medan, teori grup, topologi, ruang vektor ) tanpa aplikasi tertentu dalam pikiran.
The postulates of Euclid are profitably motivated by saying that they lead to a great wealth of geometric facts.
Postulat-postulat Euclid dimotivasi secara menguntungkan dengan mengatakan bahwa postulat-postulat itu mengarah pada kekayaan besar fakta-fakta geometris.
The truth of these complicated facts rests on the acceptance of the basic hypotheses.
Kebenaran dari fakta-fakta rumit ini bertumpu pada penerimaan hipotesis dasar.
However, by throwing out Euclid's fifth postulate, one can get theories that have meaning in wider contexts (e.g., hyperbolic geometry).
Namun, dengan membuang postulat kelima Euclid, seseorang bisa mendapatkan teori yang memiliki makna dalam konteks yang lebih luas (misalnya, geometri hiperbolik ).
As such, one must simply be prepared to use labels such as "line" and "parallel" with greater flexibility.
Dengan demikian, seseorang harus siap untuk menggunakan label seperti "garis" dan "paralel" dengan fleksibilitas yang lebih besar.
The development of hyperbolic geometry taught mathematicians that it is useful to regard postulates as purely formal statements, and not as facts based on experience.
Perkembangan geometri hiperbolik mengajarkan matematikawan bahwa berguna untuk menganggap postulat sebagai pernyataan formal murni, dan bukan sebagai fakta berdasarkan pengalaman.
When mathematicians employ the field axioms, the intentions are even more abstract.
Ketika matematikawan menggunakan aksioma lapangan, niatnya bahkan lebih abstrak.
The propositions of field theory do not concern any one particular application; the mathematician now works in complete abstraction.
Proposisi teori medan tidak menyangkut satu aplikasi tertentu; matematikawan sekarang bekerja dalam abstraksi lengkap.
There are many examples of fields; field theory gives correct knowledge about them all.
Ada banyak contoh bidang; teori medan memberikan pengetahuan yang benar tentang mereka semua.
It is not correct to say that the axioms of field theory are "propositions that are regarded as true without proof."
Tidak benar untuk mengatakan bahwa aksioma teori medan adalah "proposisi yang dianggap benar tanpa bukti".
Modern mathematics formalizes its foundations to such an extent that mathematical theories can be regarded as mathematical objects, and mathematics itself can be regarded as a branch of logic.
Matematika modern memformalkan fondasinya sedemikian rupa sehingga teori matematika dapat dianggap sebagai objek matematika, dan matematika itu sendiri dapat dianggap sebagai cabang logika .
Frege, Russell, Poincaré, Hilbert, and Gödel are some of the key figures in this development.
Frege, Russell, Poincaré, Hilbert, dan Gödel adalah beberapa tokoh kunci dalam perkembangan ini.
Another lesson learned in modern mathematics is to examine purported proofs carefully for hidden assumptions.
Pelajaran lain yang dipelajari dalam matematika modern adalah memeriksa bukti-bukti yang diakui secara hati-hati untuk asumsi-asumsi yang tersembunyi.
In the modern understanding, a set of axioms is any collection of formally stated assertions from which other formally stated assertions follow – by the application of certain well-defined rules.
Dalam pemahaman modern, seperangkat aksioma adalah kumpulan pernyataan yang dinyatakan secara formal yang diikuti oleh pernyataan lain yang dinyatakan secara formal – dengan penerapan aturan tertentu yang terdefinisi dengan baik.
In this view, logic becomes just another formal system.
Dalam pandangan ini, logika hanya menjadi sistem formal lainnya.
It was the early hope of modern logicians that various branches of mathematics, perhaps all of mathematics, could be derived from a consistent collection of basic axioms.
Itu adalah harapan awal ahli logika modern bahwa berbagai cabang matematika, mungkin semua matematika, dapat diturunkan dari kumpulan aksioma dasar yang konsisten.
An early success of the formalist program was Hilbert's formalization of Euclidean geometry, and the related demonstration of the consistency of those axioms.
Keberhasilan awal dari program formalis adalah formalisasi Hilbert dari geometri Euclidean, dan demonstrasi terkait dari konsistensi aksioma tersebut.
In a wider context, there was an attempt to base all of mathematics on Cantor's set theory.
Dalam konteks yang lebih luas, ada upaya untuk mendasarkan semua matematika pada teori himpunan Cantor .
Here, the emergence of Russell's paradox and similar antinomies of naïve set theory raised the possibility that any such system could turn out to be inconsistent.
Di sini, munculnya paradoks Russell dan antinomi serupa dari teori himpunan naif meningkatkan kemungkinan bahwa sistem semacam itu bisa berubah menjadi tidak konsisten.
As a corollary, Gödel proved that the consistency of a theory like Peano arithmetic is an unprovable assertion within the scope of that theory.
Sebagai akibat wajar, Gödel membuktikan bahwa konsistensi teori seperti aritmetika Peano adalah pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dalam ruang lingkup teori itu.
It is reasonable to believe in the consistency of Peano arithmetic because it is satisfied by the system of natural numbers, an infinite but intuitively accessible formal system.
Masuk akal untuk percaya pada konsistensi aritmetika Peano karena dipenuhi oleh sistem bilangan asli, sistem formal yang tak terbatas tetapi dapat diakses secara intuitif.
However, at present, there is no known way of demonstrating the consistency of the modern Zermelo–Fraenkel axioms for set theory.
Namun, saat ini, tidak ada cara yang diketahui untuk menunjukkan konsistensi aksioma Zermelo–Fraenkel modern untuk teori himpunan.
In the field of mathematical logic, a clear distinction is made between two notions of axioms: logical and non-logical (somewhat similar to the ancient distinction between "axioms" and "postulates" respectively).
Di bidang logika matematika, perbedaan yang jelas dibuat antara dua pengertian aksioma: logis dan non-logis (agak mirip dengan perbedaan kuno antara "aksioma" dan "postulat" masing-masing).
Usually one takes as logical axioms at least some minimal set of tautologies that is sufficient for proving all tautologies in the language; in the case of predicate logic more logical axioms than that are required, in order to prove logical truths that are not tautologies in the strict sense.
Biasanya seseorang mengambil sebagai aksioma logis setidaknya beberapa tautologi minimal yang cukup untuk membuktikan semua tautologi dalam bahasa; dalam kasus logika predikat aksioma lebih logis dari yang diperlukan, untuk membuktikan kebenaran logis yang tidak tautologi dalam arti yang ketat.
→ ( ( ϕ → ψ ) → ( ϕ → χ ) ) ( ¬ ϕ → ¬ ψ ) → ( ψ → ϕ ) .
\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))} ( ¬ ϕ → ¬ ψ ) → ( ψ → ϕ ) .
For example, if A , B , and C are propositional variables, then A → ( B → A ) and ( A → ¬ B ) → ( C → ( A → ¬ B ) ) are both instances of axiom schema 1, and hence are axioms.
Misalnya, jika A , B , dan C adalah variabel proposisi, maka A → ( B → A ) dan ( A → ¬ B ) → ( C → ( A → ¬ B ) ) keduanya merupakan contoh dari skema aksioma 1, dan karenanya merupakan aksioma.
It can be shown that with only these three axiom schemata and modus ponens, one can prove all tautologies of the propositional calculus.
Dapat ditunjukkan bahwa hanya dengan tiga skema aksioma dan modus ponens, seseorang dapat membuktikan semua tautologi kalkulus proposisional.
It can also be shown that no pair of these schemata is sufficient for proving all tautologies with modus ponens.
Juga dapat ditunjukkan bahwa tidak ada pasangan skema ini yang cukup untuk membuktikan semua tautologi dengan modus ponens.
Axiomatic system Dogma First principle, axiom in science and philosophy List of axioms Model theory Regulæ Juris Theorem Presupposition Principle Mendelson, Elliot (1987).
Sistem aksiomatik Dogma Prinsip pertama, aksioma dalam sains dan filsafat Daftar aksioma Teori model Regulæ Juris Teorema Presuposisi Hukum fisika Prinsip Mendelson, Elliot (1987).