Hence, in a finite-dimensional vector space, it is equivalent to define eigenvalues and eigenvectors using either the language of linear transformations, or the language of matrices.
Hal ini menyebabkan, dalam suatu ruang vektor berdimensi hingga, nilai eigen dan vektor eigen dapat didefinisikan menggunakan bahasa matriks, maupun menggunakan bahasa pemetaan linear.
In essence, an eigenvector v of a linear transformation T is a nonzero vector that, when T is applied to it, does not change direction.
Pada dasarnya, suatu vektor eigen v } dari pemetaan linear T adalah suatu vektor tak nol yang tidak berubah arah, ketika diterapkan oleh T .
This condition can be written as the equation T ( v )
Kondisi ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagai T ( v )
=\lambda \mathbf {v} ,} referred to as the eigenvalue equation or eigenequation.
=\lambda \mathbf {v} ,} yang disebut dengan persamaan nilai eigen atau persamaan eigen.
The example here, based on the Mona Lisa, provides a simple illustration.
Lukisan Mona Lisa berikut menyajikan ilustrasi sederhana mengenai hal ini.
Each point on the painting can be represented as a vector pointing from the center of the painting to that point.
Setiap titik pada lukisan dapat direpresentasikan sebagai sebuah vektor yang berasal dari pusat lukisan ke titik tersebut.
Therefore, any vector that points directly to the right or left with no vertical component is an eigenvector of this transformation, because the mapping does not change its direction.
Alhasil, semua vektor yang mengarah ke kiri atau ke kanan, tanpa memiliki komponen vertikal, adalah vektor eigen dari pemetaan ini; karena pemetaan tersebut tidak mengubah arah vektor.
For example, the linear transformation could be a differential operator like d d x {dx}}} , in which case the eigenvectors are functions called eigenfunctions that are scaled by that differential operator, such as d d x e λ xλ e λ x .
d d x {dx}}} , dan vektor eigen disebut sebagai fungsi eigen (eigenfunctions) yang mengalami penskalaan oleh operator tersebut; contohnya fungsi d d x e λ xλ e λ x .
{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.} Alternatively, the linear transformation could take the form of an n × n matrix, in which case the eigenvectors are n × 1 matrices.
{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.} Contoh lain, pemetaan linear dapat berbentuk matriks berukuran n × n , dan vektor eigen akan berupa matriks berukuran n × 1 .
The set of all eigenvectors of T corresponding to the same eigenvalue, together with the zero vector, is called an eigenspace, or the characteristic space of T associated with that eigenvalue.
Himpunan dari semua vektor eigen dari T yang berasosiasi dengan suatu nilai eigen, dan ditambah dengan vekotr nol, disebut dengan ruang eigen (eigenspace) atau ruang karakteristik dari T yang berasosiasi dengan nilai eigen tersebut.
If a set of eigenvectors of T forms a basis of the domain of T, then this basis is called an eigenbasis.
Jika suatu himpunan vektor eigen dari T membentuk sebuah basis bagi domain dari T , maka basis ini disebut basis eigen (eigen basis).
Eigenvalues are often introduced in the context of linear algebra or matrix theory.
Nilai-nilai eigen umum diperkenalkan dalam konteks aljabar linear atau teori matriks.
In the 18th century, Leonhard Euler studied the rotational motion of a rigid body, and discovered the importance of the principal axes.
Pada abad ke-18, Leonhard Euler mempelajari gerakan rotasi dari benda tegar, dan menemukan pentingnya konsep poros utama (principal axes).
In the early 19th century, Augustin-Louis Cauchy saw how their work could be used to classify the quadric surfaces, and generalized it to arbitrary dimensions.
Pada awal abad ke-19, Augustin Louis Cauchy melihat bagaimana karya-karya mereka dapat digunakan untuk mengklasifikasi kurva kuadratik (quadric surfaces), lalu memperumumnya ke sembarang dimensi.
Later, Joseph Fourier used the work of Lagrange and Pierre-Simon Laplace to solve the heat equation by separation of variables in his 1822 treatise The Analytic Theory of Heat (Théorie analytique de la chaleur).
Selanjutnya, Joseph Fourier menggunakan karya Lagrange dan Pierre-Simon Laplace untuk menyelesaikan persamaan panas dengan pemisahan variabel, dalam buku tahun 1822-nya yang terkenal, Théorie analytique de la chaleu (Teori analitik tentang panas).
Charles-François Sturm elaborated on Fourier's ideas further, and brought them to the attention of Cauchy, who combined them with his own ideas and arrived at the fact that real symmetric matrices have real eigenvalues.
Charles-François Sturm mengembangkan ide Fourier lebih jauh, dan menarik perhatian Cauchy, yang menggabungkan ide-ide mereka dengan idenya sendiri, dan menghasilkan bukti bahwa matriks simetrik real akan memiliki nilai-nilai eigen real.
Around the same time, Francesco Brioschi proved that the eigenvalues of orthogonal matrices lie on the unit circle, and Alfred Clebsch found the corresponding result for skew-symmetric matrices.
Di saat yang bersamaan, Francesco Brioschi membuktikan nilai-nilai eigen dari matriks ortogonal terletak pada lingkaran satuan, dan Alfred Clebsch menemukan bukti yang serupa untuk matriks skew-symmetric.
Finally, Karl Weierstrass clarified an important aspect in the stability theory started by Laplace, by realizing that defective matrices can cause instability.
Karl Weierstrass mengklarifikasi aspek penting dalam teori stabilitas yang dibuat oleh Laplace, dengan membuktikan matriks defektif dapat menyebabkan ketidakstabilan.
In the meantime, Joseph Liouville studied eigenvalue problems similar to those of Sturm; the discipline that grew out of their work is now called Sturm–Liouville theory.
Joseph Liouville mempelajari masalah-masalah nilai eigen yang mirip dengan masalah yang dikerjakan Sturm; menghasilkan disiplin ilmu yang saat ini dikenal dengan teori Sturm-Liouville.
Schwarz studied the first eigenvalue of Laplace's equation on general domains towards the end of the 19th century, while Poincaré studied Poisson's equation a few years later.
Memasuki akhir abad ke-19, Schwarz mempelajari nilai eigen pertama dari persamaan Laplace secara umum, sedangkan Poincaré mempelajari persamaan Poisson beberapa tahun berikutnya.
At the start of the 20th century, David Hilbert studied the eigenvalues of integral operators by viewing the operators as infinite matrices.
Di awal abad ke-20, David Hilbert mempelajari nilai-nilai eigen dari operator integral dengan menganggap operator tersebut sebagai matriks
He was the first to use the German word eigen, which means "own", to denote eigenvalues and eigenvectors in 1904, though he may have been following a related usage by Hermann von Helmholtz.
Ia adalah yang pertama menggunakan kata German eigen, yang berarti "diri sendiri" untuk menyebut nilai dan vektor eigen pada tahun 1904, walau ada kemungkinan ia mengikuti istilah yang digunakan oleh Hermann von Helmholtz.
For some time, the standard term in English was "proper value", but the more distinctive term "eigenvalue" is the standard today.
Untuk beberapa waktu, istilah yang digunakan dalam bahasa Inggris adalah "proper value" (nilai yang tepat), tetapi istilah "eigenvalue" menjadi standar saat ini.
The first numerical algorithm for computing eigenvalues and eigenvectors appeared in 1929, when Richard von Mises published the power method.
Algoritma numerik pertama untuk menghitung nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen muncul pada tahun 1929, saat Richard von Mises memublikasikan metode pangkat.
Eigenvalues and eigenvectors are often introduced to students in the context of linear algebra courses focused on matrices.
Nilai eigen dan vektor eigen sering diperkenalkan ke murid dalam konteks kelas aljabar linear yang berfokus pada matriks.
Furthermore, linear transformations over a finite-dimensional vector space can be represented using matrices, which is especially common in numerical and computational applications.
Lebih lanjut, pemetaan linear atas ruang vektor hingga dapat dinyatakan menggunakan matriks, yang umum digunakan secara numerik maupun komputasi.
Consider n-dimensional vectors that are formed as a list of n scalars, such as the three-dimensional vectors x[ 1 − 3 4 ] and y[ − 20 60 − 80 ] .
Misalkan vektor berdimensi n yang dibentuk sebagai barisan n buah skalar; contohnya vektor berdimensi 3 x[ 1 − 3 4 ] dan y[ − 20 60 − 80 ] .
={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {y}{\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.} These vectors are said to be scalar multiples of each other, or parallel or collinear, if there is a scalar λ such that xλ y .
={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{dan}}\quad \mathbf {y}{\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.} Kedua vektor ini dikatakan saling berkelipatan skalar, atau paralel atau kolinear, jika terdapat skalar λ sehingga
=\lambda \mathbf {y} .}
xλ y\lambda \mathbf {y} } .
[ v 1 v 2 ⋮ v n ][ w 1 w 2 ⋮ w n ] A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}} where, for each row, w iA i 1 v 1 + A i 2 v 2 + ⋯ + A
[ v 1 v 2 v 3 ][ 0 0 0 ] (A-\lambda _{1}I)\mathbf {v} \,\,&=\mathbf {\,} \,\,\,\mathbf {0} \\{\begin{bmatrix}-4&1&0\\0&-4&1\\4&-17&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}} Operasi baris dasar atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya dapat diterapkan untuk mencari solusi persamaan tersebut.
Equation (2) has a nonzero solution v if and only if the determinant of the matrix (A − λI) is zero.
Persamaan (2) memiliki solusi tak nol v } jika dan hanya jika nilai determinan dari matriks ( A − λ I ) adalah nol.
As a brief example, which is described in more detail in the examples section later, consider the matrix A[ 2 1 1 2 ] .
Sebagai contoh singkat, yang akan dijelaskan pada bagian Contoh nanti, misalkan sebuah matriks A[ 2 1 1 2 ] .
2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.} Setting the characteristic polynomial equal to zero, it has roots at λ1 and λ3, which are the two eigenvalues of A.
Setelah mencari akar dari polinom ketika sama dengan nol, didapatkan akar λ1 dan λ3 , yang selanjutnya merupakan nilai eigen dari A .
In this example, the eigenvectors are any nonzero scalar multiples of v λ1[ 1 − 1 ] , v λ3[ 1 1 ] .
Dalam contoh ini, vektor eigen adalah sembarang kelipatan skalar (tak nol) dari v λ1[ 1 − 1 ] , dan v λ3[ 1 1 ] .
_{\lambda1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}
_{\lambda1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},{\text{ dan}}\quad \mathbf {v} _{\lambda3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}
If the entries of the matrix A are all real numbers, then the coefficients of the characteristic polynomial will also be real numbers, but the eigenvalues may still have nonzero imaginary parts.
Jika entri-entri dari matriks A berupa bilangan real, maka koefisien dari polinom karakteristik juga berupa bilangan real.
Similarly, the eigenvalues may be irrational numbers even if all the entries of A are rational numbers or even if they are all integers.
Serupa dengan itu, nilai eigen dapat berupa bilangan irasional walau semua entri dari A berupa bilangan rasional, atau bahkan jika semuanya berupa bilangan bulat.
The non-real roots of a real polynomial with real coefficients can be grouped into pairs of complex conjugates, namely with the two members of each pair having imaginary parts that differ only in sign and the same real part.
Bagian imajiner dari akar pada polinomial real dengan koefisien-koefisien real dapat dikelompokkan dalam pasangan konjugat kompleks, yakni dengan anggotanya memiliki bagian real yang sama dan hanya berbeda tanda di bagian imajinernya.
If the degree is odd, then by the intermediate value theorem at least one of the roots is real.
Jika polinom berderajat ganjil, maka teorema nilai antara mengatakan setidaknya satu akar akan berupa real.
Therefore, any real matrix with odd order has at least one real eigenvalue, whereas a real matrix with even order may not have any real eigenvalues.
Dengan demikian, sembarang matriks real berukuran ganjil akan memiliki setidaknya satu nilai eigen real, sedangkan matriks real berukuran genap mungkin tidak memiliki satupun nilai eigen real.
The size of each eigenvalue's algebraic multiplicity is related to the dimension n as 1 ≤ μ A ( λ i ) ≤ n , μ A∑ i1 d μ A ( λ i )
Nilai setiap kegandaan aljabar dari nilai-nilai eigen berhubungan dengan dimensi n dari matriks lewat persamaan 1 ≤ μ A ( λ i ) ≤ n , μ A∑ i1 d μ A ( λ i )
1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}} If μA(λi)1, then λi is said to be a simple eigenvalue.
1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}} Jika μ A ( λ i )1 (\lambda _{i})=1} , maka λ i } dikatakan sebagai nilai eigen sederhana (simple eigenvalue).
The space E is called the eigenspace or characteristic space of A associated with λ.
Himpunan E disebut sebagai ruang eigen (eigenspace) dari A yang berasosiasi dengan λ .
In general λ is a complex number and the eigenvectors are complex n × 1 matrices (column vectors).
Secara umum λ akan berupa bilangan kompleks dan vektor eigen akan berupa matriks kompleks berukuran n × 1 .
That is, if v ∈ E and α is a complex number, αv ∈ E or equivalently A(αv)λ(αv).
Artinya, jika v ∈ E \in E} dan α merupakan bilangan kompleks, maka ( α v ) ∈ E )
The dimension of the eigenspace E associated with λ, or equivalently the maximum number of linearly independent eigenvectors associated with λ, is referred to as the eigenvalue's geometric multiplicity γ A ( λ ) (\lambda )} .
Dimensi dari ruang eigen E yang berasosiasi dengan λ , yakni banyaknya vektor eigen yang berasosiasi dengan λ dan saling bebas linear, disebut dengan kegandaan geometrik (geometric multiplicity) dari nilai eigen λ , disimbolkan dengan γ A ( λ ) (\lambda )} .
If γ Ann} , then The direct sum of the eigenspaces of all of A's eigenvalues is the entire vector space C n ^{n}} .
Jika γ Ann} , maka Jumlah langsung semua ruang eigen dari nilai-nilai eigen A akan sama dengan ruang vektor C n ^{n}} .
A basis of C n ^{n}} can be formed from n linearly independent eigenvectors of A; such a basis is called an eigenbasis Any vector in C n ^{n}} can be written as a linear combination of eigenvectors of A. Let A be an arbitrary n × n matrix of complex numbers with eigenvalues λ1, ... , λn.
Suatu basis bagi C n ^{n}} dapat dibentuk dari n buah eigen vektor dari A yang saling bebas linear; basis tersebut dikatakan sebagai basis eigen (eigenbasis) Sembarang vektor di C n ^{n}} dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor eigen dari A .
∑ i1 n a i i∑ i1 n λ iλ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n .
∏ i1 n λ iλ 1 λ 2 ⋯ λ n .
(A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}
(A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.} Determinan dari A adalah hasil perkalian semua nilai eigen matriks tersebut, det ( A )
If A is invertible, then the eigenvalues of A−1 are 1 λ 1 , … , 1 λ n {\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}} and each eigenvalue's geometric multiplicity coincides.
Jika A terbalikkan, maka nilai-nilai eigen dari A − 1 } adalah 1 λ 1 , … , 1 λ n {\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}} .
The same is true of any symmetric real matrix.
Hal yang sama berlaku untuk sembarang matriks simetrik real.
If A is not only Hermitian but also positive-definite, positive-semidefinite, negative-definite, or negative-semidefinite, then every eigenvalue is positive, non-negative, negative, or non-positive, respectively.
Jika A merupakan matriks Hermite sekaligus bersifat definit positif, semidefinit positif, definit negatif, atau semidefinit negatif; maka berturut-turut, setiap nilai eigennya akan berupa bilangan positif, tak negatif, negatif, atau tak positif.
Moreover, if α ∈ C } , the eigenvalues of αI + A are {λ1 + α, ... , λk + α}.
Lebih lanjut, jika α ∈ C } , nilai-nilai eigen dari α I + A adalah { λ 1 + α , … , λ k + α } +\alpha ,\ldots ,\lambda _{k}+\alpha \}} .
More generally, for a polynomial P the eigenvalues of matrix P(A) are {P(λ1), ... , P(λk)}.
Secara umum untuk sembarang polinomial P , nilai-nilai eigen dari matriks P ( A ) adalah { P ( λ 1 ) , … , P ( λ k ) } ),\ldots ,P(\lambda _{k})\}} .
Consider the matrix A[ 2 1 1 2 ] .
Misalkan sebuah matriks A[ 2 1 1 2 ] .
| [ 2 1 1 2 ] − λ [ 1 0 0 1 ] || 2 − λ 1 1 2 − λ |3 − 4 λ + λ 2( λ − 3 ) ( λ − 1 ) .
[ 2 1 1 2 ] − λ [ 1 0 0 1 ] || 2 − λ 1 1 2 − λ |3 − 4 λ + λ 2( λ − 3 ) ( λ − 1 ) .
\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}} Setting the characteristic polynomial equal to zero, it has roots at λ1 and λ3, which are the two eigenvalues of A. For λ1, equation (2) becomes, ( A − I ) v λ1[ 1 1 1 1 ]
|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}} Polinom karakteristik ini memiliki akar λ1 dan λ3 , yang selanjutnya adalah dua nilai eigen dari A .
[ v 1 v 2 ][ 0 0 ] 1 v 1 + 1 v 20 (A-I)\mathbf {v} _{\lambda1}&={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\1v_{1}+1v_{2}&=0\end{aligned}}} Any nonzero vector with v1−v2 solves this equation.
[ v 1 v 2 ][ 0 0 ] − 1 v 1 + 1 v 20 ; 1 v 1 − 1 v 20 (A-3I)\mathbf {v} _{\lambda3}&={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}} Sembarang vektor tak nol dengan v 1v 2v_{2}} akan memenuhi persamaan ini.
Therefore, v λ1[ v 1 − v 1 ][ 1 − 1 ] _{\lambda1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}} is an eigenvector of A corresponding to λ1, as is any scalar multiple of this vector.
Dengan demikian, dapat dipilih satu vektor, v λ1[ v 1 − v 1 ][ 1 − 1 ] _{\lambda1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}} sebagai vektor eigen dari A yang berasosiasi dengan λ1 ; setiap kelipatan dari vektor ini juga merupakan vektor eigen.
For λ3, equation (2) becomes ( A − 3 I ) v λ3[ − 1 − 1 − 1 − 1 ]
Sedangkan untuk λ3 , Persamaan (2) dapat ditulis menjadi ( A − 3 I ) v λ3[ − 1 1 1 − 1 ]
[ v 1 v 2 ][ 0 0 ] − 1 v 1 + 1 v 20 ; 1 v 1 − 1 v 20 (A-3I)\mathbf {v} _{\lambda3}&={\begin{bmatrix}-1&{\hphantom {-}}1\\{\hphantom {-}}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}} Any nonzero vector with v1v2 solves this equation.
[ v 1 v 2 ][ 0 0 ] − 1 v 1 + 1 v 20 ; 1 v 1 − 1 v 20 (A-3I)\mathbf {v} _{\lambda3}&={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}} Sembarang vektor tak nol dengan v 1v 2v_{2}} akan memenuhi persamaan ini.
Therefore, v λ3[ v 1 v 1 ][ 1 1 ] _{\lambda3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} is an eigenvector of A corresponding to λ3, as is any scalar multiple of this vector.
Dengan cara yang sama seperti di atas, v λ3[ v 1 v 1 ][ 1 1 ] _{\lambda3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} adalah vektor eigen dari A yang berasosiasi dengan λ3 .
Consider the matrix A[ 2 0 0 0 3 4 0 4 9 ] .
Misalkan sebuah matriks permutasi A[ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] .
| [ 2 0 0 0 3 4 0 4 9 ] − λ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] || 2 − λ 0 0 0 3 − λ 4 0 4 9 − λ | ,( 2 − λ )
[ 2 1 1 2 ] − λ [ 1 0 0 1 ] || 2 − λ 1 1 2 − λ |3 − 4 λ + λ 2( λ − 3 ) ( λ − 1 ) .
[ ( 3 − λ ) ( 9 − λ ) − 16 ]− λ 3 + 14 λ 2 − 35 λ + 22.
[ 2 1 1 2 ] − λ [ 1 0 0 1 ] || 2 − λ 1 1 2 − λ |3 − 4 λ + λ 2( λ − 3 ) ( λ − 1 ) .
\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}} The roots of the characteristic polynomial are 2, 1, and 11, which are the only three eigenvalues of A.
|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}} Polinom karakteristik ini memiliki akar λ1 dan λ3 , yang selanjutnya adalah dua nilai eigen dari A .
Consider the cyclic permutation matrix A[ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] .
Misalkan sebuah matriks permutasi A[ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] .
i 3 2 λ 3λ 2 ∗− 1 2 − i 3 2 \lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}} where i is an imaginary unit with i2−1.
Maka vektor eigen mereka masing-masing adalah A [ 1 λ 2 λ 3 ][ λ 2 λ 3 1 ]λ 2 ⋅ [ 1 λ 2 λ 3 ] , 1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},}
For the real eigenvalue λ11, any vector with three equal nonzero entries is an eigenvector.
Untuk nilai eigen real λ 111} , sembarang vektor dengan semua entrinya bernilai sama adalah vektor eigen.
For example, A [ 5 5 5 ][ 5 5 5 ]1 ⋅ [ 5 5 5 ] .
Sebagai contoh, A [ 5 5 5 ]1 ⋅ [ 5 5 5 ][ 5 5 5 ] .
1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.} Therefore, the other two eigenvectors of A are complex and are vλ2
1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.} Dengan demikian, dua vektor yang lain dari A merupakan vektor kompleks, yakni v λ 2[ 1 λ 2 λ 3 ] T _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{2}&\lambda _{3}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} dan v λ 3[ 1 λ 3 λ 2 ] T _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{3}&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}
The two complex eigenvectors also appear in a complex conjugate pair, v λ 2v λ 3 ∗ .
Dua vektor kompleks ini juga merupakan pasangan kompleks konjugat, karena v λ 2v λ 3 ∗ .
Matrices with entries only along the main diagonal are called diagonal matrices.
Matriks dengan entri-entri tak nol hanya terletak sepanjang diagonal utama disebut dengan matriks diagonal.
The eigenvalues of a diagonal matrix are the diagonal elements themselves.
Nilai-nilai eigen dari matriks diagonal adalah nilai-nilai sepanjang diagonal utama matriks itu sendiri.
Consider the matrix A[ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ] .
Sebagai contoh, misalkan sebuah matriks A[ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ] .
( 1 − λ ) ( 2 − λ ) ( 3 − λ ) , which has the roots λ11, λ22, and λ33.
[ 2 1 1 2 ] − λ [ 1 0 0 1 ] || 2 − λ 1 1 2 − λ |3 − 4 λ + λ 2( λ − 3 ) ( λ − 1 ) .
In the example, the eigenvalues correspond to the eigenvectors, v λ 1[ 1 0 0 ] , v λ 2[ 0 1 0 ] , v λ 3[ 0 0 1 ] , _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},} respectively, as well as scalar multiples of these vectors.
Nilai-nilai eigen ini masing-masing berasosiasi dengan vektor eigen v λ 1[ 2 − 2 1 ] T _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}2&-2&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} , v λ 2[ 0 1 − 3 ] T _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0&1&-3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} , dan v λ 3[ 0 0 1 ] T _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} ; maupun kelipatan skalar dari vektor-vektor ini.
A matrix whose elements above the main diagonal are all zero is called a lower triangular matrix, while a matrix whose elements below the main diagonal are all zero is called an upper triangular matrix.
Suatu matriks dengan semua entri di atas diagonal utama bernilai nol disebut dengan matriks segitiga bawah, sedangkan matriks dengan semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol disebut dengan matriks segitiga atas.
As with diagonal matrices, the eigenvalues of triangular matrices are the elements of the main diagonal.
Sama seperti matriks diagonal, nilai-nilai eigen dari matriks segitiga terletak pada diagonal utama.
Consider the lower triangular matrix, A[ 1 0 0 1 2 0 2 3 3 ] .
Sebagai contoh, misalkan sebuah matriks segitiga bawah, A[ 1 0 0 1 2 0 2 3 3 ] .
As in the previous example, the lower triangular matrix A[ 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 ] , 2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},} has a characteristic polynomial that is the product of its diagonal elements, det ( A − λ I )
Serupa dengan contoh sebelumnya, matriks segitiga bawah A[ 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 ] , 2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},} memiliki polinomial karakteristik sebagai hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya, yakni | A − λ I || 2 − λ 0 0 0 1 2 − λ 0 0 0 1 3 − λ 0 0 0 1 3 − λ |( 2 − λ ) 2 ( 3 − λ ) 2 .
| 2 − λ 0 0 0 1 2 − λ 0 0 0 1 3 − λ 0 0 0 1 3 − λ |
[ 2 1 1 2 ] − λ [ 1 0 0 1 ] || 2 − λ 1 1 2 − λ |3 − 4 λ + λ 2( λ − 3 ) ( λ − 1 ) .
The roots of this polynomial, and hence the eigenvalues, are 2 and 3.
Akar-akar dari polinomial ini, yang juga menjadi nilai-nilai eigen, adalah 2 dan 3.
The algebraic multiplicity of each eigenvalue is 2; in other words they are both double roots.
Kegandaan aljabar setiap nilai eigen adalah 2, karena mereka masing-masing merupakan akar ganda.
The total geometric multiplicity γA is 2, which is the smallest it could be for a matrix with two distinct eigenvalues.
Total kegandaan geometrik, γ A } , bernilai dua; ini adalah nilai terkecil yang mungkin bagi sembarang matriks dengan dua nilai eigen yang berbeda.
− λ k ( A α ) ) ∏ k ≠ i ( λ i ( A )
∏ i1 n λ iλ 1 λ 2 ⋯ λ n .
− λ k ( A ) ) , |^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{\alpha }))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))}}},} where A α {\textstyle A_{\alpha }} is the submatrix formed by removing the α-th row and column from the original matrix.
-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}
=\lambda \mathbf {v} \right\},} which is the union of the zero vector with the set of all eigenvectors associated with λ. E is called the eigenspace or characteristic space of T associated with λ.
Ruang eigen dari λ merupakan ruang vektor yang dibentuk dari gabungan vektor nol dan kumpulan vektor eigen yang berasosiasi dengan λ .
The eigenspace E associated with λ is therefore a linear subspace of V. If that subspace has dimension 1, it is sometimes called an eigenline.
Himpunan E disebut sebagai ruang eigen (eigenspace) dari A yang berasosiasi dengan λ .
It is in several ways poorly suited for non-exact arithmetics such as floating-point.
Dalam beberapa cara metode ini tidak sesuai untuk aritmetika non-eksak (non-exact arithmetics) seperti floating-point.
The eigenvalues of a matrix A can be determined by finding the roots of the characteristic polynomial.
Nilai-nilai eigen dari suatu matriks A dapat ditentukan dengan mencari akar-akar polinomial karakteristik.
This is easy for 2 × 2 matrices, but the difficulty increases rapidly with the size of the matrix.
Hal ini sederhana untuk matriks berukuran 2 × 2 , tetapi kesulitan akan meningkat dengan sangat cepat sebanding dengan ukuran matriks.
In theory, the coefficients of the characteristic polynomial can be computed exactly, since they are sums of products of matrix elements; and there are algorithms that can find all the roots of a polynomial of arbitrary degree to any required accuracy.
Dalam teori, koefisien-koefisien dari polinomial karakteristik dapat dihitung secara eksak karena mereka adalah hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen matriks; lagipula ada beberapa algoritma yang dapat mencari akar-akar dari polinomial dengan sembarang derajat akurasi yang diinginkan.
Explicit algebraic formulas for the roots of a polynomial exist only if the degree n is 4 or less.
Rumus aljabar untuk mencari akar-akar polinomial secara eksplisit hanya ada jika derajat polinomial n ≤ 4 .
According to the Abel–Ruffini theorem there is no general, explicit and exact algebraic formula for the roots of a polynomial with degree 5 or more.
Berdasarkan teorema Abel-Ruffini, tidak ada rumus aljabar eksak yang eksplisit, untuk mencari akar-akar polinomial derajat 5 atau lebih.
Even the exact formula for the roots of a degree 3 polynomial is numerically impractical.
Bahkan rumus eksplisit untuk akar-akar polinomial derajat 3 sudah tidak praktis secara numerik.
The easiest algorithm here consists of picking an arbitrary starting vector and then repeatedly multiplying it with the matrix (optionally normalizing the vector to keep its elements of reasonable size); this makes the vector converge towards an eigenvector.
Algoritma yang paling sederhana dilakukan dengan mengambil sembarang vektor awal, lalu secara berulang mengalikannya dengan matriks A (dan secara opsional juga melakukan normalisasi agar ukuran vektor tetap wajar); hal ini akan membuat vektor menghampiri suatu vektor eigen.
If v is (a good approximation of) an eigenvector of A, then the corresponding eigenvalue can be computed as λv ∗ A v v ∗ v ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}} where v∗ denotes the conjugate transpose of v. Efficient, accurate methods to compute eigenvalues and eigenvectors of arbitrary matrices were not known until the QR algorithm was designed in 1961.
Jika v } adalah (perkiraan hampiran yang bagus dari) sebuah vektor eigen dari A , maka nilai eigen yang berasosiasi dengan vektor tersebut dihitung lewat λv ∗ A v v ∗ v ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}} dengan v ∗ ^{*}} menyatakan transpos konjugat dari v } .
Combining the Householder transformation with the LU decomposition results in an algorithm with better convergence than the QR algorithm.
Algoritma dengan menggabungkan transformasi Householder dengan dekomposisi LU menghasilkan hampiran yang lebih baik ketimbang algoritma QR.
For large Hermitian sparse matrices, the Lanczos algorithm is one example of an efficient iterative method to compute eigenvalues and eigenvectors, among several other possibilities.
Untuk matriks Hermite yang rongga, algoritma Lanczos adalah salah satu contoh metode iteratif yang efisien untuk menghitung nilai dan vektor eigen.