[−r, r] and differentiable in the open interval (−r, r), but not differentiable at the endpoints −r and r. Since f(−r)f(r), Rolle's theorem applies, and indeed, there is a point where the derivative of f is zero.
Fungsi ini kontinu di selang tertutup [−r, r] dan terdiferensialkan dalam selang terbuka (−r, r), tetapi tidak terdiferensialkan di titik akhir −r dan r. Karena f (−r)f (r), maka berlaku teorema Rolle, dan demikian terdapat suatu titik dengan turunan dari f sama dengan nol.
The theorem applies even when the function cannot be differentiated at the endpoints because it only requires the function to be differentiable in the open interval.
Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku, dan bahkan ketika fungsi tidak terdiferensialkan di titik akhir, karena hanya memerlukan fungsi tersebut menjadi terdiferensialkan dalam selang terbuka.
Consider the absolute value function f ( x )
Misalkan suatu fungsi nilai mutlak f ( x )
| x | , x ∈ [ − 1 , 1 ] .
| x | , x ∈ [ − 1 , 1 ] , maka f (−1)f (1).
This is because that function, although continuous, is not differentiable at x0.
Itu karena fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di nilai x0, walaupun fungsi tersebut kontinu.
If the right- and left-hand limits agree for every x, then they agree in particular for c, hence the derivative of f exists at c and is equal to zero.
Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap x, maka limit ini sama pada khususnya untuk c. Jadi turunan f ada pada c dan sama dengan nol.
If these are both attained at the endpoints of [a, b], then f is constant on [a, b] and so the derivative of f is zero at every point in (a, b).
Bila keduanya tercapai di titik batas [a, b], maka f adalah fungsi konstan di [a, b], dan turunannya akan sama dengan nol pada setiap titik di (a, b).
For a real h such that c + h is in [a, b], the value f(c + h) is smaller or equal to f(c) because f attains its maximum at c.
Untuk suatu h bilangan real sehingga c + h ada di [a, b], nilai f(c + h) lebih kecil atau sama dengan f(c), sebab f mencapai nilai maksimumnya di c. Karena itu, untuk setiap h > 0, f ( c + h )
Similarly, for every h < 0, the inequality turns around because the denominator is now negative and we get f ( c + h )
Hal ini juga berlaku sama untuk sebaliknya, yakni: untuk setiap h < 0, tanda pertidaksamaan tersebut berbalik arah karena penyebutnya bernilai negatif.
− f ( c ) h ≥ 0 , {h}}\geq 0,} hence f ′ ( c − ) :lim h → 0 − f ( c + h ) − f ( c ) h ≥ 0 , ):=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0,} where the limit might be plus infinity.
− f ( c ) h ≥ 0 , {h}}\geq 0,} dan karena itu f ′ ( c − ) :lim h ↗ 0 f ( c + h ) − f ( c ) h ≥ 0 , {\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0,} dengan limit tersebut bisa saja menuju ke positif tak terhingga.
Finally, when the above right- and left-hand limits agree (in particular when f is differentiable), then the derivative of f at c must be zero.
Setelah mendapatkan bahwa limit kanan dan kiri tersebut sama, terutama bila f terdiferensialkan, maka turunan dari f di c haruslah nol.
We can also generalize Rolle's theorem by requiring that f has more points with equal values and greater regularity.
Teorema Rolle dapat diperumum dengan mensyaratkan bahwa f memiliki lebih banyak titik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar.
We want to prove it for n. Assume the function f satisfies the hypotheses of the theorem.
Agar ingin membuktikannya untuk n, asumsi fungsi f memenuhi hipotesis teorema.