This includes polynomials with real coefficients, since every real number is a complex number with its imaginary part equal to zero.
Ini termasuk polinomial dengan koefisien real, karena setiap bilangan real adalah bilangan kompleks dengan bagian imajiner sama dengan nol.
Equivalently (by definition), the theorem states that the field of complex numbers is algebraically closed.
Secara ekuivalen (menurut definisi), teorema tersebut menyatakan bahwa lapangan bilangan kompleks tertutup secara aljabar.
The theorem is also stated as follows: every non-zero, single-variable, degree n polynomial with complex coefficients has, counted with multiplicity, exactly n complex roots.
Teorema ini dinyatakan sebagai berikut: setiap polinomial nonkonstan variabel tunggal berderajat n dengan koefisien kompleks memiliki tepat n akar kompleks (dengan memperhitungkan multiplisitas aljabar).
Peter Roth, in his book Arithmetica Philosophica (published in 1608, at Nürnberg, by Johann Lantzenberger), wrote that a polynomial equation of degree n (with real coefficients) may have n solutions.
Peter Roth, dalam bukunya Arithmetica Philosophica (diterbitkan pada 1608, di Nürnberg, oleh Johann Lantzenberger), menulis bahwa persamaan polinomial berderajat n (dengan koefisien bilangan real)
Albert Girard, in his book L'invention nouvelle en l'Algèbre (published in 1629), asserted that a polynomial equation of degree n has n solutions, but he did not state that they had to be real numbers.
Albert Girard, dalam bukunya L'invention nouvelle en l'Algèbre (diterbitkan tahun 1629), menegaskan bahwa persamaan polinomial berderajat n memiliki n akar, tetapi dia tidak menyatakan bahwa semua solusinya harus bilangan real.
However, when he explains in detail what he means, it is clear that he actually believes that his assertion is always true; for instance, he shows that the equation x 44 x − 3 ,4x-3,} although incomplete, has four solutions (counting multiplicities): 1 (twice), − 1 + i 2 , },} and − 1 − i 2 .
Namun, ketika dia menjelaskan secara rinci apa yang dia maksud, jelas bahwa dia benar-benar percaya bahwa pernyataannya itu selalu benar; Misalnya, dia menunjukkan persamaan itu x 44 x − 3 ,4x-3,} meskipun tidak lengkap, memiliki empat penyelesaian (menghitung multiplisitas aljabar): 1 (dua kali), − 1 + i 2 , },} dan − 1 − i 2 .
As will be mentioned again below, it follows from the fundamental theorem of algebra that every non-constant polynomial with real coefficients can be written as a product of polynomials with real coefficients whose degrees are either 1 or 2.
}.} Seperti yang akan disebutkan lagi di bawah ini, ini dapat disimpulkan dari teorema dasar aljabar bahwa setiap polinomial tidak konstan dengan koefisien bilangan real dapat ditulis sebagai hasil kali polinomial-polinomial koefisien bilangan real yang derajatnya
However, in 1702 Leibniz erroneously said that no polynomial of the type x4 + a4 (with a real and distinct from 0) can be written in such a way.
Namun, pada 1702, Leibniz secara keliru mengatakan bahwa tidak ada polinomial dari jenis x4 + a4 (dengan a adalah bilangan real tidak 0)
Later, Nikolaus Bernoulli made the same assertion concerning the polynomial x4 − 4x3 + 2x2 + 4x + 4, but he got a letter from Euler in 1742 in which it was shown that this polynomial is equal to ( x 2 − ( 2 + α ) x + 1 + 7 + α ) ( x 2 − ( 2 − α )
Belakangan, Nikolaus Bernoulli membuat pernyataan yang sama tentang polinomial x4 − 4x3 + 2x2 + 4x + 4, tetapi dia mendapat surat dari Euler pada tahun 1742 yang menunjukkan bahwa polinomial ini sama dengan ( x 2 − ( 2 + α )
x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),} with α4 + 2 7 .
x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),} dengan α4 + 2 7 .
Euler also pointed out that x 4 + a 4( x 2 + a 2 ⋅ x + a 2 ) ( x 2 − a 2 ⋅ x + a 2 ) .
Selain itu, Euler menunjukkan itu x 4 + a 4( x 2 + a 2 ⋅ x + a 2 ) ( x 2 − a 2 ⋅ x + a 2 ) .
Other attempts were made by Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), and Laplace (1795).
Upaya lain dilakukan oleh Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), dan Laplace (1795).
In modern terms, Euler, de Foncenex, Lagrange, and Laplace were assuming the existence of a splitting field of the polynomial p(z).
Dalam istilah modern, Euler, de Foncenex, Lagrange, dan Laplace mengasumsikan adanya lapangan pemisah dari polinomial p ( z ) .
At the end of the 18th century, two new proofs were published which did not assume the existence of roots, but neither of which was complete.
Pada akhir abad ke-18, dua bukti baru diterbitkan yang tidak mengasumsikan keberadaan akar, tetapi tidak ada yang lengkap.
The other one was published by Gauss in 1799 and it was mainly geometric, but it had a topological gap, only filled by Alexander Ostrowski in 1920, as discussed in Smale (1981).
Bukti lainnya diterbitkan oleh Gauss pada tahun 1799 dengan bukti yang bersifat geometris, tetapi memiliki celah topologi, yang dilengkapi oleh Alexander Ostrowski pada tahun 1920, seperti yang dibahas di Smale.
The first rigorous proof was published by Argand, an amateur mathematician, in 1806 (and revisited in 1813); it was also here that, for the first time, the fundamental theorem of algebra was stated for polynomials with complex coefficients, rather than just real coefficients.
Bukti formal pertama diterbitkan oleh Argand pada 1806 (dan ditinjau kembali pada 1813); Di sinilah, untuk pertama kalinya, teorema dasar aljabar dinyatakan untuk polinomial dengan koefisien bilangan kompleks, bukan hanya koefisien bilangan riil.
Gauss produced two other proofs in 1816 and another incomplete version of his original proof in 1849.
Gauss menghasilkan dua bukti lain pada tahun 1816 dan versi tidak lengkap yang lain dari bukti aslinya pada tahun 1849.
The first textbook containing a proof of the theorem was Cauchy's Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821).
Buku teks pertama yang berisi bukti teorema dasar aljabar adalah buku karangan Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821).
It contained Argand's proof, although Argand is not credited for it.
Buku tersebut menggunakan bukti dari Argand, tetapi tidak menyebut Argand sebagai penemu bukti tersebut.
None of the proofs mentioned so far is constructive.
Tak satu pun dari bukti yang disebutkan sejauh ini adalah konstruktif.
Another proof of this kind was obtained by Hellmuth Kneser in 1940 and simplified by his son Martin Kneser in 1981.
Bukti lain yang konstruktif diberikan oleh Hellmuth Kneser pada tahun 1940 dan disederhanakan oleh putranya Martin Kneser pada tahun 1981.
Every univariate polynomial of positive degree with complex coefficients has at least one complex root.
Setiap polinomial variabel tunggal berderajat positif dengan koefisien kompleks memiliki setidaknya satu akar kompleks.
This implies immediately the previous assertion, as real numbers are also complex numbers.
Tentunya ini mengimplikasikan pernyataan pada poin sebelumnya, karena semua bilangan real adalah bilangan kompleks.
Every univariate polynomial of positive degree n with complex coefficients can be factorized as c ( x − r 1 ) ⋯ ( x − r n ) , )\cdots (x-r_{n}),} where c , r 1 , … , r n ,\ldots ,r_{n}} are complex numbers.
Setiap polinomial variabel tunggal dengan derajat positif n dengan koefisien kompleks dapat difaktorkan sebagai c ( x − r 1 ) … ( x − r n ) , )\dots (x-r_{n}),} dengan c , r 1 , … , r n ,\dots ,r_{n}} adalah bilangan kompleks.
The n complex numbers r 1 , … , r n ,\ldots ,r_{n}} are the roots of the polynomial.
Bilangan-bilangan kompleks r 1 , r 2 , … , r n ,r_{2},\dots ,r_{n}} adalah akar-akar dari polinomial tersebut.
If a root appears in several factors, it is a multiple root, and the number of its occurrences is, by definition, the multiplicity of the root.
Jika ada akar yang muncul di beberapa faktor, maka akar tersebut merupakan akar ganda dan banyaknya kemunculan akar tersebut merupakan multiplisitas dari akar tersebut.
The proof that this statement results from the previous ones is done by recursion on n: when a root r 1 } has been found, the polynomial division by x − r 1 } provides a polynomial of degree n − 1 whose roots are the other roots of the given polynomial.
Bukti dari ekuivalensi pernyataan ini telah dituliskan di atas melalui rekursi pada n : misalkan r 1 } diketahui sebagai akar dari suatu polinomial, maka polinomial tersebut habis dibagi faktor x − r 1 } dan hasil baginya adalah polinomial berderajat n − 1 yang akar-akarnya adalah akar-akar lain dari polinomial yang diberikan.
These statements can be proved from previous factorizations by remarking that, if r is a non-real root of a polynomial with real coefficients, its complex conjugate r ¯ }} is also a root, and ( x − r ) ( x − r ¯ ) })} is a polynomial of degree two with real coefficients (this is the complex conjugate root theorem).
Kedua pernyataan ini dapat dibuktikan dengan faktorisasi sebelumnya, dengan mengobservasi bahwa jika r adalah akar nonreal dari polinomial dengan koefisien real, maka r ¯ }} adalah akar dari polinomial tersebut dan ( x − r ) ( x − r ¯ ) })} merupakan polinomial real berderajat dua.
Every univariate polynomial with real coefficients of degree larger than two has a factor of degree two with real coefficients.
Setiap polinomial variabel tunggal dengan koefisien real yang berderajat lebih besar daripada dua memiliki faktor berderajat dua dengan koefisien real.
Every univariate polynomial with real coefficients of positive degree can be factored as c p 1 ⋯ p k , \cdots p_{k},} where c is a real number and each p i } is a monic polynomial of degree at most two with real coefficients.
Setiap polinomial variabel tunggal dengan koefisien real yang berderajat positif dapat difaktorkan sebagai c p 1 … p k , \dots p_{k},} dengan c adalah bilangan real dan setiap p i } adalah polinomial monik berderajat maksimal dua dengan koefisien real.
All proofs below involve some mathematical analysis, or at least the topological concept of continuity of real or complex functions.
Semua bukti di bawah ini melibatkan konsep dari analisis matematika, atau setidaknya konsep topologis kekontinuan dari fungsi real atau kompleks.
Some proofs of the theorem only prove that any non-constant polynomial with real coefficients has some complex root.
Beberapa bukti teorema ini hanya membuktikan bahwa polinomial tak konstan apapun dengan koefisien real memiliki akar yang kompleks.
The minimum of |p(z)| on D, which must exist since D is compact, is therefore achieved at some point z0 in the interior of D, but not at any point of its boundary.
Nilai minimal dari | p ( z ) | pada himpunan D ada, sebab D adalah himpunan kompak, sehingga nilai minimum tersebut tercapai di suatu titik interior z 0 } dari himpunan D , bukan di titik batas dari himpunan D .
The maximum modulus principle applied to 1/p(z)
Prinsip modulus maksimum (diterapkan ke 1 / p ( z ) )
In other words, z0 is a zero of p(z).
kemudian menunjukkan bahwa p ( z 0 )
A variation of this proof does not require the maximum modulus principle (in fact, a similar argument also gives a proof of the maximum modulus principle for holomorphic functions).
Variasi dari bukti ini tidak memerlukan penggunaan prinsip modulus maksimum (pada kenyataannya, argumen yang sama dengan perubahan kecil memberikan bukti prinsip modulus maksimum untuk fungsi holomorfik).
For z sufficiently close to z0 this function has behavior asymptotically similar to the simpler polynomial q ( z )
Untuk z yang cukup dekat dengan z 0 } , fungsi ini memiliki perilaku yang secara asimtotik sama dengan polinomial q ( z )
More precisely, the function | p ( z ) − q ( z ) ( z − z 0 ) k + 1 | ≤ M {(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq M} for some positive constant M in some neighborhood of z0.
Lebih tepatnya, hal ini dapat dituliskan sebagai | p ( z ) − q ( z ) ( z − z 0 ) k + 1 | ≤ M {(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq M} untuk suatu konstanta positif M di suatu lingkungan dari z 0 } .
Therefore, if we define θ 0( arg ⁡ ( a ) + π − arg ⁡ ( c k ) ) / k(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k} and let zz 0 + r e i θ 0 +re^{i\theta _{0}}} tracing a circle of radius r > 0 around z, then for any sufficiently small r (so that the bound M holds), we see that | p ( z ) | ≤ | q ( z ) | + r k + 1 | p ( z )
Oleh karena itu, misalkan θ( arg ⁡ ( a ) + π − arg ⁡ ( c k ) ) / k ))/k} dan zz 0 + r e i θ +re^{i\theta }} , maka untuk suatu bilangan positif r yang cukup kecil (sedemikian sehingga hingga batas M yang disebutkan di atas berlaku), | p ( z ) | ≤ | q ( z ) | + r k + 1 | p ( z ) − q ( z ) r k + 1 | ≤ | a + ( − 1 ) c k r k e i ( arg ⁡ ( a ) − arg ⁡ ( c k ) ) | + M r k + 1| a | − | c k | r k + M r k + 1 .
− q ( z ) r k + 1 | ≤ | a + ( − 1 ) c k r k e i ( arg ⁡ ( a ) − arg ⁡ ( c k ) ) | + M r k + 1| a | − | c k | r k + M r k + 1 |p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}} When r is sufficiently close to 0
|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}.\end{aligned}}} Apabila r cukup dekat dengan 0 , argumen di atas mengakibatkan batas atas dari | p ( z ) | lebih kecil daripada | a | {
Another analytic proof can be obtained along this line of thought observing that, since |p(z)| > |p(0)| outside D, the minimum of |p(z)| on the whole complex plane is achieved at z0.
Bukti analitik lain dapat diperoleh dengan mengamati bahwa | p ( z ) | > | p ( z 0 ) | )|} di luar D mengakibatkan nilai minimum | p ( z ) | di seluruh bidang kompleks dicapai di z 0 } .
If |p(z0)| > 0, then 1/p is a bounded holomorphic function in the entire complex plane since, for each complex number z, |1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|.
Jika | p ( z 0 ) | > 0 )|>0} , maka 1 / p ( z ) adalah fungsi holomorfik terbatas di seluruh bidang kompleks, karena | 1 / p ( z ) | ≤ | 1 / p ( z 0 ) | )|} untuk setiap bilangan kompleks z .
For each r > R, consider the number 1 2 π i ∫ c ( r ) p ′ ( z ) p ( z )
Untuk setiap r > R , tinjau bilangan N1 2 π i ∫ c ( r ) p ′ ( z ) p ( z )
On the other hand, the integral of n/z along c(r) divided by 2πi is equal to n. But the difference between the two numbers is 1 2 π i ∫ c ( r ) ( p ′ ( z ) p ( z )
Di sisi lain, hasil dari pembagian integral dari n / z sepanjang kontur c ( r ) oleh 2 π i sama dengan n .
{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.} The numerator of the rational expression being integrated has degree at most n − 1 and the degree of the denominator is n + 1.
{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.} Pembilang dari bentuk rasional yang diintegralkan berderajat paling besar n − 1 , sedangkan penyebutnya berderajat n + 1 .
To establish that every complex polynomial of degree n > 0 has a zero, it suffices to show that every complex square matrix of size n > 0 has a (complex) eigenvalue.
Memperlihatkan bahwa setiap polinomial kompleks berderajat n > 0 memiliki pembuat nol dapat dilakukan dengan hanya menunjukkan bahwa setiap matriks persegi n × n dengan entri kompleks
The proof of the latter statement is by contradiction.
Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan kontradiksi.
− 1 , -A)^{-1},} which is a meromorphic function on the complex plane with values in the vector space of matrices.
− 1 -A)^{-1}} adalah fungsi meromorfik pada bidang kompleks dengan kodomain ruang vektor matriks dengan entri kompleks.
Since, by assumption, A has no eigenvalues, the function R(z) is an entire function and Cauchy theorem implies that ∫ c ( r ) R ( z ) d z0. R(z)\,dz=0.}
Karena diasumsikan A tidak memiliki nilai eigen, fungsi R ( z ) adalah fungsi entire dan Teorema Cauchy mengimplikasikan bahwa ∫ c ( r ) R ( z )
Then ∫ c ( r ) R ( z )
Misalkan r > ‖ A ‖ .
d z∑ k0 ∞ ∫ c ( r ) d z z k + 1 A k2 π i I n R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}} (in which only the summand k0 has a nonzero integral).
d z∑ k0 ∞ ∫ c ( r ) d z z k + 1 A k + 12 π i I n R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k+1}=2\pi iI_{n}} (hanya untuk k0 integran pada suku deret tersebut bernilai tak nol).
This is a contradiction, and so A has an eigenvalue.
Ini adalah kontradiksi, sehingga A memiliki nilai eigen.
Finally, Rouché's theorem gives perhaps the shortest proof of the theorem.
Terakhir, aplikasi Teorema Rouche memberikan bukti dari teorema dasar aljabar yang barangkali paling singkat.
We can write p(z) as a polynomial in z − z0: there is some natural number k and there are some complex numbers ck, ck + 1, ..., cn such that ck ≠ 0 and: p ( z )
Fungsi p ( z ) dapat dituliskan sebagai polinomial dengan variabel ( z − z 0 ) )} : ada suatu bilangan asli k dan bilangan-bilangan kompleks c k , c k + 1 , … , c n ,c_{k+1},\dots ,c_{n}} dengan c k ≠ 0 \neq 0} dan: p ( z )
It maps any circle |z|R into a closed loop, a curve P(R).
Pemetaan ini memetakan lingkaran | z |R ke suatu gelung tertutup (closed loop), kurva P ( R ) .
When z traverses the circle R e i θ } once counter-clockwise ( 0 ≤ θ ≤ 2 π ) , then z nR n e i n θR^{n}e^{in\theta }} winds n times counter-clockwise ( 0 ≤ θ ≤ 2 π n ) around the origin (0,0), and P(R) likewise.
Apabila z mengitari lingkaran R e i θ } sekali berlawanan arah jarum jam ( 0 ≤ θ ≤ 2 π ) , maka z nR n e i n θR^{n}e^{in\theta }} mengitari titik pusat n kali secara berlawanan arah jarum jam ( 0 ≤ θ ≤ 2 π n ) , dan begitu pula P ( R ) .
At the other extreme, with |z|0, the curve P(0) is merely the single point p(0), which must be nonzero because p(z) is never zero.
Pada kondisi ekstrem lain, apabila | z |0 , kurva P ( 0 ) hanyalah titik p ( 0 ) , yang tidak sama dengan nol, karena p ( z ) tidak pernah nol.
Therefore, p(z) has at least one zero.
kemudian menunjukkan bahwa p ( z 0 )
These proofs of the Fundamental Theorem of Algebra must make use of the following two facts about real numbers that are not algebraic but require only a small amount of analysis (more precisely, the intermediate value theorem in both cases): every polynomial with an odd degree and real coefficients has some real root; every non-negative real number has a square root.
Bukti teorema fundamental aljabar ini harus menggunakan dua fakta berikut tentang bilangan real yang bukan fakta aljabar tetapi hanya memerlukan sedikit analisis, yaitu teorema nilai antara: setiap polinomial berderajat ganjil dengan koefisien real memiliki setidaknya satu akar real; setiap bilangan riil nonnegatif memiliki akar kuadrat.
As mentioned above, it suffices to check the statement "every non-constant polynomial p(z) with real coefficients has a complex root".
Seperti yang disebutkan di atas, teorema ini cukup dibuktikan dengan memeriksa pernyataan "setiap polinomial nonkonstan p ( z ) dengan koefisien real berderajat n memiliki akar kompleks".
If k0, then n is odd, and therefore p(z) has a real root.
Jika k0 , maka n adalah bilangan ganjil, sehingga p ( z ) memiliki akar real.
(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).} Then the coefficients of qt(z) are symmetric polynomials in the zi with real coefficients.
(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).} Maka, koefisien dari q t ( z ) (z)} adalah polinomial simetris dalam z i } dengan koefisien real.
Furthermore, the degree of qt(z) is n(n − 1)/22k−1m(n − 1), and m(n − 1) is an odd number.
Lebih jauh lagi, derajat dari polinomial q t ( z ) (z)} adalah n ( n − 1 ) / 22 k − 1 m ( n − 1 ) , m(n-1),} dan m ( n − 1 ) adalah bilangan ganjil.
So, using the induction hypothesis, qt has at least one complex root; in other words, zi + zj + tzizj is complex for two distinct elements i and j from {1, ..., n}.
Dengan menggunakan hipotesis induksi, polinomial q t } memiliki setidaknya satu akar kompleks, sehingga ini berarti z i + z j + t z i z j +z_{j}+tz_{i}z_{j}} adalah bilangan kompleks untuk dua bilangan asli
Since there are more real numbers than pairs (i, j), one can find distinct real numbers t and s such that zi + zj + tzizj and zi + zj + szizj are complex (for the same i and j).
Karena banyaknya bilangan real lebih banyak daripada banyaknya pasangan ( i , j ) yang mungkin, terdapat dua bilangan real berbeda t dan s sehingga z i + z j + t z i z j +z_{j}+tz_{i}z_{j}}
So, both zi + zj and zizj are complex numbers.
Akibatnya, z i + z j +z_{j}} dan z i z j z_{j}} keduanya adalah bilangan kompleks.
It follows that zi and zj are complex numbers, since they are roots of the quadratic polynomial z2 − (zi + zj)z + zizj.
Akibatnya, z i } dan z j } adalah bilangan kompleks, karena keduanya merupakan akar dari persamaan polinomial kuadrat z 2 − ( z i + z j ) z + z i z j -(z_{i}+z_{j})z+z_{i}z_{j}} .
If we take a field where −1 has no square root, and every polynomial of degree n ∈ I has a root, where I is any fixed infinite set of odd numbers, then every polynomial f(x) of odd degree has a root (since (x2 + 1)kf(x) has a root, where k is chosen so that deg(f) + 2k ∈ I).
Pada lapangan yang memiliki akar kuadrat dari − 1 , jika setiap polinomial berderajat n ∈ I memiliki akar ( I adalah suatu himpunan tak hingga yang tidak memiliki anggota bilangan genap), maka setiap polinomial f ( x )
Another algebraic proof of the fundamental theorem can be given using Galois theory.
Metode lain untuk membuktikan teorema dasar ini adalah dengan menggunakan teori Galois, cukup dengan menunjukkan bahwa C } tidak memiliki perluasan lapangan sejati.
Let G be the Galois group of this extension, and let H be a Sylow 2-subgroup of G, so that the order of H is a power of 2, and the index of H in G is odd.
Misalkan G adalah grup Galois dari perluasan K / R } , dan H adalah subgrup-2 Sylow dari G , sehingga orde dari H adalah perpangkatan dari bilangan 2 dan indeks subgrup H di G bernilai ganjil.
By the fundamental theorem of Galois theory, there exists a subextension L of K/R such that Gal(K/L)
Dari teorema dasar teori Galois, terdapat subperluasan L dari K / R } sedemikian sehingga G a l ( K / L )H (K/L)=H} .
As [L:R][G:H] is odd, and there are no nonlinear irreducible real polynomials of odd degree, we must have LR, thus
[ L : R ][ G : H ] ]=[G:H]} bernilai ganjil dan tidak ada polinomial real nonlinear berderajat ganjil yang tidak dapat direduksi, maka LR } , sehingga
However, C has no extension of degree 2, because every quadratic complex polynomial has a complex root, as mentioned above.
Akan tetapi, lapangan C } tidak memiliki perluasan berderajat 2, sebab setiap polinomial kompleks kuadrat memiliki akar kompleks, sebagaimana yang telah disebutkan di atas.
Every polynomial in one variable z with complex coefficients is the product of a complex constant and polynomials of the form z + a with a complex.
Setiap polinomial variabel tunggal z dengan koefisien kompleks adalah hasil kali dari suatu konstanta kompleks dan faktor-faktor linear berbentuk z + a , dengan a suatu bilangan kompleks.
Every polynomial in one variable x with real coefficients can be uniquely written as the product of a constant, polynomials of the form x + a with a real, and polynomials of the form x2 + ax + b with a and b real and a2 − 4b < 0 (which is the same thing as saying that the polynomial x2 + ax + b has no real roots).
Setiap polinomial variabel tunggal x dengan koefisien real dapat secara unik dituliskan sebagai hasil kali konstanta x + a dengan a real, dan polinomial berbentuk x 2 + b x + c +bx+c} dengan b , c real dan b 2 − 4 c < 0 -4c<0}
Every rational function in one variable x, with real coefficients, can be written as the sum of a polynomial function with rational functions of the form a/(x − b)n (where n is a natural number, and a and b are real numbers), and rational functions of the form (ax + b)/(x2 + cx + d)n (where n is a natural number, and a, b, c, and d are real numbers such that c2 − 4d < 0).
Setiap fungsi rasional variabel tunggal x dengan koefisien real dapat dituliskan sebagai jumlah fungsi-fungsi polinomial variabel tunggal dengan variabel fungsi rasional berbentuk 1 / ( x − a ) (dengan a bilangan real) dan fungsi-fungsi polinomial variabel tunggal dengan variabel fungsi rasional berbentuk a x + b / ( x 2 + c x + d ) n +cx+d)^{n}} (dengan n bilangan asli, dan a , b , c ,
Every algebraic extension of the real field is isomorphic either to the real field or to the complex field.
Setiap perluasan aljabar dari lapangan bilangan real isomorfis dengan lapangan bilangan real atau lapangan bilangan kompleks.
The simplest result in this direction is a bound on the modulus: all zeros ζ of a monic polynomial z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 +a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}} satisfy an inequality |ζ| ≤ R∞, where R ∞ :1 + max { | a 0 | , … , | a n − 1 | } .
Salah satu hasil terkait lokasi akar polinomial variabel tunggal yang relatif sederhana diberikan oleh batas pada modulus berikut: semua akar ζ pada polinomial monik z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 +a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_{0}} memenuhi pertidaksamaan | ζ | ≤ R ∞ } , dengan R ∞1 + max { | a 0 | , … , | a n − 1 | } .
Thus, the modulus of any solution is also bounded by R 1 :max { 1 , ∑ 0 ≤ k < n | a k | } , :=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},} R p :[ 1 + ( ∑ 0 ≤ k < n | a k | p ) q p ] 1 q , :=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},} for 1 < p < ∞, and in particular R 2 :∑ 0 ≤ k ≤ n | a k | 2 :={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}} (where we define an to mean 1, which is reasonable since 1 is indeed the n-th coefficient of our polynomial).
Maka, modulus dari akar-akar polinomial dibatasi juga oleh R 1 :max { 1 , ∑ 0 ≤ k < n | a k | } , :=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},} R p :[ 1 + ( ∑ 0 ≤ k < n | a k | p ) q p ] 1 q , :=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},} dengan 1 < p < ∞ , dan khususnya, R 2 :∑ 0 ≤ k ≤ n | a k | 2 :={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}} (dengan a n11} , yang masuk akal karena koefisien z n } pada polinomial adalah 1).
The case of a generic polynomial of degree n, P ( z ) :a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 , z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},} is of course reduced to the case of a monic, dividing all coefficients by an ≠ 0.
a n z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 , z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_{0},} tentunya dapat direduksi ke kasus polinomial monik dengan membagi semua koefisien dengan a n ≠ 0 \neq 0} .
Also, in case that 0 is not a root, i.e. a0 ≠ 0, bounds from below on the roots ζ follow immediately as bounds from above on 1 ζ {\zeta }}} , that is, the roots of a 0 z n + a 1 z n − 1 + ⋯ + a n − 1 z + a n .
Jika 0 bukan akar dari polinomial tersebut, i.e. a 0 ≠ 0 \neq 0} , batas bawah dari ζ adalah batas atas dari 1 / ζ , yaitu, akar-akar dari a 0 z n + a 1 z n − 1 + ⋯ + a n − 1 z + a n .
Finally, the distance | ζ − ζ 0 | |} from the roots ζ to any point ζ 0 } can be estimated from below and above, seeing ζ − ζ 0 } as zeros of the polynomial P ( z + ζ 0 ) )} , whose coefficients are the Taylor expansion of P(z) at zζ 0 .
z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\dots +a_{n-1}z+a_{n}.} Dari uraian di atas, batas atas dan batas bawah jarak | ζ − ζ 0 | |} dari akar ζ ke sembarang titik ζ 0 } dapat ditentukan, dengan memandang ζ − ζ 0 } sebagai akar dari polinomial P ( z + ζ 0 ) )} , yang koefisiennya adalah ekspansi Taylor dari P ( z ) pada zζ 0 } .
.} Let ζ be a root of the polynomial z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 ; +a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0};} in order to prove the inequality |ζ| ≤
Untuk membuktikan | ζ | ≤ R p } , misalkan ζ adalah akar dari polinomial z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 ; +a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_{0};} sehingga dapat diasumsikan | ζ | < 1. {
Writing the equation as − ζ na n − 1 ζ n − 1 + ⋯ + a 1 ζ + a 0 ,a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0},} and using the Hölder's inequality we find | ζ | n ≤ ‖ a ‖ p ‖ ( ζ n − 1 , … , ζ , 1 ) ‖ q .
\displaystyle |\zeta |<1.} Maka, − ζ na n − 1 ζ n − 1 + ⋯ + a 1 ζ + a 0 ;a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\dots +a_{1}\zeta +a_{0};} dan dengan menggunakan pertidaksamaan Hölder diperoleh bahwa | ζ | n ≤ ‖ a ‖ p ‖ ( ζ n − 1 , … , ζ , 1 ) ‖ q .
\leq \|a\|_{p}\left\|\left(\zeta ^{n-1},\ldots ,\zeta ,1\right)\right\|_{q}.} Now, if p1, this is | ζ | n ≤ ‖ a ‖ 1 max { | ζ | n − 1 , … , | ζ | , 1 }‖ a ‖ 1 | ζ | n − 1 , \leq \|a\|_{1}\max \left\{|\zeta |^{n-1},\ldots ,|\zeta |,1\right\}=\|a\|_{1}|\zeta |^{n-1},} thus | ζ | ≤ max { 1 , ‖ a ‖ 1 } .
\leq \|a\|_{p}\|(\zeta ^{n-1},\dots ,\zeta ,1)\|_{q}.} Khususnya, jika p1 , | ζ | n ≤ ‖ a ‖ 1 max { | ζ | n − 1 , … , | ζ | , 1 }‖ a ‖ 1 ‖ ζ | n − 1 , \leq \|a\|_{1}\max\{|\zeta |^{n-1},\dots ,|\zeta |,1\}=\|a\|_{1}\|\zeta |^{n-1},} maka | ζ | ≤ max { 1 , ‖ a ‖ 1 } .
Therefore | ζ | ≤ ‖ ( 1 , ‖ a ‖ p ) ‖ qR p \right)\right\|_{q}=R_{p}} holds, for all 1 ≤ p ≤ ∞.
Maka | ζ ‖ ≤ ‖ ( 1 , ‖ a p ‖ ) ‖ qR p , \|)\|_{q}=R_{p},} untuk 1 ≤ p ≤ ∞ .
ISBN 978-2-87647-053-8. Euler, Leonhard (1751), "Recherches sur les racines imaginaires des équations", Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, vol. 5, Berlin, pp.
English translation: Euler, Leonhard (1751), "Investigations on the Imaginary Roots of Equations" (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, vol. 5, Berlin, hlm.
English translation: Euler, Leonhard (1751), "Investigations on the Imaginary Roots of Equations" (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, vol. 5, Berlin, pp.
English translation: Euler, Leonhard (1751), "Investigations on the Imaginary Roots of Equations" (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, vol. 5, Berlin, hlm.
1–31., p. 1, at Google Books – first proof.
1–31., hlm. 1, pada Google Books – first proof.
32–56., p. 32, at Google Books – second proof.
hlm. 32, pada Google Books – second proof.
57–64., p. 57, at Google Books – third proof.
57, pada Google Books – third proof.
71–103., p. 71, at Google Books – fourth proof.
71–103., hlm. 71, pada Google Books – fourth proof.
Kneser, Hellmuth (1940), "Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus", Mathematische Zeitschrift, vol. 46, pp.
Kneser, Hellmuth (1940), "Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus", Mathematische Zeitschrift, vol. 46, hlm.
287–302, doi:10.1007/BF01181442, ISSN 0025-5874, S2CID 120861330 (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
287–302, doi:10.1007/BF01181442, ISSN 0025-5874 (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
Kneser, Martin (1981), "Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra", Mathematische Zeitschrift, vol. 177, no. 2, pp.
Kneser, Martin (1981), "Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra", Mathematische Zeitschrift, vol. 177, no. 2, hlm.
285–287, doi:10.1007/BF01214206, ISSN 0025-5874, S2CID 122310417 (tr.
285–287, doi:10.1007/BF01214206, ISSN 0025-5874 (tr.
Almira, José María; Romero, Alfonso (2007), "Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere", Bulletin of the Belgian Mathematical Society, vol. 14, pp.
Almira, J.M.; Romero, A. (2007), "Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere", Bulletin of the Belgian Mathematical Society, vol. 14, hlm.
341–342, MR 2341569 Almira, José María; Romero, Alfonso (2012), "Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra" (PDF), Differential Geometry – Dynamical Systems, vol. 14, pp.
341–342 Almira, J.M.; Romero, A. (2012), "Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra" (PDF), Differential Geometry – Dynamical Systems, vol. 14, hlm.
1–4, MR 2914638 de Oliveira, Oswaldo Rio Branco (2011), "The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof", The Mathematical Intelligencer, vol. 33, no. 2, pp.
1–4 de Oliveira, O.R.B. (2011), "The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof", Mathematical Intelligencer, vol. 33, no. 2, hlm.
1–2, doi:10.1007/s00283-011-9199-2, MR 2813254, S2CID 5243991 de Oliveira, Oswaldo Rio Branco (2012), "The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations", The American Mathematical Monthly, vol.
1–2, doi:10.1007/s00283-011-9199-2 de Oliveira, O.R.B. (2012), "The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations", American Mathematical Monthly, vol.
119, no. 9, pp.
119, no. 9, hlm.
753–758, arXiv:1110.0165, doi:10.4169/amer.math.monthly.119.09.753, MR 2990933, S2CID 218548926 Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (1997), The Fundamental Theorem of Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94657-3, MR 1454356 Gersten, Stephen M.; Stallings, John R. (1988), "On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra", Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 103, no. 1, pp.
753–758, arXiv:1110.0165, doi:10.4169/amer.math.monthly.119.09.753 Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (1997), The Fundamental Theorem of Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94657-3, MR 1454356 Gersten, S.M.; Stallings, John R. (1988), "On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra", Proceedings of the AMS, vol. 103, no. 1, hlm.
331–332, doi:10.1090/S0002-9939-1988-0938691-3, ISSN 0002-9939, JSTOR 2047574, MR 0938691 Gilain, Christian (1991), "Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral", Archive for History of Exact Sciences, vol.
331–332, doi:10.2307/2047574, ISSN 0002-9939, JSTOR 2047574 Gilain, Christian (1991), "Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral", Archive for History of Exact Sciences, vol.
91–136, doi:10.1007/BF00496870, ISSN 0003-9519, S2CID 121468210 (tr.
91–136, doi:10.1007/BF00496870, ISSN 0003-9519 (tr.
Netto, Eugen; Le Vavasseur, Raymond (1916), "Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental", in Meyer, François; Molk, Jules (eds.), Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol.
Netto, Eugen; Le Vavasseur, Raymond (1916), "Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental", dalam Meyer, François; Molk, Jules (ed.), Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol.
2, Éditions Jacques Gabay (published 1992).
2, Éditions Jacques Gabay (dipublikasikan 1992),
ISBN 978-2-87647-101-6. (tr.
ISBN 978-2-87647-101-6 (tr.
Remmert, Reinhold (1991), "The Fundamental Theorem of Algebra", in Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich (eds.), Numbers, Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97497-2 Shipman, Joseph (2007), "Improving the Fundamental Theorem of Algebra", Mathematical Intelligencer, vol. 29, no. 4, pp.
Remmert, Reinhold (1991), "The Fundamental Theorem of Algebra", dalam Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich (ed.), Numbers, Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97497-2 Shipman, Joseph (2007), "Improving the Fundamental Theorem of Algebra", Mathematical Intelligencer, vol. 29, no. 4, hlm.
9–14, doi:10.1007/BF02986170, ISSN 0343-6993, S2CID 123089882 Smale, Steve (1981), "The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 4 (1): 1–36, doi:10.1090/S0273-0979-1981-14858-8 [3] Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover.
9–14, doi:10.1007/BF02986170, ISSN 0343-6993 Smale, Steve (1981), "The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory", Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, vol. 4, no. 1
Smithies, Frank (2000), "A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra", Notes & Records of the Royal Society, vol. 54, no. 3, pp.
[3] Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover, ISBN 978-0-486-64690-9 Smithies, Frank (2000), "A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra", Notes & Records of the Royal Society, vol. 54, no. 3, hlm.
333–341, doi:10.1098/rsnr.2000.0116, ISSN 0035-9149, S2CID 145593806 Taylor, Paul (2 June 2007), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra – English translation of Gauss's second proof.
333–341, doi:10.1098/rsnr.2000.0116, ISSN 0035-9149 Taylor, Paul (2 June 2007), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra – English translation of Gauss's second proof.
I (7th ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40624-4 Algebra, fundamental theorem of at Encyclopaedia of Mathematics Fundamental Theorem of Algebra — a collection of proofs From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A "Harmonious" Path Gauss's first proof (in Latin) at Google Books Gauss's first proof (in Latin) at Google Books Mizar system proof: https://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74 Prime Factorization Method — Prime Factorization Method explained in detail with Example.
Diarsipkan 2016-06-16 di Wayback Machine., visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A "Harmonious" Path Gauss's first proof (in Latin) pada Google Books Gauss's first proof (in Latin) pada Google Books Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74