If a group acts on a structure, it will usually also act on objects built from that structure.
Jika suatu grup bertindak pada suatu struktur, biasanya juga akan bertindak atas objek yang dibangun dari struktur.
Similarly, the group of symmetries of a polyhedron acts on the vertices, the edges, and the faces of the polyhedron.
Demikian pula, kelompok simetri dari sebuah polihedron bekerja pada simpul, tepi, dan wajah dari polyhedron.
A group action on a vector space is called a representation of the group.
Tindakan grup pada ruang vektor (berdimensi-hingga)] disebut wakilan dari grup.
If G is a group with identity element e , and X is a set, then a (left) group action α of G on X is a function α : G × X → X that satisfies the following two axioms: for all g and h in G and all x in X .
Jika G adalah grup dengan elemen identitas e, dan X adalah himpunan, maka ( kiri ) tindakan grup α dari G pada X adalah sebuah fungsi α : G × X → X , (dengan α(g, x) sering disingkat menjadi gx atau g ⋅ x jika tindakan yang dipertimbangkan sudah jelas dari konteksnya) yang memenuhi dua tindakanoma berikut: untuk g dan h pada G dan x pada X. Grup G dikatakan bertindak atas X (dari kiri).
x ) can be shortened to g ⋅ x or g x , especially when the action is clear from context.
X × G → X , (dengan α(x, g) sering disingkat menjadi xg atau x ⋅ g jika tindakan yang dipertimbangkan jelas dari konteksnya)
Therefore, one may equivalently define a group action of G on X as a group homomorphism from G into the symmetric group
Oleh karena itu, salah satunya dapat secara setara mendefinisikan tindakan grup G pada X sebagai homomorfisme grup dari G ke grup simetris Sym(X) dari semua bias dari X ke dirinya sendiri.
For a right action, g acts first, followed by h second.
Untuk tindakan yang benar, g tindakan pertama, diikuti oleh h detik.
Because of the formula (gh)−1h−1g−1, a left action can be constructed from a right action by composing with the inverse operation of the group.
Karena rumusnya (gh)−1h−1g−1, tindakan kiri dapat dibangun dari tindakan kanan dengan menyusun dengan operasi kebalikan dari grup.
Also, a right action of a group G on X can be considered as a left action of its opposite group Gop on X. Thus, for establishing general properties of a single group action, it suffices to consider only left actions.
Juga, tindakan kanan grup G pada X bisa dianggap sebagai tindakan kiri dari grup berlawanan Gop pada X. Jadi cukup untuk hanya mempertimbangkan tindakan kiri tanpa kehilangan keumuman.
In general, the smallest set on which a faithful action can be defined can vary greatly for groups of the same size.
Kumpulan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan dapat sangat bervariasi untuk grup dengan ukuran yang sama.
This means that given x , y ∈ X there is exactly one g ∈ G such that g ⋅ xy .
x , yang mengirimkan g G x ↦ g ⋅ x \mapsto g\cdot x} .
If X is acted upon simply transitively by a group G then it is called a principal homogeneous space for G or a G -torsor.
y. Dalam hal ini, X disebut sebagai ruang homogen utama untuk G atau torsi G. tindakan grup G pada dirinya sendiri dengan perkalian kiri adalah teratur, dan dengan demikian sesuai juga.
This is strictly stronger than wandering; for instance the action of Z } on R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ^{2}\backslash \{(0,0)\}} given by n ⋅ ( x , y )
Di sisi lain, tindakan Z } pada R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ^{2}\setminus \{(0,0)\}} given by n ⋅ ( x , y )
( 2 n x , 2 − n y ) x,2^{-n}y)} is wandering and free but not properly discontinuous.
( 2 n x , 2 − n y ) x,2^{-n}y)} wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.
The action is said to be proper if the map G × X → X × X defined by ( g , x ) ↦ ( x , g ⋅ x ) is proper.
Layak jika G adalah grup topologi dan peta dari G × X → X × X : ( g , x ) ↦ ( g ⋅ x , x ) adalah layak.
Consider a group G acting on a set X.
Pertimbangkan grup G yang bertindak pada himpunan X .
The orbit of an element x in X is the set of elements in X to which x can be moved by the elements of G.
Orbit dari suatu elemen x dalam X adalah himpunan elemen dalam X di mana x dapat dipindahkan oleh elemen G .
The orbit of x is denoted by G⋅x: G ⋅ x{ g ⋅ x : g ∈ G } .
Orbit x adalah dengan: G ⋅ x{ g ⋅ x ∣ g ∈ G } .
x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.}
=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.}
The group action is transitive if and only if it has exactly one orbit, that is, if there exists x in X with G⋅xX. This is the case if and only
Tindakan kelompok adalah transitif jika dan hanya jika ia memiliki tepat satu orbit, yaitu, jika ada x dalam X dengan G⋅xX.
if G⋅xX for all x in X (given that X is non-empty).
This is the case if and only if G⋅xX untuk semua x dalam X (mengingat bahwa X tidak kosong).
The set of all orbits of X under the action of G is written as X / G (or, less frequently, as G \ X), and is called the quotient of the action.
Himpunan semua orbit X di bawah tindakan G ditulis sebagai X/G (atau, lebih jarang: G\X), dan disebut hasil bagi dari tindakan tersebut.
The coinvariant terminology and notation are used particularly in group cohomology and group homology, which use the same superscript/subscript convention.
Terminologi dan notasi koinvarian digunakan terutama dalam kelompok kohomologi dan grup homologi, yang menggunakan konvensi superskrip/subskrip yang sama.
The subset Y is said to be invariant under G if G⋅YY (which is equivalent G⋅Y ⊆ Y).
Himpunan bagian Y dikatakan invarian di bawah G jika G⋅YY (yang setara dengan G⋅Y ⊆ Y).
In that case, G also operates on Y by restricting the action to Y.
Dalam hal ini, G juga beroperasi pada Y dengan membatasi tindakannya menjadi Y .
The subset Y is called fixed under G if g⋅yy for all g in G and all y in Y.
Himpunan bagian Y disebut tetap di bawah G jika g⋅yy untuk g di G dan semua y di Y .
Every orbit is an invariant subset of X on which G acts transitively.
Setiap orbit adalah himpunan bagian invarian dari X di mana G bertindak secara transitif.
The action of G on X is transitive if and only if all elements are equivalent, meaning that there is only one orbit.
Tindakan G pada X adalah transitif jika dan hanya jika semua elemen setara, artinya hanya ada satu orbit.
The set of all such x is denoted XG and called the G-invariants of X. When X is a G-module, XG is the zeroth cohomology group of G with coefficients in X, and the higher cohomology groups are the derived functors of the functor of G-invariants.
Ketika X adalah Modul-G, XG adalah grup zeroth kohomologi dari G dengan koefisien dalam X , dan kelompok kohomologi yang lebih tinggi adalah functor turunan dari functor dari G -invarian.
Given g in G and x in X with g⋅xx, it is said that "x is a fixed point of g" or that "g fixes x".
Diberikan g dalam G dan x dalam X dengan g⋅xx, dikatakan bahwa " x adalah titik tetap dari g " atau " g memperbaiki x
For every x in X, the stabilizer subgroup of G with respect to x (also called the isotropy group or little group) is the set of all elements in G that fix x: G x{ g ∈ G : g ⋅ xx } .
Untuk setiap x dalam X , subkelompok penstabil dari G sehubungan dengan x (juga disebut grup isotropi atau kelompok kecil )
=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.}
=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.}
This is a subgroup of G, though typically not a normal one.
Ini adalah subgrup dari G , meskipun biasanya bukan yang normal.
The action of G on X is free if and only if all stabilizers are trivial.
Tindakan G pada X adalah bebas jika dan hanya jika semua penstabil trivial.
The kernel N of the homomorphism with the symmetric group, G → Sym(X), is given by the intersection of the stabilizers
Kernel N dari homomorfisme dengan grup simetris, G → Sym(X), diberikan oleh persimpangan dari penstabil Gx untuk x dalam X .
Let x and y be two elements in X, and let g be a group element such that yg⋅x.
Misalkan x dan y menjadi dua elemen dalam X , dan biarkan g menjadi elemen grup sedemikian rupa sehingga yg⋅x.
Then the two stabilizer groups Gx and Gy are related by GygGxg−1.
Kemudian dua grup penstabil Gx dan Gy dihubungkan oleh Gyg Gx g−1.
Proof: by definition, h ∈ Gy if and only if h⋅(g⋅x)g⋅x.
Bukti: menurut definisi, h ∈ Gy jika dan hanya jika h⋅(g⋅x)g⋅x.
Applying g−1 to both sides of this equality yields (g−1hg)⋅xx; that is, g−1hg ∈ Gx.
Menerapkan g −1 ke kedua sisi persamaan ini akan menghasilkan (g−1hg)⋅xx; itu adalah, g−1hg ∈ Gx.
An opposite inclusion follows similarly by taking h ∈
Inklusi yang berlawanan mengikuti dengan cara yang sama dengan mengambil h ∈
The above says that the stabilizers of elements in the same orbit are conjugate to each other.
Hal di atas mengatakan bahwa penstabil unsur-unsur dalam orbit yang sama adalah konjugasi satu sama lain.
Thus, to each orbit, we can associate a conjugacy class of a subgroup of G (that is, the set of all conjugates of the subgroup).
Jadi, untuk setiap orbit, kita dapat mengasosiasikan kelas konjugasi dari subkelompok G (yaitu, himpunan semua konjugasi dari subgrup).
Then the orbit O has type (H) if the stabilizer Gx of some/any x in O belongs to (H).
Kemudian orbit O bertipe ( H ) jika penstabil G x } dari beberapa/sesuatu x pada O milik ( H ) .
A maximal orbit type is often called a principal orbit type.
Jenis orbit mtindakanmal sering disebut jenis orbit utama.
For a fixed x in X, consider the map f : G → X given by g ↦ g⋅x.
Untuk tetap x dalam X , pertimbangkan peta f:G → X diberikan oleh g ↦ g·x.
By definition the image f(G) of this map is the orbit G⋅x.
Menurut definisi gambar f(G) dari peta ini adalah orbit G · x .
x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.}
⟺ g ⋅ xh ⋅ x ⟺ g − 1 h ⋅ xx ⟺ g − 1 h ∈ G x ⟺ h ∈ g G x h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}} . Dengan kata lain, f ( g )
This result is known as the orbit–stabilizer theorem.
Hasil ini dikenal sebagai teorema penstabil orbit .
If G is finite then the orbit–stabilizer theorem, together with Lagrange's theorem, gives | G ⋅ x |[ G : G x ]| G | / | G x | .
Jika G berhingga maka teorema penstabil orbit, bersama dengan Teorema Lagrange, memberikan | G ⋅ x |
]=|G|/|G_{x}|.} In other words, the length of the orbit of x times the order of its stabilizer is the order of the group.
[ G : G x ]| G | / | G x | , ]=|G|/|G_{x}|,} dengan kata lain panjang orbit x kali urutan penstabilnya adalah urutan grup.
In particular that implies that the orbit length is a divisor of the group order.
Secara khusus yang menyiratkan bahwa panjang orbit adalah pembagi dari ordo grup.
Example: Let G be a group of prime order p acting on a set X with k elements.
Contoh: Misalkan G menjadi sekelompok orde utama p yang bekerja pada himpunan X dengan elemen k .
Since each orbit has either 1 or p elements, there are at least k mod p orbits of length 1 which are G-invariant elements.
Karena setiap orbit memiliki elemen 1 atau p , setidaknya ada k mod p }} orbit dengan panjang 1 yang merupakan G elemen invarian.
This result is especially useful since it can be employed for counting arguments (typically in situations where X is finite as well).
Hasil ini sangat berguna karena dapat digunakan untuk menghitung argumen (biasanya dalam situasi di mana X juga terbatas).
Example: We can use the orbit–stabilizer theorem to count the automorphisms of a graph.
Contoh: Kita dapat menggunakan teorema penstabil orbit untuk menghitung automorfisme dari sebuah graf.
Consider the cubical graph as pictured, and let G denote its automorphism group.
Pertimbangkan grafik kubik seperti yang digambarkan, dan biarkan G menunjukkan grup keautomorfan.
Thus, by the orbit–stabilizer theorem, |G||G ⋅ 1| |G1|8 |G1|.
Jadi, dengan teorema penstabil orbit, | G || G ⋅ 1 | | G 1 |8 | G 1 | |=8|G_{1}|} .
Applying the theorem now to the stabilizer G1, we can obtain |G1||(G1)
Menerapkan teorema sekarang ke penstabil G 1 , kita bisa mendapatkan | G 1 || ( G 1 ) ⋅ 2 | | ( G 1 ) 2 | |=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|} .
Any element of G that fixes 1 must send 2 to either 2, 4, or 5.
Setiap elemen G yang menetapkan 1 harus mengirim 2 ke 2, 4, atau 5.
As an example of such automorphisms consider the rotation around the diagonal axis through 1 and 7 by 2π/3, which permutes 2, 4, 5 and 3, 6, 8, and fixes 1 and 7.
Sebagai contoh automorfisme tersebut pertimbangkan rotasi di sekitar sumbu diagonal melalui 1 dan 7 oleh 2 π / 3 yang membolehkan 2,4,5 dan 3,6,8, dan fix 1 dan 7.
Any element of G that fixes 1 and 2 must send 3 to either 3 or 6.
Setiap elemen G yang menetapkan 1 dan 2 harus mengirim 3 ke 3 atau 6.
One also sees that ((G1)2)3 consists only of the identity automorphism, as any element of G fixing 1, 2 and 3 must also fix all other vertices, since they are determined by their adjacency to 1, 2 and 3.
Salah satunya juga melihat bahwa ( ( G 1 ) 2 ) 3 )_{2})_{3}} hanya terdiri dari automorfisme identitas, karena setiap elemen dari G yang memperbaiki 1, 2 dan 3 juga harus memperbaiki semua simpul lainnya, karena mereka ditentukan oleh kedekatannya dengan 1, 2 dan 3.
Combining the preceding calculations, we can now obtain |G|8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 148.
Menggabungkan perhitungan sebelumnya, sekarang kita bisa mendapatkan | G |8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 148 .
Gain graph Group with operators Measurable group action Monoid action Young–Deruyts development Aschbacher, Michael (2000).
Tindakan grup terukurkan Graf gain Grup dengan operator Tindakan monoidKutipan
Dummit, David; Richard Foote (2003).
Dummit, David; Richard Foote (2004).
Abstract Algebra (3rd ed.).
Abstract Algebra (Edisi 3rd).
Graduate Texts in Mathematics 148 (4th ed.).
Graduate Texts in Mathematics 148 (Edisi 4th).