In mathematics, projective geometry is the study of geometric properties that are invariant with respect to projective transformations.
Di dalam matematika, geometri projektif adalah kajian sifat-sifat geometris yang invarian di bawah transformasi projektif.
This means that, compared to elementary Euclidean geometry, projective geometry has a different setting (projective space) and a selective set of basic geometric concepts.
Ini berarti bahwa geometri projektif memiliki tatanan, ruang projektif, dan himpunan selektif yang berbeda dibandingkan konsep-konsep geometri elementer.
The basic intuitions are that projective space has more points than Euclidean space, for a given dimension, and that geometric transformations are permitted that transform the extra points (called "points at infinity") to Euclidean points, and vice versa.
Intuisi-intuisi dasarnya adalah bahwa ruang projektif memiliki lebih banyak titik daripada ruang euklides, di dalam dimensi yang diberikan, dan bahwa
Properties meaningful for projective geometry are respected by this new idea of transformation, which is more radical in its effects than can be expressed by a transformation matrix and translations (the affine transformations).
Sifat-sifat yang penuh makna di dalam geometri projektif disokong oleh gagasan baru transformasi ini, yang lebih radikal dalam efek-efeknya dibanding keterekspresiannya oleh suatu matriks transformasi dan translasi (transformasi afin).
Unlike in Euclidean geometry, the concept of an angle does not apply in projective geometry, because no measure of angles is invariant with respect to projective transformations, as is seen in perspective drawing from a changing perspective.
Tidaklah mungkin untuk memperbincangkan sudut dalam geometri projektif karena ia ada dalam geometri euklides, karena sudut adalah sebuah contoh dari konsep yang tidak invarian di bawah transformasi projektif, seperti yang tampak jelas dalam gambar perspektif.
One source for projective geometry was indeed the theory of perspective.
Satu sumber untuk geometri projektif adalah tentu saja teori perspektif.
Again this notion has an intuitive basis, such as railway tracks meeting at the horizon in a perspective drawing.
Dan lagi, gagasan ini memiliki landasan intuitif, misalnya rel kereta api yang bertemu di cakrawala menurut gambar perspektif.
See Projective plane for the basics of projective geometry in two dimensions.
Lihatlah bidang projektif untuk dasar-dasar geometri projektif dalam dua dimensi.
While the ideas were available earlier, projective geometry was mainly a development of the 19th century.
Sementara beberapa gagasan telah hadir terlebih dahulu, geometri projektif sebagian besarnya merupakan hasil pengembangan dari abad ke-19.
This included the theory of complex projective space, the coordinates used (homogeneous coordinates) being complex numbers.
Geometri projektif adalah teori tentang ruang projektif kompleks, karena koordinat-koordinat yang digunakan (koordinat homogen) adalah bilangan kompleks.
Several major types of more abstract mathematics (including invariant theory, the Italian school of algebraic geometry, and Felix Klein's Erlangen programme resulting in the study of the classical groups) were motivated by projective geometry.
Beberapa lembaran utama matematika yang lebih abstrak (termasuk teori invarian, mazhab Italia geometri aljabar, dan program Erlangen-nya Felix Klein yang mengarah pada kajian grup klasik) dibangun di atas geometri aljabar.
Projective geometry is an elementary non-metrical form of geometry, meaning that it does not support any concept of distance.
Geometri projektif adalah sebuah bentuk tak-metrik elementer dari geometri, artinya bahwa geometri projektif tidak didasarkan pada konsep jarak.
In two dimensions it begins with the study of configurations of points and lines.
Di dalam dua dimensi, geometri projektif bermula dengan kajian konfigurasi titik dan garis.
In higher dimensional spaces there are considered hyperplanes (that always meet), and other linear subspaces, which exhibit the principle of duality.
Di dalam ruang-ruang yang berdimensi lebih tinggi terdapat hiperbidang dan subruang linear lainnya, yang memperlihatkan prinsip dualitas.
The simplest illustration of duality is in the projective plane, where the statements "two distinct points determine a unique line" (i.e. the line through them) and "two distinct lines determine a unique point" (i.e. their point of intersection) show the same structure as propositions.
Ilustrasi paling sederhana dari dualitas adalah dalam bidang projektif, di mana pernyataan "dua titik yang berbeda menentukan sebuah garis unik" (yakni garis yang melaluinya) dan "dua garis yang berbeda menentukan satu titik unik" (yakni titik perpotongannya) menunjukkan struktur yang sama sebagai proposisi.
Projective geometry can also be seen as a geometry of constructions with a straight-edge alone, excluding compass constructions, common in straightedge and compass constructions.
Geometri projektif dapat juga dipandang sebagai geometri konstruksi dengan hanya satu straightedge (sisi-lurus).
It was realised that the theorems that do apply to projective geometry are simpler statements.
Dimaklumi bahwa teorema-teorema yang digunakan di dalam geometri projektif adalah pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana.
For example, the different conic sections are all equivalent in (complex) projective geometry, and some theorems about circles can be considered as special cases of these general theorems.
Misalnya irisan-irisan kerucut yang berbeda adalah semuanya ekivalen di dalam geometri projektif (kompleks), dan beberapa teorema mengenai lingkaran dapat dilihat sebagai kasus khusus dari teorema-teorema umum ini.
During the early 19th century the work of Jean-Victor Poncelet, Lazare Carnot and others established projective geometry as an independent field of mathematics.
Pada permulaan abad ke-19, karya Poncelet, Lazare Carnot, dan yang lainnya mendirikan geometri projektif sebagai cabang tersendiri dari matematika.
Its rigorous foundations were addressed by Karl von Staudt and perfected by Italians Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa and Gino Fano during the late 19th century.
Dasar-dasar yang saksama ini diajukan oleh Karl von Staudt dan disempurnakan oleh orang Italia Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa, dan Gino Fano pada penghujung abad ke-19.
Projective geometry, like affine and Euclidean geometry, can also be developed from the Erlangen program of Felix Klein; projective geometry is characterized by invariants under transformations of the projective group.
Geometri projektif, seperti geometri afin dan geometri euklides, dapat juga dikembangkan dari program Erlangen-nya Felix Klein; geometri projektif dikarakterisasi oleh invarian-invarian di bawah transformasi-transformasi grup projektif.
After much work on the very large number of theorems in the subject, therefore, the basics of projective geometry became understood.
Setelah banyak karya yang memuat sedemikian banyaknya teorema dalam subjek ini, dasar-dasar geometri projektif menjadi lebih terpahami.
An algebraic model for doing projective geometry in the style of analytic geometry is given by homogeneous coordinates.
Sebuah model aljabar untuk mengerjakan geometri projektif di dalam gaya geometri analitik diberikan oleh koordinat-koordinat homogen.
In a foundational sense, projective geometry and ordered geometry are elementary since they each involve a minimal set of axioms and either can be used as the foundation for affine and Euclidean geometry.
Di dalam artian yang mendasar, geometri projektif dan geometri terurut adalah elementer karena mereka melibatkan aksioma sesedikit mungkin dan kedua-duanya dapat digunakan sebagai fondasi bagi geometri afin dan geometri euklides.
Projective geometry is not "ordered" and so it is a distinct foundation for geometry.
Geometri projektif tidaklah "terurut" dan dengan demikian geometri projektif adalah fondasi yang berbeda dari geometri.
Projective geometry is less restrictive than either Euclidean geometry or affine geometry.
Geometri projektif tidaklah begitu mengungkung bila dibandingkan dengan geometri euklides atau geometri afin.
Under the projective transformations, the incidence structure and the relation of projective harmonic conjugates are preserved.
Di bawah transformasi projektif, struktur insidensi dan relasi sekawan harmonik projektif dipelihara.
In essence, a projective geometry may be thought of as an extension of Euclidean geometry in which the "direction" of each line is subsumed within the line as an extra "point", and in which a "horizon" of directions corresponding to coplanar lines is regarded as a "line".
Intinya, geometri projektif dapat dipikirkan sebagai perluasan geometri euklides di mana "arah" tiap-tiap garis dimasukkan ke dalam garis sebagai "titik" ekstra, dan di mana sebuah "cakrawala" arah yang berpadanan dengan garis-garis koplanar dipandang sebagai "garis".
Thus, two parallel lines meet on a horizon line by virtue of their incorporating the same direction.
Dengan demikian, dua garis sejajar bertemu pada garis mendatar karena mereka memiliki arah yang sama.
Because Euclidean geometry is contained within a projective geometry—with projective geometry having a simpler foundation—general results in Euclidean geometry may be derived in a more transparent manner, where separate but similar theorems of Euclidean geometry may be handled collectively within the framework of projective geometry.
Karena geometri euklides dibahas di dalam geometri projektif, di mana geometri projektif memiliki fondasi yang lebih sederhana, hasil-hasil umum dalam geometri euklides boleh jadi tiba di dalam gaya yang lebih transparan, di mana teorema-teorema yang terpisah tetapi serupa di dalam geometri euklides dapat ditangani secara kolektif di dalam kerangka kerja geometri projektif.
In projective spaces of dimension 3 or greater there is a construction that allows one to prove Desargues' Theorem.
Di dalam ruang projektif berdimensi tiga atau lebih besar, terdapat suatu konstruksi yang membolehkan seseorang untuk membuktikan Teorema Desargues.
But for dimension 2, it must be separately postulated.
Tetapi untuk dimensi dua, ia mesti dipostulatkan secara terpisah.
Using Desargues' Theorem, combined with the other axioms, it is possible to define the basic operations of arithmetic, geometrically.
Dengan bantuan Teorema Desargues, dipadukan dengan aksioma-aksioma lain, adalah dimungkinkan untuk mendefinisikan operasi-operasi dasar aritmetika secara geometris.
There are advantages to being able to think of a hyperbola and an ellipse as distinguished only by the way the hyperbola lies across the line at infinity; and that a parabola is distinguished only by being tangent to the same line.
Terdapat keuntungan-keuntungan yang jelas ketika seseorang mampu memikirkan hiperbola dan elips sebagai dua hal yang berbeda hanya dari fakta bahwa hiperbola terletak melintasi garis di ketakhinggaan; dan bahwa parabola dibedakan hanya oleh tangen terhadap garis yang sama.
The whole family of circles can be considered as conics passing through two given points on the line at infinity — at the cost of requiring complex coordinates.
Seluruh keluarga lingkaran dapat dipandang sebagai kerucut-kerucut yang melalui dua titik yang diberikan pada garis di ketakhinggaan—memerlukan koordinat-koordinat kompleks.
Since coordinates are not "synthetic", one replaces them by fixing a line and two points on it, and considering the linear system of all conics passing through those points as the basic object of study.
Karena koordinat tidaklah "sintetik", seseorang menggantinya dengan menetapkan sebuah garis dan dua titik padanya, dan memandang sistem linear semua kerucut melalui titik-titik itu sebagai objek dasar pengkajian.
Filippo Brunelleschi (1404–1472) started investigating the geometry of perspective during 1425 (see Perspective (graphical) § History for a more thorough discussion of the work in the fine arts that motivated much of the development of projective geometry).
Filippo Brunelleschi (1404–1472) mulai menyelidiki geometri perspektif pada tahun 1425 (lihatlah sejarah perspektif untuk pembahasan lebih lanjut tentang karya dalam bidang seni rupa yang memotivasi banyak pengembangan geometri projektif).
Desargues developed an alternative way of constructing perspective drawings by generalizing the use of vanishing points to include the case when these are infinitely far away.
Desargues mengembangkan cara alternatif untuk membikin gambar perspektif dengan memperumum penggunaan titik hilang untuk menyertakan kasus ketika titik-titik ini berjarak jauh tak terhingga.
He made Euclidean geometry, where parallel lines are truly parallel, into a special case of an all-encompassing geometric system.
Dia membuat geometri euklides, di mana garis-garis sejajar adalah benar-benar sejajar, ke dalam kasus khusus dari sistem geometri yang meliputi semuanya.
Desargues's study on conic sections drew the attention of 16-year-old Blaise Pascal and helped him formulate Pascal's theorem.
Pengkajian Desargues terhadap bagian-bagian kerucut melukiskan perhatian seorang Blaise Pascal yang berumur 16 tahun dan membantunya merumuskan teorema Pascal.
The works of Gaspard Monge at the end of 18th and beginning of 19th century were important for the subsequent development of projective geometry.
Karya-karya Gaspard Monge pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19 adalah penting bagi pengembangan geometri projektif berikutnya.
The work of Desargues was ignored until Michel Chasles chanced upon a handwritten copy during 1845.
Karya Desargues diabaikan sampai Michel Chasles berkesempatan membaca salinan sebuah tulisan tangan pada tahun 1845.
Meanwhile, Jean-Victor Poncelet had published the foundational treatise on projective geometry during 1822.
Sementara itu, Jean-Victor Poncelet telah menerbitkan risalah dasar tentang geometri projektif pada tahun 1822.
The non-Euclidean geometries discovered soon thereafter were eventually demonstrated to have models, such as the Klein model of hyperbolic space, relating to projective geometry.
Geometri non-euklides yang ditemukan tak lama kemudian sebenarnya diperagakan untuk mendapatkan model-model, seperti model Klein tentang ruang hiperbolik, yang berhubungan dengan geometri projektif.
The work of Poncelet, Jakob Steiner and others was not intended to extend analytic geometry.
Karya Poncelet, Steiner dan lain-lain tidak ditujukan untuk memperluas geometri analitik.
Techniques were supposed to be synthetic: in effect projective space as now understood was to be introduced axiomatically.
Teknik-teknik ini dianggap sebagai geometri sintetis: pengaruhnya, ruang projektif yang kini dipahami dulunya diperkenalkan secara aksiomatis.
As a result, reformulating early work in projective geometry so that it satisfies current standards of rigor can be somewhat difficult.
Hasilnya, perumusan kembali karya dini tentang geometri projektif supaya ia memenuhi standar-standar kekakuan saat ini kadang-kadang dapat menjadi sulit.
Even in the case of the projective plane alone, the axiomatic approach can result in models not describable via linear algebra.
Bahkan dalam kasus bidang projektif sendiri, pendekatan aksiomatis terhadap model tidak dapat dijelaskan melalui aljabar linear.
This period in geometry was overtaken by research on the general algebraic curve by Clebsch, Riemann, Max Noether and others, which stretched existing techniques, and then by invariant theory.
Periode ini dalam geometri telah diambil-alih oleh penelitian mengenai kurva aljabar umum oleh Clebsch, Riemann, Max Noether, dan lain-lain, yang merentangkan teknik-teknik yang telah ada, dan kemudian oleh teori invarian.
During the later part of the 19th century, the detailed study of projective geometry became less fashionable, although the literature is voluminous.
Pada bagian akhir abad ke-19, kajian rinci tentang geometri projektif menjadi kurang bergaya lagi, meski pustaka yang membahasnya sangat banyak.
Some important work was done in enumerative geometry in particular, by Schubert, that is now considered as anticipating the theory of Chern classes, taken as representing the algebraic topology of Grassmannians.
Beberapa karya penting telah dibikin dalam bidang geometri enumeratif khususnya, oleh Schubert, yang kini dipandang sebagai antisipasi teori kelas Chern, diambil untuk menyajikan topologi aljabar Grassmannian.
There are many projective geometries, which may be divided into discrete and continuous: a discrete geometry comprises a set of points, which may or may not be finite in number, while a continuous geometry has infinitely many points with no gaps in between.
Ada banyak geometri projektif, yang dapat digolongkan sebagai diskret dan kontinu: geometri diskret terdiri dari sehimpunan titik-titik, yang banyaknya bisa saja berhingga atau tidak berhingga; sedangkan geometri kontinu memiliki tak-hingga banyaknya titik tanpa jarak di antaranya.
The only projective geometry of dimension 0 is a single point.
Satu-satunya geometri projektif berdimensi 0 (nol) adalah sebuah titik tunggal.
A projective geometry of dimension 1 consists of a single line containing at least 3 points.
Geometri projektif berdimensi 1 (satu) terdiri dari sebuah garis tunggal yang memuat paling sedikit 3 (tiga) titik.
The geometric construction of arithmetic operations cannot be performed in either of these cases.
Konstruksi geometris dari operasi aritmetika tidak dapat dilakukan dalam kedua-dua kasus ini.
For dimension 2, there is a rich structure in virtue of the absence of Desargues' Theorem.
Untuk dimensi 2 (dua), terdapat struktur yang kaya berdasar atas ketidakhadiran Teorema Desargues.
In standard notation, a finite projective geometry is written PG(a, b) where: a is the projective (or geometric) dimension, and b is one less than the number of points on a line (called the order of the geometry).
Dalam notasi baku, sebuah geometri projektif berhingga dituliskan sebagai PG(a,b), di mana: a adalah dimensi projektif (atau geometris), dan b adalah yang lebih kecil daripada banyaknya titik pada sebuah garis (disebut orde geometri).
Thus, the example having only 7 points is written PG(2, 2).
Dengan demikian, contoh ini hanya memiliki 7 titik yang ditulis sebagai PG(2,2).
The term "projective geometry" is used sometimes to indicate the generalised underlying abstract geometry, and sometimes to indicate a particular geometry of wide interest, such as the metric geometry of flat space which we analyse through the use of homogeneous coordinates, and in which Euclidean geometry may be embedded (hence its name, Extended Euclidean plane).
Istilah "geometri projektif" kadang-kadang digunakan untuk mengindikasi geometri abstrak pokok yang diperumum, dan kadang-kadang untuk mengindikasi geometri khusus dengan kepentingan yang lebih luas, misalnya geometri metrik bidang datar yang kita
(In the later spirit of the Erlangen programme one could point to the way the group of transformations can move any line to the line at infinity).
(Dalam roh program Erlangen seseorang dapat menunjukkan jalan grup transformasi dapat memindahkan sembarang garis ke garis di ketakhinggaan).
The parallel properties of elliptic, Euclidean and hyperbolic geometries contrast as follows: Given a line l and a point P not on the line, Elliptic there exists no line through P that does not meet l Euclidean there exists exactly one line through P that does not meet l Hyperbolic there exists more than one line through P that does not meet l The parallel property of elliptic geometry is the key idea that leads to the principle of projective duality, possibly the most important property that all projective geometries have in common.
Diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P yang tidak berada pada garis, sifat sejajar eliptik bertentangan dengan sifat sejajar euklides dan sifat sejajar hiperbolik sebagai berikut ini: Sifat sejajar eliptik adalah gagasan kunci yang mengarah pada prinsip dualitas projektif, yakni mungkin sifat terpenting di mana semua geometri projektif hidup bersama.
In 1825, Joseph Gergonne noted the principle of duality characterizing projective plane geometry: given any theorem or definition of that geometry, substituting point for line, lie on for pass through, collinear for concurrent, intersection for join, or vice versa, results in another theorem or valid definition, the "dual" of the first.
Pada tahun 1825, Joseph Gergonne mengajukan prinsip dualitas yang mengkarakterisasi geometri bidang projektif: diberikan sembarang teorema atau definisi geometri itu, lakukan substitusi titik untuk garis, terletak pada untuk melalui, kolinear untuk konkuren, memotong untuk menggabungi, atau begitu juga sebaliknya, menghasilkan teorema atau definisi sahih lainnya, "dual" dari yang pertama.
Similarly in 3 dimensions, the duality relation holds between points and planes, allowing any theorem to be transformed by swapping point and plane, is contained by and contains.
Sama halnya dalam dimensi-3, relasi dualitas berlaku antara titik dan bidang, membolehkan sembarang teorema ditransformasi dengan cara mempertukarkan titik dan bidang, dimuat oleh dan memuat.
For N2, this specializes to the most commonly known form of duality—that between points and lines.
Untuk N2, bidang projektif ini menspesialisasi ke bentuk dualitas yang paling lazim dikenal-yakni antara titik dan garis.
The duality principle was also discovered independently by Jean-Victor Poncelet.
Prinsip dualitas juga telah ditemukan secara terpisah oleh Jean-Victor Poncelet.
To establish duality only requires establishing theorems which are the dual versions of the axioms for the dimension in question.
Untuk membangun dualitas hanya diperlukan teorema yang sudah ada, yakni versi dual dari aksioma untuk dimensi yang dipertanyakan.
In practice, the principle of duality allows us to set up a dual correspondence between two geometric constructions.
Dalam praktiknya, prinsip dualitas membolehkan kita untuk menentukan korespondensi dual antara dua konstruksi geometri.
The most famous of these is the polarity or reciprocity of two figures in a conic curve (in 2 dimensions) or a quadric surface (in 3 dimensions).
Yang paling terkenal darinya adalah polaritas atau resiprositas dua gambar dalam kurva irisan kerucut (dalam dimensi-2) atau permukaan kuadrik (dalam dimensi-3).
A commonplace example is found in the reciprocation of a symmetrical polyhedron in a concentric sphere to obtain the dual polyhedron.
Sebuah contoh lazim ditemukan dalam resiprokasi polihedron simetris dalam bola konsentrik untuk mendapatkan polihedron dual.
In other words, there are no such things as parallel lines or planes in projective geometry.
Dalam perkataan lain, tidak ada hal-hal seperti garis paralel atau bidang paralel dalam geometri projektif.
Many alternative sets of axioms for projective geometry have been proposed (see for example Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).
Banyak himpunan aksioma-aksioma alternatif untuk geometri projektif yang telah diajukan (misalnya lihatlah contoh dalam Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).
These axioms are based on Whitehead, "The Axioms of Projective Geometry".
Aksioma berikut ini didasarkan pada karya Whitehead, "The Axioms of Projective Geometry" ("Aksioma Geometri Projektif").
There are two types, points and lines, and one "incidence" relation between points and lines.
Terdapat dua jenis, titik dan garis, dan satu relasi "insidensi" antara titik dan garis.
G3: If lines AB and CD intersect, then so do lines AC and BD (where it is assumed that A and D are distinct from B and C).
G3: Jika garis AB dan CD berpotongan, maka begitu juga garis AC dan BD (dengan anggapan bahwa A dan D berbeda dengan B dan C).
The spaces satisfying these three axioms either have at most one line, or are projective spaces of some dimension over a division ring, or are non-Desarguesian planes.
Ruang-ruang yang memenuhi 3 aksioma ini memiliki paling banyak satu garis, atau merupakan ruang-ruang projektif dari beberapa dimensi meliputi gelanggang perbagian, atau merupakan bidang-bidang non-Desarguesian.
For example, Coxeter's Projective Geometry, references Veblen in the three axioms above, together with a further 5 axioms that make the dimension 3 and the coordinate ring a commutative field of characteristic not 2.
Contohnya, Projective Geometry karya Coxeter, merujuk Veblen dalam tiga aksioma di atas, bersama-sama dengan 5 aksioma lanjutan yang membuat dimensi-3 dan gelanggang koordinat sebuah lapangan karakteristik komutatif tidak dua.
For two distinct points, A and B, the line AB is defined as consisting of all points C for which [ABC].
Untuk dua titik yang berbeda, A dan B, garis AB didefinisi sebagai memuat semua titik di C sehingga
The axioms C0 and C1 then provide a formalization of G2; C2 for G1 and C3 for G3.
Aksioma C0 dan C1 kemudian menyediakan sebuah formalisasi G2; C2 untuk G1, dan C3 untuk G3.
A subspace, AB...XY may thus be recursively defined in terms of the subspace AB...X as that containing all the points of all lines YZ, as Z ranges over AB...X. Collinearity then generalizes to the relation of "independence".
Dengan demikian, sebuah subruang, AB...XY dapat didefinisi secara rekursif dalam suku-suku subruang AB...X karena ia memuat semua titik pada garis YZ, karena Z merentang pada AB...
The axioms of (Eves 1997: 111), for instance, include (1), (2), (L3) and (M3).
Aksioma-aksioma pada (Eves 1997: 111), misalnya, melibatkan (1), (2), (L3) dan (M3).
Coxeter's Introduction to Geometry gives a list of five axioms for a more restrictive concept of a projective plane that is attributed to Bachmann, adding Pappus's theorem to the list of axioms above (which eliminates non-Desarguesian planes) and excluding projective planes over fields of characteristic 2 (those that do not satisfy Fano's axiom).
Buku karya Coxeter, Introduction to Geometry memberikan sebuah daftar berisi lima aksioma untuk suatu konsep yang lebih terbatas tentang bidang projektif yang berkaitan dengan Bachmann, menambahkan teorema Pappus ke dalam daftar aksioma di atas (yang mencoret bidang-bidang non-Desarguesian), dan tidak melibatkan bidang-bidang projektif pada lapangan berkarakteristik 2 (yaitu mereka tidak memenuhi aksioma Fano).
Notes based on Coxeter's The Real Projective Plane.
based on Coxeter's The Real Projective Plane.
Projective Geometry for Image Analysis — free tutorial by Roger Mohr and Bill Triggs: PDF & HTML.
Projective Geometry for Image Analysis Diarsipkan 2020-12-09 di Wayback Machine. — free tutorial by Roger Mohr and Bill Triggs.
Projective Geometry. — free tutorial by Tom Davis.
Projective Geometry: An Introduction.