Euler's formula, named after Leonhard Euler, is a mathematical formula in complex analysis that establishes the fundamental relationship between the trigonometric functions and the complex exponential function.
Dalam matematika, rumus Euler dinamakan untuk Leonhard Euler, adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial.
i sin ⁡ x ,\cos x+i\sin x,} where e is the base of the natural logarithm, i is the imaginary unit, and cos and sin are the trigonometric functions cosine and sine respectively.
e i xcos ⁡ x + i sin ⁡ x\cos x+i\sin x\;} e − i xcos ⁡ x − i sin ⁡ x\cos x-i\sin x\;} and solving for either cosine or sine.
=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}
+ ⋯ }{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots }( 1 − z 2 2 !
+ ( i x ) 3 3 !
+ ⋯ ) + i ( z − z 3 3 !
− ⋯ ) + i ( x − x 3 3 ! + x 5 5 !
+ ⋯ ) + i ( z − z 3 3 !
The original proof is based on the Taylor series expansions of the exponential function ez (where z is a complex number) and of sin x and cos x for real numbers x (see above).
Buktinya didasarkan pada deret Taylor perluasan dari fungsi eksponensial e z } (di mana z adalah bilangan kompleks) dan dari sin ⁡ x dan cos ⁡ x untuk bilangan real x (lihat di bawah).
In fact, the same proof shows that Euler's formula is even valid for all complex numbers x.
Faktanya, bukti yang sama menunjukkan bahwa rumus Euler berlaku untuk semua bilangan kompleks x .
Any complex number zx + iy, and its complex conjugate, zx − iy, can be written as zx + i y| z | ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ )
Bilangan kompleks apa pun z=x+iy dapat ditulis sebagai zx + i yA ( cos ⁡ ϕ + i sin ⁡ ϕ )A e i ϕ {\displaystyle z=x+iy=A(\cos \phi +i\sin \phi )
z| z | e i φe ln ⁡ | z | e i φe ln ⁡ | z | + i φe^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|+i\varphi }} for any z ≠ 0.
=Ae^{i\phi }\,} di mana xR e ( z ) (z)} , yI m ( z ) (z)\,} , A| z | , dan ϕ adalah dari sudut- z antara sumbu x dan vektor z dapat diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam radian yang ditentukan hingga penambahan 2π.
The logarithm of a complex number is thus a multi-valued function, because φ is multi-valued.
Jadi, logaritma bilangan kompleks adalah fungsi multi-nilai, karena faktanya ϕ multi-nilai.
ke a k , \right)^{k}=e^{ak},} which can be seen to hold for all integers k, together with Euler's formula, implies several trigonometric identities, as well as de Moivre's formula.
Rumus ( e a ) ke a k , )^{k}=e^{ak},\,} yang dapat dilihat berlaku untuk semua bilangan bulat k , bersama dengan rumus Euler, menyiratkan beberapa identitas trigonometri serta rumus de Moivre.
It provides a powerful connection between analysis and trigonometry, and provides an interpretation of the sine and cosine functions as weighted sums of the exponential function: cos ⁡ xRe ⁡ ( e i x )e i x + e − i x 2 , sin ⁡ xIm ⁡ ( e i x )
Rumus Euler memberikan hubungan yang kuat antara analisis dan trigonometri, dan memberikan interpretasi dari fungsi sinus dan cosinus sebagai jumlah bobot dari fungsi eksponensial: cos ⁡ xe i x + e − i x 2 +e^{-ix} \over 2}} sin ⁡ xe i x − e − i x 2 i -e^{-ix} \over 2i}} Kedua persamaan di atas dapat diturunkan dengan menambah atau mengurangi rumus Euler:
These formulas can even serve as the definition of the trigonometric functions for complex arguments x.
Rumus ini bahkan dapat berfungsi sebagai definisi fungsi trigonometri untuk argumen kompleks x. Contohnya, membiarkan xiy, kita punya: cos ⁡ ( i y )
In electrical engineering, signal processing, and similar fields, signals that vary periodically over time are often described as a combination of sinusoidal functions (see Fourier analysis), and these are more conveniently expressed as the sum of exponential functions with imaginary exponents, using Euler's formula.
Dalam teknik kelistrikan dan bidang lainnya, sinyal yang berubah secara berkala dari waktu ke waktu sering kali digambarkan sebagai kombinasi fungsi sinus dan kosinus (lihat analisis Fourier), dan ini lebih mudah diekspresikan sebagai bagian nyata dari fungsi eksponensial dengan eksponen imajiner, menggunakan rumus Euler.