If the supremum of S exists, it is unique, and if b is an upper bound of S , then the supremum of S is less than or equal to b.
Demikian pula, jika supremum S milik S , maka batasnya adalah anggota terbesar S .
Infima and suprema of real numbers are common special cases that are important in analysis, and especially in Lebesgue integration.
Infimum dan supremum dari bilangan real adalah kasus istimewa yang umum, yang penting dalam analisis matematika, khususnya dalam integrasi Lebesgue.
For instance, the set of positive real numbers R + ^{+}} (not including 0 ) does not have a minimum, because any given element of R + ^{+}} could simply be divided in half resulting in a smaller number that is still in R + .
Sebagai contoh, bilangan real positif R + ^{+}} , himpunan yang mengecualikan 0, tidak memiliki suatu minimum, karena dengan mudahnya setiap anggota R + ^{+}} yang diberikan dapat dibagi menjadi dua bagian dalam suatu bilangan lebih kecil yang masih terdapat di R + ^{+}} .
^{+}.} There is, however, exactly one infimum of the positive real numbers relative to the real numbers: 0 , which is smaller than all the positive real numbers and greater than any other real number which could be used as a lower bound.
Akan tetapi, terdapat satu buah infimum dari bilangan real positif: 0, bilangan yang lebih kecil daripada semua bilangan real positif, dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang dapat digunakan sebagai batas bawah.
A lower bound of a subset S of a partially ordered set ( P , ≤ ) is an element y of P such that y ≤ x for all x ∈ S .
Batas bawah himpunan bagian S dari himpunan terurut parsial ( P , ≤ ) merupakan suatu anggota a dari P sehingga a ≤ x untuk semua x dalam S .
A lower bound a of S is called an infimum (or greatest lower bound, or meet) of S if for all lower bounds y of S in P , y ≤ a ( a is larger than any other lower bound).
Batas bawah a dari S disebut infimum S jika untuk semua batas bawah y dari S di P , maka y ≤ a , dalam artian bahwa a lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya.
An upper bound b of S is called a supremum (or least upper bound, or join) of S if for all upper bounds z of S in P , z ≥ b ( b is less than any other upper bound).
Batas atas b dari S disebut supremum dari S jika untuk semua batas atas z pada S dalam P , maka z ≥ b , dalam artian bahwa b lebih kecil daripada atau sama dengan setiap batas atas lainnya.
Existence of an infimum of a subset S of P can fail if S has no lower bound at all, or if the set of lower bounds does not contain a greatest element.
Keberadaan infimum dari himpunan terurut parsial S dari P dapat gagal jika S tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan batas bawah tidak berisi suatu anggota terbesar.
If S contains a least element, then that element is the infimum; otherwise, the infimum does not belong to S (or does not exist).
Jika S berisi suatu anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, dan jika tidak, infimum bukan miliki S (alias tidak ada).
The infimum of a subset S of a partially ordered set P , assuming it exists, does not necessarily belong to S .
Infimum himpunan bagian S dari himpunan terurut parsial P , asumsi kalau ada, tidak perlu milik S .
Similarly, if the supremum of S belongs to S , it is a maximum or greatest element of S .
Demikian pula, jika supremum S milik S , maka batasnya adalah anggota terbesar S .
For instance, for any negative real number x , there is another negative real number x 2 , {2}},} which is greater.
Katakanlah, untuk setiap bilangan real negatif x , masih ada bilangan real negatif
On the other hand, every real number greater than or equal to zero is certainly an upper bound on this set.
Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti merupakan suatu batas atas himpunan tersebut.
Hence, 0 is the least upper bound of the negative reals, so the supremum is 0.
Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0.
This does not say that each minimal upper bound is smaller than all other upper bounds, it merely is not greater.
Ini bukan berarti bahwa setiap batas atas minimum lebih kecil daripada semua batas atas lainnya, melainkan hanya tidak lebih besar.
The distinction between "minimal" and "least" is only possible when the given order is not a total one.
Perbedaan antara "minimal" dan "paling kecil" hanya mungkin ketika urutan yang diberikan bukanlah terurut total.
As an example, let S be the set of all finite subsets of natural numbers and consider the partially ordered set obtained by taking all sets from S together with the set of integers Z } and the set of positive real numbers R + , ^{+},} ordered by subset inclusion as above.
Sebagai contoh, misalkan S adalah himpunan dari semua himpunan bagian bilangan asli terhingga, dan misalkan himpunan terurut parsial diperoleh dengan mengambil semua himpunan-himpunan dari S bersama dengan himpunan bilangan bulat Z } dan himpunan bilangan real positif R + ^{+}} , yang diurutkan dari inklusi himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya.
Then clearly both Z } and R + ^{+}} are greater than all finite sets of natural numbers.
Maka jelaslah Z } dan R + ^{+}} lebih besar daripada semua himpunan bilangan asli terhingga.
Yet, neither is R + ^{+}} smaller than Z } nor is the converse true: both sets are minimal upper bounds but none is a supremum.
Akan tetapi, R + ^{+}} lebih kecil dari Z } maupun sebaliknya tidak berlaku benar, sebab kedua himpunan tersebut merupakan batas atas minimum, tetapi tak ada satupun di antaranya yang merupakan supremum.
As noted above, the set R } of all real numbers has the least-upper-bound property.
Seperti yang disebutkan di atas, himpunan R } dari semua bilangan real memiliki sifat batas atas terkecil.
Similarly, the set Z } of integers has the least-upper-bound property; if S is a nonempty subset of Z } and there is some number n such that every element s of S is less than or equal to n , then there is a least upper bound u for S , an integer that is an upper bound for S and is less than or equal to every other upper bound for S .
Demikian pula, himpunan Z } dari bilangan bulat memiliki sifat batas atas terkecilil, jika S adalah suatu himpunan bagian tak kosong dari Z } dan ada suatu bilangan n sehingga setiap anggota s dari S lebih kecil dari atau sama dengan n , maka terdapat suatu batas atas terkecil u untuk S , sebuah bilangan bulat yang merupakan batas atas untuk S dan yang lebih kecil dari atau sama dengan setiap batas atas lainnya untuk S .
Let S be the set of all rational numbers q such that q 2 < 2. <2.} Then S has an upper bound ( 1000 , for example, or 6 )
Misalkan S adalah himpunan dari semua bilangan rasional q , sehingga q 2 < 2 <2} .
but no least upper bound in Q } : If we suppose p ∈ Q } is the least upper bound, a contradiction is immediately deduced because between any two reals x and y (including 2 }} and p )
Jika memisalkan p ∈ Q } adalah batas atas terkecil, maka dapat disimpulkan adanya kontradiksi, karena antara setiap dua bilangan real x dan y (seperti 2 }} dan p ), terdapat suatu bilangan rasional p ′ , yang sendirinya akan menjadi batas atas terkecil (jika p > 2 }} ).
Another example is the hyperreals; there is no least upper bound of the set of positive infinitesimals.
Contoh lainnya adalah bilangan hiperreal sebab tidak punya batas atas terkecil dari himpunan infinitesimal positif.
If in a partially ordered set P every bounded subset has a supremum, this applies also, for any set X , in the function space containing all functions from X to P , where f ≤ g if and only if f ( x ) ≤ g ( x ) for all x ∈ X .
Jika setiap himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum di himpunan terurut parsial P , maka ini juga berlaku bahwa untuk setiap himpunan X , akan ada semua fungsi yang dipetakan dari X ke P dalam ruang fungsi, dengan f ≤ g jika dan hanya jika f ( x ) ≤ g ( x ) untuk semua x dalam X .
For example, it applies for real functions, and, since these can be considered special cases of functions, for real n -tuples and sequences of real numbers.
Sebagai contoh, pernyataan tersebut berlaku untuk fungsi real, bilangan real n -tupel dan barisan bilangan real, sebab dapat dianggap kasus fungsi khusus.
In analysis, infima and suprema of subsets S of the real numbers are particularly important.
Dalam analisis matematika, infimum dan supremum himpunan bagian S dari bilangan real sangat penting.
For instance, the negative real numbers do not have a greatest element, and their supremum is 0 (which is not a negative real number).
Sebagai contoh, bilangan real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremumnya adalah 0 (yang bukan bilangan real negatif).
The completeness of the real numbers implies (and is equivalent to) that any bounded nonempty subset S of the real numbers has an infimum and a supremum.
Kelengkapan bilangan real mengimplikasikan (dan ekuivalen dengan pernyataan) bahwa setiap himpunan bagian tak kosong berbatas S dari bilangan real memiliki satu buah infimum dan satu buah supremum.
If S is not bounded below, one often formally writes inf S− ∞ .
Jika S kosong, maka ditulis inf ( S )+ ∞ .
If S is empty, one writes inf S+ ∞ .
Jika S kosong, maka ditulis inf ( S )+ ∞ .
The following formulas depend on a notation that conveniently generalizes arithmetic operations on sets.
Rumus berikut bergantung pada sebuah notasi bahwa dengan mudah menggeneralisasi operasi-operasi aritmetika di himpunan.
and sup ( A + B )
, dan sup ( A + B )
{\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).
( sup A ) + ( sup B ) .
If A and B are nonempty sets of positive real numbers then inf ( A ⋅ B )( inf A ) ⋅ ( inf B ) and similarly for suprema sup ( A ⋅ B )
Jika A , B himpunn tak kosong bilangan real positif maka inf ( A ⋅ B )
If r > 0 then inf ( r ⋅ A )r ( inf A ) and sup ( r ⋅ A )
Jika r ≥ 0 , maka inf ( r ⋅ A )
}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}
r ⋅ ( inf A ) dan sup ( r ⋅ A )r ⋅ ( sup A ) .
In the case r0 , one has, if A ≠ ∅ inf ( 0 ⋅ A )
Jika r ≤ 0 , maka inf ( r ⋅ A )
For subsets of the real numbers, another kind of duality holds: inf S− sup ( − S ) , where − S :{ − s : s ∈ S } .
Untuk himpunan bagian dari bilangan real, terdapat dualitas lain yang berlaku inf S− sup ( − S ) , dengan − S{ − s ∣ s ∈ S } } .
The infimum of the set of numbers { 2 , 3 , 4 } } is 2.
Infimum himpunan bilangan { 2 , 3 , 4 } } adalah 2 .
The number 1 is a lower bound, but not the greatest lower bound, and hence not the infimum.
1 adalah batas bawah, tetapi bukan batas bawah terbesar, dan karena itu, 1 bukanlah infimum.
=1.} inf { x ∈ R : 0 <
11} . inf { x ∈ R ∣ 0 <
0. :0<x<1\}=0.} inf { x ∈ Q :
x < 1 }0 \mid 0<x<1\}=0} , inf { x ∈ R ∣ 0 <
:x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.} inf { ( − 1 ) n + 1 n : n1 , 2 , 3 , … }− 1.
inf { ( − 1 ) n + 1 n ∣ n1 , 2 , 3 , … }− 1 +{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=-1} .
n1 ∞ \right)_{n=1}^{\infty }} is a decreasing sequence with limit x , then inf x nx .
Jika x n } adalah barisan menurun dengan limit x , maka inf x nxx} .
The supremum of the set of numbers { 1 , 2 , 3 } } is 3.
Supremum himpunan bilangan { 1 , 2 , 3 } } adalah 3 .
x < 1 }sup { x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 }
x < 1 }sup { x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤ 1 }
-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.} sup { a + b : a ∈ A , b ∈ B }sup A + sup B .
1 -{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=1} . sup { a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B }sup A + sup B\sup A+\sup B} . sup { x ∈ Q ∣ x 2 < 2 }2 \mid x^{2}<2\}={\sqrt {2}}} .
+ g ( t ) : t ∈ A } ≤ sup { f ( t ) : t ∈ A } + sup { g ( t ) : t ∈ A } ~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}} for any functionals f and g .
+ g ( t ) ∣ t ∈ A } ≤ sup { f ( t ) ∣ t ∈ A } + sup { g ( t ) ∣ t ∈ A } \leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}+\sup\{g(t)\mid t\in A\}} untuk setiap fungsional f dan g .
The supremum of a subset S of ( N , ∣ ) ,\mid \,)} where ∣ denotes "divides", is the lowest common multiple of the elements of S .
Supremum himpunan bagian S dari ( N , ∣ ) ,\mid )} , dengan ∣ melambangkan notasi pembagi, adalah kelipatan persekutuan terkecil anggota S .
The supremum of a set S containing subsets of some set X is the union of the subsets when considering the partially ordered set ( P ( X ) , ⊆ ) , where P is the power set of X and ⊆ is subset.
Supremum himpunan S yang mengandung beberapa himpunan X merupakan gabungan subhimpunan dari himpunan terurut parsial ( P , ⊆ ) , dengan P menyatakan pangkat kuasa dari X , dan ⊆ menyatakan himpunan bagian.