Counting the empty set as a subset, a set with n elements has a total of 2 n } subsets, and the theorem holds because 2 n > n >n} for all non-negative integers.
Apabila himpunan kosong dihitung sebagai himpunan bagian, maka suatu himpunan dengan n elemen memiliki 2 n } himpunan bagian, dan teoremanya bernilai benar sebab 2 n > n >n} untuk setiap bilangan cacah n .
The theorem is named for Georg Cantor, who first stated and proved it at the end of the 19th century.
Teorema ini dinamai untuk Georg Cantor, orang pertama yang menyatakan sekaligus membuktikan teorema ini pada akhir abad ke-19.
Cantor's theorem had immediate and important consequences for the philosophy of mathematics.
Teorema Cantor memiliki akibat yang penting untuk filsafat matematika.
For instance, by iteratively taking the power set of an infinite set and applying Cantor's theorem, we obtain an endless hierarchy of infinite cardinals, each strictly larger than the one before it.
Misalnya, dengan mengambil himpunan kuasa dari suatu himpunan tak terhingga secara berulang dan menerapkan teorema Cantor, maka diperoleh kardinal tak terhingga yang hierarkinya tiada habisnya.
Consequently, the theorem implies that there is no largest cardinal number (colloquially, "there's no largest infinity").
Akibatnya, teorema ini menyiratkan bahwa tidak ada bilangan kardinal terbesar (dalam bahasa sehari-hari, "tidak ada takhingga terbesar").
This is the heart of Cantor's theorem: there is no surjective function from any set A to its power set.
Inilah inti dari teorema Cantor: tidak ada fungsi surjektif dari sembarang himpunan H ke himpunan kuasanya.
.} This means, by definition, that for all x ∈ A , x ∈ B if and only if x ∉ f ( x ) .
Jika x ∉ f ( x ) , maka x ∈ H }} , sehingga f ( x ) ≠ H }} .
For all x ∈ A either x ∈ f ( x ) or x ∉ f ( x ) .
Jika x ∉ f ( x ) , maka x ∈ H }} , sehingga f ( x ) ≠ H }} .
If x ∈ f ( x ) then f ( x ) cannot equal B because x ∈ f ( x ) by assumption and x ∉ B by definition.
Jika x ∉ f ( x ) , maka x ∈ H }} , sehingga f ( x ) ≠ H }} .
If x ∉ f ( x ) then f ( x ) cannot equal B because x ∉ f ( x ) by assumption and x ∈ B by the definition of B .
Jika x ∉ f ( x ) , maka x ∈ H }} , sehingga f ( x ) ≠ H }} .
Because of the double occurrence of x in the expression " x ∈ f ( x ) ", this is a diagonal argument.
Oleh karena elemen x muncul dua kali pada ekspresi " x ∈ f ( x ) ", maka argumen ini disebut sebagai argument diagonal.
Given the order chosen for the row and column labels, the main diagonal D of this table thus records whether x ∈ f ( x ) for each x ∈ A .
Diberikan suatu urutan yang dipilih untuk label baris dan kolom, diagonal utama D dari tabel ini berisi nilai kebenaran dari pernyataan x ∈ f ( x ) untuk setiap x ∈ H .
Suppose that N } is equinumerous with its power set P ( N ) }(\mathbb {N} )} .
Misalkan himpunan N } sama banyaknya dengan himpunan kuasanya, P ( N ) }\!\left(\mathbb {N} \right)} .
Let us call such numbers selfish.
Misalkan bilangan-bilangan tersebut disebut egois.
This set will provide the contradiction we seek.
Himpunan ini akan memberikan kontradiksi yang sedang diincar.
However, this causes a problem.
Akan tetapi, hal ini menimbulkan masalah.
Schröder–Bernstein theorem Cantor's first uncountability proof Controversy over Cantor's theory Halmos, Paul, Naive Set Theory.
Teorema Schröder–Bernstein Artikel teori himpunan pertama Cantor Kontroversi atas teori Cantor Halmos, Paul, Naive Set Theory.
Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974.
Dicetak ulang oleh Springer-Verlag, New York, 1974.
ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
ISBN 0-387-90092-6 (edisi Springer-Verlag).
Reprinted by Martino Fine Books, 2011.
Dicetak ulang oleh Martino Fine Books, 2011.
ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
ISBN 978-1-61427-131-4 (edisi Paperback).
Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2 "Cantor theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] Weisstein, Eric W. "Cantor's Theorem".
Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (Edisi 3rd millennium), Springer, ISBN 3-540-44085-2 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001)