In general relativity, a geodesic generalizes the notion of a "straight line" to curved spacetime.
Dalam relativitas umum, geodesik adalah generalisasi dari gagasan "garis lurus" ke ruang waktu yang melengkung.
Importantly, the world line of a particle free from all external, non-gravitational forces is a particular type of geodesic.
Garis dunia dari sebuah partikel yang terbebas dari semua gaya luar non-gravitasi merupakan sebuah jenis geodesik.
In other words, a freely moving or falling particle always moves along a geodesic.
Dengan kata lain, partikel yang bergerak atau jatuh bebas selalu bergerak melalui sebuah geodesik.
In general relativity, gravity can be regarded as not a force but a consequence of a curved spacetime geometry where the source of curvature is the stress–energy tensor (representing matter, for instance).
Dalam relativitas umum, gravitasi bisa dianggap bukan sebagai sebuah gaya melainkan sebuah akibat dari geometri ruang waktu yang melengkung dengan penyebab lengkungannya adalah tensor tegangan–energi (yang, sebagai contoh, melambangkan suatu zat).
Thus, for example, the path of a planet orbiting a star is the projection of a geodesic of the curved four-dimensional (4-D) spacetime geometry around the star onto three-dimensional (3-D) space.
Jadi, sebagai contoh, lintasan dari planet yang mengelilingi bintang adalah proyeksi dari geodesik geometri ruang waktu empat dimensi lengkung di sekitar bintang ke ruang tiga dimensi.
d 2 x μ d s 2 + Γ μ α β d x α d s d x β d s0 x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\ } where s is a scalar parameter of motion (e.g. the proper time), and Γ μ α β {}_{\alpha \beta }} are Christoffel symbols (sometimes called the affine connection coefficients or Levi-Civita connection coefficients) symmetric in the two lower indices.
x β d s0 x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\ } di mana s adalah parameter skalar dari gerakan (misalnya waktu wajar), dan Γ μ α β {}_{\alpha \beta }} adalah simbol Christoffel (terkadang disebut koefisien hubungan afin atau koefisien hubungan Levi-Civita) simetris dalam keduan indeks bawahnya.
Greek indices may take the values: 0, 1, 2, 3 and the summation convention is used for repeated indices α and β .
Indeks Yunaninya bisa berisi nilai-nilai: 0, 1, 2, 3 dan konvensi penjumlahan digunakan untuk indeks α dan β yang berulang.
The Christoffel symbols are functions of the four spacetime coordinates and so are independent of the velocity or acceleration or other characteristics of a test particle whose motion is described by the geodesic equation.
Simbol Christoffel merupakan fungsi empat koordinat ruang waktu sehingga tidak bergantung pada kecepatan, percepatan ataupun sifat-sifat lain dari partikel yang gerakannya dijelaskan menggunakan persamaan geodesik.
x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .} This formulation of the geodesic equation of motion can be useful for computer calculations and to compare General Relativity with Newtonian Gravity.
x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .} Rumus pada persamaan gerak geodesik tersebut dapat berguna untuk kalkulasi komputer dan untuk membandingkan relativitas umum dengan gravitasi Newton.
Notice that both sides of this last equation vanish when the mu index is set to zero.
Perhatikan bahwa kedua sisi persamaan terakhir tersebut akan lenyap jika indeks kamu disetel ke nol.
If the particle's velocity is small enough, then the geodesic equation reduces to this:
Jika kecepatan partikel cukup kecil, maka persamaan geodesik berkurang menjadi:
This equation simply means that all test particles at a particular place and time will have the same acceleration, which is a well-known feature of Newtonian gravity.
Persamaan tersebut berarti bahwa semua partikel uji pada tempat dan waktu tertentu akan memiliki percepatan yang sama, salah satunya ciri gaya gravitasi Newtonian yang terkenal.
For example, everything floating around in the International Space Station will undergo roughly the same acceleration due to gravity.
Misalkan, segala sesuatu yang mengambang di stasiun luar angkasa internasional akan mengalami percepatan kira-kira sama karena gravitasi.
d 2 x λ d T 2− Γ ν α λ d x ν d T d x α d T .
d 2 x μ d t 2− Γ μ α β d x α d t d x β d t + Γ 0 α β d x α d t d x β d t d x μ d t .
x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}.}
x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .} Rumus pada persamaan gerak geodesik tersebut dapat berguna untuk kalkulasi komputer dan untuk membandingkan relativitas umum dengan gravitasi Newton.
d 2 x λ d t 2 + d x λ d t d 2 t d T 2 ( d T d t ) 2− Γ ν α λ d x ν d t d x α d t .
d 2 x μ d t 2− Γ μ α β d x α d t d x β d t + Γ 0 α β d x α d t d x β d t d x μ d t .
x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.} As before, we can set t ≡ x 0 } .
x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .} Rumus pada persamaan gerak geodesik tersebut dapat berguna untuk kalkulasi komputer dan untuk membandingkan relativitas umum dengan gravitasi Newton.
d 2 t d T 2 ( d T d t ) 2− Γ ν α 0 d x ν d t d x α d t .
d 2 x μ d t 2− Γ μ α β d x α d t d x β d t + Γ 0 α β d x α d t d x β d t d x μ d t .
x ν d t d x α d t d x λ d t x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}} which is the form of the geodesic equation of motion using the coordinate time as parameter.
x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .} Rumus pada persamaan gerak geodesik tersebut dapat berguna untuk kalkulasi komputer dan untuk membandingkan relativitas umum dengan gravitasi Newton.
we get that: 0∫ ( d x μ d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν δ x α − 2 δ x μ d d τ ( g μ ν d x ν d τ ) )
d 2 x μ d t 2− Γ μ α β d x α d t d x β d t + Γ 0 α β d x α d t d x β d t d x μ d t .
d τ∫ ( d x μ d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν δ x α − 2 δ x μ ∂ α g μ ν d x α d τ d x ν d τ − 2 δ x μ g μ ν d 2 x ν d τ 2 )
d 2 x μ d t 2− Γ μ α β d x α d t d x β d t + Γ 0 α β d x α d t d x β d t d x μ d t .
That is: d 2 X μ d s 2q m F μ β d X α d s η α β .
d 2 x μ d t 2− Γ μ α β d x α d t d x β d t + Γ 0 α β d x α d t d x β d t d x μ d t .
X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{\alpha \beta }}.} with η α β d X α d s d X β d s− 1. }{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.} The Minkowski tensor η α β } is given by: η α β( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ){\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}} These last three equations can be used as the starting point for the derivation of an equation of motion in General Relativity, instead of assuming that acceleration is zero in free fall.
x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .} Rumus pada persamaan gerak geodesik tersebut dapat berguna untuk kalkulasi komputer dan untuk membandingkan relativitas umum dengan gravitasi Newton.
x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{\alpha \beta }}.} with g α β d x α d s d x β d s− 1. }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=-1.} This last equation signifies that the particle is moving along a timelike geodesic; massless particles like the photon instead follow null geodesics (replace −1 with zero on the right-hand side of the last equation).
x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .} Rumus pada persamaan gerak geodesik tersebut dapat berguna untuk kalkulasi komputer dan untuk membandingkan relativitas umum dengan gravitasi Newton.