^{\infty }a_{k}\qquad {\text{or}}\qquad \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}
^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}
Given a series s∑ k0 ∞ a k {\textstyle s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}} , its ⁠ n ⁠th partial sum is s n∑ k0 n a ka 0 + a 1 + ⋯ + a n .
Barisan jumlah parsial { S k } \}} bersangkutan dengan suatu deret ∑ n0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} didefinisikan bagi setiap k sebagai jumlah Barisan { a n } \}} dari a 0 } hingga a k } S k∑ n0 k a na 0 + a 1 + ⋯ + a k .
( n + 1 ) ( a + 1 2 n d ) ,\sum _{k=0}^{n}\left(a+kd\right)=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+nd)=(n+1){\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}nd{\bigr )},} and a geometric series has partial sums s n∑ k0 n a r ka + a r + a r 2 + ⋯ + a r na 1 − r n + 1 1 − r\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}} if ⁠ r ≠ 1 ⁠ or simply ⁠ s na ( n + 1 )a(n+1)} ⁠
=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.} Berdasarkan definisi, deret ∑ n0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} konvergen menjadi suatu limit L jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial { S k } \}} konvegen ke L .
^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.}
^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}
^{n}{\frac {1}{2^{k}}}=2-{\frac {1}{2^{n}}}.}
^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}
For example: 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯∑ n0 ∞ 1 2 n2.
Misalnya, deret ∑ n0 ∞ x n n !
Examples: 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯∑ n1 ∞ ( − 1 ) n − 1 nln ⁡ ( 2 ) , +{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2),} the alternating harmonic series, and − 1 + 1 3 − 1 5 + 1 7 − 1 9 + ⋯∑ n1 ∞ ( − 1 ) n 2 n − 1− π 4 , {3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}},} the Leibniz formula for π .
∑ n0 ∞ a n ( x − c ) na 0 + a 1 ( x − c ) 1 + a 2 ( x − c ) 2 + a 3 ( x − c ) 3 + ⋯ ^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots } dengan a n } melambangkan koefisien suku ke- n , c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini, kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c ).
∑ n1 ∞ 1 n 21 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯π 2 6 ^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots{\frac {\pi ^{2}}{6}}} 4 ∑ n1 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 n − 14 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − 4 11 + 4 13 − ⋯π ^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots\pi } ∑ n1 ∞ ( − 1 ) n + 1 nln ⁡ 2 ^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2} ∑ n1 ∞ 1 2 n nln ⁡ 2 ^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}Natural logarithm base e
∑ n0 ∞ a n ( x − c ) na 0 + a 1 ( x − c ) 1 + a 2 ( x − c ) 2 + a 3 ( x − c ) 3 + ⋯ ^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots } dengan a n } melambangkan koefisien suku ke- n , c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini, kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c ).
∑ n0 ∞ ( − 1 ) n n !
Misalnya, deret ∑ n0 ∞ x n n !
A series of real- or complex-valued functions ∑ n0 ∞ f n ( x ) ^{\infty }f_{n}(x)} is pointwise convergent to a limit ⁠ f ( x ) ⁠ on a set ⁠ E ⁠
Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks ∑ n0 ∞ f n ( x ) ^{\infty }f_{n}(x)} konvergen sesetitik pada suatu himpunan E , jika deret konvergen untuk setiap x di E sebagai suatu deret biasa dari bilangan real atau bilangan kompleks.
+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}
^{\infty }a_{n}\Leftrightarrow L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.}
^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .}
^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}
{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .}
^{\infty }a_{n}\Leftrightarrow L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.}
^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}.}
^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}
^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}
^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}