Both numbers can be referred to as factors.
Kedua angka tersebut dapat disebut sebagai faktor.
Systematic generalizations of this basic definition define the multiplication of integers (including negative numbers), rational numbers (fractions), and real numbers.
Perkalian bilangan bulat (termasuk bilangan negatif), bilangan rasional (pecahan) dan bilangan riil didefinisikan oleh generalisasi sistematis dari definisi dasar ini.
The division of a number other than 0 by itself equals 1.
Pembagian bilangan selain 0 dengan sendirinya sama dengan 1.
For example, 2 × 36 , ("two times three equals six") 3 × 412 , 2 × 3 × 56 × 530 , 2 × 2 × 2 × 2 × 232.
Misalnya, 2 × 36 ("dua kali tiga sama dengan enam") 3 × 412 2 × 3 × 56 × 530 2 × 2 × 2 × 2 × 232 Tanda kode dalam Unicode di U+00D7 × tanda perkalian (HTML: &#215; &times;).
This is because most computers historically were limited to small character sets (such as ASCII and EBCDIC) that lacked a multiplication sign (such as × or ⋅), while the asterisk appeared on every keyboard.
Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa sebagian besar komputer secara historis terbatas pada himpunan karakter kecil (seperti ASCII dan EBCDIC) yang tidak memiliki tanda perkalian (seperti ⋅ atau ×), sementara tanda bintang muncul di setiap keyboard.
This usage originated in the FORTRAN programming language.
Penggunaan ini berasal dari bahasa pemrograman FORTRAN.
There are several equivalent ways to define the real numbers formally; see Construction of the real numbers.
Bilangan real Bilangan real dan darabnya dapat didefinisikan dalam barisan bilangan rasional.
Common logarithms were invented to simplify such calculations, since adding logarithms is equivalent to multiplying.
Logaritma umum diciptakan untuk menyederhanakan perhitungan tersebut, karena menambahkan logaritma setara dengan mengalikan.
Beginning in the early 20th century, mechanical calculators, such as the Marchant, automated multiplication of up to 10-digit numbers.
Dimulai pada awal abad ke-20, kalkulator mekanis, seperti Marchant, penggandaan otomatis hingga 10 angka.
Modern electronic computers and calculators have greatly reduced the need for multiplication by hand.
Komputer elektronik modern dan kalkulator telah sangat mengurangi kebutuhan akan perkalian dengan tangan.
The Ishango bone, dated to about 18,000 to 20,000 BC, may hint at a knowledge of multiplication in the Upper Paleolithic era in Central Africa, but this is speculative.
Tulang Ishango, berasal dari sekitar 18.000 hingga 20.000 SM, mungkin mengisyaratkan pengetahuan tentang perkalian di era Paleolitik Akhir di Afrika Tengah, namun ini spekulatif.
For instance, to find the product of 13 and 21 one had to double 21 three times, obtaining 2 × 2142, 4 × 212
Misalnya, untuk menemukan produk dari 13 dan 21, seseorang harus menggandakan 21 tiga kali, memperoleh 2
× 4284, 8 × 212 × 84168.
× 2142, 4 × 212 × 4284, 8 × 212 × 84168.
Because of the relative difficulty of remembering 60 × 60 different products, Babylonian mathematicians employed multiplication tables.
Karena relatif sulitnya mengingat 60 × 60 darao yang berbeda, matematikawan Babilonia menggunakan tabel perkalian.
These tables consisted of a list of the first twenty multiples of a certain principal number n: n, 2n, ..., 20n; followed by the multiples of 10n: 30n 40n, and 50n.
Tabel ini terdiri dari daftar dua puluh kelipatan pertama dari bilangan pokok n tertentu: n, 2n, ..., 20n; diikuti dengan kelipatan 10n: 30n 40n, dan 50n.
Then to compute any sexagesimal product, say 53n, one only needed to add 50n and 3n computed from the table.
Kemudian untuk menghitung darab seksagesimal, maka 53n, hanya perlu menambahkan 50n dan 3n yang dihitung dari tabel.
The modern method of multiplication based on the Hindu–Arabic numeral system was first described by Brahmagupta.
Metode modern perkalian berdasarkan sistem angka Hindu-Arab pertama kali dijelaskan oleh Brahmagupta.
Henry Burchard Fine, then a professor of mathematics at Princeton University, wrote the following: The Indians are the inventors not only of the positional decimal system itself, but of most of the processes involved in elementary reckoning with the system.
Henry Burchard Fine, saat itu profesor Matematika di Universitas Princeton, menulis sebagai berikut: Orang India adalah penemu tidak hanya dari sistem desimal posisi itu sendiri, tetapi dari sebagian besar proses yang terlibat dalam perhitungan dasar dengan sistem.
These place value decimal arithmetic algorithms were introduced to Arab countries by Al Khwarizmi in the early 9th century and popularized in the Western world by Fibonacci in the 13th century.
Algoritma aritmetika desimal nilai tempat ini diperkenalkan ke negara-negara Arab oleh Al Khawarizmi pada awal abad ke-9, dan dipopulerkan di dunia Barat oleh Fibonacci pada abad ke-13.
Grid method multiplication, or the box method, is used in primary schools in England and Wales and in some areas of the United States to help teach an understanding of how multiple digit multiplication works.
Perkalian metode Grid atau metode kotak, digunakan di sekolah dasar di Inggris dan Wales dan di beberapa daerah di Amerika Serikat untuk membantu mengajarkan pemahaman tentang cara kerja perkalian beberapa digit.
Multiplication algorithms have been designed that reduce the computation time considerably when multiplying large numbers.
Algoritma perkalian telah dirancang untuk mengurangi waktu komputasi secara signifikan saat mengalikan bilangan besar.
Methods based on the discrete Fourier transform reduce the computational complexity to O(n log n log log n).
Metode berdasarkan transformasi Fourier diskret mengurangi kompleksitas komputasi menjadi O(n log n log log n).
In 2016, the factor log log n was replaced by a function that increases much slower, though still not constant.
Baru-baru ini, faktor log log n telah digantikan oleh fungsi yang meningkat jauh lebih lambat meskipun masih tidak konstan (seperti yang diharapkan).
In March 2019, David Harvey and Joris van der Hoeven submitted a paper presenting an integer multiplication algorithm with a complexity of O ( n log ⁡ n ) .
Pada bulan Maret 2019, David Harvey dan Joris van der Hoeven mengirimkan artikel yang menyajikan algoritma perkalian bilangan bulat dengan kompleksitas diklaim oleh O ( n log ⁡ n ) .
The algorithm, also based on the fast Fourier transform, is conjectured to be asymptotically optimal.
Algoritma juga berdasarkan transformasi Fourier cepat, diperkirakan optimal asimtotik.
The algorithm is not practically useful, as it only becomes faster for multiplying extremely large numbers (having more than 2172912 bits).
Algoritma ini tidak dianggap berguna secara praktis, karena keuntungannya hanya muncul ketika mengalikan bilangan besar (memiliki lebih dari 2172912 bits).
For example, four bags with three marbles each can be thought of as:
Misalnya, empat kantong dengan tiga kelereng masing-masing dapat dianggap sebagai:
When two measurements are multiplied together, the product is of a type depending on the types of measurements.
Ketika dua pengukuran dikalikan bersama-sama, produk adalah jenis yang tergantung pada jenis pengukuran.
The general theory is given by dimensional analysis.
Teori umum diberikan oleh analisis dimensi.
This analysis is routinely applied in physics, but it also has applications in finance and other applied fields.
Analisis ini secara rutin diterapkan dalam fisika, tetapi juga memiliki aplikasi yang ditemukan di bidang keuangan dan bidang terapan lainnya.
A common example in physics is the fact that multiplying speed by time gives distance.
Contoh umum dalam fisika adalah fakta bahwa mengalikan kecepatan dengan waktu menghasilkan jarak.
For example: 50 kilometers per hour × 3 hours150 kilometers.
Sebagai contoh: 50 kilometer per jam × 3 jam150 kilometer.
( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 4 + 1 ) , ^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),} which results in ∏ i1 4 ( i + 1 )
Arti dari notasi ini diberikan oleh: ∏ i1 4 i1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 , ^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,} adalah ∏ i1 4 i24.
More generally, the notation is defined as ∏ im n x ix m ⋅ x m + 1 ⋅ x m + 2 ⋅ ⋯ ⋅ x n − 1 ⋅ x n , ^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},} where m and n are integers or expressions that evaluate to integers.
Misalnya: ∏ i1 6 i1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6720 ^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720} Secara lebih umum, notasi didefinisikan sebagai ∏ im n x ix m ⋅ x m + 1 ⋅ x m + 2 ⋅ ⋯ ⋅ x n − 1 ⋅ x n ^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n}} dimana m dan n adalah bilangan bulat atau ekspresi yang mengevaluasi bilangan bulat.
^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.} One can similarly replace m with negative infinity, and define: ∏ i− ∞ ∞ x i( lim m → − ∞ ∏ im 0 x i ) ⋅ ( lim n → ∞ ∏ i1 n x i ) , ^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),} provided both limits exist.
Maka, itu adalah, ∏ im ∞ x ilim n → ∞ ∏ im n x i . ^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.} Untuk mengganti m dengan tak hingga negatif, dan mendefinisikan: ∏ i− ∞ ∞ x i( lim m → − ∞ ∏ im 0 x i ) ⋅ ( lim n → ∞ ∏ i1 n x i ) , ^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),} asalkan kedua batas itu ada.
When multiplication is repeated, the resulting operation is known as exponentiation.
Ketika perkalian diulang, operasi yang dihasilkan dikenal sebagai eksponensial.
For instance, the product of three factors of two (2×2×2) is "two raised to the third power", and is denoted by 23, a two with a superscript three.
Misalnya, hasil kali tiga faktor dari dua (2×2×2) adalah "dua pangkat tiga", dan dilambangkan dengan 23, dua dengan superskrip tiga.
In general, the exponent (or superscript) indicates how many times the base appears in the expression, so that the expression a na × a × ⋯ × a ⏟ n∏ i1 n a\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a} indicates that n copies of the base a are to be multiplied together.
Secara umum, eksponen (atau superskrip) menunjukkan berapa kali basis muncul dalam ekspresi, sehingga ekspresi a na × a × ⋯ × a ⏟ n\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}} menunjukkan bahwa salinan n dari basis a harus dikalikan bersama.
Identity element The multiplicative identity is 1; anything multiplied by 1 is itself.
x ⋅ ( y + z )x ⋅ y + x ⋅ z Elemen identitas Identitas perkalian adalah 1; sesuatu dikalikan dengan 1 adalah dirinya sendiri.
x ⋅ 00. Negation −1 times any number is equal to the additive inverse of that number: ( − 1 ) ⋅ x( − x ) , where ( − x ) + x0.
x ⋅ 00 Negasi −1 kali angka berapa pun sama dengan aditif invers dari angka tersebut.
1. Inverse element Every number x, except 0, has a multiplicative inverse, 1 x {x}}} , such that x ⋅ ( 1 x )
( − 1 ) ⋅ x( − x ) dimana ( − x ) + x0 –1 kali –1 adalah 1. ( − 1 ) ⋅ ( − 1 )1 Elemen invers Setiap bilangan x, kecuali 0, memiliki perkalian invers, 1 x {x}}} , sehingga x ⋅ ( 1 x )1 {x}}\right)=1} .
For a < 0, if b > c, then ab < ac.
Untuk a < 0, jika b > c maka ab < ac.
Other mathematical systems that include a multiplication operation may not have all these properties.
Sistem matematika lain yang menyertakan operasi perkalian mungkin tidak memiliki semua sifat ini.
In the book Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano proposed axioms for arithmetic based on his axioms for natural numbers.
Dalam buku Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano mengusulkan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksiomanya untuk bilangan asli.
Peano arithmetic has two axioms for multiplication:
Aritmetika Peano memiliki dua aksioma untuk perkalian:
( x × 0 ) + x0 + xx .
x × 00 x × S ( y )
The model is based on treating (x,y) as equivalent to x
Model ini didasarkan pada memperlakukan (x,y) setara dengan x
Thus both (0,1) and (1,2) are equivalent to −1.
Jadi (0,1) dan (1,2) ekuivalen dengan −1.
,\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).}
( x p × y p + x m × y m , x p × y m + x m × y p ) ,\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p})} Aturan bahwa −1
Multiplication is extended in a similar way to rational numbers and then to real numbers.
( 0 × 0 + 1 × 1 , 0 × 1 + 1 × 0 )( 1 , 0 ) Perkalian diperluas dengan cara yang mirip dengan bilangan rasional dan kemudian ke bilangan real.
The product of real numbers is defined in terms of products of rational numbers; see construction of the real numbers.
Bilangan real Bilangan real dan darabnya dapat didefinisikan dalam barisan bilangan rasional.
A simple example is the set of non-zero rational numbers.
Contoh sederhana adalah himpunan bukan nol bilangan rasional.
Here identity 1 is had, as opposed to groups under addition where the identity is typically 0.
Apabila memiliki identitas 1, sebagai lawan dari grup dibawah penambahan dimana identitas biasanya 0.
Note that with the rationals, zero must be excluded because, under multiplication, it does not have an inverse: there is no rational number that can be multiplied by zero to result in 1.
Perhatikan bahwa dengan rasional, mengecualikan nol karena dibawah perkalian, tidak memiliki invers: tidak ada bilangan rasional yang dikalikan dengan
To see this, consider the set of invertible square matrices of a given dimension over a given field.
melihat ini, pertimbangkan himpunan matriks persegi inversi dari dimensi tertentu atas medan yang diberikan.
Another fact worth noticing is that the integers under multiplication do not form a group—even if zero is excluded.
Fakta lain yang perlu diperhatikan adalah bahwa bilangan bulat di bawah perkalian bukanlah grup—bahkan apabila jika mengecualikan nol.
This is easily seen by the nonexistence of an inverse for all elements other than 1 and −1.
Hal ini mudah terlihat dengan tidak adanya invers untuk semua elemen selain 1 dan −1.
So multiplying element a by element b could be notated as a ⋅ b or ab.
Jadi perkalian elemen a dengan elemen b dinotasikan sebagai a ⋅ b atau ab.
For example, our first example could be indicated by ( Q / { 0 } , ⋅ ) /\{0\},\,\cdot \right)} .
Misalnya, contoh pertama kami dapat ditunjukkan oleh ( Q / { 0 } , ⋅ ) /\{0\},\,\cdot \right)} .
Numbers can count (3 apples), order (the 3rd apple), or measure (3.5 feet high); as the history of mathematics has progressed from counting on our fingers to modelling quantum mechanics, multiplication has been generalized to more complicated and abstract types of numbers, and to things that are not numbers (such as matrices) or do not look much like numbers (such as quaternions).
Bilangan dapat menghitung (3 apel), mengurutkan (apel ke-3), atau mengukur (tinggi 3,5 kaki); karena sejarah matematika telah berkembang dari menghitung dengan jari menjadi pemodelan mekanika kuantum, perkalian telah digeneralisasi ke jenis bilangan yang lebih rumit dan abstrak, dan untuk hal-hal yang bukan bilangan (seperti matriks) atau yang tidak terlalu mirip dengan bilangan (seperti kuaternion).
Integers N × M is the sum of N copies of M when N and M are positive whole numbers.
Bilangan bulat N × M adalah jumlah salinan N dari M ketika N dan M adalah bilangan bulat positif.
( − N ) × M− ( N × M ) and ( − N )
( − N ) × M− ( N × M ) dan ( − N )
N × M The same sign rules apply to rational and real numbers.
N × M Aturan tanda yang sama berlaku untuk bilangan rasional dan bilangan real.
Rational numbers Generalization to fractions A B × C D {B}}\times {\frac {C}{D}}} is by multiplying the numerators and denominators, respectively: A B × C D( A × C ) ( B × D ) {B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}} .
Bilangan rasional Generalisasi pecahan A B × C D {B}}\times {\frac {C}{D}}} adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut masing-masing: A B × C D( A × C ) ( B × D ) {B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}} .
Real numbers Real numbers and their products can be defined in terms of sequences of rational numbers.
Bilangan real Bilangan real dan darabnya dapat didefinisikan dalam barisan bilangan rasional.
Complex numbers Considering complex numbers z 1 } and z 2 } as ordered pairs of real numbers ( a 1 , b 1 ) ,b_{1})} and ( a 2 , b 2 ) ,b_{2})} , the product z 1 × z 2 \times z_{2}} is ( a 1 × a 2 − b 1 × b 2 , a 1 × b 2 + a 2 × b 1 ) \times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})} .
Bilangan kompleks Mempertimbangkan bilangan kompleks z 1 } dan z 2 } sebagai pasangan terurut dari bilangan real ( a 1 , b 1 ) ,b_{1})} dan ( a 2 , b 2 ) ,b_{2})} , darab z 1 × z 2 \times z_{2}} adalah ( a 1 × a 2 − b 1 × b 2 , a 1 × b 2 + a 2 × b 1 ) \times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})} .
This is the same as for reals a 1 × a 2 \times a_{2}} when the imaginary parts b 1 } and b 2 } are zero.
Ini sama dengan real, a 1 × a 2 \times a_{2}} , ketika bagian imajiner b 1 } dan b 2 } adalah nol.
Equivalently, denoting − 1 }} as i , z 1 × z 2( a 1 + b 1 i ) ( a 2 + b 2 i )( a 1 × a 2 ) + ( a 1 × b 2 i ) + ( b 1 × a 2 i ) + ( b 1 × b 2 i 2 )( a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 )
Secara ekuivalen, menyatakan − 1 }} sebagai i , kita memiliki z 1 × z 2( a 1 + b 1 i ) ( a 2 + b 2 i )
Multiplication for some types of "numbers" may have corresponding division, without inverses; in an integral domain x may have no inverse " 1 x {x}}} " but
Perkalian untuk beberapa jenis "bilangan" mungkin memiliki pembagian yang sesuai, tanpa invers; dalam ranah integral x mungkin tidak memiliki invers " 1 x {x}}} " tetapi x y {y}}} dapat didefinisikan.
In a division ring there are inverses, but x y {y}}} may be ambiguous in non-commutative rings since x ( 1 y ) {y}}\right)} need not be the same as ( 1 y )
Dalam gelanggang pembagian adalah invers, tetapi x y {y}}} mungkin ambigu dalam ring non-komutatif karena