In mathematics, an identity is an equality relating one mathematical expression A to another mathematical expression B, such that A and B (which might contain some variables) produce the same value for all values of the variables within a certain domain of discourse.
Dalam matematika, identitas adalah persamaan yang menghubungkan satu ekspresi matematika A ke ekspresi matematika lainnya B , sedemikian rupa sehingga A dan B (yang mungkin berisi beberapa variabel) menghasilkan nilai yang sama untuk semua nilai variabel dalam rentang validitas tertentu.
In other words, AB is an identity if A and B define the same functions, and an identity is an equality between functions that are differently defined.
Dengan kata lain, AB adalah identitas jika A dan B sama dengan fungsi, dan identitas adalah persamaan antara fungsi yang didefinisikan secara berbeda.
For example, ( a + b ) 2a 2 + 2 a b + b 2a^{2}+2ab+b^{2}} and cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ1 \theta +\sin ^{2}\theta1} are identities.
Misalnya, ( a + b ) 2a 2 + 2 a b + b 2a^{2}+2ab+b^{2}} dan cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ1 \theta +\sin ^{2}\theta1} adalah identitas.
Identities are sometimes indicated by the triple bar symbol ≡ instead of, the equals sign.
Identitas terkadang ditunjukkan dengan simbol batang tiga ≡ daripada, tanda sama dengan.
Certain identities, such as a + 0a and a + ( − a )
Identitas tertentu, khususnya a + 0a dan a + ( − a )
0 , form the basis of algebra, while other identities, such as ( a + b ) 2a 2 + 2 a b + b 2a^{2}+2ab+b^{2}} and a 2 − b 2( a + b ) ( a − b ) -b^{2}=(a+b)(a-b)} , can be useful in simplifying algebraic expressions and in expanding them.
0 , membentuk dasar aljabar, sedangkan identitas lainnya, misalnya ( a + b ) 2a 2 + 2 a b + b 2a^{2}+2ab+b^{2}} dan ( a + b ) ( a − b )a 2 − b 2 -b^{2}} , dapat berguna dalam menyederhanakan ekspresi aljabar dan mengembangkannya.
Geometrically, trigonometric identities are identities involving certain functions of one or more angles.
Secara geometris, identitas trigonometri adalah identitas yang melibatkan fungsi tertentu dari satu atau lebih sudut.
They are distinct from triangle identities, which are identities involving both angles and side lengths of a triangle.
Identitas tersebut berbeda dari identitas segitiga, yang merupakan identitas yang melibatkan sudut dan panjang sisi sebuah segitiga.
These identities are useful whenever expressions involving trigonometric functions need to be simplified.
Identitas ini berguna setiap kali ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri perlu disederhanakan.
Another important application is the integration of non-trigonometric functions: a common technique which involves first using the substitution rule with a trigonometric function, and then simplifying the resulting integral with a trigonometric identity.
Aplikasi penting lainnya adalah integrasi dari fungsi non-trigonometri: teknik umum yang melibatkan penggunaan aturan substitusi dengan fungsi trigonometri, dan kemudian menyederhanakan integral yang dihasilkan dengan identitas trigonometri.
One of the most prominent examples of trigonometric identities involves the equation sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ1 , \theta +\cos ^{2}\theta
Salah satu contoh paling menonjol dari identitas trigonometri melibatkan persamaan sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ1 , \theta +\cos ^{2}\theta1,} yang benar untuk semua nilai kompleks dari θ (karena bilangan kompleks C } membentuk domain sinus dan kosinus).
On the other hand, the equation cos ⁡ θ1 is only true for certain values of θ , not all.
Di sisi lain, persamaannya cos ⁡ θ1 hanya berlaku untuk nilai tertentu θ , tidak semua (atau untuk semua nilai dalam lingkungan).
For example, this equation is true when θ0 , but false when θ2 .
Misalnya, persamaan ini benar jika θ0 , tapi salah saat θ2 .
Another group of trigonometric identities concerns the so-called addition/subtraction formulas (e.g. the double-angle identity sin ⁡ ( 2 θ )
Kelompok lain dari identitas trigonometri menyangkut apa yang disebut rumus penjumlahan/pengurangan (misalnya identitas sudut ganda sin ⁡ ( 2 θ )
=2\sin \theta \cos \theta } , the addition formula for tan ⁡ ( x + y ) ), which can be used to break down expressions of larger angles into those with smaller constituents.
=2\sin \theta \cos \theta } , rumus penjumlahan untuk tan ⁡ ( x + y ) ), yang dapat digunakan untuk memecah ekspresi sudut yang lebih besar menjadi ekspresi dengan konstituen yang lebih kecil.
The following identities hold for all integer exponents, provided that the base is non-zero: b m + nb m ⋅ b n ( b m ) nb m ⋅ n ( b ⋅ c ) nb n ⋅ c n b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}
Identitas berikut berlaku untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol: b m + nb m ⋅ b n ( b m ) nb m ⋅ n ( b ⋅ c ) nb n ⋅ c n b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}} Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponen tidak komutatif.
For example, (2 + 3) + 42 + (3 + 4)9 and (2 · 3) · 42 · (3 · 4)24, but 23 to the 4 is 84 (or 4,096) whereas 2 to the 34 is 281 (or 2,417,851,639,229,258,349,412,352).
Sebagai contoh, (2 + 3) + 42 + (3 + 4)9 dan (2 · 3) · 42 · (3 · 4)24, melainkan 23 ke 4 adalah 84 (atau 4.096), sedangkan 2 banding 34 adalah 281 (atau 2,417,851,639,229,258,349,412,352).
Several important formulas, sometimes called logarithmic identities or log laws, relate logarithms to one another:
Beberapa rumus penting, terkadang disebut identitas logaritmik atau hukum log , menghubungkan logaritma satu sama lain.
The logarithm of a product is the sum of the logarithms of the numbers being multiplied; the logarithm of the ratio of two numbers is the difference of the logarithms.
Logaritma dari suatu perkalian adalah jumlah dari logaritma dari angka-angka yang dikalikan; logaritma rasio dua bilangan adalah selisih logaritma.
The logarithm of the pth power of a number is p times the logarithm of the number itself; the logarithm of a pth root is the logarithm of the number divided by p.
Logaritma dari p kekuatan angka adalah p kali logaritma dari angka itu sendiri; logaritma dari a-p root adalah logaritma bilangan dibagi dengan p .
The following table lists these identities with examples.
Tabel berikut mencantumkan identitas ini dengan contoh.
The logarithm logb(x) can be computed from the logarithms of x and b with respect to an arbitrary base k using the following formula: log b ⁡ ( x )
Logaritma logb(x) dapat dihitung dari logaritma x dan b sehubungan dengan basis sembarang k menggunakan rumus berikut: log b ⁡ ( x )
Given a number x and its logarithm logb(x) to an unknown base b, the base is given by: bx 1 log b ⁡ ( x ) .
Diberikan angka x dan logaritma logb(x) ke basis yang tidak diketahui b , basis diberikan oleh: bx 1 log b ⁡ ( x ) .
The hyperbolic functions satisfy many identities, all of them similar in form to the trigonometric identities.
Fungsi hiperbolik memenuhi banyak identitas, semuanya mirip bentuknya dengan identitas trigonometri.
The Gudermannian function gives a direct relationship between the trigonometric functions and the hyperbolic ones that does not involve complex numbers.
Fungsi Gudermannian memberikan hubungan langsung antara fungsi melingkar dan fungsi hiperbolik yang tidak melibatkan bilangan kompleks.
Formally, an identity is a true universally quantified formula of the form ∀ x 1 , … , x n : st , ,\ldots ,x_{n}:s=t,} where s and t are terms with no other free variables than x 1 , … , x n .
Dalam logika matematika dan dalam aljabar universal, identitas didefinisikan sebagai rumus dari bentuk "∀x1,...,xn.
For example, the axioms of a monoid are often given as the formulas ∀ x , y , z : x ∗ ( y ∗ z )
Misalnya, aksioma dari monoid sering diberikan sebagai identitas himpunan { ∀x,y,z. x*(y*z)=(x*y)*z , ∀x.
( x ∗ y ) ∗ z , ∀ x : x ∗ 1x , ∀ x : 1 ∗ xx , or, shortly, x ∗ ( y ∗ z )
1*x=x }, atau, dalam notasi singkatnya, sebagai { x*(y*z)=(x*y)*z , x*1=x , 1*x=x }.