In mathematics, a Lie group (pronounced Lee) is a group that is also a differentiable manifold, such that group multiplication and taking inverses are both differentiable.
Dalam matematika, grup Lie (dilafalkan LEE) adalah sebuah grup yang sekaligus merupakan sebuah lipatan diferensiabel, dengan sifat bahwa operasi perkalian grup maupun pengambilan invers keduanya bersifat diferensiabel.
Lie groups provide a natural model for the concept of continuous symmetry, a celebrated example of which is the circle group.
Grup Lie menghadirkan model alami bagi konsep simetri kontinu, dengan contoh klasik yang termasyhur adalah grup lingkaran.
For any rotation of the circle, there exists the same symmetry, and concatenation of such rotations makes them into the circle group, an archetypal example of a Lie group.
Rotasi sebuah lingkaran merupakan wujud simetri kontinu: untuk setiap rotasi lingkaran, terdapat simetri yang sama pula, dan penggabungan (komposisi) rotasi-rotasi ini membentuk grup lingkaran, yang menjadi contoh arketipal dari grup Lie.
Lie groups are widely used in many parts of modern mathematics and physics.
Grup Lie digunakan secara luas dalam banyak cabang matematika modern maupun fisika.
Lie groups were first found by studying matrix subgroups G contained in GL n ( R ) }_{n}(\mathbb {R} )} or ⁠ GL n ( C ) }_{n}(\mathbb {C} )} ⁠, the groups of n × n invertible matrices over R } or ⁠ C } ⁠.
Grup Lie pertama kali ditemukan melalui kajian matriks subgrup G yang terkandung dalam GL n ( R ) }_{n}(\mathbb {R} )} atau ⁠ GL n ( C ) }_{n}(\mathbb {C} )} ⁠, yakni grup matriks invertibel berukuran n × n di atas R } atau ⁠ ⁠}.
Lie groups are named after Norwegian mathematician Sophus Lie (1842–1899), who laid the foundations of the theory of continuous transformation groups.
Grup Lie dinamai sesuai matematikawan Norwegia Sophus Lie (1842–1899), yang meletakkan dasar bagi teori grup transformasi kontinu.
Lie's original motivation for introducing Lie groups was to model the continuous symmetries of differential equations, in much the same way that finite groups are used in Galois theory to model the discrete symmetries of algebraic equations.
Dorongan awal Lie dalam memperkenalkan grup Lie adalah untuk memodelkan simetri kontinu pada persamaan diferensial, dengan cara yang serupa ketika teori Galois menggunakan grup hingga untuk memodelkan simetri diskret pada persamaan aljabar.
Sophus Lie considered the winter of 1873–1874 as the birth date of his theory of continuous groups.
Menurut sumber paling otoritatif pada sejarah awal grup Lie (Hawkins, hal. 1), Sophus Lie menganggap musim dingin tahun 1873–1874 sebagai tanggal lahir teorinya tentang grup kontinu.
Thomas Hawkins, however, suggests that it was "Lie's prodigious research activity during the four-year period from the fall of 1869 to the fall of 1873" that led to the theory's creation.
Namun, Hawkins menyatakan bahwa "aktivitas penelitian Lie yang luar biasa selama periode empat tahun dari musim gugur 1869 hingga musim gugur 1873" yang mengarah pada penciptaan teori (ibid).
Some of Lie's early ideas were developed in close collaboration with Felix Klein.
Beberapa ide awal Lie dikembangkan dalam kolaborasi erat dengan Felix Klein.
Lie met with Klein every day from October 1869 through 1872: in Berlin from the end of October 1869 to the end of February 1870, and in Paris, Göttingen and Erlangen in the subsequent two years.
Lie bertemu dengan Klein setiap hari dari Oktober 1869 hingga 1872 di Berlin dari akhir Oktober 1869 hingga akhir Februari 1870, dan di Paris, Göttingen dan Erlangen dalam dua tahun berikutnya (ibid, hal. 2).
Lie stated that all of the principal results were obtained by 1884.
Lie menyatakan bahwa semua hasil utama diperoleh pada tahun 1884.
But during the 1870s all his papers (except the very first note) were published in Norwegian journals, which impeded recognition of the work throughout the rest of Europe.
Namun, selama tahun 1870-an semua makalahnya (kecuali catatan pertama) diterbitkan di jurnal Norwegia yang menghambat pengakuan atas karya tersebut di seluruh Eropa (ibid, hal 76).
In 1884 a young German mathematician, Friedrich Engel, came to work with Lie on a systematic treatise to expose his theory of continuous groups.
Pada tahun 1884, matematikawan muda asal Jerman, Friedrich Engel, datang untuk bekerja dengan Lie pada risalah sistematis untuk mengekspos teorinya tentang grup kontinu.
From this effort resulted the three-volume Theorie der Transformationsgruppen, published in 1888, 1890, and 1893.
Dari upaya ini dihasilkan tiga jilid Theorie der Transformationsgruppen, diterbitkan pada tahun 1888, 1890, dan 1893.
The term groupes de Lie first appeared in French in 1893 in the thesis of Lie's student Arthur Tresse.
Istilah groupes de Lie pertama kali muncul dalam bahasa Prancis pada tahun 1893 dalam tesis murid Lie, Arthur Tresse.
Lie's ideas did not stand in isolation from the rest of mathematics.
Ide Lie tidak terpisah dari matematika lainnya.
In fact, his interest in the geometry of differential equations was first motivated by the work of Carl Gustav Jacobi, on the theory of partial differential equations of first order and on the equations of classical mechanics.
Faktanya, ketertarikannya pada geometri persamaan diferensial pertama kali dimotivasi oleh karya Carl Gustav Jacobi, pada teori persamaan diferensial parsial orde pertama dan pada persamaan mekanika klasik.
Much of Jacobi's work was published posthumously in the 1860s, generating enormous interest in France and Germany.
Banyak dari karya Jacobi diterbitkan secara anumerta pada tahun 1860-an, membangkitkan minat yang sangat besar di Prancis dan Jerman (Hawkins, hal.43).
Lie and other mathematicians showed that the most important equations for special functions and orthogonal polynomials tend to arise from group theoretical symmetries.
Lie dan matematikawan lainnya menunjukkan persamaan yang paling penting untuk fungsi khusus dan polinomial ortogonal cenderung muncul dari kesimetrian teoretis grup.
In Lie's early work, the idea was to construct a theory of continuous groups, to complement the theory of discrete groups that had developed in the theory of modular forms, in the hands of Felix Klein and Henri Poincaré.
Dalam karya awal Lie, idenya adalah untuk membangun teori grup kontinu, untuk melengkapi teori kelompok diskrit yang telah dikembangkan dalam teori bentuk modular, di tangan Felix Klein dan Henri Poincaré.
The initial application that Lie had in mind was to the theory of differential equations.
Aplikasi awal yang ada dalam pikiran Lie adalah teori persamaan diferensial.
On the model of Galois theory and polynomial equations, the driving conception was of a theory capable of unifying, by the study of symmetry, the whole area of ordinary differential equations.
Pada model teori Galois dan persamaan polinomial, konsep penggeraknya adalah teori yang mampu menyatukan, dengan mempelajari simetri, seluruh luas persamaan diferensial biasa.
However, the hope that Lie theory would unify the entire field of ordinary differential equations was not fulfilled.
Namun, harapan bahwa Teori Kebohongan akan menyatukan seluruh bidang persamaan diferensial biasa tidak terpenuhi.
Symmetry methods for ODEs continue to be studied, but do not dominate the subject.
Metode simetri untuk ODE terus dipelajari, tetapi tidak mendominasi materi.
There is a differential Galois theory, but it was developed by others, such as Picard and Vessiot, and it provides a theory of quadratures, the indefinite integrals required to express solutions.
Ada teori Galois diferensial, tetapi dikembangkan oleh orang lain, seperti Picard dan Vessiot, dan ini memberikan teori kuadratur, integral tak hingga.
Additional impetus to consider continuous groups came from ideas of Bernhard Riemann, on the foundations of geometry, and their further development in the hands of Klein.
Dorongan tambahan untuk mempertimbangkan kelompok berkelanjutan berasal dari gagasan Bernhard Riemann, pada dasar-dasar geometri, dan pengembangan lebih lanjut mereka di tangan Klein.
Thus three major themes in 19th century mathematics were combined by Lie in creating his new theory: The idea of symmetry, as exemplified by Galois through the algebraic notion of a group; Geometric theory and the explicit solutions of differential equations of mechanics, worked out by Poisson and Jacobi; The new understanding of geometry that emerged in the works of Plücker, Möbius, Grassmann and others, and culminated in Riemann's revolutionary vision of the subject.
Lie dalam menciptakan teori barunya: ide simetri, seperti yang dicontohkan oleh Galois melalui pengertian aljabar dari grup; teori geometri dan solusi eksplisit dari persamaan diferensial mekanika, dikerjakan oleh Poisson dan Jacobi; dan pemahaman baru tentang geometri yang muncul
Although today Sophus Lie is rightfully recognized as the creator of the theory of continuous groups, a major stride in the development of their structure theory, which was to have a profound influence on subsequent development of mathematics, was made by Wilhelm Killing, who in 1888 published the first paper in a series entitled Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (The composition of continuous finite transformation groups).
Meskipun saat ini Sophus Lie diakui sebagai pencipta teori kelompok berkelanjutan, langkah besar dalam pengembangan teori struktur mereka, yang memiliki pengaruh besar pada perkembangan matematika selanjutnya, dibuat oleh Wilhelm Killing, yang pada tahun 1888 menerbitkan makalah pertama dalam seri berjudul Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (Komposisi grup transformasi hingga kontinu) (Hawkins, hlm. 100).
The work of Killing, later refined and generalized by Élie Cartan, led to classification of semisimple Lie algebras, Cartan's theory of symmetric spaces, and Hermann Weyl's description of representations of compact and semisimple Lie groups using highest weights.
Pekerjaan Pembunuhan, kemudian disempurnakan dan digeneralisasikan oleh Élie Cartan, mengarah ke klasifikasi aljabar Lie setengah sederhana, Teori Cartan tentang ruang simetris, dan deskripsi Hermann Weyl tentang representasi dari grup Lie yang kompak dan setengah sederhana.
In 1900 David Hilbert challenged Lie theorists with his Fifth Problem presented at the International Congress of Mathematicians in Paris.
Pada tahun 1900 David Hilbert menantang ahli teori Lie dengan Masalah Kelima yang
Weyl brought the early period of the development of the theory of Lie groups to fruition, for not only did he classify irreducible representations of semisimple Lie groups and connect the theory of groups with quantum mechanics, but he also put Lie's theory itself on firmer footing by clearly enunciating the distinction between Lie's infinitesimal groups (i.e., Lie algebras) and the Lie groups proper, and began investigations of topology of Lie groups.
Weyl membawa periode awal perkembangan teori kelompok Lie membuahkan hasil, karena tidak hanya dia mengklasifikasikan representasi tak tersederhanakan dari kelompok Lie semisimple dan menghubungkan teori grup dengan mekanika kuantum, tetapi dia juga menempatkan teori Lie itu sendiri pada pijakan yang lebih kokoh dengan secara jelas menyatakan perbedaan antara grup sangat kecil Lie (yaitu, Lie algebras) dan grup Lie yang sesuai, dan mulai menyelidiki topologi grup Lie.
The theory of Lie groups was systematically reworked in modern mathematical language in a monograph by Claude Chevalley.
Teori kelompok Lie secara sistematis dikerjakan ulang dalam bahasa matematika modern dalam sebuah monograf oleh Claude Chevalley.
Lie groups are smooth differentiable manifolds and as such can be studied using differential calculus, in contrast with the case of more general topological groups.
Grup Lie adalah lipatan berjenis halus dan dengan demikian dapat dipelajari menggunakan kalkulus diferensial berbeda dengan grup topologi umum.
Lie groups play an enormous role in modern geometry, on several different levels.
Grup Lie memainkan peran yang sangat besar dalam geometri modern unruk beberapa tingkatan yang berbeda.
Felix Klein argued in his Erlangen program that one can consider various "geometries" by specifying an appropriate transformation group that leaves certain geometric properties invariant.
Felix Klein berpendapat dalam program Erlangen dapat mempertimbangkan berbagai "geometri "dengan menentukan grup transformasi yang sesuai yang menghilangkan sifat geometris invarian.
Thus Euclidean geometry corresponds to the choice of the group E(3) of distance-preserving transformations of the Euclidean space ⁠ R 3 ^{3}} ⁠, conformal geometry corresponds to enlarging the group to the conformal group, whereas in projective geometry one is interested in the properties invariant under the projective group.
dari transformasi jarak ruang Euklides R3 konformal geometri dengan memperbesar grup ke grup konformal, sedangkan dalam geometri proyektif tertarik pada sifat invarian di bawah grup proyektif.
This idea later led to the notion of a G-structure, where G is a Lie group of "local" symmetries of a manifold.
Ide ini kemudian mengarah pada gagasan tentang sebuah struktur-G, di mana G adalah grup Lie dari simetris "lokal" dari lipatan.
Lie groups (and their associated Lie algebras) play a major role in modern physics, with the Lie group typically playing the role of a symmetry of a physical system.
Grup Lie dan aljabar Lie memainkan peran utama dalam fisika modern, dengan grup Lie biasanya memainkan peran sebagai simetri sistem fisik.
Representation theory is used extensively in particle physics.
Teori representasi digunakan secara luas dalam fisika partikel.
Groups whose representations are of particular importance include the rotation group SO(3) (or its double cover SU(2)), the special unitary group SU(3) and the Poincaré group.
Grup wakilannya sangat penting untuk digunakan grup rotasi S(3) atau penutup ganda SU(2), grup satuan khusus SU(3) dan grup Poincaré.
On a "global" level, whenever a Lie group acts on a geometric object, such as a Riemannian or a symplectic manifold, this action provides a measure of rigidity and yields a rich algebraic structure.
Pada tingkat "global", setiap grup Lie aksi pada objek geometris, yaitu Riemannian atau lipatan simplektis, aksi ini memberikan ukuran dan menghasilkan struktur aljabar yang banyak.
Linear actions of Lie groups are especially important, and are studied in representation theory.
Grup Lie aksi sangat penting dalam penggunaannya, dan dipelajari dalam teori wakilan.
In the 1940s–1950s, Ellis Kolchin, Armand Borel, and Claude Chevalley realised that many foundational results concerning Lie groups can be developed completely algebraically, giving rise to the theory of algebraic groups defined over an arbitrary field.
Pada 1940-an-1950-an, Ellis Kolchin, Armand Borel, dan Claude Chevalley menyadari bahwa banyak hasil dasar mengenai grup Lie yang dikembangkan sepenuhnya secara aljabar sebagai teori grup aljabar yang ditentukan melalui sembarang medan.
The theory of automorphic forms, an important branch of modern number theory, deals extensively with analogues of Lie groups over adele rings; p-adic Lie groups play an important role, via their connections with Galois representations in number theory.
Teori bentuk automorfik, cabang penting dari teori bilangan modern, berurusan secara ekstensif dengan analogi grup Lie selama gelanggang Adele; bilangan p-adik grup Lie memainkan peran penting dengan melalui koneksi dengan representasi Galois dalam teori bilangan.
(2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}
(2,\mathbf {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}
Using the rotation angle φ as a parameter, this group can be parametrized as follows: SO ⁡ ( 2 , R ){ ( cos ⁡ φ − sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ ) : φ ∈ R / 2 π Z } .
Menggunakan sudut rotasi φ sebagai parameter, grup ini dapat berupa parametrized sebagai berikut: SO ⁡ ( 2 , R ){ ( cos ⁡ φ − sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ ) : φ ∈ R / 2 π Z } .
(2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbb {R} \ /\
(2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbf {R} /2\pi
The affine group of one dimension is a two-dimensional matrix Lie group, consisting of 2 × 2 real, upper-triangular matrices, with the first diagonal entry being positive and the second diagonal entry being 1.
Grup affin satu dimensi adalah grup Lie matriks dua dimensi yang terdiri dari 2 × 2 matriks segitiga atas dengan entri diagonal pertama positif dan entri diagonal kedua adalah 1.
Thus, the group consists of matrices of the form A( a b 0 1 ) , a > 0 , b ∈ R .
Jadi, grup tersebut terdiri dari matriks formulir A( a b 0 1 ) , a > 0 , b ∈ R .
We now present an example of a group with an uncountable number of elements that is not a Lie group under a certain topology.
Untuk contoh grup dengan elemen tak terhitung yang bukan grup Lie di bawah topologi tertentu.
The group given by H{ ( e 2 π i θ 0 0 e 2 π i a θ ) : θ ∈ R } ⊂ T 2{ ( e 2 π i θ 0 0 e 2 π i ϕ ) : θ , ϕ ∈ R } , e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},} with a ∈ R ∖ Q \setminus \mathbb {Q} } a fixed irrational number, is a subgroup of the torus T 2 ^{2}} that is not a Lie group when given the subspace topology.
Grup diberikan oleh H{ ( e 2 π i θ 0 0 e 2 π i a θ ) : θ ∈ R } ⊂ T 2{ ( e 2 π i θ 0 0 e 2 π i ϕ ) : θ , ϕ ∈ R } , e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},} dengan a ∈ R ∖ Q \setminus \mathbb {Q} } sebuah bilangan irasional adalah subgrup dari torus T 2 ^{2}} yang bukan grup Lie diberikan oleh topologi subruang.
If we take any small neighborhood U of a point h in ⁠ H ⁠, for example, the portion of H in U is disconnected.
Jika mengambil lingkungan U dari sebuah titik h dengan H : contoh, bagian dari H dalam U adalah terputus.
The group H is an example of a "Lie subgroup" of a Lie group that is not closed.
Grup H adalah contoh gelanggang dari "subgrup Lie" dari grup Lie yang tidak tertutup.
See the discussion below of Lie subgroups in the section on basic concepts.
Lihat pembahasan subgrup Lie di bawah ini pada bagian tentang konsep dasar.
Restricting attention to matrix Lie groups simplifies the definition of the Lie algebra and the exponential map.
Membatasi sebuah matriks grup Lie dengan cara menyederhanakan definisi aljabar Lie dan peta eksponensial.
The following are standard examples of matrix Lie groups.
Berikut ini adalah contoh standar grup matriks Lie.
The special linear groups over R } and ⁠ C } ⁠, SL ⁡ ( n , R ) (n,\mathbb {R} )} and ⁠ SL ⁡ ( n , C ) (n,\mathbb {C} )} ⁠, consisting of n × n matrices with determinant 1 and entries in R } or C } The unitary groups and special unitary groups, U ⁡ ( n , C ) (n,\mathbb {C} )} and ⁠ SU ⁡ ( n , C ) (n,\mathbb {C} )} ⁠, consisting of n × n complex matrices satisfying U ∗U − 1U^{-1}} (and also det ( U )
Grup linear khusus di atas R } dan C } yaitu SL ⁡ ( n , R ) (n,\mathbb {R} )} dan SL ⁡ ( n , C ) (n,\mathbb {C} )} terdiri dari n × n matriks dengan determinan satu dan entri dalam R } atau C } Grup unital dan grup uniter khusus yaitu U ( n ) }(n)} dan SU ( n ) }(n)} , terdiri dari n × n matriks kompleks U ∗U − 1U^{-1}} (dan det ( U )
A complex Lie group is defined in the same way using complex manifolds rather than real ones (example: SL ⁡ ( 2 , C ) (2,\mathbb {C} )} ), and holomorphic maps.
Grup Lie kompleks didefinisikan dengan cara yang sama menggunakan lipatan kompleks yang sebenarnya (contoh: SL ⁡ ( 2 , C ) (2,\mathbb {C} )} ), dan menggunakan alternatif pelengkap metrik dari Q } , grup topologi di mana setiap titik memiliki lingkungan p-adik.
Hilbert's fifth problem asked whether replacing differentiable manifolds with topological or analytic ones can yield new examples.
Masalah kelima Hilbert menanyakan apakah untuk mengganti lipatan yang dibedakan dengan topologi atau analitik dapat menghasilkan contoh baru.
The answer to this question turned out to be negative: in 1952, Gleason, Montgomery and Zippin showed that if G is a topological manifold with continuous group operations, then there exists exactly one analytic structure on G which turns it into a Lie group (see also Hilbert–Smith conjecture).
Gleason, Montgomery dan Zippin menunjukkan bahwa jika G adalah lipatan topologi, maka tepat satu struktur analitik pada G yang mengubah menjadi grup Lie (lihat pula Konjektur Hilbert–Smith).
It is possible to define analogues of many Lie groups over finite fields, and these give most of the examples of finite simple groups.
Dimungkinkan untuk mendefinisikan analogi dari banyak grup Lie di atas bidang hingga, dan memberikan sebagian besar contoh grup sederhana hingga.
This is important, because it allows generalization of the notion of a Lie group to Lie supergroups.
Sampul universal dari grup Lie yang terhubung adalah grup Lie.
This categorical point of view leads also to a different generalization of Lie groups, namely Lie groupoids, which are groupoid objects in the category of smooth manifolds with a further requirement.
Beberapa contoh grup yang bukan grup Lie (kecuali dalam pengertian solvabel bahwa setiap grup banyak dapat dilihat sebagai grup Lie 0 dimensi, dengan topologi diskrit), adalah:
A Lie group can be defined as a (Hausdorff) topological group that, near the identity element, looks like a transformation group, with no reference to differentiable manifolds nor topological manifolds.
Grup Lie dapat didefinisikan sebagai (Hausdorff) grup topologi di mana elemen tersebut adalah identitas, terlihat seperti grup transformasi, tanpa referensi ke lipatan yang dibedakan.
Precisely, a Lie group is defined as a topological group that (1) is locally isomorphic near the identities to a matrix Lie group, a closed subgroup of GL ⁡ ( n , C ) (n,\mathbb {C} )} and (2) has at most countably many connected components.
Maka grup Lie didefinisikan sebagai grup topologi (1) secara lokal isomorfik dekat identitas ke grup Lie linear dan (2) memiliki banyak komponen yang terhubung.
Given a Lie group G in the usual manifold sense, the Lie group–Lie algebra correspondence (or a version of Lie's third theorem) constructs a closed Lie subgroup G ′ ⊂ GL ⁡ ( n , C ) (n,\mathbb {C} )} such that G , G ′ share the same Lie algebra; thus, they are locally isomorphic.
atau versi teorema ketiga Lie) membentuk subgrup Lie terbenam G ′ ⊂ GL ⁡ ( n , C ) (n,\mathbb {C} )} maka G , G ′ dibagikan aljabar Lie yang sama; dengan demikian, isomorfik secara lokal.
Hence, G satisfies the above topological definition.
Oleh karena itu, G memenuhi definisi topologi di atas.
Then, by a version of the closed subgroup theorem, G ′ is a real-analytic manifold and then, through the local isomorphism, G acquires a structure of a manifold near the identity element.
Maka G sebagai grup topologi yang merupakan grup Lie dalam pengertian topologis di atas dan grup Lie linear G ′ lokal isomorfik ke G. Kemudian, dengan versi teorema subgrup tertutup, G ′ adalah lipatan analitik-riil dan isomorfisme lokal, G memperoleh struktur lipatan ganda dekat elemen identitas.
The topological definition implies the statement that if two Lie groups are isomorphic as topological groups, then they are isomorphic as Lie groups.
Definisi topologi sebagai dua grup Lie isomorfik sebagai grup topologi, maka isomorfik adalah grup Lie.
In fact, it states the general principle that, to a large extent, the topology of a Lie group together with the group law determines the geometry of the group.
Faktanya, prinsip umum bahwa untuk sebagian besar, topologi grup Lie dengan hukum grup menentukan geometri grup.
Lie groups occur in abundance throughout mathematics and physics.
Grup Lie terdapat di seluruh materi matematika dan fisika.
Matrix groups or algebraic groups are (roughly) groups of matrices (for example, orthogonal and symplectic groups), and these give most of the more common examples of Lie groups.
Grup matriks atau grup aljabar adalah grup matriks, misalnya: ortogonal dan grup simplektis, dan ini memberikan sebagian besar yang umum contoh dari Lie.
The only connected Lie groups with dimension one are the real line R } (with the group operation being addition) and the circle group S 1 } of complex numbers with absolute value one (with the group operation being multiplication).
Salah satu grup Lie yang terhubung dengan dimensi satu adalah garis riil R } dengan operasi grup menjadi penjumlahan dan grup lingkaran S 1 } bilangan kompleks dengan nilai absolut satu dengan operasi grup menjadi perkalian.
The S 1 } group is often denoted as ⁠ U ⁡ ( 1 ) (1)} ⁠, the group of 1 × 1 unitary matrices.
S 1 } grup dilambangkan sebagai U ( 1 ) sebagai grup matriks uniter 1 × 1 .
In two dimensions, if we restrict attention to simply connected groups, then they are classified by their Lie algebras.
Dalam dua dimensi, jika membatasi hanya pada grup yang terhubung, maka diklasifikasikan oleh aljabar Lie.
The associated simply connected Lie groups are R 2 ^{2}} (with the group operation being vector addition) and the affine group in dimension one, described in the previous subsection under "first examples".
Grup Lie yang terhubung secara sederhana adalah R 2 ^{2}} dengan operasi grup sebagai penjumlahan vektor dan grup affin dalam dimensi satu, dijelaskan di sub-bagian sebelumnya di bawah "contoh pertama".
The Heisenberg group is a connected nilpotent Lie group of dimension ⁠ 3 ⁠, playing a key role in quantum mechanics.
Grup Heisenberg adalah grup dimensi nilpoten menghubungkan 3 yang memainkan peran kunci dalam mekanika kuantum.
The Lorentz group is a 6-dimensional Lie group of linear isometries of the Minkowski space.
Gru0 Lorentz adalah grup Lie 6 dimensi dari isometri dari ruang Minkowski.
The Poincaré group is a 10-dimensional Lie group of affine isometries of the Minkowski space.
Grup Poincaré adalah grup Lie 10 dimensi dari isometri affin dari ruang Minkowski.
The exceptional Lie groups of types G2, F4, E6, E7, E8 have dimensions 14, 52, 78, 133, and 248.
Grup Lie eksepsional tipe G2, F4, E6, E7, E8 memiliki dimensi 14, 52, 78, 133, dan 248.
Along with the A–B–C–D series of simple Lie groups, the exceptional groups complete the list of simple Lie groups.
Dengan deret A-B-C-D grup Lie sederhana, grup eksepsional melengkapi daftar grup Lie sederhana.
The symplectic group Sp ( 2 n , R ) }(2n,\mathbb {R} )} consists of all 2 n × 2 n matrices preserving a symplectic form on ⁠ R 2 n ^{2n}} ⁠.
Grup simplektik Sp ( 2 n , R ) }(2n,\mathbb {R} )} terdiri dari semua 2 n × 2 n matriks mempererat bentuk simplektis dalam R 2 n ^{2n}} .
It is a connected Lie group of dimension ⁠ 2 n 2 + n +n} ⁠. There are several standard ways to form new Lie groups from old ones: The product of two Lie groups is a Lie group.
Ada beberapa cara standar untuk membentuk grup Lie yang baru dari lama: Produk dari dua grup Lie adalah grup Lie.
Any topologically closed subgroup of a Lie group is a Lie group.
Setiap subgrup topologi tertutup dari grup Lie adalah grup Lie.
This is known as the closed subgroup theorem or Cartan's theorem.
Ini dikenal sebagai Teorema subgrup tertutup atau teorema Cartan.
The quotient of a Lie group by a closed normal subgroup is a Lie group.
Hasil bagi dari grup Lie oleh subgrup normal tertutup adalah grup Lie.
The universal cover of a connected Lie group is a Lie group.
Sampul universal dari grup Lie yang terhubung adalah grup Lie.
For example, the group R } is the universal cover of the circle group ⁠ S 1 } ⁠.
Misalnya, grup R } adalah sampul universal grup lingkaran S 1 } .
(Some of these groups are "p-adic Lie groups".)
Beberapa dari grup ini adalah "grup Lie p-adik".
In general, only topological groups having similar local properties to Rn for some positive integer n can be Lie groups (of course they must also have a differentiable structure).
Secara umum, l grup topologi yang memiliki kesamaan sifat lokal Rn untuk beberapa bilangan bulat positif n dapat berupa grup Lie (tentu harus memiliki struktur yang dibedakan).
(In general the Lie bracket of a connected Lie group is always 0 if and only if the Lie group is abelian.)
Hasil bagi dari grup Lie oleh subgrup normal tertutup adalah grup Lie.
It can then be shown that the Lie algebra of G is a real vector space that is closed under the bracket operation, ⁠ [ X , Y ]X Y − Y X ⁠. The concrete definition given above for matrix groups is easy to work with, but has some minor problems: to use it we first need to represent a Lie group as a group of matrices, but not all Lie groups can be represented in this way, and it is not even obvious that the Lie algebra is independent of the representation we use.
Subgrup tertutup dari GL ⁡ ( n , C ) (n,\mathbb {C} )} adalah grup Lie yang disebut matriks grup Lie Karena sebagian besar contoh dari grup Lie direalisasikan sebagai matriks grup Lie, beberapa buku teks membatasi perhatian pada kelas ini,
This Lie algebra g }} is finite-dimensional and it has the same dimension as the manifold G. The Lie algebra of G determines G up to "local isomorphism", where two Lie groups are called locally isomorphic if they look the same near the identity element.
Maka G sebagai grup topologi yang merupakan grup Lie dalam pengertian topologis di atas dan grup Lie linear G ′ lokal isomorfik ke G. Kemudian, dengan versi teorema subgrup tertutup, G ′ adalah lipatan analitik-riil dan isomorfisme lokal, G memperoleh struktur lipatan ganda dekat elemen identitas.
If we identify the Lie algebras of G and H with their tangent spaces at the identity elements, then ϕ ∗ } is a map between the corresponding Lie algebras: ϕ ∗ : g → h , :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},} which turns out to be a Lie algebra homomorphism (meaning that it is a linear map which preserves the Lie bracket).
Artinya, jika ϕ : G → H adalah homomorfisme grup Lie dan ϕ ∗ : g → h :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} peta induksi aljabar Lie yang tepat, maka untuk semua x ∈ g }} yaitu ϕ ( exp ⁡ ( x ) )exp ⁡ ( ϕ ∗ ( x ) ) .
Two Lie groups are called isomorphic if there exists a bijective homomorphism between them whose inverse is also a Lie group homomorphism.
Definisi topologi sebagai dua grup Lie isomorfik sebagai grup topologi, maka isomorfik adalah grup Lie.
Observe that, by the above, a continuous homomorphism from a Lie group G to a Lie group H is an isomorphism of Lie groups if and only if it is bijective.
Subgrup Lie H dari grup Lie G adalah grup Lie himpunan bagian dari G dan peta inklusi dari H ke G yang merupakan injektif pencelupan dan homomorfisme grup.
Isomorphic Lie groups necessarily have isomorphic Lie algebras; it is then reasonable to ask how isomorphism classes of Lie groups relate to isomorphism classes of Lie algebras.
Definisi topologi sebagai dua grup Lie isomorfik sebagai grup topologi, maka isomorfik adalah grup Lie.
On the other hand, if we require that the Lie group be simply connected, then the global structure is determined by its Lie algebra: two simply connected Lie groups with isomorphic Lie algebras are isomorphic.
Maka grup Lie didefinisikan sebagai grup topologi (1) secara lokal isomorfik dekat identitas ke grup Lie linear dan (2) memiliki banyak komponen yang terhubung.
A Lie group G is said to be simply connected if every loop in G can be shrunk continuously to a point in ⁠ G ⁠.
peta eksponensial menghasilkan korespondensi satu-ke-satu antara subgrup Lie terhubung dari grup Lie yang terhubung G dan subaljabar dari aljabar Lie G .
Theorem: Suppose G and H are Lie groups with Lie algebras g }} and h }} and that f : g → h }\rightarrow {\mathfrak {h}}} is a Lie algebra homomorphism.
Subgrup Lie H dari grup Lie G adalah grup Lie himpunan bagian dari G dan peta inklusi dari H ke G yang merupakan injektif pencelupan dan homomorfisme grup.
If G is simply connected, then there is a unique Lie group homomorphism ϕ : G → H such that ⁠ ϕ ∗ff} ⁠, where ϕ ∗ } is the differential of ϕ at the identity.
Artinya, jika ϕ : G → H adalah homomorfisme grup Lie dan ϕ ∗ : g → h :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} peta induksi aljabar Lie yang tepat, maka untuk semua x ∈ g }} yaitu ϕ ( exp ⁡ ( x ) )exp ⁡ ( ϕ ∗ ( x ) ) .
1 + X + X 2 2 ! + X 3 3 !
1 + X + X 2 2 !
If G is a closed subgroup of ⁠ G L ( n ; C ) (n;\mathbb {C} )} ⁠, then the exponential map takes the Lie algebra of G into ⁠ G ⁠; thus, we have an exponential map for all matrix groups.
+ ⋯ }{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots } Jika G adalah subgrup tertutup dari G L ( n ; C ) )} , maka peta eksponensial mengambil aljabar Lie dari G menjadi G ; dengan demikian, memiliki peta eksponensial untuk semua grup matriks.
We can solve both problems using a more abstract definition of the exponential map that works for all Lie groups, as follows.
Kita dapat menyelesaikan kedua masalah tersebut menggunakan definisi yang abstrak dari peta eksponensial yang berfungsi untuk semua grup Lie, sebagai berikut.
The formal similarity of this formula with the one valid for the exponential function justifies the definition exp ⁡ ( X )
Kesamaan formal rumus ini dengan yang valid untuk fungsi eksponensial membenarkan definisi tersebut exp ⁡ ( X )
This exponential map is a generalization of the exponential function for real numbers (because R } is the Lie algebra of the Lie group of positive real numbers with multiplication), for complex numbers (because C } is the Lie algebra of the Lie group of non-zero complex numbers with multiplication) and for matrices (because M ( n , R ) )} with the regular commutator is the Lie algebra of the Lie group G L ( n , R ) (n,\mathbb {R} )} of all invertible matrices).
Peta eksponensial ini merupakan generalisasi dari fungsi eksponensial untuk bilangan riil, maka R } adalah aljabar Lie dari kelompok Lie bilangan riil positif dengan perkalian, untuk bilangan kompleks, maka C } adalah aljabar Lie dari grup Lie dari bilangan kompleks bukan nol dengan perkalian) dan untuk matriks (karena M ( n , R ) )} dengan komutator biasa adalah aljabar Lie dari grup Lie G L ( n , R ) )} dari semua matriks invers).
Because the exponential map is surjective on some neighbourhood N of ⁠ e ⁠, it is common to call elements of the Lie algebra infinitesimal generators of the group
Karena peta eksponensial bersifat konjektur di beberapa lingkungan N dari e adalah hal umum untuk elemen aljabar Lie infinitesimal generator dari grup G .
⁠ G ⁠. The subgroup of G generated by N is the identity component of ⁠ G ⁠. The exponential map and the Lie algebra determine the local group structure of every connected Lie group, because of the Baker–Campbell–Hausdorff formula: there exists a neighborhood U of the zero element of ⁠ g }} ⁠, such that for X , Y ∈ U we have exp ⁡ ( X ) exp ⁡ ( Y )
Peta eksponensial dan aljabar Lie menentukan struktur grup lokal dari setiap grup Lie yang terhubung, karena rumus Baker–Campbell–Hausdorff: lingkungan U dari elemen nol g }} yang dirumuskan X , Y ∈ U , maka exp ⁡ ( X ) exp ⁡ ( Y )
exp ⁡ ( X + Y + 1 2 [ X , Y ] + 1 12 [ [ X , Y ] , Y ] − 1 12 [ [ X , Y ] , X ] − ⋯ ) , {2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),} where the omitted terms are known and involve Lie brackets of four or more elements.
exp ⁡ ( X + Y + 1 2 [ X , Y ] + 1 12 [ [ X , Y ] , Y ] − 1 12 [ [ X , Y ] , X ] − ⋯ ) , {2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),} di mana istilah yang dihilangkan diketahui dan melibatkan kurung Lie dari empat elemen atau lebih.
In case X and Y commute, this formula reduces to the familiar exponential law ⁠ exp ⁡ ( X ) exp ⁡ ( Y )
Jika X dan Y komutator, rumus tersebut direduksi menjadi hukum eksponensial yang dikenal sebagai exp ⁡ ( X ) exp ⁡ ( Y )
exp ⁡ ( X + Y ) ⁠. The exponential map relates Lie group homomorphisms.
exp ⁡ ( X + Y ) Peta eksponensial menghubungkan homomorfisme grup Lie.
g → h :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} the induced map on the corresponding Lie algebras, then for all x ∈ g }} we have ϕ ( exp ⁡ ( x ) )
Ini disebut peta eksponensial, dan memetakan aljabar Lie g }} dalam grup Lie G .
In other words, the following diagram commutes, (In short, exp is a natural transformation from the functor Lie to the identity functor on the category of Lie groups.)
(x)).\,} Dengan kata lain, diagram berikut komutatif, Singkatnya, exp adalah transformasi alami dari functor Lie ke identitas funktor pada kategori grup Lie.
The exponential map from the Lie algebra to the Lie group is not always onto, even if the group is connected (though it does map onto the Lie group for connected groups that are either compact or nilpotent).
Peta eksponensial dari aljabar Lie ke grup Lie tidak selalu ekspresif, bahkan jika grup tersebut terhubung yang memetakan ke grup Lie untuk grup terhubung yang kompak atau nilpoten.
A Lie subgroup H of a Lie group G is a Lie group that is a subset of G and such that the inclusion map from H to G is an injective immersion and group homomorphism.
Subgrup Lie H dari grup Lie G adalah grup Lie himpunan bagian dari G dan peta inklusi dari H ke G yang merupakan injektif pencelupan dan homomorfisme grup.
According to Cartan's theorem, a closed subgroup of G admits a unique smooth structure which makes it an embedded Lie subgroup of G —i.e. a Lie subgroup such that the inclusion map is a smooth embedding.
Menurut teorema Cartan, subgrup tertutup dari G mengetahui struktur halus unik yang menjadikannya sebuah subgrup tancapan Lie dari G , yaitu sebuah subgrup Lie sedemikian rupa sehingga peta inklusi adalah penyematan mulus.
Examples of non-closed subgroups are plentiful; for example take G to be a torus of dimension 2 or greater, and let H be a one-parameter subgroup of irrational slope, i.e. one that winds around in G.
Banyak contoh subgrup non-tertutup; misalnya mengambil G sebagai torus berdimensi 2 atau lebih besar, dan H sebagai subgrup satu parameter dari lerengan irasional, yaitu salah satu dalam G. Maka grup Lie homomorfisme φ : R → G \to G} dengan
Then there is a Lie group homomorphism φ : R → G \to G} with ⁠ i m ( φ )H (\varphi )=H} ⁠. The closure of H will be a sub-torus in ⁠ G ⁠. The exponential map gives a one-to-one correspondence between the connected Lie subgroups of a connected Lie group G and the subalgebras of the Lie algebra of ⁠ G ⁠. Typically, the subgroup corresponding to a subalgebra is not a closed subgroup.
Artinya, jika ϕ : G → H adalah homomorfisme grup Lie dan ϕ ∗ : g → h :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} peta induksi aljabar Lie yang tepat, maka untuk semua x ∈ g }} yaitu ϕ ( exp ⁡ ( x ) )exp ⁡ ( ϕ ∗ ( x ) ) .
There is no criterion solely based on the structure of G which determines which subalgebras correspond to closed subgroups.
Tidak ada kriteria yang didasarkan pada struktur G untuk menentukan subaljabar, di mana yang sesuai dengan subgrup tertutup.
One important aspect of the study of Lie groups is their representations, that is, the way they can act (linearly) on vector spaces.
Salah satu aspek penting dari studi grup Lie adalah wakilan, yaitu cara bertindak (secara linear) pada ruang vektor.
In physics, Lie groups often encode the symmetries of a physical system.
Dalam fisika, grup Lie sering kali menyandikan kesimetrian sistem fisik.
The way one makes use of this symmetry to help analyze the system is often through representation theory.
Cara menggunakan simetri ini untuk membantu menganalisis sistem sering kali melalui teori wakilan.
This assumption does not necessarily mean that the solutions ψ are rotationally invariant functions.
Asumsi tersebut tidak berarti bahwa solusi ψ adalah fungsi invarian secara rotasi.
Rather, it means that the space of solutions to H ^ ψE ψ }\psiE\psi } is invariant under rotations (for each fixed value of E ).
Sebaliknya, hal itu berarti bahwa ruang dari solusi H ^ ψE ψ }\psiE\psi } adalah invarian dalam rotasi (untuk setiap nilai tetap E ).
These representations have been classified and the classification leads to a substantial simplification of the problem, essentially converting a three-dimensional partial differential equation to a one-dimensional ordinary differential equation.
Wakilan ini telah diklasifikasikan dan mengarah ke penyederhanaan penyederhanaan masalah, pada dasarnya mengubah persamaan diferensial parsial tiga dimensi menjadi persamaan diferensial biasa satu dimensi.
The case of a connected compact Lie group K (including the just-mentioned case of SO(3)) is particularly tractable.
Kasus grup Lie kompak terhubung K (termasuk kasus SO(3) yang baru saja disebutkan) sangat mudah ditangani.
For example, it is possible to give a relatively simple explicit description of the representations of the group SL(2, R) and the representations of the Poincaré group.
Misalnya, untuk memberikan deskripsi eksplisit yang relatif sederhana tentang wakilan dari grup SL(2,R) dan wakilan dari grup Poincaré.
Lie groups may be thought of as smoothly varying families of symmetries.
Grup Lie dianggap sebagai grup kesimetrian yang bervariasi dengan polos.
What must be understood is the nature of 'small' transformations, for example, rotations through tiny angles, that link nearby transformations.
Yang harus dipahami adalah sifat transformasi 'kecil', misalnya, rotasi melalui sudut-sudut kecil, yang menghubungkan transformasi di dekatnya.
The mathematical object capturing this structure is called a Lie algebra (Lie himself called them "infinitesimal groups").
Objek matematika yang menangkap struktur ini disebut aljabar Lie (Lie sendiri menyebutnya "grup infinitesimal").
It can be defined because Lie groups are smooth manifolds, so have tangent spaces at each point.
Dapat didefinisikan karena grup Lie adalah lipatan polos, sehingga memiliki ruang tangen pada setiap titik.
The structure of an abelian Lie algebra is mathematically uninteresting (since the Lie bracket is identically zero); the interest is in the simple summands.
Struktur aljabar Lie abelian secara matematis tidak menarik, karena tanda kurung Lie identik dengan nol, minatnya terdapat pada ringkasan sederhana.
E8 is the largest of these.
E8 adalah yang terbesar.
Lie groups are classified according to their algebraic properties (simple, semisimple, solvable, nilpotent, abelian), their connectedness (connected or simply connected) and their compactness.
Grup Lie diklasifikasikan menurut sifat aljabar, yaitu sederhana, semi-sederhana, berpenyelesaian, nilpoten, abelian, keterhubungan, yaitu terkoneksi atau terhubung sederhana, dan kekompakan.
A first key result is the Levi decomposition, which says that every simply connected Lie group is the semidirect product of a solvable normal subgroup and a semisimple subgroup.
Hasil utama pertama adalah dekomposisi Levi yang mengatakan bahwa setiap grup Lie yang terhubung sederhana adalah produk semilangsung dari subgrup normal yang dapat dipecahkan dan subgrup semisederhana.
Connected compact Lie groups are all known: they are finite central quotients of a product of copies of the circle group S1 and simple compact Lie groups (which correspond to connected Dynkin diagrams).
Grup Lie kompak yang terhubung yang diketahui: pusat hasil bagi hingga dari produk salinan grup lingkaran S1 dan grup Lie kompak sederhana, yang sesuai dengan diagram Dynkin yang terhubung.
Any simply connected solvable Lie group is isomorphic to a closed subgroup of the group of invertible upper triangular matrices of some rank, and any finite-dimensional irreducible representation of such a group is 1-dimensional.
Setiap gugus Lie berpenyelesaian secara sederhana adalah isomorfik ke subgrup tertutup dari grup matriks segitiga atas invers dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup seperti itu adalah 1-dimensi.
Solvable groups are too messy to classify except in a few small dimensions.
Grup berpenyelesaian terlalu berantakan untuk diklasifikasikan kecuali dalam beberapa dimensi kecil.
Any simply connected nilpotent Lie group is isomorphic to a closed subgroup of the group of invertible upper triangular matrices with 1s on the diagonal of some rank, and any finite-dimensional irreducible representation of such a group is 1-dimensional.
Setiap grup Lie nilpoten yang terhubung sederhana adalah isomorfik ke sungrup tertutup dari grup matriks segitiga atas yang dapat dibalik dengan 1 dalam diagonal dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup adalah 1-dimensi.
Simple Lie groups are sometimes defined to be those that are simple as abstract groups, and sometimes defined to be connected Lie groups with a simple Lie algebra.
Grup Lie sederhana terkadang didefinisikan sebagai grup yang sederhana sebagai grup abstrak, dan terkadang didefinisikan sebagai grup Lie yang terhubung dengan aljabar Lie sederhana.
For example, SL(2, R) is simple according to the second definition but not according to the first.
Misalnya, SL(2, R) sederhana menurut definisi kedua tetapi tidak menurut definisi pertama.
Semisimple Lie groups are Lie groups whose Lie algebra is a product of simple Lie algebras.
Setiap subgrup topologi tertutup dari grup Lie adalah grup Lie.
The identity component of any Lie group is an open normal subgroup, and the quotient group is a discrete group.
Komponen identitas dari setiap grup Lie adalah subgrup normal terbuka, dan grup hasil bagi adalah grup diskrit.
The universal cover of any connected Lie group is a simply connected Lie group, and conversely any connected Lie group is a quotient of a simply connected Lie group by a discrete normal subgroup of the center.
Sampul universal dari setiap grup Lie yang terhubung adalah grup Lie yang terhubung secara sederhana, dan sebaliknya setiap grup Lie yang terhubung adalah hasil bagi dari grup Lie yang terhubung secara sederhana oleh subgrup normal diskrit dari pusat.
Any Lie group G can be decomposed into discrete, simple, and abelian groups in a canonical way as follows.
Setiap grup Lie G diuraikan menjadi grup diskrit sederhana, dan abelian dengan cara kanonik sebagai berikut.
Write Gcon for the connected component of the identity Gsol for the largest connected normal solvable subgroup Gnil for the largest connected normal nilpotent subgroup so that we have a sequence of normal subgroups 1 ⊆ Gnil ⊆ Gsol ⊆ Gcon ⊆ G.
Ditulis sebagai: Gcon untuk komponen identitas yang terhubung Gsol untuk subgrup berpenyelesaian normal terbesar yang terhubung Gnil untuk subgrup nilpoten normal terbesar yang terhubung maka,
Then G/Gcon is discrete Gcon/Gsol is a central extension of a product of simple connected Lie groups.
memiliki urutan subgrup normal 1 ⊆ Gnil ⊆ Gsol ⊆ Gcon ⊆ G. Kemudian G/Gcon yang bersifat diskrit Gcon/Gsol adalah ekstensi pusat dari produk grup Lie terhubung sederhana.
A connected abelian Lie group is isomorphic to a product of copies of R and the circle group S1.
Grup Lie Abelian yang terhubung bersifat isomorfik ke produk salinan R dan grup lingkaran S1.
This can be used to reduce some problems about Lie groups (such as finding their unitary representations) to the same problems for connected simple groups and nilpotent and solvable subgroups of smaller dimension.
Ini digunakan untuk mengurangi beberapa masalah tentang grup Lie (seperti menemukan wakilan uniter) untuk masalah yang sama untuk grup sederhana yang terhubung dan sungrup nilpoten dan dipecahkan dengan dimensi yang lebih kecil.