Alexandrov's theorem on polyhedra is a rigidity theorem in mathematics, describing three-dimensional convex polyhedra in terms of the distances between points on their surfaces.
Teorema ketunggalan Alexandrov merupakan teorema kekakuan dalam matematika, yang menjelaskan polihedron cembung berdimensi tiga melibatkan jarak antar titik pada permukaannya.
It is named after Soviet mathematician Aleksandr Danilovich Aleksandrov, who published it in the 1940s.
Teorema ini dinamai dari seorang matematikawan bernama Aleksandr Danilovich Aleksandrov, yang diterbitkan pada tahun 1940-an.
The surface of any convex polyhedron in Euclidean space forms a metric space, in which the distance between two points is measured by the length of the shortest path from one point to the other along the surface.
Permukaan dari sebuah polihedron cembung dalam ruang Euklides membentuk sebuah ruang metrik, dengan jarak antara dua titik diukur melalui jarak dari lintasan terpanjang dari satu titik ke titik lain di sepanjang permukaan.
This property of polyhedral surfaces, that every pair of points is connected by a geodesic, is not true of many other metric spaces, and when it is true the space is called a geodesic space.
Sifat permukaan polihedron ini yang mengatakan bahwa setiap pasangan titik dihubungkan melalui sebuah geodesik, tidaklah benar untuk banyak ruang metrik lain; dan jika hal tersebut benar, maka ruang itu disebut ruang geodesik.
The geodesic space formed from the surface of a polyhedron is called its development.
Ruang geodesik dibentuk dari permukaan polihedron yang disebut sebagai pengembangan.
The polyhedron can be thought of as being folded from a sheet of paper (a net for the polyhedron) and it inherits the same geometry as the paper: for every point p within a face of the polyhedron, a sufficiently small open neighborhood of p will have the same distances as a subset of the Euclidean plane.
Polihedron dapat dianggap sebagai sesuatu yang dilipat melalui selembar kertas (jaring dalam polihedron) dan mewarisi geometri yang sama seperti kertas: untuk setiap titik p dalam muka polihedron, terdapat lingkungan terbuka p yang akan mempunyai jarak yang sama sebagai subhimpunan dari bidang Euklides.
However, the vertices of the polyhedron have a different distance structure: the local geometry of a polyhedron vertex is the same as the local geometry at the apex of a cone.
Akan tetapi, titik sudut polihedron mempunyai struktur jarak yang berbeda: geometri lokal dari polihedron titik sudut sama saja dengan geometri lokal pada puncak kerucut.
For instance, in a regular tetrahedron, each face angle is π/3, and there are three of them at each vertex, so subtracting them from 2π leaves a defect of π at each of the four vertices.
Sebagai contoh, dalam sebuah tetrahedron beraturan, setiap muka sudut bernilai π3, dan masing-masing titik sudut ada tiga, sehingga dengan menguranginya dari 2π memberikan cacat sudut sebesar π di setiap empat titik sudut pada tetrahedron beraturan.
In summary, the development of a convex polyhedron is geodesic, homeomorphic (topologically equivalent) to a sphere, and locally Euclidean except for a finite number of cone points whose angular defect sums to 4π.
Singkatnya, pengembangan polihedron cembung disebut geodesik, homeomorfik (ekuivalen secara topologi) menjadi sebuah bola, dan manifold topologi terkecuali untuk jumlah titik kerucut terhingga yang jumlah sudut cacatnya bernilai 4π.
Moreover, this polyhedron is uniquely defined from the metric: any two convex polyhedra with the same surface metric must be congruent to each other as three-dimensional sets.
Terlebih lagi, polihedron ini didefinisikan secara khusus melalui metrik: setiap dua polihedron cembung dengan metrik permukaan yang sama harus kongruen dengan satu sama lain sebagai himpunan berdimensi tiga.
In this case, its surface metric consists of two copies of the polygon (its two sides) glued together along corresponding edges.
Pada kasus ini, metrik permukaannya terdiri dari dua salinan poligon (dua rusuknya) direkatkan di sepanjang rusuk yang berpadanan.
Although Alexandrov's theorem states that there is a unique convex polyhedron whose surface has a given metric, it may also be possible for there to exist non-convex polyhedra with the same metric.
Walaupun teorema Alexandrov mengatakan bahwa terdapat polihedron cembung tunggal yang permukaannya mempunyai metrik tertentu, teorema ini juga dapat mengatakan untuk terdapat polihedron takcembung dengan metrik yang sama.
An example is given by the regular icosahedron: if five of its triangles are removed, and are replaced by five congruent triangles forming an indentation into the polyhedron, the resulting surface metric stays unchanged.
Contohnya seperti ikosahedron beraturan: jika ada lima segitiga darinya dihilangkan dan diganti dengan lima segitiga kongruen yang membentuk lekukan pada polihedron tersebut, maka hasil metrik permukaannya tetap tidak berubah.
Six triangles meet at each additional vertex introduced by this refolding, so they have zero angular defect and remain locally Euclidean.
Enam segitiga yang bertemu di tiap titik sudut lainnya dimasukkan dengan cara melipat ulang tersebut, sehingga memiliki nol cacat sudut dan tetapi Euklides lokal.
In the illustration of an octahedron folded from four hexagons, these 24 triangles are obtained by subdividing each hexagon into six triangles.
Pada gambar sebuah oktahedron yang dilipat dari enam heksagon, 24 segeitiga tersebut dihasilkan dengan membagi tiap-tiap heksagon menjadi enam segitiga.
The development of any polyhedron can be described concretely by a collection of two-dimensional polygons together with instructions for gluing them together along their edges to form a metric space, and the conditions of Alexandrov's theorem for spaces described in this way are easily checked.
Pengembangan suatu polihedron dapat dinyatakan secara konkret melalui kumpulan dari poligon berdimensi dua yang direkatkan di sepanjang rusuknya agar membentuk ruang metrik, dan syarat-syarat teorema Alexandrov mengenai ruang yang dinyatakan dengan cara ini dapat diperiksa dengan mudah.
(For an example of this phenomenon, see the illustration of four hexagons glued to form an octahedron.)
(Contoh mengenai penjelasan ini dapat dilihat ilustrasi mengenai empat heksagon yang ditempel membentuk sebuah oktahedron.)
Therefore, even when the development is described in this way, it may not be clear what shape the resulting polyhedron has, what shapes its faces have, or even how many faces it has.
Bahkan ketika pengembangan dijelaskan dengan cara di atas, hal tersebut tidak dapat menjelaskan bentuk polihedron yang dihasilkan, bentuk muka apakah yang dimiliki, atau bahkan berapa banyak mukanya yang dimiliki.
Alexandrov's original proof does not lead to an algorithm for constructing the polyhedron (for instance by giving coordinates for its vertices) realizing the given metric space.
Bukti asli Alexandrov tidak merujuk ke sebuah algoritma yang membangun polihedron (misalnya dengan memberikan koordinat untuk titik sudutnya)
Alexandrov's theorem strengthens this by showing that even if the faces are allowed to bend or fold, without stretching or shrinking, then their connectivity still determines the shape of the polyhedron.
Teorema Alexandrov memperkuat pernyataan ini dengan memperlihatkan bahkan jika mukanya dapat dibengkokkan atau dilipat, tanpa perekatan ataupun penyusutan, keterhubungannya tetap menyatakan bentuk polihedron.
In turn, Alexandrov's proof of the existence part of his theorem uses a strengthening of Cauchy's theorem by Max Dehn to infinitesimal rigidity.
Selanjutnya, bagian teorema Alexandrov tentang keberadaan polihedron yang memperkuat teorema Cauchy mengenai kekakuan infinitesimal dibuktikan oleh Max Dehn.
An analogous result to Alexandrov's holds for smooth convex surfaces: a two-dimensional Riemannian manifold whose Gaussian curvature is everywhere positive and totals 4π can be represented uniquely as the surface of a smooth convex body in three dimensions.
Hasil yang serupa mengenai teorema Alexandrov berlaku untuk permukaan cembung mulus, yang mengatakan bahwa sebuah manifold Riemann berdimensi dua, yang seluruh kurva Gauss adalah positif dan totalnya bernilai 4π, dapat diwakili secara khusus sebagai permukaan benda cembung mulus dalam dimensi tiga.
Aleksei Pogorelov generalized both these results, characterizing the developments of arbitrary convex bodies in three dimensions.
Aleksei Pogorelov menyamaratakan kedua hasil tersebut, dan menggambarkan pengembangan benda cembung sembarang dalam dimensi tiga.
Another result of Pogorelov on the geodesic metric spaces derived from convex polyhedra is a version of the theorem of the three geodesics: every convex polyhedron has at least three simple closed quasigeodesics.
Hasil terkait dari Pogorelov lainnya mengenai ruang metrik geodesik yang berasal dari polihedron cembung adalah versi dari teorema tiga geodesik.
The developments of ideal hyperbolic polyhedra can be characterized in a similar way to Euclidean convex polyhedra: every two-dimensional manifold with uniform hyperbolic geometry and finite area, combinatorially equivalent to a finitely-punctured sphere, can be realized as the surface of an ideal polyhedron.
Pengembangan polihedron hiperbolik ideal dapat digambarkan sebagai polihedron cembung Euklides dalam cara yang serupa: setiap manifold berdimensi dua dengan geometri hiperbolik seragam dan luas yang terhingga, yang secara kombinatorik ekuivalen dengan bola terlubang-hingga, dapat diperoleh sebagai permukaan polihedron ideal.