Polymère fonctionnalisé hydrogéné qui comprend un polydiène fonctionnalisé qui est soumis à une hydrogénation jusqu’à un niveau de saturation sur au moins une portion de polydiène du polydiène fonctionnalisé, dans lequel le polydiène fonctionnalisé est obtenu à partir d’un élastomère anionique vivant amorcé avec un initiateur fonctionnalisé à base de lithium qui répond à la formule (I) : dans laquelle n représente un nombre de 1à 8 ; dans laquelle R 1 , R 2 et R 3 peuvent être identiques ou différents et sont choisis parmi des groupes alkyle qui contiennent de 1 à 8 atomes de carbone ; dans lequel le polymère contient des chaînes qui répondent à la formule développée (II) : (II) dans laquelle le terme « Polydiène » représente des chaînes polymères qui comprennent au moins un monomère diénique partiellement ou totalement hydrogéné et dans laquelle R 1 et R 2 peuvent être identiques ou différents et représentent des groupes alkyle qui contiennent de 1 à 8 atomes de carbone. Polymère selon la revendication 1, dans lequel R 1 , R 2 et R 3 représentent des groupes alkyle qui contiennent de 1 à 4 atomes de carbone. Polymère selon la revendication 1, dans lequel, avant l’hydrogénation, le polydiène est choisi parmi un groupe constitué par un caoutchouc de polybutadiène ; un caoutchouc de polyisoprène ; un caoutchouc de styrène-butadiène ; un caoutchouc de styrène-isoprène ; et un caoutchouc de styrène-isoprène-butadiène. Polymère selon la revendication 1, dans lequel la portion de polydiène est complètement saturée par hydrogénation ; ou dans lequel la portion de polydiène est saturée à concurrence de 10 % à 40 % par hydrogénation du polydiène fonctionnalisé ou est saturée à concurrence de 40 % à 80 % par hydrogénation du polydiène fonctionnalisé ou est saturée à concurrence de 80 % à 100 % par hydrogénation du polydiène fonctionnalisé. Polymère fonctionnalisé hydrogéné qui comprend un polydiène fonctionnalisé qui est soumis à une hydrogénation jusqu’à un niveau de saturation sur au moins une portion de polydiène du polydiène fonctionnalisé ; dans lequel le polydiène fonctionnalisé représente un produit réactionnel d’un polymère élastomère anionique vivant qui se termine par un agent de terminaison de polymérisation qui répond à la formule III : dans laquelle X est choisi parmi le groupe constitué par des atomes de chlore, des atomes de brome et des atomes d’iode ; dans laquelle m représente un entier de 0 à 2, et n représente un entier de 1 à 3, avec cette réserve que n + m = 3 ; dans laquelle R 1 et R 2 représentent de manière indépendante des groupes alkyle ou des groupes aryle qui contiennent de 1 à 18 atomes de carbone ; ou dans laquelle R 1 et R 2 représentent de manière indépendante des groupes -SiR 4 dans lesquels R 4 est choisi de manière indépendante parmi des groupes alkyle, des groupes aryle, des groupes alcoxy ou des groupes amino disubstitués ; ou dans laquelle R 1 et R 2 , pris ensemble avec un atome d’azote commun et de manière facultative avec un hétéroatome de soufre ou d’oxygène forment un noyau de cinq à huit membres ; et dans laquelle R 3 représente un atome d’hydrogène ou un groupe alkyle en C 1 -C 18 , un groupe aryle ou une de leurs combinaisons, ou bien R 3 est choisi parmi les groupes -R 5 et -R 6 , dans lesquels R 5 représente un groupe alcanediyle qui contient de 1 à 3 atomes de carbone, et R 6 est choisi parmi les structures indiquées ci-après : -S-Z, -N(R 7 )(R 8 ), -O(Y), ou -Si(OR 9 ) 3 , dans lesquelles R 7 et R 8 sont choisis de manière indépendante parmi des groupes alkyle et des groupes aryle qui contiennent de 1 à 18 atomes de carbone ; Y et Z sont choisis de manière indépendante parmi le groupe constitué par des groupes méthoxyméthyle, des groupes tétrahydropyranyle, des groupes tétrahydrothiopyranyle, des groupes tétrahydrofuranyle, des groupes tert-butyle, des groupes allyle, des groupes 1-éthoxyéthyle, des groupes benzyle, des groupes triphénylméthyle, des groupes triéthylsilyle, des groupes triisopropylsilyle, des groupes triméthylsilyle, des groupes tert-butyldiméthylsilyle, des groupes tert-butyldiphénylsilyle, et des groupes isopropyldiméthylsilyle ; et dans laquelle R 9 représente un groupe alkyle qui contient de 1 à 4 atomes de carbone. Polymère selon la revendication 5, dans lequel l’agent de terminaison de la polymérisation est choisi parmi le groupe des structures indiquées ci-après : et dans lequel le polymère caoutchouteux vivant dérive d’au moins un monomère diénique qui est choisi parmi le groupe constitué par le 1,3-butadiène et l’isoprène. Polymère selon la revendication 5, dans lequel, avant l’hydrogénation, le polydiène est choisi parmi un groupe constitué par un caoutchouc de polybutadiène ; un caoutchouc de polyisoprène ; un caoutchouc de styrène-butadiène ; un caoutchouc de styrène-isoprène ; et un caoutchouc de styrène-isoprène-butadiène. Polymère fonctionnalisé hydrogéné qui contient des chaînes répondant à la formule développée (I) : (I) dans laquelle chaque « Polydiène » comprend au moins un monomère diénique saturé au moins en partie par hydrogénation ; et dans laquelle R 1 et R 2 représentent de manière indépendante des groupes alkyle qui contiennent de 1 à 8 atomes de carbone ou fractions répondant à la formule II : dans laquelle R 3 représente des groupes alkyle qui contiennent de 1à 8 atomes de carbone. Polymère selon la revendication 8, dans lequel la portion de polydiène est complètement saturée par hydrogénation ; ou dans lequel la portion de polydiène est saturée à concurrence de 10 % à 40 % par hydrogénation du polydiène fonctionnalisé ou est saturée à concurrence de 40 % à 80 % par hydrogénation du polydiène fonctionnalisé ou est saturée à concurrence de 80 % à 100 % par hydrogénation du polydiène fonctionnalisé. Polymère selon la revendication 1, 5 ou 8, dans lequel le polymère est incorporé dans une composition de caoutchouc qui comprend en outre de la silice et/ou du noir de carbone et/ou dans lequel le polymère est incorporé dans un élément choisi parmi un bandage pneumatique en caoutchouc, un tuyau flexible en caoutchouc, une courroie en caoutchouc et une chaussure en caoutchouc.