INPI-France/Brevets-Francais-2024-Chunked huggingface dataset:
De ce fait, l'invention tire un intérêt synergique d'avantages que l'on connaît déjà de ce genre de compositions et de leurs conditions de durcissement conduisant au revêtement final. En particulier, une peinture conduisant à une pellicule superficielle bien lisse et non poreuse combine ses effets propres avec ceux de l'agent biocide pour freiner la contamination biologique, car le revêtement obtenu a moins tendance que les revêtements rugueux ou poreux à retenir les poussières ainsi que les milieux favorables à la prolifération des agents contaminants qui s'accumulent avec elles. I1 est apparu en outre que les propriétés du revêtement conduisent à une meilleure durabilité de l'effet biocide visé, ce qui constitue un atout important pour des articles d'équipement que l'on ne renouvelle pas souvent.
Suivant d'autres caractéristiques de l'invention, on a mis en évidence un effet synergique dû à la combinaison de plusieurs composés chimiques pour constituer l'agent biocide susdit. De ce fait, dans des compositions préférées suivant l'invention, ledit agent biocide comprend au moins un composé du type benzo-isothiazolinone en combinaison avec un composé aryloxy-alcool, ce dernier étant notamment du phénoxyéthanol, lequel provoque des dégradations de la paroi cellulaire des micro-organismes. Et il est encore plus avantageux de lui faire comprendre en outre un composé à activité fongicide du type des dérivés alcoylés d'isothiazolinone à fonction carbamate et/ou un composé du type iodo-propynyle à fonction carbamate. Les carbamates permettent d'enclencher la production de gaz carbonique, toxique pour les bactéries et micro-organismes, à la surface de la matière, et les iso-thiazolinones empêchent notamment la reproduction ou la production des enzymes des micro organismes.
Par ailleurs, et notamment avec les agents biocides ci-dessus définis, dans une composition de peinture à base de résines polyuréthannes ou acryliques, la proportion d'agent biocide est de préférence comprise entre 0,5 et 5 % en poids, et notamment de l'ordre de 1 à 3 % en poids par rapport au poids total de la composition globale.
Par ses différentes caractéristiques, telles qu'elles ont déjà été soulignées et telles qu'elles seront plus complètement détaillées plus loin, la présente invention apporte une solution particulièrement adaptée au traitement de surface des articles que l'on a dit sanitaires. Elle permet de répondre au mieux au souci de propreté et d'absence de prolifération microbiologique risquant de contaminer les utilisateurs, notamment en évitant la diffusion des facteurs bactériens dont le contact répété avec la peau des individus favorise le développement. Autrement dit, le matériau constituant les articles considérés, du moins en leur surface accessible, se désinfecte de soi-même pendant tout le temps que dure le revêtement, au lieu d'être seulement prévu à surface lisse et forte densification pour des questions de commodité de lavage.
- un système de soutirage (pompe) permettant d'ajuster le volume dans le réacteur égal à 0,5 litre et connecté au deuxième réacteur placé en série du premier ; - un deuxième réacteur permettant de récupérer le précipité formé Le précipité est récupéré par centrifugation (12 mn à 3000 tr/mn). La teneur en oxyde est déterminée par perte au feu : la teneur en Ce02 égale à environ 23%.
Le précipité est alors remis en suspension dans de l'eau permutée à 50g/l en Ce02 2/ Transfert en phase organique 340 ml de la suspension aqueuse précédemment décrite sont introduits dans un réacteur double enveloppe de 2 litres équipé d'un bain thermostaté On additionne à température ambiante et sous agitation, une phase organique contenant 136,1 g d'Isopar commercialisé par EXXON et 16,9 g d'acide isostéarique (AIS) préalablement dissous.
La vitesse d'agitation étant fixée à 150 tr/mn, l'ensemble réactionnel est porté à 88 C et maintenu à cette température pendant 4 heures La formation d'une phase émulsionnée dans le réacteur a été constatée.
Après séparation dans une ampoule à décanter 40 g de phase supérieure organique brune est récupérée. Cette phase organique est mise à centrifuger à 4500 tr/mn pendant 10 mn, puis filtrée sur membrane hydrophobe.
Caractéristiques de la phase colloïdale organique de CeO2.
La concentration de la phase colloïdale organique, déterminée après évaporation de l'Isopar et calcination à 1000 C est égale à 6,4% en Ce02.
L'observation en MET haute résolution montre qu'au moins 90 % des particules sont monocristallines (Figure 1) Ledites particules présentent un dso de 2,5 nm. On constate également que 80 % des particules ont une taille comprise entre 1 et 4 nm Exemple 2 : Solution colloïdale organique de CeOz élaborée à partir d'un mélange d'acétate de cérium (III) et de nitrate de cérium (IV) Comme décrit à l'exemple 1, la préparation de la solution colloïdale organique d'oxyde de cérium comporte deux étapes: 1/ formation d'un précipité solide en phase aqueuse ; 2/ transfert en phase organique 1/ Obtention d'un précipité solide en phase aqueuse A 279,3 g d'acétate de cérium (III) cristallisé (à 49,29% en oxydes Ce02), commercialisé par la socété Rhodia Terres Rares, on additionne 1600 ml d'eau
permutée. La dissolution du sel cristallisé est réalisée pendant environ une heure sous agitation.
On additionne alors 22,8 ml d'acide acétique pur de la société Prolabo.
A 148 ml de solution de nitrate de cérium (IV) (à 1,35 mole/1 en Ce4+ et rapport H+/Ce4+ = 0,5 molaire), commercialisé par la société Rhodia Terres Rares, sont additionnés 158,1 ml d'acide nitrique concentré de la société Prolabo.
La solution de nitrate de cérium (IV) ainsi préparée est mélangée à la solution d'acétate de de cérium (III) à température ambiante. On ajuste le volume à 2500 ml .
La concentration équivalente en Ce02 est alors de 0,4 M.
La précipitation du solide est réalisé dans le montage en continu précédemment décrit sauf que le flacon d'alimentation de la solution d'acétate de cérium (III) contient le mélange acétate de cérium (III) et nitrate de cérium (IV) tel que décrit ci-dessus La teneur en oxyde du précipité récupéré est déterminée par perte au feu teneur en Ce02 égale à environ 29%.
Le précipité est alors remis en suspension dans de l'eau permutée à 50g/1 en Ce02.
2/ Transfert en phase organique 340 ml de la suspension aqueuse précédemment décrite sont introduites dans un réacteur double enveloppe de 2 litres équipé d'un bain thermostaté.
On additionne à température ambiante et sous agitation, une phase organique contenant 136,1 g d'Isopar et 16,9 g d'acide isostéarique (AIS) préalablement dissous La vitesse d'agitation étant fixée à 150 tr/mn, l'ensemble réactionnel est porté à 88 C et mainenu à cette température pendant 4 heures.
cherche à former un film lipidique à la surface de la peau.
Ainsi, selon l'une de ses caractéristiques essentielles, l'invention concerne l'utilisation pour la fabrication d'une composition à usage topique destinée à former un film à la surface de la peau, de lipides peroxydes en tant
qu'agents filmogènes lipidiques.
Les lipides peroxydes dont l'utilisation est revendiquée selon la
présente invention résultent de la peroxydation de corps gras insaturés.
Le degré de peroxydation est mesuré selon la norme ISO 3960.
Pour la mise en oeuvre de la présente invention, on choisira avantageusement des lipides peroxydes présentant un taux de peroxydation compris entre 5 et 600 milli-équivalents par kilo, de préférence entre 30 et
500 milli-équivalents par kilo.
Ce taux de peroxydation sera de façon encore plus avantageuse
compris entre 50 et 300 milli-équivalents par kilo.
Les lipides peroxydes préférés utilisés selon l'invention résultent de la peroxydation de lipides ou corps gras d'origine naturelle, de préférence d'origine
végétale, de préférence encore de lipides issus d'une huile végétale naturelle.
A titre d'exemples d'huile naturelle choisie selon l'invention, on citera, l'huile d'amande douce, l'huile de noisette, l'huile d'arachide, l'huile de maïs, l'huile de pépin de raisin, l'huile de sésame et l'huile de carthame. On
pourra également utiliser un mélange de ces huiles.
Selon une variante particulièrement préférée de l'invention, on choisira l'huile de maïs peroxydée et tout particulièrement une huile de maïs présentant un taux de peroxydation compris entre 5 et 600 milliéquivalents par kilo. Les lipides peroxydes utilisés selon l'invention sont d'une façon avantageuse constitués, à titre de constituants majoritaires, représentant généralement au moins 80 % de la masse de triglycérides répondant à la formule
CH2-O-R
Les huiles sont choisies parmi les huiles animales, végétales, minérales ou de synthèse et notamment l'huile de palme hydrogénée, l'huile de ricin hydrogénée, l'huile de vaseline, l'huile de paraffine, l'huile de Purcellin (octanoate de stéaryle), les huiles de silicone et les isoparaffines.
Les cires sont choisies parmi les cires animales, fossiles, végétales, minérales ou de synthèse. On peut citer notamment les cires d'abeille, les cires de Carnauba, de Candelila, de canne à sucre, du Japon, les ozokérites, la cire
de Montan, les cires microcristallines, les paraffines, les cires et résines de silicone.
Les épaississants, de préférence non ioniques, peuvent être choisis parmi les gommes de guar et celluloses modifiées ou non telles que la gomme de guar hydroxypropylée, la cétylhydroxyéthylcellulose, les silices comme par exemple la Bentone Gel MiO vendue par la société NL INDUSTRIES ou la Veegum Ultra, vendue par la société POLYPLASTIC.
Les compositions de l'invention peuvent comprendre des émollients, qui contribuent a une sensation douce, sèche, non-collante à l'application de la composition sur la peau Ces émollients peuvent être choisis parmi des produits du type silicone volatile, des silicones non-volatiles et d'autres émollients non-volatils. Généralement les émollients sont présents en proportions allant de 20 à 80%, de préférence de 25 à 60% et encore plus préférentiellement de 35 à 55% Les silicones volatiles sont définies de façon connue comme des composés volatils à température ambiante. On peut citer parmi ces composés les silicones volatiles cycliques et linéaires du type diméthylsiloxane dont les chaînes comprennent de 3 à 9 résidus silicones. De préférence on choisit les cyclométhicones D4 ou D5.
Les silicones non-volatiles sont définies de façon connue comme des composés de pression de vapeur faible à température ambiante. Parmi ces composés sont inclus- les polyalkylsiloxanes, en particulier les polyalkylsiloxanes linéaires comme par exemple les polydiméthylsiloxanes, ou diméthicones, linéaires, commercialisés par la société Dow Corning sous le nom de Dow Corning 200 Fluid ; les polyalkylarylsiloxanes comme par exemple les polyméthylphénylsiloxanes, commercialisés par la société Dow Corning sous le nom de Dow Corning 556 Fluid ; les copolymères polyéther et siloxane, comme par exemple les diméthicone copolyols.
Parmi les émollients non-volatils utilisables dans la présente invention, on peut citer par exemple: les dérivés hydrocarbonés, les huiles minérales, les alcools gras, les
esters d'alcools en C3-C18 avec des acides en C3-C18, les esters de l'acide benzoïque avec des alcools en C12-C18 et leurs mélanges, des polyols en C2-C6 choisis de préférence parmi le glycérol, le propylèneglycol ou le sorbitol, les polymères de polalkylène glycol.
Selon l'invention, les compositions cosmétiques et dermatologiques peuvent associer aux extraits selon l'invention, d'autres agents actifs.
Parmi ces agents actifs, on peut citer à titre d'exemple : -d'autres actifs d'origine végétale suceptibles de renforcer l'acitivité antimicrobienne, et notamment parmi eux l'extrait de Sorbus aucuparia, l'extrait de Melaleuca alternifolia, l'extrait de Asparagopsis armata, l'extrait de Bambou, l'huile extraite de Eucalyptus globulus, l'huile extraite de Pinus silvestry, l'huile extraite de Tea Tree ; - les agents diminuant la différenciation et/ou la prolifération et/ou la pigmentation cutanée tels que l'acide rétinoïque et ses isomères, le rétinol et ses esters, la vitamine D et ses dérivés, les oestrogènes tels que l'oestradiol, l'acide kojique ou l'hydroquinone ; - les antibactériens tels que le phosphate de clindamycine, l'érythromycine ou les antibiotiques de la classe des tétracyclines ; - les antiparasitaires, en particulier le métronidazole, le crotamiton ou les pyréthrinoïdes ; - les antifongiques, notamment à action antipelliculaire en particulier les composés appartenant à la classe des imidazoles tels que l'éconazole, le kétoconazole ou le miconazole ou leurs sels, les composés polyènes, tels que l'amphotéricine B, les composés de la famille des allylamines, tels que la terbinafine, ou encore l'octopirox ou la pyrithione de zinc ; - les agents anti-inflammatoires stéroïdiens, tels que l'hydrocortisone, le valérate de bétaméthasone ou le propionate de clobétasol, ou les agents antiinflammatoires non-stéroïdiens comme par exemple l'ibuprofène et ses sels, le
diclofénac et ses sels, l'acide acétylsalicylique, l'acétaminophène ou l'acide glycyrrhizique ; - les agents anesthésiques tels que le chlorhydrate de lidocaïne et ses dérivés ; - les agents antiprurigineux comme la thénaldine, la triméprazine ou la cyproheptadine ; - les agents kératolytiques tels que les acides a- et sshydroxycarboxyliques ou ss-cétocarboxyliques, leurs sels, amides ou esters et plus particulièrement les hydroxyacides tels que l'acide glycolique, l'acide lactique, l'acide salicylique, l'acide citrique et de manière générale les acides de fruits, et l'acide n-octanoyl-5-salicylique ; - les agents anti-radicaux libres, tels que l'atocophérol ou ses esters, les superoxyde dismutases, certains chélatants de métaux ou l'acide ascorbique et ses esters ; - les antiséborrhéiques et inhibiteurs de 5-a-réductase - les antiacnéiques comme l'acide rétinoïque ou le peroxyde de benzoyle ; - des actifs déodorants ; et- des actifs antitranspirants.
A la liste ci-dessus, d'autres composés peuvent également être rajoutés, à savoir par exemple le Diazoxyde, la Spiroxazone, des phospholipides comme la lécithine, les acides linoléique et linolénique et leurs esters, des lactones et leurs sels correspondants, l'anthraline, des caroténoides, les acides eicosatétraénoïque et eicosatriénoïque ou leurs esters et amides, la vitamine D et ses dérivés, des extraits d'origine végétale ou bactérienne.
Les actifs déodorants peuvent être choisis par exemple parmi : des sels hydrosolubles de zinc, comme par exemple le pyrrolidone carboxylate de zinc (plus communément appelé pidolate de zinc), le sulfate de zinc, le chlorure de zinc, le lactate de zinc, le gluconate de zinc et le phénolsulfonate de zinc Les actifs antitranspirants peuvent être des sels d'aluminium, comme par exemple le chlorure d'aluminium et les hydroxyhalogénures d'aluminium ; des sels de zirconium, comme par exemple des sels d'oxyde de zirconium, des sels d'hydroxyzirconyle; des complexes de métaux comme
l'aluminium ou le zirconium avec un acide aminé comme par exemple la glycine comme décrit dans le brevet US-3 792 068.
Le milieu dermatologiquement ou cosmétiquement acceptable peut notamment consister en de l'eau ou des mélanges d'eau et des solvants tels que des alcools inférieurs comme l'éthanol ou l'isopropanol, l'éthylèneglycol, le propylèneglycol, le dipropylèneglycol et leurs éthers.
Les compositions selon l'invention peuvent être ingérées, ou appliquées sur la peau (sur toute zone cutanée du corps), les cheveux, les ongles ou les muqueuses (buccale, jugale, gingivale, génitale, conjonctive). Selon le mode d'administration, la composition selon l'invention peut se présenter sous toutes les formes galéniques normalement utilisées.
Rf (dichlorométhane 90 méthanol 10) = 0,28.
RMN 1H (chloroforme-d), # : 10,22 (d, 1H, H-3) ; 7,26 (d, 1H, H-6, J= 0,9Hz) ; 6,02 (t, 1H, H-l', J= 6,2Hz) ; 4,4-4,1 (m, 3H, H-5', 5", H-3') ; 4,01 (pq, 1H, H-4') ; 2,5-2,3 (m, 6H, H-2', 2", 2H-7', 2H-9') ; 1,90 (m, 2H, 2H-8') ; 1,84 (s, 3H, CH3 en position 5).
RMN 13C (chloroforme-d), # : 177,18 (C-10') ; 172,78 (C-6') ; 165,11 (C-4) ; 150,53 (C- 2) ; 136, 32 (C-6) ; Il 1,22 (C-5) ; 86,07 (C-1') ; 82,18 (C-4') ; 63,32 (C-5') ; 60,47 (C-3') ; 37,83 (C-2') ; 33,25 (C-9') ; 33,09 (C-7') ; 20,16 (C-8'); 12,72 (CH3 en position 5).
Spectre de masse (matrice GT) : FAB+ : 382 (M+H)+ ; 763 (2M + H)+ ; 404 (M + Na)+ ; 256 (M-(B-)) + ; 127 (B+2H)+. I.R. (dichlorométhane" cm-'), v : 3378 (CO2H) ; 3053 (NH) ; 2970 (C sp2 et sp3) ; 2105 (N3) ; 1703 (C=0) ; 1266 ; 906 ; 734.
Log P (n-octanol H20 ) - 0,52 +/- 0,43 [log PAZT = -0,88 +/- 0,42] EXEMPLE V 3'-azido- 3'-désoxv-5'-O-f adipyllthymidine 5 Dans un ballon, à une solution d'acide adipique (109 mg ; 0,748 mmol ; 2,5eq) dans du DMF (3ml), sous agitation magnétique et azote, refroidie à 0 C, on ajoute la DCC (74 mg ; 0,359mmol ; 1,2 eq). Le mélange réactionnel est agité à cette température pendant 2h, puis on ajoute, par une ampoule à brome, une solution d'AZT (80 mg ; 0,299 mmol ; leq) dans du DMF (2ml) contenant de la DMAP (37 mg ; 0,299mmol ; leq). Après 72h à température ambiante, le mélange réactionnel est filtré afin d'éliminer la N,N-dicyclohexylurée (DCU) formée, puis évaporé sous pression réduite. Le résidu obtenu est dilué dans 8 ml d'AcOEt et
lavé avec 2x7 ml d'une solution aqueuse d'HCI N. Les phases aqueuses récupérées sont extraites avec 2x7 ml d'AcOEt. Les phases organiques réunies sont séchées sur Na2SO4, filtrées et évaporées sous pression réduite. Le résidu obtenu est purifié par chromatographie flash sur colonne de gel de silice (éluant : méthanol 5% dans du dichlorométhane) pour conduire au composé 5 (98 mg ; 83%).
Rf (dichlorométhane 90 / méthanol 10) = 0,32.
RMN 1H (chloroforme-d), 3 : 10,15 (s, 1H, H-3) ; 7,21 (s, 1H, H-3) ; 6,03 (t, IH, H l', J= 6,3Hz) ; 4,4-4,2 (m, 3H, H-5', 5", H-3') ; 4,02 (m, 1H, H-4') ; 2,5-2,2 (m, 6H, H-2', 2", 2H-7', 2H-10') ; 1,84 (s, 3H, CH3 en position 5) ; 1,62 (m, 4H, 2H-8', 2H-9'). RMN 13C (chloroforme-d), 8 : 178,44 (C-11') ; 172,97 (C-6') ; 164,93 (C-4) ; 150,55 (C- 2) ; 136,15 (C-6) ; 111,34 (C-5) ; 85,99 (C-l') ; 82,018 (C-4') ; 63,50 (C-5') ; 60,76 (C- 3'); 37,77 (C-2') ; 34,02 (C-10') ; 33,72 (C-7') ; 24,45 (C-9') ; 24,26 (C-8') ; 12,78 (CH3 en position 5).
Spectre de masse (matrice GT) : FAB+ : 396 (M+H)+ ; 791 (2M + H)+ ; 270 (M-(B)) + ; 127 (B+2H)+.
I.R. (dichlorométhane,, cm-'), v : 3369 (C02H) ; 3056 (NH) ; 2986 (C sp2et sp3) ; 2108 (N3) ; 1720 (C=0) ; 1706 (C=0) ; 1701 (C=0) ; 1424 ; 1265 ; 740.
EXEMPLE VI 3'-azido- 3'-désoxv-S'-O-rpimélvIlthvmidine 6 Dans un ballon, à une solution d'acide pimélique (120 mg ; 0,748 mmol ; 2,5eq) dans du DMF (3ml), sous agitation magnétique et azote, refroidie à 0 C, on ajoute la DCC (74 mg ; 0,359 mmol ; 1,2 eq). Le mélange réactionnel est agité à cette température pendant 2h, puis on ajoute, par une ampoule à brome, une solution d'AZT (80 mg ; 0,299 mmol ; leq) dans du DMF (2ml) contenant de la DMAP (37 mg ; mmol ; Après 72h à température ambiante, le mélange réactionnel est filtré afin d'éliminer la DCU formée, puis évaporé sous
pression réduite. Le résidu obtenu est dilué dans 8 ml d'AcOEt et lavé avec 2x7 ml d'une solution aqueuse d'HCI N. Les phases aqueuses récupérées sont extraites avec 2x7 ml d'AcOEt. Les phases organiques réunies sont séchées sur Na2SO4, filtrées et évaporées sous pression réduite. Le résidu obtenu est purifié sur plaque de gel de silice (éluant : méthanol 5% dans du dichlorométhane) pour conduire au composé 6 (108 mg ; 88%).
Rf (dichlorométhane 90 / méthanol 10) = 0,38.
RMN 1H (chloroforme-d), 8 : 10,00 (s, 1H, H-3) ; 7,20 (s, 1H, H-6) ; 6,01 (t, 1H, H-1', J= 6,2Hz) ; 4,4-4,1 (m, 3H, H-5',5", H-3') ; 4,01 (pq, 1H, H-4') ; 2,5-2,2 (m, 6H, H-2', 2", 2H-7', 2H-11') ; 1,83 (s, 3H, CH3 en position 5) ; 1,60 (m, 4H, 2H-8', 2H-10') ; 1,36 (m, 2H, 2H-9').
RMN i3C (chloroforme-d), : 178,07 (C-12') ; 172,96 (C-6') ; 164,98 (C-4) ; 150,18 (C- 2) ; 135, 72 (C-6) ; 111,09 (C-5) ; 85,75 (C-l') ; 81,81 (C-4') ; 63,09 (C-5') ; 60,45 (C-3') ; 37,54 (C-2') ; 33,67 (C-11') ; 33,29 (C-7') ; 28,29 (C-9') ; 24,28 (C-8') ; 24,19 (C-10') ; 12,72 (CH3 en position 5).
Spectre de masse (matrice GT) : FAB+ : 410 (M+H)+ ; 1228 (3M + H)+ ; 819 (2M + H)+ ; 432 (M+Na)+ ; 284 (M-(B- + ; 127 (B+2H)+.
Par ailleurs, si on réduit le domaine de définition de la multiplication par 2 à un sous-groupe d'ordre impair G c E(Fz" ), la multiplication par 2 devient bijective.
II en résulte que la multiplication par 2 admet sur ce sous-groupe une application inverse que nous appellerons division par 2 [1/2]: G- >G P-> Q tel que: [2]Q=P On note [1l2] P le point de G auquel l'application de doublement fait correspondre le point P.
Pour tout k>_ 1, on écrit Pour représenter k compositions de l'application de division par 2 avec elle-même.
De façon générale l'invention concerne donc un procédé de cryptographie mis en oeuvre entre deux entités échangeant des informations à travers un canal de communication non sécurisé, du type comprenant au moins une phase opératoire consistant à multiplier un point d'ordre impair d'une courbe elliptique non supersingulière par un entier, caractérisé en ce qu'une telle phase opératoire comprend des additions et des divisions par deux de points de ladite courbe elliptique; où l'addition de points est une opération connue, et la division par deux d'un point P est définie comme le point unique D d'ordre impair tel que [2]D=P, un tel point étant noté P, et l'opération de division par 2 L'application de division par 2 est intéressante pour la multiplication scalaire d'un point d'une courbe elliptique pour la raison suivante : si l'on travaille en coordonnées affines, il est possible de remplacer toutes les multiplications de point par 2 d'une multiplication scalaire par des divisions de point par 2.
La division par 2 d'un point est bien plus rapide à calculer que sa multiplication par 2. D'un point de vue cryptographique, il est bon d'avoir à choisir parmi le plus grand nombre de courbes possible, et on a coutume d'utiliser une courbe pour laquelle la 2-torsion de E(FZ" ) est minimale ou isomorphique à Zl4Z. Pour un corps Fz" donné, les courbes elliptiques de 2-torsion minimale constituent exactement la moitié de l'ensemble des courbes elliptiques définies sur F2,,. C'est pourquoi, bien qu'elle ne soit pas totalement générale, la méthode décrite s'applique, dans sa version la plus rapide, à une bonne partie des courbes intéressantes en cryptographie. Elle est toujours applicable dans le cas où les éléments du corps sont représentés dans une base normale. Dans le cas d'une base polynomiale, l'espace mémoire requis est de l'ordre de 0(n2) bits.
On va montrer comment calculer [1I2] P E G à partir de P E G. Puis on montrera comment remplacer les doublements de points par des divisions par 2 pour exécuter une multiplication par un scalaire.
On utilisera la représentation affine habituelle d'un point : P=(x,y) et la représentation : (x, a,p ) avec k, =x+y I x On tire de la deuxième représentation y = x (x + a,p ) qui n'utilise qu'une multiplication.
En procédant ainsi, pour multiplier un point par un scalaire, on économise les multiplications en calculant les résultats intermédiaires à l'aide de la représentation (x, a,p ) et on ne détermine la coordonnée de la représentation affine qu'en fin de calcul.
La division par deux d'un point P s'obtient de la façon suivante Soit à calculer [1I2] P à partir de P. On considère pour cela les deux points de E: P=(x,Y)=(x,x(x+ xp)) et Q = (u,v) = (u, u (u + a, Q)) tels que : [2]Q= P Les formules de multiplication par 2 connues donnent ÂQ=u+vlu (1) x=ÂQ2+ÂQ+a (2) y=(x+u) AQ+X+V (3) Multipliant (1) par u et reportant la valeur de v ainsi obtenue dans (3), ce système devient v=u(u+À Q) /, Q2+Â Q=a,+x y=(x+u)@Q+x+u2+uÂQ=u2+x(ÂQ+1) ou, puisque y = x ( x + x,p ) @ Q2 +Â Q=a+x u2=(x(A Q+1)+y=(@ Q+ #, p+x+1) (ii) v = u (u + Â. Q) En partant de P = (x,y) = (x, x (x + a,p )) en coordonnées affines ou en représentation (x, #,p), ce système d'équations détermine les deux points [1I2] P EG et [1[I2] P+T2E E(F2@)1G qui donnent P par multiplication par 2. La propriété qui suit permet de la distinguer.
Soit E une courbe elliptique à 2-torsion minimale, et P E E(FZ" ) = G x {O, T2} l'un de ses éléments d'ordre impair.