FR 3145607 A1 20240809 FR 2300967 A 20230202 Cet appareil de mesure de rotations comprend un résonateur mécanique un résonateur (1) mécanique comprenant au moins quatre masses (2a, 2b, 2c, 2d), ledit résonateur comportant des moyens de contrôle comprenant des moyens de mesure du déplacement relatif entre chaque couple de masses et des moyens d’application de forces inter-masses pour chaque couple de masses ; un module de calcul de rotation ; et un module de régulation des vibrations. Le résonateur (1) présente une symétrie cubique et les masses (2a, 2b, 2c, 2d) sont imbriquées entre elles. Les masses possèdent chacune un plan de symétrie et un axe de symétrie ternaire orienté suivant un axe de symétrie ternaire d’un cube. Les masses sont reliées entre elles par des premiers ressorts (3) et/ou sont reliées à un support extérieur du résonateur (1) par des deuxièmes ressorts (11). Figure pour l’abrégé : Figure 1 Appareil de mesure de rotations et procédé de mesure de rotation associé L’invention concerne le domaine des senseurs inertiels, tels que des capteurs gyroscopiques vibrants ou résonateurs, utilisés pour mesurer des rotations. L’invention est également relative à un procédé de mesure des rotations. Techniques antérieures Les capteurs gyroscopiques vibrants sont couramment utilisés dans de nombreux domaines en raison de leur solidité, de leur faible consommation électrique et de leur rapidité de mise en œuvre. De tels capteurs gyroscopiques vibrants comprennent un résonateur qui peut prendre des formes diverses, telles qu’une cloche ou un diapason. Par exemple, le brevet US 4,644,793 décrit une structure de résonateur composée d’une coque cylindrique associée à une plaque positionnée sur un plan de symétrie de la coque cylindrique et permettant une liaison avec un support. Par ailleurs, il est connu, notamment du document US 9,631,929, des résonateurs à deux masses imbriquées ayant un centre de gravité commun, afin d’obtenir une structure symétrique et plane. Les documents FR 2 692 349 et FR 2 705 147 divulguent des gyroscopes vibrants comportant quatre poutres métalliques identiques disposées sur un socle commun utilisant des modes de vibration linéaires ou plans pour mesurer une rotation autour d’un seul axe sensible correspondant à l’axe du gyromètre. De plus, un appareil de type gyromètre capable de mesurer les trois composantes de la vitesse de rotation est connu du document US 5,625,145. Enfin, le document US 9,863,770 décrit un gyroscope dont le résonateur comprend huit masses suspendues reliées entre elles par des ressorts. Une telle configuration présente plusieurs avantages résidant dans la possibilité de mesurer des rotations autour de trois axes orthogonaux, décrivant donc complètement le mouvement de rotation en trois dimensions, une répartition isotrope des masses en mouvement par rapport au centre de gravité conduisant à une annulation globale des forces externes lors d’une accélération et également lors d’une rotation. Néanmoins, l’ensemble des huit masses présente de nombreux degrés de liberté susceptibles d’être excités, ce qui engendre une complexité certaine dans la maîtrise des mouvements du résonateur, compte tenu du nombre de modes de vibration parasites. Au vu de ce qui précède, le but de l’invention est de proposer un appareil de mesure de rotations dans un repère à trois dimensions basé sur un résonateur compact, précis et possédant une forte symétrie. L’invention a pour objet un appareil de mesure de rotations comprenant un résonateur mécanique comportant au moins quatre masses identiques et rigides, susceptibles de présenter des modes de vibration en translation. Selon une caractéristique générale, ledit résonateur comporte des moyens de contrôle comprenant des moyens de mesure aptes à mesurer un déplacement relatif entre chaque couple de masses suivant au moins deux directions et des moyens d’application aptes à appliquer des forces inter-masses pour chaque couple de masses suivant lesdites au moins deux directions. Selon une autre caractéristique générale, le résonateur comporte en outre un module de calcul de rotation, et un module de régulation des vibrations recevant des données provenant des moyens de mesure et émettant des consignes pour commander lesdits moyens d’application en fonction desdites données. Le résonateur présente une symétrie cubique et lesdites masses sont imbriquées entre elles et possèdent chacune un plan de symétrie et un axe de symétrie ternaire orienté suivant un axe de symétrie ternaire d’un cube. Lesdites masses sont reliées entre elles par des premiers ressorts et/ou sont reliées à un support extérieur du résonateur par des deuxièmes ressorts. Selon une caractéristique, les masses comprennent chacune deux socles reliés par au moins trois tiges. Avantageusement, les premiers ressorts sont positionnés perpendiculairement les uns aux autres suivant les douze arrêtes du cube. De préférence, les premiers ressorts sont des tiges rectilignes sollicitées axialement et/ou en flexion. De préférence, les deuxièmes ressorts sont disposés à chaque extrémité des masses, en particulier en prolongement symétriques des premiers ressorts. De préférence, les deuxièmes ressorts sont des tiges rectilignes sollicitées axialement et/ou en flexion. Selon une caractéristique, les deuxièmes ressorts ont une raideur axiale et/ou une raideur en flexion différente(s) d’une raideur axiale et/ou d’une raideur en flexion des premiers ressorts. Avantageusement, les masses sont réalisées chacune en au moins deux parties assemblées, afin de faciliter la construction. Selon une caractéristique, les moyens de contrôle sont des transducteurs, notamment des transducteurs électrostatiques ou piézo-électriques, permettant de mesurer des déformations et/ou d’appliquer des forces. De préférence, les transducteurs sont disposés parallèlement à un premier et/ou un deuxième plan bissecteur des axes de symétrie ternaire de chaque couple de deux masses et permettent de mesurer un déplacement et d’appliquer des forces suivant une normale respectivement au premier et/ou au deuxième plan bissecteur des axes de symétrie ternaire de chaque couple de deux masses. Selon une caractéristique, les transducteurs sont en forme de plaques et sont disposés sur les tiges des masses, de sorte que chaque plaque placée sur la tige d’une masse corresponde à une autre plaque associée qui lui est parallèle et disposée à proximité sur la tige d’une autre masse. Selon une caractéristique, les moyens de contrôle sont des transducteurs de type microsystème électromécanique (MEMS). Avantageusement, les transducteurs sont collés aux masses sur les six faces du cube et intègrent les premiers ressorts, les deuxièmes ressorts et des moyens de fixation à un boîtier qui les enveloppe, les transducteurs étant aptes à effectuer des mesures de déformation relative entre deux masses et à appliquer des forces inter-masses. Avantageusement, des modes de vibration en translation sont générés par le module de régulation des vibrations à partir de trois motifs élémentaires de vibration initiaux, compris comme des bases de décomposition modale d’une vibration quelconque, ayant pour propriété de créer une vibration globale nulle à la fréquence des modes propres. De préférence, le module de régulation des vibrations maintient une phase relative entre une répartition des motifs sur trois axes orthogonaux, notamment les axes de symétrie quaternaire du résonateur, une amplitude de chacun des motifs et une orientation relative de chacun des motifs entre eux. Avantageusement, le module de régulation des vibrations positionne à des valeurs prédéterminées, selon une loi temporelle, des amplitudes, des phases et des orientations de chacun desdits motifs élémentaires, la loi temporelle étant apte à exploiter les symétries des défauts du résonateur afin de les moyenner. Par exemple, les défauts du résonateur sont identifiés grâce à une référence angulaire externe au résonateur, utilisée de façon continue ou ponctuelle. Selon un autre aspect, l’invention a pour objet un procédé de mesure de rotation d’un appareil de mesure de rotations tel que décrit ci-dessus. Ledit procédé de mesure de rotation comprend au moins : une étape de mesure des déplacements relatifs entre les masses pour chaque couple de masses ; une étape de calcul du mouvement de chaque masse en fonction des mesures des déplacements relatifs ; une étape de décomposition des mouvements calculés de chaque masse en fonction des motifs élémentaires de vibration initiaux ; et une étape de construction d’une matrice de rotation à partir de la décomposition obtenue, de préférence en tenant compte des défauts du résonateur par des termes correctifs. Par exemple, le procédé comprend une étape de fourniture d’une information de vitesse de rotation à partir des forces calculées par le module de régulation des vibrations, en particulier en excluant des forces résultant d’un suivi des valeurs prédéterminées selon la loi temporelle. Par exemple, le procédé fournit une information de rotation à partir de l’intégrale, effectuée à l’aide de matrices de rotation ou de quaternions, de l’information de vitesse de rotation. D’autres buts, caractéristiques et avantages de l’invention apparaîtront à la lecture de la description suivante, donnée uniquement à titre d’exemple non limitatif, et faite en référence aux dessins annexés sur lesquels : illustre une constitution générale d’un résonateur selon l’invention ; illustre une masse du résonateur de la considérée séparément ; illustre des axes de symétrie ternaire et quaternaire d’un cube ; illustre un placement de moyens de contrôle disposés entre deux masses ; est une vue en perspective d’un mode de réalisation du résonateur selon l’invention ; est une vue en perspective du mode de réalisation de la sans représentation d’une masse ; est une vue de détail de la ; , et sont des vues en perspective d’un autre mode de réalisation du résonateur selon l’invention ; illustre des structures MEMS utilisées dans le mode de réalisation du résonateur illustré en , et ; illustre des motifs de vibrations des masses ; et illustre schématiquement un appareil de mesure de rotations selon l’invention. Exposé détaillé d’au moins un mode de réalisation Les figures 1 à 3 illustrent respectivement une constitution générale d’un résonateur 1 d’un appareil de mesure de rotations conforme à l’invention, une masse du résonateur 1 considérée séparément et des axes de symétrie ternaire et quaternaire d’un cube. L’invention trouve une application utile dans tout domaine technique où il est nécessaire de mesurer des rotations selon un ou plusieurs axes, en rapport avec un espace inertiel, dont, en particulier, les systèmes de visée, de stabilisation et les centrales inertielles. Selon un mode de réalisation illustré sur la , le résonateur 1 comprend quatre masses 2a, 2b, 2c, 2d identiques, rigides, imbriquées et reliées entre elles par des premiers ressorts 3. Chaque masse 2a, 2b, 2c, 2d présente un plan de symétrie 4 et un axe de symétrie ternaire 5, tel que cela est représenté en , Ainsi, la masse est invariante lors d’une rotation de 120° autour de l’axe de symétrie ternaire 5. De plus, chaque masse 2a, 2b, 2c, 2d comprend deux socles 6 reliés par au moins trois tiges 7. Par exemple, les socles 6 peuvent être en forme de disque de section circulaire ou polygonale. Selon un autre mode de réalisation, tel qu’illustré sur la , les socles 6 peuvent avoir des formes plus complexes de type cube chanfreiné. Les axes de symétrie ternaire 5 des masses 2a, 2b, 2c, 2d sont orientés suivant les quatre axes de symétrie ternaire 8, ou d’ordre trois, d’un cube 9, tel qu’illustré en , ayant douze arêtes 10. Les quatre axes de symétrie ternaire 8 du cube 9 sont concourantes au centre de symétrie O du cube 9. Des axes X, Y et Z, formant un repère orthonormé centré sur le centre de symétrie O, constituent des axes de symétrie quaternaire, ou d’ordre quatre, du cube 9. Ces axes X, Y et Z constituent également des normales aux premiers plans bissecteurs des axes de symétrie ternaire. Des droites, passant par le centre de symétrie O et ayant comme vecteurs directeurs ( , ,0), (0, , ), ( ,0, ), (- , ,0), (0, ,- ) et ( ,0,- ) dans le repère X, Y et Z, constituent des normales aux seconds plans bissecteurs des axes de symétrie ternaire. Selon un mode de réalisation, les premiers ressorts 3 sont des tiges rectilignes sollicitées axialement et en flexion. Les premiers ressorts 3 sont disposés perpendiculairement les uns aux autres suivant les douze arrêtes 10 du cube 9. Les premiers ressorts 3 permettent de créer, en l’absence de vibration, un équilibre pour lequel les centres des masses 2a, 2b, 2c, 2d sont positionnés au centre de symétrie O du cube 9. En vibration, les centres de gravité des masses 2a, 2b, 2c, 2d ont un mouvement relatif, tout en conservant un centre de gravité global des masses 2a, 2b, 2c, 2d, constant et confondu au centre de symétrie O du cube 9. Il est à noter que le mouvement relatif des centres de gravité des masses 2a, 2b, 2c, 2d est faible en comparaison des dimensions du résonateur 1. Le mouvement relatif des centres de gravité des masses 2a, 2b, 2c, 2d peut être d’environ 1μm par rapport à une longueur d’environ 1cm de l’arrête 10 du cube 9. Dans une telle configuration, l’hypothèse des petits déplacements est applicable et il est ainsi possible de négliger les changements de géométrie pour écrire des équations décrivant un fonctionnement du système. Le résonateur 1 est relié à un support extérieur, non représenté sur les figures, par l’intermédiaire de deuxièmes ressorts 11, notamment identiques de forme aux premiers ressorts 3. Ainsi, les deuxièmes ressorts 11 sont de type tige rectiligne disposés à chaque extrémité des masses 2a, 2b, 2c, 2d, préférentiellement en prolongement symétrique des premiers ressorts 3. Le prolongement symétrique des premiers ressorts 3 par les deuxièmes ressorts 11 permet de préserver l’équilibre du centre de gravité global des masses 2a, 2b, 2c, 2d. Selon un mode de réalisation, les deuxièmes ressorts 11 relient plus particulièrement le socle 6 au support extérieur. Plus particulièrement, les deuxièmes ressorts 11 sont au nombre de trois pour chaque socle. Ainsi configuré, les vingt-quatre deuxièmes ressorts 11 peuvent avoir une section et/ou une raideur différente de celle des premiers ressorts 3 reliant les masses 2a, 2b, 2c, 2d entre elles. Le résonateur 1 présente ainsi une symétrie cubique. Afin de permettre l’imbrication des masses 2a, 2b, 2c, 2d, celles-ci peuvent être réalisées en au moins deux parties assemblées. En variante, les masses 2a, 2b, 2c, 2d peuvent être réalisées par des méthodes de fabrication additive autorisant la fabrication de pièces imbriquées. Le résonateur 1 est équipé de moyens de contrôle 12, 13, 14 comprenant : des moyens de mesure 19, aptes à mesurer un déplacement relatif entre chaque couple de masses suivant au moins deux directions, et de moyens d’application 20, aptes à appliquer des forces inter-masses pour chaque couple de masses suivant au moins deux directions. La résultante globale des forces appliquées est nulle. Selon un mode particulier de réalisation, le résonateur 1 est équipé de moyens de contrôle 12, 13, 14 configurés pour fonctionner successivement en tant que moyens de mesure 19 du déplacement relatif entre chaque couple de masses et en tant que moyens d’application 20 de forces inter-masses pour chaque couple de masses. En variante, le résonateur 1 peut être équipé de moyens de contrôle 19 dédiés à la mesure du déplacement relatif entre chaque couple de masses et de moyens de contrôle 20 dédiés à l’application de forces inter-masses pour chaque couple de masses. Les moyens de contrôle 12, 13, 14 peuvent être des transducteurs électrostatiques, piézo-électriques ou de type microsystème électromécanique, également désigné par l’acronyme MEMS pour « MicroElectroMechanical Systems » en anglais. Par exemple, dans le cas de transducteurs électrostatiques, chaque couple de masses est équipé de deux paires d’électrodes 12, en tant que moyens de contrôle 12, permettant de mesurer le déplacement et d’appliquer des forces électrostatiques suivant la normale au premier plan bissecteur des deux masses. La figure 4 illustre un placement de moyens de contrôle 12, en tant qu’électrodes 12, disposés entre deux masses 2a et 2b formant un angle de valeur égale à , soit d’environ 109°28’. Les électrodes 12 peuvent être en forme de plaques et sont disposées parallèlement au premier et/ou au second plan bissecteur des axes de symétrie ternaire 5 des deux masses et permettent de mesurer le déplacement et d’appliquer des forces électrostatiques suivant la normale respectivement au premier et/ou au second plan bissecteur des axes de symétrie ternaire 5 des deux masses. En variante, les électrodes 12 peuvent être remplacés par des éléments piézo-électriques positionnés sur les premiers ressorts 13 et permettant de mesurer leurs déformations et/ou d’appliquer des forces. Les figures 5 à 7 illustrent un autre exemple de réalisation illustré, dans lequel, respectivement, la est une vue en perspective du résonateur 1, la une vue en perspective du résonateur 1 de la dans lequel une masse est non représentée et la une vue de détail de la . Dans l’exemple de réalisation illustré figures 5 à 7, des transducteurs de type électrostatique, en forme de plaques, sont placés sur les tiges 7 des masses 2a, 2b, 2c, 2d. Sur la , la masse 2a n’est pas représentée par soucis de clarté. Les plaques sont placées sur les tiges 7 des masses 2a, 2b, 2c, 2d de manière que chaque plaque placée sur la tige 7 d’une masse corresponde à une autre plaque associée, qui lui est parallèle, et disposée à proximité sur la tige 7 d’une autre masse. Selon l’exemple présenté, la illustre des paires de plaques 13ca et 13ac, 13ba et 13ab, 13da et 13ad. Selon la notation retenue, le premier indice indique la masse sur laquelle est disposée la plaque, le deuxième indice correspond à la masse sur laquelle est disposée la plaque associée. Ainsi, la plaque 13ca est disposée sur une tige 7 de la masse 2c et est associée à la plaque 13ac qui est disposée à proximité sur la tige 7 de la masse 2a. Les figures 8, 10 et 11 sont des vues en perspective d’un autre mode de réalisation du résonateur 1 selon l’invention. Dans un tel autre exemple de réalisation, les transducteurs comprennent six structures 14 planes de type MEMS collées aux masses 2a, 2b, 2c, 2d sur les six faces du cube 9. Sur les figures 8 et 9, seules trois des six structures 14 sont représentées pour faciliter la compréhension. Les références a, b, c, d de la indiquent les zones de collage correspondant aux masses 2a, 2b, 2c, 2d, respectivement. Les structures MEMS 14 intègrent les premiers ressorts 3, les deuxièmes ressorts 11 et des moyens de fixation à un boîtier 15 qui les enveloppe. Les structures MEMS 14 sont aptes à effectuer des mesures de déformation relative entre deux masses 2a, 2b, 2c, 2d et à appliquer des forces inter-masses. Dans tous les modes de réalisation, le résonateur 1 présente une symétrie cubique. Dans les exemples de réalisation présentés, le résonateur 1 comprend quatre masses 2a, 2b, 2c, 2d. Cependant, l’invention n’est pas limitée aux modes de réalisation décrits et l’on peut notamment faire varier le nombre N de masses que comprend le résonateur 1 à condition de respecter les contraintes liées à la symétrie du résonateur et ce sans sortir du cadre de l’invention. En effet, le nombre N de masses que comprend le résonateur 1 pourrait dépasser quatre, si l’agencement de ces N masses respecte les mêmes contraintes de symétrie selon les N axes de symétrie associées à chacune des N masses, que pour les modes de réalisation décrits ci-dessus. Alternativement, la présence des deuxièmes ressorts 11 pourrait permettre de s’affranchir des premiers ressorts 3. Dans une telle configuration, les masses 2a, 2b, 2c, 2d vibrent alors par rapport au boitier 15 opérant en tant que point neutre et la mesure des déplacements et l’application des forces peuvent être réalisées par rapport au boitier 15. La symétrie cubique implique que, pour chacune des masses 2a, 2b, 2c, 2d prise individuellement, une raideur des liens en translation est identique dans toutes les directions. Sous l’effet des rotations, en supposant un amortissement nul, les vibrations de translation initiales de chacune des masses se propagent sur les trois axes de symétrie quaternaire X, Y et Z selon la relation suivante : (Eq.1) où sont respectivement les positions de chaque masse selon les axes X, Y, Z de symétrie quaternaire du résonateur, sont respectivement les vitesses de chaque masse selon les axes X, Y, Z de symétrie quaternaire du résonateur, sont respectivement les accélérations de chaque masse selon les axes X, Y, Z de symétrie quaternaire du résonateur, , , sont respectivement les vitesses de rotation du résonateur, dans un espace inertiel, selon les axes X, Y, Z de symétrie quaternaire du résonateur, et , , sont respectivement les pulsations de résonnance selon les axes X, Y, Z de symétrie quaternaire du résonateur correspondant à la triplette de modes dégénérés correspondant au type de motif de vibration considéré (voir ci-dessous) avec, dans le cas d’une symétrie cubique parfaite, . L’équation Eq.1 est la conséquence du maintien, dans un milieu isotrope, de la direction de vibration dans un repère inertiel ou, en d’autres termes, la conséquence des forces de Coriolis dans le repère du résonateur 1. Dans le cas d’une symétrie cubique parfaite, lorsque le résonateur 1 est soumis à une rotation, une orientation de la vibration de chacune des masses 2a, 2b, 2c, 2d reste fixe dans un espace inertiel. De telles orientations peuvent alors être utilisées comme référence d’orientation. Si la symétrie cubique n’est pas parfaite et l’amortissement n’est pas nul, l’équation Eq. 1 est à compléter par des termes d’erreur et il est nécessaire d’appliquer des forces afin de compenser les pertes et les écarts entre les pulsations , , et . Le système possède (N–1)*6 degrés de liberté, où N est le nombre de masses du système. Ainsi, pour le résonateur 1 à quatre masses 2a, 2b, 2c, 2d, il existe ainsi théoriquement dix-huit degrés de libertés équilibrés : neuf modes de vibration en translation et neuf modes de vibration en rotation. La répartition des modes de vibration en rotation peut être complexe car ils ne peuvent pas être regroupés en triplets à la même fréquence. En effet, compte tenu de la forme des masses 2a, 2b, 2c, 2d, leur moment d’inertie n’est pas égal suivant les trois axes de l’espace. En revanche, pour les modes de vibration en translation, la symétrie cubique permet de garantir un comportement isotrope suivant les trois dimensions de l’espace. La illustre des motifs de vibrations en translation des masses 2a, 2b, 2c, 2d. Un motif de vibration correspond à une base de décomposition modale d’une vibration en translation quelconque, qui a pour propriété de créer une vibration globale du système, de quatre masses 2a, 2b, 2c, 2d dans le cas présent, nulle à la fréquence des modes propres. Il y a, pour le système de quatre masses 2a, 2b, 2c, 2d, un total de neuf modes de vibration en translation comprenant trois premiers modes dégénérés, c’est-à-dire de même fréquence , concernant un motif tridimensionnel, trois deuxièmes modes dégénérés, de fréquence , concernant un motif plan, trois troisièmes modes dégénérés, de fréquence , concernant un motif linéaire. Les six modes dégénérés des motifs plan et linéaire sont généralement de fréquence quasiment identique . Le résonateur est utilisé avec un seul type de ces motifs, soit linéaire, soit plan, soit tridimensionnel. Dans le motif linéaire, les translations sont effectuées suivant une même droite, avec deux masses, correspondant à 2a et 2c, dans un sens et deux autres masses, correspondant à 2b et 2d, dans l’autre sens. A l’initialisation, cette droite peut être arbitrairement positionnée suivant l’axe X de symétrie quaternaire. Dans le motif plan, deux masses, correspondant à 2a, 2b, sont en translation de sens opposé l’une à l’autre selon une première droite et deux autres masses, correspondant à 2c et 2d, sont en translation de sens opposé l’une à l’autre selon une deuxième droite sécante et perpendiculaire à la première droite. A l’initialisation, ces droites peuvent être choisies arbitrairement suivant les bissectrices des axes X et Y de symétrie quaternaire. Dans le motif tridimensionnel, à l’initialisation, les translations de chacune des masses 2a, 2b, 2c et 2d sont effectuées arbitrairement suivant leur axe de symétrie ternaire 5 qui se confond par construction avec l’un des quatre axes de symétrie ternaire 8 du cube 9. Par suite, lors des rotations du résonateur, les axes de vibration de chacun des motifs évoluent selon l’équation Eq.1 en conservant leurs orientations relatives. La rotation totale, depuis l’initialisation jusqu’au moment courant, peut être représentée par une matrice de rotation suivante : où : est un angle de rotation autour de l’axe X de symétrie quaternaire du résonateur, est un angle de rotation autour de l’axe Y de symétrie quaternaire du résonateur, et est un angle de rotation autour de l’axe Z de symétrie quaternaire du résonateur. Dans le cas du motif linéaire, les vibrations des positions de chacune des masses 2a, 2b, 2c, 2d, peuvent donc être décrites, à une permutation de masses près, par les relations suivantes, décrivant les vibrations des quatre masses 2a, 2b, 2c, 2d suivant une seule direction : (Eq.2A) (Eq.2B) (Eq.2C) (Eq.2D) où , …, sont les coordonnées des masses 2a, 2b, 2c, 2d, est la pulsation correspondant, dans le cas d’une symétrie cubique parfaite, au motif linéaire, , t est le temps, et est l’amplitude de la vibration initialement positionnée suivant l’axe x. Dans le cas du motif plan, les vibrations des positions de chacune des masses 2a, 2b, 2c, 2d, peuvent donc être décrites, à une permutation de masses près, par les relations suivantes, décrivant les vibrations des quatre masses 2a, 2b, 2c, 2d suivant deux directions orthogonales : (Eq.3A) (Eq.3B) (Eq.3C) (Eq.3D) où , …, sont les coordonnées des masses 2a, 2b, 2c, 2d, est la pulsation correspondant, dans le cas d’une symétrie cubique parfaite, au motif plan, , t est le temps, est l’amplitude de la vibration initialement positionnée suivant l’axe x, et est l’amplitude de la vibration initialement positionnée suivant l’axe y. Dans le cas du motif tridimensionnel, les vibrations des positions de chacune des masses 2a, 2b, 2c, 2d, peuvent donc être décrites, à une permutation de masses près, par les relations suivantes, décrivant les vibrations des quatre masses 2a, 2b, 2c, 2d suivant des directions isotropes en trois dimensions : (Eq.4A) (Eq.4B) (Eq.4C) (Eq.4D) où , …, sont les coordonnées des masses 2a, 2b, 2c, 2d, est la pulsation correspondant, dans le cas d’une symétrie cubique parfaite, au motif tridimensionnel, , t est le temps, est l’amplitude de la vibration initialement positionnée suivant l’axe x, est l’amplitude de la vibration initialement positionnée suivant l’axe y, et est l’amplitude de la vibration initialement positionnée suivant l’axe z. Remarquablement, tous ces mouvements peuvent être décrits à l’aide de la matrice , une pulsation et par une combinaison linéaire des vibrations élémentaires initiales suivantes, correspondant à : (Eq.5A) (Eq.5B) (Eq.5C) (Eq.5D) où sont les vibrations initiales des positions des masses a, b, c et d suivant l’axe x et sont affectées du coefficient , (Eq.6A) (Eq.6B) (Eq.6C) (Eq.6D) où sont les vibrations initiales des positions des masses a, b, c et d suivant l’axe y et sont affectées du coefficient , et (Eq.7A) (Eq.7B) (Eq.7C) (Eq.7D) où sont les vibrations initiales des positions des masses a, b, c et d suivant l’axe z et sont affectées du coefficient . La pulsation correspondant au type de motif considéré : pour un motif linéaire, , pour un motif plan, , pour un motif tridimensionnel, Les trois motifs élémentaires de vibration initiaux conservent le centre de gravité global. En effet, ils regroupent, à l’instant initial, pour chacun des axes de symétrie quaternaire X, Y, Z, deux couples de masses 2a, 2b, 2c, 2d ayant des vibrations opposées. Il est alors constaté la propriété suivante : (Eq.8A) (Eq.8B) (Eq.8C) où , …, sont les coordonnées des masses 2a, 2b, 2c, 2d, et , et sont les amplitudes correspondant à chacune des vibrations élémentaires initiales. Les vibrations initiales sont réparties dans toutes les directions sous l’effet des rotations. Toutefois, chacun des motifs de vibrations conserve les propriétés de répartition sur les différentes masses 2a, 2b, 2c, 2d correspondant aux équations Eq.8A, Eq.8B et Eq.8C, permettant ainsi de distinguer les vibrations initiales. La mesure de la répartition ( ) de ces vibrations initiales peut alors être effectuée à partir de la vibration présente sur chacune des masses 2a, 2b, 2c, 2d et correspondant à chacun des motifs selon l’équation suivante : (Eq.9) où est la conséquence, sous l’effet de la rotation, sur un axe ‘i’ de la vibration présente initialement, pour , sur un axe ‘j’, Dans le cas d’une symétrie cubique parfaite et d’un amortissement nul, les paramètres respectent les propriétés théoriques suivantes : et il est alors possible de choisir arbitrairement : pour un motif de vibration linéaire : et pour un motif de vibration plan : et pour un motif de vibration tridimensionnel : La illustre schématiquement un appareil de mesure de rotations 16 comprenant un résonateur 1 tel que décrit précédemment, un module de régulation de vibrations 17, et un module de calcul de rotation 18. Le module de régulation 17 permet de générer et d’entretenir les vibrations du résonateur 1. Le module de régulation 17 comprend un module de mesure 17a, un module de calcul 17b et un module de commande 17c. Plus spécifiquement, le module de mesure 17a permet de calculer des données représentatives d’amplitude et phases de vibrations à partir des mesures de déformations du résonateur 1 fournies par des moyens de mesure 19. Le module de calcul 17b utilise les données issues du module de mesure 17a pour déterminer des forces à appliquer sur les masses 2a, 2b, 2c et 2d suivant les axes de symétrie quaternaire X, Y et Z, , afin d’obtenir des consignes d’amplitudes, de phases et des orientations relatives des motifs de vibration du résonateur 1. Selon une variante de réalisation, le module de calcul 17b peut également utiliser les données issues du module de mesure 17a pour déterminer des forces nécessaires à l’orientation des motifs de vibration par rapport aux axes de symétrie quaternaire X, Y, Z. Le module de commande 17c commande les moyens d’application 20 en fonction des amplitudes, des phases et des orientations de forces issues du module de calcul 17b. Le module de calcul de rotation 18 est configuré pour calculer une rotation R effectuée par l’appareil de mesure de rotations 16 à partir de données représentatives d’amplitude et de phases de vibrations issues du module de mesure 17a. En pratique, la symétrie cubique n’est jamais parfaite ( ) et l’amortissement des vibrations n’est jamais nul. Ainsi, afin de compenser ces imperfections, le module de calcul 17b calcule des forces nécessaires à l’entretien des propriétés de la vibration, à partir de la mesure des répartitions des motifs de vibration initiaux ( ) sur les trois axes de symétrie quaternaire X, Y et Z. Cela permet ainsi de maintenir la phase relative entre la répartition des motifs sur les trois axes de symétrie quaternaire X, Y et Z. Les répartitions des motifs sur les axes de symétrie quaternaire X, Y et Z sont respectivement , et . Il s’agit donc de faire respecter les conditions suivantes : Cela permet également de maintenir l’amplitude de chacun des motifs de vibration en faisant respecter les conditions suivantes : pour un motif de vibration linéaire, ; ; ; pour un motif de vibration plan, ; ; ; pour un motif de vibration tridimensionnel, ; ; . Cela permet aussi de maintenir l’orientation géométrique relative de chacun des motifs de vibration en imposant les conditions suivantes : pour un motif de vibration plan, ; pour un motif de vibration tridimensionnel, ; ; . Dans une variante, cela permet aussi de maintenir l’orientation géométrique de chacun des motifs de vibration par rapport aux axes de symétrie quaternaires X, Y et Z, en commandant des forces compensant les forces de Coriolis, représentées par le deuxième terme de l’équation Eq.1 : A partir des forces à appliquer sur chacune des masses 2a, 2b, 2c, 2d, le module de commande 17c calcule les forces inter-masses, à savoir deux forces inter-masses pour chacun des six couples de masses 2a, 2b, 2c, 2d. Par exemple, il peut être choisi de diriger les forces inter-masses selon la normale aux deuxièmes plans bissecteurs des axes de symétrie ternaire 5 des masses 2a, 2b, 2c, 2d, à partir de six forces ( , une par couple de masses. Par exemple, il peut être choisi de diriger les forces inter-masses selon la normale aux premiers plans bissecteurs des axes de symétrie ternaire 5 des masses, à partir de six forces , une par couple de masses. Dans ce cas, les relations entre les forces appliquées sur les masses 2a, 2b, 2c, 2d et les forces inter-masses peuvent être rassemblées selon l’équation matricielle suivante : (Eq.10) Il est à noter que les trois dernières lignes de la matrice Eq.10 sont nécessaires pour garantir la pseudo-inversion de cette dernière. Elles sont donc arbitraires. Dans l’exemple de l’équation Eq.10, elles sont choisies de façon à répartir les forces à appliquer sur les différents moyens d’application 20. Par ailleurs, il est possible de supprimer jusqu’à trois autres lignes sans impacter la pseudo-inversion de la matrice. Ceci permet de comparer les forces appliquées par chaque couple de masses et de corriger leurs différences relatives en observant les différences apparaissant lors de suppressions cycliques de lignes. Le module de commande 17c calcule les forces inter-masses à appliquer sur chacune des masses 2a, 2b, 2c, 2d par des méthodes classiques de résolution des systèmes linéaires telles que, par exemple, la pseudo-inverse classique des moindres carrés suivante : Il est aussi possible d’appliquer directement les forces sur les masses dans le cas où il existe des moyens d’application des forces par rapport au boitier. On va maintenant décrire la façon de mesurer les déplacements des masses 2a, 2b, 2c, 2d. Par exemple, les moyens de mesure 19 peuvent utiliser les mesures de déplacements relatifs entre deux masses selon la normale au deuxième plan bissecteur de leurs axes de symétrie ternaire 5, à partir de six mesures une par couple de masses. Par exemple, les moyens de mesure 19 peuvent utiliser les mesures de déplacements relatifs entre deux masses selon la normale au premier plan bissecteur des axes de symétrie ternaire 5 des masses, à partir de six mesures , une par couple de masses. Les mesures de déplacement relatifs indiquées ci-dessus peuvent être rassemblées selon l’équation matricielle suivante : (Eq.11) Il est à noter que les trois dernières lignes de la matrice Eq.11 sont nécessaires pour garantir la pseudo-inversion de cette dernière et correspondent à l’hypothèse que les mouvements sont globalement à moyenne nulle. Ceci est le cas, lorsqu’on applique des forces inter-masses ayant une somme globalement nulle, tel que décrit ci-dessus. Par ailleurs, il est possible de supprimer jusqu’à trois autres lignes sans affecter la pseudo-inversion de la matrice. Ceci permet de corriger les différences entre les différentes voies de mesure en observant les différences apparaissant lors de suppressions cycliques de lignes. Selon la notation employée, , …, sont les coordonnées des masses 2a, 2b, 2c, 2d. Le module de mesure 17a calcule à partir de l’équation Eq.11 le mouvement de chaque masse 2a, 2b, 2c, 2d. Pour le calcul des mouvements des masses 2a, 2b, 2c, 2d, le module de mesure 17a utilise des méthodes classiques de résolution des systèmes linéaires telles que, par exemple, la pseudo-inverse classique des moindres carrés suivante : Il est aussi possible de mesurer directement ( dans le cas où il existe des moyens de mesure de déplacements par rapport au boitier. Dans ce cas, les mesures seront corrigées du mouvement global des quatre masses. Le module de mesure 17a répartit ensuite les mouvements calculés ( en fonction des motifs élémentaires de vibration initiaux à l’aide de l’équation Eq.9 rappelée ci-dessous : (Eq.9) Dans le cas de l’utilisation d’un motif tridimensionnel, les répartitions des motifs de vibration initiaux ( ) permettent de reconstituer une matrice de rotation rendant compte de la transformation de la vibration initiale, au cours des rotations, selon l’équation Eq.1. Dans le cas d’une absence de défaut, cette matrice représente la rotation du résonateur 1 depuis l’instant initial : Dans le cas d’un motif plan, seulement les deux premières colonnes sont mesurables, alors la troisième colonne est complétée par le produit vectoriel des deux premières colonnes : On obtient alors, une matrice de rotation représentant la rotation du résonateur 1 depuis l’instant initial : Dans le cas d’un motif linéaire, seule la première colonne est mesurée. Ce vecteur est représentatif de la rotation de la vibration positionnée initialement selon l’axe X de symétrie quaternaire du résonateur. On obtient alors, une matrice de rotation représentant la composante, perpendiculaire à l’axe X, de la rotation du résonateur 1 depuis l’instant initial : Un tel résonateur 1 est donc un gyroscope, car il permet de mesurer la rotation qu’il subit (seulement deux composantes de la rotation dans le cas d’un motif de vibration linéaire). Le module de calcul 18 construit une matrice de rotation R ( , ou ), selon les relations ci-dessus, à partir d’une décomposition obtenue par le module de mesure 17a et, de préférence, en tenant compte des défauts du résonateur 1 par des termes correctifs. Tout d’abord, à cause des bruits de mesure et de l’atteinte partielle des objectifs du module de calcul 17b, les matrices , ou peuvent être ortho-normalisées afin de calculer les matrices , ou . Sinon, à tout instant, un bruit de mesure, un biais angulaire et une dérive apparaissent. Le biais et la dérive sont dépendants de ces matrices qui sont représentatives de l’état de la répartition des vibrations au sein du résonateur 1. La prise en compte des défauts se fait, par exemple, par un calibrage effectué périodiquement en laboratoire permettant d’obtenir une matrice de rotation additionnelle, , corrective et représentative du biais angulaire et de l’intégrale de la dérive depuis l’instant initial. On obtient alors la matrice R, constituant la mesure corrigée de la rotation du résonateur 1, par le calcul suivant : pour un motif de vibration tridimensionnel : , (Eq.12.A) pour un motif de vibration plan : , (Eq.12.B) pour un motif de vibration linéaire : , (Eq.12.C) Appareil de mesure de rotations (16) comprenant un résonateur (1) mécanique comportant au moins quatre masses (2a, 2b, 2c, 2d) identiques et rigides, susceptibles de présenter des modes de vibration en translation, des moyens de contrôle (12,13,14) comprenant des moyens de mesure (19), aptes à mesurer un déplacement relatif entre chaque couple de masses suivant au moins deux directions, et des moyens d’application (20), aptes à appliquer des forces inter-masses pour chaque couple de masses suivant lesdites au moins deux directions, un module de calcul de rotation (18) ; et un module de régulation des vibrations (17) recevant des données provenant desdits moyens de mesure (19) et émettant des consignes pour commander lesdits moyens d’application (20) en fonction desdites données, caractérisé en ce que le résonateur (1) présente une symétrie cubique, en ce que les masses (2a, 2b, 2c, 2d) sont imbriquées entre elles, les masses possédant chacune un plan de symétrie (4) et un axe de symétrie ternaire (5) orienté suivant un axe de symétrie ternaire (8) d’un cube (9), et en ce que les masses sont reliées entre elles par des premiers ressorts (3), et/ou sont reliées à un support extérieur du résonateur (1) par des deuxièmes ressorts (11). Appareil de mesure de rotations (16) selon la revendication 1, dans lequel les masses (2a, 2b, 2c, 2d) comprennent chacune deux socles (6) reliés par au moins trois tiges (7). Appareil de mesure de rotations (16) selon la revendication 1 ou 2, dans lequel que les premiers ressorts (3) sont positionnés perpendiculairement les uns aux autres suivant les douze arrêtes (10) du cube (9). Appareil de mesure de rotations (16) selon l’une quelconque des revendications 1 à 3, dans lequel les premiers ressorts (3) sont des tiges rectilignes sollicitées axialement et/ou en flexion. Appareil de mesure de rotations (16) selon l’une quelconque des revendications précédentes, dans lequel les deuxièmes ressorts (11) sont disposés à chaque extrémité des masses (2a, 2b, 2c, 2d), en particulier en prolongement symétriques des premiers ressorts (3). Appareil de mesure de rotations (16) selon la revendication 5, dans lequel les deuxièmes ressorts (11) sont des tiges rectilignes sollicitées axialement et/ou en flexion. Appareil de mesure de rotations (16) selon la revendication 5 ou 6, dans lequel les deuxièmes ressorts (11) ont une raideur axiale et/ou une raideur en flexion différente(s) d’une raideur axiale et/ou d’une raideur en flexion des premiers ressorts (3). Appareil de mesure de rotations (16) selon l’une quelconque des revendications précédentes, dans lequel les masses (2a, 2b, 2c, 2d) sont réalisées chacune en au moins deux parties assemblées. Appareil de mesure de rotations (16) selon l’une quelconque des revendications précédentes, dans lequel les moyens de contrôle (12, 13) sont des transducteurs, notamment des transducteurs électrostatiques ou piézo-électriques, permettant de mesurer des déformations et/ou d’appliquer des forces. Appareil de mesure de rotations (16) selon la revendication 9, dans lequel les transducteurs sont disposés parallèlement à un premier et/ou un deuxième plan bissecteur des axes de symétrie ternaire de chaque couple de deux masses (2a, 2b, 2c, 2d) et permettent de mesurer un déplacement et d’appliquer des forces suivant une normale respectivement au premier et/ou au deuxième plan bissecteur des axes de symétrie ternaire de chaque couple de deux masses (2a, 2b, 2c, 2d). Appareil de mesure de rotations (16) selon la revendication 9 ou 10, dépendante de la revendication 2, dans lequel les transducteurs sont en forme de plaques et sont disposés sur les tiges (7) des masses (2a, 2b, 2c, 2d), de sorte que chaque plaque placée sur la tige (7) d’une masse (2a, 2b, 2c, 2d) corresponde à une autre plaque associée qui lui est parallèle et disposée à proximité sur la tige (7) d’une autre masse (2a, 2b, 2c, 2d). Appareil de mesure de rotations (16) selon l’une quelconque des revendications 1 à 9, dans lequel les moyens de contrôle (14) sont des transducteurs de type microsystème électromécanique (MEMS). Appareil de mesure de rotations (16) selon la revendication 12, dans lequel les transducteurs sont collés aux masses (2a, 2b, 2c, 2d) sur les six faces du cube (9) et intègrent les premiers ressorts (3), les deuxièmes ressorts (11) et des moyens de fixation à un boîtier (15) qui les enveloppe, les transducteurs étant aptes à effectuer des mesures de déformation relative entre deux masses (2a, 2b, 2c, 2d) et à appliquer des forces inter-masses. Appareil de mesure de rotations (16) selon l’une quelconque des revendications précédentes, dans lequel des modes de vibration en translation sont générés par le module de régulation des vibrations (17) à partir de trois motifs élémentaires de vibration initiaux, compris comme des bases de décomposition modale d’une vibration quelconque, ayant pour propriété de créer une vibration globale nulle à la fréquence des modes propres. Appareil de mesure de rotations (16) selon la revendication 14, dans lequel le module de régulation des vibrations (17) maintient une phase relative entre une répartition des motifs sur trois axes orthogonaux, notamment les axes de symétrie quaternaire (X, Y, Z) du résonateur (1), une amplitude de chacun des motifs et une orientation relative de chacun des motifs entre eux. Appareil de mesure de rotations (16) selon la revendication 14 ou 15, dans lequel le module de régulation des vibrations (17) positionne à des valeurs prédéterminées, selon une loi temporelle, des amplitudes, des phases et des orientations de chacun desdits motifs élémentaires, la loi temporelle étant apte à exploiter les symétries des défauts du résonateur (1) afin de les moyenner. Appareil de mesure de rotations (16) selon la revendication 16, dans lequel les défauts du résonateur (1) sont identifiés grâce à une référence angulaire externe au résonateur (1), utilisée de façon continue ou ponctuelle. Procédé de mesure de rotation d’un appareil de mesure de rotations (16) selon l’une quelconque des revendications 14 à 17, caractérisé en ce qu’il comprend au moins : une étape de mesure des déplacements relatifs entre les masses (2a, 2b, 2c, 2d) pour chaque couple de masses ; une étape de calcul du mouvement de chaque masse (2a, 2b, 2c, 2d) en fonction des mesures des déplacements relatifs ; une étape de décomposition des mouvements calculés de chaque masse (2a, 2b, 2c, 2d) en fonction des motifs élémentaires de vibration initiaux ; et une étape de construction d’une matrice de rotation (R) à partir de la décomposition obtenue, de préférence en tenant compte des défauts du résonateur (1) par des termes correctifs. Procédé de mesure de rotation selon la revendication 18, caractérisé en ce qu’il comprend une étape de fourniture d’une information de vitesse de rotation à partir des forces calculées par le module de régulation des vibrations (17), en particulier en excluant des forces résultant d’un suivi des valeurs prédéterminées selon la loi temporelle. Procédé de mesure de rotation selon la revendication 19, caractérisé en ce qu’il fournit une information de rotation à partir de l’intégrale, effectuée à l’aide de matrices de rotation ou de quaternions, de l’information de vitesse de rotation.