FR 3120800 A1 20220923 FR 2102814 A 20210321 Les 7 polyèdres aux sphères inscrites identiques et leurs 7 briques. Séries de 7 briques polyédriques issues des 5 polyèdres réguliers et des 2 rhomboèdres aux 12 et 30 losanges, dont le rayon de la sphère inscrite est choisi comme unité et vaut : (1+Φ). Cet étalonnage donne de nouvelles proportions pour ces 7 polyèdres basés sur les polygones classiques tels : le triangle équilatéral, le carré, le pentagone et le losange Ces briques peuvent être à la base de jeux d’assemblage, servir comme outil pédagogique et enfin être à l’origine de modèles architecturaux. La proportion du nombre d’or phi (1+Φ) est omniprésente dans l’ossature de cette demande de brevet. Figure pour l’abrégé : fig. 6 (figure 21) Les 7 polyèdres aux sphères inscrites identiques et leurs 7 briques Dans la branche de la géométrie, les polyèdres occupent une place importante. La récente connaissance approfondie des molécules nous a appris que leurs structures cristallines se rattachent aux 5 polyèdres réguliers et aux rhomboèdres à 12 et 30 losanges. Pour les figures polyédriques, il a été coutume de prendre pour unité la longueur des arêtes des faces, ceci entraîne un volume du polyèdre dépendant du nombre de ces arêtes. Le tétraèdre, doté de 6 arêtes, est ainsi bien plus petit que le dodécaèdre ou l’icosaèdre dotés, quant à eux, de 30 arêtes. C’est bien cette méthode que j’ai utilisée dans les brevets : n°11 02170 dépôt du 11/07/2011 et n° 14 02952 du 18/12/2014, où là aussi les arêtes sont prises pour l’unité. Une autre idée m’est venue, sachant que ces 7 polyèdres ont la particularité d’avoir une sphère inscrite : j’ai choisi celle-ci comme identité commune pour ces 7 polyèdres. Je lui ai donné comme rayon la valeur remarquable du nombre d’or «phi». La proportion du nombre d’or (1+ Φ) encore appelée “divine proportion” omniprésente dans la nature (végétaux, coquillages et certains minéraux) a fasciné beaucoup d’observateurs, d’artistes, de mathématiciens, par son harmonie et la géométrie qu’elle engendrait. Son étude remonte à l’antiquité, citons Platon, Euclide, l’école d’Athènes tout comme les perses et les arabes entres-autres, qui ont fait progresser ces connaissances en mathématiques. Au 13ème siècle, Fibonacci connu pour sa célèbre suite, a permis de construire, à la règle et au compas, une approche de la spirale répondant au rapport du nombre d’or, représenté par un rectangle, dont la longueur divisée par sa largeur, a cette propriété. Ce rectangle d’or a pour longueur : L = (2+2Φ) ou (1+√5) et pour largeur l = (2), le rapport de ces 2 dimensions est le nombre d’or (1+Φ) = ( 1+ racine carrée de 5 et le tout divisé par 2) ou tout simplement : [(1+√5)÷2] , soit environ 1,618 . À remarquer les équivalences : φ = (1+Φ) = 1÷Φ = 1,618 , soit Φ = 0,618. Sachant que leur cœur ( sphère inscrite) est identique, ceci nous donne une autre échelle de proportions plus logique pour la représentation des 5 polyèdres réguliers, des 2 rhomboèdres et de tout ce qui leur sera rattaché, dans le domaine de la cristallographie et de la chimie par exemple. Les enveloppes polyédriques qui les différencient sont dues aux liaisons des atomes et molécules les constituant et permettent l’édification des différentes structures cristallines. Sans être connaisseur en cristallographie, je sais que ces 7 polyèdres font partie de l’architecture des cristaux naturels, il est donc concevable d’imaginer que le cœur de chacun de ces polyèdres (sphère inscrite) soit identique et contienne leur code génétique ou ADN. Pour être en accord avec ces raisonnements, j’émets, par le présent dépôt, une autre version sur ces 7 briques issues de ces 7 polyèdres . Mon schéma s’est fait à partir des polygones que sont : les 3 triangles du tétraèdre, de l’octaèdre, et de l’icosaèdre, les carrés de l’hexaèdre, les pentagones du dodécaèdre, et les losanges issus des 2 rhomboèdres aux 12 et 30 losanges. La particularité de ces polygones, vient du fait qu’ils sont issus des 5 polyèdres réguliers et des 2 rhomboèdres mais que tous les 7 auront des longueurs d’arêtes différentes. Ces 7 polyèdres possèdent en commun une sphère inscrite et nous faisons le choix que celle-ci soit identique pour les 7 polyèdres. Son rayon, pris pour l’unité, sera égal à : (1+Φ), soit environ 1,618. La longueur des côtés de ces polygones est la même que la longueur des arêtes de leurs polyèdres respectifs. Cette approche de construction des polyèdres nous donne une autre échelle de longueur pour la mesure des arêtes (a) et côtés (a) de ces différents polyèdres et polygones : pour le tétraèdre et ses 4 triangles a = 2√6÷Φ ≈ 7,926 pour l’octaèdre et ses 8 triangles a = √6÷Φ ≈ 3,963 pour l’hexaèdre (cube) et ses 6 carrés a = 2÷Φ ≈ 3,236 pour le dodécaèdre et ses 12 pentagones a = Φ.√(10-2√5) ≈ 1,453 pour l’icosaèdre et ses 20 triangles a = 2.√3.Φ ≈ 2,141 pour le dodécaèdre rhombique et ses12 losanges a = √(3/2) ÷ Φ ≈ 1,982 pour le triacontaèdre rhombique et ses30 losanges a = ≈ 1,1755 Les arêtes du tétraèdre deviennent ainsi les plus longues de cette série de 7 polyèdres et font que sa sphère circonscrite soit aussi la plus grande. Ce tétraèdre peut contenir en totalité ou presque chacun des 6 autres polyèdres. S’il était déjà considéré comme le plus stable d’entre eux vu le niveau bas de son centre de gravité, il devient aussi le plus grand en prenant de la hauteur. Il est à remarquer que l’arête de l’octaèdre vaut celle du tétraèdre divisée par deux, que l’arête du dodécaèdre rhombique vaut celle de celle de l’octaèdre divisée par deux. Cet étalonnage donne une autre vision, plus logique car plus juste en volume, des 5 polyèdres réguliers et des 2 rhomboèdres aux 12 et 30 losanges dont sont issus les polygones de base à comparer à l’étalonnage actuel où les côtés des polygones et polyèdres sont pris pour l’unité. À partir de ces polygones nous traçons un réseau de polygones gigognes toujours dans le rapport (1+Φ). Chacun des sommets de ces polygones sera amputé d’un losange aux angles de : 60° et 120° pour les triangles du tétraèdre , 90° pour les carrés de l’hexaèdre , 108° et 72° pour les pentagones du dodécaèdre , 109°47 et 70°53 pour les losanges du dodécaèdre rhombique , 116°56 et 63°44 pour les losanges du triacontaèdre rhombique . Le départ, côté intérieur de ces losanges de troncature, a pour origine le sommet du polygone gigogne inférieur. À partir de ces polygones de base nous élevons des prismes droits ou inclinés que nous appelons briques et auxquelles nous donnons l’épaisseur Φ pour la plus grande appelée brique-mère . Cette valeur est à multiplier par Φ , à chaque degré plus petit. Leur hauteur sera fonction de la pente choisie. La nouveauté réside ici dans une série de briques gigognes, ajourées en leur centre, par une autre brique identique et ceci dans le rapport du nombre d’or (1+ Φ). La même opération peut être poursuivie à partir de la nouvelle brique. À chaque fois, il en résulte une autre brique gigogne dans le rapport (1+Φ) avec la précédente. Il ressort, de l’observation de ce réseau de briques gigognes, une idée de profondeur symbolisant un tunnel ou un puits (vu de face) ou encore une pyramide à degrés (vu du dessus). Si les pyramides à degrés d’Égypte et du Mexique sont très connues, il en existe d’autres modèles et sur tous les continents ; les plus anciennes connues remontent à près de 5000 ans, celles des Mayas, environ 1800 ans . La forme d’une pyramide à degrés tombait sous les sens, c’est pourquoi elle a été retenue par les premiers bâtisseurs, même si plus tard les pyramides lisses ont été préférées par les Égyptiens. Le plus souvent, dans les pyramides à degrés, la hauteur des étages est identique pour chacune des pyramides sauf pour la ziggourat conique de Samara, relativement récente car datant d’environ 1200 ans. Dans celle-ci les degrés sont remplacés par une spirale ceinturant l’édifice de bas en haut avec une progression régulière de la pente qui est celle du rapport du nombre d’or (1+Φ). L’idée m’est venue d’élaborer une pyramide à degrés, monobloc, telle que je la voyais d’après mon schéma en construisant des prismes droits à partir des polygones de base, en forme de briques ajourées. Pour la pente, j’ai choisi la plus simple : racine carrée de 2, (√2), donnant un angle de 45° et divisé cette pyramide en 5 niveaux, soit 5 briques polyédriques ajourées. La plus petite est complétée par un petit chapeau pyramidal de même pente. Dans le modèle retenu, l’épaisseur des murs est égale à Φ pour la brique mère. Par ce schéma de construction, nous obtenons une série de briques gigognes, s’emboîtant les unes dans les autres, à condition d’avoir, à chaque étage, procédé à une très petite réduction des dimensions pour faciliter le montage. La partie intérieure de la brique est dotée, sur l’une de ses moitiés, d’une collerette (épaulement), ayant pour largeur : Φ² ≈ 0,382. L’épaisseur de cette collerette est choisie et positionnée pour permettre un emboîtage, ou assise, avec l’étage supérieur, dont l’épaisseur est ici de Φ³ ≈ 0,236. Cette collerette est solidaire de la brique par moulage, par encollage ou par tout autre moyen d’assemblage. La hauteur de chaque brique est augmentée sur l’autre moitié de la même longueur, ici Φ³, que la hauteur de l’assise laissée au sommet de la brique mère, ceci pour conserver la même pente. Cette collerette (épaulement) permet de limiter la course d’un élément supérieur ou inférieur. Nous pouvons donner à ces séries de briques des hauteurs différentes mais avec une pente identique pour chaque série. Nous pouvons alterner des briques de différentes hauteurs, c’est à dire provenant de séries à pentes différentes, à la condition que les emboîtements correspondent. Selon la pente choisie, la géométrie résultant des assemblages différera. Certaines pentes sont remarquables du fait de leur rapport avec √ 5 ou encore avec (1+Φ) à partir des angles suivants : 58°28, et 31°71 pour le triangle d’or. 54° et 36° pour le triangle divin 53°13 et 36°87 pour le triangle d’Isis 51°83 et 38°17 pour le triangle de Khéops. 72° et 18° pour le triangle d’Euclide 63°44 et 26°56 pour le triangle des bâtisseurs 75°96 et 14°03 pour le triangle dit ‘double carré’ et encore : 72°82 et 17°17 69°09 et 20°90 Cette liste n’étant pas exhaustive, elle peut être complétée par d’autres angles complémentaires. La collerette est de largeur Φ² et d’épaisseur Φ³ pour la brique-mère et ces dimensions sont à multiplier par Φ à chaque degré plus petit. Ces polyèdres réguliers, aux sphères inscrites identiques, peuvent être jumelés et disposés de façon gigogne et concentrique, comme maclés les uns dans les autres, ceci en 3 groupes 1° selon les axes de symétrie du rhomboèdre aux 12 losanges, pour le tétraèdre, l’hexaèdre, l’octaèdre et pour ce dodécaèdre rhomboïdal 2° selon les axes de symétrie du rhomboèdre aux 30 losanges, pour le tétraèdre aussi, le dodécaèdre, l’icosaèdre et pour le triacontaèdre rhomboïdal. 3° selon une association des 2 groupes précédents. Ils peuvent être regroupés par 2, par 3, ou plus. Le polyèdre , le plus grand peut être ajouré par la suppression du polyèdre interne plus petit, laissant place à un vide pouvant être occupé par la sphère inscrite de rayon : (1+Φ) Dans ces jumelages, les dualités des polyèdres réguliers, cube et octaèdre ainsi que dodécaèdre et icosaèdre, font que chacun des 2 couples possède une sphère circonscrite à leurs 2 polyèdres. Dans une autre version, je me suis amusé à construire 2 rectangles identiques que j’ai superposés, de façon concentrique, et disposés perpendiculairement l’un à l’autre. Ceci donnait une croix grecque aux 2 éléments identiques et symétriques. En élevant des prismes on aboutit à 2 parallélépipèdes maclés à 90° et issus de 2 rectangles d’or. Ces croix se retrouvent dans des minéraux comme les staurotides maclés à 60° et à 90°. Le croisement concentrique des 2 rectangles divise la longueur (L) en trois segments : la longueur du segment central est égale à 2 tandis que la longueur des segments aux extrémités, gauche et droite, vaut Φ ≈ 0,618, ou encore : [(√5-1)÷2]. La somme de ces 3 segments reste toujours égale à (1+√5). Les intersections des arêtes de ces rectangles, de leurs 4 diagonales et des lignes reliant les points milieux des 4 largeurs des 2 rectangles permettent de construire un réseau de lignes et de points pour élaborer la trame d’un maillage. Dans ce dernier, les lignes rejoignant le milieu des 4 largeurs forment des carrés. Ces carrés coupent les diagonales en des points remarquables autorisant la construction de nouvelles croix identiques à celle d’origine (croix mère) mais plus petites et toujours dans le rapport (1+Φ). La même opération peut être poursuivie indéfiniment car, à partir de chaque nouvelle croix, il en résulte une autre croix gigogne dans le rapport (1+Φ) avec la précédente. Nous aboutissons à une série de briques gigognes en forme de croix grecque, ajourées en leurs centres, par une autre croix identique et dont le rapport est le nombre d’or (1+Φ). La demie longueur du rectangle d’or est prise comme référence pour l’unité et est égale à (1+Φ). Pour la croix de départ, croix mère, et celle obtenue par évidement, le rapport “L/l” des deux branches identiques est également (1+Φ). Comme dans la construction précédente, pour les mêmes raisons et dans les mêmes conditions, une collerette est fixée sur la partie interne du prisme. Pour des ensembles de briques de différentes hauteurs constituant les lots, les bases doivent être identiques pour permettre les emboîtages entre les différentes séries. Ces briques peuvent se concevoir pleines ou creuses selon les critères recherchés. Ces séries de briques ajourées se prêtent à diverses configurations, très différentes. La nouvelle échelle de construction de ces 7 polyèdres entraîne aussi de nouvelles proportions pour les 7 briques de base décrites dans le précédent brevet n°14 02952 . C’est pourquoi je reprends, d’une façon plus simple, la description de ces briques. Elles sont différentes car issues cette fois des 7 polyèdres à sphères inscrites identiques nous donnant des longueurs différentes d’arêtes pour chacun d’entre eux. À partir de chacune des faces, je construis des pyramides allant jusqu’au centre de chacun de ces 7 polyèdres puis je duplique ces pyramides que je monte tête-bêche vers l’extérieur. La hauteur de la pyramide interne est le rayon de la sphère inscrite soit : (1+Φ). La hauteur des pyramides internes et externes étant identiques et faisant chacune (1+Φ) , les 2 pyramides montées en tête-bêche forment une brique dont la longueur totale fait : (2÷Φ) soit (1+√5). Pour ces 7 polyèdres, la sphère circonscrite aux nouveaux sommets pyramidaux extérieurs est identique et a pour rayon : (2÷Φ) soit (1+√5). Comme dans tous les tétraèdres réguliers, le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre a pour valeur 3 fois le rayon de la sphère inscrite soit ici : 3.(1+Φ) . Les briques ainsi obtenues, différentes de par leur forme, figures 37_40_43 et 46 (ancien brevet) ont des angles de pente ( OK avec l’axe OY) identiques pour les 5 polyèdres réguliers . Pour les 2 rhomboèdres à 12 et 30 losanges, les briques sont de forme similaire fig.49 et 50 (ancien) à part que ces mêmes angles (OK avec l’axe OY) diffèrent. petit formulaire récapitulatif: Brique et polyèdre longueur d’ arête angle pente arc-tangente AB3 tétraèdre 2√6÷Φ 7,926 54°74 √2 AB4 hexaèdre 2÷Φ 3,236 45° 1 AB5 dodécaèdre √(10-2√5).Φ 1,453 31°72 Φ AB6 icosaèdre 2√3.Φ 2,141 20°91 1-Φ AB8 …octaèdre √6÷Φ 3,963 35°26 1÷√2 AB12 dodéca-rhom √(3/2)÷Φ 1,982 31°48 √(3÷8) AB30 triaconta-rho 1,175 19°96 ½√(5-2√5) Une autre façon plus simple pour obtenir la longueur des nouvelles arêtes est de faire le rapport entre les diamètres des sphères inscrites, à savoir la nouveau diamètre valant 2(1+Φ) et le diamètre des sphères inscrites à chacun de ces 7 polyèdres lorsque les côtés sont pris pour l’unité et valent 1. Ainsi pour le tétraèdre ou le diamètre de l’ancienne sphère inscrite est de [2√(1,5)]÷3, le rapport s’écrit : 2(1+Φ)÷[2√(1,5)]/3 et la nouvelle arête mesure :7,926. Il en est de même pour les 6 autres. Tétraèdre 3,236÷0,408 = 7,93 ou (1+Φ).√24 hexaèdre 3,236 ÷ 1 = 3,23 ou 1+√5 dodécaèdre 3,236 ÷ 2,227 = 1,45 ou √(10-2√5).Φ icosaèdre 3,236 ÷ 1,511 = 2,14 ou 2√3.Φ octaèdre 3,236 ÷ 1,414 = 3,96 ou √6.(1+Φ) dodéca rhom 3,236 ÷ 1,633 = 1,98 ou (1+Φ) ÷ √(2/3) triacontaèdre 3,236 ÷ 2,753 = 1,17 ou 5(1+Φ) ÷ √(10+2√5) Si le jeu d’éveil est évident, pour des assemblages créatifs, d’autres applications sont envisageables, comme la réalisation de bijoux, procurer des idées pour motifs architecturaux. Cette fenêtre laisse entrevoir un nouvel horizon sur la carrière, à ciel ouvert, du nombre d’or, par une géométrie qui perd de sa froideur mais gagne grâce à une autre orientation. DESCRIPTIF figures 1 à 7 polyèdres dont la sphère inscrite est identique, entraînant 7 longueurs d’arêtes différentes. figures 8 à 14 : les 7 briques, leurs hauteurs identiques (2+2Φ)et les angles des pentes de leurs pyramides. figures 1 et 8 le tétraèdre et sa brique figures 2 et 9 le cube et sa brique figures 3 et 10 l’octaèdre et sa brique. figures 4 et 11 le dodécaèdre et sa brique figures 5 et 12 l’icosaèdre et sa brique. figures 6 et 13 le dodécaèdre rhombique et sa brique. figures 7 et 14 le triacontaèdre et sa brique. figure 15 triangles équilatéraux gigognes et tronqués rapport (1+Φ) figure 16 carrés gigognes et tronqués, rapport (1+Φ) figure 17 pentagones gigognes et tronqués, rapport (1+Φ) figure 18 dodécaèdres rhombiques gigognes et tronqués, rapport (1+Φ) figure 19 triacontaèdres gigognes et tronqués, rapport(1+Φ) figure 20 empilement de croix grecques gigognes et ajourées figure 21 croix grecques gigognes, ajourées et empilées figure 22 croix grecque et sa collerette (épaulement) en coupe figure 23 croix grecques vues de profil figure 24 tétraèdre étoilé figure 25 hexaèdre étoilé figure 26 octaèdre étoilé figure 27 dodécaèdre étoilé figure28 icosaèdre étoilé figure29 dodécaèdre rhombique étoilé figure 30 triacontaèdre rhombique étoilé figure 31 angles de pentes pour pyramides à croix grecques gigognes figure 32 3 polyèdres ajourés et leurs pyramides figure 33 2 exemples d’emboîtages avec des croix grecques gigognes Série de briques caractérisées par le fait : quelles sont en forme de prismes droits ou obliques, polyédriques et gigognes issus de polygones réguliers, dont le rayon de la sphère inscrite est choisi comme unité et vaut : (1+Φ) ; que la longueur (a) des côtés identique à celle des arêtes des polyèdres réguliers et des 2 rhomboèdres aux 12 et 30 losanges vaut : pour les 4 triangles du tétraèdre, le côté a = 2√6÷Φ ≈ 7,926 ; pour les 8 triangles de l’octaèdre a = √6÷Φ ≈ 3,963 ; pour les 20 triangles de l’icosaèdre a = 2√3.Φ ≈ 2,141 ; pour les 6 carrés de l’hexaèdre, a = 2÷Φ ≈ 3,236 ; pour les 12 pentagones du dodécaèdre, a = Φ.√(10–2√5) ≈ 1,453 ; pour les 12 losanges du dodécaèdre rhombique a = √(3/2)÷Φ ≈ 1,982 ; pour les 30 losanges du triacontaèdre rhombique a = ≈ 1,175 ; que chacun des sommets de ces polygones est amputé d’un losange aux angles de : 60° et 120° pour les triangles équilatéraux ; 90° pour les carrés ; 108° et 72° pour les pentagones ; 109°47 et 70°53 pour les losanges du dodécaèdre rhombique ; 116°56 et 63°44 pour les losanges du triacontaèdre rhombique ; que le sommet intérieur de ces losanges est le sommet extérieur du polygone gigogne inférieur ; quelles sont ajourées par une autre brique de forme identique dans un rapport égal (1+Φ) ; que leurs hauteurs H sont d’une progression régulière et sont dans le rapport (1+Φ) ; que les différentes briques d’une même série sont gigognes et s’emboîtent les unes dans les autres et ceci de multiples façons. Série de briques, selon la revendication 1, caractérisées par le fait : que leur cavité centrale est équipée, sur une de leurs moitiés, d’une collerette ou épaulement servant d’arrêtoir lors des différents emboîtages et que sa largueur est (Φ²) ; que leur hauteur, sur l’autre moitié de la collerette, est rallongée d’une longueur égale à la partie emboîtable au dessus de la collerette de la brique gigogne-mère précédente; que la collerette est solidaire de la brique soit par moulage, soit par encollage, soit encore par tout autre moyen de fixation . Série de briques selon la revendication 1 caractérisée par le fait : qu’elles s’imbriquent les unes dans les autres de façon concentrique par 2, par 3 ou plus ; .que le polyèdre interne plus petit peut être supprimé pour laisser place à un vide ; que ce vide polyédrique est occupé par la sphère inscrite de rayon (1+Φ) . Série de briques, selon la revendication 1, caractérisée par le fait qu’à partir de chacune des faces des 7 polyèdres sont construites des pyramides allant jusqu’au centre de ces polyèdres ; que ces pyramides sont dupliquées et montées en tête-bêche vers l’extérieur ; que les sphères circonscrites aux nouveaux sommets pyramidaux extérieurs de ces 7 polyèdres sont identiques et ont pour longueur de rayon : (2÷Φ).