FR 3119000 A1 20220722 FR 2200339 A 20220116 Dispositif d’amortissement pendulaire (100) pour engin de mobilité comprenant : - un support (1) , - une pluralité de N pendules (5 ) caractérisé en ce que au moins un pendule (5) vérifie l’équation suivante : Figure pour l’abrégé : Figure 2 Dispositif d’amortissement pendulaire et procédé de conception associé Le domaine de la présente invention concerne les systèmes d’accouplement destinés à coupler un organe générateur d’énergie d’un engin de mobilité à un organe distributeur de cette énergie, tels que les mécanismes d’embrayage ou les convertisseurs de couple. Les machines rotatives sont souvent sujettes à des fluctuations de couple, engendrant des vibrations du rotor et provoquant en fin de compte une fatigue prématurée et une pollution sonore. Dans l’industrie automobile, des vibrations du système de transmission générées par les fluctuations de couple d’un moteur thermique peuvent être réduites en utilisant des dispositifs d’amortissement pendulaire (en anglais « centrifugal pendulum vibration absorbers »CPVA). Ces dispositifs passifs sont constitués de plusieurs masses oscillant le long d’une trajectoire donnée par rapport au rotor à leur support. Des études précédentes ont révélé que la dynamique de ces dispositifs est sujette à des instabilités. Il existe un besoin pour améliorer la stabilité dynamique des dispositifs d’amortissement pendulaire.. Pour répondre à ce besoin, l’invention selon une de ses aspects propose un dispositif d’amortissement pendulaire pour engin de mobilité, ledit dispositif comprenant : - un support,, - une pluralité de pendules et caractérisé en ce que au moins un pendule vérifie l’équation suivante : Selon les variantes le dispositif d’amortissement pendulaire selon l’invention présente tout ou partie des caractéristiques suivantes: au moins un pendule présente un profil pour rouler sans glisser sur un rouleau du dispositif. le rouleau est fixe par rapport au support la réponse d’ordre d’au moins un pendule vérifie l’équation suivante : le dispositif d’amortissement pendulaire comporte deux pendules monofilaires le dispositif d’amortissement pendulaire comporte deux pendules bifilaires le dispositif d’amortissement pendulaire présente des paramètres vérifiant au moins une des relations ci-dessous : η est positif, voire 0 0.05 α [1] est positif, voire 0 [1] n p -5 [4] L’invention a encore pour objet, selon un autre de ses aspects, un système de transmission pour engin de mobilité comportant un dispositif d’amortissement pendulaire tel que décrit. Avantageusement, les pendules selon l’invention admettent un mouvement de rotation significatif par rapport au support, en plus du mouvement de translation traditionnel. Le rendement de tels dispositifs est optimal pour un mouvement synchrone parfait de masses oscillantes. Néanmoins, en raison de non-linéarités, l’unisson de masses peut être rompu au profit d’une localisation d’énergie sur un amortisseur donné, ce qui engendre une perte d’efficacité d’atténuation. Pour évaluer la stabilité de tels dispositifs, un modèle dynamique basé sur une méthode de perturbation analytique est établi. Le but de ce modèle est de prédire analytiquement une localisation et des sauts de la réponse. La validité du modèle a été confirmée par comparaison à la fois à une résolution numérique de la dynamique du système et à une étude expérimentale. L’invention pourra être mieux comprise à la lecture de la description qui va suivre d’exemples de mise en œuvre de celle-ci et à l’examen du dessin annexé sur lequel : - la représente d’un système selon une mise en œuvre de l’invention, - la représente schématiquement un dispositif d’amortissement pendulaire selon l’invention, - la illustre la réponse d’ordre des pendules à l’unisson et leur stabilité, - la représente la réponse des pendules et la réponse du support obtenues par l’intermédiaire des modèles analytiques et numériques - la illustre les signaux temporels des pendules et du support, et - la figure 6 illustre un exemple de dispositif d’amortissement pendulaire schématisé à la Dans le cadre de la réduction d’émissions polluantes et de la consommation de carburant de véhicules à moteurs thermiques, des fabricants automobiles essaient de réduire la cylindrée et le régime du moteur. Ces évolutions conduisent à une augmentation significative d’irrégularités de rotation appelées « acyclismes », principalement en raison d’une pression de combustion supérieure. L’une des caractéristiques principales de ces moteurs alternatifs est la dépendance linéaire de la fréquence d’acyclisme au régime moyen du moteur. Le coefficient de proportionnalité est appelé l’ordre de moteur (ou d’allumage) et dépend uniquement de l’architecture du moteur. Pour les moteurs à quatre temps, l’ordre de moteur est la moitié du nombre de cylindres. Au cours de la phase d’accélération, le moteur balaye une large plage de fréquences contenant certains modes de torsion de chaîne cinématique. Cette situation peut engendrer des niveaux significatifs de bruit et de vibrations dans l’habitacle et une usure prématurée des composants de chaîne cinématique. Des dispositifs d’amortissement pendulaires sont utilisés depuis de nombreuses années pour minimiser les acyclismes de groupes motopropulseurs automobiles au niveau de l’ordre de moteur. Ces dispositifs passifs se composent de masses oscillantes (pendules) en mouvement le long de trajets particuliers par rapport à une inertie primaire (support) comme cela est représenté sur la . Le principe de fonctionnement du dispositif d’amortissement pendulaire est celui d’un amortisseur à masse accordée dont la rigidité est proportionnelle au régime moyen du moteur. Celui lui permet de rester accordé à l’ordre de moteur pour réduire des vibrations de torsion du support. Le système étudié est représenté sur la figure 1. Il est constitué d’un volant d’inertie J r tournant autour de son centre O et servant de support 1 à une pluralité de N pendules 5, avec ici N = 2 pendules. Sa position angulaire totale est où t est le temps, Ω est la vitesse de rotation moyenne du volant et θ correspond à la partie de fluctuation de la rotation. Un couple est appliqué à ce volant, où représente la position angulaire totale du volant, c’est-à-dire . peut être décomposé en un couple constant et un couple périodique . Le couple constant s’équilibre avec le couple découlant de l’amortissement du volant, en donnant ainsi la vitesse de rotation moyenne Ω. Dans le modèle, un amortissement visqueux linéaire équivalent est utilisé pour le volant. N pendules de masse et d’inertie (autour de leur centre de gravité) oscillent sur leur trajectoire . Leur position sur ces trajectoires est donnée par l’abscisse curviligne et leur distance du centre de rotation du volant est . La dimension caractéristique représente la position des pendules au repos (lorsque de sorte qu’ils soient parfaitement centrifugés). En plus du mouvement de translation traditionnel, la présente étude considère que les pendules tournent par rapport au volant selon la fonction de rotation . Comme pour le volant, un amortissement visqueux linéaire équivalent est utilisé pour modéliser l’amortissement entre le volant et le i ème pendule. Les pendules et leurs fonctions associées de trajectoire et de rotation sont considérés ci-après comme étant identiques et l’indice « i » est donc abandonné en ce qui concerne les paramètres des pendules. En utilisant la relation entre le couple moyen, l’amortissement du support et la vitesse de rotation moyenne, , en introduisant les paramètres et variables non dimensionnels et en changeant la variable indépendante de t par , les équations de mouvement peuvent être écrites comme suit : où représente une dérivation par rapport à . Ainsi les fonctions de trajectoire et de rotation peuvent s’exprimer sous forme de polynômes tels que : où est l’ordre d’accord des pendules et sont des coefficients de trajectoire et de rotation. A noter que, dans le cas de , les trajectoires des pendules sont des épicycloïdes, qui correspondant à la trajectoire tautochrone pour . On peut supposer que la fluctuation de couple appliquée au support ne contient qu’une harmonique dont la forme non dimensionnelle est , où n est l’ordre de moteur. Pour un moteur de voiture, n correspond au nombre de courses par tour du vilebrequin. A ce stade, n’est pas un terme de forçage périodique mais un terme non linéaire car il dépend de θ. Deux méthodes sont proposées ci-après pour le transformer en un terme de forçage périodique. Méthode 1 . Il est connu d’utiliser le changement de variable indépendante proposé par S. Shaw et al [10] pour transformer directement en un terme de forçage périodique. Méthode 2 . Une autre méthode consiste à exprimer la fluctuation de couple en fonction de pour écrire où est la fréquence angulaire de l’acyclisme. Pour un moteur de voiture, la fréquence d’excitation doit correspondre au nombre de courses par seconde, ce qui donne où fait référence à une dérivation par rapport au temps. On peut supposer que la fluctuation de vitesse de rotation du vilebrequin est largement inférieure à la vitesse de rotation moyenne, c’est-à-dire . Il s’ensuit que , ce qui engendre une transformation banale du couple en un terme de forçage périodique. Une analyse linéaire du système est effectuée. Après la transformation du couple externe en un terme de forçage périodique selon la méthode 2 (ci-dessus, on peut linéariser les équations (1) et (2) puis utiliser une propriété connue de matrices en pointe de flèche pour trouver que les valeurs propres et les vecteurs propres du système sont : est l’ordre d’accord efficace, est le coefficient de rotation linéaire et l’exposant T indique la transposition. est un mode de corps rigide pour lequel uniquement le support est excité. sont N - 1 modes dégénérés pour lesquels les pendules i et i + 1 sont déphasés alors que les autres modules sont immobiles (i = 1, …, N-1). Ils sont associés à la valeur propre n 10 , qui a une multiplicité N – 1 et le support est un nœud de ces modes. A noter que, dans le cas N = 2, n’est pas dégénéré et correspond simplement à un mouvement déphasé des pendules. est un mode pour lequel les pendules se déplacent à l’unisson mais en opposition de phase par rapport au support. correspond à l’ordre propre des pendules dans le cas , et il est lié à l’ordre d’accord de sorte que : Lorsqu’une fluctuation de couple est appliquée au support, les pendules génèrent une antirésonance à l’ordre (dans le cas conservateur). Ainsi, pour une fluctuation de couple d’ordre n, il faut choisir pour minimiser les vibrations du support (ce qui peut être étendu au cas non conservateur puisque l’amortissement est faible). La présente demande propose une analyse linéaire des dispositif d’amortissement pendulaire. Néanmoins, on peut constater à partir des équations (1) et (2) que la dynamique du système est sujette à plusieurs sources de non-linéarité. Un modèle analytique permettant la visualisation et la prédiction de phénomènes non linéaires va être dérivé ci-après. Il est connu que la construction du modèle peut commencer par une mise à l’échelle des paramètres. Ceci permet une simplification des équations de mouvement de sorte que la dynamique des pendules devienne découplée de celle du support. Puisqu’il est considéré que le déplacement des pendules est faible, les fonctions de trajectoire et de rotation (3) sont tronquées de sorte que : soit utilisé dans les calculs suivants. Ces fonctions sont censées être symétriques (respectivement antisymétriques) par rapport à s i = 0 comme tel est le cas en pratique en raison de contraintes de conception. La fluctuation de la rotation du support est a priori constituée de plusieurs harmoniques de sorte qu’elle puisse être étendue comme suit : Où et sont respectivement les première et deuxième harmoniques, et HOT correspond aux termes d’ordre supérieur( « Higher Order Terms » en anglais). Mise à l’échelle Dans le présent paragraphe, le but est de mettre à l’échelle le poids de certains paramètres et de certaines variables afin de capturer les phénomènes physiques souhaités. Les hypothèses et les remarques suivantes régissent la mise à l’échelle : • la configuration optimale du système correspond à un faible amortissement (à la fois du support et des pendules) ; de cette manière, l’amplitude de vibration du support à son antirésonance est très faible ; • la fluctuation de couple est faible par rapport à l’énergie cinétique du support (qui est à l’équilibre) ; cela implique que est petit ; • l’inertie géométrique totale des pendules autour du point O, , est considérée comme étant faible par comparaison à l’inertie du système de rotation total, , de sorte que µ soit petit ; • l’inertie du support étant significative, la fluctuation de vitesse de rotation est faible par comparaison à la vitesse de rotation moyenne ; à noter que cette hypothèse a déjà été adoptée au chapitre 3 pour transformer le couple externe en une excitation périodique ; • l’amplitude de mouvement des pendules est faible par comparaison à leur distance du centre de rotation O, de sorte que soit petit ; • la fonction de trajectoire choisie (cf. équation (6)) est une épicycloïde perturbée par ; la perturbation étant considérée comme étant faible, est a priori petit ; • la fonction de rotation choisie (cf. équation (6)) diffère d’une rotation linéaire par le terme ; la rotation étant considérée comme étant principalement linéaire, est a priori petit. D’après ce qui précède, en introduisant le petit paramètre , les paramètres mis à l’échelle suivants sont introduits : où et sont des coefficients de mise à l’échelle à déterminer. Pour donner une signification physique à , on peut choisir de régler . Dynamique du support Le but ici est d’obtenir une équation régissant la dynamique du support en fonction du couple du pendule et du couple externe. En introduisant les fonctions de trajectoire et de rotation (6), la forme étendue de θ (7) et les paramètres mis à l’échelle (8) dans l’équation (1) du support et en réglant , on peut écrire : A noter que le couple externe a été transformé en un terme de forçage périodique en utilisant la méthode 2 (cf. chapitre 2). L’équation (9) utilise l’équation du pendule au premier ordre (en supposant ). L’équation (9) est similaire à celle obtenue si le changement de variable indépendante a été utilisé. Les deux différences sont que (•)’ représente une dérivation par rapport à et que le terme de couple est . Néanmoins, en utilisant la règle de la chaîne, on peut observer que : de sorte que, à l’ordre retenu à l’équation (9), des dérivées par rapport à et sont équivalentes. En outre, en étendant le terme de couple, on peut remarquer que : Cela signifie que, à l’ordre retenu à l’équation (9) et en supposant que , il est équivalent de transformer le couple en un terme de forçage périodique en utilisant le changement de variables indépendantes (cf. méthode 1 au chapitre 2) ou en supposant que (cf. méthode 2 au chapitre 2). Dynamique du pendule Le but ici est de découpler la dynamique du pendule de celle du support. Pour cela, l’équation (9) réduite du support est introduite dans l’équation (2) du pendule. Ensuite, en utilisant les fonctions de trajectoire et de rotation (6) et en choisissant l’ensemble de coefficients de mise à l’échelle suivant : l’équation du pendule se réduit à : L’ensemble de paramètres de mise à l’échelle a été choisi pour découpler l’équation du pendule de la dynamique du support tout en conservant l’effet des non-linéarités découlant des fonctions de trajectoire et de rotation. L’équation (13) comprend l’influence du couple externe, le couplage entre les pendules à travers la somme sur N, et les non-linéarités découlant à la fois de la trajectoire et de la rotation. Il est également connu que, puisque les pendules sont identiques et couplés, le système présente des résonances internes 1:1. Les équations (13) sont faiblement couplées parce que les pendules sont couplés indirectement à travers le support et leur effet sur le support est faible puisque leur inertie relative est faible. En outre, ces équations sont faiblement non linéaires parce qu’il est supposé que est petit et les fonctions de trajectoire et de rotation choisies sont proches d’une épicycloïde et d’une rotation linéaire, ce qui donne un comportement linéaire pour de petites fluctuations de la vitesse de rotation. Dans la présente étude, il a été choisi de résoudre les équations réduites des pendules en utilisant la méthode connue à échelles multiples. Deux échelles de rotation sont introduites, et . Comme cela a été précédemment effectué pour le support, le déplacement des pendules est étendu de sorte que : où et représentent respectivement les première et troisième harmoniques. En introduisant l’équation (14) dans l’équation (13), on obtient une solution pour sous la forme de : où et sont régis par le système à 2N équations : et sont des vecteurs contenant respectivement et , et D 1 représente une dérivation par rapport à . Les fonctions et sont données par : où σ est un terme de désaccord tel que . Dans le cadre de l’étude présentée dans le présent document, unique le régime d’état constant est pris en compte. Ceci implique que l’amplitude et la phase des pendules par rapport à l’excitation sont invariables dans le temps, de sorte que : où représente le déphasage du pendule i par rapport à l’excitation et prend la forme de . En utilisant ce déphasage, la réponse au premier ordre peut être écrite sous la forme plus classique suivante : L’introduction de l’équation (19) et de dans l’équation (16) donne : est un vecteur contenant . et sont respectivement et , exprimés en termes de coordonnées et . Le système (21) doit être résolu pour déterminer la réponse du pendule. Il a été observé au chapitre 3 que, dans un régime linéaire, un mode unique participe à la réponse des pendules. Ce mode linéaire, , est appelé « mode à l’unisson » car il décrit un mouvement avec lequel tous les pendules ont la même amplitude et la même phase. Puisque le comportement pris en compte dans le présent chapitre est faiblement non linéaire, on peut s’attendre à ce que les pendules se déplacent à l’unisson. Il est donc supposé que : En introduisant l’équation (22) dans l’équation (21), on peut trouver la réponse d’ordre implicite suivante des pendules à l’unisson : L’ossature du mode à l’unisson non linéaire peut être déduite de l’équation (23) en tant que : . Il est intéressant de remarquer que le comportement de durcissement ou d’assouplissement des pendules est régi par le signe de . Cette propriété va être ultérieurement utilisée pour spécifier des règles de conception (cf. chapitre 7). En introduisant l’équation (22) dans l’équation (21), on peut également trouver la réponse d’amplitude implicite suivante : Le calcul de la réponse d’amplitude permet d’accéder à la réponse de phase, donnée par : Ensuite, en utilisant les résultats pour et et l’équation (9) réduite du support, on peut calculer l’amplitude des deux premières harmoniques du support aux ordres retenus, comme suit : L’équation (27) indique que les effets non linéaires induits par les pendules génèrent des harmoniques d’ordre supérieur du support (à l’ordre retenu, uniquement la 2 ème harmonique est présente). L’amplitude critique de la réponse des pendules pour laquelle la stabilité de l’unisson change est calculée en utilisant et la condition de l’unisson (22), ce qui donne : où l’indice d fait référence à une « désynchronisation ». De la même manière, des amplitudes critiques pour lesquelles la stabilité de la réponse périodique change sont données par : où l’indice j fait référence à un « saut ». Il est intéressant de remarquer que les amplitudes critiques et tendent à l’infini car tend à zéro. En outre, ces amplitudes sont indépendantes de l’amplitude de forçage . Les développements précédents vont être maintenant appliqués à un système de deux pendules. Un exemple de dispositif d’amortissement pendulaire 100 selon l’invention est représenté sur la figure 2 et ses paramètres sont donnés dans le tableau 1. Son ordre d’accord bas le rend bien adapté au filtrage de vibrations découlant d’une désactivation de cylindres. Le dispositif d’amortissement pendulaire comprend deux pendules monofilaires dont un seul est représenté sur la figure 2, l’architecture étant symétrique. Le profil d’un pendule roule sans glisser sur un rouleau de rayon r 1 (fixe sur le support). La forme du profil permet de commander la trajectoire suivie par le centre de gravité du pendule. Pour de tels pendules, la fonction de rotation est régie par la géométrie fonctionnelle. Les deux premiers coefficients de rotation sont : Tableau 1 : paramètres du dispositif d’amortissement pendulaire illustré sur la . En pratique, l’ordre d’excitation est fixe de sorte que l’ordre n est constant. Néanmoins, des pendules peuvent ne pas être accordés exactement à l’excitation. Ce désaccord peut être volontaire ou il peut découler d’imperfections matérielles. Dans tous les cas, la variation de l’ordre d’excitation est similaire à l’introduction d’un désaccord (à condition que les désaccords des pendules soient identiques) et il est donc pertinent d’étudier l’effet du désaccord sur la réponse du système [18]. La réponse d’ordre des pendules à l’unisson et leur stabilité sont représentées sur la pour plusieurs amplitudes de couple. La flexion de la réponse indique que des pendules présentent un comportement de durcissement. Les zones de bifurcation : unisson instable en zones I et II et réponse périodique instable en zones II et III, délimitées par les courbes de bifurcation (29) et (30), sont représentées. La zone correspondant simultanément à l’unisson instable et aux réponses périodiques instables est représentée en zone II, alors que les réponses stables sont représentées en zone IV. Pour de petites amplitudes de couple, la réponse est presque linéaire de sorte qu’aucun changement de stabilité ne survienne. Au fur et à mesure de l’augmentation de l’amplitude de couple, la réponse à l’unisson croise les courbes de bifurcation, ce qui engendre un état de stabilité différent. La figure 3 permet une visualisation de la stabilité des pendules dans l’espace de conception va être maintenant présentée. Cet espace permet d’évaluer la stabilité des pendules du même type mais avec des ensembles de paramètres différents . Dans le cas général, il s’agit d’un espace 3D. Néanmoins, pour le dispositif d’amortissement pendulaire représenté sur la figure 2, la rotation est imposée par la géométrie fonctionnelle, ce qui amène à être lié à . En outre, en raison de contraintes d’espace, il est pratique d’évaluer des conceptions pour une valeur fixe du rapport . Ainsi, en utilisant les équations (31) et (32), on peut obtenir en fonction de , ce qui réduit l’espace de conception à un espace 2D. Les courbes en traits continus et la courbe d’ossature Ba permettent de définir différentes zones de stabilité : la zone I correspond à des pendules à l’unisson de façon instable, la zone III des pendules avec une réponse périodique instable, la zone II correspond à des pendules à l’unisson de façon instable et avec une réponse périodique instable et la zone IV correspond à une zone de stabilité avec les courbes de réponse en traits continus. Le modèle analytique est ici comparé à une résolution exacte des équations (1) et (2). La réponse des pendules obtenue par l’intermédiaire des modèles analytiques et numériques est présentée sur la figure (4a). Le mode à l’unisson perd sa stabilité à une bifurcation fourche en faveur d’une réponse localisée. Le point de bifurcation BP , théoriquement situé à l’intersection de la courbe noire et de la réponse à l’unisson, est prédit avec précision par le modèle. Après cette bifurcation, la réponse se divise en deux branches de sorte que l’énergie soit localisée sur l’un des deux pendules. Le pendule situé sur la branche supérieure présente une amplitude de mouvement plus grande que ce qui est prédit par le mode à l’unisson, ce qui peut poser problème puisque l’amplitude maximale est limitée par la nature de la trajectoire choisie. La Figure 4 illustre une comparaison de la réponse des pendules, Figure 4a, et de la réponse du support , Figure 4b, obtenues analytiquement et numériquement. Le code de couleur des résultats analytiques est le même que celui utilisé sur la figure 3. Des cercles représentent les résultats numériques. Dans la Figure 4a, l’un des pendules est représenté par des cercles clairs, l’autre par des cercles plus foncés. De nouveau, le modèle analytique permet une prédiction précise de la réponse du support sur ses portions stables, correspondant à la zone IV précédemment illustrée. Etonnamment, des portions pour lesquelles des pendules ne sont pas à l’unisson sont également bien prédites par le modèle, même si le modèle n’utilise que le mode à l’unisson. Ce point est intéressant car il tend à montrer qu’une localisation n’influence pas forcément la dynamique du support. Procédé de conception Selon un autre de ses aspects, l’invention a pour objet un système de transmission pour engin de mobilité comportant un dispositif d’amortissement pendulaire tel que décrit. Selon encore un autre de ses aspects, l’invention a pour objet un Procédé de conception d’un dispositif d’amortissement pendulaire comportant un support et une pluralité de pendules, ledit procédé comportant au moins une étape d’étude du signe de . . Comme cela a été abordé précédemment, un mouvement à l’unisson prévu des pendules peut être décomposé en régimes plus complexes. Lorsque tel est le cas, une désynchronisation engendre un comportement indésirable et d’éventuels problèmes de bruit d’impact en raison d’une localisation d’énergie sur un pendule. Selon les modes de réalisation l’invention propose plusieurs règles de conception permettant d’éviter des instabilités du système. Ledit procédé comporte au moins une étape d’étude du signe de . Comme cela a été abordé précédemment, le comportement de durcissement ou d’assouplissement des pendules est régi par le signe de . Le réglage de ce terme à zéro rend la réponse des pendules linéaire (cf. équations (23) et (24)) de sorte que les limites des zones d’instabilité tendent à l’infini (cf. équations (29) et (30)). En particulier le procédé suit la règle de conception suivante : Physiquement, cette règle signifie que les non-linéarités découlant de la trajectoire et de la rotation se neutralisent pour rendre le système linéaire. A noter que le cas est étudié plus haut : il correspond à une trajectoire épicycloïdale et une fonction de rotation linéaire. La relation (33) peut être représentée par une ligne dans des cartes, ligne qui délimite une région intérieure correspondant à des comportements d’assouplissement alors que la région extérieure correspond à des comportements de durcissement. L’équation (33) est également représentée sur la figure 5, avec d’autres valeurs de donnant des comportements d’assouplissement et de durcissement. Alternativement, le procédé utilise notamment les tangentes verticales et horizontales des courbes de bifurcation (29) et (30). Les ordres correspondants à cette variante sont donnés par : Les indices d et j sont liés respectivement à la désynchronisation et aux sauts de la réponse. La Figure 5 illustre comportement de la réponse en fonction de la valeur de (a) assouplissement, , (b) linéaire, , (c) durcissement, . Les limites des zones de bifurcation dans le cas non amorti sont représentées par des lignes en pointillés. et les paramètres de système sont donnés dans le tableau 1. Les points noirs et gris indiquent les points correspondant respectivement à et . Les losanges noirs et gris indiquent les points correspondant respectivement à et . Les exposants υ et h indiquent respectivement une tangente verticale et une tangente horizontale. Des solutions + et – correspondent respectivement à des comportements de durcissement et d’assouplissement. est l’ossature du mode à l’unisson évalué pour un déplacement nul des pendules (cf. équation (23)). Des points correspondant à l’équation (34) sont représentés par des points et des losanges noirs et gris sur la figure 5. Des tangentes verticales indiquent le niveau minimal de désaccord pour que la réponse devienne instable, alors que des tangentes horizontales indiquent l’amplitude minimale à laquelle la réponse entre dans une zone d’instabilité. A noter que le niveau de couple correspondant à ces tangentes peut être obtenu en utilisant les équations (34), (29), (30) et (24). En s’intéressant aux tangentes verticales, on peut constater que, dans le cas de durcissement, , alors que dans le cas d’assouplissement, ou . Cela signifie que des pendules de durcissement ne présentent pas d’instabilités à condition que (c’est-à-dire qu’ils sont parfaitement accordés ou sur-accordés). De même, des pendules d’assouplissement ne présentent pas d’instabilités à l’unisson à condition que (c’est-à-dire qu’ils sont parfaitement accordés ou sous-accordés). Ces pendules d’assouplissement sont néanmoins très susceptibles de présenter des réponses périodiques instables même s’ils sont parfaitement accordés ou sous-accordés. Cela se produit si , ce qui est le cas en général quand l’amortissement est faible. Ces remarques sont illustrées sur la figure 5 sur laquelle on peut constater que la limite des zones pas à l’unisson (courbes noires) ne croise pas la ligne verticale , alors que la limite de la réponse périodique instable (courbes grises) la croise dans le cas d’assouplissement. En outre, on peut constater, à partir de l’équation (34), que et tendent à , lorsque l’amortissement est réduit. En d’autres termes, la configuration à faible amortissement est la plus critique car un niveau très faible de désaccord peut engendrer une perte de l’unisson. De même, et tendent à lorsque l’amortissement est réduit. Cela est visible sur la sur laquelle la limite des zones d’instabilité correspondant au cas non amorti est représentée par des lignes en pointillés. Trois niveaux d’accord différents (sur-accord, sous-accord et accord parfait des pendules) peuvent également être représentés par des régions d’instabilité dans l’espace de conception sur des cartes, non illustrées dans la présente demande, Une étude expérimentale sur le dispositif d’amortissement pendulaire 100 illustré sur la figure 6 a été réalisée pour évaluer la précision des résultats analytiques et numériques. Ce dispositif d’amortissement pendulaire 100 est du type représenté sur la figure 2. Il comporte un volant servant de support 1 à deux pendules 5 monofilaires identiques conçus spécialement pour présenter une localisation d’énergie. La forme étendue des pendules 5 vise à augmenter leur inertie, ce qui accroît l’impact de rotation. Le support 1 est fixé sur un banc d’inertie en utilisant un système d’adaptation d’inertie . Ainsi, doit être remplacé par l’inertie équivalente dans les développements précédents. Les coefficients d’amortissement sont trouvés expérimentalement. Les paramètres du système sont donnés dans le tableau 2. L’amplitude de mouvement des pendules 5 a été obtenue expérimentalement comme suit : le dispositif d’amortissement pendulaire 100 est centrifugé et un couple d’oscillation est appliqué pendant qu’une caméra rapide enregistre un film du système rotatif. Ensuite, un algorithme de suivi de point est utilisé pour extraire les signaux de pendules du film. Enfin, le signal est décomposé en séries de Fourier pour extraire les amplitudes des pendules des signaux temporels. Cette procédure a été répétée pour quatre amplitudes de couple, , et pour et . Tableau 2 : paramètres du CPVA étudié expérimentalement. Lors de l’étape de mise à l’échelle décrite précédemment, µ a été proposé en tant que le paramètre de perturbation faible de l’analyse de perturbation. Ainsi, on peut choisir , ce qui donne un ordre de grandeur à ne pas dépasser pour chaque paramètre faible. L’invention n’est pas limitée à deux pendules, le dispositif selon l’invention peut comporter un nombre supérieur de pendules. Ceux-ci peuvent être monofilaires ou bifilaires. Dispositif d’amortissement pendulaire (100) pour engin de mobilité comprenant : - un support (1) , - une pluralité de N pendules (5 ) caractérisé en ce que au moins un pendule (5) vérifie l’équation suivante : Dispositif d’amortissement pendulaire selon la revendication 1, au moins un pendule (5) présentant un profil (6) pour rouler sans glisser sur un rouleau ( 7 ) du dispositif. Dispositif d’amortissement pendulaire selon la revendication précédente, le rouleau (7 ) étant fixe par rapport au support (1 ) Dispositif d’amortissement pendulaire selon l‘une quelconque des revendications précédentes, la réponse d’ordre d’au moins un pendule (5) vérifie l’équation suivante : Dispositif d’amortissement pendulaire selon l‘une quelconque des revendications précédentes, comportant deux pendules monofilaires. Dispositif d’amortissement pendulaire selon η est positif, voire 0 0.05 α [1] est positif, voire 0 [1] n p -5 [4] Système de transmission pour engin de mobilité comportant un dispositif d’amortissement pendulaire selon l’une quelconques des revendications précédentes. Procédé de conception d’un dispositif d’amortissement pendulaire comportant un support (1 ) et une pluralité de N pendules ( 5 ) ledit procédé comportant au moins une étape d’étude du signe de . Procédé selon la revendication 8, le coefficient d’accord non linéaire x [4] vérifiant l’équation : (33) Procédé selon la revendication 8, les ordres correspondants étant donnés par : Les indices d et j étant liés respectivement à la désynchronisation et aux sauts de la réponse.