FR 3119001 A1 20220722 FR 2100397 A 20210115 Vide Stabilité dynamique des amortisseurs de vibrations à pendule centrifuge permettant une mobilité rotationnelle Les machines rotatives sont souvent sujettes à des fluctuations de couple, engendrant des vibrations du rotor et provoquant en fin de compte une fatigue prématurée et une pollution sonore. Dans l’industrie automobile, des vibrations du système de transmission générées par les fluctuations de couple d’un moteur thermique peuvent être réduites en utilisant des amortisseurs de vibrations à pendule centrifuge (CPVA). Ces dispositifs passifs sont constitués de plusieurs masses oscillant le long d’une trajectoire donnée par rapport au rotor. Des études précédentes ont révélé que la dynamique de ces dispositifs est sujette à des instabilités. Dans le présent document, la stabilité dynamique d’une nouvelle catégorie de CPVA est étudiée. La particularité de cette nouvelle catégorie est que des masses admettent désormais un mouvement de rotation significatif par rapport au rotor, en plus du mouvement de translation traditionnel. Le rendement de tels dispositifs est optimal pour un mouvement synchrone parfait de masses oscillantes. Néanmoins, en raison de non-linéarités, l’unisson de masses peut être rompu au profit d’une localisation d’énergie sur un amortisseur donné, ce qui engendre une perte d’efficacité d’atténuation. Pour évaluer la stabilité de tels dispositifs, un modèle dynamique basé sur une méthode de perturbation analytique est établi. Le but de ce modèle est de prédire analytiquement une localisation et des sauts de la réponse. La validité du modèle a été confirmée par comparaison à la fois à une résolution numérique de la dynamique du système et à une étude expérimentale. 1. Introduction Dans le cadre de la réduction d’émissions polluantes et de la consommation de carburant de véhicules à moteurs thermiques, des fabricants automobiles essaient de réduire la cylindrée et le régime du moteur. Ces évolutions conduisent à une augmentation significative d’irrégularités de rotation appelées « acyclismes », principalement en raison d’une pression de combustion supérieure. L’une des caractéristiques principales de ces moteurs alternatifs est la dépendance linéaire de la fréquence d’acyclisme au régime moyen du moteur. Le coefficient de proportionnalité est appelé l’ordre de moteur (ou d’allumage) et dépend uniquement de l’architecture du moteur. Pour les moteurs à quatre temps, l’ordre de moteur est la moitié du nombre de cylindres. Au cours de la phase d’accélération, le moteur balaye une large plage de fréquences contenant certains modes de torsion de chaîne cinématique. Cette situation peut engendrer des niveaux significatifs de bruit et de vibrations dans l’habitacle et une usure prématurée des composants de chaîne cinématique. Des amortisseurs de vibrations à pendule centrifuge (CPVA) sont utilisés depuis de nombreuses années pour minimiser les acyclismes de groupes motopropulseurs automobiles au niveau de l’ordre de moteur. Ces dispositifs passifs se composent de masses oscillantes (pendules) en mouvement le long de trajets particuliers par rapport à une inertie primaire (support) comme cela est représenté sur la . Le principe de fonctionnement du CPVA est celui d’un amortisseur à masse accordée dont la rigidité est proportionnelle au régime moyen du moteur. Celui lui permet de rester accordé à l’ordre de moteur pour réduire des vibrations de torsion du support. Les CPVA présentent des non-linéarités fortes : des non-linéarités géométriques en raison de la grande amplitude de mouvement, et des non-linéarités inertielles, par exemple en raison de l’effet de Coriolis. La réponse non linéaire d’un CPVA est fortement affectée par le choix de la trajectoire du pendule. D. E. Newland a observé très tôt que des trajectoires circulaires peuvent donner des réponses périodiques instables, ce qui engendre des sauts de la réponse [1]. Depuis les travaux de H. H. Denman, les trajectoires préférées sont des épicycloïdes parce qu’elles rendent le CPVA presque tautochrone [2]. En raison de leur symétrie cyclique, les CPVA sont sujets à des phénomènes de localisation d’énergie non linéaire. De telles situations, susceptibles de réduire le rendement des absorbeurs, ont été étudiées par S. Shaw et al [3, 4, 5, 6, 7] dans le cas de pendules translatés, c’est-à-dire de pendules qui ne tournent pas par rapport au support. Jusqu’à récemment, de tels pendules étaient les seuls à être utilisés dans l’industrie. Néanmoins, A. Renault et M. A. Acar ont montré que l’ajout d’une mobilité rotationnelle des pendules peut engendrer une augmentation significative de l’efficacité d’atténuation [8, 9]. Le présent document est destiné à étudier la stabilité des CPVA dotés de pendules pouvant tourner par rapport au support. Le présent document est organisé selon la structure suivante. Le chapitre 2 décrit la modélisation des CPVA. Le chapitre 3 présente une étude linéaire des CPVA, jetant les bases de l’analyse non linéaire. Cette analyse non linéaire commence au chapitre 4, auquel l’équation de pendule simplifiée est établie. Cette équation est résolue au chapitre 5 et sa stabilité est évaluée. Le chapitre 6 présente une étude de cas des développements antérieurs. Une validation numérique du modèle est présentée et une visualisation originale de la stabilité dans l’espace de conception est introduite. Des règles de conception sont proposées au chapitre 7. Une validation expérimentale est menée au chapitre 8 et les limites du modèle sont mises en évidence au chapitre 9. Le présent document se termine par une conclusion au chapitre 10. 2. Modélisation Le système étudié est représenté. Il comporte un volant d’inertie J r tournant autour de son centre O. Sa position angulaire totale est où t est le temps, Ω est la vitesse de rotation moyenne du volant et θ correspond à la partie de fluctuation de la rotation. Un couple est appliqué à ce volant, où représente la position angulaire totale du volant, c’est-à-dire . peut être décomposé en un couple constant et un couple périodique . Le couple constant s’équilibre avec le couple découlant de l’amortissement du volant, en donnant ainsi la vitesse de rotation moyenne Ω. Dans le modèle, un amortissement visqueux linéaire équivalent est utilisé pour le volant. N pendules de masse et d’inertie (autour de leur centre de gravité) oscillent sur leur trajectoire . Leur position sur ces trajectoires est donnée par l’abscisse curviligne et leur distance du centre de rotation du volant est . La dimension caractéristique représente la position des pendules au repose (lorsque de sorte qu’ils soient parfaitement centrifugés). En plus du mouvement de translation traditionnel, la présente étude considère que les pendules tournent par rapport au volant selon la fonction de rotation . Comme pour le volant, un amortissement visqueux linéaire équivalent est utilisé pour modéliser l’amortissement entre le volant et le i ème pendule. Les pendules et leurs fonctions associées de trajectoire et de rotation sont considérés ci-après comme étant identiques et l’indice « i » est donc abandonné en ce qui concerne les paramètres des pendules. En utilisant la relation entre le couple moyen, l’amortissement du volant et la vitesse de rotation moyenne, , en introduisant les paramètres et variables non dimensionnels : où représente une dérivation par rapport à . Il est choisi d’exprimer les fonctions de trajectoire et de rotation sous forme de polynômes tels que : où est l’ordre d’accord des pendules et sont des coefficients de trajectoire et de rotation. A noter que, dans le cas de , les trajectoires des pendules sont des épicycloïdes, qui correspondant à la trajectoire tautochrone pour . Il est désormais supposé que la fluctuation de couple appliquée au volant ne contient qu’une harmonique dont la forme non dimensionnelle est , où n est l’ordre de moteur. Pour un moteur de voiture, n correspond au nombre de courses par tour du vilebrequin. A ce stade, n’est pas un terme de forçage périodique mais un terme non linéaire car il dépend de θ. Deux méthodes sont proposées ci-après pour le transformer en un terme de forçage périodique. Méthode 1 . On peut utiliser le changement de variable indépendante proposé par S. Shaw et al [10] pour transformer directement en un terme de forçage périodique. Ce choix est motivé par le fait que les explosions d’un moteur de voiture ne dépendent pas du temps mais de la position angulaire du vilebrequin (qui est identique à celle du volant). Bien qu’elle ajoute des non-linéarités au système, cette méthode est intéressante en ce qu’elle ne nécessite pas d’hypothèse, ce qui maintient les équations exactes. Méthode 2 . Une autre méthode consiste à exprimer la fluctuation de couple en fonction de pour écrire où est la fréquence angulaire de l’acyclisme. Pour un moteur de voiture, la fréquence d’excitation doit correspondre au nombre de courses par seconde, ce qui donne où fait référence à une dérivation par rapport au temps. On peut supposer que la fluctuation de vitesse de rotation du vilebrequin est largement inférieure à la vitesse de rotation moyenne, c’est-à-dire . Il s’ensuit que , ce qui engendre une transformation banale du couple en un terme de forçage périodique. 3. Vibrations linéaires du système Dans le présent chapitre, une analyse linéaire du système est effectuée. Après la transformation du couple externe en un terme de forçage périodique selon la méthode 2 (cf. chapitre précédent), on peut linéariser les équations (1) et (2) puis utiliser une propriété de matrices en pointe de flèche [11] pour trouver que les valeurs propres et les vecteurs propres du système sont : est l’ordre d’accord efficace, est le coefficient de rotation linéaire et l’exposant T indique la transposition. est un mode de corps rigide pour lequel uniquement le volant est excité. sont N - 1 modes dégénérés pour lesquels les pendules i et i + 1 sont déphasés alors que les autres modules sont immobiles (i = 1, …, N-1). Ils sont associés à la valeur propre n 10 , qui a une multiplicité N – 1 et le volant est un nœud de ces modes. A noter que, dans le cas N = 2, n’est pas dégénéré et correspond simplement à un mouvement déphasé des pendules. est un mode pour lequel les pendules se déplacent à l’unisson mais en opposition de phase par rapport au volant. correspond à l’ordre propre des pendules dans le cas , et il est lié à l’ordre d’accord de sorte que : Lorsqu’une fluctuation de couple est appliquée au volant, les pendules génèrent une antirésonance à l’ordre (dans le cas conservateur). Ainsi, pour une fluctuation de couple d’ordre n, il faut choisir pour minimiser les vibrations du volant (ce qui peut être étendu au cas non conservateur puisque l’amortissement est faible). Le présent chapitre propose une analyse linéaire des CPVA. Néanmoins, on peut constater à partir des équations (1) et (2) que la dynamique du système est sujette à plusieurs sources de non-linéarité. Un modèle analytique permettant la visualisation et la prédiction de phénomènes non linéaires va être dérivé ci-après. 4. Simplification des équations D’après S. Shaw et al [4, 7, 12], la construction du modèle commence par une mise à l’échelle des paramètres, permettant une simplification des équations de mouvement de sorte que la dynamique des pendules devienne découplée de celle du volant. Puisqu’il est considéré que le déplacement des pendules est faible, les fonctions de trajectoire et de rotation (3) sont tronquées de sorte que : soit utilisé dans les calculs suivants. Ces fonctions sont censées être symétriques (respectivement antisymétriques) par rapport à s i = 0 comme tel est le cas en pratique en raison de contraintes de conception. La fluctuation de la rotation du volant est a priori constituée de plusieurs harmoniques de sorte qu’elle puisse être étendue comme suit : Où et sont respectivement les première et deuxième harmoniques, et HOT signifie Higher Order Terms (termes d’ordre supérieur). 4.1 Mise à l’échelle Dans le présent paragraphe, le but est de mettre à l’échelle le poids de certains paramètres et de certaines variables afin de capturer les phénomènes physiques souhaités. Les hypothèses et les remarques suivantes régissent la mise à l’échelle : • la configuration optimale du système correspond à un faible amortissement (à la fois du volant et des pendules) ; de cette manière, l’amplitude de vibration du volant à son antirésonance est très faible ; • la fluctuation de couple est faible par rapport à l’énergie cinétique du volant (qui est à l’équilibre) ; cela implique que est petit ; • l’inertie géométrique totale des pendules autour du point O, , est considérée comme étant faible par comparaison à l’inertie du système de rotation total, , de sorte que µ soit petit ; • l’inertie du volant étant significative, la fluctuation de vitesse de rotation est faible par comparaison à la vitesse de rotation moyenne ; à noter que cette hypothèse a déjà été adoptée au chapitre 3 pour transformer le couple externe en une excitation périodique ; • l’amplitude de mouvement des pendules est faible par comparaison à leur distance du centre de rotation O, de sorte que soit petit ; • la fonction de trajectoire choisie (cf. équation (6)) est une épicycloïde perturbée par ; la perturbation étant considérée comme étant faible, est a priori petit ; • la fonction de rotation choisie (cf. équation (6)) diffère d’une rotation linéaire par le terme ; la rotation étant considérée comme étant principalement linéaire, est a priori petit. D’après ce qui précède, en introduisant le petit paramètre , les paramètres mis à l’échelle suivants sont introduits : où et sont des coefficients de mise à l’échelle à déterminer. Pour donner une signification physique à , on peut choisir de régler . 4.2 Dynamique du volant Le but ici est d’obtenir une équation régissant la dynamique du volant en fonction du couple du pendule et du couple externe. En introduisant les fonctions de trajectoire et de rotation (6), la forme étendue de θ (7) et les paramètres mis à l’échelle (8) dans l’équation (1) du volant et en réglant , on peut écrire : A noter que le couple externe a été transformé en un terme de forçage périodique en utilisant la méthode 2 (cf. chapitre 2). L’équation (9) utilise l’équation du pendule au premier ordre (en supposant ). L’équation (9) est similaire à celle obtenue si le changement de variable indépendante a été utilisé. Les deux différences sont que (•)’ représente une dérivation par rapport à et que le terme de couple est . Néanmoins, en utilisant la règle de la chaîne, on peut observer que : de sorte que, à l’ordre retenu à l’équation (9), des dérivées par rapport à et sont équivalentes. En outre, en étendant le terme de couple, on peut remarquer que : Cela signifie que, à l’ordre retenu à l’équation (9) et en supposant que , il est équivalent de transformer le couple en un terme de forçage périodique en utilisant le changement de variables indépendantes (cf. méthode 1 au chapitre 2) ou en supposant que (cf. méthode 2 au chapitre 2). 4.3 Dynamique du pendule Le but ici est de découpler la dynamique du pendule de celle du volant. Pour cela, l’équation (9) réduite du volant est introduite dans l’équation (2) du pendule. Ensuite, en utilisant les fonctions de trajectoire et de rotation (6) et en choisissant l’ensemble de coefficients de mise à l’échelle suivant : l’équation du pendule se réduit à : L’ensemble de paramètres de mise à l’échelle a été choisi pour découpler l’équation du pendule de la dynamique du volant tout en conservant l’effet des non-linéarités découlant des fonctions de trajectoire et de rotation. L’équation (13) contient l’influence du couple externe, le couplage entre les pendules à travers la somme sur N, et les non-linéarités découlant à la fois de la trajectoire et de la rotation. Il est également intéressant de remarquer que, puisque les pendules sont identiques et couplés, le système présente des résonances internes 1:1 [13, 14]. Les équations (13) sont faiblement couplées parce que les pendules sont couplés indirectement à travers le volant et leur effet sur le volant est faible puisque leur inertie relative est faible [12]. En outre, ces équations sont faiblement non linéaires parce qu’il est supposé que est petit et les fonctions de trajectoire et de rotation choisies (cf. équation (6)) sont proches d’une épicycloïde et d’une rotation linéaire, ce qui donne un comportement linéaire pour de petites fluctuations de la vitesse de rotation. A noter que l’hypothèse et le choix des paramètres de mise à l’échelle dans cette étude permettent d’étudier exclusivement l’effet des non-linéarités dues à des fonctions de trajectoire et de rotation. D’autres sources de non-linéarités, comme celles découlant du couplage entre le volant et les pendules, sont omises dans la présente étude. Pour tenir compte de celles-ci, d’autres hypothèses peuvent être formulées, comme tel est le cas dans [3] par exemple. 5. Résolution des équations réduites et analyse de stabilité 5.1 Application de la méthode à échelles multiples Dans la présente étude, il a été choisi de résoudre les équations réduites des pendules en utilisant la méthode à échelles multiples [15]. Deux échelles de rotation sont introduites, et . Comme cela a été précédemment effectué pour le volant, le déplacement des pendules est étendu de sorte que : où et représentent respectivement les première et troisième harmoniques. En introduisant l’équation (14) dans l’équation (13), on obtient une solution pour sous la forme de : où et sont régis par le système à 2N équations : et sont des vecteurs contenant respectivement et , et D 1 représente une dérivation par rapport à . Les fonctions et sont données par : où σ est un terme de désaccord tel que . Dans le cadre de l’étude présentée dans le présent document, unique le régime d’état constant est pris en compte. Ceci implique que l’amplitude et la phase des pendules par rapport à l’excitation sont invariables dans le temps, de sorte que : où représente le déphasage du pendule i par rapport à l’excitation et prend la forme de . En utilisant ce déphasage, la réponse au premier ordre peut être écrite sous la forme plus classique suivante : L’introduction de l’équation (19) et de dans l’équation (16) donne : est un vecteur contenant . et sont respectivement et , exprimés en termes de coordonnées et . Le système (21) doit être résolu pour déterminer la réponse du pendule. 5.2 Réduction à un mode unique Il a été observé au chapitre 3 que, dans un régime linéaire, un mode unique participe à la réponse des pendules. Ce mode linéaire, , est appelé « mode à l’unisson » car il décrit un mouvement avec lequel tous les pendules ont la même amplitude et la même phase. Puisque le comportement pris en compte dans le présent chapitre est faiblement non linéaire, on peut s’attendre à ce que les pendules se déplacent à l’unisson. Il est donc supposé que : En introduisant l’équation (22) dans l’équation (21), on peut trouver la réponse d’ordre implicite suivante des pendules à l’unisson : L’ossature du mode à l’unisson non linéaire peut être déduite de l’équation (23) en tant que : . Il est intéressant de remarquer que le comportement de durcissement ou d’assouplissement des pendules est régi par le signe de . Cette propriété va être ultérieurement utilisée pour spécifier des règles de conception (cf. chapitre 7). En introduisant l’équation (22) dans l’équation (21), on peut également trouver la réponse d’amplitude implicite suivante : Le calcul de la réponse d’amplitude permet d’accéder à la réponse de phase, donnée par : Ensuite, en utilisant les résultats pour et et l’équation (9) réduite du volant, on peut calculer l’amplitude des deux premières harmoniques du volant aux ordres retenus, comme suit : L’équation (27) indique que les effets non linéaires induits par les pendules génèrent des harmoniques d’ordre supérieur du volant (à l’ordre retenu, uniquement la 2 ème harmonique est présente). 5.3 Analyse de stabilité La stabilité de la réponse va maintenant être évaluée. Tout d’abord, la jacobienne J du système (16) est calculée, en donnant une matrice circulante de blocs 2N x 2N comme suit : Ensuite, J est évalué pour un mouvement d’état constant du système en utilisant l’équation (19). Les 2N valeurs propres de J sont données par les 2 valeurs propres de avec une multiplicité N – 1 et les 2 valeurs propres de [16]. Des changements de stabilité surviennent lorsque la partie réelle d’au moins l’une des valeurs propres de J change de signe. Parce que la trace de et est toujours négative, ces changements de stabilité sont donnés par ou . Ces deux déterminants indiquent des instabilités de nature différente. En considérant brièvement qu’il n’y a qu’un seul pendule, c’est-à-dire N = 1, les changements de stabilité sont donnés uniquement par . Cela correspond à une solution périodiquement instable engendrant un saut de l’amplitude de mouvement du pendule sur une autre branche de réponse [17]. Des instabilités données par surviennent lorsque plusieurs pendules sont pris en compte, et elles sont donc liées à une perte de l’unisson [4]. L’amplitude critique de la réponse des pendules pour laquelle la stabilité de l’unisson change est calculée en utilisant et la condition de l’unisson (22), ce qui donne : où l’indice d fait référence à une « désynchronisation ». De la même manière, des amplitudes critiques pour lesquelles la stabilité de la réponse périodique change sont données par : où l’indice j fait référence à un « saut ». Il est intéressant de remarquer que les amplitudes critiques et tendent à l’infini car tend à zéro. En outre, ces amplitudes sont indépendantes de l’amplitude de forçage . 6. Etude de cas et validation numérique Les développements précédents vont être maintenant appliqués à un système de deux pendules. Le but est de présenter les actifs principaux du modèle analytique et de les comparer à une résolution (numérique) exacte des équations de mouvement (1) et (2) en tant qu’une première validation. Pour effectuer la résolution numérique, le changement de variable indépendante est introduit dans les équations (1) et (2) pour transformer le couple en un terme de forçage périodique tout en maintenant les équations exactes (cf. méthode 1 au chapitre 2). Les équations obtenues sont intégrées numériquement en utilisant un algorithme de Runge-Kutta jusqu’à ce que l’état constant soit atteint. Ensuite, les amplitudes des signaux sont obtenues par l’intermédiaire d’une décomposition en séries de Fourier. Le CPVA étudié dans le présent chapitre est représenté sur la figure 2 et ses paramètres sont donnés dans le tableau 1. Son ordre d’accord bas le rend bien adapté au filtrage de vibrations découlant d’une désactivation de cylindres. Le CPVA est constitué de deux pendules monofilaires (un seul est représenté sur la figure 2). Le profil d’un pendule roule sans glisser sur un rouleau de rayon r 1 (fixe sur le volant). La forme du profil permet de commander la trajectoire suivie par le centre de gravité du pendule. Pour de tels pendules, la fonction de rotation est régie par la géométrie fonctionnelle. Les deux premiers coefficients de rotation sont : Tableau 1 : paramètres du CPVA étudie dans le présent chapitre. 6.1. Evaluation de la stabilité en fonction d’un désaccord En pratique, l’ordre d’excitation est fixe de sorte que n = cte. Néanmoins, des pendules peuvent ne pas être accordés exactement à l’excitation. Ce désaccord peut être volontaire ou il peut découler d’imperfections matérielles. Dans tous les cas, la variation de l’ordre d’excitation est similaire à l’introduction d’un désaccord (à condition que les désaccords des pendules soient identiques) et il est donc pertinent d’étudier l’effet du désaccord sur la réponse du système [18]. La réponse d’ordre des pendules à l’unisson et leur stabilité sont représentées sur la pour plusieurs amplitudes de couple. La flexion de la réponse indique que des pendules présentent un comportement de durcissement. Les zones de bifurcation (unisson instable en rouge et réponse périodique instable en bleu), délimitées par les courbes de bifurcation (29) et (30), sont représentées. La zone correspondant simultanément à l’unisson instable et aux réponses périodiques instables est représentée en violet, alors que les réponses stables sont représentées en vert. Le même code de couleur est utilisé dans l’ensemble du présent document. Pour de petites amplitudes de couple, la réponse est presque linéaire de sorte qu’aucun changement de stabilité ne survienne. Au fur et à mesure de l’augmentation de l’amplitude de couple, la réponse à l’unisson croise les courbes de bifurcation, ce qui engendre un état de stabilité différent. 6.2. Visualisation de la stabilité dans l’espace de conception Une visualisation originale de la stabilité des pendules dans l’espace de conception va être maintenant présentée. Cet espace permet d’évaluer la stabilité des pendules du même type mais avec des ensembles de paramètres différents . Dans le cas général, il s’agit d’un espace 3D. Néanmoins, pour le CPVA représenté sur la figure 2, la rotation est imposée par la géométrie fonctionnelle, ce qui amène à être lié à . En outre, en raison de contraintes d’espace, il est pratique d’évaluer des conceptions pour une valeur fixe du rapport . Ainsi, en utilisant les équations (31) et (32), on peut obtenir en fonction de , ce qui réduit l’espace de conception à un espace 2D. Cette méthode est utilisée pour représenter la stabilité de pendules du même type que ce qui est illustré sur la figure 2 sous la forme de cartes, comme cela est indiqué sur la figure 4. Chaque carte est représentée pour une amplitude donnée et un ordre d’excitation donné. Des couleurs représentent la stabilité (le code de couleur est le même que celui précédemment utilisé). La ligne noire représente des conceptions pour lesquelles les valeurs de et rendent le système linéaire (cf. chapitre 7). La signification des régions hachurées va être définie par la suite. Le point noir correspond à la conception représentée sur la figure 3 de sorte qu’il soit fixe dans l’espace de conception. Cette conception spécifique passe par plusieurs états de stabilité au fur et à mesure de l’augmentation de l’amplitude de mouvement. Cela est déjà observable sur la figure 3 avec n = 0,63. Le but de la représentation dans l’espace de conception est d’identifier des conceptions susceptibles ou pas de présenter des instabilités. Par exemple, la région centrale supérieure délimitée par la courbe noire sur les cartes reste stable dans la plage d’amplitudes représentée. Cette remarque va être approfondie au chapitre 7. A noter qu’un artefact semble apparaître sur les cartes autour de . Néanmoins, ceci correspond simplement à une valeur de pour laquelle r 1 tend à zéro, ce qui amène à tendre à . Au-dessus de cette valeur de seuil de , r 1 est négatif, ce qui est non physique (pour rappel, r 1 est un rayon et il ne peut donc pas être négatif). De même, r 1 est négatif pour . Les régions hachurées correspondent donc à des conceptions non réalisables. 6.3. Comparaison à un modèle numérique Dans le présent chapitre, le modèle analytique est comparé à une résolution exacte des équations (1) et (2). La réponse des pendules obtenue par l’intermédiaire des modèles analytiques et numériques est présentée sur la figure (5a). Comme cela a été observé dans le cas d’amortisseurs avec un mouvement de translation pur [18], le mode à l’unisson perd sa stabilité à une bifurcation en fourche en faveur d’une réponse localisée. Le point de bifurcation, théoriquement situé à l’intersection de la courbe noire et de la réponse à l’unisson, est prédit avec précision par le modèle. Après cette bifurcation, la réponse se divise en deux branches de sorte que l’énergie soit localisée sur l’un des deux pendules. Le pendule situé sur la branche supérieure présente une amplitude de mouvement plus grande que ce qui est prédit par le mode à l’unisson, ce qui peut poser problème puisque l’amplitude maximale est limitée par la nature de la trajectoire choisie. Ceci étant dit, on peut constater sur la figure 5(a) que la branche supérieure est proche de la réponse à l’unisson (instable). Ainsi, le risque d’atteindre l’amplitude maximale n’est pas significativement accru par la localisation. Le saut situé à est également bien prédit par le modèle. La différence à la fois de phase et d’amplitude des réponses localisées des pendules est visible sur les signaux temporels donnés sur la (a). La (b) représente une comparaison de la réponse du volant obtenue par l’intermédiaire des modèles analytique et numérique. De nouveau, le modèle analytique permet une prédiction précise de la réponse du volant sur ses portions stables (vertes). Etonnamment, des portions pour lesquelles des pendules ne sont pas à l’unisson sont également bien prédites par le modèle, même si le modèle n’utilise que le mode à l’unisson. Ce point est intéressant car il tend à montrer qu’une localisation n’influence pas forcément la dynamique du volant. En s’intéressant à la réponse de , on peut constater que la non-linéarité a déplacé l’antirésonance au point qu’elle ne corresponde pas à l’ordre d’accord linéaire . Ce problème est envisagé dans [19]. La distorsion de découlant de la présence de (et dans une moindre mesure, d’harmoniques supérieures) peut être constatée sur la (b). D’autres ensembles de paramètres de système peuvent conduire à des solutions plus compliquées que celles présentées sur la . Par exemple, la représente la réponse des pendules pour un amortissement inférieur à celui des simulations précédentes, les autres paramètres restant inchangés. Comme sur la , la réponse se divise en deux branches à travers une bifurcation en fourche. Ces branches se décomposent en trois parties. Des réponses localisées peuvent être sujettes à des instabilités, comme des sauts de la réponse [6, 7], ce qui explique la discontinuité observée autour de n = 0,55. Entre n ≈ 0,59 et n ≈ 0,65, aucun résultat numérique n’est présenté parce que les signaux temporels correspondants ne sont pas périodiques. Deux de ces signaux temporels sont représentés sur la . La (a) représente une solution pour laquelle une localisation d’énergie est visible mais l’amplitude des deux pendules est modulée. De telles solutions quasi-périodiques apparaissent à travers des bifurcations de Neimark-Sacker [18]. La solution quasi-périodique représentée sur la (b) semble mettre en évidence des échanges d’énergie entre les deux pendules, ce qui amène la réponse à être localisée successivement sur chaque pendule. 7. Règles de conception Comme cela a été abordé dans les chapitres précédents, un mouvement à l’unisson prévu des pendules peut être décomposé en régimes plus complexes. Lorsque tel est le cas, une désynchronisation engendre un comportement indésirable et d’éventuels problèmes de bruit d’impact en raison d’une localisation d’énergie sur un pendule. Le présent chapitre propose plusieurs règles de conception permettant d’éviter des instabilités du système. Comme cela a été abordé au chapitre 5.2, le comportement de durcissement ou d’assouplissement des pendules est régi par le signe de . Le réglage de ce terme à zéro rend la réponse des pendules linéaire (cf. équations (23) et (24)) de sorte que les limites des zones d’instabilité tendent à l’infini (cf. équations (29) et (30)). Il est donc proposé la règle de conception suivante : Physiquement, cette règle signifie que les non-linéarités découlant de la trajectoire et de la rotation se neutralisent pour rendre le système linéaire. A noter que le cas spécial est celui étudié au chapitre 3 : il correspond à une trajectoire épicycloïdale et une fonction de rotation linéaire. La relation (33) est représentée par une ligne noire dans les cartes de la figure 4 et de la figure 10. La région intérieure délimitée par cette ligne correspond à des comportements d’assouplissement alors que la région extérieure correspond à des comportements de durcissement. Pour de grandes amplitudes de mouvement, les régions d’instabilité ont tendance à suivre la courbe noire. Cette remarque intéressante va être approfondie dans la suite du présent chapitre. L’équation (33) est également représentée sur la figure 9, avec d’autres valeurs de donnant des comportements d’assouplissement et de durcissement. Si l’équation (33) ne peut pas être résolue, d’autres recommandations peuvent être proposées. Ces recommandations utilisent les tangentes verticales et horizontales des courbes de bifurcation (29) et (30), dont les ordres correspondants sont donnés par : Les indices d et j sont liés respectivement à la désynchronisation et aux sauts de la réponse. comportement de la réponse en fonction de la valeur de x [4] (a) assouplissement, x [4] =4.2, (b) linéaire, x [4] = - 0.0561, (c) durcissement, x [4] = - 4.2. Les limites des zones de bifurcation dans le cas non amorti sont représentées par des lignes en pointillés. T 1 = 0.01 et les paramètres de système sont donnés dans le tableau 1. Le code de couleur est le même que celui utilisé sur la . Les points noirs et gris indiquent les points correspondant respectivement à n d (v)i et n j (v)i . Les losanges noirs et gris indiquent les points correspondant respectivement à n d (h)i et n j (h)i . Les exposants υ et h indiquent respectivement une tangente verticale et une tangente horizontale. Des solutions + et – correspondent respectivement à des comportements de durcissement et d’assouplissement. est l’ossature du mode à l’unisson évalué pour un déplacement nul des pendules (cf. équation (23)). Des points correspondant à l’équation (34) sont représentés par des points et des losanges noirs et gris sur la figure 9. Des tangentes verticales indiquent le niveau minimal de désaccord pour que la réponse devienne instable, alors que des tangentes horizontales indiquent l’amplitude minimale à laquelle la réponse entre dans une zone d’instabilité. A noter que le niveau de couple correspondant à ces tangentes peut être obtenu en utilisant les équations (34), (29), (30) et (24). En s’intéressant aux tangentes verticales, on peut constater que, dans le cas de durcissement, , alors que dans le cas d’assouplissement, ou . Cela signifie que des pendules de durcissement ne présentent pas d’instabilités à condition que (c’est-à-dire qu’ils sont parfaitement accordés ou sur-accordés). De même, des pendules d’assouplissement ne présentent pas d’instabilités à l’unisson à condition que (c’est-à-dire qu’ils sont parfaitement accordés ou sous-accordés). Ces pendules d’assouplissement sont néanmoins très susceptibles de présenter des réponses périodiques instables même s’ils sont parfaitement accordés ou sous-accordés. Cela se produit si , ce qui est le cas en général quand l’amortissement est faible. Ces remarques sont illustrées sur la figure 9 sur laquelle on peut constater que la limite des zones pas à l’unisson (courbes noires) ne croise pas la ligne verticale , alors que la limite de la réponse périodique instable (courbes grises) la croise dans le cas d’assouplissement. Ces résultats sont conformes à ceux en tenant compte de pendules purement translatés non amortis [7]. En outre, on peut constater, à partir de l’équation (34), que et tendent à , lorsque l’amortissement est réduit. En d’autres termes, la configuration à faible amortissement est la plus critique car un niveau très faible de désaccord peut engendrer une perte de l’unisson. De même, et tendent à lorsque l’amortissement est réduit. Cela est visible sur la sur laquelle la limite des zones d’instabilité correspondant au cas non amorti est représentée par des lignes en pointillés. Comme cela a été précédemment constaté, les cartes présentées sur la figure 4 indiquent que les régions d’instabilité ont tendance à suivre la ligne noire correspondant à l’équation (33) sans la traverser. La situation illustrée dans ces cartes correspond à , avec n suffisamment grand pour que seulement des pendules de durcissement présentent des instabilités, ce qui explique pourquoi les régions d’instabilité sont contenues dans la zone extérieure délimitée par la ligne noire. De plus, les régions d’instabilité tendent vers la ligne noire parce que, pour de grandes amplitudes de mouvement, la réponse peut être instable uniquement si les amplitudes critiques décrites par les équations (29) et (30) sont grandes. Ces amplitudes critiques augmentent avec la réduction de la non-linéarité, ce qui explique pourquoi les régions d’instabilité s’approchent de la ligne noire à de grandes amplitudes de mouvement. En effet, on peut constater que, lorsque , les amplitudes critiques et (cf. équations (29) et (30)) tendent à l’infini. Trois niveaux d’accord différents (sur-accord, sous-accord et accord parfait des pendules) sont représentés dans l’espace de conception sur la pour illustrer les développements précédents. Pour des pendules sur-accordés, les régions d’instabilité sont contenues dans la zone intérieure délimitée par la courbe noire. Pour des pendules largement sous-accordés, ces zones d’instabilité sont limitées à la région extérieure délimitée par la courbe noire. Enfin, pour un accord parfait, uniquement des instabilités de la réponse périodique de pendules d’assouplissement peuvent survenir. Figure 10 : représentation de la stabilité dans l’espace de conception pour trois niveaux d’accord différents : n = 0,4 (sur-accordage), n = 0,6 (sous-accordage) et n = 0,5 (accordage parfait). Les autres paramètres de système sont donnés dans le tableau 1. Le code de couleur est le même que celui utilisé sur la figure 3. La courbe noire représente des conceptions rendant un comportement linéaire. Chaque carte est représentée pour et . 8. Validation expérimentale Une étude expérimentale sur le CPVA affiché sur la figure 11 a été réalisée pour évaluer la précision des résultats analytiques et numériques. Ce CPVA est du type représenté sur la figure 2. Il se compose de deux pendules monofilaires identiques conçus spécialement pour présenter une localisation d’énergie. La forme étendue des pendules vise à augmenter leur inertie, ce qui accroît l’impact de rotation. Le rotor est fixé sur un banc d’inertie en utilisant un système d’adaptation d’inertie . Ainsi, doit être remplacé par l’inertie équivalente dans les développements précédents. Les coefficients d’amortissement sont trouvés expérimentalement. Les paramètres du système sont donnés dans le tableau 2. L’amplitude de mouvement des pendules a été obtenue expérimentalement comme suit : le CPVA est centrifugé et un couple d’oscillation est appliqué pendant qu’une caméra rapide enregistre un film du système rotatif. Ensuite, un algorithme de suivi de point est utilisé pour extraire les signaux de pendules du film. Enfin, le signal est décomposé en séries de Fourier pour extraire les amplitudes des pendules des signaux temporels. Cette procédure a été répétée pour quatre amplitudes de couple, , et pour et . Une comparaison des résultats expérimentaux aux modèles analytiques et numériques est représentée sur la figure 12. Pour , les amplitudes des pendules obtenues expérimentalement sont significativement différentes. Ceci indique une localisation d’énergie, conformément aux solutions analytiques et numériques. La précision des branches localisées obtenues numériquement n’est pas extrêmement bonne car les losanges ne se superposent pas sur les cercles. En ce qui concerne la branche supérieure, la différence entre les points expérimentaux et numériques est pratiquement conforme aux erreurs de mesure. Néanmoins, la différence entre les points numériques et expérimentaux sur la branche inférieure est assez grande. Ceci s’explique principalement par le fait que, pour des amplitudes très petites, les enregistrements des signaux temporels des pendules ont été très bruyants, à tel point que la décomposition en séries de Fourier a été imprécise. C’est pourquoi aucune incertitude avec n’est représentée pour les deux points inférieurs. Les discontinuités sur les branches localisées observées autour de T 1 = 5,3 [Nm] et T 1 = 6,5 [Nm] sont dues à un saut de la réponse, comme cela a été précédemment observé sur la . Les points de mesure à T 1 = {10, 12} [Nm] correspondent bien aux résultats numériques. La légère différence d’amplitude au dernier point de mesure n’est pas attribuée à un phénomène non linéaire mais à de petits défauts matériels, un mouvement imparfait de « roulement sans glissement » de l’un des pendules ou un état constant pas encore établi. Le modèle analytique, même s’il donne des résultats qualitatifs très bons (la localisation est trouvée à l’endroit prévu), surestime un peu l’amplitude à l’unisson et prédit les deux points de bifurcation un peu trop tôt. Cela met en évidence les limites du modèle dont la plage de validité est abordée au chapitre suivant. Tableau 2 : paramètres du CPVA étudié expérimentalement. 9. Limites du modèle Ce chapitre porte sur la plage de validité du modèle analytique. A cet effet, on peut remarquer que l’ossature du mode à l’unisson (cf. chapitre 5.2) évaluée pour un déplacement nul des pendules est une expansion de Taylor de la valeur propre linéaire n 20 (cf. équation (4)) par rapport à µ, de sorte que : où l’ossature ne contient que les deux premiers termes. Pour que le modèle analytique soit précis, le troisième terme doit être négligeable. L’équation (35) permet d’écrire une condition approximée de µ de sorte que l’erreur relative sur l’ossature à a = 0 ne dépasse pas χ %. Elle est donnée par : : comparaison des résultats analytiques, numériques et expérimentaux. Des cercles bleus et oranges représentent les résultats numériques (obtenus avec des balayages de couple croissants et décroissants). Des losanges représentent les résultats expérimentaux. L’un des pendules est représenté par des losanges noirs, l’autre par des losanges gris. La courbe représente les résultats analytiques (stables en vert, instables à l’unisson en rouge). Des croix noires indiquent les points de bifurcation obtenus analytiquement. N = 0,568, Ω = 1500[rpm]. Au chapitre 4.1, µ a été proposé en tant que le paramètre de perturbation faible de l’analyse de perturbation. Ainsi, on peut choisir µ = ε, ce qui donne un ordre de grandeur à ne pas dépasser pour chaque paramètre faible. 10. Conclusion L’étude présentée dans le présent document porte sur la stabilité des amortisseurs de vibrations à pendules centrifuges (CPVA) permettant une mobilité rotationnelle. Des stabilités de deux natures différentes sont considérées. L’instabilité de la réponse à l’unisson engendre une réponse localisée sur l’un des pendules. L’instabilité de la solution périodique engendre un saut de la réponse. Un modèle analytique permettant la prédiction de ces instabilités a été élaboré en utilisant une mise à l’échelle des paramètres, la méthode à échelles multiples et une réduction à un mode unique. Ce modèle a été validé avec des résultats à la fois numériques et expérimentaux. Une visualisation originale de la stabilité dans l’espace de conception a été présentée. Cela a permis une évaluation de stabilité simultanée de conceptions de pendules. De plus, une règle de conception rendant le comportement des pendules linéaire a été proposée. Au cas où cette règle ne peut pas être appliquée, d’autres recommandations ont été formulées. Elles concernent les plus grands niveaux de désaccord laissant la réponse dépourvue d’instabilités. Des résultats ont été interprétés en divisant les pendules en deux catégories : ceux présentant des comportements de durcissement et ceux présentant des comportements d’assouplissement. Les pendules de durcissement sont stables s’ils sont parfaitement accordés ou sur-accordés. En ce qui concerne les pendules d’assouplissement, la stabilité de la réponse à l’unisson est préservée à condition qu’ils soient parfaitement accordés ou sous-accordés. Néanmoins, des sauts peuvent être présents s’ils sont sur-accordés ou sous-accordés. Enfin, l’augmentation de l’amortissement accroît la plage de désaccord dans laquelle des instabilités sont évitées. : remarque : cette partie ne fait pas partie de la demande povisoire telle que déposée mais le dépôt de la traduction sous forme de Docx n’a été possible qu’avec une partie Revendications non vide.