FR 3102444 A1 20210430 FR 1912014 A 20191025 Procédé de commande d’un véhicule ayant des roues pourvues de pneumatiques reposant sur une surface, à partir d’une modélisation du comportement physique de chaque pneumatique en fonction d’un angle de dérive (β ij ) de chaque pneumatique par rapport à la surface. La modélisation est obtenue en mettant en œuvre un algorithme adaptatif appliquant sélectivement un modèle affine (Z1), un modèle de DUGOFF (Z2), un modèle constant (Z3). FIGURE DE L’ABREGE : Fig. 1 Procédé de commande d’un véhicule roulant en condition d’adhérence précaire ARRIERE PLAN DE L’INVENTION La présente invention concerne le domaine des véhicules roulants tels que des véhicules terrestres, et plus particulièrement des véhicules tout-terrain, mais également des aéronefs en phase de roulage au sol. Il existe des procédés de commande automatique de véhicules roulants qui font appel à des lois de commande reposant sur une modélisation linéaire du comportement des pneumatiques relativement au sol. Les limites de pilotage sont déterminées par la force latérale maximale exercée par chacun des pneumatiques sur le sol selon la formule F ymax = μ ymax F z dans laquelle μ ymax est le coefficient de friction latérale maximal, dépendant du sol et du matériau du pneumatique, et F z est la force verticale exercée sur les pneumatiques correspondant au poids du véhicule supporté par le pneumatique modulo le transfert de masse résultant du balancement du véhicule dans une direction latérale, lors des virages ou sur un sol en dévers, et dans une direction longitudinale lors des accélérations et décélérations. Le coefficient de friction vaut approximativement entre : 0,9 et 1 pour l’asphalte sec ; 0,5 et 0,8 pour l’asphalte mouillé ; 0,2 et 0,3 pour la neige ; et 0,15 et 0,2 pour la glace. Ces procédés de commande sont efficaces lorsque le véhicule roule sur le sol sans glisser, ce qui est vrai pour des véhicules évoluant à une vitesse adaptée au rayon de courbure de la trajectoire suivie et à l’adhérence des pneumatiques des véhicules sur le sol. Dans ces conditions idéales, l’angle de dérive β, c’est-à-dire l’angle entre la direction dans laquelle le pneumatique est orienté et le vecteur de déplacement du pneumatique par rapport au sol, est faible et une relation linéaire, conforme à la modélisation linéaire sur laquelle reposent les lois de commande, unit ledit angle de dérive β et la force latérale F y que le pneumatique peut fournir jusqu’à atteindre la force maximale F y max . On comprend cependant qu’un véhicule peut rapidement sortir de ces conditions idéales par exemple en cas de changement de la nature du sol et/ou d’une modification de sa trajectoire et/ou d’une modification de sa vitesse. Or, hors de ces conditions idéales, le comportement du pneumatique relativement au sol, et donc la variation de la force latérale par rapport à l’angle de dérive β, n’est pas linéaire. Les procédés de commande actuels sont donc globalement inadaptés au pilotage de véhicules tout-terrain ou à haute vitesse. Il n’est pas envisageable de construire des lois de commande du véhicule sur un modèle représentatif du comportement non linéaire du pneumatique, tel que le modèle PACEJKA. En effet, l’exploitation optimale de ce modèle demande de définir de nombreux paramètres empiriques, ce qui est très difficile en temps réel. OBJET DE L’INVENTION L’invention a notamment pour but d’améliorer les procédés de commande des véhicules roulants en particulier lorsque les pneumatiques ont un comportement non linéaire. A cet effet, on prévoit, selon l’invention un procédé de commande d’un véhicule ayant des roues pourvues de pneumatiques reposant sur une surface, à partir d’une modélisation du comportement physique de chaque pneumatique en fonction d’un angle de dérive (β ij ) de chaque pneumatique par rapport à la surface. La modélisation est obtenue en définissant une courbe théorique d’évolution d’une force latérale (F y ) exercée par un pneumatique sur la surface en fonction de l’angle de dérive en y identifiant une première zone d’évolution linéaire, une deuxième zone de transition linéaire – non linéaire, et une troisième zone d’évolution non linéaire ; et en exécutant, pour chaque pneumatique, les étapes de : - définir en temps réel un groupe de valeurs successives ( ) de force latérale correspondant chacune à un angle de dérive et déterminer si lesdites valeurs évoluent conformément à la première zone, la deuxième zone, ou la troisième zone ; - appliquer un modèle affine lorsque les valeurs évoluent comme dans la première zone ; - appliquer un modèle de DUGOFF lorsque les valeurs évoluent comme dans la deuxième zone ; - appliquer un modèle constant lorsque les valeurs évoluent comme dans la troisième zone. Le modèle dit « de DUGOFF » est un modèle efficace pour assurer la modélisation des pneumatiques par rapport au sol alors même qu’il est relativement simple car il met en relation la force latérale (F y ) avec un nombre limité de paramètres que sont la raideur longitudinale du pneumatique (notée C σ ), le taux de glissement longitudinal (noté σ x ), le coefficient de rigidité de dérive(ou « cornering stiffness », notée C β ), la force verticale (F z ), le coefficient maximal de frottement latéral (μ ymax ) et l’angle de dérive (β). En outre, en conditions de glissement latéral pur, les deux premiers paramètres peuvent être négligés. Cependant, on s’est aperçu que ce modèle était malgré cela inutilement complexe sur la partie linéaire de la courbe représentative de la force latérale en fonction de l’angle de dérive et qu’il présentait une faible convergence ou une convergence vers des valeurs erronées sur la partie non-linéaire. Par l’invention, le modèle de DUGOFF est utilisé pour estimer la valeur de la force latérale sur la partie de la courbe où il est le plus efficace tandis que la force latérale sera estimée par des méthodes plus appropriées sur les autres parties de la courbe. D’autres caractéristiques et avantages de l’invention ressortiront à la lecture de la description qui suit d’un mode de réalisation particulier et non limitatif de l’invention. Il sera fait référence aux dessins annexés, parmi lesquels : la figure 1 illustre le fonctionnement de l’algorithme de l’invention et comprend une représentation de l’évolution de la force latérale en fonction de l’angle de dérive ; la figure 2 est une vue schématique de dessus d’un véhicule roulant ; la figure 3 représente un véhicule simplifié en mouvement par rapport au sol, les roues avant ayant été regroupées en une roue avant unique et les roues arrière ayant été regroupées en une roue arrière unique ; la figure 4 illustre les données nécessaires à l’estimation du coefficient de rigidité de dérive et du coefficient de frottement latéral maximal dans un mode de réalisation de l’invention. DESCRIPTION DETAILLEE DE L’INVENTION L’invention est ici décrite en application à un véhicule ayant quatre roues directrices. En référence aux figures, le véhicule, généralement désigné en 1, comprend une caisse 2 reposant sur le sol par quatre roues directrices, à savoir : une roue avant gauche fl, une roue avant droite fr, une roue arrière gauche rl, et une roue arrière droite rr. De manière connue en elle-même, les roues comportent chacune une jante entourée d’un pneumatique et sont orientables par rapport à la caisse 2 par l’intermédiaire d’une motorisation 3 reliée à une unité électronique de commande 4 également reliée à une motorisation 5 pour entraîner les roues en rotation et à un système de freinage 6 pour freiner la rotation des roues. L’unité de commande 4 est également reliée à des capteurs dont une unité de mesure inertielle 7 comportant de façon connue en elle-même des accéléromètres et des gyroscopes permettant de déterminer l’attitude du véhicule 1 et les vitesses et accélérations auxquelles celui-ci est soumis. L’unité de commande 4 récupère ainsi notamment la vitesse selon l’axe longitudinal (x) du véhicule 1, la vitesse selon l’axe latéral (y) du véhicule 1, et la vitesse en lacet du véhicule 1. D’autres capteurs sont envisageables pour l’application considérée et notamment un capteur mesurant la vitesse de rotation de chaque roue, un capteur mesurant l’orientation (ou angle de braquage) de chaque roue, un capteur mesurant le couple de chaque roue, un capteur de pression de chaque pneumatique, un capteur de température de chaque pneumatique… Ces capteurs et leur utilisation sont connus en eux-mêmes et ne seront pas plus détaillés ici. L’unité de commande 4 est une unité informatique exécutant un programme comportant des instructions pour la mise en œuvre du procédé selon l’invention. Le procédé de commande selon l’invention applique au moins une loi de commande basée sur une estimation du coefficient de rigidité de dérive Cβ ij et du coefficient maximal de frottement latéral μ ymaxij de chacune des roues fl, fr, rl, rr par rapport au sol. Grâce à cette loi de commande, l’unité de commande 4 va commander la motorisation 3, la motorisation 5 et le dispositif de freinage 6 pour maintenir le véhicule 1 sur une trajectoire souhaitée. L’estimation du coefficient de rigidité de dérive C β ij et du coefficient maximal de frottement latéral μ ymaxij de chaque roue est obtenue par la mise en œuvre d’un algorithme adaptatif exécutant, pour chaque roue, les étapes de : définir une courbe théorique (figure 1) d’évolution d’une force latérale F y exercée par un pneumatique sur la surface en fonction de l’angle de dérive β en y identifiant une première zone Z1 d’évolution linéaire, une deuxième zone Z2 de transition linéaire – non linéaire, et une troisième zone Z3 d’évolution non linéaire ; définir en temps réel un groupe de valeurs successives de force latérale correspondant chacune à un angle de dérive β et déterminer si lesdites valeurs évoluent conformément à la première zone Z1, la deuxième zone Z2, ou la troisième zone Z3 ; appliquer un modèle affine d’estimation lorsque les valeurs de force latérale se trouvent dans la première zone Z1 ; appliquer un modèle de DUGOFF lorsque les valeurs de force latérale se trouvent dans la deuxième zone Z2 ; appliquer un modèle constant lorsque les valeurs de force latérale se trouvent dans la troisième zone Z3. La courbe théorique est représentée sur la figure 1 illustrant le fonctionnement de l’algorithme adaptatif de l’invention. On peut la découper en trois sections A, B, C correspondant respectivement au régime linéaire, au régime transitoire et au régime non-linéaire. On y a représenté également les première zone Z1, deuxième zone Z2 et troisième zone Z3 qui ne correspondent pas totalement aux trois sections. La détermination des valeurs successives de force latérale va maintenant être détaillée. Ces valeurs sont utilisées comme entrées des modèles (et sont pour cette raison appelées « valeurs d’entrée ») et sont notées . Ces valeurs d’entrée sont déterminées en temps réel de manière à disposer à tout instant d’un groupe de valeurs sur la période précédant immédiatement l’instant en question. On pourrait utiliser comme valeurs d’entrée des mesures de la force latérale dans chaque pneumatique : il faut cependant recourir à des procédés de mesure complexes nécessitant un volume de calculs important pour rendre les mesures exploitables. On préfère pour cette raison estimer les valeurs d’entrée comme cela va maintenant être expliqué. L’estimation des valeurs d’entrée de force latérale nécessite la détermination, pour chaque roue, des angles de dérive et des forces normales. Les angles de dérive pour chaque roue sont estimés à partir des formules suivantes : Dans lesquelles : l f est la distance entre le centre de gravité du véhicule et l’axe avant, l r est la distance entre le centre de gravité et l’axe arrière, e f est la voie avant, e r est la voie arrière, V x est la vitesse longitudinale du centre de gravité, V y est la vitesse latérale du centre de gravité, est la vitesse de rotation en lacet, δ fl , δ fr , δ rl , δ rr sont les angles d’orientation des roues. Les différentes vitesses et accélérations sont fournies par la centrale inertielle 7 ou calculées à partir des mesures fournies par ladite centrale inertielle 7. Les angles d’orientation des roues sont déterminés par la loi de commande à partir des commandes du conducteur ou fournis par des capteurs dédiés. Les autres paramètres sont des caractéristiques fixes du véhicule 1. Les forces normales pour chaque roue - en tenant compte des transferts de masse lors des phases d’accélération, freinage et inclinaison du véhicule - sont déterminées ainsi : Dans lesquels, m est la masse du véhicule, g la gravité, h la hauteur du centre de gravité, a x l’accélération longitudinale du centre de gravité et a y l’accélération latérale du centre de gravité. Le premier paramètre est une caractéristique fixe du véhicule ou peut être mesuré par capteur et la gravité dépend de la zone géographique et peut être mesurée. Il est possible d’estimer la force longitudinale F xpij pour chaque pneumatique : Où : est le couple de la roue considérée, est le moment d’inertie de la roue considérée (identique pour toutes les roues dans le cas présent), est la vitesse angulaire de la roue considérée, r ij est le rayon effectif du pneumatique de la roue considérée. L’estimation des valeurs d’entrée de force latérale est ici réalisée sans recourir à un modèle car un modèle est déjà utilisé pour déterminer le coefficient de rigidité de dérive C β ij et le coefficient maximal de frottement latéral μ ymaxij . Il est par exemple possible d’utiliser la méthode exposée par J. Yang et al., « Estimate Lateral Tire Force Based on Yaw Moment without Using Tire Model », ISRN Mechanical Engineering Volume 2014, Hindawi Publishing Corporation. On calcule en premier lieu le moment en lacet M G au centre de gravité G et le moment en lacet M Gij au centre de gravité G ij de chaque roue : Dans cette double équation : est le vecteur accélération en G, est l’axe vertical attaché au véhicule, T x inclut les termes dépendant des forces longitudinales (comme indiqué dans l’article précité), T y inclut les termes dépendant des forces latérales (comme indiqué dans l’article précité). Les indices i désignent une roue avant (i=f) ou arrière (i=r) tandis que les indices j désignent une roue gauche (j=l) ou droite (j=r). En mettant la double équation sous forme de matrice, on obtient : Avec : F ypf correspond à la force latérale totale pour l’essieu avant et F ypr correspond à la force latérale totale pour l’essieu arrière. Le symbole ●, comme dans M ● , T y ● et T x ● , sert à simplifier l’expression pour éviter une répétition d’équations : il est ici remplaçable par G ou G ij selon que l’on considère le centre de gravité du véhicule 1 ou le centre de gravité de chacune des roues. Les valeurs d’entrée des forces latérales pour chaque roue sont calculées à partir d’une distribution de la force verticale comme suit : Pour la sélection des modèles, les valeurs d’entrée sont introduites dans l’algorithme sous la forme d’une fenêtre glissante. La fenêtre glissante est en fait un groupe contenant les données avec 1≤k≤N, N étant la dimension maximale de la fenêtre déterminée empiriquement, et t le temps. La fenêtre est exploitée pour accumuler des valeurs dans le temps de manière à éviter les aberrations dans l’estimation mais il est nécessaire également de limiter le nombre de valeurs accumulées afin de limiter les délais et la charge de calcul. L’exploitation de la fenêtre est basée sur les seuils ∈ 1 , ∈ 2 , τ 1 , τ 2 de telle manière que : une valeur est ajoutée à la fenêtre si : . la différence entre le dernier angle de dérive β(k) de la fenêtre et l’angle de dérive courant β(k+1) est supérieur à un premier seuil d’angle ∈ 1 ; et/ou . aucune valeur n’a été ajoutée depuis un temps supérieur à un premier seuil de temps τ 1 ; la fenêtre est rafraichie si : . la différence entre le premier angle de dérive β(1) de la fenêtre et le dernier angle de dérive β(N) de la fenêtre est supérieur à un deuxième seuil d’angle ∈ 2 , la première valeur est alors supprimée ; et/ou . une valeur est dans la fenêtre depuis un temps supérieur à un deuxième seuil de temps τ 2 , la première valeur est alors supprimée ; et/ou . la fenêtre comprend un nombre de données égal à un seuil de nombre prédéterminé, des valeurs sont alors supprimées, ici de préférence une valeur sur deux. La détermination du modèle à appliquer est réalisée en calculant le coefficient directeur de la courbe en appliquant les valeurs du groupe au modèle affine, le passage d’une zone à l’autre étant déterminé en fonction de la valeur du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine. En effet, la valeur du coefficient directeur est représentative d’une droite dans la première zone Z1, décroit pour devenir nul dans la deuxième zone Z2 et est légèrement négatif dans la troisième zone Z3. L’application des modèles vise à choisir le coefficient de rigidité de dérive C β ij et le coefficient maximal de frottement latéral μ ymaxij pour minimiser l’erreur entre les estimations de la valeur de force latérale et les valeurs d’entrée . Le modèle affine s’écrit sous la forme : On comprend que a 1 représente le coefficient directeur de la courbe dans la zone Z1 tandis que b 1 représente l’ordonnée à l’origine (soit la valeur de la force latérale pour un angle de dérive nul). L’application du modèle affine comprend avantageusement une résolution par les moindres carrés en utilisant : Avec L’application du modèle affine ne permet que de déterminer le coefficient de rigidité de dérive C β ij qui pourra ainsi être mis à jour. Le modèle de DUGOFF définit la force longitudinale F x et la force latérale F y comme suit : Le paramètre f(λ) est donné par : Dans ces formules : σ x est le taux de glissement longitudinal, C σ est la raideur longitudinale, C β est le coefficient de rigidité de dérive, F z est la force normale, μ max est le coefficient maximal de frottement sol/pneumatique. En négligeant le glissement longitudinal, on obtient le modèle de DUGOFF simplifé qui est ici utilisé préférentiellement : Avec Les indices i désignent une roue avant (i=f) ou arrière (i=r) tandis que les indices j désignent une roue gauche (j=l) ou droite (j=r). L’application du modèle de DUGOFF comprend la mise en œuvre d’un algorithme d’optimisation de Levenberg Marquardt. On pose : Ainsi, le coefficient de rigidité de dérive C β ij et le coefficient maximal de frottement latéral μ ymaxij de chaque pneumatique par rapport au sol sont tous deux utilisés pour modéliser les caractéristiques de l’interaction entre le pneumatique et le sol et pourront donc être remis à jour par l’application de ce modèle. On obtient finalement : L’application du modèle constant consiste à affecter une valeur prédéterminée à l’estimation de la force latérale lorsque la valeur de force latérale à estimer se trouve dans la troisième zone Z3, et s’écrit ainsi : Dans cette équation, qui correspond à la valeur maximale de force latérale dans la zone Z3, soit : Seule la valeur du coefficient maximal de frottement latéral μ ymaxij de chaque pneumatique par rapport au sol sera déterminée et remise à jour avec ce modèle. Il est intéressant de calculer l’angle de dérive β th constituant le seuil à partir duquel le modèle affine n’est plus valable. En théorie, dans la première zone le modèle affine et le modèle de DUGOFF (avec λ ≥ 1) doivent coïncider. Ainsi, est sensiblement égal à 1 le ratio p tel que : F lin correspond à la force latérale obtenue par le modèle linéaire tel que : F yDugNL correspond à la force latérale obtenue par le modèle de DUGOFF pour λ On considère que le seuil β th est atteint lorsque p est supérieur ou égal à 1,05 (déterminé empiriquement). On obtient alors : Cette équation se résout comme suit : Avec On choisit alors la plus petite valeur comme seuil, à savoir : Les valeurs estimées de la force latérale sont utilisées ici dans une loi de commande u d’assistance au pilotage du véhicule. La loi de commande u=(T ω , δ f , δ r ) T , mise en œuvre par l’unité électronique de commande 4, permet à ladite unité électronique de commande 4 de piloter la motorisation 3, la motorisation 4 et/ou le dispositif de freinage 6 de manière à ajuster le couple des roues et leurs angles de braquage pour maintenir le véhicule 1 sur la trajectoire souhaitée. En pratique, la loi de commande vise à réduire l’écart entre la position réelle du véhicule 1, auquel est attaché un repère [c], par rapport à une position d’un véhicule de référence idéalement placé le long de la trajectoire et auquel est attaché un repère [d]. Le véhicule 1 et le véhicule de référence ont respectivement les positions et dans un même repère inertiel [i]. R ψd est la matrice de passage entre les repères [d] et [i], et R ψ est la matrice de passage entre les repères [c] et [i] telles que : L’erreur de suivi de trajectoire (longitudinale, latérale et en lacet) est notée dans le repère [i] et x 1 dans le repère [c] de sorte que : et (1) En notant et les vitesses longitudinale, latérale et en lacet respectivement du véhicule réel et du véhicule de référence, et en dérivant l’erreur de suivi de trajectoire, on a : (2) En projetant l’équation (2) dans le repère [c], on obtient : (3) La dérivation de e 1 et de e 2 donne respectivement (4) (5) Avec : Il est ensuite nécessaire d’établir un modèle dynamique du véhicule 1. Pour simplifier, le véhicule 1 à quatre roues est ramené à un véhicule à deux roues, à savoir une roue avant f et une roue arrière r (voir la figure 3), et le centre de gravité est considéré comme relativement bas pour pouvoir négliger les mouvements de roulis et de tangage. Ces simplifications sont considérées comme n’étant pas préjudiciable à la modélisation de la dynamique du véhicule selon les équations ci-dessous : (6) Avec : F xf la force longitudinale de la roue avant, F xr la force longitudinale de la roue arrière, F yf la force latérale de la roue avant, F yr la force latérale de la roue avant, Iz le moment d’inertie en lacet autour de l’axe vertical, les autres paramètres ont déjà été définis. Les forces et moments dans les équations ci-dessus s’expriment comme suit dans le repère [c] : (7) Les forces longitudinales, dans le repère du pneumatique, sont définies comme suit : (8) Le coefficient p est un coefficient de répartition du couple total Tω qui est compris entre 0 (le couple passe uniquement par les roues arrière) et 1 (le couple passe uniquement par les roues avant) et est ici fixé à 0,5. En utilisant un modèle linéaire pour modéliser les forces latérales F ypf et F yp r des pneumatiques avant et arrière pour des angles de dérive β f , β r , on obtient : En considérant des angles d’orientation δ r , δ f relativement faibles, et en injectant les équations (7), (8), (9) dans les équations (6), on arrive à : Dans laquelle : Pour réduire la complexité du modèle (10), les termes non linéaires en la commande sont négligés pour obtenir : Toutefois, comme l’objectif est de commander un véhicule tout-terrain, un modèle purement linéaire ne saurait suffire. Il est donc nécessaire de modifier le modèle linéaire pour l’adapter à un comportement non linéaire des pneumatiques : en effet, on sait que, lorsque les angles de dérive augmentent, le modèle linéaire donne une force latérale supérieure à la force latérale réelle avant ou arrière qui est ici en fait la force latérale estimée à partir du modèle de DUGOFF. On introduit donc une force pour conserver vraies les hypothèses de validité du modèle linéaire et on pose : Ne disposant pas de valeurs mesurées de la force latérale réelle, on a recours à des estimations et on choisit ici = . Pour les petits angles d’orientation, on a : De la sorte, le jeu d’équations (6) donne : Avec : (16) Une solution pour résoudre le problème de suivi de trajectoire par un véhicule à quatre roues directrices passe par l’expression du vecteur d’erreur dynamique. La loi de commande est construite par une technique récursive nommée « backstepping » à partir des équations (4) et (5). La loi de commande va stabiliser l’erreur de manière asymptotique. Pour la mise en œuvre de la technique « backstepping », la variable e 2 de l’équation (4) est considérée comme entrée de commande pour réguler e 1 à zéro. Pour cela, on pose : Selon une première étape de la technique de backstepping, une première fonction de Lyapunov candidate est choisie, à savoir , dont la dérivée est rendue négative en choisissant avec K 1 une matrice diagonale définie positive. Ceci conduit à . Comme e 2 n’est pas la vraie entrée de commande, on obtient le résidu suivant avec (18) Ce résidu est introduit dans l’équation (17) autorisant la stabilisation de Σ 1 . L’équation (17) devient alors : La dérivée de Lyapunov devient elle : A une deuxième étape de la technique de backstepping, on choisit une fonction de Lyapunov candidate pour la dynamique de Z 2 à savoir : La dérivée de cette fonction est : (19) Cette dérivée est rendue négative en choisissant (20) Dans laquelle K 2 est positif. La dérivée est qui est inférieure ou égale à 0. L’entrée de commande finale est le vecteur u qui intervient dans le terme dans les équations (12) et (5). En égalisant les équations (20) et (5), on obtient la loi de commande suivante pour réguler e 1 : On remarque que la loi de commande tient si g est inversible. Ceci donne : (22) Dans laquelle vaut 10 4 et est plus élevé que l’accélération de la rotation de la roue, alors . La dynamique du système en boucle fermée est la suivante : La loi de commande u ainsi formulée ne prend en compte que le comportement linéaire des pneumatiques. Pour adapter la loi de commande u au comportement non linéaire des pneumatiques, les deux termes correcteurs ∆ + et ∆ - sont ajoutés aux autres terme de ladite loi. Les forces et de l’équation 16 dépendant des angles de braquage δ f et δ r qui sont les entrées de commande, on note et les valeurs retardées de et qui sont les estimations de ∆ + et ∆ - . On obtient alors : Dans lesquelles s est l’opérateur de Laplace, est le retard, F LP (s) est un filtre passe bas et f 0 est la fréquence de coupure du filtre. Il est donc possible d’ajouter à la loi de commande u (21) les valeurs retardées et des estimations de ∆ + et ∆ - de sorte que la loi u prend la forme suivante : Ainsi, la loi de commande comprend une première partie basée sur un modèle de comportement linéaire des pneumatiques et une deuxième partie de correction soustraite à la première partie pour prendre en compte des effets non linéaires du comportement des pneumatiques. On comprend qu’en adaptant une loi de commande basée sur un modèle linéaire par l’ajout de termes correcteurs basés sur un modèle non linéaire, on simplifie l’élaboration de la loi de commande. Ceci est applicable à toute loi de commande basée sur un modèle linéaire. Les termes et dans l’expression de et sont calculés par la méthode décrite ci-avant. On obtient une estimation du coefficient de frottement latéral maximal et du coefficient de rigidité de dérive pour les pneumatiques avant et arrière. Comme synthétisé sur la figure 4, l’estimation est basée sur les mesures de la centrale inertielle 7 comme la vitesse de rotation en lacet , les vitesses longitudinale V x et latérale V y , les accélérations longitudinale a x et latérale a y . Sont également utilisés le couple T ω et les angles de braquage δ f et δ r qui sont fournis par la loi de commande elle-même, ainsi que l’accélération angulaire de la roue . L’algorithme prend en compte les parties linéaire et non-linéaire des caractéristiques des pneumatiques en utilisant l’algorithme adaptatif à trois zones. Une fois obtenues les estimations du coefficient de frottement latéral maximal et du coefficient de rigidité de dérive pour les pneumatiques avant et arrière, ces estimations sont utilisées dans le modèle de DUGOFF pour obtenir les estimations de force latérale telles que : Avec : Ainsi, on a : Avec et , (26) Bien entendu, l’invention n’est pas limitée au mode de réalisation décrit mais englobe toute variante entrant dans le champ de l’invention telle que définie par les revendications. En particulier, la modélisation peut être utilisée comme base d’une loi de commande du véhicule pour commander par exemple la direction d’une ou plusieurs roues, et/ou la motorisation d’une ou plusieurs roues, et/ou les freins d’une ou plusieurs roues, mais elle peut alternativement être utilisée aux fins de déclencher des alertes représentatives des conditions de roulage du véhicule. On peut se passer du regroupement des roues par essieu. Une autre technique pourrait être utilisée pour la loi de commande. On peut également calculer le seuil d’angle de dérive entre la zone linéaire et la zone non linéaire comme suit : Cependant ce seuil est plus élevé que celui calculé plus haut. Le véhicule peut être différent de celui décrit, par exemple avoir un nombre de roues différents. Procédé de commande d’un véhicule ayant des roues pourvues de pneumatiques reposant sur une surface, à partir d’une modélisation du comportement physique de chaque pneumatique en fonction d’un angle de dérive (β ij ) de chaque pneumatique par rapport à la surface, caractérisé en ce que la modélisation est obtenue en définissant une courbe théorique d’évolution d’une force latérale (F y ) exercée par un pneumatique sur la surface en fonction de l’angle de dérive en y identifiant une première zone d’évolution linéaire, une deuxième zone de transition linéaire – non linéaire, et une troisième zone d’évolution non linéaire ; et en exécutant, pour chaque pneumatique, les étapes de : -définir en temps réel un groupe de valeurs successives ( ) de force latérale correspondant chacune à un angle de dérive et déterminer si lesdites valeurs évoluent conformément à la première zone, la deuxième zone, ou la troisième zone ; -appliquer un modèle affine lorsque les valeurs évoluent comme dans la première zone ; -appliquer un modèle de DUGOFF lorsque les valeurs évoluent comme dans la deuxième zone ; -appliquer un modèle constant lorsque les valeurs évoluent comme dans la troisième zone. Procédé selon la revendication 1, dans lequel le modèle affine est de la forme : Avec la valeur de la force latérale de chaque pneumatique, a 1 le coefficient directeur de la courbe dans la zone et b 1 l’ordonnée à l’origine. Procédé selon la revendication 1 ou 2, dans lequel le modèle de DUGOFF est de la forme : avec la force latérale de chaque pneumatique, , , C β ij le coefficient de rigidité de dérive de chaque pneumatique, μ ymaxij le coefficient maximal de frottement latéral de chaque pneumatique, β ij l’angle de dérive de chaque pneumatique. Procédé selon l’une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le modèle constant est de la forme : Avec la force latérale de chaque pneumatique et b 2 la force latérale maximale dans la troisième zone. Procédé selon l’une quelconque des revendications précédentes, dans lequel l’application de chacun des modèles consiste à trouver le coefficient de rigidité de dérive et le coefficient maximal de frottement latéral de chaque pneumatique qui minimise l’écart entre les valeurs de force latérale de chaque pneumatique obtenues avec chaque modèle et les valeurs du groupe de valeurs. Procédé selon la revendication 5, dans lequel l’application du modèle affine met en œuvre la méthode des moindres carrés. Procédé selon la revendication 5 ou la revendication 6, dans lequel l’application du modèle de DUGOFF comprend la mise en œuvre d’un algorithme d’optimisation de Levenberg Marquardt. Procédé selon l’une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le groupe de valeurs de force latérale est modifié en y ajoutant une valeur si : - la différence entre le dernier angle de dérive du groupe et l’angle de dérive courant β(k+1) est supérieur à un premier seuil d’angle (∈ 1 ) ; - aucune valeur n’a été ajoutée depuis un temps supérieur à un premier seuil de temps (τ 1 ). Procédé selon l’une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le groupe de valeurs de force latérale est modifié en en retirant une valeur si : . la différence entre le premier angle de dérive du groupe de valeurs et le dernier angle de dérive β(k) du groupe de valeurs est supérieur à un deuxième seuil d’angle (∈ 2 ), la première valeur est alors supprimée ; . une valeur est dans la fenêtre depuis un temps supérieur à un deuxième seuil de temps (τ 2 ), la première valeur est alors supprimée ; . le groupe comprend un nombre de valeurs supérieur à un seuil de nombre prédéterminé, au moins une valeur est alors supprimée et de préférence une valeur sur deux. Procédé selon l’une quelconque des revendications précédentes, dans lequel la détermination du modèle à appliquer est réalisée en en calculant le coefficient directeur de la courbe en appliquant les valeurs du groupe au modèle affine, le passage d’une zone à l’autre étant déterminé en fonction de la valeur du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine.