FR 3090963 A1 20200626 FR 1874052 A 20181221 Description Titre de l'invention : Procédé de modélisation d'un câble électrique Domaine technique [0001] La présente invention concerne le domaine de la modélisation de câbles électriques permettant d'obtenir un modèle utilisable pour concevoir de tels câbles et réaliser des simulations du comportement de ces câbles électriques. L'invention porte plus précisément sur un procédé de modélisation d'un câble électrique. Technique antérieure [0002] La modélisation d'un câble électrique met généralement en oeuvre des méthodes d'ajustement des paramètres linéaires et non-linéaires caractéristiques traduisant les réponses du câble électrique en fonction de la fréquence, lesdits paramètres étant inscrits dans une matrice de transfert qui est dépendante de la fréquence. Ces méthodes prévoient d'approximcr la matrice de transfert par une fonction rationnelle. [0003] La précision de l'approximation et la passivité de la matrice de transfert approximée sont deux facteurs critiques permettant d'évaluer la qualité d'un modèle de câble électrique. On comprend qu'un modèle précis permet de réaliser des simulations proches du comportement réel du câble électrique. De plus, un système passif ne génère pas d'énergie et ne peut libérer de l'énergie que si une telle énergie a été stockée au préalable dans le système. Un modèle passif permet donc de réaliser des simulations dans le domaine temporel qui ne divergent pas et qui sont donc d'autant plus précises. Aussi, il est primordial d'obtenir des modèles à la fois précis et passifs. [0004] On tonnait notamment du document US 8 159 412, un procédé dans lequel on approxime la matrice de transfert par une fonction rationnelle, puis on réalise ensuite un test de passivité sur le modèle obtenu. Lorsque ledit modèle n'est pas passif, une méthode de perturbation est employée pour forcer la passivité dudit modèle, a posteriori. [0005] Un inconvénient de ce procédé est que la matrice de transfert approximée obtenue est mal conditionnée et que l'erreur d'approximation est importante. Ce procédé ne permet donc pas d'obtenir un modèle suffisamment précis. En outre, le traitement a posteriori visant à forcer la passivité est hasardeux et peu fiable de sorte qu'il ne garantit pas la passivité du modèle et qu'il affecte la précision de l'approximation. Le modèle obtenu par ce procédé de l'art antérieur n'est donc pas suffisamment précis et la conception de câbles électriques réalisée à partir d'un tel modèle n'est pas satisfaisante. Exposé de l'invention 100061 Un but de la présente invention est de proposer un procédé de modélisation d'un câble électrique remédiant aux problèmes précités. 2 [0007] Pour ce faire, l'invention porte sur un procédé de modélisation d'un câble électrique pour l'utilisation dudit câble électrique dans une pluralité de modes de propagation, chacun des modes de propagation étant associé à un retard dans le domaine temporel, le procédé utilisant une matrice de transfert décrivant les réponses dudit câble électrique en fonction de la fréquence, le procédé comprenant les étapes suivantes : a) on sélectionne un mode de propagation k du câble ; h) on calcule une approximation de la matrice de transfert sous la forme d'une première fonction rationnelle comprenant des termes d'approximation de la matrice transfert associés à chacun des modes de propagation du câble distincts du mode de propagation k sélectionné ; c) on détermine une matrice de résidu associée au mode de propagation k sélectionné en soustrayant à la matrice de transfert ladite première fonction rationnelle approximant la matrice de transfert; d) on calcule une approximation de la matrice de résidu associée au mode de propagation k sélectionné sous la forme d'une seconde fonction rationnelle ; c) on répète les étapes a) à d) successivement pour chacun des modes de propagation du câble, afin de déterminer un ensemble de secondes fonctions rationnelles approximant les matrices de résidu associées à chacun des modes de propagation ; f) on détermine une matrice de transfert approximée à partir de l'ensemble des secondes fonctions rationnelles calculées précédemment. [0008] La matrice de transfert est dépendante de la fréquence. Elle contient une pluralité de paramètres décrivant le comportement et donc les réponses linéaires ou non-linéaires du câble électrique, de préférence sur un échantillonnage en fréquence choisi. Ladite matrice de transfert lie de préférence le courant traversant le câble électrique et la tension aux bornes du câble. Elle est de préférence calculée à partir d'une équation de propagation du câble dont les modes de propagations sont les solutions. Cette matrice de transfert initiale est considérée comme passive. Elle peut être déterminée par une méthode des éléments finis, par une méthode analytique ou numérique ou encore grâce à des mesures réalisées sur le câble électrique. [0009] Chacun des modes de propagation décrit l'état d'une onde traversant le câble électrique. Le retard associé à un mode de propagation est le temps nécessaire pour que l'onde correspondante traverse le câble d'un bout à l'autre. Les retards sont déterminés par intégration, comme proposé par Bode. [0010] Chacun des termes d'approximation de la première fonction rationnelle est une ap- proximation de la matrice de transfert, sous la forme de fonction rationnelle, associée à un des modes de propagation. Les termes d'approximation peuvent comprendre des termes traduisant la contribution du retard associé à chacun des modes de propagation, excepté le mode de propagation k sélectionné. 3 [0011] La première fonction rationnelle prend en compte les termes d'approximation associés à chacun des modes de propagation du câble excepté les termes d'approximation associés au mode de propagation k sélectionné. Le calcul de la première fonction rationnelle associée au mode de propagation k sélectionné ne prend pas en compte les termes d'approximation et notamment la contribution du mode de propagation k sélectionné et le retard associé. La première fonction rationnelle associée au mode de propagation k sélectionné est de préférence une somme de termes d'approximations de la matrice de transfert sous forme de fonction rationnelle associés à chacun des modes de propagation, hormis au mode de propagation k sélectionné. Les termes d'approximation associés au mode de propagation k sélectionné sont retirés lors du calcul de la première fonction rationnelle, de sorte que la première fonction rationnelle ne prend en compte que les termes d'approximation associés aux modes de propagation distincts du mode de propagation k sélectionné. La première fonction rationnelle fkl(s) associée au mode de propagation k sélectionné s'écrit de préférence : [Math .1] fki(s) E';'2111 - i: ,it k ± e" 1,1 [0012] Où aid sont les pôles, Rid et di sont des matrices constantes indépendantes de la fréquence, Nm est le nombre de pôles du système, s est la fréquence angulaire complexe et Ti est le retard associé au mode de propagation i et mi est le nombre de pôles. [0013] Les pôles ad sont de préférence choisis initialement de manière arbitraire. [0014] La matrice de résidu associée au mode de propagation k sélectionné forme un reste mathématique traduisant la contribution du mode de propagation k sélectionné et de préférence du retard associé, considéré dans le domaine temporel. La matrice de résidu associée au mode de propagation k sélectionné oscille à la fréquence correspondant au retard associé audit mode de propagation k sélectionné . [0015] La succession des étapes a), b), c) et d) pour un mode de propagation k sélectionné est réalisée pour chacun des modes de propagation, de sorte que ces étapes sont répétées successivement autant de fois que le nombre de modes de propagations existants. A chaque répétition de ces étapes, une nouvelle matrice de résidu associée au mode de propagation k sélectionné est déterminée. De plus, à chaque répétition de ces étapes, ladite matrice de résidu déterminée est approximée par une seconde fonction rationnelle associée au mode de propagation k sélectionné. [0016] La matrice de transfert approximée est de préférence déterminée en additionnant l'ensemble des secondes fonctions rationnelles approximant les matrices de résidus associées à chacun des modes de propagation. [0017] Grâce à l'invention, la matrice de transfert approximée est obtenue en réalisant une approximation de la matrice de résidu pour chacun des modes de propagation et donc pour chaque retard, contrairement aux procédés de l'art antérieur qui prévoient d'approximer directement une matrice de transfert contenant l'ensemble des paramètres et retards associés à tous les modes de propagation. L'approximation de la matrice de transfert est donc obtenue de manière itérative et progressive, chaque mode de propagation étant considéré individuellement et séparément. Un intérêt est de réduire l'erreur d'approximation générée par les retards afin d'améliorer la précision de la matrice de transfert approximée finale et donc du modèle obtenu. En outre, la précision de la matrice de transfert approximée grâce au procédé selon l'invention permet également de réduire les risques de violations de passivité. Le procédé selon l'invention permet de faire converger la matrice de transfert approximée vers la matrice de transfert initiale, en réduisant progressivement l'erreur d'approximation. La précision de modèle obtenu est telle que sa passivité est garantie. [0018] Dc plus, grâce à l'invention, la matrice de transfert approximée est conditionnée et placée dans une forme adaptée à son intégration dans le domaine temporel, ce qui facilite et améliore les simulations réalisées à partir du modèle obtenu. [0019] Dc préférence, on multiplie la matrice de résidu associée au mode de propagation k sélectionné par un retard associé audit mode de propagation k sélectionné, avant l'étape de calcul de l'approximation de ladite matrice de résidu. Un intérêt est de rendre ladite matrice de résidu moins oscillante dans le domaine temporel en supprimant l'oscillation induite par le retard associé au mode de propagation k sélectionné. En effet, le reste mathématique issu de la soustraction de la première fonction rationnelle à la matrice de transfert oscille à la fréquence correspondant au retard associé mode de propagation k sélectionné. [0020] Avantageusement, la matrice de résidu Resl(s) associée au mode de propagation k sé- lectionné est déterminée d'après l'équation suivante : [Math.2] R Résk ( ( s) = Y,, s ) _ v rym v - + -sr isa=1,1#k j=i s-ai [0021] où Yn(s) est la matrice de transfert du câble, s est la fréquence angulaire complexe, R ij sont des matrices indépendantes de la fréquence, k étant le mode de propagation sélectionné, ait sont des pôles du système, Ti est la constante associée au retard du mode de propagation i, Nm est le nombre de modes de propagation du câble, mi est le nombre de pôles, di est une matrice constante indépendante de la fréquence. La fréquence angulaire complexe s est également appelée pulsation. [0022] La matrice de résidu associée au mode de propagation k sélectionné s'écrit également : [Math.3] Resk(s) (s) f kl (1)es k 100231 où t11(s) est la première fonction rationnelle approximant la matrice de transfert. -rk est le retard associé au mode de propagation k sélectionné. On remarque que cette première fonction rationnelle prend la forme d'une somme sur l'ensemble des modes de propagation hormis le mode de propagation k sélectionné. Aussi, la première fonction rationnelle ne prend effectivement pas en compte le retard associé au mode de propagation k sélectionné. La matrice de résidu associée au mode k sélectionné ne prend en compte que la contribution du retard associé audit mode de propagation k sélectionné. La multiplication par e'sk permet de compenser le retard associé au mode de propagation k sélectionné. 100241 La matrice de résidu est de préférence calculée sur un échantillonnage de fréquence choisi. 100251 De manière avantageuse, la matrice de résidu Resk(s) associée au mode de pro- pagation k sélectionné est approximéc sous la forme de la seconde fonction rationnelle suivante : [Math.4] Resk (s) Ei s-akd ± d k Rk 100261 où mk est le nombre de pôles associés au mode de propagation k sélectionné, s est la fréquence angulaire complexe, RkJ sont des matrices indépendantes de la fréquence associées au mode de propagation k sélectionné, akj sont des pôles du système associés au mode de propagation k sélectionné et dk est une matrice constante indépendante de la fréquence. 100271 L'approximation de la matrice de résidu associée au mode de propagation k sé- lectionné permet d'obtenir un jeu de paramètres akj, RkJ, dk j traduisant les réponses linéaires du câble électrique associés au mode de propagation k sélectionné. 100281 Préférentiellement, le calcul de l'approximation de la matrice de résidu associée au mode de propagation k sélectionné sous la forme d'une seconde fonction rationnelle est réalisé par une technique d'ajustement utilisant des méthodes de Krylov. Ces méthodes sont des méthodes d'approximation rationnelle et mettent en oeuvre des approximations 6 par moindres carrés. Les méthodes de Krylov permettent d'approximer précisément la matrice de résidu, ce qui améliore la précision de la matrice de transfert finale déterminée par le procédé selon l'invention et donc la précision du modèle obtenu. [0029] Selon un aspect particulièrement avantageux de l'invention, les étapes a) à f) sont répétées jusqu'à ce qu'une condition d'arrêt soit satisfaite. Tant que la condition d'arrêt n'est pas satisfaite, les étapes menant à la détermination de la matrice de transfert approximée sont répétées. En revanche, lorsque la condition d'arrêt est vérifiée, le procédé est interrompu et la matrice de transfert approximée obtenue est conservée et utilisée comme modèle. Le procédé est donc itératif et récursif. [0030] De préférence, le procédé de modélisation comprend une étape de test de passivité visant à vérifier la passivité de la matrice de transfert approximée, et la condition d'arrêt est satisfaite lorsque la passivité de la matrice de transfert approximée est confirmée par le test de passivité. Le procédé est donc poursuivi tant que la matrice de transfert approximée obtenue n'est pas passive. Un intérêt est donc de s'assurer de la passivité du modèle obtenu. [0031] De manière non limitative, la condition d'arrêt peut également être une condition sur la précision de la matrice de transfert approximée obtenue suite à l'étape f). Dans ce cas, on réalise de préférence un test de précision sur ladite matrice de transfert approximée. Un intérêt est de s'assurer que le modèle obtenu est précis. Sans sortir du cadre de l'invention, la condition d'arrêt peut être une condition de passivité et/ou de précision de la matrice de transfert approximée. Grâce au procédé selon l'invention, la précision de l'approximation est avantageusement suffisante pour rendre les violations de passivité négligeables. [0032] Avantageusement, la condition d'arrêt est satisfaite lorsque l'écart entre les valeurs propres de la matrice de transfert initiale et les valeurs propres de la matrice de transfert approximée est inférieur à un seuil prédéterminé. La matrice de transfert approximée est de préférence considérée comme passive si ses valeurs propres sont positives. La matrice de transfert initiale étant passive, ses valeurs propres sont positives. Aussi, lorsque les valeurs propres de la matrice de transfert approximée sont suffisamment proches de celles de la matrice de transfert initiale, le modèle obtenu est considéré comme passif, en plus d'être particulièrement précis. [0033] De préférence, la condition d'arrêt est satisfaite lorsque l'équation suivante est vérifiée : [Math.5] z ( s ) ) A (117 ipprox (s)) I