FR 2952206 A1 20110506 FR 0957637 A 20091029 1 Procédé de détermination d'un modèle élastique effectif. La présente invention concerne un procédé de détermination d'un modèle élastique effectif. Plus particulièrement, l'invention concerne un procédé de détermination d'un modèle élastique effectif représentant un milieu élastique réel à partir d'un modèle élastique original représentant plus finement le même milieu élastique réel s'étendant dans un espace, composé d'une pluralité de matériaux et dans lequel des ondes se propagent, ledit modèle élastique effectif étant adapté pour faire au moins des calculs élastiques de déformation du milieu matériel réel, ledit procédé étant mis en oeuvre par un ordinateur et dans lequel : - le modèle élastique original est défini par des paramètres originaux pour une pluralité de points de l'espace, chaque point repéré dans l'espace par un vecteur position macroscopique x, lesdits paramètres originaux comprenant au moins un tenseur élastique original c°(x), ledit tenseur élastique original étant un tenseur défini positif, - le modèle élastique effectif est défini par des paramètres effectifs pour ladite pluralité de points du milieu matériel réel, lesdits paramètres effectifs comprenant au moins un tenseur élastique effectif c*'£0(x), et dans lequel : - on définit un paramètre d'échelle Eo par : ao co = ~»z où - X0 étant une longueur d'échelle telle que les ondes de longueur d'onde a, inférieure à la longueur d'échelle X0 sont considérées de petite échelle, dite microscopique, et les ondes de longueur d'onde a, supérieures à ladite longueur d'échelle X0 sont considérées de grande échelle, dite macroscopique, et - Xm étant une longueur d'onde minimale de propagation des ondes dans le milieu élastique réel, - on définit un filtre spatial F applicable à un tenseur, ledit filtre spatial F étant de type passe-bas dans le domaine des nombres d'onde pour filtrer les échelles microscopiques de longueur d'onde inférieures à la longueur d'échelle Xo, et sensiblement conserver les échelles macroscopiques de longueur d'onde supérieures à la longueur d'échelle Xo, et ledit filtre ayant un support spatial, - on définit une cellule spatiale Yx pour chacun desdits point de l'espace repéré dans l'espace par le vecteur position macroscopique x, ladite cellule spatiale Yx étant un sous-espace sensiblement rectangulaire et centré autour dudit point et à partir de laquelle on définit un vecteur position d'échelle microscopique y donné par : x y=ù, et £o ladite cellule spatiale Yx ayant une taille supérieure ou 20 égale à une taille du support du filtre spatial pour pouvoir le contenir. Des procédés de détermination d'un modèle élastique effectif sont connus, et souvent appelés procédé d'homogénéisation ou de mise à l'échelle. Ces procédés 25 effectuent un filtrage spatial de paramètres originaux du modèle élastique original pour obtenir le modèle élastique effectif. Ces procédés font l'hypothèse que le milieu réel est périodique ou stratifié. Ainsi, les résultats de calculs de simulation de propagation d'ondes avec de tels 30 modèles effectifs sont très approchés. Ces procédés connus ne permettent donc pas de déterminer un modèle élastique effectif d'un milieu qui ne serait ni stratifié ou ni périodique. La présente invention a pour but de perfectionner 35 les procédés de ce type, notamment pour permettre de déterminer efficacement un modèle élastique effectif pour un milieu quelconque. A cet effet, un le procédé est caractérisé en ce qu'il comprend au moins les étapes suivantes : a) on construit un tenseur élastique initial c£0's(x, y) à partir du tenseur élastique original c°(x) du milieu élastique original, en appliquant une déformation d'échelle par la formule suivante : cc0's(x, y) = C (Eoy) , appliquée à chacun des points de l'espace repéré par le vecteur position macroscopique x et à chacun des points de la cellule spatiale Yx repéré par le vecteur position microscopique y, et étendue au-delà de la cellule spatiale Yx par périodicité spatiale, b) on résout des équations de cellule en chacun des points de l'espace repéré par le vecteur position macroscopique x et à chacun des points de la cellule spatiale Yx repéré par le vecteur position d'échelle microscopique y, lesdites équations de cellule s'écrivant : H~o,•s (x, y) = c.'!" x, y) : G',s(x; y) , et G ''°,s(x,y) 2 (V.~jX s + VyX`°.") + j4 , et v?, étant un opérateur de gradient, I4 étant un tenseur identité d'ordre 4, et lesdites équations de cellule étant des équations d'équilibre de la cellule spatiale soumise à une série de chargement élémentaires avec des conditions limites périodiques aux bords de la cellule spatiale Yx, et permettant de : - trouver au moins un tenseur correcteur de déplacement initial x£0's(x, y) en chacun des points de la 30 cellule spatiale Yx, et - déduire au moins un tenseur correcteur de déformation initial G°'s(x,y) et un tenseur correcteur de contrainte initial H£0's(x,y) par application des mêmes équations de cellule et à partir dudit tenseur correcteur 35 de déplacement initial x£0's(x, y) trouvé précédemment, 4 c) on calcule un tenseur élastique effectif c'£0(0) en chacun desdits points de l'espace par un produit du tenseur correcteur de contrainte initial H£0'S dont on filtre les échelles microscopiques par le filtre spatial Y et de l'inverse du tenseur correcteur de déformation initial Ge' dont on filtre les échelles microscopiques par le filtre spatial Y, selon la formule suivante : c" (x) = C~(HF' ) : (G -1) ( correspondant à un calcul d'une moyenne spatiale des 10 variations microscopiques d'un tenseur correcteur de contrainte HE0(x, y) Grâce à ces dispositions, on calcule un modèle élastique effectif quel que soit le type de milieu élastique, notamment même s'il n'est ni stratifié ni 15 périodique. En outre, le procédé a plusieurs avantages. Le modèle élastique effectif peut alors être utilisé pour effectuer des simulations de propagation d'onde ou des calculs de contraintes dans le milieu ou de calculs de 20 toute autre grandeur physique du milieu élastique réel. Ces simulations sont effectuées avec un effort beaucoup plus faible que des simulations de référence qui utiliseraient le modèle élastique original. De plus, ces simulations sont précises. 25 En outre, le modèle élastique effectif permet de donner une visualisation simplifiée du milieu élastique, montrant les caractéristiques essentielles du milieu lors de la propagation d'une onde dans ce milieu élastique réel. Ceci est d'une grande aide pour interpréter les phénomènes 30 physiques du milieu réel. Dans divers modes de réalisation du procédé selon l'invention, on peut éventuellement avoir recours en outre à l'une et/ou à l'autre des dispositions suivantes : - après l'étape b) on calcule en outre : 35 - un tenseur correcteur de déformation G£0(x,y) en séparant les échelles microscopiques et macroscopiques du tenseur correcteur de déformation initial Ge's(x,y) avec ledit filtre spatial -~, et en le multipliant par l'inverse du correcteur de déformation initial Ge's(x,y) dont on filtre 5 les petites échelles par le filtre spatial .F, et - un tenseur correcteur de contrainte H£0(x,y) en séparant les échelles microscopiques et macroscopiques du tenseur correcteur de contrainte initial H£o's(x,y) avec ledit filtre spatial .T, et en le multipliant par l'inverse du correcteur de déformation initial Ge's(x,y) dont on filtre les échelles microscopiques par le filtre spatial -) ; - le tenseur correcteur de déformation Ge(x,y) est calculé par la formule suivante : G`" (x, y) = [(G'° GE'r:'3)) (x, Y)] [~ (G`~,' ) (x, x/6()] + I` , et le tenseur correcteur de contrainte H£0(x, y) est calculé par la formule suivante : H'° (x, y) = [(H`°-s - (H`°'9)) (x, y) +:F (H`,,.5) (x, x/rr °)] : [F (G`°') (x x%c.o)]-i - on calcule un tenseur élastique c£0(x,y) en calculant le produit du tenseur correcteur de contrainte initial H£0'S et de l'inverse du tenseur correcteur de déformation initial G£0'S, selon la formule suivante c'0 (x, y) = (H0 : GE70)1) (x, Y) , et on résout à nouveau les équations de cellule avec ledit tenseur élastique c£0(x, y), pour trouver un tenseur correcteur de déplacement x£o(x,y) adapté pour déterminer des effets sur le déplacement à une échelle microscopique y en chacun desdits points de l'espace ; - on calcule un tenseur de moment corrigé M£o'o adapté pour appliquer au modèle effectif une source de moment en un point du milieu de l'espace repéré par un vecteur de position xo, ledit tenseur de moment corrigé étant calculé par : M`0 = G (xo, xo/6o) : M où M est un tenseur de moment adapté pour appliquer au 6 modèle élastique original une source de moment ; - les paramètres originaux comprennent une masse volumique originale p°(x) et les paramètres effectifs comprennent une masse volumique effective p*'£0(x), et on construit une masse volumique initiale à partir de la masse volumique originale du milieu élastique original, en appliquant une déformation d'échelle par la formule suivante . pE0'S (x, y) = p°(E°y) appliquée à chacun des points de l'espace repéré par le vecteur position macroscopique x et à chacun des points de la cellule spatiale Y,, repéré par le vecteur position microscopique y, et étendue au-delà de la cellule spatiale Y,, par périodicité spatiale, et - on calcule la masse volumique effective p*'£0(x), en chacun desdits points de l'espace en filtrant les échelles microscopiques de la masse volumique initiale p£0's(x,y) avec ledit filtre spatial F, par la formule suivante : p'" J (x) = :F(p`0iS) (x, x/co) correspondant à un calcul d'une moyenne spatiale des variations microscopiques de la masse volumique initiale pE0'S (x y) L'invention se rapporte également à un programme d'ordinateur comprenant des instructions de code de programme pour l'exécution les étapes de procédé précédentes lorsque ledit programme est exécuté sur un ordinateur. L'invention se rapporte également à un support d'enregistrement lisible par un ordinateur sur lequel est enregistré un programme d'ordinateur comprenant des instructions de code de programme pour l'exécution les étapes de procédé précédentes. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront au cours de la description 7 suivante d'un de ses modes de réalisation, donné à titre d'exemple non limitatif, en regard des dessins joints. Sur les dessins : - la figure 1 montre un dispositif 1 mettant en 5 oeuvre le procédé de l'invention, - la figure 2 montre un organigramme général dans lequel le procédé de l'invention est exécuté, - la figure 3 montre une image représentant un exemple de milieu élastique original, 10 - la figure 4 montre une image d'un résultat de calcul du deuxième programme de calcul de la figure 2, - la figure 5 montre une image représentant une zone agrandie du milieu élastique original de la figure 3, - la figure 6 montre une image représentant une 15 image agrandie du milieu élastique effectif déterminé par le procédé de l'invention à partir du milieu élastique original de la figure 3 et concernant la même zone de la figure 5, - la figure 7 montre des résultats calculés à 20 partir d'un milieu original, un milieu effectif déterminé par un des procédés de l'art antérieur, et un milieu effectif déterminé par le procédé de l'invention. Sur les différentes figures, les mêmes références désignent des éléments identiques ou similaires. 25 La figure 1 représente un dispositif 1 destiné à mettre en oeuvre la présente invention, et comporte par exemple : - un ordinateur 3 adapté pour exécuter des instructions de code d'un programme pour exécuter des 30 étapes du procédé de l'invention, - un clavier 2 relié à l'ordinateur 3 et permettant de communiquer des informations à l'ordinateur 3 et/ou de contrôler des étapes du procédé exécutés par ledit ordinateur 3, et 35 - un écran 4 relié à l'ordinateur 3 et destiné à afficher des informations de l'ordinateur 3. 8 Avantageusement, on aura recours au parallélisme pour exécuter les instructions de code de programme du procédé sur l'ordinateur 3. Par exemple, l'ordinateur 3 peut comprendre une unité centrale ou une pluralité d'unités centrales connectées entre elles par un réseau, chaque unité centrale pouvant également comporter un ou plusieurs microprocesseurs CPU pour exécuter des instructions de code de programme. La figure 2 représente un exemple d'organigramme dans lequel le procédé de l'invention est exécuté. Dans une étape M1, l'ordinateur 3 est renseigné avec des premières données d'un modèle élastique original M1 représentant finement un milieu élastique réel s'étendant dans un espace. Il exécute alors un premier programme Cl d'homogénéisation à partir desdites premières données pour générer des deuxièmes données d'un modèle élastique effectif M2 représentant le même milieu élastique réel. Ensuite, les deuxièmes données du modèle élastique effectif M2 sont utilisées par un deuxième programme C2 pour générer des données résultat S. Par exemple, le deuxième programme C2 peut calculer la propagation d'ondes acoustique et/ou vibratoires dans le milieu élastique réel, ou calculer des déformations et/ou des contraintes dudit milieu. Le premier programme Cl d'homogénéisation a pour objectif de transformer les données du modèle élastique original M1 en données d'un modèle élastique effectif M2, de telle sorte que les calculs effectués par le deuxième programme C2 soient plus faibles ; c'est-à-dire de telle sorte que l'ordinateur 3 mette moins de temps à générer les données de résultat S à partir des deuxièmes données du modèle élastique effectif M2 par rapport au temps qu'il mettrait pour les générer à partir des premières données du modèle élastique original M1. Parfois, le temps de calcul à partir des premières données du modèle élastique original 9 M1 est si long qu'un tel processus est pratiquement impossible ou trop coûteux. Un modèle élastique original M1 ou effectif M2 est défini par une masse volumique p(x) et un tenseur élastique c(x) en tout point de l'espace du milieu, ledit point étant repéré par un vecteur position x. Alternativement, un modèle élastique peut être défini en tout point x de l'espace par la masse volumique p(x), la vitesse de propagation des ondes primaires Vp (ondes primaires P ou ondes de compression) et la vitesse des ondes secondaire VS (ondes secondaires S ou ondes de cisaillement). Encore, un modèle élastique peut être défini en tout point x de l'espace par la masse volumique p(x), et 15 deux coefficients de Lamé. La figure 3 est une visualisation d'un exemple de premières données d'un modèle élastique original M1. Ces données sont issues d'un modèle élastique, dit de « Marmousi » établit par l'Institut Français du Pétrole. 20 Elles représentent une section en deux dimensions (2D) d'un terrain géologique en Angola, comportant des couches de schiste argileux, des couches de sel, des couches de sable, et des déformations et fractures importantes de ces couches. 25 La figure 3 représente, par son échelle de dégradé allant du blanc au noir, les variations de la vitesse des ondes secondaire VS dans ce milieu élastique 2D. L'axe des abscisses représente une distance en kilomètre dans une direction horizontale en surface, alors que l'axe des 30 ordonnées représente une distance en kilomètre dans une direction verticale, c'est-à-dire en profondeur dans le milieu. La figure 4 montre un exemple d'une image de résultat S de calcul du deuxième programme C2 de la figure 35 2. Dans le cas présent le programme C2 est un programme de calcul de la propagation d'ondes acoustiques et/ou 10 vibratoires, dans lequel une explosion est générée au point EXPL de la figure et la propagation des ondes dans le milieu élastique est calculée. Les niveaux de gris dans cette figure représentent l'intensité de l'énergie cinétique dans le milieu à un instant (ici 1,4 secondes après l'explosion) et représente donc la propagation des ondes dans le milieu avec les absorptions, réflexions et diffractions dans l'ensemble des couches du milieu. A cause de la complexité du milieu et du modèle élastique original M1, qui comporte de très nombreuses couches de natures différentes et de tailles très différentes allant de moins d'un mètre à plusieurs centaines de mètres, un tel calcul est très complexe. Par exemple, ce résultat S a nécessité sept jours de calculs sur un ordinateur 3 comportant un réseau de 64 CPU. L'exemple des figures 3 et 4 montre que le procédé peut être appliqué à l'étude de formations géologiques soutéraines. Nous allons maintenant expliciter les notions utilisées dans tout procédé de détermination d'un modèle élastique effectif, procédé dit d'homogénéisation ou de mise à l'échelle (en anglais « homogeneization » ou « upscaling »). Ce procédé consiste à calculer un modèle élastique effectif M2, tel que représenté en figure 6, à partir d'un modèle élastique original M1, tel que représenté en figure 5. Dans l'exemple présenté sur ces figures, le modèle original M1 est maillé pour le deuxième programme C2 avec des mailles complexes, adaptées à chaque région locale autour d'un point du milieu. Le modèle effectif M2 est maillé pour ce même deuxième programme C2 avec des mailles rectangulaires, toutes sensiblement de même dimension spatiale. Le calcul avec ce modèle effectif M2 et un maillage très simplifié est alors exécuté en un temps beaucoup plus court que celui du modèle original M1. Par exemple, le résultat S effectué dans le modèle effectif M2 n'a nécessité une heure de calcul sur un même ordinateur 3 comportant un réseau de 64 CPU. Le modèle élastique effectif M2 doit être suffisamment correctement défini pour effectuer ultérieurement des calculs de propagation d'ondes, lesdites propagations d'ondes prenant en compte les variations du milieu à grande échelle et les variations du milieu à petite échelle. Nous considèrerons ici un espace à deux dimensions (2D). Mais l'ensemble de la description, ci-dessous pourrait être écrite et généralisée à un espace à trois dimensions (3D). Dans un premier temps, nous explicitons des notions de filtrage spatial de type Fourier à titre d'exemple. D'autres types de filtrages spatiaux, comme le filtrage en ondelette, sont tout aussi utilisable. Pour toute fonction h, on définit sa transformée de Fourier 2D comme . h(k) ù / h(x),' Xdx R2 où x est un vecteur de position dans l'espace, tel que x = t(xl, x2), pour un espace 2D, xl,x2 étant les composantes de ce vecteur position selon chaque dimension de cet espace, k est le vecteur nombre d'ondes, k = t(kl, k2) , kl, k2 étant les nombres d'onde selon chaque dimension de l'espace, t est l'opérateur de transposé, et la barre au dessus de h signifiant la transformée de Fourier. Soit a, = 1/lkl, la longueur d'onde associée au vecteur nombre d'ondes k, 1.1 étant un opérateur de norme sur l'espace. L'objet du filtrage spatial est de séparer les (1) 30 35 petits nombres d'onde des grands nombres d'onde d'une distribution donnée h(k) autour d'un nombre d'onde prédéterminé ko. Nous introduisons donc un opérateur de filtrage spatial passe-bas pour les nombres d'ondes (donc passe-haut pour les longueurs d'ondes). Le filtrage spatial passe-bas de type Fourier s'écrit pour toute fonction h : F 0 (h) (x) = h(x')wko (x ù x')dx' (2) où est une ondelette. Par exemple, une ondelette peut être définie 10 ainsi . (3) Une telle définition présente une coupure nette. On préfèrera une ondelette avec une transition plus douce entre un et zéro autour de ko, par exemple définie avec une 15 fonction cosinus. Un milieu élastique dans lequel se propage des ondes peut être modélisé par sa masse volumique p(x) et son tenseur élastique c(x) de tout point de l'espace repéré par le vecteur de position x. Le tenseur élastique c(x) est un 20 tenseur d'ordre 4 de dimension 2 dans le cas d'un espace 2D (il serait de dimension 3 pour un espace 3D), qui s'écrit : c(x) ù {c j .l(x)} (r, j, k. l) E {1.. 2} 1 for 1k1 ko. 25 30 (4) Le tenseur élastique c(x) est un tenseur défini et positif, qui satisfait aux symétries suivantes : Gijkl = Gjkl = = Gklj (5) Cette propriété réduit le nombre de paramètres indépendants pour caractériser le tenseur élastique c(x) à six paramètres dans le cas d'un espace 2D ou à 21 paramètres dans le cas d'un espace 3D. De plus, dans un espace 2D, si le milieu est isotrope, le tenseur élastique c(x) comprend seulement deux paramètres indépendants. Il peut alors être défini : - soit par la vitesse des ondes primaires Vp (ondes primaires P ou ondes de compression) et la vitesse des ondes secondaire VS (ondes secondaires S ou ondes de cisaillement) ; - soit par les deux coefficients de Lamé, s'exprimant habituellement en fonction du module de Young E et du coefficient de Poisson v. D'autre part, on considère qu'un champ d'ondes se propage dans ce milieu élastique et qu'il existe une longueur d'onde minimum Xm. Alors, ce champ d'ondes est insensible aux variations spatiales des propriétés du milieu sur des échelles de tailles très inférieures à Xm. Dans la suite, les notations suivantes seront également utilisées. Pour tout tenseur A d'ordre 4 et tenseur b d'ordre 2, nous notons . [A:b]ii =Aijk.1bo (6) où l'on considère la somme sur tous les indices répétés. Pour tous tenseurs d'ordre 4 A et B, nous notons : [A : B].,; r = A rn.n mnkl (7) où l'on considère également la somme sur tous les indices répétés. Nous utiliserons également la notation suivante compacte pour les dérivés partielles par rapport à toute 25 variable x d'une fonction prédéterminée g: (8) Enfin, nous utiliserons parfois la notation classique pour la dérivée partielle par rapport au temps t, pour toute fonction u : au 30 Le modèle élastique original, maintenant noté avec un exposant zéro, est un plan infini dans un espace 2D, 20 défini par sa masse volumique original p°(x) et son tenseur élastique original c°(x). Nous ne faisons aucune hypothèse concernant les variations spatiales de la masse volumique originale p°(x) et du tenseur élastique original c°(x), ce qui signifie qu'ils peuvent varier à toutes les échelles spatiales et dans toutes les directions ou dimensions de cet espace. Le milieu élastique est soumis à une source ou force externe f = f(x, t) dépendante du vecteur position x et du temps t. Le vecteur déplacement u(x,t) se propageant dans le milieu élastique s'écrit donc : u(x t) ù'(tal u~)(x t) où u1, u2 sont les composantes du vecteur déplacement 15 selon chaque dimension de l'espace 2D. Nous supposons que la force externe f = f(x, t) possède une fréquence de coupure jr,, de telle sorte que, en champ lointain, il existe une longueur d'onde minimum X111 au champ d'ondes du vecteur de déplacement u(x,t). 20 Le vecteur de déplacement u(x,t) est défini par l'équation d'ondes classique suivante : p°Ottu ù V a = f (10) où 6 est le tenseur de contraintes, et 25 V est l'opérateur vectoriel de divergence. La relation constitutive entre le tenseur de contrainte 6 et le tenseur de déformation e(u) est : Q=c:e(u) (11) où 30 e(u) est le tenseur de déformation. Ce tenseur de déformation e(u) peut être calculé par : e(u) = 4(Vu+Vu) Pour résoudre ces équations grâce un procédé d'homogénéisation, un paramètre d'homogénéisation ou d'approximation E est introduit : A (12) où a, est une longueur d'onde spatiale ou une échelle. Pour un milieu périodique, la longueur d'onde a, est la périodicité du milieu. Pour un milieu non périodique, nous introduisons un paramètre de lissage Eo (ou paramètre d'échelle) . 'Xo (13) où Xo est la longueur d'onde de lissage ou d'échelle, et Xm est la longueur d'onde minimum. La longueur d'onde de lissage Xo est la longueur d'onde en dessous de laquelle une longueur d'onde est considérée comme appartenant à une petite échelle (microscopique) et au dessus de laquelle une longueur d'onde est considérée comme appartenant à une grande échelle (macroscopique). La longueur d'onde de lissage Xo est prédéterminée par l'utilisateur. Choisir un paramètre de lissage Eo très inférieur à 1 revient à considérer comme échelle microscopique des échelles très inférieures à la longueur d'onde minimum Xm. Afin de prendre en compte des hétérogénéités à une 25 échelle microscopique, un vecteur position d'échelle microscopique y est introduit : x y=- s (14) où x est le vecteur position dans l'espace, ce vecteur 30 étant d'échelle macroscopique, et E est le paramètre d'homogénéisation. Lorsque le paramètre d'homogénéisation E tend vers zéro, tout changement dans le vecteur position d'échelle microscopique y introduit un changement très petit dans le vecteur position d'échelle macroscopique x, qui permet d'introduire la séparation des échelles. Le vecteur position d'échelle microscopique y et le vecteur position d'échelle macroscopique x sont alors traités comme des variables indépendantes dans les équations. Cette séparation implique que les dérivés partielles par rapport au vecteur position d'échelle macroscopique x deviennent : 1 V2, v7.+-vy (15) où .r (axl, , et V = c' (c),ai, chi Nous définissons l'ondelette de filtrage à l'échelle microscopique : w»z (Y) = wk,n (Y) où U'k, est une ondelette de filtrage passe-bas, par exemple telle que définie dans l'équation (3), et kmest un nombre d'onde minimum, défini par l'inverse de la longueur d'onde minimum Xm : km= 1/ Xm. Nous supposons que l'ondelette de filtrage à l'échelle microscopique em est supportée dans le domaine spatial, et qu'elle est contenue dans un premier intervalle spatial carré défini par : [ -OG Xm, +îXm] 2 où î est un nombre positif prédéterminé. Nous définissons un deuxième intervalle spatial carré, de l'espace R, défini par : YO = [ -R Xm, +E Xm] 2 où est un nombre positif supérieur à oc. Nous définissons un premier ensemble de fonctions h(x,y) Yo-périodiques en y. Nous définissons un troisième intervalle spatial, dit cellule spatiale Yx de même domaine spatial que le deuxième intervalle spatial Yo, mais translaté dans l'espace par un vecteur x/co. Nous définissons un opérateur de filtrage, pour toute fonction h appartenant à I -de la manière suivante : F (h) (x,Y) ù f h(x,y)-'n,(Y ùy')dy' ~2 (16) Le filtre spatial T est de type passe-bas pour ou dans le domaine des nombres d'ondes. Ce filtre spatial T permet de filtrer les échelles microscopiques de nombre d'onde supérieur à 1/X0 (de longueur d'onde inférieures à la longueur d'échelle a,0), et sensiblement conserver les échelles macroscopiques de nombre d'onde inférieur à 1/X0 (de longueur d'onde supérieures à la longueur d'échelle X0). Ce filtre permet de séparer les échelles macroscopiques ou lentes (plus grande que )0) des échelles microscopiques ou rapides (plus petites que )0) pour toute quantité définie dans la cellule spatiale Yx. Ce filtre spatial a un support qui correspond à l'ensemble des points où l'ondelette de filtrage est non nulle. Ce support a une taille inférieure ou égale à la taille de cellule spatiale Yx. Le support du filtre est alors contenu dans la cellule spatiale Yx. Nous définissons un deuxième ensemble V de fonctions h(x,y), tel que pour une position prédéterminée x, la portion y de h est périodique et contient uniquement des fréquences spatiales supérieures à km, plus une valeur constante en y : V {hET/,F(h)(x,y)=(h,)(x)} (17) où ]. (h .) (x) = h(x, y)cdy (18) est la moyenne de la fonction h(x,y) selon y et sur la cellule périodique. Le deuxième ensemble V est un ensemble de30 18 fonctions n'ayant pas de variations macroscopiques en y. Nous pouvons définir un modèle à deux échelles par la masse volumique à deux échelles p£0(x,y) et le tenseur élastique à deux échelles c£0(x, y). Ce modèle à deux échelles (pEO(x, y), cEO(x, y)) peut être initialisé avec les valeurs des masses volumiques et du tenseur élastique du milieu original par : pEo (x, x/',so) = po(x) c`0 (x, x/so) = c° (x) (19) Le modèle à deux échelles (pEO(x, y), cEO(x, y)) peut alors 10 être mis en relation avec un modèle à simple échelle (pE0,E(x), cE0,E(x)) correspondant : c0' (x) = c~° x (20) Avec de tels jeux de paramètres, une solution au problème d'homogénéisation décrit ci-dessous existe. 15 Cependant, cette solution n'est pas évidente et la construction des tenseurs de masse volumique et élastique (pEO(x, y), cEO(x, y)) à partir des tenseurs d'ordre originaux (p°(x),c°(x)) est une partie difficile de ce procédé. Ce point sera traité plus loin dans la description. Nous recherchons les solutions de l'équation d'onde suivante : f (21) où la relation constitutive s'écrit : = c 4'~ avec e(u.--) = .~u~~,~ + rVu~~~.~) Pour résoudre ces équations, le vecteur position d'échelle microscopique y défini à l'équation (14) est utilisée. Lorsque le paramètre d'homogénéisation E tend vers zéro, les vecteurs positions d'échelle macroscopique x 30 et d'échelle microscopique y sont traitées comme des 20 25 variables indépendantes, ce qui implique la transformation (15), ou réciproquement avec les opérateurs de déformation, on a : e(u) +, ex(u) + -e11(u) (22) ea(u) = (VTu+tVau) où , et e1(u) = (V yu + t Väu) La solution aux équations d'ondes (21) est recherchée comme une série asymptotique en E dont les coefficients du vecteur de des de déplacement u£o'i et du tenseurs de contrainte 6£0'i appartiennent au deuxième ensemble V: ua-0'«x, t) _ .iu`0°i(x. x, i=o cc ~iu~o,i(x y,t i =0 O.`o'`(x, t) si (7'0 '" (x,xis - (23) En introduisant les séries (23) dans les équations d'onde (21), tout en utilisant les équations (22), nous 15 obtenons le système d'équations suivant : o,+1 =f ;y.t). p50attu'l i, ù VT _Vil (24) (25) Pour trouver les coefficients des séries (23) jusqu'à l'ordre io, les équations (24) et (25) doivent être 20 résolues pour chaque indice i, de i=-2 jusqu'à l'indice io. Des méthodes de résolution du système d'équation (24,25) sont connues. Le lecteur pourra se référer par exemple au livre suivant : Sanchez-Palencia, 1980, « Nonhomogeneous media and vibration theory », Numéro 127 dans 25 « Lecture Notes in Physics. » Berlin: Springer. En résolvant les équations (24) et (25), on peut trouver premièrement que (71=0 et que ue0,0 = On montre d'autre part que le déplacement u£0'0 est une solution des équations effectives (le modèle effectif est noté avec l'indice *) suivantes : P `oattu`o,° _ V _ f (Q`0'0) c* e, (11'0.0) (26) où c*£0 est le tenseur élastique effectif d'ordre zéro. On définit alors un tenseur correcteur de déplacement x£0 d'ordre 3 construit à partir du recueil des correcteurs du premier ordre (qui sont des vecteurs), solution dans le deuxième ensemble V de des équations de cellule suivantes : où . ° 0 Y=.° Hijki ù ~ijni.n.Gm:n,lzl et (28) c,0 ~- i. j ki ù 2 \r?.tk.~SJ1 + c)jk,( +i) E°'kl e°,kl (29) et où G£0(x, y) est un tenseur correcteur de déformation, et H£0(x,y) est un tenseur correcteur de contrainte. Le tenseur élastique effectif c*'£0 peut alors être calculé par l'équation suivante : c*G°(x) (H'.°) (x) (30) p.,. peut A cette étape, la résolution des équations effectives (26), permet de trouver le déplacement u£0'0 et la contrainte moyenne Pour obtenir complètement le 30 De même, la masse volumique effective alors être calculée par l'équation suivante : fi' = (x) tenseur de contrainte d'ordre zéro 6£0'0, on calcule : (31) La solution d'ordre 1 peut être écrite comme suit : u: (x, Y) _ ~~ (x, Y) e , a l (x) + "uz: (x) 6so,o = e (us,,.°) L En pratique, les équations d'ondes homogénéisées (26) présentées ci-dessus sont résolues avec un logiciel de résolution d'équation d'ondes classiques, par exemple du type implémentant des méthodes à éléments spectraux (SEM, 10 en anglais « Spectral Element Method »). Pour ce faire, les différents ordres sont combinés ensemble. Ici, nous arrêtons le calcul à l'ordre 1 pour les correcteurs et cette combinaison d'ordre n'a pas lieu d'être. Nous appelons solution d'ordre 0, la solution du °0,0 15 déplacement u lx) et de la containte eo'o(x, Y), pour laquelle En appliquant le tenseur correcteur de déplacement x£° de premier ordre à la solution d'ordre zéro du 20 déplacement ",,'n(x), nous pouvons obtenir une solution d'ordre 1 partiel : üEo.,-.1/2(x) = u`0,U(x) + x/ ) : (u`0'0) (x) (33) où la notation avec l'exposant 1/2 signifie « ordre 1 partiel ». Pour obtenir une solution d'ordre 1 complète, 25 devrait être calculé. Finalement, la seule valeur du paramètre d'homogénéisation E qui soit d'un intérêt pratique est E = co, qui, grâce à l'équation (19), est le seul cas pour lequel le déplacement u£0'£ est égal au déplacement de 30 référence uref obtenu en résolvant les équations d'ondes (10) et (11) avec le premier modèle élastique original M1, que l'on cherche à approcher par le procédé d'homogénéisation. Nous notons que, pour tout paramètre d'échelle co, nous cr'',o(x,y) = H`°(x,y) : 0r (x)) (32) où avons l'égalité des déplacements suivants uref = ueo,eo En utilisant les développements ci-dessus, nous avons donc uTr..f(x) = u=°'0(X) +0(6-o) 1 Pour/ une source ponctuelle externe, la force d'origine ou le tenseur moment d'origine devraient être corrigés. En arrêtant l'expansion à l'ordre zéro, il n'est pas nécessaire d'effectuer une telle correction pour un vecteur de force. Cependant, pour un tenseur de moment il faut effectuer une correction. Pour un tenseur de moment localisé en xo, la force externe est donnée par : f(x,t) =g(t)M• Và(xùxo) (34) où g(t) est l'ondelette temporelle de la source et M est le tenseur symétrique de moment. Comme cela a été démontré, nous devons trouver un tenseur de moment M£o'£'o tel que : (uso,~,f)= (us"," fso,s,M) + 0(,I) J où (.,.) est le produit interne de LZ et : f` '''0(x, t) = g(t)M'>e,o V «x ù xo) (36) En utilisant une intégration par partie et la symétrie du tenseur de moment, l'équation (35) devient 20 M : e (u') lX( = Mme'° : (tel ~XO + ()(É) (37) En utilisant les équations (22) et (32), nous pouvons alors trouver à l'ordre zéro = G' (xo, xo,/s) : M (38) 25 Nous allons maintenant expliciter les étapes de calcul du procédé de l'invention. L'étape essentielle est de construire une masse volumique pEO(x, y) et un tenseur élastique cEO(x, y) de telle sorte que le déplacement u£o'1 et la contrainte 6£0'o sont 30 compris dans le deuxième ensemble V. A partir des équations (31) et (32), on peut s'apercevoir que ces conditions sont vérifiées si le tenseur élastique c£o(x,y) peut être construit de telle sorte (35) 23 que le tenseur correcteur de déplacement x£0 et le tenseur correcteur de contrainte H£0 soient dans le deuxième ensemble V. Dans ce cas, le tenseur correcteur de déformation ce est également dans le deuxième ensemble V (les dérivés des fonctions de V sont également dans le deuxième ensemble V). Cependant, nous recherchons la masse volumique pE0(x, y) et le tenseur élastique cE0(x, y) satisfaisant les conditions suivantes . ( i ) p£o, H£o, et xeo,kl sont dans le deuxième ensemble ; (ii) p£0 et c£0 doivent être définies et positives ; (iii ) p£0(x, x/Eo) = p°(x) et c£0(x, x/Eo) = c°(x) . La construction de la masse volumique p£0(x,y) est effectuée directement par l'équation suivante : p`"(x,y) =.F(p'T°a) (x,x/6o) + (p`°'S ù:F(el)(x,y) pc0' s (x4 y) = p°(Eoy) spatiale Y,, et par périodicité. Nous avons alors pE0(x, x/co) = p°(x) avec pE0 appartenant au deuxième ensemble V et p£0 est positif avec une ondelette w m bien choisie. Avec une telle définition, il apparaît que : p''0 = (p`°) = .F(p`'o'") Pour le tenseur élastique c£0, le procédé est plus complexe. L'idée principale est de rechercher deux champs intermédiaires, le tenseur correcteur de déformation G£0 et le tenseur correcteur de contrainte H£0 du deuxième ensemble V, tels que le tenseur correcteur de déformation G£0 puisse être écrit de la façon suivante : G`" = 21 (Viix`ä + tv,x"') + I (40) et H'0 = Gao (41) où cellule (39) pour tout y appartenant à la ensuite étendu à tout l'espace 2 vu•=o v7, est un opérateur de gradient, tel que : r~ ~o,k1 vziX 2.jkl = dyz;t ~tv {° = a ~° k1 ]tij~°lyet I4 est un tenseur identité d'ordre 4, tel que 1 = - (ô,1:SJC +S)k.(ï.,c) Le procédé de calcul de l'invention suivant peut 10 alors être appliqué. Dans une première étape, nous construisons un tenseur élastique initial c£o's(x, y) à partir du tenseur élastique original c°(x) du modèle élastique original M1, en appliquant une déformation d'échelle telle que pour 15 tout x, cEo's(x, y) = c (Eoy) pour tout point de la cellule spatiale Yx repéré par son vecteur position microscopique y, puis étendu à tout l'espace R-2 par périodicité. Dans une deuxième étape, pour tout x, nous 20 résolvons alors les équations de cellule (27) reproduites ci-dessous avec des conditions périodiques limites sur la cellule spatiale Yo pour trouver le tenseur correcteur de déplacement initial xsEo'u(x, y) : 24 (42) (43) où 25 dyi i w = 0 I1 x, y) = y) : G` °,.«x, y) , et où y) = (vux' " + tv 1x o:~) I 7'Y est un opérateur de gradient, tel que : 30 v,x`'n, s ~jk n15 c):o i 1.2 et I4 est le tenseur identité d'ordre 4. A l'aide du tenseur correcteur de déplacement initial xseo,u(x, y) , nous en déduisons un tenseur correcteur de déformation initial Ge's(x, y) et un tenseur correcteur de contrainte initial H£o's(x,y) par application des mêmes 5 équations de cellule : GFO'8(x. y) (V xP°,Y + tVjxF°-y) + 14 (44) y) = c=o.5 (x, y) : y) (45) Dans une troisième étape, pour un point de l'espace appartenant à la cellule spatiale Yx et repéré par le 10 vecteur de position microscopique y, nous calculons un tenseur correcteur de déformation G£o(x,y) avec l'équation suivante : G`0 (x, y) = [(G'0.5 _ (G :..5)) (x, y)] :[F (G',,' ) (x, x/6(,)] + 14 (46) D'après l'équation ci-dessus, ce tenseur correcteur 15 de déformation Ge(x, y) est obtenu par séparation avec ledit filtre spatial .F des échelles microscopiques et macroscopiques du tenseur correcteur de déformation initial G£o's(x, y). Le résultat de cette séparation est normalisé par le correcteur de déformation initial Ge's(x,y) filtré des 20 petites échelles par le filtre spatial J. Dans une quatrième étape, pouvant être effectué avec la précédente étape, pour un point de l'espace appartenant à la cellule spatiale Yx et repéré par le vecteur de position microscopique y, nous calculons un 25 tenseur correcteur de contrainte H£0(x,y) avec l'équation suivante : H`°(x,y) = [(H""'' -.T(H 's)) (x,y) + f ( ) (x,x/Eo)] : [.F(G`,, ) (x, (47) D'après l'équation ci-dessus, ce tenseur correcteur 30 de contrainte H£0(x,y) avec est obtenu par séparation avec ledit filtre spatial .F des petites et grandes échelles du tenseur correcteur de contrainte initial H£o's(x, y). Le résultat de cette séparation également est normalisé par le correcteur de déformation initial Ge's(x,y) filtré des 35 petites échelles par le filtre spatial }. 26 L'extension du tenseur correcteur de déformation G°(x, y) et du tenseur correcteur de contrainte HE0(x, y) depuis la cellule spatiale Y,, à tout l'espace R' est alors effectuée par extension périodique. Dans une cinquième étape, le tenseur élastique effectif c'£0(x) est donné par une moyenne spatiale du tenseur de contrainte H£0(x,y), qui est le tenseur de contrainte initial H£0's(x, y) filtré des petites échelles par le filtre spatial .F , normalisé par le correcteur de déformation initial G°'s(x,y) filtré des petites échelles par le filtre spatial ), ce qui donne l'équation suivante : (x) = (H'o (x) = (:F(H'=o,.5) F(G'=u,..~ù (x. x/ o) (48) En outre, à partir de l'équation (41) et des tenseurs correcteur de contrainte initial H£0's(x,y) et de déformation initial G°'s(x,y), obtenus à la deuxième étape du procédé, nous pouvons construire le tenseur élastique EO c (x, y) suivant . y) = (rr'' : (G'0)ù1) (x, Y) (49) Grâce à ce tenseur élastique c£0(x, y), il est alors possible de calculer le tenseur correcteur de déplacement x£0(x,y) en résolvant à nouveau les équations de cellule. Ce tenseur correcteur de déplacement x£0(x, y) permet 25 de corriger au premier ordre le déplacement des effets des structures microscopiques avec l'équation (33). Après ces étapes et le tenseur élastique c£0(x, y) étant connu, le procédé classique de calcul d'homogénéisation peut être poursuivi. 30 Il existe plusieurs procédés antérieurs pour homogénéiser un modèle élastique original. Nous en présentons ci-dessous deux basés sur le filtre spatial F*0 où ko est un nombre d'onde d'échelle plus grand que 1/Xm. Ce nombre d'ondes d'échelle ko permet de définir le 20 Co ( paramètre de lissage ù\ où Xo est une longueur d'échelle, définie par l'inverse du nombre d'échelle : ~,o= 1/ko, et Xm est une longueur d'onde minimum. Un premier procédé simple de mise à l'échelle est le procédé de mise à l'échelle dit par filtrage du tenseur élastique. Ce procédé est basé sur le filtrage spatial passe-bas du tenseur élastique c(x)et de la masse volumique p(x). Le modèle effectif est alors défini par : (F o (p) , fho (c» Un second procédé simple de mise à l'échelle est le procédé de mise à l'échelle dit par filtrage des vitesses des ondes. Il est basé sur le filtrage spatial passe-bas des vitesses des ondes élastiques et de la masse volumique p(x). Si le milieu est isotrope, il est complètement 20 défini par sa masse volumique p(x), la vitesse des ondes primaire Vp et la vitesse des ondes secondaire Vs. Le modèle effectif est alors défini par : - la masse volumique effective p*'£0(x) calculée par filtrage spatial : 25 et - des vitesses effectives calculées également par filtrage spatial. La vitesse effective des ondes primaires est donné par vr' F` (VT) et la vitesse effective des ondes secondaires est donné par v SX,s-O = .Fl,°0 (V ) 30 Cependant, lorsque le modèle original présente des variations rapides (microscopiques), les procédés de filtrage du tenseur élastique ou des vitesses ne fournissent pas le même milieu effectif. Il est ainsi difficile de choisir entre l'un et l'autre, chacun 27 Eo (50) fournissant des résultats différents. Parfois, on réalise une pondération des deux modèles effectifs obtenus, mais les réglages effectués ne sont pas très convainquant pour résoudre les équations des ondes pour un milieu quelconque, à priori. La figure 7 présente des résultats de calcul d'un deuxième programme C2 adapté pour calculer la propagation d'ondes dans un milieu. Cette figure montre : - un premier résultat S1 correspondant à une 10 vitesse de déplacement d'un point du milieu, calculé à partir du modèle élastique original M1 ; - un deuxième résultat S2 correspondant à la vitesse de déplacement du même point du milieu, calculé à partir du modèle élastique effectif M2 calculé par le 15 procédé de la présente invention ; - un troisième résultat S3 correspondant à la vitesse de déplacement du même point du milieu, calculé à partir d'un modèle élastique effectif M2' calculé par un procédé d'homogénéisation de filtrage du tenseur élastique. 20 En comparant les différents résultats, on s'aperçoit que le résultat S2 utilisant le procédé de détermination du modèle effectif de l'invention est très proche du résultat S1 utilisant le modèle original M1. On comprend alors que le procédé de l'invention est très 25 efficace et permet d'obtenir un modèle effectif M2 prenant en compte correctement les variations du milieu à petite et grande échelle, de sorte que les résultats obtenus rapidement à partir de ce modèle effectif M2 sont précis. REVENDICATIONS1. Procédé pour déterminer un modèle élastique effectif représentant un milieu élastique réel à partir d'un modèle élastique original représentant plus finement le même milieu élastique réel s'étendant dans un espace, composé d'une pluralité de matériaux et dans lequel des ondes se propagent, ledit modèle élastique effectif étant adapté pour faire au moins des calculs élastiques de déformation du milieu matériel réel, ledit procédé étant mis en oeuvre par un ordinateur (3) et dans lequel : - le modèle élastique original (Ml) est défini par des paramètres originaux pour une pluralité de points de l'espace, chaque point repéré dans l'espace par un vecteur position macroscopique x, lesdits paramètres originaux comprenant au moins un tenseur élastique original c°(x), ledit tenseur élastique original étant un tenseur défini positif, - le modèle élastique effectif (M2) est défini par des paramètres effectifs pour ladite pluralité de points du milieu matériel réel, lesdits paramètres effectifs comprenant au moins un tenseur élastique effectif c*'£0(x), et dans lequel : - on définit un paramètre d'échelle co par : ao co ffl où - X° étant une longueur d'échelle telle que les ondes de longueur d'onde a, inférieure à la longueur d'échelle X° sont considérées de petite échelle, dite microscopique, et les ondes de longueur d'onde a, supérieures à ladite longueur d'échelle X° sont considérées de grande échelle, dite macroscopique, et - Xm étant une longueur d'onde minimale de propagation des ondes dans le milieu élastique réel, - on définit un filtre spatial .F applicable à untenseur, ledit filtre spatial étant de type passe-bas dans le domaine des nombres d'onde pour filtrer les échelles microscopiques de longueur d'onde inférieures à la longueur d'échelle Xo, et sensiblement conserver les échelles macroscopiques de longueur d'onde supérieures à la longueur d'échelle Xo, et ledit filtre ayant un support spatial, - on définit une cellule spatiale Y,, pour chacun desdits point de l'espace repéré dans l'espace par le vecteur position macroscopique x, ladite cellule spatiale Y,, étant un sous-espace sensiblement rectangulaire et centré autour dudit point et à partir de laquelle on définit un vecteur position d'échelle microscopique y donné par : x y=ù, et £o ladite cellule spatiale Y,, ayant une taille supérieure ou égale à une taille du support du filtre spatial T pour pouvoir le contenir, ledit procédé étant caractérisé en ce qu'il comprend au 20 moins les étapes suivantes : a) on construit un tenseur élastique initial c£0's(x, y) à partir du tenseur élastique original c°(x) du milieu élastique original (Ml), en appliquant une déformation 25 d'échelle par la formule suivante : ce's(x, y) = C (Eoy) , appliquée à chacun des points de l'espace repéré par le vecteur position macroscopique x et à chacun des points de la cellule spatiale Y,, repéré par le vecteur position 30 microscopique y et étendue au-delà de la cellule spatiale Y,, par périodicité spatiale, b) on résout des équations de cellule en chacun des points de l'espace repéré par le vecteur position macroscopique x 35 et à chacun des points de la cellule spatiale Y,, repéré par le vecteur position d'échelle microscopique y, lesdites équations de cellule s'écrivant : ~Yi U H`C1,8 ç (x, y) = cs (x, y) : G`~`0..(x. y) G`Or9(x• y) = 2 (V jX'0'+tv1X"-O:'') +I4 5 étant un opérateur de gradient, I4 étant un tenseur identité d'ordre 4, et lesdites équations de cellule étant des équations d'équilibre de la cellule spatiale soumise à une série de chargement élémentaires avec des conditions limites périodiques aux bords de la cellule spatiale Yx, et 10 permettant de : - trouver au moins un tenseur correcteur de déplacement initial xeo,s(x, y) en chacun des points de la cellule spatiale Yx, et - déduire au moins un tenseur correcteur de 15 déformation initial G£0'S(x, y) et un tenseur correcteur de contrainte initial H£0'S(x,y) par application des mêmes équations de cellule et à partir dudit tenseur correcteur de déplacement initial xe°'s(x, y) trouvé précédemment, c) on calcule un tenseur élastique effectif c'£0(0) en chacun desdits points de l'espace par un produit du tenseur correcteur de contrainte initial H£0'S dont on filtre les échelles microscopiques par le filtre spatial .F et de l'inverse du tenseur correcteur de déformation initial Ge' dont on filtre les échelles microscopiques par le filtre spatial .F, selon la formule suivante : c'''0 (x) = (.'F (FUI :.F (G'01-7» ()c., x% Eo) correspondant à un calcul d'une moyenne spatiale des variations microscopiques d'un tenseur correcteur de contrainte HE0(x, y) 2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel après l'étape b) on calcule en outre : - un tenseur correcteur de déformation G£0(x, y) - en séparant les échelles microscopiques et macroscopiques du tenseur correcteur de déformation initial G°'s(x, y) avec ledit filtre spatial T, et en le multipliant par l'inverse du correcteur de 5 déformation initial G°'s(x,y) dont on filtre les petites échelles par le filtre spatial F, et un tenseur correcteur de contrainte H£0(x, y) : - en séparant les échelles microscopiques et macroscopiques du tenseur correcteur de contrainte initial 10 HEo,s(x, y avec ledit filtre spatial -T, et - en le multipliant par l'inverse du correcteur de déformation initial G°'s(x,y) dont on filtre les échelles microscopiques par le filtre spatial .F. 15 3. Procédé selon la revendication 2, dans lequel : - le tenseur correcteur de déformation G°(x, y) est calculé par la formule suivante : G '° (x, y) _ [(G` - ,E (G`°'s)) (x, y)] : [T (G`° °s) (x, x/E(»]- i + TI et - le tenseur correcteur de contrainte H£0(x,y) est 20 calculé par la formule suivante : H (x, y) = [tH-,,. - (T3= ,,s )) (x, y) + (H''',.5) (x, x/Eo )] : [.FF (G`,' ) (x, 4. Procédé selon la revendication 2, dans lequel : - on calcule ensuite un tenseur élastique c£0(x, y) en 25 calculant le produit du tenseur correcteur de contrainte initial H£0's et de l'inverse du tenseur correcteur de déformation initial G°'s, selon la formule suivante x, y) = CHEO : (G °) 1) (x, y) et on résout à nouveau les équations de cellule avec 30 ledit tenseur élastique c£0(x,y), pour trouver un tenseur correcteur de déplacement x£0(x,y) adapté pour déterminer des effets sur le déplacement à une échelle microscopique y en chacun desdits points de l'espace. 5. Procédé selon la revendication 2, dans lequel on calcule un tenseur de moment corrigé M£0'0 adapté pour appliquer au modèle effectif une source de moment en un point du milieu de l'espace repéré par un vecteur de position xo, ledit tenseur de moment corrigé étant calculé 5 par : M'0 = G`0 (xo, xo/,7o) . M où M est un tenseur de moment adapté pour appliquer au modèle élastique original une source de moment. 10 6. Procédé selon la revendication 1, dans lequel les paramètres originaux comprenant au moins une masse volumique originale p°(x) et les paramètres effectifs comprennent au moins une masse volumique effective p*'£0(x), et dans lequel : 15 - on construit une masse volumique initiale à partir de la masse volumique originale du milieu élastique original (Ml), en appliquant une déformation d'échelle par la formule suivante : pE0's (x, y) = p°(Eoy) 20 appliquée à chacun des points de l'espace repéré par le vecteur position macroscopique x et à chacun des points de la cellule spatiale Y,, repéré par le vecteur position microscopique y, et étendue au-delà de la cellule spatiale Y,, par périodicité spatiale, et 25 - on calcule la masse volumique effective p*'£0(x), en chacun desdits points de l'espace en filtrant les échelles microscopiques de la masse volumique initiale p£0's(x,y) avec ledit filtre spatial .F, par la formule suivante : p `0 (x) _ F(p`'0'') (x, x/ o ) 30 correspondant à un calcul d'une moyenne spatiale des variations microscopiques de la masse volumique initiale pE0's (x y) 7. Programme d'ordinateur comprenant des instructions 35 de code de programme pour l'exécution des étapes de procédé selon l'une des revendications 1 à 6 lorsque ledit programme est exécuté sur un ordinateur. 8. Support d'enregistrement lisible par un ordinateur 5 sur lequel est enregistré un programme d'ordinateur comprenant des instructions de code de programme pour l'exécution des étapes de procédé selon l'une des revendications 1 à 6.