FR 2955187 A1 20110715 FR 1050106 A 20100108 Procédé de décomposition d'un signal périodique anharmonique et programme d'ordinateur correspondant L'invention concerne un procédé de décomposition d'un signal périodique anharmonique dont la forme générale peut être exprimée par x(t) = xo + x, cos(cl)(t)), où ^13(t) est la phase du signal et un programme d'ordinateur correspondant. La description des signaux périodiques et leur codage au moyen de paramètres sont une préoccupation ancienne, ce codage permettant de stocker toute l'information nécessaire à la synthèse du signal, de manière relativement compacte. Par exemple, un signal harmonique, ou sinusoïdal, est entièrement décrit par sa période et sa phase. Il est ainsi possible, à partir de la donnée de cette période et de cette phase, de synthétiser le signal. Une telle description n'est cependant pas suffisante dans le cas de signaux périodiques non-linéaires ou anharmoniques, c'est-à-dire présentant de très fortes distorsions par rapport à un signal harmonique, ou sinusoïdal. De tels signaux se rencontrent dans des systèmes dans lesquels de fortes interactions non-linéaires sont à ('oeuvre, et interviennent dans de nombreux domaines, tels que la physique des lasers, l'électronique, la chimie, la biologie ou la physiologie. La décomposition de tels signaux est généralement effectuée au moyen des séries de Fourier, introduites en 1822 par Joseph Fourier. Cette technique consiste à décomposer un signal périodique de fréquence f en une somme infinie de fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de f. Tout signal périodique x(t) de période T=1/f peut ainsi être exprimé comme une somme de fonctions sinusoïdales, du type : i2,cnt x(t)- 1cn(x)e T (1) n= Les coefficients cn, appelés coefficients de Fourier, qui sont définis par la formule : 25 T 2 en (x) _ T J x(t)e i2zT t (2) T 2 constituent un codage du signal x(t). A partir de cette analyse, la donnée des coefficients en permet de synthétiser le signal x(t). Afin d'augmenter la compacité de ce codage, il convient de limiter le nombre de 30 coefficients cn, à priori infini, et de ne conserver que les premiers termes de l'expression (1). Ces termes doivent cependant être en nombre suffisant pour que le signal synthétisé à partir du codage soit aussi proche que possible du signal x(t) d'origine. La décomposition en séries de Fourier est universelle, en ce qu'elle permet de décomposer tout type de signal périodique. Cependant, lorsque le signal analysé n'est pas harmonique ou quasi harmonique, la décomposition de Fourier nécessite de conserver un grand nombre de coefficients, coefficients auxquels il est difficile de donner un sens physique. Or, un grand nombre de signaux, produits par des systèmes dans lesquels les interactions sont fortes, impliquant des contributions non-linéaires importantes, sont fortement anharmoniques. L'invention a donc pour but de permettre l'analyse et la représentation, donc le codage et la synthèse, d'un signal périodique, quelle que soit son anharmonicité, au moyen d'un petit nombre de paramètres, par rapport au nombre de paramètres nécessaires au codage et à la synthèse par série de Fourier, lesdits paramètres étant porteurs d'un sens physique et constituant une signature simple et explicite de la dynamique et de la structure interne du système qui produit ce signal. A cette fin, l'invention a pour objet un procédé de décomposition du type précité, caractérisé en ce qu'il consiste à : - déterminer une expression de l'équation de phase F(i) = , - déterminer une expression de la phase cl)(t) en fonction de paramètres (r, rk, (Do, Pk) mesurant l'anharmonicité du signal et sa morphologie, à partir des fonctions pcosn et psinn définies par : k pcosä(t, r) = cos(kt) k- et psinä(t, r) = 1sin(kt) _ . k=1 k=1 Selon d'autres aspects de l'invention, le procédé de décomposition comprend l'une ou plusieurs des caractéristiques suivantes : - l'équation de phase est exprimée sous la forme : de. 1+r2 +2rcos(cl)) - le signal x(t) est exprimé au moyen de deux paramètres r et I , sous la forme : x(t) = xo + alhsin(t, r)+ b,hcos(t, r) 30 où a, = x, cos(cl)o) et b, = ûx, sin(cl)o ), les fonctions hsin et hcos étant définies par : hcos : (t, r) (1 + r2)cos(t)+ 2r et hsin : (t, r) (1ù r2)sin(t) 1 + r2 ù 2rcos(t) 1 + r2 ù 2rcos(t) dt 1ûr2 dans laquelle r, variant dans [0,1], est un paramètre mesurant l'anharmonicité dudit signal, - l'équation de phase est exprimée sous la forme : F(cl)) = P(cl') Q(cl)) dans laquelle P(cl)) et Q(cl)) sont des polynômes trigonométriques, - l'expression de la phase cl)(t) est déterminée sous la forme : n t(cI2.)= cl)+lakpsini(cD-Pk,rk)- k=1 dans laquelle les fonctions psin1 et pcos1 sont définis par : pcos1(t, r) =1 cos(kt) rk et psin1(t, r) =1 sin(kt) rk k=1 k k=1 k 10 L'invention concerne également un programme d'ordinateur comportant des lignes de code qui lorsqu'elles sont exécutées par une unité de traitement, réalisent les étapes d'un tel procédé de décomposition d'un signal périodique anharmonique tel que décrit précédemment. Ainsi réalisé, le procédé selon l'invention permet d'analyser un signal périodique 15 anharmonique en réduisant le nombre de paramètres nécessaire à son codage, par rapport aux procédés de décomposition selon l'état de la technique. De plus, ces paramètres ont un sens physique, ce qui permet de comparer plusieurs signaux en comparant directement les paramètres issus de leur décomposition. Selon un autre aspect, l'invention a également pour objet un programme 20 d'ordinateur comportant des lignes de code qui lorsqu'elles sont exécutées, réalisent les étapes du procédé de décomposition d'un signal périodique anharmonique selon l'invention. L'invention sera mieux comprise au regard d'un exemple de réalisation de l'invention qui va maintenant être décrit en faisant référence à la figure unique annexée, 25 qui représente un exemple de signal périodique anharmonique, ce signal synthétisé à partir de sa décomposition suivant le procédé selon l'invention, ainsi que ce signal synthétisé à partir d'une décomposition en série de Fourier. Tout signal périodique simple, c'est-à-dire possédant un maximum et un minimum par période, peut être décrit sous la forme suivante : 30 x(t) = xo + x1 cos»(t)) (3) dans laquelle toute la dépendance temporelle est contenue dans la fonction de phase I. Or, dans un signal périodique anharmonique, la principale contribution à l'anharmonicité5 provient de la brisure de symétrie de la dynamique de phase. Ainsi, toute l'information dynamique pertinente est exprimée par la dynamique de phase. Lors de la décomposition du signal x(t), il convient donc d'étudier cette phase 1(t), et en particulier la dynamique de phase exprimée par la fonction F, dérivée de la fonction 1 par rapport au temps t : F(T) _ ± (4) Ainsi, la morphologie du signal est complètement déterminée par la connaissance de F. Le procédé selon l'invention consiste donc à décrire cette fonction F au moyen d'un très petit nombre de paramètres. On entendra par petit nombre de paramètres un nombre de paramètres réduit par rapport au nombre de paramètres nécessaire à la décomposition de la même fonction, au moyen des séries de Fourier, avec un niveau de précision équivalent. La première étape du procédé selon l'invention consiste à exprimer la phase 1, et en particulier la fonction F, dérivée de 1 par rapport au temps. Dans le cas le plus simple, et pour un signal de période 2n, la dynamique de phase peut être écrite sous la forme : Md)) û de û 1 + r2 + 2rcos») (5) dt 1ûr2 appelée équation de phase. La fonction F présente dans ce cas une symétrie de réflexion par rapport à l'axe 4)=0. Cette expression de la dynamique de phase ne contient qu'un seul paramètre, r , qui varie dans l'intervalle [0,1]. La limite r=0 correspond à un signal harmonique, la limite r=1 à un signal infiniment anharmonique. Dans le cas général, c'est-à-dire pour un signal périodique quelconque, l'équation de phase peut s'écrire sous la forme : F(c~) = Pn (~) (6) Qm(~) dans laquelle Pn et Qm sont des polynômes trigonométriques de degrés respectifs n et m. La forme générale d'un polynôme trigonométrique de degré n est : n Pn (.) = ao + l ak cos(kcl)) + bk sin(kcl)) (7) k=1 Le procédé selon l'invention consiste alors à déterminer une expression de 1 faisant intervenir un petit nombre de paramètres, ce qui permet de déterminer une expression du signal x(t) en fonction de ces paramètres. Pour un signal présentant une dynamique de phase pouvant être exprimée par l'équation (5), le signal x(t), qui peut être écrit sous la forme : x(t) = xo + x, cos(cl)(t, r) ù cl)o) (8) est décomposé et réécrit sous une forme faisant intervenir les paramètres r et ^:12.o : x(t) = xo + al h sin(t, r)+ b, hcos(t, r) (9) avec a, = x, cos»o) et b, = ùx, sin(cDo ), et dans laquelle on a défini les fonctions hcos et hsin suivantes : hcos : (t, r) (1 + r2)cos(t)+ 2r (10) 1+ r2 ù 2rcos(t) 1û r 2 sin(t) hsin : (t, r) (11) 1+ r2 ù 2rcos(t) Ainsi, la décomposition du signal x(t) fait intervenir seulement deux paramètres, r et ^:Do. r, appelé paramètre d'anharmonicité, mesure le degré d'anharmonicité du signal. En effet, comme le suggère l'équation (5), la limite r=0 correspond à un signal harmonique, la 15 limite r=1 à un signal infiniment anharmonique. Par ailleurs, le paramètre ^:12.o, qui définit la composition du signal dans les deux fonctions hcos et hsin, est un paramètre de morphologie, qui correspond à l'angle de symétrie de réflexion de la dynamique de phase. Dans le cas général décrit par l'équation (6), l'étape suivante du procédé selon l'invention consiste à résoudre cette équation de phase. 20 Avantageusement, cette équation peut être réécrite sous la forme : 1 _ dt Qm(cI2.) (12) F(~) d~ Pä (~ ) La factorisation du polynôme P,») permet de transformer F(e.) en une somme de termes simples, ce qui permet de réécrire l'équation de phase sous la forme : dt ù +Vakcos(~ùpk)+bksin(~+pk) (13) 0 k=1 (1 + rk ù 2rk s(cl) + pk )) 25 La période T du signal peut être déterminée en intégrant cette équation par rapport à 1, entre 0 et 2n : -2z d~ ' r a T= J =2~r ao+1 k z (14) -o F(1) k 1ûrk 10 6 et le signal est harmonique lorsque les coefficients rk sont tous nuls, l'équation de phase peut être exprimée ainsi : dt =1+1Dk(`l)ûpk) (15) k=1 Où la fonction Dk est définie par : rk(ak cos()+ bk sin() ù ak ) Dk : cl) (1 + rk ù 2rk cos()) cl>=2z Et vérifie : f Dk(cl:.)dcl) = 0 (17) =o La définition des fonctions des fonctions polycos et polysin, notées pcosn et psinn, qui s'expriment par : k pcosn(t, r) = 1cos(kt) kn (18) k=1 k psinn(t,r)=1sin(kt)!n (19) k=1 et possèdent entre autre les propriétés suivantes : pcosn (t, r) = r(cos(t) û r) (20) 1+ r2 û 2rcos(t) psino(t,r)= rsin(t) (21) 1+ r2 û 2rcos(t) pcosi (t, r) _ û 2 In(1 + r2 û 2rcos(t)) (22) psin1(t, r) = tan-1 ru-1W j (23) ,1û rcos(t) permet de réécrire l'équation de phase sous la forme : dt =1 + akpcos0 (cl) û pk rk )+ bkp sin 0 ûpk,rk ) (24) ~ k=1 La résolution de cette équation permet d'accéder à une expression analytique de t(1), qui s'exprime par : n 20 .13+ ûpk,rk) (25) k=1 Ainsi, la mise en oeuvre du procédé selon l'invention permet d'exprimer le temps t en fonction de la phase 1, et de manière duale la phase 1 en fonction du temps t, à l'aide de paramètres indépendants clairement définis, qui mesurent l'anharmonicité (paramètres r ou rk), et la morphologie (paramètres cl)o ou Pk). 10 15 (16) Cette décomposition, qui s'applique à tout signal périodique anharmonique, permet ainsi de coder un tel signal au moyen d'un petit nombre de paramètres. En effet, quel que soit le degré de non-linéarité du signal, la donnée d'un ou de deux couples de paramètres suffit pour synthétiser le signal de façon satisfaisante, c'est-à-dire de manière telle que le signal et sa représentation ne peuvent être visuellement distingués. Ainsi, dans la plupart des cas, un signal anharmonique sera décrit de manière quasi-exacte par une période, une amplitude, une harmonicité r et une morphologie I . Dans d'autres cas, deux couples de paramètres (rk, Pk) seront nécessaires, complétés de leurs poids respectifs. Un exemple de décomposition puis de synthèse d'un signal périodique anharmonique est illustré sur la figure unique. Sur cette figure est notamment représenté un signal périodique anharmonique S. Ce signal S peut être décomposé suivant le procédé selon l'invention. A cette fin, son équation de phase est exprimée suivant l'équation (6), qui, une fois résolue, permet de déterminer l'expression de t en fonction de 1 donnée par l'équation (25), c'est-à-dire les paramètres (rk, pk), ainsi que les paramètres (ak, bk). Le signal S peut ainsi être décomposé en une somme de signaux, entièrement déterminée par la donnée de ces paramètres. Il est alors possible, à partir de la seule donnée de ces paramètres, de la période et de l'amplitude du signal, de synthétiser celui-ci. Or, un petit nombre de ces paramètres peut suffire pour synthétiser un signal dont la représentation soit visuellement très proche du signal d'origine. Ainsi, lorsque un seul terme de l'expression (25) est conservé, forme la plus réduite possible, cette expression s'écrivant alors : t = + 1,15 psin, (.12. û 2,65, 0,96) (26) le signal synthétisé (Sp) est très difficile à distinguer du signal d'origine, comme le montre la représentation de la figure 1. La décomposition du signal, avec une bonne précision, ne nécessite alors que trois paramètres (la période, l'amplitude, et le paramètre a,). A titre de comparaison, le signal Sf synthétisé à partir de sa décomposition en série de Fourier, en conservant 3 modes (6 paramètres), est également représenté sur la figure. Cet exemple montre ainsi que le procédé selon l'invention permet de décomposer un signal et de coder celui-ci à l'aide d'un nombre restreint de paramètres, et ce avec une plus grande précision que la décomposition en série de Fourier. De plus, contrairement aux coefficients de Fourier, les paramètres déterminés lors de la décomposition suivant le procédé selon l'invention ont un fort sens physique et permettent de décrire l'anharmonicité et la morphologie du signal. Le procédé selon l'invention peut avantageusement être mis en oeuvre dans de nombreux domaines dans lesquels interviennent des signaux périodiques anharmoniques dont il fournit une représentation optimale. Notamment, de tels signaux présentent une grande importance en échographie anharmonique. Dans ce domaine, les signaux non-linéaires sont produits par des agents de contraste ultrasonore, et doivent être distingués du signal échographique des tissus. Jusqu'à présent, ces signaux sont détectés par la seule évaluation de l'amplitude de leur premier harmonique. Or, l'analyse et la décomposition de ces signaux suivant le procédé selon l'invention permet de coder ces signaux au moyen de deux paramètres r et Po, qui constituent des mesures bien plus précises et discriminantes de la non-linéarité d'un signal. Dans de nombreuses situations ceci suffit à distinguer les signatures non-linéaires de tissus de natures différentes et en particulier des tissus sains et pathologiques. L'imagerie échographique est formée par cartographie des différents paramètres d'anharmonicité et de morphologie. Le procédé selon l'invention peut également être utilisé pour l'analyse de signaux physiologiques tels que des électrocardiogrammes, qui sont constitués de la superposition de plusieurs signaux fortement non-linéaires. La décomposition de ces signaux suivant le procédé selon l'invention permet de caractériser la morphologie de ces électrocardiogrammes au moyen de paramètres objectifs fiables. La caractérisation fine et fiable de ces signaux permet l'aide au diagnostic ou le diagnostic automatique, dans des étapes précoces de certaines pathologies et des comparaisons simples et pertinentes autorisent le suivi de l'évolution d'un patient. De manière analogue, le procédé selon l'invention permet la caractérisation des signaux associés aux handicaps respiratoires, leur diagnostic et la surveillance de ces troubles, tels que la mort subite du nourrisson ou l'apnée du sommeil. La pertinence des paramètres morphologiques des signaux respiratoires permet la pilotage efficace et toléré des respirateurs dans le case d'une ventilation non invasive. Par ailleurs, les signaux audiophoniques, qui présentent un fort caractère anharmonique, sont généralement caractérisés à l'aide de l'approche de Fourier. Dans ce domaine, la décomposition des signaux par le procédé selon l'invention permet notamment de coder ces signaux à l'aide d'un nombre plus restreint de paramètres. Cette compacité permet de réduire l'espace nécessaire au stockage de ces signaux, d'augmenter le débit des canaux de transmission et d'améliorer la qualité de restitution des sons resynthétisés. La représentation des signaux selon le procédé de l'invention permet également un filtrage qui préserve les propriétés nonûlinéaires, contrairement au filtrage passe-bas de l'espace de Fourier par exemple et permet aisément des corrections fréquentielles qui préservent les propriétés de timbre. Ce même procédé permet la modélisation des instruments de musique dont les composantes non-linéaires peuvent être décrites par des paramètres objectifs, fiables et en petit nombre, permettant la réalisation de synthétiseurs plus performants. Ce procédé selon l'invention peut être efficacement utilisé pour la reconnaissance ou l'identification vocale dont les composantes non-linéaires sont fortes et constituent une signature discriminante. De la même manière, le procédé peut être utilisé pour la caractérisation des troubles phoniatriques et phonologiques et l'évaluation de leur évolution. Le même procédé selon l'invention peut être avantageusement utilisé pour la caractérisation des propriétés acoustiques non-linéaires des matériaux et le diagnostic des propriétés mécaniques, la définition de profils de comportement, la détection de défauts ou comparaisons fines ou évolution de propriétés élastiques de matériaux ou structures en régime non-linéaires sous contraintes fortes, situation typique des pneumatiques pour ne citer qu'un exemple. De la même manière l'identification et la modélisation de signature sonique ou supersonique (sonar, bang sonique, nuisances sonores) au moyen des paramètres d'anharmonicité peut contribuer à améliorer la conception de systèmes mécaniques en avionique, aéronautique, automobile et transports Le procédé selon l'invention peut également être utilisé dans le domaine des télécommunications dans les situations où le comportement non-linéaire peut être exploité pour coder des informations au moyen des paramètres d'anharmonicité constituant une porteuse non-linéaire à haut débit. Un tel procédé peut par exemple être mis en oeuvre par un programme d'ordinateur correspondant embarqué dans une unité de traitement correspondant et trouver de nombreuses applications comme indiqué précédemment. REVENDICATIONS1.- Procédé de décomposition d'un signal périodique anharmonique, dont la forme générale peut être exprimée par x(t) = xo + x, cos(cl)(t)), où cl)(t) est la phase du signal, caractérisé en ce qu'il consiste à : - déterminer une expression de la phase cl)(t) en fonction de paramètres (r, rk, Pk) mesurant l'anharmonicité du signal et sa morphologie, à partir des fonctions pcosn et psinn définies par : 15 dl) - déterminer une expression de l'équation de phase F(1) = , k pcosä(t, r) = cos(kt) k- et psin(t, r) = sin(kt) k- . k=1 k=1 2.- Procédé de décomposition d'un signal périodique anharmonique selon la revendication 1, caractérisé en ce que l'équation de phase est exprimée sous la forme : dcl) 1+r2 +2rcos(cl)) dt 1ùr2 dans laquelle r, variant dans [0,1], est un paramètre mesurant l'anharmonicité dudit signal. 3.- Procédé de décomposition d'un signal périodique anharmonique selon la revendication 2, caractérisé en ce que le signal x(t) est exprimé au moyen de deux paramètres r et ^:Do, 20 sous la forme : x(t) = xo + alhsin(t, r)+ b,hcos(t, r) où a, = x, cos(cDo) et b, = ûx, sin(cDo ), les fonctions hsin et hcos étant définies par : hcos : (t, r) (1 + r2)cos(t)+ 2r et hsin : (t, r) (1û r2)sin(t) 1 + r2 û 2rcos(t) 1 + r2 û 2rcos(t) 25 4.- Procédé de décomposition d'un signal périodique anharmonique selon la revendication 1, caractérisé en ce que l'équation de phase est exprimée sous la forme : dans laquelle P(cl)) et Q(cl)) sont des polynômes trigonométriques 30 5.- Procédé de décomposition d'un signal périodique anharmonique selon la revendication 54, caractérisé en ce que l'expression de la phase ^13(t) est déterminée sous la forme : n t(cI2.) = cl)+lakpsini(cD-Pk,rk)- k=1 dans laquelle les fonctions psin1 et pcos1 sont définis par : pcos1(t, r) = cos(kt)-k et psin1(t, r) = sin(kt)-k k=1 k k=1 k 6.- Programme d'ordinateur comportant des lignes de code qui lorsqu'elles sont exécutées par une unité de traitement, réalisent les étapes du procédé de décomposition d'un signal périodique anharmonique selon l'une des revendications 1 à 5.