FR 2937484 A1 20100423 FR 0805870 A 20081022 Procédé de signature numérique en deux étapes La présente invention concerne un procédé de signature numérique utilisant un schéma de signatures multiples à dé publique et faisant intervenir un serveur tiers cosignataire dans le but de protéger la clé privée du signataire. Problématique et État de la Technique La signature numérique est un mécanisme permettant d'authentifier l'auteur d'un 1 o message ou d'un document électronique et de garantir l'intégrité dudit message ou document. Du point de vue juridique, la signature électronique est reconnue dans de nombreux pays et notamment en France, comme une preuve d'engagement d'une personne, au même titre qu'une signature manuscrite. L'état de la technique dans le contexte duquel se situe la présente invention est décrit en relation à des références bibliographiques qui sont indiquées entre 15 crochets ([] ) dans le texte, et dont la liste figure à la fin de la présente description. D'un point de vue technique, la signature numérique met en oeuvre des procédés cryptographiques à clé publique dont les plus répandus sont RSA [4] et DSA [2]. Elle consiste pour le signataire d'un message à effectuer un calcul cryptographique (fonction de signature) 20 sur ce message (ou sur un dérivé de type hachage) à l'aide d'un secret connu de lui seul et appelé clé privée. Le résultat de cette fonction constitue la signature numérique du message. Le receveur de la signature et du message (encore désigné par vérifieur), quant à lui, réalise un calcul cryptographique (une fonction de vérification) sur le message (ou son haché), la signature à l'aide d'une donnée appelée clé publique. Cette fonction de vérification lui indique si 25 la signature reçue est valide ou non. La clé publique est en général librement distribuée sous forme d'un certificat numérique qui permet de l'assoler à l'identité du signataire. Le caractère confidentiel et la protection de la clé privée sont essentiels car dans le cas où celle-ci est compromise par un tiers, celui-d peut se faire passer pour le détenteur légitime 30 de la dé privée et produire des documents signés au nom de ce dernier et à son insu (ce qui constitue l'usurpation d'identité). La mise en oeuvre d'une solution de signature électronique doit donc s'accompagner de mesures strictes destinées à protéger la clé privée du signataire. La protection de clé privée reste dans la plupart des cas un véritable défi technique, et à ce jour tes seules solutions considérées comme fiables sont celles utilisant des moyens matériels spécifiques sécurisés pour le stockage de clé privée, comme par exemple une carte à puce, une clé USB sécurisée, ou une carte mémoire sécurisée. La difficulté liée à cette protection et/ou les moyens nécessaires à celle-ci représentent un véritable frein au déploiement de services en ligne nécessitant une signature électronique, notamment auprès du grand public. Dans d'autres cas, une protection imparfaite de cette clé privée peut fragiliser la sécurité de tels 1 o services. Ceci est en particulier le cas quand il s'agit de services destinés au grand public pour lesquels la mise en place de moyens ou de consignes de sécurité strictes s'avèrent difficiles voire impossibles. On peut citer par exemple : - la signature d'un contrat ou d'un avenant auprès d'un fournisseur de service, - la réalisation de transactions financières : virements, ordres de bourse... 15 - l'achat en ligne (commerce électronique), - les actes administratifs (administration en ligne)... État de l'art On a recensé ci-dessous ici les techniques connues dans l'état de l'art destinées à protéger la clé privée d'un signataire. Ces techniques combinent différents moyens logiciels ou 20 électroniques ainsi que des procédés cryptographiques qui sont liés ou non à l'opération de signature. Fichier de Clé Chiffré La plus répandue de ces techniques consiste à chiffrer la clé privée au moyen d'une clé secrète dérivée d'un mot de passe connu du seul signataire. La clé ainsi chiffrée est stockée 25 dans un fichier conjointement avec le certificat associé. Cette solution est implémentée dans de nombreux logiciels grand public tels les navigateurs internet et les clients de messagerie, en général au travers des standards PKCS#11 [9] et PKCS#5 [8]. Le problème majeur d'une telle solution est que dès lors qu'un attaquant dispose d'un accès, même temporaire, au fichier de clé, il peut tenter une attaque hors ligne par dictionnaire sur la clé privée de la façon suivante: 1) Choix d'une valeur P candidate pour le mot de passe 2) Déchiffrement de la clé privée chiffrée à l'aide de P et obtention d'une clé privée candidate Kpriv. 3) Calcul d'une signature S à l'aide de Kpriv sur un message arbitraire M: S = Sign (Kpriv, M) 4) Fonction de vérification avec en paramètres S, M et la clé publique [(pub: V = Verify (S, M, Kpub) 5) Si V est vrai, alors la clé a été découverte. Dans le cas contraire, l'algorithme reprend à l'étape 1 avec une nouvelle valeur de P. On notera que dans la pratique, selon l'algorithme de signature utilisé, des moyens beaucoup plus performants d'attaque peuvent exister. Celui décrit ci-dessus est toujours possible quel que soit l'algorithme utilisé. La sécurité de ce mode de protection repose donc sur la qualité du mot de passe choisi par le signataire pour protéger sa dé privée. If est de notoriété publique que le choix des mots de passe n'est pas forcement judicieux et que dès lors qu'un mot de passe est trop long ou trop complexe, le réflexe premier d'un utilisateur est de le noter et de la conserver à proximité de son ordinateur personnel. Ce mode de protection ne peut donc pas être considéré comme satisfaisant pour des applications sensibles. Carte à Microcircuit Une autre solution consiste à utiliser un dispositif électronique, tel une carte à microcircuit ou une clé USB pour le stockage de la clé privée et éventuellement le calcul de signature. Là aussi, la dé privée est protégée par un mot de passe ou un code PIN, mais c'est le dispositif électronique qui réalise la vérification de ce mot de passe. La dé privée n'est restituée (ou la signature n'est calculée) que si le mot de passe saisi est correct. Dans le cas inverse, le dispositif comptabilise les tentatives infructueuses de présentation du mot de passe et peut, après un nombre de tentatives donnés (typiquement 3), bloquer l'accès à la clé de signature. Cette solution est réputée sûre d'autant que les cartes à puce intègrent des dispositifs avancés pour la protection de la mémoire et contre les attaques passives comme l'analyse par signaux SPA ("Simple Power Analysis" en terminologie anglo-saxonne) ou DPA ("Differential Power Analysis" en terminologie anglo-saxonne). L'inconvénient de cette solution est sa difficulté de mise en oeuvre dans le cadre d'applications grand public et les coûts importants qu'elle engendre. Aussi, ce type de solution est aujourd'hui réservé à des applications professionnelles. 1 o Camouflage Cryptographique Une troisième solution, objet d'un brevet [1], propose une protection efficace de la clé privée du signataire au moyen d'un procédé appelé camouflage cryptographique. Dans ce procédé, comme dans le premier examiné, la clé privée est stockée chiffrée au moyen d'un mot de passe. Dans le document [1] toutefois, la protection de la clé privée ne dépend pas 15 uniquement de la qualité du mot de passe, lequel peut être d'une taille réduite et aisément mémorisable par le signataire. La sécurité de ce procédé repose essentiellement sur le fait que: 1) La Clé publique de l'utilisateur n'est pas librement accessible mais distribuée uniquement à un ou plusieurs tiers de confiance, seuls à même de procéder à la vérification 20 d'une signature. 2) La fonction de signature doit être probabiliste, c'est-à-dire qu'à un même message à signer doit pouvoir correspondre un grand nombre de signatures valides. Moyennant certaines précautions, cette solution permet une protection efficace de la clé privée du signataire. Son principal défaut est qu'elle impose également la protection de la clé 25 publique par les tiers de confiance vérifieurs. Ce mode de fonctionnement n'est pas compatible avec les infrastructures à clé publique actuelles dans lesquelles les clés publiques sont librement distribuées dans des certificats et pour lesquelles quiconque peut vérifier une signature et s'y fier dés lors qu'il fait confiance à l'émetteur du certificat (Autorité de Certification). Buts de l'invention Un but de l'invention est de proposer un procédé de signature numérique apte à pallier aux inconvénients des procédés d-dessus correspondants à l'état de la technique. En particulier, un but majeur de l'invention est de proposer un procédé de signature tel que les attaques systématiques ne permettent pas de trouver la clé privée du signataire. Ainsi il devient inutile pour protéger la clé privée du signataire d'avoir recours à des dispositifs de protection matériels spéciaux comme les cartes à microcircuit, dés USB ou autres dispositifs équivalents. Un autre but de I invention est de proposer un procédé qui soit compatible avec les principaux schémas de signature à dé publique, notamment RSA. 1 o Un autre but de !Invention est de proposer un dispositif approprié à la mise en oeuvre du procédé de signature numérique selon !Invention. Ces buts sont atteints par le procédé de signature numérique et par le dispositif associé, tels que décrits plus en détail ci-dessous. Résumé de l'invention 15 A cet effet, (invention a pour objet un procédé de signature numérique d'un message M par un signataire ayant une identité I, ledit procédé utilisant un schéma de cryptographie à clé publique et étant caractérisé en ce qu il comporte les étapes suivantes: - calcul par le signataire d'une pré-signature SS du message M à l'aide d'une clé privée KS appartenant au signataire, puis transmission du message M et de la pré-signature SS à un 2 o tiers cosignataire; - calcul par le tiers cosignataire d'une signature S du message M, à l'aide d'une dé privée Kc appartenant au cosignataire et associée au signataire I, et de ladite pré-signature SS ; Comme des dés sont nécessaires, le procédé comporte, préalablement aux étapes de signature et de vérification de la signature, une étape de génération et de stockage des clés, 2 5 consistant en : - la génération par le signataire de la dé privée de pré-signature Ks ; la génération de la clé de cosignature 1 Selon une variante avantageuse de l'invention, la pré-signature SS est calculée en appliquant une fonction cryptographique probabiliste au haché H(M) du message numérique M et à la clé privée de pré-signature Ks. Avantageusement, la valeur de vérification Vs de la pré-signature est calculée en 5 appliquant une fonction de vérification au haché H(M) du message, à la clé de cosignature Kc et à la pré-signature Ss. Selon un aspect important du procédé selon l'invention, la signature S obtenue pour le message M à l'aide des dés privées de pré-signature KS et de cosignature Kc peut être vérifiée par tout tiers connaissant le schéma cryptographique utilisé et disposant uniquement de la clé lo publique Kp du signataire et du message M ou de son haché H(M), sachant que la clé publique Kp du signataire est librement distribuée, notamment à l'aide d'un certificat numérique apte à associer la clé publique Kp à l'identité I du signataire. Principe de l'invention : Dans le procédé selon l'invention, le signataire dispose d'une clé à caractère privée KS 15 stockée sous forme cryptée à l'aide d'un mot de passe ou d'un code PIN. Grâce à cette clé privée KS, le signataire peut pré-signer un message. Le serveur cosignataire dispose d'une clé à caractère privé Kc lui permettant de vérifier les messages pré-signés par le signataire à l'aide de KS, puis, de compléter le processus de signature, de façon que le message pré-signé avec KS puis cosigné avec Kp, puisse être vérifié à l'aide de la seule dé publique Kp. Cette dé publique Kp 20 peut être librement distribuée, typiquement sous la forme d'un certificat numérique. Caractéristiques générales de la Solution On décrira plus en détail dans ce qui suit le procédé de signature objet de la présente demande de brevet. Ce procédé permet de garantir la protection de la clé privée du signataire sans recourir à des moyens électroniques spécifiques de type carte à puce ou dé USB, ni 25 affecter le paradigme des architectures à clés publiques. Tout d'abord, les principes généraux de fonctionnement et de sécurité de la solution sont décrits ainsi que ses différents composants. Après quoi, chaque étape liée au processus de signature est décrite indépendamment du système cryptographique choisi. Il s'agit des étapes principales suivantes - la génération des clés par le signataire, - l'obtention d'une signature par le signataire, - la vérification d'une signature par un vérifieur. Enfin, les étapes d-dessus sont détaillées de façon pratique et la sécurité est analysée 5 en détail dans le cadre de deux modes de réalisation différents utilisant deux schémas cryptographiques de signature distincts, dont le plus répandu à savoir RSA. Le procédé de signature fait intervenir une tierce partie en plus du signataire lui-même, à savoir un serveur tiers appelé serveur cosignataire. Chacun d'eux dispose d'une clé privée, à savoir : 10 - une clé privée de pré-signature KS pour le signataire, - une clé privée de cosignature Kc assodée au signataire pour le serveur cosignataire. Une troisième dé constitue la Clé publique Kp du signataire, laquelle peut être librement distribuée, de préférence au sein d'un certificat numérique de telle façon qu'elle 15 puisse être associée à l'identité I du signataire. Selon l'Invention, lors d'une opération de génération de signature, le signataire calcule une pré-signature SS à l'aide de sa clé privée de pré-signature KS et la soumet au serveur cosignataire. Celui-ci vérifie la validité de cette pré-signature S. Si elle est correcte, il la cosigne 20 à l'aide de la clé privée de cosignature Kc associée au signataire, produisant ainsi une signature S laquelle est ensuite transmise au signataire. La signature S ainsi produite peut être vérifiée par quiconque dispose de la clé publique Kp du signataire. Si la pré-signature S5 reçue par le serveur cosignataire est incorrecte, cela dénote une 25 dé privée de pré-signature invalide et par extension un code PIN ou mot de passe invalide saisi par le signataire. Dans ce cas, le serveur cosignataire comptabilise cette pré-signature invalide pour le signataire et, au bout d'un nombre consécutif donné de pré-signature invalides, peut bloquer l'usage de la signature par le signataire en rejetant toutes ses demandes ultérieures. Principes Sécuritaires La sécurité du procédé repose sur les principes de base suivants : - La clé privée du signataire est chiffrée à l'aide d'un secret (mot de passe ou code PIN) connu de lui seul. Ce secret peut ne consister qu'en quelques chiffres (Typiquement 4 ou 6 chiffres à l'image du code PIN des cartes à microcircuit). - Les clés privées du serveur cosignataire associées aux différents signataires sont stockées de façon sécurisée. - La seule façon de réaliser une signature S publiquement vérifiable pour un signataire est de soumettre au serveur cosignataire une pré-signature SS calculée à l'aide de 1 o sa clé privée Ks. - Le serveur cosignataire comptabilise les erreurs de pré-signature SS et bloque l'usage de la signature par un signataire en cas d'erreurs réitérées. Pour que la solution soit considérée comme sûre, on ajoutera en corollaire les principes 15 suivants qui devront être vérifiés pour tous les schémas cryptographiques retenus pour le procédé de signature: - Un attaquant disposant de la dé priée K5 chiffrée, d'un ensemble de messages SS pré-signés par le signataire et des informations publiquement accessibles (clé publique KID et signature S) ne doit pas être en mesure d'obtenir des informations relatives à la dé privée ou 20 au mot de passe. - Le serveur cosignataire ne dispose à aucun moment des informations lui permettant de signer des messages à la place du signataire, et ne conne notamment pas sa clé privée KS. 25 Description détaillée de l'invention L'invention sera mieux comprise en se référant à la description qui suit ainsi qu'aux figures, dans lesquelles : - la figure 1 représente un organigramme du dispositif nécessaire pour pouvoir mettre en oeuvre le procédé de signature numérique selon l'invention ; - la figure 2 représente un organigramme générique du procédé de calcul de signature numérique selon l'invention ; - la figure 3 représente un organigramme du procédé de génération des clés RSA dans le cas où l'invention est mise en oeuvre à l'aide d'un schéma cryptographique de type RSA ; - la figure 4 représente un organigramme du procédé de calcul de signature RSA subséquent à l'obtention des dés RSA conformément au procédé de la figure 3 ; - la figure 5 représente un organigramme du procédé de génération des clés El-Gamal / Ham dans le cas où l'invention est mise en oeuvre à l'aide d'un schéma cryptographique de type El Gama! / Ham ; - la figure 6 représente un organigramme du procédé de calcul de signature El-Gamal / Ham subséquent à l'obtention des clés conformément au procédé de la figure 5. On se réfère à la figure 1 pour décrire les composants et acteurs de la solution selon l'invention. Le procédé selon l'invention met en oeuvre plusieurs composants matériels ou logiciels et plusieurs acteurs auxquels il sera fait référence dans la suite et qui sont décrits brièvement d-dessous: Dispositif du Signataire (1) Il s'agit du système avec lequel interagit le signataire 11 pour le calcul de signature et la génération des clés. Le procédé peut être mis en oeuvre sur divers types de dispositifs dès 20 lors qu'ils disposent : - des capacités d'exécution de logiciels et des moyens de calcul nécessaires pour procéder à la génération des clés (notamment un logidel 3 de génération de dés) et au calcul des signatures (notamment un logiciel 5 de calcul de signature) ; - d'une capacité minimale de stockage de données et/ou d'interface avec un 25 dispositif de stockage externe (carte mémoire persistante, non représentée) de façon à lire et écrire les données relatives à la clé privée (fichier de dés 7); - des capacités de communication à travers un réseau de données 13 de façon à mettre en oeuvre le protocole d'échange avec le serveur cosignataire 9 lors de la génération des clés et des calculs de signatures ; - d'un dispositif 1 de saisie et d'affichage pour les échanges avec le signataire affichage des données à signer, saisie du code PIN ou du mot de passe, indication de validité ou d Invalidité du code PIN. Le dispositif 1 du signataire 11 peut donc typiquement être : - un ordinateur personnel, - un téléphone portable, - un assistant personnel, sans que cette liste ne soit limitative. Logiciel de génération de clés (3) : 1 o C'est le composant logiciel qui s'exécute au sein du dispositif 1 du signataire lors de l'étape de génération des dés. Ce logiciel 3 interagit avec le signataire et échange des données avec le serveur cosignataire 9 dans ce cadre. Ce logiciel peut être un programme autonome, il peut consister en un composant d'une solution informatique globale quelle qu'elle soit (Système d'exploitation, Navigateur intemet, Client de messagerie...) ou enfin être réalisé sous la forme 15 d'un composant logiciel téléchargeable embarqué dans une page WEB. Il peut être ou non couplé au logiciel de calcul de signature décrit plus bas. Logiciel de Calcul de Signature (5) : C'est le composant logiciel qui s'exécute au sein du dispositif 1 du signataire lors d'un calcul de signature. Ce logiciel interagit avec le signataire et échange des données avec le 20 serveur cosignataire 9 dans ce cadre. Ce logiciel peut être un programme autonome, consister en un composant d'une solution informatique globale quelle qu'elle soit, ou enfin consister en un composant logiciel téléchargeable embarqué dans une page WEB. Il peut être ou non couplé au logiciel de génération de clés décrit plus haut. Fichier de Clés (7) : 25 Cest la mémoire permanente où est stockée, sous forme chiffrée, la clé privée du signataire ainsi que certaines données associées teiles que le certificat et l'adresse du serveur cosignataire. Ce fichier 7 peut résider de façon permanente dans la mémoire de stockage du dispositif du signataire ou sur une mémoire amovible connectée à ce dernier. Ce fichier peut être si besoin dupliqué ou transféré d'un système à un autre selon les besoins du signataire. Le chiffrement de la clé privée dans ce fichier est réalisé à l'aide d'un algorithme à dé secrète tel que AES [5] ou Triple DES [1] en utilisant une dé dérivée du mot de passe à l'aide d'une fonction de dérivation de dé. De tels modes de chiffrement à l'aide d'un mot de passe sont décrits dans le standard PKCS#5 [8]. Serveur Cosignataire (9) : II s'agit d'un serveur informatique opéré par un fournisseur de service selon les règles de l'art en ce qui concerne la sécurité d'accès et la protection des données. L'opérateur de ce serveur peut être typiquement, mais pas nécessairement, une autorité de certification. Dans ce cas, la création du certificat peut être réalisée au terme de l'étape de génération des clés. 1 o Autres Acteurs (non représentés en figure 1) : Les autres acteurs pouvant intervenir dans les opérations liées à la signature numérique telle que décrites dans la présente demande de brevet sont : Une autorité de certification : une fois l'étape de génération de clé réalisée, il peut être utile pour le signataire de faire certifier sa clé publique auprès d'une autorité de certification. A 15 cette fin, il crée une demande de certificat constituée d'éléments d'identification du signataire et de sa dé publique, le tout signé à l'aide de sa clé privée. Dans le processus nécessaire à l'obtention de ce certificat, seul le mécanisme par lequel le signataire signe numériquement son certificat diffère des solutions de signature actuelles implémentées dans les infrastructures à clé publique. Le processus par lequel l'autorité de certification procède à la vérification de la requête 20 de certificat et par lequel elle vérifie l'identité du signataire n'est pas affecté par le procédé décrit Vérifieur : le processus de vérification de la signature n'est pas impacté par le procédé selon !invention. Il en résulte que quiconque dispose de la dé publique et de l'algorithme de vérification peut, de façon autonome, procéder à la vérification d'une signature émise selon le 25 procédé. Génération des Clés Cette étape est la première phase et est le préalable à l'utilisation du procédé par un signataire. Elle est réalisée à l'initiative du signataire en utilisant le logiciel de génération de clés s'exécutant sur le dispositif du signataire. Durant cette étape : - le signataire va choisir un code PIN ou un mot de passe. Celui-d peut également être généré de façon aléatoire par le logiciel de génération de clés et être communiqué au signataire. - selon le schéma cryptographique utilisé, la génération des trois dés nécessaires au procédé, à savoir : clé privée de pré-signature KS, dé privée de cosignature Kc et clé publique Kp va être réalisée soit directement par le logiciel de génération de clés du signataire, soit conjointement par le signataire et le cosignataire. Dans tous les cas un protocole d'échange sécurisé de clés est mis en place entre le signataire et le cosignataire. 1 o A la fin de cette étape, le fichier de clés est créé. Il contient la clé publique Kp du signataire ainsi que sa dé privée de pré-signature Ks, chiffrée au moyen du code PIN ou du mot de passe. Le mode de chiffrement utilisé ici peut par exemple être un de ceux préconisés par le standard PKCS#5 [8]. Le serveur cosignataire quand à lui dispose de la clé privée de cosignature Kc associée au signataire ainsi que de sa dé publique Kp. 15 Après cette étape, le signataire peut si besoin procéder à une demande de certificat auprès d'une autorité de certification. Cette demande, comme indiqué plus haut, nécessite que le signataire procède à la signature de son identité I et de sa clé publique K. Le procédé pour y parvenir est identique à celui décrit dans le paragraphe concernant le calcul de signature. 2o Calcul de signature La figure 2 décrit le processus de calcul de signature indépendamment du schéma cryptographique utilisé pour son calcul. Il faut toutefois noter que, selon le schéma cryptographique retenu, ce processus peut différer légèrement par rapport à ce qui est décrit. En particulier, le calcul de la signature peut nécessiter davantage d'échanges entre le signataire 25 et le serveur cosignataire. Cela ne remet toutefois pas en cause le principe général de la solution tel qu'il est décrit. Dans la suite, deux modes de réalisation du procédé sont présentés en détail avec deux schémas cryptographiques différents. Les fonctions de signature, pour des raisons de sécurité et des raisons pratiques, 3o opèrent sur un condensé ou haché du message plutôt que sur le message lui même. Dans la suite, on notera H(M) le haché du message M. Des exemples de fonctions de hachage applicables à la signature numérique sont disponibles dans [2]. Les étapes du procédé indiquées entre parenthèses dans la figure 2, sont les suivantes: (21) Pour procéder à fa signature d'un message M, le signataire 11 dont l'identité est I est tenu de saisir son code PIN ou son mot de passe sur le dispositif 1 du signataire ; (22) Le dispositif 1 du signataire procède au déchiffrement du fichier de dés 7, à l'aide du code PIN ou du mot de passe saisi précédemment, et obtient ainsi la clé de pré-signature Ks Z o (23) Le dispositif du signataire procède au calcul d'une pré-signature Ss à l'aide d'une fonction S1i du message M et de la clé KS : Ss = S1(H(M), KS) ; (24) Cette pré-signature Ss est transmise au serveur cosignataire ainsi que le haché H(M) du message à signer et l'identité du signataire I ; (25) Le serveur cosignataire récupère la dé de cosignature Kc correspondant au 15 signataire via son identité I, puis applique la fonction de vérification V1 au haché H(M) du message, à la clé K et à la signature Ss, ce qui revient à calculer la valeur Vs = V1 (H(M), Ss, K); Si Vs est faux, cela dénote une clé privée de pré-signature K5 invalide et par extension un code PIN ou un mot de passe invalide saisi par l'utilisateur. 20 Si Vs est faux, deux cas sont possibles: (26a) Le serveur cosignataire comptabilise l'erreur et peut, au bout d'un nombre d'erreurs successives donné, bloquer l'usage de la signature par le signataire, ou bien : (27a) Le serveur cosignataire se contente de notifier l'erreur par un message approprié. 25 Si Vs est vrai : (26b) Le serveur cosignataire réalise le calcul de signature S à l'aide d'une fonction S2 utilisant la clé de cosignature Kc, le haché H(M) du message et la pré-signature Ss reçue du signataire : S = S2 (H(M), Ss, Kc). Cette signature S est telle qu'elle peut être vérifiée à l'aide uniquement du haché H(M) du message et de la dé publique du signataire Kp par la fonction de vérification V2 : V = V2 (H(M), S, Kp). (27b) Le serveur cosignataire transmet la signature S au signataire. (28) Le signataire est informé du résultat de l'opération par le serveur cosignataire. Dans le cas d'une erreur sur la pré-signature Ss, il peut effectuer une nouvelle tentative en saisissant un nouveau code PIN ou mot de passe. Dans le cas contraire, le message à signer M et la signature associée S ainsi qu'éventuellement le certificat du signataire peuvent être transmis au vérifieur pour vérification. 1 o Dans le schéma proposé, la fonction de signature SI utilisée doit impérativement être de type probabiliste, c'est-à-dire que pour un message M à signer, la fonction de signature doit pouvoir renvoyer un grand nombre possible de signatures SS distribuées de façon aléatoire. Dans le cas contraire, un attaquant peut aisément, à l'aide du fichier de clés 7, d'un message M (ou H(M)) et de la signature SS associée, mener une attaque par dictionnaire sur le code PIN 15 jusqu'à trouver la clé candidate KS telle que : SS = Sl (H(M), KS). Vérification de la signature Comme indiqué plus haut, la vérification d'une signature par un vérifieur est réalisée uniquement avec la dé publique du signataire selon un procédé identique à celui en vigueur dans les architectures à clés publiques par application de la fonction de vérification V2 : V = V2 20 (H(M), S, Kp). Cet algorithme de vérification sera décrit dans la suite pour deux schémas de signature dont le RSA. Exemple de mode de réalisation avec un schéma cryptographique RSA On se réfère aux figures 3 et 4. Dans ce qui suit, les différentes étapes du procédé 25 sont décrites en détail dans le cas d'une signature calculée à l'aide de l'algorithme RSA en utilisant 3 exposants. Génération des Clés RSA La figure 3 précise le mode de génération des clés dans le cas de l'algorithme cryptographique RSA. (31) Le signataire d'identité I choisit et saisit son code PIN ou son mot de passe P. (32) Le dispositif 1 du signataire génère aléatoirement deux entiers premiers p et q approximativement de même ordre puis calcule le module n = (p . q) et la fonction indicatrice d'Euler cp (n) = (p - 1) (q - 1). Le procédé proposé s'applique également aux variantes dites "multiprime" et "multipower" de RSA telles que décrites dans [7] et [10]. Dans ce cas : Si n_alors y(n)_H(pi-1)pb,-1 =7aH 1ù P i i=1 ;.1 1 o Où p , i=1..q sont les facteurs premiers de n tirés aléatoirement. (33) Le dispositif du signataire utilise un exposant public e convenu d'avance (les valeurs 3 ou 65537 sont communément utilisées). Il tire aléatoirement un exposant privé di d'une longueur convenue et tel que pgcd (d1i cp (n)) = 1 (ou "pgcd" désigne la fonction "plus grand commun diviseur"). Enfin, il calcule l'exposant d2 comme l'inverse modulo cp (n) du 15 produit de e par d1, soit tel que : e . d1 . d2 = 1 mod cp (n). L'exposant ds du signataire est un des exposants d1 ou d2, tandis que l'exposant de du serveur cosignataire est l'autre exposant, respectivement d2 ou d1. Le choix de d1 ou d2 pour exposant privé du signataire est sans incidence sur la sécurité mais permet de reporter la charge de calcul lors d'une signature sur le signataire ou le serveur cosignataire selon les besoins. La clé publique est le couple (n, e), la clé 20 privée du signataire est (n, ds) et la dé privée du serveur cosignataire est (n, dc). (34) Le dispositif du signataire transmet au serveur cosignataire un message contenant son identité I, sa clé publique (n, e) et l'exposant de de la dé privée du serveur cosignataire. La transmission de de doit être sécurisée selon les règles de l'art car cette valeur ne doit être connue que du serveur cosignataire. Après quoi, le dispositif du signataire efface l'ensemble des 25 données utilisées durant le calcul à l'exception de la clé publique (n, e) et de l'exposant privé ds du signataire. (35) Le serveur cosignataire stocke la clé publique (n, e) et l'exposant privé de du cosignataire associés à l'identité I du signataire. (36) Le serveur cosignataire acquitte le message. (37) Le dispositif du signataire stocke dans le fichier de dés, la dé publique (n, e) en 5 clair et l'exposant privé ds du signataire chiffré à l'aide du PIN ou mot de passe P. (38) Le dispositif du signataire informe le signataire de l'issue de la procédure de génération des clés. Calcul d'une Signature RSA Le chiffrement RSA étant déterministe, il convient d'appliquer une fonction d'encodage 1 o probabiliste au message à signer. Une telle fonction a pour effet d'ajouter une composante aléatoire au message à signer de sorte qu'un message signé avec une clé peut potentiellement conduire à un grand nombre de signatures. Un exemple d'une telle fonction est proposé par le schéma de signature PSS tel que décrit dans le standard PKCS#1 [4]. 15 Dans la suite, on notera ES la fonction l'encodage probabiliste et ES(H(M)) cette même fonction opérant sur un message M haché par la fonction de hachage H. VS désigne la fonction de vérification associée à ES. Si : VS (H(M), ES (H(M')) = Vrai alors H(M) = H(M') et donc M = M'. 20 La figure 4 décrit le processus de calcul de signature en utilisant l'algorithme RSA. Le détail des étapes est précisé ci-dessous. (41) Le signataire saisit son code PIN ou son mot de passe P. (42) Le dispositif du signataire récupère le module n en clair et déchiffre son exposant privé dsà l'aide de P. 25 (43) Le dispositif du signataire calcule la pré-signature en appliquant la fonction d'encodage probabiliste Es = ES (H(M)) puis la fonction de chiffrement RSA (Exponentiation Modulaire) au message M : Ss = Esds mod n (44) Cette pré-signature Ss est transmise au serveur cosignataire ainsi que le haché H(M) du message à signer et l'identité du signataire L (45) Le serveur cosignataire récupère le module n, l'exposant du serveur cosignataire de et l'exposant public e associé à l'identité I du signataire. Après quoi, il recouvre la valeur de Es à l'aide de la fonction de déchiffrement RSA pour l'exposant (e . dc) E5 = Ss(e . `.) mod n. Enfin, le serveur cosignataire applique la fonction de vérification au résultat du déchiffrement : VS = VS (H(M), Es) Par la sudeux cas sont possibles: Si [Vs faux] (46a) Le serveur cosignataire comptabilise l'erreur. (47a) Le serveur notifie l'erreur par un message approprié Si Ns vrai] (46b) Le serveur cosignataire réalise le calcul de la signature par l'exponentiation modulaire RSA : S = SSdc mod n (47b) Le serveur cosignataire transmet la signature S au signataire. (48) Enfin, le signataire est informé du résultat de l'opération. Vérification d'une Signature RSA Ce processus est en tout point identique à celui utilisé pour une signature RSA-PSS générée selon la méthode traditionnelle. (1) Le vérifieur obtient la dé publique de du signataire (n, e) à l'aide d'un certificat transmis ou via l'interrogation d'une base de données. (2) Le vérifieur recouvre la valeur de Es à l'aide de la fonction de déchiffrement RSA .E5=Semodn (3) Le vérifieur applique la fonction de vérification au résultat du déchiffrement : V = VS (H(M), Es). Sécurité du procédé pour la Signature RSA La sécurité du procédé pour la signature RSA repose sur le respect scrupuleux des processus décrits plus haut pour les étapes de génération des clés et de calcul de signature, en particuliers : - La confidentialité dans la communication de l'exposant de au serveur cosignataire. (Cet exposant peut être, par exemple, communiqué chiffré à l'aide d'un certificat RSA associé au serveur cosignataire) ; - L'effacement par le dispositif signataire des données temporaires (facteurs premiers du module) et de l'exposant de du serveur cosignataire lors de l'étape de génération 1 o des clés, - L'utilisation d'un schéma de signature probabiliste avec une entropie suffisante. En outre le chiffrement de l'exposant privé ds du signataire doit être réalisé avec certaines précautions afin de parer des attaques de type "texte clair connu", à savoir: - L'exposant étant forcément impair, son bit de poids faible est '1'. Lors du 15 chiffrement de l'exposant, le dispositif du signataire doit remplacer ce bit par un aléa tandis que lors du déchiffrement, la valeur '1' est forcée pour ce bit. - De la même façon, le bit de poids fort correspondant à la taille de l'exposant est connu à priori et le même procédé que ci-dessus peut être employé pour le masquer. - Enfin dans le cas où l'exposant public est égal à 3, l'exposant privé du signataire 20 doit être relativement premier avec 3. Là aussi, la solution consiste à remplacer, lors du chiffrement, le second bit de poids faible de l'exposant par une valeur aléatoire. Lors du déchiffrement, la valeur de ce bit est recalculée de telle façon que l'exposant soit premier avec 3. Exemple de mode de réalisation avec un schéma cryptographique El 25 Gamal - Harn On se réfère aux figures 5 et 6. Dans ce qui suit, les différentes étapes du procédé sont décrites en détail dans le cas d'une signature calculée à l'aide du schéma de Ham [121 qui est une variante multi signature du procédé de signature El Gamal [11]. Génération des Clés El Gamal - Harn La figure 5 précise le mode de génération des dés dans le cas de l'algorithme cryptographique El Gama( - Ham. Les paramètres communs de signature (p, g) sont connus du dispositif du signataire et du serveur cosignataire et similaires à ceux définis pour la signature El Gama!, à savoir: - p : un grand nombre entier premier, - g : un entier positif inférieur à p. Le détail des étapes du procédé de génération de dés est précisé ci-dessous. (51) Le signataire d'identité I choisit et saisit son code PIN ou son mot de passe P. (52) Le dispositif du signataire génère aléatoirement son exposant privé xs, un entier strictement positif et inférieur à p puis calcule la dé ys = g mod p (53) Le dispositif du signataire transmet au serveur cosignataire un message contenant son identité I et la clé ys. La transmission d'y, doit être sécurisée selon les règles de l'art car cette valeur ne doit être connue que du serveur cosignataire. Après quoi, le dispositif du signataire efface la dé ys. (54) Le serveur cosignataire génère aléatoirement son exposant privé xc, un entier strictement positif et inférieur à p puis calcule la dé y = ys . g mod p. La clé publique est le triplet (p, g, y), la clé privée du signataire est (p, g, xs) et la clé privée du serveur cosignataire est (p, g, Ys,X)• (55) Le serveur cosignataire stocke la dé publique y, la clé ys, et l'exposant privé xc du serveur cosignataire associé à l'identité I du signataire. (56) Le serveur cosignataire transmet la dé publique y au dispositif 15 du signataire. (57) Le dispositif du signataire stocke au sein du fichier de clés, la dé publique (p, g, y) en clair et son exposant privé signataire x5 chiffré à l'aide du code PIN ou du mot de passe P. (58) Le dispositif du signataire informe le signataire de l'issue de la procédure de génération des clés. Calcul d'une Signature El Gamal - Harn La figure 6 décrit le processus de calcul de signature dans le cas de l'algorithme cryptographique El Gama, - Ham. Le détail des étapes est précisé ci-dessous. (61) Le signataire saisit son code PIN ou son mot de passe P. (62) Le dispositif du signataire récupère la dé publique (p, g, y) en clair et déchiffre l'exposant privé xs à l'aide de P. Il lire un nombre aléatoire ks strictement positif et premier avec (p - 1) puis calcule la valeur: rs = gks mod p . (63) Cette valeur rs est transmise au serveur cosignataire ainsi que l'identité du signataire I. (64) Le serveur cosignataire récupère la dé publique (p, g, y) et la clé privée cosignataire (ys, )c) associées à l'identité L Il tire un nombre aléatoire kc strictement positif et premier avec (p - 1), calcule la valeur: rc = gkc mod p puis le produit r = (rs rc) mod p . (65) La valeur rc est transmise au dispositif du signataire (66) Le dispositif du signataire calcule le produit r = (rs. rc) mod p puis la pré-signature: Ss= (xs. H(M)-r. ks) mod (p-1) . (67) Cette valeur Ss est transmise au serveur cosignataire ainsi que le haché H(M) du message. (68) Le serveur cosignataire procède à la vérification de la pré-signature ainsi reçue en réalisant les calculs suivants : V1= (ys"c )) mod p et V2 = (gs . rsD mod p 2 o Le résultat de la vérification Vs de signature est vrai si (V1= V2). Dans le cas contraire Vs est faux. Par la suite, deux cas sont possibles: Si [Vs faux] : (69a) Le serveur cosignataire comptabilise l'erreur. 2 5 (70a) Le serveur cosignataire notifie l'erreur par un message approprié, Si [Vs vrai] : (69b) Le serveur cosignataire réalise le calcul de la signature par I'exponentiation modulaire RSA : S = SSdc mod n (70b) Le serveur transmet la signature S au signataire. (71) Le signataire est informé du résultat de l'opération. La signature est formée du couple : (s, r) . Vérification d'une Signature El Gamal - Harn Le calcul utilisé pour la vérification de la signature diffère légèrement de celui utilisé dans le cas d'une signature DSA ordinaire : (1) Le vérifieur obtient la clé publique du signataire (p, g, y) à l'aide d'un certificat transmis ou via l'interrogation d'une base de données. (2) Le vérifieur procède à la vérification de la signature ainsi reçue en réalisant les calculs suivants : V1= (y"n) mod p et V2 = (g' . r7 mod p Le résultat de la vérification VS de signature est vrai si (V1 = V2). Dans le cas contraire VS est faux. Sécurité du procédé pour la Signature El Gamal - Harn La sécurité du procédé pour la signature El Gamal - Ham repose sur le respect 15 scrupuleux des processus décrits plus haut pour les étapes de génération des clés et de calcul de signature, en particulier : - La confidentialité dans la communication de la dé yc au serveur cosignataire (cette clé peut être, par exemple, communiquée chiffrée à l'aide d'un certificat RSA associé au Serveur cosignataire) ; 20 - L'effacement par le dispositif signataire de cette clé yc lors de l'étape de génération des clés. Concernant le stockage par le dispositif signataire de l'exposant privé du signataire x, comme dans le cas de RSA, les bits de parité et le bit de poids fort doivent être rendus 25 aléatoires pour parer les attaques de type "texte clair connu". Avantages de l'invention : 23 L'invention permet de répondre aux buts visés, en proposant un procédé de signature numérique ayant une sécurité renforcée de la clé privée de l'utilisateur sans avoir besoin de recourir à des moyens matériels contraignant tels les cartes à puce ou autres dispositifs électronique sécurisés (carte PCMCIA ou cté USB). Comme on le voit le procédé de signature implique deux parties, le signataire et le cosignataire, avec chacune une clé privée ; le cosignataire étant généralement une organisation de type tiers de confiance. Ainsi non seulement aucune signature ne peut être créée sans la signature de chacune des parties avec leur clé privée respective, mais un premier niveau de vérification est assuré par le cosignataire qui en cas d'échecs répétés (généralement 3) bloque les tentatives suivantes de signature. Ainsi en cas d'accès même temporaire au fichier de clés du signataire, toute attaque pour tenter de découvrir la clé privée du signataire est rendue impossible. Par ailleurs, la présente invention est totalement compatible avec le mode de fonctionnement des infrastructures existantes à dés publiques ainsi qu'avec le procédé de signature le plus répandu actuellement à savoir RSA [4]. En effet, dans le cas du procédé appliqué à la signature multiple RSA, seules diffèrent les opérations critiques que sont la génération des clés et la génération de la signature. Une fois une signature RSA calculée selon le procédé de l'invention, cette signature présente des caractéristiques strictement identiques à une signature calculée de façon traditionnelle, c'est-à-dire à l'aide de la seule dé privée de l'utilisateur. En outre, la signature peut être vérifiée par quiconque dispose du certificat associé, à l'aide du même algorithme que celui utilisé dans le cadre de la signature RSA traditionnelle. Enfin, le procédé peut être aisément implémenté sur une variété de dispositifs électroniques fixes ou nomades tels que : ordinateurs personnels, organiseurs, téléphones mobiles, consoles de jeux, équipement de réseaux de type routeurs ou pare-feux... 25 En définitive, le champ d'application de la présente invention est vaste. On peut citer à titre d'exemple : - la signature numérique de contrats, - l'authentification d'un utilisateur vis-à-vis d'un serveur par exemple un site WEB, 30 - la signature de transactions ou l'authentification via téléphones mobiles (sécurité à 2 facteurs), - la signature de logiciels, - L'établissement de réseaux virtuels privés (VPN), etc. Référence Bibliographiques citées : [1] US Patent N° 6,178,058 - January 2, 2001 - Kausik Method and apparatus for cryptographically camouflaged cryptographie key enrage, certification and use. [2]National Institute of Standards and Technology (NIST). FIPS 46-3, Data Encryption Standard (DES). October 1999. [3] National Institute of Standards and Technology (NIST). FIPS 180-2, Secure 1 o Hash Standard (SHS). August 2002. [4] National Institute of Standards and Technology (NIST). FIPS 186-3. Digital Signature Standard (DSS). March 2006. [5] National Institute of Standards and Technology (NIST). FIPS 197. Advanced Encryption Standard (AES). November 2001. 15 [6] RSA Laboratories. PKCS #1 v2.1: RSA Encryption Standard. June 2002 [7] RSA Laboratories. PKCS #1 v2.0 Amendment 1: Mufti-Prime RSA. July 2000. [8] RSA Laboratories. PKCS #5 v2.0 Password-Based Cryptography Standard. March 1999 [9] RSA Laboratories. PKCS #11 v2.20: Cryptographie Token Interface Standard. 20 June 2004 [10] RSA Laboratories. Cryptobytes Volume 5, No.l - Winter/Spring 2002 [11] T. ElGamal. A public key cryptosystem and a signature scheme based on discrete logarithms, IEEE Trans. Inform. Theory 31(4) (1985) 469ù472 [12] L Ham, Digital Multisignature with Distinguished Signing Authorities, TEE 25 Electronics Letters, 35 (4) (1999) 294295 [13] B. Schneier. Applied Cryptography Second Édition. 1996 REVENDICATIONS1. Procédé de signature numérique d'un message M par un signataire ayant une 5 identité I, ledit procédé utilisant un schéma de cryptographie à clé publique et étant caractérisé en ce qu'il comporte les étapes suivantes: - calcul par le signataire d'une pré-signature S5 du message M à l'aide d'une clé privée K5 appartenant au signataire, puis transmission du message M et de la pré-signature SS à un tiers cosignataire; Z o - vérification de la pré-signature S5 et calcul par le tiers cosignataire d'une signature S du message M, à l'aide d'une clé privée de cosignature Kc appartenant au cosignataire et associée au signataire d'identité I, et de ladite pré-signature 55 ; 2. Procédé de signature numérique selon la revendication 1, caractérisé en ce qu'il 15 comporte, préalablement aux étapes de signature, une étape de génération et de stockage des clés, consistant en : - la génération par le signataire de la clé privée de pré-signature l 3. Procédé de signature numérique selon la revendication 2, caractérisé en ce que la dé privée de cosignature I 4. Procédé de signature numérique selon la revendication 2, caractérisé en ce que la pré-signature d'ùn message M par le signataire comporte les étapes suivantes : - identification du signataire auprès de son dispositif de signature, à l'aide d'un mot de passe ou d'un code PIN ; 10 - déchiffrement par le dispositif de signature du signataire du contenu du fichier de dés à l'aide dudit mot de passe ou dudit code PIN, et obtention de la dé de pré-signature K5 ; - calcul par le dispositif de signature du signataire d'une pré-signature Ss à l'aide de sa clé privée de pré-signature Ks et transmission au serveur cosignataire de cette pré-signature Ss , du message à signer M ou de son haché H(M), et de l'Identité I du signataire ; 15 - récupération par le serveur cosignataire de la clé privée de cosignature I 5. Procédé de signature numérique selon la revendication 2, caractérisé en ce que si la 25 pré-signature Ss n'est pas valide, le serveur cosignataire notifie l'erreur au signataire et comptabilise les pré-signatures Ss invalides pour le signataire et, au bout d'un nombre consécutif donné de pré-signatures invalides, bloque l'usage de la signature par le signataire en rejetant toutes ses demandes ultérieures de cosignature.5 6. Procédé de signature numérique selon la revendication 2, caractérisé en ce que la pré-signature SS est calculée en appliquant une fonction cryptographique probabiliste au haché H(M) du message numérique M et à la clé privée de pré-signature KS5 5 7. Procédé de signature numérique selon la revendication 2, caractérisé en ce que la valeur de vérification Vs est calculée en appliquant une fonction de vérification au haché H(M) du message M, à la clé de cosignature K et à la pré-signature Ss. Procédé de signature numérique selon l'une quelconque des revendications 1 o précédentes, caractérisé en ce que la signature S obtenue pour le message M à l'aide des clés privées de pré-signature Ks et de cosignature K peut être vérifiée par tout tiers connaissant le schéma cryptographique utilisé et disposant de la clé publique Kpdu signataire et du message M ou de son haché H(M). 15 9. Procédé de signature numérique selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que la clé publique Kp du signataire est librement distribuée, notamment à l'aide d'un certificat numérique apte à associer la clé publique KK à l'Identité I du signataire. 10. Procédé de signature numérique selon la revendication 1, caractérisé en ce que le 20 calcul de la signature S par le serveur cosignataire est réalisé par une fonction utilisant la clé de Cosignature K0 le haché H(M) du message et la pré-signature SS reçue du signataire. 11. Procédé de signature numérique selon l'une quelconque des revendications précédentes, utilisant le schéma cryptographique RSA pour la signature, caractérisé en ce que 25 calcul de signature comporte les étapes consistant à : (41) pour le signataire, saisir son code PIN ou son mot de passe P sur son dispositif de signature ;(42) récupérer le module RSA n en clair et déchiffrer son exposant privé ds à l'aide du mot de passe P ou du code PIN ; (43) calculer la pré-signature SS à l'aide du dispositif de signature, en appliquant une fonction d'encodage probabiliste Es = ES (H(M)) puis la fonction d'exponentiation modulaire 5 RSA au message M : Ss = Es`s mod (n) ; (44) transmettre ladite pré-signature SS au serveur cosignataire ainsi que le haché H(M) du message à signer et l'identité I du signataire; (45) récupération par le serveur cosignataire du module n, de l'exposant cosignataire cic et de l'exposant public e associé à l'identité I du signataire, puis recouvrement de la valeur de 1 o Es à l'aide de la fonction d'exponentiation modulaire RSA pour l'exposant produit (e . dc) : Es = Ss(e dc) mod n, et application de la fonction de vérification au résultat du déchiffrement pour calculer la valeur de vérification VS = VS (H(M), E5) ; (46) si VS est fausse, comptabiliser l'erreur au niveau du serveur cosignataire et notifier l'erreur au signataire ; 15 (47) si Vs est vraie, calculer la signature S par la fonction d'exponentiation modulaire RSA : S = Se mod n, et transmettre la signature S au signataire. 12. Procédé de signature numérique selon l'une quelconque des revendications 1 à 2 0 10, utilisant le schéma cryptographique El Gamal pour la signature, caractérisé en ce que calcul de signature comporte les étapes consistant à : (61) pour le signataire, saisir son code PIN ou son mot de passe P sur son dispositif de signature ; (62) récupérer à l'aide du dispositif de signature, la dé publique (p, g, y) en clair et 25 déchiffrer l'exposant privé xs à l'aide de P, puis tirer un nombre aléatoire ks strictement positif et premier avec (p-1) et calculer la valeur: rs = gks mod p ; (63) transmettre la valeur rs au serveur cosignataire ainsi que l'identité I du signataire ;(64) récupération par le serveur cosignataire de la dé publique (p, g, y) et de la clé privée cosignataire (ys, >cc) associées à l'identité I, puis tirer un nombre aléatoire kc strictement positif et premier avec (p-1), et calculer la valeur: rc = gke mod p puis le produit r = (rs . rc) mod p ; (65) transmettre la valeur rc au dispositif de signature du signataire ; (66) calcul par le dispositif de signature du produit r = (rs . rc) mod p puis de la pré-signature : Ss = (xs . H(M) - r . ks) mod (p-1) ; (67) transmettre la valeur de la pré-signature Ss au serveur cosignataire ainsi que le haché H(M) du message ; Z o (68) vérification par le serveur cosignataire de la pré-signature ainsi reçue en réalisant les calculs suivants : Vl = (yeMn) mod p ; V2 = (gss . rs~) mod p ; la valeur de Vs vérification de signature est vraie si (V1= V2) et fausse dans le cas contraire ; (69) si VS est fausse, le serveur cosignataire comptabilise l'erreur et notifie l'erreur au signataire ; 15 (70) si Vs est vraie, le serveur cosignataire réalise le calcul de la signature S comme suit :Sc=(xc.H(M)-r.kc)mod(p-1);puis :S=(SS+Sc)mod(p-1)