FR 2934393 A1 20100129 FR 0804255 A 20080725 PROCEDE DE REALISATION D'UN SYSTEME MECATRONIQUE FLEXIBLE La présente invention concerne un procédé de réalisation d'un système mécatronique flexible. La mécatronique est une discipline qui est au carrefour de la mécanique et de l'automatique De nombreux systèmes relèvent ainsi de la mécatronique. C'est le cas par exemple des systèmes robotiques. Les dimensions en jeu peuvent être du domaine de la miniaturisation, typiquement le domaine de la micro robotique, ou peuvent être de l'ordre de plusieurs mètres comme dans le cas des grands robots poly-articulés. Si on considère à titre d'exemple le cas de la micro robotique, un concepteur doit appréhender à la fois deux problèmes, le problème de la miniaturisation et le problème de la commande de ces systèmes. La réalisation de micro robots par miniaturisation de robots traditionnels se heurte à des barrières technologiques et physiques. Les efforts de miniaturisation doivent être appliqués de front dans plusieurs domaines, notamment dans la conception de structures de transmission et d'actionneurs pour l'application de forces et de déplacements dans des volumes de l'ordre d'un centimètre cube. D'autres moyens d'actionnement et de mesure doivent être étudiés, pour atteindre les performances mécaniques, la commandabilité et l'observabilité visées. Cet effet d'échelle, ainsi que la nature des systèmes conçus, tous deux spécifiques de la micro robotique, rendent l'analyse et l'écriture des modèles dynamiques et cinématiques difficiles. Les mouvements sont alors difficilement prédictibles. Les comportements dynamiques sont fortement non-linéaires et les lois de commande sont en conséquence rendues complexes. Il y a donc un besoin pour résoudre ce double problème rencontré lors de la conception d'un système relevant de la mécatronique, c'est-à-dire répondre à la fois aux performances mécaniques et aux exigences de commande. Plus généralement, il y a un besoin de répondre au problème de la conception optimale globale de structures mécatroniques, notamment flexibles, d'un double point de vue : mécanique et automatique. En effet, l'utilisation de seuls critères mécaniques, généralement statiques mais aussi quelquefois dynamiques, peut amener à un ensemble de solutions parmi lesquelles beaucoup ne sont pas aptes à être commandées en pratique. Dans le cas notamment des structures micro robotiques flexibles, des solutions sont connues. Le plus souvent, les structures micro robotiques flexibles sont rendues actives par actionnement piézoélectrique, une structure active étant une structure qui intègre son actionnement. En effet, les actionneurs piézoélectriques possèdent des propriétés intéressantes de résolution de force et de bande passante. En revanche, leur faible déformation, de l'ordre de 0,1%, n'autorise pas de courses importantes et peut limiter les performances du système actionné dans certains cas. De nombreux travaux ont traité de l'optimisation paramétrique d'actionneurs piézoélectriques, cette optimisation étant orientée du point de vue de la mécanique statique. Les conceptions existantes sont essentiellement basées sur l'intuition et/ou l'expérience du concepteur et la méthode d'optimisation permet uniquement d'ajuster les valeurs des paramètres dimensionnels d'une forme prédéfinie. La plupart des optimisations concernent l'amélioration des performances mécaniques d'un actionneur basique, généralement ses débattements. Un actionneur basique peut être notamment une poutre simple uni morphe, bi-morphe ou un actionneur multicouche. II existe aussi des méthodes implémentées qui permettent d'optimiser la forme d'une structure passive amplificatrice d'un actionneur piézoélectrique basique pour optimiser le débattement de l'assemblage qui en résulte, comme cela est notamment décrit dans l'article de M.Frecker et S.Canfield � Optimal design and experimental validation of compliant mechanical amplifiers for piezoceramic stack actuators �, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 11, pages 360-369, 2000. Une autre approche générale pour optimiser la conception de structures piézo-actionnées est d'optimiser simultanément ou séparément la taille de l'actionneur, mais pas sa forme. L'article de H.Maddisetty et M.Frecker � Dynamic topology optimization of compliant mechanisms and piezoceramic actuators � ASME Journal of Mechanical Design, Vol. 126, Iss. 6, pages 975-983, 2004, décrit une solution où l'on optimise séparément la taille de l'actionneur, mais ni sa forme ni sa position. L'article de M.Abdalla et al � Design of a piezoelectric actuator and compliant mechanism combination for maximum energy efficiency �, Smart Material and Structures, Vol. 14 pages 1421-1430, 2005, décrit une solution où l'on effectue un chargement dynamique à fréquence donnée et on optimise simultanément la taille de l'actionneur. A l'inverse de ces méthodes où les éléments piézoélectriques sont placés a priori sur la structure, plusieurs autres travaux traitent de l'emplacement optimal d'actionneurs sur une structure donnée, comme cela est notamment décrit dans R.Barboni et al � Optimal placement of PZT actuators for the control of beam dynamics �, Smart Material and Structures, pages 110-120, 2000. Enfin, quelques études considèrent l'optimisation de la forme de l'actionneur piézoélectrique comme le montre par exemple E.C.Nelli Silva et N.Kikuchi � Design of piezoelectric transducers using topology optimization �, Smart Material and Structures, Vol. 8, pages 350-365, USA 1999. Toutes ces optimisations ne prennent pas en compte réellement l'optimisation simultanée de la structure et de l'actionneur, et encore moins l'optimisation complète du système y compris de ses conditions aux limites. D'autres formes d'optimisation connues prennent en compte uniquement l'aspect mécanique. A titre d'exemple, certains micro robots se déplacent en utilisant la technique dite de � stick-slip � comme décrit notamment dans S.Fablbusch et al � Flexible Microbotic System MINIMAN : Design, Actuation Principle and Control �, Proc. of th IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, pages 156-161, Atlanta, Georgia USA, 1999 et exploitent la grande bande passante des actionneurs piéozoélectriques, qui permettent d'obtenir des mouvements à forte dynamique et une utilisation en régimes fréquentiels très rapides. Or, une grande partie des travaux existants en optimisation de mécanismes flexibles dit � compliants � ne se sont intéressés qu'au cas d'applications quasi-statiques, qui peuvent révéler des structures sous-optimales en régime dynamique, voire inappropriées, entrainant par exemple l'apparition de déphasages ou d'amortissements passifs. Les méthodes qui incluent l'analyse et l'optimisation de réponses fréquentielles des structures actives s'intéressent très souvent à la maximisation, ou la minimisation dans le cas applicatif de l'amortissement actif, de l'amplification de débattements ou de forces à un chargement harmonique choisi, l'actionneur étant utilisé à une fréquence choisie, les performances en régime statique étant ignorées, voir l'article de H.Maddisetty et M.Frecker précité. Enfin ces méthodes n'envisagent que très rarement d'optimiser les relations entrées/sorties sur une bande fréquentielle plus large, notamment pour les applications d'amortissement. En ce qui concerne la commande des systèmes flexibles, une première difficulté rencontrée est l'identification préalable de tous les modes dominants. Cette étape, nécessaire, permet la construction d'un modèle réduit approprié. Or, celui-ci doit répondre à un double objectif, d'une part être d'un ordre raisonnable pour ne pas complexifier a posteriori la synthèse du régulateur et d'autre part être le plus proche possible du comportement dynamique du système flexible réel, qui est généralement fortement résonant. Un certain nombre d'approches pour la réduction de modèles existent, parmi lesquels la technique basée sur la réalisation équilibrée. Cette technique est généralement fondée sur un ordre de réduction du modèle complet qui, en réalité, est de dimension quasi-infinie. De cette technique, il ressort la difficulté du choix de l'ordre pour le modèle réduit et par conséquent de la précision de ce dernier vis-à-vis du modèle non tronqué. Une deuxième difficulté réside notamment dans le choix à adopter sur la stratégie et la synthèse proprement dite de la loi de commande face à de tels systèmes au comportement très oscillant. Un but de l'invention est de pallier les inconvénients des méthodes précitées, en permettant, pour la réalisation d'un système mécatronique flexible, de prendre en compte des critères très variés pour permettre d'une part de faciliter le calcul d'un modèle réduit le plus précis possible, et d'autre part de faciliter la commande du comportement vibratoire de ce type de structure. A cet effet, l'invention a pour objet un procédé de réalisation d'un système mécatronique flexible, comportant au moins : une étape de modélisation du système par un maillage aux éléments finis; une étape de simulation du comportement d'un noeud terminal (68) du modèle en réponse en boucle ouverte à un signal de commande ; une étape de caractérisation de ladite réponse par au moins un critère mécanique et au moins un critère numérique J1k représentatif de l'amplitude relative des pics de résonance de ladite réponse en fonction de la fréquence, ces pics de résonance étant respectivement choisis en amont et en aval d'un numéro de mode pré-déterminé ; les étapes précédentes étant susceptibles d'être réitérées, ces étapes étant suivies d'une étape de sélection d'une conception obtenue en fonction des critères définis dans l'étape de caractérisation, le système étant réalisé à partir de la conception sélectionnée. Le critère J1k est par exemple défini par la relation suivante k 6i jk = i=1 p 6i i=k+l où k est le nombre des premiers modes devant être dominants par rapport à tous les autres modes de ladite réponse en fréquence et 6i , défini à partir de la représentation d'état qui caractérise complètement la relation entrée/sortie du mécanisme, est la i-ème Valeur Singulière de Hankel du système flexible. 15 Dans une mise en oeuvre possible du procédé, l'étape de caractérisation comporte un autre critère numérique J2k représentatif de l'alternance des résonances et antirésonances de la réponse dans le domaine fréquentiel, dans une bande de fréquences choisie. Le critère J2k est par exemple défini par la relation suivante : 20 k JZ k = l sign(cibi où k est le nombre de premiers modes de résonance de ladite réponse en fréquence et ci et bi représentent respectivement l'influence des capteurs et actionneurs sur la réponse fréquentielle entrée/sortie du système. 25 Un mode de réalisation est par exemple sélectionné lorsque le critère J1k est supérieur à une valeur choisie par l'utilisateur/le concepteur. Un mode de réalisation est par exemple sélectionné lorsque le critère J2k est supérieur à une valeur donnée. Le maillage peut être composé d'une combinaison de blocs élémentaires à 30 déterminer, chaque bloc autorisé étant formé d'un assemblage prédéfini de10 segments représentant des poutres élémentaires, ledit maillage comportant au moins un bloc actif commandable au moyen d'un signal de commande. Dans un autre mode de mise en oeuvre possible, le maillage étant composé d'une combinaison de blocs élémentaires à déterminer, chaque bloc autorisé étant formé d'un assemblage prédéfini de segments représentant des poutres élémentaires, le maillage comporte au moins un noeud commandable au moyen d'un signal de commande. Les blocs sont par exemple issus d'une bibliothèque de blocs prédéfinis. Une commande d'un bloc actif peut s'exercer par un signal de déformation 10 d'une au moins de ses poutres. Un critère mécanique statique est par exemple le déplacement bx du noeud terminal. Le noeud terminal étant un effecteur, un critère mécanique est la valeur de la force qu'il applique au milieu extérieur Fx, par exemple la force de serrage. 15 D'autres critères mécaniques peuvent être utilisés, par exemple des contraintes, des énergies de déformation ou déplacements parasites. Le signal de commande est par exemple un signal de tension ou de courant électrique. Le système est par exemple un actionneur piézoélectrique, toutes les 20 poutres constituant un bloc actif étant commandées par un signal de tension électrique. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à l'aide de la description qui suit, faite en regard de dessins annexés qui représentent : 25 la figure 1, un exemple de bibliothèque de blocs flexibles élémentaires utilisés pour une modélisation réduite d'un système mécatronique flexible ; la figure 2, une illustration d'une poutre piézoélectrique, partie élémentaire constitutive d'un système ou actionneur piézoélectrique ; 30 la figure 3, une représentation curviligne de la poutre piézoélectrique précédente représentée par un segment et son orientation dans un système d'axes ; la figure 4, une forme souhaitée, pouvant être considérée comme idéale, de réponse fréquentielle d'un système mécatronique flexible ; les figures 5a et 5b, les lieux des pôles et des zéros de la réponse fréquentielle d'un système colocalisé, respectivement non amorti et légèrement amorti ; la figure 6, un exemple de maillage d'un système mécatronique flexible dont les blocs élémentaires le constituant sont à définir, en vue de la conception du système ; les figures 7a à 7d, des exemples de structures de systèmes flexibles modélisées par un assemblage de blocs basés sur le maillage précédent ; les figures 8 à 11, des illustrations de la réponse fréquentielle en boucle ouverte de chacune des structures précédentes. La figure 1 présente un exemple de bibliothèque de blocs flexibles élémentaires actifs et passifs utilisée dans une méthode de conception de mécanismes flexibles. Cette méthode plus générale est notamment décrite dans les documents suivants : Grossard M., Rotinat-Libersa C., Chaillet N., Perrot Y., "Flexible building blocks method for the optimal design of compliant mechanisms using piezoelectric material", 12th IFToMM World Congress, Besançon, France, 2007; Grossard M., Rotinat-Libersa C., Chaillet N., "Gramian-based optimal design of a dynamic stroke amplifier compliant micro-mechanism", IEEE/RSJ International Conference on Robots and Systems, San Diego, USA, 2007; Bernardoni P., and al., "A new compliant mechanism design methodology based on flexible building blocks", Proceedings of Smart Structures - SPIE Modeling, Signal processing and Control Conference, San Diego, USA, vol. 5383, pp. 244-254, USA, march 2004 ; Rotinat-Libersa C., Perrot Y., Friconneau J.-P., "Potentialities of optimal design methods and associated numerical tools for the development of new micro- and nano- intelligent systems based on structural compliance - An example -", IARP- IEEE/RAS-EURON Joint Workshop on Micro and Nano Robotics, Paris, France, 2006. La bibliothèque de la figure 1 comporte par exemple 36 éléments passifs et 19 éléments rendus actifs par effet piézoélectrique 4. Cette bibliothèque permet de construire une grande variété de topologies de structures. Chaque bloc élémentaire 1, 2, 4 est par ailleurs constitué par un assemblage prédéfini de poutres élémentaires, ou segment 3. La spécification du problème de conception optimale de systèmes flexibles considère, dans un encombrement donné, différentes conditions aux limites : les points de liaison entre le mécanisme et le bâti (position et liste des degrés de liberté bloqués), les entrées (actionneurs), les sorties (noeuds effecteurs), les contacts. Pour ce qui est de l'actionnement, plusieurs principes peuvent être envisagés : • soit des actionneurs en force ou déplacement pouvant agir en des noeuds particuliers de la structure, • soit des blocs actifs issus de la bibliothèque correspondante ; ces blocs peuvent être constitués de matériau piézoélectrique dont les surfaces supérieures et inférieures sont chacune recouvertes d'une surface conductrice (appelée électrode) et soumises à des potentiels électriques. L'intérêt d'utiliser des blocs flexibles actifs de topologies variées au lieu de simples poutres piézoélectriques est que cela permet de coupler les degrés de liberté, pour générer des mouvements complexes dans un encombrement restreint. Un but de l'étape de conception consiste donc à chercher une distribution optimale de blocs flexibles dans un encombrement donné, ainsi que le jeu optimal de paramètres (variables d'optimisation : matériaux, dimensions, conditions aux limites y compris actionneurs...) qui définissent des structures mécatroniques flexibles, dont les performances (objectifs à optimiser) sont les plus proches de celles spécifiées dans un cahier des charges donné. Des variables et des critères d'optimisation sont utilisés. En ce qui concerne les variables d'optimisation, plusieurs paramètres peuvent être utilisés pour définir les structures. Certains de ces paramètres peuvent être ou non optimisés, notamment : o les points fixés au bâti (nombre, emplacement, degré de liberté concerné), o la topologie de la structure (types de blocs flexibles de la bibliothèque, leur nature -actifs et/ou passifs-, et leur agencement), o le (ou les) matériau(x) constituant les blocs passifs et leur 5 épaisseur o l'épaisseur et la différence de potentiel électrique entre l'électrode supérieure et l'électrode inférieure (pour les blocs actifs, qui sont actuellement en matériau piézoélectrique) o les contacts unilatéraux entre la structure et le bâti, ou entre 10 deux parties de la structure (nombre, degré de liberté concerné, jeu et emplacement), o les actionneurs (nombre, type d'actionnement, point d'action, degré de liberté concerné et amplitude), o les capteurs (nombre et emplacement uniquement, à l'heure 15 actuelle). Les critères mécaniques disponibles, pour un modèle statique, sont notamment : o Déplacement libre des degrés de libertés (ddls) de sortie o Avantage géométrique, i.e. amplification du ratio déplacement 20 sortie sur déplacement entrée o Force de blocage des degrés de liberté de sortie o Avantage mécanique, i.e. amplification du ratio force sortie sur force entrée o Inverse de l'énergie de déformation 25 o Inverse des déplacements orthogonaux au déplacement de sortie o Manipulabilité o Masse o Contrainte mécanique maximale 30 o Charge critique de flambage. D'autres critères liés à la mécanique sont disponibles pour un modèle dynamique, mais ils utilisent une formulation propre au domaine de l'automatique, basée sur les grammiens de commandabilité et d'observabilité, entre un noeud actionné, ou commandé, et un noeud de 35 sortie unique comme décrit notamment dans le document "Gramian- based optimal design of a dynamic stroke amplifier compliant micromechanism" précité : o Le premier décale la première résonnance entrée-sortie au-delà d'une fréquence limite choisie o Le second évite la présence de résonnances entrée-sortie dans un intervalle de fréquences choisi Une méthode d'optimisation stochastique utilisée est par exemple un algorithme génétique inspiré du code décrit dans Deb K., and al., "A fast elitist non-dominated sorting genetic algorithm for multi-objective optimization: Nsga-II", Proc. of the 6th Int. Conf. on Parallel Problem Solving from Nature, pp. 849-858, France, 2000. La méthode de conception optimale utilise ce principe d'optimisation qui permet une vraie optimisation multicritères (sans pondération a priori d'un critère par rapport à un autre), et l'utilisation de variables discrètes. Dans cette méthode, on conçoit un paramétrage discret adapté à la spécification de structures mécatroniques flexibles. La structure de l'algorithme est par exemple organisée comme suit : • Au vu du cahier des charges du système à concevoir, le concepteur renseigne les valeurs admissibles pour les paramètres (qui sont les variables à optimiser) ; • L'algorithme synthétise des individus puis les évalue selon les critères choisis par le concepteur ; • Les opérateurs stochastiques, propres aux algorithmes génétiques, modifient la description des structures par des manipulations sur leurs variables discrètes, de façon à synthétiser de nouvelles structures, qui sont ensuite évaluées comme à la génération précédente ; • Un nouveau cycle de synthèse et d'évaluation est effectué, et ainsi de suite, jusqu'à convergence de l'algorithme (atteinte de l'optimum global) ; • Lorsque la convergence est atteinte, l'algorithme de conception fournit un ensemble de solutions pseudo-optimales, restituées sur un (ou plusieurs dans le cas de plus de 2 critères) fronts de Pareto bidimensionnels. Ensuite, le concepteur choisit et interprète les structures obtenues qui 35 répondent de manière optimale à son cahier des charges. Le processus d'optimisation repose ainsi sur une technique d'optimisation stochastique (algorithme génétique) dans laquelle les solutions candidates sont considérées comme les individus d'une population. Elles sont paramétrées par des chromosomes, eux-mêmes fait de gènes. La population entière évolue avec des opérateurs simplifiés inspirés de la génétique, tels que la sélection, la mutation et le croisement. Par exemple, le génotype d'un assemblage de blocs flexibles est codé par une matrice d'entiers, chacun des entiers faisant référence aux blocs des bibliothèques actives et passives de la figure 1. Dans un exemple d'implémentation mise en oeuvre, les blocs actifs sont par exemple dominants sur les blocs passifs, qui sont eux-mêmes dominants sur un bloc vide. Une modélisation des blocs flexibles élémentaires piézoélectrique 2 peut être mise en oeuvre. Pour cette modélisation, seuls les déplacements et forces 15 contenus dans le plan de la structure sont considérés. II est par exemple fait l'hypothèse que les mécanismes flexibles sont soumis à des déformations structurelles, résultant principalement des flexions des poutres constituant les blocs tels qu'illustrés par exemple par la figure 1. Ainsi, le modèle adopté pour les blocs est obtenu en considérant les 20 hypothèses de Navier-Bernoulli. Les paramètres définissant les blocs sont l'épaisseur, le matériau, la largeur et la hauteur (et la différence de potentiel électrique entre les électrodes supérieure et inférieure pour les blocs actifs). Les caractéristiques du matériau de chaque bloc sont paramétrées par son module d'Young, son coefficient de Poisson, sa limite élastique, sa densité 25 (et les coefficients de couplage piézoélectriques pour les blocs actifs). Avant d'obtenir la formulation du modèle des blocs piézoélectriques, un modèle de la poutre simple est tout d'abord nécessaire. La figure 2 illustre une poutre piézoélectrique 20 avec des électrodes 21, 22 30 parfaitement réparties sur ses faces supérieures et inférieures, polarisées avec des potentiels (pi, (Q2 selon l'épaisseur, et orientée dans un repère d'orthotropie (el, e2, e3). Sous l'effet du couplage piézoélectrique transverse, une déformation longitudinale S11 est occasionnée le long de la dimension L par le champ électrique E3 selon l'épaisseur. Considérant la forme 35 unidimensionnelle des équations piézoélectriques selon l'axe longitudinal de la poutre, les matrices de couplage piézoélectrique d, de permittivité électrique c et de compatibilité s sont chacune représentées par un coefficient scalaire, d31, e33 et s11 respectivement. Les relations constitutives de la piézoélectricité pour la déformation S11 et le déplacement électrique D3 en fonction de la contrainte Tri et du champ électrique E3 sont dans ce cas ramenées à : Js1, 1 D3 (1) La figure 3 illustre une représentation curviligne de la poutre piézoélectrique 20, représentée par un segment AB, et son orientation dans un système de repère global (O, x, y, z) avec les efforts RA, RB et les moments nodaux HA, HB aux extrémités de la poutre. Le champ de déplacement sur un élément de poutre piézoélectrique est décrit par ses composantes longitudinale u, tangentielle v et rotationnelle w à l'abscisse curviligne xo (figure 3). II est exprimé par rapport aux valeurs nodales correspondantes de la poutre, dans le système de coordonnées de la poutre Rp = (A, xp, yp, Zp) : lh _ -( UA, VA, WA, UB, VB, WB )R p Le principe d'Hamilton, généralisé aux systèmes électromécaniques, fournit le modèle du comportement dynamique de la poutre piézoélectrique décrit par exemple dans A.Preumont � Mechatronics : Dynamics of Electromechanical and Piezoelectric Systems (Solid Mechanics and its Applications) �, published by Springer, September 25, 2006, : MbTIb + KbTIb = Gb(l)b + Frb (2) Les différentes matrices sont calculées sous les hypothèses d'un champ de déplacement interpolé aux noeuds de la poutre, par les fonctions de forme 30 propres aux poutres de Navier-Bernoulli : Mb désigne la matrice masse ; Kb désigne la matrice raideur ; Gb désigne la matrice de couplage électromécanique, qui induit le chargement piézoélectrique permettant de réaliser la contraction ou l'élongation de la poutre proportionnellement à la différence de potentiels (pi - (Q2 ; 0b = ((P1, (Q2 )t est le vecteur des potentiels électriques sur les faces supérieures et inférieures de la poutre piézoélectrique ; Frb = (RÂ RÂ HÂ RI RB HB )` est le vecteur des forces nodales mécaniques. Tout comme pour les blocs passifs, les matrices de masse MB , raideur KB et couplage GB de chaque bloc actif sont obtenues par assemblage matriciel des matrices de masse Mb', raideur Kb', et couplage Gb' de chaque poutre constitutive des blocs. Chacune de ces dernières matrices est exprimée dans le repère global R'=(0, x, y, z) selon la formule de changement de base par : Mb = P'MbP Kb = P'KbP Gb = P'Gb où P est une matrice de changement de repère obtenue classiquement. Avant de réaliser une optimisation, les matrices masse, raideur et couplage électromécanique de tous les blocs de la bibliothèque sont calculées numériquement, et ce, en considérant toutes les combinaisons possibles des différentes valeurs discrètes autorisées par un concepteur pour les variables d'optimisation (matériaux, taille des blocs...). Ce calcul est réalisé une seule fois. Les résultats sont gardés en mémoire, ce qui permet d'économiser du temps de calcul pendant les processus d'itération des étapes d'optimisation. Durant l'optimisation, l'évaluation des différents critères spécifiés par le concepteur fait appel au calcul du modèle de comportement statique ou dynamique des structures, selon que sont considérés des critères mécaniques statiques, dynamiques ou orientés automatique. Dans le cas dynamique et piézoélectrique (qui est le plus complet), les matrices (exprimées dans le repère R') de tous les blocs constitutifs de la structure sont assemblées pour décrire le comportement conservatif du mécanisme selon : Mgijg +Kggg =GgDg +Frg (3) Cet assemblage est réalisé pendant le processus d'optimisation pour chaque individu et à chaque génération. Dans la relation (3), r19 fait référence aux déplacements nodaux de la structure-treillis discrétisée en blocs, eux-mêmes discrétisés en poutres. (P9 désigne les potentiels électriques appliqués aux électrodes supérieures et inférieures de chaque bloc, et Frg les forces mécaniques extérieures appliquées au système. Dans le cas du calcul dynamique d'une structure purement passive, l'équation (3) se simplifie selon : Mgijg +KgIg =Frg Les forces actionneurs sont considérées cette fois-ci comme toutes externes à la structure et comprises dans le terme Frg. Dans le cas du calcul du comportement statique d'une structure 10 piézoélectrique, l'équation se ramène à : Kg%tg =Gg�)g +Frg Enfin, dans le cas du calcul du comportement statique d'une structure passive, l'équation se ramène à : Kgl%g = Frg . Selon l'invention, deux critères numériques J1 et J2 sont utilisés pour 15 l'évaluation des performances dynamiques du transfert entrée-sortie des systèmes mécatroniques flexibles. Plus particulièrement, ces deux critères permettent de définir une stratégie d'optimisation en vue de la commande ultérieure des systèmes mécatroniques flexibles à réaliser. Les critères J1 et J2 portent sur la réponse en boucle ouverte de ces structures. Ils permettent 20 notamment à la réponse fréquentielle entrée-sortie de respecter certains gabarits et certaines contraintes portant sur la contrôlabilité et l'observabilité jointes de certains modes de vibration. Le critère JI porte notamment sur l'amplitude de la réponse fréquentielle en boucle ouverte d'un système et le critère J2 porte notamment sur la phase de cette réponse fréquentielle. Ces 25 deux critères J1 et J2 permettent de caractériser respectivement les propriétés dynamiques d'un modèle de système, en amplitude et en phase. Une première difficulté rencontrée lors de la commande de systèmes flexibles est l'identification préalable des modes dominants. Cette étape, nécessaire, permet la construction d'un modèle réduit approprié devant, dans 30 l'idéal, répondre à un double objectif, d'une part être d'un ordre raisonnable pour ne pas complexifier a posteriori la synthèse du régulateur et d'autre part être le plus proche possible du comportement dynamique du système flexible réel, qui est généralement fortement résonant. Une deuxième difficulté réside notamment dans le choix à adopter sur la 35 stratégie et la synthèse proprement dite de la loi de commande face à de tels systèmes au comportement très oscillant. Face à ce double problème, les deux critères JI et J2 permettent d'une part de faciliter le calcul d'un modèle réduit le plus précis possible et d'autre part de faciliter la commande du comportement vibratoire de ces structures. Avant de formuler ces critères JI et J2, on rappelle des équations modales du mouvement des structures flexibles. Conformément au document de K.B.Lim et al � Actuators and sensor placement for control of flexible structure �, in Control and Dynamics Systems : Advances in Theory and Applications, ed. London, Academic Press, 1993, chaque structure flexible synthétisée est définie comme un système linéaire de dimension finie, contrôlable et observable, possédant des pôles complexes conjugués faiblement amortis. Son comportement dynamique conservatif est régi par les équations matricielles différentielles du 2nd ordre suivantes : Mggg +Kgr~g =Egu (4) Y=Fggg Chaque élément de u (respectivement y), dénote un actionneur (respectivement capteur) dont le degré de liberté est défini par une valeur non-nulle dans la colonne correspondante de Eg (respectivement ligne de Fg). La décomposition modale du système permet de rechercher une solution sous la forme : P 1g = E q ='I'q Elle consiste en une combinaison linéaire des déformées modales vit,. q est le vecteur des déplacements modaux de dimension pxl. La matrice des 25 vecteurs propres Y _ [IF, ... tl,p ], et les pulsations propres associées sont obtenues comme solutions du problème conservatif suivant : (Kg ùco,?Mg)`Y; =0 . On suppose ici que l'amortissement n'a que peu d'influence sur le positionnement fréquentiel des résonances des structures flexibles. Les 30 pulsations propres sont rangées par ordre croissant 0,2 s... s wp , et P est choisie normalisée par rapport à la matrice masse M. En remplaçant reg par 'Yq dans la relation (4) et multipliant à gauche par Y', les relations d'orthogonalité induites par la forme modale donnent : +diag(cq?)q=`F'Egu (5) y=Fg`Yq Pour obtenir un modèle d'état des structures, on choisit par exemple le vecteur d'état x de dimension 2p x 1 défini par : x=( 9t w191 9p ('pgp )r Le triplet (A, B, C) de la représentation d'état dans l'espace modal z=Ax+Bu y = Cx prend la forme particulière -2'c _w T'Eg A = ,B = ,C;= co, 0 0 _ La matrice d'évolution A dépend de la structure (fréquences propres et amortissements modaux), la matrice de commande B (respectivement C) dépend de l'emplacement et de la nature des actionneurs (respectivement des capteurs). Dans la suite, on notera `Y,`.Eg (de dimension 1 xs) : b; , et Fg`Y; (de 15 dimension rx1) : c;. Dans le domaine fréquentiel, la matrice de transfert entre les entrées u et les sorties y est vue comme la somme de toutes les contributions modales : y(!w)=G(jco)u(fco) où la rxs matrice de transfert vaut : p p c;b, % r Pa)) E 2 2 ;_, ;_1 co; ùw +2jg;ww La figure 4 présente une forme souhaitée pour la réponse fréquentielle en boucle ouverte d'un système flexible, par exemple d'une structure constituée d'un ensemble de poutres piézoélectriques. Cette forme est représentée par 25 une courbe représentative de l'amplitude, exprimée en dB, par rapport à la pulsation, exprimée en radians/secondes. Pour augmenter l'autorité de contrôle sur les différents modes, les amplitudes des résonnances doivent être maximisées dans la bande fréquentielle [ 0, wc ], ou bande passante 42, telles qu'illustrées par les pics importants 43 de la courbe 41 à l'intérieur de 30 cette bande de fréquences 42. Au contraire, les amplitudes des pics de 0 ùFg `Y; w (6) 20 résonnance 44 après la pulsation de coupure wc doivent être minimisées pour limiter la marge de gain et limiter les phénomènes dits de � spillover �. Le critère JI défini par la suite permet notamment d'évaluer si la réponse d'un modèle de système s'approche du cas idéal de la figure 4. En d'autres termes, le critère JI permet d'évaluer la capacité de réduction du modèle et sa précision. L'interprétation qu'il est possible de faire de la norme H. de la matrice de transfert, rend possible l'écriture d'un tel critère pour l'obtention de cette forme de réponse fréquentielle. Cette norme caractérise les amplifications maximales que le système peut produire sur les signaux d'entrée. En particulier dans le cas d'une fonction SISO (une seule entrée, une seule sortie), la valeur de l'amplitude maximale G; du i-ème mode de la réponse fréquentielle peut être approximée, sous l'hypothèse de faibles amortissements, par : cibil HG, IIm 2 i ~r2 (7) Par ailleurs, les valeurs singulières de Hankel (HSV) associées à la représentation d'état de la relation (6) sont les valeurs du grammien équilibré. Ce grammien est une matrice diagonale positive définie par I' = diag (c;) , qui caractérise le degré de contrôlabilité et d'observabilité jointes, de chaque composante du vecteur d'état. Dans le présent cas de représentation nodale, chaque HSV caractérise donc ici le degré de contrôlabilité et d'observabilité du mode vibratoire du système en question. Dans le cas de faibles amortissements, les HSV sont définies par : Q 4 w1 II s'ensuite donc que IIGÏ III = 2o-, . Pour que les k premiers modes résonants, où k E cri Jk = i-1 1 p 6i i=k+l 6i représentant les valeurs singulières de Hankel (HSV) associées à la représentation d'état de la relation (6) pour le mode propre particulier n°i. Ce critère a une fonction d'indicateur, de note, de telle sorte que plus J1K est grand plus le système présente de bonnes contrôlabilité et observabilité simultanément pour les k premiers modes et de mauvaises contrôlabilité et observabilité simultanément pour les autres modes. En pratique, ce critère favorisera les systèmes pour lesquels seuls les k premiers modes sont dominants. Les figures 5a et 5b illustrent les lieux des pôles, représentés par des x, et ceux des zéros, représentés par des o, de la réponse fréquentielle d'un système colocalisé respectivement non amorti et légèrement amorti, dans le plan complexe où les abscisses représentent la réponse réelle Re(s) et les ordonnées représentent la réponse imaginaire lm(s). Un second critère utilisé par le procédé selon l'invention, J2, caractérise le comportement de colocalisation des systèmes flexibles. Une propriété de ces systèmes, avantageusement exploitée par l'invention, est l'alternance des pôles et des zéros dans le demi-plan complexe. De tels systèmes sont à minimum de phase et la réponse en phase oscille continûment entre 0° et 180° correspondant respectivement aux zéros et aux pôles de la réponse. Les systèmes colocalisés sont connus pour ces propriétés intéressantes, qui permettent d'assurer une stabilité de leur commande en boucle fermée. Selon l'invention, une fonction d'évaluation peut être utilisée pour estimer si le comportement d'une structure donnée peut être considéré comme étant proche d'un système colocalisé, donc à critères de stabilité simple. Cette fonction d'évaluation est le critère J2, défini pour les k premiers modes par la relation suivante : k Jz = Isign(c;b;) i=l où sign(c;b,) _ +1 ou -1 selon que le signe de l'argument de la réponse complexe est respectivement positif ou négatif, sign(c;b;) étant égal 0 si l'argument est nul. La somme sur l'indice i concerne tous les modes contenus dans le spectre fréquentiel des k premiers modes. c; et b; représentent respectivement l'influence des capteurs et actionneurs sur la réponse fréquentielle entrée/sortie du système. Dans le cas SISO notamment, la maximisation du critère J2 permet de favoriser les structures qui montrent une alternance des pôles et des zéros. Ce critère favorise donc les structures dont les k premiers gains statiques de G; sont de même signe. En pratique, cela revient à favoriser les systèmes présentant une alternance de pôles et de zéros pour les k premiers modes. La figure 6 illustre le maillage de la partie symétrique d'un micro-actionneur avec les conditions aux limites, avec quatre blocs 61, 62, 63, 64 à déterminer et des noeuds 65, 66, 67 admissibles pour le blocage, ces noeuds étant les trois noeuds du bas. Un noeud de sortie 68 représentant le noeud dit effecteur, formant l'organe terminal de l'actionneur. A titre d'exemple, l'optimisation globale réalisée par le procédé selon l'invention est appliquée pour concevoir ce micro-actionneur, plus particulièrement pour concevoir une structure monolithique piézoélectrique, à actionneur intégré, pour des tâches de micromanipulation. La spécification du problème prend ici en compte quatre critères d'optimisation simultanément : - deux critères mécaniques statiques, les maximisations du déplacement ôx et de la force FX du noeud effecteur 68 de la structure ; les deux critères JI et J2 caractérisant le transfert entre l'actionnement intégré et le noeud effecteur 68. Dans cet exemple, on choisit de prendre k = 2, c'est-à-dire de ne considérer que les deux premiers modes de résonnance, pour la détermination des critères JI et J2. Dans ce cas précis, le critère J2 ne peut prendre que deux valeurs discrètes. La valeur maximale est 2, cas de colocalisation, ou 0, cas de non localisation. Enfin, la synthèse optimale est réalisée dans cet exemple pour un mécanisme symétrique réalisé dans un matériau piézoélectrique. La figure 6 illustre la spécification du problème. Les données fixes sont les dimensions de la partie symétrique, l'amortissement modal et la différence de potentiel électrique V fixée pour les blocs actifs. L'amortissement modal est par exemple pris constant et égal à 1°/o pour tous les modes de résonance. Le maillage de la figure 6 est réalisé dans un plan O, x, y. La partie symétrique a pour dimensions L1 x L2, L1 étant par exemple égale à 15mm et L2 à 9mm, pour une épaisseur suivant z de 200pm. Cette partie est formée de quatre blocs 61, 62, 63, 64 à optimiser, les blocs ayant chacun une dimension a qui lui est propre selon la dimension L1 et une dimension b qui lui est propre selon la dimension L2. Les blocs actifs sont ceux possédant des électrodes alimentées, par la tension V égale par exemple à 200 volts, pour exploiter l'effet piézoélectrique. Les blocs passifs sont faits du même matériau mais sans électrodes. La taille des blocs peut varier pour a entre une valeur maximum amax et une valeur minimum amin de telle façon que le rapport amax/amin puisse varier entre 1 et 2. De même, la dimension b peut varier entre une valeur maximum bmax et une valeur minimum burin de telle façon que le rapport bmax/burin puisse varier entre 1 et 2. Dans l'exemple de la figure 6, les paramètres mécaniques à optimiser sont par exemple le déplacement selon l'axe x et la force de serrage selon l'axe x du noeud de sortie 68. En d'autres termes, lorsque la structure est commandée en tension, le noeud de sortie 68 doit produire : un déplacement bx selon l'axe x le plus grand possible ; - une force de serrage Fx selon l'axe x la plus grande possible. La commande peut être une tension électrique exerçant une déformation des poutres piézoélectriques.35 Les figures 7a, 7b, 7c et 7d illustrent quatre exemples de solutions appelées respectivement A, B, C et D, issues du front de Pareto de dimension quatre (car ici quatre critères d'optimisation sont considérés) obtenu à la convergence de la procédure d'optimisation, pour analyser l'apport de l'utilisation des critères J, et J2 selon l'invention au cours de l'optimisation. Les performances des quatre structures sont reportées dans le tableau ci-dessous où bx représente le déplacement de l'effecteur 68 le long de l'axe x et Fx sa force de serrage le long de ce même axe. Solutions Résultats des critères sélectionnées ax Fx J1 J2 A 15,55 pm 1,26 N 2,24 0 B 11,74 pm 1,26 N 21,00 0 C 12,34 pm 0,63 N 0,28 2 D 10,69 pm 0,84 N 5842,35 2 Les figures 7a, 7b, 7c et 7d sont les représentations géométriques des quatre actionneurs piézoélectriques. Les structures de ces actionneurs sont composées d'un assemblage de blocs, issus par exemple de la bibliothèque de la figure 1 et formés chacun d'un ou plusieurs segments 3 dont les extrémités forment des noeuds 70 en lesquels les segments peuvent se fixer les uns aux autres. Les lignes en trait plein 71 représentent les blocs actifs et les lignes en pointillés 72 représentent les blocs passifs. Dans l'exemple de la figure 7a, les deux blocs de gauche 61, 63 sont passifs, les blocs de droites 62, 64 sont actifs, le noeud du milieu 66 étant bloqué. Dans l'exemple de la figure 7b, les blocs en haut à gauche 61 et en bas à droite 64 sont passifs, les blocs en haut à droite 62 et en bas à gauche sont actifs, les noeuds de gauche 65, 66 étant bloqués. Dans l'exemple de la figure 7c, le bloc de gauche en bas 63 est passif, les blocs de droites 62, 64 sont actifs, les noeuds de droite 66, 67 étant bloqués. Dans l'exemple de la figure 7d, le bloc de gauche en bas 63 est passif, tous les autres blocs 61, 62, 64 sont actifs, les noeuds de gauche 65, 66 étant bloqués. Dans le cadre d'une optimisation classique, c'est-à-dire uniquement avec les deux critère mécaniques statiques ôx, Fx, seules les solutions A et B auraient été retenues dans une première étape car répondant à l'optimisation ci- dessus, à savoir un déplacement bx selon l'axe x le plus grand possible et une force de serrage Fx la plus grande possible. Les solutions A et B maximisent en effet ces deux critères mécaniques. Les solutions C et D auraient été écartées et supprimées du front de Pareto du fait de leurs performances mécaniques statiques moins bonnes. Mais il s'avère que la structure A possède de mauvaises performances dynamiques en vue de sa commande ultérieure comme l'illustre la figure 8 et que confirment les critères JI et J2. La figure 8 présente par un diagramme de Bode la réponse du déplacement ôx de l'effecteur 68 suite à une excitation harmonique en tension pour la structure A de la figure 7a. L'amplitude de la réponse est représentée par une première courbe 81 en fonction de la fréquence et la phase est représentée par une deuxième courbe 82 en fonction de la fréquence. La première courbe s'éloignede celle du cas idéal exprimé à la figure 4 pour l'amplitude 81. La second courbe illustre le caractère fortement non à minimum de phase. La courbe en phase 82 montre que le transfert entrée-sortie n'a pas la propriété intéressante d'alternance de pôles et de zéros, qui était illustrée aux figures 5a et 5b, exprimée par oscillations continues de la phase entre 0° et -180°, dans le spectre choisi. En effet une discontinuité 83 apparaît rompant la succession continue des pôles et des zéro, correspondant à la succession de deux antirésonances entre les deux premières résonances 84, 85 et effectivement J2 est égal à 0 dans le tableau précédent. Par ailleurs, l'autorité de contrôle sur ces deux premières résonances est faible en comparaison des autres modes. En effet les pics 84, 85 qui les représentent ne sont pas maximisés par rapport aux autres pics 86 placé en dehors de la bande de fréquence d'intérêt, et dont la valeur de l'amplitude n'est pas réduite, correspondant à une absence de chute du gain, ce qui est confirmé par la faible valeur de Ji. La figure 9 présente toujours par un diagramme de Bode la réponse fréquentielle du déplacement ôx de l'effecteur 68 dans les mêmes conditions mais pour la structure B de la figure 7b, par une courbe en amplitude 91 et une courbe en phase 92. Des remarques du même ordre que celles sur la structure A peuvent être faites. L'autorité de contrôle sur les deux premiers modes de résonance est correcte comme le montre la chute importante du gain après la deuxième résonnance 93 sur la courbe d'amplitude 91, ce qui est confirmé par une assez bonne valeur du critère J1 dans le tableau précédent. Cependant, on n'observe pas le caractère d'alternance continue entre les pôles et les zéros au vu de la courbe de phase 92 en dans le domaine fréquentiel d'intérêt et J2 vaut effectivement O. La figure 10 illustre le cas de la structure C de la figure 7c. Dans ce cas où le critère J2 est égal à 2, la réponse fréquentielle présente une alternance résonance / antirésonance qui varie bien continument jusqu'au second mode de résonance comme le montre la courbe d'amplitude 101 du diagramme de Bode. En revanche, il existe des modes de résonance de plus haute fréquence qui sont aussi dominants que certains modes du domaine fréquentiel d'intérêt. Par exemple, l'amplitude de la quatrième résonance 103 est presque aussi importante que l'amplitude de la première 104, ce que confirme la très faible valeur du critère JI, si bien que ces modes résonants à haute dynamique ne peuvent être raisonnablement négligés dans la synthèse du modèle réduit, ce qui engendrerait une phase d'identification et de synthèse de régulateur infaisables vu le nombre très important de dynamiques qu'il faudrait considérer pour aboutir à un modèle précis. Enfin, la figure 11 illustre le cas de la structure D de la figure 7d. Il s'avère finalement que cette structure peut présenter un compromis intéressant. La forme de sa réponse fréquentielle est bien celle attendue, aussi bien en amplitude comme l'illustre la courbe 111 du diagramme de Bode, où il y a une nette décroissance après la deuxième résonance 113, qu'en ce qui concerne l'alternance continue des résonances et des antirésonances dans le domaine fréquentiel d'intérêt. Cela fait de cette structure un système mécatronique dont le modèle tronqué (limité aux deux premières résonances) sera précis, facile à identifier et apte à une synthèse aisée de son régulateur au vu du critère JI, et dont la stabilité de sa commande ultérieure en boucle fermée sera garantie au vu du critère J2. La structure D apparaît comme celle qui présente le meilleurs compromis entre les performances mécaniques, liées aux critères ôX et F, et les performances dynamiques, en vue de la commande, liées aux critères JI et J2. Les exemples précédents montrent que les critères JI et J2 permettent de prendre en compte dès l'étape de conception certaines caractéristiques de la réponse dynamique d'un système, influant notamment sur sa commande ultérieure. Plus précisément, ils permettent de concevoir des systèmes flexibles qui présentent des caractéristiques fréquentielles propices à l'implémentation de lois de commande classiques, simples et/ou dédiées aux systèmes flexibles. REVENDICATIONS1. Procédé de réalisation d'un système mécatronique flexible, caractérisé en ce qu'il comporte au moins : une étape de modélisation du système par un maillage aux éléments finis; une étape de simulation du comportement d'un noeud terminal (68) du modèle en réponse en boucle ouverte à un signal de commande ; une étape de caractérisation de ladite réponse par au moins un critère mécanique (ôx, FX) et au moins un critère numérique Jik représentatif de l'amplitude relative des pics de résonance (43, 44) de ladite réponse en fonction de la fréquence, ces pics de résonance étant respectivement choisis en amont et en aval d'un numéro de mode pré-déterminé ; les étapes précédentes étant susceptibles d'être réitérées, ces étapes étant suivies d'une étape de sélection d'une conception obtenue en fonction des critères définis dans l'étape de caractérisation, le système étant réalisé à partir de la conception sélectionnée. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que le critère Jik est défini par la relation suivante : k i=k+I où k est le nombre des premiers modes devant être dominants (113) par rapport à tous les autres modes de ladite réponse en fréquence et , défini 25 à partir de la représentation d'état qui caractérise complètement la relation entrée/sortie du mécanisme, est la i-ème Valeur Singulière de Hankel du système flexible. 3. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, 30 caractérisé en ce que l'étape de caractérisation comporte un autre critère numérique J2k représentatif de l'alternance des résonances et20antirésonances de la réponse dans le domaine fréquentiel, dans une bande de fréquences choisie. 4. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que le critère J2k est 5 défini par la relation suivante : k 1 sign(c,b1) ,=1 où k est le nombre de premiers modes de résonance (93) de ladite réponse en fréquence et c, et b, représentent respectivement l'influence des 10 capteurs et actionneurs sur la réponse fréquentielle entrée/sortie du système. 5. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'un mode de réalisation est sélectionné lorsque le critère Jlk est supérieur à une valeur choisie par l'utilisateur/le concepteur. 6. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'un mode de réalisation est sélectionné lorsque le critère J2k est supérieur à une valeur donnée. 20 7. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le maillage est composé d'une combinaison de blocs élémentaires (61, 62, 63, 64) à déterminer, chaque bloc autorisé étant formé d'un assemblage prédéfini de segments représentant des poutres élémentaires (3), ledit maillage comportant au moins un bloc actif (71) 25 commandable au moyen d'un signal de commande. 8. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 6, caractérisé en ce que le maillage étant composé d'une combinaison de blocs élémentaires (61, 62, 63, 64) à déterminer, chaque bloc autorisé étant formé d'un 30 assemblage prédéfini de segments représentant des poutres élémentaires (3), ledit maillage comporte au moins un noeud commandable au moyen d'un signal de commande. J2k = 15 9. Procédé selon l'une quelconque des revendications 7 ou 8, caractérisé en ce que les blocs sont issus d'une bibliothèque de blocs prédéfinis. 10. Procédé selon l'une quelconque des revendications 7 à 9, caractérisé en 5 ce qu'une commande d'un bloc actif s'exerce par un signal de déformation d'une au moins de ses poutres. 11. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'un critère mécanique statique est le déplacement bX du 10 noeud terminal (68). 12. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le noeud terminal (68) étant un effecteur, un critère mécanique est la valeur de la force qu'il applique au milieu extérieur F. 13. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le signal de commande est un signal de tension ou de courant électrique. 20 14. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le système est un actionneur piézoélectrique, toutes les poutres constituant un bloc actif étant commandées par un signal de tension électrique. 15 25