FR 2939489 A1 20100611 FR 0858343 A 20081208 � Procédé d'optimisation pour routage de tubes sur une structure supportant de petites déformations� La présente invention relève du domaine des structures. Elle concerne plus spécifiquement le domaine des assemblages formés d'élément tubulaires connectés entre eux, et fixés sur une structure existante. En particulier l'invention concerne une méthode d'analyse et d'aide permettant de définir ou d'optimiser un routage de tuyauterie vis à vis de ses dimensions et de son montage dans un environnement de géométrie pouvant être complexe et soumis à des contraintes. Une telle question concerne particulièrement le domaine aéronautique, pour lequel de très nombreuses tubulures de carburant, fluide hydraulique etc. parcourent des chemins complexes le long des parois internes de la structure primaire de l'appareil, à laquelle ils sont solidarisés en plusieurs points appelés points de passage obligé (PPO) dans le cas d'un routage de tuyauteries On entend par routage de tuyauterie un ensemble de tubes assemblés entre eux par des raccords. Ces tubes sont des éléments aptes à transporter un fluide hydraulique, pneumatique, carburant, etc. Un tube est composé d'une ou plusieurs sections droites jointes par des sections coudées en arc de cercle appelées cintres, et obtenus par déformation plastique d'un tube précédemment rectiligne. Typiquement dans le domaine aéronautique, l'ensemble des tubes assemblés sert ainsi à l'acheminement de gaz ou de liquides par exemple pour le refroidissement des moteurs, l'alimentation en carburant, le système de freinage hydraulique... d'un élément à un autre par exemple d'un élément hydraulique d'entrée à un élément hydraulique de sortie. Le routage de tuyauterie est solidarisé en plusieurs endroits à la structure de support par l'intermédiaire de fixations qui peuvent être par exemple des peignes, des colliers de différents types (à vis, clipsable, à tracter à ressort, fil ...), etc. Selon l'environnement, la géométrie globale de cette tuyauterie peut être complexe car elle est dépend de contraintes dues aux contours de la structure et des éléments autres que cette tuyauterie qui y sont attachés et qu'il faut contourner. 2 A ces contraintes viennent s'ajouter d'autres contraintes classiques, par exemple liées à l'environnement de fonctionnement : pressions hydrauliques élevées, fortes vibrations ... On peut y ajouter aujourd'hui dans le domaine de l'aéronautique, une nouvelle contrainte de minimisation de masse liée à l'économie d'énergie . Dans l'état actuel de l'art, la conception des routages de tuyauterie, c'est à dire le choix des types de supports et le choix du trajet à parcourir par la tuyauterie est réalisée à partir des compétences métiers des concepteurs de routage de tuyauterie et sur la base de règles empiriques éprouvées qui permettent de garantir un fonctionnement correct de l'ensemble. Cette conception permet de définir un routage de tuyauterie théorique. Or lors du montage réel du routage de tuyauterie qui regroupe l'assemblage des tubes la mise en place de supports sur la structure de l'avion et la fixation des tubes sur ces supports, diverses différences entre la tuyauterie conçue théoriquement et la tuyauterie réelle apparaissent. Ces différences sont dues à des défauts de géométries lors de la fabrication que ce soit dans la fabrication des tuyaux, des supports ou de la gamme d'assemblage (ordre de fixation des tuyaux sur leurs points d'attache) des éléments constituant l'environnement sur lequel se fixent ces supports, qu'il faut corriger car ils peuvent nuire à l'étanchéité de l'ensemble. Ces défauts géométriques compliquent le montage et leur correction se fait - par réalisation de pièces avec une grande précision (aussi bien pour les tuyaux que pour les supports) - par compensation par des solutions de réglage - ou par la déformation des éléments de tuyauterie entre eux - ou par un compromis entre compensation par des solutions de réglage et déformations des éléments. Cette correction est alors basée uniquement sur l'expérience des hommes du terrain, ce qui pose naturellement des problèmes de qualification et de transmission de savoir. La société Boeing a breveté une méthode de routage automatique de tuyauterie prenant en compte certains critères de ségrégations, le nombre de cintres dans une tuyauterie, les variations géométriques des tuyauteries et supports dans les brevets US 2003 / 0101029 Al (délivré sous le numéro US 7,444,269 le 28/10/2008) et US 2006 / 0212176 Al. Ces deux textes utilisent le comportement mécanique de la (ou des) tuyauterie(s), considéré comme élastique, pour proposer une méthode d'assemblage minimisant une contrainte d'efforts aux points de fixation. L'objectif de la présente invention est alors de proposer un procédé d'analyse d'un assemblage d'objets tubulaires connectés tel qu'un routage de tuyauterie hydraulique fixé sur un support. Le second but de l'invention est de servir d'aide à la conception de routages de tuyauterie embarqués, en proposant des améliorations de routage et de types de supports, par rapport à une conception initiale, prenant en compte un maximum de contraintes du routage durant son cycle de vie y compris lors du montage. Un autre objectif de cette invention est de faciliter l'installation ou la maintenance du routage de tuyauterie en réduisant la qualification nécessaire au montage de ce routage et en réduisant le temps de montage. Encore un autre objectif de cette invention est de permettre d'analyser un routage de tuyauterie embarqué existant et de proposer des améliorations. L'invention propose à cet effet un procédé de validation d'un routage comprenant, d'une part, un tube formé d'un ensemble d'au moins deux tronçons élémentaires linéaires ou cintrés, lesdits tronçons étant définis dans une géométrie nominale par des points remarquables appelés Points de Casse, et des valeurs dimensionnelles nominales (e : épaisseur, d : diamètre), ainsi que des caractéristiques de réalisation (rayon de cintrage, matériau), et assemblés bout à bout pour former un tube nominal comprenant deux extrémités, et, d'autre part, un ensemble d'au moins deux points d'attache nominaux destinés à la fixation du tube en des points de passage obligés nominaux d'une structure de support de géométrie nominale préalablement définie, ledit tube présentant éventuellement dans sa forme réelle pour au moins une partie de ses tronçons des petites erreurs de dimensions par rapport aux valeurs nominales, lesdits points de passage obligés présentant éventuellement dans leur position réelle de petites erreurs de position et d'orientation par rapport à leur position nominale, le procédé comprenant une étape d'estimation des défauts géométriques maximum envisageables du tube, et des points de passage obligés sur la structure de support, une étape de calcul des efforts et déplacements aux points remarquables et aux points d'attache du tube réel lorsque ceux-ci sont fixés sur les points de passage obligé leur correspondant deux à deux sur la structure de support, le tube et lesdits points de passage obligés étant supposés déformables sous l'effet d'un effort mécanique et leurs caractéristiques de déformation étant connues, et une étape de comparaison d'une valeur fonction au moins de ces efforts et déplacements avec une valeur seuil préalablement définie. On comprend que l'hypothèse de points de passage obligés déformables sous l'effet d'efforts mécaniques (correspondants à des supports de tube déformables en position et orientation du fait de l'effort d'assemblage) permet de calculer de façon réaliste le comportement d'un routage, et donc les efforts et déplacements qui vont être observés. Selon une mise en oeuvre préférée, le procédé comporte en outre une étape de détermination des points de passage obligés, qui sont le plus sensibles aux défauts géométriques du routage considéré. On comprend que si l'homme du métier a une connaissance des points sensibles lors du montage réel d'un routage de tuyauterie, le montage de ce routage sur la structure de support est facilité. Préférentiellement, l'étape de détermination des points de passage obligé les plus sensibles consiste : en un calcul des écarts maximum en translation et en rotation sur chacun des n points de passage obligés par rapport au routage théorique nominal, et en un calcul des forces et moments en ces points d'écart maximal, lorsque le routage réel est attaché sur les points de passage obligés réels, en se plaçant dans l'hypothèse de petites perturbations. Selon une mise en oeuvre avantageuse, le procédé de validation de routage comporte en outre des étapes : - de fixation de lois de répartition de défauts au niveau des points de passage obligés et de la géométrie réelle du routage, - de définition des lois de répartition statistique pour les efforts résiduels dans les liaisons d'assemblage. - de vérification de la tenue de l'assemblage de tuyauterie en fatigue ou soumis à des phénomènes de vibrations. Selon une mise en oeuvre préférée, les lois de répartition de défauts sont trouvées par une méthode de tirage de Monte Carlo. Il est clair que le choix de la méthode de Monte Carlo pour les lois de répartition est donné à titre d'exemple mais n'est pas exhaustif, et que d'autres 5 méthodes peuvent peut-être être utilisées. L'invention vise sous un second aspect un procédé d'optimisation d'un routage comprenant un procédé de validation de routage tel qu'exposé précédemment, et comportant en outre une boucle de rétro-action comprenant une étape de modification d'un routage considéré et une étape de minimisation d'une fonction des efforts et déplacements en certains points d'étude du routage. Préférentiellement, la fonction à minimiser représente l'effort maximum calculé dans les liaisons du routage. On comprend qu'en simulant plusieurs routages et en comparant les points sensibles de chacun de ses routages on peut choisir celui qui optimisera certains critères choisis comme par exemple le poids du routage, les efforts et moments résiduels dans les liaisons, les écarts géométriques, les moyens de réglage. Sous un autre aspect, l'invention concerne un procédé de validation d'un 20 assemblage, ledit assemblage étant composé : - d'un routage comprenant, d'une part, un tube formé d'un ensemble d'au moins deux tronçons élémentaires linéaires etlou cintrés, lesdits tronçons étant définis dans une géométrie nominale par des points remarquables, et des valeurs dimensionnelles nominales (e : épaisseur, d : diamètre), ainsi que des caractéristiques 25 de réalisation (rayon de cintrage, matériau), et assemblés bout à bout pour former un tube nominal comprenant deux extrémités, et, d'autre part, un ensemble d'au moins deux points d'attache nominaux destinés à la fixation du tube en des points de passage obligés nominaux d'une structure de support de géométrie nominale préalablement définie, ledit tube présentant éventuellement dans sa forme réelle pour 30 au moins une partie de ses tronçons des petites erreurs de dimensions par rapport aux valeurs nominales, lesdits points de passage obligés présentant éventuellement dans leur position réelle de petites erreurs de position par rapport à leur position nominale, - et d'une séquence d'assemblage des points d'attache du tube sur les points 35 de passage obligé leur correspondant, comprenant un procédé de validation de routage tel qu'exposé ci-dessus, et en outre : une étape de simulation de la séquence d'assemblage, comportant la modification du problème mécanique au fur et à mesure de la fixation de points d'attache du tube réel sur les points de passage obligés correspondants réels de la structure de support. Préférentiellement, l'étape de simulation de la séquence d'assemblage comprend : une première étape de mise en position de façon isostatique la tuyauterie sur des points de passage obligés positionnants, une seconde étape de fixation à zéro de la distance entre les points de passage obligés réels sur la structure réelle, et les points d'attache homologues de la tuyauterie réelle, dans l'ordre prévu par la gamme d'assemblage. L'invention vise sous un autre aspect un procédé d'optimisation d'assemblage comprenant une phase de validation d'assemblage tel qu'exposé, et une boucle de rétro-action comprenant une étape de modification d'au moins un élément de l'assemblage considéré et une étape de minimisation d'une fonction des efforts et déplacements en certains points d'étude du routage. Selon différentes mises en oeuvre : la modification du routage comprend au moins une modification de géométrie d'un tronçon élémentaire du tube, ou une modification de position d'un point de passage obligé. Ou la modification du routage consiste en la transformation d'un point de passage obligé en un point de passage obligé réglable. Ou la modification du routage consiste en l'ajout d'au moins un point de passage obligé permettant d'équilibrer les contraintes subies sur les points de passage obligés. Ou la modification du routage consiste en un changement de type d'au moins un point de passage obligé. Ou la modification du routage consiste en la mise en place d'au moins un sertissage en au moins un point de passage obligé. L'invention vise également un logiciel, permettant la mise en oeuvre d'un procédé tel qu'exposé ci-dessus. Les buts et avantages de l'invention seront mieux compris à la lecture de la description et des dessins d'un mode particulier de réalisation, donné à titre d'exemple non limitatif et pour lesquels : La figure 1 représente un exemple de routage de tuyauteries, comportant ici trois tuyauteries globalement parallèles, ledit routage étant assemblé sur une paroi, avec des points de passage obligés sous forme de points de fixation sur ladite paroi et de points d'extrémité, La figure 2 représente un tronçon élémentaire droit, La figure 3 représente un tronçon élémentaire cintré, mettant en évidence la définition de point de casse, La figure 4 représente l'écart en position et la rotation à appliquer à la tuyauterie réelle pour la ramener à se confondre à la tuyauterie théorique pour un tronçon élémentaire, La figure 5 est une représentation schématique (sans diamètre et sans épaisseur) d'un exemple de routage de tuyauterie composé de 5 tronçons élémentaires, La figure 6 représente une opération élémentaire de cintrage de type longueur, cintrage, broche, La figure 7 représente une opération élémentaire de cintrage de type La figure 8 représente une opération élémentaire de cintrage de type rotation La figure 9 représente schématiquement un assemblage d'une tuyauterie 25 nominale sur des points de passage obligés, La figure 10 représente schématiquement le même assemblage de tuyauterie, dans sa forme réelle, La figure 11 est un détail de la figure 10 au niveau d'un point de passage obligé, 30 La figure 12 illustre les entrées et sorties de l'application de calcul, La figure 13 illustre les étapes principales du procédé selon l'invention, tenant compte à la fois de lé géométrie du circuit de tubes (Tube) et des points de fixation (PPO), sans simulation complète de la gamme d'assemblage, La figure 14 illustre les étapes principales du procédé selon l'invention, 35 tenant compte à la fois de lé géométrie du circuit de tubes (Tube) et des points de 8 fixation (PPO), en tenant compte de la simulation complète de la gamme d'assemblage, et d'une boucle de rétro-action pour améliorer les résultats. Dans la description suivante, on expose d'abord le fondement mathématique du procédé, puis sa mise en oeuvre. On définit, pour la suite de la description, les termes suivants : Un tube (ou tuyauterie) est constitué d'un ensemble ordonné de tronçons élémentaires droits et / ou coudés. Dans le domaine de la tuyauterie, il est usuellement fabriqué par une succession d'opérations de cintrage d'un tube initialement droit. Le tube est alors défini par un ensemble de points remarquables marquant les débuts et fin de tronçons. Un routage est constitué d'un tube, comportant un ensemble de points d'attache PAf qui peuvent être placés en tout point du tube. On désigne par points d'étude un sous-ensemble arbitrairement choisi de points d'attache du tube. Un point désigne dans la présente description un point dans l'espace associé à un vecteur, correspondant à un point du tube et à l'orientation de l'axe longitudinal local du tube. Une structure de support comporte un ensemble d'éléments de fixation, disposés en des points de passage obligé, et destinés à accueillir les points d'attache du tube. Un point de passage obligé PPO, désigne un point géométrique où doit avoir lieu cette attache. Ces points de passage obligés sont liés à la structure de support. Ils résultent de la géométrie de ladite structure de support et des positions et géométries des autres systèmes devant être installés sur cette structure. Les points d'attache PA; sur le tube et les points de passage obligé PPO; sont en nombre égaux et se correspondent deux à deux. Les PPO dits positionnants servent a la mise en position isostatique de la tuyauterie et sont définis par le concepteur lors de la conception du routage. Une liaison désigne la fixation d'un point d'attache sur un point de passage obligé. La courbe de forme analogue à la géométrie du tube et passant par ces points de passage obligés PPO1 est nommée ligne de parcours. C'est une ligne imaginaire liée à la structure de support. 9 Un assemblage est le résultat de la fixation d'un routage sur une structure de support, les points d'attache PA; du routage étant solidarisés aux points de passage obligés PPOJ de la structure de support. Une structure nominale est une structure théorique d'un élément, exempte de défauts. Une structure réelle correspond au résultat fabriqué d'une structure nominale, elle comporte éventuellement des défauts géométriques. Une structure déformée correspond au résultat d'une structure soumise à des efforts mécaniques et qui se déforme en conséquence. Une structure rigide correspond à une structure qui ne se déforme pas, même sous l'effet d'efforts mécaniques. Une gamme d'assemblage est un ensemble ordonné d'opérations de fixation d'un point d'attache du tube sur un point de passage obligé de la structure. Un tube assemblé désigne un tube, une fois fixé sur la structure de support. Un réglage désigne une technologie permettant la compensation de défauts géométriques d'un routage. Un sertissage désigne une fixation par déformation locale du tube ou de la structure de support permettant un réglage possible du routage. On comprend que le but du procédé est de parvenir à un assemblage correct, c'est à dire de parvenir à fixer les points d'attache réels d'un tube réel, comportant des défauts, sur les points de passage obligés réels d'une structure de support réelle comportant également des défauts, en respectant éventuellement des contraintes d'efforts maximums ou de déformations maximales admissibles. La description qui suit utilise à titre d'exemple un routage de tuyauterie hydraulique (impliquant en particulier des contraintes de pression interne). Il est clair que ceci n'a pas de caractère restrictif, la présente invention pouvant s'appliquer plus généralement à tout routage de tuyauterie. Un routage de tuyauterie hydraulique 1, tel que considéré dans la présente invention, a pour but de relier un élément hydraulique dit d'entrée 2a à un autre élément hydraulique dit de sortie 2b, dont les positions spatiales et orientations sont prédéterminées et fixes, en utilisant un ou plusieurs tronçons de tube droits reliés entre eux par des tronçons cintrés en arc de cercle, et un ou plusieurs points de fixation sur une structure de support dont la géométrie est connue. 10 Concevoir un routage de tuyauterie 1 optimal revient à définir les quatre ensembles suivants : - une géométrie dite optimale de la tuyauterie permettant de relier l'élément hydraulique d'entrée 2a à l'élément hydraulique de sortie 2b. Cette géométrie optimale comprend en particulier les dimensions des segments droits et les points remarquables que sont les coudes entres ces segments droits (figure 3). La géométrie est ici dite optimale si elle est la plus économe en matière, donc en distance parcourue. D'autres contraintes peuvent éventuellement être prises en compte et modifier la mesure d'optimalité utilisée, sans modifier le présent procédé. - les points d'attache PA; de la tuyauterie sur la structure (et les points de passage obligés PPO; correspondants sur la structure). Ils peuvent aussi bien être les connexions des extrémités de la tuyauterie aux éléments hydrauliques d'entrée 1 ou de sortie 2, que des supports de fixation intermédiaires qui viennent positionner cette tuyauterie au sein d'un ensemble de composants mécaniques. - les matériaux à utiliser (tube, raccord, support), - dans le cas des tubes leur forme (tube droit 4 ou tube cintré 5). Ces quatre ensembles doivent respecter des contraintes liées à la forme de la structure sur laquelle on va fixer les supports de cette tuyauterie, les contraintes liées à l'environnement dans lequel va être installé cette tuyauterie telles que étanchéité, résistance à des pressions hydrauliques élevées, à de fortes vibrations et des contraintes liées à la minimisation de la consommation d'énergie . Cette dernière contrainte sur la consommation d'énergie pouvant se traduire par une minimisation de la masse de l'ensemble. Ce routage de tuyauterie optimal ainsi défini est un routage théorique parfait, dit nominal 6 qui ne comporte aucun défaut. La géométrie nominale du tube 6 se superpose exactement à une ligne de parcours nominale le long de la structure de support théorique. Une première étape 101, dite de création de la géométrie nominale CAO, consiste donc en une définition d'un routage de tuyauterie nominal 6 c'est à dire un routage optimal théorique (sans défaut). Cette étape consiste à décrire le modèle géométrique tridimensionnel de la tuyauterie (dimensions des segments droits, points remarquables, rayons de courbures etc.) à traiter et la position des différents supports (point de passage obligé PPO). Cette conception utilise naturellement parmi ses entrées la géométrie de la structure de support sur laquelle le routage de tuyauterie devra venir se fixer. 11 Cette étape est connue de l'homme de l'art et ne sera pas détaillée ici, elle peut être réalisée par exemple à travers une interface homme I machine utilisant un système de conception assistée par ordinateur par exemple de type CATIA (nom commercial) largement utilisé dans le domaine aéronautique. Un deuxième étape 102, dite de modélisation, consiste à modéliser ce routage de tuyauterie nominal 6 en le considérant comme une succession de tronçons élémentaires droits 4 ou circulaires 5. Un tronçon élémentaire droit 4 a deux extrémités, chacune de ces deux 10 extrémités étant soit un point d'attache PA; soit un point de jonction 7 correspondant à un raccord avec un tronçon élémentaire circulaire 5. Il est important de noter que, dans cette définition, si un segment élémentaire (tel que défini dans l'étape 101) comporte un point d'attache PA; sur sa longueur, il est considéré comme étant pour la suite de la description composé de deux tronçons 15 élémentaires, l'un aboutissant audit point d'attache PA;, l'autre débutant à ce point d'attache PA;. De ce fait, les points d'attache PAS font partie des points remarquables du tube. Les points remarquables du tube comprennent donc, d'une part, les points d'attache, et, d'autre part, les points géométriques définissant le tube. On rappelle que les deux extrémités de la tuyauterie, le point d'entrée 2a qui 20 se fixe à l'élément hydraulique d'entrée et le point de sortie 2b qui se fixe à l'élément hydraulique de sortie font partie de ces points d'attache PAS. Un tronçon élémentaire circulaire 5 schématisé sur la figure 3 est une modélisation d'un tube cintré, ses extrémités étant des raccords 7 généralement liés à un tronçon droit 4 de chaque côté. Un tronçon élémentaire circulaire 7 est défini par un 25 rayon de cintrage 7 et un point de casse 8 (figure 3) qui est le point d'intersection lorsqu'on continue géométriquement les deux parties droites de ce tronçon élémentaire circulaire 7. On note que le rayon de cintrage est un paramètre fixe du procédé de cintrage (rayon outil). Cependant comme le procédé de cintrage est un procédé de 30 déformation plastique, lorsqu'on cintre un tube il subit un retour élastique et de fait le rayon réel de cintrage diffère du rayon outil. Le rayon considéré pour la modélisation est alors le rayon réel défini comme dans l'article écrit par MOUNAUD et all [� Integrating the flexibilty of components in the assembly of aeronautics hydraulic systems �, Proceedings of the 10th CIRP 35 International Seminar on Computer Aided Tolerancing, Erlangen, Germany, 2007, March 21-23]. Le rayon réel ainsi défini prend en compte le phénomène de retour 12 élastique et est alors calculé à partir de l'angle théorique de cintrage et des paramètres matériaux du tube cintré. La tuyauterie théorique sera donc constituée d'un nombre NT de tronçons élémentaires TE; droits 4 ou circulaires 5 ordonnés. L'ordre de ces tronçons élémentaires TE; sera choisi tel que le premier tronçon élémentaire TE1 correspondra au tronçon ayant une extrémité positionnée à l'extrémité d'une tuyauterie qui va se fixer sur l'élément hydraulique d'entrée 1 par exemple. Le tronçon élémentaire suivant TE2 sera un tronçon élémentaire lié à ce premier tronçon élémentaire TE1 par soit un point d'attache PA;, soit un raccord 7 si ce deuxième tronçon élémentaire TE2 est circulaire, et ainsi de suite. Le dernier tronçon élémentaire TENT sera un tronçon ayant une extrémité liée à l'extrémité d'une tuyauterie qui va se fixer sur l'élément hydraulique de sortie 2. Dans cet exemple, l'ordre des tronçons élémentaires TE; correspond à l'ordre des éléments assemblés entre eux de la tuyauterie si on l'assemble la tuyauterie de l'élément hydraulique d'entrée 1 à l'élément hydraulique de sortie 2. On peut donc numéroter les tronçons de 1 à NT. On définira le début d'un tronçon élémentaire TE, par un point remarquable P; qui est alors le point de ce tronçon élémentaire TE; le plus proche du tronçon élémentaire précédent TE;_, (ou par l'extrémité de la tuyauterie qui se fixe à l'élément hydraulique d'entrée 1) et la fin d'un tronçon élémentaire TE, par le point Q, qui est le point du tronçon le plus proche du tronçon suivant TE,+1 (ou par l'extrémité de la tuyauterie qui se fixe à l'élément hydraulique de sortie 2). On remarque que quel que soit l'entier i supérieur ou égal à 1 et inférieur à NT (15_ i 13 On définit un repère global orthonormé (O, X, Y, Z) par exemple en choisissant un point O égal au point de départ P, de la tuyauterie, un axe tubulaire Y qui est l'axe longitudinal du premier tronçon élémentaire TE, et orienté du début du tronçon élémentaire TE, vers la fin de ce tronçon élémentaire, un axe X perpendiculaire à y et parallèle au plan tangent local à la structure sur laquelle on va fixer ce premier tronçon élémentaire TE, et un axe intérieur-extérieur Z perpendiculaire à Xet Y. De même, pour chacun des tronçons élémentaires TE;, on définit un repère orthonormé local composé d'un point de référence remarquable P; et d'un ensemble de trois axes X;, Y;, Z;, un axe tubulaire y étant parallèle à l'axe longitudinal du tronçon élémentaire TE; et orienté du début du tronçon élémentaire TE; vers la fin dudit tronçon élémentaire, un axe X étant perpendiculaire à et parallèle au plan formé par la structure sur laquelle on va appliquer ce tronçon élémentaire TE; et un axe intérieur-extérieur Z étant perpendiculaire à xi et Y. Chaque tronçon élémentaire TE;, droit ou circulaire, d'indice i sera modélisé par les paramètres suivants : le repère local orthonormé associé (P;, X; , Y; , ) le diamètre 9 extérieur de ce tronçon élémentaire TE, e l'épaisseur de ce tronçon élémentaire TE; P,+, le point remarquable de fin de ce tronçon élémentaire TE; rayon; 7 le rayon réel de cintrage pour le cas de tronçon circulaire Casse, 8 le point de casse (pour un tronçon circulaire) repéré par exemple en coordonnées cartésiennes L, longueur de ce tronçon élémentaire TE; (figure 6) A, l'angle appelé par l'homme de l'art angle de cintrage égal à l'angle entre les axes tubulaires y du tronçon considéré et Y+, du tronçon suivant (figure 7) R. l'angle de torsion du repère local orthonormé associé au tronçon élémentaire, appelé par l'homme de l'art angle de dévirement (ce qui correspond en fabrication à l'angle de rotation de l'axe de la broche cintreuse). Cet angle de 30 dévirement est égal à l'angle entre X, et X,+, ou à l'angle entre Z, et Z,+, (figure 8). Son existence se traduit en général par un routage de tuyauterie non contenu dans un seul plan (Cependant, cette affirmation n'est pas toujours vraie car dans le cas où 14 l'angle de dévirement vaut 180° la tuyauterie est effectivement plane mais l'angle de dévirement R est considéré et est différent de 0). On voit que certains de ces paramètres sont liés. On a en effet choisi d'utiliser soit des coordonnées géométriques dans le système cartésien (P;, X; , Y; , Z; ) soit des coordonnées géométriques dans le système (L, R, A) (Longueur, angle de dévirement, angle de cintrage), certaines formules s'exprimant préférentiellement dans l'un de ces deux systèmes. Une tuyauterie définie dans le repère cartésien (P;, X , Y, , Z ) peut alors être définie dans un système de coordonnées (L, , R, , A,) via une transformation par multiplication d'opérateur homogène élémentaire associé à chaque étape de la définition de la tuyauterie. L'opération élémentaire de longueur peut être associée à une matrice de longueur ML; suivante exprimée dans le repère (X; , Y; , Z,, P;) : 1 0 0 0 0 1 0 L ML. = 0 1 0 0 0 1 L'opération élémentaire de cintrage peut être associée à une matrice de cintrage MA suivante exprimée dans le repère (X , y , Z,, P;) : cos(A,) sin(A,) 0 rayon, (1ùcos( A,)) ùsin(A,) cos(A,) 0 rayon, sin(A,) MA. = 0 0 1 0 0 0 0 1 (on note que dans ce cas le rayon; est le rayon réel calculé à partir de l'article précédemment cité) L'opération élémentaire de dévirement peut être associée à une matrice de dévirement AIR_ suivante exprimée dans le repère (X , y, , Z, P;) : cos(R,) 0 sin(R,) 0 0 1 o 0 ùsin(R,) 0 cos(R,) 0 0 0 0 1 Soit un point P quelconque de la tuyauterie (faisant partie de l'un quelconque 25 des tronçons élémentaires formant ladite tuyauterie), il peut être exprimé dans tout repère orthonormé associé à l'un des points remarquables P; définis précédemment. Soit P exprimé sous une forme notée P' dans le repère associé au point remarquable P; : (P;, X;,.,,Y;+ä Z,+,) et exprimé sous une forme notée P` dans le repère (P, Xi,Yi,Zi) On a alors P`+' = MA;.ML;.MR;. P' qui exprime la transformation des coordonnées de ce point du repère associé au point remarquable P, au repère associé au point remarquable On comprend qu'on peut de la sorte exprimer n'importe quel point dans le repère associé au point d'entrée P, du routage, ou dans le repère associé au point de sortie PNT+, du routage. Et en particulier pour l'extrémité reliée à l'élément hydraulique de sortie 2, On notera ce point PN7.+1 d'après la convention précédente et on peut écrire : PN,T+1 _ MR,.MA2.ML2.MR2 .. MAv,.ML,,,,.MR,, .P r+i La modélisation de chacun des tronçons élémentaires TE; est décrite dans le repère local de ce tronçon exprimée dans le repère (P,, X, , , Z) . On revient à une modélisation dans le repère global (O, X,Y, Z) pour traiter l'ensemble de la tuyauterie en utilisant les formules classiques de changement de base de l'algèbre. Soit T' la matrice de passage de la base globale (X, Y, Z) à la base locale (Xi, Yi, Zi,) du tronçon élémentaire i, soit V un vecteur exprimé dans la base (X, Y, Z) et V' le même vecteur exprimé dans la base (Xi Yi Zi ), on a V = T' V' . Une troisième étape 103, dite de définition de la géométrie substituée, consiste à écrire le modèle mécanique élémentaire d'assemblage en tenant compte également des défauts des points d'attache de passages obligés 3 de la structure de support. Ce modèle est appelé "routage de tuyauterie réelle" 14 ou "routage de tuyauterie avec défaut", pour le différencier du "routage de tuyauterie nominale 6". En effet, lors de l'assemblage réel du routage de tuyauterie sur la structure de support, des défauts apparents éventuels de position des points de passage obligés 3 peuvent apparaître. Ceux-ci peuvent être dus à des erreurs de fabrication de la structure de support, ou à des erreurs de placement des éléments de fixation du routage de tuyauterie sur la structure de support. 16 On les modélise en supposant que les éléments de fixation attachés aux points de passage obligés PPO; sont déformables, le terme "déformables" étant utilisé ici pour signifier qu'ils peuvent être déplacés sous l'effet d'un effort mécanique. II est à noter que le tube est ici également supposé déformable. Les notations utilisées sont les suivantes et sont représentées sur la figure 4. Les points P; utilisés dans les formules qui suivent sont les points d'attache PA; ,qui correspondent à des points de passages obligés PPO; U;, représente l'écart de position entre un point remarquable P;, par 10 exemple un point d'attache PA; (correspondant à un point de passage obligé PPO; sur la structure) donc un point P, début du tronçon élémentaire TE; nominal 6 et son point homologue 19 sur la tuyauterie réelle 14. Cet écart correspond au déplacement à imposer au point P; de la tuyauterie réelle 14, pour l'amener à coïncider avec la ligne de parcours de la tuyauterie nominale 6. Pour représenter l'écart de position exprimé 15 dans le repère global on utilisera la notation UF représente l'écart de rotation à appliquer au tronçon i sur chacun des axes du repère de la tuyauterie réelle 14 pour se confondre avec les axes respectifs du repère de la tuyauterie nominale 6 pour le tronçon élémentaire TE, . Pour chaque tronçon élémentaire TE,, si on note pour simplifier dans les 20 formules D = P, début du tronçon élémentaire TE, B = P,,+, fin du tronçon élémentaire TE; et donc début du tronçon élémentaire suivant TE;+1 Fä ~M° 25 en D)charges extérieures concentrées en D (F1, effort en D, Mä moment charges extérieures concentrées en B (F11 effort en B, M11 moment en B) p(s) densité linéique de charges en G, point parcourant le tronçon élémentaire i d'abscisse curviligne s . Pour chaque tronçon élémentaire TE;, il existe selon la mécanique linéaire des structures quatre relations à exprimer : 1/ Une première relation, déduite de l'équilibre mécanique du tronçon élémentaire TE;. Le tronçon élémentaire TE; est en équilibre pour tout point P parcourant de tronçon de D à B si et seulement si on vérifie les deux équations suivantes : H FI,+FB+$p(s)ds=0 D et B sr MD + PD A FD + MB + PB A FB + J,u(s)ds+ rPGAp(s)ds=0 D DJ 2/ Une deuxième relation déduite de la continuité de déplacements en rotation et translation des extrémités du tronçon élémentaire TE;. La continuité de déplacements en rotation et translation des extrémités du tronçon élémentaire TE, peut être représentée par le système matriciel suivant : i Tk -Tk' 0 0 0 Tk 0 0 0 k (f XB F1 0 ùTk' 0 0 0 Tk 0 0 Vlk 0 0 0 ùTk-' 0 0 0 Tk 0 U;+' 0 0 0 0 - T' 0 0 0 Tki w ' 0), J k+I I) On rappelle que Tk (voir étape 102) est la matrice de passage de la base globale (X,Y,Z) à la base locale (Xk,Yk,Zk,) du tronçon élémentaire TEk . 3/ Une troisième relation déduite du comportement du tronçon élémentaire TE, étudié En considérant que le comportement d'un tronçon élémentaire TE, de tuyauterie est élastique, linéaire et isotrope, on obtient les relations entre effort et20 déplacement (UD écart de position, WD écart de rotation, ici exprimés sous forme de vecteurs) par les formules de Bresse connues suivantes : wD =wB + ~(MY' Yi + 1 -(My,Xi+M7,Zi) ds ä \. GJ ù El i ~ Br ~ Uä = UB +DBxwB + IR°yi YidsMY' Yi + 1 (MX,Xi+M7 Zi) xPBds GJ GJ ù El z avec X;, Y; et Z; : axes du repère local du tronçon élémentaire i. Dans toutes ces équations, les notations utilisées désignent de façon classique : E : le module d'Young G: le module d'élasticité transversale 1 : le moment quadratique central principal de la section (en réalité il existe deux moments quadratiques centraux principaux notés usuellement 12 et 13 mais dans le cas de section annulaire, qui est celui de la présente description, ils sont identiques). J: le module de rigidité par rapport à la torsion 4/ Une quatrième relation déduite de la loi de comportement de la liaison entre un tronçon élémentaire TE; et le tronçon élémentaire suivant TE;+, dans le cas où le point P+, est un point de passage obligé 3 (correspondant à un point lié à un support S;+,). le support est considéré déformable sous l'effet d'un effort, on va appeler : K la matrice de rigidité en translation de ce support S;+,, diagonale dans le repère local . C la matrice de rigidité en rotation de ce support S;+,, diagonale dans le repère local . Cette loi est représentée par le système matriciel suivant : (F, ex/ Uk+l D wk+1 (I 0 KTke \0 I 0 0 " CT ke K'T"U`I C'T`wd __ dans lequel 19 Te est la matrice de changement de base entre le repère du PPO et le repère global Tk est la matrice de changement de base entre le repère local du tronçon k et le repère global et Tke est la matrice de changement de base entre du PPO et le repère local du tronçon k et on a la relation suivante Tke =(Te)t. Tk avec l'exposant � t � signifiant transposée. i est la matrice Identité (3x3) l'exposant t correspond à la fonction transposée pour les opérations matricielles avec UD identique à Ud (vu plus haut) et de même wD= wd L'ensemble de ces quatre relations permet d'obtenir un système linéaire d'équations et la résolution de ce système permet de calculer l'ensemble des inconnues d'efforts Fext, Mext et de déplacement Ud, wd, à l'ensemble des points remarquables P; de la tuyauterie et notamment aux points de passages obligés PPO;, . Ces inconnues, notées Fez` M en ces points de passage obligés PPO; sont les eir / PPO inconnues utiles pour la suite de cet algorithme. Une quatrième étape 104 consiste à écrire le modèle de la propagation des défauts géométriques de forme. Les tuyauteries sont fabriquées par opération de cintrage. La fabrication d'une tuyauterie consiste à réaliser des opérations élémentaires successives dite de longueur, rotation broche ou cintrage. C'est pourquoi les tuyauteries sont définies par leurs coordonnées L (longueur), R (angle de dévirement i.e. rotation de l'axe de la broche cintreuse), A (angle de cintrage), ces coordonnées étant utilisées conventionnellement pour les opérations de cintrage de tuyauteries. Les tuyauteries pouvant naturellement présenter des défauts de fabrication, on considère alors des variations possibles de leurs coordonnées L, R et A et on définit alors des variations de ces grandeurs notées dL, dR et dA. De fait le procédé de cintrage produit des longueurs, angle de dévirement et angle de cintrage compris dans des intervalles entre Lû d ~ et L + dL , R û dR et 2 2 R + dR dA et A û et A + respectivement. 2 2 2 Si on ajoute ces défauts dL, dR et dA aux coordonnées L, R, A en un point de la tuyauterie considérée, on obtient les variations des coordonnées cartésiennes dans le repère O, X, Y, Z des points remarquables P, de la tuyauterie en appliquant les opérations élémentaires définie dans l'étape 102. Ceci permet alors de générer un modèle de défaut d'une tuyauterie dans les coordonnées X, Y, Z. On parle de propagation des défauts géométriques de forme pour exprimer que chaque déformation d'un point remarquable vient amplifier les déformations des points remarquables suivants. Une cinquième étape 105 permet de simuler toutes ces équations et donc d'obtenir un routage de tuyauterie réelle 14. Un logiciel est écrit en simulant toutes ces équations. La méthode d'écriture du logiciel, le langage choisi, les tables de données etc. sont de type connu de l'homme de l'art, et ne sont pas détaillés plus avant ici. Une des fonctions de ce logiciel fonctionl utilise comme entrées : - la géométrie nominale de la tuyauterie 6 - les erreurs de position maximales possibles des points d'attache PA, et les défauts maximaux possibles dL, dR et dA de chacun des tronçons élémentaires TE, - les caractéristiques des tubes et des supports (diamètre, épaisseur, matériau utilisé ... ) - un point P ou un ensemble de points. Ces points d'étude sont, en général mais non limitativement, un sous-ensemble des points d'attache PA; sur les points de passage obligés de la structure. Et, en utilisant toutes les formules précédentes, le logiciel fonctionl fournit en sorties, l'effort et le déplacement du routage de tuyauterie réelle, sur l'ensemble des points d'étude (figure 12). On obtient donc le comportement des liaisons (efforts) entre tronçons élémentaires et points de passage obligés, ainsi que les variations géométriques de position (déplacements) de ces points de passage obligés. 21 Une sixième étape 106, dite de création de la matrice de rigidité, consiste à créer le modèle de propagation de défauts par matrice d'influence. Grâce à la fonction nommée fonctionl, il est possible de calculer la matrice de rigidité d'une tuyauterie, lorsqu'elle est assemblée par ses points d'attache PA; sur des points de passage obligé PPO; liés à la structure de support. On note pour la suite de cette étape que les points d'attache PA; et les points de passage obligés PPO, sont alors géométriquement confondus deux à deux (en position dans l'espace et orientation). En utilisant une méthode de déplacement unitaire, de type connu en soi, il est alors possible d'établir une matrice d'influence Me de la tuyauterie. Cette matrice d'influence M;mf caractérise l'influence du déplacement unitaire d'un point P; de la tuyauterie, dans une direction donnée, sur l'ensemble des points remarquables Pi de la tuyauterie. Cette méthode appelée méthode des coefficients d'influence est par exemple détaillée dans l'article écrit par LIU et HU [� Variation Simulation for Deformable sheet metal design using finite Element Methods �, Journal of Manufacturing Science and Engineering, 1997, Vol. 119, pp 368-374]. Soit n = Nppo qui correspond au nombre de points d'attache PAi du tube (et de points de passage obligé PPOi de la structure), utilisé ci-dessous pour simplifier les formules. M;nf une matrice carrée de dimension 6n : (6n, 6n) Uä (notée également U1(P,) ) écart en translation du point Pi subissant un déplacement unitaire, sur l'axe X par rapport au point équivalent nominal U2, écart en translation du point Pi subissant un déplacement unitaire, sur l'axe Y par rapport au point équivalent nominal U;, écart en translation du point Pi subissant un déplacement unitaire, sur l'axe Z par rapport au point équivalent nominal 30 w, (notée également 01(P,) ) écart en rotation du point Pi subissant un déplacement unitaire, sur l'axe X par rapport au point équivalent nominal W2,i écart en rotation du point Pi subissant un déplacement unitaire, sur l'axe Y par rapport au point équivalent nominal w,; écart en rotation du point Pi subissant un déplacement unitaire, sur l'axe Z par rapport au point équivalent nominal F,, (notée également F1(P]) ) effort au 1er point d'attache P, sur l'axe X, dû au déplacement unitaire du point Pi F2, Effort au 1er point d'attache P, sur l'axe Y, dû au déplacement unitaire du point Pi 10 Effort au 1er point d'attache P, sur l'axe Z, dû au déplacement unitaire du point Pi Ml ,i Moment au 1 er point d'attache P, sur l'axe X, dû au déplacement unitaire du point Pi 15 M2i Moment au 1er point d'attache P, sur l'axe Y, dû au déplacement unitaire du point Pi M;; Moment au 1er point d'attache P, sur l'axe Z, dû au déplacement unitaire du point Pi (U,, U2, , U3 i) sont les composantes du vecteur U,> précédemment 20 cité, vecteur écart en position du point Pi exprimé dans le repère global. Les points P] sont choisis parmi les points d'attache PA], l'indice j variant de 1 à Nppo . De même pour les autres paramètres (écart en rotation, effort et moment) On a: 3.n,3n,3n] [3.n.3n,6n] P9 *Ui(P:)+ kpq *Bi(P.) p.q=[1,1,1,1] j.p,q=rl.l.1.1] [3,n,6n,3n] [3,n,6n,6n] Mi(Pj)= Ekpq *Ui(Pi)+ kpq *8(Pi) i,j,p,q=[1,1,3n+1,1] i,j,p,q=[1,1,3n+1,3n+1] Soit M;nf la matrice d'influence (obtenue par la méthode de déplacement unitaire) comportant en colonne q, ligne p (p et q allant de 1 à 6n) l'élément kpq 25 En posant: 23 i Fä F•Y, = U1,,, U2,n, U3,n wä w31 FI in F2n F3,n M M,, M3 1 M2,n M3,n i Uae11P0 = On a alors : Fr = Minf * Udefpro qui définit la relation entre les efforts et moments sur tous les points d'attache P; (ou points de passage obligés PPO;) et les déplacements en translation et rotation de certains points Pi. Une septième étape 107, de définition des PPO les plus sensibles, utilise les résultats des étapes 104 à 106. Elle consiste à définir les écarts maximum en translation (U) et en rotation (w) sur chacun des n points de passage obligés 3 par rapport au routage nominal et à calculer les forces et moments en ces points. Ainsi en se plaçant dans l'hypothèse de petites perturbations (c'est à dire petites déformations et petits déplacements), ce qui est le cas de la présente invention, on simule par cette méthode les efforts et déplacements à exercer sur une tuyauterie réelle pour l'assembler sur des points de passage obligés réels. 24 Pour cela, on définit des plages de variations admissibles de position et d'orientations de points de passage obligés P, de façon à pouvoir simuler l'influence d'un défaut de positionnement des supports de la tuyauterie. En effet, en définissant des défauts Ud,,n,,>U de position des différents supports (en translation et rotation), on calcule les efforts et moments d'assemblage résiduels (F,i ) aux différents points de passage obligés de la tuyauterie par la relation suivante : Fext = inf Ude/PPO Dans une évaluation du cas le moins favorable, on calcule par simulation la valeur des efforts maximum résiduels aux n=N 0 points de passage obligés PPO1. En effet, pour chaque point de passage obligé PPO,, la valeur réelle du défaut est comprise entre deux valeurs de défauts maximales possibles (minimum et maximum), il existe donc 2n combinaisons de défauts extremums, permettant le calcul des efforts maximum aux différentes liaisons (avec n= NPP0 nombre de points de passage obligés PPO; du routage). Ainsi il est possible de déterminer les points de passage obligés PPO1 les plus influents sur la résultante globale des efforts aux liaisons. D'autre part, en se plaçant dans un contexte d'analyse de tolérances statistiques, c'est à dire en imposant des lois de répartition de défauts au niveau des points de passage obligés PPO1 et de la géométrie réelle du routage, on définit des lois de répartition statistique pour les efforts résiduels dans les liaisons d'assemblage. Ces lois de répartition de défauts sont trouvées dans la présente description nullement limitative par une méthode de tirage de Monte Carlo (méthode connue dans le domaine de l'analyse de tolérance statistique). Cette méthode présente l'inconvénient d'être coûteuse en temps de calcul mais permet des calculs de fiabilité probabiliste en connaissant les lois de répartition d'efforts. Ces lois de répartition de défauts peuvent alors servir à vérifier la tenue des assemblages de tuyauterie en fatigue ou soumis à des phénomènes de vibrations (figure 13). La méthode de vérification de tenue en fatigue ou en vibrations est connue en soi et n'est donc pas détaillée ici. Dès lors par analyse des résultats, pour un ensemble de défauts donnés (fabrication de la tuyauterie et positions des supports de fixation sur la structure) et grâce à la prise en compte de la flexibilité (du routage), il est possible de prédire les 25 points de passage obligés PPO; les plus sensibles aux défauts géométriques de l'assemblage hydraulique considéré. Ainsi par comparaison de routages, différents d'un point de vue mécanique et géométrique, on vérifie lequel semble être le plus pertinent vis-à-vis de certains critères tels que par exemple : Poids du routage, Efforts et moments résiduels dans les liaisons, Ecarts géométriques (pour des questions de facilité de montage)... ou une combinaison de ces critères. Et on choisit donc un routage préféré répondant au critère choisi, parmi une sélection initiale de routages envisagés. Ce procédé peut également comporter une boucle de rétro-action (non figurée sur la figure 13) pour modifier le routage nominal ou la position des liaisons. 15 Une huitième étape 108, dite de simulation de la gamme d'assemblage consiste en une prise en compte de la gamme d'assemblage. On rappelle en effet que pour une même tuyauterie, assemblée sur une même série de points de fixation, il existe de nombreuses séquences possibles 20 d'assemblage des points d'attache PA; du tube sur les points de passage obligé PPO; de la structure correspondant. En fait, il en existe I Nppo si on a Nppp points de passage obligés (et donc Nppo liaisons). Le choix d'une séquence d'assemblage optimale (selon un critère préalablement défini, tel qu'un effort maximal sur les liaisons inférieur à un seuil donné) est alors une opération importante. 25 L'étape précédente 107, qui forme la fin d'un premier procédé de sélection de routage, présente l'inconvénient d'effectuer une analyse globale du routage de tuyauterie concerné. Pour une étude plus locale au niveau des supports, la prise en compte de la gamme d'assemblage, détaillée dans cette huitième étape 108, est une étape 30 primordiale à prendre en compte. La prise en compte de la gamme d'assemblage consiste à modifier le problème mécanique au fur et à mesure de la simulation d'assemblage de la tuyauterie réelle (avec défauts géométriques). Pour mener à bien cette étude il est nécessaire d'avoir comme données 35 d'entrée : 26 - la géométrie de la tuyauterie nominale 6 et de la tuyauterie réelle 14 (définies par les coordonnées des points remarquables P; de début des tronçons élémentaires TE; dans la tuyauterie théorique nominale ûces points étant notés 18 sur les figures- et leur point homologue 19 sur la tuyauterie réelle non assemblée 14), ces géométries étant obtenues dans les étapes 101 à 104. Il est à noter ici que la géométrie réelle est connue en fait simplement par les écarts maximums de position estimés pour les points remarquables, et non sur une mesure précise point par point d'un tube réalisé. - la géométrie nominale et la géométrie réelle des points de passage obligés PPO; sur la structure de support (même remarque sur la géométrie réelle) - la matrice de rigidité du routage, obtenue dans l'étape 106 - la gamme d'assemblage (définie comme la succession ordonnée des opérations d'assemblage des points d'attache du tube sur les points de passage obligés correspondants de la structure de support). Pour illustrer cette étape la description va s'appuyer sur la tuyauterie illustrée par les figures 9 à 11. La figure 9 illustre le cas nominal, pour lequel les points d'attache 18 du tube et les points de passage obligé 3 de la structure se superposent sans efforts (la ligne de parcours nominale sur la structure est identique à la géométrie nominale du tube). Sur la figure 10 qui illustre le cas d'une géométrie réelle, on distingue : vis à vis des points de passage obligés (notés par des croix sur la figure 11), disposés sur la structure de support : • les points de passage obligés nominaux 3, confondus avec les points d'attache nominaux 18 du tube. • les points de passage obligés réels 15, la structure de support étant également sujette à des défauts de réalisation, lesquels entraînent un défaut de position du point de passage obligé considéré d'une valeur DfPPO • les points de passage obligés assemblés réels 22, ces points supportant une déformation sous l'effet des efforts appliqués par le tube, lesquels entraînent un déplacement du point de passage obligé considéré, d'une distance Deforméeppo 10 15 20 25 30 27 Il est à noter que les distances Dfppo, DeforméeppO... sont vectorielles, la description est faite ici par but de clarté dans un cas ID, mais reste vrai en 3D et, vis à vis du tube et des points d'attache (notés par des cercles sur la figure 11) : • la tuyauterie nominale 6 (trait continu) dont les points d'attache 18 sont naturellement confondus avec les points de passage obligés 3 dans le cas nominal. • la tuyauterie réelle 14 (petit trait discontinu). Cette tuyauterie étant sujette à défauts lors de sa réalisation, le point d'attache 19 considéré présente un défaut de position de valeur Daube dans le repère local lié au tronçon élémentaire considéré. • la tuyauterie réelle avec mouvement corps rigide 16 (grand trait discontinu). Le mouvement de corps rigide (qui entraîne un déplacement complémentaire du point d'attache 20 considéré, d'une valeur DoR) provient du fait que l'on assemble une tuyauterie sur des supports autorisant des degrés de liberté (ddl). En effet, lors de la première étape de la gamme d'assemblage, si on assemble la tuyauterie sur un PPO, et que le modèle de liaison au PPO est une liaison pivot glissante, on a 1 degré de liberté en translation et 1 degré de liberté en rotation le long de l'axe de la liaison. On dit alors que la tuyauterie est positionnée à un mouvement de corps rigide près. Si on vient assembler la tuyauterie sur un second PPO il y a 3 configurations possibles : • Soit l'assemblage avec les 2 liaisons est hyperstatique et il n'y a plus de mouvement possible de la tuyauterie à part par déformation. • Soit l'assemblage avec les 2 liaisons est isostatique et il n'y a plus de mouvement possible de la tuyauterie à part par déformation. • Soit l'assemblage avec les 2 liaisons est hypostatique c'est à dire qu'il existe encore un mouvement possible pour la tuyauterie (mise en position par 2 liaisons pivots d'axes 28 confondus) et dans ce cas il le mouvement existant est un mouvement dit de corps rigide Les PPO positionnants permettent alors de mettre en position la tuyauterie de façon isostatique c'est à dire après assemblage sur les PPO positionnants considérés le mouvement de corps rigide ne peut plus exister. On défini, le mouvement de corps rigide dans la formule de distance détaillée ci-après pour être le plus général possible et qu'elle soit valable à toutes les étapes de la gamme d'assemblage notamment dès la première étape. Ces PPO positionnants sont choisis par le concepteur d'après son expérience. Le procédé selon la présente invention doit alors permettre de l'aider à vérifier s'il a fait le bon choix en les changeant par exemple et en rejouant les simulations proposées et vérifier que les résultats sont meilleurs ou non • la tuyauterie réelle assemblée déformée 17 (pointillé), dont les points d'attache supportent une déformation sous l'effet des efforts appliqués par les liaisons, lesquels entraînent un déplacement du point d'attache considéré 21, d'une distance Deforméerube Le point d'attache assemblé réel déformé 21 et le point de passage obligé assemblé réel déformé 22 sont naturellement confondus, comme dans le cas nominal, mais ici avec des efforts appliqués à la liaison. A cause des défauts géométriques des supports et de la tuyauterie il faut réaliser la simulation d'un assemblage hyperstatique. C'est pourquoi il est nécessaire de simuler l'assemblage d'une tuyauterie déformée sur ses supports réels. 25 La première étape 108-1 de la simulation de gamme d'assemblage consiste à mettre en position de façon isostatique les points d'attache de la tuyauterie sur des points de passage obligés de référence appelés ici points de passage obligés positionnants. Lors de l'étape suivante 108-2 de la simulation de gamme d'assemblage, on 30 simule l'assemblage des différents points d'attache, c'est à dire que l'on rend successivement égale à zéro la distance entre les points de passage obligés PPO, réels 15 de la structure de support, et les points d'attache PA; homologues de la tuyauterie dans l'ordre prévu par la gamme d'assemblage. 10 15 20 29 Comme on le voit sur la figure 10, la distance à "annuler" pour réaliser effectivement une fixation d'un point remarquable de la tuyauterie sur un point de fixation de la structure, peut être établie par la formule suivante : Distance =Do+Df,,,1,e+DJ1'PO + DCR + D+D. eJorméeTubc efm'méePPO avec : Distance : distance réelle entre point de passage obligé réel 15 (solidaire de la structure de support et comportant donc des erreurs éventuelles de position en translation et rotation) et point remarquable correspondant sur la tuyauterie réelle 14 (laquelle comporte également pour ce point des défauts de géométrie entraînant des erreurs de position en translation et rotation) Do: distance nominale initiale entre point de passage obligé nominal 3 et le point d'attache 18 correspondant sur le tube nominal 6 (i.e. =0 dans le cas d'un assemblage nominal) Dftube: défaut géométrique du point d'attache 19 sur le tube réel 14 DfpP0: défaut géométrique du point de passage obligé réel 15 (sur la structure de support) DcR : mouvement du corps rigide DeforméeTube: déformée du tube 17 et du point d'attache 21 lors de l'étape d'assemblage Deforméeppo: déformée du point de passage obligé 22 lors de l'étape d'assemblage Pour le routage considéré, la relation suivante est toujours vérifiée F = K*U On résout alors le système matriciel suivant K ù P(U avec Ud déplacement imposé calculé à partir de la distance explicitée auparavant. Le terme CL dans la matrice correspond aux conditions aux limites de l'étape 30 d'assemblage considérée. En effet, si par exemple la liaison d'indice � i � est assemblée à l'étape � j �, la condition aux limites est un déplacement imposé nul i.e. U,,tj = 0 . 30 On connaît alors la valeur de l'effort résiduel Fu dans la liaison d'indice � i � pour aboutir à cet assemblage (appelé également encastrement). L'effort dans la liaison d'indice � i � à l'étape suivante (d'indice �j + 1 �) est de la forme F,J+, =F;;+F,(j+1). Le dernier terme de l'équation est l'effort résultant de l'opération d'assemblage courante (d'indice � j + 1 �). Ainsi en appliquant cette méthode à toutes les étapes d'assemblage c'est à dire en mettant à jour les conditions aux limites à chaque étape de l'assemblage (attache des points de passage obligés de la tuyauterie sur leur support de fixation sur la structure), on détermine localement les liaisons les plus sensibles à la gamme d'assemblage considérée. On obtient en effet en fin de simulation d'assemblage (pour une étape � Nppo � correspondant à la fixation d'un dernier point de passage obligé sur son support correspondant), la valeur en chaque liaison d'indice � i � de l'effort dans cette liaison F,NppO = F, +F(NrPO ) Une neuvième étape 109 consiste en une proposition de solutions de réglages. A partir des étapes précédemment décrites, on détermine les points de passage obligés P; les plus sollicités (effort maximal dans la liaison) lors de la simulation d'assemblage, ces points pouvant être classés par ordre décroissant d'effort dans la liaison. Ceci permet alors d'effectuer des actions correctives de routage vis-à-vis de certains critères d'acceptation comme le poids, les efforts résiduels maxi... qui peuvent être par exemple: 1/ Changement local de géométrie du routage 2/ Mise en place de points de passage obligés réglables, ou modification de type de point de passage obligé (changement de pièce de fixation, par exemple peigne, colliers etc. dont les contraintes en déplacement ou position sont différentes) 3/ Mise en place de sertissages en certains points de passage obligé 4/ Rajout de points de passage obligé pour équilibrer les contraintes Le procédé selon l'invention permettant de fournir un outil d'aide, il est laissé le choix au concepteur de choisir d'après son expérience la meilleure solution de réglage qui lui convient. Cependant, si après analyse des résultats de simulation, il se trouve qu'un PPO subit un effort important dans une direction donnée, il est préférable de le remplacer par un PPO réglable dont le réglage s'effectue dans la direction où l'effort est plus important. On comprend qu'on créé une boucle de rétro-action permettant de mettre en place une optimisation par itérations successives, ou un asservissement selon un critère prédéfini. On obtient en sortie du procédé : 1/ soit une impossibilité de montage du routage réel sur la structure de support réelle, dans le cas où les défauts de réalisation maximum estimés ne peuvent être corrigés en restant dans le cadre d'efforts et de déformations raisonnables du tube et des points de passage obligé de la structure de support, vis à vis de valeurs maximales préalablement choisies. Ce cas ne se produit normalement pas tant que l'on reste dans le cadre de petites perturbations, et donc de petits défauts géométriques du tube et des points de passage obligé. 2/ soit un assemblage préféré (au lieu d'un routage préféré dans le cas du procédé de l'étape 107) comportant donc à la fois un routage et une gamme d'assemblage fournissant ensemble un résultat efficace vis à vis du critère préalablement choisi. On comprend qu'il peut exister plusieurs assemblages considérés corrects car fournissant la même note d'évaluation vis à vis du critère choisi. Selon le type d'action corrective choisi, on peut choisir de modifier en priorité les points ou tronçons élémentaires correspondants aux efforts calculés maximums. Selon le temps de calcul nécessaire à une simulation complète d'assemblage, on choisit de modifier simplement un point, ou immédiatement une série de plusieurs points. Chaque modification élémentaire de position est d'une amplitude soit prédéterminée et stockée dans une mémoire de l'ordinateur sur lequel est exécuté le logiciel mettant en oeuvre le procédé, soit calculé à partir d'itérations précédentes d'optimisation. Ce type de calcul itératif est particulièrement adapté à une méthode d'algorithmique génétique, de type connue en soi, dans laquelle une série de configurations "filles" sont générées à partir de la configuration initiale (géométrie du routage, positions des points de passage obligés sur la structure de support, gamme d'assemblage), en modifiant certains des éléments de ces configurations. Puis les scores de ces configurations filles sont déterminés vis à vis des efforts et déplacements calculés par le procédé décrit plus haut, et d'un critère combinant ces 32 résultats de calcul. La configuration fille obtenant le meilleur score est alors choisie comme nouvelle configuration de base. Le procédé est itéré jusqu'à ce que le score atteigne un seuil préalablement choisi, ou à ce qu'il ne progresse plus significativement entre deux générations successives de configurations. Le procédé selon l'invention est destiné à être mis en oeuvre sous forme logicielle, exécuté par un micro-ordinateur de type connu, en complément d'un logiciel de conception de routage de type connu, par exemple Catia. Ledit micro-ordinateur est doté d'un bus d'adresses et de données lequel 10 relie entre eux : - une unité centrale; - une mémoire vive; - une mémoire morte; - éventuellement une interface réseau servant à émettre et 15 recevoir, sous forme de données binaires, des séries d'informations ; et, indépendamment du bus, le micro-ordinateur comporte : - un écran de visualisation; - un clavier; - une souris. 20 La mémoire vive conserve des données, des variables et des résultats intermédiaires de traitement. La mémoire vive comporte notamment : - une table comportant les coordonnées nominales en repère local et en repère global de tous les points remarquables du routage considéré (points 25 d'attache 18, points géométriques de début de tronçons), ou au moins de tous les points d'étude dudit routage, - une table comprenant les coefficients de la matrice d'influence, - une table comprenant les coefficients de la matrice de rigidité, - une table comprenant les coordonnées et caractéristiques 30 (axes acceptant des déformations, limites de déformation, type de fixation,... ) des points de passage obligé nominaux 3, - une table comprenant les écarts maximum envisagés dL, dR, dA aux positions nominales des points remarquables du tube, en coordonnées locales L, R, A, 33 - une table définissant, pour chaque étape du procédé itératif d'optimisation, l'ordre d'assemblage des points d'attaches du tube sur les points de passage obligé, c'est à dire la gamme d'assemblage, - une table comprenant, pour chaque étape du procédé itératif d'optimisation, tous les vecteurs d'efforts Fexr, Me,t et de déplacement Ud, Wd, maximum des points d'étude du tube, - une table comprenant, pour chaque étape du procédé itératif d'optimisation, les coordonnées finales des points d'attache réels assemblés déformés 21 (confondus avec les points de passage obligé réels assemblés déformés 22), - les valeurs des critères de seuil de déformation ou de déplacement acceptable, ainsi que des autres critères de calcul utilisés dans le procédé, - une table comprenant, pour chaque étape du procédé itératif d'optimisation, le score d'évaluation de la configuration, - les éléments intermédiaires de calcul, - un programme informatique de mise en oeuvre du procédé selon l'invention. On suppose que les valeurs nominales définissant la géométrie du routage et des points de passage obligé (type ..) ont déjà été obtenues en sortie d'un autre logiciel tel que Catia, et mémorisées dans les tables ad hoc du micro-ordinateur mettant en oeuvre le procédé selon l'invention. Le procédé comprend quatre phases : P1 / la première phase correspond à l'exécution des étapes 101, 102, 103, 106, 107 du procédé mathématique, comprenant la conception du routage nominal, et la détermination des supports positionnants (point d'attache sur le tube et point de passage obligé correspondant sur la structure de support) du routage réel. Toutes les valeurs de calcul sont mémorisées dans des tables listées plus haut pour la suite du calcul. II est clair que dans cette phase, on modélise le comportement du routage comportant éventuellement des défauts de forme, sans avoir besoin de mesurer les défauts réels du routage réalisé. Le procédé évalue en fait la sensibilité de l'ensemble du routage aux écarts géométriques éventuels de chaque point d'attache ou de passage obligé, en se basant 34 sur la géométrie nominale, et détermine quels points de passage obligés, sont les plus sensibles aux défauts géométriques du routage considéré. P2 I la seconde phase du procédé, qui recouvre les étapes 104, 105, consiste en une évaluation des défauts géométriques maximum envisageables (écarts maximum de position des points remarquables dL, dR, dA, des points d'attache sur le tube, et des points de passage obligés sur la structure de support). Cette phase est réalisée soit sur la base de mesures faites antérieurement sur des tuyauteries existantes similaires, soit par application de lois de calcul, par exemple des lois statistiques de répartition de défauts sur un ensemble de points. Elle peut également comporter une entrée manuelle de valeurs particulières en certains points du routage. P3 I la troisième phase du procédé (étape 108 exposée plus haut), consiste en une simulation du comportement mécanique du routage à chaque étape d'une séquence d'assemblage envisagée du routage sur les points de passage obligés de la structure de support. Cette simulation est également réalisée de façon logicielle. De façon résumée, cette phase est rendue nécessaire par le fait que les conditions aux limites (efforts sur le routage et les points de passage obligés) changent au fur et à mesure du déroulement de la séquence d'assemblage. Cette phase permet alors de déterminer à chaque étape de la gamme d'assemblage les efforts existants et les écarts géométriques résultants de l'assemblage du routage réel sur la structure réelle. Les valeurs des efforts et déplacements maximums calculés sont stockés dans une mémoire pour servir de base de calcul pour la suite du procédé. P4 I la quatrième et dernière phase (étape 109) consiste en une analyse comparative de différentes solutions de routage et de gammes d'assemblage (ces configurations étant préalablement analysées séparément par les phases 1 à 3 ci- dessus), ou en une optimisation itérative d'un routage associé à une gamme d'assemblage, sur la base d'un ou plusieurs critères de validité traduisant des seuils d'efforts ou de déplacement admissibles. En sortie du procédé, une configuration nominale modifiée et une gamme d'assemblage modifiée sont proposées par le logiciel, en conjonction avec le choix du type de liaison en chaque point de passage obligé. 35 Ce procédé peut être mis en oeuvre immédiatement après la conception du routage lors de la conception d'un aéronef par exemple, ou être utilisé lors de la constatation d'erreurs récurrentes de fabrication du tube ou des points de passage obligés, pour modifier, par exemple, la gamme d'assemblage en conséquence. De la même façon, une évolution éventuelle des critères de tolérance en effort ou déplacement maximal peut entraîner une modification de la gamme d'assemblage, calculable par le présent procédé. Le procédé peut également être utilisé à titre de support de calcul lors d'une formation à l'assemblage d'un routage sur une structure de support, en calculant directement les efforts et déplacements impliqués par toute gamme d'assemblage envisagée, et en indiquant son score de performance vis à vis d'une cible de valeurs d'efforts et de déplacement maximums. En résumé, en partant d'un routage de tubes droits ou arqués présentant des défauts de géométrie en ses points remarquables, défauts dont la valeur maximale peut être estimée, certains de ces points remarquables dits points de passage obligés devant être assemblés sur des points de fixation disposés sur une structure de support, ces points de fixation comportant également des défauts de position d'amplitude maximale évaluable, et une capacité de déformation sous l'effet d'un effort mécanique, l'assemblage des points de passage obligés sur les points de fixation correspondants étant réalisé dans un ordre choisi, on a développé, dans la présente invention, un procédé de calcul de tous les efforts et déplacements maximum en tous les points de passage obligé du routage. Ce calcul permet alors de nombreuses opérations d'optimisation de routage, de position des fixations, de nombre ou nature de ces fixations, d'ordre d'assemblage du routage sur ses fixations, ainsi que des analyses de tenue à la fatigue, aux vibrations etc. Parmi ses avantages, cette analyse comparative de routage permet aux concepteurs de disposer d'une méthode d'aide au choix de routage intégrant les défauts géométriques des pièces, leur flexibilité, la gamme d'assemblage suivant des critères déterminés. La portée de la présente invention ne se limite pas aux détails des formes de réalisation ci-dessus considérées à titre d'exemple, mais s'étend au contraire aux modifications à la portée de l'homme de l'art. Dans une variante de mise en oeuvre, le procédé est utilisé sur une succession de tubes raccordés par divers types de raccords (sertissage droit long, court, à 90°...), formant un routage particulier, pou r déterminer le choix de ces raccords qui réalise la meilleure performance d'efforts et déplacements. Une variante du procédé, destiné à la validation d'un routage, se limite aux phases P1 et P2, et vérifie la compatibilité d'une valeur fonction, entre autres (mais aussi de le longueur du tube et donc de son poids total), des efforts et déplacements maximums du tube, calculés en tous les points de passage obligés, avec une valeur seuil préalablement définie. On a décrit dans la description exclusivement des tubes de transport de fluides, il est clair que l'assemblage d'un ensemble formé de segments placés bout à bout, de caractéristiques mécaniques connues, sujet à défauts de fabrication, à attacher sur un support également sujet à défauts de fabrication peut être optimisé en utilisant le présent procédé. De la même manière, les tubes peuvent présenter une section non circulaire, par exemple rectangulaire ou autre, sans modification substantielle du présent procédé. REVENDICATIONS1. Procédé de validation d'un routage comprenant, d'une part, un tube (1) formé d'un ensemble d'au moins deux tronçons élémentaires TE; linéaires et/ou cintrés, lesdits tronçons étant définis dans une géométrie nominale des points remarquables appelés Points de Casse P;, et des valeurs dimensionnelles nominales (e: épaisseur, d : diamètre), ainsi que des caractéristiques de réalisation (rayon de cintrage, matériau), et assemblés bout à bout pour former un tube nominal (6) comprenant deux extrémités (2a, 2b), et, d'autre part, un ensemble d'au moins deux points d'attache nominaux (18) destinés à la fixation du tube (1) en des points de passage obligés nominaux (3) d'une structure de support de géométrie nominale préalablement définie, ledit tube présentant éventuellement dans sa forme réelle (14) pour au moins une partie de ses tronçons des petites erreurs de dimensions (dL, dR, dA) par rapport aux valeurs nominales (L, R, A), lesdits points de passage obligés présentant éventuellement dans leur position réelle (15) de petites erreurs de position par rapport à leur position nominale (3), caractérisé en ce qu'il comprend une étape (104) d'estimation des défauts géométriques maximum envisageables du tube, et des points de passage obligés (position et orientation) sur la structure de support, une étape (105) de calcul des efforts et déplacements aux points remarquables P; et aux points d'attache PA; du tube réel (14) lorsque ceux-ci sont fixés sur les points de passage obligé PPO; leur correspondant deux à deux sur la structure de support, le tube et lesdits points de passage obligés PPO; étant supposés déformables sous l'effet d'un effort mécanique et leurs caractéristiques de déformation étant connues, et une étape de comparaison d'une valeur fonction au moins de ces efforts et déplacements avec une valeur seuil préalablement définie. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce qu'il comporte en outre une étape (107) de détermination des points de passage obligés les plus sensibles aux défauts géométriques du routage considéré. 38 3. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que l'étape de détermination des points de passage obligé les plus sensibles consiste : en un calcul des écarts maximum en translation (U) et en rotation (w) sur chacun des n points de passage obligés par rapport au routage théorique nominal, et en un calcul des forces et moments en ces points d'écart maximal, lorsque le routage réel est attaché sur les points de passage obligés réels, en se plaçant dans l'hypothèse de petites perturbations. 4. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 3, caractérisé en ce qu'il comporte en outre des étapes : - de fixation de lois de répartition de défauts au niveau des points de passage obligés P; et de la géométrie réelle du routage, - de définition des lois de répartition statistique pour les efforts résiduels dans les liaisons d'assemblage. - de vérification de la tenue de l'assemblage de tuyauterie en fatigue ou soumis à des phénomènes de vibrations. 7. Procédé selon la revendication 4, caractérisé en ce que les lois de répartition de défauts sont trouvées par une méthode de tirage de Monte Carlo. 20 8. Procédé d'optimisation d'un routage comprenant un procédé de validation de routage selon l'une quelconque des revendications 1 à 5, caractérisé en ce qu'il comporte en outre une boucle de rétro-action comprenant une étape de modification d'un routage considéré et une étape de minimisation d'une fonction des efforts et 25 déplacements en certains points d'étude du routage. 9. Procédé d'optimisation selon la revendication 6, caractérisé en ce que la fonction à minimiser représente l'effort maximum calculé dans les liaisons du routage. 30 8. Procédé de validation d'un assemblage, ledit assemblage étant composé : - d'un routage comprenant, d'une part, un tube (1) formé d'un ensemble d'au moins deux tronçons élémentaires TE; linéaires et/ou cintrés, lesdits tronçons étant définis dans une géométrie nominale par des points remarquables P;, et des valeurs dimensionnelles nominales (L, R, A), ainsi que des caractéristiques de réalisation (e 35 épaisseur, d diamètre, rayon de cintrage, matériau), et assemblés bout à bout pour former un tube nominal (6) comprenant deux extrémités (2a, 2b), et, d'autre part, un 39 ensemble d'au moins deux points d'attache nominaux (18) destinés à la fixation du tube (1) en des points de passage obligés nominaux (3) d'une structure de support de géométrie nominale préalablement définie, ledit tube présentant éventuellement dans sa forme réelle (14) pour au moins une partie de ses tronçons des petites erreurs de dimensions (dL, dR, dA) par rapport aux valeurs nominales (L, R, A), lesdits points de passage obligés présentant éventuellement dans leur position réelle (15) de petites erreurs de position par rapport à leur position nominale (3), - et d'une séquence d'assemblage des points d'attache du tube sur les points de passage obligé leur correspondant, caractérisé en ce qu'il comprend un procédé de validation de routage selon l'une quelconque des revendications 1 à 7, et en outre : une étape de simulation de la séquence d'assemblage, comportant la modification du problème mécanique au fur et à mesure de la fixation de points d'attache du tube réel sur les points de passage obligés correspondants réels de la structure de support. 9. Procédé selon la revendication 8, caractérisé en ce que l'étape de simulation de la séquence d'assemblage comprend : une première étape 108-1 de mise en position de façon isostatique la tuyauterie sur des points de passage obligés positionnants, une seconde étape 108-2 de fixation à zéro de la distance entre les points de passage obligés réels (15) sur la structure réelle, et les points d'attache (20) homologues de la tuyauterie réelle, dans l'ordre prévu par la gamme d'assemblage. 10. Procédé d'optimisation d'assemblage caractérisé en ce qu'il comprend une phase de validation d'assemblage selon l'une quelconque des revendications 8 et 9, et une boucle de rétro-action comprenant une étape de modification d'au moins un élément (tube, points de passage obligés, gamme d'assemblage) de l'assemblage considéré et une étape de minimisation d'une fonction des efforts et déplacements en certains points d'étude du routage. 11. Procédé selon la revendication 10, caractérisé en ce que la modification du routage comprend au moins une modification de géométrie d'un tronçon élémentaire du tube, ou une modification de position d'un point de passage obligé. 12. Procédé selon la revendication 10, caractérisé en ce que la modification35du routage consiste en la transformation d'un point de passage obligé en un point de passage obligé réglable. 13. Procédé selon la revendication 10, caractérisé en ce que la modification du routage consiste en l'ajout d'au moins un point de passage obligé permettant d'équilibrer les contraintes subies sur les points de passage obligés. 14. Procédé selon la revendication 10, caractérisé en ce que la modification du routage consiste en un changement de type d'au moins un point de passage obligé. 15. Procédé selon la revendication 4, caractérisé en ce que la modification du routage consiste en la mise en place d'au moins un sertissage en au moins un point de passage obligé. 16. Logiciel, caractérisé en ce qu'il permet la mise en ceuvre d'un procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes.15