FR 2915806 A1 20081107 FR 0703215 A 20070504 -1- Procédé pour déterminer un modèle polycristallin destiné à représenter le comportement d'un matériau solide soumis à une sollicitation mécanique La présente invention concerne un procédé pour déterminer un modèle polycristallin prévu pour représenter le comportement d'un matériau solide soumis à une sollicitation mécanique. Elle concerne également un modèle polycristallin déterminé grâce au procédé selon l'invention et une utilisation de ce modèle polycristallin pour déterminer les effets d'une sollicitation mécanique sur une pièce constituée d'un matériau solide. Dans de nombreux domaines techniques, on a besoin de déterminer l'incidence de sollicitations mécaniques sur des pièces, notamment des pièces métalliques, soit afin d'optimiser des procédés de fabrication comportant des opérations de mise en forme, soit afin de prévoir le comportement au service de pièces dans des conditions complexes. Les procédés de mise en forme concernés sont les procédés de mise en forme par déformation plastique tels que l'emboutissage de tôles, l'étirage de tubes, le forgeage de pièces de mécanique. Ces procédés peuvent avoir une incidence importante sur les propriétés du matériau constitutif des pièces concernées, et il est important de pouvoir prévoir cette incidence de façon à permettre d'évaluer à priori le comportement en service des pièces obtenues. Les sollicitations en service des pièces sont diverses et correspondent à toutes les sollicitations que l'on peut rencontrer, et par exemple à l'effet d'efforts permanents, l'effet d'efforts appliqués progressivement à des vitesses plus ou moins élevées, d'efforts appliqués de façon périodique, d'efforts appliqués dans des conditions de température ambiante ou bien d'efforts appliqués dans des conditions de température élevée ou très basse. Afin d'évaluer les effets de ces sollicitations mécaniques sur des pièces, on utilise de façon connue des modèles de calcul numérique, en mode élastique ou anélastique. Ces méthodes de calcul sont, notamment, les méthodes par différences finies et les méthodes de type Galerkin reposant sur une décomposition sur des fonctions de base dont un type particulier est la méthode par éléments finis. Par mode anélastique , on entend tout mode de comportement qui n'est pas élastique réversible, c'est -2- à dire par exemple plastique, plastique dépendant du temps, ou viscoplastique, plastique dépendant de la température, plastique résultant de transformations de phases. Ces calculs utilisent une modélisation du comportement du matériau sous l'effet des contraintes, représentée par une loi reliant les contraintes aux déformations. De façon classique, on utilise des lois de comportement macroscopiques qui correspondent à des représentations phénoménologiques des phénomènes de déformation, c'est-à-dire des représentations qui ne tiennent pas compte des phénomènes physiques fondamentaux sous-jacents. De tels modèles ont l'avantage d'utiliser un nombre de variables relativement limité ce qui conduit à des calculs suffisamment peu volumineux pour pouvoir être utilisés dans les processus de conception industriels. En revanche, ce type de modèle présente l'inconvénient de ne pas permettre de modéliser convenablement l'effet de la microstructure des matériaux sur leurs propriétés, par exemple sur les propriétés anisotropes, et plus encore sur l'évolution de ces propriétés anisotropes sous l'effet des sollicitations et des déformations. Afin de remédier à cet inconvénient, on utilise de façon connue des modèles de comportement de matériaux, dits modèles polycristallins , dans lesquels le matériau est représenté par une pluralité de grains ayant la structure cristallographique et les propriétés d'un grain du matériau. De tels modèles ont l'inconvénient de nécessiter l'utilisation d'un nombre très important de variables. Ce grand nombre de variables conduit à des temps de calculs très longs qui ne permettent pas l'utilisation de tels modèles dans un contexte industriel. Pour remédier à cet inconvénient, plusieurs chercheurs ont proposé de réduire fortement le nombre d'orientations cristallines dans les modèles polycristallins tel qu'enseigné dans le document FR 03 09252. Ces modèles seront désignés dans la suite par modèle polycristallin réduit . Cependant on a constaté qu'on ne pouvait pas obtenir avec la même détermination du modèle une modélisation satisfaisante à la fois des contraintes et des vitesses de déformation, aussi bien avec les modèles polycristallins à texture complète que de façon connue avec les modèles polycristallins réduits. Notamment le rapport de Lankford, qui est le rapport -3- de deux vitesses de déformation anélastique dans deux directions perpendiculaires, est très différent de celui qui est mesuré au cours d'essais de traction simple dans la troisième direction perpendiculaire aux deux autres. Le but de la présente invention est de remédier à ces inconvénients en proposant un procédé pour déterminer un modèle polycristallin prévu pour représenter le comportement d'un matériau solide de manière plus précise. Un autre but de l'invention est de proposer un procédé pour déterminer un modèle polycristallin, prévu pour représenter le comportement d'un matériau solide, nécessitant: moins de temps de calcul et utilisable dans l'industrie. L'invention propose ainsi un procédé pour déterminer un modèle polycristallin destiné à représenter le comportement d'un matériau solide soumis à des sollicitations, le matériau solide étant représenté par une pluralité de grains, dits de représentation, de nombre limité, et chacun regroupant des grains d'orientations cristallines proches dudit matériau solide, le modèle polycristallin utilisant : un modèle cristallin représentant le comportement d'un grain de représentation, une texture représentative de la texture du matériau, cette texture comprenant au moins une orientation et une fraction volumique pour chacun des grains de représentation ; Le procédé selon l'invention comprend, une étape d'optimisation comprenant au moins une itération des opérations suivantes : détermination, par simulation grâce audit modèle polycristallin d'une sollicitation sur le matériau, du comportement dit théorique, du matériau ; comparaison du comportement théorique à un comportement, dit réel, représentatif du matériau, obtenu à partir d'une base d'essais mécaniques ; réajustement du modèle polycristallin en fonction de cette comparaison. -4- Par comportement on désigne les déformations mécaniques du matériau, de sa texture, ou toute autre modification se produisant au niveau du matériau solide. Le procédé selon l'invention comprend en outre une étape d'initialisation comprenant - une initialisation du nombre de grains de représentation utilisés par le modèle polycristallin pour représenter le matériau solide, une initialisation de la texture représentative du matériau solide. Cette initialisation comprend un choix d'au moins une texture ou d'au moins une combinaison de textures. Les textures ou combinaison de textures peuvent être choisies en fonction de la connaissance du matériau et de données relatives au matériau solide ; et une initialisation d'au moins un paramètre du modèle cristallin. Ainsi, le modèle polycristallin déterminé grâce au procédé selon l'invention permet de représenter le comportement du matériau solide en utilisant un nombre limité de grains de représentation. Avantageusement, le nombre de grain de représentation est inférieur ou égal à vingt. Dans la suite de la description le modèle polycristallin ainsi que la texture peuvent être désignés par modèle polycristallin réduit ou texture réduite . Le résultat de la comparaison du comportement théorique à un comportement réel obtenu à partir d'essais mécaniques peut nécessiter une modification, lors de l'étape de réajustement, d'au moins un des paramètres choisis dans la liste suivantes : le nombre de grains de représentation, - un paramètre de la texture ou combinaison de textures utilisée lors de la simulation ou un choix d'au moins une autre texture ou combinaison de textures, et un paramètre du modèle cristallin. Pour déterminer le modèle polycristallin prévu pour représenter le comportement du matériau solide, le procédé selon l'invention comprend une détermination du nombre de grains de représentation utilisé par la modèle polycristallin. Le procédé selon l'invention peut en outre comprendre une détermination de la texture la plus représentative de la texture dudit -5- matériau. Cette détermination peut être soit un choix parmi une pluralité de textures, de la texture la plus représentative du matériau solide, soit une combinaison de plusieurs textures. La détermination de la texture la plus représentative du matériau solide peut comprendre une détermination d'une orientation et/ou d'une fraction volumique d'au moins un grain de représentation. Le procédé selon l'invention peut comprendre, d'une manière avantageuse, une détermination d'un modèle d'évolution de la texture, ledit modèle comprenant un calcul d'une rotation du réseau cristallin de chaque grain de représentation par rapport à un repère prédéterminé, par exemple un repère corotationnel. Le procédé selon l'invention peut en outre comprendre une détermination d'un avancement d'une transformation de phase. Pour cela, à chaque grain de représentation est attribué des caractéristiques fonction de l'avancement de la transformation de phase. Par ailleurs, le modèle polycristallin utilisant un modèle cristallin, le procédé selon l'invention peut en outre comprendre une détermination du modèle cristallin représentant, le mieux, le comportement d'un grain de représentation. Le comportement d'un grain de représentation peut être déterminé à partir d'une pluralité de systèmes de glissement associés au matériau solide. De plus, le procédé selon l'invention comprend avantageusement, une détermination d'un modèle de changement d'échelle comprenant un modèle d'homogénéisation pour le passage de l'échelle du grain de représentation, dit échelle microscopique, à l'échelle de l'ensemble des grains de représentation, dit échelle macroscopique, et un modèle de localisation pour le passage de l'échelle macroscopique à l'échelle microscopique. Dans des versions particulières, le modèle de localisation peut être un modèle anisotrope faisant intervenir des tenseurs d'ordre 4, et le modèle cristallin peut être un modèle de comportement microscopique tel que le maclage. Par ailleurs, la base d'essais mécanique peut être une base d'essais, dite étendue, obtenue par enrichissement d'une base d'essais mécaniques -6- réels avec au moins un essai mécanique, dit théorique, obtenu à partir des essais mécaniques réels. Les essais mécaniques théoriques peuvent être obtenus par interpolation des essais mécaniques réels. Les essais mécaniques théoriques peuvent aussi être obtenus, par simulation d'une sollicitation mécanique sur un agrégat polycristallin de grains, modélisé en éléments finis, et dont la texture est représentative du matériau solide, le comportement de chacun des grains étant représenté par un modèle cristallin préalablement déterminé. Le modèle cristallin peut être déterminé par une étape d'optimisation comprenant au moins une itération des opérations suivantes : détermination, par simulation sur l'agrégat polycristallin, du comportement, dit simulé, du matériau ; comparaison du comportement simulé aux essais mécaniques réels ; réajustement, en fonction de ladite comparaison, dudit modèle cristallin représentant le comportement de chacun desdits grains de l'agrégat polycristallin.Les paramètres du modèle polycristallin réduit sont déterminés par identification, par exemple au moyen d'un dispositif utilisant un logiciel d'optimisation. Les paramètres à identifier sont ceux du modèle cristallin, appelé aussi modèle de comportement microscopique cristallin, à l'échelle du grain de représentation, ceux du modèle de changement d'échelle, et les orientations et les fractions volumiques des grains de représentation de la texture réduite et le cas échéant les paramètres du modèle d'évolution de la texture. Le logiciel d'optimisation compare les résultats du modèle à ceux d'essais mécaniques effectués sur le matériau. Pour cela, le logiciel calcule la réponse du modèle pour les mêmes chargements que ceux appliqués au matériau lors des essais expérimentaux. Ces calculs peuvent être du type "point matériel", c'est-à-dire avec un seul point de calcul, lorsqu'on peut considérer que la structure d'essai reste homogène, par exemple un essai sur une éprouvette de traction simple. Ces calculs peuvent aussi être du type calcul de structure, avec une pluralité de points de calcul, lorsque la structure d'essai ne donne pas des contraintes et des déformations -7- homogènes à l'échelle macroscopique, par exemple un essai sur une éprouvette comportant une entaille. Les données expérimentales pour le matériau étudié sont généralement en nombre limité, par exemple des essais de traction simple dans les directions L (laminage RD), T (transverse TD) et "LT" (à 45 dans le plan LT) d'une tôle laminée, ou bien des essais de traction simple dans les directions L et T et un essai de cisaillement dans la direction L ou T. Cela ne suffit pas pour identifier correctement un modèle anisotrope. Dans l'exemple d'une tôle laminée, des essais tous les 15 clans le plan LT sont parfois disponibles (par exemple : Barlat, F., Aretz, Yoon, J.W., Karabin, M.E., Brem, J.C., Dick, R.E., 2005. Linear transformation-based anisotropic yield functions. International Journal of Plasticity 21, 1009-1039). Cela peut être encore insuffisant pour identifier finement les "modèles polycristallins réduits", pour lesquels des données tous les 5 sont préférables, en raison de la texture réduite de ces modèles. Quant aux données d'essais hors plan LT, elles sont généralement inexistantes. Dans le procédé selon l'invention, on utilise le modèle en éléments finis d'un agrégat polycristallin pour générer les données expérimentales nécessaires à l'identification du "modèle polycristallin réduit" utilisé. Un agrégat polycristallin est un ensemble de grains. La construction du modèle d'agrégat est connue en elle-même. On peut par exemple utiliser un simple agrégat cubique constitué de grains cubiques, par exemple au nombre de 5x5x5 = 125 grains dont les orientations cristallines sont en accord avec la texture du matériau. On peut aussi construire un modèle d'agrégat qui représente mieux la morphologie des grains du matériau. Si la texture n'est pas disponible pour le matériau étudié, on peut utiliser celle d'un matériau voisin, par exemple s'il s'agit d'un alliage d'aluminium laminé, la texture d'un autre alliage d'aluminium de composition chimique voisine, laminé et traité thermiquement dans les mêmes conditions. Les données expérimentales générées seront d'autant meilleures que le modèle d'agrégat sera raffiné et proche du matériau réel, au prix de temps de calcul plus longs. Les modèles d'agrégats utilisent moins d'hypothèses simplificatrices que les modèles polycristallins, et, contrairement à ces derniers, ils ne -8- requièrent pas de modèles de changement d'échelle plus ou moins phénoménologiques. Dans un modèle d'agrégat polycristallin, les seuls paramètres à identifier sont ceux du modèle de comportement cristallin. De façon connue, les paramètres sont identifiés au moyen d'un logiciel d'optimisation appliqué aux calculs d'agrégats par éléments finis des essais mécaniques disponibles. Les calculs d'agrégats par éléments finis sont ensuite utilisés pour générer les données expérimentales nécessaires à l'identification du "modèle polycristallin réduit" utilisé. Par exemple, le modèle d'agrégat sera identifié sur des essais de traction simple dans les directions L (laminage RD), T (transverse TD) et "LT" (à 45 dans le plan LT) d'une tôle laminée, et sera ensuite utilisé pour générer les essais de traction simple tous les 15 ou mieux tous les 5 pour l'identification du "modèle polycristallin réduit". Dans cet exemple, les données générées seront à la fois les courbes reliant la contrainte et la déformation dans la direction de la traction, et les courbes reliant les deux déforrnations transverses donnant l'évolution des rapports de Lankford. Dans les cas exceptionnels où de nombreux essais sont disponibles, une simple interpolation des courbes pourra remplacer les calculs d'agrégats. Dans l'exemple d'une tôle laminée, si par exemple des essais tous les 15 dans le plan LT sont disponibles, on peut par interpolation générer des données tous les 5 . Dans le cas général, le recours aux calculs d'agrégats polycristallins est indispensable, particulièrement si la base d'essais étendue est générée par extrapolation des essais expérimentaux réels et pas seulement par interpolation entre ces essais réels. Si par exemple la pièce à calculer est soumise à des contraintes proches du cisaillement pur, et si les seuls essais expérimentaux disponibles sont des essais de traction simple, les données en cisaillement correspondent à une extrapolation des données expérimentales en traction simple. Les calculs d'agrégats ont une certaine capacité d'extrapolation car en raison de la pluralité des orientations des "grains" tous les systèmes de glissement et tous les paramètres du modèle cristallin utilisé peuvent être sollicités par des chargements dans un domaine restreint de types et d'amplitudes, par exemple par des essais de traction simple. Il est cependant préférable si possible de limiter les extrapolations et de disposer d'essais expérimentaux -9- représentatifs des sollicitations mécaniques subies par les pièces qui seront calculées, en termes de contraintes, déformations, vitesses de déformations et températures. L'ensemble des paramètres du "modèle polycristallin réduit" sont identifiés sur l'ensemble des essais mécaniques, comprenant les essais réels et les essais générés par simple interpolation et par les calculs d'agrégats polycristallins. Compte tenu du grand nombre d'essais mécaniques et du grand nombre de paramètres à identifier, les temps de calcul d'identification ne sont raisonnables que pour les "modèles polycristallins réduits". C'est la démarche d'identification qui explique que les "modèles polycristallins réduits" donnent une modélisation satisfaisante à la fois des contraintes et des vitesses de déformation, contrairement aux modèles polycristallins classiques à textures complètes, auxquels cette démarche ne peut être appliquée ni en principe, car leurs textures sont imposées, ni en pratique, car les temps de calculs d'identification sont beaucoup trop longs. Les paramètres identifiés du modèle cristallin utilisé dans le "modèle polycristallin réduit" sont différents des paramètres identifiés du modèle cristallin utilisé dans le modèle d'agrégat polycristallin. Ces deux modèles cristallins peuvent d'ailleurs être différents, de même que les logiciels d'optimisation et les logiciels de calcul par éléments finis mis en oeuvre pour le "modèle polycristallin réduit" d'une part, le modèle d'agrégat polycristallin d'autre part, peuvent être différents. Le modèle d'agrégat ne sert que d'intermédiaire dans la démarche d'identification. La démarche d'identification et le procédé s'appliquent quels que soient les modèles et les logiciels mis en oeuvre, même si la qualité des résultats dépend de la qualité des modèles et des logiciels. Le modèle polycristallin déterminé grâce au procédé selon l'invention peut être utilisé pour la détermination des effets d'une sollicitation thermomécanique sur une pièce constituée d'un matériau solide, et en particulier une pièce métallique. Cette utilisation peut comprendre une détermination de déformations et/ou de contraintes engendrées par la sollicitation thermomécanique en une pluralité de points de la pièce au moyen d'une modélisation en éléments finis de la pièce. D'une façon - 10 - générale, la méthode de calcul par éléments finis utilisée est une méthode de calcul mécanique ou thermomécanique faisant intervenir le temps. La sollicitation thermomécanique peut comprendre une sollicitation associée à une opération de mise en forme par déformation plastique telle que l'emboutissage, l'étirage, l'extrusion, le découpage, le perçage, le laminage ou le forgeage. Le procédé selon l'invention peut être utilisé pour évaluer l'effet de ces opérations sur les propriétés des matériaux. Les résultats obtenus peuvent être utilisés par exemple dans des modèles de simulation de tests de résistance aux chocs de véhicules automobiles. Le procédé selon l'invention peut également être utilisé pour simuler la fabrication de boîtes métalliques telles que des canettes, obtenues par emboutissage, de façon à en déterminer les propriétés d'emploi en tenant compte des phénomènes tels que les cornes d'emboutissage résultant de l'anisotropie du matériau. La sollicitation mécanique peut aussi comprendre une sollicitation engendrée par l'utilisation en service de la pièce métallique entraînant un phénomène de fluage et/ou de fatigue de la pièce. Ces utilisations ne sont données qu'à titre d'exemple et l'homme du métier saura adapter le procédé à toute situation particulière faisant 20 intervenir des phénomènes de plasticité ou de fluage. Le procédé selon l'invention se distingue des procédés de calcul numérique connus par la façon d'identifier un "modèle polycristallin réduit" de comportement des matériaux utilisé ensuite dans les calculs numériques d'objets industriels. 25 D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à l'examen de la description détaillé d'exemples de réalisation nullement limitatifs et des dessins annexés sur lesquels : la figure 1 est une représentation du schéma de principe de génération d'une base d'essais étendue ; 30 - la figure 2 est une représentation d'un modèle simple d'agrégat polycristallin utilisé pour générer des données expérimentales ; - les figures 3a et 3b sont des représentations d'un modèle raffiné d'agrégat utilisé pour générer des données expérimentales ; - 11 - - la figure 4 est une représentation du schéma de principe de détermination de la texture réduite d'un modèle polycristallin réduit et d'utilisation du modèle pour les calculs d'objets industriels ; - la figure 5 est une représentation de la texture complète de l'aluminium 2090-T3, représentée sous forme d'une figure de pôles discrétisée ; - la figure 6 est une représentation des rapports de Lankford tous les 15 du modèle polycristallin réduit identifié tous les 15 ; - la figure 7 est une représentation des rapports de Lankford tous les 10 5 du modèle polycristallin réduit identifié tous les 15 ; - la figure 8 est une représentation des rapports de Lankford du modèle polycristallin réduit identifié tous les 5 ; - la figure 9 est une représentation des contraintes du modèle polycristallin réduit identifié tous les 5 ; 15 la figure 10 est une représentation des rapports de Lankford du modèle polycristallin réduit ré-identifié tous les 15 ; - la figure 11 est une représentation des rapports de Lankford du modèle polycristallin réduit ré-identifié tous les 45 ; - la figure 12 est une représentation des contraintes du modèle 20 polycristallin réduit ré-identifié tous les 45 ; - la figurel3 est une représentation des courbes a11-E11 du modèle polycristallin réduit identifié tous les 5 ; - la figurel4 est une représentation des courbes E22-c33 du modèle polycristallin réduit identifié tous les 5 , 25 - la figure 15 est une représentation de la texture réduite de l'aluminium 2090-T3 identifiée sur la base d'essais étendue ; - la figure 16 est une représentation des pôles de l'aluminium 2090-T3 comparés aux pôles de la composante de texture S ; - la figure 17 est une représentation des rapports de Lankford du 30 modèle polycristallin réduit identifié tous les 5 avec la composante de texture S imposée ; - la figure 18 est une représentation du maillage en éléments finis de l'opération de poinçonnement d'une tôle mince en aluminium 2090-T3 ; - 12 - - la figure 19 est une représentation des contraintes 611 en surface inférieure de la tôle - la figure 20 est une représentation des contraintes 622 en surface inférieure de la tôle - la figure 21 est une représentation des contraintes 612 en surface inférieure de la tôle - la figure 22 est une représentation des courbes force-déplacement du poinçon ; et - la figure 23 est une représentation des essais mécaniques dans 10 l'espace {611, 622, 612} représentés sur la surface d'écoulement plastique de Tresca. Afin de bien faire comprendre l'invention, on va considérer, le cas particulier de la méthode de calcul par éléments finis. On va tout d'abord rappeler quelques notions connues sur les calculs par cette méthode et sur 15 les modèles de comportement de matériaux de type polycristallin, puis on va expliquer comment, selon l'invention, on identifie les paramètres d'un modèle polycristallin réduit performant. De façon classique, pour simuler par un calcul par éléments finis le comportement d'un objet soumis à des sollicitations mécaniques, on 20 construit une représentation de l'objet matériel considéré à l'aide d'un maillage, et on identifie les sollicitations mécaniques extérieures auxquelles il va être soumis. Puis de façon connue en elle-même, on calcule par itération, les contraintes et les déformations à des instants successifs séparés par un pas de temps At. Ces calculs font intervenir un modèle de 25 comportement du matériau. Dans un calcul par éléments finis, à un instant déterminé t, on connaît, pour chacun des points de calcul du maillage, le tenseur des contraintes macroscopiques E et le tenseur des déformations macroscopiques E qu'on peut décomposer en un tenseur des déformations 30 élastiques Ee et un tenseur des déformations anélastiques EP. A titre d'exemple, on considère dans ce qui suit les modèles polycristallins les plus simples dits "à champs moyens", dans lesquels le tenseur des déformations plastiques microscopiques eP et le tenseur des =8 - 13 - contraintes microscopiques a sont constants dans chaque grain de =8 représentation. A l'aide d'un modèle de localisation permettant le passage de l'échelle macroscopique à l'échelle microscopique, on détermine le tenseur des contraintes o- dans chacun des grains de représentation du modèle polycristallin. A l'aide d'un modèle de comportement anélastique tel qu'un modèle plastique ou viscoplastique (de tels modèles sont connus en eux-mêmes), et des systèmes de glissement du grain de représentation, on détermine le tenseur des vitesses de déformation microscopiques s" de chaque grain de =8 représentation. En intégrant les vitesses de déformation sur un intervalle de temps At, on calcule les déformations plastiques microscopiques sg à l'instant t+At. En utilisant un modèle d'homogénéisation permettant le passage de l'échelle microscopique à l'échelle macroscopique, on détermine alors les tenseurs des déformations E et des contraintes E macroscopiques à l'instant t + At. On peut alors recommencer le calcul et ainsi déterminer l'évolution au cours du temps des contraintes et des déformations dans l'objet étudié. Pour mettre en oeuvre une méthode de calcul numérique du type de celle qui vient d'être décrite, on utilise trois repères : - un repère global orthonormé (L1, L2, L3), ou repère du laboratoire, quiest fixe et qui sert de référence pour la description de l'objet à étudier. Selon la nature de l'objet étudié, ce repère permet de repérer chaque point de l'objet par ses coordonnées cartésiennes ou par ses coordonnées cylindriques, ou par ses coordonnées sphériques. - des repères locaux macroscopiques orthonormés, associés à chacun des points de l'objet étudié. Ainsi, à chaque point, et en particulier à chaque point pour lequel on effectue un calcul, on associe un repère local macroscopique (X1, X2, X3). Ce repère est un repère orthonormé dont la position et l'orientation par rapport au repère global peuvent évoluer au fur et à mesure que l'objet étudié se déforme. - 14 - - des repères locaux microscopiques orthonormés associés à chacun des grains de représentation du modèle polycristallin et qui servent à décrire les déformations microscopiques de chaque grain de représentation. L'orientation du repère local microscopique (x1, x2r x3) d'un grain de représentation associé à un point de l'objet étudié représente l'orientation de ce grain de représentation par rapport au repère local macroscopique du point considéré. A chaque grain de représentation, on associe des systèmes de glissements, des modèles de comportement cristallin du matériau pour chacun des systèmes de glissement, une orientation du grain de représentation par rapport à un repère lié à l'objet que l'on veut étudier, et enfin une fraction volumique f . Quelle que soit la nature cristallographique du matériau solide considéré, on attribue au grain de représentation des systèmes de glissement. De façon connue, chaque système est défini par la normale à un plan de glissement et par une direction de glissement, ce qui permet d'associer à chaque système de glissement une matrice d'orientation. De façon générale et connue, d'autres mécanismes de déformation, comme par exemple le maclage, peuvent être modélisés à l'échelle du grain de représentation, mais ils ne sont pas décrits ici. Si n, est le vecteur normal au plan du système de glissement d'indice s, et ls le vecteur de la direction de glissement de ce système de glissement, la matrice d'orientation est par définition : ms =(n l, +l, n)/2 (Eq. 1) Si par exemple la nature cristallographique du matériau solide considéré est cubique à faces centrées, on considère de façon connue M = 12 systèmes de glissement définis de la façon suivante dans le repère local microscopique (x1, x2, x3) d'un grain de représentation : _ (1,1,1) 1, -(-1,0,1) n, = (1,1,1) 12 = (0,-1,1) n, = (1,1,1) l3 = (-1,1,0) n, = (1,-1,1) l4 = (-1,0,1) n5 = (1,-1,1) l5 = (0,1,1) n6 = (1,-1,1) 1, = (1,1,0) n, _ (-1,1,1) 17 -(0,-1,1) n8 =(-1,1,1) 18 =0,1,0) n9 = (-1,1,1) 19 = (1,0,1) n,9 = (1,1,-1) 1,0 -(- 1,1,0) nä _ (1,1,-1) lä _ (1,0,1) n,2 = (1,1,-1) 112 -(0,1,1) (Eq. 2) - 15 - Pour d'autres structures cristallines, par exemple cubique centrée ou hexagonale, on définit de façon analogue et connue les systèmes de glissement. Si s représente la vitesse de glissement dans la direction 1, du système de glissement s , le tenseur des vitesses de déformation plastiques du grain de représentation s'écrit : 12 s; =Em js ùs s=1 (Eq. 3) Pour déterminer les vitesses de glissement Ys sur chacun des systèmes de glissement s, on utilise un modèle de comportement cristallin 10 qui fait intervenir de façon connue la scission résolue rs sur le système s . La scission résolue r, s'écrivant : rs =a :m (Eq 4) Par exemple, le modèle de comportement cristallin est décrit de façon connue par les équations (5) à (8) ci-dessous, mais tout autre modèle 15 cristallin peut être utilisé. y' =1)* Sign(rs) (Eq. 5) n ù 0, -1; /r (Eq. 6) vs = Max K 12 r, = Ro +QEH,,[1ûexp(ûbv,)] (Eq. 7) L'équation (6) ci-dessus fait intervenir 2 paramètres de viscosité n et 20 K. L'équation (7) fait intervenir 3 "paramètres d'écrouissage" Ro, Q et b. Dans l'équation (7), la "matrice d'écrouissage" H,, fait intervenir de façon connue 6 autres paramètres d'écrouissage h, à h6. Le comportement cristallin des grains de représentation qui vient d'être décrit permet de modéliser le comportement microscopique du 25 matériau. Mais, comme on l'a vu précédemment, pour modéliser le comportement d'un objet, il est nécessaire de pouvoir passer du niveau microscopique au niveau macroscopique et réciproquement. Pour cela, on utilise des modèles appelés "modèles de changement d'échelle" dont le - 16 - principe général est connu de l'homme du métier, mais dont un exemple va être décrit maintenant. Les relations permettant le passage de l'échelle macroscopique à l'échelle microscopique et inversement sont respectivement : a) le modèle de localisation pour le passage de l'échelle macroscopique à l'échelle microscopique : N B=lfgfl (Egs8et9) x=l =g (Eq. 10) le passage de l'échelle N (Eq 11) (Eq 12) (Eq 13) Dans ces équations : 15 E est le tenseur des contraintes macroscopiques. E" est le tenseur des déformations plastiques macroscopiques. Ee est le tenseur des déformations élastiques macroscopiques. 6 est le tenseur des contraintes microscopiques dans le grain de =g représentation d'indice g. 20 eP est le tenseur des déformations plastiques microscopiques dans le =g grain de représentation d'indice g. Z.P) est le second invariant du tenseur vitesse des déformations g plastiques microscopiques e " dans le grain de représentation d'indice g. =g est une variable dans le grain de représentation d'indice g. =g 25 fg est la fraction volumique du grain de représentation d'indice g. 6 =E+C(Bû/3 ) où g =g ; ûD/3 J2~~) 2 =g -g =g g \ fi b) les relations d'homogénéisation pour 10 microscopique à l'échelle macroscopique : N E=Ifg6 avec -g g=l g=1 1fg =1 N E`'f; g =g g=l Ee = 1 1û v 2p - 1+v= - 17 - N est le nombre de grains de représentation. 1u est le module de cisaillement du matériau. v est le coefficient de Poisson du matériau. C et D sont 2 paramètres propres au matériau, identifiables à partir d'essais. De façon connue, il est possible et recommandé dans le cas d'un chargement cyclique d'ajouter aux équations (6) et (7) des variables d'écrouissage cinématique. De façon connue, il est possible et recommandé dans le cas d'un chargement de longue durée de type relaxation ou fluage d'ajouter aux équations (6) et (7) ainsi qu'à l'équation de localisation (10) des termes de restauration par le temps. Les équations correspondantes ne sont pas détaillées ici. Lorsque les déformations dépassent 20% environ, il est recommandé, voire indispensable pour un calcul précis, de modéliser l'évolution de la texture du matériau, aussi bien dans la méthodologie de détermination des paramètres du "modèle polycristallin réduit" que dans l'utilisation de ce modèle pour les calculs de structures industrielles. Pour modéliser l'évolution de la texture d'un matériau polycristallin, c'est-à-dire l'évolution des orientations des "grains", on considère de façon connue le tenseur de rotation Q du réseau cristallin d'un grain de représentation, c'est-àdire la rotation de son repère local microscopique (x1, x2, x3), par rapport à un repère dit "corotationnel". Plusieurs modèles d'évolution de texture sont décrits dans la littérature scientifique. Dans le modèle le plus utilisé, la vitesse de rotation du réseau cristallin est donnée par : M Q.Q' =w = û~q Y.r (Eq. 14) où M est le nombre de systèmes de glissement et où pour chaque système : q = (l, n,ûn, 4l,)/2 (Eq. 15) On calcule les évolutions des vecteurs ns et l . , c'est-à-dire l'évolution 30 de la texture : (Eq. 16) - 18 - Le repère corotationnel suit la rotation "moyenne" de la matière R . De façon connue, sa vitesse de rotation par rapport au repère du laboratoire (L1, L2, L3) est calculée à partir des gradients des vitesses û des points matériels du corps solide déformable : S2 = R.R T = (grade - grad ` u)12 (Eq. 17) Quant au mécanisme de déformation par maclage, il implique des modèles particuliers pour l'évolution de la texture, connus par ailleurs et qui ne sont pas décrits ici. Pour modéliser le comportement d'un matériau déterminé, il faut alors choisir les grains de représentation du modèle polycristallin de telle sorte que ces grains de représentation représentent le comportement d'un agrégat de grains du matériau, compte tenu de la répartition réelle des orientations des grains dans le matériau, c'est-à-dire de la texture du matériau. Pour faire ce choix, on choisit le nombre de grains de représentation, leurs orientations et leurs fractions volumiques de telle sorte que le modèle obtenu ait un comportement bien représentatif du matériau réel. Pour représenter l'orientation des grains de représentation, on considère un repère local macroscopique (X1, X2, X3) et un repère local microscopique (x1, x2, x3) lié à chaque grain de représentation. L'orientation d'une grain de représentation est définie comme étant l'orientation de son repère local microscopique (x1r x2, x3) par rapport au repère local macroscopique (X1, X2, X3). De façon connue en elle-même, on considère que le repère local 25 microscopique (x1, x2, x3) se déduit du repère local macroscopique (X1r X2, X3) par trois rotations : - une rotation d'angle cp1 du repère (X1, X2, X3) autour de l'axe X3 qui conduit à un repère (X'1, X'2, X3), - une rotation d'angle autour de l'axe X'1 qui conduit à un repère 30 (X'1, X"2, X'3) - une rotation d'angle (P2 du repère (X'1, X"2, X'3) autour de l'axe X'3 qui conduit à un repère (X"1, X"12, X'3) ; ce dernier repère est le repère local microscopique (xi, x2, x3). - 19 - Le repère local microscopique (xi, x2, x3) est donc défini par les trois angles de rotation ((pi, (h, (p2) qui ont permis de l'obtenir. Ces angles sont habituellement appelés "angles d'Euler". Cette méthodologie de choix des grains de représentation va être illustrée par un exemple que l'homme du métier saura transposer à tout cas particulier. Dans les situations connues, la texture d'un matériau anisotrope peut être représentée approximativement par une combinaison de "composantes de texture", c'est-à-dire d'orientations particulières connues en elles-mêmes. Dans l'exemple, qui concerne les tôles d'aluminium brutes de laminage à froid, les composantes de texture, définies par 3 angles d'Euler dans le repère local macroscopique (X1r X2, X3) = (L, T, S) = (RD, TD, ND), sont principalement les composantes "Etain" (35 , 45 , 0 ), "S" (60 , 32 , 65 ) et "Cube" (0 , 0 , 0 ). Comme les tôles présentent une symétrie orthotrope dans le repère macroscopique, chacune de ces orientations ((pi, 4), 92) est associée à 3 autres orientations symétriques (-(pi, (1), -92), (-91, -4), -92) et ((pi, -4), (p2). Les composantes de texture Etain et S comptent donc 4 grains de représentation chacune, la composante de texture Cube compte un seul grain de représentation. Dans des tôles d'aluminium recuites et recristallisées, d'autres composantes de texture apparaissent : "Goss" (0 , 45 , 0 ) et "Cuivre" (90 , 35 , 45 ). La structure cristallographique de l'aluminium est cubique à faces centrées. Dans les tôles en acier de structure cristallographique cubique centrée apparaissent les composantes de texture (0 , 0 ,45 ), (0 , 35 , 45 ), (0 , 54.7 , 45 ), (30 , 54.7 , 45 ) et (0 , 45 , 0 ). Ces composantes de texture sont connues de l'homme du métier, qui pourra dans des situations particulières déterminer d'autres composantes à partir de la texture expérimentale du matériau. L'ensemble de ces composantes de texture, connues ou déterminées dans des cas spécifiques, constitue la texture initiale du matériau dans la démarche d'identification des paramètres du modèle polycristallin réduit. Dans l'exemple de l'aluminium laminé, on aura 3 paramètres angulaires ((pi, 4), 92) à identifier pour la composante S et 3 paramètres angulaires 4'1, 4)', (p'2) à identifier pour la composante Etain. On peut ajouter à la composante Cube une composante de texture "Cube45" (0 , 45 , 0") suggérée par la texture -expérimentale, et on peut considérer que ces deux composantes avec un seul grain de représentation n'ont pas d'angle d'Euler à identifier. On peut aussi laisser ces composantes Cube et Cube45 se dissocier en 2 ou 4 grains de représentation chacune, auquel cas il faudra identifier les angles d'Euler correspondants. Si par exemple une identification est effectuée avec la "texture 1" constituée des 6 = 4 + 1 + 1 grains de représentation des 3 composantes S, Cube et Cube45, on aura 5 paramètres de texture à identifier : les fractions volumiques f2 et f3 des composantes Cube et Cube 45, et les 3 angles d'Euler (91, (h, (p2) de la composante S dont la fraction volumique est f1 = 1- f2 - f3. Une seconde identification sera effectuée avec la "texture 2" constituée des 6 grains de représentation des 3 composantes Etain, Cube et Cube45, avec 5 paramètres de texture à identifier : les fractions volumiques f2 et f3 des composantes Cube et Cube 45, et les 3 angles d'Euler (9'1, (h', (p'2) de la composante Etain dont la fraction volumique est f1 = 1- f2 - f3. Une troisième identification sera effectuée avec la "texture 3" constituée des 8 = 4 + 4 grains de représentation des 2 composantes S et Etain, avec 7 paramètres de texture à identifier : la fraction volumique f1 et les 3 angles d'Euler ((pl, (h, (p2) de la composante S, et les 3 angles d'Euler 4'1, (h', (p'2) de la composante Etain dont la fraction volumique est f2 = 1- f1. En fonction des résultats des identifications, d'autres combinaisons texture 4 , texture 5 , ..., pourront être utilisées. Le principe d'obtention d'une base d'essais étendue à partir d'une base d'essais réduite est schématisé sur la figure 1. Sur cette figure, base réduite d'essais mécaniques représente les essais réels sur le matériau. Lorsque ces essais sont suffisamment nombreux, par exemple des essais de traction simple tous les 15 dans le plan d'une tôle, une simple interpolation entre ces essais, sur la droite du schéma, permet de générer des essais intermédiaires, par exemple tous les 5 , qui sont ajoutés à la base réduite pour former une première version d'une base étendue d'essais mécaniques . Dans le cas contraire, et notamment lorsqu'il faut extrapoler en dehors du domaine couvert par la base réduite, par exemple pour générer des essais de traction biaxiale ou des essais de cisaillement, on utilise un modèle éléments finis (EF) d'un agrégat polycristallin représenté - 21 - en figure 1. Une première étape consiste à générer la géométrie de l'agrégat, par exemple en construisant un agrégat constitué d'éléments finis cubiques comme sur la figure 2. Dans une seconde étape, une orientation cristalline est affectée à chaque point de calcul des éléments finis, en répartissant les orientations de la texture expérimentale complète du matériau. Le comportement du matériau en tous ces points de calcul est celui d'un modèle cristallin, dont les paramètres sont initialisés dans une troisième étape. Le logiciel de calcul par éléments finis est alors à même de calculer la réponse de l'agrégat polycristallin à toutes les sollicitations mécaniques correspondant aux essais réels de la base réduite. Dans une quatrième étape, les résultats de ces calculs sont comparés aux résultats des essais par un logiciel d'optimisation, dans un processus itératif qui conduit dans une cinquième étape à la détermination des paramètres du modèle cristallin. Dans une sixième étape, le modèle d'agrégat ainsi déterminé est utilisé dans le logiciel éléments finis avec de nouvelles sollicitations mécaniques, correspondant par exemple à la traction biaxiale ou au cisaillement si ce sont les conditions visées. Dans une septième étape, les résultats de ces calculs sont ajoutés à la base d'essais pour former la base étendue d'essais mécaniques. La figure 2 montre un exemple de modèle en éléments finis d'un agrégat polycristallin mentionné à la figure 1. Il s'agit ici d'un modèle simple constitué de 6x6x6 = 216 éléments finis cubiques, orientés suivant les directions (X1, X2, X3) = (L, T, S) = (RD, TD, ND) d'une tôle laminée. Dans chaque élément fini, le comportement cristallin du matériau est identique. Par contre une orientation cristalline différente est affectée à chaque élément fini. Par exemple, à partir de la texture expérimentale discrétisée en N = 216 orientations ((pl, (1), 92) de fractions volumiques identiques f = 1/216, des orientations sont tirées de façon aléatoire et affectées dans un ordre prédéfini aux éléments de la figure 2. Si N est différent de 216 et si les fractions volumiques f ne sont pas uniformément égales à 1/216, des méthodes connues permettent de représenter au mieux la texture expérimentale. Si par exemple le but est de générer des essais de traction simple dans une direction située dans le plan LT et faisant un angle 0 avec la - 22 - direction L = RD, comme représenté sur la figure 2, on impose de façon connue sur les 6 faces du cube des "conditions aux limites" correspondant à ces essais. Par exemple, on peut imposer des conditions aux limites homogènes correspondant aux tenseurs macroscopiques des vitesses de déformation É et de rotation S2. D'autres types de conditions aux limites, comme par exemple les conditions périodiques, peuvent être imposées. L'homme du métier choisira ces conditions en fonction des possibilités des logiciels de calcul par éléments finis dont il dispose. Comme l'objectif de ces calculs n'est pas de déterminer les valeurs locales microscopiques des variables mais de calculer les courbes macroscopiques, et uniquement en relatif d'un essai à un autre essai, les résultats dépendent peu du type de conditions aux limites imposées. Par exemple, les seuls paramètres du modèle d'agrégat, à savoir les paramètres du modèle cristallin, sont identifiés sur des essais de traction simple dans les directions 0= 0 , 45 et 90 au moyen d'un logiciel d'optimisation. Les données expérimentales sont les courbes contrainte-déformation 06H et les courbes E33-e22 reliant les déformations transversales. Le logiciel d'optimisation utilise des méthodes d'identification des paramètres connues en elles-mêmes. Le logiciel commande le calcul par éléments finis du modèle d'agrégat sur les mêmes essais, et compare les courbes simulées aux courbes expérimentales. En fonction de l'écart entre les résultats expérimentaux et les résultats calculés, le logiciel calcule de nouvelles valeurs pour les paramètres, et enfin reproduit ce processus jusqu'à ce que les écarts entre les résultats expérimentaux et les résultats simulés soient inférieurs à une valeur définie à l'avance. Le modèle d'agrégat polycristallin est ensuite utilisé pour générer les courbes 6ä -En et 33 -E22 correspondant par exemple à des essais de traction simple dans les directions 0= 15 , 30 , 60 et 75 . Les figures 3a et 3b montrent un modèle d'agrégat 18x18x18 plus raffiné que le modèle simple 6x6x6 de la figure 2. De façon connue par ailleurs, un modèle géométrique de la morphologie des grains du matériau est d'abord établi, comme celui de la figure 3a qui comporte 447 grains. Un maillage régulier est ensuite appliqué sur le modèle géométrique comme le montre la figure 3b qui comporte 18x18x18 = 5832 éléments finis. Les points de calcul de chaque élément fini, au nombre de 2x2x2 = 8 ou - 23 - 3x3x3 = 27 par exemple, sont ainsi affectés individuellement à une orientation cristalline, celle du grain auquel ils appartiennent. Les conditions aux limites sont imposées aux 6 faces du cube de la même façon que pour l'agrégat simple de la figure 2. Le calcul du modèle raffiné d'agrégat est beaucoup plus long que celui du modèle simple, et son usage sera réservé aux situations dans lesquelles la morphologie des grains est essentielle et les déformations petites. Dans les situations habituelles, les résultats macroscopiques diffèrent peu entre les agrégats simples et raffinés. La démarche d'identification du modèle polycristallin réduit est schématisée sur la figure 4. Dans une première étape, dite d'initialisation, des valeurs sont données aux paramètres du modèle cristallin et du modèle de changement d'échelle, et le cas échéant à d'autres modèles, qui font partie du modèle polycristallin. Dans cette étape d'initialisation, plusieurs textures réduites sont choisies, en combinant des composantes de texture connues ou déterminées à partir de la texture expérimentale complète du matériau. Le logiciel de calcul par éléments finis est alors à même de calculer la réponse du modèle polycristallin réduit à toutes les sollicitations mécaniques correspondant aux essais de la base étendue d'essais mécaniques. Dans une seconde étape, les résultats de ces calculs sont comparés aux résultats des essais par un logiciel d'optimisation, dans un processus itératif qui conduit dans une troisième étape à la détermination de la meilleure texture réduite et des paramètres du modèle polycristallin réduit. Dans une quatrième étape, le modèle ainsi déterminé est utilisé dans le module matériaux d'un logiciel éléments finis, pour le calcul d'objets industriels. On va maintenant illustrer cette démarche sur l'exemple concret d'une tôle en alliage d'aluminium 2090-T3 laminée à froid d'épaisseur égale à 1,6 mm. La texture cristallographique de cette tôle est représentée sur la figure 5 sous la forme d'une figure de pôles discrétisée. De façon connue, le pôle associé à une direction dans l'espace définie par un vecteur unité n= (n,,n2,n3) est la projection de l'extrémité de ce vecteur sur le plan X3 =1 depuis le centre de projection (X,,X2,X3)= (0,0,û1). Si n3 Les coordonnées du pôle sont alors X; = n2 /(1 + n3) et Xz = -n1 /0+ n3). Pour une orientation cristalline définie par son repère local microscopique (xi, x2, x3), les 3 pôles {100}, {010} et {001} sont les pôles des directions x,, x2 et x3. Ce sont les pôles dits "{100}". Dans le cas d'une structure cristallographique cubique à faces centrées, les normales 10 aux plans de glissement (1,1,1), (1,-1,1), (-1,1,1) et (1,1,-1) donnent les 4 pôles dits "{111}". Une orientation cristalline peut être définie de façon équivalente par ses pôles {100} ou par ses pôles {111}. Sur la figure 5, la texture discrétisée de la tôle en aluminium 2090-T3 est définie par les pôles {111}, chaque orientation cristalline correspondant à un groupe de 4 points. 15 Les courbes expérimentales 611- e11 et e33 -E22 sont disponibles sur la tôle en aluminium 2090-T3 tous les 15 , c'est-à-dire pour 0= 0 , 15 , 30 , 45 , 60 , 75 et 90 . Ce sont ces courbes qui ont été utilisées tout d'abord dans le logiciel d'optimisation. Comme on ne disposait que de valeurs initiales du rapport de Lankford r, qui est le rapport des vitesses de 20 déformation r = è22 /è33, les courbes e3, -E22 ont été "reconstruites" en supposant le rapport r constant au cours du chargement. En réalité le rapport r évolue au cours du chargement, et c'est l'un des avantages des modèles polycristallins de pouvoir représenter cette évolution. Pour déterminer les paramètres du "modèle polycristallin réduit", il 25 faut fournir au logiciel d'optimisation des valeurs initiales de ces paramètres. Pour ce qui est des paramètres de texture, différents jeux de paramètres initiaux dits "texture 1", "texture 2", "texture 3", ... sont essayés, comme expliqué auparavant. Ces jeux combinent les composantes de texture Etain, S, Cube, Cube45 et des composantes supplémentaires déduites de la figure 30 de pôles 5, par exemple (31.66 , 54.04 , 82.29 ) et (90 , 33.40 , 45 ). Après un certain nombre de calculs d'identification des paramètres, une texture à 8 grains de représentation donne les meilleurs résultats. Les paramètres optimisés de cette texture sont donnés dans le tableau 1. - 25 - Compte tenu de la symétrie orthotrope, chaque triplet d'angles d'Euler correspond à 4 grains de représentation. Tableau 1. Paramètres de texture correspondant à la figure 6. f 39.460 67.252 87.065 0.15334 79.146 40.124 23.825 0.09666 Les résultats obtenus avec le modèle identifié, courbe 61, sont comparés aux essais, courbe 62, sur la figure 6 qui donne une représentation de l'évolution, tous les 15 , du rapport de Lankford r en fonction de l'angle de traction simple dans le plan LT. Pour obtenir une figure synthétique, on a calculé le rapport de Lankford "sécant" entre les déformations 611 = 0.015 et 611 = 0.065, c'est-à-dire : r = 627611 = 0.065)- 622 (El l = 0.015) E 18) 33 16u = 0.065)- c33 \sl l = 0.015) ( q. Ce rapport est la pente de la courbe reliant 622 et 633 si cette courbe est linéaire entre 611 = 0.015 et 611 = 0.065. Le modèle polycristallin réduit identifié est en assez bon accord avec les essais. Les écarts observés à 0 = 15 , 30 et 45 sont acceptables, l'essentiel est de reproduire les deux minimums à 0 et 75 et les deux maximums à 45 et 90 , car ce sont eux qui vont déterminer par exemple la position angulaire et l'amplitude des cornes d'emboutissage obtenues lors d'une opération d'emboutissage d'une tôle circulaire pour obtenir un godet, et ce sont ces cornes d'emboutissage qui entraînent des pertes de matière et des coûts d'usinage ainsi que des irrégularités dans l'épaisseur du produit fini. Le modèle polycristallin réduit identifié semble prêt pour le calcul de pièces industrielles, comme schématisé sur la figure 4. Cependant, si on simule avec le modèle ainsi identifié des essais de traction simple pour des angles 0 intermédiaires, on obtient l'évolution, tous les 5 , des rapports de Lankford sécants montrés sur la figure 7, où la courbe 71 représente les résultas obtenus avec le modèle polycristallin identifié, et la courbe 72 représente les résultats obtenus avec les essais. Les fortes variations de ce rapport, entre 15 et 30 par exemple, ne sont - 26 - pas acceptables pour un calcul de structures par éléments finis. Ces variations s'expliquent par le fait que le rapport de Lankford est obtenu par dérivation, car c'est un rapport de vitesses de déformation, il est donc beaucoup plus sensible que les contraintes aux changements de direction de la sollicitation mécanique, en particulier pour les modèles polycristallins réduits. Une des originalités du procédé est de reconnaître cette difficulté et d'étendre la base expérimentale pour y remédier. Dans l'exemple de la tôle en aluminium 2090-T3, une simple interpolation entre les valeurs tous les 15 a donné des valeurs tous les 5 montrées sur la figure 8, la courbe 82 montrant les résultats des essais réels et théoriques. Mais lorsque la base de données initiale n'est pas aussi riche, le recours aux calculs d'agrégats polycristallins, tel que montré en figure 1, est indispensable pour étendre cette base, car par exemple le minimum à 750 de la courbe expérimentale de la figure 6 ne peut pas être obtenu par interpolation à partir des valeurs à 0 , 45 et 90 seulement. La détermination de la texture réduite et des autres paramètres du modèle a donc été reprise sur la base expérimentale étendue. Des optimisations avec 8 ou 10 grains de représentation montrent qu'une des composantes à 4 grains de représentation tend à être éliminée, c'est-à-dire que sa fraction volumique tend vers 0, ou bien que les pôles se regroupent autour de la composante Cube, ce qui revient au même puisquela composante Cube est déjà présente. La texture réduite optimisée se réduit à une composante à 4 grains de représentation proche de la composante de texture S et aux composantes à 1 grain de représentation Cube et Cube45, soit 6 grains de représentation en tout. La suppression du grain de représentation Cube45 ne dégrade pas les résultats, on aboutit donc à une texture optimisée à seulement 5 grains de représentation définie par les paramètres du tableau 2. Les autres paramètres du modèle sont ceux des équations (5) à (13). Leurs valeurs optimisées sont données dans les tableaux 3 et 4. Les paramètres d'élasticité E et v et de viscosité n et K ne sont pas optimisés, car les données expérimentales ne le permettent pas. -27- Tableau 2. Paramètres de texture correspondant aux figures 8 et 9. ~2 f 68.3112 27.5545 55.7647 0.2013 0. 0. 0. 0.1947 Tableau 3. Paramètres correspondant aux figures 8 et 9. E (MPa) v n K (MPa) 70000. 0.3 25. 20. Ro (MPa) Q (MPa) b C (MPa) D 84.9002 59.7546 5.1171 25269. 174.7983 Tableau 4. Paramètres de la matrice d'écrouissage correspondant aux figures 8 et 9. h1 h2 h3 h4 h5 h6 1.0000 0.3686 1.0568 0.6841 0.4495 0.4013 Les résultats du modèle identifié sont comparés aux essais sur les figures 8 et 9. Sur ces figures les courbes 81 et 91 représentent les résultats obtenus avec le modèle polycristallin identifié et les courbes 82 et 92 représentent les résultats obtenus avec les essais. Pour obtenir une figure synthétique, une déformation sil = 0.04 a été choisie pour représenter les niveaux de contrainte de la figure 9. Les courbes expérimentales 82 et 92 et les courbes du modèle 81 et 91 sont très proches, l'écart en contrainte ne dépasse pas 4%. Il est important de noter que ce n'est pas seulement la texture qui confère au matériau son comportement anisotrope, mais également les paramètres de la matrice d'écrouissage h1 à h6. Il est indispensable d'optimiser les paramètres de cette matrice, alors que dans la littérature scientifique ils sont souvent fixés a priori. Par contre le modèle de localisation des équations (8) à (10) est isotrope, ce qui n'est pas cohérent avec le reste du modèle polycristallin par 25 nature anisotrope. Pour améliorer les résultats du modèle polycristallin - 28 - réduit, il faut remplacer le modèle de localisation isotrope par un modèle de localisation anisotrope, en remplaçant les 2 paramètres scalaires C et D du modèle isotrope par 2 tenseurs d'ordre 4, C et D. Dans le cas d'un matériau initialement orthotrope, comme une tôle laminée, chacun de ces 2 tenseurs s'exprime en fonction de 10 paramètres scalaires. Dans le cas général, chacun de ces 2 tenseurs s'exprime en fonction de 34 paramètres scalaires. Si on utilise la notation de Voigt pour les tenseurs d'ordre 2 symétriques : 611 /612 /323 /312 /322 331 /323 /331 //633 _ - Q = [fi /622 /333 /312 / 23 /331 f (Eq. 19) les expressions scalaires C(Bûf ) et D/3 des équations (8) et (10) ù =x =x deviennent des expressions tensorielles notées : C:(B-fi)-*C.(B-/3) et D:--> D.a (Eq.20) où les tenseurs C et D d'ordre 2 ont la forme suivante dans le cas 15 orthotrope : rcll c12 c13 O O O C21 C22 C23 O O O C31 C32 C33 0 0 0 G = 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 c55 0 0 0 0 0 0 C66 / L'incompressibilité de la déformation plastique fait que les tenseurs C et D relient des vecteurs tels que +,622 +f'33 = 0. Il s'ensuit que les 12 paramètres de l'équation (21) vérifient les 2 relations : 20 C11 + C21 + C31 = Cl2 +C22 + C32 = CI3 + C23 +C33 (Eq. 22) Il reste donc 10 paramètres à déterminer pour chacun des tenseurs C et D. Pour des raisons théoriques, les paramètres du tenseur C doivent être de l'ordre de grandeur du module de cisaillement du matériau ,u=El(]+v)/2. (Eq. 21) - 29 - L'optimisation du modèle polycristallin réduit au moyen des 10+10-2=18 paramètres d'anisotropie supplémentaires devrait permettre de rapprocher les courbes 81 et 91, obtenues avec le modèle polycristallin réduit déterminé grâce au procédé selon l'invention, des courbes expérimentales 82 et 92. Mais le procédé est tributaire des modèles et des logiciels utilisés, et pour l'exemple présenté seul un modèle de localisation isotrope était disponible. Les prédictions du modèle polycristallin réduit avec les paramètres optimisés des tableaux 2 à 4 ont également été calculées pour des essais de traction simple tous les 5 dans les plans LS et TS de la tôle. Les courbes obtenues, non représentées ici, ne présentent pas de variations brutales, ce qui est satisfaisant. Les essais de traction dans les plans LS et TS d'une tôle mince (1,6 mm pour la tôle en aluminium 2090-T3) sont impossibles à réaliser. Il faut des calculs d'agrégats pour générer ces données expérimentales. Dans les opérations d'emboutissage d'une tôle mince, les contraintes sont principalement dans le plan LT de la tôle et seules les propriétés d'anisotropie dans ce plan sont importantes. L'exemple de la tôle en aluminium 2090-T3 se limite donc aux propriétés dans le plan LT, mais le procédé n'est aucunement limité à ce plan. L'optimisation du "modèle polycristallin réduit" sur des données expérimentales tous les 5 a montré l'intérêt d'une texture réduite à 5 grains de représentation comme celle du tableau 2. Cette information étant maintenant connue, il est possible de déterminer de nouveau les paramètres du modèle sur des données expérimentales tous les 15 seulement. La texture initiale pour l'optimisation est constituée des composantes de texture S et Cube. La figure 10 montre le rapport de Lankford r en fonction de l'angle de traction simple dans le plan LT. La courbe 101 montre les résultats obtenus expérimentalement et la courbe 102 montre les résultats obtenus avec le modèle polycristallin réduit déterminé grâce au procédé selon l'invention. Les courbes 101 et 102 montrent que le modèle polycristallin obtenu donne des résultats globalement aussi bons que ceux de la figure 8, quoiqu'un peu différents. Les paramètres des tableaux 5 à 7 sont différents des paramètres des tableaux 2 à 4, ce qui montre que 2 jeux différents des paramètres peuvent donner des résultats sensiblement -30 - équivalents. Le but du procédé et en particulier de sa démarche d'optimisation des paramètres n'est pas de donner des valeurs soi-disant physiques et intrinsèques aux paramètres, mais d'obtenir un modèle qui reproduit au mieux les données expérimentales. Tableau 5. Paramètres de texture correspondant à la figure 10. ça, 0 ~z f 69.2030 27.6300 54.7523 0.2067 0. 0. 0. 0.1731 Tableau 6. Paramètres correspondant à la figure 10. E (MPa) v n K (MPa) 70000. 0.3 25. 20. Ro (MPa) Q (MPa) b C (MPa) D 83.1778 120.8708 2.9603 29403. 197.1514 10 Tableau 7. Paramètres de la matrice d'écrouissage correspondant à la figure 10. hl h2 h3 h4 h5 h6 1.0000 0.2861 0.8268 2.4772 0.1835 0.1138 Avec 5 grains de représentation, initialement ceux des composantes de texture S et Cube, les paramètres ont de nouveau été déterminés avec 15 les données expérimentales à 0 , 15 et 90 seulement. Les meilleurs résultats d'optimisation des paramètres du modèle polycristallin sont montrés sur les figures 11 et 12, présentant les résultats obtenus expérimentalement 111 et 121 et les résultats obtenus avec le modèle polycristallin réduit 112 et 122. Les écarts avec les données expérimentales 20 sont nettement plus importants que sur les figures précédentes. Les formes des courbes, dues au choix des grains de représentation initiaux, ne changent pas, mais rien ne garantit que ces formes correspondent au matériau étudié car les points à 0 , 45 et 90 sont trop espacés pour permettre une interpolation fiable.5 - 31 - Les figures précédentes donnent sous une forme synthétique les résultats du procédé. En réalité, la comparaison des données expérimentales et des prévisions du modèle, par exemple dans des logiciels d'optimisation, est effectuée sur les courbes reliant les composantes des tenseurs de contrainte et de déformation. Les figures 13 et 14 montrent ces courbes pour les angles de traction simple à 0 , courbes 131 et 141, et à 45 , courbes 132 et 142, et le modèle identifié tous les 5 des figures 8 et 9, tableaux 2 à 4. L'angle 0 est représentatif d'un écart faible avec les points expérimentaux représentés sur les figures 13 et 14, l'angle 45 est représentatif d'un écart plus important. La figure de pôles {111} du modèle identifié tous les 5 , tableau 2, est montrée sur la figure 15. La simplicité de cette figure, comparée à la figure de pôles expérimentale de la figure 5, illustre la réduction en temps de calcul du modèle polycristallin réduit comparé aux modèles polycristallins à texture complète. Le but du procédé n'est pas de reproduire avec précision la texture expérimentale, cependant les pôles de la texture réduite identifiée se situent bien dans les zones de concentration de pôles de la texture expérimentale. Les pôles {111} du modèle polycristallin réduit identifié tous les 5 , tableau 2, et de la composante de texture S, sont comparés sur la figure 16. Les orientations sont proches, mais l'écart est suffisant pour faire la différence dans les prévisions du modèle. En effet, si on optimise sur la base étendue d'essais (tous les 5 ), les paramètres du modèle polycristallin avec les angles d'Euler de la texture S imposés et non optimisés (60 , 32 , 65 ), les fractions volumiques étant elles optimisées comme les autres paramètres, on obtient les courbes de la figure 17, la courbe 171 correspondant à aux résultats obtenus expérimentalement et la courbe 172 correspondant aux résultats obtenus avec le modèle polycristallin selon l'invention. La modification de la composante de texture S est indispensable pour obtenir de bonnes prédictions avec le modèle polycristallin réduit. Dans la littérature scientifique, un fond de texture isotrope est ajouté aux composantes de texture pour améliorer les prévisions des modèles polycristallins à petit nombre de composantes de texture à angles d'Euler - 32 - imposés. Grâce à la démarche de détermination des paramètres du procédé, ce fond isotrope est manifestement superflu. Dans l'exemple de l'alliage 2090-T3, les essais mécaniques utilisés pour la détermination des paramètres ne dépassent pas 10% de déformation (E11=0.1). La modélisation de l'évolution de la texture n'est pas indispensable pour déterminer les paramètres du modèle polycristallin réduit. Par contre, dans beaucoup d'applications industrielles, les déformations dépassent 20%. Il est alors nécessaire de modéliser l'évolution de la texture, ainsi que d'utiliser des logiciels de calcul en grandes déformations connus par ailleurs, aussi bien dans la méthodologie de détermination des paramètres du procédé que dans les calculs industriels. Dans les calculs d'optimisation des paramètres, si le chargement appliqué préserve la symétrie orthotrope de la texture réduite, par exemple une traction simple ou un laminage supplémentaire dans la direction L, certains grains de représentation à forte symétrie comme les grains de représentation Cube {0 , 0 , 0 ) ou Cube45 {0 , 45 , 0 } peuvent être dans une position stable et ne pas évoluer. Cette stabilité diminue l'évolution globale de la texture, car ces grains de représentation ont une fraction volumique importante. C'est une particularité du modèle polycristallin réduit. Pour y remédier, il suffit dans les calculs d'optimisation de dissocier ces grains de représentation, par exemple en remplaçant le grain de représentation Cube par 4 grains de représentation {0 , 0.1 , 0 }, {0 , -0.1 , 0 }, {0.1 , 0 , 0 ) et {-0.1 , 0 , 0 }, ayant chacun une fraction volumique égale au 1/4 de la fraction volumique du grain de représentation Cube initial. Ces 4 grains de représentation ne sont pas stables et évolueront de façon divergente en préservant la symétrie orthotrope de la texture tant que le chargement respecte lui-même cette symétrie. Dans les calculs par éléments finis d'essais mécaniques ou de structures industrielles, cette précaution n'est pas nécessaire car aucun point de calcul n'a un chargement parfaitement symétrique, à l'exception par exemple d'éprouvettes en traction simple, qui ne sont généralement pas calculées par éléments finis mais considérées comme un unique point matériel. Grâce au procédé schématisé sur les figures 1 et 4, nous avons obtenu un modèle polycristallin réduit apte à bien représenter le - 33 -comportement d'un matériau. Ce modèle permet de calculer l'effet de sollicitations mécaniques sur un objet, mais pour cela il doit être intégré à un modèle de calcul par éléments finis. Avec ce modèle, il est alors possible de calculer l'évolution, entre un instant 0 et un instant t, des propriétés du matériau dont est constitué l'objet pour lequel on fait l'étude des contraintes et des déformations à l'état macroscopique. Le procédé qui vient d'être décrit fait appel à des modèles visco-plastiques, mais l'homme du métier pourra utiliser tout modèle de comportement anélastique compatible avec un modèle polycristallin conforme à l'invention et notamment, les comportements en fluage et en fatigue fluage. A titre d'exemple, le "modèle polycristallin réduit" de l'alliage d'aluminium 2090-T3 établi selon l'invention va maintenant être utilisé dans un modèle de calcul par éléments finis d'une opération de poinçonnement d'une tôle mince. Suivant le schéma de la figure 4, le module matériaux d'un logiciel commercial de calcul par éléments finis est utilisé, sans y apporter aucune modification. Ce module comporte un modèle polycristallin classique pour les matériaux de structure cristalline cubique à faces centrées. L'algorithme d'intégration du modèle de comportement à chaque point de calcul est du type Runge-Kutta, connu par ailleurs. Des algorithmes plus stables comme les algorithmes implicites peuvent être utilisés pour le modèle polycristallin réduit, compte tenu du petit nombre de variables de ce modèle, mais dans le logiciel utilisé ces algorithmes n'existent pas pour le modèle polycristallin. Le maillage en éléments finis de l'opération de poinçonnement d'une tôle est représenté sur la figure 18. Pour des raisons de clarté, seul le quart du dispositif est représenté. La tôle 181 de 0.6 rnm d'épaisseur est fixée sur une pièce 182 comportant un orifice circulaire de 24 mm de diamètre et le poinçon 183 de 20 mm de diamètre est enfoncé progressivement pour déformer la tôle. Le coefficient de frottement entre les pièces est pris égal à 0.2. Dans le calcul par éléments finis, l'ensemble des 3 pièces est modélisé par 2460 éléments et 3567 noeuds. La tôle 181 comporte 4 éléments finis dans son épaisseur. Compte tenu de la symétrie orthotrope du matériau, il est possible d'effectuer le calcul sur le 1/4 des pièces seulement, comme représenté sur la figure 18. Néanmoins, comme il s'agit d'un calcul de 34 - démonstration, cette possibilité n'a pas été utilisée. Les éléments finis sont des hexaèdres "c3d8" (6 faces et 8 noeuds) dans lesquels les déplacements sont des fonctions linéaires des coordonnées. Les éléments comportent chacun 8 points de calcul, c'est-à-dire 8 points d'intégration du modèle de comportement du matériau. Toutes ces caractéristiques sont classiques dans un logiciel de calcul par éléments finis et connues de l'homme du métier. L'opération de poinçonnement a été calculée avec les paramètres du modèle polycristallin réduit des tableaux 2, 3 et 4, entre les temps t = 0 et t = 5000 secondes correspondant à un déplacement du poinçon égal à 5 mm comme sur la figure 18. Les calculs ont été effectués avec les options grands déplacements et grandes déformations connues par ailleurs. Par contre, comme les déformations ne dépassent pas 20% dans la tôle 181, les calculs ont été effectués sans évolution de la texture. Les figures 19, 20 et 21 montrent les contraintes 611, 622 et 612. sur la face inférieure de la tôle à t = 5000 secondes. Les contraintes sont maximales dans la partie centrale de la tôle, soumise à un état de contrainte proche de la traction biaxiale 611 = 622. A titre de comparaison, l'opération de poinçonnement a également été calculée avec un modèle anisotrope macroscopique (Bron, F., Besson, J., 2004. A yield function for anisotropic materials, - Application to aluminum alloys. Int. J. Plasticity 20, 937-963). Les paramètres du modèle Bron-Besson ont été identifiés sur les mêmes points expérimentaux 611-E11 et c33-c22 utilisés pour déterminer les paramètres du "modèle polycristallin réduit", pour les angles de traction simple 0 = 0 , 15 , 30 , 45 , 60 , 75 et 90 (tous les 15 ), voir par exemple les figures 13 et 14. Avec un modèle macroscopique il n'est pas nécessaire d'étendre la base des données expérimentales tous les 5 , car la nature des équations assure une interpolation suffisamment précise. Le modèle ainsi identifié décrit très bien les variations de la contrainte et du rapport de Lankford avec l'angle O. Ce modèle est programmé avec un algorithme d'intégration locale implicite. Pour la comparaison avec le modèle polycristallin réduit, il a aussi été utilisé avec l'algorithme de Runge-Kutta. Les tableaux 8 et 9 résument les calculs effectués avec le même processeur. La stabilité de l'algorithme de Runge-Kutta a été vérifiée en - 35 - comparant deux calculs avec 20 et 200 pas de temps At = 100 et 10 secondes, qui donnent des résultats très proches. Les algorithmes implicite et de Runge-Kutta donnent des résultats très proches pour le modèle Bron-Besson. Avec les deux algorithmes, il n'a pas été possible de poursuivre les calculs pour le modèle Bron-Besson au-delà de t = 3490 secondes, en raison des fortes non-linéarités du modèle. Pour les calculs comparables, on constate que les temps de calcul des deux modèles sont du même ordre de grandeur. Le modèle polycristallin réduit est un peu plus lent et consomme plus de temps en intégration locale. L'homme de métier saura interpréter ces chiffres. Le résultat essentiel est que le modèle polycristallin réduit selon le procédé conduit à des temps de calcul suffisamment courts pour des calculs 3D d'opérations industrielles complexes sur un seul processeur, comme par exemple des calculs de formage de pièces. Tableau 8. Calculs de poinçonnement effectués avec le modèle polycristallin réduit. Modèle algorithme t (s) Force (N) t calcul (s) dont local PR RK 20 pas 2000 1161.58 15749 9503 PR RK 200 pas 2000 1151.50 14993 4091 PR RK 330 pas 3300 2130.18 30359 10241 PR RK 500 pas 5000 3741.52 529491 23315 Tableau 9. Calculs de poinçonnement effectués avec le modèle Bron-Besson Modèle algorithme t (s) Force (N) t calcul (s) dont local BB imp 115 pas 2000 1550.18 11892 5330 BB RK 200 pas 2000 1551.81 10571 550 BB RK 330 pas 3300 3073.09 18378 947 BB imp 716 pas 3405 3218. 54 60234 17655 Les courbes force - déplacement du poinçon pour les deux modèles sont comparées sur la figure 22, la courbe 221 correspondant aux résultats obtenus avec le modèle Bron-Besson et la courbe 222 aux résultats obtenus avec le modèle polycristallin selon l'invention. A rnême force appliquée sur le20 - 36 - poinçon, le déplacement du poinçon donc les déformations de la tôle sont plus faibles avec le modèle Bron-Besson. Pourtant les paramètres des deux modèles ont été identifiés sur les mêmes données expérimentales. Mais ces données sont exclusivement des données en traction simple. Or les figures 19 à 21 montrent que la partie centrale de la tôle est dans un état proche de la traction biaxiale 611 = 622. Les modèles n'ont pas été identifiés pour ce type de chargement. Le calcul d'un essai de traction biaxiale avec les deux modèles montre effectivement que les déformations sont plus faibles avec le modèle Bron-Besson. Les différents états de chargement d'une tôle dans son plan sont représentés dans l'espace {611, 622, 612} sur la figure 23. La surface d'écoulement plastique de Tresca a été utilisée pour visualiser ces états, bien qu'elle ne corresponde pas au comportement réel du matériau. Il apparaît clairement sur la figure 23 que la traction biaxiale TB {60, co, 0} n'est pas une interpolation mais une extrapolation forte des données expérimentales en traction simple correspondant à l'ellipse passant pas les points TSO {6o, 0, 0} et TS45 {6o/2, 60/2, (Yo/2} (et TS90 {0, 60, 0} caché par la surface de Tresca). Il n'est donc pas étonnant que les résultats des deux modèles soient différents entre eux, et différents de la courbe de poinçonnement réelle qui n'est pas représentée ici, car ces deux modèles ne sont pas aptes à l'extrapolation en dehors du domaine d'identification de leurs paramètres, qui est réduit à l'ellipse TSO -TS45 . Ces résultats confirment la nécessité de générer une base d'essais étendue suivant le schéma de la figure 1. Cette base étendue doit absolument couvrir les chargements qui seront subis par le matériau dans les applications industrielles visées, pour ce qui concerne à la fois les contraintes, les déformations, les vitesses de déformation et le cas échéant la température. Par exemple, les calculs d'agrégats polycristallins d'après le procédé suivant l'invention permettent de générer un essai de traction biaxiale TB et tous les états intermédiaires entre les points TB et TSO , TB et TS45 et TB et TS90 de la figure 23. Il est toutefois préférable de disposer d'un essai biaxial expérimental, et de n'utiliser les calculs d'agrégats que pour générer les états intermédiaires (interpolation). Cet essai biaxial peut être un essai de traction biaxiale ou un essai produisant un état biaxial des - 37 -contraintes dans une partie de l'éprouvette d'essai, comme par exemple un essai de traction sur éprouvette entaillée, un essai de poinçonnement ou de gonflement d'une tôle, ou un essai de compression d'un disque cylindrique. Si la pièce industrielle subit également des états de contrainte proches du cisaillement simple, point CS {0, 0, ao/2} sur la figure 23, il faudra également étendre la base expérimentale dans cette direction au moyen des calculs d'agrégats polycristallins et de préférence effectuer des essais de cisaillement pour interpoler plutôt qu'extrapoler à partir de la base expérimentale réelle. Le procédé selon l'invention peut être utilisé pour déterminer l'incidence du procédé de fabrication d'un objet comportant une opération de mise en forme par déformation plastique à froid, tels que l'emboutissage, et en particulier pour déterminer les propriétés mécaniques de l'objet en chacun de ses points. En effet, l'incidence d'une opération de mise en forme par déformation plastique sur les propriétés mécaniques dépend de la déformation effectivement réalisée et cette déformation dépend en général du point considéré. Les propriétés mécaniques après mise en forme ne sont donc pas, en général, identiques en tous points de l'objet. On peut alors utiliser l'évaluation de la répartition des propriétés mécaniques de l'objet obtenue par le procédé selon l'invention, pour déterminer le comportement en service de cet objet. L'avantage du procédé selon l'invention est que cette évaluation de la répartition des propriétés mécaniques d'un objet peut être faite dans des conditions très diverses à partir d'un nombre restreint d'essais mécaniques. En effet, pour évaluer les propriétés mécaniques d'objets constitués du même matériau, mais réalisés par mise en forme selon des modalités diverses, il suffit de réaliser les essais mécaniques nécessaires à la construction du modèle polycristallin selon l'invention, puis appliquer le procédé selon l'invention à chacun des cas particuliers envisagés. A titre d'exemple, on peut utiliser le procédé selon l'invention pour évaluer le comportement au choc d'une pièce de véhicules automobiles obtenue par emboutissage ou par pliage ou par tout autre procédé de mise en forme induisant des déformations plastiques. Pour cela, à l'aide d'une méthode de calcul telle qu'une méthode de calcul par éléments finis, - 38 - incorporant le modèle polycristallin réduit représentatif du matériau, on simule l'opération de mise en forme et on détermine les propriétés mécaniques de la pièce en chacun de ses points. A partir de ce résultat, et en utilisant une méthode de calcul adaptée connue de l'homme du métier, on détermine, par exemple, les effets sur les pièces d'un choc résultant d'une collision. Le procédé selon l'invention peut également être utilisé pour déterminer le comportement d'une pièce constitué d'un matériau pouvant présenter une transformation de phrase, c'est-à-dire un changement de structure cristallographique sous l'effet des sollicitations thermomécaniques qu'il subit dans les conditions de service ou de mise en forme considérées. Le modèle polycristallin réduit dont les paramètres sont déterminés par le procédé selon l'invention est essentiellement un modèle numérique qui peut être mis en oeuvre par tout moyen approprié, en particulier, par ordinateur en l'intégrant dans un code de calcul par éléments finis connu en lui-même. Ce modèle peut être utilisé de la même façon dans toute méthode de calcul de déformation de structure et, notamment, dans les méthodes de calculs aux différences finies ou dans des méthodes qui ne font intervenir qu'un point de l'objet étudié comme c'est le cas dans la modélisation du laminage de produits plats. L'homme du métier sait faire les adaptations nécessaires qui ne portent que sur l'intégration du modèle dans la méthode de calcul. Le procédé est indépendant du modèle polycristallin et des logiciels de calcul par éléments finis et d'optimisation utilisés. Le procédé selon l'invention a été décrit en détails pour les applications à l'anisotropie, avec l'exemple de l'aluminium laminé. Mais il est absolument général et peut s'appliquer aussi bien à toutes les situations mal modélisées par les modèles macroscopiques, par exemple aux sollicitations cycliques, aux sollicitations sur de longues durées, type fluage ou relaxation, etc. On a décrit les exemples d'application à des matériaux ayant une structure cristallographique cubique à faces centrées. Mais l'invention ne se limite pas à ces exemples et l'homme du métier saura l'appliquer à d'autres - 39 - structures cristallines et à des textures diverses. Elle s'applique également à des structures mixtes constituées de cristaux de natures différentes. Pour cela, il suffit de prendre en compte des grains de représentation dont une partie correspond à un premier type de cristal et une autre partie correspond à un second type de cristal. En résumé, le procédé selon l'invention, permet de : étendre une base de données expérimentales relative à un matériau par interpolation et si nécessaire extrapolation à partir d'un nombre restreint d'essais mécaniques convenablement choisis, à l'aide si nécessaire de calculs d'agrégats polycristallins, - déterminer un modèle de comportement polycristallin pour représenter le comportement du matériau solide, ajuster les paramètres du modèle de comportement sur la base étendue de données expérimentales, identifier l'effet des sollicitations mécaniques et éventuellement thermiques auxquelles l'objet est soumis pendant la période de temps considérée, et calculer l'effet des sollicitations en chaque point de l'objet en utilisant une méthode de calcul incorporant le modèle de comportement du matériau. Le procédé peut être appliqué à tout type de matériau dont le comportement peut être représenté par un modèle du type polycristallin, et en particulier à tout matériau métallique. 25 Les sollicitations auxquelles est soumis l'objet, qui peuvent être des efforts ou des déplacements répartis dans l'espace et dans le temps et qui peuventêtre complétées par des sollicitations thermiques, peuvent être déterminées par tout moyen et en particulier par des enregistrements de mesures. 30 Les méthodes de calcul utilisées par le procédé sont des méthodes de calcul numérique mises en oeuvre par ordinateur à l'aide de logiciels adaptés. 20 - 40 - Bien entendu, l'invention n'est pas limitée aux exemples que l'on vient de décrire. REVENDICATIONS 1. Procédé pour déterminer un modèle polycristallin destiné à représenter le comportement d'un matériau solide soumis à des sollicitations, ledit 5 matériau solide étant représenté par une pluralité de grains, dits de représentation, regroupant des grains d'orientations cristallines proches dudit matériau solide, ledit modèle polycristallin utilisant : un modèle cristallin représentant le comportement d'un grain de représentation, 10 une texture représentative de la texture dudit matériau, ladite texture comprenant au moins une orientation et une fraction volumique pour chacun desdits grains de représentation ; ledit procédé comprenant au moins une itération des opérations suivantes : 15 détermination, par simulation grâce audit modèle polycristallin d'une sollicitation sur ledit matériau, du comportement dit théorique, dudit matériau ; comparaison dudit comportement théorique à un comportement, dit réel, représentatif dudit matériau obtenu à partir d'une base d'essais 20 mécaniques ; réajustement dudit modèle polycristallin en fonction de ladite comparaison, ledit réajustement comprenant une modification : ^ du nombre de grains de représentation, ou ^ d'un paramètre de ladite texture. 25 2. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il comprend en outre une étape d'initialisation, ladite étape comprenant : une initialisation du nombre de grains de représentation utilisés par le 30 modèle polycristallin, une initialisation de la texture, ladite initialisation comprenant un choix d'au moins une texture ou d'au moins une combinaison de textures, et - une initialisation d'au moins un paramètre du modèle cristallin.- 42 - 3. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il comprend une détermination du nombre de grains de représentation représentants le matériau solide. 4. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le nombre de grains de représentation est inférieur ou égal à vingt. 10 5. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il comprend en outre une détermination de la texture la plus représentative de la texture dudit matériau. 6. Procédé selon la revendication 5, caractérisé en ce qu'il comprend une 15 détermination d'une orientation et/ou d'une fraction volumique d'au moins un grain de représentation. 7. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il comprend en outre une détermination du modèle 20 cristallin représentant le comportement d'un grain de représentation. 8. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il comprend en outre une détermination d'un modèle de changement d'échelle, ledit modèle de changement d'échelle comprenant un 25 modèle d'homogénéisation pour le passage de l'échelle du grain de représentation, dit échelle microscopique, à l'échelle de l'ensemble des grains de représentation, dit échelle macroscopique, et un modèle de localisation pour le passage de l'échelle macroscopique à l'échelle microscopique. 30 9. Procédé selon la revendication 8, caractérisé en ce que le modèle de localisation est un modèle anisotrope faisant intervenir des tenseurs d'ordre 4.5- 43 - 10. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le modèle cristallin est un modèle de comportement microscopique tel que le maclage. 11. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le comportement d'un grain de représentation est déterminé à partir d'une pluralité de systèmes de glissement associés au matériau solide. 12. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il comprend en outre une détermination d'un modèle d'évolution de la texture, ledit modèle comprenant un calcul d'une rotation du réseau cristallin de chaque grain de représentation par rapport à un repère prédéterminé. 13. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que la base d'essais mécanique est une base d'essais, dite étendue, obtenue par enrichissement d'une base d'essais mécaniques réels avec au moins un essai mécanique, dit théorique, obtenu à partir desdits essais mécaniques réels. 14. Procédé selon la revendication 13, caractérisé en ce qu'au moins un essai mécanique théorique est obtenu par interpolation ou extrapolation des essais mécaniques réels. 15. Procédé selon l'une quelconque des revendications 13 ou 14, caractérisé en ce qu'au moins un essai mécanique théorique est obtenu, par simulation d'une sollicitation mécanique sur un agrégat polycristallin de grains, modélisé en éléments finis, et dont la texture est représentative dudit matériau solide, le comportement de chacun desdits grains étant représenté par un modèle cristallin préalablement déterminé.- 44 - 16. Procédé selon la revendication 15, caractérisé en ce qu'il comprend en outre une détermination du modèle cristallin, ladite détermination comprenant au moins une itération des opérations suivantes : détermination, par simulation sur l'agrégat polycristallin, du 5 comportement dit simulé dudit matériau ; - comparaison dudit comportement simulé aux essais mécaniques réels ; réajustement, en fonction de ladite comparaison, dudit modèle cristallin représentant le comportement de chacun desdits grains de 10 l'agrégat polycristallin. 17. Modèle polycristallin déterminé selon l'une quelconque des revendications 1 à 16. 15 18. Utilisation du modèle polycristallin selon la revendication 17 pour la détermination des effets d'une sollicitation thermomécanique sur une pièce constituée d'un matériau solide. 19. Utilisation selon la revendication 18, caractérisée en ce qu'elle comprend 20 une détermination de déformations et/ou de contraintes engendrées par la sollicitation thermomécanique en une pluralité de points de la pièce au moyen d'une modélisation en éléments finis de ladite pièce. 20. Utilisation selon l'une quelconque des revendications 18 ou 19, 25 caractérisée en ce que la pièce en matériau solide est une pièce métallique. 21. Utilisation selon l'une quelconque des revendications 18 à 20, caractérisée en ce que la sollicitation thermomécanique comprend une sollicitation associée à une opération de mise en forme par déformation 30 plastique telle que l'emboutissage, l'étirage, le découpage, le perçage, le laminage ou le forgeage.- 45 - 22. Utilisation selon l'une quelconque des revendications 18 à 21, caractérisée en ce que la sollicitation thermomécanique comprend une sollicitation engendrée par l'utilisation en service de la pièce métallique. 23. Utilisation selon la revendication 22, caractérisé en ce que l'effet d'une sollicitation engendrée par l'utilisation en service de la pièce comprend un phénomène de fluage et/ou de fatigue.