FR 2915587 A1 20081031 FR 0703000 A 20070425 Préambule de la description Domaine concerné La présente invention concerne un procédé pour décrire et/ou prévoir les évolutions des états discrets d'un système physique évoluant de manière discontinue selon des lois d'états sous tendant le fonctionnement des équipements techniques et/ou la mise en oeuvre des procédés techniques utilisés dans l'industrie. Plus particulièrement, le procédé selon la présente invention concerne les systèmes physiques dont les variables d'états prennent des valeurs discrètes, notamment des valeurs entières, et dont les fonctions d'états prennent des valeurs discrètes, notamment des valeurs entières. La présente demande concerne également une application du procédé selon l'invention aux algorithmes de cryptographie. Contexte technique Il est d'usage de rendre compte des évolutions d'un système physique au moyen de fonctions continues d'une ou plusieurs variables. Bien qu'il soit difficile de dater avec certitude à partir de quel moment cette habitude s'est imposée, on peut avancer que le calcul différentiel découvert et mis en pratique par Isaac Newton (1642-1727) a modifié le cours des choses. À l'époque de Pierre de Fermat, une ou deux décennies auparavant, une alternative mettant en oeuvre des variables discrètes paraissait encore envisageable. Des séquences de nombres entiers évoluant selon des lois de récurrence auraient aussi, sans doute, permis de décrire les états d'un système physique. Pourtant, les jeux mathématiques auxquels se livrait Pierre de Fermat (1601-1665), en marge de ses activités professionnelles de juriste au parlement de Toulouse, ne semblent pas avoir eu d'influence marquante sur l'évolution des sciences et des techniques. Certes, en prolongeant les questions posées par Diophante d'Alexandrie (probablement au 3ième siècle de notre ère), Pierre de Fermat a démontré certaines propriétés des nombres entiers et en a conjecturé d'autres dont les mathématiciens de profession se sont montrés friands. Toutefois, on comprendrait mal aujourd'hui que l'on puisse accorder aux à l'appareillage descriptif développé par Pierre de Fermat une importance comparable au calcul différentiel fondé par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) Avancer l'idée que, pour prévoir les évolutions d'un système physique, les nombres entiers et les opérateurs récurrents les mettant en oeuvre constituent un langage tout autant sinon plus approprié que les fonctions continues générées par les équations différentielles linéaires est considéré comme une vision archaïque sans avenir. Le hiatus constaté entre l'infiniment petit et l'infiniment grand, les difficultés rencontrées pour employer simultanément le langage mathématique de la théorie quantique des champs et celui de la relativité générale ne change pas l'appréciation du moment sur les apports respectifs de Pierre de Fermat et d'Isaac Newton. Au cours des dernières décennies, les mathématiques du chaos et des fractals ont mis en évidence, en faisant largement appel aux suites récurrentes, des invariances par changement d'échelle dans les systèmes non linéaires. Les résultats étonnants obtenus, notamment par Benoît Mandelbrot (1924), ne semblent pas inciter les post-newtoniens à concevoir les systèmes physiques, autrement qu'ils l'ont fait jusqu'à présent. Le credo d'un continuum espace-temps affirmé par Albert Einstein (1879-1995), en parfaite continuité avec la pensée post-newtonienne dont Henri Poincaré (1854-1912) a été une figure de proue, n'a jamais été remis en question. Les flottements que l'on peut constater dans les multiples définitions des notions d'univers et d'espace proposées par les théoriciens contemporains sont gommées par les certitudes attachés aux outils mathématiques mis en oeuvre. Certes, un espace-temps discret est parfois envisagé par quelques esprits aventureux, toutefois ils ne sont guère suivis, faute peut-être de disposer d'un appareil mathématique aussi riche que celui que les post-newtoniens continuent de développer à notre époque. Problème posé La mise en oeuvre de certains calculs de procédés industriels ou de systèmes industriels nécessite de décrire l'évolution discontinue de lois d'états ou de prédire les valeurs discrètes des fonctions d'états en fonction des valeurs discrètes des états antérieurs et/ou en fonction des valeurs initiales discrètes des variables d'états. Plus particulièrement, certains systèmes de cryptographie et/ou de contrôle de l'authenticité d'une entité et/ou de l'authenticité d'un message et/ou de signature de message mettent en oeuvre des fonctions d'états et des variables d'états évolutives prenant des valeurs entières dans le cadre d'un processus interactif probabiliste. Aussi, il est parfois nécessaire de disposer de cribles algorithmiques permettant de procéder à la génération de très grand nombres entiers, premiers ou non, ou à des sélections parmi les nombres entiers. Plus particulièrement, ces cribles sont conçus pour construire et vérifier que certains nombres entiers et/ou combinaisons de nombres entiers ont des morphologies et/ou des structures déterminées. Plus particulièrement encore, ces cribles algorithmiques sont conçus pour construire et vérifier que la somme de certains nombres entiers ont des morphologies et/ou dies structures déterminées. Solution Définitions Les définitions qui suivent visent à éclairer le sens des expressions générales employées pour présenter la solution selon l'invention ; ces définitions sont plus amplement explicitées dans la partie de la description consacrée à l'exposé détaillé. (1) Système physique ou processus. Un système physique ou un processus est un équipement industriel ou un procédé de calcul tel, notamment, qu'un algorithme de cryptographie. Un système physique ou un processus est caractérisé par des fonctions d'états prenant des valeurs discrètes, notamment des valeurs entières ; les fonctions d'états dépendent de variables d'états prenant des valeurs discrètes, notamment des valeurs entières. (2) Paramètre d'évolution. On appelle paramètres d'évolutions d'un système physique ou d'un processus des paramètres discrets structurant l'évolution du système physique ou du processus, selon le temps et/ou selon le lieu et/ou selon la phase évolutive considérée. Les paramètres d'évolutions structurent l'évolution, indépendamment des valeurs discrètes prises par les variables d'états ou les fonctions d'états au cours du processus évolutif entre un état antérieur et un état postérieur. Les valeurs des paramètres d'évolutions sont prédéterminées ou sont déterminées en fonction des valeurs discrètes initiales des variables d'états ou des fonctions d'états, dans l'état antérieur. (3) Classe. On appelle classe d'appartenance des formes géométriques associés aux valeurs discrètes prises par des variables d'état, l'ensemble composé des formes géométriques ayant des caractéristiques géométriques communes. Les classes sont caractérisées par des expressions algébriques prenant des valeurs discrètes. Par extension, on appelle classe des variables d'états l'ensemble des valeurs des variables d'état associées aux formes géométriques composant une classe d'appartenance desdites formes géométriques. Les classes des variables d'états sont caractérisées par les mêmes expressions algébriques que les classes d'appartenance des formes géométriques. De manière itérative, les valeurs discrètes des expressions algébriques caractéristiques d'une classe peuvent être, elles-mêmes, regroupées en classes décrites par des expressions algébriques, identiques aux précédentes ou différentes. (4) Classe d'invariance. Parmi les classes regroupant les formes géométriques susceptibles de représenter les valeurs prises par les variables d'états, on appelle classes d'invariance les classes pour lesquelles les valeurs des expressions algébriques qui les décrivent sont conservées lors d'un processus évolutif. Exposé de la solution L'invention à pour objet un procédé pour déterminer l'évolution d'un système physique ou d'un processus. Le système physique ou le processus évoluent de manière discontinue entre un état antérieur et un état postérieur conformément à des paramètres d'évolution. Les états antérieurs et postérieurs sont caractérisés par des valeurs discrètes prisent par des fonctions d'états en fonction de valeurs discrètes prisent par des variables d'états. Le procédé selon l'invention comprend : -l'étape d'associer lesdites valeurs discrètes des variables d'état, relatives à un même état antérieur, à une forme géométrique discrète ; -l'étape de classer dans une même classe les formes géométriques discrètes ayant des caractéristiques géométriques communes, - l'étape d'attribuer à chaque classe une expression algébrique prenant des valeurs discrètes ; -l'étape de procéder à un traitement algébrique des expressions algébriques relatives aux classes antérieures, conformément auxdits paramètres d'évolution, de manière obtenir les expression algébriques relatives aux classes postérieures. La combinaison des étapes du procédé permet de déterminer les valeurs des variables d'état et des fonctions d'état des états postérieurs compatibles avec les valeurs des variables d'état et des fonctions d'état des états antérieurs. De préférence selon l'invention, dans le cas où les états antérieurs et postérieurs sont caractérisés par des valeurs entières prisent par les fonctions d'états en fonction de valeurs entières prisent par n variables d'états, le procédé comprend l'étape d'associer les n valeurs entières des variables d'état, relatives à un même état antérieur, à une forme géométrique se présentant sous la forme d'une figure comportant n cotés. Plus particulièrement, dans le cas où le procédé comporte trois variables d'états la figure géométrique se présente sous la forme d'un triangle. De préférence selon l'invention, les classes sont des classes d'invariance. L'invention s'applique à un procédé pour contrôler l'authenticité d'une entité et/ou l'authenticité d'un message et/ou la signature de message. Dans ce cas, le procédé met en oeuvre des fonctions d'états et des variables d'états évolutives prenant des valeurs entières dans le cadre d'un processus interactif probabiliste. Les traits techniques ci-dessus exposés sont mis en oeuvre pour générer de très grands nombres premiers ayant des structures ou des morphologies déterminées. Description détaillée Le procédé selon l'invention est applicable au plan industriel pour décrire des lois d'états et/ou pour prédire l'évolution de l'état d'un système physique ou d'un processus défini par des variables ayant des valeurs prises parmi des nombres entiers. Plus particulièrement, le procédé est applicable au plan industriel dans le cadre de processus de contrôle de l'authenticité d'une entité et/ou de l'authenticité d'un message et/ou de la signature de message. Elle permet de générer de très grands nombres entiers premiers ayant des structures ou des morphologies déterminées. À titre d'exemple complémentaire, afin de mettre en évidence la puissance de la méthode proposée, elle est ci-après appliquée à l'étude du second théorème de Fermat ; en effet, celui-ci se présente comme un système évoluant de manière discontinue en prenant des valeurs discrètes. L'apport de Pierre de Fermat, René Descartes et Blaise Pascal Lorsqu'en 1993 Andrew Wiles a confirmé la Grande Conjecture de Fermat, au terme d'un subtil enchaînement de notions mathématiques complexes, la plupart des mathématiciens contemporains ont applaudi la performance. Encore aujourd'hui, rares sont ceux qui pensent qu'au début du dix-septième siècle Pierre de Fermat, René Descartes et Blaise Pascal disposaient des concepts appropriés pour résoudre un tel problème. Toutefois, on peut s'étonner qu'il faille passer par le détour de la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil pour contourner les difficultés du problème posé. Il est peu probable que Pierre de Fermat soit parvenu à un exposé complet, transmissible, des diverses intuitions qui ont fondé sa conviction. En revanche, il est possible de mettre en évidence que le corpus des connaissances acquises avant 1650 était suffisant pour qu'un homme de l'art de cette époque ait su établir, non sans activité inventive, que l'équation x + y = z n'a pas de solutions entières pour les valeurs de l'exposant n supérieures à 2. Pour être crédible, l'exposé doit non seulement mettre en oeuvre des notions mathématiques exclusivement antérieures 1650, il doit en outre satisfaire une exigence de clarté. L'emboîtement des idées doit résulter d'un mouvement naturel de la pensée, allant de soi. Les fulgurances et les raccourcis, propres aux princes des mathématiques, doivent être écartées ; le critère retenu fixe le champ des compétences à celui d'un élève de mathématiques spéciales. Pour mener à bien le projet ci-dessus énoncé, on dispose des méthodes de démonstration par l'absurde articulées sur des procédures de fuites en abîmes ; Pierre de Fermat en a fait usage avec virtuosité. En outre, il est rappelé que les formes élémentaires du binôme de Newton sont connues des mathématiciens persans et chinois depuis plusieurs siècles ; le triangle de Pascal en donne une représentation emblématique. Enfin, René Descartes a enseigné de quelle manière il convient de désigner les points du plan et, notamment, les points d'une figure géométrique pour pouvoir leur appliquer les procédures du calcul algébrique ; réciproquement, il a révélé que les ressources de la géométrie peuvent contribuer à la résolution de problèmes algébriques. La thèse soutenue présente déjà en soi un intérêt au plan de la genèse des idées. Par ailleurs, elle soulève une série de questions. Comment expliquer qu'il ait fallu attendre 350 ans pour expliciter une représentation des nombres entiers dont les principes étaient connus ? Cet oubli de la représentation géométrique des entiers a-t-il eut pour effet de laisser le champ libre à l'hypothèse, communément admise, d'un continuum espace temps ? Bref aperçu historique Retracer l'historique des différentes tentatives pour démontrer la conjecture de Fermat s'avère une tâche redoutable ; la plupart des grands mathématiciens du dix-septième et dix-neuvième siècle ont contribué à son étude. La liste de leurs noms est impressionnante : Lhéonard Euler, Sophie Germain, Augustin Louis Cauchy, Gabriel Lamé, Ernst Kummer, Léopold Kronecker, Adrien-Marie Legendre, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Ferdinand Gotthold Max Eisenstein. Toutefois, il convient de souligner que deux géants des mathématiques Cari Friedrich Gauss et Henri Poincaré n'ont pas retenu le problème posé par Pierre de Fermat dans le champ de leurs sujets d'intérêts ; les encouragements de Cari Friedrich Gauss à Sophie Germain ne doivent pas faire illusion. Par ailleurs, il n'est pas certain qu'au-delà d'une curiosité affichée, les autres mathématiciens cités aient consacré beaucoup de temps à la Grande Conjecture de Fermat. Leurs échecs n'est pas, nécessairement, la preuve d'une difficulté mathématique sérieuse. Les travaux de recherche sont regroupés en deux familles. Avant Sophie Germain, l'axe d'attaque consistait à établir une démonstration pour un exposant particulier n=3, n=4, et cetera ; ensuite, ils tentaient de généraliser la méthode employée aux autres exposants. L'approche de Sophie Germain a ouvert de nouvelles perspectives ; elle a mis en évidence qu'il existait des méthodes applicables à des classes d'exposants ; les mathématiciens des générations ultérieures ont développé la ligne ainsi préconisée, sans parvenir à traiter l'intégralité des valeurs d'exposants. Il est étonnant de ne pas trouver de traces concernant des méthodes traitant globalement des familles d'inconnues. Ce constat paraît d'autant plus intéressant à souligner que, précisément, la méthode ci-après exposée s'appuie sur des segmentations appropriées du champ des inconnues. Le seul document écrit de Pierre de Fermat relatif à l'équation x^n + yAn = z ^ n concerne le cas où l'exposant n=4. Curieusement, ainsi que la suite de l'exposé le met en évidence, ce cas particulier sort du cadre général de résolution proposé. Pierre de Fermat a-t-il surestimé la possibilité d'étendre sa méthode aux autres exposants ? Oin ne peut pas écarter cette hypothèse ; toutefois, une telle éventualité ne bat pas en brèche la thèse selon laquelle Pierre de Fermat et ses contemporains disposaient des outils mathématiques nécessaires pour prouver la conjecture considérée. Exposé On va maintenant décrire un exemple de mise en oeuvre du procédé selon l'invention en se référant aux figures qui représentent : - figure 1 : les quatre triangles de côtés a, b et c du plan euclidien ; - figure 2 : les poins nodaux du domaine D(a) du plan euclidien ; - figure 3 : les courbes coniques QE(a,j) des domaines D-(a) et D+(a) ; - figure 4 : les courbes frontières OE(a,n,) des domaines D-(a) et D+(a) ; - figure 5 : les transformés des points nodaux des courbes frontières et l'inversion de pole 0 et de puissance a^2 ; - figure 6a : la fuite à l'infini des points nodaux des courbes frontières du domaine D-(a) ; - figure 613 : la fuite à l'infini des points nodaux des courbes frontières du domaine D+(a) ; - figure 7 : la structure spatio-temporel de flux discrets en expansion. Première partie : Point nodaux Réduction de l'équation de Fermat L'étude de l'équation xAn + yAn= en avec x, y et z entiers positifs ou négatifs est réductible à l'étude des deux équations : en - E y^n= z^n, avec x, y et z entiers positifs premiers entre eux et E _ + 1 ou E = -1. Triplets de Fermat Soit, hypothèse du raisonnement par l'absurde, x=c, y=b et z=a trois entiers positifs, premiers entre eux, solutions de l'une ou l'autre des équations de Fermat x^nûEy^n = en ; nécessairement, Ea+bûEc û> 0. On utilise la notation {a,b,c}E pour désigner la combinaison des trois entiers a, b et c pour la valeur de E considérée ; on appelle triplet de Fermat la combinaison des trois entiers. Triangles du plan euclidien Le problème posé par Pierre de Fermat comporte deux aspects : - l'un concerne la structure algébrique des deux équations xAn-Ey^n = en , avec x, y et z positifs., - l'autre concerne la structure de l'hypothétique triplet de Fermat {a,b,c}E, avec Ea+bûEc > û 0. La plupart du temps, l'accent est mis sur les formes algébriques exponentielles d'exposant n et sur les relations qui en découlent. Le second aspect est en général sous-évalué. Au contraire, l'une des particularités de la présente note est de mettre en oeuvre les propriétés métriques des formes triangulaires pour cartographier et classer par famille les triplets de Fermat. À l'évidence, si l'on se donne de représenter trois nombres entiers a, b et c, tels que Ea+bûEc >û O, les figures géométriques qui viennent à l'esprit ont des formes triangulaires ; les plus simples étant les triangles du plan euclidien dont les cotés sont des multiples a, b et c d'une norme métrique commune. Les triangles du plan euclidien présentant des similitudes se déduisent les uns des autres par translation, symétrie, rotation ou homothétie, ou par une combinaison de ces transformations géométriques. Après transformation, les triangles OO'Nl (1), OO'N2 (2), OO'N3 (3), OO'N4 (4) caractérisés par une base commune 00' (5) côté longueur a, occupent des positions symétriques par rapport à l'axe 00' ou par rapport à la médiatrice (6) du segment 00' de longueur a. Les triangles sont rapportés à un système de coordonnées bipolaires de pôles 0 (7) et 0' 1:8). On dispose ainsi de figures géométriques particulièrement simples pour représenter les triplets {a,b,c}, potentiellement solutions des équations de Fermat (voir figure 1). En ne conservant que les triangles transformés situés dans le quart nord-est (9) du plan euclidien délimité par les axes de symétrie (6,10), on réduit le nombre des figures triangulaires à considérer. Points nodaux Par construction, les sommets 0 (7) et 0' (8) d'un triangle représentant un triplet de Fermat sont confondus avec les pôles de l'axe 00' appelé, ci-après, axe des entiers (10). Le troisième sommet N a pour coordonnées bipolaires p = c et p' = b. Il est situé à l'intersection du cercle de centre O et de rayon c et du cercle de centre O' et de rayon b. Les familles de cercles (20,21) de centre O et 0' forment des mailles présentant des régularités ; les points N (22) occupant les noeuds des mailles sont, ci-après, appelés des points nodaux (voir figure 2). Chaque point nodal N (22) du plan euclidien, de même que le triangle OO'N correspondant, représente un hypothétique triplet de Fermat. Domaine D(a) Les points nodaux du quart nord-est (9), relatifs à une valeur déterminée de a, sont situés à l'intérieur du domaine D(a) (23) délimité par les axes de symétrie (6,10) et le cercle de centre 0' (8) et de rayon a. Cercle limite du domaine D(a) Le cercle de centre 0' et de rayon a est, ci-après, appelé le cercle limite (24) du domaine D(a) (23). Les points nodaux situés sur le cercle limite (24) sont tels que {a,a,c}. Cercle directeur du domaine D(a) Le cercle de centre O et de rayon a est, ci-après, appelé le cercle directeur (25) du domaine D(a) (23). Les points nodaux situés sur le cercle directeur correspondent aux triplets {a,b,a}. Points nodaux de l'axe des entiers Les points nodaux situés sur l'axe des entiers 00' (10) sont tels que {a,b,a+Eb}. Points nodaux de la médiatrice de 00' Les points nodaux situés sur la médiatrice (6) du segment 00' passant par H (26) sont tels que {a,b,b}. Extremum E du domaine D(a) Le point nodal E (27) situé à l'intersection du cercle de centre O et de rayon a et du cercle de centre 0' et de rayon a est, ci-après, appelé l'extremum du domaine D(a) (23). Le point nodal E (27) correspond au triplet {a,a,a}. Courbes coniques Gle(a,j) du domaine D(a) Les points nodaux du domaine D(a) (23) sont situés sur des familles de courbes QE(a,j) (30) caractérisées par un entier positif j~a. Chaque courbe QE(a,j) (30) est la combinaison d'une ellipse Q-(a,j) (31) de foyers 0 (7) et 0' (8) et d'une hyperbole Q (a,j) (32) de mêmes foyers. Les courbes 52E(a,j) (30) sont, ci-après, appelées des courbes coniques (voir figure 3). L'équation en coordonnées bipolaires (p,p') de pôles O et 0' d'une courbe conique est la suivante : p-Ep'= a-Ej ; E étant égal à +1 pour la partie hyperbolique Q (a,j) (31) située dans le domaine D+(a) (35) et E étant égal à -1 pour la partie elliptique Q-(a,j) (32) située dans le domaine D-(a) (34). L'ellipse (31) et l'hyperbole (32) composant une courbe conique (30) d'indice j donné ont en commun le point nodal (33) de rang j situé sur le cercle directeur (25) ; l'indice j a une valeur nulle pour le point nodal (p=a,p'=0) constitué par le pole 0' (8) de l'axe des entiers (10) ; l'indice j est égal à a pour le point nodal (p=p'=a), extremum E (27) du cercle directeur (25). Scholie (1) Conformément à l'objectif annoncé, en suivant en cela l'enseignement de René Descartes, on dispose désormais de divers descripteurs pour désigner les points nodaux représentant des triplets, potentiellement solutions des équations de Fermat. Ces descripteurs permettent de qualifier les positions relatives des points nodaux du plan euclidien, les unes par rapport aux autres. (2) Dans la suite de l'exposé, on utilise la même notation {a,b,c}E pour désigner un potentiel triplet de Fermat, un triangle OO' NE de coté a, b et c ainsi que le point nodal NE correspondant à ce triangle. (3) La structure algébrique des équations de Fermat se présente sous la forme d'une somme généralisée de formes exponentielles x^n, y^n, z^n d'exposant n. Aux points nodaux représentant les potentiels triplets de Fermat {a,b,c}E correspondent : - d'une part, les entiers : a b c d'autre part, les exponentielles : a ^ n b ^ n c ^ n Pour traduire, géométriquement, la relation algébrique existant entre les formes exponentielles et les caractéristiques a, b et c d'un point nodal, le tableau ci-dessus suggère, à l'évidence, la marche à suivre ; il est avisé de rechercher une transformation géométrique transformant un point nodal {a,b,c} en un point représentatif des formes exponentielles {a^n,b^n,c^n}. Deuxième partie : Transformation exponentielle géométrique La transformation géométrique permettant de passer d'un point nodal {a,b,c} à un point représentatif des formes exponentielles {a^n,b^n,c^n} s'impose d'elle même. Par définition, on appelle transformation exponentielle géométrique de puissance n, la transformation qui au point nodal Na correspondant au triplet {a,b,c} du domaine D(a), associe le point nodal transformé NaAn correspondant au triplet {a^n,b^n,c^n} du domaine D(aAn). L'application d'une transformation exponentielle géométrique de puissance n a pour effet d'écarter les pôles O et O' et d'aplatir le triangle OO'Na ; on obtient le triangle OO'a^nNa^n• Condition d'existence des points nodaux transformés Il n'existe pas nécessairement de point nodal transformé Na^n ; en effet, au delà d'une valeur limite n, de l'exposant n, l'expansion brise les côtés c et b du triangle OO'Na; le cercle de centre O et de rayon en ne coupe plus le cercle de centre O'ann et de rayon bAn. Si le point nodal transformé Nant, existe alors, Ea^n + Mn -Ec^n >_ 0 Classes du domaine D(a) Chaque triplet du domaine D(a) est caractérisé par un indice ne correspondant à la valeur limite de l'exposant n pour le triplet considéré. Par conséquent, on sait classer les triplets du domaine D(a) dans des classes (40) caractérisées par la valeur de l'indice de classe n,. Courbes frontières du domaine D(a) Quelques considérations géométriques simples mettent en évidence que les points nodaux {a,b,c}E appartenant à la classe n~ sont situées dans des zones du domaine D(a) disposées en bandes (41,42) superposées en forme de pelures d'ognons ; chaque bande (41,42) est délimité par deux courbes frontières (43,45), (44,46) ; l'une (43,45) étant située au sud, l'autre (44,46) étant au nord (voir figure 4). L'équation d'une courbe frontière O E(a,nc) est la suivante : p^ne ù Ep'^nc=a^nc ; avec : - E=+1 pour les points nodaux situés dans le domaine D+(a), à l'est du cercle directeur (25) et - E=-1 pour les points nodaux situés dans le domaine D-(a), à l'ouest du cercle directeur (25). Les points nodaux situés à l'intérieur d'une bande et, le cas échéant, sur la courbe frontière OE(a,nc) ont tous le même indice de classe n,. Les équations des courbes frontières OE(a,nc) et E(a,nc+1) délimitant la bande (41,42) de classe ne sont respectivement les suivantes : - en ce qui concerne la branche de la courbe frontière O+(a,nc) (46) située dans le domaine D+(a) (35) l'équation est : p^nc ù p'Anc = a^nc ; - en ce qui concerne la branche de la courbe frontière e-(a,l) (44) située dans le domaine D-(a) (34) l'équation est : p^nc + p' ^n, = a^n, ; - en ce qui concerne la branche de la courbe frontière O+(a,nc+1) située dans le domaine D+(a) (35) l'équation est : p^(n,+l) û p'^(ne+1) = a^(n,+1) ; - en ce qui concerne la branche de la courbe frontière 0-(a,nc+1) située dans le domaine D-(a) (34) 1"équation est : p^(nc+l) + p'A(nc+1) = a^(nc+1). Les équations des courbes frontières OE(a,l) (10) et 0E(a,2) (49,50) délimitant la bande (51,52) de classe n,=1 sont respectivement les suivantes : - en ce qui concerne la branche de la courbe frontière O+(a,l) située dans le 10 domaine D+(a) (35) l'équation est : p û p' = a ; la branche correspondante est confondue avec la partie est de l'axe des entiers (10) ; - en ce qui concerne la branche de la courbe frontière 8 (a,1) située dans le domaine D-(a) (34) l'équation est : p + p' = a ; labranche correspondante est confondue avec la partie ouest de l'axe des entiers (l0) ; 15 - en ce qui concerne la branche de la courbe frontière 0+(a,2) située dans le domaine D+(a) (35) l'équation est : p^2 û p'^2 = a^2 ; la branche correspondante est constituée par le segment (50) perpendiculaire en O' (8) à l'axe des entiers (10) ; - en ce qui concerne la branche de la courbe frontière 0-(a,2) située dans le 20 domaine D-(a) (34) l'équation est : p^2 + p'^2 = a^2 ; la branche correspondante est constituée par le quart de cercle (49) de centre I (26) et de rayon a/2. Inversion de centre O et puissance aA2 L'inversion de centre O et de puissance a^2 transforme les courbes frontières 25 O-(a,nc) situés à l'ouest du cercle directeur du domaine D(a) en les courbes frontières O+(a,nc) situés à l'est de celui-ci (voir figure 5). Légendes de la figure 5 qui représente les transformés des points nodaux des courbes frontières et l'inversion de pole O et de puissance a^2. Domaines D-(a^nc) (550) et D+(a^nc) (560). 30 Courbes frontières (50) de classe ne des domaines D-(a^nc) et D+(a^nc) Courbes frontières C-E(a^nc,2) (510) d'équation p*^2 û E p'*A2 = (a^nc)^2 des domaines D-(a^nc) et D+(a^nc). Les transformés (Ma)* (530) et (N+a)* (540) des points nodaux N-a (61) et N'a (620) sont sur les courbes frontières O-(a^ne,l) : p* + p'* = a^nc et O+(a^ne,l) : p* û p'* = a^n, des domaines D-(a) (580) et D+(a) (590). Les courbes frontières O-(a^nc,l) et O+(a^nc,l) sont confondues avec l'axe des entiers (10). Pôle O'a^nc (570) du domaine DE(a^nc) Domaines D-(a) (580) et D+(a) (590). Pôle O'a(600) du domaine DE(a). Points nodaux N-a (61) et N'a (62) sur les courbes frontières -(a,nc) : p^n~ + p'^nc = a^ne et O +(a,^nc) : p^nc -p'^n, = a^n, des domaines D--(a) (580) et D+(a) (590). Les courbes frontières (63) 0E(a,,2) : pA2 û E p'^2 = a^2 du domaine DE(a). L'inversion (640) ON-a ON+a = a^2 transforme la courbe frontière O-(a,nc) en la courbe frontière O+(a,nc) : Scholie (1) On sait donc dresser la cartographie des points nodaux du domaine D(a) en affectant à chaque point nodal un entier n, définissant la valeur maximale de la puissance de la transformation exponentielle géométrique qui lui est applicable. (2) Si le point nodal {a,b,c}E est situé en dehors d'une courbe frontière, il n'a pas de transformé situé sur l'axe des entiers ; autrement dit, un tel point nodal {a,b,c}E ne peut pas être un triplet de Fermat satisfaisant la relation c^n-Eb^n = a^n. (3) En revanche, si le point nodal {a,b,c}E est situé sur la courbe frontière OE(a,nc) de la classe ne du domaine D(a), la transformation exponentielle géométrique de puissance n~ transforme ce point nodal en un point transformé situé sur l'axe des entiers ; pour ce point nodal, la relation de Fermat c^nc-Eb^nc = a^n, est vérifiée (voir figure 5). (4) Les courbes frontières OE(a,n,) du domaine D(a) constituent un système de représentation permettant de repérer les points nodaux pour lesquels une relation de Fermat est satisfaite. (5) Les courbes frontières se déploient sur toute l'échelle des nombres entiers au fur et à mesure que la taille a du domaine D(a) croît ; elles serpentent entre les points nodaux placés aux angles des mailles curvilignes de dimension unitaire ; on obtient ainsi une image bidimensionnelle de la conjecture posée par Fermat. (6) Pour établir le théorème de Fermat-Wiles, il convient de montrer qu'il n'existe pas de point nodal sur aucune des courbes frontières d'aucun domaine D(a). Troisième partie : Chaîne de noeuds Scholie (1) L'intuition géométrique guide à nouveau la réflexion. En appliquant une séquence de transformations exponentielles géométriques aux transformés successifs d'un point nodal, on construit une suite de domaines et, dans chacun de ceux-ci, des familles de courbes frontières. (2) Parmi les courbes frontières susceptibles de fractionner les domaines, il va de soi de considérer avec une attention particulière celles qui sont définies par un nombre premier. Noeuds d'une chaîne Soit un point nodal Na appartenant à la classe n, du domaine D(a) ; soit la suite des facteurs premiers de nu, ordonnés selon leurs valeurs croissantes, sans autres répétitions que celles résultant des exposants de la décomposition de nu en facteurs premiers ; en mettant en oeuvre l'intégralité des facteurs premiers, on construit une suite de diviseurs de nu. Le diviseur pu(nu) de nu, de rang u, est obtenu en multipliant le diviseur pu_1(n,) de rang uû1 par le facteur premier de rang u de la suite des facteurs premiers. On appelle noeud Nua le point nodal transformé de Na de puissance nti njpä (nu). Les noeuds forment une chaîne. Le noeud d'indice u de la chaîne des transformés correspond au triplet {a^pä (nc),b^pu(nu),c^pu(n,)} ; il appartient à la classe nä = nu/pä (nu) du domaine D[a^pä (nu)]. L'étude des points nodaux des courbes frontières est réductible à l'étude des courbes frontières comportant des noeuds. Classe de l'avant-dernier noeud d'une chaîne La classe de l'avant--dernier noeud de la chaîne des transformés est un nombre premier. Elle est égale à 2 si ne est de la forme 2^k, avec k?2 ; dans tous les autres cas, la classe de l'avant-dernier noeud est un nombre impair premier. Contradiction logique dans le cas général Selon l'hypothèse initiale du raisonnement par l'absurde, le point nodal {a,b,c} est sur une courbe frontière e(a,nc) du domaine D(a). Dans le cas général, l'indice de classe n, n'est pas de la forme 2^k, avec k?2. Nécessairement, dans le cas général, il existe un noeud sur la courbe frontière O(a,nd_,) du domaine D[a^pä(nc)] dont l'indice de classe nd_1 est premier et impair. Une contradiction apparaît, et il convient d'écarter l'hypothèse initiale, si on met en évidence que l'existence d'un point nodal sur une courbe frontière définie par un exposant impair conduit à une incohérence logique. En effet, une contradiction de même nature apparaît dans le cas où l'indice de classe est un nombre impair et premier ; la courbe frontière O(a,nd_,) dont l'indice de classe nd_1 est impair et premier ne peut pas comporter de point nodal susceptible de former un noeud. Contradiction logique dans le cas particulier où ne = 2^k, avec k k2 L'étude de l'existence d'un noeud sur une courbe frontière dont l'exposant est de la forme 2^k, avec k.û2, est réductible à l'étude de l'équation : x''4 - y^4= z^4, avec x, y et z entiers positifs et premiers entre eux. Scholie (1) Pierre de Fermat a indiqué une manière de procéder pour établir que cette équation n'a pas de solutions entières. (2) Le principe de la méthode mise en oeuvre par Pierre de Fermat fait l'objet du paragraphe ci-après. Si un hypothétique triplet {c,b,a} satisfait la relation c^4 û b''4 = 2^(4k) aA4 alors, les structures des termes (cûb), (c+b) et (c^2+b^2) sont les suivantes : c-b = [(1-E) 2"(4k-3) +(1+E)] a,," 4 c+b = [(1 +E) 2"(4k-3) +(1-E)] bE,," 4 c"2+b"2 =2 c,,1A 4 aE ,, bE,l et cE,, désignant des nombres entiers impairs. Le triplet {aE,I,bE,1,cE,l} permet de construire le triplet {aC,2,bC,2,bE,2} tel que : aE,2 = C1,1 bE,2 = (1+E)12 aE,1"2 + (1-E)/2 b,,1" 2 cc,2 = (1+r)12 bE,,"2+ (1-E)/2 aE,," 2 Par construction, le triplet {aE,2,bE,2,cE,2} satisfait une relation de même nature que la relation c"4ûb"4 2"(4k) a"4 ; en effet, aE 2"4 - bE,2"4 = 2"[2(4k-3)] cE,2" 4 avec aE,2 bE,2 = cE,1 On met ainsi en place une fuite infinie descendante aboutissant à une contradiction logique. Cas particulier où ne = 2 Dans le cas où n,=2, on retrouve le théorème de Pythagore ; il existe des triplets {a,b,c} tels que b"2-rc"2 = a"2. Le théorème de Fermat-Wiles écarte le cas où l'exposant n est égal à 2. Quatrième partie : Structures polynomiales auto répétitives Dans la suite de l'exposé, on utilise la notation 2m+1 ou la notation ne pour désigner l'exposant impair apparaissant dans les expressions des courbes frontières. Divisibilité de p^(21n+1)-Ep'^(2m+1) par (p-Ep') L'une des formes algébriques, déductibles du binôme de Newton, connue des mathématiciens de la première moitié du dix-septième siècle, est la suivante : p"(2m+1)-Ep'"(2m+1) = (p-Ep') Eosg4m ?q p"q p'"(2m-q) avec a.q = E"q Expression polynomiale de la courbe frontière 9E(a,2m+1) En posant SE(p,p') = p-Ep' et IE(p,p') = 1osgs2m Xq p"q p'"(2m-q) avec ?^,q = E"q, on obtient l'expression factorisée suivante de l'équation bipolaire de la courbe frontière 0E(a,2m+1) : SE(p,p') IE(p,p') = a"(2m+1) Nota : l'utilisation du symbole E en exposant dans les expressions algébriques permet de traiter, globalement, le cas où E est soit égal à +1 soit égal à -1 ; la notation ù en exposant permet de distinguer le cas où E =-1 et le cas, noté + , où E =+1 ; par exemple SE(p,p') désigne p-p' et p+p' ; S-(p,p') désigne p+p' ; S+(p,p') désigne pùp'. Scholie (1) La procédure de descente infinie, attribuée à Fermat en raison de la virtuosité avec laquelle celui--ci s'en est servi, implique que l'on sache déduire de l'existence d'un hypothétique point nodal {a;,b;,c;} situé sur une courbe frontière un autre point nodal {a;+l,b1+l,ci+l} situé aussi sur une autre courbe frontière. Ici encore, la marche à suivre s'impose d'elle-même ; il convient de rechercher des descripteurs appropriés exprimant la logique absurde d'un univers arithmétique contraint par la relation de Fermat. L'équation bipolaire des courbes frontières SE;(p,p') IE;(p,p') = a;^(2m+1) suggère d'utiliser comme descripteur la structure polynomiale S;(X,Y) I;(X,Y) formée par le produit de deux polynômes bivariant homogènes l'un S;(X,Y) du premier degré, SE;(X,Y) = X-E;Y, l'autre I;(X,Y) de degré 2m. Le polynôme F;(X,Y) est constitué par l'enroulement d'un polynôme en X autour d'un polynôme en Y : IE;(X,Y) _X^q Y^(2m-q) avec %.q; = E;^q. (2) Si l'on conserve à l'esprit que l'objectif est d'obtenir une réplique de SE;(X,Y) IE;(X,Y) de même structure, on est immédiatement tenté d'enchevêtrer, selon la loi IE;(X,Y), deux formes polynomiales xE;(X,Y) et yE;(X,Y) ayant une structure comparable à celle de IE;(X,Y). Les pré-dicteurs xE;(X,Y) et yE;(X,Y) permettent de représenter c;+i=xc;(c;,b;) et b;+i=yE1(c;,b;)• On construit ainsi IE;+1(c1+>,b;+1) _ x;(c;,b;)^q y;(c;,b;)^(2m-q), avec ?\.q,; = E;^ q . Relation de récurrence de large portée entre Ii+1 et I; L'annexe I précise de quelle manière on construit le système des deux relations de récurrence : SEi+1 = Ji+1-Ei+1 i+1 IE41 = IE(Ji+1,111+1) + VVi+1 (DE(Ji+I,mi+1) lei Nota : dans l'annexe I, l'indice t, évocateur d'un flux temporel, a été employé au lieu de l'indice i, évocateur d'un déplacement dans l'espace. La seconde relation de récurrence exprime la valeur d'état IE;+1 d'indice i+l en fonction de la valeur d'état IE; d'indice i ; les paramètres d'évolution E;+1, Ji+1, M;+1 et W;+1 caractérisent le changement d'état. Dans les relations de récurrence : - désigne L,e2ri, ?\.q,; c;^q b;^(2m-q), ci et b1 désignent les valeurs prises par les variables d'états, à l'état d'indice i, - IEi+1 désigne GOsgsln, Xq,i+1 ci+1^q bi+1^(2m-q), ci+1 et bi+1 désignent les valeurs prises par les variables d'états, à l'état d'indice i+l, - Ie(J1+1,M1+l) désigne L,q,2m Xq,i+1 Ji+1^q Mi+1^(2m-q), - cee(Ji+1,Mi+1) désigne L0,q,2,wl JAq M^(2m-q-1) [%q,;+1 (2m-q) + ci+1 kq+1,i+1 (q+1)] Ces relations de récurrence ont été mises en évidence dans un cadre plus large que celui strictement: nécessaire pour établir le théorème de Fermat-Wiles ; dans le cas restreint de ce théorème les coefficients %q de la fonction d'état I(X,Y) sont égaux à eAq. Relations de récurrence restreintes à Fermat Sans grande surprise (voir annexe I), il s'avère que, pour un choix approprié des paramètres d'évolution E;+1,Ji+,, Mi+1 et W;+1, les valeurs d'états IE;+1 et IE; sont liés par une relation linéaire ; de même, les valeurs d'états SE;+1 et SE; sont liés par une relation linéaire ; le choix Ei+1=c;=E s'avère judicieux. Le produit SE;+1Iei+1 est une réplique du produit SE;IE;. L'expression de la relation de récurrence entre SE;+1IEi+1 et SE;IE; est la suivante : sei+1 IiE+1 = [(ki+1 wi+1 / A ne seileii ^ ne (Seilei) L'expression de la relation de récurrence entre SE;+1 et Sc; est la suivante : Sei+1 ù ((+1 si+1)^nc (ssilei) Sei Dans ces récurrences, les valeurs des deux entiers wt+1 et st+1 sont ajustables ; kt+1 est un entier de la forme k't+1 st+1 ; la valeur de l'entier k't+1 est ajustable. 20 2915587 21. Les récurrences ainsi obtenues transmettent au produit la structure du produit SE;IE;. Si SE;IE; est une exponentielle entière de puissance ne alors, SE;+IIE;+1 est également une exponentielle entière de puissance n~. De même, si la structure de SE; est une forme entière alors, la structure de S;+1 est une forme entière. 5 Scholie (1) Il apparaît que les relations d'égalités et d'inégalités gouvernant l'univers de Fermat sont construites au moyen des formes SE;, = (SE;IE;)^(1/nc), S'A et IIE; = (SE;IE;)^nc ; ce résultat est satisfaisant ; il assure à l'ensemble de l'édifice une cohérence allant au-delà de l'enchaînement des intuitions qui ont permis de 10 le construire. (2) La mise en oeuvre des formes compactes SE; et IE; d'évite de devoir traiter de manière distincte le cas où l'exposant ne divise a; et le cas où ne il ne le divise pas. (3) De plus, il apparaît que les formes SE;, IE;, SE;IE; et IIE; présentent des symétries. 15 En ce qui concerne, les formes SE;, IE; et SE;IE; les symétries sont manifestes ; sauf dans le cas où n, divise a;, les formes SE;, F; et SE;IE; sont trois exponentielles de puissance nc. Le terme HE; = (S'il') An, agrège dans une structure particulièrement compacte, la somme généralisée SE;, la matrice IE; qui conjugue les polynômes pré-dicteurs 20 déployés à l'infini, l'exposant impair n~. L'écriture hyper condensée du terme IIE; = (a;^ nc)^n, cristallise en un seul terme toutes les composantes de Fermat. Le rôle du symbole E apparaissant dans le motif élémentaire constitué par la somme généralisée SE; = c;-Eb; est à souligner. Le symbole E, désignant +1 ou -1, commute au sein du domaine D(ai) le sous domaine elliptique avec le sous 25 domaine hyperbolique . Le symbole E est la trace algébrique de l'inversion géométrique de pôle O et de puissance a;^2. (4) L'extrême concision des expressions permettant de construire les hypothétiques points nodaux des courbes frontières renvoie à la question posée au début de la note.. 30 Construction d'un hypothétique point nodal sur une courbe frontière On connaît un premier point nodal de coordonnées c; et b; ; il appartient au domaine D(ai), d'indice i, de taille ai, de pôles O et O'; ; par hypothèse, il est situé à l'intersection de la courbe conique S2E;(ai ji) avec la courbe frontière O;(ai,nc) ; les équations bipolaires de ces courbes sont respectivement : • S2Ei(aiji) : S(p,p') = SE;, et • 0Ei(ai,n) : S(p,p') I(p,p') = SEi lEi, On considère dans le domaine D(ai+1), d'indice i+l, de pôles O et O';+1, de taille ai+1 = (SEi+1 IE;+1)^(l/n,), les courbes coniques QE;+1(ai+1Ji+1) et la courbe frontière OEi+1(a;+i,n) ; les équations bipolaires de ces courbes sont respectivement : • ~Ei+1(ai+lei+1) S(p,p') = SEi+1 et • OEi+1(a;+i,n) : S(P,p') I(p,p') = SEi+11Ei+1 Les relations de récurrences, ci-dessus explicitées, lient les valeurs d'états SEi+1 et SEi+1 Yin aux valeurs d'états SE; et SE; IEi. Scholie (1) Pour un domaine D(a;+1) de taille donnée, autrement dit, pour une valeur donnée du paramètre w;+1, il n'existe qu'une courbe frontière. Au fur et à mesure que la taille a;+1 du domaine D(ari+1) croît, les pôles O et 0'i+1 s'écartent ; les deux branches de la courbe frontière s'allongent vers l'est ; de même les branches elliptiques et hyperboliques de la courbe conique QEi+1(a;+iJi+1) se déploient, en s'allongeant vers l'est (2) L'équation de la courbe conique QE;+1(a;+lji+1) dépend de la valeur des paramètres ki+1 et s;+1. Pour un domaine D(a;+1) de taille a;+1 donnée, le paramètre s;+1 prend différentes valeurs ; à chaque valeur du paramètre s;+1 correspond une branche d'équation : pûep' = (k;+1 sin) Anc SE; . Dans le cas du domaine D-(a,+1), au fur et à mesure que le paramètre s;+1 décroît, le point d'ancrage de la branche elliptique de la courbe conique SZ-;+1(ai+lji+1) glisse vers le sud, sur le cercle directeur O de rayon a;+1, en s'écartant de l'extremum Ei+1 ; la branche elliptique s'aplatit vers le sud, en se rapprochant de l'axe des entiers. Dans le cas du domaine D+(a;+1), au fur et à mesure que le paramètre s;+1 croît, le point d'ancrage de la branche hyperbolique de la courbe conique S2";+1(a;+1l+1) glisse vers le sud, sur le cercle directeur O de rayon a;+1, en s'écartant de l'extremum E;+1 ; la branche hyperbolique s'aplatit vers le sud, en se rapprochant de l'axe des entiers. Courbes coniques extrémales On appelle, ci-après, courbe conique extrémale QE1+i(ai+ijext) la courbe conique dont les branches elliptiques et hyperboliques sont voisines de l'extremum. Contraintes induites par le caractère restreint du domaine D(a1+1, ne) Les courbes coniques QE1+i(a1+1~1+1) ne coupent pas nécessairement la courbe frontière OE;+1(ai+1,e)• Il convient d'ajuster les valeurs des paramètres si+ 1 et w;+1 à cet effet. D'une part, les contraintes de taille a;+1 du domaine D(a;+1), exprimées sous la forme (1-E)/2 a;+1 SE;+1 [1 +(1-E)/2] a;+1, limitent les champs de variation des paramètres. D'autre part, en considérant la courbe conique extrémale QEi+1(ai+1jext) coupant la courbe frontière OE;+1(a;+l,nc) et en imposant que le point extrémal PE;+1,ext de QE1+1(ai+171ext) soit voisin du point RE;+1 le plus au nord de la courbe frontière OE1+1(ai+1,c) considérée, on introduit de nouvelles limites aux variations de s;+1 et w;+1 ; voir figure 6a et figure 6b. Légendes de la figure 6a qui représente la fuite à l'infini des points nodaux des courbes frontières lors des itérations successives : Le domaine D-(a1) (770) ; le pôle O'; (780) du domaine D-(a;) (770) ; le point I-; (790) du domaine IY(a1) (770) la courbe frontière 0-1(a,,ne) (710) de classe ne d'équation p^ne+p' ^ne = a;^ ne du domaine D-(al) (770) ; la courbe conique S2 ;(a; jnord) (720) d'équation p+p' = S-1 du domaine D-(a;) (770) ; le point nodal N-1 (730) à l'intersection de la courbe conique Q (aljnord) (720) et de la courbe frontière O-;(a;,ne) (710) ; la courbe frontière O -1(a1,2) (740) de classe 2 d'équation p^2+p'^2 = a;^2 du domaine D-(a;) (770) ; le point R-1 (750) le plus au nord de la courbe frontière O-;(a;,ne) (710) ; le point extrémal nord F1 nord (760) de la courbe conique Q-,(a; jnord) (720) ; itération (700) ; le domaine D-(a;+1) (771) ; le pôle O'-;+1 (781) du domaine D-(a;+1) (771) ; le point I-;+1 du domaine D" (ai+1) (771) la courbe frontière O-;+1(a;+l,nc) (711) de classe ne d'équation p*Anc+ p'*Anc = a;+1^n, du domaine D-(a;+1) (771) ; la courbe conique S2 ;+1(ai+lânord) (721) d'équation p+p' = S;+i,max du domaine D-(a;+1) (771) ; le point nodal N-;+1 (731) à l'intersection de la courbe conique S2-;+1(a;+ljnord) (721) et de la courbe frontière 0-;+,(a;+1,nc) (711) ; la courbe frontière 0-;+1(a;+1,2) (741) de classe 2 d'équation p*^2+p'*' 2 = ai+1A2 du domaine D-(a1;+1) (771) ; le point R-i+1 (751) le plus au nord de la courbe frontière 0-;+1(a;+t,ne) (711) ; le point extrémal nord P-;+l,nord (761) de la courbe conique Q i+i(a;+171nord) (721). Légendes de la figure 6b qui représente la fuite à l'infini des points nodaux des courbes frontières lors des itérations successives : Le domaine D+(ai) (870) ; le pôle O'; (880) du domaine D+(al;) (870) ; le point (890) du domaine D+(ai) (870) la courbe frontière 0+;(a;,nc) (810) de classe ne d'équation p^ne-p' ^nc = a l;^ no du domaine D+(al;) (770) ; la courbe conique Q+i(aj ouest) (820) d'équation p-p' = S+; du domaine D+(ai) (870) ; le point nodal N+; (830) à l'intersection de la courbe conique Q+;(aijouest) (820) et de la courbe frontière 0+;(a;,ne) (810) ; la courbe frontière 0+;(a;,2) (840) de classe 2 d'équation p''2-p'^2 = a;^2 du domaine D+(ai) (870) ; le point R+; (850) le plus au nord de la courbe frontière 0+;(a;,ne) (810) ; le point extrémal nord P+;,nord (860) de la courbe conique Q+;(ajjouest) (820) ; le domaine D+(a;+l) (871) ; le pôle 0'+;+1 (881) du domaine D+(a;+1) (871) ; le point I+;+1 du domaine D+(a;+1) (871) la courbe frontière 0+;+1(a;+1,nc) (811) de classe ne d'équation p*^neûp'*^ne = al;+,^ne du domaine D+(a;+1) (871) ; la courbe conique 52+;+1(a;+tjouest) (821) d'équation p-p' = S+;+t,min du domaine D+(agi;+l) (871) ; le point nodal N+;+i (831) à l'intersection de la courbe conique 52+;+1(ai+ljouest) (821) et de la courbe frontière 0+;+1(al+1,ne) (811) ; la courbe frontière 0+;+1(a;+1,2) (841) de classe 2 d'équation p*^2-p'*^2 = a1;+1^2 du domaine D+(a;+l) (871) ; le point R+;+1 (851) le plus au nord de la courbe frontière 0+;+1(ai+t,nc) (811) ; le point extrémal nord P+;+l,nord (861) de la courbe conique Q+;+1(ai+ltlouest) (821). La synthèse des contraintes conduit à ne retenir que les valeurs des paramètres s;+1 et wi+1 tenues par les deux inégalités : {[(1+E)/21i + (l-E)/2]} yE;+1 w;+1 Au rang i, les valeurs de ne, SE; et ai = SE; IE; sont connues ou sont calculés en fonction de w;,,,,;n. Au rang i+l, on choisit w;+1 = i+1 si i+1 est supérieur à w;.n,;n sinon, on choisit wi+1 = wi,min. On détermine w;+1 min en mettant en oeuvre l'algorithme consistant à comparer les formes entières Es des termes : [(1+0)/2] r)E + (1-0)/2I} yEi+1 wi+1 et [(1-E)/2] r)E + (1+$)/2} yEi+1 wi+l le paramètre variant par incrément de valeur une unité. On calcule le rapport OPE;+1/OREi+I, au rang i+l, en fonction de la nouvelle valeur obtenue de wi+i,min. On met ainsi en évidence que le rapport OPEi+1/OREi+1 tend vers 1 quand l'indice d'itération i croît indéfiniment. Puisque la limite de OPE;+1/ORE;+1 quand i-oo est égale à 1, les points NEi+1, PEi+1 et REi+1 convergent vers le même point L à l'infini lorsque la procédure de fuite est poursuivie indéfiniment. Scholie (1) Lors de la fuite à l'infini, le rayon du cercle directeur de centre O croît indéfiniment ; le mouvement relatif apparent du point d'ancrage de la courbe conique QEi+t(a;+ijext) sur le cercle directeur apparaît comme une succession de saut en direction de l'extremum. (2) La courbe conique extrémale S2-i+1(ai+ijext) du domaine D-(ai+1) devient tangente à la courbe frontière 0-;+1(ai+t,nc) au point de convergence L ; le point P-i+ 1 glisse, vers le nord, sur la médiatrice du segment OO'i+1 en tendant vers le point de tangence L ; le point nodal N-;+, glisse sur la courbe frontière 0-i+1(ai+1,ne) en tendant vers le point de tangence L. (3) La courbe conique extrémale Q i+1(a;+iJext) du domaine D+(a1+1) se redresse ; le point P+i+1 glisse, vers le nord, sur le cercle limite de centre de centre 0';+1 en tendant vers le point de convergence R+;+1 ; le point nodal N+;+1 glisse sur la courbe frontière 0+;+,(a;+,,nc) en tendant vers le point de convergence R+,+1• Contradiction logique Les coordonnées bipolaires p = p' = b;+, du point RE;+1 sont telles que : c;+1" ne - bi+ 1" ne = ai+1 A ne avec bi+1 = (1-E)/2 c,+, + (1+012 ai+1 Or, puisque il n'existe pas de nombre entiers dont le rapport soit égal à 2^(1/nc), il est exclu que le point RE;+1 soit un point nodal quelle que soit la valeur de l'indice i. L'hypothèse selon laquelle le point nodal NEi+1 appartient à la courbe frontière 0E;+1(a+1,e) conduit donc à une contradiction ; il est exclu que le point nodal NE;+1 tende vers un point à l'infini qui ne peut pas être un point nodal. La conclusion s'impose,puisqu'il n'existe pas de points nodaux sur les courbes frontières, dans quelque domaine D(a) que ce soit, il n'existe pas d'entiers a, b et c tels que c^n- E b^n= a^n. Scholie I1 est piquant de constater que le point d'orgue de la fuite à l'infini est lié au caractère irrationnel des racines de 2. Pour résoudre ce problème Euclide à utiliser une descente infinie dans le cadre d'un raisonnement par l'absurde. Ironie de l'histoire ! Conclusion La thèse selon laquelle Pierre de Fermat et les mathématiciens de son époque disposaient d'outils mathématiques suffisants pour résoudre l'équation x^n+y^n = en est fondée. Diverses hypothèses sont envisageables pour tenter d'expliquer pour quelles raisons l'usage de ces outils a été écarté pendant plus de trois siècles. Parmi celles-ci, il semble que l'accent mis par les posts-Newtoniens sur les mathématiques du continu et la physique des équations différentielles a joué un rôle déterminant. Un regard contemporain sur les outils perdus de vue ouvre des perspectives dans des champs, apparemment disjoints, où interviennent des flux discrets en expansion (voir figure 7). Parmi ces champs, les suivants méritent peut-être une attention particulière : • en mathématiques, la conjecture de Beal, • en cryptographie, le calcul des logarithmes discrets, • en physique théorique, l'hypothèse d'une structure discrète de l'espace-temps, • en biologie, le codage génétique. Annexe I Aparté L'exposé faisant l'objet de la présente annexe déborde du cadre du théorème de Fermat-Wiles ; il concerne plus généralement un système évoluant de manière discrète entre des états successifs d'indice t et t+l. Dans le cas où le polynôme I(X,Y) est de la forme I(X,Y) = L,e2n, X,q X^q Y^(2m-q), il existe une relation de récurrence fondamentale entre : • d'une part, la valeur d'état h+l(ct+l,bt+1) de la fonction d'état It+,(X,Y) pour les valeurs X = et+, et Y = bt+t des variables d'état, et • d'autre part, la valeur d'état It(ct,bt) de la fonction d'état I,(X,Y) pour les valeurs X = et et Y = bt des variables d'état. La structure de cette relation de récurrence est la suivante : It+t(ct+t,bt+I) = It+i(Jt+1JIt+t) + Wt+1 ~t+~(Jt+t,Nlt+t) It(ct,bt) Les coefficients .1t4., et Mt+, et Wt+, sont des coefficients d'évolution caractérisant l'évolution du système (son étirement puis son pliage au sens de la théorie du chaos). Les valeurs et+, et bt+, des variables d'état sont liées aux valeurs des coefficients Jt+, et Mt+, par la relation St+I(ct+I,bt+t) = Jt+t-Et+iMt+1 où St+, désigne la fonction d'état XûEt+,Y. Cette relation de récurrence permet de mettre en évidence des conditions suffisantes pour que la valeur It+,(ct+,,bt+,) de la fonction d'état h+,(X,Y) et la valeur St+1(ct+1,bt+1) de la fonction d'état St+1(X,Y) soient des entiers positifs ou négatifs. Ce résultat est atteint, si : • le coefficient d'évolution Wt+1 désigne une fraction réduite dont le dénominateur est un diviseur de 4t+1(Jt+1,Mt+1 • les coefficients d'évolution .4+1 et Mt+1, les coefficients polynomiaux Xq et les valeurs initiales at et bt des variables d'état du processus évolutif sont des entiers positifs ou négatifs. Dans ces conditions les valeurs finales et+1 et bt+1 des variables d'états sont des entiers positifs ou négatifs. Une relation de récurrence de moindre portée, limitée aux valeurs de Xq égales à c^q propres à la conjecture de Fermat, peut être obtenue directement. Toutefois, il serait dommage de réduire la présente annexe à cette dernière dans la seule perspective de mieux fonder l'antériorité des travaux de Pierre de Fermat, René Descartes ou Blaise Pascal. L'usage de termes tels que fonctions d'états, variables d'état ne doit pas faire illusion ; il évite de passer par le détour de formulations n'ayant plus cours aujourd'hui. Annexe I (suite) : Éléments de calcul chromosomique Application aux systèmes discrets évoluant de manière discontinue Introduction Le calcul chromosomique, ci-après exposé, met en oeuvre des opérations arithmétiques portant sur des polynômes homogènes bivariants. L'objectif est de concevoir un formalisme permettant de décrire des systèmes discrets évoluant de manière discontinue, notamment des systèmes physiques dont les variables prennent des valeurs dans l'ensemble des entiers, Observations préliminaires Les observations qui suivent sont illustrées par les opérations arithmétiques usuelles qui ont bercé notre enfance comme celle, sans doute, des contemporains de Pierre de Fermat. Des esprits, modelés par l'écriture binaire des nombres, trouvent dans ces formes un support plus actuel. (1) Les éléments de poids le plus faible du produit de deux formes arithmétiques ne sont pas affectés si l'on modifie, y compris en cours d'opération, les éléments de poids les plus élevés de ces deux formes. Par conséquent, les éléments de poids les plus élevés de deux formes peuvent être ajustées, notamment au cours d'une opération de multiplication, de telle sorte que les éléments de poids les plus élevés du produit aient des valeurs prédéterminées. (2) Les observations du point (1) concernent également les opérations d' exponentiation. (3) Les observations des points (1) et (2) concernent également l'opération arithmétique de conjugaison consistant à former le produit conjugué, de degré 2m, de deux formes exponentielles de degré q et 2m-q. (4) Les observations des points (1) à (3) concernent également la somme de produits conjugués de même degré 2m, notamment la somme Lsg4m Xq,t+l et+l" q bt+1"(2m-q) (5) Pour tirer parti des observations (1) à (5), ci-dessus, il convient d'indicer les éléments composant les formes auxquelles sont appliquées les opérations arithmétiques de multiplication, d'exponentiation et de conjugaison. La mise en oeuvre d'indices portés par les formes élémentaires permet de suivre leurs mouvements au cours d'une opération. À cet égard, les formes polynomiales, de période 2m, ci-après définies, sont appropriées : x(X,Y)= L=0 à l'infini LiOsjs22km J2km j X"j Y"(2krn j) y(X,Y) = Gk=O à l'infini Y./0sj4m M2kmj Y"(2km -i) La contrainte J2k,,,,j;= E M2km,j, sauf pour k=0, corrèle ces deux formes polynomiales. Les indices k et j permettent de suivre les mouvements des nucléotides J2km X"j Y"(2km j) et M2kmj XAj Y"(2km j). Terminologie imagée Avec en arrière pensée un objectif qui dépasse le seul théorème de Fermat-Wiles, une terminologie imagée est utilisée pour décrire les formes polynomiales mises en oeuvre et leurs évolutions. Nucléotide On appelle nucléotide le monôme bivariant : K1 XAj Y^(i j) ; i et j désignent deux entiers positifs ou nuls ; l'indice i est appelé le degré du nucléotide ; l'indice j est appelé le rang du nucléotide ; les variables X et Y prennent des valeurs entières positives ou négatives. Coefficient génétique d'un nucléotide Un nucléotide est caractérisé par son coefficient génétique K;j ; les coefficients K;i prennent des valeurs entières positives ou négatives. Noyau d'un nucléotide Un nucléotide est également caractérisé par son noyau cpii : cp;j = XAj YA(ij) constitué de formes exponentielles des variables X et Y. Séquence génétique On appelle séquence génétique de degré i, un polynôme bivariant homogène dont la structure polynomiale est composée de nucléotides de même degré. Une séquence génétique Gi(X,Y) de degré i est caractérisée par ses i+1 coefficients génétiques Kiil ; son expression formelle est la suivante : Gi(X,Y) _ Kir XAj Y"(i j) Chromosome On appelle polynôme chromosome de degré n, un polynôme bivariant dont la structure polynomiale est composée de séquences génétiques G;(X,Y) de degré i distinctes. Un chromosome Cn(X,Y) est caractérisé par ses n+1 séquences génétiques Gi(X,Y).. L'expression formelle du chromosome Cä(X,Y) est la suivante: Cä (X,Y) = Gi(X,Y) _erg,1,4,i K1 XAj Y"(i j) Série chromosomique On appelle série chromosomique de terme générale Gi(X,Y) le symbole : Gi variant de zéro à Iinfn; Gi(X,Y) = Go(X,Y) + G1(X,Y) + ... + Gi(X,Y) + . Ce symbole est dépourvu a priori de signification, il en acquiert si, quand i tend vers l'infini, la somme Go(X,Y) + G1(X,Y) + ... + Gi(X,Y) + ... admet une limite finie C(X,Y). Série chromosomique périodique Une série chromosomique, excisée entre les séquences génétiques de degré 0 et n, n et 2n, 2n et 3n et ainsi de suite, a la texture suivante : Ko,o + Eosj,n Knj XAj Y^(n J) + ... + Eosjsn Kin,j XAj Y^(in j) + ... Une telle série est, ci-après, appelée une série chromosomique périodique, de période n ; son terme général est la séquence génétique Gin(X,Y) de degré in : Gin(X,Y) = Gosj,in Kinj XAj YA(iri j) Remarque L'emploi d'une telle terminologie empruntant ses images à des avancées des sciences biologiques contemporaines ne doit masquer le fait qu'elle concerne des formes polynomiales que Pierre de Fermat et ses contemporains pouvaient concevoir. Calcul chromosomique La présente étude a plus précisément pour objet d'expliciter les opérations de multiplication (Chapitre I), d'exponentiation (Chapitre II) et de conjugaison (Chapitre III) lorsqu'elles sont appliquées à des séries chromosomiques périodiques. Chapitre I : Multiplication chromosomique Le coefficient génétique des nucléotides de même degré u généré par le produit de deux séries chromosomiques périodiques CJp et CMp de même période p a pour expression : Ku,v = GOsipsu GOsjs KJipj KM,u-ip,v-j (v étant inférieur ou égal à u) Dans cette expression KJ,ip j et KM,,,_ip,v_j désignent respectivement, -le coefficient génétique du nucléotide de degré ip de la série chromosomique périodique CJp, - le coefficient génétique du nucléotide de degré u-ip de la série chromosomique périodique CMp. La somme des indices de degré des nucléotides de CJp et des nucléotides de CMp dont le produit forme les nucléotides de degré u du produit CJp CMp est égale à u. La somme des indices de rang des nucléotides de CJp, et des nucléotides de CMp dont le produit forme les nucléotides de rang v de CJp CMp est égale à v. Chapitre II : Exponentiation à la puissance Q d'une série chromosomique périodique x(X,Y) die période 2m Soit une série chromosomique périodique x(X,Y) de période 2m : x(X,Y)= L=0 à l'infini ,05j4km J2k,,, j X^j Y^(2km j) Cas général Q>O On met en évidence la relation linéaire : JQP=2km,â QQ2km,a + Q J0,0A(Q-1) J2km,a entre : - d'une part, le coefficient génétique JP=2km,a du nucléotide de noyau Wp=2km,a de 10 degré 2km et de rang a de la série chromosomique périodique x(X,Y), de période 2m, et -d'autre part, le coefficient génétique JQP=Zxn,,a du nucléotide de noyau WP=2kn,,a de degré 2km et de rang a de l'exponentielle, x(X,Y)AQ. Dans chaque combinaison multiplicative composant le terme composite ç Q2km,a 15 figure, au moins : - un produit de deux coefficients génétiques de x(X,Y) dont les degrés sont supérieurs ou égaux à 2m et, strictement, inférieur à 2km, et/ou - une puissance de degré supérieure ou égal à deux d'un coefficient génétique de x(X,Y) de degré supérieur ou égal à 2m et, strictement, inférieur à 2km ; 20 le rang des coefficients génétiques mis en oeuvre étant compris entre 0 et a. Le terme composite 52Q2km,o ne comporte pas de combinaisons multiplicatives formées exclusivement de puissance de J0,0. Les puissances de J0,0, figurant dans le terme composite SZQZk,,,,a, sont nécessairement associées aux coefficients génétiques de x(X,Y) ci-dessus spécifiés. 25 Cas particulier : Q==O Pour Q=O, JQP=2km,00 sauf pour k=0 ; pour Q=0 et k=0, JQ= P=O,a=0=1 Chapitre III: Exponentiation à la puissance 2m-Q d'une série chromosomique périodique y(X,Y) de période 2m Soit une série chromosomique périodique y(X,Y) de période 2m : 30 y(X,Y) = Lk=0 à l'infini `i05j4m M2km,j X^j Y^(2km j) Cas général Q - un produit de deux coefficients génétiques de y(X,Y) dont les degrés sont supérieurs ou égaux à 2m et, strictement, inférieur à 2km, ou - une puissance de degré supérieure ou égal à deux d'un coefficient génétique de y(X,Y) de degré-supérieur ou égal à 2m et, strictement, inférieur à 2km ; le rang des coefficients génétiques mis en oeuvre étant compris entre 0 et o. Le terme composite Q2m-Q2k,n, a ne comporte pas de combinaisons multiplicatives formées exclusivement de puissance de Mo,o. Les puissances de Mo,o figurant dans le terme composite Q2m-Q2km,a sont nécessairement associées aux coefficients génétiques de y(X,Y) ci-dessus spécifiés. Cas particulier : Q=2m Pour Q=2m, M2m-Q=oP=o,a=0=0 sauf pour k=0 ; pour Q=2m et pour k=0 : M2m- Q=0 _ P=0,a=0 -1 Chapitre IV : Conjugaison monomiale de deux séries chromosomiques x(X,Y) et y(X,Y) de période 2m Les opérations arithmétiques de multiplication et d'exponentiation sont d'applications courantes. Les opérations de conjugaison sont d'un emploi moins systématique. Prendre deux nombres, les élever l'un à la puissance Q et l'autre à la puissance 2m-Q puis former le produit des nombres ainsi obtenus n'est pas une pratique enseignée sous la forme de tables de conjugaison à la manière des tables de multiplication . Monôme de conjugaison On appelle monôme de conjugaison le monôme bivariant de degré 2m: xAQ y^(2m-Q) ; l'indice Q est appelé le rang du monôme de conjugaison. Un monôme de conjugaison est caractérisé par : - un coefficient de conjugaison XQ ; les valeurs de XQ étant prises dans l'ensemble des entiers positifs ou négatifs - un noyau de conjugaison xAQ y^(2m-Q) ; les symboles x et y représentent des chromosomes. Conjugaison monomiale (ou recombinaison) On appelle conjugaison monomiale des deux séries chromosomiques périodiques x(X,Y) et y(X,Y), de période 2m, par le monôme de conjugaison ?^.Q xAQ yA(2m- Q) l'opération algébrique consistant à générer un chromosome conjugué : • en formant la puissance Q i-ème du chromosome x(X,Y) et la puissances 2mùQ i-ème du chromosome y(X,Y), puis • en réalisant le produit des deux exponentielles ainsi formées par le coefficient de conjugaison XQ. L'expression formelle d'une conjugaison monomiale est la suivante : 7,Q x(X,Y)AQ y(X,Y)^(2m-Q) Notation On utilise la notation, XQä v pour désigner le coefficient génétique du nucléotide de noyau cp, de degré u et de rang v de la série chromosomique périodique conjuguée XQ x(X,Y)AQ y(X,Y)^(2m-Q) Structure fine du nucléotide de degré 0 de la séquence génétique Go Le coefficient génétique XQoo du nucléotide de degré u=0 de la série chromosomique périodique conjuguée XQ x(X,Y)AQ y(X,Y)^(2m-Q) est égal à : XQu=o,o = ~Q J0,0^Q Mo,o^(2m-Q) Structure fine des nucléotides de degré 2m de la séquence génétique G2. On met en évidence une relation linéaire de récurrence entre le coefficient génétique XQu=2m,v du nucléotide de rang v du chromosome conjugué et le coefficient génétique XQi=2m,v_1 du nucléotide de rang v-1 : - pour Q=0 : XQ= - XQ= ù u=2m,v u=2m,vù1 ù X,0 2m Mo,o^(2m-1) ~o~asv M2m,v - pour O 2m de la séquence génétique G2rm Dans le cas des nucléotides de degré 2rm > 2m de la séquence génétique G2,,,,, on met en évidence la macrostructure linéaire suivante de XQä=2rm,v, XQu=2rm,v = 'Q2rm + 'DJQ2m J2rm,v + 'DMQ2m M2rm,v Dans cette expression : - le coefficient multiplicatif JQ2m de J2ni, v désigne : 4,'JQ2m = ?Q Q Jo,o^(Q-1) Mo o^(2m-Q) - le coefficient multiplicatif (I)MQ2m de M2irr,,v désigne : ~MQ2m = a.Q (2m-Q) Jo,o^Q Mo,o^(2m-Q-1) Le symbole I'Q2i.n, regroupe toutes les combinaisons multiplicatives mettant en oeuvre des coefficients génétiques des séries chromosomiques périodiques x(X,Y) et y(X,Y) intervenant dans la construction du coefficient génétique XQä=2rm,v et ayant un degré strictement inférieur à 2rm. Dans chaque combinaison multiplicative du terme composite I'Q2i.R, figure : - un produit d'au moins deux coefficients génétiques de x(X,Y) et/ou de y(X,Y) dont les degrés sont supérieurs ou égaux à 2m et, strictement, inférieur à 2rm, et/ou - une puissance de degré supérieure ou égal à deux d'un coefficient génétique de x(X,Y) ou de y(X,Y) de degré supérieur ou égal à 2m et, strictement, inférieur à 2rm. Le rang des coefficients génétiques mis en oeuvre est compris entre 0 et v. Nota : - pour Q=O, %~Q ou=2rm,v = 1-Q 2rm + ~MQ_o2m M2rm,v - pour Q=2m, ' Q=2mu=2rm,v = rQ=2m2rm + cDJQ=2m2m J2rm,v Chapitre V : Conjugaison polynomiale de deux séries chromosomiques x(X,Y) et y(X,Y) de période 2m Polynôme de conjugaison lo,q,2ä Âq X^q Y^(2m-q) On appelle polynôme de conjugaison un polynôme formé par la somme de 2m+1 monômes de conjugaison de mêmes degré 2m : I2m o,qq 2m Xq xAq y^(2m-q) ; par définition le degré d'un polynôme de conjugaison I2m est celui des monômes constitutifs. Conjugaison polynomiale On appelle conjugaison polynomiale de deux séries chromosomiques x(X,Y) et y(X,Y), de période 2m, par le polynôme de conjugaison I2m=GOsgslm~q xAq yA(2m-q) l'opération algébrique consistant à générer un chromosome conjugué : - en conjuguant les deux séries chromosomiques x(X,Y) et y(X,Y) par chacun des monômes de conjugaison composant le polynôme de conjugaison, puis - en réalisant la somme des 2m+1 chromosomes conjugués ainsi formés. L'expression formelle d'une conjugaison polynomiale est la suivante : ~osgq m ~q x(X,Y)Aq y(X,Y)^(2m-q) Notation On utilise la notation, pour désigner le coefficient génétique du nucléotide de noyau de degré u et de rang v de la série chromosomique périodique conjuguée LosgQm Xq x(X,Y)Aq y(X,Y)^(2m-q) Structure fine du nucléotide de la séquence génétique Go Le coefficient génétique Xä=o,o du nucléotide de degré 0 formé par les 2m+1 monômes de conjugaison est égale à Xu=0,0 = Lsqs2m ?\,q Jo,c,^q Mo,o^(2m-q) Il apparaît que Xä=o,o = 12m(Jo,o Mo,o)• Structure fine des nucléotides de degré 2m de la séquence génétique G2m On met en évidence une relation linéaire de récurrence entre le coefficient génétique entre le coefficient génétique Xu_2m,v du nucléotide de rang v de la série chromosomique périodique conjuguée et le coefficient génétique Xu-2m,v-i du nucléotide de rang v-1. Xu=2m,v = Xu_2m,v-i + (DM2m(Jo,o,Mo,o) M2m,v + IJ2m(Jo,o o,o) J2m,v Dans cette relation : (1J2m(Jo,o,Mo,o) _ ~osy~2m-i 4+t (q+l) Jo,o^q Moo^(2m-q-1) 4leM2m(Jo,o,Mo,o) _ ~o 2m de la séquence génétique G2r,n On met en évidence une relation linéaire de récurrence entre le coefficient génétique Xu=2rm>2m,v de degré 2rm supérieur à 2m et de rang v de la série chromosomique périodique produite par le polynôme de conjugaison L,Qm? q X^q Y^(2m-q) et les coefficients génétiques J2r,,,,v et M2,,,,,, de même degré 2rm supérieur à 2m et de même rang v des deux séries chromosomiques périodiques x(X,Y) et y(X,Y) d'origine : Xu=2r >2m,v = r2rm + 'J2m(Jo,o,Mo,o) J2rm,v + (eM2m(Jo,o * o,o) M2rm,v Dans cette expression F2r,,, désigne une somme de combinaisons multiplicatives des coefficients génétiques de x(X,Y) et/ou de y(X,Y). Dans chaque 20 combinaison multiplicative de F2,,, figure, au moins : - un produit de deux coefficients génétiques de x(X,Y) et/ou de y(X,Y) dont les degrés sont supérieurs ou égaux à 2m et, strictement, inférieur à 2rm, et/ou une puissance de degré supérieure ou égal à deux d'un coefficient génétique de x(X,Y) ou de y(X,Y) de degré supérieur ou égal à 2m et strictement inférieur 25 à 2rm. Le rang des coefficients génétiques mis en oeuvre est compris entre 0 et v. Application du calcul chromosomique à la description de systèmes discrets Soit un système évoluant de manière discontinue ; les états successifs du système sont repérés par un indice t prenant des valeurs entières. L'évolution du 30 système est décrite : -d'une part, par deux variables X et Y prenant des valeurs discrètes et et bt, indicées t, dans l'ensemble des entiers positifs, - d'autre part, par deux fonctions d'états St(X,Y) et I2m,t(X,Y) dont les paramètres de structure sont eux mêmes évolutifs. Les fonctions d'états considérées sont les suivantes : - St(X,Y) = X-EtY ; avec Et soit égal à +1 soit égal à -1, - I2m,t(X,Y) = L+05g4m~q,t X^q Y^(2m-q) Les paramètres de structure Xq,t prennent des valeurs discrètes, indicées t, dans l'ensemble des entiers positifs ou négatifs ; le polynôme I2m,t(X,Y) répond à la définition d'un polynôme de conjugaison Le système est soumis à des contraintes qui restreignent, entre deux états successifs d'indices t et t+l, les variations des valeurs d'état. Dans le cas considéré, une relation de linéarité est imposée entre I2m,t+1(ct+l,bt+1) et 12m,t(ct,bt). On considère deux pré-dicteurs xt+1(X,Y) et yt+1(X,Y) décrivant les valeurs et+1 et bt+1 prises par les variables d'état X et Y dans l'état d'indice t+l en fonction de leurs valeurs et et bt dans l'état d'indice t, et+1 = xt+1(ct,bt) et bt+1 = yt+1(ct,bt). Les deux pré-dicteurs xt+1(X,Y) et yt+1(X,Y), se présentent sous la forme de deux polynômes : xt+1(X,Y) = ~k=0 à l'infini 21(m Jt+1,2km j XAj YA(2km j) yt+1(X,Y) _ k=0 à l'infini > o j.m Mt+1,2kmj XAj YA(2km j) Les coefficients Jt+1,2km,j et Mt+1,2kmj de chacun des deux polynômes prennent des valeurs dans l'ensemble des entiers positifs ou négatifs. Les coefficients Jt+1,2kmj et Mt+1,2kmj sont corrélés ; autrement dit, ils sont tels que : Jt+1,2kmj - Et+l Mt+1,2kmj = 0 ; par exception, .It+1,o,0-Et+1Mt+1,o,0 ≠ O. Les deux pré-dicteurs xt+1(X,Y) et yt+1(X,Y) répondent à la définition données précédemment de deux séries chromosomiques périodiques, de période 2m, corrélées. En mettant en oeuvre un calcul chromosomique, on montre que l'on sait déterminer les coefficients génétiques Jt+1;0,0 et Mt+1,0,0, ainsi que le coefficient Wt+l, de telle sorte que la contrainte de linéarité, ci-après,,7~~soit satisfaite : 12m,t+1(Ct+1,bt+1) = 12m,t+1(Jt+1,0,O'{ 1t+1,0,0) + Wt+1 ~2m,t+l(Jt+l,o.o' 4t+1,o,0) 12m,t(Ct,bt)' avec : (D2m,t+I(Jt+1.0,0,Mi+1;o,0) = Lsg4m-1 Jt+l;o,o'q Mtil;ooA(2m-q-1) [Xq,t+1 (2m-q) + Et+l )\'q+l,t+1 (q+1)1. Le temps fort de ce calcul consiste à appliquer, de proche en proche, la relation de récurrence : Xu=2m,v = Xu=2m v-1 + I)M2m(J0,0,M0,0) M2m,v + (DJ2m(J0,0,M0,0) J2m,v On détermine ainsi la. suite des coefficients génétiques J2m,v et M2m,v compatibles avec des valeurs prédéterminés des coefficients génétiques Xu=2m,v du chromosome conjugué I2m[xt+1(X,Y),yt+1(X,Y)]• Scholie On développe ainsi, de manière formelle, en élargissant sa portée, la remarque présentée en introduction. Au cours d'une opération arithmétique, les éléments de poids élevés de deux formes peuvent être ajustées, indépendamment des éléments de plus faibles poids, de telle sorte que les éléments de poids élevés de la forme conjuguée aient des valeurs prédéterminées. La relation de récurrence : 12m,t+1(Ct+1,bt+1) = 12m,t+l(Jt+1,0,0,Mt+1,0,0) + Wt+l (1.2m,t+1(Jt+1,0,0,Mt+1,0,0) 12m,t(Ct,bt), n'est que la conséquence généralisée d'une idée évidente, a fortiori pour Pierre de Fermat et ses contemporains. Remarque Si les coefficients de conjugaison Xqt sont, de mêmes que les coefficients génétiques Jt+l;o,o, Mt+l;o,o et le coefficient Wt+,, des nombres entiers, alors 12m,t+l(ct+l,bt+l) est de même que I2m,t(ct,b) un entier. Toutefois, en ce qui concerne le coefficient Wt+1, la condition ci-dessus exprimée est une condition suffisante, elle n'est pas nécessaire ; en effet, si Wt+, est une fraction réduite dont le dénominateur est un diviseur de 12m,t+l(Jt+1,Mt+1) alors, I2m,t+I(ct+l,bt+1) est un entier. Notation Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, afin de simplifier l'écriture des relations de récurrence entre deux états consécutifs, on utilise les notations condensées : St = St(ct,bt), lt = 12m,t(Ict,bt), 1t+1 = 12m,t+l(Ct+l,bt+1), St+l = St+1(ct+l,bt+1), Jt+1 = Jt+1,0,0, Mt+1 = Mt+1,0,0, I ( Jt+1,Mt+1) = 12m,t+1(Jt+1,0,0J4t+1,0,0) (1)(Jt+1,Mt+l) = (D2m,t+1(Jt+1,o,0,Mt+l,0,o) avec ces notations les deux relations de récurrence deviennent : St+1 = Jt+l- t~r+l Mt+l I,+1 = I(Jt+1+Mt+,) + Wt+1 t (Jt+1+Mc+l) It Cas du système discret de Fermat Dans le cas du système discret, dit de Fermat, pour les valeurs particulières kq,c+,=Et+,"q des coefficients de conjugaison, l'expression de 4(Jt+l,t+1) devient : (D(Jt+1,Mt+,) = ne ~osq:snc-i Et+1"q Jt+1"q Mt+,"[(nc-1)-(q+1)] Nota : on utilise la notation 2m+1 = ne A priori, il semble exclu que le produit St+1 It+, soit une exponentielle entière de puissance nc. Toutefois, dans un univers contraint par Fermat, c'est-à-dire dans un univers où St It est une exponentielle entière de puissance nc, on doit s'attendre à ce qu'il en soit ainsi. Dans cette perspective, une piste est ouverte par la relation de récurrence entre 4+, et It : It+1 = I(Jt+I,Mt+1) + W,+1 ~(Jt+1+Mc+1) lt Reste à trouver les valeurs appropriées des paramètres d'évolution Et+l, Jt+1, Mt+l et Wt+1 Choix des valeurs des paramètres d'évolution et+> On retient, pour les paramètres d'évolution J,+, et Mt+1 les structures suivantes : Jt+1 ù ( t+1 st+1)"ne et set 6t Mt+1 = (kt+, st+,)"nc bt St IEt avec st+, entier et kt+, de la forme k',+1 st+, avec k't+1 entier. Répliques En reportant les structures de Jt+1 et Mt+, retenues dans la relation de récurrence It+, = I(J,+1,Mt+1) + Wtfl 4 (Jt+1,Mt+1) It on met en évidence que les valeurs d'états SEt+1 et SEt+1 IEt+1 à l'état t+l sont liées aux valeurs états SE, et SE, IEt à l'état t par les relations de récurrences suivantes : _ n IE SEt+1 t+1 St+1 nC 1~t I SEt+1 IEt+1 ù Rkt+1 wt+l)nnc SEIIEtl ]Anc (SEtIEt) avec wt+1 entier. On obtient le résultat attendu, SEt+1 IEt+1 est une réplique SE, IEt ; la valeur d'état SEt+IIt+I est comme SM't une exponentielle entière de puissance n~. Revendications 1. Procédé pour déterminer l'évolution d'un systèmes physique ; ledit système physique évoluant de manière discontinue entre un état antérieur et un état postérieur conformément à des paramètres d'évolution ; lesdits états antérieurs et postérieurs étant caractérisés par des valeurs discrètes prisent par des fonctions d'états en fonction de valeurs discrètes prisent par des variables d'états ; ledit procédé comprenant : -l'étape d'associer lesdites valeurs discrètes des variables d'état, relatives à un même état antérieur, à une forme géométrique discrète (1,2,3,4) ; - l'étape de classer dans une même classe (41,42) les formes géométriques discrètes ayant des caractéristiques géométriques communes (43,45) ; - l'étape d'attribuer à chaque classe (41,42) une expression algébrique prenant des valeurs discrètes ; - l'étape de procéder à un traitement algébrique (700,800) des expressions algébriques relatives aux classes antérieures, conformément auxdits paramètres d'évolution, de manière obtenir les expression algébriques relatives aux classes postérieures. 2. Procédé selon la revendication 1 ; lesdits états antérieurs et postérieurs étant caractérisés par des valeurs entières prisent par des fonctions d'états en fonction de valeurs entières prisent par n variables d'états ; ledit procédé comprend l'étape d'associer lesdites n valeurs entières des variables d'état, relatives à un même état antérieur, à une forme géométrique se présentant sous la forme d'une figure à n cotés. 3. Procédé selon la revendication 2 ; lesdits états antérieurs et postérieurs étant caractérisés par des valeurs entières prisent par des fonctions d'états en fonction de valeurs entières prisent par trois variables d'états ; ledit procédé comprend l'étape d'associer lesdites valeurs entières desdites trois variables d'état, relatives à un même état antérieur, à une forme géométrique se présentant sous la forme d'un triangle (1,2,3,4). 4. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 3 ; ledit procédé étant tel que lesdites classes sont des classes d'invariance. 5. Procédé pour contrôler l'authenticité d'une entité et/ou l'authenticité d'un message et/ou la signature de message au moyen de très grands nombres premiers ayant des structures ou des morphologies déterminées ; ledit procédé mettant en oeuvre, dans le cadre d'un processus interactif probabiliste, des fonctions d'états et des variables d'états prenant des valeurs entières ; lesdites fonctions d'états et lesdites variables d'états évoluant de manière discontinue entre un état antérieur et un état postérieur, conformément à des paramètres d'évolution ; ledit procédé étant caractérisé en ce qu'il comprend pour générer lesdits très grands nombres premiers : - l'étape d'associer lesdites valeurs discrètes des variables d'état, relatives à un même état antérieur, à une forme géométrique discrète (1,2,3,4) ; - l'étape de classer dans une même classe (41,42) les formes géométriques discrètes ayant des caractéristiques géométriques communes (43,45) ; - l'étape d'attribuer à chaque classe (41,42) une expression algébrique prenant des valeurs discrètes ; -l'étape de procéder à un traitement algébrique (700,800) des expressions algébriques relatives aux classes antérieures, conformément auxdits paramètres d'évolution, de manière obtenir les expression algébriques relatives aux classes postérieures.