FR 2916594 A1 20081128 FR 0755216 A 20070523 PROCEDE D'AUTHENTIFICATION D'UNE ENTITE PAR UNE ENTITE VERIFICATRICE La présente invention concerne un procédé d'authentification d'une entité auprès d'une entité vérificatrice. L'invention trouve une application particulièrement avantageuse dans le domaine des protocoles cryptographiques d'authentification de puces électroniques à très bas coût, avec ou sans contact, notamment les étiquettes radiofréquence RFID ( RadioFrequency IDentification ). Les puces électroniques bas coût, du type RFID par exemple, sont utilisées dans de nombreuses applications comme l'étiquetage et le traçage d'objets (médicaments, livres d'une bibliothèque, etc.), ou encore la production et la vérification de tickets ou de billets électroniques, tels que des titres de transport. Quelle que soit l'application considérée, il est nécessaire de prévenir les fraudes qui pourraient survenir sur la base de la falsification des puces, en particulier leur recopie, ou clonage, ou le rejeu des données qu'elles transmettent. Afin de protéger les applications contre de telles attaques, il est impératif de procéder à une authentification des puces lors de leurs interactions avec un lecteur. Cependant, tout protocole d'authentification entre une entité à authentifier, comme une puce bas coût, et un lecteur jouant le rôle d'entité vérificatrice, doit tenir compte de l'extrême limitation des ressources de calcul de ce type de puces, le plus souvent à logique câblée. Récemment, il a été proposé (A. Juels et S.A. Weis, Authenticating Pervasive Devices with Human Protocols , in V. Shoup, Editor, Advances in Cryptology-Crypto 05, Lectures Notes in Computer Science, Vol. 3126, pp. 293-308, Springer Verlag) un protocole d'authentification symétrique spécifiquement conçu pour répondre aux besoins des puces RFID. Ce protocole est connu sous le nom de HB+ (Hopper-Blum). La figure 1 représente les échanges de données effectués au cours du protocole HB+ entre l'entité à authentifier et l'entité vérificatrice. Comme on peut le voir sur cette figure, l'entité à authentifier, une puce RFID par exemple, et l'entité vérificatrice, un lecteur de la puce, partagent une paire de clés secrètes x et y constituées par des vecteurs binaires de n bits. Ces clés secrètes sont stockées dans des moyens de stockage de la puce et du lecteur référencés respectivement 10 et 20. Le protocole HB+ se déroule sur r tours successifs. A chaque tour, la puce tire au sort (bloc 100) et transmet (1) au lecteur un vecteur binaire b de i0 n bits. De même, le lecteur tire au sort (bloc 200) et transmet (2) à la puce un vecteur binaire a de n bits. Le tirage au sort des vecteurs b et a est réalisé selon une loi de probabilité uniforme. La puce répond ensuite au défi a lancé par le lecteur en calculant (bloc 120) et en lui transmettant (3) une réponse bruitée z = a • x U+ b • y O+ v , où • 15 représente l'opération produit scalaire modulo 2 et l'addition modulo 2. v est un bit de bruit tiré au sort par la puce (bloc 110) ; il prend la valeur 1 avec une probabilité ri Enfin, un troisième inconvénient de HB+ est la complexité excessive qu'il induit dans les communications entre la puce et le lecteur. Avec les mêmes chiffres que précédemment, on peut voir qu'il est nécessaire d'échanger 44900 bits à chaque authentification, soit, à chacun des 100 tours, 224 bits pour b, 224 bits pour a, et un bit pour le résultat z . On voit que, même avec un débit de 10000 bits/s, il faut plus de quatre secondes au lecteur pour authentifier une puce, ce qui reste une valeur prohibitive pour l'ergonomie du système, sans compter avec les problèmes d'alimentation de la puce qui en découlent. Aussi, l'invention a pour but de proposer un procédé d'authentification d'une entité auprès d'une entité vérificatrice, qui, dans le contexte du protocole HB+, permettrait d'en augmenter la robustesse face aux attaques actives mentionnées plus haut, et également d'en améliorer les performances en termes de taux de fausses alertes et de quantité d'informations devant être échangées entre les deux entités concernées. Ce but est atteint, conformément à l'invention, grâce à un procédé d'authentification d'une entité auprès d'une entité vérificatrice, lesdites entités partageant une paire de clés secrètes X et Y, remarquable en ce que lesdites clés secrètes X et Y sont des matrices binaires nxm (n,m>l), ledit procédé comprenant des étapes répétées r fois (r 1) consistant : - pour l'entité à authentifier et l'entité vérificatrice, à échanger des vecteurs binaires a et b de n bits respectivement tirés au sort par l'entité vérificatrice et l'entité à authentifier, et, pour l'entité à authentifier, à tirer au sort un vecteur binaire de bruit c de m bits, chacun desdits m bits étant égal à 1 avec une probabilité 77 inférieure à 1/2 , et à calculer et transmettre à l'entité vérificatrice un vecteur de réponse z de m bits égal à z = aX c , - pour l'entité vérificatrice, à calculer le poids de Hamming d'un vecteur d'erreur e = z aX bY , puis, pour l'entité vérificatrice, à accepter l'authentification si les poids de Hamming des r vecteurs d'erreur e vérifient une relation de comparaison à un paramètre fonction de la probabilité 77. Ainsi, on peut constater que le procédé conforme à l'invention offre une meilleure résistance aux attaques consistant à modifier les bits du défi a dans le but de reconstituer le secret X . En effet, si le premier bit de a est modifié, cette modification affecte les produits de ce bit avec les premiers bits des m colonnes de X , ce qui affecte également les in bits du produit aX et donc la réponse z dans son ensemble. Par conséquent, il n'est pas possible de déduire de l'observation de l'effet d'une modification de bits de a sur le résultat d'authentification une quelconque information sur le secret X puisque plusieurs des m bits de z peuvent être modifiés sans qu'on puisse connaître leur nombre ni leur position, alors que dans le cas du protocole HB+ toute modification d'un bit de a affecte directement la réponse z , celle-ci n'étant constituée que d'un seul bit. S'agissant des performances du procédé, objet de l'invention, il faut observer que, la réponse z à chaque tour s'écrivant sur m bits, tout se passe en substance comme si on effectuait m tours en un seul. Il en résulte que, dans une première situation extrême, on peut réduire d'un facteur de l'ordre de m le nombre de tours, et donc en pratique limiter le nombre de tours à un seul, ce qui permet de conserver les performances du protocole HB+ en taux de fausses alertes, mais en réduisant le nombre de bits échangés de r(2n+1) à 2n+m, c'est à dire de 44900 bits à 576, avec n = 224 et m=128 , ce qui représente un gain considérable. On comprend sur cet exemple tout l'intérêt de l'invention de permettre de limiter à 1 le nombre r de tours, ce qui est impossible à envisager dans le cas du protocole HB+. Dans une deuxième situation extrême, le nombre de tours est le même. Dans ce cas, le nombre de données échangées augmente légèrement, mais par contre le taux de fausses alertes devient insignifiant. Bien entendu, une situation réaliste sera choisie entre ces deux situations extrêmes avec à la fois une réduction du taux de fausses alertes et du nombre de bits échangés entre la puce et le lecteur. Selon un mode de réalisation particulier de l'invention, lesdites matrices X et Y sont des matrices de Toeplitz. On verra en détail plus loin que cette disposition avantageuse permet de limiter la capacité de stockage des puces et des lecteurs à n + m -1 au lieu de n x m dans le cas de matrices choisies quelconques. Un autre avantage est de simplifier le calcul des produits aX et bY. L'invention concerne également une entité destinée à être authentifiée par une entité vérificatrice, lesdites entités partageant une paire de clés secrètes X et Y, remarquable en ce que ladite entité comprend des moyens de stockage de clés secrètes X et Y constituées par des matrices binaires n x m (n, m > 1), des moyens de communication avec l'entité vérificatrice, et des moyens de calcul aptes à effectuer r fois (r 1) les étapes consistant : - à tirer au sort et transmettre à l'entité vérificatrice un vecteur binaire b de n bits, - à recevoir de l'entité vérificatrice un vecteur binaire a de n bits, l0 - à tirer au sort un vecteur binaire de bruit c de m bits, chacun desdits m bits étant égal à 1 avec une probabilité ri inférieure à 1/2 , et à calculer et transmettre à l'entité vérificatrice un vecteur de réponse z de m bits égal à z=aXbYeec. L'invention concerne en outre un programme d'ordinateur comprenant 15 des instructions de programme pour la mise en oeuvre des étapes effectuées par l'entité des moyens de calcul de ladite entité. L'invention concerne de plus une entité vérificatrice partageant une paire de clés secrètes X et Y avec une entité à authentifier, remarquable en ce que ladite entité vérificatrice comprend des moyens de stockage de clés 20 secrètes X et Y constituées par des matrices binaires n x m (n, m >1), des moyens de communication avec l'entité à authentifier, et des moyens de calcul aptes à effectuer r fois (r >_ 1) les étapes consistant : -recevoir de l'entité à authentifier un vecteur binaire b de n bits, - à tirer au sort et transmettre à l'entité à authentifier un vecteur binaire a de 25 n bits, - recevoir de l'entité à authentifier un vecteur de réponse z de m bits, - à calculer le poids de Hamming d'un vecteur d'erreur e = z O aX O bY , et à accepter l'authentification si les poids de Hamming des r vecteurs d'erreur e vérifient une relation de comparaison à un paramètre (T,t) fonction de la 30 probabilité ri. Enfin, l'invention concerne un programme d'ordinateur comprenant des instructions de programme pour la mise en oeuvre des étapes effectuées par l'entité vérificatrice conforme à l'invention lorsque ledit programme est exécuté par un ordinateur des moyens de calcul de ladite entité vérificatrice. La description qui va suivre en regard du dessin annexé, donné à titre d'exemple non limitatif, fera bien comprendre en quoi consiste l'invention et s comment elle peut être réalisée. La figure 2 représente les échanges entre l'entité à authentifier et l'entité vérificatrice au cours du procédé conforme à l'invention. La figure 3 est un schéma d'une entité à authentifier conformément au procédé de la figure 2. to La figure 4 est un schéma d'une entité vérificatrice chargée d'authentifier l'entité de la figure 3 conformément au procédé de la figure 2. Sur la figure 2 est illustré est procédé d'authentification permettant à une entité vérificatrice, un lecteur de puces avec ou sans contact par exemple, de vérifier l'identité d'une entité à authentifier qui, dans cet exemple, peut être 15 une puce RFID. Le procédé décrit à la figure 2 est un procédé dit symétrique où les deux entités, puce et lecteur, partagent les mêmes clés secrètes. Celles-ci, désignées X et Y, sont des matrices binaires n x m (n, m > 1) comportant n lignes et m colonnes. Les clés secrètes X et Y sont stockées dans des 20 moyens de stockage de la puce et du lecteur référencés respectivement 10 et 20 sur la figure 2, ainsi que sur les figures 3 et 4. Le procédé conforme à l'invention est structuré en étapes répétées r fois (r 1). On entend par r fois le fait que les échanges entre la puce et le lecteur peuvent être effectués séquentiellement en r tours de trois passes, 25 comme indiqué sur la figure 2, où le nombre de tours nbt est incrémenté de 1 à chaque tour par un compteur (bloc 250), ou bien en parallèle sur trois passes, chaque passe comprenant la transmission de r données d'une entité à une autre. Dans l'exemple de la figure 2, la puce 1 tire au sort à chaque tour (bloc 30 100) et transmet (1) au lecteur 2 un vecteur binaire uniligne b de n bits. Le lecteur 2 transmet (2) alors à la puce 1 un défi ii (bloc 200) qui est également un vecteur binaire uniligne de n bits tiré au sort. Le tirage au sort des vecteurs binaires b et a est réalisé selon une distribution uniforme des bits 0 et 1. s En réponse au défi a, la puce 1 transmet (3) au lecteur 2 un vecteur binaire uniligne z de m bits égal à la somme modulo 2 z = aX bY e c (bloc 120'), où e est un vecteur binaire uniligne de bruit de m bits, tiré au sort (bloc 110') par la puce 1 selon une loi de probabilité assurant que chaque bit de c est égal à 1 avec une probabilité égale, ou inférieure ou égale, à un paramètre i inférieur à 1/2 . Pour ce faire, chaque bit du vecteur de bruit c peut être tiré au sort indépendamment, selon une loi de Bernoulli de paramètre 17 Dans ces deux derniers cas, le paramètre t vaut (i + e où s est une marge inférieure à 1/ 2 , éventuellement nulle. En prenant r =1, n = 256 , m=128 , ri= 0,25 et avec un tirage au sort du vecteur de bruit c parmi les vecteurs binaires de longueur 128 et de poids s de Hamming 32, soit 17 x m , l'authentification de la puce sera acceptée selon la troisième stratégie ci-dessus si et seulement si le poids du vecteur d'erreur e est à chaque tour exactement égal à 32 , ceci avec s = 0 . Dans cet exemple, on peut voir que la longueur totale des échanges est de seulement 640 bits, soit 2n +m. D'autre part, on peut observer que le taux to de fausses alertes est strictement nul et que la taux de faux positifs pour une attaque consistant à essayer une valeur aléatoire de z est voisin de 10-8 , ce qui est tout à fait acceptable en pratique. Sur la figure 2, la séquence des échanges entre la puce 1 et le lecteur 2 est : envoi de b au lecteur, envoi de a à la puce, tirage au sort de c par la 15 puce et envoi de z au lecteur. Il faut cependant noter qu'une autre séquence pourrait également être utilisée, à savoir : envoi de a à la puce, tirage au sort de b et de c par la puce et envoi de b et de z au lecteur. Cette dernière séquence a l'avantage de réduire le nombre des échanges. Selon un mode de réalisation qui permet de réduire fortement la 20 quantité de mémoire nécessaire pour stocker les matrices X et Y, ainsi que la complexité des calculs à effectuer par la puce et l'entité vérificatrice, chacune des matrices X et Y peut être sélectionnée à l'intérieur d'un sous-ensemble strict de l'ensemble des matrices n x m et décrite dans la puce à l'aide d'un nombre de bits strictement inférieur à nxm. Ainsi, par exemple, la 25 quantité de mémoire nécessaire pour stocker chaque matrice peut être ramenée à seulement n + m -1 lorsque X et Y sont des matrices de Toeplitz, à savoir des matrices à coefficients constants le long des diagonales, et dont l'ensemble des coefficients est entièrement déterminé par les coefficients de la première ligne et de la première colonne. Si X est une matrice de Toeplitz 30 et si x. f désigne le coefficient de la t-ème ligne et de la j-ième colonne, est égal à si i est supérieur ou égal à j, et à x, 1_. tl dans le cas contraire. La méthode d'implémentation suivante permet d'effectuer très efficacement bit par bit le produit d'un vecteur binaire, a par exemple, et d'une matrice de Toeplitz, X par exemple, décrite au moyen des n + rra -1 coefficients de sa première ligne et de sa première colonne, et utilisant deux registres de m bits, l'un pour calculer la ligne courante de la matrice et l'autre, initialisé à 0 , pour accumuler les résultats partiels du produit vecteur-matrice. Le premier registre est initialisé à l'aide de la première ligne de X, puis chacun des bits du vecteur a est traité de la manière suivante : si le bit courant de a est égal à 1, la valeur de la ligne courante de X est combinée par ou exclusif bit à bit avec la valeur courante du registre d'accumulation des résultats partiels. Dans le cas contraire, la valeur courante de ce registre n'est pas modifiée. Dans les deux cas, tant que la ligne courante n'est pas la dernière ligne de la matrice X, le registre contenant la ligne courante de cette matrice est mis à jour en effectuant une rotation du contenu de ce registre d'un bit vers la droite, suivie de la recopie dans la cellule de gauche de ce registre du coefficient de la première colonne correspondant à la nouvelle ligne courante. Comme le montre la figure 3, la puce 1 destinée à être authentifiée par le lecteur 2, ces deux entités partageant une paire de clés secrètes X et Y, comprend des moyens 10 de stockage des clés secrètes X et Y constituées par des matrices binaires n x m (n, m > 1), des moyens 12 de communication avec le lecteur 2, et des moyens 11 de calcul aptes à effectuer r fois (r 1) les étapes consistant, conformément au procédé décrit en regard de la figure 2 - à tirer au sort et transmettre au lecteur 2 un vecteur binaire b de n bits, - à recevoir du lecteur 2 un vecteur binaire a de n bits, - à tirer au sort un vecteur binaire de bruit c de m bits, chacun desdits m bits étant égal à 1 avec une probabilité 17 inférieure à 1/2, et à calculer et transmettre au lecteur 2 un vecteur de réponse z de rn bits égal à z=aXG+bYe9c. De même, on peut voir sur la figure 4 un lecteur 2 chargé d'authentifier une puce 1, comprenant des moyens 20 de stockage des clés secrètes X et Y constituées par des matrices binaires n x m (n, m >1), des moyens 22 de 2916594 Il communication avec la puce 1 à authentifier, et des moyens 21 de calcul aptes à effectuer r fois (r 1) les étapes consistant, conformément au procédé décrit en regard de la figure 2 : - à recevoir de la puce 1 à authentifier un vecteur binaire b de n bits, 5 - à tirer au sort et transmettre à la puce 1 un vecteur binaire a de n bits, - à recevoir de la puce 1 un vecteur de réponse z de In bits, - à calculer le poids de Hamming d'un vecteur d'erreur e = z aX bY, et à accepter l'authentification si les poids de Hamming des r vecteurs d'erreur e vérifient une relation de comparaison à un paramètre fonction de la probabilité lo ii. En particulier, l'authentification est acceptée si la somme des poids de Hamming des vecteurs d'erreur e obtenus sur les r tours est inférieure à un paramètre égal à un seuil T , comme cela a été décrit en détail plus haut. 15 REVENDICATIONS 1. Procédé d'authentification d'une entité (1) auprès d'une entité vérificatrice (2), lesdites entités partageant une paire de clés secrètes X et Y, caractérisé en ce que lesdites clés secrètes X et Y sont des matrices binaires n x m (n, m > 1), ledit procédé comprenant des étapes répétées r fois (r 1) consistant : 10 - pour l'entité (1) à authentifier et l'entité vérificatrice (2), à échanger des vecteurs binaires a et b de n bits respectivement tirés au sort par l'entité vérificatrice (2) et l'entité (1) à authentifier, et, pour l'entité (1) à authentifier, à tirer au sort un vecteur binaire de bruit c de m bits, chacun desdits m bits étant égal à 1 avec une probabilité 17 inférieure à 1/2, et à calculer et 15 transmettre à l'entité vérificatrice (2) un vecteur de réponse z de m bits égal à z=aXO+bYO+c, - pour l'entité vérificatrice (2), à calculer le poids de Hamming d'un vecteur d'erreur e=zE+aXO+bY, puis, pour l'entité vérificatrice (2), à accepter l'authentification si les poids de 20 Hamming des r vecteurs d'erreur e vérifient une relation de comparaison à un paramètre (T,t) fonction de la probabilité 17. 2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel ladite relation de comparaison consiste en ce que la somme des poids de Hamming des vecteurs d'erreur e obtenus sur les r tours est inférieure à un paramètre égal 25 à un seuil T . 3. Procédé selon la revendication 2, dans lequel le seuil T vaut 411 + e)m où s est une marge inférieure à 1/2 . 4. Procédé selon la revendication 1, dans lequel ladite relation de comparaison consiste en ce que le poids de Hamming du vecteur d'erreur e 30 obtenu à chaque tour est inférieur à un paramètre égal à un seuil t. . Procédé selon la revendication 1, dans lequel ladite relation de comparaison consiste en ce que le poids de Hamming du vecteur d'erreur e obtenu à chaque tour est égal à un paramètre égal à une valeur t. 6. Procédé selon l'une des revendications 4 ou 5, dans lequel t vaut (17 + e)m s où e est une marge inférieure à 1/2. 7. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 6, dans lequel lesdites matrices X et Y sont des matrices de Toeplitz. 8. Entité destinée à être authentifiée par une entité vérificatrice (2), lesdites entités partageant une paire de clés secrètes X et Y, caractérisée en ce que to ladite entité (1) comprend des moyens (10) de stockage de clés secrètes X et Y constituées par des matrices binaires n x m (n, m > 1), des moyens (12) de communication avec l'entité vérificatrice (2), et des moyens (11) de calcul aptes à effectuer r fois (r 1) les étapes consistant : - à tirer au sort et transmettre à l'entité vérificatrice (2) un vecteur binaire b de 15 n bits, - à recevoir de l'entité vérificatrice (2) un vecteur binaire a de n bits, - à tirer au sort un vecteur binaire de bruit c de rn bits, chacun desdits m bits étant égal à 1 avec une probabilité ri inférieure à 1/2 , et à calculer et transmettre à l'entité vérificatrice (2) un vecteur de réponse z de m bits égal à 20 z=aX$bY$c. 11. Programme d'ordinateur comprenant des instructions de programme pour la mise en oeuvre des étapes de la revendication 8 lorsque ledit programme est exécuté par un ordinateur des moyens (11) de calcul de ladite entité (1). 12. Entité vérificatrice partageant une paire de clés secrètes X et Y avec une 25 entité (1) à authentifier, caractérisée en ce que ladite entité vérificatrice (2) comprend des moyens (20) de stockage de clés secrètes X et Y constituées par des matrices binaires n x m (n, m > 1), des moyens (22) de communication avec l'entité (1) à authentifier, et des moyens (21) de calcul aptes à effectuer r fois (r >_ 1) les étapes consistant : 30 - recevoir de l'entité (1) à authentifier un vecteur binaire b de n bits, - à tirer au sort et transmettre à l'entité (1) à authentifier un vecteur binaire a de n bits, - recevoir de l'entité (1) à authentifier un vecteur de réponse z de m bits,- à calculer le poids de Hamming d'un vecteur d'erreur e = z aX G bY , et à accepter l'authentification si les poids de Hamming des r vecteurs d'erreur e vérifient une relation de comparaison à un paramètre (T,t) fonction de la probabilité 11. Programme d'ordinateur comprenant des instructions de programme pour la mise en oeuvre des étapes de la revendication 10 lorsque ledit programme est exécuté par un ordinateur des moyens (21) de calcul de ladite entité vérificatrice (2). 10