FR 2921160 A1 20090320 FR 0757654 A 20070918 PROCEDE DE TRAITEMENT DE SIGNAUX HYPERCOMPLEXES DOMAINE TECHNIQUE GENERAL La présente invention est relative au traitement de signaux au moyen de nombres hypercomplexes et trouve avantageusement application dans le domaine de la résonance magnétique nucléaire. ETAT DE LA TECHNIQUE Généralités théoriques sur le traitement du siqnal en résonance maqnétique nucléaire La Résonance Magnétique Nucléaire (RMN) est une technique qui permet d'ôter la dégénérescence d'un système complexe c'est-à-dire de déterminer pour celui-ci, quelles sont les molécules présentes, en quelles quantités et quelle est leur position dans l'espace. Dans une expérience RMN, quelle qu'elle soit, un signal est acquis comme étant une fonction implicite ou explicite du temps. La quantité mesurée est une aimantation, somme de moments magnétiques en rotation, le signal RMN noté dS crée par un petit élément différentiel est donné par la relation suivante dS(x, y, z,v, t) = p (x, y, z,'o, t)e`f(x,Y,zv,t>, où pax, y,z,v,t) représente la quantité que l'on recherche, c'est-à-dire la densité de spin du noyau observé à la position (x,y,z), v est introduit pour tenir compte du fait que la fréquence de rotation des moments magnétiques peut être modifiée par un facteur d'écran dépendant de l'environnement chimique, f(x,y,z,v,t) est connue et définie comme une fonction implicite ou explicite du temps. Le signal dS(x,y,z,v,t) est complexe (élément du corps des complexes) car il représente l'intensité et la phase d'un moment magnétique en rotation. Si on considère l'échantillon dans son ensemble, le signal total acquis est proportionnel à S(t) = f f f4Y4z4v p (x, y, z,v) . if x'Y~'~'`)dxdydzdv, 4x où &, Dy, Oz, Au sont les bornes d'intégration du signal suivant les directions x,y,z et fréquentielles, respectivement. Le signal S(t) est un signal complexe et est vu comme étant la somme de signaux complexes. La RMN permet à partir du signal acquis en fonction du temps de déterminer une (la) fonction p(x, y,z,v,t) qui l'a généré. En particulier, la RMN permet de reconstruire une image à partir du signal acquis. Reconstruire l'image à partir du signal revient en fait à résoudre un système d'équation du type : S(t) = Mp(x, y,z,...) dans lequel S est un vecteur connu dont les éléments sont des nombres complexes correspondant à l'échantillonnage du signal au cours du temps, p est le vecteur à déterminer et M est une matrice dont les éléments sont connus car définis par les conditions expérimentales A cet effet, la RMN utilise la possibilité de réécrire la fonction f(x,y,z,v,t) sous la forme f (t) = kx(t).x+ky(t).y+kz(t).z+k) (t).v. En effet, dans ces conditions, une exponentielle étant sans dimensions, les valeurs kx (t), kY (t), kZ (t), kv (t) sont les variables conjuguées de x, y, z,v et S(t) peut se réécrire S(kx (t), kY (t), kz (t), k1, (t)). S et p sont alors reliés par une (des) transformée de Fourier. Ainsi, le but d'une acquisition RMN est de faire en sorte que le signal acquis S(t) puisse être mis sous la forme S(kx,ky,kz, kv) avec kx,ky,kz, k1, éléments d'une grille cartésienne. Cette condition est réalisée pour l'imagerie RMN en � balayant � l'espace des k (ou encore espace de Fourier) au moyen de gradients de champs magnétique qui vont permettre d'acquérir suffisamment de points de coordonnées kx,ky,kz, kv pour que l'on puisse reconstruire un volume dans l'espace x, y, z,v et ainsi lever la dégénérescence du signal acquis. Ainsi, la possibilité d'acquérir des images rapidement avec une haute résolution spatiale est conditionnée par la possibilité de parcourir l'espace des k rapidement et sur une large plage de fréquences (gradients de champs intenses et commutant rapidement). Les figures la et 1 b illustrent le balayage de l'espace des k dans le cadre d'une séquence � Echo Planar Imaging �. Au cours de cette séquence, l'aimantation transversale est crée par la radio fréquence, RF (voir figure 1 a). Ensuite les K points du signal acquis au cours du temps entre les repères 1 et N représentent le signal S(t) décrivant une grille cartésienne dans l'espace des k (voir figure 1 b) au moyen des gradients GX(t) et Gy(t) (voir figure 1 a). Dans cette séquence, comme dans toute expérience RMN actuelle, l'information injectée activement dans le signal se limite à la phase et la vitesse de rotation des aimantations. La double transformée de Fourier opérée sur le signal préalablement réécrit sous la forme S(kx, ky) est (juste) une astuce mathématique permettant de résoudre très facilement le système et ainsi, de passer de S(kx, ky) à p(x, y) . La dégénérescence du signal acquis est levée. Il est à noter que l'on impose aux gradients suivant x des variations extrêmement rapides entre les amplitudes maximums positives et négatives. Problèmes de l'état de la technique Les limites du mode opératoire ci-dessus décrit sont celles dictées par les équations d'Eisenberg (principe d'incertitude) : la résolution spatiale dans un espace (x, y, z,v) est inversement proportionnelle à la résolution spatiale dans l'espace conjugué (kx,ky,kz, kv ). Les résolutions spatiale comme temporelle dépendent du temps à disposition avant que le signal ne disparaisse (paramètre intrinsèque à chaque tissu) ainsi que de l'intensité des gradients de champs que l'on est en mesure d'appliquer pour le codage du signal (paramètre intrinsèque à la machine utilisée, limitations introduites par le matériel, contraintes imposées par les normes de sécurité pour les patients). Ainsi, pour balayer l'espace des k, on impose aux gradients suivants x des variations extrêmement rapides : les gradients peuvent avoir à osciller entre leur valeurs limites (de l'ordre du Teslas par mètre) à des fréquences de l'ordre du kilo Hertz. Ce phénomène engendre un bruit acoustique très fort, pouvant entraîner des lésions irréversibles du tympan chez le patient placé dans le champ au cours de l'expérience RMN. De plus, pour de fortes intensités de gradient, cette oscillation provoque des stimulations nerveuses directes nuisibles. En outre, le temps pendant lequel le signal peut être acquis est en général limité à deux ou trois centaines de millisecondes, ainsi les impulsions radio fréquences servant à créer le signal observable doivent être répétées pour acquérir des images. Une telle répétition induit un échauffement localisé des tissus (SAR), pouvant être dangereux pour l'organisme. Enfin, certains tissu de l'organisme (cartilages, tendons, os, ...) sont caractérisés par un temps de relaxation court. Pour ces tissus, le signal ne peut être acquis que sur une période très courte (de l'ordre de la dizaine de micro-secondes pour l'os). Cette spécificité limite énormément la résolution spatiale maximale que l'on peut atteindre, voir interdit la visualisation du tissus (os). Au prix de nombreux inconvénients, la RMN permet de lever la dégénérescence d'un signal acquis par un balayage de l'espace des k, un tel balayage met en oeuvre des nombres complexes et des trajectoires de balayage de l'espace engendrant les inconvénients précités. Or un nombre complexe ne peut contenir que deux informations, une dans sa partie réelle, une autre dans sa partie imaginaire. Ainsi par exemple, deux points caractérisés par la même phase et la même fréquence sont après reconstruction assimilés à un même point. Le signal reconstruit est alors dégénéré, même si ces points sont de plus caractérisés par des accélérations très différentes. PRESENTATION DE L'INVENTION L'invention propose une approche originale pour lever la dégénérescence d'un signal. A cet effet, l'invention est fondée sur le fait que l'on peut encoder de l'information sous une forme � supérieure � à celle d'une suite de nombres 10 complexes. Ainsi, l'invention concerne selon un premier aspect, un procédé de traitement d'un signal comprenant une acquisition d'un signal sous la forme de nombres complexes. Le procédé de l'invention est en particulier caractérisé par le fait que le signal acquis est traité au moyen de nombres 15 hypercomplexes. Dans la présente invention, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l'arithmétique des nombres complexes. Le procédé de l'invention peut comprendre facultativement au moins 20 l'une des caractéristiques suivantes : - au cours de l'acquisition un encodage du signal est effectué ; - le signal acquis est généré par un objet codé selon N dimension(s) ; - l'acquisition s'opère dans un espace à N dimensions, avec N 25 supérieur ou égal à deux ; - au cours de l'acquisition l'espace à N dimensions est parcouru selon une trajectoire de manière à ce que le signal à reconstruire soit faiblement dégénéré ; -la trajectoire multidimensionnelle est une fonction 30 polynomiale ; - au cours de l'acquisition au moins un champ magnétique variable au cours du temps est appliqué suivant au moins une des N dimensions ; - le signal acquis contient implicitement ou explicitement de l'information stockée sous une forme autre que les seules phase, vitesse de rotation et intensité issues des champs magnétiques appliqués ; - chaque point du signal complexe acquis et chacune de ses dérivés par rapport au temps (ou combinaison linéaire de ces dérivés par rapport au temps) est considéré comme une composante d'un point hypercomplexe du signal à traiter ; - le procédé comprend en outre une étape de décodage consistant en la résolution d'un système, ledit système à résoudre comprenant un signal hypercomplexe et une matrice hypercomplexe ; - le signal hypercomplexe est un signal quaternionique ; Selon un second aspect, l'invention concerne un système d'imagerie par résonance magnétique nucléaire. Le dispositif de l'invention est caractérisé en ce qu'il comprend des moyens pour mettre en oeuvre le procédé selon le premier aspect de l'invention. Avantaqes de l'invention Le fait de traiter le signal au moyen de nombres hypercomplexe, forme supérieure à celle d'un signal complexe, permet de simplifier grandement les trajectoires utilisées pour balayer l'espace des k. Ainsi, l'invention permet : - d'accroître énormément la flexibilité dans la manière d'injecter de l'information au cours de l'encodage dans un signal (qui sera traité sous une forme hypercomplexe), - de diminuer, voire supprimer totalement le bruit acoustique, - pendant l'acquisition d'images RMN (dans certains cas, passer de plus de 120dB à des valeurs en dessous de 20dB), - de diminuer, voire supprimer les stimulations nerveuses directes chez le patient, - de diminuer l'échauffement des tissus du patient, - d'améliorer la résolution temporelle des images RMN, - d'améliorer la résolution spatiale des images RMN. Il est dans ce cadre, possible d'encoder entièrement une image ou un volume à N dimensions sans avoir à utiliser de gradients intenses et sans avoir à les faire commuter très rapidement. Ainsi, la présente invention permet l'acquisition et la reconstruction, notamment d'images à N dimensions en utilisant des nombres complexes d'ordre supérieur à deux (quaternions, octonions, ..., n-ions) ceci dans un cadre qui n'est plus limité par les équations d'Eisenberg. En particulier, le ratio entre le temps d'acquisition et la résolution spatiale est avantageux comparativement aux techniques connues. Par ailleurs, le procédé de l'invention s'intègre particulièrement bien dans les dispositifs RMN de type connu. PRESENTATION DES FIGURES D'autres caractéristiques et avantages de l'invention ressortiront encore de la description qui suit laquelle est purement illustrative et non limitative et doit être lue en regard des dessins annexés sur lesquels outre les figures 1 a et 1 b déjà discutées : - la figure 2 illustre un organigramme du procédé de l'invention, - les figures 3a et 3b illustrent un balayage de l'espace des k avec une trajectoire parabolique utilisé dans le procédé de l'invention, - la figure 4a illustre l'image à coder (le système), et la figure 4b visualise dans l'espace des k, la trajectoire utilisée au cours du procédé de l'invention, - les figures 5a et 5b illustrent l'image reconstruite après décodage en utilisant respectivement la transformée de Fourier comme connu et celle obtenue par le procédé de l'invention. DESCRIPTION D'UN MODE DE REALISATION PARTICULIER La figure 2 illustre un organigramme d'un procédé de traitement d'un signal RMN utilisant des nombres hypercomplexes à quatre dimensions c'est-à-dire des quaternions. Dans le cadre de l'application RMN, un objet à coder est placé dans un champ magnétique. On se place ici dans un cas où l'on cherche à coder l'objet selon deux dimensions. Pour coder cet objet sous la forme d'un signal temporel, on applique El un signal Radio-Fréquence (RF) qui va servir à créer l'aimantation observable et pour balayer l'espace à deux dimensions on applique E2 selon deux dimensions, des gradients de champ magnétique qui vont moduler les caractéristiques de l'aimantation (phase, vitesse de rotation, accélération, ...) de chaque petit élément différentiel en fonction de sa position. La figure 3b illustre un balayage de l'espace des k par l'application des gradients de la figure 3a. Selon la direction x, un gradient de champ magnétique constant est appliqué : selon cette dimension, la fréquence de rotation des aimantations devient une fonction linéaire de leur position. Selon la direction y, un gradient de champ magnétique en forme de rampe est appliqué : suivant cette dimension, l'accélération de la vitesse de rotation des aimantations devient une fonction linéaire de leur position. Par conséquent, dans une représentation utilisant la notion d'espace des k, la trajectoire pour parcourir l'espace à coder est parabolique (voir figure 3b). De manière plus précise, le gradient de champ magnétique constant permet d'injecter dans le signal une information sur la vitesse de rotation des aimantations en fonction de leur position selon une première direction et le gradient de champ magnétique en forme de rampe, permet d'injecter dans le signal une information sur l'accélération des vitesses de rotation des aimantations en fonction de leur position suivant la seconde direction. En comparaison avec les techniques classiques, la trajectoire utilisée pour parcourir l'espace à coder est beaucoup plus simple. De plus, les gradients de champ magnétique utilisés présentent des variations d'intensité très faibles ce qui entraîne une très importante diminution du bruit généré par le processus d'acquisition du signal ainsi que de l'énergie nécessaire pour les générer. En outre, les temps d'acquisition peuvent êtres plus faibles qu'avec les techniques classiques ce qui peut permettre d'éviter les échauffements des tissus et les stimulations nerveuses néfastes à l'organisme. Le signal acquis E4 sous forme complexe est traité/utilisé sous forme hypercomplexe. Dans cet exemple on utilise un signal hypercomplexe à quatre composantes il s'agit dans ce cas là d'un quaternion. Un quaternion comprend quatre composantes. Une composante réelle notée r, une composante imaginaire notée i et deux composantes notées j et k. Les quatre composantes du signal quaternionique sont liées entre elles par la relation i2 = j2 = k2 = i.j.k = -1. Le signal acquis sous forme quaternionique a pour expression : S(t)+ j9Z(S(t))+ k3(S(t)) = ((( (de~f(t) (de~f(t) =JJJA)coyAzov p(x,y,z,v)• où S(t) représente la composante complexe du signal (comme dans la technique connue) et S(t) représente la dérivée par rapport au temps de 25 S(t). Les opérateurs 9Z et 3 prenant respectivement la partie réelle et imaginaire du signal. Dans cette expression du signal acquis la fonction f(t) représente la trajectoire utilisée pour parcourir l'espace à coder. A cet effet, on utilise par exemple des trajectoires polynomiales d'expression dt + k~ dt dxdydzdv, (t)=Lanxnt , n=i pour lesquelles l'indice n représente les dimensions à coder. D'autres trajectoires peuvent être utilisées, la seule contrainte est que la trajectoire utilisée puisse � suffisamment � bien lever la dégénérescence du signal c'est-à-dire que la trajectoire parcourue amène suffisamment d'information dans le système d'équation à résoudre pour que la résolution de celui-ci permette d'obtenir une information utile aux localisations désirées (que l'information soit complètement dégénérée à l'extérieur de l'objet qui nous intéresse n'a évidement aucune importance) . De manière plus précise, en fonction des gradients de champ magnétique appliqué le signal acquis a pour expression 1 i(27cyG,xt+z7CyG), (t)yt>dxdy S(t) = P , x,ye les facteurs 27t et y étant introduit pour des raisons de dimensionnalités entre les Hz et Hz/T, T/m, T/m/s. En remplaçant Gy (t) par Gyt l'expression précédente devient S(t) = f f P ei(27cyGxxt+2cyGyyt2)dxdy x, y , ou encore s(t) = f f p, e -Ky -Ky Comme cela est illustré sur la figure 3b, la trajectoire parabolique 20 pour parcourir l'espace des k ne permet pas de balayer uniformément l'espace des k, les points non atteints sont dans ce cas là nuls. Comme nous l'avons vu plus haut, le signal acquis peut s'exprimer sous la forme S(t) = Mp(x, y) pour laquelle S(t) et p(x, y) sont des vecteurs et M est une matrice. Si on essaie de passer du signal acquis S à la 25 fonction de densité p en utilisant la notion d'espace des k et de transformée de Fourier, l'information que nous avons injecté dans le signal ne peut pas +Kx +Ky i(27cyxxt+2 'Gyyt2 )dxdy. être utilisée de manière cohérente et la reconstruction donne pour p des valeurs totalement � fantaisistes �. Par l'approche hypercomplexe, notamment en calculant E5 la dérivée première du signal acquis on peut stocker et utiliser une information supplémentaire et par conséquent lever la dégénérescence de S(t). On peut alors en résolvant un système d'équations E6, décoder E7 correctement l'image. En particulier, dans l'exemple présenté, seules les phases et vitesses sont utilisées par l'approche espace des k/transformée de Fourier et la seule manière de lever la dégénérescence du signal est d'utiliser l'information sur l'accélération que nous avons codée dans le signal, en calculant la dérivée première du signal acquis et en n'utilisant pas la transformée de Fourier mais la résolution directe du système d'équation. La figure 4a illustre l'objet que l'on veut coder. La figure 4b illustre la partie réelle du signal acquis dans l'espace des k en appliquant un gradient constant suivant la direction x et une rampe suivant la direction y (trajectoire parabolique). Les seuls points contenant de l'information (non nuls) sont ceux placés sur la trajectoire parabolique. La figure 5a illustre l'image obtenue en utilisant des transformés de Fourier : les conditions d'utilisation de la transformée de Fourier nécessitent que l'information soit répartie sur une grille cartésienne. Le fait que l'information acquise ne puisse être mise sous cette forme interdit son utilisation, l'image reconstruite n'a rien de comparable avec l'image d'origine. Dans ce cas là, plus que dégénérée, l'image reconstruite est totalement différente de l'image codée. La figure 5b illustre l'image décodée en ayant au préalable stocké le signal acquis sous forme quaternionique comme précédemment décrit et en résolvant le système d'équation sans passer par des Transformé de Fourier. Cette approche permet de lever la dégénérescence et de reconstruire une image identique à l'originale sans les inconvénients des techniques antérieures. Il est à noter que pour stocker encore plus d'informations il convient 5 d'utiliser des moments d'ordre supérieur (dérivée de l'accélération, etc.). REVENDICATIONS 1. Procédé de traitement d'un signal, comprenant une acquisition d'un signal sous la forme de nombres complexes, caractérisé en ce que le signal acquis est traité au moyen de nombres hypercomplexes. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce qu'au cours de l'acquisition un encodage du signal est effectué. 3. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que le signal acquis est généré par un objet codé selon N dimension(s). 4. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'acquisition s'opère dans un espace à N dimensions, avec N supérieur ou égal à deux. 5. Procédé selon la revendication précédente, caractérisé en ce qu'au cours de l'acquisition l'espace à N dimensions est parcouru selon une trajectoire de manière à ce que le signal à reconstruire soit faiblement dégénéré. 6. Procédé selon la revendication 5, caractérisé en ce que la trajectoire multidimensionnelle est une fonction polynomiale. 7. Procédé selon l'une des revendications 3 à 6, caractérisé en ce qu'au cours de l'acquisition au moins un champ magnétique variable au cours du temps est appliqué suivant au moins une des N dimensions. 30 8. Procédé selon la revendication précédente, caractérisé en ce que le signal acquis contient implicitement ou explicitement de l'information 1325stockée sous une forme autre que les seules phase, vitesse de rotation et intensité issues des champs magnétiques appliqués. 9. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que chaque point du signal complexe acquis et chacune de ses dérivés par rapport au temps (ou combinaison linéaire de ces dérivés par rapport au temps) est considéré comme une composante d'un point hypercomplexe du signal à traiter. 10. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il comprend en outre une étape de décodage consistant en la résolution d'un système, ledit système à résoudre comprenant un signal hypercomplexe et une matrice hypercomplexe. 11. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que le signal hypercomplexe est un signal quaternionique. 12. Système d'imagerie par résonance magnétique nucléaire, caractérisé en ce qu'il comprend des moyens pour mettre en oeuvre le 20 procédé selon l'une des revendications précédentes.