FR 2914757 A1 20081010 FR 0754390 A 20070406 Procédé d'estimation de caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique La présente invention concerne de manière générale le domaine de l'informatique et plus précisément le domaine de l'indexation d'objets en trois dimensions. L'indexation d'objets en trois dimensions permet de trouver dans une base de données de taille importante des objets correspondants à des critères déterminés, et a de nombreuses applications notamment en infographie. En particulier une indexation basée sur les formes géométriques des objets en trois dimensions à indexer permet une recherche rapide et efficace, mais nécessite au préalable une caractérisation de ces formes géométriques, qui discrimine efficacement les objets entre eux. Parmi les méthodes permettant de caractériser des formes géométriques en trois dimensions, on distingue deux approches, l'une travaillant sur les enveloppes externes de ces formes en trois dimensions, et l'autre utilisant des squelettes de ces formes géométriques, représentés communément par des graphes constitués d'arêtes et de noeuds. Les méthodes de caractérisation selon la première approche utilisent des filtres sur la globalité de la forme géométrique à caractériser et sont très coûteuses en temps de calcul. De plus elles ne permettent pas de caractériser localement une forme géométrique, de sorte qu'une petite partie très discriminante de celle-ci aura un faible poids dans la caractérisation de cette forme géométrique, ce qui rend cette caractérisation sous-optimale. Un exemple d'une de ces méthodes est donné dans l'article de M.Kazhdan, T. Funkhouser et S. Rusinkiewicz, intitulé "Symmetry Descriptors and 3D Shape Matching", et publié en 2004 à l'occasion d'une conférence internationale "Eurographics Symposium on Geometry Processing". Cet article propose de caractériser des objets en trois dimensions par une méthode purement géométrique, dans laquelle on filtre les enveloppes externes de ces objets afin d'obtenir pour chaque objet une représentation harmonique sphérique. A partir de cette représentation on mesure ensuite les symétries réflectives et rotationnelles de l'objet correspondant. La caractérisation des objets en trois dimensions dans cette méthode utilise donc leurs propriétés de symétrie. Cependant il s'agit de symétries globales, ne permettant pas une caractérisation locale des objets en trois dimensions. Les méthodes de caractérisation selon la deuxième approche sont plus efficaces en termes de temps de calcul, puisque travaillant sur une représentation simplifiée de l'objet en trois dimensions à caractériser. La plupart de ces méthodes utilisent une représentation par graphe de Reeb, dont une définition est rappelée pour mémoire ci-dessous: Soit f: C-. une fonction continue définie sur la surface C torique représentée à la figure 1. Le graphe de Reeb de la surface C est l'espace quotient du graphe de f dans Cx{ par la relation d'équivalence : X~ X2 ' f (XI) = f (X2) , et XI et X2 sont dans la même composante connexe de f-'(f(Xi)). Cette fonction f est aussi appelée fonction d'évaluation. Les graphes de Reeb utilisés pour caractériser des objets en trois dimensions sont des graphes multi-résolution, c'est-à-dire que pour un objet donné le graphe de Reeb correspondant comprend en fait plusieurs graphes, un par niveau de résolution. Les niveaux de résolution sont obtenus par discrétisation dichotomique successive de la fonction d'évaluation f. Par exemple, si la fonction f retourne simplement pour un point donné de la surface C, sa hauteur selon l'axe H, en discrétisant cette fonction f sur un puis deux puis quatre intervalles de valeur, on obtient le graphe de Reeb multi-résolution correspondant GR1 représenté à la figure 2. Pour une résolution donnée, chaque noeud du graphe correspond à une composante connexe de la surface C sur un intervalle de valeur de la fonction f, et les arêtes entre noeuds correspondent à leurs relations de connectivité sur la surface C. Ainsi une méthode de référence pour l'indexation d'objets en trois dimensions selon cette deuxième approche, qui introduit le concept de graphe de Reeb multi-résolution, est décrite dans l'article de M. Hilaga, Y. Shinagawa, T. Kohmura et T. L. Kunii, intitulé " Topology Matching for Fully Automatic Similarity Estimation of 3D Shapes", et publié en 2001 à l'occasion d'une conférence internationale "Association for Computing Machinery /Special Interest Group on Computer Graphics and Interactive Techniques (ACM SIGGRAPH)". Cet article définit une méthodologie permettant de construire un graphe de Reeb multi-résolution d'une surface maillée dans un espace en trois dimensions, et propose un ensemble d'attributs topologiques et géométriques servant à labelliser les noeuds du graphe. Chaque noeud est ainsi associé à un coefficient proportionnel à l'aire de la surface représentée par ce noeud, et à un coefficient proportionnel à la variation de la fonction d'évaluation utilisée pour construire le graphe sur la surface représentée par ce noeud. La comparaison entre deux objets en trois dimensions s'effectue alors, une fois les noeuds labellisés, par comparaison des graphes de Reeb de ces deux objets, selon une approche descendante, c'est-à-dire qu'on compare les attributs des noeuds de ces graphes du niveau de résolution le plus faible au niveau de résolution le plus élevé, en respectant la cohérence topologique des graphes. T. Tung et F. Schmitt, dans leur article "Indexation d'objets 3D par Graphe de Reeb Multirésolution Augmenté", publié en janvier 2004 à l'occasion d'un congrès francophone "Reconnaissance des Formes et Intelligence Artificielle (RFIA)" à Toulouse, améliorent la méthode de caractérisation de M. Hilaga et al., en ajoutant d'autres attributs géométriques et visuels aux noeuds des graphes de Reeb des objets à caractériser. Ces attributs concernent notamment le volume de la partie de l'objet à caractériser représentée par un noeud, ainsi que des informations de couleur et de texture. Bien que ces méthodes de caractérisation d'objets en trois dimensions selon la deuxième approche soient plus rapides que les méthodes selon la première approche, elles tiennent peu compte des propriétés de symétrie de la structure topologique locale et globale des graphes obtenus. Ceci rend la comparaison entre deux objets parfois non optimale, notamment dans le cas où les graphes de Reeb correspondants comportent de nombreuses ramifications. G. Aujay, F. Hétroy et F. Lazarus, dans leur article "Construction automatique d'un squelette pour l'animation de personnages", publié en 2006 à l'occasion des "Journées de l'Association Francophone d'Informatique Graphique" à Bordeaux, tiennent compte de la topologie globale de graphes de Reeb afin de corriger des squelettes de personnages animés. A partir d'un graphe de Reeb représentant le squelette d'un personnage, des axes de symétrie axiale sur ce graphe sont détectés, selon une approche descendante c'est-à-dire en parcourant le graphe du niveau de résolution le plus faible au niveau de résolution le plus élevé. Cette détection permet ensuite de corriger le squelette du personnage grâce à des données morphologiques prédéterminées. Cependant dans cet article, on détecte des symétries globales: une symétrie axiale est détectée sur un graphe de Reeb uniquement si les ramifications de ce graphe sont parfaitement symétriques. Cette détection est donc peu applicable à l'indexation d'objets en trois dimensions pour évaluer une similarité entre objets, comme c'est le cas avec les méthodes de caractérisation précédentes qui labellisent des noeuds de graphes de Reeb. La présente invention a pour but de résoudre les inconvénients de la technique antérieure en fournissant un procédé et un dispositif d'estimation de caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique représentée par un graphe, ainsi qu'un procédé et un dispositif de comparaison entre deux graphes chacun représentatif d'une forme géométrique. A cette fin, l'invention propose un procédé d'estimation de caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique représentée par un graphe, ledit graphe comportant au moins deux niveaux de résolution, un noeud parent du niveau de résolution le plus grossier desdits deux niveaux étant rattaché à un ensemble de noeuds fils de l'autre niveau de résolution desdits deux niveaux, caractérisé en ce qu'il comporte les étapes de: - appariements de noeuds fils dudit ensemble de noeuds, un noeud fils étant apparié avec lui-même ou avec un autre noeud fils dudit ensemble en fonction d'une ou plusieurs permutations cibles, - calcul d'une ou plusieurs valeurs d'une fonction de coût, associées auxdits appariements, - et calcul d'un coefficient estimant le degré de symétrie topologique dudit noeud parent, ledit calcul utilisant au moins une desdites valeurs calculées à l'étape précédente. Pour simplifier, les coefficients estimant le degré de symétrie topologique des noeuds d'un graphe, obtenus par le procédé d'estimation selon l'invention, sont aussi appelés dans la suite "coefficients de symétrie". Grâce à l'invention, on caractérise localement les symétries d'un graphe de Reeb associé à un objet en trois dimensions, sous forme de coefficients de symétrie associés aux noeuds du graphe pour chaque niveau de résolution. Cette caractérisation permet de prendre en compte les propriétés intrinsèques de la structure d'un graphe à différentes échelles ce qui n'est pas le cas avec les méthodes de caractérisation par graphe de Reeb citées plus haut, puisque l'invention permet de caractériser un noeud non plus seulement par des attributs tels que la surface ou la couleur associée à ce noeud, mais aussi par l'agencement de ses noeuds fils. L'invention permet de caractériser un objet en trois dimensions suivant un degré de symétrie, dans le sens où l'objet n'a pas besoin d'être parfaitement symétrique pour être caractérisé par un coefficient estimant son degré de symétrie topologique. Ce coefficient est le coefficient de symétrie du noeud du graphe de Reeb de l'objet au niveau de résolution le plus faible, et est calculé à partir des coefficients de symétrie des noeuds aux niveaux de résolution supérieurs, caractérisant des symétries plus locales. Les symétries d'un objet permettent de localiser les éléments structurants d'un modèle. La recherche de tels éléments est notamment essentielle pour configurer automatiquement des moteurs d'animation corporelle ou faciale de modèles en trois dimensions. En outre l'invention se rattache aux méthodes de caractérisation selon la deuxième approche, utilisant des graphes de Reeb pour caractériser des objets en trois dimensions, ce qui la rend plus efficace que les méthodes de caractérisation selon la première approche travaillant sur les enveloppes externes des objets à caractériser. De plus, du fait que l'invention s'appuie sur des représentations par graphes, les objets sur lesquels elle s'applique sont de différentes natures. Ce sont par exemple des objets constitués de maillages polygonaux respectant les contraintes d'une variété en deux dimensions. L'invention est également utilisable pour indexer des surfaces compactes planes. Autrement dit l'invention permet d'estimer des caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique en deux ou trois dimensions. Selon une caractéristique préférée, lorsque ledit graphe est un graphe de Reeb multi-résolution, et ledit ensemble de noeuds fils est réparti sur deux intervalles de valeur de la fonction d'évaluation utilisée pour construire ledit graphe de Reeb, dans l'étape d'appariements un noeud n'est apparié qu'avec un noeud correspondant au même intervalle de valeur, selon une permutation cible associée audit intervalle de valeur, et une valeur de fonction de coût est calculée par permutation cible. Cette règle d'appariements des noeuds du graphe permet de trouver plus rapidement des appariements de noeuds correspondant à des permutations cibles appropriées. Selon une caractéristique préférée, ladite permutation cible est déterminée de manière à minimiser la valeur de la fonction de coût associée aux appariements effectués selon ladite permutation cible. Selon une caractéristique préférée, ledit calcul d'un coefficient estimant le degré de symétrie topologique dudit noeud parent utilise la formule suivante: Ea(ni)c + Ea(n;)/'- n;EF, n~EF,,, s(p) a(p) où s(p) est le coefficient estimant le degré de symétrie topologique du noeud parent p, - F,,i est un sous-ensemble de noeuds dudit ensemble de noeuds, regroupant les noeuds correspondant à l'un desdits deux intervalles de valeur de la fonction d'évaluation utilisée pour construire ledit graphe de Reeb, - Fut est un sous-ensemble de noeuds dudit ensemble de noeuds, regroupant les noeuds de l'autre desdits deux intervalles de valeur de la fonction d'évaluation utilisée pour construire ledit graphe de Reeb, - c,,i est la valeur de la fonction de coût associée à la permutation cible selon laquelle sont appariés les noeuds du sous- ensemble Fui, - cul est la valeur de la fonction de coût associée à la permutation cible selon laquelle sont appariés les noeuds du sous-ensemble Fut, - n; est un noeud du sous-ensemble Fui, i étant un indice entier permettant de décrire l'ensemble des noeuds du sous-ensemble Fut, - nj est un noeud du sous-ensemble Fut, j étant un indice entier permettant de décrire l'ensemble des noeuds du sous-ensemble Fut, - et a(n) est une fonction d'un noeud n dudit graphe de Reeb, dont le résultat est proportionnel à l'aire de la surface couverte par le noeud n sur la forme géométrique représentée par le graphe de Reeb. Selon une caractéristique préférée, ladite étape d'appariements utilise des valeurs de similarité entre couples de noeuds parmi les noeuds à apparier pour effectuer leurs appariements, ladite permutation cible étant une symétrie axiale. Cette dernière caractéristique permet de trouver directement, pour un ensemble de noeuds à apparier, un appariement selon une symétrie axiale utilisable pour le calcul du coefficient de symétrie du noeud parent. L'invention concerne aussi un procédé de comparaison de deux graphes, chacun desdits graphes étant représentatif d'une forme géométrique et comportant au moins deux niveaux de résolution, comportant les étapes de: appariements récursifs des noeuds d'un desdits graphes avec les noeuds de l'autre desdits graphes, du niveau de résolution le plus faible desdits graphes au niveau de résolution le plus élevé desdits graphes, en fonction de valeurs de similarité entre noeuds à apparier, - calcul d'une valeur de similarité entre lesdits graphes utilisant les valeurs de similarité des couples de noeuds appariés à l'étape précédente, caractérisé en ce que ladite étape d'appariements tient compte de coefficients estimant les degrés de symétrie topologique des noeuds à apparier, lesdits coefficients ayant été obtenus par le procédé d'estimation de caractéristiques morphologiques selon l'invention. Ce procédé de comparaison entre graphes de Reeb permet de comparer deux objets en trois dimensions de manière plus discriminante que lorsque l'on ne tient compte, dans la comparaison des graphes noeud par noeud, que des attributs associés à ces noeuds dans l'art antérieur, c'est-à-dire des attributs de surface, de volume ou de couleur par exemple. La valeur de similarité d'un couple de noeuds à apparier se base en effet sur les attributs des noeuds de ce couple. En tenant compte par exemple dans le calcul de cette valeur de similarité, de coefficients de symétrie associés aux noeuds à apparier, on augmente la pertinence de cette valeur de similarité. La valeur de similarité globale calculée ensuite entre les deux graphes de Reeb devient elle-même plus discriminante. L'invention concerne encore un procédé d'indexation d'un objet en trois dimensions, ledit objet étant caractérisé par un graphe de Reeb, utilisant le procédé d'estimation de caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique selon l'invention. L'utilisation par un procédé d'indexation du procédé d'estimation selon l'invention, permet d'indexer des formes géométriques par des graphes de Reeb, pour lesquels on associe à chaque noeud un coefficient de symétrie. Ainsi la recherche d'une forme géométrique peut se faire en utilisant le procédé de comparaison selon l'invention, qui fournit de meilleurs résultats que dans l'art antérieur. L'invention concerne également un dispositif d'estimation de caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique représentée par un graphe, ledit graphe comportant au moins deux niveaux de résolution, un noeud parent du niveau de résolution le plus grossier desdits deux niveaux étant rattaché à un ensemble de noeuds fils de l'autre niveau de résolution desdits deux niveaux, caractérisé en ce qu'il comporte: des moyens d'appariements de noeuds fils dudit ensemble de noeuds, un noeud fils étant apparié avec lui-même ou avec un autre noeud fils dudit ensemble en fonction d'une ou plusieurs permutations cibles, - des moyens de calcul d'une ou plusieurs valeurs d'une fonction de coût, associées auxdits appariements, et des moyens de calcul d'un coefficient estimant le degré de symétrie topologique dudit noeud parent, ledit calcul utilisant au moins une desdites valeurs de ladite fonction de coût. L'invention concerne aussi un dispositif de comparaison de deux graphes, chacun desdits graphes étant représentatif d'une forme géométrique, caractérisé en ce qu'il comporte des moyens adaptés à mettre en oeuvre le procédé de comparaison selon l'invention. L'invention concerne enfin un programme d'ordinateur comportant des instructions pour mettre en oeuvre l'un des procédés selon l'invention, lorsqu'il est exécuté sur un ordinateur. Les dispositifs et le programme d'ordinateur présentent des avantages analogues à ceux des procédés. D'autres caractéristiques et avantages apparaîtront à la lecture d'un mode de réalisation préféré décrit en référence aux figures dans lesquelles : -la figure 1, déjà commentée en relation avec l'art antérieur, représente une surface torique dans un espace à trois dimensions, - la figure 2, déjà commentée en relation avec l'art antérieur, représente un graphe de Reeb multi-résolution représentatif de cette surface torique, - la figure 3 représente un mode de réalisation des procédés d'estimation, de comparaison et d'indexation selon l'invention, - la figure 4 représente des étapes du procédé d'estimation selon l'invention tel que décrit dans ce mode de réalisation, - la figure 5 représente une forme géométrique en trois dimensions, - la figure 6 représente un graphe de Reeb multi-résolution représentatif de cette forme géométrique à son niveau de résolution le plus élevé, - la figure 7 représente ce graphe de Reeb à un niveau de résolution immédiatement inférieur, - la figure 8 représente ce graphe de Reeb à un niveau de résolution encore immédiatement inférieur, -la figure 9 représente ce graphe de Reeb à son niveau de résolution le plus faible, - la figure 10 représente un ensemble de noeuds fils que l'on apparie selon une rotation, - la figure 11 représente un ensemble de noeuds fils que l'on apparie selon une symétrie axiale, - la figure 12 représente un ensemble de noeuds fils que l'on apparie selon une autre symétrie axiale, - la figure 13 représente un ensemble de noeuds fils que l'on apparie selon encore une autre symétrie axiale, - la figure 14 représente des étapes du procédé de comparaison selon l'invention tel que décrit dans ce mode de réalisation, - la figure 15 représente des sous-étapes d'une étape du procédé de comparaison selon l'invention tel que décrit dans ce mode de réalisation. 5 Selon un mode préféré de réalisation de l'invention représenté à la figure 3, un ordinateur ORD, connecté à une base de données BDD d'objets en trois dimensions à indexer, forme à la fois un dispositif d'estimation et un 10 dispositif de comparaison selon l'invention, ainsi qu'un dispositif d'indexation utilisant l'invention. Ce dispositif d'estimation, de comparaison et d'indexation ORD implémente le procédé d'estimation selon l'invention, le procédé de comparaison selon l'invention et le procédé d'indexation selon l'invention de manière logicielle. 15 Plus précisément, le procédé d'estimation de caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique selon l'invention est implémenté dans un module logiciel ME, le procédé de comparaison de deux graphes selon l'invention est implémenté dans un module logiciel MC, et le procédé d'indexation d'un objet en trois dimensions selon l'invention est implémenté 20 dans un module logiciel MI. Ainsi le module logiciel MI indexe les objets en trois dimensions de la base de données BDD par des graphes de Reeb multi-résolution obtenus à partir des formes géométriques de ces objets. Pour chaque graphe, il attribue à chaque noeud des attributs tels que définis dans l'art antérieur, par exemple 25 un attribut de surface, un attribut de volume et un attribut de couleur. Puis le module logiciel MI utilise le module logiciel ME pour estimer des coefficients de symétrie et les attribuer à chaque noeud correspondant. Lorsqu'un utilisateur recherche un objet dans la base de données BDD à partir d'une forme géométrique de référence, à laquelle est associé un 30 graphe de Reeb de référence, le module logiciel MC compare le graphe de Reeb de référence avec les graphes de Reeb des objets indexés de la base de données BDD. Cette comparaison utilise notamment des coefficients de symétrie attribués aux noeuds du graphe de référence et aux noeuds des graphes avec lesquels le graphe de référence est comparé. Une valeur de similarité entre le graphe de référence et chaque graphe comparé est produite. Le résultat de cette recherche comprend les objets pour lesquels cette valeur de similarité est la plus haute, ce qui correspond à des objets dont la forme géométrique est très proche morphologiquement de la forme géométrique de référence. Le fonctionnement de ce module logiciel MC sera décrit plus loin de manière détaillée en relation avec le procédé de comparaison de deux graphes selon l'invention. En référence à la figure 4, le procédé d'estimation de caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique selon l'invention est maintenant décrit sous la forme d'un algorithme comportant des étapes al à a11. Dans ce mode de réalisation de l'invention, il est utilisé pour estimer les caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique FG en trois dimensions, prise à titre d'exemple et représentée à la figure 5. Cependant le procédé d'estimation selon l'invention est également utilisable pour estimer les caractéristiques morphologiques de formes géométriques en deux dimensions. L'étape al est la construction, à partir de la forme géométrique FG, d'un graphe de Reeb correspondant. Ce graphe est construit à partir d'une fonction d'évaluation p, qui est celle utilisée par Hilaga et al. dans leur article précité. Pour un point donné, cette fonction est proportionnelle à une constante près, à la somme des distances géodésiques entre ce point et tous les autres points de la surface de la forme géométrique FG. Cette fonction est normalisée afin de pouvoir comparer des formes géométriques à différentes échelles. On discrétise ensuite la fonction p de manière dichotomique pour obtenir un graphe de Reeb mufti-résolution GR2 représenté sur les figures 6, 7, 8 et 9. Dans ce mode de réalisation de l'invention, on discrétise par exemple la fonction p sur un, puis deux puis quatre puis huit intervalles de valeur, ce qui donne quatre niveaux de résolution. Sur le dessin de la figure 5, les parties de la forme géométrique FG sont d'autant plus foncées que les valeurs discrétisées de la fonction p correspondantes sont élevées. Au quatrième niveau de résolution, le plus fin, représenté à la figure 6, le graphe de Reeb GR2 comporte quatorze noeuds, dont le regroupement par deux intervalles successifs de la fonction p permet d'obtenir le niveau de résolution inférieur, formé de noeuds parents des quatorze noeuds précédents, et représenté à la figure 7: - le noeud n11 est le noeud parent des noeuds fils n111 et n112, - le noeud n12 est le noeud parent des noeuds fils n121 et n122, - le noeud n13 est le noeud parent des noeuds fils n131 et n132, - le noeud n14 est le noeud parent des noeuds fils n141 et n142, - le noeud n15 est le noeud parent des noeuds fils n151 et n152, - le noeud n21 est le noeud parent des noeuds fils n211 et n212, - et le noeud n22 est le noeud parent des noeuds fils n221 et n222. De même le regroupement des noeuds du troisième niveau de résolution par deux intervalles successifs de la fonction p permet d'obtenir le deuxième niveau de résolution, formé de noeuds parents des noeuds du troisième niveau de résolution, et représenté à la figure 8: - le noeud n1 est le noeud parent des noeuds fils n11, n12, n13, n14 et n15, - et le noeud n2 est le noeud parent des noeuds fils n21 et n22. Enfin les noeuds n1 et n2 sont eux-mêmes les noeuds fils du noeud na formant le graphe de Reeb GR2 au niveau de résolution le plus faible, et représenté à la figure 9. Dans cette étape a1, on attribue également aux noeuds du graphe de Reeb ainsi construit des attributs tels que définis par M. Hilaga et al. dans leur article précité, qui sont des attributs d'aire relative et de longueur relative. Pour cela, on calcule d'abord les attributs a(n) d'aire relative et I(n) de longueur relative des noeuds du graphe au niveau de résolution le plus fin, où n représente un noeud du graphe: 1 area(n) 1 len(n) a(n) = Rmax area(FG) et 1(n) = Rmax lien ) i{R max où - Rmax est la valeur du niveau de résolution le plus fin, c'est-à-dire quatre, - area(n) est l'aire de surface de la forme géométrique FG couverte par le noeud n, c'est-à-dire l'aire de la composante connexe de la forme géométrique FG représentée par le noeud n, comprise dans l'intervalle de la fonction p dans lequel se situe le noeud n, - area(FG) est l'aire de la surface de la forme géométrique FG, -len(m) est la longueur de l'intervalle de valeurs de la fonction p sur la surface de la forme géométrique FG couverte par le noeud n, - et i est une variable de noeud du graphe GR2 parcourant tous les noeuds du graphe à son niveau de résolution le plus fin. Les attributs des noeuds aux niveaux de résolution supérieurs sont ensuite obtenus, pour chacun de ces noeuds, par addition des attributs de leurs noeuds fils: a(n)= ) a(i) et 1(n) = (i) où - a(n) et I(n) sont respectivement les attributs d'aire relative et de longueur relative d'un noeud parent n, - i est une variable de noeud parcourant l'ensemble des noeuds fils du noeud parent n, - et a(i) et I(i) sont respectivement les attributs d'aire relative et de longueur relative d'un noeud i. L'étape suivante a2 est l'attribution par défaut de coefficients de symétrie s(n), où n désigne un noeud du graphe GR2, aux noeuds du niveau de résolution le plus fin. Dans ce mode de réalisation, on attribue par défaut à ces noeuds un coefficient de symétrie nul, ce coefficient étant relatif à une symétrie axiale: s(n111)= s(n112) = s(ni2l) = s(n122) = *131) = S(nl 32) =S(n141) = S(n142)= s(n151) = S(n152)= S(n211) = *212) =s(n221) = S(n222)=0 En variante, dans cette étape a2 on ajoute autant de coefficients de symétrie nuls aux noeuds du niveau de résolution le plus fin, que de types de symétrie considérées comme par exemple une symétrie axiale et une rotation. Il est à noter que d'autres valeurs par défaut sont utilisables selon la formule utilisée à l'étape a6 pour calculeritérativement les coefficients de symétrie des noeuds parents, et selon la signification que l'on donne aux valeurs de ces coefficients: par exemple dans ce mode de réalisation un coefficient de symétrie proche de zéro est synonyme d'une structure symétrique idéale, tandis qu'un coefficient de symétrie proche de un est synonyme d'une structure asymétrique idéale. L'étape suivante a3 est l'initialisation de deux variables servant au calcul itératif des coefficients de symétrie des autres noeuds du graphe GR2: - La variable r de niveau de résolution est initialisée à la valeur Rmax-1, c'est-à-dire 3 - L'ensemble 0 des noeuds à traiter est initialisé à l'ensemble des noeuds du graphe GR2 au niveau de résolution r, c'est-à-dire au troisième niveau de résolution. L'étape suivante a4 est une étape d'appariements de noeuds fils d'un des noeuds parents p de l'ensemble ê. Ces appariements s'effectuent selon une permutation cible qui fasse le mieux correspondre entre elles les parties du graphe GR2 représentées par ces noeuds. La fonction p respectant les symétries et rotations inhérentes à la forme géométrique sur laquelle elle s'applique, ces appariements sont effectués uniquement entre noeuds qui correspondent au même intervalle de valeur de la fonction p. Le noeud parent p recouvrant deux intervalles de valeur de la fonction p du niveau de résolution supérieur au sien, on apparie donc de manière distincte les noeuds fils du noeud parent p appartenant à l'un des ces intervalles de valeur, et les noeuds fils du noeud parent p appartenant à l'autre intervalle de valeur. II y a donc en fait, pour un noeud parent p, deux ensembles de noeuds fils à apparier suivant deux permutations cibles. Dans ce mode de réalisation de l'invention, on apparie dans cette étape a4 les noeuds fils du noeud parent p selon une symétrie axiale uniquement. Pour un ensemble Fu de noeuds fils du noeud parent p à apparier, on détermine une symétrie axiale cible par appariements successifs des noeuds de cet ensemble Fu en utilisant une fonction d'appariement définie par Hilaga et al. dans leur article précité: mat(a, b) = ù 1 (sim(a, a) + sim(b, b)) + sim(a, b) ù E (sim(k, k) + sim(l, 1 )) ù sim(k, l)} kl où - a et b sont deux noeuds de l'ensemble F,,, sim(u,v) est une mesure de similarité de Hilaga et al. telle que décrite ci- dessous entre deux noeuds u et v, - k est une variable de noeud parcourant l'ensemble des noeuds adjacents au noeud a, c'est-à-dire reliés au noeud a dans le graphe de Reeb GR2, au même niveau de résolution que celui du noeud a, et dans les intervalles de valeur de la fonction p immédiatement supérieur et immédiatement inférieur à celui du noeud a, - et I est une variable de noeud parcourant l'ensemble des noeuds adjacents au noeud b au même niveau de résolution que celui du noeud b, et dans les intervalles de valeur de la fonction p immédiatement supérieur et immédiatement inférieur à celui du noeud b. La mesure de similarité entre deux noeuds telle que définie par Hilaga et al. utilise les attributs d'aire relative et de longueur relative de ces noeuds, calculés à l'étape a1: sim(u, v) = w. min(a(u), a(v)) + (1 - w) rnin(l(u), 1 (v)) où u et v sont des noeuds de graphes de Reeb, min(x,y) est l'opérateur retournant la valeur minimale des valeurs x et y, et w est un nombre réel compris entre 0 et 1 et qui détermine l'importance donnée aux attributs d'aire relative ou aux attributs de longueur relative dans la comparaison entre deux noeuds. On commence par apparier, dans l'ensemble de noeuds Fu, le couple de noeuds pour lequel la valeur de la fonction d'appariement ci-dessus est minimale, puis on recommence avec l'ensemble des noeuds restants encore non appariés, et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les noeuds soient appariés ou qu'il en reste un seul non apparié. La symétrie axiale cible correspondant à cet appariement est alors celle qui transforme chaque noeud de l'ensemble Fu en le noeud avec lequel il est apparié, ou en lui-même s'il n'est pas apparié. En variante, si à l'étape a2 on a attribué deux coefficients de symétrie nuls par noeud appartenant au niveau de résolution le plus fin, dans cette étape a4, les appariements des noeuds fils du noeud parent p sont effectués suivant des permutations cibles correspondant à une symétrie axiale et à une rotation. Plus précisément, pour un ensemble FI, de noeuds à apparier du noeud parent p, et pour un type de symétrie donné, c'est-à-dire une rotation ou une symétrie axiale, on détermine la permutation cible correspondante en choisissant la permutation qui minimise la fonction de coût suivante: où -j est une variable de noeud parcourant l'ensemble Fi, des noeuds fils du noeud parent p dans un même intervalle de valeur de la fonction p du niveau de résolution supérieur à celui du noeud parent p, a(j) est l'attribut d'aire relative du noeud fils j tel que calculé à l'étape a1, - p(j) est le noeud fils image du noeud fils j par la permutation testée en entrée de cette fonction de coût, - et diff(j,p(j)) est calculée par la formule suivante: d MAT(j, p(j)) si p(j) ~ j iff (Js P(J)) _ s(j)sip(j)=j où s(j) est le coefficient de symétrie du noeud fils j et MAT(j, p(j)) est calculée par la formule suivante: 2SIM (J, P(J)) SIM(J, J) + SIM(P(J), P(J)) dans laquelle - J est le sous-graphe de Reeb du graphe GR2 formé par le noeud j et, si le noeud j a des fils, les noeuds fils du noeud j jusqu'au niveau de résolution Rmax, - P(J) est le sous-graphe de Reeb du graphe GR2 formé par le noeud p(j) et, si le noeud p(j) a des fils, les noeuds fils du noeud p(j) jusqu'au niveau de résolution Rmax, - et la fonction SIM est la fonction de similarité entre deux graphes telle que définie dans l'article précité de M. Hilaga et al.: SIM(R,T) _ sim(u,v) uER,v{T - R et T sont deux graphes de Reeb, u est une variable de noeud parcourant le graphe R sur tous ses niveaux de résolution, - v est une variable de noeud parcourant le graphe T sur tous ses niveaux de résolution, MAT(j, p(j)) _ 20 25 où et sim(u,v) est la mesure de similarité de Hilaga et al. définie plus haut entre les noeuds u et v, précédemment appariés selon un algorithme dit "de matching" d'Hilaga et al. Il est à noter que la mesure de similarité telle que définie par Hilaga et al. s'applique normalement à des noeuds de graphes différents, car elle est essentiellement utilisée comparer deux graphes de Reeb entre eux, grâce à la fonction de similarité entre graphes définie ci-dessus. Cette fonction de similarité entre deux graphes de Reeb nécessite au préalable un appariement des noeuds de chacun des graphes à comparer en couples de noeuds, qui s'effectue suivant un algorithme dit de "matching" et décrit dans l'article précité de Hilaga et al. Cet algorithme est repris dans le procédé de comparaison de deux graphes selon l'invention, et détaillé en relation avec la figure 15, avec un ajout concernant l'utilisation de coefficients de symétrie, qui est propre à l'invention. Afin d'illustrer les appariements effectués dans cette variante de réalisation de l'étape a4, des exemples d'appariements sur un ensemble Fu de noeuds à apparier sont représentés sur les figures 10, 11, 12 et 13. L'ensemble Fi, est formé de trois noeuds nA, nB et ne appartenant à un même intervalle de valeur de la fonction p, et reliés entre eux par un noeud nD appartenant à un autre intervalle de valeur de la fonction p. Etant donné l'agencement en étoile des noeuds nA, nB et nc, plusieurs permutations cibles sont testées sur ces noeuds: - une rotation d'angle 2rr/3 transformant le noeud nA en le noeud nB, le noeud nB en le noeud ne et le noeud nc en le noeud nA selon la figure 10, une symétrie axiale d'axe AB transformant le noeud nB en lui-même, et le noeud nA en le noeud nc selon la figure 11, - une symétrie axiale d'axe AD transformant le noeud nc en lui-même, et le noeud nA en le noeud nB selon la figure 12, et une symétrie axiale d'axe AA transformant le noeud nA en lui-même, et le noeud nB en le noeud ne selon la figure 13. Dans cette variante, les appariements retenus pour le calcul du coefficient de symétrie axiale et du coefficient de symétrie rotative du noeud parent des noeuds nA, nB et ne à l'étape a6 sont ceux correspondant aux permutations qui minimisent la fonction de coût c,, définie plus haut. Cette variante de réalisation de l'étape a4 permet de prendre en compte plus de types de symétries que dans la variante principale de réalisation de l'invention, mais est beaucoup plus coûteuse en temps de calcul. Il est de plus à noter que l'estimation d'un degré de symétrie axiale pour chacun des noeuds du graphe de Reeb GR2 est plus intéressante que celle d'un degré de symétrie rotative. En effet ce dernier type de symétrie se rencontre plus rarement dans un graphe de Reeb, et les rotations éventuellement identifiées dans un tel graphe sont en général d'ordres différents, ce qui rend les estimations de degré de symétrie rotative sur les noeuds du graphe peu pertinentes. L'étape suivante a5 est le calcul des valeurs de la fonction de coût cu correspondant aux appariements effectués à l'étape a4 selon des symétries axiales. Par exemple pour le noeud parent n12, ses deux noeuds fils appartenant à des niveaux de résolution différents, ils ne peuvent s'apparier qu'avec eux-mêmes. Pour l'ensemble de noeuds à apparier formé du noeud n121, la valeur de la fonction de coût associée à cet ensemble est: a(n121).s(n121) = 0 a(n121) De même pour l'ensemble de noeuds à apparier formé du noeud n122, la valeur de la fonction de coût associée à cet ensemble est: a(n122) s(n122) = 0 a(n122) En variante, si à l'étape a4 on a apparié chaque ensemble de noeuds fils à apparier du noeud parent p selon plusieurs permutations cibles, une valeur de la fonction de coût c,, est calculée par appariement. Ainsi pour l'ensemble F,, de noeuds à apparier représenté sur les figures 10, 11, 12 et 13, on calcule quatre valeurs de la fonction de coût cp. - pour l'appariement selon la rotation de la figure 10, la fonction cp vaut: a(nA)diff (n,,nB) + a(nB )diff (nB ,nc ) + a(nc)diff (nc,n4) a(nA) + a(nB) + a(nc ) a(nA)MAT(nA, nB) + a(nB )MAT (nB, nc) + a(nc ).MAT(nc ,nA) a(nA ) + a(nB ) + a(nc ) - pour l'appariement selon la symétrie de la figure 11, la fonction cp vaut: a(nB)diff(nB, nB) + [a(nB) + a(nc)]dff(nA,nc) a(nA) + a(nB) + a(nc ) a(nB)s(nB)+[a(%)+a(nc)]MAT(nA,nc) a(nA) +a(nB ) + a(nc) - de même pour l'appariement selon la symétrie de la figure 12, la fonction cp vaut: a(ne)s(nc)+[a(n%)+a(nA)]MAT(nA,nB) a(nA)+a(nB)+a(nc) - et pour l'appariement selon la symétrie de la figure 13, la fonction cp vaut: a(nA)s(nA) + [a(nB) + a(nc)]MAT(nc,nB) a(nA)+a(nB) +a(nc) L'étape suivante a6 est le calcul du coefficient de symétrie du noeud parent p. Ce calcul s'effectue en utilisant la formule suivante: s(p) = n,EFi nte a(p) où s(p) est le coefficient de symétrie du noeud parent p, - Fp1 est un des deux sous-ensembles de noeuds fils à apparier du noeud parent p, Fa est l'autre de ces deux sous-ensembles, - cN1 est la valeur de la fonction de coût associée à la permutation cible selon laquelle sont appariés les noeuds du sous-ensemble Fu1, - cul est la valeur de la fonction de coût associée à la permutation cible selon laquelle sont appariés les noeuds du sous-ensemble FN2, n; est un noeud du sous-ensemble Fu1, i étant un indice entier permettant de décrire l'ensemble des noeuds du sous-ensemble Fut, -ni est un noeud du sous-ensemble Fut, j étant un indice entier permettant de décrire l'ensemble des noeuds du sous-ensemble Fut, - et a(n;), a(ni) et a(p) sont les attributs d'aire relative des noeuds n;, ni et p calculés à l'étape a1. Ainsi le coefficient de symétrie du noeud parent n12 vaut: s(n12) ù a(n121)s(n121) + a(n122 )s(n122) _ 0 a(n121) + a(n122 ) Il en est de même pour les noeuds parents n11, n13, n14, n15, n21 et n22, qui n'ont qu'un noeud fils par intervalle de valeur de la fonction p. Par contre pour le noeud parent n1, qui a quatre noeuds fils dans un intervalle de valeur de la fonction p et un noeud fils dans l'autre intervalle de valeur de la fonction p au niveau de résolution supérieur au sien, le calcul du coefficient de symétrie correspondant est plus complexe. Par exemple si les noeuds n11, n12, n13 et n15 du premier intervalle de valeur sont appariés suivant une symétrie axiale qui transforme n11 en n13 et n12 en n15, on a: s(n1 ) = [a(n11) + a(% )IAT(n11,% ) + [a(n12) + a(% )]1/IAT(n15,% ) + a(n14 )s(% ) a(n12)+a(n11)+a(n13)+a(n14)+a(n1S) En variante, si pour chaque ensemble de noeuds fils à apparier du noeud parent p on a calculé à l'étape a5 plusieurs valeurs de la fonction de coût pour différentes permutations cibles, alors dans cette étape a6 on calcule le coefficient de symétrie axiale du noeud parent p et le coefficient de symétrie rotative du noeud parent p en utilisant les valeurs de coût minimales associées à chaque type de symétrie: où - S t(p) est le coefficient de symétrie rotative du noeud parent p, aX' - s (p) est le coefficient de symétrie axiale du noeud parent p, - F,,i est un des deux sous-ensembles de noeuds fils à apparier du noeud 10 parent p, - Fut est l'autre de ces deux sous-ensembles, - ci I` est la valeur de la fonction de coût associée à la rotation qui minimise la fonction de coût c,, sur les noeuds du sous-ensemble Fut, c~ 2 est la valeur de la fonction de coût associée à la rotation qui 15 minimise la fonction de coût cp sur les noeuds du sous-ensemble Fut, - ces' est la valeur de la fonction de coût associée à la symétrie axiale qui minimise la fonction de coût cp sur les noeuds du sous-ensemble - cax' est la valeur de la fonction de coût associée à la symétrie axiale qui minimise la fonction de coût cp sur les noeuds du sous-ensemble Fut, 20 - ni est un noeud du sous-ensemble Fut, i étant un indice entier permettant de décrire l'ensemble des noeuds du sous-ensemble F,,l, ni est un noeud du sous-ensemble Fut, j étant un indice entier permettant de décrire l'ensemble des noeuds du sous- ensemble Fut, - et a(n;), a(ni) et a(p) sont les attributs d'aire relative des noeuds n;, ni et p 25 calculés à l'étape al. et s(p) =ntEP1 a(p)5 L'étape suivante a7 est la mise à jour de l'ensemble Q des noeuds à traiter. Le coefficient de symétrie du noeud parent p ayant été calculé à l'étape précédente, on supprime le noeud parent p de l'ensemble O dans cette étape a7. L'étape suivante a8 est un test sur l'ensemble 0 ainsi mis à jour. On détermine dans cette étape si l'ensemble û de noeuds à traiter est vide. S'il est vide, alors l'étape suivante est l'étape a9, sinon l'étape suivante est l'étape a4. L'étape a9 est la mise à jour de la variable r. En effet à l'étape précédente a8, l'ensemble i2 de noeuds à traiter étant vide, cela signifie qu'on a attribué à tous les noeuds du niveau de résolution r un coefficient de symétrie. On met donc à jour la variable r de niveau de résolution au niveau de résolution immédiatement inférieur. L'étape suivante a10 est un test sur la variable r de niveau de résolution ainsi mise à jour. Si cette variable vaut zéro, alors tous les noeuds du graphe de Reeb GR2 ont été traités, la variable r valant un pour le niveau de résolution le plus faible du graphe. On a donc attribué à chacun des noeuds du graphe de Reeb GR2 un coefficient de symétrie selon le procédé d'estimation selon l'invention. Dans le cas contraire, si la variable r de niveau de résolution est différente de zéro, alors l'algorithme décrivant le procédé d'estimation selon l'invention dans ce mode de réalisation n'est pas fini, et l'étape suivante est l'étape a11. L'étape a11 est la mise à jour de l'ensemble D des noeuds à traiter, afin de traiter les noeuds du niveau de résolution r mis à jour à l'étape a9. L'ensemble û des noeuds à traiter est donc mis à jour à l'ensemble des noeuds du graphe de Reeb GR2 appartenant au niveau de résolution r. L'étape suivante de l'algorithme est l'étape a4, l'attribution de coefficients de symétrie aux noeuds du graphe de Reeb GR2 se faisant de manière récursive. Il est à noter qu'il n'est pas nécessaire de respecter rigoureusement l'ordre des étapes a1 à a11 ni d'implémenter toutes ces étapes pour réaliser le procédé de comparaison selon l'invention, Par exemple les étapes a4 et a5 sont réalisables conjointement, si l'on calcule, dès qu'un ensemble de noeuds fils est apparié, la valeur de la fonction de coût cp associée. De plus certaines étapes sont réalisables de manière différente. Ainsi si à l'étape al on attribue aux noeuds du graphe GR2 d'autres attributs que ceux d'Hilaga et al., par exemple les attributs définis par T.Tung et al. dans leur article précité, on utilise à l'étape a4 une mesure de similarité étendue définie par T.Tung et al., qui tient compte de ces autres attributs. Enfin plusieurs variantes de réalisation du procédé selon l'invention sont envisageables, par exemple en fonction du nombre de types de symétrie pris en compte, ce qui influe sur le nombre de coefficients de symétrie attribués par noeud, ou en fonction des normalisations possibles des coefficients de symétrie attribués à l'étape a6. Le procédé de comparaison de deux graphes selon l'invention est maintenant décrit en relation avec la figure 14, sous la forme d'un algorithme comportant des étapes b2 et b3. Dans ce mode de réalisation de l'invention, le procédé de comparaison selon l'invention est utilisé pour comparer le graphe de Reeb GR2 avec un autre graphe de Reeb GR3. Cependant il est aussi utilisable pour comparer d'autres types de graphes multi-résolution, dont les noeuds ont caractérisés par des attributs permettant de calculer une valeur de similarité entre ces noeuds, parmi lesquels figurent des coefficients de symétrie obtenus grâce au procédé d'estimation selon l'invention. Cette caractérisation des noeuds des graphes GR2 et GR3 est effectuée dans une étape b1, préalable au procédé de comparaison selon l'invention. La première étape bl est donc le calcul d'attributs associés aux noeuds des graphes GR2 et GR3. Ces attributs sont par exemple les attributs d'aire relative et de longueur relative tels que décrits plus haut, ainsi que des coefficients de symétrie normalisés, attribués à chacun des noeuds des graphes GR2 et GR3 en utilisant le procédé d'estimation selon l'invention. En fonction des données disponibles, et de la pertinence de ces données pour la comparaison des graphes, d'autres attributs sont éventuellement calculés, comme par exemple des attributs de volume, de couleur ou de texture, pour chacun des noeuds des graphes GR2 et GR3. Ces attributs calculés à l'étape bl sont normalisés, c'est-à-dire que la somme des valeurs d'un type d'attribut sur l'ensemble des niveaux de résolution de chaque graphe vaut un. Notamment les coefficients de symétrie normalisés des noeuds des graphes GR2 et GR3 obéissent aux équations suivantes: ., ne co3 (n) =1 et E co3 (m) =1 , n{GR2 meGR3 où w3(n) et w3(m) sont des coefficients de symétrie normalisés respectivement d'un noeud n du graphe GR2 et d'un noeud m du graphe GR3, obtenus par les formules: C1ù s(n 1 (1 ù s(n. et 03 (m) = nbres! (1ù s(m)) ( ) ù nbres E C1- s(mi )) n est un noeud du graphe GR2, 1 ni E nbres m, enbres' où nbres est la valeur du niveau de résolution du noeud n, - ni est une variable de noeuds parcourant l'ensemble des noeuds du graphe GR2 au niveau de résolution nbres, - m est un noeud du graphe GR3, - nbres' est la valeur du niveau de résolution du noeud m, mi est une variable de noeuds parcourant l'ensemble des noeuds du graphe GR3 au niveau de résolution nbres', - et s(u) représente le coefficient de symétrie d'un noeud u tel que calculé par la formule de l'étape a6 du procédé d'estimation selon l'invention. L'étape suivante b2 est une étape d'appariements récursifs des noeuds du graphe GR2 avec les noeuds du graphe GR3. Cette étape s'effectue suivant une approche descendante, c'est-à-dire du niveau de résolution le plus faible au niveau de résolution le plus élevé, et s'inspire de l'algorithme dit de "matching" tel que décrit dans l'article de Hilaga et al. précité. La principale différence par rapport à cet algorithme est l'utilisation d'une mesure de similarité entre noeuds qui tient compte des coefficients de symétrie normalisés des noeuds des graphes GR2 et GR3 calculés à l'étape b1. Plus précisément, cette étape b2 est maintenant détaillée sous forme d'un algorithme comportant des sous-étapes b21 à b28 et représenté à la figure 15. La sous-étape b21 est l'initialisation de deux ensembles, qui sont un ensemble NLIST de noeuds à apparier et un ensemble MPAIR de noeuds appariés. On insère dans l'ensemble NLIST de noeuds à apparier les noeuds des graphes GR2 et GR3 à leur plus faible niveau de résolution, qui correspondent au noeud no du graphe de Reeb GR2, et à un noeud mo du graphe de Reeb GR3. L'ensemble MPAIR de noeuds appariés est quant à lui initialisé à l'ensemble vide. La sous-étape suivante b22 est la détermination d'un noeud m du graphe de Reeb GR3 pour l'apparier avec un noeud n du graphe de Reeb GR2, ces deux noeuds n et m appartenant à l'ensemble NLIST de noeuds à apparier. Le noeud n du graphe GR2 choisi comme candidat à l'appariement est de préférence le noeud qui affecte le plus le résultat final de la comparaison entre les graphes GR2 et GR3 parmi les noeuds du graphe GR2 contenus dans l'ensemble NLIST de noeuds à apparier. Ce noeud est celui qui a la plus grande valeur de similarité: esim(n,n) où esim(u,v) est une mesure de similarité "étendue" définie ci-dessous: ne esim(u,v) = .min(coi(u),oï(v)) , où les À sont tels que =1 et - u et v sont des noeuds de graphes de Reeb, - min(x,y) est l'opérateur retournant la valeur minimale des valeurs x et y, ne est le nombre d'attributs calculés pour chaque noeud à l'étape b1, chaque fonctions wi, retourne pour un noeud, par exemple le noeud u, un de ses attributs calculé à l'étape bl, par exemple w1(u) retourne son attribut d'aire relative a(u) , w2(u) son attribut de longueur relative I(u), w3(u) son coefficient de symétrie normalisé, etc, et les coefficients Ài sont des coefficients de pondération des attributs, qui déterminent l'importance donnée à chacun d'entre eux dans la comparaison entre deux noeuds. Il est à noter que les attributs des noeuds calculés à l'étape bl étant normalisés, les graphes GR2 et GR3 obéissent aux équations suivantes: ne esitn(n,n) =1 et E esitn(m,m) =1, nsGR2 meGR3 Le noeud m du graphe de Reeb GR3 est déterminé dans cette sous-étape b22 de manière à maximiser la fonction d'appariement suivante entre les noeuds n et m, qui est également une fonction "étendue" par rapport à la fonction d'appariement d'Hilaga et.al: 1 15 emat(n, = 2 (esim(n, n) + esim(m, m)) + esim(n, m) ùE {1esirn(k, k) + esim(1,1)) ù esim(k,l) k,l 2 où n est un noeud du graphe de Reeb GR2 et m est un noeud du graphe de Reeb GR3, -esim(u,v) est la mesure de similarité "étendue" définie précédemment 20 deux noeuds u et v, - k est une variable de noeud parcourant l'ensemble des noeuds adjacents au noeud n dans le graphe GR2 au même niveau de résolution que celui du noeud n, et dans les intervalles de valeur de la fonction p immédiatement supérieur et immédiatement inférieur à celui 25 du noeud n, - et 1 est une variable de noeud parcourant l'ensemble des noeuds adjacents au noeud m dans le graphe GR3 au même niveau de résolution que celui du noeud m, et dans les intervalles de valeur de la fonction d'évaluation p également utilisée pour construire le graphe de10 Reeb GR3, immédiatement supérieur et immédiatement inférieur à celui du noeud m. Cette détermination du noeud m est de plus effectuée seulement parmi les noeuds du graphe GR3 de l'ensemble NLIST de noeuds à apparier qui obéissent à deux critères, permettant de préserver une cohérence topologique dans la comparaison des graphes GR2 et GR3: - le noeud du graphe GR3 à apparier avec le noeud n du graphe GR2 doit appartenir au même intervalle de valeur de la fonction p que le noeud n, et son noeud parent doit être apparié avec le noeud parent du noeud n, sauf s'il s'agit de la première itération de la sous-étape b22 pour laquelle les noeuds no et ma sont en fait automatiquement appariés, le noeud du graphe GR3 à apparier avec le noeud n du graphe GR2 doit appartenir à une branche du graphe GR3 qui corresponde à une branche du graphe GR2, cette correspondance étant déterminée par les appariements des itérations précédentes. La sous-étape suivante b23 est un test sur le résultat de la sous-étape précédente: si à la sous-étape b22 on a déterminé un noeud m du graphe de Reeb GR3 que l'on apparie avec le noeud n du graphe de Reeb GR2, alors la sous-étape suivante est la sous-étape b25, sinon la sous-étape suivante est la sous-étape b24. La sous-étape b24 est la suppression, dans l'ensemble NLIST de noeuds à apparier, du noeud n du graphe de Reeb GR2, puisqu'aucun noeud du graphe GR3 n'a été trouvé à la sous-étape précédente pour s'apparier avec lui. La sous-étape suivante est la sous-étape b27. La sous-étape b25 est la mise à jour des ensembles NLIST de noeuds à apparier et MPAIR de noeuds appariés. Les noeuds m et n ayant été appariés à la sous-étape précédente b22, ces noeuds sont supprimés de l'ensemble NLIST de noeuds à apparier et ajoutés à l'ensemble MPAIR de noeuds appariés. La sous-étape suivante b26 est un test sur les noeuds n et m précédemment appariés. Si ceux-ci appartiennent au niveau de résolution le plus fin des graphes de Reeb GR2 et GR3, la sous-étape suivante est la sous-étape b27, sinon la sous-étape suivante est la sous-étape b28. La sous-étape b28 est l'ajout des noeuds fils des noeuds n et m précédemment appariés à l'ensemble NLIST de noeuds à apparier, car ces noeuds fils n'ont pas encore été traités, le procédé de comparaison entre graphes selon l'invention s'effectuant selon une approche descendante. La sous-étape suivante b27 est un test sur l'ensemble NLIST de noeuds à apparier. Si cet ensemble est vide alors l'étape b2 d'appariements récursifs des noeuds du graphe GR2 avec les noeuds du graphe GR3 est terminée, sinon on continue ces appariements en repassant à la sous-étape b22 qui est alors la sous-étape suivante. Enfin l'étape suivante b3 du procédé de comparaison selon l'invention est le calcul d'une valeur de similarité ESIM(GR2,GR3) entre les deux graphes GR2 et GR3. Ce calcul utilise une fonction de similarité entre graphes "étendue" définie ci-dessous: ESIM(GR2,GR3) = esim(n,m) (n, m AIR où - GR2 et GR3 sont les deux graphes de Reeb comparés dans ce mode de réalisation du procédé de comparaison de graphes selon l'invention, - les couples de noeuds (n,m) sont issus des appariements effectués à l'étape b2 du procédé de comparaison selon l'invention, n étant un noeud du graphe GR2 et m un noeud du graphe GR3, - et esim(u,v) la mesure de similarité "étendue" entre deux noeuds u et v, définie plus haut. Cette fonction de similarité retourne une valeur comprise entre 0 et 1. Plus cette valeur est proche de 1 et plus les graphes GR2 et GR3 comparés par cette fonction sont similaires. En variante on utilise dans cette étape b3 la même fonction de similarité entre graphes que celle de Hilaga et al. définie plus haut en relation avec le procédé d'estimation selon l'invention. Cette variante produit une valeur de similarité entre graphes moins discriminante que dans la variante principale de réalisation de l'invention. Cependant, comme on utilise pour produire cette valeur de similarité les appariements de noeuds effectués à l'étape b2, qui tiennent compte de leurs coefficients de symétrie à la différence d'appariements classiques effectués avec l'algorithme de "matching" d'Hilaga et al., cette valeur de similarité estplus pertinente que dans l'art antérieur.10 REVENDICATIONS , 1. Procédé d'estimation de caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique (FG) représentée par un graphe (GR2), ledit graphe (GR2) comportant au moins deux niveaux de résolution, un noeud parent (p) du niveau de résolution le plus grossier desdits deux niveaux étant rattaché à un ensemble de noeuds fils de l'autre niveau de résolution desdits deux niveaux, caractérisé en ce qu'il comporte les étapes de: - appariements (a4) de noeuds fils dudit ensemble de noeuds, un noeud fils étant apparié avec lui-même ou avec un autre noeud fils dudit ensemble en fonction d'une ou plusieurs permutations cibles, - calcul (a5) d'une ou plusieurs valeurs d'une fonction de coût (cu), associées auxdits appariements, - et calcul (a6) d'un coefficient estimant le degré de symétrie topologique dudit noeud parent (p), ledit calcul utilisant au moins une desdites valeurs calculées à l'étape précédente. 2. Procédé d'estimation selon la revendication 1, dans lequel ledit graphe (GR2) est un graphe de Reeb multi-résolution, et ledit ensemble de noeuds fils est réparti sur deux intervalles de valeur de la fonction d'évaluation (p) utilisée pour construire ledit graphe (GR2) de Reeb, caractérisé en ce que dans l'étape d'appariements (a4) un noeud n'est apparié qu'avec un noeud correspondant au même intervalle de valeur, selon une permutation cible associée audit intervalle de valeur, et en ce qu'une valeur de fonction de coût (cp) est calculée par permutation cible. 3. Procédé d'estimation selon la revendication 2, caractérisé en ce que ladite permutation cible est déterminée de manière à minimiser la valeur de la fonction de coût (cu) associée aux appariements effectués selon ladite permutation cible.. Procédé d'estimation selon la revendication 2, caractérisé en ce que ledit calcul d'un coefficient estimant le degré de symétrie topologique dudit noeud parent (p) utilise la formule suivante: E a(ni)c1d + E a(ni)cla s(p) n1EF,,,2 où - s(p) est le coefficient estimant le degré de symétrie topologique du noeud parent p, - Fo est un sous-ensemble de noeuds dudit ensemble de noeuds, regroupant les noeuds correspondant à l'un desdits deux intervalles de valeur de la fonction d'évaluation (p) utilisée pour construire ledit graphe (GR2) de Reeb, Fa est un sous-ensemble de noeuds dudit ensemble de noeuds, regroupant les noeuds de l'autre desdits deux intervalles de valeur de la fonction d'évaluation (p) utilisée pour construire ledit graphe (GR2) de Reeb, - co est la valeur de la fonction de coût associée à la permutation cible selon laquelle sont appariés les noeuds du sous-ensemble Fo, - Cp2 est la valeur de la fonction de coût associée à la permutation cible selon laquelle sont appariés les noeuds du sous- ensemble Fut, - ni est un noeud du sous-ensemble Fo, i étant un indice entier permettant de décrire l'ensemble des noeuds du sous-ensemble Fo, - ni est un noeud du sous-ensemble Fa, j étant un indice entier permettant de décrire l'ensemble des noeuds du sous-ensemble Fp2, et a(n) est une fonction d'un noeud n dudit graphe de Reeb, dont le résultat est proportionnel à l'aire de la surface couverte par le noeud n sur la forme géométrique (FG) représentée par le graphe (GR2) de Reeb. a(p) . Procédé d'estimation selon la revendication 2, caractérisé en ce que ladite étape d'appariements (a4) utilise des valeurs de similarité entre couples de noeuds parmi les noeuds à apparier pour effectuer leurs appariements, ladite permutation cible étant une symétrie axiale. 6. Procédé de comparaison de deux graphes (GR2, GR3), chacun desdits graphes (GR2, GR3) étant représentatif d'une forme géométrique et comportant au moins deux niveaux de résolution, comportant les étapes de: appariements récursifs (b2) des noeuds d'un desdits graphes avec les noeuds de l'autre desdits graphes, du niveau de résolution le plus faible desdits graphes au niveau de résolution le plus élevé desdits graphes, en fonction de valeurs de similarité entre noeuds à apparier, calcul (b3) d'une valeur de similarité (ESIM(GR2,GR3)) entre lesdits graphes (GR2, GR3) utilisant les valeurs de similarité des couples de 15 noeuds appariés à l'étape précédente, caractérisé en ce que ladite étape d'appariements (b2) tient compte de coefficients estimant les degrés de symétrie topologique des noeuds à apparier, lesdits coefficients ayant été obtenus par le procédé d'estimation de caractéristiques morphologiques selon l'une quelconque des revendications 1 20 à 5. 7. Procédé d'indexation d'un objet en trois dimensions, ledit objet étant caractérisé par un graphe de Reeb, utilisant le procédé d'estimation de caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique selon l'une 25 quelconque des revendications 2 à 5. 8. Dispositif (ORD) d'estimation de caractéristiques morphologiques d'une forme géométrique (FG) représentée par un graphe (GR2), ledit graphe (GR2) comportant au moins deux niveaux de résolution, un noeud parent (p) du 30 niveau de résolution le plus grossier desdits deux niveaux étant rattaché à unensemble de noeuds fils de l'autre niveau de résolution desdits deux niveaux, caractérisé en ce qu'il comporte: - des moyens d'appariements de noeuds fils dudit ensemble de noeuds, un noeud fils étant apparié avec lui-même ou avec un autre noeud fils dudit ensemble en fonction d'une ou plusieurs permutations cibles, - des moyens de calcul d'une ou plusieurs valeurs d'une fonction de coût (cu), associées auxdits appariements, - et des moyens de calcul d'un coefficient estimant le degré de symétrie topologique dudit noeud parent (p), ledit calcul utilisant au moins une desdites valeurs de ladite fonction de coût (c,,). 9. Dispositif (ORD) de comparaison de deux graphes, chacun desdits graphes étant représentatif d'une forme géométrique, caractérisé en ce qu'il comporte des moyens adaptés à mettre en oeuvre le procédé de comparaison selon la revendication 6. 10. Programme d'ordinateur comportant des instructions pour mettre en oeuvre le procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 7, lorsqu'il est exécuté sur un ordinateur. 25