FR 2900234 A1 20071026 FR 0603658 A 20060425 PROCEDE DE PREDICTION DE LA RESISTANCE OU DE LA RUPTURE D'UNE PIECE MECANIQUE La présente invention concerne un procédé de prédiction de la résistance ou de la rupture d'une pièce mécanique soumise à des sollicitations de fatigue. En effet, sous l'effet de sollicitations mécaniques, thermiques et/ou autres, répétées au cours du temps, une pièce peut s'endommager et finir par rompre, même pour une sollicitation de faible amplitude. C'est ce qu'on appelle le phénomène d'endommagement par fatigue. Un véhicule automobile comporte une multitude de pièces soumises à des sollicitations variables au cours du temps et donc potentiellement sujettes à un endommagement par fatigue. C'est par exemple le cas des pièces constitutives du moteur, qui subissent les cycles de combustion. C'est également le cas des pièces de liaison au sol, qui subissent les irrégularités de la route. C'est encore le cas des pièces de support d'accessoires, qui subissent les vibrations de leurs fixations et des accessoires qu'elles supportent. Dans un. véhicule automobile, il est particulièrement important d'avoir des pièces résistantes à la fatigue, qui ne rompent pas. Il est donc primordial de savoir si une pièce mécanique destinée à être implantée sur un véhicule automobile va résister ou non aux sollicitations auxquelles elle sera soumise durant la vie du véhicule. Une solution est de tester mécaniquement et/ou thermiquement la pièce mécanique en la soumettant à des sollicitations mécaniques et/ou thermiques répétées, représentatives des sollicitations qu'une pièce similaire aura à subir une fois en place sur un véhicule automobile. Toutefois, cette solution est contraignante, coûteuse et longue à mettre en oeuvre : elle nécessite du matériel et doit pouvoir reproduire sensiblement les sollicitations subies par une pièce durant la durée de vie d'un véhicule, qui peut atteindre plusieurs dizaines d'années. Une autre solution est d'utiliser un modèle permettant de prédire la résistance ou la rupture d'une pièce soumise à des sollicitations. Pour cela, on utilise un critère de tenue à la fatigue. Ce critère de tenue à la fatigue est fonction d'une grandeur représentative de la sévérité des sollicitations imposées à la pièce, qui est associée à une limite de résistance du matériau constituant la pièce à cette sévérité de sollicitations. La grandeur représentative de la sévérité des sollicitations est R:ABreceuA241(0\24111-05 2I4-demande FRdoc généralement calculée à partir des contraintes et déformations mesurées dans le matériau constituant la pièce soumise aux sollicitations. La limite de résistance de ce matériau est en général mesurée en réalisant des essais simples, tels que des essais de traction répétée, de traction-compression répétée, ou encore de torsion répétée ou alternée, pour lesquels la grandeur représentative de la sévérité des sollicitations est calculée facilement. Il est connu différents critères de tenue à la fatigue, qui ont été proposés pour des sollicitations cycliques, dont la grandeur représentative de la sévérité est associée à une limite de résistance. Parmi ces critères, le critère dit de Dang Van est reconnu être le plus performant, en particulier par l'article de I. Papadopoulos et al, International Journal of Fatigue, vol. 19, No. 3, pp. 219-235, 1997. Le critère de Dang Van permet de déduire un coefficient de danger à partir du tracé du cisaillement ti en fonction de la pression hydrostatique p en chaque point de la pièce soumise à des sollicitations. La figure 8 montre un graphe du cisaillement en fonction de la pression hydrostatique pour un point considéré de la pièce, auquel le critère de Dang Van est appliqué. Le graphe représente le trajet 4 d'une sollicitation en un point d'une pièce pour un cycle (le sollicitations qui dure un temps T. En d'autres termes, la figure 8 représente la courbe paramétrique {p(t), ti(t)} pour un intervalle de temps t correspondant à un cycle de sollicitation de durée T. Sur la figure est également représentée une droite 5 qui représente le cisaillement admissible en fonction de la pression hydrostatique au point de la pièce considéré. Cette droite est par exemple déduite de mesures de la limite de résistance du matériau constituant la pièce par essais de traction répétée ou de torsion. La droite 5 sépare le plan 'c/p en une zone de sécurité 7 et une zone à risques 8. Lorsque le trajet 4 est entièrement dans la zone de sécurité 7, la pièce soumise à des sollicitations résistera au point considéré de la pièce, indéfiniment lors de la répétition du cycle de sollicitations. Au contraire, lorsque au moins un point du trajet 4 est dans la zone à risques 8, la pièce soumise à des sollicitations rompra au point considéré de la pièce. On définit un coefficient de danger 6 comme le maximum de la distance du trajet 4 à la droite 5. Le coefficient de (langer est par convention égal à -1 pour une sollicitation nulle et égal à 0 pour un trajet 4 tangent à la droite 5. Si le coefficient de danger est positif pour au moins un point du trajet 4, c'est qu'au moins un point du trajet 4 est dans la zone à risques 8 ; la pièce soumise à des sollicitations rompra donc R:ABrecet C4 (H1123I 11ù 0512 I.1-dem aude FRduc au point considéré de la pièce. Si le coefficient de danger est strictement négatif, c'est que le trajet 4 est entièrement dans la zone de sécurité 7 ; la pièce soumise à des sollicitations résistera donc au point considéré de la pièce. Toutefois, ces critères de tenue à la fatigue sont prévus pour des sollicitations cycliques. Or, dans le cas d'une pièce de véhicule automobile, les sollicitations peuvent être aléatoires. Le critère de Dang Van ne donne alors pas des prédictions correctes de la résistance ou de la rupture d'une pièce soumise à des sollicitations aléatoires. Le but de l'invention est donc de proposer un procédé de prédiction de la résistance ou de la rupture d'une pièce mécanique soumise à des sollicitations aléatoires, qui soit rapide et fiable. Ce but est atteint par un procédé de prédiction de la résistance ou de la rupture d'une pièce mécanique soumise à des sollicitations aléatoires, comprenant - une modélisation de l'ensemble des sollicitations, chaque sollicitation étant modélisée par une fonction gaussienne, - un calcul de densités spectrales de puissance de ces sollicitations modélisées, - un calcul de densités spectrales de puissance de contraintes en chaque point de la pièce en fonction des densités spectrales de puissance des sollicitations calculées, - un calcul de grandeurs statistiques des contraintes en fonction des densités spectrales de puissance des contraintes calculées, - un calcul d'un maximum d'un coefficient de danger en moyennant le coefficient de danger du critère de Dang Van sur l'ensemble des sollicitations modélisées par l'utilisation d'une formule asymptotique, de façon à dimensionner la tenue à la fatigue de la pièce soumise à des sollicitations aléatoires. Selon une autre particularité, chaque sollicitation est modélisée par une fonction gaussienne stationnaire. Selon une autre particularité, la fonction gaussienne stationnaire comprend des paramètres qui sont calculés à partir de mesures des sollicitations. Selon une autre particularité, le calcul des densités spectrales de puissance des sollicitations donne également accès aux inter-densités spectrales de puissance des sollicitations. R' VR revet, \24100\2,111I -051 Il -,I,n e FRth, Selon une autre particularité, le calcul des densités spectrales de puissance des contraintes en chaque point de la pièce comprend une modélisation de la pièce par éléments finis. Selon une autre particularité, le calcul des grandeurs statistiques des contraintes comprend l'intégration des densités spectrales de puissance des contraintes de façon à obtenir une matrice de covariance des processus de contraintes en chaque point de la pièce, puis la diagonalisation de cette matrice de façon à obtenir des vecteurs propres correspondants à des processus de contraintes indépendants et des valeurs propres associées correspondant aux variances respectives des processus de contraintes. Selon une autre particularité, le maximum du coefficient de danger est calculé par approximation asymptotique de l'expression : E[CD( x)] = E[max Pu' .A.6+BT .a)-1 te Pi] où A et B sont définies de manière cohérente avec l'expression usuelle du critère de Dang Van et où 6 est le vecteur des contraintes gaussiennes en un point de la pièce. L'invention concerne également un programme d'ordinateur, enregistré sur un support lisible par un ordinateur et comprenant des codes programmés adaptés à faire exécuter sur un ordinateur toutes les étapes du procédé décrit ci-dessus, le procédé étant mis en oeuvre sur un ordinateur. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture de la description détaillée qui suit des modes de réalisation de l'invention donnés à titre d'exemple uniquement et en référence aux dessins qui montrent : - figure 1, une vue en perspective d'un avertisseur sonore et de sa patte de fixation sur un véhicule automobile ; figure 2, un maillage de la patte de fixation de la figure 1 ; - figure 3, une densité spectrale de puissance des contraintes sur la patte de fixation de la figure 1 ; - figure 4, une cartographie des coefficients de danger de la patte de fixation de la figure l ; - figures 5a à 5c, des exemples de sollicitations mesurées selon respectivement trois directions sur un point de la patte de fixation de la figure l ; R \BreeebA24 I140A?d l I I -051 2I4-dernande FR Mx: - figure 6a et 6b, une densité spectrale de puissance dans respectivement deux directions au point de la patte de fixation des figures 5a et 5b ; figure 7, une inter-densité spectrale de puissance dans deux directions au point de la patte de fixation des figures 5a et 5b ; - figure 8, un graphe du cisaillement en fonction de la pression hydrostatique pour le critère de Dang Van, déjà décrite ; - figure 9, un graphe de détermination du coefficient de danger par la formule de Rice. Le procédé de prédiction de la résistance ou de la rupture d'une pièce mécanique soumise à des sollicitations aléatoires comprend : - la modélisation des sollicitations, - le calcul des densités spectrales de puissance de ces sollicitations, -le calcul des densités spectrales de puissance des contraintes en chaque point de la pièce, - le calcul des grandeurs statistiques du processus des contraintes, - le calcul du maximum du coefficient de danger en moyennant le coefficient de danger du critère de Dang Van, de façon à dimensionner la pièce soumise à des sollicitations aléatoires. Ce procédé permet de calculer la résistance ou la rupture d'une pièce mécanique en chaque point de cette pièce, c'est-à-dire de dimensionner la pièce à la fatigue. L'utilisation d'un procédé de prédiction permet de s'affranchir d'essais longs et coûteux. De plus, l'utilisation du critère de Dang Van pour une pièce soumise à des sollicitations aléatoires définies par leur densité spectrale de puissance permet une prédiction fiable. Grâce au dimensionnement plus fiable des pièces, le procédé selon l'invention perrnet de limiter la quantité de matière de la pièce et de fabriquer des pièces mieux adaptées qui résisteront aux sollicitations qu'elles devront subir une fois implantées sur un véhicule automobile. Un véhicule automobile comprend un grand nombre de pièces mécaniques susceptibles de subir des sollicitations mécaniques, telles que des vibrations, thermiques du fait de la météorologie, ou encore des variation d'humidité. Pour faciliter la compréhension, nous prendrons, dans la suite de la description, l'exemple non limitatif d'une patte de fixation d'un avertisseur sonore qui subit des R: \Brv\24100\241 11--05 1 2 1 4-demande FR duc vibrations. Mais l'invention s'applique à tous types de pièces ayant à subir tous types de sollicitations variables au cours du temps. La figure 1 montre une vue en perspective d'un avertisseur sonore et de sa patte de fixation sur un véhicule automobile. Un véhicule automobile comporte généralement un avertisseur sonore 1 fixé sur une patte de fixation 2, qui est elle-même fixée au véhicule automobile par un point de fixation 3, par exemple par vissage ou par rivetage. La patte de fixation 2 subit par exemple des vibrations dues à l'accélération du véhicule automobile. Les figures 5a à 5c représentent des exemples de sollicitations mesurées selon respectivement trois directions sur un point de la patte de fixation, en particulier le point de fixation 3 de la patte de fixation de l'avertisseur sonore sur le véhicule. Ces trois directions sont par exemple la direction X de roulage du véhicule, la direction Z verticale et une direction Y perpendiculaire aux directions X et Z. Le procédé de prédiction de la résistance ou de la rupture d'une pièce mécanique soumise à des sollicitations aléatoires permet de calculer un coefficient de danger en tout point de la pièce de façon à dimensionner la pièce à la fatigue. Cela permet de déterminer si des fissures sont susceptibles ou non d'apparaître sur la pièce au cours du temps de façon à sélectionner des pièces ou des emplacements de pièces sur un véhicule. En effet, suivant les emplacements sur le véhicule, les sollicitations peuvent être de nature ou d'intensité différentes. Le procédé comprend une première étape de modélisation des sollicitations. Il est souhaitable que les sollicitations soient modélisées en utilisant un modèle qui reproduise sensiblement les sollicitations que subit la pièce en étant implantée sur un véhicule automobile. Les sollicitations sont modélisées par une fonction gaussienne et stationnaire. En effet, les sollicitations subies par les pièces automobiles résultent généralement de la superposition d'un grand nombre de sollicitations indépendantes dues aux irrégularités de la route, aux efforts aérodynamiques sur la voiture, etc... et peuvent ainsi être modélisées par une fonction gaussienne. Le caractère stationnaire de la sollicitation indique que l'intensité moyenne des sollicitations et l'intensité moyenne des variations des sollicitations n'évoluent pas avec le temps. En effet, on peut considérer que l'utilisation qui est faite de la voiture est la même à n'importe quel moment de sa vie. Les paramètres de cette fonction gaussienne et stationnaire sont par exemple calculés à partir de mesures réalisées sur la pièce, telles que les R:ABrevets\24100V4111ù051214-demande FRdu Cette étape peut être réalisée à partir des sollicitations mesurées, telles que les mesures des figures 5a à 5c, ou à partir des sollicitations modélisées à la première étape. Le calcul des densités spectrales de puissance est réalisé de façon classique par Transformée de Fourier. Cette deuxième étape donne accès aux densités spectrales de puissance des sollicitations ainsi qu'aux inter-densités spectrales de puissance des sollicitations. Des exemples de densités spectrales de puissance des sollicitations dans les directions X et Y sont représentés respectivement sur les figures 6a et 6b pour des vibrations subies par le point de fixation 3 de la patte de fixation 2 de l'avertisseur sonore. Un exemple d'inter-densités spectrales de puissance des sollicitations dans les directions X et Y est représenté sur la figure 7 pour les mêmes vibrations. Le procédé comprend une troisième étape de calcul des densités spectrales de puissance des contraintes en chaque point de la pièce ; les contraintes internes à la pièce sont induites par les sollicitations. Cette troisième étape comprend la modélisation de la pièce par éléments finis. Un exemple de maillage de la patte de fixation de l'avertisseur sonore est représenté sur la figure 2. Les densités spectrales de puissance des contraintes sont alors calculées à partir des densités et inter-densités spectrales de puissance des sollicitations calculées à la deuxième étape et à partir du calcul d'éléments finis. Cela peut être réalisé en imposant des sollicitations unitaires R:ABrevets\241 IXI\241 I I - 1151 _' IAmande FR.doc et en procédant à une analyse de réponse en fréquence, tel que décrit dans l'article de T.E. Wong, F.W. Palmieri, B.A. Reed, H.M. Cohen : "Micro Electronic Component Vibration Fatigue Damage Evaluation". Cette troisième étape donne accès aux densités spectrales de puissance des contraintes ainsi qu'aux inter-densités spectrales de puissance des contraintes en chaque point de la pièce. Le procédé comprend une quatrième étape de calcul des grandeurs statistiques du processus des contraintes. Le processus des contraintes est l'objet statistique correspondant à une description statistique des contraintes aléatoires créées par les sollicitations aléatoires imposées à la pièce. Cette étape comprend l'intégration des densités et inter-densités spectrales de puissance des contraintes calculées à la troisième étape de façon à obtenir une matrice de covariance des processus de contraintes en chaque point de la pièce. Cette matrice de covariance est ensuite diagonalisée de façon à obtenir des vecteurs propres correspondants à des processus de contraintes indépendants et des valeurs propres correspondant aux variances respectives de ces processus de contraintes. Ainsi, on représente les contraintes subies par la pièce comme une combinaison linéaire de processus indépendants de variance donnée. Le procédé comprend une cinquième étape de détermination du coefficient de danger en chaque point de la pièce. Cette étape consiste à évaluer le critère de Dang Van en chaque point de la pièce, chaque point de la pièce étant sollicité par des contraintes telles qu'obtenues à la fin de la quatrième étape, c'est-à-dire une combinaison linéaire de processus indépendants de variance donnée. Le coefficient de danger CD défini par le critère de Dang Van a la forme au point x : CD(x)=max (ls(x,t)ùc(x)II+a.p(x,t 1,3ù1 ,E(0.T] où T est la durée du cycle des sollicitations, a et sont des constantes liées aux limites de résistance du matériau constituant la pièce aux essais respectivement de traction et en torsion simple, s(t) est le déviateur des contraintes, c'est-à-dire les contraintes moins la 30 pression hydrostatique, p(t) est la pression hydrostatique, R:Breveu\2- l 00\241 1 1 --05 l ' l4-demande FR. doc25 et c(x) est le centre de la plus petite sphère circonscrite au trajet de sollicitations du déviateur des contraintes s(t), aussi appelé centre de Dang Van. Toutefois, dans l'invention, les contraintes ne sont pas cycliques et on ne peut donc pas faire le calcul du coefficient de danger sur un cycle. En revanche, on peut imaginer une infinité de réalisations des contraintes telles que définies à l'étape précédente, qui correspond à une infinité de sollicitations potentiellement subies par la pièce. On va donc calculer la moyenne du coefficient de danger E(CD) sur cette infinité de réalisations. Les contraintes étant gaussiennes, le centre c(x) coïncide avec la moyenne du déviateur des contraintes. La moyenne du coefficient de danger E(CD) devient donc : E[CD(x)]=E[max ( te [O,Tl(s(x,t)F+a.p(x,t))/ -1] où représente la partie variable du déviateur des contraintes. On peut réécrire E(CD) de la façon suivante : max (aT.A. 6 +BT .6)-1J te [OTI où A et B sont définies de manière cohérente avec l'expression précédente et où a est le vecteur des contraintes en un point de la pièce. a est le vecteur suivant : G = (axx, ayy, azz, axy, oyz, ('-Yxz)• Toutes ses composantes sont gaussiennes, il est donc appelé vecteur gaussien. A et B ont les valeurs suivantes : 1 -0,5 -0,5 0 0 0 1 -0,5 1 -0,5 0 0 0 1 - 0,5 -0,5 1 0 0 0 1 A= B= 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 0 Cette dernière expression de la moyenne du coefficient de danger en chaque point x est alors évaluée de façon asymptotique, par une approximation. Cette évaluation peut être réalisée par exemple par la formule de Rice, tel que décrit dans Oskar Hagberg 2004, "Asymptotic expansions of crossing rates of stationnary random processes", Lund University, Sweden. L'approximation consiste d'abord à rechercher le point ao de probabilité maximale de l'espace des contraintes pour lequel le coefficient de danger est nul. R:ABrevets\24100\24I 11ù 05 (214.lemande FR do E[CD(x)]=E A partir de ao et de la matrice de covariance des contraintes obtenue à la quatrième étape, on calcule toutes les grandeurs associées au processus de contraintes a(t).ao : en particulier, bo est la variance du processus a(t).ao et vo est la fréquence centrale de Rice. vo est égal à la racine carrée du rapport du moment d'ordre 2, à savoir la variance de la dérivée du processus a(t).ao, et de la variance du processus a(t).ao. La formule de Rice donne alors : 6, =E[max(6.6o ) t REVENDICATIONS 1. Procédé de prédiction de la résistance ou de la rupture d'une pièce mécanique soumise à des sollicitations aléatoires, comprenant : - une modélisation de l'ensemble des sollicitations, chaque sollicitation étant modélisée par une fonction gaussienne, - un calcul de densités spectrales de puissance de ces sollicitations modélisées, - un calcul de densités spectrales de puissance de contraintes en chaque point de la pièce en fonction des densités spectrales de puissance des sollicitations calculées, - un calcul de grandeurs statistiques des contraintes en fonction des densités spectrales de puissance des contraintes calculées, -un calcul d'un maximum d'un coefficient de danger en moyennant le coefficient de danger du critère de Dang Van sur l'ensemble des sollicitations modélisées par l'utilisation d'une formule asymptotique, de façon à dimensionner la tenue à la fatigue de la pièce soumise à des sollicitations aléatoires. 2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel chaque sollicitation est modélisée par une fonction gaussienne stationnaire. 3. Procédé selon la revendication 2, dans lequel la fonction gaussienne stationnaire comprend des paramètres qui sont calculés à partir de mesures des sollicitations. 4. Procédé selon l'une des revendications 1 à 3, dans lequel le calcul des densités spectrales de puissance des sollicitations donne également accès aux inter-densités spectrales de puissance des sollicitations. 5. Procédé selon l'une des revendications l à 4, dans lequel le calcul des densités spectrales de puissance des contraintes en chaque point de la pièce comprend une modélisation de la pièce par éléments finis. 6. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, dans lequel le calcul des grandeurs statistiques des contraintes comprend l'intégration des densités spectrales R VBrevets'24100A24111--05l'_ 14-demande 1 R. durde puissance des contraintes de façon à obtenir une matrice de covariance des processus de contraintes en chaque point de la pièce, puis la diagonalisation de cette matrice de façon à obtenir des vecteurs propres correspondants à des processus de contraintes indépendants et des valeurs propres associées correspondant aux variances respectives des processus de contraintes. 7. Procédé selon l'une des revendications 1 à 6, dans lequel le maximum du coefficient de danger est calculé par approximation asymptotique de l'expression : E[CD(x)]=E[max(TAa +BT.)_1] te [O.T ] où A et B sont définies de manière cohérente avec l'expression usuelle du critère de Dang Van et où 6 est le vecteur des contraintes gaussiennes en un point de la pièce. 8. Programme d'ordinateur, enregistré sur un support lisible par un ordinateur et comprenant des codes programmés adaptés à faire exécuter sur un ordinateur toutes les étapes du procédé selon l'une des revendications 1 à 7, le procédé étant mis en oeuvre sur un ordinateur. R:ABrevec,124100A241 I 1ù051214-demande FR lac