FR 2898530 A1 20070921 FR 0650935 A 20060317 PROCEDE DE DETERMINATION DE LA FORME D'UN BAIN DE FUSION APPARAISSANT LORS DE LA MISE EN îUVRE D'UN PROCEDE DE SOUDAGE DESCRIPTION DOMAINE TECHNIQUE L'invention concerne un procédé de détermination de la forme d'un bain de fusion de métal liquide apparaissant lors de la mise en oeuvre d'un procédé de soudage d'une première pièce et d'une seconde pièce. Pour améliorer la productivité et réduire les coûts, les industriels de l'automobile, de l'aéronautique, etc. s'orientent de plus en plus vers des outils de simulation. C'est le cas en particulier en ce qui concerne les opérations de soudage. L'un des enjeux industriels majeurs de l'assemblage par soudage concerne la prédiction des effets mécaniques du procédé (contraintes résiduelles, distorsions, résistance à la fatigue...). Ces effets sont directement dépendants des évolutions de températures imposées par le procédé de soudage i.e. le chargement thermique du procédé. Pour pouvoir accéder à ce chargement thermique du procédé, deux méthodes sont couramment utilisées : la méthode directe et la méthode dite de la source équivalente. La méthode directe consiste à tenter de résoudre le problème de transfert de chaleur dans les deux parties de structure soudée, la partie fondue et la partie solide. Pour ce faire, il faut résoudre les équations de Navier Stockes dans le liquide, les équations de conservation d'énergie en tenant compte de l'interaction entre l'arc d'énergie et la pièce, l'interaction entre la partie liquide et la partie solide, et les équations du transfert de chaleur dans le solide. L'ensemble des équations ci-dessus n'a jamais été résolu dans sa totalité. En effet, la complexité du problème est telle qu'une partie seulement de ce problème a trouvé des solutions pour des effets particuliers, par exemple l'effet de tension de surface, l'effet Marangoni. La méthode de la source équivalente consiste à donner a priori une forme de la source d'énergie pour ensuite résoudre un problème de conduction non linéaire de la chaleur dans les pièces à assembler. Les paramètres de cette source d'énergie sont identifiés par un problème inverse à partir de la température mesurée dans le solide et la macrographie du bain de soudage (cf. réf [2] ou réf [3]). Cette méthode permet d'accéder au chargement thermique du procédé de soudage mais : • Le modèle de source est spécifique à chaque procédé de soudage. • On impose une solution qui n'est pas nécessairement représentative de la physique des processus mis en oeuvre. • La simulation des températures au voisinage du bain de fusion est difficile à réaliser. La présente invention a pour objet un procédé de détermination de la forme d'un bain de fusion qui remédie à ces inconvénients. Ce procédé se caractérise par les étapes suivantes . a) on choisit un procédé de soudage ; b) on choisit une forme bidimensionnelle ou tridimensionnelle de bain virtuel en fonction du procédé de soudage choisi à l'étape (a) ; c) on modélise la forme du bain de fusion virtuel par une fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier ; d) on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en 15 imposant des conditions aux limites ; e) on fabrique un exemplaire réel de la première et de la seconde pièces ; f) on les soude au moyen du procédé choisi à l'étape (a), ce qui fait apparaître un bain de fusion 20 et une zone solide réels ; g) on mesure la température en M points de la zone solide réelle, M étant au moins égal au nombre de paramètres à identifier ; h) on compare les températures mesurées à 25 l'étape (g) aux températures calculées, aux mêmes points, à l'étape (d) en calculant la fonction S(T) = 1 I LT(xm, ym;l)ùYmj2 en deux dimensions M.=1 1 2 ou la fonction S(T)=ùI[T(xm,ym,zm;T)ùYmj en M m=1 trois dimensions ;10 i) on compare s(r) à une valeur prédéfinie ; j) si S(r) est supérieur à la valeur prédéfinie, on choisit une autre forme de bain virtuel et on réitère les étapes (c) à (h) jusqu'à ce que S(r) soit inférieur à la valeur prédéfinie ; k) si ou lorsque S(r) est inférieur à la valeur prédéfinie, on accepte la forme du bain de fusion virtuel qui a permis de calculer S(r) comme valeur réelle et on accepte le champ de température calculé à partir de cette forme comme le champ de température réel. Grâce à ces caractéristiques, on fait abstraction des phénomènes thermiques complexes qui se passent dans le liquide, ce qui simplifie le problème à résoudre de manière très importante en réduisant beaucoup le nombre des paramètres à déterminer. De plus, en accédant au champ de températures et à S(r), on accède également à la quantité d'énergie qui traverse le front de fusion. Avantageusement, mais non nécessairement, la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une courbe ou une surface de Bézier. Dans le cas d'un front de fusion bidimensionnel la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une courbe de Bézier définie par l'équation : n n n n. n n! P(t)=B . (t)P où B (t)=C t` (1û t)n-` , C = avec i =1, ..n; N = n + 1 =o a i a a i!(nûi)! où P(t) passe par tous les points de la courbe de Bézier, où Pi est le point de contrôle, n le degré de la courbe de Bézier, N=n+1 le nombre de points de n contrôle Pi, te[0,1] et B (t) sont des polynômes de Bernstein. Dans le cas d'un front de fusion tridimensionnel la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une surface de Bézier définie par l'équation : P(u,v) = 11B m (u)B n(v)] avec u e [0,1],v e [0,1] i=o 1=0 1 J n Bn(v)= J~(n-~)iv (1ûv)' où P (u, v) passe par tous les points de la 15 surface de Bézier, Pi7 est le point de contrôle, mxn est le degré de la surface de Bézier il y a (m+l)x(n+l) points de contrôle dont (m+1) points dans la direction i et (n+1) points dans la direction j ; m n B . (u),B .(v) sont des polynômes de Bernstein. t J 20 Avantageusement à l'étape (j), on utilise l'algorithme de Levenberg-Marquardt pour choisir une autre forme de bain virtuel. Dans le cas d'un bain bidimensionnel, à l'étape (d), on calcule le champ de température dans un 25 solide virtuel entourant le bain de fusion en résolvant le système d'équation suivant : 10 n! 6 h pscsu T ~'y =V [2S~T (x,Y)]ù S (T -Tmp) (x, y) cg aTs =0en y = L 'aT =0enx=ùL1 et aTs =0en y=0 (2) ay Y ax ay T=Timp en x=+L2 ; T (x, y) =Tf (x, y) Eh (3) (1) avec : 2.s Conductivité du solide, Wm-1K-' ps Masse volumique du solide, kg m-3 c Capacité thermique massique, J kg-1 K-1 Ts Température dans le solide, C Te Température extérieure, C T imp Température imposée, C u vitesse du moyen de Tf Température de fusion, soudage, m s F Interface Liquide- Solide S2s Domaine solide h Coefficient d'échange a émissivité 10 Dans le cas d'un bain tridimensionnel, à l'étape (d), on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en résolvant le système d'équation suivant : pscsu aT (x' y, z) = o [il5VT (x, y, z)] (x, y, z) E ÇIs (1) -1 C aTs =Oen y= ay =0enx=ùL1et=0eny=0 15 (2) x Y' -2 T ( zo) +hT(x,y,z0)hTe enz=z0 =o s (3) 0T (x, y, zep) + hT (x, y, zep) hTe en z = zep = e (4) T=Timp en x=+L2 ; T (x, y, z) =T f (x, y, z) el' (5) Le plus souvent le procédé de soudage est choisi dans le groupe comprenant les procédés de soudage TIG, MIG/MAG, par faisceau d'électrons, plasma, laser, hybride. Pour la plupart des besoins, le degré de la courbe de Bézier est égal à 3 ou 4 en 2D et le degré de la surface de Bézier est compris entre 2x3 et 4x3 en 3D. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront encore à la lecture de la description qui suit d'exemples de réalisation faite en référence aux figures annexées. Sur ces figures : - la figure 1 illustre une courbe de Bézier avec quatre points de contrôle ; - la figure 2 est une macrographie d'un bain de fusion non débouchant ; - la figure 3 est une vue d'une courbe de Bézier de degré 3 correspondant à la macrographie de la figure 2 ; - la figure 4 est une macrographie d'un bain de fusion débouchant ; - la figure 5 est une vue d'une courbe de Bézier de degré 3 correspondant à la macrographie de la figure 4 ; - la figure 6 est un schéma qui illustre un exemple de bain de fusion bidimensionnel ; 25 - les figures 7 à 9 sont trois courbes de Bézier de degré 4 (d'ordre 5) ; - la figure 10 est un schéma du procédé de soudage ; - la figure 11 est un schéma du domaine spatial en cas 2D ; - la figure 12 est un schéma du domaine spatial en cas 3D - la figure 13 illustre la surface de Bézier de degré 3x2 avec ses points de contrôle ; - la figure 14 illustre le champ de température calculé en cas 3D. Différents procédés de soudage (M.I.G, M.A.G, Laser, faisceau d'électrons, hybride...) donnent différentes formes de bain fondu. Pour avoir accès à des formes très libres avec le minimum de paramètres conformément à l'invention, on paramètre la forme du bain avec une courbe de Bézier de degré n (ou une surface de Bézier de degré mxn). La définition classique des courbes et des surfaces de Bézier s'appuie sur la famille des polynômes de Bernstein. Ces polynômes ont été utilisés par Bernstein pour l'approximation polynomiale des fonctions. Ils sont utilisés dans la description du modèle de Bézier par les points de définition nommés aussi points de Bézier ou encore points de contrôle . Les propriétés essentielles de ces polynômes proviennent de leur intervention à l'intérieur de la formule du binôme lors du développement de (t+(1-t)) avec n un entier naturel non nul. Pour avoir les fonctions de base de Bernstein, on écrit le chiffre 1 sous la forme : 1= (t+ (1-t)) . Ainsi, dans le cas 2D : La valeur de n définit le degré du polynôme de Bernstein et également le nombre de points de contrôle (N=n+1), donc, le type de la courbe de Bézier. Par exemple, pour n=3 on a : 1=13= (t+ (1-t)) 3= (1-t) 3+3 (1-t) 2t+3 (1-t) t2+t3 donc, les fonctions basiques sont : BO (t) = (1-t) 3 B1 (t) =3 (1-t) 2t B2 (t) =3 (1-t) t2 B3(t)=t3 et bien sûr on a BO (t) +B1 (t) +B2 (t) +B3 (t) =1, et Pour construire une courbe, on a besoin ensuite de 4 points de contrôle. Dans le plan (x, y) par exemple, on désigne ces quatre points de contrôle par Po(xO, y0), P1(xl, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3) (voir figure 1). La courbe de Bézier avec quatre points de contrôle est alors formulée comme suit : P ( t ) =B0 ( t ) Po+Bl ( t ) P1+B2 ( t ) P2+B3 ( t ) Par te [ 0, 1 ] ou bien sous forme vectorielle (xOBO (t) +x1B1 (t) +x2B2 (t) +x3xB3 (t) , y1B1 (t) +y2B2 (t) +y3B3 (t) ) Cette courbe passe par les point Po(xO,yO) et P3(x3,y3). Sa tangente à ces points est la ligne reliant Po(xO,yO) à P1(xl,yl) et la ligne reliant P3(x3,y3) à P2 (x2, y2) . La forme de la courbe dépend de la position de P1 (xl, yl) et P2 (x2, y2) . On peut formuler de façon générale l'équation de la courbe de Bézier de degré n (ordre n+1) de la manière suivante : P(t) _ 1Bn(t)P i=o n n (t) =C B t`(lùt)n- , a i n! i!(n-i)! n B.(t) sont des polynômes de Bernstein. t Plusieurs études en soudage nous donnent des formes possibles de zone de fusion, donc, de front de fusion de plusieurs procédés de soudage. Ce front est caractérisé par certaines formes : parabole, conique, triangle ou des formes plus compliquées comme à renflement ou en tête de clou. En utilisant la courbe de Bézier de degré 1 à 4, on peut interpréter la plupart de ces formes. On décrira maintenant les courbes de Bézier de degré 3 et 4, dont l'application est très large. La courbe de Bézier de degré 3(n=3) est définie par les équations suivantes : P (t) _ (1-t) 3Po+3 (1-t) 2tP1+3 (1-t) t2P2+t3P3 0 En étudiant les formes possibles de la courbe de Bézier de degré trois (figure 1), on montre qu'avec quatre points de contrôle on arrive à interpréter la plupart des formes de front de fusion. A titre d'illustration, on a représenté sur la figure 2 une macrographie du front de fusion d'une soudure non débouchante et sur la figure 3 la paramétrisation de ce front de fusion par une courbe de Bézier de degré 3. Sur la figure 4 on a représenté la macrographie du front de fusion d'une soudure débouchante et sur la figure 5 la paramétrisation de ce front de fusion par une autre courbe de Bézier de degré 3. Dans le cas de la figure 3 comme dans le cas de la figure 5, la moitié seulement du front de fusion a été représenté. On voit donc qu'avec des formes de courbe de Bézier de degré 3 on arrivera à interpréter la plupart des formes possibles du front de fusion. Notons que pour les quatre points de contrôle, les deux points Po et P3 sont imposés par la macrographie parce qu'ils sont visibles directement sur la macrographie et qu'il est clair qu'il restent les même tout au long du processus (voir figure 6). La question est donc de déterminer P1 et P2 tels que la forme de la macrographie est retrouvée. Avec les courbes de Bézier de degré 3 (d'ordre 4) on peut paramétrer : • La plupart des formes de front de fusion du procédé faisceau d'électrons sauf le cas de renflement. • Les formes simples du front de fusion en cas de soudage laser. • Toutes les formes de front de fusion en 25 cas de soudage TIG débouchant et non-débouchant et en cas de soudage MIG/MAG. La courbe de Bézier de degré 4 (n=4) est définie par l'équation suivante : P (t) _ (1-t) 4P0+4 (1-t) 3tP1+6 (1-t) 2t2P2+4 (1- 30 t) t3P3+t4P4 0 Généralement, la surface formulée comme suit :de Bézier est m n P(u,v) _ B m(u)B n (v)Pu avec u E [0,1],v E [0,1] i=o j=o l J in! mùi B m (u) _ i! (m ù i)t ui(l ù u) n (v) = n! B vi (1ù v)n-, J J!(n ù J)! Où P(u,v) passe par tous les points de la surface de Bézier. Pi7 est le point de contrôle, mxn est 10 le degré de la surface de Bézier, il y a (m+1)x(n+l) points de contrôle dont (m+1) points dans la direction i et (n+1) points dans la direction j ; Br(u),Bf(v) sont des polynômes de Bernstein. J On a des propriétés générales pour des 15 surfaces de degré mxn (ordre (m+l)x(n+l) ) : •La surface passe par les points de contrôle extrémités Poo, Pon, P , Pmn •La surface P(u,v) est continue et a des dérivées continues à tous les ordres. •Chaque point de contrôle exerce une attraction sur la portion de la surface proportionnelle aux coefficients bi-variés du polynôme de Bernstein. •La surface est continue dans l'enveloppe convexe de polygone Poo, PO , Pmo, Pmn. •Le contrôle de la surface est global. 20 25 •La surface de Bézier est indépendante du système d'axes auxquels elle est rapportée. Avec les surfaces de Bézier de degré 3x3 : 3 3 P(u, 11B . (B . (v)Pj i=0 j=0 =P00 (1ùu) 3 (1ùv) 3+Pol (1ùu) 33v (1ùv) 2+Po2 (1ùu) 33v2 (1ùv) +Po3 (1ùu) 3v3 +P103u (1ùu) 1ùv) 3+P113u (1ùu) 23v (1ùv) 2+P123u (1ùu) 23v2 (1ùv) +P133u (1ùu) 2v3 +P203u2 (1ùu) (1ùv) 3+P213u2 (1ùu) 3v (1ùv) 2+P223u2 (1ùu) 3v2 (1ùv) +P233u2 (1ùu) v3 +P30u3 (1-v) 3+P31u33v (1-v) 2+P32u33v2 (1-v) +P33u3v3 ou encore mieux de degré 4x3 P(u, 4 3 11B( i=0 j=0B (v)Pj =Poo (1ùu) 4 (1ùv) 3+Pol (1ùu) 43v (1ùv) 2+Po2 (1ùu) 43v2 (1ùv) +Po3 (1ùu) 4v3 +P104u (1ùu) 3 (1ùv) 3+P114u (1ùu) 33v (1ùv) 2+P124u (1ùu) 33v2 (1ùv) +P134u (1ùu) 3v3 +P206u2(1ùu)2(1ùv)3+P216u2(1ùu)23v(1ùv)2+P226u2(1ùu)23v2(1ùv)+P236u2(1ùu) 2v3 +P304u3 (1ùu) (1ùv) 3+P314u3 (1ùu) 3v (1ùv) 2+P02 (1ùu) 2+P324u3 (1ùu) 3v2 (1ùv) +P334u3 (1 u)v3 +P40u4 (1ùv) 3+P41u43v (1ùv) 2+P42u43v2 (1ùv) +P43u4v3 On peut paramétrer la plupart des bains de fusion en trois dimensions. Comment on modifie la forme du front de 20 fusion F. 1. Le front de fusion F est interprété par les coordonnées des points de contrôle. On peut écrire F (P0r P1..., PN) où N est le nombre des paramètres à identifier. On utilise M points de mesure pour 25 identifier N paramètres, alors Mn.. Quand F (P0r P1..., PN) est connu, on peut obtenir le champ de température dans le solide T(F) en résolvant le problème de transfert de chaleur. Cela veut dire également que le champ de température change quand on modifie la forme de 30 F (P0r P1,..., PN) . On introduit maintenant le terme coefficient de sensibilité i.e. la dérivée de la température par rapport aux paramètres à identifier aT. aP. 1,..., ;i 1,..., N La matrice de sensibilité est définie comme suit . aP J(F) _ TT(r) P2 [T , T2,..., Tm N 2. On fait un essai et on mesure la température à des points de mesure bien définis 10 Ym, m=1, ..., M où M est le nombre des points de mesure (Figure 11 ou Figure 12 pour 3D)). 3. Pour débuter le calcul, on se donne des paramètres initiaux c'est-à-dire ho(Pon`,P`n`, ,PN`) , avec ro on résout le problème de transfert de chaleur dans le 15 solide pour obtenir le champ de température T(Fo). On extrait ensuite la valeur de température à des points de mesure. 4. On calcule la fonction S(To)= - ~,LT(xm,Ym;ho)ùYm12 en 2D M m-15 1 \ 2 ou la fonction S(r)=ùI LT(xm,ym,zm;YIùYml M m=1 en 3D. 5. Si S(Fo)>E on modifie la forme du front de fusion r1 =ro+[(J(Yo))TJ(Yo)r1(J(Yo))T[YùT(Fo)] (Méthode de Gauss) On peut également utiliser la méthode de Levenberg Marquardt FI =Fo +P(Fo TJ(Fo)+çoAIùl(J(Fo T[Yù Fo)] où o est un scalaire positif nommé paramètre d'amortissement et S2o est une matrice diagonale. L'objectif du terme oÇlo est d'amortir les oscillations et les instabilités dues au caractère mal posé du problème. Le paramètre d'amortissement o est choisi grand au début de la procédure itérative (la méthode est alors proche de la méthode de la plus forte pente) puis, est réduit lorsque l'on se rapproche de la solution (la méthode rejoint la méthode de Gauss). 6. On reboucle le calcul jusqu'à la convergence. EXEMPLES Exemple 1 : front de fusion bidimensionnel. On souhaite souder bout à bout deux plaques 2,4. Chacune des plaques a une largeur Ly, une longueur 2LX et une épaisseur e. Une torche 6 génère un arc électrique possédant une intensité suffisante pour fondre le métal et former un bain de fusion 8. Elle se déplace avec une vitesse constante u le long de l'axe x sur le bord des deux plaques 2 et 4. Le bain de fusion 8 se déplace à la même vitesse que la torche 6. Une zone de fusion 10 est formée en arrière du déplacement du bain de fusion 8. L'objectif est de retrouver par la méthode inverse la forme du bain et le champ de température dans la région solide avec le minimum de paramètres à identifier. Les hypothèses prises pour définir ce problème sont les suivantes : • A vitesse de torche u constante, les transferts sont non stationnaires dans un référentiel lié à la plaque. Toutefois en utilisant un repère lié à la torche on obtient un régime quasi-stationnaire : la forme du bain fondu reste constante dans ce repère pendant que la matière entre et sort du domaine d'étude. Le référentiel mobile de la torche est donc utilisé pour l'analyse du problème inverse. • Les variations de température dans la direction Oz sont supposées négligeables par rapport à celles dans le plan (Ox, Oy), et le problème de transfert est ainsi considéré comme bidimensionnel. • La forme de l'interface liquide-solide F est paramétrée par une courbe de Bézier. • La position des points de mesure dans le domaine solide est constante dans le référentiel de la torche. En régime quasi-stationnaire, le champ thermique dans le solide est déterminé en considérant la température imposée à l'interface liquide-solide, égale à la température de fusion Tf. Mise en oeuvre du procédé - Etape 1 On choisit une forme de Fo du bain de fusion et sa paramétrisation par une courbe de Bézier d'ordre 4 (ou de degré 3). Cette courbe se base sur quatre points de contrôle Po, P1r P2 et P3 (c'est-à-dire huit coordonnées en cas bidimensionnel), et a pour formule : P (t) _ (1-t) 3Po+3 (1-t) 2tP1+3 (1-t) t2P2+t3P3 0 Wm-1K-1 solide, C Ps Masse volumique du Te Température extérieure, solide, kg m-3 C C Capacité thermique Timp Température Imposée, C massique, J kg-1K-1 u Vitesse de la torche, m Tf Température de fusion, s-1 C F Interface Liquide-Solide S2S Domaine solide h Coefficient d'échange a émissivité ps=7200 kg.m-3, psc=4000000 J.m-3.K-1, X5=50 W.m-1.K1, Tf=1450 C, Timp=20 C, u=10mm.s-1, Ly=50 mm, (2) LX=300 mm, L1=540 mm, L2=60 mm, h=24.1x10-4aT1.61 W.m-2.K 1, a=0.9 (émissivité). Le deuxième terme à droite dans l'équation (1) sert à exprimer les pertes thermiques, S est l'aire de la section de la pièce et p son périmètre. Des conditions adiabatiques (2) sont considérées sur les bords du domaine de calcul sans perte de généralité. La température est imposée (3) sur le front de fusion ainsi qu'au bord x=+L2, voir figure 11. Les hachures représentent les parties de la pièce qui sont suffisamment loin du bain fondu. Il n'y a donc pas de flux thermique et de température imposés. On accède ainsi au champ de température T(x,y ;F) dans le solide pour la forme du bain de fusion de l'étape 1. Etape 3 On mesure alors, par exemple à l'aide d'un thermocouple situé à une distance yto du bord de la plaque ou d'une caméra infrarouge, la température Ym dans le solide en un nombre de M points de mesure 12 au moins égal au nombre de paramètres à identifier (3 comme on l'a vu plus haut). Dans notre exemple, on choisit M=5 (ie on effectue 5 mesures de températures à l'aide d'un seul thermocouple). On n'a besoin que d'un seul thermocouple pour avoir plusieurs points de mesure. En quasi stationnaire, les différentes positions xm correspondent à différents temps d'enregistrementxm=uxtm, donc, on peut avoir plusieurs points de mesure en utilisant un seul thermocouple. On calcule la fonction TT ! 17 T S(1) L M V L (xm, y.; F) _ pm M m=1 On obtient alors les résultats suivants après 15 itérations : X input 1l~ Nombre Erreur estimée en (%) (Pox, PlY, P2y) d'itérations 11OPII/11PII-~1(PeX kp -P1)2/ ~~(Pexp ~~z (0.5,0.5,0.5) 0,5309 15 1.7 Sans s'intéresser à ce qui se passe dans la partie liquide, on arrive donc de façon satisfaisante à décrire la forme du bain de fusion et on accède ainsi au chargement thermique du procédé. Exemple 2 : Cas 3D débouchant. Comme dans le cas de l'exemple bidimensionnel, on souhaite souder bout à bout deux plaques. Chacune des plaques a une largeur Ly, une longueur 2LX et une épaisseur e (voir figure 12). Le problème est défini physiquement comme suit : un arc électrique possédant une intensité suffisante se déplace avec une vitesse constante le long de l'axe x et s'applique sur le bord de deux plaques en métal. Un bain de fusion est formé et se déplace à la même vitesse que l'arc électrique. Les hypothèse prises pour définir ce problème sont les suivants : • A vitesse de torche u constante, les transferts sont non stationnaires dans un référentiel lié à la plaque. Toutefois en utilisant un repère lié à la torche on obtient un régime quasi-stationnaire : la forme du bain fondu reste constante dans ce repère pendant que la matière entre et sort du domaine d'étude. Le référentiel mobile de la torche est donc utilisé pour l'analyse du problème inverse. • La forme de l'interface liquide-solide F est paramétrée par une surface de Bézier. • La position des points de mesure dans le domaine solide est constante dans le référentiel de la torche. En régime quasi-stationnaire, le champ thermique dans le solide est déterminé en considérant la température imposée à l'interface liquide-solide, égale à la température de fusion Tf. Mise en oeuvre du procédé Etape 1 : On choisit une forme Fo du bain de fusion et sa paramétrisation par une surface de Bézier d'ordre 4x3 (ou de degré 3x2). Cette surface se base sur douze points de contrôle Po, P1r P2, P12 (Figure 13) (c'est-à- dire trente six coordonnées en cas tridimensionnel), et a pour formule : 2 3 P(u,v)=23R. 2! Z)~u`(13! v1(1ùv)3 i Z=o if() i!(2 j!(3 j)! =P00(1-u)2(1-v)3+P01(1-u)23v(1-v)2+P02 (1-u) 23v2 (1-v) +P03 (1-u) 2v3 +P102u (1ùu) (1ùv) 3+P112u (1ùu) 3v (1ùv) 2+P122u (1ùu) 3v2 (1ùv) +P132u (1ùu) v3 +P20u2 (1ùv) 3+P21u2 (1ùv) 2+P22u23v2 (1ùv) +P23u2v3 ue[0,1 ; ve[0,1] Cette approche a plusieurs avantages d'une part la surface de Bézier assure la régularité de la forme, d'autre part la taille du vecteur paramètres X à identifier reste limitée. De plus certaines coordonnées des points de contrôle peuvent être contraintes a priori par la nature physique du problème. Dans le cas étudié ici, les coordonnées de P20, P23, Poo, P03 sont connues, de plus grâce aux conditions de symétrie par rapport à l'axe y on a : P21xù P2oxr P22x= P23xr P01x= Pooxr P02xù P03xr P11x= P1oxr P12xù P13x On impose P1oz= P11,= P12z= P13z, alors la dimension du vecteur paramètres X, ie le nombre de paramètres à identifier est ainsi limitée à neuf dim (X) =9 avec X =[P01yr P02yr P10xr P13xr P11yr P12y, P10zr P21y P22y] Le vecteur paramètre X initial est t= (0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2) Etape 2 La forme du bain de fusion étant donnée à l'étape 1 et donc le vecteur X initial, on résout le système d'équations décrivant le champ de température dans le domaine solide en régime quasi-stationnaire pour cebain : psesu ôT (x'y, z) V [2 V (x, y, z)] (x, y, z) e ÇIs (1) aT =0 en y=Ly; =0 en x=ûLl et aT =0 en y=0 (2) Y Y -2 ,T ,y,zo) +hT(x,y,z0)hTe enz=z0 =o s 2s 8T(x, y, Zep) + hT (x, y, zep) = hTe enz = zep = e T=Timp en x=+L2, T (x, y, z) =Tf en (x, y, z) ef Avec : Xs Conductivité du solide, Wm-1Kù1 Ps Masse volumique du solide, kg m-3 C Capacité thermique massique, J kg-1K-1 u Vitesse de la torche, m Tf Température de fusion, sù1 c F Interface Liquide-Solide S2s Domaine solide (3) (4) (5) Ts Température dans le solide, C Te Température extérieure, C Température Imposée, C h Coefficient d'échange ps=7200 kg.m-3, Xs=50W.m-1.K3, Tf=1450 C, a émissivité Ps =4000000 J.m-3.K-1, =20 C, u=10mm.s-1. Lx=300mm, Ly=60mm, L1=540mm, L2=60mm, e=3mm, h=24.1x10-4aT1.61 W.m-2.K-1, a = 0.9 (émissivité) . S est l'aire de la section de la pièce et p son.périmètre Des conditions adiabatiques (2) sont considérées sur les bords du domaine de calcul sans perte de généralité. La température est imposée (5) (Dans le problème 3D, c'est sur l'équation (5) qu'on sur le front de fusion ainsi qu'au bord x=+L2, voir figure 12. On accède ainsi au champ de températures T(x,y,z ;F) dans le solide pour la forme du bain de fusion de l'étape 1. On a représenté ce champ estimé sur la figure 14. Etape 3 On mesure alors, par exemple à l'aide d'un ou plusieurs thermocouples, la température Ym dans le solide en un nombre de points M au moins égal au nombre de paramètres à identifier (9 comme on l'a vu plus haut). Dans notre exemple, on choisit M=10 (i.e on effectue 10 mesures de températures à l'aide d'un seul thermocouple). On n'a besoin que d'un seul thermocouple pour avoir plusieurs points de mesure. En quasi stationnaire, les différentes positions xm correspondent à différents temps d'enregistrementxm=uxtm, donc, on peut avoir plusieurs points de mesure en utilisant un seul thermocouple. On calcule la fonction S(F)- = 1 M ELT(x m,Ym,zm;T)-Yml M ,n_1 On obtient alors les résultats suivants après 25 itérations : 30 2 X input Nombre Erreur estimée en ( ) (Poly, P02,, Plox, Pl3x, Plly, d'itérations Il // eXp _ pat 2 Il ~~ lPk Pk P12y, Ploz, P21y, P22y) 01 _IE(~?kù)2 1 (0.2,0.2,0.2,0.2,0.2, 2.985 25 7.8 0.2, 0.2, 0.2, 0.2) Sans s'intéresser donc à ce qui se passe dans la partie liquide, on arrive donc de façon satisfaisante à décrire la forme du bain de fusion et donc on accède ainsi au chargement thermique du procédé. REFERENCES [1] Necati "Ozisik et Helcio R.B. Orlande, Inverse Heat Transfer Fundamentals and Application" pages 37-45, Editions Taylor & Francis, New York, 2000. [2] Virginie Hamel, Caractérisation de l'Apport de Chaleur lors du soudage TIG d'une Tôle en Acier Inoxydable (321& 304L), Mémoire de DRT (Diplôme de Recherche Technologique), Université de Nantes, France 2003. [3] Jialin Guo, Estimation de la Distribution Energétique induite par un faisceau d'électrons dans un matériau métallique-Application au cas du soudage d'un acier, Mémoire de Thèse, Université de Bretagne du Sud, France 2005. REVENDICATIONS 1. Procédé de détermination de la forme d'un bain de fusion de métal liquide apparaissant lors de la mise en oeuvre d'un procédé de soudage d'une première pièce et d'une seconde pièce, dans lequel : a) on choisit un procédé de soudage ; b) on choisit une forme bidimensionnelle ou tridimensionnelle de bain virtuel en fonction du procédé de soudage choisi à l'étape (a) ; c) on modélise la forme du bain de fusion virtuel par une fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier ; d) on calcule le champ de température dans 15 un solide virtuel entourant le bain de fusion en imposant des conditions aux limites ; e) on fabrique un exemplaire réel de la première et de la seconde pièces (2, 4) ; f) on les soude au moyen du procédé choisi 20 à l'étape (a), ce qui fait apparaître un bain de fusion (8) et une zone solide réels ; g) on mesure la température en M points de la zone solide réelle, M étant au moins égal au nombre de paramètres à identifier ; 25 h) on compare les températures mesurées à l'étape (g) aux températures calculées, aux mêmes points, à l'étape (d) en calculant la fonction M 2 S(T) = 1 E[T(xm,ym;T)ùYm] en deux dimensions M.-11 2 ou la fonction S(F)=ù~~T(xm,ym,zm;r)-Ymj en M m=1 trois dimensions i) on compare S (F) à une valeur prédéfinie ; j) si S (F) est supérieur à la valeur prédéfinie, on choisit une autre forme de bain virtuel et on réitère les étapes (c) à (h) jusqu'à ce que S (F) soit inférieur à la valeur prédéfinie ; k) si ou lorsque S (F) est inférieur à la valeur prédéfinie, on accepte la forme du bain de fusion virtuel qui a permis de calculer S (F) comme valeur réelle et on accepte le champ de température calculé à partir de cette forme comme le champ de température réel. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une courbe ou une surface de Bézier. 3. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une courbe de Bézier définie par l'équation : 25 P(t)=EBn(t)P où Bn(t)=Cnt~(1-t)n-~,Cn= n! avec i=1,..n;N=n+1 i!(n - i)! où P(t) passe par tous les points de la courbe de Bézier, où Pi est le point de contrôle, n le degré de la courbe de Bézier, N=n+1 le nombre de points20n de contrôle P, te[0,1] et B .(t) sont des polynômes de i Bernstein. 4. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une surface de Bézier définie par l'équation : P(u,v) _ 11B . (u)Bn.(v)Pii avec u e [0,1],v e [0,1] i=o 1=0 1 J n! n B~(v)= J~(n-~)iv (1ùv)n où P (u, v) passe par tous les points de la surface de Bézier, Pi7 est le point de contrôle, (mxn) est le degré de la surface de Bézier, il y a (m+l)x(n+l) points de contrôle dont (m+1) points dans la direction i et (n+1) points dans la direction m n ; B . (u),B .(v) sont des polynômes de Bernstein. t J 5. Procédé selon l'une des revendications 1 à 4, caractérisé en ce que , à l'étape (j), on utilise l'algorithme de Levenberg-Marquardt pour choisir une autre forme de bain virtuel. 25 6. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, caractérisé en ce que en cas de bain de fusion bidimensionnel , à l'étape (d), on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en résolvant le système d'équation suivant : pscsu y) = V [2 VT (x, y) ] ù s (T ù Tmp) (x, y) E Szs (1) aTs =0eny=L ;aTs =0enx=-L1et's =0eny=0 ay y ax ay T=Timp en x=+L2, T (x, y) =T f (x, y) Eh (3) avec : ~s Conductivité du solide, Ts Température dans le Wm-1K-' solide, C ps Masse volumique du solide, Te Température extérieure, kg m-3 C c Capacité thermique Timp Température imposée, massique, J kg' K' c u vitesse du moyen de Tf Température de fusion, soudage, m s-1 c F Interface Liquide-Solide S2s Domaine solide h Coefficient d'échange a émissivité. 7. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, caractérisé en ce que en cas de bain de fusion tridimensionnel, à l'étape (d), on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en résolvant le système d'équation suivant : (2)psesu aT (x y, z) _ V [2yl' (x, y, I (x, y, z) E S2s (1) aT =0 en y=L aT =0 en x=-L1 et aT =0 en y=0 (2) ay Y' ax ay -2s aT(xy,z0) +hT(x,y,z0)hTe enz=z0 =0 8T(x, y, zep) + hT (x, y, zep) = hTe enz = zep = e T=Timp en x=+L2, T ( x , y, z ) =Tf en (x, y, z) Eh (5) avec : ~S Conductivité du solide, Ts Température dans le Wm'K' solide, C ps masse volumique du solide, Te Température extérieure, kg m-3 C c Capacité thermique Timp Température imposée, massique, J kg' K' c u vitesse du moyen de Tf Température de fusion, soudage, m s-1 c F Interface Liquide-Solide S2s Domaine solide h Coefficient d'échange a émissivité 8. Procédé selon l'une des revendications 1 à 7, caractérisé en ce que le procédé de soudage est 15 choisi dans le groupe comprenant les procédés de soudage TIG, MIG/MAG, par faisceau d'électrons, plasma, laser, hybride. (3) (4)10 9. Procédé selon l'une des revendications 2 à 7, caractérisé en ce que le degré de la courbe de Bézier est égal à 3 ou 4 en deux dimensions. 10. Procédé selon l'une des revendications 2 à 7, caractérisé en ce que le degré de la surface de Bézier est compris entre 2x3 et 4x3 en trois dimensions.