FR 2895539 A1 20070629 FR 0513190 A 20051222 Dispositif de synthèse d'un signal numérique composite avec contrôle explicite de ses trois premiers moments Domaine technique de l'invention L'invention concerne un dispositif de synthèse d'un signal composite à partir d'une pluralité de signaux numériques sources, constitués par des échantillons de mesure des signaux à traiter, comportant des moyens de détermination de coefficients de pondération à appliquer aux signaux numériques sources pour que le signal composite vérifie des contraintes de valeur moyenne et d'asymétrie prédéfinies par un utilisateur et dispose d'une variance minimale. État de la technique Les trois premiers moments (valeur moyenne, variance et asymétrie) d'un signal numérique constituent des éléments déterminants des propriétés physiques de ce signal. C'est notamment le cas pour les signaux numériques utilisés pour la synthèse d'images, de signaux vidéo, de sons, pour la synthèse de signaux radio, pour l'analyse de propriétés d'une molécule en chimie moléculaire par synthèse d'un signal approchant la densité de présence des particules (fermions, électrons, ions), dans le domaine de la finance, etc... Dans le domaine de la finance, c'est notamment le cas pour les signaux numériques utilisés pour la synthèse de supports d'investissement ou pour la synthèse de stratégies de passage d'ordres et une exécution optimale avec contrôle de la liquidité et de l'impact de marché d'un carnet d'ordre.30 Les dispositifs de synthèse usuels, généralement intégrés dans un processeur de signaux numériques (DSP), permettent généralement de produire une combinaison de signaux sources telle que la variance du signal composite soit minimale, avec la contrainte d'une moyenne supérieure ou égale à une quantité spécifiée par l'opérateur de la synthèse. En revanche, la spécification d'une contrainte sur le troisième moment, ou contrainte d'asymétrie positive, sur le signal de sortie conduit à un problème d'optimisation non convexe, dont la résolution par les approches directes usuelles conduit à des résultats très instables et, a priori, sans garantie sur la durée de la synthèse. À titre d'exemples, diverses techniques de synthèse de signaux numériques ont été proposées, dans différents domaines techniques dans les articles suivants: - dans le domaine de la chimie moléculaire ou de la chimie quantique, les articles "Dynamics of a two-mode Bose-Einstein condensate beyond mean field theory", de J.R. Anglin et al., ITAMP, Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics, 60 Garden Street, Cambridge MA 02138, (25 octobre 2005) et "The Reduced Density Matrix Method for Electronic Structure Calculations and the Raie of Three-Index Representability", de Z. Zhao et al., Journal of Chemical Physics 120 (2004), pp. 2095-2104. - dans le domaine des automatismes, l'article "A cone complementary linearization algorithm for static output-feedback and related problems", de L. El Ghaoui, F. Oustry, et M. Ait Rami, IEEE Trans. Autom. & Control, 42(8), août 1997. - dans le domaine du traitement de signal, l'article "Boundary filter optimization for segmentation-based subband coding", d'Alfred Mertins, IEEE Trans. Signal Processing, vol. 49, no. 8, pp. 1718-1727, Aug. 2001. - dans le domaine de la finance, pour l'optimisation de portefeuilles, l'article "Portfolio Selection With Higher Moments", de Campbell R. Harvey et al., The University of Texas M. D. Anderson Cancer Center (13 décembre 2004) et, pour le passage d'ordres, l'article "Optimal execution with nonlinear impact functioris and trading-enhanced risk", de Robert Almgren, Applied Mathematical Finance 10 (2003) 1-18. Objet de l'invention L'invention a pour but un dispositif ne présentant pas les inconvénients de l'art antérieur et, plus particulièrement, un dispositif permettant, dans des 10 délais raisonnables, d'obtenir un vecteur de coefficients de pondération d'un signal composite qui soit stable, même en présence de perturbations (bruit, perturbations générées par des tests,...) des signaux sources. Selon l'invention, ce but est atteint par le fait que le dispositif comporte des 15 moyens de détermination des moments d'ordre 1 à 3 des signaux numériques sources et des moyens de détermination des coefficients de pondération à partir desdits moments des signaux sources et des contraintes prédéfinies de valeur moyenne et d'asymétrie du signal composite, les moyens de détermination des coefficients de pondération comportant 20 - des moyens d'introduction d'une variable supplémentaire, sous forme d'une matrice de pondération W, telle que, w étant le vecteur des coefficients de pondération et wT le transposé du vecteur w, la différence W-wwT soit une matrice semi-définie positive, et - des moyens de linéarisation, autour d'un vecteur wref de coefficients de 25 pondération de référence, de la contrainte d'asymétrie sur le signal composite en utilisant comme autre variable intermédiaire une matrice A = [W w w7 15 Description sommaire des dessins D'autres avantages et caractéristiques ressortiront plus clairement de la description qui va suivre d'un mode particulier de réalisation de l'invention donné à titre d'exemple non limitatif et représenté aux dessins annexés, dans lesquels la figure 1 (figure unique) illustre, sous forme de schéma-bloc, un mode particulier de réalisation d'un dispositif de synthèse selon l'invention. Description d'un mode particulier de réalisation. Le dispositif de synthèse selon la figure 1 a pour but la synthèse d'un signal composite s(w) présentant une variance minimale, tout en vérifiant des contraintes imposant des valeurs de borne inférieure à la moyenne et à la caractéristique d'asymétrie du signal composite. Le signal composite s(w) est formé à partir de N signaux sources numériques s1 à sN, auxquels sont respectivement appliqués des coefficients de pondération optimaux w1 à wN à déterminer. Pour i = 1,..., N, chaque signal s;, constitué par m échantillons s;1 à sr, peut être représenté sous la forme du vecteur suivant : si- s; s avec un indice de discrétion temporelle t = 1,..., m. Les échantillons des signaux numériques sources peuvent représenter diverses grandeurs en fonction du domaine d'application considéré. Ces grandeurs peuvent notamrnent représenter des grandeurs physiques utilisées dans le domaine de la synthèse d'images, dans la synthèse de signaux radio, dans l'analyse de molécules en chimie moléculaire, etc. De manière analogue, l'ensemble des coefficients de pondération w1 à wN 5 peut être représenté sous la forme d'un vecteur de coefficients de pondération w : w w1 wi wN dans lequel les coefficients de pondération w; sont des réels positifs, tels que N leur somme soit égale à 1, soit =1. Le signal composite à synthétiser est alors défini par m échantillons st (w), tels que : N st (w) = w is i=1 avec t = 1,...,m. 15 Comme représenté sur la figure 1, les signaux sources numériques s, sont appliqué à l'entrée d'un bloc 1 de détermination des moments si d'ordre 1 des signaux sources. Le moment d'ordre 1 d'un vecteur s;, représentatif de la moyenne des m échantillons du vecteur correspondant, est classiquement 20 donné par l'équation : - 1 m t si =' ù s; m t=' L'ensemble des moments d'ordre 1 des signaux sources peut alors être représenté sous la forme d'un vecteurs de moments d'ordre 1 : 10 6 s= S1 Si SN Simultanément, les signaux sources numériques s, sont appliqués à l'entrée d'un bloc 2 de détermination des moments C;j d'ordre 2 des signaux sources, classiquement donnés par l'équation : 1r.i, \i, m avec i==1,..., Netj=1,..., N L'ensemble des moments ci; d'ordre 2, centrés, peut, classiquement, être représenté sous la forme d'une matrice de covariance C, de taille NxN : S1 Si Si SN S1 C1 Cil Cj1 CN1 Si C1i Cii Cji CNi Si C1i CNi SN C1N CiN CjN CNN Les signaux sources numériques s; sont, de plus, simultanément appliqués à l'entrée d'un bloc 3 de détermination des moments H;jk d'ordre 3 des signaux 15 sources, classiquement donnés par l'équation : H1j,, = 1 (s; -si)(s -s-s>;) m t=1 avec i = 1, ... , N j = 1,..., N k = 1,..., N L'ensemble des moments H;ik d'ordre 3 des signaux sources peut être représenté sous la forme d'un tenseur H d'ordre 3, qui comporte N matrices-tranches H[k]. Chaque matrice-tranche H[k] est alors constituée par une matrice, de taille NxN, de moments (H[k]); = H;ik, dans laquelle l'indice k étant fixé, les indices i et j varient chacun de 1 à N. Les blocs 1 à 3 peuvent être réalisés de toute manière connue. Ils fournissent en entrée d'un bloc 4 respectivement le vecteurs de moments d'ordre 1, la matrice de covariance C et le tenseur H d'ordre 3, calculés à partir des signaux sources numériques s, à sN. Le dispositif doit déterminer les valeurs de w qui résolvent simultanément les équations suivantes : - minimisation de la variance, c'est-à-dire du moment m2(w) d'ordre 2 centré, du signal composite, - valeur moyenne, c'est-à-dire moment ml(w) d'ordre 1, du signal composite supérieure ou égale à un paramètre t, préalablement défini par l'utilisateur, et -asymétrie, c'est-à-dire moment m3(w) d'ordre 3 du signal composite, supérieure ou égale à un paramètre h, préalablement défini par l'utilisateur, dans lesquelles les moment m1(w), m2(w) et m3(w), respectivement d'ordre 1 à 3, du signal composite sont respectivement des fonctions linéaire, quadratique et cubique des coefficients de pondération. En effet, le moment m1(w) d'ordre 1 peut s'écrire sous la forme : N -T m1(w) = w;s; = s w 7 Le moment m2(w) d'ordre 2 centré peut s'écrire sous la forme : N N m2(w) = ; c.. = WTCW i=1 j=1 Le moment m2(w) d'ordre 3 peut s'écrire sous la forme : m3(w) = WWjWkHj = (WWTWkH[kI) i=1 j=1 k=I k=1 N N la notation (X, Y) = représentant le produit scalaire entre deux i=1 j=1 matrices X et Y symétriques. io Les paramètres et h sont ainsi respectivement représentatifs des contraintes de valeur moyenne et d'asymétrie imposées au signal composite et le dispositif doit donc permettre la synthèse du signal composite avec un contrôle explicite de ses trois premiers moments. 15 Dans l'art antérieur, les moyens connus ne permettent d'obtenir que des solutions locales instables, dont le nombre croît exponentiellement avec le nombre N de signaux sources. En pratique, pour N supérieur à 10, il y a 210 solutions, ce qui devient impossible à calculer dans des délais raisonnables. 20 Selon l'invention, une variable supplémentaire est introduite. Cette variable supplémentaire, inconnue supplémentaire à déterminer, est sous la forme d'une matrice de pondération W, semi-définie positive, de taille NxN. Elle est liée aux coefficients de pondération par l'inégalité suivante : W WWTz0 25 dans laquelle, wT étant le vecteur transposé de w, soit wT = [w1 ...w, .. .WN], wwT = [w;wj] représente la matrice du carré des coefficients de pondération ou matrice de rang 1 associée au vecteur w. Un élément [w;wj];j de la matrice du carré des coefficients de pondération est ainsi donné par [w;w;];; = w;w;, pour i et j variant de 1 à N. De manière connue, une matrice symétrique X, composées de nombres réels X;, = X;,, pour i et j variant de 1 à N, est dite semi-définie positive (X z 0) lorsque ses valeurs propres, c'est-à-dire les racines de son polynôme caractéristique, sont toutes positives ou nulles. Sur la figure 1, le bloc 4 reçoit en entrée, non seulement les paramètres p. et 1 o h, mais également un vecteur de coefficients de pondération de référence wref et un coefficient de régularisation K, qui sont également définis préalablement par l'utilisateur. En effet, pour obtenir une solution stable, dans le bloc 4, la contrainte 15 d'asymétrie (contrainte sur les moments d'ordre 3) sur le signal composite est, de plus, linéarisée autour du vecteur de coefficients de pondération de référence wfef, constitué par un ensemble de coefficients de pondération de référence w,ref Wref W ref ù W iref W Nref Cette linéarisation utilise comme autre variable intermédiaire, à déterminer W w en sortie du bloc 4, une matrice A = W T I , de taille (N+1) (N+1). Ce changement de variable est équivalente à une convexification du problème. 25 La contrainte d'asymétrie sur le signal composite est, de préférence, également linéarisée autour d'une matrice de pondération de référence Wref=w,ef. wrefT. Elle peut alors s'écrire : 20 N N 1wref~DWkH[k] + W'WkrefH[k] z h 2 k=1 k=1 Dans le mode de réalisation particulier illustré sur la figure 1, le coefficient de régularisation K est introduit pour régulariser la variance du signal composite. La minimisation du moment m2(w) d'ordre 2 centré est alors remplacé par la minimisation de la somme suivante : j (w,c) + 2 {IWùWrefIIF+2IIW ùWrefl2/ dans laquelle la notation I matrice X et la notation X 1F = (x,x) représente la norme associée à une xl 2 = xTx, la norme associée à un vecteur x. Le 1 o terme K{ positif. W ù Wref F + 2> ù W refll2} est un terme fortement convexe, toujours Ainsi, le problème de synthèse initial, ayant w comme variable, est remplacé par un problème de synthèse ayant w et W comme variables, par 15 convexification de la contrainte sur le moment d'ordre 3 du signal composite, avec élévation de l'espace des variables w en matrices W-wwT semi-définies positives. L'introduction de la variable supplémentaire W permet ainsi de relâcher la contrainte sur le moment d'ordre 3 du signal composite et de la linéariser, c'est-à-dire de transformer une fonction initialement cubique en 20 fonction linéaire des coefficients de pondération. Ceci réduit le nombre de solutions possibles et facilite la recherche de ces solutions et permet, dans des délais raisonnables, d'obtenir une solution stable, même en présence de perturbations des signaux sources. 25 Dans l'espace ainsi augmenté, le bloc 4 peut utiliser un programme de moindre carré semi-défini positif, de type connu, pour déterminer les valeurs de la variable A qui constituent des solutions à l'ensemble des contraintes à respecter. La recherche de ces solutions est, de préférence, réalisée par dualisation des contraintes linéaires (contraintes sur les moments d'ordre 1 N et 3 du signal composite, w, 0 et w,=1), puis en appliquant une méthode de type quasi-Newton sur le dual obtenu. Le bloc 4 fournit les valeurs de A à un bloc 5 de détermination des coefficients de pondération, utilisant des méthodes de résolution classiques. Les signaux de sortie du bloc 5, représentatifs de w, et les signaux sources s, à sN sont fournis à un bloc 6, qui forme le signal composite s(w) désiré. Revendications 1. Dispositif de synthèse d'un signal composite à partir d'une pluralité (N) de signaux numériques sources (s, à sN) constitués par des échantillons (sit) de mesure des signaux à traiter, comportant des moyens de détermination de coefficients de pondération à appliquer aux signaux numériques sources pour que le signal composite vérifie des contraintes de valeur moyenne et d'asymétrie prédéfinies par un utilisateur et dispose d'une variance minimale, dispositif caractérisé en ce qu'il comporte des moyens (1, 2, 3) de détermination des moments (s;, He) d'ordre 1 à 3 des signaux numériques sources et des moyens (4, 5) de détermination des coefficients de pondération (w, à wN) à partir desdits moments des signaux sources et des contraintes prédéfinies de valeur moyenne et d'asymétrie du signal composite, les moyens de détermination des coefficients de pondération comportant - des moyens (4) d'introduction d'une variable supplémentaire, sous forme d'une matrice de pondération W, telle que, w étant le vecteur des coefficients de pondération et wT le transposé du vecteur w, la différence W-wwT soit une matrice semi-définie positive, et - des moyens (4) de linéarisation, autour d'un vecteur wref de coefficients de pondération de référence, de la contrainte d'asymétrie sur le signal composite en utilisant comme autre variable intermédiaire une matrice 12 A= 2. Dispositif selon la revendication 1, caractérisé en ce que les moyens de linéarisation utilisent une matrice de pondération de référence Wref-wref. wrefT• 3. Dispositif selon l'une des revendications 1 et 2, caractérisé en ce que les moyens de détermination des coefficients de pondération comportent des 30 moyens de régularisation de la variance du signal composite par un termefortement convexe, toujours positif, K{I W ù Wref I F+2 IW ù W ref 2}, dans lequel K est un paramètre de régularisation prédéfini par l'utilisateur. 4. Dispositif selon selon l'une quelconque des revendication 1 à 3, caractérisé en ce que les moyens de détermination des coefficients de pondération comportent des moyens de recherche de l'autre variable intermédiaire A par dualisation des contraintes linéaires sur les coefficients de pondération et sur la valeur moyenne et l'asymétrie du signal composite. 5. Dispositif selon la revendication 4, caractérisé en ce que les moyens de recherche appliquent une méthode de type quasi-Newton sur le dual d'un programme de moindres carrés semi-définis.