FR 2889201 A1 20070202 FR 0508176 A 20050729 2889201 1 La présente invention concerne les procédés de thixoformage. Le thixoformage désigne l'ensemble des procédés de mise en forme appliqués aux alliages dans l'état semi-solide obtenu au cours d'une refusion partielle. L'invention concerne plus précisément la refusion partielle c'est à dire un procédé de réchauffage qui refond partiellement l'alliage d'une billette. Cette refusion partielle entraîne rapidement la formation d'une structure globulaire, état semi-solide dans lequel les propriétés io rhéologiques de l'alliage ont un caractère thixotrope, (diminution de la viscosité et augmentation de la fluidité avec la vitesse de cisaillement) très favorable pour la mise en forme de la billette (un des avantages est que cette gelée semi-solide peut subir une déformation homogène sous de faibles contraintes sans ségrégation de la phase liquide, ni formation de fissure). Lors du chauffage, il est particulièrement important de contrôler finement la température de la billette car l'état semi-solide correspond à une fenêtre de température qui peut être très étroite (par exemple de l'ordre de 5 C, pour une température de l'ordre de 500 à 700 C). La billette est généralement chauffée par induction électromagnétique. A cet effet, elle est placée au centre d'une bobine alimentée par un courant alternatif pour générer un champ oscillant, qui induira dans la billette un courant (la billette doit à cet effet être en un matériau électriquement conducteur) - et ce courant induit entraîne dans la billette un échauffement, par effet Joule. Les procédés de thixoformage doivent notamment permettre: É un chauffage assez rapide notamment pour éviter des germinations non désirées dans la billette, É un chauffage aussi homogène que possible. En effet, la 30 température dans la billette doit être aussi uniforme que possible pour que la fraction de solide soit à peu prés la même partout afin 2889201 2 d'obtenir un comportement homogène du matériau lors de la mise en forme. Il est à préciser que lors d'un tel chauffage par induction, la puissance induite se concentre majoritairement dans un intervalle à partir de la périphérie (aussi appelée le bord ) de la billette et de rayon caractérise par la profondeur de pénétration (effet de peau). Cette profondeur de pénétration est inversement proportionnelle à la fréquence du courant alternatif alimentant la bobine. L'échauffement du matériau dépend ensuite de la propagation de la chaleur par conduction dans tout le matériau et des échanges avec l'extérieur. Il existe déjà des procédés de réchauffage fonctionnant selon ce principe. Mais ces procédés existants sont associés à des limitations: É ils ne permettent pas toujours un degré de contrôle suffisamment fin de la température dans la billette. / A cet égard, il est possible que du fait de l'effet de peau généré par le chauffage par induction, le bord de la billette soit fondu et son centre solide ou quasi-solide. En pratique, on observe qu'un taux de déchets non négligeable est ainsi associé à ces procédés connus, É ils ne permettent pas de connaître la distribution de la température dans la billette. L'invention a pour objectif de permettre de s'affranchir au moins partiellement de ces limitations. Afin d'atteindre cet objectif, l'invention propose un procédé de réchauffement d'une billette de matériau métallique en vue de conserver la billette dans un état semi-solide, caractérisé en ce qu'il comporte les étapes suivantes: - on établit un profil de consigne de température en fonction du temps, que doit suivre un point donné de la billette, 2889201 3 - on en déduit une loi (g(t)) d'alimentation électrique de la bobine, -on en déduit également la répartition température en tout point de la billette, à chaque instant. Des aspects préférés, mais non limitatifs du procédé selon l'invention sont les suivants: É Le profil de température est un profil temporel, en un point donné de la billette, É On déduit du profil de consigne la loi d'alimentation et celle de lo répartition de température simultanément, É On utilise un algorithme itératif qui fait intervenir l'intégration d'équations en prenant en compte des conditions aux bords de la billette, É On déduit du profil de température de consigne la loi d'alimentation, puis ensuite la loi de répartition de température, É On utilise des séries formelles, É Le procédé est mis en oeuvre en mode hors ligne (ou encore offline), dans lequel on procède aux opérations suivantes: - définition d'un profil de consigne, - déduction, à partir du profil de consigne retenu, de la loi (g(t)) correspondante. É Le procédé est mis en oeuvre en mode en mode online (ou encore en ligne) , dans lequel on procède en outre aux opérations suivantes: -alimentation de la bobine selon la loi (g(t)) qui a été calculée en mode offline, exploitation d'un moyen de mesure de température ou d'estimation de température en temps réel, et on procède aux opérations additionnelles suivantes en temps réel: 2889201 4 / calcul de l'écart entre la température constatée (mesurée ou estimée) en un point de la billette et la consigne de température correspondante, au même point, / régulation, en fonction de cet écart et de la loi (g(t)) qui 5 avait été calculée initialement, de l'alimentation. É On déduit, du profil de consigne pour la température en un point et du calcul de la loi (g(t) ), la distribution de température dans la billette qui permet de vérifier: - que les contraintes de gradient de température sont 1 o respectées, - et que la distribution de température demeure à tout instant dans des limites de température prédéfinies. É On met en outre les étapes suivantes en oeuvre: - Exploitation du principe que la puissance dissipée P(t) dans la 15 bobine est proportionnelle: / à l'effet Joule créé dans la billette, qui est luimême fonction de la répartition de température T(r, t) dans la billette, / mais également à R(t) la résistance équivalente de la 20 billette, / on peut donc relier la résistance équivalente de la billette (R(t)) et la répartition de température T(r, t) dans la billette, - Exploitation du fait que ladite répartition de température T(r, t) est elle-même fonction de la loi (g(t)) ainsi que d'une condition aux limites du type T(O, t) de sorte que la résistance équivalente de la billette R(t) est reliée à la condition aux limites (T(O, t)) et à la loi (g(t)), - Exploitation du fait qu'on connaît déjà la loi (g(t)) calculée en mode offline, ainsi que la résistance équivalente de la billette (R(t)), 2889201 5 - Déduction de la condition aux limites (T(0, t)) , qui donne à son tour accès à ladite répartition de température T(r, t) pour toute valeur de r et de t. Différents modes de mise en oeuvre de l'invention vont 5 maintenant être décrits en référence aux dessins des figures annexées, sur lesquelles: É les figures la et 1 b sont deux représentations schématiques d'une billette dans une installation de thixoformage mise en oeuvre dans le cadre de l'invention (la figure la correspondant à lo une vue illustrant plus particulièrement les principales fonctions exécutées dans l'installation, et la figure 1 b étant une représentation illustrant le principe général de fonctionnement de l'installation), É la figure 2 comprend les figures 2a et 2b qui représentent respectivement pour le même intervalle de temps un profil temporel de température désiré pour un point de la billette, et un profil temporel d'alimentation électrique de l'installation de thixoformage, É la figure 3 représente schématiquement des étapes permettant de valider un profil de température, dans une mise en oeuvre de l'invention en mode offline (en français mode différé ), É la figure 4 représente schématiquement les étapes de mise en oeuvre de l'invention en mode online (en français mode temps réel ), ledit mode online faisant en outre intervenir une régulation de l'alimentation en temps réel, É les figures 5 à 7 illustrent un exemple de mise en oeuvre d'un algorithme itératif qui correspond à un mode de mise en oeuvre de l'invention: - la figure 5 représente la consigne de la température au 30 centre de la billette, - la figure 6 représente les trajectoires de g, (t) (en rouge), de g2 (t) , de g3 (t) , de g4 (t) de g5 (t) (confondue avec celle de g4 (t) ) - la figure 7 est un graphe représentant le profil de 5 température T (r,t) . Installation On a représenté de manière schématique sur la figure la une installation pouvant être mise en oeuvre dans le cadre de l'invention. Cette installation est destinée à maintenir une billette 10 dans un état intermédiaire entre l'état solide et l'état liquide (état semi-solide). La billette peut être en tout matériau métallique conducteur de 15 l'électricité afin de permettre son échauffement par effet Joule par exemple un alliage d'aluminium. L'installation comporte une bobine électromagnétique ou inducteur 100, disposée coaxialement autour de la billette et débordant sensiblement les extrémités haute et basse de celle-ci (pour éviter les effets de bord). Cette bobine correspond à l' inducteur de la figure lb. La billette et la bobine ont ainsi toutes deux une géométrie de cylindre allongé, et elles s'étendent coaxialement. Du fait de ces géométries allongées de la billette et de la bobine qui l'entoure, on peut négliger le gradient de température selon la direction parallèle à l'axe longitudinal de la billette. La bobine est reliée à un dispositif 20 qui comprend une alimentation électrique 21 apte à délivrer à la bobine un courant électrique alternatif de caractéristiques (fréquence, puissance 2889201 7 notamment) contrôlées. La fréquence d'alimentation peut notamment être contrôlée, dans une plage allant typiquement de 300 à 10000 Hz. L'alimentation 21 est reliée à des moyens de commande d'alimentation 22 qui transmettent à cette alimentation une consigne d'alimentation électrique g selon une loi g(t) prescrivant une évolution de l'alimentation en fonction du temps. Les moyens de commande d'alimentation 22 élaborent cette loi g(t) comme cela va être décrit dans ce texte (plusieurs variantes étant possibles à cet égard). io La figure représente également en association avec le dispositif 20 une entrée 23 d'une consigne de profil de température. Cette consigne est fournie en entrée des moyens de commande d'alimentation 22. La figure 1 représente également deux composants du dispositif 15 20 qui correspondent à des variantes non obligatoires de mise en oeuvre de l'invention: É des moyens 24 aptes à produire en temps réel une information concernant la température de la billette. Ces moyens sont reliés aux moyens de commande d'alimentation, ou alternativement à une autre partie du dispositif, pour en recevoir une information représentative de la résistance électrique R(t) de la billette lors du fonctionnement du dispositif, É des moyens 25 de régulation, dont l'entrée est reliée à la sortie des moyens 24 et à la sortie du profil de consigne 23, pour comparer ces deux entrées et déduire en fonction de leur écart constaté une consigne actualisée à destination des moyens de commande d'alimentation 22, auxquels la sortie des moyens 25 est reliée. La figure 1 b est une autre représentation de l'installation mise en oeuvre dans l'invention, cette figure illustrant plus particulièrement le principe général de fonctionnement de l'installation. 2889201 8 On va ci-dessous exposer plus en détail le fonctionnement de l'invention. Fonctionnement contexte et hypothèses On rappelle tout d'abord que les billettes auxquelles s'applique l'invention ont une forme de cylindre allongé, et qu'on considère que pour toute ligne droite incluse dans la billette et parallèle à l'axe longitudinal de la billette (axe A sur la figure la), on néglige le gradient de température le long de la ligne. On précise également que l'invention exploite le fait qu'il est possible de connaître à tout instant t la température T(r, t) pour tout point de la billette: É on a vu que le gradient de température était négligeable dans la 15 billette selon la direction longitudinale, É par ailleurs, la matière de la billette (et la température dans la billette) est répartie de manière axisymétrique, É chaque point de la billette est donc défini (en ce qui concerne sa température) uniquement par la distance de ce point à l'axe central A de la billette, cette distance étant notée en coordonnées cylindriques par un rayon r. Comme cela sera détaillé plus loin dans ce texte, l'invention exploite le fait que si l'on connaît la température en un point de la billette on peut déterminer l'alimentation électrique nécessaire au maintien de la billette dans un état semi-solide, et vice-versa. Par ailleurs, on verra également qu'on en déduit la température en tout point de la billette. La température en tout point de la billette est obtenue à partir de la connaissance de la température T(r0, t) en un point donné de la billette, défini par son rayon r0. Ce point donné de la billette peut notamment être son centre (r0 = 0), ou son bord (r0 = rB, rayon de la billette). 9 Fonctionnement principes généraux L'invention permet, à partir d'un modèle de refusion partielle d'un matériau (tel qu'un alliage d'aluminium) à l'état semi-solide pour le thixoformage et de l'évolution de la température, en un point donné de la billette (par exemple à la surface ou bien au centre de la billette) de calculer, à chaque instant, g(t) c'est à dire la valeur absolue de l'amplitude de l'intensité du courant ÎB (t) dans la bobine. 1 o Pour ce faire, plusieurs variantes (correspondant à des algorithmes différents) sont proposées. Modèle pour le réchauffage On va exposer ci-dessous les éléments principaux d'un modèle de réchauffage de matériau de la billette qui est utilisé dans le cadre de l'invention. La billette est un cylindre. On suppose que les pertes de chaleur suivant l'axe longitudinal z sont négligeables ce qui permet de ne considérer qu'un disque de la billette (section transversale) pour le bilan thermique. Le modèle pour le réchauffage se base sur l'équation de la chaleur avec une source interne en coordonnées cylindriques [Develey] : cp(T)Ép(T). ôt (r,t)=-É-r. (T)É a (r,t) +f (r)Ég(t) (1.1) avec les conditions aux bords suivantes (O,t)=0 (1.2) et o t(T(rB,t)) ar (rB,t)=aÉ(T(rB,t) TA) (1.3) La condition (1.2) est due au fait que le centre de la billette est son axe de symétrie. La deuxième condition (1.3) prend en compte le flux thermique que la surface du matériau échange par convection avec le milieu ambiant qui est à la température TA. Les notations suivantes sont utilisées dans ces équations et conditions: T Température ( C) cp capacité thermique massique du matériau J kg É C P masse volumique I kg m conductivité thermique W m C a coefficient de convection thermique m2 0C r rayon (m) rB rayon de la billette (m) t temps (s) Tab. 1: Notations et Symboles Dans l'équation (1. 1) le terme f(r)Ég(t) (source interne) correspond à la perte d'énergie dans la billette par effet Joule (plus précisément à la densité de puissance moyenne P(r,t) dissipée par effet Joule dans la billette. g(t) est la commande que l'on veut calculer. Pour calculer f (r) on utilise une solution quasi-stationnaire de l'équation de Maxwell (les éléments de cette équation sont décrits par exemple dans la référence [Strassacker 1986]. On utilise à cet égard le fait que: P(r,t) = f (r)Ég(t)(1.4) i avec g (t) = IB (t) (1.5) et f (r) _ (N f 1 \B KÉ6 ( r I, (1+ j) S Y \ I0 (1 +j)É b 8) 8=\1 2 (1.6). KÉ Éw K conductivité électrique I S J m perméabilité magnétique m [IJ 8 profondeur de pénétration (m) fréquence d'alimentation de la bobine Cradl s N nombre de spires de la bobine ( ) lB longueur de la bobine (m) ÎB (t) Amplitude de l'intensité du courant qui circule dans la bobine lo Tab. 2: Notations et Symboles Io (x) fonction de Bessel modifiée de première espèce d'ordre 0 I, (x) fonction de Bessel modifiée de première espèce 2889201 12 d'ordre 1 j nombre complexe j2 = -1 1 1 module d'une fonction complexe ou valeur absolue d'une fonction réelle Tab. 3: Notations et symboles mathématiques. Ce modèle pour le réchauffage est utilisé pour la modélisation du réchauffage d'une billette dans l'état semi-solide. Il a notamment été 5 validé par des expérimentations (voir par exemple [Ritt 2000], [Sebus 2000]). Niveau général de l'invention / Niveau général - principe L'invention peut être appréhendée à un niveau général (exposition des étapes mises en oeuvre), et à un niveau de détail (exposition plus détaillée des équations mises en oeuvre dans les algorithmes permettant d'effectuer les calculs). Selon un niveau général, le principe de l'invention est le suivant: É on établit un profil de consigne de température en fonction du temps, que doit suivre un point donné de la billette, ^ on en déduit une loi g(t) d'alimentation électrique de la bobine, É on en déduit également la répartition température en tout point de la billette, à chaque instant. Le profil de température est un profil temporel (évolution de la température en fonction du temps), en un point donné (i.e. en un 25 rayon donné) de la billette. 2889201 13 Un tel profil est représenté sur la figure 2a, pour un intervalle de temps entre 0 et t0. / Niveau général deux types de méthodes de résolution On a dit que selon le principe général de l'invention, on déduisait d'un profil de consigne de température une loi d'alimentation ainsi qu'une répartition de température à tout moment dans la billette. lo Plusieurs méthodes peuvent être envisagées pour ceci. Selon un premier type de méthode, on déduit du profil de consigne la loi d'alimentation et celle de répartition de température simultanément. Dans ce premier type de méthode, on utilise un algorithme itératif qui fait intervenir l'intégration d'équations en prenant en compte des conditions aux bords de la billette. Deux algorithmes représentant deux modes de résolution seront présentées pour ce premier type de méthode. Selon un second type de méthode, on déduit du profil de température de consigne la loi d'alimentation, puis ensuite la loi de répartition de température. Ce second type de méthode met en oeuvre des séries 25 formelles. / Niveau général modes de mise en oeuvre Quel que soit le type de méthode de résolution retenu, il est 30 possible de mettre en oeuvre l'invention: É en boucle ouverte, sans régulation, ou 2889201 14 É en boucle fermée, avec une régulation de la température (variable objectif) en temps réel avec comme variable de commande g(t), l'alimentation de la bobine En boucle ouverte, on procède aux opérations suivantes: É en mode offline: - définition d'un profil de consigne. Pour ceci, il est possible de tester plusieurs profils (en vérifiant notamment que les contraintes de gradient de température maximale dans la billette sont respectées, et que l'on demeure bien à tout io instant dans le domaine de température de la refusion du matériau considéré), et - déduction, à partir du profil de consigne retenu, de la loi g(t) correspondante. É en mode online, alimentation de la bobine selon la loi g(t) qui a été calculée en mode offline. On déduit, du profil de consigne pour la température en un point et du calcul de la loi g(t), la distribution de température dans la billette qui permet de vérifier: É que les contraintes de gradient de température sont respectées, É et que la distribution de température demeure à tout instant dans des limites de température prédéfinies. En boucle fermée, on procède aux mêmes opérations qu'en boucle ouverte, mais on ajoute au dispositif un moyen de mesure de température (thermocouple par exemple) ou d'estimation de température (mise en oeuvre d'une méthode d'estimation du type résistance équivalente par exemple) en temps réel, et on procède aux opérations additionnelles suivantes en temps réel: É calcul de l'écart entre la température constatée (mesurée ou estimée) en un point de la billette et la consigne de température correspondante, au même point, 2889201 15 É régulation, en fonction de cet écart et simultanément correction de la loi d'alimentation g(t) qui avait été calculée initialement. Cette régulation peut être de tout type connu en soi (PID ou autre). / Niveau général déduction de la répartition de température en temps réel En addition des éléments exposés ci-dessus, il est possible de 10 connaître la répartition de température en temps réel, pendant le déroulement du procédé. On rappelle en effet que la répartition de température qui est mentionnée ci-dessus comme étant obtenue à partir du profil de consigne et de la loi d'alimentation est une répartition qui est calculée en mode offline, avant le début de la mise en oeuvre effective de l'alimentation. Et il est ainsi possible de connaître à chaque instant la température en tout point de la billette, à partir de mesures effectuées sur le dispositif. Pour cela, on met en oeuvre les étapes suivantes: É On part du principe que la puissance dissipée P(t) dans la bobine est fonction de: -l'effet Joule créé dans la billette, qui est lui-même fonction de la répartition de température T(r, t) dans la billette, - mais également de R(t) la résistance équivalente de la billette, - On peut donc relier R(t) et T(r, t) É On sait par ailleurs que T(r, t) est lui-même fonction de g(t) ainsi que d'une condition aux limites du type T(O, t) (température au centre de la billette). II en résulte que R(t) est relié à T(O, t) et à g(t), É Or on connaît déjà g(t) (qu'on a calculé en mode offline comme cela a été décrit ci-dessus), ainsi que R(t) (qu'on peut mesurer en temps 2889201 16 réel au travers de P(t)) : on en déduit donc T(0, t), qui donne à son tour accès à T(r, t) pour toute valeur de r et de t. Fonctionnement niveau détaillé - algorithmes On va maintenant exposer plus en détail les équations de résolution des principes exposés cidessus. lo Ces équations sont ici exposées pour le cas où c'est au centre de la billette (r = 0) que l'on calcule sa température. Toutefois, comme cela a été exposé plus haut dans ce texte il est possible de les mettre en oeuvre en tout autre point de la billette. Les algorithmes vont ainsi être décrits avec comme consigne 15 l'évolution de la température en r=0, T(O,t), c'est à dire au milieu de la billette. Et on peut naturellement les adapter notamment pour une consigne de température en r = rB, T(rB,t) c'est à dire à la surface du cylindre. On distinguera deux types d'algorithmes: É Des algorithmes basés sur un procédé itératif (ceci correspond au premier type de méthode de résolution exposé plus haut en référence au niveau général) É Des algorithmes basés sur des séries formelles dans lesquelles interviennent les deux variables g(t) et T(O,t), et leurs dérivées jusqu'à un ordre infini (ceci correspond au deuxième type de méthode de résolution). Algorithmes basés sur un procédé itératif / Algorithmes itératifs généralités Ce type d'algorithme correspond donc à une première variante de l'invention, dans laquelle on déduit du profil de consigne la loi d'alimentation et celle de répartition de température simultanément ( premier type de méthode mentionné plus haut dans ce texte). L'algorithme itératif fait intervenir l'intégration d'équations en prenant en compte des conditions aux bords de la billette. Ceci permet de faire apparaître explicitement la température au io point de la billette considérée (le centre dans les exemples qui suivent) Pour ce faire, on commence par considérer l'équation de la chaleur: p(T)p(T) at (Y't) r a Cr a(T) ar +f(r)Ég(t) (1.7) avec comme conditions aux bords: ar (O,t)=0 (1.8) et -À.(T(rB,t)) aY (rB,t)=aÉ(T(rB,t)-TA) (1.9) L'équation (1.7)est tout d'abord multipliée par r: rÉcp(T)Ép(T)É at (r,t) =- r. ,(T)É aT (r,t)1 +rÉf(r)Ég(t)(1.10) r et ensuite intégrée par rapport à r: r Sri Écp(T(rl,t))Ép(T(r,t))É aT (r,t)dr, _ o Cri À.(T(r,t)) ar (11,01 +g(t) fri f(r)drl o 0 En utilisant la condition aux bords (1.8) : r, ÉÀ(T(r,t))É T (r,t)]r =r.À(T(r,t))É (r,t)(1.12) , on obtient pour (1.11) : f rÉcp(T(r,t))Ép(T(r,,t)) at (r o r t) dr, = r. (T(r,t))É ar (r, t)+g(t)É f Éf(r)dri Cette équation est ensuite multipliée par A(T)Ér f o T r t r.J r Écp(T(r,t))Ép(T(r,t))É ar (r,t)dr, = ( ( )) g(t) (r,t)+ fr r cf()dr i ôT ar rÉ2.(T(r,t)) 0 et intégrée par rapport à r: r 1 r2 (T(rz,t) )'rz f r,Écp(T(r,t))Ép(T(r,t)) r Avec: UT r 1 r2 [ôr - (r2,t)] +g(t) f Â T r t Ér f r. f(ri)drdr2 0 0 ( (z)) z o aT (r,t)drdrz = CaT-(rz,t) =T(r,t) -T(O,t) (1.16) , ar on obtient finalement: r 1 aT f A(7 (rz,t)) r É f r Écp(T (r,t)).p(T (ri,t)) at (r,t)drdrz = r T(r,t)-T(O,t)+g(t)Éf 1 Éf f (ri)dr,drz o A(T (rz,t)) rz (1.17) / Algorithmes itératifs premier mode 2889201 19 Selon ce premier mode, on poursuit les étapes précédentes comme suit: Pour r = rB, on obtient pour l'équation (1.13) : l'B f r.0 (T (rt)).P(T (rt)) at (r,,t)dr -rB ÉA(T(rB,t))É aT (rB,t) r g(t)= (1.18) . io En utilisant la condition au bord (1.9), on obtient: YB f r, Écp(T(r,,t))É p(T(r,t))É at (r,t)dr, +rB Éa.(T(rB,t) TA) g (t) = (1. 19) , ce qui donne accès à g(t). Grâce à l'équation (1.17), on obtient ensuite: r 1 r2 T(r,t)=T(O,t)-g(t). f Â,(T(r2,t)) r2 f.f (fi)drdrz 1 aT +f,(T(r2,t .r2 f r Éc,(T (ri,t)) Ép(T(r,t))É at (r,t)drdrz (1.20) On construit à partir des équations (1. 18) et (1.20) le procédé itératif suivant (n étant l'indice d'itération) : rB Sri Écp (Tn (r,t)). p(Th (r,t)). aat, (r,t)dr +rB Éa É(T (rB,t)-TA) g (t)= f rÉ f (r)dr (1.21) B rÉB f rÉ f (r)dr YB f r f (r)dr 2889201 20 r T +i (r,t)=T(O,t)-g (t) 1 r2 $?j. f (ri)drdrz Â, (T,(r2,t))'r2 0 1 +f T (2 t) r2 ôr cp(Tr(Yt)'p(Tr(r,t 'a t,t)dr,dr2 (1.22) / Algorithmes itératifs deuxième mode Selon un deuxième mode, on procède comme suit: À partir de l'équation (1.13) on obtient: lri. MT (rB, t)) a(rB,t) g(t) r f (r)drl B (1.23) , +N É r, Écp(T(r,,t))É p(T(r t))É (r t)dr, B o et à partir de (1.17) on obtient: rR 7 r2 -aÉT(rB,t)=-aÉT(O, t)+aÉg(t) f A(T(r2,t)) rz ôri.f(il)dr,dr2 rR 1 r} aT -a É f.1.,(T(r2't)) r2 É f r.c (T (r,t)). p(T (ri,t)). at (r,t)drdr2 (1.24) Ces deux équations doivent satisfaire la condition aux bords (1.9) : Â.(T(rB,t))É ar (rB,t)= aÉ(T(rB,t) TA)(1.25) donc: 2889201 21 " rH \ g(t). 1 Éf rf(ri) dr+aÉf rs o (T(rz1,t +z o ii))'rzf r f(r)drdrz = a É(T (O,t)-TA)+ r ' f r Éc, (T (r,t)).p(T (r,t)). ôt (r,t)dr (1.26) B o ry r2 1 +a.f T rt r.f r'c(T(r,t)).p(T(ri,t)). ôt (r,t)drdrz o ( (z,)) z o On obtient finalement pour g(t) : 1 'E ri'c,(T'(r,,t))'p(T'(r,,t)). 8t (r"t)dr+ e o rH r2 aÉ T(O,t)-T,+ f Â T rt t Ér f ri.c,(T(r,t))'p(T(r,t)). ôt (r t)drdrz rH ry r2 1 f rÉ f(r)dr+a f A(T (rl,t)) rz. f rÉ f (r)drdrz (1.27) . On construit à partir des équations (1.27) et (1.17) le procédé itératif suivant: rR s' / 1 ' f r.cp (T, (r,t)).p(T1(11,t)). a t (r t)dr + rB o / a. T(O,t)-TA+ f T r t r f r.cn(T,(ri,t))'p(T (ri,t)). at (ri, t)drdrz 1R rR r2 1 f rÉ f (r)dr+a f a (T, (rz,t))'rz Jri. f(ri)drdrz (1.28) r 1 r2 7 +l(r,t)=T(O,t)-g (0Éf.1,(T (rz,t))'rz f.f(ri)drdrz (1.29) r 1 '2 +f f r É cp(T7 (r, t)) É p (T (r,t)) É aâ (r, t)drdrz 0 Â(T (rz,t))'rz 0 l g (t)=\ 2889201 22 / Algorithmes itératifs choix de la valeur initiale de température Cette section est applicable aux deux modes présentés ci-dessus. Dans les algorithmes des deux modes apparaît la consigne T(O,t) donc la température au centre de la billette. On se donne pour celle-ci l'évolution que l'on désire (fonction polynomiale définie par morceau, fonction périodique). En général le problème de planification consiste à emmener le 15 système d'un état stationnaire initial à un état stationnaire final en un temps fini Tt. Pour cela, on détermine Ti la température initiale à t = 0. La billette est le plus souvent, pour t 0 à température ambiante TA, donc T =TA. On choisit ensuite la température que l'on veut atteindre Tf, le temps de transition T et le type d'évolution que l'on désire (par exemple des fonctions polynomiales par morceaux ou bien des fonctions du type Gevrey sur l'intervalle [0, T] et constantes en dehors de l'intervalle telles que les états stationnaires initial et final soient satisfaits). 25 On aura donc: T(O,t)=T,.+(Tf-Ti).f (1.30) T, avec f (t) une fonction définie par morceaux: 0 t 1 et P(t) un polynôme tel que f (t) soit suffisamment régulière (.f(t)EU). II faut de plus initialiser l'algorithme itératif. Pour cela il faut se donner une température initiale I o (r,t) . À partir de celle-ci on calcule go (t) , T, (r,t) , g, (t) , Tz (r,t) et ainsi de suite. Pour le profil de température initiale To (r,t) on peut par 10 exemple choisir To(r,t)=T(O,t). / Algorithmes itératifs critère d'arrêt de l'algorithme Cette section également est applicable aux deux modes présentés ci-dessus. Si les algorithmes convergent, alors la limite des séries T +, (r,t) et g (t) est égale au profil de température T(r,t) et à la 20 commande g(t), c'est-à-dire: 1imT +1(r,t)=T(r,t) limg (r,t) = g(r,t) En pratique, on interrompt les algorithmes lorsque T +, (r,t) est suffisamment voisin de T (r,t) ou bien lorsque g,,(t) est suffisamment 25 voisin de g,,_, (t) . Pour cela on peut définir: T,B f f (T.+, (r,t)-T,. (r,t))z drdt ou bien T d; = f (g, (r,t) g; , (r,t))2 dt et on arrête l'algorithme lorsque d; g pour une précisions définie à l'avance. Dans ce cas on pose i0 T(r,t)=T,+, (r,t) g(r,t) = g,7 (r,t) On peut de plus vérifier si les algorithmes convergent ou pas à partir du comportement de la suite d,. Si celle-ci, est monotone croissante à partir d'un certain indice 15 io on peut en conclure que l'algorithme ne converge pas et on pourra de même interrompre l'algorithme. / Algorithmes itératifs exemple numérique On considère le premier algorithme pour une équation de la chaleur avec des coefficients constants. On prendra, par exemple, ceux de l'alliage d'aluminium A356 2889201 25 cp Capacité thermique 888 J massique kg É C P masse volumique 2700 kg1 m3 conductivité thermique 170 ( w C K conductivité électrique S1 I 36.106 HS m P perméabilité magnétique, 4rr10 (-In Tab. 4: Coefficients de l'alliage A356 a coefficient de convection 10 W thermique m2 É C rB rayon de la billette 76 2.10-3 (m) w fréquence d'alimentation de 300 Cradl la bobine s J N nombre de spires de la 36 ( ) bobine lB longueur de la bobine 230.103 (m) Tab. 5: Autres constantes On considère la température initiale constante, par exemple 2889201 26 T (r,t) = 0, t Pour cela, on choisit comme trajectoire pour la température au s centre de la billette: T(0,t)=T.+(Tf-T,.). f avec: 0 t 1 io et P(t) =12870 É t" -109395 É t16 + 408408 É t15 - 875160Ét'4 + 1178100 É t13 -1021020Ét12 +556920Ét" -175032É 0 +24310Ét9 La figure 5 représente cette trajectoire. Comme critère de convergence, on choisit T, f f (Ti, (r,t)-T (r,t))z drdt 00 On obtient: d1 19043.34 d2 161.48 d3 0.936 d4 0.0030 d; 27 Tab. 6: Valeurs de d, A partir de quatre itérations, la valeur d4 devient négligeable ce qui par ailleurs est confirmé par les trajectoires successives de g. (t) (voir figure 6). Il n'y a plus de différence notable entre g4 (t) et g5 (t) . Le profil de température T5 (r,t) est représenté sur la figure 7: Algorithmes basés sur des séries formelles / Séries formelles - généralités Ce type d'algorithme correspond donc à une deuxième variante de l'invention, dans laquelle on déduit du profil de température de 15 consigne la loi d'alimentation, puis ensuite la loi de répartition de température. Dans cette variante on procède par dérivation, et non par intégration. Et cette variante n'implique pas d'itération, mais permet 20 d'accéder à la loi d'alimentation puis à la loi de répartition de la température en une seule passe d'opérations. Ces algorithmes permettent ainsi de résoudre de manière directe le problème. / Séries formelles premier algorithme i0 2889201 28 Un premier algorithme pouvant être mis en oeuvre est le suivant. On considère l'équation différentielle partielle: cp(T).p(T). ôt (r,t) r a H(T) aT (r,t)+f(r) g(t) avec les conditions aux bords suivantes: ôr (O, t) =0 lo (1.32) et -A(T(rB,t)) ôr (rB,t)=a (T (rB,t)-TA) (1.33). Si le rapport 1 est très grand, alors le système se simplifie. La fonction f (r) tend en effet vers une distribution de Dirac en r = rB avec un certain poids. On ne chauffe donc pratiquement pas l'intérieur du cylindre par effet Joule mais seulement au bord r = rB. On peut donc écrire: 2889201 29 cp(T).p(T)É at (r,t) r ôrr A(T) ar (r,t) r.,(T) ôr (r, t)+ar(a,(T)) (Dr (r,t)+A(T)É aY-T (r,t) (1.34) avec comme conditions aux bords: ar (0,0 = 0 (1.35) et .,(T(ra,t)) ar (ra,t) g(t) cP+aÉ(T(ra,t) TA) (1.36) avec 1'h 1 P= 1 J2 11 r f(r)dr= 1 ÉJrÉf(r)dr. 2.11 É rb 0 rb 0 (1.37) On développe ensuite la température T(r,t) en série de Taylor 20 autour de r = 0: a2 2T 3 r3 T(r,t) =T(o,t)+ ar (o,t) r+ YT (o,t) r2 + r (o,t) 3 +... (1.38) En utilisant l'équation différentielle partielle (1.34), on obtient a2T c (T)Ép(T) aT 1 aT 1 a T aT are (r t) P (T) at (r t) r ar (r t) À. (T) ar ( ( )) ar (r t) (1.39) on pose: (T)cn(A) ) , (T)= .- ((T) ( (T) d'où : a2T aT 1 aT 1 a r aT 12 (r't)= (T).a(r't)-. (r't)- are t rar R T.aT((T)),I (r,t) I O 1 al' =4(T).-T (r,t) r. ar (r,t) C(T),Iar (r't) (1.40) On est à même de remplacer les différentes dérivées de la température par rapport à r en r = 0 par des dérivées de la température par rapport à t. Pour des raisons de symétrie, on a (0,t) = o are +' (1.41) Pour les dérivées paires de la température par rapport à r, on a: 2889201 31 a2 T a2n-z 8T _ a2 T aT arzn (r,t) = ar2n-2 (T) at (r,t) ar2nar (r't) azn-z aT '\ 2 arz -z (T). 8r (r,t) (1.42) donc pour la limite r -p 0 a2 T az z aT 1 aT hm v (r,t)=lim 2 -2 g(T). (r,t) lim aô2"-2 2n- z - -(r,t) o ar > o aiat) '->o ar r ar C a2 -z i aT \z lim z,: z (T)É (r,t) o ar (1.43) Pour le deuxième terme à droite de cette équation, on a lim az -z i 1 aT r t \ __ 1 82"T r>0 arzn 2 Cr ( ), 2Én 1 ar2n (O t) (1.44) donc: 2n zn-z 2n 2 aT z a 2.n 1 a aT C zn (0,t)= lim z -z 4(T). (r,t)j lim z -z (T). (r,t) ar 2 n,-+0 ar 2n-2 a r-+o ar ar (1.45) Finalement, on obtient pour (1.38) : ar a2 T 4 T r4 T(r,t) =T(O,t)+ aYT (0,t). z + -- (O,t). +... a 4! et grâce à (1.45) chaque dérivée paire s'exprime en fonction de y(t)=T(0,t): â2 arT (0,t) = f (y(t),y('' (t)) arT (O,t) =.f2 (y(t),y(') (t),y(2' (t)) io etc.... Finalement, en posant fo(y(t))= y(t), on obtient y2i T(r,t) =100 1 f (y(t) ,..., y( (t)). (2-0! =o (1.46) On choisit donc pour T(O,t) la trajectoire que l'on désire et on calcul à l'aide de (1.46) le profil de température T(r,t) en tronquant la série à un ordre approprié. Pour calculer la commande g(t), il suffit d'utiliser la deuxième condition au bord (1.36) A(T(rB,t)). ar (rB,t)+aÉ(T(rB,t) TA) g(t) _ (P Finalement: Le système cp(T)'P(T).aT(r,t)-1 a / r a,(T) aT(r,t)+f(r).g(t) at r ar, ar avec les conditions aux bords suivantes: ar (0, 0=0 et À,(T(rB,t))É aT (rB,t) =aÉ(T(rB,t) TA) et équivalent pour S 1 à cp (T). p(T). at (r,t) r ar r A(T) ar (r,t) I avec les conditions aux bords suivantes: aY (0,t)=0 et Yn -(T(rB,t)) ar (rB,t)= g(t) r f(r)dr+aÉ(T(rB,t)-TA)(1.47) b 0 La température s'exprime ainsi comme une série: a2T r2 a4T Y4 a2 iT YZ i T(r, t) T(O,t)+âr2(0,t)É2+ar4(0,t)É4+..._arZ..(0,0. i)i En posant 4(T) = cp (T) P (T) (T)= ) 1T É T (.(T)) on a 1(T) ( ) 827(0,0 = 2 n-1 ar2i 2Én (1.48) a2n-2 aT a2n 2 r-+0 0r2' 2 (T) at (r,t)- -m0 ar2n-2 2\" (T).( ar (r,t)) 2889201 34 a2 T Les différentes dérivées are (0,t) s'expriment, grâce à la formule (1.48), comme des fonctions de la température au centre y (t) = T (O, t) et de ses dérivées: ô2"T are (0,t) =.f (y(t),ym (t), y(2) (t) ,..., y( ) (t)) On a donc T(r,t)=f(y(t),...,y()(t)). 2(1.49) r=o (2.0! On choisit donc pour T(O,t) la trajectoire que l'on désire et on calcul à l'aide de (1.49) le profil de température T(r,t) en tronquant la série à un ordre approprié. Pour calculer la commande g(t), il suffit d'utiliser la deuxième condition au bord (1.47) T(rB,t)). ôr (rB,t)+aÉ(T(rB,t) TA) g(t) _ (p / Séries formelles deuxième algorithme Alternativement, il est possible de mettre en oeuvre un algorithme tel que décrit ci-après. Cette méthode est limitée au cas linéaire c'est à dire que l'on considère que la capacité thermique massique cp, la masse volumique p et la conductivité thermique Â. sont constants. On a donc comme modèle 02T (r,t) a at (r,t) r ar (r,t) f (r) g(t) (1.50) avec a = pÉcp et comme conditions aux bords aT(0,t) =0 ar (1.51) et aTar't) _ (T(rB,t) TA) (1. 52) Le profil de température, solution de (1.50),(1.51),(1.52) s'exprime comme r2 d"y(t) ' 2Éi+l\ T(r t)=y(t)+E >l (2Én)! dt" i-o 2Éi+2, 1 dmg(t) (1 vm m /a2 'f(r) v fin' ' 2Éi+1 vA r2-(i+m+l) A ,=o de' i-o ar2i 111 \2 a+2, (2É(i+m+1))! De plus, on a d"y(t) y(t) T+ ' '1 n?1 dt \a/ i 2Éi+1" r2n r2n-1 B +_É B 2Éi+2), v(2Én)! a (2.n-1)!1 Soit, en posant:/n 2Éi+1VA / r2-(i+nt+l) r2(i+m)+l B + . B É \2Éi+2, (2É(i+m+1))! a (2.(i+m)+ 1)! dt m n0 fia) (1.53) 2889201 36 On résout l'équation différentielle (1. 54) en la tronquant: .g(n)(t)+...+c2 Ég(2)(t)+c, Ég( (t)+co.g(t) = y(t)+b, y(') (t)+b2 y(2) (t)+...+bm y(m) (t) TA (1.55) On cherche à calculer la commande qui fait passer le système d'un état stationnaire E0 à t= 0, à un état stationnaire E, final en un temps fini t=. On a: Tf g(0)=0 y(0)=TA=T,. g(Tt)= y(T)=Tf co g(') (t) = o y(') (o) = o E, = g(l) (T) =0 y(l) (T) = 0 2 i+1A rB 2(i+m+1) + Y a2.(i+m)+1 2.i+2)) (2É(i+m+1)) ! a (2É(i+m)+1)!) et: = 1\n /n /2 i+1 r a + a 2.n a., r2n-1 b =1 b" (a 2Éi+2 (2.n)! a 2.n-1 on a pour (1.53) : co Ég(t)+c, Ég(') (t)+c2 Ég(2) (t) +... = y(t)+b, É y(') (t)+b2 É y(2) (t)+... TA (1.54) 1 (1 1m (a2 z (r) Cm = J (1.56) g(%) (t) = 0 y(m 1) (t) = 0 gn-1(T)=0 y(n')(T)=0 Du choix de no dépend la régularité de la consigne: no no = 0: la commande est continue mais sa dérivée est discontinue t = 0 etc.. . On a comme conditions aux bords: nb = ((no +1) +m) +(n +(m +1)) On cherche une solution polynomiale de l'équation différentielle 10 (1.55) qui satisfait les conditions aux bords(1.56) pour 0 t T dg t, g(t)=1kg, . t (1.57) Si cette solution existe, alors les fonctions définies par 15 morceaux: Ti t T Tf t>T co seront solutions du problème pour 0 t ao. Les coefficients ky;,i =0...dy et kg;,i =0...dg sont à déterminer. II y a donc n, _ (dy +1)+(dg +1) inconnues. Soit (1.57) solution de (1.55). Alors on a: y(t) _ E =o i=o 2889201 38 D'une part, l'ordre du polynôme y(t) et celui de g(t) sont égaux dy = dg. D'autre part, on a un système de (dg +1) équations liant les coefficients ky,;,kg; entre eux. Pour résoudre le système, on doit avoir autant d'équations que d'inconnues, donc dy=dg=na,-1 Le système d'équations linéaires est parfaitement déterminé. Algorithme: Pour résoudre co Ég(t)+c, Ég(1) (t)+ c2 Ég(2) (t)+... = y(t)+b, y(') (t) +b2. y(2) (t)+... TA on tronque cette équation différentielle. On choisit pour cela n, m. On obtient l'équation différentielle suivante: c Ég(")(t)+...+c2 Ég(2)(t)+c, Ég(')(t)+co Ég(t) (1.59) On choisit ensuite no pour les conditions aux bords: = y(t) +b, É y(') (t)+b2 É y(2) (t)+...+bm. y(m) (t) TA g(0)=0 y(0)=TA=T,. g(')(t)=0 y(')(0)=0, E, = g( )(t)=0 y(m-l)(t)=0 g(T)= Y(T)=Tf co g(') (Tt) =0 y(') (T) = o n -1 g( (T) =0 y(m) (T) = 0 20 Pour 0 (t)=0 (T)'.(i(+n 1n )1!)!=0 i ) et du système de dy +1 équations liants les coefficients kg,ky entre eux obtenu en remplaçant g(t), y(t) par leurs expressions (1.60) dans. (1.59) : 2889201 40 ni c1.g(i) (t) = lb, . y(i) (t) j=0 j=0 et en imposant l'égalité des deux polynômes L'égalité des deux polynômes impliques l'égalité des coefficients, d -n E tp Eci kg,p+j'(P + )'+ tpÉÉks,p+jÉ(P+ )! p=0 j=0 PÉ p=d-n+l j=0 P' d,-m m (P+ J)1 dy dv-p (P+il E tp Ebj k3,p+j l + tp bi ky, p+j ' ! p=0 j=0 P. p=d,,-m+1 j=0 P Autres domaines que le chauffage par induction pour le thixoformage Les méthodes proposées ne sont pas limitées au chauffage par induction pour la refusion partielle d'un alliage d'aluminium à l'état semisolide pour le thixoformage, mais s'appliquent au chauffage par induction en général. Équations de Maxwell non linéaires On peut généraliser les algorithmes des deux modes itératifs et le premier algorithme série formelle pour un matériau dont la conductivité électrique K et la perméabilité magnétique p sont fonctions de la température. Il suffit pour cela de remplacer dans l'expression (1.6) x, p par K (T) et (T) . 2889201 41 Autres types de conditions aux bords On peut utiliser les algorithmes pour d'autres conditions au bord que celle donnée par (1.3) . Ceci est notamment valable pour l'algorithme du premier mode itératif, et le premier algorithme série formelle . A la place de la condition de bord (1.3) À.(T(rB,t)) ôr (rB,t)=+aÉ(T(rB,t) TA) on peut ainsi avoir d'autres conditions aux bords du type i f T (rB,t), âr (rB,t),...,TA =0 Sachant que le rayonnement thermique ne se produit qu'à la surface du matériau, on peut par exemple prendre en compte le flux thermique rayonné par le matériau: -).(T(rB,t)). ôr (rB,t)=+aÉ(T(rB, t) TA)+6SÉeÉSÉ((T(rB,t))4 (TA)4/ où 6S est la constante de Stefan (5,67. 10-8 m2 K4), e le coefficient d'émissivité, et S la surface rayonnante. Autre géométrie Les méthodes présentées peuvent être appliquées à d'autres formes géométriques: le corps à chauffer où charge peut être de forme 25 rectangulaire. En fait il suffit que la forme géométrique possède un axe de symétrie. Autres applications de l'invention Chauffage pour un système RTP (Rapid Thermal Processing, en français traitement thermique rapide) Ce type de chauffage est utilisé pour la fabrication de galettes de silicium. Le chauffage est assuré par un groupe de lampes, en général de tungstènehalogène, par radiation. La température de la galette doit suivre un profil prédéfini (pour donner un ordre d'idée on veut passer de quelques degrés Celsius à 1100 Celsius en quelques secondes par exemple 4 à 10 secondes) et elle doit être uniforme (pas plus que 2 degrés de différence). Pour la modélisation des transferts thermiques, on peut considérer la galette comme un disque (section transversale d'un cylindre) [LinChu 2002] On retrouve donc comme équation pour le modèle du traitement thermique rapide de la galette [LinChu 2002] le même type d'équation que l'équation (1.1) cP(T)Ép(T).aT (r t)= 1 a r.(T). (r,t) +?(q(r,t)-6sÉ(T4-TA)) at r ar, ar 0 Pour une disposition de lampe fixée, on a q(r,t) = f(r)Ég(t) avec f(r) connue et g(t) la commande que l'on veut déterminer pour 5 atteindre les contraintes de profil de température et d'uniformité. Les algorithmes présentés ci-dessus sont donc directement applicables. Chauffage par micro-onde Pour le chauffage de matériau cylindrique par micro-onde, on retrouve le même type d'équation que l'équation (1.1) p (T) p(T) aT (r t) =1 a rr..(T)É aT (r,t) + f(r)Ég(t) at r ar v aY (voir à propos de cette équation [Thuéry 1989]) avec comme conditions aux bords ar (0,t)=0 et -MT (rB,t)) ai- (rB,t)=+a.(T(rB,t)-TA)+6S ÉeÉ SÉ((T(rB,t))4(TA)4) Dans cette équation f(r) est connue et comme dans le cas du chauffage par induction, g(t) est la commande. Les algorithmes 25 présentés ci-dessus sont donc directement applicables. 2889201 44 Reconstruction du profil de température > Grâce à la mesure de la température: En laboratoire (c'est-à-dire offline) où en ligne (c'est-à-dire online), on peut mesurer la température au centre de la billette T(O,t) grâce à un thermocouple placé au centre de la billette où celle à la surface de la billette T(rB,t) grâce à un pyromètre. Dans les deux cas de figure, il est possible de déterminer le profil de température T(r,t) à chaque instant, la commande g(t) étant connue. - Grâce à la mesure de la résistance équivalente On pourra consulter les références suivantes sur ce type de méthode: ([Suéry 2002] p40, [Perez 1990] p291). La résistance Req de la billette à réchauffer correspond à la résistance qu'elle aurait si celle-ci était placée en série avec l'inducteur et dissiperait une chaleur équivalente à celle de l'ensemble du courant induit dans la pièce La puissance moyenne dans le volume du conducteur est ÏR I = fJf P(r)dV-2É7r.LB,. f P(r)Érdr avec LB; longueur de la billette. on a Î 1 i N 2 . B K\,.1 B J = IB 2 j(r) K P(Y) _ donc 2.2ÉÎzÉLB, f f (r) rdr=lB2'Req o K Suivant la définition, on obtient donc (r) Req =2.z LB; É f ' r dr o K io Si la conductivité électrique est fonction de la température, Alors Req (t)=2'Z'LB,'K1 f Kl Î(fiT((r) Érdr(1.61) o ritt)) Quelque soit l'algorithme, on a 2.f T(Y,t) =f (g(t),gW (t),...,g(kga))(t),y(t),y( (t),...,y(k,(i))(t)).(2 0! i o avec (1.62) y(t)=T(O,t) La résistance équivalente est supposée connue (mesurée directement où indirectement par l'estimation de la moyenne dans le volume du conducteur et la mesure de l'intensité de courant circulant dans la bobine). Pendant le chauffage, g(t) est connue et à priori ses dérivées peuvent être estimées. L'expression (1.61) est donc une équation différentielle donc la seule inconnue est y(t). La solution de celle-ci permet d'estimer y(t) et grâce à la relation (1.62), ainsi d'estimer le profil de température. Bibliographie Gérard DEVELEY: "Chauffage par induction électromagnétique: principes", Technique de l'ingénieur. Senpuu Lin et Hsin-Sen Chu: "Application of inverse problem algorithm for temperature uniformity in rapid thermal processing", in Thin Solid Films 402 (2002) 280 289 J. Ph. Pérez, R. Caries et R. Fleckinger: "Electromagnétisme: vide et milieux matériels", Masson, {1990}. Hans-Martin Ritt: "Regelung der induktive Erwârmung von Metallen in den teilflüssigen Zustand" Dissertation {2000}. Rainer Sebus: "Entwicklung eines Verfahrens zur induktive Erwârmung von Aluminiumlegierungen in den thixotropen Zustand" Dissertation {2000}. G. Strassacker: " Rotation, Divergenz und Drumherum ",Teubner-Verlag, {1986}. M. Suéry: "Mise en forme des alliages métalliques à I' état semi solide " Hermes Jacques Thuéry: "Les micro-ondes et leurs effets sur la matière", Lavoisier, {1989}. [Develey] : [LinChu 2002] : [Perez 1990] : [Ritt 2000]: [Sebus 2000]: [Strassacker 1986] [Suéry 2002] : [Thuéry 1989] : REVENDICATIONS 1. Procédé de réchauffement d'une billette de matériau métallique en vue de conserver la billette dans un état semisolide, le procédé comprenant l'alimentation électrique d'une bobine entourant la billette selon une loi (g(t)) d'alimentation électrique pour induire dans la billette un échauffement, le procédé étant caractérisé en ce qu'il comporte les étapes suivantes: É on établit un profil de consigne de température en 20 fonction du temps, que doit suivre un point donné de la billette, É on en déduit une loi (g(t)) d'alimentation électrique de la bobine, É on en déduit également la répartition de température en 25 tout point de la billette, à chaque instant. 2. Procédé selon la revendication précédente caractérisé en ce que le profil de température est un profil temporel, en un point donné de la billette. 3. Procédé selon la revendication précédente caractérisé en ce que on déduit du profil de consigne la loi d'alimentation et celle de répartition de température simultanément. 4. Procédé selon la revendication précédente caractérisé en ce que on utilise un algorithme itératif qui fait intervenir l'intégration d'équations en prenant en compte des conditions aux bords de la billette. 5. Procédé selon la revendication 3 caractérisé en ce que on déduit du profil de température de consigne la loi d'alimentation, 6. puis ensuite la loi de répartition de température. Procédé selon la revendication précédente caractérisé en ce que on utilise des séries formelles. 7. Procédé selon l'une des revendications précédentes caractérisé en ce que le procédé est mis en oeuvre en mode hors ligne (ou encore offline), dans lequel on procède aux opérations suivantes: - définition d'un profil de consigne, - déduction, à partir du profil de consigne retenu, de la loi (g(t)) correspondante. 8. Procédé selon la revendication précédente caractérisé en ce que le procédé est mis en oeuvre en mode en mode online (ou encore en ligne), dans lequel on procède en outre aux opérations suivantes: - alimentation de la bobine selon la loi (g(t)) qui a été calculée en mode offline, exploitation d'un moyen de mesure de température ou d'estimation de température en temps réel, et on procède aux opérations additionnelles suivantes en temps réel: / calcul de l'écart entre la température constatée (mesurée ou estimée) en un point de la billette et la consigne de température correspondante, au même point, / régulation, en fonction de cet écart et de la loi (g(t)) qui avait été calculée initialement, de l'alimentation. 9. Procédé selon l'une des deux revendications précédentes caractérisé en ce que on déduit, du profil de consigne pour la température en un point et du calcul de la loi (g(t) ), la distribution de température dans la billette qui permet de vérifier: - que les contraintes de gradient de température sont respectées, - et que la distribution de température demeure à tout instant dans des limites de température prédéfinies. 10. Procédé selon l'une des trois revendications précédentes caractérisé en ce qu'on met en outre les étapes suivantes en oeuvre: É Exploitation du principe que la puissance dissipée P(t) dans la bobine est proportionnelle: - à l'effet Joule créé dans la billette, qui est luimême fonction de la répartition de température T(r, t) dans la billette, mais également à R(t) la résistance équivalente de la billette, - On peut donc relier la résistance équivalente de la billette (R(t)) et la répartition de température T(r, t) dans la billette, É Exploitation du fait que ladite répartition de température T(r, t) est elle-même fonction de la loi (g(t)) ainsi que d'une condition aux limites du type T(0, t) de sorte que la résistance équivalente de la billette R(t) est reliée à la condition aux limites (T(0, t)) et à la loi (g(t)), É Exploitation du fait qu'on connaît déjà la loi (g(t)) calculée en mode offline, ainsi que la résistance équivalente de la billette (R(t)), É Déduction de la condition aux limites (T(0, t)) , qui donne à 5 son tour accès à ladite répartition de température T(r, t) pour toute valeur de r et de t.