FR 2849942 A1 20040716 FR 0300216 A 20030110 PROCÉDÉ DE DISCRÉTISATION DE SIGNAUX ET DE RECONSTITUTION OU D'IDENTIFICATION DE SIGNAUX DISCRÉTISÉS AVEC OU SANS PRÉSENCE DE BRUIT L'invention est relative à un procédé de discrétisation de signaux et à un procédé de reconstitution de signaux discrétisés avec ou sans présence de bruit. Elle concerne également un procédé d'identification de signaux, notamment de bruits, ainsi que l'utilisation de cette identification pour éliminer le bruit des signaux, ou pour séparer un ou plusieurs signaux d'un ensemble de signaux bruités. Pour reconstituer des signaux discrétisés on connaît plusieurs procédés, notamment l'utilisation de fonctions spline et l'utilisation d'ondelettes. Procédé d'approximation par des fonctions spline Pour reconstruire un signal discrétisé, on considère qu'entre deux points de discrétisation, le signal est représenté par un polynôme d'un degré prédéterminé, la variable étant ici le temps. Les coefficients de ces polynômes sont déterminés par la solution d'équations linéaires. Ces déterminations font intervenir des calculs matriciels complexes qui sont mal adaptés au traitement de signaux en temps réel. Ces polynômes sont généralement des fonctions spline qui vérifient les conditions suivantes : a) Chaque polynôme étant de degré inférieur ou égal à K (entier), la fonction représentant l'ensemble du signal est K+l fois continuement dérivable. Ainsi, cette fonction est K+l fois continuement dérivable aux points de discrétisation (appelés aussi points d'échantillonnage). b) Aux deux limites de l'intervalle de temps sur lequel le signal est considéré, la dérivée première de la fonction d'approximation est égale à la dérivée première du signal d'origine. Avec ces conditions, on peut obtenir une bonne convergence de la fonction d'approximation, c'est-à-dire que la distance entre la fonction d'approximation et la fonction réelle diminue rapidement lorsque le nombre de points de discrétisation augmente. Procédé d'approximation par ondelettes On rappelle que les ondelettes sont des familles de fonctions de forme constante, qui diffèrent les unes des autres par deux facteurs : un facteur de translation, représentant par exemple la position d'un signal dans le temps, et un facteur d'échelle. Un signal peut être représenté par une superposition de fonctions appartenant à une même famille, ces fonctions étant décalées et dilatées. Les coefficients d'ondelettes sont les poids des membres de la famille dans la décomposition. Ils constituent la transformée en ondelettes, qui est donc une fonction de deux variables : le temps et l'échelle (ou dilatation). L'analyse par ondelettes fournit donc une méthode de décomposition des signaux en fonctions élémentaires, engendrées par des transformations simples (translation et dilatation) d'une fonction de base. Les ondelettes sont bien adaptées à la multirésolution : les fonctions à grands coefficients de dilatations représentent les basses fréquences ou les grandes échelles et les petits coefficients de dilatations représentent les hautes fréquences ou les petites échelles. L'avantage de cette transformation est que l'information sur les signaux est concentrée sur un nombre relativement faible de coefficients. Les transformations en ondelettes discrètes présentent l'avantage que les coefficients peuvent être déterminés de façon relativement plus rapide que les coefficients d'une transformée de Fourier rapide (FFT). L'optimisation de la reconstitution de signaux discrétisés constitue un des problèmes techniques les plus importants à résoudre aujourd'hui. Par exemple, si pour une même qualité d'approximation, on peut diminuer le nombre de points de codage, on peut alors, en télécommunications, diminuer la bande passante des canaux de transmission et pour le stockage d'information, les mémoires peuvent être de capacité plus faible. Pour toutes les applications, si le nombre de points de codage est réduit, les temps de calcul peuvent être réduits, ce qui facilite le traitement des signaux en temps réel. Par ailleurs, on peut avoir intérêt, pour une quantité donnée d'informations, à obtenir une plus grande qualité de reconstitution des signaux. L'invention apporte une amélioration significative de la reconstitution des signaux discrétisés. Elle est basée sur l'utilisation de fonctions Ck spline telles que décrites dans les articles suivants : M. Rouff : "The computation of Ck spline functions", Computers and Mathematics with Applications, 23, (1), pages 103- 110,1992. M. Rouff et W. L. Zhang : spline functions and linear operators", Computers and Mathematics with Applications, 28, (4), pages 51-59,1994. En bref, ces fonctions Ck spline font appel, par rapport aux fonctions spline classiques, à la contrainte supplémentaire suivante : on impose qu'à chaque point de discrétisation, les dérivées jusqu'à l'ordre K de la fonction d'approximation soient égales aux mêmes dérivées de la fonction d'origine. On montre que, dans ce cas, les polynômes d'interpolation doivent être de degré 2K + 1. On a découvert que l'utilisation de ces fonctions Ck spline permet de minimiser le nombre de données pour la discrétisation et/ou d'augmenter la qualité de reconstitution pour une quantité déterminée de données discrétisées, dans l'espace direct unidimensionnel comme les signaux temporels, bidimensionnels, tridimensionnels ou n-dimensionnels pour l'imagerie, comme dans l'espace de Fourier dual de même dimension. On a également découvert que les phénomènes chaotiques peuvent être représentés par des fonctions continues dérivables dans l'espace de Fourier. Ainsi, on peut faire appel à des procédés d'analyse de fonction déterministe qui sont plus précis que si l'on gardait le caractère probabiliste habituellement utilisé pour traiter des phénomènes chaotiques. En outre, les temps de calcul pour la reconstitution peuvent être réduits. Ainsi, selon un premier de ses aspects, l'invention concerne un procédé de discrétisation et de reconstitution d'un signal discrétisé qui est caractérisé en ce que, pour la discrétisation, on détermine les dérivées jusqu'à un ordre K donné à chaque point de discrétisation et en ce qu'on reconstitue la transformée de Fourier des fonctions Ck spline correspondantes. L'invention est basée sur la constatation que la transformée de Fourier d'une fonction Ck spline est une ondelette, qu'on appellera Ck ondelette, et que les coefficients de développement du signal reconstitué à partir des fonctions Ck spline sont égaux aux coefficients de développement du spectre du signal reconstitué à partir des Ck ondelettes, ces coefficients étant les dérivées du signal dans l'espace direct jusqu'à l'ordre K aux points de discrétisation. En outre, on obtient la même précision pour la reconstitution du signal et pour son spectre. Un spectre précis d'un signal constitué à partir d'ondelettes constitue un outil particulièrement utile pour la plupart des problèmes de traitement des signaux, en particulier la compression de données. L'invention concerne, selon un second de ses aspects, qui peut être utilisé en combinaison avec le premier aspect, ou de façon indépendante, un procédé de discrétisation de signal qui est caractérisé en ce qu'on détermine, à chaque point de discrétisation, un premier ensemble de dérivées d'ordres différents et en ce qu'on détermine un second ensemble de dérivées également d'ordres différents entre elles et d'ordres différents de celles du premier ensemble, le premier et le second ensembles comportant toutes les dérivées jusqu'à un ordre K donné, le second ensemble étant déterminé à partir des dérivées du premier ensemble, cette détermination étant effectuée grâce à la formule suivante qui s'applique à un espace mono-dimensionnel : ''?tto,o ,1 mp,I~1 rrao,l 1 0 ... 0 0" u0 0 oMI,O ?7H,i ml,r~1 mi,I 0 1 ... 0 0 uô 2,0 m2)i M2,I-i TïEZ,1 0 0 0 U02 m1 i'D " - # ! "#'-"-> m1'1-i o o ::: ? 2 k-1 MIo ml,i Mi,i-i mil 0 1 uf 0. formule dans laquelle u1J est la dérivée d'ordre j au ième point de discrétisation et les coefficients mp,q sont définis par l'équation suivante : Dans cette équation, #i'k,v' est la transformée de Fourier de la fonction Ck spline Si'k,v', v' représentant la dérivée d'ordre v' au point de discrétisation. Comme décrit plus loin, la formule ci-dessus est généralisable à un espace multidimensionnel. Ainsi, on réduit pour la discrétisation le nombre de données sans réduire la qualité du signal reconstitué. Pour une même précision de reconstitution, la quantité de données stockées ou transmises est nettement inférieure à celle d'une discrétisation classique où on ne fait appel à chaque point de discrétisation qu'à la seule valeur du signal. On sait que dans ce dernier cas, pour ne pas perdre d'information, selon le théorème de Shannon, la fréquence d'échantillonnage doit être au moins égale au double de la plus haute fréquence du spectre du signal. Avec l'invention, pour obtenir le même résultat, le nombre de valeurs à stocker peut être, pour des signaux non stationnaires (tels que la parole, la musique, les images complexes, les signaux télévisuels), de l'ordre de 10 fois plus faible en tenant compte du fait que la fréquence d'échantillonnage peut être très nettement inférieure à la valeur imposée par le théorème de Shannon et qu'à chaque point d'échantillonnage, on fait appel à plusieurs valeurs, à savoir les dérivées du signal jusqu'à l'ordre K. Ainsi, l'invention s'applique surtout aux signaux non stationnaires. On observera aussi que les critères de calcul des signaux non stationnaires à l'aide des fonctions Ck spline sont basés sur les propriétés algébriques des espaces de représentation de ces signaux non stationnaires, à savoir des espaces de Sobolev Hk(Q). Contrairement au critère de Shannon, les conditions d'échantillonnage à l'aide de fonctions Ck spline ne sont pas basées sur les fréquences. Ainsi, le codage par Ck spline permet de coder avec une précision arbitrairement bonne des signaux de bande passante infinie. Par exemple, un signal périodique en créneau dont la bande passante est infinie (et qui nécessiterait donc une fréquence d'échantillonnage infinie avec le critère de Shannon) peut être codé exactement par deux échantillons en codage par C spline. La diminution du nombre de valeurs à stocker résulte des propriétés mentionnées ci-dessus de dualité entre les fonctions Ck spline et leur spectre. Les équations ci-dessus qui permettent de déduire certaines dérivées d'autres dérivées peuvent également être utilisées pour corriger des erreurs de mesure. Ainsi, dans une réalisation du procédé selon l'invention, on mesure à des points déterminés des dérivées jusqu'à l'ordre K et on utilise les relations ci-dessus, dites relations de "self consistance" ou d'auto-consistance, pour corriger les erreurs de mesure. Par exemple, la trajectoire d'un mobile est caractérisée par l'accélération, qui s'exprime par la quantité de carburant fournie au moteur du mobile, la vitesse et la position, cette vitesse et cette position étant mesurables par des capteurs. Ainsi, la vitesse est la dérivée d'ordre 1 de la position et l'accélération est la dérivée d'ordre 2 de cette position. Ces paramètres doivent satisfaire aux relations d'auto-consistance. Dans ce cas, on vérifie deux mesures successives et si la relation d'auto-consistance ne fournit pas un vecteur 0 alors les valeurs de ce vecteur pourront être utilisées pour effectuer une correction, par exemple en corrigeant l'alimentation du moteur du mobile. On peut obtenir des informations du même type sur les incertitudes associées à ces mesures en différentiant, dans les relations d'auto-consistances, les grandeurs à mesurer. Encore selon un autre de ses aspects, qui peut aussi s'utiliser indépendamment des autres aspects ou en combinaison avec ces derniers, l'invention concerne un procédé d'identification d'un signal ou d'une partie d'un signal et/ou de son spectre correspondant qui est caractérisé en ce qu'on échantillonne le signal et en ce qu'à chaque point d'échantillonnage, on détermine ses dérivées jusqu'à un ordre K (entier) déterminé, le signal étant identifié par ses fonctions Ck spline et/ou par ses fonctions Ck ondelettes qui sont les transformées de Fourier des fonctions Ck spline. Les dérivées à chaque point d'échantillonnage sont, par exemple, déterminées par la méthode des moindres carrés. On peut ainsi identifier le bruit superposé à un signal. On part en effet de l'hypothèse que le spectre d'un bruit n'est pas aléatoire mais de nature stochastique et qu'il est une fonction continue et K fois dérivable alors que les procédés classiques, le traite comme une fonction aléatoire à l'aide d'algorithmes faisant appel à des moyennes plus ou moins sophistiquées. Le traitement du signal selon l'invention n'est pas basé sur des propriétés statistiques du signal et du bruit, mais sur des propriétés de représentation de ces signaux et de ces bruits dans des espaces de type Sobolev Hk(Q). On peut ainsi extraire le bruit du signal dans la même bande de fréquences de façon beaucoup plus efficace qu'avec l'état antérieur de la technique. Le bruit est, par exemple, identifié lors des périodes de silence d'un signal reçu ou lu. Une fois le bruit identifié, on l'extrait du signal en soustrayant son spectre, identifié par des Ck ondelettes, du spectre du signal total reçu. Dans le cas de bruit non stationnaire, c'est-à-dire, par exemple, si le signal modifie le bruit, la séparation en temps réel du bruit et du signal peut être effectuée par des algorithmes de type Kalman qui modifient en temps réel les caractéristiques du filtrage en fonction d'informations sur l'évolution du bruit. Ce procédé particulièrement efficace d'élimination du bruit des signaux présente de nombreuses applications, notamment dans le domaine des télécommunications et de l'imagerie, par exemple l'imagerie médicale. Il permet, par exemple dans le domaine des télécommunications, de diminuer sensiblement la puissance d'émission des signaux et/ou, pour une puissance donnée, d'augmenter la portée des signaux émis. Une autre application de ce procédé d'élimination du bruit consiste à calculer automatiquement en temps réel les fonctions dérivées successives d'un signal reçu. En effet, le procédé d'élimination du brevet conforme à l'invention permet des mesures des dérivées d'ordre supérieur avec une précision plus élevée que les mesures classiques. On sait que la connaissance de telles dérivées est utile dans divers domaines, tels que l'automatique ou le contrôle de procédés. Quand on identifie une partie d'un signal et/ou son spectre correspondant, on peut alors séparer cette partie du signal de l'ensemble des autres signaux. Par exemple, avec ce procédé, on peut enlever un instrument d'un orchestre. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront avec la description de certains de ses modes de réalisation effectués ci-dessous en se référant aux dessins ciannexés, dans lesquels : la figure 1 est un ensemble de six diagrammes représentant six fonctions Ck spline, la figure 2 est également un ensemble de diagrammes représentant des transformées de Fourier de fonctions Ck spline, la figure 3 est un ensemble de diagrammes représentant les parties réelles et imaginaires de fonctions #L02,v et #R02,v, la figure 4 est un ensemble de diagrammes montrant des représentations analytiques des transformées de Fourier de la fonction sinus x et de Ck ondelette, la figure 5 est une représentation tridimensionnelle du logarithme décimal de l'erreur en fonction de nombres I et k, la figure 6 est une représentation tridimensionnelle de fonctions Ck spline, et la figure 7 est une représentation tridimensionnelle d'exemple de fonctions Ck ondelette. 1. Considérations préliminaires En analyse numérique, l'espace de Fourier est très rarement considéré pour des fonctions spline ou des éléments finis en raison de la nécessité de réduire le nombre d'équations des algorithmes de traitement et du fait que les éléments finis ou les spectres des fonctions spline courantes ne sont pas suffisamment localisés ou suffisamment compacts dans l'espace de Fourier pour créer des algorithmes puissants. Mais l'invention est basée sur l'étude des principales propriétés des spectres des fonctions Ck spline. Cette étude est exposée ci-après et elle montre que ces spectres sont suffisamment réguliers et localisés pour envisager un calcul direct précis dans l'espace de Fourier. On montre aussi par des simulations que l'interpolation par des fonctions Ck spline converge uniformément avec la même vitesse élevée et la même précision importante aussi bien dans l'espace temporel que dans l'espace de Fourier. Cette propriété permet une nouvelle classe d'algorithmes combinant les propriétés temporelles et fréquencielles d'un problème donné, augmentant le nombre d'équations avec le même nombre de variables, ce qui constitue une préoccupation constante dans les systèmes non linéaires. Ceci ouvre la voie à plusieurs nouveaux algorithmes puissants qui peuvent être plus compacts grâce à une élimination algébrique de variables, plus précis et plus robustes grâce à l'introduction d'informations analytiques plus pertinentes dans les systèmes et plus efficaces grâce à l'introduction de nouvelles tâches effectués dans un calcul comme, par exemple, une technique qui est calculée en même temps que la fonction souhaitée. Une technique de maillage consiste, par exemple, à utiliser un système qui, en même temps que la fonction, calcule en temps réel la distribution des points de discrétisation de la fonction afin d'obtenir une erreur de représentation minimum et uniformément répartie. Grâce à la linéarité des opérateurs de la transformée de Fourier, les Ck développements spectraux obtenus par des transformées de Fourier des fonctions temporelles utilisent les mêmes coefficients que leurs Ck développements temporels, c'est- à-dire un ensemble complet de dérivées partielles ou totales jusqu'au degré k d'une fonction temporelle considérée, en chaque point de discrétisation. Ceci permet d'introduire dans les algorithmes des contraintes différentielles ou spectrales sous la forme de nouvelles relations algébriques en chaque point de discrétisation de l'espace de travail. Par exemple, des conditions aux limites différentielles ou des contraintes de jauge (par exemple les jauges de Coulomb ou de Lorentz pour l'électromagnétisme) ne demandent aucun calcul et sont traitées au moyen de manipulations simples comme de nouvelles relations algébriques du problème dans l'espace de représentation considéré, généralement des Sobolev Hk(Q). On a observé que les opérateurs résultant des divers traitements de signaux générés par des fonctions Ck spline ou Ck ondelette ont des propriétés remarquables de symétrie, de régularité et de stabilité numérique. Après avoir introduit les principales propriétés algébriques, arithmétiques et géométriques des spectres des fonctions Ck spline unidimensionnelles, on montrera la convergence uniforme des représentations Ckspline temporelle et spectrale et une approche parallèle d'un cas spécifique de fonction Ck spline de N+l dimensions sera présenté. On décrira des graphes des spectres les plus pertinents et des applications. 2. Spectres de Ck spline unidimensionnelle 2.1.1. La représentation en noeuds également espacés Soit u (x) fonction unidimensionnelle analytique ou de classe C#, ou moins, définie sur un intervalle # # [0,X] comprenant 1+1 noeuds également espacés xo, x1, ... , xI avec x0 = 0 et xI = X. La Ck approximation uk,i(x) de cette fonction sur Q s'écrit: où uest la vième dérivée de u(x) par rapport à x au n#ud xoi , Sik,v (x) est la vième fonction Ck spline centrée au noeud xoi et définie sur l'intervalle [xo(i-,) , xo(i+1)1, P;( (x) et PLik,v (x) sont respectivement les côtés droits et gauches de la fonction Ck spline Sik,v (x) et sont définies respectivement sur les intervalles [xo,i , x0, (i+i>] et [xo, i-1 , xo,i] . ces définitions étant valables quel que soit i e [0 , I] et quel que soit v e [0 , k] . On peut voir sur la figure 1 les six S 5,v 1 (x) , v E [0 , 5], centrées au point 1. Sur cette figure 1, les PL,@5,v (x) peuvent être définies comme étant les parties droites des S15,v, c'est-àdire comme étant les fonctions polynomiales définies sur [0 , 1] pour chaque S15,v (x) et les PR15,v(x) peuvent être définies comme étant les parties gauches des S15,v, c'est-à-dire comme étant les fonctions polynomiales définies sur [1 , 2] pour chaque Sj' (x) . 2.1.2 La représentation en n#uds inégalement espacés Avec l'hypothèse d'une distribution arbitraire de n#uds, c'est à dire sous l'hypothèse de n#uds inégalement espacés, uk,I(X) peut s'écrire: Où P;:0-1) (x) et PL, (x) ont le même support [xoi-1 . xi] et donc le même axai, c'est à dire 6.Xi = xo, - xo ci-l - En définissant #k,I(#), transformée de Fourier de uk,I(x), comme au paragraphe 2. 1.1 ou comme au paragraphe 2.1.2, k, v k,v k,v ces deux cas conduisent à l'étude des S ;' (8) , PRi (6) et PLi (6) transformées de Fourier respectivement de Sk' (x) , PR (x) et PLik,v (x) , # étant la variable duale de Fourier de x. Ces transformées seront définies de façon plus précise au paragraphe 2. 2.1.4. 2. 2 Propriétés algébriques 2.2.1 Hypothèse des noeuds également espacés En se référant audit article intitulé "The computation of Ck spline functions", on obtient: 2t+t tl Pk,l/( ) - [X - XO'] sur [xoi . xo(i+p *()" '"[âJ ' sur [xoi , x0(i+1)], 2k-l [ d sur [Xo(i-i),Xoi], =0 Jo et, 6(x) = P(a;) + P/Y(a;)! sur [xod-i, , XO (i+1) J . où les aRdv et les aLdv sont les coefficients polynomiaux générateurs des fonctions Ck spline. Les principales propriétés de ces coefficients sont données au paragraphe 4 de la première référence mentionnée ci-dessus, mais on rappelle deux de celles-ci, # Les aLdv, aRdv et a e Q, Q étant l'ensemble des rationnels. Les lemmes suivants résultent des propriétés de ces procédés et de calculs algébriques classiques. Lemme 2.2.1.1. Soit S 0k,v (8) la transformée de Fourier de S0k,v (x), nous avons, Où U[.], max[.,.] ] et E[@] ] sont respectivement les fonctions de Heaviside, la fonction maximum et la partie entière. i est tel que i2 = -1. Lemme 2.2.1.2. Les [alpha][#,#] e Z V v e [0, k] et V # e [1, 2k+2] . Z est l'ensemble des entiers relatifs. Lemme 2.2.1.3 #0k,v (#) définie par le lemme 2. 1.1.1 a un point singulier en # = 0. Près de ce point, on a, pour v pair, le développement de Taylor suivant, Il est clair que e [f, v] et (30[?, v] e Q, V [P, v] [l,2k+2]x[0,k]. Les diagrammes de la figure 2 représentent les six #05,4 (#), # # [0, 5] . Lemme 2.2.1.4 Soit #k,I (#) la transformée de Fourier de uk,I(x), alors, Uk,l(O) Lr L ur SOvee Bi + u p (0) + 1 Po" (0) e 9I v=0 i=1 si u(x) est périodique de période X, alors # i.2.#.m.#x/X, où m est l'indice de fréquence, si u(x) est non-périodique sur [0, X], alors #=2.#.i.f.#x, où f est la fréquence variable. 2. 2.2 Hypothèse des n#uds inégalement espacés Dans ce cas, on définit dans Q une série d'intervalles #xi = xoi - x0(i-1). . Les mêmes considérations qu'au paragraphe 2. 1.1 conduisent aux lemmes suivants: Lemme 2.2.2.1 k, v k,v Soit PRi@, (#) la transformée de Fourier de PRik,v (x) , pour v pair on obtient, Les divers coefficients de ces fonctions appartiennent 2, v 2,v clairement à Q. Les Pu) (#) et PR0 (#) sont représentés sur les diagrammes de la figure 3. Lemme 2.2.2.2 k, v k,v Soit Pu (#) la transformée de Fourier de PLik,v (x) , pour v pair, on obtient: 2e[PL (B)eei ~ ePRz (8)eaj et, 3m[(f/)e ] = wc5'T77.iRi (B)eai pour v impair, on a: ei2 (B}ees - ~2erPRz (B)esz et, rm(PÎ (B)eei - sm R2 (B)eei Alors, comme dans le lemme 2. 2.2.1, les divers coefficients de ces fonctions appartiennent aussi à Q. Lemme 2.2.2.3 -k. v PRi@, (6) présente un point singulier en # = 0. Près de ce point, on a, pour tout v, le développement de Taylor suivant, Les #r[#] et les #i[#] appartiennent à Q. Lemme 2.2.2.4 -k, v Le développement de Taylor de Pu (#) est donné par le lemme 2. 2.2.3 et la relation, qui est vraie pour tout v # [0, k] et pour tout i e [ 0, I ] , où [ P6L ] est le complexe conjugué de p(O)k'v Lemme 2. 2.2.5 Soit #k,I (#) la transformée de Fourier de uk,I(x). Dans le cas de l'hypothèse de n#uds inégalement espacés, on a: si u(x) est périodique de période X, alors 0[j] = i.2.#.m.#xj/X où m est l'indice de fréquence, si u(x) est non-périodique sur [0, X], alors 6[j] = 2.n.i.f.Axj où f est la fréquence variable. 2.3 Propriétés géométriques 2.3.1 Représentations des fonctions Ck spline On considère, en utilisant la figure 1, les six S15,i(x) i # [0, 5] n N, x E [0, 1] n R. N est l'ensemble des entiers naturels et R, l'ensemble des réels. On peut voir que: c'est-à-dire que chaque fonction spline correspond à la représentation d'une dérivée fixée i au point 1 et a une dérivée nulle pour (orthogonalité) # # i et pour xj # 1. 2.3.2 Représentations des ondelettes Ck spline La transformée de Fourier de ces fonctions Ck spline sont des Ck ondelettes et sont représentées sur la figure 2 pour k = 5. Les S 1k,v (#) sont des fonctions réelles pour v pair, et des fonctions imaginaires pour v impair. On peut aussi remarquer les propriétés très localisées de ces Ck ondelettes. 2.3.3 Précision d'une représentation par Ck ondelettes d'un spectre fixé En utilisant le lemme 2. 2.1.4, la connaissance de la dérivée temporelle jusqu'à k d'une fonction fixée en chacun des points de discrétisation définit #k,I(#) le spectre ou la transformée de Fourier de uk,I(x). La figure 4 représente respectivement de droite à gauche, la transformée de Fourier analytique exacte de sin (x) sur Q=[0,10], sa représentation par Ck ondelettes pour k = 5 et I = 3, c'est à dire en introduisant dans #k,I(#), uiv # Sin(x, + v.n/2). On peut facilement voir la bonne qualité de cette représentation pour de petites valeurs de I et k. En fait, le tracé sur un graphe tridimensionnel de logio(#e#) en fonction de I et k montre une convergence uniforme de E vers -#, lorsque k et I croissent. On peut pour cela se référer à la figure 5. Cette figure 5 montre la convergence uniforme de E vers -#, lorsque k et I croissent. On a défini #e# comme, e = f + {TF {Sin(x}} - ûk,l(B}}2 d où TF{Sin(x)} est la transformée de Fourier analytique exacte de Sin (x) sur Q = [0,10]. On voit, par exemple que pour k = 6 et I = 9, #e# = 10-30 3. Spectres de Ck spline multidimensionnelles 3.1.1 La représentation en n#uds également espacés Dans le cas de coordonnées orthogonales une fonction u(x) définie sur un ensemble ouvert Q de dimension N+l peut être approchée par le développement suivant en Ck spline La figure 6 représente les six fonctions C2 spline bidimensionnelles non équivalentes. Sk' (x) , PR;ô (x) et PLâ (x) sont définies comme dans la section 2. 1.1 et comme sur la figure 1. Sur la figure 6 sont représentées les six S1,12,v,v' (x, y) non équivalentes, (v, v') # [0, 2]2. Les autres, non représentées, sont obtenues par des rotations de 90 autour de l'axe vertical. 3.1.2 La représentation en n#uds inégalement espacés Dans une distribution arbitraire de n#uds de dimension N+1, c'est-à dire-dans l'hypothèse d'une distribution de n#uds inégalement espacés selon chacune des dimensions orthogonales d'un ensemble ouvert Q à N+l dimensions, une fonction, de dimension N+l, u(x) conduit à l'approximation suivante Uk,I Où pR~I(X) et pL (x) ont le même support [x,-1, x, ] et donc le même Ox, , dans la direction de xi , avec x, - xj,ii -xil(ii-1) - 3.2.1 Spectres Ck spline avec une distribution de noeuds également espacés En se référant aux lemmes 2. 2.1.1 à 2.2.2.5, #k,I(#), la transformée de Fourier de uk,I(x), peut être donnée par, La figure 7 montre les six Ck ondelettes non équivalentes S 1,12,v,v' (#1, #2). Sur cette figure les six Ck ondelettes S i;i' (81, 82) non équivalentes, (v, v1) e [0, 2] 2. Les autres, non représentées, sont obtenues par des rotations de 90 autour de l'axe vertical. 3.2.2 Spectres Ck spline avec une distribution de n#uds inégalement espacés En se référant aux mêmes lemmes du paragraphe 3. 2.1 et dans l'hypothèse de n#uds du paragraphe 3.1.2 , #k,I(#), transformée de Fourier de uk,I(x), peut être donnée par, si u(x) est périodique de période Xj suivant la direction Xj, alors 6j[j'] = i.2.n.m. Axj,j./Xj où m est l'indice de fréquence, si u (x) non-périodique sur [0, Xj] suivant la direction Xj, alors #j[j'] = 2.n.i.f. Axj,j., où f est la fréquence variable. 4. Applications 4. 1 Dérivées non entières 4.1.1Cas unidimensionnel Soit u(x) une fonction k fois continue et dérivable définie sur un ensemble ouvert unidimensionnel Q, et approchée par le développement fonctionnel suivant, Pour des raisons de concision, on utilise pour les paragraphes 4. 1, 4. 2 et 4. 3, la notation générique (5), à la place de la représentation exacte (1) ou (2). On sait qu'une approximation Ck spline peut être effectuée avec une bonne précision arbitrairement choisie, pour un petit nombre fini pour I et k. Sa transformée de Fourier approchée (spectre) est donnée par, La dérivée non entière associée de degré a, où a # R+ (R+ étant l'ensemble des réels positifs), de cette fonction est donnée par 4.1.2 Cas multidimensionnel Soit u(x) une fonction k fois continue et dérivable définie sur un ensemble ouvert multidimensionnel Q de dimension N, et approchée par le développement fonctionnel suivant, Comme au paragraphe 4. 1.1, pour des raisons de concision, on utilise pour les paragraphes 4. 1, 4. 2 et 4.3, la notation générique (6), à la place de la représentation exacte (3) ou (4). On sait que cette approximation peut être faite avec une bonne précision arbitrairement choisie, pour un petit nombre fini pour I et k. Sa transformée de Fourier approchée (spectre) est donnée par, La dérivée non entière associée de degré ao, [alpha]1, ... , zon, où weor a li aN N E g+ N+1 de cette fonction est donnée par où est le produit scalaire de deux vecteurs, 8 et x. 4. 2 Intégrale non entière 4.2.1 Cas unidimensionnel Soit u(x) une fonction k fois continue et dérivable définie sur un ensemble ouvert unidimensionnel Q, et approchée par le développement fonctionnel en Ck spline suivant, On sait que cette approximation peut être effectuée avec une bonne précision arbitrairement choisie, pour un petit nombre fini pour I et k. Sa transformée de Fourier approchée (spectre) est donnée par, L'intégrale non entière associée de degré a, où a # R+, de cette fonction est donnée par 4. 2.2 Cas multidimensionnel Soit u(x) une fonction k fois continue et dérivable définie sur un ensemble ouvert multidimensionnel Q de dimension N+l et approchée par le développement fonctionnel en Ck spline suivant, On sait que cette approximation peut être effectuée avec une bonne précision arbitrairement choisie, pour un petit nombre fini pour I et k. Sa transformée de Fourier approchée (spectre) est donnée par, Les intégrales non entières associées de degré [alpha]0, [alpha]1, ... , as, où weor ai, aN e [R+] N+1, des Uk,I sont données par où est le produit scalaire de deux vecteurs, 9 et x. 4. 3 Relations d'auto-consistance 4.3.1 Avec condition aux limites nulles 4.3.1.1 Espace unidimensionnel Soit u(x) une fonction k fois continue et dérivable définie sur un ensemble ouvert unidimensionnel Q, et approchée par le développement fonctionnel en Ck spline suivant, On sait que cette approximation peut être effectuée avec une bonne précision arbitrairement choisie, pour un petit nombre fini pour I et k. Sa transformée de Fourier approchée (spectre) est donnée par, Alors, la relation d'auto-consistance suivante entre l'espace direct et l'espace dual apparaît naturellement comme étant, on obtient l'équation d'auto-consistance suivante, nlo'o Mo,i mo,l-1 moj 1 0 ... 0 0 u0 0 Mi,o 1,1 ... Mi,i-i mi,/ 0 1 ... 0 0 uô 2,0 m2,I ... M2,I-1 M2,r 0 p -i,o -1,1, -ij-i m7,/-i p fj ... 0 p Ui k-2 #Mi-i,i, ml l'1 Mi,i-i U 0 1 0 ui k-1 ml o ,1 ml,l-i ml,i 0 0 0 1 uÎ ~0. composée de deux matrices et d'un vecteur respectivement de dimension (I+1)(k+1)x(I+1)(k+1) en ce qui concerne les deux matrices, et de dimension (1+1) (k+1) en ce qui concerne le vecteur qui donne les coordonnées de Uk,I (x) dans l'espace fonctionnel généré par les fonctions Ck spline. 4.3.1.2 Cas multidimensionnel Soit u(x) une fonction k fois continue et dérivable définie sur un ensemble ouvert multidimensionnel Q de dimension N, et approchée par le développement fonctionnel en Ck spline suivant, On sait que cette approximation peut être effectuée avec une bonne précision arbitrairement choisie, pour un petit nombre fini pour I et k. Sa transformée de Fourier approchée (spectres) est donnée par, Alors, la relation d'auto-consistance suivante entre l'espace direct et l'espace dual apparaît naturellement comme est le produit scalaire des deux vecteurs, # et xi, où xi et le vecteur position de la discrétisation au point 0,io X1 , # # # x N-I>i,-, ,x N,'N - En introduisant, ?iTv-i(k-1-1)-7(ki-1)(N-I-1),v-fi'(k-f-1)-I-9'(N-f-!)(k-I-1) = on obtient l'équation d'auto-consistance suivante, rr mS>0-- Uo,o,0 mo,o rnol %,(R-1) mo'R ("1 0]] i,a,...,o ml,o Mi,i M"(R-1) mi,R 0 1 0 0 Uo:o,...,o 2,0 t 2,i # # - *n2,(jî~i) rri2,R o,o,...,0 0 0 0 0 uk>h k~2 (R-!),0 9xct-1),1 M(R-1),(R-1) m{B~1)jR) 0 ... 0 m!2.'.'/i 0 ras,,) MRl MR,(R-1) rnRtR j 0 0 0 1 "i'2.':/" 11,12, .... composée de deux matrices et d'un vecteur respectivement de dimension (I+1)(k+1)x(I+1)(k+1)(N+1) en ce qui concerne les deux matrices et de dimension (I+1)(K+1)(N+1) en ce qui concerne le vecteur qui donne les coordonnées de uk,I(x) dans l'espace fonctionnel généré par les fonctions Ckspline et ou R = (I+1)(K+1)(N+1). 4. 3.2 Avec conditions aux limites finies quelconques 4.3.2.1 Espace unidimensionnel Soit u(x) une fonction k fois continue et dérivable définie sur un ensemble ouvert unidimensionnel Q, et approchée par le développement fonctionnel en Ck spline suivant, On sait que cette approximation peut être effectuée avec une bonne précision arbitrairement choisie, pour un petit nombre fini pour I et k. Sa transformée de Fourier approchée (spectre) est donnée par, Alors, la relation d'auto-consistance suivante entre l'espace direct et l'espace dual apparaît naturellement comme étant, #[] est le symbole de Kronecker qui est défini dans Z et qui vaut 1 quand l'intérieur du crochet est nul et 0 dans les autres cas. En introduisant, U étant la fonction de Heavyside, on obtient l'équation d'auto-consistance suivante, ''0,0 nlo,l ... 0,7-1 %,r - 1 0 ... 0 0 uô 4 mi,o mxti ra,l,r-i m1;j o 0 0 r 4 fn.2,0 2,1 M2,I-1 m2,f 0 0 0 uo ""-## ""-'### mr I'r~1 mr'r-i D 0 .~. 1 D uk- MIA Mi,i mr,r~1 mij 0 0 0 1 uj -0~ composée de deux matrices et d'un vecteur respectivement de dimension (1+1) (k+l)x(I+l) (k+1) en ce qui concerne les deux matrices, et de dimension (1+1) (k+1) en ce qui concerne le vecteur qui donne les coordonnées de Uk,i(x) dans l'espace fonctionnel généré par les fonctions Ckspline. 4. 3.2.2 Cas multidimensionnel Soit u(x) une fonction k fois continue et dérivable définie sur un ensemble ouvert multidimensionnel Q de dimension N, et approchée par le développement fonctionnel en Ck spline suivant, On sait que cette approximation peut être effectuée avec une bonne précision arbitrairement choisie, pour un petit nombre fini pour I et k. Sa transformée de Fourier approchée (spectres) est donnée par, Alors, la relation d'auto-consistance suivante entre l'espace direct et l'espace dual apparaît naturellement comme étant, où, dans cette formule #, xi et xi, est le produit scalaire des deux vecteurs, # et xi, où xi et le vecteur position de la discrétisation au point x O,i, X1 , ... , XN~I iN~1 , XN,i, - En introduisant, ??Tv+i(k-1)-F7tk-I)(N+1),vf-i-i(k-f-1)h9'{N+1){k-i-1) c on obtient l'équation d'auto-consistance suivante, rr S'0''0 Mo,,a rr,i.p, mo>(R-;) rno,R 1410, 0,0 0,1 nlO,(R-1) !HO,H ... 0 il 1,0 Ml,l ... Ml,(R-1) Ml,R 0 1 0 0 uo,o ...,o m2,0 m2,I --- %,(R-1) M2,R 0 0 0 u0,0,...,0 0 0 0 0 0 Ukr'k',-'k~r2 0 m(R~i)j0 9Tt(R-1),1 9?i(jt-2).(R-I) M(R-1),R) 0 Q 1 u 0 mR,O 7rig,1 MR,(R-1) mR,R .0 0 ... 0 Ijj -U ll,,2, .... Luh,i3 In j composée de deux matrices et d'un vecteur respectivement de dimension (I+1)(k+1)x(I+1)(k+1)(N+1) en ce qui concerne les deux matrices et de dimension (I+1)(K+1)(N+1) en ce qui concerne le vecteur qui donne les coordonnées de uk,I(x) dans l'espace fonctionnel généré par les fonctions Ck spline et ou R = (I+1) (k+1) (N+1) . 4.4 Spectres Ck spline et fonctions non linéaires 4.4.1 Espace unidimensionnel 4.4.1.1 Hypothèse des noeuds également espacés Soit u(x) = F(q(x)), où F (q(x)) est une fonction de q (x) k fois dérivable et continue, q (x) les mêmes propriétés que F (q(x)); les hypothèses du paragraphe 2.1.1, uk,I(x) peut s'écrire: 4.4.1.2 Hypothèse des n#uds inégalement espacés Soit u(x) = F(q(x)), où F (q(x)) une fonction de q(x) k fois dérivable et continue, q (x) les mêmes propriétés que F (q(x)); les hypothèses du paragraphe 2.1.2, uk,I(x) peut s'écrire: 4. 4.2 Cas multidimensionnel 4.4.2.1 Hypothèse des n#uds également espacés Dans le cas de coordonnées orthogonales une fonction u(x) = F(q(x)), où F(q(x)) est une fonction des N+l variables q(x) k fois continue et dérivable, les q(x) étant aussi des fonctions k fois continues et dérivables du vecteur x de dimension N+1. Avec les hypothèses des paragraphes 2.1.2, uk,I(x) peut s'écrire: On rappelle que la figure 6 représente les six fonctions C2 spline bidimensionnelles non équivalentes. sv (x), PR;ô (x) et P2 (x) sont définis comme dans la section 2. 1.1 et comme sur la figure 1. 4. 4.2.2 Hypothèse des n#uds inégalement espacés Dans une distribution arbitraire de noeuds de dimension N+1, c'est à dire dans l'hypothèse d'une distribution de n#uds inégalement espacés selon chacune des dimensions orthogonales de l'ensemble ouvert de N+l dimensions #, une fonction de dimension N+l u(x) conduit à l'approximation suivante uk,I, Où PR,(ij-1)k,vj(xj) et PL,jJk,vj(xj) ont le même support [XJ' , (i J -1),XJ' 'J i ] et donc le même Ax , dans la direction de xi, . avec #xj,ij # x.. - x ,(ij J,1j j,tj j, (1j-1) 4.4.3.1 Spectres Ck spline avec une distribution de n#uds également espacés En se référant aux lemmes 2. 2.1.1 à 2.2.2. 5, #k,I (#), transformée de Fourier de uk,I(x) peut être donnée par: @ F, q et x sont définis comme au paragraphe 4.4.2.1 4. 4.3.2 Spectres Ck spline avec une distribution de n#uds inégalement espacés En se référant aux mêmes lemmes du paragraphe 4.4.3.1 et avec l'hypothèse de n#uds du paragraphe 3.1.2, #k,I(#), transformée de Fourier de Uk,i(x) = F(q(x)) peut être donnée par: si u(x) est périodique de période Xj suivant la direction xj, alors 6j[j'] = i.2.n.m. 6.Xj, j 1 /Xj où m est l'indice de fréquence, si u (x) non-périodique sur [0, Xj] suivant la direction Xj, alors 6j[j'] = 2.n.i.f. Axj,j. où f est la fréquence variable. F, q et x sont définis comme au paragraphe 4.4.2.1. 5. Conclusion On a présenté les expressions algébriques et les propriétés des spectres des fonctions Ck spline ainsi que leurs propriétés géométriques en une dimension et en plusieurs dimensions. On a montré que ces fonctions Ck spline ont une très bonne capacité (précision) pour approcher toutes les fonctions k fois continues et dérivables par morceaux, comme un développement fonctionnel des dérivées (totales ou partielles) jusqu'à k de la fonction considérée en chaque point de discrétisation. Les coefficients de ces développements fonctionnels sont les dérivées (totales ou partielles) successives jusqu'à k de la fonction considérée. Cette précision et ces coefficients sont les mêmes dans l'espace direct et dans l'espace dual (transformation de Fourier). Ces dernières propriétés permettent de nombreuses approches algorithmiques nouvelles, grâce à la capacité d'inclure comme des relations algébriques exactes, dans les espaces fonctionnels (direct ou dual), des fonctions Ck spline, des conditions intégrodifférentielles du domaine de définition de dimension N+l de la fonction considérée, comme dans leurs sous-espaces (par exemple las conditions aux limites), afin de réduire le nombre de variables inconnues, rendre robuste et stabiliser la solution du problème considéré. La dualité entre l'espace direct et l'espace de Fourier permet aussi de créer de nouvelles relations d'auto- consistance qui peuvent être utiles pour le traitement, la modélisation et la simulation de signaux, par exemple. On a montré avec la figure 5 que pour k=5 et 1=10 (I est le nombre de points de discrétisation) qu'on approche le spectre du Sinus dans un domaine fini avec une précision d' environ 10-30. De même, ces spectres de fonctions Ck spline (Ck ondelettes) peuvent être utilisés pour définir avec une bonne précision arbitrairement choisie et avec un petit nombre fini de variables, par exemple, des dérivées ou des intégrales non entières, des relations d'auto-consistance aussi bien dans l'espace direct que dans l'espace dual, ce qui peut être utile dans le traitement de signaux, la commande automatique... Dans le traitement de signaux en particulier, le fait que les coefficients du développement fonctionnel par Ck ondelettes soient les dérivées successives (totales ou partielles) jusqu'à k en chaque point de discrétisation dans l'espace direct de la fonction duale, permet une nouvelle mesure de l'entropie d'un signal ou d'un bruit, plus généralement, les spectres d'un signal donné conduisent à la connaissance de leurs "dérivées", et par effet d'échelle des Ck ondelettes conduit à la mesure (totale ou partielle) de "dérivées" de fonctions fractales. Nota : # Dans le cas où le signal est défini dans un espace multidimensionnel, selon une réalisation on détermine à chaque point d'échantillonnage un premier ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents, et on détermine un second ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents entre elles et d'ordres différents de celles du premier ensemble, le premier et le second ensembles comportant toutes les dérivées jusqu'à un ordre K donné, le second ensemble étant déterminé à partir des dérivées du premier ensemble, cette détermination du second ensemble étant effectuée à partir du premier ensemble grâce à la formule suivante : 3nolo Mo,i nlO,(R-1) ma,R 1 0 u;ô;:::; '0' 1,0 1,1 ml,{R-1) MI,R ... 0 0 "0 ;0 Ti2,o 'i'2,i ### 'n.2,{R-1) M2,R ... 0 0 0 m(R~i),o xr.{R~i),1 vn(~1),(R-1) mfR-I)>R) 0 0 0 0 ,.fc,fc,..,fc-2 M(R-I)IO M(R-1),l M(R-1),(R-1) M(R-1),R) 0 0 1 0 u L Wfi.o mjt,i m.a,(a-i) 'm.R,R 0 i"'" 7nR,O MRl MR,(R-1) MR,R ... 0 1, -U formule dans laquelle : les deux matrices sont de dimension (1+1) (K+1) x (1+1) (K+1) (N+1), et R = (1+1) (K+1) (N+1) et les coefficients mp,q sont définis par l'équation suivante : équation dans laquelle #i'k,v' est la transformée de Fourier de la fonction Ck spline Si'k,v', v' représentant la dérivée d'ordre v' au point d'échantillonnage. # Dans le cas où le signal est défini dans un espace multidimensionnel avec conditions aux limites finies, selon une réalisation on détermine à chaque point d'échantillonnage, un premier ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents, et on détermine un second ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents entre elles et d'ordres différents de celles du premier ensemble, le premier et le second ensembles comportant toutes les dérivées jusqu'à un ordre K donné, le second ensemble étant déterminé à partir des dérivées du premier ensemble, cette détermination du second ensemble étant effectuée à partir du premier ensemble grâce à la formule suivante : noe Mta,i ... ml),(R-1) nlG,R 0 ... 0 0~|] o,o,...,o wii.o TOi,i rriijî-j) mi,jî "oloilo TTtI.O Wl,l 1,(J!-J.) mi,R "0 wi2ro M2,1 wi2,(~i) M2,R o,o,...,0 ,k,k,'..,k-2 M(R-1),D M(R-1),l (N-l).(-l) (R-I),R) 00. 1 x,'k2.,k TKR,o # ,i " ,(R-i) mp 0 ... 0 U{\::Itl .0. Y r2,...,N formule dans laquelle : #[ ] étant le symbole de Kronecker et le produit scalaire des vecteurs # et Xi, les deux matrices sont de dimension (1+1) (K+1) x (1+1) (K+1) (N+1), et R = (1+1) (K+1) (N+1) et les coefficients mp,q sont définis par l'équation suivante : équation dans laquelle #i'k,v est la transformée de Fourier de la fonction Ck spline Si'k,v', v' représentant la dérivée d'ordre v' au point d'échantillonnage, U étant la fonction de Heaviside. 1. Procédé d'identification d'un signal et/ou du spectre d'un signal caractérisé en ce que le signal étant un signal de télécommunication ou d'imagerie, on échantillonne le signal et à chaque point d'échantillonnage, on détermine ses dérivées jusqu'à un ordre K (entier) déterminé, le signal étant identifié par ses fonctions Ck spline et/ou par ses fonctions Ck ondelettes qui sont les transformées de Fourier des fonctions Ck spline. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que les dérivées à chaque point d'échantillonnage sont déterminées par la méthode des moindres carrés. 3. Procédé selon la revendication 1 ou 2, caractérisé en ce que le signal à identifier est un signal superposé à un autre signal dans la bande de fréquences de cet autre signal. 4. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que le signal superposé est un bruit. 5. Procédé selon la revendication 4, caractérisé en ce qu'on identifie le bruit lors de périodes de silence du signal auquel le bruit est superposé. 6. Procédé d'élimination du bruit superposé à un signal, caractérisé en ce qu'on identifie ce bruit en faisant appel au procédé selon la revendication 4 ou 5 et en ce qu'on déduit le bruit ainsi identifié du signal. 7. Procédé de détermination de dérivées successives d'un signal, caractérisé en ce que, préalablement à cette détermination, on élimine le bruit du signal en faisant appel au procédé selon la revendication 6, puis on identifie le signal en faisant appel au procédé selon la revendication 1 ou 2. 8. Procédé selon l'une des revendications 1 à 7, caractérisé en ce que le signal étant défini dans un espace monodimensionnel, on détermine à chaque point d'échantillonnage, un premier ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents, et on détermine un second ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents entre elles et d'ordres différents de celles du premier ensemble, le premier et le second ensembles comportant toutes les dérivées jusqu'à un ordre K donné, le second ensemble étant déterminé à partir des dérivées du premier ensemble, cette détermination du second ensemble étant effectuée à partir du premier ensemble grâce à la formule suivante : ''mo,o mo,l ... Mo,i-i 0,7 ' 1 0 0 0 uô 0 Mi,o 1,1 Mi,I-i Mi,i 0 uô wi2,o 2,1 2,7-1 tr2,j fl fl 0 wo 0 0 0 ft-2 0 mr-i'o -1,1, Mi-i,I-i 7-1 p Ll ... 1 0 jf"1 ..,0 m, my~1 Mj,j 0 0 1 .- ui .0. formule dans laquelle u1j est la dérivée d'ordre j au ième point d'échantillonnage et les coefficients mp,q sont définis par l'équation suivante : équation dans laquelle #i'k,v est la transformée de Fourier de la fonction Ck spline Si'k,v', v' représentant la dérivée d'ordre v' au point d'échantillonnage. 9. Procédé selon l'une des revendications 1 à 7, caractérisé en ce que le signal étant défini dans un espace multidimensionnel, on détermine à chaque point d'échantillonnage un premier ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents, et on détermine un second ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents entre elles et d'ordres différents de celles du premier ensemble, le premier et le second ensembles comportant toutes les dérivées jusqu'à un ordre K donné, le second ensemble étant déterminé à partir des dérivées du premier ensemble, cette détermination du second ensemble étant effectuée à partir du premier ensemble grâce à la formule suivante : -malo Mo,i %,(R-1) b,k n o ... 0 a- 1,0 mu ... Ml,(R-1) MI,R 0 1 0 0 UG'O' ....0 m.2to n2,i - - - m2,(R~i) 2,R 0 0 ... 0 0 o,o,...,0 0 a*-V"*72 0 M(-l),0 w (jt-i),i w tK-i),(ii-i) " ( -!), ) k,k,...,k-1 0 moo moi 'mR(R-1) ro8,s 0 0 ... 0 1 k,k,,k-1 LO. formule dans laquelle : les deux matrices sont de dimension (1+1) (K+1) x (1+1) (K+1) (N+1), et R = (1+1) (K+1) (N+1) et les coefficients mp, q sont définis par l'équation suivante : équation dans laquelle #i'k,v' est la transformée de Fourier de la fonction Ck spline Si'k,v', v' représentant la dérivée d'ordre v' au point d'échantillonnage. 10. Procédé selon l'une des revendications 1 à 7, caractérisé en ce que le signal étant défini dans un espace monodimensionnel, avec conditions aux limites finies, on détermine à chaque point d'échantillonnage, un premier ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents, et on détermine un second ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents entre elles et d'ordres différents de celles du premier ensemble, le premier et le second ensembles comportant toutes les dérivées jusqu'à un ordre K donné, le second ensemble étant déterminé à partir des dérivées du premier ensemble, cette détermination du second ensemble étant effectuée à partir du premier ensemble grâce à la formule suivante : formule dans laquelle : # étant le symbole de Kronecker, et les coefficients mp,q sont définis par : équation dans laquelle #i'k,v est la transformée de Fourier de la fonction Ck spline Si'k,v', v' représentant la dérivée d'ordre v' au point d'échantillonnage et U est la fonction de Heaviside. 11. Procédé selon l'une des revendications 1 à 7, caractérisé en ce que le signal étant défini dans un espace multidimensionnel, avec conditions aux limites finies, on détermine à chaque point d'échantillonnage, un premier ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents, et on détermine un second ensemble de dérivées, toutes d'ordres différents entre elles et d'ordres différents de celles du premier ensemble, le premier et le second ensembles comportant toutes les dérivées jusqu'à un ordre K donné, le second ensemble étant déterminé à partir des dérivées du premier ensemble, cette détermination du second ensemble étant effectuée à partir du premier ensemble grâce à la formule suivante : rr -, 0,0,.-.,0 MOID ma,l #-# mo,(R-i) mo,R 1 0 ... 0 0' Pl '0' Mi,o M.i.1 ... ml,{R-1) rrl,R 0 1 ... 0 0 uo,o ...,0 m2,o M2,1 .. M2,(R-1) 2,R 0 0 ... 0 0 0,0,...,0 0 0 0 ... 0 0 uk,k,.,.,k-2 0 M(R-1),t) M(R-1),l va{R-t),(R-1) M(R-1),R) 0 0 ... 1 0 kk& 2., 0 mR,o mi inR,(R-1) mR,R 0 0 ... 0 I uk,k"..,k l-,12,...,IN formule dans laquelle : #[ ] étant le symbole de Kronecker et le produit scalaire des vecteurs # et Xi, les deux matrices sont de dimension (1+1) (K+1) x (I+1) (K+1) (N+1), et R = (1+1) (K+1) (N+1) et les coefficients mp,q sont définis par l'équation suivante : mKk+ï)+Vti.{k+1)+u, = / *+OO +oc ... / f+OO n0 ()'() ~, e o i... + mi(k+I)+v,i'(k+1)+v' = J+OO f. .1 / nf,=O (Wj')VjSVj , (Oj) é&..,!j) dOo dOI... dON+ J # oo J # oo /# oo /-+00 ;'+00 /-+OC nN=o 8')k vu) ee(z bzz) (Si+d{i-j)u{v-1-v #-#@# #-#@# ### #-#@# #J'=0N (i#j')(k-1-v'j)ei#J'(xi-xi') d#j (#[ij']+#[ij'-IJ])U[vj-1-vj'] équation dans laquelle #i'k,v est la transformée de Fourier de la fonction Ck spline Si'k,v', v représentant la dérivée d'ordre v' au point d'échantillonnage, U étant la fonction de Heaviside. 12. Procédé selon l'une des revendications 8 à 11, caractérisé en ce que le premier ensemble comporte les premières dérivées jusqu'à un ordre donné et le second ensemble est constitué des dérivées d'ordre supérieur jusqu'à un ordre K déterminé.