FR 2821946 A1 20020913 FR 0103194 A 20010307 La présente invention a pour objet une méthode pour déformer graduellement ZD une répartition initiale d'objets de nature géologique, formée par simulation d'un 1 modèle stochastique de type objet, d'après des mesures ou observations, pour l'adapter au mieux à des contraintes physiques imposées, de type hydrodynamique par exemple. La méthode selon l'invention trouve des applications dans la modélisation de zones souterraines où il s'agit de générer des représentations montrant comment est distribuée une certaine grandeur physique dans une zone du sous-sol (la perméabilité par exemple), qui soient compatibles au mieux avec des données observées ou mesurées : données géologiques, enregistrements sismiques, mesures obtenues dans des puits notamment mesures des variations au cours du temps de la pression et du débit de fluides issus d'un gisement, etc. ETAT DE LA TECHNIQUE Par le brevet FR 2 780 798 du demandeur, on connaît une méthode pour déformer graduellement un modèle stochastique (de type gaussien ou apparenté) d'un milieu hétérogène tel qu'une zone souterraine, contraint par un ensemble de paramètres relatifs à la structure du milieu. Cette méthode comporte le tirage d'un nombre p de réalisations (ou représentations) indépendantes du modèle ou d'une 1 partie au moins du modèle choisi du milieu, parmi l'ensemble de toutes les réalisations possibles et une ou plusieurs étapes itératives de déformation graduelle du modèle en effectuant une ou plusieurs combinaisons linéaires successives de p réalisations initiales indépendantes entre elles puis des réalisations composites successivement obtenues éventuellement avec de nouveaux tirages, etc., les coefficients de cette combinaison étant tels que la somme de leurs carrés est égale à 1. Par le brevet FR 2 795 841 du demandeur, on connaît une autre méthode pour déformer graduellement les représentations ou réalisations, générées par simulation séquentielle, d'un modèle stochastique non nécessairement gaussien d'une grandeur physique z dans un milieu hétérogène maillé, afin de les ajuster à un ensemble de données relatives à la structure ou l'état du milieu qui sont collectées par des mesures et observations préalables. La méthode comporte essentiellement l'application d'un algorithme de déformation graduelle d'un modèle stochastique à un vecteur gaussien à N variables mutuellement indépendantes, qui est relié à un vecteur uniforme à N variables uniformes mutuellement indépendantes par la fonction de répartition gaussienne de façon à définir des réalisations du vecteur uniforme, et l'utilisation de ces réalisations pour générer des représentations de cette grandeur physique z, que l'on cale par rapport aux données. Les méthodes précédentes sont applicables aux modèles maillés (modèles de type pixel) qui conviennent pour modéliser des champs de grandeurs continues et, de ce fait, sont mal adaptés à la modélisation de zones traversées par des réseaux de fractures ou des systèmes de chenaux, par exemple. Les modèles basés sur des objets sont des arrangements dans l'espace, d'une population d'objets définis géométriquement. A la base, un modèle de type objet est un modèle booléen que l'on peut définir comme une réunion d'objets identiques par nature, distribués au hasard dans l'espace. Les modèles booléens (de type objet) présentent un grand intérêt pour la description géométrique des milieux hétérogènes, i tels que les-systèmes de dépôt méandriformes, les réseaux de fractures, les milieux poreux à l'échelle granulométrique, les milieux vacuolaires, etc. Les objets géologiques sont définis par leurs formes et leurs tailles. Leurs emplacements dans le champ sont définis en tenant compte de leurs interactions : attirance-répulsion, tendance au regroupement (clustering), etc. Contrairement aux modèles de type pixel, les modèles basés sur des objets peuvent fournir par exemple des représentations géologiques réalistes d'un réservoir souterrain à un stade précoce où les données obtenues par des mesures in situ sont encore rares. L'état de l'art dans le domaine des modèles de type objet, est décrit notamment dans les publications suivantes : - Matheron, G., 1967, "Elément pour une théorie des milieux poreux", Masson, Paris ; - Matheron, G., 1975, "Random sets and integral geometry", Wiley, New York ; - Serra, J., 1982, "Image analysis and mathematical geology", Vol. l, Academie Press, London ; - Stoyan, D. S., et al., 1995, "Stochastic geometry and its applications", 2nd Edition, Wiley, Chichester ; Lantuéjoul, C., 1997, Iterativ algorithms for conditional simulations, in Baafi et others, eds. ; Geostatistics Wollongong 96, Vol. 1, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, The Netherlands, p. 27-40. La position des objets dans un modèle de type objet est distribuée suivant un processus ponctuel de Poisson bien connu des spécialistes. La forme et la taille des objets sont indépendantes de leurs positions. Ce modèle peut être généralisé par une combinaison d'objets de nature différente ou/et en utilisant un processus ponctuel de Poisson de densité non-stationnaire. Bien que les modèles booléens aient été largement étudiés dans la littérature, on ne dispose pas de méthode cohérente et efficace pour contraindre ces modèles aux données physiques, notamment aux données hydrodynamiques, ce qui est pourtant un enjeu majeur pour leur application en ingénierie de réservoir. Les méthodes de déformation graduelle des modèles stochastiques de réservoir de type pixel telles que décrites par exemple dans les deux brevets précités, ne sont pas directement utilisables pour les modèles booléens. Contraindre les modèles booléens aux données hydrodynamiques par exemple requiert le développement des algorithmes cohérents pour la déformation et le déplacement des objets. LA METHODE SELON L'INVENTION La méthode selon l'invention permet de généraliser la technique de déformation graduelle décrite dans les deux brevets précités, aux modèles booléens stationnaires ou non-stationnaires et ceci avec ou sans contrainte géométrique aux puits. La méthode s'avère particulièrement utile notamment pour les ingénieurs de réservoir soucieux d'ajuster de façon cohérente et efficace les modèles de réservoir de type objet. La méthode selon l'invention permet de déformer graduellement une réalisation initiale définissant la répartition d'un ensemble d'objets dans une zone d'un milieu hétérogène tel qu'une structure géologique, formée par simulation d'un modèle stochastique de type objet, les objets étant répartis dans la zone selon un processus ponctuel de Poisson sous forme de points figuratifs avec une densité de points A (x) qui varie en fonction de leur position (x) dans la zone. Elle comporte essentiellement les deux étapes suivantes : - on génère une réalisation d'un vecteur aléatoire uniforme selon lequel la position de chaque objet est définie tout en respectant la densité A (x) ; et - on modifie graduellement le vecteur aléatoire uniforme selon une procédure de déformation graduelle, pour obtenir la migration graduelle de chaque objet et par conséquent le changement graduel de la répartition des objets dans la zone, jusqu'à obtenir une réalisation finale ajustée au mieux à des paramètres relatifs à la structure du milieu tels que des paramètres hydrodynamiques. Il est possible de limiter la migration des points figuratifs d'objets dans un sous-domaine de la zone (un puits traversant la zone par exemple) en imposant une densité de points nulle dans la partie complémentaire du sous-domaine. Suivant un mode de mise en oeuvre, on passe graduellement d'une réalisation contenant un premier ensemble de NI points à une réalisation contenant un deuxième ensemble de N2 points en construisant une chaîne N (t) de nombres de Poisson entre les deux nombres NI et N2 en utilisant la procédure de déformation graduelle. Il est possible aussi de modifier graduellement la taille, la forme et l'orientation d'un objet au cours de sa migration en utilisant la procédure de déformation graduelle. En cas où elle est entachée d'incertitude, il est possible aussi d'ajuster graduellement la densité de points A (x) en utilisant la procédure de déformation graduelle. PRESENTATION SOMMAIRE DES FIGURES D'autres caractéristiques et avantages de la méthode selon l'invention, apparaîtront à la lecture de la description détaillée ci-après, en se référant aux dessins annexés où : - la Fig. lA, 1B montrent respectivement une fonction de densité d'un processus ponctuel de Poisson non-stationnaire et une réalisation du processus ponctuel de Poisson non-stationnaire générée par la méthode séquentielle ; les Fig. 2A à 2D montrent différents exemples de trajectoires de migration graduelle entre deux points d'un processus ponctuel de Poisson non-stationnaire ; les Fig. 3A à 3H montrent différentes étapes successives d'une réalisation du processus ponctuel de Poisson non-stationnaire lors de la migration graduelle des points ; la Fig. 4 montre les domaines possibles de migration d'un disque dans le cas de trois points conditionnant ; - la Fig. 5 montre à titre d'exemple, une chaîne complète de réalisations successives d'une simulation booléenne d'objets elliptiques où le paramètre de déformation t varie entre-ir et 7r par pas At =0. 1 in ; et - la Fig. 6 montre à titre d'exemple, une chaîne incomplète de réalisations successives d'une simulation booléenne d'objets elliptiques où le paramètre de déformation t varie entre 0 et 0. 2 7T par pas At =0. 01'in. DESCRIPTION DETAILLEE Généralités Les objets géologiques auxquels la méthode s'applique sont par exemple des fractures à plus ou moins grande échelle, à l'intérieur d'une zone réservoir, ou bien encore des chenaux. La méthode peut s'appliquer également à des structures granulaires ou vacuolaires de taille beaucoup plus réduite. Tous ces objets sont difficiles à modéliser par des modèles de type pixel. Les opérations de migration progressive qui vont être décrites, s'appliquent à un modèle initial où les positions des objets sont représentés par des configurations de points (dites processus ponctuels). La répartition de ces points varie en densité en fonction de leurs positions dans la zone modélisée. Cette répartition est basée sur \ différentes données connues par mesures ou observations : mesures géomécaniques obtenues dans des puits par exemple, données sismiques issues d'opérations sismiques préalables. Partant de ce modèle initial, la méthode va permettre de déformer graduellement la répartition initiale suivant une série de règles, de manière que dans la répartition finale, le modèle soit optimisé pour mieux correspondre à des contraintes que l'on impose sur un ou plusieurs paramètres physiques, telle que par exemple une distribution de valeurs de perméabilité. Les règles de migration sont telles que l'on peut déplacer globalement un grand nombre de points différents du modèle à partir d'un nombre réduit de paramètres de contrôle. En général, on définit une fonction objectif qui mesure la différence entre les paramètres physiques issues du milieu hétérogène réel et ceux simulés sur une réalisation du modèle stochastique. La valeur de la fonction objectif dépend donc des paramètres de contrôle du modèle stochastique. On obtient les valeurs de ces paramètres de contrôle par minimisation de la fonction objectif. Rappel sur le processus ponctuel de Poisson Le processus ponctuel de Poisson est un ensemble aléatoire dénombrable de points répartis dans tout espace : Rn. Cet ensemble de points a les caractéristiques suivantes : Soit D un domaine de Rn. Si le volume de D, noté IDI, est fini, alors le nombre de points tombés dans D, noté N (D), suit une loi de Poisson de paramètre ÂIDI. Soit P [N (D) = - ! VO (1) n ! où A est appelée la densité du processus ponctuel ; elle mesure le nombre moyen de points tombés dans un domaine de volume unitaire de An, Soient Dj, D,..., Dkdes domaines de 9 disjoints deux à deux, alors les nombres de points tombés dans ces domaines N (D, N (D2),..., N (Dk) sont des variables aléatoires mutuellement indépendants. Conditionnellement à N (D) = np, ces np points sont indépendants et uniformément répartis dans D. Dans ce qui suit, nous nous intéressons au processus ponctuel de Poisson dans le domaine borné D. Migration d'un processus ponctuel de Poisson stationnaire Considérons le problème de migration d'une réalisation d'un processus ponctuel de Poisson stationnaire dans D rectangulaire. Afin d'alléger la présentation, on admet que D est un hyper cube unitaire [0, 1r à n dimensions. Soient x1 et x2 deux points indépendants uniformément tirés dans [0, 1f. Nous définissons une trajectoire entre Xl et X2 par ) = G [G'' (jq) cos + G-' (x2) sin t] (2) où G est la fonction de répartition gaussienne centrée et réduite. Selon l'algorithme de déformation graduelle décrit dans le brevet FR 2 780 798 précité, pour tout t, x (t) est un point uniforme dans [0, 1]n. Quand les deux points sont fixés, la trajectoire de la migration graduelle entre eux est entièrement déterminée. Le changement d'emplacement d'un des deux points changera la trajectoire de migration. On peut montrer que la trajectoire définie par l'équation (2), est symétrique par rapport au centre du domaine [0, 1]n, et ceci quel que soit le nombre de dimensions n. Cela suggère que même si les deux points sont isolés dans un coin/côté du domaine, la trajectoire de la migration graduelle entre eux peut toujours atteindre la partie opposée du domaine. Migration d'un processus ponctuel de Poisson non-stationnaire On considère maintenant le processus ponctuel de Poisson dans un domaine D de densité A (x) de forme générale. Le nombre de points dans D est une variable aléatoire de Poisson de moyenne A (D) =j A (x) dx. Ces points sont distribués D indépendamment dans D suivant la fonction de densité de probabilité : f (x) =A /A (D) ED (3) La simulation d'un processus ponctuel de Poisson de densité #(x0 dans D peut se réaliser en deux étapes : générer un nombre n selon la loi de Poisson de moyenne égale à A (D), puis - générer n points dans D indépendamment les uns des autres selon la même densité de probabilité f (x). On peut voir sur l'exemple de la Fig. lA une fonction de densité, et sur celui de la Fig. 1B, une réalisation de processus ponctuel de Poisson de densitéA (x). Si on simule la loi f (x) par l'inversion de sa fonction de répartition, le point x correspond alors à un vecteur uniforme u. On peut donc appliquer l'algorithme de migration graduelle au processus ponctuel de Poisson de densité A (x). Par construction, cette méthode préserve la densité et le nombre de points du processus initial. Les Fig. 2A à 2D montrent quatre exemples de trajectoire de migration. Prenons l'exemple du processus ponctuel de Poisson non-stationnaire dans un domaine en deux dimensions D = [0, 1]2 dont la densité est linéairement croissante dans l'axe X et constante dans l'axe Y. Soit (x, y) le vecteur des coordonnées d'un point dans D de ce processus. Alors (x, y) admet la densité de probabilité bivariable : f (x, =2, (, y) e [0, l]'. (4) La simulation d'un point selon la loi (4) précédente est simple : générer l'abscisse x selon la densité linéaire f (x) = 2x, puis - générer l'ordonnée y uniformément entre 0 et 1. Soient =v. y-v où u et v sont deux nombres indépendants et uniformes entre 0 et 1. Nous pouvons ainsi appliquer l'algorithme de migration graduelle (2) au vecteur uniforme (u, v) afin d'établir une trajectoire de migration du point (x, y) dans D. En pratique, la fonction de densité A (x) est souvent sous forme de grille. A titre d'exemple, on considère le cas d'une grille en 2 dimensions de M x N noeuds. Soient x, et y les coordonnées du noeud (i, j). La loi marginale de x, est alors : N f (x,) =i/ (-) (6) j=l et la loi conditionnelle de y, sachant x, vaut : fx, (Y,) = f (x"y,) ) (7) A partir de ces lois de probabilité monovariables, il est aisé de générer les points du processus de Poisson de densité A (x) sur une grille. Afin d'illustration, nous avons construit une fonction de densité en deux dimensions à partir d'une simulation gaussienne centrée et réduite. Le variogramme est anisotrope et de type gaussien. Les directions principales d'anisotropie sont diagonales par rapport au système des coordonnées. Les facteurs d'échelle dans les directions principales d'anisotropie sont de 0.3 et 0.1 respectivement. La taille du champ est de lxl et il est discrétisé en 1000x1000 pixels. Les nombres gaussiens sont transformés en nombres positifs selon l'expression suivante : A (x) = 400) (8) où Y (x) est la simulation gaussienne. La Fig. 1A montre la fonction de densité ainsi construite. La figure 1B montre une réalisation de processus ponctuel de Poisson admettant la fonction de densité de la Fig 1A. 2000 points sont générés selon la méthode séquentielle. Les Fig. 3A à 3H illustrent l'évolution d'une réalisation du processus de Poisson lors de la migration graduelle des points. On peut constater qu'au cours de la migration, la densité de points est respectée. Migration d'objets de simulations booléennes conditionnelles La méthode ci-dessus peut être immédiatement appliquée à la migration d'un domaine S de forme quelconque dans D. En fait, la migration d'un point dans S peut être réalisée dans D en utilisant la fonction de densité de probabilité tronquée : ! (AM1/), eD, cD. (9) Par l'algorithme d'itération markovienne décrit dans la référence à Lantuéjoul, 1997, on peut simuler un modèle booléen dans un domaine D sachant que deux sous-ensembles C1 et Co de D appartiennent respectivement à l'union des objets et à son complément. Ensuite, les algorithmes de migration dans un domaine quelconque peuvent être utilisés pour la déformation graduelle des simulations booléennes conditionnées par des données géométriques des puits. En effet, à partir d'une simulation booléenne conditionnelle et sans compromettre le conditionnement par C1 et Cm, los objets doivent se déplacer uniquement dans leurs domaines respectifs définis selon les formes des objets et la configuration de C1 et Co. Considérons un objet A d'une réalisation booléenne conditionnelle, qui inclut un sous-ensemble CIA de Cl et exclut C, j. Si lors de la migration de A, il doit toujours inclut CIA mais exclut Cg, le domaine autorisé de migration de l'objet A est : DA = { : Co nAx =0 ; CIA c : Aj (10) La Fig. 4 montre un cas avec trois points conditionnant et les huit domaines ZD possibles de migration d'un disque. Si par exemple le disque doit toujours couvrir les points (a) et (b) mais éviter le point (c), alors son centre peut se déplacer seulement dans le domaine 3. Migration avec apparition et disparition de points Le nombre de points dans D d'un processus ponctuel suit une loi de Poisson de paramètre A (D). Il est donc nécessaire de faire varier le nombre de points dans D au cours de leur migration. Dans cette section, nous présentons d'abord deux méthodes pour construire des chaînes de nombres poissonniens, et ensuite nous verrons comment migrer entre deux ensembles de points dont les cardinaux ne sont pas identiques. Nous cherchons à construire une chaîne de nombres poissoniens entre deux nombres poissoniens NI et N générés indépendamment par l'inversion de la fonction de répartition. Soient UI et U2 deux nombres uniformes (entre 0 et 1) indépendants à partir desquels sont obtenus les nombres N1 et N2 N'= F-ai) = F-' (U2) \ où F-'désigne la fonction de répartition inverse de la loi de Poisson. Selon l'algorithme de déformation graduelle, nous pouvons construire une chaîne de nombres uniformes entre UI et U2 par U(t)=G[G-1(U1)cost+G-1(U2)sin t]. (12) En inversant la fonction de répartition de la loi de Poisson, on obtient une chaîne de nombres poissonniens N (t) = F-)]. (13) Le calcul de la fonction de répartition inverse peut s'effectuer par dichotomie. Néanmoins, si le paramètre de la loi de Poisson est trop grand, cette méthode reste quelque peu coûteux. Pour éviter le calcul de la fonction de répartition inverse de la loi de Poisson, on peut envisager une autre façon de générer les nombres poissoniens. On sait que le nombre de sauts, d'un processus de Poisson de paramètre unité, dans un segment de longueur A, suit précisément une loi de Poisson de paramètre A. Simuler un processus de Poisson est chose simple. En effet, les intervalles entre deux sauts consécutifs du processus sont indépendants et suivent la loi exponentielle de paramètre 1. En déformant graduellement les segments exponentiels, on obtient une chaîne de nombres poissoniens. Il est aisé de construire une chaîne de nombres exponentiels, car le calcul de la fonction de répartition inverse de la loi exponentielle est simple. On rappelle ici que la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre 1 s'écrit F (s) =1-, s > 0 (14) et sa fonction inverse s'écrit : F-' (u) =-ln (l-u), 0 Considérons maintenant la migration d'un ensemble de NI points (ensemble 1) à un ensemble de N2 points (ensemble 2). Comme NI N, la migration de l'ensemble 1 à l'ensemble 2 implique nécessairement l'apparition ou la disparition de certain points. Le nombre de points à apparaître ou à disparaître est déterminé par la chaîne de nombres poissoniens entre NI et N L'algorithme de migration est le suivant : a) Calculer le nombre maximal Nmax de la chaîne N (t). b) Compléter l'ensemble 1 de Nmax - N1 points et l'ensemble 2 de Nmax-N2 points. c) Pour chaque ensemble, classer les points de 1 à Nmax. Tous les points initiaux sont classés au début. d) Calculer la trajectoire de migration du point n de l'ensemble 1 au point n de l'ensemble 2. (n = 1, 2,..., N max) e) A chaque état t de l'ensemble, supprimer les Nmax-N(t) derniers points. REVENDICATIONS 1) Méthode pour déformer graduellement une réalisation initiale formée d'après des mesures ou observations et définissant la répartition d'un ensemble d'objets dans une zone d'un milieu hétérogène tel qu'une structure géologique, générée par simulation d'un modèle stochastique de type objet, les objets étant répartis dans la zone suivant un processus ponctuel de Poisson sous forme de points figuratifs avec une densité de points A (x) qui varie en fonction de leur position (x) dans la zone, caractérisée en ce que : - on génère une réalisation d'un vecteur aléatoire uniforme selon lequel la position de chaque objet est définie tout en respectant la densité A (x) ; et - on modifie graduellement le vecteur aléatoire uniforme selon une procédure de déformation graduelle, pour obtenir la migration graduelle de chaque objet et par conséquent le changement graduel de la répartition des objets dans la zone, jusqu'à obtenir une réalisation finale ajustée au mieux à des paramètres relatifs à la structure du milieu tels que des paramètres hydrodynamiques. 2) Méthode selon la revendication 1, caractérisée en ce qu'on limite la migration des points figuratifs d'objets dans un sous-domaine de la zone en imposant une densité de points nulle dans la partie complémentaire du sous-domaine. 3) Méthode selon la revendication 1 ou 2, caractérisée en ce que l'on passe graduellement d'une réalisation contenant un premier ensemble de NI points à une réalisation contenant un deuxième ensemble de N2 points en construisant une chaîne N (t) de nombres de Poisson entre les deux nombres N, et N2 en utilisant la procédure de déformation graduelle. 4) Méthode selon l'une des revendications 1 à 3, caractérisée en ce que l'on modifie graduellement la taille, la forme et l'orientation d'un objet au cours de sa migration en utilisant la procédure de déformation graduelle. eD 5) Méthode selon l'une des revendications 1 à 4, caractérisée en ce que l'on ajuste graduellement la densité de points A (x) en utilisant la procédure de déformation graduelle.