FR 2816161 A1 20020503 FR 0014222 A 20001031 La présente invention concerne de manière générale une méthode d'obtention d'une fonction de gain d'antenne. Plus particulièrement, la présente invention a trait à une méthode d'obtention de gain d'antenne pour une station de base d'un système de télécommunication mobile. Elle permet d'obtenir une fonction de gain d'antenne, en émission ou en réception, invariante par changement de fréquence. La formation de voies ou la suppression de signaux interférents est bien connue dans le domaine du traitement d'antenne en bande étroite. L'une comme l'autre mettent en oeuvre un réseau d'antennes, généralement linéaire et uniforme (c'est-àdire de pas constant) et un module de pondération des signaux. Plus précisément si l'on souhaite former une voie en réception, les signaux reçus par les différentes antennes sont pondérés par un jeu de coefficients complexes avant d'être sommés. Réciproquement si l'on souhaite former une voie en émission, le signal à émettre est pondéré par un jeu de coefficients complexes et les signaux ainsi pondérés sont émis par les différentes antennes. La Fig. 1 illustre un dispositif connu d'obtention de gain d'antenne en émission et en réception. Le dispositif comprend un réseau d'antennes (100),(10i),...,(10N-i), un module de pondération en émission (11) ainsi qu'un module de pondération en réception (15). Les signaux reçus par les différentes antennes, (x,), i=O...N sont pondérés en (13o),(131)...,(13N-1) par un jeu de coefficients complexes (bu,), i=0, ...,N I avant d'être sommés en (14) pour donner un signal Ra. Réciproquement, un signal à émettre Sdest pondéré en (120),(121)...,(12N~1) par un jeu de coefficients complexes (bd,), i=0,..,N-J, avant d'être émis par les différentes antennes. Si l'on note (xo,x,...,xN-y' et bu=(buo1thi,...J)uN-iy respectivement le vecteur des signaux reçus et celui des coefficients de pondération, on peut écrire : Ru=bux (1) Le gain complexe (ou la fonction de gain complexe de l'antenne) en réception peut s'écrire : -T- N-J G(1,=h, .eve=bwt.exp( jrp,) (2) @=0 où ede représente le vecteur x correspondant à une onde plane arrivant sous un angle d'incidence 9 et =(2/?).i.sin( U)=(2mJf/c) i. sin( 6) (3) est la différence de marche entre antennes consécutives pour un réseau linéaire uniforme de pas d, # et/étant respectivement la longueur d'onde et la fréquence de l'onde plane considérée ; rp=2cR9/..sin( 9-=2cRf9/c.sin( B--) (4) pour un réseau circulaire où 0, est l'angle entre un axe de référence et la normale à l'antenne d'indice i, R le rayon de courbure du réseau, AO est l'écart angulaire entre deux antennes consécutives du réseau. De même le gain complexe (ou la fonction de gain complexe) en émission peut s'écrire : avec les mêmes conventions que celles adoptées ci-dessus et où ed# désigne le vecteur x correspondant à une onde plane émise dans la direction #. Nous appellerons bu et bd les vecteurs de pondération en réception et en émission respectivement. A l'évidence, le gain d'antenne en émission ou en réception dépend de la fréquence du signal considéré. Il est toutefois de nombreuses situations dans lesquelles le gain d'antenne doit rester inchangé quelle que soit la fréquence du signal. Par exemple, dans les systèmes de télécommunication mobile dit FDD (Frequency Division Duplex) où la fréquence utilisée sur la liaison descendante, c'est-à-dire de la station de base vers le terminal mobile diffère de celle utilisée sur la liaison montante. De manière similaire, dans les systèmes radar à sauts de fréquence, il est nécessaire d'assurer l'invariance de la fonction de gain, notamment afin de pointer un faisceau d'émission ou de réception dans une direction donnée ou encore d'éliminer les interférences provenant d'une direction donnée, quelle que soit la fréquence utilisée. De manière plus générale, il est souhaitable de pouvoir obtenir, pour une fréquence de signal donnée, une fonction de gain d'antenne qui soit le plus proche possible, au sens d'une certaine métrique, d'une fonction de gain de consigne. La fonction de gain de consigne peut notamment être une fonction de gain obtenue à une fréquence donnée que l'on cherche à approcher au mieux lors d'une émission ou une réception à une autre fréquence. Le but de l'invention est de proposer une méthode d'obtention d'une fonction de gain permettant, pour une fréquence de signal donnée, d'approcher au mieux une fonction de gain de consigne Un but subsidiaire de l'invention est de proposer une méthode permettant d'approcher au mieux une fonction de gain d'antenne obtenue à une fréquence donnée lorsque le réseau émet ou reçoit à une autre fréquence. A cette fin, l'invention est définie par un méthode d'obtention d'une fonction de gain au moyen d'un réseau d'antennes et d'une pondération des signaux reçus ou à émettre par des vecteurs (b) de N coefficients complexes, dits vecteurs de pondération, N étant le nombre d'antennes du réseau, selon laquelle, une fonction de gain de consigne étant donnée, l'on projette orthogonalement ladite fonction de gain de consigne sur le sous-espace des fonctions de gain généré par lesdits vecteurs de pondération de l'espace des fonctions de gain, muni préalablement d'une norme, et que l'on choisit comme vecteur de pondération optimal un vecteur de pondération générant la fonction de gain de consigne ainsi projetée. Les fonctions de gain sont préférablement représentées par des vecteurs (G), dits vecteurs de gain, de M échantillons complexes pris en M angles distincts, définissant des directions d'échantillonnage et appartenant à la plage angulaire couverte par le réseau, l'espace des fonctions de gain étant alors l'espace vectoriel CM muni de la norme euclidienne et que, pour une fréquence (f) donnée le vecteur de gain de consigne est projeté sur le sous-espace vectoriel (Im/) des vecteurs de gain générés par le réseau opérant à ladite fréquence pour obtenir ledit vecteur de pondération optimal. Avantageusement, M est choisi tel que M>#N. Selon un exemple de réalisation, les angles d'échantillonnage sont répartis uniformément dans la plage angulaire couverte par le réseau. Le vecteur de gain de consigne peut être obtenu par échantillonnage de la fonction de gain de consigne après filtrage anti-aliasing. Les vecteurs de gain ( G ) étant les transformés par une application linéaire (hsf) de CN dans CM des vecteurs de pondération du réseau et Hf étantla matrice, de taille MxN, de ladite application linéaire d'un base de départ de CN dans une base d'arrivée CM., ledit vecteur de pondération optimal, pour une fréquence! donnée, est de préférence obtenu à partir du le vecteur de gain de consigne G comme b=Hf+G où H;=(Hr.H f)-l H7 est la matrice pseudo-inverse de la matrice Hf et où Hf la transposée conjuguée de la matrice Hf. Ladite base de départ étant celle des vecteurs ek , k=0 ,..,N l,tels que e*=(e4>o,e*.i,..,ei,jv iy avec ek.=exp(j.2d i.sinB) et Bk=kTc/N k---(N-1)l2, .,0, (N-1)12 et la base d'arrivée étant la base canonique, la matrice Hf a alors pour composantes . H,=exp{j(N-1)iYpql2).sm 'l2 avec sin( I',/2) xP Si le vecteur de gain de consigne est obtenu en échantillonnant la fonction de gain générée à une première fréquence// d'opération du réseau par un premier vecteur de pondération b1, le vecteur de gain de pondération optimal pour une seconde fréquence 12 est obtenu par h2=H fl.H flb.. La fréquence f1 d'opération du réseau est par exemple la fréquence d'une liaison montante entre un terminal mobile et une station de base d'un système de télécommunication mobile et la fréquence/2 d'opération du réseau est par exemple la fréquence d'une liaison descendante entre ladite station de base et ledit terminal mobile. Les caractéristiques de l'invention mentionnées ci-dessus, ainsi que d'autres, apparaîtront plus clairement à la lecture de la description suivante faite en relation avec les figures jointes, parmi lesquelles : La Fig. 1 représente de manière schématique un dispositif connu d'obtention d'une fonction de gain d'antenne ; La Fig. 2 représente de manière schématique un dispositif d'obtention d'une fonction de gain d'antenne selon un exemple de réalisation de l'invention ; Une première idée générale à la base de l'invention est d'approximer au mieux une fonction de gain de consigne grâce à une combinaison linéaire de fonctions de base. Une seconde idée générale à la base de l'invention est d'échantillonner la fonction de gain de consigne et d'approximer au mieux la série d'échantillons obtenus grâce à une combinaison linéaire de vecteurs de base. Le premier mode de réalisation de l'invention consiste à approximer la fonction de gain de consigne par grâce à une combinaison linéaire de fonctions de base. Soit h l'application linéaire de CN dans l'espace vectoriel F des fonctions complexes définies sur cl2,cl2 (ou r, ) qui associe à tout vecteur b de nombres complexes la fonction h(b) telle que h(b)(&)=C4bû) où G est une fonction de gain complexe en émission ou en réception telle que définie en (2) ou (5) CN étant un espace vectoriel de dimension N sur C, l'image de CN par h est un sousespace vectoriel de F de dimension au plus égale à N que nous noterons Imf pour souligner que l'image dépend de la fréquence f considérée dans l'expression (2) ou (5). Soit G une fonction de gain complexe de consigne, le problème est de trouver le vecteur b de pondération tels que h(b) soit le plus proche de G au sens d'une certaine métrique. On choisit, pour un réseau linéaire uniforme, la métrique #/2 correspondant au produit scalaire sur F m W2:o:: JWi( 8).wz( 8)cos( B)dB et donc à la -jr/2 norme IIwl12 =[ /2 f rv(8zcos8.d8 . Le cas du réseau circulaire peut être traité de manière similaire (la norme choisie ne comporte alors pas le terme cos(#)). L'espace F2 des fonctions de F de norme bornée est lui-même un espace vectoriel normé par la norme ci-dessus. Si G est un élément de F2, l'élément du sous-espace Imfle plus proche de G est alors la projection de G sur ce sous-espace. Si l'on considère Imf0 le sous-espace vectoriel correspondant à la fréquence propre du réseau on peut montrer que les fonctions ek(B), k=0, ...,N-1 définies par : ek(0)=h(pkXO)=G(pk,0)o\i bt est le vecteur de composantes lan=exp(j.2rilll sont orthogonales. Etant en nombre N, elles forment donc une base de Imf0. De manière plus générale, on peut montrer que si deux vecteurs b et b'sont orthogonaux c'est-àdire sont tels que bb'=bb' =0, les fonctions h(b) et h(b') de Imf0 sont orthogonales. En effet : avec r:{ B)=2ifd/c.sinB=1frsinB où 17=f/ffPl ,est le rapport de la fréquence utilisée à la fréquence maximale f0=c/2d que peut résoudre le réseau sans ambiguïté, que l'on appellera fréquence propre du réseau, et où sine. est la fonction sinus cardinal. Pour il-1, les termes sous les signes somme du second membre de l'équation (6) sont nuls si i:;ét , et donc le second membre vaut 0 si les vecteurs b et b' sont orthogonaux. Plaçons nous désormais dans le cas général d'une fréquence . Soit ek(9), k=0,...,N une base orthogonale de Imf Par définition, ek(B)=h(bcXB)=G(bdJ)où fik est un vecteur de CN Considérons désormais une fonction de gain G de F2 Elle peut être projetée sur les vecteurs ek(8). Si l'on note Âk=G.ekalors le vecteur de CN@ t)G=2~jÀjcbk est tel que h(ba) approxime au mieux la fonction G. k=0 Le second mode de réalisation de l'invention consiste à approximer un vecteur d'échantillons de la fonction de gain de consigne par une combinaison linéaire de vecteurs de base. Soit G0(#) la fonction de gain d'antenne obtenue sans pondération pour un réseau linéaire et uniforme, on montre aisément que : Cette fonction présente des zéros pour les valeurs rpk=2kclN , k entier non nul tel que -7 c'est-à-dire dans les directions pour lesquelles sin0k=k.clxfd, lorsque cette expression a un sens. L'écart de phase entre deux zéros consécutifs du diagramme de gain est constant et vaut Otp=2cJN. L'écart angulaire entre deux zéros consécutifs du diagramme varie en Arcsin., fonction dont la dérivée est croissante sur [-1,11 et est donc minimum pour l'écart angulaire entre le premier et le second zéros. Il est donc borné par A0mm=c/Nfd si N est suffisamment grand. On supposera que les fréquences utilisées sont inférieures à fo où fo est la fréquence propre du réseau. On peut en conclure que le spectre de la fonction G0(#) est à support borné par 1/8,=Nl2 . De manière plus générale, soit G(#) la fonction de gain d'antenne obtenue au moyen d'un vecteur de pondération b . G peut s'exprimer comme la transformée de Fourier (TF) (en réception) ou la transformée de Fourier inverse (en émission) de la N-1 distribution de pondération complexe de l'antenne à savoir : b(x)=b.8(x-) avec t=0 +# x,=i.d ; on a : Gu(0)=B(sïn0) avec B(u)= fb(x)exp(-)21CUX/X)dx et de même Gd(B)=8(sinB) avec 8(u)= f b(x)exp(j2nuxl,x . La fonction b(x) étant bornée par N.d, l'écart entre deux zéros de la fonction B ou B' est au moins de #/N.d et donc a fortiori de 2/N Etant donné la croissance de la dérivée de la fonction Arcsin l'écart minimum entre deux zéros de la fonction G est de 2/N. La fonction G a donc un spectre borné par N/2 D'après le théorème d'échantillonnage de Shannon, on en conclut que l'on peut reconstituer la fonction G(#) si on l'échantillonne à une fréquence supérieure à la fréquence de Nyquist soit N. Autrement dit, pour une plage angulaire [- /2r/2J , au minimum A4 - ir 1V échantillons sont nécessaires où M entier On peut prendre K.N échantillons en pratique avec K entier, K#4. Pour un réseau circulaire, on peut montrer que 1/ !::t.Bmm=N et la plage angulaire étant [-Jr,1l-], M (M> 7r.N et M entier) échantillons équirépartis angulairement suffisent également à reconstituer la fonction G(#). Dans le cas général de l'échantillonnage d'une fonction de gain quelconque G(9), il est nécessaire de filtrer préalablement G(B) par un filtre anti-aliasing avant de l'échantillonner. Il suffit alors de prendre M échantillons du diagramme filtré sur la totalité de la plage angulaire pour reconstituer le diagramme filtré. Soit (go, k=0,..,M les échantillons du diagramme complexe, éventuellement filtré par filtrage anti-aliasing si nécessaire, c'est-à-dire gk =G'(8r) où les 8k sont M angles équirépartis sur rl2,rl2ou [-Jr,7f] et où l'on a supposé que G' était la version filtrée du diagramme complexe de consigne. On peut désormais définir une application linéaire, hfs de CN dans CM qui fait correspondre à tout vecteur b le vecteur hI{b)=G=(go,gJ,..,gM-IY où gk=G(b,8x) . L'image de CN par hfs est un sous-espace vectoriel de CM de dimension au plus égal à N que nous noterons Imf. Si l'on choisit une base de CN, par exemple la base canonique et une base de CM on peut exprimer l'application linéaire hfs par une matrice ///de taille MxN qui est au plus de rang N. Soit G un vecteur de gain quelconque correspondant à une fonction de gain échantillonnée. Le problème est de trouver un vecteur b tel que hsf(b) soit le proche de G au sens d'une certaine métrique. Nous prendrons comme norme, la norme euclidienne sur CM, à savoir Irli = :jg11 . S'il existe, le vecteur b cherché, est alors " ' k=O tel que /(&)=(7où G p est la projection orthogonale du vecteur G sur Imf. Si la matrice ///est de rang N, le vecteur b cherché existe et peut s'écrire : b=Hf+.G (8) où H+ =(H*7.Hf)-l.H*T est la matrice pseudo-inverse de la matrice Ht avec//}7 transposée conjuguée de la matrice Hf Dans le cas discret comme dans le cas continu, la fonction de gain de consigne (échantillonnée dans le cas discret) est projetée sur le sous-espace engendré par les fonctions (cas continu) ou les vecteurs (cas discret) associé (e)s vecteurs de pondération du réseau Afin d'exprimer la matrice Hf , il faut convenir d'une base de l'espace de départ et d'une base de l'espace d'arrivée Nous pouvons choisir comme base de CM la base canonique et comme base de CN une base adaptée à la description des ondes planes de fréquence f. Considérons les vecteurs distinctsek, k=0 ,..,N I, tels que eAex,o,ek,,..,ew-y avec e,=exp(j.2d.isin9}=exp(jr r.i.sin9k) avec r=f/fo et où les 9k appartiennent à l'intervalle cl2,cl2 . Les vecteursek sont les vecteurs de pondération du réseau permettant de former des faisceaux dans les directions #k. Les vecteurs ek forment une base si le déterminant des coordonnées des ek dans la base canonique de CN est non nul. Ce déterminant est un déterminant de Vandermonde qui vaut (exp(jrpp)--exp(jrp9))avec gx=z;7sina. Ce déterminant s'annule si et peu seulement s'il existe deux angles Op et 0. tels que sin9p-sin69=2/ . Autrement dit, pour zl ou encore : avec 'Ppq=m(sin(p1f/ N)-sin( q1f/M Alternativement, on pourra choisir comme base de départ une autre base adaptée à la fréquence f, celle constituée par les vecteurs e'k, tels que e'k,=exp(jr.r.isin9x) avec sin9k=2klrN et k=-(N-l)/2,...,0,..,(N-\)/2. Ces vecteurs existent si Isin6kl Alternativement, on pourra choisir comme base de départ la base canonique de CN qui présente l'avantage de ne pas dépendre de la fréquence. Dans ce cas, la matrice H'f exprimée dans cette base s'écrit : H'f=Hf.T-' (10) où T est la matrice des coordonnées de ek dans la base canonique c'est-àdire TPIt=exp(j 7!fJsin(p'/ N On a vu plus haut que cette matrice possédait un déterminant de Vandermonde non nul et était par conséquent inversible Quelle que soit la base choisie, considérons maintenant une fonction de gain obtenue à une première fréquence.f,.f 5/à et G =h.f1(b.) le vecteur des échantillons associé à cette fonction de gain Soit une seconde fréquence de travail /?, /2::j'o. G appartenant à CM, si la matrice Hf2 est de rang N, on peut trouver un vecteur b2 tel que hf2(hl) soit la projection de hf1(b.) sur lnif2. Le vecteur b2est obtenu par la relation matricielle: Cette relation permet, en particulier, d'obtenir à une seconde fréquence de travail, un diagramme de gain échantillonné qui soit le plus proche possible de celui, dit de consigne, obtenu à une première fréquence de travail. La relation (11) s'applique avantageusement au réseau d'une station de base d'un système de télécommunication mobile opérant en FDD. La relation (10) permet d'obtenir directement le vecteur de pondération à appliquer pour la transmission downlink à une fréquence fd à partir du vecteur de pondération relatif à la transmission uplink à une fréquence /#. Pour la paire de fréquences// et lu , on peut alors écrire : La station de base peut ainsi diriger des faisceaux d'émission vers les terminaux mobiles à partir d'une fonction de gain qui a été optimisée pour la réception des signaux émis par ces terminaux. La Fig. 2 représente un exemple de réalisation implémentant le deuxième mode de réalisation . Le dispositif comprend un module de pondération en émission (31) et un module de pondération en réception (35) de structure identique à celle des modules (11) et (15) respectivement. Le module (35) est associé à un module (36) fournissant les coefficients complexes pour la formation de voies de réception et/ou l'élimination de signaux dans les directions d'interférence. Le module (36) détermine, de manière connue en soi, un vecteur de pondération bu qui maximise le signal reçu dans la ou les directions utiles et le minimise dans les directions d'interférence. Avantageusement bu est calculée de manière adaptative à partir des signaux reçus par les différentes antennes. Le vecteur est, d'une part, utilisé par le module de pondération en réception (35) et, d'autre part, transmis à un module de projection et d'inversion (32) déterminant le vecteur bd à partir de l'équation (12). Le vecteur bd est utilisé pour pondérer les signaux à émettre dans le module (31). Comme on l'a vu plus haut, le diagramme de gain en émission à la fréquence fu minimisera, l'écart au sens de la distance euclidienne, entre le vecteur de gain en émission Gd et celui en réception Gu Bien que l'invention ait été essentiellement décrite pour des raisons de simplicité de présentation dans le cadre d'un réseau linéaire uniforme, elle peut s'appliquer à tout type de réseau d'antennes et notamment à un réseau circulaire. REVENDICATIONS 1) Méthode d'obtention d'une fonction de gain au moyen d'un réseau d'antennes et d'une pondération des signaux reçus ou à émettre par des vecteurs (b ) de N coefficients complexes, dits vecteurs de pondération, N étant le nombre d'antennes du réseau, caractérisée en ce que, une fonction de gain de consigne étant donnée, l'on projette orthogonalement ladite fonction de gain de consigne sur le sous-espace des fonctions de gain généré par lesdits vecteurs de pondération de l'espace des fonctions de gain, muni préalablement d'une norme, et que l'on choisit comme vecteur de pondération optimal un vecteur de pondération générant la fonction de gain de consigne ainsi projetée. 2) Méthode d'obtention d'une fonction de gain de consigne selon la revendication 1, caractérisée en ce que les fonctions de gain sont représentées par des vecteurs (G), dits vecteurs de gain, de M échantillons complexes pris en M angles distincts, définissant des directions d'échantillonnage et appartenant à la plage angulaire couverte par le réseau, l'espace des fonctions de gain étant alors l'espace vectoriel CM muni de la norme euclidienne et que, pour une fréquence (/) donnée le vecteur de gain de consigne est projeté sur le sous-espace vectoriel (Im/) des vecteurs de gain générés par le réseau opérant à ladite fréquence pour obtenir ledit vecteur de pondération optimal. 3) Méthode d'obtention d'une fonction de gain de consigne selon la revendication 2, caractérisée en ce que M est choisi tel que M>7cN. 4) Méthode d'obtention d'une fonction de gain de consigne selon la revendication 2 ou 3, caractérisé en ce que les angles d'échantillonnage sont répartis uniformément dans la plage angulaire couverte par le réseau. 5) Méthode d'obtention d'une fonction de gain de consigne selon la revendication 2, caractérisée en ce que le vecteur de gain de consigne est obtenu par échantillonnage de la fonction de gain de consigne après filtrage anti-aliasing revendications 2 à 5, caractérisée en ce que, les vecteurs de gain (G) étant les transformés par une application linéaire (hsf) de CN dans CM des vecteurs de pondération du réseau et Hf étant la matrice, de taille MxN, de ladite application linéaire d'un base de départ de CN dans une base d'arrivée CM., ledit vecteur de pondération optimal, pour une fréquence f donnée, est obtenu à partir du le vecteur de gain de consigne G comme 1)~H}G où H} =(H? H l)-1 H? est la matrice pseudo-inverse de la matrice ///-et où Hf*T la transposée conjuguée de la matrice Hf 7) Méthode d'obtention d'une fonction de gain de consigne selon la revendication 6, caractérisée en ce que, ladite base de départ étant celle des vecteurs ek, k=0 ,..,N-1, tels que ek=(ek.o,ek.l,..,ek.N-1Y avec e=exp(j.2d.isin9k) et ()k=k1r1N k=-(N-l)/2,...,0,..,(N-l)/2 et la base d'arrivée étant la base canonique, la matrice Hf a pour composantes : Hpq=exp(i(N-I)'Fpql2). sin(Wpql2) avec sin(lfpq/2) \fpq=m(sin(p7ï/N}-sin(q7ï/M ) et i7=fyo avec fo=cl2d, d étant le pas du réseau. 8) Méthode d'obtention d'une fonction de gain de consigne selon la revendication 6 ou 7, caractérisée en ce que le vecteur de gain de consigne est obtenu en échantillonnant la fonction de gain générée à une première fréquence// d'opération du réseau par un premier vecteur de pondération b1 et que le vecteur de gain de pondération optimal pour une seconde fréquence f2 est obtenu par b2=H-H,,Ih . 9) Méthode d'obtention d'une fonction de gain de consigne selon la revendication 8, caractérisée en ce que la fréquence/) d'opération du réseau est la fréquence d'une liaison montante entre un terminal mobile et une station de base d'un système de télécommunication mobile et que la fréquence/2 d'opération du réseau est la fréquence d'une liaison descendante entre ladite station de base et ledit terminal mobile.