FR 2758670 A1 19980724 FR 9700528 A 19970120 PROCEDE DE SYNTHESE DE FILTRES NUMERIQUES PAR ONDELETTES ET FILTRES NUMéRIQUES CORRESPONDANTS La présente invention concerne un procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes et les filtres numériques correspondants. Dans le domaine technique relatif à la décomposition-recomposition d'images numériques, en vue notamment de la compression d'images fixes ou animées, le codage par transformée fréquentielle est, à l'heure actuelle, la principale technique utilisée. Ces techniques ont le plus souvent mis en oeuvre la transformée en cosinus discrète, TCD, en particulier dans le cadre des normes JPEG et MPEG notamment. Ces techniques présentent des limites de mode opératoire bien connues, telles que, notamment, les effets de bloc a bas débit. Outre les techniques précitées, dans le domaine des bancs de filtres mis en oeuvre pour effectuer l'opération de décomposition-recomposition en sous-bandes de fréquences, les transformées par ondelettes ont plus récemment permis des approches multi-résolution, lesquelles rendent possibles certaines fonctionnalités, telles que la transmission progressive, le choix sur catalogue avec représentations grossières par exemple, ces fonctionnalités présentant un intérêt majeur. Afin de permettre une mise en oeuvre efficace des bancs de filtres utilisés, la transformation opérée par ces bancs de filtres doit, de préférence, être orthogonale afin que l'effet de la quantification en sous-bandes puisse être déterminé simplement. En outre, les filtres élémentaires ou filtres en sous-bandes constitutifs du banc de filtres mis en oeuvre doivent être constitués par des filtres à phase linéaire afin d'améliorer la qualité visuelle des images fixes ou animées soumises à un processus de décompositionrecomposition, lors d'un traitement de compression-décom pression par exemple. Dans le but de pouvoir disposer simultanément des deux propriétés précitées, transformation orthogonale et filtres en sous-bandes à phase linéaire dans le cas particulier de l'échantillonnage bi-dimensionnel, séparable à quatre sous-bandes, communément désigné par échantillonnage 21, il est indispensable d'utiliser un banc de filtres non séparable. Une famille de bancs de filtres par ondelettes orthogonaux à phase linéaire non séparable a été proposée dans l'article intitulé "Non separable two- and threedimensional wavelets" publié par J.KOVACEVIC et M.VETTERLI, IEEE Transactions on Signal Processing, 43(5): 1269-1272, May 1995. La famille de bancs de filtres précitée est définie à partir - d'une matrice de rotation cos ai -sin ai O 0 sin ai cos ai O O Ri = O 0 cos ssi -sin ssi O O sin ssi cos ssi - d'une matrice de symétrie 1 0 1 0 0 1 0 1 w = 1/12 1 0 -1 O 0 1 0 -1 - d'une matrice de permutation P 1 0 0 0 0 1 0 0 P= O O 0 1 0 0 1 0 - une matrice des retards 1 0 0 0 Z1 O O D(Z1,Z2) = 0 O z2 O 0 O O ZlZ2 avec z1 = e1 et z2 = ej#2, #1 = 2#f1 et w2 = 2#f2, f1 et f2 désignant la fréquence spatiale des pixels d'image dans les directions verticale et horizontale par exemple. La famille de bancs de filtres précitée est donc paramétrée par des valeurs d'angles &alpha;i, ssi dont les valeurs peuvent être choisies arbitrairement. Un tel choix arbitraire conduit à des bancs de filtres qui, en général, sont peu efficaces car leur localisation fréquentielle est insuffisante. La mise en oeuvre efficace des bancs de filtres de cette famille est donc délicate, car on ne dispose, en particulier, d'aucun algorithme ou processus de synthèse des bancs de filtres correspondants. Pour cette raison, les bancs de filtres non séparables n'ont, jusqu'à ce jour, pas été utilisés de manière pratique pour le traitement d'images numériques et les pratiques courantes se sont réduites principalement à la mise en oeuvre de bancs de filtres séparables, soit au moyen de filtres orthogonaux, soit au moyen de filtres à phase linéaire, avec quelques exemples d'utilisation de bancs de filtres non séparables limités à la compression d'images par échantillonnage bidirectionnel de type quinconce, ainsi que décrit par exemple dans les articles publiés par - M.Antonini, M.Barlaud, P.Mathieu et I.Daubechies "Image coding using wavelet transform" IEEE Transactions on Image Processing 1(2): 205-220, April 1992 - M.Barlaud, P.Solé, T.Gaidon, M.Antonini et P.Mathieu "Pyramidal lattice vector quantization for multiscale image coding" IEEE Transactions on Image Processing 3(4): 367-381, July 1994 - H.J.Barnard "Image and video coding using a wavelet decomposition" PhD thesis, Delft University 1994. La présente invention a pour but de remédier aux limites et lacunes de la famille de bancs de filtres de l'art antérieur définis à partir de la matrice de rotation Ri, la matrice de symétrie W, la matrice de permutation P et la matrice des retards D(z1,z2), afin de permettre, dans des conditions prédéfinies, la mise en oeuvre d'un procédé de synthèse de bancs de filtres numériques par ondelettes et de bancs de filtres numériques par ondelettes correspondants. Un autre objet de la présente invention est la mise en oeuvre d'un procédé de synthèse de bancs de filtres numériques par ondelettes correspondants dans lesquels, pour une taille 2Kx2K des filtres élémentaires ou filtres en sous-bandes constitutifs du banc de filtres, un maximum N de moments nuls est obtenu. Un autre objet de la présente invention est également, pour un nombre maximum N donné de moments nuls de chaque filtre en sous-bandes, un choix optimal des paramètres de filtrage des filtres en sous-bandes et des cellules de filtrage correspondantes. Un autre objet de la présente invention est également la mise en oeuvre de bancs de filtres non séparables, à phase linéaire correspondants. Un autre objet de la présente invention est enfin l'application des bancs de filtres précités au traitement de compression ou de décompression d'images numériques. Le procédé de synthèse de filtres par ondelettes à partir d'une structure en cascade de cellules de filtrage numérique d'une famille de filtres par ondelettes définie par la matrice de rotation Ri, la matrice de symetrie W, la matrice de permutation P et la matrice des retards D(z1,z2) précédemment mentionnées dans la description, est remarquable en ce qu'il consiste à effectuer une étape de synthèse d'un banc de filtres polyphase orthogonal H(z1,z2) produit des matrices Ri, W, P et D(z1,z2) de la forme H0(z1,z2) ) (1 ( z1, z2) ) X (z1 5f(z1,z2) = ( H2(zl,z2) ) = R1WP n2D(zl,z2)PWRiWP (z2 ( H3(Z1,Z2) ) (Z1Z2) ce banc de filtres polyphase orthogonal comportant quatre filtres en sous-bandes H0(z1,z2), H1(z1,z2), H2(z1,z2) et H3(z1,z2) à phase linéaire et de taille 2K x 2K et à optimiser le choix des paramètres de filtrage des filtres en sousbandes et des cellules de filtrage pour un nombre de moments nuls de chacun des filtres en sous-bandes fonction du nombre N maximum de moments nuls, à partir d'une relation de contrainte d'annulation de la dérivée partielle de la réponse fréquentielle de chaque filtre en sous-bande. Le banc de filtres par ondelettes, formé par une structure en cascade de cellules de filtrage numérique définie à partir de la matrice de symétrie W, la matrice de rotation Ri, la matrice de permutation P et la matrice des retards D(z1,z2) précédemment mentionnées dans la description, est remarquable en ce qu'il comprend quatre filtres en sous-bandes H0(z1,z2), H1(z1,z2), H2(z1,z2) et H3(z1,z2) à phase linéaire et de taille 2Kx2K, les filtres en sous-bandes formant un banc de filtres polyphase orthogonal H(z1,z2) produit des matrices Ri, W, P et D(z1,z2) de la forme H0(z1,z2) ) (1 ( z1, z2) ) K (z1 9 = ( H2(z1,z2) ) = RlWP n D(zl, D(z1,z2)PWRiWP (z2 H3( z1, z2) ) (z1z2) les coefficients du banc de filtres et des cellules de filtrage vérifiant, pour un nombre N maximum de moments nuls des filtres en sous-bandes, les relations N=2: N=3: N=4: N=5: N=6: avec Pi = Ai et Pi = Bi respectivement, A1 = B1 = Ai = ej(ai-a1); Bi = ej(bi-b1) pour i # {2,...,K} et a2 - b2 &alpha;1 = a1 - 2 ss1 = a2+b2 2 ai-bi ai+1 - bi+1 &alpha;1 = pour i # {2,...,K-1} 2 2 ai+1 + bi+1 - ai+bi ssi = pour i # {2,...,K-1} 2 2 ak-bk &alpha;k = ak+bk ssk = b1 - . 2 Le procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes et les filtres numériques par ondelettes, objets de la présente invention, trouvent application à la réalisation de circuits de traitement d'images fixes ou animées, en télévision ou vidéo numérique notamment. Ils seront mieux compris à la lecture de la description et à l'observation des dessins ci-après, dans lesquels - la figure 1 représente un organigramme général illustratif du procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes, objet de la présente invention - la figure 2a représente la réponse en fréquence d'un filtre en sous-bandes conforme à l'objet de la présente invention, pour lequel une optimisation a été réalisée pour un nombre de moments nuls maximum N=3, le filtre en sousbandes ayant une dimension 2Kx2K, K=5, et l'optimisation retenue étant celle relative à une symétrie quart de plan des filtres - la figure 2b représente la réponse en fréquence d'un filtre en sous-bandes conforme à l'objet de la présente invention, pour lequel une optimisation a été réalisée pour un nombre de moments nuls maximum N=3, le filtre en sousbandes ayant une dimension 2Kx2K, K=5, et l'optimisation retenue étant celle relative à une concentration d'énergie sur certains coefficients - les figures 2c, 2d et 2e représentent la réponse en fréquence d'un filtre en sous-bandes conforme à l'objet de la présente invention, pour lequel une optimisation a été réalisée pour un nombre de moments nuls maximum N=4, le filtre en sous-bandes ayant une dimension 2Kx2K, K=7, et l'optimisation retenue étant celle relative à une symétrie quart de plan, première, deuxième et troisième racine respectivement au sens de Maple - la figure 2f représente la réponse en fréquence d'un filtre en sous-bandes conforme à l'objet de la présente invention, pour lequel une optimisation a été réalisée pour un nombre de moments nuls maximum N=5, le filtre en sousbandes ayant une dimension 2Kx2K, K=8, et l'optimisation retenue étant celle relative à une symétrie quart de plan - la figure 2g représente la fonction d'échelle du filtre en sous-bandes dont la réponse en fréquence a été représentée en figure 2f - la figure 3 représente la cascade non séparable de type treillis représentative, au sens structurel, des filtres en sous-bandes et des bancs de filtres objets de la présente invention. Une description plus détaillée du procédé de synthèse de filtres par ondelettes, objet de la présente invention, sera maintenant donnée en liaison avec la figure 1. Ainsi que représenté sur la figure précitée, le procédé de synthèse de filtres par ondelettes selon l'invention consiste à effectuer la synthèse précitée à partir d'une structure en cascade de cellules de filtrage numérique d'une famille de filtres par ondelettes définie à partir d'une matrice de rotation Ri, d'une matrice de symétrie W, d'une matrice de permutation P et d'une matrice des retards D(z1,z2) telles que décrites précédemment dans la description en liaison avec la famille de filtres numériques par ondelettes décrits par Kovacevic et Vetterli dans l'article précédemment mentionné dans la description. Les matrices de rotation Ri, de symétrie W, de permutation P et des retards D(zl,z2) sont donc a priori disponibles à l'étape 1000 représentée à la figure 1 précitée, la valeur des paramètres d'angle ai, pi devant être déterminée. En ce qui concerne la matrice des retards, on rappelle que les variables z1 et z2 représentent en fait les valeurs z1 = e&commat;1 et z2 = e 2 avec w1 = 2nif1 et w2 = 2rif2, f1 et f2 représentant la fréquence spatiale de distribution des pixels d'une image bidimensionnelle dans deux directions orthogonales d'analyse de cette image par exemple. En ce qui concerne la matrice de rotation Ri, on indique que les valeurs ai, pi représentent des valeurs d'angle comprises entre 0 et 2w modulo 2n, le procédé de synthèse objet de la présente invention permettant de déterminer la valeur des ai et PI correspondants afin de réaliser la synthèse de filtres numériques par ondelettes présentant les qualités requises. Ainsi que représenté en outre sur la figure 1, le procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes, objet de la présente invention, consiste ensuite, à l'étape 1001, à effectuer la synthèse proprement dite d'un banc de filtres polyphase orthogonal, le processus de synthèse du banc de filtres polyphase orthogonal étant défini par le produit des matrices de rotation Ri, symétrie W, permutation P et matrice des retards D(z1,z2) de la forme, relation (1) H0(z1,z2) ) (1 ( z1, z2) ) K (z1 (z1,z2) = ( H2(z1,z2) ) = R1WP u D(z1,z2)PWRiWP ( Z2 ) ( H3(Zl,Z2) ) (Z1Z2) Dans cette relation, l'opérateur n représente un opérateur produit des matrices D(z1,z2), P, W, Ri, W, P et du vecteur Grâce au processus de synthèse du banc de filtres polyphase orthogonal, noté H(z1,z2), on indique que le banc de filtres polyphase orthogonal précité comporte alors quatre filtres en sous-bandes, notés génériquement Hf(Z1,Z2) de f-O à f=3, les quatre filtres en sous-bande étant notés H0(z1,z2) H1(z1,z2) H2(z1,z2) H3(z1, z2 Chacun des filtres en sous-bandes précité est par définition un filtre à phase linéaire et de taille 2Kx2K où K désigne le paramètre de valeur finale de produit de la relation (1) précédemment citée. D'une manière générale, on indique que, quelles que soient les valeurs des paramètres de filtrage, c'est-à-dire en fait des valeurs d'angle ai, p, précitées, on obtient un banc de filtres orthogonal pour l'échantillonnage à quatre sous-bandes bidimensionnelles, désigné par échantillonnage à quatre sous-bandes 2I. La notation 21 désigne l'échantillonnage bi-dimensionnel. On rappelle que l'échantillonnage 21 consiste, dans une image formée de lignes successives de pixels, à ne conserver, par l'opération d'échantillonnage, qu'une ligne sur deux et qu'un pixel sur deux sur les lignes conservées. Selon un aspect particulièrement important du procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes, objet de la présente invention, on indique que les filtres en sous-bandes H0(z1,z2) et Hl(zl,z2) sont symétriques, alors que les filtres en sous-bandes H2(z1,z2) et H3(z1,z2) sont antisymétriques, la notion de symétrie respectivement d'antisymétrie concernant la symétrie et l'antisymétrie centrales par rapport au centre du support du filtre, les quatre filtres en sous-bandes étant en conséquence à phase linéaire. Grâce au processus de synthèse du banc de filtres polyphase orthogonal précité, on indique que tous les filtres en sous-bande sont de taille 2Kx2K et que le nombre de paramètres de filtrage à fixer est alors égal à 2K. Suite à l'étape 1001 précitée, ainsi que représenté en figure 1, le procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes objet de la présente invention consiste ensuite, en une étape 1002, à optimiser le choix des paramètres de filtrage des filtres en sous-bandes et bien entendu des cellules de filtrage correspondantes pour un nombre de moments nuls de chacun des filtres en sous-bandes fonction du nombre N maximum de moments nuls. L'opération d'optimisation précitée est effectuée à partir d'une relation de contrainte d'annulation de la dérivée partielle de la réponse fréquentielle de chaque filtre en sous-bandes, cette relation de contrainte d'annulation étant définie de la manière ci-après pour f e {0,1,2,3), c'est-à-dire finalement pour chacun des filtres en sous-bandes H0(z1,z2) à H3(z1,z2), cette contrainte, au plan le plus général, s'écrit d Hf(z1,Z2) = 0 aki d zI z2 pour : f E | 0,1,2,3}, z1 et z2 nombres complexes de module 1. La condition d'annulation est imposée pour un ensemble de valeurs de z1,z2 telles que z1 E {1,-1} et z2 # {1,-1}. Les valeurs précitées de z1, z2 permettent de rendre possible l'existence d'une fonction d'échelle régulière. On rappelle que la fonction d'échelle du filtre considéré représente la limite du processus de subdivision tel que pratiqué dans le domaine des ondelettes et décrit en particulier dans l'article publié par Cohen et Daubechies, 1993, intitulé : "Non-separable bidimensional wavelets bases', Revista Mat. Iberoamericana 9(1):51-137. On indique qu'en ce qui concerne les valeurs de z1, z2 pour lesquelles la contrainte d'annulation de dérivée partielle est imposée, outre la contrainte z1 E | 1,-1) et z2 #{1,-1} précédemment mentionnée, d'autres contraintes relatives au couple de valeurs z1,z2 peuvent être introduites, ainsi qu'il sera décrit ci-après ultérieurement dans la description. En ce qui concerne la notion de linéarité de la phase, on rappelle qu'un filtre numérique, et en particulier un filtre en sous-bandes, est dit à phase linéaire lorsque la réponse en fréquence de ce filtre peut être mise sous la forme relation (3) G(ej#) = |G(ej#)| ej(&alpha;#+ss) où a et w sont des vecteurs à deux composantes, le filtre étant alors soit symétrique, soit antisymétrique. Dans la relation (3) précitée, on indique que # représente la pulsation 2R.f où f est un terme de frequence, alors que a et p représentent un terme de phase introduit bien entendu en fonction de la valeur de la frequence précitée. En ce qui concerne le processus d'optimisation proprement dit, tel que représenté à l'étape 1002 de la figure 1, on rappelle qu'un filtre tel qu'un filtre en sousbandes ou à tout le moins un filtre de type passe-bas G, présente N moments nuls lorsque la réponse en fréquence de ce filtre, notée G(eiU), ainsi que les dérivées de cette réponse en fréquence jusqu'à l'ordre N-l s'annulent pour w = n où w représente la valeur de pulsation précédemment définie. Une telle propriété implique en fait la reproduction des polynômes de degré inférieur à N-l, ce qui, au plan physique, implique que tout signal de type polynomial de degré au plus égal à N-l est parfaitement reconstruit à partir de son approximation, et que pour tout signal polynomial par morceaux, les échantillons de détail sont pour la plupart nuls. Une étude théorique a pu montrer qu'il était nécessaire d'obtenir N moments nuls pour que la fonction d'échelle du filtre considéré, soit N-l fois continûment dérivable. On a pu également observer que les filtres optimisés avec des contraintes de moments nuls conduisent effectivement à des fonctions d'échelle régulières. On peut, à titre d'exemple, citer les plus connus tels que les filtres de Daubechies, lesquels ont été obtenus en maximisant le nombre de moments nuls pour une longueur donnée sous contrainte d'orthogonalité. Pour une description plus complète des filtres précités, on pourra utilement se reporter à l'article publié par I.Daubechies (1988), intitulé "Orthogonal bases of compactly supported wavelets", Communications on Pure and Applied Mathematics, XLI:909-996. Conformément à un aspect particulièrement remarquable du procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes, objet de la présente invention, le banc de filtres obtenu grâce à ce procédé est répute comporter N moments nuls lorsque les couples de variables zl, Z2 précités prennent certaines valeurs et que la relation de contrainte d'annulation de la dérivée partielle de la réponse fréquentielle des filtres en sous-bandes, et bien entendu des cellules de filtrage correspondantes, vérifie la condition établie selon un premier système d'équations ci-après, relation (4) pour (z1,z2) # { (1,-1);(-1,-1);(-1,1)} pour (Z1,z2) E pour (zl,z2) E pour (z1,z2) # { (1,-1);(-1,-1);(1,1)} Dans ce système d'équations, on indique que k1 et k2 représentent l'ordre des dérivées partielles correspondantes de la réponse frequentielle des filtres en sous-bandes H0(z1,z2) à H3(z1,z2), l'ordre de dérivation s'entendant bien entendu relativement à la variable z1 respectivement z2. Dans le système d'équations selon la relation (4), la première équation permet de définir l'existence d'une fonction d'échelle régulière et les trois autres équations établissent la nullité des signaux de détail pour un signal polynomial. Le système d'équations résultant est caractérisé par le paramètre K déterminant la taille des filtres en sousbandes de taille 2Kx2K et N relatif au nombre maximum de moments nuls correspondant. D'une manière générale, on indique que la résolution du système d'équations précité permet - pour K donné, de déterminer la valeur maximale de N ; - de calculer les filtres en sous-bandes et le banc de filtres correspondant - d'analyser les performances des filtres et bancs de filtres ainsi obtenus. Lorsque le système d'équations précité, selon la relation (4), pour la valeur maximale N de moments nuls est zéro-dimensionnel, c'est-à-dire que ce système comporte un nombre fini de solutions, il est alors possible de calculer ces dernières et de les évaluer. En outre, il est possible, grâce à un changement de variables notamment - d'effectuer la détermination, pour K donné, de la valeur maximale N de moments nuls possibles - de décrire l'ensemble des solutions du système d'équations selon la relation (4) précitée - d'effectuer un choix des degrés de liberté restants, afin d'obtenir différentes optimisations des paramètres de filtrage, afin de conférer au banc de filtres ainsi défini des propriétés physiques spécifiques - d'effectuer une analyse des filtres résultants en termes de réponse fréquentielle, de régularité et de performance en compression. Afin de procéder à la résolution du système d'équations selon la relation (4), on indique que le procédé objet de la présente invention consiste à effectuer un premier changement de variables relatives à la réponse fréquentielle de chaque filtre en sous-bandes selon une première combinaison linéaire des paramètres de filtrage, à toute valeur d'angle de la matrice de rotation ai, p, étant associées des variables ai, b1 vérifiant les relations, relation (5) a1 = a1 - a2-b2 2 ss1 = a2+b2 2 &alpha;i = ai-bi - ai+1 - bi+1 pour i # {2,...,K-1} 2 2 ai+1 + bi+1 ai+bi ssi = pour i # {2,...,K-1} 2 2 ak-bk &alpha;k = ak+bk ssk = b1 - . 2 Ce premier changement de variables permet de transformer le premier système d'équations en un deuxième système d'équations, fonction de 2K variables, ejai, ejbi. Le changement de variables précité, combiné avec les outils de calcul formel, permet alors de réduire le nombre d'équations. Il s'agit essentiellement d'une construction par récurrence sur la valeur de N, nombre de moments nuls maximum, cette construction ayant été démontrée jusqu'à la valeur de K=10. Grâce au changement de variables précité, le système d'équations S(K,N) obtenu grâce au premier changement de variables selon la relation (5), peut alors être résolu grâce à un deuxième changement de variables relatif à la réponse fréquentielle de chaque filtre en sous-bandes selon une deuxième combinaison linéaire des paramètres de filtrage du deuxième système d'équations vérifiant la relation, relation (6) A1 =B1 = 1/2 S(K,N) A1 = ej(ai-a1) ; Bi = etXbi~bl) pour i E { 2,...,K} Ce deuxième changement de variables permet de transformer le deuxième système d'équations en un troisième système d'équations, formé en fait par deux sous-systèmes indépendants à K variables, un premier sous-système SA(K,N) relatif aux paramètres de filtrage ai et un deuxième soussystème SB(K,R) relatif aux paramètres de filtrage bi. Le processus d'optimisation du choix des paramètres de filtrage conformément au procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes, objet de la présente invention, consiste alors, à partir du premier et du deuxième soussystème SA(K,N) et SB(K,N), à établir l'ensemble des solutions du troisième système d'équations données par les variables complexes de module unité. On rappelle qu'on appelle solution de module unité une solution dans laquelle toutes les variables sont des valeurs complexes de module 1. L'ensemble des solutions du troisième système d'équations données par les variables complexes de module unité correspondent à un ensemble des paramètres de filtrage des filtres en sous-bandes présentant un nombre maximum N de moments nuls et vérifiant les relations ci-après, relation (7), dans lesquelles Pi = Ai et Pi = Bi respectivement N=2: N=3: N=4: N=5: N=6: Dans la relation (7) précitée, on indique que Pi peut prendre, soit la valeur Ai, soit la valeur Bi, la relation (7) étant alors vérifiée en Ai et Bi respectivement. On indique que les solutions recherchées correspondant à l'ensemble des équations de la relation (7) sont les solutions de module 1 de ce système d'équations. Grâce à la mise en oeuvre des équations de la relation (7), les nombres maxima de moments nuls N pour une taille 2Kx2K donnée sont alors les suivants K N maximal dimension 3 2 0 4 2 2 5 3 2 6 3 4 7 4 2 8 5 2 Dans le tableau précité, le paramètre de dimension correspond au paramètre de dimension du système d'équations tel que défini dans la relation (7). Le tableau précité permet de montrer qu'il est possible d'atteindre des valeurs de nombres N maximum de moments nuls assez élevées. En ce qui concerne le paramètre de dimension, il faut toutefois préciser que cette dimension correspond au nombre de degrés de liberté complexes du système d'équations. Dans le cas toutefois des systèmes décrits dans le cadre du procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes, objet de la présente invention, on indique que le paramètre de dimension correspondant au nombre de degrés de liberté complexes correspond également à la dimension de l'ensemble des solutions réelles. La plupart des systèmes ainsi constitués ne sont donc pas zéro-dimensionnels. En conséquence, il existe donc en général une infinité de bancs de filtres comportant un nombre N maximum de moments nuls. Conformément à un aspect particulièrement avantageux du procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes, objet de la présente invention, le procédé de synthèse précité consiste alors à chercher, parmi cette infinité, les filtres ou bancs de filtres susceptibles de présenter de bonnes caractéristiques physiques, spécifiques par ailleurs. La résolution des équations du système selon la relation (7), basée sur le calcul des bases de Groebner, permet alors d'exprimer toutes les solutions de ce système en fonction de deux ou quatre paramètres qui peuvent être choisis librement. Ces paramètres peuvent alors être choisis de façon à maximiser un critère physique spécifique du banc de filtres et des filtres en sous-bandes ainsi obtenus. D'une manière générale, on indique que le choix des paramètres de filtrage peut alors consister à minimiser l'erreur de reconstruction du signal recomposé à partir du signal délivré par au moins l'un des filtres en sous-bandes par exemple. Un tel processus est d'autant plus aisé dans le cadre d'une décomposition-recomposition lorsque, dans le cas de filtres orthogonaux à phase linéaire, les filtres de synthèse utilisés pour la recomposition sont identiques aux filtres d'analyse utilisés pour la décomposition, ainsi qu'il sera décrit ultérieurement dans la description. Dans un tel cas, cette étape peut consister à optimiser le choix des paramètres de filtrage relativement à la réponse en fréquence d'au moins un filtre en sousbandes en appliquant un critère spécifique tel qu'un critère relatif à la symétrie spatiale du filtre, un critère relatif à la sélectivité fréquentielle ou encore un critère relatif à la concentration d'énergie sur certains coefficients de filtrage. En ce qui concerne le critère de symétrie spatiale, on indique que les filtres en sous-bandes mis en oeuvre et les bancs de filtres correspondants, bien que structurellement à phase linéaire, ne sont toutefois pas symétriques quart de plan. Par symétrie quart de plan, on rappelle que ce type de symétrie concerne, pour un support d'image bidimensionnelle donné selon deux directions orthogonales, une symétrie par rapport à deux axes orthogonaux parallèles chacun à l'une de ces directions. On rappelle en effet que les propriétés statistiques des images numériques sont invariantes par symétrie centrale. En conséquence, il est naturel de traiter de la même façon une image non symétrique, par symétrie centrale, ce qui revient exactement à imposer un critère de linéarité de phase. Ce raisonnement conduit parfois à exiger plus de symétrie que la symétrie centrale et la linéarité de phase. On peut par exemple souhaiter ainsi disposer de la symétrie dite quart de plan pour traiter de la même manière une image et son symétrique par rapport à un axe horizontal et vertical. Dans ce cas-la, l'optimisation consiste, sous contrainte d'un nombre N maximum de moments nuls - symétrie spatiale : le critère appliqué consiste à rendre la réponse en fréquence des filtres précités aussi proche que possible de la symétrie quart de plan - sélectivité fréquentielle : le critère appliqué consiste à minimiser alors l'énergie du filtre passe-bas, c' est-à-dire le filtre en sous-bandes correspondant, au-delå de la bande de transition - concentration de l'énergie : le critère appliqué consiste à maximiser la concentration de l'énergie pour une certaine classe de signaux. La classe de signaux peut par exemple correspondre aux signaux dont la fréquence est comprise dans la bande de fréquences du premier filtre en sous-bandes H0(z1,z2) par exemple, ou dans l'un des autres des signaux correspondant à la bande de fréquences des filtres en sous-bandes H1(z1,z2) à H3(z1,z2). Les bancs de filtres obtenus conformément au procédé de synthèse de filtres numériques par ondelettes, objet de la présente invention, sont des bancs de filtres à ondelettes régulières tels que définis dans l'article publié par Kovacevic et Vetterli précédemment mentionné dans la description. On rappelle que la notion de régularité des ondelettes est mesurée par la valeur relative des exposants de Sobolev et de Solder. Des exemples de bancs de filtres et de filtres en sous-bandes par ondelettes régulières obtenus grâce à la mise en oeuvre du procédé de synthèse objet de la présente invention, seront maintenant donnés en liaison avec les figures 2a à 2g ci-après. Sur les figures 2a à 2f précitées, l'axe vertical est gradué en valeur d'amplitude (H,(f,,f,)l et les axes horizontaux en valeur de fréquence normalisée fl, f2. Le banc de filtres le plus petit est obtenu pour K=3 et pour N=2, soit un banc de filtres de taille 6x6 à deux moments nuls. Dans ce cas, la relation (7) se réduit à la recherche de deux nombres complexes P2 et P3 de module 1 tel que P2 + P3 = -1/2. Il existe deux couples de solutions, dont l'exemple donné dans l'article publié par Kovacevic et Vetterli. Lorsqu'on augmente la taille des filtres, l'ensemble des bancs de filtres à deux moments nuls est infini. Toutefois, pour K=4, il reste dans chaque sous-système d'équations un degré de liberté qui peut s'exprimer par la relation P2 + P3 = -1/2 - P4. Le choix arbitraire de P4 permet d'identifier deux solutions. L'optimisation peut alors être menée sur les différents critères précédemment mentionnés dans la description. On obtient dans chaque cas des filtres avec des exposants de Sobolev supérieurs à 1, les ondelettes correspondantes étant, de ce fait, continues. Pour K=5, ainsi que représenté sur les figures 2a et 2b, il est possible d'obtenir une réponse en fréquence des bancs de filtres correspondants et filtres en sous-bandes à N=3 moments nuls. Il est également possible de n'exiger et n'imposer que deux moments nuls par exemple, afin d'obtenir de meilleures caractéristiques physiques des bancs de filtres ainsi réalisés. Le nombre de moments nuls est alors fonction du nombre N maximum de moments nuls. Pour chaque sous-système d'équations, on peut choisir librement les paramètres P4 et P5 pourvu que (P4, P5 ) ne soit pas trop proche de la valeur (n,0). En pratique, ainsi que représenté sur les figures 2a et 2b, les solutions pour K=5 et N=3 presentent de bonnes caractéristiques par rapport aux critères d'optimisation de symétrie quart de plan, de sélectivité fréquentielle et de concentration de l'énergie, ainsi que représenté en figure 2b. Il est donc tout-à-fait envisageable de renoncer à l'imposition d'un certain nombre de moments nuls afin d'améliorer d'autres caractéristiques physiques des filtres obtenus. En ce qui concerne l'optimisation sur critère de sélectivité fréquentielle pour les filtres obtenus avec K=5 et N=3, on indique que le banc de filtres obtenu est d'allure similaire à celui représenté en figure 2a ou 2b. Dans tous les cas, pour les bancs de filtres ainsi obtenus et les filtres en sous-bandes correspondants, l'ordre de grandeur de l'exposant de Sobolev est 1,46, alors qu'une borne inférieure de l'exposant de Holder est 0,75. Dans le cas de bancs de filtres obtenus pour un système correspondant à K=6, N=3, il est nécessaire d'effectuer un calcul de bases de Groebner, le système obtenu étant mis sous forme d'une union de systèmes triangulaires. Les caractéristiques des bancs de filtres ainsi obtenus sont proches de celles des filtres obtenus dans le cas K=5, N=3. En référence aux figures 2c, 2d et 2e, on indique que, pour l'obtention de bancs de filtres à N=4 moments nuls, il est nécessaire de mettre en oeuvre des bancs de filtres de taille 14x14, soit K=7. Un calcul de bases de Groebner puis d'une union de systèmes triangulaires correspondante permet alors de trouver les solutions de module 1, solutions de l'un des systèmes correspondants. L'union de systèmes triangulaires permet d'exprimer toutes les solutions en fonction de P7 et lorsque P7 est fixé, on obtient P6 par résolution d'une équation de degré 4 et l'on obtient quatre solutions possibles. Lorsque P6 et P, sont fixés, les autres paramètres se déduisent directement. On peut alors obtenir des solutions particulièrement intéressantes dont la réponse en fréquence est représentée sur les figures 2c, 2d et 2e. Ces solutions ont été obtenues en choisissant respectivement la première, la deuxième et la troisième racine à la solution donnée par Maple à l'équation du quatrième degré précitée et en cherchant la solution la plus proche de la symétrie quart de plan par exemple. Les solutions precitées présentent des allures fréquentielles différentes mais correspondent à des exposants de Sobolev compris entre 1,78 et 1,80. En ce qui concerne les bancs de filtres à N=5 moments nuls, une approche méthodologique semblable à celle developpée précédemment dans le cadre de N=4 moments nuls permet de déterminer les solutions de module 1 au système d'équations correspondant. Le calcul des paramètres est alors effectué en fonction des degrés de liberté P8, c'està-dire en fait A8 et B8. Ainsi que représenté sur la figure 2f, la réponse en fréquence, pour une symétrie quart de plan apparaît particulièrement intéressante. Dans les solutions obtenues, l'exposant de Sobolev correspondant a pour valeur 2,11 et l'exposant de Holder est supérieur à 1,3. Enfin, la fonction d'échelle correspondante du filtre K=8, N=5 est représentée en figure 2g pour la même symétrie quart de plan de la réponse en fréquence du banc de filtres correspondant tel que représenté en figure 2f. Sur la figure 2g, l'axe vertical est gradué en amplitude relative et les axes horizontaux en des variables ou valeurs de position spatiale dans les directions d'analyse de l'image. On obtient ainsi une base orthogonale d'ondelettes à phase linéaire continûment différentiables, synthétisée pour l'échantillonnage bidimensionnel 21. Les bancs de filtres conformes à l'objet de la présente invention, obtenus grâce à la mise en oeuvre du procédé de synthèse précédemment décrit, peuvent alors être caractérisés formellement de la manière ci-après. Chacun des bancs de filtres par ondelettes selon l'invention est formé par une structure en cascade de cellules de filtrage numériques, cette structure en cascade étant définie à partir de la matrice de rotation Ri, de la matrice de symétrie W, de la matrice de permutation P et de la matrice des retards D(z1,z2) précédemment mentionnées dans la description. Chaque banc de filtres est remarquable en ce qu'il comprend quatre filtres en sous-bandes, les filtres en sousbandes H0(z1,z2) à H3(z1,z2) à phase linéaire et de taille 2Kx2K, lesquels forment un banc de filtres polyphase orthogonal M(z1, Z2 ), produit des matrices de rotation Ri, symétrie W, permutation P et matrice des retards D(z11z2) de la forme établie selon la relation (1) précédemment mentionnée dans la description. Les coefficients du banc de filtres et des cellules de filtrage ainsi obtenus vérifient, pour un nombre N maximum de moments nuls des filtres en sous-bandes, les relations correspondant à la relation (7) précédemment mentionnée dans la description. On rappelle que dans la relation précédente, Pi=Ai et Pi-Bi respectivement, la relation précédente étant donc satisfaite en Ai et en Bi. Dans la relation précédente, les paramètres Ai et Bi vérifient également les relations correspondant à la relation (5) précédemment mentionnée dans la description. Les valeurs d'angle ai et ssi, c'est-à-dire les valeurs correspondantes d'angle de la cellule correspondant à la matrice de rotation Ri, sont alors parfaitement déterminées. En outre, et conformément à un aspect particulièrement avantageux des bancs de filtres objets de la présente invention, on indique que, pour des paramètres de filtrage des valeurs Ai, Bi, valeurs complexes de module égal à l'unité et pour cette raison notées ui, avec ui=Ai et ui=Bi respectivement et avec Ui = inverse de ui, les bancs de filtres ainsi définis sont alors définis par calcul de la base de Groebner lexicographique représentant l'ensemble des équations à satisfaire pour que le nombre N de moments nuls recherché soit obtenu. Dans chaque cas, le système d'équations précité est équivalent à l'union de solutions de plusieurs systèmes triangulaires qui sont donnés ci-après. La forme triangulaire précitée de ces systèmes les rend opératoires pour la synthèse des filtres. Dans chaque cas, c'est-à-dire pour chaque valeur de N comprise entre 2 et 5, par valeurs entières, et pour des valeurs de dimension 2Kx2K avec K égal successivement à 4, 5, 6, 7 et 8, les systèmes d'équations triangulaires vérifient les relations ci-après N=2, K=4 : f422(ui) N=3, K=5 : f533(ui) N=2, K=6 : f633(u1) N=4, K=7 : f733(u1) N=5, K=8 : f855(ui). Dans les relations précitées, on indique que f422(u), f533(ui), f633(ui), f733(ui) et f855(ui) désignent les systèmes d'équations correspondants tels que décrits et exprimés ciaprès selon la relation (8) Filtres de taille 8x8 avec 2 moments nuls (K = 4) II faut résouder u2 + u3 + U4 =-1/2 OÙ les ui sont des complexes de module 1. Dans ce qui suit a est un paramètre réel: U2 = M=-u2-1/2 si |M| > 2 alors pas de solutions sinon ss=arccos(|M|/2) u3=eissxM/|M| u4=M-u3 Filtres de taille 10x10 avec 3 moments nuls (K = 5) Ils sont décrits par les équations: f533:=[ 4u4ȗ5+24u4ȗ5+32u4+36u4u5 +33u4u5+36u4u5+32u54+24u5 +4u5, 8u3u5+2u3u5+8u4u5+4u4u5+8u4+8u5 +6u5+u5, 2u2+2u3+2u4+2u5+1,56u3u4+64u3u5+4u4ȗ5+72u4+36u4u5+81u4u5 +32u4+32u5 +24u5+4u5,224u3ȗ5+56u3+176u3u5-196u3-164u4ȗ5 +184u4+92u4u5+151u4u5+32u4+256u5 +192u5+32u5] Filtres de taille 12x12 avec 3 moments nuls (K = 6) Ils sont décrits par les équations: f633 = ((4u2+8)u3+(4u2+5u2)u3)u6+((-5u2-4)u3-8u2-4u2)u4, ((8u2+16)u3+(8u2+10u2)u3)u5 +((8u2+16)u3+(8u2+20u2+8)u3+16u2+8u2)u4+(8u2+16)u3 +(16u2+30u2+8)u3+(8u2 +14u2+5u2)u3, ((20u2+56u2+32)u3+(32u2 +120u2 +64u2)u3+64u2 +32u2)u4+( (52u2+120u2+32)u3 +(84u2 +201u2+84u2)u3+(32u24+120u2 +52u2)u3) u4+(32u2+64u2)u34+(64u2 +120u2+32u2)u3 +(32u24+56u2 +20u2)u3] Filtres de taille 14x14 avec 4 moments nuls (K = 7) f744=[(1024u25+16u24-7616u2 -9280u2-7936u2-7168)u34 +(3072u26-352u25-14908u24-11848u2 -9248u2-14720u2+1024)u3 +(3072u27-7920u26-8604u25-7341u24-8604u2 -7920u2+3072u2)u3 + ( 1024 u28 - 14720 u27-9248 U26 - 11848 U25 - 14908 u24 - 352 u2 + 3072 u2) us - 7168 U28 - 7936 U27 - 9280 u26 - 7616 U25 + 16 u24 + 1024 u2 , (1720320 u212 + 1591296 U211 - 35696640 t'slO - 69170304 u29 - 73436160 U8 ~ 80192280 u27 -41580336u26-9549120u25-811776u24)u4+(-1048576u211+2588672u210 + 14978816 U29 - 3316800 u28 - 60720048 u27 - 122185248 u26 - 189202752 U25 - 193812864 u24 - 137146368 u2 - 82749440 ue2 - 25493504 ue - 2981888)u3 + ( -2097152 u212 + 6619136 u211 + 22459904 u210 - 9444032 u29 - 62856048 ue8 - 106770060 u27 - 166052736 u26 - 155573136 u25 - 100513536 u24 - 67183360 u2 - 17371136 u22 + 28672 u2 + 425984)u3 + (-1048576 u213 + 11370496 u212 - 11788544 u211 - 55649920 u210 - 84347760 u29 - 156107832 u28 - 151147545 u27 - 106425726 u26 - 71618112 u25 - 13559072 u24 + 12701696 u2 + 6359552 u2 + 851968 u2)u3 + 7340032 u213 - 15828992 u212 - 60145664 u2 - 111384960 ualO - 190884096 us - 192527976 u28 - 151156764 u27 - 94443528 u26 - 21783552 u25 + 5633024 u24 + 3348992 u23 + 425984 u2 ,( 13189120 u216 + 33632256 u215 - 318791424 u214 - 1371707008 u213 - 693642768 u212 + 7783932072 u211 + 21318897285 u210 + 29071236180 u29 + 30158103108 u28 + 22707015968 u27 + 9272668608 u26 + 1852214784 u25 + 143954944 u24)u5 + ( 16777216 u215 - 60030976 u214 - 288579584 u213 + 428575744 u212 + 2412069760 u211 + 2291545040 u210 - 3607555328 u29 - 16357453440 u28 - 32142733824 u27 - 42801889024 u26 - 42967377920 u25 - 32961581056 u24 - 19314343936 u2 - 8320122880 u2 - 2040528896 u2 - 205520896) u3 + (33554432 u216 - 143130624 u215 - 425152512t's14 + 927969280 u213 + 3250232512 u212 + 1932921456 u211 - 4762051080 u210 - 15360588160 u29 - 26061355872 u28 - 31281772544 u27 - 28871678976 u26 - 20602128384 u25 - 11823628288 u24 - 5301895168 u2 - 1054998528 u22 + 42467328 ut + 29360128)us2 + (16777216 u217 - 200540160 u216 + 291274752 u215 + 1564602368 u214 + 552545792 u213 - 3622022784 u212 - 12673292928 u211 - 25790660960 u2l - 36509203584 u29 - 39584193664 u28 - 32323748352 u27 - 19734417408 u26 - 7379320832 u25 + 266469376 u24 + 1426194432 u23 + 503316480 u2 + 58720256 u2)us - 117440512 u217 + 394444800 u2'6 + 1351448576 u215 - 337816576 u214 - 6262161792 u213 - 13301772608 u212 - 17872063432 u211 - 22204710156 u210 - 22774075344 u29 - 17254110704 u28 - 13091979648 u27 - 7552510208 u26 - 1261660160 u25 + 566906880 u24 + 255328256 u23 + 29360128 u2,(13189120 u215 + 107161600 u214 + 252915712 u213 - 200936064 u212 - 2605483776 u211 - 7104518904 u1O - 12074885088 u29 - 15399922272 u28 - 13929167616 u27 - 9498356224 u26 - 4821569536 u25 - 770301952 u24)u6 + ( - 16777216 u214 - 28753920 u213 + 185795840 u212 + 664180544 u211 + 623508208 u210 - 1494265984 u29 - 7144725504 u28 - 15222780672 u27 - 22605733632 u26 - 25970478080 u25 - 23107829760 u24 - 16354820096 u23 - 8942256128 u22 - 3392929792 ue - 873463808)u3 + (-33554432 u215 - 42352640 u214 + 266156544 u213 + 754104256 u212 + 728879408 u211 - 607003044 u210 - 3951351560 u29 - 8403123984 u28 - 12179068896 u27 - 14202158464 u26 - 13075652608 u25 - 9697781760 u24 - 5831557120 u23 - 2394521600 u22 - 573702144 u2 + 124780544)us2 + (-16777216 u216 + 117030912 u215 + 401941760 u214 + 155980928 u213 - 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114688 u212 - 359936 u211 - 698880 u210 - 1181184 uo9 - 1241256 u28 - 1248420 u27 -812856u26-377088u25-113664u24+54784u2 +32768u2] Filtres de taille 16x16 avec 5 moments nuls (K = 8) f855 = (2048 u26 - 107616 u25 - 314624 u24 + 1092352 u2 + 2677504 u22 + 1542144 ue + 294912) u34+(301056u27+1842880u26+4595026u25+9383660u24+10262848u2 + 5142400 u2 + 886784 u2)u3 + (890880 u28 + 5550752 u27 + 12495030 u26 + 16620731 u25 + 12495030 u24 + 5550752 u2 + 890880 u2)u3 + (886784 u29 +5142400u28+10262848u27+9383660u26+4595062u25+1842880u24+301056u2 )u3 +294912u210+1542144u29+2677504u28+1092352u27-314624u26-107616u25 + 2048 u24, (17258250240 u214 + 216066588672 u213 + 991296666624 t',12 + 2094476541696 u211 + 2166966772608 u210+ 856508347200 u29 - 454229458848 ue8 -657464486976u27-191416794624u26-15773294592u25)u4+(-318767104u213 + 13522436096 u212 + 207258578944 u211 + 904504507648 u210 + 451554880960 u29 - 7788486747616 u28 - 25774990113472 u27 - 33725076036352 u26 - 15169380276992 u25 + 6925718521344 u24 + 9869549789184 u23 + 3973273583616 u2 + 687829155840 uo +42807066624)u3 +(-46539997184u214-775166623744u213-5476646887424u212 -22022950493440u211-57140644436688u210-100996477095964u29 - 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6958370693892749312 USS - 798077227781357568 u24 - 47849554303254528 823 -1215355284357120u2)u3+636643002286080u220+9909804129583104u219 -24280727019061248u218-1224691587171913728u217-9802803656697362944u216 - 40632873721379330816 u215 - 102909604049693907200 U14 -167851652747519662016u213-177320686678812158176u212 -116790791270245574848u211-41790902659639548832u210-2992755841076047232u29 +3545165855981245312u28+1373844354292042751u27+204054747847120896u26 +12103148604555264u25+163961277775872u24-8324351262720u2 , ( 3057668849664u217+35671742447616u216+146931814351872u215 +190777912267008u214-395335460375856u213-1838106269861400u212 -3093180933770004u211-2953399202176698u210-1674805529640672u29 -513455421037416u28-80318307082464u27-5960451087360u26-185724887040u25)u7 + (-47865397248 ur'6 + 1343192039424 8215 + 58597799428096 u214 +652642813206528u213+3167142529512704u212+5401800676317376u211 -14390269748554720u210-97177890099670016u29-236451390633488512u28 -326195905816104704u27-277035067227157504u26-147621365601387520u25 -49220118929969152u24-9981277222502400u2 -1157662895505408u2 - 68743392657408 Us - 1706846846976) tas3 + (-6988347998208 8217 -216740277780480u216-2738972094693376u215-19406345051090944u214 -88258401274434816u213-278202799898810832u212-636842912139141644u211 -1082779122608853610u210-1368471765157724756 u29 - 1266312108085242568 U,8 - 837407197647864368 u27 - 383488292190802880u26-116367335359901184 u25 -22156786149332992u24-2458888573386752u2 -141673225519104u2 -3425546797056u2)u3+(-13833099804672u218-429215170166784u217 -5378769829756928u216-37218891140927488u215-161267483660871168u214 -467379694434219536u213-941976068272022276u212-1352010809922852736u211 - 1402131816721601381 uz'O - 1060340733270635290 u29 - 587314538312026916 u28 -235938621587379576u27-65847103870457568u26-11931071652407808u25 - 1285849657679872 824 - 72727842127872 u2 - 1730553053184 tas2)us -6892617203712u219-211131700346880u218-2580481901592576u217 -17132835067133952u216-69484525711931392u215-181332576271618816u214 - 309608536613160064 u213 - 341154130664559488u212-229285036636161952u211 -79309339296973520u210-3010636719028960u29+7350230686608832u28 +2465992040213888u27+331282283742720u26+18100410990592u25 +201990733824u24-11853103104u2 , (400637952u213+4996654080u212 +24765696384u211+63717730560u210+94090213536u29+84317861760u28 +44892574848u27+11283148800u26+1021870080u25)u3+(-8388608u212 +348258304u211+5773862912u210+28871748704u29+33791863424u28 - 190714324352 827 - 837783118592 u26 - 1493369618432 u25 - 1438390586368 ta,4 - 789683675136 u2 - 246684450816 u2 - 40598765568 u2 - 2717908992)u3 + ( - 1224736768 Ut13 - 21503934464 u212 - 163132174336 u211 - 715353027008 u210 - 2058211628982 u29 - 4156523698436 u28 - 6018887563336 u27 - 6161808741168 u26 - 4321793992960 u25 - 1992333848064 u24 - 561606189056 u2 - 86135930880 u2 - 5454692352 u2)u3 + (-2424307712 u214 - 42116972544 u213 - 310608345088 u212 - 1281680459808 u211 - 3299782465846 u210 - 5614398739271 u29 - 6517272916266 u28 - 5258235784820 u27 - 2985828839896 u26 - 1184935510400 u25 - 305900161024 u24 - 44728614912 u23 - 2755657728 u2)u3 - 1207959552 u215 - 20264779776 Us14 - 141399531520 u213 - 532846320128 u212 - 1178528565440 u211 - 1548229456736 u210 - 1135494775552 u29 - 356982351520 u28 + 41617548416 u27 + 56329363840 u26 + 12619411456 U53 + 808550400 u24 - 18874368 u2 ) Dans les différentes relations précédemment mentionnées, on rappelle que les équations constitutives de chaque système d'équations triangulaire sont séparées par des virgules. Sur la figure 3, on a représenté un treillis de la cascade non séparable de cellules de filtrage permettant la mise en oeuvre des bancs de filtres précédemment décrits dans la description. Dans la représentation de la figure 3, on indique que les connexions du treillis sont représentées par les lignes en pointillés et par les lignes continues, alors que les lignes en traits mixtes ne sont indiquées qu'afin de visualiser le treillis en trois dimensions. Les valeurs 1, -1, cos ai, sin ai, cos p1, sin pi correspondent aux valeurs déterminées ainsi que mentionné précédemment dans la description. Des résultats comparatifs des filtres numériques par ondelettes conformes à l'objet de la présente invention appliqués à la réalisation de circuits de traitement d'images fixes ou mobiles dans un processus de compressiondécompression spécifique par rapport à un processus de compression-décompression classique, dans lequel des filtres séparables usuels sont utilisés, seront maintenant donnés en liaison avec les figures 4a et 4b. En ce qui concerne le processus de compressiondécompression utilisé, ainsi que représenté en figure 4a, on indique que le processus de compression-décompression dans le cadre de la mise en oeuvre des filtres numériques non séparables, objets de la présente invention, correspond sensiblement au processus de compression-décompression développé dans le codeur décrit par P.Onno dans le mémoire de thèse intitulé "Bancs de filtres et quantification vectorielle sur réseau : Etude conjointe pour la compression d'images", Thèse de Doctorat, Université de Rennes I, France, 1996, codeur dans lequel, bien entendu, les bancs de filtres séparables sont remplacés par les bancs de filtres non séparables par ondelettes, objets de la présente invention, lesquels présentent la propriété simultanée d'orthogonalité et de linéarité de phase. Ainsi que représenté sur la figure 4a, la transformation d'analyse correspond en conséquence à la décomposition en sous-bandes, le cas échéant itérée, au moyen des quatre filtres en sous-bandes H0(z1,z2) à H3(zl,z2), cette transformation d'analyse étant suivie d'une opération de quantification réalisée à partir d'un processus d'allocation binaire, elle-meme suivie d'un processus de codage, noté CO à CM. Les signaux en sous-bandes codés ainsi obtenus sont soumis à transmission, ou, le cas échéant, à stockage sur un support de mémorisation ou de stockage puis, ensuite, soumis à un processus de décodage, suite à réception ou lecture à partir du support de stockage, par des opérations de décodage notées C01 à CM-1 de déquantification, opération notée QO-1 à Q,-l, et enfin à une transformation de synthèse à partir de filtres duaux, notés G0(z1,z2) à G3(z1,z2) correspondant aux filtres d'analyse précédemment cités. On rappelle en particulier que les filtres duaux utilisés pour la transformation de synthèse peuvent se réduire à des filtres tels que le produit de la transformation d'analyse et de la transformation de synthèse correspondant se réduit à un retard pur, ce qui permet une reconstruction parfaite. Dans le présent cas de filtres orthogonaux à phase linéaire, les filtres de synthèse sont identiques aux filtres d'analyse. Sur la figure 4b, on a représenté les résultats de mesures pour un codage en compression-décompression réalisé sur une image de référence, Léna 256, l'axe des ordonnées du diagramme de la figure 4b étant gradué en décibels, en rapport signal de pic à bruit (PSNR), et l'axe des abscisses étant gradué en débit relatif de bits par pixel d'images soumises au processus de compression-décompression. Les mesures sur l'image de référence ont été effectuées - pour des filtres de Daubechies selon la courbe représentée en pointillés sur la figure 4b, les filtres de Daubechies correspondant à un banc de filtres séparable de longueur 14, - pour un banc de filtres non séparable conforme à l'objet de la présente invention dont la réponse en fréquence est représentée en figure 2e, selon le diagramme en trait plein de la figure 4b, c'est-à-dire pour K=7 et N=4, symétrie quart de plan pour la troisième racine du polynôme au sens de Maple, et enfin, - pour le banc de filtres non séparable, de taille 6X6 pour K=3 et N=2 moments nuls tel que décrit dans le document publié par Kovacevic et Vetterli précédemment mentionné dans la description, selon la courbe représentée par les cercles successifs sur la figure 4b. On peut constater à l'observation de la figure 4b, qu'alors que grâce à la mise en oeuvre de bancs de filtres non séparables K=3, N=2, on obtient 28,4 dB pour un débit de 0,5 bpp (bit par pixel) et entre 30,42 dB et 30,57 dB pour des bancs de filtres non séparables de taille l0xl0 à 16x16 conformes à l'objet de la présente invention. Grâce à la mise en oeuvre des bancs de filtres non séparables, objets de la présente invention, les meilleurs résultats ont été obtenus grâce à un banc de filtres de taille l0xl0 optimisé pour le critère de concentration de l'énergie sous contrainte de 3 moments nuls. Les résultats obtenus grâce à la mise en oeuvre de bancs de filtres non séparables conformes à l'objet de la présente invention sont donc du même ordre de qualité que ceux obtenus grâce à la mise en oeuvre des filtres de Daubechies. L'observation subjective des images soumises au processus de compression-décompression dans les deux cas permet de conclure que les résultats sont donc objectivement et subjectivement de même nature, lors de la mise en oeuvre des deux familles de bancs de filtres. REVENDICATIONS l. Procédé de synthèse de filtres par ondelettes à partir d'une structure en cascade de cellules de filtrage numérique d'une famille de filtres par ondelettes définie par - une matrice de rotation Ri de la forme cos ai -sin ai O O sin &alpha;i cos &alpha;i 0 0 Ri= 0 0 cos ssi - sin ssi 0 0 sin ssi cos ssi - une matrice de symétrie W de la forme 1 0 1 0 0 1 0 1 W = 1/#2 l O -1 O 0 1 0 -1 - une matrice de permutation P de la forme 1 0 0 0 0 1 0 0 P= O O 0 1 O 0 1 0 - une matrice des retards D(z1,z2) de la forme 1 0 0 0 0 z1 0 0 D(z1,z2) = 0 0 z2 0 0 O o Z1Z2 avec z1 = ej#1 z2 = ej#2, caractérisé en ce que ledit procédé consiste à - effectuer une étape de synthèse d'un banc de filtres polyphase orthogonal #(z1,z2) produit des matrices Ri, W, P et D(z1,z2) de la forme ( H0(z1,z2) ) (1 ( H1(z1,z2) ) k (z1 #(z1,z2) = ( H2(z1,z2) ) = RlWP n D(z1,z2)PWRiWP (z2 ( z1, z2) ) i'2 (ZlZ2) ledit banc de filtres polyphase orthogonal comportant quatre filtres en sous-bandes H0(z1,z2), H1(z1,z2), H2(z1,z2), H3(z1,z2) à phase linéaire et de taille 2Kx2K - optimiser le choix desdits paramètres de filtrage des filtres en sous-bandes et des cellules de filtrage pour un nombre de moments nuls de chacun desdits filtres en sousbandes, fonction du nombre N maximum de moments nuls, à partir d'une relation de contrainte d'annulation de la dérivée partielle de la réponse fréquentielle de chaque filtre en sous-bande. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que l'étape consistant à optimiser le choix des paramètres de filtrage consiste à minimiser l'erreur de reconstruction du signal recomposé à partir du signal délivré par au moins l'un des filtres en sous-bandes. 3. Procédé selon l'une des revendications 1 ou 2, caractérisé en ce que le choix des paramètres de filtrage consiste, relativement à la réponse en fréquence d'au moins un filtre en sous-bandes, à appliquer l'un des critères du groupe de symétrie spatiale, de sélectivité fréquentielle, de concentration d'énergie. 4. Procédé selon l'une des revendications 1, 2 ou 3, caractérisé en ce que ladite relation de contrainte d'annulation de la dérivée partielle de la réponse fréquentielle des filtres en sous-bandes et des cellules de filtrage vérifie la condition établie selon un premier système d'équations #k1+k2 H0(z1,z2) = 0 pour (z1,z2) # { (1,-1);(-1,-1);(-1,1)} #z1k1 #z2k2 #k1+k2 H1(z1,z2) = 0 pour (z1,z2) # { (1,-1);(1,1);(-1,1)} dkl d zl z2 #k1+k2 H2(z1,z2) = 0 pour (z1,z2) # { (1,1);(-1,-1);(-1,1)} #z1k1 #z2k2 #k1+k2 H3(z1,z2) = 0 pour (z1,z2) # { (1,-1);(-1,-1);(1,1)} #z1k1 #z2k2 ce qui permet d'optimiser le choix des paramètres de filtrage des filtres en sous-bandes et de la cascade de cellules de filtrage par résolution de ce premier système. 5. Procédé selon la revendication 4, caractérisé en ce que la résolution dudit système d'équations consiste à effectuer un premier changement de variables relatives aux coefficients de chaque filtre en sous-bandes selon une première combinaison linéaire de ces paramètres de filtrage de la forme &alpha;1 = a1 - a2-b2 2 a2+b2 ss1 = 2 &alpha;i = ai-bi - ai+1 - bi+1 pour i # {2,...,K-1} 2 2 ai+1 + bi+1 ai+bi ssi = pour i # {2,...,K-1} 2 2 aK-bK &alpha;K = 2 Px = b1 2 ledit premier changement de variables permettant de transformer ledit premier système d'équations en un deuxième système d'équations fonctions des 2K variables ejai, ejbi. 6. Procédé selon la revendication 5, caractérisé en ce que la résolution dudit deuxième système d'équations consiste à effectuer un deuxième changement de variables relatives aux paramètres de filtrage de chaque filtre en sous-bandes selon une deuxième combinaison linéaire des paramètres de filtrage du deuxième système d'équations de la forme A1 =B1 = 1/2 S(K,N) # Ai = ej(ai-a1) ; Bi = ej(bi-b1) pour i # {2,...,K} ledit deuxième changement de variables permettant de transformer ledit deuxième système d'équations en un troisième système d'équations S(K,N) formé par deux soussystèmes indépendants à K variables, un premier sous-système SA(K,N) relatif aux paramètres de filtrage ai et un deuxième sous-système S8(K,N) relatif aux paramètres de filtrage bi. 7. Procédé selon la revendication 6, caractérisé en ce que ladite optimisation du choix des paramètres de filtrage consiste, à partir du premier et du deuxième soussystème S( K, N ), S,(K,N), à établir l'ensemble des solutions du troisième système d'équations données par les variables complexes de module unité, l'ensemble des paramètres de filtrage des filtres en sous-bande présentant un nombre maximum N de moments nuls et vérifiant les relations avec Pi = Ai et Pi = Bi respectivement N=2: N=3: N=4: N=5: N=6: 8. Banc de filtres par ondelettes formé par une structure en cascade de cellules de filtrages numériques définie par - une matrice de rotation Ri de la forme cos ai -sin ai O O sin ai cos ai O 0 Ri = O O cos ssi -sin ssi 0 0 sin ssi cos ssi - une matrice de symétrie W de la forme 1 0 1 0 0 1 0 1 W = 1/#2 | 1 0 -1 0 0 1 0 -1 - une matrice de permutation P de la forme 1 0 0 0 0 1 0 0 P= | 0 O O 0 . O 0 1 - une matrice des retards D(z1,z2) de la forme 1 0 0 0 0 z1 0 0 D(z1,z2) = 0 0 Z2 0 O O O Z1Z2 avec z1 = ej#1 z2 = ej#2, caractérisé en ce qu'il comprend quatre filtres en sousbandes H0(z1,z2), H1(z1,z2), H2(z1,z2), H3(z1,z2) à phase linéaire et de taille 2Kx2K, lesdits filtres en sous-bande formant un banc de filtres polyphase orthogonal #(z1,z2) produit des matrices Ri, W, P et D(z1,z2) de la forme ( H0(z1,z2) ) (1 ) ( H1(z1,z2) ) K (z1 ) #(z1,z2) = ( H2(z1,z2) ) = R1WP # D(z1,z2)PWRiWP (z2 ) i=2 ( H3(z1,z2) ) (z1,z2) les coefficients du banc de filtres et des cellules de filtrage vérifiant, pour un nombre N maximum de moments nuls des filtres en sous-bandes, les relations N=2: N=3: N=4: N=5: N = 6 : avec Pi = Ai et Pi = Bi respectivement, A1 = B1 = 1/2 Ai = ej(ai-a1) ; Bi = ej(bi-b1) pour i # {2,...,K} et &alpha;1 = a1 - a2-b2 2 ss1 = a2+b2 2 ai-bi ai+1 - bi+1 &alpha;i = - pour i # {2,...,K-1} 2 2 ai+1 + bi+1 ai+bi ssi = - pour i # {2,...,K-1} 2 2 aK-bK &alpha;K = 2 ssK = b1 - ##### 2 9. Banc de filtres par ondelettes selon la revendication 8, caractérisé en ce que pour des paramètres de filtrage des valeurs Ai, Bi, valeurs complexes de module égal à l'unité, avec ui = Ai et ui = Bi respectivement, lesdits bancs de filtres sont les bancs de filtres du groupe vérifiant les relations, en fonction de la dimension 2Kx2K de chaque banc de filtres N = 2, K = 4 : f422(u1) N = 3, K = 5 : f533(ui) N = 2, K = 6 : f633(ui) N = 4, K = 7 : f733(u1) N = 5, K = 8 : f855(ui) relations dans lesquelles f422(ui,) f533(ui), f633(ui), f733(ui) et f855(ui) désignent les systèmes d'équations correspondants tels que décrits et exprimés dans la description, selon la relation (8).