FR 2638261 A1 19900427 FR 8813871 A 19881024 PROCEDE D'ANALYSE FREQUENTIELLE D'UN SIGNAL, EN PARTICULIER EN VUE DE LA PRESENTATION GLOBALE DE SES RESULTATS SOUS UNE FORME IMMEDIATEMENT PERCEPTIBLE A L'OEIL L'invention concerne un procédé d'analyse fréquentielle d'un signal de variation d'une première grandeur en fonction d'une seconde grandeur qui peut être par exemple, mais non exclusivement, le temps, et la presehta- tion des résultats d'analyse sous une forme immédiatement perceptible à l'oeil. Les séries de Fourier ou l'intégrale de Fourier sont connues depuis longtemps et utilisées pour l'analyse fréquentielle d'une fonction du temps, par décomposition en une superposition ou une somme d'ondes sinusoïdales de fréquences différentes, la transformée de Fourier d'un signal étant la représentation du spectre fréquentiel de ce signal, où l'amplitude associée à chaque fréquence fi correspond à l'intensité relative de l'onde sinusoïdale de fréquence fi dans le signal initial. La transformée de Fourier ne permet cependant pas d'analyser aisément tous les types de signaux, car elle n'est qu'une représentation amplitude - fréquence et il est difficile d'y reconnaitre l'ordre de succession dans le temps de phénomènes ou d'événements distincts. On a proposé récemment un procédé d'analyse temps - fréquence d'un signal variable dans le temps, qui consiste à décomposer le signal en une somme de fonctions élémentaires (appelées "ondelettes") associées à des coefficients qui sont des fonctions de deux paramètres (la fréquence, et la localisation dans le temps de 1 'onde lette). Plus précisément, chaque voefficient est la somme en continu, dans le temps, du produit du signal par l'ondelette correspondante, et la transformée en ondelettes du signal est une fonction qui associe aux deux paramètres temps - fréquence les valeurs des coefficients précités des ondelettes dans la décomposition du signal. Pour représenter cette transformée dans un plan de coordonnées temps - fréquence, on utilise une échelle logarithmique de fréquences, permettant de décomposer en octaves une plage de fréquences d'analyse, et on représente les variations dans le temps des coefficients d'ondelettes sur des axes parallèles équidistants, correspondant chacun à une fréquence d'analyse. Ce procédé d'analyse temps - fréquence par ondelettes est extrêmement intéressant, car contrairement à la méthode de Fourier où toutes les composantes doivent intervenir simultanément, on peut à volonté régler la précision de l'analyse d'un signal. On peut également, en utilisant une ondelette complexe (c'est-à-dire comprenant une partie réelle et une partie imaginaire), obtenir des représentations temps - fréquence du module et de la phase de la tranformée en ondelettes. Enfin, des études récentes tendent à montrer que la transformée en ondelettes correspondrait à des caractéristiques physiologiques de l'acquisition des signaux sonores et lumineux chez l'homme. Il n'en reste pas moins que la représentation directe des variations des coefficients d'ondelettes est, a priori, peu "parlante", surtout pour les basses fréquences et qu'il est difficile d'y constater rapidement, à l'oeil, la présence de phénomènes périodiques ou instationnaires. Certains auteurs ont donc imaginé de représenter les variations des coefficients d'ondelettes par un code de couleurs, de sorte que la représentation dans le plan temps - fréquence de la transformée en ondelettes d'un signal est un ensemble de lignes juxtaposées de couleurs différentes, formant des motifs très particuliers ou des arborescences, en fonction du type du signal analysé. Cette représentation multicolore est très spectaculaire et permet de mettre en évidence certaines périodicités ou instationnarités. Elle est toutefois d'interprétation visuelle difficile, en raison de la juxtaposition inévitable de couleurs voisines, et donne parfois une impression chaotique. L'invention a pour objet un procédé d'analyse fréquentielle et de représentation temps - fréquence d'un signal variable, qui permette d'éviter les inconvénients précités de la technique antérieure. Elle a également pour objet un procédé du type précité, qui permette une visualisation et un repérage immédiats des périodicités et instationnarités d'un signal. Elle propose, à cet effet, un procédé d'analyse fréquentielle en particulier en vue de la présentation globale de ses résultats sous une forme immédiatement perceptible à l'oeil, d'un signal de variation d'une première grandeur en fonction d'une seconde grandeur, consistant à décomposer ce signal en un ensemble de composantes fréquentielles dont les fréquences respectives croissent en progression géométrique d'une valeur minimale à une valeur maximale, et à représenter, parallèlement à un même axe de valeurs de la seconde grandeur, les variations de ces composantes fréquentielles sur des axes parallèles équidistants, caractérisé en ce qu'il consiste à définir un seuil d'amplitude des composantes fréquentielles, à comparer les amplitudes de ces composantes au seuil, à retenir les valeurs des composantes fréquentielles qui sont supérieures à ce seuil (ou inversement celles qui sont inférieures à ce seuil), et à représenter les valeurs retenues chacune par un trait dont la dimension, perpendiculairement a l'axe des valeurs de la seconde grandeur, est proportionnelle A l'amplitude de la valeur retenue. De façon fondamentale, le procédé selon l'invention diffère de la technique antérieure essentiellement en ce que l'on représente, dans le plan temps - fréquence, non plus les courbes de variation des coefficients d'ondelettes, mais les aires de ces variations par rapport à un axe, ce qui permet une interprétation directe ampli tude - surface noircie très facile et instinctivement identifiable à l'oeil. La représentation de ces variations peut donc être monochrome, par exemple en noir sur fond blanc. Par variation du seuil précité d'amplitude, on peut, à volonté, sélectionner les événements significatifs du signal analysé et mettre en évidence leurs périodicités ou leurs instationnarités. Enfin, par sélection tout d'abord des amplitudes supérieures au seuil, puis ensuite de celles inférieures au seuil, on obtient deux représentations qui sont le "négatif" l'une de l'autre et qui peuvent mettre plus en évidence certains phénomènes. Avantageusement, le seuil précité est réglable, de zéro à une valeur correspondant a l'amplitude maximale du signal analysé, soit de façon simultanée pour toutes les fréquences d'analyse, soit de façon indépendante pour chaque octave ou chaque fréquence d'analyse. Selon une autre caractéristique du procédé selon l'invention, les valeurs retenues des composantes fréquentielles du signal sont représentées en phase avec le signal. Dans une mise en oeuvre préférée du procédé selon l'invention, la décomposition du signal précité en composantes fréquentielles est réalisée par filtrage numérique, au moyen de fonctions de traitement qui sont gaussiennes en fréquence et a superposition sinus-gauss ou cosinus - gauss dans le temps. La décomposition d'un signal par des ondelettes est en effet équivalente au passage d'un signal par un ensemble de filtres passe-bande convenablement choisis. Le procédé selon l'invention peut avantageusement être exécuté par un système de traitement de l'information, par exemple par un micro-ordinateur d'un type courant, associé à un écran vidéo de visualisation du signal analysé et de sa transformée temps - fréquence, et à une imprimante ou une table graphique qui permet d'obtenir une représentation graphique du signal et de sa transformée. Ce traitement peut être réalisé au moyen d'un logiciel dont les parties essentielles sont annexées à la présente description. L'invention propose également une présentation de l'analyse fréquentielle d'un signal de variation d'une première grandeur en fonction d'une seconde grandeur, comprenant des courbes parallèles à un même axe de valeurs de la seconde grandeur, qui sont échelonnées de façon régulière ou équidistante le long d'un axe de fréquences et qui représentent les variations des composantes fréquentielles du signal en fonction de la seconde grandeur, caractérisée en ce que les tracés de ces courbes sont d'épaisseur variable, proportionnelle à la valeur instantanée de la composante fréquentielle correspondante et sont, au moins pour certaines, localement discontinues, les discontinuités correspondant à des valeurs de composantes fréquentielles qui sont supérieures (ou inférieures respectivement) à une valeur limite prédéterminée. L'invention sera mieux comprise et d'autres caractéristiques, détails et avantages de celle-ci apparaî- tront plus clairement à la lecture de la description qui suit, faite à titre d'exemple en référence aux dessins annexés, dans lesquels la figure 1 représente schématiquement l'allure d'une fonction élémentaire ou ondelette d'analyse d'un signal la figure 2 représente un signal variable en fonction du temps, et sa transformée temps - fréquence selon la technique antérieure la figure 3 représente le même signal qu'en figure 2 et sa transformée temps - fréquence selon l'invention;; la figure 4 représente le même signal que dans les figures 2 et 3 et sa transformée temps - fréquence selon l'invention, en négatif par rapport à la représen#tation de la figure 3 la figure 5 représente une impulsion de Dirac et sa transformée temps - fréquence selon l'invention la figure 6 représente un signal échelon et sa transformée temps - fréquence selon l'invention ~ la figure 7 représente un signal constitué d'un échelon et d'une courbe sinusoïdale de fréquence croissante, ainsi que sa transformée temps - fréquence selon l'invention la figure 8 représente un signal en créneau à fréquence progressivement croissante, et sa transformée temps - fréquence selon l'invention. On se réfère d'abord à la figure 1, qui représente l'allure générale d'une fonction d'analyse ou ondelette dont la formule est du type : -t F(t) = cos(5t) . e Cette fonction connue sous le nom d'ondelette de MORLET, permet de générer toute une famille de fonctions élémentaires Fti,f dont la formule générale est du type F t (t) = ff . F((t - tj)#f > où f est la fréquence de la fonction élémentaire d'analyse et ti est la position du point sur 'axe des temps où est centrée la fonction élémentaire. Ces fonctions élémentaires sont ajustables à volonté, car leur durée est proportionnelle à leur pseudopériode. On peut donc les dilater et les contracter comme on le souhaite en fonction des besoins de l'analyse, chaque ondelette comportant toujours le même nombre d'arches de sinusoïde. L'analyse temps - fréquence d'un signal s(t) s'effectue en décomposant ce signal en une somme de fonctions élémentaires précitées auxquelles sont affectés des coefficients Cti,f que l'on obtient en faisant la somme en continu du produit du signal s(t) par les fonctions Xlé- mentaires correspondantes Les courbes de variation dans le temps de ces coefficients pour des valeurs données de la fréquence, permettent de représenter cette analyse temps - fréquence du signal. On utilise une échelle logarithmique dé fréquences ce qui permet de décomposer en octaves la plage de fréquences sur laquelle on analyse le signal. Une telle représentation est illustrée en figure 2, où le signal s(t) est par exemple un signal de bruit. Les variations dans le temps des coefficients précités ont été représentée; pour 57 fréquences d'analyse, échelonnées de façon équidistante sur un axe de valeurs logarithmiques de la fréquence. On constate, sur cette représentation de la figure 2, qu'il est difficile de déceler des périodicités ou des instationnarités du signal s(t) et cela notamment aux basses fréquences ou les variations des coefficients sont trop lentes. Le procédé selon l'invention consiste à réaliser une analyse temps - fréquence d'un signal au moyen de fonctions d'analyse telles que les ondelettes explicitées ci-dessus, mais à ne représenter les variations des coefficients associés à ces fonctions que si leurs amplitudes sont supérieures (ou inférieures respectivement) a une valeur seuil prédéterminée. Er d'autres termes, on décompose le signal s(t) en coefficients d'ondelettes ou composantes fréquentielles associées chacune à une fréquence déterminée, ces fréquences formant un nombre déterminé d'octaves et couvrant une plage de fréquences prédéterminée, on fixe un seuil d'amplitude, on compare les amplitudes de ces composantes fréquentielles au seuil et on ne retient que les valeurs des composantes qui sont supérieures au seuil (ou inversement celles qui sont inférieures au seuil). De plus, on ne représente pas la variation des valeurs retenues en fonction du temps, mais leur aire par rapport à un axe de temps, c'est-à-dire qu'on représente chaque valeur instantanée retenue par un trait dont la dimension, perpendiculairement à l'axe des temps, est proportionnelle à l'amplitude de la valeur retenue. On obtient ainsi la représentation illustrée en figure 3, pour un même signal s(t) que celui de la figure 2. Dans le cas de la figure 3, les valeurs représentées sont les amplitudes des composantes fréquentielles qui sont supérieures au seuil déterminé. On constate immédiatement en figure 3 la présence de phénomènes périodiques dans le signal pour les 7 ou 8 plus basses fréquences, ce qu'il était absolument impossible de constater visuellement en figure 2. L'analyse du signal est faite sur une durée qui est supérieure à un minimum, fonction de la fréquence minimale d'analyse. En principe, ce minimum est de l'ordre d'une période de la fréquence minimale. Lorsque le signal est très court, on peut le prolonger par un signal constant et faire l'analyse de l'ensemble sur une durée suffisante, par exemple égale au minimum précité. On a représenté en figure 4 les composantes fréquentielles du même signal, dont les amplitudes sont inférieures au seuil déterminé. La représentation de la figure 4 est ainsi le négatif de celle de la figure 3, les zones noires en figure 4 correspondant aux amplitudes faibles du signal pour les fréquences correspondantes. On a représenté dans les figures 5 et suivantes les analyses temps - fréquence selon l'invention de signaux caractéristiques. Dans le cas de la figure 5, le signal s(t) est une impulsion de Dirac. On voit sur l'analyse selon l'invention de cette impulsion que, bien qu'elle soit de durée extrêmement courte, elle a des composantes d'amplitude relativement importante aux basses fréquences, sur un intervalle de temps relativement très grand par rapport à la durée de l'impulsion. La même remarque peut être faite pour le signal s On voit bien, sur la figure 6, de fines lignes blanches convergentes qui correspondent aux passages par zéro des différentes composantes fréquentielles. Les ondulations éventuelles de ces lignes blanches correspondent à des différences de phase entre les composantes fréquentielles. Ce phénomène est plus accentué dans la représentation de la figure 3, et dans celle de la figure 4 où les déphasages sont représentés par des ondulations des lignes noires. En figure 7, on a représenté l'analyse temps fréquence d'un signal s(t) qui est composé d'un échelon suivi d'une sinusoïde de fréquence progressivement croissante. On retrouve bien, dans la partie gauche de la représentation de l'analyse, l'allure caractéristique des composantes fréquentielles d'un échelon, et l'on voit en partie droite la transformée d'une courbe sinusoïdale pure, qui ne s'étend pas horizontalement, mais qui monte progressivement le long de l'axe des fréquences. En figure 8, on a représenté la transformée d'un signal sEt) qui est un signal en créneau à fréquence progressivement croissante. On retrouve sur l'analyse temps - fréquence la constitution de ce signal par une succession d'échelons dont les durées diminuent progressivement, et des zones d'amplitude importante aux basses fréquences, qui se succèdent comme les échelons du signal, sur des fréquences croissantes. Ce procédé d'analyse selon l'invention est avantageusement exécuté de façon automatique par un système de traitement de l'information, du type micro-ordinateur, au moyen d'un logiciel dont les parties essentielles, (planches 5 à 17) concernent la transformée d'un signal en ondelettes et sa représentation graphique, et le calcul de convolution d'une ondelette et d'un signal échantillonnés (partie réelle et partie imaginaire de l'ondelette). De façon plus détaillée, le procédé selon l'invention prévoit d'enregistrer un signal sous forme numérique dans une mémoire d'un micro-ordinateur, de visualiser ce signal sur un écran vidéo, de façon à pouvoir régler et choisir la ou les valeurs des seuils d'amplitude, et éventuellement de repérer déjà des phénomènes significatifs dans le signal, puis de visualiser la composante fréquentielle du signal au moins sur une voie d'analyse, également pour repérer un éventuel phénomène significatif. Il reste alors à fixer la fréquence minimale d'analyse, le nombre d'octaves d'analyse (par exemple inférieur ou égal à 10), le nombre de lignes d'analyse par octave (par exemple compris entre 1 et 13), la valeur de seuil (éventuellement les valeurs de seuil par octave, ou par ligne d'analyse pour certaines d'entre elles), et la sélection des valeurs supérieures ou inférieures au seuil déterminé. Il faut enfin préciser le nombre de points d'analyse dans le temps, ce qui revient à fixer la durée de l'intervalle de temps sur lequel le signal sera analysé. Le logiciel peut également comprendre un sous programme de calcul d'une transformée de Fourier rapide, permettant un repérage préalable des fréquences les plus intéressantes, notamment pour l'analyse de signaux relativement stationnaires. De façon générale, la détermination des composantes fréquentielles du signal est réalisée par filtrage, au moyen d'une série de filtres numériques passe - bande a réponse impulsionnelle finie ayant des fonctions de traitement qui sont gaussiennes en fréquence et sinus (ou cosinus) - gauss dans le temps (ce qui correspond bien aux fonctions élémentaires d'analyse ou ondelettes précitées, de sorte que le filtrage numérique du signal permet de réaliser sa transformée en ondelettes, exactement de la façon décrite plus haut. Le filtrage est du type non-causal, de sorte qu'il n'introduit pas de déphasage entre le signal et ses composantes fréquentielles. L'invention permet également de reconstituer le signal à partir de ses composantes fréquentielles, par une simple sommation. Lorsque l'analyse a été faite correctement, c'est-à-dire lorsque les fréquences d'analyse et leur étagement ont été correctement choisis, le signal reconstitué est remarquablement semblable au signal initial. L'invention s'applique bien entendu à l'analyse de signaux variant en fonction d'une grandeur autre que le temps, et qui peut elle-meme varier ou non en fonction du temps. REVENDICATIONS 1) Procédé d'analyse fréquentielle, en particulier en vue de la présentation globale de ses résultats sous une forme immédiatement perceptible à l'oeil, d'un signal de variation d'une première grandeur en fonction d'une seconde grandeur, consistant à décomposer le signal en un ensemble de composantes fréquentielles dont les fréquences respectives croissent en progression géométrique d'une valeur minimale à une valeur maximale et à représenter, parallèlement à un même axe de valeurs de la seconde grandeur, des variations d'amplitude de ces composantes fréquentielles selon des axes parallèles équidistants, caractérisé en ce qu'il consiste à définir un seuil d'amplitude des composantes fréquentielles, à comparer les amplitudes de ces composantes au seuil, a retenir les valeurs des composantes fréquentielles qui sont supérieures à ce seuil (ou inversement celles qui sont inférieures à ce seuil), et à représenter les valeurs retenues chacune par un trait dont la dimension, perpendiculairement à l'axe des valeurs de la seconde grandeur, est proportionnelle à l'amplitude de la valeur retenue. 2) Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que les représentations des valeurs retenues des composantes fréquentielles sont monochromes. 3) Procédé selon la revendication 1 ou 2, caractérisé en ce que les valeurs retenues des composantes fréquentielles sont représentées en phase avec le signal initial. 4) Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il consiste à réaliser la décomposition du signal initial en composantes fréquentielles par filtrage numérique au moyen de fonctions de traitement qui sont gaussiennes en fréquence et à superposition sinus-gauss ou cosinus-gauss dans le temps. 5) Procédé selon la revendication 4, caracté risé en ce que le filtrage précité est du type non causal, n'introduisant pas de déphasage entre le signal et les composantes fréquentielles. 6) Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il consiste à réaliser l'analyse du signal sur un intervalle ou un nombre de valeurs de la seconde grandeur, qui est supérieur à un minimum prédéterminé correspondant sensiblement à une période de la ligne d'analyse de fréquence minimale. 7) Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, caractérisé en ce que, dans le cas d'un signal très court, il consiste à prolonger ce signal par un signal constant et à faire l'analyse de l'ensemble de ces signaux sur un intervalle ou nombre de valeurs de la seconde grandeur, correspondant sensiblement au moins à une période de la ligne d'analyse de fréquence minimale. 8) Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il consiste à réaliser la décomposition du signal en composantes fréquentielles sur une plage de fréquences couvrant un nombre prédéterminé d'octaves à partir d'une fréquence initiale sélectionnée, ce nombre d'octaves étant par exemple inférieur ou égal a 10. 9) Procédé selon la revendication 8, caractérisé en ce qu'il consiste à réaliser la décomposition du signal en un nombre prédéterminé de composantes fréquentielles par octave, compris par exemple entre 1 et 13. 10) Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que le seuil précité est uniforme pour toutes les fréquences d'analyse. 11) Procédé selon l'une des revendications 1 à 9, caractérisé en ce que le seuil précité est réglable indépendamment pour chaque fréquence ou octave d'analyse. 12) Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il consiste à représenter d'abord les valeurs retenues supérieures au seuil précité, puis les valeurs retenues inférieures au seuil précité. 13) Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il consiste également à reconstruire le signal par sommation des composantes fréquentielles précitées. 14) Présentation de l'analyse fréquentielle d'un signal de variation d'une première grandeur en fonction d'une seconde grandeur, comprenant des courbes parallèles à un même axe de valeurs de la seconde grandeur, qui sont échelonnées de façon régulière ou équidistante le long d'un axe de fréquences et qui représentent les variations des composantes fréquentielles du signal en fonction de la seconde grandeur, caractérisée en ce que les tracés de ces courbes sont d'épaisseur variable, proportionnelle à la valeur instantanée de la composante fréquentielle correspondante et sont, au moins pour certaines, localement discontinues, les discontinuités correspondant à des valeurs de composantes fréquentielles qui sont supérieures (ou inférieures respectivement) à une valeur limite prédéterminée. 15) Présentation selon la revendication 14, caractérisée en ce que les courbes des composantes fréquentielles sont en phase avec le signal.