FR 2400742 A1 19790316 FR 7725756 A 19770816 L'invention se rapporte à un dispositif pour enseigner des concepts de nombres et des principes mathématiques et elle concerne ainsi particu- lièrement les méthodes pédagogiques, Des formes connues d'appareils den- seignement de construction simple telles que le boulier pressentent ltin- convenient de pouvoir être utilises seulement pour une gamme limitée de concepts et de méthodes mathématiques La présente invention fournit un appareil très simple qui peut titre utilisé dans une large gamme de méthodes dtenseignement relatives aux nombres0 Un dispositif,conforme à l'invention, pour l'enseignement de concepts de nombres et de principes mathématiques comprend une pièce de base ayant une surface divisée en une centaine de carrés unitaires identiques, avec un format de dix sur dix, et une pluralité d'éléments nombres destinés å être utilisés avec la pièce de base, et il se caractérise en ce que chaque élément nombre a des dimensions qui correspondent exactement en taille et forme à un nombre entier de carrés unitaires de la pièce de base, chaque élément nombre étant adapté pour visualiser les carrés unitaires correspondant à ceux qutil couvre sur la pièce de base quand il est placé sur celle-ci et chaque élément nombre portant la marque du nombre qu'il représente en termes de carrés unitaires. Dans un procédé de mise en oeuvre de l'intention, au moins quelques uns des éléments nombres sont suffisamment transparents pour permettre aux carrés unitaires de la pièce de base entre visibles à travers les éléments nombres quand ceux-ci sont placés sur la pièce de base. Dans une variante de mise en oeuvre de l'invention, où les éléments nombres peuvent être du tgpe opaques au moins quelques uns de ces éléments nombres portent euxmêmes la marque de carrés unitaires identiques en taille à ceux de la pièce de base. Au moins quelques uns des éléments nombres peuvent être en couleur, auquel cas il est préférable que tous les éléments nombres d'une taille soient de la même couleur, mais que les éléments nombres de chaque taille aient une couleur différente de celle des éléments nombres immédiatement adjacents dans n'importe quelle série d'éléments nombres. Selon une autre particularité préférentielle, au moins certains des éléments nombres ont des bords foncés qui permettent de distinguer les éléments nombres tndivi- duels quand deux ou davantage de ces éléments sont placés sur la pièce de base en se touchant. Au moins certains de ces éléments nombres peuvent avoir une particularité physique distinctive, telle qu'une cheville ou un trou, exprimant le concept du nombre de cet élément. Selon une autre particularité préférentielle de l'invention, la pièce de base et chacun des éléments nombres possèdent des moyens pour tenir les éléments nombres sur la pièce de base. Par exemple, la pièce de base peut avoir une cheville dressée sur chaque carré unitaire, et chacun des éléments nombres peut avoir un trou correspondant formé dans chacun de ses carrés unitaires, de sorte que les chevilles peuvent etre reçues dans les trous pour positionner les éléments nombres sur la pièce de base. En variante, on peut utiliser des moyens magnétiques pour positionner l'élé- ment nombre sur la pièce de base. Selon une autre particularité préférentielle de l'invention, le dispositif comprend un contingent d'éléments nombres associés à une seule unité de base, qui se compose de dix de chacun des éléments nombres I à 10, cinq des éléments nombres 20, trois des éléments nombres 30, deux des éléments nombres 40 et 50, et un de chacun des éléments nombres 60, 70, 80, 90, 100. Selon encore une autre particularité préférée de l'invention, on prévoit une boute dont la longueur est adaptée à recevoir un élément nombre long de 10 carrés et qui est aussi adaptée a' recevoir des éléments nombres par paires qui totalisent chacune une longueur de 10 carrés unitaires, c'est à-dire 9 et 1 8 et 2, 7 et 3, 6 et 4, 5 et 5. En outre, l'invention peut comprendre une autre botte ayant des espaces pour recevoir des éléments nombres de valeurs 20, 30 40, 50, 60, 70, 80, 90 et 100, de sorte que les rapports entre les uns et les autres de ces élements nombres soient visualises. On comprendra mieux l'invention à l'aide de la description suivante d'une réalisation spécifique de l'invention, ainsi que de diverses manières dont l'invention peut etre utilisée, description qui est donnée à simple titre d'exemple en se référant aux dessins joints dans lesquels: la Fig 1 est une vue en plan, de dessus, d'une pièce de base; la Fig 2 est une vue en perspective de la pièce de base de la Fig 1; et les Fig 3 à 8 montrent une série d'éléments nombres représentant respectivement les unités 1, 2, 3, 10, 20 et 30. Les Fig 1 et 2 montrent une pièce de base qui a la forme d'un tableau sur lequel sont tracées des lignes formant cent carrés identiques dans un format de dix sur dix. Une courte cheville ronde p fait saillie vers le haut à partir du centre de chacun des carrés. Lappareil comprend aussi un contingent d'éléments nombres tels que ceux illustrés par les Fig 3 à 8. Chacun de ces éléments nombres est fait en matière plastique transparente et a une taille et une forme telles qu'il recouvre un nombre entier précis des carrés marqués sur-la pièce de base. Par exemple, l'élément représenté sur la Fig 3 est un simple carré unitaire et il est par conséquent dimensionné de manière à correspondre précisément à l'un des carrés unitaires de la pièce de base. Cet élément représenté sur la Fig 3 présente un trou h disposé au centre de 11 élément et adapté à titre requ sur l'une des chevilles p de la pièce de base, de sorte que l'on peut placer cet élément au-dessus d'un des carrés marqués sur la pièce de base. De plus, le trou unique h de l'élément représenté sur la Fig 3 constitue une particularité physique distinctive exprimant le concept du nombre de cette unité.On remarquera toutefois que le chiffre s t est egalement marqué sur la surface supérieure de l'élément. L'élément illustré sur la Fig 4 est de dimensions telles qu'il est adapté à s'ajuster sur deux des carrés de la pièce de base et, à cette fin, il a deux trous h, ce qui lui permet de se loger exactement sur deux des carrés de la pièce de base, et sa surface supérieure porte aussi l'inscription "2". De manière similaire l'élément que représente la Fig 5 est adapté à s'ajuster sur trois carrés unitaires, et ltélément que représente la Fig 6 est adapté à s'ajuster sur dix carrés unitaires. Tous les éléments représentés sur les Fig 3 à 6 sont adaptés à s'ajuster sur des carrés unitaires d'une seule rangée de la pièce de base.L'élément que représente la Fig 7 est adapté à recouvrir vingt carrés unitaires de la pièce de base, dans un format de dix sur deux, et llélément que représente la Fig 8 est adapté à recouvrir trente carrés unitaires dans un format de dix sur trois. Chacun de ces éléments a des bords foncés, de sorte que si deux d'entre eux sont placés sur la pièce de base en se touchant, on peut facilement les distinguer ltun de l'autre. Dans l'appareil complet, les éléments nombres unitaires sont tournis dans les valeurs: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 20 30, 40, 50 60, 70, 80, 90 100. Le contingent total comprend dix de chacun des éléments 1 à 10 inclus, cinq de chacun des éléments 20, trois de chacun des éléments 30, deux de chacun des éléments 40, 50 et un de chacun des éléments 60, 70, 80, 90t 100. Une première boîte (non représentée) pour les éléments de valeurs 1 à 10 contient ces éléments empilés sur leurs cotés. La profondeur interne de la boite est égale à la largeur des éléments. La longueur interne de la boîte est égale à celle de ltélément 10 et permet ainsi de stocker les éléments dans la boite avec visualisation, deux éléments ayant ensemble la longueur de lélément 10, c'est-à-dire 9 et î, 8 et 2, 7 et 3, 6 et 4, 5 et 5. La largeur interne de la boîte égale celle de l'épaisseur totale des éléments dans cet arrangement. Une seconde boîte (également non représentée) est prévue pour contenir les éléments de valeurs 20 à 100, placés à plat. Les dimensions internes de cette boite correspondent à la surface de l'élément 100 et à l'épais- seur totale des éléments dans cet arrangement. Le principe à la base de l'utilisation de l'invention eut adapté des images photographiques négatives et-positives, impliquant des techniques de montage et de superposition, ce qui crée une "projection1' sur "papier sensibilisé des concepts numériques, des relations entre eux et des principes sous-jacents des mathématiques. Dans la description spécifique suivante de certaines utilisations de l'invention, on appellera "gabarits" les éléments nombres unitaires représentés sur les Fig 3 à 8 des dessins. Toute la compréhension mathématique dépend d'une perception initiale de ce que sont les nombres. Cette perception est amenée par l'utilisation des gabarits I à 10 inclus, du fait que plusieurs exemples de chacun donnent une impression répétitive, que la différenciation entre eux est in tensifiée par plusieurs exemples et que les dimensions de la botte les contenant nécessitera une différenciation. Ce que signifient les termes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 est inculqué par une association psychologique constante des marquages de chiffres, des longueurs, des carrés. La reconnaissance des gradations comparatives de la longueur et des carrés montre les nombres en position sur une échelle. On voit des additions et soustractions simples en comparant les éléments nombres placés le long les uns des autres. Une continuation de nombres est montrée par des additions s'étendant à partir dol pièces de base. Partant de lâ, on obtient le concept de nombres tels que 10 et 1, 10 et 2, etc... , et de manière similaire 20 et 2, 30 et 4, etc... , d'autres dizaines et unités, le format brut de la pièce de base constituant la base de l'échelle des nombres. Les éléments nombres 20 à 100 établissent un modèle ascendant de nombres de sorte que l'on peut ainsi comprendre la valeur de la place et réaliser que 100 commence un autre ensemble et une nouvelle continuation. Assortir le même type d'élément, par exemple les 9, 8, etc... constitue le groupement impliqué en multiplication - compréhensible par l'élève comme une extension du procédé d'addition. On peut illustrer des exemples de multiplication - y compris la séparation en places nécessaire pour une longue multiplication. A partir du produit, on s'initie aux concepts de divisibilité et de mise en facteurs. On peut montrer à la fois des divisions courtes et longues. On montre comment décomposer en facteurs des nombres - sauf les nombres primaires et cela peut être illustré. On peut aussi voir ce que sont le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur. Le système métrique est composé de dizaines comme lte6t l'échelle classique des nombres. Les valeurs monétaires sont inculquées, Si elles sont basées sur une unité de 100 unités plus petites. Os peut aussi illustrer la mesure des surfaces qui est une application de la multiplication. Du fait qu'une fraction est le résultat de la division dtun tout en un nombre de parts égales, tous les éléments nombres sont des fractions d'autres éléments nombres ou de la pièce de base. On peut montrer avec différents exemples ce qu'est une moitié, un tiers, un quart, etc... , en donnant ainsi l'idée d'une fraction à la fois comme partie dune autre quantité et comme constituant un rapport en elle-mtme. On inculque alors la signification du dénominateur et du numérateur, on voit que l'addition ou la soustraction laissent le dénominateur sans changement et que la simplification d'une fraction ne la modifie pas. On peut expliquer les fractions équivalentes et comment un nouveau dénominateur qui est le plus petit commun multiple de diverses valeurs facilite l'addition et la soustraction de diverses fractions.On peut montrer certains exemples de nom bres fractionnaires et on peut faire comprendre comment les convertir en expressions fractionnaires. On peint illustrer ce qui est entraîné dans la multiplication et la division de fractions. Du fait que les décimales sont des fractions avec des dénominateurs de 10, 100, 1000 etc... , tous les éléments nombres ont des valeurs décimales dont on peut montrer qu'elles ont les mêmes chiffres que des nombres ordinaires, mais exprimés avec une virgule ou un point. En utilisant la pièce de base ou l'élément a00 comme un tout, on peut en faire la démonstration, 0,01 - 0,02 - etc... étant vus comme se rapportant à 0,1 - 0,2 etc... On peut se rende compte qu'un zéro à extrémité droite ne change pas la valeur décimale. A partir de valeurs fractionnaires correspondantes on peut découvrir les règles de conversion entre celles-ci et les décimales. Il est compréhensible qutune troisième place et que des places suivantes de décimales sont un prolongement de l'échelle ordinaire des nombres, à partir des valeurs de place. On se rend compte qu'en travaillant avec un plus grand nombre de places de décimales on obtient une plus grande précision. On peut voir que l'addition et la soustraction n'affectent pas la virgule ou le point et quels ajustements sont nécessaires pour la multiplication et la division relativement aux valeurs fractionnaires. On peut voir comment la précision peut titre exprimée en termes de décimales. Les éléments nombres se trouvent dans la même relation avec la pièce de base que ce que l'on désigne par le terme "pour cent". Les éléments ont ainsi tous une valeur en pour cent - concepts qui ont déjà été acquis, bien que dans des termes différents. On voit facilement ce que sont les équivalents fractionnaires et décimaux; on voit aussi un pourcentage en monnaie. Les éléments nombres peuvent eAtre utilisés pour le prix de revient, le prix de vente, le principal, l'intéret, les transactions de valeurs mobilières. L'idée de rapport est illustrée par les éléments nombres 20 à 100 qui sont posés à plat et triés dans un ordre de grandeur plaçant les plus petits au-dessus, le rapport étant une relation de comparaison sur une base fractionnaire. On peut faire la démonstration par des exemples variés, que l'uniformité de la gradation peut titre traitée de la même façon que les fractions. On peut comprendre que des quantités soient exprimées de cette manière. La méthode des-unitéa, qui est une application des fractions, impliquant aussi rapport et proportion est très bien montrée selon des exemples spécifiques, tels que des tuyaux remplissant des baignoires, des problèmes de travaux. On peut illustrer plusieurs exemples de carrés et racines carrées qui en font comprendre la nature, et on voit que la méthode de calcul des racines carrées en groupant les chiffres par paires à partir de la droits est correcte. Le concept de ce qui est "au carré" est important en algèbre. Il peut être mie en évidence-par des exemples de termes tels que (x (xul) équivalent à x + 2x + I et des développements similaires du type (x+2)2 qui entrawnent un terme médian déterminé de la mme façon. De tels exemples facilitent la pénétration dans la factorisation inverse. il est possible de montrer x + y et la différence avec (X+y) et des exemples tels que (2x + y) et d'autres bin8mes. A partir de comparaisons on peut voir comment deux signes moins font un plus et qu'un signe moins en dehors d'une parenthèse change le signe dans la parenthèse. Le dispositif peut etre rutile en relation avec l'idée d'échelle, de triangles semblables où il y a un aspect de trigonométrie et il peut constituer une certaine introduction aux graphiques et à la géométrie des coordonnées. REVENDICATIONS 1- Dispositif pour enseigner des concepts de nombres et des principes mathématiques, comprenant une pièce de base qui présente une surface divisée en cent carrés unitaires identiques dans le format de dix sur dix, et une pluralité d'éléments nombres devant être utilisés avec cette pièce de base, caractérisé en ce que chaque élément nombre a des dimensions telles qu'il corresponde exactement en taille et forme à un nombre entier de carrés unitaires sur la pièce de base, chaque élément étant adapté à visualiser des carrés unitaires correspondant à ceux qu'il recouvre sur la -pi de base quand il est placé sur celle-ci et chaque élément nombre étant marqué du nombre qu'il représente en termes de carrés unitaires. 2- Dispositif selon la revendication 1, caractérisé en ce qu'au moins certains des éléments nombres sont suffisamment transparents pour permettre aux carrés de la pièce de base d'entre visibles à travers eux quand les éléments nombres sont placés sur la pièce de base, en tant que moyen de visualisation des marques des carrés unitaires. 3- Dispositif selon l'une quelconque des revendications 1 et 2, caractérisé en ce qu'au moins certains des éléments nombres sont eux-mêmes marqués de carrés unitaires identiques en taille à ceux de la pièce de base, en des marques tant que moyen de visualisation/des carrés unitaires. 4- Dispositif selon l'une quelconque des revendications 1 à 3, caracçérisj en ce qu'au moins certains des éléments nombres sont colorés, tous les éléments d'une taille étant d'une seule couleur, mais les éléments de chaque taille étant d'une couleur différente de celle des éléments directement adjacents dans n'importe quelle série d'éléments 5- Dispositif selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'au moins certains des éléments nombres ont des bords foncés, ce qui permet aux éléments nombres individuels d'etre distingués quand deux ou davantage de ceux-ci sont placés sur la pièce de base en se touchant. 6- Dispositif selon lune quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qutau moins certains des éléments nombres ontyne partioula- rité physique distinctive exprimant le concept du nombre de cet élément. 7- Dispositif selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que la pièce de base et chacun des éléments nombres ont des moyens de maintien des éléments nombres sur la pièce de base. 8- Dispositif selon la revendication 7, caractérisé en ce que chacun des carrés unitaires de la pièce de base est muni d'une cheville et chaque élément nombre présente un trou dans chaque portion de celui-ci qui correspond à un carré unitaire, chacun de ces trous étant arrangé pour recevoir une des chevilles. 9- Dispositif selon ltune quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'est prévu un contingent d'éléments nombres comprenant dix de chacun des éléments nombres 1 à 10, cinq des éléments nombres 20, trois des éléments nombres 30, deux des éléments nombres 40 et 50 et un des éléments nombres ÓOZ 70, 80, 90, 100. 10- Dispositif selon ltune quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qutest prévue une boîte ayant une longueur telle qu'elle est adaptée à recevoir un élément nombre long de 10 carrés et des éléments nombres en paires donnant chacune une longueur de dix carrés unitaires, c'est-à-dire 9 et 7, 8 et 2, 7 et 3, 6 et 4, 5 et 5. 11- Dispositif selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'est prévue une boite présentant des espaces pour recevoir des éléments nombres de valeurs 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 et 100 de sorte que les rapports des uns aux autres soient visualisés.