FR 2310527 A1 19761203 FR 7514073 A 19750506 L'invention concerne des structures spatiales aptes à former aussi bien des dômes, coupoles, rosaces, lustres, ..., que leurs modèles réduits en temps qu'objets publicitaires et jeux de construction. On connaît bien des dômes d'architecture, ou des réservoirs sphériques utilitaires, réalisés par assemblage d'éléments délimités par des "méridiens" et des "parallèles" s-ernendiculaires aux premiers-. Malgré la majesté que prsentent certaines réalisations grandioses, il faut bien constater qu'elles donnent parfois une impression de lourdeur, due surtout aux méridiens qui tombent verticalement vers le sol et, à l'opposé, plafonnent ensemble, semblant montrer leur impuissance à s'élever vers l'infini. La structure orthogonale des méridiens et parallèles augmente cette impression statique, résultant particulièrement de l'assise horiontale des méridiens. L'invention remédie à ces inconvénients, aussi bien pour les surfaces courbes que pour des surfaces planes, grâce à une substructure mathé- mastique contenant substantiellement une notion d'infini, celle-ci transparaissant dans les réalisations objets de l'invention, malgré leurs limitations matérielles. Cette substructure sera explicitée plus loin, avant la description de divers exemples d'applications. Selon l'invention, une surface est structurée st caractérisée par une partition matérialisée comprenant une pluralité de sous-ensembles d'éléments, chaque sous-ensemble comprenant au moins une succession d'éléments identiques, lesdits éléments desdits sous-ensembles étant similaires à des échelles comprises entre deux extrêmes, les contours limitant lesdits élé ment s appartenant au moins à deux familles de lignes, les lignes d'une même famille ne se coupant pas, étan ordonnées, et délimitant entre elles des bandes comprenant chacune s'iccessivemenun élément de chacun desdits sousensembles, chaque ligne d'une famille soupant successivement des lignes de l'autre famille en formant des noeuds où aboutissent des lignes de contours. én outre, lesdits noeuds comportent de préférence des directions faisant entre elles des angles constants au moins pour un sous-ensemble de noeuds deladite surface. L'invention sera mieux comprise @ l'aide des descriptions qui suivent st des dessins annexés. La figure I représente deux spirales sur une surface ; La figure 2 représente une partition plane en parallèlogrammes ou hexagones ; La figure 3 représente une partition plane en éléments à contours curvilignes ; La figure 4 représente un fragment angulaire de structures de rosaces isogonales ; La figure 5 représente une rosace sphérique dont la projection sté réographique est la rosace de la figure 4 ; La figure représente une application de la structure isogonale à un dôme non sphérique La figure 7 représente, en coupe, un type de noeud d'assemblage des arcs La figure 8 représente un arc tubulaire renforcé par cloisonnements de capsules La figure 9 représente un arc enfermé dans un support de panneaux. D'une manière générale (figure I), sur une surface S plane ou cour- be, on peut ss donner un pôle P et une première famille de courbes tassant par ce pôle, rayons pour une surface plane par exemple, et méridiens pour une surface ds révolution. Par un point K quelconque d'une courbe de la première famille choisie comme repère, on peut déterminer mathématiquement deux courbes spirales coupant toutes les courbes de la premiere famille sous un mâme aigu constant + # & .Si M varie le long de sa courbe repère, les deux courbes spirales engendrent chacune une famille de courbes spirales, chaque courbe d'une des familles coupant les courbes de l'autre famille sous un angle 2o On considère maintenant, dtns un plan, deux vecteurs OI, OJ (figure 2) définissant une double période créant une partition du plan en parallélogrammes adjacents, de oôtés parallèlss à OI et OJ. On peut définir, pour tout point m du plan rspéré dans le système de coordonnées OI, OJ, une application mathématique sur la surface S en un point M repéré dans ledit système de coordonnées spirales.On définit ainsi une "partition spirale" de la surface S, et on appellera encore parallèlogrammes de la surface S les images de parallèlogrammes du plan OIJ, triangles de la surface S, les images dis triangles du plan OIJ obtenus à l'aide des diagonales des parallèlogrammes et, de même,- losanges et hexagones de la surface S, les figures obtenues en regroupant des triangles élémentaires convenables. On sait, en effet, que la partition du plan définie par OI, OJ, conduit en même temps à une partition sn triangles égaux dont le regroupe ment par six de même sommet définit une partition en hexagones égaux se re groupant par trois autour d'un même sommet ou noeud N. On sait aussi que, sur une partition en parallèlogrammes, on peut remplacer deux côtés linéaires par deux côtés curvilignes et conserver une partition d'éléments semblables, et, de même, pour une partition sn hexagones, en remplaçant trois côtés consécutifs par trois arcs arbitraires, les côtés opposés curvilignes s'en déduisant par translation. On connaît aussi d'autres modes de partition du plan en éléments superposables, et de partition en deux sous-ensembles de tels éléments, tels que l'alternance d'octogones et de carrés de même côté. L'invention s'étend à toute application en coordonnées spirales d'une partition plane de l'un des types décrits ci-dessus, soit donc en au plus deux sous-ensembles d'élément identiques. Les éléments transformés en coordonnées spirales d'élements identiques du plan seront appelés similaires à des échelles variées. L'invention s'applique de préférence à des éléments similaires dont les noeuds ont des angles constants et sont dits identiques, ou dont les noeuds identiques forment au plus deux sous-ensembles. Li dsscription ci-dessus de la substructure mathématique n'a été exposée que pour faire comprendre la structure de la partition des surfaces conformes à l'invention, et à en montrer la réalisation possible. On va maintenant décrire quelques modes de réalisation à titre d'exemples. On voit, sur 13 figure 4, des angles de même sommet O égaux à un sous-multiple de 360 degrés. Le dessin est limité à une certaine valeur d'un rayon R pris pour unité aux points A, B, C, ..., et à une valeur inférieure r en a, b, c, ..., sur les bissectrices des angles AOB, BOC, ,..On trace ensuite, sur les rayons OA, OB, OC, ..., des points OSAI, OA2, o.. OÂn, OBî. ..., résultant d'une progression géométrique décroissante de raison r2, et, sur les rayons Oa, Ob, 0c, des points OaîbleOa2, ..., Obî, Ob2, ..., résultant d'une progression géométrique sembla/de raison r2.On sait que les points tels que A, a, BI, bî, C2, ..., sont sur une même spirale logarithmique pour laquelle les rayons vecteurs décroissent dans un rapport r pour chaque rot3tion égale à l'angle AOa. Si N est le nombre des angles tels que tOB, ou aOb, on X déterminé une première famille de N spirales et l'on voit que les mêmes points déterminent simultanément une famille de N spirales symétriques des premières. On rappelle que ces spirales sont en soi d'un tracé infini vers l'infiniment grand, quoique limite dans son exécution par les points A, B, C, ..., et vers l'infiniment petit, et qu'il convient donc de limiter le tracé cé après un nombre choisi de points, les arcs suggérant leur double convergence en O après un nombre infini de tours. La partie centrale de la surface annulaire est alors complétée avantageusement par un élément unique qui peut comporter en gravure un nombre important de spires complémentaires des deux spirale s. On voit, de plus, que les deux failles de spirales se coupent en chacun des noeuds du réseau sous un angle constant d terminé par l'angle AOB et la valeur choisie ds Oa. Cette affirmation doit être comprise de deux ma, nières. Dans la première, elle concerne les spirales curvilignes et l'angle de leurs tangentes en leurs points d'intersection. Dans la seconde, elle concerne les spirales nolygonales inscrites formés dss suites ds segments rectilignes tels que AaBIC2 ... décroissants eux aussi en proguession géométrique de raison r, et formant entre eux des angles constants en déterminant une double infinité de triangles semblables directement ou inversement. A titre de variante d'application de la structure de l'invention, les points a, Ja, ..., b, bî, ..., peuvent être remplacés par des points a1, a'I, ..., b', b'î, ..., obtenus par l'intersection des droites ABI, et BCt et BIC, ... Les nouveaux points ne sont plus sur les spirales définies par les N oints A, X, C, ..., et la raison r2. Les deux familles de spirales polygonales subsistent pour dss angles au centre doubles, et des cordes telles que ABIC2 ... On voit que, dans chacun des N angles tels que AOB, est définie une suite de losanges semblables tels que AIaBIaI décroissants en progression de raison r2.Dans ce dernier cas, contrairement aux deux premiers, curviligne ou rectiligne de progression r, il existe maintenant deux sortes de noeuds, les noeuds du type a', a'r, ..., ayant seulement deux directions pour les quia, tre arcs qui y aboutissent, et les noeuds tels que BI, B2, ayant quatre directions. Les quadrilatères tels que a'Bb'BI ne sont plus des losanges, tout en ayant en a' st b' les mêmes angles que ceux des losanges en MI et BI Pour la commodité du langage, on appellera du même nom de "strus- ture isogonale" les trois variantes de réalisation décrits ci-dessus deri- vant des deux familles de mimes spirales. En pratique, une réalisation d'une structure isogonale différera sensiblement dss variantes décrites, car les arcs ne seront pas des spirales théoriques, mais des tiges ayant subi une certaine courbure moyenne ou la prenant d'elles-mêmes grâce à leur souplesse. On voit, sur la figure 4, à gauche, des variantes de partition en triangles et losanges, rectilignes et curvilignes, et à droite, des partitions en hexagones. Les partitions curvilignes suggèrent des ondes unissant les deux infinis. On obtient ainsi, selon l'invention, une première réalisation d'un jeu de construction de rosaces, comprenant au plus deux ensembles de noeuds identiques aisés à fabriquer en série, aptes à réunir des tiges souples pui- sées dans des lots numérotés selon les termes de la progression géométrique. Les noeuds seront de préférence formes de deux parties assemblablss selon un plan de symétrie. La figure 7 montre une de ses parties comportant quatre ouvertures I pour recevoir les extrémités des tiges de préférences gonflées a leurs extrémités 2 et à l'intersection 0 des ouvertures un moyen de fixation tel que pression ou boulon. Selon une variante, la fixation des parties a lieu par quatre bagues de serrage 3 coulissant sur les ouvertures I élastiques. Une deuxième réalisation d'un jeu de construction de rosaces comprend des lots d'éléments similaires isogonaux prédécoupés en puzzle et de couleurs variées, le jeu consistant dans l'assemblage des éléments jointifs en choisissant à chaque fsis les couleurs. Les éléments colores sont, par exemple, en olastique translucide, ou en découpages de feuilles adhésives. On va maintenant, selon l'invention, définir les mêmes structures similaires isogonales sur la sphère. La figure 5, mise en correspondance de géométrie descriptive avec la figure 4, montre une sphère de diamètre vertical IJ et dont la section équatoriale OX est représentée en projection hori zonale par la rosace de la figure 4.On sait que, par une projection dite stéréographique, la figure 4 du plan di3métral est la perspective à partir de l'un des pales I ou J d'une figure sphérique où tous les angles des noeuds ds la partition plane sont identiques aux angles curvilignes homologues de la partition sphérique. L3 corresponlance s'étend aussi au réseau extérieur au cercle équatorial, non tracé, et qui, à partir de I comme pôle, détermine sur l'hémisphère inférieure, le prolongement du réseau déterminé sur l'hémisphère supérieur par l'intérieur du lan équatorial. La âme projection est obtenue à partir de J en permutant les rôles de l'extérieur et de l'intérieur de la rosace.On 3 ainsi sur la sphère N méridiens correspondant aux points A, B, C, de la figure I et contenant les images des points AI A2 ... BI B2 Ci ... de la rosace, et, sur des méridiens bissecteurs des premiers, des ima ges des points 21 a2 ... B b2 ... @I ... de la rosace. L'ensemble de ces points détermine deux réseaux symétriques de N spirales sphériques s'enroulant indéfiniment autour des deux pôles I et J, d'un infiniment petit à l'autre. Evidemment, la structure réelle s'arrêtera pratiquement à une certaine distance des deux pôles, mais le mouvement des spirales suggérera l'infini des spores infiniment petites. Deux calottes polaires peuvent compléter avantageusement la structure et porter gravées un nombre important de spires complémentaires des deux spirales. On voit ainsi, sur la figure 5, un tracé partiel d'un réseau de losanges spheriques conforme à l'une des trois variantes de structure isogonale selon l'invention, déjà décrites pour les rosaces. Les noeuds décrits sur la figure 7 sont applicables aux structures sphériques isogonales, seule la progression des longueurs des tiges est différente, facile à tracer ou calculer. Pour un jeu de construction, les tiges de longueurs prédéterminées sont sou- ples et prennent d'elles-memes la courbure sphérique voulue. Dans une réalisation architecturale, las tiges sont de préférence précourbées selon le rayon de courbure,connu en tout pointssdes spirales sphériques. La figure 6 montre l'application des structures isogonales à -une surface de révolution non sphérique utilisant les mêmes noeuds mais avec des arcs de longueurs prédéterminées sn fonction de la méridienne choisie pour la surface. La structure isogonale s'étend aussi, selon l'invention, à des surfaces dont la forme est plus générale, illustrée aussi par la figure 6, mais avec des "parallèles" devenant par exemple des ovales. On peut choisir une première famille de lignes dites méridiennes dns le faisceau de plans verticaux passant par un sommet I de la surface, ou encore une famille d'autres courbes telles que des géodésiques issues de I. Pour une valeur choisie d'un angle > , on peut déterminer deux familles de spirales coupant toutes les lignes de la première famille sous l'angle & Les courbes spirales des deux familles se coupent toutes alors sous l'angle 2 & et lton peut choisir plus ou moins serres, un nombre N de spirales dé chaque famille déterminant une structure isogonale conforme à l'invention, utilisant des noeuds identiques et des arcs de longueur prédéterminable. Sn général, les nailles du réseau ne sont plus strictement des losanges, mais des quadrilatères curvilignes isogonaux. Selon une caractéristique secondaire de l'invention, la structure isogonale utilise de préférence des arcs élancés à grande résistance mécanique d'une grande finesse contribuant à donner à la construction une sxpression de légèreté et de dynamisme infini. On utilise à cet effet des tubes, métalliques de préférence, de grande résistance à 13 traction et à la comprsssion. Le seul risque de tels tubes est le flambement par flexion brusque rendue possible par l'ovalisation, puis l'écrasement, d'une section droite. Selon l'invention, les tubes seront remplis intérieurement bout à bout de capsules dont les fonds s'opposent à l'ovalisation. Ces capsules sont introduites à frottement doux dans les tubes précintrés, et bouohés ensuite à leurs extrémités. L3 figure 8 montre en couse les parois T d'un tube enfermant une suite de capsules C, un bouchon B étant fixé à une extrémité. On voit, sur la figure 9, le tube de la figure 8 placé dans un profilé 5 ayant deux ailes 6 pour supporter par leurs bords des panneaux9de rev8tement. Un second profilé 7 muni de deux ailes 8 vient coiffer le premier, st serrer les panneaux9entre les ailes 6 et 8. L'adhérence de l'ensemble se fera de préférence à l'aide de ciment élastomère apts à supporter de légères déformations en conservant l'étanchéité. Les descriptions précédentes sont données à titre d'exemples de réalisation, et l'invention couvre toutes variantes à la portée de l'homme de l'art, inspirées des principes exposés. REVENDICATIONS I. Surface structurée caractérisée par une partition matérialisée comprenant une pluralité de sous-ensembles d'éléments, chaque sous-ensemble comprenant au loins une succession d'éléments identiques, lesdits éléments desdits sous-ensembles étant similaires à des échelles comprises entre deux extrêmes, les contours limitant lesdits éléments appartenant au moins à deux familles de lignes, les lignes d'une même famille ne se coupant pas, étant ordonnées. et délimitant entre elles des bandes comprenant chacune successi- weme ent de chacun desdits sousensembles, chaque ligne d'an% famil- le coupant successivement des lignes de l'autre famille en forant des noeuds où aboutissent des lignes de contours. 2. Surface selon ta revendication I, caractérisée en ce que lesdits noeuds conportent des directions faisant entre elles des angles constants au moins pour un sous-ense-ble de noeuds deladite surface. 3. Surface selon la revendication 2, caractérisée en ce que lesdites lignes des deux familles sont matérialisées par des tiges reliées aux noeuds matériels par des moyens de fixation. 4. Surface selon la revendication I, caráctérisée en ce que lesdites lignes des deux familles sont constituées de lignes de séparation et contact entre lesdits éléments matérialisés. 5. Surface selon les revendications I et 4, caractérisés en ce que ladite surface est plane. 6. Surface selon les revendications 4 et 5, caractérisée en ce que lesdits éléments matérialisés forment un puzzle à construire à l'aide de sousensembles d'éléments interchangeables de coloris différents. 7. Surface selon la revendication 3, caractérisée en ce que lesdits noeuds sont formés de deux demi-plaquettes superposable., aptes à enfermer les extrémités des tiges, des moyens de fixation verrouillant les demi-pla- quettes, en un noeud rigide. 8. Surface selon la revendication 3, caractérisée en ce que lesdites tiges sont creuses, remplies d'une suite de capsules comportant inie pa- roi et un fond rigide, lesdites capsules ayant une foree extérieure entrant à frottement dans la for-o intérieurs de ladite tige. 9. Surface selon les revendications I et 6, caractérisée en ce que lesdites lignes des deux failles sont des spirales modulées par une fonotion périodique à l'échelle des éléments. 10. Surface selon la revendication 6, caractérisée en ce que lesdits éléments du puzzle ont une forme hexagonale.