FR 3053796 A1 20180112 FR 1656602 A 20160708 1 Procédé d'estimation d'une impédance fréquentielle Description DOMAINE TECHNIQUE Le domaine technique de l'invention est l'estimation de l'impédance fréquentielle, notamment d'un circuit électrique ou électrochimique, et en particulier une batterie, de façon à suivre une évolution temporelle de cette impédance. ART ANTERIEUR Le recours à des batteries équipant des dispositifs nomades se développe, et notamment dans le domaine du transport, où les accumulateurs, ou batteries deviennent des organes particulièrement critiques, dont le fonctionnement doit être régulièrement suivi. Il s'agit d'effectuer une surveillance régulière, et si possible en temps réel des performances et de grandeurs caractéristiques de ces accumulateurs. Des méthodes classiques d'estimation d'impédance fréquentielle basées sur l'hypothèse d'une linéarité et de l'invariance dans le temps du circuit existent, par exemple par spectroscopie d'impédance, mais ces méthodes sont basées sur une hypothèse d'invariance du circuit dans le temps. Selon de telles méthodes, l'impédance, est déterminée à une fréquence donnée en considérant l'intensité du courant parcourant la batterie et la tension aux bornes de la batterie. Le courant d'alimentation de la batterie est considéré comme un signal d'entrée, et la tension aux bornes de la batterie est considérée comme un signal de réponse. Plus précisément, l'impédance peut être estimée par un ratio d'un estimateur de la densité spectrale de puissance croisée (ou interspectre) de l'intensité et de la tension sur un estimateur de la densité spectrale de puissance (ou autospectre) de l'intensité. Les principales caractéristiques d'une batterie, par exemple la tension moyenne à ses bornes, le courant moyen la parcourant, les températures interne ou externe, ou l'état de charge et de santé sont considérées comme constantes durant le temps de mesure. Une telle méthode est jugée peu propice à des applications de suivi en temps réel de l'impédance fréquentielle, en particulier du fait que deux estimations d'une impédance à deux instants différents soient effectuées indépendamment l'une de l'autre. La publication Piret H « Tracking of electrochemical impedance of batteries », Journal of Power Source 312 (2016) 60-69, décrit une méthode innovante permettant un suivi en temps réel de l'impédance fréquentielle d'une batterie, un tel suivi étant désigné par le terme « poursuite ». Cette méthode met en oeuvre un algorithme récursif, au cours duquel l'impédance à un instant 3053796 2 donné est estimée en considérant des estimations des densités spectrales de puissance, précédemment évoquées, à un instant antérieur, ces dernières étant affectées d'un terme de pondération, désigné par le terme « facteur d'oubli ». Cette méthode s'avère bien adaptée au suivi en temps réel de l'impédance d'une batterie. Dans cette publication, le facteur d'oubli est 5 un réel strictement compris entre 0 et 1. Plus il est faible, plus la prise en compte des densités spectrales de puissance préalablement estimées est faible, et moins l'estimation de l'impédance est précise. Lorsque ce facteur d'oubli est proche de 1, la précision de l'estimation de l'impédance est améliorée, au détriment d'un temps de convergence élevé, le temps de convergence désignant la durée au bout de laquelle on dispose d'une estimation correcte de 10 l'impédance. Un facteur d'oubli élevé, entraine aussi une erreur plus importante en cas de très fortes et subites variations de l'état du système contrairement à un facteur d'oubli plus faible, qui fournit une meilleure estimation en poursuite. On comprend que la valeur attribuée au facteur d'oubli permet d'agir à la fois sur les capacités de poursuites de l'algorithme et sur la précision de l'estimation obtenue, et doit satisfaire un compromis entre ces deux grandeurs. 15 La méthode précédemment décrite suppose de fixer préalablement la valeur du facteur d'oubli. Les inventeurs ont proposé un perfectionnement permettant de surmonter cet inconvénient. L'invention est particulièrement optimisée pour des applications de suivi en temps réel de l'impédance, dans lesquels on doit trouver un compromis entre l'erreur d'estimation et un temps de convergence suffisamment court. 20 EXPOSE DE L'INVENTION Un objet de l'invention est un procédé d'estimation d'une impédance d'un système, apte à délivrer une réponse lorsqu'il est soumis à une excitation comprenant les étapes suivantes : a) application d'un signal d'excitation au système et mesure d'un signal de réponse, représentant une réponse du système au signal d'excitation ; 25 b) segmentation du signal d'excitation et du signal de réponse selon différents intervalles temporels ; c) calcul d'une expression fréquentielle du signal d'excitation et du signal de réponse à un intervalle temporel, dit intervalle temporel courant ; d) estimation, à l'intervalle temporel courant, et pour au moins une fréquence, d'une 30 densité spectrale de puissance du signal d'excitation, l'estimation prenant en compte : une densité spectrale de puissance du signal d'excitation, estimée au cours d'un intervalle temporel antérieur à l'intervalle temporel courant, et pondérée par un terme de pondération, dit facteur d'oubli, 3053796 3 - l'expression fréquentielle du signal d'excitation calculée lors de l'étape c) ; e) estimation, à l'intervalle temporel courant, et à ladite fréquence, d'une densité spectrale de puissance croisée du signal d'excitation et du signal de réponse, l'estimation prenant en compte : 5 une densité spectrale de puissance croisée du signal d'excitation et du signal de réponse, estimée au cours d'un intervalle temporel antérieur à l'intervalle temporel courant, et pondérée par ledit facteur d'oubli, les expressions fréquentielles du signal d'excitation et du signal de réponse calculées lors de l'étape c) ; 10 f) estimation d'une impédance du système, à ladite fréquence, et à l'intervalle temporel courant, en fonction de la densité spectrale de puissance du signal d'excitation, estimée lors de l'étape d) et de la densité spectrale de puissance croisée du signal d'excitation et du signal de réponse estimée lors de l'étape e) ; le procédé étant caractérisé en ce qu'il comporte une mesure d'au moins un paramètre de 15 fonctionnement dudit système, de telle sorte que lors des étapes d) et e), le facteur d'oubli est défini en fonction du paramètre de fonctionnement ainsi mesuré. Par paramètre de fonctionnement, on entend en particulier un paramètre caractéristique, par exemple électrique ou thermique, du système. De préférence, les étapes d) à f) sont mises en oeuvre à une pluralité de fréquences. 20 Les étapes c) à f) peuvent notamment être mises en oeuvre à différents intervalles temporels successifs, de façon à estimer une impédance du système à chacun de ces intervalles temporels. Le facteur d'oubli peut être variable entre deux intervalles temporels différents. Les intervalles temporels peuvent avoir la même durée, ce qui est la configuration préférée, ou être de durées différentes. 25 L'étape d) peut comprendre une estimation de la densité spectrale de puissance d'excitation par une combinaison arithmétique comportant : la densité spectrale de puissance du signal d'excitation estimée au cours d'un intervalle temporel antérieur à l'intervalle temporel courant, pondérée par le facteur d'oubli ; une grandeur, dite périodogramme, comportant un produit de l'expression 30 fréquentielle du signal d'excitation par la conjuguée de ladite expression fréquentielle, à la fréquence. Le périodogramme peut notamment être pondéré par un coefficient multiplicatif dépendant du facteur d'oubli. 3053796 4 L'étape e) peut comprendre une estimation de la densité spectrale de puissance d'excitation par une combinaison arithmétique comportant : la densité spectrale de puissance croisée estimée au cours d'un intervalle temporel antérieur à l'intervalle temporel courant, pondérée par le facteur d'oubli ; 5 une grandeur, dite périodogramme croisé, comportant un produit de l'expression fréquentielle du signal de réponse, par la conjuguée de l'expression fréquentielle du signal d'excitation, à ladite fréquence. Le périodogramme croisé peut notamment être pondéré par un coefficient multiplicatif dépendant du facteur d'oubli. Selon un mode de réalisation, le procédé comporte également les étapes suivantes : 10 g) estimation d'une cohérence spectrale du système à ladite fréquence, et à l'intervalle temporel courant, à partir de la densité spectrale de puissance du signal d'excitation estimée lors de l'étape d), de la densité de spectrale de puissance croisée estimée lors de l'étape e), et à partir d'une densité spectrale de puissance du signal de réponse. h) comparaison de la cohérence spectrale estimée lors de l'étape g) avec un seuil 15 d'acceptation (CTh ) prédéterminé, l'impédance calculée lors de l'étape e) étant validée en fonction de ladite comparaison. Le système, apte à fournir une réponse lorsqu'il est soumis à une excitation, peut être un circuit électrique ou électrochimique, par exemple une batterie, auquel cas l'excitation et la réponse sont des signaux électriques. Il peut également s'agir d'un système électromécanique, auquel 20 cas l'excitation est un signal électrique et la réponse est un mouvement mécanique ou réciproquement. Le paramètre de fonctionnement du système peut être un paramètre électrique ou thermique du circuit électrique, mesuré au cours de chaque intervalle temporel courant et/ou préalablement à ce dernier. Le paramètre de fonctionnement du circuit peut comporter ou être au moins l'un des paramètres suivants : 25 une intensité du courant parcourant le circuit électrique ou une intensité moyenne du courant parcourant le circuit électrique ; une tension entre deux bornes du circuit électrique ou une tension moyenne entre deux bornes dudit circuit électrique ; une température extérieure ou intérieure au circuit électrique ou une variation d'une 30 telle température. Le système peut en particulier être une batterie, le paramètre de fonctionnement du circuit comprenant alors une valeur de charge de la batterie et/ou une variation de la charge de la batterie. Le facteur d'oubli peut être déterminé, à partir d'au moins un paramètre de 3053796 5 fonctionnement, en considérant une capacité nominale de la batterie, et/ou une variation de la charge maximale de la batterie durant une période prédéterminée. Un objet de l'invention est également un support d'enregistrement d'informations, apte à être lu par un processeur, comportant des instructions permettant la mise en oeuvre d'un procédé 5 tel que décrit dans cette description. D'autres avantages et caractéristiques ressortiront plus clairement de la description qui va suivre de modes particuliers de réalisation de l'invention, donnés à titre d'exemples non limitatifs, et représentés sur les dessins listés ci-dessous : FIGURES 10 La figure 1A représente un schéma d'un système de type circuit électrique dont on cherche à estimer l'impédance fréquentielle, et à suivre l'évolution temporelle de cette dernière. La figure 1B représente les principales étapes d'un procédé d'estimation de l'impédance selon l'invention. La figure 2A est un modèle de circuit électrique d'une batterie, utilisé dans un premier exemple. 15 Les figures 2B et 2C illustrent respectivement une variation, en fonction d'un état de charge de la batterie, de la résistance R1 et de la résistance R2 du circuit électrique schématisé sur la figure 2A. La figure 2D représente une évolution temporelle de l'intensité du courant parcourant le circuit représenté sur la figure 2A. Les figures 2E et 2F montrent respectivement une évolution d'un 20 facteur d'oubli, utilisé dans l'invention, en fonction d'une intensité moyenne du courant parcourant le circuit électrique représenté sur la figure 2A, et en fonction du temps. La figure 2G montre l'évolution temporelle de différents facteurs d'oubli considérés dans ce premier exemple. La figure 2H illustre, pour chacun des facteurs d'oubli représentés sur la figure 2G, une évolution temporelle d'une erreur d'estimation de l'impédance du circuit représenté 25 sur la figure 2A. La figure 3A représente un deuxième exemple d'évolution d'un facteur d'oubli, ce dernier variant en fonction de la température de surface d'une batterie. La figure 3B illustre une évolution temporelle de ladite température de surface lors d'une décharge de la batterie. La figure 3C représente différentes variations de température en fonction du temps, au cours de 30 ladite décharge de la batterie. La figure 3D montre l'évolution temporelle du facteur d'oubli, défini sur la figure 3A, compte tenu des variations de température observées sur la figure 3C. 3053796 6 EXPOSE DE MODES DE REALISATION PARTICULIERS On a représenté, sur la figure 1A, un circuit électrique 1 dont on souhaite estimer l'impédance. Ce circuit électrique est parcouru par un courant, dit courant d'excitation i dont l'intensité, au cours d'un intervalle temporel k, est notée ik. Dans cette description, le terme intervalle 5 temporel désigne une plage temporelle s'étendant de part et d'autre d'un instant, et suffisamment courte de façon que l'estimation de l'impédance, au cours de cet intervalle temporel, soit représentative de l'impédance audit instant. La durée d'un intervalle temporel est par exemple inférieure à 1 seconde. La tension aux bornes du circuit électrique 1, à chaque instant k, est notée uk. Le circuit électrique peut être une batterie dont on cherche à suivre 10 l'évolution temporelle de l'impédance Zk. Il peut en particulier s'agir d'une batterie destinée à un usage nomade, par exemple une batterie disposée dans un moyen de transport ou dans un aéronef. Le courant d'alimentation i comporte plusieurs composantes fréquentielles f. Comme évoqué en lien avec l'art antérieur, une estimation de l'impédance consiste à moduler l'intensité du 15 courant d'alimentation dans différentes fréquences f, et à mesurer la tension à chaque fréquence. Une estimation de l'impédance Z(f), à la fréquence f, est donnée par : 2(f) = es. (1), où Sui(f) désigne une estimation de la densité spectrale de puissance croisée, ou interspectre, de l'intensité du courant et de la tension aux bornes du circuit électrique 20 1. Cette densité spectrale de puissance croisée est fréquemment désignée par l'acronyme CPSD, signifiant Cross Power Spectral Density. Sii(f) désigne une estimation de la densité spectrale de puissance, ou autospectre, du courant d'excitation. Cette densité spectrale de puissance est fréquemment désignée par l'acronyme PSD, signifiant Power Spectral Density. 25 Selon un procédé connu de l'art antérieur, ces densités spectrales de puissance peuvent être estimées en calculant des périodogrammes moyennés décrits dans la publication P-D Welch, « The use of Fast Fourier Transform for the estimation of power spectra: a method based on time averaging over short, modified, periodograms » IEEE Trans. On Electroacoustics, Vol AU-15 pp.70-73, 1967. 30 Pour cela, on mesure l'intensité du courant i et la tension u aux bornes du circuit 1. Les mesures sont divisées en K intervalles temporels k, de même longueur. On constitue alors des blocs de 3053796 7 données ik et uk représentant respectivement les évolutions temporelles de l'intensité et de la tension dans chaque intervalle temporel k. Chaque bloc de données est ensuite multiplié par une fonction fenêtre h(t) avant d'effectuer une transformée de Fourier. Cette étape, dite étape d'apodisation, est bien connue, les 5 fonctions fenêtres pouvant être par exemple une fenêtre de Blackman, de Hann ou de Hamming. On calcule ensuite les transformées de Fourier de chaque bloc de données, en mettant par exemple en oeuvre un algorithme de transformée de Fourier rapide, désignée par l'acronyme FFT signifiant « Fast Fourier Transform ». On obtient ainsi des expressions fréquentielles 1k et Uk respectivement de l'intensité et de la tension dans chaque intervalle temporel, de telle sorte 10 que : /k(f) = FFT (ik(t) x h(t)) (2) et Uk(f) = FFT (uk(t) x h(t)) , (3) l'opérateur FFT désignant la transformée de Fourier rapide. A partir de ces expressions fréquentielles, la densité spectrale de puissance du signal d'excitation .§"ii,k(f), correspondant à l'intervalle temporel k, peut être estimée en calculant une grandeur, 15 désignée par le terme périodogramme, et notée f)ii,k(f), obtenue selon l'expression : Pii,k(f) = A x Ik(f) x Ik(f), (4) le sigle * désignant le complexe conjugué, A étant un terme de normalisation dépendant de la fonction fenêtre utilisée. Selon l'art antérieur, .§"ii,k(f) peut être estimée à partir du périodogramme Pii,k(f), ou, le plus souvent, à partir d'une moyenne de périodogrammes respectivement déterminés à partir de 20 différents intervalles temporels k, de telle sorte que : = -K1 Elk( Pii,k(f) (5), K désignant le nombre d'intervalles temporels considérés. Il en est de même pour la densité spectrale de puissance croisée ), correspondant à l'intervalle temporel k, cette dernière pouvant être estimée par un périodogramme dit croisé, et noté pui,k(f), obtenu selon l'expression: 25 pui,k(f) = A x Uk(f) x Ik(f) (6). Selon l'art antérieur, S'ui,k(f) peut être estimée à partir du périodogramme croisé Pui,k(f), ou, le plus souvent, à partir d'une moyenne de périodogrammes croisés respectivement déterminés à partir de différents intervalles temporels k, de telle sorte que : = Krk=i Pui,k(f) (7), K désignant le nombre d'intervalles temporels considérés. 30 On va décrire, en lien avec la figure 1B, les principales étapes d'un procédé permettant d'estimer l'impédance électrique d'un circuit électrique, à une ou plusieurs fréquences f, et d'en 3053796 8 d'effectuer un suivi temporel selon plusieurs intervalles temporels k. Dans cet exemple, le circuit électrique considéré est une batterie. Étape 10 : segmentation temporelle. Au cours de cette étape, on mesure l'intensité du courant i(t) parcourant la batterie ainsi que 5 la tension u(t) aux bornes de cette dernière. Ces mesures sont ensuite segmentées selon différents intervalles temporels k, ces derniers étant préférentiellement de même durée Tk. On constitue alors des blocs de données ik et uk représentant respectivement les évolutions temporelles de l'intensité (signal d'excitation) et de la tension (signal de réponse) associées à chaque intervalle temporel k. 10 Les étapes 20 à 80 sont décrites en considérant un intervalle temporel k dit intervalle temporel courant. Étape 20 : Passage dans l'espace fréquentiel. Au cours de cette étape, on applique une transformée de Fourier aux blocs de données de l'intervalle temporel courant, de préférence précédée de l'application d'une fenêtre 15 d'apodisation, comme préalablement décrit. On obtient ainsi une expression fréquentielle Ik du signal d'excitation et une expression fréquentielle Uk du signal de réponse. De préférence, cette étape met en oeuvre un algorithme de type transformée de Fourier rapide, selon les expressions (2) et (3). Étape 40 : Calcul du périodogramme et du périodogramme croisé dans l'intervalle courant. 20 Au cours de cette étape, on utilise les expressions fréquentielles obtenues suite à l'étape 20 et on calcule un périodogramme pii,k(f) et un périodogramme croisé pui,k(f), correspondant à l'intervalle temporel courant k, pour au moins une fréquence f, en utilisant les expressions (4) et (6) préalablement explicitées : (f) = A x Ik(f) x 17,(f) et pui,k(f) = A X Uk(f) X 4(f) 25 Étape 50 : Prise en compte d'un paramètre de fonctionnement de la batterie. Au cours de cette étape, on prend en compte, par exemple par une mesure, un paramètre de fonctionnement pk de la batterie, considéré à l'intervalle temporel k. Il peut s'agir d'un paramètre électrique ou thermique affectant le fonctionnement de la batterie. Par exemple, ce paramètre pk peut comporter un ou plusieurs des paramètres mesurés suivants : 30 une intensité d'un courant parcourant la batterie ; une température interne de la batterie ou une température externe à la batterie ; 3053796 9 un état de charge de la batterie, ou sa variation, l'état de charge représentant une quantité de charges disponibles au sein de la batterie, cet indicateur étant fréquemment exprimé sous la forme d'un pourcentage variant entre 0% (batterie vide) et 100% (batterie pleine) ; 5 un état de santé de la batterie, représentant une comparaison entre une capacité de la batterie à l'instant où sont réalisées les mesures par rapport à une capacité initiale ; une mesure d'un flux de chaleur dégagé par la batterie. Ce paramètre pk est utilisé pour déterminer un terme de pondération, appelé facteur d'oubli ak, utilisé lors de l'étape suivante 60. Le facteur d'oubli est déterminé en appliquant une 10 fonction g, dite loi de commande, au paramètre pk, de telle sorte que ak = g(pk) (9). Des exemples de lois de commande seront donnés en lien avec les exemples expérimentaux détaillés ci-après. Cette étape 50 est mise en oeuvre avant, simultanément, ou après l'étape 40. Étape 60 : Estimation de la densité spectrale de puissance et de la densité spectrale de puissance 15 croisée. Au cours de cette étape, on estime la densité spectrale de puissance du signal d'excitation gii,k(f), en au moins une fréquence f, à partir du périodogramme qui dépend de l'expression fréquentielle du signal d'excitation Ik(f) selon l'expression (4), ainsi que du facteur d'oubli ak, selon l'expression : 20 = + (1 - ak)Pii,k(f) (10) où est une estimation d'une densité spectrale de puissance du signal d'excitation à un intervalle temporel antérieur à l'intervalle temporel courant. Dans cet exemple, on considère l'intervalle temporel k - 1 précédent l'intervalle temporel courant k. De la même façon, on estime la densité spectrale de puissance croisée S'ui,k(f) du signal 25 d'excitation et du signal de réponse, en au moins une fréquence f, à partir du périodogramme croisé pui,k(f) , qui dépend des expressions fréquentielle Ik(f) et Uk(f) selon l'expression (6), ainsi que du facteur d'oubli ak selon l'expression : = akui,k-a) + (1 ak)Pui,k(f) (En Où gui,k_i est une estimation d'une densité spectrale de puissance croisée du signal d'excitation 30 et du signal de réponse à un intervalle temporel précédent l'intervalle temporel courant. Dans cet exemple, on considère l'intervalle temporel k - 1 précédent l'intervalle temporel courant k. 3053796 10 Ainsi, l'invention se distingue de l'art antérieur par la prise en compte d'une densité spectrale de puissance (respectivement d'une densité spectrale de puissance croisée) estimée antérieurement à l'instant courant k, cette densité spectrale de puissance (respectivement densité spectrale de puissance croisée) étant pondérée par le facteur d'oubli ak. Contrairement 5 à l'art antérieur, ce facteur d'oubli n'est pas fixe. Il dépend d'un ou plusieurs paramètres fonctionnels pk de la batterie, ces paramètres étant mesurés préalablement ou durant l'intervalle temporel k. Le facteur d'oubli ak est défini, à partir de ces paramètres, par la loi de commande g. Il est de préférence mis à jour à chaque intervalle temporel k, en fonction de la loi de commande. 10 Dans cet exemple, le périodogramme (respectivement le périodogramme croisé) est affecté d'un coefficient multiplicatif égal à (1 - ak), c'est-à-dire au complémentaire à 1 du facteur d'oubli ak. Cela revient à relativiser la prise en compte des propriétés électriques de la batterie à l'intervalle temporel courant k, représentées par le périodogramme Pii,k(f) (respectivement le périodogramme croisé pui,k(n), par rapport aux propriétés électriques de la batterie 15 préalablement à cet intervalle temporel courant, ces dernières étant représentées par la densité de puissance du signal d'excitation .§'ii,k_i(f) (respectivement d'une densité spectrale de puissance croisée Sui,k-1(f))- Dans cet exemple, on a décrit la prise en compte d'un facteur d'oubli, appliqué à une estimation d'une densité spectrale de puissance (respectivement d'une densité de puissance croisée) 20 relative à un intervalle temporel k - 1 précédent l'intervalle temporel courant k. L'homme du métier comprendra qu'on peut considérer plusieurs facteurs d'oublis, appliqués à des estimations de la densité spectrale de puissance (respectivement d'une densité spectrale de puissance croisée) de plusieurs intervalles temporels précédents l'intervalle temporel courant k Par ailleurs, alternativement aux expressions (10) et (10'), chaque densité spectrale de puissance 25 peut être pondérée en mettant en oeuvre d'autres combinaisons arithmétiques selon lesquelles on applique un facteur d'oubli à une densité spectrale de puissance estimée au cours d'un intervalle temporel antérieur. Les sommes pondérées figurant dans les expressions (10) et (10') ne constituent qu'un exemple et d'autres combinaisons arithmétiques sont envisageables. Étape 80 : estimation de l'impédance. 30 Lors de cette étape, l'impédance de la batterie Zk(f), à la fréquence f, correspondant à l'intervalle temporel k, est déterminée sous la forme du ratio explicité dans l'expression (1), de telle sorte que : 3053796 11 gui k(f) 2k(f(11) L'impédance de la batterie peut être déterminée en une pluralité de fréquences f, en effectuant les étapes 40 à 80 pour chaque fréquence considérée. L'enchaînement des étapes 40 à 80 est généralement effectué simultanément pour différentes fréquences. L'impédance est ainsi 5 calculée entre : une fréquence minimale finin, pouvant être égale à l'inverse de la durée Tk de chaque intervalle temporel k ; une fréquence maximale furax inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage des signaux mesurés. 10 On remarque que l'impédance ainsi calculée est indépendante du terme de normalisation A précédemment évoqué. Le procédé peut également comporter une étape 90, optionnelle, d'estimation d'une cohérence spectrale, notée Ûui,k (f), à partir des estimations respectives de la densité spectrale de puissance du courant S'ii,k(f), d'une densité spectrale de puissance de la tension .§'uu,k(f) ainsi 15 que de la densité spectrale de puissance croisée .§'ui,k(f). La densité spectrale de puissance de la tension correspond à la densité spectrale de puissance du signal de sortie. Elle peut être calculée lors de l'étape 60 ou lors de l'étape 90, de la même façon que la densité de puissance croisée du signal d'excitation, selon l'expression : -Ç'uu,k(f) = aluÇ'uu,k-1(f) + (1 - ak)15uu,k(f) (10") 20 avec Puu,k(f) = A X Uk(f) x Uk(f). La cohérence spectrale est un indicateur permettant de vérifier que le système dont on cherche à estimer l'impédance peut être considéré comme un système linéaire et invariant dans le temps durant le temps de mesure des signaux d'entrée et de sortie. En effet, assimiler la réponse fréquentielle de la batterie selon l'équation (11) suppose que la batterie puisse être considérée 25 comme un système linéaire et invariant dans le temps. Un estimateur de la cohérence spectrale peut être défini selon l'expression : 1:Sui,k(f)12 Êui k(n = Sii,k(r)guu, ku, (12) Ainsi, à chaque intervalle temporel k, et à chaque fréquence f est associé une estimation de la cohérence spectrale selon l'expression (12). Selon cette expression, la cohérence spectrale 3053796 12 exprime une corrélation entre les composantes spectrales du signal d'excitation i et du signal de réponse u. Elle varie entre 0 et 1, sachant que plus la cohérence spectrale est proche de 1, plus le système peut être considéré comme linéaire et invariant. Au cours d'une étape 95, la valeur de la cohérence spectrale est comparée à un seuil 5 d'acceptation CTh. En fonction de cette comparaison, au cours d'une étape de validation 100, le système est considéré comme invariant et linéaire, ou non, à la fréquence f considérée. La valeur du seuil d'acceptation CTh est par exemple choisie égale à 0.95. Lorsque Cui Jc(f) > CTh, l'impédance calculée à la fréquence f selon l'expression (11) est validée. Dans le cas contraire, la mesure de l'impédance à la fréquence f n'est pas validée. Précisons que dans un intervalle 10 temporel k donné, un système peut être considéré comme linéaire et invariant dans le temps à certaines fréquences, mais pas à d'autres fréquences. Par ailleurs, l'estimation de la cohérence fréquentielle Cui,k(f) dépend du facteur d'oubli ak considéré, du fait des définitions respectives de la densité spectrale de puissance et de la densité spectrale de puissance croisée données dans les expressions (10), (10') et (10") 15 La cohérence spectrale Cui,k(f) peut également être déterminée et comparée au seuil d'acceptation CThavant le calcul de l'impédance 2k (f). Cette dernière n'est alors calculée que pour les fréquences f satisfaisant à la comparaison. Le procédé décrit ci-dessus peut être mis en oeuvre de façon récursive, afin d'effectuer un suivi temporel, où poursuite, de l'impédance de la batterie en une pluralité d'intervalles temporels 20 successifs. Les densités spectrales de puissance et de puissance croisée lors d'une itération k sont alors utilisées dans l'estimation des densités spectrales de puissance et de puissance croisée lors d'une itération suivante k + 1. Les inventeurs ont estimé que cet algorithme était particulièrement adapté à une telle application, désignée par le terme anglo-saxon « tracking », comme le montrent les essais expérimentaux détaillés ci-après. 25 Un premier exemple est donné en lien avec la figure 2A, représentant un circuit électrique, utilisé comme modèle simple d'une batterie. Il s'agit d'un circuit comportant une première résistance R1 montée en série avec une deuxième résistance R2 et une capacité C montées en parallèle. Au cours de cet essai, on a déterminé l'impédance de ce circuit en fonction du temps, sachant que la valeur des résistances Ri et R2 est variable en fonction de l'état de charge de la 30 batterie SoC, comme le montrent respectivement les figures 2B et 2C, représentant l'évolution de la valeur de ces résistances en fonction de l'état de charge. Entre un état de charge de 90% et 85%, la valeur de chacune de ces résistances est stable. Lorsque l'état de charge est compris 3053796 13 entre 85% et 60%, la valeur des résistances varie, ce qui rend le système non stationnaire. En dessous de 60%, la valeur des résistances est à nouveau stable. La figure 2D représente une évolution temporelle de l'intensité du courant parcourant le circuit. Cette évolution temporelle correspond à une mesure réalisée expérimentalement sur une batterie d'un drone, auquel un 5 créneau a été ajouté à t = 30 secondes. Dans cet exemple, la loi de commande g, permettant la détermination d'un facteur d'oubli ak en fonction de paramètres de fonctionnement pk considérés au cours d'un intervalle temporel k, est décrite par l'expression suivante : VarSoC x 1 100 Imean,kxT k ak = 9(Pk) = varsocx, +1 100 Imean,kxT k 10 où : VarSoC représente une variation tolérée de l'état de charge au cours d'une durée de moyennage équivalente Tin,k, explicitée ci-dessous, par exemple VarSoC = 1% C est la capacité nominale de la batterie, en Ah ; imean,k est un courant moyen mesuré au cours de l'intervalle temporel k ; 15 Tk représente une durée d'un intervalle temporel, exprimée ici en heure, sachant que cette durée est par exemple égale à 250 ms. La durée de moyennage équivalente Trn,k, évoquée en lien avec la grandeur VarSoC correspond à une durée durant laquelle on estime que les grandeurs préalablement mesurées ont une influence sur l'estimation de l'impédance. Cette durée est fréquemment explicitée de la façon i+ak (14). 20 suivante : Trn,k = Tk t-ak La loi de commande met en oeuvre des paramètre fixes (par exemple C, (St ou VarSoC), mais également le paramètre de fonctionnement mesuré i -mean,k, qui peut varier d'un intervalle temporel k à un autre. Par paramètre de fonctionnement mesuré, on entend un paramètre mesuré préalablement ou au cours d'un intervalle temporel k, et donc susceptible d'évoluer 25 entre deux intervalles temporels successifs. La figure 2E représente l'évolution du facteur d'oubli ak en fonction du courant moyen i -mean,k - Plus la valeur absolue du courant moyen i -mean,k est élevée, plus le facteur d'oubli est faible, ce qui entraîne une moindre prise en compte des densités spectrales de puissances, correspondant à l'intervalle temporel précédent, dans l'estimation de l'impédance. Inversement, plus la valeur (13) 3053796 14 absolue du courant moyen i -mean,k est faible, plus le facteur d'oubli est important, ce qui augmente l'effet de moyennage. La figure 2F montre l'évolution du facteur d'oubli ak en fonction du temps. On remarque que ce facteur d'oubli diminue lorsque le régime de fonctionnement de la batterie est instable. Cela 5 correspond, sur cette figure, à t > 30s. La figure 2G illustre l'évolution temporelle du facteur d'oubli dans 4 cas de figure différents. Dans trois cas de figure, le facteur d'oubli est fixe (ak = a), sa valeur ayant été préalablement déterminée. Cela correspond à la méthode décrite dans la publication de H. Piret citée en lien avec l'art antérieur. On a considéré trois valeurs : a = 0.98 , a = 0.85 , a = 0.5. On a également 10 représenté, sur cette figure, l'évolution temporelle de ak, déterminée selon l'expression (13), cette évolution correspondant à celle représentée sur la figure 2F. Pour chaque valeur du facteur d'oubli, l'impédance 2k(f) de la batterie, modélisée par le circuit 2A, a été estimée, tenant compte des variations fonctionnelles représentées sur les figures 2B, 2C et 2D. La durée Tk de chaque intervalle temporel k est de 250 ms, et la fréquence 15 d'échantillonnage est de 2500 Hz. L'impédance de la batterie est déterminée dans une bande fréquentielle comprise entre 4 Hz, c'est à dire 1/Tk, et 1250 Hz afin de respecter le théorème de Shannon-Nyquist. Cette impédance a été estimée en utilisant les expressions (10), (10') et (11), en considérant un facteur d'oubli fixe ou variable. On a ensuite déterminé, en fonction du temps, une erreur relative d'estimation Ek, dont le logarithme est représenté sur la figure 2H. Cette 20 erreur relative d'estimation traduit un écart relatif entre l'impédance réelle Zk(f) et son estimation Zk(f). Cette figure illustre les performances du suivi temporel de l'impédance en considérant un facteur d'oubli fixe (a = 0.98 ; a = 0.85 ; a = 0.5) et un facteur d'oubli ak dépendant de paramètres de fonctionnement mesurés au cours de la décharge de la batterie. On observe que : 25 La prise en compte d'un facteur d'oubli élevé, en l'occurrence a = 0.98, permet une estimation fiable de l'impédance en régime stationnaire (t 30s), mais le temps de convergence est long, une estimation précise n'étant obtenue qu'après une dizaine de secondes. Ce temps de convergence long se manifeste également, sur cette figure, dans la zone 0 t lOs où on constate que plus le facteur d'oubli est élevé, plus l'erreur 30 de mesure tarde à diminuer. Le facteur d'oubli de 0.98 semble inadapté à un fonctionnement de la batterie en régime non stationnaire (t > 30s). 3053796 15 La prise en compte d'un facteur d'oubli faible, en l'occurrence a = 0.5, permet d'obtenir un temps de convergence faible, au détriment d'une erreur d'estimation élevée. La prise en compte d'un facteur d'oubli variable, telle que décrite en lien avec la figure 5 2G, évoluant selon la loi de commande décrite dans l'expression (13), permet d'aboutir à un bon compromis entre le temps de convergence et la précision de l'estimation, et cela à la fois en régime stationnaire ou en régime non stationnaire. Un tel facteur d'oubli permet de concilier la précision de l'estimation avec un temps de convergence adapté au suivi temporel de l'impédance, en régime stationnaire ou en régime non stationnaire. 10 Selon un autre exemple, la loi de commande peut dépendre d'une température de la batterie, par exemple la température de surface. En effet, plus une batterie se décharge rapidement, plus la température de surface augmente. Il est donc opportun de définir une loi de commande prenant en compte une variation de la température de la batterie, par exemple selon les expressions : 15 ak = g(AT) = A x cos(B x AT) + C si AT REVENDICATIONS1. Procédé d'estimation d'une impédance (Zk(f)) d'un système (1), apte à délivrer une réponse lorsqu'il est soumis à une excitation, comprenant les étapes suivantes : a) application d'un signal d'excitation (i) au système et mesure d'un signal de réponse (u) représentant une réponse du système au signal d'excitation ; b) segmentation du signal d'excitation et du signal de réponse selon différents intervalles temporels ; c) calcul d'une expression fréquentielle du signal d'excitation (/k) et du signal de réponse (Uk) à un intervalle temporel (k), dit intervalle temporel courant ; d) estimation, à l'intervalle temporel courant (k), et pour au moins une fréquence (f), d'une densité spectrale de puissance du signal d'excitation (.§"ii,k(f)), l'estimation prenant en compte : une densité spectrale de puissance du signal d'excitation (S'ii,k_i(f)), estimée au cours d'un intervalle temporel (k-1) antérieur à l'intervalle temporel courant, et pondérée par un terme de pondération, dit facteur d'oubli (ak), l'expression fréquentielle du signal d'excitation (Ik(f)) calculée lors de l'étape c) ; e) estimation, à l'intervalle temporel courant (k), et à ladite fréquence (f), d'une densité spectrale de puissance croisée (gui,k (f)) du signal d'excitation et du signal de réponse , l'estimation prenant en compte : une densité spectrale de puissance croisée (.Ç'ui,k-t(n) du signal d'excitation et du signal de réponse, estimée au cours d'un intervalle temporel (k-1) antérieur à l'intervalle temporel courant, et pondérée par ledit facteur d'oubli (ak), les expressions fréquentielles du signal d'excitation (Ik(f)) et du signal de réponse (Uk(f)) calculées lors de l'étape c) ; f) estimation d'une impédance 2k(f) du système, à ladite fréquence (f), et à l'intervalle temporel courant (k), en fonction de la densité spectrale de puissance du signal d'excitation (.§"ii,k (f)), estimée lors de l'étape d) et de la densité spectrale de puissance croisée (.§"'i,k (f)) estimée lors de l'étape e) ; le procédé étant caractérisé en ce qu'il comporte une mesure d'au moins un paramètre de fonctionnement (pk) du système, de telle sorte que lors des étapes d) et e), le facteur d'oubli (ak) est défini en fonction du paramètre de fonctionnement ainsi mesuré. 3053796 18 2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel les étapes d) à f) sont mises en oeuvre à une pluralité de fréquences. 3. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel les étapes c) à f) sont mises en oeuvre à différents intervalles temporels successifs (k), de façon à estimer une 5 impédance du système à chacun de ces intervalles temporels. 4. Procédé selon la revendication 3, dans lequel le facteur d'oubli (ak) est variable entre deux intervalles temporels différents. 5. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel lors de l'étape d), la densité spectrale de puissance d'excitation (.§'ii,k(f)) est estimée par une combinaison 10 arithmétique comportant : la densité spectrale de puissance du signal d'excitation (gii,k_i(f)) estimée au cours d'un intervalle temporel (k - 1) antérieur à l'intervalle temporel courant, pondérée par le facteur d'oubli (ak); une grandeur (pii,k(n), dite périodogramme, comportant un produit de l'expression 15 fréquentielle du signal d'excitation (Ik (n) par la conjuguée (Ik*(n) de ladite expression fréquentielle, à la fréquence (f). 6. Procédé selon la revendication 5, dans lequel le périodogramme (pii,k(n) est pondéré par un coefficient multiplicatif (I.-ak) dépendant du facteur d'oubli (ak). 7. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel lors de l'étape 20 e), la densité spectrale de puissance croisée (.§''i,k(f)) est estimée par une combinaison arithmétique comportant: la densité spectrale de puissance croisée estimée au cours d'un intervalle temporel (k - 1) antérieur à l'intervalle temporel courant, pondérée par le facteur d'oubli (ak); 25 une grandeur (Pui,k(f)), dite périodogramme croisé, comportant un produit de l'expression fréquentielle du signal de réponse (Uk(f)), par la conjuguée (Ik*(n) de l'expression fréquentielle du signal d'excitation, à ladite fréquence (f). 8. Procédé selon la revendication 7, dans lequel le périodogramme croisé (Pui,k(f)) est pondéré par un coefficient multiplicatif (I.-ak) dépendant du facteur d'oubli (ak). 30 9. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, comportant également les étapes suivantes : 3053796 19 g) estimation d'une cohérence spectrale (Cui,k(f)) du système (1) à ladite fréquence (f), et à l'intervalle temporel courant (k), à partir : - de la densité spectrale de puissance du signal d'excitation (.§'ii,k(f)) estimée lors de l'étape d), 5 - de la densité de spectrale de puissance croisée estimée (S'ui,k(f)) lors de l'étape e), - et d'une densité spectrale de puissance du signal de réponse (.§"u',k(f)); h) comparaison de la cohérence spectrale estimée lors de l'étape g) avec un seuil d'acceptation (CTh ) prédéterminé, l'impédance calculée lors de l'étape e) étant validée en fonction de ladite comparaison. 10 10. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le système est un circuit électrique ou électrochimique, le signal d'excitation (i) et le signal de réponse (u) étant des signaux électriques. 11. Procédé selon la revendication 10, dans le paramètre de fonctionnement (p k) du système est un paramètre électrique ou thermique du circuit électrique, mesuré au cours de l'intervalle 15 temporel courant (k) et/ou préalablement à ce dernier. 12. Procédé selon la revendication 11, dans lequel le paramètre de fonctionnement (p k) du circuit comporte au moins l'un des paramètres suivants : une intensité du courant parcourant le circuit électrique ou une intensité moyenne du courant parcourant le circuit électrique ; 20 une tension entre deux bornes du circuit électrique ou une tension moyenne entre deux bornes dudit circuit ; une température extérieure ou intérieure au circuit électrique ou une variation d'une telle température. 13. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le circuit 25 électrique (1) est une batterie. 14. Procédé selon la revendication 13, dans lequel le paramètre de fonctionnement du circuit comprend une valeur de charge de la batterie et/ou une variation de la charge de la batterie. 15. Procédé selon l'une quelconque des revendications 13 ou 14, dans lequel le facteur d'oubli (a k) est déterminé, à partir d'au moins un paramètre de fonctionnement (p k), en considérant 30 une capacité nominale de la batterie (C), ou une variation de la charge maximale (VarSoC ) de la batterie durant une période prédéterminée. 3053796 20 16. Support d'enregistrement d'informations, apte à être lu par un processeur, comportant des instructions, aptes à être exécutées par le processeur, permettant la mise en oeuvre des étapes b) à f) d'un procédé selon l'une quelconque des revendications là 15 à partir d'une mesure d'un signal d'excitation appliqué à un système et d'une mesure d'un signal de réponse du système 5 audit signal d'excitation.