FR 3045847 A1 20170623 FR 1562701 A 20151217 1 Procédé de commande d'un système redondant DOMAINE TECHNIQUE GENERAL L'invention concerne les procédés et dispositifs de répartition en N commandes u adressées à N actionneurs d'un système redondant. La répartition est calculée par un allocateur qui prend en entrée une commande yc exprimée dans l'espace des sorties y de dimension m (avec m 3, à partir de la consigne en couple --, nous pouvons résoudre l'équation (4.1) au sens des moindres carrés par l'utilisation de la pseudo-inverse de Moore-Penrose de la matrice Y : 3045847 25 aconsigne = Y(3)1' (Y(G)Y(G)T I1 il-consigne (4.2) h toupie Cependant la matrice (er)r présente des singularités dans l'espace 5 des angles de précessions, singularités pour lesquelles la matrice devient non inversible, nécessitant des stratégies d'évitement pour implémenter cette commande. Premier mode de réalisation : cas discret 10 Pour s'affranchir de ces limitations nous considérons le développement limité au second ordre de l'équation donnant le moment cinétique total de la grappe de n AGs, h(a), par rapport au vecteur a regroupant les n angles de précession a de chaque AG : ah(cr) 1 11 / T a2h(cr) 15 h(cr + AG) = h(cr) + AG + IO,cr) AG + o(Acr2) (4.3) acr 2 1=1 acrlacr On a dh(a) a 20 et T ri au, car chaque colonne de Y (et de X) ne dépend que d'une composante de a. 25 Cette expression peut alors se réécrire sous forme matricielle de la manière suivante (étape E11): 3045847 26 Ah == h toupie YOAG - 21 h toupie X0(A3)2 h toupie (4.4) 5 La colonne i de la matrice X(a) est égale à xi. (- X aï AG (Aa)2 =M(6) AG (AG)2 _ Y(a) _ 2 _ Nous faisons ainsi apparaître la matrice présentant des propriétés de régularité intéressantes. En effet pour que cette matrice ne soit pas de rang complet (c'est à dire pour qu'elle soit de rang 2, au 10 lieu d'être de rang 3), il faut qu'il existe une direction singulière u telle 4 'I. 4 que 1 = 1 , ce qui équivaut à ce que u soit orthogonal à la fois à x, et à y, pour tout i = 1 à n donc que u soit colinéaire à z, pour tout i = 1 à n. Il en résulte que la matrice ne peut être de rang incomplet que pour une 15 structure où tous les axes de précession z, sont colinéaires à une même direction, configuration géométrique de grappe d'AGs non pertinente. En effet, cela signifie qu'il est impossible pour la grappe de générer un couple dans cette direction, quelle que soit la position des actionneurs. Une telle configuration pour une application en trois dimensions n'est 20 donc pas pertinente. Afin de mettre à profit cette propriété intrinsèque aux grappes d'AGs, la relation 4.4 est inversée en utilisant par exemple le formalisme d'un filtre de Kalman étendu (EKF) (étapes E12b-E13b), qui est un 25 observateur optimal local pour des systèmes non-linéaires. Un exemple d'implémentation d'un EKF utilisant la matrice M est donné pour les bras manipulateurs. Plus généralement, dans une étape E12a, la relation 4.4 peut être 30 inversée par une minimisation au sens des moindres carrés, pour 3045847 27 laquelle est calculée ensuite, dans une étape E3a, la solution préférentielle à l'aide d'un estimateur pour écarter les solutions non réalisables. 5 Deuxième mode de réalisation : cas continu Pour pallier aux problèmes liés à la présence de singularité lors de l'inversion de l'équation de sortie, il est proposé de réaliser la commande du moment cinétique de la grappe à calculant directement 10 les consignes de couple de précession des AGs. On propose ici comme exemple de détailler une utilisation de E12a-E12b. Dans ce cas se pose un problème de commande d'un système non-linéaire redondant de degré relatif 2, puisqu'en dérivant deux fois l'équation de sortie apparait le vecteur d'accélération des axes de 15 précessions t- qui est équivalent au vecteur des couples moteurs à un gain près (on néglige les frottements) : y = (a ) =1 20 h(.\ Avec I matrice diagonale de dimension n portant les composantes de il sur sa diagonale ie I(e5)= al 0 0 0 0 d2 0 0 0 0 an-1 0 0 0 dn_ Cette expression peut se réécrire sous forme matricielle de la manière 25 suivante : h [ .\" t(1 3045847 28 La matrice apparaît alors, présentant des propriétés de régularité intéressantes. En effet pour que cette matrice ne soit pas de rang complet (c'est à dire pour qu'elle soit de rang 2, au lieu d'être de rang 3), il faut qu'il existe une direction singulière u telle que : 5 uT X0I(6) Y(cr)] = 0 f rr rr; Dans le cas où - 0 alors u étant orthogonal à x; et à y; pour i = 1 à n on aurait u colinéaire à z; pour i = 1 à n. Il en résulte que la matrice ne peut être de rang incomplet que pour une structure où tous les axes de 10 précession z; sont colinéaires à une même direction, configuration géométrique non pertinente à priori. A noter que les grappes d'actionneurs gyroscopiques à moment cinétique variable présentent le même type de régularité). 15 D'après la relation 2.6, nous définissons la matrice / tel que : - htoupie[ X (0-)I (ei) (6)1 [6;] = htoupieB(6,à) [6;] (2.9) - Inversion de l'équation de sortie (étape Ela) Par inversion au sens des moindres carrés de (2.9) nous obtenons en 20 utilisant la pseudo-inverse de Moore-Penrose un couple de vitesses et d'accélérations de précession désiré pour une consigne de donnée 7 (I; (a, e-)L; 25 Cependant cette inversion n'intègre pas le fait que ed et - sont deux vecteurs dont les dynamiques sont liées. Par conséquent l'expression (2.10) peut aboutir à des consignes ed et non réalisables par le système (ex : composantes de signe opposé en configuration canonique). 30 304 5 84 7 29 - Description de la dynamique liant et ed (étape E3a) Pour prendre en compte la dynamique couplée, nous introduisons un estimateur générant une consigne et '1= dont les dynamiques sont liées par un modèle d'estimation et qui minimise l'écart 5 kdd-def (6c1-6ed Le modèle d'estimation utilisé est donc n doubles intégrateurs découplés tel que : 1 X2 =6 *2 =0 (2.11) 10 Dans cet exemple l'implémentation, on ne considère pas de contraintes afin de montrer simplement comment marche la méthode. La dynamique d'estimation est alors régie par la relation : 15 arec Afin de forcer la sortie de l'estimateur à suivre le modèle d'estimation, nous utilisons des matrices de gains G11 et G12 nulles et des matrices de gains G21 et G22 diagonales. Les valeurs de G21 et G22 sont définies de 20 telle manière que la dynamique de l'erreur d'estimation soit équivalente à un ordre 2 avec deux pôles complexes conjugués amortis. - Inversion de l'équation de sortie avec prise en compte de la dynamique (étape E13a, suite) 25 Pour accélérer la convergence de l'estimation nous utilisons les sorties de l'estimateur x2 pour calculer une solution d ad 1 résolvant l'équation (2.9) et proche de Ceci nous ramène à un problème de minimisation d'un critère r défini 30 par : 3045847 30 (2.13) Où À est le vecteurs des multiplicateurs de Lagrange associés aux 5 contraintes et est une matrice de pondération symétrique régulière choisie pour favoriser la proximité de certaines composantes par rapport à celle des autres. Les conditions de stationnarité du premier ordre nous permettent de déterminer l'expression de Û et d'en déduire la solution minimisant r : 10 B (214) Dans notre cas nous prenons la matrice P diagonale et nous définissons la pondération de manière à privilégier les n premières composantes de 15 l'estimation e. Robots manipulateurs L'invention s'applique à tous types de bras articulés tel que décrits en 20 introduction, c'est-à-dire des bras comprenant des actionneurs avec des moteurs aux N articulations (rotoïde ou/et prismatique). Les moteurs sont asservis en couple à partir d'une consigne, par exemple, en vitesse articulaire calculée par l'allocateur. La commande yc en entrée de l'allocateur peut être une consigne du 25 torseur cinématique de l'organe terminal. L'exemple sera donné à l'aide d'un filtre de Kalman étendu mais pourra être généralisé à un inverseur et un estimateur adaptés. La formulation discrète est choisie ici. 30 Prenons par exemple la formule obtenue après l'étape Ell (voir précédemment). 3045847 31 Pour les bras articulés, puisque le modèle cinématique direct est composé de sinus et de cosinus des coordonnées x,, alors chaque vecteur colonne i de J est orienté de n/2 dans H, de sorte que les 5 vecteurs J( i) et H( i) sont orthogonaux. Un vecteur s est une direction singulière à M si, et seulement si, il est orthogonal à tous les vecteurs de M (soit ). Cela signifie que tous les vecteurs de M se situent dans le même hyperplan, d'où le fait que l'on ait un bras articulé situé dans un plan (les hyperplans de 10 l'espace sont des surfaces planes). Si le système est intrinsèquement en trois dimensions (donc non compris dans un plan), il est garanti que M est de rang plein. Dans le cas des actionneurs AGs, H,' sont des matrices nulles, ce qui 15 n'est pas le cas pour les bras manipulateurs. L'étude théorique du noyau 33T et des singularités associées est plus compliquée. Cependant, il peut être noté que cette formulation permet d'éviter des singularités numériques et permet de rechercher dans le noyau pour éviter les singularités cinématiques. 20 En sortie de l'EKF, le but est d'estimer un Ax optimal pour un Ay désiré. Dans le cas d'un bras articulé redondant avec un contrôle de la vitesse des liaisons, la solution u est directe. Pour un contrôle en couple, une dynamique du premier ordre peut être ajoutée entre Ax et u. 25 Les variables estimées dans l'EKF peuvent être choisies simplement comme : 1,9) v1 est un vecteur de dimension n et v2 de dimension I. Le modèle prenant en compte des dynamiques différentes, comme la 30 dynamique de l'entrée de référence est : (10) 3045847 32 Où les erreurs d'évolutions d'état dues au pas de temps d'échantillonnage, sont négligées dans le modèle de prédiction et dimensionnées par une matrice de covariance Q. La matrice jacobienne associée à ce modèle est appelée F. 5 Les équations de mesure (m sont les mesures) sont données par : = lest l'entrée de référence yc envoyée par le contrôleur. Pour assurer l'observabilité de l'EKF, la deuxième équation de (11) est ajoutée et peut être utilisée pour modéliser des contraintes additionnelles (comme 10 la saturation). sont dimensionnées par une matrice de covariance R. Notons La théorie de l'EKF fournit un estimateur local optimal. Les paramètres qui ont besoin d'être introduits dans le filtre sont P0, la matrice initiale de 15 covariance sur les erreurs estimées, R et Q. La méthode offre la meilleure solution des moindres carrés pour le problème posé. Puisque les équations sont déterministes, la solution obtenue est un compromis entre les différentes équations, parmi lesquelles il y a des contraintes. Les différents poids donnent 20 l'importance de chaque équation. Dans l'exemple présenté en figure 8, on considérera un bras articulé 400 à deux degrés de liberté se déplaçant dans un plan supposé fixe (u' vr). 25 Le bras articulé a trois portions 410, 420, 430 en série reliés entre eux par des liaisons pivots 510, 520, 530. L'objectif est de contrôler la position l'extrémité Ext (y1, y2). La paramétrisation est définie relativement : les angles entre les portions 410, 420, 430 sont les paramètres contrôlés, appelés q1, q2 et q3. Dans le cas présent, 30 l'extrémité Ext correspond à une extrémité de la troisième portion 430, dont la position dépend de l'angle des trois actionneurs précédents. 3045847 33 On a ainsi plus d'actionneurs que de degré de liberté, donc le système est dit redondant. La longueur des portions 410, 420, 430 est noté 11, 12, 13. Dans le plan (u' vr), la dynamique du système supposé rigide a la 5 forme suivante (issue du livre de W. Khalil et E. Dombre [17]) : A (q)u Avec A la matrice d'inertie et Cg le vecteur quadratique de vitesse, incluant les centrifuges et de Coriolis. 10 Les liaisons sont contrôlées par un couple imposé u. Pour s'identifier à l'équation (1), on note : x = Les équations cinématiques sont les suivantes : (g), j = - (q)g L8) Aq est calculé en utilisant le filtre de Kalman étendu et la formulation de 15 gestion des singularités. En effet, les variables estimées de l'EFK sont choisies comme en (19). Les équations de prédictions sont en (19) et en (20). Cela n'est qu'un exemple de l'implémentation qui peut gérer le départ depuis une position singulière initiale. 20 q q v1= Aq v2 = A2q v3 = Ay v1(t+TS) = 3 -2vi (t) 2(t+Ts)= L\TI(t)2+\72(t) (19) v3(t + ) = v3(0+ w(t) Avec w l'entrée de référence Ayc. Les deux premières équations de (19) sont utilisées pour minimiser la 25 consommation d'énergie du système et leur formulation est aussi utile pour limiter l'accélération maximale des liaisons. 3045847 34 La troisième équation de (19) a été choisie pour maintenir la matrice F inversible, comme requis pour la convergence de l'EKF et pour prendre en compte l'entrée de référence. =71Erit=i(Aqi)H; q = - Hv2 + v3 m2 = 03x1 = - V2 M3 = k = - .1v2 5 Avec À = 1 rad-1 Les deux premières équations sont imposées par les contraintes du problème. La troisième équation est choisie pour faire le lien entre vi et vZ qui travaille dans l'espace nul de J afin d'échapper aux configurations singulières lorsque Liq est proche de 0. La troisième équation inclut 10 aussi les contraintes dues à la saturation de si besoin. Dans cet exemple, k a été choisi comme : detUJT)n Gin qT , + 1 Ts . detU Gin Ts 03x1 (21) k - detmaxWT)vsat detmax UIT) vsat Avec vsat la valeur maximale acceptable. 15 Lorsque le déterminant est petit, le système se rapproche d'une singularité. Si la vélocité de q est elle aussi petite (par exemple en cas de position de départ singulière), alors les deux premières équations de (20) ne vont pas agir et donc la deuxième partie de l'équation (21) va devenir dominante. 20 En effet, y2 comprend des composantes dans l'image de H qui contient des éléments de l'espace nul de J. Cependant, lorsque le système est près d'une singularité à haute vitesse, la contrainte de saturation s'applique davantage puisque les autres équations ne sont pas suffisantes pour permettre au système 25 d'éviter les singularités, et c'est pourquoi l'entrée k varie (de façon continue). La convergence des résultats de l'EKF est utilisée pour adapter les paramètres R, Q et Po Q= 4.10 10-6 Id et Po = 5.10-5 Id (voir la partie des AGs sur la preuve de convergence de l'EKF, qui s'applique ici). En ce (20) 3045 847 qui concerne R, un intervalle valide pour les valeurs singulières a été calculé. Puisque la dernière équation ne modélise pas parfaitement la contrainte de saturation, une confiance plus faible a été introduite lorsque la 5 saturation est considérée. Cependant, lorsque s'échapper d'une singularité initiale est une priorité, la confiance en cette équation est augmentée, d'où une covariance variable associée à cette équation qui varie entre 1.23 10-5 Id et 1.83 10-6 Id. La covariance 4.0 10-6 Id est associée à la première équation de (20). La seconde équation de (20) 10 modélise la vraie relation entre y1 et v2 qui peut être altérée due à la présence de la dernière équation, c'est pourquoi la plus grande confiance est accordée à cette équation avec une valeur de 1.83 10-6 Id, afin de limiter les erreurs créées par la dernière équation. Les estimations v, sont initialisées à 0. 15 Une simulation numérique a été effectuée, présentées en figures 9 et 10 L'entrée u de l'équation (17) est choisie comme : A(r qtrz 20 Avec Kw une matrice de gain, Ts le pas de temps, et iîr: les vitesses mesurées des liaisons. On suppose que q et sont mesurés. w est choisie comme étant la distance entre la position requise et la position actuelle de l'extrémité du bras, avec une saturation de 0,01 m pour chaque itération temporelle sur les deux composants. 25 Les trois bras 410, 420, 430 sont uniformes avec une même masse par unité de longueur (3,39kg/m) et une même longueur Il = 12 = 13 = 0,4m et pour chaque liaisons : Kw = 2 Nms/rad, vsat = 0,01 rad et Ts = 0,001s. Le système est initialement dans un état plié singulier : q1 = 0, q2 = q3 30 = n rad. L'état final est un autre état singulier (yii, y2i) = (-(I1+12+13), 0), qui est dans une direction singulière. 3045847 36 Le mouvement crée par l'allocateur proposé est donné en figure 9 (trait plein gris : état initial, trait plein noir : état final, traits pointillés : états intermédiaires). Après trente secondes, un nouvel état singulier est requis : (ylf, y2f) = (0, 0). Le mouvement est donné en figure 10 (trait 5 plein noir : état initial - état final de la figure 9, trait plein gris : état final, traits pointillés : états intermédiaires) et la position de l'extrémité en fonction du temps est donnée en figure 11. Même en débutant dans une configuration singulière pliée, les limites de l'espace de travail ont été atteintes avec une erreur inférieure à 10 0,0003m et le système est revenu à une position singulière, d'où le fait que la méthode d'allocation gère les cas les plus défavorables. Le temps passé pour échapper d'une configuration singulière est due à la reconfiguration dans l'espace nul de J qui ne crée pas de mouvement au niveau de l'extrémité du bras. 15 En outre, d'autres singularités ont été évitées le long de la trajectoire (le point (0,0) par exemple). Le temps de réponse, la précision et l'oscillation peuvent être affinés avec K, et la covariance. La méthode proposée dans l'invention est généralisable à un nombre 20 quelconque d'actionneurs et peut être implémentée directement dans le système portant les actionneurs. En outre, la méthode s'effectue en temps réel. Annexe EKF : 25 Les variables définies ici sont propres à l'explication sur l'EKF. Comme le filtre de Kalman est non-linéaire, des conditions apparaissent sur les valeurs des paramètres à régler. On peut les détailler dans le cas discret. On appelle Hyp. 1 les hypothèses suivantes (cf. [2]) : 30 Le système est uniformément observable, soit (Fk, Ck) vérifient la condition d'observabilité uniforme : Deyst et Price (voir [3]) en déduisent les bornes pour la covariance de l'erreur d'estimation : 3045847 37 11 5. Te 4.25) - F est inversible à chaque pas de temps, - Les normes suivantes sont bornées : I I FI I, IIF 111, I ICI I, I I RI I, IIID2fIII, IIID2g111, Il existe m réel tel que La première hypothèse permet de borner uniformément l'erreur de covariance (donc P) tant que l'erreur d'estimation reste petite (cf. 10 Song). Pour énoncer le théorème, on pose comme dans [2] les fonctions suivantes : - L'erreur d'estimation (différence entre la valeur réelle et l'estimée 15 a priori) : - La fonction de Lyapunov utilisée pour la preuve : avec k la covariance de l'erreur a priori, - Le réel q tel que il - Le réel p tel quel 20 - Le réel 15 tel que II - Le réel r tel que I - La fonction cl) définie par : I - La fonction qi définie par : 25 11 1 '1 3045847 38 Le théorème de Song ([2]) indique que pour un système non-linéaire avec un filtre de Kalman étendu associé, si Hyp. 1 est vérifiée et qu'il existe leol, I I 1 D2f1 I I et I I I D2g111 et un y > 0 tels que : ep(q (.0 et°. I 4).2 g - y (4.1 ,) 5 alors le filtre de Kalman étendu pour le système réel est un observateur local, uniforme et asymptotique. C'est ce théorème qui sert ici de preuve de convergence (théorème démontré dans Song [2]). 10 Les paramètres que nous pouvons régler afin d'assurer la convergence du filtre sont donc Q, R et Po la covariance initiale du filtre de Kalman. Les principaux avantages de l'EKF sont maintenant listés. En particulier, on peut citer sa flexibilité dans la gestion des contraintes par rapport à 15 des méthodes de type ajout de contraintes dans la matrice jacobienne. En effet, l'ajout d'équations de mesure dans le filtre de Kalman permet également d'intégrer des contraintes supplémentaires à satisfaire par les variables d'état du filtre (saturation par exemple). De plus, comme les modélisations des contraintes ne sont pas toujours parfaites, les 20 matrices de gain R et Q permettent d'atténuer leurs impacts. Aussi, la possibilité de faire varier R et Q au cours du temps permet à l'allocateur d'agir avec priorisation des tâches en fonction par exemple de la configuration courante. La méthode permet de gérer les cas de panne d'actionneurs sans avoir 25 besoin de changer de structure de loi de commande (seulement les gains sont modifiés). La méthode de l'EKF revient à minimiser le même type de critère que les SRI, cependant, une dynamique dans les matrices de gain P est rajoutée, ainsi qu'un modèle de prédiction, afin d'avoir une solution qui 30 garantisse la minimisation de la matrice de covariance P des erreurs d'estimation, et donc permet de trouver la matrice de gain P optimale à partir de critères définis plus simplement par l'utilisateur (importance relative des différentes contraintes...). 304 5 84 7 39 La formulation de l'EKF est proche des méthodes d'optimisations qudratiques sous contraintes, mais sa résolution est embarquable en temps réel. Finalement, les résultats de convergence assurent à la loi sa stabilité, et 5 lui permettent de rester optimales. Références : [1] - K. Yamada et I. Jikuya, « Directional passability and quadratic 10 steering logic for pyramid-type single gimbal control moment gyros », in Elsevier, 2014, [2] - Y. Song and J.W. Grizzle, « the Extended Kalman Filter as a Local Asymptotic Observer for Discrete-Time Nonlinear Systems", in Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control, vol. 5, no. 1, pp.59-78, 15 1995, [3] - Deyst and C.F. Price, "Conditions for asymptotic stability of the discrete minimum-variance linear estimator", in IEEE trans. Automat. Control, vol. 13, no. 6, pp. 702-705, 1968, [4] - B. Siciliano, "Kinematic Control of Redundant Robot Manipulators", 20 Journal of Intelligent and Robotic Systems, vol.3, pp. 201-212, [5] - B. Siciliano and L. Sciavicco, "Modeling and Control of Robot Manipulators", 2nd edition, Springer-Verlag, London, 2000, [6] - J. Baillieul, "Kinematic programming alternatives for redundant manipulators", Proceedings of the 1985 IEEE International Conference 25 on Robotics and Automation, pp 722-728, 1985, [7] - C.W. Wampler, " Inverse Kinematic Functions For Redundant Manipulators", Proceedings of the 1987 IEEE International Conference on Robotics and Automation, vol. 4, pp 610-617, 1987. [8] - Y. Nakamura, H. Hanafusa and T. Yoshikawa, "Task-priority based 30 redundancy control of robot manipulators", Transactions of ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, vol. 6, no 2, pp 3-15, 1987. [9] - T.I. Fossen and T.A. Johansen, "A Survey of Control Allocation 3045847 Methods for Ships and Underwater Vehicles", 14th Mediterranean Conference on Control and Automation, pp 1-6, 2006. [10] - Y. Chen and J. Wang, "Fast and Global Optimal Energy-Efficient Control Allocation With Applications to Over-Actuated Electric Ground 5 Vehicles", IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 20, no 5, pp 1202-1211, 2012. [11] - W. Song and G. Hu, "A Fast Inverse Kinematics Algorithm for Joint Animation", International Conference on Advances in Engineering, Procedia Engineering, vol. 24, pp 350-354, 2011. 10 [12] - H. Ananthanarayanan and R. Ordonez, "Real-time Inverse Kinematics of (2n+1) DOF hyper-redundant manipulator arm via a combined numerical and analytical approach", Mechanism and Machine Theory, vol. 91, pp 209-226, 2015. [13] - R.E. Kalman and R.S. Bucy, "New Results in Linear Filtering and 15 Prediction Theory", Journal of Basic Engineering, pp. 95-108, 1961 [14]- B. Wie, "Singularity Escape/Avoidance Steering Logic for Control Moment Gyro Systems", Journal of Guidance, Control, And Dynamics, vol. 25, No. 5, pp 948-956, 2005. [15]- H. Kurokawa, "Survey of Theory and Steering Laws of Single-20 Gimbal Control Moment Gyros", Journal of Guidance, Control, And Dynamics, vol. 30, No. 5, pp 948-956, 2007. [16] - O. Tekinalp, E. Yvuzoglu, "A new steering lax for redundant control moment gyroscope clusters", Aerospace Science and Technology, vol. 9, pp 626-634, 2005. 25 [17] - W. Khalil and E. Dombre, "Modeling, identification and control of Robots", Butterworth-Heinemann, Oxford, 2004. REVENDICATIONS1. Procédé de commande d'un système redondant comprenant au moins un degré de liberté et au moins un actionneur (110, 120, 130, 410, 420, 430), le nombre d'actionneur étant strictement supérieur au nombre de degré de liberté (10, 100, 200, 300), le système étant commandé par une loi de commande f telle que y=f(x), avec y une grandeur physique de sortie et x un ensemble de grandeurs physiques d'entrée destiné à commander les actionneurs, le procédé comprenant les étapes suivantes : - (El) détermination de l'ensemble des grandeurs physiques d'entrée x permettant d'obtenir la grandeur physique de sortie y, l'étape de détermination comprenant les sous-étapes suivantes : - (E11) détermination d'une variation Ay de la grandeur physique de sortie y en fonction d'une variation Ax de la grandeur physique d'entrée x et d'une variation au carré Axe de la grandeur physique d'entrée x par différentiation au second ordre de la loi de commande f, la variation Ay s'exprimant par la fonctionnelle suivante , où A est une matrice fonction de la grandeur physique d'entrée x et de la loi de commande f ; - (E12) obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées par une inversion de la fonctionnelle précédemment déterminée au moyen d'une minimisation au sens des moindres carrés ; - (E13) sélection d'un ensemble préférentiel en tenant compte de 25 contraintes définies entre les grandeurs dues à la redondance du système, - (E2) commande des actionneurs du système redondant selon l'ensemble préférentiel. 30 2. Procédé selon la revendication précédente, dans lequel : 3045847 42 - l'étape d'obtention de la pluralité d'ensembles de grandeurs physiques d'entrées (E12) est effectuée à l'aide du formalisme d'un filtre de Kalman étendu prenant en compte les équations et les contraintes, - l'étape de sélection (E13) est effectuée à l'aide de l'algorithme de 5 résolution du filtre de Kalman étendu pour trouver le meilleur compromis parmi les solutions réalisables et les contraintes imposées. 3. Procédé de commande d'un système redondant comprenant au moins un degré de liberté et au moins un actionneur (110, 120, 130, 410, 420, 10 430), le nombre d'actionneurs étant strictement supérieur au nombre de degrés de liberté (10, 100, 200, 300), le système étant commandé par une loi de commande f telle que y=f(x), avec y une grandeur physique de sortie et x un ensemble de grandeurs physiques d'entrée destiné à commander les actionneurs, le procédé comprenant les étapes 15 suivantes : - (El) détermination de l'ensemble des grandeurs physiques d'entrée x permettant d'obtenir la grandeur physique de sortie y, l'étape de détermination comprenant les sous-étapes suivantes : - (E11) détermination d'une double dérivation temporelle de la 20 grandeur physique de sortie y en fonction d'une dérivation temporelle k et d'une double dérivation temporelle k de la grandeur physique d'entrée x, par double dérivation de la loi de commande, s'exprimant par la fonctionnelle suivante, où C est une matrice fonction de l'ensemble de 25 grandeurs physiques d'entrée x et de la loi de commande f, - (E12) obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées x par une inversion de la fonctionnelle précédemment déterminée au moyen d'une minimisation au sens des moindres carrés, - (E13) sélection d'un ensemble préférentiel en tenant compte de 30 contraintes définies entre les grandeurs dues à la redondance du système, 3045847 43 - (E2) commande des actionneurs du système redondant selon l'ensemble préférentiel. 4. Procédé selon la revendication 3 dans lequel l'étape d'obtention de 5 plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées x (E12) est effectuée à l'aide d'une pseudo-inverse de Moore-Penrose. 5. Procédé selon la revendication 3 ou 4, dans lequel les étapes obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées x 10 (E12) et de sélection (E13) sont effectuées à l'aide d'un filtre de Kalman étendu. 6. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 5, dans lequel les actionneurs sont des actionneurs gyroscopiques (100, 200, 300, 15 400) comprenant une toupie générant un moment et le système comprend une grappe (10) formée desdits actionneurs (100, 200, 300, 400), et dans lequel la grandeur de sortie y est le moment cinétique total de la grappe h et l'ensemble des grandeurs physiques d'entrée x est l'angle de précession de chacun des actionneurs gyroscopiques Q. 20 7. Procédé selon la revendication 6, dans lequel un repère Ri = (xi, yi, zi) est défini pour chaque actionneur gyroscopique d'indice i, avec xi aligné avec l'axe de rotation propre de la toupie, yi avec l'axe du moment gyroscopique produit et zi avec l'axe de la vitesse de précession, dans lequel la différentiation au second ordre s'exprime sous la forme : c tv où h est le moment cinétique total et APT est la variation des angles de précession des actionneurs, avec dh(r de h-oupie I(er) 3045847 44 et Ae) a2hy:, h7A. da, 5 de sorte que l'on obtient : Af" (Ac^ Où X est la matrice des xi, htoupie est le moment cinétique constant d'une toupie d'un actionneur. 10 8. Procédé selon l'une des revendications 6 ou 7, dans lequel : - trois variables (x1, x2, x3) du filtre de Kalman (EKF) sont définies respectivement par la variation des angles de précession des actionneurs gyroscopiques (A Y , par la variation au carré des angles de 15 précession des actionneurs gyroscopiques A ), et par le moment cinétique total normalisé (h/htoupie) - quatre équations de recalage du filtre de Kalman (EKF) sont définies respectivement par troisième variable du filtre de Kalman (x3), ladite équation sous forme matricielle, la différence entre les deux premières 20 variables du filtre de Kalman (x1-x2), la première variable du filtre de Kalman 9. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 5, dans lequel les actionneurs sont des liaisons pivots motorisées et le système 25 comprend un bras articulé (400) avec portions (410, 420, 430) reliées entre elles par des liaisons pivots (510, 520, 530), et dans lequel la grandeur physique de sortie y est la position d'un point du bras articulé et la grandeur physique d'entrée x est l'angle de chacune des liaisons pivots. 30 3045847 45 10. Dispositif comprenant une grappe (10) d'au moins quatre actionneurs gyroscopiques (100, 200, 300, 400) et une unité de commande configurée pour mettre en oeuvre un procédé selon l'une quelconques des revendications 1 à 8. 5 11. Dispositif selon la revendication précédente, dans lequel les actionneurs gyroscopiques (100, 200, 300) sont dans une configuration pyramidale. 10 12. Dispositif selon la revendication 10, dans lequel les actionneurs (100, 200, 300) sont dans une configuration coplanaire. 13. Satellite comprenant un dispositif selon l'une des revendications 10 à 12. 15 14. Dispositif comprenant un bras articulé (400) avec au moins trois liaisons pivots motorisées (410, 420, 430) et une unité de commande configurée pour mettre en oeuvre un procédé selon la revendication 9.