FR 3048109 A1 20170825 FR 1651518 A 20160224 1 Procédé de contrôle non destructif d'une pièce pour aéronautique DOMAINE TECHNIQUE GENERAL L'invention concerne le domaine du contrôle non destructif (CND) sur des pièces industrielles, notamment dans le domaine de l'aéronautique, à l'aide d'images tridimensionnelles sous forme de volumes tomographiques numériques par exemple. Plus précisément, l'invention concerne le recalage (« registration » en anglais) à l'aide de transformations de ces volumes sur des modèles réalisés sur ordinateur. Le CND est primordial pour contrôler la santé matière des matériaux. Par exemple, les aubes de soufflante, qui sont en composite de fibres de carbone tissées en trois dimensions, sont des pièces critiques qui doivent être contrôlées en intégralité. Mais le carter fan, le redresseur, les pales, les aubes, etc. peuvent aussi être concernés. Les volumes tomographiques numériques sont obtenus à l'aide d'un tomographe dont le générateur de rayons X émet un faisceau traversant la pièce à explorer, avant d'être analysé, après atténuation, par un système de détection. L'image intermédiaire ainsi obtenue est appelée une « projection ». En acquérant une pluralité de projections dans différents plans de l'espace (avec un éventuel prétraitement) et en les recombinant, on obtient un volume tridimensionnel de la pièce avec une valeur de densité d'absorption des rayons X à chaque voxel. Ces images permettent un accès non destructif à l'intérieur de la pièce. D'autres technologies d'imagerie sont possibles pour obtenir de tels volumes. On parlera par la suite de modélisation par imagerie. 3048109 2 Les modèles réalisés sur ordinateur sont obtenus par Conception Assistée par Ordinateur (CAO, ou CAD pour « Computer Aided Design » en anglais) : ce sont des ensembles de volumes, de surfaces ou courbes paramétré(e)s permettant de décrire d'une façon théorique une pièce. 5 On parlera par la suite de modèle CAO. Les bureaux d'études en charge des pièces citées précédemment définissent des zones de criticité et/ou des zones d'analyse qui sont définies dans le référentiel CAO. 10 Or, comme la représentation par imagerie et le modèle CAO possèdent chacune leur propre référentiel, il est nécessaire de connaitre la transformation permettant de passer d'un référentiel à l'autre, notamment pour pouvoir connaitre la position exacte dans le référentiel 15 CAO d'une information repérée dans le volume tomographique. Ces méthodes sont appelés « recalage » (registration en anglais). Le recalage cherche donc à faire coïncider au mieux le modèle CAO avec la représentation par imagerie pour trouver la transformation optimale 20 (voir figure 1). La transformation inverse (du repère d'imagerie vers le repère CAO) peut ensuite être déduite. On appelle t une transformation permettant de changer de repère entre le modèle CAO et la représentation par imagerie, t appartenant à 25 l'espace des transformations T. Le modèle de transformation est générique et peut aussi bien être l'ensemble des transformations linéaires (rigides, similitudes, affines ou projectives) ou non linéaires (élastique). 30 Lors du recalage (étape El sur la figure 1), on utilise un critère de similitude que l'on cherche à maximiser (ou bien minimiser un critère de dissimilarité, mais c'est équivalent). Le critère de similitude est une fonction continue, dérivable et comprenant théoriquement un unique 3048109 3 maximum global (en pratique, une pluralité de maxima locaux). Le critère de similitude comprend en entrée la représentation par imagerie Obj2 et la transformée t(Obj1) du modèle CAO Obj1 par la transformation t. 5 Le problème d'optimisation peut être décrit sous la forme suivante, avec t0pt la transformation optimale : tops = arg max tET (S(t(Obil), Ob12)) 10 ETAT DE L'ART Il existe différentes méthodes pour effectuer le recalage. Certaines permettent de recaler une surface sur une surface, d'autre un volume 15 sur un volume, voire même en intermodalité (surface/volume). On se réfère par exemple à la demande FR1561301 au nom du Demandeur. A l'issue du recalage, la transformation optimale est connue et le changement de repère entre la représentation par imagerie et le modèle 20 CAO peut être effectué pour établir une correspondance. Néanmoins, la représentation par imagerie n'est pas parfaite et présente une certaine quantité de bruit N. Ce bruit se traduit par des variations du critère de similitude autour de la transformation optimale t0pt obtenue 25 lors de l'étape de recalage El. Il est ainsi possible que la transformation réelle soit légèrement différente, ou même qu'une pluralité de transformations réelles existe (si la représentation des valeurs du critère de similitude en fonction des transformations a une forme de palier par exemple). Ainsi, la valeur du critère de similitude obtenue pour la 30 transformation optimale peut n'être qu'un maximum local, et non pas global. 3048109 4 On parlera donc par la suite de transformation « optimisée » (on garde la dénomination de t0pt) pour désigner la transformation théoriquement « optimale » issue du recalage, mais qui pourrait ne pas être la meilleure ou l'unique transformation réelle. 5 Afin de vérifier cela, il est fréquent d'analyser les variations du critère de similitudes le long des axes de la transformation t (au nombre de 6 pour les transformations rigides). Par exemple, une fois la transformation optimisée t0pt connue, on modifie la composante selon un axe (par 10 exemple la translation selon un axe ou la rotation autour d'un axe) d'un delta et on étudie la variation de la valeur du critère de similitude au niveau du delta. On estime généralement alors que tant que le critère de similitude demeure supérieur à un seuil donné SP (max(similitude) - max(bruit)), alors la transformation reste dans l'intervalle de confiance. 15 Dans certains cas, lorsque l'on se déplace uniquement selon un axe de la transformation (voir figure 2a qui représente le critère de similitude en fonction des transformations, avec un maximum atteint en topt, avec trois courbes Cl, C2, C3 de transformations t passant par l'optimum 20 calculé et voir figure 2b, qui affichent dans un même plan des projections des trois courbes Cl, C2, C3 pour mieux comparer les variations : on voit que des variations selon l'une ou l'autre de ces courbes n'engendre pas les mêmes variations du critère de similitude, par rapport à un seuil SP), on ne reste dans l'intervalle de confiance que 25 si les variations de la transformation optimisée t0pt sont faibles, d'où une interprétation selon laquelle l'incertitude est relativement faible. En revanche, cette analyse occulte complètement le fait que l'incertitude est supérieure lorsque l'on regarde sur une certaine oblique, c'est-à-dire que des variations importantes combinant deux ou plus composantes de 30 mouvement permettent aussi de rester dans l'intervalle de confiance. La transformation estimée est donc potentiellement très mal estimée. Les incertitudes sont largement sous-estimées. 3048109 5 Une telle méthode d'analyse selon les axes présente certes l'avantage d'être peu coûteuse en ressource et de mettre en évidence rapidement une absence de précision, mais elle ne permet pas de s'assurer que l'incertitude est faible. Or, les incertitudes peuvent être critiques 5 puisqu'elles peuvent induire des mauvaises correspondances entre la modélisation simulée et la modélisation par imagerie, et/ou des mauvaises analyses de santé matière. Il existe ainsi un besoin de pouvoir connaître la précision admissible 10 pour établir une correspondance fiable entre les deux modélisations, afin de pouvoir améliorer le traitement du CND. PRESENTATION DE L'INVENTION 15 La présente méthode vise à pallier les insuffisances de l'art antérieur. L'invention propose un procédé de contrôle non destructif d'une pièce pour aéronautique, comprenant les étapes suivantes : - E0, E0' Acquisition d'une modélisation obtenue par imagerie à 20 l'aide d'un dispositif d'acquisition et génération d'une modélisation simulée par informatique, - El, E2 application d'un procédé de recalage entre les deux modélisations à l'aide d'un critère de similitude entre les deux modélisations pour obtenir une transformation optimisée issue de 25 l'espace des transformations, ladite transformation optimisée maximisant ledit critère de similitude, le procédé étant caractérisé en ce qu'il comprend les étapes suivantes : - E3 développement analytique au second ordre du critère de similitude au voisinage de la transformation optimisée, 30 - E4 détermination d'un domaine de confiance dans l'espace des transformations correspondant à l'ensemble des transformations pour lesquelles la valeur du critère de similitude calculée par le développement analytique est supérieure à un seuil prédéterminé, 3048109 6 - E5 mise en correspondance d'un point d'une des modélisations avec un volume physique tridimensionnel de l'autre modélisation, ledit volume physique étant défini par les transformations appartenant au domaine de confiance appliquées audit point. 5 L'invention peut comprendre les caractéristiques suivantes, prises seules ou en combinaison : - l'étape E3 de développement analytique au second ordre comprend les sous-étapes suivantes : 10 E31 formulation du développement analytique à l'aide de coefficients, E32 calcul d'un nombre de valeurs du critère de similitude à l'intérieur dudit voisinage supérieur ou égal au nombre de coefficients, 15 E33 résolution du système d'équations linéaires, - la résolution peut notamment être effectuée par une minimisation de l'erreur au sens de moindres carrés, 20 - L'étape E3 de développement analytique comprend les sous- étapes suivantes : E34 détermination des résidus du système, E35 évaluation de la qualité du développement analytique, E36 détermination si nécessaire d'un nouveau voisinage et 25 reprise de l'étape du développement analytique au sein du nouveau voisinage, - l'étape E4 de détermination du domaine de confiance comprend les sous-étapes suivantes : 30 E41 détermination d'une base de vecteurs propres de la matrice correspondant au second ordre du développement analytique, 3048109 7 E42 évaluation sur chaque axe de la base de vecteurs propres, de l'intervalle de confiance à l'intérieur duquel le critère de similitude reste supérieur à un seuil SP, E43 détermination du domaine de confiance à partir des 5 intervalles de confiance sur les axes des vecteurs propres. - l'étape E4 de détermination d'une base de vecteurs propres comprend les sous-étapes suivantes : E411 diagonalisation de la matrice associée au second ordre 10 dudit développement analytique du critère de similitude, E412 obtention d'une base orthogonale composée des vecteurs propres issus de la diagonalisation et des valeurs propres associées, - le domaine de confiance est un ellipsoïde, 15 - le seuil prend en compte le bruit relatif à la modélisation par imagerie, - le seuil du critère de similitude prend en compte la valeur 20 maximale du critère de similitude calculée par le développement analytique, - le procédé comprend une étape Ev de calcul du voisinage, ladite étape Ev comprenant les sous-étapes suivantes : 25 Ev1 calcul, sur chaque axe des translations et des rotations, des valeurs du critère de similitudes de part et d'autre de la transformation optimisée à une pluralité de distances décroissantes donnée, Ev2 comparaison desdites valeurs à la valeur du critère de 30 similitude obtenue pour la transformée optimisée et stockage de l'avant dernière distance pour laquelle la valeur du critère de similitude est supérieure à la valeur du critère de similitude obtenue pour la transformée optimisée, 3048109 8 Ev3 détermination du voisinage à l'aide de la distance obtenue à l'étape précédente, - l'étape E3 de développement analytique comprend une étape E37 5 de détermination d'une transformation améliorée correspondant à la valeur maximale du critère de similitude développé analytiquement, - Procédé dans lequel un nouveau voisinage plus restreint est 10 calculé à partir du développement analytique et dans lequel la transformation améliorée est considérée comme la transformation optimisée L'invention propose aussi une unité de calcul comprenant des moyens de 15 traitement de données et configurée pour mettre en oeuvre les étapes El, E2, E3, E4, E5, ou E2, E3, E4, E5 telles que précédemment décrites. L'invention propose aussi un produit programme d'ordinateur configuré pour être exécuté par les moyens de traitements de données de l'unité 20 de calcul, ledit produit programme d'ordinateur permettant la mise en oeuvre les étapes El, E2, E3, E4, E5, ou E2, E3, E4, E5 telles que précédemment décrites. PRESENTATION DES FIGURES 25 D'autres caractéristiques, buts et avantages de l'invention ressortiront de la description qui suit, qui est purement illustrative et non limitative, et qui doit être lue en regard des dessins annexés, sur lesquels : - La figure 1, déjà présentée, schématise le recalage, 30 - Les figures 2a et 2b, déjà présentées, représentent les limitations des tests de précision effectués sur les axes, en trois dimensions et avec une projection dans un même plan, 3048109 9 - Les figures 3 et 4 représentent respectivement des objets obtenus par imagerie et simulé informatiquement. - La figure 5 représente le positionnement de l'invention dans le processus connu de recalage, 5 - La figure 6 représente un critère de similitude avec plusieurs maxima locaux, ainsi qu'une illustration de mesures de valeurs. DESCRIPTION DETAILLEE 10 Le procédé décrit ici permet le contrôle d'une modélisation par imagerie Obj2, par exemple un volume tomographique numérique 10 obtenu par tomographie à rayons X d'une pièce (figure 3) et d'une modélisation par simulation Obji, par exemple un modèle CAO 20 sous forme d'une surface (figure 4) obtenue par simulation informatique de cette même 15 pièce. Le procédé s'applique à tout type de recalage (volume/volume, volume/surface, etc.). Cette méthode s'applique à l'issue d'une étape de recalage El entre les deux modélisations (voir figure 3). L'étape de recalage est effectuée à 20 l'aide d'un critère de similitude S et permet d'obtenir une transformation optimisée topt qui maximise au moins localement le critère de similitude. On se réfère à l'introduction. La figure 5 illustre l'agencement des différentes étapes selon un mode 25 de réalisation de l'invention. La maximisation du critère de similitude S se fait en utilisant des algorithmes d'optimisation éventuellement itératifs. Citons à titre d'exemple : 30 - une descente de gradient, - la méthode de Levenberg Marquardt, - la méthode de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS), - la méthode de Fletcher-Reeves, 3048109 10 la méthode de Polaak-Robiere. Dans la description qui sera donnée, l'espace des transformations T est celui des transformations rigides dépendant de six paramètres (les trois 5 translations et les trois rotations de l'espace). Le procédé est néanmoins applicable à toute transformation appartenant à un espace de dimension éventuellement supérieure ou inférieure. Préliminairement au procédé qui sera décrit par la suite, une 10 modélisation simulée Obji de la pièce à analyser et une modélisation par imagerie Obj 2 de cette même pièce sont effectuées. Pour cela, dans une étape E0, un dispositif d'acquisition crée la modélisation par imagerie Obj2 et dans une étape E0' un dispositif informatique crée la modélisation par simulation Obji. 15 A l'issue de l'étape de recalage El, la transformation optimisée t0pt et le critère de similitude S sont utilisées pour être affinés. Comme représenté notamment en figure 6, dans un voisinage V de la 20 transformation, il se peut qu'il existe une autre transformation pour laquelle le critère de similitude S a une valeur plus élevée que sa valeur maximum théorique issue de l'étape de recalage El. On détaillera plus tard des procédés pour établir le voisinage V. 25 Dans une étape E2, la transformation optimisée t0pt et le critère de similitude S sont récupérés par une unité de calcul comprenant des moyens de traitement de données. A présent, des étapes postérieures à l'étape de recalage El proprement 30 dite et telle qu'existant dans l'art antérieur vont être décrites. 3048109 11 Dans une étape E3, le critère de similitude S est développé analytiquement au second ordre dans un voisinage V de la transformation optimisée topt. 5 Le critère de similitude S s'exprime alors sous la fonctionnelle suivante pour toute transformation dans le voisinage V, avec une constante, un vecteur de gradient et une matrice Hessienne. On note Sd(t) ce développement analytique : \ , NT , \ , Sd(t) = S(topt) + VS(topt). (t - 4,0 + -2 (t - topt) HUopt)U - topt) + 0 (11(t - topt)112) H est la matrice hessienne de la similitude, c'est-à-dire la matrice 10 comprenant les dérivées secondes de S en fonction ici des rotations et des translations (espace des transformations rigides). Il s'agit typiquement d'un développement de Taylor à l'ordre 2. L'étape E3 de développement analytique sera détaillée par la suite. 15 Une fois la connaissance analytique Sd du critère de similitude S dans le voisinage V connue, il est possible de déterminer pour quelles transformations t le critère de similitude Sd reste au-dessus d'un seuil prédéterminé SP. Plus de détails seront donnés sur ce seuil SP par la 20 suite. On rappelle que l'ensemble de ces transformations est déterminé à l'aide du développement analytique Sd au second ordre et non pas par calcul réel du critère de similitude S. Il s'agit de la résolution mathématique 25 d'une inéquation. L'ensemble des transformations t supérieures au seuil prédéterminé SP est exactement contenu dans un domaine dit domaine de confiance Vc. Ce domaine Vc se situe dans l'espace des transformations T. A l'issue 30 d'une étape E4, ce domaine de confiance Vc est déterminé. 3048109 12 Du fait du développement analytique au second ordre Sd, le domaine de confiance Vc a la forme d'un ellipsoïde. 5 On est donc assuré que les transformations t non contenues dans cet ellipsoïde ne constituent pas des candidats possibles pour la maximisation puisqu'elles dégradent la similitude S d'une façon significative (choix du seuil prédéterminé SP) par rapport au maximum estimé. Par « significative », on peut par exemple entendre 10 « correspondant à un niveau de bruit hautement improbable». Malgré la présence de bruit, on peut donc affirmer que la transformation optimale réelle est contenue dans l'ellipsoïde connu autour de la transformation optimale estimée. 15 En appliquant à un point quelconque du modèle CAO Obj1 l'ensemble des transformations t du domaine de confiance Vc, ce point de la modélisation simulée Obj1 va parcourir un volume tridimensionnel physique Vpt de l'espace physique de la modélisation par imagerie Obj2, tridimensionnel (ou inversement, en utilisant les transformations 20 inverses). Il est possible de prouver qu'au premier ordre, si la transformation t est contenue dans l'ellipsoïde (de dimension n), alors un point recalé, c'est-à-dire un point qui a subi une transformation t issue du volume de 25 confiance Vc, est logé dans un ellipsoïde physique de dimension 3. Ainsi, dans une étape E5, une correspondance est établie entre un point du modèle CAO Obj1 et son volume tridimensionnel physique Vpt de la modélisation par imagerie Obj2 correspond audit point. 30 A toute requête de l'utilisateur ou d'un logiciel demandant la correspondance d'un point du modèle simulé Obj1, le procédé permet de déterminer le volume physique tridimensionnel Vpt dans la modélisation 3048109 13 par imagerie Obj2 pour lequel on peut assurer à un degré de certitude donné que le point s'y trouve. Ce degré de certitude dépend du seuil prédéterminé SP. En effet, ce 5 seuil détermine la taille du domaine de confiance Vc, et ipso facto le volume tridimensionnel physique Vpt. La donnée de sortie, qui est le volume tridimensionnel Vpt associé à un point, est robuste au bruit issu de l'imagerie et offre une estimation de 10 précision, ce que les traitements précédents (étape de recalage ou test n-axes par exemple) ne permettaient pas. En matière de ressource, l'estimation robuste de la forme quadratique du critère de similitude S développé au second ordre requiert environ 15 1+2n2 évaluations de la similitude (points d'interpolation), contre 1+2n pour un test n-axes par exemple. En revanche, le critère de similitude est connu analytiquement dans le voisinage V et une nouvelle estimation du maximum So, robuste, peut être effectuée. 20 Les étapes E3 et suivantes s'appliquent à l'issue de toute étape de recalage, et peuvent s'intégrer sans complication dans les méthodes déjà existantes. A présent, davantage de précisions vont être apportées sur les 25 différentes étapes ou objet du procédé. Précision sur l'étape E3 de développement analytique Le développement analytique peut être décomposé en une pluralité de 30 sous-étapes. Dans une étape E31, la fonctionnelle Sd telle qu'indiquée précédemment est développée à l'aide de coefficients. En particulier, comme on 3048109 14 suppose que le critère de similitude S est deux fois dérivable, la matrice Hessienne est symétrique. Pour calculer les valeurs de ces coefficients de Sd, une pluralité d'estimations effectives de S(t) est effectuée pour des points du 5 voisinage V. En dimension n, le nombre Nc de coefficient est de : n(n + 1) N c = 1 + n + 2 Le 1 correspond à la valeur So pour la transformation optimisée topt, n correspond au vecteur de gradient (vecteur à n coordonnées) et n(n+1)/2 correspond à la matrice Hessienne (qui est symétrique, de 10 dimension n2). Dans l'espace des transformations T rigides, de dimension 6, il est nécessaire d'avoir au moins 1+6+15=22 points de S dans le voisinage V. 15 Préférablement, une partie de ces valeurs sont celles déjà calculées par le test n-axes (voir infra), qui donne deux mesures par axe. On ajoute aussi quatre valeurs par paire d'axes. Typiquement, cela signifie que dans une représentation en deux dimensions, on prend deux valeurs opposées sur chaque diagonale (y=x et y = -x). 20 En dimension 6, on a 6 x 5 / 2 = 15 paires d'axes (on choisit 2 axes parmi 6 axes, soit 15 choix possibles), et on calcule donc 1 + 6 x 2 + 15 x 4 = 73 valeurs de la similitude. Dans une étape E32, un nombre de valeurs de S au moins égal au 25 nombre de coefficients nécessaires pour déterminer la forme analytique du second ordre Sd est calculé. Préférablement, le nombre de valeur de S est supérieur afin d'obtenir une redondance des données qui permet d'affiner la position de la transformation optimisée topt. 3048109 15 Dans une étape E33, le système linéaire est résolu. Pour des systèmes redondants, une minimisation au sens des moindres carrés permet de calculer efficacement les résultats. 5 Avantageusement, dans une étape E34, les résidus du système sont calculés, c'est-à-dire que l'on calcule la différence entre la valeur effective de S et la valeur du développement au second ordre Sd, pour les points d'interpolation. A partir de ces résidus, dans une étape E35, la qualité du 10 développement analytique est évaluée. Les critères de qualité ne seront pas détaillés ici, mais il peut s'agir d'une comparaison à un seuil donné ou autre. A partir de cette analyse, il est possible, si nécessaire, dans une étape E36 de déterminer un nouveau voisinage V' pour lequel le procédé 15 d'optimisation du calcul de la transformation optimisée t0pt s'applique. En outre, comme outil de vérification de la pertinence du développement au second ordre, il est possible de s'assurer que les coefficients du vecteur gradient sont proches de 0. En effet, la transformation t0pt est 20 supposée être proche d'un extremum local pour lequel le gradient est donc nul. La connaissance analytique (et non plus par estimation à travers des valeurs estimées) de S dans le voisinage V permet de calculer un nouvel 25 extremum So si celui-ci devait être différent de celui calculé pour la transformation t0pt issue de l'étape de recalage. Dans une étape E37, à partir du développement analytique Sd, il est possible de déterminer le nouveau maximum So du développement analytique Sd et ainsi d'obtenir une transformation dite « améliorée » ta 30 correspondant à cette nouvelle valeur maximale So du critère de similitude développé analytiquement Sd. 3048109 16 Cette transformation améliorée ta une fois déterminée peut est considérée comme la transformation optimisée t0pt pour la mise en oeuvre des étapes décrites dans la description. On réécrit alors simplement le développement à l'ordre 2 autour de ta. Dans ce 5 développement, la constante est So, le gradient est nul et la Hessienne inchangée. Détail de l'étape E4 de détermination du domaine de confiance Vc 10 Une fois que le critère de similitude S est connu analytiquement Sd dans le voisinage V, il reste à déterminer le domaine de confiance Vc autour de ta. Comme mentionné précédemment, le développement au second ordre comprend la constante So, qui correspond à la valeur maximale So du 15 critère de similitude, dans le voisinage V, le gradient, qui est nul (présence d'un maximum), et une matrice Hessienne, dont les valeurs propres sont censées être négatives (présence d'un maximum). Le critère de similitude est supposé deux fois dérivable, de sorte que la 20 matrice Hessienne soit symétrique. Par conséquent, la décomposition spectrale nous assure que la matrice dispose d'une base de vecteurs propres orthogonaux. Du fait que cette matrice soit issue d'un développement analytique au second ordre sur un maximum, les valeurs propres sont négatives. 25 Dans une étape E41, une base de vecteurs propres orthogonaux est déterminée pour la matrice Hessienne. Un intervalle de confiance dans la direction de chaque vecteur propre dépend simplement de la valeur propre correspondante et du niveau maximum de bruit. L'ensemble des intervalles de confiance forment le 30 domaine de confiance Vc. Dans une étape E42, ces intervalles de confiance sont calculés, c'est-à-dire que l'on cherche les valeurs à partir desquelles le critère de similitude devient inférieur (ou égal) au seuil SP. 3048109 17 En classant ces axes par valeurs propres décroissantes, on obtient un classement des axes par intervalle de confiance croissant (précision décroissante). Ces intervalles définissent un domaine sous forme d'ellipsoïde aligné 5 avec les axes propres dans l'espace des transformations. Cet ellipsoïde est ainsi le domaine de confiance Vs autour de ta, qui est déterminé dans une étape E43. A la différence du cas évoqué plus haut pour le test selon les axes originaux, l'intervalle de confiance selon une direction quelconque est 10 maintenant parfaitement connu, et égal à l'intersection de cette direction avec l'ellipsoïde. Plus précisément, pour déterminer la base de vecteurs propres, l'étape E41 peut comprendre les sous-étapes E411 de diagonalisation de la 15 matrice hessienne et E412 d'obtention de ladite base orthogonale issue directement de la diagonalisation, ainsi que de leur valeur propre associée. On notera que ce volume de confiance peut être calculé d'autres façons 20 et qu'il n'est pas nécessaire d'étudier axe par axe les variations, ni même d'obtenir une base de vecteurs propres. Détail du calcul du voisinage V 25 Le voisinage correspond à un volume fixé de l'espace des transformations T dans lequel la méthode décrite s'applique. Ce volume peut être connu par apprentissage, suite à une accumulation de mise en oeuvre des procédés de recalage, ou bien par des méthodes rapides d'estimation d'un volume pertinent, comme le test n-axes. 30 Une première méthode peut consister à prendre un voisinage arbitraire, issu de l'expérience des recalages précédents. S'il est connu que pour une pièce donnée, un voisinage V convient, on peut utiliser celui-ci. 3048109 18 D'autres méthodes existent. Le test n-axes va être détaillé ci-dessous, en lien avec la figure 6. Le test n-axes correspond à celui présenté en introduction, qui permet 5 de mettre en évidence rapidement une incertitude, mais pas une absence d'incertitude. En revanche, il nous permet ici d'établir une valeur de voisinage V à l'intérieur duquel le développement analytique au second ordre sera effectué. Le test consiste à calculer sur chaque axe (dans le cas des 10 transformations rigides : les axes des translations et des rotations), des valeurs de similitudes jusqu'à en trouver une qui soit supérieure à la valeur S(topt), c'est-à-dire So. Par exemple, une « distance » 15 est arbitrairement choisie, qui vaut par exemple 1 cm pour les translations ou 5° pour les rotations. On rappelle que topt est un maximum local (et 15 en théorie dans le voisinage du maximum global s'il existe) pour S et que par conséquent il n'est pas nécessaire d'avoir un 15 trop important sinon des itérations non nécessaires vont être effectuées. On note par abus de langage topt + 15 pour signifier la transformation qui applique une valeur 15 en plus à une des translations ou des rotations de 20 topt, sur un des axes donc. Pour chaque axe, la valeur de S est calculée pour S(topt + 15) et S(topt - 15) . Si S(topt) reste supérieure à ces deux valeurs, on réduit b, par exemple en le divisant par deux et on réitère les calculs. 25 Une fois qu'une valeur de S supérieure à S(topt) est trouvée, on considère comme voisinage V l'intervalle sur cet axe : [topt- b ; topt+ b], avec 15 l'avant dernière valeur utilisée, c'est-à-dire que l'intervalle inclut les bornes du 15 suivant pour lequel une valeur supérieure a été obtenue (voir V sur la figure 6). 30 On définit une étape de détermination du voisinage Ev, qui peut comprendre les étapes suivantes, mises en oeuvre après l'étape El de recalage ou au tout début de l'étape E3 de développement analytique : 3048109 19 - Evi : calcul, sur chaque axe des translations et des rotations, des valeurs du critère de similitudes S de part et d'autres de la transformation optimisée topt à une pluralité de distances 15 décroissantes donnée, 5 - Ev2 : comparaison desdites valeurs à la valeur du critère de similitude S obtenu pour la transformée optimisée topt et stockage de l'avant dernière distance pour laquelle la valeur du critère de similitude S est supérieure à la valeur du critère de similitude obtenu pour la transformée optimisée topt- 10 Enfin, dans une étape Ev3, le voisinage V est déterminé avec les intervalles obtenus sur chaque axe à l'aide de cette avant-dernière distance. Détail du seuil prédéterminé Le seuil prédéterminé SP permet de choisir le niveau d'incertitude lors de l'établissement du domaine de confiance Vc et donc du volume physique tridimensionnel Vpt. En particulier, plus le seuil est bas et plus les domaines et volumes seront importants. Le seuil prédéterminé doit permettre d'établir les perturbations des transformations qui deviennent significatives. Il prend en compte la valeur maximale connue So, soit en topt, soit en ta. 25 Lors de l'étape E0 d'acquisition du modèle par imagerie Obj2, du bruit d'intensité N est nécessairement introduit. Ce bruit est notamment à l'origine de l'existence d'une pluralité d'extrema locaux pour le critère de similitude S. 30 Le seuil prédéterminé SP peut ainsi prendre en compte certaines caractéristiques statistiques du bruit N. 15 20 3048109 20 En effet, si on sait que la probabilité que le niveau de bruit soit supérieur à une valeur N1 est inférieure à une valeur ph1, alors la probabilité que la transformation optimale corresponde à une similitude inférieure à SP = So - Ni_ est également inférieure à ph1. 5 Par exemple, la connaissance de l'écart-type o- d'un bruit gaussien permet en le retranchant un certain nombre de fois à la valeur maximale So, de connaître la probabilité associée au volume de confiance. On peut donc régler le seuil à appliquer pour obtenir une probabilité 10 choisie. Des méthodes utilisant des cumuls de probabilités pour une distance de Mahalanobis peuvent être utilisées. Par exemple : - Si le seuil prédéterminé est SO - 3 x a (la valeur maximale SO moins trois fois le bruit gaussien), alors la certitude relative au volume physique tridimensionnel est supérieure à 97,0%. 15 - Si le seuil prédéterminé est SO - 4 x a (la valeur maximale SO moins trois fois le bruit gaussien), alors la certitude relative au volume physique tridimensionnel est supérieure à 99,9%. 20 REVENDICATIONS1. Procédé de contrôle non destructif d'une pièce pour aéronautique, comprenant les étapes suivantes : - (E0, E0') acquisition d'une modélisation obtenue par imagerie à l'aide d'un dispositif d'acquisition (Obj2) et génération d'une modélisation simulée par informatique (Obji), - (El, E2) application d'un procédé de recalage entre les deux modélisations (Obji, Obj2) à l'aide d'un critère de similitude (S) entre les deux modélisations (Obji, Obj2) pour obtenir une transformation optimisée (tops) issue de l'espace des transformations (T), ladite transformation optimisée (tops) maximisant ledit critère de similitude (S), le procédé étant caractérisé en ce qu'il comprend les étapes suivantes : - (E3) développement analytique (Sd) au second ordre du critère de similitude (S) au voisinage (V) de la transformation optimisée (topt), - (E4) détermination d'un domaine de confiance (Vc) dans l'espace des transformations (T) correspondant à l'ensemble des transformations (t) pour lesquelles la valeur du critère de similitude (S) calculée par le développement analytique (Sd) est supérieure à un seuil prédéterminé (SP), - (E5) mise en correspondance d'un point d'une des modélisations (Obji, Obj2) avec un volume physique tridimensionnel (Vpt) de l'autre modélisation (Obj2, Obji), ledit volume physique (Vpt) étant défini par les transformations (t) appartenant au domaine de confiance (Vc) appliquées audit point. 2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel l'étape (E3) de développement analytique au second ordre comprend les sous-étapes suivantes : 3048109 22 - (E31) formulation du développement analytique à l'aide de coefficients, - (E32) calcul d'un nombre de valeurs du critère de similitude (S) à l'intérieur dudit voisinage supérieur ou égal au nombre de coefficients, 5 - (E33) résolution du système d'équations linéaires. 3. Procédé selon la revendication 2, comprenant des sous-étapes : - (E34) détermination des résidus du système, - (E35) évaluation de la qualité du développement analytique, 10 - (E36) détermination si nécessaire d'un nouveau voisinage (V) et reprise de l'étape du développement analytique au sein du nouveau voisinage. 4. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans 15 lequel l'étape (E4) de détermination du domaine de confiance (Vc) comprend les sous-étapes suivantes : - (E41) détermination d'une base de vecteurs propres de la matrice correspondant au second ordre du développement analytique, - (E42) évaluation sur chaque axe de la base de vecteurs propres, de 20 l'intervalle de confiance à l'intérieur duquel le critère de similitude (S) reste supérieur à un seuil (SP), - (E43) détermination du domaine de confiance (Vc) à partir des intervalles de confiance sur les axes des vecteurs propres. 25 5. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le domaine de confiance (Vc) est un ellipsoïde. 6. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le seuil (SP, S0-N) prend en compte le bruit (N) relatif à la 30 modélisation par imagerie. 7. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le seuil critère de similitude (SP, S0-N) prend en compte la valeur 3048109 23 maximale (SO) du critère de similitude calculée par le développement analytique. 8. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, 5 comprenant une étape (Ev) de détermination d'un voisinage (V), à l'aide des sous-étapes suivantes : - (Ev1) calcul, sur chaque axe des translations et des rotations, des valeurs du critère de similitudes (S) de part et d'autres de la transformation optimisée (topt) à une pluralité de distances (15) 10 décroissantes donnée, - (Ev2) comparaison desdites valeurs à la valeur du critère de similitude (S) obtenu pour la transformée optimisée (topt) et stockage de l'avant dernière distance pour laquelle la valeur du critère de similitude est supérieur à la valeur du critère de similitude obtenu pour la transformée 15 optimisée (topt), - (Ev3) détermination du voisinage V à l'aide de la distance obtenue à l'étape précédente. 9. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans 20 lequel l'étape de développement analytique (E3) comprend une étape (E37) de détermination d'une transformation améliorée (ta) correspondant à la valeur maximale (So) du critère de similitude développé analytiquement. 25 10. Procédé selon la revendication précédente, dans lequel un nouveau voisinage plus restreint est calculé à partir du développement analytique de l'étape de développement analytique (E3) et dans lequel la transformation améliorée (ta) est considérée comme la transformation optimisée (topt). 30