FR 3021770 A1 20151204 FR 1401255 A 20140530 1 Procédé de correction adaptative des défauts d'entrelacement d'un CAN entrelacé ; Composant électronique et système associés La présente invention concerne la conversion analogique-numérique à très haute cadence, c'est-à-dire à une fréquence d'échantillonnage supérieure au Giga Hertz (GHz). Le but de la conversion analogique-numérique est de transformer un signal analogique continu en données exploitables par des composants numériques de calcul, tels qu'un processeur programmable FPGA. La conversion analogique-numérique regroupe deux opérations de natures différentes : d'abord, l'échantillonnage du signal analogique sous la forme d'échantillons discrets, pour passer d'une représentation continue à une représentation discrète du signal, sans perte d'information ou tout au moins avec une perte d'information réduite ; puis, la numérisation de ces échantillons discrets. Dans la pratique, la conversion analogique-numérique est réalisée par des composants électroniques dont la conception est extrêmement délicate et demande une expérience considérable de l'électronique ultra-rapide intégrée, qu'elle soit purement analogique ou mixte analogique-numérique. Les architectures de ces composants tout comme les détails d'implémentation et les technologies de réalisation employées peuvent énormément varier, en particulier en fonction de la gamme de fréquences couverte. Cependant, tous ces composants présentent la même découpe macroscopique, qui comprend : un moyen de discrétisation du signal analogique en temps continu, utilisant un Echantillonneur-E3loqueur, E/B ou S/H selon l'acronyme anglais « Sample and Hold » ; et un moyen de numérisation propre à quantifier les échantillons discrets en sortie du moyen de discrétisation, c'est à dire propre à réaliser un codage de la valeur de chaque échantillon discret sur un nombre NB de bits, soit 2NB niveaux discrets. La conversion analogique-numérique ne peut pas être parfaite et génère des défauts. Ces défauts peuvent être soit des défauts de principe (l'échantillonnage en lui-même, la quantification) ou des défauts liés à la réalisation physique (bruit ajouté, signaux parasites cohérents ajoutés, défauts de linéarité). Il est ainsi connu qu'au-delà d'une fréquence d'échantillonnage seuil fs0 , qui dépend de la technologie mise en oeuvre, un composant de conversion analogique-numérique (CAN dans ce qui suit) présente des performances en résolution SNR (pour « Signal-to-noise ratio » en anglais ou « rapport signal sur bruit » en français) qui 3021770 2 décroissent rapidement avec la fréquence d'échantillonnage fs (pour « sampling frequency » en anglais). Cela est dû au fait que le temps requis pour échantillonner devient si faible qu'il est à la fois nécessaire de réduire la pleine échelle de mesure pour éviter des distorsions 5 associées à la vitesse de balayage (« Slew Rate » en anglais) des transistors du moyen de discrétisation et d'augmenter la bande passante du moyen de discrétisation pour suivre le signal analogique avec suffisamment de précision, ce qui augmente la puissance de bruit repliée dans la bande d'échantillonnage. Ces deux contraintes, qui s'additionnent, causent une dégradation du SNR avec 10 une dépendance en 1/f 3 environ, où f est la fréquence du signal analogique. Pour pallier ce problème, comme représenté sur les figures 1 et 2, il est courant qu'un CAN se présente sous la forme d'un entrelacement de M CAN élémentaires (M étant un entier supérieur ou égal à deux). On parle alors de CAN entrelacé ou TIADC, pour « Time Interleaved Analog To Digital Converters » en anglais. 15 Alors que le CAN entrelacé fonctionne à la fréquence d'échantillonnage fs , chaque voie de codage est cadencée à une fréquence d'échantillonnage élémentaire fsE, (1/TsE ), qui est M fois plus basse que la fréquence fs. Un CAN entrelacé comporte une entrée analogique et M sorties numériques, qui doivent être entrelacées numériquement dans un composant numérique situé en aval du 20 CAN entrelacé, le long de la chaîne de réception. Ce faisant, on étend à fs les performances obtenues à fs /M . En effet, si ± styrax est la pleine échelle commune aux M CAN élémentaires, alors la puissance moyenne du signal de sortie correspondant à la pleine échelle du CAN entrelacé est la même que la puissance moyenne de signal Ps commune à chacun des M CAN, c'est à dire : 25 Ps = s m2 AxI2 Par ailleurs, la puissance moyenne de bruit P, est : [b.02(kMI fs)+ 42(1+ k MI fs)+...+bm2 _1(M -1+ k MI fs)1 PB= Lim k=-K K Les bruits bo , bi , b',_, des M CAN élémentaires sont des fonctions de la fréquence indépendantes les unes des autres. Cependant, comme les CAN élémentaires 30 sont semblables, les variances des bruits sont égales à crE2 : Mx(2K +1) 3021770 3 1C+° 2K +1 2K +1 Si bien que : PB =MX (CF M) = Les puissances moyennes de signal de sortie et de bruit du CAN entrelacé, 5 cadencé à fs , sont donc égales aux puissances moyennes de signal et de bruit de chaque CAN élémentaire cadencé à fs /M pris individuellement. Par conséquent, le SNR du CAN entrelacé, cadencé à fs, est donc bien égal à celui de chaque CAN élémentaire cadencé à fs /M considéré individuellement. Un CAN entrelacé présente cependant des défauts spécifiques, dits 10 d'entrelacement, se traduisant par la présence de raies indésirables, dites raies d'entrelacement, dans le spectre en fréquence. Comme représenté sur la figure 3, pour le cas où M est égal à 4, ces raies d'entrelacement sont la conséquence directe du fait que les voies de codage du CAN entrelacé ne sont pas, dans la pratique, rigoureusement identiques entre elles. Les raies 15 d'entrelacement sont constituées des reliquats des bandes images associées au sous- échantillonnage à la fréquence élémentaire fs /4 sur chaque voie de codage. Ces raies d'entrelacement sont des combinaisons du spectre utile translaté des multiples de fs /4. Plus précisément, dans un CAN entrelacé, chacune des M voies de codage, cadencée à fs /M , replie le spectre dans sa bande d'échantillonnage. 20 Le spectre X(f ) du signal x(t) une fois échantillonné aux instants t = nTs , avec Ts la période d'échantillonnage associée à fs , telle que fs = 11 Ts est : X(.f). Ex[nie-inDelfs n=-«, Où l'on note x[n] l'échantillon à l'instant t = nTs Le spectre Xq + mfs./M) sous-échantillonné porté par chacune des voies de 25 codage q , est : I (k m/./. b);,'_, (34- -1+ k M/fEcii Lim k=-K = ...= Lim k=-K = 2 0-B 3021770 4 +- Xq (f + nes M) = Ex[pm qk-,(pm+.7)2,c(in,m+fus) P=-°° = x[ p M q]e-i(pM+q)27r f I .fs e E Or, le spectre du signal sous-échantillonné est la convolution du spectre du signal et du spectre de la fonction d'échantillonnage r Lx[PM + q]-J(PM+q)2srf!s = X(f) E e-i(Pm+02-fifs P=-'s f 5 x[pm q]e-j(Pm±eirfus = x(f) e-Jq2zf Ifs e11911d2zi. fs P=-°° P=-.> C'est à dire : , E x[pm gie-i(Pm+q)2-fus = x(f)® e-./q2ef/fs E f fs M w=0 Soit : Ex[pm j(pM +02r f fs P=-°' 10 I' M-1 e-Jwg2sroum'e-pwq27,1m m' = X(f)0 8 f = E X f - - fs) M )) m-=0 M Et donc : ( m 1 Af-1 X f +--' r fs = e-m2inn I M _lie- f eq2ic I M 4.f - 11±' fs) q IVI ) M n'=0 M Chaque voie de codage q replie le spectre du signal dans une bande égale à fsIM, en sommant les spectres présents dans chacune des sous-zones de Nyquist 15 (c'est à dire les zones de Nyquist du signal sous-échantillonné à fs 1M ), avec un jeu de coefficients qui lui est propre. La reconstitution du signal total échantillonné consiste alors à sommer les spectres des M voies de codage : M-1 ( .-\ 1 M-1 M-1 m, f = f fs q=0 M ) M 9=0 d=0 M 20 C'est à dire : M-1 m 1 M-1"M-1 EX f + f = Ee-"27`.(1"÷"e)/A1 X f q m S q=0 m'-=0\' q=0 8 rtt+In' P=-°° mm' _ x + fs 15 3021770 5 La reconstitution du signal total consiste donc à éliminer complètement les spectres images créés par repliement du fait du sous-échantillonnage de chaque voie pour ne conserver que le spectre utile. Par contre, si les M voies de codages présentent des disparités de gain aq et des 5 décalages temporels rq par rapport aux instants de codage nominaux, la recombinaison n'est plus parfaite. Dans ce cas, le spectre porté par chacune des voies de codage devient : r Arq (f +mfsIM) 1 =(+ a )1,419M + q + f r ie--,(pm,q),(m/m+fus S q = (I, + a )e--.;q2./me i2er' +- q - Ix[pm + q+ fSrq j-i(pm+q+fs,-,)2,r/j-, i P=-.° = (1 + a )e-ig2n-m1M1tfrq ll -jewl- +fsq)2,r1m ( l q 12 e X f mi fs w=0 M M1 D'où : M-1 m-, M-1 m 172 J 10 f +- f = )e- jen M j2eq V-1 - jmlq+ f q pir M e Le X f --fs q=0 M ) M q=-0 d=0 IV' Soit : M-1 q f + fsm = - Lé Z.d1+ )e-Reïrq e-imlyst- m' X q=0 M ) - m.=0".0 X(f fsM Af-1(m-1 = 1 Ie-jq2z(m+m')IM x( f _ . 1211: fsj M m'=0\..q=0 ) 1 M -1( M-1 r -imuiesr,/m _ ikig274-(.-Fm.)/m q + - E E [(i + a )ei2eq M..---o\' q=0 X f M fs C'est à dire : IXq(f M fs = Mfs) q=0 1 m-irm-1r +-;-; E E + eineDesq /A/ 4-m2'4-tu X f - m A M ni'=0\.q=0 M ) En général, les disparités de gain aq et les décalages rq sont très petits si bien qu'on peut développer au premier ordre en aq et rq l'expression entre crochets dans l'équation précédente, pour obtenir : 3021770 6 Exqf fs xff --- fs M-I /M-1 [ , m, ,\(,,,,, m, + E Eotqe_i,'(m+',,vm + j27(f --.- fs Er e-lq2'("i'')/m X(f -' fs M ,,,,=0 \q=0 i M .1\' q=0 g / M C'est à dire : m_i ) m_. , m, \ , m, EXqf +mfs)-=- X(f +mfs + E[A,'+', + Pz' f - fs Tni+.. X f - fs q=0 M M n'=0 M J \ M j Dans cette dernière relation, la seconde somme correspond à une mauvaise 5 élimination des spectres images créés par le repliement lié au sous-échantillonnage. Avec : q=0 1-1-k - M f«"4'e- in IA _ 1 M-1 fi, '».- j2IrqkIM q=0 -1 1 M rr _ v ,-J2n-q1c1M 1-k - 1" q=0 On s'aperçoit que, du fait des disparités entre les voies de codage, l'élimination des spectres images, créés sur chaque voie de codage du fait du sous-échantillonnage, 10 n'est plus totale : des résidus de ces bandes images subsistent et limitent la dynamique du CAN entrelacé. L'ordre de grandeur du niveau relatif de ces résidus par rapport au signal utile est directement proportionnel aux disparités de gain et de retard. Pour des signaux sinusoïdaux, dont, a priori, les images ne se chevauchent pas, on constate un ensemble 15 de raies parasites dont le niveau par rapport au signal utile vaut en moyenne (écart-type en dispersion de réalisation et en moyenne sur toutes les fréquences) : (7(12 + ,r2fso_r2 M Où cra et 07z sont les écarts types respectivement sur les disparités de gain et les retards. 20 Ainsi, pour quatre voies de codage et un niveau de parasite moyen à 60 dB sous le signal utile, il est impératif de tenir les gains et les retards à mieux que : cra, 5_2x10-3 crrfs 2 x 10-3/ff Ce qui représente par exemple des disparités meilleures que 0,02 dB en gain et 0,6 ps en retard, à fs= 1 GHz. 3021770 7 Le calcul présenté ci-dessus, restreint à des disparités de gain et de retard, peut être étendu au cas plus général de disparités de fonctions de transfert entre voies de codage. Il est donc indispensable de compenser ces disparités de fonctions de transfert 5 entre voies de codage afin de réduire ces défauts spécifiques et améliorer la dynamique instantanée d'un CAN entrelacé. Dans la pratique, certains CAN entrelacés intègrent un moyen programmable permettant de modifier assez finement le gain et le retard de chaque voie de codage. Ainsi, moyennant une phase de calibrage permettant de déterminer une disparité 10 moyenne de gain et un retard moyen entre les voies de codage, il est possible de programmer le CAN entrelacé de manière à appliquer une correction prédéterminée à chaque instant. Bien que cette méthode apparaisse simple, elle est loin d'être parfaite. En effet : - Les disparités entre les voies de codage peuvent évoluer avec le temps (en 15 particulier en fonction de la température, mais aussi de la tension d'alimentation), ce qui requiert de répéter la phase de calibration ou de se doter de tables de correction préalablement calculées lors d'un calibrage « usine » ; - Les corrections prédéterminées ne concernent que le gain moyen et le retard moyen et ne sont donc que très approximatives dès lors qu'il s'agit de corriger des 20 disparités plus générales affectant la fonction de transfert. Aussi, des procédés de correction adaptatifs ont-ils été proposés. Dans un premier type de procédés de correction adaptatifs, dénommé dans ce qui suit du type fondé sur une approche temporelle, le signal est utilisé pour adapter la correction à lui apporter, dans le but de compenser les défauts d'entrelacement. Pour 25 cela, les procédés du type fondé sur une approche temporelle réalisent un asservissement du gain des différentes voies de codage, les différents procédés proposés se différenciant les uns des autres par le choix de la fonction d'asservissement mise en oeuvre et la manière de la calculer. Par exemple, l'article de Jridi, M. et al., «New Adaptive Calibration Method for 30 Time Interleaved Analog to Digital Converters »IEEE Northeast Workshop on Circuits and Systems (NEWCAS), 2007, 932 - 935, décrit un procédé du type fondé sur une approche temporelle dit procédé LMS (pour « Least Mean Square » en anglais), dans lequel le gain de M -1 voies de codage est asservi en prenant la MIème comme référence. Le signal issu de chacune des M -1 voies de codage est interpolé par M , puis sous-échantillonné pour faire correspondre les M -1 sous-échantillonnages avec l'échantillonnage de la Mième voie choisie comme référence. 3021770 8 L'inconvénient majeur du procédé LMS tient dans le fait que le filtre interpolateur placé en sortie de chaque voie de codage dépend naturellement de la bande de Nyquist, définie entre 2kfs /M et (2k +1)fs I M , où k est un entier naturel supérieur à 1, fs étant la fréquence d'échantillonnage du CAN entrelacé et M le nombre de voie de 5 codage, dans laquelle se trouve le signal. Ce procédé LMS requiert donc une connaissance minimum du signal pour être effectif. Il ne permet pas non plus de traiter le cas de la présence simultanée de signaux dans des bandes de Nyquist différentes. Pour pallier les inconvénients de ce procédé LMS, un procédé LMS amélioré a été proposé dans l'article de Bonnetat, A et al., « A frequency independent method for 10 adaptive correction of Time Interleaved Analog to Digital Converters » 19th IMEKO TC 4 Symposium and 17th IWADC Workshop Advances in Instrumentation and Sensors lnteroperability, 2013, 637 - 642. Il consiste à ajouter une M-Flième voie de codage, dite de référence, cadencée à une fréquence différente, fs l(M -1) ou fs l(M +1) , et à comparer le signal en sortie de la voie de codage de référence sous-échantillonné par M 15 , au signal en sortie de chaque voie sous-échantillonné par M -1 ou M +1. Contrairement au procédé LMS précédent, ce procédé LMS amélioré ne requiert pas d'hypothèse quant à la fréquence du signal. Cependant, travaillant sur des signaux sous-échantillonnés par M(M -1) ou M(M +1) suivant les cas, la réponse impulsionnelle du filtrage déterminé par ce procédé 20 est également sous-échantillonnée. Il en résulte que le filtrage présente une sous- périodicité dans la bande d'échantillonnage du CAN entrelacé et que, même si contrairement au procédé LMS précédent aucune hypothèse n'est faite quant à la fréquence du signal, le filtrage résultant ne peut être efficace, dans les faits, que si le signal est limité à une partie réduite du spectre. 25 Un autre inconvénient de ce procédé LMS amélioré est qu'il requiert une composante matérielle supplémentaire, cadencée à une fréquence différente des autres voies de codage. Il est alors nécessaire, d'une part, de disposer de deux horloges différentes et, d'autre part, de gérer ces deux régimes d'horloge, tant dans l'équipement numérique en aval du CAN entrelacé que dans le CAN entrelacé lui-même, tout en 30 maîtrisant leur phase relative. Ceci n'est pas sans poser certains problèmes d'ambigüité. L'inconvénient majeur des procédés précédents tient dans le fait que l'approche qui les sous-tend est une approche temporelle. Or, les voies de codage étant par nature sous-échantillonnées par rapport à la fréquence du CAN entrelacé complet, ces procédés travaillent sur des signaux dont le spectre est replié. Il y a par conséquent ambiguïté 35 potentielle entre différentes fréquences. 3021770 9 C'est la raison pour laquelle d'autres procédés ont été élaborés sur la base d'une approche fréquentielle du problème de l'entrelacement. Ces procédés sont du type fondé sur une approche fréquentielle. De façon schématique, ces procédés du type fondé sur une approche fréquentielle 5 consistent à effectuer une corrélation entre le spectre du signal reconstitué et le spectre des défauts induits. Dans ce qui suit, les principes de ce type de procédés seront présentés pour deux voies de codage (M = 2), mais la généralisation à un nombre quelconque de voies de codage s'effectue sans difficulté. De plus, dans ce qui suit, le spectre du signal utile est 10 considéré comme étant concentré dans la seule première bande de Nyquist. Cependant, son positionnement dans la seconde bande de Nyquist ne change rien à la nature de l'explication qui va suivre. En s'intéressant donc à un signal en entrée du CAN ramené en bande de base, le signal réel en sortie du CAN entrelacé est constitué du signal utile, correspondant aux 15 fréquences positives situées dans la première bande de Nyquist, et du signal image, correspondant aux fréquences négatives situées dans la deuxième bande de Nyquist. Le signal utile et le signal image sont complexes conjugués l'un de l'autre. Comme représenté sur la figure 4, si le signal utile possède une composante spectrale à la fréquence f (avec i égal 1 ou 2 sur la figure) et si les deux voies de 20 codage sont linéaires (tout en étant différentes), alors le défaut d'entrelacement associé à cette composante spectrale se situe à la fréquence f s /2- f, , qui constitue le repliement (translation de fs /2) du spectre image. Une translation de fs /2 du spectre image fait donc coïncider le spectre utile et le spectre indésirable associé aux défauts d'entrelacement. De façon symétrique, les 25 images des défauts induits dans la bande utile trouvent une correspondance avec le signal utile translaté de fs /2. Ainsi, Comme représenté sur la figure 5, en recombinant le spectre utile et le spectre imagé pour obtenir le spectre du signal réel issu du CAN entrelacé, le spectre des défauts correspond au spectre du signal idéal translaté de fs / 2 . 30 La corrélation en puissance d'un signal x[n] (n étant l'indice temporel) et de sa translation de fs /2 , (-0"x[n] , est caractéristique de la différencé de fonction de transfert restreinte au spectre utile, entre les voies de codage. 3021770 10 En supposant, dans un premier temps, que la disparité entre les voies de codage se résume à une simple différence de gain égale à 2c (par exemple 1-c sur la première voie, qui correspond aux instants pairs, et 1+c sur la seconde voie, qui correspond aux instants impairs), c étant petit devant 1, alors la correction au premier ordre à apporter est 5 + c sur la première voie et - c sur la seconde voie. Donc, si x[n] est le signal idéal avant codage, on a : xq=0[2n]= (1- c)x x[2n] sur la première voie d'indice q=0; xq,_1[2n + il = (1 + c)x x[2n + 1] sur la seconde voie d'indice q=1; Le signal de sortie du CAN entrelacé est alors : 10 x[n]- c x(-1)" x[n] La corrélation C de .-X'[n] et de (-1)":477] est égale à : C = Ë.X'[k]x (-1)k :i[k]= (-1)k(x[k]-cx(-1)kx[k])2 k=-0. C'est à dire : c = (1+ clx E(-1)kx2[k]-2cx Ex2[k] = 0 dès que fi+f2 fs/2 15 Dès lors que les composantes spectrales composant le signal ne sont pas symétriques par rapport à fs /4 (auquel cas le parasite d'entrelacement se superpose au signal utile), la corrélation C est finalement égale à : C=-24xc où = ExIki est l'auto-corrélation du signal idéal. 20 Par ailleurs, l'auto-corrélation a de »d vaut : a= E [k] = E (x[k]-cx (-1)k x[d2 (1+ cqx E X2 2c x E (- 1)k X2 [k] =0 dès que fl+f2 fs/ 2 Soit, si les composantes spectrales du signal ne sont pas symétriques par rapport à fs /4 et au premier ordre en c : a= E.Î'2 [k] x2 [k]= k 3021770 11 Si bien que : 2 Ë.i.'2[k] La correction c des défauts d'entrelacement consiste alors à inverser la relation .X[n] = x[n] - c x (- 1)" x[n] 5 Ceci n'est possible que de façon approximative, au second ordre près en c : x[n] î[n]+ c x (- .411 Compte tenu de ces principes mathématiques, le document US2013/0076544 Al (TOSHIBA I) divulgue un procédé fondé sur une approche fréquentielle réalisant une compensation d'erreur de gain statique en appliquant des filtres à un seul coefficient. 10 L'architecture correspondante comporte une boucle d'asservissement classique portant sur le paramètre c, calculé selon l'équation ci-dessus. Le document US2013/0076545 Al (TOSHIBA II) divulgue un procédé de correction des défauts induis par les décalages de l'instant d'échantillonnage sur les M voies de codage. Cela correspond à un retard statique, non uniforme sur les M fonctions 15 de transfert des voies de codage. Pour compenser cette erreur de retard simple, un même filtre différentiateur est appliqué sur chaque voie de codage, mais pondéré par un coefficient adaptatif. Ces deux architectures peuvent être regroupées pour la correction adaptative de ces deux types d'erreurs d'entrelacements en même temps et peuvent être étendues à un 20 nombre quelconque de voies de codage. Il est à noter que, dans le cas d'une compensation d'erreur de gain statique, on multiplie chaque voie par un coefficient de pondération. Dans le cas d'une compensation d'erreur de retard, chaque voie de codage est filtrée par un même filtre différentiateur, qui est multiplié par un coefficient de pondération. 25 Ces procédés permettent d'obtenir une correction valable dans toute la bande de Nyquist. Ils proposent une compensation des défauts en filtrant chaque voie de codage séparément. Cependant, ces procédés tiennent compte des spécificités des défauts à corriger : gain statique ou retard. Ils ne permettent pas de compenser des disparités plus générales 30 des fonctions de transfert des voies de codage. En cela ils ne sont pas génériques. L'article Singh, S et al., « A Novel Blind Adaptive Correction Algorithm for 2-Channel Time-Interleaved ADCs », 19th IMEKO TC 4 Symposium and 17th IWADC - 1)k Îlki k C 3021770 12 Workshop Advances in Instrumentation and Sensors Interoperability, 2013, 188 - 193 (CASSIDIAN), divulgue un procédé du type fondé sur une approche fréquentielle générique, au sens où il permet de corriger tout type de défauts d'entrelacement d'un convertisseur analogique-numérique entrelacé, mais ne comportant que deux voies de 5 codage (M = 2) . Dans ce procédé de l'état de la technique, tout comme dans les procédés fondés sur une approche fréquentielle décrits ci-dessus, l'estimation des erreurs est basée sur une comparaison (corrélation), mais qui utilise un signal complexe, c'est à dire un signal résultant d'un filtrage de Hilbert parfait. 10 Dans ce procédé, spécifique au cas de deux voies de codage, la compensation est effectuée à l'aide d'un filtre à 2N +1 coefficients différents sur les deux voies de codage. Plus précisément, avant d'être échantillonné, le signal est « filtré » par deux réponses fréquentielles différentes H0(f) et Hi(f) suivant qu'il est échantillonné sur la première voie (q=0) ou la seconde voie (q=1). 15 Soit E(f) le spectre en entrée du CAN entrelacé. Les spectres avant échantillonnage sont alors : Ho (f ).-E(f ) = 1 Hi(f)- HOU )\ Ho(f)± Hi(f)E(f) sur la première voie ; Ho(f)+ Hi(f), 2 (f)E(f)-=( 1+ 111(f)- 14(f)1 14(f)+111(f) (f) sur la seconde voie. Ho(f)-1- HU), 2 Avec les notations h(f)=111(f)- 14(f) et S(f)= 14(f )± 111(f )E(f) , on a : Ho(Î) (.f ) 2 20 [1- h(f S(f) sur la première voie complexe ; et, [1+ h(f S(f ) sur la seconde voie complexe. Soient ck la réponse impulsionnelle réelle associée à la restriction de h(f) à la bande de Nyquist utilisée et à son image négative ; et s[n] = I[n]+ j x Q[n] le signal idéal complexe avant codage. 25 Alors, avec les notations utilisées précédemment : lq.0[2n]=1[2n]- EckI[2n-k] k=-«, 1',[2n +1]= 1[2n +1]+ IckI[2n +1- k] k=-0. 3021770 13 Soit (15n + j la réponse impulsionnelle du filtre de Hilbert, Hn vérifiant =0 H = -H' Du fait des propriétés Qq,c,[2n] = 0 et Qq,,[2n +1]. 0 , on a : +.. +o. Qq=0[2n +1]= E H21+11 g=0[2n - 21]= Q[2n 1] - H21+1 Eck/[2n- 2/ - k] 5 c'est à dire : +00 +00 Q',0[2n + 1] = Q[2n + 1] - Eck EH21+1/[2n + 1 - k - 21 -1] soit : Qq=o[2n + i]= Q[2n + ckQ[2n + 1- k] k=->. Et, de la même façon : 10 Q',1[2n]= Q[2n]+ ÈckQ[2n - k] k=- En notant -sln] le signal complexe avec les disparités, on a: .42n] = /-q=0[2n] + jx Qq=i [2n], et [2n +1]= /q,1[2n +1]+ jx Qq=0[2n +1] Si bien que : 15 -42n] = I[2n]+ j x Q[271]- Eck (I[2n - k]- j x Q[2n - k])= s[2n]- E c ks* [2n - k] k=-«, k= et, +00 42n + 1] = I[2n + 1] + j x Q[2n + i]-F Eck(I[2n+ 1- k]- j x Q[2n +1- k]) k C'est à dire : +00 :42n + 1] = s[2n + 1] + Ecks* [2n + 1 - k] 20 Soit, finalement : [n]= s[n]- Ë .? (- 1)k ck x (-1).-ks* [n - Il est à noter que, compte tenu du fait que le spectre S(f) est confiné dans la seule bande de Nyquist utile, cette relation est invariante par tout filtrage de la réponse ck 3021770 14 qui préserve h(f) dans la bande image de la bande de Nyquist utile. Dans ce cas, la forme de cette relation est inchangée, mais les nouveaux coefficients ck sont complexes. La corrélation C' de :s1h] et de (-1)",s1n1 est égale à : +0. C, ni C'est à dire : s[l]- (-1)k'ckx(-1)r-k's*[l-k1] ,... Cn = r k,..._ / 1-- ( \* > . Les autres termes du développement sont nuls au second ordre près dès que deux composantes spectrales fi et f2 quelconques du signal vérifient f1 + f2 p .fs ou 4 p est un entier. L'équation précédente s'écrit alors : C' +00 +00 Ex[l]x(- 1)1+n x E (-1)l pk(-1)1+"-k x[1+ n- k] 15 + x ± n]x 1(-1)k pk(-1)1-k x[1 - k] k=-0. + E(-1)1+n1114/ n] +o.r +00 ^ E E(_i)kipki x[l - , l+n-k, n- k2] ( +00 E (- i)k2 P'(- l+n 3021770 C'est à dire : C' = ( Epk E 4/± n - ki4/}± (-1). Ex[l+n]x[/-k] k=-.0 \1=-.0 E(-1)/+n AMI n] +.0 +.0 +00 + (-1)4 pk.(-1)k2 pkI(-1)11+1-4 41+ n- k2]x(-1)"+' x(-1)-ki k1] 2 k2=-0. Ou encore : Cn = +>È p + n - k]x[1]+ (-1). E -n - kly[i] +.0 k=-.. 1-+.0 26 + E(--i)1-4/}4/+n] =0 dès que f1+f2# fs/2 +o +.> +.0 + (-1)ki pk.(-1)k2 E (- 1)"+/-k2 4/ n- k2]x(-i)n+1 x (_ _ 4=-00 4=-.. = 0 dès que fi+f2 # fs / 2 5 On a donc : Cn = ±'È(n_k + (-1)"Lk)Pk +00 Ekix4i+n] est l'auto-corrélation du signal idéal réel. r.-- Par ailleurs, au second ordre près dans les coefficients cnk et dès lors que deux composantes spectrales f et f2 quelconques du signal vérifient f1 + f2 # p4 , l'auto- 10 corrélation an du signal issu du CAN entrelacé vaut : an = E 4/1x + n] x[1]x x[l + n]= 1=-00 1=-0. Finalement : E(an_k + (-1 avec pk = CO'k + C2,k 2 où n 1+11 X l+ n c' = 3021770 27 Par ailleurs, la seconde corrélation Sn s'écrit s'. I-x-[l]x(tn.e+ne Soit : ( +.0 +.0 x[l]+ E ikskii-kx[i-k]+ E .%kdkro-ox[l-k] k =-.. +.0 ( S = E xu+ n]+ E rks*ki-l-k.x[i+ n - k] x - -1-n n - k] k Soit, au second ordre près dans les coefficients C',k : ( +00 ikskil-kx[i + E i-k dkj-(1-')41-k] +o. s'=EVnxp+ ne x x[i]+ E i - ' - n A + n]x 1=-*. 1-. = 0 dès que f1+f2 # pxfs/ 4 Erks;i,n+kx[/+ n - k] +Expixt-nx +Eikdk*"+"-kx[i+ n - k] k=-00 ) Ou encore : +0. +0. +.0 S' = E sk Exp+nmi-k]+ Edk Explyk+n-k] k=-00 1=-00 E dk Er2/xp-kix[l+n]+i-2" Sk 1 x[l ]e + n - k] k=-.. 1=-.0 = 0 dès que f1+f2 # pxfs/ 4 Soit, puisque d; = sk : +.0 = E»]x(il+ + n1) = E(J S k De la même façon, on obtient la troisième corrélation D , qui est la relation conjuguée de la précédente D' = rilllxV(1+n):41 + = 1+- (i" &n_k +)xdk 3021770 28 On obtient ainsi deux relations matricielles indépendantes, dont l'une, à coefficients réels, porte sur pk et l'autre, à coefficients complexes, porte sur sk : { EH-- (an_k + (-1)n a_n_ix pk = Cn = E÷- îmx(-i)l---»+ n] k=--.. 1=-0 +.0 1(an_k + j'a_'_k)X sk = n] Pk 2 (co k C2k)+ X(C3,k Cl,k) c_ Avec : Co k C2k 4 5 On remarquera que, pour toute valeur de n, les relations Cn et C ou Sn et S n sont équivalentes. Lors d'une réalisation physique du procédé, on limitera le nombre de coefficients des filtres du type FIR corrigeant chaque voie dans le système LPTV, à 2N+1 éléments. Pour calculer les 2N +1 coefficients pk (respectivement sk ), de p_N à pN 10 (respectivement s_N à sN ), on utilisera donc les 2N+1 relations de Co à C2N (réciproquement So à S2N). A noter que le calcul des corrélations Cn et Sn est valable dès lors que deux composantes spectrales f1 et f2 quelconques du signal x[n] vérifient fl + ./.2#pf-s. De 4 ce fait, les composantes spectrales du signal x[n] qui se situent sur fk = k A. avec 8 15 k={1,2,3,4,5,6,7} doivent être enlevé avant le calcul des corrélations. Lors d'une réalisation physique, une solution consiste à filtrer le signal x[n] avant corrélation par un filtre qui atténue suffisamment les composantes spectrales fk = k-fs avec 8 k={1,2,3,4,5,6,7}. La correction à apporter est de façon approximative, au second ordre près en Cgk: 20 x[n] [r]- (- 1)n Ï - k]- 2 Dî(jn s kMn - k] k Et donc : 3021770 x[2n +1]---- Z."[2n +1]+ Ë pk:42n +1- k]+ 2 x (- 1)n +c>È S (sken +1- k] Qui peut également se mettre sous la forme suivante : x[4n] :44n]- (pk + 29i(s k))44n - k] 29 {x[2n],,-. :42n]- +cÊ pk:42n - k]- 2 x (- 1)n Ë 9i(,sk en - k] k=-«, x[4n + 1] :Z[4n +1]+ E (pk + 25(s k))z[4n +1- k] x[4n + 2] :X[4n + 2]- E (pk 29.i(s k))x[4n + 2 - k] x[4n + 3] :44n + 31+(pk - 23 (sk )):44n + 3 - k] On retombe sur le filtre LPTV du système linéaire variant périodiquement dans le 5 temps avec une période égale à 4 : +00 x[4n] Ecok44n-k] x[4n +1] ----: )7[4n +1]- Ecu :44n +1- k] +00 x[4n + 2] TZ[4n + 2]- E c2kein + 2 - k] k=-o +00 x[4n + 3] -44n + 3] - c3k:44n + 3 - k] k=-oo Ainsi, il est possible de mettre en oeuvre les principes mathématiques développés ci-dessus dans un procédé de correction des défauts d'entrelacement en sortie d'un CAN entrelacé au moyen d'un composant électronique de correction placé en aval du CAN 10 entrelacé. Un tel composant est représenté schématiquement sur la figure 10. Le composant 10 comporte un moyen de correction 16 et un moyen d'estimation 30. Le moyen de correction 16 permet de calculer puis de soustraire du signal erroné 15 réel xen. = , en sortie du CAN entrelacé, une approximation des erreurs d'entrelacement. Le moyen de correction comporte une pluralité de filtres du type FIR. Les coefficients des filtres de correction du moyen de correction 16 sont calculés par un moyen d'estimation 30 propre à résoudre le système matriciel formé des corrélations et autocorrélations du signal erroné réel .Z.[n]. 3021770 30 On obtient ainsi un système de compensation en boucle ouverte avec en entrée le signal erroné réel z[n] et en sortie un signal corrigé réel x','. constituant une approximation du signal idéal réel x[n] Ceci dit, la nature du signal issu du CAN peut varier dans le temps ainsi que les 5 caractéristiques des voies de codage. Il est alors nécessaire de rafraichir périodiquement les paramètres du système de compensation et, pour cela, il est préférable de mettre en place un système de compensation adaptatif sur les erreurs de correction d'entrelacement sur le signal de sortie corrigé réel du moyen de correction. Un composant pour un tel système adaptatif en boucle fermée est représenté sur 10 la figure 11. Le composant 116 un moyen d'asservissement 130 constituant un dispositif de mesure de l'erreur résiduelle en sortie du moyen de correction 16, les coefficients des filtres du moyen de correction 16 étant à chaque instant « pilotés », via un intégrateur de boucle, par le moyen d'asservissement 130. 15 Ce moyen d'asservissement 130 est en tout point identique au moyen d'estimation 30 du système en boucle ouverte à l'exception du fait qu'il prend en entrée l'erreur résiduelle sur le signal corrigé réel x'', en sortie du composant et non plus le signal erroné réel xe,,, en entrée du composant . Cependant, cette différence mise à part, les structures du moyen d'asservissement 20 du système en boucle fermée et du moyen d'estimation du système en boucle ouverte sont identiques. Ainsi, le composant 110 comporte quatre entrées destinées à être respectivement connectées à la sortie numérique réelle de chacune des quatre voies de codage 0, 1, 2 et 3 du CAN entrelacé 12. Il comporte une sortie réelle 14. 25 Le composant 10 comporte un moyen de correction 16 du type LPTV (pour « Linear Periodic Time Varying » selon l'acronyme anglais, ou « filtre à temps variant » ou encore « filtre linéaire variant périodiquement dans le temps » en français). Le moyen de correction LPTV 16 comporte un multiplexeur numérique d'entrée 18, permettant à partir du signal réel élémentaire sur chaque voie d'entrée de déterminer un 30 signal total d'entrée. Pour chacune des quatre voies, le moyen de correction 16 comporte un filtre de correction 20q, du type FIR, propre à filtrer le signal total d'entrée pour déterminer une correction sur la voie de codage correspondante. Pour chacune des quatre voies, le moyen de correction 16 comporte, en aval du 35 filtre de correction 20q, un sommateur 22q pour ajouter la correction sur la voie de codage 3021770 31 correspondante au signal réel élémentaire sur cette voie de codage pour obtenir un signal réel élémentaire corrigé. Le moyen de correction LPTV 16 comporte un multiplexeur numérique de sortie 24 permettant à partir des signaux réel élémentaires corrigés de chaque voie de codage de 5 déterminer le signal total de sortie réel. Le composant 10 comporte une boucle d'asservissement 30 des coefficients de chaque filtre de correction 20q du moyen de correction LPTV 16. Le moyen d'asservissement 130 comporte un module de calcul de corrélations 32, prenant en entrée le signal total réel de sortie, et propre à calculer les première et 10 seconde corrélations Cn et S,,, ainsi que le coefficient d'auto-corrélation an. Le moyen d'asservissement 130 comporte, en aval du module de calcul de corrélations 32, un module de normalisation 34 permettant de résoudre les deux relations matricielles indépendantes présentées ci-dessus de manière à déterminer les coefficients pk et sk 15 Le moyen d'asservissement 130 comporte, en aval du module de normalisation 34, pour chaque coefficient pk et sk , un moyen de mis en forme 36 comportant un filtre de boucle 38 et un amplificateur de gain 37. Enfin, Le moyen d'asservissement 130 comporte, en aval des moyens de mis en forme 36, un module de calcul des coefficients 39 propre à calculer les coefficients cqk de 20 filtres de correction 20q de chaque voie de codage du moyen de correction q. De préférence, Le moyen d'asservissement 130 comporte, en amont du module 32, un filtre en forme de peigne permettant de supprimer ou tout au moins d'atténuer fortement les composantes du signal qui se situent sur fk = k -fJ- avec k={1,2,3,4,5,6,7}. 25 Le présent procédé va maintenant être décrit en détail pour le cas général d'un CAN entrelacé à M voies de codage. Après une description de la modélisation mathématique dans le cadre d'un système en boucle ouverte, un mode de réalisation du système en boucle fermée sera présenté. 30 Dans ce qui suit les notations sont auto-suffisantes, bien qu'une certaine homogénéité ait été recherchée avec les notations utilisées dans la description du mode de réalisation précédent, relatif à quatre voies de codage, et de celles utilisées dans l'exposé de l'art antérieur. 3021770 32 De manière générale, soit xa(t) le signal analogique appliqué en entrée d'un CAN entrelacé à M voies de codage. Le spectre du signal d'entrée est noté Xa(f) . On considère pour le raisonnement suivant que ce signal contenu dans une bande de Nyquist du CAN est démodulé pour être ramené en bande de base. 5 Soit xouf(t) le signal de sortie du CAN entrelacé, échantillonné à la fréquence fs. Le spectre du signal de sortie est noté Xjf ). Chaque voie de codage sous échantillonne le signal analogique d'entrée xa(t) à la fréquence fs1M Comme évoqué pour le cas particulier à quatre voies, lors du calcul des 10 corrélations, on fait l'hypothèse que le signal d'entrée xa(t) ramené en bande de base ne comporte pas de composantes fréquentielles situées sur les disparités générées par le CAN entrelacé. Pour qu'une fréquence utile fl ne recouvre pas ces disparités, il faut qu'elle respecte d'abord la première relation fi e k fs/2M avec k entier de -M+1 à M-1. De plus, pour que cette fréquence utile f, ne recouvre pas les disparités associées à la 15 fréquence utile fi, il faut qu'elle respecte la seconde relation fi+fj e k fs/M avec k entier de - M+1 à M-1. Ces deux relations sont écrites pour un signal xa(t) ramené en bande de base. Le signal échantillonné en sortie de la mième voie de codage avant multiplexage est nommé xjt). 20 La fonction de transfert de la mième voie, notée dans le domaine fréquentiel Hm(f) ou dans le domaine temporel hm(t) est défini sur toute la bande de base du TIADC (c'est-à-dire du CAN entrelacé), soit fs/2, par: H .(f)= TsEh,',ke-J2eu; , hm(t)=T, E17',k8(t - kTs) k=-.0 Où Ts est la période associée à la fréquence fs. 25 Le signal de sortie de la m'" voie, notée dans le domaine fréquentiel Xjf ) ou dans le domaine temporel x,n(t), avant multiplexage est défini par : xm(t)=[T, E kg(t - kr, ) (t) E g(t - pMT, - mTs) p=-- La convolution de x',(t) par 8(t+mT)conduit à : 3021770 33 ( x',(t+ mTn)= TsEhn,kxa(t-k7;+mT,) Ig(t- pMT,) k=-00 /p=-- La transformée de Fourier de xjt +mTs) est définie par : F[x',(t + mTs)] = F TsEh', kx'(t + mTs)10 F[ Eg(t- 5 Soit : m(f)X a(f)]®[An, E g f pfsl el 2nfmT, x nik ) - - s ,^ U =[el 2 T, C'est à dire : Pfs\ x Pfs\ Xm(f)= m17, E e m J a M 1)=-°' 10 Après multiplexage des M voies de codage, on obtient en sortie du CAN entrelacé le signal xouf(t) et son spectre Xouf(f) : M-1 M-1 xou,(t)= x',(t), xout(f). Exm(f) m=0 m=0 C'est à dire : M-1 1+- - pf ( Xouf(f)= E m f s Xa f- m M } mo114-1; p=- Or Xa(f)=0, si Ifl> ZSde sorte que l'indice p est borné par p. = -M + 1 et Pmax M -1 M-11 M-1 J2K Pm pf pf 15 Xout(f)= E , E e m H f X f s m=0 p=-M +1 m ma m On ne peut pas mettre en facteur H. car il est différent suivant m c'est à dire suivant les voies de codage. On développe Hm autour de la fonction de transfert moyenne des voies : ( M-1 \ m-1 Elik(f) EHk(f) E Han k=0 H .(f). 1+ k=0 k=0 10 15 3021770 34 M-1 E (f) On pose H (f)--= , la fonction de transfert moyenne des voies, et M MH ,a(f ) - k(f) Dm(f)= M-1 k=0 , le différentiel entre H (f) et H',(f). E fik k=0 On a donc : Hm(f)=(1+Dm(f))11(f) En remplaçant Hm(f) dans l'égalité précédente, on obtient : M-1 1 M-1 2fc r ( Pf')\ X0',(f) = E ej m=0 MI; p=-M+1 1+D', M f Pf'jXa( f f M C'est à dire : Xow (f)= M-1 1 M-1 --i2ei ( _ Pfs)x (z, _ Pfs) e m H f a J M M n=0 MT, p=-M+1 M-1 1 M-1 -j2ZPm +E Y e MD nr=0 MTs p=-M+1 Or: E ur E e m H pfs' xat- Pt :\ M-1 1 M-1 _ j 27r Pin in=0 .'-.- . s p=-M+1 M M y m--1 r.f M-1( _ .2, Al P \ 1 in = - E H -19±''1X a( .f f'I Ede l IVITs p=-M+1 \ M) \ M) m=0 M-1( P j2g Comme e M = 0 pour M E N* et p E Z*, c'est à dire si p=0, on a : m=0 M-1 1 M-1 -12ePin m=oMTs p=-M+1 E - E e mH f Pfs r_ Pfs M M ) 21.a j MT,[p=-M+1 M 1 m-ir E H( f _Pfs Pfs\ 1 Xa f = ,s II(f)X (IV) M P=0 Pour le cas idéal, sans disparité de fonction de transfert entre les voies, la sortie du CAN à entrelacement temporelle est : X0',(f)=-:, H(f)Xa(f)= X(f) )11( f PfsIx f M ) a M ) 3021770 35 On nommera cette sortie idéale X(f ) et la sortie avec disparité de fonction de transfert i(f On a donc, dans le domaine fréquentiel : x(f )+1 1 e_ (f pfs j4f pfs\ in=0 M p=- M +1 M M 5 La transformation inverse de Fourier de 1(f) est définie par : Flk(f)]. Flx(f)1+ E e m=0 M p=_A d +1 m D ', f pin M-1 1 M-1 - 2 On obtient, dans le domaine temporel : m-1 1 M-1( P .X(t)= x(t)+ e m F-1 D,n(f f-pÎsl p=-M+1 =° ) M M On écrit Dm(f) (ou dm(t) dans le domaine temporelle) sur toute la bande de 10 Nyquist du CAN entrelacé, soit fs /2, de la manière suivante : D m(f)-=nz,ke- j279"; dm (t) k8(t - kT ) A noter, il est facilement démontrable que : M-1 M-1 ID ni(f)= 0, E dmk 0,V k m=0 m=0 L'équation précédente devient : 15 .,7(t)= x(t)+ E - 1 M-1( E e E,' p=-M +1 M m=0 d kx(t-kTs)1 M-1 - . j2 P j2gPf't +°° Soit pour les instants t = nTs , avec n E E: +o. M-1 1 M-1( j2n-- j2z pf,nT, .17(nTs)= x(nTs)+ E - E e M e M E dm - U) p=-M+1 M m=0 \, - k=-.0 Soit encore en considérant des échantillons discrétisés tous les Ts +.-= 1 M-1 M-1 j x[ti]+E- E e p m d ',,kx[n - k] k=-'' M p=-M+1 m=0 20 En définissant d' m. en fonction des dm,k par : d' p = 1 m ,27t- \P m,k 'Mm e m xr f PfsI Mi M ) 3021770 36 On peut simplifier par : M-1 ( 2fr-P " .Z1n]=- x[n]+ ZE em d' pÀ, x[n - k] p=-M+1\. On note que d'am+pk= d'pk= "1c-pk,Vk avec p E {-M ± 1 M - 1} et a e 5 Et que d'P _0 k= = 0,Vk M m=0 1 M-1 En posant n=lxM+q avec 1 E Z et q E (0 M-1) , il vient : +o. M-1 ( j27r »A/1 + qi= 41M + E E ( J25. = X[1M q]+ e m d' k x[1M + q - k] k=-..p=-M+1\: On pose alors pour q E {0 M - 1}: Cg,k = M-1 .271" 1-P " e d p,k 10 Où les cq k sont des coefficients réels. Ainsi, après multiplexage des M voies de codage, il existe une erreur d'entrelacement issue d'un filtre LPTV, c'est à dire un système linéaire variant périodiquement dans le temps (de période M ), qui a donc sa réponse impulsionnelle qui varie suivant l'échantillon traité : 15 + ql= x[IM + E kem q - k] Dans ce qui suit, sont déterminées les relations entre les réponses impulsionnelles du filtre linéaire variant périodiquement dans le temps Cqk et des fonctions de coût Cl' pour quantifier les disparités de l'entrelacement. Soit C'1' , la fonction de coût issue de la corrélation de 4/] avec sa rotation ( 2,r \l+n 20 translatée e m .Z."[1+ n] avec ri E 7L*mod M, c'est à dire : ( 2,r \l+n 2,r \l+n +.0 /7 'AI n] =m = é' m n] 1.-- En remplaçant .3i [i] , on obtient C1,n en fonction de d'pk \1M+or d' p), 41M + q - k] p=-M+1\» 3021770 37 +.0 k=-00 p=-M+1 r .2z 1+17 X emri X +00 M-1 P \I E E d' p,k - k] 7 /2ff P +.0 M-1 x[l + n]+ E E e M d'pk + n - k] k=-.0 p=-M+1\.. On peut répartir Cl' en quatre sommes de produit : i2z Y+n - E e m17 + n]= 0 /+ff ( ( .2ff 1+" \1+n M X e M X +o. m_. E E ) .0 r+.0 X Edi x[l - kl E d' L. + n - k21 Ak2 +00 2ff \l+n - Ix[dx M-1 rj2n \1±n E E p=-M+1\' d' pk x[l + n - k] +.0 +00 M-1 ( 2x P -i - ( 2ffii / 1+11 - E/ 1 ej M Cr p,k 41 - k] x e M x x[l + n] 1=- k=-00 p=-M+1\. i \ / _ Les deux premières expressions étant nulles au second ordre près par définition (corrélation entre le signal temporel issu du spectre idéal X(f ) et le signal temporel issu du spectre de Xr f+af;\ avec a entier E (-M + 1 ... M - 1} u [1 ... M - 1) . Cela M) 10 découle de l'hypothèse de départ que chaque composante spectrale du signal x(t) ne se situe pas sur les composantes spectrales générées par les disparités entre les voies de codage en sortie du CAN entrelacé. On s'intéresse donc aux deux dernières sommations : / .2n. -\1+n C'n xmx e-J X +.0 M-1 J211- p E E e117 d'pk 41 + n - k] k=-00 p=--M+1\: J +.0 +o. M-1 ( EEE e 1=- k=-00 p=-M+1\,, P \I 1 2z 1+" M Crpk - x e X x[i n] 15 Qui devient : 3021770 38 ( .2g \l+n .1-(19-11) M-1 p=-M+1 g -" ( .2 .1 ri + m xd'p,k e ) Ou peut l'exprimer comme : +«, = E E 41141 + n - k] \1-1 2g- J m e (P-11)x[1].x[l - n - k] 1 2g \l+n (p-11) e m x[1]x[l + n - k] +. p = modM Us2)---> p = modM Or p E M ± 1...M -1} est borné et >7 E {1...M -1} , donc les solutions sont : p =iimod M p =q, p =-M+17 D'où la simplification suivante de la fonction de coût C'1,, . +.0 , , = E vr'k+d' )Ex[1]41 + n - k]k 1=-«. ( ej m E (d,7,k+cl'-M+17,k)Expm/- n - k] Or, on a noté que d',7,k, = d'_m+n,k On pose l'autocorrélation du signal idéal réel à l'instant nTs : = Ï 41141 + 1=-- On obtient Cl n : 10 C = .5c4e m 'y-Fn f' J-P e m .X-[1 + n]= E k=-00 Comme )7(t) est réel, on a la propriété suivante : = De plus, puisque C1,, est périodique suivant la variable ri tous les M, c'est à dire que C'Ii , on a finalement Cm_1, = C*/,,, pour ri E - 11. On remarque qu'il n'est donc pas nécessaire de calculer tous les Cri,' . On pourra 15 limiter les calculs de CI, a : 1711 ...M M -11 pour .}pour M pair 2 2 M impair Maintenant que l'on a Cii' en fonction de d',7/, , il faut remonter jusqu'à Co,k On a noté la relation suivante : M-1 ( I.2e \q = e mP Cq,k d'pk p=-M+1\. 20 Or, on sait que : 3021770 0,Vk Donc : 1 ( J .2g M Ad _1( 2g P '^q pk Cg ,k =E P d'pk + E e m e m Or: -1 1 2g \ g M -1( /27 r pM M -1( Dr \q P i-(m-p) E e m d'p.k = E e- m- d' m d' - p,k = E e M-p,k P=-M+1 \ / p=1 \ ) P=1 \ / M -M +1 / .2e Aq M_1/ /2,I , e, g = el - P. d - e m ' E ' 1 1 p',k - de p.k p'=M -p=M -1 ) p=1 \, / Donc : M_1/ _1( .\q 1mP Cqk =2E e p,k p=-+1\ C'est à dire sous forme vectorielle : p=-M+1 \: p=+1\. J j2z(m_i)" - 2Cri,k - 2C1' M -1,k M 2 d' +2 +2 E 2e M V9 M-1 / .2z M P2J M p,k ) 2 p=-+1\,. 2 On peut distinguer deux cas : M pair et M impair. Pour M pair : .271- \q J-P -11 2fc \q JP Cq,k = 2E e M d'pk =2E e d'pk p=+1\,, p=+1\. Or: / 27r q M-1 e m d' = p,k p=- 2 +1 \ M M ,- \.9 -1( 2it ,\q e M e' d' p+M,k = 1 eJP M Cr _p,k = E e -2 -11 r M-1-M 1 i2z(...,+m) 2 2yr \q 1 p,k \* J- I, M ) ) m p=1 p'=p-M=- +1-M ) p=1\.. ) \' \., Donc : 3021770 Cyk = Ee M p=+1\' d'p,k= 4 E9t p=+1 41 ( 2g \q d' p,k + 2(- 1)g m 2 ,k Ou encore sous forme vectorielle avec d' m = d' m = d' m = d'* m , c'est à -,k -M,k - 2 2,k 2 2 dire d' m réel : -,k 2 (--1)q ( ( 2rt-M 5 Cqk=9Î M 4d l,k jDr(M j\q - ----1 M 2 4d' m -1,k 2 2d' m k -, _ 2 _ Pour M impair : M-1 M\gcqk =2E e 'p,k= 2 1 e p,k M-1 r 2,r \ 2 rir .2 M-1( J.m27rp\q M d' + 2 1 ej M P d'p,k J P P=+1\ ) p=+1\: j P-M+1\: ) 2 On obtient comme précédemment : M-1 -- M-1( 27i- 2 2z M ^--1 C,,k= 2 L e'P d' p,k= 4 E d' p,k P=+1\ p=+1 ^ Ou encore, sous forme vectorielle : ( 10 4d'1,k ( .2n-M-1M MJ 2 Cqk= 9i 4c1' ,k 2 -) D'un point de vue pratique, en sortie du CAN entrelacé, on a les échantillons 4/M + q] aux instants t = n Ts=(1xM + q)Ts avec / E E et E (0 M - 1} , qui sont une 15 combinaison du signal idéal x(t) et des défauts d'entrelacement. Ces échantillons réels sont modélisables par un filtrage linéaire variant périodiquement dans le temps (LPTV), de période M , appliqué au signal idéal réel, selon la relation : .,7[/M + q] x + q + 4-É cq khm + q - k] 3021770 42 En approximant au premier ordre, on peut, à partir du signal .X[n] revenir au signal idéal sans disparité x[n] : x[1M + + Ec, q - k] Pour une réalisation physique du système LPTV, on limite le nombre de 5 coefficients des filtres FIR du composant à k e N ,...,+N} avec N assez grand pour obtenir une approximation suffisante des erreurs d'entrelacement : x[/M + g] = -41M + q]- AÉc. + q - k] k=-N L'estimation des cqk pour k E N ,...,+N} est calculée à partir des fonctions de coût Cip, : 2ft. '\1+n 2N+1 -i '±-[1+ r]= E 2c/' x 1k k=0 10 Cl,n =D11 &n-k où le coefficient d'autocorrélation du signal idéal à l'instant n7's est approximé au second ordre par le coefficient d'autocorrélation du signal avec les défauts, c'est à dire : +00 [11X + ni Or, comme on a les relations suivantes pour C n avec rl e{1,...,M-1} et 15 d'P avec p E M +1...M -1} et a e : C,in = C cm +71, = C -,7,n { d' p,k= d'oem+p,k= CII* -p,k On limite les calculs de c11,, a : ri etl...-11/12' pour M pair { 17e 1... M -1 pour M impair 2 Il faut résoudre les M 12 systèmes pour M pair (respectivement (M -1) / 2 20 systèmes pour M impair) : [A,7 1[D,7 = I 5 3021770 Avec 1.41.1 43 taille 2N +1 x 2N +1 matrice carrée 2,r 2,r eM01 e `11 2N 2/r 2,r 0+e1*-2 "- e -1 MnK e ... --- ... 2e ,2e , --J-172N, -j-21'.12N ,,. -1 7172N , -j=Ir12N 2N+1 ÷ e M -2N+1 2.N + e M -2N 2N-1 ± e M S-2N-1 - isii-e Af &3N et 1.4 le vecteur de taille 1x2N +1 : Ci1,0 71,1 C,7,2N Afin de calculer l'inconnue 1.47.1 qui est un vecteur de taille 1x 2N +1 : - d , 1,_N 3N e [cj= [D,7 On note que pour résoudre ce système, il faut calculer en amont les ainsi que les . Avec ri e {1...M 12} si M pair ou ri G - 1)/ 2} pour M impair (c'est-à-dire 10 avec entier entre 1 et la partie entière de M/2) et n E {0...2N} , cela correspond à : (2N + 1)x M /2 si M est pair ou (2N +1)x (M -1)/ 2 si M est impair corrélations C,7,' pour construire le vecteur [Cn] ; et 3N +1 autocorrélations pour construire toute les matrices [AI]. Lorsque les inconnues du vecteur [D1] sont calculées, on remonte aux coefficients 15 du filtre LPTV eqk par combinaison des avec k e N,...,+N} :k 3021770 Cqk = (-1)" 7 44 --1,k 2 2Crm 2 _ ,M pair j 4d'M -,k Cqk =9i ( 2g lq e1m ( M 2 ,M impair 4d' m Pour le cas particulier où M est égal à 4, les variables utilisées précédemment prennent les valeurs suivantes : 5 q e {0,1,2,3}, m e {0,1,2,3} p E {- 3,-2,-1,0,1,2,3} ri e {1,2} et k e {- N,... + N} La correction le filtre LPTV du type FIR est : N 441] = :441]- Eco,keu - id k=-N _ ,._ x[41 +1]= :e41 +1]- 2-.,c1,'xki +1-k] k=-N x[41 + 2] = 44/ + 2]- IsÉc2;44/ + 2 - k] k=-N 441 + 3]= 744/ + 3]- ''Éc3,,,7[4/ + 3- k] k=-N Avec cqk en fonction des d'pk : -c - 1 1 0 k Cl,k J -1 C2 k = JL 1 2d'21k C3,k -1 10 Et en résolvant les deux fonctions de coût suivantes pour obtenir les :k = n l C, { E:ipixi-i-, x 4/ ± n]= 1----- C2,, = 1 »lx (-- lrn » + n]:= 1,---- 2N+1 E k=0 2N+1 E2d,2,kx('_k (-1)n&'_,,) k=0 J nLk) On a: 3021770 C0,k + C2,k 4C t Lk +2C 2k+ 4C ik +2C- ' 2,k \ 2,i(d, )2,k2 ( 2 2k ic3k-c1 ) 8d1k+j(j8ci,k 4(C , k) 4, 4 On retombe sur le cas particulier à quatre voies décrit précédemment. A la figure 12 est représenté schématiquement, un composant 210 permettant la mise en oeuvre du traitement mathématique venant d'être décrit dans un système 5 adaptatif de compensation en boucle fermé. Le composant 210 généralise à M voies de codage le composant 10 de la figure 10. Un élément de la figure 12 similaire ou identique à un élément de la figure 11 est identifié par le même chiffre de référence que cet élément similaire ou identique augmenté d'une ou de deux centaine(s). 10 De préférence, le moyen d'asservissement 230 comporte, en amont du module 232, un filtre en forme de peigne permettant de supprimer ou tout au moins d'atténuer fortement les composantes du signal qui se situent aux fréquences k 2M fs avec k entier entre -M +1 et M -1. 15 Le fonctionnement du composant a fait l'objet de tests dont les résultats sont représentés sur les figures 13 à 16. La figure 13 représente l'amplitude spectrale en sortie du composant lorsque la boucle d'asservissement n'est pas opérationnelle et la figure 14 représente l'amplitude spectrale en sortie du composant lorsque la boucle d'asservissement est opérationnelle. 20 Le signal d'entrée est un signal composé de sept tons, étalés sur l'ensemble de la bande de Nyquist du CAN entrelacé. Le CAN entrelacé présente des disparités de gain de 1,7% et de calage d'horloge de 0,33% de Ts (période d'échantillonnage, qui est l'inverse de la fréquence d'échantillonnage fs ) entre ses quatre voies de codage. 25 Le niveau des raies d'entrelacement peut monter jusqu'à environ -39 dB sous le niveau des différentes raies composant le signal. La figure 15 présente l'amplitude spectrale du signal après correction des défauts par le filtre linéaire variant périodiquement dans le temps (LPTV) et possédant treize coefficients pour corriger chaque voie. La convergence de ces coefficients en fonction du 30 temps d'utilisation du dispositif est présentée schématiquement sur la figure 16. Pk S k = 3021770 46 L'amélioration apportée par la correction est satisfaisante : 15 dB jusqu'au niveau de bruit des CAN présentant un SNR de 40 dB. Pour cette simulation les paramètres suivant ont été utilisés : - Durée de la simulation : 8388608 points ; 5 - Erreur sur le gain: -0,7 %, sur la voie 1 ; 1,5 %, sur la voie 2 ; -1,2 %, sur la voie 3 ; 0,9 %, sur la voie 4 10 - Décalage d'horloge (« Skew error » en anglais) : 0,05 % de Ts , sur la voie 1 ; -0,14 % de Ts , sur la voie 2 ; -0,22 % de Ts , sur la voie 3 ; 0,11 % de Ts , sur la voie 4 ; 15 - SNR (CW, FS): 40,0 dB; - signal d'entrée : étalé sur 7 tons ; - gain de la boucle d'asservissement en pff, : 1 x e-005 ; - gain de la boucle d'asservissement en sn, : 1 x e-005 ; - nombre de coefficients 2N+1 du filtre FIR de correction : 13 ; 20 - longueur temporelle de la fenêtre utilisée pour la FFT: 4096 points ; - nombre de trames utilisées dans la FFT : 256. La figure 16 représente, sous forme comparative, les résultats de la mise en oeuvre du procédé précédent sur un Stratix 4 avec un CAN entrelacé par quatre EV10AQ190 sur une carte FMC 4DSP. La mesure est faite avec une fréquence 25 d'échantillonnage de 2,56 GHz et un signal d'entrée à deux tons (1380 et 1720 MHz). On constate une nette atténuation de l'amplitude des artefacts. REVENDICATIONS1.- Procédé, fondé sur une approche fréquentielle, de correction adaptative des défauts d'entrelacement en sortie d'un convertisseur analogique-numérique CAN entrelacé, caractérisé en ce qu'il comporte : Une étape de reconstruction du signal total erroné réel (x,,') en sortie du CAN entrelacé à partir des signaux élémentaires réels portés par chaque voie de codage ; Une étape de filtrage, au cours de laquelle, pour chaque voie de codage, le signal total erroné réel est filtré au moyen d'un filtre de correction à temps variant associé à la voie de codage considérée pour déterminer un signal de correction élémentaire réel de la voie de codage considérée, ledit filtre ayant au moins un coefficient ajustable ; Une étape de correction du signal élémentaire réel porté par une voie de codage avec le signal de correction élémentaire réel déterminée lors de l'étape de filtrage pour la voie de codage considérée, pour obtenir un signal réel élémentaire corrigé porté par la voie de codage considérée ; Une étape de reconstruction d'un signal total corrigé réel (xeo'), à partir des signaux élémentaires corrigés portés par chaque voie de codage ; et, Une étape d'asservissement au cours de laquelle est calculé, pour chaque voie de codage, ledit au moins un coefficient du filtre de correction associé à la voie de codage considérée, à partir du calcul des corrélations du spectre du signal total corrigé réel en boucle fermée, ou du signal total erroné réel en boucle ouverte, avec ses translations de k MS, où fs est la fréquence d'échantillonnage du CAN entrelacé, M le nombre de voies du CAN entrelacé, et k un entier entre 1 et la partie entière de MI2. 2. Procédé selon la revendication 1, ledit procédé étant générique au sens où il permet de compenser n'importe quel type de disparité de fonctions de transfert entre les voies du CAN entrelacé et général au sens où il est applicable à un nombre M quelconque de voies de codage. 3.- Procédé selon la revendication 1 ou la revendication 2, dans lequel M est supérieur ou égal à deux. 3021770 48 4.- Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel chaque filtre de correction à temps variant est du type FIR pour « Finite Impulse Response ». 5 5.- Procédé selon la revendication 4, dans lequel, le signal total corrigé réel ou le signal total erroné réel étant constitué d'échantillons 54/M + q] aux instants t = nT5 = (1 * M + q)T, , avec 1 E Z et q E (0.. M - 1) et T, la période d'échantillonnage de chaque voie de codage du CAN entrelacé, l'échantillon 'il/M + q] est modélisé par une combinaison d'une pluralité d'échantillons d'un signal total idéal réel x[1M + q] , sans 10 défaut d'entrelacement, la combinaison étant donnée par la relation : + ql= x[1M + i° cq kx[1M + q - k], k=-co de sorte qu'au premier ordre : x[/M + q] -41M + c,,k5c11M + q - la pluralité de coefficients cq,k correspondant aux coefficients ajustables du filtre de 15 correction de la voie de codage q. 6.- Procédé selon la revendication 5, dans lequel le nombre de coefficients Ce d'un filtre de correction est limité à k E (-N + N) , avec N assez grand pour respecter un critère de convergence entre le signal total corrigé réel ou le signal total 20 erroné réel, d'une part, et le signal total idéal réel, d'autre part, de préférence N étant supérieur à 10, de préférence supérieur à 20, notamment 50. 7.- Procédé selon la revendication 5 ou la revendication 6, dans lequel l'étape d'estimation des coefficients ce pour k E (-N + N) comporte : 25 - le calcul d'une pluralité de coefficients de corrélation Ctia, : c' = e 2x)1+" 1.-co n +n], avec rl entier entre 1 et la partie entière de M/2, et n entier entre 0 et 2N ; et d'une pluralité de coefficients d'autocorrélation tn : +CO E epp+4, 1=-0 30 avec n' entier entre 0 et 3N ; 3021770 49 Puis, compte tenu de la relation : ( 2,r Mn n-k 2 N+1 Cnez = = E2c/in,kX en-k e k=0 la résolution d'une pluralité de systèmes linéaires d'équations afin de déterminer des coefficients dn',k ; 5 et, le calcul des coefficients Cq,k des filtres de correction par combinaison des dni,k , selon la relation : Cq,k = ç q de 2x 4Clim 4diu ,M pair Cq ,k = 91 [(2m1r e 4CP 4C11 m [[ei 2n 2x M-1 2d'M 2 - k M impair Mj 2 jq 8.- Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans 10 lequel l'étape d'asservissement débute par un filtrage du signal total corrigé réel ou du signal total erroné réel pour atténuer des composantes du signal total corrigé réel qui se situent aux fréquences k 2M avec k entier entre - M +1 et M -1 . 9.- Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans 15 lequel la fréquence d'échantillonnage fs. du CAN entrelacé est supérieure au GHz. 10.- Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, permettant d'obtenir une correction valable dans toute la bande de Nyquist du CAN entrelacé. 20 11.- Composant électronique propre à être placé en aval d'un CAN entrelacé, ledit CAN-entrelacé comportant M voies de codage, caractérisé en ce qu'il est propre à mettre en oeuvre un procédé conforme à l'une quelconque des revendications 1 à 10. 3021770 50 12.- Composant selon la revendication 11, comportant : - Un moyen de reconstruction du signal total erroné réel (xerr) en sortie du CAN entrelacé à partir des signaux élémentaires portés par chaque voie de codage ; - Un moyen de filtrage de correction, propre, pour chaque voie de codage à 5 filtrer le signal total erroné réel au moyen d'un filtre de correction à temps variant associé à la voie de codage considérée pour déterminer un signal de correction élémentaire de la voie de codage considérée, ledit filtre ayant au moins un coefficient ajustable ; - Un moyen de correction du signal élémentaire porté par une voie de codage 10 avec le signal élémentaire de correction déterminée en sortie du moyen de filtrage de correction pour la voie de codage considérée, pour obtenir un signal élémentaire corrigé porté par la voie de codage considérée ; - Un moyen de reconstruction d'un signal total corrigé réel (x,''), à partir des signaux élémentaires corrigés portés par chaque voie de codage ; et, 15 - Un moyen d'asservissement, propre à calculer, pour chaque voie de codage, ledit au moins un coefficient du filtre de correction associé à la voie de codage considérée, à partir du signal total corrigé réel en boucle fermée ou du signal total erroné réel en boucle ouverte. 20 13.- Composant selon la revendication 12, caractérisé en ce que le moyen d'asservissement (30) comporte : - un moyen de calcul de corrélations (32), prenant en entrée le signal total corrigé réel ou le signal total erroné réel, respectivement, et propre à calculer des coefficients de corrélation Cri, et des coefficients d'autocorrélation fin, du signal total corrigé réel ou du 25 signal total erroné réel ; - un moyen de normalisation (34), propre, compte tenu de la relation : 2N+1 C77,71 = = E2d'q,kx e M &n-k k=0 à résoudre une pluralité de systèmes linéaires d'équations afin de déterminer des coefficients c/n',k ; 30 - un moyen de mis en forme et de calcul (36, 39) des coefficients Cqk du filtre de correction de chaque voie q , définis par : 3021770 4d'u .2x J- M Cqk =91 M pair 4d'm 2CI'm k 2 2 14.- Composant selon la revendication 13, dans lequel le moyen d'asservissement (30) ou le moyen d'estimation comporte, en amont du module de 5 corrélation (32), un filtre permettant d'atténuer les composantes du signal total corrigé réel ou du signal total erroné réel, respectivement, se situant sur les fréquences k.--L pour 2M tout k entier. 15.- Système constitué d'un CAN entrelacé et d'un composant électronique 10 conforme à l'une quelconque des revendications 11 à 14. M -1 )(I - eJ - M 2 Cqk = 4d'u ,M impair