FR 3015075 A1 20150619 FR 1362860 A 20131218 PROCEDE POUR MODELISER DES STRUCTURES DE CONTROLE CND L'invention concerne un procédé permettant de modéliser des configurations possibles pour des dispositifs ayant pour objectif de mettre en oeuvre des procédés de contrôle non destructif par détecteur de fuite. Elle s'applique notamment pour concevoir des dispositifs de contrôle non destructif par détection à courant de fuite. Elle est utilisée, par exemple, pour le contrôle de pièces d'usinage. Le contrôle non destructif par flux de fuite magnétique ou FFM en abrégé consiste à créer un flux d'induction magnétique intense dans une structure ferromagnétique. La présence d'un défaut dans la structure constitue un obstacle à ce flux dont les lignes de force s'épanouissent latéralement autour du défaut. Le flux de fuite provient des lignes de champ qui fuient dans l'air. La méthode de contrôle par détecteur à flux de fuite consiste à utiliser un récepteur ponctuel de flux électromagnétique pour révéler la présence d'un flux de fuite, et donc d'un défaut dans une pièce. Pour cela, il est essentiel que la circulation du flux d'induction présente une invariance localement brisée par le flux de fuite. L'art antérieur décrit différentes méthodes pour modéliser en deux dimensions les procédés de contrôle non destructif par flux de fuite magnétique, par exemple une première méthode est divulguée dans le document de E.Brudar, « Magnetic leakage fields calculated by the method of finite differences », NDT Int., Vol. 18, pp. 353-357, 1985. L'approche bidimensionnelle proposée ne permet de simuler que des flux de fuite dans un plan de coupe de la structure ferromagnétique, ce qui restreint fortement la collection des défauts admissibles par le modèle, aussi bien leur forme que leur orientation et contraint l'orientation du détecteur qui ne peut alors mesurer la composante du champ électromagnétique hors du plan de coupe. Une autre approche consiste à utiliser un modèle en trois dimensions qui autorise la prise en compte de défauts de dimensions finies et d'orientation libre. Ceci est explicité, par exemple, dans le document de N. Ida, W. Lord, « 3-D finite element predictions of magnetostatic leakage fields », IEEE Trans. on Magnetics, Vol. 19, No. 5, pp. 2260-2265, 1983. Ida et Lord modélisent le contrôle d'une barre ferromagnétique rectangulaire où une densité de courant est imposée aux deux extrémités de la barre. Ce modèle est repris dans la littérature pour le contrôle d'une plaque. Les inconvénients de cette approche sont notamment les suivants: il n'y a pas à proprement parler de 'structure' ferromagnétique considérée dans ces travaux mais seulement une portion d'une pièce rectangulaire, plus ou moins large, parcourue par un flux d'induction donné; en l'absence de défaut, la circulation de ce flux d'induction est supposée orthogonale aux deux extrémités de la barre et une impédance constante est imposée sur les bords en question. Dans d'autres approches connues, le domaine de calcul doit être suffisamment large pour ne pas souffrir des effets de bords. Le document de D. Minkov, T. Shoji, « Method for sizing of 3-d surface breaking flaws by leakage flux », NDT&E Int., Vol. 31, No. 5, pp. 317324, 1998 présente une autre approche tridimensionnelle. Minkov et Shoji calculent la réponse d'un défaut tridimensionnel invariant par translation, dont l'exemple le plus simple est l'entaille, pour un détecteur orienté orthogonalement au défaut (i.e. la normale associée à la bobine réceptrice est orthogonale à l'axe d'invariance du défaut). Pour cela ils supposent que le flux d'induction est constant au niveau du défaut. Ce modèle souffre donc d'une hypothèse d'invariance du flux assez restrictive et de contraintes sur la forme du défaut et l'orientation de détecteur. L'utilisation d'un modèle tridimensionnel permet de considérer des défauts aux formes variées et des orientations quelconques du défaut comme du détecteur, mais entraîne un coût de calcul important, voire prohibitif, dès lors qu'un grand nombre de positions du défaut est simulé, mais aussi dès lors qu'une modélisation fine de la physique est réalisée, effets non linéaires, prise en compte de courants induits par la vitesse du balayage plus connu sous l'acronyme anglo-saxon « scan ». La faible amplitude et la forte localisation des perturbations de champ engendrées par le défaut accentuent encore la difficulté. Dans la suite de la description les définitions et les hypothèses suivantes seront utilisées. Un capteur de détection du champ magnétique décèle les variations du flux de fuite dans une zone finie qu'on nomme «zone de détection». La zone de détection est a priori centrée sur la position du capteur de détection. Pour un défaut donné, on nomme «zone de perturbation» la zone dans laquelle la perturbation du flux d'induction est mesurable et au-delà de laquelle elle est négligeable. En particulier, le flux de fuite est contenu dans la zone de perturbation. Pour une zone de perturbation donnée, un défaut n'est dit admissible que si la perturbation du flux d'induction est localisée à l'intérieur de la zone. Tout défaut qui produit un champ non négligeable au- delà de la zone de perturbation est donc non admissible (cf. figure 1). Un défaut ne peut être détecté que si les zones de détection et de perturbation ne sont pas disjointes. Dans le cas contraire on considère qu'il n'y a pas de défaut. Selon certaines configurations de contrôle, la zone de détection est fixe, le capteur de détection est figé, et la zone de perturbation est mobile en raison d'un mouvement de la pièce par rapport au détecteur. On définit la «zone d'intérêt» comme étant l'enveloppe convexe de l'union de la zone de détection (fixe) et de la zone de perturbation (mobile), pour toutes les positions possibles de la zone de perturbation (i.e. telles que son intersection avec la zone de détection soit non vide, figure 2). La plupart des systèmes de contrôle non destructif par FFM présentent en absence de défaut une zone de circulation du flux invariante par translation et orthogonale à l'axe de translation. Elle est désignée comme «zone d'invariance». C'est-à-dire que, en l'absence d'un défaut et dans un intervalle sur l'axe de translation, nommé « intervalle d'invariance » (figures 3 et 4), la composante du flux selon cet axe et sa variation sur cet intervalle sont négligeables (par rapport à la norme du flux par exemple). Les références de la figure 3 correspondent à l'exemple du dispositif de la figure 8 avec un circuit magnétique ouvert 2, un système d'excitation 3, 4, un détecteur 5 et une plaque 6 à contrôler qui ferme le circuit. Ce comportement suggère que la section de la structure est figée sur tout l'intervalle d'invariance et libre en dehors, ce qui n'est pas le cas. D'une part, la section peut varier localement sur cet intervalle sans que cela ne perturbe le flux d'induction dans la zone d'invariance (figure 5). D'autre part, certaines modifications de la structure en dehors de l'intervalle sont susceptibles de 1 o perturber le flux dans la zone d'invariance (figure 6). De manière générale, il est nécessaire qu'on puisse s'affranchir des variations du champ magnétique induites par les variations géométriques de la structure en dehors de la zone d'invariance. C'est-à-dire que cette contribution doit être assimilable à un champ ambiant au niveau de la zone 15 d'invariance, supprimable par un simple étalonnage. Dès lors, il est possible d'introduire la notion de «structure équivalente» (tridimensionnelle) obtenue par extrusion d'une «section équivalente» (bidimensionnelle) le long de l'axe de translation de la pièce à contrôler, au-delà de l'intervalle d'invariance (suffisamment loin pour négliger les effets de bord sur la zone d'invariance, 20 figure 7). Cette section est donnée, par exemple, par la coupe de la structure originale au centre de l'intervalle d'invariance. Sous ces notations trois hypothèses pour la mise en oeuvre du procédé selon l'invention sont posées: H.1. La structure est telle que, en l'absence de défaut, il existe une zone 25 d'invariance ; H.2. La zone d'intérêt est inclue dans la zone d'invariance ; H.3. Dans la zone d'invariance, le champ magnétique est égal à celui obtenu avec la structure équivalente à un étalonnage près. La deuxième hypothèse implique qu'un défaut n'est admissible que si le flux 30 de fuite qu'il engendre est négligeable hors de la zone d'invariance. En particulier les fissurations plus longues que l'intervalle d'invariance sur l'axe de translation ne sont pas admissibles. Notons qu'aucune hypothèse d'invariance par translation des zones de perturbation ou de détection n'est considérée ici. On nomme «intervalle d'intérêt» la restriction de l'intervalle d'invariance à la zone d'intérêt, «section d'intérêt» l'enveloppe convexe bidimensionnelle de toutes les sections de la zone d'intérêt sur l'intervalle d'intérêt, et «boite d'intérêt» l'extrusion de la section d'intérêt le long de l'intervalle d'intérêt. On définira plusieurs domaines, par exemple, les sources, la structure du dispositif, la boîte d'intérêt, le détecteur, les domaines seront bidimensionnels ou tridimensionnels pour la mise en oeuvre du procédé selon l'invention. L'invention concerne un procédé qui repose sur un couplage original entre un modèle bidimensionnel et un modèle tridimensionnel permettant une modélisation de la configuration d'un dispositif de CND et à terme une intégration dans une application industrielle de contrôle de pièces. L'objet de l'invention concerne un procédé pour modéliser une structure de contrôle non destructif par détecteur de fuite d'une pièce à contrôler au moyen d'un dispositif comportant un circuit magnétique, un système d'excitation et un détecteur de flux d'induction relié à un dispositif de traitement, comprenant une étape de détermination du signal YD détecté par le détecteur suite à la présence d'un défaut dans la pièce à contrôler en exécutant au moins les étapes suivantes: a) décomposer la structure en au moins trois domaines, un domaine S représentant le système d'excitation, une boite d'intérêt B, un domaine A représentant la structure excluant la boite d'intérêt correspondant à une zone comprenant un ou plusieurs défauts détectables dont la signature est contenue dans la boîte d'intérêt, b) modéliser le flux d'induction dans une structure équivalente correspondant à la structure en l'absence de défaut, afin de déterminer Xa un paramètre représentatif du champ magnétique dans la section a de la structure A et déterminer un paramètre représentatif du champ magnétique dans la section sans défaut h de la section b de la boite d'intérêt, c) déterminer d'une part l'action de Xa sur B et d'autre part l'action de XA sur B en considérant en complément de Xa un domaine tridimensionnel C obtenu par extrusion dans un premier sens à partir d'une section d'intérêt de la boîte d'intérêt et par une deuxième zone obtenue par extrusion dans un deuxième sens à partir de la section d'intérêt, déterminer Xc un paramètre représentatif du champ magnétique dans le domaine C, assimiler cette valeur Xc, à la valeur correspondant à celle de la section d'intérêt sans défaut, d) modéliser la réponse XB de la boite d'intérêt comportant un défaut par une approche tridimensionnelle, et déduire la contribution de la boite d'intérêt B sur le détecteur D, e) déterminer le signal YD reçu sur le détecteur en sommant les contributions Xa de la section a et Xc du domaine C excluant la boite d'intérêt sur le détecteur, la contribution de la boite d'intérêt B sur le détecteur et la contribution du système d'excitation sur le détecteur. Selon une variante de réalisation, le procédé utilise une représentation matricielle .z.x=0 où X est l'inconnue du problème et z est la matrice des interactions entre les éléments de la structure: Y, -1: pour représente l'action de la j-ième entité ou domaine sur la i-ième, = représente l'ensemble des actions extérieures sur la i-ième entité et x. 7î représente la réaction de la i-ième entité soumise à ces forces et l'on détermine X.' à l'aide d'un solveur bidimensionnel à partir de : on détermine l'action de X,' bidimensionnelle sur la boite d'intérêt B tridimensionnelle en utilisant un domaine C défini par l'extrusion du domaine correspondant à la section la boite d'intérêt B privée de défaut sur le complémentaire de l'intervalle d'intérêt, on attribue à xc associée au domaine r la solution de la section d'intérêt sans défaut , obtenue par un solveur bidimensionnel, on calcule les contributions du domaine A sur la boite d'intérêt (11) par où 11,1 est le terme matriciel lié au solveur bidimensionnel retenu, pour lequel la boite tridimensionnelle B a été projetée sur le plan de la section équivalente, et - - le terme matriciel lié au solveur tridimensionnel, on calcule les contributions du domaine x sur le détecteur D (vnpar on utilise une approche tridimensionnelle pour modéliser la réponse du défaut dans la boite d'intérêt: on en déduit la contribution du domaine B sur le détecteur : où est le terme matriciel sous-jacent au solveur tridimensionnel retenu, on calcule la réponse au détecteur FD en sommant les contributions : où représente la contribution de la source bidimensionnelle sur le détecteur est sous-jacent au solveur utilisé et A', est une donnée. Les sources d'excitation utilisées sont, par exemple, des sources bidimensionnelles et on détermine les termes sources par et pour lesquels on néglige la composante géométrique orthogonale à la section des domaines et D. Selon une autre variante, le procédé utilise un modèle magnétostatique linéaire et un solveur par éléments de frontières de l'équation intégrale du potentiel de simple couche et on détermine 1, champ magnétique solution au i-ième point d'observation associé au détecteur, noté ,,,.donné par la somme des différentes contributions, avec ; pour L.? a, c, en considérant la projection de= sur le plan 2d lorsque on considère le maillage de segments en 2d et en 3d de la surface d'un des domaines (c, où a et sont des indices du maillage, on détermine une matrice z dont la i-ième ligne et j-ième colonne sont données par le rayonnement de la fonction polynômes d'interpolation de Lagrange au point r : avec y iren 2d et en 3d. gr. est le noyau de Green statique 2d (pour ou 3d (pour.. pour les couples d'indices = où vaut 1 si a = et 0 sinon et où désigne la perméabilité relative du milieu a au point r. La i-ième ligne du vecteur 11 Le procédé selon l'invention peut être utilisé pour optimiser la structure d'un dispositif de contrôle CND, en mettant en oeuvre une pièce en mouvement par rapport au détecteur, et en exécutant les étapes suivantes: on détermine pour chaque position Pk d'un défaut l'ensemble des sources équivalentes considérées dans le modèle tridimensionnel sur la boite d'intérêt, puis on détermine les couples de valeur, signal mesuré au détecteur, position du défaut, et on compare les résultats mesurés à des résultats obtenus par la mise en oeuvre du procédé. D'autres caractéristiques et avantages du procédé selon l'invention apparaîtront mieux à la lecture de la description qui suit d'un exemple de réalisation donné à titre illustratif et nullement limitatif annexé des figures qui représentent : - La figure 1, une représentation d'une zone de perturbation, - La figure 2, une représentation d'une zone d'intérêt, - La figure 3, une vue de profil d'une zone d'invariance, - La figure 4, une vue de haut de la zone d'invariance, - La figure 5, une vue de profil d'une perturbation de la géométrie dans l'intervalle d'invariance, - La figure 6, une vue de haut de perturbations de la géométrie hors de l'intervalle d'invariance, - La figure 7, une structure équivalente, - La figure 8, une vue de profil d'une structure de dispositif et d'une pièce à contrôler, - La figure 9A et la figure 9B, respectivement, une représentation de la circulation d'un flux d'induction dans la plaque sans défaut et du flux de fuite en présence d'un défaut, - La figure 10, une représentation du prolongement de la boite d'intérêt. - La figure 11A, une représentation d'une structure pour le contrôle d'un tube cylindrique, la figure 11 B, un exemple de section équivalente retenue pour le calcul 2d, et - Les figures 12, 13 et 14 le résultat de la mise en oeuvre du procédé selon l'invention. Afin de mieux faire comprendre l'objet de l'invention, la description qui suit donnée à titre illustratif et nullement limitatif va dans un premier temps s'intéresser au contrôle non destructif d'une plaque et dans un deuxième temps au contrôle non destructif d'un tube, puis donner un exemple d'application de mise en oeuvre du procédé pour optimiser une structure de dispositif de contrôle CND. En résumé, Le procédé selon l'invention permet de résoudre un modèle bidimensionnel sans défaut pour définir ces sources et de résoudre un modèle tridimensionnel pour calculer la réponse du ou des défauts soumis à ces sources. En ce sens, il s'agit d'un couplage entre un modèle bidimensionnel pour la structure complète et un modèle tridimensionnel pour le domaine réduit autour du défaut. La figure 8 représente en coupe un dispositif 1 de contrôle non destructif à flux de fuite magnétique composé d'un circuit magnétique ouvert 2, d'un système d'excitation 3, 4, d'un détecteur 5 et d'une plaque 6 à contrôler qui ferme le circuit. Le détecteur 5 est par exemple relié à un module de traitement des signaux comprenant un processeur 7 adapté à exécuter les étapes du procédé selon l'invention, une base de données 8, 25 une mémoire 9 pour le stockage des résultats de mesure de signaux et éventuellement un écran 10 de visualisation des signaux ou des résultats. Le système d'excitation est composé, dans cet exemple, de deux bobines sources émettrices 3, 4 alimentées par un courant constant qui génèrent un flux magnétique circulant dans la structure. Par abus de langage 30 et pour simplifier la description, on considère que ces sources font partie intégrante de la structure. La perturbation du flux d'induction résultant de la présence d'un défaut dans la structure est localisée dans une zone proche autour du défaut (figure 1). En particulier, le flux de fuite est contenu dans cette zone. Au-delà, la perturbation est négligeable et le flux d'induction qui circule en dehors de cette zone est similaire à celui qui circulerait en l'absence de défaut. Le détecteur 5 du flux de fuite est un capteur qui traduit les variations locales du champ magnétique en une réponse Md ou signature de défaut. Selon les technologies employées, le détecteur mesure une variation d'une des trois composantes du champ magnétique ou bien d'une combinaison de ces composantes. Pour l'ensemble des systèmes de contrôle par FFM, nous assimilons un détecteur à un capteur ponctuel orienté de manière quelconque. La position du détecteur est déterminante puisque celui-ci n'est sensible à la présence d'un défaut que dans une zone restreinte, la zone de détection. La position et l'orientation du détecteur sont choisies en vue de détecter la présence d'un flux de fuite. Le flux de fuite ne peut se produire que si le défaut s'oppose suffisamment au champ magnétique d'excitation ou champ de magnétisation. Par exemple, un défaut orienté selon les lignes de champ magnétique est difficilement détectable. L'orientation du défaut par rapport à la direction du champ d'excitation est donc un paramètre important qu'il faut analyser pour étudier les systèmes de contrôle par FFM. Le problème à résoudre peut se synthétiser, par exemple, sous la forme matricielle suivante zx =0 où A est l'inconnue du problème et z est la matrice des interactions entre les éléments de la structure: Y,' = -1 pour 25i représente l'action de la j-ième entité du problème sur la i-ième, 17,' représente l'ensemble des actions extérieures sur la i-ième identité et X, = représente la réaction de la i-ième entité soumise à ces forces. En particulier, le problème peut être décomposé de la manière suivante : où s représente les sources excitatrices (bobines), A représente la structure (sources exclues) privée de la boite d'intérêt, B représente la boite d'intérêt (défaut inclus) et D représente le détecteur. Le fait d'imposer la source se traduit par la connaissance de (typiquement l'intensité imposée dans les bobines) et par la nullité des actions extérieures sur la source s: = o, donc la réaction x de la source reste inchangée quelque soit le champ XA, XB, XD, qu'elle engendre. Par ailleurs, le détecteur D n'est par définition pas un émetteur, ce qui se traduit par la nullité de son action sur la structure t et sur la boite d'intérêt B : LZ'] = 0. Sous ces considérations, le système complet s'écrit : et le résoudre revient à résoudre le système restreint : puis à calculer le signal détecté par le détecteur : l'Vz Lorsque le contrôle par FFM est simulé avec un modèle magnétostatique, les termes Xi désignent en général le champ magnétique solution dans le domaine i ou un dérivé de ce champ (le champ d'aimantation, ou encore la composante normale du champ sur une surface...), tandis que les termes Yi désignent le champ magnétique ou un dérivé émis (rayonné) par l'ensemble des autres domaines sur le domaine i. En ce sens Yi se traduit comme une source pour le problème restreint au domaine i dont l'inconnue est X. En particulier YD correspond au champ magnétique rayonné par la structure au niveau du détecteur, et XD peut être vu comme un post-traitement de YD (par exemple le calcul de la dérivée du signal YD, ou la restriction à l'une de ses composantes spatiale, ou encore le résultat après étalonnage). Cette description est donnée à titre illustratif et nullement limitatif, par exemple, si le modèle tient compte de courants induits, ces termes désigneront les champs magnétique et électrique. Ceci s'applique aussi lorsque l'on considérera les domaines en bi dimension, comme il sera explicité ci-après. En vertu de la deuxième hypothèse H2, l'action de la boite d'intérêt B sur la structure A est invariante pour tout défaut admissible. Cela se traduit par : où représente la boite d'intérêt en l'absence de défaut. Il est alors possible de décomposer le problème restreint sur la structure A et sur la boîte d'intérêt B en deux problèmes. Le premier consiste à résoudre le problème restreint sans défaut sur la structure A et sur la boîte d'intérêt sans défaut et à en extraire la solution .7(A. Le second consiste à résoudre le problème avec défaut confiné à la boite d'intérêt, ):B avec XB la réaction de la boîte d'intérêt comprenant un défaut. L'idée de la présente invention consiste notamment à utiliser un solveur bidimensionnel pour résoudre le système restreint et utiliser un solveur tridimensionnel pour la boîte d'intérêt B. Le terme solveur désigne une approche numérique qui résout le modèle considéré (bidimensionnel ou tridimensionnel). Cette approche peut être une approche standard de type différences finies, volumes finis, élément finis, équations intégrales, etc. Ci-dessous les domaines bidimensionnels sont notés en lettres minuscules. Les notations s, a et , désignent respectivement les sections des domaines source S, de la structure A et de la boite d'intérêt sans défaut dans le plan orthogonal à l'axe de translation. Les notations b et d correspondent aux domaines B et D écrasés, au sens où on ne tient pas compte de la composante des coordonnées selon l'axe de translation. Le procédé selon l'invention va notamment mettre en oeuvre un couplage inter-dimensionnel comportant par exemple les quatre étapes décrites ci-après. Le procédé selon l'invention va mettre en oeuvre un couplage inter-dimensionnel comportant par exemple les quatre étapes décrites ci-après, données à titre illustratif pour le cas d'une modélisation du problème sous forme matricielle. On va décomposer la structure en au moins trois domaines, le domaine S représentant les sources, une boîte d'intérêt correspondant à une zone comprenant un ou plusieurs défauts détectables sont la signature est contenue dans la boîte d'intérêt et un domaine A représentant la structure. La première étape consiste à modéliser le flux d'induction dans la structure équivalente correspondant à la structure en l'absence de défaut afin de déterminer 4. un paramètre représentatif du champ magnétique solution dans la section a considérée de la structure A et représentatif du champ magnétique dans la section sans défaut S de la section b de la boite d'intérêt B. La modélisation au niveau de la première étape est bidimensionnelle. Sous les première et troisième hypothèses de travail, cela revient à résoudre le système à l'aide d'un solveur bidimensionnel. La deuxième étape consiste à calculer d'une part l'action de sur la boite d'intérêt B et d'autre part l'action de XA sur la boîte d'intérêt B . en considérant en complément de ,v,' un domaine tridimensionnel C. On se place sur la structure équivalente et on note c le domaine obtenu par extrusion de la section d'intérêt sur l'axe de translation en dehors de l'intervalle d'intérêt (cf. figure 10), dans un premier sens à partir de la section d'intérêt et dans un deuxième sens. En d'autres termes, c est donné par l'extrusion de 5 sur le complémentaire de l'intervalle d'intérêt. Sous nos deux hypothèses de travail, la solution associée au domaine c. correspond à celle de la section d'intérêt sans défaut ,v-É obtenue par le solveur bidimensionnel : X, - X é, Les contributions du domaine sur la boite d'intérêt (v.,e) sont calculées par ifs, où lest le terme matriciel lié au solveur bidimensionnel retenu pour lequel la boite tridimensionnelle B a été projetée sur le plan de la section équivalente et - le terme matriciel lié au solveur tridimensionnel. De même, les contributions du domaine A sur le détecteur : (7.±) sont calculées par La troisième étape consiste à modéliser la réponse XB de la boite d'intérêt comportant un défaut par une approche tridimensionnelle, par exemple la méthode des éléments finis : , et on en déduit la contribution du domaine ou boite d'intérêt B comprenant un défaut sur le détecteur : où est encore une fois le terme matriciel sous-jacent au solveur tridimensionnel retenu. La quatrième et dernière étape consiste à calculer la réponse au détecteur en sommant les contributions : up = représente la contribution de la source bidimensionnelle sur le détecteur ' est sous-jacent au solveur utilisé etc est une donnée du problème). On détermine le signal YD reçu sur le détecteur 5 en sommant les contributions Xa de la section a et Xc du domaine C excluant la boite d'intérêt sur le détecteur, la contribution de la boite d'intérêt B sur le détecteur 5 et la contribution du système d'excitation 3, 4 sur le détecteur 5. Cette approche permet avantageusement de tenir compte de toutes les contributions de part et d'autre de la boîte d'intérêt. Une variante possible consiste à considérer des sources bidimensionnelles équivalentes (en retenant la section des sources tridimensionnelles). On calcule alors les termes source par et Y; - pour lesquels on néglige à nouveau la composante géométrique orthogonale à la section des domaines boite et D. La description qui suit donne un exemple d'application du procédé selon l'invention pour modéliser un dispositif de contrôle non destructif pour contrôler des tubes, figure 11A. Sur cette figure 11A, on a représenté la boîte d'intérêt B , le domaine A correspondant au circuit et au cylindre 110 ou tube privé de la boîte d'intérêt, deux sources S excitatrices. La section équivalente retenue correspond au plan de coupe en z=0, l'axe du tube. La figure 11 B donne un exemple de valeurs de cotes en mm, pour le calcul 2d de la section équivalente. Le procédé va utiliser un modèle magnétostatique linéaire et, par exemple, un solveur par éléments de frontières de l'équation intégrale du potentiel de simple couche. Ce solveur présente la particularité (non liée au présent couplage) de s'appuyer sur des polynômes d'interpolation de degré élevé pour représenter la géométrie et les inconnues. Dans un premier temps les termes matriciels du descriptif pour ce solveur sont explicités. Puis, nous présentons les caractéristiques de la configuration testée et comparons les résultats obtenus avec le couplage présenté à ceux obtenus par les solveurs bidimensionnel (dans le cas sans défaut) et tridimensionnel (dans le cas avec ou sans défaut). Ces solveurs seront appelés les solveurs 2d-3d (couplé), 2d (complet) et 3d (complet), respectivement. Dans les formules qui suivent, : et r° désignent chacun un point de l'espace (2d ou 3d), a et a sont des indices qui désignent chacun le maillage (de segments en 2d et de quadrilatères en 3d de la surface d'un des domaines ( - ), et désignent chacun l'ensemble des polynômes d'interpolation de Lagrange définis sur le maillage (a et 0, respectivement), gE est le noyau de Green statique 2d (pour a, î7) ou 3d (pour A:g, c) défini par et le rayonnement de la fonction au point r : avec y = en 2d et en 3d. La i-ième ligne et j-ième colonne de la matrice est donnée par pour les couples d'indices c où 43 vaut 1 si a = 3 et 0 sinon et où désigne la perméabilité relative du milieu au point r. La i-ième ligne du vecteur ï est donnée par pour les domaines a = , où est la normale unitaire au point r de la surface du domaine ce (qui va de l'intérieur vers l'extérieur du domaine), et est le champ magnétique émis par la source au point 7 donné par où .7,5 désigne le courant source imposé dans la bobine (le terme correspond ici à son amplitude). Enfin, = correspond ici au champ magnétique solution au i-ième point d'observation associé au détecteur, noté 7,D. Il est donné par la somme des différentes contributions, avec pour (on considère la projection de r,D sur le plan 2d lorsque a). Un exemple numérique est donné pour deux défauts différents : une entaille (20mm de long, 0.5 mm d'ouverture et 1 mm de profondeur, 20 désaxée de 35° par rapport à l'axe du tube) et un tou de forme cubique (de côté 2 mm). Nous imposons une perméabilité relative de 100 au circuit ainsi qu'au tube. Le champ magnétique solution est calculé en des points (xi° ) placés sur une grille de -10 à +10 degrés sur l'axe circulaire et de -10 à +10 mm sur l'axe vertical (i.e. l'axe z), à 0.5 mm au dessus de la pièce. Le calcul 25 d'une réponse défaut pour un détecteur particulier ne demanderait à effectuer qu'un post-traitement du champ pris en certains de ces points. Les résultats des calculs 2d (complet), 3d (complet), et 2d-3d (couplé) en l'absence de défaut (on prend la boite de calcur dans le couplage) sont donnés à la figure 12 sur l'axe circulaire. Les résultats des calculs 3d (complet) et 2d-3d (couplé) en présence du défaut de type entaille sont donnés à la figure 13 tandis que ceux associés au défaut de forme cubique sont donnés à la figure 14. Pour ces derniers on a soustrait au champ solution le champ obtenu en l'absence de défaut, puis on a étalonné le résultat couplé (toutes les composantes du champ ont été multipliées par un facteur 1/\/2 , pour les deux défauts). Dans un processus industriel, cet étalonnage devrait être fait avec la mesure expérimentale et non avec le résultat du solveur 3d (complet). La première hypothèse de travail est justifiée par les courbes de droite des figures 13 et 14 et par la dernière composante de la figure 12: en l'absence de défaut (ou loin du défaut), la solution ne varie pas le long de l'axe de translation dans la zone d'invariance et la composante du champ selon cet axe est négligeable. La deuxième hypothèse de travail est illustrée aux figures 13 et 14: les perturbations du champ dues à la présence d'un défaut, dont le flux de fuite, sont localisées dans une zone très proche autour du défaut (pleinement prise en compte par notre solveur tridimensionnel dans le couplage 2d-3d). La troisième hypothèse de travail est illustrée aux figures 12 et 13 à 14 : les champs obtenus pour la structure originale (résultats 3d complet) et ceux obtenus pour la structure équivalente (résultats 2d complet et 2d-3d couplé) correspondent à un étalonnage près. Les variations géométriques entre ces deux configurations n'induisent donc qu'un champ ambiant supprimable par simple étalonnage. La parfaite correspondance entre les résultats obtenus, et ce pour les deux défauts, prouvent la validité du procédé selon l'invention (en pratique, un tel étalonnage serait requis pour se comparer à des mesures expérimentales afin de s'affranchir du champ ambiant qui n'est pas modélisé). Par ailleurs, on observe une parfaite correspondance entre le résultat 2d et le résultat couplé 2d-3d, ce qui signifie que le processus de couplage n'introduit pas de bruit numérique parasite. Les temps de calculs sont de l'ordre de quelques secondes pour le calcul 2d complet, de quelques minutes pour le solveur 2d-3d couplé, et de quelques heures pour le calcul 3d complet. La structure FFM est en général figée à quelques réglages près, comme l'amplitude du signal injecté dans les bobines émettrices, la distance entre le circuit et la pièce ou entre le détecteur et la pièce, le choix et l'orientation du détecteur, etc. Il arrive également qu'une partie de la structure soit déclinée en plusieurs variantes, comme les pôles d'un circuit cylindrique (proches du tube contrôlé) qui peuvent être disponibles pour différents rayons ou hauteurs. Tous ces paramètres doivent être fixés en vue d'augmenter la sensibilité de détection du système de contrôle. Ils dépendent donc des dimensions et propriétés magnétiques de la pièce contrôlée, mais aussi du type de défaut recherché. En particulier, le choix et l'orientation du détecteur peuvent dépendre de la forme et de la position du défaut. Les exemples donnés ci-dessus pour la mise en oeuvre du procédé selon l'invention permettent notamment une interprétation des résultats, mais aussi, la simulation numérique obtenue par la mise en oeuvre du procédé selon l'invention peut être utilisée en vue de démontrer les performances du processus de contrôle. En particulier, la simulation numérique de différents défauts permet de mieux cerner les limites du dispositif de contrôle en termes de détection. Par exemple, elle peut amener à conclure sur la faisabilité de détection d'un défaut en fonction de sa position (orientation, enfouissement...) pour une structure de contrôle CND donnée. La simulation numérique peut également accompagner le choix des paramètres de la structure en vue d'optimiser le processus de contrôle et, par extension, accompagner le développement de nouveaux détecteurs. Par exemple, une manière de procéder consiste à utiliser un dispositif alliant une mesure expérimentale pour un défaut étalon et une série de simulations numériques pour différents types de défauts dont le défaut étalon. L'ensemble des résultats numériques, étalonnés via la comparaison entre la mesure expérimentale et le résultat numérique pour le défaut étalon, complète la mesure expérimentale et peut amener à conclure sur la faisabilité de détection de tel ou tel défaut, selon des méthodes connues de l'homme du métier. L'étalonnage, qui est courant en contrôle non destructif, permet de faire abstraction du champ ambiant et des simplifications du modèle. Ces simulations peuvent également prendre en compte différents détecteurs ou positions de détecteurs pour conclure sur la combinaison le plus performante. Enfin, des simulations peuvent être réalisées pour les variations de paramètres (injection, entrefer...) afin d'optimiser le processus de contrôle. Il est donc primordial de disposer d'un calcul numérique performant pour un grand nombre de défauts et/ou pour un grand nombre de positions d'un même défaut. Comme la perturbation due à la présence d'un défaut reste cantonnée à une zone proche autour du défaut, il parait naturel de chercher à restreindre la zone de calcul à cette zone proche. Le procédé selon l'invention va prendre en compte le plus fidèlement possible le reste de la structure dans les sources de ce domaine de calcul réduit. En pratique, la pièce à contrôler est en mouvement par rapport au circuit et au détecteur (ou l'inverse) selon par exemple un mouvement de translation, représenté à la figure 8 par l'axe x perpendiculaire aux axes Y, Z, et le détecteur va mesurer le signal à chaque pas de temps (pour une période de temps donnée), les couples de valeur signal mesuré Mk, instant de la mesure tk, sont mémorisés par exemple dans une mémoire de traitement. Ceci revient à mesurer le signal pour un certain nombre de positions Pk relatives d'un défaut par rapport au détecteur. On résout pour chaque position Pk du défaut le problème bidimensionnel correspondant (la section d'intérêt bouge avec le défaut), ce qui donne l'ensemble des sources équivalentes considérées dans le modèle tridimensionnel sur la boite d'intérêt, puis on résout un unique problème tridimensionnel pour l'ensemble de ces sources. La résolution d'un problème tridimensionnel, même réduit, étant nettement plus coûteuse que la résolution d'un problème bidimensionnel (de l'ordre de quelques minutes contre quelques secondes par exemple), le gain de temps est significatif par comparaison à la résolution d'un système par position. L'ensemble des résultats numériques, étalonnés via la comparaison entre la mesure expérimentale et le résultat numérique pour le défaut étalon, complète la mesure expérimentale et peut amener à conclure sur la faisabilité de détection de tel ou tel défaut. Un intérêt majeur de l'invention réside dans le fait que la réduction du domaine de calcul tridimensionnel se traduit par une réduction conséquente de la taille de la matrice à inverser, dans le cas d'une modélisation matricielle, ce qui autorise l'utilisation d'un algorithme direct d'inversion (de type pivot de Gauss, par exemple) qui permet de traiter l'ensemble des différentes positions en un seul calcul. Au delà du fait qu'une approche tridimensionnelle classique induirait une hausse conséquente (voire prohibitive) du coût numérique d'une résolution, elle n'autoriserait à priori pas l'usage d'un algorithme direct d'inversion du fait de la taille excessive du système matriciel à résoudre, et nécessiterait donc l'usage d'un algorithme d'inversion itératif dont le coût de calcul dépend linéairement du nombre de second membres, c'est-à-dire du nombre de positions considérées. Cela reviendrait presque à réaliser un calcul par position. Le procédé selon l'invention présente notamment l'avantage de traiter un grand nombre de positions d'un même défaut en un unique calcul, de rendre accessible une modélisation plus fine et les études paramétriques, ceci sans nécessiter des temps de calcul prohibitifs.30 REVENDICATIONS1 - Procédé pour modéliser une structure de contrôle non destructif par détecteur de fuite d'une pièce (6) à contrôler au moyen d'un dispositif comportant un circuit magnétique (2), d'un système d'excitation (3, 4) et d'un détecteur (5) de flux d'induction relié à un dispositif de traitement (7), comprenant une étape de détermination du signal YD détecté par le détecteur suite à la présence d'un défaut dans la pièce à contrôler en exécutant au moins les étapes suivantes: a) décomposer la structure en au moins trois domaines, un domaine S représentant le système d'excitation (3, 4), une boite d'intérêt B, un domaine A représentant la structure excluant la boite d'intérêt correspondant à une zone comprenant un ou plusieurs défauts détectables dont la signature est contenue dans la boîte d'intérêt, b) modéliser le flux d'induction dans une structure équivalente correspondant à la structure en l'absence de défaut, afin de déterminer Xa un paramètre représentatif du champ magnétique dans la section a de la structure A et déterminer ,vb un paramètre représentatif du champ magnétique dans la section sans défaut de la section b de la boite d'intérêt, c) déterminer d'une part l'action de Xa sur B et d'autre part l'action de XA en considérant en complément de Xa un domaine tridimensionnel C obtenu par extrusion dans un premier sens à partir d'une section d'intérêt de la boîte d'intérêt et par une deuxième zone obtenue par extrusion dans un deuxième sens à partir de la section d'intérêt, déterminer Xc un paramètre représentatif du champ magnétique dans le domaine C, assimiler cette valeur Xc, à la valeur ..k7b correspondant à celle de la section d'intérêt sans défaut, d) modéliser la réponse XB de la boite d'intérêt comportant un défaut par une approche tridimensionnelle, et déduire la contribution de la boite d'intérêt B sur le détecteur, e) déterminer le signal YD reçu sur le détecteur (5) en sommant les contributions Xa de la section a et Xc du domaine C excluant la boite d'intérêtsur le détecteur, la contribution de la boite d'intérêt B sur le détecteur (5) et la contribution du système d'excitation (3, 4) sur le détecteur (5). 2 - Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce que l'on utilise une représentation matricielle zx=0 où x est l'inconnue du problème et est la matrice des interactions entre les éléments de la structure: = -1, pour représente l'action de la j-ième entité ou domaine sur la i-ième, = représente l'ensemble des actions extérieures sur la i-ième entité et x = représente la réaction de la i-ième entité soumise à ces forces et l'on détermine à l'aide d'un solveur bidimensionnel à partir de on détermine l'action de x, bidimensionnelle sur la boite d'intérêt B tridimensionnelle en utilisant un domaine C défini par l'extrusion du domaine correspondant à la section la boite d'intérêt B privée de défaut sur le complémentaire de l'intervalle d'intérêt, on attribue à la solution associée au domaine c la valeur xh- de la section d'intérêt sans défaut, - obtenue par un solveur bidimensionnel, on calcule les contributions du domaine A sur la boite d'intérêt (:, ) en utilisant où est le terme matriciel lié au solveur bidimensionnel retenu, pour lequel la boite tridimensionnelle B a été projetée sur le plan de la section équivalente et ' le terme matriciel lié au solveur tridimensionnel, on calcule les contributions du domaine A sur le détecteur D ( ) en on utilise une approche tridimensionnelle pour modéliser la réponse du défaut dans la boite d'intérêt: on en déduit la contribution du domaine B sur le détecteur;: où est le terme matriciel sous-jacent au solveur tridimensionnel retenu,on calcule la réponse au détecteur v>, en sommant les contributions : où représente la contribution de la source bidimensionnelle sur le détecteur -1 est sous-jacent au solveur utilisé et x5 estune donnée. 3 - Procédé selon la revendication 2 caractérisé en ce qu'on considère des sources d'excitations (3, 4) bidimensionnelles et on détermine les termes sources par 7i et pour lesquels on néglige la composante géométrique orthogonale à la section des domaines B etD. 4 - Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce que l'on utilise un modèle magnétostatique linéaire et un solveur par éléments de frontières de l'équation intégrale du potentiel de simple couche et on détermine champ magnétique solution au i-ième point d'observation associé au détecteur, noté -D.donné par la somme des différentes contributions, avec pour a a, C, B en considérant la projection de sur le plan 2d lorsquei.J° On considère le maillage de segments en 2d et en 3d de la surface d'un des domaines ( =. où a et a sont des indices du maillage, On détermine une matrice - dont la i-ième ligne et j-ième colonne sont données par le rayonnement de la fonction polynômes d'interpolation de Lagrange au point r : avec y = Yen 2d et en 3d. est le noyau de Green statique 2d (pour .5) ou 3d (pourpour les couples d'indices BD. BC, où vaut 1 si a = 0 et 0 sinon et où désigne la perméabilité relative du milieu a au point r. La i-ième ligne du vecteurs est donnée par pour les domainesa c,,,t1,B, où ) est la normale unitaire au point r de la surface du domaine OE (qui va de l'intérieur vers l'extérieur du domaine), et est le champ magnétique émis par la source au point r donné par où h désigne le courant source imposé dans la bobine, le terme correspond à son amplitude. 5 - Procédé selon l'une des revendications 1 à 4 caractérisé en ce que ledit paramètre représentatif du champ magnétique est le champ d'aimantation ou la composante normale du champ sur une surface. 6 - Procédé selon l'une des revendications 1 à 5 caractérisé en ce que YD correspond au champ magnétique rayonné au niveau du détecteur et/ou du champ magnétique et du champ électrique du à des courants induits. 7 - Procédé pour optimiser la structure d'un dispositif de contrôle CND comprenant la mise en oeuvre du procédé selon l'une des revendications 1 à 6, pour une pièce en mouvement par rapport au détecteur, et l'exécution des étapes suivantes : - on détermine pour chaque position Pk d'un défaut l'ensemble des sources équivalentes considérées dans le modèle tridimensionnel sur la boite d'intérêt, puis on détermine les couples de valeur, signal mesuré au détecteur, position du défaut, - on compare les résultats mesurés à des résultats obtenus par la mise en oeuvre du procédé.