FR 3002668 A1 20140829 FR 1351637 A 20130225 02 66 8 1 Procédé d'évaluation de la capabilité d'une machine et/ou d'un procédé La présente invention concerne un procédé d'évaluation de l'indice de capabilité Cpk d'une machine et/ou d'un procédé. L'indice de capabilité Cpk représente la capacité de la machine ou du procédé à donner un résultat ou à produire des pièces dont les caractéristiques sont comprises à l'intérieur d'un intervalle de tolérances. Un indice Cpk élevé indique par exemple que la machine produit des pièces de façon répétable et avec des caractéristiques qui sont correctement centrées à l'intérieur de l'intervalle de tolérance. Il y aura donc peu de risque de voir des pièces produites en dehors des tolérances imposées par le cahier des charges. On comprend dès lors l'importance de connaître avec précision la valeur de cet indice dans une démarche d'amélioration ou de gestion de la qualité. Cet indice Cpk est défini par xmed - T inf Cpk = min(Cp1 , Cpu) avec xmed 0,00135 T sup - Xmed 0,99865 xmed Cpt Cpu Tinf et Tsup étant respectivement les limites inférieure et supérieure de l'intervalle de tolérance, xmed étant la médiane de la caractéristique x représentative des pièces fabriquées ou issues du procédé, X0,00135 et 0,99865 étant respectivement les valeurs de x correspondant aux fractiles d'ordre 0,00135 et 0,99865. Dans le cas où la loi de distribution de la caractéristique x est de type normale (loi de Gauss), le calcul de l'indice de capabilité Cpk est relativement aisé. En effet, dans ce cas, 0,00135 X med = -3o- 7 étant la moyenne et a 0,99865 = x , = +3o- N étant l'écart-type. On rappelle que z - " , xi étant la valeur de la ième caractéristique x et N étant le nombre de valeurs ou de mesures de x. Par (xi - 4 ailleurs - N - 1 La notion de capabilité est une notion incontournable dans la méthode appelée « Six Sigma ». Elle permet d'indiquer dans quelle phase le procédé se situe. Un procédé industriel comprend un certain nombre de tâches répétitives, un exemple étant la production de pièces en grande série. Une pièce est dite conforme si elle respecte un certain nombre de critères. La méthode appelée « Six Sigma » consiste à améliorer le procédé pour qu'il soit fiable et permet d'obtenir des pièces qui sont toutes conformes aux exigences visées. La méthode six-sigma se décompose en cinq phases : - phase 1 : mise en évidence des causes communes et des causes spéciales de décentrage et de non-conformité du procédé. La capabilité est de l'ordre de 0,43. Il faut éliminer les causes spéciales pour ne plus avoir que des causes communes ; - phase 2 : le procédé est décentré par rapport à sa cible. La capabilité est de l'ordre de 0,49 ; - phase 3 : le procédé est centré sur sa cible. La capabilité est de l'ordre de 0,97 ; - phase 4 : le procédé est maitrisé : les causes communes sont réduites. La capabilité est de 1,38 ; - phase 5 : le procédé est totalement maitrisé : les causes de variabilité sont réduites. La capabilité est égale à 2,25. Le zéro-défaut est atteint. Le processus classique d'évaluation de la capabilité d'une série de mesures est résumé à la figure 1. Celui-ci comporte tout d'abord une étape 1 d'obtention de caractéristiques x représentatives de pièces ou d'éléments issus d'une machine et/ou d'un procédé, par exemple par mesure. On réalise ensuite une étape 2 de test visant à déterminer si la distribution obtenue est ou non normale. Les tests classiquement utilisés sont le test de Kolmogorov-Smirnov ou le test d'Anderson-Darling. Si la distribution est normale, on calcule alors l'indice de capabilité Cpk (étape 3). A l'inverse, si la distribution n'est pas normale, on effectue alors une étape 4 de transformation des données visant à normaliser la distribution, de façon à pouvoir calculer l'indice de capabilité Cpk à l'aide d'une distribution normale. Les transformations sont d'ordre mathématique. La méthode de transformation la plus employée en pratique est celle de Johnson. Il y a plusieurs types de transformation selon l'allure de la distribution des données de départ. Si la distribution est jugée bornée, la formule de Johnson à appliquer est de la forme : a+b-ln ( x-e , définie dans c+e-x) l'intervalle ]e; e c[. Dans le cas contraire la formule devient : ( C ) b, c et e des transformations. Des tests empiriques permettent d'appréhender la bonne transformation à employer. Comme indiqué précédemment, il faut à nouveau tester le caractère de normalité des nouvelles données. Le processus devient répétitif, cyclique. a+b- arcsin . Des procédures permettent d'estimer les paramètres a, Il devient vite fastidieux lorsque le nombre de séries de mesures à effectuer est important. En prenant comme référence une pièce complexe telle qu'une aube de turbine haute-pression d'une turbomachine, qui comporte 30 à 50 cotes critiques, le processus devient vite très long en analyse. En pratique, les méthodes de transformation ne sont pas toujours concluantes et possibles comme lors de la présence de valeurs négatives. Les opérateurs sont souvent contraints à des problèmes décisionnels et sont demandeurs de méthodes entièrement automatisées. Pour des raisons opérationnelles, des transformations sont acceptées à tort pour pouvoir produire une valeur de capabilité. Le procédé classique n'est pas industrialisable et n'est pas économe en temps de réalisation. L'exemple réel suivant illustre ces inconvénients dans les paragraphes suivants. Une série notée C13 représente des mesures d'une cote critique sur une aube de turbine haute pression d'une turbomachine. Le non-respect des tolérances de la cote impacte les performances de la pièce concernée. A titre d'illustration, sur une aube de turbine, 30 à 50 côtes critiques sont identifiées. La figure 2 illustre la distribution de la série de la cote C13, qui a une allure plutôt dissymétrique. Le processus classique décrit précédemment est appliqué sur cette série de mesures. Les tests de normalité classiques (par exemple le test d'Anderson-Darling) rejettent l'hypothèse de normalité de la cote C13 : la probabilité critique est inférieure à 0,05, la distribution des mesures est donc non normale. L'utilisation d'une transformation est donc justifiée. Les résultats sont réalisés à l'aide d'un logiciel de statistique. La transformation obtenue est la suivante. Le test de normalité appliqué sur les données transformées de la cote C13 rejette l'hypothèse de normalité car la probabilité critique (0,026) est inférieure à 0,05. On note que le processus classique est sensible aux valeurs aberrantes. Il faut donc étudier de plus près les valeurs et décider de considérer ou de rejeter certaines valeurs aberrantes de la série de mesures. Dans ce cas, le calcul de l'indice de capabilité de façon automatisée n'est donc pas possible avec la procédure classique. Le logiciel alerte alors l'utilisateur par un message l'informant d'un échec de la sélection d'une transformation. En reprenant l'exemple de l'aube de turbine, le risque de ne pas obtenir de façon automatisée une valeur de capabilité est non négligeable compte tenu du nombre de cotes critiques (30 à 50). L'invention a notamment pour but d'apporter une solution simple, efficace et économique à ces problèmes. A cet effet, elle propose un procédé d'évaluation de l'indice de capabilité Cpk d'une machine et/ou d'un procédé, comportant les étapes consistant à : (a) obtenir des caractéristiques x représentatives de pièces ou d'éléments issus de la machine et/ou du procédé, par exemple par mesure, (b) rechercher une loi de Pearson représentative de la distribution des caractéristiques x, (c) calculer le coefficient de capabilité Cpk de la machine et/ou du procédé, à partir de la loi de distribution de Pearson ainsi considérée. De préférence, l'étape (b) comporte les étapes consistant à : - obtenir des caractéristiques x représentatives de pièces ou d'éléments issus de la machine et/ou du procédé, par exemple par mesure, - effectuer un test de symétrie et/ou un test de normalité de la loi de distribution de la caractéristique x, - si la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique et normale, considérer que cette dernière est une loi normale S1 de type f (x) = rr e 20-2 , a étant l'écart-type et .Fc étant est la moyenne de la caractéristique x, - si la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique, non normale et a un coefficient d'aplatissement g2 inférieur à 0, considérer que oc-AiP cette loi est une loi de Pearson S2 de type f (x) = fo [1 a22 J - si la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique, non normale et a un coefficient d'aplatissement g2 supérieur ou égal à 0, considérer que cette loi est une loi de Pearson S3 de type f (x) = fo [1 + (x,-241 - si la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique et a un coefficient de Pearson K inférieur à 0, considérer que cette loi est une loi de Pearson D1 de type f (x) = fo[c(x - a1)]1[E(a2 x)] q2-1, - si la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique et a un coefficient de Pearson K compris entre 0 et 1, considérer que cette loi est une loi de Pearson D2 de type f (x) = fo(cos2 0)(1ePe avec tan t9 = x , - si la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique et a un coefficient de Pearson K supérieur ou égal à 1, considérer que cette loi est une loi de Pearson D3 de type f (x) = f [e(x a)]cli 1 ° [E(x-a+c)]1-c12. Un tel procédé peut être automatisé aisément et appliqué à tout type de données. Le risque d'erreur est donc limité et l'indice de capabilité ainsi déterminé est relativement fiable. Selon une caractéristique de l'invention, le coefficient d'aplatissement g2 est défini par : 2 N - (N + 1)1(x - - 3 - (N -1). (xi - k4 i=1 - i=1 g2 = 4 avec k4 = 0- - 1).(N- 2).(N- 3) a étant l'écart-type, .Fc étant est la moyenne de la caractéristique x, xi étant la valeur de la ième caractéristique x et N étant le nombre de caractéristiques x, - et le coefficient de Pearson K est défini par K = b1 (b2 + 3)2 4 . (4b2 - 3b1) - (2b2 - 3b1 - 6) avec b1= g12 où g = 3 avec k3 = i=1 (N -1).(N - 2) et avec b2 = g2 + 3 . Selon une caractéristique de l'invention, lors du test de symétrie, on calcule le paramètre ul = gl (N - 2)(N +1)(N + 3)et 6N(N -1) - si lu, 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique, - si ul > 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique. Selon une autre caractéristique de l'invention, lors du test de normalité, on calcule le paramètre u2 = g2 N-2)-3)+3)-5) 5) N-1 24N et - si lu21 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est normale, - si lu21> 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est non normale. Avantageusement, l'indice de capabilité Cpk représente la capacité de la machine ou du procédé à donner un résultat compris à l'intérieur de l'intervalle de tolérance, cet indice Cpk étant défini par Xmed - T inf N .1(xi - Cpk = min(Cpl,Cpu) avec X med 0,00135 T sup - X med 0,99865 X med Cpt Cpu Tinf et Tsup étant respectivement les limites inférieure et supérieure de l'intervalle de tolérance, xmed étant la médiane de la caractéristique x, X0,00135 et (1,99865 étant respectivement les valeurs de x correspondant aux fractiles d'ordre 0,00135 et 0,99865, xmed, 0,00135 et 0,99865 étant déterminés de la façon suivante : - si la loi de distribution de la caractéristique x une loi normale S1, - si la loi de distribution de la caractéristique x est une loi de Pearson S2, alors .+a F1-0,00135 1 = = .+a Fo' 1 avec a = \i2b 2o- 2 F05+1 3 - b2 .+a F1-0,99865 - 1 = F1-0,99865 + 1 où Fa désigne le fractile de la loi de Fisher d'ordre a à u1 et u2 degrés de -9 liberté, sachant que u 5b2 = u = 2(p + avec p , si t)11 et/ou u2 1, 6 - 2b2 OU 0,00135 Fo 5 1 = .-Fa ' F05+1 0,00135 5 alors xmed 0,99865 0,00135 xmed 0,99865 F1-0,00135 + 1 xmed 0,99865 = .-Fa si ul 0, ou 0,00135 al+(a2-a1). B0,00135 (1,1) X med al+(a2-a1). B0,5 (1,1) 0,99865 al + (a2 al). B0,99865 (1,1) avec al = min(xl , - - - , xN ) et a2 = max(xl , - - - , xN ), où Ba (1,1) désigne le fractile de la loi Beta de paramètres (1,1) d'ordre a, si q1 0, ou 0,00135 med 0,99865 a + wq1 q1 + q2F1-0,00135 wq1 0,00135 a + q1 + q2F0,5 a + X med q1 q 2 F1-0,99865 0,99865 r -K q1 2 K avec a qw w = 2 sgn(gi)Nio- 2 - K)(1+ r), et r 6(b2 -1)1 -1) , r - ou Fa désigne le fractile de la loi de Fisher d'ordre a à ul 3b1 - 2b2 + 6 et u2 degrés de liberté avec u1 = 2q2 et u2 = 2q1, où q2 = r -q1, si qM et q2 , et si g1 0, - si la loi de distribution de la caractéristique x est une loi de Pearson D2, soit K -r - 6(1)2 - b1 -1) iii K , q-1 2 r , a = sgn(gi )Vo- 2 (K -1)(1 + r) , 3b1- 2b2 +6 p- r on détermine alors ulle tel que 17,/21f, - alcos2q-2 x - exp(px)dx = 0,00135 , u med tel quef - alcos2q-2 x - exp(px)dx= 0,5 et -7r/2 Usup tel que 17,/2f, - alcos2q-2 x - exp(px)dx = 0,99865 et si a > 0, alors p - a 1 c = x + et fo = 7, / 2 f7r/2 r a - cos2" x - exp(px)dx 0,00135 c + a - tan(uia ) X med C + a - tan(u ined) 0,99865 C + a - tan(u sup) si a 1 et u > 1, et si 1- 2 - 1 k3> 0 , ou cI) Xmed =a a+ 1-)± 1- F 1-0,00135 0,00135 cuiFi 0,5 2 U2 0,99865 a si u1 0, ou ,00135 CUI F1-0,99865 12 X med a+ 0,99865 2 Vi Fi 0,5 a+ u2 C Ul F1-0,00135 a+ 2 ( avec a = x_ +cqi c = 2 sgn(gi )Vo- 2 (1- K)(1+ r) , q1= -2 K 1 1 et r - 6(b2 -b1-1) ou r = u Fa désigne le fractile de la loi de Fisher d'ordre a à ul 3b1-2b2 + 6 et u2 degrés de liberté avec u1=2q1 et u2 =2(1-r), si ul 1 et t)2 1, et si k3 L'invention sera mieux comprise et d'autres détails, caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture de la description suivante faite à titre d'exemple non limitatif en référence aux dessins annexés dans lesquels : - la figure 1 illustre les différentes étapes du procédé de détermination de l'indice de capabilité Cpk d'une machine et/ou d'un procédé industriel, conformément à l'art antérieur, - la figure 2 est un diagramme illustrant la distribution d'une série de valeurs d'une cote C13, - la figure 3 illustre sommairement les étapes du procédé de détermination de l'indice de capabilité Cpk conformément à l'invention, - la figure 4 est un diagramme illustrant plus en détail le procédé selon l'invention, - la figure 5 est un diagramme correspondant à la figure 5, dans lequel la distribution est caractérisée par une loi de Pearson, conformément à l'invention, - la figure 6 est un diagramme illustrant les écarts entre les indices de capabilité Cpk obtenus à l'aide du procédé de l'art antérieur et à ceux obtenus à l'aide du procédé selon l'invention, - la figure 7 est un tableau indiquant la capacité du procédé de l'art antérieur et du procédé selon l'invention à remplir un certain nombre de critères, - la figure 8 est un diagramme comparant, pour une aube de turbine, les valeurs des indices de capabilité obtenues avec le procédé selon l'invention (loi de Pearson) et la formule classique de calcul de capabilité pour les lois normales, Comme indiqué précédemment, l'indice de capabilité Cpk est défini par C p 1 = Cpu = Xmed - Tin X med 0,00135 T sup - Xmed 0,99865 X med Cpk = min(Cp1 ,Cpu) avec Tinf et TSVP étant respectivement les limites inférieure et supérieure de l'intervalle de tolérance, xmed étant la médiane de la caractéristique x, X0,00135 et (1,99865 étant respectivement les valeurs de x correspondant aux fractiles d'ordre 0,00135 et 0,99865. Avant de décrire les différentes étapes du procédé en référence à la figure, il convient de définir les termes suivants. La moyenne .Fc d'une série de N valeurs xi d'une caractéristique x est N xi définie par x = i=1 N N - 1 - L'écart-type correspondant a est défini par 6 = Le coefficient de symétrie gi est défini par N N-1(x - = 3avec k3 = i=1 gl o- (N -1).(N- 2) Le coefficient d'aplatissement g2 N N 2 N-(N+1)1(x1 -x)4 -3.(N-1). 3 .(N- 1). g2 = k44 4 avec k = i=1 o- (N -1).(N- 2). (N -3) La moyenne x, l'écart-type a, le coefficient de symétrie g1 et le coefficient d'aplatissement g2 sont respectivement les moments d'ordre 1, 2, 3 et 4 de la variable x. Le coefficient de symétrie de Pearson b1 est défini par b1 = g12 . Le coefficient d'aplatissement de Pearson b2 est défini par b2 = g2 + 3 . est défini par Le coefficient K de Pearson est défini par bi (b2 +3)2 K= , 4 . Vlb2 - 3b1)- (2b2 - 3b1 - 6) Comme cela est visible à la figure 3, le procédé selon l'invention comporte schématiquement les étapes successives suivantes : (a) une étape 10 d'obtention des caractéristiques x représentatives de pièces ou d'éléments issus de la machine et/ou du procédé, par exemple par mesure, (b) une étape 11 de recherche d'une loi de Pearson représentative de la distribution des caractéristiques x, (c) une étape 12 de calcul du coefficient de capabilité Cpk de la machine et/ou du procédé, à partir de la loi de distribution de Pearson ainsi considérée. Comme cela est représenté à la figure 4, l'étape 11 comporte une étape 11a de calcul des moments précités .Fc, a, gi et g2, à partir des N valeurs xi de la caractéristique x obtenues lors de l'étape 1. Ces valeurs xi sont obtenues par exemple par mesure. La caractéristique x est par exemple une côte d'une pièce issue d'une machine et/ou d'un procédé. Bien entendu, d'autres types de caractéristiques peuvent être utilisées. Il s'agit ensuite de déterminer si la loi de distribution de la caractéristique x est ou non symétrique (étape 11b). Pour cela, on procède à un test de symétrie lors duquel on calcule le (N -2)(N +1)(N +3) paramètre ui et 6N(N -1) - si lu, 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique, - si ul > 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique. On supposera tout d'abord que le test de symétrie révèle que ladite distribution est symétrique. Dans ce cas, il s'agit alors de déterminer si la loi de distribution de la caractéristique x est ou non normale. Pour cela, on procède à un test de normalité (étape 11c) lors duquel on calcule le paramètre u2 = g2 \I(N - 2)(N - 3)(N + 3)(N - 5) et N-1 24N - si u2 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est normale, - si lu21> 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est non normale. Si la loi de distribution est symétrique et normale, alors on 10 considère que cette dernière est une loi normale 51 de type f (x) = e 20-2 (courbe normale - étape 11d). Si la loi distribution de la caractéristique x est symétrique et non normale, on détermine alors si le coefficient d'aplatissement g2 est ou non inférieur à 0 (étape 11e). 15 Si la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique, non normale et a un coefficient d'aplatissement g2 inférieur à 0, on considère alors que cette loi est une loi de Pearson S2 de type f(x) = fo [1 (x:2 )2y (courbe limitée au domaine m +/- a - étape 11f). Si la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique, non 20 normale et a un coefficient d'aplatissement g2 supérieur ou égal à 0, on considère alors que cette loi est une loi de Pearson S3 de type f (x) = fo q (courbe illimitée - étape 11g). On suppose à présent que le test de symétrie révèle que ladite distribution est dissymétrique. 25 Dans ce cas, on détermine si le coefficient de Pearson K est ou non inférieur à 0 (étape 11h). [1+ (xa-241 Si la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique et a un coefficient de Pearson K inférieur à 0, on considère alors que cette loi est une loi de Pearson D1 de type f(x) = fo[E(x - a1)]g1-1[E(a2 - x)]q2-1 (courbe limitée des deux côtés - étape 11i). Si la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique et a un coefficient de Pearson K supérieur ou égal à 0, alors on détermine si le coefficient de Pearson K est ou non compris entre 0 et 1 (étape 11j). Si la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique et a un coefficient de Pearson K compris strictement entre 0 et 1, on considère alors que cette loi est une loi de Pearson D2 de type f(x) = fo(cos2 E)gePe avec tan t9 =x0.` (courbe illimitée des deux côtés - étape 11k). Si la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique et a un coefficient de Pearson K supérieur ou égal à 1, on considère alors que ,(, ,)]q1-1 cette loi est une loi de Pearson D3 de type f(x) = f (courbe ° [E(x-a+c)]1-q2 limitée d'un côté - étape 111). Une fois que la loi de distribution de la caractéristique x est assimilée à l'une des lois 51, S2, S3, D1, D2 ou D3, il convient de calculer l'indice de capabilité Cpk. Les méthodes de calcul de cet indice diffèrent en fonction du type de loi 51, S2, S3, D1, D2 ou D3 et vont maintenant décrites en détail. Comme indiqué précédemment, si la loi de distribution de la 0,00135 =x-36 caractéristique x est une loi normale 51, alors xmed . 0,99865 = +3o- Si la loi de distribution de la caractéristique x est une loi de Pearson S2, deux cas se présentent : - 1" cas F1-0,00135 1 = Fo' 1 avec a = \i2b2o- 2 F05 +1 3 - b2 F1-0,99865 1 F1-0,99865 + 1 où Fa désigne le fractile de la loi de Fisher d'ordre a à u1 et u2 degrés de liberté, sachant que u1= u2 = 2(p + 1) avec p-5b2 - 9, dans le cas où t)11 6 - 2b2 5 et/ou u2 - 2nd cas 0,00135 Xmed = +a Fo ' 51 , dans le cas où u1 0 1 et wqi + Dans ce cas, 0,00135 - med avec al = x - 0.99865 wqi a q1 + q 2 F1-0,99865 wq1 + al q1 + q2F 0,5 wql al + q1 q2F1-0,00135 - K = 2 sgn(gi)Nio- 2 (1- K)(1+r) , , 1 - K r -6(b2 -b1-1) où Fa désigne le fractile de la loi de Fisher d'ordre a à ul 3b1 - 2b2 + 6 5 et u2 degrés de liberté avec u1 = 2q2 et u2 = 2q1, Où q2 = r - ql. - 2ème cas : ql 0 0,00135 Iai+(a2 - a1). B0,00135 (1,1) x Dans ce cas, ined = al +(a2 - al)- B05(1,1) 0,99865 al + (a2 al). B0,99865 (1,1) avec al =min(xl,---,xN) et a2 =max(xl,---,xN), où Ba (1,1) désigne le fractile de la loi Beta de paramètres (1,1) d'ordre a. 3ème cas : , q2 et g1 0 0,00135 ai +(a2 - al). B0,00135 0 1) Dans ce cas, xmed 0,99865 = , al +(a2 - al )- B05(1,1) al + (a2 al). B0,99865 (1,1) avec al = min(xl,---,xN) et a2 =max(xl,---,xN), où Ba(1,1) désigne le fractile de la loi Beta de paramètres (1,1) d'ordre a, si q1 0, Si la loi de distribution de la caractéristique x est une loi de Pearson 6(b2 - -1) K D2, soit r = p = r q =1-- 3b1-2b2 + 6 1-K 2 a = sgn(gi )Vo-2 (K - 1)(1 + r) , c = + P - a et fo = r12 a - c OS2 q-2 x - exp(px)dx r I2 On détermine alors : umf tel queI fo - alcos2q-2 x - exp(px)dx = 0,00135 , -7r/2 Umed tel que I /2 fo - alcos2q-2 x - exp(px)dx= 0,5 et usup tel que fu:21fo - alcos2q-2 x - exp(px)dx = 0,99865 et Si a > 0, alors : c +a - tan(umf ) c + a - tan(umed) c + a - tan(usup) Si a 0 Dans ce cas, 0,00135 c F 1-0,00135 med a+ 0,99865 U2 cu 1F1 0,5 - a+ U2 CUI F1-0,99865 a+ U2 ( _ qc avec a = x + c = 2 sgn(gi )Vo- 2 (1- K)(1+ r) , ql = 1 K -1 et r 6(b2 - -1) o , r - ou Fa désigne le fractile de la loi de Fisher d'ordre a à ul 3b1 - 2b2 + 6 et u2 degrés de liberté avec ul = 2q1 et u2 = 2(1 - r) . - 2ème cas : u1 0 c F 1-0,00135 a+ U2 cu 1F1 0,5 - a+ 0,00135 med 0,99865 U2 a - elle cas :U11, u2 1, et k3 En reprenant l'exemple de la série de cotes C13 décrit précédemment en référence à la méthode utilisée dans l'art antérieur, on remarque que le procédé selon l'invention appliqué à cette série C13 propose de caractériser la distribution des données C13 par une loi de Pearson dissymétrique, comme cela est illustré à la figure 5. L'ajustement obtenu est satisfaisant. L'indice de capabilité obtenu pour la cote C13 est Cpk = 1,272. Cela s'interprète de la manière suivante dans la méthode dite « Six Sigma » : le procédé est maitrisé (phase 4). Les écarts entre les indices de capabilité Cpk obtenus à l'aide du procédé de l'art antérieur et à ceux obtenus à l'aide du procédé selon l'invention sont illustrés à la figure 6, ces écarts étant non négligeables. Sur cette figure, l'axe des abscisses représente les valeurs des milieux des classes. 53% des écarts ont une valeur de 0,55. Cela signifie que la valeur de l'indice de capabilité Cpk obtenu avec le procédé de l'art antérieur est surestimée de 0,55 par rapport à ce même indice obtenu à l'aide du procédé selon l'invention, utilisant une loi de Pearson. Dans l'approche Six-Sigma, c'est le passage de la phase de maitrise du procédé à un procédé centré sur sa moyenne avec des variations non maitrisées. Cet exemple simple montre que le procédé proposé par l'invention permet d'obtenir, de façon automatisée, une valeur fiable de l'indice de capabilité Cpk, là où le procédé de l'art antérieur a échoué. Le procédé selon l'invention peut donc être intégré à la méthode Six Sigma afin d'orienter les mesures à adapter pour tendre vers le zéro-défaut. Le procédé selon l'invention peut être entièrement automatisé et ne fait pas appel à un opérateur ou à la subjectivité de ce dernier. Cet exemple réel démontre ainsi nettement la supériorité du procédé selon l'invention par rapport au procédé de l'art antérieur reposant sur les transformations normalisantes. En pratique, dans le procédé industriel aéronautique, 23% des cotes sont concernés. Le procédé selon l'invention répond donc entièrement aux inconvénients suivants du procédé de l'art antérieur : - perte de temps sur l'analyse des données avec le procédé de l'art antérieur. Il faut examiner de plus près les valeurs et identifier celles qui perturbent la transformation de la distribution. Sur plus de 60 caractéristiques, le travail est long et fastidieux. Il est estimé à 3h par opérateur ; - le manque d'obtention de l'indice de capabilité a un impact économique important. Cet indice de capabilité peut éviter la mise en place d'allégements si les conditions ne sont pas réunies (normalité et capabilité non démontrées), et au contraire, permettre la mise en place d'allégements que ne propose pas la méthode traditionnelle (sources de gains potentiels) ; - pas d'obtention de capabilité. Le retour d'expérience estime que 22 % des calculs de capabilité avec la méthode traditionnelle n'ont pas abouti. Ils peuvent représenter des risques qualité à mettre en oeuvre des allégements ou des manques d'économies à gagner. Un avantage important du caractère automatisé du nouveau procédé est de pouvoir être implémenté directement dans le suivi des allégements. Quand le procédé est maitrisé, des mesures d'allégements sont possibles : les pièces ne sont par exemple plus contrôlées de manière systématique. Des prélèvements sont effectués avec une fréquence régulière (semaine en général) pour s'assurer de la bonne stabilité du procédé industriel. La figure 7 est un tableau indiquant la capacité du procédé de l'art antérieur et du procédé selon l'invention à remplir un certain nombre de critères importants en termes notamment d'industrialisation ou d'implémentation de ces procédés dans une chaîne de fabrication de pièces. Ce tableau démontre clairement les nombreux avantages du procédé selon l'invention par rapport au procédé de l'art antérieur. La figure 8 suivante compare, pour une aube de turbine, les valeurs des indices de capabilité obtenues avec le procédé selon l'invention (loi de Pearson) et la formule classique de calcul de capabilité pour les lois normales i.e. Cpk= min ( Tsup - moyenne moyenne - ,,f 3o- 3o- Le processus avec transformation n'est pas utilisé pour cette comparaison car il n'est pas automatique et il ne fournit pas toujours de valeur de capabilité. Il est plutôt utilisé pour une analyse spécifique. Sur la figure 8, 40 cotes d'aubes de turbine sont évaluées par des indices de capabilité obtenus avec la formule classique et avec la formule de Pearson. Il apparaît que 8 cotes sur 40 sont considérées comme conformes avec la formule classique, ce que contredit la formule de Pearson. Les opérateurs ont démontré que ces cotes n'étaient pas conformes et donc que le procédé n'était pas maitrisé. Les points où les indices de capabilité sont égaux correspondent au cas d'une distribution normale. Les différences entre les indices de capabilité correspondent principalement au cas où les distributions des séries sont asymétriques. L'invention concerne également une méthode de fabrication de pièces à l'aide d'une machine et/ou d'un procédé, comportant les étapes consistant à : - déterminer l'indice de capabilité Cpk de la machine et/ou du procédé précité, à l'aide du procédé d'évaluation précité, - si l'indice de capabilité Cpk est inférieur à un seul déterminé, alors on procède à une identification des causes des dispersions de la machine et/ou du procédé, et à une correction des paramètres de la machine et/ou du procédé, de façon à obtenir un Cpk supérieur à une valeur déterminée. Lors de fabrication des pièces, on vérifie des paramètres des pièces fabriquées à l'aide de la machine et/ou du procédé (par exemple des cotes ou des états de surfaces d'une pièce), par échantillonnage de ces pièces, le nombre de pièces prélevées par échantillonnage étant fonction de l'indice de capabilité Cpk de la machine et/ou du procédé.15 REVENDICATIONS1. Procédé d'évaluation de l'indice de capabilité Cpk d'une machine et/ou d'un procédé, comportant les étapes consistant à : (a) obtenir (10) par mesure des caractéristiques x représentatives de pièces ou d'éléments issus de la machine et/ou du procédé, (b) rechercher (11) une loi de Pearson représentative de la distribution des caractéristiques x, (c) calculer (12) le coefficient de capabilité Cpk de la machine et/ou du procédé, à partir de la loi de distribution de Pearson ainsi considérée. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que l'étape (b) comporte les étapes consistant à : - obtenir des caractéristiques x représentatives de pièces ou d'éléments issus de la machine et/ou du procédé, par exemple par mesure, - effectuer un test de symétrie et/ou un test de normalité de la loi de distribution de la caractéristique x, - si la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique et normale, considérer que cette dernière est une loi normale S1 de type 1 f (X) = e 2(52 , a étant l'éC 2TT cart-type et I étant est la moyenne de la caractéristique x, - si la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique, non normale et a un coefficient d'aplatissement g2 inférieur à 0, considérer que cette loi est une loi de Pearson S2 de type f (x) = fo [1, (x-g )21P a - si la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique, non normale et a un coefficient d'aplatissement g2 supérieur ou égal à 0, considérer que cette loi est une loi de Pearson S3 de type f (x) = fo - si la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique et a un coefficient de Pearson K inférieur à 0, considérer que cette loi est une loi de Pearson D1 de type f (x) = fo[c(x - x)P2-1, ri+(x-Y) a2 JJ- si la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique et a un coefficient de Pearson K compris entre 0 et 1, considérer que cette loi est une loi de Pearson D2 de type f (x) = fo(cos2 ePe avec tan 0 = xa-c, - si la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique et a un coefficient de Pearson K supérieur ou égal à 1, considérer que cette loi )]c11-1 est une loi de Pearson D3 de type f (x) = fo [E(x [c(-aa+c)p--q2' 3. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que le coefficient d'aplatissement g2 est défini par : N - (N +1)z% 2 É(x - e -3 . (N -1). [ (xi -i)21 k4 avec k i=1 g 2 = -1-4 4 = o- (N -1). (N - 2). (N -3) a étant l'écart-type, Î étant est la moyenne de la caractéristique x, xi étant la valeur de la ième caractéristique x et N étant le nombre de caractéristiques x, et en ce que le coefficient de Pearson K est défini par (b2 +3)2 K= , 4 -14b2 -3bi)-(2b2 -3b1 - 6) N N - 1(x i -1)3 avec b1 = g12 où g1 = -k3avec k3 = a-3 (N -1). (N - 2) et avec b2 = g2 + 3. 4. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que, lors du test de symétrie, on calcule le paramètre /il = gl (N - 2)(N +1)(N +3)et 6N (N -1) - si 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est symétrique, - si lad > 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est dissymétrique. 5. Procédé selon la revendication 3 ou 4, caractérisé en ce que, lors du test de normalité, on calcule le paramètre u2 - g2 - 2)(N -3)(N +3)(N - 5) , et N -1 24N - si 1u21 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est normale, - si 1u21 > 1.645 alors la loi de distribution de la caractéristique x est non normale. 6. Procédé selon l'une des revendications 3 à 5, caractérisé en ce que l'indice de capabilité Cpk représente la capacité de la machine ou du procédé à donner un résultat compris à l'intérieur de tolérance, cet indice Cpk étant défini par Cpl = Cpu xmed T inf Cpk = min(Cp1 ,Cpu) avec xmed e0,00135 T sup - xmed ' 0,99865 - xmed Thf et Tsup étant respectivement les limites inférieure et supérieure de l'intervalle de tolérance, xmed étant la médiane de la caractéristique x, -,0,00135 et &99865 étant respectivement les valeurs de x correspondant aux fractiles d'ordre 0,00135 et 0,99865, xmed, &00135 et &99865 étant déterminés de la façon suivante : - si la loi de distribution de la caractéristique x est une loi normale {0,00135 = - 3o- S1, alors xmed = x , = x+36 .13,99865 - si la loi de distribution de la caractéristique x est une loi de Pearson S2, alors 29 0,00135 = +a F1-0,00135 -1 F1-0,00135 + xmed = x +a F0'5 -1 avec a 2b20-2 F05 +1 3 -b2 .1:1,99865= x+a F1-0,99865 +1 où Fa désigne le f racti le de la loi de Fisher d'ordre a à yl et y2 degrés de liberté, sachant que v1= y2 = 2(p + 1) avec p =5b2 - 9 , si y, M et/ou y2 k1, 6 - 2b2 ou 0,00135 X med = +a F05 -1 0,99865 F0,5 + 1 F1-0,00135 1 = + a F1-0,00135 + 1 si yi 0, ou 0,.., = al +(a2 -ai )- B0,00135 (1,1) X med = al + (a2 - a1)- B0,5 (1,1) 0,99865 = ai + (a 2 - al)- B0,99865 (1,1) avec al = min(xo- - - ,x N) et a2 = max(x 1,- - - ,x N), où Ba(1,1)désigne le fractile de la loi Beta de paramètres (1,1) d'ordre a, si q1 0, ou 0,00135 wqi = a1 + q1 + q2F0,5 = a, + wqi ( ii wqi r - K avec a = 7 - w = 2 sgn(gi )Vcr2 (1 - K)(1 + r) , a 1 , et r '1= 2 1 1 - K ) r = 6(b2 - b1 -1) , où Fa désigne le fractile de la loi de Fisher d'ordre a à yi 31), - 2b2 + 6 et y2 degrés de liberté avec y1 = 2q2 et y2 = 2q1, où q2 = r - ql, si q1k1 et q2 ?..1 , et si g-, 0, - si la loi de distribution de la caractéristique x est une loi de Pearson 6(b2 -1)1 -1) p = _r \I K , q =1- _r , soit r = a = sgn(gi )110-2 (K -1)(1+ r) , 3b1 - 2b 2 + 6 ' 1- K 2 10 c=i+p-a e. f 1 ` J 0= r12 , r a - COS 2q-2 X - exp(px)dx L/2 on détermine alors .' umf tel que f 'fo - al cos2q-2 x exp(px)dx = 0,00135 , -2/12 Umed tel que fu-d if0 - al cos 2q-2 x - exp(px)dx = 0,5 et -7r/2 15 u ' tel que Usup IL - al cos 2q-2 x - exp(px)dx = 0,99865 et si a > 0, alors D2, -7r/2 0,00135 { X med e0,9986, - c + a - tan(upe ) = c +a - tan(umed ) - c + a - tan(u stip) si a 0, ou c v1F1_0,00135 - a+ V2 C vl Fi_0,5 X med = a+ .(21,99865 si v, 0, ou 0,00135 a 0,00135 C y1 F1-0,99865 X med - a+ 99865 V2 VC = a+ c viF 1-0,00135 - a+ V2 ( ^ r K avec a = i+ cql , c = 2sgn(gi ),'io-2 (1 - K)(1+r) , q, = - 1 et r - 2 li K -1) r =6(b2-b1-1) , où Fa,désigne le fractile de la loi de Fisher d'ordre a à yi 3b1 - 2b2 + 6 et y2 degrés de liberté avec yi = 2q1 et y2 =2(1-r), si vi k 1 et v2 k 1, et si k3 8. Méthode selon la revendication 7, caractérisé en ce que l'on vérifie des paramètres des pièces fabriquées à l'aide de la machine et/ou du procédé, par échantillonnage de ces pièces, le nombre de pièces 15 prélevées par échantillonnage étant fonction de l'indice de capabilité Cpk de la machine et/ou du procédé.