FR 2998436 A1 20140523 FR 1260950 A 20121119 Procédé de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, dispositif et programme d'ordinateur correspondants. 1. Domaine de l'invention Le domaine de l'invention est celui des modulations multiporteuses à base de bancs de filtres (en anglais FBMC pour « Filter Bank based MultiCarrier »). Plus précisément, l'invention concerne le calcul des coefficients du filtre prototype de tels bancs de filtres. L'invention trouve notamment des applications dans le domaine de la transmission ou du codage de données. En particulier, l'invention trouve des applications dans les systèmes de transmission ou de codage mettant en oeuvre une modulation multiporteuse dite « avancée », comme l'OFDM/OQAM (en anglais « Orthogonal Frequency Division Multiplexing /Offset Quadrature Amplitude Modulation »), le WOFDM (en anglais « Wavelet OFDM ») ou l'OFDM suréchantillonné. 2. Art antérieur On décrit ci-après l'art antérieur relatif aux modulations multiporteuses à base de bancs de filtres utilisées dans des systèmes de transmission. Dans de tels systèmes, les modulations multiporteuses avancées présentent de nombreux avantages par rapport aux modulations OFDM classiques. Par exemple, par rapport à l'OFDM conventionnel, le fait d'introduire un suréchantillonnage dans la chaîne de modulation permet de relâcher la contrainte d'orthogonalité pour l'ensemble des porteuses du système de transmission et de réaliser la modulation avec des filtres prototypes bien localisés à la fois en temps et fréquence. L'OFDM suréchantillonné est également connu sous l'appellation FMT (« Filtered Multi-Tone » en anglais) pour les transmissions filaires. La figure 1A présente un exemple de réalisation d'un modem d'un système de transmission mettant en oeuvre une modulation de type OFDM suréchantillonné/FMT sous forme de bancs de filtres, dans lequel le facteur entier d'expansion N est choisi strictement supérieur au nombre entier de sous-porteuses M. L'appellation « suréchantillonné » provient du fait que le nombre d'échantillons transmis par le signal modulé en bande de base s[k] est supérieur au nombre d'échantillons strictement nécessaire. Tout comme l'OFDM, l'OFDM suréchantillonné est un système modulé en exponentielle. Ainsi, à l'émission, le modulateur est formé par un banc de filtres de synthèse (SFB pour « Synthesis Filter Bank »), illustré en figure 1A, dans lequel la réponse impulsionnelle de chaque filtre fm, m 5 M - 1, s'obtient à partir d'un filtre prototype p de longueur L et à coefficients réels : .21-rmk fm[k] = p[k]e3 et L-1 Fm(Z) =I fm[k]z-k k=0 Les conditions d'orthogonalité du modem de la figure 1A sont établies en supposant une transmission parfaite, i.e. n'introduisant aucune distorsion. Si ces conditions d'orthogonalité sont réalisées, les symboles complexes estimés en réception em,, seront identiques à ceux transmis crnn, i.e. em,n = cm,n Vm,n. Ceci impose qu'en réception, le démodulateur illustré en figure 1A soit formé par un banc de filtres d'analyse (AFB pour « Analysis Filter Bank ») modulé comme à l'émission, formant un filtre adapté, dans lequel la réponse impulsionnelle de chaque filtre gm s'obtient à partir du retourné temporel du filtre prototype p utilisé en émission : gm[k] = p[L - 1- k]ei .2irm(L-1-k) Le filtre prototype p doit également satisfaire des propriétés d'orthogonalité pour que la condition Cm,n = Cm,n Vm, n, également dite de reconstruction parfaite, soit satisfaite. Pour un filtre prototype P(z) = eiop[n]z-n, ces conditions de reconstruction parfaite s'écrivent comme suit : p k L ; 8, est le symbole de Kronecker, tel que 8, = 1 si s = 0 et 8, = 0 si s # 0 ; et k, u et s sont des variables entières. Dans le cas particulier d'un suréchantillonnage par un facteur à égal à TIN = 2, N = 3W°, M = AM°, Mo = 1 et No = 1, la condition de reconstruction parfaite donnée par l'équation (2) devient exactement celle des systèmes de modulation OFDM de type Offset-QAM (OFDM/OQAM) ou, toujours de manière équivalente, celle des systèmes dits de bancs modulés en cosinus (CMFB). D'un point de vue système de transmission, un système de transmission mettant en oeuvre une modulation OFDM/OQAM se distingue du système de transmission mettant en oeuvre une modulation de type OFDM suréchantillonné représenté à la figure 1A en ce que les symboles complexes à transmettre sont décomposés en leur partie réelle et imaginaire, et que chacune d'entre elle est transmise avec un décalage d'un demi-temps symbole. En exploitant la dualité entre les systèmes de type transmultiplexeur comme celui de la figure 1A, où le banc de filtres de synthèse est placé à l'émission et le banc de filtres d'analyse à la réception, et des systèmes comme celui de la figure 1B, où au contraire le banc de filtres d'analyse est placé à l'émission et le banc de filtres de synthèse à la réception, on obtient des systèmes dits de codage en sous-bande qui, sous la forme modulée, en réels ou en complexe, peuvent s'appliquer en codage audio ainsi qu'en codage d'image et de vidéo. Un grand nombre de techniques permettant de déterminer les coefficients des filtres prototypes pour des systèmes de type bancs de filtres modulés a déjà été présenté, notamment pour des filtres prototypes dont la longueur est un multiple de N supérieur à 2 (où N correspond au facteur d'expansion/décimation ou au nombre de porteuse/bandes selon le type de système). En particulier, ainsi qu'il a été démontré dans le document « Analysis and design of OFDM/OQAM systems based on filterbank theory » P. Siohan, C. Siclet, et N. Lacaille, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, no. 5, pp. 1170-1183, mai 2002, le fait de limiter la taille des filtres à des supports temporels très courts est très pénalisant pour les méthodes de calcul qui déduisent les coefficients discrets p[n] à partir de solutions dérivées de fonctions en temps continu, en les tronquant et en les discrétisant. Il est donc préférable de calculer directement les L valeurs discrètes de la réponse impulsionnelle du filtre prototype, où L égal N. De ce fait, si N est élevé, ce qui est notamment le cas pour des systèmes comprenant plusieurs milliers de porteuses, il en résulte un problème d'optimisation très complexe à résoudre du fait du nombre très élevé de variables. Les inventeurs de la présente demande de brevet ont proposé, dans le document « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT-modulated transmultiplexers » de C. Siclet, P. Siohan, et D. Pinchon (EURASIP J. Appl. Sig. Proc., pp. 1-14,2006, article ID 15756) une technique de détermination des coefficients d'un filtre prototype pour système de type bancs de filtres modulés, consistant à trouver les angles satisfaisant l'équation (2), en utilisant des propriétés de régularités des angles. Cette technique permet de déterminer de bons filtres prototype, mais est très coûteuse en termes de calculs. Les inventeurs de la présente demande de brevet ont par ailleurs proposé, dans le document « Closed form expression of optimal short PR FMT prototype filters », Proceedings Globecom'11 (Houston, USA), Dec. 2011, une technique de détermination des coefficients d'un filtre prototype pour système de type bancs de filtres modulés permettant d'obtenir une solution analytique satisfaisant au moins un critère d'optimisation (localisation temps/fréquence par exemple). Un inconvénient de la technique proposée est qu'elle ne s'applique qu'aux systèmes FMT tels que 2 5. Mo Or pour des systèmes de transmission, ces contraintes ne permettent pas de couvrir le cas où le nombre de sous-porteuses est de plusieurs milliers. En effet, en considérant un cas extrême (mais aussi réaliste) où le rapport de suréchantillonnage serait de 21/20, le nombre maximum de sous-porteuses ne pourrait pas dépasser 800 selon la technique présentée dans ce document. A l'inverse, dans le cas d'applications de type codage en sous-bandes où, pour l'image et la vidéo, le nombre de sous-bandes est en général très limité, la valeur de A (qui est au minimum de 4 selon ce document) est alors parfois trop élevée. 3. Exposé de l'invention L'invention propose une solution nouvelle qui ne présente pas l'ensemble de ces inconvénients de l'art antérieur, sous la forme d'un procédé de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, à partir d'un filtre prototype p. Selon l'invention, le procédé comprend une étape de détermination des coefficients p[k] du filtre prototype p, de longueur L égale N, à partir de A paramètres angulaires 0i, pour 0 L'invention propose ainsi une nouvelle solution pour la détermination des filtres d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, et plus précisément pour la détermination des coefficients du filtre prototype, notamment lorsque ce filtre prototype est court (L=N). Pour ce faire, on considère une représentation compacte particulière permettant d'exprimer les A paramètres angulaires Bi, satisfaisant l'équation (2), sous forme de polynôme. Comme un degré de la fonction polynomiale relativement faible par rapport à A suffit à produire une bonne approximation des valeurs des angles optimaux, la représentation compacte permet de réduire le temps d'optimisation lorsque l'optimisation s'effectue non pas par rapport aux angles Bi mais par rapport aux coefficients du polynôme de f(x). En particulier, cette représentation compacte tient compte de la linéarité de phase du prototype p[n] = p[L - 1 - n] et de la relation de symétrie des angles. La représentation compacte proposée selon l'invention s'écrit donc uniquement avec des polynômes de degré pair. Encore plus précisément, dans le cas particulier des filtres prototypes courts (L=N), chaque composante polyphase Pi(z) du filtre prototype ne fait intervenir qu'un seul angle et la condition de phase linéaire du prototype se traduit par Omo,A,i = - Selon l'invention, on considère également un rapport de suréchantillonnage le plus faible possible, ce qui signifie que l'invention permet d'atteindre, en théorie, des efficacités spectrales comparables à celle du CP-OFDM mais avec des formes d'onde bien localisées en temps et en fréquence. Plus précisément, nous ne considérons ici que des facteurs de suréchantillonnage TtiN N N o tels que - = -, avec N = AN0, M = AM0, où est un entier strictement positif, et l'on impose M mo No = Mo + 1. La solution proposée permet donc de calculer de manière rapide les coefficients du filtre prototype, et par suite les coefficients des filtres des bancs de filtres, notamment en cas de changement d'un des paramètres du système de transmission ou de codage (comme le nombre de porteuses ou de sous-bandes utilisées par exemple). Elle est donc particulièrement avantageuse dans un contexte de mobilité. Elle s'applique en particulier aux systèmes de transmission de type FMT (filaires) ou OFDM-suréchantillonné (radio), ainsi qu'à d'autres systèmes de transmission connus soit en radio (transrécepteur de type CMFB par exemple), soit en filaire (systèmes de type xDSL avec le DWMT (en anglais « Discrete Wavelet MultiTone ») ou encore de type PLC avec le WOFDM). Selon une caractéristique particulière de l'invention, le procédé comprend une étape d'estimation des paramètres 13k de la représentation compacte, mettant en oeuvre au moins un algorithme de type régression linéaire. Cette estimation permet de déterminer une expression analytique relativement simple pour chacun des paramètres f3k de la représentation compacte. Selon un premier mode de réalisation de l'invention, le degré d de la représentation compacte est égal à 2, et l'étape d'estimation délivre une estimation des paramètres 'go et f31 de la représentation compacte, telle que, en posant : Yo (Mo, = T4c + fo (Mo, + fi (Mo, A) on obtient les estimations suivantes : où X = (Xi, i = 0, ...,9) sont des constantes et M = AMo. En particulier, le procédé comprend une étape de raffinement des constantes X, mettant en oeuvre une minimisation de la fonction de coût J(X) suivante, pour différentes valeurs de Mo et A, telles que Mo E MI, où M = [jean, mpax], et A E DI, où D1 = [Amin Amal a(X) = E E pi(me, a) - 01( a, x)12 + (-e(mo, LI) - 70p, A, X)? ACDI Selon ce premier mode de réalisation, les A paramètres angulaires Oi, pour 0 i A - 1, s'expriment sous la forme suivante : 1 Bi = f (xi) = 7(1 - xi) + (2x1 - 1) c( e g 0) + d(M0)A+ 2[(2x, 1)2 [a(M0) + b(3,11 OÙ Xi = et : 2i-F1 20 ©,X) IXX f b(M0 C(.110 X4 + Xs 2 Selon un deuxième mode de réalisation, le degré d de la représentation compacte est égal à 3, et l'étape d'estimation délivre une estimation des paramètres /30, 'el et /32 de la représentation compacte, telle que, en posant : Yo (Mo, = 7'4 + leo (Mo, + (Mo, A) + ig2(Mo,15 on obtient les estimations suivantes : 1 Po (Mo, A, X) = XM0,0 + 410,1A Pi (Mo, A, X) = Xm0,2 + 1 XM0,3 XM0,4 A P2 (Mo, A, X) = 40,5 + Xmo,6 + XmoyA où X = (Xmo,i,ti = 0,...,7) sont des constantes et M = AM0. En particulier, le procédé comprend une étape de raffinement des constantes X, délivrant des constantes raffinées X = = 0,...,7), mettant en oeuvre une minimisation de la fonction de coût J(X) suivante, pour différentes valeurs de A, telles que A E D1, où D1 = [Amin , Amax] 1 A)-^r (Mo,A,X)]2 A,X à2(Mo. 3. X) J(X) Mo, A Selon ce deuxième mode de réalisation, les A paramètres angulaires Ot, pour 0 M, avec N = AN0, M = AM0, No = Mo + 1, et dans lequel : pour un système de transmission : M représente le nombre de sous-porteuses et N le facteur d'expansion ou de décimation, ou pour un système de codage : M représente le facteur d'expansion ou de décimation et N le nombre de sous-bandes. Selon un deuxième exemple d'application, le système de transmission est de type OFDM/OQAM (encore appelé MDFT ou « Modified Discrete Fourier Transform » en anglais) ou, de manière duale, le système est de type banc de filtres modulé en cosinus, tel que N = 2M, et dans lequel : - pour un système de transmission : M représente le facteur d'expansion ou de décimation et N le nombre de sous-porteuses, ou pour un système de codage : M le facteur d'expansion ou de décimation et N représente le nombre de sous-bandes. Selon un troisième exemple d'application, le système de transmission est de type WOFDM ou, de manière duale, le système est de type banc de filtres modulé en cosinus, tel que N = 2M, dans lequel : pour un système de transmission : M représente le facteur d'expansion ou de décimation et le nombre de sous-porteuses, ou pour un système de codage : M représente le facteur d'expansion ou de décimation et le nombre de sous-bandes. Dans un autre mode de réalisation, l'invention concerne un dispositif de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, à partir d'un filtre prototype p. Selon l'invention, un tel dispositif comprend un module de détermination des coefficients p[k] du filtre prototype p, de longueur L égale N, utilisant A paramètres angulaires Bi, pour 0 A - 1 et A = N/M un entier relatif, exprimés à partir d'une fonction polynomiale f (x), encore appelée représentation compacte, telle que : d-1 f (x) =4 - + tlf3kT2k (t) t = 2x - 1 en reprenant les notations définies ci-dessus. Un tel dispositif est notamment adapté à mettre en oeuvre le procédé décrit précédemment. Il s'agit par exemple d'un transmultiplexeur, d'un transrécepteur ou encore d'un codeur en sous-bandes. Ce dispositif pourra bien sûr comporter les différentes caractéristiques relatives au procédé de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage selon l'invention, qui peuvent être combinées ou prises isolément. Ainsi, les caractéristiques et avantages de ce dispositif sont les mêmes que ceux du procédé décrit précédemment. Par conséquent, ils ne sont pas détaillés plus amplement. Dans un autre mode de réalisation, l'invention concerne un programme d'ordinateur comportant des instructions pour la mise en oeuvre d'un procédé de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres tel que décrit précédemment lorsque ce programme est exécuté par un processeur. Le procédé selon l'invention peut donc être mis en oeuvre de diverses manières, notamment sous forme câblée ou sous forme logicielle. k=0 4. Liste des figures D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront plus clairement à la lecture de la description suivante d'un mode de réalisation particulier, donné à titre de simple exemple illustratif et non limitatif, et des dessins annexés, parmi lesquels : les figures 1A et 1B illustrent un premier exemple d'un système de transmission et d'un système de codage respectivement, de type OFDM suréchantillonné, dans lequel au moins un filtre du banc de filtres a été déterminé selon un mode de réalisation de l'invention ; - les figures 2A et 2B illustrent un deuxième exemple d'un système de transmission et d'un système de codage respectivement, de type OFDM/OQAM, dans lequel au moins un filtre du banc de filtres a été déterminé selon un mode de réalisation de l'invention ; - les figures 3A et 3B illustrent un troisième exemple d'un système de transmission et d'un système de codage respectivement, de type WOFDM, dans lequel au moins un filtre du banc de filtres a été déterminé selon un mode de réalisation de l'invention ; - la figure 4 présente les variations des angles optimaux en fonction d'un indice i; - les figures 5A à 5D illustrent les valeurs de l'erreur relative e(d)(mo, là) pour différentes valeurs de Mo ; la figure 6 présente la structure d'un dispositif mettant en oeuvre une technique de détermination des coefficients d'au moins un filtre d'un banc de filtres selon un mode de réalisation particulier de l'invention. 5. Description d'un mode de réalisation de l'invention 5.1 Principe général Le principe général de l'invention repose sur une solution analytique pour la détermination des coefficients d'un filtre prototype p, permettant de calculer de manière simple, rapide et efficace les coefficients d'un tel filtre prototype, et par suite les coefficients d'au moins un filtre d'un banc de filtres modulés. En particulier, un tel filtre prototype doit satisfaire des contraintes d'orthogonalité pour que la condition de reconstruction parfaite soit satisfaite. Pour ce faire, on utilise une représentation particulière des angles Oi, encore appelée représentation compacte, permettant de satisfaire la condition de reconstruction parfaite en utilisant des propriétés de régularités des angles, comme présenté dans le document « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT-modulated transmultiplexers » précité. En particulier, cette représentation compacte selon l'invention tient compte de la linéarité de phase du prototype p [n] = p[L - 1 - n] et de la relation de symétrie des angles. Encore plus précisément, on propose selon l'invention d'exprimer la représentation compacte non pas par rapport aux angles 0i, mais par rapport aux coefficients d'un polynôme f (x), ce qui permet de réduire le temps d'optimisation, c'est-à-dire le temps de détermination des coefficients du filtre prototype permettant d'approcher au plus près les conditions de reconstruction parfaite. Ainsi, les coefficients p[k] du filtre prototype p, de longueur L égale N, sont déterminés à partir de A paramètres angulaires 01, pour 0 5_ 1 et A = N/M, exprimés à partir de la fonction polynomiale f (x) telle que : d-1 f (x) = 4 + t fficT2k (t) k=0 t = 2x - 1 avec : Tn(t) le polynôme de Chebyshev de degré n ; d le degré de la représentation compacte ; flk les paramètres de la représentation compacte ; Oi = f (xi) avec xi = 212:1 ; p[i] = cos Bi, p[M + 1] = sin Bi, pour 0 En particulier, selon un premier exemple d'application, dans lequel le système de transmission ou de codage est de type OFDM suréchantillonné, mettant en oeuvre un facteur de suréchantillonnage 1;711 tel que N > M, avec N = AN0, M = AM0, No = Mo + 1, M représente le nombre de sous-porteuses et N le facteur d'expansion ou de décimation pour un système de transmission, et M représente le facteur d'expansion ou de décimation et N le nombre de sous-bandes pour un système de codage. Un tel système de transmission ou de codage, déjà décrit en relation avec l'art antérieur, est illustré en figures 1A et 1B. Si l'on considère le transmultiplexeur de type OFDM suréchantillonné de la figure 1A, utilisant un filtre prototype p orthogonal et à phase linéaire de longueur L = N > 2M, et du fait de la linéarité de phase du prototype p[n] = p[L - 1 - n], les coefficients d'au moins un filtre de synthèse ou d'analyse s'expriment sous la forme suivante : fm[k] = Kip[k]ei2nItirnk avec : Ki un facteur multiplicatif pouvant être différent suivant les systèmes pour satisfaire la condition de reconstruction parfaite ; et 0 Selon un deuxième exemple d'application, dans lequel le système de transmission ou de codage est de type MDFT, tel que N = 2M, M représente le facteur d'expansion ou de décimation et N le nombre de sous-porteuses ou de sous-bandes. Un tel système de transmission ou de codage est illustré en figures 2A et 2B. Si l'on considère le transmultiplexeur TMUX de la figure 2A, de type MDFT, utilisant un filtre prototype p orthogonal et à phase linéaire de longueur L = N = 2M, et du fait de la linéarité de phase du prototype p[n] = p[L - 1 - n], les coefficients d'au moins un filtre de synthèse ou d'analyse s'expriment sous la forme suivante : fm[k] = K3p[k]ei271-2mMk avec : K3 un facteur multiplicatif pouvant être différent suivant les systèmes pour satisfaire la condition de reconstruction parfaite ; et 0 Selon un troisième exemple d'application, dans lequel le système de transmission ou de codage est de type WOFDM, M représente le facteur d'expansion ou de décimation et le nombre de sous-porteuses, ou de sous-bandes. Un tel système de transmission ou de codage est illustré en figures 3A et 3B. Si l'on considère le transmultiplexeur WOFDM (ou DWMT) de la figure 3A, utilisant un filtre prototype p orthogonal et à phase linéaire de longueur L = N = 2M, et du fait de la linéarité de phase du prototype p[n] = p[L - 1 - n], les coefficients d'au moins un filtre de synthèse s'expriment sous la forme suivante : fm [k] = Ksp[k] cos [Tilt (m + 7) (k + M 2+ 1)1 et les coefficients d'au moins un filtre d'analyse s'expriment de la même façon : hin[k] = fm[k] avec: K5 un facteur multiplicatif pouvant être différent suivant les systèmes pour satisfaire la condition de reconstruction parfaite ; et 0 Au cours d'une première étape, on effectue un changement de variable. Le couple à estimer/« approxirner » devient (yo (M0, Al /31(M0, A) ), avec yo (M0, A) = + [30(Mo, A) + PL (Mo, A). Au cours d'une deuxième étape, on détermine une expression analytique approchée pour /31(Mo, Al avec Mo E : étape 2a : séparation des variables en approximant /31(M0,A) par Mitio,A) a(M0) + b(Mo)/A ; étape 2b : calcul numérique, par régression linéaire en 1/A, de a(Mo) et b(Mo) pour chaque Mo E MI, que l'on note a et b ci-dessous : (Mo, - étape 2c : recherche pour Mo E MI d'une expression analytique de a(M0) et b(Mo) sous la forme = A + BM0 et C + DM0 ; «Mo) b (Mo) étape 2d : calcul des coefficients A, B puis C et D par régression linéaire en Mo sur les expressions précédentes ; étape 2e : obtention des expressions de a(Mo) et «Mo) sous la forme : a(Mo) avec Au cours d'une troisième étape, on détermine une expression analytique approchée pour yo (Mo, A) : étape 3a : séparation des variables en approximant 1/y0(Mo, A) par 1/y0(Mo, A) c(M0) + d(Mo)/A ; étape 3b : calcul numérique, par régression linéaire en A, de c(Mo) et d(M0) pour chaque Mo E MI, que l'on note c et d ci-dessous : + I - étape 3c : recherche pour M0 E .7tf, d'une expression analytique de c(Mo) et 1 0)- Vd(m0)-x, c/(Mo) sous la forme \ c(M = E + FIllo et = G + HM0, avec X4 = 1,273 et X7 = 1,273 choisis pour obtenir un comportement linéaire, en effectuant une recherche par dichotomie ; étape 3d : calcul des coefficients E, F puis G et H par régression linéaire en Mo sur les expressions précédentes ; étape 3e : obtention des expressions de c(M0) et d (M 0) sous la forme : C(Mo) o) = X4 + (Inn X7 + X8 + X8)21 (11/ +X9 5 2 avec A l'issue des deuxième et troisième étapes, les paramètres yo(Mo, A) et /31(Mo, A) sont donc approchés par : x à, X) 8 (X1 +:110)2 Al X) X4 X5 à(X7 + + où X = (Xi, i = 0,...,9) sont des constantes et M = AM0. A titre d'exemple, on obtient les valeurs suivantes pour les constantes Xi : Au cours d'une quatrième étape, on détermine des valeurs raffinées des 9 constantes Xi, par une technique d'optimisation globale prenant comme point de départ les valeurs des constantes Xi obtenues à l'issue des étapes précédentes. En d'autres termes, on cherche à minimiser la fonction de coût J(X) suivante, pour différentes valeurs de Mo et A : X, .1661777716145 1634990989807 0.3258549559822 0.2380449170014 1.273 08103 u. 120457 2?i417,120036 1.273 0.5158085861520 1.033mi5r>i11389120 En reprenant l'exemple ci-dessus, on obtient les valeurs suivantes pour les constantes après raffinement, notées 194e124832682 10864162382945 0.33329881606485 3 0.39920139787503 4 1.27060234434206 2. 0049258796539 6 o. S6264166373416 7 1.27240200581068 (151760963875876 9 0.52820298059447 Les A paramètres angulaires Oi permettant de satisfaire la condition de reconstruction parfaite, pour 0 Ce sont ces valeurs qui permettent d'obtenir une expression simple, dépendant de Mo et de A, d'un filtre prototype quasi-optimal pour l'optimisation de la localisation temps/fréquence avec une erreur relative inférieure à 10-4 par rapport au meilleur filtre prototype actuellement connu pour l'optimisation de la localisation temps/fréquence. Pour résumer, partant de la représentation compacte f(x) pour un degré d = 2, et prenant en compte les approximations proposées pour les paramètres yo(Mo, A) et i31(M0, A), les A paramètres angulaires Oi s'obtiennent, pour 0 On obtient les valeurs présentées au paragraphe 5.2.2 pour les constantes Xmo,i, avant raffinement et gma,i après raffinement. 2i+1 Comme au paragraphe précédent, en posant xi = 2à la combinaison des équations précédentes permet, avec les valeurs des constantes proposées ci-dessus, de déterminer les A paramètres angulaires Oi permettant de satisfaire la condition de reconstruction parfaite, pour A titre d'exemple, l'optimisation de la localisation temps-fréquence est effectuée avec des valeurs de d allant de 1 à 4 pour 1 5_ Mo Le tableau ci-dessous donne l'erreur relative maximum de la meilleure localisation obtenue avec la représentation compacte avec 1 6. Par contre, si l'on cherche à réaliser des regroupements plus fins, on peut avoir besoin de valeurs plus petites de A, et notamment A Si Mo = 1, le filtre prototype P(z) est donc de longueur 2 et la localisation maximum est égale à 1 lorsque les deux coefficients du filtre sont égaux, c'est-à-dire lorsque 0 = 7/4. Pour Mo > 2, on introduit le paramètre t = tan -e2 et la localisation du filtre prototype définie par la valeur de 0 peut s'exprimer comme une fonction de t. Les inventeurs de la présente demande de brevet ont démontré que les seules valeurs de 0 E [0, n12 donnant un filtre prototype P(z) à phase linéaire sont : = ; = rt12, donnant un filtre prototype P(z) à coefficients constants égaux à 1 et de longueur Mo ; et = n/4, c'est-à-dire t = tan 7/8 = - 1, donnant un filtre de longueur Mo + 1, de localisation maximale lorsque Mo 3. Pour Mo 2, l'expression de la meilleure localisation temps/fréquence Ç est donnée par : 2+ N/2) Ag 2)1e + 2(8 - 3 On peut déduire de cette expression un développement asymptotique de la meilleure localisation lorsque Mo tend vers l'infini. On introduit la constante algébrique b = J6 + 3V-2. La constante b est la racine du polynôme X4 - 12X2 + 18 comprise entre 3 et 4, et on remarque que Vi = 3b2 - 2. On obtient alors : 12 77 +o B. Cas A= 2 On considère un deuxième exemple selon lequel L\ = 2. Pour = 2, Mo 1, et No = Mo + 1, un filtre prototype à phase linéaire et à reconstructionparfaite est de la forme P(z) = En2m,0)+1. p [n]z- n , avec : - t2 p[0] = 7)PM° + 1] = cos 6+ = 1 1 + t2 2t p[1] = p[2Mo] = sin 0 = 1 + t2 p[n] = 1, 2 n 1, comme fonction de Mo >_2 et t:25 avec : 4110- 1)(M - 2M0 + 6), cl 4(241 2M0+ 1), e2 = 7-(44 - 94 + 2M0 - 6), c3 = 4(1 - 2M0). On peut alors vérifier, en calculant la dérivée par rapport à t de l'expression de 2 que la localisation maximale au carré admet un unique maximum pour O t2_ 24/Y. - Mo + 2)t - 84 + 354 - 70M0+ 2L Puisque le polynôme pm0,2 (t) est à coefficients rationnels, sa racine tmo,2 peut être isolée dans un intervalle d'extrémités rationnelles de largeur aussi petite que souhaitée grâce à un algorithme spécifique du calcul formel. Les valeurs numériques des racines 4,42 sont données ci-après, à titre d'exemple, pour Lorsque Mo tend vers l'infini, 440,2 admet le développement limité : .7207592.2ftiU1267 0.623061188',Y(.i253) .'.',31;8-ùS2009376935 .596à205312177.18 0.58591868628 0.583342916940:J708 0.58170 Ir i(,4 ;39736 0.58(17,i-146,16811003 0.5P12,12178575531 0..57951517227.10717 0.5791`..1.S1752;:511:12.7; 0.57.Sb2S4M5151s1:18 O. 5784512522255U5 I 0,57S30855 V12-70,S8 1 0.571:J18524974297 17 0.571L-1:151979961705 18 0.57.11.42589128Si. 19 0577947091,1C,:1 20 .57788741lkiSà:.',J,:14:zt P4110.2 (t) On en déduit que l'angle 9,',/ = 2 atan(tm 2) tend vers 2 atan- = - lorsque M0 tend 0 3 3 vers l'infini. Un développement limité de la localisation maximum lorsque M0 tend vers l'infini est donné par : C. Cas A = 3 On considère un troisième exemple selon lequel A = 3. Pour A = 3, M0 1, et N0 = Mo + 1, un filtre prototype à phase linéaire et à reconstruction parfaite est de la forme P(z) = E3M0 +2 p[n]z', avec : n=0 p[0] = p[3M0 + 2] = cos 0 = 1 - t2 1 + t2 P[1] = p[3m0 + 1] 7 2t p[2] = P[3Mol sin ° = 1 t2 t = tan -e. 2 Lorsque M0 = 1, la localisation temps/fréquence maximale du filtre prototype P(z) est obtenue lorsque t est la seule racine positive t1,3 du polynôme pi3(t) de degré 8 : Pt,3(t) - + 2(559 + 533N/i + inee- 2(779 + 655et5 + 100(4 + 5Ni`-2)t4 '29 + .3 + 2(615 + 314N/2)t2 - 26(13 -r 29/2)t - 5(33 + 20+h), 15 qui est égale à 0,7735089904848272. Lorsque M0 > 1, la localisation temps fréquence maximale du filtre prototype P(z) est obtenue pour t = tm.,3, où tm.,3 est la racine comprise entre O et 1 du polynôme pm.,3(t) de degré 6 : - 19 `2). 2 2V2' + 3 72(1 f2 .,/2 Le polynôme pM0,3(t) a été obtenu en dérivant l'expression explicite de la localisation du filtre prototype P (z) par rapport à la variable t. Le polynôme pM0,3(t), pour Mo 1, n'est pas à coefficients rationnels, de sorte qu'il n'est pas possible de trouver un intervalle à extremités rationnelles, de largeur arbitrairement petite, contenant la racine comprise entre 0 et 1 avec les algorithmes d'isolation de racine du calcul formel. Cependant la valeur numérique de la racine peut être calculée avec une précision arbitrairement grande. Les valeurs numériques des racines tfrio3 sont données ci-après, à titre d'exemple, pour 1 60027,042910 18 0.6687833173070148 19 0.66S721288847182 20 0. C, .6866Ki256532107 Le polynôme pM0,3(t) est de degré 3 en la variable Mo. Ainsi, lorsque M0 tend vers l'infini, tm0,3 tend vers la valeur de t comprise entre 0 et 1 qui annule le coefficient c3 du terme de degré 3 en Mo dans l'expression du polynôme pm03 (t) : 9 2+ e 2( 2t(12 - 1) La racine positive du coefficient c3 est égale à : air 0.668178638. À partir de ce résultat, il est possible de déterminer un développement asymptotique de 40,3 lorsque Mo tend vers l'infini. On introduit la constante algébrique b = V4 + 2N/i, racine de l'équation du quatrième degré X4 - 8X2 + 8 = 0. Tout quotient de polynôme en b peut s'écrire comme polynôme du troisième degré en b à coefficients rationnels et les calculs suivants sont effectués dans l'extension algébrique des rationnels par b qui est une extension algébrique de degré 4 des rationnels (Q(b) = Q[b]). On remarque que = 2 - -21 b2 et que to0,3 = -1b2 + b - 1, et l'on obtient le développement limité : 4b En reportant ce résultat dans l'expression explicite de la localisation comme fonction de Mo et t, on obtient un développement limité de la valeur de la localisation maximale lorsque Mo tend vers l'infini : et, en introduisant la variable c : on obtient : D. Autres cas Pour les valeurs A = 4 ou A = 5, les filtres prototypes à phase linéaire et à reconstruction parfaite de faible longueur (N0 = Mo + 1, L = N = AN0) dépendent de deux paramètres angulaires. Les inventeurs ont démontré qu'il n'existe qu'une seule valeur de ce couple d'angles qui permet d'obtenir une localisation temps/fréquence maximale. 5.4.4 Bilan Le tableau ci-dessous donne en deuxième colonne le maximum du logarithme (en base 10) de l'erreur relative obtenue avec les filtres prototypes quasi-optimaux obtenus selon l'invention lorsque 1 M \ ©' (1 2001 512 1024 2048 1 -4.49599 -4.39377 -4.02393 -3.24624 2 -4.98063 -6.04721 -6.0407 -6.03758 3 -5.71222 -6.92517 -6.9177 -6.91479 4 , -4,13465 -4.13618 -4.1361 -4.13606 '- 4.52595 -4,52562 -4.52552 -4.52548 6 -4.84744 -4.84707 484696 -4,84691 7 -5,1205 -5.12011 -5.12 -5.11996 8 -5.35747 -5.3571 -5.357 -5.35697 9 -5.56659 -5.56628 -5.5662 -5.5662 -5.7536 -5.75338 75333 575337 11 , -5.92264 -5.92255 -5.32255 -5.92264 12 -6,07616 -6.07689 -6.07695 -6.0771 13 -6.1979 -6.21875 -6.21 8 -6.21912 14 -6.30589 -6.31997 -6.3502 -6.35054 . -6.40197 -6.47202 -6.47'.233 -6.4728 16 : -6.48767 -i3...7i,57M)8 -6.5653 -6.58709 17 -6.56427 -6.9311 -6.x;9371 -6.6944 18 -6.63288 -6.79392 -f.794139 -6.79553 19 -6.69444 -6.88917 -6.89013 -6.89115 -6.74978 -6.97945 -6.98062 -6.98184 La solution proposée fournit donc une technique de calcul explicite des coefficients des filtres prototypes de systèmes modulés, présentant de nombreux avantages (rapidité de calcul, possibilité d'implantation dans des systèmes fonctionnant en temps réel, etc). 5 En particulier, dans la plupart des cas, les filtres prototypes obtenus présentent une meilleure localisation temps/fréquence que les filtres prototypes obtenus en mettant en oeuvre une technique d'optimisation des angles comme proposé dans l'art antérieur. De plus, la solution proposée s'applique de façon immédiate au cas des systèmes suréchantillonnés mettant en oeuvre un facteur de suréchantillonnage égal à 2, et permet donc de 10 déterminer, de manière équivalente, les coefficients des filtres prototypes utilisés pour les modulations OFDM/OCIAM. On note que la solution proposée est définie pour les filtres prototypes courts, de longueur L=N (où N défini le nombre de sous-porteuse, le facteur d'expansion ou de décimation, ou le nombre de sous-bandes, selon le système considéré). Ces filtres courts présentent 15 l'avantage d'être moins complexes que les filtres longs, et assez performants pour certains types de canaux de transmission. En particulier, il a été démontré que les filtres prototypes les plus courts pouvaient mieux résister aux dérives fréquentielles, comme par exemple celles liées à l'effet Doppler. Ceci est d'autant plus vrai si le filtre prototype est optimisé en fonction du critère de maximisation de la localisation temps-fréquence qui a pour effet de concentrer l'énergie de la 20 réponse impulsionnelle sur un nombre réduit de coefficients. De plus, il est plus fréquent d'utiliser des filtres prototypes longs dans les systèmes de transmission, afin de séparer plus facilement les différents canaux de transmission. La solution proposée, qui se place dans le contexte particulier des filtres prototypes courts, est donc non-évidente pour l'Homme du Métier. La solution proposée s'applique également dans des systèmes de modulations précodées, mettant notamment en oeuvre un faible nombre de sous-bandes. Selon une règle de dualité classique, tous les résultats présentés peuvent également s'appliquer à des systèmes de codage en sous-bandes. Enfin, un avantage de disposer de formules explicites est, dans le cas de réalisations pratiques de système de transmission multiporteuses ou de codage en sous-bandes, de permettre la mise en oeuvre en temps-réel de systèmes reconfigurables. Cela peut-être plus particulièrement intéressant dans le cas général des systèmes de type radio intelligente ou, actuellement, dans le cas plus précis de l'utilisation de porteuses nulles (« white spaces ») pour des systèmes de type wi-fi. 5.5 Structure du dispositif de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, à partir d'un filtre prototype p On présente finalement, en relation avec la figure 6, la structure simplifiée d'un dispositif mettant en oeuvre une technique de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, à partir d'un filtre prototype p, selon un mode de réalisation particulier décrit ci-dessus. Un tel dispositif comprend une mémoire 61 comprenant une mémoire tampon, une unité de traitement 62, équipée par exemple d'un microprocesseur IO, et pilotée par le programme d'ordinateur 63, mettant en oeuvre le procédé de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, à partir d'un filtre prototype p selon un mode de réalisation particulier de l'invention. A l'initialisation, les instructions de code du programme d'ordinateur 63 sont par exemple chargées dans une mémoire RAM avant d'être exécutées par le processeur de l'unité de traitement 62. L'unité de traitement 62 reçoit en entrée les valeurs des paramètres d, N et M. Le microprocesseur de l'unité de traitement 62 met en oeuvre les étapes du procédé décrit précédemment, selon les instructions du programme d'ordinateur 63, pour déterminer les coefficients du filtre prototype p, puis les coefficients d'au moins un filtre du banc d'analyse ou de synthèse. Pour cela, le dispositif comprend, outre la mémoire tampon 61, un module de détermination des coefficients p[k] du filtre prototype p de longueur L égale N utilisant A paramètres angulaires Oi exprimés à partir d'une fonction polynomiale f (x), encore appelée représentation compacte, telle que f (x) = + t Ek=ô )3 kT2k (t), t = 2x - 1. Ces moyens sont pilotés par le microprocesseur de l'unité de traitement 62. REVENDICATIONS1. Procédé de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, à partir d'un filtre prototype p, caractérisé en ce que ledit procédé comprend une étape de détermination des coefficients p[k] dudit filtre prototype p, de longueur L égale N, à partir de A paramètres angulaires 9i, pour 0 i A - 1 et A = N / M un entier relatif, exprimés à partir d'une fonction polynomiale f(x), encore appelée représentation compacte, telle que : d-1 71" f (x) = -4 + t f3kT2k (t) k=0 t = 2x - 1 avec : - Tii(t) le polynôme de Chebyshev de degré n ; d le degré de la représentation compacte ; f3k les paramètres de la représentation compacte ; Oi = f (xi) avec xi = ; - p[i] = cos 9i, p[M + i] = sin Oi, pour 0 i A - 1; p[k] = 1, A k 5_ M - 1 ; M et N des entiers relatifs représentatifs dudit système de transmission ou de codage. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce qu'il comprend une étape d'estimation des paramètres f3k de la représentation compacte, mettant en oeuvre au moins un algorithme de type régression linéaire. 3. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que, lorsque ledit degré d de la représentation compacte est égale à 2, ladite étape d'estimation délivre une estimation des paramètres f30 et f31 de la représentation compacte, telle que, en posant : Yo (Mo, A) = -71-4 + flo (Mo, à) + (Mo, A) on obtient les estimations suivantes : eo, A X2+ X) X4 ± où X = (Xi, i = 0, ...,9) sont des constantes et M = AM0. 4. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce qu'il comprend une étape deraffinement des constantes X, mettant en oeuvre une minimisation de la fonction de coût J(X) suivante, pour différentes valeurs de Mo et A, telles que Mo E .M'1, où .7t/r1 = [mien, mpax], et A E D1, OÙ D/ = [Amin, Amax] J(X) = E E M0, A, X)i 2 ('70(MO LI) - ô Mo, A, X)]2 Acr, 5. Procédé selon les revendications 3 et 4, caractérisé en ce que lesdits A paramètres angulaires Bi, pour 0 5 ti 5 A - 1, s'expriment sous la forme suivante : n- 1 ei = f (xi) = 7(1 - xi) + (2xi - [c(Mo) 1 d(tio)A + 2[(2xi 1)2 b( [a(Mo) + AIii0)1 où xi = 2i+2 X8 ± (Mo 6. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que, lorsque ledit degré d de la représentation compacte est égale à 3, ladite étape d'estimation délivre une estimation des 15 paramètres fo, fi et f2 de la représentation compacte, telle que, en posant : Yo (Mo, A) = + flo (Mo, + f 1(Mo, A) + )612 (Mo, A) on obtient les estimations suivantes : 1 (Mo, A, = Xm 2 + °' Xmo,3 Xm0,4A 1 P2 (M0, A, X) = X1110,5 + 4106 XM0,7 A où X = = 0,...,7) sont des constantes et M = AM0. et : a PM (X1 X2 X2 b tia c (X) X s + 'Po (Mo, A, X) = /11110,0 XM0,1 A 1 7. Procédé selon la revendication 6, caractérisé en ce qu'il comprend une étape de raffinement des constantes X, délivrant des constantes raffinées g = (2fri051, i = 0,...,7), mettant en oeuvre une minimisation de la fonction de coût J(X) suivante, pour différentes valeurs de A, telles que A E D1, Où Di = Amaxl J(X) aCr - A, X). 2 02(Mo, A) - â2(o, X)] 2 M 8. Procédé selon les revendications 6 et 7, caractérisé en ce que lesdits A paramètres angulaires 9i, pour 0 9. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que ledit système de transmission ou de codage est de type OFDM suréchantillonné, mettant en oeuvre un facteur de suréchantillonnage -mN tel que N > M, avec N = AN°, M = AM0, No = Mo + 1, et en ce que : pour un système de transmission : M représente le nombre de sous-porteuses et N le facteur d'expansion ou de décimation, ou pour un système de codage : M représente le facteur d'expansion ou de décimation et N le nombre de sous-bandes. 10. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que ledit système de transmission est de type MDFT, ou, de manière duale, ledit système de codage est de type banc de filtres modulé en cosinus, avec N = 2M, et en ce que : - pour un système de transmission : M représente le facteur d'expansion ou de décimation et N le nombre de sous-porteuses, ou - pour un système de codage : M le facteur d'expansion ou de décimation et N représente le nombre de sous-bandes. 11. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que ledit système de transmission est de type WOFDM ou, de manière duale, ledit système de codage est de type banc de filtres modulé en cosinus, et en ce que :pour un système de transmission : M représente le facteur d'expansion ou de décimation et le nombre de sous-porteuses, ou pour un système de codage : M représente le facteur d'expansion ou de décimation et le nombre de sous-bandes. 12. Dispositif de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, à partir d'un filtre prototype p, caractérisé en ce que ledit dispositif comprend un module de détermination des coefficients p[k] dudit filtre prototype p de longueur L égale N utilisant A paramètres angulaires Oi, pour 0 5 i A - 1 et A = N / M un entier relatif, exprimés à partir d'une fonction polynomiale f (x), encore appelée représentation compacte, telle que : d-1 f (x) = - 4 + t L f3kT2k (t) k=0 t = 2x - 1 avec : Tn(t) le polynôme de Chebyshev de degré n ; d le degré de la représentation compacte ; JO', les paramètres de la représentation compacte ; Oi = f (xi) avec xi = 2i+1 = cos + i] = sin O, pour 0 13. Programme d'ordinateur comportant des instructions pour la mise en oeuvre d'un procédé de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres selon la revendication 1 lorsque ce programme est exécuté par un processeur.