FR 2991092 A1 20131129 FR 1254869 A 20120525 Procédé de traitement de données pour transformer une première surface 3D adaptée pour revêtir un premier objet en une deuxième surface 3D adaptée pour revêtir un deuxième objet, programme d'ordinateur et dispositif de traitement associés. La présente invention concerne un procédé de traitement de données pour transformer une première surface 3D (3 dimensions), adaptée pour revêtir un premier objet et formée d'un maillage de premières surfaces élémentaires 2D (2 dimensions), en une deuxième surface 3D, adaptée pour revêtir un deuxième objet et formée d'un maillage de deuxièmes surfaces élémentaires 2D. De tels traitements de donnés sont par exemple utilisés pour, à partir d'un personnage, dit « personnage source », revêtu d'un vêtement, dit « vêtement source », et d'un autre personnage dit « personnage cible », de dimensions différentes du personnage source, déterminer un vêtement, dit « vêtement cible », correspondant au vêtement source, mais adapté aux dimensions du personnage cible, l'ensemble des personnages et vêtements cible/source étant définis par des données numériques. Dans un processus, notamment manuel, et requérant beaucoup de savoir-faire, les tailleurs adaptent un patron en 2D du vêtement en fonction des changements entre les personnages source et cible au niveau de distances clés : par exemple au niveau des hanches, de la taille, de la longueur des bras etc. Il existe des systèmes automatiques d'aide à l'adaptation (cf. par exemple MOORE. C., L. MULLET, K. K., and YOUNG, M. B. P. 2001, Concepts of Pattern Grading : Techniques for Manual and Computer Grading, Fairchild Books And Visuals), mais ils ne fournissent que certaines correspondances dans des tables et ne peuvent permettre de s'affranchir du recours au savoir-faire d'un tailleur. En outre, ils ne sont guère adaptés aux personnages virtuels, qui typiquement, ne sont pas conformes aux tables de dimensions de corps standards. Des techniques dites de « skinning » sont aussi utilisées pour adapter, en 3D, des vêtements réels ou virtuels : cf par exemple WANG. C. C. L., WANG. Y., and YUEN, M. M. F. 2005. Design automation for customized apparel products, Comput. Aided Des. 37, 675-691, ou WANG. C. C. L., C. HUI, K., and M. TONG. K. 2007, Volume parameterization for design automation of customized free-form products, submitted for IEEE Transactions on Automation Science and Engineering 4, 11-21). Cependant, comme indiqué dans MENG. Y., WANG. C. C., and JIN. X. 2012, flexible shape control for automatic resizing of apparel products, Computer-Aided Design 44, 1, 68-76, ces techniques altèrent significativement les formes de vêtements lâches, et dégradent à la fois la conformité au modèle initial et la vraisemblance du vêtement adapté. Par ailleurs, pour simplifier la création de contenu 3D virtuel, il existe des techniques de transfert et de redimensionnement pour différents types de données, par exemple pour des textures et détails géométriques, des déformations ou encore des animations... Notamment, des techniques de transfert de géométrie et déformation utilisent une notion de préservation de forme (cf. par exemple BEN-CHEN M., WEBER O., and GOTSMAN, C. 2009, Spatial deformation transfer, Eurographics/ ACM SIGGRAPH Symposium on Computer Animation). Pour redimensionner de façon réaliste des modèles d'objets manufacturés, une technique (KRAEVOY. V., SHEFFER. A., COHEN-OR. D., and SHAMIR. A. 2008, Non-homogeneous resizing of complex models, ACMTrans. Graph, 111) minimise les changements des normales de surface. Cette méthode, toutefois, ne donne pas de résultats satisfaisants dans le transfert de vêtements virtuels ou réels, du fait notamment de compromis à prendre en compte entre les contraintes de proportionnalité, vraisemblance et forme. Il est par conséquent besoin d'une technique, dite de transfert ou de calibration, qui définisse un revêtement qui convienne aux proportions d'un objet de support, par exemple un personnage virtuel ou d'une personne réelle, à partir d'un revêtement initial servant de modèle, qui, lui, est adapté aux proportions d'un autre objet de support, ie un autre personnage virtuel ou personne réelle, et qui soit notamment satisfaisant lorsque le revêtement comporte un vêtement. A cet effet, suivant un premier aspect, l'invention propose un procédé du type précité, caractérisé en ce qu'il comprend une étape de traitement itérative selon laquelle on détermine les transformations des premières surfaces élémentaires, en des deuxièmes surfaces élémentaires respectives, mettant en oeuvre de façon itérative les étapes selon lesquelles : a/ lors d'une (k+1)ème étape d'itération courante, k étant un entier supérieur ou égal à 0, pour chacun d'une pluralité de couples comprenant une première surface élémentaire et une deuxième surface élémentaire issue d'une transformation de la première surface élémentaire et ayant été obtenue à l'itération précédente k, on détermine la projection de ladite deuxième surface élémentaire sur le plan de ladite première surface élémentaire, et on définit une matrice Tkt+i de transformation courante 2D pour ledit couple, avec Tkt+i = Pkt( Pt)1 et Pt = n+1 1 rn n , i=1 à n, Pkt = [P'n+1,k i=1 à n où p, , pour i=1 à n, sont les sommets de la première surface élémentaire t du couple et p', est obtenu par décalage du sommet pl par un vecteur normal de norme donnée à ladite première surface ; où (P)-1 est l'inverse de la matrice Pt quand les premières surfaces élémentaires sont des triangles et est une matrice pseudo-inverse de la matrice Pt sinon. ; où p',,k , pour i=1 à n, sont les sommets de ladite projection de la deuxième surface élémentaire et n n+1 ,k est obtenu par décalage du sommet p',,k dudit vecteur normal ; b/ on détermine les deuxièmes surfaces élémentaires obtenues pour la (k+1)è" itération, en tant que celles minimisant une fonction comportant au moins le terme Eshape k+1 = 11 pktri (pt 2 T kt +1 11 , où S est un ensemble de deuxièmes surfaces élémentaires déterminées à l'étape k+1 ; Tkt+i sont les matrices de transformation définies à l'étape a/ de la (k+1)ème itération ; :13kt +1 = [15 n+1,k+1 .15 i,k+1] i=1,.,n ; OÙ , pour i=1 à n, sont les sommets de la deuxième surface élémentaire ik±i telle que déterminée à la (k+1)ème itération et ird n+1,k+1 est obtenu par décalage du sommet P1,k+1 par un vecteur de ladite norme donnée normal à ladite deuxième surface élémentaire ik±i Un procédé selon l'invention donne des résultats très satisfaisants relativement à des données définissant des vêtements à calibrer en fonction des dimensions des personnages destinés à les porter, mais également à tout type d'élément surfacique destiné à revêtir des structures de dimensions diverses, par exemple une chaussure, un chapeau ou un sac sur un modèle de personnage, ou une enveloppe (en papier, en plastique ou autre) autour d'un objet quelconque à redimensionner. Dans des modes de réalisation, le procédé suivant l'invention comporte en outre une ou plusieurs des caractéristiques suivantes : - le procédé comprend les étapes suivantes mises en oeuvre pour chaque sommet d'une première surface élémentaire lors d'une étape d'initialisation du traitement itératif, afin de définir une deuxième surface élémentaire pour ladite première surface élémentaire, les premier et deuxième objets étant chacun définis par des données définissant des points d'os d'un squelette d'animation d'objet et des points d'enveloppe d'objet, une fonction d'isomorphisme établissant une correspondance entre lesdits points du premier objet et lesdits points du deuxième objet : i/ on détermine une paire de points pour chaque os d'une pluralité d'os du squelette du premier objet, comportant un premier point déterminé comme étant le point dudit os le plus proche du sommet et comportant un deuxième point déterminé comme étant le point de l'enveloppe du premier objet situé dans le segment joignant le sommet et ledit premier point, et étant le plus proche dudit sommet ; ii/ on sélectionne parmi lesdites paires déterminées pour des os respectifs, au moins une paire, dite paire de premier et deuxième points de référence pour ledit sommet de la première surface élémentaire, ladite paire sélectionnée correspondant à un minimum d'une fonction comportant comme variables la distance entre ledit sommet de la première surface élémentaire et le deuxième point de référence d'une paire et le produit scalaire entre un vecteur unitaire colinéaire à l'os, et le vecteur joignant ledit sommet et le premier point de la paire ; iii/ on définit un sommet de la deuxième surface élémentaire en fonction du point résultat de l'application de la fonction d'isomorphisme au deuxième point de référence, ledit point résultat étant ensuite décalé d'un vecteur parallèle à celui rejoignant les deux points résultats de l'application de la fonction d'isomorphisme au premier et au deuxième points de référence, la norme dudit vecteur étant fonction de la norme du vecteur joignant ledit sommet de la première surface et le deuxième point de référence ; 2 - à l'étape ii/, ladite fonction représentant la norme est égale à Ilp'' pi 11x e 62 où a est une valeur constante, pm est le deuxième point d'une paire, p, est ledit sommet de la première surface, vb est le vecteur unitaire colinéaire à l'os, et le v est le vecteur joignant ledit sommet et le premier point de la paire ; - à l'étape iii/, le sommet de la deuxième surface est défini comme étant égal à Pin + pm,pi .Vbrn, pi étant ledit sommet de la première surface élémentaire ; j5', étant le point résultat de l'application de la fonction d'isomorphisme au deuxième point de référence ; vb, étant un vecteur unitaire parallèle au segment u5b , j5', 1, Pb étant le point résultat de l'application de la fonction d'isomorphisme au premier point de référence ; - si deux paires de référence sont sélectionnées à l'étape iii, le sommet de la deuxième surface est défini comme étant égal à w + w -1. r - -2- i2 avec wl et w2 supérieurs à 0 et \nt, + w2= 1 et Pi2 = Pm2 Pm2V, pi bm2 ; p étant ledit sommet de la première surface élémentaire ; y5',' étant le point résultat de l'application de la fonction d'isomorphisme au deuxième point de référence de la nème paire de référence, n = 1 ou 2 ; Vbmn étant un vecteur unitaire parallèle au segment [ - pbn mn ]115 bn est le point résultat de l'application de la fonction d'isomorphisme au premier point de référence de la nème paire de référence ; - wl - arctan((5*(z 2 où z est la coordonnée de la projection du sommet p, sur le segment reliant les deux points de référence pg, et pg2, en considérant pg, comme le point de coordonnée nulle ; - à l'étape b/, la fonction à minimiser comporte au moins Esbape k+1 Erl k+1 avec Erl 2 + k±i = ( 2 ) I T1,1 Pi,k+le Tk+1 où T est un ensemble de deuxième surface élémentaire ik±i déterminées à l'itération k+1 ; chaque pi o est un sommet de deuxième surface élémentaire défini en iii/ pour un sommet p, d'une première surface élémentaire ; a, est une valeur qui est constante pour les sommets ,,k+1 d'une même deuxième surface élémentaire ik±i ; db est le vecteur unitaire colinéaire à l'os pour lequel la paire sélectionnée de premier et deuxième points de référence a été déterminée, et, dg étant le vecteur unitaire colinéaire à (pb, Po), le vecteur unitaire dt est égal au produit vectoriel des vecteurs db et dg ; - les valeurs de a, pour des surfaces élémentaires dans des zones ajustées de la surface sur l'objet sont choisies dans la plage [0,10] ; - les valeurs de a, sont choisies dans la plage [10 ; +.0 ] dans les autres zones de ladite surface ; - à l'étape b/, la fonction à minimiser comporte au moins Eshape k+1 Efit k+15 avec Efit k+1 = N 2 tk+IEF où [3 est une constante F est un ensemble de deuxième surface élémentaire ik±i déterminées à itération k+1 et situées dans des zones ajustées de la surface sur l'objet, lesdites deuxièmes surfaces élémentaires déterminées comme se trouvant dans F étant alors supprimées de l'ensemble S ; chaque /-5, 0 est un sommet de deuxième surface élémentaire défini en iii/ pour le sommet p, d'une première surface élémentaire ; db est le vecteur unitaire colinéaire à l'os pour lequel la paire sélectionnée de premier et deuxième points de référence à été déterminée, et, dg étant le vecteur unitaire colinéaire à (pb, pi o ), le vecteur unitaire dt est égal au produit vectoriel des vecteurs db et dg ; - [3 est une constante choisie dans [10 ; +.0 ]. Suivant un deuxième aspect, la présente invention propose un programme d'ordinateur à installer dans un dispositif de traitement de données pour transformer une première surface 3D, adaptée pour revêtir un premier objet et formée d'un maillage de premières surfaces élémentaires 2D, en une deuxième surface 3D, adaptée pour revêtir un deuxième objet et formée d'un maillage de deuxièmes surfaces élémentaires 2D, ledit programme comprenant des instructions pour mettre en oeuvre les étapes d'un procédé selon le premier aspect de l'invention, lors d'une exécution du programme par des moyens de calcul dudit dispositif. Suivant un troisième aspect, la présente invention propose un dispositif de traitement de données pour transformer une première surface 3D, adaptée pour revêtir un premier objet et formée d'un maillage de premières surfaces élémentaires 2D, en une deuxième surface 3D, adaptée pour revêtir un deuxième objet et formée d'un maillage de deuxièmes surfaces élémentaires 2D, ledit dispositif de traitement étant adapté pour déterminer des transformations des premières surfaces élémentaires en des deuxièmes surfaces élémentaires respectives et comprenant : un superviseur adapté pour faire opérer itérativement un ensemble de modules comprenant un premier module de mise à jour et un deuxième module de mise à jour ; le premier module de mise à jour adapté pour, lors d'une (k+1)ème opération d'itération, k étant un entier supérieur ou égal à 0, pour chacun d'une pluralité de couples comprenant une première surface élémentaire et une deuxième surface élémentaire issue d'une transformation de la première surface élémentaire et ayant été délivrée par le deuxième module de mise à jour suite à la kème opération itérative du superviseur, déterminer la projection de ladite deuxième surface élémentaire sur le plan de ladite surface élémentaire respective, et définir une matrice Tkt+i de transformation courante 2D pour ledit couple, pkt,(p)-1 et Dot avec Tkt_ri = [Pn+1 - Pi] i=1 à n, Pkt = [P'n+1,k i=1 à n ; Où Pi , pour i=1 à n, sont les sommets de la première surface élémentaire t d'un couple et pn+, est obtenu par décalage du sommet pl par un vecteur normal à ladite première surface, de norme donnée ; où (P)-' est l'inverse de la matrice Pt quand les premières surfaces élémentaires sont des triangles et est une matrice pseudo-inverse de la matrice Pt sinon ; où p'i,k pour i=1 à n, sont les sommets de ladite projection de la deuxième surface élémentaire et n est obtenu par décalage du sommet p',,k dudit vecteur normal ; - le deuxième module de mise à jour adapté pour, lors d'une (k+1)è" opération itération par le superviseur, k étant un entier supérieur ou égal à 0, déterminer les deuxièmes surfaces élémentaires obtenues pour la (k+1)ème itération, en tant que celles minimisant une fonction comportant au moins le terme 11 Pkt+i (Pt )-1 -Tkt+1112 , où Tk+1 sont les matrices de transformation définies par le premier module lors de la (k+1)ème opération d'itération par le superviseur ; avec Î5 T k+1 n+1,k+1 L=1 .,n Où , pour i=1 à n, sont les sommets de la deuxième surface élémentaire du couple telle que déterminée à la (k+1)ème itération et ird n+1,k+1 est obtenu par décalage du sommet r5 r 1,k+1 par un vecteur normal à ladite deuxième surface, de norme donnée. Ces caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture de la description qui va suivre, donnée uniquement à titre d'exemple, et faite en référence aux dessins annexés, sur lesquels : - la figure 1 représente un dispositif dans un mode de mise en oeuvre de l'invention ; - la figure 2 représente des étapes d'un procédé selon l'invention ; - la figure 3 représente des étapes d'un procédé selon l'invention ; - la figure 4a représente des personnages source et cible, et un vêtement source dans un mode de réalisation d'un procédé selon l'invention ; la figure 4b représente le vêtement cible après la mise en oeuvre de l'étape 202 représentée en figure 3 ; la figure 4c représente le vêtement cible final obtenu dans un mode de réalisation de l'invention ; la figure 5 représente un même vêtement dont la forme a été adaptée à deux personnes de mensurations différentes. Sur la figure 1 est représenté un dispositif 1 dans un mode de réalisation de l'invention, comprenant un microprocesseur 2, une mémoire 3, un contrôleur 4, un premier module de rangement 5, un deuxième module de traitement 6 et un superviseur 7. Dans un mode de réalisation, il comprend en outre un écran 8 de visualisation. Le dispositif 1 est adapté pour stocker dans sa mémoire 3, des données de définition d'une surface source 3D, référencée Ss, et d'un objet source 3D, référencé Os, tels que la surface source Sc est adaptée pour « habiller » la surface extérieure de l'objet source Os. Le dispositif 1 est adapté pour stocker en outre dans sa mémoire 3, des données de définition d'un objet cible 3D, référencé Oc, et une fonction d'isomorphisme Fcross permettant de faire la correspondance entre un point de l'objet source Os et un point de l'objet cible Oc, supposée connue (cf. par exemple SHEFFER A., PRAUN E., and ROSE, K. 2006, Mesh parameterization methods and their applications, Found. Trends. Comput. Graph. Vis. 2, 105-171, ou CHANG. Y.-T., CHEN. B.-Y., LUO. W.-C., and HUANG, J.-B, volume parameterization, in Proceedings of Computer Graphics International 2006, 7889) ou les méthodes consistant à utiliser une déformation du même maillage pour représenter la géométrie des objets source et cible. La mémoire 3 du dispositif 1 comprend en outre un programme d'ordinateur P, comportant des instructions logicielles qui, lorsqu'elles sont exécutées sur le microprocesseur 2 sous la supervision du contrôleur 4, mettent en oeuvre des étapes décrites ci-dessous. Le dispositif 1, par la mise en oeuvre de ces étapes, est adapté pour déterminer des données de définition d'une surface cible 3D, référencée Sc, adaptée pour habiller l'objet cible Oc. Dans le mode de réalisation considéré ci-dessous, les données définissant l'objet source Os sont des données définissant des points du squelette d'animation et des points de la peau d'un premier personnage. Les données définissant l'objet cible Oc sont également des données définissant des points du squelette et de la peau d'un deuxième personnage, dont la morphologie peut être très différente de celle du premier personnage. Dans le mode de réalisation considéré ci-dessous, la surface source Ss correspond à un vêtement habillant l'objet source Ss et est une surface composée de triangles dits « triangles source » maillés entre eux. Chaque triangle est défini par ses trois sommets. De même, la surface cible Sc cherchée correspond à un vêtement habillant l'objet cible Sc et est une surface composée de triangles dits « triangles cible» maillés entre eux. Un équilibre entre différents critères est à prendre en compte pour une opération de transfert satisfaisante, ces critères étant notamment la préservation de la forme du vêtement initial, de la position relative et de l'ajustement entre le vêtement et le personnage, du caractère manufacturable du vêtement, et de non-collision. Le critère de préservation de la forme du vêtement initial permet de maintenir le rendu global du vêtement initial. Par exemple, une jupe droite doit rester une jupe droite après transfert, de même pour un jean évasé. En référence à la figure 5 qui représente un même vêtement dont la forme a été adaptée à une mère et à sa fille, des changements importants dans la géométrie, autres qu'une simple mise à l'échelle, sont nécessaires pour s'adapter aux changements de proportions tout en maintenant les directions normales aux différentes sections du vêtement. La proportionnalité, ou l'augmentation ou réduction de taille, nécessite qu'un vêtement transféré respecte la position relative du vêtement par rapport aux membres et au corps du personnage. Par exemple, une jupe au genou doit rester à longueur du genou indépendamment d'un changement de hauteur du personnage, une ligne de taille d'une robe doit rester au niveau de la taille, et un zip latéral doit rester sur le côté. Le critère de préservation de l'ajustement reflète le maintien de la distance locale entre le vêtement et le personnage qui le porte. Il peut y avoir concurrence entre ce critère et le critère de préservation de la forme, car cette distance doit parfois être modifiée, notamment dans les zones non serrées (i.e. distances entre le vêtement et le personnage supérieures à un seuil représentant l'épaisseur du tissu), pour préserver la forme. Les vêtements sont fabriqués à partir de panneaux plans de tissu. Le critère de caractère manufacturable prend en compte que le tissu a une étirabilité limitée. Enfin, dans l'application à des transferts de vêtements entre des personnages virtuels, il faut veiller à modifier la surface du vêtement afin d'éviter des collisions avec le corps du personnage ou des interpénétrations entre des couches distinctes de vêtement sur le personnage. Dans un mode de réalisation, en référence aux figures 1 et 2, les premier et deuxième modules 5,6 et le superviseur 7 sont adaptés pour mettre en oeuvre des étapes décrites ci-dessous à la figure 2, suite à l'exécution d'instructions logicielles du programme P sur le microprocesseur 2. Dans une opération 200 de transformation dite « transformation autant que possible en 2D », des étapes 201 à 204 sont mises en oeuvre pour la calibration de la surface source Ss à destination de l'objet cible, définissant itérativement une surface cible Sc. Dans une étape 201, pour chaque triangle t de la surface source Sc, si on nomme Pi, P2, P35 les sommets du triangle t, on définit une matrice Pt, de taille 3*3, représentant un repère local au triangle t : Pt = (o4-Pl, P4-P2, p4-p3), où o4= pl + n , et n est le vecteur unitaire normal au triangle t. Ce repère représente le triangle t en ce qu'il définit son plan, la longueur de ses trois côtés et les angles que ces côtés font entre eux, mais sans prendre en compte la position du triangle dans l'espace. Dans une étape 202 d'initialisation TO (k = 0), on initialise les coordonnées de départ des sommets des triangles de la surface cible Sb, en fonction de la surface source Ss et d'au moins l'objet cible. Il existe un, et un seul, triangle cible pour un triangle source t. Cette initialisation est optionnellement fonction également de l'objet source. Un mode de réalisation de cette initialisation est décrit plus bas. Pour chaque triangle source t, les coordonnées du triangle cible lui correspondant à l'initialisation sont j31,0, p2,0 et i33,0 Dans une étape 203 itérative, on va chercher à modifier aussi peu que possible la normale d'un triangle cible t (le triangle t est le résultat de la transformation du triangle t) par rapport à la normale du triangle source t lui correspondant, par la minimisation de la formule suivante : Eshape = Pt (Pt )-1 -Tt Ir, (Form 1) où 11.0F est une norme de matrice, par exemple la norme de Frobenius ; la somme = porte sur chaque triangle t de la surface source Ss. est la matrice 3*3 égale à[= b h 4 = 1' = 4 p2 = h 4 y53], où y5i, /52 p3 sont les sommets du triangle cible t issus de la transformation du triangle source t lui correspondant, et p4= p-1+ h, et h est le vecteur unitaire normal au triangle cible t ; représente le repère local obtenu après la transformation du triangle t en t ; (P`)-1 est la matrice inverse de Pt (Pt )-1 représente la transformation entre le triangle source t et le triangle cible correspondant ; et T` est une transformation correspondante qui est contrainte à être une transformation en 2D, dans le plan du triangle t. Pour résoudre ce problème de minimisation, une technique itérative des moindres carrés est utilisée, qui alterne entre la mise à jour de chaque transformation T t , en gardant Pt fixé, et la mise à jour de Pt en considérant fixée cette fois les transformations T t . La valeur obtenue pour la formule Form décroît entre deux itérations successives, ce qui assure la convergence de l'étape 203. L'étape 203 comprend les sous-étapes 203_a et 203_b mises en oeuvre lors d'une (k+1)è" itération, avec k entier supérieur ou égal à 0. On nomme 1,k 2,k 3,k les sommets du triangle cible ik issus de la transformation du triangle t tels que déterminés à la kème itération de l'étape 203. Il existe un triangle cible ik pour chaque triangle source t. Cette transformation est définie par la matrice 15kt (Pt )-1 , où 15k = [134,k i31,k :134,k :132,k :134,k :133,k] , où 134,k = 131,k + nk , et iîk est le vecteur unitaire normal au triangle cible ik déterminé à la kème itération. Une matrice de transformation correspondante 2D T kt a également été déterminée pour chaque triangle t à l'issue de la kème itération de l'étape 203. Lors d'une étape d'itération courante k+1, au cours de la sous-étape 203_a mise en oeuvre par le premier module du dispositif 1, la matrice de transformation correspondante 2D Tkt+1 déterminée pour chaque triangle source t. A cette fin, on réalise la projection de chaque triangle cible ik déterminé à l'itération k sur le plan du triangle source t correspondant : = Pt,k - ii` où est le vecteur unitaire normal au triangle t, où la fonction représente le produit scalaire et i = 1 à 3. Le repère local issu de cette projection est Pak = [19' 4,k 191,k '19 4,k 19 2,k '19 4,k 193,k J OÙ 19 4,k = 19' 1,k + 1i , et n est le vecteur unitaire normal au triangle source t. On détermine alors la matrice de transformation correspondante 2D Tkt+1 pour le triangle t : Tk+1_ pak (pt )-1 Lors de l'itération courante k+1, de la sous-étape 203_b mise en oeuvre par le deuxième module, sur la base des matrices Tkt+1 ainsi déterminées pour les triangles sources t, on met à jour le triangle cible pour chaque triangle source t. A cette fin, on détermine les triangles cibles permettant la minimisation du terme suivant, issu de la formule (Form 1) : Ek+1 = Eshape k+1 = 15 kt+1(Pt ) Tic+1 (Form 1k+1) OÙ Pkt±i = ri34,k+1 /31,k+1,:i34,k+1 /32,k+1, /34,k+1 /33,k+1] , OÙ /34,k+1- Pl,k+1+ iîk+1 iîk+1 étant le vecteur unitaire normal au triangle cible ik±i . Cette somme porte sur tous les triangles t de la surface source (ou encore tous les triangles cibles, chaque triangle cible correspondant à un triangle source), ou uniquement sur ceux vérifiant une condition donnée, comme indiqué plus loin. Les matrices Tkt+1 étant connues, la détermination des sommets /33,k+i des triangles cibles ik±i t minimisant l'équation quadratique (Form 1k+1) se réduit à la résolution d'un simple système linéaire. Dans un mode de réalisation, puisque les positions des sommets du triangle cible déterminé pour chaque triangle source ne varient pas significativement d'une itération à l'autre, on utilise une résolution de type gradient conjugué, avec les positions déterminées à l'itération k comme conditions initiales. Dans une étape 204 mise en oeuvre par le superviseur 7, une condition d'arrêt des itérations est vérifiée : si la valeur obtenue pour le terme Ek+1 est inférieure à un seuil fixé dmax, les itérations sont stoppées, la surface cible Sc finale considérée étant alors celle constituée par le maillage des triangles cibles ik±i . Sinon, une nouvelle itération de l'étape 203 est mise en oeuvre. Une telle opération 200 permet de conserver au mieux la forme du vêtement lors de sont transfert entre les personnages, ainsi que son caractère manufacturable. Dans un mode de réalisation, l'étape 202 d'initialisation est réalisée de la manière décrite ci-dessous, en référence à la figure 3, et peut être considérée comme une extension d'un processus de type "smooth skinning", dans lequel les combinaisons de positions constantes dans les références du squelette seraient remplacées par des combinaisons de vecteurs de décalage constants définis à partir d'un ensemble de points de référence choisis de façon adéquate sur l'objet source Os. Ainsi chaque sommet p, d'un triangle t de la surface source Ss va être associé à une paire de points de référence (Pb, pm) situés respectivement sur un os du squelette et sur la peau du personnage source. Il a été déterminé par la demanderesse que sélectionner le point sur la peau le plus proche du sommet p,, comme suggéré par CORDIER. F., SEO. H., and MAGNENATTHALMANN, N. 2003, Made-to-measure technologies for an online clothing store, IEEE Computer Graphics and Applications 23, 38-48 ; ou MENG. Y., WANG. C. C., and JIN. X. 2012, Flexible shape control for automatic resizing of apparel products, Computer-Aided Design 44, 1, 68-76, n'est pas nécessairement le meilleur choix, car cela occasionne des phénomènes de glissement du vêtement le long du corps du personnage cible. Selon l'invention, dans cette étape 202 d'initialisation, les paires de points de référence choisies correspondent à des minima locaux d'une fonction exprimant la distance au personnage source qui privilégie les directions perpendiculaires à l'os local. Ainsi dans une sous-étape 202 a, pour chaque sommet p,, on détermine le(s) point(s) pb, le(s) plus proche(s) de p, sur chaque os j (j = 1 à J) du squelette de l'objet source (on notera que pb peut être une extrémité d'un os). Pour chaque os j, on définit pm, comme étant le point de la peau du personnage source le plus proche du sommet et situé sur le segment [pb, , p, ]. Un tel point pm, existe forcément, puisque pb, est à l'intérieur, et que p, est à l'extérieur, de la peau du personnage source. Pour sélectionner une paire de points de référence pour un sommet pg, on considère à la fois la distance entre p, et chacune des intersections pm, (j = 1 à J) et également l'angle entre l'axe de l'os vb, et le vecteur v=p,-pb,, car il est préféré que ces deux vecteurs soient perpendiculaires. Ainsi, une paire (Pb, pm) parmi les paires (pbp !Dm) est ainsi sélectionnée comme référence pour le sommet p, si elle minimise la formule suivante : 2 pnv,pillxe 62 , où a est une valeur constante, par exemple égale à 0,1. Dans la plupart des cas, un seul minimum existe. Lorsqu'il existe deux solutions donnant un minimum égal ou très proche, les deux paires correspondantes sont associée au sommet p, : c'est typiquement le cas dans les zones entre les jambes du personnage ou sous les bras. En outre, pour chaque paire (Pb, pm) sélectionnée comme référence pour le sommet p,, on associe en outre le décalage o, = pm, pl au sommet p,. On notera que dans d'autres modes de réalisation, la formule à minimiser prend d'autres formes, par exemple également fonction de , pi et du produit scalaire (vbj ,11) . Dans une sous-étape 202 b, pour chaque paire de points de référence (Pb, pm) ainsi sélectionnée pour un sommet p,, on détermine la paire de points de référence correspondante (1-5b , j5', ) sur l'objet cible Oc en appliquant la fonction d'isomorphisme Fcross pb=Fcross(pb) et pm= Fcross(pm) (Eq 1) Puis, dans une sous-étape 202 c, on définit un sommet pi 0 de la surface cible Sc pour chaque sommet p, de la surface source Ss, qui sera considéré ensuite lors de l'étape d'initialisation 202 comme un sommet du triangle cible correspondant au triangle source t : pour chaque sommet p, d'un triangle t de la surface source auquel est associée une seule paire de points de référence (Pb, pm), on définit pi3O : = Pm + oi.vbm, (Eq 2) où vbm est un vecteur unitaire parallèle au segment [ Pb , j5', Pour chaque sommet p, d'un triangle t de la surface source auquel sont associées deux paires de points de référence ln n 1 et ln n 1 on obtient, à l'aide de des ,,b1, ,-mi, ,,b2, ,m2,, équations (Eq 1) et (Eq 2) appliquées successivement à chacune des deux paires, pi3O,1 et Pi 0,2 ( 15/,0,n = Fcross(P m,n) segment [Fcross(Pbn), Fcross(Pmn)15 et n = 1 à 2) ; on définit pg0 à l'aide d'une somme pondérée de D i,s,1 et 5i3O,2 = W1' Pi,0,1 w2. Pi,0,2 avec wl - arctan((5* 2 où z est la coordonnée de la projection du sommet p, sur le segment reliant les deux points de référence pb, et pb2, en considérant pb, comme le point de coordonnée nulle ; et w2 = 1 - wl. Une telle étape 202 permet de générer une version qui se base sur une mise à l'échelle proportionnelle à partir de la surface source, et qui satisfait les critères de -1pm,, pvbm où vbm est un vecteur unitaire parallèle au préservation d'ajustement et de position relative (le critère de préservation de la forme étant lui pris en compte dans l'étape 203). A titre d'illustration, sur la figure 4a, un personnage, objet source Os,, revêtu d'un vêtement Ss,, ainsi qu'un personnage Oci, objet cible sont représentés. Sur la figure 4b, le personnage Oc,, objet cible, a été représenté revêtu du vêtement cible Sc' obtenu après mise en oeuvre de l'étape 202 détaillée ci-dessus en référence à la figure 3. Les bordures du vêtement et autres zones caractéristiques ont bien gardé leur position relative par rapport au corps et aux membres du personnage qui le porte, tandis que l'utilisation des décalages o, préserve l'ajustement, en prenant en compte les changements dans la forme des corps des personnages. Sur la figure 4c, le personnage Oci, objet cible, a été représenté revêtu du vêtement cible Sc12 obtenu après mise en oeuvre de l'étape 200, en prenant comme vêtement cible d'initialisation le vêtement cible Sc,,. Dans un mode de réalisation, on prend en compte dans l'étape 203 pour la (k+1) ème itération, outre le critère de préservation de la forme, le critère de préservation de la position relative et/ou de l'ajustement. Pour ce faire, on considère un repère local défini par la relation entre chaque sommet d'initialisation pi 0 déterminé pour un sommet p, d'un triangle t de la surface source Ss et le point de référence Pb, sur le squelette, déterminé pour le sommet p, (cf. étapes 202_a à 202_c). Ce repère comprend le vecteur unitaire db parallèle à l'os correspondant à la paire de points de référence sélectionnée à la sous-étape 202 a, le vecteur unitaire dq colinéaire à (Pb, ), et le vecteur unitaire dt égal au produit vectoriel des vecteurs db et dq (par construction dq est orthogonal à db). Pour mieux prendre en compte la préservation de la position relative, à l'étape 203_b de la (k+1)ème itération, on considère le terme Eri k±i correspondant à une somme de deux termes déterminés pour tous les triangles cibles tk+, : Erl_k+1 = ai( 2 2) (Form 2k+1) /1,1 k+1. 7k, Les deux termes de cette somme ont pour but d'empêcher le vêtement de glisser ou de tourner sur le squelette lors du transfert. Pour des sommets intérieurs (par opposition à ceux placés sur le bord d'une partie du vêtement) situés dans des régions lâches, une valeur faible est utilisée pour a, (par exemple choisie dans l'intervalle 10,10], et égale dans un mode de réalisation à 0,5), favorisant la préservation de la forme aux dépens d'imprécisions mineures dans la préservation des positions relatives. Le long de frontières et de coutures du vêtement (où toute torsion ou déplacement du vêtement serait vraiment mis en évidence), de même que dans les régions serrées, une valeur élevée est utilisée pour a, (par exemple choisie dans l'intervalle [10, +.0], et égale dans un mode de réalisation à 1000). Etant donné que la préservation de la position relative n'impose aucune contrainte sur la distance entre le corps du personnage et le tissu, dans un mode de réalisation, on ne fixe pas de contrainte relative à la composante de 1-5, k±i 0 alignée avec dq. Dans un mode de réalisation, pour mieux prendre en compte l'ajustement dans les régions serrées, le terme de localisation relative est augmenté avec un terme d'ajustement Efit k+1, contraignant explicitement la distance correspondante : Efit k+, = 2 (Form 3k+1) Pi,k+le 7k+1 où l'ensemble F comporte les triangles cibles situés dans les régions serrées (ou encore les triangles cibles correspondant chacun à un triangle source situé dans une région serrée) ; et où la valeur constante de [3 est choisie dans l'intervalle [10, +.0], et est par exemple dans un mode de réalisation égale à 1000. Ainsi dans un mode de réalisation, à l'étape 203 b, pour déterminer les triangles cibles ik±i , à la place de minimiser Eshape k+15 on minimisera Ek±i = Eshape k+1+ Erl k+1 Efit k+1 (ou alors si seul l'un des deux critères supplémentaires est pris en compte, on minimisera Ek+1 = Eshape k+1+ Erl k+1)- Dans le cas où on prend en compte Efit k+1 dans Ek+1, , on ne prend pas en compte les triangles éléments de l'ensemble F dans les termes de Eshape k+1 parce que dans ce cas, il n'y a pas de raison de préserver les normales à ces triangles. Etant donné le degré de liberté procuré par la variation de la distance au corps du personnage objet cible, il est ainsi possible de préserver simultanément la forme et la localisation relative dans les régions ajustées. Dans un mode de réalisation, les triangles sources identifiés comme faisant partie d'une région serrée du vêtement source sont sélectionnés comme ceux séparés d'une distance au corps qui est inférieure à un seuil donné. Ce critère peut être problématique quand le courbe du corps croît de manière significative entre les personnages source et cible. Dans ce cas, préserver l'aspect serré peut augmenter la courbe gaussienne du vêtement rendant la fabrication du vêtement improbable. Dans un autre mode de réalisation, une technique de relâchement sélectif est mise en oeuvre, relâchant l'ajustement dans des zones où la normale aux points de vêtement source pointe vers le bas ou latéralement. Est alors élément de l'ensemble F tout triangle cible tel que tous les sommets du triangle source correspondant sont situés en-deçà d'une distance seuil déterminée du corps du personnage source, la normale du triangle source pointant vers le haut du personnage. Dans un mode de réalisation, afin d'empêcher des collisions entre le vêtement cible déterminé itérativement à l'étape 203 et le corps du personnage cible, on impose en outre que le produit scalaire des vecteurs /5,,k+, - pin et dg soit supérieur à une valeur minimale fixée c (typiquement, on prend pour c la plus petite distance entre le vêtement source et la peau du personnage source, égale en général à l'épaisseur supposée du tissu), soit Lorsque les surfaces élémentaires ne sont pas des triangles, (P)-1 est pseudo- inverse de la matrice P. Les étapes et critères décrits ci-dessus selon l'invention sont relatifs aux opérations de définition d'un vêtement adapté à des dimensions d'un personnage cible à partir d'un vêtement servant de modèle adapté à un personnage source. Ils sont bien sûr tout à fait transposables à des opérations de transfert d'une surface recouvrant un objet source vers un objet cible de dimensions autres que l'objet source, les surfaces et objets étant de nature quelconque, par exemple autres que des habits sur des personnages. Les points de la peau sont alors remplacés par les points du maillage de l'objet et les points du squelette d'animation par les points d'un squelette interne au maillage de l'objet, par exemple type axe médian. Un procédé selon l'invention permet des redimensionnements très vraisemblables, tout en évitant la nécessité d'intervention de l'utilisateur (processus automatique). REVENDICATIONS1.- Procédé de traitement de données pour transformer une première surface 3D (Se) adaptée pour revêtir un premier objet (Os) et formée d'un maillage de premières surfaces élémentaires 2D en une deuxième surface 3D (Sc) adaptée pour revêtir un deuxième objet (Oc) et formée d'un maillage de deuxièmes surfaces élémentaires 2D, ledit procédé étant caractérisé en ce qu'il comprend une étape de traitement itérative selon laquelle on détermine les transformations des premières surfaces élémentaires, en des deuxièmes surfaces élémentaires respectives, mettant en oeuvre de façon itérative les étapes selon lesquelles : a/ lors d'une (k+1)ème étape d'itération courante, k étant un entier supérieur ou égal à 0, pour chacun d'une pluralité de couples comprenant une première surface élémentaire et une deuxième surface élémentaire issue d'une transformation de la première surface élémentaire et ayant été obtenue à l'itération précédente k, on détermine la projection de ladite deuxième surface élémentaire sur le plan de ladite première surface élémentaire, et on définit une matrice Tkt_ri de transformation courante 2D pour ledit couple, pkt,(p)-1 et Dot r' avec Tkt_ri = 11-ln+1 - Pi] i=1 à n, Pkt = [P'n+1,k i=1 à n ; OÙ Pi , pour i=1 à n, sont les sommets de la première surface élémentaire t du couple et pn+, est obtenu par décalage du sommet pl par un vecteur normal de norme donnée à ladite première surface ; où (P)-' est l'inverse de la matrice Pt quand les premières surfaces élémentaires sont des triangles et est une matrice pseudo-inverse de la matrice Pt sinon ; où p'i,k , pour i=1 à n, sont les sommets de ladite projection de la deuxième surface élémentaire et n r-'n+1,k est obtenu par décalage du sommet p',,k dudit vecteur normal ; b/ on détermine les deuxièmes surfaces élémentaires obtenues pour la (k+1)ème itération, en tant que celles minimisant une fonction comportant au moins le terme j5kt+1 ( pt Tkt+ Eshape k+1 = 11 7k+IES OÙ S est un ensemble de deuxièmes surfaces élémentaires déterminéess à l'étape k+1 ; Tkt+i sont les matrices de transformation définies à l'étape a/ de la (k+1)ème itération ; -7);±1 - [P n+1,k+1 .15 k+1 i=1' n ;où , pour i=1 à n, sont les sommets de la deuxième surface élémentaire ik±i telle que déterminée à la (k+1)è" itération et ird n+1,k+lest obtenu par décalage du sommet par un vecteur de ladite norme donnée normal à ladite deuxième surface élémentaire ik±i. 2.- Procédé de traitement de données selon la revendication 1, comprenant les étapes suivantes mises en oeuvre pour chaque sommet d'une première surface élémentaire lors d'une étape d'initialisation du traitement itératif, afin de définir une deuxième surface (Se) élémentaire pour ladite première surface élémentaire (Se), les premier et deuxième objets étant chacun définis par des données définissant des points d'os d'un squelette d'animation d'objet et des points d'enveloppe d'objet, une fonction d'isomorphisme établissant une correspondance entre lesdits points du premier objet et lesdits points du deuxième objet : i/ on détermine une paire de points pour chaque os d'une pluralité d'os du squelette du premier objet, comportant un premier point déterminé comme étant le point dudit os le plus proche du sommet et comportant un deuxième point déterminé comme étant le point de l'enveloppe du premier objet situé dans le segment joignant le sommet et ledit premier point, et étant le plus proche dudit sommet ; ii/ on sélectionne parmi lesdites paires déterminées pour des os respectifs, au moins une paire, dite paire de premier et deuxième points de référence pour ledit sommet de la première surface élémentaire, ladite paire sélectionnée correspondant à un minimum d'une fonction comportant comme variables la distance entre ledit sommet de la première surface élémentaire et le deuxième point de référence d'une paire et le produit scalaire entre un vecteur unitaire colinéaire à l'os, et le vecteur joignant ledit sommet et le premier point de la paire ; iii/ on définit un sommet de la deuxième surface élémentaire en fonction du point résultat de l'application de la fonction d'isomorphisme au deuxième point de référence, ledit point résultat étant ensuite décalé d'un vecteur parallèle à celui rejoignant les deux points résultats de l'application de la fonction d'isomorphisme au premier et au deuxième points de référence, la norme dudit vecteur étant fonction de la norme du vecteur joignant ledit sommet de la première surface et le deuxième point de référence. 3.- Procédé de traitement de données selon la revendication 2, selon lequel à l'étape ii/, 2 ladite fonction représentant la norme est égale à p''p xe 62 , où a est une valeurconstante, pm est le deuxième point d'une paire, p, est ledit sommet de la première surface, vb est le vecteur unitaire colinéaire à l'os, et le v est le vecteur joignant ledit sommet et le premier point de la paire. 4.- Procédé de traitement de données selon la revendication 2 ou 3, selon lequel à l'étape iii/, le sommet de la deuxième surface est défini comme étant égal à j5m+ 'P pi étant ledit sommet de la première surface élémentaire ; i-5', étant le point résultat de l'application de la fonction d'isomorphisme au deuxième point de référence ; vbm étant un vecteur unitaire parallèle au segment u5b , j5', 1, Pb étant le point résultat de l'application de la fonction d'isomorphisme au premier point de référence. 5.- Procédé de traitement de données selon l'une quelconque des revendications 2 à 4, selon lequel si deux paires de référence sont sélectionnées à l'étape iii, le sommet de la deuxième surface est défini comme étant égal à w + w -1. r - i2 avec wl et w2 supérieurs à 0 et \nt, + w2= 1 pif = 11P.1 .vbml et Pi2 = Pm2 Pm2V, pi bm2 ; p étant ledit sommet de la première surface élémentaire ; y5',' étant le point résultat de l'application de la fonction d'isomorphisme au deuxième point de référence de la nème paire de référence, n = 1 ou 2 ; Vbmn étant un vecteur unitaire parallèle au segment [ - pbn mn ]1 pbn est le point résultat de l'application de la fonction d'isomorphisme au premier point de référence de la nème paire de référence. 6.- Procédé de traitement de données selon la revendication 5, selon lequel wl = arctan((5*(z 2 où z est la coordonnée de la projection du sommet p, sur le segment reliant les deux points de référence pb, et pb2, en considérant pb, comme le point de coordonnée nulle.30 7.- Procédé de traitement de données selon la revendication 2 et l'une quelconque des revendications 1 à 6, selon lequel à l'étape b/, la fonction à minimiser comporte au moins Eshape k+1 Ed k+15 avec Er, k+, = / ai ( 2 8.- Procédé de traitement de données selon la revendication 7, selon lequel les valeurs de a, pour des surfaces élémentaires dans des zones ajustées de la surface sur l'objet sont choisies dans la plage [0,10]. 9.- Procédé de traitement de données selon la revendication 8, selon lequel les valeurs de a, sont choisies dans la plage [10 ; +.0 ] dans les autres zones de ladite surface. 10.- Procédé de traitement de données selon la revendication 2 et l'une quelconque des revendications 1 à 9, selon lequel à l'étape b/, la fonction à minimiser comporte au moins Eshape k+1 Efit k+15 avec Efit k+1 = 2 Pi,k+leïk+1 où [3 est une constante F est un ensemble de deuxième surface élémentaire ik±i déterminées à itération k+1 et situées dans des zones ajustées de la surface sur l'objet, lesdites deuxièmes surfaces élémentaires déterminées comme se trouvant dans F étant alors supprimées de l'ensemble S ; chaque 15,0 est un sommet de deuxième surface élémentaire défini en iii/ pour le sommet p d'une première surface élémentaire ;db est le vecteur unitaire colinéaire à l'os pour lequel la paire sélectionnée de premier et deuxième points de référence à été déterminée, et, dq étant le vecteur unitaire colinéaire à (Pb, Po )5 le vecteur unitaire dt est égal au produit vectoriel des vecteurs db et dq. 11.- Procédé de traitement de données selon la revendication10, selon lequel [3 est une constante choisie dans [10 ; +.0 ]. 12.- Programme (P) d'ordinateur à installer dans un dispositif (1) de traitement de données pour transformer une première surface 3D (Ss), adaptée pour revêtir un premier objet (Os) et formée d'un maillage de premières surfaces élémentaires 2D, en une deuxième surface 3D (Sc), adaptée pour revêtir un deuxième objet (Oc) et formée d'un maillage de deuxièmes surfaces élémentaires 2D, ledit programme comprenant des instructions pour mettre en oeuvre les étapes d'un procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, lors d'une exécution du programme par des moyens de calcul (2) dudit dispositif. 13.- Dispositif (1) de traitement de données pour transformer une première surface 3D (Se), adaptée pour revêtir un premier objet (Os) et formée d'un maillage de premières surfaces élémentaires 2D, en une deuxième surface 3D (Sc), adaptée pour revêtir un deuxième objet (Oc) et formée d'un maillage de deuxièmes surfaces élémentaires 2D, ledit dispositif de traitement étant adapté pour déterminer des transformations des premières surfaces élémentaires en des deuxièmes surfaces élémentaires respectives et comprenant : un superviseur adapté pour faire opérer itérativement un ensemble de modules comprenant un premier module de mise à jour et un deuxième module de mise à jour ; le premier module de mise à jour adapté pour, lors d'une (k+1)è" opération d'itération, k étant un entier supérieur ou égal à 0, pour chacun d'une pluralité de couples comprenant une première surface élémentaire et une deuxième surface élémentaire issue d'une transformation de la première surface élémentaire et ayant été délivrée par le deuxième module de mise à jour suite à la kème opération itérative du superviseur, déterminer la projection de ladite deuxième surface élémentaire sur le plan de ladite surface élémentaire respective, et définir une matrice Tkt+ de transformation courante 2D pour ledit couple,avec Tkt = Pkt'(Pt)-1 et Pt = [pn+, - pi] i=1 à n, Pkt = [p'n+1,k - p'i,k] i=, à n ; où p, , pour i=1 à n, sont les sommets de la première surface élémentaire t d'un couple et p', est obtenu par décalage du sommet pl par un vecteur normal à ladite première surface, de norme donnée ; où (P)-' est l'inverse de la matrice Pt quand les premières surfaces élémentaires sont des triangles et est une matrice pseudo-inverse de la matrice Pt sinon ; où p',,k , pour i=1 à n, sont les sommets de ladite projection de la deuxième surface élémentaire et n ,'n+1,k est obtenu par décalage du sommet p',,k dudit vecteur normal ; - le deuxième module de mise à jour adapté pour, lors d'une (k+1)è" opération itération par le superviseur, k étant un entier supérieur ou égal à 0, déterminer les deuxièmes surfaces élémentaires obtenues pour la (k+1)ème itération, en tant que celles minimisant une fonction comportant au moins le terme 11 Pkt+i (Pt )-1 -Tkt+1112 , où Tkt_r sont les matrices de transformation définies par le premier module lors de la (k+1)ème opération d'itération par le superviseur ; avec :131ct +1 = [15 n+1,k+1 151,k+1]1=1 ...,n OÙ pour i=1 à n, sont les sommets de la deuxième surface élémentaire du couple telle que déterminée à la (k+1)ème itération et i5 n+1,k+1 est obtenu par décalage du sommet ird 1,k+1 par un vecteur normal à ladite deuxième surface, de norme donnée.20