FR 2977967 A1 20130118 FR 1102170 A 20110711 -1- ATOMES ET MOLECULES POUR CONSTRUCTIONS Jusqu'à présent la modélisation des atomes est souvent représentée par des boules imbriquées les unes dans les autres et les molécules par des assemblages de boules liées entre elles par des tiges. Je vous propose une construction réalisée au moyen de polyèdres identiques se prêtant à l'élaboration d'arborescences et pouvant schématiser ces atomes et molécules. Ces polyèdres sont liés entre eux par un système à aimants permanents, logés sur leurs faces internes. A l'origine de cette innovation, se trouve une nouvelle famille de polyèdres. 10 S'agissant de nouveauté, il est permis et nécessaire de rêver : forme de ballons de jeu pour jeunes enfants plus adaptés car plus préhensiles l'architecture, la joaillerie, l'optique peuvent y trouver intérêt arborescences réalisées en 3D dont la particularité est d'avoir des interconnections entre branches et ceci à plusieurs niveaux. 15 en dehors des représentations moléculaires, les biologistes pourraient s'en servir pour imaginer des constructions cellulaires une ébauche de fractale se perçoit également. DESCRIPTION Dans cette nouvelle famille de polyèdres, chacun d'entre eux est composé d'un 20 antiprisme droit (APn) formant le noyau, ceinturé par une couronne torique d'aspect tétraèdrique (Tn ). L'assemblage de ces deux pièces ,antiprisme et tore, forme le nouveau polyèdre auquel nous donnons le nom d'atome (An ). L'indice (n) représente le nombre de côtés des polygones réguliers constituant les deux pôles des antiprismes droits à l'origine de ces 25 polyèdres et détermine son numéro d'ordre. La longueur des côtés des polygones polaires des antiprismes est prise pour unité, égale à 1. La couronne, d'aspect torique, est formée de 6n triangles équilatéraux d'arêtes égales à 1 également. 30 Cette couronne possède, à sa périphérie extérieure 2n sommets ( 5 ), disposés en dents de 2977967 -2- scie (fig.14 ), symbolisant la ceinture équatoriale et divisant l'atome en deux hémisphères symétriques. Chaque sommet de la couronne torique est associé à cinq triangles du tore construits à partir de la liaison aux trois sommets de l'un des 2n triangles de l'antiprisme et aux deux 5 sommets contigus sur la couronne. Cette façon de construire cet atome détermine, de façon unique : la hauteur de l'antiprisme, les différents angles des faces entre elles et avec les pôles de l'antiprisme, le rayon du cylindre circonscrit à la couronne torique. Dans cet atome, chacune des faces d'un hémisphère trouve ,sur l'autre hémisphère, 10 une face qui lui est parallèle. L'icosaèdre serait le seul polyèdre connu répondant à cette description car il peut être décomposé en un antiprisme d'ordre 3 (AP3 ) et une couronne torique à six sommets (T3 ). Nous avons ainsi une nouvelle description de l'icosaèdre, et c'est le premier polyèdre (A3 ) de cette série, allant à l'infini. 15 En plus de l'atome (A3 ), qui est l'icosaèdre, seul l'atome (A4) est convexe. Tous les suivants jusqu'à l'infini sont concaves. Cette famille d'atomes répond à des critères communs : le rayon équatorial, noté R , distance des points (5) à l'axe de symétrie, qui est aussi le rayon du cylindre circonscrit à la couronne torique, répond à l'équation 20 du 4eme degré : 4sin4(n)R4-4sin3(n)R3+(4cos(n)-7)sin2(n)R2+2(1+cos(n)) sin(n)R-3cos2(T)+2=0 La hauteur h de l'antiprisme droit (APn) répond à l'équation : 3 - 1 ~r l2 ~ 2 si 3 n h = 4 (R - 2 cot(n )) + Ji - (R - 1 1 2 csc(n )) 9 \n n Le produit de h , la hauteur de l'antiprisme , et H , hauteur de la couronne , est : h-H=R-tan(2 n) Un cas particulier se présente pour l'ordre 9 : les sommets de l'antiprisme nonaèdre et les sommets de ses branches étoilées formant la couronne torique sont sur le même plan, 2977967 -3- on a alors : h=H. L' angle entre le plan du polygone polaire et le plan de la branche étoilée (exemple fig.20) pour quelques cas remarquables : ordre 3 -; - 41°81 ordre 4 --- 34°55 5 ordre 5 - 25°17 ordre 6 -+ - 16°03 ordre 8 -+ - 3°66 ordre 9 -> 0° ordre 10 -* + 2°69 ordre 12 -~ + 6°33 ordre 25 -~ + 14°02 ordre infini -+ + 19°47 Il est à remarquer : lorsque le nombre de côtés des polygones polaires de l'antiprisme 10 tend vers l'infini la hauteur de l'antiprisme tend vers 6 et la hauteur de la couronne torique tend vers 2 soit un rapport de 1 . De plus, l'angle entre la branche étoilée et le polygone polaire associé tend vers arccos (2 3 2)=19 047 ou 0,3398 radians. Ces atomes (An) peuvent se regrouper entre eux avec des parties communes pour constituer des ensembles cohérents que nous appellerons molécules (Mn ). 15 L'une des façons d' associer ces atomes identiques c'est d'en prendre l'un des hémisphères de chacun que nous appellerons demi-coque ( Cn) ( fig.68 ). Ces demi-coques sont évidées , leur rebord équatorial est en dents de scie , les angles entre les facettes restent identiques à ceux de l'atome initial. Ces demi-coques ( Cn) sont jointes entre elles par les sommets de leurs branches étoilées(5) 20 et ceci trois par trois . On réalise ainsi des polygones (Vn) à six faces ,concaves non coplanaires. Cette surface concave hexagonale (Vn ), d'arêtes valant l'unité, est divisée en six rayons ajustés à la longueur voulue pour aboutir à un centre commun (6 )et ceci nous donne des demi-coques ajustées pour constituer des molécules dont les surfaces extérieures sont 25 pleines (sans trous). Les molécules d'ordre (3-4-5 ) présentent de l'intérêt de par leur simplicité et leur adaptation pour des assemblages de construction . Ainsi la molécule d'ordre 3 (M3 ) (fig.68 ) se compose de quatre demi-coques (C3) symbolisant quatre atomes. Elle présente l'aspect d'un triskèle ou tétrapode . Elle est composée de quarante faces, dont les seize faces équilatérales constituent les quatre polygones étoilés . Elle comporte quatre cavités concaves (V3) à six faces non coplanaires et dont les six rayons intérieurs sont légèrement raccourcis pour aboutir à une cavité commune ( 6 ). A l'aide de huit demi-coques ( fig.70-71 ) symbolisant huit atomes , on peut aussi réaliser une autre molécule (M'3 ) d'aspect cubique . La jonction des demi-coques se fait pour alors quatre par quatre et les cavités (V3') sont à huit faces non coplanaires. Ici les rayons sont allongés pour aboutir à la cavité commune (6 ). La molécule ( M'3 ) se compose de quatre vingtsfaces dont trente deux sont équilatérales. La molécule d'ordre 4 (M4) ( fig.74-76 ) résulte de l'assemblage quadratique de six demi-coques ( C4) symbolisant six atomes . Elle comporte soixante dix huit faces dont six carrés et les vingt quatre triangles équilatéraux des branches étoilées issues de ces carrés . Elle comporte également huit cavités pyramidales à six faces (V4 ) de sommet ( 6 ). La molécule d'ordre 5 (M5 ) résulte de l'assemblage de douze demi-coques , symbolisant douze atomes, réunies entre elles de façon dodécaédrique (fig.32-33 ) Elle comporte cent quatre vingt douze faces dont douze pentagones et les soixante triangles équilatéraux des branches étoilées issues de ces pentagones . Leurs axes de symétrie forment un angle de : arccos ( ) Elle est dotée de vingt cavités (V 5) à six triangles dont les six rayons sont légèrement 20 allongés pour aboutir au sommet commun (6 ). Les douze pentagones réguliers de cette molécule peuvent être surmontés chacun d'une pyramide pentagonale (S5 ) et pour alors le polyèdre comporte deux cent quarante faces , soit quarante huit faces de plus . Dans les différentes constructions de molécules (Mn ), les pôles des demi-coques ou 25 des atomes qui sont des polygones réguliers , peuvent être surmontés de pyramides ( Sn ). Ces pyramides peuvent être régulières pour les ordres (3, 4 et 5 ). Ces différentes molécules ( Mn )d'ordre (3-4-5 ) peuvent être assemblées entre elles pour élaborer des montages du style arborescence , jeux de construction cellulaires . A cette fin , les molécules doivent être adaptées pour pouvoir s'imbriquer les unes dans les autres et aboutir à des ensembles stables avec l'aide de moyens d'assemblage (genre aimants permanents ). Ainsi pour les molécules (M3 ), (M4) et ( M5 ) on aménage une cavité (Yn) occupant la place d'une demi coque ( fig.77 ). Celle-ci est ajustée pour recevoir et contenir une autre demi-coque ajustée appartenant à une autre molécule identique et fusionnant entre elles. On peut dire pour alors que deux molécules voisines ont un atome commun entre elles et que chacune des liaisons entre molécules se fait par le biais d'un atome commun. La cohésion des molécules est assurée par le recours à des aimants permanents qui sont fixés sur les parois internes des faces appelées à être en contact deux par deux. L'assemblage des molécules peut aussi se faire au niveau des cavités hexagonales (Vn ) grâce à une rotation de 60° de l'une des molécules pour permettre l'accouplement. ( fig 72-73 ).Les molécules restent entières, seules les cavités en contact subissent une déformation . La modification des longueurs et des pentes des six triangles de l'un au moins des 15 polygones hexagonaux concaves (Vn )est nécessaire pour rendre les molécules complémentaires. Ainsi (fig.68 ) les cavités (V3 )sont normales, même pente que l'atome initial , tandis que sur la molécule complémentaire (fig.67 ) les cavités (V'3 ) sont enfoncées. Les pentes de leurs faces sont différentes de même que les longueurs des rayons allant vers 20 le sommet (6 )des cavités . Cette adaptation, en longueur et en pente des faces des polygones hexagonaux, peut-être envisagée dans le domaine du vivant intelligent. Il faut disposer de molécules capables, de trouver leur place, et de s'accoupler les unes aux autres. Ces molécules deviennent ainsi complémentaires. 25 Leur cohésion se fait aussi par des systèmes d'attraction et de fixation du genre aimants permanents. Ces aimants sont fixés sur le côté interne des faces appelées à entrer en contact les unes avec les autres . Ils autorisent un assemblage d'une plus grande tolérance . Au moyen de six molécules identiques (M5 ) on peut réaliser une couronne d'aspect torique (fig.46-45 ). Chacune des molécules étant reliée à deux autres grâce à deux atomes 30 solidaires. Cette couronne de six molécules se présente sur deux niveaux différents en alternance. Sur une molécule (M5 ), il est possible de greffer un maximum de trois autres molécules identiques (M5) ( fig.47-48 )et ceci dans trois directions différentes à partir de quatre emplacements possibles sur la molécule centrale de départ .Cette dernière a ainsi trois atomes communs avec les trois autres molécules. A partir de ce principe, on peut réaliser une arborescence et remplir l'espace à l'infini et ceci d'une façon régulière. Grâce à cette méthode de liaison, on arrive à réaliser des ensembles de vingt molécules (M5 ) ( fig.49-50-51 ) disposés de façon dodécaédrique et liés entre eux par des atomes communs (A5) à chaque liaison. Huit molécules ont une triple liaison tandis que les douze autres ont une double liaison. Cet assemblage de vingt molécules définit la macromolécule ( MM5 ) et constitue le 10 niveau 1 dans la construction. Dans ce module ( MM5 ) les vingt molécules ont un point de tangence à une sphère fictive interne et le module s'inscrit et est contenu dans un icosaèdre (4.53 ). Pour passer à l'étape supérieure dans la construction,( fig.55 ) on duplique douze fois le niveau 1 ( MM5 ) en les disposant sur les 12 sommets de l'icosaèdre associé au module de 15 niveau 1. A chacun des douze sommets de cet icosaèdre on effectue une liaison à un autre module ( MM5 ) par l'intermédiaire d'une liaison libre de la molécule qui autorise d'avoir un atome commun de liaison. Ce groupement de douze macromolécules est constitué de deux cent soixante molécules, il 20 s'inscrit dans un icosaèdre et constitue le niveau 2 de la construction (fig.55 et56 ). A ce stade du montage,( fig.54) les douze branches des macromolécules ( MM5 ) du niveau 2 sont reliées entre elles par vingt molécules (M5 ) (X5 ), ceci en partageant un atome commun à chaque paire de branches . Sur la figure ( 52 ), les vingt molécules de liaison (X5 )se confondent avec leurs voisines . 25 Grâce à ces interconnections, les communications éventuelles entre les éléments continueront de se faire s'il y a une coupure dans une ou plusieurs branches de l'arborescence. Ceci à l'image d'un tissu cellulaire. Ce type de construction par ( MM5 ) présente la plus faible densité de matière par rapport aux deux suivantes issues des macromolécules (MM4 ) et (MM3 ). 30 Au moyen de quatre molécules identiques (M4 ), on peut réaliser une couronne torique, chacune des molécules étant reliée aux deux autres contiguës grâce à deux atomes communs rendus solidaires à l'aide d' aimants permanents ou autre procédé de liaison. Cette couronne de quatre molécules se présente sur deux niveaux en alternance. La macromolécule d'ordre 4 (MM4) est constituée d'une molécule centrale sur laquelle viennent se greffer six autres molécules (M4) en partageant à chaque liaison un atome commun (fig.78-79 ). Cette construction peut-être poursuivie indéfiniment et c'est ce montage qui comporte le moins d'espace vide entre les molécules, donc une densité importante de matière. Les molécules permettent aussi des montages intéressants par des liaisons au niveau des surfaces des cavités hexagonales (Vn) comme cela a été décrit précédemment en passant par la rotation de 60° d'une molécule par rapport à sa voisine. Ici, chaque molécule reste entière, ne partageant pas d'atome avec les molécules de liaison. Six molécules (M3 ) permettent la réalisation d'une couronne d'aspect torique sur deux niveaux (fig;73-73' ). Par cette même méthode de liaison, on peut venir chapeauter cette couronne par un ensemble de quatre molécules groupées à la façon d'un triskèle ou d'un tripode,et ceci des deux côtés de la couronne. Ce nouvel assemblage constitue la macromolécule ( MM3 ) d'ordre trois composée de quatorze molécules (M3 ). Cette configuration peut, elle aussi, être poursuivie indéfiniment. Tous les espaces vides communiquent entre eux et peuvent faire office d'échangeur thermique. A partir de ce dernier montage à base de ( MM3 ) toutes les formes de constructions sont 20 permises. Dans tous les modèles relevant de cette description, chacune des macromolécules ( MMn) peut-être prise pour le point de départ de l'ensemble car les éléments de base et leurs dispositions sont homogènes. Ces constructions à partir de macromolécules ( MMn) sont propres à créer des 25 milieux isotropes. Nota : Dans les pages 8, 9 et 10 se trouvent les coordonnées cartésiennes de la molécule M5 dotée des pyramides polaires. Sommet 1 : {0,0,0.525731112119} (0.850650808352,0,0) {0.262865556060,0.809016994375,0} {-0.688190960236,0.500000000000,0} (-0.688190960236,-0.500000000000,0} {0.262865556060,-0.809016994375,0} {1.19085177735,0.865204460798,-0.368353826783} idl {-0.454864903386,1.39993022479,-0.368353826783} id2 {-1.47197374794,0,-0.368353826783} id3 {-0.454864903386,-1.39993022479,-0.368353826783} id4 {1.19085177735,-0.865204460798,-0.368353826783} id5 Sommet 2: {2.37038282197,1.72218392781,-1.285080231171 {1.44707776081,1.66939752331,-0.904657624647} {2.03486301311,0.860380528937,-0.904657624647} {2.56059412523,0.860380528937,-1.75530843300} {2.29772856917,1.66939752331,2.28103954512} {1.60953760893,2.16939752331,-1.75530843300} 11.19085177735,0.865204460798,-0.3683538267831 idl {2.38170355471,0;1.27808363355} {2.66282552529,0.865204460798,-2.75005738149} {1.64571668074,2.26513468559,-2.750057381491 {0.735986873968,2.26513468559,-1.27808363355} Sommet 3 : {-0.905405671642,2.78655213008,-1.285080231171 {-1.14051977256,1.89212493908,-0.904657624647} {41189463256264,2.20114193345,-0.904657624647} 1-0.0270034081477,2.70114193345,-1.75530843300} {-0.877654216500,2.70114193345,-2.28103954512} 0.56584517674,2.20114193345,-1.75530843300} {-0.454864903386,1.39993022479,-0.368353826783} id2 {0.735986873968,2.26513468559,-1.27808363355} {0,2.79986044958,2.75005738149} 1-1.64571668074,2.26513468559,-2.75005738149} {-1.92683865132,1.39993022479,-I.27808363355} Sommet 4 : 1-2.92995430065,0,-1.28508023117} 1-2.15195774510,-0.500000000000,-0.904657624647} {-2.15195774510,0.500000000000,-0.904657624647} 1-2.57728314927,0.809016994375,-1.75530843300} (-2.84014870533,0,-2.28103954512} {-2.57728314927,-0.809016994375,-1.75530843300} 1-1.47197374794,0,-0.368353826783} id3 1-1.92683865132,1.39993022479,-1.27808363355} {-2.66282552529,0.865204460798,2.75005738149} 1-2.66282552529,-0.865204460798,-2.750057381491 1-1.92683865132,-1.39993022479,-1.27808363355} Sommet 5 : {-0.905405671642,-2.78655213008,-1.28508023117} 1-0.189463256264,-2.20114193345,-0.904657624647} {-1.14051977256,-1.89212493908,-0.904657624647} {-1.56584517674,2.20114193345,-1.75530843300} (-0.877654216500,-2.70114193345,-2.28103954512} {-0.0270034081477,-2.70114193345,-1.75530843300} {-0.454864903386,-1.39993022479,-0.3683538267831 id4 {-1.92683865132,-I.39993022479,-1.27808363355} 1-1.64571668074,-2.26513468559,-2.75005738149} {0,-2.79986044958,-2.75005738149} {0.735986873968,-2.26513468559,-1.27808363355} Sommet 6 : {2.37038282197,-1.72218392781,-1.28508023117} {2.03486301311,-0.860380528937,-0.904657624647} {1.44707776081,-1.66939752331,-0.904657624647} {1.60953760893,-2.16939752331,-1.75530843300} {2.29772856917,-1.66939752331,-2.28103954512 } {2.56059412523,-0.860380528937;1.75530843300} {1.19085177735,-0.865204460798,-0.368353826783 } id5 {0.735986873968,-2.26513468559,-1.278083633551 {1.64571668074,-2.26513468559,2.75005738149} {2.66282552529,-0.865204460798,-2.75005738149} {2.38170355471,0,-1.27808363355} Sommet 7 : {0,0,-6.02584587510} {-0.850650808352,0,-5.50011476298} {-0.262865556060,-0.809016994375,-5.50011476298 } {0.688190960236,-0.500000000000,-5.500114762981 {0.688190960236,0.500000000000,-5.50011476298} {-0.262865556060,0.8090169943 75,-5.50011476298 1 {-1.19085177735,-0.865204460798,-5.13176093620} {0.454864903386,-1.39993022479,-5.131760936201 {1.47197374794,0,-5.13176093620} {0.454864903386,1.39993022479,-5.13176093620} {-1.19085177735,0.865204460798,-5.13176093620} Sommet 8 : {-2.37038282197,-1.72218392781,-4.215034531811 {-1.44707776081,-1.66939752331; 4.59545713833 } {-2.03486301311,-0.860380528937, 4.59545713833 } {-2.56059412523,-0.8603 80528937,-3.74480632998 } f-2.29772856917,-1.6693975233 1,-3.219075217861 {-1.60953760893,-2.16939752331;3.74480632998} {-1.19085177735,-0.865204460798,5.13176093620} {-2.38170355471,0,4.22203112943} {-2.66282552529; 0.865204460798,-2.75005738149} {-1.64571668074,-2.26513468559,-2.7500573 8149) {-0.735986873968,-2.26513468559,4.22203112943} Sommet 9 : {0.905405671642,-2.78655213008,-4.215034531811 {1.14051977256,-1.89212493908,-4.595457138331 {0.189463256264,-2.20114193345,-4.59545713833} {0.0270034081477,2.70114193345,-3.74480632998} {0.877654216500;2.70114193345,-3.21907521786} {1.56584517674,-2.20114193345,-3.74480632998} {0.454864903386,-1.39993022479,-5.13176093620) {-0.735986873968, 2.26513468559,4.22203112943} (0,-2.79986044958,-2.75005738149} {1.64571668074,-2.26513468559,-2 .750057381491 {1.92683865132,-1.39993022479,-4.22203112943} Sommet 10 : {2.92995430065,0,-4.21503453181} {2.15195774510,0.500000000000,4.59545713833} {2.15195774510,-0.500000000000,4.59545713833} {2.57728314927,-0.809016994375,-3.74480632998} {2.84014870533,0,-3.21907521786} {2.57728314927,0.809016994375,-3.74480632998} {1.47197374794,0,-5.13176093620) {1.92683865132,-1.39993022479,4.22203112943} {2.66282552529,-0.865204460798,-2.750057381491 {2.66282552529,0.865204460798,-2.75005738149} {1.92683865132,1.39993022479,4.22203112943} _,10 Sommet 11 : {0.905405671642,2.78655213008,-4.215034531811 {0.189463256264,2.20114193345,4.59545713833} {1.14051977256,1.89212493908,4.59545713833} {1.56584517674,2.20114193345;3.74480632998} {0.877654216500,2.70114193345;3.21907521786} {0.0270034081477,2.70114193345,-3.74480632998} {0.454864903386,1.39993022479,-5.13176093620} {1.92683865132,1.39993022479,4.22203112943} {1.64571668074,2.26513468559,-2.75005738149} {0,2.79986044958,-2.75005738149} {-0.735986873968,2.26513468559,4.22203112943} Sommet 12 : {-2.37038282197,1.72218392781,-4.21503453181} {-2.03486301311,0.860380528937,4.59545713833} {-1.44707776081,1.66939752331,4.59545713833} {-1.60953760893,2.16939752331,-3.74480632998} {-2.29772856917,1.66939752331,-3.21907521786} {-2.56059412523,0.860380528937,-3.74480632998} {-1.19085177735,0.865204460798,-5.13176093620} {-0.735986873968,2.26513468559,-4.22203112943} {-1.64571668074,2.26513468559,-2.75005738149} (-2.66282552529,0.865204460798,-2.75005738149} (-2.38170355471,0,-4.22203112943} Coordonnées des centres des cavités : {1.48740651972,0,-0.803016969630} {0.459633892138,1.41460766296,-0.803016969630} {4.20333715200,0.874275616456,-0.803016969630} {-1.20333715200,-0.874275616456,-0.803016969630} 10.459633892138,-1.41460766296,-0.803016969630} {2.40667430400,0,-2.29042348935} {1.94704041186,1.41460766296,-3.20969127363} {0.743703259861,2.28888327942,2.29042348935} {0.459633892138,1.41460766296,-0.803016969630} {1.48740651972,0,-0.8030169696301 0.48740651972,0,-4.69709779335} {-0.459633892138,-1.41460766296,4.69709779335} {1.20333715200,-0.874275616456,4.69709779335} {1.20333715200,0.874275616456,-4.69709779335} {-0.459633892138,1.41460766296,4.69709779335} {-2.40667430400,0,-3.20969127363) {4.94704041186,-1.41460766296,-2.29042348935} {-0.743703259861,-2.28888327942,-3.209691273631 {-0.459633892138,-1.41460766296,-4.69709779335} (-1.48740651972,0,-4.697097793351 - 11 - DESCRIPTIF fig 1 , fig 5 fig 2 , fig 6 fig3,fig7 fig 4 , fig 8 fig9,fig13 fig 10 , fig 14 fig 11 ,fig 15 fig 12 fig 16 , fig 17 fig 18 fig 19à22 fig 23 à 31 antiprismes AP3 et AP4 ceintures toriques T3 et T4 atomes A3 (icosaèdre) et A4 molécules M3 et M4 antiprismes Ap5 et Ap6 ceintures toriques T5 et T6 atomes A5 et A6 molécule M5 cristal d'ordre 5 composé de l'atome A5 avec les 2 pyramides régulières S5 construction tubulaire du cristal d'ordre 5 (les tubes sont reliés entre eux par des boules percées) cristal d'ordre 5 décomposition du cristal d'ordre 5 en tétraèdres fig 32 à 40 fig.34.fig.35 fig41,fig42 fig 43 fig 44 fig 45 fig 46 fig 47 fig 48 molécule M5 à partir du cristal d'ordre 5 molécule M5 sans les pyramides polaires molécule M5 à partir du cristal d'ordre 5 et l'icosaèdre circonscrit vue interne de la molécule M5 et de l'icosaèdre circonscrit montrant la géode vue interne de la molécule M5 montrant la géode et la structure interatomique (permettant de combler le vide entre chaque atome), au centre la sphère fictive inscrite dans la géode pavage de molécules M5 tore de 6 molécules M5 , il y a un atome A5 en commun entre chaque molécule tripode de 4 molécules M5 , il y a un atome A5 en commun entre chaque molécule arborescence à 3 ramifications de molécules M5 assemblées en tripode fig 49 à 51 macromolécule de niveau 1 MM5 formée de 20 molécules M5 fig 52 fig 53 fig 54 fig 55 fig 56 fig 57 fig 58 fig 59 fig 60 fig 61 fig 62, fig 63 fig 64 fig 65 fig 66 fig 67 fig 68 fig 69 fig 70 , fig 71 fig 72 , fig 72' fig 73,fig73' fig 74 fig 75 fig 76 fig 77 fig 78 fig 79 fig 80, fig 81 - 12 - macromolécule de niveau 2 macromolécule MM5 inscrite dans l'icosaèdre macromolécule MM5 inscrite dans l'icosaèdre et entourée des 20 molécules ( X5 ) M5 de liaison entre les les branches de l'arborescence de niveau 2 macromolécule de niveau 2, séparée de 3 macromolécules MM5 permettant de voir la macromolécule centrale MM5 inscrite dans l'icosaèdre macromolécule de niveau 2 inscrite dans l'icosaèdre macromolécule de niveau 2 entourée de 20 macromolécules de niveau 1 macromolécule de niveau 2 entourée de 20 macromolécules de niveau 1 inscrite dans l'icosaèdre tripode formé de molécules M5 simple hélice formée de molécules M5 double hélice formée de molécules M5 géode d'ordre 5 pavage d'atomes d'ordre 6, liaisons par points couronne d'atomes A6 arborescence d'atomes A6 molécule M3 avec 2 cavités rentrée molécules M3 (cavités normales) tétrapode formé de 5 molécules M3 molécule M'3 avec 8 demi-coques C3 arborescence de molécules M3 couronne de 6 molécules M3 atome A4 avec les 2 pyramides régulières S4 molécule M4 formée de 6 atomes A4 molécule M4 formée des 6 atomes A4 et de leurs pyramides S4 molécule M4 avec cavité molécule M4 entourée de 4 autres molécules M4 macromolécule MM4 formée de 7 molécules M4 macromolécule formée de 15 molécules M4 fig 82 , fig 84 fig 83, fig 85 fig 86 , fig 87 fig 88 , fig 89 fig 90 , fig 91 fig.92 fig.93. fig.94. An Mn Tn APn Pn Vn En MMn Sn Fn Cn C'n Yn In Xn 2 3 5 6 7 8 - 13 - pyramide (empilement télescopique sorti) de couronnes Tn d'ordre 3 à 15 disque (empilement télescopique rentré) de couronnes Tn d'ordre 3 à 15 atome A5 avec ses 2 pyramides régulières S5 (cristal d'ordre 5) polyèdre construit à partir du dual du cristal d'ordre 5 polyèdre dual du cristal d'ordre 5, ses 22 surfaces sont incurvées développement du polyèdre A5-( atome d'ordre 5 ) Développement du polyèdre M4 (molécule d'ordre 4 ) Composition artistique issue de la nouvelle famille de polyèdres atome et son n° d'ordre molécule et son n° d'ordre ceinture torique et son n° d'ordre antiprisme et son n° d'ordre polygone du sommet et son n°d'ordre cavité à six faces et son n°d'ordre face branche étoilée, du polygone polaire et son n° d'ordre macromolécule et son n°d'ordre pyramide au sommet d'un pôle et son n°d'ordre étoile à trois branches au centre des cavités et son n°d'ordre demi-coque et son n° d'ordre demi-coques ajustées et son n° d'ordre cavité atomique dans une molécule et son n° d'ordre face du polyèdre circonscrit à une macromolécule et son n°de rang molécule de jonction entre branches arête des polygones polaires arête des branches étoilées issues des pôles arête équatoriale du tore sommet de la ceinture torique équatoriale et sommet de la branche étoilée du tore sommet des cavités à six faces partie interne de la géode sphère interne de la géode REVENDICATIONS1) Ensemble des atomes de forme polyédrique caractérisés par le fait : - qu'ils sont composés d'un noyau représenté par un antiprisme droit ( APn) dont les deux pôles sont des polygones réguliers à ( n) cotés qui déterminent l'ordre de l'atome, que la longueur des côtés des polygones polaires des antiprismes est prise pour l'unité . - que cet antiprisme est entouré par une couronne d'aspect torique (Tn) formée de ( 6n ) triangles équilatéraux d'arêtes égales à celles des polygones polaires - que cette couronne possède , à sa périphérie extérieure ,( 2n )sommets ( 5 ) disposés en « dents de scie » symbolisant la ceinture équatoriale et divisant l'atome en deux hémisphères symétriques appelés demi-coques ( Cn) . - que chacun des sommets de la couronne torique est associé à cinq triangles du tore construits à partir de la liaison aux trois sommets de l'un des ( 2n) triangles de l'antiprisme et aux deux sommets contigus sur la couronne - que ce montage détermine , de façon unique , la hauteur de l'antiprisme , les différents angles des faces entre elles et avec les pôles de l'antiprisme - que chaque face d'un hémisphère trouve son parallèle sur l'autre hémisphère. 2 ) Ensemble des atomes (An) de forme polyédrique selon la revendication n° 1 caractérisés par le fait : - que la longueur de leurs rayons (distance des points (5) à l'axe de symétrie) répond à l'équation du 4ème degré : 4 sin4(-) R4 -4 sin3(-) R3 +(4 cos(-) - 7) sine(-) R2 + 2 (1 + cos(- )) sin(-) R - 3 cos2(-) + 2 = 0 n 3 ) Ensemble des atomes (An) de forme polyédrique selon la revendication n° 1 caractérisés par le fait : -que la hauteur ( h) de leurs antiprismes droit ( APn) répond à l'équation : 2 2 cot(-) I + 1 -(R - 2 csc(- )) si 3 s n 9 cot(-»2 / /2 - 1 - (R - 1 csc(-1 JZ si n > 9- 15 - REVENDICATIONS 4) Ensemble des demi-coques (Cn ) représentant les deux hémisphères symétriques des atomes (An) selon la revendication n°1 , caractérisées par le fait : -qu'elles sont évidées et que leur rebord est en dents de scie ( fig.68) . -que les angles entre les facettes restent identiques à ceux de l'atome initial -qu'elles sont destinées à être assemblées à d'autres demi-coques , du même ordre (n) et à la même échelle , grâce à la jonction des sommets des branches étoilées ( 5) pour constituer des ensembles appelés molécules. 5 ) Ensemble des molécules (Mn) caractérisées par le fait : - qu'elles sont composées de demi-coques ( Cn) selon la revendication n° 4 réunies entre elles par la pointe de leur branches étoilées (5) et ceci trois par trois, dont l'espace entre les branches étoilées forme une surface concave hexagonale (Vn ) d'arêtes égales à l'unité , divisée en six triangles à partir de six rayons ajustés à la longueur voulue pour aboutir à un centre commun (6 ) et ceci nous donne des demi-coques ajustées (C'n) . 6) Molécule d'ordre 3 (M3 ) selon la revendication n° 5 caractérisée par le fait : 15 -qu'elle est composée de quatre demi-coques d'ordre 3 (C'3 , fig.68 ). - qu'elle représente un triskèle ou tétrapode -qu'elle est composée de quarante faces dont les seize faces équilatérales des quatre polygones étoilés - qu'elle compte quatre cavités concaves à six faces (V3) . 20 7) Molécule d'ordre 3 (M'3 ) selon la revendication n° 5 caractérisée par le fait : -qu'elle composée de huit demi-coques ( C'3' , fig.70 ) -qu'elle est composée de quatre-vingts faces dont trente-deux sont équilatérales -que le montage de ces demi-coques représente une forme cubique -qu'elle comporte six cavités à huit faces ( V3') . 25 8 ) Molécule d'ordre 4 ( M4) selon la revendication n°5 caractérisée par le fait : -qu'elle résulte de l'assemblage quadratique de six demi-coques ( C' 4 , fig.75 ) -qu'elle comporte soixante dix huit faces dont six carrés et vingt quatre triangles 2977967 - 16 - REVENDICATIONS équilatéraux -qu'elle possède huit cavités pyramidales de six faces (V4) , de sommet (6). 9 ) Molécule d'ordre 5 (M5 ) selon la revendication n° 5 caractérisée par le fait : -qu'elle résulte de l'assemblage de douze demi-coques ( C'5 ) réunies entre elles de façon 5 dodécaédrique ( fig.38 ). -qu'elle comporte cent quatre vingt douze faces dont douze pentagones, soixante triangles équilatéraux ou deux cent quarante faces en élevant des pyramides sur les douze pentagones -que leurs axes de symétries forment un angle de : cos-' -v' 5 -qu'elle comporte vingt cavités concaves ( V5) à six triangles . 10 10 ) Molécule ( M3, M4 ou M5 )selon la revendication n°5 caractérisée par le fait : -qu'elle comporte au moins une cavité (Y3, Y4 ou Y5 ) occupant la place d'une demi-coque ajustée (C'3, C'4 ou C'S , fig.77), pouvant recevoir et contenir une autre demi-coque ajustée appartenant à une autre molécule identique et fusionnant entre elles grâce à deux demi-coques communes, soit un atome commun . -que les parois internes des faces appelées à être en contact deux par deux sont équipées d'un système de fixation , genre aimant permanent , pour assurer la cohésion des molécules . 11) Molécule selon la revendication n°5 , caractérisée par le fait : -qu'elle est conçue pour pouvoir s'accoupler à une autre molécule par l'intermédiaire de leurs polygones hexagonaux concaves ( Vn , fig 73 ) grâce à une rotation de 60° de l'une des molécules et à la modification des longueurs et pentes des 6 triangles d'au moins l'un des polygones hexagonaux concaves (Vn )de cette molécule rendant alors les molécules complémentaires . -que les surfaces de ces polygones hexagonaux sont équipées , côté intérieur, de systèmes d'attraction , de fixation , genre aimant permanent , permettant de solidariser les molécules 25 entre elles. 12 ) Assemblage de molécules d'ordre 5 (M5 ) selon la revendication n° 10 caractérisé par le fait : -qu'on réalise une couronne torique au moyen de 6 molécules ( M5 , fig46 ) reliées entre- 17 - REVENDICATIONS elles deux à deux grâce à la fusion de deux demi-coques (C'5 ) et ceci sur deux niveaux différents alternés des molécules (M5 ,fig. 45 et 46 ). 13 ) Assemblage de molécules d'ordre 5 (M5 ) selon la revendication n°10 caractérisé -par le fait : -que l'on greffe trois autres molécules identiques ( M5 ,fig.47) dans trois directions différentes à partir de quatre emplacements possibles (Y5 ) sur une molécule centrale grâce à un atome (A5 ) commun reliant chaque molécule ( M5 ) ceci pour réaliser des arborescences, ou constructions dans l'espace . 14 ) Assemblage de molécules selon les revendications n° 9 et 10 caractérisé par le 10 fait : -qu'on réalise un ensemble dodécaédrique de vingt molécules (M5 ) liées entre elles par un atome (A5 ) commun à chaque liaison ( fig 49 ). -que huit molécules ont une triple liaison et les douze autres molécules ont une double liaison 15 -que ces vingt molécules ont un point de tangence à une sphère fictive interne -que ce module de vingt molécules s'inscrit et est contenu dans un icosaèdre -que cet assemblage représente une macromolécule ( MM5 ) et constitue le niveau 1. 15 ) Assemblage de modules selon la revendication n° 14 caractérisé par le fait : - que l'on duplique douze fois le module de niveau 1 ( MM5 ) en les disposant sur les 20 douze sommets de l'icosaèdre associé au module de niveau 1 (fig. 55 ) - que chacun des douze sommets est lié à un module disposant d'une liaison libre par l'intermédiaire d'un atome de liaison - que ce module est constitué de deux cent soixante molécules que ce module s'inscrit dans un icosaèdre et constitue le niveau 2. 25 16 ) Assemblage de molécules selon les revendications n°13 et 15 caractérisé par le fait : -que vingt molécules (X5 , fig 54) relient les douze branches des macromolécules ( MM5 ) de niveau 2 en partageant un atome commun sur chaque paire de branches.