FR 2868898 A1 20051014 FR 0451362 A 20040629 PROCEDE ET SYSTE4E POUR GENERER ET/OU SELECTIONNER DES NOMBRES ENTIERS AYANT DES STRUCTURES MATHÉMATIQUES PREDETERMINEES. APPLICATION AUX ALGORITHMES DE CRYPTOGRAPHIE. Préambule de la description Domaine concerné La présente invention concerne un procédé et un système pour générer et/ou sélectionner des nombres entiers ayant des morphologies et/ou structures mathématiques prédéterminées. La présente demande concerne également une application du procédé et du système selon l'invention aux algorithmes de cryptographie. Problème posé La mise en oeuvre de certains algorithmes de cryptographie et/ou de contrôle de l'authenticité d'une entité et/ou de l'authenticité d'un message et/ou de signature de message implique l'utilisation de nombres entiers (notamment de très grands nombres entiers, premiers ou non) possédant des propriétés mathématiques. Aussi, il est parfois nécessaire de disposer de cribles algorithmiques permettant de procéder à la génération de nombres entiers spécifiques ou à des sélections parmi les nombres entiers afin de rechercher ceux qui ont des propriétés mathématiques prédéterminées. Plus particulièrement, ces cribles doivent être conçus pour construire et vérifier que certains nombres entiers et/ou premiers ont des morphologies et/ou des structures prédéterminées. Plus particulièrement encore, ces cribles algorithmiques doivent être conçus pour construire et vérifier que la somme de certains nombres entiers et/ou premiers ont des morphologies et/ou des structures prédéterminées. Définitions (1) Structure et/ou morphologie d'un nombre d'un nombrer ou plus généralement d'un élément mathématique. On désigne par structure et/ou morphologie d'un élément mathématique, par exemple la structure et/ou la morphologie d'un nombre entier, une description des propriétés générales desdits éléments mathématiques indépendante des valeurs particulières de ceux-ci obtenus au moyen de descripteurs révélant les propriétés des opérateurs mathématiques appliqués à ces éléments; par exemple, dans le cas des nombres entiers, des descripteurs de ceux-ci permettant de révéler l'action des opérateurs arithmétiques (addition, exponentiation, etc... (2) Descripteur morphologique et/ou structurel d'un élément mathématique notamment d'un nombre entier. On appelle descripteur morphologique et/ou structurel d'un élément mathématique, notamment d'un nombre entier, une trame algébrique ou géométrique ayant une structure ou une morphologie appropriée auxquelles peuvent associés des quantificateurs (3) Forme développée en puissance de 2 d'un nombre entier A. La forme développée en puissance de 2 d'un nombre 30 entier A est donnée par l'expression: A= o La forme développée en puissance de 2 d'un nombre entier A est un descripteur de A au sens de la présente 5 invention. On appelle degré d'une forme développée en puissance de 2 l'exposant m du dernier terme 2m de la suite. Le dernier terme 2m est la puissance de 2 immédiatement inférieure à A. Par exemple, si A = 49: 25 = 32 est la puissance de 2 immédiatement inférieure à A; 5 est le degré de forme développée. On peut aisément démontrer qu'il n'existe qu'une seule forme développée pour un nombre entier donné. (4) Trous d'un nombre entier Dans la suite de l'exposé, on appellera trou d'une forme développée de l'entier A en puissance de 2 les termes pour lesquels SAci) = O. Ces termes ont une valeur égale à 0. Le rang du trou est fourni par l'indice i. (5) Pavés ou perles d'un nombre entier. Dans la suite de l'exposé, on appellera pavé ou perle d'une forme développée en puissance de 2 de l'entier A les termes pour lesquels &b)=1. Ces termes ont une valeur égale à 1. Le rang d'un pavé ou d'une perle est fourni par l'indice i. (4) Structure mathématique d'un nombre entier Dans la suite de l'exposé, on appellera structure ou morphologie d'un nombre entier décrite au moyen d'un descripteur en puissance de 2 la succession des trous et des pavés repérée de manière indicielle dans une forme algébrique ou sur une forme géométrique La connaissance de la position de certains trous peut dans certain cas suffire pour définir la structure mathématique d'un nombre entier. Dans de tels cas, on appelle structure mathématique d'une nombre entier les rangs des trous caractéristiques. Par exemple, la structure mathématique de A=25 comporte deux trous aux rangs 1 et 2. (5) Invariant de structure mathématique d'un nombre entier On appelle invariant de structure mathématique des nombres entiers les parties des structures mathématiques desdits nombres entiers dont les positions indicielles sont conservées de manière absolue ou relative lors des opérations mathématiques, notamment lors des multiplications, effectuées sur lesdits nombres entiers. (6) Nombre entier antisymétriques en totalité ou en 10 partie Deux nombres entiers impaires sont dits antisymétriques, bornes comprises, jusqu'au rang v si les premiers termes de A et B compris entre les rangs 1 et v-1 sont tels que quelque soit: 1 âci)+ 8aci) = 1 On démontre aisément que si A et B sont antisymétriques jusqu'au rang v: É A^n et B^n sont également antisymétriques jusqu'au rang v É A^n + B^n est divisible par 2'. (7) Paquets d'un nombre entier A. Tout nombre A décomposé en base deux comporte une succession de pavés PA(k) et de trous que l'on peut regrouper en paquet. Un paquet Ai est caractérisé par son premier pavé PA(i) = 2i et par le nombre de pavés LA(i) et de trous lAci) qu'il comporte. Un paquet Ai est égal à la somme des pavés et des trous qui le constitue. La relation Ai = PAci)* [Zi 1 on est conduit à expliciter le pavé pA(0)*SAO sous le forme = 1+ pA(1)*SA1; toutefois, par exception dans ce cas, il n'y a pas de trou entre le paquer pA(0)*SAO = 1 et le paquet pA(1)*SA1. La forme développée en paquet d'un nombre entier A est un autre descripteur de A au sens de la présente invention. (9) Forme canonique d'une exponentielle La forme algébrique d'une exponentielle A^n d'un entier A décrit au moyen d'un descripteur par paquet s'écrit A s'écrit: A= [ZO Ce regroupement spécifique des pavés des paquets, et des pavés des blocs en Axes El, Plans E2, Espaces E3 à En, est dans la suite de la description appelée la forme canonique d'une exponentielle. On peut aisément démontrer que: 15 20 rubrique dans une ou de la des rubriques spécifiques de la * PA(0)SAO, de valeur 1, dans une - toute forme exponentielle d'un nombre entier A quelconque à une puissance n quelconque peut se mettre sous une forme canonique, - pour une puissance donnée n et un nombre A donné, il n'existe qu'une forme canonique de l'exponentielle considérée, - l'existence d'une forme canonique est une condition nécessaire et suffisante pour qu'une forme algébrique soit une exponentielle. (9) Transformations conservant le caractère exponentiel d'une forme canonique. La transformation J Parmi les transformations conservant le caractère exponentiel d'une forme canonique, l'une d'entre elle qui présente plusieurs avantages sera ci-après la transformation J. La transformation J consiste à : - conserver le paquet de valeur 0 ou 1 situé dans la rubrique origine 00, - diviser par 21 la valeur des termes des paquets situés dans la rubrique Axes El, - diviser par 22 la valeur des termes des blocs situés 20 dans la rubrique Plans E2, - diviser par 23 la valeur des termes des blocs situés dans la rubrique Espace E3, et ainsi de suite, puis - diviser par 2 la valeur des termes des blocs situés 25 dans la rubrique Espace En. La transformation J possède les propriétés suivantes: J (A^n+B^n) = J (A^n) +J (B^n) J (2^nC^n) = C^n 3 (2^pnC^n) = CAn Les définitions des concepts intervenant dans l'explicitation de la solution au problème posé ayant été précisées, il est possible d'exposer celle-ci. Solution Procédé L'invention concerne un procédé pour contrôler l'authenticité d'une entité et/ou l'authenticité d'un message et/ou la signature de message au moyen de nombres entiers, notamment impairs et/ou premiers. Le procédé comprend l'étape de générer et/ou de sélectionner, au moyen de descripteurs morphologiques ou structurels, des nombres entiers, notamment des nombres impairs ou des nombres premiers, ayant des structures mathématiques prédéterminées. De préférence selon l'invention, le procédé comprend l'étape de mettre en oeuvre un descripteur se présentant sous la forme d'un développement en puissance de deux d'un nombre entier ou d'une puissance quelconque de ce nombre entier. De préférence selon une autre variante de réalisation de l'invention, qui peut être combinée à la précédente, le procédé comprend l'étape de mettre en oeuvre un descripteur se présentant sous la forme d'un développement en paquet d'un nombre entier ou d'une puissance quelconque de ce nombre entier. De préférence selon l'invention, afin de sélectionner des nombres entiers ou des puissances exponentielles de ceux-ci présentant des propriétés mathématiques prédéterminées, le procédé comprend l'étape de classer les composantes des formes algébriques ou des formes géométriques desdits nombres entiers ou desdites puissances exponentielles de ceux-ci de manière à obtenir des formes canoniques spécifiques. De préférence selon l'invention, les formes canoniques spécifiques sont obtenues en classant dans des rubriques spécifiques: - le terme pA(o)*SAO, de valeur 1, classé dans une rubrique appelée Origine Q0 - les paquets de termes de la forme pA(i)*SAi, classés dans une rubrique appelée Axes El , - les blocs de termes de la forme pA(2i)*[SAi]2 ou de la forme E2 , PA(i+ ])*[SAi] [SAS], classés dans une rubrique appelée Plans - les blocs de termes de la forme pA(31) [SAi] 3 ou de la forme pA(2i+j)* [SAi] 2 [SAj] ou de la forme pA(i+j+k)* [SAi] [SAj] [SAk], classés dans une rubrique appelée Espaces E3 , et ainsi de suite et enfin, - dans une rubrique appelée Espace En , les blocs de termes de la forme pA{ (n)i}* [SAi] n ou de la forme 1) [SAj] , etc... De préférence selon l'invention, afin de produire et de sélectionner des nombres entiers ou des formes exponentielles de ceux-ci au moyen des formes canoniques, on applique une ou plusieurs fois des transformations algébriques ou géométriques conservant en tout ou partie le caractère exponentiel des formes canoniques d'origine. De préférence selon l'invention, la transformation 15 algébrique ou géométrique J É laisse invariante le pavé pA(o)*SAO, Origine Q0 , de valeur 1, É opère, au moins en partie, sur: - des paquets de termes de la forme pA(i)*SAi, classés 20 dans une rubrique appelée Axes El , une division par 21, forme - des blocs de termes de pA(i+j)* [SAi] [SAj] , classés dans la forme PA(2i) * [SAi] 2 ou de la une rubrique appelée Plans E2 , une division par 22, - des blocs de termes de 25 forme pA(2i+j)* [SAi] 2 [SAj] ou de la classés dans une rubrique appelée par 23, et ainsi de suite et enfin la transformation J opère sur des blocs de termes de la forme pA{ (n)i}* [SAi] n ou de la forme 30 pA{ (n-1)i+j}* [SAi] (n-1) [SAj] , etc... , classés dans une rubrique appelée Espace En , une division par 2n. Système L'invention concerne également un système pour contrôler l'authenticité d'une entité et/ou l'authenticité d'un message et/ou la signature de message au moyen de nombres la forme pA(3i)* [SAi] 3 ou de la forme pA(i+j+k)* [SAi] [SAj] [SAk] , Espaces E3 , une division entiers, notamment impairs et/ou premiers. Le système comprend des moyens de traitement informatique pour générer et/ou sélectionner, des nombres entiers, notamment des nombres impairs ou des nombres premiers, ayant des structures mathématiques prédéterminées, en mettant en oeuvre des descripteurs morphologiques ou structurels. De préférence selon l'invention, les moyens de traitement informatique mettent en uvre un descripteur se présentant sous la forme d'un développement en puissance de deux d'un nombre entier ou d'une puissance quelconque de ce nombre entier. De préférence selon une autre variante de réalisation de l'invention, qui peut être combinée à la précédente, les moyens de traitement informatique mettent en oeuvre un descripteur se présentant sous la forme d'un développement en paquet d'un nombre entier ou d'une puissance quelconque de ce nombre entier. De préférence selon l'invention, afin de sélectionner des nombres entiers ou des puissances exponentielles de ceux-ci présentant des propriétés mathématiques prédéterminées, les moyens de traitement informatique comprennent des moyens de calcul des composantes des formes algébriques ou des formes géométriques desdits nombres entiers ou desdites puissances exponentielles et des moyens de classement pour classer ceux-ci de manière à obtenir des formes canoniques spécifiques. De préférence selon l'invention, les moyens de classement des éléments des formes canoniques classent dans des rubriques spécifiques: - le terme pA(o)*SAO, de valeur 1, classé dans une 30 rubrique appelée Origine 00 - les paquets de termes de la forme pA (i) *SAi, classés dans une rubrique appelée Axes El , - les blocs de termes de la forme pA(2i) * [SAi] 2 ou de la forme pAti+j) * [SAi] [SAS] , classés dans une rubrique appelée Plans 35 E2 , - les blocs de termes de la forme PA (3i)* [SAi] 3 ou de la forme PA(2i+j) * [SAi] 2 [SAj] ou de la forme pAci+j+k}* [SAi] [SAj] [SAk] , classés dans une rubrique appelée Espaces E3 , et ainsi de suite et enfin, - dans une rubrique appelée Espace En , les blocs de termes de la forme pA{ (n}i}* [SAi] n ou de la forme pA{ {n-1)i+j}* [SAi] (n-1) [SAj], etc... De préférence selon l'invention, afin de produire et de sélectionner des nombres entiers ou des formes exponentielles de ceux-ci au moyen des formes canoniques, les moyens de traitement informatique appliquent une ou plusieurs fois des transformations algébriques ou géométriques conservant en tout ou partie le caractère exponentiel des formes canoniques d'origine. De préférence selon l'invention, les moyens de traitement informatique appliquent une transformation algébrique ou géométrique J présentant les caractéristiques: É de laisser invariant le pavé pA(o)*SAO, Origine ê0 , de valeur 1, É d'opérer, au moins en partie, sur: - des paquets de termes de la forme pA(i)*SAi, classés dans une rubrique appelée Axes El , une division par 21, - des blocs de termes de la forme pA(2i)* [ SAi] 2 ou de la forme pA(i+j) * [SAI] [SAj] , classés dans une rubrique appelée Plans E2 , une division par 22, - des blocs de termes de la forme pA{3i} * [SAi] 3 ou de la forme PA(2i+j) * [SAi] 2 [SA]] ou de la forme pAci+j+k}* [SA] [SA]] [SAk] , classés dans une rubrique appelée Espaces E3 , une division par 23, et ainsi de suite et enfin la transformation J opère sur des blocs de termes de la forme pA{(n)i}*[SAi] ou de la forme pA{{n-1}i+j}*[SAi] (n-1) [SA]], etc.. . , classés dans une rubrique appelée Espace En , une division par 2n. Description détaillée La méthode décrite dans la présente demande de brevet a été appliquée au plan industriel pour contrôler l'authenticité d'une entité et/ou l'authenticité d'un message et/ou la signature de message au moyen de nombres entiers impairs et/ou de nombres premiers. A titre d'exemple complémentaire et afin de mettre en évidence la puissance des descripteurs par développement en puissance de 2 ou par paquets des nombres entiers pour générer et sélectionner des nombres premiers ayant des propriétés mathématiques appropriés aux problèmes cryptographiques, ces descripteurs seront appliqués à l'étude du second théorème de Fermat. Il sera ainsi établi que ces descripteurs permettent de révéler les propriétés intrinsèques des opérateurs arithmétiques appliqués à des familles de nombre entiers. Il sera également ainsi établi qu'ils permettent de construire des formes canoniques exponentielles particulièrement adaptées pour générer de nouvelles formes canoniques exponentielles lorsqu'on leur applique des transformations algébriques ou géométriques appropriées. Nota: la note qui suit est extraite d'une communication à caractère mathématique, que l'auteur se propose de diffuser largement après le dépôt de la demande de brevet. Cette dernière ne vise qu'à réserver les droits de l'inventeur en ce qui concerne exclusivement les applications industrielles. Rappel de la conjoncture de Fermat Selon la conjecture de Fermat (démontrée en 1993 par Andrew Wiles au terme de 7 ans de recherche mathématique), l'équation en x, y et z: x^n + y^n = zAn n'a pas de solution entière pour n > 2. Préambule L'auteur qui tout comme Fermat a aussi une culture juridique, et dont les mathématiques sont l'un des sujets de distraction, écarte sans en douter l'hypothèse selon laquelle Fermat n'aurait pas démontré ce résultat avant de l'annoter en marge d'un de ses livres de lecture préféré. Cette note a donc pour essentiellement pour objet de retrouver le cheminement de démonstration de Fermat en exposant les raisons pour lesquelles Fermat a pu emprunté une voie d'attaque comparable à celle de l'auteur. Observations préliminaires. 1. L'équation met en uvre deux opérateurs arithmétiques: une exponentiation (c'est-à-dire une pluralité de multiplications) et une addition. Selon l'auteur, pour traiter le problème posé par Fermat il convient avant tout d'analyser les propriétés structurelles de ces deux opérateurs en mettant en uvre des descripteurs pointus des nombres auxquels ils s'appliquent. Autrement dit, l'auteur pense que la multiplication et l'addition possèdent des traits structurels qui peuvent être exprimés autrement que par les résultats des opérations effectuées. Autrement dit encore, selon l'auteur, il doit être possible de construire une méthode de démonstration qui soit indépendante des valeurs particulières des nombres entiers: x, y, z et n. 2. L'affirmation de Fermat selon laquelle son équation: x^n + y^n = z^n n'a pas de solution entière pour n supérieur à 2 implique une démonstration par l'absurde. On ne saurait en douter. Pour démontrer Fermat, l'auteur a donc mis en évidence que l'existence d'un triplet {a, b, c} serait contraire aux caractéristiques structurelles de l'exponentiation. 3. On peut aisément démontrer que l'étude de 30 l'équation de Fermat peut être limitée aux valeurs impaires 2n+1 de l'exposant: x^2n+1+ y^2n+1 = z^2n+1 Formulation asymétrique de l'équation de Fermat L'équation de Fermat sous sa forme initiale est lisse. Sa symétrie fait sa beauté mais semble déjouer a priori toute approche globale. Avant toute autre initiative, il convient de rechercher une formulation asymétrique en inférant celle-ci de l'existence d'une prétendue solution. S'il existe un triplet {a, b, c} solution de Fermat, les éléments de celui-ci peuvent être décomposés en facteurs premiers. Il apparaît immédiatement que si deux des éléments du triplet ont des facteurs premiers en commun, il est alors possible de simplifier l'équation de Fermat par ces facteurs premiers. On peut donc réduire le problème posé à l'étude de l'équation: a^2n+1+ b^2n+1 = c^2n+1 où a, b ou c sont premiers entre eux. Une analyse de la parité de cette équation permet de conclure que 2 est nécessairement l'un des facteurs premiers de a, b ou c; d'où les nouvelles formulations de Fermat: a^2n+1 + b^2n+1 = 2^p(2n+1)c'''2n+1 (branche positive) ou a^2n+1 - b^2n+1 = 2^p(2n+1)c'^2n+1 (branche négative) On étudiera successivement la branche positive puis la branche négative. Commentaires: L'auteur rapporte que, dès l'origine de ses travaux, cette nouvelle écriture en deux parties de Fermat a été pour lui décisive pour au moins les raisons suivantes: É D'une part, la dissymétrie ainsi obtenue ouvre des perspectives intéressantes. Ne pourrait-on pas démontrer que l'existence d'un triplet solution de l'une des branches implique un autre triplet solution de l'autre branche ? Il serait ainsi possible par une descente infinie (technique très prisée par Fermat) d'aboutir à une impossibilité logique. On verra que la méthode utilisée par l'auteur débouche effectivement sur une telle descente infinie en ping pong . É D'autre part, la mise en évidence du rôle essentiel joué par le facteur 2 premier et pair est cohérent avec l'énoncé de Fermat qui disqualifie le nombre 2. É Enfin, désormais on sait que a, b et c' sont 5 impairs. Pour l'auteur il ne fait aucun doute que Fermat a au moins songé à réécrire son énoncé sous la forme des deux équations: a^2n+1 + b^2n+1 = 2^p(2n+1)c'^2n+1 (branche positive) 10 a^2n+1 - b^2n+1 = 2^p(2n+1)c'^2n+1 (branche négative) Car telle est bien la question: la somme ou la différence de deux puissances nièmes impaires est-elle la puissance nième d'un nombre pair. La parité est un élément de structure qui a sauté aux yeux de Fermat (même s'il l'a masquée 15 par la suite pour éprouver la sagacité des mathématiciens de son époque auxquels il avait l'habitude de lancer des défis). Explicitation de la méthode Les deux formes: a^2n+1 + b^2n+1 = 2^p(2n+1) c'''2n+1 (branche positive) 20 ou a^2n+1 - b^2n+1 = 2Ap(2n+1)c'^2n+1 (branche négative) imposent la méthode de démonstration. Il convient donc de démontrer maintenant que, quelque soit n, pour des raisons structurelles liées à la nature de 25 l'exponentiation, la somme ou la différence de deux puissances 2n+1 ième ne peut être égal à un produit formé par: É une puissance 2n+1 ième du nombre 2, et/ou É une puissance 2n+1 ième d'un nombre impair. Notons que le premier critère est particulièrement réducteur, il limite étroitement le champ des possibles. Premier descripteur de la morphologie d'une nombre. Approche corpusculaire (atomiste). Commentaires É Pour pouvoir banaliser a et b et mettre en évidence 35 les traits structurels de l'exponentiation, il convient de les 2868898 15 décrire au moyen d'un descripteur qui émiette le nombre concerné en éléments simples (insécables, des atomes) dont les mouvements pourront être suivis lors du processus d'exponentiation. É Pour pouvoir effacer l'opérateur addition et le traiter sur un plan d'égalité avec l'exponentiation, il convient d'utiliser un descripteur des nombres tel qu'au terme des deux exponentiations on obtienne une forme linéaire composée d'additions. Fin des commentaires. Suite de la démonstration Parmi les descripteurs possibles, l'auteur a très rapidement (après quelques semaines de réflexion) pris le parti de retenir une décomposition en base deux des nombres entiers. Ainsi, les nombres entiers impairs appelés à être élevés à la puissance 2n+1 s'écrivent sous la forme suivante: a = 1+Z1 É Une telle technique ne paraît pas étrangère aux techniques employées par Fermat et ses contemporains. Ils tenaient des grecs l'usage de fractionner les nombres étudiés en d'autres nombres dont l'emploi leur paraissait plus approprié au problème posé. É On notera que, conformément à la méthode annoncée, 30 il est ainsi possible de ne traiter qu'une chaîne d'additions. Fin des commentaires. Suite de la démonstration La somme des puissances 2n+1 ièmes de deux nombres impairs peut donc se mettre sous la forme: 1+ Z1 Dans ce cas, l'expression 1+Z1 1 - 1. On ne saurait donc trouver des valeurs de a et b, non 15 simultanément congrus à 1 modulo 4 et 3 modulo 4, satisfaisant la branche positive de l'équation de Fermat: 2 (Impair) = 2^p (2n+1) c' ^2n+1 dès que n >- 1 (Fermat a très précisément écarté le cas où l'exposant de l'exponentiation est supérieur à 2). L'auteur a donc établi que deux nombres a et b non simultanément congrus à 1 modulo 4 et 3 modulo 4 ne peuvent pas être solution de la branche positive de l'équation de Fermat. Le champ des nombres a et b susceptibles d'être solution de Fermat est donc réduit. Commentaires. É La nature profonde du seul facteur premier et impair 2 est ainsi révélée et expliquée. Il est remarquable de constater que, quelque soit a et b, l'exponentiation va produire un invariant 2 caractérisant la somme de deux formes exponentielles. Le projet que l'auteur s'était fixé : analyser les propriétés structurelles de l'opérateur exponentiation et de l'opérateur addition en mettant en uvre des descripteurs pointus, est donc déjà largement atteint. 25 2868898 17 En outre, la méthode mise en oeuvre par l'auteur a permis de mettre en évidence qu'une famille de nombres, simples à définir, paraît échapper à la règle. On verra ci-après ce qu'il en est exactement. É Un corollaire de cette étude est le résultat suivant: L'équation en x: K 2^x = A^n + BAn (avec K impair) a pour seule et unique solution x= 1, lorsque les deux 10 nombres entiers A et B sont impairs et ne sont pas congrus simultanément à 1 modulo 4 et 3 modulo 4. Fin des commentaires Suite de la démonstration. Deuxième cas: Reste donc à étudier le cas où l'un des deux coefficients Dal ou Am est nul au rang 1. On démontre aisément que si l'un des deux coefficients 4a1 ou Am est nul au rang 1, il en est également ainsi des coefficients 8a1 et 8m de a et b. L'un d'eux est nul au rang 1. Autrement dit, a et b sont respectivement congrus à 1 modulo 4 et 3 modulo 4. L'un des amis de l'auteur, Christophe Migliorini, a alors attiré l'attention de celui-ci sur le caractère antisymétrique des premiers termes du développement de a et b. Nota: Dans la suite de l'exposé l'auteur a dénommé antisymétriques jusqu'au rang v, bornes comprises, deux nombres impairs a et b dont les premiers termes de leur développement en puissance de deux, compris entre le rang 1 le rang v-1, soient tels que: Sai + = 1. On démontre aisément que si a et b sont 30 antisymétriques jusqu'au rang v, il en est de même de leurs puissances 2n+1. Les deux nombres impairs a et b s'écrivent alors sous la forme: a = 1 + 1 Par conséquent, lorsque deux nombres impairs sont simultanément congrus à 1 modulo 4 et 3 modulo 4 et antisymétriques jusqu'au rang v, il apparaît que la somme de leurs puissances 2n+1 ièmes est égal au produit par 2v d'un nombre impair. Or, le produit par 2' d'un nombre impair ne saurait être égal à 2^p(2n+1) c'^2n+1, sauf dans le cas où v est un multiple de 2n+1. On peut donc conclure avec l'auteur que deux nombres a et b simultanément congrus à 1 modulo 4 et 3 modulo 4 ne peuvent pas être solution de la branche positive de l'équation de Fermat sauf dans le cas où les deux nombres a et b sont antisymétriques jusqu'à un rang qui soit un multiple de 2n+1. Le champ des nombres a et b susceptibles d'être solution de Fermat est donc de nouveau réduit. Commentaires. É Le commentaire précédent soulignant le rôle essentiel joué par le seul facteur premier pair est renforcé. Il apparaît que le facteur premier 2 intervient conjointement avec les traits structurels de l'exponentiation. En effet, pour la plupart des nombres de la seconde famille seules ceux qui sont antisymétriques jusqu'à un rang qui soit un multiple de la valeur de l'exposant (2n+1) de l'exponentiation sont peut-être susceptibles de déjouer la conjoncture de Fermat. On verra ci-après pour quelles raisons profondes il n'en est rien. Le projet que l'auteur s'était fixé : analyser les propriétés structurelles de l'opérateur exponentiation et de l'opérateur addition en mettant en oeuvre des descripteurs pointus, est donc déjà à nouveau largement atteint. É Un corollaire de cette étude est le résultat suivant: Lorsque deux nombres entiers A et B, congrus simultanément à 1 modulo 4 et 3 modulo 4, sont antisymétriques jusqu'au rang v, la solution de l'équation en x: K 2^x = A^n + BAn (avec K impair et n entier) est égale à v (x= v) Fin des commentaires. Suite de la démonstration Deuxième descripteur de la morphologie d'un nombre. Approche globulaire (moléculaire). Le cas des nombres antisymétriques jusqu'au rang p(2n+1) paraît poser un problème de méthode singulier. Il n'en est rien, la méthode générale cidessus annoncée n'est pas compromise; Rappelons la: Il convient de démontrer que, quelque soit n, pour des raisons structurelles liées à la nature de l'exponentiation, la somme ou la différence de deux puissances 2n+1 ièmes ne peut être égal à un produit formé par: É une puissance 2n+1 ième du nombre 2, et/ou É une puissance 2n+1 ième d'un nombre impair Le deuxième critère, impliquant que la somme de deux puissances 2n+1 ièmes ne puisse se mettre sous la forme du produit de 2^p(2n+1) par une puissance 2n+1 ième d'un nombre impair n'a pas encore été invoqué dans les phases précédentes de la démonstration. C'est sur la base de ce dernier critère que l'auteur a achevé la démonstration du théorème de Fermat. Toutefois, il lui est apparu nécessaire de se doter de nouveaux outils mathématiques permettant une analyse plus poussée de la morphologie et de la structure d'une exponentiation. Le descripteur utilisé jusqu'à présent pour décrire un nombre entier ne suffit plus. Il est la trop précis et pas assez général pour visualiser les structures algébriques (rep. Géométriques) d'une exponentiation. L'auteur a donc ajouté, à la décomposition en base deux d'un nombre, ce qu'il a appelé la décomposition par paquet d'un nombre. Tout nombre décomposé en base deux comporte en effet des éléments pleins [lorsque 8, (rep. A) est égal à 1] et des trous [lorsque S, (rep. A) est égal à 0]. Les éléments pleins ont été appelés pavés ou perles par l'auteur. Une succession de pavés pA(k) et de trous constitue selon la terminologie employée un paquet Ai. Un paquet Ai est caractérisé par son premier pavé pA(i) = 21 et par le nombre de pavés LA(i) ainsi que par le nombre de trous lA(i) qu'il comporte. La relation ci-après: PA(i+l) = PA(i) + LA(i) + 1A(i) exprime que les paquets Ai se suivent selon l'ordre croissant de l'indice i. Un paquet Ai est égal à la somme des pavés et des trous 15 qui le constitue. La relation: Ai = PAU) * [Ei i Nota: l'auteur a utilisé une terminologie qui peut conduire le lecteur à penser qu'un nombre est une forme géométrique dans un espace multidimensionnel. Il en est peut-être ainsi, toutefois l'auteur a veillé à fournir une démonstration de Fermat qui soit exclusivement fondée sur les formes algébriques tels que les contemporains de Fermat pouvaient les concevoir. L'auteur se réserve d'établir ultérieurement que formes algébriques et formes géométriques (resp. transformations géométriques) ne sont que des façons différentes de décrire les mêmes êtres mathématiques: des nombres et/ou les opérations arithmétiques qui leurs sont appliqués. Fin des commentaires. Suite de la description Par conséquent, tout nombre entier impair A peut être représenté par la forme algébrique: A = Eo La forme algébrique de l'exponentiation à la puissance 2n+1 d'un nombre A congru à 1 modulo 4 s'écrit: A^2n+1 = 1+ [E2 osisDb PB(i)*SBi] ^2n+1 Ces deux formes algébriques peuvent être décomposées en sommes de composantes qu'il est possible de regrouper de 35 manière spécifique. É Dans le cas d'un nombre A^2n+1 congru à 1 modulo 4 on procède aux regroupements suivants, on isole en premier le terme 1 (A est impair, pA(o) = 1; et SAO =1) puis on range: - les paquets de termes de la forme pA(i) *SAi; il y a 2n+1 paquets identiques; ils sont classés sous la rubrique axes El ; - les blocs de termes de la forme pA(2i)*[Sm]2 ou de la forme pA(i+j)* [SAi] [SAj] ; ils sont classés dans la rubrique plans E2 ; - les blocs de termes de la forme pA(3i)* [SAi]3 ou de la for e PA(2i+j) *[SAi]2[SAj] ou encore de la forme PA(i+j+k)* [SAi] [SAj] [SAk] ; ils sont classés dans la rubrique espaces E3 ; et ainsi de suite, on range enfin: - les blocs de termes de la forme pA{ (2n+1)i}* [SAi] 2n+1; ils sont classés dans la rubrique espace E2n+1 . É Dans le cas d'un nombre B^2n+1 congru à 3 modulo 4, on procède aux mêmes regroupements. Toutefois, pour pouvoir effectuer ceux-ci, il apparaît nécessaire d'éclater les termes du paquet pB(o)*SBO en isolant le terme 1 des autres termes. Le paquet pB(0)*SBO s'écrit alors sous la forme pB(0)*SBO = 1 + pB(1)*SB1 (nota: il n' y a pas de trous entre le paquet 1 et le paquet pB(1)*BB1 contrairement à ce qui se produit avec les autres paquets). Ce regroupement des blocs de termes en axe El, en plan E2, en espaces E3, . E2n+1, est appelé forme canonique de 1'exponentiation...DTD: On peut aisément démontrer que: - toute forme exponentielle de puissance quelconque 30 peut se mettre sous une forme canonique, - pour une puissance donnée et un nombre A donné, il n'existe qu'une forme canonique, - l'existence d'une forme canonique est une condition nécessaire et suffisante pour qu'une forme algébrique soit une 35 exponentielle. Commentaires La terminologie employée par l'auteur laisse à penser que celui-ci visualise les formes algébriques en se les représentant comme des formes géométriques situées dans des espaces de dimensions 1 à 2n+1 t. Bien que la démonstration soit uniquement fondée sur des considérations algébriques, il est certain que la représentation géométrique sous tendue par l'auteur facilite la compréhension de celle-ci. Une construction dans l'espace euclidien du cube d'un nombre entier représenté par paquets rend évident les formes algébriques et les opérations effectuées sur celles-ci. Par ailleurs, ainsi que cela a déjà été indiqué, l'auteur se réserve d'établir que formes algébriques et formes géométriques ne sont que des descriptions différentes des mêmes êtres mathématiques. Fin des commentaires. Suite de la démonstration. Transformation conservant le caractère exponentiel d'une forme algébrique canonique. La transformation J É La décomposition canonique ci-dessus exposée des formes algébriques d'une exponentiation fait immédiatement apparaître que la transformation algébrique consistant à supprimer un indice fait disparaître des blocs mais conserve le caractère exponentiel de la forme canonique. Par exemple, après suppression de l'indice k+1 et des blocs correspondant à k+l, on obtient la forme exponentielle A'^2n+1. avec A' =ZO5i (PA(2n+1)i)) /22n+1 = PA(2+1) (i-1) É La même transformation J appliquée à : B^2n+1 = [1+D Commentaires On découvre à nouveau ici, le rôle singulier joué par le facteur 2 premier et impair. Si l'on transpose la transformation algébrique J aux formes géométriques suggérées par l'auteur, on constate que la transformation J consiste à translater vers l'origine Q des axes: - de une unité les pavés des paquets situés sur les axes El, 10 - de deux unités les pavés des blocs situés dans les plans E2, - de trois unités les pavés des blocs situés dans l'espace E3, - etc... - de 2n+1 unités les pavés des blocs situés dans l'espace E2n+1. Pour l'auteur, il ne fait aucun doute que Fermat a parfaitement eu conscience du rôle fondamental du facteur 2. Il est concevable qu'il ait trouvé d'autres raccourcis que ceux exposés pour révéler, dans le cas où A et B sont antisymétriques jusqu'au rang v=p(2n+l), les mécanismes d'action du facteur 2. Fin des commentaires. Suite de la démonstration É En outre la transformation J est distributive par rapport à l'addition: J (A^2n+1 + B^2n+1) = J (A^2n+l) + J (B^2n+1) Cette distributivité est la conséquence du caractère linéaire des sommations: (PA(i) + PB(1)) /2 = (PA(i)) /2 + (pB(i)) /2 (PA(2i)+ PB(2i)) / 22 = (PA(21)) / 22 + (PB(2i)) / 22 de même [PA(i+j) ] / 22 = [PA((i-1)+(j-1) ] etc... (PA(2n+1)i)+ pB(2n+1)i)) /22n+1 = PA(2n+1) (i-1) + PB(2n+1) (i-1) É Enfin, il est aisé de démontrer que: J (2^2n+1C' ^2n+1) = C' ^2n+1 En effet, la forme algébrique canonique de l'exponentielle 2^2n+1C'^2n+lne comporte aucun pavé à l'origine (i=0), aucun paquet sur les axes El, aucun bloc dans les plans E2 et aucun bloc dans les espaces E2 à E2n. La forme algébrique canonique de l'exponentielle 2^2n+1C'^2n+1 ne comporte des blocs que dans l'espace E2n+l. Par conséquent, en divisant les blocs situés dans E2n+1 par 2^2n+1, on obtient bien C'^2n+l. Nota: en appliquant p fois la transformation J on montre que J p [2^p(2n+ 1)]C^(2n+1) = C^2n+1. Poursuite de la démonstration de Fermat L'auteur a précédemment établi que deux nombres a et b simultanément congrus à 1 modulo 4 et 3 modulo 4 ne peuvent pas être solution de la branche positive de l'équation de Fermat sauf dans le cas où les deux nombres a et b sont antisymétriques jusqu'à un rang v qui soit un multiple de 2n+1: v=p(2n+1). Avec les outils mathématiques qui viennent d'être définis, il est possible d'étudier le cas de figure précédemment exclu. En effet, appliquons p fois la transformation J aux deux membres de la branche positive de Fermat: JP0 (a^2n+1 + b^2n+1) = JP [2^p (2n+1) ] [c' ^2n+1] En premier lieu, on vérifie aisément qu'il est possible d'appliquer p fois la transformation J puisqu'il a été établi que, dans le cas où a et b sont antisymétriques jusqu'au rang p(2n+l), il est possible de factoriser par 2^p(2n+1) les deux membres de la branche positive de l'équation de Fermat. Par conséquent, en tenant compte des propriétés de J: JP (a^2n+1) + JP (b^2n+1) = c' ^2n+1 on transforme ainsi, au moyen de la transformation J, les formes canoniques des puissances de a, b ou c en les formes canoniques de même puissance des nombres a', b' et c' plus petits que a, b ou c: a'^2n+1 + b'^2n+1 = c'^2n+1 avec a' Une analyse de parité met en évidence que l'un des éléments a' ou b' est pair. On est donc conduit à étudier la branche négative de Fermat. Commentaires on a vu précédemment que la parité joue constamment un rôle essentiel Fin des commentaires. Suite de la démonstration. Remarque Les sous-modalités d'application de la transformation J dans le cas où a et b sont antisymétriques jusqu'à un rang v multiple de 2n+1: v = p(2n+1) méritent quelques explications complémentaires. Il convient en effet d'exposer selon quels mécanismes l'application de p fois la transformation J aux éléments issus des paquets pB(k)SBk situés entre le rang 0 et le rang v = p(2n+l) permet de les sommer de proche en proche, après leurs divisons successives par 2, 22, 23,... 22n+1. La règle générale permettant d'effectuer ces sommations est la suivante: - les pavés des axes El sont additionnés à une fraction correspondante des pavés des plans E2 et regroupés avec ces derniers, - les pavés des plans E2 sont additionnés, au moins en partie, à une fraction correspondante des pavés de l'espace E3 15 et regroupés avec ces derniers, et ainsi de suite, - les pavés des espaces E2n sont additionnés, au moins en partie, à une fraction correspondante des pavés de l'espace E2n+1 et avec ces derniers. Au terme des p transformations J, il apparaît, après les sommations et regroupements indiqués, que B^2n+1 se présente sous la forme canonique d'une exponentielle: B'^p(2n+1) qui peut être facturée par 2''p(2n+1). Commentaires: Ainsi, on découvre une fois de plus que le facteur 2 premier et impair intervient constamment dans le processus de formation des formes canoniques des exponentielles. La présence d'une plus ou moins grande quantité de facteurs 2 provenant de l'antisymétrie a une action directe sur le nombre de fois ou la transformation J doit être appliquée. Fin des commentaires; Suite de la démonstration. La branche négative de Fermat: Rappelons que la branche négative de Fermat s'écrit sous la forme: a^2n+1 - b^2n+1 = 2Ap(2n+l)c'^2n+1. Après développement de a^2n+1 et b^2n+1 selon les puissances de deux, en appliquant la méthode précédemment utilisée, on obtient: a^2n+1 = >OSi Après soustraction, on peut mettre 2^ma+1 en facteur dans l'expression de a^2n+1 - b^2n+1. Par conséquent si: - ma+1 p(2n+l), on met en évidence une contradiction qui écarte le triplet {a, b, c} hypothétique considéré. - ma+1 = p(2n+l), on retrouve la situation de la branche positive dans le cas d'une antisymétrie au rang v= p(2n+1). En appliquant la même transformation J à a^2n+1 et b^2n+1 ainsi qu'à leur différence, on fait apparaître de nouvelles formes exponentielles a'^2n+1 et b'^2n+1 telles que: a'^2n+1 - b'^2n+1 = c'^2n+1 nécessairement l'une des exponentielles a'^2n+1 ou b'^2n+1 est paire et peut être factorisée par 2Ap(2n+1). L'existence d'un triplet {a, b, c} solution de la branche négative de Fermat implique donc l'existence d'un triplet {a', b', c'}, de valeurs inférieures, solution de la branche positive ou de la branche négative de la solution de Fermat. Quelque soit le cas, on débouche sur un processus de démonstration par descente infinie dont Fermat a été l'initiateur. Commentaires. É Le fait que l'étude de la branche négative pose des problèmes de même nature que ceux posés par l'antisymétrie, ne paraît pas pour l'auteur un hasard. Il y a une étroite corrélation entre la morphologie d'une structure de nombres antisymétriques et une opération arithmétique de soustraction. Un processus de soustraction permet de produire des nombres en totalité ou en partie antisymétriques. É L'effet ping pong entre la branche positive de Fermat et sa branche négative est apparue à l'auteur comme prévisible dès l'instant où l'écriture de ces deux branches a été formalisé au début des travaux de recherche. Fin des commentaires. Suite de la démonstration. La descente infinie L'auteur aurait pour sa part envie de laisser parler Fermat, l'inventeur de cette méthode de démonstration. Citons l'un de ses commentateurs (Harold Edwards). ... concernant les nombres entiers, une démonstration par l'absurde prend souvent la forme d'une démonstration par le descente infinie. Fermat affirme avoir inventé cette méthode qui, dit-il est la base de toutes ces démonstrations en théorie des nombres. Pour démontrer une proposition par la méthode de descente infinie, on part d'une solution en nombres entiers positifs d'une équation; on en déduit qu'il existe alors une autre solution en nombre entiers positifs, mais de valeurs plus petites. En répétant cette construction sur la solution plus petite, on trouve une solution encore plus petite et on peut ainsi répéter indéfiniment le processus. Comme toutes solutions obtenues sont des nombres entiers positifs et qu'il n'existe pas de suite décroissante infinie d'entiers positifs, l'équation ne peut avoir de solution C'est bien une telle méthode que l'auteur a mise en oeuvre en appliquant de manière répétitive la construction J au dernier plus petit triplet {a, b, c} obtenu. A chaque étape, l'auteur a montré que les processus de factorisation produisaient des entiers positifs. L'auteur pense avoir ainsi retrouvé la méthode employée par Fermat pour démontrer son théorème (ou tout au moins les grands lignes de celle-ci) sans avoir fait appel à d'autres notions mathématiques connus de Fermat ou de ses contemporains. Cette méthode fait largement appel à des descripteurs qui trouvent une application industrielle dans le domaine de la cryptographie. REVENDICATIONS Procédé 1. Procédé pour contrôler l'authenticité d'une entité et/ou l'authenticité d'un message et/ou la signature de message au moyen de nombres entiers, notamment impairs et/ou premiers; ledit procédé comprend l'étape de générer et/ou de sélectionner, au moyen de descripteurs morphologiques ou structurels, des nombres entiers, notamment des nombres impairs ou des nombres premiers, ayant des structures mathématiques prédéterminées. 2. Procédé selon la revendication 1; ledit procédé comprend l'étape de mettre en oeuvre un descripteur se présentant sous la forme d'un développement en puissance de deux d'un nombre entier ou d'une puissance quelconque de ce nombre entier. 3. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 ou 2; ledit procédé comprend l'étape de mettre en uvre un descripteur se présentant sous la forme d'un développement en paquet d'un nombre entier ou d'une puissance quelconque de ce nombre entier. 4. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 3; plus particulièrement, afin de sélectionner des nombres entiers ou des puissances exponentielles de ceux-ci présentant des propriétés mathématiques prédéterminées, ledit procédé comprend l'étape de classer les composantes des formes algébriques ou des formes géométriques desdits nombres entiers ou desdites puissances exponentielles de ceux-ci de manière à obtenir des formes canoniques spécifiques. 5. Procédé selon la revendication 4; lesdites formes canoniques spécifiques sont obtenues en classant dans des rubriques spécifiques: - le terme pA(o)*SAO, de valeur 1, classé dans une 30 rubrique appelée Origine Q0 - les paquets de termes de la forme pA(i)*SAI, classés dans une rubrique appelée Axes El , - les blocs de termes de la forme pA(2i)*[SAi]2 ou de la forme pA(i+j)* [SAi] [SAS] , classés dans une rubrique appelée Plans E2 , - les blocs de termes de la forme pA(3i)* [SAi] 3 ou de la forme pA(2i+i) * [SA;.] 2 [SAS] ou de la forme PA(i+j+k)* [SAi] [SA,] [SAk] , classés dans une rubrique appelée Espaces E3 , et ainsi de suite et enfin, - dans une rubrique appelée Espace En , les blocs de termes de la forme PA{ (n)i}* [SAi]n ou de la forme PA{ (n-1)i+j}* [SAi] (n 1) [SAS] , etc... 6. Procédé selon l'une quelconque des revendications 4 ou 5; plus particulièrement, afin de produire et de sélectionner des nombres entiers ou des formes exponentielles de ceux-ci au moyen des formes canoniques, on applique une ou plusieurs fois des transformations algébriques ou géométriques conservant en tout ou partie le caractère exponentiel des formes canoniques d'origine. 7. Procédé selon la revendication 6; ladite transformation algébrique ou géométrique étant une transformation dénommée J telle qu'elle É laisse invariante le pavé pA(o)*SAO, Origine Q0 , de valeur 1, É opère, au moins en partie, sur: - des paquets de termes de la forme pA(i)*SAi, classés 25 dans une rubrique appelée Axes El , une division par 21, des blocs de termes de la forme pA(21)* [SAi] 2 ou de la la forme pA(3i} *[SAi]3 ou de la forme pA(i+j+x)* [Sm] [SA]] [SAk] , classés dans une rubrique appelée Espaces E3 , une division par 23, et ainsi de suite et enfin la transformation J opère sur des blocs de termes de la forme pA{ (n)i}* [SAi] n ou de la forme forme forme pAci+]}*[SAi] [SAj], classés dans une rubrique appelée Plans E2 , une division par 22, - des blocs de termes de pA(2i+j)* [SAi] 2 [ SAS] ou de la pA{(n-1)i+j} *[SAi] (n-1) [SA]], etc... , classés dans une rubrique appelée Espace En , une division par 2n. Système 8. Système pour contrôler l'authenticité d'une entité et/ou l'authenticité d'un message et/ou la signature de message au moyen de nombres entiers, notamment impairs et/ou premiers; ledit système comprend des moyens de traitement informatique pour générer et/ou sélectionner, des nombres entiers, notamment des nombres impairs ou des nombres premiers, ayant des structures mathématiques prédéterminées, en mettant en oeuvre des descripteurs morphologiques ou structurels. 9. Système selon la revendication 8; les moyens de traitement informatique mettent en oeuvre un descripteur se présentant sous la forme d'un développement en puissance de deux d'un nombre entier ou d'une puissance quelconque de ce nombre entier. 10. Système selon l'une quelconque des revendications 8 ou 9; les moyens de traitement informatique mettent en oeuvre un descripteur se présentant sous la forme d'un développement en paquet d'un nombre entier ou d'une puissance quelconque de ce nombre entier. 11. Système selon l'une quelconque des revendications 8 à 10; afin de sélectionner des nombres entiers ou des puissances exponentielles de ceuxci présentant des propriétés mathématiques prédéterminées, les moyens de traitement informatique comprennent des moyens de calcul des composantes des formes algébriques ou des formes géométriques desdits nombres entiers ou desdites puissances exponentielles et des moyens de classement pour classer ceux-ci de manière à obtenir des formes canoniques spécifiques. 12. Système selon la revendication 11; les moyens de classement des éléments des formes canoniques classent dans des rubriques spécifiques: le terme pA(0)*SAO, de valeur 1, classé dans une 35 rubrique appelée Origine Q0 - les paquets de termes de la forme pA(i) *SAi, classés dans une rubrique appelée Axes El , - les blocs de termes de la forme PA(n) * [SAi] 2 ou de la forme pA(i+j)* [SAi] [SAj] , classés dans une rubrique appelée Plans 5 E2 , - les blocs de termes de la forme pA(3i)* [SAi] 3 ou de la forme pA(2i+j) * [SAi] 2 [SA]] ou de la forme PA(i+j+k)* [SAi] [SAj] [SAk] , classés dans une rubrique appelée Espaces E3 , et ainsi de suite et enfin, - dans une rubrique appelée Espace En , les blocs de termes de la forme pA((n)i)*[SAi] ou de la forme pA((n-1)i+j)*[SAi] ( 1) [SAj] , etc_ 13. Système selon l'une quelconque des revendication 11 ou 12; afin de produire et de sélectionner des nombres entiers ou des formes exponentielles de ceux-ci au moyen desdites formes canoniques, les moyens de traitement informatique appliquent une ou plusieurs fois des transformations algébriques ou géométriques conservant en tout ou partie le caractère exponentiel des formes canoniques d'origine. 14. Système selon la revendication 13; les moyens de traitement informatique appliquent une transformation algébrique ou géométrique J présentant les caractéristiques: É de laisser invariant le pavé pA(o)*SAO, Origine 00 , 25 de valeur 1, É d'opérer, au moins en partie, sur. - des paquets de termes de la forme pA(i)*SAi, classés de la forme pA(3i) * [SAi] 3 ou de la la forme PA(i+j+k) [SAi] [SAj] {SAk] , classés dans une rubrique appelée Espaces E3 , une division 35 par 23, - des blocs de termes de forme pA(i+j)*[SAi] [SAj], classés dans E2 , une division par 22, - des blocs de termes forme pA(2i+i)*[SAi]2 [Sm] ou de dans une rubrique appelée Axes El , une division par 21, la forme PA(2i) * [SAi] 2 ou de la une rubrique appelée Plans et ainsi de suite et enfin la transformation J opère sur des blocs de termes de la forme pA{(n)i}*[SAj] n ou de la forme PA{(n-1)i+j}*[SAi] (n-1) [SAj], etc... , classés dans une rubrique appelée Espace En , une division par 2n.