FR 2844060 A3 20040305 FR 0210706 A 20020829 DESCRIPTION Cette démonstration vient en support théorique et géométrique du brevet d'invention déjà déposé sous les coordonnées suivantes (N de publication: 2 689 961 - N d'enregistrement national: 92 04509 - BREVET D'INVENTION: PROJECTEUR A OPTIQUE FLUIDE - Date de dépôt: 13.04.92 - Date de la mise à disposition du public de la demande: 15.10.93 Bulletin 93/41) . Ce document correspond à la démonstration géométrique justifiant de l'utilisation des spirales logarithmiques à la place des ellipses, paraboles, et, d'une façon générale, à la place de toutes les courbes polynomiales couramment utilisées en optique traditionnelle, et ouvre la voie à une optique légèrement différente, et o l'utilisation de courbes non polynomiales offre des propriétés optiques extrêmement intéressantes. Ce document correspond aussi aux nombreuses applications déjà existantes à ce jour, et toutes, découlant du concept de l'Optique Fluide régissant l'application présentée pour la première fois dans le brevet ci-dessus cité. Les applications industrielles basées sur ce brevet 15 ont toutes montré leur supériorité optique par rapport à une même réalisation basée sur l'optique traditionnelle. Des brevets de perfectionnement ont été depuis lors déposés par d'autres industriels et ont mis en évidence qu'il est possible, grâce à l'optique fluide de réaliser des applications difficiles ou impossibles à réaliser autrement. 1 - CONSTRUCTION D'UNE SPIRALE LOGARITHMIQUE A PARTIR DE LA CONSTRUCTION DE HUYGENS ET DE LA METHODE DES TRAPEZES 1 - 1 - Mise en géométrie optique du problème à partir de la construction de Huygens Soit un dioptre séparant deux milieux d'indices respectifs ni et n2. Pour fixer les idées, et rendre la construction géométrique lisible [Fig 1], on prendra - ni = 1 indice du futur milieu qui sera extérieur à la spirale logarithmique, - et n2 = 2 indice du futur milieu qui sera intérieur à la spirale logarithmique. Quand le rayon réfracté devient rasant, l'angle de réfraction devient égal à 90 , et 30 l'angle d'incidence tend vers la valeur limite égale à S. pl Le prolongement du rayon incident [Fig 2] et le rayon réfracté, ou bien la tangente au dioptre, fait un angle a, complémentaire de B. On a donc successivement: n2 x sini = n X sin r Jr orsi r->-- = i-> il vient n2xsin2=n1 => sin =-nl > 2=Arcsinnl n2 n2 Ir or a=--- (carcomplémentaires) = a=--Arcsin' 2 2 n2 A partir de ce cercle [Fig 3], effectuons les constructions successives suivantes. Soient Ii, les centres des cercles de Huygens, et O, l'intersection du rayon incident avec le cercle de Huygens relatif au milieu d'indice n2. Par Ji, intersection du dioptre avec le cercle de Huygens relatif au milieu d'indice ni, on 15 fait passer une droite parallèle à IiO. Cette droite coupe le symétrique de IiJi par rapport à la médiatrice du segment IiO en Ii-1. Le quadrilatère IiJi Ii- O ainsi créé est un trapèze isocèle de grande et petite bases respectives IiO et Jili-. On a IiJi = Ii-lO = nl = 1 et IiO = n2 = 2 Dès lors les angles (rayon réfracté, prolongement du rayon incident), son opposé par le 20 sommet, IiOIil et (Ii-lJi,OIi-1) sont tous égaux à a. On peut construire de la même façon le trapèze isocèle de grande base OIil, ou le trapèze isocèle de côté oblique OIi, tous similaires au trapèze isocèle IiJi Ii- O, i.e. tous tels que la longueur du côté oblique soit dans le rapport des indices ni et n2 avec la longueur de la grande base. De proche en proche, on construira la suite de points Ii-2 li-, Ii, ti+l., .etc.. Cette suite de points est telle que tous les rayons vecteur du type Oli2, OIi, Oli, OI+lh.,.etc.. font un angle constant a avec les côtés obliques de chacun de ces trapèzes. La courbe qui passera par cette suite de points sera donc une spirale logarithmique par définition. Le point O est le pôle de la spirale logarithmique et on vérifie indéfiniment que Ii-J-1 - i - Iii. ........ - r= CONSTANTE. l10I,_ o tI,,O I,.O 1 - 2 - Rappel de la construction géométrique de la spirale logarithmique à base de trapèzes isocèles [Fig 41 Equation en coordonnées polaires. Indice de croissance q et Angle a: On défini le 5 rayon-vecteur OM, = p(Oî) = em* qui fait avec la normale à la spirale logarithmique un angle A = Arcsin. L'angle défmini par ce rayon-vecteur et la tangente à la spirale, n2 complément de cet angle X est égal à a = Cte. or m=Ctg=- Arcsinn),l'équationde la spirale 2 2 n2 logarithmique en f(O), adaptée aux milieux optiques d'indices respectifs na extérieur 1 et nb Ctg(--Arcsin-)*O intérieur > 1 est dès lors égale à p(O) = e 2 n2 OM!2 L'indice de croissance q [Fig 5] est égal à q = OM2; OM1 or on sait que Cotgr - q - Cotg - Arcsin- lnq = 2x.Cotg --Arcsin l 2,-r 2 g2 2Jn 2.ir. Cotg 'T-Arcsinn) = q=e Longueur s d'un arc de spirale entre les points M et M2: S = M1M2 = M2 -OM1- OM2 - -PM1 cos a L'aire sectorielle balayée par le rayon vecteur OMi entre les points M1 et M2 est égale à S = (p2 _ p2)*tga = l(OM2_ -OM12)*tga or,=Arcsin l => a=--2='-Arcsin l n2 2 2 n2 dès lors, S= (OM22- OM,2)*tg -Arcsin i) 4 2 n2 Le centre de courbure pour un rayon vecteur donné 0Mi est à l'intersection de la tangente à la spirale logarithmique et la perpendiculaire au rayon vecteur OMi passant par le pôle O. Le rayon de courbure R est tel que: R = sinp3 p3 2 - PROBLEME 1: UNE SPIRALE QUELCONQUE TANGENTE EN DEUX POINTS A DEUX TANGENTES PREDEFINIES EST UNE SPIRALE LOGARITHMIQUE QUI DEFINI DEUX POINTS CONJUGUES 2 - 1 - Théorème direct - Première approche du problème - Recherche de conditions géométriques à respecter [Fig 6] et [Fig 71 Hypothèses: Soit l'arc de spirale F passant par les points M1 et M2. Les points M1 et M2 sont fixes. Le pôle P de la spirale est fixe et n'est pas connu. La spirale est donc connue par ses deux tangentes T1 et T2 respectivement en M1 et M2 et est donc totalement figée. La source S et le foyer F conjugués sont connus et fixes. Conclusions: La spirale F est une spirale logarithmique. Les tangentes T1 et T2 respectivement à la spirale logarithmique, peuvent aussi être tangentes à une ellipse de foyers S et F. On construit le cercle directeur de cette ellipse, et on défini les conditions dans les quelles ce cercle et cette ellipse associée peuvent exister. 20 2 - 1 - 1 - la spirale tangente en M1 et M2 aux tangentes T1 et T2 est une spirale logarithmique Soit la spirale F (dont on ne connaît pas la nature ni le Pôle P), 25 soient les points MI et M2 quelconques fixes de l'arc M1M2 de spirale F, soient les tangentes Tl = m'îMlml et T2 = m'2M2m2 respectivement en M1 et M2 et se coupent en R, soient les normales N1= n'lMlnl et N2 = n'2M2n2 aux tangentes T1 et T2 respectivement en M1 et M2 se coupant en Q. Le quadrilatère M1RM2Q ainsi défini, composé de deux triangles rectangles RM1Q et RM2Q ayant leur hypoténuse commune RQ, est donc inscriptible dans le cercle e(RQ) de diamètre RQ. Les angles MiQM2 et mlRm2 (ou m'lRm'2) sont égaux comme angle intérieurextérieur opposés d'un même quadrilatère inscriptible. p4 Soit M2m la parallèle à RM1. Cette parallèle coupe le cercle e(RQ) en P'. => le quadrilatère RM1P'M2 est un trapèze isocèle de grande base M2P'. Les angles M1QM2 et MlP'M2 sont égaux comme inscrit dans un même cercle È(RQ) et sous-tendant le même arc M1M2. => les angles MaQM2 = M2Rml = M1Rm'2 = M1P'M2 sont tous égaux entre eux. Or on sait que P'M2 et Mlml sont parallèles par constructions, donc les angles correspondants M2P'M1 et mlMImp sont égaux. Or le quadrilatère RM1P'M2 est un trapèze isocèle de grande base M2P', donc les angles M1P'M2 et RM2P' sont égaux, donc égaux à l'angle opposé par le sommet RM2P' => En rapprochant ces dernières informations, on en déduit que les angles mpMlml et mp2M2m2 sont égaux, la spirale qui passe par les points M1 et M2 est bien logarithmique, et le point P' en est bien le pôle P (P' et P sont confondus). 15 On retrouve la construction des spirales logarithmiques par la méthode des trapèzes isocèles déjà évoqués ci-avant. 2 - 1 - 2 - Préparatif (début): démonstration intermédiaire, ou comment choisir les 20 points S et F respectivement comme source et foyer [Fig 81 Soit un point F, proche de M1, pour fixer les idées. Dès que le point F est fixé, le point S est automatiquement figé, en effet: S est simultanément - sur l'autre côté de l'angle FM1S admettant M1Q comme bissectrice, et - sur l'autre côté de l'angle FM2S admettant M2Q comme bissectrice. On trace le cercle v(MI,M1F) qui coupe la droite SM1 en N1. Dans le triangle M1NiF, M1Q, normale à MlmI' (bissectrice intérieure et hauteur), est la bissectrice extérieure relative à l'angle au sommet du triangle isocèle par construction M1N1F. p5 Les segments de droite MIQ et N1F sont toujours parallèles. On trace le cercle e(M2,M2F) qui coupe la droite SM2 en N2. Dans le triangle M2N2F, M2Q, normale à M2m'2 (bissectrice intérieure et hauteur), est la bissectrice extérieure relative à l'angle au sommet du triangle isocèle par construction M2N2F. Les segments de droite M2Q et N2F sont toujours parallèles. On joint les points N1 et N2 qui coupe la droite SF en K. On trace le cercle &(SK) qui coupe le segment N1N2 en Ls. Conclusions à rechercher: Il faut, par exemple, démontrer que Ls est au milieu de N1N2. Il faut démontrer que la médiatrice de N1N2 passe par S, et donc Nlet N2 sont sur le cercle e(S,Snl) = e(S,Sn2). Il vient dès lors que le cercle e(S,Snl) = e(S,Sn2) est le cercle directeur de l'ellipse qui passe par M1 et M2, tout en restant tangente aux tangentes T1 et T2. Il restera à définir les petit 15 demi axe, grand demi axe, centre etc... 2 - 1 - 3 - Préparatif (suitel): les cercles e(SN1) et e(SN2) sont égaux [Fig 91 On connaît les positions de S et F conjugués (ce qui signifie que les deux rayons extrêmes formant le flux issus de la source S, et se réfléchissant sur la spiral F considérée comme un miroir spiralé, vont converger au foyer ponctuel F). On construit SN1 et SN2 deux demi droites concurrentes en S (et faisant pour fixer les idées environ un angle de 30 o). On construit les cercles e(SNi) et e(SN2) égaux. Sur SN1 et SN2, on construit les cercles &(SNi) et d(SN2). Ces cercles sont égaux, par construction, respectivement de diamètre SN1 et SN2. Ces deux cercles se coupent en S et en un deuxième point Ls. Dès lors SLs est perpendiculaire à N1N2 comme appartenant au triangle SNILs inscrit dans un demi cercle e(SN0) de diamètre SNi et au triangle SN12Ls inscrit dans un demi cercle eS(N2) de diamètre SN2 On en déduit aussi que les triangles SNiLs et SN2Ls sont égaux et ont un côté de l'angle droit en commun. Les angles N1iSLs = Ni et N2SLs = N2 sont égaux. Les segments LSN1 et LsN2 sont aussi égaux comme étant l'autre côté de l'angle droit des mêmes triangles rectangles. On connaît F, conjugué de S. La médiatrice de NIF coupe SN1 en MI. Cette médiatrice est la tangente Tl à l'ellipse et est la tangente T1 à la spirale F en M1. La médiatrice de N2F coupe SN2 en M2. Cette médiatrice est la tangente T2 à l'ellipse et est la tangente T2 à la spirale F en M2. 15 Les tangentes Tl et T2 se coupent en R. Les bissectrices de FM1S et FM42S se coupent en Q. Le quadrilatère M1RM2Q composé de deux triangles rectangles dont l'hypoténuse est commune est donc inscriptible dans un cercle admettant cette hypoténuse comme diamètre. 20 La droite qui joint les foyers F et S coupe la droite N1N2 en K. Les cercles e(S,SN,) et e(S,SN2) [Fig 10] de centre S et de rayon SN1= SN2 sont confondus et sont le cercle directeur de l'ellipse de foyer S et F. Respectivement en M1 et M2 l'ellipse et la spirale sont tangentes à Tl et T2 et sont 25 confondus aux deux points de contact. Dans ce cas particulier intéressant, non seulement les rayons des bords du flux issus de S convergent en un même point focal F, mais tout le reste du faisceau quasi converge aussi. On peut au moins dire que la totalité du flux converge de manière quasi-focale au point F et dans un voisinage du point quasi-focal F. p7 En résumé pour fixer les idées, F est un point focal pour les rayons du bord de flux, provenant du point émissif S, et se réfléchissant sur les points Mi et M2 de la spirale logarithmique (considérée comme un miroir). Les rayons extrêmes se réfléchissant simultanément sur la spirale logarithmique et sur l'ellipse, respectivement en MI et M2, provenant du point émissif S et se focalisent strictement sur la point F. F est un point quasi-focal pour tous les autres rayons du flux exceptés les rayons du bord 10 du flux, provenant du point émissif S et se réfléchissant en dehors des points MI et M2 sur la spirale logarithmique (considérée comme un miroir). Les rayons se réfléchissant sur la spirale logarithmique, en dehors des rayons extrêmes se réfléchissant respectivement en Mi et M2, provenant du point émissif S, se quasifocalisent sur le point F. Si ces mêmes rayons provenant de la source S se réfléchissaient 15 sur l'ellipse (considérée comme un miroir) tangente à la spirale aux points Mi et M2, ces rayons focaliseraient strictement en sur le point F. 2- 1- 4 - Préparatif (suite 2): les cercles (,SNI) et d(SN2) sont inégaux et peu différents (Ls est dans l'angle aigu NtSN2) lFig 111 On connaît les positions de S et F conjugués. conjugués (ce qui signifie que les deux rayons extrêmes formant le flux issus de la source S vont converger au foyer ponctuel F) On construit SN, et SN2 deux demi droites concurrentes en S (et faisant pour fixer les idées environ un angle de 30 o) On construit les cercles eSNi) et (SN2) inégaux et un peu différents. Sur SN1 et SN2, on construit les cercles:(SNi) et g(SN2). Ces cercles sont inégaux respectivement de diamètre SN1 et SN2. Ces deux cercles se coupent en S et en un deuxième point Ls, situé dans l'angle aigu formé par les diamètres SN, et SN2 des cercles e(SN1) et e(SN2) SLs coupe NiN2 en Ls. p8 Dès lors SLs est perpendiculaire à N1N2 comme appartenant au triangle SN1Ls inscrit dans un demi cercle d(SN,) de diamètre SN1 et au triangle SN2Ls inscrit dans un demi cercle e(SN2) de diamètre SN2. Les triangles SN1Ls et SN2Ls sont inégaux. On connaît F, conjugué de S. La médiatrice de NîFcoupe SN1 en M1. Cette médiatrice doit être la tangente T1 à l'ellipse (si l'ellipse existe) et est la tangente T1 à la spirale F en M1. La médiatrice de N2Fcoupe SN2 en M2. Cette médiatrice doit être la tangente T2 à l'ellipse (si l'ellipse existe) et est la tangente T2 à la spirale F en M2. Or on rappelle que SN1 s SN2 > les cercles t(SN1) t t(SN2) ne peuvent être le cercle directeur de l'ellipse et l'ellipse tangente aux points M1 et M2 aux tangentes Tl et T2 ne peut exister, avec les propriétés du chapitre précédent. Les tangentes Tl et T2 se coupent en R Les bissectrices de FM1S et FM2S se coupent en Q. Le quadrilatère MIRM2Q composé de deux triangles rectangles dont l'hypoténuse est commune est donc inscriptible dans un cercle admettant cette hypoténuse comme diamètre. La droite qui joint les foyers F et S coupe la droite N1N2 en K. On doit constater dans ce dernier cas que la spirale est tangente aux droites T1 et T2 20 respectivement en M1 et M2. On a encore affaire à une spirale logarithmique, mais cette spirale ne peut plus être tangente à une ellipse aux mêmes points M1 et M2 et présentant la même propriété que précédemment. Les cercles e(S,SN1) et e(S,SN2) de centre S et de rayon SN1 et SN2 peu différents. Dans ce cas particulier plus général, seuls les rayons des bords du flux issus de S convergent en un même point focal F, mais tout le reste du faisceau quasi-converge (ou pseudo-converge) aussi. On peut dire que la totalité du flux quasi-converge (ou pseudoconverge) de manière quasifocale (ou pseudo-focale) dans un voisinage du point quasi-focal (ou pseudo-focal) F. tout dépend de la grandeur de la différence entre les diamètres SN1 et 30 SN2. p9 En résumé pour fixer les idées, F est un point focal pour les rayons du bord de flux, provenant du point émissif S et se réfléchissant sur la spirale logarithmique. F est un point quasi-focal (ou même pseudo-focal) pour les rayons du flux exceptés les rayons du bord du flux, provenant du point émissif S et se réfléchissant sur la spirale logarithmique. Il n'est plus possible de construire de cercle directeur, il n'est donc plus possible de construire d'ellipse répondant à notre question. Si les rayons SN1 et SN2 sont trop différents, les quasi-foyers ou pseudofoyer peuvent 10 très rapidement dévirer en caustiques. 2 - 1 - 5 - Préparatif (suite 3): les cercles e(SNi) et e(SN2) sont très inégaux (Ls est hors de l'angle aigu N1SN2) [Fig 12] On connaît les positions de S et F conjugués. (ce qui signifie que les deux rayons extrêmes formant le flux issus de la source S vont converger au foyer ponctuel F). On construit SN1 et SN2 deux demi droites concurrentes en S ( et faisant pour fixer les idées environ un angle de 30). On construit les cercles e(SN1) et e(SN2) très différents. Sur SN, et SN2, on construit les cercles "(SNI) et d(SN2). Ces cercles sont inégaux respectivement de diamètre SN, et SN2. Ces deux cercles se coupent en S et en un deuxième point Ls, situé hors de l'angle aigu formé par les diamètres SN, et SN2 des cercles e(SN1) et 25 e(SN2). SLs coupe NiN2 en Ls. Dès lors SLs est perpendiculaire à NIN2 comme appartenant au triangle SN1Ls inscrit dans un demi cercle e(SN1) de diamètre SN, et au triangle SN2Ls inscrit dans un demi cercle e(SN2) de diamètre SN2. Les triangles SN1Ls et SN2Ls sont inégaux. 30 On connaît F, conjugué de S. p 10 La médiatrice de NiF coupe SN1 en M1. Cette médiatrice est la tangente Ti à la spirale F en M. La médiatrice de N2Fcoupe SN2 en M2. Cette médiatrice est la tangente T2 àla spirale F en M2. [On rappelle que SN, - SN2 => les cercles d(SN1) É e(SN2) ne peuvent être le cercle directeur de l'ellipse] Les tangentes T1 et T2 se coupent en R. Les bissectrices de FM1S (/I à NIF) et FM2S (// N2F) se coupent en Q. Le quadrilatère MIRM2Q composé de deux triangles rectangles dont l'hypoténuse est 10 commune est donc inscriptible dans un cercle admettant cette hypoténuse comme diamètre. La droite qui joint les foyers F et S coupe la droite N1N2 en K. Le quadrilatère M1RM2Q devient un quadrilatère croisé. NOTA: Le point R est sorti de la zone comprise entre les points MI et M2 qui défini les limites 15 de l'arc de spirale MIM2. On constate alors que les points S et F, points devant être conjugués l'un de l'autre peuvent être de part et d'autre de la courbe. Géométriquement ces deux points sont bien conjugués, mais physiquement, il ne peut s'agir d'une conjugaison qui transforme, par réflexion, un point source en un point focal, car ces deux points sont de part et d'autre de la courbe (donc du miroir). Il conviendrait, peut être, d'exploiter cette situation dans des systèmes dioptriques. Ce point sera à approfondir plus tard. Dans le cas des miroirs, une des conditions à respecter est que le point R doit être situé dans une zone entre les points M1 et M2. Dans tous ces cas, on retrouve toujours les mêmes propriétés relatives à la spirale 25 logarithmique dans toutes les constructions présentées cidessus. On trace la I à T1 passant par le point M2. Cette Il coupe le cercle d(RQ) en P'. Les points P'RM1M2 forment encore un trapèze isocèle > Mais rordre des points P'RMIM2 ne permet plus d'affirmer que la courbe qui passe par P', M1 et M2 en restant tangente à Ti en M1 et à T2 en M2 est encore bien ici une spirale logarithmique. On ne peut plus appliquer la construction des spirales logarithmiques par la méthode des trapèzes. p ll On peut donc énoncer ce premier théorème dans le cas o les cercles d(SN1) et d(SN2) sont égaux ou très peu différents: VISION GEOMETRIQUE UN ARC DE SPIRALE LOGARITHMIQUE, - LIMITE PAR DEUX POINTS M1 ET M2, - ADMET TOUJOURS UN COUPLE DE POINTS CONJUGUES S et F, - TOUS DEUX SITUES D'UN MEME COTE DE LA SPIRALE, - ET TELS QU'ILS PUISSENT ETRE RESPECTIVEMENT JOINTS PAR DES SEGMENTS SM1, M1F D'UNE PART et SM2 ET M2F D'AUTRE PART, DE TELLE SORTE QUE LES NORMALES N1 ET N2 RESPECTIVEMENT EN M1 ET M2, SOIENT LES BISSECTRICES DES ANGLES FORMES PAR SM1, M1F D'UNE PART et SM2 ET M2F D'AUTRE PART. S15 VISION OPTIQUE UN MIROIR DONT LE PROFIL SUIT LA FORME D'UNE SPIRALE LOGARITHMIQUE ADMET TOUJOURS - POUR UN POINT EMISSIF PONCTUEL DONNE, 20 - UN POINT DE FOCALISATION ASSOCIE. CE STIGMATISME EST RIGOUREUX POUR LES BORDS DU FLUX ET APPROXIMATIF POUR LE RESTE DES AUTRES RAYONS. 2 - 2 - Théorème direct - Deuxième approche du problème - reprise du problème 25 précédent dans le cas optiquement intéressant o SN, = SN2 [Fig 131 Hypothèses: Soit l'arc de spirale F passant par les points Ml et M2. Les points Ml et M2 sont fixes. Le pôle P de la spirale est fixe et n'est pas connu. La spirale est 30 donc connue par ses deux tangentes Ti et T2 respectivement en Ml et M2 et est donc totalement figée. Dans la suite du texte, on se placera dans le cas o SN, = SN2 (i.e. on cherchera une autre condition qui correspond à cette même hypothèse) La source S et le foyer F conjugués sont connus et fixes. p 12 Conclusions: La spirale Y est une spirale logarithmique. Les tangentes Ti et T2 respectivement à la spirale logarithmique, peuvent aussi être tangentes à une ellipse de foyers S et F. On construit le cercle directeur de cette ellipse, et on défini les conditions dans les quelles ce cercle et cette ellipse associée peuvent exister. Condition particulière supplémentaire pour assurer un stigmatisme rigoureux pour les points de réflexion M1 et M2 et un stigmatisme approché pour les autres points de l'arc de 10 spirale logarithmique [Fig 14] Soit, par exemple, l'arc de spirale F défini par ses deux points de contact M1 et M2, et ses tangentes T1 et T2 respectivement en M1 et M2. Les tangentes T1 et T2 se coupent en R. Soient N1 et N2 les normales en M1 et M2 aux tangentes T1 et T2 respectivement en Ml 15 et M2 à la spirale F. Les normales N1 et N2 se coupent en Q. On construit le cercle e(RQ) On trace une droite perpendiculaire à Ti passant par U1, point quelconque de Ta. On trace une droite perpendiculaire à T2 passant par U2, point quelconque de T2. 20 Ces deux droites se coupent en F On rappelle bien que l'on a choisi U1 et U2 quelconques mais proches du point R pour fixer les idées. I est bien évident que le choix des points U1 et U2 devrait nous donner plus tard les lieux géométriques et les limites. On joint RF. On construit N1 e (la perpendiculaire à T1 en U0) et tel que UlN1 = U1F (Ni Sym de FITî). On construit N2 E (la perpendiculaire à T2 en U2) et tel que U2N2 = U2F (N2 Sym de F/T2). N1Mi et N2M2 se coupent en S. On trace la droite SR. On trace la droite N1N2 qui coupe SF en K et SR en Ls. Le quadrilatère RU2U1F, composé de deux triangles rectangles à hypoténuse commune, 30 est inscriptible dans le cercle L(RF), qui passe évidemment par U, et U2. p 13 On sait que U1 est le milieu de NiF, car (N1= Sq, de F/TO). On sait que U2 est le milieu de N2F, car (N2= Sm de F/T2). N1N2 est déduit de U1U2 dans l'homothétie 1(F,2) de centre F et de rapport 2. Le cercle ô(RF) de centre Y passe par U1 et U2. Le cercle gRRF) est déduit du cercle "(RF) dans la même homothétie qqF,2). Alors ce cercle e(R,RF) passe par N1 et N2. Dés lors R est équidistant de N1 et N2. [Nota: R se trouve sur la médiatrice de N1N2 => RN1N2 = RN2N1 et RN1 = RN2] Dans d(RF), Y le centre est sur la médiatrice de U1U2. donc dans IR, R est sur la médiatrice de N1N2. N1 =t(U1, F,2). N2 = W (U2, F, 2). Construisons la médiatrice de U1U2 [Fig 15], qui passe par Y, milieu de U1U2, et qui coupe SF en Y. Cette médiatrice passe par Y ( Y Y est perpendiculaire à U1U2), milieu de FR, centre du cercle S(RF). On sait aussi que N1N2 Il U1U2. Y Y1 NiN2. Soit le point Y, milieu de SF. on joint Y à Y. Les points Yet Y, sont confondus car nous nous sommes volontairement placés dans le cas o SNI = SN2 (on verra plus loin une autre façon de débuter cette même démonstration). On a dès lors Y milieu de FR > R = '(Y, centre F, rapport 2) U2 milieu de FN2 > N2 = 'J2, centre F, rapport 2) Ces deux assertions permettent d'écrire È> RN2 =tJ(U2Y, centre F, rapport 2) => RN2 I YU2 Y milieu de FR => R = "(Y, centre F, rapport 2) Y milieu de SF > S = qY centre F, rapport 2) Ces deux assertions permettent d'écrire z> RS = (Y,, centre F, rapport 2) => RS I Y Y Y milieu de FR > R = '(Y, centre F, rapport 2) U1 milieu de N1F > N1 =!(U1, centre F, rapport 2) p 14 Ces deux assertions permettent d'écrire => RN1 = (YU1, centre F, rapport 2) => RN1 I //YU, YY 1 U1U2 et on a aussi en direct YY 1 N1N2 Or on a construit SR, droite passant par R et coupant N1N2 en Ls. On en conclu que SLs 1 N1N2. Dans le triangle N1RN2, RLs, hauteur est donc aussi médiatrice relative à la base N1N2 et est donc aussi médiatrice dans le triangle N1SN2., ce qui n'est vrai que si Y et Y sont confondus, i.e. que si SN1 = SN2 (assertion déjà vérifiée puisque nous nous sommes placés volontairement dans ce cas). Les côtés du triangle isocèle sont égaux > SN1 = SN2 et alors le cercle d(S,SN1) = I 0 e(S,SN2) est le cercle directeur de l'ellipse qui admet les mêmes tangentes Ti et T2 et normales N1 et N2 que la spirale. On retrouve bien les deux assertions suivantes: Le stigmatisme en M1 et M2 est rigoureux. Le stigmatisme entre MI et M2 est approché. Première conclusion: On met ainsi en évidence qu'un miroir suivant un profil en spirale logarithmique permettra d'obtenir plus facilement une quasi-focalisation avec une source étendue qu'un miroir généré par une courbe polynomiale (cercle, parabole ou ellipse). Dit autrement, avec une spirale la focalisation ne être une focalisation stricte ou simple, même avec une source ponctuelle (ou réputée telle), par contre la quasi-focalisation sera de bien meilleurs qualité. On remarque que si, sur la démonstration précédente, il suffit de faire tendre le point S vers l'infini, la démonstration reste valable et permet de conclure qu'un miroir suivant un profil en spirale logarithmique permettra d'obtenir plus facilement un flux quasi-focalisé à l'infini avec une source étendue qu'avec un miroir généré par une courbe polynomiale (cercle, parabole ou 25 ellipse). Dit autrement, avec une spirale la focalisation à l'infini ne être une focalisation stricte ou simple, même avec une source ponctuelle (ou réputée telle), par contre la quasi-focalisation à linfini sera de bien meilleurs qualité. 2 - 3 - Théorème direct - Complément de construction relatif au problème précédent en 30 vue du respect de la condition de construction dans le cas o SN1 = SN2 [Fig 161 Construction d'un point S tel que M1SR = M2SR. Les angles MlSR et 2SR sont égaux et p 15 tous deux capables du même angle oa. On choisira a = 10 o pour fixer les idées. On construit donc sur l'arc RSM1, le cercle e(RSM,) capable d'un angle a. On construit donc sur l'arc RSM2, le cercle (RSM2) capable d'un angle a. 3 - PROBLEME 1: UNE SPIRALE QUELCONQUE TANGENTE EN DEUX POINTS A DEUX TANGENTES PREDEFINIES EST UNE SPIRALE LOGARITHMIQUE QUI DEFINI DEUX POINTS CONJUGUES [Fig 17] 3 - 1 - Théorème réciproque - Autre approche du problème Soit un angle quelconque n2 et sa bissectrice Sr Soient deux points quelconques MI et M2 c respectivement à naS et n2S. Respectivement par M1 et M2, on fait passer deux droites T1 et T2 qui se coupent sur 15 la bissectrice Sr en R. On construit les normales Ni et N2 respectives aux droites T1 et T2 aux points M1 et M2. Ces normales NI et N2 se coupent en Q. On construit la demi droite, M1F = Sym(Snl,/T1), issue de M1. 20 On construit la demi droite, M2F = $ym(Sn2,1T2), issue de M2. Ces deux demi droites se coupent en F. On construit N1 le Sym(F,/T> c Sn,. On construit N2 le Sym(F,/T2) E Sn2. On a donc SN1 = SN2 [Fig 18], cela signifie que N1 et N2 sont sur un même cercle e(SNI) = e(SN2), qui est le cercle directeur de l'ellipse E de foyers respectifs F et S. Cette présentation est un point de départ pour l'étude des lieux géométriques conjugués relatifs à S (Source) et F (Foyer). p I6 4 - APPLICATIONS La spirale logarithmique a été étudiée par Descartes en 1638, puis par Jacques Bernouilli (1654-1705) et Torricelli (1608-1647). Cette courbe a été utilisée dans de nombreux domaines de la technologie mais c'est la toute première fois que nous l'utilisons en optique. Elle a été présentée dans le premier brevet sur l'optique fluide n 92 04509 dans un système optique destiné à concentrer la totalité de la lumière qui pénètre, de façon quelconque en direction et en incidence, par la face d'entrée de l'optique, qui ressort selon une nappe unique parfaitement organisée et figée, caractérisée en ce 10 que le volume de ce dispositif est généré par la révolution ou la non révolution d'une courbe géométrique qui doit être un arc de spirale logarithnmique. La forme optique (surface réfléchissante) est parcourue par un fluide maintenu en circulation forcée et assujettie à pénétrer dans l'optique de façon tangentielle à la forme optique et le plus près possible de la face d'entrée et disposée de telle sorte que la circulation initiale soit tangentielle et laminaire. De plus le fluide doit dans toute l'optique être animé d'unm mouvement de rotation centripète jusqu'à son évacuation par le sommet du cône de sortie évacuant ainsi les calories, et en ce que cette rotation centripète créé un gradient thermique créant un gradient d'indice de réfaction au sein de l'optique fluide. Le fluide sera choisi pour ses propriétés de transmission ou d'absorption d'une partie du flux lumineux en fonction de sa longueur d'onde, et sera placé entre une face d'entrée formée d'un hublot transparent par lequel pénètre le flux lumineux, et un cône de sortie dont la forme prolonge la courbe du volume optique et constitué d'une matière transparente. Il sera possible de le remplacer par tout autre produit pâteux ou solide ou même d'utiliser ce volume optique vide de tout fluide. Le produit solide ou pâteux pourra être caractérisé par un bloc monolithique solide et transparent comme le verre ou le plastique, ce 25 bloc dont la forme extérieure (dioptre utile) doit respecter celle du volume de l'optique fluide. De plus, le volume peut être refroidi par un fluide thermique supplémentaire circulant dans un radiateur extérieur à l'ensemble. Le système optique ainsi obtenu peut recueillir toute la lumière produite par cette ou ces sources quels que soient l'incidence du ou des rayonnements d'entrée et leurs positions par rapport à la face d'entrée et en créer un flux unique émergent. p 17 REVENDICATIONS 1) dispositif optique destiné notamment à concentrer la totalité de la lumière qui pénètre. de façon quelconque en direction et en incidence, par la face d'entrée de l'optique, qui ressort selon une nappe parfaitement organisée et figée, caractérisé en ce que le volume de ce dispositif est généré par la révolution ou la non révolution d'une courbe géométrique qui doit être un arc de spirale, 2) dispositif selon la revendication 1 caractérisée en ce que l'arc de spirale est un arc de spirale logarithmique, 3) dispositif selon l'une des revendications 1 et 2 caractérisé en ce que la forme optique (surface réfléchissante) est parcourue par un fluide maintenu en circulation forcée et assujettie à pénétrer dans l'optique de façon tangentielle à la forme optique et le plus près possible de la face d'entrée et disposée de telle sorte que la circulation initiale soit tangentielle et laminaire, de plus le fluide doit dans toute l'optique être animé d'un mouvement de rotation centripète jusqu'à son évacuation par le sommet du cône de sortie évacuant ainsi les calories, 4) dispositif selon l'une des revendications 1,2 et 3 caractérisé en ce que cette rotation centripète créé un gradient thermique créant un gradient d'indice de réfraction au sein de l'optique fluide, ) dispositif selon l'une des revendications 1 à 4 caractérisé en ce que le fluide sera choisi pour ses propriétés de transmission ou d'absorption d'une partie du flux lumineux en fonction de sa longueur d'onde, 6) dispositif selon l'une quelconque des revendications précédentes caractérisé par une face d'entrée formée d'un hublot transparent par lequel pénètre le flux lumineux, et un cône de sortie dont la forme prolonge la courbe du volume optique et constitué dtune matière transparente, 7) dispositif selon l'une quelconque des revendications précédentes caractérisé par une possibilité de remplacer le fluide par tout autre produit pâteux ou solide ou même d'utiliser ce volume optique vide de tout fluide, 8) dispositif selon la revendication 5 caractérisé par un bloc monolithique solide et transparent comme le verre ou le plastique, ce bloc dont la forme extérieure (dioptre utile) doit respecter celle du volume de l'optique fluide, p 18 9) dispositif selon l'une quelconque des revendications précédentes caractérisé en ce que le volume peut être refroidi par un fluide themique supplémentaire circulant dans un radiateur extérieur à l'ensemble, ) Projecteur de lumière, caractérisé en ce qu'il comprend un dispositif optique selon l'une quelconque des revendications précédentes, et une ou plusieurs sources lumineuses, ce dispositif recueillant toute la lumière produite par cette ou ces sources quelle que soit l'incidence du ou des rayonnements d'entrée et leur position par rapport à la face d'entrée. p 19