FR 2811769 A1 20020118 FR 9407389 A 19940616 " Station de radar et système de radar comportant au moins deux de ces stations " La présente invention concerne une station de radar située à la surface du sol, sur un véhicule, un na- vire ou une installation fixe ainsi qu'un système de radar comportant au moins deux de ces stations de radar. Les systèmes de radar classiques pour commande de tir reposent sur la technique des radars monostation comportant un lobe pour micro-ondes avec balayage direc- tionnel. Ces radars sont vulnérables aux interférences de télécommunication et à l'action des missiles avec signaux en retour. En outre ils sont sensibles aux mesures qui ré- duisent la section du radar. Les systèmes de radar à double station ou à multiples stations sont également connus. De tels systèmes nécessitent la synchronisation des stations. La présente invention concerne un traitement de signal autorisant l'utilisation d'une antenne totalement omnidirectionnelle. Cela est très favorable car une telle antenne, par opposition à une antenne directionnelle, peut être très petite et ainsi elle est facile à transporter et à installer sur un véhicule terrestre ou sur un navire. On peut ainsi rendre transportable un système radar basse fré- quence travaillant à des fréquences de 10-500 MHz. L'équipement du traitement du signal de la sta- tion radar est adaptée à tout instant pour calculer les probabilités des positions de la cible et les vitesses ra- diales de la cible pour chaque station radar individuelle, en fonction des signaux émis et reçus par cette station. Ces valeurs calculées sont combinées dans le temps, ce qui donne des mesures à probabilités cumulées des positions de la cible et des vitesses radiales en liaison avec chaque poste de radar individuel. En créant un système d'au moins deux postes de radar, il est possible de calculer la position d'une cible en associant des positions de la cible telles qu'elles sont perçues par les différentes stations de radar et par l'association des mouvements caractéristiques de la cible. Cela se fait sans avoir à synchroniser les stations. Si l'on utilise deux stations, on peut localiser la cible en deux dimensions; si l'on utilise au moins trois stations on peut localiser la cible dans les trois dimensions de l'espace. La présente invention a pour but de réaliser les caractéristiques de l'invention. La présente invention sera décrite ci-après de manière plus détaillée en référence aux dessins annexés dans lesquels: - la figure 1 montre le chemin géométrique du mouvement de cible volante dans un plan, - la figure 2 montre, de façon analogue au problème ISAR, tel qu'il apparaît dans les rapports de l'Institut de Re- cherche de la Défense Nationale suédoise (FAO), énoncé dans le chapitre 5 ci-après. Un chemin de cible (dans la figure il s'agit pratiquement d'une trajectoire droite) est mis à l'échelle par la multiplication par l/p suivant un chemin concentrique à la sphère pour environ e = n/2. Les données de radar sont à la même échelle de temps. En premier lieu, on décrira les modes de réali- sation de l'invention d'une manière plus détaillée sous la forme d'une discussion de la fonction fondamentale des com- posants. Un premier mode de réalisation concerne une station de radar qui, avec une périodicité de 10 Hz - 10 kHz, émet un signal radar d'une polarisation arbitraire, ayant une fréquence maximale inférieure à 500 MHz et une largeur de bande dépassant 50 % de la fréquence maximale. La station de radar est placée sur le sol ou embarquée sur un navire; cette station de radar se compose d'un émetteur radar, d'un système d'antenne pour l'émission et la récep- tion, d'un récepteur radar et d'un équipement de traitement de signal. Les données sont réparties dans la plage R et dans le temps t, en admettant que le temps de la transmis- sion du signal radar et de la réception de l'onde réfléchie peuvent être déterminés avec une précision donnée par la largeur de bande. L'équipement de traitement du signal traite les données sur un nombre important de périodes de transmission (100-10 000), c'est-à-dire pour un temps d'intégration de l'ordre de quelques secondes, en effec- tuant un nombre important d'additions indépendantes pour des plages et des temps différents (une addition pour cha- que plage historique réalisable physiquement et technique- ment R(t), c'est-à-dire cohérent avec une connaissance a priori des performances de vitesse et d'accélération des cibles à détecter). Le choix des basses fréquences combinées avec une grande largeur de bande assure l'effet caractéristique que les ondes radar réfléchies par les cibles à détecter, (avion, navire) deviennent seulement lentement dépendantes de l'angle, c'est-à-dire lentement variables dans le temps. La longueur de cohérence des retours radar est ainsi main- tenue pendant ces longues durées d'intégration, par opposi- tion au cas d'un radar classique à bande étroite pour lesquels ces durées sont de l'ordre de une ou quelques millisecondes. Les amplitudes radar pour les historiques des plages dépassant un certain seuil sont prises comme des détections de sorte que l'on peut détecter les navires et les avions et mesurer avec une grande sensibilité par rap- port aux faibles sections radar et une précision élevée par rapport aux plages supposées. Un second mode de réalisation concerne une sta- tion radar dont l'équipement de traitement de signal est susceptible de faire la somme de tous les historiques de plage reposant sur l'hypothèse que les cibles se déplacent à vitesse constante et avec une accélération transversale constante dans un plan fixe à deux dimensions, pendant la période d'intégration (secondes). Ainsi, les chemins cor- respondent à des segments de cercle pendant cette période. La quantité de ces chemins peut être répartie en un grand nombre de classes et chaque classe de chemin est tracé par transformation conforme en des points cou- vrant la surface d'une sphère bidimensionnelle. Comme la réflectivité de la cible est constante pendant la durée d'intégration, il est possible de décrire la distribution des réflectivités des différentes cibles par des fonctions (une pour chaque classe) définies sur la sphère Pendant les mêmes transformations, les données radar sont tracées sous forme de valeur moyenne de ces fonctions de réflectivité sur tous les cercles dont les centres sont situés sur un grand cercle de la sphère. Par un procédé de tomographie connu pour la reconstitution d'une fonction de réflectivité sur la sphère à partir de telle valeur circulaire moyenne, on détermine la réflexion pour tous les mouvements de la cible. Un troisième mode de réalisation concerne une station de radar dont l'équipement de traitement du signal est conçu pour réaliser la sommation des données radar pour tous les mouvements de cible sur un processeur massivement parallèle composé d'un nombre important de noeuds tra- vaillant en parallèle en ayant chaque classe de chemins tracée sur la sphère pour une certaine transformation con- forme qui se réfère à un noeud. La détection des cibles est alors effectuée par chaque noeud qui reconstitue la fonc- tion de réflectivité à partir des données du radar pour cette sous-classe particulière. Un quatrième mode de réalisation concerne un système de radar dont l'équipement du traitement du signal est conçu pour une association des détections assurée par l'équipement de communication qui comprend des liaisons de communication, en général des liaisons par micro-ondes, en- tre au moins deux stations de radar travaillant chacune se- lon l'un des modes de réalisation décrits ci-dessus, et étant placées dans des positions connues à une distance l'une de l'autre comprise entre un et plusieurs dizaines de kilomètres. L'association se fait par estimation, pour cha- que chemin de cible détecté au niveau de chaque station, de la variation linéaire de temps et de la plage quadratique pour la cible, étant entendu que la vitesse de la cible change principalement seulement en direction, en utilisant ces estimations pour calculer la variation linéaire et la variation quadratique du chemin de la cible, comme cela est estimé par les autres stations. En associant les détections de différentes sta- tions de radar à une et même cible, si les variations li- néaires et quadratiques estimées pour les données par les stations individuelles se correspondent, on obtient la po- sition de la cible détectée par triangulation. Cela donne un positionnement bidimensionnel si l'on utilise deux sta- tions de radar et un positionnement tridimensionnel si l'on utilise au moins trois stations de radar coopérant. Une ré- solution angulaire extrême, correspondant essentiellement à une.surface d'antenne constituant la projection dans la di- rection de la vue de la surface du sol englobé par le sys- tème est ainsi assuré; en même temps, comme le temps d'intégration long remplace le gain d'antenne classique, ceci signifie que les stations de radar individuelles peu- vent avoir un schéma d'antenne pratiquement omnidirection- nel et donc de si petites antennes, qu'on arrive à un système parfaitement mobile et facile à transporter. Pour réaliser la résolution angulaire, les techniques des radars classiques basse fréquence exigent des antennes extrêmement importantes et ainsi des stations fixes. Un cinquième mode de réalisation concerne un système de radar dont l'équipement de traitement du signal est conçu pour associer les détections assurées par l'équipement de communication comprenant les lignes de com- munication, en général des lignes à micro-ondes, entre au moins deux stations de radar, chacune travaillant selon l'un des trois modes de réalisation donnés ci-dessus et oc- cupant des positions connues. L'association est réalisée en ayant, pour chaque chemin de cible circulaire détecté dans chaque station, chemin déterminé selon le troisième mode de réalisation décrit ci-dessus, la cible représentée par un vecteur pointant du centre de courbure du chemin vers la position pour le chemin lorsqu'on détecte la cible; ce vecteur peut se déterminer à partir de la station de radar individuelle (que l'on suppose principalement ne pas avoir de résolution angulaire ou en avoir une qui soit insuffi- sante), jusqu'à une rotation rigide autour de la position du radar, ainsi donné en longueur et en angle en relation avec le vecteur de position pour la position de la cible, mais sans information pour la direction de ce vecteur. En formant la différence entre ce vecteur déri- vé des données d'une station et le vecteur correspondant dérivé des données de l'autre station et en laissant varier ces deux vecteurs en variant l'orientation du vecteur de position pour la position de la cible, telle que vue de l'une ou l'autre station, et en effectuant cette variation pour que la différence entre le vecteur associé à la sta- tion respective soit rendue minimum, l'orientation de la cible est estimée par rapport aux axes de connexion entre les deux stations. En effectuant cette variation par paire, entre les stations pour plus de deux stations, on obtient également complètement l'orientation de la cible dans l'espace en la déterminant par des mesures provenant d'au moins trois stations. L'association selon le quatrième et le cin- quième mode de réalisation peut être exécutée par l'unité de traitement de signal exécutant la détection en liaison t) avec une station selon l'un des modes de réalisation dé- crits ci-dessus ou par une unité spéciale de traitement de signal. Après cette révision fondamentale et cependant complète, on décrit ci-après un mode de réalisation en ap- profondissant le concept de l'invention par une description mathématique. l. Introduction Les données de radar se composent d'un grand nombre, fini, d'amplitudes f(R,t) définies dans des plages R et des temps t différents. Le traitement du signal cohé- rent repose sur l'hypothèse que f(R,t) peut être considérée comme une intégrale (ou somme) des composantes réfléchies par les cibles; chaque cible est indépendante en mouvement des autres cibles. Chaque mouvement de cible correspond à une relation entre les amplitudes f(R,t), f(R',t'), f(R",t"), réparties dans l'espace et dans le temps. En uti- lisant ces relations spécifiques d'une certaine cible, on obtient un rapport signal-bruit amélioré, avec une puis- sance égale au nombre des amplitudes auxquelles la cible a donné une contribution. En pratique le gain de ce traite- ment du signal est limité à la fois par le degré d'indépendance des mouvements de la cible et par la validi- té et la précision suivant lesquelles les retours radar peuvent être modélisés sur la base d'hypothèse a priori concernant les cibles et leurs mouvements. Une limitation importante est la scintillation ou l'atténuation qui fait que le retour radar renvoyé par un certain objet mesuré par un radar à bande étroite ne présente pas d'intensité prévisible autrement que pendant les petites variations de mouvement de l'objet constituant la cible. Cela le rend inutile, par exemple pour fonder un ultérieur traitement du signal radar pour d'autres dérivés que la dérivé première ou éventuellement les variations de mouvement du second ordre lorsqu'on utilise un radar en bande étroite. La scintillation de la cible individuelle ou des groupes de cibles adjacents peut s'éviter par une tech- nique radar reposant sur les basses fréquences et une lar- geur de bande relativement importante. La largeur de bande relativement importante fait que la cellule de résolution soit de l'ordre d'une longueur d'onde et corresponde ainsi à une distribution pratiquement isotrope. Les retours radar pour des variations d'angle - aspect importantes peuvent ainsi être liées par corrélation. Il devient également in- téressant d'étudier de manière plus détaillée le traitement du signal reposant sur les variations de mouvement d'ordres plus élevés. Il est clair que, si l'on suppose que l'objet formant la cible se déplace d'une manière uniforme ou pro- che d'un mouvement uniforme, le temps d'intégration peut se prolonger (c'est-à-dire qu'il peut s'étaler sur un nombre importante de retours radar) même pour un radar à bande étroite. Le signal radar d'un radar micro-ondes classique à bande étroite devrait, suivant la stabilité du mouvement de la cible, rester cohérent pendant les périodes de temps de l'ordre de quelques millisecondes jusqu'à dix et même cent millisecondes. Comme le retour radar d'un intervalle de plage caractéristique (150 km) s'étale sur environ une de- mi-milliseconde, la fréquence de répétition impulsionnelle PRF du radar doit être de 1 kHz ou moins pour obtenir des plages intéressantes. Le gain réalisable par intégration cohérente dans le radar micro-ondes en bande étroite est ainsi limité par exemple à 10 dB. Pour un radar basse fré- quence à bande étroite (OTH), il est connu que le signal radar reste cohérent pendant plusieurs secondes. Le gain d'intégration peut ainsi devenir plus significatif. Dans le cas du radar OTH, la cohérence dépend néanmoins fortement du fait que la cible effectue des manoeuvres d'une façon telle que dans certains cas la cible peut échapper à la dé- tection par des manoeuvres constantes. 1o Des modèles de traitement de signal pour des ordres supérieurs destinés à la détection de cohérence et la mesure des cibles aériennes par des radars travaillant sur une largeur de bande relativement importante seront examinés ci-après. De manière pratique on suppose que le radar travaille dans une plage de 30-80 MHz, c'est-à-dire avec une largeur de bande relative de 1,5 octave. Le concept fondamental est alors que la détection repose seulement sur une intégration cohérente de l'information relative à la plage de la cible; cela signifie que les données brutes du radar f(R,t) ne présentent aucune dépendance angulaire. En d'autres termes l'intégration cohérente remplace le gain de l'antenne. Comme ce procédé est principalement destiné à des applications de surveillance pour lesquelles toute l'hémisphère nécessite le balayage, le gain d'antenne est possible seulement pour le récepteur (travaillant alors en technique multi-lobes). Le gain de traitement de signal, cohérent, examiné ci-dessus devient totalement comparable à ce que réalisent des antennes multi-lobes très efficaces. Ainsi, selon le concept proposé, on réalise une mesure angulaire par triangulation en supposant que la dis- tance vers une et même cible soit connue des différentes stations radar qui coopèrent et dont les positions récipro- ques sont également supposées connues. L'ensemble des pro- blèmes à analyser concerne ainsi les points suivants: 1 1) détection des cibles aériennes par les stations respec- tives, 2) calcul de la distance des cibles, 3) association des détections au niveau de différentes sta- tions et détermination de la position de la cible par triangulation. La détection selon le traitement de signal d'ordre supérieur repose sur le fait que chaque cible a une histoire unique R(t). En fait, le principe du radar est plus exigeant. Il doit être possible de classer les données radar en une classe indépendante des mouvements de la cible et qui, d'un côté, doit être aussi étroite pour que chaque élément représente, au plus, une cible; en même temps la classification doit être tellement étroite qu'elle permette l'inscription f(R,t) essentiellement sans ambiguïté sous la forme d'une combinaison linéaire des amplitudes de chaque élément de la classe. De plus pour projeter la donnée radar dans cette classe, il faut que la classe représente en con- tinu toutes les plages R et que pour chaque plage, toutes les vitesses d'approche présupposées par le temps de répé- tition impulsionnel du radar. La donnée radar se compose des réflexions par les cibles réelles et de bruit. La fonction mesurée f(R,t) est échantillonnée en K intervalles de plages finies pour N retours radar; cela signifie un nombre fixe et fini K À N de données de mesure indépendante f(Rk,ti), 1 réflexion radar d'une seule cible f(R,t) = Ax(R,t). La pro- Il jection de la donnée radar sur les mouvements de la cible est ainsi la suivante: f -> c cX a la propriété que le bruit soit réparti uniformément sur toutes les constantes X. En conséquence, le rapport signal-bruit c'est-à-dire CXcible 2 / CXnoncible /2 est plus grand d'un fac- teur N que le rapport correspondant des données non trai- tées f[(R,t)cible]2 / f[R,t)non-cible] 2 Comme le nombre des données de mesure et le nombre des mouvements de cibles séparables doivent coinci- der, on a: L = (K xN/m (1.2) En d'autres termes, plus le nombre des paramè- tres nécessaires pour décrire le chemin est important et plus la valeur des paramètres individuels sera incertaine. Cela signifie que plus d'un mouvement de cible tend à don- ner lieu à la même donnée radar, ou, de manière équiva- lente, que le bruit peut être réparti entre les coefficients Cx sans être apparent dans les données. Il est ainsi d'une importance capitale de pouvoir décrire des mou- vements de la cible par un nombre minimum de grandeurs Xm. En fait, c'est seulement pour M - 2 que l'incertitude des paramètres du chemin correspond à l'incertitude de la quan- tité de la donnée principale radar. Pour les cibles aériennes, il est clair qu'il n'y a pas un nombre réduit des grandeurs constantes qui dé- crivent exactement le mouvement puisqu'il peut y avoir par- tiellement un état stochastique et même susceptible de contourner toute forme de prévision. Toutefois, dans ce cas, il y a des lois physiques qui imposent des restric- tions fondamentales aux mouvements possibles et probables. Par exemple, les manoeuvres de la cible aérienne doivent se produire sans entraîner une consommation déraisonnable d'énergie ou de temps par rapport à la distance nette de transport. Une restriction très importante est que la vi- tesse de la cible doit rester pratiquement à une valeur constante. Bien qu'il soit possible aux cibles aériennes d'augmenter ou de diminuer la vitesse, la capacité condi- tionnée de performances d'accélération tangentielle chute par exemple d'un ordre de grandeur, pour le potentiel d'accélération radiale ou circulaire. De plus, l'accélération tangentielle est liée à une consommation im- portante de carburant et la vitesse peut seulement changer de manière épisodique. De façon raisonnable, chaque cible aérienne a une vitesse qui correspond à l'optimum économi- que entre la consommation de carburant et le temps néces- saire à l'exécution de la mission. La constance approximative de la vitesse doit, dans ces conditions, être considérée comme une bonne hypothèse pour fonder une détec- tion d'ordre supérieure des cibles aériennes. Une autre hypothèse concerne l'accélération que l'on suppose essentiellement radiale et qui reste constante sur des périodes relativement longues (secondes). On peut justifier cette hypothèse par le fait que les manoeuvres sont exécutées à la demande et que, lorsqu'il y a une de- mande, la manoeuvre est exécutée dans le temps le plus court. Les contraintes appliquées à l'homme et à la machine sont décisives pour l'accélération possible. Pour une acce- lération transversale constante avec une telle sortie d'accélération, la manoeuvre est exécutée de la façon la plus rapide. Par opposition à la vitesse, l'accélération change instantanément et brutalement. En conclusion, on 1 3 suppose que la vitesse et l'accélération radiale sont des grandeurs caractéristiques du mouvement que l'on peut ad- mettre comme constantes au moins pour des secondes du mou- vement de la cible aérienne. Ce temps est comparable à celui du cas d'un système OTH pour les cibles en mouvement uniforme mais à la différence que cela concerne ici les ci- bles pendant toutes les formes de manoeuvre. 2. Description mathématique - Mouvement plan Le fait qu'à la fois la vitesse tangentielle et l'accélération (qui doivent être totalement radiales) sont périodiquement constantes, signifie que les chemins de la cible à détecter se compose de segments de cercle. Cela se décrit mathématiquement dans l'hypothèse simplifiée que les chemins sont tous contenus dans un plan. Ce plan est appelé E2; les points du plan portent les références P, Q, U,.., les vecteurs rp = PQ, rp, = PU,.. et on introduit les coor- données polaires pour chaque point P, rp = (r, T), rp, = (r', T') selon une convention angulaire appropriée. La figure 1 montre un segment de chemin circu- laire d'une cible. Le point P est la position de la station radar. A l'instant t, la cible est au point U et le rayon du chemin circulaire est IouI = p. Les centres de courbure, y compris le cas dégé- néré lorsque les cercles sont agrandis en ligne droite, sont contenus dans le plan de projection p2. Celui-ci se compose de E avec: 1) l'adjonction des points à l'infini 2) avec des points à l'infini diamétralement opposés et qui sont considérés comme étant un seul et même point dans le plan de pro- jection. Les chemins de la cible ayant le même centre de courbure, on a la topologie E3 (vitesse, rayon et position sur le chemin circulaire). La multitude des chemins de la cible correspond ainsi à la topologie E3 x p2. Cette multi- tude ne peut être couverte par de simples coordonnées sans singularité car les centres de courbure des lignes droites ne sont pas bien définis dans E2. Au lieu de cela, la va- leur limite des rayons de courbure importants nécessite un traitement spécial sous la forme d'une mise spéciale en coordonnées. Il est à remarquer que pour un chemin droit, on a p - w. La position Q de la plage de passage minimal IPQI = C par rapport au radar peut toujours être considérée comme bien définie et a toujours fini. La distance du cen- tre de courbure est égale à = p + C suivant que le chemin est convexe ou concave par rapport au radar. A la figure 1, on a ainsi = p - a. La plage mesurée est IPU| = R. L'angle désigné ZQPU = /. L'angle zQOU augmente uniformément dans le temps, selon la relation ZQPU = (t - t), dans laquelle T désigne le temps de passage lorsque l'objet se trouve dans la position la plus proche. La vitesse angulaire est liée à la vitesse par la relation Q = v/p. Pour définir la trajec- taire du vol par rapport au radar, il faut que la position de Q soit indiquée à la fois par la plage a et par l'angle d'azimut Q. Toutefois, cet angle ne peut être résolu par le radar. Le radar caractérise ainsi le chemin par quatre pa- ramètres indépendants du temps Q, p, I, a. Il est à noter que l'on a selon la figure 1: _____- T] çXt-z) IUQI = 2psiL t 2, ZUQP = - - 2 T (2.1) R[, ç,t -) Ipt = ç2 + 4psid[t - 2)] De plus, le mouvement angulaire de la cible peut se décrire en appliquant le théorème des sinus: p R sin(r - Iv) sin[rçt -)] (2.2) ç, t -)] = arcsin{psin[f(t - 0)] R L'expression (2. 1) signifie une représentation X = (Q, p, T, a, ó) des chemins de la cible. L'angle ó dé- signe la position azimutale du chemin de la cible en rela- tion avec le radar qui, comme mentionné ci-dessus, ne peut se mesurer en tant que telle puisque l'antenne est omnidi- rectionnelle et fait ainsi une moyenne des angles d'azimut. Les cibles sont discrètes et même proches d'une forme ponctuelle. C'est pourquoi la probabilité est faible que deux chemins de cible se coupent et contribuent, ainsi ensemble, à la réflexion radar à un certain point dans E2 à un certain temps t. Toutefois, il peut être approprié de modéliser le signal radar en fonction d'un continuum com- plet de réflexions réparties sur tous les chemins de cible concevables (dans notre cas, ils sont limités à des seg- ments d'un cercle). De cette manière, on peut fonder la dé- tection des cibles sur le fait que certains chemins de cible ont, par comparaison à d'autres, une réflexion beau- coup plus forte. Le bruit et autres coefficients contri- buent cependant à tous les chemins de cible ayant une certaine réflexion, faible, même s'ils ne correspondent pas à des cibles réelles. Dans le cas présent et en fait dans le cas de tous les radars basse fréquence en résolution angulaire, le radar ne peut distinguer entre des mouvements qui diffèrent seulement d'une rotation dépendant dans le temps dans E2 autour de la position P du radar. On dit que deux chemins de cible sont équivalents en P s'il y a une rotation dépen- dante du temps telles qu'on les prend l'un pour l'autre. Le radar peut seulement déterminer des chemins de cible jus- qu'à l'équivalence en P. On suppose toutefois que les ci- bles réelles sont suffisamment nombreuses qu'elles ne peu- * vent jamais correspondre à plus d'un chemin de cible réelle par classe d'équivalence. Le chemin d'une cible ponctuelle est représen- tée par la fonction delta suivante: R56 - R[,ç, n,(t -)]3{ - 4 - li[, a, Q(t - t)] (2.3) La réflexion radar peut se comprendre comme une fonction G définie sur E2, qui pour chaque point Q E E2 et chaque instant t attribue la somme des réflexions de toutes les contributions de cibles ponctuelles à l'intersection avec Q. Si Q se décrit en coordonnées polaires R,cD par rapport à la position P du radar, on peut ainsi écrire la formule suivante: G(R, b, t) =f dçf dtf dnf d4g,( , p, t, ç,) X (2.4) XRÈi - R[, ç, ç(t - t)]b{F - - Ai, ç, ç(t - à)] Dans cette formule, gt(2,p,t,,4) est la distri- bution de la réflexion radar sur tous les chemins de cible à l'instant t. On suppose que gt ne varie que lentement en fonction du temps t et reste pratiquement constante pendant au moins quelques secondes. Les données radar dont on a pris la moyenne sur D (la remise à l'échelle avec R est plutôt une convention), on a, puisque l'antenne est omnidi- rectionnelle: f(R, t) G(R,, t) d (2.5) 0 R Il est à remarquer qu'en général G ne change pas lentement selon t. Si il n'y a pas de précondition pour traiter (2.5) comme un problème inverse. Le problème in- verse à analyser ici concerne le concept développé ci- dessus de classes équivalentes en P de chemins de cible. Supposons maintenant que 6 = 0,p, - - > x et n/p -->, p -- -+ G, dans lesquelles p et u sont des con- tantes pour tous les mouvements de la cible. Dans ce cas, le mouvement de la cible correspond à une simple transla- tion et il y a seulement une cible pour chaque paire de T et a, et pour chaque paire R et (. Si on n'adopte aucune restriction par rapport à Q, p, t,, 6, il y a en général un jeu de mouvements (Q, p, 6 variable) à trois paramètres pour chaque point R,D. Dans un cas réel, il n'y a que peu de cibles comme indiqué ci-dessus. Si l'on développe cet argument au-delà de ce qui a été indiqué ci-dessus, en ne choisissant que deux des paramètres , p. t, T,,, on sup- pose qu'il y a seulement une cible pour chaque paire. On remarque alors que les paramètres " dynamiques " de vitesse et d'accélération peuvent être parfaitement les mêmes pour plusieurs cibles alors que t et 6, qui localisent les ci- bles dans l'espace, tendent à se distribuer. On suppose pour cela la structure suivante pour gt. gt (h, P, a,,) (2.6) gt(T, a>A[p - p(T, 4)P[2 - "T, r4[4 - 4(T, a) En substituant dans (2.4), on obtient: G(R,, t) = fda dgt((, a) x (2.7) XRaÈR - R[p, 6, Ä(t - T))] "{c - y - v[p, a, 2t - T)]} Par intégration de 2.5, on fait disparaître la fonction delta pour les arguments angulaires puisqu'on peut supposer gt indépendant de ó; la donnée radar peut ainsi se représenter par la formule suivante: f(R, t) = J df dcgtg(c,)Zx pcy(R, t), (2.8) avec t) = R 2 4psin2 2 On considère l'intégrale: J dtf dRPAnp r(R, t) e(Rt) (2.9) - O Les dénominations f2l' = (',a') et p'=p(T', a') ont été utilisées ici. On suppose t X t' et a c a'. En gé- néral, on a ainsi seulement quelques instants t' tels que Rt (fQ, p T, a) = Rt,(nl', p', T', a') selon la formule (2.1). L'intégrale de la formule (2.9) se réduit ainsi à une fonc- tion delta. È[Rt(p, p, c) - R.( à, p, tI,,) (2.10) Cette formule est seulement nulle en des ins- tants discrets. Il en résulte que la formule (2.9) suppose un nombre fini de valeurs différentes de zéro. Si toutefois t = T' et ca = (a', on a Rt = R,, c'est-à-dire que l'argument de (2.10) disparaît de manière identique et l'intégrale (2.9) devient divergente. En insérant une constante C de très faible valeur, on peut faire une approximation de ce cas: cf dtf dRA (Ri t) à r(T - t%)(a - a') (2.11) co En d'autres termes, on a l'application: yfR _j2+4pç sir2n( -)]dt f(R, t) - g(, -T, C) f + 4 i 2 j t-At (2.12) Dans laquelle, si At est suffisamment grand, on a: g(', tPl 1:, a)C( P, T, ), (2.13) Cette formule est analogue à la formule (1.1) On voit ainsi que, comme cela a été prévu, (2.12) ne con- tient aucune référence à l'angle d'azimut et ainsi elle permet au plus d'autoriser de déterminer le chemin jusqu'à l'équivalent en P. Cette procédure simple d'inversion de la donnée radar n'est pas très pratique. Par exemple, la relation (2.12) est une intégrale à quatre paramètres pour laquelle déduire la dépendance en fonction des paramètres nécessite des calculs importants. Même si l'on suppose qu'il y a seu- lement une cible pour chaque paire de valeur t, a, le bruit est réparti arbitrairement entre tous les paramètres Q, p, t, a. Ainsi, il peut y avoir une intensité qui amplifie le bruit pour certaines combinaisons de paramètres et contri- bue de la sorte à augmenter le risque de fausse alarme. Dans ce cas, il faut une procédure supprimant les combinai- sons de Q, p, t, c qui contribuent intensivement aux varia- tions de la donnée radar. () Si Q, p, t, a reste constante pendant N pério- des d'impulsion, il est possible, par une application (2.12) d'améliorer les rapports signal/bruit de N fois. Ainsi, pour une période d'impulsion (intervalle entre les retours radar) est de 10-3 secondes, l'accélération et la vitesse, c'est-à-dire p et v sont constants pour environ 10 secondes, on a un gain d'intégration cohérent gproc d'environ 40 dB. Dans une hypothèse pratique pour la plage dynamique des données brutes radar, on peut prévoir un bruit de fond de 100 dBm selon l'expérience du système radar CARABAS correspondant aux brevets suédois 8406007-8 et 9100898-7. Un rapport de travail de 50 % c'est-à-dire un signal émis ayant une longueur d'environ 1 ms est pris comme hypothèse. Le bruit de fond est constitué par un bruit radio sur 1 kHz de largeur de bande. Ainsi, le bruit de fond après intégration cohé- rente est de -140 dBm; on peut détecter des signaux dépas- sant -130 dBm. On suppose une section transversale de radar M2 2 aant = 200 m2 pour l'antenne et Ctrg = 5 m2 pour la cible et une plage de R = 100 km, alors, selon l'équation du radar donnée ci-après, il faut une puissance d'émission d'environ 1 kW pour détecter. Pret = (4)2R Ptrm (2.14) (47cO2R4 3. Structure du problème inverse Appelons Zt la quantité de tous les chemins de cible, circulaires, répartis dans les classes selon l'équivalence en P. En fonction de l'exposé ci-dessus, une telle classe est identifiée par quatre paramètres, en géné- ral v, p, t, a. Dans un but de simplification, appelons une telle classe un chemin de cible, étant entendu qu'une posi- tion azimutale absolue du chemin de cible est indéterminée. On appelle 92 l'espace des paires de doublets de la plage R et du temps t. La donnée radar appartient ainsi à l'espace M(j2) des fonctions définies sur:2. Ainsi, " l'image radar " c'est-à-dire l'intensité de la réflexion répartie entre les différentes cibles est un élément de l'espace O (50) des fonctions définies suro. L'application directe (2.4) qui, pour chaque scénario d'un nombre arbitraire de mouvements de cible avec des intensités de réflexion, asso- ciées, et néanmoins arbitraires, liées linéairement à la sortie de la donnée radar, est définie par la relation: a:e(z4)->_(M2) ( 3.1) Une fonction inverse approximative e-: (92)-e(SO) est définie par la relation (2.12), avec néanmoins des imprécisions en général quant à l'augmentation du bruit comme cela a été indiqué ci-dessus. L'augmentation du bruit est favorisé par le fait que les chemins de la cible se coupent d'une manière variable et généralement non structurée. Nous comparons le présent problème à SAR, qui définit bien le problème inverse mais o néanmoins il faut positionner des paramètres de cible complémentaire en plus de la position des objets dans l'image SAR pour obtenir une image radar à forte résolution. La donnée radar SAR a une structure f(R + T, Vt). La vitesse V de l'avion et le re- tard X du système radar sont de tels autres paramètres qu'il faut évaluer correctement. Ce type de paramètres com- plémentaires est souvent connu sous la dénomination de pa- ramètres de traitement. Nous préférons voir le problème tel que la configuration SAR le désigne de manière précise pour une classe particulière de chemin de cible, à savoir celle 2 2 générée par l'application E2-> E2 suivant les courbes don- nées par la formule: R = T+ 2 +(x- Vt)2 (3.2) Pour chaque choix des valeurs T et V, on peut transformer en une image SAR, c'est-à-dire en une famille à deux paramètres de chemins de cible 3, qui couvre toutes sorties de données de radar 3v. i(.) (:) et dont les che- mins de cible dans chaque V2 ne se coupent pas. Chaque chemin de cible est donné par deux coordonnées (x,y) c E2. Ainsi les fonctions générales de réflexion g e(sv.,)peuvent s'écrire sous la forme g(x,y). On peut résoudre le problème inverse et trouver l'inversion SAR commune. Si f(R,t) est une donnée radar, on a a(f) = g. Usuellement, on suppose que la procédure SAR donne une image de forte résolution seulement pour certai- nes paires V, t. Toutefois, s'il existe des cibles ayant d'autres paramètres V, t, on peut en former de bonnes ima- ges par un nouveau traitement utilisant un nouveau choix de paramètres. En réalité cela peut être le cas d'objets en mouvement ou d'objets occultes (correspondant à des retards t). Le traitement peut ainsi se faire pour plus de deux pa- ramètres sans que la sensibilité de l'évaluation de paramè- tres séparés ne soit détériorée. Comme cela apparaît, la condition préalable est que le traitement puisse se faire avec certains paramètres donnés comme des paramètres de traitement fixes. La structure suivante formalise cette si- tuation par rapport à une procédure bien définie pour des données multi-paramètres o il n'y a pas besoin d'une aug- mentation incontrôlable du bruit. On suppose que l'on puisse répartir Zt en une famille à deux paramètres (suivant les paramètres a, À) d'espaces de chemins de cible à deux paramètres,(de ma- nière plus correcte, il s'agit de chemins de cible selon l'équivalence en P des classes à deux paramètres) tels que - chaque chemin de cible dans 3S appartient à une et à une seulement des familles,S - les chemins de cible dans chaque famille,32î consti- tue un flux Ht,,ó:E ->E2 (application E2 --E2 pour cha- que instant t) dans laquelle les lignes de flux ne se coupent pas. - la restriction gad, de p vers e(z%,) couvre chaque sor- tie de donnée radar r 0,{e(î,ó)}= p(e2) Les données radar sont définies comme suit: I() f(R t) = gO OEStc (R cos sR sin (3.3) on Il est possible d'inverser la donnée radar en cherchant tous les inverses 4ó(ga, = p(f)) pour OE, 3 va- riables. Pour chaque groupe a, t fixe, l'inversion est pratiquement sans ambiguité et stable, puisque les inter- valles des chemins de cible pour g=,p sont à deux paramè- tres, et de plus les chemins ne se coupent pas. C'est pourquoi il n'y a pas d'augmentation de bruit pour une telle inversion. La détection suivante des chemins de cible repose sur la détection de chaque paire fixe de valeur a, Pour mettre le problème de l'inversion sous la forme envisagée ci-dessus, au cours d'une première étape on fixe le nombre des chemins de cible suivant une structure plus symétrique. Il a déjà été remarqué que les chemins de cible rectilignes constituent une valeur limite des chemins circulaires. Pour traiter le problème de l'inversion d'une manière rationnelle, il faut qu'il existe des chemins de cible rectilignes ainsi que des chemins de cible circulai- res, d'une manière régulière et symétrique. Cela se fait par un compactage selon un point de E2 par projection sté- réographique. Une bonne approche de la projection stéréo- graphique et de ses propriétés est donnée dans le document Ahlfors L.V. (1966): Complex Analysis: - An introduction to the theory of analtyic functions of one complex varia- ble; McGraw-Hill Book Company, New York. A cet effet, on identifie les vecteurs r = PQ = (R,) 6 E2 par les nombres complexes R e' . On ap- pelle S2 la sphère de diamètre DO tangente en P à E2. On la couvre avec des coordonnées polaires (0, Y) o 0 est l'angle polaire calculé à partir de P. Le diamètre DD est choisi pour être du même ordre que la plage ou portée du radar. L'application stéréographique s'écrit ainsi: (,) -+ D0 ta-)e'a (3.4) Comme cela est bien connu, la projection sté- réographique transforme des arcs circulaires et des arcs circulaires, c'est-à-dire que les chemins de la cible sont projetés par projection stéréographique suivant des cercles sur S[. Toutefois, bien que le mouvement de rotation dans E2 soit uniforme, il deviendra non-uniforme par projection sur S', par la projection stéréographique inverse. On re- marque toutefois qu'une plage d'élément dc sur SP est liée à une plage d'élément ds dans E2 selon la relation: ds = D02(d42 si2 0 + d&) = D02[d424sin2()cos2(j) + di2 (e D02 ds2 = d+2R2 + dR2 = d+2D 24 tan2y-) + dO2 cos4 ' Ainsi, deT ds = ( =l+ d. (3.5) Cela montre que la projection stéréographique a la propriété d'être conforme, c'est-à-dire d'être une transformation qui conserve les angles. Il en résulte un mouvement qui est projeté sur S2 par la projection stéréo- graphique inverse subit une réduction de vitesse 1 / [ + (R/DoY] qui dépend ainsi seulement de la plage R de P. Cela signifie à son tour que par transformation de la donnée radar selon la relation: f(R, t) ---> f,(R, t) = f R,+ (3.6) Alors on transforme les mouvements de cible uniforme dans E2 en des mouvements de cible uniforme sur s2 P - En d'autres termes, la projection de f(R,t) sur des mouvements de cible circulaire uniforme dans E2 est équivalente à la projection fkonf(R,t) sur des mouvements de cible circulaire uniforme sur S'. Le gain est que les che- mins rectilignes ont été transformés en des cercles passant par P' antipode sur S2 c'est-à-dire suivant un mouvement circulaire uniforme. Considérons que Ro, représente un sous-groupe à un paramètre de rotations rigides de S2 autour du point ) S' à la vitesse angulaire Q. De manière évidente Res donne lieu à un flux Rat E Re,,:Sp -+ S2 de mouvements circulaires uniformes de ci- P P4 ble sur Sp. On peut maintenant diviser S0 en des sous- espaces -,Zparamétrés par la fréquence angulaire Q du mou- vement de cible sur S2 et un autre paramètre u dont la na- ture sera détaillée ci-après. Comme le radar ne peut pas résoudre en 6, la paramétrisation des sous-espaces doit également être indépendante de 6. On a ainsi une configura- tion qui permet de résoudre le problème inverse et trouver O l'inverse ç, na-. On remarque en particulier les rotations R%,2,, autour de points sur l'équateur (en parallèle à E2 donné par O = 2/2). On définit t comme l'espace des flux Rn, X,S2 > 2 pour une valeur arbitraire. 1 objet est définie par rapport à un axe de rotation paral- lèle à E2 qui transforme l'une dans l'autre les données radar. Cette configuration est particulièrement intéres- sante pour les données inverses. Cette observation peut servir à définir encore plus le choix des sousfamilles de 54. Il est à remarquer qu'une transformation ut:z -+ qz,,q étant réelle, elle transfère une donnée radar sur une donnée radar un e(S) 9 Vt2). En même temps, cela constitue une transforma- tion conforme qui ainsi, par une échelle de temps appro- prié, transfère les mouvements de cible en mouvements de cible (mouvements uniformes transformés en mouvements uni- formes; mouvements circulaires transformés en mouvements circulaires) U: ( -) - 4() En supposant connu eVna, on a une nouvelle classe de fonctions inverses -ú Ainsi tous les inverses, sont déterminés par q = i alors que tous les espaces un, = tJ,,a peuvent couvrir l'ensemble t0. De cette manière le problème inverse présente la structure de projection ci-dessus sur des sous- espaces disjoints ainsi qu'une solution pour ces sous- espaces. 4. Adaptation de AASR au problème ISAR En premier lieu, on dérive l'application -+ - - On commence par l'étude du cas particulier En considérant une rotation rigide des sphères Sp suivant l'angle '/2 en prenant un système de cercles concentriques à l'axe équatorial (parallèle à E) vers un système de cercle concentrique sensiblement à l'axe polaire (perpendiculaire à E2). La rotation est représentée par la projection stéréographique (par un choix approprié de l'angle d'azimut ó qui, de toute façon ne peut se mesurer) z + DO z -> w = - D0(4.1) z - Do On appelle & les cercles sur S' concentriques sensiblement à l'axe équatorial (O est l'angle polaire par rapport à l'axe équatorial) et par Y les cercles concen- triques sensiblement à l'axe polaire. On appelle se et Se respectivement les projec- tions conformes des familles de cercles sur E2. La rotation s'écrit ainsi -+ et ainsi Se - s Selon la relation (3.4), les cercles Se ont comme rayon 42) (4.2) R = Do tan821) (4.2) Les cercles se sont donnés par des équations selon (4.1), c'est-à-dire: z - (4.3) Do2 tan2 =z + D12 Selon (4.3), les cercles so ont leur centre sur l'axe réel puisqu'une conjonction complexe z -+ zdonne une équation identique, c'est-à-dire le même cercle. Chaque 0 fixe donne un cercle ss de rayon p(0) et de distance au centre %(0) avec cependant ss non concen- trique pour des 0 différents. On calcule p et % en dérivant les points d'intersection des cercles suivant l'axe réel par la réso- lution de l'équation: 2 x= - 2D x + Do X2 + 2Dox + Do2 Dans cette équation, R = Dotan (0/2) que l'on suppose fixe. On aura les racines xi (Do + Ri Do + R Do (D - RXDO + R) D - R (4.5) xl (Do - R) Do - R Do (Do RXDo + R) Do + R avec X X + X2 (DO + Ry + (Do - RI Do2 + R2 Do 2Do 2(Do RXDo + R) Do -R (4.6) p X - X (D0 + RI - (Do - R 2DoR Do 2Do - 2(Do -RXD0 + R) 1- R L'intersection de (4.2) donne l'application e Se 1 + tan{d Do 1 - tan25 cos 0 (4.7) 2ta-) p = Do = D0tan0 1 - tan 2) La sous-classe 3[ comprend ainsi le sous- ensemble de tous les chemins satisfaisant à la relation suivante: p(= - D0 (4.8 On remarque que p est toujours tel que chemin droit correspond à p, -+>. Dans la sous-classe S, il faut ainsi que tous les objets se déplacent sur la sphère S2 suivant la P même vitesse angulaire Q. Cela signifie que la vitesse d'un objet se déplaçant suivant le cercle, doit être égale à D0 sinO. Comme représenté dans la formule (3.5), la vi- tesse est transformée en ds = [l+(R/D0)2]Ida par projection stéréographique. La vitesse sur E2 suivant le chemin de la cible s0 devient ainsi: R D v = 1 + D b1 sin= O - C t49 D 1 Do En échelonnant le temps en données radar comme indiqué dans le paragraphe précédent, on répartit les vi- tesses de façon que la sous-classe ZA englobe tous les chemins ayant les vitesses suivantes: zx_Do 1- / _ D2. 10. En résumé, la classe 32 contient un chemin pour chaque (en variante, un chemin passe par chaque point dans E2) et est ainsi donné par un rayon de courbure et par une vitesse (4.10) pour chaque C. On remarque que v( ) = D0 est la vitesse du chemin particulier (c'est-à-dire une droite) passant par P. On considère maintenant les autres classes de chemins SQ ' Selon le paragraphe précédent, ces chemins sont --2 2 liés à Zm, par une application conforme z -> zq dans E. Une telle application change la métrique dans E2 selon la relation ds -+ ds/q et ainsi les vitesses selon la relation v -+ v/q. De plus, il y a un changement % -+ %/n et p -+ p/q. Ainsi, la relation suivante s'applique: P( ql2 _ 112D (4.11) ()=DoQ I comme caractérisant les sous-chemins dans,,a . Si l'on suppose que pour chaque mouvement de cible (donné par v,p, T,) il y a une valeur T et une valeur Q, le mouvement de la cible est compris dans l'une des familles 32a 5. Application ISAR L'application ISAR est traitée, de manière gé- nérale, dans Gustavsson J.: A numerical implementation of the ISAR algorithm; FOA report D 30543-3.3; Linkôping 1989, Hellsten H.: Image reconstruction with radar data from linear aperture; FOA report C 30564-3. 3; LinkÈping 1990 and Nilsson S.: A. Fourier method for the stabiliza- tion of the ISAR algorithm; FOA report D 30578-3.3; Lin- kôping 1990. La classe des chemins 2n5.donnée par la for- mule (4.1) peut être traitée par l'algorithme ISAR en ré- échelonnant les données radar, en multipliant d'abord la plage R - R/q puis à remettant à l'échelle de temps selon (3.6). On a ainsi e(it) - fkof(Rt) = f{tl + (5.1) Cette technique d'application sera résumée ci- apres. On considère le flux Rt:Sp - Sp donné par un sous-groupe R,/2, à un paramètre de rotations de S2 examiné au chapitre 3. De manière plus explicite, R/2, est une fa- mille de rotation Rat qui, à l'instant t, a tourné de ma- nière rigide la sphère d'un angle nt. Dans ce qui précède, on a examiné les familles de cercle et e. On sup- pose {v} un point du cercle de donné par un angle xv, choisi pour que v = 0 soit dirigé vers E2 (vers le bas selon la figure 2). Comme RQt est une application de &e sur lui-même, on a l'application {V} E - {1.y + nt} E. Le système de cercles L0 est concentrique au point {0} Eo d-. Il est transféré dans un nouveau système de cercles Y- concentriques à un point { t} e o2 sous l'influence de RQ. Ce système est appelé à = e, a2t En particu- lier, on a Le = 0 Une fonction g E P, est définie en attri- buant une valeur à chaque point {go} de chaque oe. Ainsi, on peut paramétrer cette fonction sous la forme g(0,f). En liaison avec le problème ISAR, on est principalement inté- ressé par la paramétrisation par rapport aux systèmes de cercles a On peut écrire g(O,iv) = Ga(O', i,'), avec {T} E ' et { ET} Z È qui désigne le même point sur SP. Paramétrer par rapport aux systèmes de cercles, est justifié par la donnée radar représentant des va- leurs moyennes sur précisément ces cercles. De façon analogue à (3.3), on a: 1,onfLD ta {jt] = GG, k (5.2) L 2] (, =Pd Ainsi, les données radar correspondent à des fonctions propres de rotation de l'application des cercles sur eux-mêmes. En développant les fonctions G, e _(3 n) dans de telles fonctions propres, on peut avoir une solution du problème ISAR. Les harmoniques dites sphériques ont la pro- priété recherchée de constituer un système complet fonc- tionnel sur la sphère et d'être des fonctions propres pour un groupe de rotation à un paramètre. Pour les harmoniques sphériques et leur caractéristique de transformation pen- dant les rotations, on se reportera au document suivant Ge- fland I.M., Minlos R.A., Shapiro Z. Ya. (1963): Representations of the rotation and Lorentz groups and their applications; Pergamon Press, Oxford. Les harmoniques sphériques se définissent à partir des polynômes associés de Legendre. En utilisant les harmoniques sphériques et les polynômes de Legendre pour des fréquences extrêmement élevées (oscillant rapidement sur la sphère) il est important qu'ils soient définis et réalisés d'une manière numériquement stable. Cela signifie que la récurrence des algorithmes qui doivent les définir devraient être numériquement stables, voir Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T. (1986): Nu- merical Recipes - The art of scientific computing; Cam- bridge University Press, Cambridge; et qu'ils sont ainsi directement définis sous forme normalisée (et sont ainsi donnés par les amplitudes de magnitude un). Les polynômes de Legendre, associés, normalisés (à partir desquels on réalise de telles harmoniques sphériques) sont représentés par la formule P(; -1 P:(x) = (2m) - x21, (x) = x 2m + 1P:(x) (5.4). P(x) (2m) [! Dans cette formule n!! désigne le produit de tous les entiers d'ordre impair riques yM(0, uI sont définies par la relation: yn (0 \= imtgp (COS 0) yMOw)= e n(cos 8) (5.5) Pour cette définition, on a: 2f dWI dé yn (0,i' (0 Y) sinO = (2n + l)(2 +) (5.6) O 4 Ainsi, pour une fonction G(O,xV) définie sur la sphère: G(Ox{I)= 2n + 1 n nyn (OW) G (0, y) =,- (5.7) avec d' = fdW dO yn (OY)G(G,y)sin6 0 0 On suppose que {Ij} E., La condition G.(O,ty) G,(O' xF) avec {\ E cc et {/ e, indique que le même point sur Sp conduit à dm qui est une fonction de OE. Ces fonctions satisfont aux équations différentielles couplées. d 2id d = ((n- m + lXn + m)dn + (n- m)(n + m + 1)dn dam M- M r dc (5.8) Il est à remarquer que la relation yo(0, \) = po(cos e) est indépendante de iF. Ainsi, selon I( (5. 2), on a: dn() = dO P cos GJ (0,v"V sin i (5.9) "d Po(cos fo DotaT) c] sin8 dO O)OnfLD X12)' flj Sm ou A partir des propriétés des polynômes de Legen- dre, on a: d% = 0 pour m > n, dn(c) = (-l)ndn_(c + x) (5.10) Pour les trois relations (5.9), (5.10), la so- lutions de (5.8) est sans ambiguïté avec des données radar pour des valeurs différentes de a ou, en variante, pour des instants différents (en supposant comme vitesse angulaire ). L'équation décrit le problème ISAR qui peut ainsi être solutionné sur le plan formel. Elle décrit également le problème de la présente invention consistant à chercher la sous-classe des chemins vers la cible dans 3n. La solution de (5.8) s'obtient d'une manière numérique stable en appliquant la transformation de Fou- rier. Par la transformation de Fourier, la relation dn(a) - D%(k) (5.8) devient: 2kD = (n- m + 1Xn + m) D- +,(n- m)(n + m + 1) Dm' (5.11) La relation (5.10) devient: DM = 0 pour m > n, D' = ( D-1)+kDm (5.12) Ldonnées radar doivent être introduites dans la solution par la transformation de Fourier et de la rela- tion (5.9): Do(k) = fdcjdle-ikPn(coso nf0ta, sin (5.13) 0ï dOEî dOe CnfD, t a4j sin o 5.3 0 0 Il est alors relativement facile de calculer numériquement Dn pour toutes les valeurs de m et n telles que ImI A partir de D(k) on dérive D(c0) par une transformation Fourier inverse. Normalement, on est seulement intéressé à Dn(cL) à un certain moment, en général t=0. Il suffit alors de calculer la formule suivante (en remarquant que D,(k) est défini sur un spectre Fourier discret de fré- quence maximale k=n) d (o) = ZD (k) (5.14) k=-n On a alors G0(o, IV) de la relation (5.7) Il est à remarquer que l'on peut écrire: Don = J dtJ dOe-iktP(cos)nfDo ta-, t sin O 0 0 * (5.15) dn(0) = a Dr' Cette expression montre que l'inversion ISAR peut être exécutée indépendamment de la vitesse angulaire 2. Le traitement pour différentes vitesses angulaires peut s'effectuer par différentes procédures d'addition (5.15). 6. Association entre les stations Les cibles aériennes se détectent par la fonc- * tion Gt(D,p,t,c) qui atteint un maximum local dépassant un certain niveau critique. Ainsi, on connaît Q, p, T, G vala- bles pour le chemin de vol à l'instant t. La détection ne détermine pas de manière ambiguë la position U de l'avion et le temps t. Comme indiqué, l'angle d'azimut vers la ci- ble peut être déterminé à l'aide d'une seule station radar. Ce chapitre analysait si les stations radar pouvaient coopérer pour éliminer l'incertitude résiduelle dans le positionnement à partir d'une station. On suppose maintenant qu'il est possible, à partir d'une donnée radar, de déterminer IPOI, IPUI, zOPU, avec P position du radar, O centre de courbure et U position de la cible. Cela sera examiné de manière plus détaillée à la fin de ce chapitre. Envisageons de nouveau le mouvement plan et la limite de l'analyse vers deux stations disponibles et loca- lisées aux points P et W dans le plan. On étend la notion de l'équivalence P à son application à chaque quantité dé- finie pour E2. Par exemple, on suppose que deux vecteurs dans le plan r0 et r0., (dont les bases sont les points O et O' respectifs) sont équivalents selon P si, par rotation autour de P en prenant 0 -> O' on a également r0 -+ r0,. En répartissant tous les vecteurs en des classes selon l'équivalence p et en mesurant les valeurs = LOPI, p = oui, Q(t-t) = ZPOU (figure 1) on détermine précisément une classe {r0}p. En supposant n'importe quel groupe de deux vec- teurs r0 et r0., ayant la même longueur I ro = 1 r0o, 1, il y a un point P et un seul tel que la rotation autour de P donne l'application r0 - r0,. Ainsi pour r0 et r0, équivalents se- lon P, il n'y a pas d'équivalence W si P # W. Ainsi l'intersection correspond à l'ensemble vide ou contient au plus un élément r0. Il en résulte que si les deux stations radar dans P et W détectent la même cible et déterminent ainsi les classes (r0}p, {r0}w, il y a seulement un vecteur commun r0 dans cette classe qui peut être extrait des paramètres Q, p, ', c, et qui soit valable pour les détections dans les diffé- rentes stations. L'origine de ce vecteur constitue le cen- tre de courbure alors que son extrémité représente la position de la cible, par extraction de la donnée radar. Il est ainsi possible que les classes {r0}p, {r0}w, dérivant de deux cibles différentes, aient une chance de comporter un vecteur commun. Dans ces conditions, en déterminant les classes {r0,}p, {r0,)}w, on devrait avoir les intersections: N'y n kl et kt n kt qui contiennent, chacune, un élément. En effectuant tou- jours la mise en concordance pour qu'aucun élément ne reste en concordance, on peut positionner sans ambiguïté plu- sieurs cibles. La procédure suivante s'utilise en pratique pour faire cette mise en concordance. Si toutes les détec- tions dans P correspondent aux classes d'équivalence P: ii, k I 12 t t N Toutes les détections dans W correspondant aux classes: 3 o}W l, {o1 12... . o IN Chaque paire de classes donne: t J. i}W!k> { MinrO - ro O Ii'r l '} (6.1) Alors on établit: NM =O k ( i|>l)(6.2) On voit que N est une fonction de la détection des paires de deux stations. En faisant concorder les ob- servations, on réalise par recherche des paires le minimum de N. Il est à remarquer que N constitue également une va- leur collective de l'erreur de mesure dans la mesure de toutes les cibles. En conclusion, on va examiner une forme d'ambiguïté dans la procédure d'association évoquée ci- dessus qui provient du fait que la fonction f(R,t) est in- capable de déterminer les paramètres IPOI IPUI, ZOPU. Se- ion (6.1), il apparaît que: R[p,c,Q(t - I)] = R[p,a,-Q(t - t)] (6.3) Dans cette formule, la détection fixe l'angle ZOPU seulement jusqu'à un signe. On intègre cette ambigui- té si les vecteurs d'équivalence P pour la détection ont chacun une détection qui fixe la classe suivante de vec- teur: {ro}p u {ro*}p Dans cette formule r0* est défini à partir de r0 selon la relation: ro = ou, ro* = OU *, OU = Ioul, oPu * = -zopu. Il est à remarquer que si l'intersection {r0}p, n {ro}w contient un élément, alors {r0*}p, n {ro*}w contient un élément. Cela résulte directement du fait que la symétrie par miroir de tous les éléments des classes {r0}p et {ro}w dans la ligne de liaison PW correspond à l'application {ro}p - {rO*}p et {ro}w -+ {rO*}w. Il en résulte que l'association fixe seulement la cible volante jusqu'à ambiguité r ro est l'image miroir de ro suivant la ligne PW. R E V E N D I C A T IONS 1 ) Station radar placée à la surface du sol, dans un véhicule, un navire ou une installation fixe com- prenant un émetteur, un système d'antenne pour l'émission et la réception, un récepteur et un équipement de traite- ment de signal, caractérisée en ce que - la station radar, avec une périodicité de 10 Hz-lOkHz, émet et de reçoit des signaux radar de polarisation arbi- traire, ayant une fréquence maximale inférieure à 500 MHz et une largeur de bande dépassant 50 % de la fréquence maximale, - l'équipement de traitement de signal est adapté à répar- tir les données en plages R et en temps T dans l'hypothèse o le temps de transmission du signal radar et de réception de l'onde réfléchie est déterminé avec une précision donnée par la largeur de bande, l'équipement de traitement de signal est adapté à traiter les données correspondant à un nombre important de pério- des d'émission, de l'ordre de l02-104, et à effectuer une addition indépendante de chaque combinaison de plage et de temps, qui sur la base d'une connaissance à priori de la vitesse et de l'accélération des cibles à détecter, constitue un historique de plage techniquement et physi- quement possible R(t) et - l'équipement de traitement de signal choisit les amplitu- des radar pour les historiques de plages qui dépassent un seuil prédéterminé et les indique comme cibles détectées. 2 ) Station radar selon la revendication 1, ca- ractérisée en ce que l'équipement de traitement de signal est susceptible d'additionner dans tous les historiques de plages en supposant que les cibles se déplacent à vitesse constante et avec une accélération transversale constante dans un plan bidimensionnel fixe au cours du temps d'intégration ce qui signifie que pendant ce temps les seg- ments sont assimilés à des segments de cercle, on divise la quantité des chemins en un nombre important de classes, chaque classe de chemin étant appliquée par trans- formation conforme en des points couvrant la surface d'une sphère bidimensionnelle, - on décrit la distribution de la réflexion pour différen- tes cibles comme des fonctions, une pour chaque classe, définie sur la sphère, - on calcule les valeurs moyennes des fonctions de ré- flexion pour tous les cercles et - on calcule la réflexion pour tous les mouvements de cible à l'aide d'un procédé connu de tomographie pour recons- truire à partir des valeurs moyennes circulaires, une fonction de réflexion sur la sphère. ) Station radar selon la revendication 2, ca- ractérisée en ce que l'équipement de traitement de signal comprend un processeur parallèle massif formé d'un grand nombre de noeuds tra- vaillant en parallèle et est adapté - à lier chaque classe de chemin de la sphère par une cer- taine transformation conforme à son noeud particulier et - à établir une détection de cible par chaque noeud destiné à reconstruire une fonction de réflexion à partir des données radar pour cette sous-classe particulière. 4 ) Station radar selon l'une des revendica- tions 1 à 3, caractérisée en ce que le système d'antenne est une antenne de petites dimensions, facilement transpor- table et ayant un schéma d'antenne pratiquement omnidirec- tionnel. ) Système radar caractérisé en ce qu'il com- prend au moins deux stations radar selon la revendication 1, ces stations radar étant localisées en des positions connues et un équipement de communication reliant l'équipement de traitement de signal des différentes sta- tions, - l'équipement de traitement de signal étant susceptible d'associer les positions de cibles détectées par chaque station de radar individuel en émettant pour chaque che- min de cible détectée dans chaque station de radar, la variation de plage de temps, linéaire et quadratique pour la cible, - on calcule sur la base de telles évaluations, la varia- O10 tion de plage linéaire et quadratique du chemin de la ci- ble comme cela a été estimé à partir des autres stations, - on détermine si les variations de plage linéaires et qua- dratiques estimées à partir des données des différentes stations concordent et dans l'affirmative, - on calcule la position de la cible détectée en procédant par triangulation. 6 ) Système radar selon la revendication 5, ca- ractérisé en ce que l'équipement de traitement de signal est susceptible d'associer des positions de cibles détec- tées par chaque station de radar individuelle, - en déterminant un chemin de cible circulaire pour chaque cible comme indiqué à la revendication 3, - en représentant la cible par un vecteur dirigé du centre de courbure du chemin vers la position du chemin o est détectée la cible et qui peut être déterminé à partir des données de la station de radar individuelle, jusqu'à une rotation rigide autour de la position du radar, - on forme la différence entre ce vecteur dérivé des don- nées d'une station et celui dérivé des données d'une au- tre station, - on modifie ces valeurs des vecteurs en modifiant l'orientation de la position du vecteur pour la position de la cible telle que vue de l'une ou l'autre station et - on détermine le minimum de la différence entre les vec- teurs associés aux différentes stations, et on estime l'orientation de la cible par rapport à l'axe de liaison passant entre les deux stations. 7 ) Système de radar selon la revendication 6, caractérisé en ce qu'il comprend un ensemble d'au moins trois stations de radar et l'équipement de traitement de signal est susceptible d'effectuer des variations par paires pour au moins trois paires de stations de radar de l'ensemble, en déterminant entièrement la position de la cible dans l'espace. 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