FR 2808101 A1 20011026 FR 9910941 A 19990831 CALCUL DE CAPACITES ENTRE CONDUCTEURS DANS UN CIRCUIT À ETAGES MULTIPLES DESCRIPTION On s'intéresse au calcul de capacités entre conducteurs dans un circuit à étages multiples. Depuis les débuts de la micro-électronique, les densités d'intégration et la vitesse de fonctionnement des circuits intégrés n'ont cessé d'augmenter. Ces améliorations ont pour conséquence que les effets parasites dus aux interconnexions et aux couplages entre les conducteurs voisins, d'étages différents ou d'un même étage, ne peuvent plus être négligés, au point que le retard global d'un circuit intégré dépend maintenant beaucoup du retard produit dans les interconnexions. Le fonctionnement des circuits peut même être perturbé. C'est pourquoi on cherche à simuler le comportement des circuits afin de prévoir et réduire ces effets parasites, en calculant leurs caractéristiques électriques internes. Un circuit intégré peut être représenté par un ensemble de conducteurs répartis sur autant de niveaux du solide ou reliant les conducteurs de niveaux différents, et par des couches diélectriques horizontales séparant ces niveaux et qu'on suppose homogènes. S'il existe des logiciels qui permettent de calculer de façon acceptable les résistances d'interconnexion entre les conducteurs, il n'existe aujourd'hui rien de comparable pour les capacités, qui ne peuvent être calculées qu'au prix de beaucoup de temps et de place en mémoire. On calcule plus précisément la matrice symétrique [Cij] des coefficients capacitifs entre tous les conducteurs i et j, o les termes Cii représentent les effets capacitifs propres, et les termes Cij o i est différent de j les effets capacitifs mutuels. Le potentiel u est fixé dans chacun des conducteurs, et solution de l'équation de Laplace Au =- ± D 0 dans les espaces diélectrique ax2 ay2 az2 entre conducteurs. Les termes de capacité Cij interviennent dans les équations N qi = Cij(Vi -) Vi = 1 à N, et sont égaux à la charge j=l qi électrique sur le conducteur i quand Vi=l et les potentiels des autres conducteurs Vj sont nuls. On peut donc, pour obtenir la matrice [Cij1], porter successivement chacun des conducteurs à un potentiel électrique unitaire et calculer les charges qi sur tous les conducteurs du circuit à l'aide de la dérivée du potentiel dans la direction normale à la surface du conducteur, et faire la somme de ces charges sur les conducteurs. Un procédé connu consiste à discrétiser le matériau diélectrique par des éléments finis volumiques en appliquant les équations et les calculs précédents. Mais il faut un nombre d'éléments important, puisque la forme des intersections du diélectrique avec les conducteurs est complexe. Le problème de calcul des potentiels équivaut à l'inversion d'un systèmes d'équations de grande taille qui nécessite beaucoup de temps de calcul et de place en mémoire. Un autre procédé est celui des intégrales de frontière, o on ne discrétise que les surfaces des conducteurs par éléments finis surfaciques dont le potentiel est connu et la charge est supposée uniforme. On résout alors le système d'équations Pq=p, o q est la matrice vectorielle des charges sur les éléments finis, p est la matrice vectorielle des potentiels sur les éléments, et P est une matrice dont les 1 i coefficients Pij sont égaux a da', o xi aj 4F011xi - xII est le centre de l'élément i, aj la superficie de l'élément j, da' la superficie d'une parcelle de l'élément j et x' le centre de cette parcelle. Quand les charges q ont été calculées, on en déduit les coefficients Cij en calculant la somme des charges sur chacun des conducteurs. Ce procédé est très efficace pour des circuits intégrés de complexité modérée, mais son emploi est lui aussi problématique avec des circuits plus importants, car la matrice P est dense, c'est-à-dire qu'elle comprend peu de termes nuls, et asymétrique de sorte que les méthodes numériques efficaces pour résoudre le système d'équations ne s'appliquent pas; et l'introduction de domaines diélectriques de permittivités différentes, fréquents en pratique, pénalise aussi beaucoup ce procédé. C'est pourquoi un nouveau procédé est proposé avec cette invention, afin de permettre de résoudre simplement ce problème de calcul de capacités entre différents conducteurs d'un solide tel qu'un circuit intégré. Sous sa forme générale, l'invention est donc un procédé de calcul de capacités dans un solide composé de conducteurs séparés par des matériaux diélectriques supposés homogènes par couches, caractérisé en ce qu'il comprend une double discrétisation en éléments finis, l'une des discrétisations étant une division régulière du solide entiers en éléments volumiques supposés entièrement diélectriques, même aux endroits occupés par les conducteurs, l'autre des discrétisations étant une division de la surface des conducteurs en éléments surfaciques; des calculs de potentiel électrique dans les éléments volumiques en supposant, comme dans les méthodes connues, chacun des conducteurs porté à un potentiel imposé unitaire et les autres conducteurs à un potentiel imposé nul; des calculs des charges électriques sur les éléments surfaciques des conducteurs au potentiel nul; et des sommes des charges électriques sur chacun des conducteurs au potentiel nul, lesdites sommes étant égales aux capacités entre les conducteurs sur lesquels elles sont situées et le conducteur au potentiel unitaire. L'invention sera mieux décrite en liaison aux figures suivantes: + La figure 1 est une vue d'un circuit intégré à calculer, + Les figures 2 et 3 illustrent les deux maillages du circuit, À Et la figure 4 évoque la façon dont un calcul de couplage entre les deux modélisations est entrepris. Le solide étudié (noté Q, de frontière r) est donc composé, comme on le voit à la figure 1, d'une série de conducteurs 1 disposés à des niveaux différents, reliés par d'autres conducteurs (en trait mixte ici) et séparés par des couches horizontales de diélectrique 2. Le problème dont on recherche la solution peut être formulé par les équations y donnant la répartition du potentiel électrique u, soit V.(FVu) = 0 dans le diélectrique (noté o) et u=g à la surface des conducteurs (notée 'y), o V est classiquement le gradient Vk = ak,-kak et g est le potentiel imposé pour les calculs ultérieurs. On peut écrire qu'u est la restriction au diélectrique O de la solution du problème de minimisation suivant: min-|fAVvI2dx, avec v=g sur 'Y, o v appartient à l'espace de Sobolev associé Hl(Q). Le lagrangien de ce problème s'écrit 1 2 L(V, p) = -úVv 2dx - (vg)dy o 9 est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte vY=g. La solution (u,q) du problème, incluse dans l'ensemble XxM des couples de fonctions (v,g), est le point-selle du lagrangien qui satisfait à la double inégalité L(u,gl) chacun des conducteurs et nul sur les autres. On est donc amené à travailler sur l'ensemble du solide Q et sur la surface Y des conducteurs. Il est conforme à l'invention, et c'est son point essentiel, de procéder à une double discrétisation, sur deux maillages indépendants, du solide 2 et de la surface y respectivement. Pour la première discrétisation, le solide 2 est divisé par une grille régulière en éléments finis supposés entièrement diélectriques. En pratique, la double discrétisation en éléments finis fait qu'on travaille sur des espaces Vh de dimension n et Mh de dimension m, respectivement inclus dans v et M. Les solutions du problème sont n alors notées Uh et qh avec uh(x) = Zuii(x) et i=l qh(s) = qjj(s). (i et Tpj représentent les fonctions j=l d'une base de Vh et Mh. On peut recourir ici aux divers éléments finis usuels. Toutefois, des éléments parallélépipédiques Q1 d'ordre 1 et triangulaires P0 d'ordre O sont proposés pour le solide Q et la surface Y des conducteurs. Cela signifie que chaque terme Xi est égal à 1 au noeud i du maillage en éléments finis Q1 et décroît linéairement selon les trois axes x, y et z jusqu'à O aux neuds voisins de i (il s'agit des autres sommets de chaque parallélépipède dont le noeud i est un des sommets F), et que les termes pj sont égaux à 1 sur le triangle Tj associé et nuls ailleurs. Les deux discrétisations sont représentées aux figures 2 et 3. Les parallélépipèdes G servant de support aux éléments finis Q1 occupent tout le volume 2, même celui des conducteurs. La grille de maillage du solide 2 est régulière, ce qui signifie que les parallélépipèdes G sont de la même forme et empilés. On peut cependant leur donner des dimensions différentes, surtout en hauteur pour adapter les facettes de certaines couches de parallélépipèdes G aux jonctions des couches diélectriques. Chaque couche de diélectrique peut être divisée en un petit nombre de couches de parallélépipèdes G, ou représentée par une seule de ces couches, en pratique; chaque parallélépipède G se voit alors attribuer la permittivité E du diélectrique dans lequel il est noyé. Le maillage de la surface y des conducteurs porte, comme on le voit sur le fragment de la figure 3, sur toutes leurs faces. Les points de maillage, sommets des triangles Tj, ne coïncident pas en général avec des sommets, arêtes ou facettes des éléments Q1. On peut alors démontrer que le problème se ramène à résoudre le système suivant, o U=(pi) avec i=l,...,n et Q=(qj) avec j=l,...,m: AU - BQ = 0 BTU = Gk o la matrice A correspond à la discrétisation du laplacien dans chaque zone diélectrique sur la grille dans la base de fonction i et s'exprime par A[iJj] = | QúVi.V jdx, et la matrice B correspond au couplage entre le potentiel et la charge et s'exprime par B[ij] = f 1ïipjds. Il suffit de poser v=i et p=qj après avoir remplacé u et q par uh=Eui$i et qh=Eqjgj. De même, Gk[] = Jf jgkhIBs, o gk[j] est la valeur imposée du potentiel (gk=l pour k=j, O ailleurs). La matrice A[i] [j] ne comporte que peu de termes non nuls puisque les produits grad Oi.gradj sont nuls pour des points i et j qui n'appartiennent pas à un même parallélépipède G. Les termes non nuls de la matrice B[i][j] sont ceux qui correspondent à des éléments G1 et Tj d'intersection non nulle. Selon la représentation de la figure 4, 4i=(1-x).(1-y).(l-z) si x, y et z sont les projections de la distance entre les points i et k, normées sur l'élément G1, pour tout point k et en particulier les points situés sur les éléments Tj de la modélisation des surfaces conductrices. Le terme B[i][j] est égal à l'intégrale de (i.(pj) sur tout l'élément Tj. Le système précédent peut être réécrit, en remplaçant U, comme un système en Q symétrique et défini positif BT.A-1.B.Q=Gk, système qui peut être résolu efficacement par un algorithme de gradient conjugué bien connu par les spécialistes en calcul numérique. Ce procédé implique une étape de calcul d'une grandeur vectorielle A-1x, pour laquelle on préconise d'employer un solveur de Poisson connu dans l'art et utilisable en liaison à des transformées de Fourier rapides. On mène ce calcul d'inversion successivement pour g1, g2, etc., en calculant ensuite à chaque fois la somme des charges sur chacun des conducteurs pour en déduire les termes d'une colonne de la matrice [Cij] des capacités. Une méthode d'approximation plus raffinée du système consiste à discrétiser le potentiel en un vecteur U1 sur la base (i), défini comme le vecteur U précédent sur les points i de maillage de la grille, et en un vecteur U2 sur la base (k), composé de certaines fonctions de forme non nulles, exprimant la discontinuité de la dérivée du potentiel électrique en direction normale à la surface des conducteurs, dans les éléments Gi de la grille qui ont une intersection non nulle avec la surface y des conducteurs. U est alors le composé (U1, U2), et 7 le composé (71, 72). Dans le cas fréquent o les conducteurs ont toutes leurs surfaces parallèles à des mailles de la grille, et avec un choix judicieux des fonctions de forme, on peut démontrer, après avoir substitué à U2 son expression en fonction de U1 et Q. que le système d'équations Au - BQ = 0 BTU = Gk de résolution du problème peut être tBTU = Gk A1U1 - B1Q = 0 remplacé par DT O Q =oA1 et B1 sont définis B1UI + DQ = Gk pour (i) uniquement et sont donc identiques à A et B, de même qu'U1 est identique à U du système précédent. Seul le terme (D.Q) s'ajoute à ce système; D est une matrice diagonale dont les termes D[j] [j] sont égaux à - ú) Ei (G-.njG, o i représente encore les 2% sommets parallélépipèdes ayant une intersection avec l'élément Tj concerné, et nj est la normale à l'élément Tj. Le système à résoudre devient (BTAl1Bt + D) = Gk, qui se prête aux mêmes techniques que le précédent. Les résultats obtenus sont excellents, et le restent même si toutes les surfaces de conducteurs ne sont pas parallèles à des lignes de maillage. Des comparaisons ont prouvé la supériorité de l'invention sur les deux procédés antérieurs (éléments finis avec modélisation simple et intégrales aux frontières) en temps de calcul et place en mémoire occupée, surtout pour les circuits complexes: des facteurs d'amélioration de 10 ou même beaucoup plus peuvent être atteints, avec des résultats de calcul bien plus exacts. On peut aussi appliquer le procédé proposé ici à des calculs en deux dimensions, en remplaçant les éléments Q1 parallélépipèdiques par des éléments Q1 restangulaires et les éléments Po triangulaires par des éléments Po linéiques, car les couches diélectriques deviennent des bandes et les limites Y des conducteurs des lignes; mais les raisonnements et les calculs restent substantiellement les mêmes. REVENDICATIONS 1. Procédé de calcul de capacités dans un solide (D) composé de conducteurs (1) séparés par des matériaux diélectriques (2), caractérisé en ce qu'il comprend une double discrétisation en éléments finis, l'une des discrétisations se faisant sur une division régulière du solide entier en éléments supposés entièrement diélectriques volumiques, l'autre des discrétisations se faisant sur une division de la surface des conducteurs en éléments surfaciques; des calculs de potentiel électrique dans les éléments volumiques en supposant chacun des conducteurs porté à un potentiel imposé unitaire et les autres conducteurs à un potentiel imposé nul; des calculs des charges électriques sur les éléments surfaciques des conducteurs; et des sommes des charges électriques sur chacun des conducteurs au potentiel nul, lesdites sommes étant égales aux capacités entre les conducteurs sur lesquels elles sont situées et le conducteur au potentiel unitaire. 2. Procédé de calcul selon la revendication 1, caractérisé en ce qu'il comprend un calcul d'une matrice ([B]) exprimant un couplage entre le potentiel dans les éléments volumiques et les charges dans les éléments surfaciques. 3. Procédé de calcul selon la revendication 2, caractérisé en ce qu'il comprend un calcul d'une matrice ([A]) exprimant le laplacien du potentiel dans les éléments volumiques. 4. Procédé de calcul selon la revendication 3, caractérisé en ce qu'il comprend la résolution d'un {AU - BQ = 0 système U, o A désigne la matrice exprimant BU = Gk le laplacien, B la matrice exprimant le couplage, U le potentiel dans les éléments volumiques, Q les charges dans les éléments surfaciques, et Gk les potentiels imposés. 5. Procédé de calcul selon la revendication 4, caractérisé en ce qu'il comprend un ajout de terme correcteur dans BU=Gk, pour tenir compte d'une discontinuité de dérivée du potentiel en direction normale à la surface des conducteurs. 6. Procédé de calcul selon l'une quelconque des revendications 1 à 5, caractérisé en ce que les éléments volumiques sont des parallélépipèdes à évolution linéaire du potentiel d'un sommet à un autre suivant trois axes, et les éléments surfaciques sont des éléments à valeur uniforme des charges. 7. Procédé de calcul de capacités dans un solide (0) composé de conducteurs (1) séparés par des matériaux diélectriques (2), caractérisé en ce qu'il comprend une double discrétisation en éléments finis, l'une des discrétisations se faisant sur une division régulière du solide entier en éléments surfaciques supposés entièrement diélectriques surfaciques, l'autre des discrétisations se faisant sur une division de la surface des conducteurs en éléments linéiques; des calculs de potentiel électrique dans les éléments surfaciques en supposant chacun des conducteurs porté à un potentiel imposé unitaire et les autres conducteurs à un potentiel imposé nul; des calculs des charges électriques sur les éléments linéiques des conducteurs; et des sommes des charges électriques sur chacun des conducteurs au potentiel nul, lesdites sommes étant égales aux capacités entre les conducteurs sur lesquels elles sont situées et le conducteur au potentiel unitaire. 8. Procédé de calcul selon la revendication 7, caractérisé en ce qu'il comprend un calcul d'une matrice ([B]) exprimant un couplage entre le potentiel dans les éléments surfaciques et les charges dans les éléments linéiques. 9. Procédé de calcul selon la revendication 8, caractérisé en ce qu'il comprend un calcul d'une matrice ([A]) exprimant le laplacien du potentiel dans les éléments surfaciques. 10. Procédé de calcul selon la revendication 9, caractérisé en ce qu'il comprend la AU - BQ = 0 résolution d'un système,U= o A désigne la BU = Gk matrice exprimant le laplacien, B la matrice exprimant le couplage, U le potentiel dans les éléments surfaciques, Q les charges dans les éléments linéiques, et Gk les potentiels imposés. 11. Procédé de calcul selon la revendication 10, caractérisé en ce qu'il comprend un ajout de terme correcteur dans BU=Gk, pour tenir compte d'une discontinuité de dérivée du potentiel en direction normale à la surface des conducteurs. 12. Procédé de calcul selon l'une quelconque des revendications 7 à 11, caractérisé en ce que les éléments surfaciques sont des rectangles à évolution linéaire du potentiel d'un sommet à un autre suivant deux axes, et les éléments linéiques sont des segments à valeur uniforme des charges.