FR 2781941 A1 20000204 FR 9809958 A 19980730 Procédé de réalisation de filtres numériques de Nyquist à interférences nulles entre symboles, et dispositif de filtrage correspondant. Le domaine de l'invention est celui du filtrage de signaux numériques, plus précisément l'invention concerne la réalisation de filtres de Nyquist, tels que ceux utilisés par exemple dans les systèmes de transmission en bandes de base et en monoporteuse. Les filtres de Nyquist jouent un rôle essentiel dans les systèmes de transmission. Dans la plupart des cas, ce filtrage est réparti entre l'émission et la réception sous la forme de deux filtres dits en racine de Nyquist. A l'émission, le but est notamment de limiter la bande du signal émis. A la réception, le filtre doit éliminer les différents bruits pouvant altérer le signal utile, en particulier le bruit d'interférences dues à des canaux adjacents. Dans les systèmes modernes, ces filtres sont réalisés sous forme numérique. Il existe de nombreuses méthodes pour leur synthèse. Un élément clé de cette synthèse, outre bien sûr le respect des spécifications fréquentielles, est l'obtention d'une interférence entre symboles (IES) aussi réduite que possible. Pour assurer les meilleures conditions possibles de transmission, on recherche, en général, des filtres à coefficients réels qui, idéalement, satisfont les critères suivants: - interférence nulle entre symboles; sélectivité fréquentielle; - filtres d'émisssion et de réception formant une paire adaptée; - linéarité de phase. L'annexe 1 détaille ces différents aspects, et les contraintes correspondantes. Cette annexe, de même que les suivantes, fait bien sûr partie de la présente description à part entière. Un système complet de transmission doit réaliser généralement également d'autres fonctions indispensables telles que: - le filtrage analogique d'émission, qui a pour but de rejeter les harmoniques en sortie du filtre numérique, ainsi que le filtrage analogique de réception, qui a pour fonction de limiter à la seule bande utile le spectre du signal à échantillonner; - les conversions numérique - analogique (CNA), à l'émission, et analogique - numérique (CAN) à la réception. L'invention concerne essentiellement l'obtention de filtres numériques, et on ne détaille donc pas les fonctions concernant la partie analogique. I convient cependant de noter que, en pratique, le filtrage analogique à mettre en oeuvre est nettement moins contraignant au sens de la raideur des filtres, que celui du numérique. Plus précisément, la complexité de réalisation du filtre de réjection d'émision est en relation directe avec la valeur du facteur de suréchantillonnage retenu. Quant aux convertisseurs, le fait le plus notable du point de vue du filtrage, est celui de la conversion numérique - analogique qui introduit un filtrage en sin(x)/x, qui peut être compensé classiquement par le filtrage analogique. Ce traitement peut également être réalisé en numérique. Par ailleurs, pour des raisons de mise en oeuvre, les filtres sont généralement échantillonnés à fréquence double ou quadruple. La figure 1 illustre la partie numérique d'un tel système de communication. Le signal à transmettre X(z) 11 alimente l'émetteur 12, qui délivre un signal filtré Y(z) 13 transmis via un canal de transmission 14 vers un récepteur 15 qui délivre le signal de sortie S(z) 16. Le signal X(z)11 est tout d'abord soumis à un sur- échantillonnage 121 puis à un filtrage 122 Ft(z). Dans le récepteur, le signal subit un filtrage de réception Fr(z) 151, puis une décimation 152. Avec T le retard élémentaire lié au filtres numériques d'émission et de réception, on a T8 = MT, o T, est la durée symbole et M le facteur de sur-échantillonnage. L'intérêt d'avoir un facteur de sur-échantillonnage élevé est notamment de faciliter la réalisation du filtre analogique qui va suivre. Un inconvénient est que cela augmente d'autant la vitesse du convertisseur (CNA). En pratique, le compromis le plus raisonnable correspond à une valeur de M = 2 ou 4. L'invention concerne spécifiquement le cas ou le facteur de suréchantillonnage est M =4. Des techniques de construction de filtres de Nyquist sont déjà connues. Toutefois, les différentes familles de filtres connues supposent toujours le relâchement d'une des propriétés souhaitées parmi l'interférence nulle entre symboles, la linéarité de phase et la paire de filtres adaptés. Souvent, dans les systèmes de communication, on est conduit à accepter que le filtrage introduise une IES non nulle. Cela pose cependant parfois des problèmes, par exemple dans le cas de modulations à très grand nombre d'états (64, 256,...) L'invention a notamment pour objectif de pallier ces inconvénients de l'état de l'art. Plus précisément, un objectif de l'invention est de fournir un procédé de réalisation de filtres de Nyquist à interférences nulles entre symboles, et qui respecte également les conditions voulues de sélectivité fréquentielle et de linéarité de phase, dans une configuration en paire adaptée. Un autre objectif de l'invention est de fournir un tel procédé qui permette une mise en oeuvre pratique aisée, des filtres obtenus, et qui prenne en compte certaines contraintes pratiques, telles que les effets de la quantification des coefficients. Plus précisément, l'invention a pour objectif de fournir un procédé garantissant le maintien de la propriété d'annulation de l'interférence entre symboles après cette quantification. Un autre objectif est de fournir un tel procédé qui puisse être mis en oeuvre à l'aide d'une structure cascade, notamment sous la forme de treillis. Ces objectifs, ainsi que d'autres qui apparaîtront par la suite, sont atteints selon l'invention à l'aide d'un procédé de réalisation d'un filtre numérique de Nyquist à interférences nulles entre symboles, destiné à traiter un signal physique transmis entre un émetteur et un récepteur via un canal de transmission. Ce filtre est un filtre symétrique P(z) = F2(z) d'ordre N mettant en oeuvre un facteur de suréchantillonnage M=4, et formant une paire adaptée comprenant un filtre d'émission et un filtre de réception, dont la décomposition polyphase de F(z) peut s'écrire: F(z)=F0(z4) + z-'F1(z4)+ z-2F2(z4)+ z-3F3(z4). Selon l'invention, N est choisi différent de 4n, n entier, et les coefficients de la décomposition polyphase de F(z) sont tels que: Si N-=4n+1, F l (z)P l (z) + z- F2 (z)p 2 (z) = YZ- Si N=4n+2, 2F0(z)P0 (z) + F2 (z) F(z)=z-n Si N=4n+3, F0 (z)P0 (z)+ Fl (z)Fl1 (z) =y'-n 1 étant la symétrie miroir de F et étant une constante non nulle. Ainsi, le procédé de l'invention garantit, par construction, que l'IES est parfaitement nulle. De façon préférentielle, N vaut 4n+3 ou 4n+1 et: ledit filtre d'émission effectue une interpolation par un facteur M=4 et présente une implantation correspondant à une décomposition polyphase dite de type I, telle que: F(z) =[z-' Z-2 z-'] FI (z4) Fi (z) F0(z4) et ledit filtre de réception effectue une décimation par un facteur M=4 et présente une implantation correspondant à une décomposition polyphase dite de type I, telle que: -1 F(z)= [FO (Z4) F (Z4)]P,(Z4) PO(Z4)] _ 2 z -3 z Les filtres ainsi obtenus sont simples à réaliser et à mettre en oeuvre. Avantageusement, dans ledit filtre d'émission, on effectue une étape de filtrage suivie d'une étape d'interpolation par un facteur M-=4. De même, dans ledit filtre de réception, on effectue avantageusement une étape de décimation par un facteur M=4 suivie d'une étape de filtrage. Cette construction (structure permutée), permet de réduire d'un facteur 4 la cadence des opérations. Selon un mode de réalisation préférentiel de l'invention, ledit filtre d'émission et/ou ledit filtre de réception présente une structure de réalisation sous forme d'au moins un treillis. En effet, sous cette forme d'implantation, la contrainte de reconstruction parfaite est intégrée sructurellement. De façon avantageuse, ledit filtre d'émission et ledit filtre de réception sont constitués chacun d'une paire de composantes polyphases donnée respectivement par les équations suivantes: ae |= gA)an)A(z)A(a njet)..A(z)A(aO) [] t a A(an)A(Z)A(Xn-1)... A(z)A(ao)[1] 1 ai [1 01 avec A(o)0 cc et A(z) = zi o g est une constante non nulle de normalisation et ai des coefficients réels. Selon un mode de réalisation particulier de l'invention, le procédé met en oeuvre une structure à deux treillis. Selon une autre approche, il peut mettre en oeuvre une structure à treillis unique, fonctionnant à une fréquence double. L'invention concerne également, bien sûr, les dispositifs de filtrage obtenus à l'aide du procédé décrit ci-dessus. Il s'agit donc de dispositifs de filtrage d'un signal numérique de Nyquist à interférences nulles entre symboles, destiné à traiter un signal physique transmis entre un émetteur et un récepteur via un canal de transmission, basé sur un filtre symétrique P(z) = F2(z) d'ordre N mettant en oeuvre un facteur de suréchantillonnage M=4, et formant une paire adaptée comprenant un filtre d'émission et un filtre de réception, et dont la décomposition polyphase de F(z) s'écrit: F(z)=Fo(z 4) + z-IFi(z4)+ z-2F2(z4)+ z-3F3(z4). Selon l'invention, N est différent de 4n, n entier, et: Si N=4n+l1, F1 (z)l 1 (z)+ z- F2(z)12(z)=z-" Si N=4n+2, 2F0 (z)P 0 (z) + F2 (z) + z- F2 (z) = z- Si N=4n+3, F0(z)P0(z) + F (z)WI (z) = z-n 1 étant la symétrie miroir de F et Y étant une constante non nulle. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront plus clairement à la lecture de la description suivant un mode de réalisation préférentiel donné à titre de simple exemple illustratif et non limitatif, et des dessins annexés parmi lesquels: - la figure 1, délà commentée en préambule, illustre de façon schématique la partie numérique d'un système de communication; - la figure 2, commentée dans l'annexe 1, représente une spécification fréquentielle typique d'un filtre de transmission; - la figure 3, commentée en annexe 2, représente de façon générale un banc de filtres à 2 sous-bandes; - la figure 4 illustre un mode de réalisation de la partie d'analyse d'un banc de filtres para-unitaires à 2 sous-bandes de la figure 3, sous forme de treillis; - la figure 5 rappelle la structure d'un système de filtrage émission- réception, dans le cas linéaire et para-unitaire, commentée par la suite; - les figures 6a et 6b représentent deux formes d'implantation du filtre d'émission de la figure 5, utilisant une décomposition polyphase respectivement en structure directe et en structure permutée; - les figures 7a et 7b illustrent le filtre de réception de la figure 5, également dans le cadre de la décomposition polyphase, respectivement selon une structure directe et une structure permutée; - les figures 8a et 8b présentent le bloc treillis des filtres émission- réception des figures 6a, 6b, 7a et 7b, sous la forme respectivement d'un treillis direct et d'un treillis à sorties inversées; - la figure 9 illustre de façon détaillée un filtre racine de Nyquist d'émission à deux treillis, mettant en oeuvre les treillis inverses de la figure 8b; - la figure 10 présente un filtre de Nyquist de réception, mettant en oeuvre deux treillis directs selon la figure 8a; - la figure 11 rappelle les équations utilisées dans le cas du treillis inversé de la figure 9; - la figure 12 présente un autre mode de réalisation du filtre d'émission, mettant en oeuvre un treillis unique et fonctionnant en cadence double; la figure 13 présente un exemple de réponse en fréquences optimisées d'un filtre racine de Nyquist d'ordre 43, selon l'invention; - la figure 14 illustre la réalisation d'un bloc Z, dans le cas d'un filtre d'ordre 4n + 2, tel que discuté en annexe 3; - la figure 15 présente le bloc d'implantation de la matrice pT, également dans le cadre du mode de réalisation de l'annexe 3; - la figure 16 présente le schéma complet d'implantation d'un bloc à 4 entrées et 4 sorties pour l'ordre 4n + 2, discuté en annexe 3; - la figure 17 présente un mode de réalisation d'un filtre demi Nyquist d'émission pour l'ordre 4n + 2; - la figure 18 illustre un mode de réalisation demi-Nyquist de réception pour l'ordre 4n + 2. Comme déjà mentionné, le procédé de l'invention permet la réalisation de filtres avec M = 4 vérifiant l'ensemble des critères suivants: - IES nulle par construction; - filtres à phase linéaire; - filtres émission et réception formant une paire adaptée. L'annexe 2 montre, après avoir développé l'analogie entre une paire de Nyquist avec M = 4 et un banc de filtres orthogonaux à 2 sous -bandes, que deux situations peuvent se présenter, selon l'ordre du filtre. Plus précisément, on montre qu'il n'y a aucune solution pour les filtres d'ordre N = 4n, et que les cas N = 4n +1 et N = 4n + 3 sont équivalents (théorème 2). La condition pour obtenir une interférence entre symboles nuls est précisé par le théorème 1. Le cas des filtres d'ordre 4n + 1 ou 4n + 3 est décrit par la suite. Il s'avère être celui permettant d'obtenir la réalisation la plus simple. Le cas 4n + 2 est traité à l'annexe 3. Dans ces deux cas, le schéma simplifié mis en oeuvre est représenté en figure 5. Par rapport au schéma initial général de la figure 1, on note que FT(Z) 122 et FR(z) 151 sont remplacés par F(z). Il s'agit en effet d'une paire adaptée à phase linéaire. Dans le cas N = 4n + 3, du fait des relations entre les différentes composantes polyphases F(z) l'expression (20) de l'annexe 2 peut se réécrire de la façon suivante: F(z)=Fo(z4) + z-'Fl(z4)+ z-2F2(z4)+ z3F3(z4) (31) On sait qu'au délai près les filtres émission et réception sont identiques. Cependant, si l'on veut tirer le meilleur parti des traitements multicadence, c'est-à- dire interpolation à l'émission, décimation à la réception, les schémas de réalisation ne seront pas exactement les mêmes. À l'émission, o l'on réalise une interpolation par un facteur M = 4, les formes d'implantation représentées aux figures 6a et 6b, correspondent à celles, dites décomposition polyphase de type II [4] (les références citées sont regroupées dans l'annexe 4), donnée dans le cas de l'invention par: 0o(Z4)] P (z4) F(z) [z-3 z-2 z-' 1] F, (z4) F0(z4) (32) Dans l'une des représentations (figure 6b) on notera la permutation des opérations expansion (61) - filtrage (62), qui permet de réaliser un traitement équivalent en travaillant à une cadence 4 fois moindre que dans le cas du schéma initial (figure 6a). Dans la partie réception le filtrage est associé à une opération de décimation, pour laquelle une écriture plus appropriée de F(z) est celle de la décomposition polyphase dite de type I [4], qui dans le cas présent peut s'écrire: Z-1 F(z)=[Fo(z") FI(z4) PI(Z4) Po(z")] z_2 z 7-3 Z (33) Deux variantes de l'implantation de cette dernière équation sont données à aux figures 7a et 7b (symétriquement aux figures 6a et 6b). L'analogie entre le filtre F(z) d'ordre 4n + 3 et le banc de filtres d'ordre 4n + 1, décrite par le théorème 3 (annexe 2), permet aussi de réécrire l'équation sous la forme: [Fo(z) -P1 (z)] F1(z) FPo(Z) J=gA(ax)A(z)A(ct -,)...A(z)A(ax) (34) Les deux paires de composantes polyphases, miroirs l'une de l'autre, se déduisent donc par les 2 équations qui suivent | F= gA(anx)A(z)A(a -_1)... A(z)A(xo) [o] F (35) et [po =gA ( a)A(z)A(cao)['] (36) [, (36) Dans chacun de ces cas, la structure treillis, représentée aux figures 8a et 8b, est la même. Les deux variantes à sorties directes ou inversées de la figure 8 permettent ensuite de réaliser les filtres émission et réception suivant les schémas représentés respectivement aux figures 9 et 10. En utilisant la décomposition polyphase du signal d'entrée, on peut ensuite déterminer un schéma équivalent à un seul treillis mais qui, dans ce cas, est contraint de fonctionner à la fréquence double. Dans le schéma proposé on présente le treillis inversé sachant que, bien entendu, le treillis direct conduit à un schéma de même type. La figure 11 rappelle les équations de base de ce treillis. Le signal de sortie du filtre d'émission s'exprime par Y(z) [F (z4) + z-'F (z4) + z- 21 (z4) + z-3o(Z4)]X(z4) (37), ce qui peut se réécrire: Y(z)=[Fo(z')+ zFP(z4)]X(z4)+z-' [F, (z4)+ z-2P(z4)] X(z4) (38) = Y0(z2)+Z-yi (z2) (38) Une division par 2 du facteur d'expansion (t' 4 -- t 2 ' 2), puis une permutation de l'expansion par 2 avec le filtrage produit des sorties filtrées telles que: Y0(z) = [F0(z2)X (z2)+ z-'lP, (z2)X (z2)] Y, (z)= [F, (z2)X (z2)+ Z-' P0(z2)X (z2)] On reconnait dans Yl(z) la sortie supérieure du treillis inversé fonctionnant à cadence double, et, au signe du terme en facteur de z-1 près, dans Yo(Z) la sortie inférieure. Pour retrouver exactement la même expression, il suffit donc de multiplier cette sortie du treillis inverse par (- i)n. Une réalisation basée sur ce principe est représenté à la figure 12. Pour la partie réception, la même technique s'applique, il en résulte un schéma de réalisation similaire à celui de la figure 12, mais dans lequel les expanseurs par 2 sont remplacés par des décimateurs par 2. Dans le cas de la figure 9, on fonctionne à la fréquence la plus basse. Le coût de chaque filtre correspond à une structure treillis à n + 1 cellules, plus celui d'une inversion de signe. Pour obtenir un gain unitaire une multiplication par le facteur g est également à comptabiliser pour le schéma du filtre de réception. Les calculs pour chaque cellule élémentaire correspondent aux 2 multiplieurs et additionneurs. Cependant, comme pour chaque treillis une des entrées est à zéro, un multiplieur et un additionneur peuvent donc être supprimés. le coût est donc de 1 multiplieur et 1 additionneur pour cette première cellule et du double pour les suivantes, c'est-à-dire (2n + 1) multiplieurs et (2n +1) additionneurs. Pour chaque filtre nous aurons donc (4n + 2) multiplieurs et (4n + 2) additionneurs. À la fréquence la plus basse nous avons donc à réaliser (4n + 2) MPU et (4n +2) APU, à cela s'ajoute une inversion de signe et une multiplication pour la partie réception. La méthode de synthèse se déroule par exemple en trois étapes, illustrées ci-dessous par le calcul d'un filtre d'ordre 43. - Etape 1: A partir d'outils de synthèse [3], il est possible d'obtenir un premier jeu de coefficients transversaux qui soit proche de I'IES nulle. Ce sont les coefficients initiaux du tableau 1; - Etape 2: Par identification, nous pouvons calculer les coefficients treillis initiaux correspondants qui sont donnés au tableau 2. Le jeu initial de coefficients transversaux n'étant pas exactement à IES nulle, on obtient ainsi un nouveau jeu de coefficients transversaux, appelé reconstruit (cf. tableau 1); - Etape 3: Une optimisation locale des coefficients treillis initiaux permet en suite d'améliorer un peu la réponse en fréquence du filtre. Les tableaux 1 et 2 donnent les valeurs de ces coefficients treillis et transverses après cette optimisation (tableaux 1 et 2). _zt Initial Reconstruit Optimisé 0 0.006302365568 0.006302365568 0.00374315552336009 1 -0.01335763186 -0.01335763186 -0.007643656SS411938 2 I-0.003586256877 0.00013994SS245946S6 0.000256S65997947587 $ 3 0.0032S1590529 0.0002966163S'2849522 0.00052452951560661 4 0.0082541545.5 0.OOS'i244.526S157S75 T 0.00210146572675043 i 0. 00S753151633 0.00875251982S27294 0.009613849352120S3 6J 0.002954708412 -0.00081S038274240153 -0.000565430770503378 7 |-0.006948650S15 -0.00231664S36261536 -0.00210S83853472157 Sf -0.0147421443F T -0.0147620230725.521 j -0.00994253905900314 9 -0. 01369718742 -0.013653S13776S08.j -0.013949317384S354 10 -0.0016S2000235 0.0019923S6221S0159 0.00140539009490696 11 0.01571460254 0.009391015S9973353 f 0.007S5652590927169 12 L 0. 026870884 0.069017853424.573 i 0.0234276140713132 13 0.021123. 550S3 f 0.020971515S594175 | 0.02167S3222304717 14-0.003340088297 -0.00320978778 74163 -0.00339966101869637 -0.03511243314 r -0.0308000965511264 -0.0274417533S99SS4 16 -0.05300379917 T -0.053020272'52SSS58 -0.051165S629696837 1517 -0.0364661812 -0.0360406444.5379 -o0.0377795925012697 1S 0.02216987658 0.014004143.5375S16 0.01616570628,57809 19 0.11057,30906 0.11669S39S397514 0.109490464SS349 0.1994492114 0.199658215352476 j 0.199471282748299 21 0.2.5. 504S3644 I 0.2.53344105750997 j 0.2'57329314844394 Table t: Coefficients transversaux des fi]tres symétriques de degré 43. Initiale J Optimisée go j 0.006302365568 j 0.00374315.5.523 Q. j 2.1194631945539 2 '.04203561311232 _2 o-0.758305965096o5 1- 0.71. 54479175763 Q3 0.68211397085317 0.738023.50460S93 a4 - 0.4637577935126 - 0.553609.50120952 0.4470434662649 1 0.51415010432349 a -3.74312881421S0 - 5.34790460147966 a0 -1.5196264288798 r- 1. 52189568702330 Q8oi 1.2422617481334 I 1.44910973460487 I - 0.5612421724760 - 0.63596605846521 ai 0.158040486787! 0.18869460160260 auj - 0.0222057611677 1 - 0. 06862284945003 Table 3: Coefficients des structures treillis. La réponse en fréquence pour le filtre d'ordre 43 calculé de cette manière est reportée à la figure 13. Il s'agit ici d'un premier résultat, qui peut encore être affiné. Par ailleurs, bien sûr, d'autres techniques de calcul peuvent être envisagées, pour différents ordres et contraintes techniques. On rappelle notamment que le cas N = 4n + 2 est présenté en annexe 3. ANNEXE 1 La répartition du filtrage de Nyquist sur 2 filtres, de ce fait couramment appelés filtres en racine de Nyquist, ou en raccourci demi- Nyquist, doit tenir compte de contraintes liées à 'IES, aux spécifications fréquentielles, à la linéar- ité de la phase et à la propriété dite de paire adaptée. Dans ce paragraphe nous précisons ces différentes notions en supposant, pour simplifier la notation, que T = 1. Par ailleurs, dans le cadre de la réalisation proposée, nous ne traitons que du cas des filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF). 1- Interférence Entre Symboles (IES) l0 Soit x(n) le signal d'entrée et X(z) sa transformée en z, i.e. X(z) = X,, Z(n)z-n, et convenons de noter suivant le même principe l'ensemble des signaux du système de transmission. La contrainte d1IES nulle revient à im- poser que, en l'absence de bruit, le signal de sortie, noté S(z), soit identique, à un retard près, à XV(z). Soit Y(:) le signal en sortie de l'émetteur, il peut s'écrire Y(Z) = FT(Z).(Z). (1) En sortie du filtre de réception le signal, noté U(z), a pour expression U(z) =.FT(z)FR(z)X(zM'). (2) Le signal de sortie est donc tout simplement S(z) Z U(:kwk) = F () = I v(kW) = [L FT(Z=w ')FR(ZkMW) () (3) o w = e est une racine Mième de l'unité. La condition d'IES nulle peut alors se résumer à l'équation M-1,Wi=Zd -- ?( 'FT(z,.,wk)FR(z-wk) = z- d (4) k=O o d correspond au retard introduit par les 2 filtres. Soit P(z) le filtre produit, i.e P(z) = FT(z)FR(z). Dans un formalisme habituel en traitement multicadence du signal, l'équation (4) peut alors se réécrire P(Z) I.Af= Z (.) Un filtre P(z) qui vérifie cette relation est un filtre de Nyquist, ou encore un filtre Mième de bande. Soient nT et nR les ordres respectifs des filtres RIF d'émission et de récep- tion, le filtre P est donc d'ordre np = nT + nR et il peut se mettre sous la forme np P(Z) = p(n)--". (6) n=O Si l'équation (5) n'est pas vérifiée, on mesure habituellement la "distance"' par rapport à cette propriété par l'une ou l'autre des expressions qui suivent D z jp(d - kM) (7) I p(d) I) ou D5= O- k). (S) D=p2(d) ME P(d-,). 2- Les spécifications fréquentielles La figure 2 représente une spécification fréquentielle typique pour les filtres en transmission numérique: * Le facteur de retombée, en anglais le "roll-off", définit pour ce filtres passe-bas, la bande passante par [0,,p = (l - p)] et la bande atténuée par [o = -.(1 +p):r]. * Les spécifications d'ondulation en bande passante, notée Al, et en bande atténuée, notée o2, sont en général les mêmes pour les filtres d'émission et de réception. * À la pulsation;r/M, on impose en général la contrainte FR("r/M) = FT(7r/M1) = /2 3- La linéarité de phase Le choix de filtres à caractéristique phase-fréquence parfaitement linéaire est en général recommandé pour les systèmes de transmission numérique [1, p 32.5]. Cela a en particulier l'avantage de préserver les instants de passage par zéros des trains binaires transmis. 4- La paire de filtres adaptée Dans le cas de modulations linéaires, si on suppose que 'IES est nulle pour l'ensemble du système de transmission, et que le bruit du canal est ad- ditif, blanc et gaussien (BBAG), on sait que la paire adaptée, i.e. FT(z) XFR(z-1), avec N = n = nR l'ordre de chaque filtre, est optimale pour le critère signal à bruit (SNR) [2, pp. 51 sq.]. Le SNR qui vaut Eo IIIFIIFII2 [3] atteint alors son maximum avec lFRII2IIFTII = 1. ANNEXE 2 1- Bancs de filtres orthogonaux à 2 sous-bandes Un banc de filtres à 2 sous-bandes peut se représenter suivant le schéma de la figure 3. De manière à satisfaire la condition de non repliement les filtres de synthèse Go(z) et GI(z) se déduisent directement des filtres d'analyse par Go(z) = Hl(-z) et Gi(z) = -Ho(-z). On peut montrer ensuite [4] que la condition de reconstruction parfaite (PR) peut s'exprimer à partir de la seule matrice polyphase H[H,,H,](z) du banc d'analyse rHo,o(z) Ho.(z) 1 (9) LHOH> 1C]) [L H.,o(z) H.,1(z) o les Hk,,(z) sont les composantes polyphases pour chaque filtre Hk(z), i.e. i Hk(:) = E-'H.( 2) (10) 1=0 Dans le cas des bancs orthogonaux à 2 sous-bandes les filtres sont d'ordre impair 2n + 1 et les composantes polyphases sont toutes de même degré n. Le banc est alors PR si le déterminant de la matrice polvphase est un monôme, autrement dit si Det H[o,1,H](:) = H,o(z)H,,(Z)- H,,o()HO.(Z) = Z--, (11) avec une constante non nulle. Soit Q(z) le filtre miroir du filtre Q(z) d'ordre mrn, i.e. Q(z) = zmQ(z). Le banc orthogonal se caractérise par des filtres Ho(z) et Hl (z) dits conjugués en quadrature, ce qui peut s'écrire H1(z) = -z-(2n +)Ho(z-1). Dans ce qui suit, contrairement à la présentation faite en [4], nous choisissons l'écriture avec un signe plus. Dans ces conditions les composantes polyphases satisfont la relation Ho,,(z) = -H/,o(z),,Hl,(z)= Ho,o(z). (12) Par conséquent la matrice polyphase peut s'exprimer par Ho O(Z) - Hi O(z)1 H[H0,H,(z) = H,.o(z) -, () (13) [ H1o,o(-//H,0(z) J et la relation (11) peut se réécrire sous la forme Det H[Ho,HI](z) = Ho,o(z-)Ho,o(z) + H, 1o(z)H o(Z) =,3z- (14) Le signal de sortie est alors tel que.(z) = -(2+ )() avec 7y une constante non nulle. La matrice H[H0,H](z) est paraunitaire et peut se mettre sous forme cascade avec [4] H[H0,H,](:) = gA(a,)3A(z)A(a,_.... A(z)A(oo) (15) o g est une constante de normalisation non nulle, ao0,..., a, sont n+1 nombres réels et o les matrices A(a) pour a réel et A(z) sont définies par - a 1 '0, A(a)=[i 1] ()[ |] (16) Une réalisation d'un banc de synthèse basé sur cette écriture mathématique produit la représentation treillis de la figure 4. 2- Caractéristiques générales du cas de la paire adaptée à phase linéaire pour M. = 4 Pour la paire adaptée à phase linéaire nous avons forcément FT(z) et FR(z) symétriques tels que FT(z) = FR(z), que l'on peut noter avec la seule expres- sion F(z). Soit N\ l'ordre de F(z), nous avons donc N F(z) ' fkz- (17) k=0 Le filtre produit P(z) s'exprime alors par 2.V P(z) = F2(-) = Zp(k)z-k (l8) k:=0 avec, bien sûr, p(k) = p(2N - k). P(z) satisfait la condition d'IES nulle (5) si p(k) = 0 pour k-N =41 l, 1--0, (19) On peut faire un premier constat en ce qui concerne les filtres d'ordre N = 4n Proposition 1.- Soit F(z) un filtre symetrique d'ordre 4n. F(z) ne peut être à IES nulle. Pour que F(z), filtre symétrique, soit à IES nulle il faut que fo 0. Le monôme de plus haut degré de P(z) est fo:Z-sn alors que son terme central est de degré 4n en z-1. Comme la différence des degrés est un multiple de 4, F(z) n'est pas à IES nulle. La décomposition polyphase de F(z) pour MI = 4 s'écrit sous la forme F(:) = Fo(z4) - +:F-i() + z-F2(Z4) ±3F3(z4) (20) avec F=(z) = f4+Z (21) rn=O Pour réaliser l'analyse des différents cas possibles en fonction de l'ordre N, on utilise la propriété de symétrie de F(z) et le fait que 4ni + I Si N = 4n, le degré de Fo(z) est égal à n et celui des Fi(z),i = 1,2,3 est strictement inférieur à n. D'après la proposition 1 on sait que ce cas ne présente pas d'intérêt pour notre problème. * Si N = 4n+ 1, FI(z) est de degré n, Fo(z) de degré ce cas, o fi = fv-, = 0, est considéré plus bas. On développe alors le produit F2(z) en tenant compte de la décomposi- tion (20) et l'on obtient la caractérisation suivante des filtres F(z) vérifiant la propriété d'IES nulle. Théorème 1.- Soit F(z) un filtre symétrique d'ordre N vérrifiant F(z = O) - O. Alors suitvant les valeurs de.N, F(z) est à IES nulle si et seulement si: * Si N = 4n + 1, Fî(z) (z) + z-F2(z)F2(z) = yz, (2)) SiN = 4n+2, 302Fo(z)o(z) + F() + 'F(z), (26) 2Fo(z)Fo(z) + rl2(z) + z-' F3(z) = ^,.Z-" (26) * SiN=4n+3, Fo(z)Fo(z) + FI(:)F(z) = (-, (27) o -y est une constante non nulle. Le théorème suivant montre que toutes les solutions d'ordre N = 4(n-1)+3 s'obtiennent à partir des solutions d'ordre N = An + 1. Théorème 2.- Soit F(z) un filtre symetrique à IES nulle d'ordre 4n + 1,n > 1, alors si F,(z),i = 0,...,3 de'signe ses composantes polyphases, Fo(z) est de degré strictement inférieur à n et FI(z) peut s'écrire sous la forme Fl(z) = -,I,(z). On a alors Ki',(z) = Fo(:) et le filtre F(z) de composantes polyphases [Fo(z), F2(z), F3(z), NI()] est symétrique d'ordre 4(n- 1) + 3 et à IES nulle. Démonstration.- Cela résulte immédiatement de la relation (25) puisque le terme constant du membre de gauche est nul. On a donc Fi(z = O)FI(z = O) = fofl = 0. Comme Fl(z) contribue avec fa au terme de plus haut degré, f0 # 0 et donc fi = 0. En écrivant Fl(z) sous la forme Fi(Z) = z-1Ii/(z) et sachant que ,(z) = Ji (:), la relation (26), peut encore s'écrire z-1i(:)K'(s) + Z-F2(:)2(:), (2s) Comme 'i(z) = Fo(z) et donc I passage d'un filtre d'ordre 9 à un filtre d'ordre 7. Exemple Fo(z) = fo + f4z- + f, z-2 = fo + f4-' F (z) = fi + f4z-' + fo0 -2 '(f4 + fo') z i(z) (29) F2(z) = f2 + f3z-' F3(:) = f3 + f2Z Le filtre composé de [Fo(z), F2(z), F3(z), IK (z)] est d'ordre 7 et s'exprime alors par fo + f2z-1 + f3z-2 + f4z-3 + f4z-4 + f3z-5 + f2z-6 + foz-7 (30) Un troisième théorème montre que les solutions d'ordre N = 4n+3 s'obtiennent à partir des bancs de filtres orthogonaux à 2 sous-bandes. Théorème 3.- Soit [Ho(z),Hi(z)] un banc de filtres orthogonauz à deuz sous bandes et d'ordre 2n + 1 dont la matrice polyphase est donnée par (13), alors le fitre H[(z) dont les quatre composantes polyphases sont [Ho,o(z), Hi,o(z), Hil,o(z),.lo,o(z)] est un filtre a phase linéaire, d'ordre 4n + 3 et a IES nulle. De façon réciproque, tous les filtres de ce type s'obtiennent a partir des bancs de filtres orthogonauz a deux sous-bandes. Démonstration.- La démonstration est immédiate puisque les filtres à phase linéaire, d'ordre 4n + 3 et à IES nulle sont caractérisés par la relation (27) qui, dans les conditions du théorème devient équivalente à (14). ANNEXE 3 Paire adaptée à phase linéaire d'ordre N = 472 + 2 1- Factorisation initiale Le théorème 1 en annexe 2 nous donne, entre autres, la condition que doit réaliser un filtre F(z) d'ordre 4n + 2 pour être à IES nulle. On rappelle qu'elle s 'écrit 2Fo(z)Èo(z) + F(Z) +:-'F(:) = -n (31) o 7 est une constante non nulle et o les composantes F2(z) sont toutes de degré n, hormis F3(z), et satisfont les relations F2(:) = Fo(z), F(z) = Fi(z) et F3(z) = F3(z). Théorème 4.- Soient a, i = 1,.... n + 1, n > 0, n + 1 constantes. On considère le lecteur colonne [Fo(:), F1(z). F2(z), F3(:)]r défini par l'égalité Fo(z) 1 F2() j = MI(a1) Z M(a2) Z... Z M(a") Z (32) F3(-) J Alors le filtre F(z), dont les composantes polyphases sont les Fi(z),i = 1,..,4 est à phase linéaire, monique, d'ordre 4n + 2 et à IES nulle. Réciproquement, tout fitre monique d'ordre 4n + 2, à phase linéaire et d IES nulle admet une décomposition de cette forme. Démonstration.- Pour n = O, les composantes polvphases sont les polynômes constants Fo(z) = 1, F1(z) = a,, F2(z) = 1 et F3(z) = O. Ces polynômes véri- fient trivialement la condition (31) ainsi que les conditions de symétrie et de degré. On a alors F(z) = 1 + al Z-1 + z-2. Supposons maintenant que les composantes d'un filtre F(z) d'ordre 4n + 2, F,(z), i = 0,..., 3, vérifient la condition (31) ainsi que les conditions de symétrie et de degré. Construisons Li(z),i = 0,...,3par Lo(z) Fo(z) FL(z) j =M(a) Z Fi(z) (33) L2(z) F2(z) L3(z) J F3(z) J On a a2 Lo(z) = Fo(z) - --F2(z) + aîz'F3(z), (34) Li(.) = -aFo(.) - alô-'F2(:) + (1 -).- F3(z), (35) L2(z) = - Fo(z) + z'F2(z) + al z'F3(z), (36) L3(z) =(1 + a)F(z). (37) Il est à peu près immédiat de vérifier les conditions de degré et de symétrie sur les composantes Li(z), i = 0,..., 3. En développant l'expression analogue de (31) pour les composantes Li(z), i = 0,..., 3, on obtient 2Lo(.)Lo(-) + L(2(z) + z-lL (z_) = (2+ )7z-21 (2Fo(z) o(z) + F12(z) + z-'F32(z)) (3S) D'après (31), la partie directe du théorème est donc démontrée. La réciproque est démontrée si l'on peut établir que les relations (3437) permettent de déterminer de manière unique un coefficient al et les com- posantes F(z),i = 0,...,3 d'un filtre F(z) monique, à phase linéaire et à IES nulle. Comme on doit avoir Fo(z = 0) = 1 (puisque F(z) est monique et symétrique, son terme constant est égal à 1), d'après (3.5) on a al = -L(_ = 0). Si al = 0, alors nous sommes dans le cas particulier o Lo(z) est de degré n, le terme de degré n + 1 étant nul, le polynôme symétrique Ll(z) a un terme constant nul et son terme de plus haut degré est nul, et enfin le terme constant de L2(z) est nul (mais pas son terme de degré n + 1 dont le coefficient est 1). On inverse alors les relations (34-37) par Fo(z) = Lo(z), Fl(z) = L3(z), F2(z) = L2(z) quo z-1 et F3(z) = Ll(z) quo z-l. On suppose donc main- tenant que al l 0, mais ce n'est pas nécessaire en fait. L'inversion formelle des formules (34-37) conduit à Fo(z) = 2z(Lo(z)-all(z)) L2( (39) (2 + a22 2Lçz FI(z) = -2-+2 L3(z), (40) 304 a2L F2(z) (2 +a2)2 (2 Lo(z) alLl(z) + L2(z)) quo Z-, (41) F3(Z) = (2 +a)2 a Lo(z) + (1 - a)LI(z) + aîL2(z) quo z-(.42) r()=(2 + af)2 Il suffit alors de montrer que les quotients par z- sont exacts. Comme F(z) est monique, Lo(z = O) = 1, Li(: = O) = -ai par définition de al et, d'après la relation (31), L2(z O) = -a /2. Les membres de droites des égalités définissant F2(z) et F3(z) s'annulent donc en: z = 0 et les quotients sont exacts. On peut alors vérifier que les polynômes F, i = 0,..., 3 satisfont les conditions de symétrie adéquates. 2- Décomposition équivalente En notant par R(a) la matrice cosa -sina 0 0 R(a)=[ sin a cos a 0 0 lO R(a) = 0 0 1 0 (43) 0 0 0 1 et en utilisant la formule (32), on obtient tF2 (Z j:) R(a) PZPT R(a2) PZPT PZPT R(a,) P 1 a F3(z) 0 On introduit alors la matrice Z définie par (l+ Z-'1) 0 (-1 + z-') 0 2ZPI, - 0 0 = (44) Z = PZPT =}-1 Z-1) s')] [ 0 1 0 0 et compte tenu de a,+, = Fa' (45) 0 0 0 0 j on obtient, avec un facteur multiplicatif g, la décomposition Fo(z) 1 Fî(z)I T F2(Z) = gPrR(ai) Z R(a2) Z... R(a,) Z a+l (46) F2(z) 0 Complezité opératoire L'équation (46) donne directement la structure de réalisation des filtres demi-Nyquist d'émission et de réception. Elle correspond à un système à 4 en- trées et 4 sorties qui dans les schémas des figures 6 et 7 se substitue à l'ensemble des 4 filtres polyphases. On notera que dans le cas du filtre d'émission les sor- * ties sont à inverser par rapport à l'écriture (46) qui correspond, par contre, exactement, à celle du filtre de réception. Hormis cette différence de détail, les structures pour chacun de ces filtres d'ordre 4n + 2 vont donc correspondre à * n blocs matriciels de type Z et R(al). * un bloc matriciel pT. * un bloc vectoriel [1,an+l,O,O]T. * un multiplieur g, à ne comptabiliser que pour l' émission ou la réception. Examinons à présent plus en détail le coût de réalisation de chacun de ces élèments. * M\atrices R(oI). Les matrices R(al). 1 Le coût d'implantation est donc tout simplement celui du treillis corre- spondant à la rotation Gl, c'est-à-dire 4 multiplications et 2 additions. * La matrice Z. Elle permet d'associer à un vecteur e d'entrée, le vecteur s de sortie par la relation s = Ze, ce qui se traduit par les 4 équations qui suivent = [(eo - e2) + z'(eo + e2)] sl = Z-1el s1=z1eZ1 (49) S2 = 2 (e2 - eo) + z'(eo + e2)] S3 = C3 Le schéma de réalisation d'un bloc de ce type est représenté à la figure 14. On peut préciser que les multiplications par 1/2 peuvent se réduire à un simple décalage des données binaires. En plus de ces 2 décalages le coût est donc simplement de 4 additions et d'une inversion de signe. * La matrice pT. Elle se présente sous la forme a O -a O pT 1 0 0 a O I (50) a 0 a 0 0 0 0 1 avec a =. Sa réalisation peut également se déduire des équations d'entrée-sortie, qui dans le cas présent s'écrivent so = a(eo + e2) eSi = Cl ((51) 52= a(-eo + e2) S3 = e3 de manière immédiate on peut donc déduire ensuite le schéma de la figure 1;. Le coût opératoire est de 2 multiplications, 2 additions et une inversion de signe. * Le bloc vectoriel [1, an+l, 0, 0]T. Son coût d'implantation est d'une seule multiplication. Le schéma complet d'implantation, conforme à l'équation (46), correspond donc à un système à 4 entrées et 4 sorties, tel qu'on le représente à la figure 16. On retrouve naturellement ce système à l'émission et à la réception. L'ordre de complexité de chacun de ces filtres est donc de 4n MIPU et 6n APU. Ainsi que nous l'avons déjà précisé, à l'émission il est nécessaire d'inverser les sorties. Dans le schéma de réalisation reporté à la figure 17, cette opération est symbolisée par le bloc J, correspondant à la matrice antidiagonale, i.e. O O 0 1 J= 0 1 0ô (52) 1 0 0 0 Le schéma de réception pour l'ordre 4n + 2 est représenté à la figure 1S. ANNEXE 4 References [1] J. G. Proakis. 'Digital Communications". McGrawv-Hill, 19S3. [2] R. W. Lucky, J. Salz, and E. J. Weldon, Jr. "Principles of Data Commu- nications". McGraw-Hill, New-York, 196S. [3] P. Siohan and F. Moreau de Saint-Martin. "New designs of linear- phase transmitter and receiver filters for digital transmission systems". to appear in IEEE Transactions on Circuits and Systems, part II. [4] P. P. Vaidyanathan. Multirate systems and filter banks. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New-York, New Jersey, 1993. REVENDICATIONS 1. Procédé de réalisation d'un filtre numérique de Nyquist à interférences nulles entre symboles, destiné à traiter un signal physique transmis entre un émetteur et un récepteur via un canal de transmission, ledit filtre étant un filtre symétrique P(z) = F2(z) d'ordre N mettant en oeuvre un facteur de suréchantillonnage M=4, et formant une paire adaptée comprenant un filtre d'émission (12) et un filtre de réception (15), la décomposition polyphase de F(z) s'écrivant: F(z)=Fo(z4) + z-'F,(z4)+ z-2F2(z4)+ z-3F3(z4) caractérisé en ce que N est différent de 4n, n entier, et en ce que: Si N=4n+1, F1 (z)F, (z)+ z-'F2(z)l2(z)=)z- Si N=4n+2, 2Fo(z)Fo(z)+F2 (z) + z-'F23 (z)= z-n Si N=4n+3, Fo(z)Fo(z) + F, (z)l, (z) =Z-n P étant la symétrie miroir de F et y étant une constante non nulle. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que N vaut 4n+ 3 ou 4n+1 et en ce que: - ledit un filtre d'émission (12) effectue une interpolation (121) par un facteur M--4 et présente une implantation correspondant à une décomposition polyphase dite de type II, telle que: o(z4) F(z)=[Z-3 z-2 Z-' 1] P'(z4) F (z4) Fo (z4). - et ledit filtre de réception (15) effectue une décimation (152) par un facteur M=4 et présente une implantation correspondant à une décomposition polyphase dite de type I, telle que: z1_ F(z)=[F0(z4) FI(z4)]p(z4) 0(Z4)] z-2 -3 3. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 et 2, caractérisé en ce que, dans ledit filtre d'émission (12), on effectue une étape de filtrage suivie d'une étape d'interpolation par un facteur M=4. 4. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 3, caractérisé en ce que, dans ledit filtre de réception (15), on effectue une étape de décimation par un facteur M=4 suivie d'une étape de filtrage. 5. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 4, caractérisé en ce que ledit filtre d'émission (12) et/ou ledit filtre de réception (15) présente une structure de réalisation sous forme d'au moins un treillis. 6. Procédé selon la revendication 5, caractérisé en ce que ledit filtre d'émission (12) et ledit filtre de réception (15) sont constitué chacun d'une paire de composantes polyphases donnée respectivement par les équations suivantes: |F t= gA(o,)A(Z)A(on-_)...A (z)A(ao)[ f1%]=gA(an)A(z)A(an..)...A(z)A(ao) [ a[ et ( [ 1 O avec ' A(a) = et A(z) = z_ o g est une constante non nulle de normalisation et a, des coefficients réels. 7. Procédé selon la revendication 6, caractérisé en ce qu'il met en oeuvre une structure à deux treillis. 8. Procédé selon la revendication 6, caractérisé en ce qu'il met en oeuvre une structure à treillis unique, fonctionnant à une fréquence double. 9. Dispositif de filtrage d'un signal numérique de Nyquist à interférences nulles entre symboles, destiné à traiter un signal physique transmis entre un émetteur et un récepteur via un canal de transmission, basé sur un filtre symétrique P(z) = F2(z) d'ordre N mettant en oeuvre un facteur de suréchantillonnage M=4, et formant une paire adaptée comprenant un filtre d'émission (12) et un filtre de réception (15), la décomposition polyphase de F(z) s'écrivant: F(z)=F0(z4) + z-1F1(z4)+ z-2F2(z4)-i+ z-3F3(z4) caractérisé en ce que N est différent de 4n, n entier, et en ce que' Si N=4n+l, Fl(z) 1(z)+ z-'F2(z)p2(z) =yz- Si N=4n+2, 2F0(z)0 (z)+F2(z) +z-'F 2 (z)=y Si N=4n+3, F0(z)1(z) + F, (z)Ie! (z) =-yz-" 1e étant la symétrie miroir de F et y étant une constante non nulle.